title: Krebs (Medizin)

text: Spezifische Substanzen als Krebsursache wurden im 16. Jahrhundert von Paracelsus (als „Realgar“ bezeichnetes Arsen(V)-sulfid im Bergbau als Ursache von Lungenkrebs) und im 18. Jahrhundert von Percivall Pott (Ruß als Ursache von Skrotalkrebs) genannt. (Der Zusammenhang von aromatischen Kohlenwasserstoffen in Tonschieferöl, Ruß, Teer, Paraffin und Kohle wurde 1924 durch Ernest Kennaway dargestellt). Weitere als krebsverursachend erkannte Substanzen waren aromatische Amine wie Anilin und Benzidin, die der Chirurg Ludwig Rehn 1895 bei an Blasenkrebs erkrankten Arbeitern der Farbstoffindustrie fand. Im 18. Jahrhundert bestanden bei einigen Chirurgen Zweifel am nachhaltigen Nutzen einer operativen Therapie von Krebsleiden, da ein in der Blutmasse angenommenes Krebsgift zu Rezidiven führe. Das Wesen des Krebses wurde mit Hilfe der ab 1866 von Ernst Abbe entwickelten Mikroskope und der die Humoralpathologie ablösenden Zellularpathologie Virchows genauer erkannt.


title: Krebs (Medizin)

text: Dass es sich bei Krebs um Wucherungen von Körperzellen handelt, ist seit den Mitte des 19. Jahrhunderts erfolgten Forschungen des Pathologen Rudolf Virchow („omnis cellula e cellula“, „jede Zelle stammt aus einer Zelle“) bekannt.


title: Krebs (Medizin)

text: In einem gesunden Organismus werden die Zelltypen, aus denen sich die verschiedenen Gewebe der Organe aufbauen, in einem ausgewogenen artspezifischen Gleichgewicht gebildet und regeneriert, was als Homöostase bezeichnet wird. In diesem Zustand der Homöostase gibt es ein Gleichgewicht zwischen der Vermehrung von Zellen (Zellproliferation) und dem Zelltod. Der Hauptanteil des Absterbens von Zellen erfolgt dabei durch Apoptose, bei der die Zellen „Selbstmord“ begehen. In pathologischen Situationen kann dieses Absterben auch durch Nekrose geschehen. Bei Krebs ist dieses Gleichgewicht zugunsten des Zellwachstums verändert. Die Krebszellen wachsen dabei ungehindert, da hemmende Signale nicht erkannt oder nicht ausgeführt werden. Der Grund liegt in Defekten der Erbinformation, die durch Mutationen entstanden sind.


title: Krebs (Medizin)

text: Etwa 5.000 der insgesamt 25.000 Gene des Menschen sind für die sichere Erhaltung der Erbinformation von einer Zellgeneration zur nächsten zuständig. Diese sogenannten Tumorsuppressorgene überwachen die korrekte Abfolge der Basenpaare in der DNA nach jeder Reduplikation, entscheiden über die Notwendigkeit von Reparaturvorgängen, halten den Zellzyklus an, bis die Reparaturen ausgeführt sind, und veranlassen gegebenenfalls einen programmierten Zelltod (Apoptose), falls die Reparatur nicht zum Erfolg führt. Daneben sind die Protoonkogene zuständig für die Einleitung oder den Unterhalt der Proliferation der Zelle und ihrer anschließenden Entwicklung zu einem bestimmten Zelltyp (Differenzierung).


title: Krebs (Medizin)

text: Nach der heute als plausibel geltenden Theorie der Krebsentstehung (Karzinogenese) ist das primäre Krankheitsereignis eine Veränderung in einem dieser Wächtergene – entweder durch einen Kopierfehler oder seltener durch eine angeborene Mutation. Dieses Gen kann dann den von ihm überwachten Teilschritt nicht mehr korrekt begleiten, sodass es in der nächsten Zellgeneration zu weiteren Defekten kommen kann. Ist ein zweites Wächtergen betroffen, so potenziert sich der Effekt fortlaufend. Wenn auch Apoptose-Gene (z. B. p53) betroffen sind, die in einer solchen Situation den programmierten Zelltod auslösen müssten, werden diese Zellen potentiell unsterblich. Durch die Aktivierung der Protoonkogene wird ein Krebs zum Wachstum angeregt, was in einer Raumforderung und in Folge zu auftretenden Schmerzen führen kann. Zur Krebsentstehung sind mehrere solcher Mutationen notwendig (englisch ""). Hierbei hat sich die Annahme von Peter Nowell bestätigt, dass zur Entstehung eines malignen Tumors mindestens sechs bis sieben Mutationen nötig sind.


title: Krebs (Medizin)

text: Die Proliferation einer in den relevanten Genen veränderten Zelle zu einem Zellhaufen vergrößert dabei entscheidend die Wahrscheinlichkeit für eine weitere relevante genetische Veränderung im Rahmen des Mehrschrittprozesses, da bei jedem Kopiervorgang der DNA Fehler entstehen können. Solche Veränderungen können auch durch äußere Einflüsse (z. B. krebserregende Stoffe, ionisierende Strahlung, Onkoviren) induziert werden, oder durch eine genetische Instabilität der veränderten Zellpopulation zustande kommen. Irritierende Reize können durch Erhöhung der Proliferation diesen Prozess beschleunigen. Während bei einigen Tumoren eine oder zwei Mutationen ausreichen können, gibt es auch Tumoren, bei welchen bis zu zehn verschiedene Mutationen erfolgt sein müssen. Einige dieser notwendigen Mutationen können vererbt werden, was erklärt, dass auch sehr kleine Kinder an Krebs erkranken können und dass Krebs in sogenannten „Krebsfamilien“ gehäuft auftreten kann. Ein typisches Beispiel dafür ist das vererbbare "Xeroderma pigmentosum". Bei nahen Verwandten von Patientinnen mit Brustkrebs ist die Wahrscheinlichkeit, Brustkrebs zu bekommen, doppelt so hoch wie in der übrigen Bevölkerung. In den dazwischenliegenden Schritten der Tumorentstehung (Promotion und Progression) spielen nicht genotoxische Prozesse eine große Rolle, was Beobachter dazu verleiten könnte, diese Einflüsse als eigentliche „Krebserreger“ einzustufen.


title: Krebs (Medizin)

text: Durch weitere Veränderungen der DNA kann die Zelle zusätzliche Eigenschaften ausbilden, die eine Behandlung der Krebserkrankung erschweren, darunter die Fähigkeit, unter Sauerstoffmangel zu überleben, eine eigene Blutversorgung aufzubauen (Angiogenese) oder aus dem Verband auszuwandern und sich in fremden Geweben wie Knochen (Knochenmetastase), Lunge (Lungenmetastase), Leber (Lebermetastase) oder Gehirn (Hirnmetastase) anzusiedeln (Metastasierung). Erst durch diese Fähigkeit gewinnt der Krebs seine tödliche Potenz: 90 % aller Krebspatienten, bei denen die Krankheit tödlich ausgeht, sterben nicht am Primärtumor, sondern an den Folgekrankheiten der Metastasierung.


title: Krebs (Medizin)

text: Das Immunsystem versucht grundsätzlich, die unkontrolliert wachsenden Zellen aufzuspüren und zu bekämpfen (englisch ""). Erste Vermutungen, dass Tumoren durch eine Immunreaktion schrumpfen oder verschwinden können, sind von Louis Pasteur aufgestellt worden, eine genauere Beschreibung erfolgte jedoch erst 1957 durch Thomas und Burnet. Da diese aber in vielerlei Hinsicht normalen Körperzellen gleichen, sind die Unterschiede und damit die Abwehrmaßnahmen meist nicht ausreichend, um den Tumor zu kontrollieren.


title: Krebs (Medizin)

text: Krebszellen sind häufig aneuploid, das heißt, sie haben eine veränderte Chromosomenzahl. Es wird momentan untersucht, ob die Aneuploidie von Krebszellen Ursache oder Folge der Erkrankung ist. Damit verbunden ist die Theorie, wonach die Entstehung von Krebs nicht oder nicht nur auf die Mutation einzelner Gene, sondern vor allem auf die Veränderung des kompletten Chromosomensatzes zurückgeht. Diese Unterschiede in den Chromosomensätzen entarteter Zellen führte auch zur Betrachtung mancher Krebsarten als jeweils neue Spezies.


title: Krebs (Medizin)

text: Die meisten Krebsforscher gehen vom sogenannten ‚Mehrschrittmodell‘ der Krebsentstehung aus. Das Mehrschrittmodell versucht die Krebsentwicklung ursächlich zu verstehen. Hierbei entspricht jeder einzelne Schritt einer bestimmten genetischen Veränderung. Jede dieser Mutationen wiederum treibt die stufenweise fortschreitende Verwandlung einer einzelnen normalen Zelle in hochmaligne Abkömmlinge voran (Maligne Transformation). Die eigentliche Malignität (Bösartigkeit) der entarteten Zelle wird in der Phase der Progression erreicht. Die Begriffe Promotion und Progression werden zunehmend vom Begriff der Co-Karzinogenese ersetzt.


title: Krebs (Medizin)

text: Das ältere sogenannte ‚Dreistufenmodell‘ gliedert die Krebsentstehung dagegen in Phasen: Initiation, Promotion und Progression. So soll die Jahre bzw. Jahrzehnte dauernde Latenzphase zwischen dem initialen DNA-Schaden, also der Transformation einer einzelnen Zelle, und dem nachweisbaren Tumor erklärt werden. Problematisch am Dreistufenmodell ist, dass die Begrifflichkeiten "Initiation", "Promotion" und "Progression" lediglich beschreiben und nicht die Ursache erklären.


title: Krebs (Medizin)

text: Die monoklonale Theorie der Krebsentstehung geht davon aus, dass alle Tumorzellen gleich sind, d. h. sofern sie zur Teilung in der Lage sind, können sie jederzeit Ausgangspunkt neuer Tumoren werden. Das Stammzellenmodell beschreibt dagegen eine Hierarchie: aus wenigen Krebsstammzellen leiten sich die normalen Krebszellen ab, die den Tumor durch häufige Teilung vergrößern. Solche Stammzellen könnten erklären, warum Chemo- oder Strahlentherapien einen bestehenden Tumor zunächst verschwinden lassen, es aber dennoch nach einiger Zeit zum Wiederauftauchen der Tumoren kommt: Da sich die Stammzellen deutlich seltener teilen als Tumorzellen, sind sie auch durch die meisten Chemotherapien weniger verwundbar. Aus den verbleibenden Stammzellen würden dann neue, sich schnell teilende Tumorzellen gebildet. Inwieweit solche Tumorstammzellen existieren und ob sie trotz Resistenz gegenüber bisherigen Behandlungsansätzen eliminiert werden können, ist Gegenstand der aktuellen Forschung.


title: Krebs (Medizin)

text: Im Jahr 2009 gab es erste Hinweise solcher Resistenzen bei Brustkrebsstammzellen. 2012 lieferten einige Forschungsarbeiten unabhängig voneinander weitere Hinweise auf Stammzellen bei gutartigen Tumoren von Haut und Darm, aber auch bei Glioblastomen, einem bösartigen Gehirntumor.


title: Krebs (Medizin)

text: Eine neue Theorie des Krebsforschungspioniers Robert Weinberg vergleicht das Verhalten von Tumoren und Embryonen (siehe auch den Abschnitt Historische Annahmen). Eine befruchtete menschliche Eizelle (Zygote) bzw. der Embryo wird nicht von der Gebärmutterschleimhaut passiv versorgt, sondern nistet sich aktiv durch Invasion in ihr ein und lockt mit bestimmten Faktoren kleine Blutgefäße zur Versorgung an. Danach teilt sich die Zygote/der Embryo sehr häufig und vermehrt sich so exponentiell. Genau diese drei Verhaltensweisen kennzeichnen erstaunlicherweise eine invasive metastasierende Krebszelle. Da Krebszellen bekanntermaßen embryonale Gene reaktivieren (z. B. für das Alpha-1-Fetoprotein), liegt der Schluss nahe, dass Krebs aus Körper- oder adulten Stammzellen entsteht (s. o.), die durch Fehlsteuerung ein früheres Entwicklungsstadium wiederholen, wenn auch völlig unreguliert. Daher sind maligne Tumoren, d. h. Sarkome und Karzinome, sehr wahrscheinlich auf Säugetiere beschränkt, da nur sie die embryonalen Invasionsgene besitzen.


title: Krebs (Medizin)

text: 1902 schrieb John Beard, dass Krebszellen trophoblastischen Embryonalzellen gleichen. Zu Beginn einer Schwangerschaft sorgten diese Zellen dafür, dass sich der Embryo in der Gebärmutter einnisten könne. Das Wachstum sei aggressiv und chaotisch. Die Zellen teilten sich schnell und gewinnen ihre Energie aus der Zuckergärung. Sie unterdrückten das Immunsystem der Mutter und produzierten humanes Choriongonadotropin (hCG), das mittlerweile als Tumormarker anerkannt ist. Die Wucherung stoppt erst, wenn der Embryo ab der siebten Woche Pankreasenzyme erzeugt. Ohne diese Enzyme entstünde der bösartigste Tumor, das Chorionkarzinom. Die Annahme, dass Krebstumoren Energie aus der Zuckergärung gewinnen (d. h. der Tumor würde anaerob leben), war die Basis für viele überholte Behandlungsmethoden.


title: Krebs (Medizin)

text: Im Jahr 1908 entdeckten Vilhelm Ellermann (1871–1924) und Oluf Bang (1881–1937) ein Virus, das Leukämie in Hühnern verursachte.


title: Krebs (Medizin)

text: Francis Peyton Rous war es dann, der 1911 aus einem Muskeltumor mit der hohen Filterfeinheit von 120 Nanometern einen Extrakt filterte, mit dem er wieder Krebs erzeugen konnte. Er vermutete in diesem Extrakt ein Virus. 1966 erhielt Rous für diese Entdeckung des Rous-Sarkom-Virus (RSV) den Nobelpreis.


