title: Wellington

text: En 1865, Wellington devint la capitale du pays en remplacement d'Auckland, où William Hobson avait établi sa capitale en 1841. Le Parlement s'y réunit pour la première fois le , mais la ville devint la capitale officielle seulement après un certain moment. En , Alfred Domett amena une résolution au Parlement (encore à Auckland) stipulant qu'. Apparemment, la rumeur circulait que les régions du sud, où les mines d'or étaient situées, pourraient former une colonie séparée. Des commissaires australiens (choisis pour leur impartialité) prononcèrent l'opinion que Wellington était appropriée vu son port et sa situation centrale. Le Parlement siégea officiellement à Wellington pour la première fois le . La population de Wellington était alors de .


title: Wellington

text: Government House, la résidence officielle du Gouverneur général de Nouvelle-Zélande, est située côte à côte avec la Basin Reserve, à Newtown.


title: Wellington

text: Les besoins énergétiques de Wellington sont en croissance ; une source profitable d'énergie provient du vent. "Project West Wind" a été approuvé ; ses génèreront environ . Elle sera située à quelques kilomètres à l'ouest du centre de Wellington, sur Quartz Hill à Meridian et dans le Terawhiti Station.


title: Wellington

text: La zone urbaine de Wellington s'étend sur Porirua, Upper Hutt, Lower Hutt, et Wellington elle-même. En 2007 les quatre villes avaient une population estimée à , Wellington elle-même en prenant près de 50 %. Le reste du terrain est trop accidenté pour y construire des logements ou est utilisé par les industries de l'agriculture.


title: Wellington

text: Le musée de Nouvelle-Zélande Te Papa Tongarewa est le musée national de la Nouvelle-Zélande, situé à Wellington, presque au pied du Mont Victoria.


title: Wellington

text: Le réalisateur Peter Jackson produit et tourne les films de la trilogie du "Seigneur des anneaux" en Nouvelle-Zélande, et son studio, Weta, est situé à Wellington, dans le district oriental de Miramar. Plusieurs autres réalisateurs néo-zélandais y travaillent, dont Jane Campion ("La Leçon de piano"), Robert Sarkies, Taika Waititi, Costa Botes, et Vincent Ward.


title: Wellington

text: Wellington abrite le musée national (musée de Nouvelle-Zélande Te Papa Tongarewa), ainsi que plusieurs autres ("Museum of Wellington City and Sea, New Zealand Cricket Museum, Cable Car Museum"…), ainsi que certaines des institutions culturelles les plus importantes du pays, dont Old Saint Paul's.


title: Wellington

text: Plusieurs festivals se tiennent en ville, dont la "New Zealand International Arts Festival" (biennale), l"'International Jazz Festival", le "Cuba Street Carnival", "New Zealand Fringe Festival", "Summer City", "New Zealand Affordable Art Show", plusieurs festivals de cinéma, et "World of Wearable Art".


title: Wellington

text: Dans le domaine de la musique Wellington a produit plusieurs groupes, dont The Phoenix Foundation, Shihad, Fly My Pretties, Fat Freddy's Drop, The Black Seeds, Fur Patrol, Flight of the Conchords et Trinity Roots. L'École de Musique de Nouvelle-Zélande est fondée en 2005 à la suite d'une fusion du conservatoire et des cours théoriques de l'Université Massey et l'Université Victoria de Wellington. L'orchestre symphonique de Nouvelle-Zélande, le Nevine String Quartet et "Chamber Music New Zealand" sont tous basés à Wellington.


title: Wellington

text: Plusieurs institutions des arts dramatiques, dont "l'Opéra de Nouvelle-Zélande", le "Ballet national de Nouvelle-Zélande", "St James' Theatre", "Downstage Theatre", "Bats Theatre", le "Arts Foundation of New Zealand" et le "New Zealand International Arts Festival", le "Wellington Performing Arts Centre", sont tous sis dans la capitale. Te Whaea, l'école de danse et arts dramatiques de Nouvelle-Zélande, et d'autres institutions encore, y sont également basés.


title: Wellington

text: Le nouveau centre d'art, Toi Poneke, sert comme point de rassemblement pour les projets et collaborations artistiques. Il a créé des initiatives telles que "Opening Notes", "Drive by Art", l"'Artsplash Festival" (annuel) et de nouveaux projets d'arts publics. La ville a également une publication d'arts expérimentaux, "White Fungus Magazine".


title: Liste de massifs et chaînes de montagnes sur Terre

text: Une chaîne de montagnes est une succession linéaire de crêtes et de sommets montagneux entourée de terres basses ou nettement séparée d'autres chaînes de montagnes par des vallées intermédiaires. Les montagnes formant une chaîne appartiennent généralement à une même structure géologique ou à une même formation de roche.


text: Les mots « monts » (au pluriel), « mont » et « montagne » (au singulier) sont également utilisés : les monts d'Arrée, le mont Ventoux, la montagne Noire... Dans le premier cas, il est possible que l'on ait affaire à un massif (les monts d'Arrée) tout comme il peut s'agir d'une chaîne de montagne (les monts Tanggula). Dans le second, mont renvoie à un sommet isolé ou à un petit ensemble, clairement individualisé. Le terme montagne peut avoir un sens identique ou bien désigner une suite de monts.


title: Adolf Dassler

text: Adolf Dassler, surtout connu sous le nom d'Adi Dassler, né le à Herzogenaurach dans le royaume de Bavière et mort le dans la même ville, est un entrepreneur allemand, fondateur de la société allemande de vêtements de sport Adidas, baptisée ainsi d'après son nom.


title: Adolf Dassler

text: En 1924, la famille Dassler se lance dans la fabrique de chaussures de sport. La société Gebrüder Dassler Schuhfabrik est créée par les deux frères Adolf, dit « Adi », et Rudolf Dassler à Herzogenaurach. Aux Jeux olympiques de 1928, les Dassler équipent de nombreux athlètes. Dans les années 1930, ils rejoignent le parti nazi et durant la guerre, la marque équipe la Wehrmacht.


title: Adolf Dassler

text: La discorde entre les deux frères s'accentue. Adi aurait fourni aux Américains des informations soupçonnant Rudi, son frère, d'être un membre des SS et qui ont permis sa capture. En 1948, à la suite de divergences aujourd'hui encore inexpliquées, les deux frères se brouillent, et Rudolf crée sa propre entreprise, PUMA Schuhfabrik Rudolf Dassler. Son frère rebaptise alors l'entreprise initiale en Adidas, contraction de son nom : Adi Dassler


title: Adolf Dassler

text: À sa mort, son fils, Horst Dassler prend la direction de la société. Il est aussi le fondateur, en 1973, de la société Arena.


title: Adolf Dassler

text: On le voit dans le film "Le Miracle de Berne" (2003) présenter son nouveau modèle de chaussures révolutionnaires à crampons à vis à l'entraîneur Sepp Herberger.


title: Liste des plus grands porte-conteneurs

text: Cette liste recense les porte-conteneurs dont la capacité dépasse (EVP), une mesure approximative du nombre de conteneurs de vingt pieds () que le navire peut transporter, bien que la plupart des grands transportent essentiellement des quarante pieds () ; ce critère — arbitraire — permet de limiter la liste à une centaine de navires. Toutefois, la capacité d'un porte-conteneurs est une information commercialement sensible et sa capacité réelle peut être parfois plusieurs milliers d'EVP supérieure.


title: Liste des plus grands porte-conteneurs

text: La compagnie Mærsk exprime la capacité de ses navires en termes d'EVP chargés d'une moyenne de . Cette valeur est toujours inférieure à celle en EVP standards (qui inclut des conteneurs vides). Cette dernière valeur est indiquée ici.


title: Liste des plus grands porte-conteneurs

text: Les navires de la classe A18 ou A19 de la compagnie UASC (United Arab Shipping Company) ont une capacité nominale de , mais il est conseillé de ne pas les charger au-delà de .


title: Liste des plus grands porte-conteneurs

text: En , Hapag-Lloyd annonce l'acquisition par échange d'action d'UASC, créant un nouvel ensemble ayant un chiffre d'affaires d'environ 7 à d'euros, qui sera possédé à 72 % par les actionnaires de Hapag-Lloyd.


title: Liste des plus grands porte-conteneurs

text: En , le record du plus grand nombre de conteneurs chargés sur un seul navire a été battu par le "CMA CGM Jacques Saadé", qui a transporté un total de de Singapour vers Le Havre.


title: Liste des plus grands porte-conteneurs

text: Ce record a été dépassé le par le navire "Ever Ace" avec un total de au départ de Shenzhen (chine) à destination de Rotterdam.


title: Liste des plus grands porte-conteneurs

text: La liste suivante, avec l'évolution constante de la taille des porte-conteneurs durant les années 2000, est susceptible d'évoluer en permanence.


title: Liste des plus grands porte-conteneurs

text: − Le tableau suivant montre l'évolution de la taille des plus grands porte-conteneurs, suivant le nombre d'EVP transportés :


title: Ångström

text: Un ångström, écrit aangstroem avec l’ancienne orthographe suédoise (typiquement parmi les nordiques et allemands sur un clavier qui n’a pas les lettres spéciales suédoises), communément mais incorrectement angstrœm ou angström, parfois aangström (prononcé , suédois ), est une unité de longueur valant , soit ' (1 dixième de milliardième de mètre) ou encore ' (1 dix-millième de micromètre), et ayant pour symbole Å. Bien que fréquemment utilisée en physique atomique, cette unité, citée dans la brochure du BIPM jusqu'en 2006, n'a pas été sanctionnée par le Comité international ni par la Conférence générale.


title: Ångström

text: L’ångström fut nommé ainsi en l’honneur du physicien suédois Anders Jonas Ångström, un des inventeurs de la spectroscopie.


title: Ångström

text: L’ancien ångström (dont le symbole est Å* afin de le distinguer de l’ångström moderne) était défini à partir de la longueur d’onde de la raie spectrale K-α-1 du tungstène ; cette dernière était spécifiée comme valant exactement . Ainsi :


title: Ångström

text: Étant donné la précision actuelle de la définition du mètre, qui s’est d’abord basée sur une raie spectrale plus fine, mesurée dans des conditions expérimentales plus strictes et normalisées, puis sur la définition de la seconde et de la constante de vitesse de la lumière dans le vide (sur laquelle s'appuie maintenant celle du mètre, car elle élimine les incertitudes sur les variétés isotopiques ou sous-baryoniques), cette définition a été abandonnée.


title: Ångström

text: L'unité actuelle est basée sur le mètre du Système international, dont elle est devenue un sous-multiple exact :


title: Ångström

text: Elle est d'usage moins fréquent que le nanomètre (noté nm). Un nanomètre équivaut à un milliardième de mètre, soit , soit .


title: Ångström

text: L’ångström est utilisé pour les longueurs d’onde de la lumière dites « nanométriques ». En astronomie, ophtalmologie, photographie et colorimétrie, on considère que le spectre de la lumière visible est située entre et approximativement (soit ). L’unité est particulièrement bien adaptée à la lumière visible car elle évite le recours aux décimales tout en conservant une résolution suffisamment fine pour représenter toutes les distinctions observables à l’œil humain. Il existe des filtres ne laissant passer qu’une longueur d'onde précise, comme les filtres Hα à environ (rouge-orangé).


title: Ångström

text: L’unité est parfois utilisée aussi, de façon plus commode que le nanomètre, comme unité de mesure du rayon atomique (celui-ci variant de ). Toutefois, le picomètre (pm, ) est de plus en plus utilisé en place de l'ångström pour les mesures atomiques (rayon de ) et moléculaires. Néanmoins, l'ångström reste très utilisé en cristallographie pour la mesure du paramètre cristallin.


title: Ångström

text: La représentation Unicode recommandée est la « lettre majuscule latine A avec rond en chef » U+00C5 (Å).


title: Ångström

text: Unicode inclut également le « symbole angström » en U+212B (Å). Mais ce caractère, faisant double emploi avec le symbole normalisé équivalent, est dû à une erreur d’encodage (préexistante), et conservé essentiellement pour des raisons de compatibilité et de convertibilité bijective avec certains encodages historiques, sans que cela doive générer une différence d’interprétation significative.


