title: Rechenschieber

text: Jede Anwendung von Rechenschiebern hat besondere Anforderungen, so dass unterschiedlichste Rechenschiebertypen entwickelt wurden. Neben eher einfachen Typen, sogenannten Schulrechenstäben, die im Unterricht und bei einfachen Berechnungen im Alltag ihre Nutzung fanden, wurden auch komplexere Rechenschieber mit diversen Skalenanordnungen für verschiedene technische Aufgabenstellungen entworfen, so dass auch Ingenieure mit unterschiedlichen Arbeitsschwerpunkten andere Rechenschiebertypen verwendeten.


title: Rechenschieber

text: Sogenannte Spezialrechenschieber, die teils keine allgemeinen Berechnungen mehr erlaubten, wurden oft in sehr speziellen Bereichen eingesetzt, wie zum Beispiel von Piloten zur Navigation in der Luftfahrt (als Rechenscheibe), in der Geodäsie, der Elektro- und Anlagentechnik, der Chemie, beim Militär oder im Handel.


title: Rechenschieber

text: Die ersten Taschenrechner konnten Anfang der 1970er Jahre nur addieren und subtrahieren; sie waren daher für den Rechenschieber zunächst keine Bedrohung. Bereits 1972 kam mit dem HP-35 von Hewlett-Packard jedoch der erste technisch-wissenschaftliche Taschenrechner mit trigonometrischen, Exponential- und Logarithmusfunktionen auf den Markt. Kurzzeitig gab dies der Entwicklung des Rechenschiebers einen neuen Impuls; 1970 kam mit dem Aristo Hyperlog der wohl durchdachteste wissenschaftliche Rechenschieber aus deutscher Fertigung auf den Markt. Jedoch waren um 1975 die Preise für Taschenrechner schon so weit gefallen, dass der Schulunterricht darauf umgestellt wurde. Damit verlor der Rechenschieber endgültig seine Bedeutung und die Produktion wurde eingestellt. In der DDR und China geschah dies rund zehn Jahre später. Danach blieben Rechenschieber nur noch in wenigen Bereichen im Einsatz, meist in Form von Spezialrechenschiebern, zum Beispiel zur Navigation in der Luftfahrt, oder zur Auswahl von Heizungsventilen.


title: Rechenschieber

text: Heute, mehrere Jahrzehnte nach dem Ende der Rechenschieberära, ist der Rechenschieber bei Menschen jünger als 50 Jahre praktisch unbekannt. Es entwickelte sich jedoch eine Sammlerszene, die über das reine Sammeln hinaus auch an der Erforschung der Geschichte der Rechenschieber großen Anteil hat. In Deutschland und auch auf internationaler Ebene finden hierzu regelmäßig Treffen statt. Die seit 1991 existierende „Oughtred Society“ veröffentlicht vierteljährlich Fachartikel. Zudem existiert die internationale Gruppe „sliderule“, die sich zuvor auf Yahoo befand.


title: Rechenschieber

text: Mittlerweile gibt es auch Rechenschiebersimulationen und entsprechende Handyapps, z. B. für den E6B Flugrechner. Die graphische Darstellung von Rechenschiebern eignet sich sehr gut für Bedienkonzepte auf Basis des heute beliebten Wischens.


title: Rechenschieber

text: Die Fertigung von Rechenschiebern in großen Stückzahlen und hoher Qualität startete in Frankreich im frühen 19. Jahrhundert durch die Firma Lenoir und Gravet-Lenoir. Vor Erfindung des Typs Mannheim stellten sie Rechenschieber vom Typ Soho her, die so nicht nur in England, sondern auch in Frankreich Verbreitung fanden. Ab Ende des 19. Jahrhunderts begannen die deutschen Firmen Dennert und Pape, Faber-Castell und Nestler, Rechenschieber in großen Serien maschinell zu fertigen.


title: Rechenschieber

text: In der Bundesrepublik Deutschland wurden Rechenstäbe z. B. von „Aristo“ (Dennert & Pape) in Hamburg (ab 1872 aus Buchsbaum, ab 1888 mit Zelluloidauflagen), A. W. Faber Castell in Stein bei Nürnberg (ab ca. 1892), Nestler in Lahr (vor 1900), IWA bei Esslingen sowie bei Ecobra produziert. In der DDR waren es die Firmen Reiss (später VEB Mess- und Zeichengerätebau) in Bad Liebenwerda und die Meissner KG in Dresden. Beide Betriebe wurden 1974 zum VEB Mantissa in Dresden zusammengeführt.


title: Rechenschieber

text: Bekannte ausländische Hersteller von Rechenschiebern waren in den USA u. a. Keuffel & Esser (Hoboken), Dietzgen und Pickett. In Japan wurden Rechenschieber bei Sun Hemmi produziert, die auch zahlreiche Rechenschieber für die amerikanische Firma Post herstellten, in Frankreich bei Graphoplex und in Großbritannien bei Thornton, Unique sowie Blundell-Harling. Daneben existierten noch zahlreiche weitere weniger bekannte Firmen im In- und Ausland.


title: Rechenschieber

text: Zu den Schweizer Herstellern von Rechenschiebern (verschiedene Bauformen) zählen Loga, Billeter, National und Kern.


title: Rechenschieber

text: Im Wesentlichen können zwei Bauformen unterschieden werden: das Einseitenmodell und das Zweiseitenmodell. Daneben gibt es Sonderbauformen wie die Rechenscheibe und die Rechenwalze.


title: Rechenschieber

text: Das Einseitenmodell besteht aus einem geschlossenen "Körper" mit U-förmigem Querschnitt, auf dem meist mehrere parallel angeordnete Skalen angebracht sind, einer beweglichen "Zunge" mit gleichartigen eigenen Skalen sowie einem auf dem Körper verschiebbaren "Läufer" mit einer Querstrich-Markierung. Bei einigen Herstellern ist der U-förmige Körper in zwei Hälften zerteilt, die mit Federplättchen, Zelluloid oder anderem verbunden sind, um die Zügigkeit der Zunge einstellen zu können. Oft enthalten die Zunge und der Körper Einlagen in Form von Metall-, Alu- oder Eisenbänder, die die Maßhaltigkeit sicherstellen sollten und auch ein Richten beziehungsweise Biegen der Zunge erlaubte, falls sich diese verzogen hatte. Trotz dieser Maßnahmen finden sich heute viele Einseitenrechenschieber, deren Zunge eine etwas andere Länge besitzt als der Körper. Das liegt vor allem daran, dass Zunge und Körper bei der geschlossenen Bauweise nicht aus demselben Stück Holz gefertigt wurden.


title: Rechenschieber

text: Das Zweiseitenmodell, oft auch als Duplex bezeichnet, besteht aus einem zweiteiligen "Körper", dessen beide Teile mit Stegen an den Enden verbunden sind. Die Stege sind entweder fest verklebt oder geschraubt und genietet. Zwischen den beiden Körperhälften läuft die bewegliche "Zunge", deren Zügigkeit reguliert werden kann, wenn die Stege geschraubt und genietet sind. Zunge und Körper wurden aus derselben Platte des Rohmaterials gefertigt. Längenunterschiede sind beim Duplexmodell daher seltener anzutreffen. Holzduplexmodelle ohne verleimte Schichten neigen allerdings dazu, sich im Querprofil zu verziehen, sodass bei Vorkriegsmodellen der Läufer manchmal klemmt. Der auf dem Körper verschiebbare "Läufer" besitzt auf beiden Seiten des Körpers mindestens eine Haarlinie. Die Haarlinien sind zueinander justiert, sodass nicht nur Skalen auf einer Seite, sondern auch Skalen auf Vorder- und Rückseite zueinander in Bezug gesetzt werden können.


title: Rechenschieber

text: Die Rechenschieber wurden ursprünglich vor allem aus Holz hergestellt, auf das die Skalen eingraviert wurden. Gelegentlich kamen auch aufgeklebte bedruckte Papierstreifen zum Einsatz, die den Vorteil besserer Lesbarkeit hatten. Ab dem ausgehenden 19. Jahrhundert wurden auf das Holz weiße Zelluloidstreifen aufgeleimt, auf denen die Skalen eingraviert und mit Farbe gefüllt wurden, so dass wie beim Papier eine sehr gute Lesbarkeit gegeben war. Anstelle des Holzes wurde im asiatischen Raum auch Bambus als Trägermaterial verwendet. Die Holz- und Bambusrechenschieber wurden schließlich weitgehend von Kunststoffmodellen, bevorzugt aus PVC, abgelöst. Einige Hersteller setzten auch auf bedrucktes oder graviertes Aluminium. Messing und Elfenbein sind eher selten anzutreffen.


title: Rechenschieber

text: Die Standardskalenlänge – gemessen von der Marke „1“ bis zur Marke „10“ – der Rechenschiebermodelle ist 25 cm; kleine Ausführungen (z. B. Taschenmodelle) haben eine Skalenlänge von 12,5 cm, Büro- oder Tischmodelle von 50 cm. Auch längere Bauformen für noch präzisere Berechnungen sind bekannt. Demonstrationsmodelle zum Einsatz an Schulen und Universitäten hatten oft eine Länge um 1,8 m.


title: Rechenschieber

text: Da man mit dem Rechenschieber nicht direkt addieren und subtrahieren kann, gibt es für diese beiden Rechenoperationen Ausführungen, die auf der Rückseite einen Zahlenschieber (Griffeladdierer) haben.


title: Rechenschieber

text: Skalensysteme beschreiben, welche Skalen ein Rechenschieber besitzt, auf welche anderen Skalen diese bezogen sind und wie die Skalen auf dem Rechenschieber angeordnet sind. Die mit einem Rechenschieber möglichen Berechnungen unterscheiden sich je nach Existenz, Bezug und Anordnung der Skalen. Nachfolgend wird die Geschichte der Skalenanordnungen für technische Rechenschieber der Großfertigung ab 1900 dargelegt. Eine wichtige Quelle dafür ist das Buch "The Slide Rule: A Practical Manual" von Charles Newton Pickworth, das in insgesamt 24 Ausgaben erschien, und damit die Geschichte des Einseitenrechenstabes speziell in England und Deutschland von 1900 bis 1950 abbildet.


title: Rechenschieber

text: Der französische Mathematikprofessor Amédée Mannheim (1831–1906) entwickelte um 1850 eine Skalenauswahl und -anordnung für Rechenstäbe, die eine große und herstellerunabhängige Verbreitung erfuhr und den Markt der Rechenschieber bis in die Zeit des Zweiten Weltkriegs prägte. Neben den Grundskalen C und D gab es auf der Vorderseite nur die Quadratskalen A und B. Mit dem System Mannheim wurde auch der Läufer eingeführt, um die Skalen A und B sowie C und D aufeinander beziehen zu können. Die Zungenrückseite besaß üblicherweise eine Mantissen- (für Logarithmen, bezogen auf D), eine Sinus- (bezogen auf A) und eine Tangensskala (bezogen auf D). Meist waren auf der Stabrückseite Ausschnitte zur Ablesung dieser Skalen vorhanden; die Logarithmenskala war daher üblicherweise invers (in umgekehrter Reihenfolge) angetragen. Die Zunge konnte zur Verwendung der Sinus- und der Tangensskala auch gewendet werden; dies brachte einen Zeitgewinn, wenn viele Berechnungen mit trigonometrischen Funktionen durchgeführt werden mussten. Spätere Mannheim-Modelle wurden auf der Zungenvorderseite mit Kehrwertskala (inverse Grundskala CI) ausgestattet.


title: Rechenschieber

text: Das System Beghin wurde um 1898 erfolgreich auf den französischen Markt gebracht und war dort auch unter dem Namen règle des écoles bekannt. Es zeichnet sich dadurch aus, dass es anstelle der quadratischen Skalen A und B zwei um formula_1 versetzte beziehungsweise gefaltete Skalen besitzt, die ein schnelles Rechnen ohne Durchschieben beziehungsweise Rückschlag der Zunge und ein beinahe beliebiges Mischen der Skalen erlauben. Ursprünglich wurde es um 1882 von Professor Tscherpaschinski aus St. Petersburg entwickelt, der beim französischen Hersteller Tavernier-Gravet einen Prototyp bestellt hat. Die Skala B wurde meist auf der Rückseite der Zunge untergebracht; manchmal findet sich die Skala A oberhalb der gefalteten Skalen. Die Mantissenskala L findet sich auf der vorderen Schmalseite, oder hinten auf der Zunge. Aufgrund der an der üblichen Stelle fehlenden Skala A mussten sowohl die Tangensskala T als auch die Sinusskala S auf die Skala D bezogen werden. Sehr früh weisen diese Rechenschieber auch die inverse Skala CI auf. Späte Varianten wie der Graphoplex 660 besitzen die Mantissenskala L auf der Zungenvorderseite und zusätzlich auf der Zungenrückseite die Skala ST. Die gefalteten Skalen werden später zum Markenzeichen schlechthin für alle modernen Rechenschieber, besonders den Duplexmodellen; obwohl bei den moderneren Rechenschiebern die Faltung um formula_2 dominiert, kehren die späten chinesischen Rechenschieber der Typen Flying Fish 1002, 1003 und 1200 zur Faltung um formula_1 zurück.


title: Rechenschieber

text: Eine spezielle Variante sind sogenannte Präzisionsrechenschieber, die ebenfalls um formula_1 gefaltete Skalen besitzen und dabei aber bei der Hälfte der Länge abgeschnitten, so dass die nicht gefalteten Skalen von 1 bis formula_1 und die gefalteten Skalen von formula_1 bis 10 reichen. In diesem Fall kann mit diesen Skalen zwar nicht schneller gerechnet werden, dafür aber in höherer Genauigkeit als mit einem gleich langen Rechenschieber, dessen Skalen die volle Länge besitzen.