title: Krebs (Medizin)

text: Entsprechend der oben beschriebenen Theorie sind vor allem Einflüsse, die das Erbgut verändern, krebserregend. Besonders empfindlich dafür ist die Zelle während der Zellteilung; daher sind Zellen, die sich schnell teilen, besonders anfällig. Der Großteil der Krebsarten, 90–95 % der Fälle, wird durch Umweltfaktoren ausgelöst. Auch Einflüsse, die das Immunsystem daran hindern, entartete Zellen zu erkennen und zu beseitigen, gelten als krebsfördernd. Besonders gefährlich sind demnach:


title: Krebs (Medizin)

text: Mit Stand 2022 schätzt die Europäische Umweltbehörde, dass 10 % aller Krebsfälle auf die Folgen von Umweltverschmutzung (draußen und am Arbeitsplatz) zurückzuführen sind.


title: Krebs (Medizin)

text: Die Folgen bösartigen Tumorwachstums für den Organismus sind sehr vielfältig und bei jedem Patienten individuell sehr unterschiedlich ausgeprägt. Tumorwachstum kann einerseits unmittelbar zu lokalen Wirkungen im Nachbargewebe führen. Andererseits können Tumoren auch systemische (den gesamten Organismus betreffende) Wirkungen verursachen. Entscheidend für den Krankheitsverlauf ist häufig die Ausbildung von Tochtergeschwülsten, die ihrerseits in den betroffenen Organen zu einer Reihe von Funktionsstörungen führen können.


title: Krebs (Medizin)

text: Wenn Tumoren wachsen, können sie das gesunde Nachbargewebe verdrängen, ohne es zu zerstören, oder aber zerstörend in das Nachbargewebe einwachsen (invasiv-destruierendes Wachstum). Beide Formen des Wachstums können zu lokalen Komplikationen führen. So kann beispielsweise durch expansives Wachstum ein blutführendes Gefäß komprimiert werden. Die in der Folge auftretende Durchblutungsstörung des abhängigen Gewebes kann dazu führen, dass dieses Gewebe abstirbt (Nekrose). Infiltrierend-destruierendes Wachstum kann beispielsweise in Hohlorganen wie dem Darm durch Zerstörung des Gewebes zu Durchbrüchen (Perforationen) und Fistelungen führen. Tumorfisteln führen häufig durch Infektionen zu weiteren Komplikationen. Bei Lungenkrebs, Brustkrebs und anderen Tumoren im Brustkorb kann es durch ein Exsudat zu einem Pleuraerguss kommen.


title: Krebs (Medizin)

text: Tumoren können auf unterschiedliche Weise den gesamten Organismus beeinflussen. Vom Primärtumor ausgehende Tochtergeschwulste können sich in anderen Organen ansiedeln und hier durch lokales Wachstum Gewebe zerstören und zu Funktionsstörungen führen. Bei vielen Patienten kommt es im Laufe der Krebserkrankung zu einem allgemeinen Kräfteverfall und Gewichtsverlust (Tumorkachexie, "Auszehrung"). Zu den systemischen Wirkungen von Tumoren werden auch sogenannte paraneoplastische Syndrome gerechnet. Hierbei kommt es zu charakteristischen Symptomen in verschiedenen Organsystemen, die letztlich durch den Tumor verursacht werden. Beispielsweise kann ein Lungenkrebs zu einer Störung der hormonellen Regulation des Wasserhaushalts führen (Schwartz-Bartter-Syndrom).


title: Krebs (Medizin)

text: Die meisten Patienten sterben nicht am Primärtumor, sondern an den Auswirkungen von dessen Metastasen. Deren unkontrollierte Vermehrung schädigt lebenswichtige Organe, bis diese ihre Funktion nicht mehr erfüllen können. Häufige unmittelbare Todesursachen sind Gefäßverschlüsse (Embolien), Tumorkachexie oder vom Organismus nicht mehr beherrschbare Infektionen (Sepsis, "Blutvergiftung").


title: Krebs (Medizin)

text: Tumorpatienten haben zum Teil Symptome oder Erkrankungen, die nicht unmittelbar von Tumorzellen ausgelöst werden, aber mit dem Tumorleiden in Verbindung stehen. Paraneoplasien verschwinden in der Regel, wenn der Tumor vollständig geheilt ist. Gelegentlich tritt die Paraneoplasie vor der Entdeckung des Primärtumors auf. Hier einige Beispiele von Paraneoplasien:


title: Krebs (Medizin)

text: Bösartige (maligne) Tumoren unterscheiden sich von gutartigen (benignen) Tumoren durch drei Kennzeichen: Sie wachsen


title: Krebs (Medizin)

text: Die Stadieneinteilung erfolgt bei malignen Tumoren nach der internationalen TNM-Klassifikation. Dabei steht T0 bis T4 für die Ausdehnung des Primär-Tumors, N0 bis N3 für den Lymphknotenbefall (englisch Node) und M0 bzw. M1 für das Fehlen oder Vorhandensein von Fern-Metastasen.


title: Krebs (Medizin)

text: Daneben werden noch "semimaligne" Tumoren und fakultative bzw. obligate Präkanzerosen unterschieden. Semimaligne Tumoren erfüllen nur zwei der genannten Kriterien, Präkanzerosen sind Gewebsveränderungen, die mit erhöhter Wahrscheinlichkeit zu malignen Tumoren entdifferenzieren können, aber noch nicht infiltrierend oder gar metastasierend gewachsen ist.


title: Krebs (Medizin)

text: Der häufigste semimaligne Tumor ist das Basaliom, ein Tumor der Basalzellschicht vor allem der sonnenexponierten Haut, der infiltrierend und destruierend wächst, allerdings nicht metastasiert. Unbehandelt kann der Tumor beispielsweise das gesamte Gesicht einschließlich der Gesichtsknochen zerstören.


title: Krebs (Medizin)

text: Die weitaus häufigste Präkanzerose ist die zervikale intraepitheliale Neoplasie, eine Wucherung des Gebärmutterhalses, deren Zellen zellbiologisch Zeichen der Malignität aufweisen, allerdings vom Gewebe her noch nicht infiltriert, destruiert oder metastasiert haben. Zur Vorsorge wird Frauen der jährliche Gebärmutterabstrich nach Papanicolaou, auch PAP-Abstrich genannt, empfohlen, da Präkanzerosen sich deutlich besser behandeln lassen.


title: Krebs (Medizin)

text: Krebstumoren werden nach dem Typ des entarteten Gewebes klassifiziert. Den weitaus größten Teil aller Krebserkrankungen machen Karzinome aus, also Tumoren, die von Epithel ausgehen. Diese werden nochmals differenziert in Plattenepithel- oder squamöse Karzinome, die sich von verhornter und unverhornter (Schleim-)Haut ableiten, und Adenokarzinome, welche sich vom Drüsenepithel ableiten und je nach Ursprung und Aufbau weiter differenziert werden. Vom Übergangsgewebe ausgehende Karzinome werden als Urothelkarzinome bezeichnet und sind unter anderem für den Blasenkrebs typisch. Eine weitere große Gruppe sind die hämatologischen Krebsformen des Blutes und der blutbildenden Organe, die sich in Leukämien und Lymphome, auch „Lymphdrüsenkrebs“ genannt, unterteilen lassen. Daneben gibt es seltenere bösartige Tumoren, wie die vom Stütz- und Bindegewebe ausgehenden Sarkome, neuroendokrine Tumoren wie das Karzinoid oder von embryonalem Gewebe ausgehende Teratome (vor allem der Keimdrüsen).


title: Krebs (Medizin)

text: Die Internationale statistische Klassifikation der Krankheiten und verwandter Gesundheitsprobleme (ICD-10) klassifiziert maligne Tumoren nach ihrer Lokalisation.


title: Krebs (Medizin)

text: Qualitativ hochwertige Daten zur Krebsinzidenz weltweit werden seit den 1960er Jahren gesammelt und von der Internationalen Agentur für Krebsforschung (IARC), einer Organisation der Weltgesundheitsorganisation (WHO), veröffentlicht. Die WHO veröffentlicht für ausgewählte Länder zudem Daten zur Krebsmortalität. Etwa für ein Sechstel der Weltbevölkerung liegen Daten zur Inzidenz vor, für ein Drittel Daten zur Mortalität. In Deutschland veröffentlicht das Robert Koch-Institut zusammen mit der Gesellschaft der epidemiologischen Krebsregister in Deutschland e. V. (GEKID) alle zwei Jahre den Bericht "Krebs in Deutschland". 2015 erschien die 10. Ausgabe mit Daten bis zum Jahr 2012. In der Schweiz erscheint alle fünf Jahre ein Bericht, 2016 die zweite Ausgabe.


title: Krebs (Medizin)

text: Die Zahl der diagnostizierten Krebserkrankungen steigt weltweit an. Die WHO gibt für 2012 an, dass 14,1 Millionen Menschen an Krebs erkrankt sind – 11 Prozent mehr als im Jahr 2008. Die Anzahl der Krebstoten stieg im gleichen Zeitraum um 8 Prozent auf 8,2 Millionen. In der Schweiz wie in den westlichen entwickelten Ländern beruht der Anstieg auf der demografischen Alterung der Bevölkerung.


title: Krebs (Medizin)

text: Gleichzeitig fallen Inzidenz und Mortalität der meisten Krebsarten (inklusive Lunge, Darm, Brust und Prostata) in den Vereinigten Staaten (USA) und den meisten westlichen Ländern. „Wir beobachten seit 15 Jahren, dass die Krebssterblichkeit in den USA und Deutschland sinkt“, sagt Nikolaus Becker vom Deutschen Krebsforschungszentrum in Heidelberg. Den größten Anteil am Erfolg schreibt die US-Statistik der Darmkrebsfrüherkennung zu. Bei Männern sinkt die Lungenkrebs-Rate, weil sie weniger rauchen.


title: Krebs (Medizin)

text: In einigen Entwicklungs- und Schwellenländern steigen die Erkrankungsraten jedoch aufgrund der Übernahme eines ungesunden Lebenswandels (Rauchen, mangelnde körperliche Aktivität, Konsum energiedichter Nahrungsmittel). In ein paar dieser Länder liegen beispielsweise die Lungen- und Darmkrebsraten bereits über denen der Vereinigten Staaten. Entwicklungsländer sind jedoch immer noch überproportional von infektiösen Krebsarten betroffen (Gebärmutterhals, Leber, Magen).


title: Krebs (Medizin)

text: Statistisch gesehen entwickelt jeder dritte Europäer im Laufe seines Lebens Krebs. In Deutschland erkranken etwa 395.000 Menschen jährlich an Krebs, davon rund 195.000 Frauen und 200.000 Männer. Die meisten Fälle treten im Alter von über 60 Jahren auf. Die unter 60-Jährigen machen mit etwa 107.000 Fällen nur rund ein Viertel der Krebs-Neuerkrankungen aus. Einer US-Studie zufolge sterben weltweit jeden Tag etwa 20.000 Menschen an den Folgen einer Krebserkrankung. 2007 gab es demnach etwa 7,6 Millionen Tote durch Krebs – davon 4,7 Millionen in Entwicklungsländern. Die Gesamtzahl aller jährlich weltweit neudiagnostizierten Krebserkrankungen wird dieser Quelle nach mit 12,3 Millionen angegeben. Dies war die erste Schätzung dieser Art. Beim Tod durch die Folgen des Rauchens rechnen Forscher weiter mit steigenden Zahlen. Im 20. Jahrhundert sei der Tabakkonsum (vgl. Tabakrauch) Ursache für etwa 100 Millionen Todesfälle gewesen, im 21. Jahrhundert sei mit etwa einer Milliarde Toten zu rechnen.


title: Krebs (Medizin)

text: Jedes Jahr erkranken in Deutschland rund 1750 Kinder unter 15 Jahren an Krebs. Am häufigsten werden in dieser Altersgruppe Leukämien (34 Prozent), Tumoren des Gehirns (22 Prozent) und des Rückenmarks sowie Lymphknotenkrebs (12 Prozent) diagnostiziert. Jungen erkranken fast doppelt so häufig wie Mädchen. 5 Jahre nach der Diagnose leben noch 81 Prozent der Kinder, wenn sie sich behandeln lassen. In den 1950er Jahren waren es weniger als 10 Prozent. Nach fünf Jahren gelten die Kinder dann als geheilt. Diese Rate variiert zwischen 59 Prozent für die AML und 90 Prozent für die ALL bis zu 97 Prozent für das Retinoblastom. In der Schweiz erkranken jährlich etwa 250 Kinder und Jugendliche unter 16 Jahren an Krebs. In Österreich liegt dieser Wert jedes Jahr bei etwa 200 Kindern bis zum vollendeten 14. Lebensjahr und etwa 100 Jugendlichen (15 bis zum vollendeten 19. Lebensjahr). Rund 45 krebskranke Kinder und Jugendliche sterben jährlich in Österreich.


title: Krebs (Medizin)

text: Seit der Jahrtausendwende sind die 5-Jahres-Überlebensraten der meisten Krebserkrankungen gestiegen, mit großen Unterschieden zwischen einzelnen Ländern (Stand: 2018). Zu den Ländern mit den höchsten Krebsüberlebensraten zählen Südkorea, Japan, Israel, Australien und die Vereinigten Staaten.


title: Krebs (Medizin)

text: Die statistischen Zahlen für Deutschland ergeben für den Zeitraum von 2011 bis 2012 für alle Krebsarten eine relative 5-Jahres-Überlebensrate von 62 Prozent bei Männern und 67 Prozent bei Frauen. Nach dieser fünfjährigen Überlebenszeit ergibt sich für die Überlebenden sodann meistens eine durchschnittliche Lebenserwartung, die der von Gleichaltrigen der allgemeinen Bevölkerung entspricht. Nur bei sehr wenigen Krebsarten ist dies nicht der Fall, hier muss eine 10-Jahre-Frist abgewartet werden. Von allen Krebsheilungen werden ca. 90 % ausschließlich durch die lokal auf die Tumorregion gerichtete, sogenannte lokoregionäre Behandlung, also durch Operation und Strahlentherapie (»Stahl und Strahl«) erreicht.


title: Krebs (Medizin)

text: Sehr selten gibt es auch Spontanremissionen. Sie treten nur bei etwa 1:50.000–100.000 Fällen auf. Als Spontanremission bezeichnet man ein komplettes oder teilweises Verschwinden eines bösartigen Tumors in Abwesenheit aller Behandlungen oder mit Behandlungen, für die bisher kein Wirksamkeitsnachweis geführt werden konnte. Allerdings liegt die Wahrscheinlichkeit solcher Spontanremissionen unter der Wahrscheinlichkeit einer Fehldiagnose. Trotz intensiver Forschung gelingt es zurzeit nicht, gezielt Spontanremissionen therapeutisch zu induzieren.


