title: Litchi

text: Pour l'exportation, les litchis sont généralement conditionnés dans des cartons et maintenus au frais, ce qui suffit à une bonne conservation de quelques jours dans le cadre d'expéditions rapides. Les meilleurs fruits sont ceux qui sont cueillis à maturité. Les fruits de bas de gamme que l'on trouve en masse sur les marchés européens sont souvent cueillis encore trop verts, ils sont plus aptes à voyager mais ils conservent une très forte acidité. La prolongation de la durée de conservation et de la coloration est parfois obtenue par fumigation à l'anhydride sulfureux suivi d'un trempage dans un bain acide, mais ce traitement actuellement légal fait l'objet de sérieuses réserves pour la santé publique.


title: Litchi

text: Les litchis se prêtent bien à la congélation. On peut congeler soit les fruits entiers, soit seulement la pulpe. On trouve aussi abondamment des litchis au sirop en conserve appertisée.


title: Litchi

text: Si les litchis sont d'abord appréciés frais et nature, ils peuvent être accommodés en cuisine de nombreuses manières : crus dans des salades de fruits, cuits en pâtisserie ou en accompagnement de viandes.


title: Litchi

text: Ils sont à la base de diverses préparations : sorbets, confitures, jus de fruit... De nombreuses marques proposent également des canettes de thé glacé aromatisé au jus de litchi et même certains brasseurs, notamment à La Réunion, ont élaboré des bières de Noël parfumées au litchi.


title: Litchi

text: Les pulpes de litchi peuvent servir à confectionner un rhum arrangé par simple macération dans le rhum.


title: Litchi

text: Le jus de litchi peut être transformé en vin de litchi. Michał Boym en 1656 signalait déjà cette pratique en Chine.


title: Litchi

text: Enfin la méthode traditionnelle chinoise de conservation des litchis est de les faire sécher. Ils constituent alors une friandise populaire très appréciée et sont par exemple utilisés pour sucrer le thé.


title: Litchi

text: Une étude de "The Lancet" a révélé que la consommation de litchi par une personne n'ayant pas mangé la veille pouvait être toxique et provoquer une encéphalopathie, en raison de la présence dans le fruit d'hypoglycine A et de MCPG ("méthylènecyclopropyl glycine"), des molécules aggravant l'hypoglycémie.


title: Litchi

text: Le litchi est une plante mellifère de qualité. La fécondation des fleurs est assurée par les abeilles. L'installation de ruchers à proximité de vergers de litchis permet à la fois d'améliorer la production fruitière et de récolter un miel de litchi, à la saveur douce et délicatement parfumée.


title: Litchi

text: Le bois de litchi, malgré ses formes souvent irrégulières et sa dureté qui le rend difficile à travailler, est recherché par les ébénistes et les tourneurs pour la finesse de son grain et sa coloration chaleureuse. Il sert à fabriquer meubles et objets divers.


title: Litchi

text: Les litchis contiennent une levure nommée Saccharomyces boulardii qui peut maintenir et restaurer la flore intestinale du gros intestin ainsi que celle de l'intestin grêle. Le litchi peut donc avoir un effet probiotique.


title: Litchi

text: Les graines qui contiennent des saponosides et sont riches en acides gras cyclopropaniques sont également reconnues dans la pharmacopée chinoise. Elles sont est recommandées pour leurs propriétés astringentes, antalgiques, stomachiques (douleurs gastriques, transit intestinal) et tonique.


title: Litchi

text: Le litchi nécessite un environnement humide et le substrat ne doit jamais être entièrement sec. La plante est très sensible au manque d'eau. Il est possible de cultiver le litchi en plantant deux clous au sommet d'un noyau (en veillant à ne pas l'endommager trop en profondeur) et en mettant la base du noyau dans l'eau. La racine sort du côté plat du noyau au bout de quelques semaines. L'eau doit être changée régulièrement et la racine peut mettre plusieurs mois avant de vraiment démarrer sa croissance. On peut ensuite transplanter le noyau dans un substrat aéré et humide. La racine étant très fragile, il faut bien faire attention lors de cette opération.


title: Litchi

text: On peut également faire germer des litchis dans un pot en plastique avec du coton humide. Une fois que la graine a germé, la planter dans un pot de terreau à l'abri du froid et avec beaucoup d'humidité et de soleil.


title: Litchi

text: La production des fruits est sensible à l'alternance bisannuelle, la floraison étant contrôlée par des phytohormones cycliques et sensible aux températures diurnes.


title: Litchi

text: La température optimale pour la conservation est , avec une marge à selon le cultivar et la durée de stockage voulue. Les agents pathogènes causant la pourriture incluent: "Alternaria sp"., "Aspergillus sp"., "Botryodiplodia sp"., "Colletotrichum sp". et des levures variées. Le contrôle de la pourriture peut être effectué en réduisant les dégâts physiques des fruits et en assurant un refroidissement rapide et en maintenant la température et l’humidité relative optimales (90-95 %) durant la commercialisation du litchi. Maintenir une humidité relative élevée est essentiel pour la réduction de la perte en eau et le brunissement, qui est le symptôme majeur de détérioration. D’autres traitements de contrôle de la pourriture sous considération incluent l’utilisation d’atmosphère enrichie en 10-15 % de et la lutte biologique.


title: Litchi

text: Le blanchissement par fumigation au suivi par une immersion dans de l’acide chlorhydrique dilué peut préserver la couleur des litchis ; cependant, ce traitement peut causer un après-goût indésirable et n’est pas autorisé dans le cas des litchis commercialisés aux États-Unis. L’irradiation à peut être utilisée pour la désinfestation contre les insectes sans effet néfaste sur les litchis. L’exposition à une chaleur de pendant peut être utilisée pour contrôler quelques insectes des litchis. Des températures plus élevées et/ou des durées d’exposition plus longues sont néfastes pour le fruit.


title: Les Infidèles (film, 2012)

text: Les Infidèles est un film à sketches français réalisé par Emmanuelle Bercot, Fred Cavayé, Alexandre Courtès, Jean Dujardin, Michel Hazanavicius, Éric Lartigau, Gilles Lellouche et Jan Kounen, sorti en 2012.


title: Les Infidèles (film, 2012)

text: Fred et Greg passent leurs soirées à faire la tournée des boîtes de nuit pour y trouver de nouvelles conquêtes. Leur complicité machiste leur fait partager les moments les plus intimes, dans un esprit de pure camaraderie potache. Les mensonges envers leurs femmes respectives sont parfaitement rodés, bien que celles-ci soient absolument convaincues des tromperies récurrentes. Au cours d'une de leurs virées, Greg s'interroge tout de même sur les raisons qui le poussent à tromper chaque nuit sa femme, Stéphanie. Fred se justifie par un simple besoin naturel . Mais Greg en vient à la conclusion que le seul moyen de ne pas risquer de se faire surprendre et de ne pas se sentir coupable, ce serait de rester fidèle. Les compères éclatent alors de rire à cette idée saugrenue.


title: Les Infidèles (film, 2012)

text: Bernard se retrouve à l'hôpital dans une situation embarrassante. Il comptait sur la discrétion du médecin, mais celui-ci a appelé sa femme, qui découvre le problème de son mari : il souffre de "penis captivus" avec sa maîtresse.


title: Les Infidèles (film, 2012)

text: Laurent est coincé dans un séminaire d'entreprise pour quelques jours, et compte profiter de son séjour dans un hôtel loin de sa femme pour la tromper. Malheureusement pour lui, toutes ses tentatives de séduire ses collègues féminines ou la réceptionniste de l'hôtel se soldent par des échecs cuisants, alors que le meilleur vendeur de l'entreprise enchaîne les conquêtes d'une nuit, jouissant d'un plus grand charisme malgré son handicap (il est en fauteuil roulant). Après qu'il abandonne l'idée d'appeler une "escort girl", il se résout à tenter de séduire Christine, sa collègue la moins attrayante, mais là encore, il se ridiculise et rentre dans sa chambre seul. Le lendemain, la nouvelle se répand que Laurent a tenté de séduire sa collègue pendant la nuit. Il se satisfait néanmoins d'être resté fidèle, malgré lui.


title: Les Infidèles (film, 2012)

text: Christian se fait draguer un soir par Sandra, une jeune femme très séduisante qui l'incite à la ramener chez elle, dans une maison perdue aux milieu des bois. Pendant leurs ébats ils se font surprendre par Randy, le compagnon de celle-ci qui tabasse le nouvel amant pendant que la femme jouit du spectacle depuis le judas de la pièce voisine. Le couple s'adonne alors à un jeu sexuel au graphisme manga, devant leur victime inanimée à terre. Christian parvient alors à s'enfuir, stoppe une camionnette mais tombe malheureusement sur trois personnages à l'allure encore plus sadique. À l'arrière de leur pick-up, on aperçoit des cochons vivants enchainés et habillés de cuir.


title: Les Infidèles (film, 2012)

text: Éric, orthodontiste, s'est amouraché d'une de ses anciennes patientes, Inès, 19 ans, étudiante en lettres modernes. Un jour, elle lui présente ses camarades de classe et l'entraîne dans son univers, fait d'expériences, de fréquentations décalées, comme James, et de soirées en boîte de nuit. Mais Éric rêve d'une relation sérieuse et installée avec la jeune femme, qui est quant à elle fort immature et ne désire pas s'installer. Dans une boîte de nuit où il voit la jeune femme lui échapper, Éric s'énerve et commence à se battre. Il est finalement évacué et, après avoir réfléchi, il rentre chez lui rejoindre sa femme, non sans avoir maquillé ses blessures et dégradé sa voiture pour faire croire à un accident.


title: Les Infidèles (film, 2012)

text: Thibault a eu une aventure d'une nuit, mais sa femme et ses enfants arrivent plus tôt que prévu. Il chasse donc sa maîtresse et nettoie rapidement l'appartement des preuves de son aventure. Mais au moment où sa femme entre dans l'appartement, Thibault voit son chien mordiller le préservatif usagé et, dans un réflexe, prend son chien et le jette par la fenêtre.


title: Les Infidèles (film, 2012)

text: Olivier et Lisa sont mariés depuis plus de dix ans et dînent chez l'un de leurs vieux amis, Antoine, marié lui aussi mais qu'ils savent infidèle. Alors que la femme d'Antoine est affairée dans la cuisine, la conversation entre les trois amis les amène à parler des dernières aventures extra-conjugales d'Antoine. En rentrant chez eux, Lisa demande à Olivier, sur un ton léger et confiant, de lui avouer ses infidélités. Avec réticence, il accepte et lui raconte peu à peu qu'il a eu une histoire avec une femme. Lisa veut en savoir plus et ce qui devait être une conversation honnête vire au jeu brutal de la vérité. Finalement, Olivier parvient à la convaincre que son histoire est sans importance ; c'est à ce moment qu'elle lui avoue qu'elle l'a elle aussi trompé. Aussitôt, les rôles s'inversent et Olivier devient violent. La nuit passée, au petit déjeuner avec leur enfant, le couple semble accepter, sans mot dire, de passer outre.


title: Les Infidèles (film, 2012)

text: Simon est en pleine séance de "bondage" avec une prostituée âgée, dans son garage, quand celle-ci perd connaissance sous les coups de fouet, apparemment victime d'une attaque cardiaque. Soudain, il se fait surprendre par sa femme et son fils qui rentrent à l'improviste.


title: Les Infidèles (film, 2012)

text: Plusieurs hommes, dont Simon, Thibault, Bernard (vus dans les sketchs précédents) et François (héros du sketch non retenu au montage), se retrouvent dans une réunion des « infidèles anonymes », où leur volonté d'être infidèle va être soumise aux exercices de Marie-Christine, meneuse de la réunion qui tente de les remettre dans le droit chemin de la fidélité conjugale. La première journée est un échec, puisque personne ne revient le deuxième jour.


