title: Marika Dominczyk

text: Elle est mariée à l'acteur Scott Foley depuis le , avec lequel elle a eu une fille, Malina, née en février 2010, un garçon, Keller, né en 2012 et un petit dernier Konrad né le . Ils ont déménagé à Prague à l'occasion du tournage de la série "Whiskey Cavalier".


title: Marika Dominczyk

text: Elle commence sa carrière d'actrice d'abord à la télévision, puis au cinéma, dans des seconds rôles, puis obtient un premier rôle notable avec la série "The Help", suivi de deux autres dans les séries "" et "Heist". En 2005, elle incarne Bernadette dans le film "40 ans, toujours puceau".


title: Marika Dominczyk

text: Depuis 2016, elle interprétait le docteur Eliza Minnick dans la série à succès de Shonda Rhimes, "Grey's Anatomy". Il a été annoncé qu'elle ne ferait plus partie de la série pour cette quatorzième saison. Ce qui expliquera le départ de son personnage renvoyé dans le final de la saison 13.


title: Marika Dominczyk

text: Bien qu'étant polonaise, son physique exotique l'a souvent conduit à jouer des personnages hispaniques ("The Help", "Bruce et Lloyd se déchaînent", spin-off du film "Max la Menace").


title: Wiktionnaire

text: Le Wiktionnaire est un projet lexicographique de la Wikimedia Foundation dont l’objectif est de définir tous les mots dans toutes les langues. Il existe plus de 150 langues de rédaction. Le terme « Wiktionnaire » désigne la version en français de ce projet, Wiktionary étant le nom officiel en anglais. Il est fondé sur un système de wiki et son contenu est librement réutilisable (sous licence CC-BY-SA).


title: Wiktionnaire

text: Daniel Alston (connu sous le pseudonyme Fonzy) est l'un des principaux initiateurs et promoteurs de ce projet. Le projet a été ouvert sur codice_1 le , puis déplacé à codice_2 le . Le , la version francophone est créée.


title: Wiktionnaire

text: La version francophone a, outre les premières contributions, d’abord été remplie avec des dictionnaires libres plus ou moins anciens comme le Littré et la huitième édition du "Dictionnaire de l’Académie française". Ces articles ont ensuite partiellement été retravaillés pour être plus adapté à notre époque, et la nomenclature a été complétée de nombreux nouveaux mots.


title: Wiktionnaire

text: Le Wiktionnaire en langue française dispose d’une nomenclature (la liste des mots qu’il décrit) de très grande taille :


title: Wiktionnaire

text: C’est un dictionnaire considéré comme bien actualisé malgré le fait qu’il dépende des contributions de sa communauté et donc que sa mise à jour du lexique décrit est aléatoire. Il fait partie des meilleurs dictionnaires concernant la couverture de la diversité des innovations lexicales, et notamment celles qui relèvent des variations diastratiques et diaphasiques. Il est souvent le premier dictionnaire à décrire les néologismes de formes (nouveaux mots) et de sens (nouveaux sens), notamment pour les mots venant de l’actualité.


title: Wiktionnaire

text: Sa structure riche en rubriques est considérée comme une exception parmi les dictionnaires gratuits et encore actifs en ligne, qui, eux, sont considérés comme souvent « minimalistes » et parfois « indigents ». De plus, la couverture importante de ses attestations issues de sources primaires imprimées et électroniques est un atout qu’on ne retrouve que dans les grands dictionnaires imprimés ("Grand Robert" et Trésor de la langue française). Ses citations contemporaines référencées font de lui une « figure d’éclaireur dans la vie du lexique ».


title: Wiktionnaire

text: La présentation jugée minimaliste de l’étymologie est considérée comme une prudence à la vue de l’expertise nécessaire à l’écriture de cette information lexicale.


title: Wiktionnaire

text: Les projets Wiktionnaire ont pour vocation de devenir ensemble un dictionnaire descriptif doublement multilingue (les entrées et les définitions sont multilingues). À terme, il devrait par exemple contenir la définition en wolof de mots inuktitut.


title: Wiktionnaire

text: "Wiktionnaire", terme francisé, désigne la partie francophone du projet, c'est-à-dire celle contenant des définitions écrites en langue française. Les mots de toutes les langues peuvent y être définis. Si certains mots ont une graphie identique entre plusieurs langues, ils sont séparés en sections classées par ordre alphabétique sur les noms de leurs langues respectives, en maintenant la langue française en première position.


title: Wiktionnaire

text: Chacune de ces sections doit donc contenir des définitions de mots, complétées par les éléments suivants dans l’ordre :


title: Wiktionnaire

text: Les mots sont organisés à l’aide de catégories thématiques, lexiques, informations sur les sens tels que le lieu et diverses informations. Des thésaurus présentent les champs lexicaux, tous les mots pour parler d’un concept. Des annexes et pages d’aide proposent des informations complémentaires pour accéder au contenu.


title: Wiktionnaire

text: Par ailleurs, un outil de recherche accessible depuis la colonne latérale a été développé par la communauté en JavaScript et Perl. Il sert à la recherche de rimes, d’anagrammes, ou de mots (utilisable pour les mots croisés). Il fonctionne à partir de copies mensuelles, des dumps, du Wiktionnaire.


title: Wiktionnaire

text: Grâce à l’insertion automatique de plusieurs dictionnaires du domaine public, la version francophone grandit très rapidement fin 2005 et en 2006. Le , le Wiktionnaire compte environ . En novembre de la même année, il dépasse les , toutes langues confondues. Aux premiers jours de 2006, il dépasse les , et devient temporairement le wiktionnaire le plus important, toutes langues confondues. En , la version francophone contient plus de , concernant plus de en , dont plus de en français. Le , le cap des est franchi, suivi le de celui d’un million d'entrées. Le , il compte plus de . Le , on y dénombre plus de .


title: Wiktionnaire

text: En 2017, la version en français comprend plus de trois millions d’entrées et représente 18 % du trafic généré par "wiktionary.org", contre 40 % pour la version en anglais, 14 % pour la version en russe et 9,4 % pour la version en allemand. Comme 12,6 % de ce trafic vient de France, une bonne part de l'utilisation du Wiktionnaire provient du reste de la francophonie et des pays non francophones.


title: Wiktionnaire

text: Selon le service de statistiques de Web Alexa, en , environ de pages sont vues chaque jour sur l’ensemble des sites "wiktionary.org", ce qui en fait approximativement le 600 site le plus consulté du Web, et l'un des principaux sites en matière de lexicographie. Il est considéré par Jean Pruvost comme et un marqueur de l’intérêt qu’ont les Français sur leur vocabulaire.


title: Wiktionnaire

text: En février 2020, le nombre total de pages, tous types confondus, atteint 4 millions. Le , le wiktionnaire en français dépasse .


title: Wiktionnaire

text: Le Wiktionnaire est interconnecté avec plusieurs projets de la Wikimedia Foundation, principalement Wikimedia Commons pour les illustrations et les fichiers sonores de prononciations de mots, Wikisource et Wikiquote pour les attestations d'usage, Wikipédia pour les compléments encyclopédiques aux définitions. Le Wiktionnaire est en outre lié à d'autres projets collaboratifs libres en ligne, principalement l'outil d'enregistrement des prononciations Lingua Libre, l'encyclopédie pour les jeunes Vikidia et le dictionnaire collaboratif pour les jeunes Dico des Ados. En mai 2020, la communauté du Wiktionnaire francophone a mis en place des liens vers les pages de ces projets sur les entrées et sur la page d'accueil du site.


title: Wiktionnaire

text: Par le biais de l'association Wikimédia France, les éditions Garnier publient en 2019 "Le Dico", basé sur le contenu du Wiktionnaire.


title: Wiktionnaire

text: En 2020, un partenariat entre la Délégation générale à la langue française et aux langues de France, l'association Wikimédia France et l'Université Jean-Moulin-Lyon-III permet la mise en place d'un Wiktionnariste en résidence dans la lignée des Wikimédiens en résidence.


title: Calcédoine

text: La calcédoine est un minéral ou une roche composée de cristallites de quartz, dont la taille est comprise entre 50 et , agencées en fibres. Il s'agit d'une phase de la silice. Si elle peut être uniquement composée de quartz, elle contient le plus souvent une proportion de moganite, une autre phase de la silice. Ce n'est donc pas une espèce minérale reconnue par l'IMA puisqu'il ne s'agit pas d'un minéral mais d'un agencement spécifique de cristallites du minéral quartz.


title: Calcédoine

text: La calcédoine présente fréquemment une structure en bandes, mais qui n’apparaît pas toujours à l’œil nu. Elle tapisse souvent des cavités dans les roches.


title: Calcédoine

text: Le mot dérive de la ville de Chalcédoine, en Asie Mineure, du grec "Χαλκεδον" ou "Χαλκηδών", soit "khalkédôn").


title: Calcédoine

text: Selon l'orientation des cristallites dans les fibres, différentes variétés de calcédoine peuvent être distinguées telles que la calcédonite, la pseudo-calcédonite, la quartzine ou la lutécite.


title: Goyavier

text: Le goyavier "(Psidium guajava)" est une espèce d'arbre fruitier de la famille des "Myrtaceae", originaire des régions tropicales d'Amérique. C’est un petit arbre souvent tortueux, à écorce se desquamant par plaques et feuilles opposées. Les fleurs blanches donnent des fruits charnus, comestibles, nommés goyaves. L’arbre est une rudérale ubiquiste, cultivé pour son fruit. Il peut être invasif.


title: Goyavier

text: À La Réunion on l'appelle goyave et aux Antilles françaises, on appelle bien "gwayav" (créole "gwayav") le fruit du "pied de goyave" (créole "pyé gwayav"), c'est-à-dire de l'arbre dont traite cet article, mais le terme "goyavier" y désigne le fruit du "pied de goyavier" c'est-à-dire de "Psidium cattleianum" ou "P. littorale", connu ailleurs sous le nom de goyavier de Chine (bien qu'il soit originaire du Brésil) ou de goyavier fraise.


title: Goyavier

text: À l’arrivée des Européens dans le Nouveau Monde, le goyavier était présent dans toute l’Amérique tropicale. Les botanistes considèrent généralement que la distribution d’origine était plus limitée (sans pouvoir préciser) et que l'espèce s’est diffusée dans toute la zone tropicale.


title: Goyavier

text: Le frère était le compagnon de Christophe Colomb lors de son deuxième voyage aux Indes. Il séjourna sur l’île d’Hispaniola (Saint Domingue) de 1494 à 1499 et y recueillit les mythes des Indiens taïnos. Ce fut le premier Européen a mentionner la goyave. Il indique que . Les goyaves étaient très appréciées par les indigènes américains et l’infusion de l’écorce externe (le rhytidome) de l’arbre servait à combattre les diarrhées.


title: Goyavier

text: Ce sont les Portugais qui introduisirent probablement cet arbre en Afrique et en Asie où il s’est rapidement répandu grâce à sa robustesse et aux qualités gustatives de son fruit. Au Cap-Vert et en Angola, les premières références ne remontent qu’au mais on sait que des goyaves furent servies en 1590 à la table de l’empereur moghol Akbar. Le fruit pénétra ensuite au Bengale, d’abord sous les noms de "peyara, piara" et "peara", en raison de sa ressemblance avec la poire ("pera" en portugais).


title: Goyavier

text: De nos jours, "Psidium guajava" s’est naturalisé dans de nombreux habitats perturbés de beaucoup de régions tropicales du monde.


title: Goyavier

text: Le terme français de "goyave" a été introduit par des traductions de l’espagnol, sous une forme empruntée à l’arawak (langues amérindienne des Caraïbes) "guayaba" (1555).


title: Goyavier

text: Le nom de genre "Psidium" en latin vient du grec ψιδιον ("psidion") généralement considéré comme une erreur pour ψέλιον ("psedion") « brassard, bracelet de cheville ».


