title: Danny Rolling

text: Après l’arrestation de Rolling, la police de Louisiane informa son homologue de Floride d'un triple meurtre non résolu commis à Shreveport, la ville natale de Rolling, le . Les détectives notèrent d'importantes similitudes entre les meurtres de Gainesville et ceux de William Thomas (dit Tom) Grissom (55 ans), de sa fille Julie (24 ans), et de son petit-fils Sean (8 ans). La famille fut attaquée dans sa maison vers 18h20 alors qu'elle s’apprêtait à dîner. Leurs cadavres furent découverts deux jours plus tard, après que la mère de Sean, qui devait récupérer son fils ce jour-là, a contacté la police après de multiples appels téléphoniques infructueux vers la maison de son beau-père. La police demanda alors aux voisins des Grissom de vérifier si la maison n'était pas verrouillée de l'intérieur, ce qu'ils firent en ouvrant la porte de la buanderie du garage. Le corps inanimé de William, affalé contre la porte (ce qui bloquait l'entrée de la buanderie) et poignardé à de multiples reprises au dos et à la poitrine fut alors découvert. Celui du jeune Sean, attaqué alors qu'il regardait la télévision, fut découvert face contre terre dans le salon. Il fut poignardé dans le dos et la lame ressortit par la poitrine. Le cadavre de Julie Ann Grissom, poignardée à trois reprises, fut mis en scène : nettoyé avec du vinaigre et suspendu partiellement nu à un lit. Le soir du 4 novembre, elle devait se rendre au mariage d'un ami du lycée et avait choisi de mettre une robe rouge pour cette occasion.


title: Danny Rolling

text: En mai 1990, Danny Rolling tenta de tuer son père au cours d'une dispute familiale, lui faisant perdre un œil et une oreille.


title: Danny Rolling

text: En , Danny Rolling assassina sauvagement à coups de couteaux cinq étudiants (une du et quatre de l’université de Floride) lors d’une série de cambriolages à Gainesville, en Floride. Il mutila les corps de ses victimes, allant même jusqu'à décapiter l'une d'entre elles. Il disposait parfois des miroirs aux côtés de leurs cadavres.


title: Danny Rolling

text: Le vendredi , au petit matin, Rolling fit irruption dans la colocation de Sonja Jane Larson et Christina P. Powell, deux étudiantes de 17 ans fraichement débarquées à l'université. Trouvant Powell endormie sur le canapé du bas, il se tint brièvement au-dessus d’elle mais décida de ne pas la réveiller, se dirigeant plutôt à l'étage où Larson dormait également. Rolling la tua, d’abord en fermant sa bouche pour étouffer ses cris, puis en la poignardant à mort. Elle mourut en essayant de se protéger. Ensuite, Rolling retourna en bas, scotcha la bouche fermée de Powell, attacha ses poignets dans son dos et la menaça avec un couteau alors qu’il lui déchirait ses vêtements. Il la viola face contre terre, avant de la poignarder dans le dos à cinq reprises. Rolling plaça les cadavres des deux jeunes femmes dans des positions sexuellement provocantes. Puis, il prit une douche dans leur appartement, avant de le quitter.


title: Danny Rolling

text: Le lendemain, le samedi , Rolling entra par effraction dans l’appartement de Christa Leigh Hoyt, âgée de 18 ans, en ouvrant une porte vitrée coulissante avec un couteau Ka-Bar et un tournevis. Remarquant son absence, il attendit son retour dans le salon. À 11h, Hoyt rentra dans son appartement et Rolling la prit de surprise par derrière et l'étrangla. Une fois maîtrisée, il lui ferma la bouche avec du scotch, attacha ses poignets et la conduisit dans sa chambre, où il déchira ses vêtements et la viola. Comme avec Powell, il plaça son corps face contre terre avant de la poignarder dans le dos, ce qui lui brisa le cœur. Enfin, il la décapita "post mortem" et posa sa tête coupée sur une étagère en face de son cadavre, provoquant un choc terrible chez la personne qui découvrit la scène de crime macabre.


title: Danny Rolling

text: Les meurtres ayant attiré l'attention des médias, de nombreuses étudiantes de Gainesville se sont mises à prendre des précautions supplémentaires, comme changer leurs routines quotidiennes ou dormir en groupes. La psychose s'étant déclenchée très tôt durant le semestre d'automne, certaines élèves sont même allées jusqu'à se désinscrire de l'université ou demandèrent carrément à être transférées dans d'autres écoles.


title: Danny Rolling

text: Le lundi , Rolling entre par effraction dans la colocation de Tracy Inez Paules et de Manuel Ricardo (dit Manny) Taboada, tous deux âgés de 23 ans, en employant la même technique que chez Christa Hoyt. Il réveille Taboada dans son sommeil et le tue dans sa chambre après un bref combat. Entendant l'affrontement, Paules descendit le couloir jusqu'à la chambre de son colocataire et vit Rolling. Elle tenta par la suite de se barricader dans sa chambre, mais Rolling parvint à franchir le seuil de sa porte. Rolling scotcha sa bouche et ses poignets, lui déchira ses vêtements et la viola, avant de la retourner et de la poignarder dans le dos à trois reprises. Rolling mit en scène le cadavre de Paules mais laissa celui de Taboada dans la même position que celle dans laquelle il l'avait tué.


title: Danny Rolling

text: À l'exception de Taboada, qui était un homme, toutes les victimes de Gainesville étaient de petites brunes blanches aux yeux bruns. Bien que les forces de l'ordre n'aient eu que très peu de pistes initialement, elles parvinrent à identifier deux suspects : Edward Lewis Humphrey, un étudiant de l'université de Floride de 18 ans, originaire d'Indialantic, qui avait des antécédents de maladie mentale et portait de nombreuses cicatrices sur son visage à la suite d'un accident de la route, ce qui en faisait le suspect idéal. Sa photo fut diffusée à de nombreuses reprises dans les médias. Après l'arrestation de Rolling, les autorités ont cependant fini par le blanchir publiquement de toute accusation concernant les meurtres de Gainesville (il fut néanmoins condamné à 22 mois de prison, peu de temps après, pour avoir tabassé sa grand-mère). L'autre suspect, Brandon Curry, fut également disculpé par la suite.


title: Danny Rolling

text: Le vendredi , Rolling est arrêté à Ocala (à une cinquantaine de kilomètres au sud de Gainesville) pour cambriolage. Les enquêteurs finirent par faire le lien entre ses outils et les marques laissées sur les différentes scènes de crimes de Gainesville. Le petit campement pour une personne dans lequel il vivait se trouvait dans une zone boisée à proximité des résidences fréquentées par les étudiants assassinés ; là-bas, les enquêteurs découvrirent des enregistrements vocaux dans lesquels Rolling faisait allusion à ses crimes. En , Rolling fut inculpé de plusieurs chefs de meurtre.


title: Danny Rolling

text: Près de quatre ans après les meurtres de Gainesville, Danny Rolling fut traduit en justice devant le procureur du comté d’Alachua, Len Register. Il expliqua que le mobile de ses meurtres en série était de devenir une « superstar » comme Ted Bundy. En 1994, avant que son procès ne puisse commencer, Rolling plaida coupable, contre toute attente, pour l'intégralité des chefs d’accusation. Par la suite, le procureur général de la huitième , enclencha l'étape pénale du procès. Pendant celui-ci, Court TV réalisa une interview de la mère de Danny Rolling à son domicile, au cours de laquelle on peut entendre le père de Rolling crier hors-caméra.


title: Danny Rolling

text: Rolling est exécuté par injection létale à la prison d'État de Floride le et déclaré mort à 18h13 heure locale (22h13 en temps universel), après que la Cour Suprême a refusé son dernier appel pour faire suspendre la sentence. Il ne montra pas le moindre signe de remords, ne fit aucune dernière déclaration et refusa de présenter ses excuses aux proches des victimes, dont beaucoup assistaient à l’exécution en tant que témoins. Il mourut en chantonnant un hymne évangélique qu'il avait lui même écrit.


title: Danny Rolling

text: Son dernier repas est composé d’une queue de homard, de farfalle aux crevettes, de pommes de terre cuites au four, d'un gâteau aux fraises et de thé glacé. Peu avant son exécution, il avoua les meurtres de la famille Grissom à Shreveport.


title: Pléneuf-Val-André

text: Pléneuf-Val-André est une commune française située dans le département des Côtes-d'Armor en région Bretagne.


title: Pléneuf-Val-André

text: Elle est connue comme station balnéaire familiale, située sur la côte est de la baie de Saint-Brieuc, dite « côte de Penthièvre ».


title: Pléneuf-Val-André

text: Pléneuf-Val-André est une commune rurale, car elle fait partie des communes peu ou très peu denses, au sens de la grille communale de densité de l'Insee.


title: Pléneuf-Val-André

text: Elle appartient à l'unité urbaine de Pléneuf-Val-André, une unité urbaine monocommunale de en 2017, constituant une ville isolée.


title: Pléneuf-Val-André

text: Par ailleurs la commune fait partie de l'aire d'attraction de Saint-Brieuc, dont elle est une commune de la couronne. Cette aire, qui regroupe , est catégorisée dans les aires de à moins de .


title: Pléneuf-Val-André

text: La commune, bordée par la Manche, est également une commune littorale au sens de la loi du , dite loi littoral. Des dispositions spécifiques d’urbanisme s’y appliquent dès lors afin de préserver les espaces naturels, les sites, les paysages et l’équilibre écologique du littoral, par exemple le principe d'inconstructibilité, en dehors des espaces urbanisés, sur la bande littorale des , ou plus si le plan local d’urbanisme le prévoit.


title: Pléneuf-Val-André

text: L'occupation des sols de la commune, telle qu'elle ressort de la base de données européenne d’occupation biophysique des sols Corine Land Cover (CLC), est marquée par l'importance des territoires agricoles (56,8 % en 2018), néanmoins en diminution par rapport à 1990 (66,3 %). La répartition détaillée en 2018 est la suivante :


title: Pléneuf-Val-André

text: zones agricoles hétérogènes (30,1 %), terres arables (24,7 %), zones urbanisées (23,2 %), espaces verts artificialisés, non agricoles (8,2 %), forêts (7,2 %), milieux à végétation arbustive et/ou herbacée (3,5 %), prairies (2 %), espaces ouverts, sans ou avec peu de végétation (0,9 %), zones humides côtières (0,2 %).


title: Pléneuf-Val-André

text: L'IGN met par ailleurs à disposition un outil en ligne permettant de comparer l’évolution dans le temps de l’occupation des sols de la commune (ou de territoires à des échelles différentes). Plusieurs époques sont accessibles sous forme de cartes ou photos aériennes : la carte de Cassini (), la carte d'état-major (1820-1866) et la période actuelle (1950 à aujourd'hui).


title: Pléneuf-Val-André

text: Le Val-André est la station balnéaire proprement dite, créée à la fin du par la construction progressive de villas le long d'une plage de ; la rue principale d'égale longueur s'étendant à une cinquantaine de mètres en arrière de la digue-promenade et accueillant dans sa partie médiane de nombreux commerces, un casino exploitant jeux, bars et restaurant, théâtre et cinéma, une grande chapelle (chapelle Notre-Dame créée par les religieuses de Saint-Quay en 1890), ainsi que de nombreux terrains de tennis dans le "parc de l'Amirauté" ().


title: Pléneuf-Val-André

text: Selon Jules Herbert (), la zone littorale était en 1860 dépourvue de la moindre habitation. L'amiral Charner venait d'acheter un premier terrain en 1853, mais c'est à Charles Cotard qu'est attribuée la création du Val-André par l'achat dans ce but le d'une grande partie des dunes et terrains humides en bordure de mer. Une première voie parallèle est ouverte dans les dunes. La construction des villas a été longtemps encouragée par des prix très raisonnables ; trois francs le m² en 1896.


