title: Bill Goldberg

text: En 2004, Il participe au "Royal Rumble", mais l'apparition du Champion de la WWE Brock Lesnar sur le ring entraîne son élimination. La semaine suivante, à Raw, Stone Cold Steve Austin offrit une place au premier rang à Goldberg pour le "No Way Out" en 2004 et lui dit : " Ne fais rien que je ne ferais pas. " Pendant le match pour le WWE Championship de Lesnar à "No Way Out", Goldberg réalisa un spear sur Lesnar, et aida Eddie Guerrero à remporter le titre. Durant l'épisode du à Raw, Mr. McMahon annonça un match opposant Brock Lesnar à Goldberg lors de "WrestleMania XX", avec Stone Cold Steve Austin comme arbitre spécial. Lors de "WrestleMania XX", il bat Brock Lesnar.


title: Bill Goldberg

text: Goldberg fait son retour le à Legends of Wrestling. Goldberg vient en aide à Rob Van Dam après son match contre Scott Steiner et lui porte un spear.


title: Bill Goldberg

text: Le à "Raw", il est défié via Paul Heyman à un combat contre Brock Lesnar car il est le seul à ne jamais avoir été battu par ce dernier. Le à "Raw", il effectue son retour douze ans après sous les acclamations du public où il annonce qu'il accepte le défi lancé par Brock Lesnar. Le à "Raw", alors qu'il allait parler de son combat contre Brock Lesnar, il est interrompu par Paul Heyman et Rusev avant d'attaquer ces derniers avec un "Spear" et un "Jackhammer". Lors des "Survivor Series", il bat Brock Lesnar. Le lendemain à "Raw", il annonce qu'il participera au "Royal Rumble".


title: Bill Goldberg

text: Le à "Raw", il est l'invité du "Kevin Owens Show" où il confronte Kevin Owens, Chris Jericho, Paul Heyman, Roman Reigns et Braun Strowman avant d'attaquer ce dernier avec un "Double Spear" grâce à l'aide de Roman Reigns. Le à "Raw", il est interrompu par Paul Heyman et Brock Lesnar qu'il le confrontera avant d'être interrompus par The Undertaker.


title: Bill Goldberg

text: Lors du "Royal Rumble", il entre en , mais se fait éliminer par The Undertaker. Le lendemain à "Raw", il accepte un match opposant Brock Lesnar à "WrestleMania 33" et il obtient un match pour le titre Universel contre Kevin Owens à "Fastlane".


title: Bill Goldberg

text: Lors de "Fastlane", il devient le nouveau Champion Universel de la WWE en battant Kevin Owens. Lors de "WrestleMania 33", il affrontera Brock Lesnar pour le WWE Universal Championship. Le lendemain à "Raw", il est interrompu par Paul Heyman et Brock Lesnar et après quelques provocations, il se fait attaquer par ce dernier qui lui porte un "F-5". Le à "Raw", Paul Heyman et Brock Lesnar annoncent que ce dernier va lui prendre le WWE Universal Championship à "WrestleMania 33" avant de les interrompre et de porter un "Spear" sur Brock Lesnar.


title: Bill Goldberg

text: Lors de "WrestleMania 33", il perd face à Brock Lesnar, ne conservant pas son titre. Le lendemain à "Raw", il annonce son départ de la fédération et peut-être même, une éventuelle retraite.


title: Bill Goldberg

text: En , il est annoncé que Goldberg va remonter sur le ring pour affronter The Undertaker à Super ShowDown qui aura lieu en Arabie Saoudite.


title: Bill Goldberg

text: Le à "SmackDown Live", il lance un challenge à The Undertaker pour un match à Super ShowDown, que ce dernier accepte.


title: Bill Goldberg

text: Le à Super ShowDown, il perd face à The Undertaker. Après le match, il a subi une commotion cérébrale après une décharge dans le poteau.


title: Bill Goldberg

text: Le à SummerSlam, il bat Dolph Ziggler en moins de deux minutes avec un "Spear" suivi d'un "Jackhammer". Après le match, ce dernier se moque de lui deux fois, mais il réplique avec 2 "Spears".


title: Bill Goldberg

text: Le à "SmackDown", il annonce qu'il challenge "The Fiend" Bray Wyatt pour le titre Universel à Super ShowDown, que ce dernier accepte.


title: Bill Goldberg

text: Le à " SmackDown", il est interrompu par "The Fiend" Bray Wyatt qui arrive par derrière mais il lui porte un "Spear" avant que ce dernier ne prenne la fuite.


title: Bill Goldberg

text: Le à Super ShowDown, il devient pour la seconde fois Champion Universel de la WWE en battant "The Fiend" Bray Wyatt.


title: Bill Goldberg

text: Le lendemain à "SmackDown", il se fait affronté par Roman Reigns pour le titre Universel à WrestleMania 36, qu'il accepte.


title: Bill Goldberg

text: Le à WrestleMania 36, il perd face à Braun Strowman, ne conservant pas son titre. "The Monster Among Men" remplace Roman Reigns (celui-ci s'étant retiré à cause de la pandémie de Covid-19).


title: Bill Goldberg

text: Le à "Raw Legends", il effectue son retour en défiant Drew McIntyre pour le titre de la WWE au Royal Rumble, ce que ce dernier accepte. Le au "Royal Rumble", il ne remporte pas le titre de la WWE, battu par l'Écossais. Après le combat, les deux hommes s'enlacent et célèbrent ensemble.


title: Bill Goldberg

text: Le à "SummerSlam", il ne remporte pas le titre de la WWE, battu par Bobby Lashley par abandon, car blessé à la jambe, à la suite d'un coup de canne de MVP. Après le combat, son fils Gage attaque son adversaire.


title: Bill Goldberg

text: Le à "Elimination Chamber", il ne remporte pas le titre Universel de la WWE, battu par Roman Reigns par soumission.


title: Bill Goldberg

text: Goldberg use de sa force pour gagner le combat plus vite possible. Manquant très vite d'endurance il enchaîne très vite au début du combat afin de surprendre l'adversaire. Rapide et puissant il était un des combattants les plus craints et les plus difficiles à battre.


title: Bill Goldberg

text: Malgré un manque de technique et un arsenal de coup très limité, Goldberg fera du Spear son arme préférée capable de le faire à n'importe quel moment du match.


title: Justine Le Pottier

text: Justine Le Pottier, née à Saint-Malo le , est une actrice et scénariste française. Elle s'est principalement fait connaître grâce à son rôle dans la série "Le Visiteur du futur" de François Descraques.


title: Justine Le Pottier

text: Depuis 2013, elle scénarise et joue dans plusieurs sketchs du collectif "Golden Moustache" dont elle est membre.


title: Justine Le Pottier

text: Justine Le Pottier grandit à Saint-Malo. Elle s'inscrit au Cours Florent et fait ses débuts dans le spectacle et le théâtre ("Le dénouement imprévu"). Après avoir participé à quelques courts-métrages, elle devient ensuite actrice dans la web-série de François Descraques "Le Visiteur du futur". De 2009 à 2013, elle y incarne Judith, personnage assez violent, cynique mais avec un bon fond. La série devient rapidement un succès.


title: Justine Le Pottier

text: En 2010, elle interprète dans "Catch moi" le rôle de Faustine, petite amie colérique et un peu trop envahissante. La série réalisée par Mehdi Ouahab est produite par La Parisienne d'Images et diffusée sur Canal+.


title: Justine Le Pottier

text: Durant l'année, elle participe également à quelques vidéos telles que le "Golden Show" ou d'autres web-séries.


title: Justine Le Pottier

text: En 2012, elle joue un rôle dans la saison 3 d'Hero Corp réalisé par Simon Astier et la série TV, produite par CALT, est diffusée en automne 2013 sur France 4.


title: Justine Le Pottier

text: Fin 2012, Justine Le Pottier joue dans le premier sketch du Golden Moustache "The day the Earth stopped masturbating" de Raphaël Descraques. Depuis, elle a complètement intégré le collectif et, en 2014, elle est également devenue scénariste du groupe.


title: Justine Le Pottier

text: En 2015, elle a joué le rôle de Pauline, la petite amie, dans le court métrage scénarisé par le youtubeur Cyprien Iov et réalisé par Théodore Bonnet : "Le Hater". En 2016, elle joue à nouveau dans un court-métrage de Cyprien, nommé "La Cartouche".


title: Justine Le Pottier

text: En 2017, elle interprète Francine dans la série télévisée "Reboot", créée et réalisée par Davy Mourier et co-scénarisée avec Lewis Trondheim.


title: Justine Le Pottier

text: Depuis 2016, elle apparaît également dans la série "Scènes de ménages" sur M6 dans le rôle de Laura, une étudiante en médecine hébergée chez Raymond et Huguette. En 2018, elle est présente dans le casting d'une des deux premières web-séries de la plateforme YouTube Premium, "Les Emmerdeurs". En 2020, elle présente le court-métrage "Je suis ton père" au festival international du film de comédie de l'Alpe d'Huez 2020.


title: Justine Le Pottier

text: En 2021, elle présente "La Grosse Roue", une émission présente sur la chaîne YouTube de Konbini et de la Française des Jeux, qui est le tirage du jeu à gratter du même nom.


title: Tomi Ungerer

text: Jean-Thomas Ungerer, dit Tomi Ungerer, né le à Strasbourg et mort le à Cork en Irlande, est un dessinateur, illustrateur et auteur alsacien de nationalité française.


title: Tomi Ungerer

text: Considéré comme un des plus brillants dessinateurs de sa génération, il a mené à partir de 1957 une carrière internationale dans de nombreux domaines des arts graphiques. Parmi ses livres pour enfants, plusieurs ont connu un succès international, comme "Les Trois Brigands" (1961) ou "Jean de la Lune" (1966). Célèbres aussi sont ses affiches contre la guerre du Viêt Nam et la ségrégation raciale aux États-Unis, dont "Black Power/White Power" (1967). L'artiste est avant tout un fin observateur de la société de son temps. Il a ainsi livré une satire virulente de certains aspects de la société américaine, dans l'esprit de Daumier et de Grosz. Créateur multiforme, il s'est également intéressé à la sculpture et a écrit de nombreux textes, dont plusieurs autobiographiques. Un musée lui est consacré à Strasbourg.


title: Tomi Ungerer

text: Issu d'une famille protestante qui compte des bouchers et des pasteurs, Tomi Ungerer est le fils de Théodore Ungerer et d'Alice Essler.


title: Tomi Ungerer

text: Son arrière-grand-père Auguste Théodore, son grand-père Alfred (1861-1933) et son père Théodore (1894-1935) travaillent dans l'horlogerie monumentale. L'entreprise d'horlogerie Ungerer active de 1858 à 1989 a notamment entretenu la troisième horloge astronomique de la cathédrale de Strasbourg.


title: Tomi Ungerer

text: Tomi Ungerer est âgé de trois ans quand son père décède. Ce dernier était ingénieur, fabricant d'horloges astronomiques, artiste et historien ; Tomi lui rend hommage dans "De père en fils" (2002) : La famille quitte Strasbourg et part s'installer à Wintzenheim, dans le quartier du Logelbach au 12 rue Haussmann , dont les paysages calmes et romantiques inspireront l'auteur. C'est en Alsace que son œuvre plonge ses racines, malgré son tempérament de globe-trotter.


title: Tomi Ungerer

text: Durant la Seconde Guerre mondiale, l'Alsace est annexée par l'Allemagne. La maison et l'usine familiale sont réquisitionnées par les Allemands et, comme tous les Alsaciens, Tomi Ungerer subit un endoctrinement nazi à l'école qu'il fréquente et qui est soumise à la germanisation. Parlant alsacien et français, il a trois mois pour apprendre l'allemand. Les journées commencent alors par des chants nazis , et l'écoute des discours d'Adolf Hitler. Il lui est fait totale interdiction de parler français et son prénom jugé insuffisamment germanique est changé autoritairement en « Hans ». Cette période l'a traumatisé à vie indiquait-il au soir de sa vie, faisant encore des cauchemars chaque nuit liée à cette période.


