title: Personnages de Tekken

text: Se retrouvant donc orphelin, Leo prit sa vie en main et jura de faire honneur à ses parents, en devenant étudiante en spéléologie. Mais au bout de plusieurs années d'enquêtes, le dossier concernant sa mère fut classé sans explications par la police, sans que le coupable fût jamais retrouvé. Hurlant au scandale, Leo décida de reprendre l'enquête elle-même et découvrit alors que l'homme qui avait tué sa mère n'était autre que Kazuya Mishima, qui avait payé les policiers pour qu'ils classent le dossier sur la tuerie de la G-Corporation, dont il avait pris la direction. Malheureusement pour Leo, Kazuya était trop haut-placé pour qu'elle puisse espérer l'atteindre. De plus, le garde du corps personnel de Kazuya n'était autre qu'Anna Williams, et connaissant la réputation de cette femme, Leo savait qu'elle n'avait aucune chance d'approcher Kazuya dans des circonstances normales.


title: Personnages de Tekken

text: C'est alors que fut annoncé le King Of Iron Fist Tournament 6, et Leo découvrit que Kazuya allait y participer personnellement, tout comme Anna, mais Leo se doutait bien qu'elle serait trop occupée à se battre contre sa sœur Nina, qui participait également, pour songer à protéger Kazuya. Voyant là son unique espoir de se venger de Kazuya, elle s'inscrivit à son tour au tournoi.


title: Personnages de Tekken

text: Plus tard, Leo apprend que sa mère travaillait pour la Mishima Zaibatsu. Elle travaillait dans un groupe de chercheurs pour trouver un moyen de synthétiser le Devil Gene et de l'injecter dans un corps humain, offrant à cette personne une force extraordinaire. Elle vit une photo de sa mère avec le mystérieux patient qui est âgé de 6 ans lors de l'opération. Elle ne connaît pas son nom, mais il s'agit en fait de Steve Fox quand il était enfant.


title: Personnages de Tekken

text: On peut déduire après la cinématique de fin de Leo que Steve Fox s'est fait injecter le gène démoniaque, d'où sa cicatrice sur son bras et d'où sa force surhumaine.


title: Personnages de Tekken

text: Miguel est d'origine espagnole. Il a toujours voulu vivre comme un loup solitaire et ne supporte pas qu'on lui donne des ordres. Né dans une famille conservatrice, son caractère sauvage et indiscipliné fit de lui la brebis galeuse de la famille. Lorsqu'il eut 15 ans et après une énième dispute avec ses parents, il décida de fuguer en trouvant refuge dans un bar tenu par une de ses connaissances. Malgré ses problèmes familiaux, il resta en contact avec sa sœur cadette, qu’il chérissait. Son amour pour elle était si fort qu’il était presque prêt à tuer son petit ami en apprenant qu’elle comptait l’épouser.


title: Personnages de Tekken

text: Le jour du mariage, il n'osa pas entrer dans l'église, et suivit la cérémonie de l'extérieur, en cachette de sa famille.


title: Personnages de Tekken

text: Mais au beau milieu de la noce, plusieurs avions de chasse passèrent au-dessus de la petite ville et semèrent des bombes un peu partout. L'une d'elles atterrit sur l'église, qui explosa violemment. Le souffle de l'explosion projeta Miguel à plusieurs mètres de distance. Lorsqu'il se releva, les corps des invités du mariage jonchaient les alentours. Désespéré, Miguel chercha partout sa sœur, mais quand il la retrouva, elle était déjà morte, baignant dans son sang. Le cri de désespoir que poussa alors Miguel s'entendit partout dans le village où plus un bruit ne régnait.


title: Personnages de Tekken

text: Jurant de se venger, il découvrit bientôt que les avions qui avaient bombardé la noce appartenaient à la Mishima Zaibatsu. Dans le même temps, on annonça le King Of Iron Fist Tournament 6, et Miguel décida de s'y inscrire pour tuer le commanditaire du raid aérien qui avait assassiné sa sœur, Jin Kazama.


title: Personnages de Tekken

text: Originaire du Moyen-Orient, Zafina est une jeune femme d'environ 25 ans, mystérieuse et très énigmatique. Férue d'astrologie, son style de combat est quasiment inconnu aujourd'hui et n'est pratiqué que par quelques élus.


title: Personnages de Tekken

text: Zafina est née au sein d'un clan très ancien, autrefois extrêmement puissant. C'est de sa famille que sont toujours issus les gardiens protégeant la nécropole royale, abritant les dépouilles des anciens rois et reines qui gouvernaient autrefois la région. Aujourd'hui, Zafina est l'unique gardienne de la nécropole et aucun de ceux qui l'ont défiée pour espérer s'emparer des richesses de la tombe n'ont survécu. Dotée de dons spirituels exceptionnels, elle croit profondément en l'astrologie. Ses prédictions se vérifient systématiquement.


title: Personnages de Tekken

text: Un jour cependant, un groupe lourdement armé appartenant à la Tekken Force attaque la tombe royale. Une fois de plus, Zafina les arrête facilement. La jeune femme sent pourtant que cette attaque est différente de celles qu'elle a auparavant repoussées, et de sombres présages semblent confirmer son intuition. Inquiète, elle décide d'aller consulter le chef du village qui lui révèle alors une inquiétante prophétie : « Lorsque deux étoiles démoniaques entreront en contact, le sceau royal de la nécropole sera brisé, et c'est la plus grande puissance qu'il libérera, entraînant la fin du monde ».


title: Personnages de Tekken

text: Zafina conclut rapidement que les deux étoiles en question ne sont autres que Kazuya Mishima et Jin Kazama, qui, par leur rivalité, ont déclenché une nouvelle guerre mondiale. Aussi, lorsque le King of Iron Fist Tournament 6 est annoncé, elle comprend que c'est là que les étoiles de la prophétie vont s'affronter. Elle décide donc de quitter son village natal et s'inscrit au tournoi pour empêcher la catastrophe à venir.


title: Personnages de Tekken

text: Zafina est l'un des membres du clan qui avaient été engagé dans la protection des tombes de la famille impériale depuis les temps anciens.


title: Personnages de Tekken

text: Il fut impossible d'empêcher la résurrection d'Azazel à cause de la collision des deux étoiles maléfiques qui secoua le monde, représentaient par Jin Kazama et Kazuya Mishima. Azazel ressuscité semblait avoir été vaincu par Lars Alexandersson et Jin Kazama, mais son corps spirituel était à peine parvenu à survivre.


title: Personnages de Tekken

text: En découvrant cela, Zafina réussit à sceller Azazel à son propre corps grâce à rituel transmis à sa famille. Cependant, Zafina sentait que la puissance d’Azazel scellée dans son corps se renforçait progressivement.


title: Personnages de Tekken

text: "Jin Kazama et Kazuya Mishima sont toujours en vie. Si le Devil Gene n'est pas éliminé, Azazel finira par être ressuscité. Il reste très peu de temps."


title: Personnages de Tekken

text: Dans cet esprit, Zafina prit contact avec les exorcistes du groupe des archers de Sirius, qui existaient depuis les temps anciens afin de s’associer à eux pour chasser le Devil Gene.


title: Personnages de Tekken

text: Nancy-MI847J est un « boss bonus » de Tekken 6. Il ressemble à un robot géant noir. Il a une force titanesque et une grande taille, ce qui en fait un personnage redoutable. Ce modèle de super-robot a été conçu par la Mishima Zaibatsu pour contrer les Jack de la G Corporation.


title: Personnages de Tekken

text: Du fait de sa grande résistance, les attaques ne lui infligent que peu de dégâts en comparaison avec un adversaire dit « normal ». Cependant, les coups les plus puissants peuvent l'empêcher d'attaquer s'ils sont lancés juste avant qu'il n'attaque.


title: Personnages de Tekken

text: Celui-ci ne peut être contrôlé que dans le mode histoire, dans la zone « Tour Millénium, G Corporation » où l'on peut y affronter Anna en tant que « boss » du niveau.


title: Personnages de Tekken

text: Jaycee est Julia Chang grimée en catcheuse professionnelle. Une de ses amies proches, catcheuse, se blesse lors d'un accident. Julia décide donc de prendre son masque et de devenir Jaycee le temps de ce tournoi.


title: Personnages de Tekken

text: Sebastian est le valet de Lili Rochefort. Il s'occupe d'elle depuis qu'elle est toute petite. On peut voir Sebastian dans quelques cinématiques de Lili et ce n'est que dans le deuxième Tekken Tag qu'il prend part aux combats en tant que personnage jouable. Il a la même façon de se battre que Lili.


title: Personnages de Tekken

text: Slim Bob est en réalité Bob Richards mais en plus maigre. Bob avait énormément perdu de poids après le King of Fist Iron Tournament 6. Il est jouable sous cette forme mais aussi sous sa forme originale.


title: Personnages de Tekken

text: Personnage issu également de la série "Street Fighter". Il est connu pour être l'homme maîtrisant parfaitement le Satsui No Hado, la version la plus terrifiante (voire démoniaque) du karaté Ansatsuken.


title: Personnages de Tekken

text: Il est l'assassin commandité par Kazumi Mishima. Elle lui demande de tuer son mari Heihachi si jamais elle échoue. À contrecœur, elle désigne également son fils Kazuya si Heihachi survivait car il ne faut pas qu'il affronte son père. Akuma accepte car, pour une raison inconnue, il a une dette envers elle.


title: Personnages de Tekken

text: Claudio possède la faculté étrange de créer une énergie bleue dans ses mains lorsqu'il combat, le Starbust. Dans cet état, un tatouage noir apparaît sur sa joue gauche.


title: Personnages de Tekken

text: Il fait partie d'un groupe d'exorcistes appelé « Les Archers de Sirius », dont il est le meilleur représentant de sa génération. Depuis des milliers d'années ils combattent en secret les entités démoniaques qui envahissent le monde. Ils sont finalement découverts par la Mishima Zaibatsu depuis que Heihachi a repris la main de la société (après la disparition de Jin). Heihachi essaie tant bien que mal de les intégrer à sa compagnie pour traquer Kazuya et Jin mais sans succès. Claudio se doutant que quelque chose se trame et que Heihachi n'est pas clair, décide d'investiguer en secret sur ce dernier.


title: Personnages de Tekken

text: Personnage issu de Tekken Revolution qui devient finalement canon dans la série en intégrant Tekken 7. Il s'agit d'un vampire narcoleptique.


title: Personnages de Tekken

text: Après 600 ans de sommeil, Eliza se réveille ne pensant avoir fait qu'une petite sieste. Elle finit par découvrir que ses pouvoirs ont diminué à cause de son sommeil trop long. Elle décide alors de partir en quête de sang humain.


title: Personnages de Tekken

text: Geese Howard, de la série Fatal Fury, est annoncé comme personnage jouable en DLC le . Il sera disponible dans le courant de l'hiver de cette même année.


title: Personnages de Tekken

text: À la suite de l'embrasement du conflit mondial, la G Corporation conduit d'étranges tests afin de créer un nouveau super soldat. Contrairement aux séries des Jack entièrement mécanisées, le nouveau soldat est lui un combattant à qui l'on fixe une armure de combat qui améliore ses compétences. Gigas est le premier d'entre eux. Cependant, il semble qu'il soit totalement dépourvu d'humanité, ne se contentant que de frapper et émettre des grognements.


title: Personnages de Tekken

text: On se doute en voyant la cinématique de fin de Katarina Alves qu'il s'agit en fait de son père adoptif.


title: Personnages de Tekken

text: Quand elle était petite Josie était un bébé qui pleurait beaucoup. De façon à l'endurcir, ses parents décidèrent de lui faire pratiquer un sport de combat. Josie devint très douée mais cela n'améliora pas beaucoup son caractère et elle reste aujourd'hui encore une éternelle pleureuse. Elle vit de ce sport mais est aussi mannequin.


title: Personnages de Tekken

text: Il y a quelques années un typhon ravagea son pays et la Tekken Force intervint pour aider la population. Très reconnaissante, Josie décida de s'enrôler dans celle-ci pour faire le bien.


