title: Casa Batlló

text: Enfin, au-dessus de la partie centrale de la façade se trouve un balcon plus petit, également en fonte, qui correspond à la sortie extérieure des combles et est esthétiquement différent du reste, plus proche d'une fleur de nénuphar des lacs de Monet ; sur chacun de ses côtés, deux potences en fer permettent l'installation de poulies pour hisser et descendre les meubles.


title: Casa Batlló

text: Cette partie de la façade est sans doute l'apport le plus intéressant et le plus discuté. D'après Ignasi de Solà-Morales, le dessin de la façade est de Gaudí mais le choix des couleurs serait de Jujol, à qui Gaudí avait confié les coloris.


title: Casa Batlló

text: La façade du premier étage, l'étage principal, est faite en grès et montre des formes sinueuses soutenues par deux colonnes et un tronc qui se divise en triangle en son sommet (sans former de chapiteau) à la façon des grands buis. Le dessin est complété par l'élégante menuiserie des fenêtres comblées par des vitraux en plomb multicolores.


title: Casa Batlló

text: Devant les grandes fenêtres, six fines colonnes en forme d'os sont disposées et semblent soutenir l'édifice. Elles ont la forme d'un fémur, ou d'un humérus, avec une décoration florale au centre qui semble être une articulation de l'os. Les formes des espaces vides sont courbes et la pierre semble prendre la forme de lèvres, donnant à l'ensemble l'aspect d'une énorme bouche ouverte, qui lui valut le surnom de "", . Au second étage, les fenêtres des extrémités possèdent le même dessin, formant des galeries ; mais au centre, au-dessus de la fenêtre centrale, se trouvent les deux balcons précédemment décrits.


title: Casa Batlló

text: Pour Bassegoda, les différents éléments de la façade suggèrent une continuité ; en parcourant du regard l'édifice dans le sens horizontal, l'observateur ne parvient pas à décerner de formes définies, contrairement aux édifices traditionnels où il note des espaces fermés par des polyèdres réguliers.


title: Casa Batlló

text: L'entrée principale est sobre, fermée par des portes de fer forgé peintes de couleur ivoire et dorées comme les balcons. C'est une peinture à base de cérusite que Gaudí avait déjà utilisée en d'autres occasions pour protéger de l'oxydation. Les autres ouvertures du rez-de-chaussée comprennent l'accès aux sous-sols, deux fenêtres, des soupiraux qui auraient pu servir à livrer le charbon et la porte du commerce du rez-de-chaussée. À l'origine, seule la porte extérieure principale, menant à l'escalier, était en fer ; les portes du sous-sol et du commerce étaient en bois et réalisées par le menuisier Eudald Puntí. Actuellement toutes les portes sont en fer comme pour l'entrée principale.


title: Casa Batlló

text: Le vestibule est décoré avec une rampe en céramique aux couleurs bleue et blanche. Au fond, se trouve une petite ouverture, donnant sur l'un des patios, qui éclaire naturellement la pièce. En continuant vers l'intérieur, après un discret encadrement de porte, se trouve l'ascenseur moderniste qui dessert tous les étages et un majestueux escalier qui conduit au premier étage.


title: Casa Batlló

text: L'escalier, qui dessert les étages locatifs, encercle la cage d'ascenseur et est situé entre deux jardins intérieurs. Cela lui donne une lumière inusuelle, en comparaison des escaliers habituellement placés dans une cage centrale obscure, car il n'est pas ici fermé par une échiffre aveugle, mais par une simple rambarde et une structure de verre translucide. À chaque palier se trouvent deux portes en chêne sculptées à la gouge, sur le montant desquelles ont été peintes des lettres dorées indiquant l'étage : à la place de la numérotation traditionnelle, Gaudí utilisa ici des lettres de A à I ; la lettre G, initiale de l'architecte, a une graphie spéciale.


title: Casa Batlló

text: L'escalier principal qui permet d'accéder au premier étage commence dans un vestibule privé de au fond de l'entrée. Ses murs sont ondulés et ne forment aucun angle ou coin, ni entre eux ni avec le plafond qui est dans la continuité des murs, ce qui lui donne l'aspect d'une grotte naturelle. Deux grandes claires-voies décorées de verres hexagonaux permettent l'arrivée de lumière à la façon d'une ruche.


title: Casa Batlló

text: Le majestueux escalier est fait de bois de chêne et incorpore dans son limon des éléments sculptés qui évoquent les vertèbres d'un animal préhistorique. L'ensemble de ces éléments forme une spirale sinueuse qui couvre un angle de presque , prenant la forme de l'échine d'un monstre géant dans sa grotte. La rampe qui longe l'escalier est munie à ses extrémités d'éléments décoratifs : une tige de métal avec une sphère rouge entourée de deux rubans de fer soutenant une couronne .


title: Casa Batlló

text: Le premier étage est différent des suivants et a fait l'objet de transformations importantes par Gaudí. Il s'agissait du domicile de la famille Batlló et Gaudí prêta une attention particulière à sa conception. Il réalisa une disposition des plafonds et une décoration très élaborées, permettant de jouer avec les ombres et les lumières des différentes pièces dans un espace où toutes les cloisons sont courbes. À cet endroit, la façade est en pierre et forme une galerie. Les fenêtres ont des formes ondulées très différentes les unes des autres, les piliers ont des formes d'os avec leurs articulations.


title: Casa Batlló

text: L'accès à cet étage se fait directement depuis l'escalier principal au fond du vestibule. À son extrémité se trouve une pièce de desserte qui permet d'accéder aux autres. Une première porte mène à une salle contenant l'âtre réalisé par les ateliers Ramon Reguan. C'est une salle dont l'esthétique est consacrée à la cheminée. Le foyer est encastré dans le mur. Deux bancs lui font face, de chaque côté de l'âtre. L'ensemble est rassemblé sous un arc au profil de champignon construit en grès réfractaire. Ce dessin, avec ses sièges en face du feu, symbolise l'union de la famille et s'inspire des zones de cuisines des mas catalans traditionnels où, sous un grand manteau de cheminée, se trouvaient le feu, un chaudron suspendu et des bancs ou arche-bancs. Une version urbaine existait également, qui permettait de créer un espace intime pour les couples. La Casa Navàs à Reus et la Casa Burés à Barcelone possédaient déjà une telle pièce décorée dans un goût très moderniste, contrairement à l’esthétique rustique que Gaudí appliqua ici.


title: Casa Batlló

text: Les autres cloisons sont en stuc doré à la feuille, simulant un craquelé qui rappelle la mosaïque. Ces avant-salles (pièce de desserte et cheminée) donnent sur les salons situés en façade principale, via d'amples portes aux formes exagérément ondulées, en bois de chêne et aux vitres serties de plomb.


title: Casa Batlló

text: Le salon central est un grand espace diaphane situé derrière la façade principale en son centre. Sa verrière au profil sinueux fut pensée pour voir sans être vu à l'aide d'oculus placés dans la partie basse ; la décoration de la verrière est à base de vitraux circulaires comportant différentes tonalités de bleus dans la partie supérieure ; au centre se trouvent des fenêtres à guillotine coulissantes qui s'ouvrent par le biais d'un jeu de contrepoids cachés aux extrémités. Entre ces fenêtres, il n'y a aucun montant, et lorsqu'elles sont toutes ouvertes, elles laissent voir la rue sans aucun obstacle visuel. Cette solution fut réutilisée par Le Corbusier à la villa Savoye et est connue sous le nom de fenêtre-bandeau. À un mètre en retrait de la verrière, exactement en vis-à-vis, se trouvent quatre colonnes intérieures qui passent presque inaperçues. Celles-ci portent des arcs qui soutiennent le mur porteur, formant avec la verrière une galerie.


title: Casa Batlló

text: De chaque côté du salon se trouvent deux pièces plus petites qui mènent aux fenêtres latérales donnant sur la rue. La pièce de droite est un salon intime où l'on peut également accéder depuis la salle de l'âtre et qui communique avec le salon central par des portes ondulées en chêne ornées d’œils-de-bœuf, portes qui peuvent s'ouvrir totalement de façon à ne former qu'un seul espace.


title: Casa Batlló

text: Au-dessus, se trouve un faux plafond en relief en forme de spirale géante en plâtre, orné en son centre d'un lustre si spectaculaire qu'il fut remplacé par une copie. Cette décoration peut évoquer un tourbillon d'eau et l'ambiance marine de la maison, la spirale d'une galaxie ou une représentation héliocentrique dont le lustre figurerait le Soleil.


title: Casa Batlló

text: De l'autre côté de l'étage, en regardant sur la façade postérieure vers la terrasse, se trouvait la salle à manger privée des Batlló. Sa décoration de bois et de verre fut démontée pour des raisons fonctionnelles lorsque l'édifice fut occupé par des bureaux. En 1991, elle fut remplacée par une reproduction qui permet de voir la salle à manger telle quelle 'était à l'origine.


title: Casa Batlló

text: Le faux plafond de cette salle reproduit les éclaboussures se formant à la surface de l'eau lorsqu'elle est troublée par la chute d'une goutte. Près de la sortie vers le jardin se trouve une paire de colonnes jumelles inspirées des patios des lions de l'Alhambra à Grenade. La base de leur chapiteau est rognée, comme érodée par le temps. Elles sont en stuc passé au feu, avec un « craquelé » similaire à ceux des autres espaces, mais présentant ici une combinaison polychrome, avec des couleurs chaudes et des tons pastels.


title: Casa Batlló

text: Dans le grand salon de l'étage principal qui donne sur la façade du Passeig de Gràcia, se trouvait un oratoire placé dans la concavité du mur du fond ; il était fermé par de grands panneaux de bois qui permettaient de transformer rapidement le salon en chapelle, une solution que Gaudí avait déjà expérimentée pour le Palais Güell. Il contenait un petit autel et un retable en chêne sculptés d'une Sainte Famille réalisée par Josep Llimona i Bruguera, où Jésus adolescent baise la main de saint Joseph devant une table de bois, pendant que Marie observe la scène. Sur la face dorée du retable dessiné par Gaudí apparaît le mot « amen » écrit dans la partie supérieure et verticalement de chaque côté, avec le monogramme « JMJ », référence à Jésus, Marie et Joseph. Divers éléments complétaient l'oratoire : un crucifix en métal sculpté par Carles Mani i Roig, des chandeliers de Josep Maria Jujol et des couronnements de Joan Matamala.


title: Casa Batlló

text: Le crucifix était un « Christ de l'Expiation » réalisé par Mani d'après les études de Gaudí sur la position exacte du corps lors des supplices de crucifixion, un thème pour lequel l'architecte avait réalisé diverses maquettes en plâtre. L'une d'elles est conservée au musée Gaudí du parc Güell. Le retable fut démonté et la famille Batlló le garda en sa possession à Madrid durant de longues années jusqu'à ce qu'il soit remis à la Sagrada Familia en 2001.


title: Casa Batlló

text: Les patios comptent parmi les éléments les plus novateurs de la transformation de l'édifice. L'architecte comprit que pour construire un espace uni en accord avec la sensibilité humaine, il fallait supprimer les décorations qui pouvaient rompre l'effet d'ensemble. Il décida de compenser les différences naturelles d'illumination entre la partie haute et la partie basse par un ingénieux dégradé de couleurs à base de céramiques qui recouvrent les murs. Les tons partent du bleu de cobalt en haut jusqu'au blanc en bas. Par ce conditionnement chromatique, la paroi semble avoir une couleur uniforme lorsqu'elle est vue depuis le bas. Appliquant la même logique, Gaudí proportionna la hauteur des fenêtres à leur situation. Les plus basses sont les plus grandes. De plus, les trente-deux fenêtres qui donnent sur les patios sont équipées de persiennes à soufflet qui permettent de réguler l'entrée d'air frais depuis l'extérieur sans ouvrir les fenêtres.


title: Casa Batlló

text: La partie supérieure des patios est munie d'une couverture de verre rehaussée de pour faciliter la ventilation en cas de pluie. Ces vitrages recueillent les eaux qui sont évacuées au centre sur une structure qui traverse le jardin et permet d'y accéder pour nettoyer les vitres.


title: Casa Batlló

text: Les menuiseries de plein air sont une combinaison de pin sylvestre à l'intérieur et de châtaignier à l'extérieur.