title: Krebs (Medizin)

text: Viele Malignompatienten tauchen in Krebsstatistiken offenbar nicht auf. Oft werden bösartige Tumoren nur durch eine Sektion aufgedeckt. In Hamburg hat man die zwischen 1994 und 2002 am Institut für Rechtsmedizin durchgeführten Autopsien in Sachen Krebsdiagnose genauer untersucht. 8844 Sektionen gingen in die Auswertung ein. Bei 519 Toten (5,9 %) fand sich ein bösartiger Tumor. Nur 58 dieser Fälle waren dem Krebsregister gemeldet worden. Zwei Drittel der Malignome waren zu Lebzeiten bekannt, 27,2 % wurden erst bei der Sektion entdeckt. Bei gut der Hälfte war der Krebs die Todesursache. Selbst von den letalen Tumoren waren 17 % erst bei der Autopsie erkannt worden. Damit scheinen die Krebsregister, die ja auf zu Lebzeiten bekannten Tumorerkrankungen basieren, nicht exakt zu sein. In den Krebsstatistiken werden zudem – mit Ausnahme des malignen Melanoms – sämtliche Hautkrebserkrankungen nicht erfasst. Deshalb enthält beispielsweise das Krebsregister "Krebs in Deutschland" nicht die 171.000 Fälle von Neuerkrankungen mit weißem Hautkrebs (Spinaliom, Basaliom) in Deutschland.


title: Krebs (Medizin)

text: Krebs ist mit 500.000 Neuerkrankungen im Jahr ein zentrales Gesundheitsproblem in der Bundesrepublik, wie aus aktuellen Statistiken 2018/2019 hervorgeht. Etwa die Hälfte der deutschen Bevölkerung erkrankt nach Angaben der Stiftung Deutsche Krebshilfe im Rahmen ihres Lebens an einer von über 200 Tumor-Arten. Die häufigsten Neuerkrankungen sind Brustkrebs bei Frauen mit 71.900 Fällen und Prostatakrebs bei Männern mit 60.700 Neuerkrankungen im Jahr. Rund 2.000 Kinder und Jugendliche erkranken in der Bundesrepublik jedes Jahr neu an Krebs.


title: Krebs (Medizin)

text: Um einen Tumor erfolgreich behandeln zu können, müssen aus den vorhandenen Behandlungsmethoden die für den jeweiligen Tumor am wirkungsvollsten eingesetzt werden. Welche Methoden jedoch die wirkungsvollsten sind, hängt vom individuellen Tumor ab. Die etablierte Herangehensweise basiert auf der Identifikation der Herkunft des Tumors innerhalb des Körpers (klinische Diagnose inklusive ICD) und der pathologischen Befundung (histologische Diagnose). Aufgrund der Herkunft lässt sich dann anhand von Leitlinien (bei häufigen Krebserkrankungen) eine Therapie festlegen. Dabei geht man davon aus, dass Tumoren gleicher Herkunft sich ähnlich behandeln lassen. Für eher seltene Krebsformen fehlen häufig diese Leitlinien. Weitere Hilfen, die zu einer gezielteren Auswahl der Therapiemethoden führen kann, sind zusätzliche diagnostische Verfahren (Krebsdiagnostik oder Tumordiagnostik).


title: Krebs (Medizin)

text: Neben dem zurzeit etablierten Verfahren der Therapie nach der Herkunft des Tumors versucht man mittlerweile, die Tumoren noch weiter zu unterteilen. Die Auffassung, dass jeder Krebs seine eigene Tumorbiologie hat, hat sich dabei weitgehend durchgesetzt. Dabei hat man sich zum Ziel gesetzt, die Therapie auf jeden Patienten gezielt abzustimmen. Dieses Vorhaben der Therapieindividualisierung wird mit dem Schlagwort personalisierte Medizin bezeichnet.


title: Krebs (Medizin)

text: Auch wenn häufig eine vollständige Heilung nicht erreicht werden kann, ist in Betracht zu ziehen, dass bei einem 75-jährigen Krebspatienten eine Lebenszeitverlängerung von 1 oder 2 Jahren schon als ein sehr gutes Resultat zu betrachten ist (ältere Krebspatienten sterben oft an etwas anderem als am Krebs), während bei einer 45-jährigen Brustkrebspatientin erst eine "10-jährige" Rückfallfreiheit als „sehr gut“ bewertet wird, denn sie hat eigentlich noch eine deutlich höhere Lebenserwartung.


title: Krebs (Medizin)

text: Die unbefriedigende Heilungsrate bei bestimmten Tumorerkrankungen und die Nebenwirkungen der etablierten Behandlungsmethoden lösen oft Ängste und Verzweiflung bei den Betroffenen und deren Angehörigen aus. Dies führt unter Umständen zur Hinwendung zu unkonventionellen Behandlungsarten, denen in vielen Fällen der Nachweis der Wirksamkeit fehlt und deren Begründung meist einer naturwissenschaftlichen Überprüfung nicht standhält. Einige von ihnen werden als „Wunderheilung“ abgelehnt, andere hingegen als ergänzende Therapieverfahren auch von der evidenzbasierten Medizin akzeptiert. Der Verzicht auf konventionelle Verfahren zugunsten einer ausschließlich alternativen Therapie erhöht das Sterberisiko beträchtlich. Zu den alternativen Behandlungsmethoden gehört beispielsweise die Misteltherapie. Ein wissenschaftlich haltbarer Nachweis der Wirksamkeit wurde nicht erbracht.


title: Krebs (Medizin)

text: Völlig unabhängig davon sind eine Reihe erfolgreicher Zytostatika, wie beispielsweise Vincristin oder Paclitaxel, ursprünglich in Pflanzen gefunden worden. Diese Zytostatika sind aber hochrein und hochkonzentriert und deshalb nicht mit „Kräutertee“ oder ähnlichem zu vergleichen.


title: Krebs (Medizin)

text: Nahrungsergänzungsmittel sind keine Arzneimittel. Im Gegensatz zu Arzneimitteln, die ihre Wirksamkeit in Deutschland seit 1978 gemäß dem Arzneimittelgesetz nachweisen müssen, bevor eine Zulassung erfolgen kann, war dies bei Nahrungsergänzungsmitteln nicht der Fall. Sie unterliegen dem Lebensmittel- und Futtermittelgesetzbuch. Ein Nachweis auf Wirksamkeit muss gem. Verordnung EG Nr. 1924/2006 über nährwert- und gesundheitsbezogene Angaben bei Lebensmitteln neuerdings erbracht werden, wenn für das entsprechende Nahrungsergänzungsmittel mit einer Aussage geworben werden soll. Rechtlich gesehen dürfen solche Produkte sonst nicht mit krankheitsbezogenen Aussagen vertrieben werden. Dies wird jedoch – insbesondere bei über das Internet beworbenen Produkten – häufig unterlaufen.


title: Krebs (Medizin)

text: Gegen Alterung der Haut und Krebs gilt bei vielen Menschen die Einnahme von Vitaminpräparaten als Wunderheilmittel. Dass dies ein Irrglaube ist, stellen Forscher immer wieder fest. An der Universität in Göteborg wurden durch Martin Bergö Untersuchungen an Mäusen durchgeführt. Nach der Zugabe von Substanzen, die Antioxidantien wie ACE-Vitamine, Multivitamine, Selen oder andere Supplemente enthalten, verdoppelte sich die Metastasenrate. Untersuchungen an menschlichen Haut- und Lungenkrebszellen ergaben beinahe gleiche Ergebnisse. Die Forscher raten Krebspatienten zu einer gesunden Ernährung.


title: Krebs (Medizin)

text: Die US-amerikanische Arzneimittelbehörde FDA warnt beispielsweise auf ihrer Website vor dem Kauf von 125 Produkten von 23 Herstellern. Einige Hersteller, die unter anderem mit Slogans wie „heilt alle Krebsarten“ oder „wirkt gegen Krebszellen und schont gesundes Gewebe“ warben, wurden abgemahnt. Unter den aufgeführten Produkten befinden sich unter anderem „Heilpilze“, wie beispielsweise der Glänzende Lackporling (Reishi) oder der Brasilianische Mandelegerling ("Agaricus subrufescens"), Kräutertees wie Essiac, Vitamine und Mineralstoffe.


title: Krebs (Medizin)

text: Auf internationaler Ebene befasst sich die Organisation "Concerted Action for Complementary and Alternative Medicine for Cancer (CAM-Cancer)" mit den Methoden und Mitteln der Alternativ-/Komplementärmedizin zur Behandlung von Krebs und veröffentlicht Fachinformationen auf ihrer Website.


title: Krebs (Medizin)

text: Zu den angeblichen Krebstherapien, deren Wirksamkeit widerlegt wurde oder mangels valider wissenschaftlicher und medizinischer Erkenntnisse umstritten ist, zählen u. a.:


title: Krebs (Medizin)

text: Die Rehabilitation ist sinnvoll, um zusätzliche gesundheitliche Beeinträchtigungen möglichst gering zu halten, die Erwerbsfähigkeit wiederherzustellen und die Lebensqualität trotz der Erkrankung zu erhalten. Die Stiftung Deutsche Krebshilfe und die Deutsche Krebsgesellschaft haben ihre gemeinsame Informationsarbeit verstärkt, um die Betroffenen über Rehabilitation zu informieren. Die Zahl der Anträge auf onkologische Rehabilitation ist seit 2011 rückläufig. Etwa 40 Prozent der Krebserkrankten in Deutschland befinden sich im erwerbstätigen Alter. Dennoch beantragen viele Krebspatienten keine Leistungen, die ihre Arbeitsfähigkeit wiederherstellen oder stabilisieren, obwohl das durchaus sinnvoll wäre.


title: Krebs (Medizin)

text: Für die immer häufigere Nichtinanspruchnahme von Rehabilitationsleistungen gibt es unterschiedliche Gründe: Noch vor einigen Jahren folgte nach Abschluss der Akutbehandlung eines Krebspatienten mehr oder weniger „automatisch“ eine medizinische Rehabilitationsmaßnahme. Zahlreiche stationäre Akutbehandlungen werden ambulant weitergeführt. Eine Anschlussheilrehabilitation (AHB), die sich unmittelbar oder spätestens nach 14 Tagen an die stationäre Behandlung anschließt, könnte somit häufig nicht mehr direkt und unkompliziert durch den Kliniksozialdienst eingeleitet werden. Die Betroffenen müssen daher selbst einen entsprechenden Antrag bei dem zuständigen Rehabilitationsträger stellen. Aus Studien zu dieser Thematik ist bekannt, dass Informationsdefizite sowohl mit Blick auf die Zugangswege als auch den Nutzen einer Maßnahme für die rückläufige REHA-Inanspruchnahme verantwortlich sind. Mit einer Intensivierung der Informationsarbeit versucht die Deutsche Krebshilfe Krebskranke und ihre Familien zu motivieren, eine Rehabilitation durchzuführen. Die Krebshilfe hat dazu ihre Informationsreihe Die Blauen Ratgeber ergänzt.


title: Krebs (Medizin)

text: Studien zeigen, dass auch bei Krebserkrankungen der Patient selbst und sein Umfeld zum Erfolg der Behandlung beitragen können. Dabei spielt eine Rolle, wie gut Patienten über ihre Erkrankung informiert sind (Gesundheitskompetenz). Viele Krebspatienten fühlen sich laut einer Studie der Mayo-Klinik allerdings schlecht informiert über ihre Erkrankung, über diagnostische Methoden, die richtige Ernährung, Stressbewältigung und über den Umgang mit Nebenwirkungen. Das Patienten-Empowerment soll diesem Umstand entgegenwirken.


title: Krebs (Medizin)

text: Übernehmen Patienten eine aktive Rolle und suchen selbst nach Möglichkeiten, die Therapie zu unterstützen und ihre Lebensqualität zu erhöhen, spricht man von Self-Empowerment. Gut informierte Patienten können aktiv in medizinische Entscheidungen mit einbezogen werden, was die Chancen für eine erfolgreiche Behandlung verbessert. Auch ein intaktes soziales Umfeld bei Krebspatienten kann zum Behandlungserfolg bis zu einem gewissen Grad mit beitragen. Es hilft, die Lebensqualität zu erhöhen und die Krankheit besser zu bewältigen.


title: Krebs (Medizin)

text: Personen, die an Krebs erkrankt sind, sind gegenüber Infektionserregern besonders anfällig, da die Abwehrleistung ihres Immunsystems geschwächt ist. Außerdem können zur Behandlung u. a. immunsuppressive Medikamente zum Einsatz kommen, welche z. B. die Ausbreitung von Tumoren oder Abstoßungsreaktionen im Falle einer Organtransplantation hemmen sollen. Diese Unterdrückung des Immunsystems verringert den Schutz gegen Krankheitserreger zusätzlich. In der Folge erkranken Krebspatienten sowohl häufiger als auch durchschnittlich schwerer an opportunistischen Infektionen als immungesunde Personen. Eine deutsche Studie ergab beispielsweise für Kinder und Erwachsene mit Hochrisikofaktoren wie Immunsuppression eine bis zu 4,1-mal höhere Häufigkeit für Pneumonien im Vergleich zur Allgemeinbevölkerung. Eine häufige Ursache für Pneumonien ist eine Infektion mit Pneumokokken "(Streptococcus pneumoniae)". Wie auch weitere Infektionskrankheiten ist die Pneumokokken-Infektion impfpräventabel.


title: Krebs (Medizin)

text: Die Ständige Impfkommission (STIKO) am Robert Koch-Institut (RKI) kategorisiert onkologische Patienten als Risikogruppe für Infektionskrankheiten und empfiehlt, die altersentsprechenden Standardimpfungen zu vervollständigen und zu aktualisieren. Zusätzlich hat die STIKO gemeinsam mit einigen medizinischen Fachgesellschaften Anwendungshinweise zu Indikationsimpfungen für immundefiziente Personen erarbeitet. Dabei gilt: Je stärker die immunsuppressive Wirkung der zugrundeliegenden Erkrankung bzw. der durchgeführten Therapie, desto dringlicher sollte der Impfschutz aufgefrischt werden. Totimpfstoffe, wie zum Beispiel gegen Influenza, Herpes Zoster, Pneumokokken und Meningokokken der Gruppen ACWY und B, enthalten entweder inaktivierte Erreger oder Bestandteile dieser und sind nicht infektiös. Totimpfstoffe gelten als gut verträglich für immungeschwächte Personen, da hierbei im Regelfall kein erhöhtes Risiko für Impfnebenwirkungen besteht.


