title: Charles Mingus

text: Il a apporté une contribution majeure au jazz, à la fois en qualité de compositeur et chef d'orchestre, mais aussi en tant qu'instrumentiste. De nombreux musiciens sont passés par ses différentes formations pour ensuite se lancer dans des carrières impressionnantes. Ses compositions, bien que mélodiques et marquantes, ne sont pas souvent reprises, ce qui est peut-être dû à leur caractère non conventionnel.


title: Charles Mingus

text: Son tempérament excentrique et souvent effrayant est presque aussi connu que sa musique. Son refus de compromettre son intégrité artistique et un certain nombre d'expériences traumatisantes liées au racisme ont provoqué de nombreuses éruptions de colère sur scène et ailleurs.


title: Charles Mingus

text: Une grande partie de la musique de Mingus est basée sur l'énergie du bebop et du hard bop, avec une forte influence du gospel. Mingus utilise aussi fréquemment des éléments du Third stream, du free jazz, du jazz Nouvelle-Orléans et même de la musique classique, tout en évitant toujours les catégories et en créant une musique personnelle. Il s'intéresse à l'improvisation collective et est très attentif à l'interaction de chaque musicien avec la formation entière. Il écrit des parties instrumentales en tenant compte des spécificités de ses musiciens, ce qui le rapproche des méthodes de Duke Ellington pour qui il a une admiration sans limites.


title: Charles Mingus

text: Atteint par la sclérose latérale amyotrophique, il passe la fin de sa vie dans un fauteuil roulant. Les premiers symptômes de paralysie apparaissent au printemps 1977, et le diagnostic est établi le . Sa dernière apparition sur scène a lieu au State University Theater à Phoenix, Arizona pendant l'automne 1977. Il est reçu par le président Jimmy Carter à la Maison-Blanche le et meurt six mois plus tard à Cuernavaca au Mexique.


title: Charles Mingus

text: Le Mingus Big Band, qui continue de donner des concerts, a été créé après sa mort par son épouse , dont l'objectif est de jouer la musique de Mingus, en particulier les nombreuses compositions qui ont été découvertes après sa mort.


title: Charles Mingus

text: Charles Mingus naît le dans une base de l'armée américaine à Nogales en Arizona. Sa mère, Harriet Sophia Mingus, est d'ascendance chinoise, anglaise, et afro-américaine, et son père, le sergent Charles Mingus, d'ascendance suédoise et afro-américaine ; il revendique également des origines Cherokee. Après le déménagement de la famille Mingus dans le quartier de Watts à Los Angeles en Californie, Harriet Mingus meurt le de la myocardite. Charles Mingus père épouse alors Mamie Newton Carson le .


title: Charles Mingus

text: Sa belle-mère ne permet à la maison que la musique d'église mais Mingus développe très jeune l'amour du jazz, particulièrement pour la musique d'Ellington. Il étudie le trombone puis le violoncelle. Une partie de la technique de violoncelle qu'il apprend est applicable à la contrebasse quand il choisit cet instrument au lycée. À 17 ans, Mingus prend des cours avec le contrebassiste Red Callender, puis avec Herman Rheinschagen, un musicien classique, anciennement membre du New York Philharmonic. Parallèlement à ses études classiques, il participe aux sessions hebdomadaires de , l'un des premiers pédagogues du jazz.


title: Charles Mingus

text: Déjà à l'adolescence, Mingus écrit un nombre considérable de morceaux plutôt avancés ; beaucoup sont semblables au (tentative de entre classique et jazz). Un certain nombre sont enregistrés en 1960 sous la conduite de Gunther Schuller dans l'album "Pre Bird" (en référence à Charlie Parker).


title: Charles Mingus

text: Le premier engagement professionnel de Mingus est avec Louis Armstrong, au début des années 1940. Pendant cette période, il travaille aussi dans la région de Los Angeles avec le trompettiste Howard McGhee, le saxophoniste Illinois Jacquet, et la chanteuse Dinah Washington. Il dirige aussi sa propre formation, sous le nom de « Baron » Mingus, à la manière de Duke Ellington. Un enregistrement de 1946, "Baron Mingus & His Octet" révèle la forte affinité de Mingus pour la musique d'Ellington, et le jeu de contrebasse de Jimmy Blanton.


title: Charles Mingus

text: En 1947, il est engagé par Lionel Hampton. L'orchestre de Hampton enregistre la composition "Mingus Fingers" de Mingus qui acquiert rapidement une réputation de contrebassiste talentueux, et de compositeur prometteur. Mingus ne reste pas longtemps chez Hampton, et le manque de travail à Los Angeles l'oblige à quitter temporairement la musique pour travailler en tant que facteur.


title: Charles Mingus

text: En 1949, le vibraphoniste Red Norvo l'engage dans son trio, dont l'autre membre est le guitariste Tal Farlow. Cet ensemble bebop virtuose se distingue par l'originalité du format vibraphone / guitare / contrebasse, et connaît un succès considérable en 1950 et 1951.


title: Charles Mingus

text: Après avoir quitté le groupe de Norvo, Mingus déménage à New York. Il se produit en "sideman" avec Miles Davis, Billy Taylor, Dizzy Gillespie, Terry Gibbs, Stan Getz, Bud Powell, Lennie Tristano — et Charlie Parker qu'il accompagne épisodiquement jusqu'à sa mort en 1955. Il fait brièvement partie de l'orchestre de Duke Ellington avant d'être licencié le à cause d'une dispute au cours de laquelle il menace le tromboniste Juan Tizol avec une barre de fer.


title: Charles Mingus

text: En compagnie de sa deuxième femme Celia Zaentz Mingus et du batteur Max Roach, il fonde en 1952 le label de disques indépendant , afin de publier leurs propres enregistrements mais aussi quelques séances de jeunes talents. Le , Mingus, Dizzy Gillespie, Charlie Parker, Bud Powell, Max Roach se produisent au Massey Hall de Toronto. Le concert est enregistré (Mingus rejoue dans le studio de Rudy Van Gelder les parties de basse inaudibles sur l'enregistrement live) et publié par Debut sous le titre "Quintet of the Year: Jazz at Massey Hall". Le succès commercial de ce disque assure une sécurité financière au label, et une place dans l'histoire du bebop à Mingus.


title: Charles Mingus

text: En octobre 1954, Savoy Records lui propose l'enregistrement d'un premier disque sous son nom. À cette époque, Mingus donne à ses orchestres successifs le titre générique de "Jazz Workshop", et ce nom est aussi retenu pour l'album enregistré le avec John LaPorta, Teo Macero, , Mal Waldron, et Rudy Nichols.


title: Charles Mingus

text: La décennie à venir est une des périodes les plus créatives et productives pour Mingus, avec l'enregistrement d'une trentaine de disques environ en dix ans.


title: Charles Mingus

text: En 1956, Mingus enregistre pour Atlantic en compagnie de Jackie McLean, Mal Waldron, J. R. Monterose et sa première œuvre majeure : "Pithecanthropus Erectus". Ce disque introduit un nouveau style qui préfigure déjà le jazz plus libre des années 1960, avec certaines parties totalement improvisées.


title: Charles Mingus

text: En 1957, il rencontre Dannie Richmond qui reste son batteur préféré jusqu'à la fin de sa vie. Leur première collaboration est documentée sur "The Clown", également chez Atlantic. La même année, il enregistre Tijuana Moods, mais ce disque ne sort qu'en 1962.


title: Charles Mingus

text: En 1959, Mingus sort trois disques majeurs : Blues & Roots (Atlantic), une sorte de retour volontaire aux racines de la musique noire américaine, Mingus Ah Um (Columbia), son disque le plus connu et le plus accessible, et Mingus Dynasty (Columbia).


title: Charles Mingus

text: En 1960, probablement en réaction au free jazz naissant, il enregistre "Charles Mingus Presents Charles Mingus" avec Eric Dolphy, Ted Curson et Dannie Richmond. Le disque sort sur le petit label Candid qui appartient à un ami de Mingus, le critique de jazz Nat Hentoff. À la fin de la même année il enregistre, toujours sous le label Candid, un album intitulé Newport Rebels, en collaboration avec Max Roach et Eric Dolphy.


title: Charles Mingus

text: Autant le talent musical de Mingus force le respect, autant ses violentes colères sur scène sont redoutées qu'elles soient dirigées vers les membres de l'orchestre ou vers le public. Mingus est physiquement plutôt fort, voire obèse (surtout vers la fin de sa vie) et de l'avis général souvent intimidant et effrayant quand il exprime la colère ou le mécontentement.


title: Charles Mingus

text: Jackie Paris a été le témoin privilégié de l'irascibilité de Mingus. Paris se souvient d'une soirée au "Village Vanguard" :


title: Charles Mingus

text: Le , Mingus travaille avec le tromboniste Jimmy Knepper dans son appartement, en préparation du concert au "New York Town Hall". Il demande à Knepper d'écrire des arrangements supplémentaires. Celui-ci refuse. Mingus est alors pris d'une colère violente, et gifle Knepper sur la bouche. Le coup casse une couronne dentaire. D'après Knepper, cet incident lui fait perdre une octave de tessiture de son instrument, et met fin à sa relation avec Mingus. Mingus est jugé pour cela en janvier 1963 et écope d'une peine avec sursis.


title: Charles Mingus

text: est une œuvre majeure de Mingus, une des plus longues œuvres de jazz jamais écrites. C'est une composition de plus de mesures qui dure 2 heures et qui a été complètement mise au jour après sa mort par le travail de catalogage du musicologue Andrew Homzy. Avec l'aide de la Fondation Ford, la pièce a été jouée pour la première fois le , 10 ans après sa mort par un orchestre de 30 musiciens dirigé par Gunther Schuller. Ce concert a été produit par la veuve de Mingus, Sue Graham Mingus, au .


title: Charles Mingus

text: De toutes ses compositions, son élégante élégie de Lester Young, (de "Mingus Ah Um") est celle qui a fait l'objet de plus de reprises, par des artistes de jazz mais aussi par des musiciens aussi divers que Jeff Beck, John McLaughlin, Eugene Chadbourne, Bert Jansch et John Renbourn avec et sans Pentangle. Joni Mitchell a chanté la chanson avec ses propres arrangements. Elvis Costello a enregistré (de "Mingus Mingus Mingus Mingus Mingus") sur "My Flame Burns Blue" (2006). A noter également l'utilisation de sa musique par Claude Nougaro pour sa chanson Harlem.


title: Charles Mingus

text: Noël Balen, Étienne Gauthier et Amaury Volsion ont rendu hommage à Charles MINGUS à travers un livre, un album et un film :


title: Histoire de la profession infirmière

text: L’histoire de la profession d'infirmier et d'infirmière montre comment cette profession s'est forgée au cours du temps, souvent de façon empirique, autour de la religion ou d'étapes maîtresses comme les guerres, les besoins évolutifs de la société en matière de santé, de soins de santé mais encore autour de réflexions humanistes, de la prise en compte des besoins sociaux et de l'étude de la psychosociologie.


title: Histoire de la profession infirmière

text: La profession d'infirmière et d'infirmier et les soins infirmiers ont évolué avec l'histoire de la médecine et la philosophie des sciences. L'évolution de la profession, largement féminisée au cours des époques, est concomitante du mouvement féministe et de l'histoire des femmes dans le domaine des sciences.


title: Histoire de la profession infirmière

text: Au Moyen Âge pour s'occuper des lépreux, on mettait d'office à contribution des prostituées et divers « pseudos » soignants. Depuis le , les évêques favorisent la création des maisons de malades, de vieillards.


title: Histoire de la profession infirmière

text: Après les grandes épidémies, la fonction soignante est repérée et organisée dans la société avec l’apparition du mot « enfermier » en 1398, lui-même dérivé du mot « enfermerie ».


title: Histoire de la profession infirmière

text: Les ordres religieux organisèrent la profession à partir du , selon des critères en lien avec la charité et l'amour de Dieu : le soin est alors bénévole, et n'a qu'une valeur culturelle. Celle qui le pratique est prise en charge par la structure religieuse : par exemple les religieuses de l'Hôtel-Dieu, les nobles soignant dans les fondations hospitalières, certains frères et sœurs se déplacent à domicile.


