title: Apollo 10

text: Die einzelnen Teile der Saturn-Rakete wurden im November und Dezember 1968 angeliefert. Am 11. März 1969, noch während des Fluges von Apollo 9, konnte die Saturn V zur neuen Startrampe 39B gerollt werden. Die Rakete trug die Seriennummer AS-505, die Kommandokapsel CSM-106 (die Kapsel CSM-105 war für Tests reserviert und sollte nicht ins All fliegen) und die Mondlandefähre LM-4.


title: Apollo 10

text: Traditionsgemäß wurden die Rufzeichen der beiden Raumschiffe von der Mannschaft ausgewählt. Das Kommandomodul wurde Charlie Brown genannt, die Mondlandefähre Snoopy. Beide Namen stammen aus der Comicserie Peanuts von Charles M. Schulz. Nachdem die Apollo-9-Mannschaft "Gumdrop" (Fruchtgummi) und "Spider" (Spinne) als Rufzeichen gewählt hatten, drängten NASA-Manager die Mannschaft von Apollo 11, seriöse Rufzeichen für die erste Mondlandung auszusuchen.


title: Apollo 10

text: Als Verbindungssprecher (CapCom) während des Fluges dienten Charles Duke, Joe Engle, Jack Lousma und Bruce McCandless.


title: Apollo 10

text: Die Saturn V startete am 18. Mai 1969 um 16:49 UTC vom Kennedy Space Center, Florida. Apollo 10 war die einzige Mission, in der eine Saturn V vom Launch Complex 39B abhob, da der ansonsten genutzte Launch Complex 39A zu diesem Zeitpunkt bereits mit Vorbereitungen für Apollo 11 besetzt war. Wie schon bei Apollo 8 wurde zuerst eine Erdumlaufbahn angesteuert. Nach zwei Erdumkreisungen wurde die dritte Stufe (S-IVB) der Saturn-Rakete ein zweites Mal gezündet, um das Apollo-Raumschiff auf den Weg zum Mond zu bringen.


title: Apollo 10

text: Kurz nach der zweiten Zündung, die das Raumschiff auf die Flugbahn zum Mond gebracht hatte, koppelte Young das Raumschiff (CSM für Command/Service Module) von der S-IVB-Stufe der Trägerrakete ab, drehte es um 180° und dockte es an der Dockingvorrichtung der Mondlandefähre an. Diese Manöver sowie das anschließende Herausziehen der Mondlandefähre aus der S-IVB-Stufe gelangen problemlos, während dank der ersten farbigen TV-Live-Übertragung aus dem Weltall Fernsehzuschauer in aller Welt die Astronauten dabei beobachteten. Apollo 10 befand sich damit auf dem Weg zum Mond.


title: Apollo 10

text: Nach Erreichen der Mondumlaufbahn wurden alle Manöver durchgeführt, wie sie für die reale Landung von Apollo 11 geplant waren. In ca. 110 km Höhe über der Mondoberfläche wurde das CSM von der Mondlandefähre (LM für Lunar Module) getrennt. Es begann der Abstieg des LM, das der Oberfläche bis auf ca. 14 km nahekam. Das war die geringste Höhe, bei der noch ein direkter Aufstieg möglich war. Anschließend wurde das LM in einen elliptischen Orbit mit einem Aposelenum von etwa 305 km Höhe gebracht. Nach einer weiteren Mondumrundung sollte die Abstiegsstufe abgesprengt werden, um den Wiederaufstieg einzuleiten. Dies gelang erst nach wiederholter Auslösung. Direkt danach versagte die Computersteuerung des Lageregelungssystems, und das Modul fing an zu trudeln. Ein erforderlicher Schaltvorgang war von der Crew versehentlich doppelt ausgeführt worden. So lief ein falsches Programm zur Lageregelung. Stafford musste die Computersteuerung abschalten und die korrekte Lage mittels der manuellen Steuerung wiederherstellen. Zu dem Zeitpunkt, als Stafford die Kontrolle über das LM zurückerlangt hatte, war es nur noch kurz von einer Kardan-Blockierung (sog. Gimbal Lock) und dem daraus resultierenden Verlust der automatischen Lageregelung entfernt.


title: Apollo 10

text: Unter der Anspannung während dieses Vorfalles ließen sich die Astronauten Stafford und Cernan zu einigen Kraftausdrücken hinreißen, die aufgrund der aktiven Live-Übertragung ungefiltert zur Erde gesendet wurden. Dies führte später zu öffentlicher Kritik, die sich insbesondere gegen Cernan richtete.


title: Apollo 10

text: Auch das Kommando zum Zünden des Haupttriebwerks im Aufstiegsmodul gelang nicht auf Anhieb. Hingegen gelangen das Rendezvous mit dem CSM und das Andocken einwandfrei. Nach dem Umsteigen der Astronauten und der Trennung vom Kommando-Modul wurde das Aufstiegstriebwerk erneut gezündet und die Aufstiegsstufe in eine Sonnenumlaufbahn gebracht, in der sie sich bis heute befindet, während die Abstiegsstufe zunächst im Mondorbit blieb und später an einem unbekannten Ort abstürzte. Im Januar 2018 entdeckten Astronomen das Objekt „2018 AV2“, welches zunächst als Asteroid, später als künstliches Objekt klassifiziert wurde und am 15. Januar 2018 Erdnähe erreichte. Eine Gruppe britischer Amateurastronomen glaubt, dass es sich dabei wahrscheinlich um die Aufstiegsstufe der Mondlandefähre „Snoopy“ handelt.


title: Apollo 10

text: Beim Wiedereintritt am 26. Mai erreichte die Landekapsel eine Geschwindigkeit von 39.897 km/h. Dies ist nach wie vor die höchste (Relativ-)Geschwindigkeit, die von Menschen je erreicht wurde. Um 16:52 UT wasserte Apollo 10 sicher im Pazifik und wurde durch den Helicopter 66 des Flugzeugträgers USS "Princeton" geborgen. 19 Fernsehsendungen, erstmals in Farbe, wurden während der Mission zur Erde übertragen.


title: Apollo 10

text: Die Apollo-Landekapsel ist nun im Science Museum in London ausgestellt. Es handelt sich, abgesehen von kleineren Ausrüstungsgegenständen, um die einzige Apollo-Flughardware außerhalb der USA.


title: Apollo 10

text: Der erfolgreiche Flug von Apollo 10 zeigte, dass die NASA Apollo-Flüge in kurzer Folge absolvieren konnte. Seit Apollo 7 waren erst sieben Monate vergangen. Apollo 10 war bereits der vierte Flug und zwei weitere waren für die nächsten Monate in Vorbereitung.


title: Apollo 10

text: Außerdem hatte Apollo 10 alle notwendigen Manöver für eine Mondlandung, bis auf die Landung selbst, durchgeführt. Die aufgetretenen Probleme erwiesen sich als lösbar, so dass die erste bemannte Mondlandung für Apollo 11 geplant werden konnte.


title: Apollo 10

text: Beim Wiedereintritt wurde die größte Geschwindigkeit, die je von Menschen erreicht wurde, erzielt (39.897 oder 39.937 km/h relativ zur Erde).


title: Disponent

text: Ein Disponent (entlehnt aus , verwandt mit "disponieren" und "Disposition") (auch Zuteiler genannt) ist für die Zuteilung von Ressourcen und Waren und die Einteilung von Finanzen oder Personal in einer Organisation zuständig. Seine Funktion heißt Disposition. Er überwacht – auf der kaufmännischen Ebene – das Ausführen der Dienste der Organisation und legt gegebenenfalls die zulässigen Termine fest.


title: Disponent

text: Der Disponent bereitet das Ausführen von Diensten vor. Er koordiniert nicht den Einsatz der einzelnen Beteiligten vor Ort in Verkettung der Verrichtungen. Der Disponent besorgt in der klassischen Arbeitsvorbereitung lediglich das Einteilen ohne ein explizites Festlegen einer Reihenfolge der Bearbeitung. Anders als der Dispatcher koordiniert der Disponent somit nicht den Einsatz der Ressourcen, das bleibt entweder dem Dispatcher oder den ausführenden Personen überlassen.


title: Disponent

text: In der Regel teilt der Disponent die Aufgaben ein, bevor ein Prozess beginnt. Er ist steuernd tätig. Er liefert lediglich eine von Störungen nicht betroffene in allen Mengen detaillierte Planung, ohne sich daran zu beteiligen, sie in der Realität durchzusetzen. So ist der Disponent meist nicht beteiligt, wenn die ausführenden Personen Störungen der Planung erfahren und diese im Ablauf beheben. Er greift erst ein, wenn die vorgegebenen Termine voraussichtlich und unvermeidlich verletzt werden.


title: Disponent

text: Aufgrund von auf bestimmte Unternehmensbereiche beschränkten Vollmachten ist er befugt, den ihm zugeteilten Arbeitsbereich weitgehend selbsttätig zu organisieren und zu leiten. Des Weiteren erhält er durch seine Vollmacht ein so genanntes "Substitutionsrecht", das heißt, er selbst kann ihm untergebenen Mitarbeitern eingeschränkte Vollmachten erteilen.


title: Konstitutionstyp

text: Unter Konstitutionstyp (Körperbautyp) versteht man in der Medizin die Beschaffenheit des Einzelmenschen in Bezug auf Körperbau, Leistungsfähigkeit und seelisches Verhalten.


title: Konstitutionstyp

text: Aus heutiger Sicht gilt die Konstitutionstypologie als wissenschaftlich überholt. Die meisten Annahmen über konstitutionelle und psychische Zusammenhänge wurden empirisch widerlegt.


title: Konstitutionstyp

text: Die Einteilungen wurden willkürlich getroffen, ohne Berücksichtigung von Geschlechts-, Alters- und Kulturunterschieden. Eine Rolle bei der Entstehung von Konstitutionstypen könnten hingegen schon immer Sozial- und Ernährungsverhältnisse gespielt haben.


title: Konstitutionstyp

text: Im antiken Griechenland unterschied man vier Konstitutionstypen bzw. Komplexionen, die vier "Temperamente". Die ihnen zugrundeliegende Humoralpathologie mit vier Leibessäften ("humores") war die bis in die frühe Neuzeit gültige Lehrmeinung, ist aber mit der Einführung der Zellularpathologie kein Bestandteil der wissenschaftlichen Medizin mehr.


title: Konstitutionstyp

text: Die Temperamentenlehre ging ihrerseits aus der älteren Vier-Elemente-Lehre hervor. Der Übergang zur Humoralpathologie oder Lehre von den Körpersäften stellte eine Tendenz zur Vergegenständlichung dar, die erst recht von der späteren Solidarpathologie übernommen wurde. Sie war lange Grundlage jeder Krankheitslehre. Allerdings trägt die Annahme einer ausschließlichen Somatogenese laut Stavros Mentzos nicht allen Krankheitsursachen Rechnung und lässt auch keine Rückschlüsse auf die Schwere einer Erkrankung zu.


title: Konstitutionstyp

text: Kretschmer, als Vertreter der klassischen deutschen Psychiatrie, hat entsprechend zu den von ihm beschriebenen körperlichen Merkmalen der Konstitutionstypen auch mentale Zustände beschrieben, die von ihm diesen einzelnen Typen zugeordnet werden. Den Pyknikern entspricht das zyklothyme Temperament, den Leptosomen das schizothyme, den Athletikern die Neigung zur Epilepsie. Es bestehen durchaus Parallelen zur antiken Einteilung der Temperamente bzw. Urstoffe.


title: Konstitutionstyp

text: Bereits 1912 stellten Auguste Chaillou (1866–1915) und Léon Mac-Auliffe (1876–1937), den muskulären (athletischen), digestiven (pyknischen), respiratorischen (thorakalen) und zerebralen (leptosomen) Typ auf.


title: Konstitutionstyp

text: Die Einteilung der noch heute bekannten physischen Konstitutionstypen geht auf den Psychiater Ernst Kretschmer in den 1920er Jahren zurück, der eine biologisch fundierte Konstitutionstypologie mit einer Synopse von Körperbau, Charaktereigenschaften und Disposition zu psychischen Krankheiten schuf. Mit diesen wie folgt geschilderten physischen bzw. äußeren Eigenschaften wurden psychische Eigenschaften bzw. innere Charakter- und Verhaltenstypen verbunden, siehe seine Typenlehre. Er unterteilte in:


title: Konstitutionstyp

text: Ende der 1950er Jahre wurden die Konstitutionstypen „durch die Tübinger Forschungsstelle für Konstitutions- und Arbeitspsychologie bis in den Bereich der Psychopathologie ausgeweitet“.


title: Luca Zamperoni

text: Luca Zamperoni trat bereits mit acht Jahren an den Städtischen Bühnen Frankfurt am Main und in Produktionen des Hessischen Rundfunks auf. Er absolvierte von 1991 bis 1994 eine Schauspielausbildung an der Theaterakademie in Ulm. Danach spielte er Theater unter anderem in Köln, Neuss und Essen. 1994 wurde Zamperoni mit dem "Kulturpreis der Stadt Ulm für darstellende Kunst" ausgezeichnet.


title: Luca Zamperoni

text: Seit Mitte der 1990er Jahre wirkt Zamperoni neben seiner Arbeit am Theater auch in zahlreichen Fernsehserien und Spielfilmen mit. 1996 stand er erstmals für eine Gastrolle in der Sat.1-Krimireihe "Wolffs Revier" vor der Kamera. Von 1997 bis 2005 spielte er – mit mehreren Unterbrechungen – die Rolle des "Nikolaus „Nick“ Prozeski" in der ARD-Soap "Verbotene Liebe", die ihn einem breiten Publikum bekannt machte. Dabei hatte er in der Serie "Verbotene Liebe" bereits in Folge 313 einen Gastauftritt als Zusteller. Es folgten weitere feste Serienrollen. Von 2000 bis 2006 übernahm er in der Sat.1-Serie "SK Kölsch" die Rolle des italienischen Kriminalobermeisters Gino Bruni. Von 2010 bis 2020 war er an der Seite von Francis Fulton-Smith und Marie Seiser als Chirurg Michael Sandmann in der ARD-Vorabendserie "Familie Dr. Kleist" zu sehen.