title: Pléneuf-Val-André

text: Cette première opération était limitée au sud, les terrains acquis s'arrêtant au niveau de la rue des Mouettes actuelle. Le développement d'une deuxième tranche prit le relais de l'initiative de Charles Cotard en la prolongeant harmonieusement jusqu'aux terrains plus accidentés au niveau des "Murs Blancs". La construction en 1894-1895 du "Grand Hôtel" est l'élément notable de cette seconde phase.


title: Pléneuf-Val-André

text: M. de Nantois, maire de Pléneuf, a approuvé le développement de la station balnéaire et y a participé.


title: Pléneuf-Val-André

text: Le nom de la localité est attesté sous les formes "Pluenot" en 1167, "Pluenneut" vers 1330, "Pleneuc" en 1356, "Ploeneuc" en 1428, "Plenent" en 1444, "Plenneuc" en 1477, "Pleunent" en 1480, "Pleneuc" en 1510, "Pleneuet" en 1536, "Pleneuc"en 1569, "Pleneult" au , "Pleneuf" en 1679, "Pleneuf" en 1793.


title: Pléneuf-Val-André

text: Son nom vient du breton "ploe" qui signifie paroisse et de saint Enoc, cité dans un acte de l'abbaye de Redon en 1181-1182. Il s'agit sans doute de saint Henwg (Henog) de Caerleon-sur-Usk, né au , fils d'Umbrafel et d'Afrelia, petit fils de saint Budoc de Dol et frère de saint Magloire. Il est également cousin et compagnon de saint Samson. Le Mabinogion dit de lui qu'il est le père de Taliesin le barde qui fit construire une église à sa mémoire à Llanhenwg. Il dit également qu'il alla à Rome demander secours contre l'hérésie pélagienne qui s'installait sur l'île de Bretagne. Ceux qui deviendront saint Germain d'Auxerre et saint Loup de Troyes seront désignés en concile pour s'y rendre.


title: Pléneuf-Val-André

text: À la plage des Vallées, vers 1925, ont été découverts dans des coulées de solifluxion des restes de la faune du quaternaire, notamment de mammouths, ainsi que des éclats de silex.


title: Pléneuf-Val-André

text: Des fouilles préventives ont été menées en 1987 sur un site habité au paléolithique à proximité du port de Piégu, à la suite du suivi archéologique et géologique effectué dans le cadre de grands travaux de défense contre la mer et avant que la falaise ne soit consolidée vers 2005. Ce site en bas de falaise, en bord de voie (quai Célestin Bouglé) et inséré entre deux habitations, n'est que le reste d'un vaste gisement dont des traces ont été retrouvées sur l'estran. Le terrain se présentait comme un ensemble complexe de strates, avec un fort pendage ; le sol d'occupation par l'homme a été trouvé à deux mètres en dessous du niveau du quai. Le gisement consiste en une série de formations d'origine périglaciaire (trois ou quatre cycles), mêlées à des dépôts littoraux et dunaires (sable calcaire).


title: Pléneuf-Val-André

text: L'outil le plus ancien, un petit biface de type acheuléen, atteste que la présence humaine remonte à plus de . Cette présence a été identifiée en deux endroits : l'un en bas par la présence d'un outillage abondant en silex taillé ; le second près du sommet et où n'ont été trouvés que quelques silex médiocres parmi un grand nombre d'ossements animaux, aucun élément humain n'ayant été trouvé contrairement à ce qui avait été annoncé dans la presse.


title: Pléneuf-Val-André

text: Le cairn de la Ville-Pichard témoigne d'une occupation humaine sur le territoire de la commune au Néolithique moyen armoricain


title: Pléneuf-Val-André

text: Près des Galimennes, un gisement gallo-romain matérialisé par des tegulae et des tessons de céramique sigillée, furent trouvés des fragments de verre et d'amphore. Ces dernières, expertisées, ont été datées du . Près de la Croix des Landes, un autre gisement de tegulae ; près de la Ville Bricault et près des Forges de Trégo également. Près du Bois : gisement gallo-romain ayant livré des tegulae, des tessons de céramique sigillée et un fragment d'amphore. Près du Cloître : ce gisement gallo-romain est matérialisé par des tegulae, des nombreux tessons de céramiques communes et sigillées et des fragments de poteries datables de la fin de l'âge du fer. Les céramiques sigillées expertisées ont été datées du . Près de Trégo : gisement de tegulae, associé à d'autres gisements d'époques diverses. Près de la station d'épuration : gisement de tegulae et de céramiques gallo-romaines, dont des céramiques sigillées. Ces dernières, expertisées, ont été datées du début du à la fin du , avec, pour ces éléments importés, une probabilité maximale de fabrication au . Près de la station d'épuration : ce gisement gallo-romain, distinct du précédent, livre des tegulae et des céramiques sigillées et communes. Il est associé à des structures orthogonales, probablement gallo-romaines, repérées par prospection aérienne. Les céramiques sigillées expertisées sont datées d'environ 75 apr. J.-C. à la fin du avec, pour ces éléments importés une probabilité maximale de fabrication au .


title: Pléneuf-Val-André

text: Le monument aux morts de Pléneuf-Val-André porte les noms de 115 soldats morts pour la France pendant la Première Guerre mondiale


title: Pléneuf-Val-André

text: dont 13 marins disparus en mer (y ajouter Joseph Jouan, décédé dans le port de Livourne), 5 soldats morts sur le front belge, 3 soldats membres de l'Armée française d'Orient morts dans les Balkans (y ajouter Henry Gautier, décédé à Lisbonne (Portugal) le alors qu'il était de retour de Salonique), les autres, à l'exception de deux soldats (Jean-Baptiste Ollivry et Auguste Lévené) décédés alors qu'ils étaient prisonniers en Allemagne, étant morts sur le sol français. Oublié : François Hamet, tué en Italie et inhumé là-bas.


title: Pléneuf-Val-André

text: Besnard Toussaint Emile, né le 04/05/1883 à Pléneuf-Val-André, soldat au d'infanterie, fut fusillé pour l'exemple le à Vienne-le-Château (Marne) pour « ivresse et abandon de poste devant l'ennemi ».


title: Pléneuf-Val-André

text: Le monument aux morts de Pléneuf-Val-André porte les noms de morts pour la France pendant la Seconde Guerre mondiale, dont disparus en mer et Pierre Gicquel, tué lors de la bataille de Mers el-Kébir ainsi que Joseph Crolais, lui aussi marin, décédé à Menzel Bourguiba (Tunisie), sans compter un soldat décédé juste avant le déclenchement de cette guerre. Parmi eux, Émile Renault, décédé le jour même du débarquement de Normandie à Ouistreham ; Yves Le Péchon et René Lesage, décédés pendant la campagne d'Italie ; Julien Hervo et Maurice Ouinguenet, décédés en captivité en Allemagne.


title: Pléneuf-Val-André

text: Un marin d'état, René Guinard, originaire de Pléneuf-Val-André est décédé accidentellement en mer en 1946 au large de Saint-Mandrier. Deux soldats (Emmanuel Baudet et Robert Dayot) originaires de Pléneuf-Val-André sont décédés pendant la guerre d'Indochine et six (Michel Boucher, Pierre Buchon, Michel Daviou, Jean Le Gal, Raymond Leclerc, Louis Percepied) pendant la guerre d'Algérie.


title: Pléneuf-Val-André

text: Au Moyen Âge, le Verdelet était un lieu de culte, une "ecclesia" de la compétence des évêques de Saint-Brieuc, puis il y fut édifié un établissement monastique : une église dédiée à Saint-Michel, comme l'îlot du même nom à Erquy ; les deux par proximité du Mont-Saint-Michel. Selon deux chartes du (1132) et (1216), son nom était "Saint-Michel de la Roche-Tanguy" : encore en 1284, un clerc de la Roche-Tanguy est nommé par l'évêque, recteur de la paroisse Saint-Martin de Lamballe, le Verdelet dépendant du prieuré de cette paroisse.


title: Pléneuf-Val-André

text: L'« église » probablement fort modeste, est en ruines au moins au : un aveu de 1585 évoque une « chapelle à présent en ruine et caducité » : les restes de construction visibles au sommet en sont probablement les ultimes vestiges. Pourtant, une carte marine de 1693 indique un bâtiment sur l'îlot nommé Saint-Michel du Verdelet.


title: Pléneuf-Val-André

text: Les moines ont déserté les lieux depuis longtemps quand selon un document de 1369, le Verdelet dépend féodalement de la seigneurie de Lamballe, "probablement" par Olivier du Vauclerc, capitaine du château de Lamballe. Celui-ci aurait édifié des éléments de forteresse sur l'îlot et en face à Château-Tanguy comme vassal de Jeanne de Penthièvre. Bien plus tard, durant les guerres de la Ligue, trente soldats gardent les lieux, selon un document de 1595.


title: Pléneuf-Val-André

text: Par la suite, le Verdelet est intégré aux communs féodaux de la seigneurie du Guémadeuc : des droits y sont exercés et font l'objet de diverses mentions dans des documents fiscaux, tel en 1538 "la garenne et pescherie de l'isle et rochier du Verdelay" (Réformation générale du Penthièvre) ; un aveu de 1585 fait état d'un droit de havage perçu par le seigneur sur les poissons pêchés aux environs de l'îlot.


title: Pléneuf-Val-André

text: La seigneurie du Guémadeuc appartint ensuite à la famille Richelieu, puis en , pour cent mille livres, l'îlot devient comme toute la seigneurie du Guémadeuc la propriété de François Berthelot, commissaire général des poudres et salpêtres de France, demeurant à Paris : celui-ci donna dix ans plus tard la seigneurie comme cadeau de mariage à son fils aîné. En 1722, un aveu de sa belle-fille (Agnès Rioult d'Ouilly) fait état d'un droit sur les moules enlevées du rocher : une "havée à deux mains". Tous les droits ont été supprimés par un jugement du des "Commissaires établis pour la vérification des droits maritimes", faute de production des actes réclamés selon un arrêt du Conseil d'état.


title: Pléneuf-Val-André

text: À la Révolution, le Verdelet devient terrain communal de la récente commune de Pléneuf, dans la logique de la loi du . Ses coquillages étaient une ressource alimentaire pour un grand nombre de pauvres, venant de loin. On sait que des moutons y étaient mis à pâturer par des mentions d'accidents : trente se jettent dans le vide en 1834 ; 109 se noient en voulant forcer le passage à marée montante en 1849 (le récit en est fait dans le « Petit guide du Baigneur »).


title: Pléneuf-Val-André

text: La commune est jumelée avec Florstadt, ville allemande située dans le land de la Hesse, arrondissement de Wetterau depuis 2007.


title: AMX-10 P

text: LAMX-10 P était le véhicule militaire blindé de combat, de transport et d'appui adopté par l'infanterie française en 1973 et construit par GIAT.


title: AMX-10 P

text: Son remplacement commença à partir de 2008 par le Véhicule blindé de combat d'infanterie (VBCI), jusqu’en 2015, date de son retrait complet.


title: AMX-10 P

text: La caisse blindée est formée de plaques d'aluminium corroyé et soudé. Elle est de forme rectangulaire, avec un glacis incliné et pointu. Un écran pare-vague de forme rectangulaire recouvre la partie avant du glacis.


title: AMX-10 P

text: Le poste de pilotage est situé sur la gauche du glacis et comporte trois épiscopes, dont un adapté à la vision nocturne et une trappe d'accès. Le moteur est placé à sa droite, sous des grilles de refroidissement.


title: AMX-10 P

text: L'habitacle est situé en arrière et peut accueillir huit combattants ou diverses armes et munitions. L'accès s'effectue par l'arrière de la caisse, à l'aide d'une rampe relevable, percée de deux portes et de meurtrières. Des trappes sont présentes sur le toit du véhicule et permettent le tir pour les passagers.


title: AMX-10 P

text: La tourelle "Toucan II" est située en position centre gauche. Elle est biplace, équipée de deux épiscopes (chef de bord et tireur) adaptés à la vision nocturne, d'une couronne de sept meurtrières d'observation et de deux trappes d'accès. Elle pointe en site de - 8° à + 50° et tourne sur 360°.


