title: Frauen im Alten Rom

text: Ovid schreibt in seinem für die damalige Zeit bahnbrechenden Werk "ars amatoria" im Kapitel "medicamina faciei femineae" (Mittel der weiblichen Gesichtspflege): "Cura dabit faciem"; frei: „Sorgfalt macht das Gesicht erst schön.“ Schminken war in allen Schichten – auch bei Männern – weit verbreitet. Das Make-up wurde am Vorabend auf das Gesicht aufgetragen und war wegen des unangenehmen Geruchs, bedingt durch das Fett der Schafswolle, aus dem es hergestellt wurde, stark parfümiert. Juvenal spöttelte: „Der Ehemann konnte bereits am Geruch abends im Ehebett erahnen, dass seine Frau ihren Liebhaber am nächsten Tag mit dem Make-up verführen wollte.“ Zum Schminken waren Spiegel aus poliertem Metall mit aufwendigen Verzierungen auf der Rückseite unabdingbar. Man benutzte Lidschatten aus Ruß, Wimperntusche und Lippenstift, dessen Farbe aus Ocker gewonnen wurde. Kalkweiß oder weißes Blei wurden als Puder verwandt, da braune Haut wie im Mittelalter schwere Landarbeit anzeigen würde und als ordinär galt. Cremes, Salben, Masken aus Eselsmilch, Honig und Mehl erfreuten sich großer Beliebtheit. Hirschmarksalbe galt als Mittel zur Zahnpflege. Lackierte Finger- und Fußnägel sollten die Füße in schicken Schuhen noch anziehender wirken lassen.


title: Frauen im Alten Rom

text: Die römische Frau trug die Haare nie kurz. Die Frisuren der Römerinnen änderten sich im Laufe der Zeit und hingen von Alter und sozialem Status ab. In der Anfangszeit Roms waren sie noch recht schlicht und künstliche Haarteile galten als Attribute von Prostituierten. Später wurden sie kunstvoll hochgesteckt, geglättet, mit einer Art Lockenstab "(calamistrum)" gelockt, aufwendig mit Nadeln, Haarnetzen "(reticulum)" und Bändern geschmückt, als Knoten gebunden, mit Haarteilen oder Perücken versehen, oder als Pferdeschwanz getragen. In der Kaiserzeit richtete sich die Mode nach der Kaiserin. Nach den Kimbernkriegen kamen blonde und rötliche Haare in Mode. Dafür färbte man die Haare entweder mit "sapo" aus Birkenasche und Ziegenfett oder Henna. Frauenhaar war einer der Hauptexportartikel Germaniens. Für die komplizierten Aufsteckfrisuren beschäftigten reiche Römerinnen eine eigens ausgebildete Sklavin, die "ornatrix".


title: Frauen im Alten Rom

text: Nach der aus der römischen Frühzeit stammenden Tradition mussten die Haare der Frau durch Stoff- oder Wollbänder "(vittae)" gehalten werden und bedeckt sein. Zu diesem Zweck gab es verschiedene Schleier. Sich ohne Kopfbedeckung in der Öffentlichkeit zu zeigen, wurde als Zeichen großer Schamlosigkeit erachtet. Zur Zeit der frühen Republik mussten sich die Frauen so verhüllen, wenn sie das Haus verließen. Gaius Sulpicius Galus ließ sich angeblich sogar von seiner Frau scheiden, weil sie ohne Kopfbedeckung in der Öffentlichkeit unterwegs war. Allerdings hielten sich schon in der späten Republik die wenigsten Frauen an diese alten Regeln.


title: Frauen im Alten Rom

text: Dem nur unvollständig erhaltenen Wörterbuch des Sextus Pompeius Festus zufolge trugen Bräute am Hochzeitstag und Vestalinnen eine besondere Frisur mit sieben Zöpfen, die anscheinend im Zusammenhang mit der Jungfräulichkeit stand.


title: Frauen im Alten Rom

text: Reiche Frauen schmückten sich oft mit Diademen, Ringen, Spangen, geschmückten Bändern, Ohrringen, Armbändern und Ketten. Manche Frauen trugen regelrechte Schätze mit sich herum, besonders betraf dies die Ohren, an denen manchmal mehrere Ohrringe gleichzeitig hingen. Weniger Wohlhabende trugen Schmuck aus Bronze und Glas. Fibeln wurden neben der Nutzung als Gewandhalter auch wegen der Zierwirkung benutzt. Perlen bezeichnet Plinius als Liktoren der Frauen.


title: Holomorphe Funktion

text: In der Mathematik sind holomorphe Funktionen (von „ganz, vollständig“ und „Form, Gestalt“) komplexwertige Funktionen (Abbildungen von komplexen Zahlen in komplexe Zahlen), die in der Funktionentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, untersucht werden. Eine komplexwertige Funktion mit Definitionsbereich formula_1 heißt holomorph, falls sie an jeder Stelle von formula_1 komplex differenzierbar ist. Die aus der Schulmathematik bekannten Rechenregeln zum Ableiten vormals "reeller" Funktionen gelten dabei weiterhin für "komplexe" Funktionen, obgleich der Holomorphiebegriff viel weitreichendere Konsequenzen nach sich zieht. Anschaulich bedeutet Holomorphie, dass sich die betroffene Funktion an jeder Stelle „fast“ wie eine aus mathematischer Sicht leicht zu verstehende (komplexwertige) lineare Funktion verhält. Erstmals eingeführt und studiert wurden holomorphe Funktionen im 19. Jahrhundert von Augustin-Louis Cauchy, Bernhard Riemann und Karl Weierstraß, obgleich sich die Terminologie der Holomorphie erst im 20. Jahrhundert flächendeckend durchsetzte. Besonders in älterer Literatur werden solche Funktionen auch „regulär“ genannt. Aufgrund ihrer breiten Anwendungsmöglichkeiten zählen sie zu den wichtigsten Funktionstypen innerhalb der Mathematik.


title: Holomorphe Funktion

text: Durch die Möglichkeit der Linearisierung in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs formula_1 können für holomorphe Funktionen formula_4, wobei formula_5 die Menge der komplexen Zahlen bezeichnet, sehr fruchtbare Resultate hervorgebracht werden. Anschaulich kann die mathematische Rechenvorschrift formula_6 in der Nähe jedes Wertes formula_7 ihres Definitionsbereichs formula_1 sehr gut durch die lineare Funktion formula_9 angenähert werden. Die Annäherung ist dabei so gut, dass sie für die lokale Analyse der Funktion bzw. der Rechenvorschrift ausreicht. Das Symbol formula_10 bezeichnet dabei die komplexe Ableitung von formula_11 in formula_7. Auch wenn diese Definition analog zur reellen Differenzierbarkeit ist, zeigt sich in der Funktionentheorie, dass die Holomorphie eine sehr starke Eigenschaft ist. Sie produziert eine Vielzahl von Phänomenen, die im Reellen kein Pendant besitzen. Beispielsweise ist jede holomorphe Funktion bereits beliebig oft differenzierbar und lässt sich lokal in jedem Punkt in eine Potenzreihe entwickeln. Das bedeutet, dass man die betreffende Funktion in ihrem Definitionsbereich lokal durch Polynome annähern kann, also unter Verwendung nur der vier Grundrechenarten, wobei zur Konstruktion dieser Polynome nur die Ableitungen der Funktion in einem einzigen Punkt, dem "Entwicklungspunkt", benötigt werden. Besonders bei transzendenten holomorphen Funktionen, wie Exponentialfunktionen, trigonometrischen Funktionen (etwa Sinus und Kosinus) und Logarithmen, aber auch bei Wurzelfunktionen, ist dies eine sehr nützliche Eigenschaft, etwa dann, wenn man diese Funktionen und ihre Ableitungen im Entwicklungspunkt gut versteht. Dabei ist zu beachten, dass die genannten Funktionen natürliche Fortsetzungen von den reellen in die komplexen Zahlen besitzen.


title: Holomorphe Funktion

text: Hintergrund der Begriffsstärke der Holomorphie ist, dass die Differenzierbarkeit im Komplexen auf einer offenen „Fläche“ statt nur einem offenen Intervall gelten muss. Dabei müssen beim Grenzübergang zum Differentialquotienten unendlich viele Richtungen (alle Kombinationen aus Nord, Ost, West und Süd) betrachtet werden – eine höhere Anforderung als nur die beiden Richtungen „positiv“ und „negativ“ auf dem "reellen" Zahlenstrahl. Im Laufe des 19. und 20. Jahrhunderts wurde darauf aufbauend im Rahmen der Funktionentheorie ein eigener Rechenkalkül für holomorphe Funktionen entwickelt. Während Begriffe wie Ableitung, Differenzenquotient und Integral weiterhin existieren, kommen zusätzliche Eigenschaften zum Tragen. Dies betrifft das Abbildungsverhalten holomorpher Funktionen, zusätzliche Techniken in der Integrationstheorie oder auch das Konvergenzverhalten von Funktionenfolgen.


title: Holomorphe Funktion

text: In vielen Teilgebieten der Mathematik bedient man sich der starken Eigenschaften holomorpher Funktionen, um Probleme zu lösen. Beispiele sind die analytische Zahlentheorie, in der über holomorphe Funktionen auf Zahlen rückgeschlossen wird, sowie die komplexe Geometrie oder auch die theoretische Physik. Besonders im Rahmen der Theorie der Modulformen nehmen holomorphe Funktionen eine wichtige Position ein, wobei tiefe Verbindungen zur Darstellungstheorie und zu elliptischen Kurven aufgebaut werden können. Gleich zwei Millennium-Probleme der Mathematik, die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer und die Riemannsche Vermutung, drehen sich um das Nullstellenverhalten gewisser holomorpher Funktionen.


title: Holomorphe Funktion

text: Komplexe Zahlen erweitern den Bereich der reellen Zahlen durch Hinzunehmen sog. "imaginärer Zahlen". Diese sollen die Eigenschaft haben, algebraische Gleichungen zu lösen, die im Reellen nicht lösbar sind. Ein Beispiel ist die quadratische Gleichung formula_13. Sie hat keine reelle Lösung, da das Quadrat einer reellen Zahl stets nicht-negativ ist. Fügt man jedoch den reellen Zahlen eine imaginäre Zahl formula_14 mit der Eigenschaft formula_15 hinzu, so kann die obige Gleichung gelöst werden.


title: Holomorphe Funktion

text: Während die reellen Zahlen eine Zahlengerade aufspannen, breiten die komplexen Zahlen eine Ebene aus. Jede komplexe Zahl formula_16 ist von der Form formula_17 mit reellen Zahlen formula_18 und formula_19. Geht man formula_18 Schritte in „reelle Richtung“ und formula_19 Schritte in „imaginäre Richtung“, so wird die komplexe Zahl formula_22 mit dem Punkt formula_23 in der Euklidischen Ebene identifiziert. Dabei wird formula_18 als Realteil und formula_19 als Imaginärteil von formula_16 bezeichnet.


title: Holomorphe Funktion

text: Eine wichtige Eigenschaft komplexer Zahlen ist, dass man mit ihnen, wie im Falle der reellen Zahlen, rechnen kann. Damit ist gemeint, dass Plus, Minus, Mal und Geteilt auch für komplexe Zahlen definiert ist. Um dies umzusetzen, ist lediglich das Beherrschen der reellen Rechenregeln sowie die Regel formula_15 vonnöten. Die Addition wird in Real- und Imaginärteil separat ausgeführt, also zum Beispiel formula_28, und beim Multiplizieren müssen die Klammern verrechnet werden:


title: Holomorphe Funktion

text: Dabei entsteht der Term formula_30 beim Ausmultiplizieren aus dem Produkt formula_31. Auch die Division ist möglich, etwa dadurch, den Nenner durch passendes Erweitern und die dritte binomische Formel reell zu machen:


title: Holomorphe Funktion

text: Somit bilden auch die komplexen Zahlen eine Zahlenstruktur, in der algebraisch gerechnet werden kann. Man sagt auch, dass die Menge der komplexen Zahlen formula_5, genau wie die reellen Zahlen formula_34, einen Körper bilden.


title: Holomorphe Funktion

text: Die Holomorphie ist eine Eigenschaft komplexer Funktionen. Dabei stellt eine Funktion ganz allgemein eine Beziehung zwischen zwei Mengen formula_35 und formula_36 über eine Abbildungsvorschrift her. Funktionen formula_37 müssen die Regel erfüllen, dass "jedem" Element aus formula_35 "genau ein" Element in formula_36 zugeordnet wird.


title: Holomorphe Funktion

text: Einige Beispiele reeller Funktionen lassen sich direkt auf die komplexen Zahlen übertragen. Dazu zählt etwa die quadratische Funktion formula_40.


title: Holomorphe Funktion

text: "Reelle" Funktionen induzieren Tabellendaten der Form formula_41, wobei die Eingabewerte formula_18 den Definitionsbereich von formula_11 durchlaufen. Die Analogie zu einer Tabelle entsteht dadurch, dass Daten formula_18 und formula_45 in Zeilen- oder Spaltenform zusammengestellt werden können. Es ist jedoch nicht möglich, alle Werte einer reellen Funktion in eine Tabelle einzutragen, da es zum Beispiel bereits nicht möglich ist, "alle" Werte formula_46 aufzulisten. Alle nicht leeren, echten Intervalle der reellen Zahlen sind überabzählbar. Daher ist die Darstellung einer reellen Funktion anhand eines Schaubildes üblich. Dabei macht man sich zunutze, dass der Definitionsbereich ein Teil eines Zahlenstrahles ist, ebenso der Wertebereich. Ergo sammeln sich die Informationen formula_47 zu Punkten formula_23 in einer zweidimensionalen Ebene. Hebt man diese in der Ebene hervor, bekommt man einen Überblick über das Verhalten einer reellen Funktion.


title: Holomorphe Funktion

text: Für "komplexe" Funktionen ist die Situation anders. Hier ist bereits der Eingangsbereich eine Fläche. Von daher müsste ein Schaubild nach Art reeller Funktionen vierdimensional sein, was nicht verständlich darstellbar ist. Ein Weg, komplexe, insbesondere holomorphe, Funktionen darzustellen, bedient sich eines Farbschlüssels. Einer komplexen Zahl wird je nach „Himmelsrichtung“ eine Farbe zugeordnet, wobei der Ursprung, also die Null, den Orientierungspunkt bildet. Zusätzlich wird mit der Helligkeit des Farbtons die Größe im Sinne des Abstands zum Ursprung visualisiert. Dabei bedeutet „dunkel“ nahe bei Null, und „hell“ nahe bei „Unendlich“.


