title: An mille

text: En 985, Al-Mansur, attaque et pille Barcelone, emmenant avec lui de nombreux esclaves. Le comte Borell II demande de l'aide à son suzerain Hugues Capet. Ce dernier ne daignant pas lui répondre, le comte prend une indépendance de fait. Paradoxalement, cet événement accélère le développement de la Catalogne qui entraîne les autres États de la marche espagnole. Il doit dans un premier temps traiter avec Al-Mansur et de nombreux Catalans s'enrôlent comme mercenaires dans les troupes du Califat. Le comte Borell fait reconstruire les fortifications de Barcelone et organise la défense de la Catalogne. C'est dans cet espace protégé que va se dérouler la renaissance catalane. Le redressement est rapide et dès 1010, la crise du califat omeyyade permet aux catalans de dégager de grosses ressources financières, grâce à leur participation dans la guerre civile en al-Andalus du côté de Muhammad II (Omeyyade). Comme les Castillans, les Catalans vont ensuite, tout au long du , « protéger » les petits royaumes musulmans apparus sur les ruines du califat et les émirs de Lérida, de Tortosa et de Saragosse sont ainsi contraints de payer tribut au comte de Barcelone. Les marchands catalans sillonnent la Méditerranée et établissent des relations serrées avec les royaumes voisins. Les splendeurs de l'art roman fleurissent alors dans toute la Catalogne.


title: An mille

text: Les musulmans arrivés en Espagne au étaient en majorité issus de milieux agricoles. Les andalous en précurseurs, aidés par une pression fiscale favorable à l'augmentation des rendements et a la pratique de l'irrigation ont fait de l'agriculture une science ce qui entraîne une augmentation fulgurante des récoltes et l'amélioration de la qualité des produits sur la base d'études des terres, l'adaptation des espèces cultivées à celles-ci, l'utilisation d'engrais naturels efficaces, le développement de l'irrigation par canaux… Les paysans catalans en quête de liquidités louent leurs services comme mercenaires du calife. Revenus en Catalogne, ils utilisent les techniques agricoles connues dans le califat de Cordoue et réinjectent leur solde dans l'économie. Ils construisent des moulins, irriguent la terre. Les échanges commerciaux avec le califat augmentent rapidement. Il en résulte une poussée démographique et technique dès la fin du .


title: An mille

text: L'amélioration de la rentabilité des cultures libère de la main d'œuvre pour d'autres taches. La présence des gîtes de fer du Canigou permet de développer une métallurgie dynamique. Le commerce maritime sur une côte délivrée de la piraterie sarrasine, le développement des échanges au long de la voie commerciale qui, par le Perthus, relie le Roussillon à l'Ampurdan, la renaissance des marchés et des bourgs, la réapparition de la circulation monétaire (grâce à l'or perçu par les mercenaires et les tributs payés à partir du par les petits royaumes musulmans qui achètent désormais la protection du comte de Barcelone), font de la Catalogne une puissance commerciale en quelques décennies.


title: An mille

text: Le décollage économique va de pair avec des transformations sociales. Le poids de la caste militaire se renforce et un processus de féodalisation s'opère aux , au détriment des petits paysans libres soumis désormais à des seigneurs toujours plus exigeants. Au même moment, une bourgeoisie marchande active s'impose dans les villes où elle dispose rapidement d'une large autonomie. Dès 1025, le comte Ramon Berenguer accorde ainsi à Barcelone une charte de franchise et les lendemains de l'an mille sont marqués, sous son l'impulsion, par un regroupement des divers comtés autour de l'ensemble formé par ceux de Barcelone, Vich et Gérone. La seconde moitié du voit un renforcement de l'autorité du comte à qui les nobles doivent désormais prêter un serment de fidélité. En 1111, le comté de Barcelone s'agrandit de celui de Besalù, en 1117 de la Cerdagne et en 1162 du Roussillon.


title: An mille

text: De fait, une renaissance catalane qui préfigure celle du reste de l'Europe démarre dès le . C'est surtout par l'Espagne que la culture arabe pénètre en Occident et essentiellement par la Catalogne.


title: An mille

text: En Chine, cette période correspond au début d'une période de prospérité, avec la dynastie des Song du nord.


title: Pavillon Baltard

text: Sur ordre de Napoléon III, l'architecte Victor Baltard édifie des halles au centre de Paris pour faciliter le commerce. Un complexe de douze bâtiments est bâti avec les matériaux à la mode dans beaucoup de constructions de l’époque (voir Grand Palais) : le fer, la fonte et le verre. Ces douze pavillons Baltard, formant les Halles centrales de Paris, furent construits dans les années 1850 à 1870. À la fin des années 1950, l’État choisit de transférer l'activité du site au Marché international de Rungis, les pavillons sont alors voués à la destruction quelques années plus tard pour laisser la place au Forum des Halles.


title: Pavillon Baltard

text: Le pavillon 8, qui abritait le marché aux œufs et à la volaille, est conservé comme témoignage du passé architectural de la ville de Paris. Démonté, il est racheté par la ville de Nogent (dont le maire était alors Roland Nungesser), qui le fait remonter en 1976 à l'emplacement du dépôt de locomotives de Nogent-Vincennes (lui-même construit sur l'emplacement de l'ancien château de Beauté-sur-Marne) dans le quartier du Val-de-Beauté (renommé depuis Beauté-Baltard) et le fait classer monument historique le .


title: Pavillon Baltard

text: L'orgue du cinéma Gaumont-Palace, acquis par la ville de Nogent-sur-Marne en 1976, a été remonté dans le bâtiment.


title: Pavillon Baltard

text: Le lieu reçoit de nombreux événements : soirées privées, soirées de gala, émissions de télévision ("Stars", "Stars 90" de Michel Drucker, "Graines de Star" de Laurent Boyer ou "Nouvelle Star"), concerts, séminaires, salons, manifestations culturelles ou autres, comme le Mondial de l'invention, le Mondial de la salsa, le Salon du chat, le Festival d'Île-de-France, des masters de pétanque ou encore l’élection de Miss Europe en 2003.


title: Pavillon Baltard

text: Les 4 et s'y est tenue la du Téléthon et c'est à nouveau au pavillon Baltard qu'a lieu, les 8 et , la du Téléthon.


title: Pavillon Baltard

text: C'est au pavillon Baltard que Les Compagnons de la chanson donnèrent leur dernière représentation, le .


title: Pavillon Baltard

text: Il accueillit, un temps, à l'extérieur, un morceau de l'escalier de la tour Eiffel (vendu depuis). Aux alentours sont exposés des éléments symboliques du Paris ancien : colonne Morris, fontaine Wallace, etc.


title: Pavillon Baltard

text: Une scène du film de Jean-Pierre Jeunet, "Un long dimanche de fiançailles", celle se déroulant aux Halles de Paris, y a été tournée.


title: Pavillon Baltard

text: Le pavillon Baltard abrite également l'ancien orgue du cinéma Gaumont-Palace, classé monument historique et qui a été utilisé jusqu'en 2003 à l'occasion de nombreuses soirées. Plusieurs concerts, notamment à son installation au Baltard en 1976, ont eu lieu, puis avec John Mann et même Rhoda Scott en 1988. Bernard Dargassies en devint le plus récent principal titulaire, assurant même sa maintenance et enregistrant un disque en 1991.


title: Pavillon Baltard

text: Il n'est plus entretenu depuis plusieurs années. L'Association pour la valorisation et le rayonnement de l'orgue Christie, formée fin 2010, tente de promouvoir sa renaissance. Des travaux ont été prévus pour notamment organiser des cinés concerts dès 2013. Ces soirées, qui demanderaient de faire fonctionner le pavillon dans un but culturel et non financier, ont jusqu'à présent toujours été annulées.


title: Exodus (film, 1960)

text: Tiré du roman homonyme de Leon Uris publié en 1958, le film dépeint de façon assez libre les événements associés à la fondation de l'État d'Israël, à partir de l'aventure du navire "Exodus" jusqu'au vote du plan de partage de la Palestine en 1947, terreau de la guerre israélo-arabe qui s'ensuivit.


title: Exodus (film, 1960)

text: En 1947, sur l'île de Chypre, des rescapés de l'Holocauste tentent de passer en Israël, et se heurtent à la tutelle anglaise en Palestine. Les organisations sionistes préparent alors une opération de grande ampleur afin de contourner le blocus britannique, et de précipiter les débats alors en cours à l'ONU sur le statut de ce territoire.


title: Exodus (film, 1960)

text: Ari Ben Canaan prend le commandement du bateau "Exodus", et une Américaine, Kitty Fremont, y prend place pour remplacer le médecin du bord. À leur arrivée en Palestine, Ben Canaan aide à faire échapper d'une prison britannique de nombreux membres d'une organisation sioniste rivale de la sienne. L'indépendance de deux États, un juif et un arabe, est peu après votée à l'ONU, mais Ben Canaan et sa compagne Kitty doivent faire face aux débuts de la guerre qui s'ensuit.


title: Exodus (film, 1960)

text: En 1947, plusieurs centaines de réfugiés juifs, rescapés de l'Holocauste, désirent à tout prix rejoindre la Palestine. Ayant tout perdu, arriver en Israël est leur unique espoir. Cependant, les rescapés n'ont pas de certificat d'immigration pour la Palestine, et sont arrêtés par les Anglais en mer. Les troupes britanniques les parquent dans des camps d'internement pour réfugiés juifs dressés sur l'île de Chypre, en attendant une décision, sans doute leur renvoi en Allemagne ; pour administrer ces camps britanniques chypriotes, les organisations sionistes envoient des responsables de Palestine.


title: Exodus (film, 1960)

text: Une Américaine, Kitty Fremont, récente veuve d'un ami du commandant des forces britanniques de Chypre, le général Sutherland, fait un long périple dans le Commonwealth. Sur proposition de Sutherland, elle offre son aide aux réfugiés en tant qu'infirmière. Sutherland montre à l'égard des réfugiés plus de compassion que ses subordonnés et refuse d'abord de les renvoyer en Europe. De leur côté, les réfugiés, qui sont alors , supportent mal la tutelle des autorités, qu'elles soient britanniques ou juives. Ari Ben Canaan, un membre de la Haganah, importante organisation paramilitaire juive, s'infiltre clandestinement à Chypre où il est accueilli par les sionistes dirigeant le camp. Il a un plan : faire prendre la mer aux 611 derniers arrivés du navire "L’Étoile de David", et les emmener rapidement en Palestine. La rapidité et l'ampleur de cette opération - comparé aux exfiltrations habituelles de groupes composés tout au plus d'une dizaine de personnes - répondent à un double impératif : faire en sorte que l'opération soit terminée avant que les Nations unies ne se prononcent sur le statut et le partage de la Palestine, lors de la session alors en cours. En effet, l'évasion en masse de personnes à peine internées peut faire pencher la balance en faveur des réfugiés et des sionistes. Ils seront aidés dans leur tâche par Mandria, chypriote et désireux de l'indépendance de son île. Ben Canaan se méfie toutefois de tous ceux qui ne sont pas juifs.


title: Exodus (film, 1960)

text: L'infirmière Fremont se rapproche de la jeune Karen Hansen, au point de pouvoir la faire sortir du camp pour quelques heures, après demande auprès de Sutherland. S'étant prise d'affection pour elle, elle souhaiterait l'emmener en Amérique, mais Karen n'est pas aussi enthousiaste : elle espère encore que son père, peut-être encore en vie, puisse la rejoindre. De son côté, Mandria fournit à Ari un vieux navire, "L’Olympia", qui sera commandé par le capitaine Hank Schlosberg. Ben Canaan se fait passer pour un officier britannique - qu'il a été - de la compagnie du train, et se présente avec de faux ordres pour déplacer les réfugiés qu'il souhaite faire embarquer. Les autorités britanniques executent ses ordres sans suspicion, d'autant plus qu'en raison des efforts logistiques qu'exige la densité de leur nombre dans le camp, certains officiers sont soulagés de voir les réfugiés partir. Mais Kitty Fremont demande que Karen lui soit remise, puisque cette dernière avait accepté son offre. C'est alors que Sutherland comprend que le soi-disant capitaine Ben Canaan est un imposteur portant des ordres falsifiés, contresignés par son second, le major Caldwell : celui-ci, fortement antisémite, est sommé par le général de réparer l'erreur qu'il a commise. Caldwell réagit rapidement en bloquant la sortie du port de "L’Olympia". Mais Ben Canaan le force à laisser passer le navire en menaçant de le saborder dans le port, si un seul soldat anglais monte à bord.