title: Les Infidèles (film, 2012)

text: Fred et Greg (du premier segment "Le Prologue") décident d'aller jusqu'au bout de leur mode de vie et s'organisent une virée d'une semaine à Las Vegas entre eux, malgré le désaccord de leurs femmes respectives. La première soirée n'est pas un franc succès et l'atmosphère du séjour se dégrade peu à peu quand Greg apprend que sa femme le quitte. Il reproche alors à Fred de l'avoir entraîné dans ce cercle vicieux de l'infidélité avec des justifications hasardeuses, ils en viennent aux mains et se réconcilient avant de profiter à fond de leur deuxième soirée.


title: Les Infidèles (film, 2012)

text: Au terme de la nuit, les deux hommes sont ravis mais s'interrogent et se découvrent des sentiments l'un pour l'autre. Ils ont alors leur première relation homosexuelle, puis décident de rester à Vegas pour devenir magiciens, copies de Siegfried & Roy.


title: Les Infidèles (film, 2012)

text: Les infidèles anonymes se retrouvent en chorale et chantent une chanson faisant l'éloge de la fidélité.


title: Les Infidèles (film, 2012)

text: Le film réalise 219 403 entrées le jour de sa sortie en salles, 900 910 entrées le week-end et prend la première place du box-office français avec 1 082 028 entrées dès sa première semaine. Trois mois après sa sortie en salle, le film totalise environ 2 300 000 entrées en France ( - fin d'exploitation après 10 semaines à l'affiche). Sur l'ensemble de l'Europe, le film rassemble .


title: Les Infidèles (film, 2012)

text: En 2020, une production italienne réalisée par Stefano Mordini, reprise du film, est sortie sous le nom "Gli infedeli".


title: Fonction convexe

text: En précisant au moyen des valeurs de la fonction ce que sont les points formula_1 et formula_2 ci-dessus, on obtient une définition équivalente souvent donnée de la convexité d'une fonction : une fonction définie sur un intervalle réel formula_6 est convexe lorsque, pour tous formula_7 et formula_8 de formula_6 et tout formula_10 dans formula_11 on a :


title: Fonction convexe

text: Lorsque l'inégalité est stricte (avec formula_7 différent de formula_8 et formula_10 dans formula_16), on parle de "fonction strictement convexe".


title: Fonction convexe

text: La fonction carré et la fonction exponentielle sont des exemples de fonctions strictement convexes sur l'ensemble réel formula_17.


title: Fonction convexe

text: Ces définitions se généralisent aux fonctions définies sur un espace vectoriel (ou affine) arbitraire et à valeurs dans la droite réelle achevée formula_18.


title: Fonction convexe

text: À l'inverse, une fonction dont un même segment formula_19 est situé en dessous du graphe, ou dont l'hypographe (l'ensemble des points qui sont en dessous du graphe de la fonction) est un ensemble convexe, ou encore dont, vu d'en dessous, le graphe est en creux, est dite concave. En d'autres termes, une fonction formula_20 est concave si son opposée formula_21 est convexe. Ainsi, les fonctions affines sont à la fois convexes et concaves.


title: Fonction convexe

text: Les fonctions convexes sont, avec les ensembles convexes, les objets constitutifs de l'analyse convexe, une discipline « intermédiaire » entre l'algèbre linéaire et l'analyse non linéaire. Elles permettent de démontrer un grand nombre d'inégalités remarquables, dites inégalités de convexité. Elles jouent aussi un rôle singulier en optimisation, en supprimant la distinction entre minima locaux et globaux (tout minimum local d'une fonction convexe est un minimum global).


title: Fonction convexe

text: Dans cette première section, on va supposer que l'ensemble de départ est un intervalle réel formula_6. Cette restriction permet de fournir une première initiation aux fonctions convexes d'abord plus aisée et parce que la possibilité de tracer des représentations graphiques planes facilite certainement la tâche, ensuite et surtout parce que les concepts de continuité ou dérivabilité sont significativement plus maniables pour les fonctions d'une seule variable. Cette approche montre tout de même vite ses limites, en particulier parce qu'elle n'est guère pertinente pour appliquer la théorie des fonctions convexes à l'optimisation qui en est sans doute la principale motivation.


title: Fonction convexe

text: Cela signifie que pour tout formula_23 et formula_24 de formula_6, le segment formula_26 de formula_27, où formula_28 et formula_29, est situé au-dessus de la courbe représentative de formula_20.


title: Fonction convexe

text: La définition de la convexité fait apparaître des barycentres où les coefficients sont des réels arbitraires de formula_32. Lorsqu'on ne fait porter l'hypothèse que sur les milieux, elle s'étend aux isobarycentres :


title: Fonction convexe

text: L'inégalité de la définition s'étend comme suit (on peut le démontrer par récurrence sur l'entier formula_33 ou par le même argument que dans la proposition ci-dessus. On dénomme parfois cette version l'inégalité de Jensen :


title: Fonction convexe

text: On appelle parfois « lemme des trois cordes » ou « inégalité des pentes » voire « inégalité des trois pentes » le résultat suivant :


title: Fonction convexe

text: On peut préciser les deux premiers points par : une fonction formula_43 définie sur un intervalle ouvert formula_6 est convexe si et seulement si formula_45 et formula_46 sont définies et croissantes sur formula_6.


title: Fonction convexe

text: Ainsi, on peut désormais facilement ajouter à sa collection de fonctions convexes (ou concaves) les exemples suivants :


title: Fonction convexe

text: En faisant intervenir des inégalités strictes, on dispose d'une variante de la convexité : la stricte convexité.


title: Fonction convexe

text: Les résultats énoncés plus haut pour des fonctions convexes s'adaptent généralement sans mal aux fonctions strictement convexes.


title: Fonction convexe

text: De même que les fonctions dérivables convexes sont celles qui ont une dérivée croissante, les fonctions dérivables strictement convexes sont celles qui ont une dérivée strictement croissante.


title: Fonction convexe

text: D'après le lien entre monotonie et signe de la dérivée, une fonction formula_20 deux fois dérivable est donc strictement convexe si et seulement si formula_60 est positive et ne s'annule que sur un ensemble d'intérieur vide.


title: Fonction convexe

text: On peut donner au moins deux définitions légèrement différentes d'une fonction convexe de plusieurs variables réelles (ou plus généralement : d'une variable vectorielle), qui reviennent essentiellement au même mais ne fournissent néanmoins pas exactement les mêmes fonctions. On prendra donc garde au contexte lors d'une invocation d'une de ces définitions pour comprendre s'il s'agit ou non de fonctions susceptibles de prendre des valeurs infinies.


title: Fonction convexe

text: Autrement dit : formula_20 est convexe si sa formula_63 à tout segment formula_64 est une fonction convexe de la variable réelle formula_65 .


title: Fonction convexe

text: Étant donnée une fonction convexe au sens de la définition 1, on peut lui associer une fonction convexe au sens de la définition 2 en la prolongeant hors de formula_66 par la valeur formula_67 ; réciproquement, étant donnée une fonction convexe formula_68 au sens de la définition 2, l'ensemble formula_69 est un convexe et la restriction de formula_20 à formula_66 est une fonction convexe au sens de la définition 1. Les deux transformations sont réciproques l'une de l'autre : les deux définitions, quoique techniquement distinctes, décrivent bien la même notion.


title: Fonction convexe

text: Certaines sources requièrent de plus que formula_66 soit non vide (dans la définition 1) ou que formula_20 ne soit pas la constante formula_67 (dans la définition 2) pour prévenir certaines exceptions désagréables dans quelques énoncés. Une telle fonction de formula_75 dans formula_76 est dite propre.


title: Fonction convexe

text: La définition 2 est plus récente que la définition 1 et fut introduite indépendamment par Rockafellar et Moreau. Elle permet de définir une fonction convexe comme un seul « objet » (une fonction définie sur un espace vectoriel ayant une propriété bien particulière) et non comme un couple formé d'un ensemble convexe d'un espace vectoriel et d'une fonction à valeurs réelles définie sur cet ensemble convexe. La définition 2 est la plus communément utilisée en analyse convexe, pour les raisons suivantes : d'une part, elle allège souvent l'expression des résultats et, d'autre part, elle permet de ne pas devoir préciser le convexe sur lequel est définie une fonction convexe obtenue par l'une des constructions standards de l'analyse convexe, comme l'enveloppe supérieure, la fonction d'appui, la fonction marginale, la fonction conjuguée, la fonction duale en optimisation


title: Fonction convexe

text: Soit formula_75 un espace vectoriel (ou affine) réel. On dit qu'une fonction formula_68 est "strictement convexe" si, pour tous formula_23 et formula_24 distincts dans formula_81 et tout formula_10 dans formula_16, on a :


title: Fonction convexe

text: Soit formula_85 un espace normé. On dit qu'une fonction formula_68 est "fortement convexe", de module formula_87 si, pour tous formula_23 et formula_24 dans formula_81 et tout formula_10 dans formula_32, on a :


title: Fonction convexe

text: Pour tout espace vectoriel topologique formula_75 de dimension infinie, il existe des fonctions convexes de domaine formula_75 qui ne sont pas continues : par exemple les formes linéaires non continues sur formula_75.


title: Fonction convexe

text: Cependant, une proportion significative de résultats valables pour des fonctions convexes d'une variable se reproduisent à l'identique pour des fonctions convexes sur une partie d'un espace vectoriel, soit qu'on se ramène pour les prouver à considérer la restriction de la fonction à une droite, soit que la démonstration soit une simple révision de la version à une variable. En voici quelques-unes :


title: Fonction convexe

text: La technique de minoration des fonctions convexes par des fonctions affines est une variante adaptée à l'analyse de l'utilisation des hyperplans d'appui en géométrie convexe. La forme analytique du théorème de Hahn-Banach permettrait de minorer directement une fonction convexe définie (et à valeurs finies) sur la totalité de son espace de départ. En revanche, dès que la fonction n'est pas définie partout, il faut poser quelques restrictions techniques.


title: Fonction convexe

text: On verra un peu plus bas que l'hypothèse de continuité est superflue en dimension finie (c'est une conséquence de la convexité). En revanche, la condition topologique sur formula_112 est indispensable, même en une seule variable : pour la fonction convexe formula_113 sur formula_114 (dont le graphe est un demi-cercle) et formula_115, on ne peut trouver de fonction affine minorante au sens de la proposition précédente.


title: Fonction convexe

text: Voici un premier résultat permettant de reconnaître la convexité d'une fonction au moyen de ses dérivées premières. On note formula_116 la forme linéaire continue qu'est la différentielle de formula_20 au point formula_7. Le point 2 ci-dessous signifie que l'approximation affine de formula_20 en tout point formula_7 est une minorante de formula_20 ; le point 3 exprime la monotonie de la dérivée.


title: Fonction convexe

text: Un résultat analogue permet de caractériser la "stricte" convexité d'une fonction. Il suffit de remplacer les inégalités ci-dessus par des inégalités strictes et de supposer que les points d'évaluation formula_7 et formula_8 diffèrent.


title: Fonction convexe

text: On note formula_124 la forme bilinéaire continue et symétrique qu'est la différentielle seconde de formula_20 au point formula_7.


title: Fonction convexe

text: Comme en dimension 1, une fonction convexe définie sur un ouvert de formula_127 est forcément continue en tout point de l'ouvert. La démonstration va nous donner une information plus précise :


title: Fonction convexe

text: En dimension > 1, l'ensemble négligeable des points où formula_20 n'est pas dérivable peut avoir la puissance du continu : considérer par exemple l'application convexe formula_129.


title: Fonction convexe

text: À une variable, sur un intervalle non ouvert, on a vu qu'une fonction convexe n'était pas nécessairement continue.


title: Fonction convexe

text: Néanmoins il est possible de la rendre continue par un procédé simple : si formula_20 est convexe sur un intervalle formula_131, alors nécessairement la limite à droite formula_132 de formula_20 en formula_134 existe et est inférieure ou égale à la valeur formula_135. La discontinuité de formula_20 en la borne formula_134 se produit alors dans le cas où formula_138. On peut s'en démêler en modifiant simplement la valeur de formula_20 en ce point : il suffit de la diminuer et la remplacer par formula_132.