title: Histoire de la profession infirmière

text: En 1854-1856, les premiers infirmiers et infirmières sont des volontaires pendant la guerre de Crimée menées par Florence Nightingale et l'expérience a emporté un grand succès.


title: Histoire de la profession infirmière

text: Le mouvement de laïcisation amorcé en 1878 voit la disparition progressive des religieuses dans les hôpitaux où elles n'occupent généralement plus que les postes d'encadrement. Il faudra attendre l'émergence d'infirmières et infirmiers laïques et la Première Guerre mondiale pour que se mette définitivement en place un nouveau groupe social.


title: Histoire de la profession infirmière

text: En France, le président du Conseil Émile Combes fait publier en 1902 un décret obligeant les préfets à créer des écoles d'infirmiers et infirmières laïques. Désiré-Magloire Bourneville contribue à la professionnalisation du métier et n'appelle plus son « personnel servant ou domestique » mais « infirmiers ou infirmières ». Il préconise de recruter des personnes issues des classes populaires alors que Florence Nightingale souhaite que la profession ait le même niveau d'étude que les médecins.


title: Histoire de la profession infirmière

text: Jusqu'au début des années 1960, le recrutement s'effectue par des catégories très diverses qui sont antagonistes : infirmières croix rouge, religieuses, infirmières diplômées d'écoles. Après mai 1968, la profession se libérera des concepts d'obéissance, de soumission et de charité. Depuis la fin de la formation spécifique d'infirmier en psychiatrie en 1992, il n'existe en France qu'un seul diplôme d'infirmier : le diplôme d'État d'infirmier.


title: Variété (géométrie)

text: En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, la notion de variété peut être appréhendée intuitivement comme la généralisation de la classification qui établit qu'une courbe est une variété de dimension 1 et une surface est une variété de dimension 2. Une variété de dimension "n", où "n" désigne un entier naturel, est un espace topologique localement euclidien, c'est-à-dire dans lequel tout point appartient à une région qui s'apparente à un tel espace.


title: Variété (géométrie)

text: Il est difficile de dire qui le premier a étudié les courbes ou les surfaces en tant qu'objets mathématiques abstraits. Gauss disposait de la notion de surface abstraite, mais la notion générale de variété en dimension quelconque est due à Bernhard Riemann. Les variétés se sont imposées comme le cadre naturel de nombreux problèmes de mathématiques et de physique, permettant de travailler dans un cadre plus vaste que celui des espaces vectoriels. On donne parfois à ces derniers le nom d’"espaces plats" ou d’"espaces euclidiens" pour les distinguer des "espaces courbes" que sont les variétés.


title: Variété (géométrie)

text: La topologie algébrique cherche à classer les variétés (mais aussi des objets plus généraux) en en déterminant des invariants, c'est-à-dire des objets mathématiques — qui peuvent être des nombres réels — associés à chaque variété et qui en caractérisent la topologie. Certaines variétés sont munies de structures plus fortes : il est du ressort de la topologie différentielle, puis de la géométrie différentielle, de la géométrie riemannienne et de la géométrie symplectique de les étudier et de les classifier. Ces domaines sont encore aujourd'hui l'objet de nombreux travaux de recherches.


title: Variété (géométrie)

text: Les variétés constituent à la fois un cadre et un sujet d'étude communs pour les chercheurs en mathématiques et en physique. Elles se sont avérées les bons outils de travail pour formaliser la relativité générale d'Einstein et ont fortement servi dans la physique post-newtonienne, dont la théorie des cordes, la théorie des membranes... Les variétés sont devenues tout aussi utiles (voire indispensables) dans des travaux récents de mécanique classique. Les variétés sont à l'origine d'une hypothèse sérieuse pour expliquer les étonnantes capacités de généralisation des algorithmes d'apprentissage profond.


title: Variété (géométrie)

text: Les difficultés qui existent pour représenter sur un plan une surface sphérique comme la Terre sont un bon moyen d'appréhender la géométrie différentielle. C'est aussi la raison pour laquelle le vocabulaire de cette branche des mathématiques emprunte beaucoup à celui de la cartographie.


title: Variété (géométrie)

text: On se déplace sur la sphère terrestre en utilisant des cartes géographiques planes, rassemblées en un atlas. Au bord d'une carte figure l'information nécessaire pour y « recoller mentalement » la carte suivante. Pour opérer ce recollement, une certaine redondance dans l'information est nécessaire : ainsi la carte de l'Europe et celle de l'Asie peuvent toutes deux contenir Moscou. De manière similaire, il est possible de décrire une variété en utilisant une collection de cartes, réunies en un atlas mathématique, indiquant comment passer d'une carte à l'autre. Le globe terrestre fournit un exemple typique de variété, puisqu'il peut être représenté par une collection de cartes géographiques.


title: Variété (géométrie)

text: Une carte est une portion de la variété analogue à une portion d'espace vectoriel ; les changements de cartes indiquent comment ces portions de variétés se raccordent entre elles. Ainsi, pour décrire un cercle il est possible de prendre comme cartes deux arcs qui se chevauchent ; le changement de cartes constitue une information sur le recollement au niveau de la zone de chevauchement.


title: Variété (géométrie)

text: Il n'est généralement pas possible de décrire une variété à l'aide d'une seule carte, parce que la structure globale de la variété est différente de la structure simple de l'espace modèle. Par exemple, aucune carte « plate » ne peut décrire convenablement la Terre entière. Les variétés apparaissent comme des espaces topologiques et leurs topologies sont uniquement déterminées par la donnée de leurs atlas respectifs.


title: Variété (géométrie)

text: Suivant la nature des applications de changement de cartes, la variété possède une structure plus ou moins forte : variété topologique, variété différentielle, variété localement plate par exemple. Pour une variété topologique, la donnée d'un atlas équivaut simplement à la donnée d'une topologie dont les ouverts suffisamment petits s'identifient à l'espace plat. Pour les structures plus fines citées, l'introduction de cartes est indispensable pour les définir.


title: Variété (géométrie)

text: La première notion attachée à une variété est sa dimension. Elle désigne le nombre de paramètres indépendants qu'il faut se fixer pour positionner "localement" un point sur la variété.


title: Variété (géométrie)

text: Toutes les variétés de même dimension "n" — ou "n"-variétés — ont la même topologie locale. Par définition, une petite portion de ces variétés ressemble toujours à un espace vectoriel réel de dimension "n". Ainsi une petite portion de courbe est l'analogue courbe d'une droite, une petite portion de surface l'analogue courbe d'un plan, et ainsi de suite.


title: Variété (géométrie)

text: En revanche, les variétés se distinguent par leur aspect global. Par exemple sur la figure ci-contre, la variété rouge est formée de deux morceaux bornés (deux cercles), et il est visiblement impossible de déformer continûment celle-ci pour obtenir une des trois autres courbes.


title: Variété (géométrie)

text: Autre exemple, une sphère et un tore ne se ressemblent pas topologiquement. Tout cercle tracé sur une sphère la sépare en au moins deux morceaux disjoints ; cependant, il existe de nombreux cercles tracés sur un tore qui ne le séparent pas en morceaux disjoints. Plus généralement, la topologie peut se compliquer par la présence de « trous », d'« anses », etc.


title: Variété (géométrie)

text: De nombreux sous-ensembles particuliers du plan et de l'espace de dimension 3 peuvent être naturellement munis d'une structure de variétés : le cercle, le cylindre, la sphère, le ruban de Möbius, etc. ; on les appelle sous-variétés ou variétés plongées. Il existe en outre une notion de variété abstraite, qui sont construites sans qu'on les considère comme une sous-variété. L'exemple le plus simple est l'espace projectif de dimension "n" : c'est simplement l'ensemble de toutes les droites passant par l'origine dans un espace vectoriel de dimension "n "+ 1. Un autre exemple de variété abstraite est la bouteille de Klein, représentée ci-contre de façon imparfaite. Pour mieux l'appréhender visuellement, il faut imaginer un artisan verrier prenant une bouteille ordinaire, perçant son fond, allongeant le goulot, le courbant et le faisant traverser le flanc de la bouteille pour le raccorder au fond (chose importante, le goulot passe à travers le flanc « comme par magie », sans y faire de trou). La bouteille de Klein peut être décrite par un système de cartes et de coordonnées représenté ici par un maillage de méridiens et de parallèles, elle est donc de dimension 2.


title: Variété (géométrie)

text: Le théorème de plongement de Whitney montre que toute variété abstraite de dimension "n" peut être réalisée comme sous-variété d'un espace de dimension suffisamment grande, à savoir de dimension "2n". Ainsi la bouteille de Klein (de dimension 2) ne peut être plongée dans l'espace à trois dimensions, mais forme une sous-variété de l'espace à quatre dimensions.


title: Variété (géométrie)

text: L'introduction des variétés abstraites peut paraître superfétatoire au premier abord. Cependant, il y a des avantages à s'affranchir de la considération de l'« espace ambiant », celui dans lequel serait plongée la variété. En particulier, de nombreux "modes de construction" de nouvelles variétés à partir de variétés déjà définies, à l'exemple des quotients et des recollements topologiques (voir plus loin), ne font intervenir que les variétés elles-mêmes, et (surtout) pas l'espace qui pourrait éventuellement les entourer. Quand bien même en théorie il est possible de les réaliser comme sous-variétés d'un espace vectoriel, il ne serait pas judicieux de le faire en pratique, et cela ne présenterait aucun intérêt.


title: Variété (géométrie)

text: On se contente ici d'une esquisse du mouvement historique qui a conduit à l'émergence du concept général de variété ; pour une histoire plus détaillée de l'évolution et de l'application de ce concept dans diverses branches des mathématiques (ex : géométrie riemannienne, géométrie symplectique), on renvoie aux articles dédiés.


title: Variété (géométrie)

text: Il est difficile de dater quand précisément les questions de géométrie intrinsèque intéressèrent particulièrement les géomètres. Les Grecs posaient des problèmes invoquant les propriétés métriques d'un ensemble de points définis et positionnés "dans le plan" et "dans l'espace". L'intérêt était explicitement porté sur le point de vue extrinsèque.


title: Variété (géométrie)

text: On attribue traditionnellement à Euler la découverte en 1752 d'une propriété des polyèdres convexes. En notant respectivement "S", "A" et "F" les nombres de sommets, arêtes et faces, il démontre l'identité "S – A + F "= 2, identité connue aujourd'hui sous le nom de relation d'Euler. Le résultat est d'autant plus surprenant qu'il ne fait intervenir ni les longueurs, ni les aires. Il est en fait encore valable pour les nombres de sommets, faces et arêtes d'une triangulation de la sphère. C'est le premier exemple de calcul de la caractéristique d'Euler d'une surface.


title: Variété (géométrie)

text: En 1813, L'Huilier remarque que la formule d'Euler est modifiée pour un polyèdre non-convexe, par exemple ayant la forme d'un solide avec des trous (comme le tore, qui a un trou). Elle devient en notant "g" le nombre de trous. C'est là le premier calcul d'un invariant topologique permettant de classer les surfaces de l'espace. Cependant, le point de vue reste extrinsèque car les trous sont vus de l'extérieur. Comment une fourmi marchant sur une chambre à air peut-elle se représenter le trou ?


title: Variété (géométrie)

text: L'un des plus grands mathématiciens de son temps, Carl Friedrich Gauss, en s'intéressant à la géométrie des surfaces, établit un « résultat remarquable » (le theorema egregium) : la courbure de Gauss d'une surface de l'espace ne dépend pas de la façon dont celle-ci est plongée dans l'espace ambiant.


title: Variété (géométrie)

text: La formule de Gauss-Bonnet, pressentie par Gauss et démontrée par Pierre-Ossian Bonnet en 1848, donnera l'expression de la caractéristique d'Euler en termes de courbure, témoignant de l'imbrication des considérations géométriques et topologiques.


