title: Diviseur

text: La fonction « nombre de diviseurs » donne le nombre "d"("n") des diviseurs de "n". Ainsi "d"(10) = 4, "d"(36) = 9 et "d"(60) = 12. La décomposition en facteurs premiers de "n" permet de donner une valeur explicite à cette fonction. Si la décomposition de "n" est


title: Diviseur

text: Les fonctions « somme des diviseurs » et « somme des diviseurs stricts » interviennent dans l'étude des nombres parfaits, nombres abondants, nombres déficients ou nombres amiables, ainsi que dans les suites aliquotes.


title: Diviseur

text: La définition de diviseur se généralise à un anneau commutatif : si "a" et "b" sont deux éléments d'un anneau "A", "b" divise "a" si et seulement s’il existe un élément "c" de A tel que "a" = "bc".


title: Diviseur

text: Une attention spéciale doit être portée sur la notion de diviseur de zéro. Selon la définition précédente, tout élément de "A" divise 0 (élément neutre de l'addition dans l'anneau A) car "a" × 0 = 0. Cependant, dans un anneau non intègre, il existe des éléments de "A", non nuls, "b" et "c" tels que "bc" = 0. Ces éléments sont appelés des diviseurs de zéro dans "A".


title: Bradykinine

text: La bradykinine (du grec ancien / = lent) est une kinine fabriquée sous l'action d'une enzyme libérée dans la sueur. Elle a un effet vasodilatateur.


title: Bradykinine

text: Il s'agit d'une hormone peptidique (nonapeptide) qui agit sur les muscles lisses, qui dilate les vaisseaux sanguins et qui augmente la perméabilité des capillaires.


title: Bradykinine

text: L’activité du système kinine-kallikréine entraîne la fabrication de la bradykinine par clivage protéolytique de son précurseur kininogène, kininogène de haut poids moléculaire (KHPM), en faisant intervenir une enzyme, la kininogénase.


title: Bradykinine

text: Chez les êtres humains, la bradykinine est dégradée par trois kininases : l'Enzyme de conversion de l'angiotensine (ECA), l’aminopeptidase P (APP) et la carboxypeptidase N (CPN), qui clivent les positions 7-8, 1-2, et 8-9, respectivement.


title: Bradykinine

text: La bradykinine est un puissant vasodilatateur endothélium-dépendant, qui provoque le relâchement des muscles lisses non vasculaires dans la circulation systémique, augmente la perméabilité vasculaire et est également impliquée dans le mécanisme de la douleur. À certains égards, son action est similaire à celle de l’histamine ; comme l’histamine, elle est libérée des veinules plutôt que des artérioles. Dans la circulation pulmonaire, elle a un effet vasoconstricteur. Au niveau du canal artériel aussi, où elle permet sa fermeture vers le troisième jour de vie (synthétisée au niveau des capillaire pulmonaires et relarguée dans l'organisme après l'ouverture du circuit sanguin pulmonaire à la naissance).


title: Bradykinine

text: La bradykinine induit l’augmentation des taux de calcium dans les astrocytes néocorticaux, de sorte qu’ils libèrent du glutamate.


title: Bradykinine

text: On suppose que par son effet bronchoconstricteur, la bradykinine est à l’origine de la toux sèche, observée chez certains patients prenant des médicaments inhibiteurs de l'enzyme de conversion de l'angiotensine (IECA). Cette toux réfractaire est une cause courante de l’arrêt du traitement par les inhibiteurs de l’ECA.


title: Bradykinine

text: Chez les mammifères, on connaît deux types de récepteurs de la bradykinine. Le récepteur B est uniquement exprimé à la suite d'une lésion tissulaire et on suppose qu’il joue un rôle dans la douleur chronique. Le récepteur B est constitutivement actif et participe à l’action vasodilatatrice de la bradykinine.


title: Bradykinine

text: La bradykinine a été découverte par trois physiologistes et pharmacologistes brésiliens travaillant à l’Instituto de Biologia de São Paulo, à São Paulo, dirigé par le . Avec des collègues, Wilson Teixeira Beraldo et Gastão Rosenfeld ils ont découvert en 1948 ses puissants effets hypotenseurs dans des préparations animales. La bradykinine a été détectée dans le plasma sanguin d’animaux après l’addition de venin de "Bothrops jararaca" (serpent fer de lance brésilien), qui avait été apporté par Rosenfeld de l’Institut Butantan. Cette découverte s’inscrivait dans le cadre d’une étude en cours sur le choc circulatoire et les enzymes protéolytiques liées à la toxicologie des morsures de serpent, initiée par Rocha e Silva dès 1939. La bradykinine devait se révéler être un nouveau principe d’autopharmacologique c’est-à-dire une substance qui est libérée dans le corps par une transformation métabolique de précurseurs qui sont pharmacologiquement actifs. Selon BJ Hagwood, le biographe de Rocha e Silva :