title: Exodus (film, 1960)

text: Sutherland demande alors des instructions à Londres : deux ans auparavant, la Haganah avait exercé le même chantage et fini par faire exploser un autre cargo retenu à Chypre de la même façon. Fremont demande alors à recontrer Karen pour comprendre ce qui se passe. Celle-ci ne veut pas quitter le bateau, même si Kitty lui propose de partir avec elle en Palestine de leur côté. Sutherland prend contact avec Ben Canaan et l'avertit que sans pour autant que les forces britanniques arraisonnent le navire, la sortie du port reste impossible tant que les Nations unies n'ont pas voté, même si les vivres et les médicaments nécessaires sont tout de même fournis. Les réfugiés doivent prendre une décision : la grève de la faim est proposée, et votée, tandis que 23 passagers repartent volontairement pour le camp. Le navire, rebaptisé "Exodus", arbore désormais le drapeau d'Israël. L'eau douce est rationnée, et la toilette est faite à l'eau de mer. Les réfugiés écoutent tous les jours les nouvelles : présentation du rapport sur la situation palestinienne auprès de la commission de l'ONU, dont la conclusion est toujours retardée, pendaison de membres de l'Irgoun à Acre... À terre, Madria fait de la publicité pour cette action, tout en collectant des vivres pour la Croix-Rouge, en espérant un départ prochain.


title: Exodus (film, 1960)

text: Après une discussion entre eux, Sutherland part pour Londres faire un rapport en faveur des réfugiés, tandis que Fremont monte à bord de l’"Exodus" afin de remplacer le médecin juif du bateau, décédé : elle prendra également part à la grève de la faim. Après quelques jours, Sutherland est relevé de ses fonctions à Chypre à sa demande. Le gouvernement britannique accepte par ailleurs l'appareillage du bateau, et le transport des réfugiés jusqu'en Palestine.


title: Exodus (film, 1960)

text: À leur arrivée en Palestine, Fremont se rend au consulat, pour clarifier sa propre situation. Karen est dirigée vers le kibboutz de Gan Dafna (dans la vallée de Jezreel), dirigé par Barak Ben Canaan, le père d'Ari, et fondé grâce à Kamal, mukhtar du village arabe voisin, dont le fils Taha est désormais le nouveau mukhtar. Un compagnon de Karen, Dove Landau, qui devait rejoindre Dafna, tente de s'engager dans l'Irgoun. Ce dernier est arrêté par la police, mais libéré rapidement par les Britanniques, qui ne retiennent aucune charge contre lui. Il finit tout de même par rejoindre l'Irgoun, et après un interrogatoire (où il est obligé de relater l'ensemble de ses souvenirs d'Auschwitz), il est accepté par Akiva Ben Canaan, frère de Barak, et un des dirigeants de l'organisation armée. Une rencontre entre Akiva et Ari est organisée peu après, de manière secrète et prudente : la Haganah et l'Irgoun, bien que luttant pour le même but, n'apprécient pas leurs méthodes respectives. Ari est chargé de convaincre Akiva de cesser son activité terroriste, et d'accepter une alliance entre les deux factions si l'ONU accepte le plan de partage de la Palestine, afin de lutter ensemble contre les forces arabes. Les deux hommes se séparent sur un constat d'échec.


title: Exodus (film, 1960)

text: Ari emmène ensuite Kitty Frémont, dont il est tombé amoureux, à la ferme de son père. Elle fait la rencontre de sa mère, et surtout de sa sœur, Jordana. Celle-ci l'amène à Gan Dafna, où elle loge auprès de Karen ; la jeune fille lui montre la statue de Dafna, une jeune combattante massacrée à 17 ans par les Arabes, à laquelle le nom du kibboutz fait référence. Elle fut également l'unique amour d'Ari. Kitty explique à Ari qu'elle s'est sentie étrangère à tout point de vue vis-à-vis de sa famille, et qu'elle souhaiterait prendre un peu de recul. Peu après, Ari retrouve le père de Karen, et l'accompagne, ainsi que madame Frémont, le voir : celui-ci est dans un hôpital, catatonique, mais Karen n'est pas découragée pour autant. Au même moment, l'hôtel du Roi David est victime d'un attentat de l'Irgoun, détruisant toute son aile sud. Mais les soldats britanniques suivent de près les auteurs, notamment Dove : lorsque celui-ci rejoint Akiva et le reste de ses camarades, les Britanniques interviennent et les arrêtent tous. Dove arrive toutefois à s'échapper, mais Akiva et les autres sont condamnés à la peine de mort, et enfermés à Acre. La Haganah et l'Irgoun mettent alors leurs différends de côté, et s'accordent pour faire évader les condamnés, ainsi que les autres membres des deux organisations enfermés dans la prison. Dove accepte de se rendre aux autorités, afin d'être enfermé avec les autres et de les prévenir.


title: Exodus (film, 1960)

text: La préparation de l'attaque de la prison se fait petit à petit : les familles des prisonniers leur transmettent au compte-goutte des messages et du matériel. Le jour de l'attaque de la citadelle, les combattants sionistes investissent les différents bâtiments autour de celle-ci, tandis que l'attaque est lancée de l'intérieur alors qu'une partie de la garnison est en repos. Les juifs empêchent, en faisant exploser certains passages, une partie de la troupe de rejoindre la forteresse. Dove d'un côté et Ari de l'autre font exploser une des fenêtres de la prison, et les prisonniers peuvent enfin sortir. Akiva est transporté en voiture par Ari, mais tous deux sont blessés gravement lors du passage d'un barrage, et Akiva décède peu après. Ari retourne à Gan Dafna, où il est soigné par Kitty, et transporté, inconscient, dans le village arabe voisin (chez Taha, dont il avait autrefois sauvé la vie) lorsque les Britanniques fouillent le kibboutz. Ceux-ci repartent après avoir arrêté le médecin du camp, chez lequel une importante cache d'armes a été trouvée ; Kitty reste seule à soigner Ari.


title: Exodus (film, 1960)

text: Le kibboutz apprend en direct que le vote du partage à l'ONU a réuni plus des deux tiers des voix : le départ des forces britanniques et l'indépendance de deux États, l'un juif et l'autre arabe, est votée. Barak fait un discours appelant au calme envers les troupes britanniques, dont il salue l'humanité, et un appel à la population palestinienne, implorant leur amitié et leur confiance, afin de former un seul État (contrairement à ce que leur demande le grand mufti de Jérusalem). Taha de son côté doute des conditions d'égalité promises par Barak. Kitty décide elle de rester aux côtés d'Ari. Mais le mufti refuse de reconnaître la décision de l'ONU, et souhaite exterminer tous les juifs de Palestine. Il souhaite traverser la vallée de Jezreel afin de se rendre à sa capitale Safed, et ordonne à Taha d'appuyer son conseiller Von Storch, qui a pour tâche d'attaquer Dafna. Taha prévient Ari de l'attaque, mais refuse de lutter à ses côtés contre les autres arabes. De son côté, Dove rejoint enfin Dafna, au moment où l'attaque sur Safed est détectée. Les Britanniques refusent de rendre les armes confisquées à Gan Dafna : Ari décide de faire fuir les enfants de moins de 13 ans (150 alors) en les faisant passer par le mont Thabor, de nuit. De son côté, le Palmah amène de nombreux camions, contenant seulement soixante hommes mais faisant tout de même illusion, à Gan Dafna. Malgré cela, Karen est capturée alors qu'elle venait de quitter Dove, en poste avancé hors du kibboutz.


title: Exodus (film, 1960)

text: Ari revient à l'aube, et prépare l'attaque du village arabe, qui a l'air d'avoir été vidé de sa population. Mais si le village est vide, Taha a été pendu et son corps marqué de l'étoile de David. Le corps de Karen est également retrouvé dans les alentours, morte. Tous deux sont enterrés devant le kibboutz ; Ari, en l'absence de religieux, prononce la prière pour les deux morts. Il jure que, malgré les combats qui ont lieu tout autour, les Juifs et les Arabes partageront en vie cette terre qu'ils ont déjà partagé dans la mort. Les habitants de Gan Dafna, Ari et Kitty en tête, partent dans les camions pour rejoindre le lieu des combats.


title: Exodus (film, 1960)

text: Bien que le scénario du film soit tiré du roman homonyme publié par Leon Uris en 1958, "Exodus" était à l'origine un scénario commandé à Uris en 1956 par Dore Schary, un producteur de la MGM. À l'époque, Uris vit à Hollywood où il travaille comme scénariste. Il a déjà écrit le scénario d'un film à succès, "Le Cri de la victoire" (1955), tiré du roman homonyme qu'il a publié en 1953, et va écrire celui de "Règlements de comptes à OK Corral" (1957). L'avance reçue de la MGM lui permet de financer les recherches documentaires qu'il entreprend pour "Exodus". En , Schary quitte la MGM, le studio se désintéresse du projet et Uris en fait un livre. Preminger, qui lit le manuscrit en 1958, déclarera plus tard avoir .


title: Exodus (film, 1960)

text: Faisant valoir l'image négative du sujet auprès du public arabe, voire britannique, Preminger achète à MGM les droits d'exploitation cinématographique pour , négocie avec Arthur Krim de United Artists un budget de de dollars et annonce le projet du film en , peu avant la parution du livre. Uris et Preminger entament une collaboration sur le scénario du film, qui tourne vite à l'échec, Uris se plaignant que son projet ne soit pas compris et Preminger blâmant les dialogues d'Uris et son approche partisane du sujet. En , Uris quitte le projet ; il est remplacé en mai par Albert Maltz, un scénariste inscrit sur la liste noire de Hollywood.


title: Exodus (film, 1960)

text: Bien que Preminger ait été très désireux d'avoir le nom de Maltz au générique du film, ce qui pousse Matthew Bernstein à considérer qu'il tenait à être le premier à braver l'interdiction de la liste noire, il n'est pas satisfait de son scénariste, qu'il juge trop lent, ni du scénario de 400 pages de celui-ci, qu'il trouve trop long et trop romanesque, et met fin en à cette collaboration.


title: Exodus (film, 1960)

text: En , Preminger rend public le fait qu'il a confié le scénario à Dalton Trumbo, un autre des « Dix d'Hollywood ». Un article publié par le "New York Times" annonce que Trumbo, condamné en 1947 pour avoir devant la commission des activités anti-américaines, est l'auteur du scénario du film à venir et que Preminger a décidé de lui donner , précisant : . Preminger et Trumbo affirmeront cependant plus tard avoir commencé à collaborer sur le film en et non en juillet, comme Preminger l'avait d'abord déclaré.


title: Exodus (film, 1960)

text: La bande originale du film, composée par Ernest Gold, a reçu de nombreux prix parmi lesquels le Grammy Award de la meilleure chanson de l'année pour le thème principal "Exodus", bien qu'il soit uniquement instrumental.


title: Exodus (film, 1960)

text: Des paroles furent ajoutées par la suite, reprises ou adaptées par de nombreux artistes dont Pat Boone et Andy Williams en anglais, Édith Piaf et Michèle Torr en français (sous le titre "Ils sont partis"), mais aussi The Skatalites (un groupe qui avait l'habitude d'adapter à la mode jamaïcaine d'autres musiques de films classiques comme celles de "James Bond" ou du "Troisième Homme"), Monty Alexander, ou encore le pianiste Maksim Mrvica.


title: Exodus (film, 1960)

text: Tant le film d'Otto Preminger que le roman de Leon Uris dont il s'inspire prennent de grandes libertés avec le récit historique de l’"Exodus" et avec le conflit israélo-arabe à l'époque.


title: Exodus (film, 1960)

text: Dans l'œuvre de Leon Uris non seulement les personnages principaux sont tous inventés, mais les événements ne correspondent généralement pas à la réalité. Ainsi, dans le livre, un vaisseau, l’"Étoile de David", est intercepté au large de la Palestine et ses passagers sont transférés dans des camps d'internement pour réfugiés juifs à Chypre. L’"Exodus" devient dans le roman le navire qu'un agent de la Haganah, Ari Ben Canaan (interprété par Paul Newman), achète pour transporter les réfugiés de l’"Étoile de David" en Palestine. Après plusieurs péripéties audacieuses et l'illustration d'antisémitisme de certains officiers anglais, l’"Exodus" arrivera en Palestine à la veille du vote du Plan de Partage de la Palestine.


