title: Goldener Schnitt

text: Da der Goldene Schnitt irrational ist, stellt sich die Frage, wie gut er sich durch rationale Zahlen annähern lässt. Grundsätzlich konnte gezeigt werden, dass es für eine beliebige irrationale Zahl formula_76 stets unendlich viele rationale Zahlen formula_53 gibt, so dass


title: Goldener Schnitt

text: Dieses Resultat ist fundamental im Gebiet der diophantischen Approximation. Erhöht sich der Nenner formula_64, sind grundsätzlich auch bessere Annäherungen möglich, wie das sogar quadratische Abklingen der rechten Seite zeigt. Bemerkenswert ist die Konstante formula_12, die optimal gewählt ist, also nicht weiter vergrößert werden kann. Grund dafür ist der Goldene Schnitt, der (zusammen mit zu ihm äquivalenten Zahlen) die Eigenschaft hat, dass für alle formula_98 nur "endlich viele" rationale Annäherungen mit


title: Goldener Schnitt

text: existieren. Für irrationale Zahlen, die nicht zu formula_5 äquivalent sind, lässt sich die Konstante formula_101 größer als formula_12 wählen (nämlich mit Wert formula_103 (Satz von Hurwitz)). Der Goldene Schnitt gehört also unter den irrationalen Zahlen zu den am schlechtesten durch rationale Zahlen approximierbaren. Da seine Kettenbruchentwicklung überdies nur Einsen enthält, ist er in diesem Sinn die „irrationalste aller Zahlen“.


title: Goldener Schnitt

text: Der mathematische Beweis der oberen Aussage fußt auf sogenannten Kettenbrüchen. Jede reelle Zahl lässt sich (im Wesentlichen eindeutig) durch einen Kettenbruch darstellen. Bricht man diesen nach endlich vielen Schritten ab, ergibt sich eine „besonders gute“ rationale Annäherung an diese Zahl. Für die Goldene Zahl gilt nun aber formula_104, woraus sich durch wiederholte Anwendung ergibt


title: Goldener Schnitt

text: Bricht man die Kettenbruchentwicklung ab, erhält man stets einen Bruch aus zwei aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen. Weil im Kettenbruch lediglich Einsen auftauchen – die kleinste natürlich Zahl –, nähert sich dieser Kettenbruch mit der „minimal möglichen Geschwindigkeit“ der Goldenen Zahl an. Im Vergleich ist der Kettenbruch zur Kreiszahl formula_71 – ebenfalls irrational – deutlich schneller konvergent.


title: Goldener Schnitt

text: In der Theorie der dynamischen Systeme werden Zahlen, deren unendliche Kettenbruchdarstellung ab einer Stelle nur noch Einsen enthält, als „noble Zahlen“ bezeichnet. In diesem Kontext wird der Goldene Schnitt als „nobelste“ aller noblen Zahlen bezeichnet.


title: Goldener Schnitt

text: Als Konstruktionsverfahren werden nach den Postulaten des Euklid nur diejenigen Verfahren akzeptiert, die sich auf die Verwendung von Zirkel und Lineal (ohne Skala) beschränken. Für die Teilung einer Strecke im Verhältnis des Goldenen Schnittes gibt es eine Fülle derartiger Verfahren, von denen im Folgenden exemplarisch nur einige erwähnt werden. Unterschieden wird dabei eine "innere" und "äußere" Teilung. Bei der "äußeren Teilung" wird der in der Verlängerung der Ausgangsstrecke außen liegende Punkt gesucht, der die vorhandene Strecke zum (größeren) Teil des Goldenen Schnittes macht. Der Goldene Schnitt stellt dabei einen Spezialfall der harmonischen Teilung dar. Aufgeführt werden im Folgenden auch zwei moderne, von Künstlern gefundene Konstruktionen.


title: Goldener Schnitt

text: Regelmäßiges Fünfeck und Pentagramm bilden jeweils eine Grundfigur, in der das Verhältnis des Goldenen Schnittes wiederholt auftritt. Die Seite eines regelmäßigen Fünfecks befindet sich im Goldenen Schnitt zu seinen Diagonalen. Die Diagonalen untereinander wiederum teilen sich ebenfalls im Goldenen Verhältnis, d. h., formula_107 verhält sich zu formula_108 wie formula_108 zu formula_110. Der Beweis dazu nutzt die Ähnlichkeit geeignet gewählter Dreiecke.


title: Goldener Schnitt

text: Das Pentagramm, eines der ältesten magischen Symbole der Kulturgeschichte, steht in einer besonders engen Beziehung zum Goldenen Schnitt. Zu jeder Strecke und Teilstrecke im Pentagramm findet sich ein Partner, der mit ihr im Verhältnis des Goldenen Schnittes steht. In der Abbildung sind alle drei möglichen Streckenpaare jeweils blau (längere Strecke) und orange (kürzere Strecke) markiert. Sie lassen sich über das oben beschriebene Verfahren der stetigen Teilung nacheinander erzeugen. Im Prinzip ist es damit in das verkleinerte Pentagramm fortsetzbar, das in das innere Fünfeck gezeichnet werden könnte, und damit in alle weiteren. Stünden die beiden Strecken in einem Verhältnis ganzer Zahlen, müsste dieses Verfahren der fortgesetzten Subtraktion irgendwann Null ergeben und damit abbrechen. Die Betrachtung des Pentagramms zeigt aber anschaulich, dass das nicht der Fall ist. Eine Weiterentwicklung dieser Geometrie findet sich bei der Penrose-Parkettierung.


title: Goldener Schnitt

text: Für den Beweis, dass es sich um den Goldenen Schnitt handelt, beachte man, dass neben den vielen Strecken, die aus offensichtlichen Symmetriegründen gleich lang sind, auch formula_111 gilt. Ursache ist, dass das Dreieck formula_112 zwei gleiche Winkel besitzt, wie durch Parallelverschiebung der Strecke formula_113 erkannt werden kann, und daher gleichschenklig ist. Nach dem Strahlensatz gilt:


title: Goldener Schnitt

text: Wird formula_115 ersetzt und die Gleichheit der auftretenden Teilstücke beachtet, so wird genau die obige Definitionsgleichung für den Goldenen Schnitt erhalten.


title: Goldener Schnitt

text: Die 12 Ecken des Ikosaeders bilden die Ecken von 3 gleich großen, senkrecht aufeinanderstehenden Rechtecken mit gemeinsamem Mittelpunkt und mit den Seitenverhältnissen des Goldenen Schnittes. Die zwölf Ecken eines Ikosaeders sind also die zwölf Ecken dreier goldener Rechtecke, die paarweise aufeinander senkrecht stehen. Diese Anordnung der 3 Rechtecke wird auch Goldener-Schnitt-Stuhl genannt. Weil der Ikosaeder zum Pentagondodekaeder dual ist, bilden die 12 Mittelpunkte der Fünfecke ebenfalls die Ecken eines Goldener-Schnitt-Stuhls.


title: Goldener Schnitt

text: Ferner kann in ein gegebenes Oktaeder ein Ikosaeder so einbeschrieben werden, dass dessen Ecken die Kanten des Oktaeders im goldenen Schnitt teilen.


title: Goldener Schnitt

text: Ein Rechteck, dessen Seitenverhältnis dem Goldenen Schnitt entspricht, wird als Goldenes Rechteck benannt; ebenso heißt ein gleichschenkliges Dreieck, bei dem zwei Seiten in diesem Verhältnis stehen, Goldenes Dreieck.


title: Goldener Schnitt

text: Der "Goldene Winkel" wird erhalten, wenn der Vollwinkel im Goldenen Schnitt geteilt wird. Dies führt auf den überstumpfen Winkel formula_116


title: Goldener Schnitt

text: Gewöhnlich wird aber seine Ergänzung zum Vollwinkel, formula_117 als Goldener Winkel bezeichnet. Dies ist dadurch gerechtfertigt, dass Drehungen um formula_118 keine Rolle spielen und das Vorzeichen nur den Drehsinn des Winkels bezeichnet.


title: Goldener Schnitt

text: Durch wiederholte Drehung um den Goldenen Winkel entstehen immer wieder neue Positionen, etwa – wie im Bild – für die Blattansätze (Näheres im Abschnitt Biologie).


title: Goldener Schnitt

text: Dabei zerlegen die ersten formula_85 Positionen den Kreis in formula_85 Ausschnitte. Diese formula_85 Ausschnitte haben höchstens drei verschiedene Winkel. Im Fall einer Fibonacci-Zahl formula_122 treten nur zwei Winkel formula_123 auf. Für formula_124 tritt der Winkel formula_125 hinzu.


title: Goldener Schnitt

text: Betrachtet man für wachsendes formula_85 fortfolgend die sich verfeinernden Zerlegungen des Kreises, so teilt die formula_127-te Position stets einen der verbliebenen größten Ausschnitte, und zwar immer den im Verlauf der Teilungen zuerst entstandenen, d. h. den „ältesten“ Ausschnitt. Diese Teilung erfolgt im Goldenen Verhältnis, sodass, im Uhrzeigersinn gesehen, ein Winkel formula_128 mit geradem formula_129 vor einem Winkel formula_130 mit ungeradem formula_131 liegt.


title: Goldener Schnitt

text: Wenn wir den Ausschnitt mit dem Winkel formula_132 mit formula_133 bezeichnen, so erhalten wir nacheinander die Kreiszerlegungen


title: Goldener Schnitt

text: Die Goldene Spirale, u. a. auch spira mirabilis oder Bernoulli’sche Spirale genannt, ist ein Sonderfall der logarithmischen Spirale. Wie eine solche konstruktiv erzeugt werden kann, zeigen die beiden folgenden Möglichkeiten.


title: Goldener Schnitt

text: Diese Spirale lässt sich mittels rekursiver Teilung eines Goldenen Rechtecks in je ein Quadrat und ein weiteres, kleineres Goldenes Rechteck konstruieren. Ihr Radius ändert sich bei jeder 90°-Drehung um den Faktor formula_5.


title: Goldener Schnitt

text: parametrisieren. Die Idee von Polarkoordinaten ist hierbei, einen Punkt formula_146 in der Ebene durch seinen Abstand formula_147 zum Ursprung und den mit der formula_76-Achse eingeschlossen Winkel formula_149 festzulegen. Dessen Polarkoordinaten sind dann formula_150, und durch Wahl des Radius in Abhängigkeit vom sich verändernden Winkel formula_149 lassen sich manche geometrische Figuren durch eine entsprechende Funktion formula_152 einfacher beschreiben als in klassischen kartesischen Koordinaten. Zu beachten ist, dass mehrfache Umdrehungen um den Ursprung, etwa in den Fällen formula_153 (Ausgangslage), formula_154 (eine Volldrehung), formula_155 (zwei Volldrehungen) usw. unterschiedliche Radii hervorrufen können, was auch an der nicht-periodischen Figur der Spirale zu erkennen ist.


title: Goldener Schnitt

text: Eine brauchbare Näherung für die Goldene Spirale findet sich bereits bei Kepler. Man erhält diese Approximation, wenn man in die Quadrate Viertelkreise mit dem Radius der Seitenlänge des Quadrats einzeichnet. Dies ist im mittleren Bild illustriert. Im linken Bild wird die Güte dieser Approximation veranschaulicht.


title: Goldener Schnitt

text: Die Goldene Spirale ist unter den logarithmischen Spiralen durch die folgende Eigenschaft ausgezeichnet. Seien formula_156 vier auf der Spirale aufeinanderfolgende Schnittpunkte mit einer Geraden durch das Zentrum. Dann sind die beiden Punktepaare formula_157 und formula_158 harmonisch konjugiert, d. h., für ihr Doppelverhältnis gilt:


title: Goldener Schnitt

text: Eine vergleichbare Möglichkeit für die konstruktive Darstellung einer Goldenen Spirale bietet das Goldene Dreieck. Das nebenstehede Bild zeigt ein solches gleichschenkliges Dreieck formula_160 mit den Basiswinkeln formula_161 und dem Scheitelwinkel formula_162 bei formula_163. Es gilt: formula_164.


title: Goldener Schnitt

text: In diesem Fall beinhaltet die Konstruktion der Goldenen Spirale die rekursive Teilung eines Goldenen Dreiecks in je ein gleichschenkliges stumpfwinkliges Dreieck und in ein weiteres, kleineres Goldenes Dreieck. Dies ist begründet durch eine sogenannte Drehstreckung formula_165. Sie enthält eine Drehung um formula_166 (entspricht formula_167). Daraus ergibt sich eine Streckung mit dem Faktor formula_168


title: Goldener Schnitt

text: Es beginnt mit dem Halbieren des Winkels formula_161 am Scheitel formula_170. Dabei teilt der generierte Punkt formula_171 die Schenkellänge formula_172 im goldenen Schnitt. Es entsteht dabei das gleichschenklige stumpfwinklige Dreieck formula_173 sowie das Dreieck formula_174 Dass letzteres auch ein Goldenes Dreieck ist, zeigt die folgende einfache Überprüfung der Winkelweiten.


title: Goldener Schnitt

text: Am Scheitel formula_170 ergibt sich durch die Winkelhalbierende des Ausgangsdreiecks die Winkelweite formula_162; der Basiswinkel am Scheitel formula_177 bleibt unverändert formula_161. Wird die Winkelsumme eines ebenen Dreiecks mit formula_179 berücksichtigt, ist am Scheitel formula_180 der Basiswinkel ebenfalls formula_161. Dies zeigt auf, das entstandene Dreieck formula_182 und das Goldene Dreieck formula_160 sind zwei zueinander ähnliche Dreiecke.


title: Goldener Schnitt

text: Für den Nachweis, dass der Punkt formula_180 tatsächlich die Schenkellänge formula_172 im goldenen Schnitt teilt, gilt:


title: Goldener Schnitt

text: Nun bedarf es noch der Bestimmung des Polpunktes formula_187 als Schnittpunkt der beiden Seitenhalbierenden formula_188 und formula_189 Die darüber hinaus eingezeichneten goldenen Dreiecke formula_190 u.a.m. zeigen, dass diese Vorgehensweise beliebig weit fortgesetzt werden kann.


title: Goldener Schnitt

text: Mit formula_191 und formula_192 sind die ersten fünf Punkte auf der ― noch zu konstruierenden ― Spirale bestimmt. Hat der Polpunkt formula_187 die Polarkoordinaten formula_194, so gilt für die goldene Spirale (spira mirabilis) die Polargleichung


title: Goldener Schnitt

text: An den gleichschenkligen stumpfwinkligen Dreiecken wird jeweils um deren Scheitelpunkt mit dem stumpfen Winkel, ein Kreisbogen mit der Winkelweite formula_196 (entspricht formula_197) und dem Radius gleich dem eines Schenkels gezogen.


