title: Erich Mühsam

text: Mühsams schriftstellerische Neigung fiel bereits in seiner frühen Jugend auf, als er im Alter von 11 Jahren begann, Tierfabeln zu verfassen. Dieses erste literarische Engagement verdichtete sich, als der 15-jährige Mühsam für die Auftritte der Clowns des örtlichen Zirkus erste satirische Beiträge beisteuerte.


title: Erich Mühsam

text: Am 11. Januar 1896 wurde Erich wegen „sozialdemokratischer Umtriebe“ der Schule verwiesen. Er hatte Berichte über schulinterne Vorgänge an den "Lübecker Volksboten" weitergegeben. Er verließ 1896 das Friedrich-Franz-Gymnasium in Parchim nach der Untersekunda mit Mittlerer Reife. In Lübeck absolvierte er eine Apothekerlehre in der Adler-Apotheke.


title: Erich Mühsam

text: 1901 zog Mühsam nach Berlin, wo er zunächst in seinem erlernten Beruf arbeitete. Hier lebte er in einem Pensionszimmer in der Augsburger Straße direkt hinter dem Kurfürstendamm im Herzen des Neuen Westens, gemeinsam mit seinem Lebenspartner Johannes Nohl. Hier begegnete er unter anderen John Henry Mackay, Johannes Schlaf und Hanns Heinz Ewers.


title: Erich Mühsam

text: 1902 wurde er Redakteur bei der anarchistischen Zeitschrift "Der arme Teufel", 1905 bei "Der Weckruf". In dieser Zeit hatte er Kontakt zur Neuen Gemeinschaft; später wurde er von Margarete Beutler in die Künstlervereinigung "Die Kommenden" eingeführt. Von 1904 bis 1908 folgten Wanderjahre mit Aufenthalten in Zürich, Ascona, Norditalien, München, Wien und Paris, zusammen mit Johannes Nohl. Auf dem Monte Verità befreundete er sich mit dem Siedler Karl Gräser, nach dessen Vorbild er eine „Sammlungsstätte“ solcher Menschen errichten wollte, „denen sich gegen Knechtschaft und Vergewaltigung in echtem Grimme der Mensch aufbäumte“. Eine entsprechende Gemeinschaft und Herberge für die von der Gesellschaft Geächteten – Landstreicher, Bettler, Huren und Verbrecher – versuchte er dann in der Großstadt München zu schaffen.


title: Erich Mühsam

text: Seit 1909 lebte er in München-Schwabing. Hier gründete er die dem Sozialistischen Bund angehörenden Gruppen „Tat“ und „Anarchist“ zwecks Agitation des Lumpenproletariats für den Anarchismus. 1910 wurde Mühsam verhaftet, wegen Geheimbündelei angeklagt und schließlich freigesprochen. Als Zentralfigur der Schwabinger Bohème war er befreundet mit Heinrich Mann, Frank Wedekind, Lion Feuchtwanger, Fanny zu Reventlow, Max Nonnenbruch und vielen anderen. Seiner Gruppe „Tat“ schlossen sich auch der Schriftsteller Oskar Maria Graf und der Maler Georg Schrimpf an, die ihm nach Ascona zum Monte Verità folgten. Mühsam war Mitarbeiter des Münchner Kabaretts und verschiedener satirischer Zeitschriften wie des "Simplicissimus" und der "Jugend". Von 1911 bis 1919 gab er in München die Zeitschrift "Kain – Zeitschrift für Menschlichkeit" heraus, allerdings nicht während des Ersten Weltkrieges. Mühsam schrieb: „In dieser Stunde, wo es um das Schicksal aller geht, gibt es außerdem nichts Wesentliches und nichts, was eine Zeitschrift für Menschlichkeit angehen könnte.“


title: Erich Mühsam

text: Am 15. September 1915 heiratete Mühsam Kreszentia Elfinger, genannt Zenzl, die ihren Sohn Siegfried in die Ehe brachte. Darüber hinaus blieb die Ehe kinderlos.


title: Erich Mühsam

text: 1918 wurde Mühsam wegen Verstoßes gegen das politische Betätigungsverbot und der Weigerung, am „Vaterländischen Hilfsdienst“ teilzunehmen, verhaftet und zu sechs Monaten Festungshaft in Traunstein verurteilt.


title: Erich Mühsam

text: Im Zuge der Novemberrevolution wurde er Ende 1918 in München Mitglied des Revolutionären Arbeiterrats und befürwortete nach der Absetzung des Königs und der Ausrufung des Freistaates Bayern als demokratische Republik eine bayerische Räterepublik. Nach der Ermordung des bayerischen Ministerpräsidenten Kurt Eisner durch Anton Graf von Arco auf Valley gehörte Mühsam mit Ernst Toller und Gustav Landauer zu den Initiatoren und Anführern der ersten Phase der Münchner Räterepublik ab dem 7. April 1919. Beim von der republikanischen Schutztruppe durchgeführten sogenannten Palmsonntagsputsch am 13. April 1919 gehörte Erich Mühsam zu den festgenommenen Mitgliedern des Zentralrats der Räterepublik und wurde zunächst im Zuchthaus Ebrach festgesetzt. Der Putschversuch wurde zwar von Soldaten der bayrischen "Roten Armee" unter dem Kommando Rudolf Egelhofers vereitelt, jedoch verblieb Mühsam in Haft, da er außerhalb der Zugriffsgewalt der Räteregierung inhaftiert wurde. Die Räterepublik bestand danach noch etwa drei Wochen unter kommunistischer Führung weiter, nun im Wesentlichen dominiert von Eugen Leviné und Max Levien. Nachdem sie am 2. Mai 1919 durch Reichswehr und rechtsnationalistische Freikorpsverbände niedergeschlagen worden war, wobei neben anderen auch Mühsams Freund Gustav Landauer ermordet wurde, verurteilte man Mühsam als „treibendes Element“ zu 15 Jahren Festungshaft.


title: Erich Mühsam

text: Mühsam trat 1919 kurzzeitig der KPD bei, die er jedoch 1920 bereits wieder verließ. Er setzte sich aus dem Gefängnis der Festung Ansbach heraus für die Verständigung und ein gemeinsames revolutionäres Vorgehen von Anarchisten und Kommunisten ein und rief zur Solidarität mit der Russischen Revolution auf. Nach seiner Haftentlassung hielt daher Wilhelm Pieck als Vertreter des Kommunistischen Jugendverbandes KVJD eine Begrüßungsrede für ihn. Aus dieser Zeit ist ein Brief Mühsams an den Schriftsteller und Antimilitaristen Kurt Tucholsky (vom 18. Januar 1922) erhalten. Noch 1925 plante Mühsam eine Reise in die Sowjetunion, die jedoch von der KPD-Führung verhindert wurde. Nach fünf Jahren Haft wurde Mühsam 1924 amnestiert.


title: Erich Mühsam

text: Die Haft verbrachte er zum größten Teil, nämlich ab dem 15. Oktober 1920, im Gefängnis Niederschönenfeld, wo ab dieser Zeit nahezu alle Inhaftierten aus der Zeit der Räterepublik untergebracht waren. Nach seiner Entlassung am 20. Dezember 1924 zog er nach Berlin und gab die anarchistische Zeitschrift "Fanal" heraus. Er war ein unermüdlicher Aktivist gegen die drohende Kriegsgefahr, neben anderen mit seinem Freund, dem Antimilitaristen Ernst Friedrich. Auch zu Silvio Gesell, dem Begründer der Freiwirtschaftslehre, bestand eine besondere Nähe. Mühsam veröffentlichte in seiner Zeitschrift "Fanal" (7/1930) in einem Nachruf eine überaus positive Würdigung der Lebensleistung Gesells.


title: Erich Mühsam

text: Von 1925 bis 1929 engagierte er sich in der KPD-nahen Gefangenenhilfsorganisation Rote Hilfe Deutschlands, weil er die Justiz zur Zeit der Weimarer Republik für Klassenjustiz hielt. Die FKAD schloss ihn aus diesem Grunde unter dem Vorwurf der „KPD-Nähe“ nach nur kurzer Mitgliedschaft aus ihrer Organisation aus. 1929 trat er wegen politischer Differenzen aus der Roten Hilfe aus. 1926 war er bereits förmlich aus dem Judentum ausgetreten. In den Jahren 1931 bis 1933 veröffentlichte er unter dem Pseudonym „Tobias“ politisch-satirische Beiträge für den "Ulk", die Wochenbeilage des "Berliner Tageblattes". Anfang der 1930er Jahre wurde er Mitglied in der anarcho-syndikalistischen FAUD, bei der sein Freund und Kampfgefährte Rudolf Rocker bestimmenden Einfluss hatte. Beide waren führend in der „Anarchistischen Vereinigung“ tätig, deren Wirkungsfeld sich weitgehend auf Berlin beschränkte. Als Sonderheft seiner Zeitschrift "Fanal", die er der „Anarchistischen Vereinigung“ zur Verfügung stellte, erschien 1932 kurz vor der „Machtergreifung“ durch die Nationalsozialisten seine programmatische Schrift "Die Befreiung der Gesellschaft vom Staat" mit dem Untertitel "Was ist kommunistischer Anarchismus?"


title: Erich Mühsam

text: Kurz nach der nationalsozialistischen Machtergreifung 1933 wurde er von der SA verhaftet und 1934 im KZ Oranienburg nach über 16-monatiger „Schutzhaft“ von SS-Angehörigen ermordet. Er solle sich umbringen, sonst würde das die SS tun. Mühsam sagte in der Nacht vor seinem Tod, er werde sich niemals das Leben nehmen. Die Meldung in der nationalsozialistischen Presse lautete: „Der Jude Erich Mühsam hat sich in der Schutzhaft erhängt.“ Seine Mithäftlinge traten später dieser Darstellung entgegen und berichteten von der Ermordung Mühsams im Zimmer des Lagerkommandanten. Die internationale Presse meldete den Tod Mühsams als Mord des Naziregimes. Seine Frau Zenzl Mühsam berichtete von der Übergabe der Leiche Mühsams:


title: Erich Mühsam

text: Mühsam wurde auf dem Waldfriedhof Dahlem beigesetzt. Seine Witwe Zenzl Mühsam übergab den Nachlass an ein Moskauer Archiv, nachdem ihr weitgehende Zusagen gemacht worden waren, von denen jedoch kaum eine eingehalten wurde. Sie selbst kam in den Gulag und wurde erst nach Stalins Tod in die DDR entlassen, wo sie 1962 verstarb.


title: Erich Mühsam

text: Die später als Ehrengrab der Stadt Berlin angelegte Grabstätte befindet sich im Feld 015-479/Abteilung 2A, Nr. 144. Das Grab ist eigentlich kein zeitlich befristetes „Ehrengrab“, sondern vor dem Hintergrund der Ermordung Mühsams im KZ Oranienburg als „Opfer von Krieg und Gewaltherrschaft“ ein Grab mit ewiger Ruhefrist (vergleichbar mit dem Grab des 1944 hingerichteten Grafen von Schwerin von Schwanenfeld in der Nähe). Der Grabstein wurde seit 1987 durch die spätere Um- bzw. Zubettung der Ehefrau Zenzl Mühsam verändert bzw. ausgetauscht. Der umfangreiche Briefwechsel der Journalistin Thea Struchtemeier, der im Berliner Karin Kramer Verlag veröffentlicht wurde, sorgte für die Klarstellung um das Grab Mühsams und bewahrte es im Jahr 1987 vor der drohenden Einebnung.


title: Erich Mühsam

text: Seit dem 111. Geburtstag von Erich Mühsam am 6. April 1989 arbeitet und forscht die Erich-Mühsam-Gesellschaft in Lübeck im Andenken an ihn. Sie gibt zwei Publikationsreihen heraus, das "Mühsam-Magazin" (, elf Hefte bis 2006) und die "Schriften der Erich-Mühsam-Gesellschaft" (, 28 Hefte bis 2007). Der Berliner Verbrecher Verlag hat 2011 eine dreibändige Ausgabe von Mühsams Tagebüchern 1911–1914 herausgebracht.


title: Erich Mühsam

text: Günter Grass bietet im Kapitel "1934" seiner Erzählungssammlung "Mein Jahrhundert" den inneren Monolog des SS-Manns Ehardt, Adjutant des Oranienburger Lagerkommandanten Theodor Eicke. Ehardt berichtet dort widerstrebend von seiner Beteiligung an der Ermordung Erich Mühsams, wobei so „etwas wie unfreiwillige Achtung“ vor „diesem Juden“ aufscheint.


title: Erich Mühsam

text: Irina Liebmann, DDR, 1982: "Sie müssen jetzt gehen, Frau Mühsam. "Regie Barbara Plensat, Komposition Rolf Zimmermann. Mit Thomas Kästner, Katja Paryla, Franziska Troegner, Gabriele Zion.


title: Erich Mühsam

text: Gedenksteine für Mühsam wurden auf dem Gelände des ehemaligen KZ Oranienburg, wo er ermordet wurde, auf dem Stadtfriedhof Oranienburg und in der Berliner Hufeisensiedlung nahe seinem früheren Wohnhaus (Dörchläuchtingstr. 48) errichtet. Gedenktafeln für ihn wurden 1994 in Oranienburg am Haus Erich-Mühsam-Straße Nr. 10 und am Haus Alt-Lietzow 12 in Berlin-Charlottenburg angebracht. In Parchim erinnert eine Gedenktafel am ehemaligen Gymnasium an seine Schulzeit. In Lübeck weist ein Stolperstein vor dem Buddenbrookhaus auf Erich Mühsam hin, der erste in Lübeck verlegte. Des Weiteren erinnert eine Gedenktafel am historischen Gebäude der Löwen-Apotheke Ecke Königstraße und Dr.-Julius-Leber-Straße an ihn, für dessen Erhalt er sich eingesetzt hatte.


