title: Claude Sautet

text: Sautet se consacre alors à "Garçon !", film promis à Yves Montand comme "Une histoire simple" l'était à Romy Schneider. Comme pour ce dernier, il se met une pression désagréable et l'écriture du scénario est éprouvante, malgré le retour en support de Jean-Loup Dabadie. L'acteur impose d'entrée de nombreuses modifications à son personnage, et son emploi du temps repousse qui plus est le tournage d'un an, durant lequel le réalisateur avoue avoir peut-être perdu son inspiration. Ce dernier est en outre très affecté par le décès de sa muse Romy Schneider survenu en mai 1982. La distribution fait une nouvelle fois la part belle aux seconds rôles, parmi lesquels on remarque une jeune Clémentine Célarié signant ses débuts au cinéma. Sur le tournage, Montand en fait trop au goût du cinéaste, il lui apparaît très et il peine à le contenir. Sautet se console un peu en situant l'histoire autour d'une brasserie, milieu qu'il affectionne depuis toujours, et dont il prend plaisir à filmer le des serveurs en salle. Mais il coupera de nombreuses séquences au fil de plusieurs remontages, pour la sortie d'abord, puis à l'occasion de chaque diffusion télévisée. Le film remporte un certain succès, avec quelque 1,5 million d'entrées et quatre nominations aux César, mais la critique est sévère, et lui l'estime raté :


title: Claude Sautet

text: Comme dans ses jeunes années, cette déception conduit Sautet à abandonner la réalisation. Il conserve quelques projets, notamment un polar léger avec Claude Néron, mais il se consacre en fait essentiellement à des travaux dans la publicité. Il doit son retour à Philippe Carcassonne, un critique de cinéma désirant devenir producteur. Celui-ci le soutient dans l'intérêt qu'il porte au roman de Jean-François Josselin "Quelques jours avec moi", et les deux hommes se mettent au travail. Sautet s'entoure de nouveaux scénaristes : Jacques Fieschi, ancien collaborateur de Carcassonne sur la revue "Cinématographe", et qui vient de cosigner "Police" pour Maurice Pialat, est ainsi bientôt rejoint par Jérôme Tonnerre, un fréquent collaborateur de Claude Lelouch.


title: Claude Sautet

text: Avec eux, le cinéaste conforte la tendance entrevue dans ses derniers films vers des personnages plus jeunes. Comme Ottavia Piccolo dans "Mado" et Patrick Dewaere, le héros de "Quelques jours avec moi" est de la génération de son fils. Sautet approche d'abord Michel Blanc, mais il refuse. On lui recommande alors Daniel Auteuil, pour son . L'acteur lui évoque surtout des comédies peu avenantes, mais il lui reconnaît du talent dans "Le Paltoquet" de Michel Deville, où il tient un rôle plus dramatique. De plus, sa présence dans "Jean de Florette" et "Manon des Sources" (1986) lui ont acquis une fraiche célébrité. Sautet lui propose donc de rejoindre le film et l'acteur, s'il décline d'abord, finit par accepter quelques jours après. Auteuil met quelque temps à trouver sa place durant le tournage, mais sa prestation lui vaut finalement les louanges du réalisateur. La production contacte ensuite Sandrine Bonnaire, alors toute jeune actrice de dix-huit ans qui avait déjà tourné pour Maurice Pialat et Jacques Doillon. Elle aussi refuse, au grand dam du cinéaste, mais elle se laisse ensuite convaincre par Fieschi qu'elle connaît bien. Sautet a beaucoup de peine à diriger cette interprète sans grande expérience, mais déjà lauréate de deux César (l'un du meilleur espoir pour "À nos amours" et l'autre de la meilleure actrice avec "Sans toit ni loi"), qui tient à rester et rejette tout accompagnement de sa part. Il prend en revanche beaucoup de plaisir avec Jean-Pierre Marielle, qu'il a rencontré chez Jean Becker à l'époque lointaine où il l'assistait au scénario d<nowiki>'</nowiki>"Échappement libre" (1964), et qu'il avait perdu de vue depuis. Il est également admiratif du professionnalisme de Danielle Darrieux, là encore une vieille connaissance, du temps de ses débuts sur "Occupe-toi d'Amélie" de Claude Autant-Lara, pour laquelle il cherchait depuis longtemps l'occasion d'une association.


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text: Sautet, que les regrets de "Garçon !" ont poussé dans une forme de saturation, poursuit ce renouvellement au sein de la majeure partie de l'équipe technique. "Quelques jours avec moi" apparaît ainsi comme une véritable charnière dans sa carrière, au même titre que l'était "Les Choses de la vie" en 1970. Habitué à travailler avec une équipe fidèle d'à peu près son âge, il est forcé de se réinventer, et le projet lui est difficile. Mais il en garde globalement un très bon souvenir, notamment dans sa manière d'introduire dans le drame des éléments comiques allant jusqu'au burlesque. Sorti en 1988, le film restera un de ses préférés, et par l'estime qu'il lui vaut, celui qui lui redonnera la confiance des producteurs, et de là le financement nécessaire à ses deux ultimes réalisations.


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text: La première, "Un cœur en hiver" (1992), lui vient d'abord de son amour pour la musique, et plus particulièrement de quatre CD de Maurice Ravel reçus de son fils lors d'un anniversaire. L'idée d'en tirer un film prend forme ensuite durant le tournage de "Quelques jours avec moi", à la lecture du roman de 1840 "Un héros de notre temps" de Mikhaïl Lermontov. L'intrigue va surtout prendre appui sur son chapitre "La princesse Mary", où un soldat tourmenté séduit par bravade une femme qu'il n'aime pas. Sans Jacques Fieschi, alors indisponible, Sautet entame un scénario avec Jérôme Tonnerre seul, retranscrivant l'histoire dans un Paris moderne, et commençant à en agencer les principaux éléments. Mais ils peinent à trouver des motivations aux personnages, et à établir les liens qui les unissent. Au point que Tonnerre décidé après quelques mois de quitter l'entreprise. Fieschi revient pour le remplacer, mais la production préfère lui adjoindre l'assistant Yves Ulmann pour le ménager. Pour la distribution, le cinéaste choisit Emmanuelle Béart après l'avoir vue dans un restaurant vêtue et coiffée comme il envisage l'héroïne. Il finit par refaire confiance à Daniel Auteuil, après un temps car il vit à l'époque avec l'actrice. À l'écran, le film forme en partie une réponse à "Quelques jours avec moi", en cultivant des thèmes proches dans un traitement opposé. Il attire plus d'1,3 million d'entrées en France, et est présenté dans plusieurs pays d'Europe et d'Amérique. Sautet reçoit pour l'occasion un Lion d'argent et un César pour son travail de réalisateur, et André Dussollier le César du meilleur acteur dans un second rôle.


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text: Le cinéaste conclut sa carrière avec "Nelly et Monsieur Arnaud" (1995), qu'on peut lire comme une sorte de testament. On y retrouve maints thèmes déjà abordés comme la vénalité ou le non-dit, et le style épuré, chorégraphique dans ses dialogues et sa mise en scène, vers lequel il tend depuis plusieurs films. En outre, le personnage joué par Michel Serrault lui ressemble, Emmanuelle Béart a des airs de Romy Schneider et l'histoire elle-même porte sur des mémoires à écrire. À l'origine, l'idée part d'une scène aperçue par Sautet dans un bistrot : un vieil homme offre un chèque à une jeune femme vraisemblablement dans le besoin. Il apprend plus tard que son mari, informé, la pousse à retourner solliciter son bienfaiteur, celui-ci ne réclamant aucune contrepartie. De cette anecdote, le cinéaste construit le scénario avec le désormais habituel Jacques Fieschi. Les deux hommes construisent ensuite un récit, se nourrissant en partie de souvenirs personnels, et de lectures comme "Les Belles Endormies" du Japonais Yasunari Kawabata. Ils prennent beaucoup de plaisir à composer l'éloquence surannée de Monsieur Arnaud, à l'opposé des silences abstraits qui marquent la majeure partie d"Un cœur en hiver". C'est le producteur Alain Sarde qui propose de confier le rôle à Serrault. Malgré ses extravagances, l'acteur convainc Sautet, et parvient sur le tournage à surmonter ses difficultés avec ses dialogues, et avec le perfectionnisme intrusif du réalisateur. Déjà présente dans son film précédent, Béart semblait un choix plus naturel à Sautet, qui l'engage même sans proposition préalable. Le film est un succès, avec plus d'1,5 million de spectateurs dans les salles, et permet au cinéaste de recevoir un second César, tandis que Serrault est distingué de celui du meilleur acteur.


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text: Ainsi Sautet clôt ainsi sa carrière par une trilogie dépouillée sur les difficultés à exprimer ses sentiments, où la richesse plurielle des personnages de ses années 1970 laisse place à une tension plus discrète et rigoureusement structurée.


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text: Fatigué par l'âge et la maladie, le cinéaste perd une dernière fois l'envie de tourner, et abandonne définitivement la réalisation. Il se rapproche pourtant de Studiocanal en 1998 pour opérer une remastérisation de plusieurs de ses films. Il en profite pour reprendre leurs montages, aidé de la spécialiste en restauration Béatrice Valbin-Constant. Il coupe ainsi plus de dix minutes à "Mado", de trois à "Vincent, François, Paul... et les autres", et d'une à "Une histoire simple" et "Quelques jours avec moi". Environ trente secondes sont retirées à "Max et les Ferrailleurs" et "Un mauvais fils", et quelques scènes des "Choses de la vie" sont également réduites. Enfin "Garçon !", déjà ramené à 102 minutes pour sa sortie en salles après une première version de 112, est encore amputé de près d'un quart d'heure pour aboutir à 88 minutes.


title: Claude Sautet

text: Gros fumeur, Claude Sautet meurt le , des suites d'un cancer du foie. Il est enterré au cimetière du Montparnasse (division 1), à Paris. En 2001, du 5 mai au 14 juillet, Canal Plus diffuse onze de ses longs-métrages dans leurs versions définitives, dans la foulée du travail effectué avec Béatrice Valbin.


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text: En 2005, Alexandre Jardin publie "Le Roman des Jardin", qu'il présente comme autobiographique. Il y assure que son frère Frédéric est né de l'union adultère entre Sautet et sa mère Stéphane. Les deux s'étaient connus quand son père Pascal aidait au scénario de "Classe tous risques". L'affaire fait grand bruit à l'époque, d'autant que Frédéric réclame à Yves Sautet, le fils légitime du cinéaste, de lui reprendre la gestion des droits d'auteur de ce dernier. Le différend est même porté au tribunal. Mais la thèse est finalement rejetée trois ans plus tard, à l'issue de tests ADN. Frédéric n'est pas le fils de Claude Sautet.


title: Claude Sautet

text: Plus que du cinéma, Sautet se sent avant tout proche de la musique et de la sculpture. La première le suit depuis la petite enfance, quand à dix ans il chante dans une chorale en qualité de soprano. Le sentiment d'isolement que lui laisse sa position de soliste le conduit déjà à s'intéresser au rythme et aux tons des autres, plutôt qu'à sa propre voix. Il cultive ce sens musical avec l'âge, s'amourachant assez du jazz pour en écrire des critiques dans un journal à vingt-trois ans. Les artistes qu'ils préfèrent sont les virtuoses comme Bill Evans ou Bud Powell, qui cachent leur technique comme il s'efforcera lui-même de le faire dans ses films. La musique sous-tend l'œuvre entière de Sautet. On la retrouve dans le rythme précis et les intonations travaillées des dialogues, dans l'alternance chronométrée à la seconde des champs-contrechamps, et encore dans la chorégraphie des moments forts, comme l'accident au début des "Choses de la vie" ou le des serveurs dans la brasserie de "Garçon !". Sautet va jusqu'à lui consacrer son film "Un cœur en hiver", situé dans le milieu du violon classique.