title: Bradykinine

text: L’importance pratique de la découverte de la bradykinine est devenue évidente lorsque l’un de ses collaborateurs à l'École de Médecine de Ribeirão Preto à l’Université de São Paulo, le Sérgio Henrique Ferreira, a découvert un facteur potentialisant l’effet de la bradykinine (BPF) dans le venin bothropique, qui augmente de manière significative et la durée et l’ampleur de ses effets sur la vasodilatation et la baisse consécutive de la pression artérielle. En se fondant sur ce résultat, les scientifiques de Squibb ont développé le premier d’une nouvelle génération de médicaments anti-hypertenseurs très efficaces, appelés inhibiteurs de l'ECA, tels que le captopril (commercialisé sous la marque Capoten), qui a, depuis lors, sauvé de nombreuses vies.


title: Stabilité de Liapounov

text: En mathématiques et en automatique, la notion de stabilité de Liapounov (ou, plus correctement, de "stabilité au sens de Liapounov") apparaît dans l'étude des systèmes dynamiques. De manière générale, la notion de stabilité joue également un rôle en mécanique, dans les modèles économiques, les algorithmes numériques, la mécanique quantique, la physique nucléaire


title: Stabilité de Liapounov

text: Un exemple typique de système stable au sens de Liapounov est celui constitué d'une bille roulant sans frottement au fond d'une coupelle ayant la forme d'une demi-sphère creuse : après avoir été écartée de sa position d'équilibre (qui est le fond de la coupelle), la bille oscille autour de cette position, sans s'éloigner davantage : la composante tangentielle de la force de gravité ramène constamment la bille vers sa position d'équilibre. En présence d'un frottement visqueux (si l'on ajoute par exemple un peu d'huile au fond de la coupelle), les oscillations de la bille sont amorties et celle-ci revient à sa position d'équilibre au bout d'un certain temps (théoriquement infiniment long) : cet amortissement est dû à la dissipation d'énergie sous forme de chaleur. Le système est alors asymptotiquement stable. Si maintenant on retourne la coupelle, le sommet de celle-ci (ayant toujours la forme d'une demi-sphère) est encore une position d'équilibre pour la bille. Mais à présent, si l'on écarte la bille d'une quantité infinitésimale en absence de frottement, cette bille se met à rouler sur la paroi de la coupelle en tombant ; elle s'écarte sans retour de sa position d'équilibre, car la composante tangentielle de la force de gravité éloigne constamment la bille de sa position d'équilibre. Un tel système est dit instable.


title: Stabilité de Liapounov

text: De manière moins imagée, si tout mouvement d'un système issu d'un voisinage suffisamment petit d'un point d'équilibre formula_1 demeure au voisinage de ce point, alors formula_1 est dit "stable au sens de Liapounov" (rigoureusement parlant, ce n'est pas un système dynamique qui peut être stable au sens de Liapounov mais un point d'équilibre de ce système ; certains systèmes peuvent avoir plusieurs points d'équilibre, les uns stables, les autres instables). Le théorème central d'Alexandre Liapounov dit qu'un point d'équilibre formula_1 est stable (au sens de Liapounov) pour un système dynamique (décrit par une équation différentielle du type formula_4) si et seulement s'il existe une fonction vérifiant certaines conditions précises et liées à la fonction formula_5 de l'équation différentielle et à formula_1. Le problème de la stabilité se ramène donc à chercher une telle fonction (dite fonction de Liapounov), souvent par tâtonnement. Les conditions que doit vérifier une "fonction de Liapounov" du problème dynamique (purement mathématique) rappellent les conditions que doit vérifier l'énergie potentielle pour qu'il y ait stabilité d'un point d'équilibre d'un système physique (voir, "infra", le premier et le troisième paragraphe de l'introduction historique : "Stabilité au sens de Lagrange-Dirichlet" et "L’œuvre de Liapounov").


title: Stabilité de Liapounov

text: Dans le cas de systèmes linéaires aux paramètres incertains, la recherche d'une fonction de Liapounov peut se formaliser en un problème d'optimisation et, lorsque celui-ci est convexe, il existe des algorithmes de résolution efficaces. Il existe également des méthodes permettant de réaliser un bouclage de manière qu'une fonction de Liapounov, choisie à l'avance, garantisse la stabilité.


title: Stabilité de Liapounov

text: Les exemples qui suivent sont traités grâce aux théorèmes énoncés et démontrés dans la suite de cet article. Ces exemples ont pour rôle de motiver ces théorèmes et les définitions, parfois un peu techniques, qui sont également nécessaires. Les systèmes considérés ont des coefficients qui ne dépendent pas du temps (ils sont régis par des équations différentielles autonomes). Pour de tels systèmes, les notions délicates d'uniformité sont inutiles, ce qui simplifie considérablement les concepts.