title: AMX-10 P

text: La tourelle porte un canon de 20 mm modèle F2 de calibre 20 mm à double alimentation (projectiles explosifs et perforants, sur bandes constituées de maillons détachables) produit par Nexter (anciennement GIAT), ainsi qu'une mitrailleuse coaxiale de modèle AA-52 à canon lourd et quatre lance-pots fumigènes (DREB ou défense rapprochée d'engin blindé). Le canon de , d'une cadence de , a une portée maximale contre les blindés légers de , contre les aéronefs de , et contre le personnel de .


title: AMX-10 P

text: Huit-cents coups de (dont moins d'une centaine de projectiles perforants) et deux mille cartouches pour la mitrailleuse (sous forme de bandes placées dans des caissettes métalliques) constituent la dotation standard.


title: AMX-10 P

text: Le moteur est un engin Hispano-Suiza HS 115 Diesel turbocompressé doté de deux réservoirs de carburant de . Il anime un train de roulement à chenilles, constitué sur chaque côté de la caisse de cinq galets porteurs, trois galets de support, un barbotin à l'avant et une poulie de renvoi à l'arrière. De fines plaques de blindage masquent les galets supports.


title: AMX-10 P

text: Le véhicule se déplace à une vitesse maximale de sur route, passe des pentes de 60 %, des dévers de 30 %, des obstacles verticaux de et des coupures larges de . Il est amphibie et navigue en rivière à une vitesse maximale de , sous l'action d'hydropropulseurs. Il roule dans l'obscurité à l'aide d'un dispositif de vision nocturne et en ambiance NBC.


title: AMX-10 P

text: L'AMX-10 P est conçu en remplacement de l'AMX-13 VCI, avec la capacité de franchir des coupures humides et de combattre dans un contexte de conflit NBC. Il est doté d'une mobilité comparable à celle du char AMX-30, pour appuyer ses déploiements.


title: AMX-10 P

text: Le blindé est développé au milieu des années 1960 par le GIAT, sur le site de l'AMX/APX au plateau de la Minière à Satory (Versailles). Il est fabriqué en série à partir de 1973 par l'Atelier de Construction de Roanne (ARE aujourd'hui Nexter Systems), pour l'armée française, puis avec succès pour l'exportation.


title: AMX-10 P

text: Les premiers tests en condition de combat avec un équipage complet ont été réalisés en sur le terrain de manœuvres de Poigny-la-Forêt, appartenant au de chars de combat basé à l'époque à Rambouillet, aujourd'hui à Mourmelon-le-Grand. L'équipage du char "Longumeau" (AMX-13) du au 501 a été désigné pour effectuer ces tests. Chaque personnel a été équipé de capteurs cardiaques, pour étudier les réactions de l'organisme humain dans ce blindé.


title: AMX-10 P

text: Les livraisons à l'armée de terre française commencent en 1973. Un total de sont produits jusqu’en 1994.


title: AMX-10 P

text: Neuf exemplaires de ce blindé sont déployés en Côte-d'Ivoire en , pour appuyer la Force Licorne dans une démonstration de force.


title: AMX-10 P

text: À la suite du conflit israélo-libanais de 2006, la FINUL voit ses moyens d'actions renforcés par une résolution de l'ONU. L'armée française envoie en conséquence deux compagnies d'infanterie mécanisée du régiment de marche du Tchad. Les AMX-10 P sont remplacés dans cette mission en par des VBCI.


title: AMX-10 P

text: La Délégation Générale pour l'Armement (DGA) a passé contrat en avec Nexter, et le dernier exemplaire est livré le au Régiment d'Infanterie de Clermont-Ferrand.


title: AMX-10 P

text: L' AMX-10 P revalorisé est modernisé au niveau des moyens de commandement et communication avec un système d’information terminal et de navigation (SIT) et des postes radio de dernière génération. La mobilité est augmentée avec l'amélioration de la boîte de vitesses, l'installation d’une assistance au passage de vitesses et le renforcement des suspensions. La protection est revue avec des blindages en acier rapportés sur l'avant, les côtés et le toit, un fumigène large bande (système de défense rapprochée GALIX) et des moyens de détection et d'extinction rapides des incendies et explosions. L'armement reçoit un moyen de visée tout temps. Des kits d’installation sont implantés pour le missile Eryx, le lance-roquette AT4CS et le groupe de combat FÉLIN.


title: AMX-10 P

text: Cette version rénovée devait rester en service jusqu'au moins 2020, mais le retrait semble effectif en 2015.


title: AMX-10 P

text: Au sein des forces françaises, l'AMX-10 P a été remplacé à partir de 2008 par le Véhicule blindé de combat d'infanterie.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: En mathématiques, le procédé d'algèbre linéaire de décomposition en valeurs singulières (ou SVD, de l'anglais "") d'une matrice est un outil important de factorisation des matrices rectangulaires réelles ou complexes. Ses applications s'étendent du traitement du signal aux statistiques, en passant par la météorologie.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Le théorème spectral énonce qu'une matrice normale peut être diagonalisée par une base orthonormée de vecteurs propres. On peut voir la décomposition en valeurs singulières comme une généralisation du théorème spectral à des matrices arbitraires, qui ne sont pas nécessairement carrées.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Soit une matrice "m"×"n" dont les coefficients appartiennent au corps "K", où "K" = ℝ ou "K" = ℂ. Alors il existe une factorisation de la forme :


title: Décomposition en valeurs singulières

text: avec une matrice unitaire "m"×"m" sur "K", une matrice "m"×"n" dont les coefficients diagonaux sont des réels positifs ou nuls et tous les autres sont nuls, et est la matrice adjointe à , matrice unitaire "n"×"n" sur "K". On appelle cette factorisation la "décomposition en valeurs singulières" de .


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Une valeur propre "λ" d'une matrice est caractérisée par l'existence d'un vecteur "u" non nul satisfaisant la relation "M u" = "λ u". Quand est hermitienne, une caractérisation différente est envisageable. Soit une matrice "n" × "n" symétrique réelle. On pose "f" : R → R telle que "f"("x") = "x M x". Cette fonction est continue et atteint son maximum en un certain vecteur "u" quand elle est restreinte à la boule unité fermée {x formula_3 R, ||"x"|| ≤ 1}. D'après le théorème des multiplicateurs de Lagrange, "u" vérifie :


title: Décomposition en valeurs singulières

text: On montre facilement que la relation ci-dessus donne . Ainsi, est la plus grande valeur propre de . Les mêmes opérations sur le complément orthogonal de "u" donnent la seconde plus grande valeur, et ainsi de suite. Le cas d'une matrice complexe hermitienne est similaire, avec "f"("x") = "x"* "M x", fonction de 2"n" variables à valeurs réelles.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Les valeurs singulières sont similaires, en tant qu'elles peuvent être décrites de façon algébrique ou à partir de principes variationnels. En revanche, au contraire du cas des valeurs propres, l'hermiticité et la symétrie de ne sont plus nécessaires.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Soit une matrice complexe "m"×"n". Alors "M*M" est positive semi-définie, donc hermitienne. D'après le théorème spectral, il existe une matrice unitaire carrée de côté "n", notée "V", telle que :


title: Décomposition en valeurs singulières

text: où "D" est diagonale, définie positive et de même rang "r" que . En écrivant "V" de façon appropriée :


title: Décomposition en valeurs singulières

text: On constate que c'est presque le résultat attendu, à ceci près que est une matrice "r"×"m" d'une isométrie partielle (). Pour achever la démonstration, on complète pour la rendre unitaire. On choisit tel que formula_9 soit unitaire. Un calcul montre que :


title: Décomposition en valeurs singulières

text: En effet, on utilise "MV" = 0 et on constate que formula_11car formula_12et formula_13comme formula_9 est unitaire, ce qui correspond au résultat attendu, en prenant pour la matrice adjointe de formula_9.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: On aurait également pu commencer la démonstration en diagonalisant au lieu de , on aurait alors montré directement que et ont les mêmes valeurs propres non nulles.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Les valeurs singulières peuvent également être caractérisées comme maxima de "u""Mv", considérée comme une fonction de "u" et "v", sur des sous-espaces particuliers. Les vecteurs singuliers sont les valeurs de "u" et "v" pour lesquelles ces maxima sont atteints.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Soit "M" une matrice réelle "m" × "n". Soit "S" et "S" l'ensemble des vecteurs unitaires (selon la norme 2) de R et R respectivement. On pose la fonction :


title: Décomposition en valeurs singulières

text: On considère la fonction "σ" restreinte à "S" × "S". Puisqu'à la fois "S" et "S" sont des ensembles compacts, leur produit est également compact. En outre, puisque "σ" est continue, elle atteint son maximum pour au moins une paire de vecteurs "u" ∈ "S" et "v" ∈ "S". Ce maximum est noté "σ", et les vecteurs correspondants sont notés "u" et "v". Puisque "σ" est la plus grande valeur de "σ"("u","v"), elle est positive : si elle était négative, en changeant le signe de "u" ou de "v", on la rendrait positive - et donc plus grande.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: D'autres vecteurs singuliers et valeurs singulières peuvent être obtenus en maximisant "σ"("u", "v") sur "u", "v", qui sont orthogonaux à "u" et "v", respectivement.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: On appelle valeur singulière de toute racine carrée d'une valeur propre de , autrement dit tout réel positif σ tel qu'il existe un vecteur unitaire "u" dans "K" et un vecteur unitaire "v" dans "K" vérifiant :


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Les vecteurs "u" et "v" sont appelés vecteur singulier à gauche et vecteur singulier à droite pour σ, respectivement.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: les coefficients diagonaux de Σ sont égaux aux valeurs singulières de . Les colonnes de et de "V" sont, respectivement, vecteur singulier à gauche et à droite pour les valeurs singulières correspondantes.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Une valeur singulière pour laquelle on peut trouver deux vecteurs singuliers à gauche (respectivement, à droite) qui sont linéairements indépendants est dite "dégénérée".


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Les valeurs singulières non dégénérées ont toujours un unique vecteur singulier à gauche et à droite, à un déphasage près, c’est-à-dire à une multiplication par un facteur de la forme "e" près (pour des réels, à un signe près). Par conséquent, si toutes les valeurs singulières de sont non dégénérées et non nulles, alors sa décomposition en valeurs singulières est unique, à une multiplication d'une colonne de et de la colonne de correspondante par un même déphasage.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Les valeurs singulières dégénérées, par définition, possèdent plusieurs vecteurs singuliers. De plus, si "u" et "u" sont deux vecteurs singuliers à gauche qui correspondent à une même valeur singulière σ, alors tout vecteur unitaire obtenu par combinaison linéaire de ces deux vecteurs est également un vecteur singulier à gauche pour σ. Il en est de même pour les vecteurs singuliers à droites. Ainsi, si possède des valeurs singulières dégénérées, alors sa décomposition en valeurs singulières n'est pas unique.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: On vérifie que ne possède des valeurs non nulles que sur sa diagonale. De plus, comme montré ci-dessous, en multipliant les matrices et par leurs transposées, on obtient la matrice identité :


title: Décomposition en valeurs singulières

text: La décomposition en valeurs singulières est très générale, dans le sens où elle s'applique à toute matrice rectangulaire "m" × "n". La décomposition en valeurs propres, en revanche, ne fonctionne que pour certaines matrices carrées. Néanmoins, quand elles sont toutes les deux définies, elles sont liées.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Dans le cas d'une matrice hermitienne semi-définie positive, c'est-à-dire dont toutes les valeurs propres sont des réels positifs, alors les valeurs singulières et vecteurs singuliers correspondent aux valeurs propres et vecteurs propres de :


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Le côté droit de ces relations décrit la décomposition en valeurs propres du côté gauche. Ainsi, le carré du module de chaque valeur singulière non nulle de est égal au module de la valeur propre non nulle correspondante de et de . En outre, les colonnes de (vecteurs singuliers à gauche) sont vecteurs propres pour formula_26, et les colonnes de "V" (vecteurs singuliers à droite) sont vecteurs propres de .


