title: Monpazier

text: Le , près de sept à huit mille paysans se retrouvent dans la forêt d'Abjac. Le roi tente d'apaiser le conflit. Le , Daniel Pourquery, premier consul de Monpazier, réunit une assemblée qui le charge d'aller rencontrer le roi Henri IV à Saint-Germain-en-Laye pour présenter les doléances du peuple. Arrivé le , le roi l'écoute et promet sa clémence à condition que le calme soit revenu avant le . Mais le , une assemblée de se réunit sur la plaine de la Boule, entre Beaumont-du-Périgord et Bergerac. Excités par le notaire La Saigne et le juge Papus, dit Paulhiac, les Croquant nommèrent des colonels et gagnèrent le Limousin au cri de "Liberté. Tiers État". L'armée est alors intervenue en faisant de nombreux morts, ramenant le calme pendant l'hiver.


title: Monpazier

text: La jacquerie s'étend en février 1595 et la paysannerie proche de Belvès y participe. Des châteaux sont pillés. Le Sénéchal de Périgord en appelle à la noblesse qui décide de combattre les croquants. Ils sont sévèrement battus près de Saint-Crépin le . Des discussions ont lieu au cours d'une assemblée à Siorac, ils décident de rendre les armes. Le roi accorde en 1596 la remise des arriérés des tailles et subsides. Une nouvelle poussée de révolte se produit en août 1597, avec une assemblée à La Trappe, mais elle échoue. Jean Tarde (1562-1636), chroniqueur et vicaire général de l'évêque de Sarlat, écrit : « Après ce combat, ils se refroidirent, se divisèrent et se ruinèrent et s'en retournèrent au labourage ».


title: Monpazier

text: Sully a réformé la fiscalité. Il a cédé les droits seigneuriaux de la couronne à Monpazier à Jacques Nompar de Caumont, premier duc de La Force, le .


title: Monpazier

text: Charles de Gontaut-Biron est fait duc et pair du royaume en 1598. L'édit de Nantes est promulgué le pour ramener la paix religieuse.


title: Monpazier

text: Le , le duc de Biron, convaincu de trahison au profit de l'Espagne, est décapité dans la cour de la Bastille.


title: Monpazier

text: En 1621, Louis XIII traverse le Périgord avec l'armée royale au cours de sa campagne contre les protestants. Il ne passe pas par Monpazier.


title: Monpazier

text: Le commence la seconde jacquerie. Cette révolte se produit autour de la forêt de la Bessède, entre mars et juillet 1637, sous la direction d'un tisserand natif de Capdrot, Buffarot. Il est capturé par Pierre de Molinier, gentilhomme de Monpazier, et roué vif le sur la place centrale de Monpazier. Sa tête est exposée sur la place de la Halle de Belvès.


title: Monpazier

text: Henri de Caumont, marquis de Castelnau, reçoit de son père les droits sur la bastide de Monpazier en , « avec justice haute, moyenne et basse de la ville et des paroisses de Capdrot, Marsalès, Gaujac et Lavalade ».


title: Monpazier

text: Henri de Caumont se fait confirmer par le roi ses droits sur Monpazier en 1648 en payant la somme de .


title: Monpazier

text: Le prince de Condé est emprisonné à la Bastille, il est libéré après la fuite du cardinal Mazarin. Il prend alors la direction de la Fronde des princes. Il est nommé gouverneur de Guyenne en 1651, jusqu'en 1654.


title: Monpazier

text: Henri de Caumont s'est rallié à la Fronde des Princes en 1650. Les troupes de la Fronde logent à Monpazier comme l'écrit Saint-Luc à Mazarin le : « L'on m'a donné advis qu'il s'assemblait un grand corps d'infanterie à Monpazier et que c'était certainement celui que M. de La Force voulait mener avec le reste de la cavalerie de Tavanes ».


title: Monpazier

text: Un couvent des Récollets est établi à Monpazier en 1644. Il doit combattre la religion protestante dans la région qui compte de nombreux adeptes et qui a à Monpazier un consistoire et un temple. Un arrêt du parlement de Bordeaux ordonne la démolition du temple en .


title: Monpazier

text: Enquête en devant Étienne de Pourquery, juge à Monpazier, faite à la demande de certains notables de Monpazier et de Biron, en majorité protestants, se plaignant du comportement des soldats envoyés par le vice-sénéchal de Sarlat.


title: Monpazier

text: Après le retour du calme, en 1653, la construction du couvent des Récollets a repris. La charpente est posée en 1655. Des abjurations de protestants sont faites dans la chapelle du couvent.


title: Monpazier

text: Un synode protestant ayant eu lieu en 1659. Le temple de Monpazier existe toujours. Alain de Solminihac, évêque de Cahors, se rend alors à Monpazier pour prêcher. Henri de Caumont, protestant, a préféré abandonner la bastide et la céder à François de Gontaut, baron puis marquis de Biron, marié à la très catholique Élisabeth de Cossé-Brissac. Le couple fait des dons importants au couvent.


title: Monpazier

text: Avec François de Gontaut arrive aussi des mesures contre les protestants. Ceux qui s'obstinent dans leur foi doivent loger des soldats. Le cimetière protestant de Monpazier qui est attesté par le testament de Jeanne de Pardaillan, dame de Vivans, de 1668, a disparu.


title: Monpazier

text: Le temple est démoli en 1671 sur ordre du roi. Le , les protestants de Monpazier déposent une requête à la suite d'exactions d'archers.


title: Monpazier

text: Avec la révocation de l'édit de Nantes, en 1685, le consistoire de Monpazier est dissout et ses biens sont allés à l'hôpital de Sarlat.


title: Monpazier

text: En 1693, l'archiprêtre nota sur les registres de la paroisse que, du au , il avait enterré plus de 100 personnes dont il ignorait les noms, décédées dans l'hôpital ou mortes de faim à cause de la misère publique.


title: Monpazier

text: Après la révocation de l'édit de Nantes et la fermeture des écoles protestantes, Louis XIV a voulu assurer l'éducation des enfants des protestants dans des écoles tenues par le clergé catholique. L'édit d' concernant la juridiction ecclésiastique traite des écoles dans son article XXV, complété par l'ordonnance royale du 13 décembre 1698 sur les écoles paroissiales qui oblige les parents de France à envoyer leurs enfants dans les écoles paroissiales, dites « petites écoles » jusqu'à l'âge de 14 ans. Le financement était le fait des communautés d’habitants et le maître d'école, appelé « régent », est payé 150 livres par an.


title: Monpazier

text: En 1703, Bernard de Lamouroux a acheté l'office de maire perpétuel de la ville et juridiction de Monpazier.


title: Monpazier

text: Le , Barthélemy de La Borie du Pourteil(1731-1808), vicaire-général de Sarlat, est élu archiprêtre de Monpazier, après la mort de Pierre de Meyrignac. Il a alors rétabli la confrérie de la Miséricorde, l'établissement d'un maître d'école et d'une maison de charité chargée de loger cinq ou six pauvres incurables gouvernée par des Sœurs hospitalières qui instruisent en même temps les jeunes filles dans la maison de charité bâtie sur un terrain donnée par Mademoiselle de Gironde, baronne de Lavaur. Par les lettres patentes du roi de 1775 enregistrées par le parlement de Bordeaux en 1776, l'archiprêtre de La Borie du Pourteil, élargissant une fondation antérieure, a établi, avec l'aide du roi et du duc de Biron, une maison de charité hôpital de Monpazier, à laquelle est adjointe une filature royale de coton. Un bâtiment avait été légué par Mademoiselle de Gironde, en 1699, baronne de Lavaur pour établir une maison de charité. Deux bâtiments sont construits en équerre le long de la rue Notre-Dame et de la rue des Récollets avec les pierres des murailles de la ville.


title: Monpazier

text: Dans une note de 1793, on apprend que l'hôtel de ville a été incendié à une date inconnue. Le corps municipal et les magistrats sont obligés de se réunir dans les maisons des particuliers. Les archives municipales indiquent qu'en 1769 la communauté de Monpazier souhaite acheter une maison « où se tiendrait l'auditoire (de Justice) et l'Hôtel de ville, où les papiers de la ville seraient mis en dépôt, et où l'on pourrait établir une prison et chambre de geôlier, sans quoi la justice au grand criminel (sic) ne peut pas s'exercer ». Le manque de moyens financiers de la ville ne lui permet de répondre à l'obligation qui lui est faire en 1773 par un arrêt du conseil d'État d'entretenir les bâtiments servant à l'administration de la justice. Pour répondre à cette obligation, le procureur M. Rouquet de Laplène a proposé d'imposer un droit d'octroi de 6 livres par barrique sur les vins qui ne sont pas produits dans le district. Un membre du corps municipal, le sieur Delmon, protesta car ses vignes étaient en dehors du district. Finalement le projet a été adopté en limitant cette taxe au vin produit par des personnes étrangères à Monpazier. Ce droit d'octroi est autorisé par Louis XVI le .


title: Monpazier

text: En 1789, les 50 notables composant le corps de ville sont remplacés par 113 citoyens actifs. Les maisons des particuliers ne sont plus assez grandes pour permettre les réunions du corps de ville. Le maire de Monpazier reste jusqu'en 1791 Étienne de Laval de Bonneville, maire de Monpazier depuis le règne de Louis XV,


title: Monpazier

text: En 1791, le directoire du district de Belvès décide la vente des biens ecclésiastiques décidée par l'Assemblée constituant par le décret du 2 novembre 1789. Les biens du clergé devenus biens nationaux. Personne ne s'étant porté acquéreur du couvent des Récollets, il a alors servi de mairie, puis à loger le tribunal de district accordé à Monpazier.


title: Monpazier

text: En 1792, l'abbé de La Borie refusant de prêter serment à la constitution civile, il est déchu de son poste de directeur de l'hospice où il est remplacé par trois administrateurs. L'école et la filature de coton sont fermées et les Sœurs sont expulsées. En 1794, la maxime « Le peuple français reconnaît l'existence de l'Être suprême et l'immortalité de l'âme » est gravée sur le tympan de l'église Saint-Dominique. Elle y est encore lisible.


title: Monpazier

text: La commune prend, en 1818, la décision de déplacer hors la ville le cimetière qui se trouvait dans la parcelle qui jouxte l'église Saint-Dominique. La dernière inhumation dans le cimetière près de l'église a lieu en 1827.


title: Monpazier

text: Une loge maçonnique du Grand Orient de France, la loge du « Sanctuaire de la Vérité » est fondée à Monpazier en 1826. Cette loge était affiliée à la loge « Enfants de l'Union » de Fumel. La dernière lettre de la loge de Monpazier à la loge de Fumel est datée du et le registre des procès-verbaux de la loge de Fumel s'arrête le . Le zèle de la loge de Monpazier a dû progressivement se refroidir. On lui connaît des membres en 1840 et 1844.


title: Monpazier

text: En , une ordonnance royale autorise la ville de Monpazier à acheter l'ancien couvent des Récollets à maître Perry, notaire, pour la somme de .


title: Monpazier

text: Le cadastre de 1845 montre qu'il existait à l'emplacement du terrain où se trouve l'hôtel Edward un colombier qui devait être une tour de flanquement des remparts. Elle est détruite en 1877 par Joseph Béchon pour construire une maison aux allures de château avec ses deux tours à l'est qui la flanquent et une écurie.


title: Monpazier

text: Un rapport fait en 1913 montre l'état déplorable de l'hospice de Monpazier. Une maison de convalescence et de repos Sainte-Marthe a existé à Monpazier jusqu'en 2010.


title: Monpazier

text: Dès 1790, la commune de Monpazier est le chef-lieu du canton de Monpazier qui dépend du district de Belvès jusqu'en 1795, date de suppression des districts. En 1801, le canton est rattaché à l'arrondissement de Bergerac.


title: Monpazier

text: Dans le cadre de la réforme de 2014 définie par le décret du , ce canton disparaît aux élections départementales de mars 2015. La commune est alors rattachée au canton de Lalinde.


title: Monpazier

text: Fin 1994, Monpazier intègre dès sa création la communauté de communes du Monpaziérois. Celle-ci est dissoute au et remplacée au par la communauté de communes des Bastides Dordogne-Périgord.


title: Monpazier

text: La population de la commune étant comprise entre 100 et au recensement de 2017, onze conseillers municipaux ont été élus en 2020.


