title: Jimmy Neutron

text: Dieses Etablissement, in rosa-roten und grünen Tönen gehalten mit einem riesigen Plasterlutscher auf dem Dach, welches von einem eher barschen Mann namens Sam geführt wird, ist der Anlaufpunkt Nummer Eins für alle Kinder und Jugendlichen der Stadt. Wie es der Name bereits suggeriert, bietet die Candy Bar zahlreiche Sorten von Bonbons, Süßigkeiten und Eisbechern an, die von gutem Geschmack zu sein scheinen. Die Qualität dieser Speisen lässt allerdings etwas zu wünschen übrig: in der Folge "Opfer des Gehirnwurms" nämlich wird enthüllt, dass die Hälfte aller Schokoladenstreuseln in Wirklichkeit aus Ameisen besteht. Trotz solcher Kommentare und Hinweise erfreut sich die Candy Bar höchster Beliebtheit und wird immer wieder von den Hauptcharakteren besucht, wenn sie Verträge aushandeln, einen Anlass zum Feiern haben oder einfach mal eine Pause machen wollen.


title: Jimmy Neutron

text: Jimmys Labor ist unterirdisch und befindet sich unter seinem Clubhaus im Garten, einer kleinen Holzhütte. Es gibt mehrere Wege hinein, die in der Serie aufgezeigt werden; einer führt direkt von Jimmys Kinderzimmer dorthin, doch dieser wird nur einmal benutzt, ist er schließlich noch nicht ganz ausgereift. Die herkömmlichste Art und Weise sich Zutritt zu verschaffen, ist durch die Tür des Clubhauses, die von vielen von Jimmys Erfindungen geschützt wird („Wenn du das Sicherheitssystem überlebst, bring mir die Fernbedienung“ – Jimmy Neutron in "Maternotron"), unter anderem einem Anti-Mädchen-Alarm. Ein DNA-Scanner mit der Computerstimme Vorx (die die künstliche Intelligenz von Jimmys Computer und Labor ist), der nur auf eine Probe von Jimmys Haaren reagiert, verschärft die Sicherheit zusätzlich. Jimmy selbst hält das Wissen um den Eintritt in sein Labor streng geheim, eingeweiht sind außer ihm allein seine beiden besten Freunde. Nicht einmal seine Eltern sind sich bewusst, "was" genau sich da unter ihrem Garten befindet.


title: Jimmy Neutron

text: Die Serie wurde von 2002 bis 2004 von DNA Productions und O Entertainment unter der Regie von Keith Alcorn, Mike Gasaway und Kirby Atkins produziert. Die Musik komponierte Charlie Brissette. Die Erstausstrahlung erfolgte in drei Staffeln vom 20. Juli 2002 bis zum 25. November 2006 durch Nickelodeon in den USA.


title: Jimmy Neutron

text: Die erste Staffel wurde in Deutschland ab dem 9. November 2002 von Super RTL ausgestrahlt. Die anderen Staffeln folgten später bei Super RTL und Nick / Nickelodeon. "Jimmy Neutron" wurde unter anderem auch ins Japanische, Niederländische und Französische übersetzt.


title: Jimmy Neutron

text: Turbine Media bestätigte auf Facebook, dass man die Serie 2014 auf DVD veröffentlichen möchte. Die Serie erschien am 5. Dezember 2014 auf DVD.


title: Jimmy Neutron

text: Das Serien-Crossover „The Jimmy Timmy Power Hour“ umfasst 3 Teile. In diesen Sonderfolgen geht es um Jimmy Neutron aus der Serie "Jimmy Neutron" und Timmy Turner aus der Serie "Cosmo und Wanda – Wenn Elfen helfen".


title: Holzschuh

text: Holzschuhe sind alle Arten von Schuhen, die ganz aus Holz gefertigt sind. Auch Holzsohlenschuhe werden teilweise als Holzschuhe bezeichnet.


title: Holzschuh

text: Traditionelle Holzschuhe werden heute noch regional oder branchenspezifisch als Arbeits- und Schutzschuhe eingesetzt. Wenngleich Holzschuhe historisch als Kleidung armer und ländlicher Schichten wahrgenommen wurde, treten sie weltweit wiederholt als modische Accessoires auf.


title: Holzschuh

text: Im schuhtechnischen und -fachlichen Sinn bezeichnet "Holzschuh" den traditionellen Holzschuh, der vollständig oder überwiegend aus (reinem) Holz hergestellt ist und den Fuß ähnlich wie ein Halbschuh weitgehend umschließt (im Fersenbereich mit einer hochgezogenen Holzsohle). Üblicherweise wird solch ein "Holzschuh" aus einem einzigen Stück Holz hergestellt.


title: Holzschuh

text: Andere Schuhmodelle, die meist einen auf den Schuhboden beschränkten Holzanteil haben, werden als "Holzsohlenschuhe" bezeichnet. Folgende verbreitete oder bekannte Schuhmodelle zählen zu den Holzsohlenschuhen:


title: Holzschuh

text: Historisch kann auch die Trippe als Holz(über)schuh angesprochen werden. Dabei handelte es sich um eine Holzsohle mit Lederriemen, die im Mittelalter zum Schutz gegen Schmutz unter den eigentlichen Lederschuhen getragen wurde.


title: Holzschuh

text: Die Ursprünge von Holzschuhen in Europa sind nicht genau bekannt. De Boer-Olij sieht den Kothurn und die Lederschuhe römischer Soldaten (Caligae) als Vorläufer. Möglich ist auch, dass die keltischen und germanischen Völker aus Süd- und Nordeuropa bereits hölzerne Fußbekleidungen trugen, das ist jedoch archäologisch nicht nachgewiesen. Die ältesten erhaltenen Holzschuhe in Europa wurden in Amsterdam und Rotterdam gefunden und stammen aus dem 13. Jahrhundert. Europaweit haben sich die Holzschuhe aus Trippen und Patten entwickelt.


title: Holzschuh

text: Geeignet für die Herstellung geschlossener Holzschuhe sind Weichhölzer. Verwendet wird heute in Deutschland und den Niederlanden fast ausschließlich Pappelholz. Selten kommt Ahornholz zum Einsatz. Historisch nutzte man auch teureres Weiden- und Erlenholz.


title: Holzschuh

text: Ein traditioneller Holzschuh wird aus einem einzigen Holzblock gefertigt. In der manuellen Produktion wird zunächst die äußere Form des Schuhs grob vorgeschnitzt, dann fein gearbeitet. Schließlich wird sein Inneres mit speziellen Werkzeugen ausgehöhlt. Die Oberfläche des Schuhs wird zuletzt poliert und gegebenenfalls mit Schnitzereien versehen oder farbig lackiert. Maschinell verläuft die Fertigung ähnlich, doch lässt sich mittels einer Vorlage die Form eines Schuhs beliebig oft kopieren.


title: Holzschuh

text: Holzschuhe bieten eine Reihe von Vorteilen, aber auch Nachteile, die zur Verdrängung durch leder- und kunststoffbasierte Schuhe geführt haben.


title: Holzschuh

text: Holzschuhe bieten eine hohe Sicherheit gegen spitze Bodenbestandteile wie Dornen, Äste und Steine auf und gewährleisten einen lang anhaltenden Schutz gegen Nässe; beides den gesamten Fuß umfassend, im Gegensatz zu Stahlkappen-Arbeitsschuhen, die nur im Zehenbereich Schutz bieten. Wegen ihrer harten und unflexiblen Sohle führten sie historisch bei der Landbevölkerung zu Knochenläsionen.


title: Holzschuh

text: Insbesondere bei den holländischen Holzschuhen, die vollständig aus Holz bestehen und im Spann geschlossen sind, treten beim Laufen Hebelkräfte auf, die den Fußrücken im Abrollen des Schritts gegen das Holz pressen. Die in Skandinavien getragenen Holzschuhe umgehen das Problem der Hebelkräfte im Spann mit Leder-Applikationen an den betreffenden Stellen.


title: Holzschuh

text: Die volkstümlich bekannteste Form eines Holzschuhs ist die des niederländischen "Klomp" (Mz.: "Klompen"), wie er als Andenken gerne von Reisen mitgebracht wird. Doch hat jede Region in den Niederlanden ihre eigene Schuhform, mal rund, mal spitz, einige Schuhe auch halboffen, mit Lederriemen über dem Rist. Letztere werden "Tripklompen" genannt. Auch im benachbarten Flandern kommen sie vor.


title: Holzschuh

text: Auch in einigen Regionen Frankreichs, besonders im Norden (Flandern) und Westen (Bretagne) wurden oder werden Holzschuhe getragen, "sabots" genannt. Um 1900 wurden sie vor allem im Département Lozère, also in den Cevennen hergestellt und frankreichweit bei landwirtschaftlichen Arbeiten und in Fabriken getragen. Feinere, zum Teil reich verzierte Holzschuhe für die Stadtbevölkerung, wurden in Marvejols, Mende und Villefort gefertigt.


title: Holzschuh

text: In Südschweden waren Holzschuhe ("träskor") aus Erle oder Buche die traditionelle Fußbekleidung. Ein Zentrum der Herstellung war Vollsjö in Skåne, die dort produzierten Holzsohlenschuhe wurden "Vollsjötoffeln" genannt.


title: Holzschuh

text: Im Elsass werden sie "Zogelli" genannt, "Zoggeli" in der Schweiz, abgeleitet vom italienischen Wort Zoccoli.


title: Holzschuh

text: In Großbritannien heißen alle Arten von Holzschuhen "clogs". Sie wurden bis zur Mitte des 20. Jahrhunderts von Arbeiterinnen und Arbeitern der Textilindustrie und des Bergbaus aufgrund ihrer langen Haltbarkeit (etwa sieben Jahre) und zum Schutz getragen. Daraus entwickelte sich in Lancashire und andernorts der Clog Dance und Morris Dance, Vorformen des Stepptanzes.


title: Holzschuh

text: Im Norden Spaniens sind traditionell Stollenholzschuhe gebräuchlich, "zuecos" genannt. Auch in Asien sind Holzschuhe gebräuchlich.


title: Holzschuh

text: In Deutschland waren und sind Holzschuhe vor allem in der Nordhälfte verbreitet, insbesondere von Nordrhein-Westfalen bis zur dänischen Grenze. Hier entwickelte sich die Holzschuhmacherei zum Handwerk und wurde auch industriell betrieben. In Westfalen werden die Holzschuhe als "Holsken" oder "Holschen" bezeichnet. Am Niederrhein nennt man sie, wie im Niederländischen, "Klompen" und im Ruhrgebiet auch "Klotzschen". Die älteste bekannte Abbildung von Holzschuhen ist auf einem Altarretabel aus dem 15. Jahrhundert von Derick Baegert in der Dortmunder Propsteikirche zu sehen.Münsterländer Holzklumpen und westfälische Holschen haben einen Lederbesatz in Form einer durchgehenden Kappe über dem Rist, "Liär" (westf.-ndt. ‚Leder‘) genannt. Am Niederrhein und in der Eifel ist das abschließende Leder als Band ausgeführt. An der niederländischen Grenze sind durchaus auch niederländische Schuhformen verbreitet. So sind die Holzschuhe an der niederrheinischen Rur halboffen, haben eine stark ausgeprägte stumpfe Nase und weisen ein Lederband quer über dem Spann auf. Damit entsprechen sie einer Form der niederländischen Tripklompen. Im Bereich der dänischen Grenze wurden Holzschuhe lange mit Stollen unter den Sohlen gefertigt.


title: Holzschuh

text: In Schleswig-Holstein werden Holzsohlenschuhe generell als "Klotzen" bezeichnet. "Holzpantoffel" nennt man, wenn sie aus Dänemark kommen, auch "Clogs", in Norddeutschland spricht man in diesem Zusammenhang von "Holzpantinen", im Plattdeutschen auch von "Klotschen", und wenn sie ein ausgearbeitetes Fußbett haben, heißen sie "Schwedenpantoffel". In Ostfriesland nennt man die traditionellen Holzschuhe "holsken" (Einzahl: "holske") oder "klumpen" (Einzahl: "kluemp").


title: Holzschuh

text: Holzschuhe wurden bis in die 1950er Jahre vor allem in der Landwirtschaft und bei bestimmten Arbeiten wie dem Torfstechen getragen. Im Deichbau werden sie in den Niederlanden bis heute als optimale Sicherheitsschuhe genutzt. In Westfalen werden Holschen auch in der Gegenwart noch gerne bei der Gartenarbeit getragen. Holzschuhe gehörten im Hüttenwesen und in Gießereien zur Berufsbekleidung, wurden aber zunehmend von Stahlkappenschuhen verdrängt. Außerdem werden Holzschuhe noch von vielen Trachtengruppen und Karnevalsvereinen als Standardschuhwerk benutzt.


title: Holzschuh

text: Bis ins 19. Jahrhundert waren im norddeutschen Flachland auch Holzschuhe für Pferde („Pferdetrippe“) verbreitet, die ein Einsinken der Hufe in den morastigen Böden vermindern sollten. Sie hatten die Form breiter Sohlen, die mit Lederriemen an den Pferdefuß geschnallt waren, hinten gerade und vorne halbrund abschlossen sowie einen seitlich und vorne erhöhten Rand hatten; so wurde dem Huf Halt in dem Pferdeholzschuh gegeben.


title: Holzschuh

text: Holzschuhe hatten und haben in einigen Regionen Funktionen im Brauchtum: Nachweislich noch 1890 trug die Pfingstbraut im westfälischen Herne ein Paar besonders schöner Holzschuhe. Nach Mitternacht folgte dann der Holzschuhtanz der Brautleute.


title: Holzschuh

text: Alle fünf Jahre findet im badischen Staffort ein traditionelles Holzschuhrennen statt, das an das Holzschuhmacherhandwerk erinnert.


title: Holzschuh

text: In Neukirchen-Vluyn am linken Niederrhein im Ortsteil Vluyn findet jedes Jahr am Montag nach Pfingsten der traditionelle Klompenball statt. Im Verlauf dieses Festes wird ein Klompenkönig ernannt, der dann bis zum nächsten Klompenball im folgenden Jahr die „Regentschaft“ übernimmt.


title: Holzschuh

text: Das Internationale Holzschuhmuseum in Eelde (Niederlande) ist ein Museum für Holzschuhe, Holzschuhmacherwerkzeug und Holzschuhmaschinen. Die Sammlung umfasst rund 2.400 Holzschuhe aus aller Welt.