title: Goyavier

text: C'est un arbre de taille moyenne qui peut atteindre 8 à de hauteur. Souvent ramifié très bas, il est assez tortueux et à bois très dur. L’écorce lisse, mince, verte ou rougeâtre, se desquame en plaques. Le feuillage est persistant.


title: Goyavier

text: Les feuilles opposées, de forme oblongue à elliptique, sont couvertes d'un fin duvet sur la face inférieure. Elles peuvent atteindre de long et de large. Le pétiole est court ().


title: Goyavier

text: Les fleurs axillaires sont solitaires ou bien en cyme par 2 ou 3. Les pétales de , au nombre de 4, sont blancs. Les nombreuses étamines (150-175), très visibles, font de 6 à .


title: Goyavier

text: La fleur est pollinisée par les insectes. Aux Antilles, la floraison a surtout lieu en avril-juillet.


title: Goyavier

text: Le fruit est une baie ovoïde ou pyriforme, de , avec à l’apex son calice persistant. La chair est blanche ou jaunâtre ou rose. Elle contient de nombreuses graines.


title: Goyavier

text: La distribution d’origine de l’espèce est incertaine. Beaucoup de botanistes considèrent que l’espèce est originaire d’Amérique tropicale, du Sud Mexique à l’Amérique du Sud, mais que sa distribution a été largement étendue via sa culture. Elle s’est répandue par la dispersion de ses graines par les oiseaux et les mammifères.


title: Goyavier

text: "Psidium guajava" croit rapidement et peut former des fourrés denses. Il s’adapte aussi bien au climat humide que sec.


title: Goyavier

text: Cet arbre fruitier se rencontre dans l'ensemble de l'Amérique tropicale, et il a été introduit avec succès dans les régions d'altitude en Afrique centrale et en Asie tropicale où l'on peut trouver les mêmes conditions climatiques tropicales que dans sa région d'origine.


title: Goyavier

text: En Europe, il n'est pas très rustique et ne résiste pas à des températures négatives prolongées ni aux longues périodes de sécheresse hivernale.


title: Goyavier

text: Dans de nombreuses régions tropicales ou subtropicales où le goyavier est cultivé, il est souvent invasif.


title: Goyavier

text: En Nouvelle-Calédonie, cette espèce est considérée invasives. Pour cette raison, le Code de l'environnement de la Province Sud interdit son introduction dans la nature ainsi que sa production, son transport, son utilisation, son colportage, sa cession, sa mise en vente, sa vente ou son achat.


title: Goyavier

text: Le goyavier est un arbre fruitier d'une grande importance économique. Il existe des variétés de goyaves jaunes (goyave poire) ou vertes (goyave pomme). Elles sont consommées fraîches et peuvent être transformées en confitures, en gelées et en jus de fruits.


title: Goyavier

text: La production mondiale de goyaves est estimée à de tonnes par an, entre 2015 et 2017. L’Inde est le principal producteur, suivi par la Chine, le Mexique, l’Égypte et le Brésil.


title: Goyavier

text: Les feuilles, préalablement lavées, peuvent être mâchées ou servir à préparer une décoction à boire en cas de diarrhée, en particulier en cas de turista.


title: Goyavier

text: Aux Antilles françaises, l’infusion des bourgeons est utilisée contre la diarrhée. La goyave verte est astringente tandis que la goyave mûre est laxative.


title: Corps fini

text: En mathématiques et plus précisément en algèbre, un corps fini est un corps commutatif qui est par ailleurs fini. À isomorphisme près, un corps fini est entièrement déterminé par son cardinal, qui est toujours une puissance d'un nombre premier, ce nombre premier étant sa caractéristique. Pour tout nombre premier "p" et tout entier non nul "n", il existe un corps de cardinal "p", qui se présente comme l'unique extension de degré "n" du corps premier Z/"p"Z.


title: Corps fini

text: Les corps finis sont utilisés en théorie algébrique des nombres, où ils apparaissent comme une structure essentielle à la géométrie arithmétique. Cette branche a permis, entre autres, de démontrer le dernier théorème de Fermat.


title: Corps fini

text: Les corps finis ont trouvé de nouvelles applications avec le développement de l'informatique. En théorie des codes, ils permettent par exemple de déterminer des codes correcteurs efficaces. Ils interviennent également en cryptographie, dans la conception des chiffrements à clé secrète comme le standard AES, ainsi que dans celle des chiffrement à clé publique, à travers, entre autres, le problème du logarithme discret.


title: Corps fini

text: Remarque sur la terminologie : une convention courante en français est de considérer qu'un corps n'est pas nécessairement commutatif. Dans le cas des corps finis, la convention est en fait de peu d'importance car, d'après le théorème de Wedderburn, tout corps fini est commutatif, et, dans cet article les corps seront supposés d'emblée commutatifs.


title: Corps fini

text: Les corps finis sont (ou ont été) appelés également "corps de Galois", ou plus rarement "champs de Galois". Ils ont été en effet étudiés par Évariste Galois dans un article publié en 1830 qui est à l'origine de la théorie. En fait, Carl Friedrich Gauss avait déjà découvert les résultats de Galois à la fin du mais n'en fit pas état ; ses travaux ne furent connus qu'après sa mort et n'eurent pas l'influence de ceux de Galois.


title: Corps fini

text: Le corps fini de cardinal "q" (nécessairement puissance d'un nombre premier) est noté F (de l'anglais "field" qui signifie corps commutatif) ou GF("q") ("Galois field").


title: Corps fini

text: L'outil qui permet la construction des corps finis est la relation de congruence, congruence sur les entiers pour les corps finis premiers, congruence sur les polynômes à coefficients dans un corps fini premier pour le cas général.


title: Corps fini

text: Le plus petit corps fini est noté F. Il est composé de deux éléments distincts, 0 qui est l'élément neutre pour l'addition, et 1 qui est élément neutre pour la multiplication. Ceci détermine les tables de ces deux opérations en dehors de 1+1 qui ne peut alors être que 0, car 1 doit avoir un opposé. On vérifie alors qu'elles définissent bien un corps commutatif.


title: Corps fini

text: Le corps F peut s'interpréter diversement. C'est l'anneau Z/2Z, les entiers pris modulo 2, c'est-à-dire que 0 représente les entiers pairs, 1 les entiers impairs (c'est le reste de leur division par 2), et les opérations se déduisent de celles sur Z.


title: Corps fini

text: C'est aussi l'ensemble des valeurs de vérité classiques, 0 pour le faux, et 1 pour le vrai. L'addition est le « ou exclusif » (xor), la multiplication le « et ».


title: Corps fini

text: Les fonctions de (F) dans F sont appelées fonctions booléennes. La disjonction (inclusive) et la négation se définissent ainsi :


title: Corps fini

text: Plus généralement on déduit du théorème d'interpolation de Lagrange que toutes les fonctions booléennes sont polynomiales (c'est une propriété qui passe à n'importe quel corps fini).


title: Corps fini

text: Une généralisation naturelle de F = Z/2Z est, pour "p" premier, le corps Z/"p"Z à "p" éléments, noté aussi F :


title: Corps fini

text: En effet, "p" est premier équivaut à ce que 0 ne soit pas produit de deux entiers non nuls modulo "p", par le lemme d'Euclide. Il faut donc que "p" soit premier pour que Z/"pZ soit un corps. De plus, ceci assure que si "p" est premier, Z/"pZ est intègre et partant, comme il est fini, un corps. L'identité de Bézout assure directement l'existence d'un inverse, et un calcul efficace de celui-ci par l'algorithme d'Euclide étendu.


title: Corps fini

text: Le groupe multiplicatif de Z/"p"Z ("p" premier) est d'ordre "p" – 1 ce qui conduit au petit théorème de Fermat par le théorème de Lagrange. On montre que ce groupe est cyclique (la démonstration est la même que dans le cas général, traité au paragraphe Groupe multiplicatif et conséquences).


title: Corps fini

text: On verra que pour tout nombre premier "p", Z/"p"Z est à isomorphisme près le seul corps de cardinal "p", et qu'il ne contient pas d'autre sous-corps que lui-même. Un tel corps est appelé corps premier, et les Z/pZ, "p" premier, sont les seuls corps premiers finis.


title: Corps fini

text: Pour construire de nouveaux corps finis, on utilise la structure d'anneau euclidien de F["X"] de la même façon que l'on a utilisé celle de Z pour construire les corps premiers. Les polynômes irréductibles jouent le rôle des nombres premiers. Deux polynômes sont équivalents modulo le polynôme "P" s'ils ont même reste par division par celui-ci. Le quotient par la relation d'équivalence obtenue est noté F["X"]/("P"), la structure induite par quotient est encore celle d'un anneau.


title: Corps fini

text: Proposition. — "Lanneau" F["X"]/("P") "est un corps si et seulement si P est un polynôme irréductible".


title: Corps fini

text: Soit "n" le degré de "P". La propriété d'unicité du reste de la division polynomiale se traduit par le fait que chaque élément de F["X"]/("P") est représenté par un unique polynôme de degré < "n". Le cardinal de F["X"]/("P") est donc "p". Pour construire un corps fini de cardinal "p", il suffit donc de trouver un polynôme irréductible de degré "n" dans F["X"].


title: Corps fini

text: Si "P" est irréductible, le quotient "K" = F["X"]/("P") est alors un corps de rupture du polynôme "P", car la classe de "X" est une racine de "P" dans "K".


title: Corps fini

text: Pour ces constructions il est indispensable que les polynômes soient des polynômes formels, et non des fonctions polynomiales. Il existe en effet des polynômes non-nuls dont les fonctions polynomiales associées sont identiquement nulles sur F (par exemple "X" + "X" sur F). Une autre manière de se rendre compte de la différence est qu'il ne peut exister qu'un nombre fini de fonctions de F dans F et donc de fonctions polynomiales, alors qu'il existe un nombre infini de polynômes formels.


title: Corps fini

text: On peut donc construire les corps à "p" éléments, en montrant qu'il existe un polynôme irréductible "P" de degré 2 dans F["X"]. Le corps F["X"]/("P"), possède "p" éléments, et c'est une extension quadratique de F. On verra plus loin que le corps à "p" éléments est unique (à isomorphisme près) et on le notera F. En particulier, le corps que nous allons construire est en fait indépendant du choix du polynôme irréductible "P" de degré 2 utilisé pour le quotient. Cette extension quadratique de F est l'analogue de l'(unique) extension quadratique du corps des nombres réels, qui donne le corps des nombres complexes.


title: Corps fini

text: On détaille principalement dans cette section comment arriver aux propriétés essentielles sur la structure des corps finis, à savoir :


title: Corps fini

text: Soit "K" un corps fini, 0 et 1 les éléments neutres additif et multiplicatif. On note "n".1 le résultat de l'addition de 1 itérée "n" fois. L'application correspondante est compatible avec l'addition et la multiplication (c'est l'unique morphisme d'anneaux (unitaires) de Z dans "K").


title: Corps fini

text: La "caractéristique" du corps "K" est le plus petit entier "p" > 0 tel que "p".1 = 0 (un tel nombre existe car le groupe additif engendré par 1 est fini). De plus, "p" est un nombre premier. En effet, si "a" et "b" sont des entiers tels que "ab" = "p", alors ("a".1)("b".1) = ("ab").1 = 0. Comme "K" est un corps, "a".1 ou "b".1 est nul, et donc par définition de "p", "a" ou "b" vaut "p". On vérifie alors que l'homomorphisme de Z dans "K" qui à "n" associe "n".1 induit une injection de Z/"p" Z dans "K", son image est un sous-corps de "K" isomorphe à Z/"p" Z. Il est contenu dans tout sous corps de "K" (qui doit contenir 0 et 1). C'est donc le plus petit sous-corps de "K" et on le nomme "sous-corps premier" de "K". Pour la même raison c'est le seul sous-corps de "K" isomorphe à Z/"p" Z, et on peut l'identifier à Z/"p" Z (= F).


