title: Grammophon

text: Da das Prinzip der mechanischen Schall-Reproduktion nur eine begrenzte Lautstärke zuließ, die zwar für normale Räume, nicht aber für größere Säle ausreichte, wurden verschiedene sogenannte Starkton-Geräte entwickelt. Sie waren anstelle einer normalen Schalldose mit einem von der Plattennadel gesteuerten Ventilsystem ausgerüstet, durch das Pressluft oder Kohlendioxid geleitet wurde. Diese Apparate entwickelten eine enorme Lautstärke und konnten somit Konzertorgeln oder kleine Orchester ersetzen, waren aber auch sehr störanfällig.


title: Grammophon

text: Ab ungefähr 1910 wurden die heute so beliebten Außentrichter immer mehr als unästhetisch und vulgär empfunden; man begann daher, den Trichter in das Innere eines Schrank- oder Tischgerätes zu verlegen. Durch Holztüren oder drehbare Lamellen vor dem Trichterausgang konnte man bei diesen Geräten einen zusätzlichen Einfluss auf die Lautstärke nehmen. Andere Hersteller verbargen das Grammophon sogar in Lampen, Statuen oder dem „Blumentopf“ künstlicher Pflanzen. Ab dieser Zeit wurden auch die ersten Grammophone mit elektrischem Antrieb hergestellt, bei dem das lästige Aufziehen des Federwerks entfiel. Diese Geräte gehörten jedoch zur gehobenen Preisklasse und fanden keine allgemeine Verbreitung, zumal Elektrizität seinerzeit bei weitem noch nicht in jedem Haushalt vorhanden war.


title: Grammophon

text: Beliebt waren ab Mitte der 1920er Jahre leicht transportable (und daher auch im Freien, z. B. beim Picknick, verwendbare) Koffergrammophone. Diese hatten in der Regel den Trichter ebenfalls im Gehäuse mit einem Schallaustritt am rückwärtigen Teil des Gerätes, wobei der Deckel als zusätzlicher Reflektor zum Einsatz kam. Häufig fand sich im Deckel ein Fach zur Aufnahme von Platten, die so bruchsicher mitgenommen werden konnten. Daneben gab es auch sehr kleine und kompakte Geräte von oft origineller Bauart, die in einer Dose oder einem kleinen Kasten Platz fanden. Sie mussten allerdings vor Gebrauch erst umständlich zusammengesetzt werden und erfüllten oft nur die bescheidensten Ansprüche an Lautstärke und Klang.


title: Grammophon

text: Das Grammophon war für Bastler oder kleine Werkstätten auch in der Form von Einzelteilen oder preisgünstigen Bausätzen erhältlich. Die Technik wurde geliefert, das Gehäuse musste nach einer mitgelieferten Vorlage selbst erstellt werden. Viele Musikaliengeschäfte erzeugten auf diese Weise ihre „eigenen“ Geräte.


title: Grammophon

text: Die Blütezeit erlebte das Grammophon gegen Ende der 1920er Jahre, danach wurden Schallplatten zunehmend elektrisch abgenommen und über einen elektrischen Verstärker wiedergegeben. Von verschiedenen Herstellern wurden ab dieser Zeit auch Sets angeboten, mit denen ein Grammophon zur elektrischen Tonabnahme umgebaut werden konnte; entweder ersetzte man dabei lediglich die Schalldose durch einen elektrischen Abnehmer oder montierte einen kompletten zusätzlichen Tonarm. Koffergrammophone waren allerdings noch bis in die frühen 1950er Jahre verbreitet. Erst mit Einführung der Singles und LPs aus Vinyl sowie der kleinen, leichten, robusten und stromsparenden Transistorverstärker wurden die Koffergrammophone durch elektrische Koffer-Plattenspieler ersetzt. Schallplatten aus Vinyl können auf einem Grammophon nicht abgespielt werden. Wegen des weichen Materials werden ihre schmalen Rillen von dessen Stahlnadel zerstört.


title: Grammophon

text: Heute werden Grammophone auf dem Antiquitätenmarkt gehandelt. Besonders gesucht und entsprechend teuer sind die frühen Trichtermodelle, daher werden gerade von diesen häufig Nachbauten angeboten, besonders Geräte mit der Markenbezeichnung „His Master’s Voice“ sind häufig zu finden. Zu beachten ist hierbei, dass vor allem billigere Nachbauten aufgrund unzureichend verarbeiteter Schalldosen den Platten beim Abspielen meist irreparable Schäden zufügen und daher bestenfalls als Dekoration geeignet sind, zudem weisen sie gegenüber „echten“ Geräten oft auch andere Verarbeitungsmängel auf, an welchen Kenner sie leicht als Nachbauten identifizieren können. Solche Geräte sind daher unter Sammlern verpönt und werden oftmals als „Crapophones“ bezeichnet ( = Mist). Ebenfalls anzutreffen und schwieriger zu erkennen sind "Marriagen" d. h. Geräte die aus an sich alten Teilen neu zusammengefügt wurden. Hier ist die Grenze zwischen legitimer Restaurierung (Ersatz einzelner fehlender Teile durch vom gleichen Hersteller stammende und auch wirklich zum entsprechenden Modell passende Stücke) und unangemessener Praktik (willkürliches Kombinieren von Teilen unterschiedlicher Hersteller und Modelle, ggf. auch umgearbeitet oder mit unpassenden Neuteilen kombiniert) fließend und nur mit entsprechendem Fachwissen feststellbar.


title: Grammophon

text: Eine der größten deutschen Sammlungen von Phonographen und Grammophonen mit hunderten von Exponaten befindet sich im Besitz des Viersener Sammlers Volkmar Hess. Um diese einem größeren Teil der Öffentlichkeit zugänglich zu machen, ist ein Teil der Sammlung dauerhaft im „Internationalen Phono u. Radio Museum“ in Dormagen (Nordrhein-Westfalen) ausgestellt.


title: Grammophon

text: Mit Berliners Grammophon vergleichbare Abspielgeräte wurden alsbald auch von anderen Firmen unter anderen Markennamen produziert. Zu den ersten gehörten die seit 1899 von der "International Zonophone Company" des Amerikaners Frank Seaman hergestellten Modelle der Marke "Zon-O-Phon", die Funktionalität mit hoher technischer Zuverlässigkeit kombinierten. Seaman war zuvor Berliners Verkaufsleiter gewesen und verließ die "Berliner Gramophone Company" in einer durch patentrechtliche Auseinandersetzungen ausgelösten Krise.


title: Grammophon

text: Von den Grammophonen sind jedoch die zwar äußerlich für Laien gleich aussehenden, aber mit anderen Konstruktionsmerkmalen ausgestatteten Geräte für Tiefenschrift-Schallplatten zu unterscheiden. Hierzu gehören die Diamond-Disc-Phonographen von Edison ebenso wie die Geräte für das Plattensystem der Gebrüder Pathé.


title: Parmaschinken

text: Parmaschinken, italienisch Prosciutto di Parma, ist ein naturbelassener luftgetrockneter Rohschinken aus der Provinz Parma nordwestlich von Bologna. Er hat einen mild-würzigen Geschmack, ist von rosaroter Farbe mit feiner Fettmaserung, die Konsistenz ist zart.


title: Parmaschinken

text: Ursprungsort des Parmaschinkens ist Langhirano am Fluss Parma, in dem auch heute ein Großteil der Schinken produziert wird.


title: Parmaschinken

text: In Italien bleibt der Knochen meist am Schinken, geschnitten wird er erst unmittelbar vor dem Verzehr in hauchdünne Scheiben. Klassisch wird er mit Melonenspalten oder anderen Früchten als Vorspeise gereicht.


title: Parmaschinken

text: Parmaschinken wird aus Schweinen hergestellt, die aus einer von zehn definierten Regionen Nord- und Mittelitaliens stammen. Sie müssen bei der Schlachtung älter als 9 Monate sein und mindestens 144 kg wiegen.


title: Parmaschinken

text: Nach der Schlachtung werden die durchschnittlich 15 kg schweren Schweinekeulen vom Salzmeister mit Meersalz eingerieben. Die sparsame Verwendung von Salz gibt dem Parmaschinken einen milden Geschmack. Nach dem Salzen nehmen die Schinken im Kühlraum das Salz auf und verlieren gleichzeitig Wasser und damit Gewicht.


title: Parmaschinken

text: Anschließend wird das Salz abgewaschen und der Schinken zur Lufttrocknung in spezielle Reifehallen gehängt. In diesen sorgen einander gegenüberliegende Fenster für einen steten Luftstrom. Um an der Fleischseite eine zu starke Austrocknung zu verhindern, wird der Schinken hier mit der sogenannten "Sugna", einer Mischung aus Schmalz und Salz, eingerieben. Der Einschmalzungsprozess des Schinkens wird in der Fachsprache als "Sugnatura" bezeichnet. Nach italienischem Lebensmittelrecht stellt die "Sugna" keine Zutat dar.


title: Parmaschinken

text: Nach einer Reifezeit von mindestens einem Jahr wird der Parmaschinken von einem unabhängigen Prüfer geprüft, indem dieser einen spitzen Pferdeknochen an fünf genau festgelegten Punkten einsticht und insbesondere den Geruch und die Konsistenz des Parmaschinkens mit dem Knochen prüft. Schinken, die alle Qualitätsprüfungen bestanden haben, bekommen die fünfzackige Krone der Herzöge von Parma aufgebrannt.


title: Parmaschinken

text: 2021 wurden acht Millionen Parmaschinken produziert, von denen 64 % in Italien blieben und 36 % in den Export gingen. Dies bezieht sich sowohl auf ganze Schinken als auch auf die SB-Ware. In der Herstellung sind 3.000 Mitarbeiter in 140 Manufakturen beschäftigt. 3.600 Schweinemastbetriebe liefern die Schweinekeulen, und für die Schlachtung stehen 78 Schlachthöfe zur Verfügung. Die gesamte Branche zählt 50.000 Beschäftigte. Der Produktionswert lag 2021 bei 750 Millionen Euro.


title: Parmaschinken

text: Parmaschinken trägt seit 1996 das Siegel „Geschützte Ursprungsbezeichnung“, das von der EU zum Schutz traditioneller, regionaler Spezialitäten verliehen wird. Unter dem Namen Parmaschinken darf daher nur Schinken angeboten werden, der aus Keulen definierter Schweinerassen, die in Nord- und Mittelitalien geboren und aufgezogen wurden, hergestellt wurde und dies nach traditionellem, streng festgelegten Verfahren ausschließlich in der Provinz Parma.


title: Parmaschinken

text: Über die Einhaltung dieser Vorschriften wacht das 1963 gegründete "Consorzio del Prosciutto di Parma". Parmaschinken trägt als Markenzeichen die fünfzackige Krone des Herzogtums Parma auf der Schwarte und auf der SB-Packung.


title: Parmaschinken

text: 2018 wurde bekannt, dass die Staatsanwaltschaft Turin wegen Verstößen gegen die strengen Qualitätsauflagen ermittelte. Laut der Ermittler waren bei der Herstellung von Parma- und San-Daniele-Schinken sowie anderer Fleisch- und Wurstwaren seit 2014 in größerem Umfang Schweinekeulen von nicht reinrassigen Schweinen verwendet worden. Durch die Verwendung von dänischen Zuchtebern konnte die Aufzucht bei geringerem Futterbedarf beschleunigt werden. Im Gegensatz zu reinrassigen italienischen Züchtungen, besitzt die Kreuzung jedoch eine geringere Fettschicht, was sich auf Lagerung und Konservierung des Schinkens auswirkt.


title: Parmaschinken

text: Durch falsche Angaben bei den Geburtsdaten, deren Eintrag in Eigenverantwortung der Züchter lag, konnte der Betrug verschleiert werden. Nach Ansicht von Experten hätte die geringere Fettmasse bei der Schlachtung und bei der Weiterverarbeitung allerdings auffallen müssen, da die Fettmasse Einfluss auf den Reifungsprozess hat.


title: Parmaschinken

text: Die dänischen Eber wurden auch nach der Aufdeckung 2017 weiterverwendet. Bis Juni 2019 waren bereits 3,5 Millionen Schinken aus dem Verkehr gezogen worden. In der Folge wurden neue Qualitätskontrollen eingeführt und neue Produktionsrichtlinien vorgestellt. Im Frühjahr 2021 wurden 23 Personen und 10 Unternehmen unter anderem wegen Betrugs und Urkundenfälschung in dem in Anlehnung an Tangentopoli von den Medien auch als Prosciuttopoli bezeichneten Lebensmittelskandal angeklagt.


title: Burkhard Müller-Ullrich

text: Burkhard Müller-Ullrich (* 19. November 1956 in Frankfurt am Main) ist ein deutsch-schweizerischer Journalist, Schriftsteller und Podcaster. Seit Juni 2022 ist er Betreiber des Internetradiosenders "Kontrafunk."


title: Burkhard Müller-Ullrich

text: Müller-Ullrich wuchs in Frankfurt am Main auf, studierte in München Philosophie, Soziologie und Geschichte und verließ die Universität nach wenigen Semestern ohne Abschluss, während er als Mitarbeiter des "Bayerischen Rundfunks" und der "Süddeutschen Zeitung" tätig war.


title: Burkhard Müller-Ullrich

text: Seit 1978 arbeitet Müller-Ullrich als Journalist. Er war zunächst freier Mitarbeiter verschiedener deutscher Rundfunkanstalten, des "Gemeinschaftswerks der Evangelischen Publizistik" (bei der Zeitschrift "medium" sowie dem Branchendienst "Kirche und Rundfunk") und der "Frankfurter Rundschau."


title: Burkhard Müller-Ullrich

text: Von 1985 bis 1988 war er Redakteur beim "Schweizer Radio DRS" und dem Schweizer Büchermagazin "Bücherpick." Außerdem leitete er 1987/88 das zweimal wöchentlich erscheinende Branchenblatt für Schweizer Buchhändler "Sortiment."