title: Exodus (film, 1960)

text: Dans la réalité, le navire fut intercepté en 1947 au large de Haïfa par les autorités britanniques, et ses passagers furent tout d'abord transférés à Port-de-Bouc en France, puis redéployés dans des camps de déportés en Allemagne. Ce n'est qu'en 1948, après l'établissement de l'État d'Israël, qu'une première partie des réfugiés de l’"Exodus" parvint en Palestine.


title: Exodus (film, 1960)

text: L'attentat de l'hôtel King David eut lieu avant l'affaire de l'Exodus, en , et non en comme montré dans le film. Il causa notamment la fin du « Mouvement de la révolte hébraïque », réunion de la Haganah, de l'Irgoun, et du Lehi : la Haganah quitta ce mouvement après l'attentat, en protestation contre cette action. De même, l'attaque de la prison d'Acre eut lieu en , toujours avant l'affaire de l'Exodus, et fut montée entièrement par l'Irgoun.


title: Exodus (film, 1960)

text: La tentative de prise de Safed est montrée comme une attaque arabe alors que la ville a été prise par les forces juives en et sa population arabe expulsée.


title: Exodus (film, 1960)

text: La principale critique de l'historien Larry Portis est que ce film ne présente qu'un côté du conflit, en nous montrant comment quelques rares membres de la Haganah, peu armés mais courageux et unis, parviennent à empêcher l'attaque d'un kibboutz par des Arabes fanatisés et encadrés par d'anciens soldats du Troisième Reich, alors que les Britanniques refusent d'intervenir. Les Arabes ne tueront que deux personnes autour du camp : l'innocente et très blonde Karen, tuée dans la nuit, et le mukhtar du village arabe voisin, Taha, ami d'enfance d'Ari Ben Canaan. Le village arabe est d'ailleurs mystérieusement abandonné, ce qui permet aux jeunes sionistes de se lancer à la défense de Safed dont on entend l'attaque dans le lointain.


title: Gouf de Capbreton

text: Le gouf de Capbreton (ou "fosse de Capbreton") est un canyon sous-marin au large de Capbreton (Landes, France) créé par l'écartement de deux plaques tectoniques dans le prolongement de l'ancien lit de l'Adour.


title: Gouf de Capbreton

text: Le gouf de Capbreton se situe dans la partie européenne de l'océan Atlantique, et plus précisément dans le golfe de Gascogne, au large des côtes espagnoles et françaises.


title: Gouf de Capbreton

text: Un gouf est un canyon sous-marin avec des caractéristiques particulières : faible pente de la côte jusqu'à la plaine abyssale, traversée du talus continental...


title: Gouf de Capbreton

text: Le gouf de Capbreton est formé par l'écartement de la plaque tectonique européenne vers le nord et la plaque tectonique ibérique vers le sud pendant la période du Crétacé en même temps que le golfe de Gascogne. Le phénomène s'est amplifié lors de l'Éocène, avec les mouvements de surrection des Pyrénées .


title: Gouf de Capbreton

text: Il prend naissance à au large de Capbreton où il atteint de profondeur. À du rivage, il atteint . Il y a , le niveau de la mer était plus bas de et cette zone dite « tête du gouf » était donc émergée.


title: Gouf de Capbreton

text: Le gouf se poursuit par une plaque triangulaire dont la pointe descend de façon régulière vers l'ouest. Il se prolonge sur vers l'ouest par une série de méandres et de canyons de plus en plus profonds jusqu'à atteindre la plaine abyssale au large de Santander avec une profondeur de et une largeur de .


title: Gouf de Capbreton

text: On sait que par gros temps, les zones maritimes peu profondes présentent des vagues très formées et déferlantes. À l'inverse, les zones profondes présentent une simple houle.


title: Gouf de Capbreton

text: Le gouf au large de Capbreton est donc une zone où les navires peuvent trouver un certain calme pendant les tempêtes.


title: Gouf de Capbreton

text: Cette zone de calme était particulièrement appréciée quand le fleuve Adour se jetait dans l'Atlantique à Capbreton, avant d'être détourné vers Bayonne en 1578.


title: Gouf de Capbreton

text: Les fonds du gouf près de Capbreton étant vaseux, ils permettent en plus un mouillage en pleine mer relativement sûr.


title: Gouf de Capbreton

text: Les sédiments mis en mouvement le long de la côte des Landes par la houle majoritairement du nord-ouest et la dérive littorale nord-sud vont se perdre dans la plaine abyssale du golfe de Gascogne par ce gouf. La présence du gouf empêche le ralentissement du phénomène d'érosion du littoral et c'est donc une des causes de l'amaigrissement des plages situées au sud de Capbreton.


title: Gouf de Capbreton

text: La remontée rapide des fonds à proximité de la côte a aussi un effet comparable à celui d'un récif et provoque une vague dite "la Nord" très appréciée par les surfers d'Hossegor.


title: Gouf de Capbreton

text: Le gouf permet à Capbreton d'être le seul port des Landes où les pêcheurs peuvent capturer des poissons de roches (rouget, grondin, rascasse...) et des crustacés plus habituels des côtes rocheuses de la Bretagne. Les grands fonds attirent aussi des espèces des zones pélagiques de thonidés (thon, bonite...) et des céphalopodes (calmar, chipiron...).


title: Gouf de Capbreton

text: On trouve aussi épisodiquement des poissons des abysses, des cétacés plongeurs (dauphin de Risso, baleine à bec de Cuvier, cachalot pygmée...), des requins rares dans nos régions (requin mako, requin marteau, requin pèlerin...), des poissons lune. Il y a aussi des légendes de calmar géant.


title: Gouf de Capbreton

text: En 1875, le marquis Léopold de Folin découvre une nouvelle espèce d'invertébrés du genre bathysiphon.


title: Gouf de Capbreton

text: Le réchauffement climatique peut aussi faire apparaitre de nouvelles espèces. En 1999, le GEFMA (Groupe d'Études de la Faune Marine Atlantique) observe une baleine à bec de Blainville dont l'habitat naturel se trouve aux îles Bahamas.


title: Gouf de Capbreton

text: La première attestation du mot "gouf" remonte à 1491, dans le rapport d’une enquête commandée par . Les enquêteurs y indiquent que la mer .


title: Gouf de Capbreton

text: En 1798 un brick portant le nom "Le Dragon", parvient à se mettre à l’abri d’une tempête en allant mouiller sur les eaux du gouf. La première carte du gouf est dressée en 1815 par Alexis Pierre César Depoge à la demande du vice-amiral, le comte de Rosily. Sur les cartes, le gouf y est nommé « fosse de Capbreton ». En 1899, le géographe Élisée Reclus émet l'hypothèse que le gouf serait .


title: Gouf de Capbreton

text: Pierre-Eudoxe Dubalen publie en 1912 une étude sur les eaux thermales des Landes dans leur rapport avec la fosse sous-marine de Cap-Breton et une autre consacrée à ce gouffre.


title: Gouf de Capbreton

text: Dans les années 1960, selon certaines sources, des fûts contenant des déchets radioactifs auraient été immergés dans le gouf.


title: Un, deux, trois, soleil

text: Un, deux, trois, soleil, également appelé Un, deux, trois, piano en Belgique et bleu, blanc, rouge au Québec, est un jeu enfantin, très populaire dans les cours de récréation.


title: Un, deux, trois, soleil

text: Un joueur se place debout face à un mur, il est le meneur du jeu. Les autres joueurs se placent à environ 20 m de lui. Le joueur face au mur tape trois fois en criant « 1, 2, 3 » et lorsqu'il dit « Soleil ! », il se retourne. Pendant le temps où il ne regarde pas, les autres joueurs avancent et doivent s'immobiliser lorsqu'il se retourne. Si l'un d'entre eux bouge, il doit retourner au point de départ appelé « poulailler » ou « niche ». Ceci recommence plusieurs fois, jusqu'à ce qu'un des joueurs parvienne à toucher le mur. Dans ce cas, ce dernier prend la place du meneur, et le jeu peut recommencer ; tout le monde se replace au point de départ (sauf le nouveau meneur).


title: Un, deux, trois, soleil

text: Le jeu existe dans différents pays, mais sous des noms différents. Le principe du comptage reste généralement le même, seul diffère le dernier mot sur lequel l'enfant meneur se tourne pour vérifier que personne ne bouge.


title: Mandibule humaine

text: La mandibule est un os impair (anciennement dénommé le "maxillaire inférieur") formant la mâchoire inférieure. Il se compose d'un corps et de deux branches.


title: Mandibule humaine

text: La mandibule est initialement formée de deux os, les dentaires, qui fusionnent au cours du développement embryonnaire, formant la symphyse mentonnière (ou symphyse mandibulaire).


title: Mandibule humaine

text: Le corps de la mandibule, en forme de fer à cheval, est horizontal et constitué d'un os basal (très dense et nervuré) entourant le processus alvéolaire (spongieux) qui porte les dents. Il est creusé du trou dentaire inférieur où passent les nerfs et artères alvéolaires inférieures.


title: Mandibule humaine

text: L'orifice d'entrée du canal, appelé le foramen mandibulaire, est situé au niveau de la branche montante et à l'extérieur de l'épine de Spix (ou lingula mandibulaire). Le canal se termine au niveau du trou mentonnier, à mi-hauteur du corps mandibulaire, entre les deux prémolaires inférieures.


title: Mandibule humaine

text: Il existe un trou sur la moitié antérieure du corps mandibulaire : le foramen mentonnier ; il correspond à la résurgence du nerf mentonnier, issu du nerf alvéolaire inférieur.


title: Mandibule humaine

text: Lorsqu'un trait de fracture de la branche horizontale passe par le trou mentonnier, on observe une anesthésie du territoire cutané correspondant au nerf mentonnier.


title: Mandibule humaine

text: Le corps de la mandibule porte sur sa face latérale l'insertion du muscle buccinateur et sur sa face médiale celle du muscle mylo-hyoïdien.


title: Mandibule humaine

text: Les branches de la mandibule s'articulent avec l'os temporal par l'articulation temporo-mandibulaire (ou ATM), et permettent la mobilité de la mandibule.


title: Mandibule humaine

text: La branche porte à son extrémité supérieure un condyle articulaire et un processus coronoïde (ou coroné) où vient s'insérer le muscle temporal (muscle temporalis).


title: Mandibule humaine

text: La face latérale externe de chaque branche porte l'insertion du muscle masséter, muscle très puissant impliqué dans la mastication sur une zone rugueuse, appelée tubérosité massétérique.


title: Mandibule humaine

text: La face interne porte les insertions du muscle ptérygoïdien médial et au niveau du col du muscle ptérygoïdien latéral.


title: Mahé (Seychelles)

text: Mahé est la principale île de l'archipel des Seychelles, dans l'océan Indien. Elle abrite la capitale, Victoria.


title: Mahé (Seychelles)

text: Sa superficie est de (environ un tiers du pays), de nature granitique, elle culmine à , au Morne Seychellois. Elle mesure environ de long sur de large.


title: Mahé (Seychelles)

text: Sa population est de habitants au recensement de 2010 (90 % des Seychellois), dont plus de la moitié vit à Victoria.


title: Mahé (Seychelles)

text: Le , le capitaine Lazare Picault, commandant de deux navires en mission de reconnaissance pour la Compagnie française des Indes orientales, perdu dans l'Océan Indien, débarque par hasard sur l'île avec son équipage. Il la nomme tout d'abord "l'île d'abondance", alors qu'il nomme son lieu d'ancrage "St-Lazare" (qui deviendra plus tard "Victoria").


title: Mahé (Seychelles)

text: En 1744, le capitaine revient sur l'île sur ordre de Mahé de La Bourdonnais et la rebaptise "Mahé" en hommage à son gouverneur.


title: Mahé (Seychelles)

text: Le roi Prempeh I (1870-1931) de l'Empire ashanti (Ghana) est assigné à résidence à Mahé en 1900 avec sa famille.


title: Microcéphalie

text: La notion de microcéphalie désigne toutes les formes de croissance anormalement faible de la boîte crânienne et du cerveau. Elle se manifeste par des mesures crâniennes : périmètre et diamètre de la tête, inférieurs à la normale.


title: Microcéphalie

text: C'est un trouble grave du neurodéveloppement qui se traduit par une moindre espérance de vie et un déficit cognitif. Ce trouble peut être congénital ou apparaître dans les premières années de la vie.


title: Microcéphalie

text: De nombreuses causes, endogènes ou exogènes, peuvent provoquer une croissance anormalement faible du cerveau et du crâne, dont certains syndromes liés à des anomalies chromosomiques, des intoxications ou des infections.