title: Erich Mühsam

text: 2019 gestaltete der Künstler WON ABC am Giesinger Berg ein 700 m² großes abstrakt buntes Mural mit den fotorealistischen Köpfen Erich Mühsams und vier weiterer Protagonisten der Räterepublik.


title: Erich Mühsam

text: In Deutschland sind 32 Straßen nach Mühsam benannt (Stand Januar 2018), vor allem in den Neuen Ländern. So gibt es in Berlin-Friedrichshain die Mühsamstraße. Erich-Mühsam-Straßen gibt es in Magdeburg, ebenso in Chemnitz auf dem Kaßberg, in Reichenbach im Vogtland, Gera-Bieblach, Birkenwerder, Zwickau-Niederplanitz, Eberswalde, Neuruppin, Rostock, Arnsdorf und Oranienburg. Erich-Mühsam-Plätze gibt es im Göppinger Stadtteil Holzheim und in München-Schwabing nahe der Münchner Freiheit. Im Leipziger Stadtteil Meusdorf gibt es einen Erich-Mühsam-Weg.


title: Erich Mühsam

text: Die Erich-Mühsam-Gesellschaft verleiht den "Erich-Mühsam-Preis" – von 1993 bis 2009 alle zwei Jahre, seit 2013 alle drei Jahre. Er ist mit zur Zeit 3000 Euro dotiert und soll jenen zukommen, die Mühsams Andenken fördern, indem sie seine Gedanken und seine Werke verbreiten oder Leben und Werk wissenschaftlich aufarbeiten, als auch Personen, die in Mühsams Sinne wirken, indem sie sich den kulturellen, politischen und sozialen Herausforderungen der Gegenwart stellen, die Verhältnisse nicht als gegeben hinnehmen, sondern im Sinne einer lebenswerten Zukunft nach befreienden Alternativen suchen. Stifter des Erich-Mühsam-Preises ist der Lübecker Galerist Frank-Thomas Gaulin.


title: Erich Mühsam

text: Mühsam veröffentlichte zahlreiche Gedichtbände, Bühnendramen, Sachbücher (unter anderem über Homosexualität) und politische Aufsätze. Schriftstellerisch bekannt wurde er vor allem für seine satirischen Artikel und Gedichte.


title: Erich Mühsam

text: Seine Tagebücher der Jahre 1910 bis 1924 wurden von dem Literaturwissenschaftler Chris Hirte und dem Informatiker und Antiquar Conrad Piens im Jahr 2019 im "Verbrecher-Verlag", Berlin, veröffentlicht.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Riemannsche Zeta-Funktion, auch Riemannsche ζ-Funktion oder Riemannsche Zetafunktion (nach Bernhard Riemann), ist eine komplexwertige, spezielle mathematische Funktion, die in der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine wichtige Rolle spielt. Erstmals betrachtet wurde sie im 18. Jahrhundert von Leonhard Euler, der sie im Rahmen des Basler Problems untersuchte. Bezeichnet wird sie üblicherweise mit dem griechischen Buchstaben formula_1 (Zeta).


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Ihr Definitionsbereich umfasst alle komplexen Zahlen außer der Zahl formula_2. Für Werte formula_3 mit Realteil größer als 1 wird die Riemannsche Zeta-Funktion über eine Dirichlet-Reihe definiert. Mittels analytischer Fortsetzung kann sie zu einer auf formula_4 holomorphen Funktion ausgeweitet werden. Sie erfüllt eine wichtige Funktionalgleichung, mit deren Hilfe sie sogar charakterisiert werden kann.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Von großer Bedeutung für die Zahlentheorie ist, dass die Zeta-Funktion das Gesetz der eindeutigen Zerlegung natürlicher Zahlen in Primfaktoren (damit ist die Zerlegung einer Zahl in „unteilbare“ Elemente gemeint, in etwa 132 = 2 · 2 · 3 · 11) analytisch, also durch eine geschlossene Formel, ausdrückt. Auf dieser Basis konnte Riemann im Jahr 1859 die sehr enge und nicht offensichtliche Beziehung zwischen den Primzahlen und der Lage der Nullstellen der Zeta-Funktion nachweisen. So folgt aus der Tatsache formula_5 für alle komplexen Zahlen formula_6 mit formula_7 bereits, dass die formula_8-te Primzahl formula_9 „recht genau“ den Wert formula_10 hat – genauer gesagt folgt


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Hier bezeichnet formula_12 den natürlichen Logarithmus von formula_8. Genauere Informationen über nullstellenfreie Bereiche macht das Bild um die Primzahlverteilung deutlicher. Die bis heute (Stand Oktober 2022) unbewiesene Riemannsche Vermutung sagt aus, dass alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion den Realteil formula_14 haben, also auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Ob diese Vermutung zutrifft, ist eines der wichtigsten ungelösten Probleme der Mathematik. Aufgrund der Bedeutung der Primzahlen für moderne Kryptosysteme (wie in etwa der RSA-Verschlüsselung) genießt die Riemannsche Vermutung auch außerhalb der reinen Zahlentheorie Aufmerksamkeit.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Das Verhalten der Riemannschen Zeta-Funktion gilt in den Bereichen formula_7 und formula_16 als weitgehend verstanden. Jedoch sind ihre Eigenschaften innerhalb des "kritischen Streifens" formula_17 weitestgehend unbekannt und Gegenstand bedeutender Vermutungen. Dies betrifft unter anderem die Fragen nach asymptotischem Wachstum in imaginärer Richtung und der für die Zahlentheorie so wichtigen Nullstellenverteilung. Nach heutigem Wissensstand beschreibt die Zeta-Funktion im Streifen formula_18 im Wesentlichen Chaos. Die Werte der Nullstellen bauen nicht nur Brücken zur Theorie der Primzahlen, sondern höchstwahrscheinlich auch zur modernen Quantenphysik. Weitere Anwendungsgebiete sind die Wahrscheinlichkeitstheorie und die Theorie der automorphen Formen (insbesondere im Feld des Langlands-Programms).


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Aus Sicht der algebraischen Zahlentheorie ist die Riemannsche Zeta-Funktion nur ein Spezialfall einer ganzen Klasse sogenannter L-Funktionen. So entspricht sie der zum Trivialen Charakter modulo 1 gehörigen Dirichletschen L-Funktion und der zum Zahlkörper formula_19 (rationale Zahlen) korrespondierenden Dedekindschen Zeta-Funktion.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Wegen der überragenden Bedeutung der Riemannschen Vermutung für die Zahlentheorie und deren Anwendungen bleibt der Themenkreis der Riemannschen Zeta-Funktion ein Gebiet intensiver mathematischer Forschung. Entscheidende Fortschritte erzielten Mathematiker wie zum Beispiel Lindelöf, Hadamard, de La Vallée Poussin, Hardy, Littlewood, Selberg, Woronin und Conrey.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Im ganzen Artikel bezeichnet formula_20 die imaginäre Einheit und formula_21 die Eulersche Zahl. Zudem wird formula_6 häufig als komplexe Variable verwendet, die oft in formula_23 zerlegt wird.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Des Weiteren wird oft die O-Notation von Landau für die Angabe von Fehlergrößen verwendet. Verhalten sich zwei (unbeschränkte) Funktionen formula_24 und formula_25 für wachsendes Argument gleich, gilt also formula_26, so wird dies mit formula_27 notiert.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Im Zentrum der Zahlentheorie, jenes Zweiges der Mathematik, der sich mit den Eigenschaften der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4 … beschäftigt, stehen die Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11 … Diese sind ausgezeichnet durch die Eigenschaft, genau zwei Teiler zu haben, nämlich die 1 und sich selbst. Die 1 ist keine Primzahl. Bereits Euklid konnte zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, weshalb die Liste 2, 3, 5, 7, 11 … niemals enden wird.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der ganzen Zahlen, da sich jede positive ganze Zahl eindeutig multiplikativ in solche zerlegen lässt. Zum Beispiel gilt 21 = 3 · 7 und 110 = 2 · 5 · 11. Trotz dieser elementaren Eigenschaft ist nach mehreren Jahrtausenden Mathematikgeschichte bis heute kein Muster bekannt, dem sich die Primzahlen in ihrer Folge unterwerfen. Ihre Natur ist eine der bedeutendsten offenen Fragen der Mathematik.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Auch wenn das detaillierte Verständnis der Sequenz 2, 3, 5, 7, 11 … unerreichbar fern ist, kann man nach Mustern suchen, wenn man den Blick ausweitet. Dabei hilft zum Beispiel die Vorstellung, dass mit Hilfe statistischer Methoden das Verhalten sehr vieler Menschen (zum Beispiel bezüglich des Konsum- und Wahlverhaltens) oft überraschend präzise beschrieben werden kann, obgleich ein einzelner Mensch äußerst komplex ist. Das hat grob gesagt damit zu tun, dass größer werdende relevante Datenmengen immer zuverlässigere Informationen liefern. Im Falle der Primzahlen führt eine solche Ausweitung unter anderem zu der Frage, "wie viele" Primzahlen es unterhalb einer fest gewählten Zahl gibt.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Zum Beispiel sind nur 4 Primzahlen, nämlich 2, 3, 5 und 7, kleiner als die Zahl 10. Im Falle von 50 gibt es schon 15 kleinere Primzahlen, nämlich


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Ende des 19. Jahrhunderts konnte als Folgerung des Primzahlsatzes eine verblüffend genaue Abschätzung für die Verteilung der Primzahlen bewiesen werden. Der Primzahlsatz wurde bereits im 18. Jahrhundert vom 15-jährigen Gauß (in den Jahren 1792/93) vermutet. Die Abschätzung wurde bereits vor einem Beweis des Primzahlsatzes von Riemann gegeben und tritt als eine Formel in Erscheinung, die die schnelle Berechnung eines Vorhersagewertes zulässt. Mit dieser Formel kann zu einer gegebenen Zahl die Anzahl der Primzahlen, die kleiner als diese Zahl sind, in vernünftiger Zeit geschätzt werden. Die Formel zur Vorhersage wird prozentual immer genauer, je größer die Zahl gewählt wird (jedoch mit Schwankungen). Beispielsweise liefert sie für den Wert 50 die Prognose 14,97 (es sind tatsächlich 15 Primzahlen, siehe oben), womit der Fehler bei 0,16 Prozent liegt. Weiter sagt sie rund 78.527 Primzahlen unter der Zahl 1.000.000 voraus – tatsächlich sind es 78.498. Dies entspricht einer Abweichung von 0,037 Prozent.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Ein mögliches Werkzeug zum Beweis dieser Formel ist die Riemannsche Zeta-Funktion. Dabei wird ausgenutzt, dass sie das Gesetz der eindeutigen Primfaktorzerlegung in der Sprache der Analysis ausdrückt. Also werden die Eigenschaften der Primzahlen in dieser Funktion versteckt abgespeichert. Erhöht sich das Wissen um die Zeta-Funktion, so auch das Wissen um die Primzahlen, sogar in detaillierteren Fragestellungen. So können viele Primzahltests, wie der von Miller-Rabin unter Annahme der Riemannschen Vermutung bewiesen bzw. verbessert werden.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Nullstellen der Zeta-Funktion erzeugen einen Korrekturterm obiger Formel, der sie in einen "exakten" Ausdruck umwandelt. Diese dadurch entstehende "exakte Formel" kennt also die Verteilung der Primzahlen bis ins letzte Detail. Damit gelten die Fragen um die Primzahlen jedoch nicht als gelöst: der Rechenaufwand nimmt mit steigenden Werten sehr stark zu und somit sind praktische Berechnungen mit dieser Formel nicht effektiv. Für numerische Forschung eignen sich im Gegensatz dazu moderne Primzahltests besser.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die "exakte Formel" ist jedoch von theoretischem Interesse: sie birgt nämlich den Fehlerabstand zwischen der einfachen Vorhersage und der tatsächlichen Primzahlverteilung. Es wird vermutet, dass dieser Fehler (innerhalb des Spektrums aller Möglichkeiten) kleinstmöglich ist. Dabei wäre eine Entschlüsselung dieses Fehlers nicht so sehr für die Numerik von Relevanz. Vielmehr ist die reine Mathematik bestrebt, den bisher verborgenen "Grund" zu erfahren, weshalb der Fehler (falls zutreffend) so klein wie möglich ausfällt.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Primzahlen sind nicht nur Gegenstand der mathematischen Grundlagenforschung, sondern haben auch praktische Anwendungen. So kommen beispielsweise bei Kryptosystemen wie der RSA-Verschlüsselung sehr große Primzahlen zum Einsatz.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Eine mathematische Funktion ist im Grunde wie eine Rechenmaschine. Man gibt einen Wert in die Funktion ein, und diese liefert dann ein Ergebnis in Abhängigkeit vom Eingabewert, zumindest theoretisch. Damit ist gemeint, dass die Funktion an sich nicht rechnet, sondern meist nur eine Rechenvorschrift formelhaft festhält. Einfaches Beispiel für eine Funktion ist die quadratische Funktion, welche die Eingabe mit sich selbst multipliziert. Formelhaft schreibt man dies als formula_28. Somit ordnet die quadratische Funktion beispielsweise der Zahl formula_29 den Wert formula_30 zu. Rechnet man dies aus, ergibt sich formula_31, also formula_32.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Im Prinzip funktioniert die Riemannsche Zeta-Funktion genau wie das obere Beispiel, nur dass die Rechenvorschrift etwas komplizierter ist. Um diese zu verstehen, muss das Konzept der unendlichen Reihen bekannt sein. Eine (konvergente) Reihe ist grob gesagt eine Summe von Zahlen, die niemals endet und die sich einer Zahl immer mehr annähert. Ein elementares nicht-triviales Beispiel einer Reihe fußt auf der Zahl formula_33, die in Dezimalschreibweise nicht geschlossen, sondern nur durch die unendliche periodische Entwicklung


