title: Deutsche Telekom

text: Neben den strategischen Geschäftsfeldern verblieben unter dem Dach der Deutschen Telekom AG verschiedene Geschäftseinheiten, die als sogenannte „shared services“ zentrale Funktionen übernehmen. Dazu gehören u. a. das Personalwesen, Telekom Training (Berufsausbildung und Weiterbildung), die "Commundo Tagungshotels", die F&E-Einheit T-Labs sowie die konzerneigene Personal-Service-Agentur Vivento. An die Querschnittsbereiche angeschlossen sind auch einzelne Tochtergesellschaften wie DeTe Immobilien und DeTe Medien, Deutsche Funkturm. DeTe Immobilien wurde 2008 an den österreichischen Baukonzern Strabag verkauft.


title: Deutsche Telekom

text: Im Mai 2007 wurde das Kerngeschäft erneut umstrukturiert und auf die beiden Marken „T-Home“ und „T-Mobile“ konzentriert. Anfang Juli 2007 verschmolzen T-Com und T-Online zu T-Home, wobei die Marke T-Online aber weiterhin für das Internetportal (nicht jedoch für das Internet-Zugangsgeschäft) des Konzerns genutzt wird.


title: Deutsche Telekom

text: Mitte Juli 2007 wurde die bereits bestehende Zweitmarke "congster", unter der günstige DSL-Internetzugänge vermarktet worden waren, in "congstar" umgewandelt. congstar bietet auch Mobilfunkdienstleistungen an und steht damit in direktem Wettbewerb sowohl zu T-Home als auch zu T-Mobile.


title: Deutsche Telekom

text: Künftig sollte nicht mehr der technische Aspekt für die Zuordnung zu den Geschäftsbereichen entscheidend sein. Unter den Produktmarken T-Home und congstar sollten alle Privatkundenangebote für zu Hause gebündelt werden. Einzelne Produkte wie T-DSL wurden nicht mehr als separate Marke (mit vorangestelltem „T-“) beworben. Für System- und Großkunden ist weiterhin T-Systems zuständig.


title: Deutsche Telekom

text: Diese Gesellschaft ging aus der Geschäftseinheit T-Home und der ehemaligen T-Mobile Deutschland GmbH hervor. Die Geschäftseinheit T-Home wurde am 30. März 2010 von der Deutschen Telekom AG ausgegliedert und an die Tochtergesellschaft T-Mobile Deutschland GmbH übertragen, die seit 1. April 2010 unter Telekom Deutschland GmbH firmiert. Die Telekom Deutschland GmbH bietet nun die Dienstleistungen der Marken T-Home und T-Mobile „aus einer Hand“ an und bündelt nun alle Privat- und Geschäftskundengeschäfte in den Bereichen Mobilfunk, Festnetz, Internet und IPTV. Die Marken T-Mobile und T-Home sind nahezu komplett vom deutschen Markt verschwunden.


title: Deutsche Telekom

text: Damit hat die Telekom aus drei Kernsäulen zwei gemacht und investiert laut Pressemitteilung vermehrt in Online-Dienste und neue Wachstumsfelder.


title: Deutsche Telekom

text: Bevor die Deutsche Telekom im Rahmen der zweiten Postreform ein eigenständiges Unternehmen wurde, wurden Telefonanschlüsse durch die "Bundespost" bereitgestellt.


title: Deutsche Telekom

text: Wer einen Telefonanschluss von der Post haben wollte, musste neben der Grundgebühr auch eine Anschlussgebühr bezahlen. Diese betrug seit Juli 1974 200 DM (heute inflationsbereinigt  Euro) und wurde ab Dezember 1984 auf 65 Mark ( Euro) gesenkt. Zum 1. Januar 1996 stieg die Gebühr wieder auf dann 100,– DM ( Euro).


title: Deutsche Telekom

text: Die monatliche Grundgebühr für einen normalen Analoganschluss betrug von 1979 bis Juni 1990 27 DM (1979:  Euro, 1990:  Euro), davor waren es 32 DM. In dieser Gebühr waren 20 Freieinheiten enthalten, um eine Entschädigung für abgebrochene Verbindungen oder Verwählen zu gewähren. Nicht verbrauchte Freieinheiten konnten nicht in den nächsten Monat übertragen werden. Zum 1. Januar 1996 wurden die Freieinheiten auf 10 gekürzt und fielen ca. 1998 ganz weg.


title: Deutsche Telekom

text: Ab Juli 1990 wurde der Markt für Telefonapparate geöffnet, so dass die Post auch fremde Apparate an ihren Anschlüssen zulassen musste. Da nun die Kunden ihre Standardapparate zurückgeben konnten, wurden die 27 DM Gebühr in die Grundgebühr für den Telefonanschluss mit 24,60 DM ( Euro) und der monatlichen Miete für das Telefon mit 2,40 DM ( Euro) aufgeteilt.


title: Deutsche Telekom

text: Die Mehrwertsteuererhöhung im April 1998 von 15 auf 16 Prozent wurde voll an die Kunden weitergegeben, so dass die Grund- und Anschlussgebühren nun „krumme“ Werte aufwiesen (24,82 DM bzw. 100,86 DM), die dann 2002 auch genauso in Euro umgerechnet wurden.


title: Deutsche Telekom

text: In den Folgejahren nahm die Deutsche Telekom immer mehr Bündelangebote in ihr Portfolio auf, so dass der Standard-Telefonanschluss heute keine große Rolle mehr spielt. Der günstigste analoge Telefonanschluss, der mit den vorstehenden Anschlüssen vergleichbar ist, wird heute unter dem Namen Call Start vermarktet. Bei einer mtl. Grundgebühr von 17,95 Euro fallen Gesprächsgebühren in das inländische Festnetz von 2,9 Cent und in die Mobilfunknetze von 19 Cent pro Minute an (Tarifstand: 15. Dezember 2014). Der Bereitstellungspreis beträgt 69,95 Euro.


title: Deutsche Telekom

text: Die Telefongespräche wurden zunächst nicht im heute üblichen Minutentakt abgerechnet. Stattdessen gab es einen Einheitenpreis, für den die Kunden je nach Wochentag, Uhrzeit und Entfernung unterschiedlich lange telefonieren konnten. Bis zur Tarifreform am 1. Januar 1996 betrug der Preis je Einheit 23 Pfennig (heute inflationsbereinigt  Cent), danach 12 Pfennig ( Cent).


title: Deutsche Telekom

text: Der Inlandstarif war dabei jeweils in vier Entfernungsstufen unterteilt: City (Ortsnetzbereich), Region 50 (Umkreis 50 km), Region 200 (Umkreis 200 km) und Fern (Umkreis >200 km). Der teuerste Tarif war jeweils am Vormittag (9–12 Uhr): 0,12 / 0,36 / 0,60 / 0,72 DM pro Minute, der billigste in der Nacht (2–5 Uhr): 0,12/0,12/0,12/0,12 DM pro Minute.


title: Deutsche Telekom

text: Ein Ortsgespräch war für die Telekom nicht nur ein Gespräch zu einem Anschluss mit gleicher Vorwahl, sondern galt für alle Ortsnetze, die sich im Umkreis von etwa 20 km des eigenen Ortsnetzes befanden.


title: Deutsche Telekom

text: Vom 1. April 1991 bis zum 31. Dezember 1995 kostete das Ferngespräch (alle Gespräche über 50 km Entfernung) werktags zwischen 8 Uhr und 18 Uhr alle 21 Sekunden 23 Pfennig (inflationsbereinigter Minutenpreis in heutiger Währung: Cent), in der Nebenzeit kostete es alle 42 Sekunden 23 Pfennig ( Cent). Zum 1. Januar 1996 führte die Deutsche Telekom, damals noch Monopolist, neue Preise und den 0,12-DM-Takt ein. Statt zweier Zeitzonen gab es nun deren fünf: werktags den Vormittagstarif von 9 bis 12 Uhr, den Nachmittagstarif von 12 bis 18 Uhr, den Freizeittarif von 18 bis 21 Uhr und von 5 bis 9 Uhr, den Mondscheintarif von 21 bis 2 Uhr und den Nachttarif von 2 bis 5 Uhr. Samstags, sonntags und feiertags galt von 5 bis 21 Uhr der Freizeittarif, sonst der Mondscheintarif. Gleichzeitig wurde eine weitere Entfernungszone (Region 200) eingeführt, so dass es vier Entfernungsbereiche gab, die die selbsterklärenden Namen „Orts- und Nahbereich“, „Region 50“, „Region 200“ sowie „Fernzone“ trugen. Umgerechnet auf heute übliche Tarifangaben lagen die Gesprächspreise für Ferngespräche (alle Gespräche über 200 km Entfernung) zwischen 3 ct/min im 120/120-Takt (zwischen 21 und 5 Uhr) und 30 ct/min im 12/12-Takt (zwischen 9 und 12 Uhr).


title: Deutsche Telekom

text: 1996 gab es für Gespräche ins Mobilfunknetz zwei Zeitzonen und es wurden unterschiedliche Preise für Gespräche ins C-Netz, D-Netz und E-Netz (damals nur E-Plus) verlangt. Die Taktzeiten, für den jeweils der Einheitenpreis von 12 Pfennig berechnet wurden, lagen je nach Zielnetz, Wochentag und Uhrzeit zwischen 5,3 und 13 Sekunden, was rechnerischen Minutenpreisen zwischen 55 Pfennig und 1,36 DM entspricht. Heute lägen die Preise (in Euro umgerechnet und inflationsbereinigt) zwischen und Cent.


title: Deutsche Telekom

text: Im Jahr 1981 betrugen die rechnerischen Minutenpreise für Gespräche nach Großbritannien, Spanien und Italien 1,29 DM (heute inflationsbereinigt Cent). Nach Frankreich, Österreich und in die Schweiz betrugen die Minutenpreise an Werktagen zwischen 8 und 18 Uhr 1,15 DM ( Cent), in der übrigen Zeit 0,86 DM ( Cent).


title: Deutsche Telekom

text: Die Überwachungsaffäre der Deutschen Telekom AG waren 2005 und 2006 von der Telekom angeordnete Überwachungen von Aufsichtsräten, einem Vorstandsmitglied der Telekom, Angehörigen und Mitarbeitern von Betriebsräten als auch von Gewerkschaftsfunktionären und Journalisten. Ziel der Überwachungen war es nach Angaben des damaligen Telekom-Vorstandschefs Kai-Uwe Ricke, undichte Stellen im Konzern zu ermitteln, die für die wiederholte Weitergabe vertraulicher Informationen verantwortlich waren.


title: Deutsche Telekom

text: Es gibt immer wieder Kritik an den internationalen Tochterunternehmen der Deutschen Telekom, insbesondere der US-Tochter T-Mobile US, bezüglich mangelnder Corporate Responsibility. Zahlreiche Gewerkschaften, Menschenrechts- und Arbeitsrechtsorganisationen werfen der Deutschen Telekom wiederholt Arbeitsrechtsverletzungen und Gewerkschaftsfeindlichkeit vor. Nichtregierungsorganisationen wie "American Rights at Work" and Human Rights Watch haben Berichte veröffentlicht, die belegen, dass die Deutsche Telekom mit enormem Druck versucht, Beschäftigte einzuschüchtern, die sich gewerkschaftlich organisieren wollen.


title: Deutsche Telekom

text: Die US-amerikanische Telekommunikationsgewerkschaft "Communications Workers of America" und die Vereinte Dienstleistungsgewerkschaft ver.di haben im April 2008 eine internationale Gewerkschaft für T-Mobile Beschäftigte gegründet, die T-Mobile Workers Union.


title: Deutsche Telekom

text: Die US-Börsenaufsicht SEC warf der ungarischen Telekom-Tochter Magyar vor, gegen das Anti-Korruptionsgesetz verstoßen zu haben und sich in den Jahren 2005 und 2006 durch Schmiergelder in Montenegro und Mazedonien einen Vorteil verschafft zu haben. Gegen drei Magyar-Manager reichte die SEC Klage ein. Die Ermittlungen wurden Ende 2011 gegen eine Geldzahlung eingestellt: Magyar zahlte 90 Millionen Dollar Strafe, die Deutsche Telekom knapp 4,4 Millionen Dollar. Die SEC und das amerikanische Justizministerium begründeten die Strafzahlung der Telekom damit, dass der Konzern sein 60-prozentiges Tochterunternehmen nicht ausreichend kontrolliert habe. Außerdem wurden der Telekom die Verletzung von Buchführungs- und Berichtspflichten vorgeworfen. Den Bestechungsvorwurf gab es nur gegen Magyar.


title: Deutsche Telekom

text: Am 22. April 2013 kündigte die Telekom Deutschland, die für Privatkunden sowie kleine und mittlere Geschäftskunden in Deutschland zuständige Tochtergesellschaft der Deutschen Telekom AG, in einer Pressemitteilung an, „wie im Mobilfunk“ bei Neuverträgen oder Vertragsverlängerungen ab dem 2. Mai 2013 die Datenübertragungsrate zukünftig auf 384 kbit/s zu drosseln, sobald ein bestimmtes monatliches Datenvolumen überschritten würde.


title: Deutsche Telekom

text: Während sich für Bestandskunden, deren Vertragsabschluss vor dem 2. Mai 2013 lag, keinerlei Änderungen ergaben, erhielten Neukunden und Kunden, die ihren Vertrag aktiv verlängern, eine angepasste Leistungsbeschreibung als Bestandteil des Tarifes. Die Telekom Deutschland versicherte, dass die technische Aktivierung der Datendrosselung nicht vor 2016 durchgeführt worden wäre.


title: Deutsche Telekom

text: Aufgrund vehementer Proteste der Kunden erhöhte das Unternehmen am 12. Juni 2013 die vorgesehene reduzierte Datenübertragungsrate der Tarife von 384 kbit/s auf 2 Mbit/s.


title: Deutsche Telekom

text: Drosselungsklauseln für Neuverträge bestanden seit 2012 im Tarif "Call & Surf Comfort Speed" und seit 2011 im Tarif "Call & Surf Comfort VDSL". Lediglich im Tarif "Call & Surf Comfort" (ausgenommen Fiber-Option), der einen Telefon- und Internetanschluss auf ADSL- oder ADSL2+-Basis mit bis zu 16 Mbit/s enthält, wurde erstmals zum 2. Mai 2013 eine Drosselungsklausel in der Leistungsbeschreibung des Tarifes eingeführt.