title: Microcéphalie

text: Quand elle est modérée ou non congénitale, elle se détecte par le suivi des courbes de croissance de l'enfant (Périmètre crânien).


title: Microcéphalie

text: Il n'existe pas de définition consensuelle du diamètre en dessous duquel on parle de microcéphalie, mais toutes les définitions se fondent sur la mesure du périmètre crânien. Il existe des abaques donnant la « normalité » de ces données suivant le terme et le sexe du bébé. La microcéphalie est définie si la mesure est en dessous de trois écarts types . Pour certains la limite basse


title: Microcéphalie

text: Les nourrissons atteints de microcéphalie naissent avec une tête de taille réduite, ou de taille normale, mais dont le crâne ne grandira pas normalement alors que la face continue à se développer à un rythme normal, formant un front fuyant, et un cuir chevelu distendu et souvent ridé. Au fur et à mesure de la croissance de l'enfant, la petitesse du crâne devient plus évidente, mais tout le corps est souvent aussi concerné par un retard de croissance. Selon les cas, les fonctions motrices sont plus ou moins affectées (jusqu'à une quadriplégie spastique parfois). De même pour l'acquisition de la parole, qui est plus ou moins retardée. Une hyperactivité et une déficience intellectuelle sont courantes, mais plus ou moins marquées selon les cas. Des convulsions peuvent survenir.


title: Microcéphalie

text: Elles sont nombreuses ; la consommation de boisson alcoolisée, de drogues ou une maladie (varicelle, rubéole, virus Zika...) lors de la grossesse peuvent affecter la construction du cerveau et être la cause d'une microcéphalie à la naissance.


title: Microcéphalie

text: Une mutation du gène ASPM cause une microcéphalie autosomale récessive. Certaines mutations du gène MCPH1, à l'état homozygote, provoquent une microcéphalie primaire. Ces gènes ont joué un rôle important dans l'évolution du cerveau humain. À noter que les mutations de la microcéphaline et la microcéphalie anormale fusiforme causent généralement une diminution du volume cérébral jusqu’à une taille comparable à celle des premiers hominidés.


title: Microcéphalie

text: Le virus Zika ou un éventuel nouveau variant de ce virus ont été suspectés au Brésil d'entraîner une microcéphalie, mais en 2016, l'information reste à confirmer par manque d'études sur le sujet et parce que dans d'autres régions où l'épidémie règne, ou là où ce virus est endémique, il ne semble pas causer de microencéphalies. D'autres études mettent en cause un insecticide, le "pyriproxifène" utilisé au Brésil durant 18 mois dans la région où a été ensuite constaté le plus grand nombre de cas de microcéphalie. Pourtant lors de l'épidémie survenue en Polynésie française, 18 cas de malformations du système nerveux central ont été répertoriés entre et , sans que le pyriproxyfène n'ait été utilisé dans cette région. Début , on a montré au Brésil que le virus pouvait être retrouvé dans le liquide amniotique (chez deux femmes enceintes porteuses d'un fœtus microcéphale). Le , des chercheurs slovènes ont publié la découverte de copies d'ARN viral dans le tissu cérébral d'un fœtus porteur d'une microcéphalie majeure avec calcifications cérébrales. Ce fœtus avait été autopsié après une interruption médicale de grossesse. La femme porteuse du fœtus aurait été infectée par Zika quand elle était au Brésil (vers sa de gestation). Le virus semble donc pouvoir se développer dans le cerveau du fœtus. Il n'est pas impossible qu'un pesticide puisse faciliter l'activité néfaste du virus pour le cerveau, mais cela reste à confirmer.


title: Microcéphalie

text: En , des chercheurs américains ont montré que le virus Zika était capable de provoquer la mort ou de perturber la croissance des cellules souches à l'origine du cortex cérébral.


title: Palmarès du simple dames des Internationaux de France

text: Cet article présente le palmarès du simple dames des Internationaux de France depuis la première apparition en 1897 d'un tableau de simple féminin au Championnat de France de tennis, précurseur des actuels Internationaux de France de tennis, l'un des tournois du Grand Chelem.


title: Fadila Khattabi

text: Fadila Khattabi, née le à Montbéliard, est une femme politique française, membre du Parti socialiste puis de La République en marche.


title: Fadila Khattabi

text: Conseillère régionale de Bourgogne de 2004 à 2015, vice-présidente du conseil régional entre 2010 et 2015, elle est députée de la troisième circonscription de la Côte-d'Or depuis le et préside la commission des Affaires sociales depuis le .


title: Fadila Khattabi

text: Fille d'immigrés algériens, Fadila Khattabi est enseignante d'anglais. Elle étudie à l'université de Bourgogne. Elle est mariée et mère de deux enfants.


title: Fadila Khattabi

text: Fadila Khattabi rejoint le Parti socialiste en 2002. Elle est élue au conseil régional de Bourgogne en 2004, puis réélue en 2010, devenant vice-présidente de la région.


title: Fadila Khattabi

text: Elle quitte le PS et se met en retrait de la vie politique en 2015 lors des élections régionales, après avoir tenté de monter une liste socialiste dissidente associée au MoDem.


title: Fadila Khattabi

text: Lors des élections législatives françaises de 2017, étiquetée République en Marche, Fadila Khattabi est élue au second tour avec 65,31 % des voix exprimées (face à son adversaire du Front national Jean-François Bathelier. Depuis le 17 octobre 2017, elle est présidente du groupe d'amitié France-Algérie à l'Assemblée.


title: Fadila Khattabi

text: À l'occasion de la remise en jeu des postes au sein de la majorité en , elle se porte candidate à la présidence de la commission des Affaires sociales. Elle échoue face à Brigitte Bourguignon. Le , après que cette dernière a été nommée au Gouvernement, Fadila Khattabi est élue présidente de la commission.


title: Fadila Khattabi

text: Réélue députée en juin 2022, elle est également réélue présidente de la commission des Affaires sociales.


title: Muscle oblique externe de l'abdomen

text: Le muscle oblique externe de l'abdomen ou grand oblique de l'abdomen ou tout simplement muscle oblique externe est un muscle large de la paroi latérale de l'abdomen. Il est pair et symétrique.


title: Muscle oblique externe de l'abdomen

text: L'origine du muscle oblique externe de l'abdomen se fait sur la partie osseuse des côtes K5 à K12. Les fibres ont ensuite un trajet ventral, caudal et médial.


title: Muscle oblique externe de l'abdomen

text: Le pilier latéral vient s'insérer sur le ligament inguinal et le pubis, le pilier médial vient se fixer sur la symphyse pubienne et le pilier croisé va s'insérer sur la symphyse pubienne contro-latérale.


title: Muscle oblique externe de l'abdomen

text: Des fibres vont aussi former la ligne blanche et échanger des fibres avec le muscle controlatéral. Qu'elle se trouve au-dessus ou en dessus de la ligne arquée, ces fibres vont former la paroi antérieure de la gaine des muscles droits.


title: Muscle oblique externe de l'abdomen

text: Lorsque le pilier croisé est puissant il peut largement dépasser la ligne médiane et la symphyse et se fixer sur le pubis controlatéral réduisant ainsi la taille de l'orifice externe du canal inguinal.


title: Muscle oblique externe de l'abdomen

text: Le muscle oblique externe de l'abdomen est innervé par les nerfs intercostaux 5 à 11, le nerf subcostal ainsi que par des fibres du plexus lombaire.


title: Muscle oblique externe de l'abdomen

text: Sa contraction unilatérale permet la rotation contro-latérale du tronc ainsi qu'une inclinaison homolatérale du tronc. Lors d'une contraction synchrone avec les autres muscles larges de l'abdomen, il permet de faire une rétro-version du bassin, une anté-version (flexion) de la colonne thoraco-lombaire ainsi qu'une hyperpression abdominale utile à l'expiration active, la miction et la défécation. Il participe en outre à la constitution de la sangle abdominale.


title: Victoire Du Bois

text: Victoire Du Bois est née le à Nantes. Sa mère est française et pédiatre, et son père est américain, originaire du Texas et prof d'anglais. Elle grandit à Corbeil-Essonnes, mais finit ses études en internat au lycée de Nantes en y suivant en particulier l'option théâtre. Elle passe par l'École du Jeu (à Paris) avant d'entrer au Conservatoire national supérieur d'art dramatique. Elle fait à la fois du cinéma, de la télévision et du théâtre.


title: Victoire Du Bois

text: En 2012, à sa sortie du CNSAD, elle fait la rencontre de Patrice Chéreau, avec qui elle devait collaborer sur "Comme il vous plaira" de Shakespeare, qu'il aurait dû mettre en scène à l'Odéon. Par la suite, elle travaille dans des mises en scène de Luc Bondy pour deux pièces, notamment sur "Ivanov" d'Anton Tchekhov (avec en particulier Micha Lescot) qui la révèle au public.


title: Victoire Du Bois

text: Au cinéma, elle est dirigée en particulier pour Nicole Garcia, Luca Guadagnino, Guillaume Renusson et Jérémy Clapin, tout en tentant de concilier cette carrière cinématographique avec une carrière théâtrale.


title: Victoire Du Bois

text: Elle est membre du collectif 50/50 qui a pour but de promouvoir l’égalité des femmes et des hommes et la diversité dans le cinéma et l’audiovisuel.


title: Oïmiakon

text: Oïmiakon (en ; en iakoute : Өймөкөөн, "Öymököön") est un village de la république de Sakha (Iakoutie), en Russie. Sa population s'élevait à 512 habitants en 2012.


title: Oïmiakon

text: Oïmiakon est nommé d'après la rivière d'Oïmiakon, dont le nom serait venu du mot évène "kheium", qui veut dire « étendue non gelée d'eau, lieu ou les poissons passent l'hiver ». Cependant, d'autres sources affirment que "kheium "signifie au contraire « lac gelé ».


title: Oïmiakon

text: Oïmiakon est situé en Sibérie orientale, le long du fleuve Indiguirka, près du lac Labynkyr, à au sud-est de Verkhoïansk, à à l'est-nord-est de Iakoutsk et à à l'est de Moscou. Le village se situe à une altitude d'environ 750 mètres, et non loin du cercle polaire. La durée des journées varie de 3 heures en décembre à 21 heures en juin.


title: Oïmiakon

text: Le climat, déjà extrêmement continental et froid dans la région, l'est encore plus à cause de la situation du village dans une vallée entre deux chaînes de montagnes qui y retiennent un air glacé et dense. Oïmiakon est classifié d'un climat subarctique extrême, selon la classification de Köppen. Le sol d'Oïmiakon est gelé en permanence (pergélisol). Dans son livre sur les conditions de vie en climats extrêmes, Nick Middleton, un géographe d'Oxford, relate sa visite à Oïmiakon et décrit les moyens utilisés par les villageois pour vivre au quotidien dans des températures aussi basses.


title: Oïmiakon

text: Oïmiakon est célèbre pour disputer à Verkhoïansk le titre de pôle du froid de l'hémisphère nord (hors Groenland) et d'Asie, avec un record à .


title: Oïmiakon

text: Le , une température de y aurait été ressentie, mais cette valeur fut obtenue par un scientifique, Sergueï Obruchev, en extrapolant la température d'une station en altitude vers la vallée (inversion de température), et non grâce à une mesure directe. Cette valeur aurait été la température la plus basse jamais enregistrée dans une zone habitée, ainsi que dans l'hémisphère nord (et plus largement, dans le monde, à l'exception de l'Antarctique) si elle avait été homologuée.


title: Oïmiakon

text: Autre station qui dispute aussi le titre de pôle du froid de l'hémisphère nord : Eismitte, au Groenland, avec une moyenne annuelle de la température (mesurée sur la période du au ) de et une moyenne mensuelle du mois le plus froid (février) de , inférieure donc à celles de Oïmiakon et Verkhoïansk. Mais l'endroit n'est pas habité.


title: Oïmiakon

text: Oïmiakon, halte d'été pour les éleveurs de rennes, ne devient un lieu habité l'hiver que dans les années 1930, dans le cadre de la politique soviétique de sédentarisation des populations sibériennes, à des fins de rationalisation de l'élevage.


title: Oïmiakon

text: Pendant la Seconde guerre mondiale, un aérodrome a été construit à Oïmiakon pour l'« Alaska-Siberian (ALSIB) Air Route », pour permettre la traversée des avions américains « Lend-Lease » jusqu'au Front de l'Est.