title: Luca Zamperoni

text: Für das Hörspiel-Label "Amor Verlag" wirkte er bei mehreren Produktionen mit, darunter bei "Faust I" und "Kabale und Liebe" jeweils in einer der Hauptrollen. Bei "Woyzeck" ist er nicht nur in einer Doppelrolle als Woyzecks Kamerad Andres und als der Hauptmann zu hören, sondern hat auch die künstlerische Beratung bei der Umsetzung übernommen.


title: Luca Zamperoni

text: Luca Zamperoni ist mit der Filmproduzentin und Drehbuchautorin Simone Höller (* 1972) verheiratet. Aus der Ehe entstammen zwei gemeinsame Kinder, eine Tochter ein Sohn. Er lebt zusammen mit seiner Familie in Köln.


title: Syracuse (New York)

text: Syracuse [] ist eine Stadt im US-Bundesstaat New York in den USA mit 148.620 Einwohnern (Stand: 2020).


title: Syracuse (New York)

text: Syracuse liegt südlich des Ontariosees im Nordosten der Finger-Lakes-Region am Onondaga Lake und ist eine Industrie- und Handelsstadt.


title: Syracuse (New York)

text: In der Gegend des heutigen Syracuse siedelten sich – nach den indianischen Ureinwohnern – ab dem 17. Jahrhundert französische Missionare an. Nach dem Unabhängigkeitskrieg kamen mehr weiße Menschen in die Region, meist, um mit dem Stamm der Onondaga zu handeln. Nachdem in einigen Salzsümpfen von Syracuse die gewerbliche Salzgewinnung angelaufen war, zog das weitere Siedler in die Region. Das Salz gab der Stadt den Spitznamen „Salt City“.


title: Syracuse (New York)

text: Die ursprüngliche Siedlung wurde mehrfach umbenannt. Ursprünglich hieß sie "Salt Point" (1780), dann "Webster’s Landing" (1786), "Bogardus Corners" (1796), "Milan" (1809), "South Salina" (1812), "Cossits’ Corners" (1814) und "Corinth" (1817). Als Corinth die Einrichtung eines Postamts beantragte, lehnte die Postverwaltung diesen Namen jedoch ab, da im Staat New York bereits ein Postamt dieses Namens existierte. Schließlich wurde der Name Syracuse gewählt und das Dorf (village) 1825 offiziell gegründet. Im gleichen Jahr wurde der Eriekanal eröffnet, der durch das damalige Dorf verlief. Mit der Eingemeindung des nahe gelegenen Dorfes Salina wurde Syracuse 1839 zur Stadt.


title: Syracuse (New York)

text: Neben der prosperierenden Salz<nowiki>industrie</nowiki> wurde Syracuse auch zu einer wichtigen Anlaufstelle für die wachsende Antisklavenhaltungs-Bewegung. Am 1. Oktober 1851 wurde ein freigelassener Sklave, der nur unter dem Namen „Jerry“ bekannt war, unter Berufung auf das „Flüchtiger-Sklave-Gesetz“ festgenommen. Als die Festnahme dieses ehemaligen Sklaven bekannt wurde, stürmten Hunderte von Sklavereigegnern das Stadtgefängnis und befreiten Jerry. Während des Amerikanischen Bürgerkriegs war Syracuse auch eine „Haltestelle“ auf der „Underground Railroad“, dem wichtigsten Fluchtweg der Sklaven aus den Südstaaten.


title: Syracuse (New York)

text: Die wirtschaftliche Bedeutung der Salzindustrie sank nach dem Amerikanischen Bürgerkrieg, es entstand jedoch eine neue Fertigungsindustrie an ihrer Stelle. Ende des 19. Jahrhunderts und Anfang des 20. Jahrhunderts wurden zahlreiche Industrieprodukte hergestellt, wie etwa luftgekühlte Motoren von der H. H. Franklin Manufacturing Company. 1920 erreichte Syracuse eine Bevölkerungsanzahl von mehr als 210.000 Einwohnern.


title: Syracuse (New York)

text: Die Bevölkerungszahl sank wieder nach dem Zweiten Weltkrieg, da immer mehr Einwohner in die Vororte wegzogen. Viele historische Gebäude von Syracuse verfielen in den 1950er und 1960er Jahren und wurden abgerissen. Daraufhin siedelten sich gezielt einige neue Museen und Behörden mit neuen Regierungsgebäuden in der City an, um das Zentrum wiederzubeleben. Durch Programme von Stiftungen gefördert, zogen in den 1980er Jahren viele Immigranten von Afrika und Mittelamerika nach Syracuse.


title: Syracuse (New York)

text: Die industrielle Produktivität von Syracuse geriet in den 1990er Jahren erneut in die Krise. Viele Kleinbetriebe mussten während dieser Zeit schließen, was zu einer weiteren Erhöhung der bereits zunehmenden Arbeitslosen-Rate beitrug. Ein weiterer schwerer Rückschlag war 2003 die Ankündigung der Carrier Corporation, ihren Produktionsstandort in Syracuse im folgenden Jahr zu schließen.


title: Syracuse (New York)

text: Syracuse ist seit 1886 Sitz des römisch-katholischen Bistums Syracuse. Hauptkirche des Bistums ist die Kathedrale "Immaculate Conception" (Unbefleckte Empfängnis) aus dem Jahr 1874, die nach Umbauten und Ergänzungen (Turm) 1910 als Kathedrale ein zweites Mal geweiht wurde. Die Herz-Jesu-Basilika stammt von 1910.


title: Syracuse (New York)

text: In Syracuse werden vor allem Chemikalien, Flugzeugmotoren, Maschinen, elektronische Geräte und Metallwaren hergestellt. Zu den größten Arbeitgebern der Stadt gehört der Rüstungskonzern Lockheed Martin. Seit 2004 befindet sich in Syracuse ein Produktions- und Reinigungsstandort für Uniformen von Cintas.


title: Syracuse (New York)

text: Syracuse verfügt über eine große Universität, die Syracuse University, einen Standort der State University of New York und ein Kunstmuseum.


title: Syracuse (New York)

text: Im Stadtteil Tipperary Hill existiert eine Ampel mit umgekehrter Reihenfolge der Lichter (Grün oben, Rot unten). Als 1920 die ersten Ampeln installiert wurden, warfen Jugendliche, die sich daran störten, dass das „britische“ Rot über dem „irischen“ Grün steht, Steine gegen die Ampel. Nachdem die Ampel repariert wurde, wurde sie wieder und wieder zerstört, sodass die Stadt, die an dieser Stelle eine Ampel für erforderlich hielt, sich entschloss, die Ampel umzudrehen. Die Ampel existiert noch immer in dieser umgekehrten Reihenfolge.


title: Syracuse (New York)

text: Der ortsansässige Eishockeyclub Syracuse Crunch spielt in der AHL und ist seit der Saison 2012/13 das Farmteam der Tampa Bay Lightning. Die Baseballmannschaft Syracuse Mets spielt im NBT Bank Stadium und ist ein Farmteam der New York Mets in der International League. Das Syracuse University Lacrosse-Team ist mit elf Meisterschaften das erfolgreichste Team der NCAA.


title: Tensorprodukt

text: Das Tensorprodukt ist ein universelles Objekt der multilinearen Algebra und somit ein vielseitiger Begriff der Mathematik: In der linearen Algebra und in der Differentialgeometrie dient es zur Beschreibung multilinearer Abbildungen, in der kommutativen Algebra und in der algebraischen Geometrie entspricht es einerseits der Einschränkung geometrischer Strukturen auf Teilmengen, andererseits dem kartesischen Produkt geometrischer Objekte.


title: Tensorprodukt

text: Die Definition für den allgemeinen multilinearen Fall durch die universelle Eigenschaft im Sinne der Kategorientheorie befindet sich "im Abschnitt zur universellen Eigenschaft." Eine "konstruktive" Definition – will sagen: eine Konstruktion und damit ein Beweis der Existenz des universellen Objekts – wird zuvor in "koordinatenbasierter" Weise in diesem Abschnitt gegeben. Auch wenn als Einstieg also eine koordinatenbasierte konstruktive Definition des Tensorprodukts mit nachfolgender Beleuchtung der wesentlichen Eigenschaften gewählt wurde, so legt dieser Artikel doch den Schwerpunkt auf die mathematischen und koordinatenfreien Aspekte des Tensorprodukts, ohne jedoch die Koordinatendarstellung zu übergehen: Siehe hier, da und dort. Für einzelne Tensoren und Koordinatendarstellungen siehe Tensor.


title: Tensorprodukt

text: (für einen Vektorraum formula_2 mit Dualraum formula_3, oft formula_4) als gemischte Tensoren, kontravariant der Stufe formula_5 und kovariant der Stufe formula_6. Kurz spricht man von Tensoren vom Typ formula_7. So lassen sich lineare Abbildungen formula_8 als Tensoren aus formula_9 oder aber als Tensoren "auf" dem Dualraum formula_10 interpretieren. Wie sich diese zunächst verwirrende Vielfalt widersprüchlich erscheinender Auffassungen dem allgemeinen Verständnis von Tensoren unterordnet, erklären die Abschnitte über Homomorphismen als Tensoren und Tensoren vom Typ formula_7 (vgl. auch den Artikel Tensor).


title: Tensorprodukt

text: Der Begriff wird zunächst am einfachsten Beispiel des Tensorprodukts auf Vektorräumen erläutert, bevor skizziert wird, wie er auf Moduln verallgemeinert wird. Darauf folgt der Fall des Tensorprodukts von Algebren sowie des Tensorprodukts von Darstellungen (etwa solcher endlicher Gruppen).


title: Tensorprodukt

text: Das Tensorprodukt ist ein universelles Objekt der multilinearen Algebra, genauer: ein "Anfangsobjekt" (Synonyme: "initiales Objekt", engl.: "universally repelling object"). Als solches ist es nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Was auf den ersten Blick enttäuschend klingen mag, bedeutet in Wahrheit jedoch die äußerst flexible Anwendbarkeit dieses Begriffs. Im Mittelpunkt stehen – als Erweiterung des Begriffs der linearen Abbildungen – die "multilinearen" Abbildungen. Dies sind Abbildungen in formula_12 linearen Variablen (Vektoren), die in jeder einzelnen für sich genommen, während die anderen unverändert bleiben, linear sind. Dass Messgrößen in dieser Weise voneinander abhängen, beobachtet die Physik häufig. Im Falle von formula_13 spricht man von (uni)linearen, bei formula_14 von bilinearen, für formula_15 von trilinearen, im allgemeinen Falle von formula_12-fach multilinearen Abbildungen. Für alles Folgende muss daher notwendig vorausgesetzt werden, dass der Grundkörper formula_17 "kommutativ" ist, also kein Schiefkörper. (Der nicht-kommutative Fall wird im Abschnitt über das Tensorprodukt auf Moduln über nicht-kommutativen Ringen und darin speziell hier skizziert.)


title: Tensorprodukt

text: Beispiele für multilineare Abbildungen auf ein und demselben Vektorraum formula_2 der Dimension formula_29 sind (insbesondere aus dem Anschauungsraum formula_30) bekannt:


title: Tensorprodukt

text: Die duale Paarung hingegen ist eine bilineare Abbildung auf einem Vektorraum und seinem Dualraum mit Werten im Grundkörper, also eine Bilinearform: Sie besteht in der bloßen Auswertung eines Kovektors (einer Linearform) auf einem Vektor und ermöglicht es, einen Vektorraum als einen Unterraum seines Bidualraumes aufzufassen, bei endlicher Dimension sogar mit ihm kanonisch zu identifizieren.


title: Tensorprodukt

text: All diese „Produkte“ verdienen diesen Namen, weil sie bilinear bzw. multilinear sind, und stellen daher – trotz ihrer Verschiedenheit – Beispiele für Tensoren dar. Tensoren sind multilineare Abbildungen, und "das" Tensor"produkt" lässt sich als ein "universeller Tensor" verstehen: Alle denkbaren multilinearen Abbildungen (Produkte von Vektoren aus vorgegebenen Vektorräumen) lassen sich mit Hilfe des Tensor(produkt)raumes einheitlich beschreiben.


title: Tensorprodukt

text: Da – zumal im endlichdimensionalen Falle – etliche Identifikationen rund um Vektorräume, ihre Dualräume und die Räume linearer Abbildungen möglich sind, gibt es für den Tensorproduktraum viele isomorphe Deutungen. Daher lassen sich in der Literatur viele Zugänge und unterschiedliche Betrachtungsweisen finden. Das Wesen des Tensorprodukts liegt jedoch in der Betrachtung multilinearer Abbildungen formula_53, also Abbildungen, die in jeder einzelnen Komponente (formula_54) bei festgehaltenen übrigen Komponenten formula_17-linear sind. Der Raum dieser Abbildungen ist in naheliegender Weise ein Vektorraum über formula_17 und wird mit formula_57 bezeichnet. Es ist formula_58.


title: Tensorprodukt

text: Es wird zunächst der Fall der bilinearen Abbildungen (formula_14) behandelt, bevor der allgemeine Fall der multilinearen Abbildungen in verdichteter Form betrachtet wird.


title: Tensorprodukt

text: Für den komplexen Fall formula_60 ist zu beachten, dass an die Stelle der Bilinearität meist die "Sesquilinearität" tritt, wie etwa im Falle hermitescher Sesquilinearformen, wie es positiv definite Skalarprodukte sind: Das heißt, dass die Abbildung nur in einem der beiden Argumente linear ist, im anderen stattdessen antilinear oder semilinear: Dies bedeutet, dass die komplexe Konjugation als Involution ins Spiel kommt – und darin auch bleibt. Somit ist an manchen Stellen die Linearität durch Antilinearität (Semilinearität) zu ersetzen, siehe bspw. den Abschnitt zum Tensorprodukt von Hilbert-Räumen.