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Puisque et "V" sont unitaires, on sait que les colonnes "u"...,"u" de forment une base orthonormée de "K" et que les colonnes "v"...,"v" de "V" forment une base orthonormée de "K" (par rapport au produit scalaire sur ces espaces).


title: Décomposition en valeurs singulières

text: La transformation linéaire "T": "K" → "K", qui à chaque vecteur "x" associe "Mx", a une expression relativement simple dans ces bases orthonormées : "T"("v") = "σ u", pour "i" = 1...,min("m","n"), où "σ" est le "i"-ème coefficient diagonal de Σ, et "T"("v") = 0 pour "i" > min("m","n").


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Le contenu géométrique du théorème de décomposition en valeurs singulières peut être résumé ainsi : pour toute application linéaire "T" : "K" → "K", on peut trouver une base orthonormale pour "K" et une base orthonormale pour "K" telles que "T" associe au "i"-ème vecteur de base de "K" un multiple positif du "i"-ème vecteur de base de "K", les vecteurs restants ayant pour image 0. Dans ces bases, l'application "T" est ainsi représentée par une matrice diagonale dont les coefficients sont des réels positifs.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: On peut également interpréter cette décomposition dans l'esprit de l'étude statistique d'un ensemble de données. Alors, les principales colonnes de représentent les tendances de l'ensemble d'étude (les vecteurs de représentent les « directions de plus grande variation » de l'ensemble). Les valeurs diagonales de Σ sont alors analogues à l'« énergie » ou la « représentativité » qui va pondérer ces comportements ; elles décroissent d'autant plus vite que l'ensemble statistique est ordonné.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: On peut considérer, par exemple dans l'optique du "data mining", que les informations « importantes » de l'ensemble sont celles qui présentent une structure plus marquée. Alors, en annulant la diagonale de au-delà d'un certain indice, puis en reconstituant la matrice de départ, on obtient des données filtrées, représentant l'information dominante de l'ensemble de départ. De façon équivalente, on peut considérer nulles des données d'énergie inférieure à un certain seuil.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Ainsi, la SVD permet de construire un modèle empirique, sans théorie sous-jacente, d'autant plus précis qu'on y injecte de termes.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Il est par ailleurs possible de reconstruire, en utilisant une base de vecteurs singuliers d'un premier jeu de données, un autre jeu de données avec plus ou moins de précision, afin de déterminer la similarité entre les deux. Selon ce principe, des systèmes de décomposition, de reconnaissance et de reconstruction faciale ont été développés.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: L'efficacité de la méthode dépend en particulier de la manière dont on lui présente les informations. Dans l'exemple d'un visage, si on utilise naïvement la luminosité des différents pixels d'une photographie pour construire une base de vecteurs singuliers, alors il sera difficile de reconstruire le même visage dans une pose légèrement différente (ou si l'éclairement du visage a varié) : les pixels ont changé - parfois beaucoup - mais pas l'information implicite (à savoir le visage). On préfère, dans ces domaines d'application, traiter les données dans l'espace, d'où l'ajout d'un système de reconnaissance en 3D, qui permet d'« expliquer » les variations observées en reliant celles-ci, et de les relier aux données connues.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: La décomposition en valeurs singulières fut développée à l'origine par les mathématiciens étudiant la géométrie différentielle, qui désiraient déterminer si une forme bilinéaire réelle pouvait en égaler une autre par des transformations orthogonales indépendantes des deux espaces concernés.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Eugenio Beltrami et Camille Jordan ont découvert indépendamment, en 1873 et 1874 respectivement, que les valeurs singulières des formes bilinéaires, représentées sous forme matricielle, constituaient un ensemble complet d'invariants pour les formes bilinéaires subissant des substitutions orthogonales.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: James Joseph Sylvester s'intéressa également à la décomposition en valeurs singulières en 1889 pour les matrices réelles carrées, apparemment indépendamment des travaux de Beltrami et Jordan. Sylvester donna aux valeurs singulières le nom de « multiplicateurs canoniques » d'une matrice "A".


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Le quatrième mathématicien à l'origine de la découverte de cette décomposition est Autonne, en 1915. Il aboutit à ce résultat au travers de la décomposition polaire.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: La première preuve de la décomposition en valeurs singulières pour les matrices rectangulaires et complexes est attribuée à Eckart et à Young, en 1936.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: En 1907, Erhard Schmidt définit l'analogue des valeurs singulières pour les opérateurs intégraux (qui, à certaines conditions près, sont compacts) ; il semble qu'il ne connaissait pas les travaux parallèles sur les valeurs singulières des matrices de dimension finie. Cette théorie fut développée encore par le mathématicien français Émile Picard en 1910, qui est à l'origine du terme moderne de « valeurs singulières » qu'il notait formula_27.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Avant 1965, aucune méthode efficace de calcul de cette décomposition n'était connue. Gene H. Golub et William Kahan proposèrent un premier algorithme cette année-là, puis, en 1970, Golub et Christian Reinsch publièrent une variante de l'algorithme Golub-Kahan qui demeure aujourd'hui le plus utilisé.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: La généralisation de cette décomposition à deux, trois ou "N" dimensions est encore un sujet de recherche active, puisqu'elle se révèle d'un intérêt majeur dans de nombreux domaines.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Il est courant d'associer les résultats de la décomposition en valeurs singulières à ceux de l'analyse en composantes indépendantes (ou ICA). Les algorithmes qui exploitent une combinaison des deux sont couramment appelés SVD/ICA. En effet, l'analyse en composantes indépendantes tient compte des termes d'ordre supérieurs ou égaux à 2 négligés par la décomposition en valeurs singulières.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Le procédé de décomposition en valeurs singulières généralisée, ou GSVD, étend le concept de la décomposition en valeurs singulières en utilisant des semi-normes quadratiques et s'applique aux systèmes linéaires.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Une matrice "A" de taille "m" × "n" et une matrice "B" de taille "p" × "n" réelles ou complexes étant données, leur décomposition généralisée est :


title: Décomposition en valeurs singulières

text: avec , et des matrices unitaires et une matrice triangulaire supérieure, non singulière, carrée "r" × "r", en notant le rang de .


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Par ailleurs, et sont des matrices "m" × "r" et "p" × "r" respectivement, nulles partout sauf sur leur diagonale principale, qui contient les réels et respectivement, tels que :


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Les rapports formula_31 sont analogues aux valeurs singulières. Dans le cas particulier, mais important, où est carrée et inversible, elles "sont" les valeurs singulières, et sont alors les vecteurs singuliers de la matrice .


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Il est possible d'étendre le concept de décomposition en valeurs singulières à des matrices complexes, ou, de manière équivalente à des matrices constituées de vecteurs 2D. Le calcul est proche de celui de la décomposition en valeurs singulières simple. On parle de décomposition en valeurs singulières 2D, ou 2DSVD.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: De même que pour le cas simple, il existe des algorithmes spécialisés qui donnent une approximation d'un ensemble de matrices de rang faible, par exemple des images ou des cartes météorologiques.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Soit un ensemble de réels (c'est-à-dire de vecteurs 1D). Pour la décomposition en valeurs singulières, on construit la matrice de covariance et la matrice de Gram :


title: Décomposition en valeurs singulières

text: En ne gardant que les "K" vecteurs propres principaux de et , on obtient ainsi une approximation de rang faible de la matrice . Pour les algorithmes de 2DSVD, on travaille avec des matrices 2D, c'est-à-dire un ensemble de matrices .


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Pour ce faire, on agit de la même façon que pour la décomposition classique, et on calcule leurs vecteurs propres et . On approche les :


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Les algorithmes de 2DSVD sont principalement utilisés en compression et représentation d'images. L'utilisation de la SVD pour la compression d'images a toutefois été montrée comme étant sous-optimale par rapport à une DCT, notamment à cause de l'obligation de transmettre la transformée elle-même, en plus des données image. Son rôle dans le domaine de la compression est de fait marginal.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: En considérant l'utilisation de matrices dépliées, on peut étendre la décomposition en valeurs singulières aux cas tridimensionnels, ou 3DSVD. De tels algorithmes sont utilisés en sismologie, en météorologie et en acoustique, où l'analyse de données 3D (ou 2D dépendant du temps) est souvent nécessaire.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Dans les utilisations, il est assez rare de devoir utiliser la forme complète de la décomposition en valeurs singulières, y compris la décomposition complète du noyau sous forme unitaire. Il est en effet courant, plus rapide, et moins coûteux en termes de mémoire, d'utiliser des versions réduites de la SVD. Les décompositions suivantes sont valables pour les matrices "m" × "n" de rang "r".


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Seuls les "n" vecteurs colonnes de correspondant aux vecteurs lignes de "V"* sont calculés. Les vecteurs colonnes restant de ne sont pas calculés, ce qui économise une quantité importante de calculs si formula_39. La matrice "U" est ainsi "m" × "n", Σ est diagonale "n" × "n" et "V" est "n" × "n".


title: Décomposition en valeurs singulières

text: La première étape du calcul d'une SVD « fine » est la décomposition QR de "M", qui peut être optimisée pour formula_39.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Seuls les "r" vecteurs colonnes de et les "r" vecteurs lignes de "V"* correspondants aux valeurs singulières non nulles Σ sont calculés. On obtient un résultat plus rapidement qu'avec la SVD « fine » si formula_42. La matrice "U" est ainsi "m" × "r", Σ est diagonale "r" × "r" et "V"* est "r" × "n".


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Seuls les "t" vecteurs colonnes de et les "t" vecteurs lignes de "V"* correspondants aux "t" plus grandes valeurs singulières Σ sont calculées. C'est un calcul encore plus rapide que la SVD « compacte » si formula_44. La matrice "U" est ainsi "m"×"t", Σ est diagonale "t" × "t" et "V"* est "t" × "n".


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Cependant, cette décomposition « tronquée » n'est plus une décomposition exacte de la matrice d'origine "M", mais la matrice obtenue, formula_45, est la meilleure approximation de "M" obtenue par une matrice de rang "t", pour la norme d'opérateur subordonnée aux normes euclidiennes de R et R.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: La somme des "k" plus grandes valeurs singulières de "M" est une norme sur l'espace vectoriel des matrices, appelée norme de Ky Fan ou norme k de "M".


title: Décomposition en valeurs singulières

text: La première des normes de Ky Fan, la norme 1 de Ky Fan, est la même que la norme d'opérateur de "M" en tant qu'opérateur linéaire, selon les normes euclidiennes de "K" et "K". En d'autres termes, la norme 1 de Ky Fan est la norme d'opérateur induite par le produit intérieur euclidien standard "l". Pour cette raison, on l'appelle également norme 2 d'opérateur. On peut facilement vérifier la relation entre la norme 1 de Ky Fan et les valeurs singulières. C'est vrai en général, pour un opérateur borné "M" sur un espace de Hilbert (potentiellement infini) :


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Cependant, dans le cas des matrices, ("M*M") est une matrice normale, donc ||"M*M"|| est la plus grande valeur propre de ("M*M"), donc la plus grande valeur singulière de "M".


title: Décomposition en valeurs singulières

text: La dernière norme de Ky Fan, qui est égale à la somme de toutes les valeurs singulières, est la norme de trace définie par ||"M"|| = Tr ("M*M").


title: Décomposition en valeurs singulières

text: On considère la norme spectrale formula_48 des matrices et l'on définit la norme duale de formula_49 par:


title: Décomposition en valeurs singulières

text: On vérifie alors aisément que cette norme duale est en fait la norme trace de "X" définie ci-dessus. De plus, cette norme est une norme d'algèbre.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Les valeurs singulières sont liées à une autre norme sur l'espace des opérateurs. On considère le produit scalaire de Hilbert-Schmidt sur les matrices "n" × "n", défini par <"M", "N"> = Tr "N*M". Alors la norme induite est ||"M"|| = <"M, M"> = (Tr "M*M"). La trace étant un invariant de similitude, cela implique que :


title: Décomposition en valeurs singulières

text: où les "s" sont les valeurs singulières de "M". On l'appelle norme de Frobenius, norme 2 de Schatten ou norme de Hilbert-Schmidt de "M". On montre également que si :


title: Décomposition en valeurs singulières

text: La factorisation peut être étendue comme opérateur borné "M" sur un espace de Hilbert "H". D'une façon générale, pour tout opérateur borné "M", il existe une isométrie partielle , un vecteur unitaire "V", un espace de mesure "(X, μ)" et "f" mesurable positive telle que :


title: Décomposition en valeurs singulières

text: On peut le montrer en travaillant l'argument d'algèbre linéaire utilisé pour le cas matriciel. "VT V*" est l'unique racine positive de "M*M", donnée par l'analyse fonctionnelle de Borel, pour les opérateurs auto-adjoints. La raison pour laquelle n'a pas besoin d'être unitaire est liée au fait que, contrairement au cas de dimension finie, étant donnée une isométrie "U" avec un noyau non trivial, une isométrie "U" existe telle que :