title: Burkhard Müller-Ullrich

text: Von 1988 bis 1994 war Burkhard Müller-Ullrich als freier Kulturkorrespondent mit Schwerpunkt Schweiz, Frankreich und Großbritannien für viele Rundfunkanstalten und Zeitungen aktiv. Darunter die "Basler Zeitung," die "Berner Zeitung," das "St. Galler Tagblatt, Die Zeit, Die Welt" und "Der Standard." Außerdem war er in der Zeit als Übersetzer für den deutschsprachigen Dienst der wissenschaftlichen Nachrichtenagentur CEDOS (Centre de documentation scientifique) in Genf aktiv.


title: Burkhard Müller-Ullrich

text: 1994 bis 1996 war er Gründer und Leiter der Internationalen Kulturnachrichten-Agentur "ink-a" mit Sitz in Freiburg/Brsg. Außerdem arbeitete er in der Zeit von 1994 bis 1996 als Autor bei der Schweizer "Weltwoche," "Focus" und der "Süddeutschen Zeitung."


title: Burkhard Müller-Ullrich

text: Von 1997 bis 2000 war er Redaktionsleiter der Redaktion "Kultur heute" im "Deutschlandfunk." Seither war er wieder freischaffend als Autor für mehrere ARD-Sender, Zeitungen und Zeitschriften tätig. Als Moderator war er bis Anfang 2022 regelmäßig als freier Mitarbeiter im "Südwestrundfunk (SWR2 Forum)" zu hören. Im Februar 2021 gab er der Wochenzeitung Junge Freiheit ein Interview, in dem er sich über „Dummheit und Charakterlosigkeit“ vieler Kollegen und „die zunehmende Gleichgeschaltetheit“ der Rundfunkräte beschwerte und „vor allem die öffentlich-rechtlichen Medien“ als „Panikschleudern in Sachen Corona“ bezeichnete.


title: Burkhard Müller-Ullrich

text: Schwerpunkte seiner Arbeit sind Medienkritik und internationale Kulturberichterstattung. In den 1990er Jahren löste er mit Artikeln (u. a. über das Waldsterben, die Schriftstellerin Taslima Nasrin und den in den USA wegen Polizistenmordes in einem umstrittenen Gerichtsprozess verurteilten Bürgerrechtler Mumia Abu-Jamal) heftige Kontroversen aus, später begleitete er das Tagesgeschehen vor allem satirisch. Seine Glossen wurden von mehreren Rundfunkanstalten gesendet und erschienen u. a. im Wiener "Standard."


title: Burkhard Müller-Ullrich

text: Von 2020 bis Ende März 2022 moderierte Müller-Ullrich bei der "Achse des Guten" den Podcast "indubio," in dem er das politische und gesellschaftliche Tagesgeschehen mit seinen Gästen besprach. Im Herbst 2020 gehörte er zu den Erstunterzeichnern des Appell für freie Debattenräume. Im Herbst 2020 löschte Spotify die Folge "Trans-Babys und Pubertätsblocker" mit Birgit Kelle sowie weitere Folgen des Podcasts "indubio."


title: Burkhard Müller-Ullrich

text: Müller-Ullrich führt den indubio-Podcast, nachdem er sich im Streit von "Die Achse des Guten" getrennt hatte, unter dem neuen Namen "Sonntagsrunde" im Webradio "Kontrafunk" fort. Am 21. Juni 2022 wurde Kontrafunk erstmals in der Form eines Radioprogrammes, das mit 1,2 Mio. Euro Startkapital ausgestattet ist, ausgestrahlt und von Müller-Ullrich mit dem Slogan „Die Stimme der Vernunft“ beworben. Jeweils ein Drittel der 20 Redakteure, die auf 12 Vollzeitstellen arbeiten, stammen aus dem öffentlich-rechtlichen Rundfunk, von Russia Today (RT) und aus anderen Bereichen. Einer der Nachrichtensprecher ist der frühere DLF-Sprecher Volker-Andreas Thieme. Die Talkshow "Die Beichte" wird von der Ex-RT-Moderatorin Jasmin Kosubek moderiert. Der dauerhafte Bestand des Programmes soll über eine Finanzierung durch 12.000 Patenschaften von 10 Euro pro Monat gesichert werden. Die Redakteure moderieren aus ihren Privaträumen, ein Radiostudio existiert nicht. Am Firmensitz von "Kontrafunk" sind laut Handelsregister 50 weitere Firmen registriert, ein Briefkasten wird von drei weiteren Firmen geteilt, die im Besitz von Andreas Thiel stehen. Kritiker des Kontrafunk behaupten, Inhalte der Sendungen entsprächen der programmatischen Ausrichtung der AfD.


title: Burkhard Müller-Ullrich

text: Burkhard Müller-Ullrich ist auch der Betreiber der Webseite "Ich Habe Mitgemacht," die „als Pranger für alle, die er für die Corona-Politik verantwortlich macht,“ dient. Auf dieser Website werden Zitate von Menschen aus Politik, Wissenschaft und Medien im Zusammenhang mit dem SARS-CoV-2 Virus, den politischen Maßnahmen und im Umgang mit deren Kritikern gesammelt. Der Vorwurf gegen die Aufgelisteten, unter denen sich neben Karl Lauterbach auch Baden-Württembergs Ministerpräsident Winfried Kretschmann und die Grünen-Vorsitzende Ricarda Lang (Wahlkreis Backnang-Schwäbisch Gmünd) befinden: Sie hätten sich an „Corona-Unrecht“ beteiligt. Als Betreiber werden Anonyme „Archivare“ und der Journalist Burkhard Müller-Ullrich genannt.


title: Burkhard Müller-Ullrich

text: Müller-Ullrich lebte in Frankfurt am Main, München und auf der Insel Reichenau. 1982 siedelte er nach Genf über, 1994 nach Freiburg im Breisgau. Heute lebt er mit seiner Familie in Köln und in der Schweiz. Er ist Staatsbürger von Deutschland und der Schweiz.


title: Noether-Theorem

text: Das Noether-Theorem (formuliert 1918 von Emmy Noether) verknüpft elementare physikalische Größen wie Ladung, Energie und Impuls mit geometrischen Eigenschaften, nämlich der Invarianz (Unveränderlichkeit) der Wirkung unter Symmetrietransformationen:


title: Noether-Theorem

text: Dabei ist eine Symmetrie eine Transformation (zum Beispiel eine Drehung oder Verschiebung), die das Verhalten des physikalischen Systems nicht ändert. Es gilt auch die Umkehrung:


title: Noether-Theorem

text: Eine Erhaltungsgröße eines Systems von Teilchen ist eine Funktion der Zeit formula_1, der Orte formula_2 und der Geschwindigkeiten formula_3 der Teilchen, deren Wert sich auf jeder von ihnen im Laufe der Zeit durchlaufenen Bahn formula_4 nicht ändert. So ist die Energie formula_5 eines nichtrelativistischen Teilchens der Masse formula_6, das sich im Potential formula_7 bewegt, eine Erhaltungsgröße. Das heißt, für jede Bahn formula_4, die der Bewegungsgleichung formula_9 genügt, gilt zu jeder Zeit formula_1:


title: Noether-Theorem

text: Die Symmetrien, die zur Erhaltung der elektrischen Ladung und anderer Ladungen von Elementarteilchen gehören, betreffen Wellenfunktionen von Elektronen, Quarks und Neutrinos. Jede solche Ladung ist ein lorentzinvarianter Skalar, das heißt, sie hat in allen Bezugssystemen denselben Wert, anders als beispielsweise der Drehimpuls, die Energie oder der Impuls.


title: Noether-Theorem

text: Der im Noether-Theorem formulierte Zusammenhang von Symmetrien und Erhaltungsgrößen gilt für solche physikalischen Systeme, deren Bewegungs- oder Feldgleichungen aus einem Variationsprinzip abgeleitet werden können. Man verlangt hierbei, dass das sogenannte "Wirkungsfunktional" einen Extremwert annimmt (siehe auch Prinzip der kleinsten Wirkung).


title: Noether-Theorem

text: Bei der Bewegung von Massepunkten ist dieses Wirkungsfunktional formula_17 durch eine Lagrangefunktion der Zeit formula_1, des Ortes formula_2 und der Geschwindigkeit formula_20


title: Noether-Theorem

text: zu. Beispielsweise ist in Newtonscher Physik die Lagrangefunktion eines Teilchens im Potential formula_24 die Differenz von kinetischer Energie formula_25 und potentieller Energie formula_26:


title: Noether-Theorem

text: Die physikalisch tatsächlich durchlaufene Bahn, die zur Anfangszeit formula_28 durch den Startpunkt formula_29 und zur Endzeit formula_30 durch den Endpunkt formula_31 geht, macht den Wert der Wirkung im Vergleich mit allen anderen (differenzierbaren) Bahnen, die durch denselben Start- bzw. Endpunkt gehen, stationär (oder extremal). Die physikalisch tatsächlich durchlaufene Bahn erfüllt daher die Bewegungsgleichung


title: Noether-Theorem

text: Differentialgleichungen, die sich derart aus einem Wirkungsfunktional durch Variation ableiten lassen, nennt man "variationell selbstadjungiert." Alle elementaren Feld- und Bewegungsgleichungen der Physik sind variationell selbstadjungiert.


title: Noether-Theorem

text: Man sagt, dass eine Differentialgleichung eine "Symmetrie" besitzt, wenn es eine Transformation des Raumes der Kurven gibt, die die Lösungen der Differentialgleichungen auf Lösungen abbildet. Für variationell selbstadjungierte Differentialgleichungen erhält man eine solche Transformation, wenn die Transformation das Wirkungsfunktional bis auf Randterme invariant lässt. Das Noether-Theorem besagt, dass die Invarianz des Wirkungsfunktionals gegenüber einer einparametrigen stetigen Transformationsgruppe die Existenz einer Erhaltungsgröße zur Folge hat und dass umgekehrt jede Erhaltungsgröße die Existenz einer (mindestens infinitesimalen) Symmetrie der Wirkung zur Folge hat.


title: Noether-Theorem

text: Sei formula_34 eine einparametrige, differenzierbare Gruppe von Transformationen, die (genügend differenzierbare) Kurven formula_35 auf Kurven formula_36 abbildet, und gehöre der Parameterwert formula_37 zur identischen Abbildung, formula_38.


title: Noether-Theorem

text: Beispielsweise bildet formula_39 mit formula_40 jede Kurve formula_41 auf die um formula_42 früher durchlaufene Kurve ab. Die Transformation formula_43 mit formula_44 verschiebt jede Kurve um eine Konstante formula_45.


title: Noether-Theorem

text: Die Transformationen formula_34 heißen lokal, wenn sich die Ableitung bei der identischen Abbildung, die infinitesimale Transformation


title: Noether-Theorem

text: für alle Kurven formula_41 als Funktion formula_49 der Zeit, des Ortes formula_2 und der Geschwindigkeit formula_3, ausgewertet auf der Kurve formula_41, schreiben lässt,


title: Noether-Theorem

text: Beispielsweise sind die Verschiebungen von Zeit und Ort lokal und gehören zur infinitesimalen Transformation formula_54 beziehungsweise zu formula_55.


title: Noether-Theorem

text: Sei nun formula_56 die Lagrangefunktion des mechanischen Systems. Dann heißen die lokalen Transformationen formula_57 Symmetrien der Wirkung, wenn sich für alle Kurven formula_41 die Lagrangefunktion bei infinitesimalen Transformationen nur um die Zeitableitung einer Funktion formula_59, ausgewertet auf formula_41, ändert:


title: Noether-Theorem

text: Der Zusammenhang dieser Definition der Symmetrie der Wirkung mit der Erhaltungsgröße wird klar, wenn man die partiellen Ableitungen der Lagrangefunktion nach formula_42 ausführt, und dabei als Kurzschrift die Definition der infinitesimalen Transformation verwendet


title: Noether-Theorem

text: Ergänzt man den ersten Term zu einem Vielfachen der Bewegungsgleichung und zieht man die Ergänzung beim zweiten Term ab, entsteht


title: Noether-Theorem

text: Da aber das formula_67-Fache der Bewegungsgleichungen auf den physikalisch durchlaufenen Bahnen verschwindet, besagt diese Gleichung, dass die Funktion


title: Noether-Theorem

text: die zur Symmetrie gehörige Noetherladung, sich auf den physikalisch durchlaufenen Bahnen nicht ändert:


title: Noether-Theorem

text: Umgekehrt ist jede Erhaltungsgröße definitionsgemäß eine Funktion formula_70, deren Zeitableitung auf physikalischen Bahnen verschwindet, also ein Vielfaches (von Ableitungen) der Bewegungsgleichungen ist. Dieses Vielfache definiert die infinitesimale Symmetrie formula_71.


title: Noether-Theorem

text: Ist bekannt, wie die Energie von der Geschwindigkeit abhängt, so legt diese Gleichung die Lagrangefunktion bis auf einen Anteil fest, der linear in den Geschwindigkeiten ist und nicht zur Energie beiträgt. Denn zerlegt man die Lagrangefunktion beispielsweise in Anteile formula_86, die homogen vom Grad formula_87 in der Geschwindigkeit sind, dann tragen sie mit formula_88 zur Energie bei. Ist also formula_89, so ist die Lagrangefunktion


title: Noether-Theorem

text: Insbesondere besteht in Newtonscher Physik die Energie aus der kinetischen Energie, die quadratisch in der Geschwindigkeit ist, formula_91, und der geschwindigkeitsunabhängigen potentiellen Energie, formula_92. Daher ist die Lagrangefunktion formula_93-mal die kinetische Energie plus formula_94-mal potentielle Energie. In der relativistischen Physik gilt in Maßsystemen mit formula_95 für die Lagrangefunktion und die Energie eines freien Teilchens der Masse formula_6:


title: Castel Gandolfo

text: Castel Gandolfo (auch Castelgandolfo, lateinisch Castrum Gandulphi) ist eine italienische Stadt mit Einwohnern (Stand: ), die zur Metropolitanstadt Rom Hauptstadt in der Region Latium gehört.


title: Castel Gandolfo

text: Bekannt ist die Stadt wegen der hier befindlichen Papstresidenz, die seit dem 17. Jahrhundert den Päpsten als Sommerresidenz dient und seit 21. Oktober 2016 als Museum allgemein zugänglich ist.