title: Krebs (Medizin)

text: Lebendimpfstoffe, z. B. gegen Mumps-Masern-Röteln, Varizellen oder Rotaviren, enthalten abgeschwächte (attenuierte) Erreger, und sind beim immundefizienten Patienten häufig kontraindiziert. Daher sollten Krebspatienten aufgrund möglicher Komplikationen nur nach individueller Risiko-Nutzen-Abschätzung und in enger Absprache mit den onkologisch betreuenden Medizinern mit Lebendimpfstoffen immunisiert werden. Zu den typischen Reiseimpfungen gehören auch Lebendimpfstoffe wie z. B. gegen Gelbfieber. Daher empfiehlt sich gegebenenfalls die frühzeitige Kontaktaufnahme zu einem Reisemediziner. Vor Beginn einer immunmodulativen Therapie kann gegebenenfalls eine Impfanamnese bzgl. vorangegangener oder geplanter Impfungen erhoben werden.


title: Krebs (Medizin)

text: Die Impfeffektivität neu durchgeführter Impfungen kann bei Personen mit Immundefizienz teilweise eingeschränkt sein oder kürzer anhalten als bei immungesunden Personen. Für einen optimalen Impferfolg sollte daher nach jeder Impfung die Immunantwort mit einer Blutanalyse kontrolliert und gegebenenfalls mit einer Wiederholungsimpfung aufgefrischt werden. Da krebserkrankte Personen manche Impfungen nicht erhalten können, sollten direkte Kontaktpersonen als Infektionsprävention vollständig gemäß den STIKO-Empfehlungen geimpft werden.


title: Krebs (Medizin)

text: Bei den meisten Krebserkrankungen erhöht eine Früherkennung die Überlebensrate, wie bei Darmkrebs, Gebärmutterhalskrebs, Brustkrebs und Prostatakrebs. Nur bei einigen wenigen Krebsarten – beispielsweise beim Lungenkrebs – ist die Früherkennung bislang ineffektiv. Unbehandelt wächst der maligne Tumor so lange, bis das Organ bzw. der Körper funktionsunfähig wird. Da die Gefahr einer Krebserkrankung für eine Bevölkerung schwankt, wird für jede Generation und jedes Land das individuelle Krebsrisiko regelmäßig aufs Neue bestimmt. Das individuelle Krebsrisiko hängt zum Beispiel ab


title: Krebs (Medizin)

text: Je eher ein Krebs erkannt wird, desto besser die Heilungsaussichten. Wenn sie früher erkannt werden, lassen sich mehr Krebserkrankungen heilen, und sie lassen sich leichter mit kleineren Eingriffen, kleinerem Aufwand oder kleineren Nebenwirkungen heilen. Nicht jede Früherkennung bietet nur Vorteile (siehe auch Screening):


title: Krebs (Medizin)

text: Für Männer werden beispielsweise regelmäßige Untersuchungen des Arztes auf Blut im Stuhl und das Abtasten der Prostata (siehe Prostatakrebs) durchgeführt, für Frauen ein Abstrich vom Gebärmutterhals (systematische Früherkennungsuntersuchung auf Gebärmutterhalskrebs) und Mammographie-Vorsorgeuntersuchungen (ab 50 Jahren) vorgenommen. Auch mittels genetischer Untersuchungen ist es möglich, bestimmte Krebsarten bereits im Frühstadium zu erkennen. Dieses Verfahren wird in der Praxis jedoch selten angewandt, da die Konzentrationen an Biomarkern des Tumors zu Beginn gering und näher an der Nachweisgrenze der Untersuchungsmethoden sind, wodurch falsch-negative Ergebnisse entstehen können.


title: Krebs (Medizin)

text: Viele Krebserkrankungen werden diagnostiziert, wenn Patienten aufgrund von selbst erkannten Veränderungen zum Arzt gehen. Typische Anzeichen einer Krebserkrankung sind:


title: Krebs (Medizin)

text: Jede Selbstuntersuchung ist mit einem recht großen Fehlerrisiko behaftet. Knötchen in der Brust können harmlos sein, andererseits können Laien bösartige Brusttumoren erst ertasten, wenn sie eine bestimmte Größe (und somit ein höheres Tumorstadium) erreicht haben – und mit hoher Wahrscheinlichkeit schon metastasiert sind.


title: Satz des Pythagoras

text: Der Satz des Pythagoras (auch Hypotenusensatz) ist einer der fundamentalen Sätze der euklidischen Geometrie. Er besagt, dass in allen ebenen rechtwinkligen Dreiecken die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates ist. Sind formula_1 und formula_2 die Längen der am rechten Winkel anliegenden Seiten, der Katheten, und formula_3 die Länge der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite, der Hypotenuse, dann lautet der Satz als Gleichung ausgedrückt:


title: Satz des Pythagoras

text: Der Satz ist nach Pythagoras von Samos benannt, der als Erster dafür einen mathematischen Beweis gefunden haben soll, was allerdings in der Forschung umstritten ist. Die Aussage des Satzes war schon lange vor der Zeit des Pythagoras in Babylon und Indien bekannt, es gibt jedoch keinen Nachweis dafür, dass man dort auch einen Beweis hatte.


title: Satz des Pythagoras

text: In geometrischer Deutung ist demnach in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Flächen der beiden Quadrate über den Katheten gleich der Fläche des Quadrats über der Hypotenuse.


title: Satz des Pythagoras

text: Eng verwandt mit dem Satz des Pythagoras sind der Höhensatz und der Kathetensatz. Diese beiden Sätze und der Satz des Pythagoras bilden zusammen die Satzgruppe des Pythagoras. Der unten beschriebene Kosinussatz ist eine Verallgemeinerung des pythagoreischen Satzes.


title: Satz des Pythagoras

text: Aus dem Satz des Pythagoras folgt direkt, dass die Länge der Hypotenuse gleich der Quadratwurzel aus der Summe der Kathetenquadrate ist, also


title: Satz des Pythagoras

text: Eine einfache und wichtige Anwendung des Satzes ist, aus zwei bekannten Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks die dritte zu berechnen. Dies ist durch Umformung der Gleichung für alle Seiten möglich:


title: Satz des Pythagoras

text: Die Umkehrung des Satzes kann dazu verwendet werden, zu überprüfen, ob ein gegebenes Dreieck rechtwinklig ist. Dazu wird getestet, ob die Gleichung des Satzes für die Seiten bei dem gegebenen Dreieck zutrifft. Es reicht also allein die Kenntnis der Seitenlängen eines gegebenen Dreiecks, um daraus zu schließen, ob es rechtwinklig ist oder nicht:


title: Satz des Pythagoras

text: Aus dem Satz des Pythagoras folgt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse länger als jede der Katheten und kürzer als deren Summe ist. Letzteres ergibt sich auch aus der Dreiecksungleichung.


title: Satz des Pythagoras

text: Sind formula_1 und formula_2 die Längen der Katheten und formula_29 die Länge der Höhe auf der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck formula_30, dann sind formula_31 und formula_32 die Kathetenlängen und formula_33 die Hypotenusenlänge eines zu formula_30 ähnlichen rechtwinkligen Dreiecks formula_35.


title: Satz des Pythagoras

text: Wegen der Rechtwinkligkeit gilt für die Flächenmaßzahl des Dreiecks ABC die Gleichheit formula_37 oder formula_38.


title: Satz des Pythagoras

text: Durch Division der Pythagorasgleichung auf beiden Seiten durch formula_39 und Einsetzen von formula_40 für formula_3 ergibt sich die Aussage des Satzes aus folgender Äquivalenzkette:


title: Satz des Pythagoras

text: Unter allen Dreiergruppen formula_43, die die Gleichung formula_4 erfüllen, gibt es unendlich viele, bei denen formula_1, formula_2 und formula_3 jeweils ganze Zahlen sind. Diese Dreiergruppen werden pythagoreische Tripel genannt. Das einfachste dieser Tripel besteht aus den Zahlen formula_19, formula_20 und formula_21. Pythagoreische Tripel werden seit alters her zur Konstruktion rechtwinkliger Dreiecke verwendet. Ein Beispiel ist die Zwölfknotenschnur, mit der ein Dreieck gelegt wird, dessen Seiten die Längen formula_19, formula_20 und formula_21 haben. Die beiden kurzen Seiten bilden dann einen rechten Winkel.


title: Satz des Pythagoras

text: Der große fermatsche Satz besagt, dass die formula_54-te Potenz einer Zahl, wenn formula_55 ist, nicht als Summe zweier Potenzen des gleichen Grades dargestellt werden kann. Gemeint sind ganze Grundzahlen formula_56 und natürliche Hochzahlen. Allgemein gesprochen bedeutet dies:


title: Satz des Pythagoras

text: Das ist erstaunlich, weil es für formula_60 unendlich viele Lösungen gibt. Für formula_61 sind dies die pythagoreischen Zahlentripel.


title: Satz des Pythagoras

text: Der Satz von Pythagoras liefert eine Formel für den Abstand zweier Punkte in einem kartesischen Koordinatensystem. Sind zwei Punkte formula_62 und formula_63 in einer Ebene gegeben, dann ist ihr Abstand formula_3 durch


title: Satz des Pythagoras

text: gegeben. Hierbei wird ausgenutzt, dass die Koordinatenachsen senkrecht zueinander liegen. Diese Formel kann auch auf mehr als zwei Dimensionen erweitert werden und liefert dann den euklidischen Abstand. Zum Beispiel gilt im dreidimensionalen euklidischen Raum


title: Satz des Pythagoras

text: Für den Satz sind mehrere hundert Beweise bekannt, womit er wohl der meistbewiesene mathematische Satz ist. Elisha Scott Loomis führt in einem zuerst 1927 erschienenen Buch 371 Beweise auf. Mario Gerwig führt in einer Überarbeitung und Ergänzung der Loomis-Sammlung rund 365 verschiedene Beweise auf, wobei er Loomis rund 360 Beweise zuordnet und eine ganze Reihe von Fehlern, darunter auch der Aufnahme offensichtlich falscher Beweise. Exemplarisch werden im Folgenden sechs geometrische Beweise vorgestellt. Ein siebter Beweis aus dem Jahr 1875 von James A. Garfield findet sich unter Beweis des Satzes des Pythagoras nach Garfield, der dem "Beweis durch Ergänzung" stark ähnelt.


title: Satz des Pythagoras

text: Euklid beschreibt den Satz des Pythagoras mit dem folgenden Beweis im ersten Buch seiner Elemente in der Proposition 47. Dort beweist er zunächst den Kathetensatz mit Hilfe kongruenter Dreiecke, aus welchem dann unmittelbar der Satz des Pythagoras folgt. Er benutzt nicht die Theorie der Proportionen, die Euklid im Buch 5 der Elemente entwickelt, sondern kommt allein mit den Sätzen des ersten Buches der Elemente aus und ist von konstruktiver Natur.


title: Satz des Pythagoras

text: Für ein Dreieck formula_30 mit rechtem Winkel in formula_68 sind formula_69 und formula_70 die Quadrate über den Katheten und formula_71 der Fußpunkt der Höhe von formula_68 auf formula_73. Des Weiteren sind formula_74 und formula_75 Rechtecke über der Hypotenuse formula_73 deren längere Seite formula_77 die Länge der Seite formula_73 besitzt. Nun sind die Dreiecke formula_79 und formula_80 nach dem zweiten Kongruenzsatz (SWS) kongruent, da formula_81, formula_82 und formula_83 gilt. Zudem gilt, dass die Fläche des Dreiecks formula_79 die Hälfte der Fläche des Rechtecks formula_74 beträgt, da dessen Grundseite formula_73 und die Rechteckseite formula_87 gleich lang sind und die Länge seiner Höhe von formula_68 der Länge der anderen Rechteckseite entspricht. Aufgrund eines entsprechenden Arguments folgt, dass die Fläche des Dreiecks formula_80 der Hälfte der Fläche des Kathetenquadrates formula_70 entspricht. Wegen der Kongruenz der Dreiecke formula_79 und formula_80 bedeutet dies aber, dass dann auch das Kathetenquadrat formula_70 flächengleich mit dem Rechteck formula_74 ist. Analog lässt sich mit Hilfe der kongruenten Dreiecke formula_95 und formula_96 zeigen, dass das zweite Kathetenquadrat formula_69 flächengleich mit dem Rechteck formula_75 ist. Damit hat man den Kathetensatz bewiesen. Der Satz des Pythagoras folgt dann sofort, da das Hypotenusenquadrat sich aus den Rechtecken formula_74 und formula_75 zusammensetzt.


title: Satz des Pythagoras

text: Es gibt noch einen weiteren Beweis des Satzes von Pythagoras in den Elementen in Buch 6, Proposition 31 (siehe unten). Er benutzt statt Quadraten zueinander ähnliche Rechtecke auf den drei Seiten, ist formal einfacher als der Beweis im ersten Buch durch Verwendung der Theorie der Proportionen, die erst von Eudoxos von Knidos streng begründet wurde. Pythagoras kann beide Beweise aller Wahrscheinlichkeit nach nicht gekannt haben, da sie einem fortgeschritteneren Verständnis der Geometrie entsprechen Proklos schrieb die Beweise in seinem Kommentar zu den Elementen explizit Euklid zu und drückte seine Bewunderung für beide Beweise aus.


title: Satz des Pythagoras

text: Euklid gibt in der letzten Proposition 48 von Buch 1 zusätzlich eine Umkehrung des Satzes von Pythagoras, indem er zeigt, dass aus der Gleichheit der Fläche des Hypotenusenquadrats mit der der Summe der Kathetenquadrate folgt, dass einer der Winkel des Dreiecks ein rechter Winkel ist.