title: Personnages de Tekken

text: Elle a perdu ses parents étant petite et a été recueilli par un homme mystérieux. La relation entre eux a d'abord été très distante puis au fur et à mesure du temps qui passe, ils se sont beaucoup rapprochés comme un père et une fille.


title: Personnages de Tekken

text: Récemment cet homme a disparu sans laisser de trace. Katarina se retrouve malheureusement seule et sans ressources. Cherchant à subvenir à ses besoins, elle découvre qu'un nouveau tournoi du poing d'Acier est organisé et décide d'y participer, comptant sur ses talents en savate et self-defense. Elle finit par retrouver la trace de son mentor, qui serait le sujet des expériences ayant mené à la création de Gigas.


title: Personnages de Tekken

text: Kazumi est la femme décédée d'Heihachi et la mère de Kazuya. Elle est la première personne à posséder le gène démoniaque de la famille et l'a transmis à Kazuya. En combat, elle invoque un tigre pour l'assister et peut également se muer en forme démoniaque.


title: Personnages de Tekken

text: Alors que Kazuya n'était qu'un enfant, elle a pressenti que son mari s'opposerait à son fils, car ce dernier finirait par développer les mêmes pouvoirs qu'elle. Kazumi envisage alors de stopper Heihachi même si, selon elle, cette confrontation pourrait lui coûter la vie. Elle charge alors Akuma de tuer Heihachi si elle n'y parvient pas. Malgré cette peur, elle reste aimante envers son mari. Elle se transformera en démon pour tuer Heihachi mais celui-ci réussira à la tuer, à contre coeur.


title: Personnages de Tekken

text: Il y a 50 ans, un jeune garçon était pris dans un conflit de gangs à grande échelle dans sa ville natale de New York aux États-Unis, où il perdait sa famille et son domicile. Après avoir disparu pendant des décennies, Leroy retourne à New York, où il est maintenant un maître chevronné des arts martiaux et veut se venger.


title: Personnages de Tekken

text: Il y a environ un demi-siècle, New York était au milieu d'une période sombre où des gangsters sévissaient par dizaines de milliers. Les pots-de-vin à la police et au monde politique étaient endémiques, personne ne pouvait arrêter la tyrannie des gangs et les gens devaient être totalement soumis aux gangs. À mesure que les gangs élargissaient leur contrôle sur la ville, le conflit qui les opposait s'intensifiait, aboutissant finalement à une bataille massive impliquant tous les gangs. Les rues de New York ont été immédiatement transformées en un champ de bataille de l'enfer, alimentées par des explosions et des tirs, alors que les balles volaient partout, tuant sans distinction quiconque, sans distinction d'âge ou de sexe.


title: Personnages de Tekken

text: La famille de Leroy Smith, alors un garçon, a également été impliquée dans une fusillade et tous ont été tués. Leroy, lui aussi, est gravement blessé et tombe dans une rivière. Il est emporté à la mer. Heureusement, il est récupéré par un navire marchand et survit. Dans sa conscience qui s’évanouissait, il ressentit profondément son impuissance et un profond désir de vengeance contre les bandes.


title: Personnages de Tekken

text: En quittant l'Amérique, Leroy a parcouru le monde en tant que commerçant et, à Hong Kong, il a rencontré un art martial appelé Wing Chun. Leroy, fasciné par sa stratégie individuelle de défense et de neutralisation de l'adversaire, s'est installé à Hong Kong pour apprendre l'art martial.


title: Personnages de Tekken

text: Un demi-siècle après ce que l’on a appelé plus tard la Grande Guerre (incident de New York), New York était toujours dominé par des gangsters qui avaient survécu, bien que leur pouvoir ait diminué. Sachant cela, Leroy décide de rentrer à New York pour se venger des gangs et libérer la ville. Alimenté par sa colère, Leroy l'attaque à lui seul et le détruit avec la force d'un puissant démon.


title: Personnages de Tekken

text: Pendant ce temps, l'un des chefs de gang lui apprend que l'actuel Mishima Zaibatsu était à l'origine de la rivalité à grande échelle d'il y a un demi-siècle. Surpris par le fait qu’une grande entreprise engagée dans la guerre qui divise le monde est derrière elle depuis si longtemps, Leroy pense que c’est la racine de tous les maux et décide de se joindre au tournoi The King of Iron Fist.


title: Personnages de Tekken

text: Lidia Sobieska est une karatéka et le Premier ministre de Pologne au sein de la série "Tekken". Elle fait ses débuts dans "Tekken 7" en tant que DLC dans le Season 4 Pass.


title: Personnages de Tekken

text: Lidia est très patriotique car elle jure de remporter le tournoi King of Iron Fist au nom du peuple de son pays. Elle est apparemment déphasée par les menaces dont son assistant l'a mise en garde et n'a pas peur de confronter Heihachi Mishima lorsqu'il refuse de retirer Tekken Force de Pologne. Elle est une karatéka dévouée et, dans la bande-annonce de son personnage, glisse accidentellement en parlant comme si elle était dans le dojo alors qu'elle était au téléphone avec son aide.


title: Personnages de Tekken

text: Cette très jeune femme enjouée voue une grande passion pour la culture japonaise. Cependant elle cache un grand secret. Elle parle anglais mais avec un accent japonais, ce qui entretient le mystère sur sa véritable nationalité.


title: Personnages de Tekken

text: Quand elle était petite, ses parents l'ont emmené dans une exposition sur le Japon. Depuis ce temps, elle a tout fait pour devenir une véritable Idol, cherchant à devenir la plus populaire d'entre elles. Elle se choisit le nom de "Lucky Chloe" (ce n'est pas son véritable prénom) travaille son chant, sa danse et se fait elle-même son costume. Elle finit par devenir très célèbre et populaire dans le monde entier (grâce à Internet), bien qu'elle soit plutôt haïe sur le continent nord-américain.


title: Personnages de Tekken

text: À la suite de cela, elle collabore avec la G Corporation en tant qu'image de la compagnie afin de donner justement une image positive en ces temps difficiles.


title: Personnages de Tekken

text: Master Raven est une femme afro-américaine possédant une armure ninja futuriste ainsi qu'un sabre. Elle partage le même nom de code que Raven, dont elle est en fait le maître.


title: Personnages de Tekken

text: Elle est un officier très haut-gradée dans une des entités secrètes des Nations unies. Sa mission est de surveiller les activités de la Mishima Zaibatsu et de G Corporation.


title: Personnages de Tekken

text: Shaheen est un garde du corps protégeant des grands noms de ce monde. Il est dit que personne n'a réussi à attaquer quiconque était sous sa protection.


title: Personnages de Tekken

text: Un jour, Shaheen apprend le décès d'un de ses amis faisant partie des grandes figures d'une immense compagnie pétrolière. L'enquête conclut qu'il s'agit d'un accident mais Shaheen en doute fortement. À la suite de cela, la compagnie est rachetée par la G Corporation et l'ensemble du personnel est licencié. Ne croyant pas aux coïncidences, il décide d'investiguer et faire la lumière sur cette histoire.


title: Personnages de Tekken

text: Le Docteur Abel est un scientifique fou et le rival du . Boskonovitch. Il travaillait pour Heihachi Mishima et sa compagnie, la Mishima Zaibatsu. Il est responsable de la destruction du robot Jack-2 et tenta également de détruire Gun Jack, deux créations du . Boskonovitch (qui travaillait pour la compagnie rivale de la Mishima Zaibatsu, la G Corporation). Il réanima aussi Bryan Fury et le transforma en cyborg aux capacités décuplées. Il l'utilisa comme homme de main mais celui-ci se retourna contre lui et le tua.


title: Personnages de Tekken

text: Il apparaît dans les cinématiques de Gun Jack, Julia Chang et Bryan Fury dans Tekken 3 et Tekken 4. Il est aussi mentionné dans le prologue de Bryan Fury dans Tekken 5. On peut le voir également en arrière-plan lors du prologue d'Heihachi dans Tekken 4.


title: Personnages de Tekken

text: Jack-4 fait partie des super-robots créés par Jane pour la G Corporation. Ce modèle apparaît dans l'opening de "Tekken 5" où un régiment complet de Jack-4 combat Kazuya et Heihachi au temple Hon-maru, pour finalement exploser.


title: Personnages de Tekken

text: Azazel est un boss du jeu "Tekken 6". Autoproclamé Rectifieur des Torts du monde, il est le démon réveillé par la rencontre entre Jin Kazama et Kazuya Mishima. Il est dit que Zafina est chargée de surveiller et de contrer le monstre.


title: Personnages de Tekken

text: Les inspirations semblent multiples pour la création du démon : baptisé du nom d'un démon hébraïque Azazel, il porte un némès, typique de l'Égypte antique, et son apparence physique le rapprocherait du dieu égyptien Seth.


title: Personnages de Tekken

text: Tougou est un ami proche et le bras droit de Lars Alexandersson dans Tekken 6. Il aide Lars à lutter contre son amnésie et à planifier les opérations militaires contre Mishima Zaibatsu et G-Corporation. Il meurt à la suite d'une attaque de la G-Corporation.


title: Personnages de Tekken

text: Jane est une jeune scientifique blonde et aux yeux bleus, employée par la G Corporation. Enfant, elle fut sauvée par un modèle de Jack-2 qui la protégea par la suite, la fillette étant atteinte d'une maladie paralysant ses jambes. En grandissant, elle acquit les connaissances nécessaires pour développer de nouveaux super-robots. Ainsi, elle créa les modèles Gun Jack, Jack-4, Jack-5 et Jack-6 pour la G Corporation.


title: Personnages de Tekken

text: Emma Kliesen est la mère de Leo Kliesen. C'était une scientifique remarquable qui travaillait pour la G-Corporation. On apprend qu'elle travaillait aussi pour la Mishima Zaibatsu dans le projet de synthétiser le gène démoniaque et de l'injecter sur un corps humain afin que cette personne dispose d'une force surhumaine. Steve Fox s'est fait injecter le gène démoniaque quand il avait 6 ans.


title: Personnages de Tekken

text: Personnage non canonique de la série, Shin Kamiya apparaît pour la première fois dans le film "". Il est l'ancien camarade de classe de Jin Kazama au Lycée Polytechnique Mishima et devient plus ou moins ami avec Ling Xiaoyu et Alisa Boskonovitch. Il est infecté par le Devil gène mais pas de la même manière que Jin. Lui peut régénérer ses cellules ce qui lui permet d'échapper à la mort malgré ses tentatives. Il cherche à se venger de Heihachi qui l'a mis dans cet état. Il finira par trouver tout de même la mort quand ce dernier lui brise la colonne vertébrale en l'écrasant sur ses épaules après un puissant saut.


title: Olympias

text: Olympias (en grec ancien / ), née vers 375 av. J.-C., morte en 316, est une princesse d'Épire de la dynastie des Éacides. Son père Néoptolème est roi d'Épire de la tribu des Molosses. Épouse de Philippe II, roi de Macédoine, elle donne naissance à Alexandre le Grand et à Cléopâtre de Macédoine. Sous le règne d'Alexandre, elle s'oppose au régent de Macédoine, Antipater. Pendant les guerres des Diadoques, elle prend le parti du régent Polyperchon contre Cassandre, le fils d'Antipater, et fait mettre à mort Philippe III, demi-frère d'Alexandre. Elle est exécutée sur ordre de Cassandre en 316.


title: Olympias

text: Fille de Néoptolème, nièce d'Arymbas et sœur d'Alexandre, tous rois d'Épire de la tribu des Molosses, Olympias est née sous le nom de Polyxena vers 375 av. J.-C.. En tant qu'Éacide, elle prétend descendre de Néoptolème, fils d'Achille ; par sa mère elle descendrait d'Hélène de Troie. Elle est instruite au temple de Dodone dès l'enfance et devient prêtresse de Zeus. Elle épouse le roi de Macédoine Philippe II en 357, qu'elle a rencontré étant jeune à Samothrace durant son initiation aux mystères des Grands Dieux. Elle se fait appeler Myrtale au moment de son mariage puis prend le nom d'Olympias à la naissance d'Alexandre, en 356, probablement en hommage à la victoire de Philippe aux Jeux olympiques. Elle donne ensuite naissance à Cléopâtre à une date indéterminée. En ce qui concerne sa personnalité, elle est décrite comme une personne à l'esprit vif, prompt à l'emportement et jalouse. Chez Plutarque, Olympias apparaît comme une figure assez mystérieuse, initiée aux rites dionysiaques auxquels elle se livre avec ardeur.