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Puisque, pour les matrices, la décomposition en valeurs singulières est équivalente à la décomposition polaire pour les opérateurs, on peut réécrire cela sous la forme :


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Pour étendre la notion de valeur singulière et de vecteurs singuliers au cas des opérateurs, on doit se restreindre aux opérateurs compacts sur les espaces de Hilbert. On rappelle certaines propriétés utiles :


title: Décomposition en valeurs singulières

text: En utilisant la diagonalisation, l'image unitaire de la racine carrée positive de "M", notée "T", possède une famille orthonormale de vecteurs propres {"e"}, correspondants aux valeurs propres strictement positives {"σ"}. Pour tout "ψ" ∈ "H",


title: Décomposition en valeurs singulières

text: quand la série converge normalement dans "H". On remarque que cette expression est proche de celle dans le cas de dimension finie.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Les "σ" sont appelées valeurs singulières de "M". {"U e"} et {"V e"} sont analogues aux vecteurs singuliers à gauche et à droite respectivement pour "M".


title: Décomposition en valeurs singulières

text: La décomposition en valeurs singulières permet de calculer le pseudo-inverse d'une matrice. En effet, le pseudo-inverse d'une matrice "M" connaissant sa décomposition en valeurs singulières , est donné par :


title: Décomposition en valeurs singulières

text: avec Σ le pseudo-inverse de Σ où tout coefficient non nul est remplacé par son inverse. Le pseudo-inverse lui-même permet de résoudre la méthode des moindres carrés.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Une autre utilisation de la décomposition en valeurs singulières est la représentation explicite de l'image et du noyau d'une matrice "M". Les vecteurs singuliers à droite correspondant aux valeurs singulières nulles de "M" engendrent le noyau de "M". Les vecteurs singuliers à gauche correspondant aux valeurs singulières non nulles de "M" engendrent son image.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Par conséquent, le rang de "M" est égal au nombre de valeurs singulières non nulles de "M". De plus, les rangs de "M", de et de sont égaux. et ont les mêmes valeurs propres non nulles.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: En algèbre linéaire, on peut prévoir numériquement le rang effectif d'une matrice, puisque les erreurs d'arrondi pourraient autrement engendrer des valeurs petites mais non nulles, faussant le calcul du rang de la matrice.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Certaines applications pratiques ont besoin de résoudre un problème d'approximation de matrices à partir d'une matrice formula_45 ayant un rang donné, égal à "r". Dans le cas où on tente de minimiser la distance au sens de la norme spectrale (ou aussi de Frobenius) entre et formula_45, en gardant formula_62, on constate que la solution est la décomposition en valeurs singulières de , c'est-à-dire :


title: Décomposition en valeurs singulières

text: avec formula_64 égale à , si ce n'est qu'elle ne contient que les formula_65 plus grandes valeurs singulières, les autres étant remplacées par 0. Voici une démonstration :


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Ainsi, formula_66, matrice de rang "r", est la meilleure approximation de au sens de la norme de Frobenius (ou spectrale) quand formula_67. De plus, ses valeurs singulières sont les mêmes que les "r" premières plus grandes de .


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Une des principales utilisation de la décomposition en valeurs singulières en traitement automatique des langues est l'analyse sémantique latente (ou LSA, de l'anglais ""), une méthode de la sémantique vectorielle. Ce procédé a pour but l'analyse des relations entre un ensemble de documents et des termes ou expressions qu'on y trouve, en établissant des « concepts » communs à ces différents éléments.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Brevetée en 1988, on parle également d'indexation sémantique latente (LSI). Voici une description sommaire du principe de cet algorithme.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Dans un premier temps, on construit une matrice représentant les différentes occurrences des termes (d'un dictionnaire prédéterminé, ou extraits des documents), en fonction des documents. Par exemple, prenons trois œuvres littéraires :


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Éventuellement, on peut réduire certains mots à leur radical ou à un mot équivalent, ou même négliger certains termes trop courts pour avoir un sens ; la matrice contient alors "Je", "adorer", "détester", "Wikipédia", "chocolat". Les coefficients (ici 1 ou 0) sont en général non pas un décompte mais une valeur proportionnelle au nombre d'occurrences du terme dans le document, on parle de pondération tf ('). D'autres pondérations comme idf (' ou TF-IDF) peuvent être impliquées.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: On peut également travailler avec la transposée de "M", que l'on note "N". Alors les vecteurs lignes de "N" correspondent à un terme donné, et donnent accès à leur « relation » à chaque document :


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Et de même, une colonne de la matrice "N" représente un document donné, et donne accès à sa relation à chaque terme :


title: Décomposition en valeurs singulières

text: On accède à la corrélation entre les termes de deux documents en effectuant leur produit scalaire. La matrice symétrique obtenue en calculant le produit formula_71 contient tous ces produits scalaires. L'élément de "S" d'indice contient le produit :


title: Décomposition en valeurs singulières

text: De même, la matrice symétrique formula_73 contient les produits scalaires entre tous les documents, qui donne leur corrélation selon les termes :


title: Décomposition en valeurs singulières

text: On calcule maintenant la décomposition en valeurs singulières de la matrice , qui donne les matrices telles que :


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Les valeurs singulières, formula_78 peuvent alors être sélectionnées, pour obtenir une « approximation » de la matrice à un rang "k" arbitraire, qui permet une analyse plus ou moins précise des données.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: En robotique, le problème de la cinématique inverse, qui consiste essentiellement à savoir « comment bouger pour atteindre un point, » peut être abordé par la décomposition en valeurs singulières.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: On peut considérer — c'est un modèle très général — un robot constitué de bras articulés, indicés "i", formant un angle θ entre eux, dans un plan. On note X le vecteur représentant la position du « bout » de cette chaine de bras, qui en pratique est une pince, une aiguille, un aimant… Le problème va être de déterminer le vecteur Θ, contenant tous les θ, de sorte que X soit égal à une valeur donnée X.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Si "J" est inversible (ce qui est, en pratique, toujours le cas), on peut alors accéder à la dérivée de θ :


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Si "J" n'est pas inversible, on peut de toute façon utiliser la notion de pseudo-inverse. Néanmoins, son utilisation ne garantit pas que l'algorithme converge, il faut donc que le jacobien soit nul en un nombre réduit de points. En notant la décomposition en valeurs singulières de "J", l'inverse (le pseudo-inverse si "J" n'est pas inversible) de "J" est donné par :


title: Décomposition en valeurs singulières

text: On a noté Σ la matrice diagonale comportant l'inverse des valeurs singulières non nulles. Dans la suite, la notation "J" renverra sans distinction à l'inverse ou au pseudo-inverse de "J".


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Et en ajoutant ΔΘ à Θ à chaque itération, puis en recalculant ΔX et ΔΘ, on atteint peu à peu la solution désirée.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Il est également possible d'utiliser la décomposition en valeurs singulières de "J" autrement pour obtenir ΔΘ :


title: Décomposition en valeurs singulières

text: En multipliant successivement à gauche par "J" puis par sa transposée, pour enfin utiliser la décomposition en valeurs singulières de "J""J", on a :


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Une utilisation courante de la décomposition en valeurs singulières est la séparation d'un signal sur deux sous-espaces supplémentaires, par exemple un sous-espace « signal » et un sous-espace de bruit. La décomposition en valeurs singulières est beaucoup utilisée dans l'étude de l'inversion de matrices, très pratique dans les méthodes de régularisation. On l'emploie également massivement en statistique, en traitement du signal, en reconnaissance de formes et dans le traitement informatique des langues naturelles.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: De grandes matrices sont décomposées au travers de cet algorithme en météorologie, pour l'algorithme de Lanczos par exemple.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: L'étude géologique et sismique, qui a souvent à faire avec des données bruitées, fait également usage de cette décomposition et de ses variantes multidimensionnelles pour « nettoyer » les spectres obtenus. Étant donnés un certain nombre d'échantillons connus, certains algorithmes peuvent, au moyen d'une décomposition en valeurs singulières, opérer une déconvolution sur un jeu de données.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Les valeurs singulières sont également utilisées en automatique. Elles permettent de généraliser le principe de gain d'une fonction de transfert à un système multi-entrées multi-sorties. Les valeurs singulières sont utilisées dans le calcul de la norme H" pour l'élaboration d'une commande H".


title: Décomposition en valeurs singulières

text: Le calcul explicite, analytique, de la décomposition en valeurs singulières d'une matrice est difficile dans le cas général. On utilise, en particulier dans les applications, des algorithmes spécialisés.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: La procédure DGESVD de la bibliothèque LAPACK propose une approche courante pour le calcul de la décomposition en valeurs singulières d'une matrice. Si la matrice possède plus de lignes que de colonnes, on effectue tout d'abord une décomposition QR. Le facteur R est ensuite réduit sous forme . Pour ceci, on peut effectuer des transformations de Householder alternativement sur les colonnes et sur les lignes de la matrice. Les valeurs singulières et vecteurs singuliers sont alors trouvés en effectuant une itération de type QR bidiagonale avec la procédure DBDSQR.


title: Décomposition en valeurs singulières

text: GNU Scientific Library propose trois possibilités : l'algorithme de Golub-Reinsch, l'algorithme de Golub-Reinsch modifié (plus rapide pour les matrices possédant bien plus de lignes que de colonnes) et l'orthogonalisation de Jacobi.


title: Andréa Kotarac

text: D’abord membre du Parti de gauche et de La France insoumise, il est élu conseiller régional d'Auvergne-Rhône-Alpes en 2015. Il démissionne de ce mandat après avoir apporté son soutien à la liste présentée par le Rassemblement national aux élections européennes de 2019. Le RN l’investit ensuite comme tête de liste aux élections régionales de 2021 en Auvergne-Rhône-Alpes.


title: Andréa Kotarac

text: Né en 1989 à Thonon-les-Bains (Haute-Savoie), Andréa Kotarac grandit dans sa commune natale. Il a des origines iraniennes par sa mère, Fariba Djazayeri, et serbes du côté de son père, Dragan Kotarac : son arrière-grand-père paternel, serbe, a combattu aux côtés de la France durant la Première Guerre mondiale. Son père, Dragan Kotarac, milite à la CGT de la Société des eaux d'Evian.


title: Andréa Kotarac

text: Andréa Kotarac effectue ses études secondaires dans sa ville natale, où il prend part au mouvement contre le contrat première embauche (CPE) alors qu'il est lycéen.


title: Andréa Kotarac

text: Andréa Kotarac commence en politique en s’engageant contre l'extrême droite. D’après "Le Parisien", il est interpellé en 2012 après une échauffourée avec des sympathisants d’extrême droite, à proximité de l’université Lyon-III. L’élu écologiste Jean-Charles Kohlhaas affirme à son sujet en 2019 :


title: Andréa Kotarac

text: En 2008, à , il milite pendant quelques mois au Parti socialiste (PS). Aux élections municipales de, il se présente à Thonon-les-Bains sur une liste d'union de la gauche conduite par le socialiste Georges Constantin, mais celle-ci est battue et il n’intègre pas le conseil municipal. Peu après, il contribue activement à Pour la République sociale (PRS), association politique de Jean-Luc Mélenchon préfigurant le Parti de gauche (PG), que rejoint Andréa Kotarac dès sa fondation en 2009. Il est ensuite tête de liste du Front de gauche aux élections municipales de 2014 dans le de Lyon, où il obtient 5,4 % des voix exprimées.