title: Satz des Pythagoras

text: Der erste Beweis (I, 47) wird wegen der Form der Hilfslinien in der zugehörigen Figur im englischen Sprachraum gelegentlich auch "windmill" (Windmühle) genannt, Arthur Schopenhauer nahm den ersten Beweis von Euklid als Beispiel für dessen in seiner Sicht willkürliche und wenig anschauliche Vorgehensweise ("„Oft werden, wie im Pythagoreischen Lehrsatze, Linien gezogen, ohne dass man weiss warum: hinterher zeigt sich,dass es Schlingen waren, die sich unerwartet zuziehen“", und so die Zustimmung Lernenden erzwingen, "„der nun verwundert zugeben muß , was ihm seinem inneren Zusammenhang nach völlig unbegreiflich bleibt“") Felix Klein verteidigte den Beweis dagegen in einer Erwiderung auf Schopenhauers Kritik als besonders anschaulich und demonstrierte dies in seiner "Elementarmathematik vom höheren Standpunkt".


title: Satz des Pythagoras

text: Der in den beiden nebenstehenden Bildern auf unterschiedlicher Weise verdeutlichte "Beweis durch Addition abgeleiteter Flächeninhalte", stammt aus dem chinesischen Werk Zhoubi suanjing, übersetzt "Klassische Arithmetik des Gnomon und die Kreisbahnen des Himmels" (es wird heute angenommen das Werk „stamme frühestens aus dem späten 4. Jahrhundert v. Chr.“). Darin kommt das allgemein bekannte rechtwinklige Dreieck mit den Seiten formula_101 und formula_102 zur Anwendung.


title: Satz des Pythagoras

text: Nach dem Zeichnen eines Quadrats (Bild 1) und dessen Unterteilung in formula_103 x formula_104 Einheitsquadrate, wird das rechtwinklige Ausgangsdreieck (rot) mit den Katheten formula_105, formula_106 und mit der sich ergebenden Hypotenuse formula_3 anhand des Gitters eingetragen. Darüber hinaus werden drei, dem Ausgangsdreieck gleichende Dreiecke so platziert, dass die Hypotenusen ein inneres Quadrat ergeben und demzufolge ein zentrales Einheitsquadrat (gelb) mit dem Flächeninhalt formula_108 umgrenzen. Ein auf das innere Quadrat eingezeichnetes Gitter, das dem äußeren gleicht und mit den Hypotenusen einen rechten Winkel einschließt, liefert formula_21 x formula_110 Einheitsquadrate.


title: Satz des Pythagoras

text: Der Flächeninhalt des inneren Quadrats mit den vier Dreiecken und dem zentralen Einheitsquadrat entspricht formula_111 Einheitsquadraten. Die gesamte Anzahl der (gelben) Einheitsquadrate ergibt sich aus den formula_112 Einheitsquadraten des äußeren Quadrats abzüglich der vier Dreiecksflächen des inneren Quadrats; dies bringt ebenfalls formula_113 Einheitsquadrate.


title: Satz des Pythagoras

text: In ein Quadrat mit der Seitenlänge formula_121 werden vier kongruente rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten formula_1, formula_2 und formula_3 (Hypotenuse) eingelegt. Dies kann auf zwei Arten geschehen, wie im Diagramm dargestellt ist.


title: Satz des Pythagoras

text: Die Flächen des linken und des rechten Quadrates sind gleich (Seitenlänge formula_121). Das linke besteht aus den vier rechtwinkligen Dreiecken und einem Quadrat mit Seitenlänge formula_3, das rechte aus den gleichen Dreiecken sowie einem Quadrat mit Seitenlänge formula_1 und einem mit Seitenlänge formula_2. Die Fläche formula_129 entspricht also der Summe der Fläche formula_130 und der Fläche formula_131, also


title: Satz des Pythagoras

text: Eine algebraische Lösung ergibt sich aus dem linken Bild des Diagramms. Das große Quadrat hat die Seitenlänge formula_133 und somit die Fläche formula_134. Zieht man von dieser Fläche die vier Dreiecke ab, die jeweils eine Fläche von formula_135 (also insgesamt formula_136) haben, so bleibt die Fläche formula_129 übrig. Es ist also


title: Satz des Pythagoras

text: Eine Möglichkeit ist die Scherung der Kathetenquadrate in das Hypotenusenquadrat. Unter Scherung eines Rechtecks versteht man in der Geometrie die Überführung des Rechtecks in ein Parallelogramm unter Beibehaltung der Höhe. Bei der Scherung ist das sich ergebende Parallelogramm zu dem Ausgangsrechteck flächengleich. Über zwei Scherungen können die beiden kleineren Quadrate dann in zwei Rechtecke umgewandelt werden, die zusammen genau in das große Quadrat passen.


title: Satz des Pythagoras

text: Beim exakten Beweis muss dann noch über die Kongruenzsätze im Dreieck nachgewiesen werden, dass die kleinere Seite der sich ergebenden Rechtecke jeweils dem betreffenden Hypotenusenabschnitt entspricht. Wie üblich wurden in der Animation die Höhe mit formula_29 und die Hypotenusenabschnitte mit formula_142 bezeichnet.


title: Satz des Pythagoras

text: Es ist nicht unbedingt notwendig, zum Beweis des Satzes von Pythagoras (explizit) Flächen heranzuziehen. Geometrisch eleganter ist es, Ähnlichkeiten zu verwenden. Sobald man sich durch Berechnung der Winkelsummen im Dreieck überzeugt hat, dass die beiden Winkel formula_143 im unteren Bild gleich groß sein müssen, sieht man, dass die Dreiecke formula_30, formula_145 und formula_146 ähnlich sind. Der Beweis des Satzes von Pythagoras ergibt sich dann wie im Bild gezeigt, dabei beweist man auch den Kathetensatz und die Addition beider Varianten des Kathetensatzes ergibt den Satz des Pythagoras selbst. Diese Herleitung lässt sich anschaulich mit der Ähnlichkeit der Quadrate und der Ähnlichkeit deren angrenzenden Dreiecke erklären. Da deren Fläche proportional zur Fläche der jeweils anliegenden Quadrate ist, repräsentiert die Gleichung


title: Satz des Pythagoras

text: Ebenso kann in der Figur rechts eine Parallele zu AB von der Höhe h auf die Seite a gezogen werden, was weitere ähnliche Dreiecke und unendlich viele Beweismöglichkeiten liefert.


title: Satz des Pythagoras

text: Die Umkehrung des Satzes lässt sich auf verschiedene Arten beweisen, ein besonders einfacher Beweis ergibt sich jedoch, wenn man den Satz des Pythagoras selbst zum Beweis seiner Umkehrung heranzieht.


title: Satz des Pythagoras

text: Zu einem beliebigen Dreieck, dessen Seiten formula_148 die Bedingung formula_149 erfüllen, konstruiert man ein zweites Dreieck. Dieses besitzt einen rechten Winkel, dessen Schenkellängen den Seitenlängen von formula_1 und formula_2 entsprechen. Nach dem Satz des Pythagoras beträgt nun die Länge der Hypotenuse in diesem zweiten Dreieck formula_152 und entspricht damit der Länge der Seite formula_3 des Ausgangsdreiecks. Somit besitzen die beiden Dreiecke die gleichen Seitenlängen und sind aufgrund des ersten Kongruenzsatzes (SSS) kongruent. Damit sind dann aber auch ihre Winkel gleich, das heißt, auch das Ausgangsdreieck besitzt einen rechten Winkel, der der Seite formula_3 gegenüberliegt.


title: Satz des Pythagoras

text: wobei formula_156 der Winkel zwischen den Seiten formula_1 und formula_2 ist. Der Kosinussatz unterscheidet sich also durch den Term formula_159 vom Satz des Pythagoras. Da der Kosinus von formula_160 gleich null ist, fällt dieser Term bei einem rechten Winkel weg, und es ergibt sich als Spezialfall der Satz des Pythagoras. Gilt umgekehrt in einem Dreieck die Beziehung


title: Satz des Pythagoras

text: so muss formula_162 sein, woraus formula_163 folgt, und daher ist das Dreieck rechtwinklig. Für spitzwinklige Dreiecke gilt entsprechend


title: Satz des Pythagoras

text: Eine auf Thabit ibn Qurra zurückgehende Verallgemeinerung liefert zu den Quadraten über zwei Seiten eines beliebigen Dreiecks ein Rechteck über der dritten Seite, dessen Fläche der Summe der beiden Quadratflächen entspricht.


title: Satz des Pythagoras

text: Zu einem beliebigen Dreieck formula_166 mit Seiten formula_148, Winkel formula_156 in formula_68 und Höhe formula_170 konstruiert man ein gleichschenkliges Dreieck formula_171 dessen Basis auf der Seite formula_3 liegt und das formula_170 als Höhe besitzt. Darüber hinaus besitzen seine beiden Basiswinkel die gleiche Größe wie formula_156, sofern formula_156 ein spitzer Winkel ist. Ist formula_156 hingegen ein stumpfer Winkel, so sollen die Basiswinkel formula_177 betragen. Ferner wird der Eckpunkt des gleichschenkligen Dreiecks, der auf derselben Seite von formula_170 wie formula_179 liegt, mit E bezeichnet und der andere Eckpunkt auf derselben Seite wie formula_180 mit formula_181. Dies gilt jedoch nur im Falle formula_182, für formula_183 vertauscht man stattdessen formula_184 und formula_181. Im Fall formula_186 fällt das gleichschenklige Dreieck mit der Höhe formula_170 zusammen und die Punkte formula_184 und formula_181 dementsprechend mit dem Punkt formula_190. Definiert man nun formula_191 und formula_192, so gilt:


title: Satz des Pythagoras

text: Die Aussage lässt sich analog zum Satz des Pythagoras direkt über ähnliche Dreiecke beweisen, wobei hier die Dreiecke formula_166, formula_197 und formula_198 ähnlich sind.


title: Satz des Pythagoras

text: liefert Qurras Verallgemeinerung auch eine geometrische Darstellung des Korrekturterms im Kosinussatz als ein Rechteck, das zu dem Quadrat über der Seite formula_3 hinzugefügt oder von ihm abgetrennt wird, um eine Fläche zu erhalten, die der Summe der Flächen der Quadrate über den Seiten formula_1 und formula_2 entspricht.


title: Satz des Pythagoras

text: Eine weitere Verallgemeinerung auf beliebige Dreiecke liefert die Flächenformel von Pappus. Hier ergibt sich aus zwei beliebigen Parallelogrammen über zwei Seiten eines beliebigen Dreiecks ein eindeutig bestimmtes Parallelogramm über der dritten Seite des Dreiecks, dessen Fläche der Summe der Flächen der beiden Ausgangsparallelogramme entspricht. Sind die beiden Ausgangsparallelogramme Quadrate, so erhält man im Falle eines rechtwinkligen Dreiecks ein Quadrat über der dritten Seite und damit den Satz des Pythagoras.


title: Satz des Pythagoras

text: Das Parallelogramm über der dritten Seiten erhält man, indem man die beiden Seiten der Ausgangsparallelogramme, die parallel zu den Dreiecksseiten sind, verlängert und deren Schnittpunkt mit dem Eckpunkt des Dreiecks, der auch auf beiden Parallelogrammen liegt, verbindet. Diese Verbindungsstrecke liefert das zweite Seitenpaar des Parallelogramms über der dritten Seite (siehe Zeichnung).


title: Satz des Pythagoras

text: Eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras mithilfe von drei zueinander ähnlichen Figuren über den Dreieckseiten (neben den bereits bekannten Quadraten) war bereits Hippokrates von Chios im 5. Jahrhundert v. Chr. bekannt und wurde, wahrscheinlich zweihundert Jahre später, von Euklid in seinem Werk Elemente aufgenommen:


title: Satz des Pythagoras

text: Errichtet man über den drei Seiten formula_203 und formula_3 des ursprünglichen Dreiecks jeweils eine zu den beiden anderen ähnliche Figur (Bild 1) mit den Flächen formula_205 und formula_206 dann gilt wegen ihrer Ähnlichkeit:


title: Satz des Pythagoras

text: Nach dem Satz des Pythagoras formula_4 wird formula_129 für formula_214 eingesetzt und somit ergibt sich:


title: Satz des Pythagoras

text: Während Euklids Beweis nur für konvexe Polygone (Vielecke) gilt, ist der Satz auch für konkave Polygone und sogar für ähnliche Figuren mit gekrümmten Grenzen gültig, wobei auch diese Figuren aus einer betreffenden Seite des ursprünglichen Dreiecks hervorgehen. Die im Bild 2 dargestellten Flächen formula_216 und formula_68 der Kreise entstehen aus den Seiten formula_218 und formula_3 der Fünfecke.


title: Satz des Pythagoras

text: Um zu verdeutlichen, dass Kreise bzw. Halbkreise allein, d. h. ohne Vielecke über den Seiten, zur Verallgemeinerung herangezogen werden können, erweitert man den Satz des Pythagoras mit der Kreiszahl formula_220


title: Satz des Pythagoras

text: wird, mit den entsprechenden Seitenlängen formula_203 und formula_3 als Radien, eine Verallgemeinerung mit Kreisen


title: Satz des Pythagoras

text: Die Grundidee hinter dieser Verallgemeinerung ist, dass die Fläche einer ebenen Figur proportional zum Quadrat jeder linearen Dimension und insbesondere proportional zum Quadrat der Länge jeder Seite ist.


title: Satz des Pythagoras

text: Abstrahiert man vom gewöhnlichen euklidischen Raum zu allgemeinen Skalarprodukträumen, also Vektorräumen mit einem Skalarprodukt, dann gilt:


title: Satz des Pythagoras

text: Sind zwei Vektoren formula_226 und formula_227 zueinander orthogonal, ist also ihr Skalarprodukt formula_228, dann gilt aufgrund der Linearität des Skalarprodukts


title: Satz des Pythagoras

text: Bezieht man diesen Satz wiederum auf den euklidischen Raum, dann stehen formula_226 und formula_227 für die Katheten formula_1 und formula_2 eines rechtwinkligen Dreiecks. formula_235 steht für die Länge der Hypotenuse formula_3.


