title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Pour voir cela, appelons "coh" un énoncé qui exprime la cohérence de "T" dans la théorie "T". De la même façon qu'au paragraphe précédent pour le premier théorème, on reformule le second théorème d'incomplétude en disant que, sous les hypothèses utiles sur "T", si la théorie "T" est cohérente, la théorie "T'=T + non coh" est encore cohérente. Rappelons que « "T" n'est pas cohérente », signifie qu'il existe une preuve d'une contradiction dans "T". Une preuve dans "T" est aussi une preuve dans "T' ", qui a juste un axiome supplémentaire. Il est donc simple de montrer dans une théorie telle que "T", qui satisfait les hypothèses du théorème de Gödel, que "non coh" a pour conséquence "non coh" (n'oublions pas cependant que "coh" et "coh" sont des énoncés exprimés dans le langage de ces théories, il faudrait, pour que la preuve soit vraiment complète, rentrer dans le détail de cette représentation pour montrer cette implication).


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: On a donc déduit du second théorème d'incomplétude, et de l'existence d'une théorie cohérente "T" qui satisfait les hypothèses de ce théorème – par exemple l'arithmétique de Peano – l'existence d'une théorie "T' " cohérente qui démontre "non coh", par exemple l'arithmétique de Peano augmentée d'un axiome exprimant l'incohérence de celle-ci. De telles théories sont pathologiques : on n'en rencontre pas parmi les théories mathématiques usuelles.


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text: A contrario une théorie incohérente, dans laquelle tous les énoncés sont prouvables, démontrera évidemment un énoncé exprimant qu'elle est cohérente.


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text: Un autre exemple d'application simple, mais assez surprenante, du second théorème d'incomplétude est le théorème de Löb, qui affirme que, dans une théorie "T" qui satisfait les hypothèses utiles, prouver dans "T" un énoncé sous l'hypothèse que cet énoncé est prouvable dans la théorie, revient à prouver l'énoncé. Autrement dit cette hypothèse est inutile.


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text: On voit par ces diverses remarques que le second théorème d'incomplétude ne dit rien en défaveur de la cohérence d'une théorie à laquelle il s'applique, par exemple la cohérence de l'arithmétique de Peano. Tout ce qu'il dit de cette dernière est que l'on ne peut pas la démontrer en utilisant seulement les axiomes de l'arithmétique, c'est-à-dire essentiellement la récurrence sur les entiers. Nous revenons sur ce point plus bas, mais remarquons tout de suite que c'est ici que le programme de Hilbert est contredit : Hilbert voulait démontrer la cohérence des mathématiques dans un fragment finitaire de celles-ci, c'est-à-dire dans une théorie comme l'arithmétique ne permettant de manipuler que des objets finis (des entiers, des formules, des démonstrations...) ; or une telle théorie satisfait les hypothèses des deux théorèmes donc est incomplète et ne prouve pas sa propre cohérence. Ainsi les théorèmes de Gödel ont pour corollaire, au sens mathématique du terme, l'impossibilité de réaliser le programme de Hilbert.


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text: Les théorèmes d'incomplétudes, et surtout leurs conséquences sur la conception qu'avaient les mathématiciens de l'époque de leur discipline, en particulier David Hilbert et ses élèves, étaient très inattendus. Peu de mathématiciens comprirent tout d'abord ces théorèmes et ce qu'ils impliquaient. Il faut compter parmi ceux-ci John von Neumann, qui après avoir assisté au premier exposé de Gödel en 1930 sur le premier théorème d'incomplétude, lui envoya une lettre mentionnant un corollaire qui était le second théorème (que Gödel connaissait déjà). Paul Bernays également, proche collaborateur de David Hilbert, comprit très vite les conséquences de ces théorèmes sur les conceptions de ce dernier, et donna la première démonstration détaillée du second théorème dans l'ouvrage " "(cosigné avec Hilbert). Enfin, Gödel se rendit plusieurs fois aux États-Unis dans les années 1930. Ses travaux eurent une grande audience auprès d'Alonzo Church et de ses élèves, Stephen Cole Kleene et J. Barkley Rosser, et jouèrent un rôle important dans la naissance de la théorie de la calculabilité.


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text: Le second problème de la célèbre liste que Hilbert présenta en 1900 à Paris était celui de la démonstration de la cohérence de l'arithmétique. L'arithmétique joue un rôle particulier dans le programme car, même si Hilbert n'a jamais défini précisément ce qu'il entendait par "théorie finitaire", il semble clair qu'à ses yeux l'arithmétique en était une. Il était donc important à ses yeux de démontrer la cohérence de l'arithmétique par des moyens internes, c'est-à-dire sans employer de principe mathématique plus fort que la récurrence sur les entiers ; comme on l’a déjà vu, le second théorème d'incomplétude montre que c'est impossible. Curieusement cela n'a pas empêché les logiciens de continuer à chercher ; ainsi Gerhard Gentzen donna en 1936 qui utilisait un principe d'induction plus fort que la récurrence sur les entiers, et Gödel lui-même produisit plusieurs constructions, notamment l', conduisant à des preuves de cohérence de l'arithmétique. Mentionnons également Alonzo Church dont le lambda-calcul fut initialement conçu pour développer des preuves élémentaires de cohérence. Ainsi, cette recherche de démonstrations de cohérence, apparemment rendue vaine par les théorèmes d'incomplétude, fut au contraire extrêmement fructueuse en posant les bases de la théorie de la démonstration moderne.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Les théorèmes d'incomplétude traitent du rapport fondamental en logique entre vérité et démontrabilité et surtout établissent de façon formelle que ces deux concepts sont profondément différents.


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text: En mathématique on considère qu'une fois un énoncé démontré, celui-ci peut être considéré comme vrai, mais ce faisant on utilise une condition importante quoique rarement explicitée : que les hypothèses utilisées dans la démonstration soient non contradictoires. Une démonstration aussi rigoureuse soit-elle ne vaut rien si elle est fondée sur des bases branlantes puisque l'on a vu qu'une théorie contradictoire démontre n'importe quel énoncé (et son contraire). Par conséquent la cohérence d'une théorie est l'ingrédient absolument nécessaire pour assurer que tout théorème de la théorie est vrai. Les théorèmes d'incomplétude montrent que cet ingrédient ne peut être interne à la théorie. C'est ce qu'exprime le théorème de Löb : si une théorie "T" démontre une formule "A" sous l'hypothèse que "A" est démontrable dans "T", alors cette hypothèse est inutile et on peut démontrer "A" sans celle-ci ; car déduire "A" du fait que "A" est démontrable revient à utiliser la cohérence de "T" ; mais justement celle-ci n'est pas démontrable dans "T" et donc cet argument n'a pas pu être utilisé dans la preuve.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Les théorèmes d'incomplétude sont fondés sur le fait qu'il est possible de définir la prouvabilité dans une théorie en utilisant uniquement quelques principes d'arithmétique (et donc dans toute théorie contenant ces quelques principes d'arithmétique). Par contre pour définir la vérité dans une théorie il est nécessaire de se donner d'autres moyens qui reviennent essentiellement à supposer que la théorie est cohérente : il faut par exemple pouvoir construire un "modèle" ce qui ne peut se faire en général en utilisant seulement les principes de l'arithmétique.


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text: À l'époque où Gödel démontre son théorème, la notion de vérité n'est pas vraiment formalisée, même si elle est connue de ce dernier, puisqu'il a démontré en 1929 le théorème de complétude. La définition utilisée actuellement est due à Alfred Tarski, on la trouve dans un article publié en 1956.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: La vérité est définie relativement à une interprétation des formules dans un modèle, une structure mathématique : un ensemble muni de lois et de relations. Nous allons nous intéresser à la vérité dans le "modèle standard" de l'arithmétique, les entiers que «tout le monde connaît», que l'on note N. Remarquons tout d'abord que, comme son nom le suggère il existe également des modèles non standards de l'arithmétique : le théorème d'incomplétude de Gödel montre l'existence de structures mathématiques qui ressemblent aux entiers, au sens où tous les axiomes de l'arithmétique de Peano, y compris la récurrence, y sont satisfaits, mais qui ne sont pas les entiers usuels, parce qu'elles vérifient des énoncés faux dans le modèle standard N. En effet, soit "G" la formule du premier théorème, qui donc exprime sa propre non prouvabilité dans l'arithmétique de Peano ; cette formule est vraie dans N, c'est précisément ce que démontre le premier théorème. Comme vu à la section précédente, la théorie constituée de l'arithmétique de Peano augmentée de la formule "non G" est cohérente. Cela signifie, d'après le théorème de complétude du même Gödel, que cette théorie admet un modèle qui satisfait donc en particulier "non G", et donc ne saurait être le modèle standard N.


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text: L'interprétation standard consiste à associer à chaque symbole du langage de l'arithmétique une signification dans le modèle : la constante 0 est interprétée par l'entier 0, le symbole de fonction "s" par la fonction successeur (formula_1), etc.). Ce dictionnaire permet ainsi de transformer les formules, objets formels, en des énoncés sur les entiers. Ainsi l'expression formelle "s(s(0))" est interprétée comme l'entier 2, la formule formula_2 exprime la propriété (vraie en l'occurrence) que 2 est un nombre premier, etc.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: On vérifie facilement que les interprétations des axiomes de l'arithmétique de Peano sont vraies dans le modèle standard, ce qui n'a rien de surprenant puisque ceux-ci étaient précisément conçus pour définir les entiers.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Il est intéressant de considérer quelques cas particuliers d'interprétation de formules. Les plus simples sont les formules atomiques closes qui deviennent des égalités et inégalités polynomiales sur les entiers dont la vérité ou la fausseté peuvent être vérifiées algorithmiquement. Les formules closes sans quantificateurs restent décidables : on peut se ramener à des conjonctions et disjonctions d'égalités et d'inégalités (≠ et ≤) polynomiales. On peut remarquer que pour décider ces formules on a besoin de très peu d'outils, il suffit juste de savoir calculer les sommes et les produits, et de disposer d'un algorithme pour décider les égalités et les inégalités entre entiers. En fait il est facile de voir que si l'interprétation d'une formule close et sans quantificateur est vraie dans le modèle standard alors cette formule est démontrable dans l'arithmétique en utilisant uniquement les axiomes définissant le successeur, la somme, la multiplication et la relation d'ordre. Ce sous-système de l'arithmétique, appelé "arithmétique de Robinson" ou "arithmétique élémentaire", permet donc toutes les démonstrations sur les entiers qui n'utilisent pas la récurrence.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Et comme la négation d'une formule close sans quantificateurs est close et sans quantificateurs, si celle-ci est fausse alors sa négation est prouvable dans l'arithmétique élémentaire. En résumé : l'arithmétique élémentaire décide les formules closes sans quantificateurs.