title: Tomi Ungerer

text: Sa mère continue toutefois à lui parler en français malgré l'interdiction. Et quand elle est dénoncée aux autorités nazies, elle trouve un stratagème pour continuer : à l'officier de la Gestapo qui la reçoit, elle confirme parler en français avec son fils, et indique qu'elle continuera. Elle ajoute avec une feinte conviction : Convaincu, l'officiel admet : Et ainsi l'enseignement en français du jeune Tomi put continuer.


title: Tomi Ungerer

text: Il se dit alors C'est là qu'il commence à dessiner son environnement, comme pour exorciser son quotidien.


title: Tomi Ungerer

text: Après la libération de l'Alsace, Tomi Ungerer est à nouveau français, mais il a beaucoup de mal à s'adapter à cette nouvelle situation. On lui interdit cette fois, comble de l'ironie, de parler alsacien. Nouveau traumatisme pour lui. Il en dit avec amertume en 2009 : .


title: Tomi Ungerer

text: Il est marqué par l'autodafé organisé par les Français des livres de littérature allemande, brûlés devant lui, et le moindre mot d'alsacien à l'école valait sanction immédiate sous forme d'heures de colle ou d'une violente .


title: Tomi Ungerer

text: Ces événements doublement douloureux pour lui le marqueront d'une sensibilité particulière, qui se traduira dans ses œuvres tout au long de sa longue carrière artistique.


title: Tomi Ungerer

text: Dès la fin de la Seconde Guerre mondiale, il pratique le scoutisme chez les Éclaireurs unionistes de Colmar et reçoit le totem de « Fourmi boute-en-train » :


title: Tomi Ungerer

text: En 1946, il explore la France à vélo puis, après son échec au baccalauréat en 1951, au lycée Bartholdi, il voyage par des moyens de fortune jusqu'en Laponie et au cap Nord.


title: Tomi Ungerer

text: En 1952, il s'engage dans le corps des méharistes en Algérie et est réformé en 1953 à cause d'une maladie. Il s'inscrit alors aux Arts décoratifs à Strasbourg mais est renvoyé au bout d’une année pour indiscipline. Il travaille ensuite comme étalagiste et publicitaire pour des petites entreprises.


title: Tomi Ungerer

text: Entre 1954 et 1955, il effectue de nombreux voyages en Europe, notamment en Islande, en Norvège, en Grèce et en Yougoslavie, toujours par des moyens de fortune, en auto-stop ou en s’engageant comme marin sur des cargos.


title: Tomi Ungerer

text: En 1956, Tomi Ungerer part une première fois pour New York, où il débarque avec . Après avoir obtenu sa "green card", il s'y installe en 1957. C'est alors le succès immédiat : il travaille pour les journaux et magazines les plus prestigieux, dont "Esquire", "Harper's Bazaar", "Life", "The New York Times" et "Village Voice". Sa rencontre avec des éditions Harper & Row est déterminante pour sa carrière dans le domaine des livres pour enfants. Ce sont ses activités de dessinateur publicitaire et notamment d'affichiste qui lui apportent la notoriété. Il est notamment l'auteur de l'affiche du film "Docteur Folamour" de Stanley Kubrick, sorti en 1964. Il se fait aussi connaître comme dessinateur politique par ses affiches contre la guerre du Viêt Nam et la ségrégation raciale et comme dessinateur satirique par sa critique de la société américaine.


title: Tomi Ungerer

text: Après un divorce, Tomi Ungerer se remarie en 1971 avec Yvonne Wright et s'installe en Nouvelle-Écosse au Canada. Cette région sauvage les séduit malgré un voisinage digne du Far-West. Tomi Ungerer raconte leur expérience dans un récit illustré, "Far Out Isn't Far Enough", paru en 1983.


title: Tomi Ungerer

text: En 1976, Tomi et Yvonne Ungerer s'installent définitivement dans le comté de Cork en Irlande, pays dont la famille de son épouse est originaire, et où vont naître leurs trois enfants.


title: Tomi Ungerer

text: Tomi Ungerer est membre du comité de patronage du "think tank" strasbourgeois Forum Carolus, créé et dirigé par Henri de Grossouvre, car pour lui, comme il aime à le répéter, .


title: Tomi Ungerer

text: En 1975, il fait une première donation d'œuvres personnelles et de jouets issus de sa collection aux musées de la ville de Strasbourg. Cette donation est suivie de plusieurs autres. La collection compte aujourd'hui dessins et jouets.


title: Tomi Ungerer

text: À partir des années 1980, il s'investit énormément pour l'amélioration des relations franco-allemandes et dans la préservation de l'identité, du particularisme et du bilinguisme en Alsace.


title: Tomi Ungerer

text: En 1988, pour le bimillénaire de Strasbourg, il réalise "Naissance de la civilisation", également connue sous le nom de fontaine de Janus, une œuvre située dans le square Markos-Botzaris, à côté de l'opéra.


title: Tomi Ungerer

text: Une de ses sœurs décède le 20 janvier 1992 dans la catastrophe aérienne du mont Sainte-Odile. Il fonde alors l'association Entraide de la catastrophe des hauteurs du Sainte-Odile (ECHO).


title: Tomi Ungerer

text: En 1998, il obtient le prix Hans-Christian-Andersen d'illustration, la plus haute distinction pour un auteur de livres d'enfants.


title: Tomi Ungerer

text: Lors de sa création en 2003, il adhère au comité pédagogique des écoles Steiner-Waldorf, dont la pédagogie est fondée sur l'anthroposophie.


title: Tomi Ungerer

text: Son œuvre compte à dessins. Elle s'étend aux domaines de la littérature d'enfance et de jeunesse, de la publicité, du dessin de satire sociale et politique, des alsatiques et de l'érotisme.


title: Tomi Ungerer

text: En 2014, la commune de Juvisy-sur-Orge, en Essonne, baptise une école élémentaire du nom de l'auteur.


title: Tomi Ungerer

text: Père de quatre enfants, Phoebe , Aria, Pascal et Lukas, Tomi Ungerer meurt le à Cork (Irlande), chez sa fille Aria. Ses obsèques sont célébrées le 12 février en l'église Saint-Brendan de Bantry en Irlande.


title: Tomi Ungerer

text: Une cérémonie œcuménique d"À Dieu" est organisée à la cathédrale Notre-Dame de Strasbourg le 15 février. Présidée par Luc Ravel, la prédication est donnée par le pasteur Christian Krieger et par le chanoine Michel Wackenheim, archiprêtre de la cathédrale, en français, allemand et alsacien. Roland Ries, maire de Strasbourg, prononce l’hommage de la ville. Selon les dernières volontés de Tomi Ungerer, un chant yiddish, "Mein Ruheplatz", chanté par Astrid Ruff ouvre la célébration. Roger Siffer interprète ensuite trois chansons : "Ich hatt’einen Kameraden", "O Strassburg" et "Die Gedanken sind frei". La cérémonie qui s'achève sur une prière scoute réunit plus de mille personnes.


title: Tomi Ungerer

text: Le square du Tivoli, situé à proximité de sa maison natale à Strasbourg, est pressenti pour être rebaptisé « place Tomi-Ungerer » et il est envisagé d'y installer une statue ou un buste de l'artiste. Le parc prend finalement le nom de « square du Tivoli - Tomi Ungerer ».


title: Tomi Ungerer

text: La promotion 2019-2024 de Sciences Po Strasbourg choisit de porter le nom de Tomi Ungerer, de même que la promotion 2021-2022 des élèves conservateurs de bibliothèques de l'Institut national des études territoriales (INET), également situé à Strasbourg.


title: Tomi Ungerer

text: Le musée Tomi-Ungerer – Centre international de l'illustration est situé dans la villa Greiner, construite en 1884, avenue de la Marseillaise à Strasbourg.


title: Tomi Ungerer

text: Il conserve la collection Tomi Ungerer qui provient de plusieurs donations effectuées par l'artiste à sa ville natale depuis 1975. Elle est constituée de dessins originaux, d’estampes, d’un fonds documentaire, d’une bibliothèque, et de jouets et jeux provenant de la collection personnelle de l'artiste. Le musée a ouvert ses portes en novembre 2007 et présente le fonds Ungerer au rythme de trois expositions par an. Il est aussi consacré à l’Illustration du XXe et d’aujourd’hui, et conserve des œuvres d’une centaine de dessinateurs reconnus internationalement comme Blechman, Blutch, Hoppmann, Sajtinac, Searle, Steinberg, Steig. « Steinberg. L’écriture visuelle », « Du duel au duo. Images satiriques du couple franco-allemand », « Bosc. L’humour à l’encre noire », comptent parmi les expositions qui ont été conçues par le musée sur ce sujet.


title: Tomi Ungerer

text: En mars 2016 sont vendues à l'hôtel Drouot à Paris les planches de la première version de son album "Les Trois Brigands", datées de 1960.


title: Le Garçon au pyjama rayé

text: Le Garçon au pyjama rayé (") est un film britannico-américain réalisé par Mark Herman, sorti en 2008. Il s'agit d'une adaptation du roman jeunesse éponyme de l'écrivain irlandais John Boyne.


title: Le Garçon au pyjama rayé

text: Allemagne - 1943 : en rentrant un jour de l'école, Bruno apprend que lui et sa famille doivent quitter Berlin et déménager, car son père a reçu une promotion dans son travail. Celui-ci, un brillant officier SS, a en effet été remarqué par Adolf Hitler et a été envoyé en mission spéciale en Pologne occupée, pour diriger ce qui semble être un camp d'internement. Bruno est très triste, car il doit quitter ses amis, sa maison qu'il aime tant, ainsi que Berlin.


title: Le Garçon au pyjama rayé

text: Arrivé dans sa nouvelle maison, Bruno n'a qu'une envie : rentrer, car la nouvelle maison est particulièrement lugubre et il s'y ennuie. Jusqu'au jour où il va apercevoir quelque chose d'étrange, derrière l'épaisse forêt qui borde la maison. Il voit des baraquements, un sol poussiéreux, des soldats, mais encore plus bizarre : des gens qui sont tous habillés de la même façon, d'un pyjama rayé.


title: Le Garçon au pyjama rayé

text: Peu de temps après, poussé par sa curiosité et son envie ardente d'exploration, et malgré l'interdiction formelle de ses parents de quitter la propriété, Bruno va échapper à la surveillance de ses parents, traverser la grande forêt et se rendre devant le camp. En s'approchant de la clôture de barbelés, il rencontre un enfant juif de huit ans, comme lui, qui s'appelle Shmuel, et, malgré la clôture qui les sépare, un dialogue va naître, avant de laisser place à une inébranlable amitié.


title: Le Garçon au pyjama rayé

text: L’innocence des deux enfants face à la dure réalité de la Shoah prend alors une tournure imprévisible, et se termine pour eux de façon tragique.


title: Le Garçon au pyjama rayé

text: Sur l'agrégateur américain Rotten Tomatoes, le film récolte d'opinions favorables pour 138 critiques. Sur Metacritic, il obtient une note moyenne de pour .


title: Mégalithe

text: Un mégalithe ("mégas", "μέγασ", « grand » et "λίθοσ", "lithos", « pierre », en grec ancien) est une construction monumentale liée au mégalithisme (au sens strict et archéologique du terme), constituée d’une ou de plusieurs pierres brutes de grandes dimensions peu ou pas taillées, érigées sans mortier ni ciment pour fixer la structure.


title: Mégalithe

text: Si le terme de « mégalithe » peut être utilisé pour décrire des monuments érigés partout sur la planète à différentes époques, l'attention des chercheurs se concentre sur les monuments les plus anciens correspondant au Mésolithique, au Néolithique, au Chalcolithique ou même à l'âge du bronze, suivant les régions.


title: Mégalithe

text: Le terme est utilisé pour la première fois par Algernon Herbert en 1849 et admis au Congrès de Préhistoire de Paris en 1867.


title: Mégalithe

text: Étymologiquement, un mégalithe (du grec "mégas" (μέγας), « grand », et "líthos" (λίθος), « pierre ») désigne une construction faite de grandes pierres mais cette définition est à la fois trop large, car par défaut elle engloberait toutes les constructions cyclopéennes (pyramides d'Égypte, temples incas), et trop restrictive puisque par convention, on inclut aussi dans les mégalithes des monuments qui ne sont pas construits uniquement avec de grandes pierres. Selon le sens le plus communément admis, un mégalithe est un monument lié au mégalithisme et constitué d’une ou plusieurs pierres de grandes dimensions, érigées ou utilisées dans une construction sans l’aide de mortier ou de ciment pour en fixer la structure.