title: Corps fini

text: Si "L" est un sous-corps de "K", dit autrement si "K" est une extension de "L", "K" possède naturellement une structure d'espace vectoriel sur "L", l'addition et la multiplication externe étant celles de "K". Dans le cas des corps finis, sa dimension est nécessairement finie. Le cardinal de "K" est alors "p", où "n" est la dimension de "K" comme espace vectoriel sur son sous-corps premier F. De façon générale le cardinal d'un sous-corps "L" de "K" est de la forme "p", et comme "K" est aussi un espace vectoriel sur "L", "d" est un diviseur de "n". On a donc :


title: Corps fini

text: Proposition. — "Le cardinal d'un corps fini K est une puissance d'un nombre premier p qui est sa caractéristique. De plus, si ce corps est de cardinal p, tout sous-corps de K est de cardinal p où d divise n".


title: Corps fini

text: Soit "K" un corps fini de caractéristique "p", de cardinal "q = p". Comme "p" est premier, "p" divise chacun des coefficients binomiaux formula_1 pour 0 < "i" < "p". On a donc :


title: Corps fini

text: On en déduit (l'image de 1 est 1, la compatibilité avec la multiplication est immédiate) que l'application de "K" dans lui-même qui à "x", associe "x" est un endomorphisme de corps, donc injectif, qui laisse stable le sous-corps premier (c'est le petit théorème de Fermat). Il est appelé endomorphisme de Frobenius. Le corps étant fini, l'endomorphisme est bijectif.


title: Corps fini

text: Il est simple de vérifier que l'ensemble des points fixes par un automorphisme dans un corps est un sous-corps, et dans le cas de l'automorphisme de Frobenius, ce sous-corps est par définition l'ensemble des racines du polynôme "X – X", de cardinal au plus "p", donc c'est le sous-corps premier de "K".


title: Corps fini

text: On verra plus loin que les automorphismes d'un corps fini sont tous des itérés de l'automorphisme de Frobenius.


title: Corps fini

text: Soit "K" un corps fini de cardinal "q = p". Alors, "K"*, le groupe multiplicatif de ce corps est de cardinal "q" – 1. On déduit du théorème de Lagrange que tout élément de "K"* est racine du polynôme "X" – 1, et donc tout corps de cardinal "q" est un corps de décomposition du polynôme "X – X" sur F. Par conséquent (propriété des corps de décomposition), deux corps de cardinal "q" sont isomorphes.


title: Corps fini

text: Soit maintenant "n" un entier strictement positif, "q" l'entier égal à "p" et "K" le corps de décomposition du polynôme "P"("X") = "X – X" sur le corps F. L'ensemble des racines de "X – X" dans "K" est l'ensemble des points fixes de l'automorphisme de Frobenius itéré "n" fois ("q = p"). Il forme donc un sous-corps de "K", et c'est "K" par définition d'un corps de décomposition. Or le polynôme dérivé de est "P"’("X") = "q" "X" – 1 = –1 qui est constant non nul ; "X – X" n'a donc pas de racine multiple (si "Q" divise "P", "Q" divise "P"’) : il possède "q" racines distinctes. Le corps "K" a donc pour cardinal "q = p". En résumé :


title: Corps fini

text: Proposition. — "Il existe un corps de cardinal q = p, et un seul à isomorphisme près, noté" F. Une clôture algébrique de" F contient un seul corps de cardinal q qui est le corps de décomposition de ".


title: Corps fini

text: On dit que « le » corps à "q" éléments est essentiellement unique : deux corps à "q" éléments sont isomorphes, mais il n'y a pas unicité de l'isomorphisme .


title: Corps fini

text: Le corps de décomposition du polynôme "P" se construit dans le cas le plus général en itérant la construction d'un corps de rupture sur un facteur de "P" irréductible de degré au moins deux dans le corps déjà obtenu. Pour des raisons de cardinalité, il suffit de trouver un facteur irréductible de degré "n" de "X – X" pour obtenir en un pas son corps de décomposition. La suite montre qu'il existe de tels facteurs.


title: Corps fini

text: On peut d'ailleurs déduire l'existence et l'unicité à isomorphisme près d'un corps fini de cardinal "p" simplement de l'existence et l'unicité à isomorphisme près d'un corps de rupture, si on a une preuve directe de l'existence d'un polynôme irréductible de degré "n" sur F.


title: Corps fini

text: Soit maintenant "d" un diviseur de "n". Supposons qu'il existe un sous-corps de F ("q = p") à "p" éléments. Alors, pour les mêmes raisons que ci-dessus, ce corps est le corps de décomposition dans F du polynôme "X – X", et donc il existe au plus un sous-corps de cardinal "p". Un tel corps de décomposition existe dans F, car le polynôme "X – X", qui divise "X – X", est scindé sur F. En résumé :


title: Corps fini

text: Proposition. — "Soit" F un corps fini de caractéristique p, de cardinal q = p. Alors pour tout diviseur d de n il existe un unique sous-corps de" F de cardinal p, et ce sont les seuls sous-corps de" F"."


title: Corps fini

text: On a déjà utilisé une propriété élémentaire du groupe multiplicatif d'un corps fini au paragraphe précédent. On peut préciser sa structure.


title: Corps fini

text: Le groupe (F*, ×) est un groupe abélien fini donc son exposant "e" est l'ordre d'au moins un élément "x" du groupe. Or le polynôme "X" – 1, de degré "e", possède "q" – 1 racines distinctes dans F, ce qui implique que "e" est supérieur à "q" – 1. On en déduit que le sous-groupe de F* engendré par "x" est égal au groupe tout entier :


title: Corps fini

text: On appelle "élément primitif" de F un générateur de son groupe multiplicatif (c'est une racine primitive de l'unité d'ordre "q" – 1).


title: Corps fini

text: On en déduit que tout corps fini F est l'extension de son sous-corps premier (ou de n'importe lequel de ses sous-corps) définie par adjonction d'un élément primitif α.


title: Corps fini

text: Proposition. — "Dans tout corps fini" F de caractéristique p, il existe un élément" α "tel que" F = F"[α].


title: Corps fini

text: On appelle aussi élément primitif sur F un élément α vérifiant cette propriété. Mais il peut exister des éléments primitifs en ce sens qui ne le sont pas au sens précédent (voir ci-dessous). C'est la première définition qui est utilisée dans la suite de l'article.


title: Corps fini

text: En prenant "q = p", et α un élément primitif de F, on déduit de la proposition qu'il existe en effet un polynôme "P" irréductible de degré "n" qui annule α et F est un corps de rupture de "P" (voir l'article lié). En particulier, pour tout entier "n", il existe polynôme irréductible de degré "n" sur tout corps fini premier (et d'ailleurs sur tout corps fini en suivant le même raisonnement).


title: Corps fini

text: Un tel polynôme unitaire irréductible "P" qui annule α est appelé polynôme minimal de α (ils sont étudiés dans une section suivante). Quand α est un élément primitif de F, on vérifie que les "n" racines de "P" sont les images par l'automorphisme de Frobenius itéré de 0 à "n" – 1, soient α, α, α, ..., α, et sont distinctes car une égalité entre deux de celles-ci contredirait que α est primitif ; F est donc un corps de rupture, mais aussi un corps de décomposition de "P".


title: Corps fini

text: Un automorphisme de corps de F laisse nécessairement invariants les éléments du sous-corps premier. L'image de α par un tel automorphisme est encore une racine de "P", donc de la forme α. Cette image détermine l'automorphisme, α étant primitif, qui est donc un itéré de l'automorphisme de Frobenius.


title: Corps fini

text: Proposition. — "Le groupe des automorphismes d'un corps fini" F" de caractéristique p est le groupe cyclique d'ordre n engendré par l'automorphisme de Frobenius qui à x associe x".


title: Corps fini

text: Les propriétés précédentes peuvent être revues à la lumière de la théorie des corps commutatifs et de la théorie de Galois.


title: Corps fini

text: Un corps fini est parfait, c'est-à-dire que ses extensions algébriques sont séparables. C'est une conséquence du fait que l'endomorphisme de Frobenius est bijectif (voir l'article lié, ou, toute extension algébrique finie étant un corps fini, l'étude des polynômes irréductibles faite plus loin).


title: Corps fini

text: Le corps F est, d'après le paragraphe précédent, isomorphe au corps de décomposition d'un polynôme de degré "n" séparable sur F. C'est donc une extension galoisienne de F.


title: Corps fini

text: Le groupe des automorphismes d'un corps fini est son groupe de Galois sur son sous-corps premier. On a vu qu'il était cyclique ;


title: Corps fini

text: ses sous-groupes sont les groupes cycliques d'ordre un diviseur de "n". Les sous-corps ont été déterminés comme les sous-ensembles invariants par les générateurs de ces sous-groupes. C'est dans ce cas particulier le théorème fondamental de la théorie de Galois.


title: Corps fini

text: On connaît par ce qui précède toutes les extensions finies, et donc, par réunion, toutes les extensions algébriques des corps finis. Toute clôture algébrique formula_3 de formula_4 peut être vue comme le compositum des formula_5.


title: Corps fini

text: Du point de vue de la théorie de Galois, la famille des groupes formula_6, pour "n" variant, forme donc ce qu'on appelle un système projectif, c'est-à-dire que le groupe de Galois absolu formula_7 est la limite projective des groupes formula_8 ; c'est donc le complété profini formula_9 de formula_10, qui est ainsi un groupe procyclique : un générateur naturel est à nouveau l'endomorphisme de Frobenius, qui peut être vu comme la donnée de la famille compatible des endomorphismes de Frobenius des extensions finies.


title: Corps fini

text: Cette description complète des extensions algébriques des corps finis est un élément important qui intervient dans la théorie des corps de classes pour les corps de nombres et les corps de nombres p-adiques, car leurs corps résiduels sont des corps finis.


title: Corps fini

text: Si deux polynômes "P" et "Q" de "K"["X"] possèdent une racine commune dans une extension "L" de "K", et si "P" est irréductible, alors "P" divise "Q". En effet, sinon ces polynômes seraient premiers entre eux ce qui passerait à "L" par l'identité de Bézout. Ce résultat préliminaire est utile pour établir :


title: Corps fini

text: Proposition. — "Soient F un corps fini à q éléments et n un entier strictement positif. Dans" F["X"]", le polynôme X – X est égal au produit de tous les polynômes unitaires irréductibles de degré divisant n."


title: Corps fini

text: Le polynôme "X – X "est de dérivé –1 et n'a donc pas de facteur multiple. Pour démontrer la proposition, il suffit d'établir que les diviseurs irréductibles de ce polynôme sont exactement les polynômes irréductibles de degré divisant "n".


title: Corps fini

text: Si "P" est irréductible de degré "d", le résultat préliminaire appliqué au corps F["X"]/("P"), dans lequel la classe de "X" est racine de "P" et de "X – X "(généralisation à ce corps du petit théorème de Fermat), donne que "P" divise "X – X". Donc si "d" divise "n", "P" divise "X – X". Réciproquement, supposons que "P" divise "X – X". L'application "x "↦ "x "est un automorphisme du corps F["X"]/("P") (comme itéré du morphisme de Frobenius, puisque "q "est une puissance de la caractéristique) donc l'ensemble de ses points fixes est un sous-corps. Or il contient la classe de "X" ; c'est donc le corps tout entier. Alors, un générateur α du groupe multiplicatif de ce corps vérifie (comme tout élément de ce groupe) α = 1. Ainsi, l'ordre "q "– 1 de α divise "q "– 1. On peut alors en déduire que "d" divise "n".


title: Corps fini

text: En notant "m"("q") le nombre de polynômes unitaires irréductibles de degré "d" sur F, l'égalité des degrés, dans l'égalité polynomiale de la proposition, donne :


title: Corps fini

text: Cette proposition permet donc de montrer l'existence de polynômes irréductibles de degré "n" quelconque dans F["X"] via l'encadrement suivant :


title: Corps fini

text: Elle a été établie sans supposer l'existence d'un corps fini de cardinal "q "et la minoration (appliquée à "q "premier) fournit donc une autre démonstration de ce résultat.