title: Holzschuh

text: Im LWL-Freilichtmuseum Hagen ist eine vollständige Werkstatt eines Holzschuhmachers eingerichtet. Die traditionelle handwerkliche Fertigung wird demonstriert.


title: Holzschuh

text: Das Hamaland-Museum in Vreden zeigt die Werkzeuge, die zur Herstellung von Holzschuhen benötigt werden.


title: Holzschuh

text: In Preetz wurde am 18. Mai 2008 das "Preetzer Holzschuhmuseum" eröffnet. Neben dem Herstellungsprozess wird hier auch die Historie der Preetzer Holzschuhe präsentiert.


title: Holzschuh

text: In Steinau (Niedersachsen) wird im "Holzschuhmacherhaus" die Geschichte und die Herstellung der Holzschuhe im Land Hadeln gezeigt.


title: Holzschuh

text: In der Oper "Zar und Zimmermann" von Albert Lortzing sowie in dem Ballett La fille mal gardée sind Holzschuhtänze zu sehen.


title: The Endless

text: The Endless (deutsch etwa: "Das Endlose" oder "Das Unendliche") ist ein US-amerikanischer Mystery-Film aus dem Jahr 2017. Für die Regie zeichneten Justin Benson und Aaron Moorhead verantwortlich.


title: The Endless

text: Die Brüder Justin und Aaron leben in einer namentlich nicht genannten Stadt in prekären Verhältnissen. Beide waren vor zehn Jahren aus den Fängen einer Sekte geflohen, die einen Ufoglauben verfolgte und in deren ländlicher Kommune in Südkalifornien Justin und Aaron aufgewachsen waren. Der ältere Justin hatte die Flucht initiiert und war anschließend in den Medien als Kritiker der Sekte aufgetreten, der jüngere Aaron hingegen verbindet mit seiner Zeit in der Kommune vor allem materielle Sicherheit und Geborgenheit. Nachdem sie per Post eine geheimnisvolle Videokassette mit Aufnahmen aus der Kommune geliefert bekommen, fahren sie auf Drängen Aarons für einen Tag zum Ort ihrer Kindheit. Justin ist sehr skeptisch und will nicht ausschließen, dass das Video eine versteckte Andeutung eines bevorstehenden Massensuizids enthält.


title: The Endless

text: In der Kommune werden sie freundlich aufgenommen. Nichts deutet auf ein bevorstehendes Ereignis hin, allerdings will auch niemand die Videokassette an die Brüder geschickt haben. Dass alle Mitglieder der Kommune aussehen wie zum Zeitpunkt der Flucht der Brüder vor zehn Jahren, schieben diese zunächst auf die gesunde Ernährung und das sorgenfreie Leben dort. Während Aaron schnell Anschluss an die Gemeinschaft findet und bei Justin durchsetzt, dass sie einen weiteren Tag in der Kommune bleiben, entdeckt Justin übernatürliche Phänomene, für die er zunächst keine Erklärung hat. Mitglieder der Gemeinde erläutern ihm später, dass eine nicht-menschliche, nicht näher definierte Entität in der Region präsent sei. Am zweiten Abend eskaliert ein Streit zwischen Justin und dem Sektenführer Hal um die Flucht der Brüder – Justin hatte Aaron in Teilen über den Charakter der Gruppe belogen, um ihn von seiner Vergangenheit zu lösen.


title: The Endless

text: Justin beschließt, die Kommune sofort zu verlassen, Aaron entscheidet sich zu bleiben. Da sein Auto nicht anspringt, versucht Justin zu Fuß, zurück in die Zivilisation zu gelangen. Dabei verläuft er sich schnell und trifft auf weitere Bewohner der Region, die nicht zur Kommune gehören, so den Einzelgänger Carl und die Städter Mike und Chris. Es stellt sich heraus, dass in der Region verteilt unterschiedliche Zeitblasen existieren, innerhalb derer in ihr gefangene Menschen nach einer individuell bemessenen Zeit von der Entität auf grausame Weise getötet und wieder in ihre Zeitblase geworfen werden. Während Carl, Mike und Chris kurze Zeitzyklen haben und kurz vor Ende derselben Suizid begehen, um vor dem erneuten Eintauchen in die Zeitblase selbstbestimmt zu sterben, dauert der Zyklus der Kommune mehrere Tage, und die Mitglieder lassen sich am Ende in einer Art religiösem Akt von der Entität töten, um den Zyklus anschließend erneut zu durchlaufen.


title: The Endless

text: Justin und Aaron machen sich unabhängig voneinander jeweils auf die Suche nach ihrem Bruder. Auf einem Berg treffen sie aufeinander und wandern zurück zur Kommune, die mittlerweile wegen des geendeten Zyklus verlassen ist; am Lagerfeuer entdecken die beiden noch Kleidungsreste der vorübergehend getöteten Bewohner. Aaron erwägt vorgeblich dennoch, in der Kommune zu bleiben, da ihm trotz der Aussicht auf einen wiederholten grausamen Tod das sorglose Leben innerhalb der Gemeinschaft gefalle. Als Justin widerwillig beschließt, aus Sorge um seinen Bruder bei ihm und damit ebenfalls in der Kommune zu bleiben, ändert Aaron seine Meinung schlagartig: Es sei ihm lediglich darum gegangen, einmal in der Beziehung der Brüder der Entscheider sein. Beide fliehen daraufhin, verfolgt von Manifestationen der Entität, mit ihrem Auto aus der Region.


title: The Endless

text: Die Regisseure Justin Benson und Aaron Moorhead hatten 2012 den Horrorfilm "Resolution" veröffentlicht, der auf demselben Landstrich spielt wie "The Endless" und zum Teil dieselben Akteure beinhaltet, sich jedoch auf die Charaktere Mike und Chris fokussiert. 2014 drehten die gemeinsam den Mystery-Film "Spring".


title: The Endless

text: Kernaussage des Films ist laut Benson und Moorhead eine Aufforderung zu Nonkonformität und antiautoritärem Verhalten, um im Leben aus auswegloser Routine auszubrechen. Die beiden Hauptfiguren des Films haben dieselben Vornamen wie die Regisseure, die aber eigenen Angaben zufolge die Charaktere als Gegenteil ihrer selbst anlegten. Zum Stil des Films äußerten Benson und Moorhead, dass sie gezielt veraltete Medien wie Videokassetten eingesetzt hätten, da Medien der Kindheit beim Zuschauer Angst erzeugen. Das Motiv für den drogenabhängigen Chris und Inspiration für den Konflikt zwischen Hal und Justin um weit zurückliegendes Unrecht war die Drogenabhängigkeit von Bensons Mutter und sein Verhältnis zu ihr, das zuletzt von Schuldeingeständnissen und Vergebung geprägt war. Bensons Mutter verübte während der Dreharbeiten zu "The Endless" Suizid.


title: The Endless

text: "The Endless" feierte seine Premiere am 21. April 2017 beim Tribeca Film Festival in New York. Gezeigt wurde er unter anderem beim Belfast Film Festival, beim Fantastic Fest im texanischen Austin, beim Filmfest Oldenburg und bei den White Nights des deutschen Fantasy Filmfest 2018. Der Film hatte Ende Juni 2018 knapp 270.000 US-Dollar eingespielt.


title: The Endless

text: Die Rezensionsdatenbank "Rotten Tomatoes" aggregiert 92 Rezensionen zu einem Mittelwert von 97 %. Das deutsche Filmportal "Filmstarts" sieht eine deutliche qualitative Zäsur zwischen Anfang und Ende des Films. "The Endless" starte als vielschichtiges Porträt zweier Brüder und überlasse die Bewertung der Sekte ungewöhnlicherweise dem Zuschauer, während derartige Gruppierungen in anderen Filmen für gewöhnlich negativ dargestellt werden, was Redakteur Christoph Petersen als „gelungene Provokation“ bezeichnete. Bereits im ersten Drittel zeichne sich für den Zuschauer aber bereits das übernatürliche Element des Films ab, der sich dann schnell „zu einem mit Zeitanomalien jonglierenden Mystery-Film“ wandle. Petersen lobte die Inszenierung der übernatürlichen Erscheinungen. Der britische "Guardian" lobte, es sei schwer, sich der düsteren Atmosphäre des Films zu entziehen. Es mache dem Zuschauer Spaß, die verzwickte Logik hinter den Geschehnissen zu entwirren, allerdings blieben einige Logiklücken. Redakteurin Wendy Ide zog als Fazit, "The Endless" sei „ein Möbiusband von einem Film“, der seinen Mangel an Budget durch zahlreiche verspielte Einfälle wettmache. Die "Irish Times" hob die Kameraarbeit und die Leistungen der Schauspieler positiv hervor. Der Film spiele gekonnt mit Wahrnehmung und Erwartungen des Zuschauers. Redakteur Donald Clarke zog Vergleiche zum Werk von Shane Carruth und sah in "The Endless" einen potenziellen Kultfilm, dessen Hintergründe sich erst bei mehrmaligem Sehen voll erschlössen. "Slashfilm" stellte heraus, dass "The Endless" Horror nicht durch Jump-Scares oder Spezialeffekte erzeuge, sondern durch die Beschäftigung mit etwas Ungreifbarem, was eine durch Angst und Schrecken geprägte Atmosphäre erzeuge, die lange anhalte. Der Film sei „präzise geschrieben, intelligent und lustig“ und werde noch jahrelang für Gesprächsstoff sorgen.


title: Joana Mallwitz

text: Joana Mallwitz (* 1986 in Hildesheim) ist eine deutsche Dirigentin, Pianistin und Generalmusikdirektorin am Staatstheater Nürnberg sowie ehemalige Generalmusikdirektorin in Erfurt. Im Alter von 27 Jahren war sie damals die jüngste Generalmusikdirektorin Europas. 2019 wählte die Zeitschrift "Opernwelt" Mallwitz zur "Dirigentin des Jahres".


title: Joana Mallwitz

text: Joana Mallwitz wurde 1986 in Hildesheim als Tochter einer Lehrerin und eines Lehrers geboren. Sie lernte mit fünf Jahren das Violin- und Klavierspiel. Mit 13 Jahren wurde sie Schülerin von Christa-Maria Hartmann und Karl-Heinz Kämmerling und damit Frühstudentin an der Hochschule für Musik und Theater in Hannover. Dirigieren studierte sie an dieser Hochschule bei Martin Brauß und Eiji Ōue, Klavier bei Kämmerling und Bernd Goetzke.


title: Joana Mallwitz

text: 2006 trat Mallwitz ein Engagement als Solorepetitorin mit Dirigierverpflichtung am Theater der Stadt Heidelberg an, wo sie kurzfristig die Leitung der Premiere von Puccinis "Madama Butterfly" übernahm. Von 2007 bis 2011 war sie in Heidelberg als Zweite Kapellmeisterin und Assistentin des Generalmusikdirektors Cornelius Meister aktiv und dirigierte diverse Vorstellungen jeglicher Art, darunter Mozarts "Idomeneo", "Le nozze di Figaro", "La clemenza di Tito" und "Die Zauberflöte", Beethovens "Fidelio", Rossinis "Il barbiere di Siviglia", Verdis "Aida" und "Rigoletto", Tschaikowskis "Eugen Onegin" sowie Richard Strauss’ "Salome".


title: Joana Mallwitz

text: Joana Mallwitz gastierte am Opernhaus Zürich ("Macbeth"), an der Hamburgischen Staatsoper ("L’elisir d’amore"), am Königlichen Opernhaus Kopenhagen ("Cavalleria rusticana/Pagliacci", "Der fliegende Holländer", "Macbeth", "Madama Butterfly") sowie mit Wagners "Rheingold" und "Götterdämmerung" an der Lettischen Nationaloper in Riga, an der Oper Frankfurt u. a. mit einer Neuproduktion der "Lustigen Witwe" und beim "Macau International Music Festival".


title: Joana Mallwitz

text: Konzerte führten sie u. a. mit dem Royal Danish Orchestra, den Dresdner Philharmonikern, den Göteborger Symphonikern und der Kremerata Baltica zusammen.


title: Joana Mallwitz

text: Für die Spielzeit 2014/2015 des Theaters Erfurt wurde Mallwitz mit 27 Jahren als europaweit jüngste Generalmusikdirektorin berufen und trat 2018/2019 in derselben Funktion bei der Staatsphilharmonie Nürnberg am dortigen Staatstheater als Dirigentin an.


title: Joana Mallwitz

text: 2019 wählte die Zeitschrift "Opernwelt" sie zur "Dirigentin des Jahres"; in den Jahren davor hatten Christian Thielemann, Kirill Petrenko und John Eliot Gardiner diese Ehrung erhalten. Nach dem Urteil von Kritikern schaffe Joana Mallwitz es, „große Geschichten aus der Musik herauszuarbeiten“, sie sei eine „Ausnahmedirigentin“, bei ihr stimme „nun wirklich alles“.


title: Joana Mallwitz

text: Hundert Jahre nach der Gründung der Salzburger Festspiele war Mallwitz 2020 die erste Dirigentin, der mit der musikalischen Leitung von "Così fan tutte" eine gesamte Opern-Aufführungsserie anvertraut wurde.


title: Joana Mallwitz

text: Ende August 2021 wurde bekannt, dass sie ab der Spielzeit 2023/2024 Chefdirigentin und künstlerische Leiterin des Konzerthausorchesters Berlin werden soll.


title: Maß (Mathematik)

text: Ein Maß ist in der Mathematik eine Funktion, die geeigneten Teilmengen einer Grundmenge Zahlen zuordnet, die als „Maß“ für die Größe dieser Mengen interpretiert werden können. Dabei müssen sowohl der Definitionsbereich eines Maßes, also die messbaren Mengen, als auch die Zuordnung selbst gewisse Voraussetzungen erfüllen, wie sie beispielsweise durch elementargeometrische Begriffe der "Länge einer Strecke", dem "Flächeninhalt" einer geometrischen Figur oder dem "Volumen" eines Körpers nahegelegt werden.


title: Maß (Mathematik)

text: Das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Konstruktion und der Untersuchung von Maßen beschäftigt, ist die Maßtheorie. Der allgemeine Maßbegriff geht zurück auf Arbeiten von Émile Borel, Henri Léon Lebesgue, Johann Radon und Maurice René Fréchet. Dabei stehen Maße stets in engem Zusammenhang mit der Integration von Funktionen und bilden die Grundlage moderner Integralbegriffe (siehe Lebesgue-Integral). Seit der Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeitsrechnung durch Andrei Kolmogorow ist die Stochastik ein weiteres großes Anwendungsgebiet für Maße. Dort werden Wahrscheinlichkeitsmaße verwendet, um zufälligen Ereignissen, die als Teilmengen eines Ergebnisraums aufgefasst werden, Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen.