title: Satz des Pythagoras

text: Diese Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras findet sich auch in abstrakten mathematischen Strukturen, etwa unendlichdimensionalen Funktionenräumen wieder. Die Umkehrung gilt ebenfalls. Trifft die Gleichung zu, so sind die beiden Vektoren orthogonal zueinander. Der Satz lässt sich noch weiter verallgemeinern. Ist formula_237 ein Orthogonalsystem bestehend aus paarweise orthogonalen Vektoren formula_238, dann folgt durch wiederholte Anwendung obigen Arguments:


title: Satz des Pythagoras

text: Die entsprechende Aussage gilt sogar für unendliche Summen, wenn man eine Folge formula_240 von Vektoren betrachtet, die alle zueinander orthogonal sind. Konvergiert nun die Reihe formula_241, so konvergiert auch formula_242 und es gilt:


title: Satz des Pythagoras

text: Der Beweis der zweiten Behauptung folgt dabei aus der Stetigkeit des Skalarprodukts. Eine weitere Verallgemeinerung führt zur Parsevalschen Gleichung.


title: Satz des Pythagoras

text: Ebenfalls als Verallgemeinerungen des Satzes des Pythagoras können der Schenkeltransversalensatz, der Satz von Stewart, der Satz von Ptolemäus, der Satz von Carnot über Lote am Dreieck und der Satz von der britischen Flagge gelten. Letzterer stellt sowohl eine Verallgemeinerung in der Ebene als auch im Raum dar. Die pythagoreische Gleichung ist darüber hinaus auch in der Apollonios-Gleichung enthalten.


title: Satz des Pythagoras

text: Ein räumliches Analogon ist der Satz von de Gua. Hier werden das rechtwinklige Dreieck durch ein rechtwinkliges Tetraeder und die Seitenlängen durch die Flächeninhalte der Seitenflächen ersetzt. Sowohl der Satz des Pythagoras als auch der Satz von de Gua sind Spezialfälle eines allgemeinen Satzes über n-Simplexe mit einer rechtwinkligen Ecke.


title: Satz des Pythagoras

text: Nichteuklidische Geometrien sind Geometrien, in denen das Parallelenaxiom nicht gilt. Ein Beispiel hierfür ist die Geometrie der Kugeloberfläche. Dort gilt der Satz des Pythagoras nicht mehr, da in solchen Geometrien der Innenwinkelsatz nicht gilt, also die Winkelsumme eines Dreiecks von 180° verschieden ist. Ein anderes Beispiel ist der „gekrümmte“ Raum der Allgemeinen Relativitätstheorie Albert Einsteins.


title: Satz des Pythagoras

text: Bereits auf einer babylonischen Keilschrifttafel, die in die Zeit der Hammurabi-Dynastie datiert wird (ca. 1829 bis ca. 1530 v. Chr.), findet sich eine geometrische Problemstellung mit Lösung, bei der der Satz zur Berechnung von Längen (im Sexagesimalsystem) verwendet wurde:


title: Satz des Pythagoras

text: Ein Interesse der Babylonier an einem mathematischen Beweis geht jedoch aus den Quellen nicht hervor.


title: Satz des Pythagoras

text: Die Keilschrifttafel Plimpton 322 enthält außerdem formula_247 verschiedene pythagoreische Tripel, unter anderem


title: Satz des Pythagoras

text: In indischen "Sulbasutras" („Schurregeln“ bzw. „Leitfäden zur Meßkunst“), die ungefähr vom 6. bis zum 4. Jahrhundert v. Chr. entstanden, finden sich einige pythagoreische Tripel. Außerdem wurde auch der Lehrsatz dort schon allgemein ausgesprochen und benutzt. Wie er begründet wurde, ist nicht sicher.


title: Satz des Pythagoras

text: Der Satz war im antiken China als "Satz der Gougu" (勾股定理) bekannt. In der Schrift "Zhoubi suanjing" („Arithmetischer Klassiker des Zhou-Gnomons“), die ungefähr vom 1. Jahrhundert v. Chr. bis zum 6. Jahrhundert n. Chr. entstand, wird mit der sogenannten „Hypotenusen-Figur“ "(Xian-tu)" ein dort am Beispiel des rechtwinkligen Dreiecks "(gougu)" mit den Seiten 3, 4 und 5 gegebener Beweis des Satzes veranschaulicht. Auch im "Jiu Zhang Suanshu" („Neun Bücher arithmetischer Technik“, 1. Jahrhundert n. Chr.), dem klassischen mathematischen Werk Chinas mit einer Sammlung von 263 Problemstellungen, ihren Lösungen und den Lösungswegen, wird er angewendet. Liu Hui (3. Jahrhundert n. Chr.) gab wohl in seinem Kommentar zu den „Neun Büchern“ im neunten Kapitel einen Zerlegungsbeweis an.


title: Satz des Pythagoras

text: Die Benennung des Satzes nach dem griechischen Philosophen Pythagoras (6. Jahrhundert v. Chr.) ist erst in späteren Quellen bezeugt. Daher ist in der Forschung die Frage nach der Rolle des Pythagoras stark umstritten. Verschiedene Hypothesen kommen in Betracht:


title: Satz des Pythagoras

text: Der historisch nachweisbare Zusammenhang von Pythagoras zu dem ihm zugeschriebenen Theorem ist nach Bartel Leendert van der Waerden sehr zweifelhaft, und auch Thomas Heath sieht nur schwache historische Belege für die Zuschreibung. Gegensätzliche Positionen vertreten zum Beispiel die Wissenschaftshistoriker Walter Burkert und Leonid Zhmud. Burkert zieht allenfalls eine Vermittlerrolle des Pythagoras in Betracht, Zhmud schreibt ihm mathematische Leistungen wie den Beweis des Satzes zu und betont seine Eigenständigkeit gegenüber der orientalischen Mathematik.


title: Satz des Pythagoras

text: Euklid, der in der zweiten Hälfte des 4. Jahrhunderts v. Chr. in seinem berühmten Werk "Elemente" das mathematische Wissen seiner Zeit zusammentrug, bot einen Beweis, brachte den Satz aber nicht namentlich mit Pythagoras in Zusammenhang. Proklos schrieb dazu im 5. Jahrhundert n. Chr. in seinem Kommentar zu Euklids Elementen: "„Wenn wir denen zuhören die sich gerne mit Geschichte befassen finden wir, dass sie dieses Theorem Pythagoras zuschreiben und sagen, er hätte dafür einen Ochsen geopfert“", was zeigt, dass die Zuschreibung an Pythagoras damals verbreitet war. Auch Plutarch, Cicero und Vitruv berichten von Pythagoras Opferung eines Ochsen, mit unterschiedlichen Versionen zur Ursache – bei Vitruv ist es die Entdeckung eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Seitenlängen 3, 4, 5, also einem pythagoreischen Tripel, Cicero (De natura deorum, Buch3, 88) gibt keine genaueren Hinweise auf die zugrundeliegende geometrische Entdeckung.


title: Satz des Pythagoras

text: Der älteste Beleg dafür, dass der Satz mit Pythagoras in Verbindung gebracht wurde, ist ein Epigramm eines Apollodoros, der möglicherweise mit dem Philosophen Apollodoros von Kyzikos zu identifizieren ist; in diesem Fall stammen die Verse aus der zweiten Hälfte des 4. Jahrhunderts v. Chr. Der Text lautet:


title: Satz des Pythagoras

text: Apollodoros gibt nicht an, welche „berühmte“ Zeichnung oder Figur er meint, doch spätere Autoren, darunter Diogenes Laertios, der im 3. Jahrhundert die beiden Verse zitierte, gingen davon aus, dass es sich um den „Satz des Pythagoras“ handelt. Diese Überlieferung, wonach Pythagoras einem Gott zum Dank dafür, dass dieser ihm die Erkenntnis eingab, ein Rinderopfer darbrachte, steht – wie schon Cicero bemerkte – in Widerspruch zu dem von zahlreichen antiken Quellen überlieferten Umstand, dass Pythagoras und die Pythagoreer Tieropfer grundsätzlich ablehnten.


title: Satz des Pythagoras

text: Johannes Kepler schrieb in seinem "Mysterium cosmographicum" (Kapitel 13) von 1597: "Die Geometrie hat zwei große Schätze: der eine ist der Satz des Pythagoras, der andere die Teilung der Linie in das extreme und mittlere Verhältnis" (dabei ist mit dem zweiten Schatz der Goldene Schnitt gemeint). Die Verbindung dieser beiden Sätze sind im Kepler-Dreieck ersichtlich.


title: Satz des Pythagoras

text: Der Philosoph Thomas Hobbes begann, wie sein Biograph John Aubrey berichtete, mit 40 Jahren ernsthaft Mathematik zu studieren, nachdem er in einer Bibliothek ein Exemplar von Euklids Elementen auf der Seite des Beweises des Satzes von Pythagoras (Elemente, I, 47) aufgeschlagen fand, dies auf Anhieb nicht glauben wollte und sich von einer Proposition zur nächsten in den Elementen las, bis er von dessen Wahrheit überzeugt wurde. Anschließend fasste er eine Neigung zur Mathematik.


title: Satz des Pythagoras

text: Hans Christian Andersen verfasste 1831 einen Beweis des Satzes des Pythagoras in Gedichtform mit dem Titel "Formens evige Magie (Et poetisk Spilfægterie)."


title: Satz des Pythagoras

text: Adelbert von Chamisso schrieb 1836 in seinem Gedicht "Vom Pythagoräischen Lehrsatz": "Die Wahrheit, sie besteht in Ewigkeit / Wenn erst die blöde Welt ihr Licht erkannt / Der Lehrsatz, nach Pythagoras benannt / Gilt heute, wie er galt zu seiner Zeit". Zu dem mythischen Opfer von hundert Ochsen, die Pythagoras angeblich als Dank für seine Entdeckung geopfert haben soll, fährt er in satirischer Weise fort: "Die Ochsen seit dem Tage, wenn sie wittern / Daß eine neue Wahrheit sich enthülle / Erheben ein unendliches Gebrülle". "Pythagoras erfüllt sie mit Entsetzen / Und machtlos, sich dem Licht zu widersetzen / Verschließen sie die Augen und erzittern."


title: Satz des Pythagoras

text: Der Mathematiker und Schriftsteller Lewis Carroll schrieb ähnlich Chamisso 1890: "Aber weder 30 Jahre noch 30 Jahrhunderte beeinflussen die Klarheit oder den Charm geometrischer Wahrheiten. Ein Theorem wie „Das Quadrat der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate der Seiten“ ist heute von so blendender Schönheit wie an dem Tag, als Pythagoras es als Erster entdeckte."


title: Satz des Pythagoras

text: Sehr verbreitet sind Anschauungsobjekte, die mit Hilfe von Flüssigkeiten den Satz des Pythagoras beschreiben. Die nebenstehende animierte Prinzipskizze ist quasi die Vorderansicht eines drehbar gelagerten Exponates des "Science-Center Phaeno" in Wolfsburg. An den Seiten des mittigen rechtwinkligen Dreiecks sind flache durchsichtige Behälter mit der Tiefe formula_251 angebracht. Deren quadratische Grundflächen sind gleich den Flächen der Kathetenquadrate bzw. des Hypotenusenquadrates. Die Behälter sind deshalb mit formula_252, formula_253 und formula_254 bezeichnet. Ist das Exponat in seiner Ausgangsstellung (formula_254 unten), fließt das in formula_252 und formula_253 randvoll gefüllte blaue Wasser über die Ecken des Dreiecks formula_180 und formula_179 restlos ab und füllt somit vollständig formula_254. Daraus folgt


title: Inventing Anna

text: Inventing Anna ist eine US-amerikanische Drama-Miniserie von Shonda Rhimes über die Hochstaplerei von Anna Sorokin.


title: Inventing Anna

text: Die Veröffentlichung der neunteiligen, fiktionalisierten Filmbiografie erfolgte auf Netflix am 11. Februar 2022.


title: Inventing Anna

text: Die Journalistin Vivian Kent recherchiert den Fall von Anna Delvey, einer jungen Frau, die sich als deutsche Erbin ausgegeben hat, um in die New Yorker High Society einzusteigen. Vivian Kent ist entschlossen, über die rätselhafte Frau zu schreiben, die wegen Täuschung und schwerem Diebstahl verhaftet und angeklagt worden ist. Als sie Anna im Gefängnis interviewt, während diese auf ihren Prozess wartet, wird enthüllt, wie die 25-Jährige ihre Freunde, verschiedene Unternehmen und die New Yorker Elite um sehr große Geldsummen betrogen hat.


title: Inventing Anna

text: Im Juni 2018 wurde bekannt gegeben, dass Netflix und das Filmproduktionsstudio "Shondaland" die Verfilmungsrechte an dem New York-Artikel "How Anna Delvey Tricked New York’s Party People" der Redakteurin Jessica Pressler erworben haben. Sowohl Rhimes als auch Pressler sind Produzenten und Drehbuchautoren der neunteiligen Miniserie. Ursprünglich war Madeline Brewer für die Hauptrolle vorgesehen, diese musste jedoch aus organisatorischen Gründen absagen. Sorokin hatte Jennifer Lawrence als Hauptdarstellerin gefordert.


title: Inventing Anna

text: Die Dreharbeiten begannen im Oktober 2019 in New York City und Los Angeles. Gedreht wurde außerdem am Flughafen Leipzig/Halle, in Nauen und Berlin.


title: Inventing Anna

text: Die deutsche Synchronisation entstand nach dem Dialogbuch von Hans Schneck und Ruth Deny sowie unter der Dialogregie von Ruth Deny und Johannes Deny durch die Synchronfirma "FFS Film- & Fernseh-Synchron GmbH" in München.


title: Inventing Anna

text: Die Stadt Eschweiler selbst war kein Drehort, obwohl sie mehrfach erwähnt wird. Die Ankunftsszene am Bahnhof Eschweiler wurde am Bahnhof Wandlitzsee gedreht.


title: Spanischer Bürgerkrieg

text: Der Spanische Bürgerkrieg (auch als "Spanienkrieg" bezeichnet) wurde in Spanien von Juli 1936 bis April 1939 zwischen der demokratisch gewählten Regierung der Zweiten Spanischen Republik („Republikanern“) und den rechtsgerichteten Putschisten unter General Francisco Franco („Nationalisten“) ausgetragen. Mit Unterstützung und nach militärischer Intervention der faschistischen bzw. nationalsozialistischen Verbündeten aus Italien und Deutschland siegte das Bündnis aus konservativen Militärs, katholischer CEDA, den Karlisten und der faschistischen Falange. Diesem Sieg folgte das Ende der Republik in Spanien und die bis zum Tode Francos 1975 anhaltende franquistische Diktatur.