title: Goldener Schnitt

text: Mit anderen Worten: Am Dreieck formula_198 wird um dessen Scheitelpunkt formula_180 (mit dem stumpfen Winkel), ein Kreisbogen von formula_163 nach formula_170 gezogen. Gleiches gilt für die weiteren ähnlichen Dreiecke.


title: Goldener Schnitt

text: Wird die Strecke formula_16 mit Länge formula_1 durch den Punkt formula_206 im Verhältnis des Goldenen Schnitts in zwei Teilstrecken formula_207 und formula_208 mit Längen formula_76 und formula_210 geteilt, so ist formula_76 bereits das geometrische Mittel der Zahlen formula_1 und formula_210. Das folgt aus der allgemeinen Definition des geometrischen Mittels formula_214, hier: formula_215.


title: Goldener Schnitt

text: Des Weiteren folgt daraus unmittelbar, dass formula_1 wiederum das geometrische Mittel von formula_76 und formula_220 ist. Man hat in diesem Fall


title: Goldener Schnitt

text: Das spektakulärste Beispiel für Verhältnisse des Goldenen Schnittes in der Natur findet sich bei der Anordnung von Blättern (Phyllotaxis) und in Blütenständen mancher Pflanzen.


title: Goldener Schnitt

text: Bei diesen Pflanzen teilt der Winkel zwischen zwei aufeinanderfolgenden Blättern den Vollkreis von 360° im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn die beiden Blattansätze durch eine Parallelverschiebung eines der Blätter entlang der Pflanzenachse zur Deckung gebracht werden. Es handelt sich um den "Goldenen Winkel" von etwa 137,5°.


title: Goldener Schnitt

text: Die daraus entstehenden Strukturen werden auch als selbstähnlich bezeichnet: Auf diese Weise findet sich ein Muster einer tieferen Strukturebene in höheren Ebenen wieder.


title: Goldener Schnitt

text: Beispiele sind die Sonnenblume, Kohlarten, Kiefernnadeln an jungen Ästen, Zapfen, Agaven, viele Palmen- und Yuccaarten sowie die Blütenblätter der Rose, um nur einige zu nennen.


title: Goldener Schnitt

text: Ursache ist das Bestreben dieser Pflanzen, ihre Blätter auf Abstand zu halten. Es wird vermutet, dass sie dazu an jedem Blattansatz einen besonderen Wachstumshemmer (Inhibitor) erzeugen, der im Pflanzenstamm – vor allem nach oben, in geringerem Umfang in seitlicher Richtung – diffundiert. Dabei bilden sich in verschiedene Richtungen bestimmte Konzentrationsgefälle aus. Das nächste Blatt entwickelt sich an einer Stelle des Umfangs, wo die Konzentration minimal ist. Dabei stellt sich ein bestimmter Winkel zum Vorgänger ein. Würde dieser Winkel den Vollkreis im Verhältnis einer rationalen Zahl formula_222 teilen, dann würde dieses Blatt genau in die gleiche Richtung wachsen wie dasjenige formula_85 Blätter zuvor. Der Beitrag dieses Blattes zur Konzentration des Inhibitors ist aber an dieser Stelle gerade maximal. Daher stellt sich ein Winkel mit einem Verhältnis ein, das alle rationalen Zahlen meidet. Die Zahl ist nun aber gerade die Goldene Zahl (siehe oben). Da bisher kein solcher Inhibitor isoliert werden konnte, werden auch andere Hypothesen diskutiert, wie die Steuerung dieser Vorgänge in analoger Weise durch Konzentrationsverteilungen von Nährstoffen.


title: Goldener Schnitt

text: Der Nutzen für die Pflanze könnte darin bestehen, dass auf diese Weise von oben einfallendes Sonnenlicht (bzw. Wasser und Luft) optimal genutzt wird, eine Vermutung, die bereits Leonardo da Vinci äußerte, oder im effizienteren Transport der durch Photosynthese entstandenen Kohlenhydrate im Phloemteil der Leitbündel nach unten. Die Wurzeln von Pflanzen weisen den Goldenen Winkel weniger deutlich auf. Bei anderen Pflanzen wiederum treten Blattspiralen mit anderen Stellungswinkeln zutage. So wird bei manchen Kakteenarten ein Winkel von 99,5° beobachtet, der mit der Variante der Fibonacci-Folge 1, 3, 4, 7, 11, … korrespondiert. In Computersimulationen des Pflanzenwachstums lassen sich diese verschiedenen Verhaltensweisen durch geeignete Wahl der Diffusionskoeffizienten des Inhibitors provozieren.


title: Goldener Schnitt

text: Bei vielen nach dem Goldenen Schnitt organisierten Pflanzen bilden sich in diesem Zusammenhang so genannte Fibonacci-Spiralen aus. Spiralen dieser Art sind besonders gut zu erkennen, wenn der Blattabstand im Vergleich zum Umfang der Pflanzenachse besonders klein ist. Sie werden nicht von aufeinanderfolgenden Blättern gebildet, sondern von solchen im Abstand formula_85, wobei formula_85 eine Fibonacci-Zahl ist. Solche Blätter befinden sich in enger Nachbarschaft, denn das formula_85-Fache des Goldenen Winkels formula_227 ist ungefähr ein Vielfaches von 360° wegen


title: Goldener Schnitt

text: wobei formula_229 die nächstkleinere Fibonacci-Zahl zu formula_85 und formula_231 die nächstkleinere Fibonacci-Zahl zu formula_229 ist. Da jedes der Blätter zwischen diesen beiden zu einer anderen Spirale gehört, sind formula_85 Spiralen zu sehen. Ist formula_234 größer als formula_5, so ist das Verhältnis der beiden nächsten Fibonacci-Zahlen kleiner und umgekehrt. Daher sind in beide Richtungen Spiralen zu aufeinander folgenden Fibonaccizahlen zu sehen. Der Drehsinn der beiden Spiralentypen ist dem Zufall überlassen, sodass beide Möglichkeiten gleich häufig auftreten.


title: Goldener Schnitt

text: Besonders beeindruckend sind Fibonacci-Spiralen (die damit wiederum dem Goldenen Schnitt zugeordnet sind) in Blütenständen, wie bei Sonnenblumen. Dort sitzen Blüten, aus denen später Früchte entstehen, auf der stark gestauchten, scheibenförmigen Blütenstandsachse dicht nebeneinander, wobei jede einzelne Blüte einem eigenen Kreis um den Mittelpunkt des Blütenstandes zugeordnet werden kann. Wachstumstechnisch aufeinander folgende Früchte liegen daher räumlich weit auseinander, während direkte Nachbarn wieder einen Abstand entsprechend einer Fibonacci-Zahl haben. Im äußeren Bereich von Sonnenblumen werden 34 und 55 Spiralen gezählt, bei größeren Exemplaren 55 und 89 oder sogar 89 und 144. Die Abweichung vom mathematischen Goldenen Winkel, die in diesem Fall nicht überschritten wird, beträgt weniger als 0,01 %.


title: Goldener Schnitt

text: Der Goldene Schnitt ist außerdem in radiärsymmetrischen fünfzähligen Blüten erkennbar wie bei der Glockenblume, der Akelei und der (wilden) Hecken-Rose. Der Abstand der Spitzen von Blütenblättern nächster Nachbarn zu dem der übernächsten steht wie beim regelmäßigen Fünfeck üblich in seinem Verhältnis. Das betrifft ebenso Seesterne und andere Tiere mit fünfzähliger Symmetrie.


title: Goldener Schnitt

text: Darüber hinaus wird der Goldene Schnitt im Verhältnis der Längen aufeinander folgender Stängelabschnitte mancher Pflanzen vermutet wie bei der Pappel. Im Efeublatt stehen die Blattachsen "a" und "b" (siehe Abbildung) ungefähr im Verhältnis des Goldenen Schnittes. Diese Beispiele sind jedoch umstritten.


title: Goldener Schnitt

text: Noch im 19. Jahrhundert war die Ansicht weit verbreitet, dass der Goldene Schnitt ein göttliches Naturgesetz sei und in vielfacher Weise in den Proportionen des menschlichen Körpers realisiert wäre. So nahm Adolf Zeising in seinem Buch über die Proportionen des menschlichen Körpers an, dass der Nabel die Körpergröße im Verhältnis des Goldenen Schnittes teile, und der untere Abschnitt werde durch das Knie wiederum so geteilt. Ferner scheinen die Verhältnisse benachbarter Teile der Gliedmaßen wie bei Ober- und Unterarm sowie bei den Fingerknochen ungefähr in diesem Verhältnis zu stehen. Eine genaue Überprüfung ergibt jedoch Streuungen der Verhältnisse im 20-%-Bereich. Oft enthält auch die Definition, wie die Länge eines Körperteils exakt zu bestimmen sei, eine gewisse Portion Willkür. Ferner fehlt dieser These eine wissenschaftliche Grundlage. Es dominiert daher weitgehend die Ansicht, dass diese Beobachtungen lediglich die Folge gezielter Selektion von benachbarten Paaren aus einer Menge von beliebigen Größen sind.


title: Goldener Schnitt

text: Seit langem ist bekannt, dass die Umlaufzeiten mancher Planeten und Monde in Verhältnis kleiner ganzer Zahlen stehen wie Jupiter und Saturn mit formula_236 oder die Jupitermonde Io, Ganymed und Europa mit formula_237. Derartige Bahnresonanzen stabilisieren die Bahnen der Himmelskörper langfristig gegen kleinere Störungen. Erst 1964 wurde entdeckt, dass noble Verhältnisse, wie sie im Fall formula_238 vorliegen würden, stabilisierend wirken können. Derartige Bahnen werden KAM-Bahnen genannt, wobei die drei Buchstaben für die Namen der Entdecker Andrei Kolmogorow, V. I. Arnold und Jürgen Moser stehen.


title: Goldener Schnitt

text: Die Cassini-Teilungen in den Saturnringen zeigen, was passiert, wenn statt nobler Zahlen einfache rationale Zahlen vorherrschen: Die Gesteins- und Eisteilchen, aus denen die Ringe bestehen und deren Umlaufperioden in einem einfachen rationalen Verhältnis zu den Perioden der Saturnmonde stehen, werden durch die Resonanzeffekte zwischen den entsprechenden Umlaufperioden einfach aus ihrer Bahn geworfen. In der Tat hängt die Stabilität des Sonnensystems davon, dass zumindest einige der Bahnperiodenverhältnisse nobel sind, ab.


title: Goldener Schnitt

text: Kontrahierbare kosmische Objekte ohne feste Oberfläche, wie Schwarze Löcher oder die Sonne, haben aufgrund ihrer Eigengravitation die paradoxe Eigenschaft, heißer zu werden, wenn sie Wärme abstrahlen (negative Wärmekapazität). Bei rotierenden Schwarzen Löchern findet ab einem kritischen Drehimpuls ein Umschlag von negativer zu positiver Wärmekapazität statt, wobei dieser Tipping-Point von der Masse des Schwarzen Loches abhängt. In einer formula_239-dimensionalen Raumzeit kommt dabei eine Metrik formula_240 ins Spiel, deren Eigenwerte formula_5 für formula_242 sich als Nullstellen des charakteristischen Polynoms


title: Goldener Schnitt

text: Der Goldene Schnitt tritt bei den Quasikristallen der Festkörperphysik in Erscheinung, die 1984 von Dan Shechtman und seinen Kollegen entdeckt wurden. Dabei handelt es sich um Strukturen mit fünfzähliger Symmetrie, aus denen sich aber, wie bereits Kepler erkannte, keine streng periodischen Kristallgitter aufbauen lassen, wie dies bei Kristallen üblich ist. Entsprechend groß war die Überraschung, als bei Röntgenstrukturanalysen Beugungsbilder mit fünfzähliger Symmetrie gefunden wurden. Diese Quasikristalle bestehen strukturell aus zwei verschiedenen rhomboedrischen Grundbausteinen, mit denen der Raum zwar lückenlos, jedoch ohne globale Periodizität gefüllt werden kann (Penrose-Parkettierung). Beide Rhomboeder setzten sich aus den gleichen rautenförmigen Seitenflächen zusammen, die jedoch unterschiedlich orientiert sind. Die Form dieser Rauten lässt sich nun dadurch definieren, dass ihre Diagonalen im Verhältnis des Goldenen Schnittes stehen. Für die Entdeckung von Quasikristallen wurde Shechtman 2011 der Nobelpreis für Chemie verliehen.


title: Goldener Schnitt

text: Im atomaren Aufbau des Kristalls aus Kobalt-Niobat entdeckten Forscher des Helmholtz-Zentrum Berlin für Materialien und Energie (HZB) Symmetrieeigenschaften erstmal in fester Materie, die auch den Goldenen Schnitt kennzeichnen (veröffentlicht in der Zeitschrift Science, Januar 2010). Für Untersuchungen der Quanteneigenschaften, sprich Verhalten atomarer Teilchen in der Quantenwelt nach Heisenbergs Unschärferelation, findet Kobalt-Niobat Verwendung. Ausschlaggebend dafür sind insbesondere, die "auf besondere Weise angeordneten" atomaren Bestandteile sowie die magnetischen Eigenschaften des Kristalls. Dies bedeutet, hervorgerufen durch den im Elektron vorhandenen Eigenimpuls (Spin), bilden in diesem Kristall die aneinandergereihten Atome eine sogenannte Spinkette mit der Wirkung eines dünnen Stabmagnets. Wirkt nun ein Magnetfeld rechtwinklig auf die Spinkette, geht sie in einen neuen Zustand über. Physiker stellen sich diesen Zustand als fraktales Muster vor.


title: Goldener Schnitt

text: Als die Forscher dies als Modell für die Untersuchung des Festkörpermagnetismus nutzten, machten sie eine überraschende Entdeckung: Die Wechselwirkung, die benachbarte Spinketten miteinander eingehen, entspricht der Schwingung einer Gitarrensaite, deren ersten beiden Resonanzfrequenzen im Verhältnis formula_244, zueinander stehen. „Was genau dem Goldenen Schnitt entspricht“, so Radu Coldea, Leiter des über zehn Jahre laufenden internationalen Projektes.


