title: Munhumutapa-Reich

text: Radiokarbondaten belegen für Groß-Simbabwe eine Bau- und Nutzungszeit im 13. bis 15. Jahrhundert. Alle weiteren streng zur Simbabwekultur zu rechnenden Bauten sind jünger. Frühere Zeitangaben tauchen zwar in einzelnen Abhandlungen auf, könnten aber aus einer Zeit übernommen sein, als eine physikalisch-chemische Datierung noch nicht möglich war und man die Ruinen aufgrund ihrer archaischen Bauweise für älter hielt.


title: Munhumutapa-Reich

text: Rundbauweise und das Fehlen von Eckverbindungen an Stellen, wo Mauern aneinander stoßen, sprechen gegen eine Bauherrenschaft aus anderen Gegenden am indischen Ozean. Denn zu der Zeit waren nicht nur an den asiatischen Küsten schon seit Langem eckige Steinbauten üblich, sondern auch an nördlicheren Bereichen der afrikanischen Küste (z. B. Kilwa, 900 km südlich des Äquators). Der ganze Grundriss hat, wenn auch wesentlich größer, viel von einem afrikanischen Kraal: Die beeindruckend hohen Steinmauern von Groß-Simbabwe haben nie Dächer getragen, sondern waren Einfriedungen, in denen Hütten und Häuser aus Lehm und Holz standen. Im Jahre 1895 beschrieb ein Missionar die Residenz eines Ovambohäuptlings von der Westseite des südlichen Afrika. Aus Holzpalisaden und wesentlich kleiner als Groß-Simbabwe, folgt deren Grundriss dennoch ähnlichen Prinzipien. Die Steinbauweise endete auch nicht mit der Blütezeit der Kultur: Im Mutapareich entstanden kleinere Befestigungsanlagen (Hügelforts) vom 16. bis ins 18. Jahrhundert. An Danangombe (Dhlodhlo), der Residenz des Torwa- und später Changamire-Staates wurde bis ins 18. Jahrhundert gebaut, wenn auch die letzten der Maßnahmen mehr der militärischen Sicherung als der Repräsentation dienten und entsprechend gröber ausfielen.


title: Munhumutapa-Reich

text: Es ist zwar fraglich, wie lange das Bewässerungssystem am Mazowe in Benutzung war, aber der Shonastamm der Manica im Grenzgebiet von Mosambik und Simbabwe hat seine Terrassenfelder bis weit ins 19. Jahrhundert weiter ausgebaut. Der nicht ohne politisches Interesse von manchen Leuten postulierte Kulturbruch zwischen Simbabwekultur und heutigen Shona speziell, bzw. heutigen Bantu allgemein, schmilzt also bei näherer Betrachtung dahin.


title: Munhumutapa-Reich

text: Chinesisches Porzellan und indische Baumwollstoffe sind in afrikanischen Fundstätten anhand von Isotopen und Spurenbeimengungen leicht zu identifizieren. Die Wege des Metallhandels zu rekonstruieren ist schwieriger.


title: Munhumutapa-Reich

text: Die Goldminen von Johannesburg waren zwar noch längst nicht entdeckt und wären möglicherweise mit den damaligen Methoden nicht auszubeuten gewesen, aber schon der arabische Reisende Al-Masudi berichtete um 916, also Jahrhunderte vor der Errichtung der ersten heute erhaltenen Mauern von Groß-Simbabwe, von einem goldreichen Staat im Hinterland von Sofala.


title: Munhumutapa-Reich

text: Für das Simbabwe- oder Monomotapa-Reich müssen zwei Perioden unterschieden werden, jene, in der Groß-Simbabwe erbaut wurde, und jene, in der es zwei Zentren gab. Eines befand sich im Norden um das Mazowetal, wo die Portugiesen das Monomotapa-Reich Mokaranga vorfanden. Das andere lag im Südosten, zunächst als Torwa-, dann als Changamire-Staat. Die Traditionen berichten von Kämpfen zwischen beiden Machtzentren. Über die Gründe für die Aufgabe von Groß-Simbabwe um 1450 gibt es verschiedene Theorien. Die plausibelste nimmt die Erschöpfung der regionalen Ressourcen durch die Bevölkerungskonzentration an. Ob eine lange Dürreperiode im 14. oder 15. Jahrhundert zum Untergang des ursprünglichen Munhumupata-Reiches beigetragen hat, wurde von der Klimaforschung bisher nicht beantwortet. Auch eine Seuche oder ein Bürgerkrieg werden diskutiert.


title: Munhumutapa-Reich

text: Die ersten portugiesischen Quellen stammen aus dem 16. Jahrhundert. Im Mazowetal stieß der Jesuitenpater Gonçalo da Silveira 1560, der den Shona-König Nogomo Mupunzagato (Chisamharu Negomo Mupuzangutu) missionierte, auf eine nennenswerte Besiedlung und soziale Organisation. Groß-Simbabwe beim heutigen Masvingo (unter britischer Herrschaft Fort Victoria, der heutige Name bedeutet "Ruinen") war etwa 100 Jahre zuvor verlassen worden und es gab noch einen zweiten Nachfolgestaat um Khami. Zwischen 1569 und 1572 reichte eine portugiesische Armee von 1000 Soldaten unter Francisco Barreto, um das gesamte Siedlungsgebiet zu erobern. Allerdings starb der Feldherr mit dem größten Teil seiner Truppe in Sena am Sambesi an einer Seuche, so dass nur wenige Überlebende die Küste erreichten und die Eroberung hinfällig wurde. Anschließend scheiterte 1574 eine Truppe von 400 Soldaten unter Vasco Fernandes Homen am Widerstand der Einwohner und an der Geographie im Nyanga-Hochland. Erst ab 1628 gewannen die Portugiesen wegen der Stammenfehden in Munhumutapa die Kontrolle, also im Mazowetal, die das Mutapa-Reich bis zum Ende des 17. Jahrhunderts in unbedeutende Stammesherrschaften zerfallen ließen. Mehr als ein Einflussgebiet erstrebten sie in dieser Zeit nicht. Zu echter staatlicher Kontrolle wurden sie erst durch den britischen Kolonialismus gezwungen, der 1890 ultimativ den Rückzug von den Goldfeldern von Manica, also aus Massi Kessi forderte und 1891 Grenzen zog. Um 1816 begann die Mfecane, eine Wanderungsbewegung der Nguni-Stämme aus dem Osten der heutigen Südafrikanischen Republik, ausgelöst durch straffe militärische Organisation und blutige Eroberungen der Zulu unter ihrem König Shaka. Nguni richteten 1830 ein Massaker unter den Einwohnern von Chinhoyi an. Im Folgejahr fiel der Changamire-Staat des Shona-Stammes Rozwi der Mfecane zum Opfer und wurde noch im selben Jahrzehnt leichte Beute der aus dem Gebiet der heutigen Republik Südafrika zuwandernden Matabele. Die Karanga im Nordosten wurden erst in den 1860er Jahren von den Matabele unterworfen.


title: Munhumutapa-Reich

text: Mündlich überlieferte Genealogien sind immer mit dem Problem behaftet, der Bestätigung gegenwärtiger Herrschaftsansprüche zu dienen, bis hin zu heutigen Staaten:


title: Munhumutapa-Reich

text: Die Torwa-Dynastie, deren ethnische Zuordnung für diese Zeit unklar ist, hatte zuerst Khami als Zentrum, später Danangombe. Es geriet im 17. Jahrhundert in einen Bürgerkrieg, dessen Sieger die vorher stark präsenten Swahili-Händler vertrieb oder gar umbrachte. Durch diesen Bürgerkrieg geschwächt, wurde es 1650 von den Changamire an der Spitze der Rozwi erobert. Die Kultur blieb bei diesem Machtwechsel unverändert und die steinernen Gemäuer von Danangombe wurden weiter ausgebaut. Aber 1831 zerfiel dieser Staat, dessen Einwohner sich durchaus mit Karangas vermischt haben können, unter dem Ansturm der Mfecane. 1837 wurde sein Gebiet von den Ndebele unterworfen. Der Mutapastaat hielt sich bis in die 1860er Jahre. Dann kam auch er unter die Herrschaft der Ndebele, so dass Karten aus dem späten 19. Jahrhundert das ganze heutige Simbabwe als Matabeleland ausweisen, während dessen König Lobengula sich als König der Matabele und der Shona bezeichnete.


title: Munhumutapa-Reich

text: Die Portugiesen notierten als Name des Reiches "Mokaranga", als Herrschertitel "Monomotapa" (Vgl. Catholic Encyclopedia). Heute wird dieses Wort gerne als "Mwenemutapa", "Mwanamutapa" oder "Munhumutapa" gedeutet. Die Bedeutungen der ersten Worthälfte im heutigen Shona sind "Mwene" = Besitzer, "Mwana" = Kind und "Munhu" = Mensch, Plural "Vanhu". In einigen anderen Bantusprachen heißt "Mensch" "Muntu", Plural "Bantu", woraus die weltweit gebrauchte Bezeichnung "Bantu" für einen Großteil der Bevölkerung des mittleren und südlichen Afrikas wurde. Die zweite Hälfte des Namens, "Mutapa", bedeutet "Herrscher". Unstrittig ist, dass die Karanga, ein Shonastamm, bei Eintreffen der Portugiesen dort lebten. Wie lange die von ihnen notierten Bezeichnungen damals schon in Gebrauch waren, ist bisher unbekannt.


title: Munhumutapa-Reich

text: Die Bezeichnung „Shona“ taucht erst seit 1835 auf, als der Matabele-Begriff für Nicht-Matabele. Die allerdings lange Zeit nur mündlich tradierte Geschichte der sich heute als Shona bezeichnenden Stämme reicht wesentlich weiter zurück, allerdings nur bis ins 15. Jahrhundert. Die Sprache Chishona bildet mit ihren Dialekten eine eigene Gruppe der Bantusprachen. Benachbart sind die Sotho-Tswana-Gruppe, die Nguni-Gruppe (Zulu, Ndebele), die Tsonga und die Venda.


title: Munhumutapa-Reich

text: Das Munhumutapa wird meist mit den Shona, die Karanga und Rozwi einschließen, in Verbindung gebracht.


title: Munhumutapa-Reich

text: Nach der offiziellen Darstellung der Geschichte Botswanas haben dort zumindest um 1200 schon Sotho-Völker gelebt. Die Bantu-Einwanderung südlich des Sambesi wird von Archäologen eher um die Zeitenwende angesetzt, von Linguisten eher um 1000 n. Chr.


title: Elxleben (Ilm-Kreis)

text: Elxleben (auch "Elxleben am Steiger" genannt, zur Unterscheidung von "Elxleben an der Gera") ist eine Gemeinde im Ilm-Kreis in Thüringen in Deutschland.


title: Elxleben (Ilm-Kreis)

text: Elxleben liegt an der Wipfra circa zehn Kilometer nordöstlich von Arnstadt. Die thüringische Landeshauptstadt Erfurt befindet sich circa zehn Kilometer nördlich der Gemeinde. Elxleben gehört der Verwaltungsgemeinschaft Riechheimer Berg an. Der Verwaltungssitz befindet sich in der Gemeinde Osthausen-Wülfershausen.


title: Elxleben (Ilm-Kreis)

text: Die erste Erwähnung erfolgte im Jahr 775 unter dem Namen "Elgeslebo". In der Ortsmitte befand sich damals eine kleine Turmhügelburg. Sie diente zum Schutz der Bewohner und zur Bewachung des Verkehrs. Im Jahr 1533 wurde im damals zur Grafschaft Schwarzburg (Schwarzburg-Rudolstädter Oberherrschaft) gehörenden Elxleben die Reformation eingeführt. Zu dieser Zeit führten zwei Handelswege durch das Dorf; einer von Erfurt im Norden nach Stadtilm im Süden und einer von Arnstadt im Westen nach Weimar im Osten. Nach 1600 ging der Waidanbau in Elxleben deutlich zurück, da dieses Färbemittel durch die Erschließung Amerikas und die damit verbundene Verbreitung neuer Handelsgüter wie Indigo, nicht mehr benötigt wurde. Der Dreißigjährige Krieg führte in Elxleben, wie in der gesamten Region, zu schweren Verlusten, die vor allem durch plündernde kroatische Soldaten hervorgerufen wurden.


title: Elxleben (Ilm-Kreis)

text: Der Bau der heutigen, barocken Kirche begann im Jahr 1722 und dauerte bis 1725 an. Der 44 Meter hohe Kirchturm wurde dabei als letztes errichtet.


title: Elxleben (Ilm-Kreis)

text: Die Straße von Erfurt nach Stadtilm durchs Dorf wurde 1863 zur befestigten Poststraße ausgebaut, seit 1868 gab es in Elxleben auch eine Poststelle.


title: Elxleben (Ilm-Kreis)

text: Der Rat der Gemeinde Elxleben besteht aus 8 Ratsfrauen und Ratsherren. Nach der Kommunalwahl am 26. Mai 2019 ergibt sich die folgende Zusammensetzung:


title: Elxleben (Ilm-Kreis)

text: Die ebenfalls angetretenen Parteien Die Linke und SPD erhielten zu wenig Stimmen für einen Sitz im Gemeinderat.


title: Elxleben (Ilm-Kreis)

text: Der ehrenamtliche Bürgermeister ist seit dem 1. Juli 2022 Swen Glietsch (CDU). Zuvor war seit 1994 Klaus Böhm (CDU) im Amt.