title: Maß (Mathematik)

text: Der elementargeometrische Flächeninhalt ordnet ebenen geometrischen Figuren wie Rechtecken, Dreiecken oder Kreisen, also gewissen Teilmengen der euklidischen Ebene, Zahlenwerte zu. Flächeninhalte können gleich null sein, beispielsweise bei der leeren Menge, aber auch bei einzelnen Punkten oder bei Strecken. Auch der „Wert“ formula_1 (unendlich) kommt z. B. bei Halbebenen oder dem Äußeren von Kreisen als Flächeninhalt vor. Allerdings dürfen keine negativen Zahlen als Flächeninhalte auftreten.


title: Maß (Mathematik)

text: Weiterhin besitzt der Flächeninhalt ebener geometrischer Figuren eine Eigenschaft, die Additivität genannt wird: Zerlegt man eine Figur in zwei oder mehr Teile, beispielsweise ein Rechteck mittels einer Diagonale in zwei Dreiecke, dann ist der Flächeninhalt der Ausgangsfigur die Summe der Flächeninhalte der Teile. „Zerlegen“ bedeutet hier, dass die Teile paarweise disjunkt sein müssen (je zwei Teile haben also keine gemeinsamen Punkte) und dass die Vereinigung aller Teile die Ausgangsfigur ergibt. Für die Messung von Flächeninhalten komplizierterer Figuren, wie Kreisflächen oder Flächen, die zwischen Funktionsgraphen eingeschlossen sind (also für die Berechnung von Integralen), müssen Grenzwerte von Flächeninhalten betrachtet werden. Dazu ist es wichtig, dass die Additivität auch dann noch gilt, wenn Flächen in eine Folge von paarweise disjunkten Teilflächen zerlegt werden. Diese Eigenschaft wird abzählbare Additivität oder σ-Additivität genannt.


title: Maß (Mathematik)

text: Die Bedeutung der σ-Additivität für den Maßbegriff wurde erstmals von Émile Borel erkannt, der 1894 bewies, dass die elementargeometrische Länge diese Eigenschaft besitzt. Das eigentliche Maßproblem formulierte und untersuchte Henri Lebesgue im Jahre 1902 in seiner Doktorarbeit: Er konstruierte ein σ-additives Maß für Teilmengen der reellen Zahlen (das Lebesgue-Maß), das die Länge von Intervallen fortsetzt, allerdings nicht für alle Teilmengen, sondern für ein System von Teilmengen, die er messbare Mengen nannte. Im Jahre 1905 zeigte Giuseppe Vitali, dass eine konsistente Erweiterung des Längenbegriffs auf "alle" Teilmengen der reellen Zahlen unmöglich ist, also dass das Maßproblem nicht lösbar ist.


title: Maß (Mathematik)

text: Da wichtige Maße, wie eben das Lebesgue-Maß, nicht für alle Teilmengen (also auf der Potenzmenge) der Grundmenge definiert werden können, müssen geeignete Definitionsbereiche für Maße betrachtet werden. Die σ-Additivität legt es nahe, dass Systeme messbarer Mengen abgeschlossen gegenüber abzählbaren Mengenoperationen sein sollten. Das führt auf die Forderung, dass die messbaren Mengen eine σ-Algebra bilden müssen. Das heißt: Die Grundmenge selbst ist messbar und Komplemente sowie abzählbare Vereinigungen messbarer Mengen sind wiederum messbar.


title: Maß (Mathematik)

text: In der Folgezeit erweiterten Thomas Jean Stieltjes und Johann Radon die Konstruktion des Lebesgue-Maßes auf allgemeinere Maße im formula_2-dimensionalen Raum, die Lebesgue-Stieltjes-Maße. Maurice René Fréchet betrachtete ab 1915 auch Maße und Integrale auf beliebigen abstrakten Mengen. Im Jahre 1933 veröffentlichte Andrei Kolmogorow sein Lehrbuch "Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung", in dem er Maßtheorie verwendet, um eine strenge axiomatische Begründung der Wahrscheinlichkeitstheorie zu geben (siehe auch Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung).


title: Maß (Mathematik)

text: Es sei formula_3 eine σ-Algebra über einer nicht-leeren Grundmenge formula_4. Eine Funktion formula_5 heißt "Maß auf formula_3", wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:


title: Maß (Mathematik)

text: Eine Teilmenge von formula_4, die in formula_3 liegt, wird "messbar" genannt. Für solch ein formula_14 heißt formula_15 das "Maß der Menge formula_16". Das Tripel formula_17 wird "Maßraum" genannt. Das Paar formula_18 bestehend aus der Grundmenge und der darauf definierten σ-Algebra heißt "Messraum" oder auch "messbarer Raum". Ein Maß formula_19 ist also eine auf einem Messraum definierte nicht-negative σ-additive Mengenfunktion mit formula_20.


title: Maß (Mathematik)

text: Das Maß formula_19 heißt Wahrscheinlichkeitsmaß (oder normiertes Maß), wenn zusätzlich formula_22 gilt. Ein Maßraum formula_17 mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß formula_19 ist ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ist allgemeiner formula_25, so nennt man formula_19 ein endliches Maß. Existieren abzählbar viele Mengen, deren Maß endlich ist und deren Vereinigung ganz formula_4 ergibt, dann wird formula_19 ein σ-endliches (oder σ-finites) Maß genannt.


title: Maß (Mathematik)

text: Die folgenden Stetigkeitseigenschaften sind grundlegend für die Approximation messbarer Mengen. Sie folgen direkt aus der σ-Additivität.


title: Maß (Mathematik)

text: Für zwei Maße formula_84 auf einem gemeinsamen Messraum formula_18 gilt der folgende Eindeutigkeitssatz:


title: Maß (Mathematik)

text: Es gebe einen durchschnittsstabilen Erzeuger formula_86 von formula_3, d. h. es gilt formula_88 und für alle formula_89 ist formula_90, mit folgenden Eigenschaften:


title: Maß (Mathematik)

text: Für endliche Maße mit formula_100 ist die Bedingung 2 automatisch erfüllt. Insbesondere sind zwei Wahrscheinlichkeitsmaße gleich, wenn sie auf einem durchschnittsstabilen Erzeuger der Ereignisalgebra übereinstimmen.


title: Maß (Mathematik)

text: Der Eindeutigkeitssatz liefert zum Beispiel die Eindeutigkeit der Fortsetzung eines Prämaßes zu einem Maß mittels eines äußeren Maßes und dem Maßerweiterungssatz von Carathéodory.


title: Maß (Mathematik)

text: Für eine Familie formula_101 von Maßen auf dem gleichen Messraum und für nicht-negative reelle Konstanten formula_102 wird durch formula_103 wieder ein Maß definiert. Insbesondere sind Summen und nicht-negative Vielfache von Maßen ebenfalls Maße.


title: Maß (Mathematik)

text: Ist beispielsweise formula_104 eine abzählbare Grundmenge und formula_105, dann ist formula_106 mit den Diracmaßen formula_107 ein Maß auf der Potenzmenge von formula_4. Umgekehrt kann man zeigen, dass man auf diese Weise bei abzählbarer Grundmenge "alle" Maße auf der Potenzmenge erhält.


title: Maß (Mathematik)

text: Sind formula_109 Wahrscheinlichkeitsmaße auf formula_18 und formula_111 nicht-negative reelle Zahlen mit formula_112, dann ist die Konvexkombination formula_113 wieder ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Durch Konvexkombination von Diracmaßen erhält man diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen, allgemein ergeben sich Mischverteilungen.


title: Maß (Mathematik)

text: Da die Elemente von σ-Algebren, wie beispielsweise bei der borelschen σ-Algebra auf formula_57, oft nicht explizit angegeben werden können, werden Maße häufig durch Fortsetzung von Mengenfunktionen konstruiert. Das wichtigste Hilfsmittel hierzu ist der Maßerweiterungssatz von Carathéodory. Er besagt, dass sich jede nicht-negative σ-additive Mengenfunktion auf einem Mengenring formula_115 (ein sog. Prämaß) zu einem Maß auf der von formula_115 erzeugten σ-Algebra fortsetzen lässt. Die Fortsetzung ist eindeutig, wenn das Prämaß σ-endlich ist.


title: Maß (Mathematik)

text: Beispielsweise bilden alle Teilmengen von formula_57, die sich als endliche Vereinigung von achsenparallelen formula_2-dimensionalen Intervallen darstellen lassen, einen Mengenring. Der elementare Volumeninhalt dieser sogenannten Figuren, der Jordan-Inhalt, ist ein Prämaß auf diesem Mengenring. Die von den Figuren erzeugte σ-Algebra ist die borelsche σ-Algebra und die Fortsetzung des Jordan-Inhalts nach Carathéodory ergibt das Lebesgue-Borel-Maß.


title: Maß (Mathematik)

text: Ist formula_19 ein Maß und formula_14 eine Menge mit formula_121, dann heißt formula_16 Nullmenge. Es ist naheliegend, Teilmengen einer Nullmenge ebenfalls das Maß null zuzuordnen. Allerdings müssen solche Mengen nicht unbedingt messbar sein, also wieder in formula_3 liegen. Ein Maßraum, in dem Teilmengen von Nullmengen stets messbar sind, wird vollständig genannt. Zu einem Maßraum, der nicht vollständig ist, lässt sich ein vollständiger Maßraum – genannt die Vervollständigung – konstruieren. Zum Beispiel ist die Vervollständigung des Lebesgue-Borel-Maßes das Lebesgue-Maß auf den Lebesgue-messbaren Teilmengen des formula_57.


title: Maß (Mathematik)

text: Das Lebesgue-Maß formula_56 auf formula_126 ist dadurch charakterisiert, dass es Intervallen formula_127 ihre Länge formula_128 zuweist. Dessen Konstruktion kann mit Hilfe einer monoton wachsenden Funktion formula_129 verallgemeinert werden zu den Lebesgue-Stieltjes-Maßen formula_130, die den Intervallen formula_131 die „gewichtete Länge“ formula_132 zuordnen. Wenn die Funktion formula_133 zusätzlich rechtsseitig stetig ist, dann wird hierdurch ein Prämaß auf dem Mengenring der endlichen Vereinigungen solcher Intervalle definiert. Dieses kann nach Carathéodory zu einem Maß auf den Borelmengen von formula_126 bzw. zu dessen Vervollständigung erweitert werden. Beispielsweise ergibt sich für die identische Abbildung formula_135 wieder das Lebesgue-Maß; ist dagegen formula_133 eine stückweise konstante Treppenfunktion, so erhält man Linearkombinationen von Diracmaßen.


title: Maß (Mathematik)

text: Falls eine rechtsseitig stetige und monoton wachsende Funktion formula_129 zusätzlich noch die Bedingungen


title: Maß (Mathematik)

text: erfüllt, ist das auf diese Weise konstruierte Lebesgue-Stieltjes-Maß formula_130 ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Dessen Verteilungsfunktion ist gleich formula_133, das bedeutet formula_142. Umgekehrt besitzt jede Verteilungsfunktion formula_133 eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf formula_126 die obigen Eigenschaften. Mit Hilfe von Verteilungsfunktionen lassen sich daher auch solche Wahrscheinlichkeitsmaße auf formula_126 einfach darstellen, die weder diskret sind noch eine Lebesgue-Dichte besitzen, wie zum Beispiel die Cantor-Verteilung.


title: Maß (Mathematik)

text: Wie jede Funktion lässt sich ein Maß formula_5 natürlich auf einen kleineren Definitionsbereich, also auf eine σ-Algebra formula_147 einschränken. Beispielsweise erhält man durch Einschränkung des Lebesgue-Maßes auf die borelsche σ-Algebra wieder das Lebesgue-Borel-Maß zurück.


title: Maß (Mathematik)

text: Interessanter ist eine Einschränkung auf eine kleinere Grundmenge formula_148: Ist formula_17 ein Maßraum und formula_150, dann wird durch


title: Maß (Mathematik)

text: eine σ-Algebra auf formula_152 definiert, die sogenannte Spur-σ-Algebra. Es gilt formula_153 genau dann, wenn formula_14 und formula_155 ist. Für diese formula_16 wird durch


title: Maß (Mathematik)

text: ein Maß auf formula_158 definiert, das Einschränkung (oder Spur) von formula_19 auf formula_152 genannt wird. Zum Beispiel erhält man durch Einschränkung des Lebesgue-Maßes formula_56 von formula_126 auf das Intervall formula_163 wegen formula_164 ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf formula_163, die stetige Gleichverteilung.


title: Maß (Mathematik)

text: Maße lassen sich mit Hilfe von messbaren Funktionen von einem Maßraum auf einen weiteren Messraum transformieren. Sind formula_18 und formula_167 Messräume, dann heißt eine Funktion formula_168 messbar, wenn für alle formula_169 das Urbild formula_170 in formula_3 liegt. Ist nun formula_19 ein Maß auf formula_3, dann ist die Funktion formula_174 mit formula_175 für formula_169 ein Maß auf formula_177. Es heißt Bildmaß von formula_19 unter formula_179 und wird häufig mit formula_180 oder formula_181 bezeichnet.


title: Maß (Mathematik)

text: Das Verhalten von Integralen bei der Transformation von Maßen wird durch den Transformationssatz beschrieben. Durch Bildmaße ist es in der Analysis möglich, Maße auf Mannigfaltigkeiten zu konstruieren.


title: Maß (Mathematik)

text: Bildmaße von Wahrscheinlichkeitsmaßen sind wieder Wahrscheinlichkeitsmaße. Diese Tatsache spielt bei der Betrachtung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Zufallsvariablen in der Stochastik eine wichtige Rolle.


title: Maß (Mathematik)

text: Maße werden oft als „unbestimmte Integrale“ von Funktionen bezüglich anderer Maße konstruiert. Ist formula_17 ein Maßraum und formula_183 eine nicht-negative messbare Funktion, dann wird durch


title: Maß (Mathematik)

text: für formula_14 ein weiteres Maß auf formula_18 definiert. Die Funktion formula_187 wird Dichtefunktion von formula_188 bezüglich formula_19 (kurz eine formula_19-Dichte) genannt. Eine übliche Schreibweise ist formula_191.