title: Tensorprodukt

text: Wie erwähnt, beobachtet die Physik häufig, dass eine Messgröße, sei sie skalar- oder vektorwertig, von mehreren anderen abhängt und zwar von jeder einzelnen in linearer Weise. Wie sich die Abhängigkeit insgesamt beschreiben lässt, gibt der zugehörige Tensor an. Typischerweise entstammen die Observablen demselben Vektorraum formula_61 oder aber seinem Dualraum formula_62. Dies führt (für den grundlegenden Fall formula_63) zu dem in der Physik üblichen Begriff der (gemischten) Tensoren vom Typ formula_64, der formula_5-fach kontravarianten und formula_6-fach kovarianten Tensoren (der Stufe formula_67): formula_68. Tatsächlich entstand der Begriff des Tensors zuerst in der Physik der Spannungstensoren, wie im Artikel zum Tensor nachzulesen ist (siehe auch Kontinuumsmechanik, Trägheitstensor und Verzerrungstensor).


title: Tensorprodukt

text: Unter den Tensoren gibt es solche mit weiteren speziellen Eigenschaften wie symmetrische Tensoren, alternierende Tensoren (siehe auch alternierende Multilinearformen, alternierende Matrizen bzw. antisymmetrische Tensoren und symmetrische und antisymmetrische Tensoren), insbesondere das Vektorprodukt (siehe auch im Kontext krummliniger Koordinaten), schiefsymmetrische Tensoren etc.


title: Tensorprodukt

text: Da Tensorprodukträume ihrerseits Vektorräume sind, lassen sich multilineare Abbildungen auf ihnen und damit ihr Tensorprodukt bilden: Äußeres (siehe auch hier) und inneres Produkt sowie Tensorverjüngung (siehe auch Abschnitte zur Spurbildung und Verjüngung bzw. Kontraktion) sind Beispiele multilinearer Abbildungen von Tensoren. Formelsammlungen befinden sich in der Formelsammlung Tensoralgebra oder im Internet.


title: Tensorprodukt

text: In der Tensoranalysis werden Tensorfelder betrachtet. Sie kommen durch die Tangentialräume und Tensorbündel ins Spiel, hier befindet sich eine Formelsammlung dazu.


title: Tensorprodukt

text: In der Theorie der Algebren wird das Konzept des Tensorprodukts genutzt, um Algebren zu konstruieren wie bspw.:


title: Tensorprodukt

text: Das Tensorprodukt von Algebren spielt eine zentrale Rolle bei der Untersuchung von Azumaya-Algebren (d. h. zentraler einfacher endlichdimensionaler Algebren), worin sich Algebrentheorie und Zahlentheorie begegnen und den Satz von Skolem-Noether liefern sowie einen Beweis des Satzes von Wedderburn mit Hilfe der verschränkten Produkte (Faktorensystem) von Emmy Noether ermöglichen. Die Definition der Brauergruppe beruht auf der Verwendung des Tensorproduktes von Azumaya-Algebren.


title: Tensorprodukt

text: Der Fall formula_13 ist aus der (uni)linearen Algebra bekannt: Der Koordinatenraum formula_70 ist ein Modell für jeden formula_34-dimensionalen formula_17-Vektorraum. So könnte dieser unilineare Fall auch als Induktionsanfang für eine induktive Definition und die Definition für das bilineare Tensorprodukt als Induktionsschritt benutzt werden (siehe diesen Abschnitt), doch ist die Definition für den allgemeinen Fall auch unmittelbar möglich.


title: Tensorprodukt

text: Lineare Abbildungen können in Koordinatenräumen dargestellt werden. Insbesondere können sie durch Linearformen (also durch lineare Abbildungen formula_73 in den Grundkörper) dargestellt werden, wie kurz erläutert werden soll: Es seien dazu formula_74 und formula_75 Vektorräume über dem Grundkörper formula_17 mit den Basen formula_77 bzw. formula_78. (Bei endlichen Dimensionen denke man sich formula_79 und formula_80.) Jede Abbildung formula_81 einer Menge (!) formula_82 in den Vektorraum formula_83 zerfällt in naheliegender Weise in die Summe formula_84 von Komponentenabbildungen formula_85 definiert durch formula_86, wobei formula_87 die kanonischen Projektionen bezeichne. In dieser Weise lassen sich alle vektorwertigen Funktionen zerlegen, insbesondere lineare Abbildungen formula_88 in die Summe der zugehörigen Linearformen formula_89.


title: Tensorprodukt

text: Aus der (uni)linearen Algebra ist bekannt, dass derartige Linearformen als Kovektoren bezeichnet werden und dual zu den Ursprungsvektoren beschrieben werden: Werden die Vektoren formula_90 als Spaltenvektoren formula_91 dargestellt (bezogen auf die gewählte Basis), so können die Kovektoren als Zeilenvektoren dargestellt werden und sind als Elemente des Dualraumes formula_92 zu verstehen: Als solche sind sie eindeutig als eine Linearkombination formula_93 der zu formula_77 dualen Basis formula_95 darstellbar. Bei endlicher Dimension besteht eine – freilich basisabhängige – Isomorphie zwischen Dualraum und Ursprungsraum, während die Isomorphie zwischen Bidualraum und Ursprungsraum kanonisch ist. („Der Ursprungsraum ist der Dualraum seines Dualraums.“)


title: Tensorprodukt

text: Zusammengefasst: Jede lineare Abbildung formula_96 lässt sich als Linearkombination formula_97 von "Linear"formen (Kovektoren) darstellen. Die elementaren Bausteine linearer Abbildungen sind also Kovektoren formula_98, und diese sind – als Elemente des Dualraums – gut bekannt. Die Koordinatenabbildung formula_99 liefert eine konkrete Darstellung als Spalten- bzw. Zeilenvektoren, mit deren Hilfe jede lineare Abbildung formula_100 mit einer eindeutig bestimmten linearen Abbildung formula_101 als Kompositum formula_102 dargestellt werden kann.


title: Tensorprodukt

text: Das formula_12-fache Tensorprodukt formula_104 klärt dieselbe Fragestellung für formula_12-fach multilineare Abbildungen formula_106 und wird ebenfalls liefern: Jede derartige multilineare Abbildung formula_107 ist mit Hilfe einer eindeutig bestimmten linearen Abbildung formula_108 darstellbar als formula_109. Um alle multilinearen Abbildungen („Tensoren“) zu kennen, genügt es also, das Tensorprodukt zu kennen, denn es ist "universell:" Jede multilineare Abbildung ist ein (sogar eindeutig bestimmtes) lineares Abbild des Tensorprodukts. So erscheint das Tensorprodukt als eine multilineare Koordinatenabbildung, mit der jeder Tensor auf eindeutige Weise linear parametrisiert werden kann. Man darf sie sich als eine multilineare Koordinatenabbildung vorstellen, die minimal mit der Eigenschaft ist, dass jede multilineare Abbildung ihr lineares Abbild ist. Die Minimalität sichert die Eindeutigkeit des linearen Abbildes. Als Koordinatenraum für die Koordinatendarstellung von Tensoren wird sich der Raum der formula_12-dimensionalen (Super-)Matrizen empfehlen. Der folgende Unterabschnitt präzisiert diese Überlegungen.


title: Tensorprodukt

text: Der Fall formula_13 zeigt also: Unilineare Abbildungen formula_112 lassen sich durch Multiplikation mit Matrizen formula_113 beschreiben, die den zugehörigen Koordinatenraum formula_114 von formula_2 (bezüglich einer Basis formula_116 in formula_2) in denjenigen formula_118 von formula_119 (bezüglich einer Basis formula_120 in formula_119) linear abbildet. Sie sind in Summen elementarer Tensoren zerlegbar.


title: Tensorprodukt

text: Ist nun formula_122 beliebig und formula_123 eine Familie von Vektorräumen, so korrespondiert mit einer formula_12-fach multilinearen Abbildung formula_125 (nach Auswahl von (geordneten) Basen formula_126 in formula_127 bzw. formula_128 in formula_119) eine formula_12-fach multilineare Abbildung formula_131, die das Produkt der zugehörigen Koordinatenräume formula_132 multilinear in formula_118 abbildet (bezüglich der gewählten Basen, versteht sich) und die sich durch Multiplikation mit Matrizen beschreiben lässt: Dabei handelt es sich um „Supermatrizen“ formula_134, also um formula_135-fach multiindizierte Matrizen: Das formula_12-Tupel formula_137 der unteren Indizes korrespondiert mit dem formula_12-Tupel von Koordinatenvektoren aus formula_132, die Vektoren aus formula_140 bezüglich der zugehörigen Basen formula_141 identifizieren, der obere Index korrespondiert entsprechend mit Koordinatenvektoren formula_119 bezüglich der Basis formula_120. Auch diese Supermatrizen können in eine Summe elementarer Tensoren zerlegt werden.


title: Tensorprodukt

text: Also lassen sich diese "multilinearen" Abbildungen als "unilineare" Abbildungen auf dem Raum formula_151 auffassen, und dies ist gerade der Inhalt der universellen Eigenschaft – ergänzt um die Aussage, dass diese Eigenschaft den Tensorproduktraum kennzeichnet: formula_152.


title: Tensorprodukt

text: So spiegelt sich das kartesische Produkt formula_153 der Basen formula_154 im Tensorproduktraum wider: Der Tensorproduktraum wird von eben diesem kartesischen Produkt der Basen aufgespannt, wie die Konstruktion zeigen wird.


title: Tensorprodukt

text: formula_12-fach multilineare Abbildungen auf einem formula_12-fachen kartesischen Produkt von Vektorräumen sind also als unilineare Abbildungen auf dem zugehörigen formula_12-fachen Tensorproduktraum der Vektorräume aufzufassen, und dieser ist das freie lineare Erzeugnis des kartesischen Produkts zugehöriger Basen. Durch den Übergang zum Tensorprodukt(raum) gelingt es also, multilineare Abbildungen, die keine Morphismen der Kategorie der Vektorräume sind, als (uni)lineare Abbildungen und mithin als Morphismen der betrachteten Kategorie darzustellen.


title: Tensorprodukt

text: Der unilineare Fall liefert für formula_63 die "einstufigen" kovarianten Tensoren, also Kovektoren oder Linearformen aus dem Dualraum formula_3. Ist ihre Dimension gleich 1, ist also formula_160, so sind es gar Skalare. Also lassen sich auch Skalare als (einstufige) Tensoren (eines eindimensionalen Vektorraumes) auffassen.


title: Tensorprodukt

text: In der Quantenmechanik ist der Zustandsraum eines Objekts ein Hilbertraum. Hat man formula_34 Teilchen mit Zuständen formula_162 in Hilberträumen formula_163 und betrachtet nun die Zustände des aus den Teilchen gebildeten Systems formula_164, so sind da zunächst die Zustände, die die Information zusammenfassen, die in den Zuständen formula_165 dieser Teilchen, jedes für sich allein, enthalten ist, und die man "reine" oder "Produkt"zustände formula_166 nennt.


title: Tensorprodukt

text: Die Quantenmechanik beobachtet, dass auch jede Überlagerung (Superposition) von Zuständen eines Objekts (hier formula_164) wieder ein möglicher Zustand des Objekts ist – von der Normierung auf die Länge 1 sei hierbei abgesehen. Entsprechend enthält das mathematische Modell außer den genannten Produktzuständen auch beliebige Linearkombinationen


title: Tensorprodukt

text: dieser Produktzustände, wobei formula_169 und formula_170; und die Gesamtheit solcher Linearkombinationen bildet den Hilbertraum des Systems formula_164, d. h., die Produktzustände spannen den Hilbertraum des Systems auf. Der neue Vektorraum wird mit formula_172 bezeichnet und "Tensorprodukt" genannt. Weitere Einzelheiten sind dem Artikel zur Quantenverschränkung, insbesondere auch der dortigen mathematischen Betrachtung zu entnehmen.


title: Tensorprodukt

text: Es seien formula_2 und formula_119 zwei Vektorräume über einem gemeinsamen kommutativen Skalarkörper formula_17.


title: Tensorprodukt

text: Der "Tensorproduktraum" formula_177 ist ein Vektorraum, der wie folgt konstruiert werden kann: Ist formula_184 eine Basis von formula_2 und formula_186 eine Basis von formula_119, dann ist formula_177 ein Vektorraum, genannt "Tensorproduktraum," in dem es eine Basis gibt, die auf umkehrbar eindeutige Weise mit den geordneten Paaren des kartesischen Produkts


title: Tensorprodukt

text: Die Dimension von formula_177 ist demzufolge gleich dem Produkt der Dimensionen von formula_2 und formula_119.


title: Tensorprodukt

text: Das Element dieser Basis, das dem geordneten Paar formula_194 entspricht, wird als formula_195 notiert. Das Symbol formula_196 hat dabei bis hierher keine tiefere Bedeutung. Es erhält erst durch die Definition der bilinearen Abbildung formula_196 seine Bedeutung.


title: Tensorprodukt

text: Da der Tensorproduktraum ein Vektorraum ist, hat also ein beliebiges Element des Tensorprodukts formula_181 die Gestalt


title: Tensorprodukt

text: wobei die Summe endlich ist oder – was auf dasselbe hinausläuft – fast alle Koeffizienten formula_200 verschwinden (gleich Null sein) müssen. Die Redensweise „fast alle“ bedeutet hierbei gemäß üblichem Sprachgebrauch „alle, bis auf endlich viele“. Das ließe sich auch mit dem Begriff der eingeschränkten Summe formula_201 notieren: formula_202, vergleiche hierzu etwa den Artikel zum eingeschränkten direkten Produkt. Ein Tensor des Tensor(produkt)raumes wird daher häufig mit der Matrix formula_203 identifiziert, ähnlich wie Vektoren mit den sie darstellenden Koordinatenvektoren.


