title: Láchar

text: La Policía Local de esta localidad dispone de cinco agentes, que complementan la seguridad ofrecida por una dotación de la Guardia Civil en la casa cuartel situada en la C/ Duque de San Pedro n.º2. Dicho cuartel cubre, además de Láchar y Peñuelas, los núcleos urbanos de Castillo de Tajarja, Cijuela, Fuensanta, Romilla, Romilla la Nueva y Trasmulas, y consta de una unidad del Servicio de Protección de la Naturaleza (SEPRONA).


title: Láchar

text: Entre sus monumentos destacan el Castillo de Láchar, reedificado en el y de propiedad municipal desde 2016; la iglesia parroquial de Nuestra Señora del Rosario, construida en el . Y la iglesia parroquial de San Pío X, en la pedanía de Peñuelas, construida en 1959; su retablo fue pintado por el artista almeriense Jesús de Perceval, a quien se le debe en gran parte el nacimiento y desarrollo del movimiento indaliano, que se dio a mediados del en Almería, Granada y Murcia.


title: Láchar

text: El puente, que une los términos municipales de Láchar y Pinos Puente, fue diseñado por la escuela del francés Gustave Eiffel —arquitecto de la Torre Eiffel— para que el tren salvara el río Genil. Su estructura es de hierro y todas las piezas están unidas o encajadas con remaches, sin soldadura alguna.


title: Láchar

text: Julio Quesada-Cañaveral, duque de San Pedro y conde de Benalúa vivía en esta localidad por temporadas, y, gracias al ferrocarril recibió la visita de su amigo, el rey Alfonso XIII, entre otras personalidades. El duque poseía casi todo el término municipal y varias azucareras en la Vega. El cultivo decayó, el ferrocarril desapareció y el puente fue utilizado décadas después por los coches, hasta que en 2006 quedara inservible tras el accidente de un vehículo, que provocó la rotura de una pequeña parte de la sujeción y el posterior derrumbamiento de toda la estructura. En la actualidad existe otro puente de mejores proporciones construido junto al anterior.


title: Láchar

text: Las fiestas patronales se celebran la penúltima semana de agosto en honor a la Virgen del Rosario, patrona de la localidad. El 7 de octubre se celebra una misa y posterior procesión con la imagen de la virgen.


title: Láchar

text: El sábado más próximo al 15 de mayo se celebra la romería popular en honor a san Isidro Labrador, santo patrón de la localidad, en la zona conocida como Los Pinares, a la cual asisten los lugareños y foráneos de localidades cercanas para pasar toda la jornada en el campo. También es típico de Láchar, como en el resto de la vega de Granada, celebrar el 25 de abril el «día de la merendica», donde se junta la gente por la tarde para degustar los populares hornazos acompañados de habas verdes.


title: Láchar

text: Las fiestas patronales de la pedanía de Peñuelas se celebran cada año el último fin de semana de julio o el primero de agosto, en honor a San Pío X.


title: Láchar

text: Cabe destacar la celebración de las tradicionales candelarias en la noche previa al 2 de febrero, donde originariamente se hacían diversas hogueras en cada barrio formadas por palés, muebles viejos, etc, que iban recogiendo los jóvenes durante las semanas anteriores.


title: Láchar

text: Desde el año 2012 se encarga el propio ayuntamiento de organizar las candelarias, situadas una en Láchar junto al recinto ferial y otra a las afueras de Peñuelas, que se realizan principalmente con los restos de las podas llevadas a cabo en las semanas previas a esa fecha. Junto a las hogueras se ofrece gratuitamente a los vecinos patatas asadas, vino o refrescos.


title: Láchar

text: Una vez prendidas las candelarias muchos niños realizan el tradicional «mancheo», es decir, a girar verticalmente el «mancho», que está formado por tocha (esparto seco) y unas cuantas hojas verdes también de esparto. Los «manchos» tienen forma de tea, siendo el resultado de agrupar gavillas de tocha atándolos longitudinalmente mediante las hojas verdes de esparto. Finalmente se trenza uno de los extremos y se hace un nudo en la punta, de forma que todo el conjunto sea resistente al giro vertical.


title: Láchar

text: Para «manchear» hay que acercar el extremo «barbudo» del «mancho»al borde de la hoguera hasta que empieza a prender. Entonces se realiza esa especie de círculos de fuego característicos del «mancheo», que puede durar entre diez y quince minutos en función de su longitud.


title: Fairchild Aircraft

text: Fairchild fue una empresa fabricante estadounidense de aeronaves y sistemas espaciales cuya sede central se ha trasladado varias veces entre Farmingdale (Nueva York), Hagerstown (Maryland) y San Antonio (Texas).


title: Fairchild Aircraft

text: La compañía fue fundada por Sherman Fairchild en 1929 como "Fairchild Aviation Corporation", con base en Farmingdale y East Farmingdale, Nueva York. La empresa fabricó el primer avión estadounidense que incluía una cabina totalmente estanca y un tren de aterrizaje hidráulico: el Fairchild FC-1. En algún momento la empresa pasa a denominarse "Fairchild Aircraft Manufacturing Company". Entre 1920 y 1950 se establece en Longueuil (Quebec, Canadá) la empresa "Fairchild Aircraft Ltd", siendo una empresa subsidiaria de la matriz estadounidense. En 1929 Sherman Fairchild adquirió la mayoría de las acciones de la empresa "Kreider-Reisner Aircraft Company" de Hagerstown, Maryland. "Fairchild" se trasladó a Hagerstown en 1931.


title: Fairchild Aircraft

text: Durante la Segunda Guerra Mundial, "Fairchild" fabricó el PT-19/PT-23/PT-26 (Cornell), entrenadores AT-21, el transporte C-82 Packet y misiles.


title: Fairchild Aircraft

text: Tras la contienda se desarrolló el C-119 Flying Boxcar a partir del C-82 Packet. Se llegaron a fabricar 1.100 unidades entre 1947 y 1955 tanto para la USAF como otros operadores (incluyendo la Real Fuerza Aérea Canadiense). Una vez retirado del servicio algunas unidades se convirtieron en aviones contraincendios.


title: Fairchild Aircraft

text: En 1949 la "Fairchild Engine and Airplane Corporation" (con base en Hagerstown) empezó a trabajar en el transporte C-123 Provider el cual entra en servicio en 1955. En 1956 la empresa adquiere los derechos sobre el Fokker F27, produciendo 206 unidades denominadas "Fairchild F-27" y desarrollando una versión denominada Fairchild FH-27. Durante los años 50, "Fairchild" fue un subcontratista de Boeing para paneles de alas y secciones de fuselaje del B-52. Posteriormente fabricarían secciones de cola del F-4 Phantom, colas del F-14 Tomcat y estabilizadores de las lanzaderas espaciales. Su asociación con Boeing duró hasta los años 80 construyendo superficies de control de los 747 y 757.


title: Fairchild Aircraft

text: En 1964 "Fairchild" adquirió Hiller Aircraft, cambiando su denominación a "Fairchild Hiller" produciendo el FH-1100, hasta que en 1973 la sección de helicópteros fue revendida a Stanley Hiller. En 1965 la empresa compra Republic Aviation Company.


title: Fairchild Aircraft

text: En 1972, una aeronave FH-27, adquirido por la Fuerza Aérea Uruguaya, se estrelló en Los Andes con cuarenta y cinco pasajeros a bordo, luego de 72 días, fueron localizados 16 supervivientes, dando origen a la gesta de "Supervivientes de los Andes".


title: Fairchild Aircraft

text: Tras la muerte de su fundador, "Fairchild" cambia su denominación a "Fairchild Industries" en 1971. Se adquiere Swearinger y produce el Fairchild Swearingen Metroliner (con denominación militar C26 Metroliner y UC-26 Metroliner). Durante 1971 y 1972 la compañía desarrolló lo que se convertiría en el Fairchild-Republic A-10 Thunderbolt II tras desbancar a su rival: el Northrop YA-9.


title: Fairchild Aircraft

text: La compañía desarrolló el entrenador T-46 para sustituir a los añosos Cessna T-37 Tweet, pero no fue aceptado por la Fuerza Aérea por problemas de rendimiento.


title: Fairchild Aircraft

text: En 1996 la compañía toma el control de la sección civil de Dornier cambiando su nombre a "Fairchild Dornier". La nueva compañía empezó la fabricación del Dornier 328 en 1998 bajo licencia de DASA.


title: Fairchild Aircraft

text: En diciembre de 1999 "Fairchild Aerospace Corporation" fue comprada por la aseguradora alemana Allianz A. G. y el grupo inversor estadounidense Clayton, Dubilier & Rice por 1,2 millardos de dólares.


title: Hotel Provincial

text: El NH Gran Hotel Provincial forma parte —junto al Casino Central— del conjunto monumental diseñado por el arquitecto Alejandro Bustillo para la costa de la ciudad de Mar del Plata, llamado oficialmente Rambla Casino.


title: Hotel Provincial

text: En el lugar del actual conjunto monumental, existía desde 1912 la antigua Rambla Bristol y el Paseo General Paz. En 1928, se había llevado adelante un concurso de proyectos para remodelar la rambla, ganado por la propuesta de Andrés Kálnay y Guillermo Meincke, que no fue construida. Alejandro Bustillo, arquitecto ya reconocido en la década de 1930, proyectó finalmente la nueva rambla, el Casino Central y el Hotel Provincial en 1937, para el gobierno provincial del conservador Manuel Fresco, del cual era Ministro de Obras Públicas su hermano José María Bustillo.


title: Hotel Provincial

text: El 22 de diciembre de 1939, con poco más de un año de construcción, se inauguró el Casino Central; y en diciembre de 1941 el presidente Ramón Castillo inauguraba en un acto la nueva Rambla, adornada por dos esculturas de lobos marinos (del escultor José Fioravanti) que se transformarían con los años en la postal favorita de Mar del Plata. Sin embargo, las obras del hotel se prolongaron durante la siguiente década, con el cambio de administración provincial, y el Provincial pudo ser inaugurado recién el 18 de febrero de 1950, durante la gobernación del peronista Domingo Mercante.


title: Hotel Provincial

text: El hotel supo alojar a visitantes ilustres, como el presidente norteamericano Dwight Eisenhower; y con motivo del Festival de Cine de Mar del Plata, al actor Paul Newman. Otras personalidades del mundo del espectáculo local solían visitar el Salón Circular, como el comediante Alberto Olmedo y la conductora Mirtha Legrand, quien realizó algunos de sus famoso almuerzos televisivos desde allí.


title: Hotel Provincial

text: En 1984, la empresa Hotelera Americana recibió la concesión del Provincial por parte del Gobierno de la Provincia, y lo mantuvo hasta 1998, mientras el hotel fue cayendo en la decadencia. Finalmente, el concesionario tuvo que ser desalojado forzosamente al negarse a pagar el canon correspondiente. El Provincial quedó cerrado durante el cambio de siglo, hasta que la cadena NH Hoteles, asociada con el empresario de medios local Florencio Aldrey Iglesias, ganó un concurso de licitaciones para reabrir el hotel en 2004, durante la administración de Felipe Solá. La concesión fue entregada finalmente por Scioli el 18 de junio de 2008 a la firma Hotelería de Mar S.A., que forma parte la cadena internacional de hoteles NH.con un plazo de explotación de 30 años, con posibilidad de sumarle otros 15.


title: Hotel Provincial

text: El NH Gran Hotel Provincial quedó reinaugurado parcialmente por la presidenta Cristina Fernández de Kirchner el 6 de noviembre de 2008. La sala de juego del nuevo Hotel Provincial fue reabierta el 2 de enero de 2010 por el Gobernador Daniel Scioli, junto con su esposa Karina Rabolini. En diciembre de ese año, el hotel fue sede de la XX Cumbre Iberoamericana, en donde la presidenta Cristina Fernández de Kirchner recibió entre muchos otros a los mandatarios Lula da Silva, Evo Morales, Sebastián Piñera y Rafael Correa, además del Rey de España Juan Carlos I. En 2009 tras una década de abandono se restauró la piscina del Hotel Provincial, situada en el corazón de la playa lindera, a la par del tradicional establecimiento.


