title: Les Misérables

text: Mais la motivation principale de Victor Hugo est le plaidoyer social. « Il y a un point où les infâmes et les infortunés se mêlent et se confondent dans un seul mot, mot fatal, les misérables ; de qui est-ce la faute ? » Selon Victor Hugo, c'est la faute de la misère, de l'indifférence et d'un système répressif sans pitié. Idéaliste, Victor Hugo est convaincu que l'instruction, l'accompagnement et le respect de l'individu sont les seules armes de la société qui peuvent empêcher l'infortuné de devenir infâme. Le roman engage une réflexion sur le problème du mal… Il se trouve que toute sa vie Hugo a été confronté à la peine de mort. Enfant, il a vu des corps pendus exhibés aux passants, plus tard, il a vu des exécutions à la guillotine. Un des thèmes du roman est donc « le crime de la loi ». Si l'œuvre montre comment les coercitions sociales et morales peuvent entraîner les hommes à leur déchéance si aucune solution de réédification n'est trouvée, c'est surtout un immense espoir en la générosité humaine dont Jean Valjean est l'archétype. Presque tous les autres personnages incarnent l'exploitation de l'homme par l'homme. L'exergue de Hugo est un appel à l'humanité pour qu'elle ne cesse d'œuvrer à des temps meilleurs :


title: Les Misérables

text: Le choix du village de Montfermeil comme lieu de rencontre entre Cosette et Jean Valjean dans le roman remonte à 1845. Cette année là, pris en flagrant délit d'adultère, jeune pair de France, Victor Hugo est prié de s'éloigner quelque temps de Paris. Avec Juliette Drouet, il monte dans une diligence à Pantin qui prend la direction de Chelles, commune limitrophe de Montfermeil où il séjourne, dans l'auberge de l'ancienne abbaye. Son poème sur le moulin de Chelles, écrit lors de ce passage, se réfère au moulin de Montfermeil. En 1862, la publication du roman popularise la commune où il situe l'auberge des Thénardier ("Au Sergent de Waterloo").


title: Les Misérables

text: Robert Laffont et Valentino Bompiani signalent, dans "Le Nouveau Dictionnaire des œuvres de tous les temps", la présence dans "Les Misérables" de l'influence de Balzac ("La Comédie humaine"), d'Eugène Sue ("Les Mystères de Paris") et des romans-feuilletons.


title: Les Misérables

text: L'intertextualité de l'œuvre de Balzac dans celle de Victor Hugo est en effet signalée par de nombreux analystes. Victor Hugo fait explicitement allusion, à plusieurs reprises dans son roman, à l'univers de Balzac, qui fut un contemporain avec lequel les échanges furent nombreux. On y reconnaît ainsi notamment celle du "Curé de village" avec lequel monseigneur Myriel présente des points communs. De même que la parenté entre Vautrin, Jean Valjean et même Javert (le second étant l'envers positif des deux autres) est assez évidente, le monde et les coutumes des bagnards étant décrits dans "Splendeurs et misères des courtisanes", l'étude intertextuelle des "Misérables" révèle que le forçat se nourrit également d'un autre personnage balzacien apparaissant dans "Le Curé de village", Farrabesche.


title: Les Misérables

text: Selon Évelyne Pieiller, "Les Mystères de Paris", roman-feuilleton à succès paru en 1842-1843, avec ses descriptions des bas-fonds parisiens, ouvre la voie à l'œuvre de Victor Hugo. Victor Hugo lui rend d'ailleurs hommage dans son roman et poursuit sur la même route, s'attaquant à l'injustice sociale.


title: Les Misérables

text: Victor Hugo s’est inspiré également de tout ce qu'il voyait et entendait autour de lui et qu’il notait dans ses carnets. Ainsi, le , il raconte avoir vu un malheureux emmené par deux gendarmes après avoir été accusé du vol d’un pain. « Cet homme, dit-il, n’était plus pour moi un homme, c’était le spectre de la misère. » Il s'agit probablement de l'inspiration du futur Jean Valjean. En décembre de la même année, il assiste à une altercation entre une vieille femme et un gamin qui peut faire penser à Gavroche. Fantine pourrait lui avoir été inspiré par une « fille », comme l'on disait à l’époque pour désigner une prostituée, dont il prit la défense un soir de – au risque d’entacher sa réputation – alors qu’elle avait été injustement accusée et traînée au poste de police avec la menace de passer six mois en prison. Sa fille Cosette pourrait lui avoir été inspiré par l'ouvrière Louise Julien, dont il prononça l'éloge funèbre à Jersey en 1853. Il s’informa également beaucoup en visitant la Conciergerie à Paris en 1846 et Waterloo. Le , il écrit à son fils François-Victor : « Je suis ici près de Waterloo. Je n’aurai qu’un mot à en dire dans mon livre, mais je veux que ce mot soit juste. Je suis donc venu étudier cette aventure sur le terrain, et confronter la légende avec la réalité. Ce que je dirai sera vrai. Ce ne sera sans doute que mon vrai à moi. Mais chacun ne peut donner que la réalité qu’il a . » Il recueille des informations sur certaines industries, sur les salaires et le coût de la vie dans les classes populaires. Il demande à ses maîtresses Léonie d’Aunet et Juliette Drouet de le renseigner sur la vie des couvents.


title: Les Misérables

text: Les relations entre Victor Hugo et l'univers du roman-feuilleton sont plus conflictuelles. Il ne veut pas que "Les Misérables" soit édité en roman-feuilleton, comme cela était l'usage pour de nombreux romans populaires, car il est alors en conflit avec le pouvoir en place et condamne la censure de la presse par le pouvoir. Il exige cependant que son œuvre soit publiée dans un format bon marché pour rester accessible. D'autre part, il trouve le style des romans-feuilletons souvent peu travaillé.


title: Les Misérables

text: Enfin, homme de son temps, écrivant une histoire contemporaine, Victor Hugo s'inspire des figures de son époque pour camper ses personnages. Les "Mémoires de Vidocq", publiés en 1828, qui inspirèrent respectivement à Balzac et Alexandre Dumas les personnages de Vautrin et Jackal, semblent se retrouver partiellement dans les deux personnages antagonistes que sont Jean Valjean et Javert. Le premier correspondrait, en tant que « M. Madeleine », à l'ancien forçat devenu momentanément industriel et le second au chef de la brigade de Sûreté de la préfecture de police, deux facettes de Vidocq. Selon la normalienne Myriam Roman, Victor Hugo va jusqu'à dissocier Cependant, Hugo ne reconnaîtra jamais l'influence de Vidocq sur la création de ces personnages.


title: Les Misérables

text: Il s’amuse également à glisser des allusions toutes personnelles. Ainsi, en est-il pour ses maîtresses : Juliette Drouet inspire le nom de la « mère des Anges ( Drouet), qui avait été au couvent des Filles-Dieu » (Deuxième partie, livre VI, chapitre VII) ; la clairière Blaru (Cinquième partie, livre V, chapitre IV) rappelle le pseudonyme Thérèse de Blaru dont Léonie d’Aunet signait ses livres. Plus intime encore, la date du , nuit de noces de Cosette et Marius (Cinquième partie, livre VI, chapitre I), fut aussi celle où Juliette se donna à Victor pour la première fois.


title: Les Misérables

text: Les deux premiers tomes des "Misérables" sont publiés en 1862 : la première partie est publiée le à Bruxelles par les Éditions Albert Lacroix, Verboeckhoven et Cie, et le de la même année à Paris, à grand renfort de publicité, extraits de morceaux choisis dans les journaux et critiques élogieuses. Les parties deux et trois paraissent le , les parties quatre et cinq sortent le . À cette époque, Victor Hugo est considéré comme un des premiers hommes de lettres français de son siècle et le public se précipite pour lire son nouveau roman.


title: Les Misérables

text: Les réactions sont diverses. Certains le jugent immoral, d'autres trop sentimental, d'autres encore trop complaisant avec les révolutionnaires. Sainte-Beuve se lamente : « Le goût du public est décidément bien malade. Le succès des "Misérables" a sévi et continue de sévir au-delà de tout ce qu’on pouvait craindre. » Toutefois, il concède que « son roman […] est tout ce qu’on voudra, en bien , en mal, en absurdités ; mais Hugo, absent et exilé depuis 11 ans, a fait acte de présence, de force et de jeunesse. Ce seul fait est un grand succès. » Il reconnaît enfin à Hugo cette qualité suprême : « Ce qu’il invente de faux et même d’absurde, il le fait "être" et "paraître" à tous les yeux . » Les frères Goncourt expriment leur profonde déception, jugeant le roman très artificiel et très décevant. Flaubert n'y trouve . Baudelaire fait publier une critique très élogieuse de la première partie dans un journal (louant tout particulièrement le chapitre « Tempête sous un crâne »), mais dans une lettre à sa mère, il qualifiera "Les Misérables" de « livre immonde et inepte ». Lamartine en condamne les impuretés de langue, le cynisme de la démagogie : . Cette crainte est partagée par Barbey d'Aurevilly qui stigmatise le . Dans une lettre à son fils de , Dumas père regrette que ce livre soit « tout à la fois une œuvre ennuyeuse, mal rêvée dans son plan, mal venue dans son résultat », ajoutant : « Chaque volume commence par une montagne et finit par une souris . » L’évêque Louis-Gaston de Ségur rédige une critique sur Victor Hugo et « son infâme livre des misérables [qui] lui a rapporté d’un coup cinq cent mille francs. » En l’auteur ne manquera pas de lui adresser une réponse au vitriol . Les Goncourt notent que le livre a été « une grande déception. » Ils expliquent : « Titre injustifié : point la misère, pas d’hôpital, prostituée effleurée. Rien de vivant : les personnages sont en bronze, en albâtre, en tout, sauf en chair et en os. Le manque d’observation éclate et blesse partout. » Et puis, ajoutent-ils, il est « assez amusant de gagner deux cent mille francs […] à s’apitoyer sur les misères du peuple ! »


title: Les Misérables

text: Le livre connaît cependant un grand succès populaire. Traduit dès l'année de sa parution, grâce aux efforts d'Albert Lacroix qui ouvre des filiales en Europe, en plusieurs langues (italien, grec, portugais), il reçoit dans chaque pays où il est publié, de la part des lecteurs, un accueil triomphal. Impatient de connaître la première réaction des lecteurs anglais à la sortie du livre, Victor Hugo envoya à ses éditeurs "Hurst & Blackett" un télégramme dont le contenu se réduisait à « ? ». La réponse de ses correspondants fut non moins laconique : « ! » .


title: Les Misérables

text: L'auteur lui-même accorde une grande importance à ce roman. En , il informe son fils François-Victor qu'il a terminé l'ouvrage et affirme : « Je peux mourir. » Il écrit en , à son éditeur Lacroix : « Ma conviction est que ce livre sera un des principaux sommets, sinon le principal, de mon œuvre ».


title: Les Misérables

text: D'après Pascal Melka (« Victor Hugo, un combat pour les opprimés. Étude de son évolution politique »), dans "Les Misérables", Victor Hugo a fait revenir le langage populaire dans la littérature. Il emploie l'argot et va jusqu'à consacrer un chapitre à philosopher sur le mot de Cambronne, « le plus beau mot peut-être qu’un Français ait jamais dit ». Tout ceci faisait naturellement scandale dans l'opinion classique. Voici comment Victor Hugo se justifie :


title: Les Misérables

text: Le roman fourmille de personnages. Nombre d'entre eux font une courte apparition et retournent dans l'oubli. C'est une volonté délibérée de Victor Hugo : il cherche à démontrer que la misère est anonyme. Cet oubli est particulièrement prégnant dans le cas de la sœur de Jean Valjean et ses sept enfants :


title: Les Misérables

text: C’est toujours la même histoire. Ces pauvres êtres vivants, ces créatures de Dieu, sans appui désormais, sans guide, sans asile, s’en allèrent au hasard, qui sait même ? chacun de leur côté peut-être, et s’enfoncèrent peu à peu dans cette froide brume où s’engloutissent les destinées solitaires, mornes ténèbres où disparaissent successivement tant de têtes infortunées dans la sombre marche du genre humain. Ils quittèrent le pays. Le clocher de ce qui avait été leur village les oublia ; la borne de ce qui avait été leur champ les oublia ; après quelques années de séjour au bagne, Jean Valjean lui-même les oublia.


