text: Die Ausbildung erfolgt dual und dauert drei Jahre. Es bestehen unter bestimmten Voraussetzungen Möglichkeiten zur Verkürzung der Ausbildungsdauer auf zweieinhalb oder zwei Jahre. Je nach Ausbildungsbetrieb (öffentlicher Dienst oder Privatwirtschaft) bilden Einrichtungen des Bundes bzw. der Länder (z. B. in NRW die Bezirksregierung Köln) oder die Industrie- und Handelskammern die zuständige Stelle nach dem BBiG.


title: Fachangestellter für Medien- und Informationsdienste

text: Der Berufsschulunterricht findet aufgrund der insgesamt geringen Zahl der Auszubildenden an einigen zentralen Stellen statt, die auf die Bundesländer verteilt sind, in Bayern z. B. an der städtischen Berufsschule für Medienberufe in München, in Baden-Württemberg an der Hermann-Gundert-Schule in Calw, in NRW an vier verschiedenen Standorten, u. a. am Joseph-DuMont-Berufskolleg in Köln oder am Karl-Schiller-Berufskolleg in Dortmund. Für den Freistaat Sachsen findet die Ausbildung an der Gutenbergschule in Leipzig statt. In Hamburg findet der Berufsschulunterricht an der Beruflichen Schule Anckelmannstraße statt, in der auch Schüler aus Schleswig-Holstein und Niedersachsen unterrichtet werden. Für Thüringen und Sachsen-Anhalt findet der Unterricht an dem Staatlichen Berufschulzentrum Kyffhäuserkreis in Sondershausen statt.


text: Der für Schüler mit mittlerem Bildungsabschluss (Mittlere Reife, Fachoberschulreife, mittlerer Schulabschluss (MSA)) konzipierte Ausbildungsgang wird in zunehmendem Maße von Abiturienten, Studienabbrechern und sogar von Hochschulabsolventen belegt. Dies führt in der Berufsschulausbildung häufig zu auffälligen Leistungsunterschieden zwischen den einzelnen Schülern. Bei den Höherqualifizierten stellt sich aufgrund der Ausbildungsinhalte, die sich der Konzeption entsprechend auf einem mittleren Niveau bewegen, teilweise das Gefühl einer Unterforderung ein, verbunden mit der Erkenntnis über ein vergleichbar geringes Einstiegsgehalt – Eingangsentgelt ist nach der Berufsausbildung im öffentlichen Dienst i. d. R. die Entgeltgruppe 6, bei etwas höherem Anspruch zunehmend die EG 7 oder 8.


text: Die fünf Fachrichtungen sind in unterschiedlichem Maße an der Gesamtzahl der Auszubildenden beteiligt. Nach wie vor entsteht durch den Umstand, dass etwa 75 % der Auszubildenden aus den Bibliotheken kommen, eine gewisse "Bibliothekslastigkeit" der Ausbildung an den Berufsschulen. An zweiter Stelle folgt mit etwa 10 % die Fachrichtung Archiv, etwa 8 % stellt die Fachrichtung Information und Dokumentation, nur etwa 5 % kommen aus dem Bereich der Medizinischen Dokumentation und nur eine verschwindend geringe Zahl von Auszubildenden stammt aus dem Bereich der Bildagentur, von gerade mal 2 %.


text: Die Fachrichtung Medizinische Dokumentation ist signifikant für die Patientenversorgung sowie für die Vergütung von Krankenhausaufenthalten. Zu den spezifischen Aufgaben zählen u. a. das Erfassen und Erschließen medizinischer Befunde, Krankenakten und weiteren medizinischen Informationen, sowie von klinischen Studien. Im Krankenhauskontext bildet vor allem die Kodiertätigkeit als Kodierfachkraft eine Schlüsselkomponente; wichtige Hilfsmittel bzw. Nachschlagewerke stellen die Deutsche Kodierrichtlinien (DKR), ICD-10 und der Operationen- und Prozedurenschlüssel (OPS). Anschließend werden die Fälle mit Hilfe des DRG-Groupers in das G-DRG-System eingeordnet.


text: Für Personen, die bereits eine andere Ausbildung absolviert haben, besteht die Möglichkeit einer betrieblichen oder überbetrieblichen Umschulung, die in der Regel zwei Jahre dauert. Darüber hinaus führen Träger, wie beispielsweise der Hessische Verwaltungsschulverband Vorbereitungslehrgänge zur Prüfungszulassung als externe Bewerber, insbesondere für Seiteneinsteiger mit mehrjähriger einschlägiger Berufspraxis in Bibliotheken, auf die Abschlussprüfung im Ausbildungsberuf "Fachangestellte/r für Medien- und Informationsdienste" durch.


text: Im Archivbereich ist eine Höherqualifizierung zum Bachelor oder zum Master im Rahmen des 2. Bildungsweges in Deutschland immer noch mit sehr großen Hürden verbunden.


text: Fragestellungen dazu sollten an den Deutschen Verband der Archivare und Archivarinnen, die Fachhochschule in Potsdam, die Hochschule für Archivwissenschaft in Potsdam, die Ausbildungseinrichtung in Bayern sowie die staatlichen Archive gerichtet werden.


text: Seit 2012 besteht nach abgeschlossener Ausbildung die Möglichkeit der Aufstiegsfortbildung zum Fachwirt für Informationsdienste. In NRW wird diese berufsbegleitende Fortbildung zum Geprüften Fachwirt vom ZBIW – Zentrum für Bibliotheks- und Informationswissenschaftliche Weiterbildung – der Fachhochschule Köln organisiert und durchgeführt. Die Fortbildungsprüfungen werden landesweit von einem Prüfungsausschuss der Bezirksregierung Köln abgenommen. In Hessen führt der Hessische Verwaltungsschulverband Vorbereitungslehrgänge auf die Fortbildungsprüfung Fachwirt für Informationsdienste durch.


text: Ebenso kommen Fachhochschulstudiengänge, auch berufsbegleitende, in Bibliothekswesen, Informationswissenschaft und tw. im Archivwesen (Bachelor) zur beruflichen Weiterentwicklung in Frage.


text: In Bayern ist mit Abitur und erfolgreichem Bestehen der Prüfung durch den LPA (Landespersonalausschuss) eine Ausbildung zum Bibliothekar B.A. möglich.


text: Im Archivbereich werden, auf Grund der steigenden Nachfrage nach entsprechenden Spezialkräften im Rahmen der analogen und digitalen Langzeitarchivierung sowie des Renteneinstieges vieler Archivmitarbeiter, in zunehmendem Maße freie Stellen angeboten.


text: Ebenso werden häufiger Stellen im zentralen Verwaltungsbereich ausgeschrieben, die zwar Spezialwissen für die Führung einer Zentralregistratur fordern, aber nicht unbedingt die Famiausbildung voraussetzen.


text: Damit haben sich die Berufsaussichten und die Möglichkeiten einer Festanstellung wesentlich verbessert.


text: Etwa die Hälfte der Ausbildungsabsolventen werden von der Ausbildungseinrichtung übernommen (z. T. befristet), etwa ein Drittel wechselt zu einem anderen Arbeitgeber derselben Branche, das restliche Fünftel strebt eine fachfremde Tätigkeit, eine weitere Berufsausbildung oder ein Studium an.


text: Positive Effekte auf den Arbeitsmarkt haben aus der Sicht von Berufseinsteigern oder Arbeitsplatzwechslern u. a. folgende Faktoren:


text: Die Ausbildung zum Bibliothekssekretär dauert zwei Jahre und erfolgt im mittleren Bibliotheksdienst im Beamtenverhältnis auf Widerruf als Bibliothekssekretäranwärter. Im Rahmen der theoretischen Ausbildung besucht der Auszubildende jeweils einen bzw. zwei Monate zentrale Lehrgänge in einer entsprechenden Fachschule. Die praktische Ausbildung erfolgt in einer Bibliothek. Praxisbegleitender Unterricht sowie Praktika in anderen Bibliotheken runden die Ausbildung ab. Die Ausbildung im Beamtenverhältnis hat seit der Etablierung des Fachangestellten für Medien- und Informationsdienste an Bedeutung verloren und ist derzeit (Stand 2018) in allen Bundesländern ausgesetzt.


text: Der Ausbildungsberuf des Fachangestellten für Medien- und Informationsdienste löste am 3. Juni 1998 (Änderungsverordnung vom 15. März 2000) den zweijährigen Ausbildungsberuf Assistent an Bibliotheken ab.


text: In der ehemaligen DDR wurden Bibliotheksfacharbeiter von 1976 bis 1990 in einem dem dualen System vergleichbaren System in einer zweijährigen Ausbildung ausgebildet. Der Ausbildungsabschluss ist dem des Assistenten an Bibliotheken/dem Fachangestellten für Medien- und Informationsdienste gleichgestellt. Die Anerkennung von DDR-Bildungsabschlüssen erfolgt auf Grundlage von Artikel 37 Abs. 1 des Einigungsvertrages in Verbindung mit dem Beschluss der Kultusministerkonferenz (KMK) vom 10./11. Oktober 1991, zuletzt geändert am 30. November 2000. Zuständig für die Anerkennung des DDR-Bildungsabschlusses ist jeweils das Wissenschafts- bzw. Kultusministerium des Bundeslandes, in dem die Bildungseinrichtung gelegen ist oder war, an der der Abschluss erworben wurde.


title: Substitutionsreaktion

text: In der Chemie bezeichnet die Substitution (spätlateinisch "substituere": ersetzen) eine chemische Reaktion, bei der Atome oder Atomgruppen in einem Molekül durch ein anderes Atom oder eine andere Atomgruppe ersetzt werden.


title: Substitutionsreaktion

text: Grundsätzlich unterscheidet man Substitutionsreaktionen nach der angreifenden Gruppe („phil“ bedeutet zugeneigt):


title: Substitutionsreaktion

text: Moleküle dieser beiden Kategorien lassen sich durch das entsprechende Reagenz meist selektiv substituieren. Weniger selektiv ist der Angriff bei Radikalen.


title: Substitutionsreaktion

text: Die angreifende Gruppe versucht die zu ersetzende Gruppe aus ihrer Verbindung zu verdrängen. Dies kann dadurch erfolgen, dass sich die angreifende Gruppe dem Bindungspartner der zu ersetzenden Gruppe sukzessive nähert (und die neue Bindung bildet), wobei gleichzeitig die Bindung der verdrängten Gruppe zunehmend geschwächt wird.


title: Substitutionsreaktion

text: Da im entscheidenden (geschwindigkeitsbestimmenden) Schritt zwei Moleküle beteiligt sind, spricht man von einer "bimolekularen" Substitution, abgekürzt S.


title: Substitutionsreaktion

text: Alternativ ist denkbar, dass die Abgangsgruppe, ggf. unterstützt durch ein Hilfsreagenz, den Molekülverband verlässt und im Molekül eine Lücke hinterlässt, die schnell von der angreifenden Gruppe gefüllt wird. Der geschwindigkeitsbestimmende Schritt ist hier der Zerfall der Ausgangsverbindung:


title: Substitutionsreaktion

text: In diesem ist nur ein Molekül beteiligt, man spricht von einer monomolekularen Reaktion, abgekürzt S.


title: Substitutionsreaktion

text: Die nukleophile Substitution kann auftreten an Verbindungen des Typs R-X, mit R = Aryl, Alkyl. Die Gruppierung X wird dabei ersetzt.


title: Substitutionsreaktion

text: Im Falle von R = R'-CO mit R' = Aryl, Alkyl liegt eine Substitution an einer Carbonylverbindung vor. Die Umesterung sei beispielhaft genannt.


title: Substitutionsreaktion

text: Die elektrophile Substitution ist typisch für Aromaten, besonders elektronenreiche Aromaten, abgekürzt als SAr


title: Substitutionsreaktion

text: Die radikalische Substitution ist für den Labormaßstab weniger geeignet, da sie meist wenig selektiv verläuft, abgekürzt S.


title: Substitutionsreaktion

text: Zu Beginn des 19. Jahrhunderts wurden verschiedene Hypothesen und Theorien zum Aufbau und der Bildung organischer Körper formuliert.


title: Substitutionsreaktion

text: Anfang bis Mitte des 19. Jahrhunderts konkurrierten im Wesentlichen zwei Theorien zur Erklärung der chemischen Verbindung in der organischen Chemie, es waren die dualistisch-additionelle Theorie um Jöns Jakob Berzelius und die als Radikaltheorie bzw. Kerntheorie von Justus von Liebig, Friedrich Wöhler bzw. Auguste Laurent sich daraus ableitenden Konzeptionen auf der einen Seite sowie die durch Jean Baptiste Dumas und der Entdeckung der Substitution als unitaristische Typentheorie bezeichneten Konzeption auf der anderen Seite.


title: Substitutionsreaktion

text: Jöns Jakob Berzelius gebrauchte im Jahre 1808 erstmals den Ausdruck organische Chemie und veröffentlichte 1827 die erste eigenständige Abhandlung über Organische Verbindungen. Wichtig waren ihm die Betrachtung chemischer Proportionen in den Verbindungen und die Entwicklung der Stöchiometrie. So stellte sich Berzelius der Aufgabe, die Verhältnisse, nach denen sich die organischer Körper verbinden, genauestes zu bestimmen. Er stellte etwa in den Salzen fest, dass die Quantität an Sauerstoff der Säure und der Base in einem ganzzahligen einfachen Verhältnis zueinander stehen, wie es Joseph-Louis Proust in seinem Gesetz der konstanten Proportionen bereits 1807 formuliert hatte. Für Berzelius waren die Ergebnisse seiner stöchiometrischen Analysen zugleich eine Bestätigung der Atomhypothese von John Dalton aus dem Jahre 1803.