title: Hotel Provincial

text: Los edificios del Casino Central y el Gran Hotel Provincial fueron proyectado por Alejandro Bustillo en 1937. Para ellos, hizo uso de su característico estilo neoclásico, de fuerte inspiración francesa, adaptado según sus propias palabras al entorno local. En este caso, Bustillo se inspiró en el estilo Luis XIII de los edificios de la Plaza Vendôme de París. De todas formas, su arquitectura es más sobria y despojada que la de estas antiguas construcciones parisinas.


title: Hotel Provincial

text: Según las reglas de la composición clásicas, la fachada se compone de un basamento revestido en piedra Mar del Plata, con galería cubierta; un desarrollo revestido en ladrillo a la vista, con ornamentos y pilastras en piedra Mar del Plata, y un remate en mansarda de pizarra negra. Sin embargo, para demostrar que Bustillo ponía la estética sobre la funcionalidad o la realidad, debajo de esa mansarda artificial existe una losa de hormigón armado que es el verdadero techo en la estructura. El edificio posee planta baja (basamento), seis pisos y mansarda, y suma 77.500 metros cuadrados de superficie, con espacios internos de grandes dimensiones. También cuenta con otro edificio, NH Gran Hotel Casino, el cual es otro hotel que abre exclusivamente en el verano. Sin embargo, este último corresponde al NH Gran Hotel Provincial.


title: Movistar (Ecuador)

text: Movistar, (legalmente Otecel S.A.) es una empresa proveedora de servicios de telefonía móvil de Ecuador, subsidiaria de Telefónica S.A.


title: Movistar (Ecuador)

text: Inició sus operaciones en abril de 2005 aunque ya Telefónica la había adquirido desde el 14 de octubre de 2004 con la adquisición del 100% de las acciones de OTECEL S.A., concesionaria del servicio de telefonía móvil desde 1993, cuando esta empresa se llamaba Bellsouth. "Movistar" es la segunda mayor operadora de telefonía móvil del Ecuador con más de 3,8 millones de clientes, con 90 puntos de atención al cliente y con redes CDMA y GSM.


title: Problema de Apolonio

text: En geometría plana euclidiana, el problema de Apolonio consiste en encontrar las circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas. Apolonio de Perge ("circa" 262 a. C.-"circa" 190 a. C.) propuso y resolvió este problema en la obra "Ἐπαφαί", ("Epaphaí", "Tangencias"). Aunque esta obra se ha perdido, se conserva una referencia a ella en un manuscrito redactado en el por Papo de Alejandría. Las circunferencias dadas son de radio arbitrario, es decir, incluyen los casos extremos de radio nulo (un punto) y de radio infinito (una recta), lo que proporciona hasta diez tipos de problemas de Apolonio. Excluyendo a las familias de posiciones particulares que presentan infinitas soluciones, o ninguna, y a las familias de posiciones que, por simetría, tienen algunas soluciones equivalentes o prohibidas, la resolución general del problema resulta en ocho circunferencias que son tangentes a las tres circunferencias dadas.


title: Problema de Apolonio

text: En el siglo XVI, Adriaan van Roomen resolvió el problema utilizando la intersección de hipérbolas, pero esta solución no se basa únicamente en construcciones con regla y compás, por lo que puede considerarse menos elegante. François Viète encontró una solución aprovechando la simplificación de los puntos y rectas como casos extremos de circunferencias. El enfoque de Viète, que utiliza casos extremos sencillos para resolver otros más complicados, se considera una reconstrucción plausible del método de Apolonio. A su vez, Isaac Newton simplificó el método de van Roomen y mostró que el problema de Apolonio es equivalente a encontrar una posición conociendo las diferencias de distancias a tres puntos conocidos. Esta formulación tiene aplicaciones en la navegación y en sistemas de posicionamiento como el LORAN —LOng RAnge Navigation, navegación de largo alcance—, y, por otra parte, se han desarrollado generalizaciones del problema para otras superficies diferentes al plano, como puede ser la superficie esférica y otras superficies cuádricas.


title: Problema de Apolonio

text: Algunos matemáticos posteriores introdujeron métodos algebraicos, que transforman el problema geométrico en una ecuación algebraica. A estos métodos se les realizó una abstracción o simplificación, aprovechando las simetrías inherentes al problema de Apolonio: por ejemplo, las circunferencias resolutorias suelen encontrarse en parejas; en una de estas parejas, una circunferencia solución contiene las circunferencias dadas en su interior mientras que la otra no las contiene. Joseph Diaz Gergonne aprovechó esta simetría desarrollando un elegante método para encontrar las soluciones con regla y compás, mientras que otros matemáticos utilizaron transformaciones geométricas como la reflexión en una circunferencia —para que esta se utilice debe haber simetría del problema— para simplificar la disposición de las circunferencias dadas. Estos desarrollos ofrecen una representación geométrica a través de métodos algebraicos (utilizando la geometría de la esfera de Lie, introducida por el noruego Sophus Lie) y una clasificación de soluciones para las treinta y tres disposiciones esencialmente diferentes posibles en la posición inicial de las tres circunferencias.


title: Problema de Apolonio

text: El problema de Apolonio ha impulsado mucha investigación adicional. Se han estudiado generalizaciones en tres dimensiones —la construcción de una esfera tangente a cuatro esferas dadas— y en dimensiones superiores. La disposición de tres circunferencias tangentes entre ellas ha recibido una atención especial. René Descartes dio una fórmula que relaciona los radios de las circunferencias dadas y los de las circunferencias resolutorias, que se conoce actualmente como teorema de Descartes. En este caso, la resolución iterativa del problema de Apolonio lleva a la formación de uno de los primeros fractales descubiertos y dibujados, el tamiz de Apolonio, importante en teoría de números, concretamente en los círculos de Ford y en el método del círculo de Hardy-Littlewood.


title: Problema de Apolonio

text: Su aplicación principal es determinar una posición a partir de las diferencias entre las distancias de, al menos, tres puntos conocidos mediante la trilateración hiperbólica, utilizada en navegación y en los sistemas globales de navegación por satélite como el GPS. Otras aplicaciones incluyen los códigos de corrección de errores utilizados en los discos DVD, así como desarrollos en farmacología.


title: Problema de Apolonio

text: El enunciado original del problema de Apolonio pide la construcción de una o más circunferencias que sean tangentes a tres objetos dados. Los objetos pueden ser rectas, puntos o circunferencias de cualquier tamaño. Estos objetos pueden ser colocados en cualquier disposición y se pueden cortar unos a otros; sin embargo, se suelen tomar diferentes, es decir, que no coincidan. Las soluciones del problema a veces se llaman «circunferencias de Apolonio», aunque este término también se usa para otros tipos de circunferencias asociadas con Apolonio.


title: Problema de Apolonio

text: El enunciado hace uso de la propiedad de tangencia; esta se define a continuación. Por hipótesis, se asume que un punto, recta o circunferencia es tangente a sí mismo, por lo que si una circunferencia dada ya es tangente a los otros dos objetos, se cuenta como solución del problema de Apolonio. Se dice que dos objetos geométricos diferentes intersecan si tienen un punto en común. Por definición, un punto es tangente a una circunferencia o una recta si la interseca, es decir, si se sitúa sobre la misma, así, dos puntos diferentes no pueden ser tangentes. Si el ángulo entre rectas o circunferencias en el punto de intersección es cero, se dice que son tangentes, el punto de intersección se llama punto de tangencia (la palabra «tangente» deriva del participio de presente latino "tangens", que significa «tocante»). En la práctica, dos circunferencias distintas son tangentes si se intersecan en un solo punto, si se intersecan en dos puntos o no se intersecan, entonces no son tangentes. Esto mismo es válido para una recta y una circunferencia. Dos rectas diferentes no pueden ser tangentes en el plano, aunque en geometría inversiva dos rectas paralelas se pueden considerar tangentes en un punto en el infinito.


title: Problema de Apolonio

text: La circunferencia solución debe ser interna o externamente tangente a cada una de las circunferencias dadas. Una tangencia externa es aquella en la que las dos circunferencias se curvan hacia sentidos opuestos en el punto de intersección, se sitúan en los lados opuestos de la recta tangente en ese punto, y se excluyen mutuamente. La distancia entre sus centros es igual a la suma de los radios. Por el contrario, una tangencia interna es aquella en la que las dos circunferencias se curvan hacia el mismo sentido en el punto de intersección correspondiente; las dos circunferencias se sitúan en el mismo lado de la recta tangente, y una de las dos incluye la otra. En este caso, la distancia entre sus centros es igual a la diferencia de los radios. En la ilustración a la derecha, la circunferencia solución (en color púrpura) es tangente internamente a la circunferencia negra dada de tamaño medio situada a la derecha, mientras que es tangente externamente a las circunferencias dadas más pequeña y más grande situadas a la izquierda.


title: Problema de Apolonio

text: Alternativamente, el problema de Apolonio también se puede formular como el problema de encontrar uno o más puntos tales que las diferencias de sus distancias a tres puntos dados sean iguales a tres valores conocidos. Para ver la equivalencia con el enunciado anterior, sea considerada una circunferencia solución de radio "r" y tres circunferencias dadas de radios "r", "r", "r". Si la circunferencia solución es tangente externamente a las tres circunferencias dadas, entonces las distancias entre el centro de la circunferencia solución y los centros de las circunferencias dadas son: , y , respectivamente. Por tanto, las diferencias entre estas distancias son constantes, es decir, ; dependen sólo de los radios conocidos de las circunferencias dadas y no del radio "r" de la circunferencia solución, que se anula. Este segundo planteamiento del problema de Apolonio se puede generalizar a las circunferencias solución tangentes internamente (para las que la distancia centro-centro es igual a la diferencia de los radios) cambiando las correspondientes diferencias de distancias por sumas de distancias, de modo que el radio de la circunferencia solución "r" se vuelve a anular. La reformulación en términos distancias centro-centro es útil en las resoluciones de Adriaan van Roomen e Isaac Newton que se muestran más abajo, y también en el posicionamiento hiperbólico o trilateración, que consiste en localizar una posición a partir de las diferencias entre las distancias a tres puntos conocidos. Por ejemplo, los sistemas de navegación como el LORAN identifican la posición de un receptor a partir de las diferencias en el tiempo de llegada de las señales emitidas desde tres posiciones fijas, que corresponden a las diferencias en las distancias a los transmisores.


title: Problema de Apolonio

text: Se ha desarrollado un rico repertorio de métodos geométricos y algebraicos para resolver el problema de Apolonio. El enfoque original de Apolonio de Perge se ha perdido, pero François Viète y otros lo reconstruyeron basándose en las pistas de la descripción de Papo de Alejandría.


title: Problema de Apolonio

text: Sin embargo, este último no fue el único que pudo recopilar información sobre esta temática, pues también hubo científicos árabes que hicieron grandes reconstrucciones en torno a la obra de Apolonio.


title: Problema de Apolonio

text: El primer nuevo método de resolución se publicó en 1596, por obra de Adriaan van Roomen, que identificó los centros de las circunferencias solución como puntos de intersección de dos hipérbolas.


title: Problema de Apolonio

text: A pesar del éxito en la resolución del problema de Apolonio, el método de van Roomen tiene una desventaja. Una propiedad muy apreciada en la geometría euclidiana clásica es la posibilidad de resolver problemas utilizando solo construcciones con regla y compás. Muchas construcciones, como dividir un ángulo en tres partes iguales, son imposibles utilizando solo estas herramientas. Sin embargo, muchos de estos problemas «imposibles» se pueden resolver utilizando la intersección de curvas como las hipérbolas, las elipses y las parábolas (secciones cónicas). Por ejemplo, la duplicación del cubo (el problema que plantea la construcción de un cubo con el doble de volumen de un cubo dado) no se puede resolver utilizando solo regla y compás, pero Menecmo mostró que el problema puede resolverse utilizando la intersección de dos parábolas. Por tanto, la resolución de van Roomen —que utiliza la intersección de dos hipérbolas— no determina si el problema satisface la propiedad de poder ser resuelto mediante construcciones con regla y compás.