title: Deutsche Telekom

text: Das Unternehmen erklärte, dass der durch die unternehmenseigenen Produkte wie Entertain hervorgerufene Datenverkehr nicht auf das Inklusivvolumen angerechnet werden würde, weshalb das Unternehmen vor allem wegen der potenziellen Verletzung der Netzneutralität kritisiert wurde.


title: Deutsche Telekom

text: Eine am 23. April 2013 eingereichte Online-Petition, die den Bundestag dazu auffordert, Internetanbieter zur Netzneutralität zu verpflichten, erreichte bereits am vierten Tag das nötige Quorum von 50.000 Mitzeichnern, so dass sich der Petitionsausschuss mit dem Thema befasste.


title: Deutsche Telekom

text: Seit dem 5. Dezember 2013 ist aufgrund eines Gerichtsurteils die Geschwindigkeitsbegrenzung bei Erreichen eines bestimmten Datenvolumens wieder aus den Produktbeschreibungen entfernt worden und Drosselungsklauseln in bestehenden Verträgen für ungültig erklärt worden. Das Landgericht Köln befand, dass in der Konsumentenwahrnehmung des Begriffes "Internet-Flatrate" bei kabelgebundenen Internet-Zugängen keine Geschwindigkeitsbegrenzung bei Erreichen eines bestimmten Datenvolumens erwartet wird.


title: Deutsche Telekom

text: Da das Unternehmen jedoch nicht auf den Begriff „Internet-Flatrate“ bei der Bewerbung seiner Internetzugänge verzichten wollte, kippte es entsprechende Klauseln in Bestands- und Neuverträgen. Bis dahin wurden diese Klauseln nicht angewandt, wodurch es sich um einen rein formalen Akt handelte. In einem Blogeintrag des Unternehmens wurden zudem Zugeständnisse gemacht, so dass man in Zukunft an mehr Transparenz in den Tarifen der gesamten Branche arbeiten wolle.


title: Deutsche Telekom

text: Geheime Unterlagen der NSA und des britischen GCHQ, die von Edward Snowden veröffentlicht wurden, sollen belegen, dass die Geheimdienste der USA und Großbritanniens über verdeckte Zugänge in die Netze der Deutschen Telekom und des Kölner Anbieters NetCologne verfügt haben.


title: Deutsche Telekom

text: In einem Schreiben des Bundeskanzleramtes an den Vorstandsvorsitzenden Ricke, soll dieser aufgefordert worden sein „fortlaufende Massenüberwachung deutscher und internationaler Internet- und Telekommunikationsdaten am Frankfurter Knotenpunkt der Deutschen Telekom AG zuzulassen und zu unterstützen“.


title: Deutsche Telekom

text: Wiederholt stand die Deutsche Telekom in der Kritik, ihre Netzzusammenschaltungskapazitäten im Internet nicht oder nur für ein Vielfaches der marktüblichen Preise zu erweitern. Die Deutsche Telekom ist ein Tier-1-Carrier, das heißt, sie kauft kein IP-Transit von anderen Netzbetreibern ein, um alle Internet-Hosts zu erreichen. Stattdessen hat sie kostenneutrale (Zero-Settlement-Basis) Netzzusammenschaltungen (Peerings) mit den anderen Tier-1-Carrieren.


title: Deutsche Telekom

text: Im Dezember 2015 reichte Cogent eine Klage gegen die Telekom wegen eines vermeintlichen Vertragsbruchs ein. Cogent wirft der Telekom vor, ihre Netzzusammenschaltungspunkte nicht ausreichend auszubauen. Darin sieht Cogent einen Missbrauch der Marktposition der Deutschen Telekom. Die Telekom argumentiert dagegen, dass Cogent deutlich mehr Datenverkehr in ihr Netz übergebe und damit die Telekom die Kosten für die Erweiterung nicht alleine tragen wolle.


title: Deutsche Telekom

text: Bereits 2014 warf Level 3, ein weiterer Tier-1-Carrier, der Deutschen Telekom vor, ihre Netzzusammenschaltungskapazitäten nicht hinreichend auszubauen.


title: Deutsche Telekom

text: Init7, ein Schweizer Telekommunikationsanbieter, beschwerte sich 2015 darüber, dass zu bestimmten Uhrzeiten ein Paketverlust von nahezu 100 % stattfinde, was quasi einem kompletten Blockieren der Peering-Verbindung entspricht. Damals lief der Vertrag von Init7 über den Bezug von IP-Transit mit Global Crossing (jetzt Level 3) aus. Neuer IP-Transit-Anbieter wurde TeliaSonera, der Vertrag erhielt jedoch die Klausel, dass Init7 keinen Traffic über das Netz der TeliaSonera in die Netze Deutsche Telekom und Orange senden dürfe. Aus diesem Grund musste Init7 den Verkehr in Richtung des autonomen Systems der Deutschen Telekom, Nummer 3320, über einen weiteren IP-Transit-Anbieter, XO Communications, leiten.


title: Deutsche Telekom

text: Da XO jedoch keine ausreichenden Kapazitäten zum Netz der Deutschen Telekom (AS3320) besaß, kam es zu einem Engpass. Laut Init7 sah sich XO außer Stande, diesen Engpass zu beheben, da sich die Deutsche Telekom nicht kooperativ zeigen würde. Laut Init7 forderte die Deutsche Telekom für den direkten Bezug von IP-Transit den doppelten Preis gegenüber dem Angebot von TeliaSonera, mit ansteigendem Preis pro Mbit/s bei steigender Kapazität. Dieses Preisniveau könne sich Init7 nicht leisten.


title: Elizabeth Debicki

text: Debicki wurde in Paris als älteste Tochter eines polnischen Vaters und einer australischen Mutter geboren. Als sie fünf Jahre alt war, zog die Familie nach Melbourne. Am Victorian College of the Arts der Universität Melbourne machte sie 2010 einen Abschluss in Englisch und Schauspiel.


title: Elizabeth Debicki

text: Ihre erste Filmrolle hatte Debicki 2011 in der australisch-britischen Filmkomödie "Die Trauzeugen" als Maureen. Kurz nach ihrem Universitätsabschluss schickte sie ein Demotape an Baz Luhrmann für eine Rolle in seinem Film "Der große Gatsby". Nach dem Vorsprechen in Los Angeles wurde sie im Mai 2011 als Besetzung der Jordan Baker in dem Film angekündigt.


title: Elizabeth Debicki

text: Neben ihrer Tätigkeit als Filmschauspielerin war sie auch schon in Theaterproduktionen in Melbourne und Sydney zu sehen.


title: Elizabeth Debicki

text: 2018 wurde sie in die Academy of Motion Picture Arts and Sciences aufgenommen, die jährlich die Oscars vergibt.


title: Elizabeth Debicki

text: Im Spätsommer 2020 wurde bekannt, dass Debicki in den finalen Staffeln fünf und sechs der britischen Serie "The Crown" den Part der Diana, Princess of Wales übernehmen soll. Dieser war in der vierten Staffel durch die schauspielende nichtbinäre Person Emma Corrin eingeführt worden.


title: Riemannsche Vermutung

text: Die Riemannsche Vermutung, Riemannsche Hypothese, Riemannhypothese oder kurz RH trifft eine Aussage über die Verteilung der Primzahlen und ist eines der bedeutendsten ungelösten Probleme der Mathematik. Sie wurde erstmals 1859 von Bernhard Riemann in seiner Arbeit "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe" in einem Nebensatz formuliert. Nachdem sie bereits im Jahr 1900 von David Hilbert auf seine Liste 23 wichtiger Jahrhundertprobleme gesetzt worden war, wurde sie im Jahr 2000 vom Clay Mathematics Institute in die Liste der sieben Millennium-Probleme der Mathematik aufgenommen. Das Institut in Cambridge (Massachusetts) hat damit ein Preisgeld von einer Million US-Dollar für eine schlüssige Lösung des Problems in Form eines mathematischen Beweises ausgelobt.


title: Riemannsche Vermutung

text: Einfach gesprochen sagt die Riemannsche Vermutung aus, dass sich die Folge der Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, … „möglichst zufällig“ verhält. Das sollte sich zum Beispiel dadurch äußern, dass die Abfolge der Ereignisse für 1, 2, 3, 4, 5, …, dass eine Zahl eine "gerade" Anzahl an Primfaktoren besitzt, wie zum Beispiel formula_1, oder eine "ungerade" Anzahl an Primfaktoren besitzt, wie formula_2, auf lange Sicht ungefähr ein Verhalten aufweist, das auch ein häufig wiederholter Münzwurf mit „Kopf“ und „Zahl“ haben könnte. Eine Theorie, welche die Riemannsche Vermutung löst und damit eine tiefere "Erklärung" für diese Zufälligkeit unter den Primzahlen lieferte, könnte daher aus Sicht der Mathematiker ein fundamental neues Verständnis für Zahlen im Allgemeinen nach sich ziehen.


title: Riemannsche Vermutung

text: Übersetzt man dies in die Fachsprache der analytischen Zahlentheorie, ist die Riemannsche Vermutung gleichbedeutend mit der Aussage, dass sämtliche komplexe Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion im sog. kritischen Streifen den Realteil formula_3 besitzen. Die Zeta-Funktion ist eine mathematische Funktion, die Informationen über Primzahlen in ihrem Abbildungsverhalten kodiert. Dabei kommt den Nullstellen eine besonders wichtige Rolle zu. Es ist schon bekannt und bewiesen, dass die Zeta-Funktion reelle Nullstellen formula_4 hat, die sogenannten "trivialen" Nullstellen. Ferner weiß man seit Beginn des 20. Jahrhunderts, dass die Zeta-Funktion unendlich viele nichtreelle Nullstellen mit dem Realteil formula_3 besitzt. Die Riemannsche Vermutung besagt also, dass es darüber hinaus keine weiteren Nullstellen gibt, d. h., dass alle nichttrivialen Nullstellen der Zeta-Funktion auf einer Geraden in der Zahlenebene parallel zur imaginären Achse liegen.


title: Riemannsche Vermutung

text: Die Riemannsche Vermutung ist sehr bedeutsam für die moderne Mathematik und wird von einigen führenden Mathematikern sogar als das derzeit wichtigste Problem der reinen Mathematik angesehen. Viele bisher ungelöste Fragestellungen, besonders aus der Zahlentheorie, können mit ihrer Richtigkeit beantwortet werden. Dies betrifft Probleme aus der mathematischen Grundlagenforschung, wie etwa solche der Primzahlverteilung im Umfeld des Primzahlsatzes oder der offenen Goldbachschen Vermutung, als auch der angewandten Mathematik, wie schnelle Primzahltests. Gleichzeitig gilt sie auch als äußerst schwierig zu beweisen. Ein Grund hierfür ist, dass die Menschheit aus Expertensicht bisher nicht über die nötigen mathematischen Werkzeuge verfügt, sie überhaupt angreifen zu können. Bisherige Beweisversuche von prominenten Mathematikern scheiterten allesamt.


title: Riemannsche Vermutung

text: Durch umfassenden Einsatz von Computern ist es gelungen, die Riemannsche Vermutung für die ersten 10 Billionen Nullstellen der Zeta-Funktion zu bestätigen. Da die Zeta-Funktion jedoch nachweislich unendlich viele nichtreelle Nullstellen besitzt, könnte sie auf diese Weise nur durch Angabe eines expliziten Gegenbeispiels widerlegt, jedoch nicht bewiesen werden. Ein Gegenbeispiel wäre eine Nullstelle im kritischen Streifen mit Realteil ungleich formula_3.


title: Riemannsche Vermutung

text: Im Zentrum der Zahlentheorie, jenes Zweiges der Mathematik, der sich mit den Eigenschaften der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4 … beschäftigt, stehen die Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11 …. Diese sind ausgezeichnet durch die Eigenschaft, genau zwei Teiler zu haben, nämlich die 1 und sich selbst. Die 1 ist keine Primzahl. Primzahlen bilden gewissermaßen die Atome der ganzen Zahlen, da sich jede positive ganze Zahl eindeutig multiplikativ in solche zerlegen lässt. Dieses Resultat wird auch als Fundamentalsatz der Arithmetik bezeichnet. Zum Beispiel gilt 21 = 3 · 7 und 110 = 2 · 5 · 11.


title: Riemannsche Vermutung

text: Trotz ihrer einfachen Definition ist nach mehreren Jahrtausenden Mathematikgeschichte bis heute kein Muster bekannt, dem sich die Primzahlen in ihrer Folge unterwerfen. Ihre Natur ist eine der bedeutendsten offenen Fragen der Mathematik. Die Riemannsche Vermutung ist eine bis heute nicht bewiesene Aussage über die Verteilung der Primzahlen und motiviert sich aus folgenden Fragestellungen:


title: Riemannsche Vermutung

text: Auf den ersten Blick sind dies Fragen sehr spezieller Natur, lediglich die Theorie der Zahlen, bzw. Primzahlen, betreffend. Mathematiker, und später auch Physiker, haben jedoch herausgefunden, dass sie mit einer Vielzahl von Strukturen zusammenhängen, die zahlreiche Felder der mathematischen Wissenschaften verknüpfen. Dies betrifft etwa die Quantenphysik, aber auch die Wahrscheinlichkeitstheorie, jener Zweig der Mathematik, der sich mit dem Zufall befasst. All diese Zusammenhänge sind bisher weder exakt formalisiert, noch verstanden worden. Sie alle münden jedoch gemeinsam in der Riemannschen Vermutung: Die Primzahlen stehen in einer "Dualität" zu einem anderen Typ mathematischer Objekte. Dabei bedeutet Dualität, dass es eine natürliche Paarung zwischen den Primzahlen und diesen anderen Objekten gibt. In etwa übertragen sich Informationen über die Primzahlen zu diesen anderen Objekten, aber auch vice versa kodieren Primzahlen Informationen über ihre „Partnerobjekte“. Bei diesen Objekten handelt es sich wieder um Zahlen. Diese unterteilen sich in zwei Kategorien:


title: Riemannsche Vermutung

text: Im Kontrast zu der „völlig willkürlichen Anordnung“ der Primzahlen scheint den nichttrivialen „Dualzahlen“ ein sehr strenges Muster zu Grunde zu liegen: wie alle komplexen Zahlen können sie zunächst auf einer Ebene visualisiert werden, und die Riemannsche Vermutung sagt aus, dass die zu den Primzahlen gehörigen nichttrivialen „Dualzahlen“ innerhalb der Ebene "alle" auf einer gemeinsamen Geraden platziert sind. Sie tragen demnach vermutlich eine starke geometrische Symmetrie.