title: Elxleben (Ilm-Kreis)

text: Jedes Jahr findet am letzten September-Wochenende eine alljährliche Kirmes statt. Weitere regelmäßige Veranstaltungen sind das Oktoberfest Anfang Oktober, ein Open-Air auf einem Agrargelände Ende Mai, das Bikertreffen mit Bikern aus ganz Deutschland Anfang September, sowie der Fackelumzug zur Walpurgisnacht mit anschließendem Feuer.


title: Elxleben (Ilm-Kreis)

text: Durch Elxleben verläuft die Landesstraße 1049 Erfurt–Stadtilm. Die nächsten Autobahnanschlussstellen sind "Arnstadt-Süd" an der Bundesautobahn 71, etwa 8 km südwestlich von Elxleben, und "Erfurt-West" an der Bundesautobahn 4, etwa 10 km nordwestlich.


title: Elxleben (Ilm-Kreis)

text: Wochentags wird Elxleben von den Buslinien 357 und 362 der RBA Regionalbus Arnstadt GmbH erschlossen. Sie bieten Verbindungen nach Erfurt, Arnstadt und Stadtilm. Der nächstgelegene Bahnhaltepunkt ist "Marlishausen" an der Bahnstrecke Arnstadt–Saalfeld, 7 km südwestlich von Elxleben.


title: Derby della Capitale

text: Als Derby della Capitale () wird in der italienischen Landessprache das Römer Stadtderby zwischen den Herrenprofimannschaften der AS Rom (AS Roma) und Lazio Rom (S.S. Lazio) bezeichnet.


title: Derby della Capitale

text: Des Weiteren ist es auch als Derby di Roma, Derby Capitolino oder Derby del Cupolone bekannt. Im deutschsprachigen Raum ist die Bezeichnung "Römer Derby" verbreitet.


title: Derby della Capitale

text: Die S.S. (Società Sportiva) Lazio Rom wurde, angespornt durch die Olympischen Sommerspiele 1896 in Athen, 1900 von neun Römern gegründet. Die Fußballabteilung besteht offiziell seit 1910. Aus den Farben der griechischen Flagge leiten sich auch die Vereinsfarben Weiß und Himmelblau ("Biancocelesti") ab.


title: Derby della Capitale

text: Die Anfänge der A.S. (Associazione Sportiva) Rom liegen im Jahr 1927. Zu dieser Zeit gab es acht Fußballvereine in Rom, die in der ersten regionalen Liga vertreten waren. Um die Kräfte zu bündeln, schlug Italo Foschi, damaliger Präsident von Fortitudo-Pro Roma, die Zusammenlegung mehrerer Vereine vor. Dies sollte die Vormachtstellung der norditalienischen Vereine wie dem CFC Genua, Inter und AC Mailand, Juventus Turin oder der Pro Vercelli durchbrechen. Am 22. Juli 1927 entstand durch die Fusion der drei Vereine Fortitudo-Pro Roma S.G.S., dem Foot Ball Club di Roma und der S.S. Alba-Audace Roma die AS Rom. Die Vereinsfarben Gelb und Rot ("Giallorossi") wurden vom Foot Ball Club di Roma übernommen. Auch Lazio sollte in dem neuen Verein aufgehen, dies verhinderte letztendlich die vehemente Gegenwehr von Giorgio Vaccaro. Er war Klubmitglied und später Präsident des italienischen Fußballverbandes FIGC (1933 bis 1942).


title: Derby della Capitale

text: Lazio Rom war bis 1930 im Stadio della Rondinella beheimatet. Das Stadion lag in direkter Nachbarschaft zum Stadio Nazionale del PNF, in das Lazio dann umzog und dort bis 1953 blieb. Die AS blieb bis 1940 auf dem Campo Testaccio und siedelte ebenfalls in das "Stadio Nazionale" um. Nachdem der Bau des Stadio dei Centomila, das spätere Olympiastadion, 1953 abgeschlossen war, fanden die beiden Rivalen dort ihre neue Heimstätte. Die Anhänger von Lazio versammeln sich in der "Curva Nord" (Nordkurve), während die Roma-Fans in der "Curva Sud" (Südkurve) ihren Stammplatz haben.


title: Derby della Capitale

text: Die Rivalität zwischen den Vereinen zeigt sich besonders unter den Fans. Die AS Rom stammt aus dem politisch linken Arbeiterviertel Testaccio im Süden von Rom angesiedelt, während Lazio im politisch rechten, wohlhabenden Parioli im Norden beheimatet ist. Inzwischen sind die Fankurven der Roma politisch und sozial sehr durchmischt, während die Lazio-Ultras, besonders die Irriducibili Lazio, die oft eher aus dem Umland als aus der Stadt selbst kommen, eine enge Verbindung zum Rechtsextremismus haben. Hier wie in Teilen der AS Roma Ultras und anderer Fangruppierungen der "Roma" bekennt man sich offen zu Rassismus und Faschismus und sieht Ex-Diktator Benito Mussolini als Vorbild an.


title: Derby della Capitale

text: Mehrmals wurden von "Lazio"-Anhängern Spruchbänder im Stadion gezeigt, mit Aufschriften wie "Auschwitz la vostra patria, i forni le vostre case!" („Auschwitz ist eure Heimat, die Öfen euer Zuhause!“). Später bezeichnete man die AS Rom auf Spruchbannern, wegen ihrer dunkelhäutigen Spieler wie Cafu, Aldair, Jonathan Zebina und Emerson als "Squadra de negri" („Neger-Mannschaft“). Nachdem die Roma 2001 die erste Meisterschaft nach 1983 gewann, waren in der Fankurve der "Biancocelesti" während des Derbys Plakate mit der Aufschrift "Roma è merda" („Roma ist Scheiße“) zu sehen. Bei dem Ligaspiel zwischen der AS Rom und dem FC Livorno (3:0) am 29. Januar 2006 stand auf einem Spruchband „Lazio und Livorno – dieselben Initialen, derselbe Ofen“.


title: Derby della Capitale

text: Eine besondere Rolle nahm Paolo Di Canio, der frühere Mannschaftskapitän von Lazio Rom, ein. Di Canio, früher selbst Mitglied der "Irriducibili Lazio", lief nach Spielende des Derbys am 6. Januar 2005 in die "Curva Sud" zu den "Roma"-Anhängern und reckte seinen Arm zum Saluto romano (, der dem Hitlergruß ähnelt) hoch. Dies ist in Italien per Gesetz verboten und fällt unter den Straftatbestand der Verherrlichung des Faschismus. Der italienische Fußballverband FIGC verurteilte Di Canio zu einer Geldstrafe von 10.000 Euro und einer Sperre von einem Spiel.


title: Derby della Capitale

text: Auch kommt es immer wieder zu gewalttätigen Ausschreitungen. Das Stadtderby vom 21. März 2004 musste in der vierten Minute der zweiten Halbzeit beim Stand von 0:0 abgebrochen werden. Im Stadion hatte sich das Gerücht verbreitet, dass ein Junge vor dem Stadion von einem Polizeiwagen überfahren und getötet worden war. Daraufhin stürmten drei "Roma"-Fans den Platz. Sie diskutierten mit den beiden Mannschaftskapitänen Francesco Totti (Roma) und Siniša Mihajlović (Lazio) und verlangten den Abbruch der Partie.


title: Derby della Capitale

text: Über Lautsprecher versuchte man die Situation zu klären und die Stadionbesucher zu beruhigen, dies gelang aber nicht. Nach einer Unterbrechung von 20 Minuten und einem Telefonat zwischen Schiedsrichter Roberto Rosetti und Ligapräsident Adriano Galliani wurde das Spiel abgebrochen. Nach dem Abbruch lieferten sich Fans mit der Polizei im und außerhalb des Olympiastadions gewalttätige Auseinandersetzungen. Es gab 13 Festnahmen und 176 Verletzte (155 Polizisten und 21 Randalierer). Einen Monat später wurde das Spiel wiederholt und endete mit einem ereignislosen 1:1-Unentschieden.


title: Derby della Capitale

text: Bei einem "Derby della Capitale" kam es zu einem Todesfall. Der 33-jährige Lazio-Fan Vincenzo Paparelli, der das Stadion mit seiner Frau besuchte, wurde bei der Begegnung am 28. Oktober 1979 von einer Signalrakete direkt in sein linkes Auge getroffen und starb. Das Geschoss wurde von der anderen Seite des Stadions aus einem Block der Roma-Anhänger abgeschossen. Paparelli war nach Giuseppe Plaitano 1963 das zweite Todesopfer im italienischen Fußball. Er hinterließ Frau und zwei Kinder.


title: Derby della Capitale

text: Das erste Aufeinandertreffen der beiden Clubs fand am 8. Dezember 1929 in der Serie A statt. Das Spiel im Stadio della Rondinella entschied Rodolfo Volk der "Giallorossi" in der 73. Min. mit seinem Tor zum 0:1. Lazio musste bis zum 23. Oktober 1932 auf den ersten Derbysieg in einem Wettbewerbsspiel warten. Das Heimspiel im Stadio Nazionale del PNF in der Erstligasaison 1932/33 endete mit einem 2:1. Den höchsten Sieg in einem Derby feierte die AS Rom mit einem 5:0-Heimsieg am 1. November 1933. Die meisten Tore in einem Spiel erzielte Vincenzo Montella, der mit vier Toren am 10. März 2002 der Roma zum 1:5-Sieg verhalf. Es ist der höchste Auswärtssieg in der Derbygeschichte. Im Derby vom 11. März 1934 lag Lazio im Heimspiel schon nach 15 Minuten mit 0:3 zurück. Durch drei Tore von Alejandro Demaría (31., 42. und 83. Minute) konnte Lazio noch ein Unentschieden erreichen.


title: Derby della Capitale

text: Das Ligaduell am 11. März 1956 musste wegen starker Schneefälle abgesagt werden. Dies hatte bis dahin noch nicht gegeben. Das Heimspiel von Lazio Rom wurde für den 4. April neu angesetzt und sah bei strahlendem Sonnenschein einen 1:0-Sieg der Heimmannschaft. Der Schwede Arne Selmosson ist der einzige Spieler, der für beide Mannschaften in einem Derby ein Tor erzielte. Er spielte von 1955 bis 1958 für die "Biancocelesti", danach lief er bis 1961 für die Roma auf. Die längste Siegesserie in der Liga erreichte die AS Rom in fünf Partie vom 30. November 1958 bis zum 13. November 1960. Darüber hinaus mussten sie in den Spielen nur ein Gegentor hinnehmen. Vom 2. Dezember 1990 bis zum 24. Oktober 1993 gab es in sieben Partien keinen Sieger. Sechsmal hieß der Endstand 1:1.


title: Derby della Capitale

text: Die erfolgreichsten Derbytorschützen sind der Brasilianer Dino da Costa und der gebürtige Römer Francesco Totti, die jeweils elf Tore für die AS Rom erzielten. Dino da Costa erzielte neun Tore in der Serie A und zwei in der Coppa Italia. Francesco Totti markierte alle elf Treffer in der Serie A. Totti, der im Sommer 2017 seine Karriere beendete, ist mit 44 Einsätzen auch der Rekordspieler des Derbys. Seinen letzten Einsatz beim Stadtderby hatte Totti am 30. April 2017, als er in der 73. Minute für Daniele De Rossi eingewechselt wurde.


title: Derby della Capitale

text: Folgende Liste zeigt Spieler, die in Pflichtspielen des Derby della Capitale mindestens fünf Tore erzielten.


title: Derby della Capitale

text: Folgende Liste zeigt Spieler, die in Pflichtspielen des Derby della Capitale mindestens zwanzig Einsätze absolvierten.


title: Derby della Capitale

text: Folgende Tabellen listen in chronologischer Reihenfolge die Begegnungen beider Vereine in der nationalen Meisterschaft und den nationalen- und internationalen Pokalwettbewerben auf.


title: Le Landeron

text: Le Landeron (französisch , im früheren frankoprovenzalischen Ortsdialekt , früher deutsch "Landern") ist eine politische Gemeinde des Schweizer Kantons Neuenburg. Zwischen 1875 (Fusion mit Combes) und 1966 hiess die Gemeinde offiziell "Landeron-Combes".


title: Le Landeron

text: Das historische Städtchen Le Landeron liegt am Jurasüdfuss, am Ufer des Zihlkanals und des Bielersees. Die Altstadt wurde im einst sumpfigen Seeland zwischen Armen der damals mehrarmig mäandrierenden Zihl auf einer sandigen Insel erbaut, "einem runden sandächten Boden [sur des Landes rondes]," wie Hans Jacob Leu im ältesten eidgenössischen Lexikon teilweise volksetymologisch schrieb. Effektiv geht der Name auf galloromanisch "*landa" «ebenes Brachland» (vgl. franz. "lande"), ergänzt um das Suffix "-erōne" zurück. Während die Stadt in der Ebene der Zihl liegt, ziehen sich die neuen Quartiere mit der Station der Linie Biel – Neuenburg gegen Norden hin.


title: Le Landeron

text: Die Fläche der Gemeinde beträgt 1031 Hektaren; davon sind 44 % mit Wald bedeckt, 41 % werden landwirtschaftlich genutzt und 13 % sind überbaut.


title: Le Landeron

text: Bei Les Prises ist ein stark abgewetterter Schalenstein mit etwa 90 Schälchen gefunden worden. Es gibt Einzelfunde aus der Pfahlbauzeit. Zwischen Landern und Neuenstadt fand man römische Münzen. Die im Tal von Nugerol gefundenen Fossilien befinden sich in den Museen von Biel und Basel.


