title: Hernie

text: Als mögliche Inhalte von Nabelbrüchen (Umbilikalhernien), als deren Ursache bis ins 18. Jahrhundert ausschließlich eine Zerreissung des Bauchfells angenommen wurde, führte Aulus Cornelius Celsus Darm, Netz, Wasser und Luft auf und empfahl (bei nichteingeklemmten Nabelbrüchen) die Operation. Im 2. und 3. Jahrhundert befassten sich auch Galenos (mit den Entstehungsursachen) und der Chirurg Heliodorus (mit der operativen Behandlung) mit Hernien, im 7. Jahrhundert Paulos von Aigina, der auch ausführlich den mit Darmschlingen, Netz, Flüssigkeit, Fleischmassen, Blut oder Luft enthaltenden und operativ oder konservativ (mit adstringierenden Arzneipflastern, Salben und Verbänden) zu behandelnden Nabelbruch ("exomphalos") abhandelte.


title: Hernie

text: Der arabische Chirurg Abulkasim behandelte im 10. Jahrhundert Hernien unter anderem auch mit dem Glüheisen und operierte auch Nabelbrüche. Frühe neuzeitliche Publikationen zur Hernienchirurgie, insbesondere zur Herniotomie (Bruchschnitt), stammen von Caspar Stromayr (1559) und dem erstmals die Operation beim eingeklemmten Bruch empfehlenden Pierre Franco (1561) sowie von Ambroise Paré und Girolamo Fabrizio. Die Entfernung einer durch eine eingeklemmte Hernie entstandenen brandigen Darmschlinge führte 1727 erstmals Philipp Ramdohr durch. Bis zur ersten Erwähnung der Schenkelbrüche durch Nicolas Lequin 1685 wurden diese nicht von Leistenhernien unterschieden. Seit etwa 1820 und Antonio Scarpa unterscheidet man bei den Nabelbrüchen angeborene von erworbenen Formen. Antisepsis und Asepsis waren die Voraussetzungen für weitere Erfolge und weniger Rezidive in der Hernienchirurgie ab etwa 1900.


title: Boeing P-8

text: Bei der Boeing P-8 "Poseidon handelt es sich um ein Seefernaufklärungs- und U-Boot-Jagdflugzeug der United States Navy. Das zweistrahlige Flugzeug ist das Ergebnis des „Multimission-Maritime-Aircraft“-Programms (vorübergehend auch als „MMA“ bezeichnet) und basiert auf dem Kurz- und Mittelstreckenflugzeug Boeing 737-800. Bei der US Navy und der Deutschen Marine ersetzt die P-8 die P-3-Orion-Flotte. Als erster Exportkunde verwendet Indien für die Maschine den Beinamen Neptune". Poseidon ist in der griechischen, Neptun in der römischen Mythologie der Gott des Meeres.


title: Boeing P-8

text: Die Entwicklung der P-8 lässt sich bis Mitte der 1980er-Jahre zurückverfolgen. Damals suchte die US-Marine nach einem möglichen Nachfolger für die P-3 und begann, die Anforderungen an solch eine Maschine zu definieren. Die primäre Forderung war dabei die Senkung der Betriebskosten im Vergleich zur P-3. Diese litt unter einer vergleichsweise starken Materialermüdung, weshalb die neue Maschine über eine Flugzeugzelle mit einer hohen Lebenserwartung verfügen sollte. Des Weiteren wurden eine erhöhte Reichweite bzw. eine verlängerte Patrouillendauer sowie ein geringeres Gesamtgewicht gefordert. 1989 vergab dann die Marine einen Entwicklungsauftrag an Lockheed, der den Bau von zwei Prototypen umfasste. Diese als P-7 bezeichneten Maschinen wurden allerdings nie gebaut, da 1990 Lockheed der Auftrag wieder entzogen wurde, nachdem eine Kostenüberschreitung von 300 Millionen US-Dollar eingeräumt werden musste.


title: Boeing P-8

text: Nach dem Ende des Kalten Krieges und den daraus resultierenden Kürzungen im Verteidigungsbudget wurde die Suche nach einem Nachfolger für die P-3 zunächst aufgegeben. Die Lebensdauer der Flugzeugzelle wurde zunächst mit verschiedenen Modernisierungsprogrammen verlängert. Als sich andeutete, dass dies auf die Dauer ebenfalls sehr teuer würde, wurde im Jahre 2000 ein neues Entwicklungsprogramm begonnen – das "Multimission Maritime Aircraft Program". Im Gegensatz zu den ursprünglichen Anforderungen wurde dabei auf die Gewichtsreduzierung verzichtet, da man bereit war, dies für höhere Reichweiten und Einsatzzeiten in Kauf zu nehmen. Des Weiteren wurden die Anforderungen im Bereich Avionik und Kommunikationssystem erhöht. Neu im Lastenheft war zudem die Forderung, dass die neuen Maschinen UAVs ohne zusätzliche bodengestützte Anlagen steuern können sollten.


title: Boeing P-8

text: Zunächst nahmen nur Boeing und Lockheed Martin an dem neuen Wettbewerb teil. Lockheed schlug dabei die sogenannte Orion 21 vor, bei der es sich um eine komplett überarbeitete Version der alten Turboprop-P-3 handelte. Derweil ging Boeing einen anderen Weg und legte einen Vorschlag vor, der eine Modifizierung ihres 737-800ERX-Verkehrsflugzeugs vorsah. 2001 stieg BAE Systems mit der Nimrod MRA.4 in den laufenden Wettbewerb ein. Sie boten eine modernisierte Variante der alten Nimrod MR.Mk.2 von 1969 an, die bereits für die britische Marine neu entwickelt wurde. Allerdings zog sich BAE im Oktober 2002 aus dem Wettbewerb zurück, da man erkannt hatte, dass es politisch nicht möglich gewesen wäre, sich gegen die US-amerikanischen Konkurrenten durchzusetzen. Schließlich gewann am 14. Juni 2004 Boeing den Wettbewerb.


title: Boeing P-8

text: Nachdem der US-Hersteller das 3,9 Mrd. US-Dollar schwere MMA-Programm für sich entscheiden konnte, gab die US Navy am 8. Juli 2004 die ersten fünf Maschinen in Auftrag. Anfang August 2008 wurde die Montage des ersten Prototyps P-8A-T1 im Werk Renton abgeschlossen. Daraufhin wurde in Seattle mit der Instrumentierung sowie mit verschiedenen Bodentests begonnen. Am 25. April 2009 absolvierte die erste P-8A ihren Erstflug, so dass sie spätestens ab 2013 die Lockheed P-3 ablösen konnte. Abwurftests von Sonarbojen begannen im Oktober 2010 auf der NAS Patuxent River. Am 19. Juli 2011 startete die erste Vorserienmaschine aus dem sechs Flugzeuge umfassenden LRIP1-Vorserienvertrag in Renton zu ihrem Erstflug. Insgesamt plant die US Navy, 108 Flugzeuge zu beschaffen, wodurch sich die Kosten auf etwa 15 Milliarden US-Dollar belaufen. Neben Boeing sind als Zulieferer auch Raytheon, Northrop Grumman, Spirit AeroSystems, GE Aviation Systems, Marshall Aerospace, CFMI, BAE Systems und Marotta beteiligt. Aufgrund der Absage von Lockheed Martin, das „Aerial Common Sensor“-Projekt weiterzuentwickeln, benutzt Boeing nun ein Linux-System von Wind River Systems für die Aufklärungs- und Missionssysteme.


title: Boeing P-8

text: Die P-8 wurde von den "Test and Evaluation Squadrons" VX-1 und VX-20 erprobt, die auf der Naval Air Station Patuxent River in Maryland stationiert sind. Am 3. Februar nahm erstmals eine P-8 an einer Übung der US-Marine teil, wobei insgesamt 34 Übungseinsätze im Rahmen von „Bold Alligator“ geflogen wurden. Das Testprogramm der US Navy wurde Anfang April 2013 abgeschlossen. Die P-8 wurde auf der Dubai Airshow 2013 erstmals auf einer internationalen Luftfahrtschau einem größeren Publikum vorgeführt. Am 29. November 2013 erreichte die P-8 Poseidon ihre Initial Operating Capability (IOC).


title: Boeing P-8

text: Bis Juni 2019 wurden 116 „Poseidon“ ausgeliefert, davon 95 an die United States Navy (inklusive einer Bruchzelle sowie eines weiteren statischen Versuchsträgers), 11 an die Royal Australian Air Force sowie acht an die indische Marine.


title: Boeing P-8

text: Die P-8 "Poseidon" basiert auf der Zivilmaschine Boeing 737. Der von der Version 737-800 stammende Rumpf wurde verstärkt, um der erhöhten Beanspruchung Rechnung zu tragen und einen Waffenschacht integrieren zu können. Auch die umfangreichen Sensoranlagen, deren Antennenanlagen entlang der Rumpfunterseite sichtbar sind, sowie die Avionik machten diese Verstärkung notwendig. An den von der Boeing 737-900 stammenden Tragflächen können ebenfalls Waffen mitgeführt werden.


title: Boeing P-8

text: Als wichtigstes Element der Überwachungsausrüstung gilt das synthetische Breitbandradar Raytheon AN/APY-10 (JETDS-Bezeichnung), eine Weiterentwicklung des AN/APS-137-Radars mit verringertem Energie- und Raumbedarf.


title: Helmut Krauss

text: Helmut Krauss (* 11. Juni 1941 in Augsburg; † 26. August 2019 in Goslar) war ein deutscher Schauspieler, Kabarettist, Synchronsprecher und Synchronregisseur. Eine seiner bekanntesten Rollen war die des Nachbarn Paschulke in der ZDF-Serie "Löwenzahn" zwischen 1981 und 2020. Er war auch als Hörspielsprecher und Hörbuchsprecher tätig.


title: Helmut Krauss

text: Helmut Krauss absolvierte eine Schauspielausbildung und studierte Pädagogik. Er spielte unter anderem am Forum-Theater, am Grips-Theater und am Hansa-Theater in Berlin und am Staatstheater in Hannover. In den 1970er Jahren trat er auch als Rezitator auf Veranstaltungen der linken beziehungsweise sozialistischen Bewegung in West-Berlin auf. Als Kabarettist trat er unter anderem als Partner von Hannelore Kaub im Kabarett Das Bügelbrett sowie einige Male bei Dieter Hildebrandts "Scheibenwischer" auf.


title: Helmut Krauss

text: Bei den Karl-May-Spielen in Bad Segeberg übernahm Helmut Krauss 2005 in dem Stück "Winnetou und das Geheimnis der Felsenburg" die Rolle des Don Geronimo, eines gemütlichen Gastwirts, der in der kleinen mexikanischen Ortschaft Guaymas eine Cantina betreibt. Gleichzeitig verkörperte er, wie in den Vorjahren, den Erzähler. Die Störtebeker-Festspiele auf Rügen engagierten ihn für die Spielzeit 2006 als Ambrosio. In Bregenz spielte er unter der Leitung von Nicholas Broadhurst die Rolle des Paul Bunyan im gleichnamigen Stück. Im April 2008 war er mit der Produktion "Der Name der Rose" vom Theater des Ostens auf Tournee in Deutschland, Österreich, der Schweiz und Italien.


title: Helmut Krauss

text: Die Liste seiner Auftritte in Film und Fernsehen ist lang. In einer seiner bekanntesten Rollen war er von 1981 bis 2020 als Nachbar Hermann Paschulke, genannt Herr Paschulke, in "Löwenzahn" zu sehen; bis 2005 zunächst an der Seite von Peter Lustig und seit 2006 zusammen mit Guido Hammesfahr. In dieser Rolle bildete Krauss den spießbürgerlichen Kontrast zu Peter Lustig; die beiden lieferten sich meist freundschaftliche Rivalitäten und Streitereien innerhalb der Folgen. Gastauftritte hatte er in Produktionen wie "Berliner Weiße mit Schuß", "Tatort", "Lukas und Sohn", "Der Hausgeist", "Praxis Bülowbogen" oder "Pastewka"; in letzterer verkörperte er sich selbst.


title: Helmut Krauss

text: Bekannt wurde er einem bundesweiten Fernsehpublikum auch durch seine Darstellung des Zivilfahnders „Django“ Fiebig in der nach dem englischen Vorbild "Task Force Police" vom damaligen SFB in drei Staffeln produzierten Polizeiserie "Direktion City", zusammen mit Andreas Mannkopff, Ulli Kinalzik, Klaus Sonnenschein, Gerd Duwner und vielen weiteren bekannten Berliner Schauspielern.


title: Helmut Krauss

text: Im August 2009 wurde der Hordes-Film "Der Gründer", eine Satire über den ehemaligen Fernsehsender Kanal Telemedial, gedreht. Krauss spielte die Titelfigur Gerhard Hornbacher, die den umstrittenen Medienunternehmer Thomas Hornauer parodiert. Krauss übernahm bei dem von ihm mitproduzierten Film auch den Part des Synchronregisseurs. 2015 arbeitete Krauss wieder mit Regisseur Hordes zusammen und stand neben Eva Habermann, Jiří Lábus und Katy Karrenbauer für "Goblin" vor der Kamera.


title: Helmut Krauss

text: 2019 arbeitete Krauss ein drittes Mal wieder mit Hordes zusammen und verkörperte den Kommissar Hornbacher in der vom SWR für das Medienangebot funk produzierten Dramedy-Serie "Patchwork Gangsta."


title: Helmut Krauss

text: Zur Würdigung seiner langjährigen Rolle als Paschulke bei "Löwenzahn" wurde am 17. Mai 2020 die Löwenzahn-Folge "Endlos haltbar – Wenn aus Nachbarn Freunde werden" erstausgestrahlt, die als Hommage an und als Abschied von Helmut Krauss gedacht ist. Außerdem wurde er in der allerletzten Folge der Fernsehserie Pastewka, Staffel 10 Folge 10 – „Die Hochzeitskutsche“, im Abspann zusammen mit Roger Willemsen als Freund der Serie gewürdigt.