title: Monpazier

text: Dans son palmarès 2020, le Conseil national de villes et villages fleuris de France a attribué deux fleurs à la commune. Commune également soucieuse de son environnement, elle est village zéro-phyto.


title: Monpazier

text: l'Association des commerçants et artisans de Monpazier organise plusieurs manifestations, dont la fête des fleurs le 3 dimanche de mai, ainsi que trois brocantes, une en juin, une en août et une en octobre.


title: Monpazier

text: En 2015, parmi la population communale comprise entre 15 et 64 ans, les actifs représentent , soit 37,1 % de la population municipale. Le nombre de chômeurs (trente-six) a augmenté par rapport à 2010 (vingt-cinq) et le taux de chômage de cette population active s'établit à 19,3 %.


title: Monpazier

text: Au , la commune compte , dont 92 au niveau des commerces, transports ou services, vingt relatifs au secteur administratif, à l'enseignement, à la santé ou à l'action sociale, douze dans l'industrie, sept dans la construction, et deux dans l'agriculture, la sylviculture ou la pêche.


title: Monpazier

text: Le village de Monpazier a obtenu le label « Ville et Métiers d'Art » et compte en 2022 plus de vingt artisans d'arts présents sur la commune et les communes proches (Vergt-de-Biron et Lavalade).


title: Monpazier

text: De la bastide, subsistent le plan d'ensemble et trois des six portes fortifiées. Plusieurs maisons ont conservé leur caractère original.


title: Metal industriel

text: Le metal industriel est un sous-genre de metal qui puise ses influences dans la musique industrielle, le thrash metal et le punk hardcore, en utilisant les riffs du metal et du punk, l'échantillonnage, les séquenceurs, les synthétiseurs et les voix déformés. Les groupes fondateurs du metal industriel sont Ministry, Laibach, Killing Joke, Godflesh et KMFDM.


title: Metal industriel

text: Bien que les guitares électriques soient utilisées par les artistes de la musique industrielle depuis les premiers jours du genre, des premiers groupes comme Throbbing Gristle affichent un fort sentiment . Le groupe de post-punk britannique Killing Joke crée une fusion entre les différents styles et a une forte influence sur les grands groupes de metal industriel comme Ministry, Godflesh et Nine Inch Nails. Un autre groupe, pionnier du rock industriel, Big Black, influence également certains autres groupes. À la fin des années 1980, industrielle et heavy metal commencent à se fondre dans un genre commun, avec l'EP éponyme de Godflesh, et l'album de Ministry " atteint le devant de la scène. Godflesh est formé par l'ancien guitariste de Napalm Death, Justin Broadrick. Formé par un large éventail de genres le son de Godflesh est décrit comme Godflesh devient une source d'influence pour certains groupes comme Korn, Metallica, Danzig, Faith No More, et Fear Factory.


title: Metal industriel

text: Le groupe américain Ministry, initialement issu du courant new wave, émerge du label Wax Trax! Dossiers, un label de Chicago consacré à la musique industrielle. La première incursion de guitares metal se passe au cours d'une session d'enregistrement de " aux Southern Studios, à Londres. Le chanteur du groupe, Al Jourgensen explique :


title: Metal industriel

text: Jourgensen semblait particulièrement fan de thrash metal. Après la sortie de "", il recrute le guitariste Mike Scaccia du groupe de thrash metal Rigor Mortis. À l'occasion d'une interview, Jourgensen déclare sa préférence musicale pour le groupe Sepultura. Il formule également le désir de produire un album de Metallica. L’intérêt de Jourgensen pour la musique dance ne disparaît pas totalement, cependant, il forme Revolting Cocks, un projet EBM en collaboration avec Richard 23 de Front 242.


title: Metal industriel

text: Le groupe de musique industrielle allemand Die Krupps commence à utiliser des guitares et des sons provenant du metal au début des années 1990. Il s'agit d'un mouvement pionnier qui conduit un certain nombre d'autres groupes à combiner des sons électroniques aux guitares metal. Durant les années 1990, le groupe continue dans cette veine qui se présente tout particulièrement dans leur album orienté metal, ', sorti en 1997. Leurs compatriotes KMFDM sont eux aussi un groupe pionnier du metal industriel. Bien que le fondateur Sascha Konietzko ne soit pas fan de metal, il déclare l'engouement pour les raccords et les licks métalliques. Il déclare à ' : Le trio suisse The Young Gods, sur leur deuxième album, "L'Eau rouge" (1989). Avant sa sortie, le chanteur Franz Treichler déclare :


title: Metal industriel

text: Pigface, formé par Martin Atkins, et avec Bill Rieflin de Ministry à la batterie, émerge comme du metal industriel collectif de toute sorte, en participant à de nombreuses figures du noise rock et du . Nine Inch Nails, dirigé par Trent Reznor, propulse le genre au-devant de la scène avec l'EP ' et l'album ', en parallèle à leur performance légendaire au festival de Woodstock 1994. Le mouvement rivethead ainsi que la qui englobait Chemlab, 16volt et Acumen Nation sont en émergence à cette époque. Certains groupes d'électro-industriel ont adopté des techniques de metal industriel durant cette période, y compris Skinny Puppy (sur l'album "Rabies"), et Front Line Assembly.


title: Metal industriel

text: Le groupe britannique Pitchshifter, formé en 1989 par les frères Jonathan S. et Mark D. Clayden, débute également comme un groupe de metal industriel. Avant d'incorporer des éléments de drum and bass. Le frontman JS Clayden mentionne : Il mentionne également qu'il n'aime pas l'étiquette industrielle, indiquant que :


title: Metal industriel

text: La popularité du metal industriel conduit certains groupes de thrash metal, y compris Megadeth, Sepultura et Anthrax, à demander des remixes à d'autres artistes. Certains musiciens issus de la scène death metal, tels que Fear Factory, Nailbomb et Meathook Seed, commencent également à expérimenter des sons industriels. Fear Factory, de Los Angeles est d'abord influencé par des groupes comme Godflesh, Napalm Death et Bolt Thrower. Max Cavalera, de Sepultura, collabore avec le producteur Alex Newport, donnant naissance à Nailbomb, et pratique un mélange entre les formes les plus extrêmes du metal et musique industrielle. Un exemple moins connu de death metal industriel est Meathook Seed, composé de membres de Napalm Death et du groupe de death metal Obituary. Le guitariste Trevor Peres, un fan de musique industrielle, suggère des boîtes à rythmes pour ", album qui deviendra le plus populaire de Obituary. Le refus des autres membres du groupe l'amène à former Meathook Seed.


title: Metal industriel

text: Durant les premières années du , des groupes de la scène black metal commencent à incorporer des éléments de musique industrielle. Mysticum, formé en 1991, est le premier de ces groupes. Dødheimsgard, Thorns de Norvège et Blut aus Nord, un groupe de black metal français, sont acclamés pour l'incorporation d'éléments industriels à leur musique.


title: Metal industriel

text: D'autres groupes de black metal industriel de cette catégorie comprennent Samael, The Axis of Perdition, Aborym, et ...And Oceans. De surcroît, The Kovenant, Mortiis et Ulver émergent de la scène black metal norvégienne, mais choisissent plus tard d'expérimenter avec des éléments de musique industrielle.


title: Metal industriel

text: Le metal industriel fleurit dans les années 1990, plus particulièrement en Amérique du Nord, dont les ventes d'albums sont estimés à 35 millions d'exemplaires approximativement. Il se popularise grandement dans les marchés en 1992, lorsque ' de Nine Inch Nails, et ' de Ministry sont certifiés disque de platine aux États-Unis, ce dernier mettant trois ans pour atteindre ce statut. Les deux groupes sont nommés dans la catégorie lors des Grammy Awards en 1992, et Nine Inch Nails repart gagnant. Deux ans plus tard, Nine Inch Nails fait paraître ", qui débute à la deuxième place du "Billboard" 200, et finit par être certifié quadruple disque de platine. Cet album est considéré par AllMusic comme À la suite du succès de Nine Inch Nails, Marilyn Manson, dirigé par un protégé de Trent Reznor, peut accéder à la notoriété. L'attitude du groupe sur scène et son message transgressif est souvent plus commenté que leur musique.


title: Metal industriel

text: Le metal industriel atteint son apogée commercial dans la seconde moitié des années 1990 - selon la base des données de la RIAA, ses artistes les plus rentables recensent environ 17,5 millions d'albums vendus à eux seuls. Les disques de grands artistes de metal industriel font systématiquement leurs débuts dans les classements "Billboard" 200 : "Obsolete" de Fear Factory (no. 1), ' de Rob Zombie (), ' de Marilyn Manson ( ; Manson recense plus de 50 millions d'albums vendus dans le monde), et ' de Nine Inch Nails (). Un certain nombre d'albums de metal industriel bien classé sur le classement ' : ' de Filter (No. 3), ' de Stabbing Westward (no. 1), "" de Rammstein (no. 2), ' d'Orgy (no. 1) et Static-X "Wisconsin Death Trip" (no. 1). À cette époque Trent Reznor, personnalité la plus célèbre du mouvement, est cité par ' comme l'un des américains les plus influents de 1997. Sa popularité était telle que les groupes de glam metal et de hard rock établis, y compris Mötley Crüe et Guns N' Roses , commencent à barboter dans le style. Les figures de la scène hip-hop commencent également à rechercher des collaborations avec des musiciens et des remixes de metal industriel.


title: Metal industriel

text: Lorsque le metal industriel grimpe dans les classements musicaux des années 1990, sa popularité soudaine suscite des réactions négatives de la part des premiers innovateurs de la musique industrielle. Peter Christopherson (Throbbing Gristle, Coil) explique, lors d'une entrevue avec ', ne plus éprouver de parenté avec la scène industrielle : Lustmord, un éminent musicien des débuts de la musique industrielle, déclare que et qu'. Le chanteur de Skinny Puppy Nivek Ogre rejette Nine Inch Nails et les qualifie de , tout en admettant une appréciation pour ' de Ministry.


title: Metal industriel

text: Le metal industriel subit un contrecoup important au tournant du millénaire. En avril 2000, dans le journal ', Jim DeRogatis accuse Ministry de répéter une musique datant de 1992. Bien que ' de Nine Inch Nails atteint la première place du "Billboard 200" et conserve son statut de double disque de platine, DeRogatis le considère malgré tout comme un . À cette époque, les artistes pionniers du metal industriel (Ministry, Godflesh et White Zombie) commencent à rejeter l'étiquette industrielle. Les ventes restent élevées tout au long des années 2000 à 2005 ; au moins 10 millions de disques sont vendus au cours de cette période. De nombreux groupes commencent à intégrer l'influence du hip-hop et de la musique électronique, en plus du metal industriel. En conséquence, des groupes comme Powerman 5000 sont souvent décrits comme étant du metal industriel et du nu metal.


title: Metal industriel

text: Plusieurs groupes de metal industriel ont produit des vidéos accrocheuses. Cela comprend la collaboration entre Godflesh et Andres Serrano, Aidan Hughes avec KMFDM, Nine Inch Nails avec Mark Romanek, le travail visuel de Rob Zombie pour White Zombie (pour lequel il reçoit le pour la meilleure vidéo de Hard Rock), et Marilyn Manson avec Richard Kern et Floria Sigismondi. NIN collabore plus tard avec Bill Viola pour les accompagnements en live. Trent Reznor signe également des bandes-sons pour des films comme "Tueurs nés" et ', et sert de pour '. Rob Zombie réalise plusieurs films d'horreur. Depuis 2004, Marilyn Manson lance un projet cinématographique sur la vie de Lewis Carroll et mettant en scène Alice (jouée par Lily Cole). Marilyn Manson aura le rôle-titre du film. La réalisation du film est reportée plusieurs fois à cause des projets musicaux de Manson. Quelques images officielles sont diffusées en avril 2010, mais la production du film est à nouveau arrêtée pour une période indéterminée. Parmi les autres films qui ont inclus des collaborations importantes avec des artistes de metal industriel comprennent "", "Johnny Mnemonic", "Spawn", "Matrix" et "A.I. Intelligence artificielle".