title: Riemannsche Vermutung

text: Die Gründe, weshalb ein Beweis der Riemannschen Vermutung bahnbrechend für die Mathematik wäre, sind vielseitig: Die geometrische Lage der nichttrivialen „Dualzahlen“ birgt Informationen zu der Verteilung der Primzahlen. Kennt man alle Dualzahlen, so kann damit sogar die exakte Verteilung der Primzahlen rechnerisch beliebig genau rekonstruiert werden (siehe unteres Bild zur Primzahlhäufigkeit). Durch das Dualitätsprinzip gehen also wechselseitig keine Informationen verloren. In theoretischer Hinsicht ließe sich die Lage auf einer gemeinsamen Geraden dadurch interpretieren, dass die Primzahlen möglichst gleichmäßig und damit pseudozufällig verteilt sind. Sie liegen also „alle bereits fest“, jedoch ist es schwierig, dem Verteilungsmuster einfache Notwendigkeiten abzuringen. Zum Beispiel kann in den Primfaktorzerlegungen der benachbarten Zahlen


title: Riemannsche Vermutung

text: bislang kein notwendiger Zusammenhang erkannt werden. Viele bisher nicht bewiesene Vermutungen der Zahlentheorie würden zudem aus dem Beweis der Riemannhypothese als „Zugabe“ direkt mit folgen. Dazu zählen auch verbesserte Primzahltests, die in der Kryptographie praktische Anwendungen finden. Die Theorie der Riemannschen Vermutung führt darüber hinaus viele Gebiete der Mathematik zusammen. Tut dies eine Theorie, spricht dies für eine Form der "Fundamentalität". Beispiel einer solchen "fundamentalen" Theorie ist der Ende des 20. Jahrhunderts bewiesene Modularitätssatz, der mit elliptische Kurven und Modulformen zwei auf den ersten Blick völlig verschiedene Theorien zusammenbrachte. Ein tieferes Verständnis der Primzahlen könnte auch neue Entwicklungen in der Quantenphysik nach sich ziehen. Wäre die Symmetrie unter den „Dualzahlen“ erfüllt, könnte dieses System zum Beispiel möglicherweise als Quasikristall aufgefasst werden.


title: Riemannsche Vermutung

text: Das Phänomen der "Dualität" lässt sich anhand einer berühmten anderen Zahlenfolge veranschaulichen, der Fibonacci-Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 … . Die Folge beginnt per Definition mit 0 und 1, und die Summe der beiden vorherigen Zahlen ergibt stets die folgende Zahl. In der Mathematik bezeichnet man solche Folgen auch als rekursiv. Die Fibonacci-Folge lässt sich damit implizit durch formula_9 und formula_10 mit formula_11 definieren. Die Relation formula_12 schlägt eine Brücke in die Algebra, wo sie in der Gleichung formula_13 Ausdruck findet. Diese quadratische Gleichung kann durch die Mitternachtsformel gelöst werden, wobei man die Lösungen formula_14 und formula_15 erhält. Es ist dabei formula_16 der negative goldene Schnitt, und dieser wie auch formula_17 stehen in Dualität zur Fibonacci-Folge. Aus beiden Nullstellen "rekonstruiert" sich jeder Fibonacci-Wert über die "exakte Formel"


title: Riemannsche Vermutung

text: und aus der Fibonacci-Folge lässt sich andersherum der goldene Schnitt konstruieren durch formula_19. Die endliche Rekursion hinter den Fibonacci-Zahlen garantiert eine geringe mathematische Komplexität dieser Folge, und entsprechend „klein“ ist die Menge der „Dualzahlen“ formula_20. Die Primzahlen hingegen erfüllen keine endliche Rekursion, und ihre „genaue Zusammensetzung“ ist sehr kompliziert. Auch sie können, unter Ausnutzung der eindeutigen Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen, in einer Funktion kodiert werden. Bei diesem Prozess nimmt die charakteristische Eigenschaft der Primzahlen, die natürlichen Zahlen multiplikativ aufzubauen, eine analoge Rolle ein wie formula_21 bei der Assoziation der Fibonacci-Folge mit formula_22. Die durch die Primzahlen gewonnene Funktion ist um einiges komplizierter, als die quadratische Funktion formula_23. Man bezeichnet sie als Riemannsche Zeta-Funktion, und ihre Nullstellen sind die zu den Primzahlen gehörigen „Dualzahlen“. Die Zeta-Funktion ist, im Gegensatz zu formula_23, keine rationale Funktion, kann also nicht durch eine "endliche" Abfolge der vier Grundrechenarten (Plus, Minus, Mal und Geteilt) aus dem Eingabewert berechnet werden. Sie hat unendlich viele Nullstellen, und die hohe Komplexität der Primzahlen drückt sich dadurch aus, dass folglich die Menge der „Dualzahlen“ unendlich groß ist.


title: Riemannsche Vermutung

text: Der Zahlentheoretiker Don Zagier fasste das Problem auf seiner am 5. Mai 1975 gehaltenen Antrittsvorlesung an der Universität Bonn wie folgt zusammen:


title: Riemannsche Vermutung

text: Bereits Euklid konnte zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, weshalb die Liste 2, 3, 5, 7, 11 … aller Primzahlen niemals endet, genauso wie die Liste 1, 2, 3, 4 … aller natürlichen Zahlen niemals endet. Sein Resultat wird als "Satz des Euklid" bezeichnet.


title: Riemannsche Vermutung

text: Der Satz des Euklid ist ein mathematischer Satz; seine Richtigkeit muss daher bewiesen werden. Ein mathematischer Beweis erfolgt durch eine Aneinanderreihung logisch wahrer Argumente, die auf Axiomen oder bereits bewiesenen Sätzen aufbauen. Ein Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen kann in etwa so geführt werden:


title: Riemannsche Vermutung

text: Nachvollziehen lässt sich das Verfahren an folgendem Beispiel: Betrachtet man die Liste {2, 5, 11} von Primzahlen, so ist deren Produkt 2 · 5 · 11 = 110 durch 2, 5 und 11 teilbar. Damit kann 110 + 1 = 111 weder durch 2, 5 noch 11 teilbar sein, also gibt es eine weitere Primzahl, die sich von 2, 5 und 11 unterscheidet. In etwa teilt die Primzahl 3 die Zahl 111, und es gilt 111 = 3 · 37. Selbstverständlich ist die Listenlänge von drei Zahlen in diesem Beispiel willkürlich; man hat zum Beispiel


title: Riemannsche Vermutung

text: und weder die Primzahlen 59 noch 509 sind in der Liste {2, 3, 5, 7, 11, 13} enthalten. Das Argument zeigt also, dass jede noch so lange Liste von Primzahlen unvollständig ist. Damit muss es unendlich viele Primzahlen geben.


title: Riemannsche Vermutung

text: Die Riemannsche Vermutung gibt eine quantitative Vorstellung von der Verteilung der Primzahlen, die über das bloße Wissen um deren Unendlichkeit sehr weit hinausgeht.


title: Riemannsche Vermutung

text: Im Laufe der Zeit wurden zahlreiche Beweise für die Unendlichkeit der Primzahlen gefunden, darunter von Christian Goldbach, Leonhard Euler und Paul Erdös. Besonders Eulers Entdeckungen waren ein Wegweiser für die kommende Entwicklung von einer elementaren, in der Tradition der alten Griechen stehenden, hin zu einer modernen Form der Zahlentheorie. Im Jahr 1737, während seiner ersten Zeit in Sankt Petersburg, untersuchte Euler einen neuartigen Zugang zu den Primzahlen und fand heraus, dass sie „verhältnismäßig dicht“ unter den natürlichen Zahlen verstreut sind. Genauer bewies er


title: Riemannsche Vermutung

text: Summiert man also nacheinander die Kehrwerte der Primzahlen zusammen, wird auf Dauer jede noch so große obere Schranke durchbrochen. Dies zeigt auf, dass Primzahlen „dichter“ unter den natürlichen Zahlen verstreut sind als die Quadratzahlen, denn Euler zeigte ebenfalls


title: Riemannsche Vermutung

text: Quadratzahlen wachsen also langfristig schnell genug an, dass die Summe ihrer Kehrwerte den endlichen Wert 1,645 nicht überschreitet. Euler stand seinerzeit nicht die mathematische Sprache zur Verfügung, diese Verschärfung des Euklidischen Satzes präzise zu interpretieren, und es gibt keinen Nachweis, dass er sich mit exakten Aussagen zur Verteilung von Primzahlen beschäftigte. Allerdings hatte Euler bereits 1737 korrekterweise ohne Beweis behauptet, dass das Verhältnis formula_59, wobei formula_48 die Anzahl der Primzahlen kleiner als formula_44 bezeichnet, für wachsende formula_44 gegen 0 strebt.


title: Riemannsche Vermutung

text: Eulers Beweisstrategie nutzt das sog. Euler-Produkt. Dabei spielt die eindeutige Zerlegbarkeit natürlicher Zahlen in Primfaktoren eine Schlüsselrolle. Das Euler-Produkt steht in Zusammenhang zu einem Objekt, das bis heute in der Primzahlforschung benutzt wird, und in der modernen Mathematik als Riemannsche Zeta-Funktion bekannt ist. Die Zeta-Funktion spielt ebenfalls für die Riemannsche Vermutung eine zentrale Rolle. Die neuartige Leistung bestand darin, Fragen zu Primzahlen systematisch durch funktionale Zusammenhänge zwischen Zahlen zu attackieren. Euler gilt deswegen als Initiator der analytischen Zahlentheorie.


title: Riemannsche Vermutung

text: Die bloße Unendlichkeit einer Teilmenge der natürlichen Zahlen sagt noch nicht allzu viel über deren Natur aus. Zum Beispiel gibt es unendlich viele gerade Zahlen 2, 4, 6, 8 … und unendlich viele Quadratzahlen 1, 4, 9, 16 …, jedoch weisen beide Folgen bei genauem Hinsehen ein unterschiedliches Verhalten auf. Während zum Beispiel die Differenz zweier aufeinanderfolgender gerader Zahlen stets 2 ist, nehmen die Abstände der Quadratzahlen immer weiter zu, etwa 4 - 1 = 3, 9 - 4 = 5 und 16 - 9 = 7. Beide Folgen haben jedoch ein sehr reguläres Muster gemein, d. h., sie können über einfache Rechenoperationen bestimmt werden. Zum Beispiel ist die "n"-te gerade Zahl einfach 2"n". Im Gegensatz dazu ist bis heute kein einfaches Muster unter der Folge 2, 3, 5, 7, 11, …, 59, 61, 67, … der Primzahlen entdeckt worden. Zum Beispiel gibt es kein „schnelles“ Verfahren, die "n"-te Primzahl zu berechnen. Es zeigt sich jedoch, dass es "auf lange Sicht" Muster unter den Primzahlen zu erkennen gibt. Betrachtet man also haufenweise Primzahlen zur gleichen Zeit, so können durch „Mittelwertbildung“ reguläre Strukturen erkannt werden.


title: Riemannsche Vermutung

text: Das Prinzip hinter dieser Tatsache ist von statistischer Natur. Statistik bedeutet hierbei, aus einer großen Menge von Daten Muster herauszufiltern, obwohl das „exakte Verhalten“ der einzelnen Datenobjekte (oder Subjekte) sehr kompliziert sein kann. In etwa sind alle Menschen sehr komplex, doch im Verhalten sehr vieler Menschen zur gleichen Zeit können Muster oftmals erkannt werden, die dann in Form von Wahrscheinlichkeiten auf Individuen zurück schließen lassen. Also geht es bei diesen Überlegungen zunächst um die Frage, wie die "Verteilung" der Primzahlen zu verstehen ist, mit anderen Worten, "wie viele" Primzahlen unterhalb einer vorgegebenen Schranke "zu erwarten sind". Zum Beispiel sind nur 4 Primzahlen, nämlich 2, 3, 5 und 7, kleiner als die Zahl 10. Im Falle der oberen Schranke 150 gibt es schon 35 kleinere Primzahlen, nämlich


title: Riemannsche Vermutung

text: Dabei sind die insgesamt 20 Primzahlen zwischen 50 und 150 in grün markiert. Eine Frage der Zahlentheorie ist, ob es ein universelles und "einfaches" Prinzip gibt, zumindest zu schätzen, wie viele Primzahlen es unter einer gegebenen Schranke gibt. Erkannt wurde ein solches erstmals in den Jahren 1792/93 vom damals 15-jährigen Carl Friedrich Gauß, nachdem dieser Logarithmentafeln studiert hatte. Gauß vermutete, dass die Anzahl aller Primzahlen von 2 bis zu einer großen Zahl "x" ungefähr dem Flächeninhalt zwischen der "t"-Achse und der Funktion formula_63 im Intervall von 2 bis formula_44 entspricht. Dabei ist formula_65 der natürliche Logarithmus. Es gilt also die Integral-Näherung


title: Riemannsche Vermutung

text: womit sich die Formel wegen des exakten Wertes von 20 Primzahlen zwischen 50 und 150 (siehe oben in grün) ca. um den Wert 2 verschätzt. Das Integral von formula_73 kann nicht elementar geschlossen berechnet werden, da der kehrwertige Logarithmus keine elementare Stammfunktion besitzt. Es definiert somit eine „eigenständige“ Funktion, die auch als Integrallogarithmus formula_74 bekannt ist:


title: Riemannsche Vermutung

text: Bezeichnet formula_48 die "exakte" Anzahl der Primzahlen unterhalb der Schranke formula_44, so wird die obere Aussage formula_78 wie folgt präzisiert:


title: Riemannsche Vermutung

text: Für wachsende Werte von formula_44 wird also der obere Quotient immer näher gegen 1 streben, also der relative Fehler der Schätzung formula_78 gegen 0 gehen. Auch bei der „Statistik der Primzahlen“ gilt demnach der Grundsatz, dass größer werdende Datenmengen prozentual eine zuverlässigere Prognose erlauben. Gauß legte keinen mathematischen Beweis für diese Vermutung über die Primzahlverteilung vor, und es dauerte noch über 100 Jahre, bis ein solcher – unabhängig voneinander von Jacques Hadamard und Charles-Jean de La Vallée Poussin – im Jahr 1896 erbracht wurde. Dabei bedeutet "Beweis" nicht, dass alle erdenklichen Werte durchprobiert wurden, was bei unendlich vielen Zahlen unmöglich ist, sondern dass ein auf den mathematischen Axiomen basierendes logisches Argument den Sachverhalt in voller Allgemeinheit belegt. Das damit gezeigte Theorem wird als "Primzahlsatz" bezeichnet.