title: Mégalithe

text: Par convention, certains monuments (hypogées) ou pierres (polissoirs) utilisés durant la Préhistoire sont classés parmi les mégalithes alors qu'ils n'en possèdent au sens strict aucune des caractéristiques. Certains chercheurs pensent qu'au Néolithique existent, à côté de ces mégalithes, leurs équivalents en bois appelés, faute de terme créé pour les désigner « dolmens et menhirs en bois », ou par l'expression parallèle « mégaxyle » (du grec "xylon", « bois »).


title: Mégalithe

text: Ainsi l'usage est venu d'appeler « mégalithes » des monuments qui ne méritent pas exactement cette qualification, bien que se rattachant au même ensemble de civilisation, et qu'au fond la masse totale des matériaux accumulés soit du même ordre de grandeur.


title: Mégalithe

text: La terminologie utilisée est assez variée, quelquefois ancienne, mêlant la forme, les matériaux et parfois la signification. Elle souligne les liens entre l'histoire de l'archéologie et ces monuments, depuis les prémices les plus anciennes, jusqu'aux découvertes les plus récentes de l'archéologie contemporaine.


title: Mégalithe

text: Dans l'usage courant, le terme peut aussi être employé pour désigner diverses constructions édifiées avec de grandes pierres mais à des périodes postérieures à la Préhistoire (cercles mégalithiques de Sénégambie en Afrique de l'Ouest, statues de l’île de Pâques, cercle mégalithe de Calçoene au Brésil).


title: Mégalithe

text: En raison des matériaux utilisés, pierres principalement, beaucoup de constructions mégalithiques ont malgré les destructions traversé les âges alors même que leur signification originelle était perdue. Durant l'Antiquité et les débuts de l'Europe chrétienne, elles ne se rattachent à aucune référence connue, alors même que leur nature imposante ne les rend pas invisibles elles demeurent énigmatiques. Dès lors, les mégalithes vont inspirer les légendes populaires qui leur donnent les origines les plus diverses. Leur caractère monumental ne peut s'expliquer que si leurs bâtisseurs disposaient de pouvoirs surnaturels : œuvres de saints chrétiens ou de la Vierge Marie, ou au contraire du Diable, constructions réalisées par des géants (dont Gargantua), des fées, des nains, des lutins... ou toute autre créature surnaturelle du folklore local.


title: Mégalithe

text: Fin /début , la redécouverte de l'Antiquité entraîne l'essor des premières fouilles archéologiques. Là où la civilisation gallo-romaine a été moins présente, les monuments qui semblaient les plus anciens étaient les mégalithes. Pétris de culture classique, les érudits de l'époque attribuèrent naturellement l'origine des mégalithes aux seuls peuples connus avant les Romains, c'est à dire aux Celtes. En Angleterre, William Stukeley publie en 1725 un ouvrage "Itinerarium curiosum", où il s'intéresse tout particulièrement au site de Stonehenge, et développe l'idée que les mégalithes sont liés aux druides celtes. En France, plusieurs érudits bretons lui emboîtent le pas selon la même logique : de Robien en 1753-1754 avec sa "Description historique, topographique et naturelle de l'ancienne Armorique ou Petite Bretagne", Théophile-Malo de La Tour d'Auvergne-Corret en 1792 avec ses "Nouvelles recherches sur la langue, l'origine et les antiquités des Bretons pour servir l'histoire de ce peuple", Jacques Cambry en 1805 avec un ouvrage au titre explicite "Monuments celtiques ou recherches sur le culte de pierres".


title: Mégalithe

text: L'hypothèse celte va prospérer tout au long du , atteindre son paroxysme à la fin du sous la forme d'une véritable celtomanie et perdurer jusqu'au début du alors même que l'essor des études préhistoriques démontre l'existence de manifestations anthropiques encore plus anciennes . Ultime avatar de la celtomanie, dans la célèbre bande dessinée Astérix, publiée au début des années 1950 mais riche en anachronismes, Obélix est un tailleur / livreur de menhirs.


title: Mégalithe

text: Si l'on considère le grand nombre de monuments mégalithiques que l'on peut observer à travers le monde, et qui ont survécu aux multiples facteurs de destruction (notamment ceux de l'homme lui-même) auxquels ils ont été confrontés au cours des siècles, il semble bien que l'on puisse considérer que les motifs qui ont abouti à leur construction aient eu une importance considérable pour l'humanité, tant aux premières époques de son développement qu'à l'heure actuelle.


title: Mégalithe

text: L'approche typologique qui a prévalu depuis les débuts des études modernes du phénomène mégalithique et jusqu'à la fin du a progressivement cédée la place à une approche plus holistique qui s'attache à étudier les monuments mégalithiques dans un ensemble de dispositifs architecturaux plus vastes.


title: Mégalithe

text: La plupart des chercheurs concernés s'accorde aujourd'hui à leur reconnaître un rôle multiple, soit, par ordre d'importance, social, culturel (religieux et funéraire, les archéologues ne pouvant plus toujours mettre en évidence ce dernier rôle en raison de l'absence totale d'ossements disparus dans les régions de roches anciennes, aux sols trop acides), astronomique, astrologique, artistique, agricole, etc. Si toutes ces constructions ne possédaient pas toutes ces fonctions, elles révèlent une société organisée . Ces constructions créent ou maintiennent la cohésion du groupe, en indiquant aux nouveaux arrivés et aux gens de passage une capacité technique et humaine importante.


title: Mégalithe

text: Prolongeant la conception de la "petra genetrix" de Mircea Eliade, Ina Mahlstedt, spécialiste en histoire des religions, considère que les pierres levées ont eu pour fonction d'accueillir les puissances estivales de la vie pendant la latence hivernale, d'après une conception selon laquelle entre la mort et la renaissance, la vie se conserve dans la pierre Selon elle, le phénomène du mégalithisme est étroitement lié aux problématiques engendrées par les débuts de l'agriculture et de la sédentarisation : la dépendance par rapport au cycle des saisons conduit à l'observation du ciel, puis à la détermination des points cardinaux et à la sacralisation des repères utilisés qui peuvent être des pierres levées ou d'autres constructions de pierre.


title: Mégalithe

text: Différentes hypothèses ont été émises quant à leur origine. De la fin du jusqu'aux 2/3 du , on a pensé qu'ils avaient été construits d'abord en un lieu particulier tel le Moyen-Orient. Montelius (1905) opte pour une origine dans le Proche-Orient ; Childe (1925,1940, 1950, 1958) reprend la position de Montelius et prône une diffusion par voie maritime ; Daniel (1960) imagine une expansion par le biais d'une élite de prêtres itinérants, depuis la Méditerranée vers le nord-ouest et l'Atlantique en passant par l'isthme pyrénéen puis de là vers la Grande-Bretagne, et plus tard par mer en contournant l'Espagne et le Portugal.


title: Mégalithe

text: L'émergence de la datation au carbone 14 dans les études préhistoriques, et donc sur les mégalithes, contredit ce schéma de diffusion : les dates suggèrent une apparition plus ou moins simultanée dans plusieurs cultures, indépendamment les unes des autres. Renfrew (1977) bâtit sur ces nouvelles données une hypothèse selon laquelle cinq centres originels auraient été à l'origine des mégalithes : Portugal, Andalousie, Bretagne, sud-ouest de l'Angleterre, Danemark et peut-être Irlande.


title: Mégalithe

text: En 2019 l'étude de l'archéologue suisse Bettina Schulz Paulsson, basée sur une approche statistique bayésienne sur mégalithiques européens, avance que le berceau du mégalithisme en Europe serait la Bretagne : les mégalithes les plus anciens y auraient été assemblés vers , cette région abritant les premières structures monumentales pré-mégalithiques (tombes sans chambre mégalithique) ainsi que des structures dites « transitionnelles » (tumulus ronds recouvrant des sépultures à fosses, des cistes de pierre et des chambres sèches sans accès, quelques pierres étant agencées au-dessus d’un monticule de terre) issues d'une civilisation de chasseurs-cueilleurs. Le mégalithisme armoricain se serait ensuite diffusé à travers l’Europe puis les côtes africaines, par voie maritime, lors de trois vagues successives jusqu'à (vagues déterminées selon les datations et les similitudes techniques et architecturales). Cette hypothèse devrait être confirmée ou infirmée par des études de paléogénétique et d'autres preuves archéologiques.


title: Mégalithe

text: L'analyse des blocs utilisés pour construire un monument mégalithique renseigne sur leur origine et sur leur passé prémégalithique (types de blocs rocheux employés, opposition entre une face d'arrachement et une face d'affleurement, micromodelés d'érosion prémégalithique).


title: Mégalithe

text: Les blocs prémégalithiques peuvent être classés en plusieurs catégories : blocs sans face d'affleurement (dalles de forme géométrique, aux contours anguleux), blocs à face d'arrachement et à face d'affleurement opposées (bloc à coupole, bloc à coupole et à encoche, bloc sans face d'arrachement.


title: Mégalithe

text: Les mégalithes présentent à leur surface deux types de microformes : les formes d’érosion postmégalithiques et prémégalithiques. Les premières .


title: Mégalithe

text: L'important mouvement culturel et démographique caractérisé par la construction de mégalithes est associé aux populations néolithiques. Une étude publiée en 2019 qui a séquencé le génome de datés entre 3800 et 2600 av. J.C. appartenant à cinq tombes mégalithiques d'Europe du Nord en Irlande, dans les îles Orcades en Écosse et dans l'île de Gotland (Suède) montre que ceux-ci sont caractéristiques des fermiers néolithiques d'Europe, possédant une large proportion d'ascendance des premiers fermiers néolithiques venant d'Anatolie et une faible proportion d'ascendance de chasseur-cueilleurs de l'ouest de l'Europe (WHG) qui les ont précédés.


title: Mégalithe

text: L'étude montre que les fermiers des différents sites mégalithiques depuis la péninsule Ibérique jusqu'à la Scandinavie présentent entre eux une affinité génétique plus importante qu'avec les fermiers néolithiques d'Europe centrale, ce qui suggère des mouvements de population le long de la façade atlantique pendant cette période.


title: Mégalithe

text: Les résultats montrent également des haplogroupes mitochondriaux variés : K, H, HV, W, U5b, T et J alors que tous les hommes appartiennent à l'haplogroupe du chromosome Y I2a typique des chasseurs-cueilleurs européens du Mésolithique. Ce résultat pourrait faire penser à un processus de mélange génétique entre fermiers et chasseurs-cueilleurs biaisé avec plus d'hommes chasseurs-cueilleurs et plus de femmes fermiers pendant le néolithique moyen. Enfin, les résultats révèlent que ces tombes mégalithiques abritaient des familles patrilinéaires.


title: Mégalithe

text: À partir du , de nombreux écrivains et peintres ont consacré une partie de leur œuvre à la représentation des mégalithes. Flaubert dans son récit de voyage en Bretagne "Par les champs et par les grèves" évoque toutes sortes d'hypothèses sur les menhirs de Carnac. Victor Hugo, en revanche, voyait dans les mégalithes des signes d'une présence poétique, bien antérieure aux civilisations antiques


title: Mégalithe

text: À l'époque moderne, on assiste à un renouveau inattendu du mégalithisme dans les pays développés consistant à dresser un nombre considérable de grosses pierres dans les ronds-points, dans les parcs, et dans les jardins. Il n'y a là aucune volonté explicitement religieuse. Il s'agit de poser des signes forts dans l'espace public ou dans l'espace privé. La référence au mégalithisme ancien peut être évidente (comme en Bretagne, en Irlande, et en bien d'autres lieux). Pour autant, une étude sociologique de ce retour au mégalithisme reste à faire.


title: Mégalithe

text: En Europe où subsistent aujourd'hui quelque , les estimations se répartissent comme suit pour les monuments mégalithiques funéraires : . Quelques milliers en Europe atlantique, avec notamment la Bretagne .


title: Mégalithe

text: En Europe de l'Ouest, la néolithisation des régions côtières atlantiques coïncide avec les premières constructions de la côte de l’Atlantique et le début du mouvement mégalithique à l'origine des connus dans cette région.