title: Olympias

text: Une légende raconte qu'Olympias n'a pas conçu Alexandre avec Philippe, qui a peur d'elle et de son habitude de dormir en compagnie de serpents, mais avec Zeus lui-même. Plutarque nous rapporte les interprétations des auteurs antiques sur l'attitude d'Olympias à ce propos, soit qu'elle en aurait fait l'aveu à son fils, soit, au contraire, qu'elle aurait rejeté l'idée comme étant impie. Une fois parvenu au pouvoir, Alexandre s'est servi de cette croyance et s'est fait confirmer sa filiation divine par l'oracle d'Ammon-Zeus à Siwa.


title: Olympias

text: Vers 339, elle apprend à Alexandre les plans de Philippe visant à marier son deuxième fils Arrhidée à la fille de Pixodaros, satrape de Carie, épisode qui se termine par l'exil d'Alexandre et ses plus proches compagnons. En 337, elle se retire chez son frère, Alexandre le Molosse lorsque Philippe épouse Cléopâtre, nièce d'Attale, pour en faire sa seconde épouse officielle, ce qui aurait pu remettre en cause les droits de succession de son fils. Elle tente sans succès d'inciter son frère à la guerre contre son mari ; la décision de Philippe de marier sa fille Cléopâtre à Alexandre le Molosse semble participer à une tentative de réconciliation. Bien qu'elle revienne ensuite à Pella, Olympias ne s'est pas complètement réconciliée avec son mari et encourage Alexandre à croire que son père à l'intention de l'exclure de la succession.


title: Olympias

text: En août 336, Philippe est assassiné pendant les noces de sa fille à Aigai. Il est possible, selon certains historiens antiques, qu'Olympias ait poussé Pausanias d'Orestide à ce geste après qu'il a été humilié par Attale ; pour autant les témoignages selon lesquels elle a ouvertement reconnu son rôle sont sans aucun doute faux. Puis, pendant qu'Alexandre est en guerre aux frontières septentrionales du royaume, elle ordonne l'assassinat, en tout probabilité, de Cléopâtre et de sa fille. Alexandre aurait été bouleversé par cette nouvelle, sinon pour des raisons personnelles, mais certainement pour des raisons politiques.


title: Olympias

text: L'influence réelle d'Olympias sur le caractère et la sensibilité d'Alexandre reste méconnue et sujette aux interprétations des historiens contemporains qui pour certains ont souligné la force du lien affectif qui unit le Conquérant à sa mère au point de parler de « complexe maternel ». Olympias n'est évoquée qu'à quatre reprises dans l’"Anabase" d'Arrien qui offre d'abord un récit des faits militaires ; mais elle l'est bien davantage parmi les auteurs de la Vulgate (dont Diodore et Quinte-Curce) qui laissent de la place dans leurs récits pour les anecdotes. Plutarque propose de nombreux développements à son sujet qui laissent l'image d'une agitatrice et d'une intrigante unie à son fils par un lien indéfectible. À travers de nombreuses lettres qu'Alexandre garde secrètes, elle lui prodigue ses conseils et le met en garde contre les dangers auxquels l'expose notamment sa prodigalité. Elle reçoit de généreux présents après les victoires de son fils.


title: Olympias

text: Olympias a interféré dans les affaires publiques tout en conservant l'affection de son fils jusqu'à la fin. Son inquiétude quant au manque d'intérêt apparent de son fils envers les femmes l'a amenée à l'encourager à avoir des relations avec la courtisane Callixine. Nous savons néanmoins peu de choses sur ses activités en Macédoine pendant l'absence de son fils, qu'elle ne reverra plus après son départ en Asie. Elle le met d'abord en garde par lettre contre Alexandre de Lyncestide . Elle fait une dédicace à Hygie à Athènes en 333 av. J.-C. et la consécration du butin à Delphes vers 331-330. C'est à cette époque, qu'elle témoigne à son fils des conflits qui l'opposent au régent Antipater, sans doute après qu'il est revenu du Péloponnèse. Elle est contrainte de s'exiler en Épire (331) qu'elle gouverne au nom d'un de ses petits-fils, né de sa fille Cléopâtre et de son frère Alexandre le Molosse, renvoyant sa fille en Macédoine à un moment donné après 330. Alexandre finit par prendre parti pour sa mère, probablement pour des raisons d'ordre politique plutôt que sentimental, parce qu'il est sensible au danger que représente un accroissement excessif du pouvoir d'Antipater, et non parce qu'il ne supporte pas de voir sa mère offensée.


title: Olympias

text: La mort d'Alexandre en juin 323 av. J.-C. ne met pas fin à ses ambitions. Elle cherche à marier sa fille Cléopâtre, devenue veuve, à Léonnatos puis à Perdiccas. À la mort d'Antipater en 319, elle s'allie au nouveau régent de Macédoine, Polyperchon, lequel a besoin de son autorité pour vaincre Cassandre, le fils d'Antipater. Elle écrit à Eumène de Cardia, le stratège de la régence en Asie, pour lui demander, en vain, de revenir en Europe afin d'assurer la protection du jeune roi. Elle écrit aussi à Nicanor, le commandant de Munychie, pour lui ordonner de restaurer le fort et Le Pirée aux Athéniens, mais ses ordres ne sont pas respectés.


title: Olympias

text: Puis, avec l'aide de son cousin Éacide, elle marche contre la Macédoine où sa seule présence fait fuir ses adversaires à Euia ; elle complète sa victoire en mettant à mort Philippe III et son épouse Eurydice ainsi qu'en se vengeant de ses ennemis politiques (317). Elle assure dès lors la "protasie" d'Alexandre IV et protège les proches d'Alexandre, dont Roxane. Mais Cassandre entreprend le siège d'Olympias dans Pydna, sans qu'Éacide et Polyperchon n'interviennent. Une tentative d'évasion a apparemment échoué ; sur le point de mourir de faim, Olympias finit par se rendre à Cassandre contre la promesse d'avoir la vie sauve. Cependant, après avoir obtenu, pour la première fois, l'approbation de l'Assemblée des Macédoniens, Cassandre la fait mettre à mort par lapidation par des proches de ses victimes en 316.


title: Olympias

text: Olympias occupe une place importante dans le "Roman d'Alexandre" du pseudo-Callisthène. Le début du roman narre la relation fictive de la reine avec le pharaon déchu Nectanébo, réfugié en Macédoine après l'occupation de l'Égypte par les Perses. Celui-ci lui prédit qu'elle sera enceinte d'Ammon, le dieu des dieux, et se fait l'instrument de la volonté divine. Elle a perdu sa face obscure et inquiétante qui la marque chez les historiens pour devenir une plaisante figure féminine. Dans la suite du "Roman", Olympias apparaît comme un modèle d'amour maternel et de tendresse.


title: Olympias

text: Au cinéma, Danielle Darrieux a incarné Olympias dans "Alexandre le Grand" réalisé par Robert Rossen en 1955. Olympias a également été incarnée par Angelina Jolie dans "Alexandre", réalisé par Oliver Stone en 2005.


title: Olympias

text: Elle est l'un des personnages du "Lion de Macédoine", livre de fantasy de David Gemmell. Elle est la mère d'Alexandre et a donné naissance au Dieu Noir sur l'île de Samothrace lors de son initiation aux mystères.


title: Olympias

text: Elle figure parmi les 1 038 femmes référencées dans l'œuvre d’art contemporain "The Dinner Party" (1979) de Judy Chicago. Son nom y est associé à Boadicée.


title: Introduction en bourse

text: Une introduction en bourse ( ou IPO) est une opération financière conduite par une société et ses différents conseils (banquier d'affaires, commissaire aux comptes, avocat d'affaires, etc.) qui permet la cotation de titres de capital [actions] de cette entreprise sur un marché boursier. Elle est généralement couplée à une levée de fonds (augmentation de capital) et parfois à des cessions d'actions détenues par des actionnaires.


title: Introduction en bourse

text: Le consensus propre à une époque historique en matière de politique économique favorise aussi le phénomène (privatisation versus nationalisation).


title: Introduction en bourse

text: Afin de pallier certains des inconvénients d'une introduction en bourse, une entreprise peut décider à la place de fusionner avec un SPAC.


title: Introduction en bourse

text: La surallocation ou option de surallocation désigne une technique boursière qui permet de contrôler les variations d'une action lors de son introduction en bourse. L'entreprise qui s'introduit en bourse accorde une option de surallocation à la banque chef de file, portant sur davantage d'actions que prévu. Ainsi, en cas de forte demande de la part des investisseurs, la banque pourra en exerçant son option allouer plus de titres ou d'obligations aux investisseurs.


title: Rumsteck

text: Le rumsteck, rumsteak, romsteck ou romsteak (de l'anglais "rump steak", littéralement « steak de la croupe ») est un morceau de découpe du bœuf. Il est, tout comme le sont aussi le faux-filet et l'entrecôte, d'un prix élevé et principalement mangé en grillade.


title: Rumsteck

text: Jusqu'au , le rumsteck était en France appelé la "culotte" (voir ) mais, à un certain moment du , le mot « culotte » fut dans l'usage quotidien définitivement remplacé par le terme d'origine anglaise "rump steak". Par la suite, l'orthographe de "rump steak" se francisa très irrégulièrement, en donnant les quatre orthographes aujourd'hui admises : « rumsteck », « rumsteak », « romsteck » ou « romsteak ».


title: Rumsteck

text: En France on accompagne souvent un rumsteck avec des frites ou des haricots verts, avec ou sans sauce (béarnaise, au vin rouge, bordelaise, bourguignonne, au poivre, au roquefort etc.), avec ou sans condiment (moutarde de Dijon, de Meaux, de Bordeaux etc.) et très souvent avec un vin rouge comme boisson d'accompagnement.


title: Rumsteck

text: Terme usité en Angleterre et en général dans le Commonwealth, le "rump steak" correspond au "sirloin" dans l'anglais américain. Par ailleurs, ce qui dans l'anglais britannique est appelé « "sirloin" », les Américains l'appellent « "porterhouse" ». Un morceau situé au cœur du rumsteck s'appelle la « langue de chat ».


title: Le Manuscrit inachevé

text: Le roman débute par une épigraphe imaginée par Maurice Leblanc dans "Arsène Lupin contre Herlock Sholmès" :


title: Le Manuscrit inachevé

text: Aux alentours de Grenoble, une voiture finit sa trajectoire dans un ravin après une course-poursuite avec la douane. Dans le coffre, le corps d’une femme. À la station-service où a été vu le conducteur pour la dernière fois, la vidéosurveillance est claire : l’homme n'est pas le propriétaire du véhicule.


title: Le Manuscrit inachevé

text: Léane Morgan, institutrice reconvertie en reine du thriller a toujours tenu sa vie privée secrète. Sa vie ? Un mariage dont il ne reste rien sauf un lieu, L’Inspirante, villa posée au bord des dunes de la Côte d’Opale, et le traumatisme de l'enlèvement de sa fille Sarah. L'agression soudaine de son mari va faire resurgir le pire des quatre dernières années écoulées.


title: Le Manuscrit inachevé

text: Au travers de l'héroïne, elle-même romancière, l'auteur en profite pour rendre hommage à quelques uns de ses mentors : Stephen King, Maurice Leblanc, Arthur Conan Doyle, Agatha Christie et bien d'autres.


title: Le Manuscrit inachevé

text: Une énigme faite de mots soulignés a été laissée par Caleb. La nature de ces mots permettrait d'aider à la compréhension finale.


title: Le Manuscrit inachevé

text: L'auteur propose une autre fin, la « vraie fin » écrite de la main de Caleb et non de son fils, à la fin de son roman suivant "Il était deux fois".


title: D'un château l'autre

text: D'un château l'autre est un roman de Louis-Ferdinand Céline publié en 1957 aux éditions Gallimard. Il dresse un parallèle entre la vie de Céline contemporaine à l'œuvre — en tant que médecin et écrivain, pauvre, maudit et boudé par sa clientèle — et sa vie à Sigmaringen où se sont réfugiés le gouvernement vichyste en exil et de nombreux collaborateurs devant l'avancée de l'armée du général Leclerc.


