準正規作用素
が導かれ、ひとまず "P" の値域上で "UP = PU" となることがわかる。さて "h" ∈ "H" が "P" の値域に属するならば明らかに "UPh" = 0 だが、"PUh" = 0 も同様に成り立つことが "U" が "P" の値域の閉包で定義される部分等長作用素であることから言える。然らば、"P" の自己随伴性により "H" は "P" の像と核との直和となることと合わせて "H" の全域において "UP" = "PU" なることが確定する。