title: Holomorphe Funktion

text: Die Darstellung komplexer Funktionen durch Kolorierung ist besonders zur Hervorhebung von Null- oder Polstellen sowie anderer Singularitäten einer Funktion üblich. Die Software Wolfram Mathematica bietet seit Version 12 ein entsprechendes Werkzeug an.


title: Holomorphe Funktion

text: Im Englischen trägt eine solche Art der Visualisierung die Bezeichnung "domain coloring". Diese wurde von Frank Farris geprägt. Es gab viele frühere Verwendungen von Farbe zur Visualisierung komplexer Funktionen, typischerweise die Zuordnung von Argumenten (Phasen) zu Farbtönen. Larry Crone verwendete die Methode in den späten 1980er Jahren. Die Technik der Verwendung kontinuierlicher Farbe zur Abbildung von Punkten des Definitionsbereiches in die Zielmenge wurde 1999 von George Abdo und Paul Godfrey verwendet, und farbige Raster wurden in Grafiken von Doug Arnold benutzt, die er auf 1997 datiert. Menschen, die farbenblind sind, können jedoch Schwierigkeiten haben, solche Diagramme zu interpretieren, wenn sie mit Standard-Farbkarten erstellt werden. Dieses Problem kann möglicherweise durch die Erstellung alternativer Versionen unter Verwendung von Farbkarten behoben werden, die in den Farbraum passen, der für Menschen mit Farbenblindheit erkennbar ist. Zum Beispiel kann eine Farbkarte, die auf Blau/Grau/Gelb basiert, für Menschen mit vollständiger Deuteranopie besser lesbar sein als das herkömmliche Schaubild, das auf Blau/Grün/Rot basiert.


title: Holomorphe Funktion

text: Da mit komplexen Zahlen im Wesentlichen genau wie mit reellen Zahlen gerechnet werden kann, stellt sich die Frage, inwieweit sich die reelle Analysis, mit Begriffen wie Funktionen, Ableitung oder auch Integral, auf die komplexen Zahlen ausweiten lässt.


title: Holomorphe Funktion

text: Im Reellen ist eine Funktion formula_49 in einem Punkt formula_50 differenzierbar, wenn sie dort "linearisiert" werden kann. Das bedeutet, dass sie sich um formula_50 herum sehr ähnlich zu einer linearen Funktion formula_52 verhält. Es gilt also für sehr kleine Werte formula_53 die Approximation formula_54, wobei man mit formula_55 auch formula_56 erhält. Um die Begriffe „Linearisierung“, „sehr ähnlich“ und „Approximation“ präzise zu fassen, bedient man sich des Konzepts des Grenzwertes. Demnach ist formula_11 in formula_50 genau dann differenzierbar, wenn der Differentialquotient


title: Holomorphe Funktion

text: existiert, der auch als Ableitung von formula_11 an der Stelle formula_50 bezeichnet wird. Da bei der Berechnung dieses Quotienten nur die Grundrechenarten Addition, Subtraktion und Division verwendet werden, stellt sich die Frage nach einem Analogon im Komplexen. Da die komplexen Zahlen diese Rechnungen auch zulassen, kann die Bedingung


title: Holomorphe Funktion

text: eins zu eins übernommen werden. Der entscheidende Unterschied ist hier aber, dass bei der Berechnung des komplexen Differenzenquotienten das kleiner werdende formula_53 eine komplexe Zahl sein kann. Es kann sich also aus jeder Richtung in der komplexen Ebene genähert werden. Im Gegensatz dazu sind im Reellen nur endlich viele, nämlich zwei, Richtungen möglich, von links (formula_64) und von rechts (formula_65).


title: Holomorphe Funktion

text: Für das Verständnis der komplexen Differenzierbarkeit ist essentiell, den Definitionsbereich der komplexen Funktion auch geometrisch wahrzunehmen. Eingabewerte in die Funktion sind somit nicht bloß komplexe Zahlen, sondern auch "Punkte einer Ebene". Auf dieser Ebene ist ein Abstandsbegriff definiert, also können Punkte „nah“ und „weit weg“ zu anderen Punkten liegen. Erst diese Vorstellung erlaubt die Formulierung des für die Differenzierbarkeit essentiellen "Lokalitätsbegriffs": Eine in einem Punkt formula_66 komplex differenzierbare Funktion sieht an Punkten sehr nahe zu formula_66 einer linearen Funktion „sehr ähnlich“. Genau diese Aussage wird durch den Differentialquotienten analytisch präzisiert. Nach Umformung des Differentialquotienten erhält man


title: Holomorphe Funktion

text: Ist eine komplexe Funktion formula_11 in ihrem Definitionsbereich holomorph, bedeutet dies, dass sie in "jedem" Punkt komplex differenzierbar ist. Wegen der ohnehin restriktiveren Bedingung der komplexen (statt nur reellen) Differenzierbarkeit, gepaart mit deren Gültigkeit für alle Punkte auf einer "Fläche" statt nur eines Intervalls (einer Linie), ist die Holomorphie eine sehr starke Eigenschaft.


title: Holomorphe Funktion

text: Ein zentrales Problem der Analysis besteht darin, „komplizierte“ Funktionen zu studieren. Dabei bedeutet „kompliziert“ zum Beispiel, dass die Rechenvorschrift nicht aus einer endlichen Abfolge aus Anwendungen der vier Grundrechenarten besteht. Eine in diesem Sinne „einfache“ Vorschrift wäre: "Nimm die Eingangszahl mal Zwei, dann das Ergebnis plus Eins, multipliziere dies mit sich selbst, teile dann alles durch die Drei." In Kurzform: formula_71.


title: Holomorphe Funktion

text: Jedoch lassen sich sehr viele Phänomene in der Natur nicht so einfach beschreiben. Die Mathematik ist demnach bestrebt, Analyseverfahren nichttrivialer Funktionen zu entwickeln. Solche Verfahren kommen zum Beispiel dann zum Einsatz, wenn Änderungsraten bei Naturgesetzen oder Bilanzen in der Wirtschaft erstellt werden müssen. Eine Möglichkeit besteht darin, die Funktion zunächst sehr stark einzuschränken, also nur Eingabewerte aus einem sehr „kleinen“ Vorrat einzusetzen. Klein bedeutet in diesem Kontext, dass die betrachteten Eingabewerte sehr nahe beieinander liegen. Soll eine Funktion etwa um 0 herum studiert werden, würden Werte wie 0,000001 möglicherweise noch in Betracht gezogen, möglicherweise aber nicht mehr 1, geschweige denn 100. In diesem Kontext nennt man die 0 auch den "Entwicklungspunkt". Phänomene wie die Holomorphie besagen nun, dass betroffene Funktionen in sehr kleinen Bereichen "deutlich verständlicheren" Funktionen "sehr stark ähneln". Diese verständlicheren Funktionen sind Vorschriften, die sich nur aus den vier Grundrechenarten zusammensetzen. Hinter diesem Prinzip steckt eine gewisse Form der „Stetigkeit“: Wurde eine holomorphe Funktion im Punkt 0 gut verstanden, so lässt sich daraus schon auf ihr Verhalten in z. B. 0,000001 schließen, und das nur anhand der vier Grundrechenarten. Präziser wird die Annäherung über Polynome realisiert, also Ausdrücke wie formula_72, formula_73 und ganz allgemein


title: Holomorphe Funktion

text: Eine holomorphe Funktion kann also um jeden Wert ihres Definitionsbereichs durch Anwendung der Grundrechenarten "entwickelt werden". Dabei ist zu beachten, dass es sich bei hinreichend „komplizierten“ Funktionen nur um eine Näherung handelt. Eine zentrale Eigenschaft der Holomorphie ist aber, dass für solche komplizierten Funktionen beliebig lange Polynomketten, also addierte formula_75-Terme, zur Annäherung gefunden werden können. Je länger diese Terme sind, desto besser. Lässt man diesen Prozess gegen Unendlich streben, ist die Annäherung in den umliegenden Punkten perfekt, es herrscht also Gleichheit. In diesem Sinne sind also holomorphe Funktionen, zumindest lokal, gerade „unendlich lange Polynome“. Obwohl dabei unendlich viele Terme addiert werden, kann Konvergenz vorliegen, wenn das Funktionsargument nahe genug am Entwicklungspunkt liegt. Wählt man zum Beispiel den Entwicklungspunkt 0 und für die Koeffizienten die Dezimalstellen der Kreiszahl formula_76, also


title: Holomorphe Funktion

text: Für Werte formula_79 wird dann formula_80 „erst recht“ endlich sein. Dabei bezeichnet formula_81 die Euklidische Länge der Zahl formula_16 in der Ebene, was dem Abstand zum Punkt 0 entspricht. Diesem Gedanken folgend kann man zeigen, dass Potenzreihen entweder überall oder innerhalb von Kreisscheiben konvergieren. Dennoch kann es sein, dass im Falle der Potenzreihen nicht immer Holomorphie auf ganz formula_5 vorliegt. Ein Beispiel ist die Funktion formula_84, die an der Stelle formula_85 nicht komplex differenzierbar (ja nicht mal definiert) ist. Jedoch liegt Holomorphie im Bereich aller formula_16 mit formula_87 vor, und es gilt mit der geometrischen Reihe


title: Holomorphe Funktion

text: Bedeutsam sind holomorphe Funktionen auch in Anwendungen für "reelle" Integrale. Es lassen sich einige wichtige Integrale berechnen, "ohne" eine Stammfunktion angeben zu müssen. Dazu zählt zum Beispiel


title: Holomorphe Funktion

text: und es ist zu beachten, dass zu formula_149 keine geschlossene elementare Stammfunktion angegeben werden kann. Integrale wie das obige spielen eine Rolle in der Wahrscheinlichkeitstheorie, hier im Kontext mit der Gaußschen Normalverteilung.


title: Holomorphe Funktion

text: In der Analysis, die sich mit Grenzwerten von Funktionen oder Zahlenfolgen beschäftigt, treten auch Reihen auf. Diese sind spezielle Folgen, und werden durch unendliche Summen formula_150 ausgedrückt. Wenn die Summanden formula_151 schnell genug klein werden, hat die betroffene Reihe einen Grenzwert. Ein Beispiel ist


title: Holomorphe Funktion

text: Mit holomorphen Funktionen können in manchen Fällen Grenzwerte weit komplizierterer Reihen bestimmt werden. Beispiele sind


title: Holomorphe Funktion

text: Es bezeichnen dabei formula_157 die Eulersche Zahl und formula_76 die Kreiszahl. Die letzte Identität geht auf den Mathematiker Carl Gustav Jacobi zurück und hat weitreichende Konsequenzen in der Zahlentheorie. So kann mit ihr etwa gezeigt werden, dass sich jede positive ganze Zahl als Summe von vier Quadratzahlen schreiben lässt, zum Beispiel ist formula_159, siehe auch Satz von Jacobi.


title: Holomorphe Funktion

text: Holomorphe Funktionen treten in der Zahlentheorie besonders dann in Erscheinung, wenn eine Folge von Zahlen studiert werden soll. Eine Folge ist wie eine Tabelle, wobei den Zahlen formula_160 jeweils Zahlen formula_161 zugeordnet werden. Berühmte Beispiele für Folgen sind die Folge der Quadratzahlen formula_162, die Folge der Primzahlen formula_163 oder auch die Fibonacci-Folge formula_164 Möchte man eine Zahlenfolge formula_165 mit analytischen Mitteln, also holomorphen Funktionen, untersuchen, kann es helfen, die zugehörige Potenzreihe


title: Holomorphe Funktion

text: zu betrachten. Wie oben gesehen, handelt es sich dabei um eine um 0 holomorphe Funktion, zumindest dann, wenn die formula_151 nicht zu schnell anwachsen. Es kann gezeigt werden, dass formula_11 durch die formula_151 eindeutig festgelegt ist, und umgekehrt. Das bedeutet, dass die erzeugte Funktion formula_11 gewissermaßen charakteristisch für die Zahlenfolge formula_151 ist, sie also Eigenschaften der Folge „kodieren“ sollte. Im Allgemeinen ist es jedoch schwer oder nahezu unmöglich, daraus exakte Informationen zu erhalten. Allerdings kann in einigen Fällen das Wachstumsverhalten der formula_151 für größer werdende formula_173 ermittelt werden.


title: Holomorphe Funktion

text: Historisches Beispiel ist die Analyse der Partitionsfunktion formula_128. Diese ordnet einer natürlichen Zahl die Anzahl der Möglichkeiten zu, diese als Summe kleinerer natürlicher Zahlen zu schreiben. Wegen


title: Holomorphe Funktion

text: Lange Zeit galt ein „geschlossenes Verständnis“ dieser Folge als unerreichbar. Godfrey Harold Hardy und Srinivasa Ramanujan studierten intensiv die von den Partitionen (formal setzt man formula_179) erzeugte holomorphe Funktion


title: Holomorphe Funktion

text: Für jede komplexe Zahl formula_16 mit formula_87 ist diese Reihe im Grenzwert endlich (siehe oberes Bild). Es ist keine holomorphe Fortsetzung in den Bereich formula_183 möglich, dieser Bereich ist in Grau gehalten. Hardy und Ramanujan konnten das Verhalten der Funktion nahe an der Kreislinie mit Radius 1 und Mittelpunkt 0, wo also Konvergenz endet, detailliert beschreiben, und rekonstruierten aus ihren Analysen die asymptotische Schätzformel


title: Holomorphe Funktion

text: die prozentual immer genauer wird, wenn formula_173 anwächst. Es bezeichnet dabei formula_186 die natürliche Exponentialfunktion, formula_187 die Kreiszahl und formula_188 die Quadratwurzel von 3.