title: Riemannsche Vermutung

text: Wegen formula_82 (für formula_83) ist der Primzahlsatz deutlich stärker als der Satz des Euklid, da er nicht nur die Unendlichkeit der Menge aller Primzahlen impliziert, sondern auch eine quantitative Idee für deren Verteilung gibt. Im Gegensatz zum Satz des Euklid ist sein Beweis deutlich anspruchsvoller. Klassischerweise wird dieser mit Methoden der komplexen Analysis geführt, wobei Taubersätze ein wichtiges Hilfsmittel sind. Es existieren jedoch auch elementare Beweise, etwa von Paul Erdös und Atle Selberg aus dem Jahr 1949, aber auch moderne, wie zum Beispiel von Florian K. Richter aus dem Jahr 2021. Das Wort „elementar“ bezieht sich hierbei primär auf die Methodik und nicht den Schwierigkeitsgrad. Die Riemannsche Vermutung ist wiederum eine weitreichende Verbesserung des Primzahlsatzes.


title: Riemannsche Vermutung

text: Die Riemannsche Vermutung stellt eine starke Verschärfung des Primzahlsatzes dar. Das bedeutet, dass sie neben der von Logarithmen stammenden Verteilung der Primzahlen eine sehr exakte quantitative Beschreibung der Abweichungen von der im Primzahlsatz vorhergesagten Integralschätzung postuliert. Sie ordnet das Verhalten der Primzahlen in den Pseudozufall ein. Es existieren einige unterschiedliche und dennoch äquivalente Sichtweisen auf das Problem, die im Folgenden angeführt werden.


title: Riemannsche Vermutung

text: Wie oben bezeichnet formula_48 die exakte Anzahl von Primzahlen unterhalb der Schranke formula_44 und formula_86 den Integrallogarithmus. Der absolute Fehler im Primzahlsatz bezeichnet die Differenz formula_87. Dabei gewährleistet der Absolutbetrag, dass nur positive Größen im Ergebnis entstehen, da man sich zunächst nur für die Größe des Fehlers und nicht dessen Vorzeichen interessiert. Der absolute Fehler muss im Gegensatz zum relativen Fehler


title: Riemannsche Vermutung

text: keinesfalls gegen 0 gehen. Der Quotient aus formula_89 und formula_90 strebt mit wachsendem formula_44 gegen 1, da Quadrate schneller wachsen als lineare Terme, nicht aber die (sogar unbeschränkte) Differenz formula_92 beider Terme. Die Riemannsche Vermutung macht eine detaillierte Aussage über den absoluten Fehler im Primzahlsatz.


title: Riemannsche Vermutung

text: Dabei bezeichnet formula_43 den natürlichen Logarithmus von formula_44. Veranschaulicht werden kann diese Aussage wie folgt: Die Quadratwurzel halbiert ungefähr die Anzahl der Ziffern einer Zahl vor dem Komma (wegen formula_3 in der Hochzahl!). Zum Beispiel hat 100 000 000 insgesamt 9 Ziffern vor dem Komma, aber seine Quadratwurzel 10 000 nur noch 5. Trifft die Riemannsche Vermutung zu, so sollte die Integralschätzung des Primzahlsatzes langfristig ungefähr in der „oberen Hälfte“ der Dezimalziffern vor der Null mit dem tatsächlichen Ergebnis übereinstimmen. Exakt berechnet wurde zum Beispiel formula_101, es gibt also ca. 18,4 Trilliarden Primzahlen unterhalb einer Quadrillion. Ferner gilt:


title: Riemannsche Vermutung

text: Von den insgesamt 23 Stellen vor dem Komma des exakten Wertes formula_103 gibt es eine Übereinstimmung in den 12 ersten Ziffern mit dem Integrallogarithmus, oben in Blau markiert. Ab der ersten Abweichung sind die Ziffern vor dem Komma rot. Dabei ist 12 in etwa die Hälfte von 23. Diese Berechnung stützt also die Riemannsche Vermutung. Die logarithmischen Terme in der Abschätzung sowie bei formula_104 sind im Vergleich zur Quadratwurzel so klein, dass dies nichts Wesentliches an dieser ungefähr hälftigen Aufteilung ändert.


title: Riemannsche Vermutung

text: Der Mathematiker Lowell Schoenfeld konnte einen passenden Wert für die zunächst unbestimmte Konstante formula_93 in der Riemannschen Vermutung für hinreichend große Werte genau berechnen: Sollte diese zutreffen, so gilt


title: Riemannsche Vermutung

text: Dabei bezeichnet formula_108 die Kreiszahl. Ist die Vermutung also wahr, kann in oberer Formulierung im Wesentlichen bereits formula_109 gesetzt werden.


title: Riemannsche Vermutung

text: Obwohl der Term formula_110 für wachsende Werte formula_44 immer weiter ansteigt, und damit der absolute Fehler auch beliebig anwachsen kann, besagt die Riemannsche Vermutung, dass dieser "relativ betrachtet" sehr klein ist, da


title: Riemannsche Vermutung

text: fast mit der Geschwindigkeit einer kehrwertigen Quadratwurzel gegen 0 strebt. Wie Jürgen Neukirch bemerkte, weist dies auf eine besondere „Glätte“ in der bildlichen Darstellung der Primzahlverteilung hin, wenn man die Skala hochsetzt.


title: Riemannsche Vermutung

text: Eine zu formula_48 verwandte und in der Theorie der Riemannschen Vermutung natürlichere Treppenfunktion formula_114 wird wie folgt konstruiert. Man startet bei Null, und jedes Mal, wenn eine Primzahl"potenz" erreicht wird, springt die Treppenfunktion um den natürlichen Logarithmus der betroffenen Primzahl nach oben. Zum Beispiel ist


title: Riemannsche Vermutung

text: Obwohl die Definition der Funktion formula_114 zunächst komplizierter ist, ist ihre Betrachtung aus mathematischer Sicht natürlicher. Ein Grund dafür ist der verhältnismäßig einfache Zusammenhang zwischen der Mangoldt-Funktion und der sog. Riemannschen Zeta-Funktion, die, auch aus Gründen der Einfachheit und Übersicht, ein essentielles Objekt im Themenkreis der Riemannhypothese ist (siehe unten).


title: Riemannsche Vermutung

text: Die Riemannsche Vermutung kann probabilistisch interpretiert werden. Dies geht auf den Mathematiker Arnaud Denjoy zurück.


title: Riemannsche Vermutung

text: Um den Zusammenhang zwischen den Primzahlen auf der einen Seite und der Wahrscheinlichkeitstheorie auf der anderen Seite zu verstehen, wird der zentrale Grenzwertsatz benötigt. Der einfachste Vergleich beider Konzepte entsteht über die Betrachtung eines fairen Münzwurfes. Es wird eine faire Münze mit den möglichen Ergebnissen „Kopf“ und „Zahl“ mehrmals hintereinander geworfen. In der idealen Situation ist das Ergebnis jeden Wurfs an sich "absolut zufällig" und außerdem hängen die Ergebnisse der Würfe nicht voneinander ab. Wurde also zunächst Kopf geworfen, soll dies unerheblich dafür sein, ob wieder Kopf oder auch Zahl folgt. Die in dieser Situation falsche Annahme, nach einer langen Strecke von „Kopf“-Würfen seien „Zahl“-Würfe "wahrscheinlicher", ist indes als Spielerfehlschluss bekannt („der Zufall hat kein Gedächtnis“).


title: Riemannsche Vermutung

text: Unter Annahme "absoluten Zufalls" bei gleichen Wahrscheinlichkeiten und außerdem Unabhängigkeit der einzelnen Würfe kann bei häufigem Wiederholen eines Münzwurfes ein bestimmtes Muster beobachtet werden. Am besten wird dies veranschaulicht, wenn die Ereignisse „Kopf“ und „Zahl“ durch die Zahlen formula_127 bzw. formula_128 ersetzt werden und nach jeder Serie von Würfen die Summe aller Wurfergebnisse gebildet wird. Dies entspricht dann der Bilanz in einem Glücksspiel, in dem bei Kopf 1 Euro gewonnen und bei Zahl 1 Euro verloren wird. Werden "„Kopf“ – „Kopf“ – „Zahl“ – „Zahl“ – „Kopf“" geworfen, liegt der Gewinn bei 1 Euro, denn


title: Riemannsche Vermutung

text: Gleichzeitig entspricht dies der Differenz aus geworfenen „Köpfen“ und „Zahlen“. Bei einer sehr großen Anzahl an Würfen, etwa 40 000, ist die Annahme naheliegend, dass jeweils ungefähr 20 000 Mal „Kopf“ und „Zahl“ geworfen wird, da beide Ergebnisse exakt gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Dies hätte als mögliche Konsequenz, dass sich die Gewinnbilanz in etwa beim Wert Null „einpendelt“, da angenommen wurde, dass der Wert formula_127 in etwa so häufig summiert wurde wie formula_128. Auf der anderen Seite ist es bereits in diesen Größenordnungen extrem unwahrscheinlich, dass etwa ein Ergebnis wie "genau" 20 000-mal Kopf und "genau" 20 000-mal Zahl auftritt, was einer Gewinnbilanz von exakt 0 entspräche. Es ist eher damit zu rechnen, dass der Zufall zu „Gunsten“ von „Kopf“ oder „Zahl“ einen gewissen „Ausreißer“ verursachen wird. Das bedeutet, dass nach der Wurfserie "sehr wahrscheinlich" eine gewisse Größe häufiger gefallen sein wird als die andere, obwohl zu Beginn gleiche Wahrscheinlichkeiten vorlagen. Die Größe dieses „Ausreißers“ ist Gegenstand des "zentralen Grenzwertsatzes": Bezeichnet formula_132 die Zufallsgröße mit dem Wert formula_133 des formula_134-ten Wurfes, so errechnet sich der Gewinn formula_135 des oberen Spiels mit formula_136 Münzwürfen durch


title: Riemannsche Vermutung

text: Beginnt der Spieler mit 0 Euro auf dem Konto, kann formula_135 auch als Kontostand nach formula_136 Würfen interpretiert werden. Der zentrale Grenzwertsatz trifft eine Aussage über das zu erwartende Verhalten des Gewinns formula_135, wenn formula_136 beliebig groß wird. Ihm zufolge liegt die Größenordnung von formula_135 stets im Umfeld der Quadratwurzel der Wurfanzahl formula_136; genauer gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass formula_144, die Näherung


title: Riemannsche Vermutung

text: Dem Integral liegt die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung zugrunde. Wird zum Beispiel eine Münze 40 000 Male hintereinander geworfen, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Kontostand am Ende im Bereich formula_146 liegt wegen formula_147 ungefähr 68,2 % (siehe Bild rechts, die Abweichung ist hier formula_148). Negative Zahlen auf dem Konto werden als Schulden verstanden.


title: Riemannsche Vermutung

text: Der zentrale Grenzwertsatz findet anschaulich den „Mittelweg“ formula_149 zwischen zwei extremen und jeweils äußerst unwahrscheinlichen Ereignissen: einmal, dass (fast) genau so häufig „Kopf“ wie „Zahl“ geworfen wird, oder zweitens, dass „sehr viel“ häufiger „Kopf“ als „Zahl“ geworfen wird oder umgekehrt. Es stünde ein zu reguläres Verteilungsmuster mit der geforderten Unabhängigkeit der Würfe in Konflikt, und ein zu starkes Abweichen vom Mittelwert 0 mit der ebenfalls geforderten gleichen Wahrscheinlichkeit. Die Bestimmung der genauen Größenordnung formula_150 ist kein einfaches Unterfangen, und Gegenstand des Beweises des zentralen Grenzwertsatzes, der mit Methoden der höheren Analysis geführt wird.


title: Riemannsche Vermutung

text: Wegen der über die Normalverteilung gegebenen Wahrscheinlichkeiten gilt insbesondere für jede Zahl formula_36:


title: Riemannsche Vermutung

text: Eine „Verbindung“ zwischen Primzahlen und dem wiederholten Münzwurf kann wie folgt hergestellt werden. Es werden nacheinander die natürlichen Zahlen betrachtet; und zwar in deren eindeutiger Primfaktorzerlegung. Jedes Mal, wenn die Anzahl der Faktoren gerade ist, wird dies als formula_127 gewertet, und wenn sie ungerade ist, als formula_128. Über dieses Prozedere lässt sich eine Funktion formula_156 auf den natürlichen Zahlen definieren:


title: Riemannsche Vermutung

text: Diese wird auch als Liouville-Funktion bezeichnet, benannt nach Joseph Liouville. Zu beachten ist, dass ein Produkt mit einer ungeraden Anzahl aus lauter Faktoren −1 wieder −1 ist, und eines mit einer geraden Anzahl an Faktoren −1 genau +1, da Minus mal Minus Plus ergibt. Zum Beispiel hat die Zahl formula_160 insgesamt fünf Primfaktoren, denn


title: Riemannsche Vermutung

text: und daher gilt formula_162. Die folgende Tabelle zeigt den Sachverhalt für einige weitere Werte von formula_134.