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: geschrieben werden kann. Schaut man genauer hin, sieht man, dass dies gerade die Summe aller kehrwertiger 10er-Potenzen ist:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Damit sich die unendlich lange Summe einem Wert annähert, muss gewährleistet sein, dass die Summanden „schnell genug klein“ werden.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Riemannsche Zeta-Funktion ist nun vergleichbar mit einer Rechenmaschine, die zu einer gegebenen Zahl formula_36 die unendliche Summe der Kehrwerte aller natürlichen Potenzen mit diesem Exponenten bildet. Als mathematische Formel lautet diese Vorschrift


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Um das besser zu verstehen, betrachtet man das Beispiel der Eingabe formula_38. Die natürlichen Potenzen mit diesem Exponenten sind gerade die Quadratzahlen 1, 4, 9, 16, 25 … . Damit wäre das Ergebnis der Zeta-Rechenmaschine in Abhängigkeit vom Eingabewert 2 die Reihe


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Es stellt sich heraus, dass die Ausdrücke formula_40 schnell genug klein werden, so dass diese unendlich lange Summe sich einem gewissen Zahlenwert beliebig annähert, je weiter man summiert. Experimentell kann man festhalten:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Da hier bereits sehr viele Terme addiert wurden, kann man vermuten, dass formula_44 dem exakten Ergebnis schon recht nahe ist. Der exakte Grenzwert ist, das konnte Leonhard Euler begründen, die Zahl


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Dabei ist formula_46 die Kreiszahl. Zwar kannte Euler den Beginn der Dezimalfolge formula_47, doch seine Begründung beruhte letztlich auf mathematischen Argumenten und nicht expliziten Rechnungen, da die Summe ja niemals endet. Somit liefert die Zeta-Funktion für die Eingabe 2 das Ergebnis formula_48. Analog müssen für die Eingabe 3, 4 … usw. entsprechend die Kehrwerte aller Kubikzahlen, Biquadratzahlen usw. addiert werden und es kommen neue Grenzwerte formula_49, formula_50 … usw. zustande.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Für komplexe Zahlen formula_51, deren Realteil größer als 1 ist, ist die Zeta-Funktion definiert durch die Dirichlet-Reihe


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Wie man mittels des Integralkriteriums für unendliche Reihen zeigen kann, ist diese Reihe im angegebenen Bereich absolut konvergent. Zudem ist die Konvergenz auf kompakten Teilmengen gleichmäßig, weshalb nach dem Satz von Weierstraß die dargestellte Funktion holomorph ist. Wegen der Divergenz der harmonischen Reihe ist diese Darstellung für alle komplexen Zahlen mit Realteil kleiner oder gleich 1 jedoch "ungültig." In besonderem Maße wird dies für negative Argumente ersichtlich, wenn man zum Beispiel versuchte, die Zeta-Funktion für formula_53 über die Dirichlet-Reihe auszuwerten. Man hätte dann


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Dennoch wird die Dirichlet-Reihe aufgrund ihrer Einfachheit und ihrer zahlentheoretischen Relevanz (siehe Euler-Produkt) als Basisdefinition verwendet. Mittels analytischer Fortsetzung (siehe unten) wird eine sinnvolle Berechnung für alle komplexen Zahlen formula_51 mit formula_56 möglich. Damit kann schließlich auch Werten wie formula_57 ein Sinn gegeben werden, es gilt zum Beispiel formula_58.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Eine wesentliche Eigenschaft der Zeta-Funktion ist ihre Verbindung zu den Primzahlen. Euler, der als Erster diesen Zusammenhang entdeckte, betrachtete dafür das später nach ihm benannte Euler-Produkt, das für alle formula_59 mit formula_60 gültig ist:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Es ist genau äquivalent zur Dirichlet-Reihe und wird von manchen Autoren als Definition verwendet. Jeder einzelne Faktor des Produktes stellt eine geometrische Reihe formula_62 gebildet über den Wert formula_63 dar, während sich das ganze Produkt über alle Primzahlen formula_64 erstreckt. Das Euler-Produkt ist erstaunlich, weil Primzahlen aufgrund ihrer nicht genau vorhersehbaren Verteilung sehr schwer in analytischen Ausdrücken unterzubringen sind. Es stellt sich aber eine überraschend einfache Identität zwischen den „chaotischen“ Primzahlen und einer bekannten Reihe heraus.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: endlich. Die Notation formula_65 ist dabei historisch bedingt. Sie ist ein Maß dafür, wie schnell die Riemannsche Zeta-Funktion entlang vertikaler Geraden anwächst. Für reelle Zahlen "außerhalb" des kritischen Streifens formula_66 lässt sich formula_67 leicht berechnen. Für formula_68 gilt formula_69, da für alle Werte formula_6 mit formula_71 nach Abschätzung der Summe mittels absoluter Konvergenz formula_72 folgt, erhält man formula_73. Über die Möbius-Funktion folgt andererseits die untere Schranke formula_74, weshalb gleichzeitig formula_75 und damit formula_76 bewiesen ist. Zusammen mit diesem Resultat folgt über die Stirlingsche Formel und die Funktionalgleichung der Zeta-Funktion formula_77 für alle formula_78. Ebenfalls gesichert sind die Randwerte formula_79 sowie formula_80.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die genauen Werte von formula_67 für kritische Werte formula_66 sind bis heute (Dezember 2019) unbekannt. Schuld daran ist, dass Größencharakterisierungen dieser Genauigkeit ohne absolute Konvergenz sehr schwierig und mitunter unmöglich sind. Es wird vermutet, dass die Zeta-Funktion in den vertikalen Bereichen zu formula_83 weiterhin "langsam" anwächst, also formula_76 gilt, jedoch nicht mehr zwangsläufig durch eine Konstante beschränkt ist. Dies ist äquivalent zu formula_85 für alle formula_86. Diese Aussage wird auch als Lindelöfsche Vermutung (nach Ernst Leonard Lindelöf) bezeichnet und ist bis heute unbewiesen. Es ist aber bekannt, dass die Funktion formula_87 auf "jeder" vertikalen Geraden formula_88 mit formula_89 unbeschränkt ist.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Trotz allem kann man Abschätzungen für das Verhalten von formula_90 angeben. Über die Approximate functional equation folgert man beispielsweise


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Man kann außerdem zeigen, dass formula_92 konvex ist und dass die folgende Abschätzung nach unten gilt:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Lindelöfsche Vermutung ist äquivalent dazu, dass in der letzten Ungleichung stets Gleichheit gilt. Wegen der Konvexität von formula_92 und der Funktionalgleichung der Zeta-Funktion ist dies bereits gleichbedeutend mit formula_95.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die zahlentheoretische Bedeutung der Lindelöfschen Vermutung wird durch einen Zusammenhang zu den Potenzmomenten der Zeta-Funktion entlang der kritischen Geraden ersichtlich. Definiert man


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: so ist sie äquivalent zu der Aussage formula_97 für alle Werte formula_98. Die Potenzmomente tauchen unter anderem bei Fehlerabschätzungen im Dirichletschen Teilerproblem und in der Statistik auf. Explizit gilt


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: mit formula_101 und berechenbaren formula_102. Die Momente der Zeta-Funktion sind, besonders für große Werte formula_103 (wo die Theorie deutlich schwieriger ist), ein hochaktuelles Forschungsgebiet. Beiträge lieferten Conrey, Gonek für große Werte formula_104 und Heath-Brown für rationale formula_105. Im Zusammenhang mit der Theorie der Zufallsmatrizen haben Keating und Snaith eine Vermutung über das genaue asymptotische Verhalten der Potenzmomente formuliert.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Zwischen dem Wachstum einer analytischen Funktion und der Anzahl ihrer Nullstellen besteht wegen der Jensenschen Formel ein Zusammenhang. Tatsächlich gilt die Lindelöfsche Vermutung genau dann, wenn für alle formula_106 gilt:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Dies wurde erstmals 1918 von Backlund bewiesen. Ist die Riemannsche Vermutung richtig, so wäre der Zähler stets 0, womit die Lindelöfsche Vermutung direkt folgt. Jedoch kann aus der Gültigkeit der Lindelöfschen Vermutung nicht die der Riemannschen Vermutung gefolgert werden, da schon eine einzige nicht-triviale Nullstelle mit Realteil ungleich formula_14 genügt, um letztere zu widerlegen.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: mit einer positiven Konstanten formula_110. Soundararajan zeigte, dass formula_111 gesetzt werden kann.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Wie bereits der 15-jährige Gauß vermutete, wächst die Anzahl aller Primzahlen formula_112 unter einer gegebenen Schranke formula_113 asymptotisch gleich wie der Ausdruck formula_114. Es gilt also:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Dieser sogenannte Primzahlsatz wurde jedoch erst hundert Jahre später unabhängig von Hadamard und Poussin bewiesen. Für einen Beweis kann die zwischen der Riemannschen Zeta-Funktion und der Primzetafunktion geltende Identität


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: genutzt werden, die ihren Ursprung im Euler-Produkt findet. Weiß man nun, dass formula_5 für alle formula_7, so folgt, dass sich formula_119 auf das Geradenstück formula_120 holomorph fortsetzen lässt und in einer Umgebung von formula_121 in der Form formula_122 mit einer holomorphen Funktion formula_25 geschrieben werden kann. Mit dem Taubersatz von Delange folgt damit bereits


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Dabei bezeichnet formula_125 den Integrallogarithmus. Ein anderer elementarerer Ansatz verwendet die Mangoldt-Funktion und den Taubersatz von Wiener-Ikehara. Eine „schnelle“ Methode stammt von Donald Newman und verwendet die Möbiusfunktion.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Aus der unbedingten Konvergenz des Euler-Produktes folgt unmittelbar, dass formula_126 auf der Halbebene formula_127 keine Nullstellen besitzt. Ferner gilt dort die Identität formula_128 woraus Riemann schließlich den für alle formula_129 gültigen, zahlentheoretisch sehr wichtigen Ausdruck


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: mittels inverser Mellin-Transformation hervorbringen konnte. Die Summe auf der linken Seite liefert für jede Primzahlpotenz formula_131 jeweils den Beitrag formula_132, kann also mit formula_133 identifiziert werden. Hierbei bezeichnet formula_112 die Primzahlfunktion, die zählt, wie viele Primzahlen kleiner als formula_113 sind. Riemann berechnete das rechte Integral mittels eines Vorläufers des Hadamard-Produktes und fand damit die für nicht-ganze Zahlen formula_136 gültige explizite Formel


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: wobei formula_138 den Integrallogarithmus bezeichnet. Über Möbius-Inversion kann aus formula_139 der Wert formula_140 rekonstruiert werden:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Hierbei ist formula_142 die Möbiusfunktion. Über die nicht-trivialen Nullstellen kann also der Wert der Primzahlfunktion formula_112 an der Stelle formula_113 "exakt" berechnet werden. Insbesondere ist eine vollständige Fehlerkorrektur des Primzahlsatzes möglich. Bezüglich Konvergenz ist zu beachten, dass die Summe über formula_145 die Nullstellen nach ihrer Konjugation paarweise addiert. Des Weiteren sind die Terme in der Summe als formula_146 zu verstehen (hier bezeichnet formula_147 die (komplexe) Integralexponentialfunktion), denn: Verwechslungen können bei der Auswertung von formula_148 über den Hauptzweig des komplexen Logarithmus entstehen.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Den „reellen Hauptteil“ seiner Formel interpretierte Riemann als bessere Approximation als formula_138 an formula_150. Er hob auch die mögliche Bedeutung der Nullstellen („periodische Glieder“) bei der Entschlüsselung der unregelmäßigen Abstände zwischen Primzahlen hervor:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: wird heutzutage als Riemannsche R-Funktion bezeichnet und liefert für die ersten Werte formula_113 eine (stellenweise deutlich) bessere Approximation von formula_140 als formula_154. Da jedoch Littlewood zeigen konnte, dass die Funktion formula_155 unendlich viele Nullstellen besitzt, kann das nicht für alle formula_36 der Fall sein. Lediglich denkbar wäre eine „durchschnittlich“ bessere Annäherung im Sinne


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Bei der Selberg-Delange-Methode handelt es sich um eine Technik, die mittlere Ordnung einer zahlentheoretischen Funktion zu bestimmen, solange ihre erzeugte Dirichlet-Reihe hinreichend gute Eigenschaften besitzt. Hierbei macht man sich komplexe Potenzen der Zeta-Funktion zunutze. Für formula_159 betrachtet man formula_160 und findet mit dem Euler-Produkt für alle formula_161:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Sei dafür formula_163 eine Dirichlet-Reihe, die auf der Halbebene formula_161 konvergiert. Falls sich für ein formula_165 die Funktion formula_166 holomorph in eine nullstellenfreie Region von formula_126 fortsetzen lässt und dort ein gut kontrolliertes Wachstum besitzt, kann die Summe


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: explizit geschätzt werden. Der Fehler hängt dabei von der Größe des nullstellenfreien Gebietes von formula_169 ab. Ein Vorteil dieser Methode ist, dass bis auf Konvergenz der Reihe keine wesentlichen Voraussetzungen an die Terme formula_170 gestellt werden. Nachteilig ist die notwendige Wachstumsbedingung an die Funktion formula_171.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Ein Anwendungsbeispiel der Selberg-Delange-Methode ist ein Resultat von Paul Bateman bezüglich der Eulerschen Phi-Funktion. Dieses besagt, dass die Anzahl der natürlichen Zahlen formula_172, für die formula_173 gilt, asymptotisch durch