title: Holomorphe Funktion

text: Viele Anwendungen machen sich die starken Eigenschaften holomorpher Funktionen zu Nutze. So kann zum Beispiel anhand logischer Argumente, die sich auf die grundlegenden Eigenschaften der Holomorphie gründen, bewiesen werden, dass jede in "allen" komplexen Zahlen holomorphe Funktion, die global beschränkt ist, bereits konstant sein muss. Interessanterweise ist die analoge Aussage im Reellen falsch. So ist zum Beispiel die Funktion formula_189 in ganz formula_34 differenzierbar und außerdem beschränkt (da der Nenner niemals kleiner und der Zähler niemals größer als 1 wird), aber ganz offensichtlich "keine" konstante Funktion formula_191. Für reelle Eingaben beschränkte Funktionen wie der Sinus, die überall komplex differenzierbar sind, müssen folglich durch Eingabe beliebiger "komplexer" Werte über alle Grenzen hinauswachsen. Es gilt zum Beispiel formula_192


title: Holomorphe Funktion

text: nachvollzogen werden. Die Funktion formula_197 ist, da sie ein Polynom ist, holomorph für alle komplexen Zahlen. Wegen der Quotientenregel ist auch ihr Kehrwert formula_198 komplex differenzierbar an Punkten formula_16 mit formula_200, da sonst durch 0 geteilt wird. Geht man davon aus, dass die Gleichung formula_196 "nicht" lösbar ist, so ist


title: Holomorphe Funktion

text: ebenfalls auf ganz formula_5 holomorph. Da formula_80 als Polynom aber in jeder Richtung für wachsende formula_16 langfristig beliebig anwächst, kann man folgern, dass formula_206 beschränkt ist. Damit ist es als global holomorphe Funktion konstant. Das ist offenbar falsch, somit ist ein Widerspruch gefunden, und die Gleichung muss über den komplexen Zahlen lösbar sein.


title: Holomorphe Funktion

text: Auch in der theoretischen Physik treten holomorphe Funktionen auf. Ein Anwendungsgebiet betrifft die sogenannte Stringtheorie. Der Ausgangsgedanke dieser Theorie entspringt der „klassischen“ Quantenfeldtheorie (QFT). In der QFT sind die grundlegenden Objekte Teilchen. Während sie sich durch den Raum ausbreiten und miteinander interagieren, beschreiben sie einen Graphen, der als Feynman-Diagramm bezeichnet wird. Diese Diagramme dienen also der "Veranschaulichung" von Wechselwirkungen zwischen Teilchen, die unsere bekannte Welt aufbauen. In der Stringtheorie sind die grundlegenden Objekte 1-dimensional (Linien bzw. "Strings") und nicht 0-dimensional (Punkte bzw. "Teilchen"). Sie können sich durch den Raum ausbreiten und interagieren, genau wie Punktpartikel, aber anstatt einen Graphen aufzufächern, fächern sie eine Oberfläche auf. Diese Oberflächen können mit Hilfe der Theorie der Riemannschen Flächen beschrieben werden. Das sind zweidimensionale Strukturen im Raum, die lokal wie eine flache Ebene aussehen, deren Koordinaten sich also durch komplexe Zahlen formula_207 beschreiben lassen. Auf diesen Ebenen können holomorphe Funktionen definiert werden. Diese helfen dabei, alle möglichen Flächen eines Typs zu charakterisieren, wobei nur „geschlossene Flächen mit Henkeln“ interessant sind.


title: Holomorphe Funktion

text: Obwohl etwa verschiedene Tori (Donuts), Flächen vom Geschlecht 1, aus Sicht der Topologie („Theorie der Formen“) nicht zu unterscheiden sind, können sie als Riemannsche Flächen aufgefasst in eine sehr große Schar verschiedener Klassen unterteilt werden. In diesem Sinne „ungleiche“ Riemannsche Flächen können allgemein durch sogenannte "Moduli" unterschieden werden. Anschaulich sind Moduli Parameter, in etwa Zahlen, die ohne Doppelungen alle Riemannschen Flächen eines Geschlechts bis auf „holomorphe Äquivalenz“ auflisten. Alle Riemannschen Flächen mit ihren zugehörigen Moduli zu konstruieren, ist ein schwieriges mathematisches Problem. Untersuchungen der Stringwechselwirkungen liefern jedoch deutliche Hinweise darauf, dass die sogenannten "world-sheets" (dt.: „Weltblätter“) der wechselwirkenden Strings genau diese Konstruktion wiedergeben. Bei "world-sheets" handelt es sich um Einbettungen von Strings in die Raumzeit.


title: Holomorphe Funktion

text: Die Redeweise „holomorph in (einer offenen Menge) formula_1“ für „komplex differenzierbar in allen Punkten in formula_1“ hat sich in der deutschen Literatur erst in den letzten Jahrzehnten etabliert. Etwa noch bei Marvin Knopp war der Begriff „regulär“ bzw. „analytisch“ üblich. Letzterer wird jedoch in manchen Lehrbüchern bis heute konsequent verwendet, etwa bei Eberhard Freitag. Das Wort „holomorph“ wurde im Jahr 1875 von den Mathematikern Charles Briot und Jean-Claude Bouquet im Rahmen ihres Werkes „Théorie des fonctions elliptiques“ eingeführt. Dabei handelt es sich um das erste Lehrbuch zur Funktionentheorie. Allerdings tauchte „holomorph“ erst in der zweiten Auflage auf; in der ersten Auflage verwendeten sie noch die auf Cauchy zurückgehende Bezeichnung „synectisch“.


title: Holomorphe Funktion

text: Die Euklidische Norm induziert auf den komplexen Zahlen eine Topologie. Analog wie in formula_224 gilt für die Norm formula_225. Eine Menge formula_216 heißt "offen", wenn jeder Punkt formula_227 "innerer Punkt" ist. Für jedes formula_227 gibt es also ein formula_229, sodass die Kreisscheibe formula_230 ganz in formula_1 liegt. Es gilt also


title: Holomorphe Funktion

text: Für die Definition der komplexen Differenzierbarkeit ist der Begriff der offenen Menge essentiell. Er stellt sicher, dass für jeden Punkt des Definitionsbereichs das Verhalten der Funktion in einer Umgebung dieses Punktes studiert werden kann.


title: Holomorphe Funktion

text: Es sei formula_233 eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und formula_234 ein Punkt dieser Teilmenge. Eine Funktion formula_235 heißt komplex differenzierbar im Punkt formula_236, falls der Grenzwert


title: Holomorphe Funktion

text: existiert. Man bezeichnet ihn dann als formula_238. Bei dieser Definition ist zu beachten, dass der Limes formula_239 eine Annäherung aus beliebiger Richtung in der komplexen Ebene darstellt. Äquivalent ist also, dass für "jede" komplexe Nullfolge formula_240, mit formula_241 für alle formula_173, der Wert


title: Holomorphe Funktion

text: Zu bemerken ist, dass der Differentialquotient von allen Richtungen gebildet werden kann, da formula_1 offen ist und somit um jeden Punkt aus formula_1 eine umliegende Kreisscheibe auch noch in formula_1 enthalten ist. Ist formula_53 hinreichend klein, liegt also formula_249 in formula_1, egal welches komplexe Argument formula_53 besitzt.


title: Holomorphe Funktion

text: Jede komplexwertige Funktion formula_11 lässt sich in der Form formula_253 schreiben. Dabei sind formula_254 reellwertige Abbildungen. Man sagt, dass formula_11 genau dann "reell differenzierbar" in einem Punkt formula_256 ist, wenn


title: Holomorphe Funktion

text: wobei die formula_259-Fehlerterme, siehe Landau-Symbol, für kleiner werdende formula_260 gegen 0 gehen. Es gilt also


title: Holomorphe Funktion

text: Dabei handelt es sich bei formula_263 um reelle Zahlen, die sich über die partiellen Ableitungen der Funktionen formula_264 und formula_265 bestimmen lassen. Präziser gesagt, bilden sie die sog. Jacobi-Matrix von formula_11 als Abbildung von formula_224 in sich selbst aufgefasst, via


title: Holomorphe Funktion

text: Die reelle Differenzierbarkeit impliziert unter anderem, dass Differentialquotienten existieren, wenn "separat" die reellen Variablendifferenzen formula_269 und formula_270 in formula_271 bzw. formula_272 betrachtet werden. Die Richtungsableitungen können sich indes, je nach Gewichtung von formula_269 und formula_270, unterscheiden.


title: Holomorphe Funktion

text: Bei der komplexen Differenzierbarkeit liegt insbesondere reelle Differenzierbarkeit vor, allerdings kommt hinzu, dass die Richtungsableitungen alle identisch sein müssen. Es werden also die Komponenten formula_269 und formula_270 zu Gunsten einer zusammenfassenden Komponente formula_277 „vergessen“. Es gilt im Falle komplexer Differenzierbarkeit an einer Stelle formula_236 also


title: Holomorphe Funktion

text: Die Körperstruktur von formula_5 erlaubt es, diesen Sachverhalt nach gewohntem Rechenverfahren in die Gleichung


title: Holomorphe Funktion

text: umzuwandeln. Spaltet man dies nun rückwirkend in den reellen Fall auf, so ergibt sich mit formula_284 und formula_285 die Gleichheit:


title: Holomorphe Funktion

text: was den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen entspricht. Eine Funktion formula_290 ist also genau dann komplex differenzierbar an einer Stelle formula_227, wenn sie dort reell stetig differenzierbar ist und zusätzlich die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt. Es ergibt sich daraus, dass die Funktion formula_292 genau dann holomorph auf formula_1 ist, wenn sowohl Realteil formula_264 als auch Imaginärteil formula_265 überall in formula_1 stetig partiell differenzierbar sind und die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen.


title: Holomorphe Funktion

text: Die komplexe Differenzierbarkeit in einem einzelnen Punkt bietet noch nicht viel Struktur. Wichtig für die Funktionentheorie ist der Fall, wenn eine Funktion "in ihrer Gänze" komplex differenzierbar ist. Die Funktion formula_11 heißt holomorph in formula_1, falls sie in "jedem" Punkt formula_299 komplex differenzierbar ist. Ist zudem sogar formula_300, so nennt man formula_11 eine "ganze Funktion."


title: Holomorphe Funktion

text: In der Fachliteratur werden die Begriffe holomorph und analytisch häufig synonym verwendet. Dies hat den keinesfalls trivialen Hintergrund, dass eine in formula_1 holomorphe Funktion eine in formula_1 analytische Funktion ist, und umgekehrt.


title: Holomorphe Funktion

text: Die Menge der auf einer offenen Menge formula_1 holomorphen Funktionen wird in der Literatur häufig mit formula_305 bezeichnet. Diese Schreibweise wird etwa seit 1952 von der französischen Schule um Henri Cartan vor allem in der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher verwendet. Aussagen, es handele sich bei formula_306 um eine Ehrung des japanischen Mathematikers Oka Kiyoshi, oder eine Reflexion der französischen Aussprache des Wortes "holomorph", sind unbestätigt. Vielmehr sei die Notation laut Reinhold Remmert „rein zufällig“, und es heißt in einem Brief von Cartan an Remmert vom 22. März aus dem Jahr 1982:


title: Holomorphe Funktion

text: Sind formula_307 an einer Stelle formula_299 komplex differenzierbar, so auch formula_309, formula_310 und formula_311. Das gilt auch für formula_312, wenn formula_16 keine Nullstelle von formula_314 ist. Es gelten ferner Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel.


title: Holomorphe Funktion

text: Eine komplexe Abbildung ist winkeltreu, wenn sie zwei sich in einem Punkt schneidende Geradenstücke auf wiederum zwei Geradenstücke abbildet, die sich im gleichen Winkel schneiden. So sind etwa Drehungen winkeltreue Abbildungen. Es kann gezeigt werden, dass nicht-lokalkonstante holomorphe Funktionen in, bis auf eine diskrete Teilmenge, allen Punkten ihres Definitionsbereichs winkeltreu sind. Es sind durch diese Eigenschaft im Wesentlichen sogar holomorphe Funktionen charakterisiert. Verlangt man zusätzlich noch Orientierungstreue, d. h., dass für formula_292 die Funktionaldeterminante


title: Holomorphe Funktion

text: Die Winkeltreue holomorpher Funktionen in einem Punkt lässt sich zudem anhand ihrer Jacobi-Matrix an der entsprechenden Stelle erklären. Dazu muss bekannt sein, dass die Abbildung


title: Holomorphe Funktion

text: nach Einschränkung ihrer Zielmenge auf ihr Bild einen Isomorphismus zwischen Körpern induziert. Wegen Eulers Formel gilt zudem für formula_220 und formula_321 die Relation


title: Holomorphe Funktion

text: Eine komplexe Zahl kann demzufolge als lineare Abbildung gedeutet werden, nämlich als eine Drehstreckung, wie die rechte Form als Verkettung von Skalierung und Rotationsmatrix verdeutlicht. Die Cauchy-Riemann-Gleichungen verlangen nichts anderes, als dass die Jacobi-Matrix von dieser Struktur sein soll, wobei dann formula_323 mit formula_324 gilt. Darin liegt die Verbindung zu konformen Abbildungen: Winkeltreue bedeutet schlicht, dass die Jacobi-Matrix eine nichtverschwindende Drehstreckung ist.


title: Holomorphe Funktion

text: In Punkten, in denen die Ableitung einer holomorphen Funktion verschwindet, liegt keine Winkeltreue vor, wie man am Beispiel der Funktion formula_325 mit formula_326 sieht. Im Nullpunkt werden die Winkel ver-formula_173-facht.


title: Holomorphe Funktion

text: Sei formula_328 eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet formula_329, und formula_330 mit formula_331. Dann existieren


title: Holomorphe Funktion

text: Sei formula_328 eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet formula_329, und formula_330 mit formula_331, so dass formula_339. Dann existieren


title: Holomorphe Funktion

text: Seien formula_342 holomorphe Funktionen sowie formula_343 und formula_344 und formula_345, sowie formula_346 mit einem formula_195. Dann gilt


title: Holomorphe Funktion

text: Die Integrationstheorie im Komplexen unterscheidet sich in einigen Punkten von der im Reellen. Wichtigstes Merkmal ist das Problem, dass es auf einer Ebene unendlich viele Möglichkeiten gibt, sich von einem Punkt formula_50 zu einem Punkt formula_350 zu „bewegen“. Im Reellen gibt es (sieht man von nichtigen Rückwärtsbewegungen ab) stets nur eine Möglichkeit entlang des Zahlenstrahls. Die hohe Anzahl an Integrationswegen zwischen formula_50 und formula_350 zwingt dazu, den Integralbegriff zum sog. "Kurvenintegral" auszuweiten. Das bedeutet, dass ein Integral zunächst nicht nur von Anfangs- und Endpunkt, sondern auch von der Wahl der Kurve abhängt.