title: Riemannsche Vermutung

text: Das genaue Verhalten der Primfaktorzerlegungen ist, für größer werdende Zahlen, ohne eine sehr aufwändige Berechnung nicht vorherzusagen und unterliegt starken Schwankungen. Die Riemannsche Vermutung besagt, dass die von der Liouville-Funktion definierte Folge pseudozufällig ist. Sie ist zwar determiniert, kann also theoretisch berechnet werden und ihre Werte „liegen alle bereits fest“, dennoch ähnelt sie in ihren Eigenschaften einem sogenannten Random Walk. Damit, so die Vermutung, sollten sich die aufaddierten Werte der Liouville-Funktion auf lange Sicht ungefähr wie ein „typischer Verlauf“ des oben beschriebenen Glücksspiels mit einem fairen Münzwurf verhalten. Es kann für


title: Riemannsche Vermutung

text: Diese Form der Pseudozufälligkeit sagt anschaulich aus, dass sich Primzahlen in ihren Eigenschaften, wie Verteilung und Primfaktorzerlegung, „möglichst zufällig“ und „möglichst unabhängig“ verhalten. So soll zum Beispiel die Frage, ob sich eine zufällig gewählte Zahl formula_172 in eine gerade oder in eine ungerade Anzahl an Primfaktoren zerlegen lässt, für wachsende Größe von formula_172 mit „gleicher Wahrscheinlichkeit“ beantworten lassen. Gleichzeitig sollen die Werte formula_54 und formula_175 für wachsende Werte formula_176 „unabhängig“ sein. Also soll es keine einfache Möglichkeit geben, aus dem Verhalten des einen Wertes, das Verhalten des anderen zu ermitteln. Betrachtet man zum Beispiel


title: Riemannsche Vermutung

text: Wäre die Riemannsche Vermutung falsch, so gäbe es ein Ungleichgewicht in der Primzahlverteilung in dem Sinne, dass es zum Beispiel streckenweise unnatürlich viel gehäufter Zahlen mit einer geraden Anzahl an Primfaktoren, wie 10, 14, 25, 132, gäbe, als Zahlen mit einer ungeraden Anzahl an Primfaktoren, wie 7, 8, 12, 18 und 125. Das Scheitern der Riemannschen Hypothese würde die Verteilung der Primzahlen durcheinander bringen.


title: Riemannsche Vermutung

text: Analog kann die Riemannhypothese auch für die Möbius-Funktion formula_55 formuliert werden. Diese nimmt für Zahlen, die in eine ungerade bzw. gerade Anzahl paarweise verschiedener Primzahlen zerfallen, den Wert formula_128 bzw. formula_127 an, und wird für Zahlen, die mehrfach durch denselben Primteiler teilbar ist, formula_182. Es ist also zum Beispiel formula_183, formula_184 und formula_185, da im letzten Fall die 3 mehr als einmal auftauchte.


title: Riemannsche Vermutung

text: Der Begriff der „Zufälligkeit“ unter den Primzahlen ist bis heute in erster Linie auch in Fachkreisen eine Anschauung, und bisher weder vollständig verstanden noch rigoros beschrieben worden. Heuristisch lassen sich einige wichtige Probleme, wie die Bestätigung der Goldbachschen Vermutung, aus dieser Eigenschaft herleiten, jedoch führt die gleiche Heuristik in anderen Fällen zu Widersprüchen.


title: Riemannsche Vermutung

text: Um Fragen zu Primzahlen mit Mitteln der Analysis angreifen zu können, sind unendliche Reihen ein erstes Werkzeug.


title: Riemannsche Vermutung

text: Unter einer "Reihe" versteht man, veranschaulicht, eine niemals endende Summe von Zahlen. Dies können reelle, aber auch komplexe Zahlen sein. Die Dezimalschreibweise einer reellen Zahl kann als Reihe aufgefasst werden, etwa


title: Riemannsche Vermutung

text: mit der Kreiszahl formula_108. Die durch die Punkte angedeuteten Summen enden niemals, da die Dezimalentwicklung von formula_192 periodisch und die Kreiszahl irrational ist. Es gibt Reihen, deren Wert nicht als Zahl darstellbar ist,


title: Riemannsche Vermutung

text: aber auch solche, die gegen einen Grenzwert konvergieren (wie die oberen Beispiele mit Grenzwerten formula_192 bzw. formula_108). Reihen wie formula_196, die "nicht" konvergieren, nennt man "divergent". Veranschaulichend gesagt kann eine Reihe formula_197 nur dann konvergieren, falls die Glieder formula_198 „schnell genug gegen 0 streben“. Aber nicht jede Reihe, deren Glieder gegen 0 streben, konvergiert, wie man an der harmonischen Reihe


title: Riemannsche Vermutung

text: Einige Reihen spielen eine ganz besondere Rolle in der Mathematik, zum Beispiel die geometrische Reihe, die aufgrund der Euler-Produkte auch im Kontext der Riemannhypothese bedeutsam ist: Das Prinzip ist, zu einer Zahl formula_200 alle natürlichen Potenzen aufzuaddieren. Man erhält dann


title: Riemannsche Vermutung

text: Es ist also zu jedem formula_44 mit formula_200 möglich, den Grenzwert der geometrischen Reihe geschlossen anzugeben. Es handelt sich auch um ein erstes Beispiel, dass eine "Funktion" formula_204 durch eine Reihe definiert ist: man hat


title: Riemannsche Vermutung

text: und die Reihenglieder hängen sämtlich von formula_44 ab. Die geometrische Reihe ist damit das Beispiel formula_207 und formula_208, wobei für den ersten Summanden die Regel formula_209 (und formal formula_210) zu beachten ist.


title: Riemannsche Vermutung

text: Die Bestimmung des Grenzwertes einer Reihe ist im Allgemeinen nicht einfach, doch in manchen Fällen ist bereits die Frage der Konvergenz schwer zu beantworten. In der Geschichte der Mathematik wurden Kriterien entwickelt, zu entscheiden, ob gewisse Reihen konvergieren oder nicht. Eines davon ist der Majorantentest: Dieser basiert auf der einfachen Überlegung, dass eine unendliche Summe nicht-negativer Zahlen, die nach oben beschränkt ist, bereits konvergieren muss. Ist also formula_211 eine Zahlenfolge und formula_212 für alle formula_213, so gilt:


title: Riemannsche Vermutung

text: Anschaulich gehen die Werte formula_217 für Konvergenz schnell genug gegen 0, weshalb es wegen formula_212 auch die Werte formula_211 tun müssen. Eine wichtige Folgerung dieses Prinzips ist, dass aus der Konvergenz der Reihe über die Absolutbeträge formula_220 notwendigerweise schon die Konvergenz der Reihe formula_221 folgt. Eine besonders wichtige "Majorante" ist die Reihe


title: Riemannsche Vermutung

text: die für reelle Zahlen formula_223 konvergiert, was mit dem Integralkriterium gesehen werden kann. Sie kann dazu dienen, die Konvergenz sog. Dirichlet-Reihen nachzuweisen.


title: Riemannsche Vermutung

text: Dieser Umordnungstrick geht auf den Mathematiker Niels Henrik Abel zurück und wird als "partielle Summation" bezeichnet. Rückwirkend bestätigen lässt sich dies durch sukzessives Ausmultiplizieren und Verrechnen der Terme. Dieser Trick kommt vor allem dann zum Einsatz, wenn die Zahlen formula_198 „schwanken“ (etwa ständige Vorzeichenwechsel), womit deren Summen formula_231 verhältnismäßig klein sind, während die Zahlen formula_226 sukzessive kleiner werden, da dann die Differenzen formula_233 eventuell viel schneller gegen Null streben als die formula_226 selbst. Die notwendige Bedingung formula_229 besagt ihrerseits, dass das Abklingen der formula_226 gegen Null das Wachstum des Terms formula_237 dominiert.


title: Riemannsche Vermutung

text: Zusammenfassend lässt sich, sofern die Nebenbedingung formula_238 erfüllt ist, mit formula_239 und formula_240 folgende Variante des Majorantentests anführen:


title: Riemannsche Vermutung

text: von Interesse, wobei formula_54 die Liouville-Funktion bezeichnet. Diese ist jedoch nicht konvergent, da die formula_246 nicht gegen Null streben. Allerdings kann man den Summanden formula_54 weitere Terme hinzufügen, die dann Konvergenz erzwingen. Hängen die hinzugefügten Terme noch von einer Variablen ab, kann aus der zu untersuchenden Folge eine Funktion erzeugt werden. Etwa ist auch


title: Riemannsche Vermutung

text: nicht konvergent, doch betrachtet man die zugehörige Potenzreihe, ergibt sich für formula_249 die Funktion


title: Riemannsche Vermutung

text: Wie die Primzahlen selbst schöpft die Liouville-Funktion Struktur aus Gesetzen "multiplikativer" Art. Es gilt das Gesetz formula_251, sie ist also eine streng multiplikative Funktion. Diese Eigenschaft bietet mathematisch viele Vorteile und muss daher für die weitere Analyse erhalten bleiben. Statt also Terme formula_252 mit konstanter Basis und veränderlichem Exponenten hinzuzufügen, werden Ausdrücke formula_253 mit veränderlicher Basis und konstantem Exponenten in Betracht gezogen. Mit den Potenzgesetzen folgt damit


title: Riemannsche Vermutung

text: und die Multiplikativität bleibt beim Übergang formula_255 erhalten. Historisch bedingt werden die Exponenten mit formula_256 statt formula_44 bezeichnet und man nennt den resultierenden Reihentyp auch Dirichlet-Reihe. Dirichlet-Reihen formula_258 können mit partieller Summation gut analysiert werden: Es sind formula_259 Potenzfunktionen in formula_134, und durch Nehmen der Differenzen werden diese um den Faktor formula_261 kleiner:


title: Riemannsche Vermutung

text: Dabei bedeutet das Zeichen formula_265, dass die linke Seite bis auf einen von formula_266 "abhängigen" aber von formula_134 "unabhängigen" Faktor stets kleiner ist als die rechte Seite. Der zusätzliche Faktor formula_268 macht den Term formula_269 um eine Potenzgrößenordnung kleiner als formula_270. Setzt man weiter formula_271 mit der Liouville-Funktion, so haben diese Vorzeichenwechsel. Die Häufigkeit des Wegkürzens der Terme innerhalb formula_272 steht mit der Anzahl der Zahlen mit gerader bzw. ungerader Primfaktoranzahl unterhalb formula_134 in direktem Zusammenhang, und die Riemannsche Vermutung (RV) besagt formula_274 für alle formula_36 (siehe oben). Setzt man diese voraus, gilt für alle formula_276 die Nebenbedingung formula_277 und es folgt für eben diese formula_52 mit Majorantentest und partieller Summation:


title: Riemannsche Vermutung

text: Im letzten Schritt kann formula_36 so klein gewählt werden, dass formula_281 wird, etwa durch formula_282. Die gleichen Überlegungen gelten für die Möbius-Funktion. Daraus motiviert sich:


title: Riemannsche Vermutung

text: weshalb die betroffene Reihe hier „trivialerweise“ konvergiert. Gleiches gilt für die Möbius-Funktion. Dieses einfache Verfahren ist für formula_289 nicht mehr möglich. Bereits der Fall formula_148 ist schwierig und fruchtet durch eine zahlentheoretische Folgerung: Aus der Konvergenz der Reihe


title: Riemannsche Vermutung

text: gegen den Grenzwert 0 kann der Primzahlsatz gefolgert werden. Dass der Grenzwert tatsächlich 0 ist, fällt als „Beigabe“ beim Beweis der Konvergenz mit heraus. Über die Fälle formula_292 ist bis heute nichts bekannt. In diesem Sinne ist die Riemannsche Vermutung auch in dieser Hinsicht eine deutliche Verschärfung des Primzahlsatzes.


title: Riemannsche Vermutung

text: In ihrer ursprünglichen Fassung ist die Riemannsche Vermutung zunächst kein Problem der Zahlentheorie, sondern ein Problem der komplexen Analysis. Die komplexe Analysis beschäftigt sich mit den Eigenschaften holomorpher Funktionen, sowie sich die klassische (reelle) Analysis mit den Eigenschaften differenzierbarer Funktionen beschäftigt.


title: Riemannsche Vermutung

text: eine in einem „möglichst großen Bereich“ holomorphe Funktion darstellt. Dabei ist „großer Bereich“ näher zu spezifizieren. Ähnlich wie die Konvergenzfrage im Reellen misst die Holomorphie das Verhalten der Reihe formula_294, und ein großer Holomorphiebereich impliziert ein starkes gegenseitiges Wegheben der Terme formula_54 in dieser Reihe.


title: Riemannsche Vermutung

text: Um Dirichlet-Reihen als holomorphe Funktionen zu sehen, müssen diese auch an komplexen Zahlen ausgewertet werden. Unter Verwendung der Formel von Euler, die imaginäre Zahlen im Exponenten sinnvoll interpretiert, gelingt dies für formula_51 wie folgt:


title: Riemannsche Vermutung

text: Wegen der Beschränktheit von Sinus und Kosinus für reelle Zahlen formula_300 sieht man damit, dass sich das Verhalten von formula_301 für festen Realteil formula_52 aber veränderlichen Imaginärteil formula_53 im Exponenten nur „geringfügig ändert“. Der Realteil von formula_266 bestimmt die absolute Größe des Terms formula_305, während der Imaginärteil nur eine „Schwingung“ erzeugt, die in der komplexen Ebene als Drehung entlang des Einheitskreises verstanden werden kann. Genau genommen gilt formula_306. Bei wachsendem Realteil von formula_266 nähern sich die Terme formula_305 zunehmend der Null, weshalb die Konvergenzbedingungen „immer besser werden“. Unter anderem mit dieser Beobachtung kann eine bedeutende Eigenschaft für Funktionen gezeigt werden, die durch eine Dirichlet-Reihe definiert sind: Konvergiert eine Dirichlet-Reihe an einer Stelle formula_309, so tut sie das bereits an "jeder" Stelle formula_310 mit formula_311, wobei an den Imaginärteil formula_53 keine besonderen Bedingungen gestellt sind. Im Innern ihres Konvergenzbereichs stellt sie eine holomorphe Funktion dar.


title: Riemannsche Vermutung

text: Es folgt damit, dass Dirichlet-Reihen auf "offenen Halbebenen" der komplexen Ebene konvergieren und dort holomorph sind. Konvergiert eine Dirichlet-Reihe irgendwo, so gibt es ferner eine eindeutig bestimmte Zahl formula_313, die sogenannte "Konvergenzabszisse", so dass die Dirichlet-Reihe für "alle" komplexen Zahlen formula_310 mit formula_311 konvergiert, und für "alle" mit formula_316 divergiert. Über die Fälle formula_317 kann keine allgemeine Aussage getroffen werden. Hiermit ergibt sich eine weitere Formulierung der Riemannhypothese. Ist die Reihe formula_318 für "alle" formula_319 konvergent, so auch für alle formula_51 mit formula_319, und umgekehrt.