title: Variété (géométrie)

text: La géométrie non euclidienne naît de l'impossibilité de démontrer le cinquième postulat d'Euclide. On peut en trouver la première trace dans une tentative de démonstration par l'absurde de Saccheri en 1733. Gauss serait le premier à avoir compris la possibilité qu'il existe des géométries alternatives à celles d'Euclide. De telles géométries seront effectivement développées par Lobatchevski et Bolyai.


title: Variété (géométrie)

text: Le ruban de Möbius est introduit presque simultanément en 1858 par deux mathématiciens allemands August Ferdinand Möbius et Johann Benedict Listing. Il s'agit d'une surface de l'espace, facile à réaliser avec une bande de papier, et qui n'a qu'une seule face, une seule arête. C'est le premier exemple de surface non orientable.


title: Variété (géométrie)

text: Bernhard Riemann fut le premier à étendre de façon systématique la notion de surface à des objets de dimension plus grande, qu'il baptisa "Mannigfaltigkeit". Cette terminologie a d'ailleurs donné le terme anglais "manyfold" ou "manifold". Il en donne une description intuitive, une variété de dimension "n" étant un empilement continu de variétés de dimension "n-1". Notons que cette description intuitive n'est en fait valable que localement, c'est-à-dire au voisinage de chaque point de la variété, dans l'acception moderne de variété. Riemann utilise ce concept pour décrire l'ensemble des valeurs d'une variable soumise à certaines contraintes, comme l'ensemble des paramètres décrivant la position d'une figure dans l'espace.


title: Variété (géométrie)

text: Les variétés connaissent rapidement beaucoup d'applications, pour l'étude du prolongement analytique et des variétés abéliennes en analyse complexe, pour l'étude des flots différentiables avec l'application de premier retour de Poincaré, pour la définition des mécaniques hamiltonienne et lagrangienne en physique. En 1904, en étudiant les variétés de dimension trois, Henri Poincaré soulève un des problèmes les plus célèbres de la théorie des variétés, connu sous le nom de conjecture de Poincaré, et dont la preuve par Grigori Perelman a été validée en .


title: Variété (géométrie)

text: La notion de variété, bien qu'ayant trouvé une popularité certaine, restait floue. Hermann Weyl donna en 1912 une définition intrinsèque des variétés différentielles. Les publications des années 1930, notamment à l'occasion de la preuve du théorème de plongement par Hassler Whitney, établirent les résultats fondateurs de la théorie et donnèrent une popularité au nouvel objet.


title: Variété (géométrie)

text: Les applications des variétés en mathématiques sont nombreuses. Contentons-nous de quelques exemples. Pour commencer, l'analyse réelle classique et l'analyse fonctionnelle ont vu leur terrain d'investigation s'étendre logiquement des espaces vectoriels topologiques aux variétés. De même, les processus stochastiques à l'exemple du mouvement brownien s'étendent des espaces réels de dimension finie aux variétés. Aussi les variétés apparaissent-elles de manière épisodique en statistiques. Plus encore, des ensembles intéressants ont à la fois une structure algébrique et une structure de variété "compatibles". Ainsi l'ensemble des rotations dans un espace à 3 dimensions forme une 3-variété et un groupe. La théorie des groupes de Lie étudie ces variétés à propriétés algébriques. La théorie des espaces homogènes étudie leurs actions transitives.


title: Variété (géométrie)

text: En physique, l'étude des systèmes mécaniques fait entrer en ligne de compte l'ensemble des positions que le système est "a priori" susceptible d'adopter, appelé espace des configurations. Celui-ci possède souvent une structure de variété ; cependant, il peut ne pas avoir la structure plus rigide de variété différentielle : des singularités peuvent apparaître. La dimension de cette variété s'interprète comme le nombre de paramètres physiques indépendants qui permettent de décrire l'état du système.


title: Variété (géométrie)

text: Ainsi dans le cas du pendule double dans le plan, l'état du système est complètement décrit par la donnée de deux angles. On pourrait donc être tenté de dire que l'espace des configurations est Mais en réalité, l'état décrit par le couple d'angles (0, 0) est le même que celui décrit par (2π, 2π). Donc il s'agit d'identifier les côtés opposés du carré [0, 2π] × [0, 2π] deux à deux. On obtient ainsi un tore. De manière équivalente, un angle est paramétré de manière bijective par un point du cercle S, donc un couple d'angles est paramétré de manière bijective par un point de l'espace S × S, qui définit aussi le tore.


title: Variété (géométrie)

text: Le premier angle permet de désigner un point sur le cercle rouge, le second un point sur le cercle rose. Le point du tore désigné par les deux angles s'obtient à l'intersection de deux cercles de coordonnées (en gris).


title: Variété (géométrie)

text: Les lois de la physique s'interprètent alors comme des équations différentielles écrites sur la variété, et peuvent être traitées dans le cadre de la mécanique lagrangienne. Une reformulation, qui se présente comme un changement de coordonnées locales, débouche sur la mécanique hamiltonienne. Celle-ci utilise comme soubassement mathématique les variétés symplectiques, modélisant l'espace des phases.


title: Variété (géométrie)

text: L'espace des phases ne se résume pas à l'espace des configurations. La raison en est que la dynamique hamiltonienne fait intervenir des dérivées secondes. De même que dans l'étude des équations différentielles ordinaires d'ordre 2, on ajoute la vitesse à la position pour obtenir des équations ordinaires d'ordre 1. L'opération cependant est plus délicate ici et nécessite une bonne maîtrise des structures impliquées : elle fait appel à la théorie des fibrés vectoriels.


title: Variété (géométrie)

text: La physique théorique contemporaine utilise abondamment les variétés différentielles ; mentionnons par exemple :


title: Variété (géométrie)

text: Après la droite réelle, l'exemple le plus simple de variété est le cercle. Il existe essentiellement deux manières de l'introduire : on pense ici à un cercle tracé dans le plan euclidien ℝ, dont les coordonnées usuelles sont notées "x" et "y". Par une similitude, on se ramène à un cercle de centre (0, 0) et de rayon 1. Un tel cercle est implicitement défini par l'équation "x" + "y" = 1.


title: Variété (géométrie)

text: Localement, le cercle ressemble à une ligne, qui est à une dimension. En d'autres termes, une seule coordonnée suffit pour décrire un petit arc de cercle. Considérons par exemple la partie supérieure du cercle, pour laquelle la coordonnée "y" est positive (partie jaune sur la Figure 1). N'importe quel point de cette partie peut être décrit par la coordonnée "x". Il y a donc un homéomorphisme χ, qui relie la partie jaune du cercle à l'intervalle ouvert ]−1, 1[ en représentant chaque point du cercle par sa première coordonnée :


title: Variété (géométrie)

text: Une telle fonction est appelée une "carte". De manière similaire, il existe des cartes pour les parties inférieure (rouge), gauche (bleue) et droite (verte) du cercle. Ensemble, elles recouvrent la totalité du cercle et on dit que les quatre cartes forment un "atlas" de ce cercle.


title: Variété (géométrie)

text: Les deux cartes supérieure et gauche se recouvrent. Leur intersection est située dans le quart de cercle où les coordonnées "x" et "y" sont respectivement négative et positive. La carte χ réalise une bijection qui à ("x", "y") associe "x", partant de la zone de recouvrement vers l'intervalle ]–1, 0[.


title: Variété (géométrie)

text: La carte χ par laquelle ("x", "y") donne "y" associe à cette même zone de recouvrement l'intervalle ]0, 1[. Ainsi, il est possible de créer une fonction "T" de l'intervalle ]–1, 0[ vers ]0, 1[ :


title: Variété (géométrie)

text: Une telle fonction est appelée une "application de changement de carte" ou "de transition". Elle permet de passer du système de coordonnées "x" choisi pour la première carte au système de coordonnées "y" choisi pour la seconde.


title: Variété (géométrie)

text: Les cartes supérieure, inférieure, gauche et droite montrent que le cercle est une variété, mais ne constituent pas le seul atlas envisageable. Les cartes n'ont pas besoin d'être des projections géométriques, et le nombre de cartes est presque arbitraire.


title: Variété (géométrie)

text: Voici un autre exemple de description du cercle. Prenons pour point de base le point de coordonnées (-1, 0) et traçons les différentes droites issues de ce point ; la droite de pente "s" recoupe le cercle en un point unique. La correspondance entre la pente de la droite et les coordonnées du point d'intersection est dans un sens :


title: Variété (géométrie)

text: Pour fabriquer la deuxième carte on effectue une symétrie en prenant comme point de base (+1, 0) et comme pente "-t" avec :


title: Variété (géométrie)

text: Noter que chaque carte omet un point unique, soit (–1,0) pour "s" ou (+1,0) pour "t", donc aucune des cartes seule ne peut décrire complètement le cercle.


title: Variété (géométrie)

text: On vérifierait que les deux atlas présentés sont compatibles, c'est-à-dire qu'en regroupant les quatre cartes du premier et les deux cartes du second, on obtient un nouvel atlas, encore plus redondant. Chacun des deux atlas, ainsi que l'atlas global, définissent donc la même notion de repérage par carte et coordonnées locales, c'est-à-dire la même structure de variété. On montrerait encore, à l'aide du théorème des fonctions implicites que la donnée de l'équation formula_7 permet aussi de créer des systèmes de cartes locales adaptées.


title: Variété (géométrie)

text: On voit donc à travers ces exemples la flexibilité amenée par l'utilisation de cartes : on dispose d'un choix infini d'atlas compatibles sur le cercle, qu'il faut prendre adaptés à la géométrie du problème étudié. Cependant, à l'aide d'arguments topologiques on peut montrer qu'une carte seule ne peut jamais couvrir l'ensemble du cercle.


title: Variété (géométrie)

text: La méthode envisagée pour le premier atlas du cercle peut aisément être généralisée pour des sphères de dimension supérieure. La "n"-sphère S est une généralisation de l'idée de cercle (1-sphère) et de sphère (2-sphère) à des dimensions supérieures. Une "n"-sphère S peut être construite en considérant 2("n "+ 1) cartes correspondant aux deux projections sur chacun des "n "+ 1 hyperplans de coordonnées, et les applications de changement de cartes. Une carte pour un tel atlas est illustrée ci-contre dans le cas de la 2-sphère.


title: Variété (géométrie)

text: Dans le cas de la 2-sphère, c'est-à-dire du globe usuel, le deuxième atlas envisagé pour le cercle admet aussi une généralisation : c'est un atlas constitué des deux projections stéréographiques depuis les pôles nord et sud respectivement.


title: Variété (géométrie)

text: La définition précise des variétés nécessite l'usage d'un vocabulaire relativement spécialisé. Si on veut entrer dans les détails, une variété topologique de dimension "n, ou n"-variété, est un espace topologique séparé, localement homéomorphe à un espace vectoriel réel de dimension "n". On la supposera en outre généralement à base dénombrable d'ouverts. Ces hypothèses et d'autres sont évoquées dans l'article « Variété topologique » et motivées de façon détaillée dans sa version anglophone.


title: Variété (géométrie)

text: Dans l'exemple du cercle, il est possible de trouver des homéomorphismes locaux (les cartes) avec la droite réelle. En revanche sur la lemniscate de Bernoulli de la figure ci-contre, il n'existe pas de carte locale au voisinage du point double. En effet en prenant un voisinage en forme de disque, si petit soit-il, de ce point, le morceau de lemniscate est une croix ce qui en topologie est distinct d'un morceau de droite.


title: Variété (géométrie)

text: Les variétés peuvent être un seul morceau, ce qui se formalise par la notion de connexité, ou constituées de plusieurs morceaux portant le nom de composantes connexes.


title: Variété (géométrie)

text: Au moins dans le cas connexe, il est possible de ne pas fixer "a priori" de dimension dans la définition d'une variété. En effet dans ce cas le théorème d'invariance de la dimension de Brouwer (1912) montre que les homéomorphismes locaux définis sur les ouverts de l'espace topologique aboutissent tous à des espaces vectoriels d'une même dimension. On retrouve dans cette dimension commune la dimension de la variété.