title: Holomorphe Funktion

text: Ist formula_217 ein Gebiet, formula_328 stetig und formula_355 eine unendlich oft differenzierbare (also glatte) Kurve, so definiert man


title: Holomorphe Funktion

text: Das hintere Integral kann nun analog wie im Reellen berechnet werden, etwa durch Aufspalten in die ebenfalls stetigen Komponenten formula_357. Hinter dem Differential formula_358 verbirgt sich die Umformung formula_359, die bereits andeutet, dass der Integrationsweg in kleine Intervalle formula_360 mit formula_361 unterteilt wird, was den anschaulichen Bogen zur klassischen Integralrechnung schließt.


title: Holomorphe Funktion

text: wird bei Endpunkten formula_363 und formula_364 im Allgemeinen nicht nur von formula_11, sondern auch von der Wahl der Kurve formula_366 abhängen. Dies ist dann der Fall, wenn die Funktion formula_11 "nicht" über eine komplexe Stammfunktion formula_368 verfügt. Liegt andererseits eine solche vor, gilt


title: Holomorphe Funktion

text: und die letzte Gleichheit zeigt, dass der Wert des Integrals jetzt nicht mehr von formula_366 abhängt. Analog zum Reellen zeigt es sich, dass der Begriff der Stammfunktion erneut als Umkehrung zum Ableiten gefasst werden kann. Da jedoch der Ausgangspunkt ein Gebiet formula_329 ist, also eine „Fläche“, muss die Stammfunktion formula_368 in ganz formula_329 komplex differenzierbar, also holomorph, sein. Damit ist formula_368 bereits unendlich oft komplex differenzierbar und es zeigt sich, dass notwendigerweise auch ihre Ableitung formula_11 eine in formula_329 holomorphe Funktion gewesen sein muss. Es zeigt sich wieder die Stärke des Holomorphiebegriffes. Aufgrund der „richtungsunabhängigen“ Existenz des Differenzenquotienten ergibt die Berechnung eines Kurvenintegrals ungeachtet der Richtungswahl immer denselben Wert. Man kann dann schreiben


title: Holomorphe Funktion

text: Zwar muss zur Existenz einer Stammfunktion die Funktion formula_11 notwendigerweise holomorph sein, jedoch ist Holomorphie "nicht" hinreichend für die Existenz einer Stammfunktion. Wählt man zum Beispiel formula_379 und formula_380, so kann zu formula_11 keine Stammfunktion gefunden werden. Hintergrund ist, dass es eine „Lücke“ in formula_329 gibt, in der formula_11 nicht holomorph ist und daher situationsbedingt Schwierigkeiten bereiten kann. In der Tat besitzt die Logarithmusfunktion kein global holomorphes Pendant in den komplexen Zahlen. Unter zusätzlichen Voraussetzungen an formula_329 ist jedoch auch die Rückrichtung korrekt. Ganz allgemein dann, wenn formula_329 ein Elementargebiet ist, besitzt "jede" holomorphe Funktion formula_328 eine holomorphe Stammfunktion. In etwa ist jedes Sterngebiet ein Elementargebiet, d. h., es gibt einen zentralen Punkt formula_387, von dem aus "jeder" Punkt formula_388 durch eine gerade Linie erreicht werden kann, ohne dabei formula_329 zu verlassen. Beispiel für ein Sterngebiet ist das Innere eines Kreises mit irgendeinem seiner Punkte als Zentrum. Eine Stammfunktion kann dann über


title: Holomorphe Funktion

text: bestimmt werden, wobei hier als Integrationskurve die gerade Verbindungslinie zwischen formula_236 und formula_16 gewählt wird.


title: Holomorphe Funktion

text: Es gelten auch im Komplexen die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln, wie die partielle Integration und die Integration durch Substitution.


title: Holomorphe Funktion

text: Ist formula_393 einfach zusammenhängend, also ein Elementargebiet, und formula_366 ein Zyklus in formula_329, so gilt der Cauchysche Integralsatz


title: Holomorphe Funktion

text: Der Satz gilt also insbesondere dann, wenn formula_329 ein Sterngebiet und formula_366 ein geschlossener Weg ist.


title: Holomorphe Funktion

text: Nicht jede auf einer offenen Menge holomorphe Funktion besitzt eine Stammfunktion. Allerdings kann gezeigt werden, dass jede holomorphe Funktion eine "lokale" Stammfunktion besitzt. Dies ist gleichzeitig ein hinreichendes Kriterium für globale Holomorphie. Es stellt zudem eine Umkehrung des Integralsatzes von Cauchy dar, wenn auch in abgeschwächter Form. Ist formula_217 offen und formula_328 stetig und gilt für "jeden" Dreiecksweg formula_401, dessen Dreiecksfläche formula_402 "ganz in formula_329 enthalten ist",


title: Holomorphe Funktion

text: Mit Hilfe der Integrationstheorie holomorpher Funktionen kann etwas über die Struktur holomorpher Funktionen auf Elementargebieten ausgesagt werden. Ist formula_328 auf dem Elementargebiet formula_329 etwa holomorph und nullstellenfrei, existiert eine holomorphe Funktion formula_408 mit der Eigenschaft formula_409. Ein solches formula_314 wird auch als "analytischer Zweig des Logarithmus von formula_11" bezeichnet.


title: Holomorphe Funktion

text: Eine unmittelbare Folgerung ist die Aussage, dass formula_11 ebenso eine formula_173-te Wurzel, mit formula_195, auf formula_329 besitzt, es gibt also ein holomorphes formula_416 mit formula_417.


title: Holomorphe Funktion

text: Im Jahr 1831 fand Augustin-Louis Cauchy in seinem Exil in Turin eine Integralformel, die erlaubt, eine holomorphe Funktion mit Hilfe der „Randwerte ihres Definitionsbereichs“ zu rekonstruieren. Sie ist von großer Bedeutung in der Theorie holomorpher Funktionen.


title: Holomorphe Funktion

text: Sei formula_1 offen, formula_419 die offene Kreisscheibe mit Radius formula_420 um den Punkt formula_343 und formula_422 eine holomorphe Funktion. Liegt dann der Abschluss von formula_419 noch ganz in formula_1, so gilt für alle formula_388 die Cauchysche Integralformel


title: Holomorphe Funktion

text: Dabei wird die Integrationskurve in mathematisch positivem Sinn, also gegen den Uhrzeigersinn, einfach durchlaufen. Die (stärkere) Version für höhere Ableitungen, mit einem formula_427, lautet


title: Holomorphe Funktion

text: Dabei bedeutet formula_429 die Fakultät von formula_430. Der Wert der Funktion (und jeder ihrer Ableitungen) eines Punktes in einem Gebiet hängt also nur von den Funktionswerten am Rand dieses Gebietes ab.


title: Holomorphe Funktion

text: Eine Folgerung aus der Cauchyschen Integralformel ist, dass in der komplexen Ebene der Begriff der Analytizität äquivalent zur Holomorphie ist: Jede in formula_236 holomorphe Funktion ist in formula_236 analytisch. Umgekehrt stellt jede in formula_236 analytische Funktion eine in formula_236 holomorphe Funktion dar.


title: Holomorphe Funktion

text: die unter oberen Voraussetzungen gilt. Aus dieser folgt über die Standardabschätzung für Kurvenintegrale


title: Holomorphe Funktion

text: Unter Ausnutzung, dass formula_447 ihre eigene Fourier-Transformierte ist, kann zudem Folgendes gezeigt werden: Ist formula_11 eine ganze Funktion mit formula_449 mit formula_450, so lässt sich auch formula_439 zu eine ganzen Funktion fortsetzen, und es gilt formula_452 für irgendwelche formula_453.


title: Holomorphe Funktion

text: Ist formula_11 stückweise stetig auf formula_456, erfüllt formula_457 für formula_458 und formula_459 für formula_460, so ist formula_461 eine im Streifen formula_462 holomorphe Funktion. Für den Fall, dass formula_11 für formula_460 schnell abklingt (etwa exponentiell), und zudem eine asymptotische Entwicklung der Form


title: Holomorphe Funktion

text: für formula_458 besitzt, lässt sich formula_467 holomorph nach ganz formula_468 fortsetzen mit Polen formula_469-ter Ordnung in formula_470 und Hauptterm


title: Holomorphe Funktion

text: Besonders diese Eigenschaft macht die Mellin-Transformation bei der analytischen Fortsetzung von (verallgemeinerten) Dirichlet-Reihen zu einem nützlichen Werkzeug.


title: Holomorphe Funktion

text: Für eine im Streifen formula_462 holomorphe Mellin-Transformierte formula_467 gilt für alle formula_474 die Umkehrformel


title: Holomorphe Funktion

text: Ist für alle formula_479 die Abschätzung formula_480 für ein formula_481 und ein formula_482, so ist formula_483 eine auf der Halbebene formula_484 holomorphe Funktion. Gilt zusätzlich die Entwicklung


title: Holomorphe Funktion

text: für formula_488. Dieses Prinzip erweist sich zum Beispiel für den Beweis der Stirling-Formel, einer Approximation der natürlichen holomorphen Fortsetzung der Fakultätsfunktion durch einen geschlossenen Funktionsterm, als nützlich.


title: Holomorphe Funktion

text: Ist formula_489 stückweise stetig und außerdem beschränkt, so folgt aus der holomorphen Fortsetzbarkeit von formula_490 auf formula_491 bereits, dass


title: Holomorphe Funktion

text: Ist formula_493 nichtnegativ und nichtfallend, und ist formula_490 holomorph auf formula_495, und gibt es eine Konstante formula_496, so dass


title: Holomorphe Funktion

text: Dies ist eine „holomorphe Variante“ des Satzes von Wiener-Ikehara, der auch für stetige Fortsetzungen funktioniert, jedoch unter diesen Umständen weitaus schwerer zu beweisen ist, wobei abkürzende Beweise im holomorphen Fall von Donald Newman und Jacob Korevaar gegeben wurden, die die durch die holomorphe Struktur verfügbare Cauchysche Integralformel benutzen. Die holomorphe Variante reicht in vielen Fällen bereits aus. Es kann mit ihrer Hilfe schon der Primzahlsatz gezeigt werden.


title: Holomorphe Funktion

text: Durch komponentenweise Addition und Multiplikation wird die Menge formula_500 zu einem kommutativen Ring mit 1 (nach Zulassen einer skalaren Multiplikation sogar zu einer formula_5-Algebra). Über den Identitätssatz für holomorphe Funktionen lässt sich zeigen, dass formula_500 nullteilerfrei ist. Es ist der Körper der meromorphen Funktionen formula_503 gerade der Quotientenkörper von formula_500.


title: Holomorphe Funktion

text: Aus idealtheoretischer Sicht sind die Ringe formula_500 schwieriger zu behandeln als zum Beispiel formula_211 oder formula_507. Definiert man zu einer unendlich mächtigen, aber "lokal endlichen" Menge formula_508 zum Beispiel das Ideal


title: Holomorphe Funktion

text: so kann man folgern, dass formula_500 nicht noethersch ist, also insbesondere niemals ein Hauptidealring. Aus dem Produktsatz für allgemeine Gebiete lässt sich sogar folgern, dass formula_500 nicht faktoriell ist. Nichtsdestotrotz existieren gewisse Strukturen, so kann etwa nach dem "Lemma von Wedderburn" die 1 erzeugt werden: Sind formula_512 zwei zueinander teilerfremde holomorphe Funktionen (d. h., es gibt keine Nicht-Einheit formula_513, sodass formula_514), so gibt es formula_515 mit


title: Holomorphe Funktion

text: Daraus kann gefolgert werden, dass zumindest jedes "endlich erzeugte" Ideal formula_517 bereits ein Hauptideal ist. Nach dem Hauptsatz der Idealtheorie in formula_500 sind für ein Ideal formula_517 sogar folgende Aussagen äquivalent:


title: Holomorphe Funktion

text: Dabei bedeutet Abgeschlossenheit, dass die Grenzfunktion jeder kompakt konvergenten Folge formula_523 wieder in formula_520 liegt.


title: Holomorphe Funktion

text: Der Satz von Bers charakterisiert alle formula_5-Algebren-Homomorphismen zwischen formula_5-Algebren auf Gebieten holomorpher Funktionen.


title: Holomorphe Funktion

text: Es seien formula_527 Gebiete. Dann besagt der Satz von Bers: Zu jedem formula_5-Algebra-Homomorphismus formula_529 gibt es genau eine Abbildung formula_530, sodass formula_531 für alle formula_532. Es gilt formula_533 und es ist formula_534 genau dann bijektiv, wenn formula_53 biholomorph ist.


title: Holomorphe Funktion

text: Es ist demnach formula_329 biholomorph äquivalent zu formula_537 genau dann, wenn formula_538 (als formula_5-Algebren). Zudem ist jeder formula_5-Algebra-Homomorphismus formula_529 von selbst stetig in dem Sinne, dass wenn formula_542 kompakt konvergiert, bereits formula_543 kompakt konvergiert.


title: Holomorphe Funktion

text: Ausgeweitet wird dieses Resultat durch den Satz von Iss’sa, da hier sogar der Körper der in formula_329 bzw. formula_537 meromorphen Funktionen betrachtet wird. Ist also formula_546 ein Homomorphismus von formula_5-Algebren, so gibt es ein formula_548, sodass stets formula_531.


title: Holomorphe Funktion

text: Holomorphe Funktionen werden systematisch im Rahmen der mathematischen Disziplin Funktionentheorie untersucht. Sie kommen zudem im Umfeld der reellen Analysis, theoretischen Physik, algebraischen Geometrie, Darstellungstheorie (im Kontext zu Modulformen), Kombinatorik, transzendenten Zahlen und analytischen Zahlentheorie zum Einsatz.


title: Holomorphe Funktion

text: In der theoretischen Physik treten holomorphe Funktionen unter anderem im Kontext zu Riemannschen Flächen auf. So spielt etwa der Raum aller holomorphen Funktionen von einer Riemannschen Fläche in eine formula_173-dimensionale Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit eine wichtige Rolle in "Mirror Symmetry", die in der Stringtheorie Anwendung findet.