title: Les Misérables

text: Parmi les nombreux personnages que l'on voit apparaître et disparaître, on peut encore citer Petit-Gervais, Azelma, les frères de Gavroche, Magloire, Baptistine. Il reste cependant un nombre restreint de personnages dont les destins se croisent et qui font partie du cœur de l'action :


title: Les Misérables

text: En périphérie, Victor Hugo s'attache à certaines autres figures jusqu'à leur consacrer un livre ou plusieurs chapitres. Ces personnages lui servent d'argumentaires pour son plaidoyer ou d'articulation pour son roman.


title: Les Misérables

text: Victor Hugo, pour son roman, s'est considérablement documenté. Il insère beaucoup de détails exacts sur les conditions de vie des différentes classes sociales. La chute de Fantine dans la prostitution est décrite à partir de témoignages d'époque, y compris l'épisode de la boule de neige vécu par Hugo lui-même (qui avait témoigné en faveur d'une prostituée maltraitée). L'industrie de la verroterie noire où s'enrichit M. Madeleine, les maigres salaires et les dures conditions de travail des ouvrières du cartonnage, métier que Thénardier attribue à Éponine, la misère endémique des journaliers agricoles, métier de Jean Valjean dans sa jeunesse et de Champmathieu, les enfants des rues avec Gavroche, la bohème du Quartier latin où s'inscrivent de nombreux étudiants du Midi, la vie recluse des religieuses, les différentes variétés de la petite bourgeoisie avec le fonctionnaire Javert, les propriétaires ruinés Fauchelevent, Mabeuf et Thénardier, quelques spécimens des classes riches comme Gillenormand, sont rendus avec précision aux côtés d'une foule de clients d'auberge, domestiques, gens de justice, truands et autres figures secondaires. Chacun de ces milieux a son langage et sa culture, ainsi les romans à l'eau de rose lus par la Thénardier ou le dialogue du jardinier (Fauchelevent) et du fossoyeur lors du faux enterrement de Jean Valjean.


title: Les Misérables

text: La violence infligée ou subie tient une grande place dans le roman. Celle des « misérables » s'exerce surtout sur des gens proches de leur milieu : Fantine est pressurée, Cosette exploitée par les Thénardier, les truands du faubourg Saint-Marcel (un des quartiers les plus pauvres de Paris) opèrent surtout contre des gens de leur condition et s'ils s'en prennent à Jean Valjean, c'est parce qu'ils ont deviné en lui quelqu'un de leur classe, alors que les bourgeois comme Gillenormand et même Marius n'ont rien à craindre. Au contraire, les classes supérieures n'ont guère de scrupules à sévir contre les opprimés : le procureur du roi peut demander la peine de mort ou forcer un faux témoignage, l'administration pénitentiaire vole Jean Valjean, à sa sortie du bagne, en lui payant pour 19 ans de travail, Javert soutient le bourgeois qui a maltraité Fantine.


title: Les Misérables

text: Victor Hugo ne se cache pas d'avoir voulu écrire un roman historique en même temps qu'un drame et une épopée. Dans une lettre à Albert Lacroix du , il écrit : L'action s'inscrit dans une durée historique, du Premier Empire à l'insurrection parisienne de juin 1832.


title: Les Misérables

text: Les personnages sont d'abord confrontés au souvenir de la Révolution française. Dans la première partie, Mgr Myriel, catholique bienveillant mais noble et attaché aux valeurs de l'ancien monde, vient visiter un ancien révolutionnaire, le conventionnel G., vieil homme plein de dignité et proche de sa fin qui vit en solitaire dans un coin de son diocèse. L'évêque éprouve un malaise à parler à un régicide qui a voté l'exécution de Louis XVI. G. répond qu'il n'a pas voté la mort du roi (Hugo était opposé à la peine de mort) mais . Il précise sa pensée : le tyran, c'est l'ignorance qui engendre l'autorité mensongère, la royauté, les erreurs et les préjugés ; G. ne croit qu'à l'autorité fondée sur la science. L'évêque lui oppose les crimes de la Révolution, : G. lui rétorque ceux de la monarchie absolue soutenue par le clergé, . Le conventionnel, mourant, exprime sa foi en l'avenir et en l'absolu divin, profession de foi déiste et scientiste qui est celle du républicanisme de Hugo : cette (titre du chapitre) trouble profondément Myriel.


title: Les Misérables

text: La deuxième partie du roman s'ouvre par un récit de la bataille de Waterloo. Pendant la charge de la Haie-Sainte, un officier des cuirassiers français, le colonel Georges Pontmercy, est laissé pour mort, enseveli dans une pile de cadavres ; il est sauvé fortuitement par un maraudeur qui n'est autre que Thénardier et qui le déterre pour le dépouiller. Cet épisode donne lieu à un récit de 130 pages, mi-historique, mi-légendaire, où Hugo exprime son admiration teintée de désolation devant le souvenir de .


title: Les Misérables

text: Depuis longtemps, Victor Hugo est hanté par cette bataille. Dès 1815, jeune écolier élevé par sa mère dans un milieu très royaliste, il écrit des vers maladroits pour célébrer la défaite du « Corse » et l'exécution du « maréchal perfide » Ney qui avait abandonné la cause des Bourbon pendant les Cent-Jours. Bien que ses choix politiques et son attitude envers Napoléon aient beaucoup évolué par la suite, devenu très républicain, il se reconnaît encore dans ces vers de jeunesse :


title: Les Misérables

text: Le souvenir de cette bataille tragique lui inspire en 1852 le poème « L'Expiation » du livre V des "Châtiments". Il refuse à plusieurs reprises de se rendre sur les lieux ; c'est seulement en 1861 qu'il visite le champ de bataille et c'est là qu'il termine ce récit épique. Comme dans les "Châtiments", la glorification de Napoléon le Grand sert à dénoncer la vilénie de « Napoléon le Petit » (Napoléon III). Le premier, bien qu'il ait renversé la République et établi un pouvoir despotique, a porté les principes de 1789 aux quatre coins de l'Europe ; la coalition des monarchies européennes qui se dresse contre Napoléon lors des Cent-Jours est celle de la contre-révolution, . Malgré la défaite finale de Napoléon, les monarchies victorieuses ont dû faire des concessions aux libertés issues de la Révolution comme la Charte octroyée par Louis XVIII :


title: Rapport sexuel

text: Un rapport sexuel est une relation humaine de nature sexuelle entre deux personnes ou plus. Il inclut l'appareil génital féminin et/ou l'appareil génital masculin, et peut être pratiqué entre personnes de sexe différents ou du même sexe.


title: Rapport sexuel

text: Un rapport sexuel peut se distinguer par plusieurs phases, même si aucune n'est indispensable : le désir sexuel, l'excitation sexuelle, des activités et pratiques sexuelles (par exemple le coït), l'orgasme et la résolution.


title: Rapport sexuel

text: Les termes « copulation » et « fornication » ont également des sens proches mais spécifique dans le cas du premier (terme de biologie, et plus particulièrement d'entomologie) et connoté, voire péjoratif dans le cas du second.


title: Rapport sexuel

text: Les expressions « rapport sexuel », « relation sexuelle » et « faire l'amour » sont couramment utilisées pour désigner, souvent de manière implicite et sous-entendue, la pénétration vaginale hétérosexuelle. Par extension, ces expressions générales englobent les actes non pénétratifs (parfois appelés préliminaires), et désignent également la pénétration anale, homo- ou hétérosexuelle.


title: Rapport sexuel

text: Le coït, du latin (de et ), désigne l'accouplement du mâle avec la femelle. Bien que la signification première du mot coït est la pénétration du pénis dans le vagin, il est également souvent utilisé pour désigner la pénétration dans d'autres orifices du corps comme l'anus ou la bouche.


title: Rapport sexuel

text: La copulation, du latin , désigne l'accouplement du mâle avec la femelle chez les animaux à fécondation interne. Ce terme est parfois utilisé de manière humoristique ou péjorative pour désigner l'accouplement de la femme et de l'homme.


title: Rapport sexuel

text: La définition de ce qui constitue un rapport sexuel varie selon les cultures, les époques et les individus ; elle est surtout liée aux normes sociales.


title: Rapport sexuel

text: Pour le philosophe Norbert Campagna, le rapport sexuel se définit par l’intentionnalité : un attouchement ou un examen médical génital sans intention de procurer du plaisir sexuel n'est pas un acte sexuel. Un rapport sexuel inclut généralement les organes génitaux, mais pas nécessairement : il peut se faire avec d'autres parties du corps humain.


title: Rapport sexuel

text: Les relations sexuelles chez les Grecs s'inscrivent dans un contexte social contraignant et sont très dépendantes du statut social des partenaires. Elles font l'objet de réflexions morales de la part des philosophes comme Aristote ou Platon. Ces derniers, selon Michel Foucault, les analysent, non sous l'angle de l'acte lui-même, du désir ou du plaisir, mais de la dynamique examinée selon deux grandes variables, qualitative (comportement sexuel) et quantitative (degré d'activité que traduisent le nombre et la fréquence des actes).


title: Rapport sexuel

text: Dès le haut Moyen Âge dans les pays de la chrétienté, les autorités religieuses codifient les positions sexuelles permises et définissent .


title: Rapport sexuel

text: Il existe de très nombreuses possibilités de rapports sexuels, la frontière peut être sujette à d'innombrables débats. Au sens strict, le rapport sexuel doit tout de même faire intervenir les organes sexuels d'au moins un des partenaires.


title: Rapport sexuel

text: La masturbation est une pratique sexuelle, consistant à provoquer l'éjaculation ou le plaisir sexuel par la stimulation des parties génitales ou d’autres zones érogènes, généralement à l’aide des mains, ou parfois d’objets tels des godemichets ou autres jouets sexuels.


title: Rapport sexuel

text: La branlette espagnole ou cravate de notaire est un acte sexuel pratiqué en couple, consistant à masturber le pénis d'un des partenaires entre les seins de l'autre.


title: Rapport sexuel

text: La sodomie est un rapport sexuel qui consiste en une pénétration de l'anus du ou de la partenaire, généralement avec le pénis ou à l'aide d'un objet remplaçant le pénis, comme un godemichet.


title: Rapport sexuel

text: Le baiser, la succion et le léchage (soit avec la bouche et/ou la langue) portent des noms différents en fonction des parties du corps concernées : le cunnilingus pour la vulve, l'anulingus pour l’anus et la fellation pour le pénis. Ces activités sont généralement considérées comme des préliminaires, toutefois l'irrumation lors de la gorge profonde constitue une forme de coït dite coït buccal.


title: Rapport sexuel

text: Outils qui peuvent être utilisés lors d'un rapport sexuel; pour stimuler des parties sensibles du corps (vagin, clitoris, gland du pénis, prostate, anus…) plus ou moins accessibles (point G), Les commerces spécialisés proposent de nombreux jouets et accessoires sexuels. Les plus célèbres sont les boules de geisha, les canards vibrants et les godemichets. Le gode ceinture ou harnais godemichet permet ainsi à une femme d'avoir des rapports évoquant très directement la pénétration masculine.


title: Rapport sexuel

text: Au sens strict, le coït vaginal consiste en la pénétration du pénis (en érection) dans le vagin. Le terme de pénétration induisant le caractère actif du partenaire qui l'effectue et la passivité de l'autre, le néologisme « », inventé en 2016 par l'autrice allemande Bini Adamczak et popularisé en France en 2019 par l’auteur Martin Page (sans être pour autant entré dans le langage courant), est utilisé pour décrire l'activité du ou de la partenaire qui effectue l'action en sens inverse, c'est-à-dire en faisant entrer le pénis dans son vagin ou son rectum.