title: Ångström

text: L’utilisation directe de la lettre U+00C5 (Å) (ou sa décomposition canonique équivalente) est plus appropriée, afin d’unifier la présentation des symboles d’unités de mesure utilisant des lettres latines normales.


title: Équipe du Burkina Faso de football

text: L'équipe du Burkina Faso de football est constituée d'une sélection des meilleurs joueurs burkinabè sous l'égide de la Fédération burkinabè de football (FBF). L'équipe nationale fut nommée l'équipe de Haute-Volta de football jusqu'en 1984, date à laquelle la Haute-Volta devint le Burkina Faso. Les joueurs du Burkina Faso sont surnommés les « Étalons » en référence à l'emblème du pays et à la légende de la princesse Yennenga et de son cheval.


title: Équipe du Burkina Faso de football

text: Le Burkina Faso a réalisé ses meilleures performances dans les années 2010, en atteignant la finale de la Coupe d'Afrique 2013 puis en terminant à la troisième place lors de l'édition 2017. L'équipe a également terminé à la quatrième place lors des éditions 1998 (jouée à domicile) et 2021.


title: Équipe du Burkina Faso de football

text: La Fédération voltaïque de football est fondée en 1960, dans la foulée de l'acquisition de l'indépendance du pays. Sa création aussi rapide marque une volonté des dirigeants politiques de l'époque d'affirmer la souveraineté de l'État naissant, au même titre que la reconnaissance à l'ONU: (Maxime Ouédraogo, premier président de la Fédération voltaïque lors de l'assemblée constitutive en ).


title: Équipe du Burkina Faso de football

text: Cette reconnaissance internationale, la fédération voltaïque l'obtient en 1964 avec ses affiliations successives à la FIFA et à la Confédération africaine de football. Le premier match officiel du pays (sous le nom de Haute-Volta) est joué contre le Gabon, à Madagascar, le , et se solde par une victoire voltaïque sur le score de 5 buts à 4.


title: Équipe du Burkina Faso de football

text: La première participation à une compétition internationale de la Haute-Volta est la Coupe d'Afrique des nations (CAN) en 1968 où l'équipe ne dépasse pas le stade du tour préliminaire, perdant tous ses matchs (aller et retour) contre le Mali et l'Algérie. Il faut attendre l'édition 1978 pour voir la Haute-Volta atteindre le tableau final. Lors de cette CAN, les Étalons sont éliminés au premier tour avec trois défaites contre le Nigeria (2-4, Hien et Koïta marquant les deux seuls buts de l'équipe voltaïque), la Zambie (0-2) et le Ghana (0-3).


title: Équipe du Burkina Faso de football

text: La même année, la sélection nationale participe pour la première fois à la Coupe du monde de football, mais elle est battue au premier tour des phases préliminaires par la Côte d’Ivoire. Le pays ne s'inscrit pas aux deux éditions suivantes en raison du contexte politique.


title: Équipe du Burkina Faso de football

text: Durant cette période, la Haute-Volta subit sa plus large défaite le , à l’extérieur, contre l’Algérie, sur le score de 7 buts à 0.


title: Équipe du Burkina Faso de football

text: À la suite du changement de nom du pays, la fédération est rebaptisée Fédération burkinabè de football. Le premier match officiel sous le nom de Burkina Faso est joué à domicile, le , contre la Chine, et se solde par un match nul (0-0). Le climat politique révolutionnaire du pays empêche la sélection nationale à participer à des compétitions internationales entre 1984 et 1988.


title: Équipe du Burkina Faso de football

text: Ensuite, les Étalons sont éliminés en tours préliminaires de Coupe du monde lors de chaque tentative, et n'atteignent le tableau final de la CAN qu'une fois en 1996 sous la direction du sélectionneur Idrissa Malo Traoré (dit le « saboteur »). Ils sont alors éliminés dès les phases de poule avec trois défaites contre la Sierra Leone (2-1), l’Algérie (2-1) et la Zambie (5-1).


title: Équipe du Burkina Faso de football

text: La CAN 1998, organisée au Burkina Faso, marque la première réussite de l’équipe du Burkina Faso, emmenée alors par le sélectionneur français Philippe Troussier et des joueurs tels que Kassoum Ouédraogo, Roméo Bébé Kambou et Seydou Traoré. Durant cette édition, les Étalons soulèvent une énorme ferveur populaire en atteignant pour la première fois les demi-finales.


title: Équipe du Burkina Faso de football

text: Au premier tour, le Burkina Faso démarre difficilement la compétition en perdant le match d'ouverture contre le Cameroun mais il remporte ensuite deux victoires contre l’Algérie puis la Guinée. Ces deux succès permettent aux Burkinabès de terminer deuxième de leur groupe et d'atteindre pour la première fois le stade des quarts de finale. À ce niveau, les Étalons doivent attendre la séance de tirs au but pour battre la Tunisie. En demi-finale, ils perdent contre les Égyptiens, futurs vainqueurs de la compétition. Lors de la petite finale contre la RD Congo, le Burkina mène 3-1 mais se fait remonter dans les dix dernières minutes (4-4) et finit par perdre aux tirs au but.


title: Équipe du Burkina Faso de football

text: Les Ėtalons prennent ainsi la quatrième place de la compétition ; Kassoum Ouédraogo est le meilleur buteur burkinabè avec 2 réalisations.


title: Équipe du Burkina Faso de football

text: Pour la phase préliminaire de la Coupe du monde 1998, l’équipe du Burkina Faso bat la Mauritanie au premier tour, mais perd ses six matchs au second tour contre le Nigeria, le Kenya et la Guinée. Lors de la CAN 2000, le Burkina est éliminé au premier tour avec deux défaites contre l’Égypte et le Sénégal et un match nul contre la Zambie.


title: Équipe du Burkina Faso de football

text: Pour la Coupe du monde 2002, l'équipe burkinabèe s'impose contre l’Éthiopie au premier tour préliminaire puis, au second tour, elle finit devant le Malawi mais derrière l’Afrique du Sud et le Zimbabwe. Lors de la CAN 2002, le Burkina Faso est éliminé dès le premier tour des éliminatoires avec un match nul contre l’Afrique du Sud et deux défaites contre le Ghana et contre le Maroc.


title: Équipe du Burkina Faso de football

text: Malgré ces contre-performances, c'est durant cette période que le Burkina Faso enregistre sa plus large victoire, le , à Ouagadougou, contre le Mozambique, sur un score de 4 buts à 0.


title: Équipe du Burkina Faso de football

text: Durant la CAN 2004, les Étalons sont éliminés au premier tour avec un match nul contre le Sénégal et deux défaites contre le Mali et le Kenya. Ils échouent ensuite au tour préliminaire de la CAN 2006.


title: Équipe du Burkina Faso de football

text: Pour la Coupe du monde 2006, l’équipe du Burkina Faso passe le premier tour des qualifications grâce au forfait de la République centrafricaine. Au second tour, elle est éliminée en terminant quatrième de son groupe derrière le Ghana, la RD Congo et l’Afrique du Sud.


title: Équipe du Burkina Faso de football

text: En 2007, le sélectionneur portugais Paulo Duarte est nommé à la tête de l'équipe. Malgré ce changement, en 2008, le Burkina ne parvient pas à dépasser la phase préliminaire de la CAN, pour la deuxième fois consécutive.


title: Équipe du Burkina Faso de football

text: Lors de la campagne de qualification couplée pour la CAN 2010 et la Coupe du monde de football 2010, Paulo Duarte est reconduit dans ses fonctions de sélectionneur. Au , l'équipe crée la sensation en gagnant ses quatre premiers matchs, y compris contre la Tunisie, qui était pourtant la favorite du groupe. Moumouni Dagano est le meilleur buteur de ces éliminatoires avec 7 buts en 6 matchs. Dans cette équipe, outre Dagano, Paulo Duarte peut compter notamment sur des joueurs comme Jonathan Pitroipa, Charles Kaboré, Youssouf Koné et Habib Bamogo. Sur les vingt-trois joueurs sélectionnés pour le CAN 2010, neuf avaient déjà joué en France, en équipes de jeunes ou dans des équipes professionnelles. Les Étalons obtiennent leur ticket pour la phase finale en Angola en finissant deuxième du troisième tour derrière la Côte d'Ivoire. En revanche, seuls les Ivoiriens sont qualifiés pour la Coupe du monde.


title: Équipe du Burkina Faso de football

text: Malgré cette première phase prometteuse, les Étalons héritent du groupe dit « de la mort » pour la CAN 2010, avec la Côte d’Ivoire, le Ghana et le Togo. L'équipe burkinabèe finit troisième et dernière du groupe (le Togo ayant déclaré forfait entre-temps). Ces déceptions n'empêchent pas l'équipe d'atteindre la meilleure place de son histoire au classement Fifa grâce à ses performances en éliminatoires : en .


title: Équipe du Burkina Faso de football

text: Le , l'équipe se qualifie pour la CAN 2012 sans jouer, en bénéficiant de la défaite de la Gambie face à la Namibie (1-0). Le Burkina Faso, toujours sous l'égide de Paulo Duarte, affiche alors de hautes ambitions grâce à l'une de ses plus prometteuses générations emmenée par le rugueux milieu défensif de l'Olympique de Marseille Charles Kaboré, le roc défensif de l'Olympique lyonnais Bakary Koné, le pied gauche du Lorientais Alain Traoré et l'ailier du Stade rennais Jonathan Pitroipa. Pourtant, avec trois défaites et seulement deux buts marqués, la sélection déçoit et est éliminée dès le premier tour. Duarte quitte la tête de la sélection peu de temps après.


title: Équipe du Burkina Faso de football

text: Le , le Belge Paul Put devient le nouvel entraîneur des Étalons. Les débuts sont difficiles avec deux défaites consécutives pour les premiers matchs de , en . Puis, après leur victoire en barrage contre la République centrafricaine, les Étalons relèvent la tête en se qualifiant pour la CAN 2013, où ils sont placés dans le groupe C aux côtés du Nigeria, de la Zambie (Championne d'Afrique en titre) et de l'Éthiopie.


title: Équipe du Burkina Faso de football

text: L'équipe montre alors un tout autre visage que lors de la précédente édition. Elle termine première de sa poule, en battant notamment l'Éthiopie sur un score de 4-0, mettant fin à une série de 18 matchs sans victoire en phase finale de la CAN (depuis le quart de finale de 1998). C'est également une des plus larges victoires dans l'histoire de la sélection nationale. Le , en quarts de finale, le Burkina est confronté au Togo. Au terme d'un match âpre, les Étalons arrachent la victoire grâce à un but de Pitroipa dans les prolongations, à la . Ils rééditent ainsi l'exploit de la CAN 98 en atteignant les demi-finales où ils rencontrent les Black Stars du Ghana.


title: Équipe du Burkina Faso de football

text: Le , les Étalons écrivent une nouvelle page de leur histoire en accédant pour la première fois à la finale de la compétition. Dominés techniquement et physiquement en début de rencontre par les Ghanéens qui ouvrent le score, les joueurs de Paul Put renversent la situation en milieu de seconde période notamment grâce à Aristide Bancé. Ce dernier égalise à la puis met plusieurs fois à mal la défense ghanéenne sans pour autant concrétiser. Finalement, le score ne bouge pas et le Burkina obtient la victoire après la séance de tirs au but (3-2).


title: Équipe du Burkina Faso de football

text: L'arbitrage de Selim Jedidi (sorti sous les sifflets du stade) a fait l'objet de critiques sur plusieurs points litigieux : le pénalty accordé au Ghana (leur permettant d'ouvrir le score en début de rencontre), un but refusé au Burkina dans les prolongations, deux fautes non sifflées de Paul Koulibaly et enfin une faute sifflée sur Jonathan Pitroipa dans la surface ghanéenne, n'accordant pas de pénalty aux Burkinabès et excluant l'attaquant de la rencontre (pour un second carton jaune). Dès le lendemain, le staff de l'équipe burkinabèe porte réclamation auprès de la CAF qui décide de suspendre l'arbitre. Pour autant, le sort de Pitroipa reste en suspens jusqu'à ce que l'arbitre reconnaisse son erreur dans son rapport devant la commission de la CAF. L'attaquant voit alors sa sanction levée.