title: D'un château l'autre

text: Comme toujours depuis "Mort à crédit", ce roman s'ouvre sur les descriptions d'un Céline aigri qui se plaint de sa condition : les traîtrises des divers éditeurs qu'il voudrait voir s'étriper, ses haines à l'égard de ceux qui représentent l'intelligentsia de l'époque — « Tartre » (Jean-Paul Sartre), « Larengon » (Louis Aragon) ou encore André Malraux, André Maurois ou Paul Morand —, sa vie de médecin boudé par sa clientèle. Pourtant, au-delà des aigreurs, Céline se réjouit de la fidélité de quelques clients, et notamment Niçois, dont l'appartement fait face à une voie fluviale au bord de laquelle il croise le chemin de son ancien ami Robert Le Vigan (« La Vigue » dans le roman), reconverti en locataire d'une péniche, "La publique". L'entrevue des deux anciens compères donne lieu à un échange verbal cru et agressif qui, combiné au froid de l'hiver, rend le Docteur Céline souffreteux.


title: D'un château l'autre

text: Alité, malade, Céline commence à décrire la vie à Sigmaringen (écrit "Siegmaringen" dans le roman - "" signifiant victoire en allemand), passant d'un château à l'autre sans transition (d'où la syntaxe étrange du titre) : du château symbolique de sa demeure en banlieue parisienne au château de Sigmaringen, abritant le gouvernement de Vichy en exil. Cette deuxième partie du roman laisse place au rêve, à la fantaisie et à la description du grotesque de la vie des réfugiés vichystes français. Résidant au "Löwen", nourri de "Stammgericht" (« plat standard », écœurant, à base de choux rouges et de raves, prodigieusement laxatif), affecté à Sigmaringen en tant que médecin, Céline décrit les péripéties de la France collaboratrice. Tout y est description du ridicule ambiant : la promenade journalière du maréchal Pétain, toute baignée de protocole, la rigidité des Allemands, les rêves fous des idéalistes ou encore d'artistes espérant encore la victoire de l'Allemagne, les orgies entre militaires, jeunes filles en fleur et réfugiées, la misère humaine due à l'absence de service sanitaire et à la restriction des médicaments, les institutions réduites à des scènes de théâtre ou encore les entreprises vouées à l'échec pour préserver un semblant de dignité (voyage officiel aux obsèques de Bichelonne à Hohenlychen, réceptions officielles, etc.). Cette partie, où l'on croise plusieurs figures historiques (Pétain, Pierre Laval, Otto Abetz, Fernand de Brinon, Alphonse de Châteaubriant, Jean Bichelonne…), sans ligne narrative précise, est un ensemble hétéroclite de saynètes et de descriptions loufoques renforçant l'idée de chaos inhérent à la débâcle des derniers pontes du collaborationnisme et des fidèles de Vichy, tout en étant un parallèle à la situation maladive de Céline, à laquelle il est fait référence par quelque endroit. Le récit se clôt sur le rétablissement de Céline et l'actualité de sa malade Niçois laissant supposer le récit fait des aventures à Sigmaringen comme une digression, comme une parenthèse dans l'Histoire.


title: D'un château l'autre

text: À l'occasion de la sortie du livre, un entretien avec Louis-Albert Zbinden est enregistré pour la Radio suisse romande le jeudi . À la question « pourquoi il a fait paraître cet ouvrage », Céline répond : « il faut bien le confesser, une fois de plus, pour des raisons économiques ».


title: Géométrie riemannienne

text: La géométrie riemannienne est une branche de la géométrie différentielle nommée en l'honneur du mathématicien Bernhard Riemann, qui introduisit les concepts fondateurs de variété géométrique et de courbure. Il s'agit de surfaces ou d'objets de plus grande dimension sur lesquels existent des notions d'angle et de longueur, généralisant la géométrie traditionnelle qui se limitait à l'espace euclidien. La géométrie riemannienne étend les méthodes de la géométrie analytique en utilisant des coordonnées locales pour effectuer les calculs dans des domaines spatiaux limités, mais elle recourt fréquemment aux outils de la topologie pour passer à l'échelle de l'espace entier. De façon précise, la géométrie riemannienne a pour but l'étude locale et globale des variétés riemanniennes, c'est-à-dire les variétés différentielles munies d'une métrique riemannienne, voire des fibrés vectoriels riemanniens.


title: Géométrie riemannienne

text: Les concepts les plus notables de la géométrie riemannienne sont la courbure de l'espace étudié et les géodésiques, courbes résolvant un problème de plus court chemin sur cet espace.


title: Géométrie riemannienne

text: Il existe aussi des variétés pseudo-riemanniennes, généralisant les variétés riemanniennes, qui en restent assez proches par bien des aspects, et qui permettent notamment de modéliser l'espace-temps en physique.


title: Géométrie riemannienne

text: Pendant de nombreux siècles, le cadre naturel de la géométrie est la géométrie euclidienne du plan ou de l'espace. Les infructueuses tentatives de démonstration du postulat des parallèles ont aidé les géomètres à imaginer les moyens de dépasser ce cadre. Ainsi Lobatchevski en 1829 et Bolyai en 1832 introduisent les premiers exemples de géométrie non euclidienne. Les espaces à géométrie hyperbolique qu'ils construisent sont maintenant vus comme des cas particuliers de variétés riemanniennes "à courbure négative".


title: Géométrie riemannienne

text: Quelques années auparavant, Gauss étudie la géométrie différentielle des surfaces de l'espace euclidien. Il introduit pour les décrire une quantité


title: Géométrie riemannienne

text: fondamentale, la courbure de Gauss. Il réalise que cette courbure peut être calculée sans faire intervenir l'espace ambiant, directement à partir d'informations disponibles sur la surface, théorème qu'il qualifie de "remarquable" (theorema egregium). Gauss passe lui-même tout près de la découverte de la géométrie hyperbolique.


title: Géométrie riemannienne

text: Le premier pas de la géométrie riemannienne proprement dite remonte aux travaux de Bernhard Riemann au dix-neuvième siècle et en particulier lors d'une conférence inaugurale intitulée "Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen" (soit en français : "Sur les hypothèses sous-jacentes à la géométrie"). C'est une généralisation directe de la géométrie différentielle des surfaces de Gauss en "n" dimensions. Cette nouvelle démarche a largement étendu l'idée de géométrie non euclidienne, même si son cadre conceptuel a mis plusieurs décennies à se mettre en place.


title: Géométrie riemannienne

text: La deuxième moitié du verra surtout s'affiner la compréhension de la géométrie hyperbolique, à travers l'introduction et l'analyse de différents modèles de représentation, qui trouveront une application en relativité restreinte. Différents outils apparaissent, qui prouveront progressivement leur grande importance. Ainsi la théorie des groupes et algèbres de Lie apparaît dans les années 1870, alors que parallèlement Felix Klein souligne l'importance du concept de groupe en géométrie dans son programme d'Erlangen. Ulisse Dini prouve son théorème des fonctions implicites qui sera un prélude indispensable à la formalisation des variétés. Henri Poincaré développe profondément le champ de la topologie, et introduit notamment le groupe fondamental.


title: Géométrie riemannienne

text: Un pas décisif est franchi lorsque Gregorio Ricci-Curbastro et Tullio Levi-Civita développent le calcul tensoriel dans leur ouvrage "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications" paru en 1900. Si le cadre "spatial" n'est pas encore totalement éclairci, les calculs progressent grandement grâce aux tenseurs. Une application très profonde est trouvée lorsqu'Einstein, initié aux nouvelles géométries et à ce calcul tensoriel par son ami Marcel Grossmann, les met au service de sa théorie de la relativité générale en 1916.


title: Géométrie riemannienne

text: De 1902 au milieu des années 1930, de nombreuses tentatives de formalisation de la notion de variété différentielle ont lieu. Cette quête se conclut avec la publication du théorème de plongement de Whitney en 1936. La géométrie riemannienne possède enfin un cadre clair.


title: Géométrie riemannienne

text: La classification des espaces symétriques par Élie Cartan en 1926 est un des premiers grands résultats de géométrie riemannienne. Dans les années 1930 sont publiés les premiers théorèmes généraux sur les variétés à courbure positive (théorème de Bonnet-Schoenberg-Myers, théorème de Synge).


title: Géométrie riemannienne

text: Le théorème de la sphère établi en 1960 marque une forme d'apogée des conceptions classiques à base de théorèmes de comparaisons. S'amorce alors un renouveau de la géométrie riemannienne. Il est marqué par le développement des méthodes de la géométrie spectrale, aiguillonné par la célèbre formule de Mark Kac "", et dont les liens avec la recherche de géodésiques périodiques sont mis à jour. Dans les années 1980 Mikhail Gromov introduit une notion de distance entre les variétés riemanniennes et prouve des résultats de convergence féconds. À la même époque Richard Hamilton commence à développer l'étude du "flot de Ricci", lançant un programme de démonstration de résultats topologiques par la géométrie riemannienne par des méthodes de déformation de métriques. Ce programme connaît de grandes réussites, avec la preuve de la célèbre conjecture de Poincaré par Perelman en 2003 et une généralisation puissante du théorème de la sphère (le "théorème de la sphère différentielle") en 2007.


title: Géométrie riemannienne

text: Les notions fondamentales de la géométrie riemannienne, comme la courbure, trouvent progressivement un cadre d'utilisation bien plus large que celui des variétés riemanniennes proprement dites, et s'étendent sous des formes plus ou moins complexes aux espaces métriques. Gromov définit ainsi les espaces CAT(k) de Cartan-Alexandrov-Toponogov ou encore des notions de théorie géométrique des groupes, comme le groupe hyperbolique. Villani, Lott et Sturm introduisent dans les années 2010 une vision étendue, "synthétique" de la notion de courbure de Ricci minorée à partir d'une formulation de transport optimal sur un espace métrique muni d'une mesure.


title: Géométrie riemannienne

text: L'objet d'étude de la géométrie riemannienne est la variété riemannienne. Il s'agit d'une variété différentielle munie d'une métrique riemannienne, c'est-à-dire d'un champ tensoriel qui permet, en chaque point de la variété, de calculer le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace tangent, et leur norme. Dans un système de coordonnées locales formula_1, ce champ s'exprime en chaque point par une expression de la forme


title: Géométrie riemannienne

text: formula_2 et le produit scalaire de deux champs de vecteurs est donné par formula_3. On note également le tenseur métrique formula_4.


title: Géométrie riemannienne

text: Il existe de nombreux tenseurs g possibles, variant continûment avec la position sur la variété. Cela permet sur une même variété différentielle, d'obtenir des structures riemanniennes très diverses et de définir les notions fondamentales de géodésiques et de courbure, qu'on retrouve notamment en relativité générale.


title: Géométrie riemannienne

text: La métrique riemannienne permet de définir la notion de longueur d'un arc donné par un paramétrage formula_5, par la formule formula_6.


title: Géométrie riemannienne

text: La distance entre deux points est la borne inférieure des longueurs des arcs joignant ces deux points. Une variété riemannienne est donc notamment un espace métrique.


title: Géométrie riemannienne

text: Réciproquement, à partir de l'application distance on peut retrouver la structure différentielle et le tenseur métrique.


title: Géométrie riemannienne

text: La définition qui a été donnée est intrinsèque, c'est-à-dire qu'elle ne fait intervenir que la structure abstraite de variété.


title: Géométrie riemannienne

text: parmi les exemples les plus simples de variétés riemanniennes, il y a les sous-variétés d'un espace euclidien E, munies de la métrique riemannienne induite.


title: Géométrie riemannienne

text: ne coïncide pas avec la distance mesurée dans E. Par exemple, pour le cercle unité dans le plan, la distance riemannienne


title: Géométrie riemannienne

text: correspond à la longueur de l'arc joignant deux points, tandis que la distance mesurée dans le plan est la longueur de la corde.


title: Géométrie riemannienne

text: Sur une variété riemannienne, on peut en outre définir des notions d'aire, de volume tri-dimensionnel, de forme volume (en ajoutant une orientation), etc.