title: Casa Batlló

text: L'intérieur de la façade est décoré de trencadis multicolores dessinant des guirlandes et de bouquets de fleurs évoquant des lianes qui pendraient de la terrasse. La partie haute présente une forme ondulée très dynamique qui renvoie à l'inspiration marine de Gaudí.


title: Casa Batlló

text: Le trencadis de la partie supérieure de la façade possède une singulière capacité expressive donnée par ses couleurs très vives et ses motifs floraux. Les rambardes des balcons sont faites en fer forgé et installées au dernier étage. Les rambardes du haut de l'édifice sont également décorées de trencadis de façon que l'observation depuis la terrasse inférieure du haut de l'édifice embrasse visuellement les décorations de la rambarde et du sommet dans un unique tapis multicolore.


title: Casa Batlló

text: Au pied de cette façade se trouve la terrasse de l'étage principal à laquelle on accède par la salle à manger en traversant un passage entre deux grandes claires-voies qui illuminent les sous-sols et confèrent à l'ensemble l'aspect d'un pont-levis qui unirait l'intérieur et l'extérieur. De chaque côté de ce passage, et symétriquement, se trouvent des grilles bombées aux formes complexes qui protègent les fenêtres et renforcent l'idée de murailles avec leur hauteur de .


title: Casa Batlló

text: L'espace de la terrasse est séparé des édifices latéraux par des grilles de même facture que celles de la façade. Au fond, un mur au profil ondulé couronne l'intérieur de la façade et isole la propriété de la vue à partir de l'extérieur de l'îlot. Il est décoré de trencadis au sommet et au centre ; juste en face de la porte de sortie vers la terrasse, un grand mur de trencadis de forme parabolique rappelle les formes des arcs des combles. Depuis ces mosaïques, des jardinières singulières sortent comme si c'étaient des protubérances faites avec des disques en céramiques de la façade principale. Elles donnent l'impression d'un jardin suspendu. D'autres jardinières, mobiles, composées de pots en fer forgé recouverts de céramiques bleues et blanches, sont réparties sur la terrasse. Il ressort de l'ensemble un jeu de couleurs tenant du kaléidoscope.


title: Casa Batlló

text: Les sols sont en grès de Reus ; c'étaient des éléments du pavage intérieur de l'édifice qui préexistaient et que Gaudí réutilisa sans respecter leur disposition originale, en laissant à ses ouvriers un libre choix pour les placer. Une lésène est formée à la limite entre la porte de sortie et le mur parabolique couvert de trencadis qui ressemble à un grand tapis.


title: Casa Batlló

text: Au-dessus du dernier étage se trouvent de grands combles où Gaudí utilisa une de ses techniques clefs, l'arc caténaire, pour soutenir le toit. Selon l'usage catalan, il utilisa comme matériau de la briquette plate importée d'Italie au .


title: Casa Batlló

text: Dans les combles se trouvaient les dépendances, les pièces de services et des éviers et bassins sous une couverture en voûte catalane soutenue par soixante arcs caténaires qui ressemblent aux côtes d'un énorme animal. Elles sont distribuées en deux longs couloirs qui entourent les patios, répartissant les salles à la périphérie du bâtiment. Au niveau de la façade, une grande salle actuellement connue sous le nom de « ventre du dragon », était consacrée à l'étendage de la lessive. Les arcs la composant y atteignent leur plus grand espacement, donnant à cet espace une configuration singulière. Tout l'étage jouit de l'éclairage produit par un remarquable jeu de lumières.


title: Casa Batlló

text: Le sol des combles, c'est-à-dire la couverture de l'étage inférieur, est constitué de solives de fer, surmontées de structures en briques et en fer soutenant les arcs. La charge des arcs est transmise aux extrémités des solives puis verticalement aux murs porteurs. Cette forme permet d'éviter que des forces et tensions ne soient transmises vers l'extérieur.


title: Casa Batlló

text: Ces arcs caténaires sont régulièrement espacés, formant des espaces latéraux qui régulent la lumière. Des voûtes catalanes s'y appuient, les liant deux à deux, et servent à la fois de plafond et de base du toit.


title: Casa Batlló

text: Le toit possède quatre ensembles de cheminées de de haut, couvertes de fragments de verre et de trencadis polychromes aux motifs floraux, à mi-chemin entre les forêts de cheminées du Palais Güell (1888) et de la Casa Milà (1910). Leur dessin spécial permet d'éviter que l'air ne s'y engouffre.


title: Casa Batlló

text: Le toit de la Casa Batlló, un des plus spectaculaire de l’œuvre de Gaudí, constitue la plus grande sculpture polychrome de l'édifice. Construit sur les arcs caténaires des combles, c'est un espace rectangulaire divisé en son centre par les ouvertures des patios. La partie avant couvre une grande salle où étaient installés les réservoirs d'eau, au niveau le plus élevé de la façade. Gaudí associa un sens esthétique à une nécessité fonctionnelle, à une époque où l'eau courante n'avait pas la pression suffisante pour satisfaire aux normes de confort. Si la vision extérieure du toit simule les écailles d'un dragon, le côté intérieur de la rambarde du toit ressemble à la carapace d'un crabe ou d'une tortue avec un fort dégradé de l'orange au blanc.


title: Casa Batlló

text: Les cheminées sont groupées à la manière de champignons et présentent des courbures qui leur donnent le dynamisme et l'expressivité d'une sculpture. Chacun des conduits de fumée, au profil carré, est couvert par une flèche pyramidale très aiguë, avec une forte pente qui permet d'évacuer l'eau de pluie et qui évoque les sommets des obélisques. Aux pointes, ces flèches portent des boules qui font rebondir les gouttes d'eau, une forme qui rappelle les casseroles que l'on posait en haut des poteaux. À l'origine, ces boules en verre étaient remplies de sable coloré ; lors de la restauration de 1983, elles furent remplacées par les boules actuelles en ciment incrusté de verre. Les cheminées étaient décorées et protégées par un trencadis polychrome de verre et de céramique aux teintes aqueuses qui évoquaient les nuages et la pluie. En tout, vingt-six cheminées sont distribuées en quatre groupes : un premier groupe de huit cheminées derrière la salle du dépôt d'eau (derrière le sommet de la façade) ; un second groupe avec huit autres sorties est situé sur la partie intérieure de l'édifice, presque en miroir du premier groupe vis-à-vis du puits de jour formé par les patios ; le troisième groupe avec six autres cheminées est situé du côté de la mer, près de la Casa Amatller, à mi-chemin entre la façade et le fond ; un quatrième groupe de quatre cheminées est au même niveau que le précédent, mais côté montagne, collé à l'autre maison voisine.


title: Casa Batlló

text: Gaudí conçut l'édifice en s’inspirant de la nature, comme un organisme vivant où chaque élément vit et accomplit une fonction, non pas passive comme des contreforts gothiques, mais dynamique.


title: Casa Batlló

text: Selon Oriol Bohigas, Gaudí ne poursuivait jamais d'objectif rationaliste dans la conception d'une structure. À partir d'un critère de construction préétabli, il déterminait la forme la plus expressive permise par les contraintes architecturales, qui interférait avec l'espace et troublait les limites du bâtiment. Ces tendances sont particulièrement marquées dans la Casa Batlló où tribunes et balcons effacent la frontière entre l'intérieur et l'extérieur.


title: Casa Batlló

text: Gaudí se distingue par ses choix dans la disposition des espaces qui créent une ambiance confortable, spécialement quant à la ventilation naturelle : en cela il suivait peut-être les enseignements des "Entretiens" de Viollet-le-Duc. Si, au Palais Güell, il avait expérimenté ces techniques, il les développa considérablement pour la Casa Batlló. Du point de vue de la ventilation et de la lumière, l'architecte conçut cette œuvre avec des critères qui seraient aujourd'hui considérés comme écologiques. Il éclaira les chambres centrales au moyen de patios faisant office de puits de lumière. Il répartit la lumière par de grandes claires-voies et des jeux de couleurs à base de céramiques dans ces chambres et dans les sous-sols.


title: Casa Batlló

text: La distribution des appartements de la Casa Batlló, étalés entre les façades pour profiter d'une ventilation croisée, était déjà typique des bâtiments de l'Eixample à Barcelone pour atténuer la chaleur de l'été. Mais Gaudí y ajouta un ensemble d'ouvertures sous les fenêtres pour profiter de l'entrée d'air frais et des brises nocturnes de l'été. Cette solution permet d'ajuster la quantité d'air qui entre par le biais de fentes réglables et d'un jeu de plaquettes de type persiennes qui régulent la circulation d'air. Ces petites fentes sont également présentes sur les portes intérieures. Ce fut également Gaudí qui dessina les mécanismes qui permettent d'en régler l'ouverture. Le dessin des patios crée un effet de cheminée par convection de l'air chaud du bas vers les couches supérieures où il s'échappe par des aérations situées à côté des claires-voies. De plus, la chaleur de l'air dans la partie supérieure, sous la claire-voie, induit une circulation d'air qui « attire » l'air frais des couches plus basses. Des canalisations en béton garantissent l'arrivée d'air froid, en passant de la façade principale jusqu'à la partie basse des patios par les sous-sols du bâtiment, technique traditionnelle inspirée des mas catalans.


title: Casa Batlló

text: Les combles ont une fonction d'espace de service, pour la blanchisserie, pour étendre et sécher le linge. Conséquence de l'humidité, une bonne ventilation était absolument indispensable. Gaudí la généra en construisant deux escaliers pour desservir cet étage et le toit, un de chaque côté du bâtiment, créant une ventilation croisée. Les chambres qui entourent les patios à l'étage inférieur possèdent également une ouverture vers le haut qui complètent l'arrivée d'air frais et garantissent une bonne ventilation.


title: Casa Batlló

text: À cause du manque d'explicitations provenant directement de Gaudí, le sens des formes et des couleurs de la façade eut de nombreuses interprétations, toutes vraisemblables. Certains virent dans les rambardes des balcons des masques vénitiens et interprétèrent la décoration polychrome de la façade comme des confettis. D'autres affirmèrent que l’ondulation de ce tapis polychrome à dominance de verts et de bleus avait sans doute un sens aquatique pour laquelle ils fournirent diverses sources d'inspirations, depuis des surfaces lacustres inspirée par Monet jusqu'aux eaux transparentes de la Costa Brava.


title: Casa Batlló

text: Une des thèses les plus communes est que l'ensemble de l'édifice s'inspire de l'ambiance marine, d'une énigme sous-marine. Cette approche est appuyée par la vision naturaliste de l'architecte, par la domination notable des bleus marine et des tons ocre propres aux roches de la Costa Brava. Le bleu, très présent sur la décoration des céramiques, commence par des tons doux qui entourent l'intérieur du vestibule, change d'intensité dans les patios, devient un bleu marine à l'extérieur dont différentes nuances sont présentes sur la façade. L'escalier principal est construit dans une pièce qui rappelle une grotte sous-marine ; il conduit à l'étage principal qui est organisé à la façon d'un refuge marin, d'un bocal ou d'un sous-marin qui isolerait et protégerait les habitants contre le monde extérieur. Les formes courbes des portes et fenêtres évoquent l'intérieur d'un bateau et les montants des portes en chêne sont sculptés de serpents de mer, de fossiles et autres formes de la nature.


title: Casa Batlló

text: L'inspiration naturaliste de l'édifice mena Gaudí à réutiliser, pour les efforts mécaniques, les systèmes développés par des êtres vivants. Ainsi, les piliers ressemblent à des humérus ou à des fémurs ; les bases et les chapiteaux ont des formes de vertèbres ; les balustrades des balcons du premier étage sont des phalanges ; les grilles convexes faites de tubes de fer protègent les yeux des balcons à la manière des cils et les balcons rappellent des côtes.


title: Casa Batlló

text: L'interprétation de Lluís Permanyer i Llagós suggère une vision moins profane et plus épique que les précédentes. Il indique que la symbolique de la maison tourne autour de la légende de saint Georges, figure importante de la tradition catalane à portée religieuse. Le dragon représente le Mal. Son échine est la partie supérieure de la façade principale. La tour serait la lance plantée dans son corps , c'est une lance couronnée par une croix et marquée des initiales de la Sainte Famille. C'est un symbole évident de triomphe de la piété et du Bien. Les écailles bleues du dos du dragon deviennent rouges sur le côté gauche de la tour.