title: Claude Sautet

text: Il découvre la sculpture un peu plus tard, quand il intègre l'École des Arts-Déco. Si le courage lui a manqué pour oser en faire ce métier, il reste persuadé que c'est là l'origine de son goût à modeler les corps, en jouant sur les visages et la présence physique. La peinture, dont il a pris quelques cours après son échec au bac, lui plait à l'inverse tellement peu qu'il avoue avoir parcouru des expositions en ne regardant que l'architecture du musée. Le théâtre lui est également étranger, même si Jean-Loup Dabadie et Claude Néron parviendront à lui faire aimer quelques dramaturges comme William Shakespeare ou Marivaux.


title: Claude Sautet

text: Paradoxalement, il en va de même pour le cinéma. Malgré ses études à l'IDHEC, Sautet ne se considère aucunement cinéphile. Son intérêt de spectateur se limite principalement aux films sortis durant sa jeunesse d'avant la guerre. Il cite néanmoins comme influences probables certains réalisateurs européens (Fritz Lang, Eugen Schüfftan, Ingmar Bergman, Federico Fellini) et japonais (Yasujirō Ozu, Kenji Mizoguchi). Mais parmi les maîtres français, il ne se reconnaît une dette qu'envers Jean Renoir et Jacques Becker. Son attrait majeur reste pour Hollywood : Howard Hawks, Ernst Lubitsch et Orson Welles l'impressionnent réellement, de même que John Ford, John Huston ou Raoul Walsh. Il admire en particulier leurs films les plus simples, qui vont directement à l'essentiel sans adjoindre de fioriture. Cette influence se retrouve dans nombre de ses films, de manière évidente sur "Classe tous risques", mais aussi plus discrètement, dans la structure de travaux plus récents tels "César et Rosalie", "Vincent, François, Paul... et les autres" ou "Quelques jours avec moi". Il se démarque ainsi de la Nouvelle Vague contemporaine, dont l'importante culture littéraire et cinématographique des représentants marque pour lui une frontière infranchissable. Il lui est toutefois profondément reconnaissant d'avoir sorti le cinéma hexagonal de son carcan routinier, et voue même une certaine admiration à Jean-Luc Godard, Claude Chabrol, et un François Truffaut qui deviendra son ami. Son attirance pour les livres se résume là-encore aux Américains, comme John Steinbeck, Ernest Hemingway, Erskine Caldwell et John Dos Passos, ou la plus lointaine Carson McCullers. Il est beaucoup moins porté sur la littérature française, malgré une passion de jeunesse pour "La Princesse de Clèves" (son thème de l'aboutissement personnel occupera une grande part de ses films), et une attirance générale pour Diderot, qu'il trouve très moderne dans sa description de la bourgeoisie, par ce qu'elle a de plus beau et de plus complexe.


title: Claude Sautet

text: Sautet recherche un cinéma . Il le déclare lui-même : . S'il admet son désir de voir ses projets trouver leur public, il s'estime malgré tout relativement insensible au qu'en-dira-t-on. De là sa propension à cultiver la tonalité des films qu'il affectionne. Un soin particulier est apporté à dissimuler le travail technique, pourtant considérable, et cet effort d'épure est de plus en plus prégnant à mesure qu'avance son œuvre. Sautet veut atteindre un cinéma pur, débarrassé de l'influence d'autres disciplines comme la peinture, le théâtre ou la littérature, qui cherche ses moyens et son inspiration dans sa propre histoire. Les thèmes sont ainsi traités frontalement, avec tendresse mais sans artifice. De quoi donner à ses films un caractère à la fois oppressant, et serein. La narration s'appuie sur des détails tels qu'un geste, un regard ou une mimique, privilégiant toujours les personnages sur les situations. Et cette prépondérance va immanquablement en s'accentuant de film en film. L'intrigue proprement dite est de plus en plus mince, et difficile à résumer. Elle est moins construite sur des faits, à la manière traditionnelle, qu'à travers une succession de plans suggérant l'évolution des caractères. Au point que l'élaboration de ces derniers avec les scénaristes est à l'origine des plus grandes querelles nées sur ses plateaux. Sautet se montre d'autant plus vigilant vis-à-vis du rendu que ses projets sont toujours chargés de références et d'observations personnelles ayant trait à son univers. Trop s'en écarter le met invariablement mal à l'aise. Et s'il s'efforce de rester ouvert aux propositions extérieures, c'est toujours pour les absorber et se les approprier.


title: Claude Sautet

text: Dès lors, le rythme lui est également très travaillé. Son sens musical porte Sautet à donner beaucoup d'importance à cet aspect. Il y a dans la mise en scène et les dialogues de ses films un côté mélodique, quasi polyphonique qu'il a dû percevoir dès son enfance de choriste, et retrouver dans le jazz et la musique classique de son âge mûr. Avant même le tournage, les scènes en préparation sont séquencées minutieusement, et ne cessent d'être encore affinées ensuite. Le cinéaste n'hésite pas à réécrire une partie du scénario si ça lui semble nécessaire, l'essentiel étant pour lui d'entretenir la fluidité de la narration, ou au contraire d'en conserver les principaux points de rupture. La musique et le cinéma lui apparaissent en effet comme deux , au sens qu'on peut apprécier l'une ou l'autre de manière purement charnelle, physique, sans nécessairement en comprendre le sens littéral. La partition du compositeur proprement dite n'est dès lors qu'un élément parmi les autres, souvent restreint à occuper les plages de silence entre les personnages (et de ce fait en grande partie prévu avant le tournage).


title: Claude Sautet

text: L'importance accordée aux différents rôles a souvent conduit Sautet dans des scènes chorales, qui lui permettent de mieux les décrire par le biais de leurs interactions. Dans ses films, les personnages secondaires sont toujours traités avec soin, au risque même de les rendre trop importants pour l'histoire. C'est par un jeu de réécriture permanent, en prenant en compte la personnalité de chaque acteur, qu'il s'efforce de conserver au récit son authenticité et sa clarté.


title: Claude Sautet

text: La carrière de Sautet prend plusieurs virages avant d'atteindre la maturité, au cours desquels il s'inspire du cinéma d'Outre-Atlantique, mais aussi de sa littérature et de son jazz, pour apprendre le métier de réalisateur. Ses deux premiers longs métrages personnels, "Classe tous risques" et "L'Arme à gauche", sont très proches des films noirs : l'histoire y privilégie l'aspect physique et comportemental, plutôt que les dialogues et les situations. Il faut attendre "Les Choses de la vie", et l'entremise de Jean-Loup Dabadie pour voir le cinéaste s'émanciper, et faire de son œuvre une réflexion sur ce que le critique Michel Boujut (citant Cesare Pavese) appelle le . Les personnages y oscillent entre de lents désespoirs et de courts instants de grâce, et leurs déchirements qui en résultent dessinent peu à peu leur humanité. Dès lors, l'intrigue n'est plus là que pour les accompagner dans leurs aléas sentimentaux. Ce sont d'abord leurs amitiés, leurs amours et leurs affrontements qui la construisent, et l'intervention du hasard n'est souvent là que pour les appuyer. L'articulation des sentiments peut conduire jusqu'à la bassesse, à la vénalité et aux manipulations les plus viles, du moment que les travers décrits conservent leur réalisme. C'est le fondement de films comme "Max et les Ferrailleurs", "Mado" ou "Nelly et Monsieur Arnaud".


title: Claude Sautet

text: S'il rejette l'idée d'être le cinéaste de son temps, qui use de ses films pour relayer les dernières tendances, les films de Sautet traitent bien de thèmes très contemporains comme le chômage, la spéculation immobilière, l'euthanasie, le féminisme ou l'IVG. Mais c'est plutôt pour traduire la difficulté des personnages à vivre dans leur époque, en particulier à l'âge mûr. À mesure qu'avance sa carrière, ce trait conduit même à l'émergence progressive d'une certaine nostalgie dans le ton.


title: Claude Sautet

text: C'est par l'écriture que Sautet est devenu cinéaste. Garçon timide et peu sûr de lui, il éprouve une première satisfaction à rejoindre un groupe de tournage. Même s'il ne s'agit que de rendre de menus services, la perspective d'être simplement remercié, apprécié, tout en découvrant un monde qui lui est nouveau, est déjà pour lui source de bonheur : une occasion de . Son goût le porte rapidement à aider à ficeler des scénarios. À l’œuvre sur un très grand nombre de films, souvent sans même de crédit au générique, il se contente fréquemment de quelques changements, . Les projets qu'on lui soumet sont en effet souvent le produit d'associations disparates portées par un producteur, qui laissent le metteur en scène en difficulté avec le scénario imposé. Ses interventions consistent donc à l'aider en corrigeant ce qui peut l'être. Il se borne généralement à supprimer des aspects accessoires pour recentrer l'histoire, mais il propose aussi parfois quelque ajout donnant au récit plus de relief, en l'éclairant sous un angle nouveau.


title: Claude Sautet

text: Quand débute sa carrière de réalisateur, il reste un scénariste actif de ses propres films, mais avoue son besoin de s'entourer. Son manque de culture littéraire le pousse en effet dans des doutes permanents, l'obligeant à soumettre sans cesse ses idées à quelqu'un de confiance. C'est d'abord sa femme Graziella qui joue ce rôle, en lui donnant son avis à chaque étape de ses créations. L'écriture s'effectue ensuite avec les quelques coscénaristes qui l'ont accompagné dans sa carrière, plus particulièrement les tandems Jean-Loup Dabadie - Claude Néron (des "Choses de la vie" à "Garçon !") et Jacques Fieschi - Jérôme Tonnerre sur sa dernière trilogie. Sa méthode reste globalement la même : avec l'aide de ses collaborateurs, il compose d'abord une nouvelle d'une vingtaine de pages destinée aux producteurs, puis s'autorise à la reprendre une fois le projet officialisé. Là démarre ce que Dabadie appelle la phase de , par opposition à celle de de mise au propre qui lui succède. Durant la première, qui peut durer jusqu'à six mois, Sautet discute de l'intrigue avec ses coscénaristes de plus en plus formellement. Progressivement, il trace schématiquement l'évolution des différents personnages, usant de grandes feuilles collées au mur, qu'il colore selon l'émotion ou un aspect particulier du récit. Il écrit rarement réellement, se contentant plutôt de cadrer oralement, apportant des idées, en refusant d'autres, mimant les dialogues comme un acteur pour percevoir au plus juste le résultat à venir. Ce travail, mené dans une concentration intense, est poussé loin dans le détail apporté aux descriptions, aux dialogues, au séquencement des scènes et aux indications de jeu. Mais le cinéaste s'assure toujours de laisser une part de mystère et de non-dit, sur laquelle il pourra s'appuyer ensuite durant le tournage. Cette volonté d'imprévu le conduit à chaque fois modifier en profondeur les récits qu'il adapte.


title: Claude Sautet

text: Sautet reste néanmoins peu à l'aise avec l'improvisation. Son désir d', comme il dit, doit toujours s'accompagner d'une grande rigueur. Cette implication forte et ce degré d'exigence conduisent parfois à quelques tensions avec ses coscénaristes, mais elles se résolvent généralement vite, Sautet restant toujours ouvert aux propositions, et ne rejetant au fond que le flou et l'indécision. D'une manière générale, très peu de ceux qui ont travaillé un temps avec lui n'en gardent de bons souvenirs, et l'envie de participer à nouveau à l'un de ses projets.


title: Claude Sautet

text: En matière de photographie, le cinéaste n'a pas de prédilection particulière. C'est généralement durant les repérages que se dessine la tonalité de ses films. Il la corrige ensuite durant le tournage, en gardant toujours en tête l'évolution à venir du récit. Il commence par mettre en place le décor précisément, en usant par exemple de miroirs ou de cloisons factices pour le remodeler à sa guise. C'est seulement après qu'il s’intéresse à la dramaturgie.