title: Metal industriel

text: En mettant l'accent sur des thèmes transgressifs, les groupes de metal industriel deviennent vulnérables aux attaques des sociétés conservatrices américaines. Par exemple, le sénateur Bob Dole, alors à la tête du parti républicain, critique vivement Time Warner après une rencontre entre Michael J. Fuchs (directeur de Warner Music Group), William Bennett et C. Delores Tucker, au cours de laquelle Tucker et Bennett exigent de lire les paroles de la chanson de Nine Inch Nails, '. Un an plus tard, Bennett, Tucker et Joseph Lieberman lancent une campagne similaire contre MCA Records pour la distribution de la musique de Marilyn Manson. Plusieurs de ses concerts sont annulés par les autorités après ce vacarme. En outre, Dennis Cooper cite une vidéo de Ministry, ', qui présentait des images de William S. Burroughs, comme un exemple précoce de '. Certains rapports initiaux affirmaient que Eric Harris et Dylan Klebold, les deux responsables de la fusillade de Columbine étaient fans de Marilyn Manson. En fait, ils préfèraient KMFDM et Rammstein. Asa Coon, un autre responsable d'un massacre dans une école, était aussi un fan de Manson. Manson, ancien journaliste, publie une réponse détaillée à la suite de la polémique sur la fusillade de Columbine dans un article publié dans le magazine '. Il conclut :


title: Metal industriel

text: Sascha Konietzko signale que KMFDM était par les attaques, il publie une déclaration le lendemain en disant : Rammstein déclare Rammstein suscite aussi la controverse pour leur utilisation de l'imagerie nazie, y compris les images tournées par Leni Riefenstahl pour "Les Dieux du stade" dans le clip de leur reprise de "" de Depeche Mode. Alec Empire, un musicien allemand de digital hardcore, déclare que Rammstein déclare :


title: Harpocrate

text: Harpocrate (en grec ancien Ἁρποκράτης / "Harpokratês") est dans la mythologie grecque un dieu enfant, adaptation de la divinité égyptienne Horus enfant.


title: Harpocrate

text: Dans la mythologie égyptienne, Harpocrate désigne Horus enfant, fils d'Isis et d'Osiris. C'est sous ce nom que le dieu Horus fut adoré à Alexandrie d'abord, puis dans tout le monde gréco-romain, à côté d'Isis, de Sarapis et d'Anubis. Ce nom n'est qu'une forme hellénisée des mots égyptiens « Har-pokhrat », qui signifient « Horus l'enfant ».


title: Harpocrate

text: Dans la mythologie romaine, Harpocrate existait en tant que divinité d'un culte à mystères. Représenté portant l'index à la bouche en un geste enfantin, son attitude fut mal interprétée par les auteurs classiques qui y virent une marque de silence. Il porte traditionnellement au cou une bulla.


title: Harpocrate

text: Harpocrate est représenté comme un enfant nu, un doigt devant la bouche, la mèche de l'enfance sur le côté. On lui conserva le geste qui distinguait ses images dans l'art égyptien, mais on attacha à ce geste un sens tout nouveau ; l'idée se répandit qu'en portant un doigt à sa bouche le dieu commandait aux initiés de garder le silence sur les profonds mystères qu'on leur avait révélés. Catulle emploie par plaisanterie le nom d'Harpocrate pour désigner un personnage discret. Cependant, ce geste, purement enfantin, est lié à la légende même d'Horus enfant, fils posthume d'Osiris. Élevé en secret dans les marais du delta du Nil, le dieu, par la couronne qu'il porte, se présente comme héritier de son père et assimile progressivement tous les dieux fils du panthéon égyptien.


title: Harpocrate

text: Parmi les figures d'Harpocrate, il faut distinguer d'abord celles où l'on a visiblement imité l'art égyptien, soit qu'elles aient été exportées d'Égypte dans l'Antiquité, soit qu'on les ait fabriquées hors de ce pays. Elles sont exécutées avec une raideur et une sécheresse voulues et elles portent des attributs copiés sur les monuments de l'Égypte, tels que le pschent et le fouet. À Myrina (Asie Mineure) on en a trouvé une en terre émaillée, chargée d'hiéroglyphes faux. En second lieu viennent les figures dont le style est conforme aux traditions de l'art grec ; quelques exemplaires, d'une facture hybride, pourraient servir de transition entre cette catégorie et la précédente.


title: Harpocrate

text: Dans les images proprement gréco-romaines le dieu porte sur le front, comme ses parèdres Isis et Sarapis, une fleur de lotus ou un croissant. Il est généralement nu comme Éros, ou légèrement vêtu ; parfois aussi il a des ailes derrière le dos. Un carquois rappelle ses attributions de divinité solaire identifiée avec Apollon. Par suite du rapport que sa destinée présente avec celle du Dionysos des Mystères, il a le front ceint d'une couronne de lierre ; une nébride est jetée sur ses épaules ; sa main gauche tient une corne d'abondance, symbole de la fécondité de la nature, dont il personnifie les forces inépuisables. Parfois, il tient un vase sous un bras, contenant une bouillie dont il se nourrit avec l'index.. Identifié avec Héraclès, vainqueur des monstres, il est parfois armé d'une massue. Il est probable qu'à l'origine les artistes ne donnèrent au jeune dieu alexandrin qu'un petit nombre d'attributs ; mais la plupart des images que nous possédons datent de l'époque où le syncrétisme accumulait sur une même divinité les symboles les plus divers. On confondit alors dans la personne d'Harpocrate tous les types de dieux enfants, créés par les artistes antérieurs. Les Romains ajoutèrent à ses attributs la bulla, qui chez eux ornait le cou des enfants ; on emprunta enfin à l'iconographie égyptienne l'épervier, qu'on plaça à ses côtés.


title: King (film, 2022)

text: King est un film d'aventures français réalisé par David Moreau d'après une idée originale de Jean-Baptiste Andrea, et sorti en 2022.


title: King (film, 2022)

text: Un lionceau issu du trafic d'animaux exotiques est trouvé dans une valise par les douaniers d'Orly. Après s'être échappé, il se réfugie dans le pavillon de banlieue où vivent Inès, 12 ans, et son frère Alex. Inès, une jeune fille quelque peu décalée, se met en tête de ramener le lionceau en Afrique. Son frère, obsédé par sa popularité, y voit une bonne occasion de devenir une star des réseaux sociaux. Bien vite, les deux se rendent compte qu'ils n'arriveront à rien sans l'aide d'un adulte, et décident d'aller tirer leur grand-père, qu'ils n'ont rencontré qu'une fois dans leur vie, de sa maison de retraite...


title: King (film, 2022)

text: La presse donne au film une moyenne enthousiaste de 3,2/5 sur le site Allociné, pour . Pour "CNews", le film . "Le Parisien", lui, craque pour le lionceau et pour . Plus négatif, "Première" salue la partie « enfant » mais considère que les parties . Pour "La Libre Belgique", il s'agit d'un film français d'aventures .


title: King (film, 2022)

text: Pour son premier jour d'exploitation au box-office français, le film se place en en réalisant , dont en avant-première, pour , le long métrage d'aventure devançant "Un autre monde" () et arrivant derrière "Hopper et le Hamster des ténèbres" (). Au bout d'une semaine d'exploitation, le film descend d'une place () avec . Il est précédé dans le classement par le film d'animation "Vaillante" (), et suivit par le blockbuster "Mort sur le Nil" (). Lors de sa seconde semaine d'exploitation, le film engrange supplémentaires ( cumulées), se plaçant à la place du box-office devant "Un autre monde" () et derrière "Mort sur le Nil" ().


title: King (film, 2022)

text: Les faits se sont déroulés lors d'une soirée privée organisée par et pour l'équipe technique, en dehors des heures de travail, la nuit du 12-13 septembre 2020 à Sète. La technicienne qui accuse David Moreau a porté plainte et a quitté le tournage dans la foulée. Le chef opérateur, Antoine Sanier, a réalisé la fin du film. L'affaire suit son cours.


title: La Ruée vers l'or

text: La Ruée vers l'or ("") est un film américain à long métrage de comédie dramatique réalisé par Charlie Chaplin et sorti le .


title: La Ruée vers l'or

text: Muet lors de sa sortie, le film a fait l'objet d'une reprise en 1942 dans une version plus courte et sonorisée par Chaplin lui-même.


title: La Ruée vers l'or

text: Pendant la ruée vers l'or dans le Klondike (Yukon) au nord-ouest du Canada en 1896, une file de chercheurs d'or s'étire au creux des montagnes enneigées.


title: La Ruée vers l'or

text: Pris dans une tempête de neige, un pauvre prospecteur solitaire ("Charlot") trouve refuge dans la cabane isolée de Black Larsen, un dangereux repris de justice (ce que notre vagabond ignore alors) qui refuse de le secourir. Entre alors Big Jim McKay, autre prospecteur à la recherche d'un abri, qui mate Larsen et obtient que tous trois puissent rester sur place. La faim les tenaille : qui sera mangé ? Black Larsen perd le tirage au sort et doit partir à la recherche de secours ou de vivres. Il tue deux policiers à sa recherche puis tombe sur le filon prospère de Big Jim qu'il commence à piller.


title: La Ruée vers l'or

text: Du côté de ce dernier et de son compagnon, la chère est rare ; ils en viennent d'ailleurs jusqu'à tenter de manger le cuir de leurs chaussures. Big Jim commence à perdre la raison et de manière hallucinée prend son infortuné compagnon de cabane pour un poulet géant de taille humaine. Un ours à la chair fraîche vient mettre fin à l'horrible dilemme. Rassasiés, les deux hommes se quittent avec regret une fois la tempête passée. Le prospecteur solitaire part vers la ville tandis que Big Jim retourne à sa mine. Il y retrouve Black Larsen et lui saute dessus lorsqu'il comprend la trahison de celui-ci. Larsen l'assomme et s'enfuit mais une crevasse s'ouvre sous ses pas et l'engloutit à jamais.


title: La Ruée vers l'or

text: À la ville, le modeste prospecteur fait des petits boulots ; il est séduit un soir par Georgia, une danseuse du saloon. Elle feint de répondre à ses avances pour faire enrager Jack, un homme à femmes qui souhaite l'ajouter à son tableau de chasse alors qu'elle lui résiste. La jeune femme accepte une invitation à dîner pour le nouvel an chez "Charlot", où elle promet de venir avec les autres danseuses. Celui-ci trouve asile chez un ingénieur des mines, qui lui laisse sa cabane le temps de faire un déplacement plus au Nord. Mais Georgia et ses amies lui font faux bond, alors qu'il avait tout préparé ; s'endormant en les attendant, le pauvre petit homme fait le rêve de ce dîner, où il fait danser ses petits pains pour amuser ces dames "(photographie ci-jointe)" et où Georgia l'embrasse. Celle-ci, se rappelant assez tard sa promesse, vient accompagnée des autres danseuses et de Jack, auquel elle commence à céder. Devant les "vestiges" du repas préparé, comprenant que Charlot avait tant espéré les voir, elle a des remords. Elle rejette Jack et écrit un mot à son hôte lui exprimant excuse et promesse.


title: La Ruée vers l'or

text: De son côté, Big Jim, qui a perdu la mémoire au cours de la bagarre avec Larsen, a besoin de Charlot pour retrouver l'emplacement exact de la montagne d'or qu'il avait auparavant découverte. Il le retrouve enfin ce soir de Saint-Sylvestre, alors que Charlot tente de retrouver Georgia dans le saloon. Jim lui saute dessus et l'entraîne ; Charlot, comprenant que sa fortune est faite, demande à Georgia, dont il accepte toutes les excuses, de l'attendre.


title: La Ruée vers l'or

text: Après quelques péripéties, les deux compagnons retrouvent d'abord la cabane isolée, et enfin la mine. Devenu l'associé de Big Jim et millionnaire, Charlot, à l'occasion d'un reportage, revêt ses anciens habits de pauvre prospecteur sur le paquebot le ramenant vers le sud avec Jim. En raison d'un quiproquo, il est séparé du reste de son personnel et des journalistes, et tombe sur Georgia, elle aussi en route vers le sud. Prise de remords, et le prenant pour un passager clandestin, elle tente de le couvrir auprès du personnel de bord. La confusion dissipée, Charlot lui propose de continuer le voyage ensemble.


title: Kriek

text: La kriek est une bière belge aromatisée avec des cerises acides (aussi appelées cerises Morello). Traditionnellement il s'agit d'une lambic, bière de fermentation spontanée, mais la dénomination n'étant pas protégée toute bière aromatisée à la cerise peut être appelée "kriek".