title: Casa Batlló

text: Selon cette interprétation, les balcons sont des fragments de crânes et les piliers des fenêtres de l'étage principal sont les os des victimes du dragon. L'ensemble des fenêtres de l'étage principal a la forme d'une chauve-souris aux ailes ouvertes. Cet animal, étroitement lié à la symbologie médiévale traditionnelle catalane, fut popularisé par Jacques d'Aragon le Conquérant. Selon la légende rapportée dans le "Llibre dels fets", ce fut grâce à une chauve-souris que le souverain évita de perdre la couronne d'Aragon et conquit le Pays Valencien. Cependant, l'origine la plus vraisemblable de cet animal est la présence d'un dragon dans les armoiries de Pierre le Cérémonieux. Il avait fait surmonter son écu d'un dragon après la conquête de villes importantes de la Méditerranée qui utilisaient l'animal mythique comme emblème. Ce symbole se transforma peu à peu en chauve-souris au pour s'imposer pleinement au dans les héraldiques. À cette époque, sous l'effet de la renaissance catalane, cette image de chauve-souris fut largement diffusée par le mouvement moderniste, apparaissant sur de nombreuses revues telles que "Lo Gay Saber" ou "Revista de Catalunya". Le symbole de la chauve-souris apparut sur l'écu de Barcelone au début du et se maintint pendant une partie du . La chauve-souris n'est donc ici qu'une évolution du dragon ailé de l'hagiographie de saint Georges.


title: Casa Batlló

text: L'étage principal est inspiré d'un monde fantastique, comme ceux décrits dans les mythes, les expéditions et aventures à la mode à la fin du . Certains des animaux représentés, ou les formes de l'étage principal, semblent dignes de l'illustration d'Alphonse de Neuville de l'édition de 1870 du roman "Vingt mille lieues sous les mers" de Jules Verne.


title: Casa Batlló

text: L'œil du dragon est formé par la petite fenêtre triangulaire inspirée de la roche trouée de la montagne de Montserrat. Gaudí, au-delà de son fort sentiment religieux, connaissait bien cette montagne où il avait réalisé le "Premier mystère de la gloire" du Rosaire monumental de Montserrat.


title: Casa Batlló

text: La couronne du faux-plafond de la salle à manger de l'appartement du premier étage semble avoir été formée par la chute d'une goutte d'eau qui aurait généré ondulations et éclaboussures.


title: Casa Batlló

text: La Casa Batlló est un riche édifice exposé sur l'avenue la plus luxueuse de Barcelone. Elle rappelle, au moyen du luxe débordant de la bourgeoisie, la fugacité de toutes les choses et la mort. La spirale peut être liée à la mort, elle représente le moulin du temps qui dévore la matière retournant au chaos. Elle peut aussi être liée aux nébuleuses de la création de l'univers. La spirale la plus notable du bâtiment se trouve dans l'appartement principal mais plusieurs autres sont disposées dans l'appartement, dans certains tympans et sur des portes.


title: Casa Batlló

text: L'escalier principal est clairement inspiré d'un animal préhistorique dans sa grotte, que Permanyer interprète comme la colonne vertébrale du monstre.


title: Casa Batlló

text: Les colonnes des galeries de l'étage principal, reprenant la forme d'os, accueillent des plantes carnivores au centre de leurs articulations. Gaudí fait aussi ici une allusion à la régénération continue de la création.


title: Casa Batlló

text: Gaudí dessina pour la Casa Batlló un pavement hydraulique fabriqué par Escofet, composé de pièces hexagonales de couleur bleue et à motifs marins. Il pensait en couvrir le sol de la chambre des Batlló, pour renforcer l'ambiance marine, mais y renonça. On y trouve des algues du genre "sargassum", une ammonite et un échinoderme. Bien que Batlló eut payé l'ensemble, Gaudí le récupéra pour l'extérieur de la Casa Milà. Avec le temps, c'est devenu un des signes distinctifs des trottoirs du Passeig de Gràcia. Leurs modèles en cire grise ont été fabriqués par Joan Bertran, sous la supervision de Gaudí qui les , d'après les mots du constructeur Josep Bayó.


title: Casa Batlló

text: Gaudí fut également un concepteur audacieux de meubles, grilles, poignées, judas et autres éléments décoratifs. Les meubles de Gaudí suivent les mêmes évolutions que ses bâtiments : après une période néogothique commencée à la fin des années 1870 avec du mobilier religieux, il réalisa des chaises longues pour le Palais Güell entre 1887 et 1888 où il fit évoluer une première fois son style en remplaçant une partie du bois d'origine par du fer, avant d'opérer un second basculement de 1890 à 1899 vers les formes courbes et asymétriques du modernisme, rompant définitivement avec le style Pompadour alors à la mode. Il avait déjà réalisé le mobilier pour la Casa Calvet, mais, dans ceux de la Casa Batlló, le décoratif cède le pas à l'organique, les formes évoquent ici des êtres vivants.


title: Casa Batlló

text: Les meubles de la Casa Batlló étaient destinés à la salle à manger. Le mobilier comptait une table, deux bancs doubles, un banc triple et un ensemble de chaises. Les dimensions des chaises sont de de haut au niveau du dossier, ( de haut au niveau du siège), de large et de profondeur ; les dimensions des bancs sont de de haut au niveau du dossier, ( de haut au niveau du siège), de large et de profondeur.


title: Casa Batlló

text: Pour réaliser ce mobilier, l'architecte opta pour un dessin inédit jusqu'alors, avec un type de siège aux courbes imitant la morphologie humaine ; il élimina les entoilages et ornementations superflues à la mode, et laissa au bois nu sa couleur naturelle. Précurseur des dessins ergonomiques et aux frontières du répertoire académique, il se rapprocha du design industriel qui fut plus tard exploité par des architectes contemporains : Horta, Mackintosh et Saarinen.


title: Casa Batlló

text: Les chaises de la salle à manger sont petites et basses, tranchant avec les fauteuils massifs en forme de trône de la bourgeoisie d'alors ; Gaudí minimisa le nombre d'éléments constituant les chaises, chaque élément est arrondi et les pieds sont légèrement hélicoïdaux avec un profil parabolique. Les sièges sont faits aux formes qu'ils sont censés supporter. Les dossiers sont légèrement incurvés pour recevoir le dos.


title: Casa Batlló

text: Dans sa volonté d'inscrire le mobilier dans son environnement, Gaudí demanda à madame Batlló combien de femmes et combien d'hommes composaient la famille pour pouvoir adapter le mobilier à l'anatomie de chacun, ce que la maîtresse de maison refusa en bloc.


title: Casa Batlló

text: Les meubles d'origine sont conservés au Musée national d'art de Catalogne et à la Maison-Musée Gaudi du Parc Güell.


title: Casa Batlló

text: L'édifice fut inscrit en 1907 au concours du prix annuel des bâtiments artistiques que décernait la mairie de Barcelone. Le jury de cette édition était composé du maire, de régisseurs ou conseillers municipaux, du directeur de l'école des beaux-arts, du président des Maîtres d’œuvre et d'architectes renommés. Le 29 décembre 1907, le jury choisit le Collège Comtal, conçu par Bonaventura Bassegoda i Amigó. Le jury opta pour la sobriété de ce bâtiment face au dessin clairement moderniste des concurrents : la Casa Bonaventura Ferrer de Falqués, la Casa Puget (22 rue Ausiàs March) et la Casa Batlló. Cette dernière troubla le jury, qui en dit qu'elle . Cet échec fut doublement douloureux pour les propriétaires qui avaient déjà perdu ce prix l'année précédente face à la Casa Lleó Morera de Domènech i Montaner, elle aussi construite sur l'îlot de la discorde.


title: Casa Batlló

text: La première reconnaissance de l'édifice date de 1962 lorsqu'il fut intégré au "catalogue patrimonial" de la mairie de Barcelone. En 1969, il fut déclaré monument historique artistique au niveau national espagnol. Sa plus grande reconnaissance date de juillet 2005 lors de son inclusion au patrimoine mondial par l'UNESCO, une distinction qui inclut sept autres œuvres de Gaudí. Le bâtiment fut par la suite décoré du prix "Best in Heritage" décerné par l’"Europa Nostra" en coopération avec l’"European Heritage Association" pour mettre en valeur les efforts exclusivement privés de réhabilitation de l'édifice. Finalement, en 2008, le Bureau international des capitales culturelles inclut la Casa Batlló dans la liste des « Trésors du patrimoine culturel matériel du monde », une catégorisation créée en 2007 pour lister les éléments patrimoniaux les plus importants de chaque ville.


title: Diviseur de tension

text: Le diviseur de tension est un montage électronique simple qui permet de diminuer une tension d'entrée, constitué par exemple de deux résistances en série. Il est couramment utilisé pour créer une tension de référence ou comme un atténuateur de signal à basse fréquence.


title: Diviseur de tension

text: Les tensions du diviseur sont reliées à la masse et les deux résistances R et R sont connectées en série. Une tension U est appliquée en entrée sur ces deux résistances et la tension de sortie est mesurée aux bornes de R.


title: Diviseur de tension

text: En utilisant la loi des mailles puis la loi d'Ohm avec les tensions U et U, il est possible de déduire la relation entre la tension de sortie U et la tension d'entrée U :


title: Diviseur de tension

text: On peut aussi noter formula_5 pour désigner formula_6. Même si la nomenclature SI le confirme, le formula_5 n'est pas une erreur. = \frac{U}{R_1 + R_2}</math>


title: Diviseur de tension

text: Le montage est similaire au précédent mais avec en sortie une résistance de charge R. Celle-ci est en parallèle avec la résistance R. La résistance équivalente vue par U s'exprime donc par :


title: Diviseur de tension

text: À noter que si R est négligeable devant la charge R alors R ~ R et le diviseur se comporte approximativement comme un montage sans charge.


title: Diviseur de tension

text: Le pont diviseur de tension sert généralement à conditionner un signal afin de le traiter par un circuit tout en respectant sa dynamique d'entrée.


title: Diviseur de tension

text: En plus des diviseurs de tension résistifs, il existe également des diviseurs de tension capacitifs, constitués de deux capacités. S'ils ne permettent pas de diviser une tension continue — les capacités ne conduisant pas le courant si la tension à leurs bornes est continue — ils peuvent servir pour la tension alternative. Dans ce cas, une attention particulière doit être donnée au comportement dynamique de l'ensemble.


title: Diviseur de tension

text: De façon analogue, le diviseur de tension peut s'appliquer en conduction thermique avec des résistances thermiques (qui s'associent de façon analogue aux résistances en électricité) et des différences de température.


title: Lefa

text: Lefa, nom de scène de Abdel Karim Fall, né le à Paris, est un rappeur français. Il est un des fondateurs et membre du groupe de rappeurs parisiens Sexion d'assaut.


title: Lefa

text: Absent depuis 2012, Lefa revient en et sort son premier album solo, "Monsieur Fall", le , qui est certifié disque d'or quelques mois après sa sortie. Il sort ensuite une mixtape gratuite "intitulée TMCP (tu m'connais pas)", le , qui est suivie, un an après, par son deuxième album solo, "Visionnaire", le . Le , Lefa divulgue son troisième album solo intitulé "3 du mat", certifié disque d'or. Le , il dévoile l'EP "Next album est déjà dans mon phone" puis l'album "Fame", sorti le 2019, suivi de sa réédition, "Famous". Le , il sort un album surprise, "D M N R (Démineur)" et dévoile la deuxième partie, "Code pin" le . Le , le titre "Bitch" extrait de l'album "Fame" en collaboration avec Vald est certifié single de diamant par Syndicat national de l'édition phonographique (SNEP).


title: Lefa

text: Né d'un père sénégalais musicien de jazz, Cheikh Tidiane Fall et d'une mère française chorégraphe et art-thérapeute, Christiane de Rougemont, il grandit à rue des Abbesses située à Paris dans le . Durant son adolescence il pratique la danse, plus particulièrement le break dance.


title: Lefa

text: Avant de fonder la Sexion d'Assaut, il fait partie d'un autre groupe nommé Assonance avec Maska , Lio Petrodollars et Barack Adama.


title: Lefa

text: Lefa fait partie des tout premiers membres de la Sexion d'assaut, dont il est d'ailleurs l'un des fondateurs. C'est Maître Gims qui le baptisa Lefa (verlan de "Fall"). Il est le membre ayant tenu des propos homophobes au cours d'une interview en , ce qui choque et jette la suspicion sur tout le groupe. Le groupe déclare alors . À la suite de la polémique, le groupe multiplie les mea culpas et œuvre pour des associations militantes anti-homophobie. Le groupe publie en l'album studio intitulé "L'Apogée". C'est le dernier album dans lequel Lefa apparaît avec le groupe. Après cela, il part avec sa famille vivre au Maroc.