title: Corps fini

text: La proposition fournit également une caractérisation des polynômes irréductibles qui peut être exploitée algorithmiquement :


title: Corps fini

text: Le nombre d'éléments de F" n'appartenant à aucun de ses sous-corps stricts maximaux (les F" pour de tels "r") est donc "nm"("q").


title: Corps fini

text: Dans un corps fini F, tout élément α est algébrique sur son sous-corps premier F (sur n'importe quel sous-corps en fait), c'est-à-dire qu'il existe un polynôme à coefficients dans F qui annule α (les puissances successives de α ne peuvent être indépendantes). Le polynôme unitaire à coefficients dans F de plus petit degré qui annule α est appelé polynôme minimal de α sur F. Il est nécessairement irréductible et engendre l'idéal des polynômes annulateurs de α. Les coefficients du polynôme étant invariants par l'automorphisme de Frobenius et ses itérés, les α sont également des racines de ce polynôme. On montre qu'il n'y en a pas d'autre.


title: Corps fini

text: Proposition. — "Soit P polynôme minimal de degré r sur F de α élément d'un corps F de caractéristique p. Alors toutes les racines de P sont simples et ce sont exactement" :


title: Corps fini

text: Il suffit de montrer que ces "r" racines sont distinctes. Soient 0 < "i" ≤ "j" < r et α = α, alors, en élévant à la puissance idoine, α = α, donc "P" divise "X – X" (résultat préliminaire du paragraphe précédent), donc (proposition précédente) "r" divise "r – j" + "i", donc "i" = "j".


title: Corps fini

text: Tout polynôme unitaire "P" irréductible sur F est le polynôme minimal de la classe de "X" dans son corps de rupture F["X"]/("P"), qui contient donc toutes les racines de "P". La démonstration vaut pour n'importe quel corps fini (pas nécessairement premier), c'est-à-dire que


title: Corps fini

text: Proposition. — "Le corps de rupture d'un polynôme irréductible sur un corps fini est aussi son corps de décomposition."


title: Corps fini

text: Les α, α, α, ..., α, les éléments ayant même polynôme minimal sur F que α, sont appelés "conjugués" de α par rapport à F. Ce sont aussi les images de α par les "n" automorphismes de F. Ces images sont distinctes si et seulement si le degré "r" du polynôme minimal de α égale le degré "n" de l'extension F de F.


title: Corps fini

text: Le polynôme minimal d'un élément primitif (au sens racine primitive de l'unité) de F est appelé "polynôme primitif", c'est nécessairement un polynôme irréductible de degré "n" dont les racines sont les "n" conjugués (distincts) d'une racine particulière α, soit α, α, α, ..., α.


title: Corps fini

text: On va voir dans la section suivante que les polynômes primitifs sur F sont aussi les facteurs irréductibles du polynôme cyclotomique d'indice "p" – 1 sur ce même corps.


title: Corps fini

text: On a déduit du théorème de Lagrange que tout élément non nul de F est racine de l'unité, et donc racine du polynôme "X" - 1. Cette propriété est illustrée sur la figure de droite, les trois éléments non nuls de F sont les trois racines de l'unité.


title: Corps fini

text: Les polynômes cyclotomiques étant à coefficients entiers, ils s'interprètent aussi dans les corps finis, mais alors qu'ils sont irréductibles dans Q, ils ne le sont plus forcément dans un sous-corps premier F (voir la section Exemples).


title: Corps fini

text: Dans Z["X"], "X" – 1 est le produit des polynômes cyclotomiques dont l'indice divise "q" – 1, et ceci passe à F. Par ailleurs un polynôme irréductible "P" de degré strictement supérieur à 1 est tel que F["X"]/("P") est un corps fini, et "P", polynôme minimal d'un élément de ce corps, divise "X" – 1, donc :


title: Corps fini

text: Si φ désigne la fonction indicatrice d'Euler il existe exactement φ("q" – 1) éléments primitifs dans F. Comme par définition ces éléments ne sont pas racines de "X" – 1, donc de Φ pour "d" < "q" – 1, ce sont les racines du polynôme cyclotomique Φ. Les polynômes primitifs, qui sont les polynôme minimaux (sur F) de ces éléments primitifs, divisent donc Φ.


title: Corps fini

text: La relation « avoir même polynôme minimal sur F » est une relation d'équivalence, dont chaque classe possède pour cardinal le degré du polynôme irréductible associé (voir la section #Polynôme minimal, ou plus simplement dans le cas particulier des polynômes primitifs la section #Groupe multiplicatif et conséquences). On a donc :


title: Corps fini

text: On déduit en particulier de l'existence d'un corps fini de cardinal "p" pour tout entier "n", que le polynôme cyclotomique d'indice "p" – 1 est toujours le produit de polynômes irréductibles de même degré "n" sur F. Ce résultat peut se démontrer directement, en utilisant seulement l'existence du corps de rupture d'un polynôme, et alors on a une autre preuve d'existence d'un corps fini de cardinal "p" (qui suppose connus les résultats de base sur les polynômes cyclotomiques usuels). En fait tout polynôme cyclotomique se décompose sur F en facteurs irréductibles de même degré.


title: Corps fini

text: Il peut y avoir d'autres polynômes irréductibles de degré "n" que les polynômes primitifs. Par exemple dans F, on a


title: Corps fini

text: et "X" + 1, bien qu'irréductible, n'est le polynôme minimal d'aucun des 4 éléments primitifs (voir aussi ci-dessous l'exemple de F).


title: Corps fini

text: Remarque : on peut définir directement le polynôme cyclotomique d'indice "r" sur un corps fini "K" de caractéristique "p" pour "r" qui n'est pas un multiple de "p", à partir des racines "r"-ième de l'unité dans une extension de "K" où "X" - 1 est scindé. Leur étude se mène alors de la même façon que celle des polynômes cyclotomiques usuels sur Q.


title: Corps fini

text: Il existe sur F exactement deux polynômes de degré 1, dont l'un — le polynôme cyclotomique d'indice 1 sur F — est primitif :


title: Corps fini

text: Les racines du (ou des) polynôme(s) de degré 2 irréductibles sur F sont les éléments de F = F qui n'appartiennent pas à F. Ce sont donc les 2 générateurs du groupe multiplicatif F* à trois éléments. Par conséquent, il existe en fait un unique polynôme irréductible de degré 2 sur F, il est primitif, et c'est le polynôme cyclotomique d'indice trois :


title: Corps fini

text: Les racines des polynômes de degré 3 irréductibles sur F sont les éléments de F = F qui n'appartiennent pas à son unique sous-corps F. Ce sont donc les 6 générateurs du groupe multiplicatif F* à sept éléments. Par conséquent, il existe exactement 6/3 = 2 polynômes irréductibles de degré 3 sur F, ils sont primitifs, et leur produit est le polynôme cyclotomique d'indice sept. Ce sont donc les deux facteurs de :


title: Corps fini

text: Les racines des polynômes de degré 4 irréductibles sur F sont les éléments de F = F qui n'appartiennent pas au sous-corps intermédiaire F. Ce sont donc, dans le groupe multiplicatif F* à quinze éléments, les 12 dont le cube n'est pas 1. Par conséquent, il existe exactement 12/4 = 3 polynômes irréductibles de degré 4 sur F. Parmi leurs 12 racines, 8 sont d'ordre quinze (i.e. sont des générateurs du groupe) car φ(15) = 8, donc parmi ces trois polynômes, deux seulement sont primitifs et leur produit est le polynôme cyclotomique d'indice quinze. Ce sont donc les deux facteurs de :


title: Corps fini

text: Les 4 racines restantes sont d'ordre cinq, donc le polynôme irréductible de degré 4 non primitif est le polynôme cyclotomique d'indice cinq :


title: Corps fini

text: Il existe sur F trois polynômes unitaires de degré un, dont deux sont les polynômes cyclotomiques d'indices un et deux :


title: Corps fini

text: L'extension d'ordre neuf contient six éléments hors du corps premier ; elle est de dimension deux, il existe donc exactement trois polynômes irréductibles. Le groupe multiplicatif est d'ordre huit et contient quatre éléments générateurs. Deux des polynômes irréductibles sont primitifs, le dernier est le polynôme cyclotomique d'ordre quatre.


title: Corps fini

text: L'extension d'ordre vingt-sept contient un unique sous-corps : le corps premier. Il existe donc 24 éléments hors de tout sous-corps et 24/3 = 8 polynômes irréductibles de degré 3. Le groupe multiplicatif contient vingt-six éléments dont 12 générateurs. Par conséquent, parmi les huit polynômes irréductibles de degré 3, 12/3=4 sont primitifs et ce sont les quatre facteurs de :


title: Corps fini

text: Les quatre polynômes irréductibles de degré 3 non primitifs sont polynômes minimaux des 12 éléments d'ordre treize du groupe multiplicatif. Ce sont donc les 12/3 = 4 facteurs de :


title: Corps fini

text: La théorie des corps finis se développe dans un premier temps, comme l'étude des congruences, sur des entiers et sur des polynômes, puis à partir de la toute fin du , dans le cadre d'une théorie générale des corps commutatifs.


title: Corps fini

text: L'étude des corps finis premiers est traité systématiquement, sous forme de congruences, par Gauss dans ses "Disquisitiones arithmeticae" parues en 1801, mais beaucoup de ces propriétés avaient déjà été établies par entre autres Fermat, Euler, Lagrange et Legendre.


title: Corps fini

text: En 1830, Évariste Galois publie ce qui est considéré comme l'article fondateur de la théorie générale des corps finis. Galois, qui déclare s'inspirer des travaux de Gauss sur les congruences entières, traite de congruences polynomiales, pour un polynôme irréductible à coefficients pris eux-mêmes modulo un nombre premier "p". Plus précisément Galois introduit une racine imaginaire d'une congruence "P"("x") = 0 modulo un nombre premier "p", où "P" est un polynôme irréductible modulo "p". Il note "i" cette racine et travaille sur les expressions :


title: Corps fini

text: Retraduit en termes modernes, Galois montre que ces expressions forment un corps de cardinalité "p", et que le groupe multiplicatif est cyclique . Il remarque également qu'un polynôme irréductible qui a une racine dans ce corps, a toutes ses racines dans celui-ci, c'est-à-dire qu'il s'agit d'une extension normale de son sous-corps premier . Il utilise l'identité donnée par ce qui a été appelé depuis l'automorphisme de Frobenius . En 1846, Liouville, en même temps qu'il fait publier le fameux mémoire de Galois sur la résolution des équations polynomiales, fait republier cet article dans son "Journal de mathématiques pures et appliquées".


title: Corps fini

text: Il s'avère qu'en fait Gauss a mené des travaux au moins aussi complets sur le même sujet trente ans auparavant, quand il préparait ses "Disquisitiones arithmeticae" (cf. ). Plutôt que d'introduire une racine imaginaire comme Galois, il travaille directement sur des polynômes, avec une double congruence, modulo "p" premier pour les coefficients, et modulo un polynôme irréductible (mais il mentionne que l'introduction de racines simplifierait la présentation). Il prépare un chapitre sur le sujet, qu'il met en attente pour une seconde partie qui ne paraîtra jamais de son vivant. Ce travail restera inconnu jusqu'à la parution posthume de l'édition de ses œuvres en 1863. C'est donc l'article de Galois qui est à l'origine des développements du sur les corps finis. Ainsi Serret donne une démonstration de l'existence d'un polynôme irréductible pour tout degré "n" et modulo tout nombre premier "p", en termes modernes l'existence d'un corps fini de cardinal "p" (à cause de l'utilisation des imaginaires de Galois, la rigueur de celle-ci sera contestée par Dickson — cf. ). Il faut cependant mentionner également deux articles sur le sujet de Theodor Schönemann en 1845 et 1846, moins aboutis que ceux de Gauss et Galois, mais qui purent influencer Kronecker .