title: Tensorprodukt

text: Mit anderen Worten: Der Tensorraum formula_204 wird von den linear unabhängigen Elementen formula_205, die zunächst nur als Symbole begriffen werden, über dem Grundkörper formula_206 frei erzeugt (vgl. die Artikel Direkte Summe und (allgemeiner) Produkt und Koprodukt):


title: Tensorprodukt

text: Man kann nun mit Hilfe dieser Basis ein Produkt von Vektoren aus formula_2 und formula_119 definieren, das mit demselben Verknüpfungssymbol notiert wird. Natürlicherweise ist das Produkt zweier Basisvektoren formula_210 und formula_211 gerade der Basisvektor, der mit formula_212 bezeichnet wurde. Das Produkt beliebiger Vektoren wird nun durch bilineare Fortsetzung festgelegt:


title: Tensorprodukt

text: Tensoren, die sich in der Gestalt formula_221 mit einem geeigneten Paar formula_222 darstellen lassen, heißen elementare oder einfache Tensoren. Im Allgemeinen sind Tensoren jedoch keine elementaren Tensoren, sondern benötigen eine Summendarstellung (wie oben dargestellt) mit mehr als einem Summanden: Die elementaren Tensoren erzeugen den gesamten Tensorproduktraum.


title: Tensorprodukt

text: Im Folgenden werden einige Eigenschaften zusammengestellt, die für das Tensorprodukt wesentlich sind.


title: Tensorprodukt

text: Für das Tensorprodukt von Vektoren gelten (gemäß der obigen Konstruktion durch die bilineare Fortsetzung) folgende Rechenregeln für alle formula_223 und formula_224 sowie formula_225:


title: Tensorprodukt

text: Mit anderen Worten: Die Abbildung formula_226; formula_227 ist formula_17-bilinear, das heißt in jeder der beiden Komponenten, während die andere unverändert bleibt, linear. (Das soll nicht überraschen, denn sie wurde durch bilineare Fortsetzung gewonnen.)


title: Tensorprodukt

text: Diese Regeln sehen aus wie Distributivgesetze bzw. Assoziativgesetze, was den Namen Tensor"produkt" motiviert.


title: Tensorprodukt

text: nur dann demselben Vektorraum an, wenn die Räume formula_2 und formula_119 identisch sind. Jedoch sind auch in diesem Fall die Tensoren formula_235 und formula_236 im Allgemeinen verschieden: Siehe dazu Beispiele im Abschnitt über die Realisierung von Tensoren als Homomorphismen und im Abschnitt zum .


title: Tensorprodukt

text: Beachte: Es ist kein Widerspruch, dass dennoch ein natürlicher Isomorphismus von Vektorräumen besteht, der durch die Vertauschung definiert wird:


title: Tensorprodukt

text: Tensoren der einfachen Gestalt formula_238 heißen elementare oder einfache oder reine Tensoren. Keineswegs hat jeder Tensor diese Gestalt: Allgemeine Tensoren sind – gemäß obiger Konstruktion – eine Linearkombination (eine endliche Summe) elementarer Tensoren. Dabei genügt es sogar, sich auf die elementaren Tensoren formula_205 zu beschränken, die von den Ausgangsbasen formula_116 und formula_120 herrühren, wie bereits im Rahmen der Konstruktion erwähnt wurde und auch aus den Rechenregeln ableitbar ist.


title: Tensorprodukt

text: Ein allgemeiner Tensor hat also die Gestalt formula_242 mit einer Koeffizientenmatrix formula_243, die Bezug nimmt auf eine Basis formula_244 von formula_2 und eine Basis formula_246 von formula_119. Man weist einem Tensor einen "Rang" zu, nämlich den Rang seiner Koeffizientenmatrix: Dieser Tensor hat also den Rang formula_248. Der Rang hängt (nach dem Elementarteilersatz) nicht von der Basiswahl in den Räumen formula_249 ab. (Das gilt auch für das Tensorprodukt von Moduln über Hauptidealringen.) Dass der Begriff des "Ranges eines Tensors" mit dem "Rang eines Homomorphismus" bzw. einer "Matrix" übereinstimmt, sobald man Letztere als Tensor begreift, zeigt der Abschnitt über die Darstellungsmatrix eines Homomorphismus als Koeffizientenmatrix des zugehörigen Tensors.


title: Tensorprodukt

text: Der Rang eines Tensors ist die minimale Anzahl von Summanden, die zu seiner Darstellung als Linearkombination formula_250 einfacher Tensoren formula_251 (mit formula_252 und formula_253) erforderlich ist. (Da ja nur endliche Linearkombinationen betrachtet werden, gibt es nach dem Satz vom kleinsten Element eine solche minimale Anzahl von Summanden.)


title: Tensorprodukt

text: Elementare oder einfache oder reine Tensoren (ungleich null, scil.) sind also genau die Tensoren vom Rang 1.


title: Tensorprodukt

text: Die Tatsache, dass der Tensorproduktraum formula_254 von den elementaren Tensoren über formula_17 linear erzeugt wird, hat ein wichtiges Prinzip zur Folge, das die Definition linearer Abbildungen betrifft. Es bezeichne formula_256 einen formula_17-Vektorraum und formula_258 den Raum aller linearer Abbildungen formula_259.


title: Tensorprodukt

text: eine besondere Eigenschaft hat. Es ist nämlich "universell" in dem Sinne, dass "jede" bilineare Abbildung lediglich ein lineares Abbild des Tensorprodukts ist, soll heißen:


title: Tensorprodukt

text: Es genügt also, das Tensorprodukt zu kennen, um alle bilinearen Abbildungen durch (uni)lineare Abbildung zu gewinnen. Somit birgt das Tensorprodukt alle Informationen für bilineare Abbildungen.


title: Tensorprodukt

text: Die universelle Eigenschaft ist sogar geeignet, das Tensorprodukt hinreichend zu kennzeichnen: Dies geschieht durch die Universaldefinition, die koordinatenfrei, also basisunabhängig formuliert ist.


title: Tensorprodukt

text: Haben die Vektorräume formula_2 und formula_119 endliche Dimension über formula_17, sind also formula_306 und formula_307 endliche Mengen der Mächtigkeit formula_308 bzw. formula_309, so ist der Tensorproduktraum offenbar formula_310 mit dem formula_311-dimensionalen Raum formula_312 zu identifizieren. Wie aber sieht diese Identifikation aus?


title: Tensorprodukt

text: Aus der obigen Definition geht hervor, dass der Tensorproduktraum nur bis auf Isomorphie bestimmt ist. Dies soll an diesem Beispiel illustriert werden, indem verschiedene Möglichkeiten der Identifikation vorgestellt werden. Dadurch soll verdeutlicht werden, dass es nicht genügt, unter dem Tensorprodukt lediglich das Produkt zweier Räume zu verstehen, sondern es muss zusätzlich angegeben werden, wie das Produkt formula_313 zweier Vektoren definiert sein soll. Zwar ist es üblich, vom Tensorprodukt "von" Vektorräumen zu sprechen, aber es wäre besser, vom Tensorprodukt "auf" Vektorräumen zu sprechen, einer „Multiplikation“ von Vektoren, deren Ergebnis in einem neuen Raum liegt, eben dem Tensorproduktraum.


title: Tensorprodukt

text: Zu diesem Zweck sei der Einfachheit halber direkt in die Koordinatenräume übergangen: formula_314 und formula_315.


title: Tensorprodukt

text: Diese Beispiele sollen verdeutlichen, dass das Tensorprodukt von Vektoren "nur bis auf Isomorphie" bestimmt ist: Die obigen Tensorprodukte sind nicht gleich, aber isomorph, und dies, obwohl die Tensorprodukträume gleich sind.


title: Tensorprodukt

text: Ist formula_2 ein Vektorraum über formula_17 und formula_341 ein Erweiterungskörper von formula_17, so kann man das Tensorprodukt


title: Tensorprodukt

text: bilden, indem man auch formula_341 als formula_17-Vektorraum auffasst; dies wird durch formula_346 symbolisiert. formula_347 wird zu einem Vektorraum über formula_341, wenn man


title: Tensorprodukt

text: setzt. Die Dimension von formula_347 als formula_341-Vektorraum ist gleich der Dimension von formula_2 als formula_17-Vektorraum: Ist formula_354 eine formula_17-Basis von formula_2, so bildet die Menge


title: Tensorprodukt

text: Mit anderen Worten: Das Tensorprodukt ist einerseits die direkte Summe von Unterräumen formula_361 und andererseits von Unterräumen formula_362, also unabhängig von der Wahl der Basen in formula_2 und in formula_119.


title: Tensorprodukt

text: Tatsächlich löst sich die folgende Universaldefinition gänzlich vom Bezug auf die Basen, ist allerdings auch nicht mehr konstruktiv. Eine basisunabhängige (koordinatenfreie) Konstruktion zeigt der Artikel über das Tensorprodukt von Moduln, siehe auch den gleichnamigen Abschnitt in diesem Artikel.


title: Tensorprodukt

text: Bisher wurde nicht auf die Frage eingegangen, auf welche Weise der mit formula_177 bezeichnete Vektorraum "ohne" Bezugnahme auf vorgegebene Basen der beiden Vektorräume beschrieben werden kann. Dies soll nun anhand der Universaldefinition geschehen, die diesen Vektorraum allein anhand der universellen Eigenschaft eindeutig – bis auf Isomorphie – kennzeichnet. Allerdings war dies auch schon in der obigen Definition der Fall, da dort lediglich verlangt wurde, dass formula_204 eine Basis haben solle, die umkehrbar eindeutig mit den Paaren formula_367 von Basisvektoren aus formula_2 bzw. formula_119 identifizierbar sei. Tatsächlich darf man sich – zumindest aus mathematischer Sicht – das Tensorprodukt zweier Vektoren nicht als ein „durch Multiplikation errechenbares“ Produkt in einem unverrückbar festgelegten Produktraum vorstellen. Vielmehr kann es verschiedene „Realisierungen“ geben. Beachte: Selbst beim Aufbau des Zahlensystems, für die vertrauten natürlichen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen, gibt es verschiedene, lediglich äquivalente Beschreibungsweisen. Immerhin stellt das Kronecker-Produkt ein konkretes (da koordinatengebundenes) Beispiel dar (siehe den zugehörigen ). Wesentlich und allen Realisierungen gemeinsam sind jedoch Eigenschaften, die das Tensorprodukt als solches "eindeutig charakterisieren". Dies ist der Inhalt der folgenden "universellen Eigenschaft des Tensorprodukts". Dabei müsste man also streng genommen nicht von "dem" Tensorprodukt sprechen, sondern von "einem" Tensorprodukt oder von "einer Realisierung des Tensorprodukts". Das ist aber nicht üblich, stattdessen wird die Identifikation isomorpher Realisierungen stillschweigend unterstellt – ganz so, wie man es bei Zahlen schließlich auch tut.


title: Tensorprodukt

text: Einige vorbereitende Festlegungen vorab: Es seien also formula_2 und formula_119 sowie formula_372 und formula_269 Vektorräume über dem Körper formula_17.


title: Tensorprodukt

text: Der Vektorraum der linearen Abbildungen von formula_2 nach formula_372 sei mit formula_377 bezeichnet, und der Vektorraum der bilinearen Abbildungen formula_378 werde mit formula_379 bezeichnet.


title: Tensorprodukt

text: Allgemein gilt nun: Ist eine bilineare Abbildung formula_380 gegeben, so ist für jeden Vektorraum formula_269 die Abbildung


title: Tensorprodukt

text: Definition: Als Tensorprodukt der formula_17-Vektorräume formula_2 und formula_119 wird jeder formula_17-Vektorraum formula_372 "zusammen" mit einer bilinearen Abbildung formula_391 bezeichnet, der die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:


title: Tensorprodukt

text: Bemerkung: "Gibt" es eine bilineare Abbildung formula_391 in einen Vektorraum formula_372 mit dieser universellen Eigenschaft, so ist formula_372 bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.


title: Tensorprodukt

text: Vor dem Hintergrund der eingangs gemachten Anmerkung über die Abbildung formula_428 lässt sich die Universaldefinition nun auch so formulieren:


title: Tensorprodukt

text: Äquivalente Definition: Der Vektorraum formula_372 und eine bilineare Abbildung formula_430 werden als Tensorprodukt von formula_2 und formula_119 bezeichnet, wenn für jeden Vektorraum formula_269 die Abbildung formula_434 induziert vermöge formula_435 bijektiv, mithin also ein Isomorphismus ist. Man schreibt dann auch formula_436 und formula_437.


title: Tensorprodukt

text: "Wenn" es also einen Vektorraum mit der universellen Eigenschaft gibt, so ist er – eben aufgrund der universellen Eigenschaft – nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Allerdings lässt die Universaldefinition die Frage offen, ob es überhaupt einen Vektorraum mit diesen Eigenschaften gibt. Um also die Existenz eines solchen Vektorraumes sicherzustellen, muss entweder ein solcher Vektorraum konstruiert werden oder aber „zufällig“ ein solcher Vektorraum „gefunden“ werden. Einen Existenzbeweis durch Konstruktion führt (in einem allgemeineren Falle) der Artikel Tensorprodukt von Moduln aus: Dazu wird zunächst ein zu großer Vektorraum konstruiert, der anschließend nach einem Unterraum faktorisiert wird, sodass der Quotientenraum „erzwungenermaßen“ genau die gewünschten Eigenschaften hat.


title: Tensorprodukt

text: Die Universaldefinition zeigt (nämlich für formula_450) einen Weg zu einer Realisierung des Tensorproduktes auf: Dieser Gedanke wird im Abschnitt Natürliche Homomorphismen berührt und im Abschnitt Homomorphismen als Tensoren vertieft. Darin wird ein Vektorraum benannt, von dem sich (mit Hilfe der universellen Eigenschaft) recht leicht erkennen lässt, dass er die gewünschte universelle Eigenschaft des Tensorraums formula_204 hat. Dieses Vorgehen gelingt allerdings nur für den Fall, dass formula_2 oder formula_119 endliche Dimension über ihrem Grundkörper formula_17 haben, weil Eigenschaften des Dualraumes genutzt werden, die eben die endliche Dimension als Voraussetzung benötigen.