title: Mégalithe

text: Les mégalithes seraient des lieux cérémoniels de rassemblement pour célébrer des événements ou fêter des membres du village, érigés sur la façade ouest de la France (entre et avant notre ère, avec la Bretagne qui serait la région d’origine du phénomène mégalithique), avant de devenir des lieux de sépultures (premiers dolmens avant notre ère).


title: Mégalithe

text: Sur le territoire français, on peut citer le tumulus de Bougon ou le cairn de Barnenez, datés du , soit plus de avant la première pyramide égyptienne. Ces constructions extrêmement nombreuses datent généralement du Néolithique ou du Chalcolithique (4700 à ), comme Stonehenge en Angleterre. Mais le tumulus F de Bougon a fourni la date de dans sa partie Fo. Les alignements de Carnac datent d'environ .


title: Mégalithe

text: En Belgique, plus de cent vingt sites de mégalithes, dolmens et menhirs sont relevés, dont les alignements de Weris avec les dolmens et cromlechs qui leur font cortège, les pierres de Mousny-lez-Ortho, Gozée, Sart-lez-Spa, Neerwinden, Manderfeld, la tombelle de Tourinnes-Saint-Lambert et jusque dans Bruxelles où des toponymes (Tomberg, Plattesteen, etc.) témoignent de l'existence d'anciens monuments mégalithiques.


title: Mégalithe

text: Le mégalithisme de Malte (Ggantija, ) constitue un cas particulier et culturellement assez indépendant.


title: Mégalithe

text: En Sicile on trouve sur le plateau de l'Argimusco près de la ville de Montalbano Elicona plusieurs mégalithes de forme très singulière dont l'origine est encore incertaine.


title: Mégalithe

text: En Égypte, le site de de Nabta Playa est le seul site mégalithique connu. Au Soudan, des pierres ont été dressées dans le bassin de Kerma dès 4600 av. J.-C. et les pierres dressées de la frontière soudano-erythréenne peuvent être mises en relation avec les stèles du Royaume d'Aksoum. Dans la corne de l'Afrique, des pierres dressées ont été signalées à Djibouti, au Somaliland et il existe une longue tradition de pierres dressées au sud de l'Éthiopie et au nord du Kenya (Kalokol).


title: Mégalithe

text: C'est en Éthiopie que se trouve encore aujourd'hui la plus grande concentration de mégalithes de tout le continent africain. Ils sont de trois types : des cistes dolméniques, des tumulus sans chambre et des stèles, qui se comptent par milliers dans le Choa et le Sidamo. Dans le district (wereda) du Soddo au sud d'Addis-Abeba, quelque cent soixante sites archéologiques ont été découverts jusqu'à présent, dont celui de Tiya, inscrit au patrimoine mondial de l’UNESCO.


title: Mégalithe

text: En Afrique du Nord, des pierres dressées et des monuments paramégalithiques sont visibles dans tout le Sahara. Au Maroc, Gabriel Camps a signalé un dolmen aux environs d'Oudja; le site mégalithique le plus connu est le cromlech de M'zora, site unique en son genre. En Algérie et en Tunisie, on peut voir des concentrations regroupant des milliers de monuments dans de vastes nécropoles (Bou-Nouara, Roknia, Gastel, djebel Gorra...). Les dimensions des dolmens nord-africains sont assez variables mais sans commune mesure avec les dolmens européens bien qu'il existe aussi des monuments assimilables à des allées couvertes en Grande Kabylie (Aït Raouna, Aït Garet).


title: Mégalithe

text: En Afrique centrale (région de Djohong au Cameroun, région de Bouar en République centrafricaine), les monuments mégalithiques se caractérisent par des tumulus de faible envergure, parfois de simples plateformes de pierres, surmontés de pierres dressées. Au Mali, des ensembles mégalithiques sont connus dans différentes régions, les plus spectaculaires étant ceux de Tondidarou. Au moins 200 sites mégalithiques ont été recensés en Sénégambie, dans un espace limité entre les fleuves Gambie au sud et Saloum au nord, dont plusieurs classés au patrimoine mondial de l'UNESCO (Siné Ngayène, Wanar, Wassu, Ker Batch). Ils sont datés d'une période qui s'étend du au voire peut-être au de notre ère. Au Burkina Faso, il existe des tombes en hypogée surmontées d'un tertre supportant des pierres sculptées (dont certaines présentant une silhouette anthropomorphe). Dans la province d'Ogoja au sud-est du Nigeria plus de 300 pierres gravées, appelées localement "akwanshi", ont été inventoriées.


title: Mégalithe

text: Au Proche-Orient, les mégalithes correspondent très majoritairement à des monuments de type dolmens et chambres sous tumulus et sont généralement concentrés dans des nécropoles pouvant comporter des centaines de monuments (Syrie, Liban, Jordanie, Israël). Les pierres levées monumentales sont peu fréquentes (un peu plus d'une trentaine de menhirs sur une dizaine de sites différents). Il existe aussi des sites uniques en leur genre (Atlit Yam, Rujm el-Hiri).


title: Mégalithe

text: En Asie centrale, en Sibérie et en Mongolie, les pierres de cerf sont datées de la fin du et du . Elles sont attribuées à des cultures indo-européennes comme la culture d'Andronovo et à des peuples de la steppe, comme les Scythes, qui élevèrent de nombreuses stèles anthropomorphes. En Inde, les monuments mégalithiques datent du jusqu'au milieu du . En Extrême-Orient, les dolmens de Corée sont datés du , et ceux du Japon du .


title: Mégalithe

text: En Indonésie, l'érection de mégalithes, parfois très décorés, faisait encore partie des traditions culturelles de l'île de Nias au siècle dernier. Des mégalithes étaient aussi érigés pour la commémoration des défunts d'origine noble afin qu'ils puissent rejoindre leurs ancêtres dans l'au-delà. L'érection de ces monuments préludait à un festin rituel.


title: Mégalithe

text: En Colombie, des mégalithes ont été découverts sur deux sites principaux, San Augustin et d'Alto de los Idolos, distants de quelques kilomètres. Leur édification s'étale du jusqu'au . Au Brésil, une équipe d'archéologues brésiliens a découvert sur le site de Calçoene (État amazonien d'Amapá), un site mégalithique qui pourrait correspondre à un observatoire astronomique daté de .


title: Mégalithe

text: Sur le plan géologique, la cristallisation et le refroidissement d'intrusions de roche plutonique crée des fissures d'origine tectonique (réseau de failles de retrait à l'origine de chaos, réseau conjugué de plusieurs plans de diaclases) qui peuvent former, sous l'effet de l'érosion qui fait affleurer la roche, un débit de cette roche en forme de lames plus ou moins arrondies facilement extractible et donnant un mégalithe.


title: Mégalithe

text: « Sauf pour l'exploitation des roches en carrières, la fouille apporte peu d'indications sur la façon dont furent jadis construits les monuments mégalithiques. On est réduit à des démarches indirectes qui sont d'ailleurs suggestives, ne serait-ce que sur le plan des structures sociales concernées ».


title: Mégalithe

text: « En Bretagne, tout au moins, la densité des menhirs et des tombes mégalithiques est directement fonction de la nature du sol ou de la proximité des matériaux ».


title: Mégalithe

text: En ce qui concerne l'extraction, des bois de cerf aménagés en pics ont pu permettre l'extraction des blocs en élargissant les fissures naturelles ou les plans de stratification. Des percuteurs en silex ou en chaille ont pu servir à enfoncer les pics dans la roche ou à la mettre en forme par bouchardage, tandis que les omoplates de bovidés ont pu être utilisées comme pelles. L'emploi de coins en pierre et de coins en bois, mouillés, permettait de gonfler et déliter le banc rocheux, l'élargissement des fissures étant complété par l'action de leviers. Le néolithique final, vers le milieu du , est marqué en Bretagne par une révolution technique avec .


title: Mégalithe

text: En ce qui concerne le transport et l'érection, les techniques sont diverses : pour le transport par voie d'eau pour les grandes distances (transport maritime puis fluvial), les apports de l'archéologie expérimentale plus significatifs que la grande rareté des principaux témoins archéologiques en bois, suggèrent que les embarcations en charpente de bois de type barge sont plus aptes que les pirogues monoxyles et les radeaux à transporter les grands menhirs en mer. Le transport terrestre sur le continent peut se faire par roulage sur des chemins de ripage en rondins voire en troncs pour les blocs de plus de , par glissement sur sol gelé, par des traîneaux ou des sortes de rails en troncs de chêne, par la technique du panglong en Asie du Sud-Est. Des coins, perches et cordages (cordes en fibre végétale tressée, en racines souples de sapin, de lierre et de viorne, qui sont trempées, martelées puis tressées) permettent de manipuler et d'élever ces blocs. Cependant, ces théories appuyées par l'archéologie expérimentale ne permettent d'expliquer le transport de blocs que de faible tonnage et que sur des pentes très faibles.


title: Mégalithe

text: La mise en place des dalles de couverture sur des piliers verticaux peut se réaliser à l'aide de rampes ou plans inclinés, voire d'échafaudages. Après basculement du menhir dans sa fosse, ce mégalithe peut être relevé à l'aide d'une chèvre de levage, puis solidement maintenu par des « blocs de calage ».


title: Mégalithe

text: Il ne semble pas que les bœufs aient été employés pour tracter, bien que le joug ait été connu au Néolithique. Les chercheurs pensaient que le transport et l'érection des mégalithes nécessitaient une main-d'œuvre importante réunie au cours de festivités ou cérémonies. Mais l'expérience, largement médiatisée en 1979, réalisée par Jean-Pierre Mohen à Bougon dans les Deux-Sèvres, a bousculé plusieurs idées reçues sur les investissements en temps et en main-d'œuvre, sur l'usure, ou sur la densité des populations qui auraient participé aux travaux. Poussé par vingt hommes et tiré par cent soixante-dix autres à l'aide de cordes en lin sur un train de rondins, eux-mêmes installés sur des rails de bois, un bloc de a parcouru une quarantaine de mètres avant d'être élevé d'un mètre au moyen de trois leviers. Des expériences similaires ont montré que des effets importants peuvent aussi être accomplis avec peu de personnes, bien que lentement.


title: Mégalithe

text: Si la dégradation des édifices mégalithiques est en partie imputable aux outrages du temps, les destructions résultent le plus souvent d'une action humaine volontaire, parfois très ancienne. Dès le Néolithique, dès lors qu'un site n'avait plus d'usage funéraire, ses blocs de pierre pouvaient être récupérés ou détruits symboliquement. Beaucoup de tombes furent pillées dès l'Antiquité. Émile Cartailhac évoque un passage de Cassiodore qui attribue aux Goths l'habitude de faire ouvrir les tombeaux anciens, pour en voler les trésors supposés y être cachés tout en veillant à respecter la cendre des morts.


title: Mégalithe

text: Dans sa volonté de faire disparaître toute trace de paganisme, l'Église catholique fut l'une des plus grandes destructrices de monuments mégalithiques. Dès 452, le concile d'Arles condamne comme sacrilège toute personne allumant des flambeaux ou rendant un culte quelconque près de ces pierres. En 567, le concile de Tours renouvelle cette condamnation. En 658, le concile de Nantes ordonne aux évêques de faire démolir les édifices qui font encore l'objet d'un culte et d'en faire transporter les pierres dans des endroits perdus où nul ne les retrouvera. En 789, un décret de Charlemagne exècre devant Dieu ceux qui leur rendent un culte. Par la suite, l'Église adopte des méthodes moins violentes, comme la christianisation des menhirs.


title: Mégalithe

text: En dehors d'une volonté délibérée de destruction, diverses actions humaines contribuent à une dégradation inexorable, notamment dans le cas des dolmens : destruction des tumulus qui protègent les édifices mais gênent les cultures, récupération des pierres (dalles de couverture, orthostates, pierres du cairn dolménique) pour la construction, la taille de pavés, les travaux de voiries… Ces destructions s'accroissent considérablement avec le développement du machinisme agricole à partir du milieu du .


title: Mégalithe

text: Dès la fin du sont établis des cartes archéologiques et des inventaires qui permettent de recenser le patrimoine mégalithique et conduisent les autorités administratives à protéger certains édifices au titre des monuments historiques.