title: Goldener Schnitt

text: Die folgende Abbildung zeigt im Vergleich verschiedene Rechtecke mit prominenten Seitenverhältnissen in der Umgebung von formula_245 Angegeben ist jeweils das Verhältnis von Höhe zu Breite und der entsprechende Zahlenfaktor:


title: Goldener Schnitt

text: Seit dem 19. Jahrhundert wurde der Goldene Schnitt zunächst in der ästhetischen Theorie (Adolf Zeising) und dann auch in künstlerischer, architektonischer und kunsthandwerklicher Praxis als ein ideales Prinzip ästhetischer Proportionierung bewertet. Es gibt allerdings keinen empirischen Beleg für eine besondere ästhetische Wirkung, die von Proportionen des Goldenen Schnittes ausgeht. Schon der Begründer der empirischen Ästhetik, Gustav Theodor Fechner, stellte aufgrund eigener Experimente fest: „Hiernach kann ich nicht umhin, den ästhetischen Wert des Goldenen Schnittes … überschätzt zu finden.“


title: Goldener Schnitt

text: Anstatt stets neu konstruieren zu müssen, wurde im 19. Jahrhundert von Künstlern und Handwerkern ein "Goldener Zirkel" – ein auf das Goldene Verhältnis eingestellter Reduktionszirkel – benutzt. Zirkel, wie im nebenstehenden Foto als Beispiel gezeigt, werden auch heute noch hergestellt. Insbesondere im Schreinerhandwerk wurde ein ähnliches Instrument in Form eines Storchschnabels benutzt.


title: Goldener Schnitt

text: Bereits in der Antike fand der Reduktionszirkel Verwendung, dies zeigt z. B. der Fund eines Vorläufers bei den Ausgrabungen in Pompeji. Jost Bürgi (1552–1632), ein Uhrmacher aus der Schweiz, ist der Erfinder der noch heute gebräuchlichen einfachsten Ausführung. Er besteht nur aus zwei Stäben, deren Drehpunkt sie im Goldenen Schnitt teilt. Eine Seite des Werkzeugs entspricht der zu teilenden Strecke formula_246 und die gegenüberliegende der Strecke formula_247. Der von Adalbert Göringer im Jahre 1893 erfundene Reduktions- bzw. Proportionalzirkel – dargestellt in den nebenstehenden Bildern – ist eine Weiterentwicklung.


title: Goldener Schnitt

text: Um als Werkzeug dienen zu können, müssen die Bauteile des Reduktionszirkels ebenfalls die Teilung nach dem Goldenen Schnitt beinhalten.


title: Goldener Schnitt

text: Von M. Johann Wentzel Kaschuben stammt die im Folgenden beschriebene und im Anschluss konstruktiv dargestellte geometrische Aufgabe aus dem Jahr 1717.


title: Goldener Schnitt

text: Gesucht ist also ein gleichschenkliges Dreieck, in dem eine gegebene Strecke formula_16 sowie ein Schenkel des Dreiecks zueinander orthogonal sind und der Punkt formula_163 diesen Schenkel im Verhältnis des Goldenen Schnitts teilt.


title: Goldener Schnitt

text: Zuerst wird die Strecke formula_16 mit der frei wählbaren Länge formula_1 senkrecht auf die Gerade formula_10 errichtet. Es folgt das rechtwinklige Dreieck formula_255 in dem die Seite formula_256 mit Länge formula_257 auf der Geraden formula_258 liegt. Der Kreisbogen um formula_177 mit Radius formula_260 ergibt Schnittpunkt formula_180, der Kreisbogen um formula_170 mit Radius formula_263 teilt in formula_192 die Seite formula_16 im Goldenen Schnitt. Ziehe einen Kreis um formula_192 mit Radius formula_267 ergibt Schnittpunkt formula_268 und einen Kreisbogen um formula_192 mit Radius formula_270. Nun errichte eine Senkrechte auf formula_16 ab formula_272 bis sie den Kreisbogen in formula_273 schneidet. Mit formula_274 ist das geometrische Mittel der beiden Streckenlängen formula_275 und formula_276 bestimmt. Ein Kreisbogen um formula_170 mit Radius formula_278 schneidet den Kreis um formula_192 in formula_280, und dabei ergibt sich das rechtwinklige Dreieck formula_281. Abschließend wird die Strecke formula_282 bis auf die Gerade formula_258 verlängert und um den soeben entstandenen Schnittpunkt formula_284 ein Kreisbogen mit Radius formula_285 gezogen, bis er die Gerade formula_258 in formula_287 schneidet.


title: Goldener Schnitt

text: Im somit gefundenen gleichschenkligen Dreieck formula_288 teilt der Punkt formula_163 der Senkrechten formula_16 den Schenkel formula_291 im Goldenen Schnitt.


title: Goldener Schnitt

text: Das folgende Fraktal – mit sieben Iterationsschritten – verwendet ein gleichseitiges Dreieck als Ausgangsform. An seinen Ecken wird ein Dreieck mit einem bestimmten Verkleinerungsfaktor formula_293 Spitze an Spitze angehängt. Der Verkleinerungsfaktor formula_294 wird so gewählt, dass das Verhältnis der Seitenlängen zueinander dem Teilungsverhältnis formula_5 des Goldenen Schnittes entspricht.


title: Goldener Schnitt

text: Fraktale werden meist mithilfe eines Computers erstellt. Dieses zweidimensionale Dreiecksfraktal ist – mit entsprechendem Aufwand – auch als Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar.


title: Goldener Schnitt

text: Anhand der nebenstehenden Skizze wird der Verkleinerungsfaktor formula_294, die gewünschte Anzahl der Äste (Dreiecke) und somit auch der Abstand der letzten Äste zueinander grafisch bestimmt.


title: Goldener Schnitt

text: Es beginnt mit der Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge gleich formula_297 Halbiert man nun dessen beide Schenkel und zieht die Gerade formula_258 durch die soeben erhaltenen Mittelpunkte, ergibt sich das gleichseitige (grüne) Ausgangsdreieck des Fraktals mit Seitenlänge gleich formula_299 Es folgen zwei Verbindungslinien, jeweils ab dem Mittelpunkt der Schenkel bis zur gegenüberliegenden Ecke des Dreiecks. Sie schneiden sich im Mittelpunkt des Umkreises des großen Dreiecks. Beim Ziehen des Umkreises ergibt sich, mittels der Schnittpunkte auf der Geraden formula_258, der gesuchte Verkleinerungsfaktor formula_294 links und rechts vom Ausgangsdreieck.


title: Goldener Schnitt

text: Die in der Skizze mit gepunkteten Linien angedeutete Konstruktion zeigt: Die Seitenlängen (Kreisradien) für die nachfolgenden, noch gut im Fraktal erkennbaren Dreiecke, ergeben sich, indem man für das nächste Dreieck den Exponent des Verkleinerungsfaktors formula_294 um formula_305 erhöht:


title: Goldener Schnitt

text: Beutelspacher ermittelte in "Der Goldene Schnitt" den Wert des Abstandes, bei dem sich die entgegenkommenden Äste im Grenzfall berühren, letztendlich aus der kubischen Gleichung


title: Goldener Schnitt

text: Somit ist aufgezeigt: formula_294 ist nicht nur der Wert des Verkleinerungsfaktors, sondern auch der Wert des Abstandes, bei dem sich im Grenzfall die einzelnen Äste berühren, sprich gerade noch nicht überlappen.


title: Goldener Schnitt

text: Im Buchdruck wurde gelegentlich die Nutzfläche einer Seite, der sogenannte Satzspiegel, so positioniert, dass das Verhältnis von Bundsteg zu Kopfsteg zu Außensteg zu Fußsteg sich wie formula_310 verhielt. Diese Wahl von Fibonacci-Zahlen approximiert den Goldenen Schnitt. Eine solche Gestaltung wird auch weiterhin in Teilen der Fachliteratur zum Buchdruck empfohlen.


title: Goldener Schnitt

text: Frühe Hinweise auf eine Verwendung des Goldenen Schnittes stammen aus der Architektur. Die Schriften des griechischen Geschichtsschreibers Herodot zur Cheops-Pyramide werden gelegentlich dahingehend ausgelegt, dass die Höhe der Seitenfläche zur Hälfte der Basiskante im Verhältnis des Goldenen Schnittes stünde. Die entsprechende Textstelle ist allerdings interpretierbar. Andererseits wird die These vertreten, dass das Verhältnis formula_311 für Pyramidenhöhe zu Basiskante die tatsächlichen Maße noch besser widerspiegele. Der Unterschied zwischen beiden vertretenen Thesen beträgt zwar lediglich 3,0 %, ein absoluter Beweis zugunsten der einen oder anderen These ist demzufolge damit aber nicht verbunden.


title: Goldener Schnitt

text: Viele Werke der griechischen Antike werden als Beispiele für die Verwendung des Goldenen Schnittes angesehen wie die Vorderfront des 447–432 v. Chr. unter Perikles erbauten Parthenon-Tempels auf der Athener Akropolis. Da zu diesen Werken keine Pläne überliefert sind, ist nicht bekannt, ob diese Proportionen bewusst oder intuitiv gewählt wurden. In späteren Epochen sind mögliche Beispiele für den Goldenen Schnitt, wie der Dom von Florenz, Notre Dame in Paris oder die Torhalle in Lorsch (770 n. Chr.) zu finden. Auch in diesen Fällen ist die bewusste Anwendung des Goldenen Schnittes anhand der historischen Quellen nicht nachweisbar.


title: Goldener Schnitt

text: Es gibt demzufolge keinen empirisch gesicherten Nachweis für eine signifikant größere Häufigkeit des Goldenen Schnittes in diesen Epochen im Vergleich zu anderen Teilungsverhältnissen. Ebenso fehlen historische Belege für eine absichtliche Verwendung des Goldenen Schnittes.


title: Goldener Schnitt

text: Als ein Beispiel für eine Umsetzung des Goldenen Schnittes wird immer wieder das Alte Rathaus in Leipzig, ein Renaissancebau aus den Jahren 1556/57, genannt. Wobei nicht die Mitte des Rathausturmes die Gehäusefront im Goldenen Schnitt teilt, sondern die dazu etwas versetzte Mitte des Haupttores. Gleichwohl gibt es bei genauer historischer Quellenforschung keinen Beleg dafür. Insbesondere gibt es keinen Beleg dafür, dass Hieronymus Lotter als der damalige Baumeister den Goldenen Schnitt bewusst als Konstruktionsprinzip verwendet hat: Alle originären Quellen verweisen lediglich auf einen gotischen Vorgängerbau, auf dessen Grundmauern Lotter das Rathaus errichtet hat. Dass der Goldene Schnitt hier eine Rolle gespielt habe, ist quellenhistorisch nicht belegbar.


title: Goldener Schnitt

text: Die erste quellenhistorisch gesicherte Verwendung des Goldenen Schnittes in der Architektur stammt aus dem 20. Jahrhundert: Der Architekt und Maler Le Corbusier (1887–1965) entwickelte ab 1940 ein Längen-Maßsystem, dessen Maßeinheiten zueinander im Verhältnis des Goldenen Schnitts stehen. Die Werte der darin enthaltenen kleineren Maßeinheiten sind Durchschnitts-Maße am menschlichen Körper. Er veröffentlichte dieses 1949 in seiner Schrift "Der Modulor," die zu den bedeutendsten Schriften der Architekturgeschichte und -theorie gezählt wird. Bereits 1934 wurde ihm für die Anwendung mathematischer Ordnungsprinzipien von der Universität Zürich der Titel "doctor honoris causa" der mathematischen Wissenschaften verliehen. Für eine frühere Verwendung des Modulor ist dies jedoch aus den aufgezeigten Gründen kein Beleg.


title: Goldener Schnitt

text: Inwieweit die Verwendung des Goldenen Schnittes in der Kunst zu besonders ästhetischen Ergebnissen führt, ist letztlich eine Frage der jeweils herrschenden Kunstauffassung. Für die generelle These, dass diese Proportion als besonders ansprechend und harmonisch empfunden wird, gibt es keine gesicherten Belege. Viele Künstler setzten den Goldenen Schnitt bewusst ein, bei vielen Werken wurden Kunsthistoriker erst im Nachhinein fündig. Diese Befunde sind jedoch angesichts der Fülle von möglichen Strukturen, wie sie in einem reich strukturierten Gemälde zu finden sind, oft umstritten.


title: Goldener Schnitt

text: So werden zahlreichen Skulpturen griechischer Bildhauer, wie der Apollo von Belvedere, der Leochares (um 325 v. Chr.) zugeschrieben wird, oder Werke von Phidias (5. Jahrhundert v. Chr.) als Beispiele für die Verwendung des Goldenen Schnittes angesehen. Auf letzteren bezieht sich die oft übliche Bezeichnung formula_5 für den Goldenen Schnitt, die ungefähr 1909 von dem amerikanischen Mathematiker Mark Barr eingeführt wurde. Die ebenfalls gelegentlich verwendete Bezeichnung formula_9 bezieht sich dagegen auf das griechische Wort "τομή" für „Schnitt“.


title: Goldener Schnitt

text: Der Goldene Schnitt wird in vielen Werken der Renaissance-Künstler vermutet, unter anderem bei Raffael, Leonardo da Vinci und Albrecht Dürer, bei Dürers Werken insbesondere in seinem Selbstbildnis von 1500 und seinem Kupferstich Melencolia I von 1514.


title: Goldener Schnitt

text: Ein berühmtes Beispiel ist das Gemälde Mona Lisa von Leonardo da Vinci. Es weist Merkmale des Goldenen Schnitts auf und lässt mehrere Goldene Dreiecke sowie die Goldene Spirale erkennen. In Abbildung 1 teilt der Punkt formula_287 (Mona Lisas linkes Auge) die Strecken formula_315 und formula_316 im Goldenen Schnitt. Die Dreiecke formula_317 und formula_318 sind Goldene Dreiecke, da bei jedem dieser sechs Dreiecke Grundseite und Schenkel im Verhältnis des Goldenen Schnitts zueinander stehen. In Abbildung 2 ist die Goldene Spirale eingezeichnet. Sie ist so positioniert, dass sie am linken Handgelenk beginnt und den oberen Rand des Kopfes berührt. Die Nasenspitze bildet dann den Punkt, auf den die Spirale zuläuft.


title: Goldener Schnitt

text: Bekanntlich stellte auch Albrecht Dürer zahlreiche theoretische Untersuchungen an und beschäftigte sich mit mathematischen Fragestellungen. Im Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt ist besonders interessant, dass er in seiner "Underweysung der messung" 1525 ein in einen Kreis einbeschriebenes Fünfeck konstruiert. Daher gilt es nicht als ausgeschlossen, dass Dürer in seinen Bildern den Goldenen Schnitt verwendet hat. Allerdings hat Dürer in seinen theoretischen Arbeiten den Goldenen Schnitt an keiner Stelle erwähnt.