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text: Les choses se compliquent lorsque l'on passe aux quantificateurs : une formule "existentielle", c'est-à-dire de la forme ∃"x" … "x"("P"("x", …, "x") = Q("x", …, "x")) où "P" et "Q" sont des polynômes à "n" variables, est vraie quand on peut trouver "n" entiers "a", …, "a" tels que "P"("a", … , "a") = "Q"("a", … , "a"). S'il existe un tel "n"-uplet d'entiers, une machine pourra le trouver, en essayant les "n"-uplets entiers les uns après les autres (par exemple en énumérant tous les "n"-uplets dont la somme est 0, puis tous ceux dont la somme est 1, puis tous ceux dont la somme est 2, etc.). Autrement dit si une formule existentielle est vraie dans le modèle standard alors cette formule est vérifiable algorithmiquement et par conséquent démontrable dans l'arithmétique élémentaire ; cette remarque, un peu généralisée est fondamentale dans la preuve du théorème d'incomplétude, voir le paragraphe sur les formules Σ plus bas. Par contre si une formule existentielle est fausse, alors cet algorithme ne s'arrêtera pas. Le théorème de Matiiassevitch montre qu'il n'existe pas d'algorithme qui déciderait le statut de n'importe quelle formule existentielle.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: La situation est « pire » pour le quantificateur universel : un énoncé "universel" est un énoncé du genre ∀"x", …, "x"("P"("x", …, "x") = "Q"("x", …, "x")) ; cet énoncé est vrai dans le modèle standard si pour chaque "n"-uplet d'entiers "a", …, "a", l'égalité "P"("a", …, "a") = "Q"("a", …, "a") est vraie : c'est bien défini, mais, si l'on suit la définition, cela demande une infinité de vérifications. On voit bien la différence entre vérité et démontrabilité : une preuve est nécessairement finie et se vérifie de manière algorithmique. Pour démontrer un énoncé universel tel que celui-ci, habituellement on fait une récurrence ce qui permet de représenter de façon finie une infinité de vérifications : la récurrence peut se « déplier » de façon à construire une infinité de preuves, une pour chaque entier. La récurrence introduit toutefois une certaine uniformité dans ces preuves et il n'y a aucune raison que tout énoncé universel vrai dans le modèle standard puisse être démontré ainsi ; le théorème de Gödel montre justement que ce n'est pas le cas.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: En effet appliquons le théorème de Gödel à l'arithmétique de Peano. L'énoncé de Gödel est un énoncé universel, de la forme ∀"x H"("x") où "H" est une formule sans quantificateur et dépendant seulement de la variable "x". Quand on définit précisément l'énoncé, on montre que pour chaque entier "n", "H"("n"), est prouvable dans l'arithmétique de Peano, donc vrai dans le modèle standard. C'est la raison pour laquelle ∀"x H"("x") est vrai dans le modèle standard mais l'énoncé est précisément construit pour en déduire qu'alors il n'est pas prouvable dans la théorie considérée, ici l'arithmétique de Peano.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Il y a là un point subtil : le théorème démontre que ∀"x H"("x") est vraie dans le modèle standard. Mais le seul moyen en maths de s'assurer qu'une formule est vraie, c'est de la prouver, nous avons donc une preuve de ∀"x H"("x") et en regardant la démonstration du théorème on peut se convaincre que cette preuve n'utilise pas de principes plus forts que ceux de l'arithmétique. Cette formule semble prouvable dans l'arithmétique mais justement le théorème de Gödel assure qu'elle ne l'est pas ! La raison est que l'énoncé « ∀"x H"("x") est vrai dans le modèle standard » présuppose l'existence du modèle standard, c'est-à-dire présuppose la cohérence de l'arithmétique ; pour être tout à fait précis on n'a pas démontré ∀"x H"("x") mais : "si l'arithmétique est cohérente" alors ∀"x H"("x") ; et cette démonstration est tout à fait formalisable dans l'arithmétique, c'est d'ailleurs la clef du second théorème d'incomplétude.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Rappelons que si l'on démontre un énoncé à partir d'énoncés vrais dans un modèle, l'énoncé obtenu est vrai dans ce modèle, et que, dans un modèle, un énoncé (une formule close) est soit vrai soit faux. Par conséquent la théorie des énoncés vrais dans N est close par déduction et complète. On déduit immédiatement du premier théorème d'incomplétude que


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: C'est une version faible du théorème d'incomplétude, énoncée pour les théories dont tous les axiomes sont vrais dans N, alors que cette forme du théorème de Gödel se démontre sous la simple hypothèse de cohérence de ces axiomes qui est beaucoup plus générale (tout ceci en ayant précisé correctement ce que signifie « suffisamment d'arithmétique »). On ne peut pas non plus le formaliser directement dans l'arithmétique, pour en déduire le second théorème d'incomplétude. Tel quel il se déduit d'ailleurs du théorème de Tarski (1933), qui est plus facile à démontrer que celui de Gödel.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Comme l'énoncé "G" non démontrable est vrai dans N et que la théorie ne démontre que des énoncés vrais dans N, la négation de cet énoncé n'est pas non plus démontrable.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Il est possible de donner une assertion sous cette forme qui soit vraiment équivalente à celle démontrée par Gödel, en précisant la complexité logique de l'énoncé "G", voir la fin du paragraphe diagonalisation. Comme déjà dit, la simple hypothèse de cohérence suffit pour que l'énoncé "G" vrai dans N soit non démontrable, et ceci représente l'essentiel du théorème. Une fois précisée la complexité logique de "G", le fait que la négation de "G" n'est pas non plus démontrable est une conséquence quasi immédiate d'une hypothèse de cohérence un peu plus forte faite par Gödel, qui entraîne que tous les théorèmes de la complexité logique de la négation de "G" sont vrais dans N.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Une théorie du premier ordre est incomplète quand il existe des énoncés exprimables au premier ordre dans le langage de la théorie et qui ne sont pas déterminés par cette théorie (c'est-à-dire qu'ils sont indécidables dans cette théorie).


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: L'existence de théories incomplètes est banale au sens où il n'y a « pas assez » d'axiomes pour déterminer tous les énoncés. Ainsi on peut dire au premier ordre avec égalité qu'il existe au moins deux éléments distincts, ou au contraire qu'il en existe un seul, c'est-à-dire que la simple théorie de l'égalité, mais aussi par exemple la théorie des groupes ou la théorie des corps sont évidemment incomplètes. En ajoutant des axiomes on peut espérer compléter une théorie en la déterminant, ainsi la théorie des corps algébriquement clos d'une caractéristique donnée, la théorie des corps réels clos sont des théories complètes.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Ceci n'est pas possible pour l'arithmétique ainsi que le montre le théorème de Gödel : même en ajoutant des axiomes on n'obtiendra pas une théorie complète (tant que la liste des axiomes est récursivement axiomatisable, c'est-à-dire essentiellement qu'on peut la décrire explicitement). La théorie des ensembles, bien qu'elle permette de démontrer plus d'énoncés arithmétiques que l'arithmétique de Peano, ne les détermine pas tous pour autant (la théorie des ensembles est également incomplète pour des raisons n'ayant rien à voir avec les théorèmes de Gödel, voir ci-après).


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: L'arithmétique de Presburger (l'arithmétique de l'addition) est un exemple de théorie arithmétique complète : le langage est trop peu expressif pour que l'on puisse démontrer le théorème de Gödel. De façon générale, d'après justement le théorème de Gödel, les théories complètes, comme celles déjà citées ou l'axiomatisation de la géométrie élémentaire (associée à celle des corps réels clos) ne sont pas suffisamment expressives pour faire de l'arithmétique (avec addition et multiplication).


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Appliqués à l'arithmétique, les théorèmes de Gödel fournissent des énoncés dont la signification est tout à fait intéressante, puisqu'il s'agit de la cohérence de la théorie. Cependant ces énoncés dépendent du codage choisi. Ils sont pénibles à écrire explicitement.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Paris et Harrington ont montré en 1977 qu'un renforcement du théorème de Ramsey fini, vrai dans N, n'est pas démontrable dans l'arithmétique de Peano. Il s'agit du premier exemple d'énoncé indécidable dans l'arithmétique qui n'utilise pas de codage du langage. Depuis, on en a découvert d'autres. Le théorème de Goodstein est un tel énoncé ; sa preuve est particulièrement simple (quand on connaît les ordinaux), mais utilise une induction jusqu’à l'ordinal dénombrable ε₀. Laurence Kirby et Jeff Paris ont démontré en 1982 que l'on ne peut pas prouver ce théorème dans l'arithmétique de Peano.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Les énoncés de ce genre qui ont été découverts sont des résultats de combinatoire. Leurs démonstrations ne sont pas nécessairement très compliquées, et en fait il n'y a aucune raison de penser qu'il y a un lien entre complexité technique d'une preuve et possibilité de formaliser celle-ci dans l'arithmétique de Peano.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: En théorie des ensembles, on a d'autres énoncés indécidables que ceux fournis par le théorème de Gödel qui peuvent être de nature différente.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Ainsi, d'après des travaux de Gödel, puis de Paul Cohen, l'axiome du choix et l'hypothèse du continu sont des énoncés indécidables dans ZF la théorie des ensembles de Zermelo et Fraenkel, le second étant d'ailleurs indécidable dans ZFC (ZF plus l'axiome du choix).


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Mais d'une part, ce ne sont pas des énoncés arithmétiques. D'autre part, la théorie obtenue en ajoutant à ZF l'axiome du choix ou sa négation est "équi-cohérente" à ZF : la cohérence de l'une entraîne la cohérence de l'autre et réciproquement. De même pour l'hypothèse du continu. Ce n'est pas le cas pour un énoncé exprimant la cohérence de ZF, d'après justement le second théorème d'incomplétude. De même pour l'un des deux énoncés obtenus par les preuves usuelles du premier théorème d'incomplétude (il est équivalent à un énoncé de cohérence).


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Considérons une théorie des ensembles "T+A". Démontrer qu'un ensemble (un objet de la théorie) est modèle de la théorie des ensembles "T", c’est démontrer la cohérence de "T". Si l'on suppose que l'on peut faire une telle démonstration, on peut donc déduire par le second théorème d'incomplétude que, si "T" est cohérente, "A" n'est pas démontrable dans "T". On montre ainsi que certains axiomes qui affirment l'existence de « grands » cardinaux, ne sont pas démontrables dans ZFC.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: La notion de calculabilité intervient à divers titres à propos des théorèmes d'incomplétude. On l'a utilisée pour en définir les hypothèses. Elle intervient dans la preuve du premier théorème d'incomplétude (Gödel utilise les fonctions récursives primitives). Enfin incomplétude et indécidabilité de l'arithmétique sont liées.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Il y a un lien étroit entre décidabilité algorithmique d'une théorie, l'existence d'une méthode mécanique pour tester si un énoncé est ou non un théorème, et complétude de cette théorie.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Une théorie récursivement axiomatisable et complète est décidable. On peut donc prouver le premier théorème d'incomplétude en montrant qu'une théorie qui satisfait les hypothèses utiles est indécidable. Ce résultat, l'indécidabilité algorithmique des théories qui satisfont les hypothèses du premier théorème d'incomplétude, a été démontré indépendamment par Turing et Church en 1936 (voir problème de la décision), en utilisant les méthodes développées par Gödel pour son premier théorème d'incomplétude.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Pour un résultat d'indécidabilité, qui est un résultat négatif, il faut avoir formalisé la calculabilité, et être convaincu que cette formalisation est correcte, conviction qui ne peut reposer seulement sur des bases mathématiques. En 1931, Gödel connaît un modèle de calcul que l'on dirait maintenant Turing-complet, les fonctions récursives générales, décrit dans une lettre que Jacques Herbrand lui a adressée, et qu'il a lui-même précisé et exposé en 1934. Cependant il n'est pas convaincu à l'époque d'avoir décrit ainsi toutes les fonctions calculables. À la suite de travaux de Kleene, Church, et Turing, ces deux derniers ont énoncé indépendamment en 1936 la thèse de Church : les fonctions calculables sont les fonctions récursives générales.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: On peut être plus précis en donnant une classe restreinte d'énoncés pour laquelle la prouvabilité est indécidable. Si on reprend les arguments développés dans le paragraphe Vérité et démontrabilité ci-dessus, on voit par exemple que la classe des énoncés sans quantificateurs (et sans variables) est, elle, décidable.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: En utilisant les arguments développés par Gödel, on montre que la prouvabilité des énoncés Σ est indécidable. Sans entrer dans le détail de la définition des formules Σ (faite ci-dessous), cela ne semble pas si loin d'une solution négative au dixième problème de Hilbert : l'existence d'un algorithme de décision pour la résolution des équations diophantiennes. Mais il fallut plusieurs dizaines d'années et les efforts successifs de plusieurs mathématiciens dont Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson et finalement Youri Matiiassevitch pour y arriver en 1970 (voir théorème de Matiiassevitch).