title: Claude Sautet

text: Sa réserve naturelle l'amène à privilégier des chefs opérateurs avec lesquels peut naître un échange. Celui-ci va bien au-delà de la technique : il s'agit de construire un dialogue sur un axe aussi bien politique, personnel ou philosophique que stylistique. Le style, justement, est toujours discret dans les films de Sautet. Non qu'il le rejette systématiquement, mais il s'estime incapable de maîtriser des effets trop palpables. Il préfère donc s'en tenir aux apports de ses chefs opérateurs, et de les adapter selon l'idée qu'il se fait de son film. Cette exigence, qui se poursuit dans la manière dont il met en scène, est l'un des fondements de son œuvre : la recherche de ce qu'il appelle lui-même la .


title: Claude Sautet

text: Sautet considère le cinéma comme un , où chacun est à sa place pour apporter sa contribution. C'est pour cette raison qu'il ne supporte pas l'oisiveté sur un tournage. Il attend de chacun une implication totale. Il en a besoin pour faire taire les nombreux doutes qu'il rencontre à mesure que le projet avance. Chaque jour est en effet pour lui l'occasion de tester différentes combinaisons, amenant leur lot de flous qu'il se fait un devoir d'élucider. D'un tempérament très anxieux, il s'investit lui-même dans tous les aspects de la production, inscrivant chaque matin sur des fiches de couleur le programme qu'il se fixe pour la journée. Chaque élément le préoccupe, et la moindre proposition suffit à le replonger dans l'interrogation. Malgré cela, il met tous ses efforts à maîtriser ses entreprises, et parvient généralement à s'en tenir au budget alloué. Ce dernier peut certes être assez élevé, du fait de ses exigences. Mais si on excepte "Mado" et son contexte désastreux (grève des techniciens, conditions climatiques difficiles), il réussit toujours à tenir les délais impartis, limitant en particulier tous ses tournages à moins de trois mois.


title: Claude Sautet

text: Avec ses acteurs, il conserve cette même attente envers leur implication. Bien avant le tournage, il les rencontre d'abord informellement, leur parlant de choses et d'autres, et n'abordant le sujet du rôle que quand il les sent vraiment accrochés. Il a besoin d'acteurs investis, car il compose ses personnages avec à l'esprit ceux qu'il choisit pour les interpréter. Même s'il n'hésite pas à réécrire les scènes durant le tournage selon ce qu'il perçoit, il lui importe que chacun des acteurs se sente suffisamment en confiance pour donner de sa personnalité, celle-ci étant partie intégrante du rôle. Il s'efforce donc de les mettre dans des situations les portant plus naturellement à s'exprimer. Quitte à leur donner parfois de fausses indications, le temps que se débloque un moment délicat. Il reste toutefois extrêmement attentif à l'intonation et au rythme de leur diction. Lui-même travaille chaque rôle en se mettant à la place du personnage, allant souvent jusqu'à le jouer devant l'interprète pour le pousser à reproduire sa manière. Son insistance sur ce point lui occasionnera quelques brouilles, comme avec Sandrine Bonnaire sur "Quelques jours avec moi", où l'actrice d'alors dix-huit ans refuse toute intrusion dans sa façon de jouer. Mais quelles que soient les tensions vécues, la plupart des acteurs ayant collaboré avec Sautet loueront cette expérience et se déclareront prêts à recommencer.


title: Claude Sautet

text: Sautet aime s'entourer des mêmes têtes, en particulier pour sa distribution. Il préfère travailler avec des personnes qu'il apprécie, et qu'il peut ainsi apprendre à mieux connaître. Garder une équipe le met plus à l'aise, et il n'hésite pas à souvent confier ses films aux mêmes scénaristes, acteurs, monteurs, chefs opérateurs et compositeurs.


title: Claude Sautet

text: Quand il rencontre Romy Schneider, Sautet ne l'a encore jamais vue à l'écran. Il l'associe au personnage de Sissi qui l'a fait connaître, et en garde l'image d'une femme peu naturelle. Mais il découvre quelqu'un d'au contraire très vivant, gai et attachant. Sur le tournage des "Choses de la vie", il est frappé par son implication, et par l'énergie qu'elle dégage. Il comprend qu'elle est vulnérable, habitée d'émotions lourdes que son rôle lui permet d'extérioriser. Il se rend compte aussi que leurs perfectionnismes respectifs se nourrissent l'un l'autre. La collaboration lui est passionnante, et il s'efforce de la préserver. Il reste à ses côtés quand elle doute, et la guide dans l'amélioration de son jeu. C'est ainsi par exemple qu'il la pousse à baisser sa voix, remarquant qu'elle en devient aussitôt plus juste, et que son accent allemand y gagne en charme. À la vue de son aisance à vite changer d'expression, il la convainc de se coiffer les cheveux tirés en arrière, et ainsi dégager son visage. Schneider a pour lui une force de caractère telle qu'elle oblige les hommes à donner le meilleur d'eux-mêmes, et il reste longtemps sans pouvoir écrire un rôle féminin sans penser à elle pour l'interpréter.


title: Claude Sautet

text: Leur association s'étale sur cinq films : outre "Les Choses de la vie", l'actrice apparaît dans "Max et les Ferrailleurs", "César et Rosalie", "Mado" et "Une histoire simple". Il lui offre ce dernier pour ses quarante ans, en vertu d'une vieille promesse qu'elle n'hésite pas à lui rappeler. Elle lui reprochera d'ailleurs de ne pas l'y avoir assez mise en avant, son rôle s'inscrivant parmi un groupe qu'elle qualifiera de . Mais c'est bien encore elle qui est à l'origine d"Un mauvais fils", adapté sur ses conseils par Sautet avec son mari d'alors Daniel Biasini. Leur relation, qui aurait commencé par une brève liaison avant le tournage des "Choses de la vie", est un point fondamental de l’œuvre du cinéaste, qui a beaucoup aidé à sa popularité. Il trouve en Schneider sa muse, l’icône qui accompagne son nouveau départ après la période difficile qui suit la sortie de "L'Arme à gauche". Sa mort en 1982 est pour lui un drame, dont il ne se relèvera jamais complétement.


title: Claude Sautet

text: Sautet rencontre Michel Piccoli chez Philippe Sarde, son futur compositeur attitré, qui a alors vingt ans et vit toujours chez ses parents. Ils s'y parlent peu, mais le cinéaste commence à l'envisager pour le rôle principal des "Choses de la vie". Il a remarqué ses progrès depuis quelques films, et reste impressionné par sa performance dans "Le Doulos" de Jean-Pierre Melville. Comme à son habitude, il l'invite à un tête-à-tête où ils échangent de sujets divers, n'abordant le projet que rarement, et seulement après que s'installe une certaine complicité. Celle-ci se poursuit quand sur le tournage, les deux hommes s'allient pour soutenir la très sensible Romy Schneider, . Ils se retrouveront sur encore quatre films : Piccoli incarne des rôles majeurs dans "Max et les Ferrailleurs", "Vincent, François, Paul... et les autres" et "Mado", auxquels s'ajoute la voix du narrateur de "César et Rosalie". Sautet apprécie en lui le même mélange d'instinct et de rigueur qu'en Romy Schneider, mais il lui ajoute un côté troublant, et un sens de l'observation lui permettant un grand mimétisme. L'acteur avouera s'être aperçu qu'il le singeait en fait lui-même. Schneider et Piccoli sont les deux seuls que Sautet s'interdit presque toujours de couper au montage. Ils forment en quelque sorte ses alter ego à l'écran, qu'il s'assure toujours de ménager, et d'écouter sur les tournages. Après "Mado", Piccoli et Sautet se perdent de vue, sans raison autre que l'absence de projet prévu ensemble. Ils ne se retrouvent qu'une dizaine d'années plus tard, reprenant une amitié qui ne cessera cette fois qu'avec leur mort.


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text: La relation est plus conflictuelle avec Yves Montand. Le cinéaste est d'abord surpris quand son agent Jean-Louis Livi lui soumet son nom pour "César et Rosalie". Ses prestations précédentes ne le convainquent pas : il les trouve forcées. Mais il organise tout de même une rencontre, qui le laisse charmé. Il découvre un homme sympathique, drôle, mais aussi émouvant d'une certaine manière, par son côté hâbleur et sanguin prisonnier de lui-même. Il va beaucoup jouer de cet aspect dans leurs trois films ensemble : celui-ci, puis "Vincent, François, Paul... et les autres", et enfin "Garçon !". Ce dernier résulte d'ailleurs d'une promesse qu'il a faite l'acteur, comme "Une histoire simple" l'était pour Romy Schneider. Mais leurs rapports se dégradent peu à peu. D'une part, le caractère excessif de Montand commence à lui peser, et d'autre part il insiste de plus en plus pour que son rôle le mette en valeur. Souvent Sautet cède et lui ajoute des scènes favorables, mais il en coupera la plupart lors de remontages, certains après sa mort en 1991. L'échec critique de "Garçon !" scelle la fin de leur collaboration. Après le hiatus de cinq ans qui lui succède, Sautet aspire à un renouveau. Il se lasse d'osciller entre ces deux représentations de lui-même, Piccoli pour sa part de pudeur quasi puritaine, Montand pour son côté plus sanguin. Il préfère alors se tourner vers des acteurs plus jeunes, en particulier Daniel Auteuil.


title: Claude Sautet

text: Sautet rencontre Jean-Loup Dabadie durant sa période de . Il lui propose de travailler ensemble sur un projet ambitieux, "Coupé cabèche", dont le tournage doit être dirigé par Michel Boisrond, et mettre en avant différentes célébrités telles qu'Ursula Andress. Dabadie est à l'époque un jeune journaliste connu pour écrire des sketches à Guy Bedos. Le film n'aboutit pas, mais quand il entame une adaptation des "Choses de la vie" à la demande de son auteur Paul Guimard, et qu'aucun réalisateur ne se montre intéressé, il repense à Sautet. L'accord de ce dernier marque le début d'une collaboration fructueuse qui durera six longs métrages. Leur duo est très complémentaire : Sautet amène son passé banlieusard, son caractère angoissé, et la noirceur des polars américains qu'il affectionne, Dabadie y ajoute une touche de vitalité plus légère et aristocratique. Les deux hommes aiment se retrouver dans une brasserie, souvent la même, où ils discutent en observant les autres clients. L'idée prenant forme, ils initient le processus d'écriture. Ils le font d'abord le soir chez Dabadie, dans une pièce à l'écart de sa femme et ses fils, puis s'installent dans un studio spécialement acheté par le cinéaste, rue de Ponthieu à Paris. Au gré de leurs échanges, ils prennent diverses notes qu'ils clouent aux murs, et qu'ils complètent à mesure que se dessinent l'intrigue et les personnages. Généralement, Dabadie écrit entre deux séances ce qu'ils ont convenu, puis le lit à Sautet et celui-ci, parcourant l'endroit de long en large, lui soumet les modifications qui lui viennent à l'esprit. Son irascibilité est bien supportée par son comparse, celui-ci lui gardant un immense respect, et s'avouant plutôt par l'homme que vraiment agacé.


title: Claude Sautet

text: L'association prend la forme d'un trio dès "Max et les Ferrailleurs", en intégrant l'auteur du roman éponyme Claude Néron. Il reste en support pour "César et Rosalie", puis fournit encore son livre "La Grande Marrade" pour servir de base à "Vincent, François, Paul... et les autres". Durant leurs séances ensemble rue de Ponthieu, il se pose plutôt en retrait, n'apportant son concours que par petites touches qui lui viennent en pensant surtout au résultat à l'écran. Il amène aussi une forme de pragmatisme sincère, qui aide ses deux complices dans leurs réflexions. En termes de style, Néron est à l'opposé de Dabadie. Il s'inscrit dans un pessimisme profond, loin de la pétulance de son vis-à-vis, et préfère aux décors bourgeois la classe ouvrière et les laissés-pour-compte. Mais les trois hommes s’apprécient. Dabadie a de l'admiration pour l'auteur Néron, qui en retour se montre ouvert à ses commentaires. Sautet apparaît même parfois plus à l'aise avec ce dernier, dans son apparence notamment vestimentaire. Mais leur relation se détériore quand Néron découvre Dabadie cité seul dialoguiste au générique de "Vincent, François, Paul... et les autres", en vertu d'une clause contractuelle qu'il ignorait. Touché, le cinéaste lui confie donc "Mado" exclusivement. Mais le film marque la fin de leur collaboration, Sautet préférant retrouver Dabadie pour "Une histoire simple". Par la suite, il ne refait appel à celui-ci que sur "Garçon !", dont le souvenir amer le conduit à renouveler largement son équipe pour son film suivant "Quelques jours avec moi". C'est alors Jacques Fieschi et Jérôme Tonnerre qui reprennent le rôle de coscénaristes.