title: Lefa

text: Pendant l'année 2012, Lefa n'apparaît plus sur scène avec les autres membres du collectif, le groupe le dit pour se consacrer à sa vie personnelle, mais promet un retour prochainement. Fin , Maître Gims annonce un éventuel retour de Lefa dans la Sexion d'Assaut lors de la tournée 2013. Ce dernier confie dans une interview qu'il expliquerait dans son autobiographie, sortie en 2015, ce mystérieux départ :


title: Lefa

text: Le , dans "Planète Rap" sur la radio Skyrock, Le chanteur Black M présente un enregistrement auquel participe Lefa sur l'extrait intitulé "Intro" ; cependant, Black M reste évasif quant à un éventuel retour et déclare que le public va devoir se préparer à un événement musical provenant de Lefa qui surviendra dans les jours. Le , Lefa apparaît sur le titre "Longue vie" en featuring avec Maître Gims, le quatrième extrait de l'album de ce dernier, "Mon cœur avait raison". Le , Lefa publie un deuxième extrait "Quelques minutes". Le , il dévoile son troisième single "Masterchef". Le , il annonce que la sortie de son premier album solo, "Monsieur Fall", est prévue pour le . Le quatrième extrait "20 ans" est dévoilé le . À une semaine de la sortie de l'album, le , il dévoile le cinquième extrait "En terrasse". En parallèle, il dévoile une série de clips issus de son projet #TMCP (Tu m'connais pas).


title: Lefa

text: Il publie son premier album solo, intitulé "Monsieur Fall", le , qui s'écoule à exemplaires lors de sa première semaine d'exploitation. Le , il poste un nouveau clip, mais cette fois un featuring, il s'agit du titre: "Dernier arrêt". Un mois après, le , sort le clip de "Rappelle-la". Lefa publie le le clip de "Reste branché" avec la Sexion d'Assaut, le deuxième featuring de son album. Un mois après, sort le le clip de "Grandi trop vite". L'album est certifié disque d'or.


title: Lefa

text: En 2016, Dawala, créateur du label Wati B, confirme le retour du groupe en 2017, mais il n'en sera rien.


title: Lefa

text: Quelques mois après la sortie de "Monsieur Fall", l'album est certifié disque d'or. Le , Lefa sort sa première mixtape intitulée "#TMCP" dont tous les morceaux sont clippés ("On est en guerre", "Kiss Me", "Ça va mal terminer"...). Durant toute l'année 2017, il présente plusieurs singles associés à des clips en prévision de son album. Ainsi, le rappeur dévoile "Visionnaire" le , "Sang froid" le (et clippé le ), "Popstar" le , "Rouler" en featuring avec S.Pri Noir le , puis enfin "Bi Chwiya" le .


title: Lefa

text: Le , Lefa annonce officiellement la sortie de son deuxième album solo intitulé "Visionnaire", disponible un peu plus d'un mois après, le . Entre fin août et début septembre, Lefa balance une série de mini freestyles avoisinant 1 minute de durée, afin de promouvoir encore un peu plus son album, dont la sortie est précédée du single "Chaud" (le ). Le , c'est le jour J : après sept mois et demi de communication sur des morceaux ayant moins fonctionné sur YouTube et en radio que les extraits de "Monsieur Fall", le fameux et tant attendu "Visionnaire" se dévoile enfin. Un mois après la sortie de Visionnaire Lefa sort le clip de "Solitaire" (Le ). En octobre il annonce officiellement un concert a Paris a La Maroquinerie le . Lors du concert, la Sexion D'assaut est réunie au complet, compte aussi sur la présence notamment de H Magnum, Dadju et Franglish. Le , après une longue année 2017, il sort le clip de "Fais Le" qui réunit les meilleurs moments de Lefa filmés durant cette longue année (Telle que son voyage a Londres, Le concert a Paris, les semaines de répétition, les séances d'enregistrement, etc.).


title: Lefa

text: À peine quelques mois après la sortie de "Visionnaire", Lefa commence à sortir des vidéos sur ses réseaux sociaux : le "01:00:00", ensuite quelques jours près "02:00:00", ensuite sort "03:00:00", annonçant son nouvel album "3 du mat". Le sort le premier single "CDM", avec un clip. Le sort le morceau "Potentiel" en collaboration avec Orelsan, dont le clip sort une semaine après. Le sort l'album "3 du mat". En une semaine il vend . Plus tard le , Lefa revient en playlist des radios telles que Skyrock ,Générations... Avec le morceau "Paradise" en collaboration avec Lomepal (produit par MKL) dont le clip sortira quelques semaines après (le ) et cumulera plus d'1 Million de vues en 1 semaine ( de vues 1 mois après). Le featuring a un gros succès puisqu'il est certifié single d'or en octobre.


title: Lefa

text: Le il sort le clip de "J'me Téléporte" avec Dadju et S.Pri Noir qui cumulera plus de en 1 jour et 1 million en 1 semaine. L'album est certifié disque d'or par le SNEP le avec plus de 50000 ventes.


title: Lefa

text: En 2019, Lefa quitte le label Wati B mais reste cependant sur le site. Il crée alors son propre label "2L Music" et sort par surprise son EP "Next album est dans mon phone", le .


title: Lefa

text: Le , il lance son nouveau single "Fame", premier extrait de son quatrième album solo, puis le second extrait "Bitch" en featuring avec le rappeur Vald qui rencontrera un énorme succès et qui entrera en playlist sur de nombreuses radios un an après "Paradise". Le , un teaser annonce la sortie officielle de son nouvel album "Fame" à paraître le . La vidéo dévoile les "featuring" avec Dosseh, Caballero & JeanJass, Tayc, Megaski ou encore Abou Tall. Le , le morceau "Bitch" sera certifié single d'or seulement 3 mois après sa sortie. Le , 2 jours avant la sortie de l'album, il sort le court métrage de "Mauvais" qui sera le troisième et dernier extrait de "Fame" avant sa sortie. Le morceau fait le premier jour. L'album s'écoule à la première semaine. Il affirme dans le morceau "Spécial" avec Dosseh que les clips coûtent trop cher et ils décident donc de remplacer ceux-ci par des lives (Comme "Pause", "Maniaque" ou "Château de Versailles"). Il sort plus tard le clip de "Spécial" suivi du clip de "T’y arrivais pas".


title: Lefa

text: Le , Lefa sort "Famous", réedition de "Fame". L'album s'écoule à unités dont physique lors de la première semaine.


title: Lefa

text: Le mercredi , Lefa annonce sur ses réseaux la sortie d'un album surprise intitulé "D M N R" "(Démineur)" avec un teaser poignant dans lequel on l'entend kicker sur de la drill.


title: Lefa

text: Le , sort l'album "D M N R", un jour seulement après l'avoir annoncé via Twitter. Plusieurs invités apparaissent sur l'album tels que Kalash Criminel et Captaine Roshi.


title: Lefa

text: Une suite de "D M N R", intitulée "Code pin", est prévue pour le , avec pour seul featuring un titre avec Tayc.


title: Lefa

text: Le 7 octobre, soit un jour avant la sortie de l'EP "Fall Season", il dévoile "Mentor" accompagné d'un clip dans lequel apparaissent Sexion d'assaut, MKL, Seysey, BlackDoe, YoungK, Nyadjiko, James Do It, DjNass212, Maël, Gregory Lebreton, Amos Bosse, Titaï, Abou Tall et Inso Le Véritable.


Mais où est donc passée la septième compagnie ? est un film français réalisé par Robert Lamoureux, sorti en 1973.


title: Mais où est donc passée la septième compagnie ?

text: Lors de la débâcle de juin 1940, la septième compagnie du régiment de transmissions est réfugiée dans un bois. Trois hommes sont envoyés dans un poste d'observation : les soldats Pithivier (Jean Lefebvre) et Tassin (Aldo Maccione), et le sergent-chef Chaudard (Pierre Mondy). Ceux-ci établissent une liaison téléphonique entre leur position d'observation et le bois où la est regroupée. Malheureusement, le fil téléphonique passant sous la route est soulevé par une branche et est rapidement repéré par une colonne allemande qui encercle la et la fait prisonnière. Seul le trio Pithivier, Tassin et Chaudard parvient à s'échapper.


text: Les trois soldats se cachent dans la forêt de Machecoul et ne sont pas pressés de rejoindre la ligne de front. Ils rencontrent le lieutenant Duvauchel (Érik Colin), pilote de chasse dont l'avion a été abattu, et qui prend le commandement du groupe. Dans une bourgade, ils croisent une dépanneuse de char allemande et sont forcés par une maladresse de Pithivier de se battre. Surpris, les Allemands n'ont pas le temps de répondre et sont tués par Tassin. Les quatre hommes prennent alors le véhicule et pendant leur escapade vers le front, tentent de comprendre son fonctionnement ; en particulier celui du canon positionné au-dessus du conducteur.


text: Ils sont aiguillés sur le mauvais chemin et rattrapent une colonne de prisonniers français surveillés par des soldats allemands, qui n'est autre que la . Le quatuor dépasse les prisonniers et force les Allemands qui les surveillent à avancer plus vite devant leur véhicule, laissant sans surveillance les soldats français. Ces derniers s'empressent alors de disparaître dans le bois longeant la route. Ainsi la est libérée.


text: Quatre ans plus tard, en , dans un avion piloté par le lieutenant Duvauchel, les trois compères vont être parachutés sur la France. Ils tombent prématurément de l'appareil, Pithivier ayant glissé dans l'avion.


text: Robert Lamoureux a écrit son film en se basant sur une partie de son histoire personnelle vécue pendant la débâcle de juin 1940.


text: La majorité des scènes ont été tournées dans le sud de la région parisienne, dans les Yvelines et en Essonne, dans les environs de Cerny et La Ferté-Alais, ainsi que vers Jouars-Pontchartrain, Rochefort-en-Yvelines et à Machecoul. La scène de l'épicerie a été tournée à Bazoches-sur-Guyonne.


text: La scène de la fenêtre qui explose avec le militaire français est tournée au restaurant de l'amicale de l'aérodrome de La Ferté-Alais.


text: Le tournage s'avère très difficile pour Aldo Maccione qui a une mésentente avec Robert Lamoureux. En effet, bien qu'il tourne une comédie, le réalisateur se montre trop sérieux et intransigeant envers l'acteur italien qui est un plaisantin de nature. Aussi Lamoureux recadre plusieurs fois Maccione dès que celui-ci amuse trop l'équipe. Un jour, lassé des caprices du cinéaste, l'acteur quitte brusquement le plateau et téléphone à la production pour exprimer sa protestation.


text: Par ailleurs, Aldo Maccione voue également une certaine jalousie envers Jean Lefebvre qui, adepte du poker et de la bouteille, a tendance à arriver toujours en retard sur le plateau, ce qui à l'inverse ne gêne en rien le réalisateur dont Lefebvre est le protégé.


text: Il y avait très peu de matériel militaire français ou allemand de l'époque de la Seconde Guerre mondiale disponible pour la réalisation du film. Le matériel de l'armée américaine était par contre facilement disponible. Les véhicules militaires apparaissant dans le film sont donc souvent des surplus de l'armée américaine repeints aux couleurs de l'armée française ou allemande, ou maquillés avec des panneaux de bois pour les faire ressembler à la forme des véhicules d'époque.


text: À l'occasion d'un rassemblement de véhicules militaires en Belgique en 2013, cette année-là consacré aux semi-chenillés, un club d'amateurs français reconstitue la dépanneuse allemande telle qu'elle avait été conçue pour le film, à partir d'un M3 Half-track.


text: "Mais où est donc passée la septième compagnie ?" ravive le genre du comique troupier, la comédie militaire typiquement française. Tombé en désuétude, le genre avait d'abord été exhumé à la faveur de la contestation de l'autorité et du pacifisme de mai 68 dans "Les Bidasses en folie" avec les Charlots, en 1971. Le triomphe commercial de ce film répand sur les écrans une flopée de « films de bidasses » au cours des années 1970. "Mais où est donc passée la septième compagnie ?" apporte un cadre différent, se déroulant dans une vraie guerre et non durant le service militaire, se distingant ainsi de ces films.