title: Riemannsche Vermutung

text: Für den Primzahlsatz wird lediglich die holomorphe Fortsetzbarkeit in den Bereich formula_327 benötigt. Über diese erste funktionentheoretische Fassung ist es möglich, den Zusammenhang zwischen der Primzahlverteilung und Nullstellen der sogenannten Riemannschen Zeta-Funktion zu formulieren.


title: Riemannsche Vermutung

text: Wie Bernhard Riemann bereits 1859 erkannte, besteht eine enge Verbindung zwischen Primzahlen und den Nullstellen einer bestimmen Funktion. Diese trägt den Namen Riemannsche Zeta-Funktion, und wird mit dem griechischen Buchstaben Zeta (klein) notiert; also formula_328. Es ist die Variablenbenennung formula_44 im Kontext der Zeta-Funktion jedoch unüblich, da sie nicht nur reelle Zahlen entgegennimmt und abbildet, sondern auch komplexe Zahlen. Als Variable hat sich im Laufe der Zeit die von Riemann gewählte Benennung formula_51 durchgesetzt, wobei formula_52 (Sigma) der Realteil und formula_53 der Imaginärteil von formula_266 ist. Das Symbol formula_334 bezeichnet wie üblich die imaginäre Einheit und erfüllt formula_335. Eine (komplexe) Nullstelle formula_336 der Zeta-Funktion erfüllt die Gleichung formula_337.


title: Riemannsche Vermutung

text: Die Riemannsche Zeta-Funktion wird in der Literatur als diejenige Dirichlet-Reihe definiert, deren Koeffizienten ausschließlich 1 sind, mit anderen Worten


title: Riemannsche Vermutung

text: Mit dem Majorantentest sieht man, dass die Reihe für alle Werte formula_51 mit formula_223 konvergiert. An der Stelle formula_341 erhält man gerade die harmonische Reihe:


title: Riemannsche Vermutung

text: also gilt formula_343, damit ist formula_344 die Konvergenzabszisse von formula_49, und die Dirichlet-Reihe wird die Zeta-Funktion "nicht" mehr für Zahlen formula_266 mit formula_347 darstellen. Für manche Werte im Konvergenzbereich konnten geschlossene Funktionswerte der Zeta-Funktion berechnet werden. So fand Leonhard Euler zum Beispiel


title: Riemannsche Vermutung

text: Für die Zahlentheorie ist es bedeutsam, die Zeta-Funktion auch in größeren Bereichen betrachten zu können als nur die um 1 verschobene rechte Halbebene. Es kann gezeigt werden, dass sie eine "Fortsetzung" besitzt, die auch für Zahlen definiert ist, für welche die Dirichlet-Reihe nicht mehr konvergiert. Lediglich der Wert formula_341 ist weiterhin auszuschließen, für alle anderen komplexen Zahlen ist formula_49 mit der Fortsetzung allerdings definiert. Die Fortsetzung ist für alle formula_354 holomorph, und damit wegen des Identitätssatzes für holomorphe Funktionen bereits eindeutig bestimmt, da der Definitionsbereich formula_355 wegzusammenhängend ist. Es gibt also weiterhin nur „die eine“ Zeta-Funktion. Hintergrund der Fortsetzungsmöglichkeit ist, dass das verwandte Integral


title: Riemannsche Vermutung

text: offenbar für alle formula_354 fortgesetzt werden kann, mit komplexer Ableitung formula_359. Es sind also die Funktionen


title: Riemannsche Vermutung

text: „ähnlich genug“, dass aus den „guten Fortsetzungseigenschaften“ des Integrals auch die Fortsetzbarkeit von formula_49 gefolgert werden kann, obgleich die mathematischen Details bei diesem Unterfangen weitaus technischer sind.


title: Riemannsche Vermutung

text: Eine weitere, auch für die Riemannsche Vermutung, bedeutsame Eigenschaft der Zeta-Funktion wurde bereits von Euler beobachtet, jedoch erst durch Riemann bewiesen. Die Zahlenwerte formula_49 und formula_364 stehen in enger Verbindung über die sogenannte "Funktionalgleichung der Zeta-Funktion":


title: Riemannsche Vermutung

text: Dabei ist formula_50 die Gammafunktion und formula_108 die Kreiszahl. Diese Gleichheit ist als global gültige "Identität" im Sinne des Beispiels formula_368, und "nicht" als Gleichung zu verstehen, wobei letztere nur für einige wenige "Lösungen" gelten könnte. Ebenfalls bemerkenswert ist, dass beide Terme in der Funktionalgleichung über den Variablenwechsel formula_369 auseinander hervorgehen. Die Zeta-Funktion besitzt demnach ein Spiegelungsverhalten an der Geraden formula_370, die unter der Spiegelung unverändert bleibt.


title: Riemannsche Vermutung

text: Ihre zahlentheoretische Bedeutung erhält die Zeta-Funktion über das "Euler-Produkt". Namensgeber Leonhard Euler entdeckte als erster diesen Zusammenhang, ohne jedoch dessen tiefere Bedeutung in vollem Umfang zu erkennen. Erst Bernhard Riemann konnte, da er die Zeta-Funktion als holomorphe Funktion in den komplexen Zahlen begriff, den Zusammenhang voll ausschöpfen. Hintergrund ist, dass für ein Studium der unendlich vielen Primzahlen alternativ ein "einzelnes" mathematisches Objekt analysiert werden kann, das Informationen zu jeder Primzahl in sich kodiert, und zwar gleichzeitig. Solche Objekte werden in der Zahlentheorie auch als "globale" Objekte bezeichnet. Genau ein solches Objekt ist die Riemannsche Zeta-Funktion.


title: Riemannsche Vermutung

text: Das Euler-Produkt ist eine alternative Darstellung der Zeta-Funktion im Konvergenzbereich der Dirichlet-Reihe. Als Formel geschrieben lautet es:


title: Riemannsche Vermutung

text: Dabei ist formula_373 das Produktzeichen, und das rechte Produkt erstreckt sich über genau alle Primzahlen. Für unendliche Produkte (nach Euklid gibt es unendlich viele Primzahlen) gelten ähnliche Anschauungen wie für Reihen, nur das die Faktoren („Glieder des Produktes“) im Laufe der Zeit gegen 1 streben müssen, falls das betroffene Produkt konvergieren soll, da Faktoren nahe 1, genau wie Summanden nahe 0, nur noch wenig am Zwischenwert ändern. Das Euler-Produkt ergibt sich aus der geometrischen Reihe sowie dem Fundamentalsatz der Arithmetik. Es ist andersherum eine analytische Formulierung der Tatsache, dass jede natürliche Zahl formula_134 eine eindeutige Primfaktorzerlegung besitzt, wobei die Eindeutigkeit durch die formula_375 im Zähler des Terms formula_376 innerhalb der Zeta-Reihe ausgedrückt wird.


title: Riemannsche Vermutung

text: Eine wichtige Folgerung des Euler-Produktes für die Analysis der Zeta-Funktion ist, dass formula_377 für alle formula_378 gilt. Dies ist eine Konsequenz einer Erweiterung des Satzes vom Nullprodukt für unendliche Produkte: keiner der Faktoren des Euler-Produktes ist für irgendeinen Eingabewert aus diesem Bereich Null, also wird es auch nicht im Grenzwert Null sein. Weitaus nichttrivialer ist die Tatsache, dass das Euler-Produkt, im Gegensatz zur Dirichlet-Reihe, auch auf der Geraden formula_379, mit Ausnahme von formula_341, an Gültigkeit behält. Es gilt


title: Riemannsche Vermutung

text: was die Nullstellenfreiheit von formula_49 im gesamten Bereich formula_327 zur Folge hat. Als eine Folgerung der Funktionalgleichung ergibt sich, dass die "einzigen" Nullstellen von formula_49 außerhalb des sog. "kritischen Streifens" formula_385 die "trivialen Nullstellen"


title: Riemannsche Vermutung

text: sind. Alle anderen Nullstellen bezeichnet man als "nichttrivial", und diese liegen allesamt im kritischen Streifen.


title: Riemannsche Vermutung

text: Der große Nutzen des Euler-Produktes besteht darin, dass sich mit seiner Hilfe einfache Verbindungen zwischen der Zeta-Funktion und zahlentheoretischen Funktionen, wie der Liouville-Funktion, aufstellen lassen. Diese ist eine vollständig multiplikative Funktion, also gilt formula_251 für alle natürlichen Zahlen formula_134 und formula_172, da das Produkt formula_390 genau formula_391 Primfaktoren hat, aber formula_392. Über die verallgemeinerte Form des Euler-Produktes für vollständig multiplikative Funktionen ergibt sich damit


title: Riemannsche Vermutung

text: Auf sehr ähnlichem Weg lässt sich auf die erzeugende Dirichlet-Reihe der Möbius-Funktion als rationale Funktion der Zeta-Funktion geschlossen ausdrücken:


title: Riemannsche Vermutung

text: Mittels Euler-Produkt kann die Dirichlet-Reihe der sehr komplizierten Liouville-Funktion bzw. Möbius-Funktion geschlossen als rationale Funktion in Zeta-Funktionen ausgedrückt werden. Gleichzeitig besagt die Riemannsche Vermutung, dass sich der Term formula_395 bzw. formula_396 holomorph auf den Bereich formula_325 fortsetzen lassen kann. Damit ist ausgeschlossen, dass der Nenner formula_49 in diesem Bereich Null wird, da es der Zähler wegen des Euler-Produktes auch nicht sein kann. Es wird folglich vermutet:


title: Riemannsche Vermutung

text: Aus der Funktionalgleichung der Zeta-Funktion geht hervor, dass formula_337 genau dann wenn formula_402 für den Fall formula_403, da sowohl die Gammafunktion als auch die Exponentialfunktion in diesem Bereich weder Pol- noch Nullstellen haben, sich also „neutral verhalten“. Gäbe es also zum Beispiel eine Nullstelle mit formula_404, so wäre mit formula_405 die Riemannsche Vermutung verletzt. Einzig die Gerade formula_370 bleibt unter der Transformation formula_407 unverändert. Daher motiviert sich folgende hinreichende Version der Riemannschen Vermutung:


title: Riemannsche Vermutung

text: Die Funktion formula_411 ist ganz und nimmt an reellen Stellen reelle Werte an. Ergo hat sie im Punkt formula_412 bloß reelle Ableitungen. Daraus folgt formula_413, wobei der Überstrich die komplexe Konjugation formula_414 bedeutet (Spiegelung an der reellen Achse). Ist also formula_336 eine nichttriviale Nullstelle der Zeta-Funktion, so auch formula_416. Wird dies mit der Funktionalgleichung kombiniert, treten die nichttrivialen Nullstellen zunächst in Vierergruppen formula_417 auf (siehe Bild). Stimmt aber die Riemannsche Vermutung, verschmilzt dies wegen formula_418 und entsprechend formula_419 zu lediglich einer Zweiergruppe.


title: Riemannsche Vermutung

text: Dies ist die auf Bernhard Riemann zurückgehende Originalformulierung. Sie motivierte sich weder aus der Restgliedabschätzung des Primzahlsatzes noch aus den für die Liouville-Funktion vermuteten Beschränktheitseigenschaften. Beide Alternativformulierungen wurden jedoch einige Jahre später als Konsequenz des vermuteten Nullstellenverhaltens der Zeta-Funktion gefolgert und sind zu diesem sogar äquivalent.


title: Riemannsche Vermutung

text: Riemann kam auf seine Vermutung bei der Untersuchung des Produkts der Zeta-Funktion mit der Gammafunktion


title: Riemannsche Vermutung

text: Es ist also formula_424 eine gerade Funktion. Es ist aber auch formula_425, da formula_424 für reelle formula_53 reellwertig ist. Der Faktor formula_428 neutralisiert die trivialen Nullstellen und die Polstelle von formula_49, womit sich formula_430 in diese Punkte holomorph fortsetzt, aber dort nicht verschwindet. Das führt zu folgender einfacheren Form:


title: Riemannsche Vermutung

text: Riemann sprach von „reellen Wurzeln“ der Gleichung formula_432 und meinte damit, dass für ein formula_421 im kritischen Streifen die besagte Gleichung lediglich für reelle formula_53, also formula_435, zu lösen sei.


title: Riemannsche Vermutung

text: Wegen formula_446 ist zu beachten, dass auch Nullstellen vorliegen, wenn der Imaginärteil negativ gewählt wird. Für weitere Nullstellen siehe auch die Liste der nichttrivialen Nullstellen der Zeta-Funktion.


title: Riemannsche Vermutung

text: Ebenfalls ungeklärt ist die Frage, welche Ordnungen die nichttrivialen Nullstellen der Zeta-Funktion haben. Es wird vermutet, dass sie alle die Ordnung 1 haben, also einfache Nullstellen sind. Dies ist äquivalent dazu, dass die Ableitung formula_447 an jeder nichttrivialen Nullstelle formula_448 selbst nicht Null wird. Numerische Untersuchungen stützen diese Vermutung: alle bisher gefundenen Nullstellen hatten einfache Ordnung.


title: Riemannsche Vermutung

text: Die Zahl formula_3 spielt eine Schlüsselrolle in einigen Formulierungen der Riemannschen Vermutung. Zusammenfassend wird als Synthese der oberen Abschnitte festgehalten:


title: Riemannsche Vermutung

text: In seinem, von Fields-Medaillen-Träger Peter Scholze und Jakob Stix kritisierten, Beweisversuch der abc-Vermutung zieht Shin’ichi Mochizuki eine Verbindung zwischen der Riemannhypothese und anderen Theorien, darunter seiner selbst entwickelten "Interuniversellen Teichmüller-Theorie" und "Hodge-Arakelov-Theorie" aus der algebraischen Geometrie. Laut Mochizuki seien


title: Riemannsche Vermutung

text: sämtlich „Phänomene des Gewichts formula_3“ ("phenomena of weight formula_3"), und, auf einer konkreten Ebene, Phänomene, die sich „um arithmetische Versionen von formula_464“ drehen.