title: Oïmiakon

text: Les conditions de vie sont extrêmement rudes pour la population de ce village isolé, qui pendant une bonne partie de l'année ne passe jamais plus de quelques minutes à la suite en extérieur, et à laquelle toute culture est impossible. On vit traditionnellement dans la région de l'élevage de rennes et de chevaux, de la chasse, de la pêche, de la cueillette et de l'exploitation de la forêt. La route permet l'acheminement des sources d'énergie extérieures que sont l'essence et le charbon. En raison du froid, les avions n'atterrissent pas à Oïmiakon pendant plusieurs mois de l'année. Le tourisme est embryonnaire, et les ressources minérales dont regorge la Yakoutie sont situées loin, si bien que la population d'Oïmiakon a eu tendance à diminuer après la fin de l'Union soviétique.


title: Liste des épisodes de Fais pas ci, fais pas ça

text: Cet article présente la liste des épisodes de la série télévisée "Fais pas ci, fais pas ça". Les épisodes sont classés par ordre chronologique, correspondant au déroulement de l'histoire de la série.


text: La saison 9 comportera 6 épisodes. Elle est réalisée par Philippe Lefebvre (épisodes 1 et 2), les épisodes 3 et 4 sont dirigés et scénarisés par Cathy Verney avec Clémence Dargent, Martin Douaire et Stéphane Froenkinos tandis que les épisodes 5 et 6 sont écrits et réalisés par Michel Leclerc.


text: Un épisode a été tourné en Inde fin juillet 2016. Sa diffusion se déroule en février 2017 sur France 2.


title: Thomas Dermine

text: Thomas Dermine, né le mai 1986 à Charleroi, est un économiste et homme politique belge francophone membre du Parti socialiste.


title: Thomas Dermine

text: Depuis le octobre 2020, il est membre du gouvernement belge, adjoint au ministre de l’Économie et du Travail, Pierre-Yves Dermagne, en qualité de Secrétaire d’État pour la Relance et les Investissements stratégiques, chargé de la Politique scientifique au sein du gouvernement fédéral d’Alexander De Croo.


title: Thomas Dermine

text: Le octobre 2020, lors de la formation du Gouvernement De Croo, Thomas Dermine est nommé Secrétaire d’État à la Relance et aux Investissements stratégiques chargé de la Politique scientifique adjoint au Ministre de l’Économie et du Travail, Pierre-Yves Dermagne.


title: Thomas Dermine

text: Au sein du gouvernement fédéral, il pilote la coordination du Plan national pour la reprise et la résilience (PRR) au niveau belge en assurant une étroite collaboration entre la Commission européenne et l’ensemble des entités en Belgique. Le plan est officiellement déposé le 30 avril 2021, faisant de la Belgique l’un des premiers pays européen à tenir ces délais. Le Plan comporte 118 projets pour un montant total de 7,5 milliards d'euro.


title: Thomas Dermine

text: En parallèle de cette mission, Thomas Dermine pilote également la Politique scientifique fédérale, qui regroupe notamment l’agenda spatial belge et européen, le financement des programmes de recherche, ainsi que la tutelle sur les établissements scientifiques fédéraux parmi lesquels les grands musées belges.


title: Thomas Dermine

text: Sous son impulsion, en 2020 et 2021, la Belgique a dépassé son objectif de 3% investi dans la recherche et développement, figurant ainsi dans le top-3 européen investissant le plus dans la recherche et le développement.


title: Thomas Dermine

text: Par ailleurs, ayant la tutelle sur le Musée royal d’Afrique centrale (AfricaMuseum), il a notamment été l’initiateur d’une approche pionnière visant à la restitution des biens culturels issus du passé colonial au pays d’origine – notamment la République démocratique du Congo. Cette approche a été traduite dans projet de loi reconnaissant le caractère aliénable des biens issus du passé colonial et déterminant un cadre juridique pour leur restitution et leur retour. Cette loi a été adoptée par la Chambre des représentants le 30 juin 2022, date du anniversaire de l’indépendance de la République démocratique du Congo. Par ailleurs, le 8 juin 2022, à l’occasion de la première visite officielle du Roi Philippe en République démocratique du Congo, un premier masque Kakuungu a été retourné à son pays d’origine, symbolisant la volonté conjointe des deux États à approfondir leur collaboration sur cette question.


title: Thomas Dermine

text: Le 17 février 2022, Thomas Dermine succède à Babette Jandrain et devient Président de la Fédération PS de Charleroi.


title: Thomas Dermine

text: Depuis 2016, Thomas Dermine coordonne un programme universitaire à l’Université Libre de Bruxelles en « Micro-économie et compétitivité » en partenariat avec l’Université de Harvard.


title: Thomas Dermine

text: Il est par ailleurs membre des conseils consultatifs de l’Université de Mons en Belgique et de la Solvay Brussels School of Economics & Management.


title: Longueur d'un arc

text: En géométrie, la question de la longueur d'un arc est simple à concevoir (intuitive). L'idée d'arc correspond à celle d'une ligne, ou d'une trajectoire d'un point dans un plan ou l'espace par exemple. Sa longueur peut être vue comme la distance parcourue par un point matériel suivant cette trajectoire ou encore comme la longueur d'un fil prenant exactement la place de cette ligne. La longueur d'un arc est, soit un nombre positif, soit l'infini.


title: Longueur d'un arc

text: Un vieil exemple est celui du demi-cercle de rayon "r", où "r" désigne un nombre réel positif. Sa longueur est égale à π"r". Un exemple, plus simple, est donné par un segment, sa longueur est égale à la distance qui sépare ses deux extrémités.


title: Longueur d'un arc

text: Selon l'époque, différentes méthodes permettent de définir et de mesurer la longueur d'un ensemble d'arcs de plus en plus vaste. Eudoxe de Cnide, un mathématicien grec du , puis Archimède utilisent une méthode, dite d'exhaustion pour calculer celle d'un arc de cercle. La physique de la fin du développe une nouvelle approche, fondée sur les progrès réalisés en mécanique du point grâce en particulier au calcul infinitésimal appliqué à l'astronomie. La longueur d'un arc est perçue comme le produit du temps nécessaire à un point matériel pour parcourir l'arc par sa vitesse, si elle est supposée constante. Cette définition est généralisée par Bernhard Riemann et devient la pierre angulaire pour construire une distance et de nouvelles formes de géométries, sur des objets maintenant appelés variétés riemanniennes.


title: Longueur d'un arc

text: Pour le mathématicien français Camille Jordan , ces définitions sont trop restrictives. Il s'intéresse aux propriétés d'une courbe fermée, c'est-à-dire un arc dont le point initial se confond avec le point final. La définition précédente, issue de la physique deux siècles plus tôt, suppose que l'arc soit dérivable. Cette limitation empêche l'usage d'un vaste arsenal de méthodes, pourtant indispensables à la résolution de nombreuses questions. Il propose une nouvelle définition, à l'aide d'une borne supérieure et de la longueur d'une ligne polygonale. C'est maintenant la plus communément utilisée. Pour Hermann Minkowski , les idées de Jordan sont peu adaptées à ses besoins. Dans le contexte des questions qu'il se pose, la longueur qu'il cherche à définir est surtout celle de la frontière d'une surface. Un cercle est défini comme l'ensemble des points "P" d'un disque tels que tout voisinage de "P" contient un point du disque et un point extérieur. Il définit la longueur à l'aide de la notion intuitive de tube, correspondant à l'ensemble des points situés à une distance inférieure à "r" d'un point de l'arc. Cette définition se prête à de nombreuses généralisations, qui permettent même de donner un sens à la longueur d'une courbe fractale.


title: Longueur d'un arc

text: L'une des mesures de longueur la plus célèbre et la plus ancienne est celle d'un demi-arc de cercle de rayon 1. Cette longueur, notée π est calculée depuis bien longtemps. Pour les babyloniens, sa valeur se calcule grâce à la relation qui relie l'aire du cercle avec le périmètre du demi-arc, ils trouvent l'approximation 3 + 1/8.


title: Longueur d'un arc

text: Un progrès théorique important est l'œuvre d'Archimède. Pour le physicien, un polygone convexe dont les sommets sont des points du cercle est de périmètre plus petit que celui du cercle. En effet, il est plus court, pour rejoindre deux sommets consécutifs de passer par l'arête (le segment est le plus court chemin entre ses deux points d'extrémités), ce qui donne une minoration de π. Inversement, le polygone convexe régulier dont chaque milieu d'arête est un point du cercle est de périmètre plus grand. S'il ne peut démontrer cette proposition en général car il ne dispose pas d'une définition de la longueur d'un arc qui lui permettrait de réaliser cette prouesse, elle semble intuitive à l'œil, et résulte (dans le cas du cercle) de la proportionnalité entre les aires de secteurs circulaires et les arcs qui les sous-tendent. À l'aide d'un polygone régulier de 96 côtés, il démontre que la valeur de π se situe entre 3 + 1/7 et 3 + 10/71. Le principe du calcul est donné dans l'article pi.


title: Longueur d'un arc

text: La méthode est générale pour tout arc dont la convexité se situe toujours du même côté, c'est-à-dire dont l'arc n'est composé que de points frontières de l'enveloppe convexe. Toute ligne polygonale, dont les sommets sont situés sur l'arc, possède une longueur plus petite que celle de l'arc étudié. On dispose ainsi d'un minorant. On peut alors construire une suite de lignes polygonales de longueurs croissantes ("p") toutes plus petites que la longueur de l'arc. On construit ensuite une suite de lignes polygonales à l'extérieur de l'enveloppe convexe, dont les extrémités sont ceux de la ligne polygonale et qui longent de plus en plus précisément l'arc. La suite des longueurs ("P") est choisie décroissante et chaque longueur est plus grande que celle de l'arc. Les seules valeurs possibles, pour la longueur de l'arc, sont situées dans le segment ["p", "P"]. La suite est construite de manière que la distance entre "p" et "P" soit de plus en plus petite à tel point que pour tout nombre strictement positif ε, il existe une valeur "n" tel que "P" – "p" soit strictement plus petit que ε. L'intersection de tous les intervalles ["p", "P"] est réduite à un point, qui est nécessairement la longueur de l'arc. Cette méthode est dite d'exhaustion.


title: Longueur d'un arc

text: Elle est utilisée par le mathématicien chinois Liu Hui durant le avec des approximations plus performantes que celles d'Archimède. Il trouve la valeur approchée de π égale à 3,1416. Cette méthode reste en vigueur jusqu'à la fin du et permet de trouver d'autres résultats comme la longueur d'un arc de spirale logarithmique par Torricelli en 1645 ou de cycloïde par Christopher Wren.


title: Longueur d'un arc

text: Le est celui de Galilée. La notion de "vitesse instantanée" prend un sens, et même deux. La vitesse est tout d'abord un vecteur, celui qu'il faut multiplier par une durée "a" pour connaître la position d'un point se déplaçant de manière rectiligne uniforme au bout d'un délai "a". C'est aussi un scalaire, celui qui indique la distance parcourue au bout de la durée "a", dans le cas d'un déplacement uniforme. On parle de vitesse curviligne pour différencier cette grandeur de la vitesse vectorielle. La vitesse curviligne correspond à la norme du vecteur vitesse. Souvent, le terme de vitesse, utilisé dans le langage courant, correspond à la vitesse curviligne, par exemple dans l'expression "vitesse de ", qui correspond à un scalaire et non à un vecteur.


title: Longueur d'un arc

text: Cette définition permet une nouvelle manière d'appréhender la longueur d'un arc. Pour connaître cette longueur, il suffit de trouver une fourmi, supposée petite, se déplaçant toujours à une vitesse curviligne "f" constante, de lui faire parcourir l'arc. Si la durée du parcours de l'arc est égale à "a", alors sa longueur est "a.f". Si cette idée est fructueuse, elle demande à être aménagée. Modéliser le parcours d'un arc à vitesse constante est une question souvent plus difficile que le calcul de la longueur recherchée. Si la vitesse "f" est constante, la longueur peut être vue comme la surface d'un rectangle de longueur le temps "a", nécessaire pour parcourir l'arc et de hauteur "f". Si la vitesse n'est pas constante, on remplace la droite "y" = "f" dans un repère cartésien par la ligne d'équation "y" = "f"("t"), où "t" varie entre 0 et "a". La longueur de l'arc est égale à l'aire située entre les trois droites "x" = 0, "x" = "a", "y" = 0 et la ligne "y" = "f"("t"). On trouve l'aire illustrée en jaune sur la figure de droite.