title: Variété (géométrie)

text: Sur une variété topologique, il n'est pas possible de définir une notion de fonction différentiable. De ce fait, les méthodes fécondes et théorèmes importants issus du calcul différentiel sont inapplicables, alors même que certains — le théorème des fonctions implicites par exemple — prennent tout leur sens par une interprétation géométrique et sont, au fond, des énoncés destinés à l'étude des variétés.


title: Variété (géométrie)

text: Il est donc nécessaire d'introduire quelques restrictions à la notion de variété si on souhaite disposer de ce vaste champ de méthodes, notamment du concept de vecteur tangent ou de celui de sous-ensemble de mesure nulle. Pour essayer de donner une analogie, une simple variété topologique de dimension 1 est une courbe absolument quelconque ; sa structure très souple ne permet pas de distinguer un cercle d'une courbe fractale, par exemple un flocon de Koch. Au contraire, la ressemblance entre une variété différentielle de dimension 1 et un cercle est bien plus rigide.


title: Variété (géométrie)

text: Techniquement, la définition la plus usuellement rencontrée consiste à ajouter une information supplémentaire à la structure topologique de la variété ; on introduira un sous-ensemble de l'ensemble de tous les homéomorphismes entre un ouvert de la variété et un ouvert de ℝ qu'on appellera un atlas, les homéomorphismes appartenant à la variété étant appelés des cartes. On exige d'abord que les cartes couvrent toute la variété. Pour pouvoir ensuite définir des fonctions "p" fois différentiables sur la variété, il est nécessaire d'exiger une condition technique supplémentaire : que les applications de « changement de cartes » (obtenues par composition d'une carte et de la réciproque d'une autre) soient elles-mêmes "p" fois continûment différentiables. On parle alors de variété de classe C, ou de variété analytique si on requiert la ℝ-analyticité des changements de cartes.


title: Variété (géométrie)

text: De même que spécifier une structure différentielle particularise une variété topologique, et offre une nouvelle boîte à outils à l'utilisateur, on peut énumérer d'autres définitions particularisant cette fois le concept de variété différentielle.


title: Variété (géométrie)

text: Une même variété peut être construite de différentes manières, chacune mettant en valeur un aspect différent de la variété, menant par conséquent à un point de vue légèrement différent. Pour "construire" effectivement une variété, il faut disposer d'un matériau de base, d'une (ou d'un ensemble de) variétés. Parmi les modes de construction les plus connus, citons :


title: Variété (géométrie)

text: Dans les exemples proposés jusqu'ici, une partie d'un espace vectoriel était munie d'un atlas lui conférant une structure de variété. Il est possible également de considérer des variétés abstraites, c'est-à-dire définies à partir d'une collection d'applications formant un atlas abstrait. La variété est alors construite par assemblage, les ouverts de cartes servant de briques de base pour de telles constructions, et l'atlas donnant les instructions nécessaires aux raccordements.


title: Variété (géométrie)

text: Du fait qu'aucun espace extérieur n'est impliqué, cette construction mène à une vue intrinsèque de la variété.


title: Variété (géométrie)

text: Un bon exemple de construction intrinsèque est celle du cercle. En se donnant deux droites disjointes, l'une étant décrite par la coordonnée réelle "s", et l'autre par la coordonnée "t", on assemble les deux en collant (en identifiant) le point de coordonnée "t" de la deuxième sur le point de coordonnée de la première (le point de la seconde droite n'est identifié avec aucun point de la première droite ; de même pour le point de la première droite). Cette construction fournit un espace topologique, muni de cartes, qui peut facilement être identifié au cercle plongé dans le plan usuel, muni du deuxième atlas proposé dans l'exemple ci-dessus.


title: Variété (géométrie)

text: La "n"-sphère S est une généralisation de l'idée de cercle (1-sphère) et de sphère (2-sphere) à des dimensions supérieures. Une "n"-sphère S peut être construite en assemblant deux copies de ℝ. L'application de transition est alors définie par


title: Variété (géométrie)

text: La construction est la même en général : la variété est construite en partant d'un atlas abstrait, défini par des ouverts de ℝ et des applications de transition compatibles entre elles. Un point de la variété est une classe d'équivalence (opération de collage) de points qui sont associés par les cartes de transition. Cette construction par recollement conduit à une variété qui n'est pas incluse dans un espace de référence, mais définie par elle-même. Ce point de vue abstrait est purement "intrinsèque".


title: Variété (géométrie)

text: L'action d'assembler ces points en un seul, correspond à la notion d'espace quotient. Néanmoins des difficultés topologiques surgissent et il n'y a pas de raison "a priori" pour qu'un tel espace quotient soit une variété. C'est ce qui explique qu'on introduise des variantes de la notion de variétés, notamment orbifolds, CW-complexes, qui généralisent la notion de variété, ou variétés à singularités coniques, qui généralisent plus spécifiquement la notion de variété différentielle.


title: Variété (géométrie)

text: L'opération de passage au quotient est une des méthodes fondamentales de construction de variétés, qui dépasse la question du recollement. Une méthode classique d'identification des points est l'utilisation d'une action de groupe sur la variété. Deux points sont identifiés si l'un d'eux est envoyé sur l'autre par un élément du groupe. Sous certaines conditions topologiques, on peut affirmer que l'espace quotient forme une variété. C'est exactement le mode de construction des tores, des espaces projectifs réels, ou des espaces projectifs complexes (à partir d'un plan, d'une "n"-sphère et d'un espace vectoriel complexe respectivement). Cette construction connue sous le nom de variété quotient recouvre en partie les concepts de revêtement et d'espace homogène. Elle n'est pas davantage développée ici.


title: Variété (géométrie)

text: Un autre mode de définition classique des variétés est la donnée d'une équation, ou d'un système d'équations. Un des exemples les plus simples est celui du cercle unité, courbe du plan défini par l'équation formula_7 par exemple. La même équation dans l'espace à trois dimensions définit une surface de révolution, à savoir le cylindre. Plus généralement, dans l'espace formula_10, en se donnant une équation de la forme formula_11, et sous certaines conditions sur la fonction "F" (vecteur gradient jamais nul), on obtient une variété de dimension "n "– 1, ou hypersurface. Cet ensemble de valeurs s'appelle un ensemble de niveau. Le géographe a l'habitude de les manipuler en cartographiant une région montagneuse : sur les cartes, des courbes sont tracées indiquant des points d'égale altitude. Les cartes obtenues sont appelées cartes topographiques.


title: Variété (géométrie)

text: En algèbre linéaire, on définit un sous-espace vectoriel de codimension "p" à l'aide de "p" formes linéaires. Ces formes linéaires forment une famille linéairement indépendante du dual, et le sous-espace est le lieu des points d'annulation de ces "p" formes. De même, il est possible de considérer un système (non linéaire en général) de "p" équations à "n" inconnues. La situation locale revêt alors une analogie forte avec la résolution d'un système d'équations linéaires. Sous de bonnes hypothèses (à savoir, l'indépendance linéaire des vecteurs gradients), l'ensemble des solutions du système forme une variété de dimension "n-p". L'outil de base pour étudier ces questions est le théorème des fonctions implicites, avec les corollaires associés.


title: Variété (géométrie)

text: Si la condition donnée est locale, c'est que la vérification qu'un ensemble est une sous-variété est locale. De fait, le discours se généralise au monde des variétés. Sous de bonnes hypothèses, un ensemble de fonctions sur une variété permettent d'en définir des sous-variétés. Cette technique est couramment utilisée en pratique.


title: Variété (géométrie)

text: La définition des variétés interdit la présence de « bord » comme dans le cas d'un disque plein par exemple. Il est possible de définir cependant une notion de « variété à bord », en acceptant des cartes ayant pour domaine des ouverts de ℝ×ℝ. Le bord d'une telle variété à bord sera une variété de dimension "n "– 1. Ainsi une sphère pleine, ou boule, est une 3-variété à bord, dont le bord est une 2-variété, la sphère.


title: Variété (géométrie)

text: Deux variétés à bords peuvent être assemblées en les collant le long d'un bord. Si ceci est fait correctement, le résultat est aussi une variété. De la même manière, deux composantes du bord d'une même variété peuvent être collées. De nouveau, l'assemblage est défini par un homéomorphisme permettant d'identifier les points d'un bord à ceux de l'autre.


title: Variété (géométrie)

text: Un cylindre fini peut être construit en partant d'un carré [0,1] × [0, 1] et en cousant ensemble deux côtés opposés. Les deux cercles qui forment le bord de la figure obtenue peuvent ensuite être repliés l'un sur l'autre pour former un tore ou une bouteille de Klein.


title: Variété (géométrie)

text: L'opération de topologie amusante la plus célèbre est certainement celle qui consiste à recoller deux bords d'un carré, mais en renversant l'orientation ; on n'obtient plus alors un cylindre mais un anneau de Möbius, aussi appelé bande de Möbius ou ruban de Möbius, qui est l'exemple standard pour illustrer la notion de variété non orientable. Il s'agit d'une variété à bord dont le bord est un cercle. En recollant un disque le long de ce cercle, on obtient un plan projectif réel. Si le ruban de Möbius peut être visualisé dans ℝ, le recollement ne peut pas être effectué dans l'espace tridimensionnel : un quatrième degré de liberté est indispensable.


title: Variété (géométrie)

text: De même que le produit cartésien d'espaces vectoriels est un espace vectoriel, le produit cartésien de variétés est aussi une variété. Sa topologie est la topologie produit et un produit cartésien de cartes est par convention une carte pour le produit. Ainsi, un atlas de ce qu'on appelle la variété produit peut être construit à l'aide d'un atlas de chaque facteurs. Si ces atlas définissent une structure différentielle sur les facteurs, l'atlas correspondant définit une structure différentielle sur la variété produit. Ceci est vrai pour toute autre structure définie à l'aide des facteurs. La dimension de la variété produit est la somme des dimensions de ses facteurs. Les produits cartésiens peuvent être utilisés pour construire des tores et des cylindres finis, par exemple : S × S et S × [0, 1], respectivement.


title: Variété (géométrie)

text: Toutes les variétés ne peuvent pas être écrites à l'aide d'un produit, mais certaines peuvent s'écrire comme une réunion disjointe d'un ensemble de sous-variétés qui a localement la structure d'un produit ; elles portent le nom de feuilletages. Par exemple, l'hypersphère de dimension trois admet un feuilletage remarquable en cercles (disjoints), connu sous le nom de fibration de Hopf, du nom du topologue Heinz Hopf.


title: Variété (géométrie)

text: Pour mettre en œuvre la géométrie sur des variétés, il est souvent requis d'ajouter des structures additionnelles à ces espaces, tels que ceux vus plus haut pour les variétés différentielles. Il existe de nombreuses autres possibilités, dépendant du type de géométrie qu'on cherche à introduire :


title: Variété (géométrie)

text: Un problème central en mathématiques concerne la possibilité d'identifier deux objets ensemblistement distincts mais dont les propriétés sont semblables. En ce sens, deux variétés sont identifiées lorsqu'il existe une bijection entre elles qui soit compatible avec la topologie. Une telle bijection est appelée homéomorphisme. Par exemple, le cercle considéré comme sous-variété du plan, ou le cercle abstrait construit par recollement, s'ils sont ensemblistement différents, sont homéomorphes. Du point de vue de la topologie, la surface d'un ballon de foot ou d'un ballon de rugby est la même. Les différences entre ces deux objets sont de nature métrique.


title: Variété (géométrie)

text: Le problème général devient : quand peut-on identifier deux variétés topologiques à homéomorphisme près ? Deux variétés différentielles à difféomorphisme près ?


title: Variété (géométrie)

text: Les premiers résultats dans ce sens, très partiels, concernent la classification des surfaces, aujourd'hui bien connue. Cette classification repose sur la caractéristique d'Euler, et le genre. Cette caractéristique se généralise aisément aux dimensions supérieures, grâce à la notion de faces de dimension supérieure. Ce qui importe est alors la configuration des triangulations des variétés, et la caractéristique d'Euler ne code qu'une partie des informations sur ces triangulations. Pour avoir accès aux informations restantes, il faut abandonner l'idée d'invariants numériques, et étudier des invariants algébriques associés aux triangulations : c'est la naissance des méthodes homologiques et cohomologiques, suivant les idées de Poincaré sur l'homologie singulière. Des méthodes homotopiques, dont le niveau élémentaire est l'étude de la simple connexité, apportent aussi des réponses.