title: Rapport sexuel

text: Le coït en lui-même se caractérise par des mouvements entre le pénis et le vagin qui stimulent réciproquement les zones génitales des deux partenaires. Outre cette stimulation physique, le prolongement des actes de types préliminaires ("cf. supra") ouvre sur un plaisir qui dépendra également de nombreux autres facteurs environnementaux. Si l'on peut souligner parfois l'idée d'habileté des partenaires, ce facteur n'est pas plus déterminant que certaines conditions psychologiques.


title: Rapport sexuel

text: La pénétration peut être pénible et douloureuse pour les deux partenaires si les deux organes (vagin/pénis) sont trop étroit/large ou court/allongé ou tendu/mou l'un par rapport à l'autre ou si les organes sont insuffisamment lubrifiés. Le vagin, la vulve et le gland du pénis se lubrifient naturellement lorsqu'il y a excitation, mais cette lubrification peut être insuffisante. Chez la femme vierge, la pénétration est souvent inconfortable, voire douloureuse, en raison de l'appréhension de l'acte ou du déchirement de l'hymen. Chez la femme ménopausée, le vagin peut être atrophié et sec (ce phénomène est contrecarré par le traitement hormonal). Pour plus de confort, on peut utiliser des lubrifiants intimes artificiels, notamment des gels à base d'eau.


title: Rapport sexuel

text: Le coït peut se pratiquer dans diverses positions ; le choix de la position dépend des anatomies, des goûts, des circonstances et des envies des partenaires. La plus habituelle est la position du missionnaire : la femme est allongée sur le dos et l'homme s'allonge entre ses cuisses écartées. La femme peut être active dans l'acte de pénétration, par exemple chevauchant l'homme allongé sur le dos.


title: Rapport sexuel

text: L'orgasme est généralement considéré comme le sommet du plaisir marquant la fin du rapport sexuel. Dans certaines formes de sexualités, comme le tantra, l'orgasme peut ne pas être recherché comme ultime but, afin de prolonger et approfondir culturellement la sensualité et le plaisir.


title: Rapport sexuel

text: Le gynécologue William Masters et la psychologue Virginia Johnson ont défini quatre phases de la réponse sexuelle humaine dans un ouvrage de référence intitulé "Les réactions sexuelles" . À ces phases, le docteur Helen Singer Kaplan a ajouté celle du désir sexuel.


title: Rapport sexuel

text: D'après ces auteurs, les différentes phases sont, par ordre : le désir sexuel, l'excitation sexuelle, le plateau, l'orgasme et la résolution. Ces différentes phases, observables aussi bien chez l'homme que chez la femme, se manifestent par des variations physiologiques et humaines.


title: Rapport sexuel

text: Masters et Johnson ont observé et mesuré avec des appareils spécialisés plus de sexuelles auprès de et femmes. Ils ont montré que le pénis de l'homme et le clitoris de la femme étaient les principales régions du corps à l’origine du plaisir sexuel.


title: Rapport sexuel

text: Des contractions répétées au niveau du vagin ou du pénis toutes les . « Après les quatre à six premières, celles-ci diminueront en force et en fréquence ». L'orgasme chez certaines personnes s'accompagne de manifestations sonores plus ou moins intenses et plus ou moins discrètes (cris, soupirs, gémissements, couinement, râles).


title: Rapport sexuel

text: L'orgasme est plus physiologiquement identifiable chez l'homme avec l'éjaculation. Il est parfois moins lisible chez la femme.


title: Rapport sexuel

text: L'idée d'un orgasme féminin identique à celui de l'homme est très ancrée dans les comportements sexuels. L'orgasme s'identifie alors comme des spasmes du vagin, généralement accompagnés par une intense lubrification ; il est particulièrement remarquable dans le cas relativement rare des femmes dites fontaines pour lesquelles on parle d'éjaculation féminine (expulsion en jet surtout d'urine et de liquide provenant de la vessie, accompagnée d'une faible sécrétion des glandes de Skene).


title: Rapport sexuel

text: Il est nécessaire de souligner, avant de décrire les variations personnelles, culturelles, sociales, ou tenant à l'orientation sexuelle des individus, que les rapports sexuels de la très grande majorité des personnes, dans les sociétés occidentales, consistent en une pénétration vaginale avec un partenaire de sexe opposé, associé à des caresses décrites comme des préliminaires. En France, ceci représente 96 % des pratiques sexuelles. Les autres pratiques représentent entre 3 et 8 % des pratiques des personnes interrogées à propos de leur dernier rapport sexuel.


title: Rapport sexuel

text: L'ex-président des États-Unis, Bill Clinton, interrogé au sujet d'éventuelles relations extraconjugales, avait répondu qu'il n'avait pas eu de rapport sexuel avec Monica Lewinsky en arguant du fait que sa définition (personnelle) reposait sur un rapport strictement vaginal. Cette activité sexuelle de Bill Clinton, très médiatisée à l'époque, pose la question de la définition du ou des .


title: Rapport sexuel

text: Les paraphilies ne désignent pas des rapports sexuels mais une attirance ; cependant, sans passer à la réalisation physique dans un rapport sexuel, l'individu paraphile peut souffrir de ses attirances du fait d'une réprobation par son environnement social. C'est pourquoi certains spécialistes classent quelques paraphilies parmi les maladies psychiatriques. Dans le cas du passage à l'acte, ces « déviances » peuvent poser des problèmes d'ordres moraux et juridiques. Si, par exemple, la gérontophilie – soit l'attirance sexuelle pour des personnes du troisième âge – est tolérable, celle pour des animaux (autres qu'humains, la zoophilie) sera souvent prohibée, tout comme la nécrophilie (pour les cadavres) ainsi que la scatophilie (pour les excréments). Le cas le plus délicat et le plus sévèrement puni est la pédophilie, soit l'attirance sexuelle d'une personne juridiquement majeure pour des enfants (n'ayant pas atteint leur majorité sexuelle).


title: Rapport sexuel

text: Certains rapports sexuels sont interdits par la loi et/ou la morale, soit en tant que tels, soit pour les dommages qu'ils impliquent. Le harcèlement sexuel est également punissable.


title: Rapport sexuel

text: Le viol comme rapport sexuel se faisant par l'agression et considérant la violence exercée sur une personne est puni très sévèrement par de nombreux États, parfois même quand il a lieu entre époux (en France). Tous les abus sexuels sur des individus vulnérables ou en situation de vulnérabilité sont réprouvés — en particulier quand il s'agit d'un enfant abusé par un adulte (avec ou sans viol) : on parle d'acte de pédophilie, ce qui constitue en France un abus sexuel sur mineur.


title: Rapport sexuel

text: Les rapports sexuels avec un membre de la famille semblent être universellement réprouvés — cette prohibition de l'inceste constitue un point-clef de la sexualité humaine parfois considéré comme la structure initiale de la société. Tous les rapports sortant de la normativité du coït vaginal sont également susceptibles d'être considérés comme immoraux, en particulier dans la civilisation occidentale : la sodomie, la fellation et/ou le cunnilingus sont parfois jugés comme des « pratiques déviantes » et réprimés pénalement.


title: Rapport sexuel

text: Les actes agressifs au sein du couple ne sont pas exceptionnels. Selon une étude menée par la BBC au Royaume-Uni, 38 % des femmes britanniques de moins de 40 ans ont été maltraitées pendant des rapports sexuels (giflées, étranglées, bâillonnées, et/ou se sont fait cracher dessus, contre leur gré). Les violences étaient systématiques pour 8 % des femmes, fréquentes pour 12 %, occasionnelles pour 22 %. Selon l’Institut national d’études démographiques, 0,5 % des femmes françaises déclarent en 2015 avoir subi des violences sexuelles par leur conjoint ou ex-conjoint, au cours des douze derniers mois. En France, les crachats, étranglements, morsures, coups ou ligotages non consentis, sont des violences volontaires, alors qu'injures, insultes, humiliations, propos et comportements attentatoires à la dignité relèvent du harcèlement sexuel.


title: Rapport sexuel

text: Pour la plupart des religions établies, le mariage est un cadre strict qui tend à exiger la fidélité sexuelle dans le couple — les rapports hors-mariage sont alors condamnés. Un rapport sexuel entre un homme et une femme non mariés est qualifié de fornication. La fornication est réprimée pénalement dans certains États, avec cependant une certaine inapplicabilité pratique. Un rapport sexuel entre une personne mariée et une autre personne qui n'est pas son époux est nommé adultère. L'adultère est réprimé pénalement dans certains États ; c'est en général un motif de divorce aux torts de celui qui le commet.


title: Rapport sexuel

text: L'Église catholique encourage la chasteté entre époux en tant qu'acte d'adoration mutuelle et une théologie du corps enseigne également que l'amour sexuel est un transfert d'Éros en Agapè et qu'il y existe une « théologie de l'orgasme » qui exalte ce plaisir comme étant voulu par Dieu : « Oui, l’eros veut nous élever « en extase » vers le Divin, nous conduire au-delà de nous-mêmes, mais c’est précisément pourquoi est requis un chemin de montée, de renoncements, de purifications et de guérisons ». Ce chemin est l'amour-agapé, l'ouverture vers l'autre « découverte de l’autre, dépassant donc le caractère égoïste qui dominait clairement auparavant. L’amour devient maintenant soin de l’autre et pour l’autre. Il ne se cherche plus lui-même – l’immersion dans l’ivresse du bonheur – il cherche au contraire le bien de l’être aimé » et à travers lui la recherche de l'Amour, de Dieu : « Oui, l’amour est «extase», mais extase non pas dans le sens d’un moment d’ivresse, mais extase comme chemin, comme exode permanent allant du je enfermé sur lui-même vers sa libération dans le don de soi, et précisément ainsi vers la découverte de soi-même, plus encore vers la découverte de Dieu ».


title: Rapport sexuel

text: Au Moyen Âge, l'Église catholique interdisait le rapport sexuel la plupart des lundi et mercredi (jours de jeûne), le vendredi (jour des morts), le samedi (veille du jour du Seigneur), pendant l'Avent ou le Carême, ainsi plus de la moitié de l'année était interdite.


title: Rapport sexuel

text: La fertilisation interne survient chez certains vertébrés (tels que les reptiles, certains poissons, et la plupart des oiseaux) via une copulation cloaquale (voir hémipénis), tandis que les mammifères copulent vaginalement. D'autres vertébrés, dont bon nombre d'animaux aquatiques, ainsi que certains arthropodes terrestres utilisent, quant à eux, la fertilisation externe.


title: Rapport sexuel

text: Les humains, les bonobos, les chimpanzés et les dauphins sont des espèces connues pour engager un comportement hétérosexuel même lorsque la femelle n'est pas en chaleur. Ces espèces, parmi d'autres, sont également connues pour engager un comportement bisexuel (un individu pouvant avoir des activités hétérosexuelles et homosexuelles).


title: Max Verstappen

text: Max Verstappen (prononcé : ) né le à Hasselt, est un pilote automobile néerlandais, double champion du monde de Formule 1 en 2021 et 2022. Fils de l'ancien pilote Jos Verstappen, il fait ses débuts en Formule 1 en 2015, au sein de la Scuderia Toro Rosso. Il est à 17 ans et 166 jours, le plus jeune pilote de l'histoire à prendre le départ d'un Grand Prix et devient ensuite, en Malaisie, le plus jeune pilote à marquer des points.


title: Max Verstappen

text: La saison suivante, après quatre Grands Prix, Red Bull le transfère de Toro Rosso à Red Bull Racing où il remplace Daniil Kvyat qui fait le chemin inverse. Dès sa première course avec l'équipe autrichienne, en Espagne, Verstappen remporte son premier Grand Prix, devenant, à 18 ans et 227 jours, le plus jeune vainqueur en Formule 1. Au Brésil, il devient également, à 19 ans et 44 jours, le plus jeune pilote à réaliser un meilleur tour en course ; il achève la saison à la cinquième place du championnat avec sept podiums. Si 2017 et 2018 sont gâchées par plusieurs abandons causés par des erreurs et des problèmes techniques, il remporte de nouveaux succès à Sepang, Mexico et Spielberg.