title: Équation

text: Une équation est, en mathématiques, une relation (en général une égalité) contenant une ou plusieurs variables. "Résoudre" l'équation consiste à déterminer les valeurs que peut prendre la variable pour rendre l'égalité vraie. La variable est aussi appelée "inconnue" et les valeurs pour lesquelles l'égalité est vérifiée "solutions". À la différence d'une identité, une équation est une égalité qui n'est pas nécessairement vraie pour toutes les valeurs possibles que peut prendre la variable.


title: Équation

text: Les équations peuvent être de natures diverses, on les trouve dans des branches différentes des mathématiques ; les techniques associées à leur traitement diffèrent selon leur type.


title: Équation

text: L'algèbre étudie surtout deux familles d'équations : les "équations polynomiales" et parmi elles les "équations linéaires". Les équations polynomiales sont de la forme "P"("X") = 0, où "P" est un polynôme. Des méthodes de transformation et de changement de variable permettent de venir à bout des plus simples. Les équations linéaires sont de la forme "a"("x") + "b" = 0, où "a" est une application linéaire et "b" un vecteur. On utilise pour les résoudre des techniques algorithmiques ou géométriques, issues de l'algèbre linéaire ou de l'analyse. Modifier le domaine de définition de la variable peut changer considérablement la nature de l'équation. L'algèbre étudie également les équations diophantiennes, équations dont les coefficients et les solutions sont des entiers. Les techniques utilisées sont différentes et essentiellement issues de l'arithmétique. Ces équations sont en général difficiles, on cherche souvent uniquement à déterminer l'existence ou l'absence de solution et, si elles existent, leur nombre.


title: Équation

text: La géométrie utilise les équations pour décrire et caractériser des figures. L'objectif est encore différent des cas précédents, l'équation est utilisée pour mettre en évidence des propriétés géométriques. Il existe, dans ce contexte, deux grandes familles d'équations, les cartésiennes et les paramétriques.


title: Équation

text: L'analyse étudie des équations du type "f"("x") = 0, où "f" est une fonction ayant certaines propriétés comme la continuité, la dérivabilité ou encore le fait d'être contractante. Des techniques permettent de construire des suites convergeant vers une solution de l'équation. L'objectif est de pouvoir approcher la solution aussi précisément que possible.


title: Équation

text: Un système dynamique est défini par une équation dont les solutions sont, soit des suites, soit des fonctions d'une ou plusieurs variables. Il existe deux questions centrales : l"'état initial" et le "comportement asymptotique". Pour chaque état initial admissible, par exemple la valeur de la suite ou de la fonction en zéro, l'équation admet une unique solution. Parfois, une petite modification de l'état initial modifie peu la solution. Ce n'est pas toujours le cas, cette "sensibilité" à la condition initiale est l'objet de la première question. Le comportement limite ou encore asymptotique d'une solution correspond à la forme de la solution quand la variable tend vers l'infini, ce comportement est l'objet de la deuxième question. S'il ne diverge pas, il peut, soit tendre vers une valeur donnée, soit s'approcher d'un comportement cyclique (une fonction périodique ou une suite parcourant toujours un même ensemble fini de valeurs et dans le même ordre), soit avoir un comportement chaotique, semblant évoluer au gré du hasard, même si la solution est par définition déterministe.


title: Équation

text: Dans l'exemple, la formulation sous forme d'équation, c'est-à-dire l'égalité (1), est équivalente à la question posée. Y répondre revient à déterminer l'unique valeur que doit prendre l'inconnue "x" pour que l'égalité définissant l'équation soit vraie. Le maniement de l'inconnue permet de résoudre quelques équations, comme celle présentée ici. Cette vision est source d'une autre manière de définir une équation. Pour lEncyclopédie Soviétique de Mathématiques", une équation est la traduction, sous une forme analytique, d'un problème. L'équation "f"("x") = "g"("x") correspond à la question : pour quelle valeur de "x", l'équation se transforme-t-elle en égalité ? Cette définition décrit bien les premières équations étudiées, qui sont parfois la formulation mathématique d'une question de la vie courante.


title: Équation

text: Cette définition fondée sur une question n'est pas la plus générale : en géométrie, l'équation du cercle ne fait pas référence à une question. Cependant, la forme reste la même : une égalité entre deux expressions, utilisant deux variables généralement notées "x" et "y".


title: Équation

text: Au , Viète, un mathématicien français, trouve une méthode pour exprimer de manière générique une famille d'équations. Pour en comprendre l'intérêt, illustrons-le par une question.


title: Équation

text: L'équation (4) ci-contre est dite « équation paramétrée » et la lettre "a" désigne le « paramètre ». Son usage permet d'étudier les équations par familles.


title: Équation

text: Les questions que soulève l'étude d'une équation dépendent de sa nature. À l'image de l'équation précédente, certaines sont définies à l'aide d'une fonction "f" : ℝ → ℝ, c'est-à-dire de l'ensemble des nombres réels dans lui-même. L'équation s'écrit "f"("x") = 0 (plus généralement, une équation de la forme "g(x)=h(x)" sera ramenée à la forme "f(x) "= 0 en posant "f=g-h)". On commence parfois l'étude par établir l'existence ou non de solution à l'équation. Le nombre de solutions est donnée par l'étude de la fonction "f", ce cas est étudié dans le paragraphe sur les zéros d'une fonction.


title: Équation

text: Parfois, il est plus simple de commencer par étudier les propriétés de la ou des éventuelles solutions, sans se préoccuper initialement de leur existence. C'est le cas pour le problème isopérimétrique du triangle. La question revient à trouver le triangle de périmètre donné (on prend ici la valeur 3) de plus grande aire possible. Si "T" désigne l'inconnue, ici un triangle de périmètre 3, "S"("T") la fonction qui à un triangle associe son aire et "m" la borne supérieure des surfaces des triangles de périmètre 3, la traduction sous forme d'équation du problème s'écrit :


title: Équation

text: Dès l'antiquité, les mathématiciens savent que l'unique réponse possible est le triangle équilatéral. En revanche, établir l'existence d'une solution est plus technique et fait appel à des outils inconnus jusqu'au . L'existence d'une solution est intimement liée à l'ensemble dans lequel on recherche cette solution. Si, dans l'exemple choisi, cet ensemble est étendu à celui des polygones de périmètre 3, l'équation n'admet plus de solution. Pour établir ce résultat, on démontre dans un premier temps qu'une éventuelle solution serait nécessairement un polygone régulier. Or plus le nombre de côtés d'un polygone régulier de périmètre donné augmente, plus son aire croît ; ce qui montre l'absence de solution, car aucun polygone régulier n'est d'aire maximale.


title: Équation

text: La forme d'une solution dépend des besoins. L'équation définissant le nombre d'or φ est : "X" – "X" – 1 = 0. Pour un architecte, la forme la plus pragmatique est une approximation décimale comme . En revanche, si l'objectif est d'établir la formule reliant la suite de Fibonacci ("u") avec φ :


title: Équation

text: Une forme exacte comme (1 + )/2 est indispensable. Comme le nombre d'or est irrationnel, il ne peut y avoir d'expression exacte sans l'aide d'une fonction auxiliaire comme la racine carrée, car les quatre opérations et les nombres entiers n'expriment que des rationnels. L'approximation de solutions fait l'objet de vastes études, qui entrent dans un domaine des mathématiques appelé analyse numérique.


title: Équation

text: La première "théorie des équations" ne concerne que les équations polynomiales, c'est-à-dire de la forme "P"("X") = 0 où "P" est un polynôme. Elle est basée sur des transformations des membres de l'équation en appliquant les cinq opérations (addition, multiplication, soustraction, division et extraction de racine) aux coefficients de l'équation comme à son inconnue.


title: Équation

text: Si le degré du polynôme est égal à 2 et si les coefficients et les solutions recherchées sont réels, alors ces méthodes permettent de trouver les solutions, encore appelées racine (cf. l'article « Équation du second degré »). L'usage du changement de variable permet d'étendre la famille d'équations qui se résolvent, comme l'illustre l'exemple e – (e + e)e + e = 0 en posant "X" = e. Cette méthode du changement de variable ne se limite pas aux équations algébriques.


title: Équation

text: Pour aller plus loin et résoudre l'équation cubique, c'est-à-dire du troisième degré, les mathématiciens italiens de la Renaissance découvrent la nécessité d'enrichir l'ensemble des nombres en lui adjoignant des nombres imaginaires. Cette découverte permet la résolution des équations du troisième et quatrième degré (voir les méthodes de Cardan et Ferrari).


title: Équation

text: Le théorème de d'Alembert-Gauss précise que tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1 et à coefficients réels ou complexes, admet au moins une racine complexe. Si ce théorème assure, dans un cas très général, l'existence d'une solution, il n'en offre aucune formulation explicite, et l'intuition de ces racines complexes pour les polynômes réels n'est pas immédiate. Le deuxième théorème, dit théorème d'Abel en explique la raison : il n'existe, en général, aucune formule analogue à celles qui s'appliquent aux petits degrés, capable d'exprimer les racines. Ce résultat, œuvre de Niels Abel, est complété par Évariste Galois qui indique une condition nécessaire et suffisante pour déterminer dans quels cas les racines d'une équation polynomiale possèdent une expression de cette nature. Sa démonstration fait appel à la théorie de Galois.


title: Équation

text: Les deux théorèmes précédents closent la "théorie des équations". Cette expression fut encore en vigueur en mathématiques pendant tout le . Elle reste d'actualité en histoire des sciences. Elle est encore utilisée en mathématiques, mais elle est devenue rare et un peu désuète.


title: Équation

text: Une autre famille d'équations est traitée par l'algèbre : celle des équations linéaires. Ce sont les équations de la forme (1) "a(x)" + "b" = 0, où "a" est une application linéaire d'un espace vectoriel "E" dans un espace vectoriel "F", "b" un vecteur de "F" et "x" une variable qui décrit l'ensemble "E". Si les espaces "E" et "F" sont de dimension finie, notés "n" pour "E" et "m" pour "F", le choix d'une base de "E" et de "F", permet d'exprimer "a" sous la forme d'une matrice ("a"), "x" sous la forme d'un vecteur colonne à "n" coordonnées ("x") et "b" d'un vecteur colonne à "m" coordonnées ("b").


title: Équation

text: D'une équation (1) on passe à un système (2), de "m" équations à "n" inconnues. Cette technique, consistant à passer d'une équation vectorielle à un système de plusieurs équations réelles de plusieurs variables réelles, ne se limite pas au cas linéaire.


title: Équation

text: Sous la forme (2), plusieurs algorithmes permettent de trouver une racine. Si "n" est égal à "m" et si le déterminant de la matrice de "a" est non nul, il est possible d'utiliser la règle de Cramer. Ce n'est pas l'algorithme le plus efficace : la méthode du pivot de Gauss est plus simple et plus rapide. Elle revient à isoler les "n" variables à l'aide d'une suite de substitutions. Cette méthode est ancienne ; on en trouve un équivalent dans le chapitre 8 du livre chinois de mathématiques intitulé "Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique" et datant d'avant notre ère. Au , Qin Jiushao va plus loin et trouve comment résoudre un système linéaire avec des congruences comme coefficients, pour résoudre une question liée à un .


title: Équation

text: L'approche géométrique de l'équation linéaire offre des informations d'une autre nature. L'image d'une application linéaire "a", c'est-à-dire l'ensemble des vecteurs qui admettent un antécédent par "f" forme un sous-espace vectoriel, comme l'est un plan dans un espace de dimension trois. Le noyau de "a", c'est-à-dire les vecteurs de l'ensemble de départ ayant pour image le vecteur nul, est aussi un sous-espace. Ces résultats montrent que l'ensemble des solutions forme un espace affine de direction le noyau de "a".


title: Équation

text: Le point de vue géométrique permet d'élaborer des algorithmes de résolution qui tiennent compte des spécificités de "a". Dans certains cas particuliers, il existe des techniques qui permettent de trouver une solution plus rapidement qu'avec la méthode du pivot de Gauss. Un exemple correspond au cas où "E" est un espace euclidien égal à "F" et "a" est tel que l'application qui à "x" et "y" associe 〈–"ax","y"〉 soit un produit scalaire. Ici les crochets désignent le produit scalaire initial de l'espace "E". Ceci implique que la matrice de "a" est de déterminant non nul et symétrique, si la base de "E" est choisie orthonormée.