title: Équipe du Burkina Faso de football

text: C'est donc avec une équipe au quasi complet (seul Alain Traoré blessé manque à l'appel) que les Étalons retrouvent les Super Eagles du Nigeria le à Johannesburg pour la finale de cette édition. Devant spectateurs, les Burkinabès tentent d'arracher leur premier titre mais échouent en encaissant un but à la , ne parvenant jamais à égaliser.


title: Équipe du Burkina Faso de football

text: Malgré cette défaite, ils font un retour triomphal à Ouagadougou où plusieurs milliers de personnes les attendent et les acclament depuis l'aéroport jusqu'à leur hôtel. Le , l'ensemble de l'équipe et de l'encadrement est décoré et fait officier de l'Ordre national burkinabè.


title: Équipe du Burkina Faso de football

text: Après sa réussite lors de l'édition précédente, le Burkina Faso est attendu au tournant pour la CAN 2015. Mais les Étalons échouent dès la phase de poule, encaissant deux défaites contre le Gabon et le Congo et un match nul contre la Guinée équatoriale, hôte de la compétition.


title: Équipe du Burkina Faso de football

text: Les Étalons reviennent en forme deux ans plus tard, lors de la CAN 2017, alors que Paulo Duarte est à nouveau sélectionneur national depuis 2016. Dans le groupe A, ils commencent par deux matchs nuls contre le Cameroun et le Gabon (pays hôte), puis terminent avec une victoire contre la Guinée-Bissau, qui leur permet de terminer en tête du groupe devant le Cameroun, grâce à la différence de buts. En quarts de finale, les Burkinabès s'imposent face aux Tunisiens grâce à deux buts inscrits en fin de partie. Ils affrontent ensuite l'Égypte en demi-finale. Leurs adversaires ouvrent la marque en deuxième période puis les Étalons égalisent sept minutes plus tard. La victoire se joue aux tirs au but, que l'Égypte remporte 4 à 3. Lors de la petite finale, le Burkina s'empare de la troisième place de la compétition en battant le Ghana 1 à 0 grâce à un but d'Alain Traoré sur coup franc à la . Les Étalons terminent sur le podium de la CAN pour la deuxième fois de leur histoire, quatre ans après la deuxième place acquise en Afrique du Sud.


title: Équipe du Burkina Faso de football

text: En décembre 2019, Jonathan Pitroipa a annoncé qu'il mettait fin à sa carrière internationale de football après avoir joué pendant 13 ans pour les Stallions.


title: Groupe Agir ensemble

text: Le groupe Agir ensemble est un ancien groupe parlementaire de l'Assemblée nationale française. Il est formé le par neuf membres d'Agir issus du groupe UDI, Agir et indépendants, six du groupe majoritaire La République en marche et un membre du groupe Libertés et territoires. Il est dissous à l’ouverture de la XVI législature.


title: Groupe Agir ensemble

text: Il était présidé par Olivier Becht. Dimitri Houbron, Agnès Firmin-Le Bodo et Jean-Charles Larsonneur en assurait la vice-présidence tandis que Pierre-Yves Bournazel, Valérie Petit et Vincent Ledoux occupaient la fonction de porte-parole.


title: Groupe Agir ensemble

text: La fondation du groupe Agir ensemble se fait moins d'une semaine après celle d'un autre groupe, Écologie démocratie solidarité (EDS), dissident de La République en marche. Il devient le groupe de l'Assemblée, ce qui constitue un nouveau record sous la République.


title: Groupe Agir ensemble

text: Elle prend son origine dans la division du groupe UDI, Agir et indépendants entre les députés Agir, qui s'inscrivent dans la majorité, et les députés UDI qui tendent à s'inscrire dans l'opposition : si Jean-Christophe Lagarde, président de l'UDI, accepte en septembre 2019 d’inscrire le groupe dans la « minorité » de l’Assemblée nationale plutôt que dans « l’opposition », la division du groupe rejaillit le 28 avril 2020, lors du vote sur la sortie du confinement : les députés Agir votent pour tandis que les autres se répartissent entre l’abstention et le vote contre. Une élue Agir indique que la création du groupe EDS la semaine précédente .


title: Groupe Agir ensemble

text: Le Premier ministre Édouard Philippe dément en être à l'origine alors qu'il est constitué pour bon nombre de ses proches. Le président du groupe, Olivier Becht, a affirmé que ses troupes se situent « de manière claire et assumée en soutien au président de la République et au gouvernement ».


title: Groupe Agir ensemble

text: En novembre 2020, le groupe propose plusieurs mesures pour tenter de freiner la propagation de l'épidémie de coronavirus, notamment une quarantaine pour les personnes contaminées, passible de 10.000 euros en cas de non-respect, ainsi que de "soumettre les usagers des transports en commun et des centres commerciaux à une prise de température corporelle à l'entrée".


title: Valeur propre, vecteur propre et espace propre

text: En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les vecteurs par une même constante. Ce rapport de dilatation est appelé valeur propre, les vecteurs auxquels il s'applique s'appellent vecteurs propres, réunis en un espace propre. Le graphique de la figure 1 illustre ces notions.


text: La connaissance des vecteurs et valeurs propres offre une information clé sur l'application linéaire considérée. De plus, il existe de nombreux cas où cette connaissance caractérise totalement l'application linéaire.


text: Ce concept appartient à l'origine à une branche des mathématiques appelée algèbre linéaire. Son utilisation, cependant, dépasse maintenant de loin ce cadre. Il intervient aussi bien en mathématiques pures qu'appliquées. Il apparaît par exemple en géométrie dans l'étude des formes quadratiques, ou en analyse fonctionnelle. Il permet de résoudre des problèmes appliqués aussi variés que celui des mouvements d'une corde vibrante, le classement des pages web par Google, la détermination de la structure de l'espace-temps en théorie de la relativité générale, ou l'étude de l'équation de Schrödinger en mécanique quantique.


text: L'association entre la géométrie et l'algèbre, à travers la notion de coordonnées, fut introduite en 1637 par René Descartes et Pierre de Fermat. Le contexte est donné pour l'apparition de premiers résultats d'algèbre linéaire comme le calcul d'un déterminant. Ces résultats serviront par la suite d'outil d'analyse des valeurs propres. Cependant, les mathématiques de cette époque ne disposent pas encore des notions indispensables de l'algèbre linéaire, comme une géométrie correspondant à notre espace vectoriel, où les éléments sont définis par leurs opérations.


text: Le début du voit l'apparition d'outils importants pour la théorie des valeurs propres. En 1799, Carl Friedrich Gauss démontre la clôture algébrique des nombres complexes. Des espaces vectoriels plus vastes sont étudiés. Gauss formalise le problème de la résolution d'un système d'équations linéaires avec la méthode du pivot en retrouvant une méthode décrite par un mathématicien chinois Liu Hui ( ) près de auparavant.


text: Des problématiques où les valeurs propres représentent la bonne approche sont étudiées. Joseph Fourier étudie une solution de l'équation de propagation à l'aide d'un outil que l'on appellera plus tard une base de vecteurs propres. Enfin en 1834, Hamilton utilise, un polynôme caractéristique pour trouver ce que l'on appelle maintenant les valeurs propres associées à l'endomorphisme d'une équation différentielle linéaire issue de la mécanique. Cependant, l'absence de formalisation suffisante de la notion d'espace vectoriel empêche l'apparition claire du concept.


text: La formalisation algébrique d'un espace vectoriel apparait vers le milieu du siècle. Arthur Cayley initie l'étude des espaces vectoriels de dimension "n" et de leurs applications linéaires. Grassmann formalise le concept. Même si, en tant que mathématicien il est peu reconnu à cette époque, dès 1845, des idées analogues sont reprises par Cauchy et publiées sous une forme plus définitive neuf ans plus tard. Sylvester utilise pour la première fois le terme de matrice en 1850. Il utilise la notion de valeur propre dans le cas des formes bilinéaires pour la résolution de problèmes sur le principe mécanique de l'inertie deux ans plus tard. La notion de matrice est finalement définie de manière générale et abstraite par Cayley en 1858.


text: Jordan publie un livre définitif sur les endomorphismes en dimension finie et pour une large famille de nombres, dont les complexes et réels. Jordan analyse le rôle des vecteurs propres et de leur exact domaine d'application dans une théorie maintenant connue sous le nom de réduction d'endomorphisme. La finalité de son texte n'est pas l'algèbre linéaire mais la théorie des groupes et de leurs représentations. La théorie est ainsi présentée dans le contexte des corps finis. Il termine le chapitre des valeurs propres dans le cas de la dimension finie et des corps de nombres algébriquement clos. La terminologie française provient des travaux de Jordan.


text: Le début du apporte un regard nouveau sur la géométrie. La résolution de l'équation intégrale amène certains mathématiciens à considérer une "géométrie" sur les ensembles de fonctions. Frigyes Riesz utilise des systèmes orthogonaux de fonctions. Erhard Schmidt soutient sa thèse sur un sujet analogue, sous la direction de David Hilbert. Les travaux de Hilbert apportent à la notion de valeur propre une nouvelle profondeur. Ils correspondent à la formalisation de la démarche intuitive qui avait amené Fourier à la résolution de l'équation de la chaleur. Les ensembles de fonctions deviennent un espace vectoriel dont la géométrie est calquée sur celle d'Euclide. L'équation intégrale devient l'analogue d'un système linéaire et l'application linéaire prend le nom d'opérateur différentiel. Une nouvelle branche des mathématiques est née : l'analyse fonctionnelle. Elle devient rapidement le cadre général de résolution d'une large famille de problèmes mathématiques, en particulier l'analyse, les équations différentielles ou les équations aux dérivées partielles. Les valeurs propres sont un des outils essentiels à la résolution de ces problèmes. Elles s'avèrent indispensables en physique pour des théories comme la mécanique quantique ou la relativité générale. Pendant une longue période les anglo-saxons utilisent indifféremment les termes de "proper value" et "eigenvalue", provenant respectivement de la traduction des textes de Jordan et de Hilbert. Le vocabulaire est maintenant fixé au bénéfice de la deuxième expression.


text: À la fois dans le contexte de la dimension finie et pour le cas général, le voit un développement massif de ces théories. Le cas de dimension finie subit deux évolutions : cette théorie est généralisée à d'autres ensembles de nombres que les réels ou les complexes. De plus, des mathématiciens comme Issai Schur, Alexeï Krylov, ou Nelson Dunford développent quantités d'algorithmes pour permettre la détermination des valeurs propres. Le cas général est cependant le plus étudié. Il ouvre la voie à une branche importante tout au long de ce siècle, l'analyse fonctionnelle. La théorie des valeurs propres est alors généralisée à la théorie spectrale. Paul Dirac et John von Neumann étudient ce concept dans un cadre servant de modélisation à la physique. Israel Gelfand, Mark Naimark et Irving Segal appliquent ces concepts à des univers plus vastes, les C*-algèbres. Sur la base de résultats de géométrie algébrique trouvés par Alexandre Grothendieck, Alain Connes développe un cas particulier de C*-algèbres, les géométries non commutatives. La théorie spectrale reste encore un large champ d'investigations mathématiques, et nombre de problèmes sont toujours ouverts dans ce domaine.