title: Riemannsche Vermutung

text: Zahlreiche Schätzungen für zahlentheoretische Größen können im Falle der Richtigkeit der Riemannschen Vermutung bewiesen bzw. verbessert werden. Aus der Riemannschen Vermutung folgt beispielsweise eine Restgliedabschätzung im Primzahlsatz (Helge von Koch 1901):


title: Riemannsche Vermutung

text: Ähnlich verhält es sich mit der Tschebyschow-Funktion formula_114. Trifft die Riemannhypothese zu, so gilt


title: Riemannsche Vermutung

text: und umgekehrt. Der minimale Abstand der Nullstellen formula_336 zur Geraden formula_379 kontrolliert darüber hinaus exakt die Fehlergüte im Primzahlsatz. In der Tat, ist formula_470, so gilt allgemein


title: Riemannsche Vermutung

text: Die Richtigkeit der Riemannschen Vermutung hätte auch unmittelbare Konsequenzen für das asymptotische Wachstumsverhalten der Zeta-Funktion auf der kritischen Geraden, also die Frage nach dem Anstieg von formula_473 für formula_474. So kann etwa die Lindelöfsche Vermutung, die formula_475 für alle formula_36 besagt, aus der Richtigkeit der Riemannhypothese gefolgert werden. Für zahlentheoretische Probleme, in denen, etwa im Rahmen der Perronschen Formel die Zeta-Funktion vertikal integriert werden muss, spielt dieses Wachstum eine entscheidende Rolle. Die vertikalen Integrale kodieren die Größe der Restglieder für viele Schätzverfahren, etwa im Kontext des Dirichletschen Teilerproblems. Definiert man


title: Riemannsche Vermutung

text: gezeigt werden, wobei formula_480 ein Polynom ist, und unter Annahme der Lindelöfschen Vermutung (insbesondere also unter Annahme der Riemannhypothese), kann der Fehler für formula_481 stets zu formula_482 verbessert werden. Allgemeiner führt die Richtigkeit der Riemannsche Vermutung, wegen der maximalen Größe des nullstellenfreien Bereichs, zu einer Verbesserung der Selberg-Delange-Methode.


title: Riemannsche Vermutung

text: Die Fourier-Analysis beschäftigt sich, grob gesprochen, mit der Zerlegung von zum Beispiel Funktionen in ihr "Spektrum". Die bedeutendsten Fälle sind die des kontinuierlichen und des diskreten Spektrums. Kann eine Funktion in ein kontinuierliches Spektrum zerlegt werden, ist sie andersherum aus einem solchen aufgebaut. Sie kann (bei einer geraden Funktion formula_204) dann in der Form


title: Riemannsche Vermutung

text: geschrieben werden, wobei die Amplituden formula_485 die Intensität beschreiben, mit der die Frequenz formula_53 in formula_204 auftaucht. Im Falle eines diskreten Spektrums formula_488 ist formula_204 aus einer Summe aus Schwingungen aufgebaut der Form


title: Riemannsche Vermutung

text: Aus Symmetriegründen kann die Summe auch bei formula_491 begonnen werden, nachdem negative Teile des Spektrums als positiv betrachtet werden. Ist die Summe endlich, handelt es sich möglicherweise um einen Mehrklang, der durch Überlagerung mehrerer „reiner“ Schwingungen aufgebaut ist. Eine entscheidende Frage ist, ob und wie es möglich ist, aus dem Verhalten von formula_204 dessen Spektrum zu rekonstruieren. Das allgemeine Werkzeug hierfür ist die Fourier-Transformation, doch bei diskreten Spektren reicht die Sprache der Funktion nicht mehr aus, die Fourier-Transformation zu beschreiben. Erst unter Verwendung von Distributionen kann dies rigoros gemacht werden, indem man festlegt, dass die inverse Fourier-Transformierte der formalen Reihe formula_493 die Distribution


title: Riemannsche Vermutung

text: mit formula_495 ist, unter Verwendung der Delta-Distribution. Dieses Prinzip bleibt auch dann erhalten, wenn die beginnende Reihe formal ist, es werden also keinerlei Konvergenzbedingungen gestellt. Anschaulich ist formula_496 eine „Funktion“, die an der Stelle formula_497 „unendlich groß“ ist, und ansonsten Null. In einigen Fällen können Distributionen aber als allgemeine Fourier-Reihen aufgefasst werden, besitzen also ebenfalls ein Spektrum. Barry Mazur und William Stein weisen darauf hin, dass dies zu einer Dualität zwischen den Spektra zueinander inverser Distributionen führt. Eine Veranschaulichung ist durch Abbrechen der formalen Reihen an einer oberen Schranke mit anschließendem Auffinden von „Extremstellen“ ("spike values") möglich. Betrachtet man also die endliche Summe


title: Riemannsche Vermutung

text: so ist ein "spike value" eine Stelle formula_499, in der formula_500 für formula_501 unbeschränkt ist, während es an den anderen Stellen lediglich oszilliert. Solche "spike values" können Informationen über das Spektrum der Transformierten formula_502 kodieren, und umgekehrt. Ein einfaches Beispiel ist die Reihe formula_503. Diese ist nirgends konvergent, oszilliert jedoch an allen Stellen formula_504 und ist für formula_505 unbeschränkt. Dies weist auf ein Spektrum formula_506 hin, und in der Tat hat die Reihe formula_507 wiederum "spike values" an den Stellen formula_508, womit die Dualität erkennbar ist.


title: Riemannsche Vermutung

text: Im Falle der Primzahlen führt eine derartige „Spektralanalyse“ über die Mangoldt-Funktion formula_56 zu der formalen Reihe


title: Riemannsche Vermutung

text: womit das zu Beginn betrachtete Spektrum genau die Logarithmen aller Primpotenzen umfasst, also formula_511 usw. Nach Abbruch der oberen Reihe an hohen Schranken werden zunehmend "spike values" erkennbar an den Stellen (siehe auch unteres, rechtes Bild)


title: Riemannsche Vermutung

text: Die Werte formula_513 werden auch als „Riemannsches Spektrum“ ("Riemann spectrum") bezeichnet, und an den "spike values" der allgemeinen Fourier-Reihe


title: Riemannsche Vermutung

text: kann die Verteilung der Primzahlen exakt abgelesen bzw. rekonstruiert werden. Trifft die Riemannsche Vermutung zu, so ordnen sich diese Werte auf natürliche Weise als die positiven Imaginärteile der nichttrivialen Nullstellen der Zeta-Funktion an.


title: Riemannsche Vermutung

text: Terence Tao folgend sind die Primzahlen unregelmäßig über die ganzen Zahlen verteilt; wenn man jedoch eine Spektralanalyse dieser Verteilung durchführt, kann man bestimmte langfristige Oszillationen in der Verteilung erkennen (manchmal auch als die „Musik der Primzahlen“ bezeichnet), deren Häufigkeit durch eine Folge komplexer Zahlen beschrieben wird – den nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion. Im Prinzip sagen diese Zahlen „alles, was wir über die Primzahlen wissen wollen“. Nach einem Hinweis von Andrew Granville können diese Ideen unter Annahme der Riemannhypothese mittels Techniken der Funktionentheorie, etwa Kurvenintegration, rigoros gemacht werden.


title: Riemannsche Vermutung

text: Mit Hilfe der Nullstellen der Zeta-Funktion können Verteilungsfunktionen zu den Primzahlen rekonstruiert werden. Die Herleitung dieser Formeln beruht letztlich auf Methoden verwandt zur Fourier-Analysis. Ausgangspunkt sind die Perronschen Formeln. Diese besagen in ihrer effektiven Form


title: Riemannsche Vermutung

text: für formula_516 und formula_517. Das bedeutet, dass eine diskrete Summe formula_518 mit formula_519 auf der einen Seite bis auf einen kalkulierbaren Fehler durch einen Integralausdruck auf der anderen Seite dargestellt wird. Der Integralausdruck ist ein analytischer Term, und für dessen Studium kann man sich der Eigenschaften des inneren Terms, des Integranden, bemächtigen. Durch eine Verschiebung der Integrationslinie nach rechts kann unter Anwendung des Residuensatzes der Funktionentheorie diese Formel expliziter gemacht werden. Dabei werden die Polstellen des Ausdrucks formula_520 berücksichtigt. Polstellen entstehen unter anderem dort, wo formula_49 verschwindet. Das Untermauert die Bedeutung der Nullstellen von formula_49 beim Studium des Terms formula_114. Bereits Hans von Mangoldt war es möglich, die exakte, für formula_524 und formula_525 gültige Formel


title: Riemannsche Vermutung

text: wobei formula_527 die natürliche Exponentialfunktion, formula_528 die Körpererweiterung von formula_529 vom Grade formula_134 ist und formula_531 die Anzahl von Lösungen der Gleichung formula_532 in formula_528. Die Riemannsche Vermutung besagt dann, dass diese Zeta-Funktion stets eine Funktionalgleichung erfüllt und alle Nullstellen den Realteil formula_3 besitzen. Der Fall von Kurven des Geschlechts formula_535, sog. elliptischer Kurven, wurde dabei im Jahr 1934 von Helmut Hasse, und für beliebiges Geschlecht von André Weil in den 1940ern bewiesen. Weil vermutete überdies, dass sich die Riemannhypothese auch auf den Fall sämtlicher Varietäten über endlichen Körpern ausdehnen sollte, also Nullstellengebilde von beliebigen Systemen von Polynomgleichungen (beliebig, aber endlich viele Polynome in beliebig vielen Variablen). Diese sog. "Weil-Vermutungen" konnten erst 1974 durch Pierre Deligne bewiesen werden, nach bedeutender Vorarbeit von Alexander Grothendieck, Emil Artin und Jean-Louis Verdier, welche die étale Kohomologie entwickelten. Diese ist ein zentrales Werkzeug in Delignes Beweis, der außerordentlich hoch in seiner Schwierigkeit ist.


title: Riemannsche Vermutung

text: Nach Meinung vieler führender Mathematiker ist die Riemannsche Vermutung, zusammen mit ihren Verallgemeinerungen auf L-Funktionen, das derzeit wichtigste offene Problem der reinen Mathematik.


title: Riemannsche Vermutung

text: Der deutsche Fields-Medaillen-Träger Gerd Faltings nennt das Problem „wirklich wichtig“ und schätzt es als jenes mit derzeit „höchstem Prestige“ ein. Bezüglich der Rolle Riemanns weist er darauf hin, dass dieser es „ja nicht wirklich vermutet“ habe, sondern lediglich „gefragt habe, ob es so sei“.


title: Riemannsche Vermutung

text: Peter Borwein, Stephen Choi, Brendan Rooney und Andrea Weirathmueller bezeichnen die Riemannsche Vermutung als „Heiligen Gral“ unter den mathematischen Problemen. Die Lösung eines solchen Problems sei stets wie die Erstbesteigung des Mount Everest, jedoch seien viele „große Probleme“ eher „isolierte Gipfel“ gewesen, wie etwa das Fermat-Problem als solches. Bei der Riemannhypothese sei dies aber „anders“, da eine Menge ungelöster Probleme aus ihr folgen würden.


title: Riemannsche Vermutung

text: In der Folge "Prime Suspect" (Staffel 1, Folge 5) der Serie "Numbers – Die Logik des Verbrechens" wird die Tochter "Emily" (Emma Prescott) des Mathematikers "Ethan Burdick" (Neil Patrick Harris) entführt, der von sich behauptet, die Riemannsche Vermutung bewiesen zu haben. Ethan Burdick fürchtet indes „Diebstahl und eine Sabotage“ seiner Arbeit durch einen Rivalen.


title: Riemannsche Vermutung

text: Harold Davenport berichtete, dass sich Godfrey Harold Hardy und John Edensor Littlewood beinahe zerstritten, da Hardy eine Kriminalgeschichte verfasst hatte, in der ein Mathematiker die Riemannsche Vermutung bewiesen hatte, dann aber von einem zweiten Mathematiker ermordet wurde, da dieser den Beweis für sich beanspruchen wollte. Littlewood war nicht primär wegen der hintergründigen Tatsache verärgert, dass er äußerst viel mit Hardy publizierte, aber ein Mitautor des fiktiven Beweises unerwähnt blieb, sondern der Mörder eine gewisse Ähnlichkeit mit ihm habe. Er bestand darauf, dass Hardy das Manuskript nie veröffentlichen sollte, und dieser gab schließlich nach.


title: Riemannsche Vermutung

text: Im Roman "Die Riemannsche Vermutung" (2006, "Roten av minus én", dt. "Wurzel aus Minus eins") des norwegischen Schriftstellers Atle Næss wird teilweise Bezug auf das mathematische Problem genommen.


title: Riemannsche Vermutung

text: In dem Roman "Life After Genius" von M. Ann Jacoby (2008) versucht die Hauptfigur "Theodore „Mead“ Fegley", der erst 18 Jahre alt ist und sich im letzten Semester des Colleges befindet, die Riemannhypothese für sein Forschungsprojekt im letzten Studienjahr zu beweisen. Er benutzt auch einen Supercomputer, um mehrere Milliarden Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion zu berechnen. In mehreren Traumsequenzen innerhalb des Buches führt Mead einige Gespräche mit Bernhard Riemann über das Problem und die Mathematik im Allgemeinen.


title: Wehrpflicht in Deutschland

text: Die Wehrpflicht in Deutschland bezeichnet die gesetzliche Pflicht männlicher deutscher Staatsbürger zur Ableistung von Wehrdienst in den Streitkräften der Bundesrepublik Deutschland. Sie besteht seit Juli 1956 und war bis 1. Juli 2011 mit der allgemeinen verpflichtenden Einberufung von "Grundwehrdienstleistenden" nach des Wehrpflichtgesetzes verbunden. Die Einberufung zum Grundwehrdienst wurde 2011 auf den Spannungs- oder Verteidigungsfall beschränkt.


title: Wehrpflicht in Deutschland

text: Zu den Reformen, die Preußen unter dem Eindruck der Niederlage im Krieg gegen Frankreich 1807 durchführte, gehörte im Rahmen der Befreiungskriege in den Jahren 1813/14 die Einführung der allgemeinen Wehrpflicht. Damit war eine grundsätzliche Aufwertung des Soldatenstandes verbunden, denn bis dahin hatten gemeine Soldaten als gesellschaftlich deklassiert gegolten. Der Militärdienst, zu dem auch die Söhne des Adels und des Bürgertums eingezogen wurden, galt nun als Ehrendienst und die Armee als „Schule der Nation“. Wehrpflichtige aus den „gebildeten Ständen“ konnten sich als „Einjährig-Freiwillige“ melden und hatten nach diesem Jahr die Aussicht, sich zum Reserveoffizier weiterbilden können (was mit viel gesellschaftlichem Prestige verbunden war).