title: Variété (géométrie)

text: Ces méthodes s'adaptent, dans un certain sens, en considérant d'autres cohomologies, aux types de variété plus rigides : par exemple, la cohomologie de De Rham pour l'étude des variétés différentielles. Les invariants obtenus ne forment en général pas des systèmes complets d'invariants : c'est-à-dire que deux variétés peuvent topologiquement se distinguer, alors qu'elles sont cohomologiquement semblables, au sens où leurs groupes de cohomologie sont identiques.


title: Variété (géométrie)

text: Un autre problème intéressant de classification provient des déformations des sous-variétés plongées : on ne s'autorise alors plus n'importe quelle déformation, mais seulement certaines qui respectent la topologie de l'espace sous-jacent, les homotopies, ou bien les isotopies, suivant le problème considéré. À nouveau, des méthodes cohomologiques et homotopiques sont utiles. On obtient des classifications plus fines, où le nœud trèfle, et le cercle, confondues homéomorphiquement, sont cette fois bien distincts. La théorie des nœuds notamment s'intéresse au plongement d'un cercle dans l'espace à trois dimensions, ou dans la sphère tridimensionnelle.


title: Variété (géométrie)

text: Toujours plus en avant, la théorie des nœuds a permis de donner la construction effective des variétés de dimension 3. En quelques mots, toute variété compacte de dimension 3 s'obtient en effectuant un nombre fini d'opérations sur la sphère tridimensionnelle au voisinage d'un nombre fini de nœuds disjoints. Pour chaque nœud, il s'agit d'en retirer un voisinage, un tore plein, et de le recoller différemment. La topologie de la variété ne dépend que de la classe d'homotopie des données de recollement, qui sont des homéomorphismes du tore. L'argumentation est détaillée dans l'article 3-variété, ou l'ouvrage de Dale Rolfsen. L'utilisation d'un unique nœud trivial donne naissance à un ensemble de variétés compactes de dimension 3, appelées espaces lenticulaires.


title: Variété (géométrie)

text: Lors d'études plus approfondies sur la topologie des variétés sont rencontrées des discussions récurrentes portant sur la dimension des variétés ou la rigidité des structures :


title: Blaise Diagne

text: Blaise Diagne est un homme politique français, né le à Gorée (Quatre communes) au Sénégal et mort le à Cambo-les-Bains (Pyrénées-Atlantiques) en France. Il est le premier député africain élu à la Chambre des députés française, en 1914. En effet, jusqu'à cette date, les précédents députés noirs au parlement de la France étaient originaires des colonies françaises des Amériques. Il est également le premier Africain sous-secrétaire d'État aux Colonies. Baignant dans une culture politique assimilationniste, il doit sa renommée à sa volonté de faire participer pleinement les Africains à la politique française aussi bien durant la mise en place des structures coloniales qu'une fois ces dernières installées. Il a également joué un rôle important en faveur des droits des Africains engagés dans les troupes coloniales.


title: Blaise Diagne

text: Né d'un père lébou, cuisinier et marin, Niokhor Diagne, et d'une mère manjaque Gnagna Anthony Preira, Blaise Diagne est très tôt adopté par la famille Crespin, une famille métisse de notables de Gorée et de Saint-Louis qui lui donne le prénom de Blaise. Bien que né avant la conférence de Berlin, en grandissant à Gorée, une des Quatre communes qu'il qualifiera plus tard de « berceau de la France africaine », il bénéficie de plein droit de la nationalité française. Ce statut de citoyen français lui permettra d'accéder à d'importantes fonctions dans l'administration coloniale, une fois celle-ci mise en place. Il meurt le , dans une maison de santé de Cambo-les-Bains, où il soignait une tuberculose contractée sous le climat parisien.


title: Blaise Diagne

text: Il apprend très tôt à lire, à écrire et bénéficie d’une éducation solide qui s'appuie sur d'incontestables qualités intellectuelles. Il figure ainsi au palmarès de la distribution des prix de l'école laïque de Saint-Louis en . La même année débute la conférence de Berlin qui détermine, entre puissances coloniales, les conditions permettant la revendication de territoires colonisés. Les guerres coloniales se poursuivent et avec elles les incursions militaires françaises, Lat Dior est tué le .


title: Blaise Diagne

text: Boursier du gouvernement français, le jeune Diagne va poursuivre ses études en France à Aix-en-Provence. Pendant ce temps, la colonisation progresse en Afrique de l'Ouest. Malade, Blaise Diagne revient à Saint‑Louis pour suivre les cours de l'école secondaire Duval où il sera major de sa promotion en 1890.


title: Blaise Diagne

text: Il entreprend avec succès le concours de fonctionnaire des douanes en 1891. En 1892, la France entame la colonisation du Dahomey (actuel Bénin) et Blaise Diagne, alors âgé de obtient un poste dans l’administration de la colonie. L'Afrique-Occidentale française (AOF) est créée le par l'union des colonies du Sénégal, du Soudan français, de la Guinée et de la Côte d'Ivoire.


title: Blaise Diagne

text: Blaise Diagne est élu en 1914 député du Sénégal, bénéficiant du statut des « quatre vieilles » communes (Rufisque, Gorée, Saint-Louis et Dakar). Il n'est pas le premier Africain de l'empire colonial français à siéger au Palais Bourbon (son prédécesseur François Carpot, métis de Saint-Louis, était tout aussi africain). Il est en revanche le premier député Africain noir à la Chambre (à ne pas confondre avec l'Assemblée nationale) mais pas le premier député noir dans cette chambre. Il y rencontre Gratien Candace, député de la Guadeloupe, élu à la Chambre des députés en 1912. Il y est surnommé « la voix de l'Afrique ». Il obtient pour les habitants des quatre communes la citoyenneté en échange de leur conscription en 1916. Membre du groupe Union républicaine-socialiste animé par Maurice Viollette, franc-maçon lui aussi, il est réélu sans interruption jusqu'à sa mort, malgré des campagnes systématiquement hostiles de ses adversaires, qui n'aiment pas voir un Africain à la Chambre, d'autant que celui-ci est aussi le maire de Dakar.


title: Blaise Diagne

text: En 1917, lors d'un débat en comité secret, après l'échec de l'offensive Nivelle au chemin des Dames (), le député Diagne expose devant les députés comment les troupes noires furent utilisées par l'état-major français (Mangin) comme de la chair à canon.


title: Blaise Diagne

text: La même année, il défend la pleine citoyenneté des électeurs du Sénégal, déclarant ainsi : « Si nous pouvons être ici pour légiférer, c'est que nous sommes citoyens français et si nous le sommes nous réclamons le droit de servir au même titre que tous les citoyens français ».


title: Blaise Diagne

text: Blaise Diagne adhère à la Section française de l'Internationale ouvrière (SFIO) en , mais il y reste moins d'une année et demi. Il est alors nommé par Clemenceau commissaire général chargé du recrutement indigène en Afrique, en même temps que deux autres socialistes, Compère-Morel, à l'Agriculture, et Fernand Bouisson, à la Marine marchande. L'action de Diagne permit un recrutement plus efficace en 1918 : pour l'AOF et pour l'AEF. Mais Blaise Diagne démissionne du parti et du groupe socialiste début , refusant de quitter ses fonctions de commissaire du gouvernement après la répression de la manifestation du . Il reste commissaire jusqu'en octobre 1921 (gouvernements Clemenceau, Millerand, Leygues et Briand).


title: Blaise Diagne

text: Il revient ensuite au Parti républicain-socialiste, puis passe chez les indépendants de Georges Mandel. Il devient officiellement le premier ministre africain de la République française comme sous-secrétaire d'État aux Colonies de à , dans les trois premiers gouvernements de Pierre Laval.


title: Blaise Diagne

text: Blaise Diagne devient en commissaire général chargé du recrutement indigène, qui, sans le titre, lui donne des responsabilités de nature gouvernementale. Il mène avec succès des missions en Afrique-Occidentale française pour organiser le recrutement militaire en cette période de guerre. De février à et de Dakar à Bamako, il essaye de convaincre les habitants de l'AOF et de l'AEF de venir se battre en France tout en leur promettant des médailles militaires, un certificat de bien manger, un habillement neuf et surtout la citoyenneté française aux combattants après la guerre. Les primes aux recruteurs sont aussi fortement augmentées. Il réussit à mobiliser en Afrique-Occidentale française, AOF, et en Afrique-Équatoriale française, AEF.


title: Blaise Diagne

text: Diagne profita des conditions spéciales du conflit pour arracher au Parlement la loi du qui reconnaissait définitivement la citoyenneté française aux originaires des « quatre communes », sans les soumettre au Code civil ni leur faire perdre leur statut personnel.


title: Blaise Diagne

text: Blaise Diagne est initié en au sein de la loge maçonnique du Grand Orient de France à Saint-Denis. À Paris, il est affilié à la loge dont il devient vénérable maître. Il est le premier Africain à siéger au conseil de l'ordre de l'obédience de 1922 à 1925.


title: Blaise Diagne

text: Il bénéficie de ce parrainage jusqu'à sa mort en 1934, tout en étant largement soutenu par les milieux parlementaires auxquels il renvoie, par effet de miroir, l'image du parfait assimilé. En revanche, les nationalistes sénégalais (surtout les communistes de l'UIC comme Lamine Senghor) le prennent pour cible.


title: Blaise Diagne

text: Le souvenir du premier Africain ministre de la République française reste vivant au Sénégal. Plusieurs lieux publics portent son nom : l'avenue Blaise-Diagne, une des plus grandes de Dakar, le lycée Blaise-Diagne de Dakar. Inauguré en 2017, sous la présidence de Abdoulaye Wade, l'aéroport international du Sénégal, situé à Diass près de Thiès, à une quarantaine de kilomètres de Dakar, porte le nom de Blaise Diagne.


title: Blaise Diagne

text: Alors que l'Afrique de l'Ouest et l'Afrique centrale étaient en voie de colonisation, Blaise Diagne défendait la participation des Africains à la politique du pays colonisateur. Il fit preuve de la même implication durant la période coloniale jusqu'à sa mort. Il a mené pendant toute sa carrière une action en faveur des colonisés d'Afrique pour les aider à s'insérer pleinement dans la société française.


title: Blaise Diagne

text: Il demandait aussi un traitement équitable des minorités ethniques au sein de l'armée française. À la Chambre, en , Blaise Diagne proteste contre le « massacre » des populations d'origine africaine qui se commettrait lors de la Première Guerre mondiale, accréditant ainsi l'idée d'une utilisation des troupes coloniales comme chair à canon.


title: Diaspora maghrébine

text: La diaspora maghrébine est constituée par les personnes vivant à l'extérieur du Maghreb, qui y sont nées ou, selon les définitions, dont un ascendant y est né. Elle est la conséquence directe du fort taux d'émigration qu'a connu le Maghreb depuis la décolonisation ayant eu lieu entre 1956 pour la Tunisie et le Maroc, et 1962 pour l'Algérie. Depuis ces événements l’immigration maghrébine explosait réellement.


title: Diaspora maghrébine

text: L’immigration maghrébine en France est une immigration ancienne, mais c’est dans les années 1950 que l’immigration maghrébine explose réellement.


title: Diaspora maghrébine

text: Dans les années 1960 et 1970, la conjoncture économique favorable qu'a connue la France a favorisé l'immigration, en particulier en provenance du Maghreb. En conséquence, les personnes d'origine maghrébine représentent 8,7 % de la population française des moins de en 2011 et 16 % des enfants nés en 2006-2008 ont au moins un grand-parent maghrébin.