title: Castel Gandolfo

text: Castel Gandolfo liegt 24 km südöstlich von Rom in den Albaner Bergen oberhalb des Albaner Sees, eines Maars, das sich in der Caldera eines alten Vulkans gebildet hat. Das Gemeindegebiet erstreckt sich über eine Höhe von 155 bis


title: Castel Gandolfo

text: Castel Gandolfo wird zu den Ortschaften der Castelli Romani gezählt und ist Mitglied der Vereinigung "I borghi più belli d’Italia" (Die schönsten Orte Italiens).


title: Castel Gandolfo

text: Archäologische Ausgrabungen und historische Quellen lassen vermuten, dass an der Stelle des heutigen Ortes um etwa 1100 v. Chr. bis 600 v. Chr. die antike Stadt Alba Longa lag, die lange kultureller Mittelpunkt und Hauptstadt des Latinerbundes war. Alba Longa spielte in der römischen Mythologie bei der Gründung Roms eine herausragende Rolle. Die Vestalin Rhea Silvia, Tochter des Königs von Alba Longa, Numitor Silvius, eines Nachfahren des Aeneas, soll die Mutter der beiden ausgesetzten Zwillinge Romulus und Remus gewesen sein; daher gilt Alba Longa als die Mutterstadt Roms. 665 v. Chr. wurde Alba Longa jedoch von Rom zerstört.


title: Castel Gandolfo

text: Wegen der kühlenden Winde auf der Höhe des Kraterrandes, die den Aufenthalt im Sommer gegenüber der römischen Hitze angenehm machen, ferner aufgrund der günstigen Lage an der Via Appia (ab 312 v. Chr. erbaut), wurden in dem Gebiet zahlreiche "villae urbanae" errichtet, darunter als größte die Villa des Kaisers Domitian. Sie ist der Vorgängerbau des heutigen Päpstlichen Palastes.


title: Castel Gandolfo

text: Im Mittelalter gehörte die Domitianvilla unter dem Namen "Massa Caesariana" den Grafen von Tusculum. 1221 erwarben sie die Savelli und bauten sie zu ihrer Burg um. 1596 wurde sie aufgrund unbeglichener Schulden der Familie Savelli von der Apostolischen Kammer beschlagnahmt und in der Folge zum barocken Palast umgebaut. Seit 1628 wird dieser "Palazzo Pontificio" (oder "Palazzo Apostolico di Castel Gandolfo") von den Päpsten als Sommerresidenz genutzt. Papst Franziskus ließ 2016 Teile des Palastes als Museum öffnen.


title: Castel Gandolfo

text: Im 18. Jahrhundert war Castel Gandolfo eine mondände Sommerfrische; Goethe besuchte sie im Oktober 1787 für drei Wochen von Rom aus während seiner "Italienischen Reise". Als 1798 Castel Gandolfo von französischen Soldaten besetzt wurde, schloss es sich der kurzlebigen Republik von Albano an. 1870 wurde der Kirchenstaat aufgelöst und Castel Gandolfo ins Königreich Italien eingegliedert.


title: Castel Gandolfo

text: 1929 sicherten die Lateranverträge der Vatikanstadt die Staatlichkeit, und u. a. dem Lateran und der Papstresidenz in Castel Gandolfo den Status einer exterritorialen Besitzung des Heiligen Stuhls.


title: Castel Gandolfo

text: Milvia Monachesi (PD) wurde im Mai 2012 zur Bürgermeisterin gewählt und im Juni 2017 im Amt bestätigt. Ihr Vorgänger und Parteifreund Maurizio Colacchi amtierte von 2002 bis 2012. Bei den Wahlen 2002, 2007 und 2012 erreichte die rot-grüne Bürgerliste "Arcobaleno" (Regenbogen) immer die absolute Mehrheit der Sitze im Gemeinderat. 2017 trat die Nachfolgeliste "Insieme (Zusammen)" an, die 8 der 12 Gemeinderatssitze gewann.


title: Castel Gandolfo

text: Die Einwohner von Castel Gandolfo gehören mehrheitlich der römisch-katholischen Glaubensgemeinschaft an. Die Stadt gehört zum Bistum Albano.


title: Castel Gandolfo

text: Castel Gandolfo beherbergt eine Residenz des Papstes. Ursprünglich von Kaiser Domitian erbaut, war es später der Adelssitz der Familie Gandolfi und dann der Savelli. Die Residenz wurde von Papst Clemens VIII. 1596 beschlagnahmt und unter Urban VIII. (Maffeo Barberini) von 1624 bis 1629 zum Papstpalast umgebaut. Seither wurde der Palast von fast allen Päpsten vor allem in den Sommermonaten als Residenz genutzt. Traditionell finden dann auch die Generalaudienzen dort im Innenhof des Papstpalastes statt. Papst Benedikt XVI. nutzte die Residenz während seines Pontifikats das ganze Jahr über häufig zur Erholung. Er hat sich nach seinem Amtsverzicht am 28. Februar 2013 nach Castel Gandolfo zurückgezogen, bis er am 2. Mai 2013 endgültig seinen Altersruhesitz im Kloster Mater Ecclesiae nahm. Im Sommer 2015 nutzte der emeritierte Papst Benedikt XVI. die Residenz für einen zweiwöchigen Aufenthalt erneut. Castel Gandolfo ist Sterbeort von Pius XII. (1958) und Paul VI. (1978).


title: Castel Gandolfo

text: Die Residenz ist ein Komplex von drei Villen, der Villa del Moro, Villa Cybo und Villa Barberini, auf einer Fläche von 55 Hektar. Der Kaiserpalast des Domitian war einst ein System von Gebäuden, Höfen und Gärten, das sich dort erstreckte und von denen sich Überreste noch in den Gärten der Villen finden. In den 1930er Jahren wurde der Apostolische Palast mit den Villen und Gärten als päpstliche Sommerresidenz zusammengefasst. Die Gärten des Palasts wurden im 17. Jahrhundert angelegt. Zwischen den Gewölben der Villa des Domitian, deren Cryptoporticus, Theater und Nymphäum, verläuft eine über 400 Jahre alte Eichenallee.


title: Castel Gandolfo

text: Gemäß den Lateranverträgen von 1929 sind die päpstliche Residenz in Castel Gandolfo und die päpstlichen Güter, ähnlich wie der Lateranspalast, nicht Teil des Territoriums des Staates der Vatikanstadt, sondern italienisches Staatsgebiet, welches sich im Eigentum des Heiligen Stuhls befindet. Doch wurde die Sommerresidenz (welche den Papstpalast, die Villa Cybo, die Villa Barberini, die Gärten des Belvedere sowie einen Gutshof mit einer kleinen Landwirtschaft mit einer Ausdehnung von insgesamt 55 Hektar umfasst) als exterritoriale Besitzung des Heiligen Stuhls bezeichnet. Als solche ist sie vergleichbar mit diplomatischen Missionen: Die Besitzung ist von italienischen Steuern und Enteignungen befreit, italienische Behörden dürfen sie ohne Zustimmung des Heiligen Stuhls nicht betreten. Der Vertrag beschreibt dies als Exterritorialität, ein Begriff, der im heutigen Völkerrecht wegen seiner Missverständlichkeit nicht mehr verwendet wird.


title: Castel Gandolfo

text: Im Ostflügel der Anlage befindet sich seit 1930 die Vatikanische Sternwarte "Specola Vaticana", die den römischen Standort der Sternwarte wegen der Lichtverschmutzung der Großstadt ersetzte. Sie verfügt über zwei Teleskope aus den 1950er Jahren, die aber mittlerweile veraltet sind. Deshalb wurde 1981 die Forschungsabteilung des Institutes durch deren damaligen Leiter George Coyne nach Arizona an die dortige Universität verlegt.


title: Castel Gandolfo

text: Die Sicherungsaufgaben innerhalb der päpstlichen Güter werden von der vatikanischen Gendarmerie wahrgenommen. Im Gebiet der Villa Cybo befindet sich das „Internationale Kongresszentrum Mariapoli“ der Fokolarbewegung. Zu Beginn des Pontifikats von Johannes Paul II. wurde von amerikanischen Katholiken ein überdachtes Schwimmbad gespendet.


title: Castel Gandolfo

text: Im Oktober 2016 kündigte Papst Franziskus an, "Castel Gandolfo" künftig nicht mehr als Sommerresidenz nutzen zu wollen. Am 21. Oktober 2016 wurde die Papstwohnung in ein für die Öffentlichkeit zugängliches Museum umgewandelt.


title: Casa Batlló

text: Das im Jahr 1877 errichtete Gebäude wurde für den Textilindustriellen Josep Batlló i Casanovas in den Jahren 1904 bis 1906 im Stile des Modernisme von Grund auf umgebaut. Gaudí arbeitete dabei mit Josep Maria Jujol und Joan Rubió i Bellver zusammen. Darüber hinaus waren an der Ausgestaltung die Bildhauer Joan Beltran, Josep Llimona, Carles Maní i Roig, Joan Matamala i Flotats und Llorenç Matamala i Pinyol beteiligt. Die Keramiken, die Gaudí hier wie bei vielen anderen seiner Bauten sehr stark gestalterisch einsetzte, stammen von Sebastià Ribó.


title: Casa Batlló

text: Die farbenreiche Fassade gibt die Legende des Heiligen Georg wieder, des Schutzpatrons Kataloniens (hier "" genannt): Das Dach stellt die Schuppen des Drachens dar, gegen den der Heilige Georg kämpft, das Kreuz auf dem Dach ist seine Lanze. Die schmiedeeisernen Balkone stehen für Totenköpfe und die Galerie im ersten Stock für das Maul des Drachens.


title: Casa Batlló

text: Casa Batlló steht seit 1962 unter Denkmalschutz und wurde 2005 zusammen mit anderen Werken Gaudís in die Liste des UNESCO-Weltkulturerbes aufgenommen. Aktuell befindet es sich im Besitz der Familie Bernat (Gründer von Chupa Chups), die 1995 eine umfassende Restaurierung initiierte. Das Gebäude kann teilweise besichtigt werden – unter anderem das Foyer, die Beletage, das Treppenhaus, der Dachboden, das Dach und der Hinterhof. Mit knapp einer Million Besuchern pro Jahr gehört es zu den zehn wichtigsten Sehenswürdigkeiten Barcelonas.


title: Hilbertsche Probleme

text: Die hilbertschen Probleme sind eine Liste von 23 Problemen der Mathematik. Sie wurden von dem deutschen Mathematiker David Hilbert am 8. August 1900 beim Internationalen Mathematiker-Kongress in Paris vorgestellt und waren zu diesem Zeitpunkt ungelöst.


title: Hilbertsche Probleme

text: Hilbert war eingeladen worden, für den zweiten internationalen Mathematikerkongress im August 1900 in Paris einen Vortrag zu halten.


title: Hilbertsche Probleme

text: Er entschloss sich, keinen „Festvortrag“ zu halten, in dem er das bisher in der Mathematik Erreichte referieren und würdigen würde, und auch nicht auf den Vortrag von Henri Poincaré beim ersten internationalen Mathematikerkongress 1897 zu antworten, der über die Beziehung von Mathematik und Physik vorgetragen hatte. Sein Vortrag sollte stattdessen gewissermaßen einen programmatischen Ausblick auf die zukünftige Mathematik im kommenden Jahrhundert bieten. Diese Zielsetzung kommt in seinen einführenden Worten zum Ausdruck:


title: Hilbertsche Probleme

text: Er nahm den Kongress daher zum Anlass, eine thematisch breit gefächerte Liste von ungelösten mathematischen Problemen zusammenzustellen. Bereits im Dezember 1899 begann er, sich über das Thema Gedanken zu machen. Zu Beginn des neuen Jahres bat er dann seinen engen Freund Hermann Minkowski sowie Adolf Hurwitz um Vorschläge, welche Gebiete ein entsprechender Vortrag abdecken müsse; beide lasen das Manuskript und kommentierten es vor dem Vortrag. Endgültig niedergeschrieben hat Hilbert seine Liste allerdings erst unmittelbar vor dem Kongress – im offiziellen Kongressprogramm taucht sie deshalb noch gar nicht auf. Ursprünglich sollte der Vortrag zur Eröffnung gehalten werden, Hilbert arbeitete zu diesem Zeitpunkt aber noch daran.


title: Hilbertsche Probleme

text: Zum Kongress waren weniger Mathematiker gekommen als erwartet (rund 250 statt wie erwartet 1000). Hurwitz und Felix Klein waren nicht anwesend, dafür Minkowski. Hilbert war Präsident der Sektion Algebra und Zahlentheorie, die vom 7. August (dem zweiten Tag der Konferenz) bis zum 10. August tagte. Der Vortrag von Hilbert fand im Rahmen der Sektionen 5 und 6 (Bibliographie, Geschichte, Unterricht und Methoden, Präsidentschaft Moritz Cantor) am Mittwoch, den 8. August vormittags in der Sorbonne statt.


title: Hilbertsche Probleme

text: Aus Zeitgründen stellte er zunächst nur zehn Probleme vor (Nr. 1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, 22). Die Anwesenden erhielten eine französische Zusammenfassung der Liste, die wenig später in der schweizerischen Zeitschrift "L’Enseignement Mathématique" erschien. Der vollständige deutsche Originalartikel erschien kurze Zeit später in den "Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen" und im Jahr 1901 mit einigen Ergänzungen im "Archiv der Mathematik und Physik".


title: Hilbertsche Probleme

text: Im Jahr 2000 entdeckte der deutsche Historiker Rüdiger Thiele in den Original-Notizen Hilberts ein 24. Problem, das jedoch in der endgültigen Version der Liste fehlte und dem Gebiet der Beweistheorie zugeschrieben werden kann.