title: Max Verstappen

text: L'année suivante, Red Bull s'associe avec Honda, ce qui permet à Verstappen de réaliser sa première pole position, lors du Grand Prix de Hongrie, et d'offrir au motoriste japonais ses premières victoires depuis son retour dans la discipline. En 2020, s'il rivalise avec les Mercedes, il ne remporte que deux victoires et termine troisième du championnat. En 2021, pour la première fois de sa carrière, Max Verstappen est en mesure de se battre pour le titre mondial et atteint son but, en devenant le champion du monde de Formule 1, ainsi que le premier champion néerlandais de la discipline ; grâce à un dépassement sur son rival Lewis Hamilton, dans le dernier tour d'une manche finale controversée, à Abou Dabi. Avec dix victoires, autant de pole positions, et un record de dix-huit podiums sur la saison, le protégé de Red Bull met fin à la période de domination des pilotes Mercedes qui durait depuis 2014.


title: Max Verstappen

text: La saison suivante, il prolonge son contrat avec l’écurie autrichienne jusqu'en 2028 et s’adjuge un second titre mondial face à Charles Leclerc, tout en établissant un nouveau record de victoires sur une année, avec quinze succès.


title: Max Verstappen

text: Max Verstappen naît le à Hasselt en Belgique. Il grandit en Belgique dans la province de Limbourg. Il est le fils de Jos Verstappen, pilote néerlandais de Formule 1, et de Sophie-Marie Kumpen, une ancienne pilote de karting de haut niveau qui possède plusieurs victoires de prestige à son actif (notamment au Trophée Margutti 1995) ; cette dernière est la cousine de Anthony Kumpen, pilote belge de grand tourisme et la fille de Paul Kumpen, ancien pilote d'endurance et fondateur de l'écurie PK Carsport. Ses parents se séparent en 2008 après plusieurs accès de violence qui conduisent son père, Jos, au tribunal.


title: Max Verstappen

text: « Fils de » comme Jacques Villeneuve, Nico Rosberg ou encore Damon Hill, Max Verstappen baigne dans le milieu du sport automobile depuis son plus jeune âge. Alors que son père est toujours pilote de Formule 1 en activité, il monte dans un kart pour la première fois à à Genk. Dès lors, il roule dès qu'il le peut, en effectuant du quad ou de la moto-cross ; ou encore sur sa PlayStation. Il fait ses débuts en compétition en 2005, dans le championnat local de la province de Limbourg en Belgique, dont il termine vice-champion, ainsi qu'au championnat junior des Pays-Bas.


title: Max Verstappen

text: En 2006, en catégorie Minimax, il remporte le Rotax Max Challenge Belgium. L'année suivante, toujours en Minimax, Verstappen gagne trois des quatre championnats auxquels il participe, aux Pays-Bas et en Belgique. En 2008, pour ses débuts dans la catégorie, il remporte le championnat de Belgique en cadets et s'engage lors de la saison 2009, en KF5 en championnats belge et hollandais.


title: Max Verstappen

text: L'année suivante, Max passe en championnat européen ; il remporte la Bridgestone Cup, les WSK Euro Series et obtient la deuxième place de la coupe du monde en catégorie KF3. La saison 2011 est plus difficile pour le Néerlandais qui gagne néanmoins les WSK Euro Series. En 2012, passé en catégorie KF2, il participe aux championnats extra-européens, notamment les SuperNationals de Las Vegas, aux États-Unis.


title: Max Verstappen

text: Max Verstappen entame sa première saison de monoplace par un stage en Floride organisé par Ferrari qui a convié plusieurs jeunes pilotes dont le champion de Formule 3 Raffaele Marciello, ainsi qu'Antonio Fuoco, Tatiana Calderón, Nicholas Latifi et Lance Stroll.


title: Max Verstappen

text: Aux Florida Winter Series, disputées en cinq manches en janvier et février avec des monoplaces de Formule Abarth sur des circuits floridiens tels que Sebring, Verstappen réalise trois pole positions et obtient deux victoires. Il est par la suite confirmé en championnat d'Europe de Formule 3 au sein de l'écurie néerlandaise Van Amersfoort qui a fait débuter son père en monoplace en 1991.


title: Max Verstappen

text: Après un début d'année largement dominé par Esteban Ocon, Max Verstappen obtient plusieurs victoires durant l'été et devient le principal rival du Français, toujours en tête du championnat à la mi-, alors qu'il reste six courses à disputer. Il termine troisième du championnat avec 67 points de retard sur Ocon.


title: Max Verstappen

text: Il est approché par Red Bull qui l'intègre au sein du Red Bull Junior Team qui a pour but d'encadrer les meilleurs jeunes pilotes de compétition automobile et de les faire progresser jusqu'en Formule 1. Le , quelques jours après avoir rejoint Red Bull, Verstappen est annoncé officiellement comme titulaire au sein de la Scuderia Toro Rosso pour la saison 2015 de Formule 1. Si sa désignation surprend quelques observateurs qui s'interrogent sur son peu d'expérience et son jeune âge, mais aussi parce que le Red Bull Junior Team compte déjà des pilotes plus aguerris comme Carlos Sainz Jr. ou Pierre Gasly, Helmut Marko, le responsable de la détection des jeunes pilotes, justifie son choix du fait des réalisées par Verstappen.


title: Max Verstappen

text: Max Verstappen participe à plusieurs séances d'essais au cours des derniers Grands Prix de la saison pour obtenir sa superlicence nécessaire en Formule 1. Lors de la première séance d'essais libres du Grand Prix du Brésil, au volant de la Toro Rosso STR9 de Jean-Éric Vergne, il réalise le sixième temps.


title: Max Verstappen

text: Il participe au championnat du monde de Formule 1, alors que ce n'est que sa deuxième saison en sport automobile. Qualifié en douzième position pour sa première course, à Melbourne, Verstappen devient le plus jeune pilote de l'histoire à prendre le départ d'un Grand Prix. Longtemps parmi les dix premiers, il abandonne sur incident mécanique dans le trente-quatrième tour. Sous la pluie de Sepang, il se qualifie en sixième place et, le lendemain, devient à 17 ans et 180 jours, le plus jeune pilote à marquer des points en championnat du monde de Formule 1 en terminant septième. Treizième sur la grille de départ du Grand Prix de Chine, il remonte en huitième position puis abandonne à cause d'un incident mécanique à trois tours du terme. Une semaine plus tard à Bahreïn, il est de nouveau contraint à l'abandon à la suite de problèmes électriques sur sa monoplace.


title: Max Verstappen

text: Au Grand Prix d'Espagne, où débute la tournée européenne, il égale sa meilleure place en qualification, sixième, derrière son coéquipier Carlos Sainz Jr. mais, en franchissant le ligne onzième, ne marque aucun point. À Monaco, le Néerlandais percute violemment Romain Grosjean à cause d'un freinage tardif au virage de Sainte-Dévote et arrache sa suspension avant-gauche ; il finit sa course en s'encastrant dans les barrières de sécurité. Les commissaires de course le pénalisent d'un retrait de cinq places sur la grille de départ de la prochaine course pour son comportement jugé dangereux en piste. Au Grand Prix d'Autriche, parti du septième rang, il marque pour la deuxième fois de l'année en terminant huitième. Au Grand Prix de Hongrie, il réalise sa meilleure performance depuis ses débuts en terminant quatrième ; il marque pour la troisième fois de la saison et pointe à la onzième position du championnat du monde.


title: Max Verstappen

text: Après la pause estivale, Max Verstappen finit huitième du Grand Prix de Belgique et prend la dixième place du championnat du monde, avec 26 points. Au Japon, qualifié en dix-septième position, il franchit la ligne d'arrivée neuvième, juste devant son équipier. Quelques jours plus tard, il fête ses 18 ans en obtenant son permis de conduire. Au Grand Prix des États-Unis, après une course à rebondissements au cours de laquelle la voiture de sécurité intervient à trois reprises, il obtient une nouvelle quatrième place. Au terme de sa première année en Formule 1, il est entré à dix reprises dans les points et a inscrit 49 points, soit trente-et-un de plus que son équipier. Il se classe douzième du championnat du monde des pilotes, devant son coéquipier Sainz Jr. Ces résultats probants lui permettent de renouveler son contrat de pilote au sein de l'écurie Toro Rosso.


title: Max Verstappen

text: À Melbourne, lors du Grand Prix inaugural, Max Verstappen réalise la meilleure qualification de sa carrière avec une cinquième place sur la grille ; le lendemain, après un problème au stand il termine dixième de la course. À Bahreïn, sa sixième position finale lui permet de pointer à la huitième place du championnat du monde. En Chine, qualifié en neuvième position, il termine la course huitième, juste devant son coéquipier. Neuvième au départ du Grand Prix de Russie, il atteint la sixième position puis abandonne sur incident mécanique.


title: Max Verstappen

text: Le , entre les Grands Prix de Russie et d'Espagne, Red Bull annonce son transfert de la Scuderia Toro Rosso vers Red Bull Racing par échange de sa place avec Daniil Kvyat, impliqué dans un double incident à Sotchi ayant provoqué l'abandon de Sebastian Vettel. Christian Horner, le directeur de Red Bull Racing déclare : En remportant le Grand Prix d'Espagne, pour son premier départ au sein du Red Bull Racing, il devient, à 18 ans, 7 mois et 15 jours, le plus jeune vainqueur de l'histoire de la Formule 1. Durant l'épreuve suivante, à Monaco, le Néerlandais casse son châssis lors de la séance d'essai puis, repêché après une non-qualification, abandonne en course après un nouvel accident.


title: Max Verstappen

text: En Autriche, il profite d'un accident entre Nico Rosberg et Lewis Hamilton dans le dernier tour pour terminer deuxième après avoir doublé Rosberg, au ralenti à cause de son aileron avant bloqué sous sa voiture. Au Grand Prix d'Allemagne, quatrième des qualifications, Verstappen lutte un temps pour la victoire et se classe troisième, juste devant Nico Rosberg, respectant ainsi une consigne d'équipe lui demandant de s'effacer derrière son coéquipier. Son comportement en course lors du Grand Prix de Belgique, bien qu'il n'ait pas été sanctionné par les commissaires de course, crée la polémique chez divers pilotes et responsables d'écuries. En Malaisie, grâce à une seconde position derrière son équipier Daniel Ricciardo, il permet à Red Bull de réaliser son premier doublé depuis 2013. Une semaine plus tard, au Japon, il résiste à Lewis Hamilton dans les derniers tours et termine sur le podium, à la deuxième place. Au Brésil, où il dépasse sous la pluie onze pilotes dans les seize derniers tours (en se montrant particulièrement créatif dans le choix de ses trajectoires), pour prendre la troisième place, il devient, à 19 ans, 1 mois et 14 jours, le plus jeune pilote de l'histoire à réaliser un meilleur tour en course. Son dépassement par l'extérieur sur Nico Rosberg lors de ce Grand Prix est élu plus beau dépassement de l'année. Au terme de la saison, il termine cinquième du championnat avec 204 points.


title: Max Verstappen

text: Lors de la première course de la saison, au Grand Prix d'Australie, Max Verstappen se qualifie cinquième et termine le Grand Prix à la même place. En Chine, après une qualification ratée, il pointe en seizième position sur la grille de départ. Le dimanche, le Néerlandais gagne neuf places dans le premier tour, profite de la sortie de la voiture de sécurité pour se rapprocher de la tête de course et effectue plusieurs dépassements décisifs pour se classer troisième derrière Lewis Hamilton et Sebastian Vettel. Une semaine plus tard à Bahreïn, il abandonne pour la première fois de la saison. Cinquième à l'arrivée du Grand Prix de Russie, il est accroché par Kimi Räikkönen, lui-même poussé par Valtteri Bottas, dès le premier virage du Grand Prix d'Espagne ce qui le contraint à l'abandon. Au Canada et en Azerbaïdjan, il subit deux abandons sur problème technique alors qu'il se battait pour le podium. Lors du Grand Prix de Grande-Bretagne, il réintègre les points en terminant quatrième de l'épreuve.