title: Diaspora maghrébine

text: En 2015, Michèle Tribalat, dans une nouvelle estimation des populations d'origine étrangère en 2011, estime à au moins le nombre de personnes d'origine maghrébine sur trois générations en 2011 selon la répartition suivante :


title: Diaspora maghrébine

text: Par ailleurs, selon cette même étude de Michèle Tribalat, les personnes d'origine maghrébine sur trois générations représentent 8,7 % de la population française des moins de en 2011.


title: Diaspora maghrébine

text: En 2019, l'Insee indique qu'il y avait en France 1,95 million immigrés du Maghreb ainsi que 2,55 millions de descendants directs nés en France d'au moins un parent maghrébin soit au total 4,5 millions auxquels s'ajoutent les petits-enfants d'immigrés maghrébins estimés à en 2011 par Michèle Tribalat soit au total un peu plus de 5,3 millions de personnes d'origine maghrébine sur trois générations.


title: Diaspora maghrébine

text: "Sources : Insee pour les immigrés et la génération née en France (2019). M.Tribalat pour la génération née en France (2011).


title: Diaspora maghrébine

text: Pour l'historien Pierre Vermeren, spécialiste du Maghreb, selon des estimations hautes, en France on « compterait d'Algériens et descendants, autour de de Marocains, de Tunisiens ». En extrapolant à partir des chiffres de l'INSEE de 2008, il estime à « sur quatre générations » les résidents en France nés au Maroc ou descendants de personnes nées au Maroc.


title: Diaspora maghrébine

text: Dans une étude réalisée à partir des données du recensement de 1999, ainsi que d'une enquête complémentaire nommée "Étude de l’histoire familiale (EHF)", la démographe de l'INED Michèle Tribalat estime en 2004 à près de le nombre de personnes nées au Maghreb ou en descendant sur trois générations en 1999.


title: Diaspora maghrébine

text: De son côté, l'Institut Montaigne, plateforme de réflexion, de propositions et d'expérimentations consacrée aux politiques publiques en France, estime, dans un de ses rapports ayant pour objectif la promotion du concept de discrimination positive et publié en 2004, qu'à partir des données du recensement de 1999 il y aurait en France entre d'habitants d'origine maghrébine sur quatre générations, dont auraient la nationalité française.


title: Diaspora maghrébine

text: Selon Hakim El Karoui qui a dirigé le rapport de l’Institut Montaigne sur la politique arabe de la France (août 2017), six millions de personnes, immigrés de première, deuxième ou troisième génération, ont un lien direct avec le Maghreb.


title: Diaspora maghrébine

text: D'après l"'Aida", l'Association internationale de la diaspora algérienne à l’étranger, créée à Londres en 2012, les Algériens ou personnes d'origine algérienne vivant en France en 2012 serait au nombre de . Le nombre de Tunisiens résidant en France serait évalué à un peu plus de par l'Office des Tunisiens à l'étranger.


title: Diaspora maghrébine

text: Selon les statistiques 2013 issues de l'Office de la migration internationale des Nations unies, Algériens ont quitté l'Algérie sous Bouteflika contre dans la décennie 90.


title: Diaspora maghrébine

text: Pour Hugues Lagrange, « la communauté maghrébine […] présente sur le sol français depuis trois, voire quatre générations […] représente un groupe de près de six millions de personnes » en 2015.


title: Diaspora maghrébine

text: 9,2 % des enfants nés en 2013 en France métropolitaine, soit sur , ont un père né au Maghreb, avec la plus forte proportion dans les départements du Vaucluse (21,3 %), de Seine-Saint-Denis (21,1 %), de la Corse (18,4 %), de l'Hérault (17,2 %), des Alpes-Maritimes (15,7 %). Au niveau des régions, c'est en Corse que l'on trouve la plus forte proportion avec 18,4 % devant les régions Provence-Alpes-Côte d'Azur (15,0 %), Languedoc-Roussillon (14,3 %), Île-de-France (13,7 %) et Rhône-Alpes (10,1 %).


title: Diaspora maghrébine

text: Sur trois générations, 16 % des nouveau-nés en France métropolitaine entre 2006 et 2008, soit environ chaque année, ont au moins un grand-parent maghrébin, avec des variations importantes par région. La moitié sont d'ascendance mixte.


title: Diaspora maghrébine

text: Selon une étude du Secrétariat général de l'immigration, parmi les (masters, grandes écoles et doctorat) en France en 2012, qui ne sont pas de nationalité française, on trouve des nationaux de l'Algérie et du Maroc avec chacun et de Tunisie avec . Intercalés entre ces trois pays on trouve des nationaux du Royaume-Uni () et de l'Allemagne ().


title: Diaspora maghrébine

text: Selon une étude menée en 2008 par l'Agence nationale pour la cohésion sociale et l'égalité des chances (ACSE) et le cabinet CJDIM, citée par le magazine "Le Maghreb, le quotidien de l'économie", plus de d'« origine maghrébine » sont installés à Paris (, , ) sur un total de , soit 10 % des entrepreneurs d’Île-de-France. Ils représenteraient 5,9 % de l'ensemble des chefs d'entreprise en France. Le secteur principal des investisseurs maghrébins serait essentiellement le commerce de gros et de détails (30,04 %). La diaspora algérienne est plutôt orientée vers l'hôtellerie et la restauration, la diaspora marocaine vers l'immobilier et la diaspora tunisienne vers le commerce et la construction.


title: Diaspora maghrébine

text: Selon le Conseil de l'Ordre des médecins en France, 8,5 % des inscrits au tableau de l'Ordre au sont nés dans un pays du Maghreb.


title: Diaspora maghrébine

text: Selon Will Higbee, maître de conférences en français à Exeter, parmi les vingt acteurs français ayant totalisé le plus grand nombre d'entrées en France au cours des années 2000, cinq seraient des « Maghrébins-français » : Kad Merad, Dany Boon, Samy Naceri, Zinedine Soualem et Gad Elmaleh. Un peu plus loin figurent Jamel Debbouze et Roschdy Zem.


title: Diaspora maghrébine

text: Pour Hugues Lagrange, les jeunes issus de l’immigration maghrébine, s’ils souffrent plus du chômage, « ne sont pas, dans leur grande majorité, moins bien insérés dans la société française que les jeunes issus des milieux populaires autochtones. Beaucoup des descendants ont aujourd’hui acquis des positions à la fois dans le monde économique, le monde associatif, la sphère administrative et, dans une moindre mesure, des responsabilités électives au niveau local ».


title: Diaspora maghrébine

text: Selon l'historien Pierre Vermeren, il y a environ de personnes d'origine maghrébine en Europe de l'Ouest en 2016.


title: Diaspora maghrébine

text: En dehors de la France, Bruxelles, Anvers et Amsterdam sont les villes principales qui abritent des communes avec des populations à majorité maghrébine, comme à Molenbeek-Saint-Jean, Borgerhout ou encore Amsterdam-West.


title: Diaspora maghrébine

text: Selon l'estimation de l'association Aida, en 2011, les personnes nées au Maghreb et leurs descendants seraient de soit 7,6 % de la population belge venant du Maroc, venant d'Algérieet venant de Tunisie pour l'année 2012. Ils constitueraient 4,5 % de la population belge. Selon un article du journal belge Lalibre et l'Université catholique de Louvain, on compterait jusqu'à en Belgique en 2016. Une écrasante majorité de la diaspora maghrébine est composé de la communauté marocaine qui domine les communautés étrangères dans les villes de Bruxelles et d'Anvers. Quant aux Algériens, la majorité est originaire de l'immigration algérienne en France.


title: Diaspora maghrébine

text: Selon le Bureau central de la statistique, les Marocains seraient pas plus de aux Pays-Bas. Minoritaires, les Tunisiens suivent avec 9 928 et les Algériens 8 338 d'après le Raad voor Maatschappelijke Ontwikkeling (RMO). Comme en Belgique, la majorité des Tunisiens et Algériens installés aux Pays-Bas sont essentiellement issus de l'immigration algérienne et tunisienne en France.


title: Diaspora maghrébine

text: Le grand nombre de Marocains aux Pays-Bas s'explique avec l'histoire des Marocains aux Pays-Bas qui remonte jusqu'aux années 40'. Les Marocains étaient peu nombreux durant la première vague d'immigration aux Pays-Bas, entre la moitié des années 1940 et la moitié des années 1960, constituée essentiellement d'individus en provenance des anciennes colonies néerlandaises. La première génération d'allochtones marocains est constituée d'individus venus en provenance du nord du Maroc et notamment de Tétouan, Tanger, Al Hoceïma, Nador et les campagnes qui autourent les montagnes du Rif. Ils arrivent aux Pays-Bas dans les années 1960 et 1970 pour répondre aux appels de main-d’œuvre, et de leur famille, dans le cadre de la politique du regroupement familial. Le recrutement de travailleurs marocains s'est poursuivi jusqu'en 1973. À cette date, 22000 Marocains vivaient dans le pays. Malgré le fait que les migrants marocains n'étaient qu'invités à travailler aux Pays-Bas avant de retourner chez eux, leur nombre n'a pas diminué. Aussi, en 1980, on compte dans le pays 72 000 allochtones marocains ; 168 000 en 1990 ; et 335 127 en 2008. Outre la politique du regroupement familial, le taux de natalité élevé des immigrés marocains a contribué au doublement de leur nombre entre 1990 et 2008. Ainsi, en 2008, 47 % des Marocains vivant aux Pays-Bas sont nés aux Pays-Bas. Aujourd'hui, les villes essentiellement peuplés de Maghrébins sont Amsterdam, Rotterdam, Utrecht, La Haye et Eindhoven.


title: Diaspora maghrébine

text: L'Office fédéral des Migrations publie une étude sur les flux en provenance du Maroc, de la Tunisie et de l'Algérie.


title: Diaspora maghrébine

text: Montréal est connue pour être la ville à plus forte concentration maghrébine en Amérique du Nord et aussi pour avoir un quartier entièrement réservé aux Maghrébins nommé « Petit Maghreb », .


title: Diaspora maghrébine

text: En raison du nombre de personnes en situation irrégulière, les statistiques officielles ne semblent pas refléter les données réelles des flux migratoires.


title: Couronne d'Aragon

text: La couronne d'Aragon est une union dynastique qui a réuni de nombreux royaumes méditerranéens au Moyen Âge et à l'époque moderne. On considère généralement que cette couronne naît de l'union du royaume d'Aragon et du comté de Barcelone par le mariage de Pétronille d'Aragon et de Raimond-Bérenger IV de Barcelone en 1137. Elle constituait une confédération de royaumes réputés indépendants, disposant chacun de ses propres lois et institutions sous la domination d'un prince unique, titré roi d'Aragon et de Sicile. Après plus de deux siècles d'union, la couronne d'Aragon et la couronne de Castille sont unifiées en 1715 et 1716 par les décrets de "Nueva Planta" au sein d'un État centralisé.


title: Couronne d'Aragon

text: La mort en 1134, à la bataille de Fraga, du roi Alphonse d'Aragon, dit le Batailleur provoque une crise de succession dans le royaume. Le testament de ce roi guerrier, sans descendance à la suite de ses démêlés conjugaux avec Urraque de Castille et diplomatico-religieux avec le pape Pascal II, stipule qu'il lègue son royaume aux ordres militaires du Temple, de l'Hôpital et du Saint-Sépulcre. Ce testament est logiquement et vigoureusement contesté par la noblesse aragonaise qui place sur le trône le frère puîné du défunt monarque, Ramire, qui règne sous le nom de Ramire II, dit le Moine. La noblesse navarraise profite de la situation pour reprendre l'indépendance perdue en 1074 en donnant le trône du royaume de Navarre à García, petit-fils du "Cid Campeador".


title: Couronne d'Aragon

text: De son mariage avec Agnès de Poitiers, Ramire II a une fille, Pétronille, dont la main est tout d'abord sollicitée par le roi de Castille et León Alphonse VII l'Empereur mais le roi d'Aragon décide finalement de l'unir au comte Raimond-Bérenger IV de Barcelone, dit le Saint. Ce dernier, devenu "prince d'Aragon" prend la tête des deux États, permettant à Ramire II de se retirer de la vie politique.