text: Les valeurs propres et, dans son cas le plus général, la théorie spectrale ouvrent de nombreux champs d'applications à la fois théoriques et appliqués. En mathématique, cette approche permet par exemple la résolution d'équations différentielles, ou d'équations aux dérivées partielles. La physique utilise très largement la théorie spectrale : elle sert de cadre général à la mécanique quantique et permet par exemple l'étude de l'équation de Schrödinger. Les solutions de l'équation de Schrödinger indépendante du temps sont des vecteurs propres. Les théories physiques de la fin du comme les supercordes utilisent largement les notions de spectre dans des cadres mathématiques avancés, par exemple les géométries non commutatives. Les sciences de l'ingénieur ne sont pas en reste, même si elles se cantonnent en général à une approche de dimension finie. Elles utilisent quantité d'algorithmes issus des calculs de valeurs propres et vecteurs propres. Cette approche permet de résoudre de multiples problèmes tirés par exemple de la mécanique statique ou dynamique, des systèmes électriques et même dans d'autres secteurs comme l'économie.


text: Une application linéaire est une application qui transforme les vecteurs en "conservant" les propriétés d'addition des vecteurs et les rapports de colinéarité entre vecteurs. Ainsi, si un vecteur "w" est la somme de deux vecteurs "u" et "v", alors l'image de "w" par l'application est la somme de l'image de "u" et de l'image de "v". De plus, l'image de "av" est "a" fois l'image de "v" (pour tout scalaire "a"). Plusieurs transformations géométriques usuelles (homothétie de centre 0, rotation de centre 0) sont des applications linéaires.


text: La figure 2 illustre par un exemple une application linéaire. On remarque que le vecteur rouge est la somme des deux vecteurs jaunes avant transformation, et que c'est encore le cas après. De même le vecteur vert foncé est le triple du vecteur vert clair avant la transformation, et ça reste le cas une fois qu'on l'a appliquée. On voit un vecteur propre en noir de valeur propre –1 : on passe du vecteur initial au vecteur image par multiplication de rapport –1.


text: L'image dans un miroir plan est un exemple d'application linéaire. On peut remarquer que tout vecteur collé au miroir donne comme image lui-même. On en déduit que le plan du miroir est un espace propre associé à la valeur propre 1. En revanche, un vecteur perpendiculaire au miroir donne comme image un vecteur de même longueur, de même direction, mais de sens opposé. On en déduit que ce vecteur est un vecteur propre de valeur propre –1. Enfin un vecteur ni collé ni perpendiculaire donne une image qui n'est pas dans le même axe que lui, ce n'est donc pas un vecteur propre. Dans cet exemple, le comportement des vecteurs propres décrit intégralement l'application, en effet tout vecteur est la somme d'un vecteur dans le plan de la glace et d'un vecteur perpendiculaire. Et la connaissance du comportement dans le plan et dans l'axe perpendiculaire permet la détermination de la transformation de tous les vecteurs, par linéarité.


text: Il existe une transformation particulière, qui est centrale dans la théorie des valeurs propres. Imaginons comme application linéaire une dilatation qui éloigne par exemple tous les points d'un ballon de baudruche de son centre d'un rapport constant. Cette dilatation grandit tous les vecteurs d'un même rapport sans changer leur direction. Tous les vecteurs à l'exception du vecteur nul sont donc des vecteurs propres et il existe une unique valeur propre. On appelle cette application une homothétie.


text: La Terre tourne autour d'elle-même, et donc tout vecteur qui se situe sur la droite passant par les pôles reste immobile, si l'on ne considère pas le mouvement autour du Soleil. Les vecteurs de cette droite sont donc des vecteurs propres de valeur propre 1. Tout autre vecteur tournera avec la Terre et donc n'est pas propre. Si on limite l'analyse au plan de l'équateur, alors tous les vecteurs tournent et il n'y a plus de vecteurs propres. Nous retrouverons ce cas particulier dans l'étude des valeurs propres sur les nombres réels.


text: Les deux premiers exemples traitent d'un cas de dimension 3, comme le monde géométrique qui nous entoure. On peut cependant considérer des espaces vectoriels de dimension beaucoup plus vaste. Un exemple d'application est celui de la corde vibrante, par exemple celle d'une guitare. Chaque point de la corde oscille autour de sa position au repos. Pour chaque point de la corde, son mouvement peut être considéré comme une dimension d'un espace vectoriel ; l'espace vectoriel ainsi obtenu regroupe les mouvements de tous les points de la corde, il est de dimension infinie. À partir d'une position initiale obtenue par le doigt du guitariste, le mouvement de la corde suit une équation qu'on appelle une équation aux dérivées partielles et qui est linéaire. Les vecteurs propres sont dans ce cas des vibrations qui laissent quelques points fixes, on les appelle des ondes stationnaires. La figure 3 illustre un exemple de vibration. Le premier vecteur propre correspond à l'onde avec deux points fixes, les extrémités, le deuxième vecteur propre correspond à l'onde ayant comme point fixe supplémentaire le milieu, le troisième a deux points fixes situés au tiers et aux deux tiers en plus des extrémités, etc. Il se trouve que dans ce cas précis, les vecteurs propres décrivent totalement le comportement de la corde. De plus, si l'on tient compte dans l'équation du phénomène d'amortissement alors on remarque que l'essentiel des vecteurs propres se dissipe très vite, seul le premier vecteur propre reste longtemps, il correspond à la note qui sera émise par la corde de la guitare qui dépend donc de la longueur de la corde mais peu de l'impulsion initiale.


text: Beaucoup de problèmes finissent par se présenter sous la forme de la résolution d'un système d'équations linéaires. C’est-à-dire dans un cas simple à un système de la forme :


text: On peut citer comme exemple la mécanique statique avec l'étude du cas d'un pavé sur une surface en pente. On trouvera alors trois équations linéaires décrivant les forces de haut en bas, de droite à gauche et d'avant en arrière. Si en revanche, on considère l'équilibre statique d'une plate-forme pétrolière, plusieurs centaines d'équations linéaires sont nécessaires au calcul.


text: S'il est théoriquement possible de résoudre ces systèmes d'équations avec des calculs de déterminants et de comatrices, il n'est pas envisageable d'utiliser pratiquement cette méthode. Elle débouche rapidement sur une complexité et une longueur de calcul qui n'est de loin pas traitable par les ordinateurs les plus puissants d'aujourd'hui. Ceci est particulièrement vrai dans le cas d'une plateforme pétrolière par exemple.


text: Les mathématiciens analysent le problème sous un autre angle, le système d'équations est considéré comme la recherche d'un vecteur "x" dont l'image par l'application linéaire "u" est égale à "b".


text: Il suffit alors de comprendre l'application "u" pour résoudre plus simplement la question posée. Cette application est une application linéaire d'un ensemble dans lui-même. On appelle endomorphisme une telle application. L'espace vectoriel est décomposé en sous-espaces stables par "u", c’est-à-dire que leurs images par "u" sont incluses dans eux-mêmes. Ils disposent de propriétés bien particulières. À eux tous ils génèrent l'espace vectoriel tout entier, mais l'endomorphisme restreint à ces sous-espaces est particulièrement simple. Un bon exemple est donné par le cas du miroir. Sur la surface du miroir l'application est simple : elle ne modifie rien ; sur la droite perpendiculaire un vecteur a pour image le vecteur opposé, et tout vecteur est bien la somme d'une composante sur le miroir et d'une composante perpendiculaire.


text: Soit une équation linéaire dont la matrice "A" est donnée ci-dessous. La résolution par inversion impose des calculs longs et complexes. Une approche fondée par les valeurs et les vecteurs propres, la réduction de Jordan, montre que cette matrice est semblable à la matrice "J" :


text: Le problème, portant initialement sur la matrice formula_7 est alors ramené à la matrice formula_8, et est donc largement simplifié. Dans cet exemple, les valeurs propres de formula_7 et de formula_8 sont les coefficients diagonaux de formula_8 : formula_12 ; à chacune de ces valeurs propres est associé un sous-espace propre, il est ici de dimension 1 pour chacune : la raison, pour 1 et 2, est que ces coefficients n'apparaissent qu'une fois sur la diagonale de formula_8 ; pour 4, bien qu'il apparaisse deux fois, la dimension du sous-espace propre associé ne peut être 2, à cause de la présence du coefficient 1 au-dessus de la diagonale.


text: Il est toutefois à noter que cette problématique, même si elle est la première à être apparue en algèbre linéaire, n'a pas ouvert la voie à la notion développée dans cet article.


text: Si la problématique précédente n'a pas suffi, c'est essentiellement à cause d'une absence de concept de base. La géométrie d'alors est formalisée par le concept de point. Les points ne s'additionnent pas, ils ne possèdent pas de propriétés algébriques. La notion d'espace vectoriel actuelle n'existait pas. Hamilton, le mathématicien anglais, s'est penché sur un problème où l'addition et la multiplication scalaire sont naturelles. Ce problème lui a été fourni par la physique : les systèmes oscillants.


text: Le cas de la figure 4 illustre cette situation. La masse est attachée à un ressort et subit un amortissement visqueux ("ce qui signifie que la dissipation due aux frottements est proportionnelle à la vitesse"). Il n'existe aucune force extérieure, et le système oscillant vérifie l'équation différentielle linéaire suivante avec les notations de l'article Systèmes oscillants à un degré de liberté :


text: Cette équation utilise les dérivées secondes, c'est la raison pour laquelle on appelle ce type d'équation une équation différentielle linéaire d'ordre deux. Cependant, il est possible de ramener une équation d'ordre deux à une équation d'ordre un à condition de doubler la dimension de l'espace ("cf. Équation différentielle linéaire"). Ici, l'espace vectoriel devient de dimension 2 avec un premier axe correspondant à la vitesse, noté "v", et un deuxième à la position, noté "x". Si l'analyse du mouvement commence par convention à l'instant t = 0, l'équation (1) s'écrit alors sous la forme :


text: La preuve du fait que l'exponentielle est bien la solution est donnée dans l'article Matrice diagonalisable. Il apparaît nécessaire de calculer une exponentielle d'endomorphisme, qui dépend de toutes les puissances de cet endomorphisme. Ce problème est résolu par Hamilton grâce à la notion de valeurs et vecteurs propres : en effet, s'il existe une base de vecteurs propres pour l'endomorphisme formula_18, avec pour valeurs propres λ et λ et si "A" est l'écriture matricielle de "a", c'est-à-dire s'il existe une matrice de passage "P" ("P" représentant une base de vecteurs propres) telle que :


text: La solution, tant pour la position que pour la vitesse, est donc une combinaison linéaire d'exponentielles. Le calcul général de l'exponentielle d'un endomorphisme ainsi que les justifications théoriques sont traités dans l'article Réduction d'endomorphisme.


text: S'il existe deux valeurs propres réelles, alors la solution est de même nature que la courbe bleue sur la figure 5. L'amortissement ramène sans oscillation la masse à sa position d'équilibre. En revanche, s'il n'existe pas de valeur propre réelle, il est nécessaire d'en trouver dans les nombres complexes. La solution est alors donnée par la partie réelle de la matrice, et on obtient une trajectoire de même nature que la courbe rouge, avec des oscillations avant d'atteindre le point d'équilibre. La physique est source de nombreux exemples de problèmes linéaires de dimension finie où les valeurs propres représentent la bonne approche pour la résolution. On les trouve par exemple dans l'analyse des circuits électriques.


text: Sylvester analyse l'énergie que l'on doit transmettre à un solide pour lui donner une vitesse de rotation "v". Il remarque que le vecteur propre représente dans ce contexte un axe de rotation privilégié. La valeur propre correspond à la grandeur appelée en physique "moment d'inertie", elle est inversement proportionnelle à l'énergie à fournir pour atteindre une vitesse de rotation "v". Pour atteindre cette vitesse avec le moins d'énergie, il est nécessaire de choisir l'axe ayant le plus faible moment d'inertie, c’est-à-dire celui où l'ellipsoïde de la figure 14 est le plus aplati. La théorie montre que l'axe où l'inertie est la plus forte est toujours perpendiculaire à celui du plus faible moment d'inertie. Cette perpendicularité correspond à l'existence d'une base orthonormale de vecteurs propres.