title: Holomorphe Funktion

text: Wächst eine zahlentheoretische Funktion formula_151 nicht zu schnell, also formula_552 für eine reelle Konstante formula_553, so wird für alle komplexen Werte formula_554 mit formula_555 die Reihe


title: Holomorphe Funktion

text: absolut konvergieren. Man bezeichnet diesen Typ Reihe auch als "Dirichlet-Reihe". Es gibt dann eine Konstante formula_557, die Konvergenzabszisse, sodass die Reihe für alle Werte formula_558 bedingt konvergiert und für formula_559 divergiert. Es kann gezeigt werden, dass die Reihe auf kompakten Teilmengen gleichmäßig konvergiert, womit sie eine auf der Halbebene formula_558 holomorphe Funktion ist.


title: Holomorphe Funktion

text: Ähnlich wie Potenzreihen dienen Dirichlet-Reihen dazu, zahlentheoretische Funktionen zu untersuchen. Etwa kann die Holomorphie von Dirichlet-Reihen dazu verwendet werden, die Perronschen Formeln zu zeigen, um summatorische Funktionen formula_561 zu studieren. Während Potenzreihen besonders in der additiven Zahlentheorie Anwendung finden, treten Dirichlet-Reihen vor allem in der multiplikativen Zahlentheorie auf. Ein wichtiges Beispiel ist die Riemannsche Zeta-Funktion


title: Holomorphe Funktion

text: die sogar auf ganz formula_563 holomorph fortgesetzt werden kann. Durch ihre Verbindung zu den Primzahlen (siehe Euler-Produkt) spielt sie eine Schlüsselrolle in der analytischen Zahlentheorie. Aufgrund ihrer Holomorphie ist es möglich, exakte Informationen über Primzahlen aus ihrem Verhalten "als Funktion", wie zum Beispiel der Verteilung ihrer Nullstellen, abzuleiten. Dies betrifft zum Beispiel den Primzahlsatz, der jedoch unter Annahme der Riemannschen Vermutung deutlich verbessert werden kann. Die weitaus allgemeineren L-Funktionen sind ebenso von großer Wichtigkeit in der Zahlentheorie. Dies betrifft etwa den Modularitätssatz, aber auch die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer.


title: Holomorphe Funktion

text: Klassische Modulformen sind auf der oberen Halbebene formula_564 "holomorphe" Funktionen formula_11, die bestimmte Transformationsgestze bezüglich Untergruppen formula_566 endlichen Indexes erfüllen und ein „holomorphes Verhalten“ in den Randpunkten formula_567 aufweisen, zum Beispiel durch Besitz eine Fourier-Entwicklung der Form


title: Holomorphe Funktion

text: Die Bedingung der Holomorphie liefert dabei eine entscheidende Zutat für die Seltenheit von Modulformen, da sie im Beweis der Valenzformel (in Form des Null- und Polstellen zählenden Integrals) eingeht. Aus dieser kann gefolgert werden, dass der Raum aller Modulformen eines festen Gewichts formula_570 bezüglich einer Kongruenzuntergruppe stets endlichdimensional ist, was weitreichende Konsequenzen nach sich zieht.


title: Holomorphe Funktion

text: Die Kreismethode gehört zu den wichtigsten Anwendungen holomorpher Funktionen in der Zahlentheorie. Ausgangspunkt ist eine Folge ganzer Zahlen formula_151, die nicht zu schnell anwachsen, und deren Wachstumsverhalten man verstehen möchte. Betrachtet wird dann die Funktion


title: Holomorphe Funktion

text: wobei die Reihe für formula_573 konvergieren, und für formula_574 divergieren soll. Dies ist zum Beispiel dann der Fall, wenn die formula_575 mit polynomieller Geschwindigkeit wachsen oder bis auf eine Konstante kleiner als formula_576 für ein formula_577 sind. Über die Cauchysche Integralformel erhält man


title: Holomorphe Funktion

text: wenn der geschlossene Weg, etwa ein Kreis mit Radius formula_579, die 0 einfach in mathematisch positiver Richtung umschließt. Dabei ist es üblich, den Radius der Integrationskurve in Abhängigkeit von formula_173 zu wählen, also formula_581, und formula_582 für formula_361 mit richtiger Konvergenzgeschwindigkeit zu fordern. Ist die Folge formula_151 positiv und monoton steigend, ist davon auszugehen, dass formula_585 in der Nähe von formula_586 unendlich groß wird und dieses Wachstum das Verhalten an allen anderen Randpunkten dominiert. Daher sollte der Integrationsabschnitt in der Nähe von formula_586 auch den ausschlaggebenden Beitrag für den Wert der formula_151 liefern. Ein detailliertes Studium der Funktion formula_585 in der Nähe von formula_586, aber auch ggf. anderer Randwerte, kann also zu einem Verständnis der formula_151 führen.


title: Holomorphe Funktion

text: Erstmals wurde die Kreismethode von Godfrey Harold Hardy und Srinivasa Ramanujan angewandt, um die Partitionsfunktion formula_128 zu untersuchen. Ihnen gelang mit ihrer Hilfe die asymptotische Schätzung


title: Holomorphe Funktion

text: Hans Rademacher konnte mit ähnlichen Methoden sogar eine exakte Formel für formula_596 ableiten. Seine Methode nutzt die Modularität der Dedekindschen Etafunktion. Weitere Anwendungen liegen im Umfeld des Waringschen Problems und allgemein Lösungsanzahlen diophantischer Gleichungen.


title: Holomorphe Funktion

text: Auch in der komplexen Geometrie werden holomorphe Abbildungen betrachtet. So kann man holomorphe Abbildungen zwischen Riemannschen Flächen oder zwischen komplexen Mannigfaltigkeiten analog zu differenzierbaren Funktionen zwischen glatten Mannigfaltigkeiten definieren. Außerdem gibt es ein für die Integrationstheorie wichtiges Pendant zu den glatten Differentialformen, das holomorphe Differentialform heißt.


title: Holomorphe Funktion

text: Sei formula_597 eine offene Teilmenge. Eine Abbildung formula_598 heißt holomorph, falls sie sich um jeden Punkt des Definitionsbereichs in eine Potenzreihe entwickeln lässt, das heißt, zu jedem formula_599 gibt es einen Polykreis formula_600, sodass


title: Holomorphe Funktion

text: Eine Funktion formula_598 heißt holomorph in der formula_606-ten Variablen, wenn sie als Funktion von formula_607 bei festgehaltenen übrigen Variablen holomorph ist. Holomorphe Funktionen sind natürlich in jeder Variablen holomorph. Für die Umkehrung siehe die untenstehenden äquivalenten Charakterisierungen.


title: Holomorphe Funktion

text: Mit dem Wirtinger-Kalkül formula_608 und formula_609 steht ein Kalkül zur Verfügung, mit dem man die partiellen Ableitungen einer komplexen Funktion wie bei Funktionen einer Veränderlichen behandeln kann.


title: Holomorphe Funktion

text: Für mehrere Dimensionen im Bildbereich definiert man Holomorphie wie folgt: Eine Abbildung formula_618, formula_597 offen, heißt holomorph, wenn jede der Teilfunktionen formula_620 holomorph ist.


title: Holomorphe Funktion

text: Viele Eigenschaften holomorpher Funktionen einer Veränderlichen lassen sich, teils in abgeschwächter Form, auf den Fall mehrerer Veränderlicher übertragen.


title: Holomorphe Funktion

text: So gilt für Funktionen formula_621 der Cauchysche Integralsatz nicht und der Identitätssatz ist nur noch in einer abgeschwächten Version gültig. Für holomorphe Funktionen formula_422 kann allerdings die Integralformel von Cauchy durch Induktion auf formula_173 Dimensionen verallgemeinert werden. Salomon Bochner konnte 1944 sogar noch eine Verallgemeinerung der formula_173-dimensionalen Cauchyschen Integralformel beweisen. Diese trägt den Namen Bochner-Martinelli-Formel.


title: Liste von Betriebssystemen

text: Alle Client-Systeme gibt es von Windows XP bis Windows 10 jeweils als 32-Bit- und 64-Bit-Version, seit Windows 11 nur noch als 64-Bit-Version. Entsprechende Server-Betriebssysteme gibt es zu jeder NT-basierten Version mit Ausnahme von Windows XP und Vista. Hierzu wurden die Server-Versionen separat herausgegeben (Server 2003 bzw. 2008).


title: Legislaturperiode

text: Die Legislaturperiode (vom ), Wahlperiode oder Gesetzgebungsperiode ist die Amtsperiode einer gesetzgebenden Volksvertretung (Parlament). Die maximale Dauer einer Legislaturperiode ist meist gesetzlich festgelegt, regelmäßig in Gesetzen von Verfassungsrang. Darüber hinaus besteht oft die Möglichkeit einer Verkürzung der Legislaturperiode durch deren vorzeitige Beendigung. Je nach Verfassung löst sich die Volksvertretung entweder selbst auf oder wird aufgelöst, woraufhin Neuwahlen ausgeschrieben werden.


title: Legislaturperiode

text: In vielen demokratischen Staaten beträgt die Dauer einer Legislaturperiode vier oder fünf Jahre. Eine bedeutende Ausnahme stellen unter anderem die USA dar, deren Repräsentantenhaus alle zwei Jahre gewählt wird; das Gleiche gilt für die Unterhäuser der meisten US-Bundesstaaten. Der Senat wird hingegen alle zwei Jahre zu je einem Drittel gewählt, wobei die Amtszeit eines Senators sechs Jahre beträgt. In den Staatssenaten der Bundesstaaten erfolgt meist eine Wahl alle zwei Jahre, wobei jeweils eine Hälfte der Kammer neu gewählt wird und die Amtszeiten somit vier Jahre betragen.


title: Legislaturperiode

text: Für den Fall, dass einzelne Abgeordnete während der Legislaturperiode aus der Volksvertretung ausscheiden (etwa durch Tod), haben sich unterschiedliche Regelungen herausgebildet:


title: Legislaturperiode

text: Im amtlichen Sprachgebrauch ist in Deutschland im Sommer 2020 der Begriff „Legislaturperiode“ durch den Terminus „Wahlperiode“ abgelöst worden. Eine Wahlperiode dauert in den deutschen Parlamenten in der Regel vier oder fünf Jahre, wenn sie nicht durch vorzeitige Auflösung des Parlaments verkürzt wird.


title: Legislaturperiode

text: Durch diese Regelung, die auf dem 33. Gesetz zur Änderung des Grundgesetzes vom 23. August 1976 () beruht, wurde sichergestellt, dass es auf Bundesebene keine „parlamentslose“ Zeit mehr gibt. Auch mit der Auflösung des Bundestages ist – anders als nach klassischem Verfassungsrecht – keine sofortige Beendigung der Wahlperiode des Bundestages mehr verbunden. Die Auflösung stellt sich jetzt nur noch als Anordnung einer außerplanmäßigen Neuwahl dar. Durch diese Neuregelung ist auch der „Ständige Ausschuß des Bundestages“ entfallen, der nach Art. 45 GG in der bis zum 13. Dezember 1976 geltenden Fassung hatte.


title: Legislaturperiode

text: In den deutschen Ländern beträgt die Dauer der Wahlperiode der Landesparlamente heute fünf Jahre. Lediglich in Bremen wird die Bürgerschaft für vier Jahre gewählt. In Hamburg wird nach einer Entscheidung vom 13. Februar 2013 die Bürgerschaft seit 2015 ebenfalls für fünf Jahre gewählt.


title: Legislaturperiode

text: Noch zu Beginn der 1990er Jahre war eine Legislaturperiode von vier Jahren die Regel; auf fünf Jahre wurde seinerzeit nur in Nordrhein-Westfalen und im Saarland gewählt. Erstmals für fünf Jahre gewählt wurde das Landesparlament 1947 im Saarland, 1970 in Nordrhein-Westfalen, 1991 in Rheinland-Pfalz, 1994 in Brandenburg, Sachsen und Thüringen, 1996 in Baden-Württemberg, 1998 Bayern und Niedersachsen, 1999 in Berlin, 2000 in Schleswig-Holstein, 2003 in Hessen, 2006 in Mecklenburg-Vorpommern und Sachsen-Anhalt sowie 2015 in Hamburg.


title: Legislaturperiode

text: Die Vorschriften in den Landesverfassungen über den Zeitpunkt, wann die Wahlperiode beginnt, sind unterschiedlich und teilweise ungenau oder gar nicht formuliert. In den meisten Ländern beginnt die Wahlperiode mit dem ersten Zusammentritt des Landesparlaments und endet mit dem Zusammentritt des folgenden Landesparlamentes. In den Verfassungen Bremens und Hamburgs ist dies nicht oder nur teilweise explizit definiert. In Baden-Württemberg und Hessen beginnt die Wahlperiode mit dem Ende der vorherigen Wahlperiode, bei Auflösung des Landtags jedoch mit dem Tag der Neuwahl. In Nordrhein-Westfalen und Baden-Württemberg endet die Wahlperiode fünf Jahre nach ihrem Beginn. Im Saarland und in Sachsen endet die Wahlperiode auch im Falle einer Auflösung des Landtages mit dem Zusammentritt des neuen Landtages.


title: Legislaturperiode

text: In acht Ländern muss das neue Landesparlament spätestens 30 Tage nach der Wahl zusammentreten. In Bayern beträgt diese Frist 22 Tage, in Rheinland-Pfalz 60 Tage, in Hamburg drei Wochen, in Berlin sechs Wochen. In Bremen muss die neue Bürgerschaft innerhalb eines Monats, in Baden-Württemberg der neue Landtag innerhalb von 16 Tagen nach dem Ende der Wahlperiode zusammentreten. In Hessen und Nordrhein-Westfalen treten die neuen Landtage keinesfalls vor Ende der (vorherigen) Wahlperiode erstmals zusammen, ansonsten aber innerhalb von 20 Tagen (NRW) oder 18 Tagen (Hessen) nach der Wahl. Würde der Termin in Hessen auf einen Sonntag fallen, dann verschiebt er sich auf den übernächsten Werktag.


title: Legislaturperiode

text: Die Wahl eines neuen Landesparlaments erfolgt in Berlin und Niedersachsen 56–59, in Sachsen-Anhalt, Mecklenburg-Vorpommern und Brandenburg 57–59, in Thüringen 57–61, in Schleswig-Holstein und Rheinland-Pfalz 58–60 Monate nach Beginn der Wahlperiode, in Bayern hingegen 59–62 Monate nach der vorangegangenen Wahl. In Nordrhein-Westfalen erfolgt die Wahl des folgenden Landesparlaments im letzten Vierteljahr, in Bremen im letzten Monat der Wahlperiode. In Baden-Württemberg, Hessen und Sachsen muss die Wahl lediglich vor dem Ende der (vorherigen) Wahlperiode stattfinden.