title: Géométrie riemannienne

text: Dans les énoncés, certaines hypothèses topologiques de base sont faites très régulièrement sur les variétés riemanniennes : hypothèses de connexité et de complétude. En termes imagés, la première hypothèse signifie que la variété est "d'un seul tenant", la seconde qu'il n'y a pas de "trou" dans lequel une particule mobile pourrait disparaître en temps fini. On s'intéresse souvent plus spécifiquement aux variétés compactes, pour lesquelles la distance entre les points ne peut pas dépasser une certaine limite. Ces variétés ont un diamètre et un volume finis.


title: Géométrie riemannienne

text: De façon plus précise, la géométrie riemannienne étudie les variétés riemanniennes à isométrie près : le résultat de cette identification


title: Géométrie riemannienne

text: Le théorème de plongement de Nash affirme que toute variété riemannienne peut être plongée de manière isométrique dans un espace euclidien (de dimension plus grande).


title: Géométrie riemannienne

text: Une variété riemannienne abstraite peut donc également être vue comme une sous-variété d'un espace euclidien. Même si ce résultat permet en théorie de se limiter aux sous-variétés de formula_7, le point de vue des variétés abstraites définies par un atlas s'est imposé comme la bonne façon de travailler en géométrie différentielle, notamment riemannienne.


title: Géométrie riemannienne

text: Les opérations classiques sur les variétés différentielles s'étendent au cas riemannien : le transport de structure par difféomorphisme,


title: Géométrie riemannienne

text: Il est possible de s'intéresser à des variétés riemanniennes de dimension infinie, modelées sur un espace de Hilbert au lieu d'un espace euclidien.


title: Géométrie riemannienne

text: Une autre extension de la géométrie riemannienne, déjà imaginée par Riemann, consiste à introduire des métriques plus générales


title: Géométrie riemannienne

text: La géométrie sous-riemannienne est une extension de la géométrie riemannienne qui intègre la notion de contraintes : la mesure des distances se fait en considérant seulement les courbes tangentes à une famille d'espaces dits "horizontaux".


title: Géométrie riemannienne

text: Enfin, si on travaille avec un tenseur métrique symétrique, défini, mais non forcément positif, on entre dans le domaine des géométries pseudo-riemanniennes,


title: Géométrie riemannienne

text: avec notamment le cas particulier de la géométrie lorentzienne, cadre dans lequel est formulée la théorie de la relativité générale.


title: Géométrie riemannienne

text: On peut également sortir du cadre des variétés. Ainsi la façon dont les distances sont introduites en géométrie riemannienne, à partir de la longueur des courbes,


title: Géométrie riemannienne

text: Les géodésiques permettent de répondre à la recherche des plus courts chemins entre deux points, comme le font les droites dans l'espace euclidien. En réalité leurs propriétés sont plus complexes que celles des droites et il convient de distinguer ce qui peut être dit d'un point de vue local, ou de façon plus globale.


title: Géométrie riemannienne

text: Les géodésiques sont définies de façon générale en recourant au calcul des variations. On considère deux points "x" et "y" et l'on étudie la fonctionnelle longueur


title: Géométrie riemannienne

text: sur toutes les courbes reliant "x" à "y" à vitesse uniforme. Les courbes qui représentent les points critiques de cette fonctionnelle sont qualifiées de géodésiques.


title: Géométrie riemannienne

text: On peut de façon équivalente caractériser ces géodésiques par une équation différentielle faisant intervenir le vecteur vitesse formula_8, le tenseur g et ses dérivées. On peut aussi introduire ces géodésiques comme les points critiques de l'énergie et les imaginer


title: Géométrie riemannienne

text: Ceci montre que les géodésiques ne réalisent pas toujours la distance minimum entre deux points : pour aller d'un point à un autre, on peut suivre l'arc de grand cercle le plus court ou le plus long, voire les parcourir plusieurs fois. Il n'y a pas non plus unicité du plus court chemin comme on le voit avec deux points diamétralement opposés.


title: Géométrie riemannienne

text: Cependant au niveau local, la situation est bien plus simple. On peut affirmer de façon générale que les géodésiques sont « localement minimisantes » : entre deux de leurs points, pris suffisamment proches, elles réalisent un minimum pour la longueur. Partant d'un point x donné, il existe une unique géodésique de vecteur tangent donné. On peut en fait introduire une carte adaptée centrée en x. Elle est définie par l'application exponentielle en x qui consiste à suivre chacune des géodésiques issues de x pendant un temps unité. Il y correspond des coordonnées locales adaptées, appelées coordonnées normales.


title: Géométrie riemannienne

text: Pour formuler des résultats globaux, on se placera uniquement dans le cas d'une variété connexe et complète. Dans ce cas, les géodésiques peuvent être prolongées pour tout temps, mais avec des comportements globaux variables (périodicité ou non par exemple). Par ailleurs, entre deux points donnés il existe toujours au moins une géodésique qui réalise le minimum de la longueur : tout ceci constitue le théorème de Hopf-Rinow.


title: Géométrie riemannienne

text: En géométrie riemannienne, même si les géodésiques généralisent les droites de la géométrie euclidienne, on ne retrouve plus les mêmes


title: Géométrie riemannienne

text: résultats concernant les calculs de longueurs, d'angles, de surfaces des objets les plus simples (triangles géodésiques, cercles ou sphères...). Ainsi la somme des angles d'un triangle 180°, le résultat en géométrie euclidienne.


title: Géométrie riemannienne

text: Dans le cas des surfaces de l'espace euclidien formula_9, la courbure est appelée courbure de Gauss. Elle se mesure en chaque point sous la forme d'un scalaire. En un point de courbure positive, la géométrie de la surface ressemble localement à celle d'un ellipsoïde de formula_9, et en un point de courbure négative à un hyperboloïde. Un important résultat de Gauss, son theorema egregium, énonce que la courbure peut être entièrement déterminée à partir de la métrique de la surface, c'est-à-dire qu'elle ne dépend pas de la manière dont la surface peut être plongée dans l'espace tridimensionnel.


title: Géométrie riemannienne

text: Plus généralement, on peut, pour toute variété riemannienne, construire un objet complexe appelé tenseur de courbure de Riemann. En coordonnées locales, l'expression de ce tenseur fait intervenir les composantes de g, et leurs dérivées premières et secondes. Le tenseur de courbure est un objet assez complexe à appréhender. Par contraction avec le tenseur métrique on construit des objets plus simples, le tenseur de courbure de Ricci et la courbure scalaire, qui véhiculent une partie importante de l'information.


title: Géométrie riemannienne

text: Une façon de se représenter la notion de courbure est de donner la courbure sectionnelle suivant les différents 2-plans de l'espace tangent à la variété. Il s'agit de la courbure de Gauss de la surface formée par les géodésiques issues de ces deux plans. Cette façon de présenter l'information est équivalente à la donnée du tenseur de courbure.


title: Géométrie riemannienne

text: L'idée générale est qu'une courbure sectionnelle positive indique une tendance des géodésiques à se rapprocher les unes des autres, une courbure négative donne une tendance à l'écartement mutuel.


title: Géométrie riemannienne

text: Deux notions techniques étroitement liées à la courbure et à la recherche de géodésiques sont la connexion affine et le transport parallèle le long d'une courbe.


title: Géométrie riemannienne

text: Ce sont des procédés qui permettent de relier des vecteurs appartenant à des espaces tangents en des points distincts de la variété et, par suite, de dériver des champs de vecteurs.


title: Géométrie riemannienne

text: Sur une variété différentielle générale, il n'y a pas de moyen privilégié de faire cela. Il n'est par exemple pas possible de donner un sens au vecteur accélération d'une courbe tracée sur la variété.


title: Géométrie riemannienne

text: La propriété très remarquable des variétés riemanniennes, que Marcel Berger n'hésite pas à qualifier de « miracle », est qu'il existe une connexion naturellement associée à la métrique, la connexion de Levi-Civita.


title: Géométrie riemannienne

text: On montre en effet qu'il existe une unique connexion qui conserve la structure euclidienne quand elle relie les différents espaces tangents et qui donne des différentielles secondes symétriques : cet énoncé qui au rôle fondateur est appelé le théorème fondamental de la géométrie riemannienne. A l'aide de la connexion de Levi-Civita, il est possible de « transporter » un vecteur tangent le long d'une courbe donnée.


title: Géométrie riemannienne

text: La figure ci-contre montre un exemple d'un tel transport. Mais on peut, plus généralement, faire du calcul différentiel à tout ordre sur tous types de tenseurs.


title: Géométrie riemannienne

text: Le tenseur de courbure de Riemann est défini à partir de la connexion de Levi-Civita, elle-même issue de la métrique g. Dans cette présentation, la courbure peut s'interpréter comme la mesure infinitésimale du défaut de retour à l'origine pour un vecteur qui serait transporté le long d'une courbe fermée.


title: Géométrie riemannienne

text: Certains exposés de géométrie riemannienne introduisent également les géodésiques à partir de la notion de connexion.


title: Géométrie riemannienne

text: Il est également possible de construire une généralisation du laplacien pour le cadre riemannien : c'est l'opérateur de Laplace-Beltrami. Il peut être appliqué aux fonctions, ou plus généralement, aux formes différentielles, en utilisant la dualité de Hodge.


title: Géométrie riemannienne

text: La sphère de dimension n S peut être introduite comme l'ensemble des vecteurs de norme donnée dans un espace euclidien de dimension n+1, muni de la métrique induite.


title: Géométrie riemannienne

text: On précise parfois qu'il s'agit de la "sphère ronde" ou "sphère euclidienne standard" pour la distinguer des sphères exotiques ou des autres choix de métriques possibles. Il s'agit d'une variété à courbure constante, strictement positive. Elle admet pour géodésiques les grands cercles, et les géodésiques issues d'un point ont la particularité de toutes se recouper au point antipodal.


title: Géométrie riemannienne

text: L'identification entre un point et son antipode donne naissance à l'espace projectif réel qui est lui aussi de courbure constante. On peut plus généralement obtenir tous les espaces de courbure constante positive comme quotients de la sphère par un groupe d'isométries agissant discrètement sur la sphère.


title: Géométrie riemannienne

text: De la même façon, l'espace euclidien et ses quotients par des groupes d'isométries fournissent des exemples de variétés à courbure constamment nulle,


title: Géométrie riemannienne

text: qualifiées de variétés plates. On obtient ainsi en fait tous les cas, et on peut noter à titre d'exemple le cylindre, le tore « plat » (qui ne peut pas être plongé isométriquement dans l'espace euclidien formula_9) et leur généralisation en toute dimension... On peut même affirmer que toutes les variétés plates compactes sont des quotients finis du tore (théorème de Bieberbach).


title: Géométrie riemannienne

text: Pour la courbure égale à une constante négative, l'espace modèle est moins familier. Il s'agit de l'espace hyperbolique, dont on peut donner diverses représentations isométriques entre elles : disque ou demi-plan de Poincaré, hyperboloïde de Lorentz ou disque de Klein. Là encore les variétés à courbure constante négative s'obtiennent par quotient à partir de cet exemple.


title: Géométrie riemannienne

text: Par le théorème d'uniformisation de Poincaré, toute variété riemannienne de dimension 2 peut être ramenée, par bijection conforme, à une métrique à courbure constante.


title: Géométrie riemannienne

text: L'espace projectif complexe de dimension n, formula_12, peut être vu comme une variété différentielle, quotient de la sphère de dimension 2n+1 par l'action du groupe unitaire U(1)=S. La métrique induite à partir de la métrique "ronde" sur la sphère par ce passage au quotient est appelée métrique de Fubini-Study.


title: Géométrie riemannienne

text: L'espace projectif complexe est un exemple de variété kählérienne compacte, c'est-à-dire qu'elle dispose à la fois d'une structure riemannienne et d'une structure complexe, et d'une structure symplectique qui se déduit des deux précédentes.