title: Goldener Schnitt

text: Auch im 19. und 20. Jahrhundert spielte der Goldene Schnitt bei manchen Vertretern der bildenden Kunst eine Rolle. Georges Seurat (1859–1891), der Begründer des Neoimpressionismus, strebte einen streng geometrischen Bildaufbau an. Bei seinem Bild "Parade de cirque" fallen vor allem zwei strukturierende Linien ins Auge: Die Oberkante der Balustrade etwas unterhalb der Mitte und die vertikale Linie rechts in der Bildmitte. Es existieren eine ganze Reihe von Interpretationen dieses Bildes, die den Goldenen Schnitt in Betracht ziehen.


title: Goldener Schnitt

text: In der Fotografie wird der Goldene Schnitt zur Bildgestaltung eingesetzt. Als Faustformel wird die Drittel-Regel verwendet.


title: Goldener Schnitt

text: In der zeitgenössischen bildenden Kunst wird der Goldene Schnitt nicht nur als Gestaltungsmerkmal verwendet, sondern ist in manchen Arbeiten selbst Thema oder zentraler Bildinhalt. Der Künstler Jo Niemeyer verwendet den Goldenen Schnitt als grundlegendes Gestaltungsprinzip in seinen Werken, die der konkreten Kunst zugeordnet werden. Der Künstler Ivo Ringe, der ebenso ein Vertreter der konkreten Kunst ist, nutzt den Goldenen Schnitt in vielen seiner Werke. Die Künstlerin Martina Schettina thematisiert den Goldenen Schnitt in ihren Arbeiten zum Fünfeck, bei dem die Diagonalen einander im Goldenen Schnitt teilen. Sie visualisiert auch die Konstruktionsmethode und Formeln zum Goldenen Schnitt. Irene Schramm-Biermann legt ihre künstlerischen Schwerpunkte auf "Konkrete Kunst mit Bezug zur Mathematik und Landschaften". Die Darstellung im nebenstehende Bild lässt für den Betrachter offen: Resultiert die Goldene Spirale aus dem Goldenen Dreieck, oder war die Spirale der Ursprung?


title: Goldener Schnitt

text: Das älteste literarische Werk, das mit Hilfe des Goldenen Schnitts erschaffen worden sein soll, ist das Epos Äneis des römischen Dichters Vergil (70–19 v. Chr.). In einer detaillierten Studie versuchte G. Duckworth nachzuweisen, dass der Goldene Schnitt das durchgängige Gestaltungsschema der Äneis ist. Zu diesem Zweck zählte er die Zeilen in verschiedenen Abschnitten; das Verhältnis dieser Zahlen kommt dem Goldenen Schnitt in der Regel sehr nahe. Jedoch legte Duckworth den Begriff „sehr nahe“ sehr weit aus, und so wurden alle Werte zwischen 0,6 und 0,636 als Approximation für 0,618… akzeptiert. In der Äneis finden sich jedoch merkwürdigerweise häufig Halbverse, also unvollständige Zeilen, die in der Regel auf mangelnde redaktionelle Überarbeitung von Seiten Vergils zurückgeführt werden. Duckworth zeigt jedoch, dass sich, wenn man diese Zeilen entsprechend ihrer tatsächlichen Länge in die Rechnungen eingehen lässt, in etwa drei Viertel aller Fälle eine bessere Annäherung an den Goldenen Schnitt ergibt. Duckworths Studie wurde jedoch auch kritisch rezipiert.


title: Goldener Schnitt

text: Vor dem Hintergrund der verbreiteten Zahlensymbolik im Mittelalter untersuchte M. Langosch das "Liber ymnorum" des Notker Balbulus (um 885). Viele Segmente dieses Hymnus sind gemäß des Goldenen Schnittes aufgebaut. Genauer gilt, dass die Anzahl der Silben im ersten Teil und die im zweiten Teil sich annähernd im Goldenen Verhältnis befinden. Ein schlagendes Beispiel ist der Laurentiushymnus: In den ersten 144 Silben wird Laurentius angerufen und sein Martyrium gerühmt. Anschließend wird er 89 Silben lang um Fürbitte gebeten. Es ist jedoch nicht bekannt, ob das Auftreten dieser (großen) Fibonacci-Zahlen 89 und 144, ca. 300 Jahre vor Fibonacci, ein Zufall ist.


title: Goldener Schnitt

text: Es existieren auch Hinweise auf den Goldenen Schnitt in Grimms Märchen. Nach den Charaktereigenschaften "gut – böse", "stark – schwach" und "aktiv – passiv", wurden die Charaktere in die 8 möglichen Gruppen eingeteilt. Dabei wurden die Gruppen „gut, stark, aktiv“, „gut, stark, passiv“, „gut, schwach, aktiv“ und „böse, stark, aktiv“ als „positiv“ bezeichnet, die anderen 4 als „negativ“. Es stellt sich nach dieser Gruppierung heraus, dass zwischen 60 und 62 Prozent der Märchencharaktere „positiv“ sind. Als Erklärung dieses „Zusammenhangs“ wird darauf verwiesen, dass der Goldene Schnitt in der Natur sehr häufig auftritt und daher vom Menschen unbewusst als ästhetischer Maßstab bei der Bewertung von Kunstwerken herangezogen werde. Dieser unbewusste Prozess gewinne umso mehr Bedeutung, je „naturnaher“, „unverbildeter“, und „volkstümlicher“ die Kunstwerke seien. Da Grimms Märchen bekanntlich direkt aus dem Munde des Volkes „abgelauscht sind“, sei es kein Wunder, dass hier der Goldene Schnitt als „natürliches Spannungsverhältnis“ in Erscheinung trete. J. Benjafield und C. Davis schreiben dazu:


title: Goldener Schnitt

text: Nach Meinung Benjafields und Davis erkläre dies auch das Auftreten des Goldenen Schnitts in der Musik Béla Bartóks – ein Beleg dafür, dass Bartóks Musik sich in vielerlei Hinsicht aus der Volksmusik speise.


title: Goldener Schnitt

text: Der Goldene Schnitt wurde auch in einem späten Gedicht Friedrich Hölderlins nachgewiesen. ln seinen letzten Lebenstagen, entweder im Mai oder Juni des Jahres 1843, schrieb Hölderlin in Tübingen "Die Aussicht":


title: Goldener Schnitt

text: Roman Jakobson und Grete Lübbe-Grothues entdeckten, dass dieses Gedicht mit Hilfe des Goldenen Schnitts, genauer gesagt aus den Verhältnissen 8: 5, 5 : 3 und 3 : 2, aufgebaut wurde. Hierzu schreiben sie:


title: Goldener Schnitt

text: Die Frage, ob Hölderlin die Ästhetik des Goldenen Schnitts bewusst einsetzte, sei hier jedoch besonders schwierig zu beantworten, da Hölderlin bekanntlich in seinen letzten Lebensjahren stark an einer seelischen Krankheit litt. Immerhin gibt es nach Jakobson auffallende Anzeigen einer komplexen und zielbewussten Gestaltung und Vieles deute auf eine bewusste Verwendung der Verhältnisse 8 : 5, 5 : 3 und 3 : 2 hin.


title: Goldener Schnitt

text: Der Goldene Schnitt tritt innerhalb der Musik in zwei Rollen auf. Zum einen können die Frequenzen zweier Töne ein Goldenes Verhältnis haben. Andererseits kann die Komposition eines Stückes aus Teilen bestehen, deren Längen sich verhalten wie der Goldene Schnitt.


title: Goldener Schnitt

text: Stehen die Frequenzen zweier Tone im Verhältnis der Fibonacci-Zahlen 8 : 5 (bzw. 5 : 8), so bildet sich als Klang eine kleine Sexte. Die Differenz des Verhältnisses 8 : 5 (= 1,6) zum Goldenen Schnitt (= 1,618…) sei so gering, dass, wie Rudolf Haase behauptet, der Goldene Schnitt selbstverständlich in den Zurechthörbereich der kleinen Sexte fällt. Haases Vorstellung ist also die, dass der Reiz der kleinen Sexte darin begründet ist, dass die Frequenzen ihrer Einzeltöne im Goldenen Verhältnis stehen, und dass das einfache Verhältnis 8 : 5 nur eine Annäherung daran ist.


title: Goldener Schnitt

text: Der Goldene Schnitt wird gelegentlich in Strukturkonzepten von Musikstücken vermutet. So hat der ungarische Musikwissenschaftler Ernő Lendvai versucht, den Goldenen Schnitt als wesentliches Gestaltungsprinzip der Werke Béla Bartóks nachzuweisen. Seiner Ansicht nach hat Bartók den Aufbau seiner Kompositionen so gestaltet, dass die Anzahl der Takte in einzelnen Formabschnitten Verhältnisse bilden, die den Goldenen Schnitt approximieren würden. Allerdings sind seine Berechnungen umstritten.


title: Goldener Schnitt

text: In der Musik nach 1945 finden sich Beispiele für die bewusste Proportionierung nach den Zahlen der Fibonacci-Folge, etwa im Klavierstück IX von Karlheinz Stockhausen oder in der Spektralmusik von Gérard Grisey.


title: Goldener Schnitt

text: Der Goldene Schnitt wird gelegentlich im Musikinstrumentenbau verwendet. Insbesondere beim Geigenbau soll er für besonders klangschöne Instrumente bürgen. So wird behauptet, dass der berühmte Geigenbauer Stradivari den Goldenen Schnitt verwendete, um die klanglich optimale Position der F-Löcher für seine Violinen zu berechnen. Diese Behauptungen basieren jedoch lediglich auf nachträglichen numerischen Analysen von Stradivaris Instrumenten. Ein Nachweis, dass Stradivari bewusst den Goldenen Schnitt zur Bestimmung ihrer Proportionen angewandt habe, existiert jedoch nicht.


title: Goldener Schnitt

text: In der Informatik werden Daten in Hashtabellen gespeichert, um darauf schnell zuzugreifen. Die Position formula_319, an der ein Datensatz formula_231 in der Tabelle gespeichert wird, berechnet sich durch eine Hashfunktion formula_321. Für einen effizienten Zugriff müssen die Datensätze möglichst gleichmäßig verteilt in die Tabelle geschrieben werden. Eine Variante für die Hashfunktion ist die multiplikative Methode, bei der die Hashwerte für eine Tabelle der Größe formula_229 nach der folgenden Formel berechnet werden:


title: Goldener Schnitt

text: Dabei stellen formula_324 Gaußklammern dar, die den Klammerinhalt auf die nächste ganze Zahl abrunden. Der Informatiker Donald E. Knuth schlägt für die frei wählbare Konstante formula_325 vor, um eine gute Verteilung der Datensätze zu erhalten.


title: Goldener Schnitt

text: Das Verfahren des Goldenen Schnittes (auch: "Goldener-Schnitt-Verfahren", "Methode des Goldenen Schnittes" oder "Suchverfahren Goldener Schnitt") ist ein Verfahren der mathematischen nichtlinearen Optimierung, genauer berechnet es algorithmisch eine numerische Näherung für eine Extremstelle (Minimum oder Maximum) einer reellen Funktion einer Variablen in einem Suchintervall formula_326. Es basiert auf der analytischen Anwendung der ursprünglich geometrisch definierten stetigen Teilung. Im Gegensatz zum Intervallhalbierungsverfahren wird dabei das Suchintervall nicht bei jedem Schritt halbiert, sondern nach dem Prinzip des Goldenen Schnittes verkleinert. Der verwendete Parameter formula_9 "(tau)" hat dabei nicht, wie bei dem allgemeineren Bisektionsverfahren, den Wert formula_328, sondern es wird formula_329 gewählt, sodass sich zwei Punkte formula_330 und formula_331 für das Optimierungsverfahren ergeben, die das Suchintervall im Goldenen Schnitt teilen.


title: Goldener Schnitt

text: Wird angenommen, dass jeder Punkt in jedem Intervall mit gleicher Wahrscheinlichkeit Extrempunkt sein kann, führt dies bei Unbestimmtheitsintervallen dazu, dass das Verfahren des Goldenen Schnittes um 14 % effektiver ist als die Intervallhalbierungsmethode. Im Vergleich zu diesem und weiteren sequentiellen Verfahren ist es – mathematisch gesehen – das für allgemeine Funktionen effektivste Verfahren; nur im Fall differenzierbarer Funktionen ist es der direkten mathematischen Lösung unterlegen. Dass sich dieses Verfahren in der manuellen Rechnung nicht durchgesetzt hat, liegt vor allem an den notwendigen Wurzelberechnungen für die einzelnen Zwischenschritte.


title: Goldener Schnitt

text: Der klassische euklidische Algorithmus berechnet den größten gemeinsamen Teiler formula_332 zweier natürlicher Zahlen formula_229 und formula_85. Dabei müssen einige Divisionen durchgeführt werden. Ja nach Beschaffenheit dieser Zahlen können aber mal mehr oder mal weniger Schritte erforderlich sein. Ist etwa formula_335, so endet der Algorithmus nach nur einem Schritt, egal wie groß diese Zahlen sind. Der Goldene Schnitt taucht in der anderen Richtung auf, nämlich beschreibt er die Anzahl der Schritte für die Fälle, in denen ganz besonders viele Divisionen gebraucht werden "(worst case analysis)". Bezeichnet formula_336 die Anzahl der benötigten Divisionen, und formula_337, wobei formula_338 zufällig ausgewählt werden, so gilt


title: Goldener Schnitt

text: Dies zeigt, dass der euklidische Algorithmus selbst in der schlechtest möglichen Situation immer noch (nur) logarithmische Laufzeit besitzt.


title: Goldener Schnitt

text: Eine weitere Verbindung zwischen der Informationstheorie und dem Goldenen Schnitt wurde durch Helmar Frank mit der Definition der Auffälligkeit hergestellt. Er konnte zeigen, dass der mathematische Wert des Maximums der Auffälligkeit sehr nah an das Verhältnis des Goldenen Schnitts herankommt.