title: Fonction convexe

text: Soit formula_66 le disque-unité fermé de formula_27 ; considérons la fonction formula_20 définie sur formula_66 par :


title: Fonction convexe

text: Cette fonction formula_20 est convexe. Elle est toutefois discontinue au point formula_147 mais ici la discontinuité ne peut être levée par une simple modification de la valeur formula_148. On constate en effet que si on tend radialement vers ce point, la fonction étant nulle sur le rayon, formula_149 tend vers 0 ; mais un calcul facile permet de constater que, si on tend vers formula_148 le long du cercle frontière de formula_66, formula_152 tend vers 2. Toutes les valeurs comprises entre 0 et 2 sont d'ailleurs valeurs d'adhérence de formula_20 au point formula_147 et il est définitivement illusoire d'espérer rendre cette formula_20 continue en modifiant ses valeurs sur le bord.


title: Fonction convexe

text: Toutefois, si l'ensemble de définition est un polytope, les choses se passent comme sur les intervalles de formula_17, comme on peut le voir en appliquant le théorème suivant :


title: Fonction convexe

text: Une fois qu'on a compris qu'il est vain de vouloir modifier une fonction convexe formula_20 sur la frontière de son domaine de définition jusqu'à la rendre continue, on peut néanmoins choisir un jeu de valeurs sur cette frontière plus remarquable que les autres, en exigeant que le prolongement soit à la fois semi-continu inférieurement (ce qui nécessite de choisir des valeurs faibles) et convexe (ce qui nécessite de les prendre fortes).


title: Fonction convexe

text: Pour écrire l'énoncé assez confortablement, il est ici particulièrement approprié d'utiliser des fonctions définies sur tout formula_127 et prenant éventuellement la valeur formula_67.


title: Fonction convexe

text: La fonction formula_160 est appelée la fermeture de formula_20. Les fonctions convexes égales à leur fermeture sont appelées des fonctions convexes fermées ; dit autrement ce sont les fonctions convexes dont l'épigraphe est fermé, ou encore autrement dit ce sont les fonctions convexes semi-continues inférieurement.


title: Fonction convexe

text: On peut aussi introduire une notion de convexité pour les fonctions à valeurs vectorielles, pourvu que l'on se donne un cône dans l'espace d'arrivée de la fonction.


title: Fonction convexe

text: De façon plus précise, on suppose donnés deux espaces vectoriels formula_75 et formula_165, un convexe formula_66 de formula_75, un cône pointé convexe formula_168 de formula_165 et une fonction formula_20 de formula_66 dans formula_165. On dit que formula_20 est "formula_168-convexe" si, pour tous formula_23 et formula_24 de formula_66 et tout formula_10 dans formula_32, on a :


title: Fonction convexe

text: Par les propriétés supposées de formula_168, l'ensemble des fonctions formula_168-convexes est un cône convexe de l'ensemble des fonctions de formula_75 dans formula_165 (parce que formula_168 est un cône convexe), contenant les fonctions affines (parce que formula_168 est pointé).


title: Fonction convexe

text: Si le cône formula_168 est également saillant, il induit sur formula_20 un ordre partiel, noté formula_189 et défini par :


title: Fonction convexe

text: L'analyse convexe trouve un grand nombre d'applications en physique, lorsque les potentiels énergétiques sont localement convexes (existence de solutions stables, de changements de phase). En homogénéisation, par exemple, les théories de type variationnel permettent d'estimer les solutions d'équations aux dérivées partielles elliptiques grâce à la représentation des potentiels énergétiques par transformée de Legendre. La transformée de Legendre, formulation mathématique qui représente une fonction convexe par l'ensemble de ses tangentes, permet le développement de méthodes de linéarisation.


title: Nation of Islam

text: Nation of Islam est une organisation nationaliste noire, suprémaciste, et religieuse américaine, à l’origine de la plupart des organisations musulmanes actuelles de la communauté afro-américaine. "Nation of Islam" (NOI) ne publiant pas de statistiques, les estimations de ses membres sont très divergentes, mais en 2003, selon Hakeem Lumumba, ils seraient entre et .


title: Nation of Islam

text: "Nation of Islam" a été fondée à Détroit, dans le Nord des États-Unis, en 1930, par Wallace Fard Muhammad, reconnu par "Nation of Islam" comme étant le « Messie » (ou « mahdi ») attendu par les musulmans. L’idéologie développée par l’organisation est un mélange de nationalisme afro-américain et de religion. Cette dernière est inspirée par l’islam, mais reste éloignée de l’islam orthodoxe. La NOI est donc considérée comme une secte par la majorité des organisations musulmanes.


title: Nation of Islam

text: Si Wallace Fard Muhammad est bien le créateur de l’organisation, c’est son successeur Elijah Muhammad qui, entre 1934 et 1975, lui a donné son orientation, son organisation et sa puissance. Malcolm X a été l’une des figures les plus en vue de l’organisation, jusqu’à sa rupture avec celle-ci, dont il dénonce le racisme au retour d’un pèlerinage à La Mecque effectué en 1964.


title: Nation of Islam

text: "Nation of Islam" se transforme officiellement en mouvement musulman sunnite peu après la mort d’Elijah Muhammad, en 1975. Un groupe de militants refusant cette orientation quitte l’organisation en 1978, et reprend le nom de "Nation of Islam", qui venait d’être abandonné par l’organisation mère. Fidèle à l’idéologie des origines, malgré certaines évolutions, la « nouvelle » NOI est dirigée depuis la scission de 1978 par Louis Farrakhan. Celui-ci est au début du un leader en vue de la communauté afro-américaine. Son discours communautaire, insistant sur la nécessité pour les Noirs de faire des études, de développer leur statut socio-économique et de lutter contre la délinquance a une influence qui dépasse largement les cercles religieux de la NOI. Ses discours ambigus, plus ou moins hostiles aux Blancs et aux Juifs ont cependant créé de nombreuses polémiques.


title: Nation of Islam

text: "Nation of Islam" s’inspire de diverses organisations religieuses et/ou nationalistes noires, apparues aux États-Unis au début du , en réaction à la ségrégation raciale que vivaient les Noirs américains.


title: Nation of Islam

text: Sur le plan politique, on peut en particulier citer la "Universal Negro Improvement Association and African Communities League" (UNIA), créée aux États-Unis par Marcus Garvey en 1917, qui milite pour le retour des Noirs en Afrique, et développait un vigoureux nationalisme noir.


title: Nation of Islam

text: Sur le plan religieux, divers groupes (se réclamant du judaïsme, du christianisme ou de l’islam) développent une pensée tournée de façon privilégiée vers les Noirs. Parmi eux une organisation se réclamant de l’islam, le "Moorish Science Temple of America", fondé en 1913 par Timothy Drew, organisation offre un certain nombre de ressemblances avec ce que sera "Nation of Islam" à partir de 1930.


title: Nation of Islam

text: "Nation of Islam", ou "Lost - found Nation of Islam in North-America", parfois aussi appelée "Allah Temple of Islam" est la matrice de quasiment toutes les organisations musulmanes actuelles de la communauté afro-américaine, et a été fondée à Détroit, dans le Nord des États-Unis, en 1930, par Wallace Fard Muhammad. "Nation of Islam" pense que celui-ci est le mahdi attendu par les musulmans. L’organisation finira même par aller sensiblement plus loin, en le considérant comme Dieu incarné.


title: Nation of Islam

text: On connaît très peu de choses à son sujet ou sur son idéologie précise. Pour la Nation de l’islam, il serait venu au monde en 1877 à La Mecque, en Arabie saoudite, avant de venir prêcher le « peuple noir » en Amérique, puis d’abandonner son incarnation physique en 1934, date à laquelle il disparaît mystérieusement. Pour le FBI, il s’appelait en fait Wallace Dodd Ford ou Wallace Dodd, né en 1891 en Nouvelle-Zélande, et serait un métis blanc-polynésien arrivé aux États-Unis en 1913. Il aurait été arrêté en 1918 pour attaque à main armée, de nouveau arrêté au début de 1926 pour infraction à la loi californienne de prohibition de l’alcool, et enfin aurait fait de la prison de 1926 à 1929 pour infraction à la législation sur les stupéfiants. Il se serait alors installé à Détroit, avant de créer "Nation of Islam" en 1930.


title: Nation of Islam

text: En novembre 1932 éclate une affaire qui menace la jeune organisation. Un sacrifice humain est commis par un membre, Robert Karriem (né Harris) qualifié de « déséquilibré ». Fard est arrêté avec Karriem. D’après le rapport de police de l’époque, il aurait nié toute responsabilité dans le crime. Au cours de l’interrogatoire, il aurait fini par indiquer que la création de l’organisation était .


title: Nation of Islam

text: En 1934, sous la pression de la police, il aurait quitté Détroit. Le dossier du FBI propose plusieurs hypothèses quant à ce qu’il serait devenu par la suite, mais n’a pas d’information directe sur ce sujet. Il s’agit pour l'essentiel de références à d’autres sources, comme des articles de journaux.


title: Nation of Islam

text: Quelles que soient les motivations réelles du créateur de l’organisation, celle-ci regroupe après sa disparition de 1934 un petit groupe d’adhérents convaincus et militants, qui en feront en une trentaine d’années une organisation forte de dizaines de milliers d’adhérents.


title: Nation of Islam

text: Après la disparition mystérieuse de Wallace Fard Muhammad en 1934, Elijah Muhammad prend la direction du mouvement, lequel était à l’époque encore groupusculaire.


title: Nation of Islam

text: Elijah Poole est né dans l'État de Géorgie (Sud des États-Unis) en 1897, mais s’est installé à Détroit (Nord des États-Unis) en 1923. Il suivait en cela la grande migration afro-américaine de l’époque, depuis le sud agricole, pauvre et ségrégationniste des États-Unis, vers le nord industriel, plus riche et un peu plus tolérant à l’égard des Noirs. Mais même dans le Nord, les discriminations raciales existent, engendrant, selon Eric Lincoln, . À Détroit, Poole entre en contact en 1931 avec Fard Muhammad, et rallie son organisation naissante. Il prend le nom de Elijah Muhammad, mais se fait aussi connaître sous les noms de Gulan Bogans, ou de Mohamed Rassoul.


title: Nation of Islam

text: Après la disparition du fondateur, Elijah Muhammad serait entré dans un bref conflit avec d’autres leaders de l’organisation, conflit qui l’amène à s’installer avec ses partisans à Chicago, loin de la faction hostile de Détroit. Il sort finalement vainqueur de l’affrontement, s’affirmant comme le chef incontesté de la NOI. Claude Clegg parle à propos de la NOI de l’époque d’un climat de . Pour "Nation of Islam" par contre, c’est Wallace Fard Muhammad qui . Désormais à la tête de l’organisation, il prend le titre de « messager de Dieu », sous lequel l’organisation continue aujourd’hui à le désigner. Il commence à étendre celle-ci, encore limitée en 1934 à Détroit et Chicago. C’est le Nord-Est industriel qui s’avère le plus réceptif. Muhammad y crée une série de temples (qui seront plus tard rebaptisés mosquées), et les appelle selon leur numéro de création. Ainsi, à New York, la mosquée historique est toujours désignée sous le nom de mosquée numéro 7 (à l’origine temple 7), parce que c’est la septième fondée (ou visitée) par Elijah Muhammad.


title: Nation of Islam

text: Après l'assassinat de Malcolm X, NOI devient plus discrète mais son nombre d'adepte continue d'augmenter, en partie grâce à la publicité que lui fait Mohammed Ali.


title: Nation of Islam

text: Elijah Muhammad meurt le 25 février 1975. Pour lui succéder, sa famille et ses plus proches collaborateurs se positionnent en faveur de Wallace Muhammad.


title: Nation of Islam

text: Wallace Muhammad, est le jeune frère d'Herbert. Après avoir épousé l'Islam traditionnel, Wallace s'est rebellé contre les enseignements de son père. Il a été exclu de NOI pour avoir contesté les prétentions d'Elijah à être le messager d'Allah. Mais il est finalement réintégré et, avec le soutien de la famille, des plus proches collaborateurs d'Elijah et de Mohamed Ali, prend sa succession à la tête de NOI.