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: gegeben ist, wobei formula_175 eine Konstante ist. Die dafür betrachtete Dirichlet-Reihe hat für formula_71 die Gestalt


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Lindelöfsche Vermutung ist bereits eine zahlentheoretische Aussage. Sie kann dazu verwendet werden, die Natur von Teilersummen recht detailliert zu beschreiben. Diese Summen sind Gegenstand des "Dirichletschen Teilerproblems", das in der klassischen Variante nach der Größenordnung der Summe


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: fragt, wobei formula_179 hier die Anzahl der positiven Teiler von formula_172 bezeichnet. In etwa ist formula_181, da die 6 die Teiler 1,2,3 und 6 hat. Bereits Peter Gustav Lejeune Dirichlet zeigte:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: mit formula_183. Das Teilerproblem fragt nun nach der Natur der Zahlen formula_184, die in diese Gleichung eingesetzt werden dürfen. Im Jahr 1922 zeigte J. van der Corput formula_185 und die Abschätzung formula_186 wurde von M. N. Huxley im Jahr 2003 angegeben. Auf der anderen Seite zeigten G. H. Hardy und E. Landau, dass formula_187 gelten muss.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Während formula_189 ist und alle Paare formula_190 mit formula_191 abzählt (mit anderen Worten die Teiler von formula_172), zählt formula_193 alle Tupel formula_194 mit formula_195 ab.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: getroffen werden. Der Term formula_197 ist durch das Residuum der Funktion formula_198 an der Stelle 1 gegeben. Hintergrund dieses Zusammenhangs ist, dass die Dirichlet-Reihe der Funktion formula_199 durch die formula_200 erzeugt wird.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Falls nun aber die Lindelöfsche Vermutung wahr ist, und nur dann, kann dieser Fehler für alle formula_201 durch formula_202 für alle formula_203 ersetzt werden.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Eine Produktkomposition der natürlichen Zahl formula_172 ist von der Form formula_208 mit natürlichen Zahlen formula_209. Bezeichnet formula_210 die Anzahl aller Produktkompositionen (die Reihenfolge der Faktoren spiele eine Rolle) von formula_211, so gilt für Zahlen formula_6 mit hinreichend großem Realteil, wenn man formula_213 fordert,


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Dies wurde von László Kalmár genutzt, die folgende asymptotische, für jedes formula_215 gültige, Formel zu entwickeln:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Dabei ist formula_217 die einzige Lösung der Gleichung formula_218 im Intervall formula_219. Diese wird heutzutage auch als "Kalmársche Kompositionskonstante" bezeichnet. Kalmár selbst gab die Abschätzung formula_220. Inzwischen wurden die Ergebnisse weiter verfeinert.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Taubersätze für Dirichlet-Reihen formula_221 mit formula_222 gelten bereits unter recht schwachen Voraussetzungen. So lassen sich Wachstumsformeln für summatorische Funktionen


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: bereits daraus ableiten, dass die zugehörigen Dirichlet-Reihen auf einer Halbebene formula_224 konvergieren, an der Stelle formula_225 einen "singulären Punkt" haben (d. h., dass sich die durch die Dirichlet-Reihe dargestellte holomorphe Funktion für "keine" offene Menge formula_226 holomorph nach formula_227 fortsetzen lässt) und sich ansonsten von rechts holomorph auf die Gerade formula_228 fortsetzen lassen. Kompositionen der Riemannschen Zeta-Funktionen erfüllen sehr oft diese Bedingungen.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Gutes Werkzeug zur Herleitung dieser Identitäten ist der Taubersatz von Delange. Für den Fall, dass die betrachtete zahlentheoretische Funktion gerade Indikatorfunktion einer Teilmenge formula_234 ist, geben Taubersätze Auskunft über deren asymptotische Dichte. Der Primzahlsatz, der den Fall formula_235 (Menge der Primzahlen) behandelt, ist ein solches Dichteresultat.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Über das Cayley-Dickson-Verfahren kann man aus den Quaternionen und Oktaven Dirichlet-Reihen bestimmen, welche die Quadratsummen-Funktion formula_236 bzw. formula_237 beinhalten, nämlich


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die (globale) Hasse-Weil formula_240-Funktion einer elliptischen Kurve über formula_241 hat die Gestalt


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Ein Dreieck wird als kongruent bezeichnet, falls es rechtwinklig ist, ausschließlich rationale Seitenlängen und einen ganzzahligen Flächeninhalt formula_172 besitzt. Die Zahl formula_172 wird entsprechend als kongruente Zahl bezeichnet. Eine Zahl formula_211 ist genau dann eine kongruente Zahl, falls die zugehörige elliptische Kurve formula_248 unendlich viele rationale Punkte besitzt. Gilt die schwache Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer, ist dies genau dann der Fall, falls formula_249. Unter dieser Voraussetzung kodiert die oben definierte Hasse-Weil formula_240-Funktion die geometrischen Eigenschaften der Zahlen formula_8 bezüglich Kongruenz.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: In dem Wunsch, die Definition der Riemannschen Zeta-Funktion zu verallgemeinern oder zu variieren, wurden zahlreiche verwandte Funktionen eingeführt und untersucht. Häufig tragen diese ebenfalls den Namen „Zeta-Funktion“, verbunden mit dem Namen ihres „Entdeckers“. Vorweg sei vor diesem Hintergrund auch auf die Liste von Zeta-Funktionen verwiesen.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Riemannsche Zeta-Funktion ist eine spezielle Dirichletsche L-Funktion. Dabei wird zunächst einem Dirichlet-Charakter formula_252 (einer periodischen, streng multiplikativen zahlentheoretischen Funktion) eine Dirichlet-Reihe mit Euler-Produkt zugeordnet via


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Erneut ist diese Darstellung nur für Werte formula_254 gültig, und die Funktionen formula_255 lassen sich analytisch auf ganz formula_256 fortsetzen, wobei in formula_257 ein Pol erster Ordnung im Falle eines Hauptcharakters, d. h., formula_252 nimmt an allen Stellen ungleich Null bloß den Wert 1 an, und ansonsten eine hebbare Singularität vorliegt. In letzterem Fall dehnt sich formula_255 sogar zu einer ganzen Funktion aus. Die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung besagt nun, dass alle (nichttrivialen) Nullstellen von formula_260 im Streifen formula_261 den Realteil formula_262 haben. Die Riemannsche Zeta-Funktion entspricht damit der Dirichletschen L-Funktion zum trivialen Charakter, der stets den Wert 1 annimmt. Aus der verallgemeinerten Riemannschen Vermutung folgt somit die Riemannsche Vermutung mit formula_263 als Spezialfall.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Für festes formula_267 besitzt sie eine analytische Fortsetzung auf formula_268 mit einem einfachen Pol in formula_269. Für formula_270 gilt nun:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Mit Hilfe der Hurwitzschen Zeta-Funktion lassen sich die Riemannsche Zeta-Funktion und die Dirichletschen L-Funktionen einheitlich behandeln. Dies ist vor allen Dingen bezüglich deren "verallgemeinerter Funktionalgleichung" von Nutzen.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Sogar noch allgemeiner als die Hurwitzsche Zeta-Funktion ist die Lerchsche Zeta-Funktion, welche für formula_71, formula_265 und formula_274 gegeben ist durch


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die weitreichende Definition der Lerchschen Zeta-Funktion gestattet nicht nur Spezialisierungen zur Hurwitzschen und somit auch zur Riemannschen Zeta-Funktion, sondern beinhaltet noch viele andere wichtige Funktionen als Spezialfälle. Ähnlich definierte „verallgemeinerte Zeta-Funktionen“ werden auch in der theoretischen Physik verwendet, und zwar im Zusammenhang mit der systematischen sogenannten semiklassischen Näherung quantenmechanischer Resultate.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Dedekindsche Zeta-Funktion formula_277 eines Zahlkörpers formula_278 verallgemeinert die Riemannsche Zeta-Funktion. Dabei befasst sich formula_279 mit der „Primfaktorzerlegung“ im Ganzheitsring formula_280 von formula_281. Der Ring formula_282 ist die Menge aller Elemente formula_283, die Lösung einer Polynomgleichung formula_284 mit ganzen Zahlen formula_285 sind. Zum Beispiel ist formula_286 und formula_287. Die Frage, ob es allgemein in formula_280 eine eindeutige Zerlegung in Primelemente gibt, ist von zahlentheoretischer Relevanz und ihre Antwort lautet im Allgemeinen „Nein“. So sind die Zahlen formula_289 zwar alle prim und paarweise verschieden in formula_290, jedoch gilt


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Um Eindeutigkeit wieder herzustellen, wird auf die Ideale von formula_280 übergegangen. Vor diesem Hintergrund entwickelte Ernst Eduard Kummer die Idee der „idealen Zahlen“, die jedoch als überholt gilt. Es kann gezeigt werden, dass jedes nicht-triviale ganze Ideal formula_293 eine eindeutige multiplikative Zerlegung in Primideale besitzt. Dies ermöglicht schließlich die Definition einer Zeta-Funktion


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Hierbei bezeichnet die natürliche Zahl formula_296 die Norm des Ideals formula_297 (ein Maß für seine „Dichte“ in formula_280).


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Funktion formula_279 besitzt eine holomorphe Fortsetzung nach formula_4, hat einen Pol erster Ordnung in formula_301 und erfüllt eine Funktionalgleichung. Sie besitzt große zahlentheoretische Relevanz, da sie einerseits das Konzept der Riemannschen Vermutung auf Zahlkörper ausweitet, andererseits in der Klassenzahlformel kodiert, „wie stark“ die Primfaktorzerlegung in formula_280 von der Eindeutigkeit abweicht. Dieses Maß ist auch als Klassenzahl bekannt.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Im Falle formula_303 ist die Dedekindsche Zeta-Funktion formula_304 gerade die Riemannsche Zeta-Funktion. Insbesondere hängt diese mit den Primelementen in deren Ganzheitsring formula_305 zusammen.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Ist formula_306 eine quadratische Erweiterung von formula_19 mit Diskriminante formula_308, so gibt es einen Dirichlet-Charakter formula_309 modulo formula_310, sodass


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Ein wichtiger Spezialfall ist formula_314. Die dazu korrespondierende Zeta-Funktion ist gegeben durch


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: wobei die Dirichletsche Betafunktion formula_316 zum Charakter formula_317 modulo 4 korrespondiert. Daraus ergibt sich direkt die folgende Identität für die Dirichlet-Reihe der Quadratsummen-Funktion formula_318:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Über einen Koeffizientenvergleich kann man damit auf eine geschlossene Formel für die formula_320 schließen. Dies liefert unter anderem einen analytischen Beweis dafür, dass eine Primzahl formula_64 "genau dann" Summe zweier Quadrate ist, also formula_322, wenn formula_323


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Ist formula_324 der Körper der formula_325-ten Einheitswurzeln, auch genannt Kreisteilungskörper, dann gilt


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Das Produkt durchläuft hierbei alle primitiven Charaktere modulo formula_327 sodass formula_328 mit Ausnahme des trivialen Charakters formula_329, der nur den Wert 1 annimmt. Da sowohl formula_126 als auch formula_279 einfache Pole bei formula_121 besitzen, folgt, dass formula_333 gilt für alle Charaktere. Eine Konsequenz dieser Aussage ist der Dirichletsche Primzahlsatz.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Im Falle, dass formula_306 eine Abelsche Erweiterung ist, ist der Quotient formula_335 eine ganze Funktion. D. h. gewissermaßen, dass die Riemannsche Zeta-Funktion in diesem Falle ein „Teiler von formula_336“ ist (Satz von Aramata-Brauer). Dass dies auch für nicht-abelsche Erweiterungen richtig ist, ist Gegenstand tiefer zahlentheoretischer Vermutungen, zum Beispiel der Dedekindschen Vermutung oder der Artinschen Vermutung.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Zeta-Funktion eines Schemas formula_337 (von endlichem Typ über den ganzen Zahlen) ist definiert durch das Euler-Produkt


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Das Produkt durchläuft hierbei alle abgeschlossenen Punkte des Schemas, also jene, deren zugehöriger Restklassenkörper endlich ist. formula_339 bezeichnet die Anzahl der Elemente dieses Körpers. Dem affinen Schema formula_340 zugehörig ist dann die Riemannsche Zeta-Funktion.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: In der Theorie der für die Zahlentheorie wichtigen Modulformen taucht die Riemannsche Zeta-Funktion an einigen Stellen auf.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Für die Gewichte formula_341 werden die normierten Eisensteinreihen zur vollen Modulgruppe formula_342 wie folgt definiert:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Bei letzterem Ausdruck handelt es sich um eine Darstellung als Fourierreihe. Diese ist charakteristisch für Modulformen. Aufgrund der Normierung mittels des Faktors formula_344 hat diese nun ausschließlich rationale Koeffizienten. Das wird in der Zahlentheorie u. a. dazu benutzt, ganzzahlige Identitäten zwischen Teilerfunktionen zu beweisen. Wegen ihrer Beziehung zu Teilerfunktionen (die Koeffizienten der zu den formula_345 gehörigen Fourierreihen) sind formula_346 die zu formula_347 gehörigen L-Funktionen. Dieses Prinzip verallgemeinert sich für Eisensteinreihen zu Kongruenzuntergruppen. Hier hängen die konstanten Koeffizienten mit Werten von L-Funktionen zu Dirichlet-Charakteren zusammen.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: 1987 konnte Frits Beukers die Irrationalität von formula_49 mit Hilfe der Theorie der Eisensteinreihen beweisen. Dafür betrachtete er die Funktion


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: die eine Modulform zum Gewicht 4 für die Kongruenzuntergruppe formula_350 ist. Die zu diesem formula_351 korrespondierende L-Funktion ist dann


