環上の射影直線
メビウスは、著書『重心算法』("Baricentric Calculus", 1827) および1855年の論文「純幾何学的表現における相互関係の理論」("Theorie der Kreisverwandtschaft in rein geometrischer Darstellung") においてメビウス変換を研究した。また、フォイエルバッハとプリュッカーは斉次座標の創始者として名を知られている。1898年にシュトゥーディおよび1908年にエリ・カルタンが、それぞれドイツ語およびフランス語版の『数学百科事典』に記した超複素数系 (hypercomplex numbers) の項目では、その算術を用いたメビウス変換とよく似た一次分数変換が定義されている。1902年にファーレンは、クリフォード環のある線型汎函数変換について調べた短いがよく参照される論文を寄稿する。二重数の環 D に対する射影直線 "P"(D) は が提示の機会を得ており、この環については が引き続いて展開した。