title: Le Landeron

text: Bereits im frühen Mittelalter stand auf der Anhöhe am Jurafuss eine Festung namens "Nugerol". Sie wurde von den Grafen von Neuenburg gegen das Bistum Basel erbaut. 1260 wurde Nugerol mit dem Freibrief ausgestattet und wurde damit zur Marktstadt. Noch im selben Jahr wurde das Städtchen jedoch in einem bewaffneten Konflikt zwischen den Grafen und dem Fürstbischof von Basel dem Erdboden gleichgemacht. Als Folge davon erbaute der Fürstbischof 1283 die Burg "Schlossberg" und 1312 das Marktstädtchen Neuenstadt.


title: Le Landeron

text: Im Jahr 1325 verkaufte die Abtei von St. Johannsen (St. Jean) dem Grafen von Neuenburg die Weidegründe "Landeren" zur Errichtung einer neuen befestigten Ortschaft. Durch Gräben wurde der Moränestreifen entsumpft. Der Ort war so gewählt, dass er am Ufer der Zihl zu liegen kam und so an den damaligen Hauptverkehrsadern lag. 1349 wurde Le Landeron in Anerkennung seiner Verdienste zur Baronie erhoben und das Stadtrecht verliehen.


title: Le Landeron

text: 1449 schlossen die nunmehr wohlhabenden Bürger von Le Landeron mit der Stadt Solothurn einen «ewigen Bund»; diese hatte bereits lange vorher ein Auge auf die Gebiete des Seelands geworfen, um die sich das Bistum Basel, die Grafen von Neuenburg und die Berner stritten. Dieses gegenseitige «Burgrecht» wurde bis 1783 mehrmals bestätigt. Im 16. Jahrhundert erreichte dieser Machtkampf einen Höhepunkt, als die Neuenburger (Farel) Le Landeron reformieren wollten. Dank Solothurns Unterstützung blieb das Städtchen zusammen mit dem benachbarten Cressier katholisch. 1707 mussten sich die Solothurner schliesslich aus der Gegend zurückziehen, als die Preussen Neuenburg übernahmen (siehe dazu auch den Abschnitt Geschichte im Artikel Kanton Neuenburg).


title: Le Landeron

text: Während die katholischen Kantone im Rahmen der gregorianischen Kalenderreform 1584 zum Gregorianischen Kalender, und somit vom 12. sofort zum 22. Januar wechselten, verweigerten sich die protestantischen Kantone dem «papistischen» Kalender bis ins 18. Jahrhundert. In Le Landeron und Cressier führte dies dazu, dass die beiden Gemeinden über hundert Jahre zehn Tage vor dem Rest der Neuenburger lebten, mit eigenem Sonntag, eigener Weihnacht…


title: Le Landeron

text: Le Landeron baute seinen Wohlstand auf der Landwirtschaft und dem Kunsthandwerk auf. Die Stadt war dank diverser Freibriefe unabhängig und die Bürger selbstbewusst. Dazu beigetragen haben die drei Zünfte, welche zum Teil bis heute Bestand haben.


title: Le Landeron

text: Im 19. Jahrhundert ging Le Landeron mit der Zeit und setzte auf Gewerbefreiheit und die Werte der französischen Revolution. Nach der Schaffung von Republik und Kanton Neuenburg 1848 schloss es sich diesem an und baute Strassen- und Eisenbahnverbindungen und Fabriken für die wachsende Uhrenindustrie.


title: Le Landeron

text: Als bei der ersten Juragewässerkorrektion das Grosse Moos trockengelegt wurde, erlebte die Landwirtschaft einen Aufschwung (Gemüsekulturen). 1888 wurde das Dörflein Combes eingemeindet.


title: Le Landeron

text: Aus dem kulturellen Bereich erwähnenswert sind die beiden im Januar durch die beiden Zünfte gefeierte Feste der Heiligen Sebastian, Fabian und Antonius, sowie Fronleichnam, das bis auf den heutigen Tag gemeinsam von der Pfarrei, der Bürgergemeinde, Vereinen und den Zünften unter großer Anteilnahme der alteingesessenen Bevölkerung begangen wird.


title: Le Landeron

text: Die Altstadt ist mit Ausnahme des abgebrochenen Hauses neben der Portette erhalten geblieben und steht unter Schutz der Eidgenossenschaft.


title: Le Landeron

text: Das alte Rathaus stammt aus dem 15. Jahrhundert. Es besteht aus zwei Teilen: der Kapelle der Zehntausend Ritter und einem weltlichen Haus. Im ersten Stock befindet sich ein gotischer Saal mit einer Gewölbedecke, sechs ungleichen Fenstern und Wandtäfelungen von 1647. Im Rathaus befindet sich das Stadtmuseum.


title: Le Landeron

text: Einziges Gotteshaus innerhalb der Stadtmauern ist die Kapelle der Zehntausend Ritter, 1450 im Erdgeschoss des Rathauses erbaut. Ab 1699 bis Ende des 20. Jahrhunderts wurde sie von den Kapuzinern des 1696 gegründeten Klösterchens bedient. Entgegen der früheren Regel sitzen die Frauen in diesem katholischen Gotteshaus rechts (statt links) zum Dank, dass sie den Reformator Farel vertrieben haben, während die Männer in den Weinbergen an der Arbeit waren. Im Januar finden hier jährlich die beiden Zunftmessen statt. Die Pfarrkirche St. Mauritius, welche sich außerhalb von Stadt und Bollwerk befindet, wurde 1832 als Ersatz für eine frühere baufällige Kirche in Nugerol erbaut.


title: Le Landeron

text: Gleich neben dem Stadttor befindet sich das Schloss. Im Schlosshof weisen die modernen Wandmalereien hin auf die beiden Zünfte St-Fabien und St-Antoine, die Bürgergemeinde (Coopération de St-Maurice; Name der Pfarrkirche) und die jahrhundertelange militärische und wirtschaftliche Städtepartnerschaft mit der Stadt Solothurn seeabwärts.


title: Le Landeron

text: Das Hôtel de Nemours ist eine mittelalterliche Taverne, die bis heute von einer alteingesessenen Familie geführt wird. Dieses Gebäude von historischem Interesse trägt seinen Namen von der Duchesse (Herzogin) de Nemours.


title: Le Landeron

text: Die Hauptgasse ist das Zentrum des Städtchens Le Landeron. Hier findet sich der um 1549 erbaute Brunnen des Tapferen "(fontaine du Brave)" und der Brunnen des Stadtpatrons Mauritius von 1574. Die beiden Brunnen werden durch eine Lindenallee verbunden, die unter der Herrschaft des Marschalls Louis-Alexandre Berthier angepflanzt wurde. Die Häuser der Altstadt stammen grösstenteils aus dem 16. und 17. Jahrhundert, mit Kern aus dem 14. Jahrhundert. Die ungewöhnliche Breite der Gasse ergibt sich daraus, dass es sich ursprünglich um den Bauplatz für zwei weitere Reihen Häuser handelt, getrennt durch einen Ehgraben. Nachdem aber die eine Stadthälfte abgebrannt war, ohne dass das Feuer auf die andere Seite vordringen konnte, wurden diese Pläne aufgegeben und der Raum als Marktplatz genutzt.


title: Le Landeron

text: Im Stadtmuseum im historischen Rathaus "(Musée de l’Hôtel de Ville)" wird die Geschichte der Stadt dargestellt. Es finden sich alte Waffen wie Kanonen aus der Schlacht bei Murten, Fahnen, Rüstungen, Gegenstände aus der alten Abtei, aber auch Radierungen und Neuenburger Pendulen. Zudem sind viele alte Rebbau-Werkzeuge ausgestellt.


title: Le Landeron

text: Im "Centre scolaire des Deux Thielles" (C2T) gibt es eine permanente Ausstellung von Zeichnungen schweizerischer und internationaler Künstler. Die Sammlung wurde von dem Schweizer Künstler Martin Disler angelegt.


title: Le Landeron

text: Le Landeron gilt als «Stadt der Antiquitäten». In der Altstadt reihen sich Antiquitätengeschäfte, Brockenstuben, Kunsthandwerksgeschäfte und Kunstgalerien aneinander. Am letzten Wochenende im September findet hier der größte Trödler- und Antiquitätenmarkt der Schweiz statt.


title: Le Landeron

text: Die Amts- und Verkehrssprache ist Französisch. Le Landeron befindet sich direkt an der Sprachgrenze, welche durch die Zihl gebildet wird.


title: Le Landeron

text: Traditionell ist Le Landeron römisch-katholisch (siehe "Geschichte"). Durch das starkte Wachstum der Gemeinde als Teil der Neuenburger und Berner Agglomeration haben sich in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts die Verhältnisse insbesondere durch die grosse Anzahl an Zuzügern geändert.


title: Le Landeron

text: Die Legislative besteht aus dem Generalrat "(conseil général)" mit 41 Mitgliedern. Die Wahlen seit 1944 führten zu folgenden Ergebnissen:


title: Le Landeron

text: Die Stimmenanteile der Parteien anlässlich der Nationalratswahl 2015 betrugen: FDP 33,8 %, SVP 23,7 %, SP 20,8 %, GPS 5,3 %, CVP 4,5 %, PdA 4,4 %, glp 3,5 %, BDP 1,4 %, "Liste du vote blanc" 1,4 %.


title: Le Landeron

text: Le Landeron unterhält seit 1449 eine – ursprünglich militärische – Partnerschaft mit der Stadt Solothurn.


title: Le Landeron

text: Le Landeron ist ein traditionsreicher Weinbauort. Die Rebberge befindet sich an den Hängen gegen den Bielersee und gegen das Dörflein Combes hin. Die bekanntesten Rebgüter werden seit Jahrhunderten von den Familien Frochaux, Ruedin und vom Bürgerspital Solothurn "(vigne de l’Hôptal de Soleure)" betrieben. Ursprünglich stellte auch der Fischfang eine wichtige Einnahmequelle dar, heute der Gemüseanbau.


title: Le Landeron

text: Neben den unter «Kunst und Kultur» beschriebenen Sehenswürdigkeiten verfügt Le Landeron über einen Hafen, ein Strandbad, einen Campingplatz und mannigfaltige Freizeitmöglichkeiten. Das Schwimmbad liegt direkt am See und verfügt über Schwimmbecken und Badestrände. Besondere Attraktion ist die 67 m lange Wasserrutschbahn. Im Bootshafen wird vor allem dem Wassersport gefrönt. Ruderboote, Segelboote, Fischerboote und Pedalos können betrachtet und teilweise auch gemietet werden. Im See kann man segeln, tauchen, surfen, angeln und schwimmen.


title: Le Landeron

text: Neben dem Wassersport bietet die unmittelbare Umgebung von Le Landeron zahlreiche Freizeitmöglichkeiten. Der nahe gelegene Zihlkanal und das Naturschutzgebiet der Alten Zihl eignen sich für Spaziergänge, Wanderungen und Radwanderungen. Freizeitangler können zeitlich limitierte Fischerpatente erwerben und hier ihrem Hobby nachgehen. Des Weiteren verfügt Le Landeron über eine ausgebaute Skaterpiste.


title: Le Landeron

text: Le Landeron ist gut an das Verkehrsnetz angeschlossen. Per Auto kann es über die A5 erreicht werden, per Eisenbahn mit den Regionallinien der SBB auf der Jurafusslinie von Neuenburg bzw. Biel. Zudem wird es von den Schifffahrtslinien auf dem Bielersee und einer Postautolinie nach Gals und Erlach bedient. Der öffentliche Regionalverkehr ist jedoch nur schwach ausgebaut und spielt eine sehr geringe Rolle (von 1980 bis 2000 von ca. 20 % auf ca. 10 % gesunken).


title: Le Landeron

text: Obere Hälfte: dreigeteilt in Gold und mittig drei silbernen Sparren auf rotem Grund: aus dem vorrepublikanischen Staatswappen des Kantons Neuenburg;untere Hälfte: zwei silberne Fische auf blauem Grund: Bezug zu einem ehemals wichtigen Wirtschaftszweig.


title: Barett – Das Gesetz der Rache

text: Barett – Das Gesetz der Rache – deutscher Alternativtitel: Joshua Tree – Das Gesetz der Rache – ist ein US-amerikanischer Actionfilm mit dem schwedischen Schauspieler Dolph Lundgren in der Hauptrolle.


title: Barett – Das Gesetz der Rache

text: Der ehemalige Rennfahrer Barett Santee versucht, sein Geld mit dem Transport gestohlener Luxusautos zu verdienen. Als er und sein Partner Eddie bei einem dieser besagten Transporte von einem Polizisten gestoppt werden, gerät die Situation außer Kontrolle. Es kommt zu einer Schießerei, bei der sowohl Eddie als auch der Cop getötet werden.


title: Barett – Das Gesetz der Rache

text: Barett wird zu Unrecht des Mordes an den beiden bezichtigt und zu lebenslanger Haft verurteilt. Bei der Überführung ins Gefängnis flieht er, um sein Leben vor einem weiteren Mordversuch zu retten. Während der Beschaffung eines Autos kidnappt er zu seinem Schutz eine junge Frau die – wie sich später herausstellt – ein Hilfssheriff ist. Nun wird er von der gesamten Polizei des Bundesstaates gejagt.