title: Hilbertsche Probleme

text: Die Mathematik zur Jahrhundertwende war noch wenig gefestigt. Die Tendenz, Worte durch Symbole und vage Konzepte durch strenge Axiomatik zu ersetzen, war noch nicht sehr ausgeprägt und sollte erst der folgenden Mathematikergeneration erlauben, ihr Fach stärker zu formalisieren. Hilbert konnte noch nicht auf die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, Begriffe wie den topologischen Raum und das Lebesgue-Integral oder die Church-Turing-These zurückgreifen. Die Funktionalanalysis, die unter anderem von Hilbert selbst mit der Einführung des nach ihm benannten Hilbert-Raumes begründet wurde, hatte sich als mathematisches Gebiet noch nicht von der Variationsrechnung abgetrennt.


title: Hilbertsche Probleme

text: Viele der Probleme in Hilberts Liste sind – zum Teil auch aus diesem Grund – nicht so genau und eingeschränkt formuliert, dass sie eindeutig durch die Veröffentlichung eines Beweises gelöst werden könnten. Manche Probleme sind weniger konkrete Fragestellungen als eher Aufforderungen, auf bestimmten Gebieten zu forschen; bei anderen Problemen sind die Fragen zu vage gestellt, um genau sagen zu können, was Hilbert als Lösung angesehen hätte.


title: Hilbertsche Probleme

text: Ein Irrtum Hilberts allerdings, der jedoch die Formulierung der Probleme nicht beeinträchtigt, ist in der Einleitung des Artikels zu finden. Dort bringt er seine Überzeugung zum Ausdruck, dass jedes Problem grundsätzlich lösbar sein muss:


title: Hilbertsche Probleme

text: Der grundlegende erkenntnistheoretische Optimismus Hilberts musste etwas relativiert werden. Spätestens 1931 mit der Entdeckung des Gödelschen Unvollständigkeitssatzes und Turings Beweis von 1936, dass das Entscheidungsproblem nicht lösbar ist, kann dieser Denkansatz Hilberts († 1943) in der ursprünglichen Formulierung als zu eng gefasst betrachtet werden. Das entwertet die Liste jedoch nicht, denn auch negative Lösungen, wie zum Beispiel des zehnten Problems, führen mitunter zu großem Erkenntnisgewinn.


title: Hilbertsche Probleme

text: Die Auswahl der Probleme ist eine teilweise sehr persönliche Auswahl von Hilbert und erwuchs aus seiner eigenen Arbeit, wobei er sich aber wie erwähnt mit seinem engen Freund Minkowski und Hurwitz (der für die Vielseitigkeit seiner mathematischen Arbeit und seinen enzyklopädischen Überblick bekannt war) beriet. Ivor Grattan-Guinness nennt einige auffällige Lücken.


title: Hilbertsche Probleme

text: Zum einen die große Fermat-Vermutung und das Dreikörperproblem (worüber Poincaré viel arbeitete), die er zwar in der Einleitung als Paradebeispiele mathematischer Probleme erwähnt, aber nicht in seine Liste aufnimmt. Angewandte Mathematik ist wenig vertreten (man könnte höchstens Problem 6 dort einordnen), ebenso wenig numerische Mathematik (nur kurz in Problem 13 erwähnt, dessen Kern aber anderswo liegt) und das später Funktionalanalysis genannte Teilgebiet der Analysis, auf der Hilbert selbst 1903 bis 1910 intensiv arbeitete. Die Elektrodynamik bewegter Körper (Vorgeschichte der Relativitätstheorie) fehlte ebenfalls und war damals ein sehr aktives Forschungsgebiet, auf dem auch Poincaré arbeitete und über das Joseph Larmor, der auch bei einer Sektion auf dem Kongress präsidierte, im selben Jahr ein bedeutendes Buch veröffentlichte "(Aether and Matter)".


title: Hilbertsche Probleme

text: Auslassung von mathematischer Logik, Statistik und Matrix-Theorie (Lineare Algebra) findet Grattan-Guinness dagegen verständlich, da sie damals noch nicht wie heute eine so prominente Stellung erhielten. Im Gegensatz dazu legte Poincaré in seinem Vortrag auf dem Internationalen Mathematikerkongress von 1908 über die Zukunft der Mathematik, gewissermaßen eine Antwort auf Hilbert, viel Wert auf Anwendungen, stellte die künftige Entwicklung der Topologie („Geometrie der Lage“) als zentrales Anliegen der Mathematik heraus (bei Hilbert taucht sie in Problem 5 und 16 auf) und betonte auch die Bedeutung der Mengenlehre („Cantorismus“), bei Hilbert gleich in Problem 1 vertreten. Seine Darstellung war aber insgesamt viel vager und skizzenhafter als bei Hilbert.


title: Hilbertsche Probleme

text: Die unmittelbare Reaktion auf dem Kongress war nach der Schilderung von Charlotte Angas Scott enttäuschend, möglicherweise dem trockenen Vortragsstil von Hilbert geschuldet oder Sprachproblemen (Hilbert trug in Deutsch vor, hatte aber zuvor eine Zusammenfassung in französisch verteilen lassen). Es meldete sich Giuseppe Peano zu Wort, um zu bemerken, dass seine Schule (Cesare Burali-Forti, Mario Pieri, Alessandro Padoa) das Problem der Grundlegung der Arithmetik im Wesentlichen gelöst hätte und sein Schüler Alessandro Padoa darüber auf dem gleichen Kongress einen Vortrag halten würde.


title: Hilbertsche Probleme

text: Der beim Vortrag ebenfalls anwesende Rudolf Mehmke machte eine Bemerkung über Fortschritte durch numerische (nomographische) Methoden im Problem 13, speziell bei der Gleichung 7. Grades. Von Poincaré ist keine Reaktion bekannt, wahrscheinlich war er auch nicht beim Vortrag Hilberts anwesend. Nach Ivor Grattan-Guinness war er damals mehr an angewandten Fragen interessiert und außerdem dem axiomatischen Zugang weniger zugetan. Auf demselben Kongress trug er in einem der beiden Schlussvorträge am 11. August über die Rolle von Intuition und Logik in der Mathematik vor und betonte die Rolle der Intuition. Später griff er aber das Problem der Uniformisierung (Hilberts Problem 22) auf und in seinem Vortrag über die Zukunft der Mathematik auf dem Internationalen Mathematikerkongress 1908 in Rom reihte er auch das Problem der Grenzzyklen (Teil von Problem 16, bei dem Hilbert explizit auf Poincaré Bezug nahm) in seine eigene Problemliste ein. Dort lobt er auch Hilbert für seine Arbeiten zur axiomatischen Methode und beim Dirichlet-Problem. Bei Herausgabe des Konferenzbandes 1902 würdigte man ausdrücklich die Wichtigkeit des Hilbertschen Vortrags und druckte ihn deshalb außerhalb seiner Sektion am Anfang ab, unmittelbar gefolgt von dem Vortrag von Poincaré.


title: Hilbertsche Probleme

text: Hilberts Liste war dazu gedacht, die weitere Entwicklung der Mathematik zu beeinflussen. Begünstigt durch den Umstand, dass Hilbert zu den renommiertesten Mathematikern seiner Generation gehörte, ging dieser Plan auf: Es versprach erheblichen Ruhm, eines der Probleme auch in Teilen zu lösen, sodass sich immer mehr Mathematiker mit den Themen aus Hilberts Vortrag beschäftigten und somit – selbst wenn sie scheiterten – die entsprechenden Teilgebiete weiterentwickelten. Die Vorstellung dieser Liste übte somit einen wesentlichen Einfluss auf die Entwicklung der Mathematik im 20. Jahrhundert aus. Yuri Manin sieht dagegen eine Liste spezieller Probleme wie die der Hilbert-Probleme als Ablenkung von den wahren zentralen Themen der Geschichte der Mathematik, die in der Verfolgung von Programmen wie dem der Mathematikergruppe Bourbaki oder dem Langlands-Programm, und der Verfolgung zunächst nur "metaphorisch" erkennbarer Strukturen zwischen verschiedenen Gebieten der Mathematik oder der Mathematik und Physik, wie unterschiedliche Verbindungen vom Diskreten (Zahlentheorie) zum Kontinuierlichen (theoretische Physik).


title: Hilbertsche Probleme

text: Obwohl es mehrfach Versuche gab, diesen Erfolg zu wiederholen, hatte keine andere Sammlung von Problemen und Vermutungen einen vergleichbaren Einfluss auf die Entwicklung der Mathematik. Einflussreich, aber auf ein Teilgebiet der Zahlentheorie beschränkt, waren die Weil-Vermutungen, benannt nach dem Mathematiker André Weil, und explizit an das Vorbild der Liste von Hilbert schlossen sich ähnliche Listen von John von Neumann auf dem Internationalen Mathematikerkongress 1954 (mit geringem Einfluss, der Vortrag wurde nicht einmal publiziert) und von Stephen Smale an (Smale-Probleme). Im Jahr 2000 lobte das Clay Mathematics Institute Preisgelder von jeweils einer Million US-Dollar für die Lösung von sieben wichtigen Problemen aus. Die Berühmtheit von Hilberts Artikel bleibt bisher jedoch einzigartig.


title: Hilbertsche Probleme

text: An den Beginn seiner Liste stellte Hilbert Fragen der axiomatischen Mengenlehre und andere axiomatische Überlegungen. In seinen Augen war es besonders wichtig, dass sich die mathematische Gemeinschaft Klarheit über die Fundamente der Mathematik verschafft, um tiefer gehende Aussagen besser verstehen zu können. Das betraf nicht nur die axiomatischen Grundlagen der Geometrie, worüber Hilbert selbst kurz zuvor (1899) ein Buch veröffentlicht hatte, sondern auch die Physik. Es folgen einige Fragen der Zahlentheorie, die durch algebraische Themen und schließlich durch Probleme aus der Funktionentheorie und Variationsrechnung bzw. Analysis ergänzt werden.


title: Hilbertsche Probleme

text: In der Mengenlehre gehen Mathematiker heute zumeist von "ZFC", dem Zermelo-Fraenkelschen Axiomensystem mit Auswahlaxiom aus (letzteres wird manchmal auch weggelassen), das alle mathematischen Überlegungen formal fundiert. Man kann zeigen, dass auf dieser Grundlage viele Mengen dieselbe Mächtigkeit besitzen, so zum Beispiel die Menge der reellen Zahlen, die Menge der komplexen Zahlen, das (reelle) Intervall formula_1 oder die Potenzmenge der natürlichen Zahlen. Die "Kontinuumshypothese" besagt nun, dass alle Mengen, die nicht mehr abzählbar sind, das heißt nicht in eine 1:1-Beziehung mit den natürlichen Zahlen gebracht werden können, mindestens die Mächtigkeit der reellen Zahlen besitzen.


title: Hilbertsche Probleme

text: Kurt Gödel konnte 1939 zeigen, dass die Kontinuumshypothese zu ZFC relativ widerspruchsfrei ist: Falls ZFC zu keinem Widerspruch führt, so bleibt diese Eigenschaft erhalten, wenn man das Axiomensystem um die Kontinuumshypothese ergänzt. Paul Cohen konnte schließlich 1963 zeigen, dass auch die Negation der Kontinuumshypothese relativ widerspruchsfrei zu ZFC ist, sie also nicht aus ZFC gefolgert werden kann. Daraus folgt, dass die Kontinuumshypothese unabhängig vom klassischen Axiomensystem ist und bei Bedarf als neues Axiom eingesetzt werden kann. Für den Beweis entwickelte Cohen eine der wichtigsten Methoden der axiomatischen Mengenlehre, die Forcing-Methode, die auch bei der Untersuchung der Unabhängigkeit vieler anderer Sätze in ZFC benutzt wurde.


title: Hilbertsche Probleme

text: Eine verwandte Frage, die Hilbert in der Formulierung seines Problems hinzugefügt hat, ist, ob eine Wohlordnung der reellen Zahlen existiert. Ernst Zermelo konnte beweisen, dass dies auf Grundlage von ZFC tatsächlich der Fall ist. Ohne das Auswahlaxiom, also im System ZF, kann die Aussage nicht gezeigt werden.


title: Hilbertsche Probleme

text: Giuseppe Peano hatte 1889 ein arithmetisches Axiomensystem beschrieben, das die Fundierung der Mathematik festlegen sollte. Hilbert war der Überzeugung, dass es damit möglich sein müsste zu zeigen, dass nur von dieser Grundlage ausgehend in endlich vielen Schritten (mit "finiten" Methoden) kein Widerspruch erzeugt werden kann. Diese Hoffnung zerstörte jedoch Kurt Gödel, als er 1930 mit seinem Unvollständigkeitssatz zeigte, dass dies nicht unter ausschließlicher Verwendung der Peano-Axiome möglich ist. Mit "transfiniten" Methoden, die nach Hilberts ursprünglichem Programm aber nicht zugelassen waren, gelang 1936 Gerhard Gentzen der Beweis der Widerspruchsfreiheit der Arithmetik.


title: Hilbertsche Probleme

text: Zwei Körper heißen "zerlegungsgleich", wenn der eine sich so in endlich viele Teile zerlegen lässt, dass sich die einzelnen Teile wieder zum zweiten Körper zusammenfügen lassen. In der zweidimensionalen Ebene gilt, dass Vielecke genau dann den gleichen Flächeninhalt besitzen, wenn sie zerlegungsgleich sind (siehe Satz von Bolyai-Gerwien). Es gibt dort eine elementare, auf Zerlegung in Dreiecke beruhende Theorie des Flächeninhalts einfacher, von geraden Seiten begrenzten Figuren (Vielecke), und man ist nicht auf nicht-elementare Methoden wie die Exhaustionsmethode angewiesen, die einen Grenzübergang erfordert und bei Flächen mit gekrümmten Rändern zur Anwendung kommt. Die Frage liegt also nahe, ob dieses Ergebnis auch im dreidimensionalen Raum gilt.