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Das Argument bezieht sich letztlich auf eine Technik, die Konvergenzradien von Umkehrfunktionen lokal injektiver, meromorpher Funktionen ausnutzt. Mit der gleichen Methode lassen sich auch formula_353 und formula_354 zeigen, wobei der Charakter formula_355 das Legendre-Symbol modulo 5 ist. Die Techniken lassen sich jedoch laut Beukers selbst höchstwahrscheinlich nicht auf die Fälle formula_356 übertragen, geben jedoch Einblick in algebraisch geometrische und modulare Interpretationen der Apery-Zahlen.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Für komplexe Zahlen formula_357 mit formula_358 und formula_6 mit formula_71 konvergiert die Eisensteinreihe


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: absolut. Die dadurch definierte Funktion ist nicht-holomorph und zudem (für fixierte formula_6) invariant in formula_363 unter Wirkung der vollen Modulgruppe. Zudem lässt sie sich (für fixierte formula_363) in formula_6 meromorph in die gesamte Ebene fortsetzen mit einfachen Polen in formula_366 und formula_121, es gilt die Funktionalgleichung


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Diese Parallele zur Theorie der Zeta-Funktion lässt bereits einen Zusammenhang vermuten. Es gilt die Darstellung


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: wobei formula_370 die Untergruppe der Translationen von formula_371 bezeichnet. Betrachtet man zudem die Fourierentwicklung


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Nicht-holomorphe Eisensteinreihen, und damit auch die Zeta-Funktion selbst, spielen eine fundamentale Rolle bei der sogenannten Rankin-Selberg-Methode, die sich als mächtiges Werkzeug bei Untersuchungen im Rahmen des Langlands-Programms herauskristallisiert hat.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Eine sehr wichtige Eigenschaft der Riemannschen Zeta-Funktion ist ihre Funktionalgleichung. Diese drückt sich am einfachsten über


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: aus und es ist zu bemerken, dass auf der rechten Seite erstaunlicherweise die komplexe Variable formula_6 einfach durch formula_376 ersetzt wird.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Es gibt mehrere Herleitungsvarianten zum Auffinden dieser Gleichung. Zwei verschiedene zeigte bereits Riemann. Eine davon schließt einen einfachen Spezialfall der Jacobischen Theta-Funktion


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: direkt mit ein. Von Vorteil ist die Modifizierung formula_378, es gilt formula_379. Die Theta-Funktion ist dabei eine Modulform halbganzen Gewichts: Mit der Poissonschen Summenformel fand bereits Jacobi die Identität formula_380, woraus sofort formula_381 folgt.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Der folgende Trick ist eine Standardumformung beim Beweis des Heckeschen Umkehrsatzes. Durch eine Aufspaltung des Integrals in die Intervalle formula_383 und formula_384, wobei in letzteres die Substitution formula_385 vorgenommen wird, folgt:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Wie man leicht erkennt, ist die rechte Seite unter der Abbildung formula_388 unverändert, woraus schon die Funktionalgleichung folgt. Diese Argumentation ist gerechtfertigt, weil das Integral auf der rechten Seite nun für alle formula_389 existiert.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Auch einige Wahrscheinlichkeitsgesetze aus der Zahlentheorie stehen in engem Zusammenhang zu der Zeta-Funktion. Ein Satz von Ernesto Cesàro besagt, dass die asymptotische Dichte von Paaren ganzer Zahlen, die teilerfremd sind, gleich


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: ist, d. h., der Anteil solcher Paare in einem Intervall ganzer Zahlen formula_391 konvergiert gegen formula_392, wenn formula_8 gegen formula_394 geht. Dasselbe gilt für die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Zahl quadratfrei ist.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Allgemeiner ist formula_395 die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass formula_8 positive ganze Zahlen keine formula_103-te Potenz größer 1 als gemeinsamen Teiler haben.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Im Jahr 1972 beschrieb der Mathematiker Hugh Montgomery am Princeton Institute for Advanced Studies während einer Teepause einem Kollegen, dem Quantenphysiker Freeman Dyson, sein Modell für die Paarkorrelation von Nullstellen der Zeta-Funktion. Unter Annahme der Riemannschen Vermutung lassen sich die nicht-trivialen Nullstellen formula_398 mit reellen formula_399 schreiben. Im Folgenden wird die Normalisierung


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: betrachtet. Zusammen mit formula_401 erhält man formula_402 Als weiteres Vorgehen kann für Zahlen formula_403 die Paarkorrelation formula_404


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: studiert werden. Der folgende Satz von Montgomery, unter Annahme der Riemannschen Vermutung bewiesen, klassifiziert das asymptotische Verhalten der formula_407 für eine weite Klasse von Funktionen formula_24: Hat die Fourier-Transformation von formula_24 kompakten Träger formula_410 mit formula_411, so folgt


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Dyson, einer der Gründer der Theorie der Zufallsmatrizen, erkannte sogleich einen Zusammenhang. Sind nämlich formula_413 mit formula_414 die Eigenwerte eines Elementes formula_415 der unitären Gruppe formula_416 und wird formula_417 gesetzt, so folgt wie oben


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Hierbei bezeichnet formula_419 das Haar-Maß auf formula_416. Die Ähnlichkeit beider Formeln deutet auf eine starke Verbindung der Theorie der Zeta-Funktion zur Theorie unitärer Zufallsmatrizen hin. Diese Verbindung wird durch das sog. Polya-Hilbert-Programm unterstrichen: lassen sich die Werte formula_421 aller nicht-trivialer Nullstellen formula_422 als Eigenwerte eines (selbstadjungierten) Hamilton-Operators schreiben, folgt die Riemannsche Vermutung.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Keating und Snaith haben eine Vermutung über das asymptotische Wachstum der Potenzmomente formula_423 der Zeta-Funktion formuliert. Diese sagt aus, dass für alle formula_424


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Um den Weg bis zu dieser Vermutung und deren Bezug zur Statistik zu verstehen, ist das folgende sehr heuristische Argument hilfreich. Geht man davon aus, dass alle Primzahlen „unabhängig verteilt“ sind, so folgt mittels Euler-Produkt für den Erwartungswert (bezüglich des Lebesgue-Maßes formula_428 auf formula_429)


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: und daraus gewinnt man letztlich die von Keating und Snaith gegebenen Terme, wobei der Matrizen-Faktor nur ein Korrekturterm innerhalb dieses „Unabhängigkeitsmodells“ ist.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Für eine schnelle numerische Berechnung der Funktion formula_126 sind viele klassische Darstellungsformen unbrauchbar. Dazu zählen etwa im Besonderen die Dirichlet-Reihe, das Euler-Produkt, die Darstellung als Mellin-Transformation und das Hadamard-Produkt. Für effiziente Leistung ist ein endlicher approximativer Summenausdruck mit hoher Konvergenzgeschwindigkeit am geeignetsten. Als gute und historisch betrachtet früh verwendete Methode erweist sich die „abgebrochene“ Summenformel, die mit Hilfe der Euler-Maclaurin-Summenformel gewonnen wird. Generell wird zunächst eine beliebige natürliche Zahl formula_432 festgelegt, für die außerdem formula_433 gelten sollte. Es gilt dann:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Bei der (freien) Wahl von formula_436 ist außerdem zu beachten, dass das Restglied nur auf der Halbebene formula_437 konvergiert. Daher muss stets formula_438 gelten. Für größer werdende Werte von formula_432 verkleinert sich der Fehler formula_440 demnach rapide. Durch Anwendung der Funktionalgleichung (eine schnelle Berechnung der Gamma-Funktion und der Exponentialfunktion formula_441 ist leicht zu implementieren), kann zudem ohne Einschränkung formula_442 angenommen werden. Hier ist die Summenformel deutlich schneller. Ein Nachteil dieser Methode ist aber, dass sie für wachsende Imaginärteile an Effizienz einbüßt.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Viele Methoden verlieren jedoch an Präzision, wenn der Imaginärteil des Arguments sehr groß gewählt wird, was bei der Nullstellensuche entlang der kritischen Geraden problematisch ist. Daher greift man hier auf andere Methoden zurück, eine davon ist die Riemann-Siegel-Formel. Im Jahr 1988 entwickelten A. M. Odlyzko und A. Schönhage ein sehr schnelles Verfahren, um Werte der Riemannschen Zeta-Funktion auf der kritischen Geraden zu bestimmen. Es wird als Verfahren von Odlyzko und Schönhage bezeichnet. Dieses basiert auf den Ideen der Riemann-Siegel-Formel, benötigt jedoch nur noch formula_443 anstatt formula_444 Rechenoperationen, wobei formula_86 beliebig klein gewählt werden kann. Die Verfeinerung der Rechentechniken basiert auf der schnellen Fouriertransformation.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: In den vergangenen Jahrzehnten wurde auch immer verstärkter über die Eigenschaften der Ableitung formula_446 geforscht.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Funktion formula_446 besitzt eine holomorphe Fortsetzung auf ganz formula_268 mit einem Pol zweiter Ordnung in formula_269. Auch sie erfüllt eine Funktionalgleichung, welche sich durch beidseitiges Ableiten der gewöhnlichen Funktionalgleichung der Zeta-Funktion ergibt.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Zwar besitzt die Ableitung keine Darstellung als ein Euler-Produkt, jedoch gibt es auch hier Zusammenhänge zu den Primzahlen. Eine solche Formel lässt sich mittels logarithmischer Ableitung gewinnen, also über die Identität


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Auch für die Ableitung sind die Nullstellen von zahlentheoretischem Interesse. So ist die Aussage formula_454 im Streifen formula_455 äquivalent zur Riemannschen Vermutung. Die reellen Nullstellen im negativen Bereich sind asymptotisch gegeben durch


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Im Film "Die Poesie des Unendlichen" ist im Büro von Godfrey Harold Hardy im Hintergrund auf einer Tafel die Euler-Produkt-Entwicklung der Riemannschen Zeta-Funktion angeschrieben.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: In Neal Stephensons Roman "Cryptonomicon" wird die Riemannsche Zeta-Funktion mehrfach in Zusammenhang mit den fiktiven Kryptocodes "Azure", "Pufferfish" und "Arethusa" erwähnt.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Fachliteratur zur Mathematik der Riemannschen Zetafunktion wurde zu einem großen Teil in englischer Sprache verfasst. Es existiert vergleichsweise wenig deutschsprachige Fachliteratur zu diesem Thema. Wegen des engen Zusammenhangs zwischen Riemannscher Zeta-Funktion, Riemannscher Vermutung, Primzahlen und Primzahlsatz behandelt Fachliteratur zu einem der drei zuletzt genannten Themen häufig auch die Riemannsche Zeta-Funktion. Lehrbücher zur analytischen Zahlentheorie enthalten in der Regel eine Darstellung der Riemannschen Zeta-Funktion. Mitunter gilt dies sogar für Lehrbücher zur algebraischen Zahlentheorie.


title: Russinen

text: Russinen (oft auch Ruthenen, "Rusinen", "Rusniaken", "Russynen", "Karpato-Ukrainer", "Karpatorussen", "Karpatenrussinen", "Ungarnrussinen") sind eine ostslawische und gemischtsprachige Bevölkerungsgruppe, die hauptsächlich in den Karpaten in der Karpatenukraine, den an die Ukraine angrenzenden Staaten Mitteleuropas, in Südosteuropa sowie in Nordamerika lebt.


title: Russinen

text: Im Gegensatz zu insgesamt 22 Staaten, in denen sie als eigenständige Nationalität (Ethnie) anerkannt werden, gilt die Minderheit in der Ukraine als Teil des Staatsvolks der Ukrainer. Ziel der russinischen Nationalbewegung ist es, das Bewusstsein einer eigenständigen russinischen Nation zu fördern.


title: Russinen

text: Obwohl die Begriffe "Russinen" und "Ruthenen" den gleichen etymologischen Hintergrund haben und Ruthenen früher für Altrussen oder von den Österreichern für die Ukrainer im Habsburgerreich verwendet wurde, ist die simple Einordnung der Russinen als „Ukrainer außerhalb der Ukraine“ heute umstritten.


title: Russinen

text: Unter "Ruthenen" waren einst alle Ostslawen im Habsburgerreich zu verstehen, die Russinen Transkarpatiens ebenso wie galizische Ukrainer. Der Begriff „Russinen“ wurde im 19. Jahrhundert auch als Synonym für „Ruthenen“ verwendet. Heute nennen sich all jene ethnische Minderheiten in den Nachfolgestaaten der Österreichisch-Ungarischen Monarchie, die man einst „Ruthenen“ nannte, "Russinen"; die meisten Ukrainer Galiziens jedoch ausgenommen. Ukrainer, Slowaken, Russen oder Polen haben die Russinen teilweise oder als Ganzes oft als Teil ihres eigenen Volkes betrachtet und viele Russinen haben sich in diesen Nationen auch assimiliert. Seit den 1990er Jahren entflammte die Kontroverse, ob die Russinen eine separate ethnische Gruppe seien oder ein Teil der ukrainischen Nation, von neuem.


title: Russinen

text: Primär leben die Russinen in der einst zu Ungarn, ab 1919 zur Tschechoslowakei, heute zur Ukraine gehörenden Karpatoukraine sowie in Polen, der Slowakei, Tschechien, Ungarn, Rumänien (so in Știuca, Kreis Timiș), Kroatien und Serbien (Vojvodina, Zentrum Ruski Krstur). Die Russinen in Kroatien und Serbien waren Kolonisten, die ab dem 17. Jahrhundert in diese durch die Türkenkriege teilweise entvölkerten Gebiete (Militärgrenze) umsiedelten. Die Russinen in den USA sind Nachkommen der Emigranten aus dem 19. und 20. Jahrhundert.