title: Problema de Apolonio

text: François Viète, que fue precisamente el primero en convencer a su amigo Van Roomen para trabajar en el problema de Apolonio, desarrolló un método que precisa solamente el uso de construcciones con regla y compás. Antes del método de resolución de Viète, Regiomontanus dudaba de la posibilidad de resolución del problema de Apolonio con regla y compás. Viète resolvió en primer lugar algunos casos especiales sencillos del problema de Apolonio, como encontrar una circunferencia que pase por tres puntos dados, que solo tiene una solución si los puntos son diferentes, formulando soluciones para casos especiales más complicados, en algunos de estos casos mediante la reducción o la ampliación de las circunferencias dadas. Según la descripción de Papo de Alejandría en el , el propio libro de Apolonio sobre este problema —titulado "Ἐπαφαί" ("Epaphaí", «Tangencias»; en latín: "De tactionibus", "De contactibus")— seguía una aproximación progresiva similar. Por tanto, la resolución de Viète se considera una reconstrucción plausible de la resolución de Apolonio, aunque también se han publicado otras reconstrucciones hechas independientemente por tres autores más.


title: Problema de Apolonio

text: Durante el siglo XIX se desarrollaron varias resoluciones geométricas del problema de Apolonio. Las más notables son las de Jean-Victor Poncelet (1811) y Joseph Diaz Gergonne (1814). Mientras que la resolución de Poncelet se basa en el uso de centros de homotecia de circunferencias y en el teorema de la potencia de un punto, el método de Gergonne aprovecha la relación conjugada entre las rectas y sus polos en una circunferencia. En 1879 Julius Petersen desarrolló por primera vez métodos que utilizan la inversión de la circunferencia; un ejemplo es el método de solución anular de Harold Scott MacDonald Coxeter. Otra aproximación utiliza la geometría de la esfera de Lie, desarrollada por Sophus Lie.


title: Problema de Apolonio

text: René Descartes e Isabel de Hervorden se convirtieron en los primeros en proporcionar resoluciones algebraicas, aunque los métodos que utilizaban eran bastante complejos. A finales del siglo XVIII y durante el XIX, se desarrollaron otros métodos algebraicos más prácticos por parte de muchos matemáticos, incluyendo Leonhard Euler, Nicolas Fuss, Carl Friedrich Gauss, Lazare Carnot, y Augustin Louis Cauchy.


title: Problema de Apolonio

text: La resolución de Adriaan van Roomen, publicada en 1596, está basada en la intersección de dos hipérbolas. Dadas las circunferencias "C", "C" y "C", Van Room abordó la solución del problema general a través de la resolución de un problema más sencillo, consistente en encontrar las circunferencias que son tangentes a dos circunferencias dadas, como pueden ser, por ejemplo, "C" y "C". Observó que el centro de una circunferencia tangente a las dos circunferencias dadas debía de estar situado en un punto de una hipérbola cuyos focos fueran los centros de las circunferencias dadas. Como se muestra en la ilustración a la derecha, llamamos a los radios de la circunferencia solución y de las dos circunferencias dadas "r", "r" y "r", respectivamente. La distancia "d" entre el centro de la circunferencia solución y el de "C" puede ser o , dependiendo de si se elige que estas circunferencias sean tangentes externa o internamente, de manera respectiva. Del mismo modo, la distancia "d" entre el centro de la circunferencia solución y el de "C" puede ser o , otra vez dependiendo del tipo de la tangencia elegida. Por lo tanto, la diferencia entre estas distancias siempre es una constante que es independiente de "r". Esta propiedad de poseer una diferencia fija entre las distancias al foco caracteriza las hipérbolas, y por esta razón los posibles centros de una circunferencia solución deben estar situados sobre dicha hipérbola. Se puede crear una segunda hipérbola por la pareja de circunferencias dadas "C" y "C", en la que la tangencia externa o interna de la circunferencia solución y "C" se debe elegir de manera consistente con la primera hipérbola. Una intersección de estas dos hipérbolas (si existe) da el centro de una circunferencia solución que tiene las tangencias internas y externas escogidas para las tres circunferencias dadas. El conjunto completo de soluciones al problema de Apolonio se encuentra cuando se consideran todas las combinaciones posibles de tangencias internas y externas de la circunferencia solución con las tres circunferencias dadas.


title: Problema de Apolonio

text: En 1687 Isaac Newton, en sus "Philosophiæ naturalis principia mathematica", refinó el método de van Roomen de manera que los centros de las circunferencias solución se encontrasen en las intersecciones de una recta con una circunferencia. Newton formuló el problema de Apolonio como un problema de trilateración: encontrar un punto "Z" a partir de tres puntos dados "A", "B" y "C", de manera que las diferencias de distancias entre "Z" y los tres puntos dados tengan valores conocidos. Estos cuatro puntos se corresponden con el centro de la circunferencia solución ("Z") y los centros de las tres circunferencias dadas ("A", "B" y "C"). En lugar de resolverlo a través de las dos hipérbolas, Newton construyó sus correspondientes directrices. Para cualquier hipérbola, la razón de distancias desde un punto "Z" al foco "A" y a su directriz es una constante llamada excentricidad. Las dos directrices se intersecan en un punto "T", y a partir de sus razones de distancias conocidas, Newton construyó una recta que pasa por "T" sobre la que debe descansar el centro "Z". No obstante, la razón de distancias TZ/TA también es conocida, por lo que el punto "Z" también está situado en una circunferencia conocida, porque Apolonio ya había demostrado que una circunferencia se puede definir como el conjunto de puntos que tienen una razón de distancias dada a dos puntos (como acotación al margen, esta definición es la base del sistema de coordenadas bipolares). De ese modo, las soluciones del problema de Apolonio se pueden encontrar a partir de las intersecciones de una recta con una circunferencia.


title: Problema de Apolonio

text: Como se explica más abajo, el problema de Apolonio tiene diez casos especiales, dependiendo de la naturaleza de los tres objetos dados, que pueden indistintamente ser circunferencias ("C"), rectas ("R") o puntos ("P"). Habitualmente, estos diez casos se clasifican con un código de tres letras como podría ser "CCP" para el caso de dos circunferencias y un punto. El matemático francés François Viète resolvió los diez casos usando solo construcciones con regla y compás, y utilizó las soluciones de los casos más sencillos para conseguir resolver los más complicados.


title: Problema de Apolonio

text: Viète comenzó resolviendo el caso "PPP" (tres puntos) siguiendo el método de Euclides que se expone en su obra "Elementos". A partir de aquí, derivó un lema correspondiente al teorema de la potencia de un punto, que utilizó para resolver el caso "RPP" (una recta y dos puntos). Siguiendo el método Euclides por segunda vez, Viète resolvió el caso "RRR" (tres rectas) utilizando el teorema de la bisectriz. Entonces derivó un lema para construir la recta perpendicular a una bisectriz que pasa por un punto, que utilizó para resolver el problema "RRP" (dos rectas y un punto). Así ya había resuelto los cuatro primeros casos del problema de Apolonio, los que no contienen circunferencias.


title: Problema de Apolonio

text: Para resolver los problemas restantes, Viète aprovechó el hecho de que se pueden variar a la vez las medidas de las circunferencias dadas y la circunferencia solución mientras se preservan las tangencias (como se ejemplifica en la imagen a la derecha). Si el radio de la circunferencia solución varía un incremento Δ"r", los radios de las circunferencias dadas que son tangentes internamente también deben variar Δ"r", mientras que los radios de las circunferencias dadas que son tangentes externamente deben variar —Δ"r". Dicho de otro modo, para mantener las tangencias al tiempo que la circunferencia solución se agranda, las circunferencias dadas tangentes internamente se han de ampliar y, en cambio, las circunferencias dadas tangentes externamente deben reducirse.


title: Problema de Apolonio

text: Viète utilizó este enfoque para reducir una de las circunferencias a un punto (una circunferencia de radio 0), lo que convertía el problema en un caso más sencillo ya resuelto. En primer lugar resolvió el caso "CRR" (una circunferencia y dos rectas) mediante la reducción de la circunferencia a un punto y transformando esto en un caso "RRP". Después resolvió el caso "CRP" (una circunferencia, una recta y un punto) utilizando tres lemas. Reduciendo de nuevo una circunferencia a un punto, Viète transformó el caso "CCR" en un caso "CRP", ya resuelto. Después resolvió el caso "CPP" (una circunferencia y dos puntos) y el caso "CCP" (dos circunferencias y un punto), el último caso a través de dos lemas. Finalmente, Viète resolvió el caso general "CCC" (tres circunferencias) reduciendo una circunferencia en un punto, que lo transformaba en el caso "CCP" ya resuelto.


title: Problema de Apolonio

text: El problema de Apolonio se puede plantear como un sistema de tres ecuaciones, con el objetivo de encontrar el radio y la posición del centro de la circunferencia solución. Como las tres circunferencias dadas y cualquier circunferencia solución deben estar en el mismo plano, sus posiciones se pueden expresar mediante las coordenadas (x, y) de sus centros. Por ejemplo, las posiciones de los centros de las tres circunferencias dadas se pueden denominar ("x", "y"), ("x", "y") y ("x", "y"), mientras que la posición del centro de la circunferencia solución se puede denominar ("x", "y"). Del mismo modo, los radios de las circunferencias dadas y el de la circunferencia solución se pueden denominar "r", "r", "r" y "r", respectivamente. La condición de que la circunferencia solución sea tangente a cada una de las tres circunferencias dadas se puede expresar con un sistema de tres ecuaciones para las tres incógnitas "x", "y" y "r":


title: Problema de Apolonio

text: Los tres números "s", "s" y "s" del segundo miembro de estas ecuaciones, llamados signos, pueden ser igual a ±1, y especifican si la circunferencia solución deseada es tangente internamente (s = 1) o externamente (s = -1) a la circunferencia dada correspondiente. Por ejemplo, en la imagen que ilustra la sección anterior, la circunferencia solución rosa es tangente internamente a la circunferencia dada de la derecha y tangente externamente a las circunferencias dadas más grande y más pequeña de la izquierda; si las circunferencias dadas están ordenadas según su radio, los signos para esta solución serían «- + -». Como los tres signos se pueden elegir independientemente, hay ocho sistemas de ecuaciones posibles (2 × 2 × 2 = 8), cada uno correspondiente a una de las ocho circunferencias resolutorias posibles.


title: Problema de Apolonio

text: El sistema general de tres ecuaciones de segundo grado se puede resolver por el método de las resultantes. Cuando se multiplican, las tres ecuaciones tienen en el miembro de la izquierda y "r" en el miembro de la derecha. Restando una ecuación de otra, estos términos cuadráticos se anulan, los términos lineales que quedan se pueden reorganizar para dar las fórmulas de las coordenadas "x" e "y":


title: Problema de Apolonio

text: donde "M", "N", "P" y "Q" son funciones conocidas de las circunferencias dadas y la elección de los signos. La sustitución de estas fórmulas en una de las tres ecuaciones iniciales da una ecuación de segundo grado en la que la incógnita "r" se puede resolver mediante la fórmula correspondiente. La sustitución del valor numérico de "r" en las fórmulas lineales proporciona los valores correspondientes a "x" y "y".


title: Problema de Apolonio

text: Los signos "s", "s" y "s" en el miembro de la derecha de las ecuaciones pueden ser elegidos de ocho maneras diferentes, y cada elección de signos da hasta dos soluciones, ya que la ecuación con incógnita "r" es de segundo grado. Esto podría hacer pensar (incorrectamente) que puede haber hasta dieciséis soluciones del problema de Apolonio. Sin embargo, debido a una simetría entre las ecuaciones, si ("r", "x", "y") es una solución, con signos "s", entonces también lo es (−"r", "x", "y"), con los signos opuestos −"s", que representa la misma circunferencia solución. Por tanto, el problema de Apolonio tiene como máximo ocho soluciones independientes. Una manera de evitar este doble recuento es considerar solo las circunferencias solución con radio no negativo.