title: Stabilité de Liapounov

text: Pour déterminer les points d'équilibre "réels", on écrit formula_10, d'où formula_11, ce qui équivaut à formula_12 : c'est l'unique point d'équilibre. Le but est de déterminer si ce point d'équilibre est stable "sans avoir à résoudre l'équation différentielle".


title: Stabilité de Liapounov

text: Soit alors la fonction formula_13 ; on peut l'assimiler à une énergie puisque cette fonction est strictement positive sauf au point d'équilibre formula_12 (on dit qu'elle est "définie positive") et elle est « globalement propre » (ou « radialement non bornée »), c'est-à-dire que formula_15 lorsque formula_16. Calculons maintenant la dérivée de cette fonction le long des trajectoires du système. Elle s'écrit formula_17 pour formula_9, soit donc formula_19. Par conséquent, formula_20 pour tout formula_21 (on dit par conséquent que la fonction formula_22 est définie positive, ou encore que formula_23 est définie négative). Cette énergie est donc toujours strictement décroissante. Le théorème de Liapounov, explicité plus bas, montre que cette énergie devra nécessairement s'annuler, c'est-à-dire que l'état "x" du système va nécessairement converger vers 0 quelle que soit la condition initiale. On dit que "V" est une fonction de Liapounov et que le point d'équilibre 0 est globalement asymptotiquement stable.


title: Stabilité de Liapounov

text: Envisageons maintenant un système plus compliqué, pour lequel la fonction de Liapounov ne sera pas aussi simple: soit le système


title: Stabilité de Liapounov

text: L'origine formula_12 est de nouveau un point d'équilibre. Soit cette fois formula_26. On peut écrire cette quantité sous la forme


title: Stabilité de Liapounov

text: Elle est donc définie positive (au sens précisé plus haut, et bien qu'il ne s'agisse pas d'une forme quadratique) et globalement propre, et peut de nouveau être considérée comme une énergie, dans un sens généralisé. Un calcul semblable au précédent donne


title: Stabilité de Liapounov

text: où formula_29 et formula_30 sont les quantités définies plus haut en fonction de formula_31 et formula_32. On vérifie que


title: Stabilité de Liapounov

text: et formula_23 est donc définie négative. Par le même raisonnement que dans le premier exemple, "V" est une fonction de Liapounov, et le théorème de Liapounov permet de conclure que le point d'équilibre formula_12 est globalement asymptotiquement stable.


title: Stabilité de Liapounov

text: avec formula_37. Étudions de nouveau la stabilité du point d'équilibre formula_12. Pour "x" voisin de 0, on peut considérer ce système comme « quasi linéaire » (voir "infra") et on peut l'approcher par le système linéaire (en négligeant les termes du second ordre)


title: Stabilité de Liapounov

text: soit encore formula_40 avec formula_41. On vérifie facilement que les valeurs propres de "A" sont formula_42. La condition nécessaire et suffisante de stabilité d'un système linéaire à coefficients constants (voir "infra") montre alors que 0 est asymptotiquement stable pour ce système linéaire, puisque ces valeurs propres appartiennent toutes deux au demi-plan gauche ouvert du plan complexe. Par conséquent, d'après le théorème de Perron, donné plus bas, l'origine est asymptotiquement stable pour le système non linéaire envisagé.


title: Stabilité de Liapounov

text: La question se pose maintenant de savoir si cette stabilité asymptotique est globale ou non. D'après le Critère de Liapounov (voir "infra"), il existe une unique solution symétrique réelle définie positive "P" à l'équation algébrique dite "de Liapounov"


title: Stabilité de Liapounov

text: En résolvant cette équation, on obtient en effet formula_44. Par conséquent, la fonction formula_45 est une fonction de Liapounov "pour l'approximation linéaire". Voyons maintenant ce qu'il en est pour le système non linéaire initial. On obtient


title: Stabilité de Liapounov

text: On a formula_64, c'est donc une fonction définie positive et globalement propre. Un calcul simple montre que formula_65. La fonction formula_22 est donc seulement "semi-définie positive", puisqu'elle s'annule sur la droite formula_67. Le théorème de Liapounov permet de conclure que l'origine est stable (c'est-à-dire que si la condition initiale est voisine de 0, l'état restera proche de 0), mais ne permet pas de conclure qu'elle est asymptotiquement stable. Mais si formula_67, alors formula_69, donc formula_70. De plus, formula_71, donc formula_32 ne peut rester nul que si formula_73. On exprime ceci en disant que le plus grand ensemble invariant inclus dans l'ensemble des "x" tels que formula_74 se réduit à l'origine. Le théorème de Krasovsky-LaSalle (voir "infra") permet alors de conclure que l'origine est globalement asymptotiquement stable.


title: Stabilité de Liapounov

text: On tente ci-dessous de retracer les grandes étapes de l'évolution de la théorie de la stabilité. Les contributions depuis plus d'un siècle sont innombrables et l'exposé qui suit n'est bien évidemment pas exhaustif.