title: Substitutionsreaktion

text: Er prägte die Begriffe "elektronegativ" und "elektropositiv" und begründete eine Elektronegativitätsskala.


title: Substitutionsreaktion

text: Die Affinität der chemischen Körper erklärte Berzelius durch die Intensität ihrer Polarität, bei der Vereinigung zweier Elemente legten sich die Atome mit ihren entgegengesetzten Polen aneinander. Anders könne man durch den elektrischen Strom eine Verbindung wieder die ursprüngliche Polarität bzw. ihre Atomen einer zerlegen.


title: Substitutionsreaktion

text: Mit seiner Hypothese ließen sich wichtige Fragen der Chemie seiner Zeit erklären. Grundlage dieses Systems war die Annahme, dass jeder chemische Körper aus zwei Anteilen zusammensetzt, einem elektropositiven und einem elektronegativen Teil.


title: Substitutionsreaktion

text: Berzelius baute die durch elektrochemischen Versuche um Humphry Davy gestützte dualistisch-additionelle Theorie auf, der zufolge jede chemische Verbindung als Vereinigung einer elektronegativen Säure und einer elektropositiven Base aufzufassen sei.


title: Substitutionsreaktion

text: Bei der Untersuchung vieler Verbindungen stellte sich heraus, dass diese sehr häufig nur aus drei oder vier Elementen, nämlich Kohlenstoff, Wasserstoff, Sauerstoff und seltener Stickstoff bestehen. Die Summenformel der chemischen Körper konnte bestimmt werden, allerdings waren sehr viele Stoffe bekannt, die bei gleicher Zusammensetzung (Summenformel) völlig unterschiedliche Eigenschaften hatten, also andere Substanzen waren. Die chemischen Eigenschaften hingen also auch von der Verknüpfung der Elemente untereinander ab, die Struktur einer Verbindung konnte mit den früheren Methoden aber noch nicht bestimmt werden.


title: Substitutionsreaktion

text: Ferner nahm man an, dass bei einer chemischen Reaktion alle beteiligten Stoffe in ihre Bestandteile zerlegt würden und sich neu zusammensetzten.


title: Substitutionsreaktion

text: Liebig und Wöhler entwickelten daher ein Modell, bei dem sie annahmen, dass ein Stoff aus mehreren kleineren Elementgruppen, den sogenannten Radikalen, bestünde, die bei einer Reaktion unverändert übernommen würden.


title: Substitutionsreaktion

text: Der Begriff Radikal i. S. der Radikaltheorie ist nicht mit dem modernen Begriff des Radikals (wie z. B. oben unter "1.4 Radikalische Substitution" verwendet) in den aktuellen theoretischen Chemiekonzepten gleichzusetzen. In der Radikaltheorie werden Aussagen über die Zusammensetzung eines chemischen Körpers getroffen, dieser bestehe aus mehreren kleinen Elementgruppen, eben den Radikalen.


title: Substitutionsreaktion

text: Das widersprach aber der Tatsache, dass sich die Summenformel der Stoffe bei einer Reaktion oft nur geringfügig verändert und die Erkenntnisse aus der bereits weiterentwickelten anorganischen Chemie daher nicht angewendet werden konnten.


title: Substitutionsreaktion

text: In einer organischen Verbindung war nach Berzelius der Kohlenstoff das elektronegative Teilchen und der Wasserstoff das elektropositive Teilchen. Nach seiner Vorstellung war es unmöglich, dass ein elektropositives Teilchen wie Wasserstoff durch ein elektronegatives Teilchen wie Chlor verdrängt werden könne.


title: Substitutionsreaktion

text: Berzelius vertrat auf der Grundlage seiner dualistischen Anschauungen die Auffassung, dass etwa in einer Verbindung wie Methylenchlorid einer der elektropositiven Wasserstoffatome nicht durch ein weiteres, drittes elektronegatives Chlor, zu Chloroform ersetzt werden könnte.


title: Substitutionsreaktion

text: Jean-Baptiste Dumas begründete 1834 die Substitutionstheorie (Substituierbarkeit des Wasserstoffs organischer Verbindungen durch z. B. Halogene) und stellte im Jahre 1839 in Paris eine Typentheorie der chemischen Bindung auf.


title: Substitutionsreaktion

text: Im ersten Drittel des 19. ten Jahrhunderts gab König Karl X. (Frankreich) (1757–1836) einen Abendempfang, "soirée de gala".


title: Substitutionsreaktion

text: Im Schloss brannten viele weiße Kerzen: Aber dieses Kerzenwachs brannte unter sehr starker Rußentwicklung ab. Darüber hinaus kam es zu starken Reizungen der Atemwege mit teilweise extremen Hustenattacken bei den Galagästen.


title: Substitutionsreaktion

text: Der König beauftragte den Sachverständigen des Hofes für chemische Angelegenheiten, den Direktor der Königlichen Porzellanmanufaktur Alexandre Brongniart, mit der Klärung der Ursachen dieses Zwischenfalls. Brongniart seinerseits leitete die Untersuchung zu seinem Schwiegersohn, Jean-Baptiste Dumas weiter. Dieser kam zu folgendem Ergebnis:


title: Substitutionsreaktion

text: Die erstickend wirkenden Dämpfe waren freigesetztes Chlorwasserstoff-Gas (HCl) das sich bei der Verbrennung des Kerzenwachses entwickelte und beim Einatmen zu Reizungen der Schleimhäute und der Atemwege führte.


title: Substitutionsreaktion

text: Er konnte darüber hinaus nachweisen, dass der Wachsfabrikant den Rohstoff mit Chlor gebleicht hatte. Das Chlor war teilweise chemisch an das Wachs gebunden, wodurch bei dessen Verbrennung Chlorwasserstoff freigesetzt wurde.


title: Substitutionsreaktion

text: Neben dem praktischen Nutzen für die weitere Kerzenfabrikation führte die Analyse des Vorfalls zu einem neuen theoretischen Verständnis innerhalb der Organischen Chemie.


title: Substitutionsreaktion

text: Jean-Baptiste Dumas wies jedoch die Substitution von Wasserstoff durch Chlor bei der Einwirkung von Chlor auf Kerzenwachs nach und widersprach damit der berzeliusschen Auffassung, dass der elektropositive Wasserstoff nicht durch das elektronegative Chlor ersetzt werden könne.


title: Substitutionsreaktion

text: Nach seinen Überlegungen konnte man alle organischen Verbindungen von vier Typen: Wasserstoff, Chlorwasserstoff, Wasser und Ammoniak ableiten.


title: Substitutionsreaktion

text: Aus der Typenlehre wurde der Begriff der chemischen Wertigkeit gefolgert. Die schon von Vorgängern angedeutete Theorie der homologen Reihen nahm bei ihm feste Gestalt an (1845); ebenso stammt auch der Begriff der Heterologie von ihm. Die wichtigste Folgerung aus der Typenlehre und aus den Homologen war, dass sie ein unitares System – im Gegensatz zu Berzelius' dualistischem – verlangen.


title: Substitutionsreaktion

text: Auguste Laurent formulierte 1836 die Kerntheorie, wonach es sogenannte Stammkerne (oder anders formuliert Radikale i.o.S.), wie Kohlenstoff und Wasserstoff, gäbe, und abgeleitete Kerne, die aus den Stammkernen durch Ersatz (Substitution) des Wasserstoffs durch andere Atome oder -gruppen hervorgingen.


title: Substitutionsreaktion

text: Bei organischen Molekülen gibt es anders als in der anorganischen Chemie "Stamm-Kerne" von Kohlenstoffatomen. Die Kohlenstoff-Stamm-Kerne sind räumlich geordnet und können "Neben-Kerne" von Wasserstoff-, Chlor- oder Sauerstoffatomen nach geometrischen und stöchiometrischen Gesetzen aufnehmen. Nur einige bestimmte Nebenkerne im Molekül können sich abspalten und ein Radikal bilden.


title: Substitutionsreaktion

text: Laurent vermutete, dass sich Stammkerne im Zentrum einer Pyramide befinden könnten, an den Kanten der Pyramide befinden sich Nebenkerne wie Wasserstoff-, Sauerstoff- und Halogenatome die unter bestimmten Reaktionsbedingungen austauschen lassen.


title: Graue Sandbiene

text: Die Graue Sandbiene ("Andrena cineraria") ist eine solitäre Biene aus der Gattung der Sandbienen ("Andrena").


title: Graue Sandbiene

text: Die Weibchen dieser recht großen Bienenart werden etwa 13–15 mm groß. Sie haben eine schwarze Grundfärbung. Die Behaarung auf der Stirn ist hell, der Thorax ist hell behaart mit einer dunklen Querbinde. Die Beine sind an den Schenkeln hell behaart, ansonsten schwarz. Der Hinterleib ist kahl und hat einen bläulichen Glanz.


title: Graue Sandbiene

text: Die Männchen sind mit 10–13 mm kleiner als die Weibchen. Ihr Kopf ist reichlich hell behaart. Thorax und Schenkel tragen ebenfalls recht üppige helle Behaarung. Der Hinterleib ist vor allem an den Seiten spärlich hell behaart. Die Tibien und Füße sind dunkel. Gelegentlich haben auch die Männchen eine blasse dunkle Binde am Thorax, diese ist jedoch schwächer als bei den Weibchen.


title: Graue Sandbiene

text: "Andrena barbarae" ist ähnlich wie "Andrena cineraria" gezeichnet, hat jedoch dunklere Flügel als diese. Die Männchen ähneln denen von "Andrena vaga". Diese haben jedoch hellere Beine.


title: Graue Sandbiene

text: Die Tiere kommen in fast ganz Europa vor. Sie sind vom Mittelmeer bis ins nördliche Schweden und Finnland zu finden. Im Osten reicht ihr Verbreitungsgebiet bis Ostasien. Sie sind in vielen Habitaten zu finden und leben auch regelmäßig in Gärten und Parks.


title: Graue Sandbiene

text: Die Bienen fliegen in einer Generation pro Jahr von Mitte März (Männchen) bzw. Anfang April (Weibchen) bis Ende Mai. Sie ernähren sich polylektisch vom Nektar und Pollen einer Reihe verschiedener Pflanzen.


title: Graue Sandbiene

text: Die Weibchen graben Erdnester, wobei in einem Nest zwei bis drei Brutzellen ca. 10 bis 25 Zentimeter tief gegraben werden. Sie nisten meist einzeln oder in lockeren Gruppen. Bei der Wahl des Nistplatzes sind die Bienen wenig anspruchsvoll. Es werden oft kleine Lücken zwischen Kräutern auf Wiesen und Brachflächen besiedelt. Die Nestöffnungen bleiben tagsüber offen, nur nachts und vor Regen werden sie verschlossen. Die Bienen tragen Pollen in jede Brutkammer ein, in die das Weibchen dann ein Ei legt. Die Verpuppung erfolgt in einem Kokon, wobei die Tiere als fertig gehäutete Bienen im Kokon überwintern und erst im Frühling schlüpfen.


title: Graue Sandbiene

text: Die Larven der Bienen werden von verschiedenen Wespenbienen, wie z. B. der Rothaarigen Wespenbiene ("Nomada lathburiana") oder "Nomada goodeniana", parasitiert. Die Nester werden auch von Satellitenfliegen aus der Gattung "Leucophora" oder vom Großen Wollschweber ("Bombylius major") befallen.


title: Heather McComb

text: Schon im Alter von zwei Jahren begann McComb zu schauspielern. Ihre erste große Rolle hatte sie 1996 im Fernsehfilm "Generation X", worin sie als erste reale Schauspielerin den beliebten X-Men-Charakter Jubilee spielte. 1998 stieß sie zu der Serie "Party of Five" und spielte dort Maggie.


title: Heather McComb

text: 1993 wurde sie für den Young Artist Award als beste Jungnebendarstellerin in einem Film für "Stay Tuned" nominiert.


title: Westliche Schwarze Witwe

text: Die Westliche Schwarze Witwe ("Latrodectus hesperus") ist eine Webspinne der Familie der Kugelspinnen (Theridiidae) und wurde 1935 von Ralph Vary Chamberlin und Wilton Ivie beschrieben. Sie ist im Westen Nordamerikas verbreitet.


title: Westliche Schwarze Witwe

text: Die Westliche Schwarze Witwe gehört zu jenen drei Arten, in welche die nordamerikanische „Schwarze Witwe“ "Latrodectus mactans" im Jahr 1970 nach einer Revision durch B. J. Kaston aufgeteilt wurde. "Latrodectus mactans" im engeren Sinn wird seither Südliche Schwarze Witwe genannt, ihr Verbreitungsgebiet grenzt im Norden an das der Nördlichen Schwarzen Witwe und im Westen an das der Westlichen Schwarzen Witwe. Die drei Arten unterscheiden sich nicht nur durch ihr Verbreitungsgebiet, sondern auch durch spezifische Unterschiede in der Zeichnung.