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Cela peut paraître artificiel, puisqu'un résultat d'indécidabilité beaucoup plus facile à démontrer suffit. Mais on peut en déduire des énoncés indécidables d'une forme particulièrement simple.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: En effet, le théorème de Matiiassevitch équivaut à dire que la vérité des énoncés (formules closes) qui s'écrivent comme des égalités polynomiales quantifiées existentiellement, n'est pas décidable. Or :


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text: On en déduit qu'il existe des énoncés vrais non démontrables, qui s'écrivent comme la négation d'une égalité polynomiale quantifiée existentiellement, ou plus simplement comme une inégalité polynomiale quantifiée universellement.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: La preuve par Gödel de son premier théorème d'incomplétude utilise essentiellement deux ingrédients :


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text: Mais l'énoncé de Gödel n'est pas paradoxal. Il est vrai dans N, car s'il était faux, il serait prouvable. Or cet énoncé est de complexité logique suffisamment simple pour que sa prouvabilité dans une théorie cohérente capable de coder l'arithmétique entraîne sa vérité dans N (on n'a pas besoin de supposer que N est modèle de la théorie). Il est donc vrai dans N. Il n'est donc pas prouvable, par définition de l'énoncé.


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text: Pour montrer que la négation de l'énoncé de Gödel n'est pas non plus prouvable, il faut une hypothèse de cohérence plus forte, comme celle qu'a faite Gödel. Rosser a modifié astucieusement l'énoncé pour pouvoir utiliser simplement la cohérence (voir « Astuce de Rosser »). En ce qui concerne la preuve de Gödel l'argument est le suivant : l'énoncé étant vrai, sa négation est fausse. Si on supposait que N est modèle de la théorie, cela suffirait pour qu'elle ne soit pas démontrable. Mais Gödel a construit un énoncé d'une complexité logique suffisamment faible pour qu'une hypothèse beaucoup moins forte suffise : il s'agit essentiellement de dire que de tels énoncés faux ne peuvent être démontrables, et il peut l'exprimer de façon syntaxique.


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text: La preuve esquissée ci-dessus est reprise de façon plus précise dans le paragraphe « diagonalisation ».


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: À l'époque actuelle, quiconque connait un peu d'informatique n'a aucun mal à imaginer que l'on puisse représenter les énoncés d'une théorie par des nombres. Cependant il faut également manipuler ces codages dans la théorie.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: La difficulté réside dans les restrictions du langage : une théorie du premier ordre avec essentiellement l'addition et la multiplication comme symboles de fonction. C'est la difficulté que Gödel résout pour montrer que la prouvabilité peut être représentée par une formule dans la théorie.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: La suite est un peu technique. En première lecture, on peut simplifier l'argumentation en supposant que N est modèle de "T", auquel cas on n'a pas besoin d'être attentif à la complexité logique de l'énoncé. La partie sur la fonction β et la représentation de la récurrence reste utile. On précise également des notions, et des résultats qui ont été évoqués ou rédigés de façon approximative ci-dessus.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Il peut être amusant d'écrire soi-même les codages, il l'est certainement beaucoup moins de lire ceux des autres. On trouve donc beaucoup de variété dans la littérature.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Le choix du codage n'a pas grande importance, en soi. Éventuellement certains se "manieront" plus facilement dans la théorie. Comme les formules et les démonstrations peuvent être vues comme des suites finies de caractères, lettres, espace, ponctuation, et ceux-ci en nombre fini, on peut les coder par un nombre, celui étant écrit dans une base de taille le nombre de caractères nécessaire, ou par tout autre moyen qui permet de coder des suites finies d'entiers (Gödel utilise les exposants de la décomposition d'un nombre en facteurs premiers). On peut également utiliser un codage des couples (voir ci-dessous) pour représenter, suites finies, arbres, et donc les structures syntaxiques utiles ...


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Un problème plus important est d'avoir des fonctions pour manipuler ces structures, l'équivalent des programmes en informatique : il est à peu près clair que l'on ne peut se contenter de compositions de fonctions constantes, d'additions et de multiplications, c’est-à-dire de polynômes à coefficients entiers positifs. On va représenter les fonctions utiles par des formules. Voyons un exemple, par ailleurs fort utile pour les codages. La bijection de Cantor entre N×N et N est bien connue et tout à fait calculable : on énumère les couples d'entiers diagonale par diagonale (somme constante), par exemple en faisant croître la seconde composante :


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Cette fonction n'est déjà plus représentée par un terme du langage, à cause de la division par 2, mais elle est représentée par la formule (on utilise "≡" pour la relation d'équivalence) :


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Passons maintenant aux fonctions de décodage, c’est-à-dire à un couple de fonctions inverses. On aura besoin de quantificateurs :


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: On a donc représenté une fonction, plus exactement son graphe (la formule soulignée) par une formule du langage de l'arithmétique. Les formules ci-dessus sont bien particulières : la première est une égalité polynomiale ; si on remplace les trois variables libres par des termes clos du langage, représentant des entiers ("s…s0"), elle devient décidable.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Les deux suivantes utilisent un "quantificateur borné" : "∃x≤z A" signifie "il existe un x inférieur ou égal à z tel que A". Là encore si on remplace les deux variables libres par des entiers


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: cette formule devient décidable : pour vérifier une "quantification existentielle bornée", il suffit de chercher jusqu’à la borne, soit on a trouvé, et l'énoncé est vérifié, soit on n'a pas trouvé et il ne l'est pas. Ce n'est plus le cas (pour la seconde partie de l'assertion) si la quantification existentielle n'est pas bornée.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: On pourra conserver cette propriété de décidabilité en ajoutant des "quantifications universelles bornées", notées "∀ x≤ p A" ("pour tout x inférieur ou égal à p, A"). Les formules construites à partir des égalités polynomiales en utilisant les connecteurs booléens usuels, et des quantifications uniquement bornées sont appelées "formules Σ". Remarquez que la négation d'une formule Σ est Σ.


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text: On se convainc facilement, des arguments sont donnés juste ci-dessus et au paragraphe vérité et démontrabilité, que la vérité dans N des formules closes Σ est décidable : on a un moyen mécanique de savoir si elles sont vraies ou fausses.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Pour démontrer le premier théorème d'incomplétude de Gödel (il faut un peu plus pour Gödel-Rosser, de la récurrence pour le second), la condition minimale sur la théorie, en plus d'être récursivement axiomatisable et d'une hypothèse de cohérence, est de démontrer toutes les formules Σ vraies dans N, et donc, par stabilité par négation des Σ et cohérence, de n'en démontrer aucune fausse.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: C'est ce que l'on a entendu par "formaliser suffisamment d'arithmétique". Remarquez que c'est une hypothèse sur les axiomes de la théorie. Par exemple l'ensemble des formules Σ vraies dans N étant décidable, on peut le choisir comme système d'axiomes pour une théorie qui sera bien récursivement axiomatisable (on peut évidemment le simplifier).


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text: Résultat qui se démontre d'ailleurs sans véritablement utiliser les axiomes de récurrence de l'arithmétique de Peano (ce qui est naturel puisqu'il n'y a pas véritablement de quantification universelle dans ces énoncés).


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Il serait bien commode de se contenter de manipuler des fonctions représentables par des formules Σ : vérité et démontrabilité sont confondues, ces formules sont décidables, donc les fonctions représentées par des formules Σ sont calculables. Mais le « langage de programmation » induit n'est pas assez riche. On doit introduire les formules Σ, qui sont obtenues en plaçant un quantificateur existentiel en tête d'une formule Σ. En général, la négation d'une formule Σ n'est pas équivalente à une formule Σ. On a la propriété suivante :


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text: En effet une formule Σ "∃ "x A x"" est vraie dans N signifie que pour un certain entier, que l'on peut écrire "s…s0", la formule ""A" s…s0" est vraie, or cette formule est Σ.


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text: Il existe des théories arithmétiques cohérentes, qui démontrent des formules closes Σ fausses, contrairement à ce qui se passe pour les Σ.


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text: Il faut préciser que de telles théories arithmétiques sont assez pathologiques, comme celles qui démontrent un énoncé exprimant leur propre contradiction (voir début de l'article). L'hypothèse de cohérence supplémentaire utile pour le premier théorème d'incomplétude, que l'on va appeler Σ-"cohérence", c'est justement de supposer que la théorie ne démontre aucune formule close Σ fausse. On suppose que certaines formules ne sont pas démontrables, donc la contradiction ne l'est pas : c'est bien une hypothèse de cohérence au moins aussi forte que la simple cohérence. Elle est vraiment plus forte : on peut exprimer la négation de la cohérence d'une théorie par une formule Σ.


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text: Un sous-ensemble "E" de N, ou plus généralement de N est "définissable dans l'arithmétique" s'il existe une formule "F" de l'arithmétique avec p variables libres telle que :


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text: Un sous-ensemble "E" de N est "représentable dans une théorie T" s'il existe une formule "F" de l'arithmétique avec p variables libres telle que :


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text: Une fonction "f" à plusieurs variables sur N est définissable dans N si son graphe est défini dans N, représentable dans une théorie "T" si son graphe est représentable dans "T". Un ensemble, ou une fonction est définissable par une formule Σ si et seulement s'il, ou elle, est représentable par cette formule dans une théorie Σ-cohérente où tous les énoncés Σ sont démontrables.


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text: Il existe d'autres notions de représentabilité plus fortes, pour les ensembles comme pour les fonctions. Pour celle introduite ici, on dit souvent « faiblement représentable ».


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text: Pour le théorème de Gödel c'est la notion de fonction ou d'ensemble représentable qui est utile, mais la notion de fonction ou d'ensemble définissable est plus simple à manipuler, et comme on s'intéresse aux cas où elles sont équivalentes, on va dans la suite parler de définissabilité par une formule Σ.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: On peut remarquer que la conjonction, la disjonction de deux formules Σ, la quantification existentielle d'une formule Σ, la quantification universelle bornée d'une formule Σ, sont équivalentes dans N (on note ≡) à une formule Σ :


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: L'ensemble de fonctions à notre disposition est donc stable par composition (on donne l'exemple pour une variable, on généralise sans peine à des fonctions de plusieurs variables) :


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Cependant, pour pouvoir avoir un langage suffisamment expressif pour définir les fonctions utiles sur la syntaxe, il manque une notion très utile : la définition par récurrence.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: L'idée pour l'obtenir est d'utiliser un codage des suites finies (les listes de l'informatique). Supposons que nous ayons un tel codage, notons


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text: "l=[n;…;n]" l'entier qui code la suite finie n,…, n. Il faut pouvoir décoder : notons "β(l, i)=n" l'élément en place "i" de la suite codée par "l" (la valeur n'a pas d'importance si "i" est trop grand).