title: Nation of Islam

text: Au cours des dix-huit premiers mois, Wallace s'emploie à orienter NOI vers un Islam plus orthodoxe. Il dissout les Fruit of Islam. Déclare que les démons ne peuvent être identifiés par des attributs physiques, ce qui permet aux Blancs d'adhérer au groupe. Enfin, il la renomme en « Communauté mondiale de l'Islam en Occident ».


title: Nation of Islam

text: En 1978, des membres de la NOI, dirigé par Louis Farrakhan, se réorganisent autour des enseignements d'Elijah Muhammad. En 1981, Louis Farrakhan proclame officiellement la restauration de la NOI, et la fidélité aux dogmes d'Elijah Muhammad.


title: Nation of Islam

text: Concernant la formation de l’idéologie du mouvement, la part exacte à attribuer au fondateur Wallace Fard Muhammad, et celle à attribuer à Elijah Muhammad restent difficiles à établir. Bien que la NOI mette en avant sa nature religieuse, le versant socio-politique de son idéologie n’en est pas moins fortement affirmé. La vision idéologique de "Nation of Islam" a été formalisée dans le "Muslim Program" de 1965, toujours en vigueur, mais l’essentiel de ces thématiques était déjà clairement affirmé dès les années 1930. Malgré une certaine modération de l’interprétation des principes fondamentaux (en particulier le rejet des Blancs), la NOI du début du a un positionnement idéologique très similaire à celui de ses débuts.


title: Nation of Islam

text: La théologie de la NOI est assez éloignée de l’islam orthodoxe ; certains de ses aspects peuvent même en être jugé antagonistes :


title: Nation of Islam

text: On peut aussi noter une forte croyance en la numérologie, ce qui aura d’ailleurs une influence importante sur le mouvement après la mort de Elijah Muhammad, avec le choix du septième fils de Muhammad comme nouveau leader.


title: Nation of Islam

text: La religion des Blancs, le christianisme, est la religion de l’esclavage et du mal. L’islam orthodoxe admet par contre dans une certaine mesure la validité du christianisme. On note cependant que sous la direction de Louis Farrakhan, le discours s’est en partie infléchi. Si le christianisme reste responsable de l’esclavage, il est admis qu’il est porteur d’une certaine valeur s’il se libère de son racisme historique :


title: Nation of Islam

text: Tout comme dans l’islam, l’acceptation du christianisme existe aujourd’hui partiellement. La thématique est cependant différente. L’islam critique la déification de Jésus, quand "Nation of Islam" critique surtout le racisme du christianisme ayant permis l’esclavage.


title: Nation of Islam

text: Il y a enfin certaines influences chrétiennes. Les lieux de culte sont à l’origine appelés des temples, par exemple. Les ministres du culte sont appelés "ministers", et non imams.


title: Nation of Islam

text: L’idéologie de "Nation of Islam" ne se limite pas au domaine religieux. Elle a aussi une forte composante sociale et politique, indifférente d’un point de vue islamique, et que l’organisation peut partager en tout ou partie avec d’autres groupes nationalistes afro-américains. L’idée centrale est l’indépendance du peuple noir en Amérique par le biais d'un séparatisme (essentiellement d'avec les Blancs et le christianisme) et de l'autodétermination dans tous les domaines de la vie sociale, économique et politique.


title: Nation of Islam

text: Il y a des positions communes avec l’islam ou le christianisme : interdiction des relations sexuelles hors mariage, affirmation des , rôle dirigeant de l’homme au sein de la cellule familiale. Ainsi, indique le site officiel de la NOI, .


title: Nation of Islam

text: La consommation de porc est interdite, conformément à l’enseignement de l’islam. La NOI insiste aussi sur le respect des cinq piliers de l'islam. La consommation de drogue, mais aussi de tabac et d’alcool est déconsidérée, en accord avec la vision musulmane traditionnelle.


title: Nation of Islam

text: Le changement de nom, et parfois du prénom, est une règle de la communauté, et serait dû à un commandement de Wallace Fard Muhammad lui-même. Il s’agit pour le nouvel adhérent d’affirmer la rupture symbolique avec son passé d’incroyant, mais aussi d’exprimer le refus du , et donc l’indépendance vis-à-vis du monde blanc. Les déportés africains aux États-Unis recevaient en effet un prénom chrétien et un nom de famille, tous deux imposés par le propriétaire du nouvel esclave. Les prénoms des nouveaux membres de la NOI ne sont pas toujours changés, mais quand ils le sont c’est au bénéfice de prénoms islamiques. Les noms de familles sont également fréquemment changés, généralement en faveur d’un nom musulman, mais parfois aussi d’un nom africain ou d’un « X » symbolique, exprimant l’effacement du patronyme historique par l’esclavage.


title: Nation of Islam

text: Un code vestimentaire exprimant cette volonté d’ascension sociale est demandé aux membres de l’organisation. Pour les hommes, il s’agit du port d’un strict costume trois-pièces, avec cravate, ou fréquemment avec un nœud papillon. Pour les femmes, il s’agit de tenues modestes mais correctes. D’un point de vue général, "Nation of Islam" demande à ses membres de rejeter tout laisser-aller vestimentaire exprimant l’échec social, et d’affirmer symboliquement leur volonté d’ascension sociale.


title: Nation of Islam

text: L’indépendance doit aussi se construire dans le domaine économique. Les Noirs doivent prendre leurs propres décisions politiques, sociales, économiques (autodétermination). Notamment créer leurs propres entreprises et leurs propres emplois.


title: Nation of Islam

text: "Nation of Islam" a très tôt insisté sur la nécessité pour les Noirs en général, et les « Musulmans noirs » en particulier, de construire des entreprises noires et d’acheter préférentiellement dans ces entreprises. Il s’agit d’une part d’acquérir un statut social plus favorisé, et d’autre part de ne plus dépendre des patrons blancs, accusés de racisme. À ce titre, l’organisation a créé dès les années 1930 des entreprises sous son contrôle, mais a aussi encouragé ses membres à créer leurs propres entreprises, tout en favorisant l’emploi des membres de la communauté et les relations économiques avec les autres sociétés « musulmanes ». Le succès a été en partie au rendez-vous, et un tissu petit mais actif d’entreprises liées directement ou indirectement à la NOI s’est affirmé avec les années.


title: Nation of Islam

text: La langue anglaise n'est pas considérée comme un signe de soumission (comme cela peut-être le cas dans certaines sous-cultures) mais est nécessaire à la pleine dignité des Noirs. Il faut donc l'étudier et la maitriser en profondeur pour s'exprimer.


title: Nation of Islam

text: Néanmoins l’indépendance doit se construire dans le domaine intellectuel. La NOI accuse en effet le système américain de l’éducation d’avoir toujours maintenu les Noirs dans une situation d’échec scolaire et d’exclusion des universités (situation qui a cependant beaucoup évolué depuis les années 1960), et d’avoir développé des programmes ethno-centrés développant le mépris pour les Noirs et les civilisations extra-européennes. À ce titre,


title: Nation of Islam

text: Le sport et les divertissements sont déconsidérés (voir par exemple les rapports entre Mohammed Ali et NOI).


title: Nation of Islam

text: La mise en œuvre de chacun de ces éléments doit aboutir au niveau territorial à la création d'un État indépendant noir, par exemple dans le Sud des États-Unis, quitte à organiser un déplacement massif des Noirs vers ce nouveau pays. . Ce projet n’a cependant jamais réellement été soutenu par des initiatives concrètes : ».


title: Nation of Islam

text: En trente ans, de 1934 à 1964, l’organisation va connaître un développement important, sans crise intérieure notable.


title: Nation of Islam

text: Sous la direction d’Elijah Muhammad, le groupe devient très missionnaire. Avec le temps, ses prêcheurs ont porté ses enseignements, des rues et des halls de réunion aux prisons américaines. Le nouveau groupe a surtout , encore que la progression ait été lente à ses débuts. Les milieux noirs très chrétiens du Sud des États-Unis, souvent fortement structurés en communautés rurales regroupées autour d’un pasteur, se sont en revanche montrés très difficiles à pénétrer.


title: Nation of Islam

text: Dès les années suivant la disparition de son fondateur, "Nation of Islam" met en place le "Savior’s Day" (jour du sauveur), chaque 26 février, date anniversaire de la naissance supposée du . Avec le temps, le "Savior’s Day" est devenu une fête religieuse importante de la communauté, servant de marqueur de l’identité de celle-ci, et donnant certaines années lieux à des rassemblements de masse.


title: Nation of Islam

text: En 1934 a lieu la première diffusion de "The Final Call to Islam", premier journal de la NOI. Celui-ci et ses successeurs auront des publications intermittentes, mais qui se renforceront avec le temps, améliorant la capacité de communication de la NOI.


title: Nation of Islam

text: À la veille de la Seconde Guerre mondiale, la jeune organisation, encore très modeste, a déjà ses lieux de culte (encore appelés « temples » à l’époque), son idéologie, son encadrement, ses fêtes religieuses et ses organes de communication.


title: Nation of Islam

text: Pendant la Seconde Guerre mondiale, la Nation de l’islam affirme son opposition au gouvernement américain en refusant toute collaboration à l’effort de guerre. D’après un rapport du FBI 100-9129 du 30 septembre 1942, Elijah Muhammad aurait, . D’après un rapport du FBI du 19 décembre 1942, Elijah Muhammad serait à cette date (il a été arrêté fin septembre 1942). En 1943, encore très petite, "Nation of Islam" est décrite par un rapport du FBI comme étant pour l’effort de guerre en indiquant . Ce rapport indique aussi que .


title: Nation of Islam

text: Ces rapports confirment le rapport très oppositionnel des membres de la NOI avec le gouvernement américain, même en période de crise. La NOI n’ayant que quelques centaines de membres à l’époque, son impact sur l’effort de guerre américain a été nul. La guerre a cependant été un moment où l’organisation a pu affirmer de façon spectaculaire son opposition frontale au , contribuant ainsi à se faire connaître.


title: Nation of Islam

text: Après la guerre, la pression policière s’estompe, et la NOI peut reprendre ses efforts de développement. Muhammad lui-même sort en 1946 de la prison fédérale de Milan, Michigan, ou il se trouvait depuis 1942. En 1952, la NOI recrute Malcolm Little, plus connu sous le nom de Malcolm X, qui deviendra un artisan important du fort développement des années 1950 et du début des années 1960.


title: Nation of Islam

text: Les années 1950 et le début des années 1960 ont vu l’organisation passer de quelques centaines de membres (500 estimés en 1952) à des dizaines de milliers ( en 1963). , et devient le leader le plus visible et connu de la NOI, surtout après sa nomination comme « porte-parole national de "Nation of Islam" ».


title: Nation of Islam

text: Malcolm Little (1925-1965) est né à Omaha, dans le Nebraska. Son père était un prédicateur baptiste et un défenseur de Marcus Garvey (un nationaliste noir), et est mort de façon controversée (peut-être assassiné) en 1931. Après une scolarité prématurément interrompue et des placements dans différents foyers d’accueil, Malcolm Little s’installe à Boston, chez sa demi-sœur, puis part pour Harlem (New York), où il devient rapidement un délinquant.


title: Nation of Islam

text: Pendant la Seconde Guerre mondiale, il est réformé 4-F (mentalement perturbé). D’après son autobiographie, il aurait déclaré, en vue d’être refusé, qu’il voulait une arme pour , terme péjoratif désignant les Blancs. Bien avant son autobiographie, le FBI cite d’ailleurs un courrier du où il écrit .


title: Nation of Islam

text: À , en 1946, il est condamné à une peine de huit à dix années de prison à la suite de cambriolages. En 1948, son frère Reginald, qui s’est converti à "Nation of Islam", lui adresse un courrier où il le presse de se convertir, ce qu’il fait peu de temps après. Après sa conversion, il devient un prisonnier avide de lecture, se constitue une bonne culture autodidacte et commence à correspondre par courrier avec Elijah Muhammad.