title: Westliche Schwarze Witwe

text: Die Weibchen erreichen eine Körperlänge von 14 bis 16 Millimetern und haben auf der Unterseite des Abdomens eine Zeichnung in Form einer roten Sanduhr, sie gehört zu den größeren Witwenarten. Normalerweise ist die Spinne hauptsächlich schwarz gefärbt und hat sonst nur auf dem Rücken einen roten Fleck. Wird das Weibchen älter, ändert sich die Färbung von einem glänzenden Schwarz bis zu einem dunklen Braun. Die Männchen erreichen eine Körperlänge von 8 Millimetern und sind überwiegend hellbraun bis beige. Auf dem Hinterleib des Männchens sind drei diagonale, blasse Streifen, auch hier ändert sich die Färbung. Wird das Männchen älter, so ähnelt es den Jungtieren, welche an der Unterseite olivgrün gefärbt sind.


title: Westliche Schwarze Witwe

text: Das Verbreitungsgebiet der Westlichen Schwarzen Witwe reicht vom äußersten Südwesten Kanadas über die westlichen Regionen der USA bis Mexiko. Im Osten ist sie bis in den Westen von Texas zu finden. Sie ist in den wärmeren Gegenden Kaliforniens, Arizonas und anderer westlicher Bundesstaaten häufig.


title: Westliche Schwarze Witwe

text: Westliche Schwarze Witwen leben unter Felsvorsprüngen, Felsen und Geröll. Sie besiedeln verlassene Bauten verschiedener Nagetiere oder bauen ihre Nester in stillen Gebieten, welche nicht von Menschen betreten werden. Fallweise dringen sie jedoch bis in besiedelte Gegenden vor. Manchmal werden Funde der Westlichen Schwarzen Witwe auch aus den Vorstädten größerer amerikanischer Städte gemeldet.


title: Westliche Schwarze Witwe

text: Ihre Netze bauen die Westlichen Schwarzen Witwen in der Regel in Bodennähe. Die Tiere ernähren sich hauptsächlich von Insekten, auch von großen Heuschrecken und Käfern, fressen aber auch andere Spinnen.


title: Westliche Schwarze Witwe

text: Sind die adulten Männchen auf der Suche nach einem Weibchen, nehmen sie nichts zu sich und beißen nicht. Beim Kontakt mit dem Netz eines Weibchens zeigen sie ein spezifisches Kommunikationsverhalten, indem sie mit ihrem Hinterleib Vibrationen erzeugen. Dieses Verhalten zeigen sie nicht, wenn sie auf das Netz eines anderen Männchens treffen. Die Vibrationen können vom Weibchen mit den Spaltsinnesorganen wahrgenommen werden. Es wird angenommen, dass Pheromone, die mit der Spinnseide abgegeben werden, dem Männchen anzeigen, ob es sich um ein Netz eines Weibchens der gleichen Art handelt. Diese Pheromone können mit Rezeptoren der Sinneshaare auf den Tarsen und den Pedipalpen aufgenommen werden.


title: Westliche Schwarze Witwe

text: Nach der Paarung kann es vorkommen, dass das Männchen vom größeren Weibchen gefressen wird. Dieses Verhalten hat zum Namen „Schwarze Witwe“ geführt. Es findet jedoch viel weniger häufig statt, als früher angenommen wurde. Danach legt das Weibchen mehrere hundert Eier, die mit Kokons umhüllt werden. Diese Kokons der Westlichen Schwarzen Witwe sind eher ei- bis birnenförmig und nicht kugelrund wie bei der Südlichen Schwarzen Witwe. Sie sind cremefarben bis bräunlich, während sie bei der Südlichen Schwarzen Witwe von Anfang an einen grauen Farbton haben.


title: Westliche Schwarze Witwe

text: Die Art ist nicht aggressiv, hat aber ein starkes Gift. Der Biss fühlt sich meistens so an wie ein Nadelstich und wird anfangs oft nicht bemerkt. Es werden lokale Schwellungen und Muskelkrämpfe hervorgerufen, welche oft erst nach 3 Stunden auftreten. Diese können 48 Stunden lang anhalten. Todesfälle kommen selten vor. Weitere Symptome sind Übelkeit und Schweißausbrüche.


title: MSC Musica

text: Die MSC Musica ist ein Kreuzfahrtschiff der MSC Cruises. Sie wurde im Juni 2006 durch die italienische Schauspielerin Sophia Loren in Venedig getauft und ging am 1. Juli auf Jungfernfahrt. Das Schiff ist unter der Billigflagge Panama registriert.


title: MSC Musica

text: Das Schiff verfügt über vier verschiedene Restaurants, eine Sushi-Bar, ein 800 m² großes Casino, den Rauchsalon „Havanna Club“, ein Theater mit 1200 Sitzplätzen und eine Diskothek, sowie einen Tennis- und einen Minigolfplatz.


title: MSC Musica

text: Seit längerer Zeit wird die "MSC Musica" ab Venedig im östlichen Mittelmeer eingesetzt, wo auch ihre Jungfernfahrt im Juni 2006 stattfand. Des Weiteren wird das Schiff in den Wintermonaten (auf der Nordhalbkugel) auch an der Ostküste Südamerikas oder rund um Südafrika eingesetzt.


title: MSC Musica

text: Die "MSC Orchestra", deren Jungfernfahrt am 16. Mai 2007 begann, ist ein Schwesterschiff der "MSC Musica". Als drittes Schiff dieser Baureihe ist die "MSC Poesia" seit dem 6. April 2008 sowie seit dem 1. März 2010 "MSC Magnifica" in Dienst.


title: Michael Matz (Offizier)

text: Michael Matz (* 7. August 1959 in Wesselburen, Dithmarschen) ist ein Brigadegeneral des Heeres der Bundeswehr und Kommandeur der Infanterieschule und General der Infanterie in Hammelburg.


title: Michael Matz (Offizier)

text: Matz diente ab 1979 im "Jägerbataillon 381" in der Briesen-Kaserne in Flensburg. Zwischen 1981 und 1984 studierte er Wirtschafts- und Organisationswissenschaften an der Universität der Bundeswehr Hamburg. Diesem folgte in der Zeit von 1988 bis 1989 die Verwendung als "Zugführer" beim "Jägerbataillon 66" in Hamburg-Wentorf und im gleichen Verband 1989 als S2-Offizier für Militärisches Nachrichtenwesen. Danach führte er die 2. Kompanie des Jägerbataillons von 1989 bis 1992 als Kompaniechef und in zweiter Verwendung als Kompaniechef der Unteroffizierlehrkompanie (7./PzGrenBtl 162) am Standort. Ab 1993 folgte ein Wechsel als G2-Stabsoffizier für Militärische Sicherheit im Deutschen Anteil des V. US-Korps in Heidelberg, und ab 1993 als S2-Offizier in der Panzergrenadierbrigade 16 „Herzogtum Lauenburg“.


title: Michael Matz (Offizier)

text: 1994 nahm er am Infantry Officer Advance Course in Fort Benning, Georgia/USA teil und setzte 1996 mit dem internationalen Generalstabsoffizierlehrgang an der Führungsakademie der Bundeswehr seine Ausbildung fort, wo er zum Offizier im Generalstabsdienst ausgebildet wurde. Von 1997 bis 2001 erfolgte die Verwendung als G4-Stabsoffizier in der Panzerbrigade 18 „Holstein“ in Neumünster. Von 1998 bis 1999 wurde Matz im Auslandseinsatz als Chief G2 Plans im NATO-Hauptquartier in Sarajewo (Bosnien und Herzegowina) eingesetzt. Zurückgekehrt nach Deutschland unterrichtete er als Hörsaalleiter an der Panzertruppenschule in Munster. Von 2002 bis 2004 folgte die Ernennung zum Kommandeur Panzergrenadierbataillon 401 in Hagenow als Oberstleutnant. Im Anschluss folgte 2004 ein weiterer Auslandseinsatz als Kommandeur ORF-Bataillons (Operational Reserve Forces) des 8. Einsatzkontingentes KFOR im Kosovo und bis 2006 als Kommandeur Wachbataillon beim Bundesministerium der Verteidigung in Berlin. Von 2006 bis 2009 diente Matz als Referent im Führungsstab des Heeres im Bundesministerium der Verteidigung in Bonn. Von 2010 bis 2012 leitete Matz das Gefechtsübungszentrum Heer auf dem Truppenübungsplatz Altmark bei Gardelegen.


title: Michael Matz (Offizier)

text: Am 16. Mai 2012 löste Matz seinen Vorgänger Brigadegeneral Johann Langenegger als Kommandeur der Gebirgsjägerbrigade 23 in Bad Reichenhall ab. Auf diesem Dienstposten wurde er zum Brigadegeneral befördert, und das Kommando zum 29. Januar 2015 an seinen Nachfolger Oberst Alexander Sollfrank ab. Am 18. Februar 2015 übernahm er den Dienstposten als General für Standortaufgaben Berlin im Kommando Territoriale Aufgaben der Bundeswehr von Peter Braunstein. Diesen Dienstposten übergab er zum 1. Januar 2017 an Oberst Andreas Henne. Von 16. Februar 2017 bis 7. März 2019 war Matz stellvertretender Divisionskommandeur und Kommandeur Divisionstruppen der 1. Panzerdivision in Oldenburg. In dieser Verwendung war er auch designierter Kontingentführer Land/Luft NATO Response Force (NATO-Reaktionsstreitkräfte) 2018/2020. Den Dienstposten als stellvertretender Divisionskommandeur übergab er an Brigadegeneral Dieter Meyerhoff und wurde am 21. März 2019 als Nachfolger von Brigadegeneral Andreas Hannemann Kommandeur der Infanterieschule und General der Infanterie in Hammelburg.


title: Michael Matz (Offizier)

text: In der Zeit von 2009 bis 2010 kommandierte Matz das luftbewegliche Jägerregiment 1 in Schwarzenborn. Für den Einsatz in Kundus (überwiegend Rettungseinsätze und Evakuierungsaktionen) ging eine schrittweise, sechsmonatige Vorbereitung in Schwarzenborn und Hammelburg voran. Der dritte Auslandseinsatz fand in den Jahren 2009/2010 mit der Quick Reaction Force IV (schneller Eingreifverband) in Afghanistan statt. In den Wintermonaten 2012 bereitete Brigadegeneral Matz die Gebirgsjägerbrigade 23 im Joint Force Training Centre der NATO in Bydgoszcz bei Posen in Polen auf einen weiteren Einsatz in Afghanistan vor. Der Schwerpunkt der Ausbildung lag bei Sicherheitsmaßnahmen gegen Sprengfallen und Landminen, Verhalten bei Hubschrauberabstürzen, dem Bergen von Verletzten, sowie der Ausbildung von afghanischen Sicherheitskräften.


title: Michael Matz (Offizier)

text: In dieser Phase wurden außerdem virtuelle Vorbereitung für die Rückverlegung deutscher Streitkräfte getroffen. Brigadegeneral Matz hat seit Februar 2013 im Regionalkommando Nord in Masar-e Scharif die Verantwortung für Planung und Koordination militärischer Einsätze in diesem Abschnitt sowie dem Aufbau afghanischer Militär- und Polizeieinheiten. In seiner Funktion als „Deputy Chief of Staff“ erklärte Matz sein Aufgabenfeld:


title: Michael Matz (Offizier)

text: Das Unterfangen wurde bislang als Erfolg gewertet. Der Außenstützpunkt „OP North“ wurde südlich von Kundus fertiggestellt. Matz verglich die Situation mit seinem Einsatz im Jahr 2010 in Baghlan:


title: Dienstausweis

text: Dienstausweise sind Sicherheitsdokumente, die den Inhaber als Angehörigen einer Dienststelle ausweisen.


title: Dienstausweis

text: Dienstausweise berechtigen zum Zutritt zu den Liegenschaften und Gebäuden des jeweiligen Verwaltungsträgers. Es können daneben Sonderausweise für Personen, die nicht in einem festen Dienst- oder Arbeitsverhältnis stehen, wie z. B. Haus- oder Besucherausweise im Ermessen der Dienststelle gestaltet und ausgegeben werden. Der Dienstausweis kann zum Besitz und Führen einer Schusswaffe, dem Anwenden von unmittelbaren Zwang (z. B. Polizei) oder zum Tragen einer Uniform sowie Hoheits- und Rangabzeichen berechtigen sowie Weisungsbefugnisse legitimieren.


title: Dienstausweis

text: Die Ausweise können verschieden gestaltet sein, so gibt es ihn in Papier als auch in Form einer Chipkarte. Er enthält den Namen der ausstellenden Behörde und fast durchgängig ein Lichtbild des Inhabers sowie eine Dienstausweisnummer. Neben diesen sichtbaren Ausweisdaten können in den Kartenkörper integrierte Sicherheitsmerkmale vorhanden sein sowie weitere Chips, die unterschiedliche IT-Funktionalitäten und IT-Anwendungen ermöglichen.


title: Dienstausweis

text: Die Verwendung der Dienstausweise ist meist in verwaltungsinternen Vorschriften geregelt, Verwaltungskräfte ohne Außendienst verfügen meist nicht über ein solches zusätzliches Ausweisdokument. Die Echtheit des Ausweises kann bei der ausstellenden Behörde überprüft werden. Für dienstliche Reisen ins Ausland im öffentlichen Interesse ist anstelle eines Dienstausweises ein Dienstpass vorgesehen.