title: Maß (Mathematik)

text: Der Satz von Radon-Nikodým gibt Auskunft darüber, welche Maße mit Hilfe von Dichten dargestellt werden können: Ist formula_19 σ-endlich, so ist dies genau dann möglich, wenn alle Nullmengen von formula_19 auch Nullmengen von formula_188 sind.


title: Maß (Mathematik)

text: In der Stochastik werden die Verteilungen stetiger Zufallsvariabler, wie beispielsweise die Normalverteilung, häufig durch Dichten bezüglich des Lebesgue-Maßes angegeben.


title: Maß (Mathematik)

text: Lässt sich eine Grundmenge als kartesisches Produkt schreiben und sind auf den einzelnen Faktoren Maße gegeben, so kann auf ihr ein sogenanntes Produktmaß konstruiert werden. Für zwei Maßräume formula_195 und formula_196 bezeichne formula_197 die Produkt-σ-Algebra. Das ist die kleinste σ-Algebra auf formula_198, die alle Mengenprodukte formula_199 mit formula_200 und formula_201 enthält. Falls formula_202 und formula_203 σ-endlich sind, dann existiert genau ein Maß formula_19 auf formula_18 mit


title: Maß (Mathematik)

text: das Produktmaß genannt und mit formula_207 bezeichnet wird. Völlig analog lassen sich auch Produkte endlich vieler Maße bilden. Beispielsweise erhält man so das Lebesgue-Borel-Maß auf dem formula_2-dimensionalen euklidischen Raum formula_57 als formula_2-faches Produkt aus dem Lebesgue-Borel-Maß auf den reellen Zahlen.


title: Maß (Mathematik)

text: Mit Hilfe des Satzes von Fubini lassen sich Integrale bezüglich eines Produktmaßes formula_211 meist berechnen, indem man schrittweise Integrationen bezüglich der einzelnen Maße formula_212 ausführt. Auf diese Weise können beispielsweise Flächen- und Volumenberechnungen auf die Bestimmung eindimensionaler Integrale zurückgeführt werden.


title: Maß (Mathematik)

text: Im Gegensatz zu allgemeinen Maßen können unter bestimmten Voraussetzungen bei Wahrscheinlichkeitsmaßen beliebige (sogar überabzählbare) Produkte gebildet werden. Produkte von Wahrscheinlichkeitsräumen modellieren beispielsweise die unabhängige Wiederholung von Zufallsexperimenten.


title: Maß (Mathematik)

text: Falls die Grundmenge formula_4 zusätzlich ein topologischer Raum ist, interessiert man sich vor allem für Maße, die ähnliche Eigenschaften wie das Lebesgue-Maß oder die Lebesgue-Stieltjes-Maße auf dem topologischen Raum formula_57 mit der Standardtopologie besitzen. Eine einfache Überlegung zeigt, dass die borelsche σ-Algebra auf formula_57 nicht nur von der Menge der formula_2-dimensionalen Intervalle, sondern auch von den offenen Teilmengen erzeugt wird. Ist daher formula_217 ein Hausdorff-Raum mit Topologie formula_218 (also der Menge der offenen Mengen), so definiert man die borelsche σ-Algebra auf formula_4 als


title: Maß (Mathematik)

text: also als kleinste σ-Algebra, die alle offenen Mengen enthält. Natürlich enthält dann formula_221 insbesondere auch alle abgeschlossenen Mengen sowie alle Mengen, die sich als abzählbare Vereinigungen oder Durchschnitte abgeschlossener bzw. offener Mengen schreiben lassen (vgl. Borel-Hierarchie).


title: Maß (Mathematik)

text: Ein Maß formula_222 auf einem Messraum formula_223, formula_4 Hausdorff-Raum und formula_221 die borelsche σ-Algebra, heißt Borelmaß, wenn es lokal endlich ist. Das heißt, jedes formula_226 besitzt eine offene Umgebung, deren Maß endlich ist. Ist formula_4 zusätzlich lokalkompakt, so ist das damit äquivalent, dass alle kompakten Mengen endliches Maß besitzen.


title: Maß (Mathematik)

text: Zahlreiche wichtige Borelmaße sind regulär, es gelten nämlich unter anderem die folgenden Regularitätsaussagen:


title: Maß (Mathematik)

text: Wahrscheinlichkeitsmaße auf polnischen Räumen spielen in zahlreichen Existenzfragen der Wahrscheinlichkeitstheorie eine wichtige Rolle.


title: Maß (Mathematik)

text: Der formula_2-dimensionale euklidische Raum ist nicht nur ein lokalkompakter topologischer Raum, sondern sogar eine topologische Gruppe bezüglich der üblichen Vektoraddition als Verknüpfung. Das Lebesgue-Maß formula_56 respektiert auch diese Struktur in dem Sinne, dass es invariant gegenüber Translationen ist:


title: Maß (Mathematik)

text: Der Begriff des Haarschen Maßes verallgemeinert diese Translationsinvarianz auf linksinvariante Radonmaße auf hausdorffschen lokalkompakten topologischen Gruppen. Ein solches Maß existiert stets und ist bis auf einen konstanten Faktor eindeutig bestimmt. Das Haarsche Maß ist genau dann endlich, wenn die Gruppe kompakt ist; in diesem Fall kann es also zu einem Wahrscheinlichkeitsmaß normiert werden.


title: Maß (Mathematik)

text: Haarsche Maße spielen eine zentrale Rolle bei der harmonischen Analyse, in der Methoden der Fourier-Analysis auf allgemeine Gruppen übertragen werden.


title: Maß (Mathematik)

text: Der wichtigste Konvergenzbegriff für Folgen von endlichen Maßen ist die schwache Konvergenz, die mit Hilfe von Integralen folgendermaßen definiert werden kann:


title: Maß (Mathematik)

text: Es sei formula_4 ein metrischer Raum. Eine Folge formula_240 endlicher Maße auf formula_241 heißt schwach konvergent gegen ein endliches Maß formula_242, in Zeichen formula_243, wenn für alle beschränkten stetigen Funktionen formula_244 gilt


title: Maß (Mathematik)

text: Das Portmanteau-Theorem gibt einige andere Bedingungen an, die zur schwachen Konvergenz von Maßen äquivalent sind. Beispielsweise gilt formula_243 genau dann, wenn


title: Maß (Mathematik)

text: für alle Borelmengen formula_16 mit formula_249 gilt, wobei formula_250 den topologischen Rand von formula_16 bezeichnet.


title: Maß (Mathematik)

text: Die schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen hat eine wichtige Anwendung bei der Verteilungskonvergenz von Zufallsvariablen, wie sie beim zentralen Grenzwertsatz auftritt. Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen kann mit Hilfe von charakteristischen Funktionen untersucht werden.


title: Maß (Mathematik)

text: Eine weitere für Anwendungen bedeutende Frage ist, wann man aus Folgen von Maßen schwach konvergente Teilfolgen auswählen kann, also wie die relativ folgenkompakten Mengen von Maßen charakterisiert werden können. Nach dem Satz von Prochorow ist eine Menge formula_252 endlicher Maße auf einem polnischen Raum formula_4 genau dann relativ folgenkompakt, wenn sie beschränkt und straff ist. Beschränktheit bedeutet hier, dass formula_254 ist und Straffheit, dass es zu jedem formula_255 ein Kompaktum formula_256 gibt mit formula_257 für alle formula_258.


title: Maß (Mathematik)

text: Der Begriff des Maßes ist eng mit der Integration von Funktionen verknüpft. Moderne Integralbegriffe, wie das Lebesgue-Integral und seine Verallgemeinerungen, werden meist aus einer maßtheoretischen Grundlage heraus entwickelt. Der fundamentale Zusammenhang ist dabei die Gleichung


title: Maß (Mathematik)

text: für alle formula_14, wobei ein Maßraum formula_17 vorgegeben ist und formula_263 die Indikatorfunktion der messbaren Menge formula_16 bezeichnet, also die Funktion formula_265 mit formula_266 für formula_267 und formula_268 sonst. Mit Hilfe der gewünschten Linearitäts- und Monotonieeigenschaften lässt sich die Integration schrittweise zunächst auf einfache Funktionen, dann auf nicht-negative messbare Funktionen und schließlich auf alle reell- bzw. komplexwertigen messbaren Funktionen formula_187 mit formula_270 ausdehnen. Letztere werden formula_19-integrierbar genannt und ihr Integral formula_272 heißt (verallgemeinertes) Lebesgue-Integral bezüglich des Maßes formula_19 oder kurz formula_19-Integral.


title: Maß (Mathematik)

text: Dieser Integralbegriff stellt eine starke Verallgemeinerung klassischer Integralbegriffe wie dem Riemann-Integral dar, denn er ermöglicht die Integration von Funktionen auf beliebigen Maßräumen. Das ist wiederum in der Stochastik von großer Bedeutung: Dort entspricht das Integral einer Zufallsvariable bezüglich eines gegebenen Wahrscheinlichkeitsmaßes ihrem Erwartungswert.


title: Maß (Mathematik)

text: Allerdings ergeben sich auch für reelle Funktionen einer reellen Variablen Vorteile gegenüber dem Riemann-Integral. Hier sind vor allem die Konvergenzeigenschaften bei Vertauschung von Grenzwertbildung und Integration zu nennen, die beispielsweise durch den Satz von der monotonen Konvergenz und den Satz von der majorisierten Konvergenz beschrieben werden.


title: Maß (Mathematik)

text: Räume integrierbarer Funktionen spielen als Standardräume der Funktionalanalysis eine wichtige Rolle. Die Menge aller messbaren Funktionen formula_244 auf einem Maßraum formula_17, die formula_270 erfüllen, also formula_19-integrierbar sind, bildet einen Vektorraum formula_279. Durch


title: Maß (Mathematik)

text: wird eine Halbnorm auf formula_281 definiert. Identifiziert man Funktionen aus diesem Raum miteinander, falls sie sich nur auf einer Nullmenge voneinander unterscheiden, gelangt man zu einem normierten Raum formula_282. Eine analoge Konstruktion kann man allgemeiner mit Funktionen durchführen, für die formula_283 für ein formula_284 formula_19-integrierbar ist, und gelangt so zu den "L"-Räumen formula_286 mit der Norm


title: Maß (Mathematik)

text: Ein zentrales Ergebnis, auf das die große Bedeutung dieser Räume in Anwendungen zurückzuführen ist, ist ihre Vollständigkeit. Sie sind also für alle formula_284 Banachräume. Im wichtigen Spezialfall formula_289 stellt sich die Norm sogar als von einem Skalarprodukt induziert heraus; es handelt sich bei formula_290 daher um einen Hilbertraum.


title: Maß (Mathematik)

text: Völlig analog lassen sich formula_291-Räume komplexwertiger Funktionen definieren. Komplexe formula_292-Räume sind ebenfalls Hilberträume; sie spielen eine zentrale Rolle in der Quantenmechanik, wo Zustände von Teilchen durch Elemente eines Hilbertraums beschrieben werden.


title: Maß (Mathematik)

text: In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden Wahrscheinlichkeitsmaße verwendet, um zufälligen Ereignissen Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen. Zufallsexperimente werden durch einen Wahrscheinlichkeitsraum formula_293 beschrieben, also durch einen Maßraum, dessen Maß formula_294 die Zusatzbedingung formula_295 erfüllt. Die Grundmenge formula_4, der Ergebnisraum, enthält die verschiedenen Ergebnisse, die das Experiment liefern kann. Die σ-Algebra formula_297 besteht aus den Ereignissen, denen das Wahrscheinlichkeitsmaß formula_294 Zahlen zwischen formula_299 und formula_300 zuordnet.


title: Maß (Mathematik)

text: Bereits der einfachste Fall eines endlichen Ergebnisraums formula_4 mit der Potenzmenge als σ-Algebra und der durch formula_302 definierten Gleichverteilung hat zahlreiche Anwendungsmöglichkeiten. Er spielt in der elementaren Wahrscheinlichkeitsrechnung eine zentrale Rolle zur Beschreibung von Laplace-Experimenten, wie dem Werfen eines Würfels und dem Ziehen aus einer Urne, bei denen alle Ergebnisse als gleich wahrscheinlich angenommen werden.


title: Maß (Mathematik)

text: Wahrscheinlichkeitsmaße werden häufig als Verteilungen von Zufallsvariablen, also als Bildmaße, erzeugt. Wichtige Beispiele für Wahrscheinlichkeitsmaße auf formula_303 sind die Binomial- und die Poisson-Verteilung sowie die geometrische und hypergeometrische Verteilung. Bei den Wahrscheinlichkeitsmaßen auf formula_126 mit Lebesgue-Dichte nimmt – unter anderem wegen des zentralen Grenzwertsatzes – die Normalverteilung eine herausragende Stellung ein. Weitere Beispiele sind die stetige Gleichverteilung oder die Gammaverteilung, die zahlreiche weitere Verteilungen wie etwa die Exponentialverteilung als Spezialfall umfasst.


title: Maß (Mathematik)

text: Die mehrdimensionale Normalverteilung ist ebenfalls ein wichtiges Beispiel für Wahrscheinlichkeitsmaße auf dem formula_2-dimensionalen euklidischen Raum formula_57. Noch allgemeinere Maßräume spielen in der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie eine Rolle bei der Konstruktion von stochastischen Prozessen, wie etwa das Wiener-Maß auf einem geeigneten Funktionenraum zur Beschreibung des Wiener-Prozesses (Brownsche Bewegung), der auch in der stochastischen Analysis eine zentrale Stellung einnimmt.


title: Maß (Mathematik)

text: Die Grundaufgabe der mathematischen Statistik besteht darin, aufgrund von Beobachtungsergebnissen zufälliger Stichproben zu Aussagen über die Verteilung von Merkmalen in einer Grundgesamtheit zu kommen (sog. schließende Statistik).


title: Maß (Mathematik)

text: Entsprechend enthält ein statistisches Modell formula_307 nicht nur ein einzelnes als bekannt angenommenes Wahrscheinlichkeitsmaß wie bei einem Wahrscheinlichkeitsraum, sondern eine ganze Familie formula_308 von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf einem gemeinsamen Messraum formula_309.