title: Barett – Das Gesetz der Rache

text: Es wird schnell klar, dass es der Polizist Severence ist, der Barett zur Strecke bringen will. Er hat Barett schon als Jugendlichen verhaftet und sich seiner angenommen. Außerdem erweist sich, dass Severence hinter dem Autoschmuggel steht und er auch Baretts Partner Eddie und den Cop, der getötet wurde, auf dem Gewissen hat, um seine kriminellen Machenschaften zu schützen, die an dem besagten Tag beinahe aufflogen.


title: Barett – Das Gesetz der Rache

text: Ein Katz-und-Maus-Spiel beginnt, da Severence Barett aufgrund seines Wissens über ihn töten muss. Bei einer Schießerei in einer Lagerhalle, in der der Autoschmuggel stattfindet, übersieht Severence eine Überwachungskamera, die aufzeichnet, wie er einen weiteren Cop kaltblütig erschießt, der ebenfalls im Begriff war alles zu entdecken. Als die Polizei das Videoband sieht, kommt der Verdacht auf, dass Barett unschuldig ist.


title: Barett – Das Gesetz der Rache

text: Inzwischen liefern sich Barett und Severence derweil eine Verfolgungsjagd mit zwei Luxusautos, die in einem Showdown der beiden Kontrahenten in der Wüste endet. Severence wird verhaftet und Santee wird mit Hilfe der jungen Frau, die Zeugin der Geschehnisse war, freigesprochen.


title: Barett – Das Gesetz der Rache

text: Die Videofassung war um 3 Minuten gekürzt. Bei der DVD-Fassung handelt es sich um die ungekürzte 93-Minuten-Version, bei der die zusätzlichen Szenen nicht nachsynchronisiert wurden. Der Film war ursprünglich indiziert, wurde Ende Mai 2015 aber vom Index gestrichen.


title: Julieta Venegas

text: Julieta Venegas Percevault (* 24. November 1970 in Long Beach, Kalifornien, USA) ist eine mexikanische Singer-Songwriterin.


title: Julieta Venegas

text: Venegas wuchs in Tijuana, Baja California, auf. Ihre Zwillingsschwester Yvonne ist Fotografin. Venegas begann sich bereits mit acht Jahren für Musik zu interessieren und war Mitglied verschiedener Bands, unter anderem "Tijuana No!", bevor sie eine Solokarriere startete. Neben Gesang, Komposition und Texten ihrer eigenen Lieder spielt sie einige Instrumente, u. a. akustische Gitarre, Akkordeon und Keyboard. 2004 gewann sie den "Latin Grammy" für das "Best Vocal Rock Album" "Sí".


title: Attribut (Kunst)

text: Ein Attribut (von : „zuteilen“, „zuschreiben“; "attributum": „das Beigefügte“) ist in der bildenden Kunst die charakteristische Beigabe einer Figur. Dagegen werden kennzeichnende Gegenstände, die für sich allein stehen oder ihr Bezeichnetes stellvertretend ersetzen, als Symbol oder Sinnbild bezeichnet (die wiederum Attribute haben können).


title: Attribut (Kunst)

text: Das Attribut einer Allegorie ist ein Gegenstand, der die Allegorie erkennbar macht. Dadurch wird eine Figur zur Verkörperung eines Allgemeinbegriffs: Zu einer Allegorie der Gerechtigkeit gehört traditionell die Waage (die „Schuld und Unschuld abwägt“) und die Augenbinde („Die blinde Gerechtigkeit“), zu einer Allegorie des Todes die Sense (als der „Sensenmann“, der die Menschen dahinmäht) oder der Totenkopf (der „Totenschädel“ der Gebeinhäuser).


title: Attribut (Kunst)

text: Berufe sind häufig mit Attributen verbunden. So wurde der Arzt häufig mit Harnglas oder pulsfühlend (seltener mit Uhr zur Pulsmessung) dargestellt, ein Anatom mit Seziermesser, ein Gelehrter mit Buch oder Schreibfeder.


title: Attribut (Kunst)

text: Durch ein Attribut können auch bestimmte Personen, Situationen, Räume erkennbar gemacht werden. So repräsentieren ikonografische Heiligenattribute wie der Schlüssel Petri bei Abbildungen des Apostels Petrus die Bibelstelle "Ich werde dir die Schlüssel des Himmelreichs geben." () und werden so zum unverkennbaren Zeichen des Simon Petrus auch in der Heraldik.


title: Attribut (Kunst)

text: Viele Hindu-Götter lassen sich leicht durch ihre Begleittiere "(vahanas)" oder durch ihre Waffen etc. identifizieren. Die stehenden oder sitzenden Figuren der Jain-Tirthankaras sind – wenn überhaupt – beinahe ausschließlich durch die kleinen Tier-Attribute zu ihren Füßen zu unterscheiden.


title: Assemblierung

text: Vorwiegend wird dieser Begriff in der Kerntechnik, der Molekularbiologie, der Elektronik, der Nanotechnik (Nanoassemblierung) oder für Computer verwendet.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Das wissenschaftliche Werk von Leonhard Euler ist das umfangreichste von einem Mathematiker jemals geschaffene. Es umfasst unter anderem grundlegende Resultate in den Bereichen Infinitesimalrechnung, Analysis, Mechanik, Astronomie, Geodäsie, Zahlentheorie, Algebra, Trigonometrie, Geometrie, Musiktheorie und Optik.


title: Assemblierung

text: In der Virologie bedeutet der Begriff den Zusammenbau der einzelnen Bestandteile (Proteine und Nukleinsäuren) zu einem fertigen Viruspartikel (Virion) in der Wirtszelle.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Zu Eulers berühmtesten Resultaten zählen die Lösung des Basler Problems, der Polyedersatz und die Eulersche Identität, wobei letztere eine enge Verbindung zwischen zahlreichen fundamentalen mathematischen Konstanten zieht. Für diese und andere Ergebnisse erhielt Euler auch posthum viele Ehrungen.


title: Assemblierung

text: In der Kerntechnik den letzten Teilschritt bei der Herstellung von Brennelementen für Kernreaktoren. Vereinfacht ausgedrückt bedeutet die Assemblierung den Zusammenbau von einzelnen Kernbrennstäben zu einem Brennelement.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Eulers Forschung war sehr vielseitig. Er arbeitete in fast allen Bereichen der Mathematik und gilt als einer der produktivsten Mathematiker der Geschichte. Seine gesammelten Schriften der "Opera omnia" umfassen bisher 76 Bände. Insgesamt gibt es 866 Publikationen von ihm. Eulers Name ist mit einer großen Anzahl von Resultaten und wissenschaftlichen Themenbereichen verbunden.


title: Assemblierung

text: Vor der Assemblierung stehen bei der Fertigung von Brennelementen für die am häufigsten verwendeten Leichtwasserreaktoren die Verfahrensschritte


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Nach Leonhard Euler sind gleich zwei mathematische Konstanten benannt: die Eulersche Zahl formula_1 aus der Analysis (siehe Exponentialfunktion) und die Euler-Mascheroni-Konstante γ (Gamma) aus der Zahlentheorie, die manchmal nur als "Eulersche Konstante" bezeichnet wird und ungefähr gleich 0,57721 ist. Es ist nicht bekannt, ob γ rational oder irrational ist. Im Gegensatz dazu ist die Irrationalität der Zahl "e" bekannt und wurde zuerst von Euler gezeigt (siehe auch: Beweis der Irrationalität der eulerschen Zahl).


title: Assemblierung

text: Zum Abschluss werden im Verfahrensschritt „Assemblierung“ jeweils bis zu 250 Brennstäbe (im Falle von Druckwasserreaktoren) unter Verwendung von Abstandshaltern, Kopf- und Fußstücken zu fertigen Brennelementen zusammengefügt.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Eine breitere Leserschaft erlangte zudem seine populärwissenschaftliche Schrift "Lettres à une princesse d’Allemagne" von 1768, in der er in Form von Briefen an die Prinzessin Friederike Charlotte von Brandenburg-Schwedt, eine Nichte 2. Grades Friedrichs II., die Grundzüge der Physik, der Astronomie, der Mathematik, der Philosophie und der Theologie vermittelte.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Leonhard Eulers Werk beeinflusste viele Generationen an Mathematikern nachhaltig. So sagte Carl Friedrich Gauß: „Das Studium der Werke Eulers bleibt die beste Schule in den verschiedenen Gebieten der Mathematik und kann durch nichts anderes ersetzt werden“. Wegen der großen Zahl an Publikationen und Korrespondenzen zu anderen Mathematikern und Persönlichkeiten, ziehen sich Bestrebungen, ein Eulersches Gesamtwerk herauszugeben, bis in die heutige Zeit hinein. Durch die Herausgabe der "Opera Omnia" über die Euler-Kommission gilt dieses Unterfangen jedoch als weitestgehend umgesetzt.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Euler führte in seinen zahlreichen Lehrbüchern mehrere Notationskonventionen ein. Durch die weite Verbreitung der Bücher setzten sich viele seiner Notationen nachhaltig durch. Er führte das Konzept der mathematischen Funktion ein und schrieb als erster "f(x)", um die Funktion "f" zu bezeichnen, die auf das Argument "x" angewandt wird. Der „formale“ von Euler verwendete Funktionsbegriff war ein wichtiger Meilenstein in Richtung der heutigen Definition:


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Von ihm stammen auch die bis heute gebräuchlichen Notationen für die trigonometrischen Funktionen, der Buchstabe "e" für die Basis des natürlichen Logarithmus, der griechische Buchstabe Σ (Sigma) für Summen und der Buchstabe "i" zur Bezeichnung der imaginären Einheit; das Zeichen Δ (Delta) für die Differenz stammt ebenfalls von Euler. Die Verwendung des griechischen Buchstabens π zur Bezeichnung des Verhältnisses von Kreisumfang und -durchmesser (Kreiszahl) wurde ebenfalls von Euler popularisiert, obwohl sie ursprünglich auf den walisischen Mathematiker William Jones zurückgeht.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Euler kann als einer der Begründer der Analysis angesehen werden. Der Mathematikhistoriker Thomas Sonar beschreibt in seinem Buch "3000 Jahre Analysis" (2011) Leonhard Euler als einen „echten Giganten für die Analysis“. Eulers Bedeutung für dieses Feld wird nicht nur über die Einführung eines rigorosen Funktionsbegriffs hervorgehoben. So sei er „ungeschlagener Meister“ im Umgang mit Potenzreihen, die er als „unendliches Polynom verstanden“ zu seinem ständigen „Arbeitspferd“ machte.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Euler leistete Pionierarbeit bei der Verwendung analytischer Methoden zur Lösung von Problemen der Zahlentheorie. Damit vereinte er zwei ungleiche Zweige der Mathematik und führte ein neues Studiengebiet ein, die analytische Zahlentheorie.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Wegen anhaltender Forschung war die Infinitesimalrechnung im 18. Jahrhundert auf dem Vormarsch. Insbesondere Eulers Freunde, die Bernoullis, waren für einen Großteil der frühen Fortschritte auf diesem Gebiet verantwortlich. Dank ihres Einflusses wurde das Studium der Infinitesimalrechnung zum Hauptschwerpunkt von Eulers Arbeit. In seinem Werk "Institutiones calculi differentialis" (1755) beschäftigte er sich systematisch mit der Differentialrechnung. Euler wählte die Interpretation: „Kleiner als jede angebbare Größe“ für infinitesimale Größen. In den "Institutiones calculi differentialis" aus dem Jahr 1755 definiert Euler:


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Euler betrachtet also das Rechnen mit unendlich kleinen Größen als „Nullenrechnung“. Für diese führte er eine „unendlich kleine“ Größe formula_2 und eine „unendlich große“


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Größe formula_3 (nicht zu verwechseln mit der imaginären Einheit) ein – und nutzte diese für Herleitungen korrekter Aussagen. So nutzte Euler mit formula_4 den für „eine zunächst beliebige Zahl formula_5 gültigen Ansatz“


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: herzuleiten. Diese Formel liefert eine äußerst schnell konvergente Reihe für die Zahl formula_7, es gilt zum Beispiel


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Vor dem Hintergrund zu Eulers Formel für formula_11 ist zu erwähnen, dass für formula_12 der Grenzwert


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: gültig ist, was seine formula_3-Notation in die moderne Sprache eines mathematischen Limes einordnet.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Euler ist in diesem Kontext für die Entwicklung und häufige Verwendung von Potenzreihen bekannt. Diese können als „unendlich lange Polynome“ aufgefasst werden, aus denen sich eine Funktion aus ihrem lokalen Verhalten (d. h. unter Kenntnis all ihrer Ableitungen und einem Punkt) in manchen Fällen „global rekonstruieren“ lässt. Unter anderem gab er direkte Beweise für Taylorreihen der Exponentialfunktion


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: und der Arkustangensfunktion. Indirekte Beweise stammen von Newton und Leibniz aus der Zeit 1665 bis 1680. Ebenso entwickelte Euler die Sinus- und Kosinusfunktion in ihre Taylor-Reihen um den Entwicklungspunkt 0:


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Diese benutzte er, um mittels einfachen Einsetzens die Eulersche Formel für die Exponentialfunktion herzuleiten.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: 1736 fand er (ebenfalls durch Verwendung von Potenzreihen) den lange gesuchten Grenzwert für die unendliche Summe der reziproken Quadratzahlen:


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Summiert man also „alle“ (unendlich vielen) Kehrwerte der Quadratzahlen auf, ist das Ergebnis die Zahl formula_19. Das bedeutet, dass für jede noch so kleine Zahl formula_20 (etwa formula_21) eine Quadratzahl formula_22 existiert, so dass für "alle" folgenden Quadratzahlen formula_23 gilt


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Da er für dieses Ergebnis bis dato nicht bekannte Manipulationstechniken für Potenzreihen verwendet hatte, wurde sein ursprünglicher Beweis nicht akzeptiert. Jedoch veröffentlichte Euler im Jahr 1743 einen anderen Beweis. Aus einer Verallgemeinerung dieses sogenannten Basler Problems leitete er eine geschlossene Darstellung für die geraden Bernoulli-Zahlen formula_25 ab. Er zeigte beispielsweise, dass die Summe der Kehrwerte aller vierten Potenzen und sechsten Potenzen ebenfalls gegen rationale Vielfache entsprechender Potenzen von formula_26 streben.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: mit dem Arkustangens um eine schnell konvergierende Reihe für formula_32 herzuleiten. Unendliche Reihen wie zum Beispiel


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: mit der Riemannschen Zeta-Funktion formula_36 gehen ebenfalls auf Euler zurück. Es war Euler, der als erster divergente Reihen systematisch untersuchte.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Euler ist der erste Autor, der die Winkelfunktionen auf einen Kreis mit Radius 1 bezieht und sie dadurch normiert. Das geschieht im sechsten Kapitel der "Introductio". Insbesondere folgt nach dem Satz des Pythagoras dann sofort


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Eine Reihe von Grundformeln der Trigonometrie wurden systematisch von Euler hergeleitet. Er benutzte die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen und gab als erster einen einfachen und klaren Beweis der bekannten Formel von De Moivre. Dieser Beweis gilt auch aus heutiger Sicht als streng, falls man davon absieht, dass die vollständige Induktion formal nicht abgeschlossen wurde. Euler erhielt aus diesen Formeln die Entwicklung der trigonometrischen Funktionen in Potenzreihen, indem er dasselbe Verfahren wie im Falle der Exponentialfunktion benutzte.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Auch die Partialbruchzerlegung des Kotangens war Gegenstand von Eulers Forschung. Diese diskutierte er unter anderem in einem Brief an Christian Goldbach vom 30. Juni 1742.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Im Kontext mit seinen Studien über Funktionen einer komplexen Variablen, die teilweise von d’Alembert antizipiert wurden, gelangte Euler mittels einer schon von Johann Bernoulli verwendeten nicht-reellen Substitution zum Resultat


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: In diesem Zusammenhang ist erwähnenswert, dass Euler mittels mehrfacher Anwendung des Additionstheorems formula_39 auf die Funktionen formula_40 die Produktformel


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Euler verwendete erstmals die Exponentialfunktion und Logarithmen in analytischen Beweisen und definierte sie erfolgreich für komplexe Zahlen. Dadurch wurde deren Anwendungsbereich stark erweitert. Damit fand er die enge Beziehung zu den trigonometrischen Funktionen. Für jede reelle Zahl formula_42 (im Bogenmaß) besagt die Eulersche Formel, dass die komplexe Exponentialfunktion die Gleichung


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: bekannt. Eulers Formel zieht Beweise der Additionstheoreme und die Formel von De Moivre nach sich. So gilt zum einen


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Auch bezüglich der Additionstheoreme bedient man sich der Multiplikativität der Exponentialfunktion. Zum andern haben wir demnach


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn Real- und Imaginärteil übereinstimmen – zum Beispiel gilt also formula_47.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Euler gilt neben Lagrange als einer der Begründer der Variationsrechnung. An verschiedene Problemstellungen und Ideen von Jakob und Johann Bernoulli anknüpfend, formulierte Euler schon sehr früh deren Hauptprobleme und entwickelte allgemeine Methoden zu deren Lösung. Dies geschah in seiner 1744 herausgebrachten "Methodus inveniendi lineas curvas". Diese Spezialdisziplin (von den Brüdern Bernoulli ansatzweise initiiert) wurde von Euler erstmals konzipiert und systematisiert. Sie beschäftigt sich mit "Extremwertproblemen allgemeinster Art". Im Gegensatz zur Differentialrechnung, bei der oft lokale Maxima oder Minima von Funktionen bestimmt werden, ist die Variationsrechnung durch Probleme charakterisiert, bei denen eine oder mehrere "unbekannte Funktionen" derart zu bestimmen sind, dass ein gegebenes, "von diesen Funktionen abhängiges" bestimmtes Integral extremale Werte annimmt.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: In seinem Werk "Institutiones calculi integralis" (1768–1770), erschienen in drei Bänden, beschäftigte sich Euler mit der Integralrechnung. Darin finden sich die Methoden der unbestimmten Integration in moderner Form erschöpfend dargestellt für die Fälle, in denen die Integration auf elementare Funktionen führt. Viele Methoden sind erst von Euler entwickelt worden, und noch heute ist die Eulersche Substitution, mit deren Hilfe gewisse irrationale Differentiale rationalisiert werden können, ein Begriff. Er fand einen Weg, Integrale mit komplexen Grenzen zu berechnen, womit er wichtige Teile der Entwicklung der komplexen Analysis vorwegnahm.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Es ist zu bemerken, dass ein Vorläufer der nach Laplace benannten Laplace-Transformation bereits 1766 von Euler in seiner "Institutiones calculi integralis" studiert worden war. Laplace hatte sie erstmals im Rahmen der Wahrscheinlichkeitstheorie angewandt.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Euler arbeitete auch im Bereich der Fourierreihen. Er leitete die für Werte formula_48 gültige Formel


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Obwohl die Reihe zur Rechten nirgends konvergiert, lieferte beidseitiges Integrieren, nach Wahl der richtigen Integrationskonstanten, die heute als korrekt bekannte Eulersche Reihe.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Dies ist ein typisches Beispiel der von Euler zugrunde gelegten „Allgemeinheit der Algebra“. Obwohl einige von Eulers Beweisen nach modernen Standards der mathematischen Strenge nicht akzeptabel sind, führten seine Ideen, wie eben demonstriert, zu vielen Fortschritten.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Als Vorreiter auf diesem neuen Gebiet schuf Euler die Theorie der hypergeometrischen Reihen, der q-Reihen und der hyperbolischen trigonometrischen Funktionen.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Auch die Funktionalgleichung der Riemannschen Zeta-Funktion formula_53, die Euler für die verwandte Funktion


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: angab, sowie einige deren Werte an negativen Stellen, waren Euler bereits bekannt. Dabei handelt es sich "nicht" um eine klassische Gleichung, wie etwa formula_56, die nur vom Wert formula_57 gelöst wird, sondern um eine Identität, d. h. die Gleichung stimmt, egal was eingesetzt wird. Beispielsweise ist formula_58 eine (triviale) Identität, und im Falle der Zeta-Funktion stellte Euler einen für alle formula_59 gültigen Zusammenhang zwischen den Werten formula_36 und formula_61 her. Diese vermutete er nach umfassenden numerischen Berechnungen, die auf der heute als richtig bekannten Darstellung


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: beruhten. Die Riemannsche Zeta-Funktion spielt eine sehr wichtige Rolle in der Zahlentheorie und die Funktionalgleichung wurde von Bernhard Riemann, der erstmals einen strengen Beweis vorlegte, benutzt, um seine Theorie über Primzahlen aufzubauen.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Bereits im Jahr 1729 entwickelte Euler unter Hilfenahme des binomischen Lehrsatzes die für natürliche Zahlen formula_63 gültige Formel


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Diese Resultate führten zur Entdeckung der Beta- und Gammafunktion durch Euler, der ihre grundlegenden Eigenschaften studierte. In Korrespondenz mit Christian Goldbach im Jahr 1729 verallgemeinerte Euler zunächst die Fakultät und führte 1730 das Euler-Integral der zweiten Art ein, das für komplexe Werte formula_66 mit positivem Realteil die Euler-Gammafunktion darstellt:


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Bereits in einem Brief von 1729 an Christian Goldbach hatte Euler eine Formel für die "halbzahlige Fakultät" erwähnt in der Form: formula_68. Das Integral erster Art stellt die Beta-Funktion für formula_69 dar:


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Aus den besonderen Eigenschaften dieser Funktionen leitete Euler nicht nur Beziehungen zur Euler-Mascheroni-Konstanten ab, sondern gab auch die Produktformeln


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: wobei letztere als Eulerscher Ergänzungssatz "(Euler reflection formula)" bekannt ist. Die Beta-Funktion ist die Grundlage der Beta-Verteilung aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Die Gamma-Funktion taucht bei der Gamma-Verteilung auf, spielt aber auch in Funktionen- und Zahlentheorie unter anderem im Kontext vervollständigter L-Funktionen eine wichtige Rolle.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Eulers großes Interesse an elliptischen Integralen und elliptischen Funktionen geht auf seine frühen Jahre bei Johann Bernoulli zurück. Während seines Studiums an der Berliner Akademie erhielt Euler am 23. Dezember 1751 ein zweibändiges Werk von Giulio Fagnano mit dem Titel "Produzioni Matematiche", das 1750 für seine formale Überprüfung veröffentlicht wurde. Diese Arbeit enthielt die Formel für die Verdoppelung der Bogenlänge der Lemniskate, deren Polarkoordinatengleichung formula_73, und deren algebraische Gleichung formula_74 lautet. Euler wurde durch diese Arbeit enorm inspiriert und half, einen neuen Bereich algebraischer Funktionen zu schaffen.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Euler war imstande, das heute als Additionstheorem für elliptische Integrale (erster Gattung) bekannte Resultat zu beweisen. Setzt man formula_75 mit ganzen Zahlen formula_63, so folgt aus der Gleichheit


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Dies wird Eulersches Additionstheorem "(Euler addition theorem)" genannt. Im Jahre 1753 entdeckte Euler viele Additionsformeln für elliptische Integrale, die gewöhnlich in direktem Bezug zum Additionstheorem stehen.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Eulers Interesse an der Zahlentheorie lässt sich auf den Einfluss von Christian Goldbach, seinem Freund in der Sankt Petersburger Akademie, zurückführen. Dabei ist Zahlentheorie im Grunde die Wissenschaft der natürlichen Zahlen formula_79 und deren Eigenschaften. Eine "zahlentheoretische Eigenschaft" einer Zahl ist dabei zum Beispiel, ob sie durch eine andere Zahl geteilt werden kann oder durch wie viele Zahlen sie geteilt werden kann. Beispielsweise hatte Euler die Einsicht, dass eine "ungerade" Zahl größer als formula_80 nur durch formula_80 und sich selbst teilbar ist (eine Primzahl ist), wenn es bis auf Reihenfolge nur "eine" Möglichkeit gibt, sie als Summe von zwei teilerfremden positiven Quadratzahlen zu schreiben. Damit ist sie gleichzeitig darstellbar als formula_82 mit einer natürlichen Zahl formula_83. (Gleiches gilt sinngemäß für die Quadratzahlen von Primzahlen, etwa formula_84). So besitzt in etwa die Zahl formula_85 einen nicht-trivialen Teiler, ist also keine Primzahl, da


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Aber im Falle formula_87 gilt formula_88, die Zahlen formula_89 und formula_90 sind teilerfremd, und sonst gibt es keine weitere Möglichkeit zu einer Zerlegung in zwei nicht-triviale Quadrate. Also ist formula_87 eine Primzahl. Zu beachten ist jedoch, dass auf der anderen Seite nicht jede Primzahl als Summe zweier Quadrate geschrieben werden kann. Lediglich die Primzahlen der Form formula_92 sind stets die Summe zweier Quadratzahlen. Viele von Eulers frühen Arbeiten zur Zahlentheorie basieren auf den Werken von Pierre de Fermat. Euler entwickelte einige von Fermats Ideen und widerlegte manche seiner Vermutungen.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Nach Euler sind verschiedene Zahlen und Zahlenfolgen benannt, siehe dazu Eulersche Zahlen (Begriffsklärung).