title: Nation of Islam

text: Après sa libération en août 1952, il rencontre celui-ci à Chicago. Selon une des pratiques de la NOI, il change son nom de famille, et prend celui de « X ». Repéré par Elijah Muhammad, il devient un prêcheur efficace et dynamique, d’une grande loyauté vis-à-vis de celui-ci. Pour ces raisons, il monte rapidement les échelons de la petite organisation qu’est encore "Nation of Islam".


title: Nation of Islam

text: Six mois seulement après sa libération, en février 1953, preuve de son importance croissante, le FBI ouvre un dossier le concernant. Il y est suspecté de sympathies communistes.


title: Nation of Islam

text: En 1953, à , il devient d’abord un assistant du temple 1, puis le responsable du temple 11, à Boston. En 1954, il devient celui du temple 7 de Harlem (New York), sur "Lenox Avenue", puis ouvre de nombreux temples à travers le pays. Le rapport du FBI du 16 mars 1954 le décrit . Ses discours enflammés et sa personnalité charismatique en font bientôt l’homme le plus en vue de "Nation of Islam" après Elijah Muhammad.


title: Nation of Islam

text: L’organisation se développe rapidement dans les milieux noirs et pauvres, et bénéficie également indirectement du développement de la lutte pour les droits civiques des Noirs (à partir de 1955) ainsi que du développement du militantisme noir qui l’accompagne. Les prêches ont un succès particulier dans les prisons.


title: Nation of Islam

text: Entre 1952 et 1963, Nation of Islam serait passé de 500 à . Cette croissance spectaculaire est due à la rencontre entre le réveil du militantisme noir dans tout le pays et une idéologie de la fierté noire particulièrement radicale. Mais il est indéniable qu’elle est aussi largement due à l’activité missionnaire de Malcolm X. C’est dans le cadre de cette croissance spectaculaire des adhésions qu’en 1955 Louis Eugene Walcott, chanteur de calypso et violoniste, rejoint la Nation de l’islam, et prend le nom de Louis Farrakhan. "Nation of Islam" attire aussi le célèbre boxeur Cassius Clay, qui prendra le nom musulman de Mohammed Ali.


title: Nation of Islam

text: À partir de la fin des années 1950, la NOI gagne une visibilité médiatique croissante. C’est en particulier le documentaire télévisé de Mike Wallace en 1959, "The Hate that Hate Produced" (« la haine que la haine a produit »), qui révèle la NOI au niveau national. Meilleur orateur de l’organisation, Malcolm X devient un habitué des plateaux télévisés, et est régulièrement interviewé par la presse écrite et radiodiffusée. À l’heure des premières indépendances africaines et de la lutte pour les droits civiques des Noirs, la croissance rapide de la NOI inquiète et fascine les médias. Preuve de l’importance croissante de l’organisation, X est intégré en tant que représentant de la NOI au sein d’un comité de personnalités noires de divers horizons qui rencontre Fidel Castro le 19 septembre 1960, lors de la visite de celui-ci aux États-Unis.


title: Nation of Islam

text: Le , Elijah Muhammad et ses fils font le pèlerinage à La Mecque. Malgré son éloignement de l’islam orthodoxe, les autorités saoudiennes ont laissé le leader de "Nation of Islam" participer au "hajj" pour des raisons inconnues, peut-être par ignorance de l’organisation.


title: Nation of Islam

text: Malcolm X n’est pas le seul vecteur médiatique de l’organisation. Celle-ci s’exprime aussi largement à travers la presse noire américaine. . Certains de ces journaux avaient une large diffusion, puisque le "The Pittsburgh Courier" auraient distribué par semaine en 1957.


title: Nation of Islam

text: Au début des années 1960, Elijah Muhammad souhaite cependant bénéficier de son propre organe de presse. Les publications de l’organisation existaient depuis les années 1930 (première publication de "The Final Call to Islam" en 1934), mais manquaient de régularité et d’envergure. En 1961 parait le journal national "Muhammad Speaks". Celui-ci reprend partiellement le titre d’un journal local créé à New York en 1960 par Malcolm X (alors à la tête du temple 7) : "Mr. Muhammad Speaks". D’après "The Final Call" (hebdomadaire de la NOI), la création du nouveau journal est aidée par . Le journal paraît au départ mensuellement, mais gagne progressivement en diffusion, touchant un public noir pouvant aller au-delà du cercle de la communauté. En 1969, le journal aurait diffusé par semaine, et jusqu’à en 1974.


title: Nation of Islam

text: Enfin, dans les années 1950 se développe ce qui est souvent présenté comme la branche paramilitaire de l’organisation, "Fruit of Islam", présenté par la NOI comme le service d’ordre de l’organisation, affecté à la sécurité des responsables et des militants. Pour ses détracteurs, "Fruits of Islam" est en fait une force paramilitaire potentielle. Le groupe recrute chez des anciens policiers, militaires, mais aussi délinquants, et applique une très stricte discipline interne.


title: Nation of Islam

text: À partir du début des années 1960, plusieurs controverses vont progressivement éloigner Malcolm X d'Elijah Muhammad.


title: Nation of Islam

text: Tout d’abord des affaires de mœurs : des rumeurs couraient depuis quelque temps sur les nombreux adultères commis par Elijah Muhammad avec de jeunes secrétaires du mouvement. Warith Deen Muhammad, le propre fils d’Elijah Muhammad, et un ami proche de X, informa ce dernier .


title: Nation of Islam

text: L’adultère est totalement contraire aux enseignements de "Nation of Islam". Après avoir écarté ces informations, Malcolm X aurait fini par en obtenir confirmation en 1963. Elijah Muhammad lui-même aurait fini par indiquer qu’étant l’envoyé de Dieu sur terre, il n’était pas soumis aux mêmes règles que le commun des mortels. Ces évènements semblent avoir fortement altéré la confiance de X dans la sainteté d’Elijah Muhammad.


title: Nation of Islam

text: Le second sujet de divergence porte sur la politique : Malcolm X était intéressé par le mouvement pour les droits civiques des Noirs tels qu’il se développait depuis 1955. Si l’idéologie officielle du mouvement était opposée au nationalisme noir et revendiquait simplement un statut d’Américain normal pour les Noirs, X considérait qu’il devait y avoir une présence des nationalistes noirs et des "black muslims" dans ce qui apparaissait comme le premier grand mouvement de masse noir de l’histoire des États-Unis. Elijah Muhammad était par contre hostile à la fin de la ségrégation raciale et au soutien à un mouvement dans lequel se trouvaient de nombreux Blancs progressistes. Il craignait la dissolution des Noirs dans un ensemble américain dominé par les Blancs.


title: Nation of Islam

text: Le troisième contentieux porte sur la religion : Malcolm X a commencé à s’intéresser à l’islam sunnite officiel et s’est rendu compte que la religion prêchée par Elijah Muhammad en était très éloignée. L’intérêt montré par X à l’égard de l’islam orthodoxe ne pouvait donc que l’éloigner de son mentor.


title: Nation of Islam

text: On peut enfin citer des divergences d’ambitions : l’aura de X au sein de la communauté noire en général et de "Nation of Islam" en particulier, sa médiatisation importante, semblent avoir inquiété Elijah Muhammad.


title: Nation of Islam

text: En 1963, après l’assassinat du président Kennedy, toutes ces divergences éclatèrent sur la place publique, après une déclaration controversée de X. Celui-ci déclara en effet que la violence que Kennedy n’avait pas pu arrêter se retournait contre lui. Il ajouta ( - En français, "Chickens coming home to roost" a une signification proche de « qui sème le vent récolte la tempête »). Cette phrase pouvait se comprendre comme une approbation de l’assassinat. Elijah Muhammad désavoua cette déclaration et interdit à X toute déclaration publique pendant , injonction à laquelle Malcolm X obéit. Mais les relations entre les deux hommes atteignaient leur point de rupture. Dans son autobiographie, X affirme même qu’un de ses assistants lui aurait alors indiqué avoir reçu l’ordre de la direction de la NOI de le tuer.


title: Nation of Islam

text: Le , Malcolm X annonça son départ de la Nation de l’islam. Le 12 mars, il annonçait la création de sa propre organisation « "The Muslim mosque inc." ». Peu de temps après, il se convertit à l’islam sunnite orthodoxe. Le , Malcolm X partit de l’Aéroport international de New York - John-F.-Kennedy pour faire le pèlerinage à La Mecque (le hajj) dont il revint sous le nom musulman de Malik El-Shabazz. Sa femme et ses filles prirent alors le nom de famille de Shabazz.


title: Nation of Islam

text: Il condamna le racisme antiblanc de "Nation of Islam". Mais Malcolm X resta fidèle à une action tournée de façon privilégiée vers le peuple noir. Il refusa aussi de condamner la violence des opprimés et eut des paroles assez dures pour les tenants de la non-violence, qu’il accusa d’encourager à la soumission.


title: Nation of Islam

text: Peu de temps après son retour de La Mecque, Malcolm X fonda l’« organisation pour l’unité afro-américaine », un groupe politique non religieux. Il affirme ainsi sa volonté de mener à la fois une lutte religieuse pour l’Islam, et une lutte politique pour les Noirs, les deux fonctionnant de façon autonome.


title: Nation of Islam

text: La tension entre Malik El-Shabazz et "Nation of Islam" ne cessa de croître. Le , sa maison fut l’objet d’un attentat à la bombe, et il fut assassiné de 21 balles le . Deux mois auparavant, Louis Farrakhan avait écrit . Trois membres de "Nation of Islam" seront reconnus coupables en 1966 : Norman 3X Butler, Thomas 15X Johnson et Talmadge Hayer. L’organisation elle-même niera toute participation à l’assassinat. . Celui-ci a admis au début 2007 , tout en niant une implication directe de l’organisation. En 1994, Qubilah Shabazz, une des filles de Malcolm X sera arrêtée et inculpée pour avoir payé un tueur à gage chargé de tuer Farrakhan, accusation abandonnée en 1995. Il a également été envisagé que le FBI ait eu connaissance du projet d’assassinat et l’ait couvert, voire aidé. Cette hypothèse a été reprise par la NOI. Les trois militants accusés de l'assassinat de Malcolm X sont incarcérés pendant vingt ans, jusqu'en 1985. La justice établit leur innocence en 2021 ; le "New York Times" souligne que les procureurs, le FBI et la police de New York « ont dissimulé des preuves cruciales » lors de l’enquête.


title: Nation of Islam

text: À sa mort, le projet de Malcolm X de créer un islam sunnite au sein de la communauté noire, intégré dans l’islam mondial et rompant avec le racisme semble un échec. Son organisation restera groupusculaire, et Elijah Muhammad maintiendra fermement son emprise sur l’islam noir américain jusqu’à sa mort, en 1975.


title: Nation of Islam

text: Le , Elijah Muhammad meurt. Conformément à ses croyances numérologiques, il désigne son septième fils, Warith Deen Muhammad (né Wallace D. Mohammed en 1933) pour lui succéder. Celui-ci reconnaîtra plus tard avoir été influencé par la pensée de Malcolm X (dont il était un ami proche), lequel sera d’ailleurs réhabilité par le mouvement (une mosquée prendra même son nom).


title: Nation of Islam

text: En trois ans, entre 1975 et 1978, il transforme de fond en comble l’idéologie du mouvement, et l’amène sur une base religieuse sunnite, tout en rompant avec l’idéologie raciste et nationaliste de son père. . Le projet d’un État indépendant pour les Noirs est donc abandonné.


title: Nation of Islam

text: La forte centralisation typique de "Nation of Islam" est réformée, afin de favoriser une large décentralisation des mosquées, plus conforme à la tradition du sunnisme : . Les communautés relevant de ce mouvement sont ouvertes à toutes les races, même si elles restent en pratique surtout composées d’Afro-Américains.


title: Nation of Islam

text: Warith Deen Muhammad est devenu un leader religieux respecté et incontournable aux États-Unis. Il lui sera demandé en 1992 de faire une prière au Sénat américain, et c’est lui qui fera la prière musulmane lors de la prière interconfessionnelle pour l’investiture du président Clinton, en 1997.


