環上の射影直線
に着目すると、最初の二つの因子は "r" を一つ決めるごとにそれを "U"(1, 0) = ∞ へ写す（これは残りの因子では動かない）。また第三因子は "t" の取り方から、"p" の最初の二つの因子による像を "U"(0, 1)（つまり自然な埋め込みのもとでの原点 0）へ写す（これは第四因子で動かない）。そして第四因子は "q" の最初の三つの因子による像の "v" による回転の形で U("q", 1) を "U"(1, 1) へ写す。以上から、三つ組 ("p","q","r") はこの変換で三つ組 (0,1,∞) にすることができる。三つ組を (0,1,∞) へ写す生成元の不動点を軸に考えれば、このような射影変換は明らかに一意的である。