text: Le cas du balai de la figure 6, illustre par un exemple le phénomène. L'axe de plus faible moment d'inertie est indiqué par la flèche 1. Il est intuitif que l'énergie nécessaire pour obtenir la même vitesse de rotation selon l'axe de la flèche 2 sera largement supérieure. Les vecteurs propres et les valeurs propres apparaissent comme des caractéristiques propres de la géométrie de l'objet, dans ce cas les axes privilégiés de rotations, (il est possible de prendre un axe de rotation au hasard, mais les autres axes imposeront des tensions sur l'axe) et les valeurs propres les moments d'inertie associés.


text: Une approche similaire s'applique en mécanique des milieux continus pour l'analyse des déformations élastiques comme la torsion, on parle alors de tenseur des contraintes.


text: L'approche de Sylvester est utilisée dans de nombreux domaines pour comprendre la géométrie d'un phénomène. Les techniques statistiques de dépouillements de sondage en sont un parfait exemple. Soit un sondage, réalisé sur un échantillon de cent personnes et contenant six critères. S'il est possible d'évaluer chaque question par un critère numérique, alors une analyse en composante principale est possible. Elle permet d'interpréter les résultats du sondage.


text: Les résultats du sondage, sont dans un premier temps normalisés pour qu'un critère, qui par exemple prend des valeurs entre un et cent ne soit pas dix fois plus important qu'un autre prenant des valeurs de un à dix. Le résultat du sondage est alors considéré comme un solide dans un espace comportant autant de dimensions que de critères.


text: La première figure représente l'ACP sur les deux premiers vecteurs propres, qu'on appelle en statistiques composantes principales. Les valeurs sont rassemblées autour de cet axe, ce qui signifie qu'il est le plus explicatif. Ce caractère explicatif est donné par le carré de la valeur propre. Dans l'exemple "fictif", il est dû à deux critères fortement corrélés. Ce phénomène est visible sur la deuxième figure, les deux critères corrélés sont représentés. Là encore ces critères se rassemblent autour d'une droite, dans l'exemple cette droite est la droite de la composante principale ("celle à la valeur propre la plus forte"). Ces coordonnées sur ses deux critères sont respectivement 0,506 et -0,491. Si les critères sont "revenu" et "surcharge pondérale", alors le sondage indique que l'obésité frappe en priorité les revenus les plus faibles. La troisième figure illustre un cas, ou la corrélation entre deux critères est faible. Si les critères sont "taille" et "niveau d'étude", alors un tel graphique indique que la taille n'est pas un critère différenciant pour le niveau d'étude.


text: Cet exemple illustre encore que dans le cas analysé par Sylvester, les valeurs et vecteurs propres ne sont pas uniquement des méthodes de calculs, mais aussi des éléments constitutifs de la géométrie du problème considéré.


text: À travers les moments d'inertie d'un solide, Sylvester ne s'est pas trompé sur . Les valeurs propres, qui sont les invariants, dépassent de loin le cadre des moments d'inertie. La géométrie de l'espace-temps relativiste est un autre exemple. Ici la forme bilinéaire ne décrit plus le moment d'inertie d'un solide indéformable, mais une modélisation de la géométrie même de notre univers.


text: La figure 8 représentative de cette géométrie est néanmoins fort différente des illustrations précédentes. Il existe un axe particulier, où le carré de la distance possède une propriété spéciale : il est négatif. La bonne « distance » de cette théorie n'est plus toujours positive. Un vecteur de coordonnées ("x", "y", "z", "t") a pour image "x" + "y" + "z" – c"t". Hermann Minkowski développe une approche mathématique fondée sur ces principes en 1907 dans un article intitulé "Espace-temps", et l'applique à la relativité l'année suivante.


text: Le cône d'inertie de la figure 8 représente l'univers pour un observateur au point A. Le point C possède une "distance" négative, pour l'atteindre il faudrait une vitesse supérieure à celle de la lumière, ce qui, dans le contexte de cette théorie n'est pas réalisable. Il est donc inobservable et n'a aucune influence directe ou indirecte sur l'observateur. Le point B est dans ce que l'on appelle le "cône de lumière", c'est un point possible, il pourra interagir avec l'observateur.


text: Dans le cas qui intéresse Minkowski, les endomorphismes qui traduisent les lois physiques d'un observateur à un autre observateur, jouent un rôle important ; ce sont ceux qui vérifient l'équation formula_21, où formula_22 est la forme bilinéaire qui décrit la géométrie considérée. Ces endomorphismes laissent la géométrie invariante, ils correspondent dans une modélisation euclidienne aux isométries. Dans la géométrie de la relativité, 1 est valeur propre et son espace propre associé est de dimension 3 et est valeur propre de sous-espace propre associé de dimension 1, où désigne le nombre imaginaire et la vitesse de la lumière. On parle de signature de Sylvester (3, 1). Toutes les lois physiques doivent être invariantes par ces endomorphismes. Ces endomorphismes forment une structure de groupe, appelé groupe spécial unitaire, la relativité revient à réécrire la physique en lois laissées invariantes par le groupe spécial unitaire de dimension 4 et de signature (3, 1).


text: L'analyse par vecteurs et valeurs propres possède aussi comme domaine d'application la représentation des groupes. Une structure de groupe est parmi celles dont la définition algébrique est la plus simple, c'est un ensemble muni d'une seule opération notée souvent comme la multiplication. Si la définition est simple, en revanche, ces structures s'avèrent parfois suffisamment complexes pour que leur théorie ne soit pas encore complètement connue. Comme exemple de groupe, il est possible de citer celui des rotations du cube qui laissent son enveloppe invariante. La figure 9 montre que ce groupe est engendré par trois permutations, celle qui place la face 1 en position 2, représentée par la flèche rouge, celle représentée par la verte et enfin la bleue. Au total ce groupe comporte 24 éléments. Une représentation d'un groupe consiste à une identification de ses éléments avec des endomorphismes de telle manière que l'opération du groupe corresponde à la composition d'endomorphisme. Ainsi dans l'exemple de la figure, il existe une identification naturelle entre le groupe abstrait des 24 rotations du cube avec un groupe de rotations dans un espace de dimension 3.


text: Cette approche permet alors de disposer des outils comme les vecteurs ou valeurs propres pour l'analyse de la structure des groupes. La théorie montre que les espaces propres d'une représentation correspondent à la partie commutative du groupe. Dans le cas d'un groupe entièrement commutatif, il existe une base de vecteurs propres pour toute la représentation. Cette approche démontre, par exemple que les groupes commutatifs finis sont des produits de groupes cycliques. "La démonstration est esquissée dans l'article Matrice diagonalisable".


text: La représentation des groupes finis joue un rôle important dans la théorie des vecteurs propres. Elle a permis à Jordan, dans un contexte relativement général, de comprendre totalement le champ d'application et les limites d'une approche par vecteurs propres. Des conditions nécessaires et suffisantes d'existence de vecteurs propres ou de bases de vecteurs propres sont alors connues. De plus, les cas où il n'existe pas de base de vecteurs propres sont élucidés ainsi que la structure exacte des endomorphismes entrant dans cette catégorie et la proportion d'endomorphismes de cette nature dans l'ensemble de tous les endomorphismes.


text: Si le contexte est relativement général, il ne couvre pas tous les cas d'espaces vectoriels connus. La théorie de Jordan se limite à la dimension finie avec un corps de nombre algébriquement clos. Un corps est dit algébriquement clos si tous ses polynômes ont au moins une racine. Ce contexte est néanmoins suffisamment général pour couvrir toutes les applications citées dans ce chapitre.


text: Une première remarque simplifie l'étude. Si "λ" est une valeur propre d'un endomorphisme "u", alors un vecteur propre est un vecteur non nul qui a pour image 0 par l'application "u – λ" Id, où Id désigne l'application identité. L'espace propre associé à "λ" est l'ensemble des vecteurs qui ont pour image 0 par cette application. On appelle cet ensemble le noyau de l'endomorphisme "u – λ" Id. Les propriétés générales établissent que cet ensemble est un sous espace vectoriel. Celui-ci est non réduit à 0 par définition d'une valeur propre.


text: Une fonction importante, en particulier dans notre cadre, est la fonction déterminant. Elle fut la première à être étudiée systématiquement dans le monde de l'algèbre linéaire. Elle associe à un endomorphisme un nombre. Son intérêt réside notamment dans le fait que le déterminant d'un endomorphisme est nul si et seulement s'il existe des vecteurs non nuls qui ont pour image le vecteur nul par cet endomorphisme, c'est-à-dire si et seulement si 0 est une valeur propre pour cet endomorphisme. Le déterminant de l'application "u – λ" Id est appelé le polynôme caractéristique. Les remarques précédentes permettent d'énoncer les premières propriétés :


text: Cette dernière propriété montre que l'existence de racines de polynômes a une influence sur la théorie des valeurs propres. En fait, l'existence même des valeurs propres dépend de l'existence de racines pour les polynômes, par exemple le polynôme caractéristique. C'est pourquoi dans le cadre du corps des nombres complexes, qui est algébriquement clos d'après le théorème de d'Alembert-Gauss, les propriétés liées aux valeurs propres s'énonceront plus simplement que dans le cadre du corps des réels.


text: Le concept de l'article est particulièrement clair dans le cas où le comportement de l'endomorphisme est entièrement décrit par les vecteurs et valeurs propres. L'endomorphisme est alors dit diagonalisable.


text: C'est le cas du premier exemple, celui du miroir. Une base peut alors être choisie en prenant deux vecteurs libres dans le plan de la glace et un troisième perpendiculaire à ce plan. Les deux premiers vecteurs ont pour images eux-mêmes et sont donc de valeur propre 1 et le dernier est de valeur propre –1. Cette situation est intéressante à trois titres :


text: Cette simplicité ouvre la voie à de nombreuses applications évoquées précédemment dans l'article. Elle permet par exemple le calcul d'une exponentielle d'endomorphisme et par conséquent la résolution de nombreux problèmes mécaniques.


text: Les critères associés à la diagonalisation sont données dans la boite déroulante suivante. Les articles contenant les preuves sont systématiquement cités.


text: La figure 11 montre que, même dans le cas où le corps est celui des nombres complexes, il reste encore des cas à élucider, celui des endomorphismes qui se situent sur la nappe, mais pas sur la droite des homothéties. Dans le cas des systèmes d'équations différentiels linéaires, il n'intervient que comme un cas limite, dans l'approche de Sylvester, il n'apparaît plus du tout. En revanche dans la théorie des groupes, ce cas est important. Ce type d'endomorphisme permet la représentation des groupes non commutatifs. Si ces groupes sont infiniment différentiable, alors ils permettent la représentation d'un cas important, celui des groupes de Lie nilpotent.


text: Pour élucider cette problématique, les méthodes utilisées sont celles mises au point par Nelson Dunford. L'outil essentiel consiste à considérer les combinaisons linéaires de puissance de l'endomorphisme. On obtient ainsi un polynôme d'endomorphisme. Ces polynômes forment une structure d'algèbre commutative doté d'un morphismes de l'ensemble des polynômes vers cette algèbre. Cette approche est féconde, on la retrouve aussi dans l'étude du cas où la dimension n'est plus finie. La théorie associée à cette approche se trouve dans l'article Polynôme d'endomorphisme, et l'application au cas traité ici dans Décomposition de Dunford.


text: Le résultat remarquable est qu'il n'existe dans ce contexte qu'une unique exception structurelle au cas diagonalisable. C'est le cas où l'endomorphisme u à la puissance p, où p est un entier, est égal à 0. On dit alors que l'endomorphisme est nilpotent. On peut considérer par exemple, en dimension 3, si ("e", "e", "e") est une base, l'endomorphisme "u "défini par "u"("e") = "e", "u"("e") = "e" et "u"("e") = 0. Cet endomorphisme n'est clairement pas nul son polynôme caractéristique est égal à "x" donc la seule valeur propre est 0. Cet exemple est illustré en figure 12.


text: Camille Jordan a prouvé que dans ce contexte, tout endomorphisme est somme d'un endomorphisme diagonalisable et d'un endomorphisme nilpotent et qu'ils commutent entre eux. L'application de la théorie des endomorphismes montre que le cas nilpotent dispose d'une représentation matricielle particulièrement simple et trigonale supérieure. Dans le cas général, cette représentation s'appelle la réduction de Jordan, elle démontre aussi que, dans ce cas, toute matrice est semblable à une matrice triangulaire.