title: Stabilité de Liapounov

text: C'est tout d'abord les systèmes mécaniques dont la stabilité a été étudiée. Soit un système conservatif (c'est-à-dire soumis à des forces qui dérivent toutes d'un potentiel) à "n" degrés de libertés et formula_84 le vecteur de ses coordonnées généralisées. Le mouvement vérifie l'équation de Lagrange


title: Stabilité de Liapounov

text: où formula_86, formula_87 étant l'énergie cinétique, supposée être une forme quadratique semi-définie positive en formula_88, et formula_89 étant l'énergie potentielle. L'équation de Lagrange s'écrit de manière équivalente


title: Stabilité de Liapounov

text: Les équilibres formula_91 sont donc solutions de formula_92. Joseph-Louis Lagrange, généralisant le principe de Evangelista Torricelli (1644) suivant lequel un corps pesant a tendance à aller vers la position d'équilibre où son centre de gravité est le plus bas, a énoncé en 1788 le principe suivant : si l'énergie potentielle formula_89 possède un minimum relatif strict (« condition de Lagrange »), l'équilibre en ce point est stable. La démonstration de Lagrange était toutefois incorrecte, sauf dans le cas où l'énergie potentielle est une forme quadratique. C'est Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet qui, le premier, a pu donner du principe de Lagrange une démonstration générale et rigoureuse en 1846. Il a montré que, si la condition de Lagrange est vérifiée au point formula_94, si le système est à l'équilibre en ce point, et si on l'en écarte suffisamment peu et suffisamment lentement, le vecteur "q" reste aussi proche que l'on veut de ce point : c'est ce qu'on appelle la "stabilité au sens de Lagrange-Dirichlet" (si Dirichlet avait supposé que l'énergie cinétique est une forme quadratique définie positive en formula_88, il aurait obtenu la stabilité au sens de Liapounov, à savoir que formula_88 également serait resté aussi proche que l'on veut de 0 ; cela sera détaillé plus loin, en application du théorème de stabilité de Liapounov).


title: Stabilité de Liapounov

text: Siméon Denis Poisson, quant à lui, a défini la stabilité d'un système comme étant la propriété suivante : tout mouvement de celui-ci retourne un nombre infini de fois dans un voisinage arbitrairement petit de son état initial. Poincaré, qui s'est durablement intéressé à la stabilité des orbites des planètes du système solaire, est allé plus loin : tout d'abord dans son fameux mémoire "Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique" (1889) ; puis, celui-ci comportant une erreur, dans ses "Méthodes Nouvelles de la mécanique céleste ", parues entre 1892 et 1899. Au cours de ces travaux, Poincaré a été amené à définir la "stabilité orbitale", encore appelée aujourd'hui "stabilité au sens de Poincaré". Il a ajouté à la définition de Poisson la condition que la « propriété de récurrence » des mouvements du système doit être satisfaite avec une probabilité égale à 1 ; il a appelé la propriété obtenue la "stabilité au sens de Poisson" et a établi ce qu'on appelle aujourd'hui le « théorème de récurrence de Poincaré ». Ces résultats, complétés en 1901 par ceux d'Ivar Bendixson (voir le théorème de Poincaré-Bendixson), conduiront George David Birkhoff à établir le « théorème de Poincaré-Birkhoff » (1912), à définir la notion d' (1927), dont il sera question plus loin, puis à démontrer son théorème ergodique (1931).


title: Stabilité de Liapounov

text: Joseph Liouville a appliqué le principe de Lagrange aux mouvements d'un fluide en rotation en 1842, puis en 1855. Ses résultats ont été peu convaincants, et le problème a intéressé Pafnouti Tchebychev en 1882 ; il l'a confié à Alexandre Liapounov dans le cadre de sa maîtrise.


title: Stabilité de Liapounov

text: Liapounov a tout d'abord repris la méthode de Liouville, puis s'est vivement intéressé à la démonstration de Dirichlet. Aux yeux de Liapounov, le point essentiel était que l'énergie totale formula_97 est une « fonction définie positive » en formula_98, qui reste constante tandis que système bouge. Cette énergie totale allait devenir en 1892, dans sa thèse de doctorat intitulée "Le problème général de la stabilité du mouvement", ce que nous appelons aujourd'hui une « Fonction de Liapounov ». Cette thèse est d'abord parue en russe, puis traduite en français en 1908, et en anglais pour son centenaire, en 1992. Dans ce travail, Liapounov, influencé d'autre part par les travaux d'Edward Routh avec son "Treatise on the Stability of a Given State of Motion" (1877), de William Thomson (Lord Kelvin) et Peter Guthrie Tait avec leur "Treatise of Natural Philosophy" (1879), de Nikolaï Iegorovitch Joukovski qui avait fait sa thèse sur la stabilité du mouvement en 1882, et de Poincaré avec son mémoire de 1889 déjà mentionné, a également introduit les notions de stabilité (au sens que nous appelons aujourd'hui « de Liapounov ») et de stabilité asymptotique. Liapounov a d'autre part étudié la stabilité de l'origine pour les systèmes « quasi linéaires »