title: Helmut Krauss

text: Seine Stimme lieh Krauss unter anderem Marlon Brando, John Goodman, Yaphet Kotto, Wilhelm von Homburg, Jean Reno, Samuel L. Jackson, Paul Winfield, Jon Voight und dem Musikprojekt "E Nomine" sowie Reginald VelJohnson "(Carl Winslow)" in der amerikanischen Sitcom "Alle unter einem Dach". Ferner war er die deutsche Stimme des sprechenden Pferdes Mr. Ed in der gleichnamigen US-amerikanischen Fernsehserie der 1960er Jahre.


title: Helmut Krauss

text: Krauss war häufig auf Schurkenrollen abonniert. So sprach er in den Disney-Zeichentrickspielfilmen "Basil, der große Mäusedetektiv" den Greifer und in "Bernard und Bianca im Känguruland" den Percival C. McLeach. In der Disney-Zeichentrickversion von "Der Glöckner von Notre Dame" sprach er den Erzdiakon – im offiziellen Hörspiel zum Film von Kiddinx war Krauss zudem der Erzähler, da die Erzähltexte aus Sicht des Erzdiakons geschrieben waren. In einer Fernsehfolge von "Benjamin Blümchen" sprach er einen bayerischen Bauern, dessen Tochter mit Otto befreundet ist. Er war der Erzähler in der deutschen Fassung der japanischen Anime-Serie "Captain Future". Im Jahre 1987 lieh Krauss seine dunkel dräuende Stimme dem bleichgesichtigen Nagelkopf "Pinhead" im surrealistischen Horrorfilm Hellraiser – Das Tor zur Hölle. Neben seinen hauptberuflichen Sprechrollen unterstützte er seit 2007 außerdem den studentischen Zeichentrickfilm "Dreckmonster" (Dirtmonsters) der Hochschule für Film und Fernsehen Konrad Wolf in Potsdam-Babelsberg und übernahm die Stimme der Hauptrolle Willi in der deutschen Fassung.


title: Helmut Krauss

text: In den Jahren 2002 und 2003 war er zudem mit den "Drei-???"-Sprechern Oliver Rohrbeck, Jens Wawrczeck und Andreas Fröhlich mit dem Live-Hörspiel "Die drei ???: Master Of Chess" auf Deutschlandtournee, hierbei übernahm er die Rolle des Erzählers. ebenso erneut 2009 im Live-Hörspiel "Die drei ??? und der seltsame Wecker: Live and Ticking" und 2014 bei "Phonophobia – Sinfonie der Angst".


title: Helmut Krauss

text: In Oliver Dörings Star-Wars-Hörspiel "Labyrinth des Bösen" (nach dem gleichnamigen Roman von James Luceno) sprach Krauss einen Barkeeper – ISBN 978-3-8291-2087-6.


title: Helmut Krauss

text: 2007 sprach Krauss zwei Bücher von Dirk Bernemann als Hörbücher beim UBooks-Verlag ein. Ferner wirkte er seit Beginn der Hörspielserie "Elea Eluanda" als Opi Kopi mit und engagierte sich in vielfältiger Weise beim Hörspiellabel "Hörplanet". In der Hörspielserie "Die Elfen" von Bernhard Hennen übernahm Krauss 2014 ab Folge 9 die Rolle des Baumeisters Guido.


title: Helmut Krauss

text: Zudem war Krauss in mehreren "Lady-Bedfort-"Hörspielen zu hören, z. B. in "Lady Bedfort und die Truhe des Kapitäns" und "Lady Bedfort und die Täuschung im Zug".


title: Helmut Krauss

text: Krauss war zweimal verheiratet und hinterließ drei Kinder sowie drei Enkelkinder. Er lebte von 1978 bis zu seinem Tod im Goslarer Stadtteil Lengde und hatte zeitweise auch Wohnsitze in Berlin und auf Mallorca.


title: Helmut Krauss

text: Krauss starb am 26. August 2019 im Alter von 78 Jahren in Goslar. Sein Urnengrab befindet sich auf dem anonymen Gräberfeld auf dem Friedhof in Lengde.


title: Bonobo

text: Der Bonobo [] oder Zwergschimpanse ("Pan paniscus") ist eine Primatenart aus der Familie der Menschenaffen (Hominidae). Gemeinsam mit seiner Schwesterart, dem Gemeinen Schimpansen, bildet er die Gattung der Schimpansen ("Pan"). Beide Spezies sind die biologisch engsten Verwandten des Menschen. Der Bonobo unterscheidet sich äußerlich vom Gemeinen Schimpansen durch deutlich längere Beine, rosa Lippen und ein dunkleres Gesicht. Daneben gibt es zahlreiche weitere Unterschiede, sowohl physisch als auch im Verhalten.


title: Bonobo

text: Erwachsene weibliche Bonobos sind mit einer durchschnittlichen Kopfrumpflänge von 70 bis 76 Zentimetern etwas kleiner als erwachsene Männchen mit einer Kopfrumpflänge von 70 bis 83 Zentimetern. Wie alle Menschenaffen sind Bonobos schwanzlos. Hinsichtlich des Gewichts herrscht ein deutlicher Sexualdimorphismus: während Männchen ein Gewicht von 37 bis 61 Kilogramm erreichen, werden Weibchen nur rund 27 bis 38 Kilogramm schwer. Das Fell ist dunkelbraun oder schwarz.


title: Bonobo

text: Die Gliedmaßen sind länger und schlanker als die des Gemeinen Schimpansen. Wie bei allen Menschenaffen – mit Ausnahme des Menschen – sind die Arme deutlich länger als die Beine. Der Daumen ist länger und dünner als bei seinem Verwandten, bei den Füßen ist die erste Zehe wie bei fast allen Primaten opponierbar.


title: Bonobo

text: Das Gesicht ist unbehaart und dunkler gefärbt als das des Gemeinen Schimpansen, insgesamt ist der Schädel rundlicher und zierlicher gebaut. Viele Tiere weisen einen in der Mitte gescheitelten Haarschopf auf. Die Ohren sind rundlich und ragen aus dem Fell; wie bei allen afrikanischen Menschenaffen sind deutliche Überaugenwülste vorhanden. Die Schnauze steht hervor, der Mund ist durch eine helle Mundpartie charakterisiert. Beim Bonobo gibt es – anders als beim Gemeinen Schimpansen – fast keinen Geschlechtsdimorphismus der Eckzähne, das heißt, sie sind bei Männchen und Weibchen annähernd gleich groß.


title: Bonobo

text: Bonobos sind in der Demokratischen Republik Kongo endemisch, wo sie nur in den mittleren und südlichen Landesteilen vorkommen. Der Flussbogen des Kongo stellt die nördliche Verbreitungsgrenze dar, dieser kaum überquerbare Fluss bildet auch die Grenze zur Heimat der Gemeinen Schimpansen. Im Süden sind Bonobos heute bis zu den Flüssen Kasai und Sankuru beheimatet. Früher reichte ihr Verbreitungsgebiet jedoch weiter nach Süden, vermutlich bis in den Norden Angolas.


title: Bonobo

text: Im Gegensatz zu den Gemeinen Schimpansen ist das Habitat der Bonobos auf tropische Regenwälder beschränkt.


title: Bonobo

text: Bonobos können sich bei der Nahrungssuche sowohl am Boden als auch auf Bäumen aufhalten, sie sind jedoch vorrangig Baumbewohner. Am Boden bewegen sie sich wie alle afrikanischen Menschenaffen mit Ausnahme des Menschen meist im vierfüßigen Knöchelgang fort, das heißt, sie stützen sich mit den vordersten zwei Fingergliedern ab. Auf den Bäumen zeigen sie eine größere Bewegungsvielfalt: Sie klettern mit allen vier Gliedmaßen, gehen aber auch zweibeinig (Bipedie) auf breiten Ästen und bewegen sich an den Armen hängend (suspensorisch) fort.


title: Bonobo

text: Wie alle Menschenaffen sind sie tagaktiv. Höhepunkte ihrer Aktivitäten liegen am Vormittag und am Nachmittag, in der Mittagshitze rasten sie. Zur Nachtruhe fertigen sie ein Schlafnest aus Blättern an. Dieses liegt zumeist hoch oben in den Bäumen und wird in der Regel nur einmal verwendet.


title: Bonobo

text: Die Sozialstruktur der Bonobos wird als "Fission-Fusion-Organisation" („Trennen und Zusammenkommen“) beschrieben. Das bedeutet, sie leben in Großgruppen von 40 bis 120 Individuen, die sich oft in Untergruppen von meist 6 bis 23 Individuen aufteilen, um manchmal wieder zusammenzukommen. Im Gegensatz zu den Gemeinen Schimpansen, die eine ähnliche Sozialstruktur aufweisen, sind die Untergruppen der Bonobos größer, öfter gemischt-geschlechtlich und stabiler. Auch findet man nur selten einzelne Individuen und wenn, dann nur Männchen.


title: Bonobo

text: Sowohl die Weibchen als auch die Männchen in einer Gruppe etablieren ihre Rangordnung. Dabei kommt es auch zu aggressiven Interaktionen, die zwar nicht seltener, aber von deutlich geringerer Intensität als bei Gemeinen Schimpansen sind. Bei der Aggressionskontrolle kommt sexuellen Interaktionen eine wichtige Rolle zu (siehe unten). Innerhalb der Großgruppe bilden die Weibchen den Kern und übernehmen auch die Führungsrolle. Eine Dominanz der Männchen über die Weibchen ist kaum zu sehen, es gibt sogar Berichte über ein ausgesprochen aggressives Verhalten der Weibchen gegenüber den Männchen. Generell sind die Beziehungen zwischen den Weibchen einer Gruppe viel enger als die zwischen den Männchen. Bei den Weibchen ist die gegenseitige Fellpflege (Komfortverhalten) sehr häufig, auch teilen sie öfter die Nahrung miteinander.


title: Bonobo

text: Die Männchen hingegen haben wenig Zusammenhalt untereinander, sie pflegen sich seltener gegenseitig das Fell und bilden im Gegensatz zu den Gemeinen Schimpansen keine Allianzen, um ihre Rangstufe in der Gruppenhierarchie zu verbessern. Überhaupt halten die Männchen zeitlebens einen engen Kontakt mit ihrer Mutter aufrecht – sie bleiben im Gegensatz zu den Weibchen dauerhaft in ihrer Geburtsgruppe. Die Stellung der Männchen in der Gruppenhierarchie dürfte auch vom Rang ihrer Mutter abhängen.


title: Bonobo

text: Die Interaktionen zwischen den einzelnen Gruppenmitgliedern sind friedlicher als bei anderen Primaten und beinhalten häufig Sexualverhalten. Dies dürfte der Reduktion von Spannungen dienen und wird unabhängig von Alter, Geschlecht oder Rangstufe ausgeübt. Auch das Gewähren sexueller Kontakte im Gegenzug zur Nahrungsabgabe ist verbreitet. Bonobos praktizieren eine Vielfalt von Sexualkontakten, die Tiere kopulieren täglich mit verschiedenen Partnern. Dieser Geschlechtsverkehr erfolgt in unterschiedlichsten Stellungen, anders als beim Gemeinen Schimpansen in einem Drittel der Fälle mit zugewandten Gesichtern. Andere Formen beinhalten gelegentlichen Oralverkehr, das Streicheln der Genitalien und Zungenküsse. Weibchen praktizieren häufig das gegenseitige Aneinanderreiben der Genitalregionen (Genito-Genital-Rubbing, kurz GG-Rubbing). Dieses Verhalten dürfte der Versöhnung und der Regulierung von Spannungen dienen und auch die hierarchische Rangstufe anzeigen, da es häufiger von rangniederen Weibchen begonnen wird. Auch die Männchen praktizieren manchmal Pseudokopulationen, sie führen – gegenüber an Baumästen hängend – „Fechtkämpfe“ mit ihren Penissen durch oder reiben ihren Hodensack am Gesäß eines anderen Tieres.


title: Bonobo

text: Die Reviergröße einer Großgruppe umfasst 22 bis 68 Quadratkilometer, was einem groben Durchschnitt von zwei Tieren pro Quadratkilometer entspricht. Die Länge der täglichen Streifzüge beträgt rund 1,2 bis 2,4 Kilometer. Die Territorien verschiedener Gruppen können sich überlappen, trotzdem gehen sie einander meistens aus dem Weg. Kommt es dennoch zu einer Begegnung, machen sie die andere Gruppe durch lautes Gebrüll oder Imponiergehabe auf ihr Revier aufmerksam. Mitunter kann es auch zu Kämpfen kommen. Die bei Gemeinen Schimpansen vorkommenden brutalen, an Kriegstaktik erinnernden Übergriffe sind jedoch bisher nicht nachgewiesen. Frans de Waal weist allerdings darauf hin, dass bei Bonobos in freier Wildbahn Verletzungen wie das Fehlen von Händen oder Füßen gesehen wurden.


title: Bonobo

text: Verglichen mit Gemeinen Schimpansen überwiegen in der Kommunikation die lautlichen Äußerungen gegenüber der Verwendung von Körperhaltungen und Gesichtsausdrücken, was vermutlich durch ihr Leben im dichten und oft dunklen Wald bedingt ist. Ein hoher, schriller Schrei dient der Kontaktaufnahme, ein an Hundegebell erinnernder Laut stellt eine Warnung dar. Andere Laute können Aufregung, Zufriedenheit und anderes mehr ausdrücken. Ein hechelndes Ein- und Ausatmen stellt ein Äquivalent zum menschlichen Lachen dar.


title: Bonobo

text: Die Länge des Sexualzyklus beträgt rund 46 Tage, der Östrus dauert bis zu 20 Tage und ist durch eine Regelschwellung beim Weibchen gekennzeichnet.


title: Bonobo

text: Zahlenwerte zur Fortpflanzung sind bislang nur von Tieren in Gefangenschaft bekannt; aus Beobachtungen beim Gemeinen Schimpansen weiß man, dass diese Werte von denen freilebender Tiere deutlich abweichen können und daher unsicher sind. Die Trächtigkeitsdauer beträgt rund 220 bis 250 Tage, danach kommt in der Regel ein einzelnes Jungtier zur Welt. Das Gewicht der Neugeborenen beträgt 1 bis 2 Kilogramm. In den ersten Lebensmonaten klammert sich das Jungtier am Fell der Mutter fest, später reitet es auf ihrem Rücken. Die Entwöhnung erfolgt erst nach rund 4 Jahren. Rund fünf Jahre nach der Geburt kann das Weibchen erneut gebären.