text: Henri Guybet, incarnant Tassin dans les deux suites, estime qu'. Le critique Francis Courtade ajoute que le film .


title: Seconde (temps)

text: La seconde est une unité de mesure du temps de symbole s (sans point abréviatif). Qualitativement, elle est d'une durée égale à la soixantième partie de la minute, la minute étant elle-même la soixantième partie de l'heure. C'est d'ailleurs l'étymologie du mot qui provient de la francisation écourtée de l’expression en latin médiéval, qui signifie littéralement "minute de second rang", c’est-à-dire "seconde division de l’heure".


title: Seconde (temps)

text: C'est une des unités de base du Système international (SI), ainsi que du système CGS. Quantitativement, la seconde du SI est définie par la durée d'un certain nombre d'oscillations ( exactement) liées à la fréquence de transition hyperfine de l'atome de césium. La mesure et le comptage de ces oscillations sont effectuées par les horloges atomiques.


title: Seconde (temps)

text: À partir du début du , les Mésopotamiens ont compté en base 60 en utilisant une numération de position dérivée du système de numération de type additif et de base mixte des Sumériens. Ce système est généralement associé à la civilisation babylonienne, qui occupe le sud mésopotamien et jusqu'au début de notre ère. Cette base a traversé les siècles : on la retrouve aujourd'hui dans la notation des angles en degrés () ou dans le découpage du temps ().


title: Seconde (temps)

text: La définition de la seconde, l'unité de temps dans le Système international, a été établie selon les connaissances et les possibilités techniques de chaque époque depuis la première Conférence générale des poids et mesures en 1889.


title: Seconde (temps)

text: La seconde, symbole s, est l'unité du temps du SI. Elle est définie en prenant la valeur numérique fixée de la fréquence du césium, formula_1, la fréquence de la transition hyperfine de l'état fondamental de l'atome de non perturbé, égale à lorsqu'elle est exprimée en Hz, unité égale à s.


title: Seconde (temps)

text: Cette définition implique la relation exacte formula_1 = . En inversant cette relation, la seconde est exprimée en fonction de la constante formula_1 :


title: Seconde (temps)

text: Il résulte de cette définition que la seconde est égale à la durée de de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l’état fondamental de l’atome de non perturbé.


title: Seconde (temps)

text: La seconde, étalon de mesure du temps, est ainsi un multiple de la période de l’onde émise par un atome de césium 133 lorsqu’un de ses électrons change de niveau d'énergie. On est ainsi passé de définitions, en quelque sorte "descendantes", dans lesquelles la seconde résultait de la division d’un intervalle de durée connue en plus petits intervalles, à une définition "ascendante" où la seconde est multiple d'un intervalle plus petit.


title: Seconde (temps)

text: Lors de sa session de 1997, le Comité international a confirmé que la définition de la seconde se réfère à un atome de césium à une température de , c'est-à-dire au zéro absolu. Cette dernière précision souligne le fait qu’à , la transition en question subit, par rapport à sa valeur théorique, un déplacement en fréquence dû aux effets de rayonnement du corps noir. Cette correction a été apportée aux étalons primaires de fréquence et donc au Temps atomique international (TAI) à partir de 1997, quand elle a cessé d’être négligeable par rapport aux autres sources d’incertitude.


title: Seconde (temps)

text: On dispose aujourd’hui d’une exactitude allant jusqu’à la (). L’exactitude et la stabilité de l’échelle dite du TAI obtenue principalement à partir d’horloges atomiques à jet de césium sont environ supérieures à celles du temps des éphémérides. C’est d’ailleurs l’unité du SI la plus précisément connue.


title: Seconde (temps)

text: Les préfixes du Système international d'unités permettent de créer des multiples et sous-multiples décimaux de la seconde. Si les sous-multiples décimaux (milliseconde, microseconde, nanoseconde, etc.) sont d’un emploi assez fréquent, les multiples (kiloseconde () pour , mégaseconde, etc.) sont très peu usités, les multiples de 60 (minute, heure) puis 24 (jour) leur étant préférés.


title: Seconde (temps)

text: L'emploi d'une ou de deux primes (caractères « ′ » et « ″ ») comme symboles respectifs de la minute et de la seconde temporelles est incorrect, ces signes désignant la minute et la seconde d'arc, subdivisions du degré d'arc.


title: Seconde (temps)

text: De même il n’est pas correct d’utiliser des abréviations pour les symboles et noms d’unités, comme « sec » (pour « s » ou « seconde »).


title: Seconde (temps)

text: Les préfixes du Système international d'unités permettent de créer des multiples et sous-multiples décimaux de la seconde. Comme indiqué plus haut, les sous-multiples sont employés fréquemment contrairement aux multiples.


title: Seconde (temps)

text: On peut noter que l'âge de l'univers, exprimé en secondes, est voisin de , ce qui donne peu de sens aux durées bien plus grandes exprimées en zettasecondes ou yottasecondes.


title: Seconde (temps)

text: À l'opposé, dans le domaine des durées extrêmement courtes, l’Institut Max-Planck d'optique quantique a mesuré en 2004 la durée du trajet d’électrons excités par les impulsions de d’un laser à ultraviolets ; position mesurée toutes les , correspondant à - à titre de comparaison, une attoseconde est à une seconde ce qu'une seconde est à environ d'années. Pour avoir une meilleure idée de la prouesse, dans le modèle d’atome d’hydrogène de Niels Bohr, l’orbite d’un électron autour du noyau dure (mais les modèles atomiques actuels considèrent que l’électron ne tourne pas).


title: Seconde (temps)

text: L'Institut Max Born d’optique non linéaire et de spectroscopie (MBI) de Berlin est parvenu à établir en 2010 le record de la plus faible durée d'impulsion contrôlable, atteignant la durée de .


title: Seconde (temps)

text: Les unités de temps plus petites, zeptoseconde et yoctoseconde, ont peut-être encore un sens à des échelles subatomiques, mais ne sont pas mesurables avec les instruments actuels.


title: Seconde (temps)

text: D'autres unités usuelles ne correspondent pas à un nombre précis de secondes, et ne sont donc pas des unités de temps dans le SI, ni même dérivées directement de celui-ci puisque ce ne sont que des approximations dans leur propre système non linéaire, d’une durée réelle en secondes SI :


title: Seconde (temps)

text: Toutefois, dans de nombreux pays, l’heure légale dans une journée calendaire est maintenant déterminée par une durée exprimée en heures, minutes et secondes du SI : le réajustement des jours calendaires avec les jours solaires se fait aujourd'hui de temps en temps au moyen des secondes intercalaires, insérées ou supprimées à certaines dates en fin de journée (de sorte que les jours calendaires légaux font le plus souvent dans le SI, mais certains jours sont raccourcis ou augmentés d’une ou deux secondes du SI). Cela a permis d’éliminer dans de nombreux domaines l’emploi des traditionnelles secondes, minutes et heures solaires, et même celui des secondes, minutes et heures calendaires, au prix d’une complexification de la durée légale d’une journée calendaire.


title: Seconde (temps)

text: Les développements récents d'horloge atomique, basés sur des transitions électroniques à des fréquences optiques, ont permis de construire des horloges plus stables que les meilleures horloges à jet de césium. Lors de la Conférence générale des poids et mesures, ces atomes et leurs fréquences ont été ajoutés aux représentations secondaires de la seconde.


title: Seconde (temps)

text: D'après les publications sur les performances de ces étalons de fréquence (dont "Nature" de ), ces horloges pourraient dans le futur conduire à une nouvelle définition de la seconde.


title: Ferrari 458

text: La 458 Italia est une voiture de sport produite par le constructeur italien Ferrari. Les deux premiers chiffres de son nom indiquent la cylindrée du moteur et le dernier, le nombre de cylindres. Le nom « Italia », succédant à « Modena » et « Maranello », rappelle les origines géographiques de la marque.


title: Ferrari 458

text: La 458 Italia est propulsée par un moteur V8 atmosphérique de dont la puissance spécifique atteint , une valeur très élevée pour un moteur atmosphérique. Très travaillée aérodynamiquement pour atteindre des vitesses élevées, elle est dotée d'aides électroniques à la conduite.


title: Ferrari 458

text: Remplaçante de la Ferrari F430, elle est officiellement présentée au salon de l'automobile de Francfort en septembre 2009.


title: Ferrari 458

text: La 458 Italia est présentée pour la première fois lors du Salon automobile de Francfort 2009 sur le stand Ferrari, après un développement auquel a notamment participé Michael Schumacher, septuple champion de monde de Formule 1. L'influence du champion allemand se traduit entre autres sur le tableau de bord et les réglages des suspensions, avec le mode « "Soft" » déjà présent sur la 430 Scuderia.


title: Ferrari 458

text: La production de l'Italia a commencé en automne 2009 dans la partie réservée aux moteurs V8 de la nouvelle usine de production Ferrari, aux côtés de la California. L'Italia remplace la Ferrari F430 dans la gamme des sportives à moteur V8 du constructeur italien. Les premières livraisons ont eu lieu en janvier 2010.


title: Ferrari 458

text: Le design de la 458 Italia est le fruit de la collaboration de Pininfarina et Ferrari. L'intérieur a été réalisé par Bertrand Rapatel, ancien directeur du design intérieur Ferrari, sous la direction de Donato Coco. Le design extérieur de la 458 Italia est fortement influencé par l'aérodynamique. Les lignes extérieures sont simples et épurées en opposition avec les derniers travaux du constructeur comme la 599 GTB Fiorano et la California. Afin de faciliter l'écoulement d'air, deux lames déformables sont placées à l'avant du capot et six autres sur le diffuseur arrière. L'arrière des flancs est creusé afin de former des sillons qui canalisent l'air jusqu'à l'aileron arrière. Ferrari souhaitait que les différents éléments aérodynamiques soient complètement intégrés à la carrosserie. Ces différentes modifications permettent à la 458 d'obtenir un coefficient de traînée de 0,33.


title: Ferrari 458

text: L'Italia innove par ses optiques de phares, utilisant la technologie des diodes électroluminescentes ou LED. La triple sortie d'échappement est similaire à celle de la F40. La calandre regroupe à présent les deux entrées d'air déjà visible sur la F430, permettant de gagner en légèreté. Le diffuseur exerce une poussée verticale vers le sol allant jusqu'à à . Le fait que l'aileron ne soit pas mis en relief permet de maîtriser les différents flux d'air entourant l'Italia en créant une déportance de à pleine vitesse.


title: Ferrari 458

text: Par rapport à la F430, la base mécanique est similaire (moteur F 136), mais elle a fait l'objet de diverses modifications. Toujours monté en position centrale arrière, le moteur V8 bénéficie désormais d'une injection directe. Sa cylindrée est portée de 4,3 à , ce qui lui permet de développer une puissance de à , soit 80 de plus que la F430 ; sa puissance spécifique atteint ainsi par litre de cylindrée battant ainsi le record du monde (pour les autos), détenu jusqu'alors par la Honda S2000. Le taux de compression passe à 12,5:1, avec un alésage de pour une course de . Le couple maximal s'établit à à .


title: Ferrari 458

text: La vitesse maximale de la 458 Italia dépasse, selon Ferrari, les . L'accélération de 0 à est réalisée en moins de et le 0 à , en , toujours d'après le constructeur. La consommation d'essence aux cent kilomètres passe de pour la F430 à . Les émissions de baissent également à contre 420 pour la F430. Ferrari montre ainsi sa volonté de réduire l'impact écologique de ses véhicules tout en conservant leurs performances avec, pour objectif, de réduire les émissions de de ses modèles de 40 % d'ici 2012.


title: Ferrari 458

text: Comme sur la plupart des coupés sportifs, la transmission de la 458 se fait aux roues arrière. La transmission standard Getrag à double embrayage est identique à celle de la California et est couplée à la boîte de vitesses robotisée « F1 » à sept rapports. Celle-ci peut fonctionner en mode automatique ou manuel selon la volonté du conducteur. La 458 est en outre, avec l'Enzo et la plus récente F12, la seule Ferrari à ne plus être disponible avec la traditionnelle boîte de vitesses mécanique à commande manuelle « à grille ».


title: Ferrari 458

text: L'utilisation de matériaux légers tel que l'aluminium pour le châssis permet de limiter le poids total de la 458 à , tout en lui permettant d'être 20 % plus rigide en torsion que celui de la F430. L'ensemble de ses assemblages est réalisé par soudure.