title: Andréa Kotarac

text: Tête de liste PG-Europe Écologie Les Verts au premier tour des élections régionales de 2015 en Auvergne-Rhône-Alpes pour la métropole de Lyon, il rejoint au second tour la liste d’union de la gauche du socialiste Jean-Jack Queyranne, ce qui lui permet d’être élu au conseil régional. En , il participe à une manifestation appelant la région à accueillir des migrants.


title: Andréa Kotarac

text: Il est conseiller au pôle numérique de Jean-Luc Mélenchon dans le cadre de la campagne présidentielle de 2017, au sein duquel il revendique être à l'origine de l'idée de mettre en place des meetings électoraux simultanés par hologramme, une première en France. Aux élections législatives qui suivent, il se présente dans la septième circonscription du Rhône sous l’étiquette de La France insoumise (LFI), créée en 2016 par Jean-Luc Mélenchon : il est éliminé au premier tour, arrivant en troisième position avec 13,3 % des suffrages exprimés.


title: Andréa Kotarac

text: Le , à douze jours des élections européennes, il surprend en appelant à voter pour le parti d’extrême droite Rassemblement national (RN) à ce scrutin. Dans "L'Opinion", Thierry Mariani, issu de LR et candidat sur la liste RN conduite par Jordan Bardella, révèle l’avoir plusieurs fois rencontré depuis un an. Andréa Kotarac justifie sa prise de position en ces termes : .


title: Andréa Kotarac

text: Lors du dernier rassemblement du Rassemblement national en vue des élections européennes qui se tient à Hénin-Beaumont, il est particulièrement applaudi lorsqu’il déclare à la tribune : . À la suite de sa consigne de vote, il est exclu du Parti de gauche et du groupe Rassemblement citoyen, écologiste et solidaire (RCES) du conseil régional d'Auvergne-Rhône-Alpes, et annonce qu’il démissionne de son mandat régional pour ses électeurs.


title: Andréa Kotarac

text: En , il devient assistant parlementaire du député européen Hervé Juvin. Il prend ensuite la direction de la revue "IDées", censée servir de réflexion aux parlementaires européens RN et à leurs alliés.


title: Andréa Kotarac

text: Investi tête de liste du RN-Parti chrétien-démocrate aux élections métropolitaines de 2020 dans la métropole de Lyon, il réunit 11,4 % des suffrages exprimés au premier tour et 12,2 % au second dans la circonscription de Rhône Amont, tandis que ses listes obtiennent 7,7 % sur l’ensemble de la métropole et aucun élu.


title: Andréa Kotarac

text: Au début de l’année 2021, refusant toujours d’adhérer au RN, il lance le parti Les Localistes, avec Hervé Juvin. Cette formation entend défendre l’écologie, l’identité et le principe de subsidiarité, en d’un RN jugé trop centralisateur.


title: Andréa Kotarac

text: Alors qu'Andréa Kotarac souhaite conduire la liste RN aux élections régionales de 2021 en Auvergne-Rhône-Alpes, le magazine "Marianne" indique : Il est finalement désigné tête de liste. Dans un contexte de forte abstention (deux-tiers des inscrits), sa liste arrive en troisième position au premier et au second tour, avec respectivement 12,3 % et 11,2 % des suffrages exprimés, soit un net recul par rapport aux élections régionales de 2015 (où la liste conduite par Christophe Boudot avait recueilli 25,5 % puis 22,5 %, et deux fois plus d’élus).


title: Andréa Kotarac

text: Au sein du Parti de gauche et de La France insoumise, Andréa Kotarac défend une vision souverainiste et anti-communautariste. Il affirme qu’. Il quitte LFI peu après d’autres cadres du mouvement, dont le conseiller diplomatique de Jean-Luc Mélenchon Georges Kuzmanovic, tenant comme lui d'une ligne souverainiste, sur fond de désaccord sur la politique migratoire. Disant apprécier la de Marine Le Pen, Andréa Kotarac critique alors la mise en avant au sein de LFI de , comme les ou , et déclare également :


title: Andréa Kotarac

text: Au Rassemblement national, il devient un proche de l’entourage de Marion Maréchal et des milieux catholiques, une situation qui déplaît à une partie de la direction du RN qui comptait sur ce transfuge de la gauche pour marginaliser ces courants.


title: Andréa Kotarac

text: Andréa Kotarac s’intéresse à la géopolitique, notamment aux pays d’Europe de l'Est, où vit une partie de sa famille. Tout comme Jean-Luc Mélenchon, il déplore l’éclatement de la Yougoslavie dans le cadre des guerres des. En 2018, il s’affiche sur Twitter aux côtés d’Alexandre Zakhartchenko, dirigeant de la République populaire de Donetsk, État sécessionniste de l'Ukraine. Le , il participe au forum de Yalta organisé par le président de la fédération de Russie, Vladimir Poutine ; alors que des personnalités de la droite radicale française (Thierry Mariani et Marion Maréchal) sont présentes à cet événement et que sa démarche est désapprouvée par la direction de LFI, il reconnaît l’annexion de la Crimée par la Russie et déclare :


title: Andréa Kotarac

text: En , avec Thierry Mariani et le directeur marketing de l’association SOS Chrétiens d'Orient, il se rend en Syrie, où il rencontre les dirigeants de la chambre de commerce et d’industrie locale, inscrite sur la liste des entités sanctionnées par la France et l’Union européenne, et propose d’ouvrir des relations commerciales avec la chambre de commerce de Lyon. À l’été 2019, avec les députés européens Thierry Mariani, Nicolas Bay et Virginie Joron, il se rend une nouvelle fois en Syrie, participant à un entretien avec le président Bachar el-Assad, accusé de crimes contre l'humanité durant la guerre civile syrienne. Le , André Kotarac, avec Thierry Mariani et Hervé Juvin, rend une nouvelle visite à Bachar el-Assad, qui fait l'objet d’une information judiciaire en France concernant des attaques chimiques, dont celle sur la Ghouta.


title: Jade Laroche

text: Jade Laroche, née le à Rouen, est une actrice pornographique, stripteaseuse et mannequin française, devenue disc jockey.


title: Jade Laroche

text: Elle débute dans le X à l'âge de 19 ans en tournant quatre scènes pour le studio Swipp, producteur de la série "porntour.fr". Elle est présentée à Fred Coppula qui lui offre la couverture du magazine "Chobix". Elle est également à la une de "Marc Dorcel Magazine" en , elle est la "Dorcel Girl 2010" sans être pour autant une actrice exclusive du studio.


title: Jade Laroche

text: Son sixième film intitulé "Une mère et sa fille" est tourné à Los Angeles en , et réalisé par Paul Thomas. Et elle est à l'affiche fin 2010 de "Mademoiselle de Paris", le premier film X coproduit par Dorcel et des internautes via la plate-forme communautaire MyDorcel.


title: Jade Laroche

text: Elle quitte l'industrie du X en 2011 pour se lancer dans une carrière de DJ et devient la femme disc jockey mondiale en atteignant la du GIRLS DJ WORLD CUP 2012.


title: Liste des communes de la Gironde

text: Le tableau suivant donne la liste des communes, en précisant leur code Insee, leur code postal principal, leur arrondissement, leur canton, leur intercommunalité, leur superficie, leur population et leur densité, d'après les chiffres de l'Insee issus du recensement 2019.


title: Liste des communes de la Gironde

text: La Gironde comporte, suivant la classification de l'Insee, hors attraction des villes. Les communes urbaines du département forment :


title: Liste des communes de la Gironde

text: Les aires d'attraction de Bergerac et de Pineuilh s'étendent également sur le département de la Dordogne tandis que celle de Marmande s'étend sur le Lot-et-Garonne.


title: Pavie

text: Pavie est une ville de la province du même nom en Lombardie (Italie). La ville trouve ses origines au temps des tribus gauloises ; plus tard, il devint un "municipium" romain sous le nom de "Ticinum". Au Moyen Âge, elle fut (avec Ravenne et Vérone) l'un des sièges royaux du royaume Ostrogoth, elle fut capitale pendant deux siècles du Royaume lombard puis, de 774 à 1024, capitale du Royaume d'Italie, tandis que de De 1365 à 1413, il a accueilli le tribunal Visconti et depuis 1361, il est le siège d'une université.


title: Pavie

text: La ville est aussi le chef-lieu d'une province vouée avant tout à l'agriculture, notamment à la viticulture, à la riziculture et à la céréaliculture, alors que le poids du secteur industriel est beaucoup plus contenu. Pavie est insérée dans le parc du Tessin et à l'intérieur des limites municipales, il y a des bois (Bosco Negri et Bosco Grande) témoins de la grande forêt de plaine qui couvrait autrefois la Plaine du Pô.


title: Pavie

text: Pavie est située sur 2 itinéraires culturels européens la Via Francigena et les chemins de Martin de Tours.


title: Pavie

text: Pavie est nommée "Pavia" en italien et en lombard. À partir du , la ville est nommée "Papia", un dérivé probable du nom d'une "gens" romaine.


title: Pavie

text: À l'époque romaine, Pavie porte le nom de "Ticinum", dérivant du nom de la rivière Tessin ("Ticino" en italien) ; l'étymologie de ce dernier nom est incertaine.


title: Pavie

text: Pavie est située sur les rives du Tessin, à une dizaine de kilomètres en amont de son confluent avec le Pô. Milan, au nord, est distante de ; Gênes, au sud, de ; Turin, à l'ouest, de .


title: Pavie

text: La ville est située dans la plaine du Pô, au nord-ouest de la péninsule italienne, dans le nord de la province de Pavie, elle-même dans le sud-ouest de la Lombardie.


title: Pavie

text: La ville occupe une superficie de à l'ouest de la Lombardie, située le long de la soi-disant "ceinture de résurgence", où il y a la rencontre, dans le sous-sol, entre des couches géologiques de perméabilité différente, un aspect qui permet aux eaux profondes de resurgir à la surface.


title: Pavie

text: Le centre historique vu du ciel. Vous pouvez observer le tracé urbain régulier avec une structure orthogonale datant du Pavie se dresse au bord de la puissante plaine inondable qui s'étend entre le Tessin et l'Olona, à une courte distance de la confluence du Tessin avec le Pô. Ce plateau est profondément gravé par d'autres cours d'eau mineurs. Le plateau diluvial sur lequel repose Pavie apparaît gravé, en correspondance avec l'aire urbaine, par deux sillons profonds dus à l'action érosive de deux fleuves postglaciaires, représentés aujourd'hui par le Navigliaccio (qui coule dans le lit autrefois occupé par Calvenza) et par le Vernavole. Les deux vallées ont tendance à converger juste derrière le site de la ville, de sorte que la Pavie primitive se trouvait sur un tronc ou une souche de terrasse presque isolé et difficile d'accès, de forme presque triangulaire, qui avait le Tessin au sud, le Calvenza puis le Navigliaccio au nord-ouest et la Vernavola au nord-est. D'un point de vue altimétrique, la ville a différentes hauteurs. Le point culminant est situé dans la zone du château Visconti, à environ au-dessus du niveau de la mer, puis décline lentement. D'une altitude de , on passe à en environ. En aval de la Piazza Vittoria, là où se croisaient le "cardo" et le "decumanus" de la cité romaine, la pente s'accentue, jusqu'à atteindre un peu moins de d'altitude près du Ponte Coperto.


title: Pavie

text: Le climat de Pavie est typique de la moyenne plaine du Pô. Les hivers sont froids et humides, les étés sont chauds et parfois entrecoupés d'orages qui rafraichissent temporairement l'atmosphère. Le printemps et l'automne sont les périodes les plus pluvieuses.


title: Pavie

text: Pavie bénéficie d'un climat continental humide avec d'importantes variations de température quotidiennes et annuelles. En hiver, le climat est rude et humide avec la formation de brouillard au sol due à la fois à la présence de nombreux canaux et canaux - et du fleuve Tessin - et à une mauvaise ventilation. Les épisodes neigeux qui surviennent lors de vagues de froid ou dus à la formation d'un coussin d'air froid et stagnant au sol (inversion thermique) ne sont pas rares. L'automne et le printemps sont les saisons les plus pluvieuses, tandis que l'été est chaud et lourd avec des orages fréquents et soudains qui refroidissent l'air rapidement - bien que pour une courte période.