title: Problema de Apolonio

text: Las dos raíces de cualquier ecuación de segundo grado pueden ser de tres tipos diferentes: dos números reales distintos, dos números reales iguales (es decir, una raíz doble degenerada) o dos raíces complejas conjugadas. El primer caso corresponde a la situación común, cada pareja de raíces corresponde a una pareja de soluciones que están relacionadas por la inversión de la circunferencia, como se muestra más abajo. El segundo caso, en el que las dos raíces son iguales, se corresponde a una circunferencia solución que se transforma en sí misma con la inversión. En este caso, una de las circunferencias dadas es en sí misma una solución del problema de Apolonio y el número de soluciones diferentes se reduce en uno. El tercer caso, de radios complejos conjugados, no corresponde a ninguna solución geométricamente posible del problema de Apolonio, ya que una circunferencia solución no puede tener un radio imaginario, por lo que el número de soluciones se reduce en dos. Curiosamente, el problema de Apolonio no puede tener siete soluciones, aunque puede tener cualquier otro número de soluciones de cero a ocho.


title: Problema de Apolonio

text: Las mismas ecuaciones algebraicas se pueden llevar al contexto de la geometría de la esfera de Lie. Esta geometría representa circunferencias, rectas y puntos de una manera unificada, como un vector de cinco dimensiones "X" = ("v", "c", "c", "w", "s·r"), donde c = ("c", "c") es el centro de la circunferencia y "r" es su radio (no negativo). Si "r" no es cero, el signo "s" puede ser positivo o negativo, para verlo, se representa la orientación de la circunferencia: las circunferencias orientadas en contra del sentido de las agujas del reloj tienen "s" positivo y, en cambio, las que están orientadas en el sentido de las agujas del reloj tienen "s" negativo. El parámetro "w" es cero para las rectas y uno en otro caso.


title: Problema de Apolonio

text: La cuádrica de Lie se define como aquellos vectores cuyo producto consigo mismos (su norma al cuadrado) es cero, ("X"|"X") = 0. Sean "X" y "X" dos vectores pertenecientes a esta cuádrica, la norma de sus diferencias es igual a:


title: Problema de Apolonio

text: El producto tiene la propiedad distributiva respecto a la suma y la resta (más precisamente, es bilineal):


title: Problema de Apolonio

text: Como ("X"|"X") = ("X"|"X") = 0 (ambos pertenecen a la cuádrica de Lie) y "w" = "w" = 1 para circunferencias, el producto de dos vectores tales cualesquiera a la cuádrica es igual a:


title: Problema de Apolonio

text: donde las barras verticales que contienen representan la longitud de este vector diferencia, es decir, la norma euclidiana. Esta fórmula muestra que si dos vectores cuádricos "X" and "X" son ortogonales (perpendiculares) el uno al otro —esto es, si ("X"|"X")= 0—, entonces sus circunferencias correspondientes son tangentes. En caso de que los dos signos "s" and "s" sean iguales (es decir, que las circunferencias tengan la misma «orientación»), las circunferencias son tangentes internamente, la distancia entre sus centros es igual a la diferencia entre los radios:


title: Problema de Apolonio

text: Por el contrario, si los dos signos "s" and "s" son diferentes (es decir, las circunferencias tienen «orientaciones» contrarias), las circunferencias son tangentes externamente, la distancia entre sus centros es igual a la suma de los radios:


title: Problema de Apolonio

text: Por tanto, el problema de Apolonio se puede formular en términos de la geometría de Lie como el problema de encontrar vectores perpendiculares en la cuádrica de Lie, específicamente, el objetivo es identificar vectores resolutorios "X" que pertenezcan a la cuádrica de Lie y sean también ortogonales (perpendiculares) a los vectores "X", "X" y "X" correspondientes a las circunferencias dadas:


title: Problema de Apolonio

text: La ventaja de esta reformulación es que se pueden aprovechar los teoremas del álgebra lineal sobre el máximo número de vectores linealmente independientes simultáneamente perpendiculares. Esto proporciona otra manera de contar el máximo número de soluciones y extender el teorema a espacios de mayores dimensiones.


title: Problema de Apolonio

text: Un entorno de tratamiento natural para el problema de Apolonio es la geometría inversiva. La estrategia básica de los métodos inversos es transformar un problema de Apolonio dado en otro que sea más sencillo de resolver, las soluciones del problema original se encuentran a partir de las soluciones del problema transformado, al deshacer la transformación. Las transformaciones examinadas deben cambiar un problema de Apolonio en otro; además, deben transformar las circunferencias, rectas y puntos dados en otras circunferencias, rectas y puntos, y no en otras formas. La inversión de la circunferencia tiene esta propiedad y además permite elegir de forma libre el centro y el radio de la circunferencia invertida. Otras transformaciones plausibles podrían ser las isometrías del plano euclídeo, sin embargo, estas no simplifican el problema, pues solo desplazan, giran o hacen una reflexión del problema original.


title: Problema de Apolonio

text: La inversión de la circunferencia de centro "O" y radio "R" consiste en la siguiente operación: a cada punto "P" se le asigna un nuevo punto "P" como "O", "P" y "P<nowiki>'</nowiki>" deben estar alineados, y el producto de las distancias desde "P" y "P"' hasta el centro "O" sea igual al radio "R" al cuadrado:


title: Problema de Apolonio

text: Así, si "P" está fuera de la circunferencia, entonces "P"' queda dentro, y viceversa. Cuando "P" es el mismo que "O", se dice que la inversión envía el punto "P" en el infinito (en análisis complejo, el «infinito» se define en términos de la esfera de Riemann). La inversión tiene la útil propiedad que rectas y circunferencias siempre se transforman en rectas y circunferencias, y que los puntos siempre se transforman en puntos. En la inversión, las circunferencias se suelen transformar en otras circunferencias, sin embargo, si una circunferencia pasa por el centro de la circunferencia de inversión, se transforma en una recta, y viceversa. Es importante destacar que si una circunferencia corta la circunferencia de inversión en ángulos rectos (hay interseca perpendicularmente), no queda afectada por la inversión; se transforma en sí misma.


title: Problema de Apolonio

text: Las inversiones de la circunferencia corresponden a un subconjunto de las transformaciones de Möbius en la esfera de Riemann. El problema de Apolonio en el plano se puede llevar a la esfera con una proyección estereográfica inversa, por lo que las soluciones del problema en el plano corresponden con las soluciones a la esfera. Existen otras resoluciones inversivas del problema aparte de las descritas anteriormente.


title: Problema de Apolonio

text: Las soluciones del problema de Apolonio aparecen a menudo en parejas, por cada circunferencia solución, existe una circunferencia solución conjugada. Una circunferencia solución contiene las circunferencias dadas que la conjugada no contiene, y viceversa. Por ejemplo, la ilustración de la derecha, una circunferencia solución (rosa, arriba a la izquierda) con dos circunferencias dadas (negras), pero no contiene una tercera, al contrario, la solución conjugada (también rosa, abajo a la derecha) contiene la tercera circunferencia dada, pero no contiene las otras dos. Las dos circunferencias resolutorias conjugadas están relacionadas por la inversión, tal como se explica a continuación.


title: Problema de Apolonio

text: En general, dadas tres circunferencias diferentes cualesquiera existe una única circunferencia —la circunferencia radical— que las interseca a todas perpendicularmente; precisamente, el centro de esta circunferencia es el centro radical de las tres circunferencias. Esto se muestra en la ilustración de la derecha, donde la circunferencia naranja interseca las circunferencias negras dadas en ángulos rectos. La inversión en la circunferencia radical no modifica las circunferencias dadas, pero transforma las dos soluciones conjugadas una en la otra. Bajo la misma inversión, los puntos de tangencia correspondientes a las dos circunferencias resolutorias se transforman el uno en el otro, en la ilustración los dos azules situados en cada recta verde se transforman el uno en el otro. Por ello, las rectas que unen estos puntos de tangencia conjugados no varían bajo la inversión, por lo que deben pasar por el centro de inversión, que es el centro radical (las rectas verdes que intersecan en el punto naranja en la ilustración).


title: Problema de Apolonio

text: Si dos de las tres circunferencias dadas no se intersecan, se puede escoger un centro de inversión de modo que estas dos circunferencias dadas queden concéntricas. Bajo esta inversión, las circunferencias soluciones deben situarse dentro del anillo o corona formada por las dos circunferencias concéntricas. Por lo tanto, pertenecen a dos grupos de un solo parámetro. En el primer grupo, las soluciones no contienen la circunferencia concéntrica interna, sino que giran como las bolas de un rodamiento rígido o cojinete de rodaduras en el anillo. En el segundo grupo, las circunferencias soluciones contienen la circunferencia concéntrica interna. En general, existen cuatro soluciones para cada grupo, y por lo tanto hay un total de ocho soluciones posibles, consistente con las resoluciones algebraicas.


title: Problema de Apolonio

text: Cuando dos de las circunferencias dadas son concéntricas, el problema de Apolonio se puede resolver fácilmente siguiendo un método de Gauss, creado por Carl Friedrich Gauss. Los radios de las tres circunferencias dadas son conocidos, como también lo es la distancia "d" del centro concéntrico común y el centro de la circunferencia no concéntrica. La circunferencia solución se puede determinar a partir de su radio "r", el ángulo θ, y las distancias "d" y "d" desde su centro hasta el centro concéntrico común y de este último hasta el centro de la circunferencia no concéntrica, respectivamente. El radio y la distancia "d" son conocidos, y la distancia "d" = "r" ± "r", dependiendo de si la circunferencia solución es tangente interna o externamente a la circunferencia no concéntrica. Por lo tanto, aplicando el teorema del coseno:


title: Problema de Apolonio

text: Aquí, una nueva constante "C" ha sido definida para abreviar esto, con el subíndice que indica si la solución es tangente externamente o interna. Una simple reordenación trigonométrica proporciona las cuatro soluciones,


title: Problema de Apolonio

text: Esta fórmula representa cuatro soluciones, correspondiente a las dos elecciones del signo de θ, y las dos elecciones por "C". Las cuatro soluciones restantes se pueden obtener por el mismo método, utilizando las sustituciones por "r" y "d" indicadas al pie de la imagen que ilustra el segundo grupo. Así, las ocho soluciones que corresponden al problema de Apolonio se pueden encontrar, de manera general, por este método.


title: Problema de Apolonio

text: Dos circunferencias dadas cualesquiera que no se intersecan pueden transformarse en concéntricas de la siguiente manera. Se construye el eje radical de las dos circunferencias dadas, escogiendo dos puntos arbitrarios "P" y "Q" en este eje radical, pudiéndose construir dos circunferencias centradas en "P" y "Q" y que intersecan las dos circunferencias dadas perpendicularmente. Estas dos circunferencias construidas intersecan en dos puntos. La inversión en uno de estos puntos de intersección "F" transforma las circunferencias construidas en rectas que pasan por "F" y las dos circunferencias dadas en circunferencias concéntricas, con la tercera circunferencia dada que se transforma en otra circunferencia (en general). Por este resultado se obtiene que el sistema de circunferencias es equivalente a un conjunto de circunferencias de Apolonio, formando así un sistema de coordenadas bipolares.