title: Julien Boisselier

text: Julien Boisselier passe une partie de sa jeunesse à Nantes et se rend à Paris pour étudier la comédie au cours Florent et à l'ENSATT. Il commence sa carrière d'acteur en apparaissant dans diverses séries télévisées, notamment "Crimes en série". En 1998, il tient un des rôles principaux, celui d'un jeune père célibataire qui résiste aux brimades d'un supérieur hiérarchique chargé de faire craquer un groupe de salariés, dans le téléfilm primé "De gré ou de force" de Fabrice Cazeneuve, qui marque l'histoire de la télévision française par sa représentation de la souffrance au travail et participe à l'introduction de la notion de harcèlement moral dans la loi en France. Dès 2001, les Lutins du court métrage honorent individuellement Julien Boisselier du prix du meilleur acteur dans "À découvert" de Camille Brottes.


title: Julien Boisselier

text: Il est repéré la même année au cinéma, avec entre autres "Quand on sera grand" de Renaud Cohen et "Les Portes de la gloire" de Christian Merret-Palmair. En 2004, il tient le rôle principal de "Clara et moi", secondé de Julie Gayet, et se voit décerner le prix de la révélation masculine par les Étoiles d’or du cinéma français. Au sujet de sa performance, le réalisateur Arnaud Viard qui avait songé à se réserver le rôle avant de le lui confier, s'est ainsi exprimé : « Je n'avais jamais vu un acteur aussi émouvant, et aussi charmant. [...] J'aime sa sensibilité, son mystère et sa façon de ne pas être totalement acteur. » C'est alors le succès du film "Je vais bien, ne t'en fais pas" de Philippe Lioret qui rend Julien Boisselier célèbre en 2006 aux côtés des jeunes comédiennes Mélanie Laurent et Aïssa Maïga. Le film, qui fait l'objet de 12 nominations et reçoit 7 récompenses cinématographiques, lui vaut le prix de la Révélation masculine de l'année lors de la douzième édition du prix des Lumières de la presse étrangère. Puis il apparaît avec Mélanie Laurent dans le clip de la chanson « Poupée de chiffon » de Mayane Delem.


title: Julien Boisselier

text: La même année, Boisselier tient à la télévision française le rôle de Charles, jeune homme retardé mental devenu supérieurement intelligent grâce à sa participation à des essais cliniques, dans l'adaptation franco-suisse de l'œuvre classique de science-fiction "Des fleurs pour Algernon" de Daniel Keyes. Ses apparitions télévisées se poursuivent avec l'adaptation de la nouvelle "Ce cochon de Morin" dans la série "Chez Maupassant" en 2008, le rôle d'Henri de Navarre dans la version augmentée du film historique austro-allemand "Henri 4" diffusé en 2012, ainsi que l'épisode de "L'Affaire Prothero" dans "Les Petits Meurtres d'Agatha Christie" en 2016.


title: Julien Boisselier

text: Au cinéma, il s'illustre dans des comédies romantiques telles que "On va s'aimer", "Jamais le premier soir" et "J'me sens pas belle". Des rôles plus secondaires lui sont offerts dans le genre dramatique, tel que le frère de l'héroïne principale du film historique de 2008 "Les Femmes de l'ombre" de Jean-Paul Salomé, aux côtés des têtes d'affiche Sophie Marceau et Julie Depardieu. Le réalisateur Nicolas Boukhrief, qui l'a déjà dirigé dans "Le Convoyeur" et "Cortex", insiste pour lui faire jouer un personnage mauvais et en 2010, face à Cécile de France, Julien Boisselier s'inspire de ses expériences de DJ en boîte de nuit où il a croisé quelques malfrats afin d'endosser le rôle de Marc, jeune homme de bonne famille devenu parrain de la drogue pour "Gardiens de l'ordre". Puis l'acteur campe Lacombe, inspecteur de la police des polices irascible et violent, et accompagne les débuts de Lizzie Brocheré avec Tomer Sisley dans "Nuit blanche" en 2011.


title: Julien Boisselier

text: Par ailleurs, il double le narrateur de "Skhizein" de Jérémy Clapin, court-métrage d'animation qui plonge dans la psyché d'un homme atteint de schizophrénie, nommé pour le César 2009 du meilleur film d'animation et salué par de nombreuses distinctions en France et à l'international, comme le Prix du Meilleur Film d'Animation francophone SACD au cours du festival international du court-métrage de Clermont-Ferrand, la mention spéciale du jury au Off-courts de Trouville et au festival FFAT de Munich, le prix du meilleur film d'animation l'International Film Festival de Leeds, ou encore le grand prix du jury et le prix du public au festival Anima de Bruxelles.


title: Julien Boisselier

text: Avec l'assistance de Fabienne Tournet, Julien Boisselier s'essaie pour la première fois à la mise en scène avec la pièce du duo Mélissa Drigeart-Vincent Juillet "Même si tu m'aimes" en 2011-2012 au Théâtre Michel à Paris. Sur les planches, il incarne le romancier américain Francis Scott Fitzgerald aux côtés de Sara Giraudeau en Zelda Sayre dans la pièce biographique "Zelda & Scott" de Renaud Meyer au Théâtre La Bruyère en 2013. Le , il est invité au micro de Marie Richeux pour l'émission radiophonique littéraire "Je déballe ma bibliothèque" sur France Culture, où il fait une série de lectures, dont un extrait de la pièce. En 2016, il met en scène et joue dans "La Médiation" de l'actrice et autrice française Chloé Lambert, qui lui donne la réplique, au Théâtre de Poche Montparnasse. Dans sa mise en scène, les comédiennes Raphaëline Goupilleau et Ophélia Kolb sont nommées respectivement pour le Molière de la Comédienne dans un second rôle et celui de la Révélation féminine. L'année suivante, Boisselier met à nouveau en scène une pièce dans laquelle il joue lui-même, mais cette fois-ci seul : le monologue théâtral "12 millimètres", deuxième pièce qu'il monte écrite par Mélissa Drigeard et Vincent Juillet, parodie les émissions culinaires au Théâtre de l'Œuvre à Paris.


title: Julien Boisselier

text: En , il tient le premier rôle, aux côtés de l'actrice italienne Caterina Murino, dans le thriller "Et mon cœur transparent" des frères David et Raphaël Vital-Durand, adaptation cinématographique du roman de Véronique Ovaldé. Il y retrouve à l'écran, à sa propre initiative, sa partenaire de scène Sara Giraudeau.


title: Julien Boisselier

text: Nantais, Julien Boisselier a pour parrain Robert Budzynski, directeur sportif du FC Nantes pendant 35 ans (de 1970 à 2005), tandis que son père a failli être footballeur professionnel.


title: Julien Boisselier

text: Interviewé sur RTL le , il indique avoir écrit de fausses informations sur la page Wikipédia de Fred Testot à la suite d'une plaisanterie entre les deux comédiens.


title: Déterminant (mathématiques)

text: En mathématiques, le déterminant est une valeur qu'on peut associer aux matrices ou aux applications linéaires en dimension finie. Sur les exemples les plus simples, ceux de la géométrie euclidienne en dimension 2 ou 3, il s'interprète en termes d'aires ou de volumes, et son signe est relié à la notion d'orientation. Il fut initialement introduit en algèbre, pour résoudre un système d'équations linéaires comportant autant d'équations que d'inconnues. Il se révèle être un outil très puissant dans de nombreux domaines. Il intervient ainsi dans l'étude des endomorphismes, la recherche de leurs valeurs propres, les propriétés d’indépendance linéaire de certaines familles de vecteurs, mais aussi dans le calcul différentiel, par exemple dans la formule de changement de variables dans les intégrales multiples.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Comme pour de nombreuses opérations, le déterminant peut être défini par une collection de propriétés (axiomes) qu'on résume par le terme « forme multilinéaire alternée ». Cette définition permet d'en faire une étude théorique complète et d'élargir ses champs d'applications.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Le déterminant peut aussi se concevoir comme une généralisation à l'espace de dimension "n" de la notion d'aire ou de volume orientés.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Un domaine spécifique de l'algèbre est consacré à l'étude du déterminant et de ses généralisations : il s'agit de l'algèbre multilinéaire.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Les déterminants furent introduits en Occident à partir du , soit bien avant les matrices, qui n'apparaissent qu'au . Il convient de rappeler que les Chinois furent les premiers à utiliser des tableaux de nombres et à appliquer un algorithme maintenant connu sous le nom de procédé d'élimination de Gauss-Jordan.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Dans son sens originel, le déterminant "détermine" l'unicité de la solution d'un système d'équations linéaires. Il fut introduit dans le cas de la taille 2 par Cardan en 1545 dans son "Ars Magna", sous forme d'une "règle" pour la résolution de systèmes de deux équations à deux inconnues. Cette première formule porte le nom de "regula de modo".


title: Déterminant (mathématiques)

text: L'apparition des déterminants de taille supérieure demande ensuite plus de cent ans. Curieusement, alors que le Japon est coupé du monde extérieur, le Japonais Seki Kōwa et l'Allemand Leibniz en donnèrent les premiers exemples presque simultanément.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Leibniz étudie de nombreux systèmes d'équations linéaires. En l'absence de notation matricielle, il représente les coefficients inconnus par un couple d'indices : il note ainsi "ij" pour "a". En 1678, il s'intéresse à un système de trois équations et trois inconnues et donne, sur cet exemple, la formule de développement suivant une colonne. La même année, il écrit un déterminant de taille 4, correct aux signes près. Leibniz ne publie pas ses travaux, qui semblent avoir été oubliés avant que les résultats soient redécouverts indépendamment une cinquantaine d'années plus tard.


title: Déterminant (mathématiques)

text: À la même période, Seki Kōwa publie un manuscrit sur les déterminants, où il énonce une formulation générale difficile à interpréter. Celle-ci semble donner des formules correctes pour des déterminants de taille 3 et 4, et de nouveau des signes erronés pour les déterminants de taille supérieure. La découverte restera sans lendemain, à cause de la coupure du Japon avec le monde extérieur.


title: Déterminant (mathématiques)

text: En 1748, un traité d'algèbre posthume de Maclaurin relance la théorie des déterminants, avec l'écriture correcte de la solution d'un système de quatre équations et quatre inconnues.


title: Déterminant (mathématiques)

text: En 1750, Cramer formule les règles qui permettent de résoudre un système de "n" équations et "n" inconnues, mais sans en donner la démonstration. Les méthodes de calcul des déterminants sont alors délicates, puisque fondées sur la notion de signature d'une permutation.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Les mathématiciens s'emparent de ce nouvel objet, avec des articles de Bézout en 1764, de Vandermonde en 1771 (étonnamment ne donnant pas le calcul du déterminant de la matrice de Vandermonde actuelle ; c'est un exemple célèbre d'illustration de la loi de Stigler). En 1772, Laplace établit les formules de récurrence portant son nom. L'année suivante, Lagrange découvre le lien entre le calcul des déterminants et celui des volumes.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Gauss utilise pour la première fois le mot « déterminant », dans les "Disquisitiones arithmeticae" en 1801. Il l'emploie pour ce que nous qualifions aujourd'hui de discriminant d'une forme quadratique binaire et qui est un cas particulier du déterminant moderne. Il est également près d'obtenir le théorème sur le déterminant d'un produit.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Cauchy emploie le mot déterminant dans son sens moderne. On peut ainsi lire dans son article de synthèse sur cette question :


title: Déterminant (mathématiques)

text: Elle représente une synthèse des connaissances antérieures, ainsi que des propositions nouvelles comme le fait que l'application transposée ne modifie pas le déterminant ainsi que la formule du déterminant d'un produit. Binet propose également une démonstration cette même année.