title: Legislaturperiode

text: Bei einer Auflösung des Landesparlamentes erfolgt die Neuwahl in den meisten Ländern innerhalb 60 oder 70 Tagen, in Niedersachsen binnen zwei Monaten, in Berlin innerhalb acht Wochen. In einigen Verfassungen ist explizit genannt, dass die Frist ab Beschluss, Auflösung bzw. Volksabstimmung läuft. In Rheinland-Pfalz und Bayern erfolgt die Neuwahl am 6. Sonntag nach Auflösung (oder auch Abberufung in Bayern). In Mecklenburg-Vorpommern schließt die Verfassung eine Neuwahl vor dem 60. Tag nach der Auflösung aus, die Neuwahl erfolgt 60–90 Tage nach Auflösung des Landtages.


title: Legislaturperiode

text: Im Zusammenhang mit dem Problem des Dauerwahlkampfes wird regelmäßig auch die Verlängerung von Wahlperioden und die Harmonisierung der Wahltermine aller Bundesländer diskutiert, um die Zeitfenster für Sachpolitik zu verlängern. Vorteilhaft wäre neben dem dann vom Wahlkampf unbeeinflussten Arbeiten des Parlamentes und der Regierung sowie der Konzentration auf Sachthemen auch eine Entlastung der öffentlichen Haushalte, da es seltener zu Wahlen und damit verbundenen Kosten käme. Nachteilig wird von einigen Verfassungsrechtlern eine Entpolitisierung bzw. Ent-demokratisierung der Bevölkerung angeführt, wenn nicht gleichzeitig plebiszitäre Elemente wie Volksbegehren und Volksabstimmungen eingeführt würden, wie dies in den meisten Landesverfassungen gegeben ist.


title: Legislaturperiode

text: Für den deutschen Bundesrat gibt es keine Wahlperiode. Der Bundesrat besteht aus Mitgliedern der Landesregierungen, die sie bestellen und abberufen ( Abs. 1 GG). Der Bundesratspräsident als Vorsitzender wird jährlich nach einem festgelegten Turnus gewählt.


title: Legislaturperiode

text: Bis ins Jahr 2007 betrug die Legislaturperiode im Nationalrat 4 Jahre. Am 29. Oktober 2013 begann die XXV. Gesetzgebungsperiode.


title: Legislaturperiode

text: Die einzelnen Landtage haben meist eine fünfjährige Wahlperiode. Einzige Ausnahme ist der Oberösterreichische Landtag, der alle sechs Jahre gewählt wird.


title: Legislaturperiode

text: Für die Wahl der Gemeinderäte besteht in den meisten Bundesländern eine fünfjährige Wahlperiode. Lediglich die Kärntner, Tiroler und oberösterreichischen Gemeinderäte werden nur alle sechs Jahre gewählt.


title: Legislaturperiode

text: Für den österreichischen Bundesrat gibt es keine Wahlperiode. Der Bundesrat besteht aus Delegierten der Landtage, die diesen jedoch nicht angehören müssen ( Abs. 1 und 2 B-VG).


title: Legislaturperiode

text: Die vierjährigen Legislaturperioden der Bundesversammlung sind streng genommen diejenigen des Nationalrates. Art. 149 Abs. 2 der Bundesverfassung (BV) bestimmt in Bezug auf diesen: Die Gesamterneuerungswahl des Nationalrates findet im Oktober statt, worauf die erste Session der neuen Legislaturperiode (in neuer Zusammensetzung) bereits die Wintersession im Dezember gleichen Jahres ist, bei welcher auch die Gesamterneuerungswahl des Bundesrates stattfindet (siehe Bundesgesetz über die politischen Rechte 161.1 Art. 19 und 53).


title: Legislaturperiode

text: Der Ständerat kennt keine bundesrechtlich geregelte Legislaturperiode, da nach Art. 145 BV die Amtsdauer für die Mitglieder des Ständerates durch die Kantone festgelegt wird. Faktisch haben sich allerdings Wahlkonstituierung und auch Arbeitsweise des Ständerates stark dem Nationalrat angeglichen: In allen Kantonen erfolgt die Wahl der Mitglieder des Ständerates für eine Amtsdauer von vier Jahren und, mit Ausnahme des Kantons Appenzell Innerrhoden, gleichzeitig mit der Nationalratswahl.


title: Legislaturperiode

text: Von 1848 bis 1931 dauerten die Legislaturen drei Jahre. Die Bundesbeschlüsse zur Änderung der entsprechenden Verfassungsartikel für eine Amtsdauer von vier Jahren wurde am 15. März 1931 in einer Volksabstimmung relativ knapp angenommen. Nach der Einführung des Proporzwahlrechts fand ausnahmsweise nach zwei Jahren bereits wieder eine Nationalratswahl statt, also 1917 und 1919.


title: Legislaturperiode

text: Die Wahlperioden der Kantonsparlamente und Gemeinderäte betragen in den meisten Fällen ebenfalls vier Jahre. Im Kanton Freiburg wird der Grosse Rat alle fünf Jahre erneuert. Anlässlich der Totalrevision ihrer Kantonsverfassung haben einzelne Kantone zu einer Amtsdauer von fünf Jahren gewechselt (Waadt 2003, Genf 2012). In anderen Kantonen wurde eine Änderung diskutiert, jedoch nicht weiterverfolgt.


title: Legislaturperiode

text: Im Gegensatz zu Deutschland, wo ein Regierungswechsel auf Landesebene auch Auswirkungen auf die Bundespolitik hat – die Zusammensetzung des (deutschen) Bundesrates ändert sich –, ist dies in der Schweiz nicht der Fall. Es wird zwar versucht, aus kantonalen Wahlergebnissen auf einen politischen Gesamttrend im Land zu schließen. Tatsächlich aber befindet sich die Schweiz ständig in einer Art Wahlkampf, da durchschnittlich alle drei Monate Volksabstimmungen auf Bundes-, Kantons- und Gemeindeebene angesetzt sind, die mit entsprechenden Parolen der Parteien unterstützt werden.


title: Legislaturperiode

text: Für das "House of Commons" bestimmt Art. 7 des Parlamentsgesetzes von 1911 "(Parliament Act 1911)", dass die maximale Dauer der Wahlperiode fünf Jahre beträgt. Dabei konnte traditionell ein Premierminister den Monarchen zu einem für ihn günstigen Zeitpunkt um Auflösung des Parlaments für Neuwahlen bitten. Mit dem "Fixed-term Parliaments Act 2011" wurde die Legislaturperiode des Parlaments erstmals in der britischen Geschichte gesetzlich auf fünf Jahre festgelegt. Die konservative Regierung von Boris Johnson kündigte die Aufhebung dieses Gesetzes und die Rückkehr zu flexiblen Wahlperioden des Unterhauses an, was mit dem "Dissolution and Calling of Parliament Act 2022" im März 2022 beschlossen wurde.


title: Legislaturperiode

text: Für das House of Lords gibt es keine Wahlperiode. Das Oberhaus besteht aus Mitgliedern, die ihr Mandat teils kraft Erbfolge, teils kraft Ernennung erlangt haben.


title: Legislaturperiode

text: Die Mitglieder des Oberhauses, des Senats (Seanad Éireann), werden nicht vom Volk gewählt, sondern teils vom Premierminister (Taoiseach) ernannt, teils von verschiedenen Gremien gewählt. Diese Ernennungen bzw. Wahlen müssen immer innerhalb von 90 Tagen nach der Wahl des Dail Éireann stattfinden.


title: Legislaturperiode

text: Die Abgeordnetenkammer wird für fünf Jahre gewählt (Art. 60 S. 1 der Verfassung der Italienischen Republik).


title: Legislaturperiode

text: Der Senat der Republik wird für fünf Jahre gewählt (Art. 60 S. 1 der Verfassung der Italienischen Republik).


title: Legislaturperiode

text: Der Abgeordnetenkongress wird für vier Jahre gewählt (Art. 68 Abs. 4 S. 1 der Spanischen Verfassung (Constitución Española – CE)).


title: Legislaturperiode

text: In den Vereinigten Staaten von Amerika beginnt die Wahlperiode des Repräsentantenhauses des Kongresses am 3. Januar eines jeden ungeraden Jahres. Das feste Datum rührt daher, dass die Wahl des Repräsentantenhauses gesetzlich immer an dem Dienstag eines jeden geraden Jahres stattfindet, der sich zwischen dem 2. und dem 8. November befindet. Außerdem ist eine vorzeitige Auflösung des Kongresses gemäß der US-amerikanischen Bundesverfassung nicht möglich. Die Wahlperiode des Repräsentantenhauses dauert genau zwei Jahre bis zum ersten Tag der nächsten Wahlperiode.


title: Legislaturperiode

text: Die Wahlperiode des Senats beginnt genauso wie beim Repräsentantenhaus immer am 3. Januar eines ungeraden Jahres. Wahltermin ist auch immer der Dienstag zwischen dem 2. und 8. November. Das Besondere ist, dass die Amtszeit der einzelnen Senatoren jeweils sechs Jahre beträgt und alle zwei Jahre immer 1/3 der Senatoren neu gewählt wird. Scheidet ein Senator vorzeitig aus, so wird in der Mehrzahl der Bundesstaaten vom Gouverneur des entsendenden Bundesstaates für den Rest der Amtsperiode ein nachrückender Senator bestimmt. In einigen Staaten findet außerdem oder stattdessen eine vorzeitige Nachwahl statt.


title: Legislaturperiode

text: Anders als z. B. beim US-Kongress, wo die Mitglieder der beiden Kammern zwar unterschiedlich lange Amtsperioden haben, aber die (Teil-)Wahlen zu beiden Kammern und eine Reihe von subnationalen Wahlen alle zwei Jahre regelmäßig gleichzeitig stattfinden, sind in Japan in der Nationalversammlung die Wahlperioden von Repräsentantenhaus (variabel, da auflösbar, maximal und selten vier Jahre) und Senat (fest alle drei Jahre die Hälfte der Mitglieder für sechsjährige Amtszeiten) völlig voneinander unabhängig; eine einheitliche Wahlperiode des nationalen Parlaments existiert in diesem Sinne nicht. Bisher nur zweimal, 1980 und 1986, fielen in Japan die allgemeinen Repräsentantenhauswahlen und die Teilwahlen zum Senat auf denselben Tag, darüber hinaus fanden sie zweimal, 1947 und 1953, innerhalb von einer Woche statt. In jüngerer Zeit führte dies mehrfach zu Perioden mit verschiedenen Mehrheiten in beiden Kammern. Historisch hatten auch die beiden Kammern des Reichstags 1890–1947 unabhängige Wahlperioden: das Abgeordnetenhaus wie heute (nur im Pazifikkrieg auf fünf Jahre verlängert), im Herrenhaus hatten die gewählten Mitglieder eine feste siebenjährige Wahlperiode (die Mehrheit war aber aufgrund von Adelsrang automatisch Mitglied oder auf Lebenszeit ernannt).


title: Legislaturperiode

text: In den Präfekturen und Gemeinden Japans sind die Parlamente zwar Einkammerparlamente; aber im Gegensatz zum parlamentarischen Regierungssystem auf nationaler Ebene besteht dort ein Präsidialsystem mit direkt gewählten Gouverneuren und Bürgermeistern. Jeder Gouverneur und jedes Parlament jeder Präfektur, ebenso jeder Bürgermeister und jedes Parlament jeder Gemeinde hat eine zwar grundsätzlich vierjährige, aber völlig eigenständige Wahlperiode, die sich nach Recall, Misstrauensvotum, Selbstauflösung, Tod etc. ändern kann und danach nicht mehr automatisch an andere Wahlzyklen z. B. der jeweiligen Präfektur oder Gemeinde angepasst wird. Obwohl im April 1947 bei den 1. einheitlichen Regionalwahlen zunächst alle Wahlen in damals 46 Präfekturen und deren Gemeinden gleichzeitig stattfanden, verteilen sich daher heute (Stand: April 2014) 36 der 47 Gouverneurswahlen, sechs der 47 Präfekturparlamentswahlen, knapp drei Viertel der 1.741 Bürgermeister- und mehr als die Hälfte der 1.741 Kommunalparlamentswahlen auf weitgehend uneinheitliche Wahltermine in allen vier Jahren zwischen den „einheitlichen“ Regionalwahlen, jeweils über alle Monate im Jahr (mit gewissen Häufungen an einigen Terminen und selten Anfang Januar).


title: Herrschertitel

text: In den Teilen Europas außerhalb Deutschlands war die Gleichwertigkeit niederer Adelstitel mit einem Herrschertitel die Ausnahme, so dass hier lediglich bei höchsten Adelstiteln davon ausgegangen werden durfte, dass sie als Herrschertitel verstanden werden konnten. Dazu zählten und zählen bis heute:


title: Herrschertitel

text: Obwohl einem Großteil der Adelstitel eine angemessene Übersetzung in andere europäischen Sprachen zu Grunde liegt, gibt es Unterschiede in ihrer Rangordnung, der Titelhierarchie. Im Folgenden Abschnitt sind die Titel einiger wichtigerer europäischer Staaten in absteigender Ranghöhe zueinander angeordnet.


title: Herrschertitel

text: Imperator, Augustus, Caesar, Senator, (zugelassen für die Ämter: Censor, Konsul/Prokonsul, Prätor/Proprätor, Ädil, Quästor), Eques (zugelassen für die Ämter: Präfekt, Prokurator)


title: Herrschertitel

text: "Sohn des Himmels" (Gott-)Kaiser () sowie die 5 Adelsklassen : 公爵 (Herzog),侯爵 (Markgraf),伯爵 (Graf),子爵 (Vicomte), 男爵 (Baron)


title: Herrschertitel

text: Im Westfälischen Frieden erhielten alle reichsunmittelbaren Territorialherren im Heiligen Römischen Reich deutscher Nation die Landeshoheit über ihr „Staatsgebiet“ zugesprochen, darunter auch sehr kleine Einheiten. Dies führt dazu, dass hier historisch auch sehr niederrangige Adelstitel (siehe dort) Herrschertitel sein konnten.