title: Tensorprodukt

text: Ein Seitenblick möge zeigen, wie der Fall formula_455 das Tensorprodukt „trivialisiert“: Dabei zeigt sich, dass sich die Situation ganz analog zu den (uni)linearen Abbildungen aus der elementaren linearen Algebra verhält. Einzig bemerkenswert ist, dass die Kommutativität des Grundkörpers eine Rolle spielt, im Gegensatz zum linearen Fall.


title: Tensorprodukt

text: Der Skalarkörper bildet über sich selbst in natürlicher Weise einen eindimensionalen Vektorraum. Für eine bilineare Abbildung formula_456 und beliebige Körperelemente formula_457 gilt


title: Tensorprodukt

text: Also ist eine bilineare Abbildung formula_459 bereits durch den Wert von formula_460 festgelegt, und bis auf diesen Wert (als Faktor) ist sie mit der Körpermultiplikation identisch: Die Eigenschaften der Bilinearität gehen in die Distributivität der Multiplikation über, im Verbund mit der Assoziativität und der Kommutativität: formula_461.


title: Tensorprodukt

text: Also ist in diesem Falle der Körper selbst mit dem Tensorprodukt identifizierbar: formula_462. Die universelle Eigenschaft bedeutet: Setzt man formula_463, so vermittelt formula_464 das lineare Abbild der bilinearen Abbildung formula_107, wie es die universelle Eigenschaft fordert. Schließlich gilt ja formula_466.


title: Tensorprodukt

text: Das Tensorprodukt zweier Skalare (aufgefasst als Vektoren) liefert also nichts Neues: Es ist bis auf den Skalarfaktor formula_467 mit der Körpermultiplikation identisch, lässt sich also durch ein Monom formula_468 beschreiben. Dieser Skalarfaktor formula_469 darf allerdings nicht verschwinden: Wäre nämlich formula_470, so wäre die universelle Eigenschaft verletzt: Die einzige bilineare Abbildung, die lineares Abbild dieses „Null-Produktes“ ist, ist nämlich die triviale Nullabbildung. Die genaue Wahl des Skalarfaktors formula_471 tut aber auch nichts zur Sache: Das Tensorprodukt ist ja nur bis auf Isomorphie festgelegt, und jede andere bilineare Abbildung unterscheidet sich um einen Linearfaktor. Es kann naheliegenderweise formula_472 normiert werden.


title: Tensorprodukt

text: Haben jedoch die beiden Vektorräume formula_2 und formula_119 mehr als eine Dimension (formula_475), so liegt das Tensorprodukt zweier "Vektoren" in einem Vektorraum, der erst konstruiert oder „gefunden“ werden muss, eben einer Realisierung des Tensorproduktraums. Das Tensorprodukt dreier Vektoren liegt in einem weiteren, davon verschiedenen Raum usw. usf. Die Tensoralgebra liefert den geeigneten Produktraum für Produkte mit beliebig (doch endlich) vielen Faktoren.


title: Tensorprodukt

text: Mit anderen Worten: Unilineare Abbildungen formula_476 zwischen Vektorräumen verallgemeinern lineare Abbildungen formula_477. Bilineare Abbildungen formula_478 verallgemeinern die Körpermultiplikation formula_479, die quadratische Ordnung hat: formula_480.


title: Tensorprodukt

text: Es seien zwei Vektorräume formula_2 und formula_119 mit je einer linearen Abbildung auf einen weiteren Vektorraum gegeben: formula_483 und formula_484. Dann ist die Abbildung


title: Tensorprodukt

text: bilinear. Nach der universellen Eigenschaft gibt es also eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung formula_486, die auf den elementaren Tensoren gerade mit dem Tensorprodukt der Bildvektoren übereinstimmt:


title: Tensorprodukt

text: Die Abbildung formula_489 kann also auf den elementaren Tensoren (oder gar auf den Basisvektoren formula_205 allein) definiert und linear fortgesetzt werden. Wie sich aus der obigen Konstruktion durch lineare Fortsetzung einer auf den elementaren Tensoren definierten Abbildung ergibt, gilt: "Die Konstruktion von formula_491 ist von der Wahl der Basen unabhängig."


title: Tensorprodukt

text: Sind weitere Vektorräume bzw. lineare Abbildungen formula_494 und formula_495 gegeben, und ist formula_496, so gilt darüber hinaus:


title: Tensorprodukt

text: Dies zeigt, dass die Zuordnung formula_498 in der Sprache der Kategorientheorie ein (kovarianter) Bifunktor auf der Kategorie der formula_17-Vektorräume ist.


title: Tensorprodukt

text: Man notiert diesen Bifunktor häufig mit dem Zeichen für das Tensorprodukt: formula_501. Aus dem Zusammenhang muss deutlich werden, ob dabei die Zuordnung durch den Bifunktor formula_502 oder aber ein Tensor formula_503 gemeint ist.


title: Tensorprodukt

text: Allerdings ist diese Unterscheidung in der Regel unwesentlich, denn beide Deutungen können miteinander identifiziert werden, da aufgrund der universellen Eigenschaft eine Einbettung besteht:


title: Tensorprodukt

text: Der Bifunktor formula_504: Es gibt einen natürlichen Monomorphismus formula_505, induziert durch die Festlegung formula_506. Dieser ist genau dann ein Isomorphismus, wenn formula_2 oder formula_119 endlichdimensional ist.


title: Tensorprodukt

text: Die Darstellungsmatrix oder Abbildungsmatrix der linearen Abbildung formula_509 ist das Kronecker-Produkt der Darstellungsmatrizen von formula_510 und formula_511 bezogen auf die Basen formula_512 von formula_177 bzw. formula_514 von formula_515, wenn in den Räumen formula_516 bzw. formula_517 die Basen formula_518 bzw. formula_519 (für formula_520 bzw. formula_521) zugrunde gelegt werden.


title: Tensorprodukt

text: Aus der Konstruktion geht hervor, dass das Tensorprodukt (als Bifunktor) mit dem Koprodukt (direkte Summe) vertauschbar ist, das heißt, für formula_17-Vektorräume formula_523 bestehen folgende Isomorphismen:


title: Tensorprodukt

text: Wenn formula_3 den Dualraum von formula_2 bezeichnet, dann liefert die oben erwähnte Isomorphie formula_529 für endlichdimensionale Vektorräume formula_249 und für den Fall formula_531 die Isomorphie:


title: Tensorprodukt

text: Dabei wurde der Isomorphismus formula_533 verwendet. Allgemein ist formula_534, definiert durch formula_535, ein Isomorphismus von Vektorräumen.


title: Tensorprodukt

text: die weiter unten erneut abgeleitet und mit formula_538 bezeichnet wird. Auch diese Identifikation besteht jedoch nur für endlichdimensionale Vektorräume. Bei unendlicher Dimension sind es nur Monomorphismen.


title: Tensorprodukt

text: Neben dem Isomorphismus formula_539, den die universelle Eigenschaft liefert, erhält man durch Currying – unabhängig von Überlegungen zum Tensorprodukt – einen Isomorphismus


title: Tensorprodukt

text: insgesamt also einen kanonischen Isomorphismus formula_541: Dieser besteht auch bei unendlichen Dimensionen.


title: Tensorprodukt

text: Zusammen mit der Universaldefinition erhält man auf diese Weise für formula_543 die folgende Identifikation:


title: Tensorprodukt

text: Nun besteht ein kanonischer Isomorphismus zwischen einem endlichdimensionalen Vektorraum und seinem Bidualraum:


title: Tensorprodukt

text: Nutzt man diese Tatsache, so kann man das Tensorprodukt von formula_2 und formula_119 also auch als den Dualraum des Vektorraums aller bilinearen Abbildungen formula_548 realisieren, endliche Dimensionen vorausgesetzt:


title: Tensorprodukt

text: In Worten: Der Dualraum formula_550 des Raumes formula_551 der bilinearen Abbildungen ist eine Realisierung des Tensorprodukts formula_204. Dabei gilt ja formula_553. So kann man formula_177 als denjenigen Unterraum des Raums der Bilinearformen aus formula_555 definieren, der von solchen der Gestalt formula_556 aufgespannt wird, wobei formula_326 und formula_329 die Vektorräume formula_2 bzw. formula_119 durchlaufen. Im Falle unendlichdimensionaler Vektorräume ist es ein echter Unterraum (siehe obige Verweise).


title: Tensorprodukt

text: Setzt man hierbei formula_63, so erhält man als Sonderfall die eben bereits verwendete Tatsache zurück, dass der Bidualraum formula_562 eines endlichdimensionalen Vektorraums formula_2 mit diesem kanonisch identifiziert werden kann.


title: Tensorprodukt

text: Wer sogar die nichtkanonische Identifikation formula_564 vornimmt (etwa aufgrund eines auf formula_2 definierten Skalarproduktes), gelangt sogar zur (leicht Verwirrung stiftenden) Identifikation formula_566, denn sie verschweigt die Beimischung eines weiteren willkürlichen Tensors (eben des Skalarprodukts als einer Bilinearform). Stattdessen sollte die kanonische Identifikation formula_567 betrachtet werden. Dieser Homomorphismus und ähnliche Homomorphismen werden in den folgenden Unterabschnitten näher betrachtet.


title: Tensorprodukt

text: Dieser Isomorphismus lässt sich (wie folgt) explizit auf den elementaren Tensoren angeben und wird linear auf allgemeine Tensoren fortgesetzt:


title: Tensorprodukt

text: Ersetzt man nun formula_119 durch seinen Dualraum und benutzt die natürliche Identifikation formula_570 mit dem Bidualraum für einen Vektorraum formula_119 "endlicher" Dimension, so erhält man einen Isomorphismus


title: Tensorprodukt

text: der schon oben für den Fall formula_536 erwähnt wurde. Er darf als "der" kanonische Homomorphismus gelten, während die anderen hier genannten sich als Varianten aus ihm ergeben und nur der Vollständigkeit halber erwähnt werden. Für den Fall, dass beide Vektorräume unendlichdimensional sind, ist formula_538 nur ein natürlicher "Monomorphismus".


title: Tensorprodukt

text: Ebenso lässt sich formula_2, falls von endlicher Dimension, durch seinen Dualraum ersetzen, und man erhält:


title: Tensorprodukt

text: Für den Vektorraum formula_578 von Homomorphismen lässt sich unter diesen Voraussetzungen explizit zeigen, dass er die für formula_177 geforderte universelle Eigenschaft erfüllt, zusammen mit der bilinearen Abbildung formula_580. Auf diese Weise hat man für formula_204 – auch ohne Konstruktion – eine konkrete Realisierung des Tensorproduktes gefunden, entsprechend natürlich für die anderen Beispiele.


title: Tensorprodukt

text: Diese Realisierung liefert zudem ein greifbares Beispiel dafür, dass das Tensorprodukt auch für formula_582 nicht kommutativ ist:


title: Tensorprodukt

text: Bringt man – dank der endlichen Dimensionen – den natürlichen Isomorphismus formula_589 zusammen mit formula_590 bzw. formula_591 ins Spiel, so erhält man weitere Identifikationen.


title: Tensorprodukt

text: Die Umkehrabbildung von formula_592 – unter Voraussetzung endlicher Dimension von formula_119 – wird folgendermaßen konstruiert:


title: Tensorprodukt

text: Homomorphismen aus formula_617 lassen sich also als Bilinearformen interpretieren. Die Abbildungen formula_592 und formula_619 bzw. die Umkehrabbildung liefern im Falle formula_620 Interpretationen der so genannten gemischten Tensoren als Endomorphismen auf formula_2; weitere Einzelheiten siehe diesen Abschnitt.


title: Tensorprodukt

text: Im Lichte der Identifikation von Tensoren mit Homomorphismen wird deutlich, was einfache, reine oder elementare Tensoren sind: Sind sie von Null verschieden, so entsprechen ihnen die Homomorphismen vom Rang 1, also diejenigen Homomorphismen formula_510, für die eine der folgenden äquivalenten Bedingungen gilt:


title: Tensorprodukt

text: Die genannte Charakterisierung ist für die Quantenverschränkung von Interesse: Gemäß der dortigen mathematischen Beschreibung korrespondieren die einfachen Tensoren mit den "separablen" oder "Produkt"zuständen. "Verschränkt" sind hingegen jene Zustände, die nicht separabel sind. Die Koordinatenmatrix formula_626 verschränkter Zustände ist also durch formula_637 gekennzeichnet.


title: Tensorprodukt

text: Es lohnt sich zu beleuchten, wie sich die Abbildung formula_538 im Matrizenkalkül widerspiegelt. Um das Ergebnis vorwegzunehmen: Die Abbildung formula_538 besagt, dass eine Matrix


title: Tensorprodukt

text: die einen Homomorphismus formula_641 bezüglich zweier Basen formula_116 und formula_120 von formula_2 bzw. formula_119 darstellt, sich als Tensor auffassen lässt, indem man die Zeilen als Linearformen formula_646 auf dem als Spaltenvektorraum notierten Vektorraum formula_2 auffasst:


title: Tensorprodukt

text: So liefert die Darstellungsmatrix formula_649 in jeder Zeile für je einen eindimensionalen Unterraum formula_650 eine Linearform formula_646, sodass sich in der direkten Summe über diese Unterräume die gesamte Abbildung ergibt.


title: Tensorprodukt

text: Dabei wird die Notation mit hochgestellten Indizes verwendet, also formula_653 anstelle von formula_634. Diese Notation wird gerne benutzt, wenn duale Beziehungen durch die Notationsweise verdeutlicht werden sollen. (Häufig findet dann die einsteinsche Summenkonvention Anwendung.) Hochgestellte Indizes sind also im Folgenden keine Potenzen.