title: Déterminant (mathématiques)

text: En publiant ses trois traités sur les déterminants en 1841 dans le journal de Crelle, Jacobi donne une véritable notoriété à la notion. Pour la première fois, il présente des méthodes de calcul systématiques, sous forme algorithmique. Il devient également possible d'évaluer des déterminants de fonctions avec la naissance du jacobien.


title: Déterminant (mathématiques)

text: De 1832 à 1844, les travaux de Grassmann, fondent l'algèbre extérieure et donnent un sens plus général aux déterminants au travers de la représentation des grassmanniennes.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Le cadre matriciel est introduit par les travaux de Cayley et Sylvester. Cayley est également l'inventeur de la notation des déterminants par des barres verticales ; il établit la formule de calcul de l'inverse.


title: Déterminant (mathématiques)

text: La théorie s'étoffe par l'étude de déterminants ayant des propriétés de symétrie particulières et par l'introduction du déterminant dans de nouveaux champs des mathématiques, comme le wronskien pour les équations différentielles linéaires.


title: Déterminant (mathématiques)

text: En 1867, Lewis Carroll publie ', dans lequel il énonce dix-sept propriétés dont sept sont, d'après lui, originales.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Les calculs d'aires et de volumes sous forme de déterminants dans des espaces euclidiens apparaissent comme des cas particuliers de la notion générale. Cette vision des déterminants permet une approche plus géométrique de leurs propriétés.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Soit "P" le plan euclidien orienté usuel. Le déterminant des vecteurs formula_1 et formula_2 est donné par l'expression analytique


title: Déterminant (mathématiques)

text: Cette annulation apparaît comme un test de proportionnalité des composantes des vecteurs par produit en croix.


title: Déterminant (mathématiques)

text: On peut illustrer la linéairité en considérant deux parallélogrammes adjacents, l'un défini par les vecteurs "u" et "v", l'autre par les vecteurs "u et "v". L'aire du parallélogramme défini par les vecteurs "u"+"u et "v" est égale à la somme des aires des deux parallélogrammes précédents, à laquelle est enlevée l'aire d'un triangle, et ajoutée l'aire d'un autre triangle ; les deux triangles se correspondant par translation. La formule suivante est vérifiée :


title: Déterminant (mathématiques)

text: Ce dessin correspond à un cas particulier de la formule de bilinéarité puisque les orientations ont été choisies de façon que les aires aient le même signe, mais il aide à en saisir le contenu géométrique.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Il est possible de définir la notion de déterminant dans un plan euclidien orienté muni d'une base orthonormale directe "B", en utilisant les coordonnées des vecteurs dans cette base. Le calcul de déterminant donne le même résultat quelle que soit la base orthonormale directe choisie pour le calcul.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Soit "E" l'espace euclidien orienté usuel de dimension 3. Le déterminant de trois vecteurs de "E" est donné par


title: Déterminant (mathématiques)

text: Ce déterminant porte encore le nom de produit mixte en dimension 3 ; un procédé visuel pour retrouver cette formule est connu sous le nom de règle de Sarrus.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Comme pour la bilinéarité (vu supra), une illustration géométrique peut s'obtenir en considérant deux parallélépipèdes adjacents, c'est-à-dire possédant une face commune.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Dans l'espace à trois dimensions, le cube unité sert de référence. Son déterminant vaut un. Un parallélépipède non plat possède un déterminant positif s'il est possible de l'obtenir en déformant continûment, sans jamais l'aplatir, le cube unité.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Le déterminant est au contraire négatif s'il est nécessaire d'appliquer en plus une symétrie, c’est-à-dire si le cube unité ne peut être obtenu qu'en déformant le parallélépipède, puis en observant le résultat de cette déformation dans un miroir.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Une application linéaire est une application qui transforme les coordonnées d'un vecteur de manière linéaire. Par exemple dans l'espace de dimension 3, l'application est linéaire si les coordonnées "x", "y" et "z" d'un vecteur ont pour image "x", "y et "z" avec :


title: Déterminant (mathématiques)

text: Pour être plus précis, le déterminant d'une application linéaire est un nombre, qui représente un facteur multiplicatif pour les volumes. Si le cube jaune est de volume 1, alors le volume de l'image du cube vert est la valeur absolue du déterminant de la première application. La deuxième application a un déterminant nul, ce qui correspond à un aplatissement des volumes.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Le déterminant est positif s'il est possible de déformer continûment le cube jaune pour obtenir le vert. Il est au contraire négatif s'il est nécessaire d'y appliquer en plus une symétrie.


title: Déterminant (mathématiques)

text: En fait cette propriété n'est pas uniquement vraie pour le cube unité jaune. Tout volume transformé par une application linéaire est multiplié par la valeur absolue du déterminant.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Le déterminant existe pour les applications linéaires d'un espace dans lui-même dans le cas de toutes les dimensions finies. En effet, la notion de volume peut être généralisée : ainsi un « hypercube » ayant ses arêtes de longueur 2 dans un espace euclidien de dimension "n" aurait un déterminant (sorte d'« hypervolume ») de 2. En revanche, si l'espace est de dimension infinie, alors le déterminant n'a plus de sens.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Il existe un cas de calcul numérique très fréquent pour les ingénieurs, les physiciens ou les économistes. Il s'agit de la résolution d'un système d'équations linéaires. Si le système possède autant d'équations que de variables, on peut espérer avoir l'existence et l'unicité d'une solution. Mais ce n'est pas toujours le cas, par exemple en cas de répétition de la même équation, plusieurs solutions conviendront.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Plus précisément, à un système de "n" équations et "n" inconnues peut être associé un déterminant. L'existence et l'unicité de la solution est obtenue si et seulement si le déterminant est différent de 0. Ce problème est l'origine historique de l'introduction des déterminants.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Il est possible, non seulement de garantir l'existence et l'unicité de la solution, mais la règle de Cramer fournit un calcul exact de la solution à l'aide de déterminants. Cette méthode n'est ni la plus rapide, ni la plus simple, elle est peu pratiquée pour les calculs explicites, elle est néanmoins utile pour établir certains résultats théoriques, tels que la dépendance par rapport aux paramètres.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Un système de 3 équations linéaires à 3 inconnues peut être mis sous forme d'une équation linéaire "u"("X") = "B" où "X" = ("x", "y", "z") est un vecteur dont les composantes sont les inconnues du système, "u" une application linéaire de l'espace et "B" un vecteur. La résolution du système peut être formulée de façon géométrique : le vecteur "B" est-il l'image d'un certain vecteur "X" par "u" ? Ce dernier est-il unique ? Le déterminant de "u" apporte la réponse : l'existence et l'unicité sont obtenues si et seulement s'il est non nul.


title: Déterminant (mathématiques)

text: En reprenant l'exemple du cube, il suffit de considérer un pavage de l'espace par le cube jaune et ses images par des translations selon les trois directions. Une famille de cubes jaunes adjacents remplit alors tout l'espace.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Plus généralement, pour un système de "n" équations et "n" inconnues, le déterminant indique si les images par "u" remplissent l'espace entier ou seulement un sous-espace.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Les applications linéaires apparaissent non seulement en géométrie élémentaire mais aussi dans de nombreux domaines avancés comme certaines résolutions d'équations différentielles, la définition d'algorithmes rapides ou la résolution de problèmes théoriques. Il est important de comprendre leur comportement.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Un outil d'analyse fécond consiste à répertorier les axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les longueurs des vecteurs par une constante. Ce rapport de dilatation est appelé valeur propre et les vecteurs auxquels il s'applique vecteurs propres.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Le phénomène d'aplatissement des volumes peut être mesuré par un déterminant. Il correspond au cas où, selon une certaine direction, les vecteurs sont multipliés par un rapport de dilatation égal à 0 (valeur propre nulle). Plus généralement, toutes les valeurs propres peuvent être obtenues par le calcul d'un déterminant à paramètre, appelé polynôme caractéristique.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Ainsi que le montre l'approche intuitive, le déterminant caractérise la modification de volume d'un parallélépipède par un endomorphisme. L'intégrale multiple est un outil de détermination des volumes dans le cas général. Elle utilise la notion de déterminant dans le cadre du changement de variables. Il prend alors le nom de jacobien. Il peut être imaginé comme le "rapport des volumes élémentaires" avant et après changement de variables, en usant de la terminologie des éléments différentiels.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Plus précisément, le comportement d'une application différentiable au voisinage d'un point est, au premier ordre, analogue en termes de modification de volume à une application linéaire ayant comme déterminant le jacobien.


title: Déterminant (mathématiques)

text: En physique, notamment en mécanique du point, l'équation différentielle linéaire d'ordre deux est fréquente. Elle se présente sous la forme formula_20, dans laquelle formula_21, formula_22, formula_23 peuvent être des coefficients constants ou plus généralement des fonctions (par exemple du temps). Le terme formula_21 est appelé facteur d'amortissement.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Cette équation différentielle est associée à un déterminant, appelé wronskien. Il s'interprète comme une aire dans le plan ("y", "y") appelé espace des phases par les physiciens. Cette aire reste constante au cours du temps si le terme d'amortissement est nul, elle décroît de façon exponentielle s'il est strictement positif. S'il n'est pas toujours possible d'exhiber une solution explicite, le wronskien est toujours calculable.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Les notions de parallélogramme et de parallélépipède sont généralisées à un espace vectoriel "E" de dimension finie "n" sur ℝ. À "n" vecteurs "x", …, "x" de "E" est associé un parallélotope. Il est défini comme la partie de "E" formée par l'ensemble des combinaisons des "x" à coefficients compris entre 0 et 1


title: Déterminant (mathématiques)

text: Lorsque l'espace est muni d'un produit scalaire, il est possible de définir le volume de ce parallélotope, parfois appelé son hypervolume pour souligner que la dimension de l'espace concerné n'est pas forcément 3. Il vérifie les propriétés suivantes :


title: Déterminant (mathématiques)

text: Un changement de produit scalaire sur l'espace "E" modifie les mesures de longueurs, angles, et par conséquent de volumes. Cependant la théorie des déterminants montrera qu'à une constante multiplicative près, il n'existe qu'une unique méthode de calcul des volumes dans un espace vectoriel de dimension "n".


title: Déterminant (mathématiques)

text: En reprenant un espace vectoriel "sans structure particulière", la notion de déterminant a pour objectif de donner un sens intrinsèque au « volume » du parallélotope, sans référence à un produit scalaire par exemple, c'est-à-dire de construire une fonction "f", qui à "x", …, "x" associe un réel, et vérifie les propriétés précédentes. Une telle application est appelée une forme "n"-linéaire alternée.


title: Déterminant (mathématiques)

text: La notion de forme "n"-linéaire alternée généralise les propriétés précédentes. Elle se définit comme une application de "E" dans ℝ, qui est :


title: Déterminant (mathématiques)

text: L'article détaillé procède à l'étude systématique des formes "n"-linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension "n".


title: Déterminant (mathématiques)

text: Le résultat principal est la possibilité de ramener le calcul de l'image de formula_28 à celui d'images des vecteurs de base par "n"-linéarité. En outre le caractère alterné permet de changer l'ordre des vecteurs, de sorte qu'il suffit de connaître l'image formula_29 des vecteurs d'une base, pris dans l'ordre, pour connaître "f". Remettre les vecteurs dans l'ordre fait intervenir la notion de permutation.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Soient "x", …, "x" des vecteurs de "E". Il est possible de représenter ces "n" vecteurs par "n" matrices colonnes, formant par juxtaposition une matrice carrée "X".


title: Déterminant (mathématiques)

text: Cette formule porte parfois le nom de Leibniz. Elle présente peu d'intérêt pour le calcul pratique des déterminants, mais permet d'établir plusieurs résultats théoriques.