title: Équation

text: Une méthode consiste à ne pas chercher à résoudre l'équation "ax" + "b" = 0 mais à répondre à une autre question, d'apparence plus complexe. Elle revient à trouver le point optimal de l'expression qui à "x" associe "f"("x"), défini par :


title: Équation

text: Son point optimal est la solution de l'équation linéaire. Pour comprendre la méthode de résolution, le plus simple est de représenter le cas où "F" est de dimension 2. Le graphe de "f" a alors la forme d'un pain de sucre, comme illustré sur la figure de gauche. Une méthode consiste à partir d'un point quelconque "x" et à suivre la ligne de plus grande pente, illustrée en rouge sur les figures et qui correspond à une parabole à gauche et à un segment à droite. Le sommet de cette parabole est noté "x". À partir du point "x", on suit à nouveau la ligne de plus grande pente, en vert sur les figures. Cette technique porte le nom d'algorithme du gradient.


title: Équation

text: Si, au lieu de suivre exactement le chemin de plus grande pente, on en choisit un de direction orthogonale aux directions précédentes pour le produit scalaire 〈–"ax","y"〉, la méthode converge vers la solution en un maximum de "n" étapes, si "n" désigne la dimension de "E". Elle porte le nom de méthode du gradient conjugué.


title: Équation

text: En géométrie euclidienne, il est possible d'associer à chaque point de l'espace un jeu de coordonnées, par exemple à l'aide d'un repère orthonormé. Cette méthode permet de caractériser des figures géométriques à l'aide d'équations. Un plan dans un espace de dimension 3 s'exprime comme l'ensemble des solutions d'une équation du type "ax" + "by" + "cz" + "d" = 0, où "a", "b", "c" et "d" sont des nombres réels, "x", "y", "z" les inconnues qui correspondent aux coordonnées d'un point du plan dans le repère orthonormal. Les valeurs "a", "b" et "c" sont les coordonnées d'un vecteur perpendiculaire au plan défini par l'équation. Une droite s'exprime comme l'intersection de deux plans, c'est-à-dire comme les solutions d'une équation linéaire à valeurs dans ℝ ou comme les solutions d'un système de deux équations linéaires à valeurs dans ℝ, si ℝ désigne l'ensemble des nombres réels.


title: Équation

text: Une conique est l'intersection d'un cône d'équation "x" + "y" = "z" et d'un plan. Autrement dit, dans l'espace, toute conique est définie comme les points dont les coordonnées sont solutions d'une équation du plan dans ℝ et de l'équation précédente. Ce formalisme permet de déterminer les positions et les propriétés des foyers de la conique.


title: Équation

text: Avec cette approche, on obtient des équations dont l'objectif n'est pas l'expression des solutions au sens du paragraphe précédent. Un exemple est donné par un théorème de Thalès indiquant qu'un triangle est rectangle s'il possède un côté égal à un diamètre d'un cercle et un sommet opposé élément du cercle. Ce théorème est illustré sur la figure de droite. Si le repère est bien choisi, il est orthogonal et l'équation du cercle s'écrit : "x" + "y" = 1, les points "A" et "C" de la figure de droite ont pour coordonnées respectives (-1,0) et (1,0). Dire que "AB" est perpendiculaire à "CB" revient à dire que les vecteurs associés sont orthogonaux. L'équation du cercle permet de conclure la démonstration, en effet :


title: Équation

text: L'usage d'une équation permet de faire appel à un nouveau pan des mathématiques pour résoudre des questions de géométrie. Le repère cartésien transforme un problème de géométrie en un problème d'analyse, une fois les figures étudiées traduites en équations ; d'où le nom de géométrie analytique. Ce point de vue, mis en évidence par Descartes, enrichit et modifie la géométrie telle que la concevaient les mathématiciens de la Grèce antique.


title: Équation

text: Actuellement, la géométrie analytique désigne une branche des mathématiques où la recherche est active. Si elle utilise toujours l'équation pour caractériser une figure, elle utilise aussi des outils sophistiqués issus de l'analyse fonctionnelle ou de l'algèbre linéaire.


title: Équation

text: Il existe au moins deux méthodes pour décrire une figure géométrique à l'aide d'équations. La première consiste à la décrire par une équation de la forme "f"("x") = "0", où "f" est une fonction de l'espace euclidien "E" de dimension "n" dans ℝ où "d" est un entier plus petit que "n". Si "f" est une fonction suffisamment régulière, "n" - "d" est la "dimension" de la figure géométrique. Si elle est égale à 1, la figure est une courbe, pour 2, on parle de surface, etc. Une telle équation peut aussi s'écrire comme système de "d" équations à valeurs dans les réels exactement comme pour le cas de l'équation linéaire. Ce type d'équation est appelé "cartésien" si "x" est exprimé à l'aide de ses coordonnées dans un repère cartésien. Les équations décrites dans le paragraphe précédent sont toutes cartésiennes, comme celle du cercle d'équation "x" + "y" = 1.


title: Équation

text: Une autre méthode consiste à décrire la figure géométrique à l'aide d'une fonction "f" de ℝ dans "E" de la manière suivante, un point "m" de "E" est élément de la figure lorsqu'il existe un point "x" de l'ensemble de définition de la fonction "f" tel que "f"("x") est égal à "m". Dans ce cas, et sous réserve d'une régularité suffisante de "f" (il suffit que sa différentielle soit injective), la figure est de dimension "d". On parle d'équation paramétrique de la figure géométrique, cette définition de l'équation est relativement éloignée de celle trouvée en algèbre.


title: Équation

text: Si la figure est suffisamment régulière, par exemple si elle correspond à une variété, au moins localement, il existe un paramétrage de la figure. Localement signifie que si "m" est un élément de la figure, il existe une fonction "f" et un voisinage "V" d'un point de l'ensemble de départ de "f" tel que l'image de "f" soit incluse dans la figure et tel que l'image de "V" par "f" soit un voisinage de "m" dans la figure. Localement, il est aussi possible de définir la figure à l'aide d'une équation cartésienne.


title: Équation

text: Historiquement, les premières équations formalisées sont de nature arithmétique et datent du . Si l'on recherche comme solution d'une équation, non pas un nombre quelconque, mais un nombre entier et si l'équation est à coefficients entiers, on parle d"'équation diophantienne". Les méthodes décrites précédemment sont généralement insuffisantes pour conclure, des outils issus de l'arithmétique, ou au moins de l'arithmétique élémentaire sont indispensables. Un exemple relativement simple est celui linéaire à deux inconnues "ax" + "by" = "c".


title: Équation

text: Si le degré de l'équation augmente, la question devient beaucoup plus complexe. Même une équation de degré 2 n'est en général pas simple (voir par exemple le théorème des deux carrés de Fermat ou l'équation de Pell-Fermat). À condition d'ajouter d'autres méthodes, comme celle de descente infinie et de nouveaux résultats comme le petit théorème de Fermat, il est possible de résoudre quelques cas particuliers. Le cas général de l'équation de degré 2 demande l'usage d'outils plus sophistiqués, comme ceux de la théorie algébrique des nombres. Les ensembles de nombres sont enrichis, on utilise les corps finis et les entiers algébriques, qui s'étudient, comme pour l'équation algébrique, à l'aide de la théorie de Galois. Si l'équation algébrique de degré 2 est essentiellement résolue par Al-Khwârizmi, un mathématicien arabe du , il faut attendre la fin du pour que David Hilbert vienne à bout de son équivalent diophantien. L'étude de l'équation diophantienne est souvent suffisamment complexe pour se limiter à établir l'existence de solutions et, s'il en existe, à déterminer leur nombre.


title: Équation

text: Un vaste domaine d'application des équations diophantiennes est l'informatique. Les outils issus de leurs études permettent de concevoir des codes correcteurs et sont à la base d'algorithmes en cryptologie. Il existe des équations diophantiennes qui s'écrivent simplement, mais qui demandent des temps de traitement prohibitifs pour les résoudre, elles sont à la base de codes secrets. Par exemple, l'équation "n" = "xy", où "n" est un entier naturel fixé et où "x" et "y" sont les inconnues, n'est pas résoluble en pratique, si "n" est le produit de deux nombres premiers suffisamment grands. Cette équation est à la base du chiffrement RSA.


title: Équation

text: Au lieu de se demander quels nombres sont solutions d'une équation donnée, on peut considérer le problème inverse : de quelles équations un nombre donné est-il solution ? Un nombre est dit rationnel s'il est solution d'une équation du premier degré à coefficients entiers. Il est dit algébrique s'il est solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers. S'il n'est pas algébrique, il est dit transcendant. Ainsi, pour un nombre donné, l'objectif est de trouver les éventuelles équations polynomiales dont ce nombre est racine (voir « Polynôme minimal (théorie des corps) »).


title: Équation

text: Par exemple pour , la question se pose de savoir s'il est possible de construire une équation du premier degré ayant cette valeur pour racine. Elle se résout simplement : si une telle équation existe, on en déduit l'expression 2"a" = "b", où "a" et "b" sont des nombres entiers. L'analyse de la décomposition en facteurs premiers montre que le terme de droite contient le facteur 2 un nombre pair de fois et celui de gauche un nombre impair. Cette remarque démontre que n'est pas un nombre rationnel. En revanche, il est par définition algébrique, car solution de l'équation "X" – 2 = 0.


title: Équation

text: La même question pour le nombre est plus délicate. Pour montrer que ce nombre n'est solution d'aucune équation du premier degré à coefficients dans les nombres entiers, on utilise des fractions continues généralisées (une démonstration est proposée dans l'article « Fraction continue et approximation diophantienne »). Les techniques sont plus sophistiquées que celles utilisées pour démontrer l'irrationalité de . Alors que ce premier résultat est déjà connu à l'époque d'Euclide, il faut attendre le pour établir celle de .


title: Équation

text: Si montrer que n'est pas solution d'une équation du premier degré à coefficients dans les entiers n'est déjà pas si simple, il est encore plus ardu de montrer qu'il n'est solution d'aucune équation polynomiale à coefficients entiers. Il faut encore plus d'un siècle d'efforts pour établir cette transcendance. Elle clôt une vieille question, à savoir s'il est possible de construire à la règle et au compas un carré de même aire qu'un cercle, cette question porte le nom de quadrature du cercle. Elle est impossible car toute construction de cette nature définit une surface d'aire égale à un nombre algébrique.


title: Équation

text: Résoudre une équation diophantienne polynomiale n'est pas toujours possible avec les seuls outils de la théorie algébrique des nombres. Avec ce type de méthode, Ernst Kummer parvient à résoudre, au milieu du , presque tous les cas inférieurs à 100 de la célèbre équation dénommée dernier théorème de Fermat, mais le cas général reste hors de portée.


title: Équation

text: La géométrie, et plus précisément la géométrie algébrique, a été nécessaire pour conclure. L'équation du dernier théorème de Fermat s'écrit de la manière suivante : "x" + "y" = "z". Quitte à étudier les solutions dans les nombres rationnels, on peut diviser par "z" et écrire l'équation "q" + "r" = 1. Si "q" et "r" sont choisis dans l'ensemble des nombres complexes, noté ici ℂ, géométriquement, cette équation correspond à une figure de ℂ, ou encore à une surface réelle dans un espace de dimension 4. Vue dans l'espace projectif de ℂ, on obtient une surface réelle, plongée dans un espace compact dont la visualisation n'est pas intuitive. Il suffit de connaître les points rationnels de cette surface pour permettre de conclure sur les solutions du théorème de Fermat.


title: Équation

text: La topologie offre des éléments de réponse pour cette équation. Une surface de cette nature possède un genre. Topologiquement, elle est équivalente à une sphère (genre 0), à un tore (genre 1) ou à une figure comportant "n" trous (genre "n"). Dans le cas d'une variété algébrique, définie par une équation du type "P"("X", "Y") = 0, où "P" est un polynôme à coefficients rationnels, le genre de la variété est une indication sur le nombre de solutions. Ce résultat, qui porte le nom de théorème de Faltings, est de la même famille d'outils que ceux utilisés pour la démonstration du théorème de Fermat.