title: Maß (Mathematik)

text: Einen wichtigen Spezialfall stellen die parametrischen Standardmodelle dar, die dadurch gekennzeichnet sind, dass die Parameter Vektoren aus formula_57 sind und alle formula_311 eine Dichte bezüglich eines gemeinsamen Maßes besitzen.


title: Maß (Mathematik)

text: Aus der Beobachtung von formula_312 soll nun auf den Parameter formula_313 und damit auf das Maß formula_311 geschlossen werden. Dies geschieht in der klassischen Statistik in der Form von Punktschätzern, die mit Hilfe von Schätzfunktionen konstruiert werden, oder mit Konfidenzbereichen, die den unbekannten Parameter mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit enthalten. Mit Hilfe statistischer Tests können außerdem Hypothesen über das unbekannte Wahrscheinlichkeitsmaß geprüft werden.


title: Maß (Mathematik)

text: Im Gegensatz dazu werden in der bayesschen Statistik Verteilungsparameter nicht als Unbekannte, sondern selbst als zufällig modelliert.


title: Maß (Mathematik)

text: Dazu wird, ausgehend von einer angenommenen A-priori-Verteilung, mit Hilfe der durch die Beobachtungsergebnisse gewonnenen Zusatzinformation eine A-posteriori-Verteilung des Parameters bestimmt. Diese Verteilungen sind im Allgemeinen Wahrscheinlichkeitsmaße auf dem Parameterraum formula_315; für A-priori-Verteilungen kommen jedoch unter Umständen auch allgemeine Maße in Frage (sog. uneigentliche A-priori-Verteilungen).


title: Maß (Mathematik)

text: Die moderne Finanzmathematik verwendet Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie, insbesondere stochastische Prozesse, zur Modellierung der zeitlichen Entwicklung der Preise von Finanzinstrumenten. Eine zentrale Fragestellung ist die Berechnung fairer Preise von Derivaten.


title: Maß (Mathematik)

text: Typisch ist hierbei die Betrachtung verschiedener Wahrscheinlichkeitsmaße auf dem gleichen Messraum: Neben dem realen, durch die Risikobereitschaft der Marktteilnehmer bestimmten Maß werden risikoneutrale Maße verwendet. Faire Preise ergeben sich dann als Erwartungswerte abgezinster Auszahlungen bezüglich eines risikoneutralen Maßes. In arbitragefreien und vollkommenen Marktmodellen ist dabei Existenz und Eindeutigkeit risikoneutraler Maße sichergestellt.


title: Maß (Mathematik)

text: Während sich einfache zeit- und preisdiskrete Modelle bereits mit elementarer Wahrscheinlichkeitsrechnung analysieren lassen, sind insbesondere bei stetigen Modellen wie dem Black-Scholes-Modell und seinen Verallgemeinerungen moderne Methoden der Martingaltheorie und der stochastischen Analysis nötig. Dabei werden als risikoneutrale Maße äquivalente Martingalmaße verwendet. Das sind Wahrscheinlichkeitsmaße, die bezüglich des realen risikobehafteten Maßes eine positive Dichte besitzen und für die der abgezinste Preisprozess ein Martingal (oder allgemeiner ein lokales Martingal) ist. Von Bedeutung ist hierbei zum Beispiel der Satz von Girsanow, der das Verhalten von Wiener-Prozessen bei einem Wechsel des Maßes beschreibt.


title: Maß (Mathematik)

text: Das Konzept des Maßes erlaubt zahlreiche Verallgemeinerungen in verschiedene Richtungen. Ein Maß im Sinne dieses Artikels wird daher zur Verdeutlichung in der Literatur manchmal "positives Maß" oder noch genauer "σ-additives positives Maß" genannt.


title: Maß (Mathematik)

text: Durch Abschwächung der in der Definition geforderten Eigenschaften erhält man Funktionen, die in der Maßtheorie als Vorstufen von Maßen betrachtet werden. Der allgemeinste Begriff ist der einer (nicht-negativen) Mengenfunktion, also einer Funktion, die den Mengen eines Mengensystems über einer Grundmenge Werte aus formula_316 zuordnet, wobei meist noch gefordert wird, dass die leere Menge den Wert null bekommt.


title: Maß (Mathematik)

text: Ein Inhalt ist eine endlich additive Mengenfunktion; ein σ-additiver Inhalt heißt Prämaß. Der Jordan-Inhalt auf den Jordan-messbaren Teilmengen von formula_57 ist ein Anwendungsbeispiel für eine additive Mengenfunktion, die jedoch nicht σ-additiv ist. Ein Maß ist somit ein Prämaß, dessen Definitionsbereich eine σ-Algebra ist. Äußere Maße, also Mengenfunktionen, die monoton und σ-"sub"additiv sind, stellen eine wichtige Zwischenstufe in der Konstruktion von Maßen aus Prämaßen nach Carathéodory dar: Ein Prämaß auf einem Mengenring wird zunächst zu einem äußeren Maß auf der ganzen Potenzmenge fortgesetzt, dessen Einschränkung auf messbare Mengen ein Maß ergibt.


title: Maß (Mathematik)

text: Anders geartete Verallgemeinerungen des Maßbegriffs erhält man, wenn man die Forderung aufgibt, dass die Werte in formula_316 liegen müssen, jedoch die übrigen Eigenschaften beibehält. Bei einem signierten Maß sind auch negative Werte zugelassen, es kann also Werte im Intervall formula_319 (alternativ auch formula_320) annehmen. Bei komplexen Zahlen als Wertebereich spricht man von einem komplexen Maß. Der Wert formula_1 ist hierbei allerdings nicht zugelassen, das heißt, ein positives Maß ist zwar stets auch ein signiertes Maß, aber nur endliche Maße können auch als komplexe Maße aufgefasst werden. Im Gegensatz zu positiven Maßen bilden die signierten und die komplexen Maße über einem Messraum einen Vektorraum. Solche Räume spielen nach dem Darstellungssatz von Riesz-Markow eine wichtige Rolle als Dualräume von Räumen stetiger Funktionen. Signierte und komplexe Maße lassen sich nach dem Zerlegungssatz von Hahn und Jordan als Linearkombinationen aus positiven Maßen schreiben. Auch der Satz von Radon-Nikodým bleibt für sie gültig.


title: Maß (Mathematik)

text: Eine noch weitergehende Verallgemeinerung stellen Maße mit Werten in beliebigen Banachräumen dar, die sogenannten vektoriellen Maße. Maße auf den reellen Zahlen, deren Werte orthogonale Projektionen eines Hilbertraums sind, sogenannte Spektralmaße, werden im Spektralsatz zur Darstellung selbstadjungierter Operatoren verwendet, was unter anderem in der mathematischen Beschreibung der Quantenmechanik eine wichtige Rolle spielt (siehe auch Positive Operator Valued Probability Measure). Maße mit orthogonalen Werten sind Hilbertraum-wertige Maße, bei denen die Maße disjunkter Mengen orthogonal zueinander sind. Mit ihrer Hilfe können Spektraldarstellungen von stationären Zeitreihen und stationären stochastischen Prozessen angegeben werden.


title: Maß (Mathematik)

text: Zufällige Maße sind Zufallsvariablen, deren Werte Maße sind. Sie werden beispielsweise in der stochastischen Geometrie zur Beschreibung zufälliger geometrischer Strukturen verwendet. Bei stochastischen Prozessen, deren Pfade Sprungstellen aufweisen, wie etwa den Lévy-Prozessen, können die Verteilungen dieser Sprünge durch zufällige Zählmaße dargestellt werden.


title: Lactobacillus acidophilus

text: Lactobacillus acidophilus (früher "Bacillus acidophilus") ist eine stäbchenförmige Bakterienart, die zur Herstellung von verschiedenen Sauermilchprodukten verwendet wird.


title: Lactobacillus acidophilus

text: "Lactobacillus acidophilus" ist ein fakultativ anaerobes, Gram-positives Stäbchen, welches homofermentativ Glucose zu Milchsäure vergärt und dabei keine Gase bildet. Es wächst bis 45 °C (manche Stämme bis 48 °C), wobei es vielfältige Nährstoffanforderungen an das Kulturmedium stellt.


title: Lactobacillus acidophilus

text: Das Genom von "L. acidophilus" ist vollständig sequenziert. Die Fähigkeit Bacteriocin zu produzieren und eine hohe Säuretoleranz erklären die Überlebensfähigkeit in der Magen-Darm-Passage.


title: Lactobacillus acidophilus

text: "Lactobacillus acidophilus" kommt in der Vaginalflora gesunder Frauen vor. Zudem kommt es natürlicherweise im Intestinaltrakt des Menschen vor, wo es Gallensäuren abbaut.


title: Lactobacillus acidophilus

text: "Lactobacillus acidophilus" wird zusammen mit "Lactococcus lactis" zur Produktion von mildem Joghurt („Bioghurt“) verwendet. Der „Biogarde-Joghurt“ enthält neben "L. acidophilus" zusätzlich "S. salivarius" und Bifidobakterien. In der Schweiz wird „Aco-Joghurt“ mit "L. acidophilus" hergestellt. In Dänemark wird für „Produkt A-38“ normaler Joghurt mit einem Zehntel "L. acidophilus" Sauermilch gemischt. In Tschechien wird für Acidophilus-Sauermilch neun Teile Dickmilch mit einem Teil Acidophilus-Milch gemischt. In den USA wird gesüßte Acidophilus-Milch mit Vitamin A und Vitamin D Supplement unter dem Namen „Di-gest“ als gekühltes Frischeprodukt mit hoher Lebendkeimzahl vertrieben.


title: Lactobacillus acidophilus

text: In der Tierhaltung findet es als Probiotikum Anwendung bei Legehennen und im Heimtierfutter für Hunde und Katzen.


title: Lactobacillus acidophilus

text: Präparate für die menschliche Ernährung existieren ebenfalls, dürfen jedoch nicht in Europa mit sogenannten Health Claims beworben werden, da diese nach wissenschaftlicher Prüfung durch die EFSA abgelehnt wurden.


title: Hermitescher Operator

text: Hermitesche Operatoren, benannt nach Charles Hermite, sind in der Mathematik betrachtete Operatoren, die eine zentrale Rolle in der mathematischen Struktur der Quantenmechanik spielen. Der Begriff des hermiteschen Operators wird in der Literatur uneinheitlich definiert, in diesem Artikel werden besonders die physikalischen Sicht- und Schreibweisen verwendet.


title: Hermitescher Operator

text: So kommt in manchen mathematischen Darstellungen der Begriff „hermitescher Operator“ überhaupt nicht vor; stattdessen werden sogenannte symmetrische, symmetrische dicht definierte, wesentlich selbstadjungierte und selbstadjungierte Operatoren betrachtet. Unterschiede treten erst in unendlichdimensionalen Räumen auf, die jedoch für physikalische Anwendungen wichtig sind.


title: Hermitescher Operator

text: In der physikalischen Literatur wird dagegen der Begriff des „symmetrischen Operators“ in der Regel gar nicht verwendet: stattdessen redet man von vornherein von hermiteschen Operatoren (genauer müsste man sagen: „hermitesch im engeren Sinne“ ), um zu betonen, dass man es nicht mit reellen, sondern mit komplexen Hilberträumen zu tun hat. In den späteren Kapiteln der physikalischen Standard-Lehrbücher werden mit „hermiteschen Operatoren“ (genauer: „hermitesch im weiteren Sinn“) in der Regel selbstadjungierte Operatoren bezeichnet (der etwas subtile Unterschied wird oft vernachlässigt oder durch Synonyme wie „hypermaximal hermitesche Operatoren“ anstelle der „selbstadjungierten Operatoren“ vereinfacht).


title: Hermitescher Operator

text: Die hier gewählte Darstellung ist ein Kompromiss, indem zwar der Begriff des „symmetrischen Operators“ auch für die komplexwertigen Hilberträume der Physik verwendet wird, aber sonst die Konventionen der Physiker mit der Identifikation „hermitesch = selbstadjungiert“ benutzt werden, wie das etwa in den Lehrbüchern von Albert Messiah zu finden ist. Die hier gegebene Darstellung richtet sich also zunächst an physikalisch interessierte Leser, weshalb auch die auf Dirac zurückgehende Bra-Ket-Notation verwendet wird, die gewisse mathematische Subtilitäten in den Hintergrund treten lässt. Auf diese wird aber im Abschnitt "Mathematische Bemerkungen" eingegangen.


title: Hermitescher Operator

text: Sei formula_1 ein Operator auf einem Hilbertraum, das heißt eine Abbildung auf diesem Hilbertraum in sich. Die Elemente dieses Hilbertraums werden als Ket-Vektoren formula_2 geschrieben und repräsentieren oft Funktionen aus formula_3-Räumen, z. B. die Wellenfunktion formula_4 eines quantenmechanischen Zustands. Ein solcher Operator transformiert einen Vektor in einen anderen:


title: Hermitescher Operator

text: Dabei wird nicht gefordert, dass jedem Vektor ein anderer zugeordnet wird; oft gelingt eine solche Zuordnung nur für Vektoren eines dichten Teilraums. Ist zum Beispiel der Hilbertraum ein formula_3-Raum und der Operator ein Ableitungsoperator, so kann er nur auf differenzierbare Funktionen wirken.


title: Hermitescher Operator

text: Diese Operation soll linear sein, um das physikalisch relevante Superpositionsprinzip zu sichern. Die komplexe Zahl formula_7, also das Skalarprodukt von formula_8 mit einem Bra-Vektor formula_9 eines weiteren Zustands, wird in der Physik durchgängig als das Matrixelement von formula_10 bezeichnet.


title: Hermitescher Operator

text: Bisweilen wird über das Operatorsymbol noch ein Dach gesetzt, um die Wirkung des Operators formula_11 auf einen Vektor formula_2 von der Multiplikation des Vektors mit einer komplexen Zahl formula_1 zu unterscheiden. Das ist aber nur dann erforderlich, wenn man Operatoren und ihre Eigenwerte mit demselben Buchstaben bezeichnen will, man kann dann eine Eigenwertgleichung formula_14 schreiben. Davon wird in diesem Artikel kein Gebrauch gemacht.


title: Hermitescher Operator

text: Der zu formula_1 adjungierte Operator formula_16  ist dadurch definiert, dass seine Matrixelemente die konjugiert komplexen Zahlen der transponierten Matrixelemente von formula_10 sind, wenn man Bra und Ket miteinander vertauscht:


title: Hermitescher Operator

text: Daher ist formula_19 der Bra, der dem Ket formula_20 zugeordnet ist, und man kann im Matrixelement ohne Gefahr einer Verwechselung auf die runden Klammern verzichten.