title: Problema de Apolonio

text: La utilidad de la inversión se puede incrementar significativamente con los cambios de tamaño. Como se explica en la reconstrucción de Viète, las tres circunferencias dadas y la circunferencia solución se pueden cambiar de tamaño a la vez mientras se mantienen las tangencias. Así, el problema de Apolonio inicial se transforma en otro problema que puede ser más fácil de resolver. Por ejemplo, las cuatro circunferencias se pueden cambiar de tamaño de manera que una circunferencia solución se reduzca a un punto; alternativamente, a menudo dos circunferencias dadas se pueden cambiar de tamaño para que sean tangentes entre ellas. En tercer lugar, las circunferencias dadas que se cortan también se pueden cambiar de tamaño para que no se intersequen, y después de esto se puede aplicar el método de inversión para obtener un anillo. En todos estos casos, la solución del problema de Apolonio original se obtiene a partir de la solución del problema transformado deshaciendo la inversión y los cambios de tamaño.


title: Problema de Apolonio

text: En el primer enfoque, las circunferencias dadas se reducen o aumentan de tamaño (según el tipo de tangencia) hasta que una de las circunferencias dadas se transforma en un punto "P". Así, el problema de Apolonio degenera en el caso especial "CCP", que consiste en encontrar una circunferencia solución tangente a las dos circunferencias dadas restantes y que pase por el punto "P". La inversión en una circunferencia centrada en "P" transforma las dos circunferencias dadas en nuevas circunferencias, y la circunferencia solución en una recta. Por tanto, la solución transformada es una recta tangente a las dos circunferencias dadas transformadas. Pueden existir hasta cuatro rectas resolutorias, que se pueden construir desde los centros homotéticos interno y externo de las dos circunferencias. La reversión de la inversión en "P" y del cambio de tamaño transforma estas rectas resolutorias en las circunferencias soluciones deseadas del problema de Apolonio original. Las ocho soluciones generales se pueden obtener reduciendo o aumentando las circunferencias de acuerdo con las tangencias internas y externas diferentes de cada solución, no obstante, se pueden reducir a un punto las circunferencias diferentes y así obtener soluciones diferentes.


title: Problema de Apolonio

text: En el segundo enfoque, los radios de las circunferencias dadas son modificados en una cantidad Δ"r" de manera que dos de ellas sean tangentes. El punto de tangencia correspondiente se utiliza como centro de inversión en una circunferencia que interseca cada una de las dos circunferencias tangentes en dos puntos. Bajo la inversión, las dos circunferencias tangentes se transforman en dos rectas paralelas: su único punto de intersección se sitúa en el infinito después de la inversión, y por tanto no se pueden encontrar. La misma inversión transforma la tercera circunferencia en otra circunferencia. Las soluciones del problema invertido deben ser (1) rectas paralelas a las dos paralelas dadas y tangentes a la tercera circunferencia transformada, o bien (2) una circunferencia tangente a las dos paralelas (con radio igual a la mitad de distancia entre las paralelas) y tangente a la circunferencia dada transformada. La reversión de la inversión y el reajuste del radio de todas las circunferencias en Δ"r" produce las circunferencias soluciones tangentes a las tres circunferencias originales.


title: Problema de Apolonio

text: El enfoque de Gergonne considera las circunferencias soluciones en parejas. Sean "C" y "C" una pareja de circunferencias soluciones y sean "A", "A", "A", y "B", "B", "B" sus puntos de tangencia con las tres circunferencias dadas, con el orden que corresponde. La solución de Gergonne tiene como objetivo localizar estos seis puntos, y así encontrar las circunferencias soluciones.


title: Problema de Apolonio

text: La idea de Gergonne era que si se pudiera construir una recta "L" de manera que "A" y "B" se pertenecieran, estos dos puntos se podrían identificar como los puntos de intersección de "L" con la circunferencia dada "C". Los otros cuatro puntos de tangencia se podrían situar de manera análoga, construyendo las rectas "L" y "L" que contuvieran "A" y "B", y "A" y "B", respectivamente. Para construir una recta como "L", deben encontrar dos puntos que pertenezcan, pero estos puntos no pueden ser los puntos de tangencia. Gergonne fue capaz de encontrar otros dos puntos por cada una de las tres rectas. Uno de los dos puntos ya es conocido: se trata del centro radical "G" que pertenece a las tres rectas.


title: Problema de Apolonio

text: Para encontrar un segundo punto de las rectas "L", "L" y "L", Gergonne observó una relación recíproca entre estas rectas y el eje radical "R" de las circunferencias solución, "C" y "C". Para entender esta relación recíproca, se pueden considerar las dos rectas tangentes a la circunferencia "C" dibujadas a sus puntos de tangencia "A" y "B" con las circunferencias soluciones, el punto de intersección entre estas dos rectas es el polo de "L" respecto a "C". Como las distancias entre este punto (el polo) y los puntos de tangencia "A" y "B" son iguales, el polo también tiene que estar situado en el eje radical "R" de las circunferencias soluciones, por definición. La relación entre los polos y las respectivas rectas polares es recíproca, si el polo de "L" respecto a "C" pertenece a "I", el polo de "I" respecto a "C" debe pertenecer a "L". Así, si se conoce "R", se puede encontrar su polo "P" respecto a "C", y se obtiene como resultado el segundo punto de "L".


title: Problema de Apolonio

text: Gergonne encontró el eje radical "R" de las circunferencias soluciones desconocidas de la siguiente manera. Cualquier pareja de circunferencias tiene dos centros de semejanza; estos dos puntos son los dos puntos de intersección posibles de las rectas tangentes a las dos circunferencias. Por tanto, las tres circunferencias dadas tienen un total de seis centros de semejanza, dos por cada pareja diferente de circunferencias dadas. Sorprendentemente, estos seis puntos se encuentran en cuatro rectas, tres puntos en cada recta, por otra parte, cada recta corresponde al eje radical de una pareja potencial de circunferencias soluciones. Para demostrar esto, Gergonne consideró rectas que pasaran por los puntos de tangencia de dos de las circunferencias dadas, es decir, la recta determinada por "A","A" y la determinada por "B","B". Sea "X" uno de los dos centros de semejanza de las circunferencias "C" y "C", entonces "A","A" y "B","B" son parejas de puntos antihomólogos; debido a que no existe relación de los lados que en cada una de dos o más figuras geométricas semejantes están colocados en el mismo orden, y las rectas respectivas intersecan a "X". De ello se deduce, por tanto, que los productos de las distancias deben ser iguales:


title: Problema de Apolonio

text: lo cual, implica que "X" esté situado en el eje radical de las dos circunferencias soluciones. El mismo razonamiento se puede aplicar a las otras parejas de circunferencias, de modo que tres centros de semejanza de las tres circunferencias dadas deben encontrarse en el eje radical de parejas de circunferencias soluciones.


title: Problema de Apolonio

text: En resumen, la recta "L" buscada queda determinada por dos puntos: el centro radical "G" de las tres circunferencias dadas y el polo respecto a "C" de una de las cuatro rectas que unen los centros de homotecia. El hecho de encontrar los mismos polos respecto a "C" y "C" permite obtener "L" y "L", respectivamente, así, se pueden situar los seis puntos y encontrar una pareja de circunferencias soluciones. La repetición de este procedimiento con las otras tres rectas que unen los centros de homotecia da seis soluciones más, formando un total de ocho soluciones. Sin embargo, si una recta "L" no interseca la circunferencia correspondiente "C" para algún valor de "k", no existe la pareja de circunferencias soluciones para esta recta de centros de homotecia.


title: Problema de Apolonio

text: El problema de Apolonio consiste en construir una o más circunferencias tangentes a tres objetos dados, que pueden ser circunferencias, puntos o rectas. Esto proporciona hasta diez tipos distintos de problemas de Apolonio, correspondientes a cada combinación de circunferencias, rectas y puntos, a las que se puede designar un código de tres letras, "C", "R" (L en inglés), o bien "P", para denotar si los objetos dados son una circunferencia, una recta o un punto, respectivamente. Por ejemplo, el tipo de problema de Apolonio con una circunferencia, recta y punto dados se indica con el código "CRP". Los puntos y las rectas se pueden considerar casos especiales de las circunferencias, un punto se puede considerar una circunferencia de radio infinitamente pequeño, y una recta se puede concebir como una circunferencia infinitamente grande con el centro también situado en el infinito.


title: Problema de Apolonio

text: Algunos de estos casos especiales son más fáciles de resolver que el caso general de tres circunferencias dadas. Los dos casos más sencillos son los que tratan de dibujar una circunferencia que pase por tres puntos dados ("PPP") o tangente a tres rectas ("RRR"), que Euclides resolvió en la obra "Elementos". Por ejemplo, el caso "PPP" se puede resolver como se explica a continuación. El centro de la circunferencia solución es equidistante a los tres puntos, y por lo tanto, debe situarse sobre la mediatriz del segmento formado por dos de los puntos. En consecuencia, el centro es el punto de intersección de dos de las mediatrices. Del mismo modo, en el caso "RRR", el centro se situará sobre las bisectrices de los ángulos formados en los tres puntos de intersección entre las rectas dadas, por lo que el nuevo centro se sitúa el punto de intersección de dos de estas bisectrices. Como hay dos bisectrices en cada punto de intersección de las tres rectas dadas, existen cuatro soluciones al problema general "RRR".


title: Problema de Apolonio

text: Los otros nueve casos que comportan el uso de rectas y puntos se pueden considerar casos límite del problema general. A menudo estos casos especiales tienen menos soluciones que el problema general, por ejemplo, el reemplazo de una circunferencia dada por un punto deja en la mitad el número de soluciones, ya que un punto se puede concebir como una circunferencia infinitesimal que es a la vez tangente interna y externa.


title: Problema de Apolonio

text: El problema consistente en contar el número de soluciones de diferentes tipos de problemas de Apolonio pertenece al campo de la geometría enumerativa, una rama de la geometría algebraica que busca encontrar el número de soluciones de ciertas cuestiones geométricas por medio de la teoría de intersección; una teoría en la que se calculan intersecciones dentro de un anillo. El número de soluciones general para cada uno de los diez tipos de problema de Apolonio se muestra en la tabla superior. Sin embargo, algunas disposiciones especiales de los objetos dados pueden hacer cambiar el número de soluciones. Por ejemplo, como se muestra en la ilustración de la derecha, el problema de Apolonio no tiene solución si una circunferencia contiene otra; en el otro extremo, si las tres circunferencias dadas son tangentes en el mismo punto cualquier circunferencia tangente al mismo punto es solución, teniendo entonces infinitas soluciones. Si las tres circunferencias dadas son idénticas (están superpuestas), existen también un número infinito de soluciones. Si solo dos de las circunferencias dadas son idénticas, solo hay dos circunferencias diferentes, los centros de las infinitas circunferencias resolutorias forman una hipérbola, lo que se utiliza en la resolución por intersección de hipérbolas.


title: Problema de Apolonio

text: En 1896 Robert Franklin Muirhead realizó una enumeración exhaustiva del número de soluciones para todas las disposiciones posibles de las tres circunferencias, puntos o rectas dadas, aunque la cuestión ya había sido tratada anteriormente por V. Stoll, y Eduard Study. Sin embargo, la lista de Muirhead no estaba completa; y se amplió en 1974 y la enumeración definitiva, con 33 casos diferentes, se publicó en 1983.


title: Problema de Apolonio

text: Aunque normalmente las soluciones del problema de Apolonio van en parejas relacionadas por la inversión, es posible que en algunos casos haya un número impar de soluciones, como la solución única del caso "PPP", o cuando una o tres circunferencias dadas son soluciones por sí mismas (como el teorema de Descartes). Sin embargo, no existe ningún problema de Apolonio con siete soluciones. Otros métodos de resolución alternativos basados en la geometría de circunferencias y esferas han sido desarrollados y utilizados en dimensiones más grandes.


title: Problema de Apolonio

text: Si las tres circunferencias dadas son tangentes entre ellas, el problema de Apolonio tiene cinco soluciones. Tres de las soluciones son las mismas circunferencias dadas, ya que cada una es tangente a sí misma con respecto a las otras dos. Las dos soluciones restantes corresponden a las circunferencias inscrita y circunscrita en la figura, y se llaman circunferencias de Soddy. Este caso especial del problema de Apolonio también se conoce como problema de las cuatro monedas. Las tres circunferencias dadas de este problema de Apolonio forman una cadena de Steiner tangente a las dos circunferencias de Soddy.