title: Nation of Islam

text: En 1978, un groupe de membres historiques de "Nation of Islam", dirigés par Louis Farrakhan, décide de se réorganiser autour des enseignements de Elijah Muhammad. En 1981, Louis Farrakhan proclame officiellement la restauration de "Nation of Islam", et la fidélité aux dogmes de Elijah Muhammad. La « nouvelle » NOI s’affirme comme la légitime continuatrice de l’organisation créée par Elijah Muhammad, tant sur le plan religieux que sur le plan du nationalisme afro-américain. En pratique, le contexte a évolué par rapport aux années 1930 ou 1960, en particulier dans trois domaines :


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text: "Nation of Islam" s’est . Le soutien à ce candidat à l’investiture démocrate pour les élections présidentielles de novembre 1984 est une innovation par rapport à l’attitude traditionnellement distante de la NOI par rapport aux institutions américaines et aux autres organisations afro-américaines. L’organisation de Louis Farrakhan insiste désormais sur son soutien à tout ce qui peut faire avancer la condition noire aux États-Unis. .


title: Nation of Islam

text: En , , il mènerait . Ce type de déclaration « anti-américaine », ainsi que l’image anti-blanche et anti-juive de l’organisation a posé certains problèmes à Jesse Jackson, qui a dû prendre ses distances. La campagne de Jesse Jackson a cependant été un moment important pour "Nation of Islam", qui s’est ainsi retrouvée sous le feu des médias, et a pu affirmer son militantisme noir, trois ans seulement après la refondation officielle de l’organisation.


title: Nation of Islam

text: À partir du début des années 1980, la NOI et les sunnites suivant le fils de Elijah Muhammad se développent de concert, obligés cependant de se définir l’un par rapport à l’autre.


title: Nation of Islam

text: Les orthodoxes limitent la spécificité ethnique de leur mouvement. Tout en conservant une sensibilité afro-américaine marquée, ils insistent sur leur intégration dans l’islam mondial et au sein de la nation américaine. À ce titre, ils suppriment les spécificités théologiques qui les différenciaient des autres musulmans, et ils insistent sur la compatibilité entre le fait d’être un bon musulman, et un bon Américain. L’interdiction de voter ou de s’engager dans l’armée a été levée. Les partisans de Warith Deen Muhammad . Warith Deen Muhammad participera ainsi à une prière œcuménique au Congrès américain dans les années 1990, sous la présidence du démocrate Bill Clinton.


title: Nation of Islam

text: La NOI, de son côté, reste officiellement fidèle à ses particularismes, tant théologiques (vis-à-vis du sunnisme) que politiques (vis-à-vis des États-Unis). On note cependant une certaine évolution des pratiques de l’organisation. Les citations du Coran se font plus nombreuses, les « temples » sont rebaptisés « mosquées », le respect des cinq piliers de l’islam est mis en avant, l’attitude anti-blancs est fortement modérée, le vote aux élections est désormais encouragé. On peut y lire une tentative d’adaptation de l’organisation face à la légitimité religieuse islamique plus importante des "black muslims" sunnites, mais aussi la volonté d’obtenir une certaine respectabilité en rapport avec le poids croissant de la NOI.


title: Nation of Islam

text: Il s’agit d’une grande manifestation organisée à Washington, D.C. en 1995 par la NOI. Il ne s’agit cependant pas d’une manifestation religieuse, mais d’une manifestation communautaire, sociale et politique. . Les objectifs de la marche sont l’encouragement des Afro-Américains à voter lors des élections américaines (ce qui est en rupture avec le traditionnel abstentionnisme de l’époque d’Elijah Muhammad), et l’encouragement des membres de la communauté à se prendre en main pour sortir des problèmes de délinquances, de drogue et de pauvreté. Les orateurs critiquent également beaucoup les réductions par le congrès républicain issu des élections de 1994 (dans le cadre du programme « contrat avec l’Amérique ») des programmes d’aides sociales, comme le Medicaid, les programmes de logement, les bourses d’étudiants et les programmes d’éducation.


title: Nation of Islam

text: La manifestation se veut ouverte à tous les hommes noirs, mais ni aux femmes ni aux Blancs. En pratique, un certain nombre de femmes noires ont participé à la manifestation, mais de façon assez minoritaire. Ces exclusions par le sexe ou la race ont provoqué de fortes polémiques.


title: Nation of Islam

text: Le nombre exact des participants a été discuté ( pour la police, pour les organisateurs), mais semble se situer un peu en dessous de 1 million. Le succès de la marche en a fait une des références de la NOI actuelle, qui l’utilise abondamment dans sa communication, en particulier avec la notion de "Million more movements", appel lancé en 2005 à l’ensemble de la communauté noire pour organiser d’autres grandes mobilisations à travers les États-Unis.


title: Nation of Islam

text: Au-delà du nombre de participants, la marche est un succès politique pour la NOI, laquelle a obtenu la participation de l’association des élus démocrates noirs à la Chambre des représentants des États-Unis (le "Black Caucus"), et même la participation d’un élu républicain.


title: Nation of Islam

text: "The million march man" de 1995 confirme la dimension très politique et pas seulement religieuse que "Nation of Islam" a pris, au contraire des musulmans noirs sunnites. Bien que ceux-ci représentent probablement plus de 80 % ou 90 % des "Black Muslims" américains, ils apparaissent de fait comme moins militants dans le domaine politique, et donc comme moins visibles. Grâce à sa présence sur le terrain, la NOI arrive à influencer des "Black Muslims" sunnites. Le cas de Keith Ellison est de ce point de vue révélateur. Bien que converti à l’islam sunnite en 1983, et bien que pour tout sunnite orthodoxe la NOI ne puisse être qu’une secte non musulmane, il s’est très fortement rapproché d’elle au moment de la marche, avant de s’en éloigner à nouveau. De fait, alors que les musulmans extérieurs à la communauté noire rejettent généralement très fortement la NOI, les "Black Muslims" sunnites montrent souvent une certaine sympathie pour celle-ci, non pas tant pour son discours religieux (trop hétérodoxe) que pour son discours et sa pratique militante en faveur de la communauté noire. Le séparatisme racial toujours revendiqué par la NOI n’est par contre pas accepté.


title: Nation of Islam

text: Au-delà de son succès événementiel, "The million march man" de 1995 apparaît donc comme un marqueur de la capacité qu’à la NOI actuelle à influencer la communauté noire bien au-delà de ses frontières religieuses.


title: Nation of Islam

text: À compter des années 1980, Louis Farrakhan a déployé une action grandissante à l’extérieur des États-Unis. Certaines de ces actions visent à implanter de nouvelles filiales de la Nation de l’islam, d’autres semblent surtout avoir un objectif en termes d’image, et d’autres enfin visent à l’obtention de financements.


title: Nation of Islam

text: En matière de création de nouvelles branches de la NOI, le résultat semble avoir été modeste. La branche canadienne serait la plus développée, eu égard à sa proximité avec le centre historique de l’organisation, dans le Nord-Est des États-Unis. Une branche dissidente de l’organisation y a même été créée en 1997, "Nation of Islam of Canada". Il existe une petite branche française, ou s'est formé idéologiquement (avant de la quitter) le militant noir radical Kémi Séba. L’organisation a également essayé sans grand succès de s’implanter en Grande-Bretagne dans les années 1990. L’organisation n’en revendique pas moins . Ces activités en dehors des États-Unis sont parfois mal perçues. Ainsi, le gouvernement britannique a-t-il interdit l’entrée sur son territoire à Louis Farrakhan en 1986, à la suite de sa déclaration selon laquelle Hitler avait été .


title: Nation of Islam

text: Louis Farrakhan a prêté une attention particulière à l’Afrique, et y a effectué plusieurs voyages, bien qu’une implantation permanente ne semble pas avoir été obtenue, ni forcément recherchée.


title: Nation of Islam

text: En 1986, par exemple, Farrakhan organise un voyage de cinq jours au Nigéria , provoquant certaines réactions négatives dans le pays.


title: Nation of Islam

text: En , Farrakhan se rend . Le président Ghanéen Jerry Rawlings ouvrit et clôtura officiellement cette convention de .


title: Nation of Islam

text: Parmi de nombreux autres déplacements, on peut aussi citer la participation du dirigeant de la NOI (dans l’assistance) à la cérémonie inaugurale de l’Union africaine de 2002. Le journal de la NOI a mis en valeur ses rencontres avec .


title: Nation of Islam

text: En 1996, Farrakhan s’est rendu en Libye, à l’époque sous sanction des Nations unies, pour recevoir le prix Kadhafi des droits de l'homme, assorti d’une somme de . Le mouvement a emprunté de dollars américains au cours du temps auprès de Kadafhi dont 3 pour acquérir le quartier général au sud de Chicago et 5 pour des arriérés d'impôts et des coûts du logement d'Elijah Muhammad.


title: Nation of Islam

text: Le , Farrakhan a pu rencontrer le cheik Mohammed Sayed Tantawi, le responsable d'Al-Azhar, la plus prestigieuse mosquée sunnite du monde.


title: Nation of Islam

text: Ces voyages renforcent la visibilité médiatique de la NOI, et réaffirment les liens entre l’Afrique et . Ils renforcent le rapprochement symbolique avec le monde musulman. Ils entretiennent également certaines polémiques aux États-Unis, autour des liens de l’organisation avec des régimes ou des organisations considérées comme hostiles aux États-Unis, ainsi qu’autour des sources de financement de l’organisation.


title: Nation of Islam

text: "Fruit of Islam" est la branche sécurité de l’organisation. Développée dès les années 1950, c’était à l’origine un simple service d’ordre, célèbre pour l’élégance stricte de ses membres. Sous la supervision de Louis Farrakhan, c’est devenu aussi une véritable entreprise de sécurité commerciale, qui loue le service de ses membres à des organisations, des municipalités ou des personnalités. Ainsi, .


title: Nation of Islam

text: Par le biais de filiales commerciales, "Fruit of Islam", réputée pour son efficacité, a contracté un certain nombre de contrats avec des municipalités. Ainsi, .


title: Nation of Islam

text: Les firmes liées à la FOI suscitent parfois une certaine méfiance. D’une part, elles recrutent beaucoup chez d’anciens détenus. Il s’agit là d’une caractéristique de tous les groupes "Black Muslims", qui ont une activité importante dans les prisons en vue d’amener les détenus à la « repentance » et au « salut ». Cette activité missionnaire et d’ailleurs dans une certaine mesure favorisée par les autorités carcérales elles-mêmes, à travers les aumôniers musulmans. La stricte discipline, qui est une des caractéristiques de "Nation of Islam" en général et de "Fruit of Islam" en particulier, a à ce jour évité tout débordement important, malgré certains problèmes (usage excessif de la force ou défaut de coopération avec la police, par exemple).


title: Nation of Islam

text: D’autre part, certains craignent le développement d’une véritable branche paramilitaire de la NoI, en relation avec ses objectifs « anti-américains », comme la création d’un État noir indépendant (cet objectif est toujours affiché sur le site de la NoI, mais ne semble pas activement défendu). À ce titre, certaines déclarations ont pu renforcer les soupçons. Ainsi, .


title: Nation of Islam

text: Enfin, voient dans FOI un des indices de la transformation de la NOI de structure religieuse en entreprise économique.


title: Nation of Islam

text: De son côté, la NOI ne nie pas recruter d’anciens délinquants. Ainsi . Mais elle insiste sur sa capacité à les ramener du côté de la loi, et sur la compétence qu’ils apportent dans la compréhension de la délinquance : en matière de sécurité, . L’organisation insiste d’ailleurs toujours sur les causes sociales et morales de la violence : , et .


title: Nation of Islam

text: Au-delà de ces polémiques, "Fruit of Islam" témoigne du dynamisme de la NOI, bien au-delà de son positionnement religieux originel, la réputation d’efficacité de "Fruit of Islam" participant d’ailleurs à la popularité de "Nation of Islam" dans des quartiers pauvres en proie à la délinquance.