title: Pavie

text: La température maximale moyenne est enregistrée en juillet avec , la plus basse en janvier avec . Le mois le plus humide est octobre avec de pluie ; celui moins juillet avec . Les précipitations annuelles moyennes sont comprises entre , réparties en moyenne sur .


title: Pavie

text: L'actuelle commune de Pavie s'est formée au cours des siècles grâce à la combinaison de plusieurs communes. En 1883, la commune de Corpi Santi di Pavie, qui regroupait les fermes et les faubourgs de la ville juste à l'extérieur des murs d'enceinte, est intégrée à Pavie. Les domaines qui ne sont pas à proximité du centre appartenaient à trois entités administratives : le "Parco Visconteo", la "Campagna Sottana" et la "Campagna Soprana". Pavie comprend les hameaux suivants : Albertario, Ca' della Terra, Cantone Tre Miglia, Cassinino, Cittadella, Fossarmato, Mirabello, Montebellino, Pantaleona, Prado et Villalunga.


title: Pavie

text: Pavie est limitrophe des communes de Borgarello, Carbonara al Ticino, Certosa di Pavia, Cura Carpignano, Marcignago, San Genesio ed Uniti, San Martino Siccomario, Sant'Alessio con Vialone, Torre d'Isola, Travacò Siccomario et Valle Salimbene.


title: Pavie

text: Les symboles de Pavie sont les armoiries, la bannière et le sceau, comme indiqué dans le statut municipal. La bannière utilisée par la ville moderne de Pavie reproduit fidèlement celle utilisée par la municipalité de Pavie au moins depuis le : une bannière rouge avec une croix blanche de Saint-Jean-Baptiste. Ce symbole, probablement dérivé du blutfahne, le drapeau original du souverain du Saint Empire romain germanique, avait une signification politique claire: souligner l'appartenance de Pavie à la faction gibeline. Les armoiries de la municipalité représentent également la croix de Saint-Jean-Baptiste qui, à partir de la fin du , a commencé à être représentée sous une forme ovale et dans un cadre riche, au-dessus duquel se trouve un masque avec une couronne comtale et souvent flanquée de deux anges tenant l'écu et les lettres CO-PP (Comunitas Papie).


title: Pavie

text: En 1396, l'empereur Venceslas de Luxembourg accorda à Jean Galéas Visconti un diplôme avec lequel le système de succession au trône du duché de Milan était réglementé sur la base de la primogéniture masculine et Pavie était élevée au rang de comté. À partir de cette date, l'héritier du trône ducal reçut le titre de comte de Pavie (plus tard élevé par l'empereur Maximilien en 1499 à celui de prince). Depuis lors, les armoiries municipales d'origine ont commencé à être flanquées de celles du comté, qui ont été divisées en deux parties avec le serpent Visconti entrant dans un champ blanc sur le côté gauche, tandis que dans celui de gauche se détachaient trois aigles noirs sur un champ jaune.


title: Pavie

text: Le sceau de la municipalité représente le Regisole, une ancienne statue équestre en bronze de l'Antiquité tardive placée à l'origine à l'intérieur du Palais Royal et, probablement au , placée sur la place de la cathédrale. La statue fut abattue par les Jacobins en 1796.


title: Pavie

text: La première colonie dans la région de Pavie est due aux anciennes populations de la Gaule transpadane, peut-être les Levi, les Marici ou les Insubres, qui ont créé la colonie primitive dans la région où Bellovesos a vaincu les Étrusques vers 600 av.


title: Pavie

text: La date de fondation de Pavie n'est pas connue mais date probablement de l'époque romaine ; elle porte d'abord le nom de son fleuve, "Ticinum". Camp militaire, la ville prend de l'importance en 187 av. J.-C. lorsqu'elle est atteinte par une prolongation de la Via Aemilia. Peu de choses sont connues sur Ticinum : il s'agit d'un "municipium", un arc de triomphe y est érigé en l'honneur d'Auguste et devient un atelier monétaire aux . Cornélius Népos y naît probablement. Le centre historique de Pavie, un quadrilatère d'un , possède la structure typique dérivée d'un camp romain avec ses deux axes perpendiculaire, le cardo et le decumanus et conserve encore une grande partie de l'égout romain (qui a continué à fonctionner jusqu'au ) sous les rues du centre historique.


title: Pavie

text: En 271, la première des batailles impliquant la ville ou ses environs immédiats a eu lieu (bataille de Pavie). L'empereur romain Aurélien a définitivement vaincu les Alamans qui, après une série de victoires, fuyaient le long de la Via Emilia après la défaite subie à la bataille de Fano. La victoire d'Aurelian était complète, avec toute l'armée alémanique détruite et le butin de leurs raids récupéré.


title: Pavie

text: Pavie était le point d'arrivée d'une importante voie romaine venant de la Gaule et, grâce au port sur le Tessin, c'était une plaque tournante fondamentale des communications fluviales entre l'Adriatique et le lac Majeur. La ville, autrefois le site d'importants quartiers militaires, au après JC. il a pris de l'importance et est également devenu le siège d'une fabrique d'arcs appartenant à l'État.


title: Pavie

text: L'antique "Ticinum "accueille un atelier monétaire (très actif sous la Tétrarchie) jusqu'en 326, date à laquelle il est transféré dans la nouvelle capitale Constantinople. Toujours au après J.-C. Le christianisme a commencé à s'affirmer (selon la tradition grâce à la prédication de Saint Syrus), et les premières églises ont été construites.


title: Pavie

text: Également dans la ville a grandi Saint Martin de Tours, qui, à la suite de son père, un officier romain transféré vers 325 après J.-C. avec son département de Pannonie à Pavie, et c'est là qu'il a fait ses études.


title: Pavie

text: En 350, l'usurpateur gaulois Magnence, venu en Italie, affronte à son tour les forces de Constance II à Pavie, remportant une victoire partielle avant que les échecs en Pannonie ne marquent irréversiblement le déclin de sa fortune. Malgré les échecs militaires, Magnence réussit finalement à vaincre à nouveau Constance II à Pavie en 352.


title: Pavie

text: Stilicon (entre 406 et 407), lors d'opérations militaires contre Alaric, il transfère une partie de l'armée à Pavie, soulignant le changement de rôle assumé par Pavie, d'un centre subordonné à Milan à l'étape principale du nord de l'Italie.


title: Pavie

text: Pavie est pillée par Attila en 452. En 476, Odoacre vainc Flavius Oreste à Pavie après un long siège. Avec la mort de Flavius Oreste et la déposition de son fils Romolus Augustule, la fin de l'Empire romain d'Occident. En représailles, Odoacre détruit complètement la ville.


title: Pavie

text: Pendant les luttes entre Théodoric et Odoacer pour le contrôle de l'Italie, le premier, dans l'hiver entre 489 et 490, s'enferme à Pavie, où il est assiégé par Tufa. Dans les premiers mois de 490, grâce à l'arrivée de secours envoyés par les Wisigoths, Théodoric put briser le siège. Probablement, aussi grâce aux relations qui ont été établies pendant le siège entre la ville, et en particulier son évêque Épiphane, et Théodoric et aussi compte tenu de la position bien défendable de Pavie, également reliée à Ravenne et à l'Adriatique par les rues de l'eau, a incité le souverain ostrogoth de créer un palais royal, des bains, un amphithéâtre et une nouvelle enceintedans la ville, faisant ainsi de la ville, avec Ravenne et Vérone, l'un des trois sièges du royaume Ostrogoths.


title: Pavie

text: En 538, les Byzantins assiégèrent Pavie, où le roi Vitige fut emprisonné, mais le siège échoua. À partir de 540, la ville devint le siège de la cour et du trésor royal et c'est ici que furent élus les rois Hildebad, Eraric et Totila. Au cours de la difficile période de deux ans 552-553, Pavie s'est imposée comme le centre militaire le plus important du royaume Ostrogoth: ici, le dernier roi gothique a été élu Teias et Pavie a été la dernière ville gothique à tomber aux mains des Byzantins.


title: Pavie

text: Après les conquêtes lombardes, Pavie devint la capitale du nouveau royaume lombard sous le nom de "Papia". Les principales conséquences que le rôle de capitale apporta à Pavie, ou les « spécificités » de la capitale par rapport aux autres villes du royaume, furent notamment la résidence du roi dans la ville et le fonctionnement du palais royal. Le rôle du capital impliquait la convocation annuelle des assemblées des peuple lombard, au cours desquelles l'édit de Rotari et, par la suite, les autres lois lombardes furent promulgués en 643. Contrairement aux rois francs, les Lombards avaient une résidence fixe au Palais Royal : cela renforçait l'autorité royale puisque chaque année, vers le , au palais, se tenait une grande assemblée où étaient édictées des lois et débattues de grandes questions. le Royaume. Mais ce fut aussi un moment très délicat, étant donné que, comme cela arriva à plusieurs reprises, si une faction opposée au souverain parvenait à occuper le palais et le trésor royal, elle pouvait en fait s'emparer du royaume : pour les Lombards, l'autorité de le souverain, il ne pouvait être exercé que s'il avait le plein contrôle du palais.


title: Pavie

text: La résidence dans la ville des élites aristocratiques du royaume a contribué à faire de Pavie non seulement le principal centre urbain, mais aussi le point de référence pour toute la population du royaume. La ville a connu de profonds changements de topographie urbaine, comme l'abandon du forum de l'âge classique et la création de nouveaux édifices de culte chrétien. Le principal phénomène qui a affecté la topographie urbaine de Pavie à l'époque lombarde a consisté en la fondation de bâtiments ecclésiastiques. Jusqu'au milieu du , seules deux églises chrétiennes de la ville sont attestées, tandis que, entre 569 et 774, au moins 21 églises et monastères ont été fondés. Huit sont des fondations royales, 4 aristocratiques et 1 épiscopale. La création d'édifices ecclésiastiques par les souverains est décisive : la fondation d'une église, souvent destinée à la sépulture du fondateur, devient en effet à partir du l'acte principal par lequel la monarchie lombarde manifeste son appartenance et son adhésion au monde chrétien.


title: Pavie

text: En 774, après un siège de plusieurs mois, Charlemagne conquiert Pavie et capture le roi des Lombards Didier, assumant la couronne du royaume lombard. Pavie reste cependant la capitale du royaume d'Italie ; les couronnements royaux ont lieu dans la basilique San Michele Maggiore.


title: Pavie

text: La ville était le siège du Palais Royal, la plus haute cour du royaume et la principale monnaie royale jusqu'en 1024. De plus, le 25 mai 825, l'empereur Lothaire avec le capitulaire de Corteolona fonda la "Schola Papiense" au Palais Royal. école de droit, de rhétorique et d'arts libéraux, à laquelle devaient se rendre tous les étudiants de Milan, Brescia, Lodi, Bergame, Novare, Vercelli, Tortone, Acqui, Gênes, Asti et Côme.


title: Pavie

text: Pendant la période Ottoniens, Pavie a connu une période de bien-être et de développement. L'ancienne capitale lombarde se distinguait des autres villes de la Plaine du Pô par sa fonction fondamentale de carrefour d'importants échanges commerciaux, tant alimentaires que de luxe. Le trafic commercial était avant tout favorisé par les voies navigables utilisées par l'empereur pour ses déplacements : depuis le Tessin, on pouvait facilement rejoindre le Pô, axe direct avec la mer Adriatique et le trafic maritime. De plus, avec l'avènement des Ottoniens (Otton I s'est marié à Pavie avec Adélaïde de Bourgogne en 951 et le couple a résidé longtemps, à différentes époques, dans la ville), Milan a de nouveau perdu de l'importance au profit de Pavie, dont la pré- éminence a été sanctionnée entre autres, de la frappe de la monnaie de Pavie. L'importance de la ville au cours de ces siècles est également soulignée par le récit du géographe arabe Ibrāhīm al-Turtuši, qui a voyagé dans le centre-ouest de l'Europe entre 960 et 965 et a visité Vérone, Rocca di Garda et Pavie, dont il a défini la ville principale. de Longobardie, très peuplée, riche en marchands et, comme Vérone, entièrement construite, contrairement aux autres centres de la région, en pierre, brique et chaux.