title: Russinen

text: Die Russinen sind nach manchen Autoren historisch eine kulturelle Splittergruppe der altrussischen Ethnie, die die Kiewer Rus bevölkerte, anderen Ansichten zufolge handelt es sich historisch um eine slawische Ethnie aus den nordöstlichen Karpaten mit einer von den restlichen Ostslawen separaten Entwicklung. Einer dritten Auffassung zufolge handelt es sich zwar um eine Splittergruppe der Bewohner der Kiewer Rus, diese sei jedoch inzwischen als eine eigenständige Nation aufzufassen.


title: Russinen

text: Harald Haarmann bezeichnet die Russinen als die „am engsten mit den Ukrainern verwandten Slawen“ (Ostslawen), nicht aber direkt als „Ukrainer“.


title: Russinen

text: Laut "Russia Today" hatte die Nationale Akademie der Wissenschaften der Ukraine im Zusammenhang mit einer separatistischen Bewegung im Jahr 2008 bemerkt, dass die Unterschiede ethnographisch und linguistisch nicht ausreichend seien für eine eigenständige Ethnie. Die Präsidentin der "International Association of Ukrainians" war der Meinung, dass die Betonung der Unterschiede nur der Erzeugung politischer Spannungen diene. Ethnisch und historisch gebe es keine Unterschiede.


title: Russinen

text: Die Russinen haben im 20. Jahrhundert viele Veränderungen erlebt, die ihr Nationalbewusstsein in verschiedene Richtungen beeinflusst haben. Ungünstige wirtschaftliche und politische Bedingungen und mehrere Eingriffe in die ethnische Entwicklung führten dazu, dass die selbstidentifizierenden Prozesse des Volkes bis heute nicht abgeschlossen wurden.


title: Russinen

text: Zu den Untergruppen der Russinen in Polen, der Slowakei und Transkarpatien gehören die Lemken, Bojken, Huzulen, Werchowiner (im Tal um Werchowyna, meistens zu den Huzulen gezählt) und Doljanen.


title: Russinen

text: Entsprechend der umstrittenen ethnischen Zuordnung gilt auch die russinische Sprache bei manchen Sprachforschern als Dialekt des Ukrainischen, andere sehen sie als eigenständige Sprache, wieder andere als einen ostslowakisch-westukrainischen Übergangsdialekt.


title: Russinen

text: Faktisch haben die Slowakei, Polen, Ungarn, Rumänien, Serbien, Kroatien und die Tschechische Republik die Russinen als nationale Minderheiten anerkannt und fördern die Sprache gemäß dem Rahmenübereinkommen zum Schutz nationaler Minderheiten. Die Ukraine anerkannte 2012 die russinische Sprache als regionale Sprache.


title: Russinen

text: Trotz der durch Polen zum Teil gewaltsam betriebenen katholischen Missionierung der ostslawischen Gebiete unter polnisch-litauischer Herrschaft behielten die russisch-orthodoxen Russinen überwiegend ihre ursprüngliche Konfession oder traten zur griechisch-katholischen Kirche über. In der amerikanischen Diaspora wandten sich viele griechisch-katholische Russinen wieder der orthodoxen Kirche zu, nachdem die dortigen Bischöfe der Lateinischen Kirche versucht hatten, die griechisch-katholischen Bräuche der russinischen Gemeinden im Sinne der römischen Liturgie zu verändern, insbesondere den Pflichtzölibat für einfache Gemeindepriester durchzusetzen, den weder die orthodoxe noch die griechisch-katholische kirchliche Tradition kennen.


title: Russinen

text: Im 5. und 6. Jahrhundert siedelten kleine Gruppen von ersten Slawen in den Tälern der Karpaten. In den 860ern erreichte die Christianisierung durch Kyrill und Method die Karpatenslawen. Aus der Zeit der Landnahme der Magyaren gibt es eine Sage vom Prinzen Laboret von Uschhorod, der den Eindringlingen unterlag. Diese Sage wurde später sowohl von ukrainischen als auch von russinischen national gesinnten Literaten als glorifizierendes Symbol ihrer Geschichte verarbeitet.


title: Russinen

text: Das Grenzgebiet blieb kaum kontrolliert, wodurch eine weitere Einwanderung von Slawen aus dem Norden und dem Osten, vor allem aus dem späteren Galizien, möglich war. Diese Migration setzte sich bis ins 17. Jahrhundert und sogar danach fort. Spätestens am Ende des 11. Jahrhunderts, als die Grenze des Königreichs Ungarn im relevanten Gebiet ihren neuzeitlichen Verlauf erreichte, lebten die Vorfahren der Russinen (in den erhaltenen Quellen seit dem 11. Jahrhundert als Rutheni bezeichnet) im Königreich Ungarn statt in der benachbarten Kiewer Rus. Sie sind anfangs schriftlich nur als Wächter belegt, seit dem 13. Jahrhundert auch als Landwirte.


title: Russinen

text: Von einer politischen Geschichte der Ruthenen kann, ungeachtet der Bemühungen ruthenischer Historiker und Schriftsteller, die Geschichte ihres Volkes mit legendären Epochen und Gestalten auszuschmücken, bis in die erste Hälfte des 19. Jahrhunderts nicht gesprochen werden. Auf Grundlage weniger, oft zweifelhafter Berichte wurde dennoch eine Art Geschichte der Russinen rekonstruiert. Ihr Kern ist die Lehre, dass die Ruthenen, schon vor der Ankunft der Magyaren oder zumindest gleichzeitig mit diesen, sich in den Karpaten angesiedelt und schon zu Beginn des 11. Jahrhunderts ein eigenständiges Gebiet besessen hätten. Dieses „Ruśka kraina“ wäre von Herzögen, vielleicht aus königlichem Geschlecht, wie Teodor Korjatovyč, regiert worden. Eine entsprechende Urkunde von 1360, Hauptstütze dieser Rekonstruktion, erwies sich aber als Fälschung. In der Realität gab es keinen reichen einflussreichen russinischen Adel; die Wenigen, die den Adelsstand erreichten, sind schnell im ungarischen Adel aufgegangen. Es gab keine wichtigen Prälaten und keinen mit Privilegien ausgestatteten bürgerlichen Mittelstand. Das Volk bestand ausschließlich aus Bauern sowie wenigen Geistlichen und galt als Untertan des ungarischen Adels. Dass die Russinen überhaupt ihr nationales Wesen bewahren konnten, verdanken sie dem ausgeprägten „Stammesbewusstsein“ ihrer Kirche. Davon abgesehen, konnte sich lange kein historisches Bewusstsein entwickeln. Denn es gab kein kulturelles Zentrum für die Geistlichkeit und keine Chroniken für die Überlieferung.


title: Russinen

text: Das Wort Ruthene (Ruthenen) leitet sich vom lateinischen Ruthenus (Rutheni) ab, das wiederum ab dem 11. Jahrhundert als die lateinische Entsprechung des Ethnonyms "Rusyn"/"Rusin" belegt ist. Die Bezeichnung stammt von "Rutheni", der latinisierten Form von "Rus", "Rusyn", "Ruscia", "Russia" oder "Ruzzia", den alten Eigenbezeichnungen der Ostslawen. Zwischen Ukrainern und den anderen ostslawischen (Unter-)Ethnien wurde dabei nicht unterschieden. Die tatsächliche frühe Verwendung des Wortes „Ruthenen“ sowie die genauen westlichen Grenzen der einstigen Kiewer Rus und die ethnischen Verhältnisse in den heutigen Hauptgebieten der Russinen im Mittelalter sind eher unklar und somit auch ihre Geschichte im Mittelalter. Seit dem 15. Jahrhundert bezeichnete das Wort jedenfalls vor allem die im Großfürstentum Litauen, in Polen-Litauen und dem Königreich Ungarn lebenden Slawen östlichen christlichen Glaubens; die (Groß-)Russen hießen damals bereits "Moscovitae" oder "Russi". Andererseits wurden im Königreich im 16. Jahrhundert auch Wächter des königlichen Hofes als "Rutheni" bezeichnet, die keine Ostslawen mehr waren.


title: Russinen

text: Nach den Türkenkriegen ist ein Teil der Ruthenen aus der Ostslowakei nach Serbien und Kroatien ausgewandert. Beweise für ein selbständiges ruthenisches (russinisches) Nationalbewusstsein im Königreich Ungarn gibt es seit dem 18. Jahrhundert. Davor identifizierte man die Ruthenen über ihre Zugehörigkeit zur griechisch-katholischen Kirche. Die „Nationale Wiedergeburt“ der Ruthenen (Russinen) begann nach manchen Forschern bereits mit der Tätigkeit von Andrej Batschinskij, Arsenij Kozak u. a. Diese versuchten vergeblich, Kirchenslawisch mit Elementen aus dem örtlichen Dialekt als russinische Schriftsprache durchzusetzen.


title: Russinen

text: J. Basilovitsch schrieb damals die erste Geschichte der Russinen des Königreichs Ungarn, sie erschien 1799–1805 in Košice. Nach anderen Ansichten fand die russinische Nationale Wiedergeburt jedoch erst 1849 bis 1867 statt. 1848 protestierten Vertreter der Russinen in den „Forderungen der Slowaken und ungarischen Ruthenen“ gegen ihre Unterdrückung im Königreich Ungarn, verlangten unter anderem einen eigenen Landtag. Nachdem 1849 die Ungarn von russischen Truppen geschlagen worden waren, legten die Russinen unter der Führung des Politikers Adolf Ivan Dobrjanský der Regierung ihre Forderungen nach Anerkennung ihrer Nation, Sprache sowie nach einer entsprechenden Verwaltungsgliederung vor. In der Zeit nach 1849 verfassten Alexander Duchnovitsch (Duchnovytsch), Ivan Rakovskij (Rakovský) und A. Pavlovitsch (Pavlovytsch) Texte, Gedichte, Lehrbücher teils auf Russinisch, teils auf Russisch; sie versuchten, das Bildungsniveau der Russinen zu verbessern, und wandten sich jedenfalls entschieden gegen die Verwendung von Ukrainisch. Dank Duchnovitsch wurde auch Russinisch als Unterrichtssprache am Gymnasium von Prešov und Russisch an der Kaschauer Akademie eingeführt. Die Gesamtzahl der Ruthenen in Ungarn belief sich 1851 auf 440.600, in den wenigen Städten innerhalb des ruthenischen Gebiets, Ungvár, Munkács, Sziget und Huszt, stellten Magyaren und Juden die Mehrheit.


title: Russinen

text: 1849 wurde Duchnovitsch, der „Erwecker des ruthenischen Volkes“, von der ungarischen Regierung wegen „Panslawismus“ und weil er Bücher auf Russinisch geschrieben hatte, verhaftet und später verbannt.


title: Russinen

text: Mit der Verkündung des Oktoberdiploms durch Kaiser Franz Joseph, die eine Entwicklung einleitete, die mit dem Österreichisch-Ungarischen Ausgleich 1867 endete, drohten die bescheidenen Fortschritte der Ruthenen in Verwaltung und Schulwesen zunichtegemacht zu werden. Duchnovitsch verzweifelte: "Das ruthenische Volkstum in Ungarn hörte auf zu bestehen … wir sind verloren". Dobrjanský formulierte in dieser Situation ein ruthenisches Nationalprogramm, das unter anderem die Bildung einer eigenen Woiwodschaft aus den vorwiegend ruthenischen Komitaten forderte. Ein ruthenischer Landtag sollte geschaffen werden, die eigene Bischofswahl und höhere Beamtenposten für Ruthenen waren einige weitere Forderungen. Dobrjanský wurde daraufhin als „Panslawist“ aus dem Budapester Reichstag ausgeschlossen.


title: Russinen

text: Nach 1867 waren die Russinen in der Karpatenukraine einer starken Magyarisierung ausgesetzt. Diese Zeit bedeutete für die Russinen einen nationalen, kulturellen und wirtschaftlichen Niedergang. In der ungarischen Geschichtsschreibung wurden die nationalpolitischen Bestrebungen der Russinen stets als Begleiterscheinungen des Panslawismus betrachtet.


title: Russinen

text: Unter dem Einfluss ukrainischer Patrioten aus Galizien, wie Iwan Franko, Mychajlo Pavlyk, Wolodymyr Hnatyuk begann sich in der Karpatenukraine ab dem Ende des 19. Jahrhunderts und unter den Russinen in der Tschechoslowakei erst nach dem Ersten Weltkrieg auch eine ukrainophile Orientierung durchzusetzen.


title: Russinen

text: Die Russinen hatten nie einen eigenen Staat. Im Zuge des Zerfalls von Österreich-Ungarn gab es unterschiedliche Bestrebungen innerhalb der russinischen Bevölkerung über die zukünftige politische Zugehörigkeit:


title: Russinen

text: Von Dezember 1918 bis März 1920 bestand im galizischen Florynka bei Grybów eine "Lemko-Russinische Republik", deren Selbstverwaltung im Gegensatz zur proukrainischen Republik in Komańcza (November 1918 bis Januar 1919) zunächst die Einheit mit Russland proklamiert, dann die Angliederung an die Tschechoslowakei angestrebt hatte. Die Führer der Republik wurden bereits im Februar 1919 von polnischen Truppen verhaftet, die gesamte Region war Anfang 1920 unter polnischer Kontrolle.