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Zum Beispiel widerlegte er Fermats Vermutung, alle Fermat-Zahlen seien ebenfalls Primzahlen, indem er zeigte, dass die Zahl formula_93 durch 641 teilbar ist.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Er trug wesentlich zur Theorie der vollkommenen Zahlen bei, die die Mathematiker seit Euklid fasziniert hatten. Euler bewies, dass die von Euklid gezeigte Beziehung zwischen (geraden) vollkommenen Zahlen und Mersenne-Primzahlen sogar eins zu eins ist, ein Ergebnis, das als Euklid-Euler-Satz bekannt ist. 1772 hatte Euler in einem Brief an Goldbach korrekt behauptet, dass formula_94 2.147.483.647 eine Mersenne-Primzahl ist. Sie galt bis 1867 als die größte gefundene Primzahl. Bereits 1732 konnte er die 19-stellige vollkommene Zahl


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Er gab gleich mehrere Beweise für den kleinen Fermatschen Satz und war der erste, der einen Beweis publizierte (der von Leibniz im Jahr 1683 geführte Beweis tauchte erst 1894 auf). Sein erster Beweis wurde mittels Induktion geführt, was für die damalige Zeit ungewöhnlich war. Er führte auch die Eulersche Phi-Funktion ein. Mit Hilfe der Eigenschaften dieser Funktion verallgemeinerte er Fermats kleinen Satz zu dem, was heute als Satz von Euler bekannt ist.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Euler leistete wichtige Vorarbeit zu Lagranges Vier-Quadrate-Satz, indem er 1751 bewies, dass sich jede positive rationale Zahl als Summe vierer rationaler Quadrate schreiben lässt. Bereits zuvor, im Jahre 1748, hatte er in einem Brief an Goldbach die Identität


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: erwähnt, womit sich das Problem auf Primzahlen reduzieren ließ. Nachdem Lagrange gezeigt hatte, dass sich jede positive "ganze" Zahl als Summe vierer "ganzer" Quadrate schreiben lässt, lieferte Euler kurz darauf einen einfacheren Beweis. Es gilt zum Beispiel


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Bemerkenswert ist eine weitere Idee Eulers, die aus seiner Beschäftigung mit der "Partitio numerorum" hervorging, den Satz von Lagrange zu beweisen. Dafür betrachtete er die Potenzreihe


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: wobei für den Vier-Quadrate-Satz formula_103 für alle "n" hinreichend ist. Diese Beweisidee deutete Euler in Briefen an Goldbach und in einigen Arbeiten (wie E394, E586) an. So schrieb er im August 1750: „Dieser Weg deucht mir noch der natürlichste zu sein, um zum Beweis […] zu gelangen“. Bei der betrachteten Potenzreihe handelt es sich um die vierte Potenz einer modifizierten Thetareihe – Jacobi ging später diesen Weg um den Satz von Lagrange rein analytisch zu beweisen.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Ebenso zeigte er Fermats Satz über die Summe zweier Quadrate. Dieser liefert ein Kriterium, wann sich eine positive ganze Zahl als Summe zweier ganzer Quadrate schreiben lässt. Beispielsweise gilt formula_104, jedoch gibt es für die Zahl formula_105 keine Möglichkeit für eine solche Zerlegung.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Euler zeigte den großen Fermatschen Satz für die Fälle formula_106 und formula_107. Er bewies, dass "keine" Quadratzahl größer als Null als Summe zweier Biquadrate größer als Null geschrieben werden kann, womit bereits folgt, dass die Gleichung formula_108 keine positiven ganzzahligen Lösungen besitzt. Im Fall formula_109 faktorisierte Euler formula_110 zu formula_111. Durch die Verwendung dieser Variante der Gaußschen Zahlen und einer impliziten Annahme der eindeutigen Faktorisierung konnte Euler einen Beweis konstruieren, der die Unmöglichkeit des Falls formula_112 zeigte. Wie bei seinem Beweis für den Fall formula_113 beruhte der von Euler geführte Beweis in erster Linie auf Manipulationen algebraischer Symbole und Paritätsargumenten und führte wenig neue Methoden ein. Wie Generationen von Mathematikern nach ihm scheiterte Euler jedoch am allgemeinen Beweis des großen Fermatschen Satzes. Ein vollständiger Beweis wurde erst 1995 durch Andrew Wiles und Richard Taylor als Konsequenz des Modularitätssatzes für semi-stabile elliptische Kurven erbracht.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Euler vermutete das Gesetz der quadratischen Reziprozität, das später durch Carl Friedrich Gauß bewiesen wurde. Dabei handelt es sich um eines der grundlegendsten Konzepte der Zahlentheorie.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Obwohl die Kombinatorik erst später zu einem neuen modernen Zweig der Mathematik wurde, haben Probleme des Zählens eine lange und frühe Geschichte. Euler betrachtete Probleme der Permutationen und Kombinationen und formulierte ein bestimmtes Problem wie folgt: Angesichts einer beliebigen Folge von formula_83 Buchstaben formula_115, wie viele Möglichkeiten gibt es, sie neu anzuordnen, sodass keine wieder auf die ursprünglich besetzte Position zurückkehrt? In diesem Zusammenhang führte Euler die Notation formula_116 ein, um die Anzahl der Permutationen der formula_83 Buchstaben formula_115 darzustellen, bei denen keiner seine ursprüngliche Position wieder einnimmt. Eine solche Permutation wird heute als fixpunktfreie Permutation bezeichnet.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Mit einem einfachen Argument bewies Euler mehrere Rekursionsformeln für formula_116, darunter die doppelte Rekursionsformel


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: an, die beweist, dass der Quotient aus fixpunktfreien Permutationen und "allen" formula_122 Permutationen rapide gegen die Zahl formula_123 konvergiert.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: zurück, er zeigte ihn 1750. Daraus lässt sich eine Rekursionsformel für die Partitionen herleiten. Diese wurde von Percy Alexander MacMahon dazu verwendet, die Werte der Partitionsfunktion formula_125 bis formula_126 zu berechnen. Dabei zählt die Funktion formula_127, auf wie viele Arten und Weisen sich formula_128 als Summe natürlicher Zahlen schreiben lässt. Zum Beispiel ist formula_129, denn formula_130. Es gilt formula_131. Der Pentagonalzahlensatz ist zudem ein Eckpfeiler zwischen der Kombinatorik und der Theorie der Modulformen.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: In den 1780er Jahren befasste Euler sich mit griechisch-lateinischen oder Eulerschen Quadraten, in denen in jeder Zeile und auch in jeder Spalte jedes Element einer Menge G mit n Elementen und ebenso jedes Element einer Menge L mit n Elementen genau einmal vorkommen muss, und jedes Tupel (g,l) ∈ G×L muss im gesamten n×n-Quadrat genau einmal vorkommen. Euler fand Methoden zur Konstruktion von Eulerschen Quadraten mit ungerader oder durch vier teilbarer Größe n. Es gelang ihm jedoch nicht, auch für n ≡ 2 mod 4 Lösungen zu finden. Der Fall n = 6 ist als "Problem der 36 Offiziere" oder 36-Offiziere-Rätsel bekannt geworden, das Euler 1779 aufgab und das keine klassische Lösung besitzt.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Euler verknüpfte die Natur der Primzahlverteilung mit Ideen aus der Analysis. Zum Beispiel bewies er, dass die Summe der Kehrwerte der Primzahlen divergiert. Dabei fand er die Verbindung zwischen der Riemannschen Zeta-Funktion und den Primzahlen; seine Entdeckung ist heute als Euler-Produkt-Formel für die Riemannsche Zeta-Funktion bekannt:


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: wobei sich das Produkt über alle Primzahlen erstreckt. Wie sich später herausstellte, hat diese Identität weitreichende Konsequenzen für Aussagen über die Verteilung der Primzahlen. Eulers Arbeiten auf diesem Gebiet führten zur Entwicklung des Primzahlsatzes.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Auf der Grundlage früherer Arbeiten seiner Vorgänger begann Euler seine Forschungen zu Kettenbrüchen und veröffentlichte 1737 in einer Arbeit mit dem Titel "De Fractionibus Continuis" viele neue Ideen und Ergebnisse. Er bewies auch, dass jede rationale Zahl durch einen endlichen Kettenbruch dargestellt werden kann und fand eine unendliche Kettenbruch-Darstellung für die Zahl formula_7 in folgender Form:


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Daraus (und aus einer ebenfalls unendlichen Darstellung als Kettenbruch für formula_135) folgerte Euler die Irrationalität von formula_136 und formula_137. Er gab nicht-reguläre Kettenbrüche (also ohne ausschließlich Einsen in den Zählern der neuen Brüche) für die Kreiszahl formula_26, wie in etwa


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Er bewies zusätzlich ein Theorem, das besagt, dass die Lösung einer quadratischen Gleichung dann und nur dann reell ist, wenn sie eine periodische Kettenbruchentwicklung hat.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Euler entdeckte 1734 (möglicherweise früher) zuerst einen Zusammenhang zwischen dem Wachstum natürlicher Logarithmen und der harmonischen Folge. Obwohl die Terme formula_140 für größer werdende Werte formula_83 gegen 0 streben, gilt


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Also ist die Summe der Kehrwerte aller natürlichen Zahlen unbeschränkt. Zieht man jedoch von der harmonischen Folge formula_143 jeweils den Term formula_144 ab, so wird das unbeschränkte Wachstum weggehoben und die Differenz konvergiert gegen einen Wert, der heute Euler-Mascheroni-Konstante oder "Eulersche Konstante" genannt wird:


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Trotz dieser fundamentalen Definition sind die algebraischen Eigenschaften von formula_146 bis heute weitgehend ungeklärt. Es wird vermutet, dass formula_147 irrational ist, jedoch wurde bisher kein Beweis dafür gefunden. Im Jahr 1736 hatte er die Zahl formula_148 in seiner Arbeit E47 bereits auf 15 Stellen berechnet.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Die Mehrzahl seiner Entdeckungen in der Geometrie gelangen Euler durch die Anwendung algebraischer und analytischer Methoden. Das Lehrgebäude sowohl der ebenen wie auch der sphärischen Trigonometrie verdankt seine heutige Form – einschließlich der Notationsweise – Leonhard Euler. Seine – von Johann Bernoulli angeregten – Studien über geodätische Linien auf einer Fläche waren richtungsweisend für die später einsetzende Entwicklung der Differentialgeometrie. Von noch größerer Bedeutung waren seine Entdeckungen in der Flächentheorie, von der Gaspard Monge und andere Forscher in der Folge ausgehen sollten. In seinen späten Jahren schließlich nahm Euler seine Arbeiten über die allgemeine Theorie der Raumkurven exakt dort wieder auf, wo Clairaut 1731 aufgehört hatte – allerdings wurden sie erst postum gedruckt.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: In den Grundlagen der Differentialgeometrie lieferte er Beiträge für die Krümmung einer Kurve und leitete eine analytische Formel für die Radien der Schmiegekreise her. Außerdem entdeckte er die zwei Hauptnormalschnitte einer Oberfläche und die Hauptkrümmungen formula_149 und formula_150. Eines seiner Ergebnisse, die sogenannte Euler-Gleichung, ergibt die Krümmung formula_151 eines beliebigen anderen Normalenabschnitts, der einen Winkel formula_152 mit einem der Abschnitte mit der Hauptkrümmung einschließt, in der Form


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Es war Euler, der sich erstmals mit abwickelbaren Oberflächen (z. B. einem Zylinder oder einem Kegel) beschäftigte, d. h. Oberflächen, die ohne Verzerrungen wie Dehnung oder Reißen in eine Ebene verformt werden können. Eine Fläche wird als Regelfläche bezeichnet (z. B. ein Zylinder, Kegel, Hyperboloid oder hyperbolisches Paraboloid), wenn sie durch die Bewegung einer geraden Linie im Raum erzeugt werden kann.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Es ist bekannt, dass Euler rein mathematisch die zuerst von Jakob Bernoulli und Christiaan Huygens studierte Kreisevolvente als günstigste Profilform der Flanken bei Zahnrädern eruiert hat. Diese Kurve liefert – sinnvoll verwendet – optimale mechanische Eigenschaften bezüglich Reibungsverlust, Geräuscharmut und Kraftübertragung (technisch realisiert wurde diese Entdeckung bzw. Erfindung Eulers erst im 19. Jahrhundert mit der Evolventenverzahnung). Weniger bekannt ist, dass Euler in dieser bereits 1762 entstandenen Arbeit E330 die heute nach Felix Savary benannte Gleichung antizipiert hat. Sie dient zur Bestimmung des Krümmungsradius einer Rollkurve und ermöglicht eine elegante Konstruktion deren Krümmungszentren.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Innerhalb der elementaren Geometrie beschäftige sich Euler unter anderem mit einem Vorläufer des Doppelverhältnisses und den „Möndchen“ des Hippokrates. Letzteren widmete er zwei weit auseinander liegende Arbeiten E73 und E423. In einer kurzen Abhandlung E648 aus dem Jahre 1779 löste Euler das sog. Taktionsproblem des Apollonius. Dies verlangt die (elementar stets mogliche) Konstruktion eines (vierten) Kreises, der drei beliebig gegebene Kreise in der Ebene berührt. Dieses Problem wurde jedoch bereits vor Euler von François Viète, Isaac Newton und anderen gelöst. Kurz darauf verallgemeinerte er in E733 das Problem auf den dreidimensionalen Raum und fand die Konstruktion der Berührungskugel zu vier beliebig gegebenen Kugeln. Auch diese Konstruktion führt bloß auf eine quadratische Gleichung und kann somit elementar geleistet werden.


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text: In einem Brief vom 14. November 1750 aus Berlin an Christian Goldbach nach Sankt Petersburg kündigte Euler seine Entdeckung eines fundamentalen Zusammenhangs zwischen wichtigen Größen eines konvexen Polyeders an. Seine Entdeckung war die Formel formula_154 bezüglich Anzahl der Ecken ("E"), Kanten ("K") und Flächen ("F") eines konvexen Polyeders, eines planaren Graphen. Dieser Satz wird heute als Eulerscher Polyedersatz bezeichnet.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Acht Jahre nach seinem Brief, 1758, veröffentlichte er zwei Arbeiten zu dem Thema. Die erste enthielt seine Entdeckung, die zweite einen Beweisversuch. Eulers Beweis, in dem er die untersuchten Objekte in einzelne Tetraeder zerlegen wollte, enthielt jedoch nach heutigem Maßstab an Strenge einen Fehler. Diese Lücke wurde 1924 durch Henri Lebesgue hervorgehoben.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Euler erhoffte sich mit seiner Arbeit alle Polyeder klassifizieren zu können, erreichte dieses Ziel jedoch nicht. Nach Veröffentlichung der beiden Arbeiten wandte er sich dem Thema nicht mehr zu.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Die Konstante im Eulerschen Polyedersatz wird heute als Euler-Charakteristik des Graphen (oder eines anderen mathematischen Objekts) bezeichnet und steht mit dem mathematischen Geschlecht des Objekts direkt in Zusammenhang. Der erste lückenlose Beweis des Polyedersatzes gelang erst Adrien-Marie Legendre. Die Untersuchung und Verallgemeinerung dieser Formel, insbesondere durch Cauchy und L’Huilier, markiert den Beginn der (algebraischen) Topologie.