title: Max Verstappen

text: En Belgique après la pause estivale, Verstappen connaît son sixième abandon de l'année. À Monza, en tout début de course, victime d'une touchette avec Felipe Massa qui crève son pneu avant droit, il est relégué en fond de classement ; il remonte au fil des tours et termine l'épreuve dixième, à un tour du vainqueur. Qualifié en première ligne lors du Grand Prix de Singapour, il abandonne dès les premiers mètres après une collision avec les pilotes Ferrari. En deuxième ligne au départ du Grand Prix de Malaisie, il dépasse le leader Lewis Hamilton au quatrième tour de course et remporte la deuxième victoire de sa carrière, le lendemain de son vingtième anniversaire. Une semaine plus tard au Japon, il obtient le dixième podium de sa carrière grâce à une deuxième position. Au Grand Prix des États-Unis, il connaît un weekend difficile à cause d'un problème moteur qui le relègue en fond de grille. Le lendemain, troisième sous le drapeau à damiers, il reçoit cinq secondes de pénalité pour avoir dépassé Räikkönen hors de la piste et est reclassé à la quatrième place. Lors du Grand Prix du Mexique, qualifié en deuxième position sur la grille, juste derrière Vettel, il réussit le meilleur envol et pointe en tête dès le premier virage, ce qui lui permet d'obtenir sa deuxième victoire de la saison. Max Verstappen se classe sixième du championnat avec 168 points.


title: Max Verstappen

text: Lors du Grand Prix inaugural, à Melbourne, Max Verstappen se qualifie en quatrième position ; le lendemain, il termine sixième de la course après avoir effectué un tête-à-queue. Il abandonne dès les premiers tours du Grand Prix de Bahreïn, victime d'une crevaison à l'arrière-gauche après une touchette avec Lewis Hamilton. Une semaine plus tard, en Chine, alors qu'il se battait pour une place sur le podium, il percute Sebastian Vettel qu'il envoie en tête-à-queue et reçoit dix secondes de pénalité ; quatrième sous le drapeau à damiers, il est ainsi reclassé à la cinquième position. Au Grand Prix d'Azerbaïdjan, en fin d'épreuve alors qu'elles luttent pour une place sur le podium, les deux Red Bull s'accrochent et abandonnent après que Daniel Ricciardo a tenté de dépasser son coéquipier. Pour le retour en Europe, lors du Grand Prix d'Espagne, il bénéficie de l'abandon de Kimi Räikkönen et de la mauvaise stratégie de Vettel pour se classer troisième. Après un weekend difficile à Monaco, Verstappen obtient son second podium de la saison lors du Grand Prix du Canada, en terminant troisième. En France, il profite d'un accident entre Vettel et Bottas dans le premier tour pour finir deuxième. Qualifié en quatrième position sur la grille du Grand Prix d'Autriche, il gagne une place dès le premier tour et grâce à une bonne stratégie, il obtient la quatrième victoire de sa carrière, la première de Red Bull Racing sur son circuit. Cinquième des qualifications en Grande-Bretagne, il abandonne en course à cause d'un problème de boîte de vitesses. En Hongrie, il subit son troisième abandon de l'année à cause d'une perte de puissance moteur.


title: Max Verstappen

text: Au Grand Prix de Belgique, après la pause estivale, il s'élance septième et franchit la ligne d'arrivée troisième, à trente secondes du vainqueur Sebastian Vettel. Qualifié en deuxième position derrière Hamilton lors du Grand Prix de Singapour, le Néerlandais termine l'épreuve à la même place. Au Japon, il se classe troisième derrière les pilotes Mercedes et termine deuxième du Grand Prix des États-Unis, après une passe d'armes avec Lewis Hamilton en fin de course. Au Mexique, qualifié en deuxième position, juste derrière son équipier, il réussit un meilleur envol, pointe en tête dès le premier virage et s'impose pour la deuxième fois de la saison. Ainsi, il établit le nouveau record du plus grand nombre de Grands Prix remportés sans jamais avoir obtenu la moindre pole position. Au quarante-quatrième tour du Grand Prix du Brésil, Esteban Ocon, chaussé de pneus neufs, tente, dans les esses de Senna, de se dédoubler face à Max Verstappen, alors en tête de la course mais percute le pilote néerlandais qui part en tête-à-queue et doit laisser la victoire à Lewis Hamilton ; Ocon est alors pénalisé d'un "" pour conduite agressive envers le leader. À la fin de la course, Verstappen, très énervé, bouscule le Français lors de la procédure obligatoire de la pesée et est condamné à deux jours de travail d'intérêt général. Il termine troisième de la dernière épreuve de la saison et se classe quatrième du championnat avec 249 points.


title: Max Verstappen

text: Au Grand Prix d'Australie, pour l'ouverture de la saison, Max Verstappen termine troisième derrière les pilotes Mercedes, apportant à Honda son premier podium depuis son retour en tant que motoriste en 2015. Lors des derniers tours du Grand Prix de Bahreïn, il profite du problème moteur de Leclerc pour revenir sur lui, cependant, le double abandon des pilotes Renault amène la voiture de sécurité en piste pour sécuriser le secteur : la course se termine sous ce régime et doit ainsi se contenter de la quatrième place. En Chine, parti cinquième, ses tentatives d"'undercut" face aux pilotes de la Scuderia Ferrari fonctionnent, puisqu'il les contraint à couvrir sa stratégie. Ainsi, alors que Mercedes réalise un troisième doublé consécutif, il s'intercale entre les deux voitures rouges, derrière Sebastian Vettel qu'il attaque au dix-neuvième tour, et devant Charles Leclerc à qui il ravit la quatrième position. Lors du Grand Prix d'Espagne, qui marque le début de la saison européenne, il profite d'un bon départ pour passer Vettel au premier virage et se classe troisième. À Monaco, il franchit la ligne d'arrivée deuxième mais reçoit cinq secondes de pénalité pour avoir tassé Valtteri Bottas dans la voie des stands : il est ainsi reclassé à la quatrième place.


title: Max Verstappen

text: Au Grand Prix d'Autriche, il perd des places dans les premiers virages après un mauvais départ mais remporte l'épreuve en doublant Charles Leclerc dans les derniers tours, mettant un terme à l'hégémonie de Mercedes depuis le début de l'année. En Grande-Bretagne, à la mi-course, alors qu'il se bat pour conserver sa troisième position, il est percuté par Vettel et finit cinquième. Lors du Grand Prix d'Allemagne, il s'impose pour la première fois à Hockenheim malgré un départ raté et un tête-à-queue vers la mi-course. Une semaine plus tard, en Hongrie, il réalise la première pole position de sa carrière ; le lendemain, il se bat longtemps pour défendre sa première place mais à quatre tours du terme, ses pneus complètement dégradés lui font lâcher prise face à Lewis Hamilton et il termine deuxième. Après son abandon en Belgique, le Néerlandais se classe huitième en Italie puis termine troisième du Grand Prix de Singapour ; il rejoint Leclerc à la troisième place du championnat, avec 200 points. Aux États-Unis, il monte sur son septième podium de l'année en terminant troisième, derrière les Mercedes. Lors du Grand Prix du Brésil, après s’être élancé de la pole position, Verstappen obtient sa troisième victoire de la saison malgré une fin de course animée. Deuxième du dernier Grand Prix, à Abou Dabi, il se classe troisième du championnat avec 278 points.


title: Max Verstappen

text: Le , il prolonge son contrat avec Red Bull Racing pour trois années supplémentaires, jusqu'à la fin de la saison 2023. La pandémie de Covid-19 perturbe fortement le championnat 2020, comme l'ensemble des manifestations sportives dans le monde ; si bien que la saison débute en Autriche le . Lors de la première course de l'année, Max Verstappen abandonne sur problème technique, alors qu'il se battait pour le podium. Une semaine plus tard, en Styrie, il se qualifie en première ligne ; en difficulté vers la mi-course, il est doublé par Bottas et termine troisième. Au Grand Prix de Hongrie, en allant se mettre en grille avec des pneus intermédiaires, la piste étant mouillée après une averse, il sort de la piste, percute le mur de pneus et abîme l'avant de sa RB16. Ses mécaniciens parviennent à réparer sa voiture sur la grille en douze minutes ; au départ, le Néerlandais gagne quatre places et se retrouve troisième. La piste séchant rapidement, les voitures regagnent les stands au bout de quatre tours pour passer les gommes lisses. Dans la manœuvre, il dépasse Stroll et franchit la ligne d'arrivée deuxième. En Grande-Bretagne, isolé à la troisième position, il profite de la crevaison de Valtteri Bottas en fin d'épreuve pour se classer deuxième.


title: Max Verstappen

text: Qualifié en quatrième position sur la grille du Grand Prix du, il gagne une place dès le premier tour ; une bonne stratégie lui permet d'obtenir sa première victoire de la saison. Troisième des qualifications, derrière les Mercedes, en Espagne, Verstappen profite d'un bon départ sur le côté propre de la piste pour dépasser Bottas au premier virage et terminer second. Lors du Grand Prix d'Italie, il subit son deuxième abandon à cause d'une perte de puissance moteur ; sa série de six podiums consécutifs s'achève sur le circuit de Monza. Après son retrait en Toscane, il obtient les points de la deuxième place en Russie et à l'Eifel. Troisième du Grand Prix du Portugal, il monte sur le quarantième podium de sa carrière. Sur le circuit d'Imola, qui fait son retour au calendrier après quatorze ans d'absence, il est victime de l'explosion de son pneu arrière droit dans le cinquante-et-unième passage, ce qui l'expédie en tête à queue dans les graviers et provoque son abandon. Au Grand Prix de Bahreïn, il effectue une course solitaire en deuxième position et obtient son troisième meilleur tour en course de la saison. À l'occasion du dernier Grand Prix, il obtient son unique pole position de l'année ; le lendemain, il mène l'intégralité de la course et remporte son dixième succès en carrière. Max Verstappen, qui comptabilise onze podiums en tout, termine troisième du championnat avec 214 points.


title: Max Verstappen

text: Auteur de la pole position, au volant de la RB16B, lors du Grand Prix inaugural à Bahreïn, il dépasse, en fin d'épreuve, Lewis Hamilton par l'extérieur mais met ses quatre roues au-delà du vibreur ; la direction de course lui intimant de rendre la position, Verstappen s'exécute et termine deuxième. À Imola, troisième sur la grille, il prend la tête de la course sur une piste détrempée, dès la première chicane en dépassant le Britannique de façon musclée pour remporter la onzième victoire de sa carrière. Au Grand Prix du Portugal, malgré quelques difficultés d'adhérence, il profite d'une erreur de Bottas vers la mi-course pour terminer deuxième. Une semaine plus tard, en Espagne, deuxième des qualifications, il effectue un bon départ pour passer Lewis Hamilton au premier virage ; celui-ci passe alors à une stratégie à deux arrêts et reprend l'avantage en fin d'épreuve ; Verstappen finit second. À Monaco, il bénéficie de l'abandon prématuré de Charles Leclerc qui avait réalisé le meilleur temps du samedi après-midi, mais laisse l'emplacement de la pole position vide en raison d'une casse mécanique durant son tour de mise en grille. Après un cavalier seul, le Néerlandais s'impose et prend, pour la première fois de sa carrière, la tête du championnat. Après cinq manches, il estime que Red Bull commet moins d'erreurs que Mercedes, et précise : .