title: Russinen

text: Ein Teil der in der Karpatenukraine lebenden Russinen wollte Ende 1918 eine autonome Stellung innerhalb Ungarns erreichen, ein anderer Teil strebte einen gemeinsamen Staat mit den Ukrainern oder Russland an und ein dritter Teil wollte Anschluss an die damals entstehende Tschechoslowakei. Letztere Gruppe erhielt auch Unterstützung von den in den USA lebenden Russinen, dem aktivsten Teil der russinischen Gruppen. 1919 vereinbarte der amerikanische Nationalrat der Russinen schließlich mit dem tschechoslowakischen Präsidenten Tomáš Garrigue Masaryk die Angliederung an dessen Land. Der Vertrag von Trianon, Artikel 48, erwähnt das "autonome Gebiet der Ruthenen südlich der Karpathen". Das Gebiet der Russinen hatte also nicht einmal einen eigenen Namen. Am 8. Mai 1919 wurde die Provinz Ruthenien eingerichtet. Die vorläufige Volkszählung von 1919 war für russinische Politiker eine große Enttäuschung: Nur 93.411 Personen, 16 % weniger als 1910, bekannten sich zur russinischen Nation. Die Ukrainer als Ganzes hingegen hatten bei der Volkszählung 1921 einen Anteil von 62,3 % in der Karpatenukraine.


title: Russinen

text: In der Tschechoslowakei, vor dem Zweiten Weltkrieg, war in der Karpatenukraine die Bevölkerung wieder in drei politische Gruppen geteilt – diesmal in eine ukrainophile, eine russophile und eine Gruppe, die die Russinen als eine eigenständige Nation ansah, wobei letztere Gruppe mit Sicherheit am verbreitetsten war. Die Autonomierechte der „Ruthenen“ waren im Minoritätenschutzvertrag vom 10. September 1919 zugestanden und in der Verfassung der Tschechoslowakei vom 29. Februar 1920 garantiert worden, wurden aber durch eine einfache Regierungsverordnung vom 26. April 1920 wieder aufgehoben.


title: Russinen

text: Die „Ruthenen“, die im neuen Staat 3,44 % der Bevölkerung ausmachten, wandten sich mehrmals vergeblich an die internationale Öffentlichkeit, um über die Vorenthaltung der ihnen in Trianon garantierten Rechte, Autonomie und ein eigener Landtag, Beschwerde zu führen. Träger dieser Forderungen waren vor allem die seit 1924 wieder aus Budapest zurückkehrenden ukrainischen Intellektuellen.


title: Russinen

text: Immerhin wurde die ruthenische Sprache nun erstmals in der Geschichte offiziell anerkannt. Zeitungen und Bücher wurden auf Ruthenisch herausgegeben, in Uschhorod wurde ein ruthenisches Nationaltheater eröffnet. Bis 1937 wurde an immer mehr Schulen Russinisch statt Slowakisch unterrichtet. Wirtschaftlich war die Region die unterentwickeltste des Landes. Noch 1930 arbeiteten 89 % der Russinen in der Landwirtschaft, Industrie und Handwerk beschäftigten nur 3,5 %. Laut der Volkszählung von 1930 gab es in der Tschechoslowakei 549.169 Ukrainer, davon 446.916 in der Karpatenukraine, 91.079 in der Slowakei.


title: Russinen

text: Im Oktober 1938 proklamierte die Karpatenukraine ein autonomes Staatswesen innerhalb der durch das Münchner Abkommen geschwächten Tschechoslowakei. Am 11. des Monats wurde die erste eigene Regierung unter Andrej Brodij gebildet. Der Erste Wiener Schiedsspruch vom 2. November 1938 bedeutete den Verlust der bisherigen Hauptstadt Uschhorod an Ungarn; neuer Regierungssitz wurde Chust.


title: Russinen

text: Im Zuge der „Zerschlagung der Rest-Tschechei“ am 15. März 1939 erklärte sich die Karpatenukraine, wie auch die Slowakei, zum unabhängigen Staat. Doch noch am selben Tag wurde das Land von ungarischen Truppen besetzt und unter der Bezeichnung „Kárpátalja“ erneut Ungarn angeschlossen. Ende 1944 eroberte die Rote Armee das Gebiet, das 1946 nach einer manipulierten Volksabstimmung als „Transkarpatische Ukraine“ in die Sowjetunion eingegliedert wurde.


title: Russinen

text: Im heutigen Serbien wurde vor dem Zweiten Weltkrieg eine Variante der russinischen Sprache kodifiziert und seitdem verwendet und unterrichtet.


title: Russinen

text: Spätestens seit der von Stalin gewünschten Annexion der Karpatenukraine durch die Sowjetunion galten die Russinen in der Sowjetunion offiziell als eine Untergruppe der Ukrainer. Diese Sichtweise war auch für die kommunistischen Nachbarländer verbindlich. Die Russinen wurden religiös, kulturell und politisch unterdrückt, die Idee einer eigenen russinischen Identität wurde verboten, Russinen wurden nur als Ukrainer anerkannt. Erst Ende der 1980er Jahre begann, ausgelöst durch Glasnost und durch Exilanten, eine nationale Rückbesinnung. Nach der Wende von 1989 werden Russinen in allen Ländern außer der Ukraine wieder als eine selbständige Nation neben den Ukrainern anerkannt. In der Slowakei und in Polen wurden nach 1989 zwei weitere Varianten der russinischen Sprache kodifiziert und seitdem verwendet und unterrichtet. Es gibt jedoch einige Forscher auch in Ländern außerhalb der Ukraine, die die Russinen weiterhin als eine Untergruppe der Ukrainer betrachten.


title: Russinen

text: Nach den Jahren, in denen Ruthenen eine russische, ukrainische oder slowakische Orientierung aufgezwungen wurde, entstanden zwei heftig konkurrierende Strömungen innerhalb der Minderheit: die ukrainische und die ruthenische.


title: Russinen

text: Nach der Unabhängigkeit der Ukraine hatte der Transkarpatische Gebietsrat 1992 und 2002 das ukrainische Parlament aufgefordert, die Russinen als Nationalität anzuerkennen. Im März 2007 schließlich vollzog der Gebietsrat Transkarpartiens eigenständig diesen Schritt, nachdem im August 2006 auch der UN-Ausschuss gegen Rassendiskriminierung die Ukraine zur Anerkennung der Minderheit aufgerufen hatte. Im Oktober 2008 bekundete in Mukatschewo (Transkarpatien) der Zweite Europäische Kongress der subkarpatischen Russinen die Absicht, die einst durch die Abspaltung von der Tschechoslowakei 1938 erreichte kurzlebige Staatlichkeit wiederherzustellen und forderte die Behörden auf, dies bis zum 1. Dezember 2008 in die Wege zu leiten. Ziel sei eine selbstverwaltete "Republik Subkarpatische Rus" (Podkarpatskij Rus) im Staatenverbund der Ukraine. Daraufhin wurde am 8. Dezember 2008 der Vorsitzende des Verbandes der subkarpatischen Russinen, Dimitri Sidor, unter Hausarrest gestellt und wegen „Angriffen auf die Integrität der Ukraine“ angeklagt. Im Gegensatz zum eindeutigen Votum der Russinen (1991 stimmten über 78 % für den Verbleib und eine Autonomie Transkarpatiens innerhalb der Ukraine) und den Beteuerungen ihrer Führer unterstellen ukrainische Sicherheitsbehörden ihnen, Eigenstaatlichkeit unter dem Protektorat Russlands, der EU und der Slowakei anzustreben. Den russinischen Verbänden wurde vorgeworfen, schon seit den 1980ern von Russland finanziert und kontrolliert zu werden. Als Beleg dafür galt ukrainischen Politikern, dass Sidor russisch-orthodoxer Priester sei und gute Beziehungen zur russischen Presse habe. Andere Quellen sahen Juschtschenkos Präsidentenberater Viktor Baloha, einen Ukrainer aus Transkarpatien, hinter den Umtrieben: auf Juschtschenkos Rivalin, Premierministerin Timoschenko, sollte so innenpolitischer Druck ausgeübt werden. Russinischen Bemühungen um internationale Anerkennung hatte Russland zunächst eine Absage erteilt. Sidor wurde mit 3 Jahren Haft auf Bewährung bestraft für Separatismus.


title: Russinen

text: Vertreter der Ansicht, die Russinen seien eine separate Ethnie, geben bis zu 800.000 der 1,3 Millionen Karpato-Ukrainer als Russinen an, in der letzten ukrainischen Volkszählung sollen sich allerdings nur 10.000 selbst als Russinen bezeichnet haben. Von 1,5 Millionen Russinen in Europa leben demnach 1,2 Millionen in der Ukraine, hauptsächlich in der Karpatenukraine, 130.000 in der Slowakei und 80.000 Lemken in Polen. Manche russinische Nationalisten sprechen sogar von einer Gesamtzahl von 5 Millionen Russinen in Mittel- und Osteuropa.


title: Russinen

text: In Rumänien gab es laut Volkszählung 2002 61.000 „Ukrainer“, davon werden rund 55 % als Russinen (einschließlich Huzulen) bezeichnet. Laut Expertenschätzungen leben aber in Rumänien 120.000–150.000 „Ukrainer“, nach ukrainischen Angaben sogar noch mehr.


title: Russinen

text: Im Gegensatz dazu werden in Polen, der Slowakei, Tschechien, Ungarn, Kroatien (rund 2.500), Serbien und in den USA und Kanada (rund 250.000) die Russinen als nationale Minderheit neben den Ukrainern anerkannt, obwohl sie auch von manchen Forschern in diesen Ländern als eine Untergruppe der Ukrainer klassifiziert werden.


title: Dacia Jogger

text: Der Dacia Jogger ist ein Kompaktvan des rumänischen Autoherstellers Dacia, der seit März 2022 erhältlich ist. Er ersetzt die bisherigen Modelle Lodgy, Logan MCV und Dokker und ist als Fünf- und Siebensitzer verfügbar. Die Premiere fand auf der IAA in München im September 2021 statt.


title: Dacia Jogger

text: Der Wagen basiert auf der CMF-B-Plattform, auf die auch der Renault Clio V und Dacia Sandero aufbauen. Der Radstand ist auf 2,9 Meter verlängert. Die dritte Sitzreihe ist Sonderausstattung. Bei umgelegten Sitzbänken fasst der Laderaum 1819 Liter. Das Armaturenbrett stammt aus dem Sandero.


title: Dacia Jogger

text: 2021 wurde der Sandero vom Euro NCAP auf die Fahrzeugsicherheit getestet. Er erhielt zwei von fünf möglichen Sternen. Da der Jogger einen großen Teil der Struktur und der Komponenten übernimmt, basiert das Ergebnis auf dem des Sandero. Wegen einer fehlenden Anschnallerinnerung in der dritten Sitzreihe wurde aber noch ein weiterer Stern abgezogen.


title: Dacia Jogger

text: Der Dreizylinder-Turbo-Ottomotor leistet 67 kW (91 PS) oder 81 kW (110 PS) und hat maximal 200 Nm Drehmoment. Es gibt auch eine Variante, die auch mit Flüssiggas betrieben werden kann, dann bringt sie es auf 74 kW (100 PS) und 170 Nm. Mit dem 50-Liter-Benzin- und dem 40-Liter-Gastank soll die Reichweite über 1000 Kilometer betragen. Beide Motoren sind an ein Sechsganggetriebe mit Handschaltung gekoppelt und treiben die Vorderräder an. Auch in den höheren Ausstattungsvarianten ist kein stufenloses Automatikgetriebe erhältlich. Erstmals für die Marke wird auch ein Hybridantrieb, der aus dem Clio E-Tech stammt, ab 2023 verfügbar sein.


title: Dacia Jogger

text: Der Wagen wird in den drei Ausstattungen "Essential, Comfort" und zunächst einer "Limited Edition" namens "Extreme" angeboten. Zum Verkaufsbeginn gibt es eine bereits vorkonfigurierte vollausgestattete Variante für schnell entschlossene Käufer, welche sich dann "Extreme+" nennt. Man verspricht kürzere Lieferzeiten bei einem solchen Modell.


title: Dacia Jogger

text: Die 7-sitzige Variante hat hinten ausstellbare Seitenfenster und soll wohl mehr Zuladung haben, wobei eine Anhängerkupplung (Stand Februar 2022) nicht konfigurierbar ist.


title: Punkt (Satzzeichen)

text: Der Punkt (ASCII-Wert dezimal 46, hexadezimal 2E) wird beim Schreiben und in der Typografie unter anderem als Satzzeichen verwendet.


title: Punkt (Satzzeichen)

text: Nach DIN 55301 (Gestaltung statistischer Tabellen) steht der Punkt für „Zahlenwert unbekannt oder geheim zu halten“ als wertersetzendes Zeichen (im Gegensatz zu wertergänzenden Zeichen, auch Qualitätsanzeigern). Genau so wird das Zeichen auch in Tabellen der amtlichen Statistik verwendet.


title: Punkt (Satzzeichen)

text: Hinweis: Die Regeln werden hier nicht wörtlich zitiert. Die im Text genannten Paragraphen sind als Verweis auf das amtliche Regelwerk zu verstehen.


title: Punkt (Satzzeichen)

text: (§ 67) Der "Schlusspunkt" – auch "Satzendepunkt" oder kurz "Satzpunkt" genannt – steht am Ende eines Ganzsatzes.


title: Punkt (Satzzeichen)

text: Ein Aussagesatz liegt auch in Fällen wie diesen vor (der übergeordnete Satz ist jeweils ein Aussagesatz):


title: Punkt (Satzzeichen)

text: (§ 103) Steht ein Abkürzungspunkt am Satzende, so dient er gleichzeitig als Schlusspunkt, das heißt, es wird kein weiterer Punkt gesetzt:


title: Punkt (Satzzeichen)

text: Den Ziffern 6 und 9 wird in Fällen, in denen eine gegenseitige Verwechslung gegeben sein kann (Aufdrucke, Lose usw.), in der Regel ein Punkt nachgestellt. Beispiel: 6. auf der Loskugel beim Lotto.