title: Rechenschieber

text: Der deutsche Ingenieur Max Rietz (1872–1956) ergänzte 1902 die Vorderseite des Rechenschiebers um die Kubikskala K und die Mantissenskala L. Die Sinusskala wurde bei den Rechenschiebern vom Typ Rietz wie schon beim System Beghin sehr früh auf die Skala D bezogen. Dadurch ist der Bereich zwischen 35 Minuten und 5,6 Grad entfallen; dieser Bereich wurde beim System Rietz in eine neue Skala ST aufgenommen. Diese Anordnung der trigonometrischen Funktionen auf der Zunge hat sich international durchgesetzt. Später kam auf der Vorderseite der Zunge auch noch eine Kehrwertskala hinzu. Das System Rietz wurde ab den 1920er Jahren von allen Herstellern produziert und entwickelte sich bis zum Ende der Rechenschieberproduktion zu einer der meistverbreiteten Skalenanordnungen. Besonders beliebt war diese Anordnung für Taschenmodelle mit 12,5 cm Skalenlänge. Einige Nachkriegsmodelle wurden als Rietz bezeichnet, obwohl die Skalenanordnung nicht übereinstimmt (z. B. Reiss Rietz Spezial).


title: Rechenschieber

text: Ab dem frühen 20. Jahrhundert wurden die doppelt logarithmischen Skalen entwickelt. Diese Skalen, auch Log-Log oder Exponentialskalen genannt, erlauben nicht nur die Berechnung beliebiger, auch nichtganzzahliger, Potenzen und Wurzeln, sondern auch die Berechnung beliebiger Logarithmen auf einfachere Weise als sogenannte Mantissenskalen, die jeweils nur für bestimmte Logarithmen gelten. Beim Davis Log-Log Rule wurden die jeweils zwei Exponentialskalen und inverse Exponentialskalen auf den beiden Seiten einer zweiten Zunge angeordnet. Beim Perry Rule wurden eine Exponentialskala und eine inverse Exponentialskala auf dem Körper angeordnet. Beim Yatoga wurden bereits drei Exponentialskalen und drei inverse Exponentialskalen auf dem Körper angeordnet, wie es sich später bei Duplexmodellen durchgesetzt hat. Zunächst setzte sich jedoch die Anordnung der Elektrorechenschieber durch, die als erstes von Faber-Castell um 1906 auf den Markt (Modell 368) kamen. Ab circa 1925 waren bei den meisten Herstellern die beiden Skalen LL2 und LL3 üblicherweise auf die Grundskalen C/D bezogen und an der Eulerschen Zahl e ausgerichtet, wodurch der natürliche Logarithmus direkt abgelesen werden kann. Oft waren sie analog zu den Skalen K und L des Typs Rietz auf der Staboberseite am oberen und unteren Rand angeordnet. Später wurden sie oft unmittelbar nebeneinander gelegt, um den Übergang zwischen den Skalen zu vereinfachen. Da die Skalen LL0 und LL1 für die technische Verwendung nicht unbedingt erforderlich sind, wurden sie wegen des auf Einseitenrechenschiebern mangelnden Platzes in der Regel weggelassen. Die übrigen Skalen folgten ursprünglich dem System Mannheim (bei Faber-Castell bis zur Einstellung der Fertigung); viele andere Hersteller stellten bis spätestens Ende der 1950er Jahre auf die Anordnung des Systems Rietz um (z. B. Aristo Elektro 915, Graphoplex 640 und andere). Der um 1950 von Prof. André Séjourné entwickelte Graphoplex 640 besitzt auf der Rückseite der Zunge eine zweite C-Skala, sodass bei umgedrehter Zunge alle Rechnungsarten möglich sind, ohne den Rechenstab wenden zu müssen; dabei muss lediglich auf die CI- und die B-Skala verzichtet werden.


title: Rechenschieber

text: Ein grundlegender Nachteil der Typen Mannheim, Rietz und Log-Log Simplex ist, dass zur Verwendung der trigonometrischen Funktionen entweder der Rechenstab gewendet werden muss oder die Zunge. Bei letzterem ist es in der Regel nicht mehr möglich, normale Multiplikationen und Divisionen durchzuführen, sodass die Zunge gegebenenfalls öfter gewendet werden musste. Hubert Boardman hat am 29. September 1932 ein Patent eingereicht (GB411090), das die differentiellen Skalen TD und ITD für Tangens und SD und ISD für Sinus sowie die differentiellen Skalen Y und Z zur differentiellen Abbildung der LL1 Skala beschreibt. Diese Skalen benötigen sehr wenig Platz; die vier trigonometrischen differentiellen Skalen belegen eine Länge der Standardteilung und sind auf der Zunge angeordnet. Die differentiellen LL1 Skalen Y und Z benötigen bei Teilungslänge von 25 cm nur 1 cm am linken Rand des Rechenschiebers und sind auf dem Körper direkt oberhalb und unterhalb der Zunge angeordnet. Mit dem Thornton 101 wurde ein ansonsten Rietz kompatibler Rechenschieber produziert, mit dem Thornton 121 ein ansonsten Log-Log Simplex kompatibler Elektro Rechenschieber. Bei beiden waren alle Skalen an der Oberfläche untergebracht. Der Thornton 131 hatte zusätzlich die bei Elektro Rechenschiebern typischen Skalen für Wirkungsgrad und Spannungsabfall unter der Zunge. In UK waren diese Rechenstäbe weit verbreitet und sind (Stand Juni 2019) auf ebay UK entsprechend oft gebraucht zu finden.


title: Rechenschieber

text: Die Erfindung des Systems Darmstadt wird dem Institut für Praktische Mathematik (IPM) an der TH Darmstadt unter der Leitung von Alwin Walther zugeschrieben und erfolgte um 1934. Der Typ Darmstadt ist eine Weiterentwicklung auf Basis des Typs Rietz mit stark veränderter Skalenanordnung. Die Skala ST ist aus Platzgründen zunächst entfallen und durch eine Marke ρ ersetzt worden. Statt der Mantissenskala L wurde an der vorderen Kante des Stabes die neue logarithmisch aufgetragene pythagoreische Skala P angeordnet, die bei bekanntem Sinus direkt den Cosinus liefert und umgekehrt. Die Mantissenskala wurde an die hintere Schmalseite verlegt. Die Sinus- und Tangensskalen wurden von der Zunge auf die vordere Schmalseite des Stabkörpers verlegt; der Rechenschieber musste dadurch für trigonometrische Berechnungen nicht mehr vollständig gewendet werden. Bei den Kunststoffmodellen wurden Sinus-, Tangens und Mantissenskala mit auf die Oberfläche des Körpers gelegt; auf den späteren Modellen findet sich auch die Skala ST. Die Exponentialskalen LL1, LL2 und LL3 fanden sich auf der Rückseite der Zunge (siehe auch Davis Rule im System Log-Log Simplex), sodass mit dem Darmstadt beliebige Exponenten und Wurzeln gerechnet werden können. Die Berechnung beliebiger Logarithmen war durch Wenden der Zunge möglich. Der Typ Darmstadt wurde von Anfang an von mehreren deutschen Herstellern produziert; er konnte sich in Deutschland vom Ende der 1930er Jahre bis Mitte der 1950er Jahre als Standardrechenschieber für den wissenschaftlichen Bereich behaupten. Sein Skalenbild wurde bezüglich der trigonometrischen Funktionen auf den deutschen und britischen Duplex Rechenschiebern übernommen; international hat es sich nicht durchgesetzt. Auch die ursprüngliche Simplex Variante blieb im deutsch geprägten Markt nach dem System Rietz bis zum Ende der Rechenschieberära eines der meistverkauften Systeme und war auch als Taschenrechenschieber sehr beliebt.


title: Rechenschieber

text: Der sogenannte Duplexrechenschieber wurde von William Cox im Jahr 1891 wiedererfunden und für den US-amerikanischen Hersteller Keuffel und Esser (K&E) zum Patent angemeldet, so dass anderen Herstellern der Einstieg in die Produktion von Duplexrechenstäben erst später möglich wurde. Die ersten Duplex Rechenstäbe wurden in Großserie dennoch in Deutschland von Dennert und Pape gefertigt, weil K&E ihre Produktion in den USA erst noch aufbauen mussten. Ein bekanntes, in Deutschland um 1903 für K&E gefertigtes Modell, ist der K&E4078, der auf Vorder- und Rückseite jeweils nur vier Skalen hatte, und zwar A [B C] D sowie A [BI CI] D. Weitere frühe Modelle, schon aus US-amerikanischer Fertigung, sind der K&E4061 mit identischer Skalenanordnung sowie der K&E4061-T mit zusätzlichen trigonometrischen Skalen (A [B S C] D und A [ BI T CI ] D L). Diese Rechenschieber sind Mannheim kompatibel; die Skala S ist auf A bezogen. Um 1908 wurde der K&E4092 entwickelt, der der erste Log-Log Simplex kompatible Duplex Rechenschieber war, und von Anfang an auch die Skala LL1 umfasste. Seine beiden Seiten zeigen A [B S C] D sowie LL1 LL2 LL3 [B T CI] D L; auch hier ist die Skala S Mannheim kompatibel auf A bezogen.


title: Rechenschieber

text: Nach Ablauf des K&E Duplex Patents begannen in den USA auch andere Hersteller Duplex Rechenschieber zu produzieren (z. B. Dietzgen) oder zu vertreiben (z. B. Post), darunter solche aus Japan von der Firma Hemmi. Obwohl sich das Angebot der Rechenschieber stark diversifiziert hat, lassen sich einige aufeinander aufbauende Skalenfamilien identifizieren.


title: Rechenschieber

text: Trig und Decitrig bezeichnet das Vorhandensein der trigonometrischen Funktionen S T und ST, üblicherweise auf der Zunge. Trig bedeutet, dass die Teilung nach Grad, Minuten und Sekunden erfolge, Decitrig kennzeichnete die Dezimalteilung von Grad. Bis in die 1930er Jahre war die Sinusskala üblicherweise auf die Skala A statt auf D bezogen. Ab den 1950er Jahren war oft auch die Skala DI vorhanden.


title: Rechenschieber

text: Speed kennzeichnet das Vorhandensein der sogenannten gefalteten (engl. folded) Skalen DF CF und CIF. Diese verschobenen Skalen erlauben ein schnelleres Rechnen, da Zungenbewegungen eingespart werden können. Meist waren die Skalen um π verschoben. Durch den Skalenübergang von den Standardskalen auf die gefalteten Skalen wird mit π multipliziert; dadurch konnten Rechenschritte eingespart werden.


title: Rechenschieber

text: Diese Rechenschieber hatten die doppelt logarithmischen Skalen auf dem Körper. Ab den 1920er Jahren wurde auf dem K&E 4092-3 auch eine spezielle inverse Skala LL0 aufgenommen. Letztere ist auf die Skala A bezogen und liefert von A im Bereich 1…13 das Ergebnis formula_7 und im Bereich 13…100 das Ergebnis formula_8. Ebenso waren auf diesem Modell auch alle Skalen vom Typ (Deci)trig und Speed vorhanden. Ab den späten 1940er Jahren wurden die inversen doppelt logarithmischen Skalen LL01, LL02 und LL03 aufgenommen (z. B. Pickett Model 2, K&E 4081-3). Der Hersteller Pickett setzte zu dieser Zeit mit seinen eng bedruckten Duplex Rechenschiebern aus Aluminium neue Maßstäbe für die Zahl der Skalen; bei manchen Pickett Modellen waren die LL Skalen nicht auf D bezogen, sondern auf gefaltete Skalen, so auch beim Model 2. Bei Vorhandensein der inversen Exponentialskalen konnten auch die hyperbolischen Funktionen relativ einfach bestimmt werden, so dass kein Rechenschieber vom nachfolgend beschriebenen Typ Vektor angeschafft werden musste. Die Skala LL0 für formula_9 kann in ausreichender Genauigkeit durch die D Skala ersetzt werden, weswegen sie sowie die Skala LL00 oft eingespart wurden.


title: Rechenschieber

text: Vektor Rechenschieber besaßen zusätzliche Skalen zur Berechnung hyperbolischer Funktionen. Der erste brauchbare Rechenschieber dieses Typs wurde von Mendell Penco Weinbach entwickelt, der dafür am 7. März 1928 ein Design Copyright angemeldet hat. Dieser Rechenschieber hatte unter anderem die Skalen Th, Sh1 und Sh2. Bemerkenswert an seiner Skalenanordnung war, dass die trigonometrischen Funktionen wie später beim System Darmstadt zunächst auf dem Körper angebracht waren (K&E4093). Ab 1938 wurden die trigonometrischen Funktionen auf die Zunge verlegt und die hyperbolischen auf den Körper (K&E4083). Meist waren auch die Skalen aller voranstehenden Typen vorhanden mit Ausnahme der inversen Exponentialskalen.


title: Rechenschieber

text: Um 1929 wurden von Sadatoshi Betsumiya und Jisuke Miyazaki die nicht logarithmischen pythagoreischen Skalen P (nicht identisch zu Darmstadt!) und Q zur Berechnung der trigonometrischen Funktionen erfunden. Mit Erfindung der Gudermann Skala Gd um 1931 war unter Einbeziehung der Skalen P und Q mit nur einer zusätzlichen Skala die Berechnung der hyperbolischen Funktionen möglich. Dieses Skalensystem erreichte mit dem Hemmi 153 in Japan, ab ca. 1938 auch in den USA und in China eine relativ weite Verbreitung.


title: Rechenschieber

text: Einige Rechenschiebertypen, meist vom Typ Log-Log, wurden ab den 1950er Jahren mit den Wurzelskalen R1 und R2 (deutsch: W1 W2) auf dem Körper ausgestattet (z. B. Post Versalog), die eine genauere Bestimmung der Quadrate und Wurzeln erlaubten. Ebenso finden sich ab dieser Zeit Duplex Rechenschieber mit den Kubikwurzeln 3R1, 3R2 und 3R3 auf dem Körper (z. B. Pickett N3). Mit dem Faber-Castell 2/83 gab es auch einen Rechenschieber, der Wurzelskalen nicht nur auf dem Körper (W1 und W2), sondern auch auf der Zunge (W1' und W2') besaß, sodass in erhöhter Genauigkeit multipliziert und dividiert werden konnte. Bei diesen Rechenschiebern sind die Skalen A und B oft entfallen (z. B. Post Versalog Version I und Faber-Castell 2/83). Dadurch verschlechterte sich die Durchführung von Multiplikationen und Divisionen mit Wurzelausdrücken, weil mehr Einstellungen und Wertübertragungen benötigt wurden. Wegen der Wertübertragungen konnte auch die Genauigkeit der Wurzelskalen in vielen Fällen nicht genutzt werden. Beim weiter entwickelten Faber-Castell 2/83N wurden die A und B Skala wieder aufgenommen; die Übersichtlichkeit litt allerdings darunter, dass sie nicht direkt an der Schnittkante zwischen Zunge und Körper angeordnet werden konnten.