title: Kriek

text: Traditionnellement les « Schaarbeek krieken » ou « griottes » (une variété de Morello belge) des environs de Bruxelles sont utilisées. Kriek est un mot flamand pour "cerises acides" (Prunus cerasus), par opposition au mot "kers" (Prunus avium), désignant la cerise douce. Comme les cerises de Schaerbeek sont devenues plus difficiles à trouver, des brasseurs les ont remplacées (partiellement ou entièrement) par d'autres variétés de cerises acides, parfois venant d'autres pays.


title: Kriek

text: Traditionnellement, la Kriek est fabriquée par des brasseries de Bruxelles et ses alentours et utilisant une bière lambic dans lesquelles les cerises sont ajoutées (avec le noyau). Une lambic est une bière belge sèche et acide, de fermentation spontanée sans pétillant ni mousse et connue pour être native de Bruxelles. Une kriek traditionnelle fabriquée à partir d'une bière lambic basique est acide et sèche. Les cerises sont laissées pendant plusieurs mois, causant une refermentation par l'ajout de sucre. Théoriquement il ne reste aucun sucre. Il y a ensuite un processus de maturation après que les cerises ont été retirées.


title: Kriek

text: Plus récemment, les brasseurs de lambic ajoutent des édulcorants au produit final de leur bière, dans le but de le rendre moins acide et accessible à un plus grand public. Ils utilisent également du jus de cerise plus que les fruits eux-mêmes, ce qui permet de diminuer le temps de maturation. .


title: Kriek

text: Certaines brasseries, comme Liefmans, fabriquent des bières de cerises basées sur les bières oud bruin au lieu des bières lambic. Techniquement, ces bières ne devraient pas être appelées krieks, bien que certaines d'entre elles soient des produits de haute qualité.


title: Kriek

text: Jadis, certaines brasseries produisaient des krieks réalisées à partir d'un mélange de lagers (ou pils) et de cerises, comme ce fut le cas de la brasserie Sint-Jozef à Opitter. Ce produit demeure encore trouvable de façon très confidentielle, et a laissé place à une variété aux fruits des bois, la Bosvruchten.


title: Kriek

text: En 2020, sera inauguré un nouveau quartier à Bruxelles sur l’ancien site industriel Tour et Taxis. Vingt-huit nouvelles voies vont être baptisées (d’après 1397 propositions) dont le "passage de la Kriek".


title: Leland Sklar

text: Leland Bruce "Lee" Sklar, né le , est un bassiste américain ayant collaboré avec un nombre important d'artistes internationaux. Durant sa carrière il a contribué à plus de en tant que musicien de studio. Il a également participé à de nombreuses bandes sonores de films cinématographiques et d'émissions de télévision.


title: Leland Sklar

text: Né dans le Wisconsin, Sklar emménage en Californie du Sud dans ses premières années. Il commence le piano à l'âge de cinq ans et s'y perfectionne jusqu'à l'adolescence, avant de commencer à apprendre la basse.


title: Leland Sklar

text: Déterminé à faire de la musique son métier, il entreprend des études musicales à l'Université d'État de Californie à Northridge. Il y rencontre James Taylor, qui l'invite à jouer avec lui et à participer à des enregistrements.


title: Leland Sklar

text: C'est à la fin des années 1960 que la carrière de Sklar débute. Dans les années 1970, il entre en contact et travaille avec des musiciens tels que le batteur Russ Kunkel, le guitariste Danny Kortchmar et le claviériste Craig Doerge avec lesquels il forme un groupe, The Section.


title: Leland Sklar

text: Il a, depuis, participé à de très nombreux enregistrements d'albums studio avec des artistes comme Era, Rita Coolidge, Reba McEntire, Yumi Matsutoya, Suzy Bogguss, Michel Polnareff, Véronique Sanson, France Gall, Eddy Mitchell, Clint Black, Carole Bayer Sager, Kim Carnes, David Cassidy, Phil Collins, Billy Cobham etc. Il a, par ailleurs, joué avec des groupes comme The Doors sur l'album post-Morrison "Full Circle" sur les chansons "Hardwood Floor", "The Mosquito" and "It Slipped My Mind" et avec le groupe America sur l'album "Alibi".


title: Leland Sklar

text: Il a joué avec le groupe Barefoot Servants, composé de Ben Schultz (guitare, mandoline et guitare slide), Jon Butcher (chant et guitares) et Ray Brinker (batterie et percussions).


title: Leland Sklar

text: Avec Phil Collins, il a participé à deux albums studio soit "No Jacket Required" (1985) et "...But Seriously" (1989), ainsi que le live "Serious Hits... Live!" (1990). Il est également sur le DVD "Finally, The First Farewell Tour" (2004), on le retrouve aussi sur les compilations de Collins.


title: Leland Sklar

text: Leland a par ailleurs été le bassiste du groupe Toto, remplaçant momentanément Mike Porcaro malade. Il a été en tournée avec le groupe jusqu'à fin 2007. Il a participé au concert du Zénith de Paris en , où a été enregistré le quatrième album live du groupe, "Falling in Between Live". Il participera à la tournée 2016 de Toto en Europe et au Japon en remplacement de David Hungate. Il a aussi joué sur une chanson de leur quatorzième album "Toto XIV" sorti en 2015.


title: Saison 2010-2011 du Paris Saint-Germain

text: La saison 2010-2011 du Paris Saint-Germain est la consécutive du club de la capitale en première division. L'équipe est entraînée depuis 2009 par Antoine Kombouaré. Le PSG finit quatrième du championnat, finaliste de la coupe de France et atteint les huitièmes de finale de la Ligue Europa.


title: Saison 2010-2011 du Paris Saint-Germain

text: Le Paris Saint-Germain recrute trois joueurs du championnat français, tous pour trois ans : Mathieu Bodmer, milieu défensif vice-champion de France avec l'Olympique lyonnais pour une somme avoisinant 3,5 millions d'euros plus bonus et le brésilien Nenê, milieu gauche de l'AS Monaco pour 5,5 millions d'euros.


title: Saison 2010-2011 du Paris Saint-Germain

text: Annoncé depuis le début du mercato, Siaka Tiéné signe le , dernier jour de mercato. Son transfert aurait dû être accompagné de celui du défenseur central monténégrin Marko Baša mais son arrivée n'a pu se faire. Le gardien Alphonse Areola et le milieu de terrain malien Adama Touré, issus de l'équipe réserve, intègrent le groupe professionnel.


title: Saison 2010-2011 du Paris Saint-Germain

text: Seuls départs marquants durant l'été, les fins de contrat du troisième gardien Willy Grondin et du jeune Maxime Partouche. Trois joueurs sont prêtés, Loris Arnaud à l'Angers SCO, Granddi Ngoyi au Stade brestois et Younousse Sankharé au Dijon FCO.


title: Saison 2010-2011 du Paris Saint-Germain

text: Après avoir été prêté à Ankaragücü la saison passée puis écarté du groupe professionnel, Jérôme Rothen résilie son contrat avec le club le . Mateja Kežman décide lui aussi de résilier son contrat le . Durant le mercato hivernal, Stéphane Sessègnon est vendu au club anglais de Sunderland, pour une somme de près de 7 millions d'euros.


title: Saison 2010-2011 du Paris Saint-Germain

text: La saison 2010-2011 de Ligue 1 est la soixante-treizième édition du championnat de France de football et la neuvième sous l'appellation . La division oppose vingt clubs en une série de trente-huit rencontres. Les meilleurs de ce championnat se qualifient pour les coupes d'Europe que sont la Ligue des Champions (le podium) et la Ligue Europa (le quatrième et les vainqueurs des coupes nationales). Le Paris Saint-Germain participe à cette compétition pour la trente-huitième fois de son histoire et la trente-septième depuis la saison 1974-1975.


title: Saison 2010-2011 du Paris Saint-Germain

text: Les favoris des du PMU pour le titre en fin de saison sont l'Olympique de Marseille (OM), tenant du titre, et son dauphin, l'Olympique lyonnais (OL), tandis que les Girondins de Bordeaux, champions de France 2008-2009, et le Lille OSC sont les principaux .


title: Saison 2010-2011 du Paris Saint-Germain

text: Les relégués de la saison précédente, Le Mans UC 72 désormais connu sous l’appellation "Le Mans FC", l'US Boulogne CO et le Grenoble Foot 38, sont remplacés par le Stade Malherbe de Caen, champion de Ligue 2 en 2009-2010, le Stade brestois 29, de retour en première division après dix-neuf ans d'absence, et l'AC Arles-Avignon qui accède pour la première fois à l'élite du football français après quatre promotions en cinq ans.


title: Saison 2010-2011 du Paris Saint-Germain

text: La coupe de France 2010-2011 est la de la coupe de France, une compétition à élimination directe mettant aux prises les clubs de football amateurs et professionnels à travers la France métropolitaine et les DOM-ROM. Elle est organisée par la FFF et ses ligues régionales. Cette saison, le nombre d'équipes engagées dans la compétition a atteint un nouveau record avec participants.


title: Saison 2010-2011 du Paris Saint-Germain

text: La Coupe de la Ligue 2010-2011 est la de la Coupe de la Ligue, compétition à élimination directe organisée par la Ligue de football professionnel (LFP) depuis 1994, qui rassemble uniquement les clubs professionnels de Ligue 1, Ligue 2 et National. Depuis 2009, la LFP a instauré un nouveau format de coupe plus avantageux pour les équipes qualifiées pour une coupe d'Europe.


title: Saison 2010-2011 du Paris Saint-Germain

text: La Ligue Europa 2010-2011 est la deuxième édition de la Ligue Europa, compétition européenne inter-clubs qui remplace la Coupe . Par rapport à cette dernière, la Ligue Europa offre des tours préliminaires élargis et une phase de groupes s'inspirant de la Ligue des Champions avec un mini-championnat aller-retour de 4 équipes. Les équipes sont qualifiées en fonction de leurs bons résultats en championnat ou coupe nationale. Le tenant du titre est l'Atlético de Madrid, formation espagnole vainqueur des Londoniens de Fulham deux buts à un au Hamburg Arena de Hambourg.


title: Saison 2010-2011 du Paris Saint-Germain

text: Le PSG se qualifie pour la phase de groupe, en battant le Maccabi Tel Aviv 2-0 à domicile au match aller, puis en assurant la qualification au match retour, malgré la défaite 4-3 en Israël.


title: Saison 2010-2011 du Paris Saint-Germain

text: Le tableau ci-dessous retrace dans l'ordre chronologique les 60 rencontres officielles jouées par le Paris Saint-Germain durant la saison. Le club parisien a participé au match du Trophée des Champions, aux 38 journées du championnat ainsi qu'à 6 tours de Coupe de France, 3 rencontres en Coupe de la Ligue et 12 matchs sur le plan européen, via la Ligue Europa. Les buteurs sont accompagnés d'une indication entre parenthèses sur la minute de jeu où est marqué le but et, pour certaines réalisations, sur sa nature (penalty ou contre son camp).


title: Saison 2010-2011 du Paris Saint-Germain

text: L'attaquant Mevlüt Erding est le joueur le plus utilisé de la saison avec 54 matchs joués sur 60 au total. Luis Nenê et Guillaume Hoarau sont les joueurs les plus prolifiques en termes de buts avec 20 réalisations chacun. En championnat, Nenê marque 14 buts, se classant dixième et Hoarau en inscrit 9 et se classe à la . C'est le Lillois Moussa Sow qui finit premier de ce classement avec 25 buts, suivi par le Lorientais Kevin Gameiro (22 buts) et le Valenciennois Grégory Pujol (17 buts).


title: Saison 2010-2011 du Paris Saint-Germain

text: Pour ce qui est des passes décisives, Nenê en réalise 15, dont 7 en championnat, se retrouvant douzième au classement des meilleurs passeurs. Ludovic Giuly, avec 10 passes au total dont 8 en championnat, se classant ainsi septième, Nenê. Le Sochalien Marvin Martin finit premier au classement avec 17 passes, devant le Lorientais Morgan Amalfitano et le Niçois Anthony Mounier.


title: Saison 2010-2011 du Paris Saint-Germain

text: L'équipe réserve du Paris Saint-Germain sert de tremplin vers le groupe professionnel pour les jeunes du centre de formation du camp des Loges ainsi que de recours pour les joueurs de retour de blessure ou en manque de temps de jeu. Elle est entraînée par Bertrand Reuzeau depuis 2007.