title: Corps fini

text: En 1893, le mathématicien américain E. H. Moore démontre qu'un corps (commutatif) fini est caractérisé par son cardinal ; un corps fini est un ensemble de symboles, de cardinal fini "s", muni des quatre opérations , sans plus de précision. Moore montre qu'un tel corps est « la forme abstraite » d'un « champ de Galois » (en anglais : "") de cardinal "s = p" défini à la façon de l'article de Galois, et du livre de Serret cités ci-dessus. La première présentation moderne de la théorie des corps finis est due à son ancien étudiant L. E. Dickson en 1901. Joseph Wedderburn, qui séjourne à l'université de Chicago en 1904-1905, y travaille en étroite collaboration avec Dickson. Il démontre en 1905 qu'il n'existe pas de corps fini non commutatif. La structure des corps finis est entièrement élucidée.


title: Corps fini

text: Parallèlement, Heinrich Weber donne une première approche vraiment axiomatique de la théorie des corps (commutatifs) dans un article de 1893. Il souhaite ainsi unifier des notions apparues précédemment dans différents champs mathématiques, dont ce que nous appelons maintenant les corps finis . Le terme de corps (en allemand : "") est lui-même repris de Richard Dedekind, qui l'avait introduit pour les sous-corps des réels ou des complexes, définis comme des sous-ensembles stables par les quatre opérations usuelles. Le traitement moderne de la théorie des corps commutatifs (avec les corps finis comme cas particuliers), fondé sur la définition axiomatique actuelle, est développé par Ernst Steinitz en 1910 dans un mémoire célèbre.


title: Corps fini

text: Les corps finis sont, en particulier, utilisés en arithmétique, au fondement par exemple de l'arithmétique modulaire, laquelle a permis à Gauss de démontrer la loi de réciprocité quadratique. La structure de corps intervient notamment dans la résolution d'équations diophantiennes (voir section #Applications). Le petit théorème de Fermat est un exemple archétypal.


title: Corps fini

text: Artin utilise le fait qu'un contexte naturel des lois de réciprocité est celui des corps finis. C'est l'un des outils qui lui permettent de résoudre le neuvième problème de Hilbert. Il initie l'analyse de l'équivalent de la fonction zêta de Riemann sur les corps finis. La "géométrie arithmétique" se généralise sur des structures finies. Cette approche est particulièrement active durant la seconde moitié du . André Weil généralise la démarche aux courbes algébriques et Pierre Deligne aux variétés algébriques. Les conjectures de Weil sur les variétés sur des corps finis, énoncées en 1940 par André Weil, font partie des problèmes importants de cette époque. Démontrées en 1974, elles ouvrent la voie au théorème de Taniyama-Shimura démontré par Andrew Wiles et ayant pour conséquence le dernier théorème de Fermat, souvent cité dans les articles de vulgarisation.


title: Corps fini

text: Après la Seconde Guerre mondiale et pour les besoins des laboratoires Bell, Claude Shannon formalise la théorie de l'information comme une branche des mathématiques, posant les problématiques de la sécurité et de la fiabilité des transmissions.


title: Corps fini

text: La cryptologie s'appuie sur la possibilité de générer rapidement de grands nombres premiers. La confidentialité d'un message est assurée par l'insurmontable difficulté technique actuelle de casser des entiers, c'est-à-dire d'effectuer un algorithme permettant de décomposer un nombre en facteurs premiers en un temps raisonnable. Une recherche active cherche à créer de nouveaux algorithmes allant en ce sens. Ainsi, Michael Rabin publie un test de primalité se fondant sur les propriétés du groupe multiplicatif des corps premiers.


title: Corps fini

text: La fiabilité traite de la capacité à transmettre sans erreur un message malgré des altérations dans la communication, elle est traitée par la théorie des codes correcteurs. En 1950, Richard Hamming travaille pour les laboratoires Bell avec Shannon sur ce sujet. Il utilise des espaces vectoriels de dimension finie sur des corps finis pour formaliser un cadre opérationnel à la théorie et trouver les premiers exemples de codes correcteurs optimaux. Cette approche donne naissance à la théorie des codes linéaires.


title: Corps fini

text: En 1960, Raj Chandra Bose et Dwijendra Kumar Ray-Chaudhuri montrent que des idéaux de l'anneau des polynômes sur les corps finis de caractéristique 2 sont particulièrement adaptés. La théorie est généralisée par Alexis Hocquenghem et donne naissance à la famille de codes BCH. Deux autres fondateurs de la théorie, Irving Reed et Gustave Solomon, enrichissent la méthode et créent des codes à même de résister à de grosses altérations, les codes de Reed-Solomon. Les applications les plus connues sont probablement le système de communication de certaines sondes de la NASA comme Voyager ou les disques compacts. Durant les années 1970, les résultats d'arithmétique avancés sur les courbes elliptiques des corps finis trouvent leur application avec, par exemple, les codes de Goppa.


title: Corps fini

text: Une équation diophantienne est une équation à coefficients entiers où des solutions entières sont recherchées. Pierre de Fermat s'est longuement penché sur des équations de cette nature.


title: Corps fini

text: Le petit théorème de Fermat stipule que, si "p" est premier, alors tout entier à la puissance "p" est congru modulo "p" à cet entier. Dans le contexte des corps finis, cela revient à indiquer que les points fixes de l'automorphisme de Frobenius sont les éléments du corps premier, ou que le groupe multiplicatif de ce dernier est cyclique d'ordre "p" – 1.


title: Corps fini

text: Fermat remarque que les seuls nombres premiers, somme de deux carrés, sont ceux dont la division par quatre donne un pour reste. Il remarque en effet que:


title: Corps fini

text: Il propose l'équation "a" + "b" = "p" avec "p" premier dans une lettre écrite à Marin Mersenne, datée du 25 décembre 1640.


title: Corps fini

text: Dedekind propose une démonstration dont la première partie consiste à étudier l'équation sur le corps "F". Il utilise les propriétés du groupe multiplicatif et celles des polynômes à coefficients dans un corps. L'équation devient "a" + "b" = 0. Si "b" est égal à 0 alors "a" l'est aussi et la solution est triviale. Dans le cas contraire. Il est possible de diviser par "b" car la structure sous-jacente est celle d'un corps, l'équation devient alors "X" + 1 = 0. En multipliant le polynôme précédent par "X" – 1, il obtient l'équation "X" – 1 = 0. Les propriétés du groupe multiplicatif donnent une condition nécessaire et suffisante sur "p" : il doit être congru à 1 modulo 4. La fin de la démonstration n'utilise pas les corps finis ; elle est donnée dans l'article associé.


title: Corps fini

text: Cette méthode, consistant à "réduire" l'équation dans le corps premier est fréquente. Le corps possède une structure plus forte et l'on dispose de nombreux théorèmes pour conclure.


title: Corps fini

text: Les codes correcteurs ont leur source dans un problème très concret lié à la transmission de données : dans certains cas, une transmission de données se fait en utilisant une voie de communication qui n'est pas entièrement fiable ; autrement dit, les données, lorsqu'elles circulent sur cette voie, sont susceptibles d'être altérées. L'objectif d'un code correcteur est l'apport d'une redondance de l'information de telle manière que l'erreur puisse être détectée et même corrigée.


title: Corps fini

text: Un message est une suite finie de "lettres", qui dans le cas d'un code linéaire sont considérées comme des éléments d'un corps fini. Un message "m" apparaît comme un élément d'un espace vectoriel "E" sur un corps fini de dimension "k". L'apport de la redondance est le résultat d'une application linéaire injective φ de "E" dans un espace "F" appelé "code" et de dimension "n" supérieure à "k". Le "mot du code" transmis est l'élément φ("m"). L'intérêt de transmettre φ("m") à la place de "m" est illustré par la figure suivante :


title: Corps fini

text: Si le message "m" est transmis, et si la transmission l'altère, alors le message reçu est erroné (comme illustré sur la figure de gauche) et le récepteur ne dispose d'aucun moyen pour repérer ou corriger l'erreur. Si l'application φ est astucieusement choisie, chaque point du code diffère des autres points du code par au moins "d" coordonnées. Cette situation est illustrée sur la figure de droite. Les points du code sont figurés en vert, la modification d'une coordonnée est symbolisée par un segment du quadrillage. On remarque sur la figure que les points du code diffèrent tous par au moins "d" = 3 coordonnées. Si, par exemple, l'altération porte sur une unique coordonnée, la transmission correspond à un point rouge. Le récepteur peut alors corriger l'erreur, car il n'existe qu'un seul point du code (en vert) à une "distance" égale à 1 du message reçu.


title: Corps fini

text: L'application qui, à deux points de "F", associe le nombre de coordonnées distinctes est une distance au sens mathématique, appelée "distance de Hamming". Si la distance de Hamming minimale entre deux points du code est égale à "d", alors le code est à même de corriger "t" altérations où "t" est le plus grand entier strictement plus petit que "d"/2. Sur la figure ci-dessus, on remarque des points noirs. Ils correspondent à des redondances inutiles. Ils sont en effet à une distance égale à 2 des points du code, or une telle distance n'est pas traitable dans le cas de la figure.


title: Corps fini

text: L'ensemble des points corrigeables est donné par la réunion de toutes les boules de centre un point du code et de rayon "t". La configuration idéale est celle où ces boules forment une partition de "F". Il n'existe alors aucune redondance inutile. Cette situation est illustrée par la figure de droite. Les points du code sont illustrés en vert, la distance minimale "d" est égale à 5. Les boules de centre les points du code et de rayon 2 forment une partition de "F". Les points à distance 1 du code sont illustrés en bleu, ceux à distance 2 en rouge. Tout message contenant au plus deux altérations peut être corrigé. Un tel code est dit parfait.


title: Corps fini

text: La théorie des corps finis permet de construire des codes parfaits. L'espace "F" est muni de la structure d'anneau F["X"]/"P"("X") où "P"("X") = "X" – 1 avec "n" = "d" – 1 et "a" est un entier strictement positif. "F" correspond à l'ensemble des polynômes prenant des valeurs distinctes sur le corps "F". Si φ("E") est l'idéal engendré par le polynôme "G"("X") à coefficients dans "F" ayant pour racines α, α, ..., α, alors le code est de distance minimale "d". "G"("X") est le produit de polynômes cyclotomiques. Le code BCH ou le code de Reed-Solomon utilise cette technique pour construire des codes parfaits. Si "k" est l'entier tel que "n – k" est égal au degré de "G"("X"), alors l'application φ associe au message "M"("X") le polynôme "M"("X")"X – R"("X") où "R"("X") est le reste de la division euclidienne de "M"("X")."X" par "G"("X"). Les détails et démonstrations sont donnés dans l'article code cyclique.


title: Philippe Maurice

text: Philippe Maurice, né à Paris le , est un ancien criminel français, condamné à mort par la justice française en 1980 puis gracié, devenu historien au cours de sa détention. Il se spécialise en histoire médiévale.


title: Philippe Maurice

text: Son père est gardien de la paix. Ses parents divorcent alors qu’il a 6 ans. Il dispose d'un certificat d'aptitude professionnelle (CAP) d'aide-comptable.


title: Philippe Maurice

text: En quittant l'armée, Philippe Maurice accepte d'écouler des faux billets avec un ami de lycée, Serge Attuil. Les gendarmes de Saint-Geniez-d'Olt dans l'Aveyron le surprennent en train de forcer un barrage routier avec un véhicule volé.