title: Max Verstappen

text: Lors de la sixième manche à Bakou, Max Verstappen caracole en tête quand son pneu arrière gauche explose à pleine vitesse dans la grande ligne droite, le contraignant à l'abandon à cinq tours de l'arrivée, et laissant la victoire à son coéquipier Sergio Pérez. À la suite de son crash et d'un drapeau rouge, un nouveau départ est donné pour deux tours ; Hamilton, qui a l'occasion de lui reprendre la tête du championnat, part tout droit dans l'échappatoire et ne marque aucun point. Au Grand Prix de France, il obtient la pole position, le meilleur tour en course, remporte l'épreuve et réalise son premier hat trick. Lors du Grand Prix de Styrie, dans le fief de son écurie, il s'élance depuis la pole position et mène l'intégralité des soixante-et-onze tours pour acquérir sa quatrième victoire de la saison ; une semaine plus tard, sur le même circuit, il survole à nouveau la course et s'adjuge le premier grand chelem de sa carrière (victoire, pole position, meilleur tour et course menée de bout en bout) et porte à trente-deux points son avance sur Lewis Hamilton en tête du championnat. Le , à Silverstone, premier vainqueur d'une qualification sprint, il obtient sa quatrième pole position consécutive. Le lendemain, lors du premier tour de course, le Néerlandais résiste aux attaques de Lewis Hamilton qui se porte à plusieurs reprises à sa hauteur ; dans le virage de Copse, le pilote Mercedes, qui tente de s'infiltrer à l'intérieur, percute la roue arrière droite de la Red Bull qui traverse le bac à graviers à pleine vitesse et s'écrase dans le mur de pneus à 51 g. Après s'être difficilement extrait de sa monoplace, Verstappen doit être conduit à l'hôpital pour des examens de contrôle où des contusions sont diagnostiquées. Lors de la onzième manche en Hongrie, qualifié en troisième position sur la grille, il est victime d'un carambolage au départ où sa voiture subit des dégâts irrémédiables. Il dispute toutefois les soixante-dix tours à son volant et passe la ligne d'arrivée en dixième position, qui se transforme en neuvième place après la disqualification de Sebastian Vettel. Hamilton qui se classe deuxième, en profite pour lui ravir la tête du championnat du monde.


title: Max Verstappen

text: Au Grand Prix de Belgique, après la pause estivale, il réalise sa sixième pole position de la saison ; à cause de conditions climatiques dantesques, le Grand Prix, lancé à , se résume à trois tours derrière la voiture de sécurité et le classement est arrêté au terme du premier tour. Vainqueur grâce à sa position de pointe, Max Verstappen marque la moitié des points (12,5) et revient à trois unités du Britannique. En obtenant, lors de son Grand Prix national, sa septième victoire de l'année, il s'impose devant ses dizaines de milliers de supporters de l"Oranje Army" et reprend la tête du championnat. Avec dix-sept victoires, il devient le pilote comptant le plus de succès sans avoir remporté de titre mondial. Une semaine plus tard, à Monza, il s'accroche dans la première chicane avec Lewis Hamilton et provoque leur double abandon. Dans la soirée, après avoir été entendu avec son rival par les commissaires, Verstappen, jugé responsable, écope d'une pénalité de trois places sur la grille de départ du Grand Prix de Russie. Durant le weekend de Sotchi, où Mercedes est invaincue depuis la première édition en 2014, il se dit imperméable à la pression dans la lutte pour le titre, répondant à une suggestion de son rival selon laquelle celle-ci pourrait lui faire perdre ses moyens. Il dit plutôt :


title: Max Verstappen

text: Lors de cette quinzième manche, à Sotchi, le changement de son unité de puissance hors quota alloué, le rejette à la dernière place sur la grille. L'averse qui s'abat sur le circuit à moins de dix tours de l'arrivée et un passage en pneus intermédiaires dans un timing idéal suivi d'une série de dépassements, lui permet de se classer deuxième derrière Lewis Hamilton qui obtient sa centième victoire et reprend la tête du championnat ; le Néerlandais limite toutefois, de manière inespérée, son retard à deux points. Il se classe à nouveau deuxième du Grand Prix de Turquie derrière Valtteri Bottas et reprend la tête du championnat avec six points d'avance sur Hamilton ce qui constitue le quatrième changement de leader du championnat en six courses. Deux semaines plus tard, lors du Grand Prix des États-Unis, parti de la pole position, il remporte l'épreuve en battant son principal rival, grâce à une stratégie rondement exécutée.


title: Max Verstappen

text: Helmut Marko ayant noté qu'il fallait dix victoires pour assurer le titre mondial, Max Verstappen s'en rapproche en s'imposant pour la troisième fois au Mexique. Il a donc gagné la moitié des dix-huit manches disputées à ce stade de la saison, et se ménage une avance de 19 points sur Lewis Hamilton, relégué à plus de 16 secondes à l'arrivée. Le pilote néerlandais construit sa victoire sur l'Autódromo Hermanos Rodríguez en bondissant de sa troisième place sur la grille de départ, pour dépasser les deux Mercedes par l'extérieur au premier virage, avant de s'échapper et de contrôler l'ensemble de la course. La semaine suivante au Brésil, Hamilton pénalisé pour un nouveau moteur thermique monté sur sa W12, doit s'élancer dixième sur la grille de départ, alors que Max Verstappen, deuxième au départ, déborde le "poleman" Valtteri Bottas et prend les commandes de la course. Mais son rival, qui bénéfice d'un surcroit de puissance avec son moteur neuf, remonte jusqu'à se retrouver deuxième, et le dépasse au , non sans que le Néerlandais se soit défendu dix boucles plus tôt en l'emmenant hors de la piste dans le virage du circuit d'Interlagos. Le Britannique s'impose et réduit son retard à 14 points. Arrivé le weekend suivant sur le circuit international de Losail pour disputer le nouveau Grand Prix du Qatar, il est pénalisé d'un recul de cinq positions sur la grille de départ pour non-respect d'un double drapeau jaune lors des qualifications. Si son principal adversaire, en pole position, l'emporte en menant l'épreuve de bout en bout, le pilote Red Bull remonte rapidement à la deuxième place et s'adjuge le point bonus du meilleur tour ; son avance au championnat à deux courses du terme est désormais de huit points.


title: Max Verstappen

text: Hamilton remporte l'avant-dernière course à Djeddah et les deux rivaux se présentent pour la finale à Abou Dabi à égalité de points en tête du championnat. Lors de cette dernière épreuve, Max Verstappen part en pole position, mais le pilote Mercedes prend un meilleur départ et mène la course à sa main jusqu'au des 58 tours du circuit de Yas Marina. Un accident de Nicholas Latifi provoque alors la sortie de la voiture de sécurité, Verstappen en profite pour changer immédiatement ses pneus pour repartir en « tendres », alors que Lewis Hamilton reste en piste. Cinq voitures retardataires sont intercalées entre eux, puis sont autorisées à dépasser la "Safety Car" pour rejoindre le peloton dans l'avant-dernier tour. Elle s'écarte à l'attaque de la dernière boucle, et le Néerlandais avec ses pneus plus frais, n'a aucun mal à dépasser Hamilton dans le cinquième virage pour filer vers sa dixième victoire de l'année, et le titre mondial à 24 ans et 73 jours. Il met ainsi fin à la période de domination des pilotes Mercedes qui durait depuis le début de l'ère hybride en 2014 et détrône le quadruple tenant du titre, établissant par ailleurs un nouveau record de dix-huit podiums sur une année.


title: Max Verstappen

text: À l'inverse d'Hamilton, qui avait conservé son après ses six titres de champion du monde avec Mercedes (depuis 2014), tandis que Nico Rosberg sacré en 2016 s'était retiré de la Formule 1 dans la foulée immédiate de son titre, Max Verstappen choisi de porter le du champion du monde en titre pour la saison 2022 : . Fin décembre, Verstappen est élu meilleur pilote de la saison 2021, aussi bien par les votes des directeurs d'écuries, que par ceux des autres pilotes de Formule 1.


title: Max Verstappen

text: Le , quelques jours après avoir testé la Red Bull RB18 sur le Circuit de Catalunya, Max Verstappen signe un nouveau contrat pour l'écurie avec laquelle il court depuis 2016. Il déclare : . Christian Horner ajoute .


title: Max Verstappen

text: Lors du premier Grand Prix de la saison, à Bahreïn, alors qu'il roule en deuxième position derrière Charles Leclerc, son moteur, privé d'alimentation en essence le contraint à l'abandon à trois tours du but ; son coéquipier Sergio Pérez est victime du même problème deux boucles plus tard. Une semaine plus tard à Djeddah, il obtient le vingt-et-unième succès de sa carrière, après un combat roues contre roues avec Leclerc dans les derniers tours de la course. Il s'agit de la septième saison consécutive depuis 2016, où il remporte au moins une victoire. Après avoir abandonné au Grand Prix d'Australie, il s'adjuge le Grand Chelem à Imola avec un total de points inédit (la nouvelle formule du sprint lui ayant apporté 8 points pour sa victoire du samedi, auxquels s'ajoutent ceux de son succès dominical, agrémenté du meilleur tour d'une course qu'il mène de bout en bout pour en marquer 34 d'un coup), ce qui lui permet de remonter à la deuxième place du championnat pilote à 27 points du Monégasque. Au premier Grand Prix de Miami de l'histoire, il se qualifie troisième des qualifications derrière les Ferrari ; le lendemain, il gagne une place dès le premier tour avant de doubler Charles Leclerc pour s'imposer. En Espagne, le pilote néerlandais subit des problèmes de DRS et effectue une sortie de piste, mais grâce à une stratégie agressive, il parvient à obtenir sa quatrième victoire de l'année et bénéficie de l'abandon de son rival pour prendre la tête du championnat du monde.


title: Max Verstappen

text: Lors du Grand Prix de Monaco, Verstappen connait un weekend en demi-teinte mais tire profit des égarements stratégiques de Ferrari pour terminer sur le podium, à la troisième place. Vainqueur en Azerbaïjan, puis au Canada, il consolide sa position au championnat. Au Grand Prix de Grande-Bretagne, alors qu'il est en tête de la course, il percute des débris qui provoquent des dégâts sur son fond plat ; malgré une voiture handicapée aérodynamiquement, il parvient à franchir la ligne d'arrivée septième. Deuxième en Autriche, il acquiert lors du Grand Prix de France, sa septième victoire de l'année. Une semaine plus tard, au Grand Prix de Hongrie, il se qualifie en dixième position après un problème technique survenu lors de son ultime tentative en qualification ; le lendemain, il profite d'une stratégie rondement exécutée pour s'imposer, malgré un tête-à-queue vers la mi-course. Auteur du meilleur temps en Belgique, il s'élance quatorzième sur la grille à cause d'une pénalité moteur. En course, le Néerlandais taille son chemin dans le peloton et se retrouve en tête après seulement douze tours, puis définitivement après le ballet des arrêts au stand, en débordant Carlos Sainz dans la dix-huitième boucle. Lors de son Grand Prix national, il s'adjuge son second hat trick de la saison. Septième sur la grille du Grand Prix d'Italie, il remporte l'épreuve pour la première fois ; désormais, son avance au championnat est telle qu'il peut être sacré champion du monde dès la course suivante, à Singapour, qu'il termine à la septième place.


title: Max Verstappen

text: Sous une pluie battante, il gagne le Grand Prix du Japon écourté à 28 tours, devant Leclerc et Pérez mais le Monégasque reçoit une pénalité et est reclassé troisième ; dès lors, Max Verstappen remporte son second titre de champion du monde. En s'imposant à Austin et à Mexico, le pilote Red Bull acquière le record de victoires sur une saison, avec quatorze succès. Au Brésil, il connait un weekend compliqué, qu'il termine à la sixième place et obtient une dernière victoire lors du Grand Prix d'Abou Dabi, après s'être adjugé la vingtième pole position de sa carrière. Au terme de l'année, en plus de son second titre, le Néerlandais aura acquis le plus grand nombre de victoires (15), de podiums (17), de tours en tête (616) et établit le nouveau record de points en une saison avec 454 unités.


title: Loi normale

text: En théorie des probabilités et en statistique, les lois normales sont parmi les lois de probabilité les plus utilisées pour modéliser des phénomènes naturels issus de plusieurs événements aléatoires. Elles sont en lien avec de nombreux objets mathématiques dont le mouvement brownien, le bruit blanc gaussien ou d'autres lois de probabilité. Elles sont également appelées lois gaussiennes, lois de Gauss ou lois de Laplace-Gauss des noms de Laplace (1749-1827) et Gauss (1777-1855), deux mathématiciens, astronomes et physiciens qui l'ont étudiée.


title: Loi normale

text: Plus formellement, une loi normale est une loi de probabilité absolument continue qui dépend de deux paramètres : son espérance, un nombre réel noté , et son écart type, un nombre réel positif noté . La densité de probabilité de la loi normale d'espérance , et d'écart type est donnée par :


title: Loi normale

text: La courbe de cette densité est appelée "courbe de Gauss" ou "courbe en cloche", entre autres. C'est la représentation la plus connue de ces lois. Lorsqu'une variable aléatoire suit une loi normale, elle est dite "gaussienne" ou "normale" et il est habituel d'utiliser la notation avec la variance :formula_10.