title: Hermitescher Operator

text: Ist formula_21, wird das Matrixelement der "Erwartungswert von formula_10 im Zustand formula_23" genannt.


title: Hermitescher Operator

text: formula_1 heißt "formal selbstadjungiert" (oder, im physikalischen Sprachgebrauch üblich, "hermitesch"), wenn formula_25.


title: Hermitescher Operator

text: Alle Erwartungswerte sind dann reell, denn für jeden Vektor formula_27 aus dem Definitionsbereich gilt formula_28.


title: Hermitescher Operator

text: Dann ist auch jeder Eigenwert von formula_10 reell, denn die Eigenwerte sind die Erwartungswerte zu den jeweiligen normierten Eigenvektoren. Da in der Quantenmechanik alle messbaren Größen (Observablen) durch Erwartungs- oder Eigenwerte von Operatoren dargestellt werden, muss es sich hierbei um hermitesche Operatoren handeln, damit die vorhergesagten Messergebnisse reell sind.


title: Hermitescher Operator

text: In der Ortsdarstellung betrachtet man den Raum formula_30 aller quadrat-integrablen Funktionen auf dem dreidimensionalen Anschauungsraum. Typische hermitesche Operatoren sind etwa die Multiplikation mit der formula_31-Koordinate zur Messung der formula_31-Koordinate des Aufenthaltsortes eines Teilchens,


title: Hermitescher Operator

text: wobei formula_36 für das skalare Potential eines Feldes steht, unter dessen Einfluss sich das Teilchen bewegt.


title: Hermitescher Operator

text: Ein zweidimensionales Beispiel erhält man durch die Behandlung des Spins. Der Raum wird von den beiden Vektoren „Spin hoch“ formula_37 und „Spin runter“ formula_38 erzeugt. Die Operatoren auf zweidimensionalen Räumen sind formula_39-Matrizen, zum Beispiel die hermiteschen Pauli-Matrizen.


title: Hermitescher Operator

text: Ein endlichdimensionaler hermitescher Operator formula_1 (eine hermitesche Matrix) mit den Elementen formula_41 wird wie folgt adjungiert:


title: Hermitescher Operator

text: wobei formula_43 die komplexe Konjugation von formula_44 ist. Es gilt also formula_45, das heißt, die formula_46-te Komponente der Adjungierten ist die komplexe Konjugation der formula_47-ten Komponente der Ausgangsmatrix.


title: Hermitescher Operator

text: Das folgende einfache Beispiel zeigt deutlich den Unterschied zwischen symmetrischen und hermiteschen (=selbstadjungierten) Operatoren. Wir betrachten den Impulsoperator in formula_31-Richtung formula_49. Genauer wird man als Definitionsbereich für die Funktion formula_50 ein endliches (oder unendliches) Intervall definieren, etwa formula_51, und wird zunächst nur festlegen wollen, dass die Funktion formula_52 auf dem angegebenen Intervall quadratintegrabel ist. Es bleibt dann die Frage, welche Randbedingungen man für formula_50 fordern soll. Zunächst ist man geneigt, anzunehmen, dass formula_54 sein sollte; denn dann ist – wie man leicht mittels partieller Integration zeigen kann – die „Symmetrie“ gegeben:


title: Hermitescher Operator

text: weil beim „Überwälzen“ der Ableitung von rechts nach links durch die partielle Integration unter dem Integral, dem letzten Term vor dem äußersten Gleichheitszeichen, ein Minuszeichen entsteht, das durch den Term formula_56 und den Übergang zum konjugiert Komplexen kompensiert wird, formula_57, während die Randterme bei der Integration explizit Null ergeben. Die Randterme kompensieren sich aber auch zu Null, wenn man nur fordert, dass die Funktion formula_50 die Bedingung formula_59 erfüllen soll.


title: Hermitescher Operator

text: Mit der zweiten, der "abgeschwächten" Randbedingung ist das System aber nicht bloß „symmetrisch“, wie mit der ersten Randbedingung, sondern sogar selbstadjungiert. Das ist nicht nur mathematisch, sondern physikalisch relevant: Nur so erhält man Messbarkeit und ein vollständiges System von Eigenfunktionen. Diese sind hier konkret benennbar, formula_60 wobei formula_61 die ganzen Zahlen durchläuft. Dagegen würde zu der erstgenannten Randbedingung keine einzige dieser Funktionen passen, denn sie haben alle an der entscheidenden Stelle, formula_62, von Null verschiedene Werte.


title: Hermitescher Operator

text: Die erstgenannte Randbedingung ist also unphysikalisch und nur mit speziellen nicht-trivialen Potentialen näherungsweise realisierbar, während bei der zweiten Randbedingung freie Elektronen und verschwindendes Potential angenommen werden können.


title: Hermitescher Operator

text: Schon obige Beispiele zeigen, dass die quantenmechanischen Operatoren nicht auf alle Ket-Vektoren angewendet werden können. Das Ergebnis der Multiplikation mit der formula_31-Koordinate liegt im Allgemeinen nicht mehr im Hilbertraum formula_30 der Ket-Vektoren, und im Falle des Hamilton-Operators fehlt es manchen formula_3-Funktionen an Differenzierbarkeitseigenschaften. Da nutzt auch eine Verallgemeinerung auf Distributionsableitungen nichts, da nicht alle solche Ableitungen wieder im Raum der Ket-Vektoren liegen. Man ist daher gezwungen, die Operatoren in ihrem Wirkungsbereich auf einen Unterraum einzuschränken, der aber wenigstens noch eine dichte Teilmenge im Raum aller Ket-Vektoren ist. Ist in physikalischen Darstellungen bei einer Operatorengleichung von „allen“ Ket-Vektoren die Rede, so sind immer alle des Definitionsbereichs der beteiligten Operatoren gemeint.


title: Hermitescher Operator

text: Die Beschränkung auf einen Teilraum hat zur Folge, dass auch der adjungierte Operator nicht überall definiert ist. Die Forderung, dass formula_66 für alle Ket-Vektoren (aus dem Definitionsbereich von formula_1) reell ist, bedeutet dann, dass formula_16 eine Erweiterung des Operators formula_1 ist, das heißt der Definitionsbereich von formula_16 umfasst denjenigen von formula_1 und beide Operatoren stimmen auf letzterem überein. Solche Operatoren nennt man symmetrisch.


title: Hermitescher Operator

text: Symmetrische Operatoren sind im Allgemeinen nicht selbstadjungiert, das heißt im Allgemeinen gilt nicht formula_72, denn dazu müssten die Definitionsbereiche beider Operatoren übereinstimmen. Die physikalisch relevanten Operatoren, die messbare Größen beschreiben, sind aber selbstadjungiert, denn nur dann hat man den vollen Spektralsatz (in der Sprache der Physik: den „Entwicklungssatz“) zur Verfügung. Diesen braucht man u. a. in der axiomatischen Behandlung des quantenmechanischen Messprozesses (siehe z. B. quantenmechanischer Zustand) und bei der konkreten Berechnung von Funktionen von Operatoren, wie das etwa durch den Unbeschränkten Borel-Funktionalkalkül ermöglicht wird. Oft kann man symmetrische Operatoren durch gewisse Abschlussoperationen zu selbstadjungierten Operatoren erweitern. Das gilt insbesondere für nach unten beschränkte Operatoren, wie sie bei Hamilton-Operatoren auftreten, denn Energien sind nach unten beschränkt, siehe dazu die Friedrichssche Erweiterung.


title: Hermitescher Operator

text: In vielen Physik-Lehrbüchern wird kein großes Gewicht auf diesen Unterschied gelegt. Zum einen bringt die Betrachtung der Definitionsbereiche meist keine tieferen physikalischen Einsichten über das betrachtete System, und des Weiteren kann man sich in der Regel darauf verlassen, dass die Verwendung der „richtigen“ Operatoren, gepaart mit der „richtigen“ physikalischen Intuition, zu „richtigen“ Ergebnissen führt. Ferner liegen alle physikalisch relevanten Funktionen, auf die es die Operatoren anzuwenden gilt, nämlich die Eigenfunktionen, stets im Definitionsbereich. Vorsicht ist auch bei den sogenannten „uneigentlichen Eigenfunktionen“ angebracht (z. B. bei Dirac-Funktionen oder bei monochromatischen Wellen), denn diese sind nicht normierbar und liegen daher nicht im Raum der Ket-Vektoren.


title: Hermitescher Operator

text: Die diracsche Notation unterstützt die pragmatische Herangehensweise der Physiker. Eine mathematisch vollständige Darstellung der Quantenmechanik bis einschließlich der Lösung des Wasserstoffproblems findet man im unten angegebenen Lehrbuch von Hans Triebel.


title: Weißensee (Kärnten)

text: Weißensee ist eine Gemeinde im Bezirk Spittal an der Drau in Kärnten, in Österreich mit Einwohnern (Stand ). Die 1850 gegründete Gemeinde hieß bis 1968 Techendorf und liegt am Ufer des Weißensee am Fuß der Gailtaler Alpen. Der Ort verfügt über 192 Beherbergungsbetriebe bildet eine Station auf dem Europäischen Fernwanderweg E10 sowie auf dem Rupertiweg und gehört zur 2006 gegründeten touristischen Kooperation Alpine Pearls.


title: Weißensee (Kärnten)

text: Die Gemeinde liegt am 11,6 km langen Weißensee am Fuß der Gailtaler Alpen. Bis auf ein kleines Stück des Ostufers (Gemeinde Stockenboi) befindet sich der gesamte See im Gemeindegebiet, das sich in Richtung Osten bis zum Staff und Villacher Egel, im Westen bis zum Kreuzberg erstreckt. Der namensgebende See ist mit einer Fläche von 6,5 km² der viertgrößte Kärntens und liegt auf einer Seehöhe von .


title: Weißensee (Kärnten)

text: Laut Volkszählung 2001 hatte Weißensee 788 Einwohner, davon besaßen 97,2 % die österreichische Staatsbürgerschaft. 73,6 % der Bevölkerung bekannten sich zur evangelischen und 22,0 % zur römisch-katholischen Kirche und 1,0 % waren islamischen Glaubens, 3,4 % ohne religiöses Bekenntnis.


title: Weißensee (Kärnten)

text: Die Gemeinde hat eine sehr konstante Bevölkerungsanzahl. Von rund 600 Einwohnern im Jahr 1869 wurden 1951 erstmals mehr als 700 Einwohner gezählt. Diese Zahl blieb auch in den letzten Jahrzehnten bei knapp über 750 Personen.


title: Weißensee (Kärnten)

text: Die ältesten Besiedelungsspuren stammen aus dem Jahr 400 vor Christus von Tauriskern, Kelten und Norikern.


title: Weißensee (Kärnten)

text: Ein wohl vor 1980 in Weissensee gefundener Einbaum wurde mittels Radiokohlenstoffdatierung in die erste Hälfte des 7. Jahrhunderts datiert.


title: Weißensee (Kärnten)

text: Die erste urkundliche Erwähnung des Weißensees stammt aus dem Zeitraum 1075–1090. Die Edle Judith von Stein schenkte dem Bischof Altwin von Brixen "piscatorem unum apud Wizinse" „einen Fischer am Weißensee“. Dabei handelt es sich wohl weniger um einen physischen Fischer als um ein Fischereigebiet oder Fischereirecht am Weißensee. Die ältesten Überreste einer Holzbrücke über den See, die beim Neubau der Brücke 1967 gefunden wurden, verweisen ebenfalls in die Zeit um 1050. Der gesamte Westteil des Weißensees und sogar ein kleiner Teil des Ostufers (Mößel) gehörten zur Herrschaft Greifenburg. Kirchlich gehörte der Weißensee bis 1751 zur Erzdiözese Aquiliaea aber auch das Stift Millstatt hatte Besitzungen am Weißensee. 1485 schickt der Patriarch Marco Barbo den Bischof von Caorle, Pietro Carlo, zur Visitation der Pfarren südlich der Drau nach Kärnten. Der Bischof wird begleitet von seinem Sekretär Paolo Santonino. In seinem "Itinerarium" (Reisetagebuch) schreibt Santonino:


title: Weißensee (Kärnten)

text: Der im Reisebericht erwähnte Nikolaus Jank stammte wahrscheinlich aus Gatschach, der Vulgarname "Jank" (umgangssprachlich: "Jongg)" ist in Gatschach 2 noch erhalten.


title: Weißensee (Kärnten)

text: Etwa in der Mitte des 16. Jahrhunderts breitete sich in weiten Teilen Kärntens der Protestantismus aus. Wann genau er am Weißensee Fuß fassen konnte, ist unklar. In Villach ist bereits für das Jahr 1526 ein evangelischer Prediger bezeugt. Für 1555 ist der evangelische Prediger Conrad Rues in Paternion belegt. 1621 wurde in Tscherniheim eine Glashütte errichtet, in der Arbeiter aus den unterschiedlichsten Regionen des Heiligen Römischen Reiches angestellt waren. Es ist anzunehmen, dass sie die neue Konfession aus dem Gebiet des heutigen Deutschlands mitbrachten. Ab 1600 wurden die Protestanten im Habsburgerreich verfolgt. Bis zum Toleranzpatent (1781) gab es den Geheimprotestantismus auch am Weißensee. Das bedeutete aber nicht den kompletten Rückzug ins Private. So gab es in jeder Ortschaft Gemeinderichter, die kleinere Nachbarschaftsstreitigkeiten schlichteten. In der zweiten Hälfte des 18. Jh. übernahm für Techendorf diese Aufgabe Christoph Winkler vlg. Moserwirt (1738–1790) und für Gatschach Jakob Winkler vlg. Pletz (1740–1800). Jakob Winkler war dann auch der erste Kurator der 1782 neugegründeten evangelischen Gemeinde Weißbriach/Weißensee. Er machte sich gemeinsam mit Johann Hasslacher aus Weißbriach auf den Weg nach Modra in der heutigen Slowakei, um einen Pastor für die neue Gemeinde anzuwerben. Sie fanden Johann Gottfried Gotthardt, der somit der erste Pfarrer der Gemeinde Weißbriach/Weißensee war. Nach dem Toleranzpatent (1781) bekannte sich am Weißensee etwa 95 % der Bevölkerung zum evangelischen Glauben. 1783 wurde das evangelische Bethaus geweiht; es diente bis 1986 als Gemeindeamt und Schule.