title: Philippe Maurice

text: Il est inculpé et incarcéré à la maison d'arrêt de Rodez, en , dans le cadre de plusieurs recels de vols de véhicules et de multiples escroqueries (usages de chèques volés, faux monnayage), délits pour lesquels le tribunal de Millau le condamne le à cinq ans de prison dont un an avec sursis. Il obtient rapidement une première puis une seconde permission de sortie en , lors de laquelle il ne regagne pas la maison d'arrêt et choisit la clandestinité avec son complice Serge Attuil.


title: Philippe Maurice

text: Cette cavale emmène le duo de malfaiteurs dans une série de vols à main armée en région parisienne qui se termine dans un épilogue sanglant, d'abord avec le meurtre le de Mohammed Hachemi, veilleur de nuit qui le surprend en flagrant délit de vol de véhicule sur un parking de la rue Lecourbe dans le de Paris ; puis avec les meurtres de deux gardiens de la paix de la préfecture de police, Jean-Yves Ruelle et Gérard Croux, qui tentent de les intercepter dans la nuit du , rue Monge dans le de Paris. Serge Attuil est tué dans la fusillade.


title: Philippe Maurice

text: Philippe Maurice est condamné à mort par la cour d'assises de Paris le pour complicité de meurtre et meurtre sur agents de la force publique.


title: Philippe Maurice

text: Le , pendant que son pourvoi en cassation est à l’étude, il tente une évasion et blesse grièvement un gardien de prison, Jacques Bouvier, avec une arme de calibre 11.43 que lui avait remis clandestinement son avocate, Brigitte Hemmerlin. Lors de la campagne de l’élection présidentielle, Valéry Giscard d’Estaing ne se prononce pas pour l’abolition de la peine de mort et repousse volontairement sa réponse pour la demande de grâce. Son pourvoi en cassation est rejeté le . C’est la dernière sentence de mort confirmée par la Cour. Huit autres verdicts ont été rendus par les Cours d'assises, le dernier le contre le tailleur Jean-Paul Marx par la Cour de Paris, le même jour où Robert Badinter a défendu devant le Sénat l'abolition de la peine de mort.


title: Philippe Maurice

text: Le , le lendemain de l’élection de François Mitterrand, Philippe Maurice reçoit la visite de Robert Badinter. « Vous allez être gracié, l’abolition de la peine de mort est imminente. D’une certaine manière, vous allez symboliser désormais l’abolition elle-même… ». Il lui enjoint de reprendre ses études en prison. Sa cause est plaidée par sa mère, qui menace de s’immoler devant l’Élysée après l’échec du pourvoi en cassation, et plusieurs historiens, dont Jacques Le Goff. Dans une lettre au président de la République de , l'association Légitime défense écrit que, si on ne le tue pas, il sera placé en prison, libéré d'ici à vingt ans « et en sortant il recommencera » ; elle ajoute : « Pendant son temps de prison, il sera nourri et logé aux frais du contribuable ; vous trouvez cela logique que le peuple français entretienne pendant vingt ans un assassin ». Répondant à ces propos en 2011, l'historien Jean-Yves Le Naour estime que .


title: Philippe Maurice

text: Le , le nouveau président de la République, François Mitterrand, quatre jours après son investiture, lui accorde sa grâce et commue sa condamnation à mort en une condamnation à la réclusion criminelle à perpétuité. Le nouveau président respecte ainsi une promesse symbolique de sa campagne électorale. Une fois gracié, Philippe Maurice abandonne ses projets d'évasion.


title: Philippe Maurice

text: Le , Philippe Maurice est condamné à 16 ans de réclusion criminelle par la cour d'assises de Paris pour sa tentative d'évasion et de meurtre sur le gardien de prison. Le , il est condamné à 18 ans de réclusion criminelle par la même cour d'assises, pour complicité dans le meurtre du veilleur de nuit en .


title: Philippe Maurice

text: Il se remet aux études en prison, commençant par l'équivalence du baccalauréat (examen d'entrée à l'université), alors qu’il est incarcéré à la maison centrale de Saint-Maur, près de Châteauroux. En 1985, il entretient une correspondance avec des collégiens de Bretagne dans le cadre d'un projet d'action éducative. Il passe sa licence d’histoire en 1987. Le , il soutient sa maîtrise d’histoire du Moyen Âge à Yzeures-sur-Creuse. Il obtient une mention.


title: Philippe Maurice

text: En , il est soupçonné d'avoir mené une mutinerie au sein de la centrale de Saint-Maur, passe quarante jours en cellule d'isolement et est envoyé à la prison de Besançon, où il ne lui est plus possible d'étudier, ce qui suscite l'indignation de la faculté de Tours qui crée un comité de soutien aux étudiants détenus et réclame sa réaffectation dans une maison centrale. En raison d'une nouvelle mutinerie à la prison de Besançon avec prise d'otages en , Philippe Maurice est de nouveau placé en cellule d'isolement dont il dénonce les conditions auprès de journalistes.


title: Philippe Maurice

text: C’est en qu’il soutient une thèse de doctorat en histoire médiévale à l’université François-Rabelais de Tours portant sur « La famille au Gévaudan à la fin du Moyen Âge ». Pour sa première sortie de prison sans menottes depuis 16 ans, trois gendarmes et trois fonctionnaires de la pénitentiaire sont chargés de l'observer lors de la soutenance. La thèse recueille les félicitations unanimes du jury et la mention « très honorable ».


title: Philippe Maurice

text: À l’automne 1999, il est placé en régime de semi-liberté. Puis le , il bénéficie d’une libération conditionnelle. La communauté scientifique de l'université de Tours lui trouve un poste d'assistant de recherche. Il débute également bénévolement le travail sur un volume des "Fasti Ecclesiae Gallicanae", recherche sur l'Église de France au Moyen Âge.


title: Philippe Maurice

text: Chargé de recherches, il travaille à l’EHESS dans les domaines de la famille, de la religion et du pouvoir au Moyen Âge. Il est également chargé de recherche au CNRS.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: En économie, l’efficacité énergétique ou efficience énergétique désigne l'état de fonctionnement d'un système pour lequel la consommation d’énergie est minimisée pour un service rendu identique. C'est un cas particulier de la notion d’efficience. Elle concerne notamment les transports motorisés, les métiers du bâtiment et l'industrie (ces derniers étant responsables respectivement d'environ 40 % et 25 % de la consommation énergétique totale de l'Union européenne).


title: Efficacité énergétique (économie)

text: L'efficacité énergétique s'appuie généralement sur l'optimisation des consommations, qui passe par la recherche de la moindre intensité énergétique (à service égal), une , des processus et outils plus efficaces. Le volet économies d'énergie cherche à réduire les gaspillages et les consommations inutiles. C'est donc aussi un élément important de la performance environnementale. Dans certains cas, l'économie d'énergie peut même améliorer la qualité de service. Depuis quelques années, on lui associe souvent le concept d'énergie intelligente ou de réseau intelligent.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: En Europe, une directive de 2006, reprise par la Directive 2010/31/UE la définit comme . La mesure de l'efficacité énergétique suppose des indicateurs pertinents et complets de consommation directe et indirecte d'énergie ; en pratique, il est parfois difficile d'évaluer si le service rendu est ou non identique.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: L'efficacité énergétique vise aussi à réduire les coûts (directs et indirects) écologiques, économiques et sociaux induits par la production, le transport et la consommation d’énergie. Elle contribue à réduire l'empreinte écologique (en diminuant l'empreinte énergétique et parfois l'empreinte carbone). Elle améliore la sécurité énergétique, l'adaptation au changement climatique, la lutte contre les émissions de gaz à effet de serre, la transition écologique et plus encore la transition énergétique.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: L'objectif collectif des États membres de l'UE pour 2030 est de réduire la consommation d’énergie d’au moins 40 % en ce qui concerne la consommation d’énergie finale et d’au moins 42,5 % en ce qui concerne la consommation d’énergie primaire en 2030 par rapport aux projections du scénario de référence de 2007, afin que la consommation finale d’énergie de l’Union ne dépasse pas 740 Mtep et que la consommation d’énergie primaire de l’Union ne dépasse pas 960 Mtep en 2030, d'après la Directive sur l'efficacité énergétique.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: L'efficacité énergétique n'est pas un objectif en soi, elle n'est qu'un outil pour atteindre des objectifs plus fondamentaux, en particulier climatiques. Les attendus de la « directive efficacité énergétique » de l'Union européenne définissent bien ces objectifs : .


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Historiquement, le thème de l'efficacité énergétique est d'abord apparu comme un moyen au service d'objectifs économiques, en particulier l'indépendance économique, objectif devenu prioritaire lors du premier choc pétrolier de 1973 ; à partir des années 1990, ce sont les objectifs de lutte contre les émissions de gaz à effet de serre responsables du dérèglement climatique qui ont pris le relais.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: À cause de l'effet rebond, l'impact de l'efficacité énergétique peut être plus faible que prévu (par exemple, en ayant des écrans plus économes mais plus grands). Et la mise en avant de l'efficacité énergétique occulte souvent la possibilité d'éviter complètement ces dépenses énergétiques par la sobriété (par exemple, en séchant la lessive sur un fil plutôt que dans une machine). Pour valoriser pleinement le potentiel d'économies d'énergie, il convient de combiner l'efficacité énergétique avec la sobriété.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Du point de vue économique, dans le domaine des ressources énergétiques ou des matières premières minérales critiques, il existe un « seuil critique » sous lequel une action n'est plus énergétiquement ou économiquement « efficace ».


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Ce seuil critique est dépassé non pas quand la ressource a disparu ou qu'elle est devenue complètement inaccessible aux moyens humains et techniques raisonnablement disponibles, mais avant, quand l'opérateur doit investir plus de ressources ou d'énergie dans l'action que ce que cette même action lui rapportera. Cela explique qu'une crise puisse survenir alors qu'une ressource semble encore largement disponible.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Selon le Conseil mondial de l'énergie, il existe bel et bien une tendance de fond en faveur de l'efficacité énergétique depuis les après les deux premières crises énergétiques qui ont ébranlé une vision d'une économie énergivore au pétrole sans limites et à bas coûts. Dans le rapport de 2007 consacré à ce thème que le Conseil étudie depuis 1992, ses recommandations confirment :


title: Efficacité énergétique (économie)

text: En France, si le pays est bien mieux situé que les États-Unis du point de vue de l'efficacité énergétique, il est resté des à 2000 moins avancé que l'Allemagne ou divers pays d'Europe du Nord. Un Programme national d'amélioration de l'efficacité énergétique (PNAEE), a été présenté par le Premier ministre le . Il cible d'abord les transports, la promotion des énergies renouvelables, la maîtrise de la demande d'électricité (MDE), les économies d'énergie dans les bâtiments et les entreprises. En 2007 et 2008, ce thème a été traité par le Grenelle Environnement avec en son sein des comités opérationnels traitant des bâtiments privés et publics. Les SRCAE le déclinent dans les régions. Le détail du Plan d'action de la France pour l'efficacité énergétique remis fin à la Commission européenne confirme la relance des thématiques de 2000. Le Conseil régional Rhône-Alpes et une dizaine de communes ont créé en la (SPL) d’efficacité énergétique de France, avec comme mission la rénovation des bâtiments publics (les deux tiers des bâtiments publics de la région appartiennent aux collectivités locales) en mutualisant la maîtrise d’ouvrage et les financements, en regroupant des bâtiments (d'un même propriétaire ou de possesseurs différents). Les coûts sont pris en charge par ce tiers investisseur qui se finance ensuite par un loyer sur vingt ans.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: En Europe, l'efficacité énergétique est une des thématiques énergétiques portées par la Commission européenne. Pour renforcer les économies d'énergie, plusieurs mesures ont été mises en œuvre pour favoriser l'efficacité énergétique à l'échelle du marché intérieur. En , la Commission propose des pistes pour explorer le potentiel économique de l’efficacité énergétique de 1998 à 2010, en introduisant le concept d’énergie intelligente, la "politique européenne de l'efficacité énergétique" trouve son acte fondateur avec le livre vert sur l'efficacité énergétique (2005) qui construit une vision d'ensemble pour l'Union Européenne face aux enjeux stratégiques de l'énergie à horizon 2020.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Un Fonds mondial pour la promotion de l'efficacité énergétique et des énergies renouvelables (Geeref) a été mis en place en 2006 sous la forme d'un partenariat public-privé, consacré à l'apport de capital-risque dit « patient » (retour d'investissement à long terme) à hauteur de 25 à 50 % de projets « à risque moyen ou élevé » et de 15 % de « projets à faible risque ». Il pourrait aussi financer l'assistance technique.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: En 2007, le Conseil pose l'objectif d', validant sur ce point les conclusions du Livre vert de la Commission du sur l'efficacité énergétique.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Une proposition de directive (en cours d'examen) propose des objectifs chiffrés d'efficacité énergétique, exprimés sous forme d'un niveau absolu de consommation d'énergie primaire. Les textes différencient toutefois l'efficacité énergétique, qui est « le rapport entre les résultats, le service, la marchandise ou l'énergie que l'on obtient et l'énergie consacrée à cet effet », des économies d'énergie qui correspondent à « la quantité d'énergie économisée, déterminée en mesurant et/ou en estimant la consommation avant et après la mise en œuvre d'une ou de plusieurs mesures visant à améliorer l'efficacité énergétique ».