title: Équation

text: En analyse plus encore, il sera bien souvent vain d'espérer traiter une équation par des techniques élémentaires de substitution ou transformation, en espérant isoler la variable. Et même quand cela s'avère possible, comme pour certaines équations algébriques, si l'objectif est l'obtention d'une valeur numérique, l'approche décrite dans ce paragraphe est souvent moins coûteuse. On peut toujours ramener l'équation à une forme "f"("x") = 0. Considérons par exemple l'équation suivante, l'inconnue étant un réel strictement positif :


title: Équation

text: Elle se réécrit "f"("x") = 0 si l'on pose "f"("x") = (sin"x") + (ln"x")/2. Un "zéro" est une solution de l'équation dans ce cas particulier. Il serait vain de chercher à exprimer un "zéro" par une formule composant des fonctions élémentaires (fractions rationnelles, fonctions exponentielles, logarithmiques ou trigonométriques...). Une telle expression n'existe pas ici. On se contentera de chercher le nombre de zéros, des intervalles les contenant, ainsi que des approximations de ces zéros.


title: Équation

text: Dans l'exemple, l'étude de la fonction "f" montre facilement qu'il y a exactement trois zéros, un dans l'intervalle ]0, 1], un dans [3, 4] et le dernier dans [5, 6]. La continuité de "f" permet de construire une première suite ("x") convergeant vers le zéro de l'intervalle ]0, 1]. Au voisinage de 0, la fonction est strictement négative, au point 1, elle est strictement positive, le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'un zéro dans cet intervalle, car "f" est continue. On pose "x" = 0, au point 1/2, la fonction "f" est strictement positive, on en déduit l'existence d'un zéro dans l'intervalle [0, 1/2] et on pose "x" = 0. Au point 1/4, elle est strictement négative, on en déduit l'existence d'un zéro dans [1/4, 2/4] et on pose "x" = 1/4 et ainsi de suite. On construit ainsi une suite convergeant vers la solution, ce qui permet d'obtenir une approximation aussi précise que souhaitée. Cette méthode porte le nom de dichotomie et est la première illustrée dans la figure du paragraphe.


title: Équation

text: Seule la continuité de "f" a été utilisée dans l'algorithme précédent, un théorème du point fixe est à la base d'une méthode plus efficace. On construit une fonction "g" (en rouge sur la figure du milieu) ayant pour point fixe (c'est-à-dire un point "x" tel que "g"("x") = "x") la solution recherchée. On choisit "g" de telle manière que la dérivée au point fixe soit la plus petite possible. Une solution simple est de définir "g"("x") = "x" + λ"f"("x"). Dans l'exemple, on peut choisir λ égal à –1/2. Cette fois-ci, il est plus judicieux de choisir "x" égal à 1. On définit "x" = "g"("x"). Si la dérivée de "g" est proche de 0, la convergence est bien meilleure que celle de l'algorithme précédent. Dans l'exemple choisi, la solution est égale à 0,43247... La quatrième itération de la première méthode donne pour valeur 0,375 alors que celle issue du point fixe donne 0,4322...


title: Équation

text: La dérivabilité de "f" partout sur son domaine permet la mise au point d'un algorithme ayant une convergence encore meilleure. La méthode consiste, à partir d'un point "x", égal à 1 dans l'exemple, à trouver la solution "x" de l'équation linéaire tangente de la fonction "f" au point "x". Puis on construit "x" comme la solution de l'équation linéaire tangente de la fonction "f" au point "x". Dans l'exemple étudié, illustré sur la figure de droite, la valeur de "x" est égale à 0,43246 soit quatre décimales exactes. Cette méthode porte le nom de Newton.


title: Équation

text: Si l'équation prend la forme "f"("x") = 0 où "f" est une fonction d'un espace vectoriel "E" à valeurs dans un espace vectoriel "F" dont le vecteur nul est noté 0, les idées de l'algèbre linéaire peuvent encore s'appliquer partiellement. Il est possible de choisir une base de "E" et de "F" et d'exprimer "f" à l'aide de "m" fonctions "f" réelles de "n" variables "x", où "m" est la dimension de "F" et "n" celle de "E", on obtient ce que l'on appelle un système d'équations, de la forme suivante :


title: Équation

text: Les mêmes limitations que celles décrites au paragraphe précédent s'appliquent. Il est tout à fait possible que la technique d'isolation des variables, qui fonctionne dans le cas de l'équation linéaire, ne soit pas possible, par exemple si les "f" contiennent des expressions trop complexes. Certaines des idées, exprimées dans le cas où "f" est une fonction de la variable réelle à valeurs réelles, peuvent s'adapter à la géométrie d'un espace vectoriel de dimension finie, d'autres non. Il n'existe pas d'équivalent du théorème des valeurs intermédiaires pour la nouvelle configuration. En revanche, le théorème du point fixe se généralise, ainsi que la définition d'une dérivée.


title: Équation

text: La dérivée, ou plutôt la différentielle de "f" peut être utilisée de plusieurs manières. La première est une simple adaptation de la méthode de Newton, à partir d'un point "x", on résout l'équation linéaire tangente en ce point, c'est-à-dire D"f"."h" + "f"("x") = 0. La valeur "x" est égale à "x" + "h" et l'on réitère le processus pour obtenir une suite. Si "E" est égal à "F" et pour permettre une convergence plus rapide, on résout souvent une équation linéaire analogue, mais dont l'application linéaire associée définit un produit scalaire. Cette astuce permet une accélération du temps de traitement de la résolution des équations linéaires intermédiaires, la méthode associée porte le nom de quasi-Newton.


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text: Une autre méthode consiste à transformer l'ensemble d'arrivée en R, par exemple en équipant "F" d'un produit scalaire et en recherchant les "zéros" de la fonction "g" à valeurs réelles, qui à "x" associe le carré de la norme de "f"("x") ou encore le produit scalaire de "f"("x") avec "x", si "E" est égal à "F". Les deux équations "f"("x") = 0 et "f"("x") = 0 possèdent les mêmes solutions. Le problème revient à trouver un extremum de la nouvelle fonction "g". On part d'un point "x" dans la direction de la ligne de plus grande pente, dont la direction est donnée par le gradient et on s'arrête au point "x", le minimum de la fonction "g" dans la direction du gradient. Puis on réitère le calcul.


title: Équation

text: Si l'espace vectoriel "E" est plus vaste et n'est plus de dimension finie, d'autres idées doivent être utilisées pour venir à bout de l'équation. Cette configuration se produit si l'inconnue "x" désigne une fonction. Une fois encore, il est vain de rechercher des méthodes systématiques exprimant les solutions sous la forme d'une composition de fonctions élémentaires, les cas où une telle expression existe tiennent plus de l'exception que de la règle.


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text: Une méthode générale consiste associer à un espace de fonctions "H", comme celui des fonctions continues définies sur un intervalle ["a", "b"], une géométrie. Pour ce faire, on peut définir sur l'espace une distance euclidienne, c'est-à-dire définie par un produit scalaire comme celui qui, à deux fonctions "f" et "g" de "H" associe :


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text: À l'aide de cette distance, on construit une suite ("x") de fonctions qui vérifie la propriété de Cauchy, c'est-à-dire que si les indices "n" et "m" sont suffisamment grands "x" et "x" sont arbitrairement proches. Un exemple est donnée par l'équation intégrale, dite de Fredholm :


title: Équation

text: La suite ("x") est construite de telle manière que la distance entre les fonctions "F"("t") et "g"("t") tende vers zéro. La difficulté est qu'une suite de Cauchy ne converge pas nécessairement dans "H", ce qui revient à dire que cet espace n'est pas complet. Il est alors "plongé" dans un espace "H" qui le contient et qui lui, est complet. Un élément de "H" n'est plus une fonction, il peut être vu comme un élément du dual de "H". Dans "H", la suite ("x") converge vers une limite "s". Elle peut être interprétée comme une solution de l'équation (1) car la distance entre "F"("s") et "g" est nulle. Mais "s" n'est pas une fonction, c'est un être abstrait, élément du dual de "H", on parle de "solution faible". On montre enfin que cet être abstrait s'identifie à un élément de "H", c'est-à-dire une à fonction qui vérifie l'équation (1), appelée "solution forte"


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text: La physique est à l'origine d'équations fonctionnelles particulières : les systèmes dynamiques. Un exemple historiquement célèbre, est issu de la loi universelle de la gravitation. Si l'on néglige l'attraction due aux autres planètes, l'accélération de la Terre est dirigée vers le soleil et son intensité est inversement proportionnelle au carré de la distance qui sépare les deux astres. Cette loi physique se traduit par une équation qui, une fois connues la position et la vitesse initiales de la Terre, donne sa trajectoire, c'est-à-dire sa position en fonction du temps. Historiquement, la capacité à prévoir la position exacte des comètes au fut une confirmation de la théorie de Newton.


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text: Un système qui évolue et dont une équation permet de connaître exactement son état au cours du temps, à la condition de connaître son état initial, est qualifié de "dynamique". On peut les classer en trois grandes catégories. La formulation la plus simple est dite discrète, l'état du système est décrit à différentes étapes, notées par les entiers 0, 1, 2 ...,  "k", ... et la solution est une suite ("u"). Ce type de système est utilisé pour simuler un comportement continu, en "discrétisant" le temps à l'aide d'intervalles suffisamment petits pour que l'imprécision engendrées par cette méthode reste dans des limites acceptables. Connaître la trajectoire exacte d'une comète suppose la prise en compte de l'attraction de tous les corps célestes du système solaire. Résoudre l'équation dans ce cas devient difficile, on peut alors supposer qu'en une seconde, la gravité est "presque constante", la trajectoire de la comète est "presque" parabolique et sa position au bout d'une seconde se calcule aisément, une fois connue la position des différents corps célestes massifs comme les planètes ou le soleil. Ensuite, il suffit de recalculer, à chaque seconde, la nouvelle attraction pour obtenir une suite donnant une approximation de la trajectoire réelle. Si ("p", "v") désigne le couple position et vitesse de la comète à la seconde "k", il existe deux fonctions "f" et "g" régissant l'équation :


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text: Il est aussi possible de s'y prendre autrement. Une relation lie la position de la comète avec sa vitesse instantanée (que l'on appelle dérivée en mathématiques) et son accélération (ou dérivée seconde). Résoudre l'équation permet de trouver la trajectoire de notre planète. L'équation prend une forme de la nature suivante, appelée équation différentielle :


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text: Enfin, l'objectif peut être de déterminer l'état d'un objet qui ne se traduit non pas par un vecteur d'un espace de dimension finie, mais par une fonction, comme l'état d'une corde vibrante. On parle d'équation aux dérivées partielles.


title: Équation

text: La lettre "x" désigne ici une fonction de la variable réelle et "f" une fonction de "n" + 1 variables réelles. Soit "F" la fonction qui à "x" associe la fonction "t" ↦ "f"("t", "x"("t"), "x"'("t"), "x"("t")..., "x"("t")), où "x" la dérivée "k" de la fonction "x". On considère l'équation "F"("x") = 0. Une telle équation est appelée équation différentielle.


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text: Les solutions sont, en général, étudiées sous la , c'est-à-dire associées à des valeurs "t" ,ξ ,ξ... ,ξ telles qu'une solution vérifie :


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text: La situation est un peu analogue à celle des équations polynomiales. Il existe une théorie des équations différentielles. Un premier résultat global est le théorème de Cauchy-Lipschitz, qui garantit que si "f" est une fonction lipschitzienne, il existe une unique solution au problème de Cauchy. Résoudre le problème de Cauchy consiste à déterminer la solution d'une équation différentielle vérifiant une condition initiale donnée. Dans certains cas particuliers, il est possible d'expliciter directement une solution, comme pour l'équation différentielle d'ordre un à variables séparées ou l'équation différentielle linéaire, mais pas toujours.


title: Équation

text: L'exemple de droite illustre une solution d'une équation de la forme "x = φ("x"), où la solution recherchée est une fonction définissant une courbe du plan. Sa variable est réelle et elle est à valeurs dans R. La fonction φ est une fonction continue de R"' dans lui-même. À chaque point du plan, elle associe un vecteur ; on dit qu'elle définit un champ vectoriel. Une solution "s" possède la propriété d'avoir, pour chaque point "p" de son image, une tangente à sa courbe de direction φ("p"). La vitesse scalaire à l'instant "t" est égale à la norme de l'image par φ du point "s"("t").