title: Hilbertsche Probleme

text: Max Dehn, ein Schüler von Hilbert, konnte diese Frage bereits 1900, kurz nach der Veröffentlichung der 23 Probleme, mit „Nein“ beantworten. Er ordnete dazu jedem Polyeder eine Dehn-Invariante genannte Zahl zu. Es gab damit zusätzlich zum Volumen eine weitere Polyedern zugeordnete Zahl, die bei der Zerlegung von Polyedern gleich (invariant) blieb. Sie hing von den Winkeln benachbarter Seiten im Polyeder und dessen Kantenlängen ab (und ist definiert als Summe der Tensorprodukte von Kantenlänge und Winkel der an eine Kante stoßenden Seiten über alle Kanten des Polyeders). Mit der Beobachtung, dass jeder Würfel die Dehn-Invariante formula_2 und jedes regelmäßige Tetraeder eine von formula_2 verschiedene Dehn-Invariante besitzt, folgt dann die Aussage. Das Problem ist das erste von Hilberts Liste, das gelöst wurde.


title: Hilbertsche Probleme

text: Während Dehn zeigte, dass für Zerlegungsgleichheit im dreidimensionalen euklidischen Raum die Gleichheit der Dehnzahlen notwendig ist (für das Volumen war das schon vorher klar), zeigte J. P. Sydler 1965, dass das auch hinreichend ist: zwei Polyeder sind genau dann zerlegungsgleich, falls Volumen und Dehnzahl gleich sind. Für mehr als vier Dimensionen (für vier Dimensionen lässt sich ein ähnlicher Satz mit Hilfe von Hadwiger-Invarianten statt Dehn-Invarianten beweisen, von Hugo Hadwiger eingeführte Verallgemeinerungen von Dehn-Invarianten auf höheren Dimensionen) oder zum Beispiel den nichteuklidischen Raum ist kein vergleichbares Ergebnis bekannt. Wenn man die Bewegungen auf Translationen einschränkt, lässt sich allerdings Zerlegungsgleichheit von Polyedern mit Hilfe der Hadwiger-Invarianten in beliebigen Dimensionen charakterisieren.


title: Hilbertsche Probleme

text: Über 2000 Jahre lang wurde Geometrie anhand der fünf Axiome von Euklid gelehrt. Gegen Ende des 19. Jahrhunderts begann man, zu untersuchen, was das Hinzufügen und Entfernen verschiedener Axiome für Konsequenzen hat. So untersuchte Lobatschewski eine Geometrie, in der das Parallelenaxiom nicht gilt, und Hilbert betrachtete ein System, in dem das Archimedische Axiom fehlte. Hilbert untersuchte schließlich ausführlich die axiomatischen Grundlagen der Geometrie in seinem gleichnamigen Buch. In seinen 23 Problemen forderte er schließlich zu einer „Aufstellung und systematischen Behandlung der […] Geometrien“ auf, die einem bestimmten Axiomensystem genügen, in dem insbesondere die kürzeste Verbindung zweier Punkte stets die Gerade zwischen den Punkten ist. Das Problem entspricht der Untersuchung von der üblichen euklidischen Geometrie möglichst nahestehenden Geometrien. In Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie werden die Inzidenz-, Anordnungs- und Stetigkeitsaxiome beibehalten, aber die Kongruenzaxiome abgeschwächt: das starke Kongruenzaxiom III-6 (Dreieckskongruenz) wird nicht mehr vorausgesetzt, wohl aber dass die Länge der Seiten in einem Dreieck kleiner oder gleich der Summe der Längen der beiden anderen ist (was äquivalent dazu ist, dass die Gerade die kürzeste Verbindung zweier Punkte ist). Bei Euklid war der Satz, dass die Gerade die kürzeste Verbindung zweier Punkte ist, mit dem Dreieckskongruenzsatz abgeleitet worden. Ein Beispiel einer solchen der euklidischen Geometrie nahestehenden Geometrie mit den neuen Postulaten fand Hilbert in der Geometrie der Zahlen von Hermann Minkowski und ein weiteres Beispiel gab Hilbert selbst.


title: Hilbertsche Probleme

text: Bereits 1901 konnte Georg Hamel, ein Schüler von Hilbert, in seiner Dissertation wichtige Aussagen über entsprechende Systeme machen, die er 1903 veröffentlichte. Er konnte im Fall der Ebene eine ganze Reihe solcher Geometrien angeben und klassifizieren, von denen die erwähnte Hilbertsche und Minkowskische Geometrien typische Beispiele sind. Nach Isaak Moissejewitsch Jaglom löste Hamel damit in gewisser Weise das vierte Hilbertproblem, mit der Einschränkung, dass er analytische Methoden der Variationsrechnung benutzte, die in der geometrischen Grundlagenforschung weniger erwünscht sind, da sie zusätzliche Annahmen (Differenzierbarkeitsvoraussetzungen) treffen. In den kommenden Jahrzehnten wurden immer wieder Arbeiten publiziert, die weitere Ergebnisse zu Hilberts viertem Problem beisteuerten. Unter anderem befasste sich Herbert Busemann ausführlich mit den betreffenden Geometrien und schrieb darüber eine Monographie. Nach Busemann stellte Hilbert das Problem zu weit, wahrscheinlich weil ihm nicht klar war, wie viele solcher Geometrien es gab, und zusätzliche Einschränkungen (Axiome) sind vorauszusetzen. Die Methode von Busemann wurde von Alexei Wassiljewitsch Pogorelow ausgebaut, der 1979 eine Monographie über das vierte Problem veröffentlichte.


title: Hilbertsche Probleme

text: Sophus Lie und Felix Klein bemühten sich am Ende des 19. Jahrhunderts, die Geometrie mit gruppentheoretischen Mitteln zu axiomatisieren, gingen dabei jedoch von Voraussetzungen über die Differenzierbarkeit gewisser Funktionen aus. Hilbert fragte sich nun, in welcher Weise die Theorie auch ohne diese Voraussetzungen noch Bestand hat. Da sich das Gebiet der algebraischen Topologie erst im 20. Jahrhundert entwickelt hat, hat sich die Formulierung des Problems mit der Zeit gewandelt. Hilberts ursprüngliche Fassung bezog sich nur auf kontinuierliche Transformationsgruppen.


title: Hilbertsche Probleme

text: Eine detailliertere Formulierung des Problems ist die folgende: Betrachtet wird eine Gruppe formula_4 mit neutralem Element formula_5, eine offene Menge formula_6 im euklidischen Raum, die formula_5 enthält, und eine stetige Abbildung formula_8, die auf der offenen Teilmenge formula_9 von formula_6 die Gruppenaxiome erfüllt. Die Frage ist dann, ob formula_11 auf einer Umgebung von formula_5 glatt, also unendlich oft differenzierbar ist. Nachdem John von Neumann (1933, Lösung für kompakte Gruppen), Lew Pontrjagin (1939, Lösung für abelsche Gruppen) und Claude Chevalley (lösbare topologische Gruppen, 1941) Spezialfälle lösen konnten (und weitere Mathematiker das Problem für Dimensionen bis vier lösen konnten), gelang Andrew Gleason, Deane Montgomery und Leo Zippin in den 1950er Jahren die endgültige Klärung des Problems. Sie bewiesen sogar, dass lokal euklidische topologische Gruppen reell-analytisch sind.


title: Hilbertsche Probleme

text: Der Beweis war sehr technisch und kompliziert. Einen einfacheren Beweis im Rahmen der Nichtstandardanalysis gab Joram Hirschfeld. Das Problem war in der Zeit nach dem Zweiten Weltkrieg sehr in Mode und die 1952 gefundene Lösung beendete nach Jean-Pierre Serre, der sich damals selbst an der Lösung versuchte, praktisch das Forschungsgebiet.


title: Hilbertsche Probleme

text: Offen ist die Frage: Ist eine lokal kompakte topologische Gruppe, deren Gruppenoperationen treu auf einer topologischen Mannigfaltigkeit wirken, eine Liegruppe ? (Hilbert-Smith-Vermutung nach Hilbert und Paul A. Smith). Ein Beispiel wären die p-adischen ganzen Zahlen. Für diese gilt nicht, dass sie keine kleinen Untergruppen haben – eine Bedingung die nach Gleason, Montgomery und Zippin gerade die Liegruppen unter den lokal kompakten topologischen Gruppen auszeichnet. Eine topologische Gruppe hat keine kleinen Untergruppen, falls es eine Umgebung der Einheit formula_5 gibt, die keine Untergruppen enthält, die größer als formula_14 sind. Einige Mathematiker sehen die Hilbert-Smith-Vermutung als die eigentlich korrekte Formulierung des Hilbertproblems.


title: Hilbertsche Probleme

text: Nach Leo Corry nimmt das sechste Problem nicht wie häufig angenommen für Hilbert eine Außenseiter-Rolle in der Liste der Probleme ein, sondern entsprach in zentraler Weise seinen Interessen über einen langen Zeitraum (mindestens von 1894 bis 1932). In dieses Programm einzuordnen ist zum Beispiel seine bekannte Ableitung der Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie aus einem Variationsprinzip (1916). Nach Corry liegt hier auch ein Missverständnis von Hilberts Auffassung seines Programms der Axiomatisierung vor, bei dem man sich vor allem an Hilberts späterem Programm zur Grundlegung der Mathematik orientierte, das im Zusammenhang mit der Physik aber vor allem der Klärung der logischen Struktur etablierter Theorien diente. Hilbert stand zur Zeit seines Vortrags noch in der Tradition des 19. Jahrhunderts, die Physik auf die Mechanik reduzieren zu wollen, und konzentrierte sich in der Formulierung damals auf die Mechanik, stark beeinflusst von den Untersuchungen von Heinrich Hertz über die Grundlagen der Mechanik und von Ludwig Boltzmann (Übergang von der statistischen Mechanik zur Kontinuumsmechanik). Später ging Hilberts Interesse wesentlich darüber hinaus, spätestens seit 1905 dehnte er sie auch auf die Elektrodynamik aus, die er noch in seiner Problemliste nicht explizit erwähnt hatte. 1905 hielt er eine Vorlesung über Axiomatisierung der Physik, in der er unter anderem Thermodynamik und Elektrodynamik einbezog. Auch seine Bemühungen um die Axiomatisierung der Geometrie hatten ihre Motivation darin, einer im Grunde empirischen Theorie eine strenge Grundlage zu geben (und diese zu vereinfachen). Da er auch Wahrscheinlichkeitstheorie mit einbezog, kann die Axiomatisierung derselben durch Andrei Kolmogorow als ein Beitrag zu Hilberts Programm angesehen werden.


title: Hilbertsche Probleme

text: Es gab immer wieder Ansätze zu Axiomatisierungen in Teilgebieten der Physik, zum Beispiel der Thermodynamik (Constantin Caratheodory), Quantenfeldtheorie (Arthur Wightman und Wightman-Axiome, Rudolf Haag, Daniel Kastler, Huzihiro Araki und Haag-Kastler-Axiome, Osterwalder-Schrader Axiome), Topologische Quantenfeldtheorie, konforme Feldtheorien und Physiker, die sich mit der grundlegenden Struktur physikalischer Theorien befassten wie Günther Ludwig.


title: Hilbertsche Probleme

text: Eine komplexe Zahl heißt "algebraisch", wenn sie Nullstelle eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist, andernfalls heißt sie "transzendent". Die Wurzel aus 2 ist beispielsweise eine Zahl, die nicht mehr rational ist, als Nullstelle von formula_15 aber immer noch algebraisch. Reelle Zahlen, die nicht mehr algebraisch sind (und damit "transzendent"), sind zum Beispiel die Kreiszahl formula_16 oder die Eulersche Zahl formula_5.


title: Hilbertsche Probleme

text: Zu Hilberts Zeiten gab es bereits einige Ergebnisse über die Transzendenz verschiedener Zahlen. Obiges Problem erschien ihm besonders schwierig, und er erhoffte sich aus seiner Lösung tiefere Erkenntnisse über die Natur der Zahlen. Nachdem das Problem zunächst für einige Spezialfälle gelöst wurde (Alexander Gelfond 1929, Rodion Kusmin 1930), konnte Alexander Gelfond 1934 die Aussage beweisen. Kurze Zeit später verbesserte Theodor Schneider den Satz weiter, sodass die Antwort auf Hilberts siebtes Problem heute als Satz von Gelfond-Schneider bekannt ist.


title: Hilbertsche Probleme

text: Hilberts siebtes Problem lässt sich auch als Aussage über Paare von Logarithmen algebraischer Zahlen auffassen (nämlich dass aus deren linearen Unabhängigkeit über den rationalen Zahlen die lineare Unabhängigkeit über den algebraischen Zahlen folgt). In dieser Formulierung ist der Satz durch Alan Baker erheblich erweitert worden.


title: Hilbertsche Probleme

text: Eine Verallgemeinerung der Hilbertschen Fragestellung würde durch einen Beweis oder eine Widerlegung der Vermutung von Schanuel beantwortet, die Stephen Schanuel in den 1960er Jahren aufstellte.


title: Hilbertsche Probleme

text: Die beiden genannten Probleme sind als Riemannsche Vermutung und Goldbachsche Vermutung bekannt und zwei der populärsten ungelösten Probleme der Mathematik. Für die erste Frage wurden bereits über eine Billion Nullstellen berechnet und dabei keine gefunden, die die Vermutung falsifizieren würde. Die zweite Frage wurde schon bis zur Größenordnung formula_18 geprüft. Beweise konnte man aber bis heute nicht finden. Als bedeutender Fortschritt wurde aber der Beweis des Analogons der Riemannvermutung für Kurven über endlichen Körpern durch Pierre Deligne gewertet, ein Teil der Weil-Vermutungen.


title: Hilbertsche Probleme

text: Unter der Überschrift „Primzahlenprobleme“ hat Hilbert noch mehr Fragen zusammengetragen, die mit Primzahlen in Verbindung stehen. So nennt er zum Beispiel die (ebenfalls bis heute noch ungelöste) Frage, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt und ob die Gleichung formula_19 mit beliebigen ganzzahligen, untereinander teilerfremden Koeffizienten formula_20, formula_21 und formula_22 immer Primzahl-Lösungen formula_23, formula_24 hat, eine leichte Abwandlung der Goldbach-Vermutung und ebenso ungelöst.