title: Saison 2010-2011 du Paris Saint-Germain

text: Pour la saison 2010-2011, elle évolue dans le groupe B du championnat de France amateur, soit le quatrième niveau de la hiérarchie du football en France. Après une quatrième place obtenue l'année précédente dans le groupe B, les parisiens finissent à la huitième place. La réserve parisienne est déplacée dans le groupe A de CFA pour la saison 2011-2012.


title: Saison 2010-2011 du Paris Saint-Germain

text: Le meilleur buteur de la réserve parisienne est le international français U18 issu de la formation du club, Jean-Christophe Bahebeck, avec 11 réalisations.


title: Droit à l'éducation

text: Le droit à l'éducation est un des droits universels et fondamentaux de l'Homme. Ce droit essentiel et inaliénable doit être accordé à tout être humain vivant dans une société. C'est le droit d'être éduqué, d'avoir accès à la connaissance et lui permettre de s’épanouir. On peut le trouver sur divers traités nationaux et internationaux sous la forme de conventions de pactes et de chartes, tels que la déclaration universelle des droits de l'homme de 1948 ou encore la Convention relative aux droits de l'enfant en 1989.


title: Droit à l'éducation

text: Tout être humain a le droit d'apprendre à écrire et à lire et, grâce aux connaissances transmises par l'éducation, à s'épanouir dans sa vie d'adulte, et à acquérir un développement moral et citoyen au sein de la société. L'éducation de l'enfant permet aussi le développement social, économique et culturel d'une société.


title: Droit à l'éducation

text: Les Nations unies et plus précisément l’Unesco ont établi « l’Agenda Education 2030 » focalisée sur l’implémentation de l’objectif de développement durable 4 (SDG4) pour l’éducation. Cet agenda comporte plusieurs thèmes dont font partie la scolarité obligatoire ou l’accès à l’éducation des jeunes enfants.


title: Droit à l'éducation

text: Il est aussi présent dans la Charte sociale européenne du Conseil de l'Europe et la jurisprudence européenne qui définit comme alors que l’enseignement ou l’instruction visent, . Et l’État-membre, . Le droit d’accès à l’enseignement supérieur (même en prison) est un droit de caractère civil, au sens de l’article 6 de la Convention. L'État-membre, si son droit interne le lui permet, face à des parents souhaitant assurer eux-mêmes l’éducation de leurs enfants au domicile peut imposer .


title: Droit à l'éducation

text: Selon la Convention des droits de l'enfant, l'éducation est un droit garanti par les États, et doit avoir les objectifs suivants :


title: Droit à l'éducation

text: Par ailleurs, le Droit International des droits de l’Homme, stipule un certain nombre d’obligations, de devoirs en droit international et de responsabilités que les États doivent respecter, protéger et réaliser. :


title: Droit à l'éducation

text: Le Cadre d'action de Dakar, adopté lors du Forum mondial sur l'éducation de Dakar (), tenue à Jomtien (Thaïlande) en 1990.


title: Droit à l'éducation

text: Il insiste sur l'accession de tous à l'école primaire ainsi que sur le droit des femmes à disposer d'une éducation. Il contient en outre la promesse de pays et d'organismes donateurs qu'.


title: Droit à l'éducation

text: D'après la Déclaration du Millénaire, adoptée par l'Assemblée générale, d'ici 2015, les enfants partout dans le monde, garçons et filles, seront en mesure d'achever un cycle complet d'études primaires, et les filles et les garçons auront, à égalité, accès à tous les niveaux d'éducation. Deux des Objectifs du Millénaire pour le développement sont particulièrement pertinents : l’objectif 2 : , et l’objectif 3 : .


title: Droit à l'éducation

text: Lors de la Quatrième Conférence internationale sur l'éducation des adultes à Paris, le droit d’apprendre est défini comme étant :


title: Droit à l'éducation

text: Certains considèrent que l'État doit surveiller étroitement l'éducation délivrée sur leur territoire et la formation des maîtres, pour plusieurs motifs :


title: Droit à l'éducation

text: Le droit à l'éducation n'est pas prévu à la Charte canadienne des droits et libertés car bien que le Canada a adhéré aux grandes conventions internationales de l'ONU, il a seulement mis en œuvre le Pacte international relatif aux droits civils et politiques et il n'a pas intégré les droits du Pacte international relatif aux droits économiques, sociaux et culturels dans sa Charte, alors qu'il aurait vraisemblablement dû le faire en vertu de son obligation internationale prévue par ce dernier traité. En droit canadien, les règles des conventions internationales n'ont aucune priorité sur les règles de droit national.


title: Droit à l'éducation

text: Par contre, les provinces canadiennes peuvent inclure le droit à l'éducation dans leurs lois quasi-constitutionnelles provinciales. À titre d'exemple, la Charte des droits et libertés de la personne du Québec prévoit à son article 40 que . Cette disposition a toutefois une force contraignante moins importante que les droits prévus aux articles 1 à 38 de la Charte parce que l'article 52 CDLP énonce que le contrôle de la constitutionnalité des lois ne s'applique pas pour les droits au-delà de l'article 38, ce qui signifie que le législateur peut librement adopter des lois qui vont à l'encontre des droits énoncés aux articles 39 et suivants sans être lié par la contrainte de forme de la Charte. Mais le droit à l'instruction publique gratuite est tout de même un droit en vertu de la Charte québécoise et un juge est en principe tenu de donner effet à ce droit si aucune loi statutaire ne s'y oppose


title: Droit à l'éducation

text: Bien que la Charte québécoise soit silencieuse sur le droit d'enfants majeurs à obtenir une éducation postsecondaire, le droit civil québécois autorise le recours alimentaire de l'enfant majeur, ce qui permet à des enfants âgés de 18 ans et plus d'obtenir légalement des ressources financières de leurs parents pour étudier à temps plein au cégep et à l'université dans la mesure où ils respectent les critères prévus par la jurisprudence, dont la capacité parentale de payer, l'obtention de bons résultats, les revenus de l’enfant, le sérieux de l’intention de l’enfant et son niveau d’autonomie .


title: Droit à l'éducation

text: En France, le droit à l'éducation n'a été consacré au plan législatif qu'avec la loi Jospin, en 1989. Il est désormais prévu par le Code de l'éducation aux articles L111-1 et suivants.


title: Droit à l'éducation

text: Dans le contexte des laïcités françaises, il a d'abord été fait appel à d’autres références pour appréhender le bienfait d'éducation, principalement le service public de l’éducation, la liberté de l’enseignement et la liberté de conscience.


title: Droit à l'éducation

text: L'affirmation supranationale du droit à l'éducation, à partir de la seconde moitié du , a précédé la reformulation du droit interne.


title: Droit à l'éducation

text: Cependant, l'effectivité du droit à l'éducation français reste encore à améliorer car même si l'instruction, qui reste obligatoire et que l'école est gratuite et laïque, certains enfants ne peuvent pas aller à l'école (enfants vivant dans les bidonvilles, en outre-mer, certains enfants non accompagnés, handicapés…). De plus, certains droits des enfants ne sont pas toujours respectés, ce qui peut creuser les inégalités.


title: Droit à l'éducation

text: Cependant, quantité de penseurs de premier plan sont d'un avis opposé. Par exemple, Condorcet, grand philosophe du Siècle des Lumières, dans son "Premier mémoire sur l'instruction publique" (1791), intitulé "L'éducation publique doit se borner à l'instruction", troisième raison : "Parce qu'une éducation publique deviendrait contraire à l'indépendance des opinions", affirme :


title: Droit à l'éducation

text: John Stuart Mill, dans ses "Principes d'économie politique" (1848, livre V, ch. XI), déclare à son tour :


title: Arithmétique modulaire

text: En mathématiques et plus précisément en théorie algébrique des nombres, l’arithmétique modulaire est un ensemble de méthodes permettant la résolution de problèmes sur les nombres entiers. Ces méthodes dérivent de l’étude du reste obtenu par une division euclidienne.


title: Arithmétique modulaire

text: L'idée de base de l'arithmétique modulaire est de travailler non sur les nombres eux-mêmes, mais sur les restes de leur division par quelque chose. Quand on fait par exemple une preuve par neuf à l'école primaire, on effectue un peu d'arithmétique modulaire sans le savoir : le diviseur est alors le nombre 9.


title: Arithmétique modulaire

text: Si ses origines remontent à l’Antiquité, les historiens associent généralement sa naissance à l’année 1801, date de la publication du livre "Disquisitiones arithmeticae" de Carl Friedrich Gauss. Sa nouvelle approche permet d’élucider de célèbres conjectures et simplifie les démonstrations d’importants résultats par une plus grande abstraction. Si le domaine naturel de ces méthodes est la théorie des nombres, les conséquences des idées de Gauss se retrouvent dans d’autres champs des mathématiques, comme l’algèbre ou la géométrie.


title: Arithmétique modulaire

text: Le modifie le statut de l’arithmétique modulaire. L'arithmétique de base des ordinateurs, celle qui travaille sur des mots mémoire de taille fixe, est nécessairement une arithmétique modulaire. Le développement de nombreuses applications industrielles impose la mise au point d’algorithmes pour l'arithmétique modulaire. Ils résolvent essentiellement des questions soulevées par le développement de l'informatique.


title: Arithmétique modulaire

text: "L’article « Congruence sur les entiers » propose une introduction plus mathématique ;" « "Anneau "ℤ/"n"ℤ » "traite le même sujet de manière moins didactique et plus exhaustive."


title: Arithmétique modulaire

text: En mathématiques pures, ce terme est très peu utilisé. La "théorie algébrique des nombres" désignant un domaine beaucoup plus large contenant par exemple les notions d'entiers algébriques et de théorie de Galois.


title: Arithmétique modulaire

text: En mathématiques appliquées, cette expression est d'un usage fréquent pour décrire les bases mathématiques de différents domaines de la théorie de l'information : cryptologie, théorie des codes et informatique. De nombreux outils et algorithmes entrent dans ce champ d'étude. Parmi les tests de primalité les plus utilisés, l'utilisation des caractères d'un groupe par exemple pour la transformée de Fourier discrète.


title: Arithmétique modulaire

text: Selon les différents auteurs et le domaine d'application, ces extensions sont considérées, soit comme une partie intégrante de l'arithmétique modulaire, soit comme des applications, voire ne sont pas citées du tout. Sous sa forme simple, elle prend parfois le nom d"'arithmétique de l'horloge".


title: Arithmétique modulaire

text: Les systèmes modulaires de représentation (Residue number system, RNS en abrégé), des représentations des entiers fondée sur le théorème des restes chinois, sont utilisés pour accélérer les opérations de l'arithmétique modulaire.


title: Arithmétique modulaire

text: Au , Euclide formalise, dans son livre les "Éléments", les fondements de l'arithmétique. On y trouve notamment le lemme couramment nommé "lemme d'Euclide", une version datée du théorème fondamental de l'arithmétique et une étude sur les nombres parfaits dans la proposition 36 de son livre IX. Diophante d'Alexandrie écrit son "Arithmetica" qui contient 130 équations. Il traite essentiellement de problèmes ayant une unique solution numérique et à valeur fractionnaire ou entière. On y trouve que les nombres sommes de deux carrés parfaits ne sont jamais de la forme 4"n" + 3. Les équations, à coefficients entiers et dont les solutions recherchées sont entières, prennent aujourd'hui le nom d'équations diophantiennes.


title: Arithmétique modulaire

text: La Chine développe parallèlement une arithmétique modulaire. Sun Zi écrit vers l'an 300 un traité de mathématiques dont le problème 26 du chapitre 3 est le suivant : .


title: Arithmétique modulaire

text: Qin Jiushao développe le théorème des restes chinois. Son traité est remarquablement avancé ; il traite d'un système de congruences linéaires dans le cas où les moduli ne sont pas premiers entre eux deux à deux. Ses travaux sur les systèmes de congruences dépassent en sophistication ceux de Leonhard Euler. On peut citer George Sarton pour qui :


title: Arithmétique modulaire

text: Le voit un déclin progressif puis un oubli de ces résultats, le savoir de Qin Jiushao ne dépasse pas les frontières chinoises avant le . Il est redécouvert par les travaux de l'historien des sciences Joseph Needham. En revanche, de nombreuses similarités entre les notations arabes et chinoises laissent penser à des contacts durant les périodes précédentes.