title: Goldener Schnitt

text: Der Goldene Schnitt ist als Nullstelle des Polynoms formula_340 eine algebraische Zahl. Weil das Polynom normiert ist und alle Koeffizienten ganzzahlig sind, ist der Goldene Schnitt sogar ganz. Es sei formula_341, dann ist formula_342 eine Körpererweiterung von Grad 2. Damit ist formula_343 ein quadratischer Zahlkörper. Es ist der reell-quadratische Zahlkörper kleinster Diskriminante, nämlich 5 (der reell-quadratische Zahlkörper mit nächstgrößerer Diskriminante ist formula_344 mit Diskriminante 8). Es sei formula_345 der zugehörige Ganzheitsring. Weil formula_5 ganz ist, gilt formula_347, aber mehr als das: Wegen


title: Goldener Schnitt

text: ist der Goldene Schnitt sogar Einheit des Ganzheitsrings formula_345. Sein multiplikativ Inverses ist formula_350. Dies lässt sich algebraisch allein durch Kenntnis des Minimalpolynoms formula_340 zeigen:


title: Goldener Schnitt

text: Jedoch ist der Goldene Schnitt nicht nur eine Einheit des Ganzheitsrings formula_345, sondern sogar Fundamentaleinheit des Ganzheitsrings. Das bedeutet, jedes Element aus formula_354 ist von der Form formula_355 mit formula_356. Darüber hinaus bilden formula_357 eine formula_358-Basis von formula_345. Das heißt, jedes Element aus formula_345 lässt sich eindeutig als formula_361 mit formula_362 schreiben. Es bildet auch formula_363 eine formula_358-Basis von formula_345. Dabei ist formula_366.


title: Goldener Schnitt

text: Sie kann auch implizit charakterisiert werden. Es bezeichne formula_376 die für formula_377 analytische Funktion, so dass die Differentialgleichung


title: Goldener Schnitt

text: Es ist formula_385 der volle Spitzwinkel und formula_386 die Hälfte des stumpfen Außenwinkels des Pentagramms. Gelegentlich wird die Rolle des Goldenen Schnitts für das Fünfeck als vergleichbar bedeutend bezeichnet wie die der Kreiszahl formula_71 für den Kreis. Ein weiterer Zusammenhang zur Kreiszahl formula_71 ergibt sich über den Arkustangens, der Umkehrfunktion des Tangens aus der Trigonometrie. Es gilt


title: Goldener Schnitt

text: Der Goldene Schnitt lässt sich mit Hilfe der Eulerschen Zahl und der hyperbolischen Areasinus-Funktion ausdrücken:


title: Goldener Schnitt

text: Einsetzen von formula_391 in die für formula_392 gültige geometrische Reihenformel formula_393 ergibt:


title: Goldener Schnitt

text: Eine weitere Reihe, die den logarithmierten Goldenen Schnitt enthält, beinhaltet die mittleren Binomialkoeffizienten:


title: Goldener Schnitt

text: für die nicht alternierende Variante gilt, wird hier eine „Verbindung“ zwischen der Kreiszahl formula_71 und dem Goldenen Schnitt gesehen.


title: Goldener Schnitt

text: Dabei bezeichnet formula_72 die Eulersche Zahl und formula_71 die Kreiszahl. Setzt man für formula_404


title: Goldener Schnitt

text: Diese Entdeckungen gehen auf Srinivasa Ramanujan zurück. Die Funktion formula_410 wird auch als Rogers-Ramanujan-Kettenbruch bezeichnet und hat Verbindungen zur Theorie der Modulformen.


title: Goldener Schnitt

text: Definiert man den "nächstgelegenen ganzzahligen Kettenbruch" (englisch: "nearest integer continued fraction") für reelle Zahlen formula_411 via


title: Goldener Schnitt

text: so können die formula_414 eventuell negative Zahlen sein. Für die Chintschin-Levy-Konstante gilt in diesem Falle


title: Goldener Schnitt

text: für alle betroffenen reellen Zahlen bis auf eine Lebesgue-Nullmenge. Das bedeutet, dass alle Zahlen formula_416, „bis auf 0 %“ in einem asymptotischen Sinne, diese Gesetzmäßigkeit erfüllen. Ist zudem formula_417 der (vollständig gekürzte) formula_85-te Näherungsbruch dieser Konstruktion, so gilt wieder bis auf Nullmenge


title: Goldener Schnitt

text: Jede natürliche Zahl lässt sich eindeutig über das Binärsystem durch Nullen und Einsen ausdrücken. Innerhalb einer solchen Darstellung lassen sich nun sog. alternierende Bit-Mengen abzählen, die wie folgt erklärt sind:


title: Goldener Schnitt

text: Man bezeichnet die Anzahl der alternierenden Bit-Mengen einer Zahl formula_85 mit formula_421. Es ist zum Beispiel formula_422, denn im Binärsystem gilt formula_423, und daher sind die möglichen alternierenden Bit-Mengen (aus formalen Gründen inkl. der leeren Menge):


title: Goldener Schnitt

text: Es bezieht sich z. B. formula_425 auf formula_426. Es entspricht formula_421 gleichzeitig der Anzahl der Möglichkeiten, formula_85 als Summe von Zweierpotenzen zu schreiben, ohne dabei eine Potenz mehr als zweimal zu benutzen. Diese zahlentheoretische Funktion formula_429 hat eine Verbindung zum Goldenen Schnitt, denn es konnte


title: Goldener Schnitt

text: gezeigt werden. Dabei ist formula_431 der Limes superior. Ob der innere Wert sogar 1 beträgt, konnte bisher nicht gezeigt werden.


title: Goldener Schnitt

text: wird eine direkte Verbindung zur Gammafunktion hergestellt. Dabei ist wie üblich formula_71 die Kreiszahl. Die Gammafunktion stellt eine Fortsetzung der Fakultätsfunktion auf komplexe Zahlen dar.


title: Goldener Schnitt

text: Dabei bezeichnet formula_436 den Wert der Riemannschen Zeta-Funktion an der Stelle formula_437, der auch unter Apéry-Konstante bekannt ist.


title: Goldener Schnitt

text: Der Silberne Schnitt beschreibt das definierte Größenverhältnis zweier Abschnitte mit unterschiedlicher Größe (oder Länge) einer Strecke (oder eines Bereichs).


title: Goldener Schnitt

text: Es soll eine gegebene Strecke formula_442 mit der Länge formula_1 um eine Länge formula_76 verlängert werden, sodass ein Rechteck mit der Verlängerung formula_76 als Breite und formula_220 als Länge, gleich ist, einem vorab bestimmten Rechteck mit der Länge formula_229 und der Breite formula_448 Es soll also


title: Goldener Schnitt

text: gelten, was sich auf die quadratische Gleichung formula_450 reduziert. Daraus ergibt sich über die Mitternachtsformel sogleich


title: Goldener Schnitt

text: da formula_452 gelten soll. Ergeben Konstruktion oder Abmessungen des vorab bestimmten Rechtecks speziell


title: Goldener Schnitt

text: das Teilungsverhältnis des Goldene Schnittes. Die Verlängerung formula_76 ist in diesem Falle die mittlere Proportionale, sprich das geometrische Mittel, zwischen formula_210 und formula_458


title: Goldener Schnitt

text: Es beginnt mit der Halbgeraden formula_258 und dem Abtragen der gegebenen Strecke formula_442 mit Länge formula_1 auf formula_258. Der Punkt formula_192, für die Länge formula_229 des (grünen) Rechtecks, wird rechts von formula_170 beliebig auf formula_258 gesetzt. Im allgemeinen Fall darf die Breite formula_85 frei gewählt werden.


title: Goldener Schnitt

text: Soll hingegen zum Schluss der Punkt formula_170 die gesuchte Strecke formula_470 mit Länge formula_220 im Goldenen Schnitt teilen, muss formula_85 aus formula_229 erst noch bestimmt werden. Hierfür wird die Breite formula_85 des Rechtecks in Abhängigkeit des Quadrates formula_475 mit Fläche formula_476 durch die Verbindung der Punkte formula_180 mit formula_192 und deren Parallele formula_479 festgelegt. Anschließend kann man das Rechteck formula_480 einzeichnen, das die gleiche Fläche formula_476 wie formula_475 besitzt. Diese Vorgehensweise ist in der nebenstehenden Skizze dargestellt. Falls keine stetige Teilung erzielt werden soll, wird dieser erste Schritt weggelassen.


title: Goldener Schnitt

text: Es folgt der Kreisbogen mit Radius formula_85 um formula_192 bis er die Halbgerade formula_258 in formula_486 schneidet. Nach dem Bestimmen des Mittelpunktes formula_273 der Strecke formula_488 und dem Ziehen des Kreisbogens mit Radius formula_489 um formula_273, wird die Senkrechte zu formula_488 in formula_192 errichtet, bis sie den Kreisbogen in formula_493 schneidet. Die Strecke formula_494 entspricht dem geometrischen Mittel der Längen formula_229 und formula_448 Nach dem Halbieren der Strecke formula_442 in formula_284 wird formula_499 mit Länge formula_257 ab formula_192 auf die Halbgerade formula_258 übertragen, der Schnittpunkt ist formula_503. Der sich anschließende Kreisbogen mit Radius formula_257 um formula_493 liefert mit formula_506 die gesuchte Länge formula_507 Die Übertragung der Länge formula_76 auf formula_258 ab formula_170 erzeugt die Gesamtstrecke formula_511 mit Länge formula_220.


title: Goldener Schnitt

text: Der Punkt formula_170 teilt somit die Streckenlänge formula_514 im Goldenen Schnitt, sofern formula_515 gilt.


title: Goldener Schnitt

text: Das abschließend errichtete blaue Rechteck formula_516 über formula_511 mit der Breite formula_76 hat ganz allgemein den gleichen Flächeninhalt wie das grüne Rechteck formula_480.


title: Goldener Schnitt

text: Man definiert die Perrin-Folge rekursiv durch formula_520, formula_521, formula_522, und formula_523 für alle formula_524. Ähnlich wie sich die Quotienten nacheinander folgender Fibonacci-Zahlen dem Goldenen Schnitt nähern, folgt für die Perrin-Zahlen


title: Goldener Schnitt

text: wobei formula_526 die charakteristische Gleichung formula_527 erfüllt. Durch Radikale ausgedrückt ergibt sich


title: Goldener Schnitt

text: Ähnlich wie beim Goldenen Schnitt besitzt auch formula_529 eine Entwicklung als Kettenwurzel, dieses Mal jedoch kubisch:


title: Goldener Schnitt

text: In Anlehnung an Goldene Konstante wird formula_529 gelegentlich auch als „Plastik-Konstante“ bezeichnet.


title: Goldener Schnitt

text: Das Konzept der Kettenbruchentwicklung lässt sch für ganze positive Zahlen formula_54 verallgemeinern durch


title: Goldener Schnitt

text: Setzt man in diesem Beispiel also insbesondere formula_543, so ergibt sich als Grenzwert die Zahl formula_537, die eine kubische Verallgemeinerung des Goldenen Schnittes darstellt.


title: Goldener Schnitt

text: für formula_547, wobei die Vorzeichen durch unabhängige Zufallsvariablen mit gleichen Wahrscheinlichkeiten für formula_548 gegeben sind, zeigte D. Viswanadt


title: Goldener Schnitt

text: mit Wahrscheinlichkeit 1. Die gewöhnliche Fibonacci-Folge, die sich in dieser Art Limes dem Goldenen Schnitt annähert, entspricht dem Extremfall, dass die Zufallsgrößen stets den Wert formula_550 annehmen, was aber mit einer (asymptotischen) Wahrscheinlichkeit von 0 Prozent eintritt.


title: Düsseldorf

text: Düsseldorf ist die Landeshauptstadt Nordrhein-Westfalens und der Behördensitz des Regierungsbezirks Düsseldorf. Die kreisfreie Stadt am Rhein ist mit Einwohnern am hinter Köln die zweitgrößte Stadt des Bundeslandes. Die Stadt ist hinsichtlich der Einwohnerzahl die siebtgrößte Stadt in Deutschland. Düsseldorf ist Teil der Metropolregion Rhein-Ruhr mit rund 10,2 Millionen Einwohnern und der Metropolregion Rheinland mit 8,7 Millionen Einwohnern. Die Stadt liegt im Kern des zentralen europäischen Wirtschaftsraumes.


title: Düsseldorf

text: Im Jahr 1288 erhielt der Ort an der Mündung des Flüsschens Düssel in den Rhein das Stadtrecht. Vom Ende des 14. Jahrhunderts bis zum Beginn des 19. Jahrhunderts war die Stadt Regierungssitz von Ländern des Heiligen Römischen Reichs und des Rheinbundes: des Herzogtums Berg, der Herzogtümer Jülich-Berg und Jülich-Kleve-Berg sowie des Großherzogtums Berg, von 1690 bis 1716 auch Residenz des Pfalzgrafen und Kurfürsten Johann Wilhelm von der Pfalz. Seit 1815 preußisch wurde sie 1816 Sitz des Regierungsbezirks Düsseldorf. Von 1824 bis 1932 war die Stadt der Parlamentssitz der Rheinprovinz. Im Kaiserreich entwickelte sich Düsseldorf im Zuge der Hochindustrialisierung in Deutschland zum „Schreibtisch des Ruhrgebiets“ und wurde mit dem Überschreiten der Marke von 100.000 Einwohnern im Jahr 1882 zur Großstadt.


title: Düsseldorf

text: Die Rheinmetropole gehört zu den fünf wichtigsten, international stark verflochtenen Wirtschaftszentren Deutschlands. Düsseldorf ist eine Messestadt und Sitz vieler börsennotierter Unternehmen, darunter der im DAX notierte Konzern Henkel. Zudem ist sie der umsatzstärkste deutsche Standort für Wirtschaftsprüfung, Unternehmensberatung und Kleidermode sowie ein wichtiger Finanz- und Börsenplatz. Auch ist sie ein führender Standort des Kunsthandels in Deutschland.


title: Düsseldorf

text: Düsseldorf besitzt mehrere Rheinhäfen. Sein Flughafen ist das interkontinentale Drehkreuz Nordrhein-Westfalens. Die Stadt ist des Weiteren Sitz von 22 Hochschulen, darunter die Kunstakademie Düsseldorf und die Heinrich-Heine-Universität. Überregionale Bekanntheit genießt Düsseldorf außerdem durch seine Altstadt („längste Theke der Welt“), seinen Einkaufsboulevard Königsallee („Kö“), seinen Düsseldorfer Karneval, den Fußballverein Fortuna Düsseldorf und den Eishockeyverein Düsseldorfer EG. Weitere Anziehungspunkte sind zahlreiche Museen und Galerien sowie die Rheinuferpromenade und der moderne Medienhafen. Das Stadtbild wird auch durch zahlreiche Hochhäuser und Kirchtürme, den 240 Meter hohen Rheinturm, viele Baudenkmäler und sieben Rheinbrücken geprägt. Düsseldorf hat eine große Anzahl ostasiatischer Einwohner, darunter die japanische Gemeinde mit über 8400 Einwohnern, welche die größte japanische Gemeinde Deutschlands und die einzige Japantown in Deutschland bildet.