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Il suffit donc trouver une formule Σ qui définit une fonction β : c'est la principale difficulté à résoudre pour le codage de la syntaxe.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Le nom de fonction β est repris de l'article original de Gödel. Pour la définir, il a eu l'idée d'utiliser le théorème des restes chinois : pour coder n,…, n on va donner p entiers premiers entre eux deux à deux, engendrés à partir d'un seul entier d, et un entier a dont les restes des divisions par chacun de ces entiers sont n,…, n. La suite n,…, n sera donc codée


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: par les deux entiers a et d, l'entier si on en veut un seul. Plusieurs (une infinité !) entiers coderont la même suite, ce qui n'est pas gênant si on pense à l'objectif (coder les définitions par récurrence). Le principal est que l'on assure que toute suite finie a au moins un code.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: sont alors premiers entre eux deux à deux. De plus n < d. Par le théorème chinois on déduit l'existence d'un entier a tel que pour chaque entier n de la suite finie, le reste de la division de a par d soit n. On a donc, en posant d = s! :


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: On peut calculer beaucoup de choses avec les fonctions récursives primitives. Une fois ce résultat obtenu, le reste n'est plus qu'affaire de soin. On peut utiliser des méthodes plus ou moins astucieuses pour gérer les problèmes de liaison de variables. On montre que la fonction qui code la substitution d'un terme à une variable dans une formule est récursive primitive, que l'ensemble des (codes de) preuves d'une théorie "T" récursivement axiomatisable est récursif primitif, et enfin que la fonction qui extrait d'une preuve la conclusion de celle-ci est récursive primitive. Dire qu'une formule est prouvable dans "T", c'est dire qu'il existe une preuve de cette formule dans "T", ce qui, codé dans la théorie, reste Σ, bien que le prédicat "être démontrable" ne soit pas, lui, récursif primitif, ni même récursif.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: En conclusion, pour une théorie récursivement axiomatisable "T", on a deux formules Σ, Dem(x) et , telles que :


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Du fait que les formules sont Σ, on peut remplacer "vrai" par "démontrable dans "T"" sous les hypothèses suffisantes.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: La construction de l'énoncé de Gödel repose sur un argument diagonal. On construit tout d'abord la formule à une variable libre Δ("x") :


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text: qui peut s'interpréter dans N par « la formule de code "x" appliquée à son propre code n'est pas démontrable dans "T" », et on applique cette formule à l'entier ⌈Δ⌉.


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text: On obtient "G"=Δ(⌈Δ⌉), une formule qui dit bien d'elle-même qu'elle n'est pas démontrable dans "T". On reprend en la précisant l'argumentation déjà donnée au-dessus.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: On suppose que "T" est récursivement axiomatisable, démontre toutes les formules Σ vraies dans N, donc toutes les formules Σ vraies dans N, et qu'elle est


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: On voit donc bien, le dernier argument étant assez tautologique, que le véritable contenu du théorème est dans la non-démontrabilité de "G". Le premier théorème d'incomplétude de Gödel s'énonce donc aussi bien par :


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: On remarque que la formule G en question est équivalente à une formule universelle ∀"x H"("x"), où "H" est Σ. Cette formule étant vraie, pour chaque entier "n" (représenté par s...s 0) "H"("n") est vraie, donc démontrable étant Σ. On a donc bien, comme annoncé dans le paragraphe « vérité et démontrabilité », un énoncé universel ∀"x" "H"("x") qui n'est pas démontrable dans "T", alors que pour chaque entier "n", "H"("n") est démontrable dans "T".


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Pour démontrer le premier théorème d'incomplétude, on a formalisé la prouvabilité dans une théorie arithmétique. Il est ainsi possible (sous les hypothèses du premier théorème) de construire un énoncé qui signifie que « 0 = 1 n'est pas prouvable » (0 = 1 ou n'importe quelle proposition contradictoire dans la théorie), c'est-à-dire de construire un énoncé exprimant la cohérence de la théorie. Le second théorème d'incomplétude affirme que, sous des hypothèses un peu plus fortes que pour le premier théorème, un tel énoncé n'est pas démontrable.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: On peut déjà observer que la formule "G" que l'on construit pour démontrer le premier théorème d'incomplétude, et qui dépend de la théorie considérée, affirme qu'un certain énoncé (lui-même, en l'occurrence) n'est pas prouvable dans cette théorie. C'est donc déjà dans une certaine mesure un énoncé de cohérence, puisque dans une théorie incohérente tout est démontrable ; en fait, "G" a pour conséquence la cohérence de la théorie. Pour le second théorème d'incomplétude, il suffit de montrer que la cohérence de la théorie entraîne "G".


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Le second théorème d'incomplétude se prouve essentiellement en formalisant la preuve du premier théorème d'incomplétude pour une théorie "T" dans cette même théorie "T". En effet, on a montré ci-dessus que, si la théorie était cohérente la formule "G" de Gödel (qui dépend de "T"), n'est pas prouvable. Mais la formule de Gödel est équivalente à sa non prouvabilité. On a donc montré que la cohérence de la théorie "T" entraîne "G". Si maintenant "T" permet de formaliser cette preuve, on montre dans la théorie "T" que la cohérence de la théorie "T" entraîne "G". Mais justement, si "T" est cohérente, "G" n'est pas démontrable dans "T". On ne peut donc démontrer la cohérence de "T" dans "T" si cette dernière théorie est cohérente.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Pour ce raisonnement, on utilise seulement la non-démontrabilité de "G", donc la simple hypothèse de cohérence suffit. Par contre, pour formaliser le raisonnement, on suppose que la théorie "T" est plus forte que pour le premier théorème d'incomplétude, en particulier on utilisera la récurrence.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Les conditions que doit vérifier la théorie "T" pour démontrer le second théorème d'incomplétude ont été précisées tout d'abord par Paul Bernays dans les "Grundlagen der Mathematik" (1939) coécrit avec David Hilbert, puis par Martin Löb, pour la démonstration de son théorème, une variante du second théorème d'incomplétude. Les conditions de Hilbert-Bernays-Löb portent sur le prédicat de prouvabilité dans la théorie "T", que l'on nommera comme ci-dessus Dem :


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: La condition D1 est apparue implicitement pour démontrer le premier théorème d'incomplétude. La seconde condition D2 est une formalisation dans la théorie de D1. Enfin la dernière, D3, est une formalisation de la règle logique primitive dite de "modus ponens". Notons coh la formule qui exprime la cohérence de "T", c’est-à-dire que l'absurde, que l'on note ⊥, n'est pas démontrable (la négation est notée maintenant ¬) :


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Comme la négation d'une formule "F", ¬"F", équivaut à "F" entraîne l'absurde, "F"⇒⊥, on déduit de la condition D3 que


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Pour déduire le second théorème d'incomplétude des trois conditions de Gödel-Bernays, il suffit de reprendre le raisonnement déjà fait ci-dessus. Soit "G" la formule de Gödel construite pour la théorie "T", qui, si cette dernière est cohérente, entraîne ¬Dem(⌈"G"⌉). D'après D1 et la cohérence de la théorie "T", "G" n'est pas démontrable dans "T" (premier théorème). On formalise maintenant ce raisonnement dans "T". Par D2. on démontre dans "T" que Dem(⌈"G" ⇒ ¬Dem(⌈"G"⌉)⌉). On en déduit par D3 que dans "T", Dem(⌈"G"⌉) on démontre que Dem(⌈¬Dem(⌈"G"⌉)⌉), puis par D2 et D'3, ¬coh. On a donc dans "T" que Dem(⌈"G"⌉) ⇒ ¬coh, c’est-à-dire par définition de "G", ¬"G" ⇒ ¬coh, et par contraposée coh ⇒ "G". Or on a vu que "G" n'est pas démontrable dans "T", donc coh n'est pas démontrable dans "T".


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: La preuve de D1 a déjà été esquissée à propos du premier théorème d'incomplétude : il s'agit de formaliser proprement la démontrabilité, et on utilise le fait que les formules closes Σ vraies sont démontrables.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: La condition D3 formalise la règle de "modus ponens", une règle que l'on a tout intérêt à avoir dans le système que l'on a choisi pour formaliser les démonstrations. Il faudrait rentrer dans le détail du codage pour donner la preuve de D3, mais elle ne sera pas bien difficile. Il faut faire attention à bien formaliser le résultat indiqué dans la théorie choisie : les variables en jeu (par exemple, il existe un "x" qui est le code d'une preuve de "F") sont les variables de la théorie. Il faudra quelques propriétés de l'ordre, et savoir démontrer quelques résultats élémentaires sur les preuves dans la théorie.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: C'est la condition D2 qui s'avère la plus délicate a démontrer. C'est un cas particulier de la propriété


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: qui formalise (dans "T") que "toute formule close Σ vraie est démontrable dans T". On n'a donné ci-dessus aucun détail sur la preuve de ce dernier résultat, "T" étant par exemple l'arithmétique de Peano. Si on en donnait, on se rendrait compte que l'on n'a pas besoin de l'axiome de récurrence de la théorie, mais que, par contre, l'on raisonne par récurrence sur la longueur des termes, la complexité des formules ... Pour formaliser cette preuve dans la théorie, il faut de la récurrence. Pour résumer la situation : quand on a démontré sérieusement le premier théorème d'incomplétude pour l'arithmétique de Peano, on a fait cette preuve, qui est un peu longue, mais ne présente pas de difficulté. Pour le second théorème, la seule chose à faire consiste maintenant à montrer que cette preuve se formalise dans l'arithmétique de Peano elle-même, ce qui est intuitivement relativement clair (quand on a fait la preuve), mais très pénible à expliciter complètement.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: On peut en fait démontrer le second théorème d'incomplétude pour une théorie plus faible que l'arithmétique de Peano, l"'arithmétique primitive récursive". On étend le langage de façon à avoir des symboles de fonction pour toutes les fonctions primitives récursives, et on ajoute à la théorie les axiomes qui définissent ces fonctions. On restreint la récurrence aux formules sans quantificateurs, ce qui fait que celles-ci sont « immédiates ». L'arithmétique primitive récursive est souvent considérée comme la formalisation des mathématiques finitaires, avec lesquelles Hilbert espérait pouvoir prouver la cohérence des théories mathématiques.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Des résultats de Cristian S. Calude mènent à penser que presque tout énoncé mathématique est indécidable.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Leonid Levin démontre que les algorithmes probabilistes ne peuvent compléter récursivement une théorie incomplète. Il conjecture par ailleurs que le monde physique ne peut résoudre les impossibilités mathématiques exposées par les théorèmes de limitations comme celui de l'arrêt des machines de Turing.


title: Lapin domestique

text: Le lapin domestique est un lapin européen, qui a été domestiqué pour l'alimentation humaine en Europe occidentale, au Moyen Âge, une époque relativement récente comparée à d'autres animaux domestiques. Les lapins de clapier sont de petits mammifères herbivores qui diffèrent très peu de l'espèce souche, classée dans l'ordre des Lagomorphes, la famille des léporidés et le genre "Oryctolagus". À l'origine, le lapin européen est élevé en semi-liberté dans de vastes espaces clos comme « lapin de garenne », afin d'assurer notamment la production de laurices durant la période de carême. Depuis lors, de très nombreuses races de lapins ont été créées dans le cadre de l'élevage sélectif effectué par les humains, en fonction de l'usage auquel la cuniculture les destine. Au début du on recense plus de 100 races de lapins domestiques.


title: Lapin domestique

text: Hormis les races naines, le lapin domestique est en principe plus gros que ses ancêtres sauvages, avec de plus longues oreilles et de fortes pattes arrière, adaptées à la locomotion par bonds et aux cages grillagées. Ce n'est pas un rongeur, mais ses dents poussent continuellement et lui permettent de ronger ses aliments et il pratique aussi la cæcotrophie, ré-ingérant une partie de ses crottes pour les digérer à nouveau.