title: Bonobo

text: Die Geschlechtsreife tritt mit rund 9 Jahren ein; die erste Fortpflanzung erfolgt jedoch erst einige Jahre später, mit rund 13 bis 15 Jahren.


title: Bonobo

text: Da die Freilandstudien an Bonobos erst in den 1970er-Jahren begannen, ist die Lebenserwartung in freier Wildbahn unbekannt. Tiere in menschlicher Gefangenschaft können ein Alter von rund 50 Jahren erreichen.


title: Bonobo

text: Bonobos sind Allesfresser, die sich aber überwiegend pflanzlich ernähren. Früchte machen den Hauptbestandteil der Nahrung aus, Blätter und Kräuter der Bodenvegetation ergänzen insbesondere in fruchtarmen Zeiten den Speiseplan. Daneben nehmen sie auch Insekten und andere Wirbellose zu sich. Entgegen früheren Annahmen jagen auch Bonobos gelegentlich kleine bis mittelgroße Wirbeltiere, wobei die Jagd im Gegensatz zu den Gemeinen Schimpansen von den Weibchen durchgeführt wird. Ducker (kleine Waldantilopen) galten bis vor kurzem als ihre Hauptbeute. 2008 wurde jedoch entdeckt, dass sie auch andere Primaten wie Schopfmangaben jagen.


title: Bonobo

text: Im Jahr 2020 wurde ein trüffelähnlicher Pilz beschrieben, der den Namen "Hysterangium bonobo" erhielt, da er von Bonobos verspeist wird.


title: Bonobo

text: Werkzeuggebrauch bei freilebenden Bonobos scheint nur ausgesprochen selten vorzukommen, beispielsweise in Form der Verwendung von Blättern zum Schutz vor Regen. Bei Tieren in menschlicher Obhut kommt dieses Verhalten deutlich häufiger vor.


title: Bonobo

text: Angaben über die genetische Ähnlichkeit zwischen dem Menschen und den verschiedenen Arten der Menschenaffen beruhten zunächst auf Untersuchungsbefunden zu Übereinstimmungen von Aminosäuresequenzen bestimmter wichtiger Proteine. Diesen Untersuchungen nach wurden die Bonobos als die dem Menschen nächstverwandte rezente Art eingestuft. Aus der vorläufigen DNA-Sequenzierung des Gemeinen Schimpansen ("Pan troglodytes") wurde 2005 abgeleitet, dass Mensch und Schimpanse sich bezogen auf Einzelnukleotid-Polymorphismen in ungefähr 1,23 Prozent der Basenpaare unterscheiden. Andererseits war schon früher festgestellt worden, dass sich die Gemeinen Schimpansen und die Bonobos genetisch nur geringfügig unterscheiden. Bonobos und Gemeine Schimpansen haben sich nach ihrer stammesgeschichtlichen Trennung vor 2,1 bis 1,66 Millionen Jahren im weiteren Verlauf ihrer Entwicklung mehrfach miteinander gekreuzt, wie Studien am Genom beider Spezies zeigen.


title: Bonobo

text: Für die moderne Wissenschaft wurde der Bonobo erst 1929 anhand eines Schädels in einem belgischen Museum entdeckt, den man zuvor für den eines jungen Gemeinen Schimpansen gehalten hatte. Als Erstbeschreiber gilt der deutsche Zoologe Ernst Schwarz, wenngleich die ersten ausführlicheren Arbeiten erst 1933 von Harold Coolidge veröffentlicht wurden.


title: Bonobo

text: Nach einer weit verbreiteten Ansicht basiert der Name Bonobo auf einer falschen Wiedergabe des Namens der Stadt Bolobo am Unterlauf des Kongo-Flusses. Von dort stammten die ersten Exemplare, die nach Europa gebracht wurden. Da er nicht deutlich kleiner als der Gemeine Schimpanse ist, wird die Bezeichnung "Zwergschimpanse" nur noch selten verwendet. Das wissenschaftliche Artepitheton "paniscus" ist eine Diminutivform zum Gattungsnamen "Pan", der auf den bocksfüßigen Hirtengott Pan zurückgeht.


title: Bonobo

text: Die Forschung an Bonobos wird in zwei Richtungen durchgeführt. Zum einen werden seit den 1970er Jahren Freilandstudien in der Demokratischen Republik Kongo mit dem Ziel betrieben, die natürliche Lebensweise dieser Tiere zu erforschen. Der japanische Primatologe Takayoshi Kano führt seit 1974 Feldstudien durch, seit 1990 auch das Ehepaar Gottfried Hohmann und Barbara Fruth im Salonga-Nationalpark.


title: Bonobo

text: Ein anderer Forschungsschwerpunkt liegt darin, die Kommunikationsfähigkeit, die Intelligenz und das Lernverhalten dieser Tiere zu erkunden. Die Primatologin Sue Savage-Rumbaugh hat drei Bonobos namens "Panbanisha", "Nyota" und insbesondere "Kanzi" in sehr frühem Alter ein Vokabular ("Yerkish") mit über 200 Begriffen auf einer speziellen Symboltastatur beigebracht, die beide „Gesprächspartner“ anwenden. Bonobos stellen zur Kommunikation die Symbole auch mit Kreide dar. Sie sind mit der Tastatur beispielsweise fähig, ihre Betreuer an das Versprechen zu erinnern, ihnen eine Banane mitzubringen. Kanzi war sogar in der Lage, eine besonders von ihm geliebte rote Tasse selbst als Begriff auf einer bis dahin ungenutzten Taste zu definieren, und wünschte sich danach nicht nur wie bisher „Orangensaft“, sondern „Orangensaft in roter Tasse“.


title: Bonobo

text: Inwieweit sie gesprochene Wörter und Befehle verstehen und befolgen können, ist umstritten. Weil die Betreuer bei ihrer Betätigung der Tastatur jeden Begriff zugleich (englisch) ausgesprochen haben und auch sonst viel zu ihnen sprachen, haben die Bonobos nach einiger Zeit auch nur Gesprochenes verstanden. Deshalb behaupten die Betreuer an Forschungseinrichtungen, Bonobos verstünden sie auch ohne Benutzung der Tastatur; dagegen wenden Kritiker ein, dies könnte auch am Lautmuster oder an der Körpersprache liegen oder einfach Routinehandlungen darstellen. Dieser Kritik widerspricht folgende Szene: Beim Spaziergang sagt die Betreuerin (sinngemäß) zu Kanzi, weil er auf sie einen lustlosen Eindruck macht: „Bist Du traurig?“ Er antwortet mit der Taste „Panbanisha“. „Möchtest Du, dass Panbanisha hier ist?“. „Ja“. Sie wird geholt, und er blüht auf: Ein bezeichnender Einblick nicht nur in seine Kommunikationsfähigkeit, sondern auch in sein Gefühlsleben.


title: Bonobo

text: Die vorgenannten Betreuer vergleichen die von ihren Schützlingen erreichte Intelligenz mit der von zwei- bis dreijährigen Kindern. Trainierte Tiere schaffen es auch, einfache Steinwerkzeuge herzustellen und sinnvoll einzusetzen. Dieses Verhalten wird jedoch nicht von allen Tieren gezeigt. Bonobos, die weniger an den Kontakt mit Menschen oder an Tests gewöhnt sind, schaffen es nicht, einen Zusammenhang zwischen den Symbolen und den Gegenständen herzustellen, sie fertigen auch keine Steinwerkzeuge an und können auch keine schwierigeren Aufgaben lösen.


title: Bonobo

text: Zudem werden auch die Genome von Bonobos untersucht. Der erste Ganzgenom-Vergleich zwischen der positiven Selektion von Schimpansen und Bonobos zeigte seitens der Bonobos eine Selektion für Gene bezüglich Ernährung und Hormonen wie Oxytocin.


title: Bonobo

text: Bonobos gelten als bedrohte Tierart, sowohl auf Grund des Verlustes ihres Lebensraumes als auch auf Grund der Bejagung durch den Menschen zum Verzehr ("Buschfleisch"). Die IUCN listet sie als stark gefährdet ("endangered").


title: Bonobo

text: Schätzungen über die Gesamtpopulation sind kaum durchführbar. Als Beispiel für die Unsicherheit mag dienen, dass 1995 zwei Studien erschienen sind, von denen eine die Gesamtpopulation auf nur noch 5000 Tiere schätzte, während die andere berichtete, dass die Gesamtzahl größer als bisher angenommen sein und über 100.000 Tiere betragen könnte. Die Umweltstiftung WWF geht 2009 von höchstens 50.000 Tieren aus.


title: Bonobo

text: Zum Schutz der gefährdeten Menschenaffen hat die Regierung der Demokratischen Republik Kongo 2006 ein großes Regenwaldgebiet unter Naturschutz gestellt, das Lomako-Yokokala-Reservat in den Provinzen Mongala und Tshuapa. Auf Initiative von Claudine André wurde 2002 das Bonobo-„Waisenheim“ Lola ya Bonobo in der Nähe von Kinshasa errichtet.


title: Bonobo

text: Im Rahmen des Europäischen Erhaltungszuchtprogramms koordiniert der Zoo Planckendael die Erhaltungszucht von Bonobos in europäischen Zoos. Die Welterstzucht gelang 1993 im Frankfurter Zoo.


title: Bonobo

text: Der Bonobo bildet mit dem Gemeinen Schimpansen ("Pan troglodytes") die Gattung der Schimpansen ("Pan"). Schätzungen aus dem Jahr 2004 zufolge trennten sich die beiden Arten vor 1,8 bis 0,8 Millionen Jahren. Neuberechnungen anhand von 75 vollständigen Genomen ergaben ein früheres Zeitfenster vor 2,1 bis 1,66 Millionen Jahren. Lange gingen Wissenschaftler davon aus, dass es nach der Trennung der beiden Affenarten keine genetische Vermischung mehr gegeben habe. Dies galt als unter Primaten eher ungewöhnliche Tatsache und wurde damit erklärt, dass genau im Artentrennungszeitraum der Fluss Kongo in Afrika entstanden ist. Demzufolge finden sich bis heute die Bonobos in einem kleineren Areal südlich des Kongo, hingegen die Schimpansen im nördlich des Flusses gelegenen Äquatorialafrika. Neuere Forschungsergebnisse belegen allerdings eine gelegentliche genetische Vermischung beider Spezies.


title: Bonobo

text: Die Schimpansengattung ("Pan") stellt innerhalb der Familie der Menschenaffen (Hominidae) ein Schwestertaxon der Hominini dar. Die Entwicklungslinien der beiden trennten sich vor 5 bis 6 Millionen Jahren.


title: Grüner Tee

text: Grüner Tee oder Grüntee (, japanisch ) ist eine Teeart, bei der die Teeblätter im Gegensatz zu schwarzem Tee nicht fermentiert wurden. Wegen der anderen Verarbeitung werden für Grüntees eher die Blätter von "Camellia sinensis" gegenüber der Varietät "assamica" bevorzugt, da sich die kleinblättrige, zartere Sorte besser eignet. (Es gibt auch grünen Rooibostee, der ebenfalls unfermentiert ist; er fällt aber nicht unter „Grüntee“ im landläufigen Sinn, wie er in diesem Artikel verstanden wird).


title: Grüner Tee

text: Grüner Tee unterscheidet sich von schwarzem Tee unter anderem in der Zubereitung, im Geschmack, den Inhaltsstoffen und Wirkungen des Aufgusses.


title: Grüner Tee

text: Die beiden Hauptbestandteile des grünen Tees sind Catechine und Theanin, und die gesundheitlichen Auswirkungen dieser Bestandteile finden große Beachtung. Es wurden zahlreiche Studien durchgeführt, in denen verschiedene gesundheitsfördernde Wirkungen festgestellt wurden.


title: Grüner Tee

text: Die Teepflanze wird seit mehreren tausend Jahren in China angebaut. Dort wurde im 6. Jahrhundert v. Chr. auch diese neue Variante der Verarbeitung von Tee hervorgebracht. Zur Zeit der chinesischen Tang-Dynastie wurde der zu Ziegeln oder anderen Formen gepresste Tee geröstet, zu Pulver gerieben und mit kochendem Wasser zubereitet. Der Dichter Lu Yü hat dies 780 n. Chr. in dem Werk Chajing ausführlich beschrieben. Die Zubereitung wurde in der nachfolgenden Song-Dynastie noch verfeinert; die Teeblätter kamen nach dem Dämpfen und Trocknen direkt in Steinmühlen und wurden zu Pulver gemahlen. Im 8. Jahrhundert brachten buddhistische Mönche Tee von China nach Japan. Die damals in China übliche Form der Teezubereitung mit gemahlenem Grüntee wurde in Japan seit der Nara-Zeit zur japanischen Teezeremonie weiterentwickelt. Hierbei werden traditionell in Steinmühlen staubfein gemahlene Teeblätter (Matcha) mit einem Teebesen in heißem Wasser aufgeschlagen. Zur Zeit der Ming-Dynastie kam die Methode auf, Teeblätter direkt in einer Teekanne aufzubrühen – heute die weltweit üblichste Form der Zubereitung. In dieser Zeit (16. und 17. Jahrhundert) verbreitete sich der grüne Tee auch in Europa.


title: Grüner Tee

text: Der wichtigste Inhaltsstoff des Tees ist das anregende Coffein, das früher im Zusammenhang mit Tee auch als "Tein", "Teein" oder "Thein" bezeichnet wurde. Der Coffeingehalt variiert je nach Grünteesorte sehr deutlich. Grundsätzlich weisen die japanischen Sorten Gyokuro und Sencha im Teewasser die höchsten und Kukicha und Bancha die niedrigsten Werte auf. Weitere Bestandteile der Teeblätter sind Catechine, die wichtigsten Vertreter sind Epicatechin (EC), Epicatechingallat (ECG), Epigallocatechin (EGC) und Epigallocatechingallat (EGCG). Die meisten gesundheitsfördernden Wirkungen des Grüntees werden den Catechinen zugeschrieben. Allerdings sind die Catechine auch die Stoffe, die dem Tee den bitteren Geschmack verleihen.


title: Grüner Tee

text: Wichtig für den Geschmack eines Grüntees sind die Aminosäuren in den Teeblättern, allen voran das Theanin. Die Aminosäuren machen bis zu sechs Prozent der Trockenmasse der Teeblätter aus. Der Gehalt an Aminosäuren lässt sich gezielt beim Anbau erhöhen, indem man die Teepflanzen im Frühjahr beschattet.