title: Ferrari 458

text: Les suspensions ont fait l'objet d'importantes mises à niveau ; les deux triangles superposés à l'avant et le système multibras à l'arrière ont été redessinés afin d'offrir de meilleures performances. D'autres interventions ont porté sur la direction pour la rendre plus rapide et directe, sur le contrôle de trajectoire « "F1-Trac" » et sur le différentiel électronique piloté « "E-Diff" ».


title: Ferrari 458

text: La Ferrari 458 Italia dispose de jantes de à cinq branches qui sont fixés par cinq écrous. Elles sont forgées en magnésium et montées de pneus Michelin Pilot Super Sport, de dimension 235/35 ZR20 à l'avant et 295/35 ZR20 à l'arrière. Les freins à disques en carbone/céramique, de de diamètre à l'avant et à l'arrière, sont pincés par des étriers en aluminium à six pistons à l'avant et quatre pistons à l'arrière. L'utilisation d'un système ABS à hautes performances permet ainsi à la 458 de s'arrêter en depuis .


title: Ferrari 458

text: Très travaillé, l'intérieur de la 458 Italia comporte de nombreux détails contrastant avec la simplicité de l'extérieur. Comme la plupart des Ferrari, la 458 ne dispose que de deux sièges. L'empattement augmente de cinq centimètres par rapport à la F430, permettant un gain d'espace dans l'habitacle. Les sièges baquets sont recouverts de cuir, tout comme le tableau de bord. Celui-ci est composé d'un compte-tours, placé face au conducteur, et de deux écrans LCD affichant d'un côté la vitesse, la Hi-Fi et le GPS, et de l'autre la « santé » de la voiture et les programmes d'assistance à la conduite.


title: Ferrari 458

text: Pour simplifier la conduite, les commandes principales sont réunies sur le volant à la manière des Formule 1. Le conducteur peut ainsi modifier rapidement les différents modes de suspensions et les niveaux d'aides électroniques ; ceux-ci sont composés du mode « Sol glissant » permettant de maintenir toutes les aides, du mode « Sport » permettant une plus grande marge de manœuvre et des modes « Race », « CT off » et « CST off » pour les pilotes plus expérimentés. Le bouton « Engine Start », les essuie-glaces, les clignotants et l'avertisseur sonore y sont aussi installés. Le reste des commandes est regroupé sur deux « satellites » de chaque côté du volant, avec à droite la télématique, la navigation, le téléphone, la radio, le tachymètre numérique et la caméra de recul, et à gauche la gestion du système "Vehicle Dynamics Assistance".


title: Ferrari 458

text: Comme de coutume chez Ferrari avec les berlinettes à moteur V8, la 458 va être déclinée en une version course exclusivement destinée à un usage sur circuit. Si aucune modification ne sera apportée au moteur, le châssis est en revanche profondément revu, principalement en termes d'allègement. Les trains roulants et la transmission font également l'objet d'améliorations, avec notamment l'adoption du système « F1-Trac » directement dérivé de celui des monoplaces de Formule 1. La Ferrari 458 Challenge ne sera pas alignée en piste avant 2011, et Ferrari distille au compte-gouttes informations et photos la concernant.


title: Ferrari 458

text: La voiture est déclinée en deux versions : une version GT2 destinée à courir dans la catégorie GTE dans les championnats : European Le Mans Series, World Endurance Championship, Intercontinental Le Mans Cup, American Le Mans Series, International GT Open et Asian Le Mans Series.


title: Ferrari 458

text: Une version GT3 est également développée pour différents championnats tels que : le Blancpain Endurance Series, le Championnat du monde FIA GT1, le Championnat d'Europe FIA GT3, l'International GT Open et divers championnats nationaux comme le GT Tour où l'ADAC GT Masters.


title: Ferrari 458

text: Fin août 2010, plusieurs incidents impliquant des 458 sont relayés dans la presse. Depuis le début de l'année 2010, dix modèles auraient ainsi connu de graves avaries, dont trois ont entraîné un incendie du véhicule. Si certains cas peuvent découler d'un usage inapproprié du véhicule, les trois modèles ayant pris feu ont pour leur part été rapatriés à Maranello pour expertise. Une telle succession d'incidents sur un même modèle constitue une première pour Ferrari.


title: Ferrari 458

text: Quelques jours plus tard, Ferrari annonce le rappel de toutes les 458 Italia, soit plus de véhicules. À la suite des expertises menées sur les trois modèles analysés, il a été découvert un problème sur une protection thermique au niveau du train arrière, fixée par collage. En cas de forte chaleur doublée d'une utilisation intensive, la colle utilisée fond et peut prendre feu. Le rappel permettra de remplacer cette colle par une fixation mécanique.


title: Ferrari 458

text: Ferrari a dévoilé la 458 Spider au salon de l'automobile de Francfort en 2011. Cette variante cabriolet est dotée d'un toit rétractable en dur qui, selon Ferrari, pèse de moins qu'un toit en toile comme celui qu'on le trouve sur la Ferrari F430 Spider, et peut être rétracté en 14 secondes. Le capot moteur a été redessiné pour être adapté au nouveau toit. Ferrari prévoit de produire entre et exemplaires de 458 Spider chaque année. Le temps du 0 à reste le même mais la vitesse de pointe est désormais de .


title: Ferrari 458

text: Présentée en septembre 2013 au salon de Francfort, la 458 Speciale est une version plus radicale, homologuée pour la route, de la 458 Italia.


title: Ferrari 458

text: Sous le capot, la puissance grimpe de 35 ch par rapport à l'Italia et de 95 ch par rapport à la F430 Scuderia, sa véritable devancière. Le rendement établit un nouveau record du monde à 135 ch/l, au lieu de 118 ch/l à la Scuderia et 127 ch/l à l'Italia


title: Ferrari 458

text: Par rapport à la version 458 Italia, la Speciale perd aussi du poids : quasiment 100 kg en moins. En conséquence, son rapport poids/puissance passe à par cheval au lieu de 2,60 pour l'Italia.


title: Ferrari 458

text: La 458 Speciale est équipée d’une boîte automatique 7 rapports à double embrayage. Le temps de passage est réduit de 20 % à la montée et de 44 % au rétrogradage. Les temps de passage des rapports tombent ainsi à 0,06 seconde.


title: Ferrari 458

text: Extérieurement, on note une face avant retravaillée, des ailerons de requin au niveau des bas de caisse, un capot avant nervuré et un capot moteur assorti d'un becquet.


title: Ferrari 458

text: Ce dispositif, qui participe à l'efficacité aérodynamique, fonctionne avec des éléments mobiles, une première. Pour réduire la traînée et augmenter l'appui, les ingénieurs ont imaginé un système qui repose à l'avant sur deux volets verticaux s'ouvrant sous l'effet de la pression au-dessus de 170 km/h. Passé 220 km/h, c'est au tour du volet horizontal de s'abaisser et de canaliser l'air pour plaquer la voiture au sol. L'arrière applique la même recette. Le spoiler travaille de concert avec le diffuseur et les volets actifs situés sous la voiture pour favoriser l'écoulement de l'air et l'équilibre général. L'accélération latérale est portée à 1,33, un nouveau record chez Ferrari.


title: Ferrari 458

text: A l'intérieur, l'habitacle est dénudé pour gagner du poids avec un plancher en aluminium et des panneaux de portières et pièces du tableau de bord en carbone.


title: Ferrari 458

text: De l'alcantara authentique recouvre la planche de bord et le contour des baquets revêtus d'une maille technique alvéolée.


title: Ferrari 458

text: La 458 Speciale effectue un temps de 1<nowiki>'23"</nowiki>5 sur le circuit référence de Fiorano, c'est 1,5s de mieux que la 458 de base, 0,5s de plus qu'une F12 berlinetta et 0,5s de mieux qu'une 599 GTO.


title: Ferrari 458

text: Il s'agit de la version Spider de la 458 Speciale. Le 'A' signifie Aperta ou « Ouverte » en italien. Elle a été dévoilée au Mondial de l'automobile de Paris 2014.


title: Ferrari 458

text: Elle n'est que 50 kg plus lourde que le coupé (soit 1 340 kg) grâce à un toit rigide escamotable en aluminium.


title: Ferrari 458

text: Elle a été produite à 499 exemplaires, exactement comme son aînée, la 430 Scuderia Spider 16M de 2008.


title: Ferrari 458

text: En 2016, un modèle unique a été fabriqué à la demande d'un riche client britannique : la 458 MM Speciale. Elle repose sur une base mécanique de 458 Speciale.


title: Ferrari 458

text: Le propriétaire tenait à la présence d’un vitrage dessiné dans le prolongement du pare-brise, pour un effet visière. Ainsi, les montants du pare-brise sont peints en noir comme un rappel de la Ferrari 288 GTO de 1984.


title: Ferrari 458

text: Les boucliers, réalisés en fibre de carbone, sont spécifiques. Celui de l’avant intègre des ouvertures inclinées vers l’arrière, rendant le spoiler encore plus proéminent. La prise d’air latérale a été également revue. À l’arrière, un pli de carrosserie surplombe des feux ronds inspirés par la nouvelle 488 GTB.


title: Ferrari 458

text: La Ferrari 458 MM Speciale s'habille d'une livrée Bianco Italia parcourue par les couleurs du drapeau italien et chausse des jantes exclusives.


title: Ferrari 458

text: Au sein de l'habitacle, on découvre une sellerie chocolat avec des surpiqures blanches. Le propriétaire a fait changer le système audio.


title: Matrice de rotation

text: En mathématiques, et plus précisément en algèbre linéaire, une matrice de rotation "Q" est une matrice orthogonale de déterminant 1, ce qui peut s'exprimer par les équations suivantes :


title: Matrice de rotation

text: Ces matrices sont exactement celles qui, dans un espace euclidien, représentent les isométries (vectorielles) "directes". Ces dernières sont aussi appelées rotations vectorielles (d'où le nom de « matrice de rotation »), parce qu'en dimension 2 et 3, elles correspondent respectivement aux rotations affines planes autour de l'origine et aux rotations affines dans l'espace autour d'un axe passant par l'origine.


title: Matrice de rotation

text: En dimension 3, ces matrices sont utilisées intensivement pour les calculs de géométrie, de physique et en infographie.


title: Matrice de rotation

text: L'ensemble de toutes les matrices de rotation de taille fixée forme un groupe appelé "groupe des rotations" ou "groupe spécial orthogonal". C'est un sous-groupe du groupe orthogonal.


title: Matrice de rotation

text: Une propriété caractéristique des rotations du plan ou de l'espace est de conserver le caractère orthonormé direct des repères. Traduisant cela dans le langage des matrices, on démontre que la matrice formula_1 d'une application linéaire qui conserve les angles et les distances (une isométrie vectorielle) doit être orthogonale, c'est-à-dire que son inverse est égale à sa transposée : formula_2. De plus, la conservation de l'orientation se traduit par la formule formula_3. Les matrices vérifiant ces propriétés sont appelées "matrices de rotation."


title: Matrice de rotation

text: Remarquant que toute matrice identité est une matrice de rotation, et que la multiplication des matrices est associative, on peut résumer ces propriétés en disant que les matrices de rotation "n"×"n" forment un groupe, qui pour "n" > 2 est non abélien. Appelé le groupe spécial orthogonal, et noté SO("n"), SO("n", R), SO, ou SO(R), ce groupe est isomorphe au groupe des rotations d'un espace à "n" dimensions, ce qui veut dire que la multiplication des matrices de rotation correspond à la composition des rotations, appliquée dans le même ordre (de la gauche vers la droite) que celui des matrices correspondantes.


title: Matrice de rotation

text: Cette matrice fait tourner le plan d'un angle "θ". Si , elle fait tourner l'axe "x" en direction de l'axe "y."


title: Matrice de rotation

text: Si l'on a choisi la convention habituelle pour l'orientation du plan ("x" vers la droite et "y" vers le haut), cette rotation se fait dans le sens contraire aux aiguilles d'une montre. Si au contraire on a choisi l'orientation inverse (par exemple avec "x" vers la droite et "y" vers le bas), cette rotation se fait dans le sens des aiguilles d'une montre. Pour se convaincre qu'il s'agit bien de la même rotation, on n'a qu'à imaginer le plan comme une feuille de papier que l'on regarderait alternativement par au-dessus et par en dessous, par transparence.