title: Dienstausweis

text: In der Bundesverwaltung wurde Anfang 2009 der einheitlich gestaltete elektronische Dienst- und Truppenausweis (eDTA) eingeführt, welcher folgendermaßen untergliedert ist: Dienstausweis für Verwaltungsbeamte und -angestellte von Bundesbehörden, Polizeidienstausweis für Polizeibeamte der Bundespolizei sowie des Bundeskriminalamtes sowie den Truppenausweis für aktive Soldaten der Bundeswehr. Die Ausweise berechtigen zum Betreten der Liegenschaften des jeweiligen Geschäftsbereiches, am Beispiel des Geschäftsbereichs des BMVg zum Betreten von militärischer Sicherheitsbereichen. Auf der Rückseite des eDTA kann ein Freitext eingetragen werden, der zum Führen von Schusswaffen berechtigt oder um Unterstützung des Ausweisinhabers bei der Erfüllung seiner Aufgaben und um Schutz bittet. Durch die integrierten RFID- und Kontaktchips sind verschiedene Einsatzmöglichkeiten im Bereich der Zeiterfassung, Zugangskontrolle oder unterschiedlicher IT-Funktionalitäten möglich. Der elektronische Dienst- und Truppenausweis wird durch die Bundesdruckerei hergestellt.


title: Dienstausweis

text: Beamte der Kriminalpolizei führen neben ihrem Polizeidienstausweis auch eine Dienstmarke mit sich, um sich bei Amtshandlungen gegenüber dem Bürger zu legitimieren, ebenso Verwaltungsbeschäftigte im Außendienst, z. B. bei der kommunalen Verkehrsüberwachung oder der behördlichen Lebensmittelüberwachung, sowie Mitarbeiter der Zollverwaltung.


title: Dienstausweis

text: Auch die Bundesländer und Kommunen stellen für in der Öffentlichkeit auftretende Beschäftigte Dienstausweise aus, z. B. für Polizeibeamte, Gerichtsvollzieher oder kommunale Vollzugskräfte, auch Mitarbeiter des Jugendamtes. Geregelt ist deren Gestaltung meist in Verwaltungsvorschriften der jeweiligen Körperschaft. Sie beinhalten meist das jeweilige amtliche Wappen des Landes bzw. der Kommune.


title: Hagebuttenmark

text: Hagebuttenmark ist die traditionelle Bezeichnung einer Konfitüre aus Hagebutten. Regional sind weitere Bezeichnungen üblich, nämlich Hägenmark (schwäbisch), Hiefen-, Hiffen-, Hiften- oder Hippenmark in Franken.


title: Hagebuttenmark

text: Hagebuttenmark war früher eine wichtige Ergänzung des Speiseplans, da Hagebutten einen hohen Vitamin-C-Gehalt besitzen und noch im Winter geerntet werden können. Es kann als Brotaufstrich, zum Süßen von Getränken und für Süßspeisen und Gebäck verwendet werden. Hagebuttenmark ist die traditionelle Füllung für fränkische Krapfen.


title: Hagebuttenmark

text: Hagebuttenmark ist in der Regel eine Konfitüre oder (ab 35 Prozent Fruchtanteil) eine Konfitüre extra im Sinne der deutschen Konfitürenverordnung, jedoch nur, wenn es mindestens 55 Prozent lösliche Trockenmasse enthält. Dies ist bei der Herstellung im kalten Verfahren (siehe Abschnitt „Herstellung“) nicht immer gewährleistet. Hagebuttenmark, das diese Voraussetzung nicht erfüllt, kommt zum Beispiel unter der Bezeichnung „Fruchtaufstrich Hagebutte“ in den Handel.


title: Hagebuttenmark

text: Begrifflich wird nicht immer sauber zwischen der Konfitüre und dem rohen, ungezuckerten Mus aus Hagebutten unterschieden, das als Ausgangsprodukt zur Konfitürenherstellung dient, aber auch andere Verwendung in der Küche findet. Der in der Schweiz verbreitete Buttenmost ist ein solches Ausgangsprodukt, das dann zu Hagebuttenkonfitüre oder anderen Hagebuttenzubereitungen weiterverarbeitet wird.


title: Hagebuttenmark

text: Bei der Herstellung von Hagebuttenmark ergibt sich grundsätzlich das Problem, dass die Nüsschen (umgangssprachlich Kerne) ungenießbar sind und entfernt werden müssen. Es gibt zwei unterschiedliche Herstellungsverfahren:


title: Hagebuttenmark

text: Zur Herstellung werden zuerst die Hagebutten entkernt, die Kerne mit wenig Wasser oder Wein ausgekocht und das Fruchtfleisch mit der gesiebten Flüssigkeit einige Stunden bis Tage stehen gelassen. Anschließend wird es kurz gegart, passiert, etwa eins zu eins mit Zucker vermischt und nach nochmaligem Aufkochen heiß in dicht schließende Gläser gefüllt. Es gibt auch ungekochte, sonst ähnlich zubereitete Varianten, die weniger lange haltbar sind.


title: Hagebuttenmark

text: Diese Art der Herstellung ist heute allgemein üblich; insbesondere die großen Marmeladefabriken stellen Hagebuttenkonfitüre so her. Weil Vitamin C beim Kochen zersetzt wird, ist es in gekochtem Hagebuttenmark lediglich noch in geringer Menge enthalten.


title: Hagebuttenmark

text: Zur traditionellen (schwäbischen) Herstellung des Hagebuttenmarks werden die Hagebutten aufgeschnitten und dann gelagert, bis sie weich werden (ca. 5 Tage bei ca. 12 °C); danach werden sie, ohne vorher gekocht zu werden, aber unter Zusetzung von möglichst wenig Wasser durch ein Sieb passiert (meistens durch zwei Siebe: ein gröberes zur Entfernung der Kerne, ein feineres zur Entfernung der Fruchthaare). Das so gewonnene Rohmark wird dann mit normalem Kristallzucker auf mind 62 °C, max. 75 °C erhitzt. Dieses Rohmark kann auch mit Honig kaltgerührt, mit Frucht- oder Rohrzucker gesüßt werden und mit Rotwein, Weißwein, Orangensaft oder Apfelsaft verfeinert werden. Das auf diese Weise hergestellte Hagebuttenmark ist relativ reich an Vitamin C.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Krummlinige Koordinaten sind Koordinatensysteme auf dem euklidischen Raum formula_1, bei denen die Koordinatenlinien gekrümmt sein können und die diffeomorph zu kartesischen Koordinaten sind. Das heißt, die Transformation zwischen kartesischen Koordinaten und krummlinigen Koordinaten muss lokal invertierbar sein, wobei die Abbildung wie auch die Umkehrabbildung stetig differenzierbar sein müssen.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die am häufigsten verwendeten krummlinigen Koordinatensysteme, die beide zu den orthogonalen Koordinatensystemen zählen, sind:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Je nach Problemstellung sind Berechnungen in krummlinigen Koordinatensystemen einfacher als in kartesischen durchzuführen. Zum Beispiel sind physikalische Systeme mit Radialsymmetrie oft einfacher in Kugelkoordinaten zu behandeln.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Folgende Ausführungen beziehen sich speziell auf den dreidimensionalen euklidischen Raum, vieles davon lässt sich jedoch auf den formula_2-dimensionalen Fall erweitern.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Koordinaten eines Punktes im formula_2-dimensionalen Raum sind ein Tupel aus formula_2 reellen Zahlen, die bezüglich eines speziellen Koordinatensystems bestimmt werden. Im Folgenden werden für einen Punkt die Koordinaten in zwei verschiedenen Koordinatensystemen betrachtet.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die kartesischen Koordinaten formula_5 lassen sich als stetig differenzierbare Funktionen neuer Koordinaten formula_6 schreiben (direkte Transformation):


title: Krummlinige Koordinaten

text: Dies stellt ein Gleichungssystem dar, das invertierbar (also nach den formula_6 auflösbar) ist (inverse Transformation)


title: Krummlinige Koordinaten

text: Für die Punkte, in denen die Transformation umkehrbar eindeutig ist, heißt die Transformation regulär, sonst singulär. Dann gilt: Ist ein Punkt formula_15 mit den kartesischen Koordinaten formula_16 gegeben, so können mit Hilfe der inversen Transformation eindeutig die Koordinaten formula_17, die krummlinigen Koordinaten von formula_15, berechnet werden. Jeder reguläre Punkt des Raums kann eindeutig sowohl durch die formula_19 als auch äquivalent durch die formula_20 beschrieben werden.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Ein Satz von Transformationsgleichungen mit den oben beschriebenen Eigenschaften zusammen mit einem kartesischen Koordinatensystem definiert ein krummliniges Koordinatensystem.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Begriffe Koordinatenflächen, -linien und -achsen werden im Folgenden anhand des dreidimensionalen Raums anschaulich erläutert.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Koordinatenflächen erhält man, indem jeweils eine Koordinate festgehalten (formula_21) und die beiden anderen variiert werden.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Koordinatenlinien erhält man, indem jeweils zwei Koordinaten festgehalten (formula_25 mit formula_26) und die dritte variiert wird, d. h. als Schnittmenge zweier Koordinatenflächen für unterschiedliche Koordinaten.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Obige Bedingung für die Funktionaldeterminante bedeutet, dass in jedem Punkt des 3-dimensionalen Raumes sich nur 3 Koordinatenlinien schneiden dürfen, da sonst dieser Punkt keine eindeutigen Koordinaten besitzt (Funktionaldeterminante gleich null).


title: Krummlinige Koordinaten

text: Als Beispiel für eine Uneindeutigkeit zählt die formula_29-Achse bei Kugelkoordinaten, an der sich alle formula_30 Ebenen (formula_31 ist der Azimutwinkel) schneiden; somit sind die Koordinaten von Punkten auf der formula_29-Achse nicht eindeutig (formula_33, aber formula_34 beliebig). Solche Punkte heißen singuläre Punkte der Transformation.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Schneiden sich die Koordinatenlinien unter rechten Winkeln, so heißt das Koordinatensystem orthogonal.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Koordinatenachsen sind als Tangenten an die Koordinatenlinien definiert. Da die Koordinatenlinien im Allgemeinen gekrümmt sind, sind die Koordinatenachsen nicht räumlich fest, wie es für kartesische Koordinaten gilt. Dies führt auf das Konzept der lokalen Basisvektoren, deren Richtung vom betrachteten Raumpunkt abhängt – im Gegensatz zu globalen Basisvektoren der kartesischen oder affinen Koordinaten.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Um einen Vektor mittels Koordinaten darstellen zu können, ist eine Basis nötig. Im formula_2-dimensionalen Raum besteht diese aus formula_2 linear unabhängigen Vektoren, den Basisvektoren. Jeder beliebige Vektor kann als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden, wobei die Koeffizienten der Linearkombination die Komponenten des Vektors genannt werden.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Für echt krummlinige (also nicht-geradlinige) Koordinaten variieren Basisvektoren und Komponenten von Punkt zu Punkt, weshalb die Basis als "lokale Basis" bezeichnet wird. Die Ortsabhängigkeit eines Vektorfeldes verteilt sich auf die Koordinaten sowie auf die Basisvektoren. Im Gegensatz dazu zeichnen sich globale Basen dadurch aus, dass die Basisvektoren in jedem Punkt identisch sind, was nur für lineare bzw. affine Koordinaten (die Koordinatenlinien sind geradlinig, aber im Allgemeinen schiefwinklig) möglich ist. Die Ortsabhängigkeit eines Vektorfeldes steckt bei geradlinigen Koordinatensystemen allein in den Koordinaten.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die beiden Klassen von Basisvektoren sind dual bzw. reziprok zueinander. Diese beiden Basen bezeichnet man als holonome Basen. Sie unterscheiden sich in ihrem Transformationsverhalten unter Koordinatenwechsel. Dabei sind die Transformationen invers zueinander.


title: Krummlinige Koordinaten

text: An jedem Punkt der betrachteten Mannigfaltigkeit existieren gleichzeitig beide Basen. Somit kann ein beliebiger Vektor als Linearkombination entweder der kovarianten Basisvektoren oder der kontravarianten Basisvektoren dargestellt werden. Dabei werden stets kontravariante Koordinaten formula_37 mit kovarianten Basisvektoren formula_38 kombiniert und kovariante Koordinaten formula_39 mit kontravarianten Basisvektoren formula_40.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Diese kreuzweise Paarung (kontra-ko bzw. ko-kontra) sorgt dafür, dass der Vektor formula_42 unter Koordinatentransformation invariant ist, da die Transformationen von Koordinaten und Basisvektoren invers zueinander sind und sich gegenseitig aufheben. Diese Eigenschaft ist für den Begriff eines Vektors in der Physik essentiell: In der Physik müssen Gesetzmäßigkeiten unabhängig vom speziellen Koordinatensystem gelten. Aus physikalischer Sicht muss ein Vektor, der z. B. die Geschwindigkeit eines Teilchens beschreibt, unabhängig vom gewählten Koordinatensystem sein.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Man spricht von einem kontravarianten Vektor (besser: kontravarianter Koordinatenvektor), wenn die Koordinaten kontravariant und die Basisvektoren kovariant sind. Analog spricht man von einem kovarianten Vektor, wenn die Koordinaten kovariant und die Basisvektoren kontravariant sind.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Tangenteneinheitsvektoren an die Koordinatenlinien bilden eine Basis, bestehend aus kovarianten Basisvektoren:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die unnormierten Vektoren bilden die "natürliche Basis", aus der man durch Normierung die "unitäre Basis" erhält (Einheitsvektoren). Die Vektoren der natürlichen Basis werden hier mit formula_48 bezeichnet, die Vektoren der normierten Basis durch formula_49.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Mit der neuen Basis lassen sich nun alle Vektoren formula_42 durch die Basisvektoren der kovarianten Basis formula_52 (normiert) bzw. formula_38 (unnormiert = natürliche Basisvektoren) ausdrücken:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Dabei ist formula_37 bzw. formula_56 die (kontravariante) Vektorkomponente, die in Richtung der formula_57-Koordinatenlinie zeigt, formula_37 bezüglich der normierten Basis und formula_56 bezüglich der natürlichen Basis. In der Tensoranalysis wird formula_56 mit hochgestelltem Index formula_61 geschrieben.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Länge einer Vektorkomponente formula_62 entspricht im Fall der normierten Basis dem Betrag der Koordinate formula_37, im Fall der natürlichen Basis dem Produkt aus dem Betrag der Koordinate formula_56 und der Länge des Basisvektors formula_38:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Beschreibt ein Vektor eine physikalische Größe, so steckt im unnormierten Fall nicht nur die Länge, sondern auch die physikalische Dimension teils in den Koordinaten und teils in den natürlichen Basisvektoren, was bei konkreten Rechnungen umständlich sein kann. Bei normierter Basis hingegen ist die physikalische Dimension rein auf die Koordinate beschränkt. Die Koordinaten formula_37 heißen deshalb "physikalische Koordinaten" und die normierten Basisvektoren formula_52 heißen auch "physikalische Basisvektoren".