title: Spanischer Bürgerkrieg

text: Ursachen für den Ausbruch des Krieges sind in den extremen sozialpolitischen und kulturellen Verwerfungen in der spanischen Gesellschaft sowie in regionalen Autonomiebestrebungen zu finden, etwa im Baskenland und in Katalonien. Spanien erlitt seit Mitte des 19. Jahrhunderts zahlreiche gewalttätige Konflikte, die ungelöst blieben. Sie häuften und verschärften sich, als nach der Niederlage im Spanisch-Amerikanischen Krieg 1898 das Ansehen der alten Institutionen weitgehend verloren gegangen war. Den wenigen Anhängern der Zweiten Spanischen Republik war es weder gelungen, die gravierenden sozialen Missstände zu beheben, noch den Verfechtern einer autoritären Staatsordnung etwas entgegenzusetzen.


title: Spanischer Bürgerkrieg

text: In der neueren spanischen Geschichte hatten friedliche Lösungen kaum eine Tradition. So standen sich klerikal-monarchistische, republikanische, bürgerlich-liberale, sozialistische, kommunistische, anarchistische und faschistische Gruppierungen lange unversöhnlich gegenüber. Wegen der wirtschaftlichen Krise in Spanien und der sich verändernden Lage in Europa durch das Aufkommen des Faschismus verschärfte sich die Situation zusehends.


title: Spanischer Bürgerkrieg

text: Nach anfänglicher Begeisterung verlor die 1931 gegründete Zweite Republik rasch an Unterstützung. Die traditionellen Eliten aus den Zeiten von Diktatur und Monarchie fürchteten eine Gefährdung ihrer Privilegien und ihres kulturellen Selbstverständnisses. Die laizistische Orientierung der ersten Regierung und die von einem radikalen Antiklerikalismus inspirierten Übergriffe gegen kirchliche Einrichtungen bestärkten sie in dieser Haltung. Sie wandten sich gegen sämtliche Reformen, die eine Verbesserung der allgemeinen Lebensumstände in Aussicht stellten.


title: Spanischer Bürgerkrieg

text: Rasch kühlte sich auch die anfängliche Euphorie der Arbeiterschaft gegenüber der Republik ab. Nachdem sich die sozialen Reformen als nicht durchsetzungsfähig erwiesen hatten und die neue Rechtsregierung 1934 auf einen harten Kurs geschwenkt war, sahen die organisierten Arbeiter in der neuen parlamentarischen Staatsform nichts weiter als eine Fortsetzung der alten Politik der Unterdrückung.


title: Spanischer Bürgerkrieg

text: Die anarchosyndikalistische CNT hatte fast von Anfang an die Republik bekämpft und am 8. Januar 1933 bzw. am 8. Dezember 1933 zwei – allerdings sofort zusammengebrochene – Aufstandsversuche unternommen; die zuvor reformistische sozialistische Gewerkschaft UGT schwenkte aus Enttäuschung über das Regierungsbündnis mit den Republikanern ab 1933 auf einen revolutionären Kurs um und propagierte die "Diktatur des Proletariats". Es wird in Teilen der Forschung allerdings bezweifelt, ob es sich dabei um mehr als um „leere revolutionäre Losungen“ handelte, mit denen die führenden Sozialisten auf den Druck von unten reagierten. Maßgebliche Teile der sozialistischen Partei PSOE setzten eindeutig weiterhin auf eine Kooperation mit den Liberalen.


title: Spanischer Bürgerkrieg

text: Die Republikaner, die sich anschickten Spanien umzugestalten, setzten viele wichtige Reformen nur halbherzig um. Weite Teile des Bürgertums fürchteten trotzdem eine Dominanz der Arbeiterschaft und waren daher bereit, eine Diktatur zu unterstützen. Hinzu kamen die Bestrebungen des katalanischen und baskischen Bürgertums, den kastilisch dominierten Zentralstaat zu verlassen.


title: Spanischer Bürgerkrieg

text: Am 10. August 1932 fand ein erster Militärputsch unter General José Sanjurjo mit Zentrum in Sevilla statt, der schlecht ausgeführt und durch einen Generalstreik vereitelt wurde. Die Begnadigung des zunächst zum Tode verurteilten Sanjurjo und die geringen Haftstrafen für einige weitere verwickelte Offiziere verstand die Rechte als Ansporn, den nächsten Versuch besser und vor allem langfristig vorzubereiten. Bereits Ende September 1932 bildeten rechtsradikale Monarchisten der "Acción Española" zusammen mit einigen Generalstabsoffizieren ein Komitee, das vom französischen Biarritz aus operierte und einen neuen Putsch durch die konspirative Vernetzung antirepublikanischer Offiziere (die sich seit Ende 1933 in der konspirativen "Unión Militar Española" organisierten) vorbereiten sollte. Darüber hinaus förderte das Komitee die systematische publizistische Delegitimierung der als Produkt einer „jüdisch-freimaurerisch-bolschewistischen“ Verschwörung dargestellten Republik. Außerdem schleuste es bezahlte Provokateure in anarchistische Organisationen ein, um den als Vorwand wichtigen „Zusammenbruch von Recht und Ordnung“ im unmittelbaren Vorfeld des geplanten Putsches selbst zu organisieren.


title: Spanischer Bürgerkrieg

text: Auch unabhängig von diesen Bestrebungen kam es zwischen 1931 und 1936 zu einer Radikalisierung des rechten Diskurses, worauf der britische Historiker Paul Preston 2012 hingewiesen hat. In einer Vielzahl von Zeitungen, Zeitschriften und Büchern – darunter das viel gelesene "Orígenes de la revolución española" (1932) des katalanischen Priesters Juan Tusquets Terrats – wurde argumentiert, dass Linke „weder wirklich spanisch noch überhaupt menschlich“ seien und die „Auslöschung der Linken als patriotische Pflicht“ zu gelten habe. Insbesondere karlistische und faschistische Autoren identifizierten die gesamte spanische Arbeiterbewegung mit den mittelalterlichen muslimischen Eroberern und forderten eine „zweite Reconquista“, was den Angriffen auf die Linke eine zusätzliche „rassistische Dimension“ verlieh. Auch José María Gil-Robles, der Führer der „moderaten“ katholisch-konservativen CEDA, bediente sich dieser Rhetorik, die die gesamte Linke als „un-“ oder „antispanisch“ zu diskreditieren suchte. Diese potentiell eliminatorische Aggressivität verschmolz besonders in den ländlichen Gebieten des Südens mit dem Hass der Großgrundbesitzer auf die Landarbeiter, deren traditionelle fatalistische Unterwürfigkeit gegenüber der Aristokratie in den ersten Jahren der Republik weitgehend verschwunden und offen vorgetragenen Forderungen nach Land und besserer Bezahlung gewichen war. Die vom gesamten alten Establishment geteilte militante Ablehnung der antiklerikalen und sozialreformerischen Gesetzgebung der Republik bündelte sich allerdings im spanischen Offizierskorps (und hier vor allem bei den "africanistas", den Offizieren der Kolonialarmee) – nicht zuletzt, weil die Linksparteien planten, den Umfang des traditionell notorisch überdimensionierten Offizierskorps der tatsächlichen Größe der Armee anzupassen. Auch die „instinktive Feindschaft [der Offiziere] gegen die Republik“ wurde im Vorfeld des Bürgerkrieges ideologisch mit der Idee einer „jüdisch-freimaurerisch-bolschewistischen Verschwörung“ maskiert. Franco war ein begeisterter Leser der Schriften von Tusquets und Abonnent der Zeitschrift der "Acción Española", und General Emilio Mola, der eigentliche militärische Planer des Putsches vom Sommer 1936, beteiligte sich seit 1931 mit eigenen Veröffentlichungen an dieser Debatte. Mola sorgte dafür, dass die eliminatorische Dimension dieses Diskurses auch die konkreten Vorbereitungen der Verschwörer bestimmte: „Die von den militärischen Rebellen in Szene gesetzte Repression war eine sorgfältig geplante Operation mit dem Ziel, diejenigen – in den Worten des Putschplaners General Emilio Mola – ‚ohne Skrupel oder Zögern [zu eliminieren], die nicht so denken wie wir‘.“


title: Spanischer Bürgerkrieg

text: Im Herbst 1933 zerbrach die erste Koalition unter Ministerpräsident Manuel Azaña, der eine von den rechten Parteien tolerierte und gewählte Zentrumsregierung unter Alejandro Lerroux nachfolgte. Sie amnestierte die Putschisten von 1932 und die wegen Straftaten während der Diktatur Miguel Primo de Riveras Verurteilten, machte die „mageren“ sozialen und laizistischen Reformen rückgängig und verschärfte die Situation der Lohnabhängigen. Die linken und die liberalen Republikaner verstanden dies als Kriegserklärung. Als die CEDA Anfang Oktober 1934 mit drei Ministern in die Regierung eintrat, proklamierte die UGT einen Generalstreik, der aber von der Regierung mit Massenverhaftungen ebenso rasch niedergeschlagen wurde wie der Versuch, in Barcelona ein unabhängiges Katalonien auszurufen. In Asturien nahm der Streik – auf Initiative der Arbeiter und gegen den Widerstand der Gewerkschaftsfunktionäre  – allerdings Züge eines offenen Aufstandes an. Der asturische Bergarbeiterstreik von 1934 (auch „Oktoberaufstand“ genannt) gab mit hunderten Toten einen ersten Vorgeschmack des Bürgerkrieges – die Regierung rief das Kriegsrecht aus. Unter dem Oberkommando des späteren Diktators Francisco Franco wurde die Erhebung brutal niedergeschlagen. Es gab mindestens 1.300 Tote, davon 78 % Zivilisten. Es folgte eine breite Verhaftungswelle, die auch liberale und sozialistische Spitzenpolitiker erfasste, und eine Zensur, von der die linken Zeitungen betroffen waren. Die von José María Gil-Robles geführte CEDA, eine katholizistische Sammlungsbewegung, die in Teilen mit dem europäischen Faschismus sympathisierte, drängte an die Macht, scheiterte aber am Staatspräsidenten Zamora. Der unter Lerroux zeitweilig als Kriegsminister amtierende Gil-Robles legte gleichwohl den Grundstein für den Aufstieg der Gruppe radikalisierter Militärs um General Franco, die die Verschwörung zur Rebellion vorbereiteten, indem er sie in hohe Posten beförderte. Die 1933 vom Sohn des Ex-Diktators Primo de Rivera, José Antonio Primo de Rivera, gegründete Falange Española entwickelte sich in dieser Zeit von einer politischen Splittergruppe zu einem gleichfalls ernstzunehmenden militanten Faktor.


title: Spanischer Bürgerkrieg

text: Ende 1935 war auch die zweite Koalition aus Lerroux’ Radikalen und der CEDA wegen interner Querelen und eines Finanzskandals am Ende. Um das Mehrheitswahlrecht diesmal für sich zu nutzen, bildeten Sozialisten, Republikaner, liberale Katalanisten, der stalinistische Partido Comunista de España (PCE) und der kommunistische Partido Obrero de Unificación Marxista (POUM) ein Volksfront-Bündnis, die "Frente Popular". Unterstützt wurden sie von den baskischen Nationalisten und den Anarchisten, die diesmal keinen Wahlboykott formulierten. Dagegen stand die "Frente Nacional" aus CEDA, Monarchisten, einer Grundbesitzer-Partei und den Karlisten. Dazwischen standen die Parteien der Mitte, die kaum mehr Bedeutung besaßen.


title: Spanischer Bürgerkrieg

text: Am 16. Februar 1936 gewann die Volksfront die Wahlen; auch die parlamentarische Opposition erkannte ihren Sieg an. Den meistzitierten Angaben Javier Tussells zufolge erhielten die Parteien der linken Volksfront im ersten Wahlgang 4.654.116 Stimmen, diejenigen der rechten Nationalen Front 4.503.505 Stimmen und sonstige Parteien (darunter Zentrum, baskische Nationalisten und der Partido Republicano Radical) 562.651 Stimmen. Dies führte nach dem zweiten Wahlgang am 1. März und dem Agieren einer von der neuen Regierung eingesetzten Mandatsüberprüfungskommission zu folgender Sitzverteilung: Volksfront 301 Sitze (davon PSOE 99 und Izquierda Republicana 83), Nationale Front 124 (davon CEDA 83), andere 71. Die Angaben verschiedener Historiker zum seinerzeit nicht im Detail veröffentlichten Ergebnis der Stimmenauszählung, jedoch nicht der Sitzverteilung, weichen heute zum Teil voneinander ab. Einige konservative Historiker betonen zusätzlich, dass durch Unregelmäßigkeiten bei der Stimmenauszählung Wahlergebnis und Verteilung der Parlamentssitze zugunsten der Volksfront beeinflusst worden seien. Allerdings war es die rechte CEDA, der wegen eklatanter Wahlfälschungen in den Provinzen Salamanca und Granada von der Prüfkommission mehrere Mandate aberkannt wurden.


title: Spanischer Bürgerkrieg

text: Durch den Sieg der Volksfront hatte für Teile der Rechten die Republik aufgehört zu existieren. Ungeachtet der Wiederaufnahme des Reformprogramms der neuen, ohne ein einziges sozialistisches Mitglied gebildeten Regierung unter Azaña kam es zu spontanen Landbesetzungen, die Streikaktivität stieg stark an und Straßenkämpfe zwischen Extremisten beider politischer Lager, die von bewaffneten Ordnungskräften zum Teil gewaltsam unterdrückt wurden, nahmen deutlich zu. Die faschistische Falange übte gezielten Terror aus, gegen den der Staat sich machtlos zeigte. Das Gespenst einer kommunistischen Machtergreifung in Spanien wurde von den Rechten beschworen, die sich mit vielen die radikale Linke begünstigenden Entscheidungen der Regierung nicht länger abfinden wollten.


title: Spanischer Bürgerkrieg

text: Währenddessen planten die Offiziere nahezu öffentlich den Putsch. Ihre Aktivitäten wurden von der Regierung Azaña weitgehend ignoriert oder nur geringfügig geahndet. Bei einem Kampf gegen die Putschisten hätte sie die Gewerkschaften bewaffnen müssen, was sie möglichst verhindern wollte. Die neue Regierung hatte viele des Antirepublikanismus verdächtigte Offiziere auf entlegene Stützpunkte auf den spanischen Inseln und in Spanisch-Marokko verbannt, wodurch sie unwillentlich deren Verschwörung Vorschub leistete und ihnen eine uneinnehmbare Machtbasis schuf. Die in Spanisch-Marokko stationierten Kolonialtruppen gehörten im späteren Bürgerkrieg zu den effektivsten und gefürchtetsten Gegnern der Republikaner. In Spanien selbst wurden die Umtriebe der Verschwörer von Offizieren der antifaschistischen Geheimgesellschaft UMRA, der "Unión Militar Republicana Antifascista", beobachtet.