title: Herrschertitel

text: Kaiser, König, Kurfürst, Erz-/Groß-Herzog, Herzog, Mark-/Land-/Pfalzgraf, (Reichs-)Fürst, (Reichs-)Graf, Freiherr, Baron, Ritter, Junker, Edler


title: Herrschertitel

text: Die Bedeutung der Titel veränderte sich im Laufe der Zeit (siehe Stammesherzöge – Titularherzöge). Im Heiligen Römischen Reich, welches neben dem heutigen Deutschland und Österreich auch Liechtenstein, Luxemburg, Belgien, die Niederlande (bis 1648), die Schweiz (bis 1648), Tschechien (Böhmen), Slowenien und Teile des heutigen Polens, Frankreichs und Italien umfasste, spielte es eine erhebliche Rolle, wer der Lehnsherr des jeweiligen Landesherrn war. Reichsunmittelbare Gebiete und die zugehörigen Titel waren z. B. Herrschaften, freie Reichsstädte, Reichsgrafen, Reichsfürsten. Fürsten mit dem Recht zur Kaiserwahl trugen den Titel Kurfürst zusätzlich zu dem Titel des mit der Kurwürde verbundenen Fürstentums. Sie stellten die ranghöchsten Adelsklasse nach dem Kaiser bzw. König dar. Mit dem Ende des Römischen Reiches fiel der Kurtitel fast überall (Ausnahme: Kurfürstentum Hessen) weg. Einige Kurfürstentümer wurden zu Königreichen oder Großherzogtümern. Adelstitel, die nicht vom Reich, sondern von einem König, Großherzog etc. vergeben wurden, sind entsprechend keine Reichs-, sondern Land- bzw. z. B. preußische Junker.


title: Herrschertitel

text: König, (Prinzen, aber nur die Kinder des Königs), Magnaten: Ererbte Mitglieder des Magnatenstandes: Grafen, Barone und Untitulierte (von, de), verliehene Magnaten: Grafen, Barone, von/de; Adel, der nicht Mitglied des Magnatenstandes war. (Weitere Titel wie der Fürstentitel würde einigen zur Führung erlaubt, waren aber im Rang weiter dem ursprünglich böhmischen/ungarischen zugehörig)


title: Herrschertitel

text: Da ein Herrscher über eine Vielzahl von Territorien gebieten kann, gibt es den "Großen Titel", der alle diese Gebiete mit dem jeweiligen Titel – im Rang absteigend und innerhalb des gleichen Rangs nach dem Alter des Erwerbs – vollständig aufzählte. Als Beispiel hier der Große Titel des Kaisers von Österreich:


title: Odine Johne

text: Odine Johne sammelte noch als Schülerin ab 1998 erste Dreherfahrungen vor und später auch hinter der Kamera in Kurzfilmen der Filmakademie Baden-Württemberg. Als Sprecherin nahm sie an Hörspielproduktionen des Südwestrundfunks teil. Nach dem Abitur 2006 zog sie nach Berlin, wo sie in weiteren Film- und Fernsehproduktionen mitspielte.


title: Odine Johne

text: Einem breiteren Publikum bekannt wurde Johne 2008 durch die Rolle der "Maja" im erfolgreichen deutschen Kinofilm "Die Welle". Im selben Jahr spielte sie das "Schwesterchen" in "Brüderchen und Schwesterchen", einer Fernsehverfilmung des gleichnamigen Märchens in der Reihe "Sechs auf einen Streich" unter der Regie von Wolfgang Eißler. Zudem war sie in der Episode "" der Fernsehreihe "Polizeiruf 110" in einer Hauptrolle zu sehen.


title: Odine Johne

text: Von 2008 bis 2012 studierte Odine Johne Schauspiel an der Akademie für Darstellende Kunst Baden-Württemberg. In der mit dem Deutschen Hörbuchpreis ausgezeichneten SWR-Hörspielversion des Romans "Das Geisterhaus" sprach sie 2010 die Rolle der Tránsito Soto. Nach ihrem Studienabschluss spielte sie in drei Langspielfilmen Hauptrollen, in "Nordland" von Ingo J. Biermann, "Hit the Road Gunnar" von Nicolas Ehret und in dem Fernsehfilm "Die lieben Nachbarn" der Reihe Der Staatsanwalt. In der darauffolgenden Zeit konzentrierte sie ihre Tätigkeit auf Theaterproduktionen in Berlin, Frankfurt und am Schauspiel Bonn.


title: Odine Johne

text: 2014 war Odine Johne mit den Filmen "Jack" und "Szenario" auf der Berlinale vertreten und wurde als beste Nachwuchsdarstellerin auf dem Filmkunstfest Mecklenburg-Vorpommern für den Film "Nordland" ausgezeichnet. Im selben Jahr erhielt der Kurzfilm "Nocebo", in dem sie eine Hauptrolle spielt, einen Studentenoscar. Die Titelrolle in der gleichnamigen Romanverfilmung von Peter Stamms "Agnes" (Regie: Johannes Schmid) brachte ihr 2016 beim Filmfestival Max Ophüls Preis die Auszeichnung als beste Nachwuchsdarstellerin ein.


title: Miesbach

text: Miesbach (bairisch: "Miaschboch") ist die Kreisstadt des gleichnamigen Landkreises im Regierungsbezirk Oberbayern. Sie ist mit ca. 11.500 Einwohnern die kleinste Kreisstadt in Oberbayern und mit rund eine der höchstgelegenen Kreisstädte Deutschlands.


title: Miesbach

text: Die Stadt liegt in der Region Oberland, direkt am Rand der Bayerischen Alpen, 45 km südöstlich von München, 30 km westlich von Rosenheim und 22 km östlich von Bad Tölz im Tal der Schlierach.


title: Miesbach

text: Gemarkungen sind Hausham (nur Gemarkungsteil 1), Miesbach, Niklasreuth (nur Gemarkungsteil 2), Parsberg (nur Gemarkungsteil 1), Wies und Wörnsmühl (nur Gemarkungsteil 2).


title: Miesbach

text: Die Innenstadt gliedert sich auf drei unterschiedlich hoch gelegenen Flussterrassen des Schlierachtals:


title: Miesbach

text: Auf der untersten Ebene befinden sich der historische Marktplatz, das Rathaus, Eissporthalle und der Bahnhof. Rund 9 bis 10 Meter höher liegen in östlicher Richtung der Stadtplatz, die Pfarrkirche und der älteste Teil der historischen Altstadt. Nochmals 10 bis 15 Meter höher liegen auf der obersten, weitgehend ebenen Flussterrasse die gesamte östlich angrenzende neuere Innenstadt mit dem Gewerbegebiet, der Ortsdurchfahrt der Bundesstraße 307, dem Polizeigebäude und der Waitzinger Keller – Kulturzentrum Miesbach. Diese topographische Besonderheit führt zu einer reizvoll gegliederten Altstadt mit oberem und unterem Markt.


title: Miesbach

text: 1114 erfolgte die erste Erwähnung Miesbachs in einer Urkunde des Bischofs Heinrich I. von Freising und Abt Aribo von Tegernsee. Vermutlich noch unter den Freisinger Bischöfen erhielt der Ort im 13. Jahrhundert das Marktrecht. 1312 gelang den Waldeckern mit der Zerstörung der Burg Miesbach der erste Schritt zur Ablösung des Gebietes vom Bistum Freising.


title: Miesbach

text: „Das älteste Kirchlein zu Miesbach befand sich vermutlich innerhalb der Mauern der Burg Miesbach und wurde mit dieser im Jahr 1312 zerstört. Auch an der Stelle des heutigen Portiunkulakirchleins befand sich eine uralte Kapelle, und dass im 14. Jahrhundert dahier auf dem Rosenbüchel eine Kirche bestanden habe, ergibt sich aus Meßstiftungen dorthin“, schreibt Prälat Heimbucher 1882 in seiner „Geschichte Miesbachs“.


title: Miesbach

text: Die endgültige Anerkennung als Reichslehen erfolgte 1476 durch Kaiser Friedrich III. 1516 gelangte die Reichsherrschaft Waldeck an die Familie Maxlrain. 1527 wurde bei einem Stadtbrand die Kirche so stark zerstört, dass sie abgetragen werden musste. 1584 beendete der bayerische Herzog Wilhelm V. die von Wolf Dietrich von Maxlrain seit um 1560 geförderte Reformation mit einer Handelssperre. Im Januar 1637 erhob Kaiser Ferdinand II. Waldeck zur Grafschaft Hohenwaldeck. Nach dem Aussterben der Maxlrainer kam Hohenwaldeck an die Wittelsbacher, die es als gesonderten Teil in das Kurfürstentum integrierten.


title: Miesbach

text: Im 17. und 18. Jahrhundert erlebte Miesbach eine Blütezeit durch die Wallfahrt zur Schmerzhaften Muttergottes und durch das Kunsthandwerk. 1783 wurde bei einem erneuten Stadtbrand fast der gesamte Markt zerstört. Einzig das Gürtlerhaus (Stadtplatz 9) und der Himmisepp (Marktwinkl 10) sind dabei nicht abgebrannt. 1803 wurde die Grafschaft Hohenwaldeck aufgelöst und in ein Landgericht umgewandelt, dessen Nachfolger der heutige Landkreis Miesbach ist. Nachdem bereits seit dem Ende des 16. Jahrhunderts Bürgermeister und Räte verbürgt sind, entstand die Gemeinde mit dem Gemeindeedikt von 1818 im Zuge der Verwaltungsreformen im Königreich Bayern.


title: Miesbach

text: Die bayerische Trachtenbewegung hat ihre Wiege in Miesbach. Die Miesbacher Tracht wurde in der Folge zum Synonym für bayerische Tracht schlechthin. Am 4. April 1859 entstand der Vorläufer des heutigen Miesbacher Trachtenvereins, die „Gesellschaft Gemüthlichkeit“. Den Forschungen des ehemaligen Miesbacher Bürgermeisters Gerhard Maier zufolge war diese die erste vereinsmäßige Organisation, die sich um den Erhalt der heimischen Tracht bemühte. Der erste Verein, der das Wort „Tracht“ im Namen führte, entstand jedoch in den 1880er Jahren in Bayrischzell. Miesbach ist Sitz des Oberlandler Gauverbandes im Bayerischen Trachtenverband mit rund 50 Trachtenvereinen.


title: Miesbach

text: Als Kulmination bayerischer Volksjustiz (Rügegericht) gilt eine 1893 mit über 200 Beteiligten durchgeführte Miesbacher Aktion, genannt „Miesbacher Haberfeldtreiben“.


title: Miesbach

text: Von Ende der 1840er Jahre bis 1911 wurde in Miesbach Pechkohle gefördert. Schon vorher war das Vorkommen bekannt, weil immer wieder Stücke an die Oberfläche kamen. Zu ihrer Förderung wurde erst am heutigen Standort des Eisstadions der 34 Meter tiefe Knorrschacht eingerichtet, welcher 1892 durch den 148 Meter tiefen Neuen Schacht im Norden von Miesbach abgelöst wurde. Mit einer jährlichen Förderung von 60.000 Tonnen war das Bergwerk das kleinste Bergwerk der Oberkohle AG, welche auch in Hausham und Penzberg Bergwerke betrieb. Durch das Bergwerk erhielt Miesbach schon 1861 Eisenbahnanschluss.


title: Miesbach

text: Am 16. September 1882 war Miesbach Ausgangspunkt einer 57 Kilometer langen auf Holzmasten verlegten Gleichstromleitung nach München. Miesbach wurde als Ort der Übertragung ausgewählt, weil das (1911 aufgelassene) Bergwerk in technischer Hinsicht führend war. Mit Dampfmotor zum Antrieb wurde per Freileitung eine Gleichspannung von 1343 Volt in den Münchner Glaspalast übertragen. Mittels elektrischer Pumpe wurde ein künstlicher Wasserfall erzeugt. Damit wurde gezeigt, dass elektrische Energie über große Distanzen übertragen werden kann. Diese von Oskar von Miller und Marcel Depréz präsentierte Neuerung war die weltweit erste Kraftstromübertragung über eine derart weite Strecke.


title: Miesbach

text: Bedeutung hat Miesbach seit alters her als ein wichtiges Zentrum der Viehzucht. Schon 1837 hatte der Gmunder Wirt Max Obermayr mit der Zucht des Miesbacher Fleckviehs begonnen. Als 1892 der Zuchtverband für oberbayerisches Alpenfleckvieh entstand, war er erst der zweite seiner Art. Noch heute sind die Viehmärkte in der Oberlandhalle von überregionaler Bedeutung.


title: Miesbach

text: 1908 wurde eine in Geiselgasteig auf Initiative von Ida von Kortzfleisch gegründete Reifensteiner Schule nach Miesbach verlegt und dort im ehemaligen Bergwerksdirektionsgebäude aufgenommen. Die für die Frauenbildung in Bayern wichtige Schule wurde mit dem Fehrhof, einem landwirtschaftlichen Musterbetrieb erweitert und gab unter anderem Anlass für das Bayerische Kochbuch. Damals war es um die Kochkunst in Bayern nicht sehr gut bestellt, was die Schriftstellerin Carry Brachvogel dazu veranlasste, in einem Prospekt für die "Wirtschaftliche Frauenschule" die Notwendigkeit von Kochkursen zu betonen:


title: Miesbach

text: Die Miesbacher Wanderlehrerinnen, oft sogenannte höhere Töchter, kamen mit mobiler Kochausrüstung in die Dörfer und unterrichteten Kochen und Hauswirtschaft. Die entsprechende Schultradition wird vom Miesbacher Berufsbildungszentrum weitergeführt.


title: Miesbach

text: 1918 wurde Miesbach durch König Ludwig III. zur Stadt erhoben. Bekanntheit erlangte der Ort wenig später mit den nationalistischen Artikeln des Miesbacher Anzeigers.


title: Miesbach

text: Wie schon im Ersten Weltkrieg, war Miesbach ab 1940 wieder Garnisonstadt. Am 2. Mai 1945 wurde die Stadt kampflos an die Amerikaner übergeben. Noch am Vortag gab es Auseinandersetzungen couragierter Bürger mit der SS. Diese hatte vorgesehen, in einer sinnlosen Tat die zentrale Johannisbrücke über die Schlierach zu sprengen, was weite Teile der Innenstadt in Mitleidenschaft gezogen hätte.