title: Matrice de rotation

text: En mathématiques et en physique, on se conforme pratiquement toujours à l'orientation usuelle. En revanche, en imagerie numérique, il est fréquent de prendre la convention opposée car elle est compatible avec la disposition des pixels de l'image dans la mémoire d'un ordinateur pour les langages dérivés du C : de gauche à droite et de haut en bas. Progresser dans ce sens dans l'image permet un accès aux pixels de façon contigüe dans la mémoire, ce qui permet d'optimiser les entrées-sorties en saturant le cache, de traiter les pixels par paquets de 4, 8 ou 16, etc. et donc de réduire le temps de calcul. C'est pour cela que dans de nombreux logiciels, les rotations se font dans le sens des aiguilles d'une montre.


title: Matrice de rotation

text: Supposons que l'on adopte l'orientation usuelle du plan. Pour obtenir une rotation des axes dans le sens contraire aux aiguilles d'une montre, on remplace simplement "θ" par –"θ" :


title: Matrice de rotation

text: Dans un espace euclidien à 3 dimensions, les matrices de rotations suivantes correspondent à des rotations autour des axes "x", "y" et "z" (respectivement) :


title: Matrice de rotation

text: Les rotations opèrent ainsi : "R" tourne l'axe "y" vers l'axe "z", "R" tourne l'axe "z" vers l'axe "x" et "R" tourne l'axe "x" vers l'axe "y". Voir aussi la section #Dimensions emboîtées.


title: Matrice de rotation

text: Si l'on oriente l'espace en trois dimensions avec les conventions habituelles ("x" vers l'observateur, "y" vers la droite et "z" vers le haut), ces rotations se font dans le sens contraire aux aiguilles d'une montre lorsque le troisième axe (celui qui ne subit pas la rotation) est dirigé vers l'observateur. En pratique, pour déterminer le sens de rotation, on peut utiliser la règle de la main droite.


title: Matrice de rotation

text: Les autres matrices de rotation s'obtiennent à partir des rotations de base à l'aide de la multiplication de matrices. Par exemple, le produit


title: Matrice de rotation

text: représente une rotation dont le lacet, le tangage et le roulis (également appelé angles de Cardan) sont respectivement "α", "β" et "γ". De la même façon, le produit


title: Matrice de rotation

text: représente une rotation dont les angles d'Euler sont "α", "β" et "γ" (en utilisant la convention z-x-z pour les angles d'Euler).


title: Matrice de rotation

text: Les rotations en trois dimensions ont un axe, c'est-à-dire une direction laissée inchangée par la rotation.


title: Matrice de rotation

text: Étant donnée une matrice de rotation "R", on peut trouver une matrice colonne u représentant le vecteur dirigeant l'axe en résolvant l'équation :


title: Matrice de rotation

text: On peut calculer la matrice "R" de rotation autour d'un axe dirigé par un vecteur unitaire formula_16 (donc avec "u" + "u" + "u" = 1) et d'un angle "θ". La formule est :


title: Matrice de rotation

text: Si l'espace en 3 dimensions est orienté de façon conventionnelle, cette rotation se fera dans le sens inverse aux aiguilles d'une montre pour un observateur placé de telle sorte que le vecteur directeur formula_19 pointe dans sa direction (règle de la main droite).


title: Matrice de rotation

text: "I" est la matrice identité 3 × 3. La matrice "Q" est la représentation antisymétrique de formula_19, correspondant à l'application linéaire formula_23 (où formula_24 est le produit vectoriel). La matrice formula_25 est la projection sur l'axe de rotation et formula_26 est la projection sur le plan orthogonal à l'axe dirigé par formula_19.


title: Matrice de rotation

text: Ce qui précède peut être généralisé à une dimension "n" quelconque. L' « axe » de la rotation sera un sous-espace vectoriel de dimension "n"–2 dont tous les vecteurs sont fixes par la rotation, et pour un tel sous-espace A, les rotations d' « axe » commun A correspondent aux rotations du plan orthogonal à cet axe (et se composent de la même manière).


title: Matrice de rotation

text: Mais en dimension supérieure à 3, le fait nouveau est qu'une rotation n'est pas nécessairement de cette forme (i.e. le sous-espace de ses vecteurs fixes peut très bien être de dimension strictement inférieure à "n"–2) : c'est seulement un produit de rotations de cette forme (cf exemples ci-dessous).


title: Matrice de rotation

text: correspond à une rotation dans l'espace à 3 dimensions d'environ −74° autour de l'axe dirigé par formula_29.


title: Matrice de rotation

text: est également une matrice de rotation, comme toute matrice de permutation paire (mais jamais d'une permutation impaire).


title: Matrice de rotation

text: a un déterminant égal à +1, mais sa transposée n'est pas son inverse, donc ce n'est pas une matrice de rotation.


title: Matrice de rotation

text: n'est pas carrée et ne peut donc pas être une matrice de rotation, bien que formula_33 soit la matrice identité 3×3 (les colonnes sont orthonormales).


title: Matrice de rotation

text: fait tourner les vecteurs du plan des deux premières coordonnées de 90°, fait tourner les vecteurs du plan des deux coordonnées suivantes de 180°, et laisse l'axe de la dernière coordonnée inchangé.


title: Matrice de rotation

text: Dans la plupart des cas, l'autre interprétation correspondrait à la matrice transposée (donc inverse).


title: Matrice de rotation

text: Si, dans une certaine direction v, "Q" agit comme une multiplication par un facteur λ (autrement dit si v est un vecteur propre, de valeur propre associée λ), nous aurons


title: Matrice de rotation

text: On remarquera deux propriétés importantes. D'une part, l'une des racines est 1, ce qui nous dit qu'une certaine direction est laissée fixe par la matrice. Pour les rotations en trois dimensions, c'est l"'axe" de la rotation (un concept qui se généralise uniquement aux dimensions impaires). D'autre part, les deux autres racines sont complexes conjuguées, de produit 1 (le terme constant du polynôme du second degré), et dont la somme est 2 cos θ (l'opposé du terme de degré 1). Le même phénomène se produit pour toutes les matrices de rotation 3×3 (avec deux cas particuliers : pour une rotation nulle les "valeurs complexes conjuguées " valent en fait toutes deux 1, et pour une rotation de 180°, toutes deux valent −1). En fait, une factorisation analogue existe pour n'importe quelle matrice de rotation "n"×"n". Si la dimension, "n", est impaire, il y aura une valeur propre supplémentaire valant 1, et en toute dimension le reste du polynôme se factorisera en termes du second degré comme celui que nous avons vu (avec les deux cas particuliers déjà mentionnés). Le polynôme caractéristique sera toujours de degré "n" ; il y aura donc "n" valeurs propres ; et comme une matrice de rotation commute toujours avec sa transposée, c'est une matrice normale, et elle peut donc être diagonalisée. En conclusion, toute matrice de rotation, exprimée dans une base convenable, se décompose en rotations indépendantes de sous-espaces de dimension 2 (des plans vectoriels); au plus d'entre eux.


title: Matrice de rotation

text: La somme des termes de la diagonale principale d'une matrice est appelée sa trace ; elle ne dépend pas de la base, et vaut toujours la somme des valeurs propres. Cela a l'intéressante conséquence pratique de donner directement l'angle de rotation "θ" (dans un (sous)-espace de dimension 2) pour les matrices de rotation 2×2 et 3×3 : pour une matrice 2×2 la trace est 2 cos("θ") (ce qui est en fait évident, comme on va le voir), et pour une matrice 3×3, elle vaut 1+2 cos("θ"). En dimension 3, le sous-espace est formé des vecteurs orthogonaux à l'axe de rotation (la direction propre de valeur propre 1). Ainsi, à partir de n'importe quelle matrice de rotation 3×3, on peut déterminer un axe et un angle, et ceux-ci déterminent complètement la rotation (à l'orientation près).


title: Matrice de rotation

text: avec "a"+"b" = 1. Nous pouvons donc poser "a" = cos "θ" et "b" = sin "θ", pour un certain angle "θ". Pour déterminer "θ", il ne suffit pas de connaître "a" ou "b" seulement ; nous devons utiliser les deux nombres pour obtenir le quadrant correct, à l'aide d'une fonction arctangente à deux variables (notée atan2 dans beaucoup de langages de programmation).


title: Matrice de rotation

text: Bien que "a"+"b" ne soit pas en général égal à 1, mais à une certaine valeur "r" ≤ 1, nous pouvons utiliser une variante du calcul précédent pour obtenir ce qu'on appelle une « rotation de Givens », transformant la colonne en


title: Matrice de rotation

text: annulant le coefficient "b". Cette rotation agit sur le plan des axes "x" et "y". Nous pouvons ensuite recommencer dans le plan "xz", pour annuler "c". Opérant sur la matrice entière, ces deux rotations la mettent sous la forme.


title: Matrice de rotation

text: Nous intéressant à présent à la deuxième colonne, une rotation de Givens dans le plan "yz" permet d'annuler la valeur "z". La matrice complète devient alors


title: Matrice de rotation

text: termes en dessous de la diagonale qui devront être annulés. Cela peut se faire en généralisant la même idée, parcourant les colonnes avec une série de rotations dans une succession de plans. On en déduit que l'ensemble des matrices de rotation "n"×"n", qui ont chacune "n" termes, peut être paramétré par "n"("n"−1)/2 angles.


title: Matrice de rotation

text: En trois dimensions, cela reformule dans le langage des matrices une observation faite par Euler, aussi les mathématiciens appellent-ils les trois angles obtenus des angles d'Euler. Cependant, la situation est un peu plus compliquée que ce que nous avons vu jusqu'ici : en dépit du petit nombre de dimensions, nous avons un choix considérable de séquences de paires d'axes, et aussi une certaine liberté dans le choix des angles. Ainsi, de nombreuses conventions différentes sont employées pour paramétrer les rotations tridimensionnelles en physique, en médecine, en chimie, ou dans d'autres disciplines. En tenant compte de la possibilité de prendre des repères fixes ou mobiles, 24 séquences différentes sont possibles. Et alors que certaines disciplines appellent toutes ces séquences des angles d'Euler, d'autres donnent des noms différents (Euler, Cardan, Tait-Byan, lacet-roulis-tangage) à des séquences différentes.


title: Matrice de rotation

text: Une des raisons de ce grand nombre d'options est que, comme remarqué précédemment, les rotations en trois dimensions (et plus) ne commutent pas. Si nous permutons une suite donnée de rotations, nous n'obtenons pas (en général) le même résultat. Cela a également pour conséquence que nous ne pouvons pas composer des rotations (d'axes distincts) en additionnant leurs angles. Ainsi, "les angles d'Euler ne sont pas des vecteurs", en dépit d'une ressemblance superficielle en tant que triplets de nombres.


title: Matrice de rotation

text: Ce n'est pas une illusion ; on trouve de nombreuses copies de rotations "n"-dimensionnelles au sein des rotations ("n"+1)-dimensionnelles, en tant que sous-groupes. Chaque plongement laisse une direction fixe, qui dans le cas des matrices 3×3 est l'axe de rotation. Par exemple, nous avons


title: Matrice de rotation

text: fixant respectivement l'axe des "x", l'axe des "y" et l'axe des "z". L'axe de rotation n'a pas besoin d'être un axe de coordonnées ; si u = ("x", "y", "z") est un vecteur unité de la direction souhaitée, alors


title: Matrice de rotation

text: Une direction dans l'espace à ("n"+1) dimensions sera un vecteur unité, que l'on peut considérer comme un point sur une sphère généralisée, "S". Il est ainsi naturel de décrire le groupe des rotations SO("n"+1) comme composé de SO("n") et de "S". Un formalisme adapté est celui des espaces fibrés,


title: Matrice de rotation

text: où pour chaque direction dans l'« espace de base », "S", la « fibre » au-dessus d'elle dans l'« espace total », SO("n"+1), est une copie de SO("n"), représentant les rotations qui gardent cette direction fixée.


title: Matrice de rotation

text: Nous pouvons ainsi construire une matrice de rotation "n"×"n" en partant d'une matrice 2×2, plaçant un axe de rotation sur "S" (la sphère ordinaire de l'espace à trois dimensions), orientant la rotation résultante en ajoutant un axe de rotation sur "S", et ainsi de suite jusqu'à "S". Un point sur "S" possède "n" « coordonnées sphériques » (en d'autres termes, "S" est une variété de dimension "n"), ainsi nous avons à nouveau besoin de "n"("n"−1)/2 nombres pour décrire toutes les matrices de rotation "n"×"n".