title: Géométrie riemannienne

text: La courbure sectionnelle varie entre 1 et 4, selon la formule formula_13 où formula_14 est une famille orthonormale de vecteurs tangents et formula_15 est l'opérateur de la structure complexe. Cette courbure est la plus forte (4) pour les 2-plans holomorphes, c'est-à-dire tels que formula_16 est colinéaire à formula_17, elle vaut 1 lorsqu'à l'opposé formula_16 et formula_17 sont orthogonaux. Par ailleurs, le tenseur de Ricci est proportionnel au tenseur métrique, ce qui fait de l'espace projectif complexe un exemple de variété d'Einstein.


title: Géométrie riemannienne

text: Dans son ouvrage " A Panoramic View of Riemannian Geometry", le géomètre Marcel Berger propose de présenter les nombreux résultats de géométrie riemannienne sous forme d'un panorama succinct tenant en une page. Il distingue ainsi les propriétés topologiques et leurs liens avec la courbure, les propriétés métriques, les aspects quantiques de l'étude des variétés riemanniennes, ainsi que les aspects dynamiques. Toutes ces thématiques sont bien entendu interconnectées.


title: Géométrie riemannienne

text: En géométrie euclidienne, on peut calculer la longueur d'un côté du triangle à l'aide des longueurs des deux autres côtés et de l'angle qu'ils forment.


title: Géométrie riemannienne

text: Sur une variété riemannienne on peut considérer des triangles géodésiques, mais la formule euclidienne n'est plus vérifiée ; elle fournit une estimation asymptotique au premier ordre sur des triangles infiniment petits, et la courbure sectionnelle donne le terme correctif d'ordre 2.


title: Géométrie riemannienne

text: de comparaison : lorsqu'on dispose d'un encadrement de la courbure sectionnelle entre deux constantes m et M, on peut encadrer la longueur du troisième côté


title: Géométrie riemannienne

text: entre la valeur qu'elle aurait sur une variété de courbure constante m et celle sur une variété de courbure constante M.


title: Géométrie riemannienne

text: Une courbure sectionnelle minorée par une constante strictement positive formula_20 impose une forme de refermement des géodésiques.


title: Géométrie riemannienne

text: Le théorème de Bonnet-Schoenberg-Myers en donne conséquence globale : la variété possède un diamètre, qui est majoré par formula_21.


title: Géométrie riemannienne

text: En sens inverse, on pourrait s'attendre à ce que disposer d'une majoration de la courbure donne un contrôle sur le non refermement des géodésiques. La situation est plus complexe que cela, puisque sur le tore plat par exemple, il existe une géodésique fermée qui peut être de longueur très petite (elle varie suivant les dimensions du tore).


title: Géométrie riemannienne

text: On introduit un nouvel outil de contrôle de la métrique, le rayon d'injectivité. Si ce rayon d'injectivité vaut r, l'application exponentielle en chaque point


title: Géométrie riemannienne

text: est injective sur la boule B(0,r) de l'espace tangent en m. Elle constitue même un difféomorphisme de cette boule sur la boule B(m,r) pour la métrique de la variété. Un théorème de Klingenberg de 1959 montre que sur une variété compacte à courbure sectionnelle majorée par formula_22, le rayon d'injectivité est soit plus grand que


title: Géométrie riemannienne

text: Certains des résultats précédents peuvent être généralisés en ayant uniquement un contrôle sur la courbure de Ricci, ce qui est une hypothèse moins forte. Précisément, l'invariant pertinent est la plus basse valeur propre de la courbure de Ricci. De façon assez naturelle, cet invariant permet de contrôler le comportement du volume. Ainsi l' fournit un théorème de comparaison des volumes des boules géodésiques lorsqu'on compare les courbures de Ricci au cas des espaces à courbure constante.


title: Géométrie riemannienne

text: De façon plus inattendue, Mikhail Gromov a initié un programme de recherche de bornes pour les différents invariants riemanniens ne faisant intervenir que la dimension de la variété, son diamètre et la valeur propre minimale de la courbure de Ricci.


title: Géométrie riemannienne

text: Une des directions de recherche importantes en géométrie riemannienne est l'établissement d'inégalités globales entre les grandeurs métriques, sans faire intervenir la maîtrise locale de la courbure. On peut ainsi, pour toute variété compacte de dimension "d", comparer directement volume et rayon d'injectivité, élevé à la puissance d-ième pour que cette comparaison ait un sens. Ainsi Berger a prouvé en 1980 que pour toute variété compacte, on peut minorer le rapport de ces deux grandeurs, et cela en ne faisant intervenir que la dimension "d". Il propose d'appeler constante embolique de la variété la borne inférieure sur toutes les métriques


title: Géométrie riemannienne

text: et démontre que cette constante est toujours supérieure à celle de la sphère, tandis que dans le cas de la sphère, c'est la métrique standard qui réalise la borne inférieure. La valeur des constantes emboliques en dimension 3 et plus, même pour des variétés très simples, n'est pas connue.


title: Géométrie riemannienne

text: Une autre grandeur métrique sur laquelle on recherche des inégalités et une comparaison avec le volume est la systole, c'est-à-dire la longueur


title: Géométrie riemannienne

text: minimale d'une courbe non contractile (toujours élevée à la puissance "d"). Le cas des surfaces a été abondamment étudié, ainsi l'inégalité torique de Loewner répond à la question dans le cas du tore et peut être vue comme une forme d'inégalité isopérimétrique. Il n'est pas possible de trouver une minoration universelle analogue à celle évoquée pour les constantes emboliques et la sphère, comme le montre le cas des produits formula_25. Cependant Gromov a prouvé en 1983 une inégalité pour une large classe de variétés compactes de dimension "d", les variétés essentielles.


title: Géométrie riemannienne

text: Dans le cas des surfaces compactes, le lien entre la courbure et la topologie est donné par la célèbre formule de Gauss-Bonnet. L'intégrale de la courbure (scalaire, ou sectionnelle, cela revient au même) suffit alors à décrire la variété. Mais en dimension plus grande, la situation est plus complexe.


title: Géométrie riemannienne

text: Sous des hypothèses de positivité de la courbure, on peut également tirer des conclusions sur la topologie.


title: Géométrie riemannienne

text: Si la courbure est minorée par une constante strictement positive, une conséquence du théorème de Bonnet-Schoenberg-Myers est que la variété est compacte,


title: Géométrie riemannienne

text: avec un groupe fondamental fini. Le théorème de Synge décrit plus précisément la situation dans le cas d'une dimension paire.


title: Géométrie riemannienne

text: Il existe des variétés riemanniennes non compactes à courbure positive (à titre d'exemple : les paraboloïdes ou les cylindres de l'espace euclidien). Pour une telle variété M, si la courbure reste strictement positive, la variété est difféomorphe à formula_7.


title: Géométrie riemannienne

text: Si la courbure est positive au sens large, M possède une "âme", c'est-à-dire une sous-variété totalement géodésique telle que M est difféomorphe au fibré normal à cette sous-variété. C'est un théorème de Cheeger-Gromoll de 1972.


title: Géométrie riemannienne

text: Si la variété est à courbure négative, le théorème de Cartan-Hadamard prouve que l'application exponentielle en un point m quelconque fournit un revêtement de la variété. Si elle est simplement connexe, la variété est donc difféomorphe à formula_7. Et de façon plus générale, une variété à courbure négative peut être vue comme un quotient de formula_7 par un groupe discret.


title: Géométrie riemannienne

text: Sur une variété compacte à courbure strictement négative, le groupe fondamental est finiment engendré mais à croissance exponentielle.


title: Géométrie riemannienne

text: Sous des hypothèses de courbure suffisamment fortes, il est possible de caractériser la topologie de la variété sous-jacente, voire sa structure différentielle.


title: Géométrie riemannienne

text: Le résultat le plus célèbre est sans doute le théorème de la sphère établi en 1960 par Rauch, Berger et Klingenberg, et selon lequel une variété complète et simplement connexe dont la courbure reste dans un intervalle de la forme ]A,4A] avec A>0 est homéomorphe à une sphère.


title: Géométrie riemannienne

text: Le cas limite où la courbure est dans [A,4A] est également caractérisé. Cette hypothèse sur la courbure est souvent qualifiée de "pincement" dans la littérature.


title: Géométrie riemannienne

text: Ce résultat a été considérablement étendu en 2007 par Brendle et Schoen, avec une hypothèse moins forte de pincement "ponctuel" (rapport entre les courbures sectionnelles maximale et minimale en un même point) et une conclusion plus forte : la variété est difféomorphe à la sphère ordinaire.


title: Géométrie riemannienne

text: En 1978 puis 1982, Gromov et Ruh obtiennent une caractérisation des variétés compactes presque plates, c'est-à-dire dont la courbure est "pincée près de 0" (au sens suivant : le produit de la courbure et du carré du diamètre est inférieur à une constante ne dépendant que de la dimension). Cependant il n y a pas que les tores et leurs quotients, on obtient plus généralement une infranilvariété.


title: Géométrie riemannienne

text: Les théorèmes de pincement forment une famille de résultats aux hypothèses très exigeantes et aux conclusions puissantes. Il existe un point de vue plus "grossier" dans lesquels on essaye de montrer que des hypothèses assez lâches sur la courbure permettent déjà de limiter fortement les types topologiques possibles. Ainsi quand on fixe des bornes a priori sur le diamètre et la valeur absolue de la courbure, et une valeur minimale pour le volume, on peut prouver que les variétés qui peuvent porter des métriques respectant ces contraintes sont en nombre fini, à difféomorphisme près.


title: Géométrie riemannienne

text: Gromov a introduit une généralisation de la distance de Hausdorff pour étudier une notion de convergence des métriques riemanniennes modulo les isométries. Il a établi qu'en se plaçant sur l'ensemble des structures vérifiant des bornes du même type que précédemment, on pouvait affirmer que toute suite de métriques admettait une sous-suite convergente, du moins au sens de la régularité formula_29.


title: Géométrie riemannienne

text: Sur les variétés riemanniennes compactes il est possible de procéder à une forme d'analyse harmonique très proche de la théorie des séries de Fourier. On étudie en effet les valeurs propres et vecteurs propres de l'opérateur de Laplace-Beltrami sur les fonctions. Il s'agit des fonctions f et des scalaires formula_30 vérifiant la relation formula_31, et on prouve que les valeurs propres forment une suite infinie formula_32 appelée spectre de la variété. Les différents espaces propres associés sont orthogonaux et de dimension finie, celui associé à formula_33 étant formé des fonctions constantes.


title: Géométrie riemannienne

text: Les fonctions propres du laplacien forment une base hilbertienne permettant de décomposer les fonctions définies sur la variété, et de résoudre des équations aux dérivées partielles (équation de la chaleur, équation d'onde, équation de Schrödinger) par des démarches proches de celles employées dans le cas euclidien : séparation des variables d'espace et de temps et recherche de solutions fondamentales par décomposition sur la base des vecteurs propres du laplacien. S'y ajoutent cependant des difficultés techniques nouvelles.


title: Géométrie riemannienne

text: Le spectre lui-même est un objet d'étude important. Il donne lieu à deux types d'étude classiques : les problèmes directs qui consistent à donner des estimations sur le spectre à partir des autres données géométriques, et les problèmes inverses qui, a contrario, cherchent à retrouver des éléments géométriques à partir du spectre. Un des résultats principaux reliant les deux types de données est la généralisation de la formule asymptotique de Weyl estimant le nombre (compté avec la multiplicité) de valeurs propres inférieures ou égales à formula_30 :


title: Géométrie riemannienne

text: formula_35où formula_36 est le volume de la boule unité standard. Cela permet notamment de donner un équivalent pour formula_37 . Il est également possible de fournir une majoration et une minoration de


title: Géométrie riemannienne

text: formula_37 faisant intervenir notamment la borne inférieure de la courbure de Ricci et respectivement le volume ou le diamètre de la variété. Des estimations plus précises ont été obtenues sur la première valeur propre non nulle, qui fait l'objet d'études spécifiques.


title: Géométrie riemannienne

text: Le problème inverse fait l'objet de recherches actives depuis le début des années 1960, avec l'apparition de la question isospectrale : « deux variétés riemanniennes de même spectre sont-elles isométriques ? », à laquelle Milnor a répondu par la négative en 1964. Il n'y a pas non plus de caractérisation des spectres effectivement réalisables ; en revanche on sait construire sur toute variété compacte de dimension au moins 3 une métrique ayant un spectre imposé jusqu'à un rang donné.