title: Tensorprodukt

text: Zur Erläuterung: Es seien also formula_655 Vektorräume über dem Körper formula_17 endlicher Dimension mit formula_657 und formula_658,


title: Tensorprodukt

text: Dann sind diese Vektorräume die (inneren) direkten Summen ihrer eindimensionalen Unterräume formula_663 bzw. formula_664:


title: Tensorprodukt

text: Mit den kanonischen Projektionen formula_666 (für formula_667) gilt für jedes formula_668 die Beziehung formula_669, also lässt sich formula_263 als Summe


title: Tensorprodukt

text: darstellen, wobei stillschweigend die Einbettung formula_673 vorgenommen wird, da nur in diesem gemeinsamen „Oberraum“ die Addition der formula_674 ausgeführt werden kann. Definiert man nun für jedes formula_675 eine Abbildung formula_676 vermöge der Gleichung


title: Tensorprodukt

text: Damit wird deutlich, wie die Abbildung formula_592 zu verstehen ist: Die lineare Abbildung formula_112 ist unter formula_592 das Bild des Tensors formula_683:


title: Tensorprodukt

text: Die Abbildung formula_263 lässt sich also vermittels formula_592 als Tensor auffassen, nämlich als Summe elementarer Tensoren formula_687, deren jeder die zugehörige Komponentenabbildung formula_688 darstellt.


title: Tensorprodukt

text: Mit der obigen darstellenden Matrix formula_689 bestimmt man für einen Vektor formula_690 mit Koordinatendarstellung formula_691 gemäß Matrizenkalkül die Koordinatendarstellung des Bildvektors formula_692 bekanntlich gemäß der Gleichung


title: Tensorprodukt

text: Durch Vergleich mit der obigen Gleichung formula_694 erkennt man, wie sich die Linearformen formula_695 in der darstellenden Matrix formula_689 wiederfinden: Es sind gerade die Zeilenvektoren.


title: Tensorprodukt

text: Hierin drückt sich die bekannte Merkregel aus, dass in der formula_328-ten Spalte (formula_701) der darstellenden Matrix formula_702 der – auf die Basis formula_703 des Bildraums formula_119 bezogene – Koordinatenvektor formula_705 der Bildes formula_706 des Basisvektors formula_707 steht.


title: Tensorprodukt

text: Bezeichnet formula_720 die zu formula_116 gehörige duale Basis des Dualraums formula_3 von formula_2 ― definiert durch formula_724 (formula_725 mit dem Kronecker-Delta) ―, so lässt sich die lineare Abbildung als Linearkombination schreiben:


title: Tensorprodukt

text: Dies ist ja gerade die definierende Gleichung für die Darstellungsmatrix formula_727, welche die Abbildung formula_510 bezüglich der Basen formula_116 und formula_120 darstellt.


title: Tensorprodukt

text: Unter der Abbildung formula_538 korrespondieren also formula_732 und formula_733 miteinander: Dies sind die einfachen Tensoren, aus denen die Abbildung formula_510 zusammengesetzt ist.


title: Tensorprodukt

text: Im Folgenden soll demonstriert werden, dass die Anwendung des Matrizenkalküls auf die Spaltenvektoren der zugehörigen Koordinatenräume formula_735 bzw. formula_736 implizit genau diese Zerlegung der linearen Abbildung formula_263 in die Summe von Linearformen formula_695 vornimmt. Dazu sei zunächst darauf hingewiesen, dass Skalare formula_739 – aufgefasst als formula_740-Matrizen – an "Spalten"vektoren von "rechts", an "Zeilen"vektoren jedoch von "links" heran multipliziert werden müssen. Dies ist zwar bei kommutativen Körpern (wie hier) gleichgültig, doch ist für den Formalismus hilfreich, dies im Hinterkopf zu behalten. Nun kann man die Matrix formula_689 in folgender – zunächst zweckfrei erscheinenden – Weise in eine Summe zerlegen, ganz der Zerlegung formula_742 entsprechend:


title: Tensorprodukt

text: Die Linearformen formula_744 sind als Kovektoren (hier also Zeilenvektoren) im Koordinatenraum formula_745 bezüglich der zu formula_746 dualen Basis formula_747 (definiert durch formula_748 (Kronecker-Symbol)) dargestellt. Die links von diesen Linearformen stehenden Einheitsvektoren sind die Koordinatenvektoren der Basisvektoren formula_749 und stehen für die Projektionen formula_750. Multipliziert man nun einen Koordinatenvektor formula_751 für einen Vektor formula_691 (von rechts) an die Matrix formula_689, beachtet Distributivität und Assoziativität des Matrizenkalküls, so ergibt sich:


title: Tensorprodukt

text: Dabei stellen die links von den Skalarfaktoren formula_755 stehenden Einheitsvektoren gerade die "Koordinatenvektoren der Basisvektoren" formula_749 dar. Diese Beziehung ist also die Entsprechung für die obige Zerlegung der Abbildung formula_510 in eine Summe elementarer Tensoren formula_758. Sie überträgt diese Zerlegung in die zugehörigen Koordinatenräume (bei gegebener Basiswahl) und zerlegt die Matrix formula_689 in eine Summe von Linearformen. Die Abbildung formula_538 wird im Matrizenkalkül also inhärent vollzogen.


title: Tensorprodukt

text: Ähnlich lässt sich mit Hilfe der kanonischen Einbettungen formula_761 eine (zu formula_762 duale) Zerlegung angeben. Insgesamt ergibt sich die bekannte Tatsache, dass die Familie formula_763 der linearen Abbildungen formula_764 durch die Familie (lies: Matrix) formula_765 von Koeffizienten formula_653 gegeben ist: formula_767 für formula_768. Dabei korrespondiert offenbar formula_769 mit formula_770, also unter formula_538 mit formula_772. Dies soll nun in kompakter Notationsweise gezeigt werden, die bei der Betrachtung des von Nutzen ist.


title: Tensorprodukt

text: Notiert man einen Vektor formula_773 mit seinem Koordinatenvektor formula_774 bezogen auf die – als Zeile notierte – geordnete Basis formula_775 in der Form formula_776 (und entsprechend für Vektoren in formula_119 mit seiner Basis formula_778), und geht man von der definierenden Gleichung


title: Tensorprodukt

text: für die Darstellungsmatrix formula_780 aus und notiert den Bildvektor formula_692 mit seinen Koordinaten formula_782 bezüglich der Basis formula_120 entsprechend, so erhält man:


title: Tensorprodukt

text: Dann lautet die definierende Gleichung für die Darstellungsmatrix formula_791 von formula_510 bezogen auf die Basen formula_116 und formula_120 schlicht und suggestiv


title: Tensorprodukt

text: Dabei liegen die einfachen Tensoren formula_797 und können infolgedessen in diesem Raum aufsummiert werden. Sie korrespondieren mit formula_798.


title: Tensorprodukt

text: In Worten: Die Abbildung formula_538 deutet die Einträge der Darstellungsmatrix als Koordinaten des zugehörigen Tensors: Die Darstellungsmatrix liefert die Koordinatendarstellung des Tensors bezogen auf die induzierte Basis formula_803.


title: Tensorprodukt

text: oder – wenn man an die Stelle von formula_806 das Tupel der geordneten dualen Basis formula_807 einsetzt – in dualer Analogie zu obigen Beziehungen:


title: Tensorprodukt

text: An der definierenden Gleichung für die Darstellungsmatrix sind erneut die beiden oben erwähnten Merkregeln ablesbar:


title: Tensorprodukt

text: Man beachte, dass diese Notationsweise gültig bleibt, wenn formula_2 und formula_119 Rechts-Vektorräume über einem Schiefkörper formula_17 sind, sodass ihre Dualräume formula_3 bzw. formula_830 Links-Vektorräume über formula_17 sind. Diese Tatsache wird später aufgegriffen, wenn das beleuchtet wird.


title: Tensorprodukt

text: Der Vektorraum formula_2 habe endliche Dimension. Setzt man in den obigen natürlichen Homomorphismen formula_833, so erhält man den Isomorphismus


title: Tensorprodukt

text: auf den einfachen Tensoren, nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung auf den von diesen aufgespannten Tensorraum allgemeiner Tensoren fortgesetzt. Dabei genügt es, sich auf jene einfachen Tensoren formula_835 zu beschränken, die von Basisvektoren formula_836 bzw. formula_837 gebildet werden, denn diese spannen den ganzen Tensorraum auf.


title: Tensorprodukt

text: Gemäß der universellen Eigenschaft gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung formula_863 mit formula_864.


title: Tensorprodukt

text: Diese Abbildung lässt sich (mit Hilfe von formula_592) als Abbildung auf den Endomorphismen von formula_839 interpretieren.


title: Tensorprodukt

text: Da für die duale Basis (gemäß ihrer Definition) formula_868 (Kronecker-Delta) gilt, folgt für die Spur eines Endomorphismus: formula_869, in Worten: Die Spur eines Endomorphismus ist die Summe der Diagonaleinträge einer Darstellungsmatrix. Dabei zeigen die Überlegungen, dass die Spur unabhängig von der Basiswahl ist.


title: Tensorprodukt

text: Eine weitere Perspektive auf die Spur liefert das charakteristische Polynom formula_876 eines Endomorphismus formula_877 bzw. einer dazugehörigen Darstellungsmatrix formula_878: formula_879, wobei formula_880. Dieses Polynom (in der Unbekannten formula_279) hängt nicht von der Basiswahl ab: formula_882. Die Spur ist gerade der Koeffizient des Monoms formula_883.


title: Tensorprodukt

text: Die Spur ist der Spezialfall der Tensorverjüngung oder Kontraktion für einfach kovariante und einfach kontravariante Tensoren, also jene vom Typ formula_897: Siehe dazu den Abschnitt über Tensoren vom Typ formula_7.


title: Tensorprodukt

text: Einer Erweiterung der bisherigen Betrachtungen auf mehr als zwei Vektorräume als „Faktoren“ des Tensorprodukts steht nichts entgegen: Es geht dann nicht mehr um "bi"lineare Abbildungen, sondern um "multi"lineare Abbildungen und das formula_12-fache Tensorprodukt.


title: Tensorprodukt

text: Für eine endliche Indexmenge formula_900 mögen formula_901 Vektorräume über dem Grundkörper formula_17 der (nicht notwendig endlichen) Dimensionen formula_903 bezeichnen. Ihre Basen seien mit formula_904 (für formula_905) bezeichnet.


title: Tensorprodukt

text: Eine formula_12-fach multilineare Abbildung formula_908 in einen formula_17-Vektorraum formula_372 ist eine Abbildung, die in jeder Komponente (bei festgehaltenen übrigen Komponenten) linear über formula_17 ist. Der Raum dieser multilinearen Abbildungen wird mit formula_912 bezeichnet.


title: Tensorprodukt

text: Dabei sei formula_925 zunächst lediglich als ein Symbol aufgefasst. Für formula_926 steht es also für formula_927. (Die Schreibweise formula_928 wird vermieden, weil sie die Frage der Operatorassoziativität aufwürfe.)


title: Tensorprodukt

text: Durch multilineare Fortsetzung von formula_423 auf den gesamten Raum formula_931 definiere die gewünschte formula_12-fach multilineare Abbildung formula_933, das Tensor"produkt"


title: Tensorprodukt

text: Für den Fall der „Unilinearität“ formula_935 liefert die obige basisabhängige Konstruktion des Tensorprodukts lediglich die von der gewählten Basis formula_936 abhängige Koordinatendarstellung eines Vektorraumes formula_937. Die universelle Eigenschaft zeigt auf, dass jede „unilineare“ (das heißt lineare) Abbildung formula_938 als lineare Abbildung dieses Koordinatenraums dargestellt werden kann – eine wohlvertraute Tatsache. Das Tensorprodukt verallgemeinert sie für den multilinearen Kontext des Produkts formula_939. Hierin lässt sich das Wesen des Tensorprodukts erblicken.


title: Tensorprodukt

text: Wie schon im bilinearen (formula_14) Falle trivialisiert sich das multilineare Tensorprodukt für den Fall, dass alle formula_12 Vektorräume eindimensional sind: formula_942. Es ist dann – bis auf eine Isomorphie, die sich in einem Skalarfaktor formula_943 niederschlägt – durch ein Monom formula_944 gegeben und mithin mit der Körpermultiplikation (linear) identifizierbar. Eine beliebige multilineare Abbildung formula_945 ist ein lineares Abbild durch Multiplikation mit dem skalierenden Faktor formula_946.


title: Tensorprodukt

text: Mit anderen Worten: Eine formula_12-fach multilineare Abbildung formula_948 verallgemeinert die Multiplikation formula_949 von formula_12 Faktoren aus dem Körper und entspricht somit einem Monom formula_12-ten Grades: Bilinearität verallgemeinert quadratische Monome, Trilinearität kubische Monome etc. pp.


title: Tensorprodukt

text: Unter einem Tensorprodukt der (endlichen) Familie von formula_17-Vektorräumen formula_901 versteht man eine formula_12-fach multilineare Abbildung formula_955 in einen formula_17-Vektorraum formula_372 mit einer der beiden folgenden "äquivalenten" Eigenschaften:


title: Tensorprodukt

text: das bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte Anfangsobjekt in einer Kategorie von Objekten unter formula_970, die wie folgt definiert ist: Ihre "Objekte" sind die formula_12-fach multilinearen Abbildungen formula_972 in einen Vektorraum, und ein "Morphismus" formula_973 ist eine lineare Abbildung formula_974 mit formula_975. Für diese Eigenschaft des Anfangsobjektes sind hier äquivalente Formulierungen zu finden sowie eine Beziehung zu adjungierten Funktoren. Die letztere zeigt sich im kanonischen Isomorphismus formula_976 aus dem Abschnitt über natürliche Homomorphismen.