title: Lapin domestique

text: Animal social, le lapin domestique est facile à élever et peut vivre en moyenne de 5 à 8 ans pour les lapins d'élevage, le lapin nain domestique pouvant vivre jusqu'à 10 ou 12 ans. Bien qu'il soit relativement fragile et très territorial, il est particulièrement prolifique et donne naissance à des portées nombreuses à de faibles intervalles de temps, notamment dans les élevages à vocation commerciale. Il est principalement destiné à l'approvisionnement en viande et en fourrure, mais aussi en poils grâce à la sélection des lapins angoras. Plutôt docile, voire affectueux vis-à-vis des hommes, s'il est habitué jeune à leur compagnie, il est aussi utilisé comme animal de laboratoire et c'est désormais un animal de compagnie (NAC) populaire, notamment les lapins nains, au point de donner lieu à l'organisation de concours.


title: Lapin domestique

text: Le lapin est, de manière générale, un animal qui a fortement marqué la culture populaire, en raison de sa douceur et de sa prolificité. Traditionnellement symbole lunaire de fertilité, il est au principalement associé à l'univers enfantin.


title: Lapin domestique

text: Le lapin domestique est issu du lapin de garenne, et reste donc très proche de cette espèce qui forme son ancêtre sauvage. L'aspect extérieur des lapins domestiques peut toutefois varier considérablement selon les races sélectionnées par les éleveurs, et l'animal se démarquer du lapin de garenne tant par sa taille, puisqu'il existe des races dites naines ou géantes, que par sa fourrure, puisque le lapin domestique peut arborer des poils plus ou moins longs ainsi que des coloris variés.


title: Lapin domestique

text: L'aspect général du lapin, tout comme sa masse et sa taille, dépendent de sa race. Ainsi, certains sont plutôt élancés comme le lièvre belge quand d'autres ont un port plus ramassé comme le bélier français. De même le corps peut être cylindrique, conique ou convexe, et on trouve des lapins nains comme des races dites géantes. La masse du lapin se situe généralement entre 0,5 et . La tête est pourvue de nombreux poils tactiles appelés vibrisses. Elle est surmontée de deux oreilles placées sensiblement vers l'arrière, qui lui sont reliées par une solide attache cartilagineuse. Ces oreilles sont recouvertes de poils très courts. Leur taille et leur port varient grandement suivant la race : si elles se dressent souvent sur la tête, elles sont au contraire pendantes chez le lapin bélier. Le pavillon est bien irrigué par la circulation sanguine. La lèvre supérieure de la bouche du lapin est fendue en deux pour former le bec de lièvre. Le museau est formé d'un rhinarium, situé juste au-dessus de la bouche et formant une zone glabre en Y. Le philtrum, barre verticale traversant de haut en bas la lèvre supérieure et formant la base du Y, est surmonté des narines qui s'ouvrent en oblique pour constituer les branches du Y. La peau avoisinante peut recouvrir la zone glabre et oblitérer les narines. Les yeux, placés de part et d'autre de la tête, disposent de trois paupières. Deux d'entre elles ont un mouvement vertical, sont munies de cils et recouvertes de poils à l'extérieur. La troisième, dite paupière nictitante, est située entre le globe oculaire et les deux précédentes et ne recouvre qu'un tiers de la surface de l'œil, dans l'angle interne de l'orbite. Le front est plutôt large, le chanfrein plus ou moins courbé et les joues sont bien remplies. Certaines lapines portent un fanon, formant un bourrelet sous leur menton, qui joue notamment un rôle de réserve graisseuse. Chez les mâles, on observe une légère excroissance de glande et de peau qui borde le menton appelée bouton.


title: Lapin domestique

text: La tête est rattachée au tronc par un cou très court et musclé, et peu perceptible. Ce tronc se caractérise par une ligne dorsale régulière, plus ou moins incurvée, et de largeur homogène sur toute sa longueur, même si le râble présente une masse musculaire un peu plus importante. La région pectorale est ample et ne laisse pas transparaître de saillie sternale. Les épaules sont resserrées et proches du corps. Elles se prolongent par des membres antérieurs courts se terminant par cinq doigts, armés chacun d'une griffe longue et arquée, non rétractile. La voûte plantaire n'est pas munie de coussinet mais est recouverte d'une fourrure particulièrement grossière. Les pattes postérieures sont plus longues et ne portent que quatre doigts, également munis de griffes. Elles sont bien charnues, et surmontées d'une croupe arrondie. À la base de cette dernière, on trouve la queue, de longueur moyenne et généralement plaquée contre le corps de l'animal. Comme les autres membres de la famille des Leporidae, le lapin ne dispose pas de glandes sudoripares. Toutefois, les glandes alvéolaires de type sébacé sont abondantes. Les différentes glandes tégumentaires spécialisées présentes chez le lapin sont les glandes paraproctodéales, qui s'ouvrent dans le rectum, les glandes inguinales, des glandes sébacées qui s'ouvrent dans une invagination en forme de sac, les glandes prépuciales (chez le mâle) et glandes clitoridiennes (chez la femelle), les glandes sous-mandibulaire, localisée en arrière de la lèvre inférieure et qui permettent aux lapins de marquer leur territoire, et la glande pigmentaire, composée d'un amas de glandes sébacées et située à l'extrémité du museau.


title: Lapin domestique

text: Le lapin porte une fourrure composée de nombreux poils recouvrant toute la surface de son corps. On observe différents types de poils : les poils de couverture sont les plus longs, parmi lesquels on distingue les poils recteurs ou poils de jarre très raides, longs et épais, qui jouent un rôle dans l'orientation du pelage, et les poils tecteurs, plus fins et courts qui ont plutôt un rôle de protection ; le sous-poil ou duvet est lui constitué de poils très fins et très densément implantés, à raison de 30 à 50 sous-poils pour un poil recteur, et a un rôle d'isolateur thermique. Suivant leur race, les lapins prennent des colorations très différentes, tant au niveau de leur teinte (blanc, fauve, noir, gris, bleu et toute une multitude de teintes intermédiaires) que de leur motif (uni, panaché, en mosaïque ou plus ou moins tacheté) ou du modèle de pigmentation des poils (unicolore, argenté, agouti). Certaines races présentent également des poils particuliers comme les animaux angoras qui ont des poils très longs, les rex qui ont au contraire un pelage très court et duveteux ou encore le satin et sa fourrure brillante et soyeuse. La mue a lieu au moins deux fois par an. Elle intervient la première fois à l'âge de 5 à 6 semaines, et pour la seconde fois vers 4 à 5 mois. Une fois que l'animal atteint le stade adulte, elle est surtout liée au changement de saison. La fourrure est en effet plus courte en été qu'en hiver. La mue peut être plus ou moins longue, et plus ou moins fréquente suivant les animaux. Elle peut parfois s'accompagner d'une légère modification de la coloration.


title: Lapin domestique

text: Excepté le cas des races naines, les mâles et les femelles se distinguent par leur allure générale. Les mâles ont généralement une tête plus large, un thorax plus développé et des membres plus épais présentant une musculature bien apparente, quand les femelles présentent une tête plus fine, un corps plus allongé et une ossature plus légère. Le bassin est toutefois un peu plus large chez ces dernières. Un fanon est parfois visible chez la femelle tandis qu'il est quasi inexistant chez le mâle.


title: Lapin domestique

text: Le lapin, comme tous les mammifères, possède 7 vertèbres cervicales, dont les deux premières, l'atlas et l'axis, jouent un rôle primordial dans la rotation de la tête. La colonne vertébrale se poursuit par 12 vertèbres thoraciques qui portent les 12 paires de côtes, dont seules les 9 premières sont reliées au niveau du sternum tandis que les 3 dernières sont dites « flottantes ». Les vertèbres lombaires sont au nombre de 7, et précèdent le sacrum composé de 4 vertèbres sacrées soudées entre elles. Il porte les os du bassin. Enfin, la colonne se termine par 15 vertèbres coccygiennes, dont les dix dernières forment la queue de l'animal.


title: Lapin domestique

text: Les os des membres antérieurs du lapin comportent une clavicule rudimentaire, un humérus qui a la particularité de posséder un grand orifice au niveau de la fosse coronoïde, un radius et une ulna (l'ancien cubitus) qui sont en contact sans qu'il n'y ait fusion. Dans les membres postérieurs on trouve le tibia et la fibula qui ont fusionné dans leur moitié distale. Le lapin se caractérise par des métatarsiens très développés, conséquence d'une adaptation au saut. Les pattes postérieures n'ont que quatre doigts contre cinq pour les antérieures.


title: Lapin domestique

text: Le squelette du lapin est plutôt fragile, et ne représente que 8 % de la masse total de l'animal. Par contre, les muscles sont bien développés.


title: Lapin domestique

text: Le lapin domestique possède 28 dents, réparties de la manière indiquée sur la formule dentaire. Les incisives sont dites à racine ouverte, ce qui signifie qu'elles poussent durant toute la vie du lapin qui les use en rongeant. Elles ont une forme légèrement courbée, et une table d'usure en biseau. La présence de deux paires d'incisives à la mâchoire supérieure permet de classer le lapin dans l'ordre des lagomorphes et de le différencier des rongeurs. Le lapin n'a pas de canines et ses incisives sont séparées de ses molaires, elles aussi dépourvues de racines, par un espace édenté. Les dents de lait que possèdent les lapereaux (incisives et prémolaires) tombent après environ 18 jours de vie, et sont très rapidement remplacés par les dents définitives.


title: Lapin domestique

text: L'intégralité du tube digestif d'un lapin adulte mesure 4,5 à . Après avoir traversé l'œsophage, les aliments arrivent dans l'estomac qui représente à lui seul 40 % du système digestif du lapin. On peut noter qu'il n'y a jamais de reflux de l'estomac vers la bouche chez le lapin. Dans l'estomac, les aliments sont soumis à un milieu acide, dans lequel la paroi stomacale excrète de l'acide chlorhydrique et de la pepsine, et ils commencent à être dégradés, avant d'être dirigés vers le duodénum, la première partie de l'intestin grêle. Là, les enzymes produites par le pancréas vont continuer à dégrader les aliments et les nutriments vont être absorbés par la paroi de cette première partie de l'intestin grêle, qui se poursuit par le jejunum et l'iléon. Le cæcum du lapin est particulièrement important en taille, puisque c'est ici qu'ont lieu les diverses fermentations qui permettent au lapin de digérer les fibres végétales. Les diverses bactéries présentes dans cet organe produisent au cours de ces fermentations des acides gras qui seront ensuite absorbés par les parois du cæcum et du gros intestin. Il s'agit principalement d'acide acétique, d'acide propionique et d'acide butyrique. Les bactéries cæcales synthétisent également de la thiamine (vitamine B1).


title: Lapin domestique

text: Les testicules du lapin sont de forme ovoïde et se trouvent dans des sacs scrotaux ouverts sur la cavité abdominale, ce qui permet aux mâles de rentrer leurs testicules par l'action du muscle crémaster lors de combats avec d'autres mâles, d'une bagarre avec une femelle ou s'ils sont effrayés. Les testicules gagnent les sacs scrotaux alors que le lapin est âgé de deux mois. Ils sont assez volumineux chez l'adulte et se tuméfient au moment de l'accouplement. À chacun des testicules est accolé un épididyme, qui permet la maturation des spermatozoïdes et leur transport vers le canal déférent. Les canaux déférents permettent d'acheminer les spermatozoïdes vers le canal uro-génital. Celui-ci est bordé de diverses glandes annexes parmi lesquelles on trouve notamment les vésicules séminales bilobées entre le rectum et la vessie, la glande vésiculaire, la prostate, les glandes paraprostatiques et la glande bulbo-urétrale ou glande de Cowper.