title: Rechenschieber

text: Wie im übrigen Europa waren auch in Deutschland Duplex Rechenschieber vor dem Ende des Zweiten Weltkrieges praktisch unbekannt. Vorreiter in Deutschland und damit auch Europa war die Firma Aristo, die mit dem Aristo Studio in den frühen 1950er Jahren den in Deutschland wohl erfolgreichsten Duplexrechenschieber für den akademisch technischen Gebrauch auf den Markt brachten. Er hatte die trigonometrischen Funktionen einschließlich pythagoräischer Skala P wie beim Darmstadt auf dem Körper angeordnet. Diese Anordnung setzte sich in Deutschland bei den Duplex Rechenschiebern durch. Die Exponentialskalen wurden wie beim Typ Log-Log international üblich angeordnet. Die hyperbolischen Rechenschieber des Herstellers Aristo (HyperboLog und HyperLog) folgten dem internationalen Standard der Vektor Rechenschieber.


title: Rechenschieber

text: In Großbritannien stellte für den akademischen Gebrauch nur Thornton einen Duplex Rechenschieber in guter Qualität und größerer Stückzahl her: den P221 als Nachfolger des PIC121, sowie danach den AA010 Comprehensive mit identischer Skalenanordnung. Diese Skalenanordnung war kompatibel zum Aristo Studio einschließlich der normalen trigonometrischen Funktionen auf dem Körper. Zusätzlich besaß sie die Skala DI, die vom PIC121 bekannten differentiellen trigonometrischen Funktionen auf der Zunge, sowie, wahrscheinlich als erste in Europa, die Skala H1, dort als Pt bezeichnet, die sich ab 1970 auch auf dem Aristo HyperLog fand.


title: Rechenschieber

text: Alle Rechenschiebertypen wurden für spezielle Anwendungen optimiert, auch dann, wenn sie nur allgemeine Skalen besitzen; ein Beispiel hierfür ist die Kubikskala K, die es so auf einem Taschenrechner in der Regel nicht gibt und auch auf dem Rechenschieber verzichtbar wäre. Unter Spezialrechenschiebern werden in weiterem Sinne solche Rechenschieber verstanden, die zwar allgemeine Berechnungen erlauben, deren zusätzliche Skalen aber sehr spezielle mathematische Ausdrücke abbilden (z. B. System Stadia). In den meisten Fällen fallen durch die zusätzlichen Skalen allgemeine Skalen weg (Ausnahme: Typ Elektro (Simplex)). Spezialrechenschieber im engeren Sinne sind solche Rechenschieber, die keine allgemeinen Berechnungen mehr zulassen, sondern nur für die Spezialaufgabe genutzt werden können. In vielen Fällen sind die Skalen so gestaltet, dass ein Zahlenwert nicht für mehrere Werte stehen kann, sondern für genau einen Wert in genau einer Einheit. Ein weiteres Kennzeichen sind Spezialskalen, die technische Tabellenbücher ersetzten.


title: Rechenschieber

text: Vom Verlag Chemie wurde in Kooperation mit Faber–Castell ein Rechenschieber für Chemiker herausgebracht.


title: Rechenschieber

text: Bei vermessungstechnischen Berechnungen spielen die trigonometrischen Funktionen eine wichtige Rolle. Entsprechende Rechenschieber haben nicht nur Skalen für die Elementarfunktionen sinα, cosα, tanα, sondern auch für komplexere Funktionen wie cos²(α), sin(α) cos(α), 1/tan(α/2). In der Regel sind dafür Skalen entfallen, z. B. die Skalen A und B beim Nestler Geometer 0280. Da im Vermessungswesen Winkel oftmals nicht in Grad, sondern in Gon mit dezimaler Unterteilung gezählt werden (90° = 100 gon), gibt es solche Rechenschieber (z. B. „Aristo-Geodät“) auch in Gon-Ausführung, so dass hier das Argument aller trigonometrischen Funktionen in Gon einzustellen ist.


title: Rechenschieber

text: Rechenstäbe vom Typ Log-Log Simplex wurden meist als Elektro bezeichnet; einige, aber nicht alle, verfügten über spezielle Skalen. Meist waren dies die Skalen zur Berechnung von Wirkungsgraden und vom Spannungsabfall von Gleichstrom in Kupferleitungen, die platzsparend unter der Zunge angeordnet und auf die Skalen A/B bezogen waren; Standardskalen des Systems Log-Log Simplex sind so nicht entfallen. Oft besaßen Elektrorechenschieber auch Marken für die Leitfähigkeit und das spezifische Gewicht von Kupfer und Aluminium. Eine Spezialform des Elektro ist der Diwa 311 Elektro; dieser besitzt die zusätzlichen Skalen für Wirkungsgrad und Spannungsabfall, ist aber nicht vom Typ Log-Log Simplex, sondern vom Typ Darmstadt (Simplex).


title: Rechenschieber

text: Daneben gibt es Rechenschieber für weitere Spezialanwendungen, z. B. zur Auswahl von Lagern, Keilriemen im Maschinenbau, Rohrleitungen, Klimaanlagen und Statik. Der Rechenschieber Chemie kann vielfach den Gebrauch von umfangreichen Rechentafeln, z. B. der Küster-Thiel Rechentafeln für die Chemische Analytik, entbehrlich machen.


title: Rechenschieber

text: Von wenigen Ausnahmen abgesehen basiert die Funktionsweise auf der Natur des Logarithmus. Durch die logarithmische Anordnung der Zahlen können die Eigenschaften des Logarithmus genutzt werden. Die wesentlichste Eigenschaft ist, dass der Logarithmus des Produkts zweier Zahlen die Summe der Logarithmen beider einzelnen Zahlen ist:


title: Rechenschieber

text: Die Multiplikation zweier Zahlen wird so zur Summe umgeformt. Auf diese Weise können durch Addition von Längen Multiplikationen durchgeführt werden. Analog können über die Beziehung


title: Rechenschieber

text: Multiplikation und Division werden durch die Einstellung der Zunge sowie mittels Läuferverstellungen und Wertablesungen durchgeführt, indem so Längen addiert und subtrahiert werden. Der Läufer erlaubt dabei unterschiedliche Skalen aufeinander zu beziehen. Dabei können nicht nur einfache Zahlen multipliziert und dividiert werden, sondern beliebige Funktionsausdrücke, die in einer Skala hinterlegt sind; alle logarithmischen und doppelt logarithmischen Skalen können grundsätzlich miteinander kombiniert werden. Die höchste Effizienz und die höchste Genauigkeit bei der Verwendung des Rechenschiebers ist dann gegeben, wenn die Zahl der Zungen- und Läuferbewegungen und die Zahl der Wertablesungen sowie Übertragungen minimal sind; die geschickte Kombination ist daher wesentlich.


title: Rechenschieber

text: Die Skalen der Rechenschieber besitzen eine bestimmte Gesamtlänge L. Diese Gesamtlänge, auch Teilungslänge genannt, beträgt üblicherweise 125 mm für Hemdtaschenmodelle, 250 mm für Standardmodelle und 500 mm für Büromodelle. Die Skalen können aufgrund ihrer begrenzten Länge nicht den gesamten Zahlenbereich unterbringen. Üblicherweise stellt man daher nur eine, beziehungsweise zwei Dekaden dar. Die Zahlen laufen für eine Dekade (d=1) somit von 1 bis 10, beziehungsweise für zwei Dekaden (d=2) von 1 bis 100. Bei Verwendung des Zehnerlogarithmus wird die einer Zahl x zugeordnete Länge l(x) wie folgt berechnet:


title: Rechenschieber

text: Historisch wurden zunächst zwei Dekaden verwendet (Skalen A und B), weil dies die Verwendung des Rechenschiebers erleichterte. Später wurde aus Gründen der Genauigkeit nur noch eine Dekade verwendet (Skalen C und D).


title: Rechenschieber

text: Die Zahl 8 besitzt bei einer Teilungslänge von 250 mm auf den Skalen A und B die Länge 112,886 mm. Das Produkt formula_13 besitzt entsprechend die Länge formula_14. Diese Länge entspricht bei zwei Dekaden (·2) der Zahl formula_15. Das Ergebnis ergibt sich also direkt durch Addition der beiden Strecken. Auf den Skalen C und D besitzt die Zahl 8 die Länge 225,772 mm. Eine Addition der Länge der beiden Zahlen ist nicht mehr möglich, weil die Gesamtlänge länger als die Teilungslänge ist. Daher muss der sogenannte Rückschlag angewandt werden. Beim Rückschlag zieht man von der Gesamtlänge die Teilungslänge ab. Dies entspricht der Division durch 10. Das Produkt formula_13 wird damit aus den Längen formula_17 berechnet; dies entspricht der Zahl 6,4.


title: Rechenschieber

text: Viele Rechenschieberanleitungen zerlegen daher die Berechnung des Ergebnisses in die Bestimmung der Ziffernfolge und die Bestimmung des Ortes des Dezimalpunktes.


title: Rechenschieber

text: Die Grundskalen in einer und zwei Dekaden erlauben die Berechnung von Multiplikation, Division, Kehrwert sowie direkte Proportionen wie den Dreisatz und die Prozentrechnung.


title: Rechenschieber

text: Der Übergang von einer Skala in zwei Dekaden auf eine Skala in einer Dekade entspricht der Wurzel der betreffenden Zahl, umgekehrt dem Quadrat. Entsprechend kann bei Existenz der Skala B auch direkt mit Wurzeln multipliziert beziehungsweise dividiert werden. Wird zum Beispiel an die Länge der Zahl 2 auf der Skala D die Länge der Zahl 2 auf der Skala B addiert, so ergibt sich auf der Skala D die Länge der Zahl 2,83. D. h. mit einer Streckenaddition beziehungsweise einer Multiplikation kann das Ergebnis von formula_18 berechnet werden. Zwischenablesungen oder Wertübertragungen sind bei Kombination unterschiedlicher Skalen nicht erforderlich.


title: Rechenschieber

text: Die Funktionsweise des graphischen Addierens und Subtrahierens ist zunächst unabhängig davon, ob das Ergebnis dann auf der Skala D oder Skala C beziehungsweise einer Skala auf dem Körper oder einer Skala auf der Zunge erscheint. Eine Funktion des Läufers ist jedoch das Zwischenspeichern der Ergebnisse zwischen zwei Zungenbewegungen, weshalb es meist am zweckmäßigsten ist, wenn das Ergebnis auf einer Skala auf dem Körper erscheint, meist auf der Skala D und/oder DF.


title: Rechenschieber

text: In einigen Fällen ist es jedoch auch sehr elegant, wenn Zwischenergebnisse auf einer Skala auf der Zunge erscheinen. Wenig bekannt ist die Lösung des rechtwinkligen Dreiecks mittels quadratischen Skalen, wenn die Katheten, z. B. 3 cm und 4 cm, bekannt sind:


title: Rechenschieber

text: Die Zunge verschiebt man so, dass die 1 auf der Skala C an der 3 der Skala D steht. Danach schiebt man den Läufer auf die 4 der Skala D. Die Skala C misst jetzt die Länge von formula_19. Dies entspricht dem Tangens formula_20 des größeren Winkel. Die Skala B misst an der Stelle des Läufers entsprechend formula_21. Die Addition von 1 liefert formula_22. Stellt man die Länge dieser Zahl auf B ein, indem man den Läufer auf 2,78 schiebt, so liest man auf C formula_23 und auf D die Hypotenuse von 5 cm ab, die sich aus der Länge von 3 addiert mit der Länge von formula_24 ergibt. Das Endergebnis ist damit wieder vorteilhaft auf der Skala D.


title: Rechenschieber

text: Dieses Beispiel zeigt, dass eine Division in diesem Fall vorteilhaft durch die Multiplikation mit dem Kehrwert ersetzt werden kann. Durch geschickte Anwendung und Kopplung der Skalen in einer und zwei Dekaden kann eine vergleichsweise komplexe Aufgabe mit nur einer Zungen- und zwei Läufereinstellungen gelöst werden. Nebenbei sind ohne weitere Einstellungen auch noch die Werte des Tangens, des Cotangens (auf der Skala CI), sowie des Cosinus (auf der Skala CI) ablesbar. Bei Vorhandensein der trigonometrischen Skala T2 auf der Zunge wäre entsprechend der mathematischen Zusammenhänge auch noch der Winkel ohne weitere Einstellung ablesbar.


title: Rechenschieber

text: Dieses Beispiel emuliert mit Hilfe der Skala B und der Kopfrechnung formula_25 eine Skala H auf der Zunge, die es auf keinem deutschen Rechenschieber industrieller Fertigung gegeben hat. Bekannt ist diese Skala auf dem Flying Fish 1002 und dem Flying Fish 1003 aus China; die Skala H auf der Zunge erspart die Addition von 1 im Kopf.


title: Rechenschieber

text: Es findet sich auch oft die kubische Skala K in drei Dekaden, um formula_26 beziehungsweise formula_27 zu berechnen.


title: Rechenschieber

text: Gefaltete Skalen sind nur in einer Dekade üblich, um den sogenannten Rückschlag zu vermeiden. Gefaltete Skalen werden analog zu den nicht gefalteten Skalen berechnet.


title: Rechenschieber

text: Der Parameter f ist der Wert um den die Achse verschoben wird. Üblicherweise wird um formula_29 verschoben, weniger häufig auch um formula_30 und auf kaufmännischen Rechenschiebern um formula_31 für die kaufmännischen 360 Tage des Jahres.


title: Rechenschieber

text: Die gefalteten Grundskalen in einer Dekade werden üblicherweise zur Berechnung von Multiplikation, Division, sowie direkter Proportionen wie den Dreisatz und die Prozentrechnung verwendet. Die Berechnungsergebnisse sind vom Parameter f unabhängig, sofern zwei um den gleichen Parameter f gefaltete Skalen, also DF und CF oder DF und CIF, verwendet werden. Der Index von CF zeigt dabei auf DF stets denselben Wert an, wie der Index von C auf D, sodass grundsätzlich sowohl auf den gefalteten Skalen wie auch den nicht gefalteten Skalen weitergerechnet werden kann.