title: Problema de Apolonio

text: Cualquier circunferencia de Soddy, junto con las tres circunferencias dadas, produce un conjunto de cuatro circunferencias que son tangentes entre todas ellas en seis puntos. Los radios de estas cuatro circunferencias están relacionados por una ecuación conocida como teorema de Descartes. En una carta del 1643 a la princesa Isabel I de Inglaterra, René Descartes demostró que:


title: Problema de Apolonio

text: donde "k" = 1/"r" y "r" son la curvatura y el radio de la circunferencia solución, respectivamente, y análogamente para las curvaturas "k", "k" y "k" y los radios "r", "r" y "r" de las tres circunferencias dadas. Por cada conjunto de cuatro circunferencias tangentes entre ellas, existe un segundo conjunto de cuatro circunferencias tangentes entre sí en los mismos seis puntos.


title: Problema de Apolonio

text: El teorema de Descartes fue descubierto independientemente en 1826 por Jakob Steiner, en 1842 por Philip Beecroft, y otra vez en 1936 por Frederick Soddy. Soddy publicó el descubrimiento en la revista científica "Nature" en un poema en inglés llamado "The Kiss Precise" (en español, "El beso preciso"). La primera estrofa describe las circunferencias de Soddy, mientras que la segunda formula el teorema de Descartes. En el poema de Soddy, se dice que dos circunferencias "kiss" (se besan) si son tangentes y el término "«bend»" se refiere a la curvatura "k" de la circunferencia.


title: Problema de Apolonio

text: El problema de Apolonio puede generalizarse en construir todas las circunferencias que intersecan tres circunferencias dadas en un ángulo θ preciso, o en tres ángulos especificados θ, θ y θ; el problema de Apolonio ordinario corresponde al caso especial en que el ángulo de cruce es cero para las tres circunferencias dadas. Otra generalización es la dual de la primera extensión, es decir, construir circunferencias con tres distancias tangenciales especificadas de las tres circunferencias dadas, en cuyo caso el problema original es el caso especial en que las distancias son cero.


title: Problema de Apolonio

text: El problema de Apolonio se puede extender del plano a la esfera y otras superficies cuádricas. Para la esfera, el problema consiste en construir todas las circunferencias (los bordes de los casquetes esféricos) que son tangentes a tres circunferencias dadas a la esfera. Este problema esférico puede convertirse en un problema plano correspondiente utilizando una proyección estereográfica. Una vez se han construido las soluciones del problema en el plano, las soluciones correspondientes al problema esférico se pueden determinar invirtiendo la proyección estereográfica. De manera más general, se puede considerar el problema de cuatro curvas tangentes que resultan de la intersección de una superficie cuádrica arbitraria y cuatro planos, un problema que trató por primera vez Charles Dupin.


title: Problema de Apolonio

text: Resolviendo el problema de Apolonio para encontrar la circunferencia inscrita repetidamente, se pueden llenar los intersticios entre las circunferencias mutuamente tangentes tan finamente como se desee, formando así un tamiz de Apolonio, también conocido como empaquetado de Leibniz o empaquetado apoloniano. Este tamiz es un fractal, es autosemejante y tiene una dimensión de Hausdorff, que no se conoce exactamente, pero que se sabe que es alrededor de 1.3, y que es mayor que la de una curva regular o rectificable ("d" = 1), pero más pequeña que la de un plano ("d" = 2). Gottfried Leibniz describió por primera vez el tamiz de Apolonio en el siglo XVII, y es el precursor curvo del triángulo de Sierpinski del siglo XX. El tamiz de Apolonio también posee conexiones profundas con otros campos de las matemáticas, por ejemplo, es el conjunto límite de los grupos kleinianos, un grupo finito tipo Γ generado por la orientación y preservación de ciertos mapas en la 1-esfera formula_15 sobre formula_16. La disposición de una circunferencia tangente a cuatro circunferencias en el plano tiene propiedades especiales, que fueron clarificadas por A. Larmor en 1891 y R. Lachlan en 1893. Esta disposición también es la base del teorema de Casey, que es una generalización del teorema de Ptolomeo.


title: Problema de Apolonio

text: La extensión del problema de Apolonio en tres dimensiones, a saber, el problema de encontrar una esfera que sea tangente a otras cuatro dadas, se puede resolver mediante métodos análogos. Por ejemplo, las circunferencias dadas y las que son solución se pueden cambiar de tamaño de tal manera que una circunferencia dada se reduzca a un punto mientras se mantiene la tangencia. Una inversión en este punto reduce el problema de Apolonio a encontrar un plano tangente a tres esferas dadas. En general existen ocho planos que son tangentes, que se convierten en las soluciones del problema original cuando se deshacen la inversión y los cambios de tamaño. Pierre de Fermat trató este problema, y muchos otros métodos de resolución se han desarrollado a lo largo de los siglos. El problema de Apolonio puede extenderse a "d" dimensiones, y consiste en construir las hiperesferas tangentes a un conjunto dado de hiperesferas. Tras la publicación del redescubrimiento del teorema de Descartes por parte de Frederick Soddy en 1936, otros resolvieron (independientemente) el caso de las circunferencias tangentes correspondientes a las circunferencias de Soddy en "d" dimensiones.


title: Problema de Apolonio

text: La aplicación principal del problema de Apolonio, tal como lo formuló Isaac Newton, es la trilateración hiperbólica, que tiene por objeto determinar una posición a partir de las diferencias entre las distancias de, al menos, tres puntos conocidos. Por ejemplo, cuando se busca determinar la posición de un barco a partir de las diferencias en el tiempo de llegada de señales provenientes de tres transmisores sincronizados. Históricamente, las soluciones al problema de Apolonio se utilizaron durante la Primera Guerra Mundial para determinar la ubicación de una pieza de artillería a partir de la diferencia de tiempo en que se oía el disparo desde tres lugares diferentes, mientras que la trilateración hiperbólica es el principio utilizado por los sistemas de navegación Decca y LORAN. De manera análoga, la ubicación de un avión se puede determinar a partir de la diferencia en el tiempo de llegada de una señal a cuatro estaciones receptoras. Este problema de multilateración es equivalente a la generalización tridimensional del problema de Apolonio y se aplica a sistemas globales de navegación por satélite, como el GPS. También se utiliza para determinar la ubicación de animales que emiten sonidos (como los pájaros o las ballenas), aunque no se corresponde con el problema de Apolonio si la velocidad del sonido varía según la dirección (es decir, cuando el medio de transmisión no es isótropo).


title: Problema de Apolonio

text: El problema de Apolonio tiene otras aplicaciones. En el volumen uno, específicamente en la proposición 21, de la obra "Principia", Newton utilizó la solución del problema para construir una órbita en mecánica celeste a partir del centro de atracción y de la observación de rectas tangentes a la órbita correspondientes a velocidades instantáneas. El caso especial del problema de Apolonio en el que las tres circunferencias son tangentes, se utiliza en el método del círculo de Hardy-Littlewood de teoría analítica de números para construir el contorno de Hans Rademacher para la integración compleja, dados los límites de un conjunto infinito de circunferencias de Ford, cada uno de los cuales toca muchos otros. Finalmente, el problema de Apolonio ha sido aplicado a algunos tipos de problemas de empaquetado, que surgen en campos dispares como los códigos de corrección de errores utilizados en los discos DVD y el diseño de fármacos que se unen a una determinada enzima de una bacteria patógena.


title: Areta de Cirene

text: Areta de Cirene (; fl. ) fue una filósofa de la escuela cirenaica, hija de su fundador, Aristipo de Cirene, y maestra a su vez de su hijo Aristipo el Joven.


title: Areta de Cirene

text: Aprendió filosofía de su padre, Aristipo de Cirene, que fue alumno de Sócrates. A su vez, enseñó filosofía a su hijo, Aristipo el Joven, por lo que este fue apodado "Metrodidactos" ("educado por la madre", ). Areta es a veces descrita como la sucesora de su padre en la dirección de la escuela cirenaica, aunque pudo haber sido su hijo el que fundó formalmente la escuela. Supuestamente escribió cuarenta obras.


title: Areta de Cirene

text: Entre las falsas epístolas socráticas (que datan probablemente del ) hay una carta apócrifa dirigida a Areta. En esta carta, Areta es representada viviendo una vida bastante próspera en Cirene. Arístipo le dice "aún tienes dos huertas, suficiente para una vida lujosa; la propiedad de Berenice, por sí sola, podría proporcionarte un nivel de vida muy alto". Arístipo le sugiere que, tras su muerte, debería "ir a Atenas, después de haber dado a Arístipo [el Joven] la mejor educación posible". Sugiere que debería vivir con Jantipa y Mirto, y que debería tratar a Lamprocles como si fuera su propio hijo, y adoptar a "la hija de Eubois, a la que solías tratar como si fuese libre". Por encima de todo, le urge a "cuidar del pequeño Arístipo para que sea digno de nosotros y de la filosofía, que es la auténtica herencia que le dejó, ya que en otros aspectos tendrá a los funcionarios de Cirene como sus enemigos".


title: Areta de Cirene

text: John Augustine Zahm (escribiendo bajo el pseudónimo de Mozans), sostenía que el estudioso del Giovanni Boccaccio tenía acceso a los "primeros escritores griegos", lo que le permitió elogiar especialmente a Areta "por la variedad y amplitud de sus logros":


title: Areta de Cirene

text: Se dice de ella que enseñó filosofía natural y moral en las escuelas y academias de Ática durante treinta y cinco años, que escribió cuarenta libros, y que contó con ciento diez filósofos entre sus alumnos. Gozaba de tanta consideración por parte de sus compatriotas que inscribieron un epitafio en su tumba declarándola ser el esplendor de la Antigua Grecia y poseer la belleza de Helena, la virtud de Penélope, la pluma de Aristipo, el alma de Sócrates y la lengua de Homero.


title: Tony Hawk's Pro Skater 3

text: Tony Hawk's Pro Skater 3 (comúnmente abreviado como THPS3) es un videojuego de skateboarding que corresponde a la tercera entrega en la serie de Tony Hawk's. Fue desarrollado por Neversoft y publicado por Activision en 2001 para Nintendo GameCube, Game Boy Color, PlayStation 2, y PlayStation. En 2002, fue publicado para Nintendo 64, Xbox, Microsoft Windows y Game Boy Advance. Fue el primer juego lanzado para PlayStation 2 que soportó juego en línea, y el último juego lanzado para Nintendo 64 en los Estados Unidos.


title: Tony Hawk's Pro Skater 3

text: Este juego introdujo el "revert", un truco que permitió combinar un "vert" con un manual, apretando un botón al aterrizar en un "quarterpipe". Esto permitió combos mucho más largos que en los dos juegos anteriores, donde el aterrizaje en un "quarterpipe" acabaría un combo. También se agregaron combos ocultos, que eran variaciones en los trucos estándares que se podían realizar, como "grab", "flip", "lip", o "grind". Por ejemplo, apretando dos veces el botón de "kickflip", se lograba un doble "kickflip". Este sistema sería refinado más adelante en Tony Hawk's Pro Skater 4. El juego se destacó también por tener publicidad bajo la forma de carteleras; los juegos anteriores en la serie también ofrecían publicidad, pero ésta fue la primera vez que aparecieron marcas que no tienen que ver con el skateboarding, como McDonald's, Nokia y Jeep.


title: Tony Hawk's Pro Skater 3

text: Este nivel no varía mucho entre las versiones de PSOne, PS2, XBOX o PC salvo que la versión de PlayStation tiene menos resolución debido a su motor gráfico.


title: Tony Hawk's Pro Skater 3

text: A pesar de que la estructura de este nivel es la misma en todas sus versiones, los cambios más notorios de este nivel entre PSOne y PS2, XBOX o PC, además de su calidad gráfica, es que en la versión de PlayStation el skatepark se encuentra entre edificios, locales comerciales y cabañas, mientras que en sus versiones mayores y posteriormente remakes el nivel se encuentra en una zona montañosa y parte de un lago.