title: Grüner Tee

text: Andere Inhaltsstoffe sind Vitamin A, Vitamin B, Vitamin B2, 1-Methylnicotinamid (das Amid der Nicotinsäure [Vitamin B3]), Calcium, Kalium, Phosphate, Magnesium, Kupfer, Zink, Nickel, Carotine und Fluorid. Gewisse Inhaltsstoffe fallen für die Resorption nicht sonderlich ins Gewicht.


title: Grüner Tee

text: Grüner Tee enthält mehr Gerbstoffe (Tannine) als schwarzer Tee. Deshalb schmeckt er herber als dieser. Die Gerbstoffe wirken bei nervösem Magen und Darm beruhigend und bei trägem Darm stopfend.


title: Grüner Tee

text: Die Herstellung von grünem Tee, kann sich je nachdem welche Art hergestellt werden soll, stark unterscheiden. Eine genaue Beschreibung findet sich im Artikel des jeweiligen Tees.


title: Grüner Tee

text: Chinesische, in der Pfanne geröstete Sorten haben oft einen leicht herb-rauchigen und häufig blumigen Geschmack, während japanische, gedämpfte Grüntees eine grasig-frische Note auszeichnet. Jasmintee ist ein mit Jasminblüten aromatisierter Grüntee.


title: Grüner Tee

text: Grüner Tee wird mit 70 bis höchstens 90 °C heißem Wasser aufgebrüht, da zu heißes Wasser den Tee je nach Sorte bitter bis ungenießbar macht. Kälter als 50 °C sollte das Wasser auch nicht sein. Dafür lässt man das kochende Wasser 10 Minuten abkühlen oder mischt mit kaltem Wasser herunter.


title: Grüner Tee

text: Mit steigender Temperatur verbessert sich die Löslichkeit der meisten Teebestandteile – ist das Ziehwasser zu kalt, dann können die Inhaltsstoffe nicht in dem Aufguss gelöst werden. Für viele Sorten sind 70 °C die richtige Temperatur zur Teezubereitung. Trinkt man grünen Tee aus gesundheitlichen Gründen, ist Folgendes zu beachten: Das im Tee enthaltene hitzeempfindliche Vitamin C verbessert die Aufnahme der gesundheitsfördernden Polyphenole. Andererseits verbessert das Überbrühen mit 95 °C heißem Wasser und eine längere Ziehdauer (zehn Minuten bis eine Stunde) die Extraktion der Polyphenole; in diesem Fall kann nachträglich dem abgekühlten Tee etwas Zitronensaft zur Erneuerung des Vitamin-C-Gehaltes hinzugefügt werden.


title: Grüner Tee

text: Es gibt neuere Entwicklungen von Halbschattentee (Kabusecha), der bei entsprechend langer Ziehzeit mit kaltem Wasser aufgegossen werden kann ("jap.": Mizudashi, "engl.": coldbrew).


title: Grüner Tee

text: In Ostasien werden die Teeblätter länger im Wasser gelassen. Der Geschmack ändert sich so über die Zeit des Trinkens, was nach zehn Minuten Ziehzeit einen sehr bitteren Teerest ergibt. Das Abgießen in eine zweite, leere Kanne ist in China nicht üblich. Chinarestaurants praktizieren das Überziehen gerne, koreanische nicht.


title: Grüner Tee

text: Man kann grünen Tee mehrfach aufgießen. Allerdings gilt zu beachten, dass bei weiteren Aufgüssen heißeres Wasser benutzt und die Ziehzeit verkürzt werden sollte.


title: Grüner Tee

text: In der Teekultur in Nordwestafrika sind drei Aufgüsse meist bei der Sorte Gunpowder üblich. Dabei kommen reichlich Zucker und häufig einige frische Nanaminzeblätter in die Teekanne. Der Tee sollte aus großer Höhe in die Gläser eingegossen oder mehrfach umgefüllt werden, damit sich der erwünschte Schaum im Glas bildet.


title: Grüner Tee

text: Weltweit wurde inzwischen in über 100 klinischen Studien mit grünem Tee die medizinische Wirksamkeit untersucht. Sie sind jedoch oft schwer vergleichbar. Viele behauptete gesundheitsfördernde Wirkungen lassen sich nicht beweisen: Sie beruhen größtenteils auf epidemiologischen Studien, deren Interpretationen umstritten sind, sowie auf Labor- und Tierversuchen, die nicht ohne weiteres auf den Menschen übertragbar sind – schon allein, weil der oft im Zentrum der Betrachtung stehende Wirkstoff Epigallocatechingallat (EGCG) beim normalen Teetrinken vom Körper kaum aufgenommen wird.


title: Grüner Tee

text: Eine Studie von 2014 fand, dass Epigallocatechingallat des grünen Tees die 11"β"-Hydroxysteroid-Dehydrogenase 1 potent hemmt, dadurch weniger Cortisol verfügbar ist, wodurch ggf. Teile der gesundheitsfördernden Eigenschaften des grünen Tees erklärt werden könnten.<ref name="DOI10.1371/journal.pone.0084468">Jan Hintzpeter, Claudia Stapelfeld, Christine Loerz, Hans-Joerg Martin, Edmund Maser: "Green Tea and One of Its Constituents, Epigallocatechine-3-gallate, Are Potent Inhibitors of Human 11β-hydroxysteroid Dehydrogenase Type 1." In: "PLoS ONE." 9, 2014, S. e84468, .</ref>


title: Grüner Tee

text: In der in Japan durchgeführten und über 11 Jahre laufenden sogenannten "Ohsaki-Studie" mit 40.530 Erwachsenen im Alter von 40 bis 79 Jahren wurde festgestellt, dass das Getränk positive kardiovaskuläre Eigenschaften hat und dadurch lebensverlängernd wirkt. Demnach sank die Sterberate bei männlichen Testteilnehmern, die mindestens fünf Tassen täglich tranken, um 12 Prozent, bei Frauen um 23 Prozent. Besonders Todesfälle wegen Herz-Kreislauf-Erkrankungen waren seltener, auch hier bei Frauen deutlicher (31 / 22 Prozent). Eine Reduzierung der Sterblichkeit durch Krebserkrankungen wurde in dieser Studie nicht festgestellt.


title: Grüner Tee

text: Einige andere Studien geben Hinweise darauf, dass der regelmäßige Konsum von grünem Tee das Risiko, an Krebs zu erkranken, vermindern kann, da in den Teilen der Welt, in denen viel Tee getrunken wird, die Inzidenz für bestimmte Krebsarten geringer ist als in der übrigen Welt.<ref name="DOI10.1038/nsmb743">Hirofumi Tachibana, Kiyoshi Koga, Yoshinori Fujimura, Koji Yamada: "A receptor for green tea polyphenol EGCG." In: "Nature Structural & Molecular Biology." 11, 2004, S. 380–381, .</ref> Eine präventive Wirkung wird insbesondere den in manchen Teesorten natürlicherweise enthaltenen Polyphenolen (v. a. das Epigallocatechingallat, EGCG) zugeschrieben.


title: Grüner Tee

text: Eine Studie an Patienten mit Prostatakarzinom, die am "Center for Human Nutrition" an der "David Geffen School of Medicine" der UCLA durchgeführt wurde, konnte zeigen, dass das aus dem Tee stammende EGCG in den Tumoren nachweisbar war und das Zellwachstum hemmte. Die Ergebnisse deuten darauf hin, dass grüner Tee und Schwarztee helfen könnten, Prostatakrebs vorzubeugen.


title: Grüner Tee

text: Die im Schwarztee und besonders im grünen Tee enthaltenen Polyphenole und Fluoride senken das Risiko für die Zahnkaries.


title: Grüner Tee

text: Wer mehr als zehn Tassen grünen Tee am Tag trinkt, könnte damit seine Leber und Nieren schädigen. Dies behaupten Chung Yang und seine Kollegen der Rutgers-Universität New Jersey im Journal "Chemical Research in Toxicology" nach einer Sichtung von Studien. Zu hohe Dosen der im grünen Tee enthaltenen Polyphenole können toxisch wirken, so Yang.<ref name="DOI10.1021/tx7000515">Joshua D. Lambert, Shengmin Sang, Chung S. Yang: "Possible Controversy over Dietary Polyphenols: Benefits vs Risks." In: "Chemical Research in Toxicology." 20, 2007, S. 583–585. .</ref> Bislang konnte diese These in Studien am Menschen jedoch nicht bestätigt werden.


title: Grüner Tee

text: In einer weiteren japanischen Studie wurde gezeigt, dass sowohl grüner Tee als auch Rotbusch-Tee eine prophylaktische Wirkung gegen die Diabetische Nephropathie zeigen. Man geht davon aus, dass die im Grüntee enthaltenen Polyphenole, beziehungsweise die im Rotbusch enthaltenen Flavonoide, freie Radikale abfangen. Dadurch wird möglicherweise die Anlagerung von Glukose an körpereigene Proteine reduziert, wodurch die Niere wirksam geschützt sei. Die diabetische Nephropathie ist eine durch "Diabetes mellitus" ausgelöste Nierenerkrankung. Sie ist eine häufige Ursache für das Nierenversagen bei Diabetikern.


title: Grüner Tee

text: Chorea Huntington ist eine vererbte, neuro-degenerative Erkrankung. An Modellorganismen wurde festgestellt, dass Grüner Tee die zur Erkrankung führende Plaque-Bildung verzögern kann. Dafür verantwortlich ist die aus grünem Tee gewonnene Substanz EGCG. Sie ist in der Lage, eine Verklumpung des sogenannten Huntington-Proteins zu verzögern. Transgene Fliegen, denen das Huntington-Gen übertragen wurde, zeigten zudem eine verbesserte Beweglichkeit nach Aufnahme von EGCG.


title: Grüner Tee

text: Der ägyptische Wissenschaftler Dr. Mervat Kassem fand heraus, dass Antibiotika deutlich besser wirken, wenn die Patienten zusätzlich grünen Tee trinken. Sein Forscherteam testete die Wirkung dieser Kombination an den Erregern von 28 Infektionskrankheiten. Der Grüntee verstärkte die Wirkung in allen Fällen. Selbst manche Keime, die nicht mehr auf Antibiotika ansprachen, wurden wieder angreifbar.


title: Grüner Tee

text: Neurodegenerative Erkrankungen wie Alzheimer und Parkinson werden durch die Bildung von Amyloidfibrillen verursacht. Die im grünen Tee enthaltene Substanz EGCG verhindert deren Bildung durch Bindung an die nativen, noch ungefalteten Polypeptidketten. Dadurch werden statt der toxischen, faserförmigen Amyloidfibrillen harmlose, sphärische Oligomere gebildet.<ref name="DOI10.1038/nsmb.1437">Dagmar E Ehrnhoefer, Jan Bieschke, Annett Boeddrich, Martin Herbst, Laura Masino, Rudi Lurz, Sabine Engemann, Annalisa Pastore, Erich E Wanker: "EGCG redirects amyloidogenic polypeptides into unstructured, off-pathway oligomers." In: "Nature structural & molecular biology." 15, 2008, S. 558–566. .</ref>


title: Grüner Tee

text: Außerdem weisen Studien in der Multiple-Sklerose-Forschung darauf hin, dass EGCG sowohl Nervenzellen im Zentralnervensystem vor Schädigungen schützen als auch fehlgeleitete T-Lymphozyten, welche für die Krankheit verantwortlich gemacht werden, regulieren kann. So war der Verlauf der experimentellen autoimmunen Enzephalomyelitis – dem Tiermodell der Multiplen Sklerose – bei Gabe von EGCG signifikant milder als bei Tieren, die kein EGCG erhielten. Um die in den Studien verwendeten Dosierungen durch Konsum von grünem Tee zu erreichen, müsste man allerdings große Mengen am Tag zu sich nehmen.


title: Grüner Tee

text: Durch die Zugabe von Milch fällt Calciumoxalat als schwerlösliches Salz aus und wird via Magen-Darm-Trakt ausgeschieden. Die Gefahr der Nierensteinbildung wird so verringert. Allerdings zeigt eine Studie unter Leitung von Verena Stangl (Charité Berlin), dass die Kaseine in der Milch die gefäßschützende, entzündungshemmende und antioxidative Wirkung von Catechinen (wie EGCG) neutralisieren.


title: Grüner Tee

text: Forscher der Purdue University haben herausgefunden, dass die Zugabe einer sauren Zutat wie z. B. Zitronensaft bzw. Vitamin C die Catechine im Tee zu erhalten hilft, damit sie nicht schon bei der Verdauung zerfallen. So können sie vom Körper noch besser aufgenommen werden. Orangen-, Limetten- sowie Grapefruitsaft als Zugabe haben denselben Effekt.


title: Grüner Tee

text: Es konnte gezeigt werden, dass EGCG den Eintritt des Hepatitis-C-Virus in die Leberzelle im labortechnischen Versuch verhindern konnte. Studien zum Menschen liegen bisher nicht vor.


title: Grüner Tee

text: Der Genuss von grünem Tee könnte auch bestimmte Arzneimittel in ihrer Wirkung behindern. So stellt eine japanische Studie aus dem Jahr 2014 fest, dass der Genuss von grünem Tee die Plasmakonzentration des Betablockers Nadolol reduzieren kann. Offensichtlich vermindern Substanzen im Tee die Aufnahme des Wirkstoffs im Darm.<ref name="DOI10.1038/clpt.2013.241">S. Misaka, J. Yatabe, F. Müller, K. Takano, K. Kawabe, H. Glaeser, M. S. Yatabe, S. Onoue, J. P. Werba, H. Watanabe, S. Yamada, M. F. Fromm, J. Kimura: "Green tea ingestion greatly reduces plasma concentrations of nadolol in healthy subjects." In: "Clinical Pharmacology & Therapeutics." 2014, S. 432–438. .</ref>


title: Differentialrechnung

text: Die Differential- oder Differenzialrechnung ist ein wesentlicher Bestandteil der Analysis und damit ein Gebiet der Mathematik. Zentrales Thema der Differentialrechnung ist die Berechnung lokaler Veränderungen von Funktionen. Während eine Funktion ihren Eingabewerten nach tabellarischem Prinzip gewisse Ausgangswerte zuordnet, wird durch die Differentialrechnung ermittelt, wie stark sich die Ausgabewerte nach sehr kleinen Veränderungen der Eingabewerte ändern. Sie ist eng verwandt mit der Integralrechnung, mit der sie gemeinsam unter der Bezeichnung Infinitesimalrechnung zusammengefasst wird.