title: Stabilité de Liapounov

text: et est parvenu à la conclusion que, lorsque la matrice "A" est constante, et que 0 est asymptotiquement stable pour ce système lorsqu'il est linéaire (formula_100), alors il est également stable pour le système non linéaire lorsque formula_101 pour formula_102. Durant les années qui ont suivi, Liapounov a continué d'étudier la stabilité de ces systèmes quasi linéaires dans le cas où la matrice constante "A" du système linéaire a ses valeurs propres sur l'axe imaginaire. Ces travaux ont été retrouvés dans les papiers de Liapounov et publiés une dizaine d'années après qu'il se fut donné la mort en 1918.


title: Stabilité de Liapounov

text: La stabilité dans le cas des systèmes linéaires à coefficients constants (stabilité asymptotique ou, de manière équivalente, exponentielle) a fait l'objet de critères algébriques. Un premier résultat a été obtenu par le mathématicien français Charles Hermite en 1856. Liapounov a lui-même établi deux critères en 1892, dans sa célèbre thèse de doctorat déjà mentionnée: celui qu'il est convenu d'appeler le « critère de Liapounov », détaillé plus bas, et un autre, s'appliquant spécifiquement au cas d'une seule équation différentielle scalaire. Mais dans ce cas, c'est le mathématicien anglais Edward Routh qui a franchi le pas décisif en 1875, en proposant son fameux critère. Celui-ci a été établi sous une forme différente, et de manière indépendante, par Adolf Hurwitz en 1895, à partir du travail d'Hermite. Il en est résulté le critère appelé depuis « de Routh-Hurwitz ». Celui-ci a été amélioré par les mathématiciens français Liénard et Chipart en 1914 (pour tous ces résultats, voir l'article Polynôme de Hurwitz).


title: Stabilité de Liapounov

text: La question s'est ensuite posée de la stabilité de 0 pour le système quasi linéaire ci-dessus lorsque cette fois, la matrice "A" dépend du temps : formula_103. Le résultat obtenu par Liapounov a tout d'abord paru généralisable tel quel à ce cas. Mais Oskar Perron en a exhibé en 1930 un exemple de système quasi linéaire pour lequel 0 est asymptotiquement stable lorsque formula_100, et est instable avec formula_105 vérifiant la condition indiquée.


title: Stabilité de Liapounov

text: Les progrès de l'analyse, grâce notamment aux travaux de Maurice René Fréchet, ont alors permis à Ioėlʹ Guilievitch Malkine d'affiner les définitions de Liapounov et d'introduire la notion de stabilité uniforme dans les années 1940. Konstantin Petrovitch Persidski, dans son article (1946) a établi pour le système quasi linéaire ci-dessus, que si 0 est uniformément asymptotiquement stable lorsque formula_100, 0 est encore uniformément asymptotiquement stable lorsque formula_105 vérifie la condition indiquée.


title: Stabilité de Liapounov

text: Il n'était pas suffisant de définir clairement la stabilité uniforme ; il convenait d'étudier de plus près la stabilité asymptotique. La notion de stabilité exponentielle a été introduite par Malkine en 1935.


title: Stabilité de Liapounov

text: R. E. Vinograd a montré sur un exemple, en 1957, que l'attractivité d'un point d'équilibre n'entraîne pas sa stabilité asymptotique, même pour un système autonome. En revanche, A. Lewis a montré en 2017 que pour un système linéaire non autonome, l'attractivité de l'origine entraîne sa stabilité asymptotique, et que l'attractivité uniforme de l'origine entraîne sa stabilité asymptotique uniforme.


title: Stabilité de Liapounov

text: Nikolaï Tchetaïev a énoncé en 1934 un important critère d'instabilité de l'origine, généralisant un autre critère obtenu par Liapounov en 1892 (le théorème de Tchetaïev a lui-même été généralisé par plusieurs auteurs, dont José Luis Massera en 1956 et en 1968). Les livres de Malkine ("Theory of Stability of Motion", 1952), Nikolaï N. Krasovskii ("Stability of Motion", 1959) et l'article de Massera déjà mentionné, ont contribué à donner à ces résultats leur forme définitive. Une addition importante est celle faite par Evgeny Alekseïevitch Barbachine et Krasvossky en 1952 en Russie, et indépendamment par Joseph P. LaSalle en 1960 aux États-Unis, du « de Krasovsky-LaSalle ». Ce principe a tout d'abord été obtenu pour les systèmes autonomes ; sa généralisation au cas des systèmes non autonomes, qui est non triviale, a été réalisée par Jack K. Hale et LaSalle en 1967.