title: Düsseldorf

text: Das überwiegend rechtsrheinisch gelegene Düsseldorf befindet sich im mittleren Teil des Niederrheinischen Tieflands auf einer von zahlreichen Rheinarmen durchzogenen Niederterrassenfläche. Lediglich die Stadtteile Oberkassel, Niederkassel, Heerdt und Lörick liegen am linken Rheinufer.


title: Düsseldorf

text: Die Stadt ist Teil der prosperierenden Rheinschiene und grenzt südwestlich an das Ruhrgebiet. Sie liegt damit im Herzen der Metropolregion Rhein-Ruhr sowie im Übergangsbereich zwischen dem Niederrhein und dem Bergischen Land, zu dem die Stadt, historisch betrachtet, gehört. Die Metropolregion Rhein-Ruhr ist eine Wirtschaftsregion und ein städtischer Ballungsraum im Westen Deutschlands. Sie zählt zu den größten Verdichtungsräumen innerhalb der europäischen Megalopolis und ist der größte in Deutschland. In den 20 kreisfreien Städten und zehn Kreisen der Region leben rund elf Millionen Einwohner auf knapp 10.000 km² (Stand 2005); allein in einem Umkreis von 50 Kilometern um das Oberzentrum Düsseldorf leben etwa neun Millionen Menschen.


title: Düsseldorf

text: Die zentrale Lage im größten Ballungsraum Deutschlands, die Hauptstadtfunktion für das bevölkerungsreiche Land Nordrhein-Westfalen, die Vielzahl bedeutender Unternehmen sowie die Ausstattung mit Infrastrukturen und Angeboten aller Art verschaffen der Stadt große Fühlungs- und Agglomerationsvorteile.


title: Düsseldorf

text: Der höchstgelegene Punkt im Stadtgebiet, der Sandberg im Stadtteil Hubbelrath, bereits Teil der Mettmanner Lößterrassen und damit des Bergisch-Sauerländischen Unterlandes, misst , der niedrigste Punkt, die Mündung des Schwarzbachs in den Rhein bei Wittlaer, .


title: Düsseldorf

text: Der geografische Mittelpunkt Düsseldorfs befindet sich im Düsseltal, der Punkt ist mit einer Bronzetafel gekennzeichnet.


title: Düsseldorf

text: Das Klima des Düsseldorfer Raumes ist durch die reliefbedingte Öffnung in Richtung Nordsee ozeanisch/atlantisch geprägt. Düsseldorf liegt im niederrheinischen Tiefland; überwiegend westliche Windströmungen tragen feuchte Luftmassen heran. Die Folgen sind milde schneearme Winter und mäßig warme feucht-schwüle Sommer mit einer wechselhaften Witterung. So gibt es in der Stadt bei einer Jahresmitteltemperatur von 11,2 Grad Celsius im Mittel rund 790 Millimeter Niederschlag. Der Raum Düsseldorf gehört zu den Gebieten mit den mildesten Wintern in Deutschland. Auch im Winter fällt die Temperatur selten unter den Gefrierpunkt. Aufkommende Fröste bleiben meist im oberen Bereich knapp unter 0 Grad Celsius. Nach der USDA-Klassifikation der Winterhärtezonen liegt Düsseldorf in Zone 8b, bei innerstädtischen Mikroklimaten sogar bei Zone 9a, was bedeutet, dass die durchschnittlich kälteste Jahrestemperatur über −6,6 Grad Celsius liegt. Mit rund 1550 Sonnenstunden ist Düsseldorf eine der weniger sonnigen Städte Deutschlands, was im Winter durch bedeckten Himmel und somit weniger Temperaturabstrahlung ebenfalls für mildere Temperaturen sorgt. Wegen des milden Klimas werden im Raum Düsseldorf viele exotische und mediterrane Pflanzen wie Palmen, Oliven, Lorbeer, Feigen, Pinien und Zypressen im Freiland kultiviert.


title: Düsseldorf

text: Die Energieerzeugung, die Industrie sowie der Verkehr sind die wichtigsten Ursachen für die anthropogene, d. h. vom Menschen verursachte Luftverschmutzung. Aufgrund der hohen Luftbelastung stellt die Bezirksregierung Düsseldorf Luftreinhaltepläne auf. Der erste Luftreinhalteplan für das gesamte Stadtgebiet der Landeshauptstadt Düsseldorf trat am 1. November 2008 in Kraft. Er vereinte alle bis dahin erstellten Pläne zu einem Gesamtplan. Nach Inkrafttreten des Plans werden die Maßnahmen durch die zuständigen Fachbehörden umgesetzt. Ziel ist durch diese Luftreinhaltestrategie die Einhaltung der gesetzlichen Grenzwerte zum Schutze der Gesundheit der in Düsseldorf wohnenden und arbeitenden Bevölkerung schnellstmöglich zu erreichen.


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text: Im Rahmen der bisherigen Luftreinhalteplanung konnten für nahezu sämtliche luftverunreinigende Stoffe, hier insbesondere für den zu Beginn der 2000er Jahre noch kritischen Feinstaub, beachtliche Erfolge erreicht und die Grenzwerte eingehalten werden. Der seit 2010 für Stickstoffdioxid (NO) gültige Grenzwert von 40 Mikrogramm pro Kubikmeter Luft (Jahresmittelwert) wird in Düsseldorf jedoch noch immer deutlich überschritten. An der Messstelle Corneliusstraße lag der Jahresmittelwert 2017 mit 56 Mikrogramm pro Kubikmeter noch immer auf sehr hohem Niveau der Stickstoffdioxidbelastung. Seit geraumer Zeit stehen neben den Feinstaubpartikelfraktionen die sogenannten Ultrafeinstäube vor allem in der Nähe von Flughäfen zunehmend im Fokus der Betrachtung.


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text: Das Düsseldorfer Stickstoffdioxidbelastungsgebiet („Umweltzone“) umfasst einen großen Teil des Stadtgebiets mit etwa 420.000 Einwohnern, die 68 Prozent der Bevölkerung entsprechen. Insofern besteht Handlungsbedarf zur weiteren Verminderung der Stickstoffdioxidbelastung im Plangebiet.


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text: Im Unterschied zu anderen nordrhein-westfälischen Großstädten haben die Stadtbezirke in Düsseldorf keine eigenen Namen, sondern sind von 1 bis 10 durchnummeriert. Die meisten Einwohner hat der Stadtbezirk 3 mit ca. 109.000 Personen, mit Bilk (rund 37.000 Menschen leben dort) liegt auch der einwohnerreichste Stadtteil im Stadtbezirk 3. Die geringste Bevölkerung hat dagegen der Stadtbezirk 10 mit etwa 25.000 Bewohnern, bei den Stadtteilen weist der Hafen mit 123 Einwohnern die kleinste Bevölkerungszahl auf.


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text: Weitere Informationen zum Thema befinden sich in der Liste der Stadtbezirke von Düsseldorf und der Liste der Stadtteile von Düsseldorf.


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text: Die Stadt Düsseldorf grenzt im Norden an die kreisfreie Stadt Duisburg und an die Stadt Ratingen, im Osten an die Städte Mettmann, Erkrath und Hilden, im Süden an die Städte Langenfeld (Rheinland) und Monheim am Rhein (alle Kreis Mettmann) sowie im Westen an die Städte Dormagen, Neuss und Meerbusch (alle Rhein-Kreis Neuss).


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text: Die mittelalterliche Stadt Düsseldorf wurde im 12./13. Jahrhundert zwar in der Nähe von frühmittelalterlichen Altsiedlungen gegründet, ging aber als Neugründung – ähnlich wie beispielsweise auch in Alpen oder Kalkar – nicht unmittelbar aus einer dieser Altsiedlungen hervor. Die Siedlung trug ihren Namen nach dem kleinen Fluss "Düssel," der südlich der Straße "Altestadt" in den Rhein mündet. Der Name "Düssel" entstand wahrscheinlich aus dem germanischen Begriff "thusila" und bedeutet "die Rauschende." Die Landschaft, in der Düsseldorf gegründet wurde, war vor der Entstehung der Grafschaft Berg eine ursprünglich fränkische, zu Ripuarien gehörende Grafschaft, in der neueren Forschung Duisburg-Kaiserswerther Grafschaft genannt, ein Herrschaftsgebiet der Ezzonen.


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text: Die erste schriftliche Erwähnung von "Dusseldorp" in einer Schreinskarte kann nicht sicher datiert werden und stammt frühestens aus dem Jahr 1135. Am 5. Juni 1288 fand die Schlacht von Worringen statt, in deren Folge Graf Adolf V. von Berg Düsseldorf am 14. August 1288 die Stadtrechte verlieh. Die nur 3,8 Hektar große Stadt war bereits früh ein mit einer Stadtmauer und einem Graben gesicherter Ort, der die Westgrenze der Grafschaft Berg markierte.


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text: 1380 wurde Graf Wilhelm von Berg von dem römisch-deutschen König Wenzel in den Reichsfürstenstand erhoben. Noch im selben Jahr beschloss der neue Herzog zum Ausdruck seiner reichspolitischen Funktion und Stellung, die relativ abgelegene Burg an der Wupper als Regierungssitz aufzugeben und das am Rhein gelegene Düsseldorf zur neuen Residenz zu entwickeln. Für die geplante bergische Hauptstadt Düsseldorf wurde erstmals 1382 eine Burg urkundlich erwähnt, die in den folgenden Jahrhunderten zum Düsseldorfer Residenzschloss ausgebaut wurde. Seit 1386 residierten der Herzog und seine Gemahlin Anna dort. Zwischen 1384 und 1394 wurde die Stadt erheblich erweitert; der Bau der backsteingotischen Hallenkirche St. Lambertus und ihre reichhaltige Ausstattung mit Reliquien und Pfründen datieren in dieser Zeit. Durch die Klever Union vereinigten die Herzöge von Jülich-Berg und Kleve-Mark ihre Länder zur Personalunion Jülich-Kleve-Berg. In den Jahren 1538 bis 1543 war Düsseldorf die Hauptstadt eines Verbundes von Territorialstaaten, der neben Jülich-Kleve-Berg auch das Herzogtum Geldern, die Grafschaften Mark, Ravensberg und Zutphen sowie die Herrschaft Ravenstein umfasste. Insbesondere unter Wilhelm dem Reichen wurde die Region zu einem Zentrum humanistischer Wissenschaft und liberaler Katholizität. Gegenüber Juden setzte sich unter seiner Herrschaft mit der Polizeiverordnung von 1554, die die Ausweisung aller Juden verlangte, allerdings eine antijudaische Linie durch. 1585 wurde bei der Vermählung des Erbprinzen Johann Wilhelm mit der Markgräfin Jakobe von Baden die wohl prunkvollste dokumentierte Hochzeit des 16. Jahrhunderts ausgerichtet. Unter dem Titel "Orpheus und Amphion" kam dabei zum ersten Mal ein opernartiges theatralisches Schauspiel mit Gesang und Musik zur Aufführung. Wilhelm der Reiche sorgte für den Wiederaufbau und Ausbau des Düsseldorfer Schlosses durch den Renaissance-Baumeister Alessandro Pasqualini. Nach dem Aussterben des jülich-bergisch-klevischen Regentenstammes 1609 und während eines Erbfolgestreits zwischen Brandenburg und Pfalz-Neuburg besetzte der spanische General Ambrosio Spinola als kaiserlicher Kommissar 1614 die Stadt.


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text: Nach der Beilegung des Jülich-Klevischen Erbfolgestreits gehörte Düsseldorf mit dem Herzogtum Jülich-Berg zum damals zunächst noch protestantischen Haus Pfalz-Neuburg, einem Zweig des Adelsgeschlechtes der Wittelsbacher. In der ersten Phase der pfälzischen Herrschaft kam es zu schweren Auseinandersetzungen zwischen römisch-katholischen, lutherischen und reformierten Beamten bei Hof und in der Stadt. Unter dem Einfluss seiner Frau, Magdalene von Bayern, konvertierte Erbprinz Wolfgang Wilhelm 1613 zur römisch-katholischen Konfession, wodurch er sich in den politischen Auseinandersetzungen seiner Zeit die Unterstützung der Katholischen Liga sichern konnte. Mit der Übernahme der Pfalzgrafen- und Herzogswürde im Jahre 1614 führte die Konversion Wolfgang Wilhelms in seinen Territorien zu einer Repression der protestantischen Konfessionen und zu einer Begünstigung der römisch-katholischen Kirche. Bei der nun einsetzenden Gegenreformation hatten die bei Hof verkehrenden Jesuiten eine Schlüsselrolle.


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text: Johann Wilhelm von der Pfalz, von den Niederfränkisch sprechenden Düsseldorfern „Jan Wellem“ genannt, schon als pfälzischer Erbprinz seit 1679 Regent von Jülich-Berg, seit 1690 schließlich Kurfürst von der Pfalz sowie Herzog von Jülich-Berg, hielt auch als Souverän an Düsseldorf als Hauptresidenz fest, zumal die frühere kurfürstliche Hauptresidenz in Heidelberg durch den Pfälzischen Erbfolgekrieg zerstört worden war. In der Regierungszeit Johann Wilhelms erfuhr Düsseldorf durch die Präsenz des glanzvollen Hofes eine beachtliche wirtschaftliche, kulturelle und städtebauliche Entwicklung, die sich unter Kurfürst Karl Theodor von der Pfalz fortsetzte, der Schlösser, Sammlungen, Institute gründete und die Carlstadt anlegen ließ. Herausragend und berühmt war die noch von Johann Wilhelm gegründete, unter Karl Theodor ebenfalls geförderte Gemäldegalerie. Allerdings verlor Düsseldorf den Status einer kurfürstlichen Hauptresidenz schon 1718 wieder an Heidelberg. 1720 ging diese Funktion dann an Mannheim und 1778 an München über, von wo aus Karl Theodor die Territorien Kurpfalz-Bayern und Jülich-Berg regierte. Eine weitere kurze Blüte der Stadt erfolgte unter dem kurfürstlichen Statthalter Johann Ludwig Franz Graf von Goltstein. 1769 wurde Düsseldorf Sitz des Jülich-Bergischen Oberappellationsgerichtes.