title: Longueur d'un arc

text: Cette nouvelle approche prend forme à travers l'étude de la parabole semi-cubique, d'équation "cy" = "x". Vers 1660, ce problème est célèbre et intéresse de nombreux mathématiciens. La question du calcul de la longueur d'un arc, que l'on appelait alors problème de rectification, était à l'époque considérée comme très difficile, voire souvent impossible. John Wallis publie la solution en 1659 et en attribue la paternité à Neil. Une des raisons de la célébrité de la preuve est qu'elle débouche sur une valeur constructible à la règle et au compas, naissance d'un fol espoir de résolution de la quadrature du cercle. Cette solution est reproduite par Van Heuraet la même année avec une méthode de rectification de la parabole à l'aide du calcul de la quadrature d'une hyperbole. Le problème de la quadrature d'une surface est celui consistant à déterminer son aire. En 1660, Pierre de Fermat généralise l'approche à toute courbe, qu'à l'époque on imagine comme toujours dérivable, au moins par morceau, même si la notion de dérivée n'est pas encore formalisée.


title: Longueur d'un arc

text: Un pas de géant est franchi entre 20 et 30 ans plus tard, lorsque Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz découvrent le calcul infinitésimal et le second théorème fondamental de l'analyse, indiquant la relation entre la dérivée et l'intégrale. La longueur "L" d'un arc parcouru durant une période "a" à une vitesse curviligne égale à "f"("t") à l'instant "t" est égale à :


title: Longueur d'un arc

text: Pour être précis, quelques définitions doivent être données. Ici, "E" désigne un espace euclidien de dimension "n" et ℝ l'ensemble des nombres réels. Pour définir une longueur, il est utile d'associer un sens précis au mot arc paramétré de classe "C", si "p" est un entier positif :


title: Longueur d'un arc

text: Demander à la dérivée première de ne jamais s'annuler permet d'éviter des singularités qui ne sont pas l'objet de cet article. Cette définition fournit à la fois l'arc et une manière de le parcourir. Pourtant, géométriquement, parcourir un arc rapidement ou lentement, dans un sens ou dans un autre, ne modifie pas la nature de l'arc. Pour cette raison, on définit une classe d'équivalence entre les arcs paramétrés :


title: Longueur d'un arc

text: Par exemple, le parcours deux fois d'un cercle par un arc paramétré n'est jamais équivalent à un arc paramétré parcourant une seule fois le cercle. En effet, dans un cas tout point du cercle possède deux antécédents et dans l'autre cas un unique, un difféomorphisme ne peut exister. On peut maintenant énoncer la définition d'un arc géométrique :


title: Longueur d'un arc

text: L'intégrale n'est pas nécessairement finie car l'intervalle "I" n'est pas nécessairement un segment. Par exemple, si "I" est égal à ℝ et "f" à la fonction qui à "t" associe exp(i"t") à valeurs dans les nombres complexes identifiés au plan euclidien, l'arc géométrique parcourt un nombre infini de fois le cercle unité, sa longueur est infinie.


title: Longueur d'un arc

text: Pour que la définition fasse sens, il est nécessaire que les longueurs de deux arcs C équivalents soient les mêmes. On le vérifie simplement. Si ("I", "f") et ("J", "g") sont deux arcs paramétrés C équivalents et si le difféomorphisme θ vérifie "g"∘θ = "f", alors l'intégration par changement de variable montre que :


title: Longueur d'un arc

text: Si "E" désigne un plan euclidien, la fonction "f" peut s'exprimer à l'aide de deux fonctions coordonnées, de "I" dans ℝ, notées ici "x"("t") et "y"("t"). Si les coordonnées s'expriment dans une base orthonormale et si ]"a", "b"[ désigne l'intervalle "I", la formule précédente devient :


title: Longueur d'un arc

text: Sous cette forme, la longueur de l'arc trouve une autre justification intuitive que celle de la vitesse. Soit "t" et d"t" deux réels positifs tel que "t" et "t" + d"t" soient éléments de "I". Notons ("x", "y") les coordonnées de l'image de "t" et ("x "+ d"x", "y "+ d"y") celle de "t" + d"t". Cette situation est illustrée sur la figure de droite. Si d"t" est suffisamment petit, la courbe est proche de son approximation tangente. Identifier entre ces deux valeurs du paramètre l'arc avec son approximation linéaire tangente au point "t" ramène localement le calcul à celui de la longueur d"s" de l'hypoténuse d'un triangle rectangle, qui se calcule avec le théorème de Pythagore :


title: Longueur d'un arc

text: Il existe un cas particulier usuel, celui où la courbe est le graphe d'une fonction "g" de classe "C" sur un intervalle "I" et à valeurs dans ℝ. Pour revenir à une situation plus proche de la précédente, on peut considérer que la courbe est représentée par l'arc paramétré ("I", "f") où "f" est la fonction de "I" dans ℝ qui à "t" associe ("t", "g"("t")). En supposant toujours que ]"a", "b"[ désigne l'intervalle "I", on obtient :


title: Longueur d'un arc

text: Il est parfois plus commode d'utiliser les coordonnées polaires pour exprimer l'arc paramétré, ce qui revient à utiliser les notations suivantes :


title: Longueur d'un arc

text: Sur le cercle trigonométrique, la longueur de l'arc ayant pour extrémités l'origine des arcs et le point du premier quadrant d'ordonnée formula_12 est :


title: Longueur d'un arc

text: Au , le problème de la rectification d'un arc est à la pointe de la recherche. Sans les outils du calcul différentiel, ces questions demandent une grande imagination pour y répondre. Elles deviennent beaucoup plus aisées une fois connue la dérivée et sa relation avec l'intégrale. Un exemple est celui de la chaînette, courbe plane qui correspond à la forme que prend un câble lorsqu'il est suspendu par ses extrémités et soumis à son propre poids. Il est résolu en 1691 à la fois par Leibniz, Huygens et les frères Bernoulli. Si cosh désigne le cosinus hyperbolique et si "a" désigne un réel strictement positif, son équation est la suivante :


title: Longueur d'un arc

text: La longueur L de la chaînette entre le point d'abscisse 0 et celui d'abscisse x est donnée par la formule, si sinh désigne le sinus hyperbolique :


title: Longueur d'un arc

text: La longueur d'une spirale logarithmique est d'abord déterminée sans l'usage du calcul différentiel. Puis, cet usage permet une résolution du problème de manière très simple, surtout si le paramétrage proposé est polaire si "a" est un réel strictement positif et "b" est strictement supérieur à 1 :


title: Longueur d'un arc

text: La longueur L de la spirale entre le point origine et celui d'angle θ, qui peut être supérieur à 2π, est donnée par la formule suivante :


title: Longueur d'un arc

text: Un autre calcul est d'importance historique, celui de la parabole de Neil, qui correspond à la courbe d'équation "y" = ±"ax", si "a" est un entier strictement positif. Sa rectification est réalisée avant la découverte du calcul différentiel. La nouveauté apportée réside dans le fait que, si "L" désigne la longueur de la partie positive de la branche située entre 0 et "x", le résultat intermédiaire suivant est utilisé :


title: Longueur d'un arc

text: Une question de rectification est finalement liée à un problème de quadrature, c'est-à-dire au calcul d'une surface, base de la définition utilisée dans ce paragraphe. Finalement, on trouve :


title: Longueur d'un arc

text: Cette démarche permet de résoudre le problème de la rectification de la parabole. Si l'on choisit le paramétrage "y" = "ax", avec "a" un réel strictement positif, la longueur "L" de la branche située entre 0 et "x" s'exprime sous la forme d'une quadrature d'hyperbole, que l'on sait réaliser déjà depuis plus de 20 ans :


title: Longueur d'un arc

text: Si l'approche par la vitesse permet de résoudre aisément la question de la longueur de l'arche d'une cycloïde, égale à 8 fois le rayon du cercle, un problème en apparence aussi simple que de calculer la circonférence de l'ellipse en fonction des demi-axes conduit à des intégrales qu'on ne peut pas expliciter plus avant : on parle d'intégrales elliptiques de seconde espèce.


title: Longueur d'un arc

text: On utilise ici la paramétrisation par une fonction "g", définie par "g"("x") = a"cosh"(x/a). On obtient les expressions :


title: Longueur d'un arc

text: L'aire à déterminer est illustrée sur la figure de droite. Elle est comprise entre les deux droites d'équations "x" = 0 et "x" = τ, puis entre la droite "y" = 0 et la fonction dont l'équation est sous l'intégrale. Sans disposer des outils puissants de l'analyse, il est possible de calculer cet aire. On la découpe en trois zones, la jaune, la bleue et la vert clair.


title: Longueur d'un arc

text: La zone jaune correspond à un demi-carré de côté 1, la bleue à un demi-carré de côté τ. Déterminons la surface "v" du triangle vert foncé. Pour cela, il suffit de calculer la longueur de sa diagonale "v" :


title: Longueur d'un arc

text: Il reste encore à déterminer l'aire de la zone vert clair "v", elle est égale à la différence entre l'aire de zone verte "v" et de la zone vert foncé. La zone verte correspond au logarithme de la distance qui sépare l'origine du sommet du triangle vert foncé le plus éloigné, on trouve :


title: Longueur d'un arc

text: Pierre de Fermat est un des précurseurs du calcul différentiel, avant Leibniz et Newton. Il propose une interprétation des lois de Snell-Descartes dans une lettre de 1662 et adressée à Marin Cureau de la Chambre en énonçant un principe très général : qui implique les règles de propagation de la lumière pour l'optique géométrique.


title: Longueur d'un arc

text: L'intuition de Fermat est exacte. La vitesse de la lumière est plus lente dans l'eau ou dans du verre que dans le vide ou dans l'air. La trajectoire de la lumière est en conséquence fonction du rapport des vitesses de la lumière dans les deux milieux. Il est possible d'illustrer ce principe par le problème dit du "maître nageur", représenté sur la figure de gauche. Un maître nageur, situé au point "A" doit éviter une noyade en "A". Pour être le plus rapide possible, le maître-nageur doit trouver le point "M" situé à la frontière entre la plage et la mer tel que courir de "A" à "M", puis nager de "M" à "A", soit le trajet le plus rapide. Comme il court plus vite qu'il ne nage, le point "M" se trouve nécessairement plus proche de "A" que le point du segment "A""A" à la frontière de la plage et de la mer.


title: Longueur d'un arc

text: Une autre manière de modéliser cette question est d'équiper l'espace d'une nouvelle distance "d", associée à la vitesse de déplacement de la lumière ou de celle du maître-nageur. La distance entre deux points est donnée par le temps nécessaire pour aller d'un point à un autre. Si "C" est un arc géométrique de paramétrage ("I", "f"), et "n" le rapport entre la vitesse du maitre nageur sur la plage et celle au point "A", la longueur de l'arc "C" s'exprime par :


title: Longueur d'un arc

text: C'est maintenant la longueur d'un arc qui permet de définir la distance "d" : la distance entre deux points est la plus petite longueur d'un arc reliant ces deux points. La figure de droite illustre la géométrie de l'espace, vue avec les deux distances. L'espace équipé de la distance "d" est illustré en haut. Les trajectoires les plus courtes pour le maitre nageur sont les droites représentées en vert, et les points à égale distance de sa position sont les arcs de cercle, en rouge sur la plage et en bleu dans la mer. Cette même figure est reproduite sur la figure du bas, cette fois avec la distance usuelle. Comme le maître nageur est moins rapide dans l'eau, les portions de cercles dans la mer sont "écrasées". Ce tassement déforme les portions de droites vertes qui se trouvent dans l'eau. Les angles obtenus, entre un segment vert sur la plage et son prolongement dans l'eau, suivent les lois de Descartes.


title: Longueur d'un arc

text: L'expression utilisée par Fermat pour décrire son principe est habile. Rien n'indique, dans sa formulation, qu'il est limité à l'optique géométrique. L'avenir lui donne raison. Une question, déjà abordée par Galilée sans succès en 1638, consiste à trouver la courbe que doit emprunter un point matériel glissant sans frottement pour aller le plus rapidement possible d'un point "A" à un point "B". Le point "B" est supposé se trouver à une altitude inférieure ou égale à celle du point "A" pour que la question ait une solution. Cette question porte le nom de "problème brachistochrone". Elle est remise à l'honneur par Jean Bernoulli en 1696 et posée comme défi aux lecteurs du journal Acta Eruditorum.