title: Krummlinige Koordinaten

text: Zur Abgrenzung heißen die Koordinaten formula_56 deshalb "holonome Koordinaten" und die natürlichen Basisvektoren formula_38 heißen auch "holonome Basisvektoren" oder einfach "kontravariante Koordinaten" und "kovariante Basisvektoren".


title: Krummlinige Koordinaten

text: Aus der Definition der natürlichen Basisvektoren folgt für die Transformation von den Koordinaten formula_71 nach formula_72 die einfache Transformationsformel:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die natürlichen Basisvektoren zeigen ein sehr einfaches Transformationsverhalten. Für die normierten Basisvektoren enthält die Transformationsformel zusätzliche Faktoren formula_45:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Ein beliebiger Vektor formula_42 muss sowohl in den alten, wie auch den neuen Koordinaten darstellbar sein:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Während die Transformation der (kovarianten) Basisvektoren mittels der Jacobi-Matrix formula_79 durchzuführen ist, muss bei der Transformation der (kontravarianten) Koordinaten die inverse Jacobi-Matrix formula_80 angewandt werden.


title: Krummlinige Koordinaten

text: In der Tensoranalysis definiert man einen Vektor über obiges Transformationsverhalten. Insofern ist der Ortsvektor formula_81 selbst kein Vektor, das Ortsvektordifferential formula_82 aber schon.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Jacobi-Matrix der Koordinatentransformation von kartesischen in krummlinige Koordinaten ist identisch mit der Matrix, die von den natürlichen Basisvektoren als Spalten gebildet wird:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Bedingung formula_84 für die inverse Funktionaldeterminante lässt sich anhand folgender Beziehung erklären:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Dies entspricht einer inhomogenen linearen Gleichung formula_86 für den Vektor formula_87. D. h. die Unbekannten formula_88 sind die Basisvektoren der krummlinigen Koordinaten formula_89. Das Gleichungssystem ist nur dann eindeutig lösbar, wenn der Kern der Matrix formula_90 nulldimensional ist bzw. die Zeilen- oder Spaltenvektoren linear unabhängig sind. Dies ist dazu äquivalent, dass die Determinante formula_91 ungleich Null ist. Dann sind die Unbekannten eindeutig bestimmt, d. h. an jedem Punkt existiert genau eine definierte Basis formula_89.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Analog entspricht die duale Basis formula_93 einer Matrix, die genau das Inverse der obigen Matrix ist.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Skalarprodukte zwischen den natürlichen Basisvektoren definieren die Komponenten des metrischen Tensors bzw. Fundamentaltensors formula_94:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Wegen dieser Symmetrie hat der metrische Tensor formula_97 unabhängige Elemente (statt formula_98), im Dreidimensionalen also 6 Koeffizienten.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Größen formula_100 nennt man Metrik- bzw. Maßkoeffizienten, da diese benötigt werden, um die Länge eines Vektors aus den kontravarianten Koordinaten formula_101 zu berechnen. Hierzu sind die Maßstabsfaktoren nötig.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Maßstabsfaktoren formula_45 sind durch die Diagonalelemente formula_103 gegeben, da formula_104 gilt:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Aus formula_108 folgt, dass der Betrag der Determinante der Jacobi-Matrix (also der Funktionaldeterminante) gleich der Wurzel der Gramschen Determinante sein muss. Oder anders geschrieben, dass


title: Krummlinige Koordinaten

text: wobei das Vorzeichen von der Orientierung der Basis abhängt. Die Determinante aus den normierten Basisvektoren ergibt (aufgrund der Multilinearität von Determinanten):


title: Krummlinige Koordinaten

text: wobei formula_113 die Adjunkte (die Transponierte der Kofaktormatrix, deren Einträge die vorzeichenbehafteten Unterdeterminanten sind) und formula_94 die Gramsche Determinante bezeichnet. Aus dem Laplace'schen Entwicklungssatz folgt


title: Krummlinige Koordinaten

text: Schneiden sich im formula_2-dimensionalen Raum an jedem Raumpunkt die formula_2 Koordinatenlinien paarweise senkrecht, so spricht man von einem "orthogonalen Koordinatensystem". Die Einheitsvektoren formula_52 bilden also eine orthonormale Basis des formula_120:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Bilden die orthonormalen Basisvektoren eine rechtshändige Basis (positive Orientierung), gelten folgende Beziehungen:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Für allgemeine krummlinige Koordinaten sind die Koordinatenlinien gekrümmt und die Basisvektoren variieren von Punkt zu Punkt. Beim Spezialfall der geradlinigen, aber durchaus schiefwinkligen, Koordinatensystemen sind die Koordinatenlinien gerade und die Basisvektoren somit ortsunabhängig. Die Koordinatenflächen sind Ebenen, eine Schar von Koordinatenflächen bilden parallele Ebenen.


title: Krummlinige Koordinaten

text: wobei die formula_135 und formula_136 konstant sind. Die Jacobi-Matrix formula_137 entspricht dabei der Transformationsmatrix formula_138. Somit entsprechen die natürlichen Einheitsvektoren formula_38 der formula_140-ten Spalte der Matrix formula_138.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Als Beispiel eines geradlinigen, schiefwinkligen Koordinatensystems wird ein Minkowski-Diagramm mit zwei Bezugssystemen betrachtet, die sich gleichförmig zueinander mit der Geschwindigkeit formula_142 bewegen. Über formula_143 hängen die Größen relative Geschwindigkeit formula_144, Rapidität formula_145 und Winkel formula_146 mit den Wertebereichen mit formula_147 und formula_148 sowie formula_149 zusammen.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Da die Koordinatentransformation linear ist, gilt: formula_152. Die natürlichen Basisvektoren in formula_6 Richtung lauten in kartesischen Koordinaten:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Interpretiert man das Minkowski-Diagramm euklidisch (Verwendung des Standardskalarprodukts und nicht des Minkowski-Skalarprodukts) erhält man den metrischen Tensor


title: Krummlinige Koordinaten

text: Da für formula_157 Nebendiagonalelemente auftreten, bilden die formula_20 Koordinatenlinien keinen rechten Winkel:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Da für formula_157 die Diagonalelemente ungleich Eins sind, sind die natürlichen Basisvektoren formula_38 keine Einheitsvektoren, d. h. der Maßstab auf den gekippten formula_57 Koordinatenlinien ist gestreckt:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Nebenbemerkung: Mit dem Skalarprodukt der speziellen Relativitätstheorie formula_164, wobei formula_165 die nichteuklidische Minkowski-Metrik ist, erhält man die Invarianz des Skalarprodukts formula_166 unter Lorentz-Boosts.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die kontravarianten Basisvektoren stehen an jedem Punkt senkrecht auf den Koordinatenflächen. Sie sind dual zu den kovarianten Basisvektoren. Die kontravarianten Komponenten eines Vektors lassen sich durch Projektion auf kontravariante Basisvektoren erhalten.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Vektorkomponente formula_37 (kontravariante Komponente) des Vektors formula_168 lässt sich für eine orthonormale Basis (formula_169) einfach durch folgende Projektion bestimmen:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Bei nicht orthogonalen Koordinatensystemen (schiefwinklig) erhält man durch die Projektion formula_171 eines Vektors auf einen kovarianten Basisvektor die kovariante Komponente formula_39 (kovariante Komponente – in der Tensoranalysis mit tiefgestelltem Index geschrieben formula_173) und nicht die kontravariante Komponente formula_37, da hier die Relation formula_169 nicht gilt, bzw. der metrische Tensor nicht diagonal ist. Hierzu benötigt man das Konzept des Dualraums und der dualen Basis.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Der Dualraum formula_176 zum Vektorraum formula_177 der Tangentialvektoren wird gebildet aus den linearen Funktionalen (auch 1-Formen), die Vektoren in den darunterliegenden Körper abbilden: formula_178. Eine Basis des Dualraums formula_176 sind die dualen Basisvektoren zu formula_177. Diese sind so definiert, dass formula_181 gilt.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Weiterhin definiert man folgende Bilinearform, die sog. duale Paarung: formula_182. Damit lässt sich die Wirkung dualer Basisvektoren formula_183 auf Basisvektoren formula_184 schreiben als:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Für endlichdimensionale formula_177 ist formula_176 isomorph zu formula_177, also formula_189. In euklidischen Räumen formula_1 (dem formula_120 mit dem Standardskalarprodukt) lässt sich die duale Paarung mit dem Skalarprodukt


title: Krummlinige Koordinaten

text: identifizieren und somit duale Vektoren ebenfalls als Vektoren darstellen (hier gilt: formula_193 und formula_194 sowie formula_195).


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die duale Basis ist also so definiert, dass für das Skalarprodukt aus Basisvektoren formula_196 (kovariante Basisvektoren) und dualen Basisvektoren formula_197 (kontravariante Basisvektoren) gilt (hier für die normierten Basisvektoren formula_196):


title: Krummlinige Koordinaten

text: Für die natürlichen Basisvektoren formula_200 und deren duale Basisvektoren formula_197 gilt in Matrixnotation:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Da die Matrix mit den kovarianten Basisvektoren als Spaltenvektoren der Jacobi-Matrix entspricht formula_206, muss folglich die Matrix mit den kontravarianten Basisvektoren als Zeilenvektoren der inversen Jacobi-Matrix entsprechen:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Gramsche Determinante der kontravarianten Basisvektoren muss dem Inversen der Determinante der kovarianten Basisvektoren entsprechen:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Mit der neuen Basis lassen sich nun alle Vektoren formula_42 durch die Basisvektoren der kontravarianten Basis formula_210 (normiert) bzw. formula_211 (unnormiert = natürliche Basisvektoren) ausdrücken:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Dabei ist formula_213 bzw. formula_214 die (kovariante) Vektorkomponente, die in Richtung der Normale der formula_57-Koordinatenfläche zeigt. In der Tensoranalysis wird formula_214 mit tiefgestelltem Index geschrieben.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die kontravariante Komponente formula_37 eines Vektors formula_218 erhält man durch Projektion auf den dualen Basisvektor formula_197 (kontravariante Basis – in der Tensoranalysis mit hochgestelltem Index geschrieben formula_220).


title: Krummlinige Koordinaten

text: Bei orthonormalen Basisvektoren stimmen ko- und kontravariante Basisvektoren überein und ebenso ko- und kontravariante Komponenten eines Vektors.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Somit werden kontravariante Komponenten mit kovarianten Basisvektoren oder kovariante Komponenten mit kontravarianten Basisvektoren kombiniert. Diese Eigenschaft führt auf die Invarianz der Vektoren unter einem Wechsel des Koordinatensystems.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Somit lassen sich mit Hilfe des metrischen Tensors formula_225 und seiner Inversen formula_226 kontravariante Komponenten formula_37 in kovariante formula_228 und umgekehrt überführen (in Tensorsprache: Heben und Senken von Indizes).