title: Tensorprodukt

text: Eine formula_12-fach multilineare Abbildung lässt sich auf eine formula_978-fach multilineare Abbildung zurückführen, denn die Definition der Multilinearität lässt sich durch Currying in folgende Gleichungen kleiden:


title: Tensorprodukt

text: wobei die Schreibweise formula_981 die Tilgung des durchgestrichenen Vektorraums formula_982 bedeuten möge.


title: Tensorprodukt

text: Auf diese Weise lässt sich das formula_12-fache Tensorprodukt schrittweise auf das gewöhnliche formula_986-fache (bilineare) Tensorprodukt zurückführen – oder umgekehrt von ihm ausgehend mit Iterationsschritten formula_987 aufbauen.


title: Tensorprodukt

text: Dabei zeigt sich, dass die Frage der Operatorassoziativität müßig ist: Beispielsweise sind die beiden formula_988-fachen Tensorprodukte formula_989 und formula_990 (als trilineare Abbildungen) isomorph. Dies ist der Grund dafür, dass die Klammern auch fortgelassen werden können:


title: Tensorprodukt

text: Gemäß der universellen Eigenschaft ist ein Tensor durch die Werte formula_993 auf den Basistupeln formula_994 festgelegt. Werden die Basen formula_904 mit formula_996 bezeichnet, so definiert die Familie


title: Tensorprodukt

text: Im Falle formula_1000, der ohnehin von besonderem Interesse ist, handelt es sich also um eine Supermatrix formula_1001 mit Koeffizienten aus formula_206.


title: Tensorprodukt

text: Von besonderem Interesse – vor allem in der Physik – ist der Fall, dass sämtliche Vektorräume formula_1004 – bis auf dimensionsbehaftete Skalarfaktoren – gleich ein und demselben Vektorraum formula_839 oder seinem Dualraum formula_92 sind. Zur Abkürzung setze nun formula_1007.


title: Tensorprodukt

text: Bei endlicher Dimension haben dann beide gleiche Dimension formula_1008, und wegen formula_1009 bestehen Isomorphismen:


title: Tensorprodukt

text: Tensoren vom Typ formula_1019 heißen "rein kontravariant" von der Stufe formula_5, Tensoren vom Typ formula_1021 hingegen "rein kovariant" von der Stufe formula_6.


title: Tensorprodukt

text: Die Begriffe kontravariant und kovariant beziehen sich in diesem tensoriellen Kontext auf das Transformationsverhalten der Koordinatendarstellung bei einem Wechsel der Basis in dem als „Ursprungsraum“ auserkorenen Vektorraum. Letzterer ist – so legt es die Notation formula_1042 nahe – der Vektorraum formula_2. Doch aus Sicht der Dualitätstheorie ist es ebenso legitim, den Vektorraum formula_1044 als Dualraum seines Dualraumes formula_3 anzusehen und diesen als Ursprungsraum auszuersehen, also die Rollen zu tauschen: Dann ist (durch natürliche Isomorphie) formula_1046. Wechselt man also die Basis nicht im Raum formula_2 sondern im Raum formula_3, so vertauschen sich entsprechend die Begriffe „kontravariant“ und „kovariant“, denn diese sind bezogen auf den Ursprungsraum, dessen Auswahl willkürlich ist. Genaugenommen müsste es also „kontravariant/kovariant in Bezug auf (das Transformationsverhalten bei Basiswechsel im Vektorraum) formula_2“ heißen. Dabei zieht ein Basiswechsel in formula_2 natürlich einen entsprechenden Wechsel der zugehörigen Dualbasis in formula_3 nach sich: Zur Betrachtung dieses Raumes ist formula_1042 die geeignete Bezeichnungsweise. Ein Basiswechsel in formula_3 zöge den Wechsel der Dualbasis in formula_1054 nach sich: Zur Betrachtung dieser Situation ist formula_1055 die naheliegende Bezeichnungsweise, wenngleich die damit bezeichneten Räume isomorph sind. Näheres dazu .


title: Tensorprodukt

text: In den Abschnitten über natürliche Homomorphismen und Homomorphismen als Tensoren wurde gezeigt, dass für zwei endlichdimensionale Vektorräume formula_1056 und formula_269 folgender Isomorphismus besteht:


title: Tensorprodukt

text: Angewandt auf formula_1069 und formula_1070 erhält man eine weitere Interpretation von formula_7-Tensoren, die im Übrigen schon auf die universelle Eigenschaft und Currying zurückgeht:


title: Tensorprodukt

text: Auch hier wird deutlich, dass die Begriffe "kontravariant" und "kovariant" davon abhängen, welcher Raum als der „Ursprungsraum“ betrachtet wird, in dem der Basiswechsel vollzogen wird. Die Konvention für die Bezeichnung formula_1042 besagt, dass Basistransformationen im Vektorraum formula_2 vollzogen werden.


title: Tensorprodukt

text: Zur Koordinatendarstellung wähle man eine Basis formula_1080 von formula_2 und die dazugehörige duale Basis formula_1082 von formula_3 definiert durch formula_1084 (Kronecker-Delta). Die Koordinaten eines formula_7-Tensors


title: Tensorprodukt

text: als eine Supermatrix verstehen, die von rechts auf formula_5 Zeilen- und von links auf formula_6 Spaltenvektoren durch „Supermatrix-Multiplikation“ operiert. Sie stellt den formula_1100-fach multilinearen Tensor formula_1101 dar: Dieser ist formula_5-fach kontravariant und formula_6-fach kovariant. Gemäß üblicher Konvention werden die Koordinaten kontravarianter Vektoren – also solcher aus formula_2 – oben indiziert, während diejenigen kovarianter Vektoren – nämlich jener aus formula_3 – unten indiziert werden. Zur Vereinfachung der Summenschreibweise bietet sich die einsteinsche Summenkonvention an: Sie unterdrückt unter geeigneten Voraussetzungen die Notation des Summenzeichens.


title: Tensorprodukt

text: In der Sprache der Kategorientheorie ist formula_1115 ein Bifunktor, kontravariant im ersten, kovariant im zweiten Argument. Dies ist eine Aussage über das funktorielle Verhalten des Bifunktors formula_1116.


title: Tensorprodukt

text: Kovarianz und Kontravarianz von Tensoren betreffen jedoch Eigenschaften des Transformationsverhaltens der Tensoren formula_1117 bei Koordinatentransformation im „Ursprungsraum“ formula_2: Sie beschreiben, wie sich Koordinaten bei Wechsel des Basisbezugs im Ursprungsraum verändern.


title: Tensorprodukt

text: Ein kontravarianter Vektor entstammt also (per definitionem) einem Vektorraum, auf dem eine Gruppe von Basistransformationen operiert, sodass sich seine Koordinaten dabei kontravariant transformieren. Ist nämlich formula_689 die Übergangsmatrix der Basistransformation, so beschreibt formula_1126 den Koordinatenübergang.


title: Tensorprodukt

text: Ein kovarianter Vektor hingegen entstammt einem Vektorraum, auf dessen "Dualraum" eine Gruppe linearer Basistransformationen operiert, sodass sich seine Koordinaten kovariant transformieren. Ist nämlich formula_689 die Darstellungsmatrix einer solchen Basistransformation, so beschreibt


title: Tensorprodukt

text: Anmerkung: Enthält die Gruppe linearer Basistransformationen nur symmetrische Transformationen, also solche mit formula_1185, dann erübrigt sich die Fallunterscheidung der beiden Spiegelpunkte. Für orthogonale (formula_1186), unitäre (formula_1187) bzw. selbstadjungierte Transformationen lässt sich die Aussage über die Matrix, die den Koordinatenübergang beschreibt, entsprechend umformulieren, denn für orthogonale Transformationen formula_689 gilt formula_1189, für unitäre formula_1190 bzw. für selbstadjungierte formula_1191.


title: Tensorprodukt

text: Das "funktorielle Verhalten" eines Funktors muss vom "tensoriellen Transformationsverhalten" eines Tensors unterschieden werden.


title: Tensorprodukt

text: Das äußere Produkt von Tensoren – im Gegensatz zum "inneren" Produkt – ist schlicht "das Tensorprodukt" von Tensoren der Stufe formula_7 im Sinne der universellen Eigenschaft. Es muss also vom äußeren Produkt im Sinne des Dach-Produktes oder der Graßmann-Algebra unterschieden werden. Explizit bedeutet dies:


title: Tensorprodukt

text: Sind zwei Tensoren formula_1193 und formula_1194 gegeben, so ist ihr äußeres Produkt ihr Tensorprodukt formula_1195 gemäß oder jenem Abschnitt, je nachdem, wie man Tensoren interpretiert.


title: Tensorprodukt

text: Mit anderen Worten: Das äußere Produkt von Tensoren oder die Tensormultiplikation "ist" das Tensorprodukt von Tensoren (aufgefasst als Vektoren ihrer jeweiligen Tensorprodukträume). In der Koordinatendarstellung entspricht es dem Kronecker-Produkt.


title: Tensorprodukt

text: So lässt sich das bilden und infolgedessen auch das Tensorprodukt quadratischer Formen, falls formula_1196, denn mit Hilfe der Polarisationsformel gehen quadratische und symmetrische Bilinearformen auseinander hervor.


title: Tensorprodukt

text: Der einfachste Fall ist das äußere Produkt eines Vektors mit einem Kovektor, das eine quadratische Matrix liefert, die offensichtlich den Rang formula_1197 hat und einen "einfachen", "elementaren" oder "reinen" Tensor der Stufe formula_897 darstellt:


title: Tensorprodukt

text: Das erwähnte Beispiel des äußeren Produktes zweier Bilinearformen sei explizit gezeigt: Es seien dazu zwei formula_17-Vektorräume formula_2 und formula_119 gegeben mit je einer Bilinearform:


title: Tensorprodukt

text: Dann definiere man – getreu dem Abschnitt über – eine Bilinearform auf dem Tensorproduktraum formula_181 durch Festlegung auf den einfachen Tensoren:


title: Tensorprodukt

text: Die gegebene Definition liefert – wie im Abschnitt über bereits gezeigt – die bilineare Abbildung des Bifunktors formula_504


title: Tensorprodukt

text: Anhand der Definition ist offenkundig: Sind formula_1210 bezüglich eines Skalarproduktes formula_1211 eine Orthonormalbasis in formula_2 und entsprechend formula_1213 eine Orthonormalbasis in formula_119 bezüglich seines Skalarproduktes formula_1215, so ist formula_1216 eine Orthonormalbasis in formula_177 bezüglich formula_1218, das heißt:


title: Tensorprodukt

text: Im Gegensatz dazu steht das "innere Produkt" eines Kovektors mit einem Vektor, das einen Skalar liefert:


title: Tensorprodukt

text: Das innere Produkt ähnelt dem Standardskalarprodukt, unterscheidet sich von diesem jedoch dadurch, dass die Vektoren verschiedenen Räumen entstammen: Es ist eine Paarung aus Vektor und Kovektor durch Auswertung der Linearform auf ihrem Argument.


title: Tensorprodukt

text: Das Standardskalarprodukt ist – dank der universellen Eigenschaft – interpretierbar als eine Linearform "auf" formula_1221 (und mithin als Tensor "aus" formula_1222), das innere Produkt hingegen als Linearform "auf" formula_1223 (mithin als Tensor "aus" formula_1224). Dennoch wird gelegentlich das Standardskalarprodukt als inneres Produkt bezeichnet.


title: Tensorprodukt

text: Die Spur eines Tensors formula_1225 vom Typ formula_897 (also eines Endomorphismus) liefert einen Tensor vom Typ formula_1227 (also einen Skalar), nämlich durch die Festlegung formula_1228 für einfache (elementare) Tensoren und lineare Fortsetzung auf die allgemeinen Tensoren der Stufe formula_897.


title: Tensorprodukt

text: Für einen solchen allgemeinen Tensor formula_1230 und seine Darstellungsmatrix formula_1231 ergibt sich gemäß der obigen Koordinatendarstellung:


title: Tensorprodukt

text: Ganz entsprechend induziert die Auswertung (Evaluation) formula_1234 Abbildungen vom Raum der formula_7-Tensoren in den Raum der formula_1236-Tensoren, die Kontraktion oder Spurbildung oder Tensorverjüngung genannt werden und eine "Erniedrigung" der Tensorstufe herbeiführen. Für eine solche Tensorverjüngung muss ein Paar formula_1237 mit formula_1238 und formula_1239 gewählt werden: Denn in diesen Komponenten findet die Verjüngung durch Auswertung statt, während die anderen unverändert bleiben. Zu jedem derartigen Paar formula_1237 gehört also eine Verjüngungformula_1241:


title: Tensorprodukt

text: Umgekehrt induziert (für formula_1243) die Koevaluation, definiert durch formula_1244 (und lineare Fortsetzung, versteht sich) Erhöhungen der Stufe: formula_1245. Diese Abbildung bildet offenbar einen Tensor – hier dargestellt durch seine Koordinaten formula_1246 – auf das Tensorprodukt (Kronecker-Produkt) mit der Einheitsmatrix formula_1247 (der Identität auf formula_2) ab:


title: Tensorprodukt

text: Die Multiplikation von Matrizen und Vektoren lässt sich als Verjüngung von Tensoren verstehen: Die Abbildung


title: Tensorprodukt

text: wobei formula_1254 die Darstellungsmatrix eines Endomorphismus formula_510 bezüglich einer festgewählten Basis formula_116 bezeichne und formula_1257 den Koordinatenvektor eines Vektors formula_1258 bezüglich derselben Basis.


title: Tensorprodukt

text: Mit der im Abschnitt über die Darstellungsmatrix als Matrix der Tensorkoordinaten vorgestellten Bezeichnungsweise für Darstellungsmatrizen lässt sich leicht erkennen, dass die Komposition formula_1260 von Homomorphismen formula_1261 eine Kontraktion (Tensorverjüngung) ist und dass die Matrizenmultiplikation genau dies widerspiegelt.