title: Loi normale

text: La loi normale de moyenne nulle et d'écart type unitaire, formula_11, est appelée loi normale centrée réduite ou loi normale standard.


title: Loi normale

text: Parmi les lois de probabilité, les lois normales prennent une place particulière grâce au théorème central limite. En effet, elles correspondent au comportement, sous certaines conditions, d'une suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, une loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des mesures d'erreurs ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale centrée réduite.


title: Loi normale

text: Les lois de probabilité permettent de décrire de manière théorique le caractère aléatoire d'une expérience qui est considérée comme aléatoire. Les lois normales en sont des cas particuliers. La manière historique de l'aborder est par approximation.


title: Loi normale

text: Lorsque le résultat de cette expérience aléatoire est à valeurs discrètes, par exemple la somme du lancer de deux dés vaut 2, 3… ou 12, une loi dite discrète modélise l'expérience. Les probabilités d'apparition de chaque valeur peuvent être représentées par des diagrammes en bâtons ou histogrammes (voir la figure ci-contre). Une question que se sont posée plusieurs scientifiques (voir Histoire de la loi normale) est d'effectuer un grand nombre d'expériences et de s'intéresser au comportement de la loi de probabilité associée. Il apparaît que les fréquences d'apparition des valeurs possibles sont de plus en plus « lissées » (voir la figure ci-contre). Il existe une certaine répartition autour d'une valeur centrale, ces probabilités peuvent être alors représentées par la courbe de Gauss ou courbe en cloche obtenue par calcul ou par expérience.


title: Loi normale

text: Une autre manière visuelle de voir apparaître cette courbe est réalisée par la planche de Galton. Des billes sont lâchées en haut de la planche, à chaque étage elles ont deux possibilités : aller à droite ou aller à gauche, après plusieurs étages elles ont donc eu plusieurs choix aléatoires. Lorsque le nombre de billes est grand, la répartition des billes suivant leur position est approximativement une loi normale.


title: Loi normale

text: Comme pour toute loi de probabilité, plusieurs définitions équivalentes des lois normales existent : par leur densité de probabilité (la courbe de Gauss), par leur fonction de répartition, ou par leur fonction caractéristique, etc. Une loi normale dépend de deux paramètres : le premier donne la moyenne, c'est-à-dire la valeur « centrale » (ou « médiane ») des valeurs possibles (par exemple, la moyenne de la somme de deux dés est 7) ; le deuxième paramètre renseigne sur la dispersion des valeurs autour de cette valeur centrale, plus ce paramètre est faible plus les valeurs proches de la valeur centrale auront une forte probabilité d'apparaître. Beaucoup de grandeurs physiques peuvent être représentées par ces deux paramètres.


title: Loi normale

text: Lors de l'étude statistique d'une série d'observations d'une même grandeur, la moyenne des valeurs observées peut être considérée comme une aléatoire suivant une loi normale. La moyenne de cette loi normale est alors considérée comme la valeur « réelle » de la grandeur observée, la dispersion de la loi renseigne sur l'« erreur » d'observation. C'est-à-dire qu'il est possible de calculer une valeur approchée de la probabilité qu'une variable suivant une loi normale soit dans un intervalle autour de la moyenne . Il s'agit de pouvoir obtenir une approximation de la grandeur observée dans l'expérience en considérant les erreurs dues aux instruments de mesures ou autres.


title: Loi normale

text: Une des premières apparitions d'une loi normale est due à Abraham de Moivre en 1733 en approfondissant l'étude de la factorielle lors de l'étude d'un jeu de pile ou face. Il publie "The Doctrine of Chances" en 1756 dans lequel une loi normale apparaît comme limite d'une loi binomiale, ce qui sera à l'origine du théorème central limite. En 1777, Pierre-Simon de Laplace reprend ces travaux et obtient une bonne approximation de l'erreur entre cette loi normale et une loi binomiale grâce à la fonction gamma d'Euler. Dans son ouvrage publié en 1781, Laplace donne une première table de cette loi. En 1809, Carl Friedrich Gauss assimile des erreurs d'observation en astronomie à la courbe, dite des erreurs, de la densité d'une loi normale.


title: Loi normale

text: Une loi normale est alors pleinement définie lorsque le premier théorème central limite, alors appelé "théorème de Laplace", est énoncé par Laplace en 1812. Son nom « normale » est donné par Henri Poincaré à la fin du . Les lois normales portent également les noms de "lois de Gauss" ou "lois de Laplace-Gauss" en fonction de l'attribution de la paternité de la création de ces lois ; la dénomination de "deuxième loi de Laplace" est également utilisée occasionnellement.


title: Loi normale

text: Les études sur les lois normales se poursuivent durant le . Ainsi, de nouvelles tables numériques sont données en 1948 par Egon Sharpe Pearson, en 1952 par le "National Bureau of Standards" et en 1958 par Greenwood et Hartley.


title: Loi normale

text: Une loi normale est une loi de probabilité (c'est-à-dire une mesure de masse totale unitaire) unidimensionnelle (c'est-à-dire à support réel formula_12). C'est une loi absolument continue, c'est-à-dire que la mesure est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue. Autrement dit, il existe une densité de probabilité, souvent notée pour la loi normale centrée réduite, telle que : . Elle est généralisée par la "loi normale multidimensionnelle". La loi normale centrée réduite est appelée "loi normale standard".


title: Loi normale

text: La loi normale centrée réduite est la loi de probabilité absolument continue dont la densité de probabilité est donnée par la fonction formula_13 définie par :


title: Loi normale

text: Cette loi est dite centrée puisque son moment d'ordre 1 (espérance) vaut 0 et réduite puisque son moment d'ordre 2 (variance) vaut 1, tout comme son écart type. Le graphe de la densité est appelé "fonction gaussienne", "courbe de Gauss" ou "courbe en cloche". Cette loi est notée grâce à la première lettre de « normal », une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite est notée :


title: Loi normale

text: Historiquement, une loi normale est apparue comme la loi limite dans le théorème central limite à l'aide de sa fonction de répartition. Il est alors utile de définir la loi par cette fonction. La loi normale est la loi de probabilité dont la fonction de répartition est donnée par la fonction formula_20 définie par :


title: Loi normale

text: Elle donne la probabilité qu'une variable aléatoire de loi normale appartienne à un intervalle formula_22 : formula_23 (pour plus de détails de calcul, voir la section "Tables numériques et calculs").


title: Loi normale

text: La caractérisation d'une loi normale par sa fonction caractéristique présente un intérêt pour démontrer certaines propriétés, comme la stabilité par addition ou le théorème central limite. Cette fonction caractéristique formula_29, qui se calcule à partir de la densité de probabilité et caractérise la loi, est donnée par :


title: Loi normale

text: Cette fonction caractéristique est égale, à une constante multiplicative près, à la densité de probabilité de la loi : on dit que la fonction caractéristique d'une gaussienne est gaussienne.


title: Loi normale

text: Pour le cas où , c'est un comportement dégénéré de la loi normale, parfois appelée la loi normale impropre. C'est alors la mesure de Dirac au point qui n'est pas absolument continue.


title: Loi normale

text: La valeur est la moyenne de la loi et est l'écart type alors que en est la variance. Cette loi est notée grâce à la première lettre de « normal », une variable aléatoire qui suit une loi normale est notée de deux manières différentes suivant les auteurs :


title: Loi normale

text: La deuxième notation a l'intérêt de pouvoir noter la stabilité par addition de manière simple, elle sera utilisée dans cet article.


title: Loi normale

text: En addition de la densité de probabilité, de la fonction de répartition, de la fonction caractéristique et de la fonction génératrice des moments, il existe d'autres caractérisations des lois normales.


title: Loi normale

text: Le moment d'ordre 1 est appelé la moyenne () et est donné en paramètre d'une loi normale formula_39. Le deuxième paramètre est son écart type (), c'est-à-dire la racine carrée de la variance qui est par définition la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Il est alors également intéressant d'obtenir les moments centrés d'une loi normale, ils sont donnés par :


title: Loi normale

text: Le moment ordinaire peut s'obtenir à partir des moments d'ordre inférieur à "n" – 1 et du moment centré d'ordre "n", en utilisant la formule qui exprime en fonction de . Les premiers moments d'une loi normale sont alors :


title: Loi normale

text: Grâce à la symétrie autour de de la fonction de densité d'une loi normale, les moments centrés d'ordre impair sont tous nuls.


title: Loi normale

text: Des moments d'ordre pairs de la loi normale centrée réduite , on déduit la formule des moments centrés : formula_49.


title: Loi normale

text: Les moments centrés d'une loi peuvent s'obtenir à partir de la fonction génératrice des moments centrés. Le cas particulier de la fonction génératrice des moments donne :


title: Loi normale

text: on en déduit, par identification des coefficients des deux séries, les moments centrés d'une loi normale .


title: Loi normale

text: Les lois normales servent de point de référence pour la comparaison des épaisseurs de traîne : si une loi possède un kurtosis normalisé , alors la loi possède une traîne plus épaisse qu'une loi normale et est dite "leptokurtique" ; à l'inverse si , la loi possède une traîne moins épaisse qu'une loi normale et est appelée "platikurtique" ; les lois de kurtosis normalisé nul possèdent une traîne comparable à la loi normale et sont dites "mésokurtiques".


title: Loi normale

text: La fonction caractéristique permet d'obtenir la fonction génératrice des cumulants par la formule formula_51 et permet d'obtenir les cumulants : , et pour .


title: Loi normale

text: La première version du théorème central limite, appelé alors théorème de Moivre-Laplace, a été énoncée dans le cas de variables aléatoires de loi de Bernoulli. De manière plus générale, si sont des variables indépendantes et identiquement distribuées de variance finie et si la somme est notée , alors pour tout


title: Loi normale

text: Ce théorème signifie que tout ce qui peut être considéré comme étant la somme d'une grande quantité de petites valeurs aléatoires indépendantes et identiquement distribuées est approximativement de loi normale. Ceci montre le caractère central des lois normales en théorie des probabilités. Un énoncé physique de ce théorème peut être formulé :


title: Loi normale

text: Ce théorème central limite est valide pour toute loi de probabilité initiale des variables iid ayant un écart type fini, il permet d'obtenir de bonne approximation de la somme , par exemple :


title: Loi normale

text: Il existe des versions plus générales de ce théorème, par exemple en considérant des variables aléatoires indépendantes, pas de même loi mais ayant des variances petites comparées à celle de leur moyenne. Un théorème de Gnedenko et Kolmogorov (1954) stipule qu"'une variable aléatoire normale est la somme d'un grand nombre de variables aléatoires indépendantes petites dont aucune n'est prépondérante" :


title: Loi normale

text: Les lois normales sont stables par additivité, c'est-à-dire que la somme de deux variables aléatoires indépendantes de lois normales est elle-même une variable aléatoire de loi normale. Plus explicitement : si formula_57, formula_58 et et sont indépendantes, alors la variable aléatoire formula_59 suit la loi normale formula_60.


title: Loi normale

text: Cette propriété se généralise pour variables, c'est-à-dire si pour tout formula_61, les variables aléatoires suivent une loi normale formula_62 et sont indépendantes, alors la somme suit une loi normale formula_63.


title: Loi normale

text: Cette propriété se démontre directement au moyen des fonctions caractéristiques. La densité de probabilité de la somme de deux variables indépendantes de loi normale est donnée par la convolution des deux densités. Ceci se traduit par les formules de convolution de fonctions ou de convolution de mesures normales que l'on note formula_64 :


title: Loi normale

text: Il ne faut pas confondre avec la loi dont la densité est la somme de densités de lois normales (voir la section "Constructions à partir de la loi normale" ci-dessous).