text: Sur les réels un polynôme n'admet pas toujours de racine. Dans notre troisième exemple, celui de la rotation de la terre, l'espace est de dimension 3, or tout polynôme du troisième degré possède une racine sur les réels. En conséquence, il existe au moins une droite de vecteurs propres. C'est l'axe des pôles dans notre exemple. En revanche, dans le cas de dimension paire, par exemple la restriction de cette application au plan illustré en bleu sur la figure 13 de l'équateur, l'existence de valeur propre n'est plus garantie. Ici, une analyse géométrique nous montre qu'il est vain de chercher un vecteur propre car la rotation modifie la direction de tous les vecteurs non nuls.


text: Dans le cas complexe, nous avons vu que seul un terme nilpotent peut interdire la diagonalisation. Dans le cas réel, une fois retranché le terme nilpotent, seules les rotations empêchent la diagonalisation. Il existe alors deux manières de réduire le cas réel.


text: La première solution consiste à plonger l'endomorphisme dans un espace vectoriel complexe. C'est la solution la plus simple et la plus fréquente. La réduction de l'endomorphisme y est alors plus aisée. Une fois cette réduction réalisée, l'application de cette réduction à des vecteurs réels donne toujours des solutions réelles.


text: La deuxième solution consiste à affaiblir la réduction. Tout endomorphisme sur les nombres réels est la somme du produit d'un endomorphisme diagonalisable et d'une rotation avec un endomorphisme nilpotent. L'endomorphisme diagonalisable commute avec l'application nilpotente et la rotation. En revanche, l'application nilpotente ne commute pas avec la rotation.


text: Les définitions n'utilisent pas le fait que "K" soit un corps commutatif. Ces définitions ont donc encore un sens dans le cas où "E" n'est pas un espace vectoriel mais un module sur un anneau. Si l'anneau n'est pas commutatif, on parlera alors de valeur propre à droite ou de valeur propre à gauche. Si l'anneau est commutatif, on parlera simplement de valeur propre.


text: Les endomorphismes sont aussi utilisés pour représenter des formes bilinéaires, qui sont des objets de même nature que les distances euclidiennes. Les valeurs et vecteurs propres prennent dans ce contexte une signification particulière.


text: Les formes bilinéaires sont des fonctions qui ne sont pas linéaires, mais quadratiques, au sens où la fonction ne s'exprime plus comme une combinaison linéaire de coordonnées, c'est-à-dire un polynôme (à plusieurs variables) de degré 1 en les coordonnées, mais comme un polynôme du second degré en les coordonnées. La distance euclidienne sur l'espace formula_23 est par exemple obtenue à partir de la forme bilinéaire formula_24, expression qui fait effectivement intervenir un polynôme de degré 2.


text: Certaines propriétés éventuellement vérifiées par les formes bilinéaires, comme la symétrie, les rendent le cas échéant plus faciles à étudier. La distance euclidienne par exemple est symétrique, ainsi la distance d'un point "a" à un point "b" est la même que la distance d'un point "b" à un point "a". Un endomorphisme qui représente une forme bilinéaire symétrique est dit autoadjoint.


text: Ces endomorphismes autoadjoints disposent en fait de propriétés fortes concernant valeurs et vecteurs propres: non seulement ils admettent des vecteurs propres, mais de plus ceux-ci suffisent pour comprendre entièrement l'endomorphisme ; un endomorphisme auto-adjoint est diagonalisable. Ensuite, les vecteurs propres peuvent être choisis avec une propriété forte : il existe une base orthonormale de vecteurs propres. Enfin, pour ce cas particulier, il existe des méthodes de calcul simples et rapides pour obtenir valeurs et vecteurs propres. Cette situation est illustrée graphiquement sur la figure 14. Un endomorphisme autoadjoint transforme la boule unité en un ellipsoïde dont les axes sont les vecteurs propres et les longueurs des demi-axes les valeurs absolues des valeurs propres.


text: Par ailleurs, la forme bilinéaire initiale décrit ici l'équivalent d'une distance d'un espace géométrique ; l'espace étudié, muni de la forme bilinéaire, est un nouvel espace géométrique. Sylvester montre que les vecteurs et valeurs propres, de l'endomorphisme auto-adjoint associé, sont des "invariants", des êtres qui décrivent les grandeurs naturelles et caractéristiques de la géométrie considérée. La signification physique de ces grandeurs dépend du contexte de l'espace étudié. Sylvester a appliqué ce qui précède au principe d'inertie d'un solide indéformable en mécanique et en avait déduit l'existence d'axes de rotation (vecteurs propres) et de constantes d'inertie (valeurs propres) intrinsèques au solide. Les autres exemples d'applications montre qu'il en est de même dans d'autres situations, par exemple en statistique où les composantes principales révèlent la dimension la plus significative d'un sondage, ou la relativité qui montre l'existence d'un invariant, la signature de Sylvester, dans la structure même de la géométrie de notre univers.


text: Le rôle des vecteurs et valeurs propres est ainsi modifié. Ils ne sont plus des uniquement des outils de calculs nécessaires pour accélérer un algorithme ou pour résoudre un problème technique de résolution d'équation différentielle, ils acquièrent une autonomie propre, et deviennent des invariants constitutifs d'une géométrie. Ils prennent alors des noms spécifiques au domaine d'application ; on parle par exemple d'axe de rotation en mécanique, de composantes principales en statistiques, ou de directions propres dans le cas d'espaces courbes.


text: La démonstration de l'existence d'une base de vecteurs propres dans le cas des endomorphismes autoadjoints est donnée dans l'article Endomorphisme autoadjoint.


text: L'analyse du cas de la dimension finie montre qu'une connaissance des valeurs propres et des espaces de Jordan associés permet une compréhension profonde des endomorphismes. Il est donc naturel d'essayer d'étendre cette approche aux cas d'espaces vectoriels de dimensions non finies.


text: Ce besoin de généralisation apparaît naturellement en mathématiques. Les espaces deviennent des espaces de fonctions et les endomorphismes les opérateurs différentiels, comme les dérivées, les gradients ou les laplaciens. L'exemple de la corde vibrante est caractéristique d'une approche de cette nature. Dans ce contexte le vocabulaire évolue, on ne parle plus d'endomorphisme mais d'opérateur, on utilise le terme de fonction propre pour désigner un vecteur propre et une telle démarche prend le nom de théorie spectrale. Elle est une branche de ce qui s'appelle l'analyse fonctionnelle.


text: L'approche spectrale est séduisante à bien des aspects. Analyser non plus les propriétés analytiques des éventuelles solutions, mais la nature même de l'espace géométrique est une approche élégante. Elle offre de nouveaux outils, comme des bases ou des distances pour résoudre des difficultés souvent complexes. Dans le cas de la dimension finie, cette approche apporte des théorèmes puissants, à la fois théoriques et algorithmiques. Joseph Fourier montre qu'il en est parfois de même dans des cas plus généraux, avec l'étude de l'équation de la chaleur ou des cordes vibrantes. David Hilbert confirme la pertinence de la démarche en ouvrant la voie à une théorie spectrale générale.


text: Les propriétés géométriques des espaces fonctionnels sont hélas largement plus faibles que celles des espaces de dimension finie. La première différence est la présence d'une base au sens algébrique du terme. En général, il n'est pas possible de construire une famille libre et génératrice de l'espace par combinaison linéaire finie (la démonstration de l'existence d'une telle famille dans le cas général repose sur l'axiome du choix, ce qui interdit toute construction explicite). Même si de telles constructions existent pour certains espaces, tel que l'espace vectoriel des polynômes, ces espaces sont trop étroits pour contenir beaucoup de solutions des équations que l'on cherche à résoudre. Par exemple, la position initiale d'une corde de guitare pincée par le musicien a fort peu de chance d'être dans l'univers des polynômes trigonométriques.


text: On peut alors généraliser ce type d'espace par une bonne "complétude". On obtient ainsi l'espace des séries trigonométriques ou celui des séries entières. Les résultats sont alors de bons candidats pour établir les fondements d'une théorie spectrale. Pour comprendre la géométrie de tels espaces, la topologie devient essentielle. En effet, par construction de l'espace, les solutions apparaissent comme limites de suites. Cependant la topologie cache bien des surprises pour les espaces fonctionnels.


text: En dimension finie, toutes les normes définissent la même topologie. En fait, il n'existe véritablement qu'une topologie intéressante pour une analyse en vecteurs propres. En dimension infinie, ce n'est plus le cas, la topologie faible par exemple ne possède même plus de distance associée.


text: La compacité est toujours vraie en dimension finie pour les fermés bornés. Le théorème de compacité de Riesz nous indique que ce n'est jamais le cas si la dimension n'est pas finie. Il devient illusoire de vouloir extraire des sous-suites convergentes pour trouver des vecteurs propres dans le cas général.


text: Un endomorphisme est toujours continu en dimension finie. Ce n'est plus le cas pour les opérateurs linéaires des espaces fonctionnels. La dérivée, par exemple, ne possède pas cette propriété. Pour s'en assurer, il suffit de considérer la suite des monômes ("x"). Sur l'intervalle [0,1], elle est bornée. Or l'image de la suite par la fonction dérivée ne possède plus cette propriété. Un opérateur linéaire entre espaces vectoriels normés est continu si et seulement si c'est un « opérateur borné », c'est-à-dire si l'image de la boule unité est bornée.


text: En dimension finie, si un endomorphisme "a" est surjectif alors il est bijectif. Ainsi, l'application "a – λ" Id est une bijection si et seulement si λ n'est pas une valeur propre. Ce n'est pas vrai dans le cas général. Considérons par exemple l'espace "E" des fonctions infiniment dérivables sur l'intervalle [0, 1], et l'opérateur "O" qui, à la fonction formula_25, associe la fonction formula_26. Il est borné et ne possède pas de valeur propre. Considérons l'opérateur "O – λ" Id qui, à la fonction formula_25, associe la fonction formula_28. Si "λ" est compris entre 0 et 1, alors "O – λ" Id n'est pas surjectif car son image ne contient pas de fonctions dont l'image de "λ" est différente de 0. On parle alors de spectre pour rendre compte de ce phénomène. Le spectre contient toujours l'ensemble des valeurs propres, et en dimension finie, ces deux notions coïncident. Dans notre exemple le spectre est l'intervalle [0, 1] et l'ensemble des valeurs propres est vide.


text: La définition précise du spectre est la suivante : soit "E" un espace de Banach et "O" un opérateur linéaire, alors le spectre est l'ensemble des scalaires "λ" tel que l'opérateur "O – λ" Id n'admet pas d'inverse continu. Ces scalaires sont appelés valeurs spectrales, et, comme dit plus haut, ne coïncident pas toujours avec les valeurs propres, sauf en dimension finie.


text: En dimension finie, le paragraphe sur l'algèbre bilinéaire montre qu'il existe un cas où il est possible de trouver une base de vecteurs propres sans utiliser les polynômes d'endomorphismes. C'est un bon cadre pour une généralisation car la notion de polynôme s'applique mal dans le cas des espaces fonctionnels. L'espace est alors enrichi d'une distance, euclidienne ou hermitienne et l'endomorphisme possède toujours la « bonne » symétrie que l'on appelle autoadjonction. Dans ce contexte, la boule unité est transformée en un ellipsoïde représenté dans la figure 14. Les axes principaux de cet ellipsoïde sont les vecteurs propres et les longueurs de ces demi-axes sont les valeurs propres. Cette approche géométrique a guidé David Hilbert pour établir un résultat important de théorie spectrale, dans le cas de la dimension infinie.


text: L'espace vectoriel possède une distance euclidienne ou hermitienne. S'il est complet pour cette distance, on dit que c'est un espace de Hilbert. Les séries trigonométriques ou les fonctions définies sur un segment et dont le carré est intégrable forment un espace de Hilbert séparable.


text: L'opérateur possède une « bonne » symétrie. Elle reste la même que celle de la dimension finie. Il est ici autoadjoint.