title: Krummlinige Koordinaten

text: Bei orthogonalen Koordinaten stimmen in der normierten Form Basisvektoren und duale Basisvektoren überein. Für die natürliche Basis bedeutet dies, dass zwei zueinander duale Basisvektoren kollinear sind, d. h. der eine ist ein Vielfaches (Faktor formula_229) des anderen:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die dualen Basisvektoren lassen sich im dreidimensionalen über Kreuzprodukte der Basisvektoren geteilt durch deren Spatprodukt formula_232 bzw. formula_233 ausdrücken:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Während die (kovarianten) Basisvektoren tangential an die Koordinatenlinien sind, stehen die dualen (kontravarianten) Basisvektoren senkrecht auf den Koordinatenflächen. Beispiel: Während die Vektoren formula_237 und formula_238 in der formula_239 Koordinatenfläche liegen, steht formula_240 senkrecht auf dieser.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Umgekehrt lassen sich die kontravarianten Basisvektoren im dreidimensionalen über Kreuzprodukte der kovarianten Basisvektoren geteilt durch deren Spatprodukt formula_241 bzw. formula_242 ausdrücken:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Bilden die kovarianten Basisvektoren ein Rechtssystem (Funktionaldeterminante positiv), dann bilden auch die kontravarianten Basisvektoren ein Rechtssystem (inverse Funktionaldeterminante positiv). Das Produkt aus den beiden Determinanten muss nämlich Eins ergeben.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Als Beispiel eines geradlinigen, schiefwinkligen Koordinatensystems dient, als Fortsetzung des obigen Beispiels, ein Minkowski-Diagramm.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Lorentz-Transformation war gegeben durch formula_150, somit lautet die inverse Transformation: formula_246:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Da die Koordinatentransformation linear ist, gilt: formula_248. Somit lauten die dualen Einheitsvektoren in kartesischen Koordinaten:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Diese erfüllen die Dualitätsbedingungen: Orthogonalität für formula_250 und formula_251 sowie Normierung für formula_252 und formula_253.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Tensoren formula_2-ter Stufe lassen sich allgemein als formula_2-faches Tensorprodukt von Vektoren darstellen:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Das tensorielle Produkt von Vektoren ist nicht kommutativ, sodass die Reihenfolge der (Basis-)Vektoren nicht vertauscht werden darf.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Dabei sind Skalare (Funktionen der Koordinaten formula_20 in den Grundkörper, also formula_258, die unter Koordinatentransformation ihren Funktionswert an jedem Punkt nicht ändern formula_259) Tensoren nullter Stufe und Vektoren sind Tensoren erster Stufe.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Da sich Vektoren auf zwei verschiedene Arten, nämlich kovariant bzw. kontravariant, darstellen lassen, gibt es für einen Tensor formula_2-ter Stufe formula_261 Darstellungsmöglichkeiten. Durch die Darstellung mittels Vektoren werden die Eigenschaften des Vektors auf Tensoren vererbt. So lassen sich z. B. mit Hilfe des metrischen Tensors Indizes heben und senken, d. h. ko- in kontravariante Komponenten bzw. umgekehrt überführen. Tensoren, die sich durch Heben und Senken (also innere Produkte mit dem metrischen Tensor) ergeben, heißen assoziierte Tensoren. Ebenso wird das Transformationsverhalten von Vektoren für Tensoren übernommen, d. h. kovariante Anteile eines Tensors transformieren sich wie kovariante Vektoren, also mittels der Jacobi-Matrix, und kontravariante Anteile mit der inversen Jacobi-Matrix, wie bei kontravarianten Vektoren.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die vier Fälle sind: (rein) kontravariant, (rein) kovariant, gemischt kontra-kovariant, gemischt ko-kontravariant.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Dabei ist die erste Relation die kartesische Schreibweise, die folgenden zwei aus acht Schreibweisen der krummlinigen Version des Tensors.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Ableitungen von Vektoren, die in krummlinigen Koordinaten dargestellt werden, weisen gegenüber den kartesischen folgende Besonderheit auf. Da die Koordinatenlinien im Allgemeinen keine Geraden sind und daher die Basisvektoren eine vom Ort abhängige Richtung haben, müssen die Basisvektoren auch differenziert werden (Anwenden der Produktregel):


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Ableitung der Basisvektoren formula_38 nach einer Koordinate formula_273 lässt sich als Linearkombination aller Basisvektoren formula_274 schreiben.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Größen formula_278 heißen Christoffel-Symbole erster Art. Das vollständige Differential eines natürlichen Basisvektors lautet:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Christoffel-Symbole werden nun für die Ableitung eines Vektors verwendet (beim zweiten Gleichheitszeichen werden die Indizes formula_140 und formula_281 vertauscht, was möglich ist, da über beide summiert wird, und formula_38 ausgeklammert):


title: Krummlinige Koordinaten

text: Darauf basierend definiert man die kovariante Ableitung (ein ausgezeichneter Zusammenhang auf einem Tensorbündel, einem besonderen Vektorbündel) eines Vektors durch:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Der erste Term beschreibt die Änderung der Vektorkomponenten formula_56 des Feldes formula_286 entlang der Koordinatenachse formula_273, der zweite die Änderung des Feldes, die durch die Änderung des Koordinatensystems zustande kommt. In geradlinigen Koordinatensystemen (hier ist der metrische Tensor konstant) verschwinden die Christoffel-Symbole und die kovariante Ableitung ist identisch mit der partiellen Ableitung.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die kovariante Ableitung führt eine zusätzliche geometrische Struktur auf einer Mannigfaltigkeit ein, die es erlaubt Vektoren aus unterschiedlichen Vektorräumen und zwar aus benachbarten Tangentialräumen zu vergleichen. Somit stellt die kovariante Ableitung einen Zusammenhang zwischen verschiedenen Vektorräumen her. Dieser ist z. B. nötig, um für eine Kurve formula_288 die Krümmung berechnen zu können – dazu ist der Differentialquotient aus den Vektoren formula_289 und formula_290 zu bilden, die in unterschiedlichen Vektorräumen leben.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die kovariante Ableitung der Koordinaten eines Tensors formula_2-ter Stufe ergibt die Koordinaten eines Tensors der Stufe formula_292, da ein kovarianter Index hinzukommt. Für Tensoren der Stufe formula_293 gilt: Die partielle Ableitung einer Tensorkoordinate nach krummlinigen Koordinaten ist, im Gegensatz zur kovarianten Ableitung, keine Tensorkoordinate.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Beispiel: Die Geodäte auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit, die kürzeste Verbindungskurve formula_296 zwischen zwei Punkten, lässt sich durch die geodätische Differentialgleichung formula_297 ausdrücken. Diese Gleichung bedeutet, dass das Geschwindigkeitsvektorfeld (bzw. Tangentenvektorfeld) der Kurve formula_298 längs der Kurve formula_299 (also parallel zu formula_298) konstant ist. Dieser Definition liegt die Überlegung zu Grunde, dass die Geodäten des formula_120 gerade Linien sind. Die Krümmung der Kurve muss also verschwinden und somit die Richtungsableitung der Tangentenvektoren entlang der Kurve null sein. In lokalen Koordinaten ausgedrückt lautet die geodätische Differentialgleichung:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Es existieren grundsätzlich zwei Möglichkeiten, die Christoffelsymbole, also die Koeffizienten des affinen Zusammenhangs formula_303, festzulegen: Entweder man gibt die Koeffizienten vor, d. h. man gibt vor, wie sich die Koordinatensysteme von Punkt zu Punkt auf der Mannigfaltigkeit ändern, oder man hat mehr Informationen über den betrachten Raum als nur, dass es sich um eine differenzierbare Mannigfaltigkeit handelt (z. B. einen Abstandsbegriff) und weiß dadurch, was man unter der kovarianten Ableitung zu verstehen hat, wodurch die Christoffelsymbole ebenfalls festgelegt werden. Hier ist letzterer Fall realisiert, da die hier betrachteten Mannigfaltigkeiten riemannsche Mannigfaltigkeiten sind und somit für jeden Tangentialraum der Mannigfaltigkeit ein Skalarprodukt und dadurch induziert eine Metrik, also ein Abstandsbegriff, existiert.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Da die betrachteten Mannigfaltigkeiten (semi-) riemannsche Mannigfaltigkeit sind (hier verschwindet der Torsionstensor), ist der Zusammenhang formula_303 ein sog. Levi-Civita-Zusammenhang, d. h. er ist torsionsfrei bzw. symmetrisch und außerdem ein metrischer Zusammenhang. Da hier der Zusammenhang torsionsfrei ist, entspricht die antisymmetrisierte Richtungsableitung formula_305 genau der Lie-Ableitung formula_306. Während die Richtungsableitung formula_307 linear im Richtungsfeld formula_308 ist (die Richtungsableitung hängt vom Richtungsfeld an nur einem Punkt ab), ist die Lie-Ableitung formula_309 in keinem Argument linear (für die Lie-Ableitung müssen beide Vektorfelder in einer offenen Umgebung bekannt sein).


title: Krummlinige Koordinaten

text: Aus dem Satz von Schwarz (bzw. aus der Torsionsfreiheit des Zusammenhangs formula_303) folgt, dass die Christoffel-Symbole in den unteren beiden Indizes symmetrisch sind:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Daher lassen sich die Christoffel-Symbole durch Ableiten der metrischen Koeffizienten formula_100 bestimmen:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Für die Ableitung der dualen Basisvektoren erhält man folgenden Zusammenhang mit dem negativen Christoffel-Symbol:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Es ist wichtig anzumerken, dass die Christoffel-Symbole mit ihren drei Indizes "keinen" Tensor dritter Stufe beschreiben, da sie nicht das geforderte Transformationsverhalten für Tensoren zeigen.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Das Auftreten des zweiten Summanden in der Transformationsformel zeigt, dass es sich nicht um einen Tensor handelt. Deswegen werden die Christoffel-Symbole in der Literatur manchmal mit Symbolen notiert, die nicht mit Tensoren verwechselt werden können:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Aussage zum Transformationsverhalten lässt sich verallgemeinern: Der Index (formula_140) einer partiellen Ableitung eines Tensors transformiert sich wie ein kovarianter Index (formula_323). Dagegen transformieren sich die beiden Indizes (formula_324) einer zweiten partiellen Ableitung formula_325 nicht wie Tensorindizes. Als Ausweg steht die kovariante Ableitung zur Verfügung: Die Indizes einer formula_2-te kovarianten Ableitung einer Tensorkoordinate sind wieder Tensorkoordinaten, sie transformieren sich wie kovariante Indizes. Z.B. sind in formula_327 die Indizes formula_140 und formula_281 kovariante Indizes.


title: Krummlinige Koordinaten

text: In kartesischen Koordinaten lautet das Kreuz- oder Vektorprodukt mit dem Levi-Civita-Symbol formula_330


title: Krummlinige Koordinaten

text: An folgender Rechnung sieht man, dass formula_338 das korrekte Transformationsverhalten eines Tensors hat (hier die kovariante Version des Tensors):


title: Krummlinige Koordinaten

text: Wir betrachten ohne Beschränkung der Allgemeinheit die Fläche formula_341. Ein (unnormierter) Normalenvektor der Fläche ist kollinear zum kontravarianten Basisvektor formula_342:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Man definiert für eine Fläche im formula_344 konventionsgemäß die folgenden Größen der „inneren Geometrie“, die sich durch Längen- und Winkelmessungen innerhalb der Fläche ermitteln lassen (siehe Erste Fundamentalform):


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Funktionaldeterminante der Fläche lautet, wobei formula_351 der normierte Normalenvektor der Fläche ist:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Griechische Indizes laufen im Folgenden über den Bereich 1,2 und kennzeichnen so Koordinaten und Basisvektoren in der Fläche.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die partielle Ableitung des normierten Normalenvektors formula_354 nach der Koordinate formula_355 lässt sich als Linearkombination der Basisvektoren der Fläche formula_356 darstellen. Dies folgt aus der Normierungsbedingung formula_357 durch Ableiten formula_358. Somit ist formula_359 orthogonal zur Flächennormale formula_354 und muss folglich in der Fläche liegen. Man führt eine neue Größe formula_361 ein, der ein Tensor zweiter Stufe ist:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Der Tensor formula_361 wird in der Literatur teilweise Flächentensor zweiter Stufe, Krümmungstensor oder Haupttensor genannt. Die kovarianten Koordinaten formula_364 lassen sich wie folgt berechnen, wobei formula_365 gilt:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die formula_364 lassen sich mit den Christoffel-Symbolen zweiter Art in Verbindung bringen. Es gelte im Folgenden formula_369:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die zweite Fundamentalform hängt von der Lage der Fläche im umgebenden Raum ab und wird für Krümmungsberechnungen benötigt. Mit Hilfe des gemischt kontravariant-kovarianten Tensors formula_372


title: Krummlinige Koordinaten

text: werden die Hauptkrümmungen (Eigenwerte von formula_372), die mittlere Krümmung formula_375 und die Gaußsche Krümmung formula_376 der Fläche definiert.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Der Riemannsche Krümmungstensor lässt sich durch das Tensorprodukt formula_377 ausdrücken. Weitere Integrabilitätsbedingungen sind die Mainardi-Codazzi-Gleichungen formula_378.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Ein vektorielles Wegelement oder Kurvenelement formula_379 kann als totales Differential des Ortsvektors dargestellt werden.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Mit Hilfe des vektoriellen Wegelements können nun Bogen-, Flächen- und Volumenelement bestimmt werden.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Das Vorzeichen hängt von der Orientierung des Flächenelements ab. Die Größe formula_393 heißt skalares Flächenelement.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Das Volumenelement lautet, wobei sich der Betrag der Funktionaldeterminante formula_401 identifizieren lässt:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Dieser Spezialfall ist aus verschiedenen Gründen besonders wichtig (z. B. für Physiker und Ingenieure), u. a. weil die gebräuchlichsten krummlinigen Koordinatensysteme (etwa sphärische und elliptische Koordinaten) dazugehören und weil erschwerende mathematische Begriffe, etwa "kovariant" und "kontravariant" bzw. der mit dem *-Symbol verbundene Begriff des "Dualen" bzw. die "Γ-Koeffizienten" hier entfallen. Ferner hat man es immer mit orthogonalen Basen (orthonormierte Einheitsvektoren) zu tun. (Die Basisvektoren sind nur orthogonal, aber nicht notwendig normiert. Erst das zugehörige Einheitsvektorsystem ist orthonormiert.)


