二重交換団
とを関連付けるの存在により、作用素論の分野において特に有用となる。特に、"M" をあるヒルベルト空間 "H" に対するC*-環 "B(H)" 内の単位的（unital）な自己共役作用素環とすると、"M" の弱閉包と強閉包および二重可換子環は等しくなる。このことから、"B(H)" のある単位的なC*-部分環 "M" がフォン・ノイマン環であるための必要十分条件は、formula_2 であることが分かる。またこの等式が成り立たないなら、フォン・ノイマン環が formula_3 を生成する。