text: Enfin l'opérateur dispose d'une « bonne » propriété de continuité. Le fait qu'il soit borné ne suffit plus. C'est un opérateur compact, cela signifie que l'image de la boule unité est compacte. Une des conséquences est qu'il n'est plus inversible.


text: Dans ce contexte, alors des résultats analogues à la dimension finie sont établis. Citons par exemple : si "T" est un opérateur compact autoadjoint sur un espace de Hilbert, alors :


text: La théorie spectrale constitue la base mathématique de la mécanique quantique. Les vecteurs propres trouvent donc d'innombrables applications dans ce domaine. Par exemple en chimie, l'étude de l'atome d'hydrogène montre que les états stables des électrons sont modélisés par des vecteurs propres dont les valeurs propres correspondent à des états d'énergie.


text: Dans le contexte de la mécanique quantique, l'unique solution pour décrire la "position" d'un électron, dans notre exemple celui de l'hydrogène, est l'utilisation d'une fonction d'onde complexe. Le carré du module de cette fonction d'onde peut alors s'interpréter comme la probabilité de présence de l'électron en un point donné de l'espace. L'espace des fonctions d'ondes est un Hilbert séparable, celui des fonctions de notre espace géométrique dans les complexes dont le carré du module est intégrable.


text: L'équation qui régit cette fonction d'onde (que l'on note ici Ψ) est une version simplifiée de l'équation de Schrödinger :


text: "H" est un opérateur linéaire appelé hamiltonien. C'est un opérateur différentiel d'ordre 2. Il correspond à une transformation de Legendre d'un lagrangien. On peut démontrer qu'un tel opérateur est autoadjoint.


text: Ψ est l'inconnue de l'équation. C'est donc par définition une fonction propre, elle correspond alors à ce que les chimistes appellent une orbite stable. Les électrons ne peuvent que "sauter" d'une orbite stable à une autre.


text: L'équation d'onde qui régit l'électron correspond donc au cadre de la théorie spectrale. Les solutions sont les fonctions propres d'un opérateur linéaire. La géométrie correspond à un contexte favorable, l'espace est un Hilbert séparable et l'opérateur est autoadjoint. On peut par exemple en déduire directement que l'énergie est toujours un réel. En revanche les propriétés de continuité ne sont pas favorables. Par exemple, l'opérateur n'est pas compact. Cette absence de "bonne" continuité rend la recherche d'orbites stables difficile.


text: Le cas de l'atome d'hydrogène est un peu particulier. L'opérateur associé correspond à un cas relativement simple. On peut alors approximer aussi précisément qu'on le souhaite les fonctions propres. La figure 15 représente les premières orbites stables de l'atome d'hydrogène. La couleur représente le carré du module de l'orbite, plus elle est claire, plus la densité est forte. Le centre représente le noyau, ici un proton.


text: Cette approche ne se limite pas à l'atome d'hydrogène, on peut l'utiliser pour d'autres atomes et même des molécules. C'est le travail qu'a réalisé Linus Pauling dans son livre "" sur la nature des liaisons chimiques. Le Prix Nobel de chimie, obtenu principalement grâce à cette approche est l'un des plus importants dans la chimie du . La combinaison linéaire des orbites stables permet par exemple, dans le cas des molécules, de mieux décrire des composés insaturés de l'éthylène.


text: Les valeurs propres restent un vaste sujet de recherche dans les mathématiques d'aujourd'hui. Ce sujet couvre aussi bien la recherche fondamentale qu'appliquée et la dimension finie comme le cas général en dimension infinie.


text: Si dans le cas des corps usuels comme les nombres réels ou complexes, la problématique des valeurs propres est maintenant largement connue, il n'en est pas de même pour les ou les anneaux. Dans le cas des corps finis, cette approche offre un regard particulier par exemple sur la cryptologie. D'autres corps comme . Une approche linéaire, avec l'analyse des valeurs propres représente un outil supplémentaire pour l'analyse par exemple de l'anneau des polynômes.


text: L'analyse des valeurs propres et des vecteurs propres représente la meilleure méthode pour la mise au point d'algorithmique rapide de résolution d'équations linéaires. Des critères comme la vitesse de convergence devient alors le premier sujet de recherche. Une technique particulièrement employée consiste à "éloigner" les valeurs propres pour accélérer la recherche des solutions. Ce secteur, même s'il n'est pas dominé par des mathématiciens au sens théorique du terme, puisqu'il est plus souvent le domaine des mathématiques de l'ingénieur ou de l'informaticien, est toujours en pleine effervescence. Il rejoint les travaux sur l'anneau des nombres di-adiques (représentation binaire finie) et s'ouvre sur une branche des mathématiques difficile.


text: La cryptologie appliquée utilise aussi les représentations linéaires pour offrir des codes multi-clé efficaces et souples. Ici, les corps sont rarement les réels ou les complexes, mais plutôt des corps finis.


text: Ce domaine est celui qui rassemble le plus de mathématiciens théoriques. L'algèbre linéaire contient des problèmes encore largement ouverts dans le cas de la dimension infinie. La voie théorique la plus analysée à l'heure actuelle est celle de l'axiomatisation, qui s'incarne dans la géométrie algébrique. Cette approche considère les opérateurs comme éléments d'une algèbre abstraite, bénéficiant d'un certain nombre de propriétés. L'objectif est la compréhension de cette algèbre pour l'appliquer ensuite à des cas particuliers d'algèbre d'opérateurs. Cette approche est particulièrement féconde en mathématiques appliquées à la physique, comme les travaux du mathématicien russe Maxim Kontsevich (médaille Fields 1998), dont les résultats les plus célèbres traitent des "déformations quantiques" sur les "variétés de Poisson" à l'aide d'une hiérarchie infinie de structures algébriques généralisant la notion d'algèbre opérant sur un espace vectoriel.


text: La géométrie algébrique est particulièrement féconde dans le domaine de l'arithmétique. Le mathématicien Laurent Lafforgue a reçu la médaille Fields en 2002 pour ses travaux dans cette branche sur les conjectures de Langlands.


title: Lunéville

text: Lunéville est une commune française du département de Meurthe-et-Moselle. Située dans la région historique et culturelle de Lorraine, la commune fait aujourd'hui partie de la région administrative Grand Est. Connue pour son château, surnommé le « Versailles Lorrain ». Ses habitants sont appelés les "Lunévillois".


title: Lunéville

text: La ville est l'une des sous-préfectures du département, le bureau centralisateur de deux cantons, ainsi que le siège du pays du Lunévillois et d'une communauté de communes.


title: Lunéville

text: À vol d'oiseau, le centre de la ville se trouve à au sud-est de Nancy, au nord d’Épinal, au nord-ouest de Saint-Dié-des-Vosges, à l’ouest de Strasbourg et à à l’est de Paris.


title: Lunéville

text: Huit cours d'eau traversent le territoire de Lunéville : les rivières de la Meurthe et de la Vezouze et les ruisseaux de Morteau, de la Fourasse, de Bussy, des Abouts, de Froide Fontaine et des Carrières.


title: Lunéville

text: Lunéville a une altitude minimale de et une maximale de , son altitude moyenne est de tandis que celle de sa mairie est de .


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text: Son point culminant se situe sur le lieu-dit de la colline de « Méhon », situé à l'extrême nord de la ville. Cette colline culmine à d'altitude.


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text: Le Keuper ou marnes irisées au Nord et au Sud de Lunéville est un ensemble d’argiles et de calcaires.


title: Lunéville

text: À l’est de Lunéville, des marnes irisées sont masquées sous une grande surface à alluvions anciennes gréseuses descendues des Vosges, donnant des terres froides sableuses incultes qui reposent sur un sous-sol imperméable.


title: Lunéville

text: La commune est en zone de sismicité 1 (très faible) selon l’article D. 563-8-1 du Code de l’Environnement.


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text: La ville de Lunéville bénéficie d'un climat tempéré chaud. Des précipitations importantes sont enregistrées toute l'année à Lunéville, y compris lors des mois les plus secs. Selon la classification de Köppen-Geiger, le climat est de type Cfb. En moyenne la température à Lunéville est de . La moyenne des précipitations annuelles atteints .


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text: Lunéville est une commune urbaine, car elle fait partie des communes denses ou de densité intermédiaire, au sens de la grille communale de densité de l'Insee.


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text: Elle appartient à l'unité urbaine de Lunéville, une agglomération intra-départementale regroupant et en 2017, dont elle est ville-centre.


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text: Par ailleurs la commune fait partie de l'aire d'attraction de Nancy, dont elle est une commune de la couronne. Cette aire, qui regroupe , est catégorisée dans les aires de à moins de .


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text: L'occupation des sols de la commune, telle qu'elle ressort de la base de données européenne d’occupation biophysique des sols Corine Land Cover (CLC), est marquée par l'importance des territoires agricoles (45,7 % en 2018), néanmoins en diminution par rapport à 1990 (49,1 %). La répartition détaillée en 2018 est la suivante :


title: Lunéville

text: zones urbanisées (34,4 %), prairies (15,7 %), terres arables (14,6 %), zones agricoles hétérogènes (13 %), forêts (7,8 %), zones industrielles ou commerciales et réseaux de communication (5 %), espaces verts artificialisés, non agricoles (4,2 %), eaux continentales (2,9 %), cultures permanentes (2,4 %).


title: Lunéville

text: L'IGN met par ailleurs à disposition un outil en ligne permettant de comparer l’évolution dans le temps de l’occupation des sols de la commune (ou de territoires à des échelles différentes). Plusieurs époques sont accessibles sous forme de cartes ou photos aériennes : la carte de Cassini (), la carte d'état-major (1820-1866) et la période actuelle (1950 à aujourd'hui).


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text: Pour des raisons de statistiques et de recensement de la population, la commune de Lunéville est découpée par l'INSEE en 9 quartiers qui sont :


title: Lunéville

text: 9 monuments historiques et immeubles protégés sont classés de la ville de Lunéville, se situant en grande partie dans la vieille ville.


title: Lunéville

text: Le centre ancien et le quartier Niederbronn - Zola sont classés en quartier prioritaire de la politique de la ville.


title: Lunéville

text: Lunéville est reliée à la plaine d'Alsace par la RN 4 (Strasbourg à ) et par la RN 59 (Saint-Dié-des-Vosges à , Colmar à et Sélestat à par le tunnel Maurice-Lemaire). L'autoroute A33 permet d'accéder à Nancy ().


title: Lunéville

text: La ville possède une gare desservie par des TER Lorraine qui assurent des liaisons nombreuses et rapides vers Nancy, Saint-Dié-des-Vosges, Strasbourg. Certains sont prolongés jusqu'à Bâle aux heures de pointes uniquement. Le TGV Est place la gare de Lunéville à de Paris-Est avec un aller-retour quotidien et la relie également à la gare de Nancy et la gare de Saint-Dié-des-Vosges via le TGV Est.


title: Lunéville

text: Depuis 2011, Lunéville possède un nouveau réseau de bus : Lunéo. Ce réseau dessert la ville "via" deux lignes. La de Moncel-lès-Lunéville (arrêt « Château d'eau ») à Lunéville (arrêt « Faisanderie »), la de Lunéville (arrêt « Chéron ») à Chanteheux (arrêt « Z.A.D. »).


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text: Le nombre de logements de Lunéville a été estimé à en 2007. Ces logements de Lunéville se composent de , ou occasionnels ainsi que .


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text: Le nom de la localité est mentionné sous les formes "Lineatis villa" en 1034, "Lunaris villa" en 1135, "Linerville" en 1140, "Lunivilla" en 1154 ou 1157 et encore "Liniville", "Linéville".