title: Wehrpflicht in Deutschland

text: Unter allen größeren europäischen Staaten hatte nur Preußen nach den Napoleonischen Kriegen sein System der allgemeinen Wehrpflicht beibehalten und trotz des Heereskonflikts Anfang der 1860er Jahre modernisiert.


title: Wehrpflicht in Deutschland

text: In den anderen deutschen und den meisten europäischen Staaten wurde unter den tauglich Gemusterten die erforderliche Anzahl von Rekruten durch das Los bestimmt. Der Ausgeloste konnte aber einen von ihm bezahlten Ersatzmann als „Einsteher“ stellen, weshalb in diesen Armeen eher Männer aus ärmeren Schichten dienten. War ihre Dienstzeit abgelaufen, rückten sie für einen anderen Wehrpflichtigen erneut als Einsteher an dessen Stelle, so dass die Armeen, wie auch die Frankreichs, faktisch aus Berufssoldaten bestanden. Andere deutsche Staaten zogen nur einen Teil der Wehrpflichtigen für eine sehr lange Dienstzeit ein, darunter Österreich, ungeachtet zahlreicher Sonderbestimmungen, für 14 Jahre.


title: Wehrpflicht in Deutschland

text: Nachdem das preußische Wehrpflichtsystem seine Effizienz in den Kriegen mit Dänemark im Jahre 1864 und mit dem innerdeutschen Konkurrenten Österreich im Jahre 1866 im Deutschen Krieg bewiesen hatte, übernahmen es die anderen deutschen Staaten. In Folge des Inkrafttretens der "Verpflichtung zum Kriegsdienst für den Norddeutschen Bund" im November 1867 wurde auch der Dienst der Einjährig-Freiwilligen und deren Anwartschaft auf den Reserveoffizier, welches bis dahin im Wehrgesetz von 1814 festgelegt war, novelliert. Nach diesem konnten die Anwärter sich jetzt den Truppenteil wählen, in dem sie nach dem aktiven Jahr Reserveoffizier werden sollten.


title: Wehrpflicht in Deutschland

text: In den Jahren nach Frankreichs Niederlage im Deutsch-Französischen Krieg 1870/71 führten die meisten Staaten Europas das preußische Modell ein. Im Deutschen Kaiserreich ergingen dann in regelmäßigen Abständen „Gesetze, betreffend die Friedenspräsenzstärke des deutschen Heeres“. Diesem Vorbild entsprechend etablierte sich ein mit Hilfe der Wehrpflicht ermöglichter Richtwert für die Stärke der Streitkräfte im Verhältnis zur Bevölkerung von ungefähr 1 % in vielen Staaten. Bedeutendste Ausnahme war Großbritannien. Im Ersten Weltkrieg war – nachdem auch Großbritannien und die USA die Wehrpflicht eingeführt hatten – die überwältigende Mehrheit der Soldaten Wehrpflichtige.


title: Wehrpflicht in Deutschland

text: Die allgemeine Wehrpflicht wurde durch das "Gesetz, betreffend die Verpflichtung zum Kriegsdienste" des Norddeutschen Bundes vom 9. November 1867 und Artikel 57 ff. des "Gesetzes betr. die Verfassung des Deutschen Reichs (Reichsverfassung)" vom 16. April 1871 sowie das Reichs-Militärgesetz vom 2. Mai 1874 gesetzlich geregelt. Dieses Wehrpflichtsystem wurde in Grundzügen von späteren deutschen Armeen und auch international vielfach zum Vorbild genommen.


title: Wehrpflicht in Deutschland

text: Die Wehrpflicht begann mit Vollendung des 17. Lebensjahres. Der Wehrpflichtige konnte sich in Ausübung dieser Pflicht nicht vertreten lassen. Der Landsturm bestand aus den Wehrpflichtigen vom vollendeten 17. bis zum vollendeten 42. Lebensjahr, die weder dem Heer noch der Marine angehörten. In der Reichsverfassung wurde festgelegt, dass jeder wehrfähige Deutsche 7 Jahre lang, vom 20. bis zum 28. Lebensjahre dem stehenden Heere angehöre. Im Reichsmilitärgesetz wurde diese Ausführung im Weiteren geregelt. Die Militärpflicht begann vom 1. Januar des Jahres an, in dem das 20. Lebensjahr vollendet wurde. Militärpflichtige waren der Aushebung unterworfen. Die Militärpflicht dauerte bis zum 31. März des Jahres, in dem das 39. Lebensjahr vollendet wurde. Es bestand die Pflicht, sich regelmäßig bei den zuständigen Behörden zu melden, bis über die Verwendung entschieden wurde. Zur Kontrolle dieser Regelung wurden von den Gemeinden sogenannte Stammrollen aufgestellt. Die aktive Dienstzeit belief sich auf 3 Jahre (Infanterie usw.). Danach folgten 4 Jahre in der Reserve (ab 1893 auf 2 Jahre bzw. 5 Jahre geändert). Kavallerie und reitende Artillerie dienten 3 Jahre aktiv. Die Ersatzreservepflicht dauerte bis zur Vollendung des 31. Lebensjahres. Der Ersatzreserve gehörten in erster Linie taugliche, aber überzählige Personen an, dann minder Taugliche oder aus anderen Gründen Befreite, die nicht zur Ableistung der aktiven Dienstpflicht einberufen wurden.


title: Wehrpflicht in Deutschland

text: Männer, die kürzer als 2 Jahre aktiv dienten, z. B. die einjährigen Freiwilligen, blieben entsprechend länger in der Reserve. Die Reserve diente zur Ergänzung des aktiven Heeres. Mannschaften, die freiwillig länger als 2 Jahre aktiv gedient hatten, dienten entsprechend kürzer in der Landwehr I. Aufgebots. Den Rest der Jahre bis zum 31. März des Jahres, in dem er sein 39. Lebensjahr beendete, gehörte er der Landwehr II. Aufgebots an. Mannschaften, die freiwillig vor dem vollendeten 20. Lebensjahr eingetreten waren, traten entsprechend früher aus der Landwehr II aus. Bei späterem Eintritt in das aktive Heer auf Grund mangelnder Körperentwickelung, eines Ansuchens in Berücksichtigung bürgerlicher Verhältnisse oder einer Zurückstellung bis zu 5 Jahren, um einen Beruf nicht zu unterbrechen, diente der Wehrpflichtige nicht länger in der Landwehr II, sondern auch nur bis zu seinem 39. Lebensjahr. Vom 31. März des Jahres, an dem er sein 39. Lebensjahr vollendete, bis zum 45. Lebensjahr diente er im Landsturm II. Diese gesamte Regelung gilt für Friedenszeiten, im Krieg fand kein Übertritt vom stehenden Heer zur Landwehr statt.


title: Wehrpflicht in Deutschland

text: Änderungen in der zeitlichen Zuteilung zu den Kategorien des Beurlaubtenstandes brachte das "Gesetz, betreffend Änderungen der Wehrpflicht" vom 11. Februar 1888, so die Verlängerung der Landsturmpflicht bis zur Vollendung des 45. Lebensjahres.


title: Wehrpflicht in Deutschland

text: Die Anzahl der zum Wehrdienst Herangezogenen wurde durch die Heeresgröße bestimmt. Im Artikel 60 der Verfassung des Norddeutschen Bundes wurde die Friedenspräsenzstärke des Heeres auf 1 % der Bevölkerung von 1867 festgelegt. Die künftige Festlegung der Friedenspräsenzstärke wurde von der Reichsgesetzgebung geregelt, die dem Reichstag ein erhebliches Mitspracherecht einräumte. Dies war aber keine Verschärfung der Zustände, obwohl damit eine Heeresvermehrung einherging. Gerade die Nationalliberalen und Fortschrittspartei sahen in der nominellen Festsetzung der Heeresstärke eine Einschränkung des Budgetrechts des Reichstags, denn er macht die Bewilligung des Militäretats zu einer Farce. Sicherlich hatte Bismarck seine Lehren aus dem Preußischen Verfassungskonflikt gezogen. Doch die rasch wachsende Bevölkerung seit 1871 führte dazu, dass zwischen Reichsgründung und dem Beginn Ersten Weltkrieges nur 63 % der wehrpflichtigen Männer zu den Fahnen gerufen wurden. Selbst in einer Zeit der Hochrüstung wie 1912 betrug das Verhältnis der Heeresgröße zur Gesamtbevölkerung nur 0,923 %. Eine effektive und damit gerechte Aushebung war erst Anfang des 1. Weltkrieges mit dem Edikt über die allgemeine Verpflichtung zu Wehrpflicht vom 3. September 1914, §§ 9,10, 11,12,16 möglich. Sie stellt aber auch die gesetzliche Grundlage dar, die aus einer relativ zu seinen Gegnern geringen Heeresgröße ein Millionenheer machte.


title: Wehrpflicht in Deutschland

text: Deutschland musste 1919 aufgrund des Friedensvertrags von Versailles auf die Wehrpflicht verzichten, „um die Einleitung einer allgemeinen Rüstungsbeschränkung aller Nationen zu ermöglichen“. Die "Reichswehr" war eine auf 115.000 Mann begrenzte Berufsarmee. Sie wurde zu einem „Staat im Staate“, in dem sich republikfeindliche Kräfte, besonders des konservativ-nationalistischen und antisemitischen Milieus, sammelten.


title: Wehrpflicht in Deutschland

text: Das Scheitern der Genfer Abrüstungskonferenz nahm das ab Januar 1933 in Deutschland regierende Kabinett Hitler im Oktober 1933 zum Anlass, aus dem Völkerbund auszutreten und im März 1935 durch das "Gesetz für den Aufbau der Wehrmacht" die Wehrpflicht wiedereinzuführen. Sie dauerte vom vollendeten 18. bis zu dem auf die Vollendung des 45. Lebensjahres folgenden 31. März. Der Schritt war lange vorbereitet und hatte keine Gegenmaßnahmen des Völkerbunds zur Folge. Im selben Jahr durchbrach im deutsch-britischen Flottenabkommen Großbritannien selbst die für Deutschland geltenden Rüstungsbeschränkungen des Versailler Vertrags. Die Reichswehr wurde in Wehrmacht umbenannt.


title: Wehrpflicht in Deutschland

text: Der erste Jahrgang, der 1935 zur Erfüllung der einjährigen Dienstpflicht herangezogen wurde, war 1914 (in Ostpreußen auch 1910). Dem Wehrdienst vorgeschaltet war die Ableistung eines halbjährigen Arbeitsdienstes, zu dem die ersten Wehrpflichtigen des Jahrgangs 1915 am 1. Oktober 1935 einrückten. Angehörige weißer Jahrgänge vor 1914 erhielten lediglich eine zwei-, später dreimonatige "Kurzausbildung". Am 24. August 1936 wurde die Dienstpflicht von einem auf zwei Jahre verlängert.


title: Wehrpflicht in Deutschland

text: Das Ende des Zweiten Weltkrieges in Europa mit der bedingungslosen Kapitulation der Wehrmacht am 8./9. Mai 1945 brachte das vorläufige Ende einer Wehrpflicht im nunmehr von den Siegermächten der Anti-Hitler-Koalition besetzten Deutschland.


title: Wehrpflicht in Deutschland

text: Der Parlamentarische Rat schrieb 1949 die Möglichkeit der Kriegsdienstverweigerung, nicht aber eine Wehrpflicht, in das Grundgesetz. Die Bundeswehr wurde – nach einer Wiederbewaffnungsdiskussion – ab dem 12. November 1955 aufgestellt („Wiederbewaffnung“) und die allgemeine Wehrpflicht mit dem Inkrafttreten des Wehrpflichtgesetzes (WPflG) vom 21. Juli 1956 eingeführt. Zum 1. April 1957 fand erstmals eine Einberufung aufgrund dieses Gesetzes statt. Grundsätzlich waren alle deutschen Männer wehrpflichtig, die nach dem 30. Juni 1937 geboren waren (siehe weißer Jahrgang). 1968 wurde im Grundgesetz (GG) verankert:


title: Wehrpflicht in Deutschland

text: Da es sich dabei um eine Kann-Vorschrift handelt, kann die Wehrpflicht jederzeit vom Bundestag mit einfacher Mehrheit eingeführt oder ausgesetzt werden, ohne dass dafür das Grundgesetz geändert werden müsste. Schon 1978 hat das Bundesverfassungsgericht festgestellt: "„Die von der Verfassung geforderte militärische Landesverteidigung kann auf der Grundlage der allgemeinen Wehrpflicht, aber – sofern ihre Funktionsfähigkeit gewährleistet bleibt – verfassungsrechtlich unbedenklich beispielsweise auch durch eine Freiwilligenarmee sichergestellt werden.“"


title: Wehrpflicht in Deutschland

text: Durch das Gesetz zur Ergänzung der Verfassung vom 26. September 1955, das den „Dienst zum Schutze des Vaterlandes und der Errungenschaften der Werktätigen“ zu einer „ehrenvollen nationalen Pflicht der Bürger der Deutschen Demokratischen Republik erklärt“ hatte, den Kampfauftrag der FDJ und die Verteidigungsgesetzgebung aus dem Jahre 1961 vorbereitet, erfolgte fünf Monate nach Errichtung der Berliner Mauer mit dem Gesetz vom 24. Januar 1962 die Einführung der allgemeinen Wehrpflicht in der DDR. Sie betraf alle männlichen Staatsbürger zwischen dem 18. und dem vollendeten 50. Lebensjahr und konnte durch einen 18-monatigen Grundwehrdienst bei der NVA oder mit Zustimmung des Wehrpflichtigen (zumindest in den 1980er Jahren) in den Grenztruppen der DDR, oder in Form eines Wehrersatzdienstes bei den Volkspolizei-Bereitschaften, der Transportpolizei, den Einheiten der Zivilverteidigung der DDR, den Baueinheiten der Nationalen Volksarmee oder, bei vorheriger Verpflichtung zu einer dreijährigen Dienstzeit, im Wachregiment Feliks Dzierzynski des Ministeriums für Staatssicherheit abgeleistet werden. Jeder Wehrpflichtige musste damit rechnen, nach Ableistung des Grundwehrdienstes ein- oder mehrmals zu dreimonatigen Reservistenübungen einberufen zu werden.