title: Rechenschieber

text: Gefaltete Skalen können auch stets mit nicht gefalteten Skalen gemischt werden, jedoch muss in diesem Fall auf der Ausgangsskala abgelesen werden. Beispiel formula_32:


title: Rechenschieber

text: Da der Index von CF mit dem Ergebnis übereinstimmt, kann unmittelbar mit den Skalen CF und CIF weitergerechnet werden, wobei das Ergebnis wieder auf D abgelesen werden muss.


title: Rechenschieber

text: Eine Verwechslung der Skalen kann jedoch zu Fehlern führen: Beim Übergang von einer nicht gefalteten Skala auf eine gefaltete Skala wird mit dem Parameter f multipliziert, umgekehrt durch den Parameter f dividiert. Die Faltung um formula_29 kann daher auch verwendet werden, um die Multiplikation mit formula_29 beziehungsweise die Division durch formula_29 sehr effizient durch reinen Skalenübergang und ohne Bewegung der Zunge zu berechnen.


title: Rechenschieber

text: Ein Spezialfall stellen die um formula_30 verschobenen Skalen dar. Mit ihrer Hilfe können die Skalenfamilien beliebig gemischt werden. Im obigen Beispiel formula_37 kann das Ergebnis auch auf der Skala DF abgelesen werden, wenn der Index von C verwendet wird. Entsprechend kann auch direkt mit den Skalen C und CI weitergerechnet werden, wenn das Ergebnis dann auf DF abgelesen wird. Der Grund hierfür liegt, dass beim Übergang auf Index von C mit dem Faktor formula_30 multipliziert wird. Mit dem Übergang auf die gefaltete Skala wird nochmals mit dem Faktor formula_30 multipliziert, so dass insgesamt mit genau formula_40 multipliziert wird.


title: Rechenschieber

text: Diese Überlegung gilt sinngemäß auch für den Übergang von der Skala DF auf die Skala D, wobei dann durch formula_40 dividiert wird.


title: Rechenschieber

text: beschriftet. Sie laufen damit rückwärts. Bis 1925 hatten viele Rechenschieber diese Skalen nicht; man behalf sich damit, die Zunge auf den Kopf zu stellen. Die inversen Skalen werden üblicherweise für die Berechnung von Multiplikation, Division, Kehrwerten und inverse Proportionen verwendet. Durch geschickte Mischung der Grundskala C und der inversen Grundskala CI können Reihenberechnungen sehr effizient durchgeführt werden.


title: Rechenschieber

text: Neben der inversen Skala CI sind auch die inverse gefaltete Skala CIF und die inverse doppelt dekadische Skala BI üblich.


title: Rechenschieber

text: Funktionsskalen, wie zum Beispiel die trigonometrischen Skalen, werden nach der Formel formula_43 bestimmt. Die abgebildeten Funktionen sind nicht linear. Aus diesem Grund gilt die Beschriftung der Funktionsskalen nur für die bestimmten Werte. Die zur Funktionsskala zugeordneten Grundskalen, meist C und D, selten A und B, müssen ebenfalls in einem für diese Funktionsskala in einem bestimmten Wertebereich interpretiert werden. Auf einigen Rechenschiebern ist daher neben den Funktionsskalen der Faktor oder der Wertebereich aufgedruckt, mit dem die Grundskalen zu interpretieren sind.


title: Rechenschieber

text: Einige Funktionsskalen sind daher in mehrere Teilungslängen unterteilt; für den Tangens sind beispielsweise zwei Teilungslängen mit den Skalenbezeichnungen T1 und T2 üblich, die die Winkel φ von 5,71° bis 45° und 45° bis 84,29° umfassen. Diese entsprechen den Funktionswerten tan(φ) von 0,1 bis 1 und von 1 bis 10.


title: Rechenschieber

text: Die Beschriftung der Funktionsskalen erfolgt nach keinem einheitlichen Schema. Meist werden bestimmte Abkürzungen verwendet. In einigen Fällen ist auch die abgebildete Funktion angegeben. Manchmal wird die Funktion angegeben, deren x an der Funktionsskala aufgesucht werden muss, und deren Funktionswert auf den Grundskalen gefunden werden kann; manchmal ist es genau umgekehrt. Daher ist zum Beispiel für die doppelt logarithmischen Skalen sowohl die Beschriftung formula_44 als auch die Beschriftung formula_45 zu finden. Oft wird der Faktor, mit dem die Grundskalen zu interpretieren sind, direkt im Funktionswert angegeben; beispielsweise wird für LL2 die Funktion formula_46 geschrieben, da die Grundskala hier im Bereich von 0,1 bis 1 zu interpretieren ist.


title: Rechenschieber

text: Funktionsskalen können grundsätzlich auf zweierlei Weise verwendet werden: zunächst als Tabelle, indem der Funktionswert auf der Grundskala C oder D abgelesen wird. Daneben können die Funktionsskalen auch als Faktor verwendet werden. Bei Anordnung auf dem Körper ist dies allerdings nur für den ersten Faktor einer Kettenrechnung möglich. Bei Anordnung auf der Zunge können die Funktionsskalen als beliebige Faktoren und Divisoren verwendet werden, wodurch Kettenrechnungen, die mehrere Funktionen benötigen, performanter und genauer durchgeführt werden können, da die Werte nicht übertragen werden müssen.


title: Rechenschieber

text: Die Skala S(in) wird, wenn sie auf die Skalen in einer Dekade bezogen ist, nach der Funktion formula_47 berechnet, wobei formula_48 in einer Dekade der Grundskalen C und D – dies entspricht der Teilungslänge – aus dem Wertebereich von 5,74° bis 90° stammen muss. Stellt man in Grundstellung der Zunge einen bestimmten Wert auf der Skala C oder D ein so liefert die Skala S streng genommen den Wert formula_49 wobei formula_48 auf C beziehungsweise D im Wertebereich von 0,1 bis 1 zu interpretieren ist. Für kleinere Winkel gibt es die Skala ST, die für x auf C beziehungsweise D zwischen 0,01 und 0,1 von 0,573° bis 5,73° läuft und einer um formula_51 verschobenen Grundskala entspricht, da für kleine Winkel gilt formula_52. Der Sinus wird also im Bereich von 0,573° bis 90° mit zwei Funktionsskalen abgebildet, deren Wertebereiche sich unterscheiden, und die auf den Grundskalen im richtigen Bereich interpretiert werden müssen.


title: Rechenschieber

text: Der Tangens wird in bis zu vier Skalen aufgeteilt: der schon bekannten Skala ST, der Skala T oder T1 von


title: Rechenschieber

text: 5,71°- 45°, wobei ihr Wert bezogen auf C und D von 0,1 bis 1 zu interpretieren ist, der Skala T2 von 45° bis 84,29°, wobei ihr Wert bezogen auf C und D von 1 bis 10 zu interpretieren ist, und selten auch noch die Skala T3 von 84,29° bis 89,427°, wobei ihr Wert bezogen auf C und D von 10 bis 100 zu interpretieren ist.


title: Rechenschieber

text: Der Cosinus ist üblicherweise mit auf der Sinusskala beschriftet. Ansonsten kann er leicht über die Beziehung formula_53 eingestellt werden. Wertebereiche, die nicht auf den Skalen dargestellt werden, müssen durch Anwendung der Regeln der Trigonometrie entweder vermieden, oder geeignet umgerechnet werden.


title: Rechenschieber

text: Mit den sin- und tan-Skalen kann genauso gearbeitet werden wie mit den Grundskalen, mit der Einschränkung, dass sie meist nur auf dem Körper oder auf der Zunge vorliegen. Liegen die Skalen auf der Zunge vor (ggf. die Zunge umdrehen!), kann folgendes Beispiel nachvollzogen werden: Die Hypotenuse (5 cm) ist bekannt, und ebenso die längere der Katheten (4 cm). Wie lang ist die zweite Kathete? sin(90) entspricht der 1; stellt man diese an die 5 auf D, so liest man mit Hilfe des Läufers gegenüber von 4 auf D 36,9° für den Cosinus (bzw. 53,1° für den Sinus). Es wird gerechnet: formula_54, also eine Division, deren Ergebnis auf der Zunge entsteht und als Cosinus interpretiert und als Winkel abgelesen wird. Anschließend schiebt man den Läufer weiter bis der sin(36,9°) eingestellt ist. Auf D ergibt sich das Ergebnis 3 cm. Es wird gerechnet als formula_55. Auch diese Aufgabe lässt sich mit einer Zungen- und zwei Läufereinstellungen lösen, wobei das Ergebnis wieder vorteilhaft auf der Skala D erscheint und mit dem Läufer für die nächste Zungeneinstellung zwischen gespeichert werden kann.


title: Rechenschieber

text: Nach der Beziehung formula_56 kann eine Potenz mittels eines Logarithmus in eine Multiplikation überführt werden. Diese Multiplikation kann mit einem Rechenschieber so noch nicht gelöst werden. Eine weitere Logarithmierung macht dies jedoch möglich:


title: Rechenschieber

text: Üblicherweise wird für den inneren Logarithmus der natürliche Logarithmus verwendet, sodass die sogenannten doppelt logarithmischen Skalen nach der Formel formula_58 berechnet werden. Die doppelt logarithmischen Skalen stellen damit einen Spezialfall der Funktionsskalen dar.


title: Rechenschieber

text: Die doppelt logarithmischen Skalen werden in bis zu vier Teilungslängen mit den Standardbezeichnungen LL0, LL1, LL2 und LL3 unterteilt. Die Skala LL0 läuft von 1,001 bis 1,01 entsprechend der Werte 0,001 bis 0,01 auf den Grundskalen. Die Skala LL1 läuft von 1,01 bis 1,105 entsprechend der Werte 0,01 bis 0,1 auf den Grundskalen; LL2 läuft von 1,105 bis e entsprechend der Werte 0,1 bis 1 und LL3 von e bis 22000 entsprechend den Werten 1 bis 10 auf den Grundskalen.


title: Rechenschieber

text: Die Skala L3 ist spätestens ab dem Wert 1000 sehr ungenau unterteilt, so dass Rechnungen genauer durchgeführt werden können, wenn in mehrere Faktoren aufgeteilt wird. Die Aufteilung in Faktoren kann auch für Werte verwendet werden, die den Wertebereich überschreiten.


title: Rechenschieber

text: Die doppelt logarithmischen Skalen werden auf Duplexmodellen meist symmetrisch mit den inversen doppelt logarithmischen Skalen aufgetragen. Die inversen doppelt logarithmischen Skalen berechnen sich nach der Formel formula_59. Die Bereiche dieser Reziprokskalen LL00 bis LL03 stimmen bezüglich der Grundskalenwerte mit denen der Skalen LL0 bis LL3 überein; die Wertebereiche der Reziprokskalen LL00 bis LL03 entsprechen genau den Reziprokwerten der Skalen LL0 bisL L3. Die symmetrischen doppelt logarithmischen Skalen lassen sich daher auch sehr gut zur Ermittlung der Reziprokwerte verwenden, wobei die Dezimalpunktstelle nicht selbst ermittelt werden muss.


title: Rechenschieber

text: Auf einem Stab bzw. Schieber existieren mehrere (meist logarithmische) Skalen, die jeweils eine spezielle Funktion haben. Die in der Tabelle verwendeten Großbuchstaben entsprechen der üblichen Bezeichnung auf den meisten modernen Rechenschiebern. Jeder Rechenschieber besitzt in der Regel nur eine Auswahl der aufgezählten Skalen. Da es eine Vielzahl von Skalensystemen gibt, ist die Angabe über die Position der Skala nicht immer allgemein gültig. Zudem sind die einzelnen Systeme nicht immer eindeutig; gerade die zusätzlichen Skalen wurden von den einzelnen Herstellern unterschiedlich angeordnet.


title: Rechenschieber

text: In der Regel zeigen die Skalen von links nach rechts aufsteigende Werte. Skalen, die von links nach rechts abnehmen, sind meist rot beschriftet.


title: Rechenschieber

text: Der verschiebbare Läufer dient nicht nur zum genauen Ablesen und Einstellen der verschiedenen Skalen. Er besitzt oft auch zusätzliche Läuferstriche, die eine vereinfachte direkte Berechnung erlauben.


title: Rechenschieber

text: Die kurzen Läuferstriche links oben oder rechts unten werden in Verbindung mit dem Hauptstrich zur Berechnung von Kreisflächen verwendet.


title: Rechenschieber

text: Einige Modelle haben zusätzliche Markierungen zur Umrechnung von kW in PS oder zur direkten Rechnung mit dem Faktor 360 (z. B. für die Zinsberechnung).


title: Rechenschieber

text: Die Genauigkeit, mit der sich eine Zahl einstellen oder ablesen lässt, hängt von der Größe des Rechenschiebers ab. Bei einem 30 cm langen Rechenschieber kann man die Zahlen auf den Grundskalen C und D mit einer Genauigkeit von zwei bis drei Dezimalstellen direkt einstellen bzw. ablesen. Eine weitere Dezimalstelle kann man mit etwas Übung abschätzen. Größere Rechenschieber haben eine feinere Unterteilung der Skalen und ermöglichen damit eine genauere Rechnung.


title: Rechenschieber

text: Da die tatsächlichen Abstände numerisch äquidistanter Skalenstriche entsprechend der logarithmischen Teilung variieren, kann man größere Zahlen absolut weniger genau einstellen bzw. ablesen als kleinere Zahlen. Die relative Ungenauigkeit, also das Verhältnis der Ungenauigkeit einer Zahl zu der Zahl selbst, ist aber für alle Zahlen gleich. Deshalb ist bei mehreren aufeinander folgenden Multiplikationen nicht nur das Ergebnis, sondern auch dessen Genauigkeit unabhängig von der Reihenfolge, in der die einzelnen Multiplikationsschritte ausgeführt werden.


title: Rechenschieber

text: Der Rechenschieber zeigt allerdings nicht die Größenordnung einer Zahl an. So kann z. B. der abgelesene Wert 6 sowohl 6; 60; 600, aber auch 0,6; 0,06; 0,006 usw. bedeuten.


title: Rechenschieber

text: Die Stellung des Kommas wird durch eine Überschlagsrechnung ermittelt. Dies ist für die korrekte Anwendung des Rechenschiebers unerlässlich.


title: Rechenschieber

text: Die Multiplikation ist die einfachste und zugleich ursprünglichste Rechenart des Rechenschiebers. Sie beruht auf der Rechenregel, dass der Logarithmus eines Produkts gleich der Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren ist.