title: Hilbertsche Probleme

text: gibt Kriterien für die Lösung quadratischer Gleichung in der modularen Arithmetik und spielte mit seinen Verallgemeinerungen eine zentrale Rolle in der algebraischen Zahlentheorie. Im 19. Jahrhundert waren auch schon verschiedene höhere Reziprozitätsgesetze bekannt, auch von Hilbert in seinem "Zahlbericht", wobei er in der Formulierung Hilbert-Symbole einführte. Hilbert fragte nach einer Formulierung und einen Beweis für allgemeine algebraische Zahlkörper. Mit der Entwicklung der Klassenkörpertheorie beginnend mit Teiji Takagi standen die dazu nötigen Mittel zur Verfügung, sodass Emil Artin das Problem im abelscher Erweiterungen algebraischer Zahlkörper lösen konnte (Artinsches Reziprozitätsgesetz, 1924), und Helmut Hasse bewies ebenfalls Reziprozitätssätze in der Klassenkörpertheorie. Bei der Frage expliziter Formeln dieses Reziprozitätsgesetzes erzielte Igor Schafarewitsch 1948 bedeutende Fortschritte, wobei Helmut Brückner, Sergei Wladimirowitsch Wostokow und Guy Henniart dessen Ergebnisse vereinfachten und erweiterten. Eine weitere Verallgemeinerung auf den nicht-abelschen Fall konnte bisher nicht erreicht werden und ist eines der Hauptprobleme der algebraischen Zahlentheorie, auch verbunden mit Hilberts 12. Problem.


title: Hilbertsche Probleme

text: "Diophantische Gleichungen" sind Gleichungen der Form formula_26, wobei formula_27 ein Polynom in mehreren Variablen und mit ganzzahligen Koeffizienten ist und nur ganze Zahlen als Lösungen betrachtet werden. Ein bekanntes Beispiel ist die Gleichung formula_28, die mit dem Satz des Pythagoras zusammenhängt. Diophantische Gleichungen spielen in der Geschichte der Mathematik eine wichtige Rolle, und viele große Mathematiker haben sich intensiv mit diesen beschäftigt.


title: Hilbertsche Probleme

text: Zwar konnten immer wieder Spezialfälle gelöst werden, doch eine allgemeine Lösung schien den Mathematikern im 19. Jahrhundert unerreichbar fern. Deswegen fragte Hilbert lediglich, wie man überprüfen kann, ob eine gegebene diophantische Gleichung überhaupt ganzzahlige Lösungen besitzt, ohne diese genau angeben zu können. Jedoch ist auch dieses Problem noch so schwer, dass erst 1970 Juri Matijassewitsch beweisen konnte, dass ein solches Verfahren für den allgemeinen Fall nicht existiert. Vorarbeiten leisteten Julia Robinson, Martin Davis und Hilary Putnam.


title: Hilbertsche Probleme

text: Bei der Betrachtung der algorithmischen Lösbarkeit reicht es, Diophantische Gleichungen vierten oder kleineren Grades zu betrachten, auf die das Problem reduziert werden kann (Thoralf Skolem 1934). Für die allgemeine diophantische Gleichung vierten Grades existiert nach Matyasevich kein Algorithmus. Ungelöst ist die Frage, ob ein solcher für die allgemeine kubische Gleichung existiert. Für quadratische und lineare Gleichungen zeigte Carl Ludwig Siegel dagegen 1972, dass ein solcher Algorithmus existiert.


title: Hilbertsche Probleme

text: Betrachtet man statt Lösungen in den ganzen Zahlen den Ring der algebraischen ganzen Zahlen, gibt es nach Robert Rumely (1986) dagegen einen solchen Algorithmus.


title: Hilbertsche Probleme

text: Eine "quadratische Form" ist eine Funktion der Form formula_29, wobei formula_23 ein Vektor ist und formula_31 eine symmetrische Matrix. Bis zum 19. Jahrhundert wurden umfangreiche Kenntnisse über quadratische Formen über den rationalen Zahlen erlangt. Hilbert fragte nach Erweiterungen auf beliebige algebraische Zahlkörper und beliebig viele Variablen. In den Jahrzehnten nach Hilberts Vortrag sind zahlreiche Ergebnisse veröffentlicht worden, die sich eingehend mit dem Thema beschäftigen. Als zentrales Ergebnis zählt dabei das Lokal-Global-Prinzip, das Helmut Hasse 1923 formulierte (Satz von Hasse-Minkowski). Danach folgt bei quadratischen Formen globale Lösbarkeit (über dem Körper der rationalen Zahlen, einem globalen Körper) aus lokaler (über lokalen Körpern, dem Körper der p-adischen und reellen Zahlen). Weitere Beiträge lieferten unter anderem Ernst Witt (geometrische Theorie quadratischer Formen) und Carl Ludwig Siegel (analytische Theorie).


title: Hilbertsche Probleme

text: Der Satz von Kronecker-Weber besagt, dass die maximale abelsche Erweiterung des Körpers der rationalen Zahlen durch Adjunktion aller Einheitswurzeln entsteht (Kreisteilungskörper). In diesem Fall werden spezielle Werte der Exponentialfunktion zu den rationalen Zahlen adjungiert, im Allgemeinen können das auch Werte anderer spezieller Funktionen wie elliptischer Funktionen sein (der Zusammenhang von Erweiterungen imaginär quadratischer Zahlkörper und elliptischen Kurven mit komplexer Multiplikation war Gegenstand von Kroneckers „Jugendtraum“), und man hätte gerne eine explizite Beschreibung dieser Erweiterungen. Der Verallgemeinerung dieses Satzes maß Hilbert eine große Bedeutung zu. Zwar gab es auf dem Gebiet im 20. Jahrhundert viele Fortschritte (zum Beispiel die sogenannten CM-Körper nach Gorō Shimura und Yutaka Taniyama (ihre Monographie erschien 1961), die mit abelschen Varietäten mit komplexer Multiplikation in Verbindung stehen), zu einer Lösung von Hilberts zwölftem Problem kam es jedoch noch nicht.


title: Hilbertsche Probleme

text: Das Problem hat seine Wurzeln in der Theorie der algebraischen Gleichungen, von denen man seit Galois und Abel weiß, dass sich die Lösungen der Gleichungen fünften und höheren Grades nicht geschlossen mit den elementaren arithmetischen Operationen und Wurzelausdrücken als Funktion der Koeffizienten angeben lassen. Auch die Reduktion auf Standardformen zum Beispiel mit Tschirnhaus-Transformationen und Adjunktion weiterer Gleichungen in einer Variablen brachte im allgemeinen Fall nicht den gewünschten Erfolg. Die Gleichung fünften Grades konnte zwar auf eine Standardform mit einem Parameter, die Gleichung sechsten Grades auf eine solche mit zwei Parametern reduziert werden, bei der Gleichung siebten Grades gelang allerdings nur die Reduktion auf eine Normalform mit drei Parametern a, b und c:


title: Hilbertsche Probleme

text: Hilbert vermutete, dass sich dies grundsätzlich auch nicht auf zwei Parameter reduzieren ließ, nicht einmal in der weiten Klasse der stetigen Funktionen. In dieser allgemeinen Form, ob es stetige Funktionen in drei Variablen gibt, die nicht als Verkettung von endlich vielen stetigen Funktionen in zwei Variablen dargestellt werden können, wurde die Vermutung von Hilbert durch Andrei Kolmogorow und Wladimir Arnold 1957 widerlegt. Kolmogorow zeigte zunächst, dass jede stetige Funktion von formula_33 Variablen durch solche von drei Variablen durch Superposition ausdrückbar ist, und sein Schüler Arnold verbesserte das auf zwei Variablen. Die verwendeten Funktionen brauchen aber nicht einmal differenzierbar sein und damit auch nicht algebraisch.


title: Hilbertsche Probleme

text: Offen blieb die Vermutung, wenn man andere Klassen betrachtet, die die algebraischen Funktionen umfassen. Bei analytischen Funktionen hatte Hilbert bereits im Fall von drei Variablen gefunden, dass es solche in drei Variablen gibt, die nicht durch solche in zwei Variablen darstellbar sind, und Alexander Markowitsch Ostrowski bewies 1920, dass solche in zwei Variablen nicht allgemein durch solche in einer Variablen darstellbar sind. Untersucht wurde auch die Frage ob p-mal stetig differenzierbare Funktionen von n Variablen durch q-mal differenzierbare von m Variablen darstellbar sind. Wituschkin zeigte 1955, dass dies für formula_34 im Allgemeinen nicht möglich ist. formula_35 kann als Maß für die Komplexität p-fach differenzierbarer Funktionen in n Variablen aufgefasst werden.


title: Hilbertsche Probleme

text: Das Resolventenproblem fragt nach dem minimalen k, so dass sich die Lösungen einer algebraischen Gleichung n-ten Grades durch Superposition algebraischer Funktionen von k Variablen ausdrücken lassen. Für formula_36 ist formula_37. In einer Arbeit von 1926 vermutete Hilbert, dass formula_38 jeweils für formula_39 und fand bei formula_40, dass formula_41. Anders Wiman zeigte, dass für formula_42 gilt formula_43 Weitere Resultate erzielte Nikolai Grigorjewitsch Tschebotarjow, zum Beispiel formula_44 für formula_45. Ab 2016 befassten sich auch Benson Farb und Jesse Wolfson mit dieser Variante des Hilbertschen 13. Problems und erzielten Teilresultate für Polynome höheren Grades bei der Eingrenzung von k (dem Resolvenzgrad nach Richard Brauer), worin sie die eigentliche Formulierung von Hilberts 13. Problem sehen. Auch Wladimir Arnold meinte in einem Rückblick auf sein Lebenswerk, dass nach seiner jetzigen Meinung die Frage der Darstellung (Superposition) einer algebraischen Funktion in drei Variablen durch solche in zwei Variablen eher dem Hilbertschen Problem entspräche.


title: Hilbertsche Probleme

text: Im vierzehnten Problem beschreibt Hilbert spezielle Ringe: Dabei sei formula_46 ein Polynomring über einem Körper formula_47, formula_48 ein Unterkörper des Körpers der rationalen Funktionen in formula_33 Variablen und formula_50 sei der Schnitt


title: Hilbertsche Probleme

text: Die Frage ist dann, ob die so konstruierten Ringe stets endlich erzeugt sind, also ob es eine endliche Teilmenge des Ringes gibt, die formula_50 erzeugen.


title: Hilbertsche Probleme

text: Das Problem entstammte dem Umkreis der Ende des 19. Jahrhunderts florierenden Invariantentheorie (Ringe von unter der Wirkung von bestimmten Gruppen invarianten Polynomen), in der Hilbert selbst 1890 Aufsehen erregt hatte, durch den Beweis der endlichen Erzeugbarkeit der polynomialen Invariantenringe im Fall von einigen klassischen halbeinfachen Liegruppen (wie der allgemeinen und speziellen linearen Gruppe) und Betrachtung über den komplexen Zahlen. Dabei benutzte er den von ihm bewiesenen Basissatz. Das war von Hermann Weyl später auf alle halbeinfachen Liegruppen erweitert worden. Oscar Zariski formulierte das Problem im Rahmen der algebraischen Geometrie.


title: Hilbertsche Probleme

text: Bis in die 1950er Jahre konnte man von einigen Spezialfällen, insbesondere den Fällen formula_53 und formula_54 nachweisen (Oscar Zariski), dass die so konstruierten Ringe tatsächlich endlich erzeugt sind. Die Ergebnisse legten also nahe, dass diese Aussage auch für alle Ringe der beschriebenen Art gelten könnte. Überraschend kam deshalb das Ergebnis von Masayoshi Nagata, der 1957 ein Gegenbeispiel angab, bei dem dies nicht der Fall ist, und somit das Problem negativ löste.


title: Hilbertsche Probleme

text: Das Abzählungskalkül von Schubert stammte noch aus dem 19. Jahrhundert und betrifft Schnittzahlen von algebraischen Varietäten. Es wurde von der italienischen Schule der algebraischen Geometrie aufgegriffen (Francesco Severi und andere), die sich aber nicht-strenger Methoden (heuristische Stetigkeitsargumente für die Invarianz der Schnittzahlen) bedienten. Mit der Weiterentwicklung der algebraischen Geometrie im 20. Jahrhundert standen nach und nach mathematische Hilfsmittel zur Verfügung, mit denen Hermann Schuberts Arbeit formalisiert werden konnte (unter anderem Theorie der Multiplizitäten von Alexander Grothendieck, Pierre Samuel, topologische Arbeiten von René Thom, Beiträge unter anderem von Steven Kleiman, William Fulton, Robert MacPherson, Michel Demazure). Der Problemkreis wird heute als Abzählende Geometrie bezeichnet. Das Problem kann aber nicht als gelöst betrachtet werden.


title: Hilbertsche Probleme

text: "Algebraische Kurven" sind Teilmengen der Ebene, die durch Polynomgleichungen bestimmt werden. Dazu gehören zum Beispiel der Einheitskreis (formula_55) oder einfache Geraden (formula_56). Axel Harnack konnte 1876 zeigen, dass solche Mengen bei Polynomen vom Grad formula_33 (auch Kurven formula_33-ter Ordnung genannt) aus höchstens formula_59 Teilen (zusammenhängende Komponenten) bestehen können, die die Form von geschlossenen Kurven (Ovalen) haben (da die projektive Ebene betrachtet wird eventuell unter Einschluss des Punktes im Unendlichen). Er konnte außerdem Beispiele konstruieren, die diese Maximalzahl auch erreichen („M-Kurven“).


title: Hilbertsche Probleme

text: Hilbert behandelte 1891 den Fall formula_60 mit anderen Methoden als Harnack und fand zusätzliche Konfigurationen, die durch Harnacks Konstruktionsmethoden nicht gefunden werden konnten. Er stellte fest, dass die Teile nicht beliebig in der Ebene angeordnet sein können. So vermutete er beispielsweise, dass die elf Komponenten von M-Kurven sechster Ordnung immer so liegen, dass neun Komponenten sich im Inneren einer Schleife befinden und die letzte Komponente außerhalb dieser Schleife verläuft (oder umgekehrt in der Harnack-Konfiguration neun Komponenten außerhalb liegen und eine Komponente in einer anderen) und forderte im ersten Teil des sechzehnten Problems dazu auf, Zusammenhänge dieser Art näher zu untersuchen.