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text: Les deux formes les plus anciennes s'opposent. Albert Dauzat, Charles Rostaing et Ernest Nègre ne prennent en compte que la première qui explique phonétiquement la plupart des formes attestées :


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text: La forme "Lunaris villa" est une forme artificielle de clercs latinistes qui ont relié cet élément au latin "lunaris" « semblable à la lune ». Les formes ancienne "Lunivilla" et actuelle Lunéville résultent de l'étymologie populaire par analogie avec le mot « lune ».


title: Lunéville

text: Lunéville sort de l'ombre au . Auparavant, il n'y avait au confluent de la Meurthe et de la Vezouze que de modestes cabanes qui servaient de rendez-vous de chasse. Un premier château de Lunéville fut construit pour protéger le point de passage que constitue le pont sur la Vezouze, sur la route du sel que les sauniers et marchands empruntaient entre Rosières, Vic-sur-Seille, Marsal d'une part et Deneuvre, l'Alsace et la Bourgogne (Franche-Comté) d'autre part. La seigneurie trouvait ainsi une source de revenus en prélevant un péage au passage du pont.


title: Lunéville

text: La ville a d'abord appartenu à plusieurs princes allemands, avant de passer aux mains d'Étienne, évêque de Toul et premier comte de Lunéville. Ses descendants possédèrent la cité jusqu'en 1055. En 1243, le comté fut rattaché au duché de Lorraine. Lunéville ne se développe qu'à partir de 1330 sous le règne du duc .


title: Lunéville

text: Le vieux château féodal subsista jusqu'en 1612, date à laquelle , préférant Lunéville à Nancy, le démolit et en construisit un nouveau. Celui-ci eut une courte vie. Démantelé pendant la guerre de Trente Ans, il fut totalement détruit lorsque le duc , arrivant à Lunéville en 1702, choisit de bâtir un palais moderne : c'est le château actuel.


title: Lunéville

text: Sous le règne de Léopold, la régence de son épouse Élisabeth-Charlotte d'Orléans puis le règne nominal de l'ex-roi de Pologne Stanislas et le rattachement de la Lorraine à la France en 1766, Lunéville, à l'instar de Versailles en France ou Schönbrunn en Autriche, fut la capitale princière de la Lorraine, tandis que Nancy comme Paris ou Vienne restait capitale administrative.


title: Lunéville

text: Dans son siècle de, Voltaire, louant le duc Léopold, affirmait que l'on ne croyait pas avoir changé de lieu en laissant Versailles pour Lunéville. Sous le règne nominal de Stanislas, la cour de Lunéville se montre particulièrement perméable aux idées nouvelles grâce en particulier à la venue de philosophes à la cour du roi Stanislas : en 1737, les Francs-maçons persécutés à Paris fondent à Lunéville la première loge maçonnique de Lorraine ducale; en fait, il y en eut plusieurs à différentes époques au cours des avant et après la Révolution.


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text: En 1766, le château échoit au roi qui, n'osant le détruire à l'instar d'autres châteaux lorrains de son beau-père, le fit transformer en caserne.


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text: En 1786 est construite sur permission de la synagogue. C'est la première construite dans le royaume depuis le Moyen Âge, et l'une des plus anciennes subsistant à ce jour.


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text: C'est à Lunéville, dans les salons de l'hôtel Beauvau-Craon, que fut signé le le traité de Lunéville par lequel s'est provisoirement conclu l'affrontement entre l'Autriche de et la France consulaire de Bonaparte. Ce traité attribue à la France les Pays-Bas autrichiens (Belgique) et la rive gauche du Rhin.


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text: Lunéville connut un essor important après la Guerre de 1870. En effet, le Traité de Francfort signé en 1871, fit de Lunéville une ville frontière. Une importante garnison y est affectée (le château est transformé en caserne) et la ville connaît un afflux de rapatriés alsaciens ou mosellans refusant de devenir Allemands. Certaines entreprises de ces régions s'installèrent à Lunéville. Ce phénomène n'est pas propre à Lunéville : des villes comme Nancy ou Belfort ont connu la même situation. On note ainsi l'usine de la Lorraine-Dietrich, fondée dès 1897 par la famille de Dietrich, reprise en 1905 par Édouard, Eugène et Adrien de Turckheim.


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text: Après le tramway de Lunéville à Einville, c'est avec beaucoup de lenteur et de retard, qu'un chemin de fer métrique départemental relie Lunéville aux autres communes de son arrondissement par la compagnie du LBB (Ligne de Lunéville à Blâmont et à Badonviller). La ligne est inaugurée le par le ministre du commerce Augagneur accompagné du ministre Albert Lebrun. La gare est proche de la gare de l'Est de la ligne de Paris à Avricourt. Le trafic de la ligne LBB fonctionnera jusqu'en 1942.


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text: À la veille de la Grande Guerre, la ville devient la « cité cavalière », hébergeant la de Cavalerie ainsi que ses unités ; Lunéville ne compte alors pas moins de huit casernes, son château y compris. Parmi les troupes en présence, on trouve les et de Chasseurs à Cheval, le de dragons portés les et de dragons, les batteries à cheval des et d’artillerie de campagne et le de chasseurs à pied.


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text: Le , l'armée impériale allemande exécute et détruit lors des atrocités allemandes commises au début de l'invasion.


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text: Lunéville est renommée pour sa manufacture royale de faïence, fusionnée avec celle, voisine, de Saint-Clément, qui continue la production de faïence de Lunéville.


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text: La cité est également renommée pour sa broderie : la "Broderie de Lunéville" (un mélange de perles et paillettes), utilisée dans les ateliers de Haute couture. Un conservatoire a vu le jour pour la promotion de cette technique. Ce savoir-faire est inscrit à l'Inventaire du patrimoine culturel immatériel français depuis 2019.


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text: Viller, faubourg de Lunéville, est un ancien village avec un hôpital fondé en 1406.Toponymie : "Villers" (1273), "Villeir" (1323), "Viller-davant-Lunéville" (1420), "Viller-lès-Lunéville" (1779).


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text: Lors des élections municipales de 2020, 69 % des inscrits se sont abstenus (contre 55 % en moyenne en France).


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text: Au second tour de l’élection présidentielle de 2017, Emmanuel Macron (En Marche !) recueille 56,95 % des voix de Lunéville. Marine Le Pen (Front national) recueille quant à elle 43,05 % des voix. Sur l'ensemble des votants, 6,12 % ont voté blanc et 2,04 % ont voté nul.


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text: Par ailleurs, Lunéville a signé en 1997 un contrat de partenariat dans le domaine sportif avec la commune de Pápa en Hongrie.


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text: Lunéville est une ville de garnison avec la présence du de transmissions caserné au quartier Treuille de Beaulieu-Diettmann depuis 1993. Bien que menacé par la réorganisation militaire de 2008, le de transmissions resta à Lunéville grâce à la mobilisation générale de l'ensemble de la population.


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text: De 1991 à 1997, la ville accueillait l'état-major de la force Hadès puis, de 1997 à 2010, l'état-major de la brigade de transmissions et d'appui au commandement.


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text: La base aérienne de Lunéville-Chenevières, située à une dizaine de kilomètres au sud-est de la ville, est construite par l'United States Air Force in Europe dans les années 1950. Elle a servi de terrain de dispersion jusqu'au milieu des années 1960. Renommée quartier Lasalle après le départ des Américains, le de cuirassiers y était stationné de 1968 à 1998. La base est aujourd'hui utilisée par le de transmissions et par le Polygone de Guerre Électronique.


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text: La population de la commune est relativement jeune. En 2018, le taux de personnes d'un âge inférieur à s'élève à 35,6 %, soit en dessous de la moyenne départementale (36,8 %). À l'inverse, le taux de personnes d'âge supérieur à est de 28,5 % la même année, alors qu'il est de 25,4 % au niveau départemental.


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text: En 2018, la commune comptait pour , soit un taux de 52,45 % de femmes, légèrement supérieur au taux départemental (51,43 %).


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text: La ville possède un IUT ainsi que cinq lycées, trois collèges, sept d'écoles élémentaires et neuf écoles maternelles.


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text: L’école maternelle Les-Cerisiers ferme en 2019, suivie par la maternelle Germain-Charrier en 2021, par manque d’effectifs.


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text: La ville possède deux clubs de football : le Football Club Lunéville (qui a intégré le club des municipaux en 2011) et l’. Lunéville possède également une équipe de rugby à XV, le RCL qui évolue dans plusieurs catégories. Un peu en dehors de Lunéville, il y a aussi un centre équestre, la Galopade. Un club d'athlétisme, le Lunéville Athletic Club est également présent à Lunéville, au stade Édouard-Fenal, équipé d'une piste synthétique, depuis .


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text: Pendant longtemps, Lunéville a accueilli le championnat de France de rallycross (automobile). Situé à Chenevières, le circuit est maintenant un centre de pôle mécanique en Lorraine.


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text: La commune de Lunéville dispose d'un centre hospitalier ayant en 2018 une capacité de et places, dont :


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text: Les années 1980 et la première moitié des années 1990 ont été plutôt difficiles pour Lunéville, de nombreuses entreprises industrielles disparaissant ou se restructurant. À partir du milieu des années 1990, une dynamique nouvelle fut impulsée, fondée sur une politique d'amélioration continue de la qualité de vie des habitants et une politique d'attractivité en direction des PME-PMI.


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text: L'hôpital reste le plus grand employeur public de la ville, 500 employés y assurant une grande variété de soins médicaux. Une synergie positive, qui doit garantir la permanence et la qualité des soins à Lunéville. Les autres principaux employeurs sont : l'hypermarché Cora () et Leclerc (), l'entreprise de logistique Carrefour (), la clinique Jeanne d'Arc (), l'entreprise de BTP Prestini () et de TP Thiriet () appartenant au groupe Vicat qui y dispose d'une centrale à béton au lieu-dit Chaufontaine-Hériménil et de plusieurs carrières dans le secteur, d'une direction régionale pour l'Est de la France.


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text: En , un collectif d'entreprises du luxe lorrain s'installe à la Maison du Marchand. Ce groupement, « Lorraine Terre de Luxe », est constitué d'entreprises issues du secteur du luxe et .


title: Lunéville

text: Il a pour but de promouvoir le secteur du luxe tant au près des potentiels consommateurs qu'auprès des institutions, à l'échelle nationale et à l'international.


title: Lunéville

text: Remarque : dans le film "La Vache et le Prisonnier" (1959), l'acteur Fernandel s'évade d'Allemagne. Il se sait en France quand, arrivant dans une gare, il entend l'annonce « Lunéville ».


title: Lunéville

text: La ville n'a pas été épargnée par la gouaille populaire qui l'a surnommée "Lunétrou". Ses habitants portent le même sobriquet. Ils étaient également appelés "les gens de L'nainville".


title: Ingénierie

text: L'ingénierie est l'ensemble des fonctions qui mènent de la conception et des études, de l'achat et du contrôle de fabrication des équipements, à la construction et à la mise en service d'une installation technique ou industrielle.


title: Ingénierie

text: Par extension, le terme est aussi souvent utilisé dans d'autres domaines : on parle par exemple d'ingénierie informatique ou d'ingénierie financière.


title: Ingénierie

text: Cette activité est actuellement exercée à titre principal par des sociétés dites « sociétés d'ingénierie » qui étudient, conçoivent et font réaliser tout ou partie d'un aménagement (portuaire, routier), d'un ouvrage (hôpital, usine) ou d'un équipement (tronçon d'Airbus, véhicule électrique).


title: Ingénierie

text: Le terme « ingénierie » est un terme introduit assez récemment dans la langue française, par abandon durant la moitié du du terme « génie », désignant l'art de l'ingénieur.


title: Ingénierie

text: L’ingénierie est une activité rigoureuse de conceptualisation et de réalisation d'ouvrages d’art fonctionnel et de construction d'ensembles structuraux, mécaniques, chimiques, électriques, électromécaniques, électroniques ou mécatroniques.


title: Ingénierie

text: Cette activité s’exécute alors selon des règles de l’art et une rigueur scientifique qui est, selon le pays, acquise après des études scientifiques (France par exemple) ou des formations internes (Allemagne, États-Unis).


title: Ingénierie

text: Les principes sur lesquels reposent l’ingénierie et sa méthode sont éminemment logiques. Ses référents sont d’ordre techniques, scientifiques et mathématiques (STEM).