title: Arithmétique modulaire

text: L'Inde possède aussi une tradition forte en arithmétique. Aryabhata recherche de manière systématique les solutions entières de l'équation linéaire à deux inconnues à coefficients entiers. Il utilise pour cela un algorithme appelé « Kuttaka » publié dans son livre appelé "Âryabhatîya". Les équations diophantiennes de degré deux sont étudiées par Brahmagupta . Au , Bhāskara II met au point la méthode chakravala.


title: Arithmétique modulaire

text: La civilisation islamique joue un double rôle en arithmétique : elle véhicule le savoir acquis par les Grecs, Indiens, Chinois et Européens, et elle apporte des connaissances nouvelles notamment sur l'étude des propriétés de certains ensembles d'entiers, comme les nombres premiers, parfaits, amicaux ou figurés. Dans ce contexte, Qusta ibn Lûqâ réalise une traduction partielle de l'Arithmetica de Diophante d'Alexandrie à la fin du et Al-Hajjaj traduit à la même époque les "Éléments" d'Euclide ; son collègue al-Khuwārizmī écrit un livre sur la numération indienne. Si le livre est perdu, il reste connu par une traduction latine "Algoritmi de numero Indorum". Thābit étudie les nombres amicaux et les nombres parfaits. Alhazen continue ses travaux sur les nombres parfaits et découvre le théorème de Wilson.


title: Arithmétique modulaire

text: En 1621, Claude-Gaspard Bachet de Méziriac traduit le livre de Diophante en latin. Les questions soulevées intéressent les mathématiciens de l'époque. Pierre de Fermat propose un grand nombre d'énoncés, les trois plus célèbres étant probablement son grand théorème, son théorème des deux carrés et son petit théorème. La communauté scientifique se lance des défis sur ce sujet, ainsi Fermat demande : Il conclut par : . Marin Mersenne recherche des nombres premiers particuliers. Fermat lui écrit : . Ces nombres sont maintenant appelés nombres de Fermat et sa phrase s'avère être l'unique conjecture fausse proposée par l'auteur. René Descartes recherche sans y parvenir, à démontrer que si la division par huit d'un nombre premier donne pour reste un ou trois, il s'écrit de la forme "x" + 2"y".


title: Arithmétique modulaire

text: Le siècle suivant voit la résolution de certaines de ces questions, souvent par Leonhard Euler : il contredit Fermat en démontrant que ses nombres ne sont pas toujours premiers, et prouve le théorème des deux carrés. Il commet aussi des erreurs, sa tentative de démonstration du grand théorème de Fermat pour "n" égal à trois est un échec, sa première démonstration s'avère fausse. Il soulève d'autres questions comme la loi de réciprocité quadratique en 1782. Là encore, et malgré une tentative d'Adrien-Marie Legendre, la solution reste hors de portée.


title: Arithmétique modulaire

text: Jusqu'à l'aube du les méthodes utilisées, si elles dénotent une grande astuce chez les mathématiciens, sont finalement peu nombreuses et de principes simples. L'exemple suivant, tiré du problème des deux carrés, en illustre trois : existe-t-il un nombre dont la division par quatre donne pour reste 3 et qui est somme de deux carrés ? Soit "a" et "b" ces deux carrés. Seul l'un est pair car sinon leur somme serait paire et sa division par 4 aurait 0 comme reste. Supposons "a" pair et "b" impair. "a" est pair donc son carré est un multiple de 4. L'entier "b" est impair donc s'écrit 2"c" + 1, son carré est égal à 4"c" + 4"c" + 1, la division de "b" par quatre donne pour reste "un" et la somme des deux carrés donne aussi pour reste "un".


title: Arithmétique modulaire

text: Le caractère rustique des outils se traduit par des démonstrations longues et techniques, comme la preuve d'Euler pour le théorème des deux carrés. De plus, et malgré plus d'un siècle d'efforts, l'essentiel des équations diophantiennes résistent à une telle approche.


title: Arithmétique modulaire

text: À l'âge de 17 ans, Gauss démontre la loi de réciprocité quadratique. Un an plus tard, le 30 mars 1796, il prend conscience que ses calculs arithmétiques permettent de construire à la règle et au compas l'heptadécagone, c'est-à-dire le polygone régulier à dix-sept côtés, problème resté ouvert depuis l'Antiquité. Enfin en 1801, il publie "Disquisitiones arithmeticae" ("Recherches arithmétiques") et est surnommé le "prince des mathématiciens".


title: Arithmétique modulaire

text: Ces deux grandes découvertes procèdent d'une même démarche, la mise au point d'outils plus sophistiqués que ceux dont disposaient Fermat ou Euler, simplifiant les démonstrations au prix d'une abstraction plus grande. Sa démarche fonde l'arithmétique modulaire.


title: Arithmétique modulaire

text: Elle est appliquée d'abord aux entiers puis aux polynômes puis à un nouvel ensemble d'entiers, maintenant appelés entiers de Gauss.


title: Arithmétique modulaire

text: Toutes les équations diophantiennes de Fermat sont maintenant résolues à l'exception de son grand théorème. De nouvelles conjectures apparaissent. Par exemple, si "a" et "b" sont premiers entre eux, la suite arithmétique de valeur initiale "a" et de raison "b" contient-elle des nombres premiers, si oui combien ? Gauss et d'autres mathématiciens comme Legendre ont bien imaginé qu'il en existe une infinité mais ne parviennent pas à le démontrer. De même la loi de réciprocité quadratique doit posséder des équivalents pour les ordres supérieurs.


title: Arithmétique modulaire

text: L'arithmétique modulaire est enrichie. Dirichlet, un élève de Gauss trouve une démonstration du théorème de la progression arithmétique en développant le concept des caractères et en formalisant les bases de la théorie analytique des nombres. Charles Gustave Jacob Jacobi écrit, dans une lettre à son frère : Dirichlet n'est pas le premier à utiliser des outils qui sont maintenant qualifiés de conséquence de l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini. Legendre, pour tenter de démontrer la loi de réciprocité quadratique, développa des calculs similaires sur les réels, formalisant ce qui est maintenant appelé le symbole de Legendre. Gauss enfin généralise cette approche aux nombres complexes dans son livre de 1801. Ses calculs portent le nom de somme de Gauss et période de Gauss.


title: Arithmétique modulaire

text: Au , ces mathématiques sont dénommées "arithmétique transcendante". Si le terme d'arithmétique reste largement usité, Legendre considère, en 1830, cette branche comme suffisamment développée pour mériter le terme de théorie des nombres. L'apparition de nouvelles techniques, différentes de celles de Gauss, introduit une subdivision avec la théorie algébrique des nombres et la théorie analytique des nombres. Le terme d"'arithmétique transcendante" tombe ensuite en désuétude.


title: Arithmétique modulaire

text: Ce domaine quitte celui des mathématiques pures. En revanche, une application industrielle fait, au cours du temps, de plus en plus appel aux notions mathématiques développées par Gauss : la science des codes secrets appelée cryptologie. En 1883, Auguste Kerckhoffs énonce que : . Cette approche est à l'origine d'une modification profonde de cette science. Au milieu du , elle devient une branche des mathématiques appliquées.


title: Arithmétique modulaire

text: Au début des années 1930, le bureau du chiffre polonais fait appel au mathématicien Marian Rejewski pour percer le code du système Enigma, utilisé par les Allemands. Les anciens codes, comme le chiffre de César, sont réinterprétés comme une transformation mathématique dans l'ensemble des moduli de Gauss sur les nombres entiers. Le terme d'« arithmétique modulaire » est utilisé pour décrire ces techniques. Durant les années 1970, Horst Feistel développe un système à clé privée, le Data Encryption Standard ou DES, qui devient le standard des applications non classifiées. Les cryptanalystes du DES, et plus généralement des chiffrements symétriques, utiliseront des mathématiques issues des travaux de Dirichlet sur les caractères, dans le cadre d'un espace vectoriel sur un corps fini à deux éléments.


title: Arithmétique modulaire

text: En 1976 une nouvelle famille de codes est découverte, fondée sur une clé publique. Des solutions industrielles sont rapidement développées, la plus célèbre est dénommée R.S.A.. Elle se fonde sur les travaux de Fermat et d'Euler. Le terme« arithmétique modulaire » est, dans ce contexte, utilisé pour décrire non seulement la structure des moduli sur les entiers, mais aussi les théorèmes traitant des nombres premiers comme la décomposition en produit de facteurs premiers, le théorème chinois, le petit théorème de Fermat et sa généralisation par Euler.


title: Arithmétique modulaire

text: Avec le développement de l'informatique, l'arithmétique modulaire devient un domaine de recherche actif : les applications nécessitent l'utilisation d'opérations sur des grands nombres, et la mise en œuvre d'algorithmes efficaces.


title: Arithmétique modulaire

text: La cryptographie n'est pas l'unique domaine utilisant le vocable« arithmétique modulaire ». La fin de la Seconde Guerre mondiale voit l'apparition d'une nouvelle science : la théorie de l'information. En 1948, sous l'impulsion de Claude Shannon, elle devient une branche des mathématiques appliquées.


title: Arithmétique modulaire

text: Si la confidentialité est l'un des sujets abordés, la fiabilité est aussi un thème majeur. Richard Hamming propose un premier algorithme dès 1950. Une fois encore, les moduli sur les entiers sont utilisés pour une des plus simples techniques de code : les sommes de contrôle. En 1960, de nouveaux codes plus puissants sont développés, sur la base de polynômes à coefficients dans un corps fini. L'arithmétique utilisée prend souvent le nom de« modulaire ».


title: Arithmétique modulaire

text: L'informatique devient un sujet universitaire au début des années 1960. Les contraintes inhérentes à la structure des processeurs imposent la représentation des nombres sous forme d'une suite finie d'informations, justifiant l'utilisation des moduli. Le terme d'« arithmétique modulaire » apparaît souvent, on y trouve même les entiers de Gauss ou les polynômes, par exemple, pour des calculs sur des grands entiers.


title: Arithmétique modulaire

text: Les techniques développées pour la cryptographie, la théorie des codes et l'arithmétique informatique reposent sur les mêmes concepts, offrant une relative unité aux mathématiques de la théorie de l'information.


title: Arithmétique modulaire

text: L'exemple historique de l'« arithmétique modulaire » repose sur les nombres entiers. Un entier "n" étant fixé, le calcul modulo "n" consiste à identifier tous les entiers à leur reste dans la division euclidienne par "n" ; ceci peut être illustré par l'exemple de l'« arithmétique de l'horloge », qui correspond à "n=12" : la petite aiguille se trouve dans la même position à deux moments éloignés de douze heures, on identifie par exemple 13 h à 1 h. Pour obtenir un calcul sur un tel ensemble, on vérifie que l'addition et la multiplication sont compatibles avec les identifications. Cette formalisation est l'œuvre de Legendre, qui donne le nom de "résidu" aux différents éléments.


title: Arithmétique modulaire

text: L'apport de Gauss consiste à analyser la structure de cet ensemble, maintenant qualifié du nom d'anneau de congruences et noté ℤ/"n"ℤ. Elle se divise en premier lieu en l'étude de l'addition, qui définit un groupe cyclique de générateur "1" ; puis de la multiplication, qui dépend des propriétés du modulo. Si celui-ci est premier, on obtient un corps. Cette approche simplifie les démonstrations arithmétiques. Les deux exemples historiques du livre "Disquisitiones arithmeticae" sont le théorème de Wilson et le petit théorème de Fermat.


title: Arithmétique modulaire

text: Le calcul modulaire, dans le cas où le modulo n'est pas premier, est plus complexe, mais le théorème des restes chinois permet d'en élucider la structure. L'anneau n'est alors pas intègre et il existe des diviseurs de zéro, ce sont des nombres qui, multipliés par un certain autre nombre non nul, donnent zéro. Le nombre d'éléments inversibles est donné par la fonction indicatrice d'Euler. Elle permet, par exemple, de généraliser le petit théorème de Fermat.


title: Arithmétique modulaire

text: Gauss remarque que l'ensemble des polynômes à coefficients rationnels peut se voir appliquer la logique du calcul modulaire, puisqu'il dispose d'une addition, d'une multiplication, et d'une division euclidienne. Les congruences sont les restes de la division euclidienne des polynômes par un polynôme donné.