title: Matrice de rotation

text: En fait, la décomposition angulaire séquentielle discutée précédemment peut être vue comme le même processus dans l'autre sens. La composition des "n"−1 rotations de Givens amène la première colonne (et la première ligne) à (1,0,…, 0), et le reste de la matrice est une matrice de rotation ayant une dimension de moins, plongée de telle sorte que (1,0,…, 0) reste fixé.


title: Matrice de rotation

text: Quand "Q", une matrice de rotation "n"×"n", n'admet pas −1 comme valeur propre, et donc qu'aucune des rotations planes qui la composent n'est une rotation de 180°, "Q"+"I" est une matrice inversible. C'est le cas de presque toutes les matrices de rotation, et on peut alors montrer que ("Q"−"I")("Q"+"I") est une matrice antisymétrique, "A". Ainsi, "A" = −"A"; comme la diagonale de "A" est nécessairement nulle, et que les termes du triangle supérieur déterminent les autres, "A" contient "n"("n"−1)/2 coefficients indépendants. Heureusement, "I"−"A" est inversible si "A" est antisymétrique ; ainsi nous pouvons retrouver la matrice initiale "Q" à l'aide de la "transformation de Cayley" :


title: Matrice de rotation

text: qui envoie n'importe quelle matrice antisymétrique "A" vers une matrice de rotation. En fait, en dehors des exceptions déjà mentionnées, on peut produire n'importe quelle matrice de rotation de cette manière. Bien que pour des applications pratiques, on puisse rarement se permettre de négliger le cas des rotations de 180°, la transformation de Cayley reste un outil utile, donnant une paramétrisation n'utilisant pas les fonctions trigonométriques de la plupart des matrices de rotation.


title: Matrice de rotation

text: Si nous notons les termes antisymétriques comme un vecteur, v= ("x", "y", "z"), ceci construit une rotation de 90° autour de l'axe des "x" pour v=(1,0,0), autour de l'axe des "y" pour v=(0,1,0), et autour de l'axe des "z" pour v=(0,0,1). Les rotations de 180° sont tout juste inatteignables, car, à la limite quand "x" tend vers l'infini, la matrice correspondant à v=("x", 0,0) tend vers une rotation de 180° autour de l'axe des "x", et il en va de même dans les autres directions.


title: Matrice de rotation

text: On a vu que les matrices de rotation "n"×"n" forment un groupe, le groupe spécial orthogonal, SO("n"). Cette structure algébrique se double d'une structure topologique, car les opérations de multiplication et d'inversion (qui ici est simplement la transposition) sont des fonctions continues des coefficients des matrices. Ainsi SO("n") est un exemple classique de groupe topologique (d'un point de vue purement topologique, c'est une variété compacte). De plus, les opérations sont non seulement continues, mais lisses (de classe formula_54), ainsi SO("n") est une variété différentiable et un groupe de Lie.


title: Matrice de rotation

text: La plupart des propriétés des matrices de rotation dépendent fort peu de la dimension "n"; mais envisagé comme un groupe de Lie, on rencontre une différence systématique entre les dimensions paires et impaires. De plus, pour les petites valeurs de "n", certaines irrégularités se produisent ; par exemple, contrairement au cas général, SO(4) n'est pas un groupe de Lie simple, mais est isomorphe au produit direct de "S" et de SO(3).


title: Matrice de rotation

text: Associée à chaque groupe de Lie, on définit une algèbre de Lie, un espace vectoriel muni d'une forme bilinéaire alternée appelée un crochet (de Lie). L'algèbre correspondant à SO("n") est notée


title: Matrice de rotation

text: et est formée de toutes les matrices antisymétriques "n"×"n" (comme on le voit en dérivant la condition d'orthogonalité, "I" = "Q""Q"). Le crochet de deux matrices antisymétriques est défini par ["A", "A"] = "A""A"−"A""A", ce qui est encore une matrice antisymétrique. Ce crochet représente l'essence de la structure du groupe de Lie par l'intermédiaire d'infinitésimaux.


title: Matrice de rotation

text: Pour les matrices de rotation 2×2, l'algèbre de Lie est une droite vectorielle, formée des multiples de


title: Matrice de rotation

text: Dans ce cas, le crochet est toujours nul, ce qui nous dit qu'en dimension 2, les rotations commutent. Ce n'est pas le cas en dimensions supérieures. Ainsi, pour les matrices de rotation 3×3, nous obtenons un espace de dimension 3 pour lequel une base commode (de générateurs) est


title: Matrice de rotation

text: ce qui implique que v est dans le noyau de l'endomorphisme associé à la matrice avec laquelle on l'a identifié, puisque vformula_24v est toujours le vecteur nul.


title: Matrice de rotation

text: L"'application exponentielle" relie l'algèbre de Lie au groupe de Lie ; on la définit à l'aide de la série entière bien connue pour e:


title: Matrice de rotation

text: Un important exemple pratique est le cas 3×3, où nous venons de voir qu'on peut identifier chaque matrice antisymétrique avec un vecteur ω = uθ, où u = ("x", "y", "z") est un vecteur unitaire. Rappelons que u est dans le noyau de la matrice associée à ω, et donc que si l'on utilise une base dont u est l'axe des "z", la dernière ligne et la dernière colonne seront nulles. Nous savons ainsi déjà que la matrice exponentielle laisse u fixé. Il n'est pas réellement possible de donner une formule pour une telle base en fonction de u (l'existence d'une formule continue contredirait le théorème de la boule chevelue), mais on peut exponentier directement dans la base initiale, obtenant


title: Matrice de rotation

text: où "c" = cos ⁄, "s" = sin ⁄. On reconnait la matrice d'une rotation d'angle θ autour de l'axe u. Il faut remarquer également que cette transformation de matrices antisymétriques est tout à fait distincte de la transformation de Cayley discutée plus haut.


title: Matrice de rotation

text: Quelle que soit la dimension, si nous choisissons une matrice non nulle "A" et considérons ses multiples ("tA", où "t" est un scalaire), l'exponentiation donne une famille de matrices de rotation e situées le long d'une "géodésique" du groupe de Lie (en tant que variété), formant un sous-groupe à un paramètre. Plus généralement, l'exponentielle est un homéomorphisme entre un voisinage de 0 dans l'algèbre de Lie et un voisinage de l'identité du groupe de Lie. En fait, on peut construire n'importe quelle matrice de rotation comme exponentielle d'une matrice antisymétrique, donc pour ces groupes l'application exponentielle est une "surjection".


title: Matrice de rotation

text: Soient deux matrices "A" et "B" de l'algèbre de Lie. Leurs exponentielles, exp("A") et exp("B"), sont des matrices de rotation, que nous pouvons multiplier. Comme l'application exponentielle est surjective, nous savons qu'il existe "C" dans l'algèbre de Lie telle que exp("A")exp("B") = exp("C"), ce que nous noterons


title: Matrice de rotation

text: Quand exp("A") et exp("B") commutent (ce qui est toujours le cas pour les matrices 2×2, mais pas en général en dimension supérieure), on a "C" ="A"+"B", comme pour l'exponentiation complexe. Le cas général est donné par la formule de Baker-Campbell-Hausdorff (dite formule BCH), un développement en série en termes de crochets, qui pour des matrices sont les commutateurs, détectant le défaut de commutativité de la multiplication. La formule générale est assez complexe, mais dans le cas des matrices, elle se simplifie en


title: Matrice de rotation

text: La représentation d'une matrice de rotation par sa décomposition angulaire, comme dans le cas des angles d'Euler, peut amener à la tentation de considérer les rotations comme formant un espace vectoriel, mais la présence des termes d'ordre supérieur dans la formule BCH montre que cela serait une erreur.


title: Matrice de rotation

text: Revenons au cas 3×3, où ["A", "B"] est égal au produit vectoriel, formula_68. Si "A" et "B" sont linéairement indépendantes, alors "A", "B", et "A"formula_24"B" forment une base ; sinon, "A" et "B" commutent. Et il s'avère que, en dimension 3, la série de la formule BCH peut se mettre sous la forme "exacte" α"A"+β"B"+γ"A"formula_24"B".


title: Matrice de rotation

text: Le groupe de Lie des matrices de rotation "n"×"n", SO("n"), est une variété compacte et connexe par arcs. Mais il n'est pas simplement connexe, aussi la théorie de Lie nous dit que c'est l'« ombre » (l'image par une application continue) d'un groupe de revêtement universel. Le groupe de revêtement, qui dans ce cas est le groupe Spin (ou groupe de spins, ou groupe des spineurs), noté Spin("n"), est en général plus simple et il est plus naturel de s'y placer.


title: Matrice de rotation

text: Dans le cas des rotations planes, SO(2) est topologiquement un cercle, la sphère "S". Son groupe de revêtement universel, Spin(2), est isomorphe à la droite réelle, R, munie de l'addition. En d'autres termes, chaque fois que nous utilisons des angles de valeur arbitraire, ce que nous faisons souvent, nous profitons de la simplicité des nombres réels, dont les angles sont les « ombres ». Toute matrice de rotation 2×2 correspond à une infinité dénombrable d'angles, séparés par des multiples entiers de 2π ; cela correspond à ce que le groupe fondamental de SO(2) est isomorphe aux entiers relatifs, Z.


title: Matrice de rotation

text: Dans le cas des rotations de l'espace, SO(3) est topologiquement équivalent à l'espace projectif réel de dimension 3, P(R). Son revêtement universel, Spin(3), est isomorphe à la 3-sphère, "S" ; et chaque matrice de rotation 3×3 correspond à deux points opposés de la sphère. Par conséquent, le groupe fondamental de SO(3) est isomorphe au groupe à deux éléments, Z. Nous pouvons aussi décrire Spin(3) comme isomorphe au groupe multiplicatif des quaternions de norme 1, ou à un certain ensemble de matrices réelles 4×4, ou de matrices complexes 2×2.


title: Matrice de rotation

text: C'est notre troisième version de cette matrice, ici représentant une rotation d'angle 2θ autour du vecteur non-unitaire ("x", "y", "z"), où cos θ = "w" et |sin θ| = ||("x", "y", "z")|| (le signe de sin θ dépend des signes des composantes de l'axe).


title: Matrice de rotation

text: En dimension supérieure, beaucoup des propriétés de ce cas se généralisent. Les recouvrements ont tous une fibre de deux éléments, et SO("n"), "n" > 2, a toujours pour groupe fondamental Z. Le cadre naturel pour étudier ces groupes est celui des algèbres de Clifford. Et l'action des rotations est donnée par une sorte de "sandwich", noté "qvq".


title: Matrice de rotation

text: Les matrices de l'algèbre de Lie ne sont pas elles-mêmes des rotations ; ces matrices antisymétriques sont des dérivées, proportionnelles à des différences de rotations. Une véritable "rotation différentielle", ou encore une "matrice de rotation infinitésimale" a la forme


title: Matrice de rotation

text: où "d"θ est infiniment petit. Ces matrices n'ont pas toutes les propriétés des matrices de rotation (finies) usuelles. Pour le comprendre, considérons


title: Matrice de rotation

text: diffère de la matrice identité par des infiniment petits du second ordre ; nous les négligeons donc, et nous dirons qu'au premier ordre, une matrice infinitésimale de rotation est orthogonale. Regardons à présent le carré de la matrice


title: Matrice de rotation

text: Négligeant à nouveau les termes du second ordre, nous voyons que l'angle a simplement doublé. La différence principale de comportement, nous demandera une seconde rotation infinitésimale,


title: Matrice de rotation

text: Comme formula_79 est du second ordre, nous le négligeons; ainsi, au premier ordre, la multiplication des matrices de rotation infinitésimales est commutative. En fait,


title: Matrice de rotation

text: Il faut donc toujours soigneusement distinguer (le traitement au premier ordre de) ces matrices infinitésimales à la fois des matrices de rotation finies, et des dérivées de ces matrices (qui sont antisymétriques). Ainsi, le comportement des matrices finies dans la formule BCH contraste avec celui des matrices infinitésimales, car tous les termes des commutateurs seront des infiniment petits du second ordre, et donc ces matrices formeront bien un espace vectoriel dans ce cas.


title: Matrice de rotation

text: Nous avons vu l'existence de plusieurs décompositions et constructions progressives s'appliquant en toutes dimensions. Nous allons à présent nous intéresser de plus près au cas des rotations en dimension 3.