title: Loi normale

text: L'ensemble de fonctions formula_66 forme la famille dite "famille normale". La "famille normale" est également le nom de l'ensemble des lois normales formula_67. La famille de fonctions est fermée pour la convolution au sens où : la fonction est la seule qui engendre la famille ; si la convolution de deux densités est dans la famille alors les deux fonctions sont dans la famille ; et toute densité convolée un nombre suffisamment grand de fois et convenablement renormalisée est proche d'une fonction de la famille normale. Les trois théorèmes suivants donnent plus de précisions mathématiques.


title: Loi normale

text: Les lois normales sont stables par linéarité : si et sont deux réels et formula_10, alors la variable aléatoire suit la loi normale formula_73.


title: Loi normale

text: Grâce aux stabilités par addition et par linéarité, une loi normale est un cas particulier de loi stable avec pour paramètre de stabilité . Parmi les lois stables, les lois normales, la loi de Lévy () et la loi de Cauchy () sont les seules à posséder une expression analytique de leur fonction de densité.


title: Loi normale

text: Les lois normales sont stables par moyennisation, c'est-à-dire si sont des variables aléatoires indépendantes suivant respectivement les lois normales formula_74, alors la moyenne suit la loi formula_75.


title: Loi normale

text: Les lois normales ne sont pas convexe, c'est-à-dire que l'inégalité formula_76 pour tous boréliens et n'est pas vérifiée lorsque la mesure formula_45 est normale. Cependant, lorsque l'on normalise cette inégalité avec l'inverse de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, on obtient le théorème suivant, analogue à l'inégalité de Brunn-Minkowski-Lusternik pour la mesure de Lebesgue dans formula_78 :


title: Loi normale

text: En fait, les lois normales font partie de la famille des distributions de mesures log-concaves, c'est-à-dire vérifiant pour tous boréliens et et tout formula_79,


title: Loi normale

text: L'entropie de Shannon d'une loi de probabilité absolument continue de densité donnée par permet de mesurer une quantité d'information et est définie par :


title: Loi normale

text: Dans l'ensemble des lois absolument continues de variance fixée, les lois normales formula_81 sont d'entropie maximum. L'entropie maximum, pour une loi normale donc, est donnée par : . Ainsi la théorie de maximisation de l'entropie dit que, même si elle n'est pas la meilleure loi adaptée aux valeurs, une loi normale ajustée aux valeurs est adéquate pour prendre une décision.


title: Loi normale

text: Il y a également une connexion entre la convergence de suites de lois de probabilité vers une loi normale et la croissance de l'entropie, ce qui en fait un outil majeur dans la théorie de l'information.


title: Loi normale

text: L'information de Fisher d'une loi à densité de probabilité est une autre notion de quantité d'information. Pour une densité , elle est donnée par :


title: Loi normale

text: Pour toute densité suffisamment régulière d'une loi centrée réduite, cette information vérifie . Les lois normales se distinguent des autres densités puisque l'inégalité précédente est une égalité si et seulement si la densité est celle de la loi normale centrée réduite.


title: Loi normale

text: La divergence de Kullback-Leibler entre deux lois permet de mesurer une distance entre les deux lois, ou une "perte d'information" entre les deux lois. La divergence de Kullback-Leibler entre les deux lois normales formula_82 et formula_83 est :


title: Loi normale

text: Il n'existe pas d'expression analytique pour la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de formule simple entre la fonction de répartition et les fonctions classiques telles que les fonctions polynomiales, exponentielle, logarithmique, trigonométriques, etc. Cependant la fonction de répartition apparaît dans plusieurs résultats à vocation à être appliqués, il est donc important de mieux cerner cette fonction. Différentes écritures sous forme de séries ou de fractions continues généralisées sont possibles.


title: Loi normale

text: Pour les valeurs de formula_85, la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite s'écrit sous la forme :


title: Loi normale

text: Pour formula_86, la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite s'écrit sous la forme :


title: Loi normale

text: De manière plus numérique et facilement calculable, les approximations suivantes donnent des valeurs de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite avec :


title: Loi normale

text: Une autre écriture de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite utilise une fraction continue généralisée :


title: Loi normale

text: La table suivante donne les valeurs de la fonction de répartition formula_95, lorsque suit la loi normale centrée réduite formula_38.


title: Loi normale

text: Les valeurs en début de lignes donnent la première partie de la variable, les valeurs en début de colonnes donnent la deuxième partie. Ainsi la case de la deuxième ligne et troisième colonne donne : .


title: Loi normale

text: Les deux tables suivantes donnent les valeurs du quantile formula_97 de la loi normale centrée réduite formula_38 défini par formula_99.


title: Loi normale

text: Les valeurs en début de ligne donne la première partie de la variable, les valeurs en début de colonne donne la deuxième partie. Ainsi la case de la deuxième ligne et troisième colonne donne : formula_100.


title: Loi normale

text: Les tables sont données pour les valeurs positives de la loi normale centrée réduite. Grâce aux formules de la fonction de répartition, il est possible d'obtenir d'autres valeurs.


title: Loi normale

text: Les valeurs de la fonction de répartition de la loi générale s'obtiennent par la formule formula_101. Par exemple :


title: Loi normale

text: La table de valeurs permet également d'obtenir la probabilité qu'une variable aléatoire de loi normale formula_28 appartienne à un intervalle donné par la formule : formula_103. Par exemple :


title: Loi normale

text: Un des intérêts de calculer des probabilités sur des intervalles est l'utilisation des intervalles de confiance pour les tests statistiques. Une loi normale est définie par deux valeurs : sa moyenne et son écart type . Ainsi il est utile de s'intéresser aux intervalles du type .


title: Loi normale

text: Cette table de valeurs des intervalles de confiance permet d'obtenir les plages de normalité pour un niveau de confiance donné. Pour formula_108, le tableau donne :


title: Loi normale

text: Inversement, lorsque la valeur de la probabilité est fixée, il existe une unique valeur formula_113 telle que : formula_114. L'intervalle est appelé "plage de normalité" ou "intervalle de confiance" au niveau de confiance . Pour une loi normale formula_39 et le seuil donnés, la méthode pour retrouver cette valeur consiste à utiliser le tableau de valeur des quantiles (ci-dessus) pour trouver la valeur telle que ; l'intervalle de confiance est alors .


title: Loi normale

text: Par exemple, la plage de normalité au niveau de confiance 95 % d'une loi normale formula_116 est l'intervalle où vérifie , soit , l'intervalle est donc : aux arrondis près.


title: Loi normale

text: Grâce à son rôle central parmi les lois de probabilité et dans les applications, les lois normales possèdent beaucoup de liens avec les autres lois. Certaines lois sont même construites à partir d'une loi normale pour mieux correspondre aux applications.


title: Loi normale

text: Il est à noter que la loi inverse-gaussienne et loi inverse-gaussienne généralisée n'ont pas de lien avec une formule simple créée à partir de variables de loi normale, mais ont une relation avec le mouvement brownien.


title: Loi normale

text: Plusieurs généralisations de la loi normale ont été introduites afin de changer sa forme, son asymétrie, son support, etc.


title: Loi normale

text: Un nouveau paramètre formula_154 dit de forme peut être introduit dans une loi normale pour obtenir une loi normale généralisée. Cette famille de lois contient les lois normales, c'est le cas pour formula_155, mais également la loi de Laplace pour formula_156. La nouvelle densité de probabilité est donnée par


title: Loi normale

text: Il existe une manière de changer l'asymétrie d'une loi normale afin d'obtenir une loi dite loi normale asymétrique ("skew normal distribution" en anglais). L'introduction d'un paramètre formula_157 permet d'obtenir une loi normale lorsque formula_158, une asymétrie vers la droite lorsque formula_159 et une asymétrie vers la gauche lorsque formula_160. La densité de cette loi est donnée par :


title: Loi normale

text: Afin de changer le support d'une loi normale et notamment de le rendre borné, une modification possible de cette loi est de la tronquer. Elle est alors changée d'échelle pour que les parties coupées se répartissent sur l'ensemble des valeurs gardées (à la différence de la loi repliée, voir ci-dessous). La loi normale centrée réduite tronquée en "–T" et en "T" a pour support l'intervalle formula_161 et sa fonction de densité se définit par :


title: Loi normale

text: Il est également possible de tronquer une loi normale d'un seul côté. Elle est alors appelée « loi normale rectifiée ». Si une variable aléatoire formula_117 suit la loi normale formula_163, alors formula_164 suit la loi normale rectifiée.


title: Loi normale

text: Une autre manière de changer le support de la loi normale est de « replier » la densité à partir d'une valeur, la loi obtenue est une loi normale repliée. Les valeurs retirées, par exemple formula_165, sont alors réparties proche de la valeur charnière, 0 ici (à la différence de la loi tronquée, voir ci-dessus). La densité de probabilité de la loi normale repliée en 0 est donnée par :


title: Loi normale

text: Une version généralisée de la loi log-normale permet d'obtenir une famille de lois comprenant les lois normales comme cas particulier. La famille est définie à partir de trois paramètres : un paramètre de position , un paramètre d'échelle et un paramètre de forme formula_166. Lorsque formula_167, cette loi log-normale généralisée est la loi normale. La densité est donnée par :


title: Loi normale

text: Un mélange gaussien est une loi de probabilité dont la densité est définie par une combinaison linéaire de deux densités de lois normales. Si l'on note formula_168 la densité de formula_82 et formula_170 la densité de formula_83, alors formula_172 est la densité d'une loi de probabilité dite "mélange gaussien".


title: Loi normale

text: Il ne faut pas confondre la combinaison linéaire de deux variables aléatoires indépendantes de loi normale, qui reste une variable gaussienne, et la combinaison linéaire de leurs deux densités, qui permet d'obtenir une loi qui n'est pas une loi normale.


title: Loi normale

text: Les modes des deux lois normales sont donnés par et , le mélange gaussien est alors une loi bimodale. Ses maxima locaux sont proches de mais non égaux aux valeurs et .


title: Loi normale

text: Il est possible de construire d'autres densités de probabilité grâce à la densité formula_173 de la loi normale centrée réduite. Harald Cramér énonce en 1926 un résultat général : si une densité de probabilité formula_174 est deux fois dérivable, si l'intégrale formula_175 converge et si formula_176, alors la fonction formula_174 peut être développée en une série absolument et uniformément convergente en fonction des dérivées de la densité de la loi normale centrée réduite et des polynômes d'Hermite formula_178 :


title: Loi normale

text: Historiquement, les lois normales sont introduites lors d'études d'objets célestes ou de jeux de hasard. Elles sont ensuite étudiées et généralisée mathématiquement puis elles sont utilisées dans de nombreuses autres applications : en mathématiques, dans d'autres sciences exactes, dans des sciences plus appliquées ou des sciences humaines et sociales. Voici une sélection d'exemples.


title: Loi normale

text: Au , pour améliorer les précisions des tirs de l'artillerie, de nombreux tirs de canons sont réalisés. Il est observé que la direction et la portée sont assimilables à des lois normales. Cette compréhension permet de mieux entraîner les servants pour régler les tirs. Ces lois normales proviennent de différents facteurs comme les conditions climatiques, mais également de l'usure du matériel militaire. La dispersion des points d'impact, et donc de la loi, renseigne sur l'état du matériel et sur le nombre éventuel de tirs anormaux. L'ajustement à une loi normale est alors effectué par le test de Lhoste sur une série de 200 tirs. Le mathématicien Jules Haag applique la méthode pour de différentes portées et de différentes directions.


title: Loi normale

text: Le quotient intellectuel (QI) a pour objectif de donner une valeur numérique à l'intelligence humaine. En 1939, David Wechsler donne une définition à ce quotient de manière statistique. Une note de 100 est donnée à la moyenne des valeurs obtenues dans une population de même âge et 15 points sont retranchés pour un écart égal à l'écart type obtenu à partir des valeurs de la population testée. Pour cette raison, en pratique, la courbe de répartition du QI est modélisée par la courbe en cloche de la loi normale centrée en 100 et d'écart type 15 : formula_179. Cependant cette modélisation est remise en cause par certains scientifiques. En effet, les résultats des tests seraient dépendants des classes sociales de la population ; la population ne serait donc plus homogène, c'est-à-dire que la propriété d'indépendance des individus ne serait pas vérifiée.