title: Longueur d'un arc

text: Une solution consiste encore à appliquer le principe de Fermat. Si la distance entre deux points "A" et "B" est mesurée par le temps nécessaire pour aller du plus haut au plus bas, l'espace est cette fois dilaté de manière parabolique sur l'axe vertical. En effet, si on appelle 1 la longueur parcourue verticalement en 1 unité de temps, la longueur parcourue verticalement en 2 unités de temps est de 4, puis celle parcourue en 3 est de 9, etc. Résoudre le problème brachistrochrone revient à trouver les lois de passage entre l'espace mesuré par la vitesse du point matériel et celui mesuré de la manière usuelle. La réponse est illustrée sur la figure de droite. Comme précédemment la figure du dessus représente l'espace mesurée à l'aide de la distance "d", correspondant à la vitesse du point matériel. On considère les trajectoires, vues avec la distance "d" comme des demi-droites issues d'un même point, où la vitesse du point est initialement nulle. Ces demi-droites sont régulièrement espacées d'un angle de π/8 sur la figure. En rouge sont indiquées les positions possibles du point au bout d'un temps fixe et régulier, 1, 2, 3 et 4 secondes. Les courbes rouges correspondent à ce que l'on appelle usuellement des demi-cercles.


title: Longueur d'un arc

text: Cette même figure, vue avec la distance usuelle est illustrée sous la première. Elle est un peu plus difficile à lire que celle correspondant à la géométrie précédente. Le plus simple est de commencer par la ligne verte numérotée 1. Elle correspond à un déplacement horizontal. Comme le point matériel possède une vitesse initiale nulle, son déplacement est nul et la droite est transformé en un point, noté 1 sur la figure du bas. La trajectoire noire correspond à une courbe dont la tangente initiale est verticale. Il n'existe pas une courbe possible, mais une infinité, dont deux sont illustrées sur la figure du bas, en noir. Ces courbes correspondent à des arches complètes de cycloïde. Toute arche de cycloïde de point initial celui de la figure correspond à une droite de tangente initiale verticale avec la distance "d". Cette situation est analogue pour l'image de toutes les demi-droites vertes de la figure supérieure. Ainsi, la demi-droite numéroté 2 correspond à une portion de cycloïde illustrée sur la partie basse de la figure, et toute homothétie de cette portion de cycloïde correspond aussi à une image de la demi-droite 2.


title: Longueur d'un arc

text: La technique utilisée pour résoudre le problème brachistochrone est de même nature que celle du paragraphe précédent en optique. On cherche l'arc le plus court pour une distance bien choisie. Le principe de Fermat prend parfois le nom de "principe de moindre action", que Maupertuis redécouvre et énonce ainsi :


title: Longueur d'un arc

text: Dans l'exemple du problème brachistochrone, l'équivalent de l'indice de réfraction correspond un facteur de compression de l'espace, à l'image de l'exemple d'optique. Comme ici l'espace a plutôt tendance à se dilater, l'indice est rapidement compris entre 0 et 1. Il est précisément égal à (2gh) si "h" est l'altitude, comptée négativement. Pour résoudre l'équation différentielle de Newton, indiquant la trajectoire des planètes, la même méthode s'applique avec un coefficient cette fois ci, égal à "a"/"h". Les calculs sont un peu plus simples et les arches de cycloïdes sont transformées en demi-cercles.


title: Longueur d'un arc

text: Si Bernhard Riemann, un élève de Gauss, s'intéresse suffisamment à cette question pour en faire son sujet de thèse, ce n'est pas pour proposer une nouvelle méthode de résolution d'une célèbre équation différentielle, mais pour mieux comprendre la géométrie. Si l'on retire les points d'altitude 0 (un point d'altitude 0 est en effet à une distance non nulle de lui-même, ce qui ne fait guère sens), on obtient un espace métrique. Pour définir cette métrique, on commence par une nouvelle définition de la longueur "L" d'un arc "C" de l'espace "G" qui, s'il est paramétré par ("I", "f") vaut dans le cas particulier étudié :


title: Longueur d'un arc

text: Chaque point "p" de "G" possède un espace tangent "T", muni d'un produit scalaire et donc d'une norme. Dans le cas particulier du paragraphe, la norme est celle du plan, que multiplie le facteur de compression "n" proportionnel à l'inverse de l'altitude de "p". La définition de la longueur d'un arc permet ensuite de définir la distance entre deux points. Elle est égale à la longueur du plus petit arc reliant ces deux points.


title: Longueur d'un arc

text: Qualitativement, l'espace que l'on vient de définir ressemble un peu à la figure de droite. Le formalisme de Riemann, consistant à d'abord définir la longueur d'un arc puis la distance, est finalement très puissant. Il permet de définir un large ensemble de géométries, dans lequel les concepts classiques comme les droites (qui prennent le nom de géodésiques), les cercles ou les courbures s'étendent. Cette méthode permet de définir des surfaces qui n'existent pas en dimension 3. Celle considérée dans ce paragraphe possède une courbure constante négative. La courbure en un point "p" correspond au produit des deux courbures les plus extrêmes que peuvent prendre les arcs paramétrés à l'aide d'une abscisse curviligne au point "p". Si les deux cercles osculateurs se trouvent sur un ellipsoïde, on parle de courbure positive. s'ils se trouvent sur une "selle de cheval", on parle de courbure négative. Aucune surface en dimension 3 ne possède de courbure négative constante, raison pour laquelle la géométrie décrite dans ce paragraphe n'est pas exactement celle de la figure de droite.


title: Longueur d'un arc

text: Les trois paragraphes précédents ont un point commun, pour être opérationnel, ils nécessitent la capacité de trouver le plus court chemin entre deux points d'une surface ou d'une géométrie particulière, ce qui n'est pas, en général, une question facile.


title: Longueur d'un arc

text: La méthode la plus fructueuse s'apparente à celle de la géométrie différentielle. En dimension finie, et sous les bonnes hypothèses, un point optimal possède une approximation linéaire tangente plate, illustrée sur la figure de gauche. En terme mathématiques, cela signifie que le gradient de la fonction à optimiser est nul sur un point extrémal.


title: Longueur d'un arc

text: C'est une méthode de cette nature qu'utilise Bernoulli pour résoudre le problème brachistochrone. Elle est illustrée sur la figure de droite, une petite variation autour du chemin optimal ne change pas sa longueur, au premier ordre. Ainsi le chemin proche de l'optimal, illustré en vert, est au premier ordre, de même longueur que la courbe optimale, illustrée en gris. Leonhard Euler affine la méthode et propose une première démonstration de la résolution du problème isopérimétrique consistant à trouver l'arc fermé d'une longueur donnée et enserrant une surface de plus grande aire possible. (La démonstration d'Euler est proposée dans l'article Multiplicateur de Lagrange.) En 1755, Lagrange écrit une lettre à Euler. Elle porte sur le calcul de la courbe tautochrone, correspondant à une question analogue au problème brachistochrone. Cette correspondance est le début d'un long travail commun et permet d'établir l'équation d'Euler-Lagrange, une méthode très générale pour trouver les géodésiques.


title: Longueur d'un arc

text: Si l'équation d'Euler-Lagrange est suffisante pour résoudre le problème tautochrone, il est parfois nécessaire de l'enrichir, par exemple pour trouver la courbe de la chaînette, c'est-à-dire la position qu'occupe au repos un câble de densité linéaire (les physiciens emploient l'expression masse linéique) constante, soumis à la gravité. La méthode est enrichie par celle du multiplicateur de Lagrange.


title: Longueur d'un arc

text: Les mathématiques du sont encore insuffisantes pour démontrer rigoureusement la pertinence des calculs d'Euler et de Lagrange. Leur connaissance en analyse fonctionnelle est encore bien trop limitée. Ces méthodes, qui prennent le nom de calcul des variations, deviennent vraiment rigoureuses sous l'influence de Karl Weierstrass au et surtout les travaux de Banach et Sobolev au .


title: Longueur d'un arc

text: Voici un exemple négatif. On prend le graphe de la fonction constante égale à 0 sur [0, 1]. Celui-ci est de longueur 1. On fabrique facilement une suite de fonctions continues sur [0, 1], rectifiables, qui converge uniformément vers "f" et dont la longueur ne converge pas vers 1.


title: Longueur d'un arc

text: Par exemple : "f" est une fonction triangle avec des pentes 1 sur [0, 1/2] et –1 sur [1/2, 1]. Puis "f" est une fonction formée de deux triangles, avec des pentes 1 sur [0, 1/4], –1 sur [1/4, 1/2], 1 sur –1 sur [3/4, 1], et ainsi de suite (4,8,16 triangles…). Chacune des fonctions "f" a un graphe de longueur , et par ailleurs il y a bien convergence uniforme vers "f".


title: Longueur d'un arc

text: Pour obtenir des résultats de continuité pour l'application « longueur », il ne faut donc pas travailler avec la norme de la convergence uniforme. Il faudrait plutôt une norme du type de celles des espaces de Sobolev.


title: Longueur d'un arc

text: Pendant 150 ans, la définition du remplit les besoins des mathématiciens, au besoin avec la généralisation de Riemann. Encore maintenant, il n'est pas rare qu'elle soit utilisée quand le sujet se limite à de la géométrie différentielle. Durant la deuxième moitié du , de nouvelles questions imposent une approche plus générale.


title: Longueur d'un arc

text: Les courbes étudiées ne possèdent plus systématiquement une origine spécifiquement mécanique ou cinématique mais proviennent aussi d'autres branches des mathématiques. Giuseppe Peano découvre la courbe qui porte maintenant son nom et qui recouvre intégralement la surface d'un carré de côté 1. Hermann Minkowski utilise des convexes pour résoudre des questions de théorie algébrique des nombres. Les frontières de ces convexes, s'ils sont dans un plan euclidien, peuvent parfois être paramétrées comme des arcs.


title: Longueur d'un arc

text: Camille Jordan est un précurseur dans l'étude des courbes du plan euclidien ayant une autre origine que cinématique. Il essaie de résoudre certaines questions apparemment anodines comme celle du théorème portant son nom, ce résultat traite d'une courbe fermée et simple. Fermée signifie que l'image des extrémités du segment de définition sont confondues et simple que l'unique point double est l'extrémité. Une telle courbe sépare le plan en deux parties connexes, l'intérieur et l'extérieur de la courbe.


title: Longueur d'un arc

text: Pour supporter un tel développement, il est nécessaire de ne pas se limiter aux arcs géométriques de classe "C". Jordan propose une nouvelle définition de la longueur fondée sur une démarche plus proche de celle d'Archimède que des analystes du . Une méthode intuitive pour comprendre sa logique consiste à poser une corde le plus précisément possible sur l'arc que l'on désire mesurer. Pour pouvoir aisément calculer la longueur de la corde, on lui impose de suivre un trajet polygonal. On punaise les sommets de la corde sur l'arc étudié, de telle manière à ce que les punaises se succèdent, comme sur la figure de droite. En ajoutant de plus en plus de punaises, on impose à la corde de suivre de plus en plus précisément l'arc. Une fois accrochée une infinité de punaises régulièrement espacées on obtient la longueur recherchée. Si cette approche possède l'avantage d'être pertinente, même dans le cas d'un arc non dérivable, donner un sens rigoureux à l'idée d'une "infinité de punaises régulièrement espacées" serait un peu délicat. Jordan propose plutôt la borne supérieure des longueurs des différentes cordes imaginables, attachées avec un nombre fini de punaises. Cette démarche allie la rigueur avec une généralisation de la longueur aux arcs non nécessairement dérivables.


title: Longueur d'un arc

text: Par delà le fait de pouvoir traiter des courbes non dérivables, de nouvelles méthodes deviennent utilisables qui ne l'étaient pas avec la définition précédente. Un exemple est donné avec le théorème isopérimétrique. Ce théorème stipule que toute surface possède une aire plus petite que celle du disque de même périmètre. Certaines démonstrations, présentées dans l'article sur cette question, nécessitent la définition de longueur au sens de Jordan.


title: Longueur d'un arc

text: L'ensemble d'arrivée n'est maintenant plus nécessairement euclidien, ("E", "d") désigne dans ce paragraphe un espace métrique et "I" toujours un intervalle de ℝ. Le couple ("I", "f") est un arc, c'est-à-dire une fonction continue de "I" dans "E". La logique suivie pour la définition est proche de celle utilisée pour l'intégrale de Riemann. Soit "S" une suite finie "a", … , "a "strictement croissante d'éléments de "I". Une telle suite est appelée une subdivision de l'intervalle ["a", "a"] de "I".