title: Couronne d'Aragon

text: Le fils de Raimond-Béranger et de Pétronille, Alphonse II d'Aragon devient le premier roi d'Aragon à porter également la couronne comtale de Barcelone, donnant ainsi naissance à la couronne d'Aragon.


title: Couronne d'Aragon

text: Contenue à l'est de la péninsule par le puissant royaume de Castille, la couronne cherche à s'étendre au sud, au détriment des Maures, et au nord, vers le royaume de France. En 1213, la mort inattendue de Pierre II d'Aragon à la bataille de Muret, alors qu'il apporte une aide militaire à ses vassaux de Toulouse, du Béarn, de Comminges lors de la croisade des albigeois, sonne le glas des ambitions de l'Aragon sur le Languedoc. Le traité de Corbeil, signé en 1258 entre les représentants de Saint Louis et Jacques d'Aragon, confirme le contrôle du royaume de France sur le Languedoc.


title: Couronne d'Aragon

text: Le traité de Cazola (1179) entre les royaumes de Castille et d'Aragon, assigne à la couronne la reconquête des terres d'al-Andalus au sud de la Catalogne. Le roi Jacques , qui y gagne son surnom de « le Conquérant », mène à bien la conquête des Baléares (1229) et celui de Valence (1232). Malgré son intervention dans le royaume de Murcie (1266), celui-ci est intégré à la couronne de Castille non sans que l'Aragon persiste à en revendiquer la souveraineté.


title: Couronne d'Aragon

text: Une fois achevée sa part dans la "Reconquista", la couronne se tourne vers la Méditerranée pour sa nouvelle expansion territoriale. Pierre III d'Aragon, marié en 1262 avec Constance de Hohenstaufen, héritier du royaume de Sicile, profite — et même probablement encourage en sous-main — de la révolte populaire contre Charles d'Anjou, déclenchée par les Vêpres siciliennes (1282), pour prendre possession du royaume de Sicile. Quelques années plus tard, il doit faire face, avec succès, à l'offensive du roi de France Philippe III le Hardi qui déclenche la croisade d'Aragon à l'instigation du pape Martin IV. Cette victoire permet au fils de Pierre III, Alphonse III, de conquérir Minorque et de confisquer (1286) le royaume de Majorque dont le souverain, Jacques II, a appuyé le roi de France dans son entreprise contre Pierre III. Le royaume est restitué en 1295 par le traité d'Anagni mais son souverain reste vassal du roi d'Aragon.


title: Couronne d'Aragon

text: Malgré les traités de Cazola puis d'Almizra (1244), le contrôle des territoires reconquis au sud du royaume de Valence fait l'objet de frictions entre les couronnes de Castille et d'Aragon. Il faut attendre la sentence arbitrale de Torrellas (1304), complétée par le traité d'Elche (1305), pour figer la frontière du royaume de Murcie (dévolu à la Castille) et du royaume de Valence (qui reste sous contrôle aragonais après avoir amputé celui de Murcie de la région d'Alicante).


title: Couronne d'Aragon

text: Les royaumes de la couronne d'Aragon sont en union personnelle dans une même dynastie, ils sont donc réputés indépendants et souverains, même s'ils possèdent un même monarque, par ailleurs roi de Castille. Chacun conserve de ce fait son indépendance juridique, institutionnelle et financière, même si la monarchie organise un conseil d'Aragon, chargé de conseiller le prince au niveau central sur ces domaines. Les affaires des royaumes de Naples, de Sardaigne et de Sicile étaient prises en charge, avec celle du duché de Milan, par un second conseil central, celui d'Italie. Dans les différents royaumes, le prince est représenté par un vice-roi et sa justice est administrée par une audience (cour suprême de justice, équivalente aux parlements d'Ancien Régime).


title: Couronne d'Aragon

text: Les royaumes d'Aragon, de Majorque et de Valence / Valencia, ainsi que la principauté de Catalogne, sont dotés tous quatre de "Corts" ou "Cortes". Ces assemblées disposent de nombreuses compétences, dont principalement celles de reconnaître le roi et d'établir la fiscalité. Elles se composent de trois bras, équivalent des ordres français : le bras militaire (noblesse), le bras ecclésiastique (clergé) et le bras des "universitats" ou "universidades" (villes). Lors des sessions des "Corts", le montant des subsides levés au nom de la monarchie est négocié entre le roi et les délégués. En outre, l'assemblée peut faire des remontrances au roi sur le non-respect des privilèges locaux (les "Fors"). La monarchie y est donc pactiste. Pour simplifier les sessions, on réunit les trois assemblées dans une même ville, généralement Monzon où elles siègent séparément. Dans l'intervalle entre les sessions, une délégation permanente des "Cortes" assure les affaires courantes et les relations avec la monarchie. Dans les autres royaumes de la couronne, ces sessions sont dirigées par le vice-roi.


title: Couronne d'Aragon

text: Dans le conflit pour la succession d'Espagne, la Couronne d'Aragon et se habitants prennent parti pour Charles III de Habsbourg, qui leur avait promis de préserver leurs institutions et libertés, contre le petit-fils de Louis XIV, le Duc d'Anjou. Ce dernier, devenu roi absolu, après une guerre longue et meurtrière, sous le nom de Philippe, ou Felipe, V d'Espagne, décide, sous l'influence de son grand-père et de ses conseillers et administrateurs français, de transformer la monarchie en un royaume centralisé sous l'égide des castillans et il supprime l'autonomie et les particularismes de la Couronne d'Aragon en annulant ses lois et en dissolvant ses diverses institutions administratives, judiciaires, législatives et universitaires et en interdisant ses langues (aragonais, catalan et occitan aranais). Philippe V fut le fondateur de la dynastie des Bourbons dont le dernier descendant Felipe VI est toujours roi d'Espagne en 2020 . Le dernier des décrets de Nueva Planta, en 1716 voit disparaître la Couronne en tant qu'entité politique.


title: Couronne d'Aragon

text: En raison de la présence aragonaise, différents territoires ont des symboles distinctifs étroitement liés à la Couronne et a la Maison de Barcelone. Les drapeaux des communautés autonomes d'Aragon, de Catalogne, de Valence et des Baléares partagent le drapeau des rois d'Aragon.


title: Couronne d'Aragon

text: Mais ces symboles ne sont pas seulement utilisés en Espagne. La Principauté d'Andorre porte également ses couleurs sur son bouclier. Aussi le département français des Pyrénées-Orientales, le département français de la Lozère, la région française du Languedoc-Roussillon, la région française de Provence-Alpes-Côte d'Azur, la ville italienne d'Alghero, la province italienne de , la province italienne de ou de la province italienne de .


title: Couronne d'Aragon

text: La ville italienne de Naples doit également ses couleurs à la présence aragonaise. Sa particularité à la fois héraldique et vexilologique est la combinaison d'or et de gueules, dont l'origine est dans le contrôle de la ville par les monarques de la couronne d'Aragon.


title: Couronne d'Aragon

text: Ils ont également leur origine dans la couronne d'Aragon les drapeaux de la Sardaigne et de la Corse, héritage des rois d'Aragon après la bataille d'Alcoraz en 1096, et les sceaux de plomb de Pedro III utilisés à partir de 1281 par l'intermédiaire de ses descendants, comme Jean Ier, qui a accordé aux deux îles l'emblème des quatre têtes vers la Sardaigne et d'un seul vers la Corse.


title: Couronne d'Aragon

text: En conclusion, on peut dire qu'à l'heure actuelle plusieurs territoires provençaux de la France et de l'Italie, et quatre autonomies espagnoles ont gardé le souvenir des armes de signalisation des rois d'Aragon. Ainsi, l'Aragon, les Baléares, la Catalogne et Valence utilisent plus ou moins cet emblème sur leurs armoiries et drapeaux régionaux, pas toujours conformément à la tradition et aux significations qu'ils avaient au moment de la formation de ces signes.


title: Musique concrète

text: La musique concrète est un genre musical permis par les techniques électroacoustiques : de l'enregistrement microphonique à l'invention, littéralement, de sons (en utilisant tant les synthétiseurs que les infinies manipulations du son enregistré sur divers supports) jusqu'à leur écoute, de la sorte agencés et composés, rendue possible par l'intermédiaire de haut-parleurs.


title: Musique concrète

text: Ces fondations théoriques et esthétiques ont été développées en France par Pierre Schaeffer dans les années 1940 pour la démarche « concrète » et l'écoute acousmatique, puis par François Bayle depuis 1973 pour sa compréhension en tant que « musique acousmatique ». De plus, le "Traité des objets musicaux," écrit par Pierre Schaeffer et édité en 1966 aux Éditions du Seuil, inaugure l'entrée de cette musique dans l'histoire secrète de la pensée.


title: Musique concrète

text: Michel Chion, dans de nombreux livres et essais, continue aujourd'hui à défendre le terme premier de « musique concrète » en tant qu'« art des sons fixés », insistant sur la dépendance foncière de ce genre musical au phénomène de l'enregistrement, au soulignant l'importance du support permettant de fixer le son, tout comme son écoute uniquement possible via les haut-parleurs.


title: Musique concrète

text: Dans la même lignée, en croisant les idées de François Bayle et de Michel Chion, Lionel Marchetti insiste, dans ses essais, sur l'importance d'une poétique spécifique à une telle expérience perceptive. Il parle ainsi de l'espace de la projection haut-parlante en tant que possibilité, imagée et symbolique — puisque la chaîne électroacoustique reproduit l'appareil audio-phonatoire des mammifères — d'un idéal technique réalisé qui serait de produire, pour l'humain, avec sa bouche, tous les sons du monde. Si la musique concrète, en tant qu'art acousmatique, est une façon d'écouter sans voir, elle est surtout, selon lui, une façon de "voir" autrement le monde.


title: Musique concrète

text: Denis Dufour, conscient de la nécessité d'élargir le champ des créations issues d’une réalisation élaborée dans le studio de composition, fixées sur support audio et livrées à l’écoute par l'intermédiaire de haut-parleurs, regroupe l'ensemble de ces pratiques dans ce qu'il nomme dès 1982 « art acousmatique ».


title: Musique concrète

text: Ce genre musical, riche de compositeurs et compositrices aux styles très divers, se développera dans les pays francophones (France, Belgique, Québec), ainsi qu'au Royaume-Uni et dans tous les pays dEurope, ainsi qu'en Amérique latine, tout comme au Japon…


title: Musique concrète

text: L'expression de musique acousmatique est d'abord utilisée pour signifier la dématérialisation de la source sonore, au sens où le sonore, déjà enregistré et composé, est écouté par l'intermédiaire de haut-parleurs ; pour signifier l'absence volontaire et originelle de la dépendance à l'événement visible pour la mise en son de ses éléments lors de l'écoute de l'œuvre achevée (abandon de tout corps sonore, instrument, synthétiseur… joués « en direct ») tout comme pour insister sur l'existence quasi-palpable, à son écoute, d'une abstraction sonore, qui ne lui est toutefois pas exclusive, au sens où dans cet art on parle de la sensation d'images sonores, de fictions de sons qui, comme le dit le compositeur Lionel Marchetti, sans être des figurations aux contours absolument définis, ouvrent et agrandissent singulièrement les enjeux perceptifs pour atteindre un espace poétique situé, le plus souvent, entre abstrait et concret.


title: Musique concrète

text: La musique acousmatique peut cependant être associée, lors d'un concert en public, à des éléments visuels (lumières, installations plastiques, décors divers) sur lesquels l'auditeur, s'il n'écoute pas déjà les yeux fermés, pourra fixer son regard. Tout comme on peut également, en concert, « voir » l'interprète acousmatique – interprète désormais indispensable pour une mise en espace subtile et cohérente de l'œuvre, si celle-ci n'intègre pas déjà dans son écriture multiphonique toute la complexité et la subtilité que permet la sonofixation, et tout particulièrement pour les œuvres du répertoire – travaillant à la spatialisation avec sa console de projection du son, qu'il soit situé dans la salle ou, plus rarement, sur scène.