title: Géométrie riemannienne

text: Les géodésiques sont dites fermées quand elles sont périodiques, c'est-à-dire qu'elles repassent par un même point avec un même vecteur vitesse.


title: Géométrie riemannienne

text: Le spectre des longueurs d'une variété compacte est l'ensemble des longueurs de ses géodésiques fermées.


title: Géométrie riemannienne

text: En 1951, Lusternik et Fet montrent que sur toute variété compacte il existe au moins une telle géodésique fermée : c'est le théorème de Lusternik-Fet. Même dans le cas, simple en apparence, de la sphère de dimension 2 munie d'une de ses métriques, il est difficile de préciser le nombre de géodésiques fermées. En 1929, Lusternik et Schnirelmann prouvent qu'on peut toujours trouver au moins trois géométriques fermées géométriquement distinctes et qui sont des courbes simples.


title: Géométrie riemannienne

text: On ne peut en trouver plus, comme le montrent certains ellipsoïdes. Mais si on ne demande plus que ces courbes soient simples, on peut en trouver une infinité, selon un théorème de 1993 de John Franks et Victor Bangert, popularisé par la formule « un million de façons de placer un élastique sur une pomme de terre ».


title: Géométrie riemannienne

text: On sait depuis 1959 que, pour les surfaces de Riemann, spectre des longueurs et spectre du laplacien se déterminent l'un l'autre. La preuve s'appuie sur la formule des traces de Selberg. En dimension plus grande, on peut toujours dire que le spectre du laplacien détermine le spectre des longueurs, d'après un résultat de Colin de Verdière de 1973.


title: Géométrie riemannienne

text: Les géodésiques d'une variété riemannienne peuvent être vues comme des valeurs extrêmales de l'énergie. Elles sont donc solution d'un problème de moindre action et peuvent s'interpréter en termes physiques comme des trajectoires de particules qui ne sont soumises à aucune force. L'étude du flot géodésique permet de préciser la dynamique d'ensemble. Une des questions qui entrent dans ce cadre est l'existence et le comptage des trajectoires périodiques, c'est-à-dire de géodésiques fermées, problème mentionné précédemment.


title: Géométrie riemannienne

text: Les variétés compactes à courbure strictement négatives ont un flot géodésique qui se comporte de façon extrêmement chaotique.


title: Géométrie riemannienne

text: En utilisant la terminologie des systèmes dynamiques, ce flot est ergodique et mélangeant ; en termes imagés, en suivant ce flot sur un temps long, un ensemble donné est « dispersé » de façon équitable dans toute la variété (au sens de la mesure). Savoir s'il est possible de trouver un exemple de variété à courbure positive qui réalise elle aussi l'ergodicité est une question ouverte.


title: Géométrie riemannienne

text: Depuis les années 1980, le champ d'application des flots géométriques s'est considérablement étendu. Celui qui a donné les résultats les plus féconds dans le domaine de la géométrie riemannienne proprement dite est le flot de Ricci, mais d'autres types de flots ont été introduits et ils ont eu également des répercussions dans des domaines tels que la physique théorique, l'analyse d'image ou l'optimisation par exemple. La caractéristique commune des flots géométriques est de ne pas étudier une métrique fixée, mais de déformer les objets géométriques suivant une équation d'évolution qui fait intervenir elle-même des quantités géométriques telles que la courbure.


title: Géométrie riemannienne

text: On arrive ainsi typiquement à des équations d'évolution de type équation aux dérivées partielles paraboliques. On profite ainsi du pouvoir régularisant de ces équations, qui a tendance à « arrondir » la métrique étudiée, à la rapprocher de situations modèles simples.


title: Géométrie riemannienne

text: Le flot de Ricci consiste à partir d'une métrique donnée et à suivre l'équation d'évolution formula_39.


title: Géométrie riemannienne

text: Richard Hamilton a élaboré un plan d'attaque pour avancer vers des résultats de topologie des variétés en petite dimension à l'aide du flot de Ricci, notamment la célèbre conjecture de Poincaré et la conjecture de géométrisation, plus forte. Le premier grand succès de la théorie a été de montrer qu'une variété de dimension 3 à courbure de Ricci strictement positive évolue vers une métrique de courbure constante, en 1982. Deux ans après , un résultat analogue est établi pour les variétés de dimension 4 à opérateur de courbure strictement positif. Une difficulté qui a été résolue progressivement est l'apparition de zones singulières, des "zones d'étranglements" dans lesquelles la métrique s'effondre numériquement en temps fini. Ces singularités ont été analysées et dépassées par des techniques de chirurgie rendues compatibles avec l'équation d'évolution. Les deux plus grands résultats obtenus par le flot de Ricci sont sans doute la preuve de la conjecture de géométrisation par Perelman en 2003 et la généralisation du théorème de la sphère prouvée par Schoen et Brendle en 2007.


title: Géométrie riemannienne

text: Hamilton a également introduit un autre type de flot géométrique sur les variétés compactes, appelé flot de Yamabe. Dans ce cas l'équation d'évolution fait intervenir la valeur moyenne de la courbure scalaire et a l'avantage de conserver la structure conforme. Hamilton a cette fois prouvé un théorème d'existence de la solution pour tout temps et a formulé la conjecture que la métrique converge vers une métrique à courbure scalaire constante, c'est-à-dire une solution du problème de Yamabe. Ce résultat n'a été établi que sous des hypothèses restrictives sur la dimension ou la métrique initiale.


title: Géométrie riemannienne

text: Un autre type de flot géométrique consiste à faire évoluer une variété plongée. Ainsi le permet de rapprocher une surface d'une surface minimale plongée en dimension 3. Ces surfaces minimales correspondent en termes géométriques à une minimisation locale de l'aire (à la façon dont les géodésiques minimisent localement la distance), et on peut les comprendre en termes physiques comme une minimisation de la tension de surface. Plus généralement ce flot peut être utilisé pour des hypersurfaces en toute dimension.


title: Géométrie riemannienne

text: Sur certaines variétés riemanniennes, il est possible d'introduire des structures additionnelles qui sont compatibles avec la structure riemannienne et viennent l'enrichir. On construit ainsi différentes formes de géométries nouvelles (kählérienne, spinorielle, etc.), possédant chacune des propriétés et des objets propres qui complètent le cadre riemannien. Selon des conceptions bien établies depuis le programme d'Erlangen de Félix Klein, à chacune de ces géométries est associée l'action d'un groupe particulier.


title: Géométrie riemannienne

text: Un des exemples les plus simples est le choix d'orientation, quand la variété riemannienne est orientable. Il permet de définir le fibré des repères orthonormaux orientés et la forme volume. Le groupe d'intérêt est alors le groupe spécial orthogonal.


title: Géométrie riemannienne

text: On peut aussi considérer les structures Spin et Spin définies sur certaines variétés riemanniennes orientables. Quand elles existent, elles donnent une sorte de « dédoublement » de la géométrie riemannienne, permettant d'introduire le concept de spineur et un , sorte de racine carrée du laplacien.


title: Géométrie riemannienne

text: Les variétés kählériennes portent trois structures compatibles, qui les font relever de la géométrie riemannienne, de la géométrie symplectique et de la géométrie complexe. Ce domaine d'étude très riche utilise simultanément les outils des trois domaines, et possède des caractéristiques propres, comme les notions de courbure holomorphe et courbure bisectionnelle, ou des opérateurs formula_40 et formula_41 sur les formes différentielles tels que la différentielle extérieure se scinde en formula_42 et de la même façon les groupes de cohomologie se scindent. On obtient des résultats de structure très forts, ainsi le fait qu'une variété kählérienne à courbure bisectionnelle strictement positive est biholomorphe à l'espace projectif complexe.


title: Géométrie riemannienne

text: Il existe également des structures plus exigeantes encore : on définit la notion de et celle de , qui portent toutes deux une structure rappelant les quaternions. Elles apparaissent dans la classifications des groupes d'holonomie effectuée par Marcel Berger et James Simons.


title: Géométrie riemannienne

text: Toute variété différentielle peut être munie d'une structure riemannienne. Celle-ci peut servir d'intermédiaire pour établir des résultats dont la formulation ne fait pas intervenir de concept proprement riemannien. C'est le cas de la conjecture de Poincaré déjà mentionnée, qui est un résultat de topologie pure dont la démonstration utilise largement la déformation de métriques riemanniennes. C'est également le cas de la théorie de Morse qui relie la topologie d'une variété différentielle aux lignes de niveau des fonctions définies sur cette variété, en exploitant la dynamique des lignes de gradient associées à une certaine métrique.


title: Géométrie riemannienne

text: Certains concepts introduits en géométrie riemannienne ont été étendus à des domaines d'application plus large, dans le cadre des espaces métriques. On peut par exemple généraliser la notion de géodésique dans un graphe, notamment un graphe pondéré. On s'intéressera plus particulièrement aux espaces métriques géodésiques, pour lesquels il y a unicité du plus court chemin entre deux points. Alors qu'en géométrie riemannienne on utilisait une estimation sur la courbure sectionnelle pour obtenir un résultat de comparaison des distances entre les points de deux triangles isométriques, sur ces espaces métriques on peut renverser la démarche. On définit une notion de "courbure majorée par k" ou "courbure minorée par k" à partir de la comparaison des triangles. Cette idée est à la base de l'introduction des


title: Géométrie riemannienne

text: espaces CAT(k) de Cartan-Alexandrov-Toponogov. Ces espaces ont par ailleurs l'avantage, contrairement aux variétés riemanniennes, d'être compatibles avec la convergence pour la distance de Gromov-Hausdorff.


title: Géométrie riemannienne

text: Des considérations du même type peuvent être appliquées aux groupes finiment engendrés lorsqu'on les munit de la métrique des mots. Pour ces groupes, les propriétés algébriques, géométriques et arithmétiques s'interpénètrent. Ainsi un théorème de Gromov caractérise les groupes de type fini pour lesquels la croissance des boules est polynomiale. Un objet d'étude important est le groupe hyperbolique, pour lequel on a des triangles δ-fins pour tout réel δ>0.


title: Géométrie riemannienne

text: Les définitions précédentes montrent comment étendre l'idée de courbure sectionnelle à un cadre plus large, sans utiliser les propriétés de régularité fortes que demande le cadre riemannien. Cette approche a été qualifiée de synthétique par opposition à l'introduction traditionnelle de la courbure sectionnelle, dite analytique. La dualité des approches apporte des éclairages différents, et des possibilités d'aller-retour fructueux. À partir des années 2000 ont été progressivement mises au point des théories synthétiques pour la courbure de Ricci. Elles se sont basées sur la découverte d'un lien entre courbure de Ricci, théorie du transport et entropie, suivie là aussi d'un renversement de la démarche : Cédric Villani, John Lott et Karl-Theodor Sturm ont introduit une version étendue de la notion de courbure de Ricci minorée à partir d'une formulation de transport optimal sur un espace métrique muni d'une mesure.


title: Géométrie riemannienne

text: La théorie de la relativité se déroule dans un cadre très proche de celui de la géométrie riemannienne, celui d'une variété lorentzienne. Il s'agit d'une variété de dimension 4 munie d'un tenseur métrique qui n'est plus défini positif, mais de (3,1). L'équation d'Einstein indique la façon dont la courbure est reliée à la masse et à l'énergie représentées par le tenseur énergie-impulsion. C'est pourquoi on trouve une très grande parenté de concepts et d'idées et de fortes interactions entre géométrie riemannienne et physique théorique, même si chacune poursuit des objectifs propres. C'est ainsi qu'Arthur Besse, pseudonyme collectif, justifiant l'intérêt de l'étude des "variétés d'Einstein" pour les géomètres riemanniens, évoque la question des liens avec la physique


title: Eau déminéralisée

text: L’eau déminéralisée est une eau qui ne contient en principe aucun ion (tels Ca et ) ; par contre, il peut rester des matières non chargées (matières organiques, bactéries). On l'appelle aussi eau déionisée. Elle est qualifiée d'eau purifiée.


title: Eau déminéralisée

text: On trouve dans le commerce des eaux dites déminéralisées qui peuvent néanmoins contenir des résidus non polaires tels que des impuretés organiques ou des bactéries.