title: Efficacité énergétique (économie)

text: La directive 92/75/CEE du a concerné l'indication de la consommation des appareils domestiques en énergie et en autres ressources par voie d'étiquetage et d'informations uniformes relatives aux produits.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Après avoir favorisé une politique de label énergétique dès 1992 qui a touché une série de produits de consommation courante (réfrigérateurs, lampes, etc.), la Commission a pris l'initiative de directives sur d'autres segments de la chaîne énergétique : l'efficacité énergétique des bâtiments en 2002, puis la cogénération (ou production locale à haut rendement) en 2004, puis pour renforcer la politique de label, une directive favorisant l'écoconception les produits consommateurs d'énergie en 2005 et enfin, en 2006, une directive sur les services énergétiques :


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Ces directives qui doivent être transposées dans les membres font l'objet d'un suivi attentif en particulier la directive 2006/32 qui prévoit des plans nationaux d'action dont un bilan établi en 2007 démontre une certaine lenteur.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Avec le « paquet climat-énergie » et l'objectif « » (ou « 20/20/20 »), l'Europe encourage vivement l'utilisation d'énergies sûres, propres et renouvelables, ainsi que les économies d'énergie via le paquet « efficacité énergétique ».


title: Efficacité énergétique (économie)

text: En 2009, la Commission européenne et la Banque européenne d'investissement (BEI) ont créé « ELENA » (), mécanisme européen d'assistance à l'échelle locale (régions et villes dont plus de mille avaient fin 2009 déjà signé le « pacte des maires ») dans le domaine de l'énergie, pour fournir une assistance technique aux autorités (locales et régionales) afin d'améliorer l'efficacité énergétique, développer les énergies renouvelables et obtenir des financements extérieurs.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Un premier programme dit « Énergie intelligente – Europe II » (IEE) sera crédité de d'euros pour sa première année. L'énergie intelligente (en anglais ) désigne les processus énergétiques intégrant des dispositifs de rétrocontrôle ou d'intelligence artificielle visant à minimiser les consommations d'énergie.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: La stratégie numérique préconise également une utilisation innovante de solutions fondées sur les technologies de l'information et de la communication pour faire face à des problèmes tels que le changement climatique, présentant, à titre d'exemples, des dispositifs d'éclairage écologiques, de télémédecine, télétravail permettant aussi une meilleure efficacité énergétique.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: La directive du sur la performance énergétique des bâtiments prévoit que les bâtiments construits après 2020 devront approcher le « zéro énergie », (consommation d'énergie « quasiment nulle » ; norme « "Nearly zero energy" ») au (et dès 2018 pour les bâtiments publics), grâce aux énergies renouvelables et locales et/ou à l'utilisation des meilleures techniques d'isolation (habitat passif).


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Ce sont les bâtiments existants qui cependant consomment le plus (responsables de plus de 40 % de la consommation totale d'énergie en Europe, et des émissions de associées). Leur efficacité doit aussi être améliorée, mais la directive est moins précise sur ce point.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Des objectifs intermédiaires sont fixés pour 2015. Ce texte élargit le périmètre de la directive 2002/91/C qui visait à économiser soixante à quatre-vingt millions de tonnes équivalent pétrole (Mtep) en 2020, soit une baisse de 5 à 6 % de la consommation d'énergie totale de l'UE. Ces améliorations seront pour partie financées par le budget de l'UE. Les États membres de l'Union européenne doivent dès mi-2011 produire une liste d'incitations (financières, fiscales, assistance technique, tiers-investisseur…) pour entamer la transition énergétique et un système d'homologation et certification de la mesure de la performance éco-énergétique des bâtiments, en particulier pour tout bâtiment destiné (construit, vendu ou loué) à un nouveau locataire, ainsi que pour tout bâtiments contenant plus de (puis cinq ans après) occupés par des administrations et recevant fréquemment du public. Des dérogations sont accordées pour les logements de moins de , les résidences secondaires, les bâtiments religieux, les bâtiments temporaires, les sites industriels, ateliers et bâtiments agricoles à faible demande énergétique et les monuments historiques protégés. L'UE engage les États-membres à installer des compteurs intelligents et à faire remplacer les systèmes de chauffage, eau-chaude et climatisation par des alternatives à hautes performances énergétiques (climatisation passive, pompes à chaleur). Des inspections vérifieront les performances des chaudières et des systèmes de climatisation.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Les critiques faites à ce texte sont les mêmes que pour le Grenelle Environnement : il ne prioriserait pas assez la rénovation énergétique de l'habitat ancien (99 % du patrimoine bâti et premier responsable du gaspillage d'énergies, alors qu'il n'est rénové qu'au rythme de 1,2 à 1,4 % par an en Europe, qui donnerait des résultats plus importants, plus rapides, en créant plus d'emplois. insiste sur l'urgence de développer les formations sur ce thème.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: La directive du sur l'étiquetage énergétique prévoit que cet étiquetage comportera trois nouvelles classes (A+, A++ et A+++, mais l'étiquette conservera toujours un total de sept classes). Le périmètre de la directive de 1992 est élargi : les téléviseurs (redevenus très consommateurs avec les grands écrans), chauffe-eau et des chaudières bénéficieront aussi de cet étiquetage, ainsi que des produits ne consommant pas eux-mêmes d'énergie mais ayant « un impact significatif direct ou indirect » sur la consommation ou les économies d'énergie (vitres, châssis de fenêtres, portes externes). La publicité évoquant des qualités ou un prix liés à l'énergie devra citer la classe d'efficacité énergétique du produit. La Commission espère des économies d'énergie d'environ d'ici 2020, soit de tonnes de par an émis en moins.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Le , la Commission a présenté une nouvelle proposition de directive sur l'efficacité énergétique, qui se substitue à certains des textes précédents afin de favoriser la réalisation des objectifs de 20 % d'économies d'énergie fixés pour 2020. Elle a été adoptée le 4 octobre 2012.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: La directive 2012/27/UE du Parlement européen et du Conseil a été modifiée à plusieurs reprises de façon substantielle. Une refonte est proposée en 2022.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Elle est transversale par essence, car la consommation de l'énergie est partout dans les sociétés développées. L'efficacité énergétique est un secteur économique à fort développement pour les décennies 2010 à 2030 voire 2050 pour tous les acteurs spécialisés. C'est un champ d'innovation de premier plan au même titre que les énergies renouvelables. Il concerne potentiellement tous les plans de l'économie, y compris pour les pays en voie de développement voire les moins avancés comme les nouveaux pays développés (BRIC). Selon Bruno Lapillonne, le concept d'efficacité énergétique, comme indicateur de performances énergétiques de l'économie, se vérifie avec plus d'acuité en particulier si une économie est confrontée à des questions de sécurité d'approvisionnement.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Du point de vue macro-économique, l'efficacité énergétique vise à diminuer la demande énergétique globale, qui additionne la demande primaire à travers les secteurs de l'agriculture, de l'industrie et du commerce sans oublier les transports et la demande finale d'énergie quelles que soient ses formes (consommation domestique).


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Du point de vue micro-économique, les mesures visent à renchérir le coût de consommation de l'énergie et de favoriser par le biais d'aides (subventions, déductions fiscales) des unités économiques de plus faible intensité énergétique sous réserve de respecter des normes techniques strictement définies et adaptées. Le calcul précis de la demande, des pertes et des économies réalisables font de la phase de diagnostic (diagnostic de performance énergétique par exemple) une phase clé de la recherche d'efficacité par l'acteur économique.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: En France, l'efficacité énergétique est un thème professionnel essentiel dans le bâtiment (démarche HQE) et chez les énergéticiens. À titre d'exemple, le Gimélec promeut par les bonnes pratiques l'efficacité énergétique via trois guides :


title: Efficacité énergétique (économie)

text: L'efficacité énergétique des bâtiments est l'un des concepts clés de l'écoconception et des approches de type Haute qualité environnementale (HQE), et de la mise en œuvre progressive, au moins dans certains pays, de certificats énergétiques pour les bâtiments ou certains produits, du bilan énergétique ou des écobilans. Les objectifs de performance (habitat économe ou à énergie positive…) déterminent la conception d'un bâtiment dès son esquisse, bien avant la demande de permis de construire.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Les mesures d’efficacité énergétique passives concernant le bâti, c’est-à-dire l’enveloppe du bâtiment, permettent d'éviter les déperditions en renforçant la performance technique du bâtiment (isolation, parois vitrées…), mais également l'usage du bâtiment dans son quartier et la ville, avec des difficultés liées à la périurbanisation. En Belgique, la Wallonie a en 2012 mis au point un outil interactif de diagnostic évaluant conjointement les problèmes d'énergie et de périurbanisation, de l'échelle de la maison à celle du quartier ou du territoire.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Au Canada, pour la province de Québec, le Bureau de l'efficacité et de l'innovation énergétiques du ministère des Ressources naturelles et de la Faune offre divers programmes de subventions permettant aux gestionnaire de bâtiments d'effectuer des améliorations à leur bâtiments. Au niveau fédéral, l'Office de l'Efficacité énergétique offre également des incitatifs fiscaux permettant de payer les frais relatifs à l'amélioration des bâtiments. Ressources naturelles Canada développe un système intégré de gestion énergétique.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Plusieurs villes comme Washington, Boston, Los Angeles et Saint-Louis ont adopté des mesures visant à accroître l'efficacité énergétique des bâtiments. New York, la ville la plus peuplée du pays, a signé l’U.S. Mayors Climate Protection Agreement (« Accord des maires des États-Unis sur la protection du climat »), visant à atteindre ou à dépasser les objectifs de réduction de GES fixé par le Protocole de Kyoto. Au printemps 2007, le maire Michael Bloomberg a promis une réduction de 30 % des émissions de dioxyde de carbone d'ici à 2030 dans sa ville. Il a décidé de mettre en œuvre une politique de rénovation énergétique des gratte-ciel. En 2019, la municipalité de New York a adopté une législation ambitieuse sur le climat, le "Climate Mobilization Act of New York", qui prévoit 40 % de réduction de consommation d'énergie d'ici à 2030. Dès 2010, la travaux de rénovation de l'Empire State Building, le deuxième plus grand gratte-ciel de la ville, ont permis de réduire la facture d'électricité.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: L'Europe, qui abritait environ de logements à la fin des années 1990 (secteur en croissance continue depuis l'après-guerre), veut diminuer la consommation énergétique des bâtiments de 22 % avant 2010. La directive sur la performance énergétique des bâtiments (EPBD) est en cours de transposition depuis 2007 dans les droits nationaux.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: En Europe, notamment en Europe du Nord et de l'Ouest, le secteur du bâtiment est l'un des plus gros consommateurs énergétiques : 40 % de la consommation d’énergie finale de l’UE, plus énergivore que le transport, qui présente donc un fort potentiel d'économies d'énergie et d'emplois induits par la réhabilitation thermique de l'habitat ancien. Ces économies permettraient aussi de réduire les émissions de GES de ce secteur (36 % du total des émissions de l’UE dans les années 2000) et de diminuer la précarité énergétique.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Le rythme moyen des travaux de rénovation thermique est de 0,3 % par an et, en 2050, la part de logements non rénovés restera supérieure à celles des logements rénovés ou neufs. Continuer dans ce sens ne permettra pas à l’UE de respecter l'objectif à l’horizon 2050 (division par quatre des émissions de gaz à effet de serre d’ici 2050). À la suite d'un constat de sous-utilisation des fonds Feder dans le domaine énergétique par les États-membres, la Commission européenne appelle en 2010 les autorités nationales et locales à inciter et faciliter l'amélioration de l'efficacité énergétique dans l’habitat. Plusieurs sources peuvent y aider :


title: Efficacité énergétique (économie)

text: La Commission a promis (lors de la de la Convention des maires, le ) de débloquer les fonds du Plan de relance économique non utilisés jusqu’à maintenant ( d’euros) pour soutenir via la BEI davantage de projets dans ce domaine.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: En France, l'« amélioration de la performance énergétique des bâtiments » fait l'objet d'un chapitre du projet de loi .