title: Lapin domestique

text: Le pénis est dirigé vers l'arrière au repos mais se porte vers l'avant en érection. Il est dépourvu de gland et mesure 3 à . Deux glandes préputiales, localisées juste en arrière du pénis, sécrètent une substance odorante qui joue un rôle dans le déclenchement de l'ovulation de la femelle.


title: Lapin domestique

text: Les ovaires de la lapine sont ovoïdes et mesurent 1 à . Ils se trouvent dans la cavité abdominale, juste en arrière des reins. Sous chacun d'eux, on trouve le pavillon qui, avec l'ampoule et l'isthme, constituent l'oviducte, long au total de 10 à . L'utérus est divisé en deux cornes, chacune mesurant de longueur et débouchant sur le vagin par un conduit cervical. Les cornes sont réunies en un seul corps au niveau de leur partie postérieure, mais elles ne communiquent pas entre elles et ont donc deux cols distincts, de chacun. Le vagin est long de 6 à . L'urètre s'ouvre dans le vagin au niveau du vestibule vaginal, où l'on trouve les glandes de Bartholin et les glandes préputiales. Le clitoris est particulièrement développé et mesure 2 à . L'urètre s'ouvre dans le vagin au niveau du vestibule vaginal, où l'on trouve les glandes de Bartholin et les glandes préputiales. Le ligament large, attaché à la colonne vertébrale, soutient l'ensemble de l'appareil reproducteur.


title: Lapin domestique

text: Le nombre de tétines fonctionnelles est variable chez la lapine. Il a notamment été accru par la longue sélection sur la prolificité des animaux. On rencontre sur la partie ventrale deux rangées de 4, 5 voire 6 mamelles. Ainsi, le nombre total de mamelles fonctionnelles peut être pair (8 ou 10 tétines) ou impair (9, ou plus rarement 11 tétines). Chaque tétine est munie de 5 à 6 canaux évacuateurs et dispose d'une glande mammaire séparée. Le cas de lapines possédant 12 tétines a été récemment signalé. Quel que soit leur nombre, on trouve systématiquement une paire de tétines axillaires localisées entre les pattes avant, au niveau des et , et une paire de tétines inguinales situées entre les cuisses. Les variations concernent donc les paires de tétines ventrales, auxquelles les lapereaux ont le plus facilement accès. Le nombre de lapereaux dépend du nombre de mamelles : pour calculer le nombre de lapereaux par portée environ, il faut prendre le nombre de mamelles et ajouter 2, ainsi, nous avons le nombre maximum de lapereaux. Le nombre minimal de lapereaux correspond au nombre de mamelles.


title: Lapin domestique

text: Le cœur d'un lapin adulte pèse environ 2,7 à par kg. Il se caractérise par sa valve atrioventriculaire bicuspide, alors qu'elle est tricuspide chez la plupart des mammifères. Le volume sanguin total est assez stable et représente 55 à par kg de masse vive, et ce quel que soit l'âge de l'animal. Il augmente au cours de la gestation et de la lactation chez la lapine mais en conservant une proportion stable par rapport la masse vive de l'animal. Un adulte de 3,5 à présente un débit cardiaque de 500 à par minute, à raison de 220 à 240 pulsations cardiaques par minute. Le rythme cardiaque augmente là encore de l'ordre de 20 à 40 % chez la femelle gestante. La caractéristique circulatoire est fermée, double et complète.


title: Lapin domestique

text: On considère généralement que chacun des deux yeux du lapin a un champ de vision de , voire plus pour certains auteurs qui estiment que ce champ peut atteindre . Au total, le champ de vision du lapin est de , et la zone de vision binoculaire est de devant lui et de au-dessus de sa tête. En cas d'alerte, le lapin peut accroître cette vision binoculaire à vers l'avant et 8 à vers l'arrière en modifiant la position de ses yeux dans leurs orbites. L'animal ne peut en effet évaluer la distance à laquelle se trouvent les éléments que dans la zone de vision binoculaire. Les oreilles peuvent obstruer la vision des lapins, notamment chez les lapins béliers. Par ailleurs, il existe un angle mort d’une dizaine de centimètres devant le nez. Dans cette zone, les vibrisses permettent de percevoir les éléments placés devant le lapin. Les cellules de la rétine sensibles à la lumière sont peu denses chez le lapin, qui perçoit de ce fait une image floue. Il est donc plus sensible au mouvement qu'à la forme des objets.


title: Lapin domestique

text: Chez tous les mammifères, la rétine est tapissée de cellules sensibles à la lumière : on distingue notamment des cellules en bâtonnet et des cellules en forme de cône. Les premières sont particulièrement représentées chez le lapin, ce qui lui permet de percevoir son environnement avec une très faible quantité de lumière : le lapin voit dans l'obscurité. Les cellules coniques du lapin contiennent deux types de molécules d'opsine, qui ont une absorption maximale de la lumière pour des longueurs d'onde correspondant au bleu pour l'une et au vert pour l'autre. Le lapin perçoit donc particulièrement bien ces couleurs, tandis que les autres couleurs, notamment le rouge et l'orange, sont très mal distinguées.


title: Lapin domestique

text: De nombreux poils longs, épais et semi-rigides appelés vibrisses sont présents sur la tête du lapin, notamment sur la lèvre supérieure et la partie antérieure de la joue, mais également au-dessus des yeux et dans la région temporale. Ils ont un rôle essentiel dans la perception du toucher.


title: Lapin domestique

text: La langue du lapin est tapissée d'environ gustatives, qui lui permettent de distinguer les quatre saveurs de base : salé, sucré, acide et amer. Il préfère sensiblement les aliments un peu sucrés et un peu amers. Lorsque l'animal n'est pas soumis à un choix, sa consommation alimentaire est indépendante de l'appétence de l'aliment dont il dispose.


title: Lapin domestique

text: Le lapin a une bonne sensibilité auditive. Il perçoit les sons entre 360 et à , alors que l'Homme n'entend qu'entre 20 et . Les lapins n'entendent donc pas les sons très graves, mais ils sont sensibles à une très large gamme d'ultrasons. Le lapin a en revanche du mal à localiser avec précision l'origine d'un son : il ne les localise qu'à 20-30° près contre 0,5 à 1° près pour l'homme. Une fois alerté, le lapin peut se dresser sur ses pattes arrière pour mieux voir, et entendre un éventuel danger.


title: Lapin domestique

text: L’odorat du lapin est assez développé. Il dispose de 50 à 100 millions de récepteurs sur sa muqueuse olfactive (contre 10 millions pour l'homme et 1 à 3 milliards pour le chien). La surface importante de ses cornets naseaux explique ces nombreux récepteurs, mais les maladies comme le coryza ou la rhinite altèrent très fortement les capacités olfactives du lapin. L'odorat est un sens développé dès la naissance du lapereau, il permet à celui-ci de repérer les tétines de sa mère par le biais des phéromones que celles-ci dégagent.


title: Lapin domestique

text: Le lapin possède 22 paires de chromosomes. Le séquençage de son génome est actuellement en cours. Du point de vue génétique, le lapin a été largement étudié au niveau de la coloration de sa robe, ainsi que sur quelques mutations particulières comme celles à l'origine des lapins angoras, rex et albinos.


title: Lapin domestique

text: Le lapin a été domestiqué très récemment en comparaison d'autres espèces, et on peut observer que son comportement demeure très proche de celui du lapin de garenne, même s'il est moins marqué du fait de la captivité.


title: Lapin domestique

text: Le lapin est un animal craintif, facilement effrayé si on le surprend. Les contacts répétés avec l'homme permettent de limiter les réactions des lapins vis-à-vis de sa présence. Par exemple, il a été démontré que des lapereaux qui avaient été manipulés avant leur sevrage étaient moins sensibles au stress pendant l'engraissement et présentaient une meilleure croissance. Chez les lapins de compagnie, les contacts répétés entre l'homme et l'animal, notamment si celui-ci y est habitué très jeune, permettent une bonne accoutumance du lapin à la présence humaine.


title: Lapin domestique

text: À l'état sauvage, le lapin est un animal social qui développe une certaine hiérarchie au sein du groupe dans lequel il évolue. On retrouve ce comportement chez le lapin domestique lorsqu'il y a cohabitation entre différents lapins dans un même clapier : des positions de dominant et de dominé sont très rapidement visibles, et se traduisent par une forte agressivité des lapins entre eux et des combats pouvant entraîner des blessures. C'est également un animal très territorial qui marque son territoire grâce à des glandes placées dans trois régions de son corps : les glandes sous-mentonnières situés sous le menton, les glandes anales placées de chaque côté de l'anus et qui permettent de marquer les excréments et les glandes inguinales situées de part et d'autre de l'orifice génital et qui parfument les urines. Les marquages permettent d'identifier un individu étranger (son âge, son sexe), et de détecter si une femelle est disposée à l'accouplement.


title: Lapin domestique

text: Les pattes arrière du lapin sont deux fois plus grandes que ses pattes avant, il ne peut donc pas marcher, sauf en position de passage forcé sous un obstacle long. Il se déplace par bonds successifs, plus ou moins grands selon son allure, au moyen des muscles puissants dont sont munies ses pattes postérieures. Par contre, lorsqu'il broute, il avance en faisant de tout petits pas d'environ 5 à .


title: Lapin domestique

text: Comme son homologue sauvage, le lapin domestique creuse des terriers pour s'abriter et mettre bas s'il se trouve sur un substrat adéquat. Pour creuser, le lapin se sert de ses deux pattes avant simultanément.


title: Lapin domestique

text: Le lapin peut parfois se dresser sur ses pattes arrière quand il est aux aguets, afin d'observer les alentours. Il prend cette position lorsqu'il a entendu un bruit suspect, ou senti quelque chose. Quand il a trop chaud, le lapin s'étale de tout son long, les pattes arrière dépliées vers l'extérieur et non plus pliées sous lui. Autre comportement caractéristique de cet animal, il frappe contre le sol avec une de ses pattes arrière lorsqu'il se sent menacé, prévenant ses congénères d'un éventuel danger de cette manière.


title: Lapin domestique

text: Le lapereau tète généralement une fois par jour, le rythme de tétées dépendant surtout de la mère qui vient se positionner au-dessus de la portée pour donner aux lapereaux un accès aux tétines. Il commence à consommer l'aliment de sa mère et un peu d'eau à partir de l'âge de trois semaines, lorsque sa mobilité le lui permet.


title: Lapin domestique

text: Après le sevrage, les jeunes effectuent pas moins de 30 à 40 repas solides et liquides par jour, et consacrent 3 heures sur 24 à leur alimentation, contre 2 heures pour un individu plus âgé. La consommation d'eau varie surtout suivant l'alimentation, et un fourrage comportant 70 % d'eau suffit à couvrir les besoins de l'animal. Le régime alimentaire du lapin comprend 15 à 18 % de protéines et au moins 10 % de fibres végétales. Si les protéines végétales sont bien valorisées par le lapin, ce n'est pas le cas des fibres. Les fourrages composés de luzerne, trèfle et sainfoin sont plus nourrissants que ceux de paille de blé, d’orge ou d’avoine. Les fourrages verts, choux, salade, sont à modérer pour éviter tout risque de météorisme. On peut ajouter des croûtons de pain, des navets, des carottes. Ses besoins énergétiques s'élèvent à environ de masse vive pour un lapin à l'entretien et atteignent pour un animal en lactation, gestation ou croissance. Herbivore (herbes, tubercules, racines), le lapin mange préférentiellement dans l'obscurité, et plus particulièrement le soir et le matin, périodes durant lesquels il ingère les deux tiers de son alimentation.