title: Déterminant (mathématiques)

text: En physique, on rencontre souvent la formule de Leibniz exprimée à l'aide du symbole de Levi-Civita, en utilisant la convention d'Einstein pour la sommation des indices :


title: Déterminant (mathématiques)

text: Si "B" et "B" sont deux bases de "E", les applications déterminants correspondantes sont proportionnelles (avec un rapport non nul)


title: Déterminant (mathématiques)

text: Soit une matrice "A" = ("a") carrée d’ordre "n" à coefficients réels. Les vecteurs colonnes de la matrice peuvent être identifiés à des éléments de l'espace vectoriel ℝ. Ce dernier est muni d'une base canonique.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Il est alors possible de définir le déterminant de la matrice "A" comme le déterminant du système de ses vecteurs colonnes relativement à la base canonique. Il est noté det("A") puisqu'il n'y a pas d'ambiguïté sur la base de référence.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Par définition même, le déterminant dépend de façon linéaire de chaque colonne, et est nul lorsque deux colonnes sont égales. Le déterminant de la matrice identité vaut 1. Enfin il vérifie la formule de Leibniz :


title: Déterminant (mathématiques)

text: La présentation matricielle apporte une propriété essentielle : une matrice a le même déterminant que sa transposée


title: Déterminant (mathématiques)

text: ce qui signifie que le déterminant de "A" se voit aussi comme le déterminant du système des vecteurs lignes, relativement à la base canonique.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Soit "u" un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie. Toutes les matrices représentatives de "u" ont le même déterminant. Cette valeur commune est appelée déterminant de "u".


title: Déterminant (mathématiques)

text: Notamment, les endomorphismes de déterminant 1 conservent le déterminant des familles de vecteurs. Dans le groupe GL("E"), ils forment un sous-groupe, noté SL("E") et appelé groupe spécial linéaire. Dans un espace réel de dimension 2, ils se conçoivent comme les applications linéaires conservant les aires orientées, en dimension trois les volumes orientés.


title: Déterminant (mathématiques)

text: On démontre que ce groupe est engendré par les transvections, dont la matrice dans une base adaptée est de la forme


title: Déterminant (mathématiques)

text: Par construction même du déterminant des endomorphismes, deux matrices semblables ont même déterminant.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Quitte à effectuer le choix d'une base, il est possible d'énoncer ces propriétés dans le cadre matriciel.


title: Déterminant (mathématiques)

text: L'application déterminant sur les familles de vecteurs est une forme multilinéaire alternée. Utiliser cette propriété sur une matrice demande d'exprimer le système de vecteurs colonnes, ou de vecteurs lignes.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Par exemple si la matrice "A" admet pour colonnes "C"..., "C" avec "C" de la forme "C = aC ' + C ' '"


title: Déterminant (mathématiques)

text: Notamment, si toutes les colonnes sont multipliées par "a", le résultat est une multiplication par "a" du déterminant


title: Déterminant (mathématiques)

text: En revanche, il n'existe "pas de formule simple exprimant le déterminant de la somme A + B de deux matrices". En effet, appliquer la multilinéarité par rapport aux colonnes demande d'écrire les colonnes de la somme comme "A + B", puis d'appliquer "n" fois la propriété de linéarité. Finalement, le déterminant de "A + B" se scinde en une somme de 2"" déterminants hybrides det("A", "A", "B", "A"..., "B"), formés d'un certain nombre de colonnes de "A" et de "B". Cependant, cette somme peut s'écrire assez simplement à l'aide des mineurs de "A" et de "B".


title: Déterminant (mathématiques)

text: Il est possible d'effectuer également des opérations élémentaires sur les lignes, qui ont les mêmes propriétés que les opérations sur les colonnes. Opérer sur les lignes suivant la technique du pivot de Gauss fournit une méthode systématique de calcul des déterminants ; c'est la méthode la plus efficace en règle générale, et on montre que son temps de calcul est de l'ordre de O("n"), c'est-à-dire en gros proportionnelle au cube du nombre de lignes de la matrice.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Ces propriétés expliquent le rôle essentiel que peuvent jouer les déterminants en algèbre linéaire. Ils constituent un outil fondamental pour prouver qu'une famille de vecteurs est une base.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Ainsi, le déterminant est un morphisme de groupes de GL(ℝ) dans (ℝ*, ×). En particulier, si formula_40 est inversible alors formula_41.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Il existe une généralisation de la formule de déterminant d'un produit pour le cas de deux matrices rectangulaires : c'est la formule de Binet-Cauchy.


title: Déterminant (mathématiques)

text: La comatrice d'une matrice carrée de taille est la matrice carrée de même taille, notée formula_42, définie par :


title: Déterminant (mathématiques)

text: On peut calculer le déterminant d'une matrice carrée en fonction des coefficients d'une seule colonne et des cofacteurs correspondants. Cette formule, dite formule de Laplace, permet ainsi de ramener le calcul d'un déterminant de taille à celui de déterminants de taille . Le déterminant de la matrice vide est égal à .


title: Déterminant (mathématiques)

text: La matrice transposée de la comatrice est appelée matrice complémentaire de . Notamment si formula_47, alors est inversible et son inverse est un multiple de la matrice complémentaire. Ce résultat, d'intérêt principalement théorique, ne nécessite « que » des calculs de déterminants :


title: Déterminant (mathématiques)

text: La formule de Leibniz montre que le déterminant d'une matrice "A" s'exprime comme somme et produit de composantes de "A". Il n'est donc pas étonnant que le déterminant ait de bonnes propriétés de régularité.


title: Déterminant (mathématiques)

text: Si formula_49 est une fonction de classe C à valeurs dans les matrices carrées d'ordre "n", alors formula_50 est également de classe C.


title: Théorie des graphes

text: La théorie des graphes est la discipline mathématique et informatique qui étudie les "graphes", lesquels sont des modèles abstraits de dessins de réseaux reliant des objets. Ces modèles sont constitués par la donnée de "sommets" (aussi appelés "nœuds" ou "points", en référence aux polyèdres), et d'arêtes (aussi appelées "liens" ou "lignes") entre ces sommets ; ces arêtes sont parfois non-symétriques (les graphes sont alors dits "orientés") et sont appelées des "flèches" ou des "arcs".


title: Théorie des graphes

text: Les algorithmes élaborés pour résoudre des problèmes concernant les objets de cette théorie ont de nombreuses applications dans tous les domaines liés à la notion de réseau (réseau social, réseau informatique, télécommunications, etc.) et dans bien d'autres domaines (par exemple génétique) tant le concept de graphe, à peu près équivalent à celui de relation binaire (à ne pas confondre donc avec "graphe d'une fonction"), est général. De grands théorèmes difficiles, comme le théorème des quatre couleurs, le théorème des graphes parfaits, ou encore le théorème de Robertson-Seymour, ont contribué à asseoir cette matière auprès des mathématiciens, et les questions qu'elle laisse ouvertes, comme la conjecture de Hadwiger, en font une branche vivace des mathématiques discrètes.


title: Théorie des graphes

text: Il existe plusieurs variantes dans la définition des graphes en théorie des graphes. Les définitions les plus usuelles sont les suivantes.


title: Théorie des graphes

text: Pour lever toute ambiguïté, ce type d'objet peut être appelé précisément un "graphe simple non orienté".


title: Théorie des graphes

text: Dans l'arête , les sommets "x" et "y" sont appelés les "extrémités" ou les "sommets extrêmes" de l'arête. On dit que l'arête "joint" "x" et "y" et est "incidente" sur "x" et sur "y". Un sommet peut exister dans un graphe sans arête incidente. Les "arêtes multiples" sont deux arêtes ou plus qui joignent les mêmes deux sommets ; elles ne peuvent pas exister dans un graphe simple non orienté.


title: Théorie des graphes

text: Dans un sens plus général du terme autorisant les arêtes multiples, un "graphe" est un triplet comprenant


title: Théorie des graphes

text: Pour lever toute ambiguïté, ce type d'objet peut être appelé précisément un "multigraphe non orienté".


title: Théorie des graphes

text: Une "boucle" est une arête qui joint un sommet à lui-même. Les graphes tels que définis dans les deux définitions précédentes ne peuvent pas avoir de boucles, car une boucle joignant un sommet "x" est l'arête (pour un graphe simple non orienté) ou est incidente sur (pour un multigraphe non orienté) qui n'est pas dans {{"x", "y"} | ("x", "y") ∈ "V" ∧ x ≠ y}. Ainsi pour autoriser les boucles les définitions doivent être étendues. Pour les graphes simples non orientés, "E" ⊆ {{"x", "y"} | ("x", "y") ∈ "V" ∧ x ≠ y} doit devenir "E" ⊆ {{"x", "y"} | ("x", "y") ∈ "V"}. Pour les multigraphes non orientés, "ϕ": "E" → {{"x", "y"} | ("x", "y") ∈ "V" ∧ x ≠ y} doit devenir "ϕ": "E" → {{"x", "y"} | ("x", "y") ∈ "V"}. Pour lever toute ambiguïté, ces types d'objets peuvent être appelés précisément un "graphe simple non orienté avec boucles" et un "multigraphe non orienté avec boucles" respectivement.


title: Théorie des graphes

text: "V" et "E" sont en général supposés finis, et de nombreux résultats cessent d'être vrais (ou ont des énoncés différents) pour des "graphes infinis" parce que certains arguments de preuve ne se transposent pas au cas infini. De plus, "V" est souvent supposé non vide, mais "E" peut être l'ensemble vide. L"'ordre" d'un graphe |"V"| est son nombre de sommets. La "taille" d'un graphe est |"E"|, son nombre d'arêtes. Le "degré" ou la "valence" d'un sommet est le nombre d'arêtes incidentes à ce sommet, où une boucle compte double.


title: Théorie des graphes

text: Dans un graphe simple non orienté d'ordre "n", le degré maximum d'un sommet est et la taille maximale du graphe est .


title: Théorie des graphes

text: Les arêtes "E" d'un graphe non orienté "G" induisent une relation binaire symétrique ~ sur "V" appelée la "relation d'adjacence" de "G". Spécifiquement, pour chaque arête , ses sommets extrêmes "x" et "y" sont dits "adjacents" l'un l'autre, ce qui est noté .


title: Théorie des graphes

text: Dans un sens restreint mais très répandu du terme, un "graphe orienté" est un couple (parfois ) comprenant


title: Théorie des graphes

text: Dans la flèche orientée "de" "x" "vers" "y", "x" est appelé la "queue" de la flèche et "y" la "tête" de la flèche. La flèche est appelée la "flèche inverse" de .


title: Théorie des graphes

text: Dans un sens plus général du terme autorisant les flèches multiples, un "graphe orienté" est un triplet (parfois ) comprenant


title: Théorie des graphes

text: Les graphes orientés tels que définis dans les deux définitions précédentes ne peuvent pas avoir de boucles, car une boucle joignant un sommet "x" est la flèche (pour un graphe simple orienté) ou est incidente sur (pour un multigraphe orienté) qui n'est pas dans {("x", "y") | ("x", "y") ∈ "V" ∧ x ≠ y}. Ainsi pour autoriser les boucles les définitions doivent être étendues. Pour les graphes simples orientés, "A" ⊆ {("x", "y") | ("x", "y") ∈ "V" ∧ x ≠ y} doit devenir . Pour les multigraphes orientés, "ϕ": "A" → {("x", "y") | ("x", "y") ∈ "V" ∧ x ≠ y} doit devenir "ϕ": "A" → "V". Pour lever toute ambiguïté, ces types d'objets peuvent être appelés précisément un "graphe simple orienté avec boucles" et un "multigraphe orienté avec boucles" (ou un carquois) respectivement.


title: Théorie des graphes

text: Un graphe simple orienté avec boucles est une relation homogène (une relation binaire entre un ensemble et lui-même). Un graphe simple orienté avec boucles est dit "symétrique" si, pour chaque flèche de "A", la flèche inverse correspondante appartient aussi à "A".