title: Arithmétique modulaire

text: Il applique cette approche au polynôme "X "– 1 et trouve sa décomposition en produit de facteurs irréductibles, qui prennent le nom de "polynôme cyclotomique". Gauss utilise ces résultats pour trouver une construction à la règle et au compas de l'heptadécagone, polygone régulier à 17 côtés.


title: Arithmétique modulaire

text: Il hésite à considérer ces travaux comme de l'arithmétique ; il écrit :« La théorie de la division du cercle, ou des polygones réguliers…, n'appartient pas "par elle-même" à l'Arithmétique, mais ses "principes" ne peuvent être puisés que dans l'Arithmétique transcendante ». La logique de cet argument est toujours d'actualité.


title: Arithmétique modulaire

text: Le cas des polynômes à coefficients entiers diffère : la propriété de division ne fonctionne que pour des polynômes dont le plus grand coefficient est égal à "plus ou moins un". Le cas des moduli du polynôme "X" + 1 est envisagé : la structure modulaire obtenue est encore celle d'un anneau, s'identifiant à l'ensemble des nombres de la forme α + β où α et β sont des entiers et désigne l'unité imaginaire, correspondant au monôme "X". Cet ensemble est celui des entiers de Gauss.


title: Arithmétique modulaire

text: Il peut être muni d'une norme. À l'entier de Gauss "a" = α + β est associée la norme α + β, qui provient du module des nombres complexes. Cette norme permet de définir une division euclidienne, comme l'illustre la figure de droite. Les entiers sont représentés par les intersections du quadrillage. La valeur "a"/"b" existe si "b" est différent de zéro, cependant cette valeur n'est pas nécessairement un entier de Gauss. Elle est représentée par le point noir de la figure. Dire qu'une division euclidienne existe, revient à dire qu'il existe un entier de Gauss à une norme strictement inférieure à "un" de ce point noir. L'illustration montre que, dans le cas présent, il existe au moins trois candidats. Dans le cas général, il en existe entre un et quatre et dans ce contexte seule l'existence compte.


title: Arithmétique modulaire

text: Ce résultat de division euclidienne implique des propriétés sur cet anneau d'entiers : l'identité de Bézout, l'existence de nombres premiers de Gauss et un analogue du théorème fondamental de l'arithmétique. Ces nombres premiers permettent à Richard Dedekind de proposer une résolution simple du théorème des deux carrés. L'illustration géométrique est donnée sur la figure de gauche. Un nombre premier "p" s'exprime comme somme de deux carrés si le cercle de rayon la racine de "p" croise au moins un entier Gauss.


title: Arithmétique modulaire

text: Gotthold Eisenstein, qui rencontre Gauss en 1844, découvre un nouvel anneau d'entiers ; l'arithmétique sur cet anneau offre une démonstration rigoureuse du grand théorème de Fermat pour "n" égal à trois, justifiant, encore une fois, la nécessité théorique d'une telle généralisation de l'arithmétique modulaire.


title: Arithmétique modulaire

text: Dirichlet s'intéresse aux nombres premiers de la forme "n" + λ"m" où "n" et "m" sont deux entiers premiers entre eux et λ une variable qui décrit l'ensemble des entiers positifs. Il souhaite en effet démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de cette nature.


title: Arithmétique modulaire

text: L'arithmétique modulaire est un bon outil pour cette problématique, qui est équivalente à trouver le cardinal de l'ensemble des nombres premiers dans une classe de modulo.


title: Arithmétique modulaire

text: Dirichlet considère le groupe des éléments inversibles modulo "m", et étudie l'ensemble des fonctions du groupe dans les nombres complexes non nuls qui vérifient, pour "a" et "b" deux éléments de ce groupe, "f"("ab") = "f"("a")"f"("b"). De telles fonctions sont appelées caractères de Dirichlet. Il en existe φ("n"), le produit de deux caractères est encore un caractère, et leur table de multiplication est exactement la même que celle du groupe des unités étudié.


title: Arithmétique modulaire

text: Les calculs sur ces fonctions sont formellement analogues à ceux réalisés précédemment par Joseph Fourier. Il faut néanmoins atteindre le pour voir apparaître une théorie unifiant les deux approches. Elle prend le nom d'analyse harmonique.


title: Arithmétique modulaire

text: Il est fréquent que des concepts mathématiques, développés dans un contexte, soient réutilisés dans d'autres domaines. Ainsi la théorie des groupes s'applique à l'arithmétique et à la géométrie. Il en est de même pour les outils de l'arithmétique modulaire, dont les outils alimentent de vastes champs des mathématiques pures, comme l'algèbre générale ou la théorie de Galois. Ces théories ne sont néanmoins pas considérées comme des cas particuliers d'arithmétique modulaire car elles font aussi appel à de nombreux autres concepts.


title: Arithmétique modulaire

text: En langage moderne, l'arithmétique modulaire se formalise par la notion de quotient d'anneaux euclidiens. Le concept de relation d'équivalence permet de généraliser ce concept aux principales structures algébriques. Par exemple, le quotient d'un groupe par un sous-groupe normal est, à travers le théorème de Jordan-Hölder, un outil de base de la classification des groupes finis. Les groupes quotients sont aussi utilisés en topologie algébrique pour classifier les variétés. Dans la théorie des anneaux, la notion d'idéal joue un rôle analogue à celui de la notion de sous-groupe normal en théorie des groupes. Elle permet de construire des anneaux quotients dans un contexte plus général que celui de l'arithmétique modulaire. Le théorème des zéros de Hilbert, base du lien entre l'algèbre commutative et la géométrie algébrique, s'exprime en termes d'idéal.


title: Arithmétique modulaire

text: Les idées de l'arithmétique modulaire s'appliquent à l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps commutatif, car cette structure dispose d'une division. Elle est le point de départ de la théorie d'Évariste Galois et consiste en l'étude systématique des ensembles de congruence de polynômes modulo un polynôme irréductible, l'équivalent des nombres premiers. Ces ensembles sont maintenant appelés extensions algébriques.


title: Arithmétique modulaire

text: Ces extensions permettent l'analyse de la résolubilité des équations algébriques, c'est-à-dire des équations s'écrivant sous forme polynomiale. Si le polynôme est irréductible, son ensemble de congruences est le plus petit corps contenant au moins une racine. Il est appelé corps de rupture. En réitérant ce processus, un corps contenant toutes les racines, le corps de décomposition, est construit. La logique modulaire du quotient fournit la structure algébrique adaptée à cette problématique.


title: Arithmétique modulaire

text: La théorie de Galois fait appel à bien d'autres notions. L'étude de la résolubilité de l'équation est possible "via" l'étude du groupe des automorphismes du corps, appelé groupe de Galois, grâce à la correspondance de Galois entre sous-corps et sous-groupes. Au-delà de l'étude de la résolubilité des équations algébriques, la théorie de Galois est devenue un cadre naturel de résolution de nombreux problèmes en arithmétique, géométrie arithmétique ou géométrie algébrique, et permet surtout de formuler de nouveaux problèmes plus généraux dans ces divers domaines.


title: Arithmétique modulaire

text: Si cette théorie utilise le concept de quotient d'un anneau euclidien, la variété d'outils spécifiques à ce domaine en fait un champ propre, bien distinct du sujet de cet article. L'un des fruits de cette théorie, les corps finis, encore appelés corps de Galois, fournissent un cadre naturel à de nombreuses applications en arithmétique modulaire.


title: Arithmétique modulaire

text: L'arithmétique modulaire offre un bon cadre conceptuel pour la résolution du grand théorème de Fermat. Cependant, les anneaux d'entiers algébriques, construits selon la méthode de Gauss, présentent ce que Dirichlet appelle une "obstruction". Il montre que le groupe des unités de cet anneau, c'est-à-dire des éléments ayant un inverse pour la multiplication, n'est plus un groupe cyclique ou abélien fini comme celui qu'étudiait Gauss. Il contient aussi des copies de l'anneau des entiers et est donc infini. Ce résultat prend le nom de théorème des unités de Dirichlet. L'obstruction provient de cette nouvelle configuration. Elle empêche l'application des techniques modulaires utilisées pour les entiers de Gauss car l'anneau associé n'est plus euclidien.


title: Arithmétique modulaire

text: Ernst Kummer utilise un outil lié à la généralisation du quotient maintenant formalisé par les idéaux. Ils "remplacent" les nombres premiers absents. La théorie algébrique des nombres prend alors le relais, avec des techniques différentes. L'outil de base est un anneau dont les éléments sont appelés entiers algébriques et qui possède une structure dite d'anneau de Dedekind. Kummer parvient ainsi à démontrer le grand théorème pour certaines valeurs de "n" premier, c'est-à-dire pour les nombres premiers réguliers. Les seules valeurs inférieures à 100 non traitées sont 37, 59 et 67.


title: Arithmétique modulaire

text: D'autres outils et objets d'étude apparaissent, comme l'anneau adélique, ceux de la théorie de Galois, les courbes elliptiques, les séries L de Dirichlet ou les formes modulaires. Certains proviennent de conséquences presque directes de l'arithmétique modulaire, comme les corps finis, utilisés de manière intensive au . La théorie algébrique des nombres est largement plus vaste que le cadre de l'arithmétique modulaire, tout en reposant "in fine" sur des techniques parfois similaires.


title: Arithmétique modulaire

text: La découverte par Euler d'un produit infini, construit à l'aide de nombres premiers et égal à formula_1ouvre la voie à une approche différente pour la compréhension des nombres. Dirichlet l'utilise pour démontrer que chacun des moduli d'entiers du groupe des unités contient une infinité de nombres premiers. Ce résultat porte maintenant le nom de théorème de la progression arithmétique.


title: Arithmétique modulaire

text: Pour mener à bien sa démonstration, Dirichlet développe un outil spécifique, les séries L de Dirichlet. L'une de ses séries correspond à une célèbre fonction qui prendra le nom de ζ (zêta) de Riemann. Sa plus grande difficulté consiste à prouver que ses fonctions n'ont pas de racine au point "un". Pour y parvenir, il utilise l'analyse harmonique sur le groupe des unités d'une classe de modulo.


title: Arithmétique modulaire

text: Néanmoins, une fois encore, l'arithmétique modulaire est insuffisante pour venir à bout du théorème. Dirichlet utilise de nombreuses techniques analytiques, comme les séries entières et l'analyse complexe. Le fruit de ces travaux donne naissance à une nouvelle branche des mathématiques : la théorie analytique des nombres. L'un des points cruciaux de cette théorie provient de l'unique article de Bernhard Riemann en théorie des nombres : "Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une taille donnée". Il conjecture une localisation des racines de sa fonction ζ. La recherche de la position des racines, initiée par Dirichlet, devient une préoccupation centrale et reste l'une des conjectures pressenties comme les plus difficiles des mathématiques de notre époque.


title: Arithmétique modulaire

text: L'objet de la cryptographie est d'assurer la sécurité dans la transmission des messages. La confidentialité ainsi que l'authentification de ceux-ci sont deux exemples du sens donné au terme sécurité. On peut citer deux exemples : la protection des messages qu'utilise une armée pour empêcher une anticipation de l'ennemi, ou la carte bleue proposée par le système bancaire, offrant à un usager une bonne sécurité.


title: Arithmétique modulaire

text: En termes plus mathématiques, l'opération de chiffrement se traduit par un algorithme, c'est-à-dire une fonction "f" qui, à un message en clair "m" et une clé "k", associe un message chiffré "f"("k", "m"). La connaissance du message chiffré et de l'algorithme doit être insuffisante pour reconstituer le message en clair sans une clé de déchiffrement. Dans le cas de la cryptographie traditionnelle, dite cryptographie symétrique, la clé de déchiffrement est identique à la clé de chiffrement ou s'en déduit aisément. Cette clé doit alors rester secrète.


title: Arithmétique modulaire

text: La cryptographie asymétrique s'appuie sur le constat que seule la clé de déchiffrement doit rester secrète, et connue du seul récepteur du message. Elle n'a pas besoin d'être communiquée à ses correspondants. Alice utilise la clé de chiffrement de Bob, que celui-ci a rendu publique, pour lui envoyer un message. Seul Bob peut le déchiffrer, même Alice, si jamais elle avait perdu le message en clair, en serait incapable. Bob doit répondre en utilisant la clé de chiffrement d'Alice.