title: Miesbach

text: Im Zuge der Gebietsreform in Bayern wurden am 1. Mai 1978 die Gemeinde Wies und Gebietsteile der aufgelösten Gemeinden Parsberg (Hauptteil) und Niklasreuth eingegliedert. Die Nachbargemeinde Hausham trat Gebietsteile mit etwa 500 Einwohnern an Miesbach ab.


title: Miesbach

text: Gemäß dem Zensus 2011 waren 11,3 % der Einwohner evangelisch, 58,0 % römisch-katholisch und 30,7 % konfessionslos, gehörten einer anderen Religionsgemeinschaft an oder machten keine Angabe. Die Zahl der Protestanten und Katholiken ist seitdem gesunken. 2020 hatte Miesbach 11.986 Einwohner, davon 48,7 % Katholiken, 9,7 % Protestanten und 41,6 % hatten entweder eine andere oder gar keine Religionszugehörigkeit.


title: Miesbach

text: Miesbach besitzt eine überwiegend katholische Bevölkerung, die ihren Mittelpunkt in der Hauptkirche der Stadt, der Stadtpfarrkirche Mariä Himmelfahrt, hat. Im Gegensatz zu den meisten anderen Gemeinden Altbayerns verfügt es über eine wechselvolle Religionsgeschichte. So war Miesbach als Teil der Herrschaft Waldeck seit der Mitte des 16. Jahrhunderts unter Wolf Dietrich von Maxlrain ein Zentrum des Protestantismus im südlichen Bayern. 1584 zur Rekatholisierung gezwungen, musste der katholische Glaube noch bis zum Beginn des 17. Jahrhunderts durch die Missionstätigkeit der Franziskaner (OFM) von Tölz gefestigt werden. Seit dem ausgehenden 17. Jahrhundert entwickelte sich Miesbach zu einem überregional bekannten Wallfahrtsort zur Muttergottesfigur der Stadtpfarrkirche. Auf dem Höhepunkt dieser Zeit verlieh Papst Innozenz XIII. dem Gnadenbild den Titel „Mater dolorosa, miraculis gloriosa“. Sein Nachfolger Benedikt XIII. schenkte zudem der Gemeinde die Gebeine des Hl. Maurus, die bis vor kurzem in der Kirche aufbewahrt wurden. Weitum bekannt wurde Miesbach in dieser Zeit durch die ungewöhnlich große (112 Abteilungen) und prachtvolle Fronleichnamsprozession, deren Glanz von kaum einem anderen Ort im damaligen Bayern übertroffen wurde. Zeitweise fanden zudem auch Passionsspiele statt. Miesbach ist Dekanatssitz des Erzbistums München und Freising.


title: Miesbach

text: Von den ehemals in Miesbach vorhandenen vier klösterlichen Niederlassungen musste das Kloster der Armen Schulschwestern als letztes 2005 seine Pforten schließen. Bedeutsam war das im 18. Jahrhundert existierende, klosterähnliche Priesterhaus der sog. Petriner, einer Gemeinschaft von Priestern, die zur Betreuung der Wallfahrt eingesetzt worden waren.


title: Miesbach

text: Eine evangelische Gemeinde konnte sich erst wieder seit der Mitte des 19. Jahrhunderts bilden und ist neben der Gemeinde in Tegernsee die älteste im Landkreis. Die evangelische Gemeinde in Miesbach besitzt die Apostelkirche mit einem Gemeindehaus im Stadtzentrum.


title: Miesbach

text: Miesbach hat eine neuapostolische Gemeinde mit Kirche und eine islamische Gemeinschaft. In den Jahren 2005 bis 2007 wurde eine Moschee im osmanischen Baustil errichtet. Mit einer Rundkuppel bedeckt, stellt sie das Zentrum des islamischen Glaubens in Miesbach und Umgebung dar. Im Anbau daran befindet sich das Kulturzentrum des Türkisch-Islamischen Kulturvereins Miesbach, das eine offene Begegnungsstätte zwischen den Kulturen darstellt. Auch Jehovas Zeugen sind in Miesbach vertreten.


title: Miesbach

text: Erster Bürgermeister ist seit Mai 2020 Gerhard Braunmiller (CSU). Dieser setzte sich in der Stichwahl am 29. März 2020 mit 51,84 % gegen Walter Fraunhofer (Parteilos) durch. Seine Vorgänger waren Ingrid Pongratz (CSU) von 2003 bis 2020, Gerhard Maier (CSU) von 1993 bis 2003, Konrad Schweinsteiger (SPD) von 1990 bis 1993 und Hans Schuhbeck (SPD) von 1970 bis 1990. Weit über die Stadtgrenzen war Bürgermeister Rudolf Pikola (SPD) als Schriftsteller und Heimatforscher bekannt, der 1960–1970 das Amt innehatte.


title: Miesbach

text: Stellvertreter sind Astrid Güldner (Grüne) als 2. Bürgermeisterin und Franz Mayer (CSU) als 3. Bürgermeister.


title: Miesbach

text: Miesbach ist ein Zentrum der bayerischen Brauchtumspflege und der Volkstracht (sehr bekannt durch die „Miesbacher Tracht“). Im 17. und 18. Jahrhundert erlangte der Ort Bedeutung durch die Wallfahrt zur Schmerzhaften Muttergottes und wegen seines Kunsthandwerks. Er ist ein früheres Zentrum des Haberer-Wesens.


title: Miesbach

text: Schon bald nach den Anfängen der Sportbewegung im 19. Jahrhundert entstanden die ersten Gruppen, die vereinsmäßig Sport betrieben. Der älteste Sportverein ist der "TV Miesbach", gegründet im Jahr 1863. Heute finden sich in der Stadt Sportvereine aus fast allen Bereichen. Bekannt waren die beiden Fußballvereine des Ortes, der "1. FC Miesbach" (gegründet 1924), der in der Bezirksoberliga spielte, und der "ASV Miesbach" (1912 gegründet als ATSV, A-Klasse). Die Vereine fusionierten im Mai 2015 zum "SV Miesbach", der in der Kreisklasse spielt. Die am Ort bedeutendsten Wintersportvereine sind der TEV Miesbach (gegründet 1928) in der Eishockey-Bayernliga, der "SC Miesbach" (gegründet 1949) und die Sparte Rennrodeln im "SV Miesbach".


title: Miesbach

text: Wegen seines kleinstädtischen Charakters und seines ländlichen Umfeldes ist Miesbach häufig Kulisse für Film- und Fernsehproduktionen. Ein jüngeres Projekt entstand im September 2007, als hier der Vilsmaier-Film "Die Geschichte vom Brandner Kaspar" mit Franz Xaver Kroetz als Brandner Kaspar und Michael Bully Herbig als Boandlkramer gedreht wurde. Der Film kam im Oktober 2008 in die deutschen Kinos. Frühere Produktionen sind die Serien "Spannagl & Sohn" (mit Walter Sedlmayr in der Hauptrolle), "Der Gerichtsvollzieher" (Hauptrolle Jörg Hube) und "Ein Bayer auf Rügen" (mit Wolfgang Fierek). Der Filmemacher Marcus H. Rosenmüller und der Schauspieler Ben Blaskovic besuchten in Miesbach das staatliche Gymnasium.


title: Miesbach

text: Die Dreharbeiten der von Malao Film produzierten Verfilmung der Kurzgeschichte Spaghetti für zwei von Federica de Cesco fanden im April 2009 zum Teil in Miesbach statt.


title: Miesbach

text: Wohnen und Arbeiten sind in Miesbach ausgeglichen. 2018 waren laut amtlicher Statistik 4860 Einwohner sozialversicherungspflichtig beschäftigt, gleichzeitig gab es in der Stadt 5184 sozialversicherungspflichtige Arbeitsplätze. Davon waren keine in der Land- und Forstwirtschaft, 1506 im produzierenden Gewerbe, 1295 im Bereich Handel, Verkehr, Gastgewerbe und 847 in sonstigen Wirtschaftsbereichen.


title: Miesbach

text: Das Geschäftszentrum Miesbachs verteilt sich auf die drei Platzanlagen in der Altstadt, den Stadtplatz "(„Oberer Markt“)" im Osten unweit der Stadtpfarrkirche, den tiefer gelegenen Marktplatz "(„Unterer Markt“)" im Süden und den Bahnhofplatz am Westrand. Die drei Plätze sind untereinander verbunden durch ein kleinteiliges Netz enger und unübersichtlicher Gassen, wie dem Heimbucherwinkl, dem Manhardtwinkl, dem Marktwinkl und dem Lebzelterberg. Im Oktober 2008 wurde nördlich des Bahnhofs das Einkaufszentrum "Oberland Center" eröffnet. Der Bahnhofplatz soll in den nächsten Jahren umgestaltet werden; dabei wurde im Jahr 2012 das 2002 faillitierte und architektonisch höchst umstrittene Kaufring-Kaufhaus "Sundheimer" abgebrochen.


title: Miesbach

text: 2018 gab es laut amtlicher Statistik 12 Betriebe im verarbeitenden und 18 im Bauhauptgewerbe. Bekannt ist unter anderem die Weißbierbrauerei Hopf. Auch Unternehmen der Flugzeug- und Pharmaindustrie sind im Ort angesiedelt.


title: Miesbach

text: Im Gemeindeteil Müller am Baum liegen im Mangfalltal die großen Gebäude und Kamine der ehemaligen Papierfabrik PWA/SCA. Das Gelände wurde nach der Schließung 1997 von der IDS Miesbach übernommen, seit 2004 Anlagenbauer für Maschinen der Papierindustrie.


title: Miesbach

text: Miesbach ist Mittelpunkt der alpenländischen Vieh- und Milchviehwirtschaft. Im Jahr 2016 bestanden 81 landwirtschaftliche Betriebe mit einer landwirtschaftlich genutzten Fläche von insgesamt 2087 ha, davon waren 2053 ha Dauergrünfläche. Entsprechend seiner Stellung in diesem Wirtschaftsbereich existierte bis Ende des Jahres 2014 eine Land- und Almwirtschaftsschule in Miesbach. Der Unterricht im Bereich Almwirtschaft war dabei eine ausgesprochene Besonderheit. Große Bedeutung hat der 1892 gegründete Zuchtverband, einer der ältesten seiner Art. Die regelmäßigen Ross- und Viehmärkte sind von überregionaler Bedeutung.


title: Miesbach

text: Der Bahnhof Miesbach liegt an der Bahnstrecke Holzkirchen–Schliersee und wird von der Bayerischen Oberlandbahn (BOB) im Stundentakt mit Zugläufen nach München und Bayrischzell bedient. Die Betriebsanlagen sind bis auf zwei Bahnsteiggleise zurückgebaut; auf dem Gelände des ehemaligen Ladebahnhofs steht seit 2008 ein Einkaufszentrum.


title: Miesbach

text: Die Stadt ist an die Bundesstraßen 307 und 472 angebunden. Letztere wird auf einer Umgehungsstraße östlich und südlich um die Stadt herumgeführt. Die Bundesstraße 307 beginnt am südlichen Stadtrand. Weiterhin sind die Staatsstraße 2073 Richtung Norden nach Holzkirchen und die Staatsstraße 2010 Richtung Osten ins Leitzachtal und nach Rosenheim von Bedeutung.


title: Miesbach

text: Die nächstgelegene Autobahn ist die rund sieben Kilometer nördlich der Stadt verlaufende A 8. Die B 472 führt zur Anschlussstelle "Irschenberg" (7,5 km) und die Staatsstraße 2073 zur Anschlussstelle "Weyarn" (10 km).


title: Cinnabarit

text: Cinnabarit (), vor allem im deutschen Sprachraum auch als Zinnober bekannt, ist ein häufig vorkommendes Mineral aus der Mineralklasse der „Sulfide und Sulfosalze“ mit der chemischen Zusammensetzung HgS und damit chemisch gesehen ein Quecksilbersulfid.


title: Cinnabarit

text: Cinnabarit kristallisiert im trigonalen Kristallsystem und entwickelt meist nur kleinere, aber dafür oft sehr flächenreiche Kristalle mit tafeligem bis prismatischem, rhomboedrischem oder dipyramidalem Habitus. Bekannt wurden bisher über 50 Kristallformen sowie Kristallzwillinge. Häufig findet er sich auch in Form krustiger Überzüge oder körniger bis massiger Mineral-Aggregate. Das Mineral ist durchscheinend bis undurchsichtig und weist auf sichtbaren Kristallflächen einen diamant- bis metallähnlichen Glanz auf. Derbe Aggregate oder Krusten sind dagegen eher matt.


title: Cinnabarit

text: Die Farbe von Cinnabarit ist überwiegend von einem charakteristisch leuchtenden, leicht ins Gelbe tendierenden und auch als Farbe bekannten Zinnoberrot. Durch Fremdbeimengungen kann das Mineral aber auch eine braunrote bis bleigraue Farbe annehmen. Seine Strichfarbe ist jedoch immer ein kräftiges Rot, das als Scharlachrot beschrieben wird.


title: Cinnabarit

text: Mit einer Mohshärte von 2 bis 2,5 gehört Cinnabarit zu den weichen Mineralen, die sich ähnlich wie das Referenzmineral Gips (Härte 2) gerade noch mit dem Fingernagel ritzen lassen. Cinnabarit kann farblich leicht mit Realgar verwechselt werden, mit dem er häufig vergesellschaftet vorkommt. Er unterscheidet sich allerdings durch seine viel höhere Dichte von diesem (Cinnabarit ≈ 8,2 g/cm; Realgar ≈ 3,6 g/cm). Weitere farblich ähnliche Minerale sind Cuprit, Krokoit, Proustit und Rutil.


title: Cinnabarit

text: Der Name „Cinnabarit“ nimmt Bezug auf die charakteristische rote Farbe des Minerals und leitet sich ab aus dem lateinischen "cinnabaris" bzw. dem griechischen κιννάβαρι[ς] "kinnábari[s]" für das Harz „Drachenblut“. Letzteres ist wahrscheinlich eine Übernahme aus dem Ostindischen, wo bestimmte Bäume ein rotes Harz abgeben. Eine gemeinsame Quelle könnte mit dem persischen Namen des Zinnobers , mit seiner arabischen Bezeichnung und auch mit seinem Namen auf Sanskrit, सुगरम् bestehen. Jedoch ist diese Quelle nicht mehr auffindbar.