title: Tony Hawk's Pro Skater 3

text: Quizá el nivel con menos cambios entre versiones. La única diferencia se encuentra en la versión de PlayStation en la que se muestra un atardecer y no un día soleado como en las versiones mayores.


title: Tony Hawk's Pro Skater 3

text: Los cambios más notorios de este nivel entre PlayStation y PlayStation 2, XBOX o PC, además de su calidad gráfica, es que en la versión de PlayStation no se puede acceder a la casa embrujada característica de este nivel, mientras que en las versiones mayores esta casa posee un medio tubo escondido en la parte del cementerio, además, puede verse un ataúd flotante y a un horrorizado espectador en el segundo piso.


title: Tony Hawk's Pro Skater 3

text: La estructura de este nivel no varía mucho entre las versiones de PS, PS2, XBOX o PC salvo que en la versión de PSOne el nivel es mostrado en la noche, el helipuerto es cambiado por un mini skatepark y no se puede acceder a la parte del subsuelo.


title: Tony Hawk's Pro Skater 3

text: La estructura de este nivel no varía mucho entre las versiones de PlayStation, PS2, XBOX o PC sin embargo existe un cambio bastante notorio en la versión de PlayStation en el que el nivel se nos muestra de una forma más realista; estando ubicado dentro de un edificio rodeado por una zona verde con árboles y un patio trasero con rampas. Mientras que en las versiones mayores el edificio que contiene el skatepark se encuentra en una isla rodeada por tiburones y un barco pirata al que se puede acceder por una entrada secreta que es destruida por cañones.


title: Tony Hawk's Pro Skater 3

text: La estructura de este nivel no varía mucho entre las versiones de PlayStation, PS2, XBOX o PC sin embargo un cambio bastante curioso es que la versión de PSOne este nivel tiene un estado en ruinas, con edificios abandonados, rodeado de arena en los límites, falto de colores vivos y con un clima nublado. Mientras que en sus versiones mayores este nivel es mostrado completamente diferente, con colores brillantes, gente por las calles, edificios modernos y clima soleado. Cabe mencionar que (mediante una misión) este nivel puede cambiarse a un estado de terremoto, que si bien, es parecido a la versión de PlayStation, no llega a tener el mismo estado lúgubre de la versión antes mencionada.


title: Tony Hawk's Pro Skater 3

text: La estructura de este nivel no varía mucho entre las versiones de PS, PS2, XBOX o PC salvo que la versión de PSOne no posee público ni hologramas y su calidad gráfica es inferior.


title: Tony Hawk's Pro Skater 3

text: Este nivel muestra un crucero de lujo con varios pisos, una piscina, un tobogán y varias rampas. Como dato curioso cabe mencionar que en el nivel “Skater Island” de las versiones de PS2, XBOX Y PC puede verse este crucero a lo lejos desde el barco pirata.


title: ¿Vieja yo?

text: ¿Vieja yo? (En inglés: Never Too Late) es una realizada y transmitida por la cadena Venevisión en 2008 y distribuida internacionalmente por Venevisión International. Es una historia original escrita por Mónica Montañés, producida por Sandra Rioboó Rey y Alejandro León y dirigida por Carlos Izquierdo.Esta protagonizada por la primera actriz Mimí Lazo y Adrián Delgado, y con las participaciones antagónicas de Marjorie de Sousa, Jean Carlo Simancas, Juan Manuel Montesinos, Elaiza Gil y Sonia Villamizar.


title: ¿Vieja yo?

text: Fue estrenada el 11 de septiembre de 2008 en el horario de las 21hs, y finalizó el 7 de marzo de 2009. Fue retransmitido por Venevisión Plus en 2014. El 23 de enero de 2018 es retransmitido nuevamente por Venevisión en el horario de las 13hrs.


title: ¿Vieja yo?

text: La trama de la historia gira en torno a Margot Batalla, una actriz frustrada de 50 años que a todos les parece una señora mayor y siempre se refieren a ella como "la vieja esa".


title: ¿Vieja yo?

text: Ella tiene tres sueños, quiere que su familia sea feliz, quiere ser actriz y quiere tener a un hombre que sea capaz de todo por ella, y cuenta con el único el apoyo de su amigo Ariel, quién es un viejo director de teatro. Un día, ilusionada por un papel de actuación que ofrecían en el "Caimán feliz", tuvo que disfrazarse de caimán, ser humillada y descubrir las infidelidades de su esposo, Justo Ramírez, quién ocupa un alto cargo en el "Caimán Feliz" y a su vez, es amante de Ixora Fuentes, a la que llama "Itxorita", la encargada del departamento de ropa íntima de la tienda.


title: ¿Vieja yo?

text: El dueño de la tienda Don Pipo, escucha a su nieto hablando con su novia, Estefanía Urrutia y cree que tratan de declararlo sin facultades mentales para seguir al frente de la tienda,y quedarse con la gerencia general, lo cual es idea de Estefanía ,su nieto, José Antonio, está en total desacuerdo en hacerle eso a su abuelo. Don Pipo, desesperado al conocer las ideas de estos, se encuentra con Margot, y con solo conocer sus aspiraciones actorales, la contrata para que lleve a cabo un papel como gerente general de la tienda.


title: ¿Vieja yo?

text: Margot deberá luchar contra las infidelidades de su marido, la amargura, los regaños y la falta de apoyo de su madre, y el hecho de ser una mujer mayor enamorada del "muchachito", José Antonio Martínez. En esta historia se desenvuelven todo tipo de situaciones cotidianas, el correr del chisme rápidamente por todo "El Caimán Feliz" y muchos mal entendidos.


title: ¿Vieja yo?

text: Vejuca Yo?, fue una parodia que realizó el programa humorístico "¡A que te ríes!", el jueves 13 de marzo de 2009, en el horario de las 8 de la noche por Venevisión.


title: Saúl Berjón

text: Saúl Berjón Pérez (Oviedo, Asturias, España, 24 de mayo de 1986) es un futbolista español que juega como delantero en el Burgos C. F. de la Segunda División de España. Es primo del también futbolista Adrián Colunga.


title: Saúl Berjón

text: Formado en la cantera del C. D. Covadonga, pasó en edad cadete a formar parte de las categorías inferiores del Real Oviedo. Posteriormente, militó en el Berrón C. F., el C. D. Lealtad, el U. P. Langreo y la U. D. Pájaras Playas de Jandía antes de dar el salto al fútbol profesional.


title: Saúl Berjón

text: Primero lo hizo en la U. D. Las Palmas y, posteriormente, en el F. C. Barcelona "B" y la A. D. Alcorcón. Su siguiente equipo fue el Real Murcia C. F. donde militó hasta 2014 marcando 6 goles cada temporada.


title: Saúl Berjón

text: El 26 de agosto de 2014 fichó por la S. D. Eibar, recién ascendido a la Primera División de España. El 4 de octubre marcó su primer gol en Primera División con una volea por la escuadra para darle un punto al Eibar ante el Levante U. D. (3:3). En la primera parte de la temporada se convirtió en uno de los pilares de un equipo que se situó octavo en la tabla, gracias a sus 2 goles y a sus 6 asistencias. Sin embargo, en la segunda vuelta no se repitieron los mismos resultados y el equipo acabó perdiendo la categoría tras sumar 7 puntos en los últimos 20 partidos. Terminó la temporada con 3 goles y 8 asistencias. Sin embargo, días después, la LFP descendió al Elche C. F. por impagos y problemas económicos, y el Eibar ocupó su plaza, regresando así a Primera. Con el conjunto armero jugó 30 partidos en su primera campaña y marcó 3 goles.


title: Saúl Berjón

text: En la temporada 2015-16 tuvo menos minutos, pero hizo 4 dianas en la máxima categoría. Al término de la misma deja el Eibar para fichar por los Pumas de la UNAM de cara al Apertura 2016 de la Liga MX.


title: Saúl Berjón

text: El 28 de diciembre de 2016 se anunció su fichaje por el Real Oviedo de la Segunda División de España. Durante cuatro campañas formaría parte de la plantilla del conjunto ovetense, en la que su mejor temporada sería la temporada 17-18 con 6 goles en 40 partidos.


title: Saúl Berjón

text: Tras finalizar la temporada 2019-20 salió del club carbayón incrementando sus números de una trayectoria deportiva en la que había jugado 63 partidos en Primera División y 315 en Segunda.


title: Elecciones estatales en Hidalgo de 2016

text: Las elecciones estatales de Hidalgo de 2016 se llevaron a cabo el domingo 5 de junio de 2016, y en ellas se renovaron los siguientes cargos de elección popular:


title: Elecciones estatales en Hidalgo de 2016

text: El día 28 de febrero de 2016 se registró ante el Instituto Estatal Electoral de Hidalgo la coalición "UnHidalgo con rumbo" y la coalición "Cambiemos el rumbo".


title: Elecciones estatales en Hidalgo de 2016

text: "UnHidalgo con rumbo" estaba conformada por los partidos políticos: Partido Revolucionario Institucional, Partido Verde Ecologista de México y Nueva Alianza; postuló 39 candidatos a ayuntamiento.


title: Elecciones estatales en Hidalgo de 2016

text: "Cambiemos el rumbo" estaba conformada por los partidos políticos Partido Acción Nacional y el Partido de la Revolución Democrática, postulando a 50 candidatos a ayuntamiento. El día 14 de marzo de 2016 el partido Movimiento Ciudadano interpuso un recurso de apelación contra esta coalición ante el Tribunal Electoral del Estado de Hidalgo (TRIEEH). El porqué es que, el Partido de la Revolución Democrática ya había conformado una alianza electoral con el Partido del Trabajo para la elección a gobernador y no podía estar en dos coaliciones en el mismo proceso electoral. El 8 de abril de 2016 en una sesión celebrada en el Tribunal Electoral del Poder Judicial de la Federación (TEPJF) con sede en Toluca se disolvió la coalición.


title: Elecciones estatales en Hidalgo de 2016

text: El tope gastos de campaña para la elección a gobernador, se determinan sumando el tope de gastos de campaña de cada uno de los 84 municipios del estado, quedando en la cantidad de $22,298,658.33


title: Elecciones estatales en Hidalgo de 2016

text: El tope de gastos de campaña de los municipio fue estipulado por el Instituto Estatal Electoral de Hidalgo (IEEH).


title: Aeropuerto de Toulouse-Blagnac

text: El Aeropuerto Internacional de Toulouse Blagnac o "Aéroport de Toulouse - Blagnac" es un aeropuerto localizado a 6.7 km en el noroeste del centro Toulouse, y en el sur de Blagnac. Ambas comunas se encuentran en la comarca del departamento del Alto Garona, y en la región de Mediodía-Pirineos, en Francia.


title: Aeropuerto de Toulouse-Blagnac

text: Tanto las naves de ensamblaje final de Airbus como de ATR se sitúan en las proximidades del aeropuerto y usan este como aeropuerto de pruebas de vuelo.


title: Puppet (software)

text: Puppet es una herramienta de gestión de configuración de código abierto. Está escrito en Ruby y fue publicado bajo la Licencia Pública General de GNU (GPL) hasta la versión 2.7.0 y después bajo la licencia Apache 2.0. Luke Kanies fundó Puppet Labs y Puppet en 2005.


title: Puppet (software)

text: Puppet es una herramienta diseñada para administrar la configuración de sistemas similares a Unix y a Microsoft Windows de forma declarativa. El usuario describe los recursos del sistema y sus estados utilizando el lenguaje declarativo que proporciona Puppet. Esta información es almacenada en archivos denominados manifiestos Puppet. El software descubre la información del sistema a través de una utilidad llamada Facter, y compila los manifiestos en un catálogo específico del sistema que contiene los recursos y la dependencia de dichos recursos. Estos catálogos son ejecutados en los sistemas de destino.