title: Weißensee (Kärnten)

text: Als Relikt aus den Napoleonischen Kriegen gelten Einschusslöcher im Getreidekasten beim Moserwirt (Hotel Moser) in Techendorf.


title: Weißensee (Kärnten)

text: Im Jahr 1827 wurde der Weißensee vermessen und die Daten in den Franziszeischen Kataster aufgenommen – dem Vorläufer des heutigen Grundbuchs.


title: Weißensee (Kärnten)

text: Als sich 1850 die Katastralgemeinde Techendorf als eigene Ortsgemeinde konstituierte, war ihr Umfang bereits ähnlich groß und hat sich durch die Grenzkorrekturen im 20. Jahrhundert nur noch unwesentlich verändert. Die Fertigstellung der Eisenbahnlinie durch das obere Drautal 1871 mit der Haltestelle in Greifenburg ermöglichte den Beginn des Tourismus am Weißensee. Das erste erhaltene Gästebuch stammt aus dem Jahr 1885.


title: Weißensee (Kärnten)

text: Die ersten größeren Beherbergungsbetriebe wurden Anfang des 20. Jahrhunderts erbaut: 1911 Villa Regitnig in Techendorf, 1926 Hotel Enzian in Neusach, 1928 Nagglerhof in Naggl. Zu den ältesten Gasthöfen zählen der 1618 erbaute Pletzwirt in Gatschach 3 (heute: Gasthof Weißensee) und der Moserwirt in Techendorf 17.


title: Weißensee (Kärnten)

text: Nach dem 2. Weltkrieg konnten sich der Gauleiter Friedrich Rainer, Odilo Globocnik und einige SS-Männer, darunter Ernst Lerch, Hermann Höfle und Georg Michalsen, noch bis 31. Mai 1945 auf der Mößlacher Alm am Weißensee verstecken, bis sie von einem englischen Kommando verhaftet wurden.


title: Weißensee (Kärnten)

text: Im Jahr 1970 wurde der Weißensee mit seinem gesamten Umland zum Landschaftsschutzgebiet erklärt. Die Region wurde 1995 mit dem „Europäischen Preis für Tourismus und Umwelt“ ausgezeichnet und zum Naturpark erklärt.


title: Weißensee (Kärnten)

text: 2014 versucht die Goldmedaillen-Gewinnerin Anni Friesinger vier kenianische Weltklasseläufer für die deutsche Fernsehsendung "Real Cool Running – Von Kenia auf’s Eis" für einen 100-Kilometer-Eislaufmarathon auf dem Weißensee in Österreich vorzubereiten.


title: Weißensee (Kärnten)

text: Die Höhenlage des Sees bewirkt recht zuverlässiges ausreichend festes Zufrieren im Winter und die Länge des Sees begünstigt Strecken-Eislaufen. Seit 1989 findet in der zweiten Jännerhälfte das weltgrößte Eisschnelllauf-Spektakel am Natureis des Sees statt. Die "alternative holländische 11-Städte-Tour" hat typisch über 3000 Teilnehmer. Die längste Distanz beträgt 200 km und wurde als Weltrekord hier in 5 Stunden und 11 Minuten gelaufen.


title: Weißensee (Kärnten)

text: Der Eismeister schneidet gegen Ende der Saison täglich eine etwa 5–10 cm breite Fuge in das Eis des Sees, um Spielraum für die zu erwartende Ausdehnung während des Tages zu schaffen und zu vermeiden, dass sich das Eis aufwirft. Mitunter erlaubt Spiegeleis, das sich bei Abwesenheit von Schneefall bildet, den Blick durch das Eis auf die Fischwelt. Poröses Schneeeis wurde im Dezember 2021 auf einer 20 m breit geräumten Bahn mittels einer kfz-transportablen Pumpe mit 600 m Seewasser bespritzt, um die Poren zu füllen.


title: Weißensee (Kärnten)

text: Im Jahr 2018 gewann Anne Tauber die Alternative Elfstedentocht am Weißensee, im Jahr 2020 wurde sie Zweite bei der "Open Dutch Championship Natural Ice" auf dem Weißensee.


title: Weißensee (Kärnten)

text: Der Weißensee wird auch als „Angel-Hot-Spot“ beworben, vor allem das jährlich ausgerichtete Angeln um die "Goldene Forelle vom Weissensee" mit internationalen Teilnehmern zählt zu den traditionellen Sportveranstaltungen.


title: Weißensee (Kärnten)

text: Die "Weissensee Bergbahn GmbH" betreibt nach eigenen Angaben fünf Lifte mit einer Gesamtlänge von 2480 m und einer Beförderungskapazität von 3980 Personen/h, sowie 6060 m Piste. Das Skigebiet erstreckt sich von bis auf


title: Weißensee (Kärnten)

text: Die evangelische Gemeinde Weißensee ist Teil der Evangelischen Superintendentur A. B. Kärnten und Osttirol der Evangelischen Kirche A.B. in Österreich.


title: Weißensee (Kärnten)

text: Die Wirtschaft der Gemeinde ist geprägt vom Tourismus im Sommer und Winter. Die abgelegene Lage des fjordartigen Alpensees und der Naturpark locken viele Urlauber an. Im Jahr 2019 verzeichnete die Gemeinde 450.000 Übernachtungen, den Großteil davon in den Sommermonaten Juli und August. Bereits 1975 zählte Weißensee 400.000 Nächtigungen.


title: Weißensee (Kärnten)

text: Weißensee in Kärnten gehört zu den 24 Gemeinden in Österreich (Stand März 2019), die die höchste Auszeichnung des e5-Gemeinden Energieprojekts erhalten haben. Das e5-Gemeinde-Projekt fördert die Umsetzung einer modernen Energie- und Klimapolitik auf Gemeindeebene.


title: Weißensee (Kärnten)

text: Weißensee ist Mitglied der Alpine Pearls, die sich für umweltfreundliche Mobilität im Alpenraum einsetzen.


title: Weißensee (Kärnten)

text: Wappenbeschreibung: Der blaue Grund im Wappen von Weißensee spielt auf den See an, der silberne Bord auf die durch Seekreide bedingten weißen Sandbänke, denen der See vermutlich seinen Namen verdankt. Die Brücke ist das Wahrzeichen von Techendorf, sie wurde 1348 erstmals urkundlich genannt und seither immer wieder erneuert und zuletzt 1967 durch die heutige Stahlbetonkonstruktion mit vier Pfeilern ersetzt. Das silberne W steht für den Ortsnamen und wurde schon vor der Verleihung des Wappens als Bestandteil eines Fremdenverkehrslogos verwendet.


title: Weißensee (Kärnten)

text: Wappen und Fahne wurden der Gemeinde am 26. März 1992 verliehen, die Fahne ist Blau-Weiß mit eingearbeitetem Wappen.


title: Weißensee (Kärnten)

text: Aufgrund der beeindruckenden Naturlandschaft bietet sich Weißensee als Hintergrund für verschiedene Film- und Fernsehprojekte an. Die folgende Liste zeigt eine Auswahl von teilweise in Weißensee gedrehten Filmen:


title: Knöllchenbakterien

text: Als Knöllchenbakterien oder Rhizobien (altgriechisch ῥίζα "rhiza" = Wurzel und βίος "bios" = Leben) werden bestimmte Bakterien aus der Familie der Rhizobiaceae bezeichnet. Sie gehören zur Klasse der Alphaproteobacteria. Rhizobien sind gramnegativ, können sich mittels eines polaren oder subpolaren Flagellums oder 2 bis 6 peritrich angeordneter Flagellen aktiv bewegen, sind aerob und chemoorganotroph.


title: Knöllchenbakterien

text: Rhizobien sind häufige und verbreitete Bodenbakterien. Ihre besondere Bedeutung liegt in ihrer Fähigkeit, mit Pflanzen aus der Familie der Hülsenfrüchtler (Fabaceae) eine mutualistische Symbiose einzugehen. Die Lebensgemeinschaft ist sehr eng und führt bei den Rhizobien zu umfassenden morphologischen und physiologischen Veränderungen, bei den Pflanzen zur Ausbildung spezieller Organe. Rhizobien besitzen die Fähigkeit, elementaren, molekularen Stickstoff (N) zu binden, indem sie ihn zu Ammoniak (NH) bzw. Ammonium (NH) reduzieren und damit biologisch verfügbar machen. Dies ist ihnen jedoch nur in der Symbiose mit Pflanzen möglich. Unter natürlichen Bedingungen können weder Leguminosen noch Rhizobien allein molekularen Stickstoff fixieren. Diese Symbiose ist von großer sowohl biologischer als auch wirtschaftlicher Bedeutung.


title: Knöllchenbakterien

text: Der Zusammenhang zwischen Wurzelanschwellungen und dem Befall mit Bakterien wurde 1866 erstmals vom russischen Botaniker Michail Stepanowitsch Woronin am Beispiel der Lupine beschrieben, der auch den Begriff der Knöllchenbakterien prägte. Hermann Hellriegel und Hermann Wilfarth entdeckten 1886 die Symbiose der Leguminosen und Bakterien und deren Fähigkeit, elementaren Luftstickstoff in pflanzenverfügbare Stickstoffverbindungen zu überführen.


title: Knöllchenbakterien

text: Pflanzenwurzeln geben verschiedene organische Verbindungen ab. Diese Exsudate dienen unter anderem der Herausbildung einer speziellen Mikroorganismengesellschaft aus Bakterien und Pilzen in der Rhizosphäre, also der unmittelbaren Umgebung der Wurzel. Die sich aktiv bewegenden Rhizobien werden durch Wurzelexsudate chemotaktisch angelockt. Sie sind unter bestimmten Voraussetzungen in der Lage, in die Wurzel einzudringen („Infektion“). Voraussetzung für eine erfolgreiche Infektion ist stets eine kompatible und hoch spezifische Erkennung zwischen Bakterien und Pflanzenzellen auf molekularer Ebene. Die Infektion beginnt immer an bestimmten Wurzelzellen, den so genannten Wurzelhaaren.


title: Knöllchenbakterien

text: Die ersten Schritte, Erkennung und Anheftung an die Wurzelhaarzelle, erfolgen durch spezielle Proteine auf der Oberfläche der Bakterien- und Pflanzenzelle. Eines der durch Rhizobien gebildeten Proteine ist Rhicadhesin, das an Calciumverbindungen auf der Pflanzenzelle bindet. Auch pflanzliche Lektine spielen eine Rolle, wie zum Beispiel das durch Weißklee gebildete Trifolin, das an spezielle Kohlenhydrate der äußeren Zellmembran bestimmter Rhizobienstämme bindet.


title: Knöllchenbakterien

text: Nach der Anheftung beginnen die Rhizobien, in die Wurzelhaarzelle einzudringen. Dies erfolgt immer an der Spitze des Wurzelhaares, das sich daraufhin auf charakteristische Weise einkrümmt und so die Bakterienzelle umschließt.


title: Knöllchenbakterien

text: Phenolische Wurzelexsudate (zum Beispiel Luteolin) aktivieren eine Reihe bakterieller Gene, die in Anlehnung an ihre Funktion als "nod"-Gene bezeichnet werden. "nod" steht für Nodulation, das bedeutet Knötchen- oder Knöllchenbildung. Einige der gebildeten Nod-Proteine werden nach außen abgegeben, wirken auf die Pflanzenzellen und sind für die erfolgreiche Interaktion zwischen Pflanzen- und Bakterienzellen notwendig.


title: Knöllchenbakterien

text: Die Bakterien veranlassen die Wurzelhaarzelle, Cellulose zu bilden und induzieren einen Infektionskanal in Richtung Wurzelmitte. Entlang dieses Kanales werden anschließend benachbarte Zellen der Wurzelrinde infiziert. Die verstärkte Ausschüttung der bakteriellen "nod"-Faktoren veranlasst die benachbarten Zellen, sich zu teilen und sich zu vergrößern, die hierbei entstehenden Wurzelzellen sind außerdem oft polyploid. Dies führt zur Bildung knötchenartiger Wurzelverdickungen, der „Wurzelknöllchen“, in denen sich die Rhizobien befinden.


title: Knöllchenbakterien

text: Zunächst vermehren sich die schlanken, stäbchenförmigen Bakterien. Anschließend beginnen die meisten, sich in verdickte, unförmige und verzweigte Zellen, so genannte Bacteroide oder Bacterioide zu verwandeln. Diese werden von den infizierten Pflanzenzellen in Membranen eingehüllt und bilden Zellorganellen, die als Symbiosomen bezeichnet werden. Es gibt Hinweise darauf, dass jedes Wurzelknöllchen aus der Infektion durch ein einziges Bakterium hervorgeht. Die Bacteroide eines Knöllchens wären in diesem Falle Klone. Den Bacteroiden fehlt die für Proteobakterien typische äußere Zellmembran. Sie sind außerdem nicht mehr in der Lage, sich zu vermehren oder sich in die ursprünglichen, vermehrungsfähigen Zellen zurückzuverwandeln. Mit fortschreitendem Alter nimmt der Verzweigungsgrad der Bacteroide zu.


title: Knöllchenbakterien

text: Die Enzyme für die N-Fixierung besitzen nur die Rhizobien, nicht die Pflanzen. Das wichtigste Enzym, die molybdänhaltige Nitrogenase, ist jedoch in hohem Maße sauerstoffempfindlich. Bereits geringe Sauerstoffkonzentrationen inaktivieren das Enzym irreversibel. Die Bacteroide sind ihrerseits jedoch nicht in der Lage, völlig ohne Sauerstoff zu leben. Für die erfolgreiche Stickstoff-Fixierung muss die Sauerstoffkonzentration in den Wurzelknöllchen also genau ausbalanciert sein. Diese Funktion übernimmt die Pflanzenzelle, indem sie ein eisenhaltiges Protein in den Knöllchen bildet. Dieses Leghämoglobin bindet überschüssigen Sauerstoff, hält dessen Niveau konstant und erfüllt somit eine Sauerstoffpuffer-Funktion. Das Leghämoglobin ähnelt in seinem Aufbau stark dem gleichfalls sauerstoffbindenden Bluthämoglobin (Es bindet aber lediglich ein Molekül Sauerstoff und nicht vier) und färbt das Gewebe aktiver Wurzelknöllchen blassrosa bis blutrot.