title: Hilbertsche Probleme

text: Dies geschah mit der Entwicklung der Topologie der reellen algebraischen Mannigfaltigkeiten. Die Rolle topologischer Invarianten in dem Problem erkannte Iwan Georgijewitsch Petrowski in den 1930er Jahren (und unabhängig auch schon die Hilbert-Schülerin Virginia Ragsdale) und er bewies 1949 mit Olga Oleinik Ungleichungen für das Problem, bei denen die Euler-Charakteristik einfloss. Die von Hilbert ausgesprochene Vermutung für Kurven vom sechsten Grad wurde 1969 durch D. A. Gudkov in seiner Habilitationsthese widerlegt, nachdem er in seiner Dissertation 1954 noch gemeint hatte, einen Beweis gefunden zu haben. Seinem Betreuer missfiel in seiner Habilitation, dass die sich ergebende Figur aller Konfigurationen nicht symmetrisch war und er fand schließlich im maximalen Fall eine zusätzliche Konfiguration, die Hilbert entgangen war: fünf Ovale in einer anderen und fünf außerhalb. Er vollendete damit die Klassifikation (bis auf Isotopie) der nicht-singulären ebenen algebraischen projektiven Kurven vom Grad 6.


title: Hilbertsche Probleme

text: Das Vorgehen bei M-Kurven besteht seit Hilbert aus der Deformation nicht-singulärer Ausgangskurven (Hilbert-Rohn-Gudkov-Methode), erforderte aber eine fortgeschrittene Singularitätentheorie, die zu Hilberts Zeit noch nicht bestand. Gudkov vermutete, dass bei ebenen Kurven von geradzahligem Grad formula_61 für die maximale Zahl der Ovalen formula_62 gilt (formula_63 ist die Anzahl gerader Ovale, das heißt enthalten in einer geraden Anzahl von Ovalen, und formula_64 die Anzahl ungerader Ovale). Wladimir Arnold bewies 1971 ein Teilresultat (formula_65) und formulierte das Problem gleichzeitig so (durch Komplexifizierung und Betrachtung auf der Riemannsphäre), dass der eigentliche topologische Grund für die Einschränkung der Konfigurationen deutlich wurde. Bald veröffentlichte Wladimir Abramowitsch Rochlin einen Beweis des Restes von Gudkovs Vermutung, fand aber wenig später, dass dieser falsch war und die Vermutung ebenfalls. Er fand aber eine verallgemeinerte Fassung (mit einer Kongruenz modulo 16 statt 8) und bewies diese. Arnold selbst und andere bewiesen auch Ungleichungen (für numerische Invarianten, die sich auf die Position der Ovalen beziehen). Der Fall der Klassifikation bei Kurven siebten Grades wurde 1979 von Oleg Viro gelöst, so dass der Fall der Klassifikation ebener projektiver nicht-singulärer algebraischer Kurven bis auf Isotopie bis formula_66 gelöst ist (mit bedeutenden Fortschritten im Fall von M-Kurven bei formula_67), wobei die einfachen Fälle formula_68 schon im 19. Jahrhundert gelöst wurden.


title: Hilbertsche Probleme

text: Andere Resultate, die Hilbert erwähnte, beziehen sich auf das dreidimensionale Äquivalent der Fragestellung: Karl Rohn hat bereits im 19. Jahrhundert gezeigt, dass algebraische Flächen vierter Ordnung aus höchstens zwölf Flächen bestehen können. Die exakte obere Grenze war damals nicht bekannt. V. M. Kharlamov bewies 1972, dass sie bei 10 liegt und er vollendete diese Studien nicht-singulärer quartischer Flächer in drei Dimensionen bis 1976. Die explizit von Hilbert gestellten Probleme wurden damit durch die Leningrader Schule (D. A. Gudkov, V. M. Kharlamov, Wladimir Arnold, Wladimir Abramowitsch Rochlin) in der Zeit von 1969 bis 1972 endgültig gelöst.


title: Hilbertsche Probleme

text: Während der erste Teil von Hilberts 16. Problem die ebene reelle algebraische Geometrie betrifft, fragt der zweite Teil nach der Existenz einer oberen Schranke für die Anzahl von Grenzzyklen ebener polynomialer dynamischer Systeme und Aussagen über deren relative Lage. Das Problem ist ungelöst und von Stephen Smale in seine Liste mathematischer Probleme aufgenommen worden. Smale hält das Problem neben der Riemannvermutung für das schwierigste der Hilbertprobleme. Es gab noch nicht einmal wesentliche Fortschritte zur Lösung und nicht einmal für Polynome vom Grad formula_69 ist die Obergrenze bekannt. Es ist nur bekannt, dass die Anzahl der Grenzzyklen endlich ist (Juli Sergejewitsch Iljaschenko, Jean Écalle, nachdem sich ein Beweis von Henri Dulac von 1923 als fehlerhaft herausstellte).


title: Hilbertsche Probleme

text: Eine Funktion formula_27 mit der Eigenschaft, dass formula_71 für alle formula_72 (an den Stellen, an denen sie definiert ist, also nicht divergiert) wird auch als definit bezeichnet.


title: Hilbertsche Probleme

text: Das allgemeine Problem wurde 1927 von Emil Artin in positivem Sinn gelöst. Die Arbeit war der Ausgangspunkt der Theorie formal reeller Körper und geordneter Körper in der Algebra (siehe auch reell abgeschlossener Körper), von Artin und Otto Schreier entwickelt. Außerdem war er von Bedeutung für die Entwicklung der reellen algebraischen Geometrie.


title: Hilbertsche Probleme

text: Artin bewies: Ist formula_27 eine definite rationale Funktion über den reellen, rationalen oder reellen algebraischen Zahlen (allgemein einem Unterkörper der reellen Zahlen, der nur eine einzige Anordnung erlaubt), so ist sie eine Summe von Quadraten von rationalen Funktionen: formula_75


title: Hilbertsche Probleme

text: Der erste Teil von Hilberts achtzehntem Problem ist die mathematische Formulierung einer Frage aus der Kristallografie. Viele feste Stoffe besitzen auf atomarer Ebene eine kristalline Struktur, die sich mathematisch mit Bewegungsgruppen beschreiben lässt. Man konnte schon früh zeigen, dass es in der Ebene 17 und im Raum 230 wesentlich verschiedene Raumgruppen gibt. Ludwig Bieberbach konnte schließlich 1910 zeigen, dass diese Zahl auch in höheren Dimensionen stets endlich ist (Bieberbachsche Sätze).


title: Hilbertsche Probleme

text: Im zweiten Teil des Problems fragt Hilbert, ob es im dreidimensionalen Raum Polyeder gibt, die nicht als Fundamentalbereich einer Bewegungsgruppe auftreten, mit denen aber trotzdem der gesamte Raum lückenlos gekachelt werden kann. Dass dies der Fall ist, konnte erstmals Karl Reinhardt 1928 durch Angabe eines Beispiels zeigen. Das Gebiet ist ein aktives Forschungsgebiet (zum Beispiel Quasikristalle nach Roger Penrose, selbstähnliche fraktale Parkettierungen von William Thurston).


title: Hilbertsche Probleme

text: Zuletzt fragt Hilbert nach der platzsparendsten Art, Kugeln im Raum anzuordnen. Bereits Johannes Kepler stellte 1611 die Vermutung auf, dass die kubisch-flächenzentrierte Packung und die hexagonale Packung optimal sind. Diese auch als keplersche Vermutung bekannte Aussage stellte sich jedoch als – wenn auch wenig überraschend – äußerst schwierig zu beweisen heraus. Erst 1998 veröffentlichte Thomas Hales einen computergestützten Beweis, der mittlerweile (2010) geprüft und anerkannt ist. Dichteste Kugelpackungen in höheren Dimensionen sind nach wie vor ein aktives Forschungsgebiet.


title: Hilbertsche Probleme

text: Hilbert fand es bemerkenswert, dass es partielle Differentialgleichungen gibt (wie die Laplacegleichung oder die Minimalflächen-Gleichung), die nur analytische Lösungen zulassen, also solche, die lokal durch Potenzreihen dargestellt werden können. Nach Hilbert stehen sie alle mit Variationsproblemen (als Lösungen der zugehörigen Euler-Lagrange-Gleichungen) in Verbindung, die bestimmte Regularitätsbedingungen erfüllen. Hilbert formulierte das Problem dann als Regularitätsproblem für elliptische partielle Differentialgleichungen mit analytischen Koeffizienten.


title: Hilbertsche Probleme

text: Bereits im Jahr 1903 konnte Sergei Bernstein das Problem lösen, indem er die Analytizität der Lösungen einer gewissen Klasse von Differentialgleichungen bewies, die auch die fraglichen Gleichungen umfassen, unter der Voraussetzung, dass die dritten Ableitungen der Lösungen existieren und beschränkt sind. Bernstein behandelte elliptische partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung in zwei Variablen. Später konnten unter anderem Leon Lichtenstein, Eberhard Hopf, Ivan Petrovsky und Charles Morrey das Ergebnis verallgemeinern. Eine vollständige Lösung lieferten dann Ennio de Giorgi und John Forbes Nash in den 1950er Jahren.


title: Hilbertsche Probleme

text: Es gibt verschiedene Verallgemeinerungen des Problems, indem die Bedingungen an die Funktionale des Variationsproblems gelockert werden. Hier fanden aber ab Ende der 1960er Jahre Wladimir Gilelewitsch Masja, Ennio de Giorgi und andere Gegenbeispiele.


title: Hilbertsche Probleme

text: Das zwanzigste Problem hängt eng mit dem neunzehnten zusammen und hat ebenfalls direkten Bezug zur Physik. Eine Motivation Hilberts war seine Beschäftigung mit und seine Rettung des Dirichletschen Prinzips (1904), des Beweises der Existenz der Lösung eines speziellen Variationsproblems, das Bernhard Riemann in seinen Arbeiten über Funktionentheorie verwendete, das dann aber durch die Kritik von Karl Weierstraß in Misskredit geriet. Das Variationsproblem führte auf die Laplacegleichung, ein Spezialfall elliptischer partieller Differentialgleichungen, die er als Lösung von Variationsproblemen schon im 19. Problem behandelte. Hier fragt er nach Randbedingungen für die Lösungen der partiellen Differentialgleichung, die die Existenz einer Lösung sicherstellen. Das Problem erwies sich als äußerst fruchtbar und es gibt umfangreiche Resultate zum Thema, sodass das Problem als gelöst angesehen werden kann. Die ersten wichtigen Schritte zur Lösung kamen wieder von Sergei Bernstein um 1910, weitere Fortschritte unter anderem von Jean Leray (1939).


title: Hilbertsche Probleme

text: Fuchssche Differentialgleichungen sind homogene lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung im Komplexen (betrachtet auf der Riemannschen Zahlenkugel formula_78, also mit dem Punkt im Unendlichen formula_79), bei denen das singuläre Verhalten der Koeffizientenfunktionen auf bestimmte Weise eingeschränkt ist. Man kann sie als äquivalentes System von formula_33 linearen Differentialgleichungen erster Ordnung formula_81 darstellen mit einer Matrix von Koeffizientenfunktionen formula_82 nur mit Polen 1. Ordnung. Setzt man eine lokal gegebene Lösung um die k singulären Stellen formula_83 fort, erhält man bei Rückkehr zum Ausgangspunkt eine Transformation des Fundamentalsystems der Lösungen in sich durch eine n×n Matrix formula_84, die Monodromiematrix. Man erhält einen Homomorphismus der Fundamentalgruppe formula_85 von formula_86 in der allgemeinen linearen Gruppe formula_87. Das Problem lautet: gibt es für k gegebene singuläre Stellen und eine beliebige Untergruppe von formula_87 als Monodromiematrix ein solches Differentialgleichungssystem ?


title: Hilbertsche Probleme

text: Nachdem die Frage zunächst für einige Spezialfälle positiv beantwortet werden konnte (unter anderem befassten sich Hilbert selbst mit dem Problem und davor Poincaré und Ludwig Schlesinger) und man bis in die 1980er Jahre dachte, dass Josip Plemelj 1908 die Lösung bereits gefunden hatte (in bejahendem Sinn), wobei er die Theorie der Fredholmschen Integralgleichungen benutzte, fand man Anfang der 1980er Jahre eine Lücke in dessen Beweis. Der Beweis von Plemelj gilt nicht für alle fuchsschen Systeme, sondern nur mit sogenannten regulären singulären Stellen (polynomiales Wachstum der Funktion um die singulären Stellen), denn Andrei Bolibruch fand 1989 ein Gegenbeispiel. Bolibruch fand aber, dass es solche Differentialgleichungen gibt, wenn man irreduzible Darstellungen der Monodromiegruppe betrachtet, und klassifizierte alle fuchsschen Systeme für die es eine Monodromiedarstellung gibt für n=3.


title: Hilbertsche Probleme

text: Es wurden auch verschiedene Verallgemeinerungen über fuchssche Differentialgleichungen hinaus betrachtet (zum Beispiel von Helmut Röhrl). Für regulär singuläre Punkte und Verallgemeinerungen des Begriffs gewöhnlicher linearer Differentialgleichungen gelang Pierre Deligne eine allgemeine positive Lösung des Problems.


title: Hilbertsche Probleme

text: Es handelt sich um eines der damals berühmtesten mathematischen Probleme, über das in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts und Anfang des 20. Jahrhunderts viel geforscht wurde. Bei der "Uniformisierung" setzt man sich zum Ziel, algebraische Kurven in zwei Variablen zu parametrisieren, also die Variablen durch Funktionen zu ersetzen, die nur noch von einer Veränderlichen abhängen. So lässt sich beispielsweise der Einheitskreis, der durch formula_55 gegeben ist, parametrisieren, indem man für formula_23 und formula_24 jeweils formula_92 und formula_93 einsetzt. Der gesuchte Uniformisierungssatz war eine Verallgemeinerung des Riemannschen Abbildungssatzes auf kompakte Riemannflächen, und um dessen Lösung lieferten sich Felix Klein und Poincaré Ende des 19. Jahrhunderts einen Wettkampf, aus dem Poincaré zunächst als Sieger hervorging. Dessen Beweis befriedigte Hilbert aber nicht.