title: Théorie des graphes

text: Un article du mathématicien suisse Leonhard Euler, présenté à l'Académie de Saint-Pétersbourg en 1735 puis publié en 1741, traitait du problème des sept ponts de Königsberg, ainsi que schématisé ci-dessous. Le problème consistait à trouver une promenade à partir d'un point donné qui fasse revenir à ce point en passant une fois et une seule par chacun des sept ponts de la ville de Königsberg. Un chemin passant par toute arête exactement une fois fut nommé chemin eulérien, ou circuit eulérien s'il finit là où il a commencé. Par extension, un graphe admettant un circuit eulérien est dit "graphe eulérien", ce qui constitue donc le premier cas de propriété d'un graphe. Euler avait formulé qu'un graphe n'est eulérien que si chaque sommet a un nombre pair d'arêtes. L'usage est de s'y référer comme "théorème d'Euler", bien que la preuve n'en ait été apportée que 130 ans plus tard par le mathématicien allemand Carl Hierholzer. Un problème similaire consiste à passer par chaque sommet exactement une fois, et fut d'abord résolu avec le cas particulier d'un cavalier devant visiter chaque case d'un échiquier par le théoricien d'échecs arabe Al-Adli dans son ouvrage "Kitab ash-shatranj" paru vers 840 et perdu depuis. Ce problème du cavalier fut étudié plus en détail au par les mathématiciens français Alexandre-Théophile Vandermonde, Pierre Rémond de Montmort et Abraham de Moivre; le mathématicien britannique Thomas Kirkman étudia le problème plus général du parcours où on ne peut passer par un sommet qu'une fois, mais un tel parcours prit finalement le nom de chemin hamiltonien d'après le mathématicien irlandais William Rowan Hamilton, et bien que ce dernier n'en ait étudié qu'un cas particulier. On accorde donc à Euler l'origine de la théorie des graphes parce qu'il fut le premier à proposer un traitement mathématique de la question, suivi par Vandermonde.


title: Théorie des graphes

text: Au milieu du , le mathématicien britannique Arthur Cayley s'intéressa aux arbres, qui sont un type particulier de graphe n'ayant pas de cycle, "i.e." dans lequel il est impossible de revenir à un point de départ sans faire le chemin inverse. En particulier, il étudia le nombre d'arbres à "n" sommets et montra qu'il en existe formula_1. Ceci constitua « une des plus belles formules en combinatoire énumérative », domaine consistant à compter le nombre d'éléments dans un ensemble fini, et ouvrit aussi la voie à l'énumération de graphes ayant certaines propriétés. Ce champ de recherche fut véritablement initié par le mathématicien hongrois George Pólya, qui publia en 1937 le théorème de dénombrement qui porte son nom, et le mathématicien hollandais Nicolaas Govert de Bruijn. Les travaux de Cayley, tout comme ceux de Polya, présentaient des applications à la chimie et le mathématicien anglais James Joseph Sylvester, coauteur de Cayley, introduisit en 1878 le terme de "graphe" basé sur la chimie :


title: Théorie des graphes

text: Un des problèmes les plus connus de théorie des graphes vient de la "coloration de graphe", où le but est de déterminer combien de couleurs différentes suffisent pour colorer entièrement un graphe de telle façon qu'aucun sommet n'ait la même couleur que ses voisins. En 1852, le mathématicien sud-africain Francis Guthrie énonça le problème des quatre couleurs par une discussion à son frère, qui demandera à son professeur Auguste De Morgan si toute carte peut être coloriée avec quatre couleurs de façon que des pays voisins aient des couleurs différentes. De Morgan envoya d'abord une lettre au mathématicien irlandais William Rowan Hamilton, qui n'était pas intéressé, puis le mathématicien anglais Alfred Kempe publia une preuve erronée dans l’"American Journal of Mathematics", qui venait d'être fondé par Sylvester. L'étude de ce problème entraîna de nombreux développements en théorie des graphes, par Peter Guthrie Tait, Percy John Heawood, Frank Ramsey et Hugo Hadwiger.


title: Théorie des graphes

text: Les problèmes de "factorisation de graphe" émergèrent ainsi à la fin du en s'intéressant aux sous-graphes couvrants, c'est-à-dire aux graphes contenant tous les sommets mais seulement une partie des arêtes. Un sous-graphe couvrant est appelé un "k"-facteur si chacun de ses sommets a "k" arêtes et les premiers théorèmes furent donnés par Julius Petersen ; par exemple, il montra qu'un graphe peut être séparé en 2-facteurs si et seulement si tous les sommets ont un nombre pair d'arêtes (mais il fallut attendre 50 ans pour que Bäbler traite le cas impair). Les travaux de Ramsey sur la coloration, et en particulier les résultats du mathématicien hongrois Pal Turan, permirent le développement de la théorie des graphes extrémaux s'intéressant aux graphes atteignant le maximum d'une quantité particulière (par exemple le nombre d'arêtes) avec des contraintes données, telles que l'absence de certains sous-graphes.


title: Théorie des graphes

text: Dans la seconde moitié du , le mathématicien français Claude Berge contribue au développement de la théorie des graphes par ses contributions sur les "graphes parfaits" et l'introduction du terme d’"hypergraphe" (à la suite de la remarque de Jean-Marie Pla l'ayant utilisé dans un séminaire) avec un monographe sur le sujet. Son ouvrage d'introduction à la théorie des graphes proposa également une alternative originale, consistant plus en une promenade personnelle qu'une description complète. Il marquera également la recherche française en ce domaine, par la création conjointe avec Marcel-Paul Schützenberger d'un séminaire hebdomadaire à l'Institut Henri Poincaré, des réunions le lundi à la Maison des Sciences de l'Homme, et la direction de l'équipe Combinatoire de Paris.


title: Théorie des graphes

text: Les Allemands Franz Ernst Neumann et Jacobi, respectivement physicien et mathématicien, fondèrent en 1834 une série de séminaires. Le physicien allemand Gustav Kirchhoff était un des étudiants participant au séminaire entre 1843 et 1846, et il étendit le travail de Georg Ohm pour établir en 1845 les lois de Kirchhoff exprimant la conservation de l'énergie et de la charge dans un circuit électrique. En particulier, sa loi des nœuds stipule que la somme des intensités des courants entrant dans un nœud est égale à celle qui en sort. Un circuit électrique peut se voir comme un graphe, dans lequel les sommets sont les nœuds du circuit, et les arêtes correspondent aux connexions physiques entre ces nœuds. Pour modéliser les courants traversant le circuit, on considère que chaque arête peut être traversée par un "flot". Ceci offre de nombreuses analogies, par exemple à l'écoulement d'un liquide comme l'eau à travers un réseau de canaux, ou la circulation dans un réseau routier. Comme stipulé par la loi des nœuds, le flot à un sommet est conservé, ou identique à l'entrée comme à la sortie ; par exemple, l'eau qui entre dans un canal ne disparaît pas et le canal n'en fabrique pas, donc il y a autant d'eau en sortie qu'en entrée. De plus, une arête a une limite de capacité, tout comme un canal peut transporter une certaine quantité maximale d'eau. Si l'on ajoute que le flot démarre à un certain sommet (la "source") et qu'il se termine à un autre (le "puits"), on obtient alors les principes fondamentaux de l'étude des flots dans un graphe.


title: Théorie des graphes

text: Si on considère que la source est un champ pétrolifère et que le puits est la raffinerie où on l'écoule, alors on souhaite régler les vannes de façon à avoir le meilleur débit possible de la source vers le puits. En d'autres termes, on cherche à avoir une utilisation aussi efficace que possible de la capacité de chacune des arêtes, ce qui est le problème de flot maximum. Supposons que l'on « coupe » le graphe en deux parties, telles que la source est dans l'une et le puits est dans l'autre. Chaque flot doit passer entre les deux parties, et est donc limité par la capacité maximale qu'une partie peut envoyer à l'autre. Trouver la coupe avec la plus petite capacité indique donc l'endroit où le réseau est le plus limité, ce qui revient à établir le flot maximal qui peut le traverser. Ce théorème est appelé flot-max/coupe-min et fut établi en 1956.


title: Théorie des graphes

text: L’étude des flots réseaux se généralise de plusieurs façons. La recherche d'un maximum, ici dans le cas du flot, est un problème d'optimisation, qui est la branche des mathématiques consistant à optimiser ("i.e." trouver un minimum ou maximum) une fonction sous certaines contraintes. Un flot réseau est soumis à trois contraintes : la limite de capacité sur chaque arête, la création d'un flot non nul entre la source et le puits ("i.e." la source crée un flot), et l'égalité du flot en entrée/sortie pour tout sommet autre que la source et les puits ("i.e." ils ne consomment ni ne génèrent une partie du flot). Ces contraintes étant linéaires, le problème d'un flot réseau fait partie de l'optimisation linéaire. Il est également possible de rajouter d'autres variables au problème pour prendre en compte davantage de situations : on peut ainsi avoir plusieurs sources et puits, une sur chaque arête, un coût lorsqu'on utilise une arête, ou une passant par une arête.


title: Théorie des graphes

text: Jusqu'au milieu du , l'algorithme construisant un graphe n'avait rien d'aléatoire : tant que les paramètres fournis à l'algorithme ne changeaient pas, alors le graphe qu'il construisait était toujours le même. Une certaine dose d'aléatoire fut alors introduite, et les algorithmes devinrent ainsi probabilistes. Le mathématicien d'origine russe Anatol Rapoport eut d'abord cette idée en 1957 mais elle fut proposée indépendamment deux ans après, de façon plus formelle, par les mathématiciens hongrois Paul Erdős et Alfréd Rényi. Ceux-ci se demandèrent à quoi ressemble un graphe « typique » avec "n" sommets et "m" arêtes. Ils souhaitaient ainsi savoir quelles propriétés pouvaient être trouvées avec "n" sommets, et "m" arêtes créées au hasard. Une quantité fixe "m" n'étant pas pratique pour répondre à cette question, il fut décidé que chaque arête existerait avec une probabilité "p". Ceci fut le début de la "théorie des graphes aléatoires", où l'on considère un nombre de sommets "n" assez grand, et l'on s'intéresse à la probabilité "p" suffisante pour que le graphe ait une certaine propriété.


title: Théorie des graphes

text: Erdős et Rényi découvrirent que le graphe n'évoluait pas de façon linéaire mais qu'il y avait au contraire une probabilité critique "p" après laquelle il changeait de façon radicale. Ce comportement est bien connu en physique : si l'on observe un verre d'eau que l'on met dans un congélateur, il ne se change pas progressivement en glace mais plutôt brutalement lorsque la température passe en dessous de . L'eau avait deux phases (liquide et glace) et passe de l'une à l'autre par un phénomène nommé "transition de phase", la transition étant rapide autour d'un "point critique" qui est dans ce cas la température de . Pour nombre de propriétés observées, les graphes aléatoires fonctionnent de la même manière : il existe une probabilité critique formula_2 en dessous de laquelle ils se trouvent dans une phase sous-critique, et au-dessus de laquelle ils passent en phase sur-critique. Dans le cas d'un graphe aléatoire, la probabilité que l'on observe la propriété nous intéressant est faible en phase sous-critique mais devient très forte ("i. e." quasi-certitude) en phase sur-critique ; le tracé de la probabilité d'avoir la propriété en fonction de "p" a donc une allure bien particulière, simplifiée dans le schéma à droite.


title: Théorie des graphes

text: Au-delà du vocabulaire commun des phases, la théorie des graphes aléatoires se retrouve en physique statistique sous la forme de la théorie de la percolation. Cette dernière visait à l'origine à étudier l'écoulement d'un fluide à travers un matériau poreux. Par exemple, si l'on immerge une pierre ponce dans un seau rempli d'eau, on s'intéresse à la façon dont l'eau va s'écouler dans la pierre. Pour modéliser ce problème, on se concentre sur les paramètres importants : l'âge ou la couleur de la pierre n'importe pas, tandis que les ouvertures ou 'canaux' dans lesquels peut circuler l'eau sont primordiaux. L'abstraction la plus simple est de voir une pierre comme une grille, où chaque canal existe avec une probabilité "p". On retrouve ainsi le modèle du graphe aléatoire, mais avec une contrainte "spatiale" : une arête ne peut exister entre deux sommets que s'ils sont voisins dans la grille. Cependant, cette contrainte peut être levée pour établir une équivalence entre la théorie des graphes et celle de la percolation. Tout d'abord, un graphe de "n" sommets peut être représenté par une grille avec "n" dimensions ; puisqu'on s'intéresse au cas où "n" est assez grand, c'est-à-dire formula_3, ceci établit une équivalence avec la percolation en dimension infinie. De plus, il existe une dimension critique formula_4 telle que le résultat ne dépend plus de la dimension dès que celle-ci atteint formula_4 ; on pense que cette dimension critique est 6, mais elle n'a pu être prouvée que pour 19.