title: Longueur d'un arc

text: La valeur "L"("S") est appelée ici longueur de la ligne polygonale de sommets les images de la suite "S" par "f". L'inégalité triangulaire impose de définir la longueur de l'arc "C" comme supérieure à celle d'une ligne polygonale associée à une subdivision d'un intervalle de "I". La ligne droite que suit la ligne polygonale entre deux sommets consécutifs est en effet le chemin le plus rapide entre ces deux points et "passer par la courbe C" est nécessairement plus long. En revanche, si la subdivision est très fine, on peut espérer obtenir une bonne approximation de la "longueur" de "C", ce qui justifie la définition suivante :


title: Longueur d'un arc

text: Une telle définition n'impose pas à la longueur d'être finie. Par exemple une droite est de longueur infinie. Des contre-exemples moins triviaux sont donnés par la figure de droite ou encore la courbe de Peano, qui est continue mais nulle part dérivable, et dont l'image du segment [0,1] est l'ensemble des points d'un carré de côté 1. Ceci donne lieu à la définition suivante :


title: Longueur d'un arc

text: Une dernière propriété est utile pour assurer la cohérence de la définition de longueur. Ici "E" désigne à nouveau un espace euclidien :


title: Longueur d'un arc

text: Les fonctions bornées de "I "dans "E "sont dotées de la distance de la continuité uniforme. Il est naturel de s'interroger sur la continuité de la fonction qui, à un arc, associe sa longueur. La figure de gauche montre que cette fonction n'est pas continue. En effet, dire qu'un arc, en rouge sur la figure, est proche d'un autre, le cercle bleu sur la figure, signifie que l'arc se trouve dans une espèce de tube, de petite largeur. La courbe en rouge montre qu'il est possible de construire une telle courbe qui oscille suffisamment pour avoir une longueur très différente. En revanche, si la courbe rouge est "proche" de la bleue, sa longueur ne peut être beaucoup plus petite que la bleue. Celle de plus petite longueur est illustrée à droite en vert. On parle de semi-continuité inférieure.


title: Longueur d'un arc

text: En effet, pour toute subdivision d'un intervalle de "I", la fonction est continue, donc la fonction longueur est semi-continue inférieurement, comme borne supérieure des.


title: Longueur d'un arc

text: Minkowski s'intéresse surtout aux courbes fermées et simples car elles définissent une frontière d'un espace compact dans le plan euclidien. Les résultats qu'il établit sont particulièrement intéressants s'il peut les généraliser aux dimensions supérieures.


title: Longueur d'un arc

text: Les outils issus de la géométrie différentielle ne sont pas toujours très adaptés pour cela. Un exemple est donné par le théorème isopérimétrique, dans le cas général on cherche à démontrer qu'un solide d'un espace euclidien de dimension "n" possède un volume plus petit que celui de la boule de même surface. Le terme de boule de rayon "r" désigne l'ensemble des points à une distance inférieure à "r" d'un point donné appelé centre. Il n'est pas trop complexe de montrer que la courbure moyenne en chaque point d'une surface, frontière d'un solide qui atteint l'optimum isopérimétrique, est nécessairement constante. En dimension 2, il est très simple de montrer que l'unique courbe simple et fermée de courbure moyenne constante est le cercle, une démonstration naturelle est l'œuvre de Hurwitz et utilise l'inégalité de Wirtinger. En dimension 3, la démonstration est connue, mais elle est suffisamment technique pour ne dater que du début du . Le cas général n'est toujours pas démontré.


title: Longueur d'un arc

text: La définition de Jordan pour la longueur d'une courbe n'est pas adaptée non plus car elle ne se généralise pas directement aux dimensions supérieures. La généralisation naturelle consisterait à définir l'aire de la surface d'une portion de cylindre comme la borne supérieure de la surface d'un polyèdre dont les sommets se trouveraient sur la frontière du cylindre. L'exemple sur la droite illustre l'inconsistance d'une telle généralisation. Le polyèdre utilisé est un "lampion" dont les sommets sont situés sur des hexagones parallèles, chaque fois décalés d'un douzième de tour. Si les plans des hexagones se rapprochent de plus en plus, la surface du polyèdre augmente jusqu'à l'infini.


title: Longueur d'un arc

text: Minkowski trouve une solution pour définir la longueur d'un arc qui résiste au passage à une dimension supérieure. Son approche intuitive est différente de celles considérées jusqu'ici. Il ne s'appuie pas comme Jordan sur la longueur d'une ligne polygonale, mais directement sur la fonction volume de l'espace euclidien de dimension "n". Cette fonction est en général définie par la mesure de Lebesgue. Pour une valeur ε, suffisamment petite, il considère les points à une distance inférieure à ε de la courbe "C" qu'il étudie. Il obtient un ensemble, illustré en rose sur un exemple en dimension 2 sur la figure de gauche, la courbe "C" est représentée en bleu. Un tel ensemble est appelé un tube.


title: Longueur d'un arc

text: Si la valeur ε diminue, le volume du tube se rapproche du produit de la longueur de l'arc par le volume de la boule de dimension "n" – 1 et de rayon ε. Dans le cas du cercle de rayon "r" et en dimension 2, le tube est constitué de la zone de l'espace compris entre un cercle de rayon "r" + ε et un autre de même centre et de rayon "r" – ε. Son volume est exactement 2π"r" que multiplie 2ε. En dimension 3, le tube est un tore, une fois encore son volume est exactement le produit de 2π"r" par la surface d'un disque de rayon ε. Cette définition, si elle est un peu plus complexe à mettre en œuvre, se généralise aisément aux dimensions supérieures.


title: Longueur d'un arc

text: Minkowski et Hausdorff développent des outils permettant de mieux appréhender l'étude générale des solides. L'ensemble étudié est celui des compacts non vides d'un espace euclidien "E", de dimension "n". La somme de Minkowski associe à deux ensembles "A" et "B" le solide "A" + "B" composé des sommes d'éléments de "A" et de "B". Cet ensemble est équipé d'une distance, dite distance de Hausdorff. Le tube étudié correspond à la somme d'un compact "C", correspondant à la courbe dont on souhaite mesurer la longueur et de la boule de rayon ε, il est noté ici "C".


title: Longueur d'un arc

text: Si la courbe "C" est simple et fermée et de classe "C", alors le volume du tube "Vol"(C) s'exprime en fonction de la longueur "L" de l'arc "C" et du volume Vol("B"(ε)) de la boule d'un espace euclidien de dimension "n" – 1 et de rayon ε, ceci à condition que ε reste suffisamment petit :


title: Longueur d'un arc

text: Si la courbe n'est pas fermée, l'égalité reste vraie si l'on ajoute le volume d'une boule de rayon ε en dimension "n". En effet, deux demi-boules vont s'ajouter, chacune à l'une des extrémités de la courbe, on obtient :


title: Longueur d'un arc

text: Quelle que soit la configuration précédente, on obtient une nouvelle manière de définir la longueur d'un arc :


title: Longueur d'un arc

text: Cette définition est particulièrement pertinente dans le cas de l'étude de la longueur de la frontière d'une surface "S" compacte en dimension 2 de frontière "C". Si la frontière est paramétrable par un arc de classe "C", on dispose du théorème suivant, appelé formule de Steiner-Minkowski :


title: Longueur d'un arc

text: Le contenu 1-dimensionnel de la courbe "C" est égal à "b – a", c'est-à-dire à la longueur de la courbe, car son paramétrage correspond à une abscisse curviligne. Dans le cas du cercle et en dimension 3, on retrouve une formule connue, le volume d'un tore. Dans le cas d'une courbe qui n'est pas fermée, la démonstration est exactement la même, il suffit d'ajouter les deux demi-boules aux extrémités.


title: Longueur d'un arc

text: Dans le cas d'une courbe de classe "C" et admettant des points doubles, montrer que le contenu 1-dimensionnel de Minkowski est encore égal à la longueur n'est pas très compliqué, mais l'égalité du produit précédent et du volume du tube n'est plus vérifiée. Le résultat est encore vrai pour les courbes de classe "C", les polygones ou les courbes fermées non vides compacts et convexes en dimension 2, mais les démonstrations sont différentes.


title: Longueur d'un arc

text: Dès 1872, Karl Weierstrass montre qu'une courbe peut avoir un comportement étrange ; il construit un exemple d'arc, par définition continu, et nulle part différentiable. Plus tard, Peano construit sa courbe, dont l'image est l'ensemble des points d'un carré de côté 1. En 1904, le mathématicien suédois von Koch trouve un exemple concret de courbe répondant au cahier des charges de Weierstrass, à travers un étrange flocon. Tous ces exemples correspondent à ce qui est maintenant appelé une fractale.


title: Longueur d'un arc

text: Cette famille de courbes, initialement considérées comme un peu pathologiques, s'avère essentielle pour une meilleure compréhension de certaines branches des mathématiques. L'étude d'un système dynamique comme celui de Lorenz porte sur une équation différentielle dont le comportement limite se situe à l'intérieur d'une zone géométrique définie par une telle courbe (pour être plus précis, la zone correspond à l'adhérence d'une telle courbe).


title: Longueur d'un arc

text: Pour l'analyse de telles courbes, un équivalent de la longueur s'avère nécessaire. Or pour la courbe de Peano, la définition différentielle n'a pas de sens et celle de Jordan donne l'infini. Si le contenu 1-dimensionnel de Minkowski donne aussi l'infini, il n'est pas très compliqué de l'adapter pour trouver une réponse qui a du sens. Si "P" désigne l'ensemble d'arrivée de la courbe de Peano :


title: Longueur d'un arc

text: Ici, "P" désigne l'ensemble des points à distance inférieure à ε de "P". L'astuce a consisté à diviser le rapport, non pas par le volume d'une boule ("n" – 1)-dimensionnelle, mais ("n" - 2)-dimensionnelle. Pour une nappe de classe "C" et de dimension 2, le contenu correspond à la mesure de la surface. Pour l'attracteur de Lorenz ou le flocon de Koch, aucun entier "k" ne permet de définir un contenu ("n – k")-dimensionnel qui ne soit ni 0 ni l'infini. En revanche, il est possible d'utiliser une définition du volume d'une boule de dimension formula_53 qui fasse sens, même si ζ n'est pas un entier :


title: Longueur d'un arc

text: Ici Γ désigne la fonction gamma. Le contenu de Minkowski se généralise ainsi à des "dimensions non entières". Cette dimension, qui permet de donner un sens à la "longueur" d'un arc, est appelée dimension de Hausdorff.


title: Hydroxyde de magnésium

text: L'hydroxyde de magnésium est un composé inorganique de formule . Cette base se présente sous la forme d'une poudre pratiquement insoluble dans l'eau.


title: Hydroxyde de magnésium

text: Le « lait de magnésie » est une suspension d'hydroxyde de magnésium dans sa solution saturée, d'aspect laiteux. Sa forme minérale naturelle est connue sous le nom de "brucite".


title: Hydroxyde de magnésium

text: L'hydroxyde de magnésium est utilisé en thérapeutique en tant qu'antiacide (pour calmer les brûlures d'estomac), laxatif et comme désodorisant corporel naturel (inodore et non irritant pour la peau).


title: Hydroxyde de magnésium

text: L'hydroxyde de magnésium est le produit d'hydratation de l'oxyde de magnésium (aussi appelé « magnésie ») :


title: Hydroxyde de magnésium

text: Le pH du lait de magnésie est compris entre 9,5 et 10,5. C'est une base forte mais sa très faible solubilité () limite le pH de la solution.


title: Hydroxyde de magnésium

text: Il peut être fabriqué (sous forme de précipité blanc) par métathèse entre un sel de magnésium soluble (tel un chlorure ou un ) et un hydroxyde de sodium, de potassium ou d'ammonium :


title: Hydroxyde de magnésium

text: D'autre part, la brucite trouve une application industrielle comme charge ignifugeante ; pendant la combustion, l'hydroxyde de magnésium absorbe la chaleur en dégageant un gaz inerte (vapeur d'eau). A ce titre, il est un des composants de choix des retardants largués par les aéronefs bombardiers d'eau.


title: Hydroxyde de magnésium

text: L'hydroxyde de magnésium est utilisé à faible dose comme antiacide pour neutraliser l'acidité stomacale ; avec l'acide chlorhydrique, il se forme du chlorure de magnésium :