title: Differentialrechnung

text: Die Ableitung einer Funktion dient der Untersuchung lokaler Veränderungen einer Funktion und ist gleichzeitig Grundbegriff der Differentialrechnung. Anstatt von der Ableitung spricht man auch vom Differentialquotienten, dessen geometrische Entsprechung die Tangentensteigung ist. Die Ableitung ist nach der Vorstellung von Leibniz der Proportionalitätsfaktor zwischen "infinitesimalen" Änderungen des Eingabewertes und den daraus resultierenden, ebenfalls "infinitesimalen" Änderungen des Funktionswertes. Wird beispielsweise nach Zunahme der Eingabe um eine sehr kleine Einheit die Ausgabe der Funktion um nahezu zwei Einheiten erhöht, so ist von einer Ableitung des Wertes 2 (= 2 Einheiten / 1 Einheit) auszugehen. Eine Funktion wird als differenzierbar bezeichnet, wenn ein solcher Proportionalitätsfaktor existiert. Äquivalent wird die Ableitung in einem Punkt als die Steigung derjenigen linearen Funktion definiert, die unter allen linearen Funktionen die Änderung der Funktion am betrachteten Punkt lokal am besten approximiert. Entsprechend wird die Ableitung auch die Linearisierung der Funktion genannt. Die Linearisierung einer möglicherweise komplizierten Funktion zur Bestimmung deren Veränderungsrate hat den Vorteil, dass lineare Funktionen besonders einfache Eigenschaften haben.


title: Differentialrechnung

text: In vielen Fällen ist die Differentialrechnung ein unverzichtbares Hilfsmittel zur Bildung mathematischer Modelle, die die Wirklichkeit möglichst genau abbilden sollen, sowie zu deren nachfolgender Analyse. Die Entsprechung der Ableitung im untersuchten Sachverhalt ist häufig die momentane Änderungsrate. So ist beispielsweise die Ableitung der Orts- beziehungsweise Weg-Zeit-Funktion eines Teilchens nach der Zeit seine Momentangeschwindigkeit und die Ableitung der Momentangeschwindigkeit nach der Zeit liefert die momentane Beschleunigung. In den Wirtschaftswissenschaften spricht man auch häufig von Grenzraten anstelle der Ableitung, zum Beispiel Grenzkosten oder Grenzproduktivität eines Produktionsfaktors.


title: Differentialrechnung

text: In geometrischer Sprache ist die Ableitung eine verallgemeinerte Steigung. Der geometrische Begriff Steigung ist ursprünglich nur für lineare Funktionen definiert, deren Funktionsgraph eine Gerade ist. Die Ableitung einer beliebigen Funktion an einer Stelle formula_1 kann man als die Steigung der Tangente im Punkt formula_2 des Graphen von formula_3 definieren.


title: Differentialrechnung

text: In arithmetischer Sprache gibt formula_4 (die Ableitung einer Funktion formula_3 an der Stelle formula_6) an, um welchen Faktor von formula_7 sich formula_8 ungefähr ändert, wenn sich formula_6 um einen „kleinen“ Betrag formula_7 ändert. Für die exakte Formulierung dieses Sachverhalts wird der Begriff "Grenzwert" oder "Limes" verwendet.


title: Differentialrechnung

text: Fährt ein Auto auf einer Straße, so kann anhand dieses Sachverhalts eine Tabelle erstellt werden, in der zu jedem Zeitpunkt die Strecke, die seit dem Beginn der Aufzeichnung zurückgelegt wurde, eingetragen wird. In der Praxis ist es zweckmäßig, eine solche Tabelle nicht zu engmaschig zu führen, d. h. zum Beispiel in einem Zeitraum von 1 Minute nur alle 3 Sekunden einen neuen Eintrag zu machen, was lediglich 20 Messungen erfordern würde. Jedoch kann eine solche Tabelle theoretisch beliebig engmaschig gestaltet werden, wenn jeder Zeitpunkt berücksichtigt werden soll. Dabei fließen die vormals diskreten, also mit einem Abstand behafteten Daten, in ein Kontinuum über. Die "Gegenwart" wird dann als Zeit"punkt", d. h. als ein unendlich kurzer Zeitabschnitt, interpretiert. Gleichzeitig hat das Auto aber zu jedem Zeitpunkt eine theoretisch messbare exakte Strecke zurückgelegt, und wenn es nicht bis zum Stillstand abbremst oder gar zurück fährt, wird die Strecke kontinuierlich ansteigen, also zu keinem Zeitpunkt dieselbe sein wie zu einem anderen.


title: Differentialrechnung

text: Die Motivation hinter dem Begriff der "Ableitung" einer Zeit-Strecken-Tabelle oder -Funktion ist, nun angeben zu können, "wie schnell" sich das Auto zu einem gewissen gegenwärtigen Zeitpunkt bewegt. Aus einer Zeit-Strecke-Tabelle soll also die passende Zeit-Geschwindigkeit-Tabelle "abgeleitet" werden. Hintergrund ist, dass die Geschwindigkeit ein Maß dafür ist, "wie stark" sich die zurückgelegte Strecke im Laufe der Zeit "ändert". Bei einer hohen Geschwindigkeit ist ein starker Anstieg in der Strecke zu sehen, während eine niedrige Geschwindigkeit zu wenig Veränderung führt. Da "jedem" Zeitpunkt auch eine Strecke zugeordnet wurde, sollte eine solche Analyse grundsätzlich möglich sein, denn mit dem Wissen über die zurückgelegte Strecke formula_11 innerhalb eines Zeitraumes formula_12 gilt für die Geschwindigkeit


title: Differentialrechnung

text: Sind also formula_14 und formula_15 zwei unterschiedliche Zeitpunkte, so lautet „die Geschwindigkeit“ des Autos im Zeitraum zwischen diesen


title: Differentialrechnung

text: Die Differenzen in Zähler und Nenner müssen gebildet werden, da man sich nur für die innerhalb eines bestimmten Zeitraums formula_17 zurückgelegte Strecke formula_18 interessiert. Dennoch liefert dieser Ansatz kein vollständiges Bild, da zunächst nur Geschwindigkeiten für „echte Zeiträume“ gemessen wurden. Eine "gegenwärtige" Geschwindigkeit, vergleichbar mit einem Blitzerfoto, hingegen bezöge sich auf ein "unendlich kurzes Zeitintervall". Ferner ist es sehr gut möglich, dass das Auto auch in sehr kurzen Intervallen noch seine Geschwindigkeit ändert, zum Beispiel bei einer Vollbremsung. Dementsprechend ist der obere Begriff der „Geschwindigkeit“ nicht zutreffend und muss durch „durchschnittliche Geschwindigkeit“ ersetzt werden. Wird also mit echten Zeitintervallen, also diskreten Daten, gearbeitet, vereinfacht sich das Modell insofern, als für das Auto innerhalb der betrachteten Intervalle eine konstante Geschwindigkeit angenommen wird.


title: Differentialrechnung

text: Soll hingegen zu einer „perfekt passenden“ Zeit-Geschwindigkeit-Tabelle übergegangen werden, so muss der Terminus „durchschnittliche Geschwindigkeit in einem Zeitintervall“ durch „Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt“ ersetzt werden. Dazu muss zunächst ein Zeitpunkt formula_14 gewählt werden. Die Idee ist nun, „echte Zeitintervalle“ in einem "Grenzwertprozess" gegen ein unendlich kurzes Zeitintervall laufen zu lassen und zu studieren, was mit den betroffenen durchschnittlichen Geschwindigkeiten passiert. Obwohl der Nenner formula_17 dabei gegen 0 strebt, ist dies anschaulich kein Problem, da sich das Auto in kürzer werdenden Zeitabschnitten bei stetigem Verlauf, also ohne Teleportation, immer weniger weit bewegen kann, womit sich Zähler und Nenner gleichzeitig verkleinern, und im Grenzprozess ein unbestimmter Term „formula_21“ entsteht. Dieser kann unter Umständen als Grenzwert Sinn ergeben, beispielsweise drücken


title: Differentialrechnung

text: exakt "dieselben" Geschwindigkeiten aus. Nun gibt es zwei Möglichkeiten beim Studium der Geschwindigkeiten. Entweder, sie lassen in dem betrachteten Grenzwertprozess "keine" Tendenz erkennen, sich einem bestimmten endlichen Wert anzunähern. In diesem Fall kann der Bewegung des Autos "keine zum Zeitpunkt formula_14 gültige Geschwindigkeit" zugeordnet werden, d. h., der Term „formula_21“ hat hier keinen eindeutigen Sinn. Gibt es hingegen eine zunehmende Stabilisierung in Richtung eines festen Wertes, so "existiert" der Limes


title: Differentialrechnung

text: und drückt exakt die im Zeitpunkt formula_14 vorherrschende Geschwindigkeit des Autos aus. Der unbestimmte Term „formula_21“ nimmt in diesem Fall einen eindeutigen Wert an. Der dabei entstehende Zahlenwert wird auch als Ableitung von formula_11 an der Stelle formula_14 bezeichnet und für ihn wird häufig das Symbol formula_30 benutzt.


title: Differentialrechnung

text: Das Beispiel des letzten Abschnitts ist besonders einfach, wenn die Zunahme der Strecke des Autos mit der Zeit "gleichförmig", also linear verläuft. Man spricht in diesem Falle auch von einer Proportionalität zwischen Zeit und Strecke, wenn zu Beginn der Aufzeichnung (formula_31) noch keine Strecke zurückgelegt wurde (formula_32). Dies hat eine immer gleichbleibende Veränderung der Strecke in einem bestimmten Zeitintervall zur Folge, "egal" ab wann die Messung startet. Beispielsweise legt das Auto zwischen 0 und 1 die gleiche Strecke zurück wie zwischen 9 und 10 Sekunden. Nimmt man an, dass sich das Auto für jede verstrichene Sekunde 2 Meter weiter bewegt, so hat die Proportionalität zur Folge, dass es sich für jede halbe Sekunde nur um 1 Meter zurück legt usw. Allgemein gilt also formula_33, d. h., für jede weitere Zeiteinheit kommen zwei weitere Streckeneinheiten hinzu, womit die Veränderungsrate in jedem Punkt 2 „Meter pro (hinzukommende) Sekunde“ beträgt.


title: Differentialrechnung

text: Ersetzt man für den allgemeineren Fall 2 durch eine beliebige Zahl formula_34, also formula_35, so kommen für jede verstrichene Zeiteinheit weitere formula_34 Streckeneinheiten hinzu. Das ist schnell einzusehen, denn es gilt für die Streckendifferenz


title: Differentialrechnung

text: Allgemein bewegt sich das Auto in formula_14 Zeiteinheiten um insgesamt formula_39 Streckeneinheiten vorwärts – seine Geschwindigkeit beträgt daher, im Falle der getroffenen Wahl von Metern und Sekunden, konstant „formula_34 Meter pro Sekunde“. Falls der Startwert nicht formula_41 sondern formula_42 beträgt, ändert dies nichts, da sich die Konstante in der oberen Differenz stets heraussubtrahiert. Auch anschaulich ist dies vernünftig: Die Startposition des Autos sollte bei gleichförmiger Bewegung unerheblich für dessen Geschwindigkeit sein.


title: Differentialrechnung

text: Mitunter deutlich schwieriger kann es werden, wenn eine Bewegung "nicht gleichförmig" verläuft. In diesem Falle sieht der Verlauf der Zeit-Strecken-Funktion ggf. ganz anders aus als eine Gerade. Aus der Beschaffenheit der Zeit-Strecken-Funktion lässt sich dann ablesen, dass die Bewegungsverläufe des Autos sehr vielseitig sind, was zum Beispiel mit Verkehrsampeln, Kurven, Staus und anderen Verkehrsteilnehmern zu tun haben kann. Da solche Arten von Verläufen besonders häufig in der Praxis anzutreffen sind, ist es zweckmäßig, den Ableitungsbegriff auch auf nicht-lineare Funktionen auszudehnen. Hier stößt man jedoch schnell auf das Problem, dass es auf den ersten Blick keinen klaren Proportionalitätsfaktor gibt, der genau die lokale Veränderungsrate ausdrückt. Die einzig mögliche Strategie sieht daher vor, eine "Linearisierung" der nicht-linearen Funktion vorzunehmen, um das Problem auf den einfachen Fall einer linearen Funktion "zurückzuführen". Diese Technik der Linearisierung bildet den eigentlichen Kalkül der Differentialrechnung und ist in der Analysis von sehr großer Bedeutung, da sie dabei hilft, komplizierte Prozesse lokal auf sehr leicht verständliche Prozesse, nämlich lineare Vorgänge, zu reduzieren.


title: Differentialrechnung

text: Die Strategie kann exemplarisch an der nicht-linearen Funktion formula_49 erläutert werden. Die folgende Tabelle zeigt die Linearisierung der quadratischen Funktion formula_49 an der Stelle 1.


title: Differentialrechnung

text: Dass die Linearisierung nur ein "lokales Phänomen" ist, zeigt die größer werdende Abweichung der Funktionswerte bei entfernteren Eingabewerten. Die lineare Funktion formula_51 ahmt das Verhalten von formula_49 nahe der Eingabe 1 sehr gut nach (besser als jede andere lineare Funktion). Im Gegensatz zu formula_49 hat man es bei formula_51 jedoch einfach, die Veränderungsrate an der Stelle 1 zu interpretieren: Sie beträgt (wie überall) genau 2. Damit gilt formula_55.


title: Differentialrechnung

text: Die "genaue Bestimmung" der richtigen Linearisierung einer nicht-linearen Funktion an einer bestimmten Stelle ist zentrale Aufgabe des Kalküls der Differentialrechnung. Es geht um die Frage, ob sich aus einer Kurve wie formula_49 "berechnen" lässt, welche lineare Funktion sie an einem gegebenen Punkt am besten annähert. Im Idealfall ist diese Berechnung sogar so allgemein, dass sie auf alle Punkte des Definitionsbereichs angewendet werden kann. Im Falle von formula_49 kann gezeigt werden, dass an der Stelle formula_6 die beste lineare Annäherung die Steigung formula_59 besitzen muss. Mit der Zusatzinformation, dass die lineare Funktion die Kurve im Punkt formula_60 schneiden muss, kann dann die vollständige Funktionsgleichung der approximierenden linearen Funktion ermittelt werden. In vielen Fällen reicht jedoch die Angabe der Steigung, also die Ableitung, aus.