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Depuis début 2008, une étude de faisabilité énergétique est obligatoire avant la demande de permis de construire pour tout bâtiment de plus de de surface hors œuvre nette. Le maître d’ouvrage doit accompagner sa demande de permis d'une attestation de réalisation de cette étude. La conformité à la réglementation thermique se prépare lors de la conception et se fait lors de la réception (après éventuelles modifications correctrices).


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Une synthèse d'étude thermique standardisée doit alors justifier du respect de la réglementation thermique. Elle doit être donnée à la personne qui réalise le diagnostic de performance énergétique (DPE, produit par un « diagnostiqueur ») qui devra être « indépendant » pour tous les DPE induits par la vente ou location d’un bien immobilier. Jusqu'en 2009, ce diagnostic n'était qu'informatif (sur le niveau de consommation du bâtiment), et insuffisamment précis pour démontrer le respect de la réglementation thermique.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Le projet (pour la construction neuve, comme pour la réhabilitation), crée une attestation de prise en compte de la réglementation thermique et de performance énergétique, plus précise, engageant la responsabilité du constructeur et du maître d'ouvrage ; elle devra être délivrée à l’achèvement des travaux « dans le cadre d’un contrôle technique ou par une personne habilitée à délivrer des DPE » et jointe à la déclaration d'achèvement des travaux. Un décret précisera les modalités d'application de la loi (l'exposé des motifs précise qu'une méthodologie commune de calcul pourrait dès 2010 faciliter, à un coût abordable, une vérification de conformité à la réglementation thermique). L'isolation thermique étant aussi facteur d'isolation phonique, une attestation de prise en compte de la réglementation acoustique est également prévue à l’achèvement des travaux (mais que pour le bâtiment neuf).


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Le DPE devra être présenté aux acheteurs ou locataires « dès la mise en vente ou en location » d’un bien immobilier (que soit l’usage du local ou du bâtiment avec quelques exceptions qui seront précisés par décret), afin que la performance énergétique affichée devienne un des critères de choix dans le secteur de l'immobilier ; le Grenelle II prévoit un DPE obligatoire pour tous les bâtiments à chauffage collectif, dans les cinq ans suivant la publication de la loi. L'analyse des DPE réalisés permettra des statistiques sur la performance énergétique en France.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Les articles L. 111-9 et L. 111-10 du Code de la construction et de l'habitation permettaient déjà un « exigenciel » (liste d'exigences de performance énergétique), ainsi que la création de labels de performance énergétique (pour la construction neuve, comme pour la rénovation). Le Grenelle II, dans son exposé des motifs, annonce un « futur label plus largement fondé sur des exigences de performances environnementales globales sur l’ensemble du cycle de vie du bâtiment » (sur la base des consommations d'eau, d'énergie, de matériaux et des émissions d'équivalent, de polluants et déchets, ainsi que sur la qualité de l’air intérieur, les déchets produits…


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Les bâtiments tertiaires dont le diagnostic a montré qu'ils doivent améliorer leur performance énergétique devront réaliser les travaux le permettant dans les huit ans, « à compter du », un décret précisera :


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Les coûts d'investissements seront importants, mais les économies d'énergies remboursant généralement ces investissements en quelques années, des systèmes de type tiers-investisseurs seront favorisés (travaux rémunérés sur les économies d'énergies, c'est-à-dire pour un « coût de zéro euro » pour la copropriété et les propriétaires ou locataires, via un « contrat de performance énergétique ». du projet de vise en outre à faciliter les DPE et les travaux d’économie d’énergie dans les copropriétés, avec consultation obligatoire de « prestataires en service d’efficacité énergétique ». Le projet de loi doit pour cela modifier les règles de décision des copropriétés concernant les « travaux d’intérêt commun ». Des décrets en Conseil d’État préciseront les situations de dérogation (selon la taille de l'immeuble, le mode de chauffage) et la liste des travaux éligibles.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: À titre d'exemple, l’éclairage vise à produire de la lumière. La part de l’énergie consommée se transformant en une autre forme d’énergie, la chaleur, est donc dissipée sous forme de chaleur. On produit généralement la lumière à partir d’électricité, qui selon les ampoules utilisées représente une consommation supérieure à la seule énergie lumineuse (voir tableau). Toutefois, la source électrique d'éclairage peut elle-même être considérée comme une sources de chauffage, le cas échéant.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: La Caisse des dépôts et consignations finance la rénovation du logement social (assistance technique, crédit), au moyen de :


title: Efficacité énergétique (économie)

text: En , une table ronde nationale pour l’efficacité énergétique a été initiée. Après une première réunion visant à faire un bilan du volet "économies d’énergie" du Grenelle Environnement et à définir de nouveaux objectifs, ses groupes de travail (environ ), doivent faire des propositions concrètes et applicables dès 2012 autour de trois axes : réduire la facture énergétique des ménages ; améliorer la compétitivité des entreprises ; exemplarité de l’État.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Concernant les bâtiments tertiaires, de la loi portant engagement national pour l'environnement ou « Grenelle II » stipule que Le plan bâtiment durable a mis en œuvre une charte volontaire pour l’efficacité énergétique des bâtiments tertiaires publics et privés qui a recueilli , les signataires s'engageant sur un niveau de progrès et un échéancier.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: D'autres démarches volontaires comme le Concours usages bâtiment efficace () parient sur l'engagement des utilisateurs et une meilleure exploitation, à l'instar du Battle of the Buildings organisé aux États-Unis par Energy Star, afin de créer un cadre favorable à l'efficacité énergétique en site occupé.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Un système de gestion d'énergie, lorsqu'il est installé dans un bâtiment, permet de réaliser d'importantes économies d'énergie. Divers systèmes existent :


title: Efficacité énergétique (économie)

text: L'implantation d'un SIGE est généralement réalisée pour deux objectifs : diminuer l'empreinte écologique du bâtiment et réaliser des économies d'énergie.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Dans le cadre d'une politique de maîtrise de la demande en électricité (MDE), depuis la fin du , des étiquettes-énergie sont apposées dans l’Union européenne sur certains produits (par exemple frigidaires) pour indiquer au consommateur le niveau de performance de l'appareil.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Le , le secrétaire américain à l’Énergie Steven Chu annonce un fonds de de dollars afin d’améliorer l’efficacité énergétique des principales industries aux États-Unis.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Le réseau de capteurs sans fil (WSN) peut être utilisé pour surveiller l'utilisation efficace de l'énergie, comme dans le cas du Japon. Ce type de technologie permet de réaliser des économies d'énergie en suivant en temps réel l'état de multiples capteurs situés en différents endroits. Les données traitées par des algorithmes de calcul d'optimisation permettent d'utiliser de façon plus efficace l'énergie permettant ainsi de réaliser des économies d'énergie.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: L'Agence de l'environnement et de la maîtrise de l'énergie (Ademe) estime par exemple que plus de de chaleur sont perdus chaque année dans l'industrie, dont 60 % à plus de 100 °C. L'utilisation d'équipements dédiés à l'efficacité énergétique industrielle, comme les échangeurs de chaleur, peut aider à récupérer une partie de la chaleur pour la réutiliser dans des processus industriels, et ainsi arriver à une meilleure efficacité énergétique globale.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Tous les appareils électroniques utilisent une alimentation électrique à l'efficace variable. Le label environnemental 80 PLUS distingue les alimentations électrique dont l'efficacité dépasse 80 %. Le label distingue quant à lui les équipements dont la consommation électrique est réduite.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Un rapport de l'Agence internationale de l'énergie publié le attire l'attention sur la consommation croissante des appareils de l'économie numérique, ordinateurs, tablettes, smartphones, objets connectés divers : d'appareils connectables en 2013, prévus en 2020 et en 2050 ; leur demande d'électricité est passée de en 2008 (égale à la consommation d'électricité de la France) à en 2013 ; si rien n'est fait pour maîtriser cette demande, elle devrait atteindre en 2025, plus que la consommation totale réunie du Canada et de l'Allemagne. Or la majeure partie de cette consommation se produit pendant les périodes de « veille » des appareils ; en fait, jusqu'à 80 % de leur consommation sert uniquement à maintenir leur connexion au réseau. L'étude évalue à 60 % les gains de consommation réalisables par l'application des meilleures solutions technologiques disponibles, sans perte de performance ; en particulier, des appareils tels que la télévision ou l'électroménager pourraient très bien réduire leur consommation à des niveaux très faibles en dehors des périodes où ils sont utilisés ; le potentiel d'amélioration de l'efficacité énergétique des appareils électroniques d'ici 2020 est évalué à , équivalent à la production de au charbon de taille moyenne. Un grand nombre d'actions peuvent y contribuer, mais en l'absence d'incitation économique forte, l'intervention politique est essentielle ; l'étude inventorie en détail les mesures à prendre.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Les transports sur rail offrent une très bonne efficacité énergétique, meilleure que celle des transports routiers ou aériens.


title: Efficacité énergétique (économie)

text: Selon l'Ademe, entre 2012 et 2014, au vu du potentiel du marché de l’efficacité énergétique, près de devront être mobilisés pour répondre à la demande dans le secteur du bâtiment, soit 42 % de plus qu’en 2009 et , cependant pour répondre à ces nouveaux besoins, les métiers du bâtiment et de l'énergie doivent aussi évoluer, ce qui implique un dispositif de formation qui réponde à ces changements avec les fédérations du bâtiment (FFB et CAPEB) et de leurs labels respectifs, Pros de la performance énergétique et Éco-Artisans, car un audit de l'Ademe a montré qu'en 2011 .


title: Groupe Rassemblement national

text: Le groupe Rassemblement national (RN) est un groupe parlementaire de l'Assemblée nationale française fondé en 2022.


title: Groupe Rassemblement national

text: Le groupe est représenté au bureau de l'Assemblée avec deux vice-présidents : Sébastien Chenu et Hélène Laporte.


title: Groupe Rassemblement national

text: Leur première action lors de la XVI législature est de réclamer une commission d'enquête sur les causes de l'inflation, une mesure également réclamée par Michel-Édouard Leclerc.


title: Groupe Rassemblement national

text: Soucieux de se poser en « parti de gouvernement », le RN entend se placer dans une « opposition ferme mais constructive ». Il a ainsi voté, dès les premières semaines de la mandature, régulièrement dans le sens du gouvernement, en particulier sur les questions économiques : refus d’augmenter le Smic et de bloquer les prix, maintien de la flat tax à 30 % sur les revenus du capital, suppression de la redevance audiovisuelle, etc.