title: Rechenschieber

text: Da die Skalen C und D auf dem Rechenschieber logarithmisch geteilt sind, erhält man durch die geometrische Addition zweier Strecken auf diesen Skalen eine Summe aus zwei Logarithmen.


title: Rechenschieber

text: Zuerst wird die Anfangsmarkierung „1“ der beweglichen Skala C (auf der Zunge) über den ersten Faktor auf der festen Skala D geschoben. Der Läufer wird nun über den zweiten Faktor auf der Skala C geschoben. Das Ergebnis wird an dieser Stelle auf der Skala D abgelesen.


title: Rechenschieber

text: Übersteigt das Produkt den Wert 10, lässt sich dieses nicht auf die beschriebene Weise ablesen. Man stellt sich nun vor, dass man eine virtuelle zweite D-Skala an das Ende der ersten anhängt. Dies entspricht einer Verschiebung der 10 der C-Skala über den ersten Faktor der D-Skala. Das Produkt lässt sich dann mit Hilfe des Läufers unter dem zweiten Faktor der C-Skala auf D ablesen. Dieses Vorgehen wird „Durchschieben“ bzw. „Rückschlag“ der Zunge genannt.


title: Rechenschieber

text: Nach derselben Methode kann man für die Multiplikation auch die Skalen A und B verwenden. Dies ist sehr praktisch, wenn einer der Faktoren eine Quadratzahl ist oder wenn man eine Wurzel aus dem Produkt ziehen will. Für die einfache Multiplikation ist diese Vorgehensweise eher unüblich, da man durch die größere Teilung der Skalen A und B eine geringere Genauigkeit erhält.


title: Rechenschieber

text: Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation. Sie beruht auf der Rechenregel, dass der Logarithmus eines Quotienten (Zähler geteilt durch Nenner) gleich der Differenz aus dem Logarithmus des Dividenden (Zähler) und dem Logarithmus des Divisors (Nenner) ist.


title: Rechenschieber

text: Zuerst wird der Divisor auf der beweglichen Skala C (auf der Zunge) über den Dividenden auf der festen Skala D geschoben. Der Läufer wird nun auf die Anfangsmarkierung „1“ auf der Skala C geschoben. Das Ergebnis wird an dieser Stelle auf der Skala D abgelesen.


title: Rechenschieber

text: Unterschreitet der Quotient den Wert 1, kann man das Ergebnis alternativ an der Endmarkierung „10“ der beweglichen Skala C ablesen.


title: Rechenschieber

text: Nach derselben Methode kann man für die Division auch die Skalen A und B verwenden; jedoch ist hierbei die Genauigkeit geringer.


title: Rechenschieber

text: Eine andere Möglichkeit besteht darin, dass man den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert. Man geht dazu genauso vor wie bei der Multiplikation, nur mit dem Unterschied, dass man statt der Zungenskala C die Kehrwertskala CI verwendet.


title: Rechenschieber

text: Das Verhältnis zwischen den Werten auf den Skalen C und D bzw. A und B ist bei unveränderter Zungeneinstellung immer gleich.


title: Rechenschieber

text: Somit eignet sich der Rechenschieber sehr gut für Proportionalrechnungen bzw. für Dreisatzaufgaben. Hierbei ist es hilfreich, vor der Multiplikation die Division durchzuführen, da sich die Aufgabe dann meist mit einer einzigen Zungeneinstellung berechnen lässt.


title: Rechenschieber

text: Ein wesentlicher Vorteil des Rechenschiebers liegt bei Dreisatzrechnungen darin, dass nicht nur das Ergebnis für den zweiten Faktor, sondern bei gleicher Zungeneinstellung für beliebig viele weitere Faktoren abgelesen werden kann.


title: Rechenschieber

text: Ein Beispiel zur Tabellenbildung: Man will englische Yards in Meter umrechnen und umgekehrt. Es gilt das Verhältnis 82 Yards sind 75 Meter. Hierzu stellt man den Wert 75 auf der beweglichen Skala C über den Wert 82 auf der festen Skala D. Nun kann man für beliebige Werte von Yards auf der Skala D die entsprechende Meterzahl auf der Skala C ablesen. Umgekehrt kann man für beliebige Werte von Metern auf der Skala C die entsprechende Yardzahl auf der Skala D ablesen.


title: Rechenschieber

text: d. h., sie besitzen zwei Dekaden (1 bis 10 und 10 bis 100) im Bereich der Grundskalendekade (1 bis 10).


title: Rechenschieber

text: Das Quadrieren erfolgt durch den Übergang von der Skala C bzw. D auf die Skala B, bzw. A, wobei vorteilhaft der mittlere Läuferstrich benutzt wird. Man stellt den Läuferstrich z. B. über den Wert auf Skala D und liest auf Skala A die Quadratzahl ab.


title: Rechenschieber

text: Bei einigen Rechenschiebern existiert auf dem Läufer ein kurzer Zusatzstrich über den Quadratskalen A und B, der um die Strecke π/4 versetzt ist. Mit Hilfe dieses Zusatzstriches kann die Kreisfläche direkt auf den Skalen A oder B abgelesen werden, wenn der Kreisdurchmesser mit dem Mittelstrich des Läufers auf den Skalen C oder D eingestellt wird.


title: Rechenschieber

text: d. h., sie besitzt drei Dekaden (1 bis 10, 10 bis 100 und 100 bis 1000) im Bereich der Grundskalendekade.


title: Rechenschieber

text: Das Ermitteln der Kubikzahl erfolgt durch den Übergang von der Skala D auf die Skala K, wobei vorteilhaft der mittlere Läuferstrich benutzt wird.


title: Rechenschieber

text: Um die Quadratwurzel einer Zahl zu ermitteln, deren Wert zwischen 1 und 100 liegt, stellt man diese Zahl mit dem Läufer auf der Skala A bzw. B ein und liest das Ergebnis auf der Grundskala D bzw. C ab.


title: Rechenschieber

text: Ist die Quadratwurzel einer Zahl zu ermitteln, deren Wert nicht zwischen 1 und 100 liegt, so wird der Radikand in zwei Faktoren zerlegt, wobei ein Faktor eine Potenz zur Basis 100 darstellt und der zweite Faktor im Bereich zwischen 1 und 100 liegt. Nach der Formel formula_62 kann man aus jedem Faktor getrennt die Wurzel ziehen und die Ergebnisse multiplizieren.


title: Rechenschieber

text: Man kann auch folgende Faustregel anwenden: Alle Zahlen größer als 1 mit ungerader Anzahl Stellen vor dem Komma und alle Zahlen kleiner als 1 mit ungerader Anzahl Nullen nach dem Komma werden in der linken Dekade (1 bis 10) der Skala A eingestellt. Alle Zahlen größer als 1 mit gerader Anzahl Stellen vor dem Komma und alle Zahlen kleiner als 1 mit gerader Anzahl Nullen (auch 0 ist eine gerade Zahl) nach dem Komma werden in der rechten Dekade (10 bis 100) der Skala A eingestellt.


title: Rechenschieber

text: Um die Kubikwurzel einer Zahl zu ermitteln, deren Wert zwischen 1 und 1000 liegt, stellt man diese Zahl mit dem Läufer auf der Skala K ein und liest das Ergebnis auf der Grundskala D ab.


title: Rechenschieber

text: Ist die Kubikwurzel einer Zahl zu ermitteln, deren Wert nicht zwischen 1 und 1000 liegt, so wird der Radikand in zwei Faktoren zerlegt, wobei ein Faktor eine Potenz zur Basis 1000 darstellt und der zweite Faktor im Bereich zwischen 1 und 1000 liegt. Nach der Formel


title: Rechenschieber

text: Die Kehrwertskalen CI bzw. DI entsprechen im Erscheinungsbild den Grundskalen C und D, verlaufen aber in entgegengesetzter Richtung. Sie sind deshalb meist rot eingefärbt. Diese Skalen können für verschiedene Rechenmöglichkeiten angewendet werden.


title: Rechenschieber

text: Ist der Kehrwert einer Zahl zu ermitteln, stellt man diese Zahl mit dem Läufer auf der Grundskala ein und liest den Kehrwert direkt auf der Kehrwertskala ab.


title: Rechenschieber

text: Mit Hilfe der Kehrwertskala kann man die Berechnung einer Multiplikation durch eine Division ersetzen und umgekehrt. Es gilt: Eine Zahl wird multipliziert, indem man durch den Kehrwert dividiert. Damit kann man Produkte von mehreren Faktoren mit weniger Zungeneinstellungen ermitteln.


title: Rechenschieber

text: Zusammengesetzte Multiplikationen und Divisionen lassen sich mit den Kehrwertskalen effizienter berechnen.


title: Rechenschieber

text: Weitere Verwendungsmöglichkeiten der Kehrwertskalen ergeben sich bei den trigonometrischen Funktionen und Exponentialrechnungen.


title: Rechenschieber

text: Die linear geteilte Logarithmen- bzw. Mantissenskala L enthält Werte für die Mantisse (Nachkommastellen) des dekadischen Logarithmus.


title: Rechenschieber

text: Um den dekadischen Logarithmus einer Zahl zu ermitteln, stellt man sie mit dem Läufer auf der Grundskala D ein und liest die Mantisse auf der Mantissenskala L ab. Die Kennzahl (Vorkommastelle) des Logarithmus ergibt sich, ebenso wie bei der Anwendung einer Logarithmentafel, bei Zahlen größergleich 1 aus der Anzahl der Stellen vor dem Komma minus 1. Bei Zahlen kleiner 1 wird die Anzahl der Nullen nach dem Komma ermittelt. Diese Anzahl wird negativ gesetzt und um 1 vermindert. Als Faustregel gilt: Die Kennzahl entspricht der Anzahl der Stellen, um die das Komma verschoben werden muss, bis genau eine von der Null verschiedene Ziffer vor dem Komma steht. Eine Linksverschiebung wird positiv gewertet, eine Rechtsverschiebung negativ.


title: Rechenschieber

text: Die Logarithmenbestimmung wird vor allem zur Berechnung von Potenzen und Wurzeln beliebiger Exponenten verwendet. Da jedoch schon durch kleine Ungenauigkeiten bei der Ermittlung des Logarithmus die Endgenauigkeit deutlich beeinträchtigt wird, dient diese Methode lediglich für Überschlagsrechnungen.


title: Rechenschieber

text: Für alle Winkelfunktionen gilt: Ist ein Winkel gegeben, der größer als 90° ist, so muss er erst auf einen spitzen Winkel zurückgeführt werden, der den gleichen Funktionswert liefert.


title: Rechenschieber

text: Die Sinusskala S ist dezimal unterteilt und ergibt in Verbindung mit der Grundskala D die Winkelfunktion, bzw. bei umgekehrter Ablesung den Winkel.


title: Rechenschieber

text: Der Sinuswert für Winkel zwischen 5,7° und 90° lässt sich ermitteln, indem man mit dem Läufer die Gradzahl auf der Sinusskala S einstellt und den Funktionswert auf Skala D abliest.


title: Rechenschieber

text: Die Sinusskala S ist meistens zusätzlich mit roten Winkelwerten beschriftet, die von rechts nach links ansteigen.


title: Rechenschieber

text: Diese Werte, im Intervall von 0° bis 84,3°, stellen den Komplementwinkel dar und ermöglichen die Ablesung des Kosinuswertes auf der Grundskala D.


title: Rechenschieber

text: Zur Ermittlung der Tangenswerte verwendet man die Skalen T1 und T2, wobei man T1 für Winkelwerte zwischen 5,7° und 45° und T2 für Winkelwerte zwischen 45° und 84,3° verwendet. Die Ablesung des Tangenswertes erfolgt auf der Grundskala D. Umgekehrt lässt sich der zugehörige Winkel bestimmen.


title: Rechenschieber

text: Für Winkelwerte zwischen 84,3° und 90° ermittelt man den Komplementwinkel und stellt ihn auf der Bogenmaßskala ST ein. Nach der Beziehung


title: Rechenschieber

text: Die Bogenmaßskala ST ist dezimal unterteilt und ergibt in Verbindung mit der Grundskala D das Bogenmaß, bzw. bei umgekehrter Ablesung den Winkel.


title: Rechenschieber

text: Das Bogenmaß für Winkel zwischen 0,57° und 5,7° lässt sich ermitteln, indem man mit dem Läufer die Gradzahl auf der Bogenmaßskala ST einstellt und das Bogenmaß auf der Grundskala D abliest.


title: Rechenschieber

text: D. h., das Bogenmaß entspricht ungefähr der Sinusfunktion und der Tangensfunktion. Die Abweichung beträgt hier weniger als 1,5 ‰.


title: Rechenschieber

text: Deshalb wird diese Skala auch zur Ermittlung von Sinus- und Tangenswerten für kleine Winkel verwendet.


title: Rechenschieber

text: Die drei Exponentialskalen LL, LL, LL stellen aneinandergereiht den natürlichen Logarithmus für die Funktionswerte 1,01 bis 50000 dar. Mit Hilfe dieser Skalen lassen sich beliebige Potenzen, Wurzeln und Logarithmen berechnen. Die Exponentialskalen sind Stellenwertskalen, d. h., ihr Dezimalwert entspricht der angeschriebenen Beschriftung und ist nicht wie bei den Grundskalen veränderlich.


title: Rechenschieber

text: Eine Addition oder Subtraktion ist mit herkömmlichen Rechenschiebern ist nur möglich, wenn linearen Skalen für Addition und Subtraktion vorhanden sind. Andernfalls kann man durch eine Umformung der Additionsaufgabe in eine Multiplikationsaufgabe alle Rechenschieber verwenden. Dabei wird die Gleichung so umgeformt, dass formula_66 ausgeklammert wird. Es gilt


title: Rechenschieber

text: Diese Aufgabenstellung kann man durch die Anwendung von Division und Multiplikation mit dem Rechenschieber lösen. Die als Zwischenergebnis notwendige Addition bzw. Subtraktion der Zahl 1 kann im Kopf erfolgen. Diese Art der Berechnung ist aufwändig und spielt beim Einsatz des Rechenschiebers kaum eine Rolle.


title: Rechenschieber

text: Es gab auch im Jahre 2017 Armbanduhren, die mit einem Rechenschieber ausgestattet sind, etwa von Breitling, Sinn, Casio oder Citizen.