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text: Im Jahr 1735 (1741 veröffentlicht mit der Arbeit "Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis") präsentierte Euler eine Lösung für das Königsberger Brückenproblem.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Die Stadt Königsberg in Preußen lag am Fluss Pregel und umfasste zwei große Inseln, die durch sieben Brücken miteinander und mit dem Festland verbunden waren. Das Problem besteht darin, zu entscheiden, ob es möglich ist, einen Weg zu wählen, der jede Brücke genau einmal überquert und zum Ausgangspunkt zurückkehrt. Das ist nicht möglich, weil zu mindestens einem Landstück eine ungerade Anzahl an Brücken führt. Diese Bedingung ist bereits durch die zur zentralen Insel führenden Brücken erfüllt. Das Brückenproblem ist gleichbedeutend mit der Frage, ob es für den der Stadtkarte entsprechenden Graphen einen Eulerkreis gibt.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Dabei bezeichnen formula_158 Bernoulli-Polynome. Diese wurde unabhängig von ihm von Colin Maclaurin gefunden und trägt heute den Namen Euler-Maclaurin-Formel. Die Formel stellt einen Zusammenhang zwischen Summen formula_159 und dem Integral formula_160 her. Die hinteren Terme beinhalten die (höheren) Ableitungen von formula_161 an den Grenzstellen und sind bei geschickter (meist nicht zu hoher) Wahl von formula_162 meist schnell zu berechnen. Nützlich ist die Summenformel von Euler und Maclaurin dann, wenn die Summe sehr schwer, das Integral jedoch leicht zu berechnen ist. Zum Beispiel ist


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: deutlich einfacher zu vollziehen ist (siehe auch: Integralrechnung und Stammfunktion) – zu beachten ist, dass die Summenformel auf keine bestimmten Grenzen festgelegt ist und somit auch bei 1 statt 0 beginnen kann. Beginnt man alternativ an einem großen Startwert formula_165, ist somit formula_166 ungefähr gegeben durch


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Andersherum kann mit der Summenformel ein (schwer zu berechnendes) Integral über diskrete Summen angenähert werden. Dementsprechend praktischen Nutzen zog Euler aus dieser Formel, um unendliche Reihen, die langsam konvergieren, schnell numerisch anzunähern. So gab er gute Näherungen für die Werte formula_168 und formula_169 und fand formula_170 auf 20 Stellen genau:


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Hätte Euler stattdessen für eine solche Präzision „naiv“ die Terme formula_172 summiert, wäre der Zeitaufwand mit 20 Sekunden pro Summand bei etwa 63 Billionen Jahren gelegen. Erwiesenermaßen etablierte Eulers ursprüngliche Methode der Berechnung von formula_173 für höhere Werte von formula_83 die numerische Mathematik als ein neues Forschungsgebiet.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Während des siebzehnten und achtzehnten Jahrhunderts unternahmen Mathematiker ernsthafte Versuche, gewöhnliche Differentialgleichungen in Form von elementaren Funktionen und Quadraturen zu lösen. Als diese Methoden scheiterten, lösten sie Gleichungen mit Hilfe unendlicher Reihen und mit numerischen Methoden. Im Jahre 1768 entwickelte Euler ein einfaches Finite-Differenzen-Verfahren zur numerischen Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: mit der gegebenen Anfangsbedingung formula_176. Mit einer einheitlichen Schrittweite formula_177 zwischen den Punkten formula_178, konstruierte Euler die Punkte formula_179 mit formula_180, und erhielt dann die Formel


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Hierbei bezeichnet formula_182 die O-Notation von Landau und bedeutet in diesem Falle, dass das Fehlerrauschen jenseits formula_183 im rechten Ausdruck im Wesentlichen durch die „winzige“ Zahl formula_184 nicht überschritten wird. Falls formula_185 stetig ist, dann konvergiert die Folge der Euler-Polygonlinien gleichmäßig mit formula_186 zu der unbekannten Funktion formula_187 auf einem ausreichend kleinen geschlossenen Intervall, das formula_188 enthält.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Nach ihm sind auch die bedeutenden Euler-Winkel benannt. Es handelt sich dabei um ein Tripel aus Winkeln, mit denen die Orientierung (Drehlage) eines festen Körpers im dreidimensionalen euklidischen Raum beschrieben werden kann. Eine algebraische Beschreibung, mit der die Drehlage von beliebigen Punkten berechnet werden konnte, wurde erst ab 1775 von Euler in zunehmender Tiefe formuliert. In der ersten Arbeit zeigte er, dass die neun Elemente der Abbildungsmatrix (welche die Drehung beschreiben) wegen der Längentreue einer Bewegung nicht unabhängig voneinander sind, sondern durch nur drei voneinander unabhängige Winkel festgelegt werden, der Euler-Winkel.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: In der Aerodynamik von Flugzeugen werden bis heute die Euler-Winkel verwendet. Dabei ist es Praxis, ein erdfixes Koordinatensystem zu verwenden, um die Position und Orientierung eines Flugzeugs relativ zur Erde zu beschreiben. Da es sich bei dem Koordinatensystem "nicht" um ein kartesisches System handelt, ergeben sich in der Regel aber einige Probleme bei der Formulierung der Flugzeugdynamik. Durch weitere Differenzierung kann dem begegnet werden. Während die Position des Flugzeugs am besten mittels eines erdfixen Koordinatensystems beschrieben werden kann, werden die Komponenten des Trägheitstensors in der Bewegungsgleichung am besten mittels eines Koordinatensystems beschrieben, welches das Gravizentrum des Flugzeugs als Ursprung hat. Die Orientierung eines Flugzeugs relativ zur Erde kann nun mit den sogenannten Euler-Winkeln beschrieben werden. Daher ist es notwendig, die Transformation zwischen den beiden oberen Koordinatensystemen mittels der drei Eulerwinkel-Drehungen abzuleiten.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Euler beschäftigte sich auch mit Lotterien. 1749 trat ein italienischer Geschäftsmann namens Roccolini an Friedrich den Großen, den damaligen König von Preußen, mit dem Vorschlag heran, ein Lotteriesystem einzuführen, bei dem fünf Zahlen von 1 bis 90 gezogen werden sollten. Der König sandte den Vorschlag an seinen wissenschaftlichen Berater Euler mit der Bitte um eine mathematische Überprüfung bezüglich der Einführung einer staatlichen Lotterie in Deutschland. Auf den königlichen Wunsch hin interessierte sich Euler sehr für die Analyse der verschiedenen Aspekte des genuesischen Lotteriesystems und entwickelte ein verbessertes Lotteriesystem, nachdem er bei der Analyse dieses Glücksspiels kombinatorische Fragen angesprochen hatte. In der Folge wurde die Berliner Lotterie 1763 in Deutschland gegründet.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Im selben Jahr, in dem Preußen sein erstes Lotto veranstaltete, verlas Euler vor der Berliner Akademie eine Arbeit mit einer detaillierten und allgemeinen Analyse dieses Lottos. Eulers Arbeit wurde posthum veröffentlicht. Eines der grundlegenden Ergebnisse, die Euler erzielte, bestand darin, eine Formel für die Gewinnwahrscheinlichkeit der Wette zu finden, bei der "r" aus "t" gezogenen Zahlen bei einer Gesamtzahl von "n" richtig erraten werden müssen. Seine Formel lautete:


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Anhand dieser Wahrscheinlichkeitsberechnungen berechnete Euler drei praktische Szenarien für die Auszahlungen auf alle Wetten und berücksichtigte dabei die Möglichkeit, einen Gewinn für die Lotterieveranstalter zu erzielen.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Im Jahr 1907, fast 125 Jahre nach Eulers Tod, verwendete Alfred J. Lotka Eulers Arbeit "Recherches générales sur la mortalité et la multiplication du genre humain" um die Euler-Lotka-Gleichung zur Berechnung von Bevölkerungswachstumsraten abzuleiten. Dabei handelt es sich um eine grundlegende Methode, die in der Populationsbiologie und -ökologie bis heute verwendet wird.


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text: Eulers Abhandlungen zur Mechanik lassen sich, entsprechend seinem „Programm“, in folgende Bereiche einteilen: Grundlagen der Mechanik (Aufbau und Struktur der Materie, Kraft und Kraftmaß, Prinzipien der Mechanik), Mechanik materieller Punkte, Mechanik starrer, Mechanik biegsamer nicht elastischer, Mechanik elastischer, Mechanik flüssiger sowie Mechanik gasförmiger Körper. In Schriften wie "Mechanica, sive motus scientia analytica exposita" (1736), "Découverte d’un nouveau principe de mécanique" (1752) und "Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum" (1765) wandte Euler dabei die Mathematik auf Fragen der Physik an. Laut Clifford Truesdell „tragen in der Tat nur wenige Werke so viel zur Mechanik bei“ wie die zweit genannte Arbeit.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Euler bemerkte, dass die damals allgemein akzeptierten Prinzipien der Mechanik nicht ausreichten, um das Problem der Bewegung eines starren Körpers in voller Allgemeinheit zu lösen. Der Drehimpulssatz (um eine raumfeste Achse) findet sich – implizit formuliert – bereits in Eulers Manuskript von 1734 zu seiner "Mechanica" sowie in seiner 1738 verfassten, aber erst 1749 publizierten "Scientia navalis". Zum ersten Mal hergeleitet wurde der Drehimpulssatz (bezüglicher einer raumfesten Achse) für Systeme diskreter Massenpunkte in einer Abhandlung Eulers über die Bewegung der Mondknoten, die Euler 1744 der Berliner Akademie der Wissenschaften präsentierte und 1750 publizierte. Am 3. September 1750 las er vor der Berliner Akademie ein Mémoire, in dem er das Prinzip „Kraft gleich Masse mal Beschleunigung“ im Kontext der "Eulerschen Gleichung der Starrkörper-Rotation" als eigene und neue Entdeckung vorstellte. Jedoch erst 1775 publizierte Euler den Drehimpulssatz in seiner allgemein gültigsten Form als unabhängiges neues mechanisches Prinzip. Aus einer Idee Johann Bernoullis in dessen Werk "Hydraulica" und aus der Anwendung eines Schnittprinzips an einem infinitesimal kleinen Volumenelement gewann Euler den Impulssatz der Mechanik,