title: Pavie

text: Toujours entre les , la ville fut le berceau de Liutprand de Crémone, évêque, chroniqueur et diplomate au service de Bérenger II d'abord puis d'Otton Ier et d'Otton II et de Lanfranc, proche collaborateur de Guillaume le Conquérant et , après la conquête normande du royaume anglo-saxon, réorganisateur de l'église anglaise.


title: Pavie

text: Au , Pavie acquiert le statut de commune autonome. Dans la lutte entre guelfes et gibelins, Pavie est traditionnellement gibeline, une position due autant à sa rivalité avec Milan (tête de file des guelfes en Lombardie) qu'à sa loyauté envers l'Empereur. Pendant les guerres entre l'empereur allemand Frédéric Barberousse (qui fut couronné roi d'Italie dans la basilique San Michele Maggiore en 1155 et qui organisa un concile dans la ville en 1160) et les municipalités de la Ligue lombarde, Pavie (avec Côme) était fidèle à l'armée impériale. Dans l'ensemble, le Barbarossa a résidé à Pavie pendant 13 ans à différentes périodes. Nombreuses furent donc également les haltes de toute la cour impériale dans l'ancienne capitale du haut Moyen Âge. La longue résidence de l'empereur et de son entourage à Pavie a été caractérisée par une série de références explicites au rôle et à la mémoire de la ville dans le passé, connotant la seconde moitié du comme un véritable renouveau de la splendeur de la capitale du royaume. Frédéric a également délivré de nombreux diplômes aux riches monastères royaux de Pavie, alliés utiles dans le contrôle du territoire et dans la politique ecclésiastique de l'empereur.


title: Pavie

text: L'empereur Frédéric II entre pour la première fois à Pavie en 1212 et son entrée dans la ville est célébrée triomphalement. Comme cela s'était déjà produit avec Frédéric , le séjour des Souabes dans la ville signifiait la renaissance des anciennes traditions royales typiques de la capitale du début du Moyen Âge. Le souverain, comme d'habitude, a délivré des diplômes aux corps ecclésiastiques locaux et a séjourné dans le bâtiment du monastère de S. Salvatore. Pavie a soutenu Frédéric II contre la deuxième ligue lombarde, et ses forces ont participé à la bataille de Cortenuova, au siège de Parme et à de nombreuses autres opérations militaires, obtenant en 1212 une grande victoire sur les Milanais et leurs alliés à Casei Gerola. En 1219, Frédéric II confirma une fois de plus ce que son ancêtre avait accordé à Pavie pour la loyauté manifestée en soutenant les raisons de l'Empire sur le champ de bataille. De plus, Frédéric II a accordé à la municipalité une plus grande autonomie dans l'autonomie de la ville.


title: Pavie

text: Lors du traité de Pavie en 1329, l'Empereur Louis IV accorde le Palatinat aux descendants de son frère, le duc Rodolphe. Pavie lutte contre la domination de Milan mais est finalement annexée par la famille Visconti, ducs de Milan, en 1359, après un long siège. Après la prise de Pavie en 1359, Galéas II a amené sa résidence et sa cour à Pavie. L'impressionnante rénovation urbaine que la ville subit sur ordre de Galéas II à partir de 1360 apparaît comme un plan bien pensé, empreint de sens de la grandeur et consacré à la valorisation de la mémoire du rôle de capitale du Royaume lombard d'abord et de la Royaume d'Italie plus tard, que Pavie eut jusqu'au . Héritage auquel Galéas II, et plus tard aussi son fils Jean Galéas, ont voulu se référer, en utilisant surtout les souvenirs de la royauté du haut Moyen Âge que Pavie a conservés, afin de légitimer son pouvoir et de se placer en continuité directe avec la Lombardie et le haut Moyen Âge rois. Sous les Visconti, Pavie devient un centre intellectuel et artistique. L'université de Pavie est fondée en 1361 à partir d'une ancienne école de droit préexistante et attire des étudiants de nombreux pays.


title: Pavie

text: Sous les Visconti d'abord puis les Sforza, la transformation de la ville, du territoire et de la société urbaine eut quelque chose de grandiose : de 1359 à 1402, Pavie (une ville déjà assez riche et prospère malgré la crise du siècle) fit des progrès notables sous l'ombre des principes, accélérant la transformation de ses institutions, des hiérarchies sociales, de l'environnement culturel, de l'aspect monumental. L'importance de Pavie est soulignée par la création du comté de Pavie (1396) destiné au fils aîné, la fondation de l'université, l'immense Parc Visconti, le dédoublement de la capitale et des sièges de la cour (Milan et Pavie) , la fondation de la Chartreuse comme panthéon dynastique et la mise en place d'une structure bureaucratique et chambriste qui doublait les institutions milanaises.


title: Pavie

text: En 1387, la première communauté juive s'établit dans la ville qui, pendant la période Sforza, grandit et prospéra, à tel point que le grand érudit et talmudiste Joseph Colon vécut et mourut à Pavie.


title: Pavie

text: Les Français occupèrent la ville en 1499 jusqu'en 1512 où, lors de la bataille de Pavie, les fantassins suisses et vénitiens, sous le commandement de Mathieu Schiner, chassèrent la garnison française de la ville et pillèrent Pavie. De retour sous le contrôle des Sforza, elle est assiégée en 1522 par Odet de Foix, comte de Lautrec. Bien que la situation à Pavie soit désespérée, étant donné que les fortifications avaient été endommagées par les sièges précédents et qu'une grande partie de la garnison impériale avait dû quitter Pavie pour aider Milan, également assiégée par les Français, le siège échoua. La forte résistance des citoyens d'armes, qui avaient reformé la milice urbaine, et de la garnison impériale, liée à l'arrivée des renforts Habsbourg, contraint les Français à fuir.


title: Pavie

text: Le , la bataille de Pavie voit la victoire de Charles Quint sur . Elle débouche sur une période d'occupation espagnole qui dure jusqu'en 1706.


title: Pavie

text: Dans les mêmes années, étudie à l'Université de Pavie Jérôme Cardan, tandis que, probablement en 1511, Léonard de Vinci étudie l'anatomie avec Marcantonio della Torre, professeur d'anatomie à l'université.


title: Pavie

text: À partir de la seconde moitié du , la production de majolique devint florissante dans la ville, ce qui fit de Pavie, jusqu'au , l'un des principaux centres de production de ces artefacts dans le nord de l'Italie. Mais la ville avait, comme par le passé, une importance avant tout commerciale : les marchandises qui passaient de Milan et du reste de la Lombardie à Gênes passaient par Pavie et, surtout, le sel coulait de l'Adriatique vers l'entrepôt situé le long du Tessin, nécessaire non seulement pour la conservation des aliments, mais aussi pour de nombreuses activités, comme la laiterie. Le sel, de Pavie, était ensuite distribué à Milan et dans la majeure partie de l'ouest de la Lombardie et du Piémont.


title: Pavie

text: En 1617, le Traité de Pavie règle la question de la Savoie. En 1655, le prince Thomas de Savoie-Carignan a attaqué Pavie avec une armée de français, piémontais et duc de Modène, tandis que la ville était défendue par Galeazzo Trotti qui n'avait que espagnols, environ 900 chevaliers espagnols et quelques milliers d'hommes de la milice urbaine. Cependant, Thomas de Savoie-Carignan n'a pas pu conquérir Pavie et a dû battre en retraite après un siège qui a duré 52 jours.


title: Pavie

text: Dans la seconde moitié du , grâce à la fois à Marie-Thérèse d'Autriche et à Joseph, l'université a connu un grand développement, des professeurs de renom ont été appelés, tels que Alessandro Volta, Lazzaro Spallanzani, Antonio Scarpa, Giuseppe Frank, Giovanni Antonio Scopoli, Samuel -Auguste Tissot et Lorenzo Mascheroni et l'université est devenue l'une des principales en Europe. Toujours à Pavie, en 1777, Maria Pellegrina Amoretti est diplômée, la première femme diplômée en droit en Italie.


title: Pavie

text: Pavie est alors gouvernée par l'Autriche jusqu'en 1796, puis conquise et mise à sac par les Français de l'armée d'Italie. Cependant, Napoléon décide très vite d'exploiter l'Université, les bibliothèques et les savoir-faire présents dans la ville, créant l'École Militaire des Officiers d'Infanterie et, en 1803, l'École d'Artillerie, avec une fonderie de canons en bronze attenante. Même l'université a traversé une période heureuse, l'époque napoléonienne a vu les enseignements de Vincenzo Monti et Ugo Foscolo sur la chaire d'éloquence, de Gian Domenico Romagnosi de droit civil et de Vincenzo Brunacci de mathématiques. En 1814, elle repasse sous contrôle autrichien. En 1818, les travaux du Naviglio Pavese sont achevés : le canal, conçu comme voie navigable entre Milan, Pavie et le Tessin et comme canal d'irrigation, contribue au développement de la ville, à tel point que quelques années après sa construction, en 1821, Borgo Calvenzano a été construit derrière le château, une longue série de bâtiments à arcades où se trouvaient des entrepôts, des tavernes, des bureaux d'expédition et de douane, des hôtels, des écuries, le tout à l'appui de la navigation intérieure. En 1820, les premiers bateaux à vapeur ont commencé à opérer dans le bassin de Pavie et, entre 1854 et 1859, le Lloyds autrichien a organisé une ligne de navigation régulière, utilisant à nouveau des bateaux à vapeur, entre Pavie, Venise et Trieste. Au , l'université connaît une forte croissance du nombre d'étudiants et se dote de nouveaux départements, laboratoires, salles de classe et, entre 1819 et 1850, agrandit son siège et crée un nouvel amphithéâtre plus grand. Au cours du siècle, des professeurs de grande renommée ont enseigné à Pavie, comme, pour n'en citer que quelques-uns, l'anatomiste Bartolomeo Panizza, Luigi Porta, le physiologiste Eusebio Oehl, Paolo Mantegazza, Giulio Bizzozzero, le botaniste Santo Garovoglio, le mathématicien Francesco Brioschi, le physicien Giovanni Cantoni, le géologue Torquato Taramelli, le philosophe Carlo Cantoni, l'historien Giacinto Romano et fut la première université italienne à recevoir le prix Nobel en la personne du médecin et histologue Camillo Golgi. En 1883 la surface de la commune s'agrandit, dans les mêmes années d'importantes industries commencèrent à apparaître, comme Necchi, tandis qu'en 1905 fut construite la Snia Viscosa, la première grande usine italienne de soie artificielle. et les tissus synthétiques, suivis de bien d'autres, à tel point que dans les premières décennies du , il y avait industriels dans la ville.


title: Pavie

text: Après la campagne d'Italie en 1859, Pavie est réunie, comme le reste de la Lombardie, au royaume de Sardaigne. (1720-1861). L'unification italienne conduit à la proclamation du royaume d'Italie un an plus tard.


title: Pavie

text: En 1894, au numéro 11 de la "via" Ugo Foscolo (maison Cornazzani), a vécu pendant environ un an Albert Einstein, alors âgé de quinze ans, avec sa famille.


title: Pavie

text: Après le 8 septembre 1943, Pavie est occupée par l'armée allemande. En septembre 1944, l'aviation américaine effectue plusieurs bombardements sur la ville dans le but de détruire les trois ponts sur le Tessin, stratégiques pour le ravitaillement en hommes. Armes et provisions des unités allemandes engagées le long de la ligne gothique. Ces opérations ont conduit à la destruction du Ponte Coperto et ont entraîné la mort de 119 civils. Lors du référendum institutionnel du 2 juin 1946, Pavie attribue 67,1% des voix à la République, tandis que la monarchie n'obtient que 38,2%.