title: Krummlinige Koordinaten

text: Es werden die Differentialoperatoren Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace für "orthogonale" Koordinatensysteme angegeben:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Beachte, dass nicht nur formula_407, sondern alle genannten Größen, auch die Basisvektoren und die h-Koeffizienten, von u abhängen können.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Man sollte hier also nicht einfach formula_411 setzen, sondern die Definition formula_412 benutzen. Die oben wiedergegebenen Ergebnisse erhält man in der Tat leichter auf anschaulichem Wege als aus der meist ziemlich umständlichen Rechnung, wenn man von den vorhandenen koordinatenunabhängigen Definitionen der benutzten Größen formula_413 und formula_414 ausgeht.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Nützliche orthogonale krummlinige Koordinaten in zwei Dimensionen werden unter anderem durch konforme Abbildungen erzeugt. Solche krummlinigen Koordinaten sind nicht nur orthogonal, sondern winkeltreu für beliebige Winkel. Das bedeutet u. a., dass die Längenverhältnisse zweier Basisvektoren, z. B. formula_415 unabhängig von "k" den Wert 1 ergeben, sodass nicht etwa aus einer Sphäre ein Ellipsoid entsteht.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Schließlich werden in allgemeinen krummlinigen Koordinatensystem die Differentialoperatoren angegeben.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Im Folgenden wird die "natürliche Basis" benutzt und die korrekte Notation der Tensoranalysis (kontravariant = hochgestellter Index, kovariant = tiefgestellter Index) verwendet. formula_407 sei ein skalares Feld und formula_417 ein Vektorfeld.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Es wird die Schreibweise formula_418 verwendet. Weiterhin werden die Christoffel-Symbole formula_419, die durch formula_420 definiert sind, sowie die kovariante Ableitung formula_421 benutzt. Die kovariante Ableitung eines Skalars ist formula_422 und die kovariante Ableitung eines Vektors ist formula_423 bzw. formula_424.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Im Folgenden soll der Gradient in krummlinigen Koordinaten hergeleitet werden. Das totale Differential des Ortsvektors lässt sich darstellen als:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Betrachte nun ein beliebiges Skalarfeld formula_407. Sein totales Differential lautet (wobei obige Darstellung von formula_447 verwendet wird):


title: Krummlinige Koordinaten

text: Für orthogonale Koordinaten ist ein kovarianter Basisvektor gleich formula_452 und der dazu duale kontravariante Basisvektor formula_453. Somit der Gradient für orthogonale Koordinaten:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Für formula_455 erhält man als Gradient den kontravarianten Basisvektor formula_456, also den Normalenvektor zur Koordinatenfläche formula_457.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Bei der Berechnung der Divergenz wird das Christoffel-Symbol formula_459 benötigt. Dieses lässt sich durch die Determinante formula_94 des metrischen Tensors ausdrücken:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Dabei ist formula_497 eine beliebige Fläche mit Normaleneinheitsvektor formula_354, wobei das Linienintegral formula_499 über den Rand formula_500 dieser Fläche läuft.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Im Folgenden sei die Fläche formula_497 ein (infinitesimal) kleines Parallelogramm am Raumpunkt formula_470, das von den Vektoren formula_505 und formula_506 aufgespannt wird. Der Flächeninhalt ist formula_507.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Mit formula_509 gilt formula_510 für formula_511 sowie für formula_512 und formula_513 für formula_514 sowie für formula_515.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Entwickelt man den Integranden an der Stelle formula_488 in erster Ordnung in formula_518, hängt der genäherte Integrand nur noch von formula_519 ab, ist also unabhängig von formula_520 und man kann das Integral einfach auswerten:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Für formula_526 werden aus den Näherungen exakte Relationen. Eingesetzt in obige Definitionsgleichung für die Rotation (alle Größen am Punkt formula_488 ausgewertet)


title: Krummlinige Koordinaten

text: Analog für die beiden anderen Koordinaten unter zyklischer Vertauschung. Somit lautet die Rotation mit formula_529:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die (natürliche) kovariante Koordinate formula_531 berechnet sich aus der (natürlichen) kontravarianten formula_532 mittels formula_533. Des Weiteren gilt für physikalischen Koordinaten formula_534 sowie formula_452.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Sind die Koordinaten orthogonal, gilt wegen formula_536 die Beziehung formula_537 sowie formula_538. Für orthogonale physikalische Koordinaten formula_539 gilt also formula_540 und die Rotation lautet für diesen Spezialfall:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Bei der Rotation treten Terme der Form formula_542, was sich zu partiellen Ableitungen vereinfachen lässt, da die Christoffelsymbole in den unteren Indizes symmetrisch sind:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Diese Größe stellt einen antisymmetrischen Tensor zweiter Stufe dar, den Rotor des Vektors formula_42.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Krummlinige Koordinaten lassen sich als Anwendung der Differentialgeometrie ansehen, speziell als Karte auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Im Folgenden werden Zusammenhänge zum Kalkül der Differentialformen hergestellt, da mit diesen Berechnungen koordinatenunabhängig dargestellt werden können.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Sei formula_572 eine formula_2-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine formula_574-Form formula_575 ordnet jedem Punkt formula_576 eine glatte alternierende formula_574-Multilinearform formula_578 auf dem Tangentialraum formula_579 zu. Dieses formula_578 ist ein reellwertiges lineares Funktional, das formula_574-Tupeln von Vektorfeldern reelle Zahlen zuordnet:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Dabei ist formula_578 selbst ein Element der äußeren Potenz des Tangentialraums, also von formula_584 (es gilt dabei formula_585 und formula_586). Die Menge aller formula_574-Formen auf formula_572, also das Bündel beziehungsweise die disjunkte Vereinigung formula_589, bildet den Vektorraum formula_590. Diese Formen haben den großen Vorteil, dass man mit ihrer Hilfe kartenunabhängig auf einer Mannigfaltigkeit integrieren kann.


title: Krummlinige Koordinaten

text: In der Tensoranalysis ist formula_578 ein antisymmetrischer (wg. alternierend) kovarianter Tensor formula_574-ter Stufe (wg. formula_574-Multilinearform).


title: Krummlinige Koordinaten

text: Sei formula_594 ein offener Teil von formula_572 und formula_596 ein lokales Koordinatensystem (Karte) mit den lokalen Koordinaten formula_597. Dann bilden am Ort formula_598


title: Krummlinige Koordinaten

text: die dazu duale Basis (die Dualität drückt sich durch formula_602 aus), also die Basis des Kotangentialraums formula_603, dies sind 1-Formen auf dem Vektorraum formula_579.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Das formula_574-fache äußere Produkt formula_606 dieser 1-Formen formula_607 (dabei ist formula_608 assoziativ, bilinear und antikommutativ) ist eine formula_574-Form, wobei


title: Krummlinige Koordinaten

text: eine Basis der äußeren Algebra formula_611 über dem Kotangentialraum formula_612 ist. Jede Differentialform formula_613 hat auf allen Karten formula_596 eine eindeutige Darstellung:


title: Krummlinige Koordinaten

text: was einem antisymmetrischen kovarianten Tensorfeld zweiter Stufe entspricht. Für formula_617 erhält man also:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Für differenzierbare Skalarfelder gilt die Identität: Glatte Funktionen formula_619 sind identisch mit 0-Formen:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Durch folgende Isomorphie lässt sich einem differenzierbaren Vektorfeld formula_621 eindeutig eine 1-Form zuordnen (dabei bezeichne formula_622 das Skalarprodukt) (es wird die Einsteinsche Summenkonvention verwendet):


title: Krummlinige Koordinaten

text: Mit Hilfe des Hodge-Stern-Operators (siehe unten) lassen sich einem Skalarfeld auch eine formula_2-Form zuordnen und einem Vektorfeld eine formula_625-Form.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die musikalischen Operatoren (flat formula_626 und sharp formula_627) beschreiben Isomorphien, die durch die Riemannsche Metrik formula_628 induziert werden, und Tangentialvektoren auf Kotangentialvektoren bzw. umgekehrt abbilden:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Für formula_2-dimensionale Vektorräume, die orientiert und euklidisch sind (somit muss formula_572 einer orientierten Riemannschen Mannigfaltigkeit entsprechen), existiert ein kanonischer Isomorphismus, der alternierende Multilinearformen komplementären Grades (also formula_574 und formula_634) aufeinander abbildet. Dies ist der sog. Hodge-Stern-Operator:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Somit lässt sich einem differenzierbaren Vektorfeld formula_42 nicht nur eine 1-Form formula_641 sondern auch eine 2-Form formula_642 zuordnen. Und eine differenzierbare skalare Funktion formula_643 kann sowohl einer 0-Form formula_643 wie auch einer 3-Form formula_645 zugeordnet werden.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Durch die äußere Ableitung einer formula_574-Form entsteht eine formula_647-Form. Mit den musikalischen Operatoren und dem Hodge-Stern-Operator wird der De-Rham-Komplex gebildet. Die Verkettung zweier äußerer Ableitungen ist identisch Null. Hieraus lassen sich die Integralsätze der Vektoranalysis (Stokes, Gauß und Green) herleiten.


title: Markus Blocher

text: Blocher absolvierte ein Studium der Chemie an der ETH Zürich, das er 2000 mit der Promotion abschloss. Nach dem Studium arbeitete er drei Jahre als Unternehmensberater bei McKinsey & Company.


title: Markus Blocher

text: Ab 2002 arbeitete er bei der EMS-Chemie als Verantwortlicher für Spezialprojekte. 2003 wurde er Geschäftsführer der Dottikon ES, die damals noch Teil der EMS-Chemie-Gruppe war. 2005 führte er das Unternehmen an die Börse. Im November desselben Jahres tauschte er mit seinen Schwestern seine Anteile an der EMS-Chemie mit Anteilen an der Dottikon ES und ist seither Mehrheitsaktionär des Unternehmens. Markus Blocher ist heute CEO und Verwaltungsratspräsident von Dottikon ES. 2020 wurde er zum «CEO des Jahres» gekürt.


title: Markus Blocher

text: Blocher hat sieben Kinder. Sein Vater ist der Unternehmer und Politiker Christoph Blocher; seine Schwester ist die Unternehmerin und Politikerin Magdalena Martullo-Blocher.


title: Luis Durnwalder

text: Alois „Luis“ Durnwalder (* 23. September 1941 in Pfalzen) ist ein ehemaliger Politiker der Südtiroler Volkspartei und war von 1989 bis 2014 Landeshauptmann Südtirols.


title: Luis Durnwalder

text: Durnwalder besuchte die Grundschule in Hofern (Gemeinde Kiens) und in der Folge das Gymnasium des Klosters Neustift bei Brixen. Anschließend studierte er Agrarwissenschaften an der Universität für Bodenkultur in Wien. Nach dem Erwerb des Titels Diplom-Ingenieur im Jahr 1966 folgte das Anerkennungsverfahren an der Universität Florenz, das die Gleichwertigkeit seines österreichischen Abschlusses mit der "laurea in scienze e tecnologie agrarie" feststellte. Zudem besuchte er rechtswissenschaftliche Lehrveranstaltungen an den Universitäten Wien und Innsbruck. Während seines Studiums begann Durnwalder, sich politisch zu engagieren, und amtierte von 1964 bis 1965 als Vorsitzender der Südtiroler Hochschülerschaft.


title: Luis Durnwalder

text: 1967 wurde Durnwalder Direktor des Südtiroler Bauernbunds, 1969 als Kandidat der Südtiroler Volkspartei Bürgermeister seiner Heimatgemeinde Pfalzen. 1973 konnte er ein Mandat für den Südtiroler Landtag und damit gleichzeitig für den Regionalrat Trentino-Südtirol erringen. Gleich in seiner ersten Legislaturperiode wurde er als stellvertretender Assessor in die Regionalregierung gewählt und amtierte von 1976 bis 1978 als Landtagsvizepräsident. Nach den Landtagswahlen 1978 wurde er Mitglied der Landesregierung und übernahm als Landesrat im Kabinett Magnago V das Ressort Landwirtschaft. Dieselbe Funktion hatte er auch im folgenden Kabinett Magnago VI inne. Von 1989 bis 2014 stand er der Landesregierung in den Kabinetten Durnwalder I, Durnwalder II, Durnwalder III, Durnwalder IV und Durnwalder V als Landeshauptmann vor. Bei den Landtagswahlen 1998 und 2003 konnte er mehr als 100.000 Vorzugsstimmen von den Südtirolern aller Sprachgruppen auf sich vereinen. Gemäß einem politisch vereinbarten Rotationsprinzip, das abwechselnd den Südtiroler und den Trentiner Landeshauptmann an der Spitze der Region Trentino-Südtirol vorsieht, übernahm er zusätzlich in den Jahren 2004–2006 und 2009–2011 als erster deutschsprachiger Politiker die Präsidentschaft der Regionalregierung (in den Jahren 2006–2009 und 2009–2014 amtierte er als Vizepräsident). Weiters war er von 1997 bis 2002 Gründungspräsident der Freien Universität Bozen.


title: Luis Durnwalder

text: Am 16. August 2012 erklärte Luis Durnwalder auf einer Pressekonferenz, dass er bei der Landtagswahl 2013 nicht mehr als Kandidat zur Verfügung stehen werde und seine politische Karriere somit ende. Sein Nachfolger als Landeshauptmann wurde Arno Kompatscher.


title: Süße Duftblüte

text: Die Süße Duftblüte ("Osmanthus fragrans") ist eine in Ostasien heimische Pflanzenart aus der Gattung der Duftblüten ("Osmanthus") in der Familie der Ölbaumgewächse (Oleaceae).


title: Süße Duftblüte

text: Die Süße Duftblüte wächst als immergrüner Strauch, seltener als kleiner Baum und erreicht Wuchshöhen von 3 bis 5 Metern, selten auch bis zu 10 Metern. Sie wächst meist mehrstämmig, wobei sich die Stämme typischerweise nahe über dem Boden teilen. Die Krone ist weit ausladend; ältere Exemplare sind etwa so breit, wie sie hoch sind. Die Süße Duftblüte ist langsamwüchsig und kann ein relativ hohes Alter erreichen. Die Pflanzenteile sind kahl. Der Strauch verkahlt im Inneren schnell, behält nach außen jedoch sein fülliges Aussehen.