title: Differentialrechnung

text: hervorgeht. Die rechte Seite ist eine in formula_63 "lineare Funktion" mit "Steigung" formula_64 und ahmt formula_3 in der Nähe von formula_1 sehr gut nach. Bei einigen elementaren Funktionen wie Polynomfunktionen, trigonometrischen Funktionen, Exponentialfunktionen oder Logarithmusfunktionen kann durch diesen Grenzwertprozess eine Ableitungsfunktion bestimmt werden. Mit Hilfe sog. "Ableitungsregeln" kann dieser Prozess dann auf viele weitere Funktionen verallgemeinert werden, wie Summen, Produkte oder Verkettungen elementarer Funktionen wie der oben genannten.


title: Differentialrechnung

text: Exemplarisch: Ist formula_67 und formula_68, so wird das Produkt formula_69 durch das Produkt der linearen Funktionen angenähert: formula_70, und durch Ausmultiplizieren:


title: Differentialrechnung

text: Ferner helfen die Ableitungsregeln dabei, die mitunter aufwändigen Grenzwertbestimmungen durch einen „direkten Rechenkalkül“ zu ersetzen und damit den Ableitungsprozess zu vereinfachen. Aus diesem Grund werden Differentialquotienten in der Lehre zum fundamentalen Verständnis studiert und zum Beweisen der Ableitungsregeln verwendet, jedoch in der Rechenpraxis nicht angewendet.


title: Differentialrechnung

text: Der Ansatz zur Ableitungsberechnung ist zunächst der "Differenzenquotient". Dies kann exemplarisch an den Funktionen formula_49 und formula_76 vorgeführt werden.


title: Differentialrechnung

text: Im letzten Schritt wurde der Term formula_77 in der Differenz absorbiert, und ein Faktor formula_63 kürzte sich heraus. Strebt nun formula_63 gegen 0, bleibt im Grenzwert von der „Sekantensteigung“ formula_83 nur noch formula_84 übrig – dies ist die gesuchte exakte Tangentensteigung formula_85. Generell verringert sich bei Polynomfunktionen durch Ableiten der Grad um Eins.


title: Differentialrechnung

text: Ein anderer, wichtiger Funktionstyp sind Exponentialfunktionen, wie zum Beispiel formula_76. Für jeden Eingabewert formula_6 werden hier formula_6 Faktoren 10 miteinander multipliziert, zum Beispiel formula_89, formula_90 oder formula_91. Dies kann auch auf nicht-ganze Anzahlen formula_6 verallgemeinert werden mittels „Aufspaltens“ von Faktoren in Wurzeln (z. B. formula_93). Exponentialfunktionen ist die charakteristische Gleichung


title: Differentialrechnung

text: gemein, die auf dem Prinzip beruht, dass das Produkt aus formula_6 Faktoren 10 und formula_96 Faktoren 10 aus formula_97 Faktoren 10 besteht. Insbesondere existiert eine direkte Verbindung zwischen beliebigen Differenzen formula_98 und formula_99 durch


title: Differentialrechnung

text: Dies löst bei der Ableitungsfunktion den wichtigen (und für Exponentialfunktionen eigentümlichen) Effekt aus, dass diese bis auf einen Faktor der abgeleiteten Funktion entsprechen muss:


title: Differentialrechnung

text: Der Faktor, bis auf den Funktion und Ableitung gleich sind, ist die Ableitung im Punkt 0. Es muss streng genommen verifiziert werden, dass dieser überhaupt existiert. Wenn ja, ist formula_102 bereits überall ableitbar.


title: Differentialrechnung

text: Eine wichtige Anwendung der Differentialrechnung besteht darin, dass mit Hilfe der Ableitung lokale Extremwerte einer Kurve bestimmt werden können. Anstatt also anhand einer Wertetabelle mechanisch nach Hoch- oder Tiefpunkten suchen zu müssen, liefert der Kalkül in einigen Fällen eine direkte Antwort. Liegt ein Hoch- oder Tiefpunkt vor, so besitzt die Kurve an dieser Stelle keinen „echten“ Anstieg, weshalb die optimale Linearisierung eine Steigung von 0 besitzt. Für die genaue Klassifizierung eines Extremwertes sind jedoch weitere lokale Daten der Kurve notwendig, denn eine Steigung von 0 ist nicht hinreichend für die Existenz eines Extremwertes (geschweige denn eines Hoch- oder Tiefpunktes).


title: Differentialrechnung

text: In der Praxis treten Extremwertprobleme typischerweise dann auf, wenn Prozesse, zum Beispiel in der Wirtschaft, optimiert werden sollen. Oft liegen an den Randwerten jeweils ungünstige Ergebnisse, in Richtung „Mitte“ kommt es aber zu einer stetigen Steigerung, die dann irgendwo maximal werden muss. Zum Beispiel die optimale Wahl eines Verkaufspreises: Bei einem zu geringen Preis ist die Nachfrage nach einem Produkt zwar sehr groß, aber die Produktion kann nicht finanziert werden. Ist er andererseits zu hoch, so wird es im Extremfall gar nicht mehr gekauft. Daher liegt ein Optimum irgendwo „in der Mitte“. Voraussetzung dabei ist, dass der Zusammenhang in Form einer (stetig) differenzierbaren Funktion wiedergegeben werden kann.


title: Differentialrechnung

text: Die Untersuchung einer Funktion auf Extremstellen ist Teil einer Kurvendiskussion. Die mathematischen Hintergründe sind im Abschnitt Anwendung höherer Ableitungen bereitgestellt.


title: Differentialrechnung

text: In der mathematischen Modellierung sollen komplexe Probleme in mathematischer Sprache erfasst und analysiert werden. Je nach Fragestellung sind das Untersuchen von Korrelationen oder Kausalitäten oder auch das Geben von Prognosen im Rahmen dieses Modells zielführend.


title: Differentialrechnung

text: Besonders im Umfeld sog. "Differentialgleichungen" ist die Differentialrechnung zentrales Werkzeug bei der Modellierung. Diese Gleichungen treten zum Beispiel auf, wenn es eine kausale Beziehung zwischen dem "Bestand" einer Größe und deren "zeitlicher Veränderung" gibt. Ein alltägliches Beispiel könnte sein:


title: Differentialrechnung

text: Etwas konkreter "könnte" dies zum Beispiel heißen, dass bei formula_103 jetzigen Einwohnern durchschnittlich formula_103 Personen in den kommenden 10 Jahren zuziehen werden, bei formula_105 Einwohnern durchschnittlich formula_105 Personen in den kommenden 10 Jahren usw. – um nicht alle Zahlen einzeln ausführen zu müssen: Leben formula_107 Personen in der Stadt, so wollen so viele Menschen hinzuziehen, dass nach 10 Jahren weitere formula_107 hinzukommen würden. Besteht eine derartige Kausalität zwischen Bestand und zeitlicher Veränderung, so kann gefragt werden, ob aus diesen Daten eine Prognose für die Einwohnerzahl nach 10 Jahren abgeleitet werden kann, wenn die Stadt im Jahr 2020 zum Beispiel formula_103 Einwohner hatte. Es wäre dabei falsch zu glauben, dass dies formula_110 sein werden, da sich mit steigender Einwohnerzahl auch die Nachfrage nach Wohnraum wiederum zunehmend steigern wird. Der Knackpunkt zum Verständnis des Zusammenhangs ist demnach erneut dessen "Lokalität": Besitzt die Stadt formula_103 Einwohner, so wollen "zu diesem Zeitpunkt" formula_103 Menschen pro 10 Jahre hinzuziehen. Aber einen kurzen Augenblick später, wenn weitere Menschen hinzugezogen "sind", sieht die Lage wieder anders aus. Wird dieses Phänomen zeitlich beliebig engmaschig gedacht, ergibt sich ein „differentieller“ Zusammenhang. Allerdings eignet sich die kontinuierliche Herangehensweise in vielen Fällen auch bei diskreten Problemstellungen.


title: Differentialrechnung

text: Mit Hilfe der Differentialrechnung kann aus so einem kausalen Zusammenhang zwischen Bestand und Veränderung in vielen Fällen ein Modell hergeleitet werden, was den komplexen Zusammenhang "auflöst", und zwar in dem Sinne, dass zum Schluss eine Bestandsfunktion "explizit angegeben werden kann". Setzt man in diese Funktion dann zum Beispiel den Wert 10 Jahre ein, so ergibt sich eine Prognose für die Stadtbewohneranzahl im Jahr 2030. Im Falle oberen Modells wird eine Bestandsfunktion formula_113 gesucht mit formula_114, formula_12 in 10 Jahren, und formula_116. Die Lösung ist dann


title: Differentialrechnung

text: mit der natürlichen Exponentialfunktion ("natürlich" bedeutet, dass der Proportionalitätsfaktor zwischen Bestand und Veränderung einfach gleich 1 ist) und für das Jahr 2030 lautet die geschätzte Prognose formula_118 Mio. Einwohner. Die Proportionalität zwischen Bestand und Veränderungsrate führt also zu exponentiellem Wachstum und ist klassisches Beispiel eines selbstverstärkenden Effektes. Analoge Modelle funktionieren beim Populationswachstum ("Je mehr Individuen, desto mehr Geburten") oder der Verbreitung einer ansteckenden Krankheit ("Je mehr Erkrankte, desto mehr Ansteckungen"). In vielen Fällen stoßen diese Modelle jedoch an eine Grenze, wenn sich der Prozess aufgrund natürlicher Beschränkungen (wie eine Obergrenze der Gesamtbevölkerung) nicht beliebig fortsetzen lässt. In diesen Fällen sind ähnliche Modelle, wie das logistische Wachstum, geeigneter.


title: Differentialrechnung

text: Die Eigenschaft einer Funktion, differenzierbar zu sein, ist bei vielen Anwendungen von Vorteil, da dies der Funktion mehr Struktur verleiht. Ein Beispiel ist das Lösen von Gleichungen. Bei einigen mathematischen Anwendungen ist es notwendig, den Wert einer (oder mehrerer) Unbekannten formula_6 zu finden, die Nullstelle einer Funktion formula_3 ist. Es ist dann formula_121. Je nach Beschaffenheit von formula_3 können Strategien entwickelt werden, eine Nullstelle zumindest näherungsweise anzugeben, was in der Praxis meist vollkommen ausreicht. Ist formula_3 in jedem Punkt differenzierbar mit Ableitung formula_124, so kann in vielen Fällen das Newton-Verfahren helfen. Bei diesem spielt die Differentialrechnung insofern eine direkte Rolle, als beim schrittweisen Vorgehen immer wieder eine Ableitung explizit berechnet werden muss.


title: Differentialrechnung

text: Ein weiterer Vorteil der Differentialrechnung ist, dass in vielen Fällen komplizierte Funktionen, wie Wurzeln oder auch Sinus und Kosinus, anhand einfacher Rechenregeln wie Addition und Multiplikation gut angenähert werden können. Ist die Funktion an einem benachbarten Wert leicht auszuwerten, ist dies von großem Nutzen. Wird zum Beispiel nach einem Näherungswert für die Zahl formula_125 gesucht, so liefert die Differentialrechnung für formula_126 die Linearisierung


title: Differentialrechnung

text: denn es gilt nachweislich formula_128. Sowohl Funktion als auch erste Ableitung konnten an der Stelle formula_129 gut berechnet werden, weil es sich dabei um eine Quadratzahl handelt. Einsetzen von formula_130 ergibt formula_131, was mit dem exakten Ergebnis formula_132 bis auf einen Fehler kleiner als formula_133 übereinstimmt. Unter Einbezug "höherer" Ableitungen kann die Genauigkeit solcher Approximationen zusätzlich gesteigert werden, da dann nicht nur linear, sondern "quadratisch, kubisch" usw. angenähert wird, siehe auch Taylor-Reihe.


title: Differentialrechnung

text: Auch in der reinen Mathematik spielt die Differentialrechnung als ein Kern der Analysis eine bedeutende Rolle. Ein Beispiel ist die Differentialgeometrie, die sich mit Figuren beschäftigt, die eine differenzierbare Oberfläche (ohne Knicke usw.) haben. Zum Beispiel kann auf eine Kugeloberfläche in jedem Punkt tangential eine Ebene platziert werden. Anschaulich: Steht man an einem Erdpunkt, so hat man das Gefühl, die Erde sei flach, wenn man seinen Blick in der Tangentialebene schweifen lässt. In Wahrheit ist die Erde jedoch nur "lokal flach": Die angelegte Ebene dient der (durch "Linearisierung") vereinfachten Darstellung der komplizierteren Krümmung. "Global" hat sie als Kugeloberfläche eine völlig andere Gestalt.


title: Differentialrechnung

text: Die Methoden der Differentialgeometrie sind äußerst bedeutend für die theoretische Physik. So können Phänomene wie Krümmung oder Raumzeit über Methoden der Differentialrechnung beschrieben werden. Auch die Frage, was der kürzeste Abstand zwischen zwei Punkten auf einer gekrümmten Fläche (zum Beispiel der Erdoberfläche) ist, kann mit diesen Techniken formuliert und oft auch beantwortet werden.