title: Nation of Islam

text: L’idéologie de la NOI a été exprimée en par Elijah Muhammad dans son "Message to the Blackman in America" publié en 1965. Bien qu’il n’y ait pas d’évolution sur ces dogmes, l’interprétation que la « nouvelle » Nation of Islam en donne s’est quelque peu normalisée. La revendication d’un « islam » particulier, ou celle du séparatisme noir (État indépendant, écoles séparées, refus des mariages mixtes) sont donc toujours officiellement en vigueur, mais avec des inflexions.


title: Nation of Islam

text: Le rejet du christianisme, religion des Blancs, s’est fortement atténué. La NOI, conformément à son discours « unitaire » afro-américain a beaucoup développé ses relations avec les pasteurs noirs américains, et n’insiste donc plus guère sur le rejet militant du christianisme.


title: Nation of Islam

text: Les pratiques religieuses se sont aussi rapprochées de l’islam sunnite. Farrakhan insiste désormais énormément sur les pratiques classiques de l'islam sunnite, y compris le pèlerinage à la Mecque, et a réussi à rencontrer des dirigeants musulmans importants, comme en le responsable de la grande mosquée Al-Azhar du Caire. Les thèses les plus hétérodoxes de Elijah Muhammad, comme celle selon laquelle le dieu créateur de l'univers a disparu pour revenir sous les traits de Wallace D. Fard ne sont plus mises en avant, sans être officiellement rejetées.


title: Nation of Islam

text: Le racisme anti-blanc n’est plus officiellement soutenu : . Le rapport au blanc, et en particulier aux Juifs, est cependant très ambigu : d’un côté, les Juifs ont apporté à l’humanité le message de Dieu, et ont donc manifestement un rôle spécial aux yeux de Dieu : .


title: Nation of Islam

text: D’un autre côté, la NOI estime que les Juifs ont été en partie responsable de l’esclavage des Noirs et de ses horribles conséquences (cette thèse repose sur un livre très contesté "The Secret Relationship Between Blacks and Jews", publié en 1990 sous l’égide de la NOI) : Steven Hahn critique dans "Le Monde diplomatique" de mai 2006 ce livre comme étant un .Plusieurs études universitaires montrent que les sentiments anti-juifs sont toujours bien présents au sein de la NOI. Louis Farrakhan a également pu déclarer dans une interview : Le rejet des autres communautés se fait donc à travers une double thématique, à la fois nationaliste et sociale.


title: Nation of Islam

text: Le "Saviour’s Day", à l’origine la fête en mémoire de Wallace Fard Muhammad, était placée le . Louis Farrakhan a déplacé le jour de la fête au , date anniversaire de la naissance de Elijah Muhammad. La fête célèbre aujourd’hui les deux hommes.


title: Nation of Islam

text: Domaine où la fidélité est totale, Louis Farrakhan insiste énormément, comme Elijah Muhammad, sur la responsabilité de l’homme vis-à-vis de la femme (les mères célibataires abandonnées sont un fléau de la communauté noire), sur le refus de la délinquance, sur l’importance de l’éducation et de la création d’entreprise par des Noirs pour sortir de la pauvreté. Ce discours conservateur, apprécié et très militant donne à Farrakhan une aura incontestable au sein de la communauté noire, bien au-delà du cercle de ses fidèles. Il a même attiré ponctuellement les éloges de certains dirigeants du parti républicain.


title: Nation of Islam

text: La perception de "Nation of Islam" est donc également ambiguë. Son discours noir militant lui donne une réelle influence sur la communauté noire, mais ses positions à la lisière du racisme et les reproches de sexisme lui valent une certaine méfiance. En 2000, Warith Deen Muhammad et Louis Farrakhan se sont ainsi officiellement réconciliés, mais les divergences n’ont pas disparu pour autant.


title: Nation of Islam

text: En 2007, le nombre des Afro-Américains est estimé à , soit environ 12,85 % de la population américaine totale.


title: Nation of Islam

text: Il n'y a pas de recensement précis du nombre des musulmans noirs américains. Le "Council on American-Islamic Relations" indiquait dans une étude de 2001 « Les évaluations d'une population musulmane totale de en Amérique semblent raisonnables », mais d'autres études donnent un chiffre moitié moins élevé : pour le "American Jewish Committee". Par ailleurs, l'étude du "Council on American-Islamic Relations" indiquait que les Afro-Américains étaient 30 % des personnes participant au culte (plus 3,4 % d'immigrants d'Afrique sub-saharienne). Sur un total de de musulmans, on arrive ainsi à un chiffre de de "Black muslims", conforme aux estimations souvent données. L'université de Géorgie (États-Unis) donne par exemple le chiffre de de musulmans afro-américains, tout comme "The New York Times" dans un article du 28 février 2000, et d'autres plutôt 1 million.


title: Nation of Islam

text: Depuis les années 1970, on trouve aussi des immigrés africains musulmans aux États-Unis. Ils peuvent se joindre aux communautés locales, ou constituer les leurs sur des bases d'origines communes.


title: Âme sœur

text: L’âme sœur est un concept qui évoque une compatibilité amoureuse qui serait parfaite entre deux individus. L'expression, passée dans le langage courant, a des définitions variables qui ramènent toutes à l'idée selon laquelle ces individus ont pour destin de constituer un couple.


title: Âme sœur

text: Le terme, traditionnellement employé pour parler d’une relation très complémentaire, est repris par divers courants New Age dans le sens d’âmes prédestinées à se rencontrer.


title: Âme sœur

text: Une théorie des âmes sœurs peut être trouvée dans "Le Banquet" de Platon : les êtres humains, à l’origine, auraient été constitués de quatre bras, quatre jambes et d’une seule tête à deux visages. Zeus, qui aurait craint leur pouvoir, les aurait coupés en deux, les condamnant à passer le reste de leur existence à rechercher la part manquante.


title: Âme sœur

text: Ce mythe de l'androgyne originel est également l'une des interprétations du second récit de la création de la femme dans la Genèse. Selon Ramban, chacun des partenaires séparés aspire à retrouver la présence de l'autre, dont il a gardé la marque, dans sa chair comme dans son âme.


title: Âme sœur

text: Selon la Théosophie et par la suite dans les thèses d’Edgar Cayce, Dieu aurait créé des âmes androgynes. L’âme se diviserait plus tard en deux sexes. Au fil des réincarnations, les deux âmes se retrouveraient et, une fois leur karma purgé, elles fusionneraient à nouveau.


title: Âme sœur

text: Le terme est parfois utilisé de manière ironique ou comme une allégorie pour désigner les interactions fusionnelles entre êtres humains ou dans la nature. L'expression est également abondamment employée, à des fins commerciales, par les agences matrimoniales et les sites Internet de rencontres.


title: Âme sœur

text: En Chine, le terme « "tàijí tú" » rappelle que les concepts d'âme et de sororité sont liés, se succèdent mutuellement et que l'un existe grâce à l'autre : c'est là tout le principe du Yin et Yang. Dans la mythologie chinoise l'expression "tiān shēng yí duì" signifie « un couple choisi par les Cieux » ; à la naissance, maris et femmes sont tous reliés avec un fil rouge par un dieu qui s'occupe de former les relations prédestinées. Dans le conte Li "Fuyan Xu’xuan’guai’lu" (écrit sous la Dynastie Tang), le Dieu raconte : « Peu importe si tous les deux sont ennemis ou que l’un soit riche et l’autre pauvre ou qu'ils vivent dans les deux coins les plus éloignés du monde. Une fois que ce fil rouge les lie ensemble, ils ne peuvent pas désobéir à leur destinée. »


title: Âme sœur

text: D'après des légendes juives, 46 jours après la conception d'un garçon, Dieu désigne celle à qui il est destiné : cette âme sœur est nommée "bashert", c'est-à-dire destin. Marc Levy l'évoque dans "Sept jours pour une éternité..." : « Le Bachert est la personne que Dieu t'a destinée, elle est l'autre moitié de toi-même, ton vrai amour ».


title: Âme sœur

text: Le mythe de l'androgyne humain originel côtoie le constat d'espèces hermaphrodites (à la fois mâles et femelles) dans la nature :


title: Nombre réel

text: En mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales. Cette définition s'applique donc aux nombres rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d'un certain rang, mais aussi à d'autres nombres dits" irrationnels", tels que la racine carrée de 2, et .


title: Nombre réel

text: La notion de nombre réel émerge progressivement de la manipulation des rapports de grandeurs géométriques autres que les rapports d'entiers naturels depuis leur prise en compte par Eudoxe de Cnide au Elle s'insère aussi dans l'approximation des solutions de problèmes algébriques et donne même lieu, au milieu du , à la mise en évidence de nombres transcendants. Mais la définition des nombres réels n'est formalisée que quelques décennies plus tard avec les constructions de Dedekind d'une part et de Cantor et Méray d'autre part.


title: Nombre réel

text: L'ensemble des nombres réels, noté ℝ, est alors un corps totalement ordonné, c'est-à-dire qu'il est muni des quatre opérations arithmétiques satisfaisant les mêmes règles que celles sur les fractions et ces opérations sont compatibles avec la relation d'ordre. Mais il satisfait en plus la propriété de la borne supérieure qui fonde l'analyse réelle. Enfin, cet ensemble est caractérisé par Hilbert comme plus grand corps archimédien. Dans la droite réelle achevée les valeurs infinies ne satisfont plus les règles opératoires de corps, l'extension au corps des nombres complexes rend impossible la relation d'ordre total compatible, tandis que l'analyse non standard adjoint des nombres infiniment petits qui invalident le caractère archimédien.


title: Nombre réel

text: L'adjectif « réel » est utilisé pour qualifier des nombres dès le , mais il n'est explicitement défini par opposition aux nombres imaginaires qu'à la fin du Il a aussi été opposé à « nombre formel » dans certains traités de théologie ou de philosophie de la même époque.


title: Nombre réel

text: Les nombres réels sont utilisés pour représenter n'importe quelle mesure physique telle que : le prix d'un produit, la durée entre deux événements, l'altitude (positive ou négative) d'un site géographique, la masse d'un atome ou la distance de la galaxie la plus proche. Ces mesures dépendent du choix d'une unité de mesure, et le résultat s'exprime comme le produit d'un nombre réel par une unité. Les nombres réels sont utilisés tous les jours, par exemple en économie, en informatique, en mathématique, en physique ou en ingénierie.


title: Nombre réel

text: Bien que tous ces sous-ensembles des réels soient de cardinal infini, ils sont tous dénombrables et ne représentent donc qu'une infime partie de l'ensemble des réels. Ils ont chacun des propriétés propres. Deux sont particulièrement étudiés par les mathématiciens : les nombres rationnels et les nombres algébriques ; on appelle « irrationnels » les réels qui ne sont pas rationnels et « transcendants » ceux qui ne sont pas algébriques.


title: Nombre réel

text: En revanche, le physicien ne peut réaliser des mesures de précision infinie. La représentation numérique du résultat d'un calcul peut être approchée aussi précisément qu'il le souhaite par un nombre décimal. Dans l'état actuel de la physique, il est même de réaliser des mesures de précision infinie. C'est pourquoi, aussi bien pour des besoins expérimentaux que théoriques, si le physicien calcule les mesures dans ℝ, il exprime les résultats numériques sous forme de nombres décimaux.


title: Nombre réel

text: Ainsi le physicien utilise les propriétés des nombres réels qui permettent de donner un sens aux mesures qu'il réalise et offrent des théorèmes puissants pour démontrer ses théories. Pour les valeurs numériques, il se contente des nombres décimaux. Quand il mesure la distance que parcourt un point matériel sur un cercle complet, il utilise la valeur formula_1 sans se poser de question sur son existence, mais un nombre de décimales souvent petit lui suffit pour les calculs.