title: Eau déminéralisée

text: Dans l'usage courant, l'eau déminéralisée est utilisée dans les applications, où il convient d'éviter la formation de dépôts importants lorsque l'eau s'évapore. C'est le cas pour les fers à repasser à vapeur. Elle est aussi employée dans les stations de lavage pour éviter l'essuyage de la carrosserie.


title: Eau déminéralisée

text: On la retrouve dans les batteries au plomb, pour éviter les impuretés ionisées qui pourraient influencer son comportement électrique, ou dans les chaudières haute pression pour éviter les incrustations des tubes de chauffe.


title: Traceroute

text: traceroute (ou tracert sous Windows) est un programme utilitaire qui permet de suivre les chemins qu'un paquet de données (paquet IP) va prendre pour aller de la machine locale à une autre machine connectée au réseau IP. Il a été conçu au sein du Laboratoire national Lawrence-Berkeley.


title: Traceroute

text: Les paquets IP sont acheminés vers la destination en passant d'un routeur à un autre. Chaque routeur examine sa table de routage pour déterminer le routeur suivant. Traceroute va permettre d'identifier les routeurs empruntés, indiquer le délai entre chacun des routeurs et les éventuelles pertes de paquets. Ces informations seront utiles pour diagnostiquer des problèmes de routage, comme des boucles, pour déterminer s'il y a de la congestion ou un autre problème sur un des liens vers la destination.


title: Traceroute

text: Le principe de fonctionnement de Traceroute consiste à envoyer des paquets UDP (certaines versions peuvent aussi utiliser TCP ou bien ICMP "ECHO Request") avec un paramètre Time-To-Live (TTL) de plus en plus grand (en commençant à 1). Chaque routeur qui reçoit un paquet IP en décrémente le TTL avant de le transmettre. Lorsque le TTL atteint 0, le routeur émet un paquet ICMP d'erreur "" vers la source. Traceroute découvre ainsi les routeurs de proche en proche.


title: Traceroute

text: Une fois le paquet sonde arrivé à sa destination finale, traceroute cesse de recevoir des TTL exceeded, et reçoit un paquet réponse ayant pour adresse IP source celle de l'interface de l'équipement sondé à travers laquelle est émis le paquet ICMP. Traceroute essaie volontairement de contacter un port invalide, donc le paquet réponse est normalement de type ICMP Port Unreachable. Si la machine destination avait par hasard un programme écoutant sur ce port, le comportement n'est pas certain et dépend du programme.


title: Traceroute

text: Il existe cependant un certain nombre d'éléments qui peuvent compliquer l'interprétation du résultat :


title: Traceroute

text: On voit ici que le paquet a transité via Londres (« lhr » est le code international de l'aéroport d'Heathrow) avant d'être acheminé vers Amsterdam « ams ». Cette convention de nommage des routeurs, bien qu'assez répandue en pratique chez les opérateurs de télécommunications, n'est en aucun cas un standard ou une règle.


title: Traceroute

text: Le client avec l'adresse IP 62.202.32.1 se connecte au serveur wikipedia en passant par différents routeurs.


title: Jeux vidéo Star Wars

text: Les jeux vidéo ' regroupent tous les jeux vidéo adaptés des différents films de la franchise intitulée ', mais aussi les différents jeux ou logiciels librement inspirés de l'univers. La série très prolifique touche de nombreux genres de jeux vidéo et de nombreuses plates-formes et compte de très nombreuses réalisations, traduites dans divers langues. Une grande majorité de ces jeux vidéo sont édités par , certains sont également développés ou édités par des développeurs ou éditeurs tiers.


title: Jeux vidéo Star Wars

text: Les premières adaptations voient le jour dès la fin des années 1970 et la série traverse toutes les générations de plates-formes de jeu confondues, et est toujours active en 2020.


title: Jeux vidéo Star Wars

text: ' (à l'origine "La Guerre des étoiles" en français) est un univers de ' et de science-fiction créé par George Lucas. D'abord conçue comme une trilogie cinématographique sortie entre 1977 et 1983, la saga s'accroît ensuite, entre 1999 et 2005, de trois nouveaux films, qui racontent des événements antérieurs à la première trilogie. Cette dernière (épisodes , et ) ainsi que la deuxième trilogie dite « Prélogie » (épisodes , et ) connaissent un immense succès commercial et un accueil critique généralement positif. Les droits d'auteur de "Star Wars" sont achetés en 2012 par pour de dollars qui produit une troisième trilogie composée des épisodes "" en 2015, est suivi par "" en 2017 et "" en 2019, ainsi que des épisodes indépendants.


title: Jeux vidéo Star Wars

text: George Lucas comprend rapidement l'importance de la franchise " dans la société de consommation de la fin des années 1970 et se lance dans son adaptation en jeu vidéo. Sans capacité de production, il se tourne d'abord vers des éditeurs et développeurs tiers, avant de créer sa propre structure de création en 1982, la filiale renommée par la suite en 1990.


title: Jeux vidéo Star Wars

text: En 1991, George Lucas autorise toute création quel que soit le support ou le média, à rentrer dans le canon officiel ".


title: Jeux vidéo Star Wars

text: Toutes les œuvres créées dans la franchise hormis les films sortis au cinéma, apportant des éléments scénaristiques bien que la cohérence avec le canon officiel ait souvent été remis en cause, font partie de l'« univers étendu de ' ». À la suite du rachat de par , toute œuvre créée avant le , qu'importe son emplacement dans la chronologie, est considérée comme « non-canon », c'est-à-dire qu'elle n'est plus considérée comme officielle, permettant ainsi à la nouvelle trilogie et aux nouveaux projets d'être indépendants ; seuls les films sortis au cinéma (comprenant les trois trilogies, et les films dérivés), ainsi que les séries d'animation ' et "" restent « canon », ainsi que tous les ouvrages publiés après . Le reste de l'univers étendu est ensuite appelé par « " Légendes" » pour le distinguer du canon principal.


title: Jeux vidéo Star Wars

text: Les premières adaptations datent de la fin des années 1970, quelques mois après la sortie du film. La première est produite par en 1978 sans aucune licence officielle, sur cassette pour Apple sous le titre ". Ce jeu met en scène une simulation de combat aux commandes d'un chasseur TIE.


title: Jeux vidéo Star Wars

text: La première adaptation officielle apparaît en 1979 sous forme d'un jeu électronique en version ', sous le titre ' produit par . l'intrigue met en scène un X-, Luke Skywalker et la Princesse Leia, mais le " simple ne les représente pas, puisque le joueur doit uniquement éviter des trous noirs et localiser « l'étoile qui donne la force ».


title: Jeux vidéo Star Wars

text: Au début des années 1980, c'est Atari Inc., appartenant à qui domine l'industrie vidéoludique mondiale, notamment avec sa console Atari 2600. George Lucas se tourne naturellement vers ce premier. Mais c'est qui obtient les droits d'adapter la franchise de films en jeu vidéo sur les plates-formes de jeu à domicile, ceci malgré l'échec commercial de l'adaptation du film de Steven Spielberg ' sous le titre '. Parker choisit de ne pas adapter le premier film datant de cinq ans auparavant et décide de se baser sur sa suite ' sorti seulement deux ans plus tôt. Inspiré de la bataille de Hoth, ' qui sort en 1982 sur Atari 2600 et , propose un ' de type ' à défilement latéral en deux dimensions, aux commandes d'un ' opposé à des TB-TT. La première adaptation de reçoit des critiques partagées de la part de la presse spécialisée lors de sa sortie. Dès le début de l'année 1983, produit un second jeu sur Atari 2600, cette fois inspiré du premier film, intitulé '. Ce jeu d'action s'inspire de la scène dans laquelle Luke Skywalker manie son sabre laser face à une sphère d'entrainement alors qu'il voyage dans le Faucon Millenium. Le jeu se présente sous la forme d'un duel entre deux joueurs maniant une sorte d'épée fixée de chaque côté de l'écran alors qu'une boule se déplace au milieu et produit des arcs électriques attaquant les participants. ' obtient des critiques assez négatives de la part de la presse spécialisée. En 1984, produit le jeu ' inspiré du film "Le Retour du Jedi", qui vient de sortir en 1983. Ce "" sur Atari 5200, également porté sur Atari 2600, et les ordinateurs Atari 8-bits et , reprend la séquence finale du film dans laquelle le Faucon Millenium attaque l'étoile de la mort et s'introduit en son centre pour la détruire. Ce jeu est quant à lui mieux accueilli que ses prédécesseurs par de la presse spécialisée lors de sa sortie.


title: Jeux vidéo Star Wars

text: En 1983 et 1984, édite également les portages du jeu ' conçu à l'origine en arcade par en 1983. Ces adaptations développées par sortent sous le titre ' sur Atari 2600, Atari 5200, Atari 8-bits, , et Commodore 64.


title: Jeux vidéo Star Wars

text: ' produit également un dernier jeu sur Atari 2600 intitulé ' adapté de la série télévisée "L'Aventure des Ewoks", mais l'annule en raison de contrôles jugés inefficaces.


title: Jeux vidéo Star Wars

text: De son côté, en ce début des années 1980, négocie parallèlement à les droits d'adaptation de la franchise pour le secteur de l'arcade, et obtient en 1982 les droits d'adapter chacun des films. L'équipe adapte le projet ', basé sur le prototype de jeu de simulation destiné à l'armée américaine '. La borne d'arcade ' met en scène la séquence de fin du premier film de la première trilogie durant la bataille de Yavin au cours de laquelle le chasseur approche la surface de l'étoile de la mort et pénètre dans la tranchée pour larguer une bombe dévastatrice. Affiché sous forme de graphismes vectoriels en couleur, ce ' est un succès tant critique que commercial.


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text: Le secteur de l'industrie vidéoludique connait des soubresauts, se concluant par le krach du jeu vidéo de 1983 aux États-Unis. Début , , alors en difficulté financière, réalise une scission d'Atari Inc. en revendant la partie informatique et console de jeux vidéo à Jack Tramiel, l'ancien dirigeant de , qui renomme la nouvelle entité . conserve la section arcade, alors renommée , nom sous lequel seront réalisées les productions à compter de cette date.


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text: Ainsi, produit une suite adaptée de "L'Empire contre-attaque" retraçant la bataille de Hoth, également affichée en graphismes vectoriels. Cependant, cette adaptation intitulée ', seulement commercialisé au printemps 1985 comme kit de conversion pour la borne du premier jeu, obtient un succès très limité. Cependant, c'est l'adaptation du "Retour du Jedi" qui sort d'abord en 1984, ', affichée sous forme de 3D isométrique grâce à des graphismes de type matriciel. Le jeu propose un enchainement de plusieurs niveaux dans lequel le personnage joueur conduit un ' sur la lune d'Endor, ainsi qu'un AT-ST, ainsi que le Faucon Millenium entant dans l'étoile de la mort, ou dans l'espace dans un combat contre un croiseur. Ces deux jeux ne connaissent pas le succès de leur prédécesseur, aussi bien commercialement que du point de vue des critiques, bien que les améliorations graphiques de ' soient appréciées.


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text: Les portages de ces jeux sur de nombreux ordinateurs personnels sont réalisés par , et édité par et Domark. Les jeux sortent ainsi sur Amstrad CPC, Amiga, Atari 8-bits, Atari ST, , , Commodore 64, PC (DOS), . Ce dernier publie en 1989 une compilation pour , Amstrad CPC, Atari ST, Amiga et Commodore 64, regroupant les trois jeux de la série qu'elle a éditée, sous le titre '. Les jeux sont également présents sous forme d" sur en 2003 dans "".


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text: La franchise est adaptée par Namco sur Famicom en 1987, sous le titre ". C'est un jeu de plates-formes et d'action à défilement latéral vaguement inspiré des deux premiers films, qui ne sort qu'au Japon, où il reçoit un bon accueil. C'est la première véritable fois que le joueur peut incarner l'un des personnages de l'intrigue de la franchise. Le jeu intègre de nombreux éléments peu fidèles à l'univers. Le jeu obtient un accueil plutôt positif lors de sa sortie de la part de la presse spécialisée.