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text: Seit 1732 weiter neuzeitlich befestigt, wurde die Stadt im Siebenjährigen Krieg 1757 von den Franzosen besetzt und nach der Schlacht bei Krefeld 1758 von Herzog Ferdinand von Braunschweig durch Kapitulation eingenommen, jedoch bald wieder verlassen. Im Zuge der durch die Französische Revolution entfesselten Koalitionskriege kapitulierte Düsseldorf im Jahre 1795 der französischen Revolutionsarmee und blieb unter französischer Besetzung, bis es im Frieden von Lunéville 1801 an Kurpfalz-Bayern zurückgegeben wurde.


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text: Daraufhin erfolgte die vertraglich bedingte Schleifung der Festungswerke. Doch bereits infolge eines Gebietstausches, der in dem Vertrag von Schönbrunn und im Vertrag von Brünn zwischen Kurpfalz-Bayern, Preußen und Frankreich festgelegt worden war, gelangte die Stadt ab 1806 wieder unter französischen Einfluss. Vor dem Gebietstausch hatte Kurfürst Maximilian IV. die weltberühmte Gemäldesammlung, die ein staatlicher Besitz des Herzogtums Jülich-Berg war, abziehen lassen und widerrechtlich dem bayerischen Kunstbesitz einverleibt. Düsseldorf wurde Landeshauptstadt des Großherzogtums Berg. Das Großherzogtum schied auf der Grundlage der Rheinbundakte als souveräner, mit Frankreich alliierter Staat aus dem Heiligen Römischen Reich aus und bestand faktisch bis Ende 1813. Großherzöge waren Joachim Murat bis 1808, sodann Napoleon selbst, schließlich ab 1809 unter Napoleons Regentschaft sein minderjähriger Neffe Napoléon Louis Bonaparte. Unter der neuen Regierung hielten bedeutende soziale und administrative Reformen Einzug. 1810 führte Napoleon den bergischen Code civil ein, der unter anderem den von Heinrich Heine begrüßten Durchbruch in Richtung einer Gleichstellung der Juden mit sich brachte. Anspruchsvolle Maßnahmen zur städtebaulichen Erneuerung und Verschönerung Düsseldorfs wurden vollzogen, insbesondere nach Entwürfen des Landschaftsarchitekten Maximilian Friedrich Weyhe. So pflanzte man die "Neue Allee," die spätere Königsallee, und bepflanzte den "Boulevard Napoléon," die spätere Heinrich-Heine-Allee erstmals als elegante Esplanaden; der Hofgarten erfuhr einen weiteren Ausbau zu einem Englischen Landschaftsgarten. Gleichwohl war das Großherzogtum für Frankreich im Rahmen seiner imperialistischen Expansion letztlich nur als Satelliten- und Pufferstaat sowie als Ressource für Finanzeinnahmen und Truppenaushebungen von Relevanz. Zudem geriet das Großherzogtum zunehmend in eine schwere Wirtschaftskrise, weil die französischen Zölle, die im Zuge der Kontinentalsperre an seinen westlichen und nördlichen Staatsgrenzen erhoben wurden, es von wichtigen Marktgebieten abschnitten. Die Wende brachte die Völkerschlacht bei Leipzig, in deren Folge die französischen Truppen und Spitzenbeamten das Großherzogtum Berg verließen.


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text: Das von den Franzosen verlassene Großherzogtum Berg wurde ab Ende 1813 von preußischen Truppen besetzt und von preußischen Beamten als Generalgouvernement Berg interimistisch verwaltet. Auf der Grundlage der Neuordnung Europas, die in den Jahren 1814 bis 1815 auf dem Wiener Kongress verhandelt worden war, nahm der preußische König Friedrich Wilhelm III. das Territorium und dessen Hauptstadt Düsseldorf am 5. April 1815 schließlich in Besitz. Rechtlich gehörte es ab dem 21. April 1815 zu Preußen. Düsseldorf wurde 1816 Sitz des Landkreises Düsseldorf. Düsseldorf selbst war dabei aber zunächst kreisfreie Stadt, doch schon 1820 wurde die Stadt in den Landkreis Düsseldorf eingegliedert. Am 22. April 1816 nahm die Bezirksregierung Düsseldorf ihre Arbeit auf. Mit der Schaffung der Rheinprovinz wurde Düsseldorf 1822 Sitz des "Landeshauptmanns" und 1823 Sitz des "Provinziallandtags."


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text: Durch die Eingliederung in Preußen hatte Düsseldorf nach über 400 Jahren den Status einer Landeshauptstadt und damit sämtliche Behörden der Landesregierung verloren. Düsseldorf war somit nur noch der Mittelpunkt einer Provinz und eine Beamtenstadt, nach Schleifung der Festungswerke von einem geschlossenen Ring ausgedehnter Parks umgeben, dem sich eine erste Stadterweiterung im klassizistischen Stil anschloss. Nach zeitgenössischen Beschreibungen bot die Stadt in der Zeit des Biedermeier insgesamt ein vergleichsweise harmonisches Stadtbild, bemerkte doch etwa Carl Julius Weber: "„Das heitere Düsseldorf gefällt doppelt, wenn man aus dem finsteren Cöln herkommt.“" Allerdings war die politische und administrative Bedeutung der Stadt aufgrund des Verlustes von Hauptstadtfunktionen nicht so hoch wie der Rang des geistigen und künstlerischen Lebens in jener Zeit, welcher maßgeblich auf der Neugründung der Kunstakademie Düsseldorf (1819) und der aus ihr hervorgehenden Düsseldorfer Malerschule (1819–1918) fußte sowie ihr den Ruf einer "Kunst- und Gartenstadt" eintrug. In der Zeit des Vormärz und der Deutschen Revolution waren die in der Stadt vertretenen bürgerlichen Milieus mit den Persönlichkeiten Lorenz Cantador, Ferdinand Freiligrath, Ferdinand Lassalle und Hugo Wesendonck ein Brennpunkt der sich formierenden demokratischen und Arbeiterbewegung.


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text: Ab Mitte der 1830er Jahre erfasste der durch die Industrialisierung ausgelöste gesellschaftliche und wirtschaftliche Umbruch die kleine preußische Provinzstadt. Die Ablösung des Kölner Stapelrechts durch die Mainzer Akte (1831), die Dampfschifffahrt auf dem zunehmend regulierten Rhein, die Einrichtung eines Freihafens (1831) sowie die Anlage der ersten westdeutschen Eisenbahnstrecken (1838) schufen die Voraussetzungen für die Entwicklung Düsseldorfs zur Industriestadt. Die zwischen Rotterdam und Mannheim verkehrende "Dampfschiffahrts-Gesellschaft für den Nieder- und Mittelrhein" wurde 1836 in Düsseldorf gegründet. 1837 fand die erste Gewerbeausstellung in der Flinger Straße statt, neben der 1852 durchgeführten Provinzial-Gewerbe-Ausstellung für Rheinland und Westphalen eine Grundlage für die spätere Entwicklung zur Messestadt. Ab 1850 siedelten sich die ersten Stahlwerke unter anderem in Oberbilk an. Es folgten zahlreiche weitere Industriebetriebe wie beispielsweise die Gerresheimer Glashütte. Allerdings dominierte bis 1870 noch das Textilgewerbe. Eine Berufsfeuerwehr hat Düsseldorf seit 1872.


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text: 1872 wurde Düsseldorf erneut kreisfrei. Um 1880 bestand es aus sechs Stadtteilen: der Altstadt (dem ursprünglichen Düsseldorf) mit engen und unregelmäßigen Straßen sowie den beiden Mündungen der nördlichen und der südlichen Düssel, der Carlstadt an der Südseite der Altstadt (1767 angelegt), der in einiger Entfernung liegenden Neustadt, die 1690–1716 erbaut wurde, der Friedrichstadt am Südostende, der Königstadt und schließlich Pempelfort im Norden und Nordosten. 1880 fand in Düsseldorf die Gewerbe-Ausstellung für Rheinland, Westfalen und benachbarte Bezirke statt, die über eine Million Besucher anzog und der Stadt weitere Wachstumsimpulse gab. Nach der Volkszählung vom 1. Dezember 1880 lebten in der Stadt auf 49 Quadratkilometern Fläche 95.458 Menschen. Die verkehrsgünstig und wirtschaftsgeografisch zentral gelegene preußische Stadt, die 50 Jahre zuvor aus politischer und wirtschaftlicher Sicht nur wenig Bedeutendes vorzuweisen hatte, stand dank fortschreitender Industrialisierung, ausgebauter Verkehrsinfrastrukturen, rapidem Bevölkerungswachstums und des Fortfalls von Zollschranken, der sich mit der Verwirklichung des Deutschen Zollvereins ab 1834 ergeben hatte, an der Schwelle der Entwicklung zu einer der bedeutenden Groß- und Industriestädte des 1871 gegründeten Nationalstaats Deutsches Reich, dessen bundesstaatlicher Rahmen Preußen nunmehr als einen Gliedstaat umfasste. In der Zeit von 1880 bis 1900 stieg die Bevölkerung auf mehr als das Doppelte an, 215.000 Einwohner.


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text: An der Wende zum 20. Jahrhundert war Düsseldorf eine geschäftige und aufstrebende Industriestadt. Nach der Rheinufervorschiebung wurde 1902 eine große Gewerbe-, Industrie- und Kunstausstellung mit über 2500 Ausstellern auf einem 70 Hektar großen Gelände am Rheinufer organisiert, die weltweit Beachtung fand. Eine gute Finanzverfassung, niedrige Steuern und städtebauliche Anreize zogen vermögende Leute und Unternehmen aus dem ganzen Reich an. Dank der Konzentration von Verwaltungen und unternehmensnahen Dienstleistungen sowie dank der Ansiedlung einer Börse, großer Bankhäuser und einer Reihe wichtiger Zusammenschlüsse der Industrie etablierte sich die Stadt schon zu Beginn des 20. Jahrhunderts als „Schreibtisch des Ruhrgebiets“. 1909 wurde ein Zeppelinflugfeld auf der Golzheimer Heide eingerichtet. Im gleichen Jahr erfolgten die ersten großen Eingemeindungen seit dem Mittelalter. Dadurch wuchs die Stadt um 62,5 km² und erreichte mit einem Zuwachs von rund 63.000 Personen eine Gesamteinwohnerzahl von 345.000. Ihren neuen Zuschnitt nahm die Stadt zum Anlass, im August 1910 eine "Internationale Städtebau-Ausstellung" abzuhalten, zu deren Gelingen neben deutschen Großstädten auch Chicago, Boston, London, Zürich, Kopenhagen, Stockholm und Helsinki stadtplanerische Exponate beitrugen. In der 1912 folgenden "Städte-Ausstellung Düsseldorf für Rheinland, Westfalen und benachbarte Gebiete" wurden Pläne für die „Millionenstadt Düsseldorf“ vorgestellt. Der US-amerikanische Publizist und Reformer Frederic C. Howe pries Düsseldorfs Stadtentwicklung als vorbildlich. Das Wachstum der Stadt schien den Zeitgenossen unaufhaltsam zu sein. Der Ausbruch des Ersten Weltkrieges traf Düsseldorf vollkommen unvorbereitet.


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text: Am 31. Juli 1914 übernahm das Militär die Exekutive und am folgenden Tag wurde die allgemeine Mobilmachung verkündet. Schon bald veränderte sich das Leben in der Stadt merklich. Die Düsseldorfer Industrie stellte auf Kriegsproduktion um und wurde eine der größten Waffenschmieden des Reiches. Die Stadt wandelte sich zu einem Nachschubzentrum und Lazarettstandort. 1915 waren 46.000 Reservisten in Düsseldorf stationiert, 1917 gab es rund 8.000 Lazarettbetten. Durch den wirtschaftlichen Niedergang sank der Hafenumschlag auf unter 30 % des Vorkriegsniveaus. Die Geburtenzahlen verringerten sich um 42 Prozent; es herrschte Mangel an Lebensmitteln und Kleidung; die Sterberaten stiegen massiv an; über 10.000 Soldaten kehrten nicht mehr zurück. Im Juni 1917 kam es wegen des Hungers in der Bevölkerung zu Protesten und zu Plünderungen von Läden. Mehrfach wurde der Belagerungszustand verkündet.


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text: Am 8. November 1918 trugen aus Köln kommende Matrosen die Novemberrevolution in die Stadt. Es bildete sich ein provisorischer Arbeiter- und Soldatenrat, der in Zusammenarbeit mit der Stadtverwaltung zunächst die öffentliche Ordnung aufrechterhalten konnte. Infolge des Waffenstillstandes von Compiègne, der Beendigung des Ersten Weltkrieges, besetzten am 4. Dezember 1918 belgische Truppen die linksrheinischen Stadtteile. Himmelgeist und das damals noch selbständige Benrath waren britisch besetzt. Der Rest der Stadt lag in der entmilitarisierten Zone entsprechend Artikel 42, 43 des Versailler Vertrages. Die Soldaten schieden formell aus dem Arbeiter- und Soldatenrat aus, der Arbeiterrat formierte sich neu.


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text: Vom 7. bis zum 9. Januar 1919 übernahm nach Streiks, Besetzung von Zeitungsredaktionen und einer Massendemonstration gegen die Regierung Ebert-Scheidemann ein "Vollzugsrat des Arbeiterrates" aus Mitgliedern des Spartakusbundes und der USPD die Macht. Ziel dieser Gruppen war eine Revolution nach russischem Vorbild. Der Hauptbahnhof, das Polizeipräsidium und das Fernsprechamt wurden besetzt. Aus dem Gefängnis "Ulmer Höh" wurden rund 150 Insassen befreit. Oberbürgermeister Oehler, Regierungspräsident Kruse und einige andere Personen des öffentlichen Lebens konnten sich ins belgisch besetzte Oberkassel retten, andere angesehene Bürger wurden als Geiseln genommen. Aus Protest legten am 10. Januar die städtischen Beamten die Arbeit nieder. Ein "Vollzugsrat des Arbeiterrates" erklärte die Einsetzung Karl Schmidtchens als Oberbürgermeister. Es kam zu Streiks und blutigen Zusammenstößen mit zahlreichen Toten und Schwerverletzten in der Graf-Adolf-Straße. Nach fünf Wochen, am 28. Februar 1919, wurde die Stadt vom Freikorps Lichtschlag erobert und der Vollzugsrat abgesetzt. Dennoch kam es bis Mitte April 1919 immer wieder zu bewaffneten Auseinandersetzungen zwischen Spartakisten und den reaktionären Freikorpstruppen, insbesondere während der Generalstreiksbewegung an der Ruhr vom 8. bis zum 13. April. Heftig umkämpft war der Stadtteil Oberbilk, der nur mit Artillerieunterstützung erobert werden konnte. Bis 1933 blieb Düsseldorf in weiten Teilen dennoch eine „rote“, von der Arbeiterbewegung geprägte, Stadt in Preußen, das 1918 durch den Sturz der Hohenzollern-Monarchie als Freistaat Preußen eine Republik im Deutschen Reich geworden war.