title: Differentialrechnung

text: Auch bei der Erforschung von Zahlen als solchen, also im Rahmen der Zahlentheorie, hat sich die Differentialrechnung in der analytischen Zahlentheorie bewährt. Die grundlegende Idee der analytischen Zahlentheorie ist die Umwandlung von bestimmten Zahlen, über die man etwas lernen möchte, "in Funktionen". Haben diese Funktionen „gute Eigenschaften“ wie etwa Differenzierbarkeit, so hofft man, über die damit einhergehenden Strukturen Rückschlüsse auf die ursprünglichen Zahlen ziehen zu können. Es hat sich dabei häufig bewährt, zur Perfektionierung der Analysis von den reellen zu den komplexen Zahlen überzugehen (siehe auch komplexe Analysis), also die Funktionen über einem größeren Zahlenbereich zu studieren. Ein Beispiel ist die Analyse der Fibonacci-Zahlen formula_134, deren Bildungsgesetz vorschreibt, dass eine neue Zahl stets aus der Summe der beiden vorangehenden entstehen soll. Ansatz der analytischen Zahlentheorie ist die Bildung der erzeugenden Funktion


title: Differentialrechnung

text: also eines „unendlich langen“ Polynoms (einer sog. Potenzreihe), dessen Koeffizienten genau die Fibonacci-Zahlen sind. Für hinreichend kleine Zahlen formula_6 ist dieser Ausdruck sinnvoll, weil die Potenzen formula_137 dann viel schneller gegen 0 gehen als die Fibonacci-Zahlen gegen Unendlich, womit sich langfristig alles bei einem endlichen Wert einpendelt. Es ist für diese Werte möglich, die Funktion formula_138 explizit zu berechnen durch


title: Differentialrechnung

text: Das Nennerpolynom formula_140 „spiegelt“ dabei genau das Verhalten formula_141 der Fibonacci-Zahlen formula_142 „wider“ – es ergibt sich in der Tat formula_143 durch termweises Verrechnen. Mit Hilfe der Differentialrechnung lässt sich andererseits zeigen, dass die Funktion formula_138 ausreicht, um die Fibonacci-Zahlen (ihre Koeffizienten) eindeutig zu charakterisieren. Da es sich aber um eine schlichte rationale Funktion handelt, lässt sich dadurch die für jede Fibonacci-Zahl formula_142 gültige "exakte Formel"


title: Differentialrechnung

text: mit dem goldenen Schnitt formula_147 herleiten, wenn formula_148 und formula_149 gesetzt wird. Die exakte Formel vermag eine Fibonacci-Zahl zu berechnen, ohne die vorherigen zu kennen. Der Schluss wird über einen sog. Koeffizientenvergleich gezogen und nutzt aus, dass das Polynom formula_150 als Nullstellen formula_151 und formula_152 besitzt.


title: Differentialrechnung

text: Die Differentialrechnung kann auf den Fall „höherdimensionaler Funktionen“ verallgemeinert werden. Damit ist gemeint, dass sowohl Eingabe- als auch Ausgabewerte der Funktion nicht bloß Teil des eindimensionalen reellen Zahlenstrahls, sondern auch Punkte eines höherdimensionalen Raums sind. Ein Beispiel ist die Vorschrift


title: Differentialrechnung

text: zwischen jeweils zweidimensionalen Räumen. Das Funktionsverständnis als Tabelle bleibt hier identisch, nur dass diese mit „vier Spalten“ formula_154 „deutlich mehr“ Einträge besitzt. Auch mehrdimensionale Abbildungen können in manchen Fällen an einem Punkt linearisiert werden. Allerdings ist dabei nun angemessen zu beachten, dass es sowohl mehrere Eingabedimensionen als auch mehrere Ausgabedimensionen geben kann: Der korrekte Verallgemeinerungsweg liegt darin, dass die Linearisierung in "jeder Komponente" der Ausgabe "jede Variable" auf "lineare Weise" berücksichtigt. Das zieht für obere Beispielfunktion eine Approximation der Form


title: Differentialrechnung

text: nach sich. Diese ahmt dann die gesamte Funktion in der Nähe der Eingabe formula_156 sehr gut nach. In "jeder" Komponente wird demnach für jede Variable eine „Steigung“ angegeben – diese wird dann das lokale Verhalten der Komponentenfunktion bei kleiner Änderung in dieser Variablen messen. Diese Steigung wird auch als "partielle Ableitung" bezeichnet. Die korrekten konstanten Abschnitte formula_157 berechnen sich exemplarisch durch formula_158 bzw. formula_159. Wie auch im eindimensionalen Fall hängen die Steigungen (hier formula_160) stark von der Wahl des Punktes (hier formula_161) ab, an dem abgeleitet wird. Die Ableitung ist demnach keine Zahl mehr, sondern ein Verband aus mehreren Zahlen – in diesem Beispiel sind es vier – und diese Zahlen sind im Regelfall bei allen Eingaben unterschiedlich. Es wird allgemein für die Ableitung auch


title: Differentialrechnung

text: geschrieben, womit alle „Steigungen“ in einer sog. Matrix versammelt sind. Man bezeichnet diesen Term auch als "Jacobi-Matrix" oder "Funktionalmatrix".


title: Differentialrechnung

text: Beispiel: Wird oben formula_163 gesetzt, so kann man zeigen, dass folgende lineare Approximation bei sehr kleinen Änderungen von formula_6 "und" formula_96 sehr gut ist:


title: Differentialrechnung

text: Hat man im ganz allgemeinen Fall formula_107 Variablen und formula_34 Ausgabekomponenten, so gibt es kombinatorisch gesehen insgesamt formula_171 „Steigungen“, also partielle Ableitungen. Im klassischen Fall formula_172 gibt es wegen formula_173 eine Steigung formula_174 und im oberen Beispiel formula_175 sind es formula_176 „Steigungen“.


title: Differentialrechnung

text: Die Aufgabenstellung der Differentialrechnung bildete sich als "Tangentenproblem" ab dem 17. Jahrhundert heraus. Ein naheliegender Lösungsansatz bestand darin, die Tangente an eine Kurve durch ihre Sekante über einem endlichen ("endlich" heißt hier: größer als null), aber beliebig kleinen Intervall zu approximieren. Dabei war die technische Schwierigkeit zu überwinden, mit einer solchen "infinitesimal" kleinen Intervallbreite zu rechnen. Die ersten Anfänge der Differentialrechnung gehen auf Pierre de Fermat zurück. Er entwickelte um 1628 eine Methode, Extremstellen algebraischer Terme zu bestimmen und Tangenten an Kegelschnitte und andere Kurven zu berechnen. Seine „Methode“ war rein algebraisch. Fermat betrachtete keine Grenzübergänge und schon gar keine Ableitungen. Gleichwohl lässt sich seine „Methode“ mit modernen Mitteln der Analysis interpretieren und rechtfertigen, und sie hat Mathematiker wie Newton und Leibniz nachweislich inspiriert. Einige Jahre später wählte René Descartes einen anderen algebraischen Zugang, indem er an eine Kurve einen Kreis anlegte. Dieser schneidet die Kurve in zwei nahe beieinanderliegenden Punkten; es sei denn, er berührt die Kurve. Dieser Ansatz ermöglichte es ihm, für spezielle Kurven die Steigung der Tangente zu bestimmen.


title: Differentialrechnung

text: Ende des 17. Jahrhunderts gelang es Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz mit unterschiedlichen Ansätzen unabhängig voneinander, widerspruchsfrei funktionierende Kalküle zu entwickeln. Während Newton das Problem physikalisch über das Momentangeschwindigkeitsproblem anging, löste es Leibniz geometrisch über das Tangentenproblem. Ihre Arbeiten erlaubten das Abstrahieren von rein geometrischer Vorstellung und werden deshalb als Beginn der Analysis betrachtet. Bekannt wurden sie vor allem durch das Buch "Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes" des Adligen Guillaume François Antoine, Marquis de L’Hospital, der bei Johann I Bernoulli Privatunterricht nahm und dessen Forschung zur Analysis so publizierte. Darin heißt es:


title: Differentialrechnung

text: Die heute bekannten Ableitungsregeln basieren vor allem auf den Werken von Leonhard Euler, der den Funktionsbegriff prägte.


title: Differentialrechnung

text: Newton und Leibniz arbeiteten mit beliebig kleinen positiven Zahlen. Dies wurde bereits von Zeitgenossen als unlogisch kritisiert, beispielsweise von George Berkeley in der polemischen Schrift "The analyst; or, a discourse addressed to an infidel mathematician." Erst in den 1960ern konnte Abraham Robinson diese Verwendung infinitesimaler Größen mit der Entwicklung der Nichtstandardanalysis auf ein mathematisch-axiomatisch sicheres Fundament stellen. Trotz der herrschenden Unsicherheit wurde die Differentialrechnung aber konsequent weiterentwickelt, in erster Linie wegen ihrer zahlreichen Anwendungen in der Physik und in anderen Gebieten der Mathematik. Symptomatisch für die damalige Zeit war das von der Preußischen Akademie der Wissenschaften 1784 veröffentlichte Preisausschreiben:


title: Differentialrechnung

text: Erst zum Anfang des 19. Jahrhunderts gelang es Augustin-Louis Cauchy, der Differentialrechnung die heute übliche logische Strenge zu geben, indem er von den infinitesimalen Größen abging und die Ableitung als Grenzwert von Sekantensteigungen (Differenzenquotienten) definierte. Die heute benutzte Definition des Grenzwerts wurde schließlich von Karl Weierstraß im Jahr 1861 formuliert.


title: Differentialrechnung

text: Ausgangspunkt für die Definition der Ableitung ist die Näherung der Tangentensteigung durch eine Sekantensteigung (manchmal auch Sehnensteigung genannt). Gesucht sei die Steigung einer Funktion formula_3 in einem Punkt formula_2. Man berechnet zunächst die Steigung der Sekante an formula_3 über einem endlichen Intervall formula_180 der Länge formula_7:


title: Differentialrechnung

text: Die Sekantensteigung ist also der Quotient zweier Differenzen; sie wird deshalb auch "Differenzenquotient" genannt. Mit der Kurznotation formula_183 für formula_184 kann man die Sekantensteigung abgekürzt als formula_185 schreiben. Der Ausdruck formula_7 verdeutlicht also die beliebig klein werdende Differenz zwischen der Stelle, an der abgeleitet werden soll, und einem benachbarten Punkt. In der Literatur wird jedoch, wie auch im Folgenden, in vielen Fällen aus Gründen der Einfachheit das Symbol formula_63 statt formula_7 verwendet.


title: Differentialrechnung

text: Um eine Tangentensteigung zu berechnen, muss man die beiden Punkte, durch die die Sekante gezogen wird, immer weiter aneinander rücken. Dabei gehen sowohl formula_7 als auch formula_183 gegen Null. Der Quotient formula_185 bleibt aber in vielen Fällen endlich. Auf diesem Grenzübergang beruht die folgende Definition.


title: Differentialrechnung

text: Eine Funktion formula_192, die ein offenes Intervall formula_193 in die reellen Zahlen abbildet, heißt differenzierbar an der Stelle formula_194, falls der Grenzwert


title: Differentialrechnung

text: existiert. Dieser Grenzwert heißt Differentialquotient oder Ableitung von formula_3 nach formula_6 an der Stelle formula_1 und wird als


title: Differentialrechnung

text: notiert. Gesprochen werden diese Notationen als „f Strich von x null“, „d f von x nach d x an der Stelle x gleich x null“, „d f nach d x von x null“ respektive „d nach d x von f von x null“. Im später folgenden Abschnitt Notationen werden noch weitere Varianten angeführt, um die Ableitung einer Funktion zu notieren.


title: Differentialrechnung

text: Im Laufe der Zeit wurde folgende gleichwertige Definition gefunden, die sich im allgemeineren Kontext komplexer oder mehrdimensionaler Funktionen als leistungsfähiger erwiesen hat: Eine Funktion heißt an einer Stelle formula_1 differenzierbar, falls eine Konstante formula_205 existiert, sodass


title: Differentialrechnung

text: Der Zuwachs der Funktion formula_3, wenn man sich von formula_1 nur wenig entfernt, etwa um den Wert formula_63, lässt sich also durch formula_210 sehr gut approximieren. Man nennt deshalb die "lineare" Funktion formula_211, für die also formula_212 für alle formula_63 gilt, auch die "Linearisierung" von formula_3 an der Stelle formula_1.


title: Differentialrechnung

text: Eine weitere Definition ist: Es gibt eine an der Stelle formula_1 stetige Funktion formula_217 mit formula_218 und eine Konstante formula_205, sodass für alle formula_6 gilt


title: Differentialrechnung

text: Die Bedingungen formula_222 und dass formula_217 an der Stelle formula_1 stetig ist, bedeuten gerade, dass das „Restglied“ formula_225 für formula_6 gegen formula_1 gegen formula_228 konvergiert.


title: Differentialrechnung

text: In beiden Fällen ist die Konstante formula_205 eindeutig bestimmt und es gilt formula_230. Der Vorteil dieser Formulierung ist, dass Beweise einfacher zu führen sind, da kein Quotient betrachtet werden muss. Diese Darstellung der besten linearen Approximation wurde schon von Karl Weierstraß, Henri Cartan und Jean Dieudonné konsequent angewandt und wird auch Weierstraßsche Zerlegungsformel genannt.


title: Differentialrechnung

text: Bezeichnet man eine Funktion als differenzierbar, ohne sich auf eine bestimmte Stelle zu beziehen, dann bedeutet dies die Differenzierbarkeit an jeder Stelle des Definitionsbereiches, also die Existenz einer eindeutigen Tangente für jeden Punkt des Graphen.


title: Differentialrechnung

text: Jede differenzierbare Funktion ist stetig, die Umkehrung gilt jedoch nicht. Noch Anfang des 19. Jahrhunderts war man überzeugt, dass eine stetige Funktion höchstens an wenigen Stellen nicht differenzierbar sein könne (wie die Betragsfunktion). Bernard Bolzano konstruierte dann als erster Mathematiker tatsächlich eine Funktion, die später Bolzanofunktion genannt wurde, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar ist, was in der Fachwelt allerdings nicht bekannt wurde. Karl Weierstraß fand dann in den 1860er Jahren ebenfalls eine derartige Funktion (siehe Weierstraß-Funktion), was diesmal unter Mathematikern Wellen schlug. Ein bekanntes mehrdimensionales Beispiel für eine stetige, nicht differenzierbare Funktion ist die von Helge von Koch 1904 vorgestellte Koch-Kurve.


title: Differentialrechnung

text: Die Ableitung der Funktion formula_231 an der Stelle formula_1, bezeichnet mit formula_174, beschreibt lokal das Verhalten der Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle formula_1. In einigen Fällen ist es möglich, an "jedem" Punkt des Funktionsgraphen eine Linearisierung vorzunehmen. Dies erlaubt die Definition einer Ableitungsfunktion (oder kurz Ableitung) formula_235, die jedem Element des Definitionsbereichs formula_193 der Ausgangsfunktion formula_3 die Steigung der dortigen Linearisierung zuordnet. Man sagt in diesem Falle, „formula_3 ist in formula_193 differenzierbar“.