title: Stabilité de Liapounov

text: La méthode des fonctions de Liapounov a été étendue sans grande difficulté au cas des systèmes à temps discret grâce aux contributions de Ta Li (qui a donné en 1934 un exemple correspondant, pour le cas des systèmes à temps discret, à celui de Perron) et (1958) notamment. Rudolf Kalman et J. E. Bertram ont fait une synthèse d'une partie de ces résultats en 1960 dans un article qui est resté classique.


title: Stabilité de Liapounov

text: L'approche inaugurée par Liapounov pour les systèmes définis par une équation différentielle a été étendue au cas des systèmes définis par une équation différentielle retardée vers la fin des années 1950 et le début des années 1960 par Krasvosky et Boris Sergueïevitch Razoumikhine ; le principe d'invariance de Krasovsky-LaSalle a été étendu à ces systèmes par Hale en 1965, et on doit à cet auteur une synthèse, plusieurs fois rééditée et à chaque fois augmentée, de l'ensemble de ces résultats.


title: Stabilité de Liapounov

text: La théorie qualitative des équations différentielles, initiée par Poincaré et Birkhoff, a continué d'être développée par Viktor Vladimirovich Nemytskii et V. V. Stepanov dans leur livre "Qualitative Theory of Differential Equations", paru en 1947 ; ce travail, complété par celui de Nemytsky en 1949, a conduit Walter Gottschalk et Gustav A. Hedlund en 1955, Solomon Lefschetz en 1958, Vladimir Ivanovitch Zoubov en 1961 (voir la ), J. Auslander et P. Seibert en 1964, A. Strauss et (de manière indépendante) Nam Parshad Bhatia en 1966, à considérer un système dynamique comme étant défini par un semi-groupe (un système défini par une équation différentielle en étant un cas particulier), et à étudier la stabilité (ou la stabilité asymptotique) d'un ensemble compact pour un tel système au moyen d'une « fonction de Liapounov généralisée », continue mais non différentiable.


title: Stabilité de Liapounov

text: Pour établir certains résultats d'attractivité, un lemme classique est parfois utile : le lemme de Barbalat.


title: Stabilité de Liapounov

text: Les théorèmes de Liapounov et ses compléments divers disent essentiellement que si, pour un point d'équilibre donné, par exemple l'origine, on peut trouver une fonction de Liapounov, alors ce point d'équilibre est stable (ou asymptotiquement stable, uniformément asymptotiquement stable, etc., suivant la nature exacte de cette fonction de Liapounov). La réciproque a également été étudiée. K. P. Persidsky a montré en 1933 que, si 0 est un point d'équilibre stable d'un système non linéaire, il existe une fonction de Liapounov dont la dérivée le long du champ de vecteurs de l'équation est semi-définie négative. Malkine a démontré en 1954 que, si 0 est un point d’équilibre uniformément asymptotiquement stable, il existe une fonction de Liapounov dont cette même dérivée est définie négative. Ces résultats, et quelques autres, ont été rassemblés en 1962 par Massera (à qui on doit le « », qui joue un rôle important pour ces questions) dans un article. L'exposé systématique de tous ces travaux a été réalisé par Hahn en 1967 et (dans une perspective un peu différente) par Bhatia et Giorgio P. Szegö en 1970, dans des livres qui font encore autorité.


title: Stabilité de Liapounov

text: Poincaré, au volume III de son mémoire "Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste", avait découvert les orbites homoclines et hétéroclines (voir "infra"), au voisinage desquelles se manifeste une dépendance sensitive des conditions initiales (dans la terminologie actuelle). Balthasar van der Pol avec son oscillateur en 1928, puis Aleksandr Andronov et Lev Pontriaguine en 1937, ont développé les idées de Poincaré sur la stabilité orbitale jusqu'à parvenir à la notion de "stabilité structurelle" d'un système. Andronov et Pontriaguine ont appelé « système grossier » un système structurellement stable, et démontré ce qu'on appelle aujourd'hui le « ». Ces résultats ont été généralisés par en 1959, puis par Vladimir Arnold, Dmitri Anossov, Yakov G. Sinai, Stephen Smale et René Thom notamment, dans les années 1960. Ces travaux ont conduit à la théorie du chaos qui s'est développée dans les années 1970.