title: Fernglas

text: Ein Fernglas ist ein tragbares Fernrohr. Es ist überwiegend in binokularer Ausführung auf dem Markt, die es ermöglicht, Objekte mit beiden Augen über getrennte Strahlengänge zu beobachten. Das Fernglas wird einerseits in einfacher Linsenbauweise als Theaterglas (Opernglas, Galilei-Fernrohr) angeboten, andererseits als Prismenfernglas (Kepler-Fernrohr), das auch Feldstecher genannt wird. In einäugiger Bauweise spricht man von Monokular.


title: Fernglas

text: Den Übergang zu Fernrohren bilden die etwas längeren, aus Gewichts- und Konstruktionsgründen überwiegend mit Stativ zu verwendenden Spektive. Mit einem ausziehbaren Tubus werden letztere auch Auszugsfernrohre genannt.


title: Fernglas

text: Typische Vergrößerungen sind für Operngläser 3-fach, für Feldstecher 6- bis 10-fach und für Spektive mit Zoom-Okular 15- bis 50-fach.


title: Fernglas

text: Im 19. Jahrhundert nannte man Gläser, mit deren Hilfe man auf Entfernung schärfer als ohne Hilfsmittel sehen konnte, "Stechbrillen" (oft als Monokel ausgebildet) und die schon vorhandenen Theatergläser kurz "Stecher". Ein vornehmerer Begriff war "Lorgnette", der originär für in der Hand zu haltende Brillen galt. Für die vorwiegend vom Militär im Gelände benutzten Gläser entstand daraus der Begriff "Feldstecher".


title: Fernglas

text: Theatergläser wurden schon seit Beginn des 18. Jahrhunderts, als achromatische Linsen zur Verfügung standen, vermehrt gefertigt. Ein Kaiserliches Privileg zu ihrer Fertigung erhielt Johann Friedrich Voigtländer 1823 in Wien. Für ein binokulares Fernglas mit ähnlichen Prismen wie die bereits bekannten und monokular angewendeten Porroprismen meldete am 9. Juli 1893 die Firma Carl Zeiss in Jena ein Patent an. Ein Prismenfernrohr mit Dachkant-Pentaprismen und der Bezeichnung "Dialyt" (mit je zwei Objektiv-Linsen) und ebenfalls parallel versetzten optischen Achsen baute M. Hensoldt & Söhne in Wetzlar ab 1905. Am 14. April 1905 meldete diese Gesellschaft ein Patent für ein „geradsichtiges“ Prismenfernglas mit Dachkant-Pentaprismen an.


title: Fernglas

text: Das Wort "Fernglas" wird von vielen Herstellern als übergeordneter Begriff verwendet, um unterschiedliche optische Gerätetypen mit binokularer und monokularer Konstruktion zu kennzeichnen. Im Fachhandel wird der Begriff allerdings häufig auf die binokularen Prismenferngläser beschränkt, ohne Theatergläser, Spektive, Monokulare (Prismen-Kleinfernrohre) und sonstige Fernrohre einzuschließen. Entwickler und Patentierer (z. B. Moritz Hensoldt am Ende des 19. Jahrhunderts) sprachen noch vom "Prismen-Doppelfernrohr"; später kam die Bezeichnung Binocles in Gebrauch: In einer Anzeige von Voigtländer & Sohn aus dem Jahre 1907 wurde für „Prismen-Binocles – für Sport, Reise, Jagd, Theater und Militär-Dienstgebrauch“ geworben.


title: Fernglas

text: Im Englischen gibt es kein sprachliches Äquivalent, das die gleiche heterogene Produktgruppe umfasst wie der deutsche Begriff „Fernglas“. Dort unterscheidet man begrifflich meist zwischen "binoculars" bzw. "binocular telescopes" (Feldstecher), "monoculars" bzw. "monocular telescopes" (Monokulare) sowie "spotting scopes" (Spektive). In der internationalen Werbesprache wird zuweilen der Begriff "Sport Optics" (auch: "Sports Optics") für den Produktbereich verwendet.


title: Fernglas

text: Die beiden Haupttypen der binokularen Ferngläser sind die optisch einfachen "Theatergläser" und die aufwändigeren "Prismenferngläser" (Feldstecher, Großfeldstecher und Doppelspektive).


title: Fernglas

text: Die traditionell gebauten "Theatergläser", früher auch Operngläser oder Operngucker genannt (engl. "opera glasses," "theater binoculars" oder "Galilean binoculars"), sind leichte und kleine binokulare Ferngläser nach dem Galilei-Fernrohr-Prinzip. Sie enthalten pro Strahlengang lediglich eine konvexe Objektivlinse und eine konkave Okularlinse, welche direkt ein aufrechtes Bild erzeugen. Umkehrprismen sind daher nicht nötig. Theatergläser ermöglichen eine nur geringe Vergrößerung (zwischen und 5, häufig in den Versionen 2,5×18 bis 3×28 hergestellt), die aber zur Beobachtung des Geschehens auf einer Theaterbühne angemessen ist. Die einfache optische Konstruktion ermöglicht nur ein kleines Gesichtsfeld, und die Abbildungsqualität ist geringer als in den kompakten Ferngläsern mit Umkehrprismen. Daher wurden schon bald nach Erfindung des Umkehrprinzips auch Prismen-Theatergläser mit der angemessenen relativ kleinen Vergrößerung angeboten.


title: Fernglas

text: Prismenferngläser funktionieren nach dem Kepler-Fernrohr-Prinzip und enthalten ein Umkehrprisma zwischen Okular und Objektiv, welches einerseits das um 180° verdrehte Bild zurückdreht und andererseits bei hochwertiger Abbildung eine kompakte Bauweise ermöglicht.


title: Fernglas

text: Von der Baugröße her unterscheidet man vereinfacht zwischen Kompakt- oder Taschenferngläsern (die auch als Theater- und Museumsgläser angeboten werden, bis etwa 300 g wiegen und häufig bei Nichtgebrauch zu kleinerem Volumen zusammengeklappt werden können), Universalgläsern (Feldstecher im engeren Sinne, zwischen etwa 400 und 1200 g) und Großferngläsern mit Objektivöffnungen ab etwa 66 mm, die eher auf Stativen Verwendung finden. Die Bezeichnungen variieren aber etwas.


title: Fernglas

text: Die Dachkantgläser wirken je nach Marke und Modell entweder eher kurz und kompakt oder aber eher länglich und schmal. Der Grund kann in unterschiedlichen Dachkantprismensystemen liegen oder in unterschiedlichen Brennweiten der Linsen: Lange Objektiv- und Okularbrennweiten erlauben leichter die Korrektur von Bildfeldwölbung und Randunschärfe und ermöglichen dadurch oft bessere optische Kenndaten (großes Sehfeld, kleinere Abbildungsfehler). Kurze Modelle sind dafür leichter und handlicher.


title: Fernglas

text: Größere Prismenferngläser, die für ein ruhiges Bild fest installiert oder auf ein Stativ gestellt werden müssen, werden "Großfeldstecher" genannt. Sie werden mit Objektiven zwischen etwa 66 und 100 mm angeboten. Infolge der großen Objektive können sie praktisch nur in Porroprismenbauweise erstellt werden. Von der Größe her leiten sie über zu "Doppel-Spektiven", die häufig eine hochwertige Apochromat-Optik haben, welche für normale Feldstecher zu unhandlich wäre. Speziell große, aufwändige und teure Geräte werden teilweise vom Militär und von der Grenzsicherung eingesetzt.


title: Fernglas

text: Die beiden Hälften eines binokularen Prismenfernglases lassen sich um die Mittelachse schwenken, um die Strahlengänge auf den "Augenabstand" (präziser: Pupillendistanz) des jeweiligen Benutzers einstellen zu können. Vorhanden ist üblicherweise eine Einstellbarkeit von etwa 56 bis etwa 74 mm (Abstand zwischen den Okularen), nur bei wenigen Gläsern bis etwa 78 mm. Faltbare Kompaktfeldstecher erlauben Einstellungen ab etwa 32 mm. Bei optimaler Einstellung und Blick in die Ferne erkennt der Beobachter einen Bildkreis (und nicht zwei wie eine liegende 8 überlappende, wie schematisch oft dargestellt, etwa in Spielfilmen).


title: Fernglas

text: Für ein entspanntes stereoskopisches Sehen ist die synchron laufende "Fokussierung" (Scharfstellung) der beiden Strahlengänge wichtig. Bei unsynchronem Lauf oder Dejustage der optischen Teile, was insbesondere bei Billigprodukten auftreten kann, versucht das Gehirn des Beobachters die unterschiedlichen Bilder zur Deckung zu bringen, was ermüdend wirkt und Kopfschmerzen verursachen kann. Bei Porroprismen-Ferngläsern sind die Okulare zur Synchronisation über eine Brücke miteinander verbunden und können durch Drehen eines Fokussierrads vor und zurück bewegt werden. Dachkantprismen-Ferngläser haben meist eine Innenfokussierung mit einer synchronen Verschiebung einer Linsengruppe in den beiden Strahlengängen.


title: Fernglas

text: Die Anpassung an die häufig etwas unterschiedliche Brechkraft des linken und rechten Auges verlangt einen Dioptrienausgleich, der durch Drehen an einem der Okulare (selten auch an beiden) erfolgen kann, manchmal, besonders bei höherwertigen Ferngläsern, durch Einstellungen an einem Mitteltrieb. Bei sehr klein und leicht gehaltenen Kompaktferngläsern wird die Dioptrieneinstellung durch getrenntes Einzel-Einstellen der beiden Okulare erreicht; auch manche Marinegläser verwenden dieses Funktionsprinzip zwecks besserer Wasserdichtigkeit.


title: Fernglas

text: Die häufig gummierte Verbindung zwischen Okular und Auge sollte störendes Seitenlicht möglichst fernhalten. Dies funktioniert am effektivsten mit weichen schwarzen "Augenmuscheln", die an den Außenseiten verlängert sind und sich an die Schläfen anlegen. Allerdings sind diese nur ohne Brille verwendbar. Brillenträger müssen sie umklappen oder (je nach Fabrikat) gegen andere Augenmuscheln austauschen. Viele Hersteller haben komfortabel herausdrehbare Augenmuscheln entwickelt, welche sich schnell und variabel einstellen lassen, allerdings nicht so effektiv gegen Seitenlicht schützen.


title: Fernglas

text: Ob allerdings Brillenträger einen ähnlich guten Sehkomfort wie Nicht-Brillenträger genießen können, hängt stark vom "Augen-Okular-Abstand" ab, der innerhalb einer bestimmten Spannbreite durch Verschieben oder (komfortabler) Drehen der Augenmuscheln einstellbar ist. Die Austrittspupille des Fernglases muss generell axial und parallel („zentrisch“) sowie in einem gewissen Abstand zur Eintrittspupille des Auges, d. h. zur hinter der Hornhaut liegenden Öffnung der Iris, liegen. Dieser Abstand sollte je nach Brillenstärke etwa 14–20 mm betragen und arretierbar sein. Ist das Auge zu weit entfernt, sieht der Betrachter ein beschnittenes Bild, ist es zu nahe am Okular, können sich bei nicht genau zentriertem Durchblick schwarze Abschattungen (sogenannte "kidney beans") einstellen, was ein unkomfortables Sehen nach sich zieht. Okularkonstruktionen, die diesen Abstand einhalten, heißen „Brillenträgerokulare“. Ältere und preiswerte Ferngläser sind häufig nicht Brillenträger-tauglich.


title: Fernglas

text: Meist ist der Sehgenuss ohne "Brille" wegen der besseren Abschirmung des Strahlengangs vor Seitenlicht höher als mit Brille, sofern sich die jeweilige Fehlsichtigkeit am Fernglas geeignet korrigieren lässt; nicht am Okular korrigieren lässt sich stärkere Hornhautverkrümmung (Astigmatismus). Allerdings sind Abnehmen und Wiederaufsetzen einer Brille oft hinderlich und für viele Situationen zu langsam (Vogelbeobachtung, Jagd, Sportanlässe). Hinzu kommt, dass mögliche Unterschiede zwischen den beiden Augen meist nur bis etwa ±3–5 Dioptrien eingestellt werden können und dass die volle Fokussierbarkeit des Fernglases für beide Augen meist nur bis etwa 3–8 Dioptrien möglich ist. Bei stärkerer Kurzsichtigkeit ist die Einstellung auf unendlich nicht mehr möglich, während andererseits die Naheinstellung verbessert wird. Manche Hersteller bieten an, durch Nacharbeit im Werk den sogenannten Überhub (derjenige Bereich, der bei Normalsichtigen über die Unendlichstellung hinaus einstellbar ist) zu Lasten der Naheinstellung zu vermindern.


title: Fernglas

text: Wichtige Qualitätskriterien sind auch eine angenehme Handhabung (Griffigkeit, Schwerpunktbildung, Erreichbarkeit des Fokussierrads). Hier haben Personen mit großen bzw. kleinen Händen naturgemäß unterschiedliche Ansprüche. Daneben sind Haptik und Funktionalität unter unterschiedlichen Witterungsbedingungen (also auch bei Kälte und im Regen) bedeutsam, wozu eine mechanisch einwandfreie, weder zu leicht- noch zu schwergängige Einstellung des Augenabstands, der Scharfstellung und der Dioptrieneinstellung gehört. Weiter sind eine gute Eignung für die Verwendung mit und ohne Brille, eine Toleranz gegenüber Temperaturextremen und Nässe, ein guter Schutz gegen Stoß und gegen Kratzer an den Linsen und ein geringes Gewicht wichtige Kriterien. Zur Gewichtseinsparung und gleichzeitigen Stabilität der Gehäuse dienen Aluminium, Magnesium-Legierungen oder Polycarbonate. Für besondere Anwendungen sind Objektivgewinde nützlich, beispielsweise zur Anbringung von Polarisationsfiltern für Beobachtungen in der Nähe von Wasseroberflächen (Wassersport, Wasservögel). Tierbeobachter und Astronomen schätzen auch ein Gewinde, das ein Aufschrauben auf ein Stativ ermöglicht. Für nautische Zwecke sind Zusatzeinrichtungen wie Kompass und Strichplatten erhältlich, für Jäger Entfernungsmesser und Zielhilfen auf Laserstrahlbasis. Einige Hersteller bieten auch bildstabilisierte Ferngläser an, welche ein Zittern der Hände ausgleichen können. Geräte mit sonstigen elektronischen Zusatzfunktionen (Höhenmesser, Temperaturangabe und Zeitfunktion; "Minox BD-Reihe"), mit integriertem digitalen Fotoapparat "(Bushnell Imageview)" oder mit Daten- und Bildübertragung zwischen mehreren Beobachtern "(Leica Geovid Lux)" sind Nischenprodukte oder Geräte für Spezialanwendungen. Ebenfalls für Spezialanwendungen konzipiert (Wildbeobachtung, Jagd, Polizei, Militär, Sicherheitsdienst) sind die verschiedenen Typen der Nachtsichtgeräte, die hier nicht näher behandelt werden.