title: Nombre réel

text: Enfin, bien que les nombres réels puissent représenter n'importe quelle grandeur physique, les nombres réels ne sont pas les mieux adaptés pour l'étude de très nombreux problèmes physiques. Des sur-ensembles construits autour des réels ont été créés pour pouvoir manipuler certains espaces physiques. Par exemple :


title: Nombre réel

text: Tout nombre réel peut être représenté sous la forme de « nombre à développement décimal infini ». Cette définition peut sembler plus simple que d'autres utilisées couramment par les mathématiciens, par exemple la limite d'une suite convergente. Pourtant, elle apparaît rapidement comme peu adaptée et implique des définitions et des démonstrations bien plus complexes. En effet les nombres réels sont intéressants pour la structure et les propriétés de l'ensemble qu'ils forment : addition, multiplication, relation d'ordre, et les propriétés qui lient ces notions. Ces propriétés sont mal reflétées par la définition « développement décimal infini » et des problèmes théoriques apparaissent :


title: Nombre réel

text: Cependant, une fois établie la structure de l'ensemble des nombres réels, la notation par développement décimal permet des calculs effectifs, en gardant à l'esprit que ce n'est pas tant les décimales exactes d'un nombre qui comptent, que la position du nombre vis-à-vis des autres réels.


title: Nombre réel

text: Depuis l'Antiquité la représentation d'une grandeur mesurable a répondu à un besoin. La première réponse fut la construction des fractions (quotient de deux entiers positifs). Cette solution, mise en place très tôt chez les Sumériens et les Égyptiens, est finalement performante. Elle permet d'approcher une longueur quelconque avec toute la précision souhaitée.


title: Nombre réel

text: La première formalisation construite en système que l'on connaisse est le fruit du travail d'Euclide au Sa construction, inscrite dans ses "Éléments", apporte deux grandes idées d'un apport majeur dans l'histoire des mathématiques.


title: Nombre réel

text: Supposons une longueur donnée choisie comme unité. Un raisonnement géométrique, certainement déjà connu des babyloniens, montre que si "A" est un carré de côté l'unité et "B" un carré de côté égal à la diagonale "d" de "A", alors l'aire de "B" est double de celle de "A", autrement dit : "d" = 2.


title: Nombre réel

text: Probablement au , des mathématiciens grecs démontrent que les longueurs de la diagonale du carré et de son côté sont incommensurables : il n'existe pas de segment, aussi petit soit-il, qui permette de « mesurer » exactement ces deux grandeurs. Nous disons aujourd'hui que ce rapport de longueur, qui est la racine carrée de 2, est irrationnel, c'est-à-dire qu'il n'est pas égal à une fraction : si c'était une fraction "", en divisant la diagonale du carré en "m" parties égales et son côté en "n" parties égales on obtiendrait bien des segments tous de même longueurs.


title: Nombre réel

text: Il existe une démonstration arithmétique simple de ce résultat, qui repose sur un argument de parité. Au , Aristote y fait allusion dans un de ses écrits. On la trouve plus détaillée dans le livre X des "Éléments" d'Euclide.


title: Nombre réel

text: Si les fractions permettent effectivement d'exprimer toute longueur avec la précision souhaitée, il faut néanmoins comprendre que les opérations et particulièrement la division deviennent complexes si le système de numération n'est pas adapté. Le problème est décrit par l'article fraction égyptienne qui propose quelques exemples concrets.


title: Nombre réel

text: Il faut attendre le pour voir l'école indienne découvrir le concept du zéro et développer un système de numération décimal et positionnel.


title: Nombre réel

text: Un deuxième problème apparaît alors. Toutes les fractions possèdent un développement décimal dans la mesure où ce développement est infini et périodique, c'est-à-dire que la suite des décimales ne s'arrête pas mais boucle sur un nombre fini de valeurs. La question se pose alors de savoir quel sens donner à un objet caractérisé par une suite de décimales non périodique. Par exemple, le nombre à développement décimal infini qui s'exprime comme


title: Nombre réel

text: Dans la deuxième moitié du , on assiste à un extraordinaire épanouissement des mathématiques dans le domaine du calcul des séries et des suites.


title: Nombre réel

text: Nicolaus Mercator, les Bernoulli, James Gregory, Gottfried Wilhelm Leibniz, et d'autres travaillent sur des séries qui semblent converger mais dont la limite n'est pas rationnelle. C'est le cas par exemple :


title: Nombre réel

text: Pire, Liouville en 1844, prouve l'existence de nombres transcendants c'est-à-dire non racine d'un polynôme à coefficients entiers. Il ne suffit donc pas de compléter les rationnels en y ajoutant les nombres algébriques pour obtenir l'ensemble de tous les nombres.


title: Nombre réel

text: Durant la deuxième partie du , Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz inventent une toute nouvelle branche des mathématiques. On l'appelle maintenant l'analyse, à l'époque elle était connue sous le nom de calcul infinitésimal. Cette branche acquiert presque immédiatement une renommée immense car elle est la base d'une toute nouvelle théorie physique universelle : la théorie de la gravité newtonienne. Une des raisons de cette renommée est la résolution d'une vieille question, à savoir si la Terre tourne autour du Soleil ou l'inverse.


title: Nombre réel

text: Or le calcul infinitésimal ne peut se démontrer rigoureusement dans l'ensemble des nombres rationnels. Si les calculs sont justes, ils sont exprimés dans un langage d'une grande complexité et les "preuves" procèdent plus de l'intuition géométrique que d'une explicitation rigoureuse au sens de notre époque.


title: Nombre réel

text: L'impossibilité de la construction de l'analyse dans l'ensemble des fractions réside dans le fait que cette branche des mathématiques se fonde sur l'analyse des infiniment petits. Or, on peut comparer les nombres rationnels à une infinité de petits grains de sable (de taille infiniment petite) sur la droite réelle laissant infiniment plus de "trous" que de matière. L'analyse ne peut se contenter d'un tel support. Elle demande pour support un espace complet. Le mot est ici utilisé dans un double sens, le sens intuitif qui signifie que les "petits trous" en nombre infini doivent être "bouchés" et le sens que les mathématiciens donnent aujourd'hui plus abstrait mais rigoureusement formalisé.


title: Nombre réel

text: Cette notion est tellement importante qu'elle deviendra à l'aube du une large branche des mathématiques appelée topologie.


title: Nombre réel

text: Si l'existence des nombres négatifs apparaît très tôt dans l'histoire (mathématiques indiennes), il faut attendre 1770 pour qu'ils obtiennent grâce à Euler un vrai statut de nombre et perdent leur caractère d'artifice de calcul. Mais il faut attendre encore un siècle pour voir l'ensemble des réels associé à l'ensemble des points d'une droite orientée, appelée droite réelle.


title: Nombre réel

text: On considère une droite D contenant un point O que l'on appellera, par convention, origine. Soit un point I distinct de O appartenant à D que l'on identifie au nombre 1. Par convention, on dira que la distance de O à I est égale à 1 et que l'orientation de la droite est celle de O vers I. À tout point M de la droite, on associe la distance entre O et M. Si M et I sont du même côté par rapport à O alors la distance est comptée positivement, sinon elle est négative.


title: Nombre réel

text: Cette relation que la formalisation actuelle appelle bijection permet d'identifier un nombre réel à un point d'une droite.


title: Nombre réel

text: Le développement de l'analyse au cours des a conduit les mathématiciens français et allemands à s'interroger sur la nature des nombres réels. Ces interrogations les ont conduits à dégager des propriétés fondamentales (complétude, suites adjacentes, etc.) sur lesquelles pouvaient se fonder les constructions possibles de ℝ, qui ont été formalisées autour de 1870 par Cantor, Méray et Dedekind.


title: Nombre réel

text: Dans son cours d'analyse à l'École polytechnique, Augustin Louis Cauchy propose la première définition rigoureuse d'une limite. Une séquence de nombres réels indexée par les entiers naturels (appelée suite) converge vers une limite (nécessairement unique) "x" lorsque la distance |"x"-"x"| devient aussi petite que souhaitée pour "n" suffisamment grand. Il énonce un critère qui porte aujourd'hui son nom, le "critère de Cauchy" : il faut et il suffit que les distances |"x"-"x"| soient aussi petites que souhaitées pour "n" et "m" suffisamment grands. Par l'énoncé de ce critère, Cauchy affirme la complétude du corps des nombres réels, propriété sur laquelle peut être fondée sa définition. Cette approche est formalisée par Méray en 1869 puis par Cantor en 1872. Cette idée, particulièrement adaptée à l'analyse, trouve des prolongements dans les méthodes de complétion.


title: Nombre réel

text: Une seconde construction est publiée par Richard Dedekind en 1872. Elle découle de l'étude de la relation d'ordre sur les fractions. Une coupure de Dedekind est un ensemble "A" de rationnels, tel que tout rationnel de "A" est inférieur à tout rationnel du complémentaire de "A". Un réel est alors représenté par une coupure de Dedekind. Par exemple, la racine carrée de 2 est représentée par l'ensemble des rationnels négatifs et des rationnels positifs de carrés inférieurs à 2. Il existe des variantes de la définition de coupure selon les auteurs.


title: Nombre réel

text: Une troisième construction s'appuie sur la méthode des segments emboîtés. Un emboîtement est une suite décroissante d'intervalles fermés de nombres rationnels dont la longueur tend vers 0. Un nombre réel est alors défini comme une classe d'emboîtements modulo une relation d'équivalence. Selon , , ce qui explique pourquoi cette approche apparaît moins avantageuse que les deux précédentes. Il existe aussi une autre méthode à partir des développements décimaux, cependant l'addition puis la multiplication ne sont pas des opérations simples à définir.


title: Nombre réel

text: En 1899, David Hilbert donne la première définition axiomatique du corps des nombres réels. Les méthodes précédentes construisent toutes le « même » ensemble, celui des nombres réels.


title: Nombre réel

text: Le montre que cette nouvelle structure, l'ensemble des nombres réels, ses opérations et sa relation d'ordre, non seulement remplit ses promesses mais va au-delà.


title: Nombre réel

text: L'évolution des concepts de nombre réel et de continuité est tout aussi philosophique que mathématique. Que les nombres réels forment une entité continue veut dire qu'il n'y a pas de « saut » ou de « bande interdite ». Intuitivement, c'est tout comme la perception humaine de l'espace ou de l'écoulement du temps. Certains philosophes conçoivent qu'il en est d'ailleurs exactement de même pour tous les phénomènes naturels. Ce concept est résumé par la devise du mathématicien et philosophe Leibniz : "natura non facit saltus", « la nature ne fait pas de sauts ».


title: Nombre réel

text: L'histoire de la continuité débute en Grèce antique. Au , les atomistes ne croient pas seulement que la nature est faite de « sauts », mais aussi qu'il existe des particules de base non divisibles, les atomes. Les synéchistes quant à eux clament que tout est connecté, continu. Démocrite est un tenant d'une nature faite d'atomes intercalés de vide, tandis que Eudoxe le contredit, faisant de ses travaux certains des plus anciens précurseurs de l'analyse. Ceux-ci évoluent plus tard en ce que l'on connaît sous le nom de géométrie euclidienne.


title: Nombre réel

text: Encore au , des mathématiciens énonçaient qu'une fonction continue est en fait constituée de lignes droites infiniment petites, c'est-à-dire infinitésimales. C'est ainsi que le concept d'infiniment petit, vu dans l'optique atomiste, peut promouvoir cette façon de concevoir la nature. La question d'infini est donc centrale à la compréhension de la continuité et des nombres réels.


title: Nombre réel

text: Les paradoxes de Zénon illustrent la contre-intuitivité de la notion d'infini. L'un des plus connus est celui de la flèche, dans lequel on imagine une flèche en vol. À chaque instant, la flèche se trouve à une position précise et si l'instant est trop court, alors la flèche n'a pas le temps de se déplacer et reste au repos pendant cet instant. Les instants suivants, elle reste immobile pour la même raison. La flèche est toujours immobile et ne peut pas se déplacer : le mouvement est impossible. Pour résoudre ce paradoxe, il faut additionner ces infiniment petits un nombre infini de fois, par la méthode de la limite, découverte au cours de l'évolution de l'analyse.


title: Nombre réel

text: Le concept de continuité des nombres réels est central en analyse, dès le début de son histoire. Une question fondamentale est de déterminer si une fonction donnée est en fait une fonction continue. Au , on formulait cette question comme « est-ce qu'une variation infinitésimale dans son domaine engendre une variation infinitésimale dans son image ? ». Au , cette formulation est abandonnée et remplacée par celle des limites.