title: Stabilité de Liapounov

text: Les fonctions de Liapounov ont été utilisées pour étudier la stabilité des systèmes bouclés par M. A. Aizerman (1947) (dont la conjecture s'est révélée fausse mais a été à l'origine de nombreux travaux sur la ), A. Lur'e (1957), V. N. Postnikov et Aleksandr Mikhailovitch Letov (1961) ; (théorie de l'hyperstabilité et critère de Popov, 1961-1962), Rudolf Kalman (1963) et (1964 : ). Alors que les résultats de Liapounov sur la stabilité de 0 pour un système « presque linéaire » incitaient à rechercher assez systématiquement des fonctions de Liapounov quadratiques, ces travaux ont montré qu'il fallait dans de nombreux cas envisager une classe de fonctions de Liapounov beaucoup plus large, en l'occurrence comprenant un terme quadratique et un terme dépendant du temps, sous forme d'une intégrale fonction de sa borne supérieure. Par ailleurs, Kalman a montré en 1960 que pour un système linéaire stationnaire, la théorie de commande optimale pouvait fournir des fonctions de Liapounov. La théorie de la passivité ou de la dissipativité, d'abord apparue dans le cadre des circuits électriques, puis placée dans un cadre général à partir du milieu des années 1960, peut également être établie grâce l'emploi de fonctions de Liapounov. Bruce A. Francis et W. M. Wonham ont introduit en 1975 la notion de « synthèse structurellement stable », c'est-à-dire un asservissement qui confère au système bouclé une stabilité structurelle en présence de perturbations dont la dynamique est connue. Avec le passage du qualitatif au quantitatif, dans les années qui ont suivi, est née la problématique de la commande robuste, dont une des approches, datant du milieu des années 1990, est la recherche d'une fonction de Liapounov quadratique optimale au moyen d'un algorithme d'optimisation convexe, sur la base d'inégalités matricielles linéaires. Le mathématicien russe V. L. Kharitonov a montré en 1978 que pour étudier la stabilité d'un système régi par une équation différentielle scalaire à coefficients constants mais incertains et compris entre des bornes données, il est suffisant de tester si quatre polynômes seulement (les polynômes que l'on appelle maintenant « de Kharitonov ») sont de Hurwitz (voir l'article ) ; le résultat de Kharitonov n'a été connu en Occident qu'en 1988. Vers le milieu des années 1990 est apparue, sous l'impulsion d'Eduardo Sontag, une méthode de conception de régulateurs pour des systèmes non linéaires, fondée sur la notion de (« input-to-state stability ») et l'utilisation d'une fonction de Liapounov.


title: Stabilité de Liapounov

text: Ainsi qu'il ressort de l'historique ci-dessus, il existe de nombreux types de stabilité : au sens de Lagrange-Dirichlet, Joukovski, Poisson, Poincaré, Liapounov, etc. Nous envisagerons ci-dessous les plus importants. Puis nous donnerons les principaux théorèmes de stabilité et d'instabilité. On est amené à distinguer le cas d'un système autonome (c'est-à-dire dont les coefficients ne dépendent pas explicitement de la variable "t", qu'on peut considérer comme désignant le temps) et le cas d'un système non autonome. Dans ce dernier cas apparaît la notion délicate d'uniformité, qui rend les définitions (et les résultats) beaucoup plus complexes. Il est donc vivement conseillé de se contenter, dans une première lecture, de ne considérer que le cas des systèmes autonomes.


title: Stabilité de Liapounov

text: où formula_109 est une application supposée localement lipschitzienne sur l'ouvert formula_110 contenant l'origine formula_12. On suppose que 0 est un point d'équilibre du système, c'est-à-dire que formula_112. Soit formula_113 l'unique solution maximale de l'équation différentielle (A), vérifiant la condition initiale formula_114.


title: Stabilité de Liapounov

text: Les définitions qui suivent seraient incompréhensibles sans l'emploi de quantificateurs (et n'ont pu être rendues précises que grâce à cet emploi).


title: Stabilité de Liapounov

text: où formula_145 est localement lipschitzienne par rapport à la première variable sur l'ouvert formula_110, et où formula_147.


title: Stabilité de Liapounov

text: Pour un tel système, on distingue la "stabilité uniforme" de la "stabilité", la "stabilité asymptotique uniforme" de la "stabilité asymptotique", etc., alors que pour un système autonome, ces notions coïncident.


title: Stabilité de Liapounov

text: Soit formula_148 un point d'équilibre du système, c'est-à-dire vérifiant formula_149. Soit formula_150 et formula_151 l'unique solution maximale de l'équation différentielle (E) vérifiant la condition initiale formula_51.


title: Stabilité de Liapounov

text: On précise parfois que la stabilité exponentielle, telle que définie ci-dessus, est uniforme, par opposition à une stabilité exponentielle non uniforme qui serait une condition moins stricte.


title: Stabilité de Liapounov

text: Soit formula_177 un mouvement du système (E), c'est-à-dire une solution maximale de l'équation différentielle (E) sur formula_178. En remplaçant dans ce qui précède formula_1 par formula_180, on définira comme ci-dessus un mouvement stable, attractif, asymptotiquement stable, etc.


title: Stabilité de Liapounov

text: Soit "M" un sous-ensemble de "D". Cet ensemble est dit positivement invariant si pour tout mouvement formula_177 tel que formula_182 pour un instant formula_183, on a formula_184. On peut de même définir un ensemble positivement invariant stable, attractif, asymptotiquement stable, etc., en remplaçant ci-dessus formula_185 par formula_186 où formula_187 (le plus souvent, "M" est compact, et dans ce cas on peut remplacer formula_188 par formula_189).