title: Fernglas

text: In ihrem Test von Ferngläsern im August 2019 wies die Stiftung Warentest auf die Verwendung von PAKs in Materialien für Gehäuse, Augenmuscheln und Trageriemen, mit denen der Nutzer in Kontakt kommt, hin. Zum Zeitpunkt des Tests wies nur eins von 17 getesteten Gläsern keine PAKs auf, was allerdings gesetzlich auch nicht gefordert ist.


title: Fernglas

text: Bei einem digitalen Fernglas wandeln zwei Sensoren hinter einer herkömmlichen Optik das optische Bild in digitale elektrische Signale um. Diese werden nach der Bildverarbeitung auf zwei elektronischen Suchern wiedergegeben. Wie bei der Digitalfotografie gibt es keine direkte optische Verbindung mehr zwischen betrachtetem Objekt und Auge. Zur Darstellung ist elektrische Energie notwendig, die in der Regel von Akkumulatoren geliefert wird. Die Bildverarbeitung in Verbindung mit der Wiedergabe auf den Sucherdisplays ermöglicht eine Anpassung des dargestellten Bildes, zum Beispiel eine Aufhellung bei schwachem Licht. Optische Bildstabilisatoren, digitale Foto- und Filmfunktionen können integriert sein (z. B. "Sony DEV-50V").


title: Fernglas

text: Binokulare Ferngläser auf Darstellungen vor 1900 waren meistens Theatergläser, also Geräte auf Basis des Galileo-Fernrohrprinzips. Die folgende Prismenferngläser wurden zunächst fast nur als monokulare Ferngläser gefertigt, zum Beispiel von der Firma M. Hensoldt & Söhne in Wetzlar. Die Firmen Carl Zeiss in Jena und Leitz in Wetzlar (Binocle 6×18, mit Porroprismen, 1907) produzierten vorwiegend binokulare Prismenferngläser.


title: Fernglas

text: In der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts waren Prismenferngläser außer für Privatpersonen zu einem bedeutenden Teil für das Militär konzipiert. Weite Sehfelder wurden zu Lasten der damals noch kaum geforderten Brillentauglichkeit bevorzugt. Die Produktvielfalt war vergleichsweise gering, und es wurden überwiegend die optisch besseren Porroprismen-Ferngläser hergestellt. Im letzten Viertel des 20. Jahrhunderts führten Verbesserungen in der Vergütung und Fertigungstechnik sowie die gestiegene Kaufkraft breiter Bevölkerungsschichten zu einem Anstieg im Angebot hochwertiger Dachkantgläser in universeller und in Kompakt-Bauweise. Seit dem beginnenden 21. Jahrhundert sind die Qualitätsunterschiede zwischen den beiden Bautypen bei den hochwertigen Geräten praktisch nicht mehr vorhanden, zumal inzwischen Dachkantgläser mit hochwertigen Linsensystemen und effektiven Phasenkorrekturbelägen auf dem Markt sind, die zudem vielfach auch nahbereichstauglich sind. Ferner wird aufgrund der gestiegenen Zahl von brillentragenden und oftmals kaufkräftigen Personen oberhalb des 45. Altersjahrs vermehrt Wert auf Brillentauglichkeit und großzügige Dioptrieneinstellung, bestmögliche optische Kennzahlen, Leichtigkeit und Kompaktheit sowie andere ergonomische Aspekte gelegt. Schließlich sind bildstabilisierende Geräte, die es seit Ende des 20. Jahrhunderts gibt, ebenfalls verstärkt und in verschiedenen Konstruktionsformen auf den Markt gekommen.


title: Fernglas

text: Zumindest um 1980 bis 1990 war es bei billigen Ferngläsern üblich, mit dem meist harten Köcher aus lackiertem Karton Kunststoffschutzkappen für Objektive und Okulare auch noch zwei okularseitig aufsteckbare Orange-Filter mitzuliefern. Diese absorbieren die kurzwellige Hälfte des Spektrums, das von Dunst (und Luft) stärker gestreut wird, um eine bessere, wenn auch praktisch monochrome, Fernsicht zu erreichen. Eine langovale Doppelkappe, die über beide Okulare reicht und mit zwei Schlitzen am Trageband aufgefädelt ist, kann ein Fernglas, das beim Stehen und Gehen vorne an der Brust hängt, schon alleine recht gut vor Staub von oben schützen und kann beim Hochnehmen zu den Augen mit der zweiten Hand rasch abgezogen werden.


title: Fernglas

text: Auf dem Weltmarkt werden jährlich rund 8 Millionen neue Ferngläser verkauft. Von einzelnen Gerätetypen im High-End-Bereich (z. B. Jagdgläser) können im Laufe eines Produktionszyklus bis zu mehrere 100.000 Exemplare abgesetzt werden. Ferngläser renommierter Marken gelten als hochwertige und potenziell langlebige Konsumgüter. Sie werden vom Kunden vielfach auch dann weiter behalten, wenn er ein neues Fernglas hinzukauft, was den Gläsern einen Sammlerwert und eine gewisse Wertbeständigkeit verleiht.


title: Fernglas

text: Das Objektiv erzeugt in einer Zwischenebene ein doppelt verkehrtes – auf dem Kopf stehendes und seitenverkehrtes, also um 180° gedrehtes – Bild. Das Prismensystem dreht das Bild um 180°, richtet es auf, ohne die Größe zu verändern. Das Okular funktioniert als Lupe, mit der das Zwischenbild vergrößert gesehen wird. Bei richtiger Fokussierung treten die Lichtstrahlen parallel aus dem Okular aus, und der Beobachter hat den Eindruck, entspannt in die Ferne blicken zu können.


title: Fernglas

text: Die wichtigsten und in der Regel auch angeschriebenen Kenngrößen eines Fernglases sind die "Vergrößerungszahl" und der "Objektivdurchmesser". Zum Beispiel bedeutet die Kennzeichnung 10×50, dass eine 10-fache Vergrößerung und ein Objektivdurchmesser von 50 mm vorliegen. Die Vergrößerungszahl ist der Quotient aus "Objektivbrennweite" und "Okularbrennweite". Eine 10-fache Vergrößerung bedeutet, dass das Bild im Vergleich zum Sehen mit bloßem Auge 10-mal so groß erscheint. Der Objektivdurchmesser bestimmt, wie viel Licht vom Fernglas aufgenommen wird, und ist somit für die Bildhelligkeit mitverantwortlich, die aber auch von der Vergrößerung beeinflusst wird. Die Bildhelligkeit ist proportional zu formula_1, wobei "D" der Objektivdurchmesser und "v" die Vergrößerungszahl ist.


title: Fernglas

text: Manche Fernglashersteller neigen dazu, etablierte Kennzahlen (z. B. 8×32, 10×50) selbst dann zu verwenden, wenn der Objektivdurchmesser im Einzelfall einige Millimeter kleiner ausfällt. Auch die Vergrößerung des gesehenen Bildes ist nicht so klar definiert:


title: Fernglas

text: Das Strahlenbündel, das senkrecht durch das Objektiv in das Fernglas gelangt, hat den wirksamen Durchmesser des jeweiligen Objektivs. Der wirksame Durchmesser wird manchmal durch eine Eintrittsblende hinter dem Objektiv oder noch weiter im Geräteinnern etwas verringert. Diese Blenden dienen meist der Unterdrückung von Abbildungsfehlern im Randbereich. Diejenige Blende oder Linsenfassung, die den Durchmesser des Strahlenbündels festlegt, definiert die sogenannte "Eintrittspupille". Der Quotient aus wirksamem Objektivdurchmesser und Vergrößerung (zum Beispiel 50 mm/10 = 5 mm) bestimmt den Durchmesser des Strahlenbündels, welches das Okular verlässt und auf das Auge trifft. Dieser Durchmesser des Strahlenbündels wird als "Austrittspupille" bezeichnet. Sie ist das Bild der Eintrittspupille und ist direkt proportional zur Größe des Objektivs (bei unveränderter Vergrößerung!). Wenn man das Fernglas in einigem Abstand vom Auge hält, ist die Austrittspupille als heller Lichtkreis vor dem Okular „schwebend“ erkennbar. Da die Pupille unseres Auges bei Tageshelle eine Pupillenöffnung von 2 bis 3 mm und in der Dunkelheit von etwa 6 mm (maximal 7 bis 8 mm, im fortgeschrittenen Lebensalter oft nur bis ca. 5 mm) hat, ist die sinnvolle Größe der Austrittspupille des Fernglases entweder 2 bis 3 mm oder etwa doppelt so groß. Diese Sinnfälligkeit wird leider meistens missachtet. Es sind weit mehr Ferngläser mit der größeren Austrittspupille im Gebrauch als mit kleinerer. Die Verdopplung der Austrittspupille bedeutet, dass das Fernglas mindestens das doppelte Gewicht hat, das ohne wesentlichen Nutzen bei Spaziergängen oder Wanderungen, die am Tage stattfinden, umhergetragen wird. Die zu große Austrittspupille ist nur von Vorteil, wenn sich das Fernglas nicht ruhig vor den Augen halten lässt (zum Beispiel auf einem schwankenden Schiff). Eine Austrittspupille unter 2 bis 3 mm führt wegen des dunkleren Bildes zu deutlicher Wahrnehmungseinschränkung. Für ein auch in der Dämmerung und in klaren Nächten (Sternbeobachtung) zu gebrauchendes Allround-Fernglas (ohne Bild-stabilisierenden Zusatz) werden 6- bis 9-fache Vergrößerung und maximal 44 mm Objektivdurchmesser (9- bis 12-fach und maximal 60 mm für kräftige Menschen jüngeren und mittleren Alters) empfohlen.


title: Fernglas

text: Um die Eignung eines Fernglases bei geringer Lichtintensität zu charakterisieren, dienen zwei weitere Kennzahlen:


title: Fernglas

text: Obgleich beide Werte in der Regel als dimensionslose Zahlen angegeben werden, sind sie tatsächlich nicht dimensionslos, sondern abhängig von der verwendeten Einheit für den Eintrittspupillendurchmesser, welche daher für eindeutige Kennzeichnungen unbedingt mit angegeben werden muss. Bei beiden Kennzahlen handelt es sich zudem um stark vereinfachte Leistungsparameter, die aus den Grenzfällen weit komplexerer Modelle zur Fernrohrleistung hervorgehen.


title: Fernglas

text: Effektive Lichtstärke und effektive Dämmerungszahl ergeben sich, wenn auch die Abhängigkeit von der "Transmission" (Lichtdurchlässigkeit) der eingesetzten Gläser und von deren Oberflächenbehandlung (Verspiegelung, Vergütung) berücksichtigt ist.


title: Fernglas

text: Die Transmission des jeweiligen optischen Systems ist nur instrumentell messbar. Sie gibt an, wie viel Prozent der einfallenden Lichtstrahlung nach Passieren der Gesamtoptik das Okular verlassen. Dieser Prozentwert ist für verschiedene Wellenlängen unterschiedlich, weshalb Ferngläser je nach Fertigung auch einen gegenüber der Natur leicht abweichenden Farbeindruck hinterlassen können. Ferngläser hoher Qualität erreichen Transmissionswerte von über 90 Prozent im Bereich um 600–700 nm und zwischen 80 und 90 % um 450–600 nm. Ältere Ferngläser bis etwa zur Mitte des 20. Jahrhunderts hatten infolge fehlender Vergütung maximal etwa 70 % Transmission und zeigten dadurch im Vergleich zu modernen Gläsern ein leicht dunkleres Bild. – In heutigen Werbeunterlagen werden deutlich höhere Transmissionswerte vorgetäuscht (z. B. „99 %“), die aber nur für Einzellinsen oder -prismen, nicht aber für das Gesamtsystem gelten.


title: Fernglas

text: Das "reale Sehfeld" wird entweder in Winkelgraden (°) oder als Feldbreite auf 1.000 m Entfernung angegeben. 1° entspricht ungefähr 17,5 m Feldbreite in 1000 m Entfernung.


title: Fernglas

text: Genaue Berechnung: Die halbe Feldbreite ist das Produkt aus dem Tangens des halben Sehwinkels und der Entfernung.


title: Fernglas

text: Rechnung für 6° Sehwinkel: tan 3° × 1000 m = 0,0524 × 1000 m = 52,4 m; das Sehfeld ist auf 1000 m etwa 105 m breit (2 × 52,4 m).


title: Fernglas

text: Das reale Sehfeld von Ferngläsern nimmt mit zunehmender Vergrößerung ab und reicht von etwa 3° (rund 50 m pro 1000 m, typisch für 18- bis 20-fache Vergrößerung) bis etwa 9° (rund 160 m pro 1000 m, typisch für 6- bis 7-fache Vergrößerung). Das Sehfeld lässt sich nicht beliebig vergrößern, die am Rand auftretenden Abbildungsfehler und die Abmessungen der Prismen und Okularlinsen setzen eine praktische Grenze. Ferngläser mit größerem Sehfeld bilden die Ränder oft unscharf und verzerrt ab. Sie wurden und werden trotz der Randfehler, mangelnder Brillentauglichkeit, hohem Gewicht und Störanfälligkeit dennoch gelegentlich hergestellt. Beispiele waren das "Leitz Amplivid" (12,1°) und das "Zeiss Deltar 8×40" (11,3°) sowie ist das "Leitz Trinovid 6×24" (12,1°). Solche Sehfeldgrößen sind von Vorteil, wenn sich das zu beobachtende Objekt schnell quer zur Sehrichtung bewegt (Sport, Jagd) oder wenn das zu beobachtende Sehfeld groß ist (Theaterbühnen). Diese Marktlücke wird von der "Bushnell XtraWide"-Serie gefüllt (17°).