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: also das heute so geläufige „Kraft = Masse × Beschleunigung“, das immer Newton zugeschrieben wird, sich in dieser Form dort aber nicht findet.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Historisch gesehen wurden im 18. Jahrhundert von Jean d’Alembert, Daniel Bernoulli, Alexis Clairaut und Joseph Lagrange beträchtliche Fortschritte in der theoretischen Strömungsmechanik erzielt. Unter diesen großen Mathematikern leistete Euler die grundlegendsten Beiträge zur Strömungsmechanik, indem er seine berühmten Bewegungsgleichungen, die Euler-Gleichungen der Strömungsmechanik, aufstellte.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Eulers Hauptwerk auf dem Gebiet der Strömungsmechanik beruhte im Wesentlichen auf der Kontinuumshypothese und den Newtonschen Bewegungsgesetzen. Seine Arbeit bildet die Grundlage der mathematischen Theorie der Strömungsmechanik, die von seiner Entdeckung der Variationsrechnung sowie partieller Differentialgleichungen umfasst war. Er leistete grundlegende Beiträge zur Hydrostatik und Hydrodynamik in der Zeit von 1752 bis 1761 und veröffentlichte 1757 mehrere wichtige Artikel in diesen Bereichen in der "Mémories de l’Academie des Sciences de Berlin". Der erste dieser Artikel befasste sich mit den grundlegenden allgemeinen Konzepten, Prinzipien und Gleichgewichtsgleichungen von Flüssigkeiten. Die zweite und die dritte Arbeit beschäftigten sich im Wesentlichen mit der "Massenerhaltungsgleichung" (oder der Kontinuitätsgleichung) und den nichtlinearen Euler-Bewegungsgleichungen kompressibler Flüssigkeitsströmungen. Anschließend formulierte er die Bewegungsgleichungen und die Kontinuitätsgleichung für eine nichtviskose, inkompressible Flüssigkeitsströmung mit dem ersten Beweis des berühmten d’Alembertschen Paradoxons in einer nichtviskosen Flüssigkeitsströmung, die an einem starren Körper vorbeifließt.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Außerdem arbeitete Leonhard Euler in der Mechanik auf den Gebieten der Turbinengleichung und der Kreiseltheorie, in der er neben den Eulerschen Gleichungen die Euler-Winkel einführte. Er gilt als der Entwickler der weltweit ersten Wasserturbine. Eine Rekonstruktion der Eulerschen Turbine zeigte, dass ihr Wirkungsgrad von 71 % nur wenig unter dem moderner Turbinen (Stand 2015) liegt. Auch das technisch realisierbare Prinzip des Flügelradantriebs und der Schiffsschraube ist Euler zu verdanken.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Die erste analytische Beschreibung der Knickung eines mit einer Druckkraft belasteten Stabes geht ebenfalls auf Euler zurück; er begründete damit die Stabilitätstheorie. Er half bei der Entwicklung der Euler-Bernoulli-Balkengleichung, die zu einem Eckpfeiler des Ingenieurwesens wurde.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Abgesehen von der erfolgreichen Anwendung seiner analytischen Werkzeuge auf Probleme der klassischen Mechanik wandte Euler diese auch in der Astronomie an – diese Arbeiten wurden im Laufe seiner Karriere durch eine Reihe von Preisen der Pariser Akademie anerkannt. Zu seinen Errungenschaften gehören die genaue Bestimmung der Bahnen von Kometen und anderen Himmelskörpern, das Verständnis der Natur von Kometen und die Berechnung der Sonnenparallaxe. Seine Berechnungen trugen zur Entwicklung präziser Längengradtabellen bei.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Nach Victor J. Katz gilt es als gesichert, dass Euler der erste Mathematiker in Europa war, der das Kalkül der trigonometrischen Funktionen systematisch durchdrang. Er tat dies in Arbeiten, die ab 1739 erschienen. Die Bedeutung der trigonometrischen Funktionen wurde ihm einige Jahre später bewusst, als er anstrebte, bestimmte Differentialgleichungen zu lösen, insbesondere lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Die im Nachhinein offensichtliche Tatsache, dass die Rechnung mit trigonometrischen Funktionen ein Schlüssel zum Verständnis „periodischer Phänomene“, einschließlich der Bewegungen von Planeten und Satelliten, ist, scheint für die Astronomen vor Euler nicht offensichtlich gewesen zu sein. Euler war der erste, der sich mit der Formulierung und Lösung des Störungsproblems beschäftigte – dem Schlüsselproblem, das formuliert und gelöst werden musste, wenn das Newtonsche Gravitationsgesetz als Grundlage für die Planeten- und Mondtheorie etabliert werden sollte.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Mit dem Kalkül der trigonometrischen Funktionen in der Hand konstruierte er eine Reihe von Mondtabellen. Diese wurden 1746 in seinem "Opuscula varii argumenti" veröffentlicht. Eulers erster Versuch, mit den planetarischen Störungen fertig zu werden, erfolgte als Reaktion auf den Preiswettbewerb der Pariser Akademie von 1748. Der Preis wurde ausgeschrieben für „eine Theorie von Jupiter und Saturn, die die Ungleichheiten erklärt, die diese Planeten in ihren Bewegungen gegenseitig zu verursachen scheinen, insbesondere über den Zeitpunkt ihrer Konjunktion“. Newton hatte in seiner "Principia" von „einer Störung der Umlaufbahn des Saturn in jeder Konjunktion dieses Planeten“ geschrieben, „die so empfindlich ist, dass die Astronomen darüber ratlos sind“. Als Reaktion auf die Ankündigung des Preisausschreibens der Pariser Akademie für 1748 schrieb Euler zwei Memoiren, die beide Mitte 1747 fertiggestellt wurden. In der ersten, die Euler der Berliner Akademie vorlegte, leitete er die Differentialgleichungen für das Problem der Störungen ab. Die zweite, eine Ableitung der Störungen des Saturn durch Jupiter, wurde im Wettbewerb eingereicht und mit dem Preis ausgezeichnet, obwohl Euler es versäumte, die scheinbare Verlangsamung des Saturn oder die Beschleunigung des Jupiter zu erklären. Eulers Preisaufsatz überzeugte mit den innovativen Methoden, die er zur Bewältigung planetarischer Störungen einführte.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: In der Optik veröffentlichte er Werke zur Wellentheorie des Lichts und zur Berechnung von optischen Linsen zur Vermeidung von Farbfehlern. Er widersprach Newtons Korpuskeltheorie des Lichts in den "Opticks", die damals vorherrschend war. Seine Arbeiten zur Optik aus den 1740er Jahren trugen dazu bei, dass die von Christiaan Huygens vorgeschlagene Wellentheorie des Lichts zur vorherrschenden Denkweise wurde, zumindest bis zur Entwicklung der Quantentheorie des Lichts.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Fast die Mehrzahl von Eulers Schriften zur Optik, im ganzen sieben aus fünfzehn, sind Fragen der Dispersion gewidmet. Dabei beschäftigte ihn unter anderem wiederholt die Frage, ob Rot oder Violett die größere Frequenz hat. Euler wechselte diesbezüglich seine Ansicht dreimal, jedes Mal auf Grund einer theoretischen Betrachtung, zu der ihn ein neues Experiment, von dem er hörte, veranlasst hatte. In der "Nova theoria" hatte noch Rot die größte Frequenz, in zwei späteren Arbeiten korrigierte er diese Ansicht unter anderem auf Grund seiner Theorie der Beobachtungen von Farben dünner Schichten. Dann aber wird er durch eine Betrachtung über die Elastizität von Metalllamellen wiederum auf die erste, falsche Ansicht zurückgeführt, um dann schließlich zur richtigen zurückzukehren.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: 1745 übersetzte Euler das Werk "New principles of gunnery" des Engländers Benjamin Robins ins Deutsche. Es erschien im selben Jahr in Berlin unter dem Titel "Neue Grundsätze der Artillerie enthaltend die Bestimmung der Gewalt des Pulvers nebst einer Untersuchung über den Unterscheid"(sic)" des Wiederstands"(sic)" der Luft in schnellen und langsamen Bewegungen." Seit Galilei hatten die Artilleristen die Flugbahnen der Geschosse als Parabeln angesehen, wobei sie den Luftwiderstand für vernachlässigbar hielten. Robins hat als einer der ersten Experimente zur Ballistik ausgeführt und gezeigt, dass die Flugbahn durch den Luftwiderstand wesentlich beeinflusst wird. Somit wurde dank Robins und mit Eulers Hilfe „das erste Lehrbuch der Ballistik“ geschaffen. Es wurde zum Beispiel in Frankreich (in französischer Übersetzung) als offizielles Lehrbuch in den Militärschulen eingeführt. Napoleon Bonaparte musste es als Leutnant studieren.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Weniger bekannt sind Eulers Arbeiten zum Stabilitätskriterium von Schiffen, in denen er das bereits erworbene, aber wieder verlorengegangene Wissen von Archimedes erneuerte. Die "Scientia navalis", das bis weit ins 19. Jahrhundert vorgreifende Hauptwerk über das Schiffsingenieurwesen, erschien während der ersten Berliner Jahre.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: In der Algebra beschäftigte sich Euler unter anderem mit der expliziten Gestalt von Einheitswurzeln. Diese treten als Lösungen der Gleichungen formula_191 auf. Im 18. Jahrhundert galt es als wegweisende Problemstellung, die Lösungen dieser Gleichungen algebraisch geschlossen durch „Radikale“ auszudrücken. Auch Euler hatte in diesem Bereich Erfolge und löste die Einheitsgleichungen bis formula_192. Als technisch besonders schwierig gilt hierbei das Verfahren für formula_193, das die Lösungen in Termen von Quadrat- und Kubikwurzeln ausdrückt.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Euler studierte intensiv Diophantische Gleichungen der Form formula_194 und formula_195, wobei formula_196 ganzzahlig sind und formula_197 keine Quadratzahl ist. In größerer Allgemeinheit untersuchte er Gleichungen des Typs


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Euler arbeitete Näherungsmethoden für die Lösung numerischer Gleichungen aus und bearbeitete ferner – wahrscheinlich von Daniel Bernoulli angeregt – das Eliminationsproblem. So gelang ihm ein Beweis des bereits Newton bekannten Satzes, dass zwei algebraische Kurven vom Grad "m" bzw. "n" höchstens "mn" Schnittpunkte haben können. In diesem Zusammenhang gelangte er zum wichtigen Begriff der Resultante. In den beiden Abhandlungen E147 und E148 vom Jahre 1750 gab Euler eine stichhaltige Erklärung des sogenannten Cramerschen Paradoxons.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: 1770 brachte er das Buch "Vollständige Anleitung zur Algebra" heraus. Er erarbeitete eine Methode zur Lösung von quartischen Gleichungen. Euler bemerkte ebenfalls, dass sich quintische Gleichungen im Allgemeinen nicht mehr durch Radikale (also geschlossene Verkettungen von Wurzelausdrücken) auflösen lassen. Dieses Resultat wurde jedoch erst später durch Niels Henrik Abel und Évariste Galois bewiesen.


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text: Euler wird auch die Verwendung geschlossener Kurven zur Veranschaulichung der syllogistischen Argumentation zugeschrieben. Diese Diagramme sind als Euler-Diagramme bekannt geworden. In den Briefen 101 bis 108 (an eine deutsche Prinzessin), die im Februar und März 1761 verfasst wurden, werden die heute als Venn-Diagramme bezeichneten Diagramme vorgestellt, obwohl das eine falsche Bezeichnung ist. Diagramme für mathematische Darstellungen in der Logik tauchten in einigen Abhandlungen des achtzehnten Jahrhunderts zu diesem Thema auf, und es ist möglich, dass Johann Heinrich Lambert sie kurz vor Eulers Briefen verwendete. In den Briefen 101 und 102 betonte Euler die Notwendigkeit einer disziplinierten Sprache bei der Darstellung allgemeiner Ideen und ihrer Erweiterung; er verwendete Kreise in Diagrammen, um verschiedene Formen von Syllogismen und hypothetischen Propositionen zu erklären.


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text: Ein Euler-Diagramm ist ein diagrammatisches Mittel zur Darstellung von Mengen und ihren Beziehungen. Euler-Diagramme bestehen aus einfachen geschlossenen Kurven (normalerweise Kreisen oder auch Ellipsen) in der Ebene, die jeweils Mengen darstellen. Jede Eulerkurve teilt die Ebene in zwei Bereiche oder „Zonen“: den inneren Bereich, der symbolisch die Elemente der Menge einschließt und darstellt, und den äußeren Bereich, der alle Elemente darstellt, die nicht zur Menge gehören (Komplement). Die Größen oder Formen der Kurven spielen dabei keine Rolle. Das Diagramm soll lediglich veranschaulichen, wie sie sich überlappen. Die räumlichen Beziehungen zwischen den von jeder Kurve begrenzten Bereichen (Überlappung, Eingrenzung oder keines von beiden) entsprechen mengentheoretischen Beziehungen (Schnittmenge, Teilmenge und Disjunktheit). Kurven, deren innere Zonen sich nicht schneiden, stellen disjunkte Mengen dar. Zwei Kurven, deren innere Zonen sich schneiden, repräsentieren Mengen, die gemeinsame Elemente haben (nicht-leere Schnittmenge): Die Zone innerhalb beider Kurven stellt dabei die Menge der Elemente dar, die beiden Mengen gemeinsam sind. Eine Kurve, die vollständig im Bereich einer anderen enthalten ist, stellt eine Teilmenge dieser dar.


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text: Euler-Diagramme (und die allgemeineren Venn-Diagramme) wurden ab den 1960er Jahren im Zuge der "Neuen Mathematik" als Teil des Unterrichts in der Mengenlehre aufgenommen.


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text: Großes Interesse legte Euler für astronomisch-geodätische und kartographische Fragen an den Tag, für deren Lösung bei der Petersburger Akademie der Wissenschaften auf Joseph-Nicolas Delisles Anregung eine neue wissenschaftliche Institution ins Leben gerufen wurde – das sogenannte "Geographische Departement". Euler war dort als Delisles Helfer eine Reihe von Jahren tätig. Der Einblick in verschiedene Dokumente dieses Departements, vor allem in die Protokolle, brachte viele Einzelheiten über Eulers Tätigkeit auf dem Gebiet der Geodäsie und Kartographie zutage. So konnte z. B. festgestellt werden, dass Eulers Anstellung im Geographischen Departement durchaus seinen Wünschen und wissenschaftlichen Neigungen entsprach. Eulers erste Arbeit war die vom Senat angeforderte Karte von Russlands europäischen Grenzen. Am 2. September beriet sich Euler mit Delisle darüber, wie eine solche Karte am besten zu konstruieren sei. Euler beendete die Karte der europäischen Grenzen Russlands am 6. September 1736. Erst am 14. Oktober 1736 war die von Euler und Delisle gemeinsam begonnene Karte, nach Korrekturen des Adjunkten Wassili Jewdokimowitsch Adodurow, endgültig fertiggestellt.


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text: Auch im Bereich der Musik beruhten Eulers Gedanken hauptsächlich auf der Mathematik: Er begründete eine auf mathematischen Gesetzen aufbauende Musiktheorie (unter anderem "Tentamen novae theoriae musicae," 1739, Music mathématique, Paris 1865). Sein Modell des Tonnetzes wird noch heute bei Berechnungen zur reinen Stimmung verwendet. Obwohl seine Schriften über Musiktheorie nur einen kleinen Teil seiner Arbeit ausmachen (einige hundert Seiten, bei einer Gesamtproduktion von etwa dreißigtausend Seiten), spiegeln sie dennoch ein bereits früh gewecktes Interesse wider, das ihn sein ganzes Leben lang nicht mehr verlassen hat.


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text: Zum Verständnis von Eulers Musiktheorie muss bekannt sein, dass musikalische Intervalle in der sog. reinen Stimmung mit den Tonstufen Oktave, Quinte, Quarte und große Terz entsprechend den Frequenzverhältnissen 1:2, 2:3, 3:4 bzw. 4:5 zum Grundton aufgebaut werden. Im Gegensatz dazu steht die heute meist gebräuchliche gleichstufige Stimmung (wohltemperiert), bei der zwei Töne eines Halbtons stets das exakte Frequenzverhältnis formula_200 haben.