title: Puppet (software)

text: El programa está compuesto por un lenguaje declarativo para describir la configuración del sistema. Puede ser aplicado directamente en el sistema, o compilado en un catálogo y distribuido al sistema de destino a través de paradigma cliente-servidor (usando una Interfaz de programación de aplicaciones de Transferencia de Estado Representacional REST API), y el agente utiliza proveedores específicos del sistema para aplicar el recurso especificado en los "manifiests". La capa de abstracción de recursos permite a los administradores describir la configuración en términos de alto nivel, tales como usuarios, servicios y paquetes sin necesidad de especificar los comandos específicos del sistema operativo (como rpm, yum, apt).


title: Puppet (software)

text: Puppet esta diseñado para ser multiplataforma, el programa funciona en las distribuciones de Linux, incluyendo Red Hat Enterprise Linux (y sus clones como CentOS y Oracle Linux), Fedora, Debian, Mandriva, Ubuntu, y SUSE, así como entre otros múltiples sistemas Unix (Solaris, BSD, Mac OS X, AIX, HP-UX), y cuenta con soporte para Microsoft Windows.


title: Puppet (software)

text: La Fundación Wikimedia, Dell, Rackspace, Zynga, Twitter, la Bolsa de Nueva York, Disney, Citrix Systems, Oracle, la Universidad del Norte de Texas, el Laboratorio Nacional de Los Álamos, la Universidad Stanford, y Google, entre otros, utilizan Puppet.


title: Creación de empleo

text: La creación de empleo en sentido estricto es el aumento en cifras absolutas de la población ocupada, esto es, la parte de la población activa que efectivamente desempeña un trabajo remunerado. Aunque habitualmente "creación de empleo" se considera sinónimo de "reducción del paro", y la mayor parte de las veces estos dos fenómenos se dan a la vez, hay ocasiones en que se crea empleo y, sin embargo, sube el paro, porque debido a la buena situación económica la población activa se incrementa más que la población ocupada. Es decir, el número de personas que, encontrándose con edad y capacidad de trabajar, antes no trabajaban ni buscaban empleo, se ponen a buscarlo ("efecto del trabajador añadido"), supera al número de personas que han conseguido encontrarlo. En este sentido estricto, la información necesaria sobre esta creación de empleo, además del aumento en cifras absolutas, incluye también el período de tiempo y el territorio en el que se ha producido (normalmente un país, pero puede referirse a una provincia, una región, etc.).


title: Creación de empleo

text: En un sentido más amplio, "creación de empleo" se usa para referirse a una situación económica favorable en la que se produce ese incremento en cifras absolutas de la población ocupada, y también para hablar del conjunto de políticas y medidas económicas y sociales que favorecen dicha situación.


title: Creación de empleo

text: El opuesto de "creación de empleo" es "destrucción de empleo", es decir la reducción en cifras absolutas (no relativas ni porcentuales) de la población ocupada. Análogamente, suele emplearse "destrucción de empleo" como sinónimo de "aumento del paro", y si bien es cierto que ambas cosas suelen producirse a la vez, hay ocasiones en que se destruye empleo, pero baja el paro, porque el número de personas anteriormente demandantes de empleo que emigran (abandonan por tanto el territorio donde se realiza el cómputo) o desisten de buscarlo ("efecto del trabajador desanimado") supera a la reducción de la población ocupada.


title: Creación de empleo

text: Es posible emplear estos términos sectorialmente, y hablar, por ejemplo, de que en un período se ha producido creación de empleo en el sector servicios a la vez que destrucción de empleo en el sector agrícola. La creación total (neta) de empleo será la suma de los aumentos en los sectores donde haya habido creación de empleo menos las reducciones de los sectores donde se haya producido destrucción de empleo.


title: Creación de empleo

text: Las sociedades intentan de diferentes maneras que trabaje el mayor número posible de personas. Varias de ellas han experimentado el pleno empleo durante períodos prolongados, particularmente durante la edad de oro del capitalismo. De 1950 a 1970 el desempleo promedio en el Reino Unido fue del 1,6 % mientras que en Australia las políticas establecidas en 1945 por el Libro blanco sobre el pleno empleo en Australia duraron hasta mediados de la década que comenzó en 1971, cuando el Gobierno de Australia se quedó sin dinero.


title: Creación de empleo

text: Sin embargo, la economía ortodoxa apunta a que los intentos de reducir el desempleo por debajo de su "tasa natural" fracasarán, resultando solamente en menor producción y mayor inflación.


title: Creación de empleo

text: Los aumentos en la demanda de trabajadores moverán a la economía a lo largo de la curva de demanda, incrementando los salarios y el empleo. La demanda de trabajadores en una economía se deriva de la demanda de bienes y servicios. Como resultado, si se incrementa la demanda de bienes y servicios, aumentará la demanda de trabajadores, creciendo por tanto el empleo y los salarios.


title: Creación de empleo

text: Hay muchas maneras de estimular la demanda de bienes y servicios. Aumentar los salarios a la clase trabajadora (los que con mayor probabilidad se gastarán el dinero extra en bienes y servicios, en vez de ahorrarlo o invertirlo) es una teoría que se propone. Incrementar los sueldos se cree más eficaz para aumentar la demanda de bienes y servicios que las estrategias de los bancos centrales, que ponen el dinero extra principalmente en las manos de personas e instituciones ricas. Los monetaristas sugieren que aumentar la oferta de dinero en general incrementará la demanda a corto plazo, pero a largo este incremento será anulado por la inflación que se genere. Un aumento del gasto público es otra estrategia para impulsar la demanda agregada.


title: Creación de empleo

text: Las ayudas a los parados, como el subsidio de desempleo, son una estrategia para evitar retrocesos en el consumo de bienes y servicios que pueden llevar a un círculo vicioso de mayor destrucción de empleo y mayor disminución del consumo. Muchos países proporcionan a los parados ayudas sociales, como el seguro de desempleo o subvenciones para su reciclaje profesional a través de formación. El principal objetivo de estas ayudas es aliviar a corto plazo las dificultades que sufren quienes acaban de quedarse en paro y, más importante, darles más tiempo para buscar un nuevo empleo.


title: Creación de empleo

text: Una solución al desempleo desde el lado de la demanda es empleo público para los pobres que sean capaces de trabajar. Esto se utilizó especialmente en Gran Bretaña desde el siglo XVII hasta 1948 con la institución de la "Workhouse" (literalmente "casa de trabajo"), que a los parados les proporcionaba empleos en condiciones duras y bajos salarios, para disuadir su uso. Una alternativa moderna es el trabajo garantizado: un gobierno se compromete a ofrecer un empleo a todo aquel que quiera trabajar.


title: Creación de empleo

text: Medidas temporales pueden ser programas de obras públicas como la Works Progress Administration de 1935 bajo el New Deal. El empleo público no es ampliamente recomendado como solución al paro, excepto en tiempos de crisis, porque su existencia depende directamente de los impuestos que se recauden al sector privado.


title: Creación de empleo

text: De acuerdo con la economía clásica (diferente como conjunto de la economía ortodoxa antes citada, pero que comparte muchas de sus teorías), el mercado alcanza el equilibrio cuando la oferta iguala a la demanda: quien quiere vender al precio del mercado lo puede hacer. Así, los desempleados "clásicos" serían los que no quieren vender su trabajo por el salario que ofrece el mercado. El establecimiento de un salario mínimo crearía entonces paro al impedir que grupos de personas trabajaran al precio que el mercado estaría dispuesto a ofrecerles (menor que el salario mínimo). En la práctica se ha demostrado repetidamente que esto no se verifica: el establecimiento de un salario mínimo no crea desempleo, e incluso el aumento de este salario mínimo no provoca paro.


title: Creación de empleo

text: Sin embargo el mercado laboral no es eficiente al 100 %, aunque puede ser más eficiente (en proporcionar una ocupación a un parado) que los servicios públicos de empleo. El Foro Económico Mundial publicó en enero de 2017 un informe sobre la eficiencia de los mercados laborales en 138 países. Considera los más eficientes los de Suiza, Singapur y Hong Kong, teniendo en cuenta la flexibilidad salarial y contractual, los costes del despido y la relación entre salarios y productividad. Sin embargo no tiene en cuenta lo siguiente: el mercado de un activo es eficiente cuando la interacción entre los participantes conduce a un precio de mercado que constituye una buena estimación del precio teórico o intrínseco de dicho activo. Pero las personas no tienen precio. Para medir la eficiencia del mercado de trabajo de un país desde una perspectiva humana deberían tenerse en cuenta factores como el índice de desempleo, el tiempo medio que tarda un parado en encontrar ocupación y el que tarda un empresario en cubrir una plaza que ofrece.


title: Creación de empleo

text: Argumentan economistas clásicos que el salario mínimo y los sindicatos evitan que caigan los salarios. Esto tampoco se verifica en la práctica. Por ejemplo en España, con un salario mínimo y unos sindicatos fuertes, el poder de compra del salario medio se redujo un 1,7 % desde el 4º trimestre de 2015 hasta el mismo periodo de 2017.


title: Creación de empleo

text: Quienes abogan por políticas de oferta defienden flexibilizar el mercado de trabajo, eliminando el salario mínimo y reduciendo el poder de los sindicatos. Estas reformas, sostienen, aumentan el crecimiento a largo plazo mediante la reducción de los costes laborales. Esta mayor oferta de bienes y servicios requiere más trabajadores, incrementando por tanto el empleo. Arguyen que estas políticas de oferta, que incluyen reducir los impuestos a las empresas y desregulación, crean empleo, reducen el desempleo y disminuyen la porción de la riqueza nacional que obtienen los trabajadores. Sin embargo, la Organización Internacional del Trabajo ha alertado de que tales políticas pueden incrementar el malestar social.


title: Creación de empleo

text: Se produce creación pública de empleo a través de la decisión de una autoridad política (nacional, regional o local) de aumentar el número de empleados públicos. Los motivos pueden ser que el número de empleados públicos que prestan un servicio se haya vuelto escaso (por ejemplo, durante varios años, aunque el alumnado ha permanecido constante, se han jubilado muchos enseñantes) o que se desee proporcionar un nuevo servicio público. Si la creación de empleo público es adecuada (se hace en el momento oportuno y en sectores que realmente lo necesiten) estos nuevos empleos producirán en la economía un efecto multiplicador que generará los ingresos públicos (a través de impuestos) suficientes para pagar los salarios de los nuevos empleados. En cambio, si es inadecuada (se produce en sectores que no lo necesitan, o con personal poco cualificado, o en un momento de restricción presupuestaria) los nuevos empleos públicos generarán déficit público y perjudicarán a la economía en general.


title: Creación de empleo

text: Por el contrario, si la evolución de la economía hace que la ciudadanía perciba un servicio público como innecesario, o se ve afectado por corrupción, favoritismo o ineficacia, aumentan las probabilidades de que dicho servicio se privatice o incluso se suprima.


title: Creación de empleo

text: Se produce creación privada de empleo cuando un empresario, generalmente para obtener un mayor beneficio, decide aumentar su plantilla. Esto puede deberse a que, con los trabajadores que tenía, no podía atender correctamente a sus muchos clientes, o bien a que desea buscar nuevos clientes, en el área geográfica donde ya operaba, o en otra. También se produce creación privada de empleo cuando un emprendedor que carecía de empleo decide montar una empresa y consigue que, durante un periodo significativo, dé los beneficios suficientes para que subsista. Esta creación se produce aunque el emprendedor no contrate a nadie. Si contrata personal, la creación es mayor. Análogamente se produce creación de empleo cuando una persona que no tenía empleo consigue establecerse como trabajador autónomo en una actividad legal (sin necesidad, para que se produzca esta creación, de que formalice su actividad, aunque es lo deseable).


title: Creación de empleo

text: El Índice de facilidad para hacer negocios ("Doing Business") del Banco Mundial ordena a prácticamente todos los países del mundo (190) según la puntuación que obtienen en algunos de los factores anteriores.