title: Musique concrète

text: Le compositeur de musique concrète ou acousmatique travaille directement avec les sons eux-mêmes, enregistrés et fabriqués le plus souvent par ses soins (en les écoutant au travers des haut-parleurs, via la chaîne électroacoustique, dans l'atelier des sons : le studio) jusqu'à façonner et finaliser, de la sorte, une œuvre sonore composée, montée, mixée… pour une durée définitivement fixée (la même durée fixée que l'on retrouve dans l'art cinématographique par exemple) et qui sera considérée, une fois achevée, comme une fiction autonome.


title: Musique concrète

text: Le terme de « musique concrète », en cela, et selon Pierre Schaeffer lui-même, s'oppose à celui de « musique abstraite » — musique qui nécessite le concours d'une écriture sur partition et des interprètes instrumentistes pour donner à entendre l'œuvre conçue par le compositeur. On parle alors de « démarche concrète », à la différence du compositeur de musique abstraite qui compose sans entendre concrètement le résultat sonore de sa musique. Il ne fait pas l'expérience du résultat sonore pour composer.


title: Musique concrète

text: Certains voient les prémices de la musique concrète chez les bruitistes italiens (comme Luigi Russolo), mais la différence fondamentale entre le bruitisme (manifestant, certes, une écoute du monde des bruits comme « musique » mais se réalisant par la fabrication de « bruiteurs »…) et la musique concrète est l'enregistrement (la « fixation » des sons), puis le travail du son permis par les supports, d'abord sur disque souple, puis sur bande magnétique, K7, enfin CD, mini disc, disque dur, DAT… et, surtout, son écoute au travers des haut-parleurs considérés, dans ce genre musical, comme une sorte d'écran acoustique (Michel Chion) où sont déployés les sons, par l'intermédiaire desquels sont agencées les compositions. On parlera parfois d'« images sonores », pour reprendre les mots de François Bayle, ou encore de « fiction de sons »…


title: Musique concrète

text: L'art acousmatique est donc un art permis par le support du son. Ce support est au musicien « concret » .


title: Musique concrète

text: C'est à partir de prises de son ou « tournages sonores » que le compositeur constitue son matériau : d'origine acoustique, il peut être issu de jeux sur des dispositifs choisis pour leur aptitude à « sonner » (des corps sonores), d’univers habités d’événements caractéristiques, de parcours, de gestes ou de séquences jouées à dessein, voire de sons « figuratifs », « anecdotiques », évocateurs ou de jeux sur des instruments traditionnels ou « exotiques » ; synthétique, il peut être constitué de sons ou de séquences électroniques jouées au synthétiseurs, ou numériques, issues d’une programmation logicielle ou de transformations immédiates d’événements sonores. On y trouve aussi des ambiances quotidiennes souvent détournées de leur signification.


title: Musique concrète

text: Tout d'abord, les œuvres ont été composées sur disques souples. Le compositeur préparait ses disques sur lesquels il enregistrait ses sons et ses séquences, puis les plaçait sur plusieurs platines (Pierre Henry parle de huit plateaux), jouant avec des systèmes de clefs. Ainsi il pouvait démarrer et stopper à volonté chaque platine, commencer le son ou la séquence à l'endroit de son choix, faire des variations d'intensité, de vitesse ou encore inverser le sens de rotation du plateau pour lire le son « à l'envers », etc. Chaque plateau était équipé de manivelles permettant glissandos et transpositions. Tous ces plateaux tournaient, contrôlés par celui qui était tout à la fois le compositeur et l'instrumentiste interprète de sa propre musique en train de se faire, pendant qu'une autre platine gravait le résultat, qu'on appelait mixage. Le temps de réalisation, pour ces compositeurs qui avaient acquis tout le savoir-faire propre à la musique contemporaine, n'était ni plus long ni plus coûteux que pour ceux qui composaient sur partition et faisaient jouer leurs œuvres par des formations instrumentales.


title: Musique concrète

text: Le magnétophone va faciliter la création « concrète » en apportant une plus grande précision dans le travail de montage, puisqu'on peut couper la bande et recoller les morceaux, et du mixage, car on peut préparer sur plusieurs magnétophones des voies de mixage synchronisées entre elles en mesurant les longueurs de bande magnétique. Toutes les opérations possibles sur platine disque se retrouveront sur magnétophone : variation de vitesse, rotation des plateaux à la main, lecture des sons à l'envers (en retournant le morceau de bande magnétique et non plus en inversant le sens de rotation du moteur), etc. Cet outil va également permettre de mieux prévoir le temps et la forme de la composition fixée sur support, même si les « trouvailles », dues aux expérimentations et au goût du créateur pour le détournement des machines de la radio à des fins artistiques, continueront de jouer un rôle important dans ce qu'on appelle la « démarche concrète ».


title: Musique concrète

text: Ainsi, pour peu qu’il porte en lui un monde sonore suffisamment riche, son savoir-faire, sa sensibilité, son intuition, son goût du jeu dictent au créateur les détails de son travail au fur et à mesure qu'il l’entend, élaborant ainsi progressivement son œuvre, dans une démarche qui tient autant de la volonté, d’un projet préalable de composition (le choix d’une thématique, d’un univers sonore, d’une « grande forme », d’un découpage, d'une configuration d'espace) que de la sensibilité, rendant possible l’invention d’une « écriture » par l'exploitation des synchronismes, des accidents, des contrastes, des similitudes, des diffractions, des convergences. Rigueur et liberté, sens de la construction et goût du geste, volonté et disponibilité - et, essentiellement, « poétique » - sont des qualités également nécessaires pour parvenir à une œuvre cohérente, qui, au-delà de la surprise, captive et accroche l’écoute.


title: Musique concrète

text: Enfin, comme le cinéaste, le compositeur ou la compositrice projette ensuite son œuvre devant le public à travers un dispositif de projection du son ou acousmonium, qui peut être composé de haut-parleurs de différentes « couleurs » et de différentes puissances ou au contraire choisis pour former un ensemble unifié et cohérent, disséminés dans l'espace du concert, de la galerie, du musée, du lieu public selon qu’il a choisi de composer pour le concert, l’installation sonore, le disque ou la radio, ou toute autre forme d’expression acousmatique. Dans le cas du concert, s'il n'a pas totalement intégré l'espace haut-parlant dans sa composition, à travers ce qu’on peut appeler une interprétation (des choix d’implantation, une spatialisation, un jeu sur les intensités et les couleurs, des filtrages) il rend son œuvre accessible au public, désormais livré au seul empire de l’écoute…


title: Musique concrète

text: C’est grâce à l'arrivée des techniques d'enregistrement, d'abord le disque souple puis le magnétophone (1939) et la bande magnétique, puis la généralisation de l’utilisation des procédés magnétiques dans l’industrie phonographique (1945), que les tenants de la musique concrète pourront commencer l’exploration du phénomène sonore.


title: Musique concrète

text: En 1948 Pierre Schaeffer, animateur d'une petite équipe de recherche au sein de la Radiodiffusion française, invente une nouvelle forme d’expression artistique qu’il appellera lui-même « musique concrète ». Divers expérimentateurs ont exploré avant Schaeffer des idées mettant en jeu le son ou les bruits comme matériaux relevant des exigences de la composition. Cependant, aucun d’entre eux n’a l’idée d’utiliser l’enregistrement (pourtant accessible et perfectible dès les années 1910) afin de créer un véritable art des sons fixés.


title: Musique concrète

text: Ainsi, le peintre et compositeur futuriste italien Luigi Russolo au début de ce siècle conçoit ses « intonarumori » qu'il réalise comme des instruments pour la scène, ne faisant usage ni de l'enregistrement ni du haut-parleur. En 1924, Ottorino Respighi compose le poème symphonique, Les Pins de Rome, dont le troisième mouvement fait intervenir en même temps que l'orchestre un enregistrement sur disque de chants d'oiseaux. Le cinéaste expérimental allemand Walter Ruttmann utilise la bande son d’une pellicule cinématographique pour produire un « film sans image » ("Week-End", 1930). Roger Désormière compose la musique de scène des "Cenci" d'Antonin Artaud d'après "The Cenci" de Shelley au Théâtre des Folies-Wagram à Paris au printemps 1935 : des sons enregistrés du bourdon de la cathédrale d'Amiens retentissent aux quatre coins de la salle, hors contexte, juste pour leur impact sonore, on trouve ensuite un déchaînements d'ondes Martenot, de bruiteurs, de haut-parleurs, des clameurs de la tempête… des écrous, des limes crissent pour la dernière scène des Cenci, celle de la prison, dont Antonin Artaud voulait qu'elle « dégage le bruit d'une usine en plein mouvement ». Citons aussi Halim El-Dabh qui réalise des essais sur un enregistreur à ruban d'acier en 1944, ou encore Edgar Varèse et son utopie du « son organisé », bien qu'il ne commence à travailler en studio qu'en 1954 pour "Déserts".


title: Musique concrète

text: Installé à Paris dans les murs de la Radiodiffusion-télévision française (RTF), le Club d'essai de Jean Tardieu, fondé en 1946 à la suite du Studio d’essai de Pierre Schaeffer (lui-même créé en 1942), continuera comme atelier de création radiophonique quand naîtra en 1951 le Groupe de recherche de musique concrète (GRMC), réorganisé en 1958 sous le nom de Groupe de recherches musicales (GRM). Pierre Schaeffer se servira de l’étude et du classement des sons pour bâtir ce qu’il nommera les objets musicaux.


title: Musique concrète

text: Créateur et producteur de radio, où « l’écouter sans voir » fait à la fois le mystère et le succès de ce nouveau moyen de communication, il se lance par hasard et par goût du jeu dans une aventure musicale entièrement neuve, après des mois d’expérimentations et d’observations sur les sons enregistrés, que les machines des studios de la radio lui permettent de réécouter à loisir : matériaux sonores les plus divers disponibles au sein de la phonothèque, abandonnés par les techniciens ou enregistrés par lui. Jouant avec plusieurs platines de tourne-disques, il écrit :


title: Musique concrète

text: Il définira grâce à cette expérience le « dispositif acousmatique », mot emprunté à Pythagore qui signifie « perception auditive : celle des sons dont la source est cachée ». En 1948, Pierre Schaeffer compose sa première œuvre : les "Cinq études de bruits". Elle sera créée sur la radio RTF le dans un « concert de bruits » présenté par Jean Toscane. Ce concert comprenait les pièces suivantes :


title: Musique concrète

text: Pierre Henry le rejoint au Club d’essai de la Radio en 1949. À eux deux, ils sont en France les fondateurs et les exemples de ce mouvement qui durant toutes les années 1950 marquera plusieurs générations. La "Symphonie pour un homme seul" (1950) restera le concert le plus célèbre de leur collaboration et la première grande œuvre de musique concrète. Plusieurs versions de l'œuvre existent. La première qui comprend 22 titres fut créée à l'École Normale de Musique le . Une version plus courte, 11 titres, fut ensuite donnée le . Mais c'est la version ballet, créée en collaboration avec Maurice Béjart le au Théâtre des Champs-Élysées qui donna à l'œuvre son retentissement mondial.


title: Musique concrète

text: En 1958, après trois ans passés à l’écart du groupe, Pierre Schaeffer le reprend en main en créant le GRM et met en place sa réorganisation administrative, esthétique et morale. Pierre Henry et Philippe Arthuys s'en vont, et François Bayle, Luc Ferrari, François-Bernard Mâche, Ivo Malec, Bernard Parmegiani, Guy Reibel, Iannis Xenakis, etc. se joignent à Pierre Schaeffer qui voulait poser les postulats de la recherche qu’il nommait déjà « l’expérience musicale ».


title: Musique concrète

text: De son côté Pierre Henry poursuit un chemin solitaire et fonde le premier studio privé de musique concrète, Apsome, en 1960. Dès lors son parcours est semé de concerts réunissant un public de plus en plus vaste : "Messe pour le temps présent", "Le Voyage", "L’Apocalypse de Jean", "Futuristie", "Messe de Liverpool"…