title: Lapin domestique

text: En élevage en batterie, l'alimentation des lapins est presque exclusivement composée de granulés fabriqués à partir de diverses céréales, qui permettent d'avoir une très bonne croissance et de contrôler au mieux la qualité sanitaire des produits ingérés par les animaux. Les lapines en consomment 150 à selon leur stade physiologique, et les lapereaux en engraissement 100 à . Il faut assurer d'importants apports d'eau, une lapine allaitante pouvant consommer 1 litre d'eau par jour. L'âge d'abattage d'un lapin de chair est de 3 mois.


title: Lapin domestique

text: Toutefois, d'autres systèmes de production proposent une alimentation plus variée. Ainsi, certaines cages déplaçables permettent aux lapins de pâturer l'herbe naturelle à la belle saison. Chez les éleveurs traditionnels, les lapins sont nourris avec du foin, des choux fourragers, des betteraves fourragères, des graines de céréales germées, des tourteaux, des topinambours, des fruits et bien d'autres aliments à disposition des éleveurs.


title: Lapin domestique

text: Mais le lapin, étant un herbivore strict, doit surtout être alimenté d'herbe et/ou de foin à volonté et de plusieurs légumes non toxiques pour eux et sans grands apports en sucre (les carottes, contenant beaucoup trop de sucre pour eux, ne peuvent être données que de temps en temps. Même chose pour les fruits). Tout aliment à base de céréales est à bannir car cela peut provoquer de la fermentation dans l'estomac endommageant ainsi leur système digestif (le pain est donc à bannir, de plus le pain ne lime absolument pas les dents du lapin mais peut cependant leur provoquer des problèmes bucaux /dentaires)


title: Lapin domestique

text: Le lapin domestique a la particularité de pratiquer la cæcotrophie, c'est-à-dire qu'il réingurgite certaines de ses crottes, les crottes molles. Ce comportement est permis par la variation du fonctionnement du côlon proximal au cours de la journée. Le matin, les boules de contenu cæcal qui rejoignent le côlon sont enrobées d'un mucus produit par les parois coliques. Elles sont évacuées par la suite sous forme de grappes allongées : ce sont les cæcotrophes dites également « crottes molles ». Le restant de la journée, les crottes sont « essorées » dans le côlon lors de contractions de sens alterné qui refoulent les petites particules et la fraction liquide vers le cæcum. Les grosses particules sont évacuées par l'anus et forment les « crottes dures ». Ces dernières s'accumulent dans les litières, tandis que les premières sont récupérées par le lapin dès leur excrétion.


title: Lapin domestique

text: Les cæcotrophes contiennent des bactéries et des résidus alimentaires non dégradés, ainsi que quelques résidus des diverses sécrétions digestives. L'intérêt nutritionnel de leur consommation est essentiellement lié aux nombreuses bactéries qu'elles contiennent. Celles-ci sont en effet riches en protéines, mais surtout en vitamines hydrosolubles (B et C). Dans des conditions d'alimentation normales, la cæcotrophie permet de fournir 15 à 25 % des apports en protéines et la totalité des vitamines B et C à un lapin sain.


title: Lapin domestique

text: Le jeune lapereau commence à développer ce comportement à partir de l'âge de trois semaines, c'est-à-dire quand il se met à consommer des aliments autres que le lait maternel.


title: Lapin domestique

text: Le mâle atteint la maturité sexuelle vers 140 jours. La lapine est capable d’ovuler entre 14 et 20 semaines. Contrairement à la plupart des mammifères, elle ne présente pas de cycle œstrien régulier. Elle est en chaleur plus ou moins permanente, son « ovulation provoquée » est induite par l'accouplement : elle se produit 10 à 12 heures après la saillie. Lorsque la lapine est en chaleur, l'accouplement a lieu rapidement lorsque la femelle s'immobilise à la suite d'une courte poursuite. Elle soulève alors le train arrière pour faciliter le coït. Si la lapine n'est pas disposée à s'accoupler, elle s'accole aux parois de la cage, ou colle sa queue au sol pour éviter l'accouplement. La saillie est particulièrement rapide : 10 à 15 secondes après la mise en présence du couple, elle dure en moyenne 3 secondes et peut reprendre dans les minutes qui suivent avec 20 accouplements en ½ heure si on les laisse libres. Lors de cet accouplement, divers stimuli sont transmis au cortex cérébral par voie nerveuse à la suite de l'excitation des zones érogènes de la femelle. Le cortex cérébral tient également compte d'autres messages de types hormonaux (taux de stéroïdes) et externes comme les phéromones et les diverses stimulations des sens pour déclencher ou non l'ovulation par le biais d'un message électrique transmis à l'hypothalamus. Celui-ci produit la gonadolibérine (GnRH) qui provoque à son tour la synthèse d'hormone lutéinisante (LH), hormone responsable de l'ovulation, et d'hormone folliculo-stimulante (FSH), qui joue un rôle important dans la maturation des follicules et qui renforce l'action de la première citée. Il arrive parfois que l'ovulation ne soit pas suivie d'une fécondation, lors de chevauchements entre femelles, ou d'accouplements avec des mâles stériles, trop jeunes ou à la semence de mauvaise qualité par exemple. Dans ces cas, un corps jaune se met en place pour une durée de 15 à 19 jours et produit de la progestérone empêchant toute nouvelle ovulation. On parle de pseudogestation.


title: Lapin domestique

text: La fertilité des lapines baisse avec une forte chaleur et augmente avec l’éclairement. Elles continuent parfois à accepter l’accouplement pendant la gestation, la progestérone produite par l'ovaire de la femelle gravide n'étant pas toujours suffisant pour bloquer le comportement d'œstrus. Il n'y a toutefois pas de risque de gestation simultanée (superfétation), contrairement à ce que l’on a pu croire à un moment et à ce qui est observé chez le lièvre.


title: Lapin domestique

text: Les spermatozoïdes déposés à l'entrée des cols franchissent ceux-ci d'eux-mêmes, aidés parfois par les contractions musculaires du vagin. Seuls 10 % d'entre eux parviennent à les franchir. Ils arrivent alors dans l'utérus où leur présence provoque des contractions du myomètre qui permettent leur remontée dans les voies génitales. Leur progression dans l'oviducte est ensuite permise par leur motilité propre, les contractions de l'oviducte et les battements ciliaires des parois de celui-ci. Au cours de leur séjour dans les voies génitales femelles, les spermatozoïdes se retrouvent en contact avec le fluide utérin qui déclenche leur capacitation, dernière étape de leur maturation. Elle permet au gamète mâle de pouvoir adhérer à la membrane vitelline de l'ovule. Celui-ci descend dans l'ampoule sous l'effet des battements ciliaires, et arrête sa course à la jonction isthmo-ampoulaire où il attend d'être fécondé. L'œuf fécondé descend dans la corne utérine, où il s'implante à la suite de la cessation des contractions du myomètre permise par la progestérone produite par le corps jaune. Plusieurs œufs sont fécondés de cette manière et s'implantent dans les cornes utérines de la lapine. Leurs cellules vont se multiplier pour former un embryon qui se développe petit à petit. Une placentation de type hémoendochoriale permet les échanges entre la mère et le fœtus à partir du dixième jour. Avant cela il doit se nourrir des sécrétions des tissus environnant.


title: Lapin domestique

text: Après une gestation de 28 à 34 jours, la lapine met bas un à vingt lapereaux (entre trois et douze plus généralement). Durant les jours précédant la parturition, elle construit un nid à partir des matériaux solides qu'elle trouve à disposition (paille, copeaux...) et de poils qu'elle arrache sur son ventre et son fanon. La mise bas dure 10 à 20 minutes, mais peut parfois s'étaler sur plusieurs heures. Elle est suivie d'une involution rapide de l'utérus qui perd la moitié de son volume en 48 heures, permettant une remise à la reproduction rapide. Les lapereaux pèsent environ 50 à à la naissance, avec de fortes variations en fonction de la taille de la portée et des races. Ils sont nus, aveugles (paupières closes et inertes), et plutôt gras - ce qui leur permet de réguler leur température et d’avoir des réserves d’énergie. Le duvet apparaît vers le . Leurs yeux s'ouvrent au bout de 10 jours. Il arrive parfois que la lapine mange ses petits, notamment lors d'une première portée. Ce comportement s'explique généralement par un stress, un manque d'eau, une cage trop petite ou des petits touchés trop tôt. Le lait de la lapine est très concentré mais pauvre en lactose. Le lapereau peut rester 48 heures sans téter. Il n’a pas de flore intestinale à la naissance. Les tétées ont lieu une ou deux fois par jour, la femelle se positionnant au-dessus du nid donnant accès aux lapereaux à ses tétines, et elles ne durent que 3 à 4 minutes. La lactation est élevée pendant environ 30 jours mais peut durer facilement 2 mois. Pendant 3 semaines les petits ne boivent que du lait. À partir de 18-20 jours ils commencent à diversifier leur alimentation. Pour les plus grandes races, ils ne mettront que deux mois pour passer de à (masse d’un lapin moyen).


title: Lapin domestique

text: Aujourd'hui, dans les élevages de grande taille, la reproduction se fait exclusivement par insémination artificielle. Cette méthode, employée depuis longtemps chez bon nombre d'animaux, a mis un certain temps à s'imposer chez le lapin car en temps normal, c'est la présence du mâle qui déclenche l'ovulation de la femelle. Le développement de l'insémination dans les années 1980 a suivi la maîtrise de l'utilisation d'hormones sexuelles, et notamment l’equine chorionic gonadotrophin et la PGF, pour induire artificiellement l'ovulation.


title: Lapin domestique

text: L’insémination artificielle a notamment permis la pratique de la conduite en bande dans les élevages. Toutes les lapines mettent donc bas le même jour ou presque, et il est par exemple possible pour l'éleveur d'équilibrer les portées en déplaçant des lapins de nichées trop nombreuses dans d'autres ou la lapine a été moins prolifique, ce qui leur permet d'avoir plus de lait à leur disposition.


title: Lapin domestique

text: Le lapin européen n'est pas, contrairement aux dires populaires, un animal totalement muet. Lorsqu'il se trouve en situation de peur extrême, il pousse un cri très aigu, prouvant sa détresse. On dit alors qu'il couine. Il peut également pousser un cri bref et aigu, quand il glapit. Et enfin, il peut montrer son mécontentement avec un grognement sonore. Celui-ci est un bruit très sourd que les lapins caractériels peuvent émettre lorsqu'ils sont dérangés par quelque chose de leur entourage et ce qui les énerve.


title: Lapin domestique

text: Le lapin a d'autres moyens d'émettre des sons. Ainsi, il grince parfois des dents lorsqu'il souffre mais aussi paradoxalement lors d'un plaisir particulier (lors des caresses par exemple), et peut frapper ses pattes arrière sur le sol, quand il est particulièrement excité et se sent en danger ou est énervé. Enfin, il pousse parfois un bruit sourd pouvant s'apparenter à une sorte de « honk honk », provenant de son gosier, lorsqu'il est heureux d'un évènement.


title: Lapin domestique

text: Le lapin effectue sa toilette en mouillant ses pattes antérieures avec sa salive, puis en se frottant le tour des yeux, les oreilles, le dessus de la queue puis les pattes arrière. Cette opération lui prend plusieurs minutes par jour. Durant sa toilette, le lapin ingère une grande quantité de poils, notamment en période de mue. Ces poils peuvent former des bouchons appelés trichobézoards qui conduisent parfois à des occlusions intestinales.