title: Spanischer Bürgerkrieg

text: Auf dem Höhepunkt der Unruhen wurde am 13. Juli der monarchistische Oppositionsführer José Calvo Sotelo in einer Racheaktion für den Tod eines UMRA-Mitglieds durch Angehörige der "Guardia de Asalto" und der "Guardia Civil" ermordet. Sein Tod bewog die Karlisten, den Putsch mit ihren paramilitärischen Verbänden zu unterstützen.


title: Spanischer Bürgerkrieg

text: Als der Aufstand begann, leisteten vor allem die Arbeiter Widerstand. Wo sie erfolgreich waren, reagierten sie mit einer Revolution, die hauptsächlich von den Anarchisten getragen wurde. Dies rettete der Republik vorläufig die Existenz. Aus dem Putsch wurde ein Bürgerkrieg, der schon bald in das internationale Beziehungsgeflecht Europas geriet, was den Verlauf der Ereignisse entscheidend beeinflussen sollte.


title: Spanischer Bürgerkrieg

text: Initiiert durch eine Militärrevolte in Spanisch-Marokko begann am 17. Juli 1936 der Staatsstreich des Militärs gegen die Zweite Spanische Republik. Die Putschisten, die von Anfang an bei Teilen des spanischen Militärs auf der Iberischen Halbinsel Sympathie fanden, stützten sich vor allem auf die spanischen Kolonialtruppen in Spanisch-Marokko (die Regulares, ein Heer marokkanischer Söldner, sowie die Spanische Legion) und hofften, schnell die Kontrolle über die Hauptstadt Madrid und alle wichtigen Städte zu erlangen.


title: Spanischer Bürgerkrieg

text: Nach den Plänen von General Emilio Mola sollte der Aufstand in Spanisch-Nordafrika ursprünglich um 5 Uhr morgens am 18. Juli beginnen, der auf dem Festland 24 Stunden später. Die Pläne wurden am 17. Juli um die Mittagszeit in Melilla entdeckt, was ein vorzeitiges Losschlagen erforderlich machte. Die Stadt Melilla wurde noch am 17. Juli unter die Kontrolle der Aufständischen gebracht. Am 18. Juli kurz nach 6 Uhr morgens wandte sich Franco in einem Funkspruch an die Armee und gab damit das Signal zum Aufstand. Bis zu diesem Zeitpunkt waren fast alle militärischen Stützpunkte in Marokko unter Kontrolle der Putschisten, bis auf die Luftwaffenbasis bei Tétuan, die aber bald fiel. Auch die Kanaren, wo Franco den Befehl hatte, wurden an diesem Tag für die Aufständischen gesichert. Aber die Linke auf der Insel La Palma konnte während der Semana Roja noch eine Woche lang dort die Republik erhalten.


title: Spanischer Bürgerkrieg

text: Nomineller Anführer des Militärputsches war General Sanjurjo, der bereits 1932 mit einem Putsch gescheitert war und sich deshalb zu jener Zeit im portugiesischen Exil befand. Auf dem Rückflug aus dem Exil verunglückte der General am 20. Juli tödlich, was zu einem Machtvakuum bei den Nationalspaniern führte. Dieses wurde durch ein Triumvirat der Generäle Mola, Franco und Queipo de Llano gefüllt.


title: Spanischer Bürgerkrieg

text: Die Madrider Regierung erfuhr am 17. Juli abends von dem Aufstand in Nordafrika, reagierte aber beschwichtigend, da keine Einheit auf dem Festland sich ihm bisher angeschlossen hatte. Hilfsangebote der CNT und UGT und deren Ersuchen, Waffen an sie auszugeben, wurden am 18. Juli von Santiago Casares Quiroga entschieden abgelehnt und die Bevölkerung aufgefordert, ihrer normalen Arbeit nachzugehen. Casares Quiroga glaubte nach wie vor, General Queipo de Llano werde sich nicht an dem Aufstand beteiligen und die Ordnung in Andalusien wiederherstellen. Tatsächlich hatte Queipo an diesem Tag die wichtige Stadt Sevilla und das dortige Militär für die Putschisten vereinnahmt. In der Nacht riefen die Gewerkschaften den Generalstreik aus.


title: Spanischer Bürgerkrieg

text: Es begann ein Wettlauf zwischen den Putschisten und den Arbeiterorganisationen um die Sicherung der wichtigsten Städte an der Küste Südspaniens gegenüber Spanisch-Marokko. Dabei war häufig die Haltung des lokalen Zivilgouverneurs sowie der örtlichen Guardia Civil und der Asaltos ausschlaggebend. Die Republikaner erzielten Erfolge etwa in Málaga, Almería und Jaén, während den Putschisten Cádiz (mit seiner Marinebasis), Jerez, Algeciras und La Linea in die Hände fielen. Ministerpräsident Casares Quiroga trat am 19. Juli zurück, nachdem seine Fehleinschätzung der Lage offensichtlich wurde. Sein Nachfolger Diego Martínez Barrio suchte den Aufstand zu beenden, indem er den Aufständischen politische Mitsprachemöglichkeiten und die Wiederherstellung der öffentlichen Ordnung versprach, die die konservative Opposition in den vorhergehenden fünf Monaten vergeblich im Parlament eingefordert hatte. Dieser wurde jedoch nach wenigen Stunden durch den radikaleren José Giral ausgetauscht, als die Bemühungen um Vermittlung gescheitert waren. Die neue Regierung befahl der Flotte sofort, zur Straße von Gibraltar zu fahren, um ein Übersetzen der Afrika-Armee zu verhindern. Die Armee wurde per Dekret aufgelöst, und Waffen wurden an die Arbeiterorganisationen verteilt.


title: Spanischer Bürgerkrieg

text: In den darauffolgenden Tagen wurde jeder Soldat vor die Entscheidung gestellt, für welche Seite er kämpfen wolle. 80 % des unteren und mittleren Offizierskorps, die Mehrheit der Unteroffiziere, aber nur vier Divisionsgeneräle, entschieden sich für den Putsch. Die Nationalisten konnten sich häufig durch Verhaftungen der republiktreuen örtlichen Militärführer und Gouverneure durchsetzen, die meist sofort erschossen wurden. In vielen Städten, darunter Madrid und Barcelona, kam es zu Belagerungen der örtlichen Kasernen durch Arbeitermilizen. Die Putschisten errangen bis Ende Juli die Kontrolle über einen breiten Gebietsstreifen in Nordspanien von der carlistischen Region Navarra im Osten bis Galicien im Westen mit Ausnahme der Küstenregion vom Baskenland bis Asturien. Im Süden reichte das nationalistische Gebiet bis Saragossa, Teruel, Segovia, Ávila und Cáceres. Hinzu kamen als (bald verbundene) Enklaven in Südspanien die Städte Sevilla, Córdoba und Granada sowie im Norden Oviedo und Toledo, daneben die Balearen mit Ausnahme der Insel Menorca. Die Putschisten scheiterten in den Provinzen Madrid, Valencia und Barcelona, in denen sich 70 % der spanischen Industrie und die Mehrheit der spanischen Bevölkerung konzentrierten.


title: Spanischer Bürgerkrieg

text: Am 24. Juli riefen die Nationalisten der Nordarmee unter General Mola in Burgos eine Gegenregierung aus, die "Junta de Defensa Nacional" unter Vorsitz von General Miguel Cabanellas. Sie ließen die Frage der von ihnen angestrebten Staatsform bewusst offen, um die sie unterstützenden Gruppen (Falangisten, Karlisten, Alfonsisten usw.) auf ihrer Seite zu halten. Im Süden beanspruchte General Queipo die Führung der Nationalisten. Franco konnte sich endgültig erst im September 1936 als Führer der nationalistischen Bewegung in ganz Spanien durchsetzen, ohne dass ihm seine Konkurrenten dies verziehen hätten.


title: Spanischer Bürgerkrieg

text: Auf die Seite der Nationalisten schlug sich etwa die Hälfte der regulär in Spanien stehenden Armee, darunter allein 10.000 Offiziere, zwei Drittel der von Queipo kontrollierten "Carabineros" (Grenzpolizei), 40 % der "Asaltos" und 60 % der "Guardia Civil". Wichtigstes Kampfinstrument der Aufständischen war die Afrika-Armee mit ihren maurischen Söldnern und der Fremdenlegion, dazu kamen die carlistischen Milizen (Requeté) und die Falange, die bis 1937 noch relativ unabhängige Befehlsstrukturen behielten. Finanzielle und logistische Unterstützung erhielten die Nationalisten bereits zu Beginn des Bürgerkrieges von Italien und dem Deutschen Reich.


title: Spanischer Bürgerkrieg

text: Treu zur Republik blieben die Mehrheit der Generäle, zwei Drittel der Marine und die Hälfte der Luftwaffe, doch konnten sie das Fehlen eines intakten Offiziers- und Unteroffizierskorps in den entscheidenden ersten Monaten nicht kompensieren. Die loyal gebliebenen Truppen mit der paramilitärischen Guardia Civil und der Guardia de Asalto bildeten mit Milizgruppen der Sozialdemokraten, der Kommunisten, der Sozialisten und den Anarchosyndikalisten zu Beginn des Spanischen Bürgerkrieges das militärische Rückgrat der Republik. Eine wesentliche Unterstützung erhielt die Republik zudem durch internationale Freiwillige.


title: Spanischer Bürgerkrieg

text: Die letzten Hoffnungen auf ein schnelles Ende wurden am 21. Juli, dem fünften Tag des Aufstandes, zerstört, als die Nationalisten die Marinebasis Ferrol in Nordwestspanien eroberten und dort zwei fabrikneue Kreuzer erbeuteten. Das ermutigte die faschistischen Länder Europas zur Unterstützung Francos, der bereits am Tag zuvor Kontakt zum NS-Staat und zu Italien aufgenommen hatte. Am 26. Juli beschlossen die Achsenmächte, den Nationalisten beizustehen; die Hilfe lief Anfang August an. Die Achsenmächte leisteten Franco von Anfang an finanzielle Hilfe.


title: Spanischer Bürgerkrieg

text: Trotz der Gegenmaßnahmen der Regierung gelang es den Putschisten bis Anfang August, mit der ersten Luftbrücke der Geschichte, Teile der Afrika-Armee (zunächst etwa 12.000 Mann) von Tétouan in Spanisch-Marokko nach Cádiz aufs Festland zu fliegen und so die republikanische Marineblockade in der Straße von Gibraltar zu umgehen. Dazu wurden zwanzig Ju 52 der Deutsche Lufthansa AG eingesetzt. Unter Oberst Yagüe setzte sich die Hauptstreitmacht nach Norden in Bewegung, um das Gebiet entlang der portugiesischen Grenze zu sichern. Dabei kam es unter anderem zu den Schlachten von Mérida und Badajoz. In der Folge nahmen die Sieger Massenexekutionen an den republikanischen Verteidigern vor. Im Anschluss wandten sich die Truppen Yagües nach Osten, um auf Madrid zu marschieren. Nach mehreren Gefechten, unter anderem der Schlacht in der Sierra Guadalupe und der Schlacht bei Talavera, standen sie Anfang September noch 100 Kilometer vor Madrid. Zu diesem Zeitpunkt griff Franco persönlich in die Operationen ein: Er befahl Yagüe, nach Toledo abzuschwenken, wo seit Juli die Belagerung des Alcázars von Toledo durch Republikaner stattfand. Zwar errangen die Nationalisten mit der Eroberung Toledos am 27. September und der Beendigung der Belagerung des Alcázars einen wichtigen propagandistischen Sieg, aber sie verspielten dadurch die Chance einer frühzeitigen Einnahme der Hauptstadt. Zwei Tage später erklärte sich Franco selbst zum "Generalísimo" (Generalissimus) und Caudillo (Führer).


title: Spanischer Bürgerkrieg

text: Im Nordosten hatte im August die nationalistische Offensive von Guipúzcoa begonnen, um das Baskenland von der französischen Grenze abzuschneiden. Den Rebellen kam zugute, dass die französische Regierung im August die Grenze schließen ließ. Der republikanische Küstenstreifen in Nordspanien wurde durch die Erfolge der Nationalisten bis Ende September komplett isoliert. Die Nordarmee Molas führte ferner selbständige Vorstöße auf Madrid durch, die aber sämtlich in den Gebirgszügen nördlich Madrids hängenblieben.


title: Spanischer Bürgerkrieg

text: Auf den Balearen fand im August ein Landungsversuch republikanischer Truppen aus Barcelona von Menorca aus statt. Während Ibiza und Formentera bei geringer Gegenwehr besetzt wurden, scheiterte man beim Angriff auf Mallorca Anfang September trotz numerischer Überlegenheit sowie Luft- und Seeunterstützung. Menorca blieb bis kurz vor dem Kriegsende in republikanischem Besitz, während die übrigen Balearen endgültig nationalistisch besetzt wurden und Mallorca bis zum Ende des Krieges als Basis italienischer Bombenflugzeuge für Angriffe auf Katalonien diente.


title: Spanischer Bürgerkrieg

text: Die Nationalisten begannen im Oktober bei einem Kräfteverhältnis von 1:3 eine neue Großoffensive von Westen in Richtung Madrid. Der zunehmende Widerstand durch die Regierung, die Mobilisierung der Bevölkerung sowie das Eingreifen von Verstärkungen (u. a. der XI. und XII. Internationalen Brigade sowie der anarchistischen Kolonne Durruti) brachte den Vormarsch aber am 8. November zum Stehen. Inzwischen hatte sich die Regierung am 6. November von Madrid, heraus aus der Kampfzone, nach Valencia zurückgezogen. In Paracuellos de Jarama und Torrejón de Ardoz wurden von den Republikanern Massenerschießungen an Franco-Anhängern und Katholiken verübt. Die bis in den Dezember andauernde Schlacht um Madrid 1936 mündete in eine bis kurz vor Kriegsende andauernde Belagerung.