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text: Am 8. März 1921 rückten gegen Mittag französische und belgische Truppen in Düsseldorf und anderen Ruhrgebietsstädten ein und besetzten sie. Hintergrund war die Weigerung der Reichsregierung, Reparationszahlungen aus dem Versailler Vertrag in Höhe von 269 Milliarden Goldmark anzuerkennen. Zwei Jahre später begannen die Franzosen von ihren Brückenköpfen Duisburg und Düsseldorf aus mit der Besetzung des Ruhrgebiets. Mit Annahme des Dawes-Plans am 1. September 1925 durch die deutsche Regierung endete die Besetzung. Aus diesem Anlass kam Reichspräsident Paul von Hindenburg nach Düsseldorf und hielt im Rheinstadion vor rund 50.000 Zuhörern eine patriotische Rede.


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text: 1926 fand mit der "GeSoLei" die mit 7,5 Millionen Besuchern größte Messe der Weimarer Republik im und am dafür konzipierten Ehrenhof statt.


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text: 1929 ging der Landkreis Düsseldorf größtenteils im neuen Landkreis Düsseldorf-Mettmann auf, der nördliche Teil wurde den Städten Duisburg und Mülheim zugeschlagen. Düsseldorf-Mettmann wurde bei der Kreisreform 1975 in Kreis Mettmann umbenannt.


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text: Am 13. April 1931 begann in Düsseldorf der Strafprozess zu einem der spektakulärsten Kriminalfälle der Weimarer Republik. Zu Gericht saß der schon von 1894 bis 1921 und seit 1925 wieder in Düsseldorf wohnende Serienmörder Peter Kürten, den die Boulevardpresse wegen seiner Vorliebe für das Blut seiner zahlreichen Opfer den „Vampir von Düsseldorf“ nannte. Der Prozess, der auch große internationale Beachtung fand – an die neunzig Auslandskorrespondenten hatten sich angesagt –, endete am 21. April 1931 mit einem Todesurteil, das am 2. Juli 1931 in Köln vollstreckt wurde. In Deutschland löste das Ereignis eine erneute Debatte über die Zulässigkeit der Todesstrafe aus. Der Kriminalfall inspirierte den Regisseur Fritz Lang zu seinem Streifen "M – Eine Stadt sucht einen Mörder," einem der ersten Tonfilme.


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text: Nach der Machtübergabe an die Nationalsozialisten kam es schon am 11. April 1933 in Düsseldorf zur ersten Verbrennung „unerwünschter Literatur“ durch die Deutsche Studentenschaft, unter anderem von Büchern Heinrich Heines. Der NSDAP-Gauleiter Friedrich Karl Florian förderte das massenwirksame Gedenken an Albert Leo Schlageter am Schlageter-Nationaldenkmal, das bereits 1931 errichtet worden war, sowie die personelle Umstrukturierung von Stadtverwaltung und Behörden. Der bisherige Polizeipräsident Hans Langels (Zentrumspartei) wurde abgesetzt und durch den SS-Gruppenführer Fritz Weitzel ersetzt. Zahlreiche Regimegegner wurden verhaftet, misshandelt oder getötet. Düsseldorf war als Hauptstadt des Gaus Düsseldorf (1930–1945) Sitz zahlreicher NS-Verbände und sicherheitspolizeilicher Institutionen: der Staatspolizeileitstelle Düsseldorf, des Höheren SS- und Polizeiführers West (ab 1938), des Inspekteurs der Sicherheitspolizei und des SD, des SS-Oberabschnitts West, des SD-Oberabschnitts West, der SA-Gruppe Niederrhein, der 20. SS-Standarte, eines HJ-Banns (Nr. 39, Obergebiet West, Gebiet Ruhr-Niederrhein), ab 1936 einer Heeresstandortverwaltung und eines Wehrbezirkskommandos der Wehrmacht. Zu den kulturpolitischen „Höhepunkten“ zählten die Propagandaschauen Reichsausstellung Schaffendes Volk (1937) und Entartete Musik (1938).


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text: 1937 wurden im Rahmen der Aktion „Entartete Kunst“ aus der Kunstsammlung der Stadt Werke beschlagnahmt und vernichtet. Am 10. November 1938 wurden in der Pogromnacht die Synagogen auf der Kasernenstraße und in Benrath niedergebrannt, die jüdische Bevölkerung der Stadt wurde verfolgt und mindestens 18 Personen wurden ermordet. Die Deportation von fast 6000 Juden aus dem gesamten Regierungsbezirk lag in den Händen des „Judenreferats“ der Staatspolizeileitstelle Düsseldorf. Am 27. Oktober 1941 fuhr der erste Zug mit insgesamt 1003 Düsseldorfer und niederrheinischen Juden vom Güterbahnhof Derendorf in die deutschen Konzentrationslager im besetzten Polen (siehe Jüdisches Leben in Düsseldorf). Über 2200 Düsseldorfer Juden wurden ermordet. 1944 lebten in den etwa 400 Lagern Düsseldorfs rund 35.000 ausländische Zivilarbeiter, mehrere tausend Kriegsgefangene sowie KZ-Häftlinge, die Zwangsarbeit leisten mussten.


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text: An die Opfer des Nationalsozialismus in Düsseldorf erinnert seit 1987 die Mahn- und Gedenkstätte Düsseldorf im ehemaligen Polizeipräsidium an der Mühlenstraße (Stadthaus). Es gibt darüber hinaus zahlreiche Düsseldorfer Gedenkorte für Opfer des Nationalsozialismus.


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text: Im Zweiten Weltkrieg fielen 1940 die ersten Bomben auf Düsseldorf. Den ersten Großangriff erlebten die Düsseldorfer in der Nacht zum 1. August 1942. Die alliierten Luftangriffe forderten bis 1945 mehr als 5000 Tote unter der Zivilbevölkerung. Etwa die Hälfte der Gebäude wurde zerstört, rund 90 Prozent wurden beschädigt. Alle Rheinbrücken, die meisten Straßen, Hochwasserdeiche, Unter- und Überführungen sowie das städtische Entwässerungsnetz waren größtenteils zerstört. Die Trümmermenge wurde auf etwa zehn Millionen Kubikmeter geschätzt. Ab dem 28. Februar 1945 wurde Düsseldorf im Zuge der Bildung des Ruhrkessels für sieben Wochen zur Frontstadt mit amerikanischem Dauerbeschuss vom linken Rheinufer und im März immer mehr eingekreist.


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text: Im April versuchten einige Düsseldorfer Bürger des Widerstands um Rechtsanwalt Karl August Wiedenhofen bei Schutzpolizei-Kommandeur Franz Jürgens die Festsetzung des Polizeipräsidenten August Korreng zu erwirken, um die Stadt kampflos an die Alliierten zu übergeben. Der Putschversuch gelang zunächst, wurde dann aber verraten. Nach der Befreiung Korrengs durch linientreue Kräfte von Gauleiter Friedrich Karl Florian, der fünf der Widerstandsmitglieder standrechtlich erschießen ließ (darunter Jürgens), gelang es den beiden letzten Mitgliedern Rechtsanwalt Wiedenhofen und Architekt Aloys Odenthal zu entkommen, die im Osten der Stadt heranrückenden amerikanischen Streitkräfte zu erreichen und die endgültige Zerstörung der Stadt durch einen bereits vorbereiteten großen Luftangriff abzuwenden.


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text: Aus Richtung Mettmann kommende Einheiten der U.S. Army besetzten Düsseldorf am 17. April 1945 nahezu kampflos. Nur noch etwa die Hälfte der Bewohner lebte in der in weiten Teilen zerstörten Stadt, die im Zuge der Einteilung Deutschlands in Besatzungszonen unter britische Militärverwaltung kam, die bereits im Juni 1945 eine deutsche Kommunalverwaltung einsetzte. Zum Ende der Kampfhandlungen befanden sich noch etwa 235.000 Menschen in Düsseldorf, zum Jahresende 1945 lebten bereits wieder 394.765 Einwohner in der Stadt. Nach Vorentscheidungen an der Londoner Außenministerkonferenz gründeten die Briten am 23. August 1946 als einen Nachfolgestaat des nur noch de jure existierenden Freistaats Preußen das Land Nordrhein-Westfalen mit Düsseldorf als Hauptstadt, um die bedeutenden industriellen Ressourcen des Landes der politischen Einflussnahme der Sowjetunion und Frankreichs zu entziehen. Die geografische Zentralität, insbesondere die gewachsene Funktion als wirtschaftliches Entscheidungszentrum („Schreibtisch des Ruhrgebiets“), und das Bestehen unzerstörter Verwaltungsbauten gaben den Ausschlag für die Bestimmung Düsseldorfs zum politischen Zentrum des neuen Landes. Mit Wohnungsnotprogrammen konnten bis 1947 etwa 70.000 Wohnungen zur Verfügung gestellt werden. 1947 fand bereits wieder eine erste Messe in Düsseldorf statt. 1949, im Gründungsjahr der Bundesrepublik Deutschland, erreichte die Einwohnerzahl Düsseldorfs schon fast wieder Vorkriegsniveau, der systematische Wiederaufbau setzte Anfang der 1950er Jahre ein. Von 1949 bis 1952 war Düsseldorf Sitz der Internationalen Ruhrbehörde, einer Vorläuferin der Europäischen Gemeinschaft für Kohle und Stahl. Dank des Marketingverbundes Igedo und wegen der Nähe zur Textilindustrie konnte sich das Messe- und Ausstellungsgelände am Ehrenhof in dieser Zeit mit der "Verkaufs- und Modewoche Düsseldorf" als neuer deutscher Standort des Modehandels durchsetzen.


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text: Mit dem Neuordnungsplan von 1950 wurden die Grundlagen für die weitere Stadtentwicklung der nächsten Jahrzehnte geschaffen, die das Stadtbild und die Verkehrsführung entscheidend verändern sollte, weitgehend nach dem Leitbild der "Autogerechten Stadt." Zahlreiche Straßen wurden verbreitert und zerstörte Gebäude um zwei bis drei Geschosse höher wieder aufgebaut. Ab Mitte der 1950er Jahre entstanden die ersten Hochhäuser. Düsseldorf entwickelte sich zur Verwaltungsstadt. Dennoch blieb Düsseldorf bis in die 1980er Jahre ein bedeutender Industriestandort. Aufgrund der Nähe zum Ruhrgebiet sowie zur damaligen Bundeshauptstadt Bonn ließen sich zahlreiche Verbände und Interessensvertretungen aus dem Stahlbereich in der Stadt nieder. Die 1960er und 1970er Jahre brachten große Veränderungen. Die Stadt hatte in dieser Zeit den höchsten Bevölkerungsstand ihrer Geschichte. Ab 1961 entstand mit Garath ein völlig neuer Stadtteil in Form einer Trabantenstadt am südlichen Stadtrand. 1965 wurde Düsseldorf Universitätsstadt. Es folgten 1970 die Eröffnung des neuen Schauspielhauses, 1971 der Neuen Messe und 1978 der neuen Tonhalle. 1975 erfolgte die größte Eingemeindung seit 1929. Es entstanden zwei neue Rheinbrücken und es wurde mit dem Bau einer U-Stadtbahn begonnen, deren erste Strecke 1981 eingeweiht werden konnte.


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text: In den 1980er Jahren wurde mit weiteren städtebaulichen Projekten das Stadtbild abermals nachhaltig verändert, dem Neubau des Landtages, der Entwicklung des Medienhafens und dem Bau des Rheinufertunnels, dessen Fertigstellung sich bis in die 1990er Jahre hinzog. Seit 1993 fließt der Autoverkehr unterirdisch und die Altstadt ist mit der Rheinuferpromenade wieder an den Rhein gerückt. In den 1990er Jahren entwickelte sich im Medienhafen ein neues Büro-, Geschäfts- und Freizeitviertel. 1996 vernichtete ein Großbrand ein Terminal des Düsseldorfer Flughafens. Der Flughafen und die Anbindung an die Stadt wurden komplett umgeplant. Die Arbeiten waren 2003 abgeschlossen.


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text: Bei einem Sprengstoffanschlag am Bahnhof Düsseldorf-Wehrhahn wurden am 27. Juli 2000 zehn Menschen zum Teil lebensgefährlich verletzt, eine schwangere Frau verlor ihr ungeborenes Kind. Nach einem Brandanschlag auf die Neue Synagoge in Düsseldorf am 2. Oktober 2000 wandte sich der damalige Bundeskanzler Gerhard Schröder mit einem Appell an die bundesdeutsche Öffentlichkeit, in dem er zum „Aufstand der Anständigen“ aufforderte. Am 25. Mai 2009 erhielt die Stadt den von der Bundesregierung verliehenen Titel „Ort der Vielfalt“.


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text: Seitens der städtischen Verwaltung wurde Düsseldorf im Jahr 2014 als schuldenfrei erklärt, was jedoch vom Land Nordrhein-Westfalen und dessen Statistikamt in Frage gestellt wurde. Die unterschiedlichen Auffassungen ergaben sich aus unterschiedlichen Bewertungen und waren auf Landes- und Stadtebene auch parteipolitisch motiviert. Zum Stichtag 31. Dezember 2013 hatte die Stadt Verbindlichkeiten in Höhe von insgesamt 383 Millionen Euro. Damit war Düsseldorf allerdings die am wenigsten verschuldete kreisfreie Stadt Nordrhein-Westfalens.


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text: Nachdem 1384 bereits Bilk, Derendorf und Golzheim, 1394 Hamm und 1487 Volmerswerth nach Düsseldorf eingemeindet wurden, gab es im letzten Jahrhundert 1909, 1929 und 1975 Gebietsreformen, welche eine städtebauliche Weiterentwicklung und effizientere Verwaltung der aufgrund der in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts einsetzenden Industrialisierung und nochmals in den 1950er bis 1970er Jahren stark wachsenden und zusammenwachsenden Region Düsseldorf gewährleisten sollten. Im Einzelnen wurden ab 1908 folgende Städte, Gemeinden und Gemeindeteile nach Düsseldorf eingegliedert (die Zahlen in Klammern geben den Flächenzuwachs an):