title: Fernglas

text: Brillenträger können auch bei sogenannten "brillentauglichen Ferngläsern" meistens nicht das gesamte Sehfeld nutzen, das ohne Brille überblickbar ist. Dabei trifft es Weitsichtige in anderer Weise und teilweise stärker als Kurzsichtige. Diese Sehfeldbeschneidung sollte individuell ausgetestet werden, da nur ganz selten im Werbetext die (ohnehin nur ungefähre) Sehfeldgröße für Brillenträger genannt wird.


title: Fernglas

text: Das "scheinbare Sehfeld" (auch scheinbarer Sehwinkel genannt) bezieht sich auf den vom Betrachter beim Betrachten durch das Okular empfundenen, winkelmäßigen Durchmesser des durch die Sehfeldblende begrenzten Sehfelds. Es ist etwa das Produkt aus realem Sehfeld und Vergrößerungsfaktor. Bei 6° realem Sehfeld und 10-facher Vergrößerung hat das scheinbare Sehfeld etwa 60°. Diese einfache Multiplikation liefert nur annähernd die genaue scheinbare Sehfeldgröße, berücksichtigt aber die weit verbreitete kissenförmige Verzeichnung. Die neuere Norm (ISO 14132-1:2002) verlangt eine modifizierte (wiederum trigonometrische) Berechnung (im Falle der Abwesenheit jeder Verzeichnung), die zu einem meist 2–4° kleineren scheinbaren Sehfeld führt; aus diesem Grund können ältere und neuere Angaben für das gleiche Fernglas variieren, und Vergleiche zwischen verschiedenen Herstellern müssen die Berechnungsgrundlage berücksichtigen.


title: Fernglas

text: Bei einem zu kleinen scheinbaren Sehfeld kann der Beobachter einen „Tunnelblick“- oder „Schlüssellochblick“-Eindruck bekommen, doch ist die Grenze, unterhalb der dieser Eindruck entsteht, subjektiv unterschiedlich (meist zwischen 55° und 60°). Okulare mit einem scheinbaren Sehfeld von über etwa 60° heißen Weitwinkelokulare.


title: Fernglas

text: Die "Schärfentiefe" hängt in erster Linie von der Vergrößerungszahl des Fernglases ab. Schwache Vergrößerungen erleichtern das gleichzeitige Scharfsehen unterschiedlich weit entfernter Objekte, während stärkere Vergrößerungen ein häufiges Nachfokussieren verlangen. Die Schärfentiefe reduziert sich quadratisch mit der Vergrößerungszahl, d. h. ein 10×-Fernglas hat etwa die halbe (7²/10² = 0,49) Schärfentiefe eines 7×-Fernglases.


title: Fernglas

text: In zweiter Linie ist der Objektabstand von großer Bedeutung: In einer Entfernung von 2 m beträgt die subjektive Schärfentiefe bei einem 7- bis 8-fach vergrößernden Fernglas rund 10 cm, in 10 m Entfernung rund 1 m, und ab ungefähr 25 m sieht man bis unendlich alles einigermaßen scharf (auf diesem Effekt beruhen die Fixfokus-Ferngläser). Die Schärfentiefe ist allerdings bei jungen Menschen mit hohem Akkommodationsvermögen der Augen besser als bei älteren, da sie, meist unbewusst, die Form ihrer Augenlinse etwas anpassen können. Daneben hängt die subjektiv empfundene Schärfentiefe auch von der Lichtstärke und auch etwas von der Art des Objekts ab.


title: Fernglas

text: In dritter Linie haben auch andere Faktoren einen Einfluss. So spielt die Austrittsblende des Fernglases bzw. die Augenpupille (je nachdem, welcher Durchmesser kleiner ist) eine Rolle, da eine kleinere effektive Pupille, ähnlich wie die Blende beim Fotoapparat, die Schärfentiefe erhöht. Bei Ferngläsern mit „Tunnelblick“ kann sich ferner bei Tag die Augenpupille wegen des dunklen Randes etwas zu weit öffnen, was die Schärfentiefe verringern und zudem auch Blendeffekte hervorrufen kann. Ein Weitwinkelokular schließt umgekehrt die Augenpupille etwas und erhöht dadurch die Schärfentiefe.


title: Fernglas

text: Jedes optische System und damit auch jedes Fernglas weist physikalisch bedingte Abbildungsfehler auf, die nicht eliminiert, sondern nur reduziert werden können, indem mehrere Linsen aus unterschiedlichen Glassorten hintereinander geschaltet werden. Die wichtigsten Abbildungsfehler sind die Bildfeldwölbung, die sphärische Aberration und die Farbfehler. Die Verzeichnung (Verzerrung) ist, da bewusst eingesetzt, ein Sonderfall.


title: Fernglas

text: Die "Bildfeldwölbung" bewirkt, dass sich ein ebenes Motiv nicht über die ganze Fläche gleichzeitig scharf stellen lässt, da es auf einer gewölbten Fläche abgebildet wird. Die korrigierende Maßnahme hat die Bezeichnung "Planfeldoptik", womit dieser Fehler so weit vermindert werden kann, dass er nicht mehr störend wirkt.


title: Fernglas

text: Eine "sphärische Aberration", auch Öffnungsfehler genannt, entsteht bei Linsenformen, bei denen Lichtstrahlen, die in der Mitte des Objektivs auftreffen, einen anderen Brennpunkt haben, als Lichtstrahlen, die zum Rand hin auf das Objektiv auftreffen. Die Folge ist ein scharfes Kernbild, das von einem unscharfen überlagert wird. Dies führt zu einem „Weichzeichnereffekt“, d. h. zu einem kontrastarmen, weich und etwas verschwommen wirkenden, wenngleich dennoch scharfen Bild. Der Effekt tritt insbesondere bei Weitwinkelokularen auf. Korrigiert werden kann dieser Fehler durch Verwendung (teurer) asphärischer Okularlinsen.


title: Fernglas

text: Zur Minimierung der "Farbfehler" (chromatische Aberration), die bei jeder Linse infolge der Lichtbrechungen als Farbsaum (besonders an Hell/Dunkel-Übergängen) störend sichtbar werden können, verwendet man Achromate. Diese bestehen aus zwei Linsen unterschiedlicher Glassorten (d. h. Gläser mit unterschiedlicher Abbescher-Zahl), die bewirken, dass der rote und der blaue Spektralanteil gleiche Brennweite haben (Beseitigung des "Farblängsfehlers"). Seit einiger Zeit sind auch Ferngläser auf dem Markt, bei denen eine dritte Farbe (Apochromat) oder sogar eine vierte Farbe "(Superachromat)" die gleiche Brennweite haben. Diese aufwändigen Korrekturen können auch eine Verringerung des "Farbquerfehlers" (Farbsäume am Rand des Sehfeldes) bewirken.


title: Fernglas

text: "Weitere Abbildungsfehler", die auftreten, sind Koma (Asymmetriefehler), Astigmatismus (Punktlosigkeit) und Vignettierung (Abdunkelung der Ecken).


title: Fernglas

text: Generell werden zur Reduktion störender Abbildungsfehler spezielle Glassorten und aufwändige Vergütungen kombiniert, wodurch hochwertige Gläser sehr teuer in der Produktion werden. Ferner werden manche optische Leistungsdaten, wie die Sehfeldgröße, bewusst begrenzt, um Abbildungsfehler an der Bildperipherie gering zu halten.


title: Fernglas

text: Verzeichnung heißt die bewusst bei der Berechnung und Herstellung der Linsen einkalkulierte Abweichung von einem maßstäblichen Abbild, wodurch eine gezielte leichte Verzerrung entsteht. Durch sie werden geradlinige Strukturen am Bildrand an den Enden nach außen gebogen (kissenförmige Verzeichnung). Das bedeutet, dass der Vergrößerungsfaktor zum Rand hin um einige Prozente zunimmt. (Das gegenteilige Phänomen, die tonnenförmigen Verzeichnung, führt aufgrund einer Abnahme des Vergrößerungsfaktors nach außen zu einem Effekt, wie er in der Fotografie durch die Fischaugenobjektive hervorgerufen wird).


title: Fernglas

text: Während eine kissenförmige Verzeichnung für Fotoobjektive und fotografische Bilder generell unerwünscht ist, konzipieren viele Hersteller ihre Ferngläser absichtlich so, damit das optische Bild beim Schwenken des Glases stabiler und ruhiger wirkt, was besonders bei einem großen Sehfeld von Bedeutung ist. Dies bewirkt aber andererseits bei geraden Strukturen am Bildrand eine Verzerrung, was besonders beim Betrachten hoher Gebäude von unten, z. B. Kirchtürme, störend wirken kann, da die oberen Turmpartien dann einen unnatürlich groß wirkenden Flächenanteil des Bildes einnehmen. Bei fehlender oder nur geringer Verzeichnung bleiben die Linien gerade, doch entsteht dann für einen Beobachter, der sein Fernglas schwenkt, vielfach ein Eindruck, als bewege er sich vor bauchförmigen Spiegeln, was teilweise als unangenehm empfunden wird. Dieses optische Phänomen wird als Globuseffekt bezeichnet, da das menschliche Gehirn die Sehinformationen bei der Schwenkbewegung so interpretiert, als bewegten sich die Bildpunkte auf einer Globusoberfläche.


title: Fernglas

text: Beobachtet man also mit seinem Fernglas häufig an Orten mit langen geraden Strukturen (Städte, Wald), mögen verzeichnungsarme Gläser bevorzugt werden, ebenso dann, wenn der Globuseffekt als nicht störend empfunden wird. Ist das Betrachten eines Panoramas mit Schwenken des Glases wichtiger, dürfte eine stärkere Verzeichnung wünschenswert sein. Japanische Modelle werden vielfach mit relativ geringer Verzeichnung hergestellt und als „verzeichnungsfrei“ beworben (z. B. "Nikon High Grade" und "Action"-Serie, "Pentax 8x32 DCF SP", "Kowa Genesis 33"). Bei europäischen Herstellern überwog früher ebenfalls die weitgehend verzeichnungsfreie Herstellung, während die führenden Vertreter ("Leica, Zeiss, Swarovski" usw.) heute eine Verzeichnung einberechnen, allerdings die Stärke der Verzeichnung den jeweiligen Marktbedürfnissen anpassen und stärker oder schwächer konzipieren.


title: Fernglas

text: Die Wahl der "Glassorten" und die Art der Vergütung (Antireflexbeschichtung) von Linsen und Prismen beeinflussen stark die Lichtstärke und den Kontrast. Als Kontrast bezeichnet man den Unterschied in der Leuchtdichte zwischen aneinandergrenzenden hellen und dunklen Flächen. Hoher Kontrast wird subjektiv als brillanter und scheinbar schärfer empfunden als geringer Kontrast, kann aber zu Lasten von Farbtreue gehen. Hochwertige Glassorten und Vergütungen helfen, unerwünschtes Streulicht, Gegenlichtreflexe und Farbsäume zu verringern. Häufig verwendete Glassorten für Prismen sind die Krongläser BK7 (Bor-Kronglas) und BaK4 (Barium-Kronglas), ferner die Glassorte SK 15. BaK4-Prismen erlauben eine hohe Detailauflösung und ein helles und farbtreues Bild. Allerdings hängen bei diesen und weiteren Glassorten Farbtreue, Dispersion, geometrische Form, Gewicht, Qualitätsstreuung bei der Produktion und die Herstellungskosten in komplexer Weise miteinander zusammen, so dass wohl auch zukünftig unterschiedliche Glassorten und Konstruktionen als für den jeweiligen Zweck geeignetste verwendet werden dürften. Die Spezialgläser bzw. die jeweilige Kombination an optischen Maßnahmen tragen aus Marketinggründen firmenspezifische Bezeichnungen. Kowa spricht von XD-Linsen, Nikon von ED-Glas, Swarovski und Leica von HD, Steiner von XP-Optik und bei Zeiss heißen sie FL-Gläser.


title: Fernglas

text: Unter "Vergütung" oder Entspiegelung versteht man in der Optik eine Antireflexbeschichtung, die durch das Aufdampfen von Metalloxiden und -fluoriden auf Linsen und Prismen erreicht wird. Diese Stoffe zeigen einen niedrigen Brechungsindex. Ohne Vergütung käme es zu einer erheblichen Lichtreflexion an den Glasoberflächen und zu einer geringen Lichtdurchlässigkeit (Transmissionsgrad). Während Einfachvergütungen die Transmission vor allem im gelben Lichtspektrum, in dem menschliche Augen besonders empfindlich sind, verbessern, reduzieren Mehrfachvergütungen den Reflexionsgrad des Glases über einen weiten Teil oder gar den gesamten sichtbaren Wellenlängenbereich. Heute werden fast nur noch Mehrschichtvergütungen (engl. "multi-coating") verwendet. Je nach Einsatzzweck der Ferngläser werden aber unterschiedliche Vergütungen bevorzugt, so beispielsweise bei Jagdgläsern eine Maximierung der Transmission in dem für das Beobachten im Dämmerlicht wichtigen Wellenlängenbereich um 500–540 nm. Je nach Vergütung kann ferner der Charakter des im Fernglas gesehenen Bildes unter normalem Tageslicht entweder „wärmer“ oder „kälter“ und entweder kontrastreicher oder kontrastärmer erscheinen. Je nach Anwendung wird die Vergütung auch für maximale Farbtreue optimiert, zum Beispiel bei Gläsern speziell für die Vogelbeobachtung.


title: Fernglas

text: "Zusätzliche wichtige Eigenschaften," mit denen in letzter Zeit geworben wird, sind eine hohe Kratzfestigkeit der Außenseiten der Objektive sowie der Lotuseffekt, der ein leichtes Abperlen von Wasser und Schmutzpartikeln erlaubt. Letzterer trägt markenspezifische geschützte Bezeichnungen, wie LotuTec bei Zeiss, AquaDura bei Leica, RNP Raindefender Nano Protection bei DDoptics oder Nano-Protection bei Steiner.


title: Fernglas

text: In Prismenferngläsern sind neben Linsen die Prismen wesentliche optische Bauelemente, die entweder durch Totalreflexion oder durch Spiegelschichten dafür sorgen, dass das gesehene Bild aufrecht und seitenrichtig steht. Gleichzeitig wird dadurch die Baulänge des optischen Systems verkürzt. Unterschiedliche Bauformen beeinflussen Form und Größe des Fernglases und die Eigenschaften der Gesamtoptik.