title: Knöllchenbakterien

text: Die Spaltung der Stickstoff-Dreifachbindung zur anschließenden Fixierung erfordert sehr viel Energie. Um ein Molekül Stickstoff zu spalten, werden 16 ATP und 4 NADH benötigt. Um 16 ATP zu generieren, müssen mindestens vier Moleküle Sauerstoff in der Atmungskette reduziert werden. Das heißt, eine optimale Fixierung bräuchte ein Gasgemisch aus vier Teilen Sauerstoff und einem Teil Stickstoff. Bekanntermaßen ist das Verhältnis dieser beiden Gase in der Atmosphäre aber umgekehrt. Sauerstoff ist in den Zellen also „Mangelware“. Tatsächlich erhöht das Leghämoglobin den Sauerstofffluss zu den Bacteroiden aufgrund der deutlich besseren Löslichkeit des Leghämoglobin-Sauerstoff-Komplexes gegenüber dem einfachen Sauerstoffmolekül und das trotz der herabgesetzten Diffusionsgeschwindigkeit aufgrund des enormen Zuwachses an Volumen und Masse.


title: Knöllchenbakterien

text: Das sauerstoffempfindliche, stickstofffixierende Enzym, die Nitrogenase, wird von Bacteroiden selbst geschützt, da die Atmungskette, in der das ATP gebildet wird, in seiner Membran, also außen, lokalisiert ist. Dort wird der Sauerstoff verbraucht und kann so der Nitrogenase im Inneren der Bacteroiden nicht schaden, es sei denn, es kann aus irgendwelchen Gründen nicht ausreichend Sauerstoff an der Atmungskette verbraucht werden.


title: Knöllchenbakterien

text: Bis vor Kurzem nahm man an, dass die Komponenten für die Bildung des funktionsfähigen Hämoglobins kooperativ hergestellt würden: Die Proteinkomponente, also das Globin, würde durch die Pflanzenzelle synthetisiert, während der Häm-Anteil mit dem Porphyrinring durch die Bacteroide gebildet und in die Pflanzenzelle exportiert würde. In der Pflanzenzelle erfolge dann unter Einbau des Eisen-Ions die Assemblierung des vollständigen Leghämoglobins. Neuere Erkenntnisse zeigen jedoch, dass sich der Bauplan für Leghämoglobin ausschließlich auf der DNA der Pflanze befindet und das Leghämoglobin auch nur dort synthetisiert wird.


title: Knöllchenbakterien

text: Die Bacteroide sind ernährungsphysiologisch von der Pflanze abhängig. Die Pflanze stellt zur Deckung des Energiebedarfes für die Stickstoff-Fixierung organische Kohlenstoffverbindungen wie Succinat, Malat und Fumarat, also Zwischenprodukte des Citratzyklus zur Verfügung. Diese Stoffe stammen ursprünglich aus der Photosynthese der Pflanze. Durch den Abbau der Verbindungen gewinnen die Bacteroide Energie in Form von ATP und Reduktionsmittel, in diesem Falle Pyruvat, zur Spaltung und Reduktion des Stickstoffmoleküls. Diese Reaktion ist außerordentlich energieaufwändig. Zur Umwandlung eines einzigen N-Moleküls sind mindestens 16 Moleküle ATP notwendig.


title: Knöllchenbakterien

text: Die Bacteroide liefern im Gegenzug an die Pflanzenzelle hauptsächlich Ammoniak (NH) als erstes stabiles Produkt der Stickstoff-Fixierung, das im wässrigen Milieu zu Ammoniumionen (NH) umgesetzt wird. Ammoniak ist jedoch ein starkes Zellgift. Um eine Ammoniak-Anreicherung in den Pflanzenzellen zu vermeiden, wird dieses sofort zur Synthese von Glutamin und Glutaminsäure weiterverwendet (Ammoniak-Assimilation).


title: Knöllchenbakterien

text: Die bakteriellen Gene für die Etablierung der Symbiose und auch für die Stickstoff-Fixierung befinden sich in der Regel nicht im bakteriellen Genom, sondern auf einem Plasmid, dem "sym"-Plasmid.


title: Knöllchenbakterien

text: Die Gene, die für die Knöllchenbildung notwendig sind und vorrangig auf die Pflanzenzellen wirken, werden als "nod-"Gene bezeichnet ("nod" steht für Nodulation – Knötchenbildung). Die Gene für die Stickstoff-Fixierung werden "nif"-Gene genannt ("nif" steht für "nitrogen fixation" – Stickstoff-Fixierung).


title: Knöllchenbakterien

text: Daneben sind Gene vorhanden, die für die hoch spezifische Erkennung zwischen Bakterien- und Pflanzenzelle notwendig sind: Rhizobien gehören immer einer speziellen Kompatibilitätsgruppe an. Ein bestimmter Bakterienstamm kann unter natürlichen Bedingungen meist nur mit einer bestimmten Pflanzenart eine Symbiose eingehen. Bakterien, die sich zum Beispiel auf Klee ("Trifolium sp.") spezialisiert haben, können mit anderen Leguminosen keine erfolgreiche Symbiose etablieren. Man spricht in diesem Falle von „Biovaren“: "Rhizobium leguminosarum" biovar "trifolii" ist ein Stamm, den man nur an Klee findet. Um eine neue Leguminosenart an einem Standort erfolgreich zu etablieren ist es oft notwendig, den Boden bzw. das Saatgut mit den entsprechenden Rhizobien zu impfen. Überträgt man jedoch die Kompatibilitätsgene, können auch andere Pflanzen als Symbionten dienen.


title: Knöllchenbakterien

text: Stickstoff ist für alle Organismen essentiell. Er ist ein wesentlicher Bestandteil von Aminosäuren und damit von Proteinen, aber auch von Nucleinsäuren, also DNA und RNA.


title: Knöllchenbakterien

text: Tiere gewinnen ihren Stickstoff meist durch Aufnahme kompletter Aminosäuren, indem sie sich von anderen Organismen ernähren. Sie verfügen daher über ausreichende Stickstoffquellen.


title: Knöllchenbakterien

text: Die meisten Pflanzen und viele Mikroorganismen können hingegen nur anorganischen Stickstoff assimilieren. Gebundener, also in Verbindungen vorliegender und damit biologisch verfügbarer Stickstoff kommt als Nitrat, Harnstoff oder Ammonium in Gewässern und Böden vor. Solche Stickstoffverbindungen sind unter natürlichen Bedingungen aber meist knapp und limitierend für das Wachstum dieser Organismen. Der größte Stickstoff-Vorrat befindet sich in elementarer, molekularer Form (N) in der Luft (78 Volumenprozent) und gelöst im Wasser, ist in dieser Form für Tiere, Pflanzen, Pilze und die meisten Mikroorganismen aber nicht nutzbar. Nur einige Bakterien und Archaeen verfügen über die Enzyme, mit deren Hilfe N reduziert und in eine Form umgewandelt werden kann, die für andere Organismen nutzbar ist (Stickstoff-Fixierung). Die bakterielle Stickstoff-Fixierung ist damit von grundlegender Bedeutung für das Leben und den globalen Stickstoffkreislauf.


title: Knöllchenbakterien

text: Durch die Symbiose mit Rhizobien wird für die Pflanzen indirekt N verfügbar. Leguminosen haben deshalb auf stickstoffarmen Böden einen klaren Selektionsvorteil. Viele Schmetterlingsblütler spielen außerdem eine wichtige Rolle als Pionierpflanzen auf Sand und Schutt, Halden und Kahlschlägen.


title: Knöllchenbakterien

text: Man schätzt die Menge des jährlich fixierten Stickstoffs auf über 120 Millionen Tonnen. Pflanzen, die auf diese Weise auf weniger wertvollen Böden gedeihen, haben großen Anteil an der Landwirtschaft und unserer Nahrungsgrundlage. Leguminosen und deren Früchte sind häufig proteinreich, was sicher auf die gute Versorgung mit Stickstoff zurückzuführen ist. Daneben werden Leguminosen als Gründüngung zur natürlichen Anreicherung des Bodens mit Stickstoff kultiviert.


title: Knöllchenbakterien

text: Die bekanntesten Pflanzenarten, die mit Rhizobien in Symbiose leben, gehören zu den Schmetterlingsblütlern (Faboideae), aber auch innerhalb der mit diesen eng verwandten Johannisbrotgewächsen (Caesalpinioideae) und Mimosengewächsen (Mimosoideae) findet man Symbiosen mit Rhizobien.


title: Knöllchenbakterien

text: Wichtige Rhizobien-Arten sind "Rhizobium leguminosarum, R. tropici, R. loti, R. trifolii, R. meliloti, R. fredii, Bradyrhizobium japonicum, B. elkanii, Azorhizobium caulinodans" (tropisch, bildet Stängelknöllchen).


title: Knöllchenbakterien

text: Die Symbiose zwischen Pflanzen und Stickstoff fixierenden Bakterien ist aber nicht auf Leguminosen und Rhizobien beschränkt. Enge Lebensgemeinschaften findet man zum Beispiel auch zwischen Erlen und Aktinomyzeten der Gattung "Frankia", hier wird die Symbiose Aktinorrhiza genannt. Ein weiteres Beispiel ist die Symbiose vom tropischen Schwimmfarn "Azolla" mit Cyanobakterien der Gattung "Anabaena".


title: Knöllchenbakterien

text: Ansammlungen stickstoffbindender Bakterien konnten auch in der Rhizosphäre verschiedener Gräser nachgewiesen werden. Kohlenhydrate, die die Pflanzenwurzeln absondern, dienen hier als Energiequelle.


title: Knöllchenbakterien

text: Es existieren auch frei lebende Bakterien, die – ohne eine Symbiose einzugehen – N nur für den Eigenbedarf assimilieren (zum Beispiel "Azotobacter" und einige Cyanobakterien). Diese Art der Stickstoff-Assimilation, die „Stickstoff-Fixierung“, ist aufgrund des hohen Energiebedarfes jedoch streng reguliert und findet nur statt, wenn keine andere Stickstoffquelle verfügbar ist.


title: Dünsten

text: Dünsten ist eine Zubereitungstechnik der Kochkunst, bei der rohe Lebensmittel ohne oder mit nur wenig zusätzlicher Flüssigkeit gegart werden. Als Flüssigkeitszugabe werden neben Wasser auch Wein, Brühe oder Fond und fallweise auch Fett verwendet. Besonders geeignet für das Dünsten sind Lebensmittel mit einem gewissen Wassergehalt wie Fisch, Gemüse, helles, fett- und kollagen-armes Fleisch von Kalb, Kaninchen oder Lebensmittel mit einem gewissen Fettgehalt wie Hausgeflügel. Eine ältere Bezeichnung dieser Garmethode ist „Sotten“.


title: Dünsten

text: Allgemein ist für Fisch ein kurzes Dünsten die bevorzugte Methode, weil so sein Eigengeschmack und die zarte Textur am besten zur Geltung kommt und er nicht austrocknet wie beispielsweise beim Grillen. Eine Variante des Dünstens ist die Zubereitung "en papillotte", das Garen im eigenen Saft in einer hermetisch verschlossenen Folie.


title: Dünsten

text: Wenn das Lebensmittel keinen Kontakt zur Flüssigkeit hat, sondern nur im aufsteigenden Dampf gegart wird, spricht man vom Dämpfen.


title: Vanessa Voigt

text: Vanessa Voigt (* 7. Oktober 1997 in Schmalkalden) ist eine deutsche Biathletin. Ihr größter Erfolg ist der Gewinn der Bronzemedaille mit der deutschen Frauenstaffel bei den Olympischen Winterspielen 2022. Zudem war sie Siegerin der Gesamtwertung des IBU-Cups in der Saison 2020/21.


title: Vanessa Voigt

text: Vanessa Voigt stammt aus Seligenthal, in der Nachbarschaft ihres Elternhauses wohnt auch der ehemalige Biathlet Sven Fischer. Voigt hat zwei Brüder. Ihr Zwillingsbruder Kevin Voigt ist Fotograf.


title: Vanessa Voigt

text: Vanessa Voigt begann mit acht Jahren mit dem Langlaufen, 2010 wechselte sie wegen der besseren Trainingsbedingungen an das Sportgymnasium Oberhof. 2013 machte sie erste Versuche mit einer Biathlonwaffe, um sich den lange gehegten Kindheitswunsch Biathlon zu erfüllen und weil ihr „das einfache Laufen und das Bäume zählen“ zu langweilig wurde. Im Winter 2015/16 gewann sie die Gesamtwertung des Deutschlandpokals in ihrer Altersklasse.


title: Vanessa Voigt

text: Ihre ersten internationalen Rennen bestritt Voigt im Dezember 2016 im Rahmen des IBU-Junior-Cups 2016/17, beim zweiten Rennen der Saison erreichte sie in Lenzerheide mit einem dritten Platz ihre erste Podiumsplatzierung. Es folgten ein zweiter Platz – gemeinsam mit Christin Maier und Anna Weidel – im Staffelrennen von Hochfilzen sowie ein zweiter Platz im Staffelrennen der Biathlon-Juniorenweltmeisterschaften 2017 von Brezno-Osrblie an der Seite von Sophia Schneider und Anna Weidel. Die folgenden beiden Jahre lief sie auch im IBU-Junior-Cup und erreichte im Dezember 2017 beim Sprint in Obertilliach erneut einen zweiten Platz. Dem Juniorenalter entwachsen, bestritt sie im Winter 2019/20 ihre ersten Rennen im IBU-Cup. Im Januar 2020 erreichte sie im Sprint in Brezno-Orsblie mit einem dritten Platz ihre erste Podiumsplatzierung. Ebenfalls in Brezno-Osrblie wurde sie drei Tage später gemeinsam mit Lucas Fratzscher, Florian Hollandt und Franziska Hildebrand in der Mixedstaffel Zweite. Voigt konnte dabei als Schlussläuferin der Mannschaft mit fehlerfreiem Schießen und einer schnellen Laufzeit den Rückstand von gut 41 Sekunden auf die siegreiche Mannschaft aus Russland deutlich verkürzen und erreichte nur 2,6 Sekunden nach den Siegern das Ziel. Im Saisonverlauf erreichte sie noch mehrere Top-10-Platzierungen. Sie nahm auch an den Biathlon-Europameisterschaften 2020 in Minsk teil, ihre beste Platzierung war dort ein 13. Platz im Mixedstaffelrennen. Sie gewann bei den Biathlon-Europameisterschaften 2021 in Duszniki-Zdrój Silber in der Mixed-Staffel.