title: Lapin domestique

text: Les virus causent de plus gros problèmes pour les éleveurs qui ne s'en prémunissent pas. Par la contagion, ils peuvent rapidement tuer un très grand nombre d'animaux.


title: Lapin domestique

text: L'entéropathie épizootique du lapin, une maladie émergente apparue au début du , souvent mortelle, se développe dans les élevages. Son agent pathogène est mal connu ; un ballonnement abdominal et une diarrhée aqueuse sont généralement fatale.


title: Lapin domestique

text: D'autres troubles d'origines diverses, parfois liés aux conditions de captivité, sont observés chez les lapins.


title: Lapin domestique

text: Le premier prédateur du lapin domestique est bien entendu l'Homme qui l'élève principalement pour se nourrir.


title: Lapin domestique

text: Bien que la captivité protège en théorie les lapins domestiques des agressions extérieures, ces animaux sont aussi des proies attractives pour de nombreux carnivores (chats, chiens, renards, fouines...) qui n'hésitent pas à s'introduire dans les exploitations agricoles et les espaces urbains pour les capturer, sans oublier les rapaces qui s'attaquent aux enclos à ciel ouvert.


title: Lapin domestique

text: Certaines espèces sont ainsi particulièrement astucieuses pour trouver les failles et entrer dans les clapiers ou dans les enclos, n'hésitant pas à creuser des tunnels par-dessous, où le lapin est alors une proie facile.


title: Lapin domestique

text: Élevées à l'extérieur, les lapines domestiques retrouvent parfois le comportement du lapin de garenne et creusent un terrier pour protéger leur progéniture.


title: Lapin domestique

text: Un lapin peut mourir de peur et, sans un abri sûr où se réfugier, il peut trépasser à la seule vue du prédateur.


title: Lapin domestique

text: Le lapin domestique est issu du lapin européen ("Oryctolagus cuniculus"), animal originaire d'Europe occidentale. C'est le seul animal d'élevage originaire d'Europe. Autrefois très abondant en Espagne, c'est là qu'il est rencontré pour la première fois par les Romains, qui sont initiés par les Ibères à la consommation de "laurices". Des "leporaria", ancêtres des garennes médiévales, sont alors créés pour garder des lapins à disposition, faciles à chasser, dans de grands espaces clos. C'est Varron (116-27 av. J.-C.) qui nous fournit le premier témoignage écrit de ces pratiques.


title: Lapin domestique

text: Toutefois, le lapin européen devenu « lapin de garenne », n'a été réellement domestiqué que tardivement, au cours du Moyen Âge, par les moines. Ainsi, au , dans son "Histoire des Francs", Grégoire de Tours reproche à ceux-ci de consommer des "laurices" en période de Carême, ce mets étant considéré comme d'« origine aquatique » et donc autorisé. C'est vraisemblablement pour obtenir des "laurices" plus aisément que les moines ont les premiers eut l'idée de placer les lapines dans des cages.


title: Lapin domestique

text: Les grands principes de l'élevage de lapin sont établis dès le début du par des auteurs tels que Olivier de Serres ou Jean Liébault, et resteront inchangés pendant près de quatre siècles. Si les pratiques d'élevage restent similaires, la cuniculture connaît un certain essor au , et c'est à ce moment qu'apparaissent les premières races modernes et se développe le lapin de clapier supplantant le lapin de garenne forcée. Au , les travaux de recherche menés aux États-Unis puis en France avec l'Institut national de la recherche agronomique (INRA) vont permettre de révolutionner l'élevage, qui va passer dans l'ère de la production de masse avec l'augmentation de la taille de structure et l'adoption de pratiques zootechniques telles que la conduite en bande.


title: Lapin domestique

text: Le lapin est généralement élevé pour sa chair, mais aussi pour sa fourrure, sa peau ou ses poils. Plus récemment, il est devenu un animal de compagnie de plus en plus apprécié, et s'est également révélé comme animal de laboratoire. Parfois, les lapins sont même éduqués pour participer à des concours sportifs. Les modes d'élevage sont également variés. Les élevages familiaux traditionnels sont majoritaires en nombre et souvent tournés vers l'autoconsommation, l'élevage est donc peu intensif et souvent de taille modeste. Les élevages rationnels de grande taille élèvent les lapins dans des cages au plancher grillagé, pratiquent la conduite en bande et l'insémination artificielle, et ont un cycle de production court qui leur permet d'être très productifs.


title: Lapin domestique

text: L'alimentation humaine constitue la première utilisation du lapin. Les ossements découverts sur des sites d'habitat indiquent que le lapin était la principale source d'alimentation carnée en Provence aux alentours du et du millénaire L'importance du lapin dans l'alimentation a fortement régressé au cours du mésolithique, puis au bronze moyen et à l'âge du fer au point de presque disparaître. L'intérêt pour la production de viande de lapin est surtout né avec la consommation des "laurices" à compter de l'époque romaine. Plus tard, le lapin s'est révélé une bonne solution pour obtenir de la viande à disposition des habitants des villes sans nécessiter de surfaces cultivables lors de la révolution industrielle. La viande de lapin présente des caractéristiques intéressantes pour l’alimentation humaine, elle est riche en protéines et pauvres en lipides et en cholestérol. Par ailleurs, elle est bien pourvue en minéraux mais pas en sodium, et apporte des oméga-3.


title: Lapin domestique

text: La production de viande de lapin est modeste comparée à d’autres. Ainsi, en 2008, la production mondiale de viande de lapin est estimée à 1,2 million de tonnes par la FAO, avec une augmentation de 13,5 % depuis 2000. Quatre pays se partagent 72 % de la production mondiale : la Chine (), l'Italie (), l'Espagne () et la France (). L'Union européenne à 27 est la première zone de production avec produites. La viande de lapin ne représente que 1,2 % de la viande produite en Union européenne et 0,66 % de la viande produite dans le monde. La consommation de viande de lapin est limitée à quelques pays tels que la France et ses pays limitrophes, notamment la Belgique, l'Espagne et l'Italie, mais aussi la Chine où cette production s'est beaucoup développée sans que l'on sache comment elle y a été introduite et qui bénéficie au début du XXIe siècle du contre-coup de l'épizootie de peste porcine africaine puisque ces gros consommateurs se rabattent sur la chair de lapin et de chien, moins onéreuses. En Angleterre, la consommation de lapin s'était développée au début du mais fut très vite abandonnée car son élevage comme animal de compagnie en a fait un interdit alimentaire. Dans la plupart des autres pays, il n'existe pas de culture quant à la préparation de cette viande en cuisine. Même en France où la consommation est l'une des plus fortes avec de viande consommés par habitant et par an, elle reste modeste. Seuls 45 % des ménages consomment du lapin en 2003, et la plupart en achètent une seule fois par an (8 % en achètent plusieurs fois par an). Cette consommation concerne principalement une population assez âgée. Le lapin est surtout acheté en grande surface sous forme de lapin entier. Les découpes tendent à se développer mais ne représentaient que 26 % des ventes en 2003.


title: Lapin domestique

text: L'utilisation de la fourrure du lapin comme produit dérivé de la viande s'est rapidement développée au . Des marchands passent chez les particuliers pour collecter les peaux qui seront ensuite tannées pour produire un cuir assez souple, ou utilisées par la chapellerie pour faire du feutre. En effet, la chapellerie française consomme au début du environ 15 millions de peaux par an. Les peaux argentées des lapins riches et les peaux à poil long des lapins angoras sont particulièrement appréciées. La fourrure des lapins angoras n'est plus du tout utilisée aujourd'hui, et on ne récolte plus que ses poils. Dans les années 1970, la valorisation des peaux constitue encore le bénéfice des abattoirs. Les peaux ont alors deux utilisations. Elles peuvent être utilisées dans l'industrie de la pelleterie ; les poils sont alors séparés mécaniquement de la peau, et sont filés puis utilisés pour « diluer » le poil angora, ou pour la conception traditionnelle du feutre. Le cuir est quant à lui utilisé pour fabriquer de la colle ou de l'engrais. Autrement, c'est l'industrie de la pelleterie qui valorisent les peaux en les tannant et en faisant de la fourrure. Aujourd'hui, les peaux ont perdu de leur importance, à l'exception de celles produites dans certains pays d'Europe de l'Est où les fourrures permettent la fabrication de vêtements chauds pour l'hiver rude, et au cas de pays d'Asie du Sud-Est, du Maroc et du Mexique qui voient se développer un petit artisanat autour des peaux de lapin. Au cours du se développent les lapins rex, caractérisés par une mutation génétique qui fait qu'ils ne possèdent que du sous-poil et qu'ils ont donc une fourrure douce et soyeuse. La création d'une souche appelée Orylag par l'INRA a permis la production de cette fourrure à grande échelle et elle est aujourd'hui utilisée pour la confection de produits de luxe.


title: Lapin domestique

text: Le poil des lapins angoras, qui en raison d’une mutation génétique est particulièrement long, est utilisé par l’industrie textile comme une fibre « spéciale », de la même façon que les fibres obtenues à partir des races de chèvres spécialisées (mohair, cachemire) et de certains camélidés (lama, alpaga, vigogne, chameau). Il permet la confection de produits dits « fantaisie » ou « haut de gamme ». Le poil angora est récolté par tonte (comme en Allemagne) ou épilation (comme en France) et la production mondiale s’élève à environ par an. Le principal producteur est la Chine, malgré l'arrivée récente de cette production dans le pays. La chute des prix causée par le développement de l'élevage chinois a engendré une forte diminution des élevages ailleurs dans le monde. Ces poils sont essentiellement transformés au Japon et en Italie, et les produits manufacturés sont écoulés sur les marchés japonais, allemand et américain.


title: Lapin domestique

text: Le lapin intéresse depuis bien longtemps les scientifiques comme modèle animal. Ainsi, dès le , des lapins sont utilisés en ophtalmologie, puis comme modèle d’investigation pour les études pharmacologiques de transfert placentaire de médicaments, métabolites et stéroïdes, sa placentation étant similaire à celle de la femme. Cet animal présente notamment les avantages d'être prolifique, de petite taille et de pouvoir être élevé dans des conditions bien maîtrisées, conditions indispensables pour en faire un animal de laboratoire. Sa taille intermédiaire en fait un sujet idéal pour effectuer des manipulations trop délicates sur les souris et les rats. Les trois races préférentiellement utilisées par les scientifiques sont le néo-zélandais, le hollandais et le bélier. Du fait de sa bonne réponse immunologique, il peut permettre la production d'anticorps spécifiques. C'est aussi un bon substrat pour la toxicologie, car le lapin a une gestation courte est suffisamment grand pour que les irritations soient bien visibles et que l'on puisse étudier les fœtus. De plus, il est très sensible aux agents tératogènes et a une réponse proche de celle de l'homme. Il est utilisé pour divers tests dermatologiques. Il est également utilisé actuellement dans les domaines cardiovasculaires, ostéo-articulaires et respiratoires, ainsi qu'en oncologie et diabétologie. C'est un modèle approprié pour étudier l'hypertension et l'athérosclérose car son métabolisme lipidique est plus proche de l'homme que celui de la souris. Il est adéquat pour étudier l'arthrose et pour valider les nouvelles technologies d’imagerie ostéo-articulaire. L'étude des papillomavirus s'appuie souvent sur des observations sur les lapins. La lapine a également longtemps été utilisée comme diagnostic précoce de grossesse chez la femme. En effet, les hormones particulières à la femme enceinte et présente dans ses urines (des dérivés de la progestérone) provoquent la reprise d'activité de l'ovaire de la lapine qui se les voit injecter par intraveineuse.