title: Süße Duftblüte

text: Die gegenständig an den Zweigen angeordneten Laubblätter sind in Blattstiel und Blattspreite gegliedert. Der Blattstiel weist eine Länge von 0,8 bis 1,2, selten bis zu 1,5 Zentimetern auf. Die ledrige Blattspreite ist mit einer Länge von 7 bis 14,5 Zentimetern und einer Breite von 2,6 bis 4,5 Zentimetern elliptisch bis elliptisch-lanzettlich geformt. Die Blattflächen sind glänzend grün bis dunkelgrün. Der Blattrand ist glatt oder meist fein gesägt, wobei glattrandige und gesägte Laubblätter am selben Strauch vorkommen.


title: Süße Duftblüte

text: Die Süße Duftblüte ist androdiözisch, also mit männlichen und zwittrigen Pflanzen. Vom Herbst meist von September bis Oktober bis seltener zum zeitigen Frühjahr erscheinen die Blüten; sporadisch erfolgt der Blütenansatz auch im Sommer. In den Blattachseln stehen oft einige zymöse Blütenstände zusammen, die viele Blüten enthalten. Die Tragblätter sind mit einer Länge von 2 bis 4 Millimetern breit-eiförmig. Der Blütenstiel weist eine Länge von 4 bis 10 Millimetern auf.


title: Süße Duftblüte

text: Die relativ kleinen Blüten verströmen einen intensiven, süßen Duft. Die Blüten sind vierzählig und radiärsymmetrisch mit doppelter Blütenhülle. Der Blütenkelch ist nur etwa 1 Millimeter groß. Die gelblichen, gelben bis orangefarbenen, 3 bis 4 Millimeter langen Kronblätter sind zu einer nur 0,5 bis 1 Millimeter langen Röhre verwachsen. Die zwei kurzen Staubblätter sind mit der Mitte der Kronröhre verwachsen.


title: Süße Duftblüte

text: Die mit einer Länge von 1 bis 1,5 Zentimetern ellipsoiden Steinfrüchte färben sich bei der Reife im März blau bis purpur-schwarz.


title: Süße Duftblüte

text: Die exakte ursprüngliche Heimat der Süßen Duftblüte ist nicht mehr bekannt. Ihre Vorkommen erstrecken sich über China mit den Provinzen Zhejiang, Guizhou, Sichuan，Yunnan und Guangxi, wo auch die Stadt Guilin nach der Süßen Duftblüte genannt wurde, über den südlichen Teil von Kyushu in Japan, weiter über Bhutan, Nepal und in Indien über Assam, Nagaland und Sikkim; weiter ist sie noch im nördlichen Myanmar und im nördlichen Thailand verbreitet. Sie wird in China genannt.


title: Süße Duftblüte

text: Diese Art wurde 1784 unter dem Namen "Olea fragrans" durch Carl Peter Thunberg in "Systema Vegetabilium. Editio decima quarta", S. 57 erstveröffentlicht. In die Gattung "Osmanthus" wurde sie 1790 unter dem Namen "Osmanthus fragrans" durch den portugiesischen Botaniker João de Loureiro in "Flora cochinchinensis", 1, S. 29 gestellt. Weitere Synonyme für "Osmanthus fragrans" sind: "Olea ovalis" , "Osmanthus longibracteatus" , "Osmanthus macrocarpus" und "Osmanthus fragrans" var. "thunbergii" .


title: Süße Duftblüte

text: Das Aroma wird für aromatisierte Tees verwendet. Bei der Herstellung von Duftwein wird Weißwein mit dem Duft der Süßen Duftblüte versetzt. Die gewonnene "Osmanthus"-Essenz ist sehr teuer und wird für besonders edle Parfüms eingesetzt.


title: Süße Duftblüte

text: Wegen ihrer duftenden Blüten wird die Süße Duftblüte in klimatisch günstigen Gebieten gerne als Zierpflanze in Parks und Gärten verwendet.


title: Sottrum

text: Die Gemeinde Sottrum liegt auf etwa 20 Meter über Normalnull und ist der Kernort der Samtgemeinde Sottrum. Der Ort hat eine Ausdehnung von zwei Kilometern in Nord-Süd- und 1,5 Kilometern in West-Ost-Richtung. Der Ort ist etwa 32 Kilometer von der Stadt Bremen und 13 Kilometer von der Kreisstadt Rotenburg (Wümme) entfernt. Die Umgebung des Ortes ist durch Moor, Wald und die Flussniederungen von Wümme und Wieste geprägt.


title: Sottrum

text: Die Gemeinde gliedert sich in drei Ortsteile: Den Hauptort Sottrum, den 2,5 Kilometer westlich gelegenen Ortsteil Stuckenborstel und den 4,5 Kilometer südwestlich gelegenen Ortsteil Everinghausen. Stuckenborstel und Everinghausen wurden im Zuge der gemeindlichen Neuzuordnung am 1. März 1974 zu Sottrum eingemeindet.


title: Sottrum

text: Folgende Gemeinden sind Nachbarorte von Sottrum. Angegeben ist jeweils die Entfernung vom Ortskern des Hauptortes.


title: Sottrum

text: Die erste bekannte urkundliche Erwähnung von Sottrum erfolgte 1205. In einem Übereinkommen wird Sottrum dort als "Suthrem" als Archidiakonat des Verdener Domkapitels erwähnt. Nach Schätzungen ist der Ort aber schon um das Jahr 800 bewohnt gewesen.


title: Sottrum

text: Während des Russlandfeldzuges Napoleons war Sottrum Quartier seiner höchsten Offiziere, wie z. B. Maréchal Davout.


title: Sottrum

text: Die Gemeinden Groß Sottrum und Klein Sottrum wurden am 1. Januar 1929 zur Gemeinde Sottrum zusammengeschlossen.


title: Sottrum

text: Durch die ständig ansteigenden Anforderungen an die Verwaltungsaufgaben entstand bereits in den 1950er Jahren ein Reformdruck bei den kleinen ehrenamtlich verwalteten Gemeinden. Als auch das öffentliche Schulwesen unter Berücksichtigung der Landesschulplanung neu überdacht werden musste, schlossen sich schließlich 1969 die Gemeinden Bötersen, Clüversborstel, Everinghausen, Hassendorf, Hellwege, Höperhöfen, Reeßum, Schleeßel, Sottrum, Stapel, Stuckenborstel, Taaken und Winkeldorf auf freiwilliger Basis zur Samtgemeinde Sottrum zusammen. Die damalige erste Hauptsatzung der Samtgemeinde Sottrum trat am 30. Juni 1969 in Kraft.


title: Sottrum

text: Am 29. Dezember 1970 erklärte die Gemeinde Horstedt ihren Beitritt zur Samtgemeinde. Mit Inkrafttreten des Gesetzes zur Neugliederung der Gemeinden im Raum Rotenburg (Wümme) am 1. März 1974 kamen die Gemeinden Ahausen und Eversen hinzu. Die bereits bestehende Samtgemeinde Sottrum wurde zu diesem Zeitpunkt unter das neue Recht gestellt.


title: Sottrum

text: Der Rat der Gemeinde Sottrum besteht aus 19 Ratsfrauen und Ratsherren. Dies ist die festgelegte Anzahl für die Mitgliedsgemeinde einer Samtgemeinde mit einer Einwohnerzahl zwischen 6001 und 7000 Einwohnern. Die Ratsmitglieder werden durch eine Kommunalwahl für jeweils fünf Jahre gewählt. Die aktuelle Amtszeit begann am 1. November 2021 und endet am 31. Oktober 2026.


title: Sottrum

text: Die Wahlbeteiligung bei der Kommunalwahl 2021 lag mit 58,2 % über dem niedersächsischen Durchschnitt von 57,1 %.


title: Sottrum

text: Der Gemeinderat wählte das Gemeinderatsmitglied Hans-Jürgen Krahn (CDU) zum ehrenamtlichen Bürgermeister für die aktuelle Wahlperiode.


title: Sottrum

text: Blasonierung: In Rot unter silbernem mit schwarzem Nagelkreuz belegten rechten Obereck der Heilige Georg in goldener Rüstung auf nach links reitenden goldgezäumtem und goldhufigem silbernem Pferd mit goldener Lanze einen grünen Lindwurm erstechend. Das Nagelkreuz erinnert an das Bistum Verden, der hl. Georg an das Patrozinium der Sottrumer Pfarrkirche.


title: Sottrum

text: Die Samtgemeinde Sottrum hat 1970 die Genehmigung für die Übernahme des Wappens der Gemeinde Sottrum erhalten.


title: Sottrum

text: Die Laienspielgruppe des Turnvereins Sottrum(TV Sottrum) besteht bereits seit 1946. Jedes Jahr finden Anfang November fünf Aufführungen statt.


title: Sottrum

text: Sottrum ist Sitz der Volksbank eG Wümme-Wieste und befindet sich im Einzugsbereich der Sparkasse Rotenburg Osterholz.


title: Sottrum

text: Nächstgelegene Krankenhäuser sind das Agaplesion Diakonieklinikum Rotenburg, die Aller-Weser-Klinik in Achim und die Krankenhäuser in Bremen. Sottrum ist Standort eines Seniorenheimes.


title: Sottrum

text: Die Bundesstraße 75 führt durch den Ort Sottrum, die Anschlussstelle "Stuckenborstel" an der A 1 liegt etwa zwei Kilometer vom Ort entfernt. Ihr Verlauf entspricht der nach 1809 in napoleonischer Zeit möglichst geradlinig angelegten Heerstraße zwischen Osnabrück und Hamburg.


title: Sottrum

text: Der Ort verfügt über einen Bahnhof an der Bahnstrecke Wanne-Eickel–Hamburg, an dem im Rahmen des Hanse-Netzes verkehrende Züge der metronom Eisenbahngesellschaft auf der Verbindung Hamburg–Bremen halten.


title: Sottrum

text: Seit dem 1. April 2010 verfügt die Samtgemeinde Sottrum über einen ehrenamtlich betriebenen Bürgerbus, der die Ortsteile miteinander verbindet.


title: Nachfragefunktion

text: Als Nachfragefunktion bezeichnet man in den Wirtschaftswissenschaften eine mathematische Funktion, die für einen gegebenen Preis eines Gutes die Menge angibt, welche zu diesem Preis nachgefragt wird. Graphisch dargestellt wird sie üblicherweise mit vertauschten Koordinatenachsen: Auf der vertikalen Achse wird der Preis, auf der horizontalen die Menge abgetragen. Es wird unterschieden zwischen "individuellen" und "aggregierten" Nachfragefunktionen. Erstere erfassen das Nachfrageverhalten einer Person, letztere erfassen das Nachfrageverhalten aller Marktteilnehmer.


title: Nachfragefunktion

text: Häufig wird die Nachfragefunktion im Zusammenspiel mit der Angebotsfunktion dazu verwendet, um das Marktgleichgewicht – das heißt jene Preis-Mengen-Kombination, bei der die Nachfrage nach dem Gut der zu diesem Preis angebotenen Menge entspricht – zu ermitteln.


title: Nachfragefunktion

text: Eine Nachfragefunktion ist allgemein eine Funktion formula_1, formula_2. Sie wird für gewöhnlich als eine lineare Funktion angenommen


title: Nachfragefunktion

text: Hierbei stellen die Parameter a und b den Achsenabschnitt und die Steigung dar. Die Maximumsfunktion bringt zum Ausdruck, dass die Funktion allgemein durch formula_4 dargestellt wird; wenn die Nachfrage aber negativ wird den Wert Null annimmt, da für gewöhnlich keine negative Nachfrage existiert. Sie wird üblicherweise als streng monoton fallend angenommen, das heißt, mit zunehmendem Preis sollte die Nachfrage auch zurückgehen. Einen in aller Regel vernachlässigbaren Sonderfall stellen lediglich so genannte Giffen-Güter dar, deren Nachfrage im Preis steigt.


title: Nachfragefunktion

text: Man bezeichnet denjenigen Preis, mit dem eine Nachfrage von null korrespondiert, als "Prohibitivpreis;" im graphischen Beispiel der Abb. 1 beträgt dieser 16 €.


title: Nachfragefunktion

text: Diejenige Menge, die maximal nachgefragt wird – unter der Annahme eines fallenden Verlaufs der Nachfragekurve ist das nichts anderes als die Menge, die nachgefragt wird, wenn der Preis null beträgt –, bezeichnet man als "Sättigungsmenge;" sie beläuft sich in Abb. 1 auf vier Einheiten des Gutes.


title: Nachfragefunktion

text: Die Tatsache, dass die Nachfragefunktion üblicherweise mit vertauschten Koordinatenachsen dargestellt wird, bringt es grundsätzlich mit sich, dass die resultierende Kurve auch nur von der Preisachse aus gelesen werden kann (siehe nachfolgend: "horizontale Interpretation"); schließlich ändert eine andere graphische Darstellung nichts daran, dass funktional der Preis auf die Menge (und nicht die Menge auf den Preis) abgebildet wird. Allerdings ist die individuelle Nachfragekurve tatsächlich auch einer "vertikalen Interpretation" zugänglich.


title: Nachfragefunktion

text: Man beachte jedoch, dass dies für die aggregierte Nachfrage (siehe nachfolgender Abschnitt) im Allgemeinen "nicht" gilt.