title: Tensorprodukt

text: offenkundig eine bilineare Abbildung. Nach obigen Überlegungen ist also die Komposition formula_1265 ihrerseits das Kompositum dieser Abbildungen:


title: Tensorprodukt

text: In der Tat ergibt sich, wenn in den Vektorräumen formula_1267 und formula_1268 die Basen formula_1269 bzw. formula_120 gewählt werden und formula_1271 gesetzt wird:


title: Tensorprodukt

text: Dabei findet in der Mitte – ausgelöst durch die "Evaluation" formula_1273 – die Kontraktion statt: Sie spiegelt sich darin wider, dass das Kronecker-Produkt formula_1274 der Darstellungsmatrizen in das Matrizenprodukt formula_1275 übergeht. Der Begriff der Verjüngung ist zwar genau genommen nur für die Räume formula_1042 gemischter Tensoren definiert, aber es ist offensichtlich, wie er sich hier einordnet: Für den Fall formula_1277 geht es um die Hintereinanderausführung von Endomorphismen formula_1278 auf formula_2 und die Multiplikation quadratischer Darstellungsmatrizen, und diese liefern eine Kontraktion formula_1280.


title: Tensorprodukt

text: Für das Tensorprodukt zweier Hilbert-Räume kann mutatis mutandis das Vorgehen gemäß dem herangezogen werden, zu beachten sind hierbei zwei wesentliche Punkte:


title: Tensorprodukt

text: Daher muss nach Bildung des „sequilinearen“ Tensorprodukts gemäß Abschnitt der Tensorproduktraum bezüglich der Hilbertnorm vervollständigt werden, um seine Vollständigkeit sicherzustellen und somit einen Hilbert-Raum aus dem Tensorprodukt zu erhalten, in welchem die lineare Hülle der Orthonormalbasis dicht liegt. Bei unendlicher Dimension ist dies nämlich nicht ohne Weiteres gewährleistet.


title: Tensorprodukt

text: Anmerkung: Bei endlicher Dimension formula_34 sind ohnehin alle Normen äquivalent, sodass bei vollständigem Skalarkörper formula_17 stets ein vollständiger Vektorraum vorliegt, nämlich isomorph zu formula_70. Die Vollständigkeit des Skalarkörpers ist im hier interessierenden Fall formula_1187 (bzw. formula_1186 im Falle euklidischer Räume) gegeben.


title: Tensorprodukt

text: Manche Autoren verleihen der Vervollständigung des „bloß sesquilinear algebraischen“ Tensorprodukts formula_177 zweier Hilbert-Räume formula_2 und formula_119 auch in der Schreibweise formula_1290 Ausdruck, andere halten es ohne expliziten Notationshinweis für selbstverständlich, das – kategoriell gesehen – Notwendige zu tun.


title: Tensorprodukt

text: Der Raum formula_1291 der quadratisch integrierbaren Funktionen ist ein Hilbertraum. Somit ist es möglich, das Tensorprodukt zweier solcher Räume zu bilden und mithin das Produktmaß der zugrundeliegenden Maßräume.


title: Tensorprodukt

text: Das Tensorprodukt lässt sich – wie an anderer Stelle schon angedeutet – nicht nur für die Kategorie der Vektorräume bilden, sondern auch für die Kategorie der Moduln über einem (beliebigen, auch nichtkommutativen) Ring mit Einselement, freilich mit Auswirkungen auf manche seiner Eigenschaften. Im Folgenden werden Eigenschaften für das Tensorprodukt in der Kategorie der Moduln über einem kommutativen Ring formula_1292 skizziert.


title: Tensorprodukt

text: Vorab eine allgemeine Anmerkung: Jede abelsche Gruppe formula_1293 lässt sich als Modul über dem Ring der ganzen Zahlen formula_1294 vermöge formula_1295 (per vollständige Induktion für jedes formula_1296) und durch formula_1297, sodass formula_1298. Die Kategorie der abelsche Gruppen und diejenige der formula_1294-Moduln sind also äquivalent, siehe dazu auch diesen Link.


title: Tensorprodukt

text: Alle Aussagen, die im Abschnitt über das Tensorprodukt auf Vektorräumen über einem Körper formula_17 getroffen wurden, gelten auch für das Tensorprodukt auf freien Moduln über einem kommutativen Ring mit Einselement.


title: Tensorprodukt

text: Man kann also den obigen Abschnitt über das Tensorprodukt von Vektorräumen auch für freie Moduln über kommutativen Ringen mit Einselement lesen.


title: Tensorprodukt

text: Bei der Ermittlung des Tensorprodukts auf Moduln über einem Hauptidealring formula_1292 sind der Elementarteilersatz und die Primärzerlegung hilfreich. Für den Fall formula_1308 liefert dieser den Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen.


title: Tensorprodukt

text: Der Ring formula_1309 der ganzen Zahlen ist ein euklidischer Ring. Jeder euklidische Ring – wie etwa der Ring der Gaußschen Zahlen formula_1310 oder die Polynomalgebra formula_1311 über einem Körper – ist ein Hauptidealring. Das folgende Beispiel illustriert einen, wie ihre Primärzerlegung lehrt, für Torsionsmoduln über Hauptidealringen "typischen" Fall.


title: Tensorprodukt

text: Betrachte für zwei ganze Zahlen formula_1312 das Tensorprodukt formula_1313 der Restklassenringe formula_1314:


title: Tensorprodukt

text: Tatsächlich lassen sich für den größten gemeinsamen Teiler formula_1319 solche Zahlen formula_1320 finden. Also annulliert der größte gemeinsame Teiler das gesamte Tensorprodukt:


title: Tensorprodukt

text: Sind die beiden Zahlen gar "teilerfremd", so ist der größte gemeinsame Teiler formula_1322, und es folgt, dass das Tensorprodukt zur Nullgruppe kollabiert:


title: Tensorprodukt

text: Man beachte hier den großen Unterschied zwischen direktem Produkt und Tensorprodukt: Während das Tensorprodukt zu


title: Tensorprodukt

text: Sind die Moduln aber nicht frei über dem Ring formula_1292, so gelingt die Konstruktion aus dem Abschnitt über das Tensorprodukt auf Vektorräumen nicht, eben weil die Ausgangsbasen nicht gegeben sind. Jedoch bleibt die Universaldefinition mit Hilfe multilinearer Abbildungen sinnvoll und definiert das Tensorprodukt auf Moduln über kommutativen Ringen mit Einselement. Allerdings bleibt die Frage der Existenz offen: Sie wird mittels einer allgemeineren Konstruktion nachgewiesen, siehe den Artikel über das Tensorprodukt von Moduln.


title: Tensorprodukt

text: Der Polynommodul formula_1329 eines Moduls formula_268 über einem kommutativen unitären Ring formula_1292 wird definiert durch


title: Tensorprodukt

text: Wendet man die Skalarerweiterung auf einen Modul formula_268 über einem unitären kommutativen Ring formula_1292 an, indem man das Tensorprodukt mit der Polynomalgebra formula_1333 (lediglich als "Modul" über formula_1292 betrachtet) bildet, so erhält man eine Isomorphie zum Polynommodul formula_1329:


title: Tensorprodukt

text: Eine wesentliche Änderungen tritt ein, wenn der Ring formula_1292 nicht kommutativ ist, und diese Änderungen betrifft folglich auch Vektorräume über Schiefkörpern: Das liegt daran, dass die Eigenschaft der Bilinearität für Elemente formula_1342 zweier Moduln formula_1343 (für formula_1344) und für eine bilineare Abbildung formula_1345 folgende Identität impliziert:


title: Tensorprodukt

text: Also operiert formula_1292 auf dem Bild formula_1348 und mithin auf dem von ihm aufgespannten formula_1292-Untermodul kommutativ. Ist (für Bilinearformen etwa) formula_1350 und hat der Ring keine Links-Nullteiler oder gibt es formula_1351 mit formula_1352, so ist der Ring notwendig kommutativ. Bilineare Abbildungen scheinen also (im Gegensatz zu „unilinearen“ Abbildungen) nach einer "kommutativen" Operation des Ringes auf dem Modul zu verlangen.


title: Tensorprodukt

text: Daher wird diese Eigenschaft der Bilinearität in bedeutsamer, folgenschwerer Weise geändert: Das Tensorprodukt auf Moduln über nicht-kommutativen Ringen mit Einselement handelt nicht von bilinearen Abbildungen, sondern von Abbildungen anderer Art, und der Produktraum ist kein formula_1292-Modul:


title: Tensorprodukt

text: Dazu seien formula_1354 ein Rechtsmodul, formula_1354 ein Linksmodul über dem Ring formula_1292, formula_269 eine abelsche Gruppe (ein Modul (über dem Ring der ganzen Zahlen)).


title: Tensorprodukt

text: Definition: Eine Abbildung formula_1358 heißt formula_1292-"balanziert", wenn gilt: Sie ist additiv in jeder Komponente und darüber hinaus assoziativ in folgendem Sinne:


title: Tensorprodukt

text: Nun wird die Universaldefinition an die "über dem Ring balanzierten Abbildungen" angepasst und liefert daher für diese das Tensor"produkt". Dabei ist das „Produkt“ eben nicht mehr bilinear, sondern balanziert.


title: Tensorprodukt

text: Dies hat zur Folge, dass der Tensorproduktraum formula_1371 kein Modul über dem Ring formula_1292 ist: Die „Skalarmultiplikation“ ist gewissermaßen eingekapselt und nicht mehr erreichbar, und der Tensorproduktraum ist lediglich ein Modul, also eine abelsche Gruppe, das heißt: ein Modul über dem Ring der ganzen Zahlen. Tatsächlich benötigt die Definition der Balanziertheit gar keine formula_1292-Linearität des Moduls formula_12 (soll heißen: keine Skalarmultiplikation mit Ringelementen). Es genügt, dass formula_12 eine abelsche Gruppe ist. Entsprechend ist auch formula_1376 eine abelsche Gruppe.


title: Tensorprodukt

text: Der Fall des Tensorprodukts von (oder auf) Vektorräumen formula_249 über einem Schiefkörper formula_17 ordnet sich selbstverständlich dem soeben beschriebenen Fall des Tensorprodukts von Moduln über nicht-kommutativen Ringen unter, während der Abschnitt über das Tensorprodukt von Vektorräumen wesentlich die Kommutativität des Skalarkörpers benutzt. Insbesondere sind die natürlichen Homomorphismen formula_1379 aus den Abschnitten über natürliche Homomorphismen und Homomorphismen als Tensoren nur noch Homomorphismen abelscher Gruppen (also von formula_1294-Moduln), denn für einen Schiefkörper formula_17 ist die Menge formula_1382 der Homomorphismen zwischen zwei Rechts-Vektorräumen (oder zwischen zwei Links-Vektorräumen) nur noch eine abelsche Gruppe (bei punktweiser Addition), kein Vektorraum: Die Begründung verläuft ähnlich wie in den obigen Überlegungen über den Zusammenhang zwischen Bilinearformen und der Kommutativität des Ringes.


title: Tensorprodukt

text: Dank der Dualitätstheorie von Vektorräumen über Schiefkörpern bleiben die Dimensionsargumente auch für Schiefkörper bestehen. Allerdings ist darauf zu achten, dass im Tensorprodukt formula_346 die Faktoren auf der richtigen Seite stehen: Rechts-Vektorräume links, und Links-Vektorräume rechts, d. h., für einen Rechts-Vektorraum formula_2 und einen Links-Vektorraum formula_119 ist formula_1386 definiert, nicht jedoch formula_1387. Dementsprechend müssen die natürlichen Homomorphismen formula_542 notiert werden: Sie sind auf formula_1389 definiert, nicht jedoch auf formula_1390. Dies spiegelt sich ja auch im Matrizenkalkül wider. So lohnt es sich also, beim Lesen des Abschnittes über das Tensorprodukt von Vektorräumen darauf zu achten, an welchen Stellen – häufig unauffällig – die Kommutativität des Grundkörpers formula_17 genutzt wird.


title: Tensorprodukt

text: Es sei formula_268 ein Rechtsmodul über dem unitären Ring formula_1292, formula_12 ein Linksmodul über dem unitären Ring formula_164 und formula_1396 ein Ringhomomorphismus in den unitären Ring formula_1397 Dann wird formula_12 durch formula_1399 zu einem Linksmodul über dem Ring formula_1292, und mithin ist das Tensorprodukt formula_1401 definiert.


title: Tensorprodukt

text: Dies gilt insbesondere für formula_1402 selbst, betrachtet als Linksmodul über sich selbst: formula_1403.


title: Tensorprodukt

text: Bei kommutativen Ringen formula_1404 entsteht mit formula_1405 ein Modul über dem Ring formula_164. Dieser Vorgang wird als Skalarerweiterung bezeichnet.


title: Tensorprodukt

text: Bei Anwendung der Skalarerweiterung auf den Fall des kanonischen Homomorphismus formula_1407 für ein Ideal formula_1408 in formula_1292 ist die Sequenz


title: Tensorprodukt

text: Im Falle eines Körperhomomorphismus formula_510 handelt es sich notwendig um einen Monomorphismus formula_1414, also um eine Körpererweiterung formula_1415 von formula_1416, und es ergibt sich der im Abschnitt Erweiterung der Skalare beschriebene Fall.


title: Tensorprodukt

text: Für die Gestalt der Tensoren gelten analoge Aussagen wie im Falle des Tensorprodukts auf Vektorräumen; siehe auch den Abschnitt zum Rang von Tensoren.


title: Tensorprodukt

text: Ein elementarer Tensor (auch reiner oder einfacher Tensor) im Tensorprodukt formula_1401 ist ein Element von der Form formula_1418 mit formula_1419.


title: Tensorprodukt

text: Jedes Element des Tensorprodukts ist eine endliche Summe von elementaren Tensoren. Im Allgemeinen lässt sich "nicht" jeder Tensor als elementarer Tensor schreiben.