title: Hilbertsche Probleme

text: 1907 konnten Poincaré und unabhängig Paul Koebe das Problem schließlich lösen – allerdings nur für den Fall mit zwei Variablen. Verallgemeinert man das Problem auf mehr als zwei Variablen, so gibt es immer noch ungeklärte Fragen auf diesem Gebiet (Teil eines Programms von William Thurston).


title: Hilbertsche Probleme

text: Die Variationsrechnung ist in Hilberts Worten „die Lehre vom Variieren der Funktionen“ und hatte in seiner Auffassung eine besondere Wichtigkeit. Deswegen formuliert er im letzten Teil seines Vortrags kein spezielles Problem mehr, sondern forderte allgemein zur Weiterentwicklung dieses Gebietes auf. Mit der Entwicklung und dem umfangreichen Ausbau der Funktionalanalysis wurde diesem Anliegen Hilberts im 20. Jahrhundert Rechnung getragen, auch im Bereich der Anwendungen (zum Beispiel Theorie optimaler Steuerungen). Hilberts eigene spätere Arbeit zum Dirichletschen Prinzip stand am Anfang der Einführung „direkter Methoden“ in die Variationsrechnung. Übersichten über die Entwicklung im 20. Jahrhundert stammen unter anderem von Stefan Hildebrandt und Guido Stampacchia.


title: Hilbertsche Probleme

text: Hilberts 24. Problem ist ein mathematisches Problem, dessen Formulierung in Hilberts Nachlass gefunden wurde und das manchmal als Ergänzung seiner Liste von 23 mathematischen Problemen benannt wird. Hilbert stellt dabei die Frage nach Kriterien beziehungsweise Beweisen dafür, ob ein Beweis der einfachste für ein mathematisches Problem ist.


title: Stendhal

text: Marie-Henri Beyle, besser bekannt unter seinem Pseudonym Stendhal (; * 23. Januar 1783 in Grenoble; † 23. März 1842 in Paris), war ein französischer Schriftsteller, Militär und Politiker. Zu seiner Zeit eher als Journalist, Kritiker und Essayist bekannt, gilt er heute aufgrund der analytischen Charakterbilder seiner Romane als einer der frühesten Vertreter des literarischen Realismus.


title: Stendhal

text: Beyles Pseudonym "Stendhal" leitet sich nach einer weitverbreiteten Auffassung von der Stadt Stendal her, die in der Altmark im heutigen Bundesland Sachsen-Anhalt liegt. Als Motivation des französischen Literaten für seine Wahl wird entgegen früherer Auffassung nicht die Verehrung für den Kunsthistoriker und Archäologen Johann Joachim Winckelmann angesehen, dessen Heimatstadt Stendal war, den er aber für einen klassizistischen Pedanten hielt. Beyle wohnte von 1807 bis 1808 in Braunschweig in relativer Nähe von Stendal und unterhielt in dieser Zeit eine enge Beziehung zu Wilhelmine von Griesheim (1786–1861) und ihrer Familie.


title: Stendhal

text: Umstritten ist, wie er selbst diesen Namen aussprach, ob (wie heute die meisten gebildeten Franzosen) mit e-Nasal (als wäre die Schreibung "Stindal" oder "Steindal") oder mit a-Nasal (wie "Standal"), was einige Experten für plausibler halten.


title: Stendhal

text: Stendhal war das älteste von drei Kindern von Chérubin Beyle, einem bürgerlichen, aber Adelsambitionen hegenden Anwalt am Obersten Gerichtshof (Parlement) der Provinz Dauphiné. Mit sechs verlor er seine Mutter bei der Geburt der jüngsten Schwester. Auch aufgrund des resultierenden Traumas verargte er es seinem Vater zutiefst, als dieser sich mit der Schwester der Mutter liierte und den Sohn der „Tyrannei“ eines ungeliebten Hauslehrers, eines ehemaligen Geistlichen, aussetzte. Allerdings wurde der Knabe in dieser Zeit zugleich sehr gefördert von seinem Großvater mütterlicherseits, dem schöngeistig interessierten Arzt und Voltaire-Verehrer Gagnon, sowie dessen unverheiratet gebliebener Schwester. Während der Zeit der Schreckensherrschaft "(la Terreur)" der Jahre 1793 und 1794 sympathisierte er aus Trotz gegen seinen royalistisch eingestellten Vater mit den revolutionären Jakobinern und freute sich geradezu, als jener verhaftet wurde und Gefahr lief, guillotiniert zu werden.


title: Stendhal

text: Von 1796 bis 1799 besuchte er die nach einer Schulreform neu eingerichtete Grenobler École centrale – an der er in Mathematik brillierte – und ging dann aus der ihm verhassten engen Provinzstadt nach Paris, um an der neuen École polytechnique zu studieren. Er meldete sich aber nicht zur Aufnahmeprüfung "(concours)", sondern fing an, Theaterstücke und anderes zu schreiben. Bald danach erkrankte er in seinem kargen und kalten möblierten Zimmer und wurde daraufhin von entfernten Cousins, den etwas älteren Brüdern Daru, in ihr Haus aufgenommen.


title: Stendhal

text: Die Darus gehörten zur näheren Umgebung Napoleon Bonapartes und partizipierten an dessen fulminantem Aufstieg zum Herrscher von ganz Mitteleuropa. Als ihr Verwandter und Protégé profitierte auch Stendhal von dieser Nähe. Er nahm zunächst als blutjunger Leutnant 1799–1800 im 6. Dragonerregiment an Napoleons siegreichem Italienfeldzug teil. Dabei lernte er als Adjutant eines Generals das Land, insbesondere die Stadt Mailand, von der besten Seite kennen und entwickelte sich zum Liebhaber italienischer Kunst, Musik und Lebensart. Allerdings infizierte er sich zugleich in einem Bordell mit Syphilis, deren akutes Stadium ihn 1802 zum Quittieren des Militärdienstes zwang.


title: Stendhal

text: Vorübergehend halbwegs gesundet, verbrachte er einige Jahre mit befruchtender Lektüre sowie allerlei fruchtlosen literarischen, geschäftlichen und amourösen Experimenten in Grenoble, Marseille und Paris. 1806, inzwischen war wieder Krieg, schloss er sich erneut den Darus an und avancierte zum Kaiserlichen Kriegskommissar und anschließend zum Verwalter der kaiserlichen Domänen im Département Oker des 1807 gegründeten Königreichs Westphalen, eines kurzlebigen französischen Satellitenstaats, der von Napoleons jüngerem Bruder Jérôme Bonaparte regiert wurde. In seinen "Zeugnissen aus und über Braunschweig (1806–1808)", das Briefe, Tagebücher und Reisebeschreibungen enthält, lieferte er eine amüsante Beschreibung der Braunschweiger Gesellschaft.


title: Stendhal

text: Zwischen 1810 und 1811 setzte er seine Karriere in Paris fort und wurde für kurze Zeit Chef der Verwaltung der kaiserlichen Liegenschaften, vor allem der Schlösser samt ihren Kunstschätzen. 1812 nahm er an Napoleons Russlandfeldzug teil und kam mit der Grande Armée im September bis Moskau. Den anschließenden, äußerst verlustreichen Rückzug überstand er unbeschadet. 1813 war er für kurze Zeit kaiserlicher Intendant in Schlesien.


title: Stendhal

text: Danach erlitt er einen weiteren Syphilis-Anfall und nahm in den Jahren 1813 und 1814 einen längeren Urlaub, den er zum Teil in Italien verbrachte, vor allem in Mailand, der Stadt, die er als jugendlicher Offizier lieben gelernt hatte. Den Zusammenbruch des napoleonischen Kaiserreichs erlebte er im heimatlichen Grenoble. Ob tatsächlich sein Adelsbrief fertig zur Unterschrift auf Napoleons Schreibtisch lag, als jener 1814 besiegt wurde und abdankte, ist ungewiss. Immerhin schmückte er später sein meistgebrauchtes und bekanntestes Pseudonym „Stendhal“ – wie so manch anderer Literat jener Zeit – mit einem adeligen „de“.


title: Stendhal

text: Wie so viele hohe napoleonische Beamte fand auch Stendhal 1814 keinen Platz in der naturgemäß stark verkleinerten Beamtenschaft des „Restaurationsregimes“ unter König Ludwig XVIII. und wurde daraufhin Napoleon-Nostalgiker und Liberaler, d. h. Oppositioneller. Er ging einmal mehr nach Mailand und wurde hier endgültig zum Literaten mit Biographien, kunsthistorischen Werken und Reisebüchern, die er zunächst unter wechselnden Pseudonymen und schließlich unter dem dauerhaften Namen „M[onsieur]. de Stendhal“ publizierte. So erschienen 1815 die "Lettres écrites de Vienne en Autriche sur le célèbre compositeur Joseph Haydn, suivies d’une vie de Mozart et de considérations sur Métastase, et l’état présent de la musique en Italie" (1817 neu aufgelegt als "Vies de Haydn, Mozart et Métastase"). 1817 kam neben der "Histoire de la peinture en Italie" auch seine "Promenades dans Rome, Naples et Florence en 1817" heraus; wegen der Schilderung einer Reizüberflutung in Florenz wurde das Stendhal-Syndrom 1979 nach ihm benannt.


title: Stendhal

text: Eine "Vie de Napoléon", an der er zwischen 1817 und 1818 arbeitete, blieb Fragment und wurde erst postum 1929 gedruckt.


title: Stendhal

text: Im März 1818 begegnete Stendhal in Mailand mit Matilde (Métilde) Viscontini Dembowski (1790–1825) der großen, leidenschaftlichen und doch letztlich unerfüllten Liebe seines Lebens. Matilde, eine geborene Visconti, stammte aus einer lombardischen Bankiersfamilie und war mit dem ehemals in napoleonischen, nun in österreichischen Diensten stehenden polnisch-italienischen General Jan Dembowski (1773–1823) verheiratet. Die Liebesbeziehung zu dieser selbstbewussten und unabhängigen, seit 1814 von ihrem Ehemann getrennt lebenden Frau absorbierte ihn bis 1824 und „war die große Tragik, die ihn aber für den Rest seines Lebens befruchten, aus dem Kompilator […] endgültig den Romancier Stendhal machen sollte“.


title: Stendhal

text: Unmittelbar war Matilde für Stendhal, der von ihren Reizen hingerissen war, ein Inspirationsquell zu dem essayistischen Werk "De l’amour" (erschienen 1822). Sie war zugleich das literarische Vorbild für weitere Frauenfiguren Stendhals, so für Mathilde de la Mole in "Rouge et le Noir", die sicher nicht zufällig den Vornamen der Geliebten trug, oder Bathilde de Chasteller in seinem unvollendeten Roman "Lucien Leuwen".


title: Stendhal

text: 1819 erfuhr Stendhal nach dem Tod seines vermeintlich wohlhabenden Vaters, dass dieser nur ein kleines Vermögen hinterlassen hatte, was ihn fortan zur unterhaltssichernden journalistischen Arbeit zwang, zumal auch seinem Essay "De l’amour" kein kommerzieller Erfolg beschieden war.


title: Stendhal

text: 1821 wurde Stendhal wegen seiner Kontakte mit oppositionellen Intellektuellen wie Silvio Pellico oder Alessandro Manzoni von der österreichischen Obrigkeit in Mailand als Verschwörer verdächtigt. Er verließ die geliebte Stadt (in die er nicht wieder zurückkehren sollte) und verlebte einige unstete Jahre in Paris, London und wieder Italien, bis er sich 1824 in Paris niederließ. Dort hielt er sich als Journalist, unter anderem mit Kunst- und Musikkritiken, über Wasser. Daneben bewegte er sich in den Kreisen der sogenannten „Ideologen“ um ihren Vordenker Destutt de Tracy, aber auch der Romantiker, an deren Kampf gegen den noch vorherrschenden Klassizismus er mit der Streitschrift "Racine et Shakespeare" (1823) teilnahm. Ebenfalls 1823 erschien seine Biografie "Vie de Rossini". 1825 mischte er sich mit der Schrift "Nouveau complot contre les industriels" auf Seiten der oppositionellen Saint-Simoniens in politische Diskussionen ein.


title: Stendhal

text: Ab 1826 erschienen in "The London Magazin" unter dem Titel "Sketches of Parisian Society, Politics and Literatur" insgesamt 29 gut honorierte Aufsätze von ihm, in denen er über französische Politik und die Pariser Gesellschaft berichtete. 1827 publizierte Stendhal seinen ersten Roman, "Armance", die zarte, um 1820 in Paris spielende Liebesgeschichte der armen jungen Adeligen Armance und des reicheren, offenbar impotenten Octave, der sich nach ihrer Heirat auf einem Schiff in Richtung Griechenland das Leben nimmt.


title: Stendhal

text: Seinem novellistischen Debüt ließ Stendhal ein neues Reisebuch folgen ("Promenades dans Rome", 1829) und versuchte sich, wie sein jüngerer Freund Prosper Mérimée und andere Autoren, in der neuen Modegattung der Novelle, mit "Vanina Vanini" (1829), "Le Coffre et le revenant" und "Le Philtre" (beide 1830). Im Oktober 1829 hatte er, während einer Reise, in Marseille die Idee zu einem Roman, den er sofort begann und der sein Meisterwerk werden sollte: "Le Rouge et le Noir".


title: Stendhal

text: Nach der Julirevolution von 1830 schöpfte er wieder Hoffnung auf einen höheren Posten im Staatsdienst, z. B. als Präfekt. Allerdings erhielt er nur den eines Konsuls im damals österreichischen Triest, wo man ihn jedoch bei seiner Ankunft Ende des Jahres als einstigen Verschwörer einstufte und ihm die Zulassung verweigerte. 1831 wurde er schließlich nur Konsul in der kleinen Hafenstadt Civitavecchia im Kirchenstaat. Sein häufigster Aufenthaltsort war jedoch das wenige Wegstunden von Civitavecchia entfernte Rom.