title: Théorie des graphes

text: De nombreux modèles ont été proposés depuis le début des années 2000 pour retrouver des phénomènes observés dans des graphes tels que celui représentant les connexions entre des acteurs de Hollywood (obtenu par IMDb) ou des parties du Web. En 1999, Albert-László Barabási et Réka Albert expliquèrent qu'un de ces phénomènes « est une conséquence de deux mécanismes : le réseau grandit continuellement avec l'ajout de nouveaux sommets, et les nouveaux sommets s'attachent avec certaines préférences à d'autres qui sont déjà bien en place ». Une certaine confusion s'installa autour de leur modèle : s'il permet effectivement d'obtenir le phénomène souhaité, il n'est pas le seul modèle arrivant à ce résultat et on ne peut donc pas conclure en voyant le phénomène qu'il résulte d'un processus d'attachement préférentiel. Les phénomènes de "petit monde" et de "liberté d'échelle", pour lesquels de très nombreux modèles ont été proposés, peuvent être réalisés simplement par des graphes aléatoires : la technique de Michael Molloy et Bruce Reed permet d'obtenir l'effet de libre d'échelle, tandis que celle de Li, Leonard et Loguinov conduit au petit-monde.


title: Théorie des graphes

text: Formellement un graphe est "étiqueté" : chaque sommet ou arête appartient à un ensemble, donc porte une "étiquette". Typiquement, les graphes sont étiquetés par des nombres entiers, mais une étiquette peut en fait appartenir à n'importe quel ensemble : ensemble de couleurs, ensemble de mots, ensemble des réels. Les exemples ci-contre montrent des graphes étiquetés par des entiers et par des lettres. L'étiquetage d'un graphe peut être conçu de façon à donner des informations utiles pour des problèmes comme le routage : partant d'un sommet formula_6, on veut arriver à un sommet formula_7, c'est-à-dire que l'on souhaite acheminer une information de formula_6 à formula_7. Selon la façon dont les sommets sont étiquetés, les étiquettes que portent formula_6 et formula_7 peuvent nous permettre de trouver facilement un chemin. Par exemple, dans le où la distance maximale entre deux sommets est formula_12, imaginons que l'on soit à un sommet étiqueté formula_13 et que l'on souhaite aller à formula_14 : il suffit de décaler l'étiquette en introduisant la destination, ce qui donne le cheminformula_15Ce chemin se lit de la façon suivante : si on se trouve au sommet étiqueté formula_13 alors on va vers le voisin portant l'étiquette formula_17, et ainsi de suite.


title: Théorie des graphes

text: On se retrouve cependant face à un problème : si on regarde plus haut l'illustration de la liste des arbres à 2, 3 et 4 sommets, beaucoup d'entre eux ont exactement la même "structure" mais un étiquetage différent (donné ici par des couleurs). Pour étudier uniquement la structure, il faut donc un outil permettant d'ignorer l'étiquetage, c'est-à-dire de donner une équivalence structurelle. Pour cela, on introduit la notion de morphisme. Un "morphisme de graphes", ou "homomorphisme de graphes", est une application entre deux graphes qui respecte la structure des graphes. Autrement dit l'image du graphe formula_18 dans formula_19 doit respecter les relations d'adjacences présentes dans formula_18. Plus précisément, si formula_18 et formula_19 sont deux graphes, une application formula_23 est un morphisme de graphes si formula_24 où formula_25 transforme les sommets de G en ceux de H, et formula_26 les arêtes de G en celles de H en respectant la contrainte suivante :


title: Théorie des graphes

text: s'il existe une arête formula_27 entre deux sommets de formula_18 alors il doit y avoir une arête formula_29 entre les deux sommets correspondants de formula_19. On dit de l'homomorphisme formula_31 qu'il est une injection (respectivement surjection) si ses deux fonctions formula_32 et formula_33 sont injectives (respectivement surjectives); si elles sont à la fois injectives et surjectives, c'est-à-dire bijectives, alors formula_31 est un "isomorphisme de graphes". Si deux graphes sont isomorphes, alors ils ont la même structure : peu importe la façon dont ils sont dessinés ou étiquetés, il est possible de déplacer les sommets ou de changer les étiquettes pour que l'un soit la copie conforme de l'autre, ainsi qu'illustré ci-dessous. On désigne alors par graphe "non étiqueté" la classe d'équivalence d'un graphe pour la relation d'isomorphisme. Deux graphes isomorphes seront alors considérés comme égaux si on les considère en tant que graphes non étiquetés.


title: Théorie des graphes

text: Le mot graphe peut désigner, selon les contextes, un graphe étiqueté ou non étiqueté. Quand on parle du graphe du web, les étiquettes sont des URL et ont un sens. Le mot est utilisé pour désigner un graphe étiqueté. À l'opposé le graphe de Petersen est toujours considéré à isomorphisme près, donc non étiqueté, seules ses propriétés structurelles étant intéressantes.


title: Théorie des graphes

text: Les relations entre arêtes et sommets, appelées les relations d'incidence, sont toutes représentées par la matrice d'incidence du graphe.


title: Théorie des graphes

text: Les relations d'adjacences (si deux sommets sont reliés par une arête ils sont adjacents) sont représentés par sa matrice d'adjacence. Elle est définie par


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text: De nombreuses informations d'un graphe peuvent être représentées par une matrice. Par exemple, la matrice des degrés formula_12 est une matrice diagonale où les éléments formula_38 correspondent au nombre de connexions du sommet formula_39, c'est-à-dire à son degré. En utilisant cette matrice et la précédente, on peut également définir la matrice laplacienne formula_40 ; on obtient sa forme normalisée formula_41 par formula_42, où formula_43 dénote la matrice identité, ou on peut aussi l'obtenir directement par chacun de ses éléments :


title: Théorie des graphes

text: Ces représentations dépendent de la façon dont les sommets du graphe sont étiquetés. Imaginons que l'on garde la même structure que dans l'exemple ci-dessus et que l'on inverse les étiquettes "1" et "6" : on inverse alors les colonnes "1" et "6" de la matrice d'adjacence. Il existe en revanche des quantités qui ne dépendent pas de la façon dont on étiquette les sommets, tels que le degré minimal/maximal/moyen du graphe. Ces quantités sont des "invariants" du graphe : elles ne changent pas selon la numérotation. Tandis qu'une matrice d'adjacence ou laplacienne varie, son "spectre", c'est-à-dire l'ensemble de ses valeurs propres formula_45, est un invariant. L'étude du rapport entre les spectres et les propriétés d'un graphe est le sujet de la théorie spectrale des graphes ; parmi les rapports intéressants, le spectre donne des renseignements sur le nombre chromatique, le nombre de composantes connexes et les cycles du graphe.


title: Théorie des graphes

text: Les graphes permettant de représenter de nombreuses situations, il existe de nombreux algorithmes ("i.e." programmes) les utilisant. La complexité d'un algorithme consiste essentiellement à savoir, pour un problème donné, combien de temps est nécessaire pour le résoudre et quel est l'espace machine que cela va utiliser. Certaines représentations de graphes permettent d'obtenir de meilleures performances, c'est-à-dire que le problème est résolu plus rapidement ou en occupant moins d'espace. Dans certains cas, un problème NP-complet (classe la plus ardue) sur une représentation d'un graphe peut être résolu en temps polynomial (classe simple) avec une autre représentation; l'idée n'est pas qu'il suffit de regarder le graphe différemment pour résoudre le problème plus vite, mais que l'on « paye » pour le transformer et que l'on « économise » alors pour résoudre le problème. Une telle transformation est la "décomposition arborescente" proposée par les mathématiciens Robertson et Seymour dans leur série "Graph Minors". Intuitivement, une décomposition arborescente représente le graphe d'origine formula_18 par un arbre, où chaque sommet correspond à un sous-ensemble des sommets de G, avec quelques contraintes. Formellement, pour un graphe donné formula_47, sa décomposition arborescente est formula_48 où formula_49 est un arbre et formula_31 une fonction associant à chaque sommet formula_51 un ensemble de sommets formula_52. Trois contraintes doivent être satisfaites :


title: Théorie des graphes

text: La "largeur arborescente" formula_61 d'une décomposition formula_62 d'un graphe formula_18 est formula_64, c'est-à-dire la taille du plus grand ensemble représenté par un sommet moins 1 ; on peut la voir comme l'abstraction maximale : pour un sommet de l'arbre, jusqu'à combien de sommets du graphe représente-t-on ? Construire la décomposition arborescente d'un graphe quelconque avec la plus petite largeur arborescente est un problème NP-dur. Cependant, cela peut être fait rapidement pour certains graphes, ou approximée pour d'autres tels les graphes planaires ("i. e." pouvant être dessinés sans croiser deux arêtes).


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text: Robertson et Seymour développèrent également le concept de "décomposition en branches". Pour la comprendre, il faut introduire davantage de vocabulaire sur un arbre. Dans les graphes, un arbre est dessiné "à l'envers" : on démarre de la racine en haut, et on descend jusqu'à atteindre les feuilles en bas ; tout sommet n'étant pas une feuille est appelé un 'nœud interne'. La décomposition en branches résulte en un arbre dans lequel tout nœud interne a exactement trois voisins (comme sur l'exemple ci-contre), et où chaque feuille représente une arête du graphe d'origine. La profondeur minimale de la décomposition d'un graphe formula_18 est notée formula_66, et on a la relation formula_67. De même que pour la décomposition arborescente, il est NP-dur de construire une décomposition en branches avec formula_66 minimal pour un graphe quelconque ; dans ce cas, cette construction est réalisable pour un graphe planaire.


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text: Ces représentations sont utilisées sur des problèmes NP-complets par des techniques de programmation dynamique, qui prennent généralement un temps exponentiel en formula_66 ou formula_61. Un tel problème est par exemple l'ensemble dominant : on veut savoir s'il y a un sous-ensemble formula_12 de sommets de taille au plus formula_72 tel qu'un sommet n'étant pas dans formula_12 y soit relié par une arête. Si le graphe est planaire, cette technique permet de résoudre le problème en temps formula_74.


title: Théorie des graphes

text: La façon dont le graphe est représenté en tant qu'objet mathématique a été exposée dans la section précédente. Dans l'aspect algorithmique de la théorie des graphes, on cherche à concevoir un processus efficace pour traiter un problème faisant intervenir un graphe. Les principaux critères d'efficacités d'un processus sont le temps nécessaire avant d'obtenir la réponse, et l'espace que le processus consomme dans son travail. La façon dont on représente le graphe influence la performance en temps et en espace : par exemple, si l'on veut connaître l'existence d'une arête entre deux sommets, la matrice d'adjacence permettra d'obtenir un résultat immédiatement, ce que l'on appelle en formula_75. En revanche, une opération de base telle que trouver le voisin d'un sommet est en formula_76 sur une matrice d'adjacence : dans le pire des cas, il faudra scanner la totalité de la colonne pour s'apercevoir qu'il n'y a pas de voisin. Une autre structure de données est la liste d'adjacence, consistant en un tableau dont l'entrée formula_39 donne la liste des voisins du sommet formula_39 : sur une telle structure, trouver un voisin se fait en formula_75 tandis que l'existence d'une arête est en formula_76. Ainsi, au niveau du temps, le choix de la structure dépend des opérations de base que l'on souhaite optimiser.