title: Punkt (Satzzeichen)

text: In der Vergrößerung am Artikelanfang ist der Punkt abgebildet. Auch kreisförmige Punkte kommen aber vor, besonders in handschriftlichen Aufzeichnungen. In einigen asiatischen Sprachen, besonders im Japanischen und Chinesischen, wird ein kleiner Kreis (U+3002, 。) an Stelle eines ausgefüllten Punktes verwendet. Zusätzlich gibt es noch eine Variante des Punktes (U+FF0E, ．) für den vollbreiten Schriftsatz, der in diesen Sprachen verwendet wird.


title: Hattrick

text: Unter einem Hattrick () versteht man in einigen Sportarten – vorrangig im Fußball und im Eishockey – das Erzielen von drei aufeinander folgenden Toren durch denselben Spieler in einem Spiel. Je nach Sportart und Sprachraum ist teilweise das Erzielen von drei Toren durch denselben Spieler innerhalb einer Spielzeit (z. B. Halbzeit, Spieldrittel) erforderlich.


title: Hattrick

text: Häufig wird in der Sportberichterstattung der Ausdruck auch dann verwendet, wenn ein Einzelsportler oder eine Mannschaft dreimal in Serie eine Meisterschaft, einen Pokal oder einen sonstigen Sportwettbewerb gewinnt („Titel-Hattrick“), dreimal in Folge eine besondere sportliche Leistung erreicht hat (z. B. „Medaillen-Hattrick“) oder eine besondere Auszeichnung dreimal in Folge erhält.


title: Hattrick

text: Im internationalen Fußball zählt bereits das Erzielen von drei Toren eines Spielers in einem Spiel als Hattrick, weshalb beispielsweise die drei englischen Tore im Endspiel der Fußball-Weltmeisterschaft 1966 von Geoff Hurst als Hattrick gewertet werden. Um den „deutschen“ Hattrick von der internationalen Definition abzugrenzen, werden häufig umgangssprachlich die Bezeichnungen „echter Hattrick“, „lupenreiner Hattrick“ oder „klassischer Hattrick“ verwendet. Im deutschen Fußball bedeutet ein Hattrick, dass die drei Tore in einer einzigen Spielhälfte erzielt worden sind, weshalb die Attribute „lupenrein“, „klassisch“ oder „golden“ nicht nötig sind, in aller Regel aber dennoch verwendet werden.


title: Hattrick

text: Im Motorsport – insbesondere in der Formel 1 – wird als „Hattrick“ die Leistung bezeichnet, wenn ein Fahrer bei einem Rennen als Qualifikationsbester den ersten Startplatz (Pole-Position) erreicht, das Rennen gewinnt und im Rennen die schnellste Rundenzeit aller Teilnehmer erzielt.


title: Hattrick

text: Darüber hinaus wird der Begriff „Hattrick“ mittlerweile auch in vielen anderen Lebens- und Kulturbereichen im übertragenen Sinne verwendet wie beispielsweise bei dem dreimaligen Gewinn eines Filmpreises, eines Musik- oder anderen Kulturwettbewerbes, einer Leser- oder Zuschauerwahl.


title: Hattrick

text: Auch bei Computerspielen findet der Begriff Verwendung. So gilt in Capture the Flag, einem beliebten Modus, der in vielen Online-Shooter-Spielen integriert ist, das Erzielen von drei aufeinanderfolgenden Punkten durch denselben Spieler als ein „Hattrick“.


title: Hattrick

text: Der Begriff hat seinen Ursprung im Cricket. Soweit heute bekannt, gelang es im Jahr 1858 Heathfield Harman („HH“) Stephenson auf dem "Hyde Park Ground" in Sheffield als erstem Werfer "(Bowler)", drei aufeinanderfolgende Würfe in drei "Wickets" umzuwandeln. Als besondere Auszeichnung für diese sportliche Leistung wurde ihm ein Hut () überreicht. In Verbindung mit dem Wort für ein Kunststück () entwickelte sich daraus die Wendung "hat trick", die zusammengeschrieben als Fremdwort Einzug in den deutschen Sprachgebrauch gehalten hat.


title: Hattrick

text: Bisher kam es zu 46 Hattricks im Test Cricket und 49 in One-Day Internationals. In Twenty20s gab es bisher 26 Hattricks (Stand: 21. November 2021).


title: Hattrick

text: Vier Wickets in vier aufeinanderfolgenden Bällen werden manchmal als "double hat-trick" bezeichnet, da dieser in gewissem Sinne zwei Folgen von jeweils drei aufeinanderfolgenden Wickets enthält. Obwohl es im First-Class Cricket schon mehrere Fälle gab, ist es im internationalen Cricket bisher erst einmal vorgekommen, und zwar während des Cricket World Cups 2007 im Spiel Sri Lanka gegen Südafrika. Sri Lankas Fast-Bowler Lasith Malinga gelang dieses Kunststück, als er nacheinander zunächst Shaun Pollock und Andrew Hall und mit den ersten beiden Bällen seines nächsten Overs Jacques Kallis und Makhaya Ntini herauswarf.


title: Hattrick

text: Im deutschen Sprachraum bedeutet Hattrick, dass besondere Bedingungen erfüllt sein müssen, nämlich dass ein Spieler in einer Halbzeit drei Tore erzielt und zwischen dem ersten und dem dritten Tor kein anderer Spieler (auch nicht der eigenen Mannschaft) ein Tor schießt. Dies wird oftmals auch als „lupenreiner“ oder „klassischer“ Hattrick bezeichnet, um eine Abgrenzung in der Sportberichterstattung vorzunehmen, in der es oftmals auch als Hattrick bezeichnet wird, wenn derselbe Spieler im gesamten Spiel (also durchaus auch in unterschiedlichen Halbzeiten) drei Tore schießt, unabhängig davon, ob zwischen den einzelnen Toren noch andere Spieler der eigenen oder der gegnerischen Mannschaft einen Treffer erzielt haben.


title: Hattrick

text: Im angelsächsischen Sprachraum gilt es bereits als Hattrick, wenn derselbe Spieler in einem Spiel drei Tore schießt – der Ausdruck „lupenreiner Hattrick“ "(flawless hat-trick)" beschreibt dort einen Hattrick nach der in Deutschland verwendeten engeren Definition. Ebenso verstehen einzelne unter einem „echten“ oder „perfekten Hattrick“, dass ein Spieler in einem Spiel die drei Tore einmal mit dem rechten bzw. linken Fuß und einmal mit dem Kopf erzielt, oder auch: ein Tor mit dem Fuß (aus dem Spiel heraus), eines mit dem Kopf und eines aus einem Freistoß bzw. Elfmeter (beide Varianten sind sehr seltene Kombinationen).


title: Hattrick

text: Der Schweizer Frauennationalmannschaft gelang in einem Spiel zur WM-Qualifikation am 6. September 2022 gegen Moldawien, das mit 15:0 endete, vier Hattricks in einem Spiel: 1. Hattrick von C. Sow (34. ,43. ,45.) 2. Hattrick von G. Reuteler (45+3, 45+4, 88.) 3. Hattrick von A.Crnogorcevic (57.,62.,78.) und 4. Hattrick von R. Xhemaili (53.,76.,81.). Die weiteren drei Tore wurden durch drei weitere Torschützinnen geschossen, V.Calligaris (2.), R.Bachmann (23.) und L.Bühler (38.)


title: Hattrick

text: Den ersten Hattrick in einem Länderspiel erzielte der für Österreich spielende gebürtige Brite Charles Stanfield mit drei von fünf Treffern beim 5:4-Sieg der österreichischen Fußballnationalmannschaft über Ungarn am 9. Oktober 1904.


title: Hattrick

text: Anmerkung: Die FIFA zählt in ihren Statistiken auch Hattricks, bei denen die Tore nicht als „lupenreine Hattricks“ fielen, und kommt somit auf eine höhere Anzahl. So werden für Deutschland sechs Hattricks gezählt.


title: Hattrick

text: Bisher gab es bei den Olympischen Spielen 15 Hattricks, wobei dem ersten Spieler pro Halbzeit einer gelang und einen eine Spielerin beisteuerte:


title: Hattrick

text: Den ersten und bisher einzigen Hattrick bei einer Europameisterschaft erzielte Michel Platini, für Frankreich, am 19. Juni 1984 im Gruppenspiel gegen Jugoslawien durch Tore in der 59., 61. und 76. Minute.


title: Hattrick

text: In der Fußball-Bundesliga gab es bislang 113 Hattricks. Somit wurden bislang statistisch etwa alle 160 Spiele ein Hattrick erzielt.


title: Hattrick

text: Den ersten Hattrick erzielte Otto Geisert vom Karlsruher SC am 5. Oktober 1963 im Bundesligaspiel beim 1. FC Nürnberg zwischen der 55. und 90. Spielminute und war damit maßgeblich am 4:2-Auswärtssieg der Karlsruher beteiligt.


title: Hattrick

text: Dieter Müller (1. FC Köln) schoss im August 1977 gegen Werder Bremen sechs Tore in einem Spiel. Müller schoss in der ersten Halbzeit das 1:0, das 2:0 und das 3:0; in der zweiten Halbzeit schoss er drei weitere Tore.


title: Hattrick

text: Dieter Hoeneß gelang am 25. Februar 1984 im Bundesligaspiel FC Bayern München gegen Eintracht Braunschweig sogar das Kunststück, fünf Tore in Folge in einer Halbzeit zu schießen (Endstand 6:0). Dabei traf er zwischen der 68. und 76. Minute dreimal.


title: Hattrick

text: Ebenfalls fünf Tore in Folge in einer Halbzeit schoss Robert Lewandowski im Bundesligaspiel FC Bayern München gegen den VfL Wolfsburg (Endstand 5:1) am 22. September 2015. Alle fünf Tore erzielte er zwischen der 51. und 60. Spielminute.


title: Hattrick

text: Er schoss drei Tore innerhalb von 3:22 Minuten; damit hält er den Rekord für den schnellsten Hattrick der Bundesliga-Geschichte.


title: Hattrick

text: Róbert Vittek vom 1. FC Nürnberg ist der erste Spieler, der in der deutschen Bundesliga in zwei aufeinanderfolgenden Spielen insgesamt sechs Tore schoss, ohne dass in der Zwischenzeit ein Gegentor fiel. Am 11. März 2006 schoss er innerhalb von 16 Minuten gegen den 1. FC Köln den ersten Hattrick der Saison 2005/06 und stellte somit den „6-Tore-Rekord“ auf. Das Spiel gewann Nürnberg mit 4:3.


title: Hattrick

text: Conny Pohlers gelang es ebenfalls, in der Saison 2005/06 in zwei aufeinanderfolgenden Ligaspielen für ihren Verein 1. FFC Turbine Potsdam insgesamt sechs Tore in Folge zu schießen, ohne zwischenzeitlich einen Gegentreffer zu bekommen: Am 7. Dezember 2005 schoss Pohlers in der 86. Minute das 7:1 gegen SC 07 Bad Neuenahr, und am 11. Dezember 2005 folgten alle fünf Treffer beim 0:5-Auswärtssieg bei der Damenmannschaft des FC Bayern München, wobei sie in der 2. Halbzeit einen Hattrick erzielte.


title: Hattrick

text: Dem Finnen Joel Pohjanpalo von Bayer 04 Leverkusen gelang in der Saison 2016/17 am 10. September 2016 gegen den Hamburger SV der 100. Hattrick der Bundesliga-Geschichte. Er schoss in der zweiten Halbzeit (79., 91. und 94. Minute) als Joker die einzigen drei Tore der Leverkusener, sodass die Mannschaft noch einen 3:1-Sieg erreichen konnte.


title: Hattrick

text: Dem Franzosen Anthony Modeste vom 1. FC Köln gelang das besondere Kunststück, sich nach einem in der 1. Halbzeit knapp verschossenen Elfmeter mit drei Toren in der 2. Halbzeit (61., 81. und 86. Minute) zu rehabilitieren und damit den 3:0-Sieg seiner Mannschaft gegen den mit 10 Spielern geschwächten Hamburger Sportverein zu besiegeln.


title: Hattrick

text: Im Spiel der Englischen Amateure gegen Frankreich am 1. November 1906 gelangen den englischen Spielern Vivian Woodward und Stanley Harris beim 15:0-Sieg nacheinander je ein Hattrick. Harris erzielte seine Tore in der 49., 51. und 57. Minute, Woodward in der 63., 65. und 73. Minute.


title: Hattrick

text: Am 14. September 1980 gelang es Frank Mill und Matthias Herget im Trikot von Rot-Weiss Essen im Spiel gegen Holstein Kiel in der Zweiten Liga Nord, jeweils einen Hattrick zu erzielen. Mill erzielte Tore in der 9., 25. und 30. Minute. Hergets Tore fielen in der 57., 65. und 85. Minute. Bei Hergets Hattrick war die zusätzliche Besonderheit, dass dieser nur aus Elfmetern bestand. Das Spiel endete 6:0, es fielen also außer den beiden Hattricks keine Tore.


title: Hattrick

text: Beim Spiel FC Sion gegen FC Basel (Endstand 8:1) am 4. Juli 2001 in der damaligen Nationalliga A in der Schweiz gelang dem Spieler Poueys Julien ein Hattrick mit Toren in der 55., 59. und 62. Minute. Der Spieler wurde in der 63. Minute ausgewechselt und durch den Spieler Ojong Samuel ersetzt, der in den Minuten 79., 81. und 86. ebenfalls einen Hattrick erzielte.


title: Hattrick

text: International gelangen Sophus Nielsen am 22. Oktober 1908 im Spiel Dänemark gegen Frankreich zwei Hattricks durch Tore in der 3., 4. und 6. Minute sowie 46., 48. und 52. Minute zum zwischenzeitlichen 3:0 bzw. 9:1. Insgesamt erzielte er beim 17:1-Sieg 10 Tore.