title: Arithmétique modulaire

text: L'objectif est donc de définir une fonction simple à évaluer mais difficile à inverser sans la connaissance d'un secret. L'arithmétique modulaire a été la première à offrir des solutions, et elle est toujours à la base de beaucoup de solutions commerciales. Par exemple l'échange de clés Diffie-Hellman, premier exemple historique, exploite la difficulté pratique à inverser l'exponentiation modulaire. Cette dernière, ou ses généralisations à d'autres groupes, reste fondamentale dans le domaine.


title: Arithmétique modulaire

text: La cryptographie asymétrique résout en particulier le délicat problème de la distribution des clés en cryptographie symétrique. Si plusieurs correspondants communiquent, en cryptographie symétrique, une clé différente s'avère nécessaire pour chaque couple d'intervenants, alors qu'en cryptographie asymétrique chaque correspondant dispose d'une clef qu'il garde secrète, et d'une clef qu'il rend publique. Cependant elle n'a pas fait disparaître les codes symétriques, qui offrent des algorithmes beaucoup plus efficaces. Pour une sécurité équivalente, les codes symétriques présentent l'avantage de nécessiter des clés nettement plus petites, 128 bits pour la version courante de AES, contre plus d'un millier pour le RSA, mais surtout le chiffrement comme le déchiffrement sont de cent à mille fois plus rapide. Les systèmes cryptographiques modernes, comme ceux utilisés par les cartes bancaires, ou le protocole de communication cryptée SSL/TLS très utilisé sur Internet, n'utilisent qu'en début de communication la cryptographie asymétrique, pour échanger les clés d'un chiffrement symétrique qui prendra ensuite le relais.


title: Arithmétique modulaire

text: Le code RSA est un exemple largement répandu de cryptographie asymétrique. Le chiffrement utilise deux clés, une clé publique pour le chiffrement, et une clé privée, pour le déchiffrement. La force d'un tel système réside dans le fait que la connaissance de la clé publique ne permet pas le décryptage. Il se décrit de la manière suivante :


title: Arithmétique modulaire

text: Alice (le choix des prénoms est traditionnel) souhaite pouvoir recevoir des messages de Bob sans qu'Ève puisse les déchiffrer. Alice choisit deux grands nombres premiers "p" et "q", dont elle calcule le produit "n = pq", et un entier "e", premier avec φ("n") = ("p" – 1)("q" – 1), et strictement inférieur à ce nombre ; la fonction indicatrice d'Euler φ, donne l'ordre du groupe des éléments inversibles de ℤ/"n"ℤ. Le couple ("n", "e") constitue alors la "clé publique" d'Alice, c'est-à-dire qu'elle peut être librement accessible, en particulier à Bob qui doit tout de même pouvoir s'assurer que cette clef est bien celle d'Alice.


title: Arithmétique modulaire

text: Parallèlement Alice calcule l'inverse de "e" modulo "n", soit un entier "d" strictement inférieur à "n" vérifiant


title: Arithmétique modulaire

text: ce qui se fait de façon efficace par l'algorithme d'Euclide étendu connaissant "p" et "q", donc φ("n"). L'entier "d" constitue la "clef privée" d'Alice. On montre que la connaissance de "d" permet de retrouver la factorisation de "n" de façon efficace, le calcul de "d" et la factorisation de "n" sont donc calculatoirement équivalents.


title: Arithmétique modulaire

text: Les messages sont des entiers strictement inférieurs à "n", que l'on voit comme des éléments de l'anneau ℤ/"n"ℤ.


title: Arithmétique modulaire

text: Si Bob souhaite transmettre le message "m" à Alice, il transmet la valeur de "m "modulo "n". Alice a rendu au préalable publiques les valeurs de "n" = "pq", "e" et donc la fonction "f" de chiffrement, qui est ici égale à :


title: Arithmétique modulaire

text: Ève peut connaître "e", "n" et donc "f", ces informations sont en effet publiques. En revanche, elle ne peut intercepter les valeurs de "p" et "q" qui n'ont jamais été communiquées.


title: Arithmétique modulaire

text: Pour Bob, la fonction de codage est aisée : il s'agit d'une exponentiation modulaire qui se calcule de façon efficace. Pour Alice la lecture l'est aussi pour les mêmes raisons. En effet le théorème d'Euler montre que :


title: Arithmétique modulaire

text: En revanche Ève ne connaît pas "a priori" les entiers "p" et "q". Si "n" est grand (et si les entiers "p" et "q" sont bien choisis) il n'existe pas, à ce jour, d'algorithme assez efficace pour la factorisation de "n". Plus généralement on ne connait pas de façon efficace de résoudre le problème RSA, qui est celui d'inverser la fonction de chiffrement (dont on ne sait pas s'il est ou non plus facile à résoudre que le problème de la factorisation de "n").


title: Arithmétique modulaire

text: La cryptographie asymétrique n'existerait pas sans les méthodes issues de l'arithmétique modulaire. Celle-ci ne joue pas le même rôle fondateur en cryptographie symétrique, mais n'en est pas absente pour autant. Les chiffrements symétriques se divisent en deux grandes familles dont l'une, les chiffrements par flot, utilise souvent comme composant de base les suites récurrentes linéaires sur un corps fini (voir ci-dessous) ; l'autre, celle des chiffrements par blocs, comprend entre autres le DES et son successeur, le standard de chiffrement avancé, appelé couramment AES (pour "Advanced Encryption Standard"). Ces derniers opèrent sur des blocs de données d'une taille fixe comptée en octets, huit pour le DES par exemple. Une suite d'opérations primitives assez simples est appliquée de façon répétée pour coder un bloc. Un octet, ou plus généralement un bloc de "n" bits, peut être vu comme les coefficients d'un polynôme sur les entiers modulo deux, de degré maximal "n "– 1. Cela a conduit les cryptologues à s'intéresser à certaines opérations sur les corps finis de caractéristique 2. Ainsi il s'avère que l'opération d'inversion sur le corps fini F, composée avec une transformation affine, a de bonnes propriétés cryptographiques pour en faire l'une des primitives des chiffrements par blocs. Ceci a été exploité par les auteurs du chiffrement Rijndael, qui est devenu l'AES. La publication officielle de ce dernier par le NIST (agence fédérale américaine) contient d'ailleurs quelques préliminaires mathématiques sur le sujet. Cependant il n'est nul besoin d'algorithmique sur l'arithmétique ou les corps finis pour l'implémentation : ces opérations sont représentées par des tables, comme les opérations analogues du DES obtenues elles de façon beaucoup plus heuristique. Certains cryptologues ont vu une faiblesse potentielle dans la caractérisation trop algébrique de Rijndael, qui le rendrait plus accessible à l'imagination des mathématiciens, ce qui n'a pas empêché son adoption pour l'AES.


title: Arithmétique modulaire

text: Les codes RSA utilisent comme clés les nombres premiers "p" et "q" du paragraphe précédent. L'usage, pour les trouver, consiste à choisir un nombre "presque" au hasard, de tester s'il est premier ou non et de recommencer s'il ne l'est pas.


title: Arithmétique modulaire

text: Le crible d'Ératosthène est une méthode rapide pour les petits nombres. Utilisé habilement, 46 tests suffisent pour vérifier la primalité d'un nombre inférieur à . En revanche, il est inefficace pour une application industrielle employant des nombres qui s'écrivent avec plusieurs centaines de chiffres.


title: Arithmétique modulaire

text: La majorité des tests de l'industrie se fondent sur des variantes du petit théorème de Fermat. Si un nombre "p" est premier, alors pour tout entier "a", "a" est congru à "a" modulo "p". La réciproque est fausse : il existe des nombres non premiers, appelés nombres de Carmichael (par exemple 561 = 3 × 11 × 17), pour lesquels la congruence est vraie pour toute valeur de "a". Toutefois, si "p" n'est ni un nombre de Carmichael, ni un nombre premier, la congruence est fausse pour au moins la moitié des valeurs de "a" comprises entre "un" et "p". Que la congruence soit vérifiée pour un grand nombre de valeurs de "a" indique une très forte probabilité de primalité pour "p", s'il n'est pas un nombre de Carmichael.


title: Arithmétique modulaire

text: Le test de primalité de Solovay-Strassen et surtout le test de primalité de Miller-Rabin sont deux exemples largement utilisés. Ils se fondent sur une analyse plus poussée du petit théorème de Fermat et n'admettent pas d'analogues aux nombres de Carmichael, ce qui lève l'un des problèmes du test de Fermat. Pour ces deux méthodes, un test de primalité déterministe consiste à vérifier la propriété pour un nombre de valeurs de "a" garantissant une preuve irréfutable. Le nombre de calculs à effectuer étant rédhibitoire, on se contente d'un test probabiliste. Il consiste à vérifier la congruence sur un ensemble de valeurs de "a", choisi pour assurer une probabilité de primalité supérieure à une valeur donnée, souvent égale à 1 – (1/2).


title: Arithmétique modulaire

text: La sécurité par l'obscurité n'est pas de mise pour les codes RSA. Il est important de connaître précisément l'état de l'art de la décomposition des entiers en termes de facteurs premiers. Un concours appelé compétition de factorisation RSA fut ouvert jusqu'en mai 2007, proposant un prix pour quiconque capable de factoriser un nombre choisi dans une liste rendue publique.


title: Arithmétique modulaire

text: Le crible d'Ératosthène est un test de primalité qui offre une méthode de décomposition. Mais une fois encore, il n'est pas applicable pour de grands nombres car trop lent.


title: Arithmétique modulaire

text: Les différentes méthodes actuellement utilisées reposent souvent sur les résidus quadratiques. Un diviseur de zéro est un résidu quadratique contenant comme représentants au moins deux carrés parfaits. L'objectif est de trouver ces deux carrés. Cette approche est celle du crible quadratique et du crible algébrique, le plus rapide connu en 2007. On peut encore citer l'algorithme ρ de Pollard qui utilise le paradoxe des anniversaires.


title: Arithmétique modulaire

text: La construction par quotient des corps premiers ℤ/"p"ℤ se généralise à d'autres structures. En informatique, les nombres sont codés sur "n" bits, c'est-à-dire qu'un nombre correspond à une suite de longueur "n" composée de 0 et de 1. Une telle suite peut être considérée comme un vecteur d'un espace vectoriel de dimension "n" sur le corps fini F à deux éléments.


title: Arithmétique modulaire

text: Cette structure est souvent considérée comme l'espace des polynômes à coefficients dans F de degré strictement inférieur à "n". Pour garantir la stabilité de la multiplication, cet espace est quotienté par un polynôme de degré "n". Quand ce polynôme est irréductible (équivalent de nombre premier), la structure obtenue est le corps fini de cardinal 2. Un nombre "a" modulo 2 et un polynôme "P" modulo un polynôme de degré "n" sont très semblables, ils s'écrivent en effet :


title: Arithmétique modulaire

text: Un exemple d'utilisation est la création d'un générateur de nombres pseudo-aléatoires dans F. De tels générateurs sont utilisés par exemple, dans le contexte d'une communication orale par téléphone portable, par le chiffrement de flux A5/1. Celui-ci a pour composants des registres à décalage à rétroaction linéaire, ou LFSR (acronyme de '). Étant données deux suites finies d'éléments de F de longueur "n", une suite de coefficients et une séquence d'initialisation, soient :


title: Arithmétique modulaire

text: La suite des coefficients est souvent fixe. La clé fournit alors la séquence d'initialisation, qui peut être représentée par un entier "a" modulo 2 :


title: Arithmétique modulaire

text: La suite obtenue est périodique, cependant si la suite des coefficients est bien choisie, la période est très longue : 2 – 1. Cette situation se produit si le "polynôme de rétroaction" "R", donnée par la formule suivante, est le polynôme minimal d'un élément primitif du groupe cyclique (F)* :


title: Arithmétique modulaire

text: Les idées de Dirichlet s'appliquent sur le système modulaire du paragraphe précédent. Pour l'addition, l'espace vectoriel "V" précédent est un groupe abélien fini. Les caractères de ce groupe forment une base orthonormale de l'ensemble des fonctions de "V" dans celui des nombres complexes. Il est à noter que l'ensemble d'arrivée choisi n'est pas toujours celui des complexes mais parfois le corps "F". Les résultats sont strictement identiques. Une telle structure dispose d'une analyse harmonique. Si l'ensemble d'arrivée est choisi égal à F, la transformée de Fourier prend le nom de transformée de Walsh. Cette approche est utilisée à la fois pour les systèmes DES, RSA et certains chiffrements de flux.