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text: La physique propose divers exemples où la solution recherchée ne dépend pas d'une mais de plusieurs variables. Un cas relativement simple est celui d'une onde sur une corde vibrante. La fonction décrivant sa position dépend de deux paramètres, le temps et une coordonnée pour décrire un point de la corde. Trois variables sont nécessaires pour décrire une vague, deux décrivent la position d'un point de la surface et la troisième le temps. En physique quantique, la relation fondamentale de la dynamique se traduit par une équation d'onde qui nécessite quatre variables, trois pour l'espace et une pour le temps. Ce principe fondamental est appelée équation de Schrödinger.


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text: L'équation équivalente à celle du paragraphe précédent, pour une fonction "x" de plusieurs variables, porte le nom d'équation aux dérivées partielles. L'équivalent du problème de Cauchy s'exprime de manière plus complexe. la condition initiale est remplacée par les "conditions aux limites". Dans certains cas on recherche comme solution une fonction définie sur Ωx["a", "b"] où Ω est un ouvert que l'on suppose borné, connexe et dont la frontière ∂Ω est régulière, ["a", "b"] est un intervalle qui représente le temps. Les conditions aux limites s'expriment sous forme de deux contraintes. L'une correspond à la valeur ou la limite de la fonction sur ∂Ω×]"a", "b"[. La fonction modélisant les mouvements d'une membrane de tambour est constante à la limite de la membrane, cette contrainte est appelée la condition aux limites de Dirichlet. Les valeurs de la fonction sur Ωx{"a"} sont appelées la condition initiale ou donnée de Cauchy.


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text: En météorologie, la prévision numérique du temps consiste à modéliser les mouvements de l'atmosphère terrestre par les équations de Navier-Stokes. Une difficulté pratique est de déterminer précisément la donnée de Cauchy : il faudrait mesurer la température, la pression, le taux d'humidité etc en tout point de l'atmosphère. Cette difficulté, ajoutée au fait qu'on ne sait pas résoudre ces équations de manière analytique font que les méthodes de résolution utilisées sont numériques : on ne peut calculer que des valeurs approchées.


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text: Certaines équations aux dérivées partielles ne sont pas aussi complexes. Fourier, un mathématicien du début du avait trouvé comment la chaleur se diffuse dans un corps solide dans le cas de conditions aux limites simples. La spécificité de cette équation, comme celle décrivant les ondes se propageant sur une corde vibrante est d'être linéaire, c'est-à-dire que l'on peut la mettre sous la forme "a(x)" + "b" = 0, où "a" est un opérateur linéaire construit à l'aide de dérivées partielles et "b" une fonction particulière. Le cas linéaire est traité par une théorie . L'outil principal est un espace fonctionnel particulier, dit de Sobolev.


title: Équation

text: D'autres équations restent difficiles d'accès. La surface d'un océan est aussi modélisée par une équation aux dérivées partielles. Comme le laisse penser la forme d'une vague, l'expression d'une solution peut s'avérer difficile. On est loin de disposer d'une théorie générale, les deux paragraphes suivant indiquent le type de difficulté à résoudre pour comprendre les systèmes dynamiques.


title: Équation

text: Une des questions qui se pose sur les systèmes dynamiques est la nature de la solution en fonction de sa valeur initiale. Si une petite modification de cette valeur change de manière importante le comportement de la solution, même si le système est "déterministe", son évolution semblera "aléatoire". Si "déterministe" signifie que toute évolution du système dépend uniquement de sa valeur initiale, sa connaissance parfaite permet de prévoir parfaitement son futur, ce qui est toujours le cas d'un système dynamique idéalisé. En physique, il est impossible de connaître parfaitement l'état initial du système. On le connaît, par exemple avec une précision de 5 décimales, si la sixième décimale finit par modifier l'évolution du système de manière significative, le futur de l'évolution n'est pas connu (il est même indéterminable), mais dépend d'une information "inaccessible" parce qu'idéalisée. Le futur apparaît alors comme incertain, même si les lois modélisant l'évolution sont "déterministes". On voit donc ici les limites de la modélisation. Ce phénomène se produit en météorologie, cette science est modélisée par un système dynamique qui, pour permettre une prévision sur le long terme, demande une connaissance précise de l'état initial. Comme cette connaissance est d'une précision limitée, il existe un "horizon" (ou plutôt des horizons plus ou moins divergents) dans la prévision. Si l'équation modélisant la météorologie est bien connue, on ne sait toujours pas si les solutions dépendent continûment de valeurs aux bornes du domaine de la solution (l'équivalent de la condition initiale pour une équation aux dérivées partielles), cette question est associée à l'un des sept prix de un million de dollars offerts par l'Institut de mathématiques Clay au premier qui apportera la réponse.


title: Équation

text: Une méthode pour apporter des éléments de réponse, est d'étudier les cas les plus simples possibles. On cherche à comprendre ce phénomène sur une suite récurrente définie par l'équation : "x" = "f"("x") où "f" est un polynôme du second degré, réel ou complexe. Un cas très étudié est celui où "f"("x") = "x" + "c". La condition initiale est ici la valeur de "x", un nombre complexe. "J" est l'ensemble des conditions initiales telles que la suite est bornée, il est appelé ensemble de Julia, dont un exemple est illustré sur la figure de gauche. Toute condition initiale "p" hors de la frontière de "J" possède un voisinage ne contenant que des conditions initiales dont le comportement des suites sont qualitativement analogues. Les couleurs indiquent les valeurs de convergence, l'intensité symbolise la vitesse de convergence.


title: Équation

text: Une première question qui se pose est le "poids" de la zone frontière. Sur cette zone, il existe toujours une perturbation de la condition initiale, aussi minime soit-elle, qui modifie la nature de la solution. Dans les configurations "classiques", une frontière d'une figure géométrique de dimension 2 est d'aire nulle, même si la figure possède une aire strictement positive. Ainsi, un disque de rayon strictement positif est d'aire strictement positive et sa frontière, un cercle de même rayon, est d'aire nulle. En revanche, le cercle, considéré comme une courbe, possède une longueur finie. Pour la frontière de l'ensemble de Julia, cette méthode s'avère parfois inopérante, on peut trouver une longueur infinie, si la frontière est considérée comme une courbe. Pour évaluer le "poids" de cette longueur, on utilise une remarque géométrique. Soit "S" une surface d'aire "s", l'homothétie de rapport 2 appliquée à "S", définit une nouvelle surface d'aire 2"s". Si "V" est une figure géométrique de dimension 3 et de volume "v", l'homothétie de rapport 2 définit une figure de volume 2"v". L'exposant que l'on applique au rapport de l'homothétie indique la dimension de la figure, ce qui, d'une certaine manière permet une évaluation du "poids" de la figure, on parle de dimension de Hausdorff ou de "dimension fractale". Cette technique peut être appliquée à la frontière de l'ensemble de Julia, sa dimension est "génériquement" différente de un : la frontière est dite fractale.


title: Équation

text: La sensibilité à la condition initiale n'est pas l'unique question à résoudre pour élaborer une théorie générale des systèmes dynamiques. On souhaite aussi connaître le comportement limite du système, encore appelé comportement "asymptotique", c'est-à-dire ce qu'il se passe une fois que l'on a "attendu que le système se stabilise". S'il ne diverge pas, on peut classer son comportement en trois catégories, soit le système s'immobilise, soit il tend vers un cycle, soit vers encore autre chose qui, selon certaines définitions, est appelée "chaos".


title: Équation

text: Une fois encore, il est utile de considérer le système dynamique le plus simple possible, pour comprendre au moins qualitativement les mécanismes en jeu. Comme précédemment, on utilise une suite récurrente définie par un polynôme du second degré "P", cette fois-ci réel à valeurs réelles. La suite logistique est définie par récurrence : "x" = "r x"(1 – "x"). L'un des charmes de cette suite est que son comportement est relativement indépendant de la condition initiale si elle est choisie entre 0 et 1.


title: Équation

text: L'objectif est d'augmenter la valeur de "r", initialement nulle et d'étudier ce comportement asymptotique. Si une fonction "f" possède un point fixe "p", de dérivée strictement comprise entre –1 et 1, en valeur absolue, et si la suite définie par "x" = "f"("x") prend une valeur "proche" de ce point fixe, elle converge vers "p". Ce point est dit "attracteur" et la zone des valeurs initiales dont les suites convergent vers ce point est appelée bassin d'attraction. Pour une suite logistique le bassin d'attraction principal contient toujours ]0, 1[, à un ensemble négligeable près, quelle que soit la valeur de l'attracteur. La suite semble être "attirée", comme par un aimant vers cet attracteur. Si "r" est compris entre 0 et 3, l'attracteur est un point et la suite converge. À partir de la valeur 3, le polynôme "P" ne possède plus de point fixe, mais le polynôme composé avec lui-même, en possède un, si "r" est suffisamment petit. Le comportement asymptotique de la suite est une oscillation entre les deux points fixes attractifs de "P". La valeur 3 de "r" est appelée une "bifurcation". L'attracteur devient un ensemble à deux éléments, illustré sur la figure de droite. Au point 1 + , une nouvelle bifurcation se produit, l'attracteur possède alors 4 points. Le cardinal de l'attracteur augmente de plus en plus en fonction de "r" par des doublements, jusqu'à atteindre une valeur infinie pour "r" égale à μ, qui se situe aux alentours de 3,57.


title: Équation

text: Il devient nécessaire de préciser ce qu'on entend par « attracteur » : ce sera l'intersection des ensembles "A" où "A" est l'adhérence des points "x" pour "k" supérieur à "n". Dans le cas de la suite logistique et à l'exception d'un ensemble de mesure nulle, l'attracteur est indépendant de la condition initiale. On peut voir l'attracteur "A" comme un ensemble qui "attire" les éléments de la suite, laquelle, à partir d'un certain rang, devient arbitrairement proche de "A". Entre μ et 4, un triple comportement est possible. Pour un ensemble "H" (pour hyperbolique) de valeurs du paramètre "r" qui est un ouvert dense de [μ, 4], l'attracteur est un ensemble fini (comportement cyclique). Pour un autre ensemble "C" (pour chaotique) de valeurs du paramètre, qui est lui fermé, totalement discontinu et de mesure strictement positive, pour presque toutes valeurs initiales "x" (dépendant de "r") l'attracteur est un intervalle d'intérieur non vide et le comportement est chaotique, c'est-à-dire qu'il évolue sans ordre apparent, à l'exception d'un ensemble de mesure nulle, semblant évoluer au gré du hasard, même si cette évolution est en fait déterministe. Le dernier comportement se produit sur l'ensemble "A", complémentaire de l'union de "C" et de "H" dans [μ, 4]. L'ensemble "A" n'est pas vide, le comportement est alors plus complexe et fait intervenir, comme attracteur, des ensembles de Cantor. Depuis 2002, on sait que "A" est de mesure nulle.


title: Équation

text: Ce comportement s'applique aussi aux équations différentielles ou aux dérivées partielles. Edward Lorenz a trouvé une équation différentielle relativement simple, ayant un attracteur fractal, généralement qualifié d'étrange, il est représenté sur la deuxième illustration de cet article. Certaines équations différentielles ne peuvent avoir de solutions si complexes, le théorème de Poincaré-Bendixson montre une famille d'équations n'ayant pas de comportement chaotique. Des solutions chaotiques complexes apparaissent aussi dans les équations aux dérivées partielles, on les trouve dans les modélisations des mouvements des masses d'air, par exemple autour des ailes d'avion, elles prennent la forme de turbulences. En 2009, l'état des mathématiques est loin d'être capable de présenter une condition nécessaire et suffisante générale, indiquant si oui ou non un comportement chaotique apparaît, même dans le cas des systèmes discrets.


title: Forces françaises en Allemagne

text: Les forces armées françaises présentes en Allemagne ont connu plusieurs appellations : troupes d'occupation en Allemagne (TOA) de 1945 à 1949, forces françaises en Allemagne (FFA) de 1949 à 1993, forces françaises stationnées en Allemagne (FFSA) de 1993 à 1999 et enfin forces françaises et l'élément civil stationnés en Allemagne (FFECSA) depuis 1999.


title: Forces françaises en Allemagne

text: Depuis 2014, il reste environ du personnel du ministère des Armées en Allemagne principalement à Müllheim, Breisach et Faßberg.