title: Differentialrechnung

text: Beispielsweise hat die Quadratfunktion formula_240 mit formula_49 an einer beliebigen Stelle formula_1 die Ableitung formula_243 die Quadratfunktion ist also auf der Menge der reellen Zahlen differenzierbar. Die zugehörige Ableitungsfunktion formula_124 ist gegeben durch formula_245 mit formula_85.


title: Differentialrechnung

text: Die Ableitungsfunktion ist im Normalfall eine andere Funktion als die ursprünglich betrachtete. Einzige Ausnahme sind die Vielfachen formula_247 der natürlichen Exponentialfunktion mit beliebigem formula_248 – unter denen, wie die Wahl formula_249 zeigt, auch alle Funktionen formula_250 mit beliebigem formula_251 enthalten sind (deren Graph aus dem der Exponentialfunktion formula_252 durch „seitliche“ Verschiebung um formula_253 entsteht und zu diesem daher kongruent ist).


title: Differentialrechnung

text: Ist die Ableitung stetig, dann heißt formula_3 stetig differenzierbar. In Anlehnung an die Bezeichnung formula_255 für die Gesamtheit (den Raum) der stetigen Funktionen mit Definitionsmenge formula_193 wird der Raum der auf formula_193 stetig differenzierbaren Funktionen mit formula_258 abgekürzt.


title: Differentialrechnung

text: Geschichtlich bedingt gibt es unterschiedliche Notationen, um die Ableitung einer Funktion darzustellen.


title: Differentialrechnung

text: In diesem Artikel wurde bisher hauptsächlich die Notation formula_124 für die Ableitung von formula_3 verwendet. Diese Notation geht auf den Mathematiker Joseph-Louis Lagrange zurück, der sie 1797 einführte. Bei dieser Notation wird die zweite Ableitung von formula_3 mit formula_262 und die formula_107-te Ableitung mittels formula_264 bezeichnet.


title: Differentialrechnung

text: Isaac Newton – neben Leibniz der Begründer der Differentialrechnung – notierte die erste Ableitung von formula_6 mit formula_266, entsprechend notierte er die zweite Ableitung durch formula_267. Heutzutage wird diese Schreibweise häufig in der Physik, insbesondere in der Mechanik, für die Ableitung nach der Zeit verwendet.


title: Differentialrechnung

text: Gottfried Wilhelm Leibniz führte für die erste Ableitung von formula_3 (nach der Variablen formula_6) die Notation formula_270 ein. Gelesen wird dieser Ausdruck als „d f von x nach d x“. Für die zweite Ableitung notierte Leibniz formula_271 und die formula_107-te Ableitung wird mittels formula_273 bezeichnet. Bei der Schreibweise von Leibniz handelt es sich nicht um einen Bruch. Die Symbole formula_274 und formula_275 werden „Differentiale“ genannt, haben aber in der modernen Differentialrechnung (abgesehen von der Theorie der Differentialformen) lediglich eine symbolische Bedeutung und sind nur in dieser Schreibweise als formaler Differentialquotient erlaubt. In manchen Anwendungen (Kettenregel, Integration mancher Differentialgleichungen, Integration durch Substitution) rechnet man mit ihnen aber fast so, als seien sie gewöhnliche Terme.


title: Differentialrechnung

text: Die Notation formula_276 oder formula_277 für die erste Ableitung von formula_3 geht auf Leonhard Euler zurück. Dabei wird die Ableitung als Operator – also als eine besondere Funktion, die selbst auf Funktionen arbeitet, aufgefasst. Diese Idee geht auf den Mathematiker Louis François Antoine Arbogast zurück. Die zweite Ableitung wird in dieser Notation mittels formula_279 oder formula_280 und die formula_107-te Ableitung durch formula_282 oder formula_283 dargestellt.


title: Differentialrechnung

text: Das Berechnen der Ableitung einer Funktion wird "Differentiation" oder "Differenziation" genannt; sprich, man "differenziert" diese Funktion.


title: Differentialrechnung

text: Um die Ableitung elementarer Funktionen (z. B. formula_137, formula_285, …) zu berechnen, hält man sich eng an die oben angegebene Definition, berechnet explizit einen Differenzenquotienten und lässt dann formula_63 gegen Null gehen. Dieses Verfahren ist jedoch meistens umständlich. Bei der Lehre der Differentialrechnung wird diese Art der Rechnung daher nur wenige Male vollzogen. Später greift man auf bereits bekannte Ableitungsfunktionen zurück oder schlägt Ableitungen nicht ganz so geläufiger Funktionen in einem Tabellenwerk nach (z. B. im Bronstein-Semendjajew, siehe auch Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen) und berechnet die Ableitung zusammengesetzter Funktionen mit Hilfe der Ableitungsregeln.


title: Differentialrechnung

text: Für die exakte Berechnung der Ableitungsfunktionen elementarer Funktionen wird der Differenzenquotient gebildet und im Grenzübergang formula_287 ausgerechnet. Je nach Funktionstyp müssen hierfür unterschiedliche Strategien angewendet werden.


title: Differentialrechnung

text: Allgemein muss für eine natürliche Zahl formula_107 mit formula_291 auf den binomischen Lehrsatz zurückgegriffen werden:


title: Differentialrechnung

text: Dies ist darin begründet, dass ein Produkt aus "x" Faktoren mit "y" Faktoren "a" insgesamt aus "x+y" Faktoren "a" besteht. Aus dieser Eigenschaft wird schnell ersichtlich, dass ihre Ableitung bis auf einen konstanten Faktor mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmen muss. Es gilt nämlich


title: Differentialrechnung

text: erledigt, mit dem natürlichen Logarithmus formula_303 von formula_253. Existiert nun ferner eine Basis formula_305 mit der Eigenschaft formula_306, so gilt sogar formula_307 für alle formula_6, also formula_309 Ein solches formula_310 ist die Eulersche Zahl: Für diese gilt formula_311 und sie ist durch diese Eigenschaft sogar eindeutig bestimmt. Wegen dieser auszeichnenden Zusatzeigenschaft wird formula_312 einfach mit formula_313 abgekürzt und als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet.


title: Differentialrechnung

text: genutzt werden. Dies entsteht aus der Überlegung: Wenn "u" Faktoren von "a" den Wert "x" und "v" Faktoren von "a" den Wert "y" erzeugen, wenn also formula_317 gilt, dann erzeugen "u+v" Faktoren von "a" den Wert "xy". Damit gilt für formula_318:


title: Differentialrechnung

text: Dabei wurde neben formula_320 benutzt, dass mit formula_63 auch formula_322 gegen 0 strebt. Der natürliche Logarithmus, außerhalb der Schulmathematik – vor allem in der Zahlentheorie – oft nur formula_323, sonst manchmal auch formula_324 geschrieben, erfüllt formula_325. Daraus ergibt sich das Gesetz:


title: Differentialrechnung

text: Er ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion, und sein Graph entsteht durch Spiegelung des Graphen der Funktion formula_327 an der Winkelhalbierenden formula_328. Aus formula_329 folgt geometrisch formula_325.


title: Differentialrechnung

text: Diese können sämtlich elementar-geometrisch anhand der Definitionen von Sinus und Kosinus bewiesen werden. Damit ergibt sich:


title: Differentialrechnung

text: Ableitungen zusammengesetzter Funktionen, z. B. formula_337 oder formula_338, führt man mit Hilfe von "Ableitungsregeln" auf die Differentiation elementarer Funktionen zurück (siehe auch: Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen).


title: Differentialrechnung

text: Mit den folgenden Regeln kann man die Ableitung zusammengesetzter Funktionen auf Ableitungen einfacherer Funktionen zurückführen. Seien formula_3, formula_102 und formula_63 in einem Intervall formula_342 differenzierbare, reelle Funktionen und formula_253 eine reelle Zahl, die auch, wie üblich, die konstante Funktion formula_344 bezeichnet (insbesondere ist formula_345 die Nullfunktion), dann gilt:


title: Differentialrechnung

text: Hat man die Regeln des Rechenkalküls zur Hand, so können zu vielen weiteren elementaren Funktionen Ableitungsfunktionen bestimmt werden. Dies betrifft besonders wichtige Verkettungen als auch Umkehrfunktionen zu bedeutenden elementaren Funktionen.


title: Differentialrechnung

text: Für "jede" komplexe Zahl formula_11 besitzt die Funktion formula_407 mit formula_408 die Ableitung formula_409. Dies lässt sich unter Anwendung der Kettenregel zeigen. Nutzt man die Schreibweise formula_410, so ergibt sich


title: Differentialrechnung

text: Insbesondere ergeben sich daraus Ableitungsgesetze für allgemeine Wurzelfunktionen: Für jede natürliche Zahl formula_107 ist formula_413, und somit folgt


title: Differentialrechnung

text: Mit Hilfe der Quotientenregel können über die Ableitungsregeln für Sinus und Kosinus auch Ableitungen von Tangens und Kotangens bestimmt werden. Es gilt


title: Differentialrechnung

text: Arkussinus und Arkuskosinus definieren Umkehrfunktionen von Sinus und Kosinus. Im Innern formula_422 ihres Definitionsbereichs formula_423 können die Ableitungen mittels der Umkehrregel berechnet werden. Setzt man etwa formula_424, so folgt dort


title: Differentialrechnung

text: Es ist zu beachten, dass der Hauptzweig des Arkussinus betrachtet wurde und die Ableitung an den Randstellen formula_426 nicht existiert. Für den Arkuskosinus ergibt sich mit formula_427 analog


title: Differentialrechnung

text: Arkustangens und Arkuskotangens definieren Umkehrfunktionen von Tangens und Kotangens. In ihrem Definitionsbereich formula_430 können die Ableitungen mittels der Umkehrregel berechnet werden. Setzt man etwa formula_431, so folgt


title: Differentialrechnung

text: Beide Ableitungsfunktionen sind, wie Arkustangens und Arkuskotangens selbst, überall in den reellen Zahlen definiert.


title: Differentialrechnung

text: Ist die Ableitung formula_124 einer Funktion formula_3 wiederum differenzierbar, so lässt sich die zweite Ableitung von formula_3 als Ableitung der ersten definieren. Auf dieselbe Weise können dann auch dritte, vierte etc. Ableitungen definiert werden. Eine Funktion kann dementsprechend einmal differenzierbar, zweimal differenzierbar etc. sein.


title: Differentialrechnung

text: Ist die erste Ableitung nach der Zeit eine Geschwindigkeit, so kann die zweite Ableitung als Beschleunigung und die dritte Ableitung als Ruck interpretiert werden.


title: Differentialrechnung

text: Wenn Politiker sich über den „Rückgang des Anstiegs der Arbeitslosenzahl“ äußern, dann sprechen sie von der zweiten Ableitung (Änderung des Anstiegs), um die Aussage der ersten Ableitung (Anstieg der Arbeitslosenzahl) zu relativieren.


title: Differentialrechnung

text: Für die formale Bezeichnung beliebiger Ableitungen formula_264 legt man außerdem formula_441 und formula_442 fest.


title: Differentialrechnung

text: Ist formula_107 eine natürliche Zahl und formula_444 offen, so wird der Raum der in formula_193 formula_107-mal stetig differenzierbaren Funktionen mit formula_447 bezeichnet. Der Differentialoperator formula_448 induziert damit eine Kette von linearen Abbildungen


title: Differentialrechnung

text: Dabei bezeichnet formula_452 den Raum der in formula_193 stetigen Funktionen. Exemplarisch: Wird ein formula_454 durch Anwenden von formula_448 einmal abgeleitet, kann das Ergebnis formula_124 im Allgemeinen nur noch formula_457-mal abgeleitet werden usw. Jeder Raum formula_458 ist eine formula_459-Algebra, da nach der Summen- bzw. der Produktregel Summen und auch Produkte von formula_460-mal stetig differenzierbaren Funktionen wieder formula_460-mal stetig differenzierbar sind. Es gilt zudem die aufsteigende Kette von echten Inklusionen


title: Differentialrechnung

text: denn offenbar ist jede mindestens formula_107-mal stetig differenzierbare Funktion auch formula_457-mal stetig differenzierbar usw., jedoch zeigen die Funktionen


title: Differentialrechnung

text: exemplarisch Beispiele für Funktionen aus formula_466, wenn – was ohne Beschränkung der Allgemeinheit möglich ist – formula_467 angenommen wird.


title: Differentialrechnung

text: Die Ableitung formula_107-ter Ordnung für ein Produkt aus zwei formula_107-mal differenzierbaren Funktionen formula_3 und formula_102 ergibt sich aus


title: Differentialrechnung

text: Diese Formel ermöglicht die geschlossene Darstellung der formula_107-ten Ableitung der Komposition zweier formula_107-mal differenzierbarer Funktionen. Sie verallgemeinert die Kettenregel auf höhere Ableitungen.


title: Differentialrechnung

text: Ist formula_3 eine in einem Intervall formula_342 formula_478-mal stetig differenzierbare Funktion, dann gilt für alle formula_253 und formula_6 aus formula_342 die sogenannte Taylorformel:


title: Differentialrechnung

text: mit einem formula_488. Eine beliebig oft differenzierbare Funktion wird glatte Funktion genannt. Da sie alle Ableitungen besitzt, kann die oben angegebene Taylorformel zur Taylorreihe von formula_3 mit Entwicklungspunkt formula_253 erweitert werden:


title: Differentialrechnung

text: Funktionen, die an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs "beliebig oft" differenzierbar sind, bezeichnet man auch als "glatte Funktionen". Die Menge aller in einer offenen Menge formula_444 glatten Funktionen formula_231 wird meist mit formula_494 bezeichnet. Sie trägt die Struktur einer formula_459-Algebra (skalare Vielfache, Summen und Produkte glatter Funktionen sind wieder glatt) und ist gegeben durch


title: Differentialrechnung

text: wobei formula_447 alle in formula_193 formula_107-mal stetig differenzierbaren Funktionen bezeichnet. Häufig findet man in mathematischen Betrachtungen den Begriff "hinreichend glatt." Damit ist gemeint, dass die Funktion mindestens so oft differenzierbar ist, wie es nötig ist, um den aktuellen Gedankengang durchzuführen.