title: Stabilité de Liapounov

text: Les ensembles formula_195 et formula_196 sont connexes (en tant qu'images d'un ensemble connexe par une application continue).


title: Stabilité de Liapounov

text: Il est clair qu'une semi-orbite positive est un ensemble positivement invariant. On peut donc parler d'une semi-orbite positive stable, asymptotiquement stable, etc. On dit parfois d'un mouvement dont la semi-orbite positive est stable (resp. asymptotiquement stable, ...) qu'il est orbitalement stable (resp. orbitalement asymptotiquement stable, ...). La stabilité orbitale est également appelée stabilité au sens de Poincaré. C'est une notion plus faible que la stabilité au sens de Liapounov.


title: Stabilité de Liapounov

text: La notion de stabilité structurelle est liée à la stabilité au sens de Poincaré. L'équation d'un système est toujours connue avec une certaine imprécision. Le système est dit "structurellement stable" si cette imprécision, à condition qu'elle soit suffisamment faible, n'entraîne pas une trop grande variation de ses orbites. Par exemple, un oscillateur pur (sans frottement) a des orbites circulaires. Dès qu'on rajoute un frottement visqueux, aussi faible soit-il, ces orbites deviennent des spirales tendant vers l'origine : l'oscillateur pur n'est donc pas structurellement stable, contrairement à l'oscillateur avec frottement visqueux.


title: Stabilité de Liapounov

text: Au plan mathématique, soit le système défini par l'équation différentielle (A) où "f" est de classe formula_197. Le champ de vecteurs "f" étant impossible à connaître exactement, on peut supposer qu'on en connaît une approximation "g", ce second de champ de vecteurs, lui aussi de classe formula_197, étant « proche » de "f". On conviendra que sera le cas si la quantité formula_199 est suffisamment petite, où formula_200 est la norme définie sur l'espace des (germes de) champs de vecteurs continûment différentiables sur un voisinage ouvert de formula_201, formula_202 étant un ouvert connexe et formula_203 son adhérence, supposée compacte, par


title: Stabilité de Liapounov

text: où formula_205 est la différentielle de "X" au point "x". Soit formula_206 un homéomorphisme. On dit que "h" est un formula_207-homéomorphisme si formula_208.


title: Stabilité de Liapounov

text: Par abus de langage, on appellera orbites de "f" les orbites du système (A), et on parlera de même des orbites de "g".


title: Stabilité de Liapounov

text: La problématique de la robustesse d'un système ressemble celle de la stabilité structurelle : un système est robuste si son comportement est peu sensible aux erreurs de modèle. Ce n'est pas ici le lieu de développer cette notion très importante. Disons simplement que, dans la théorie de la robustesse, le modèle du système peut être sujet à des erreurs plus grandes que dans celle de la stabilité structurelle. Ces erreurs comportent en général des dynamiques négligées. La notion de robustesse ne s'applique raisonnablement qu'à un système bouclé.


title: Stabilité de Liapounov

text: Considérons un système autonome (pour simplifier la présentation). Le point d'équilibre formula_1 de ce système est instable s'il n'est pas stable, autrement dit


title: Stabilité de Liapounov

text: La dépendance sensitive des conditions initiales du flot formula_212 est une condition légèrement différente. L'instant initial est fixé et égal à formula_160. Soit formula_214 un sous-ensemble compact et invariant de "D". Le flot "g" est dit "dépendant de manière sensitive des conditions initiales" sur formula_214 si :


title: Stabilité de Liapounov

text: Supposons que formula_221. Soit formula_222 tel que la fonction formula_223 est définie sur formula_224, et soit formula_225 l'orbite de "x". Supposons qu'il existe deux points d'équilibre "a" et "b" tels que formula_226 et formula_227. Cette orbite est dite "homocline" si formula_228 et "hétérocline" sinon.


title: Stabilité de Liapounov

text: Soit formula_229 un ensemble positivement invariant fermé. Cet ensemble est dit topologiquement transitif si pour tous ouverts "U" et "V" inclus dans formula_214, il existe un instant formula_231 (dépendant de "U" et "V") tel que formula_232. Cela signifie donc intuitivement que tout point de formula_214 devient arbitrairement proche de n'importe quel autre point de cet ensemble sous l'effet du flot.


title: Stabilité de Liapounov

text: Soit formula_229 un ensemble "compact" et positivement invariant. Cet ensemble est dit chaotique si le flot "g" dépend de manière sensitive des conditions initiales sur formula_214 et cet ensemble est topologiquement transitif.


title: Stabilité de Liapounov

text: Montrons tout d'abord que l'étude de la stabilité d'un mouvement se ramène à celle de la stabilité d'un point d'équilibre.


title: Stabilité de Liapounov

text: Considérons le système défini par l'équation différentielle non linéaire (E). Soit formula_236 un mouvement de ce système. Par définition, formula_177 est une solution de (E), par conséquent formula_238. En posant formula_239, on obtient donc


title: Stabilité de Liapounov

text: où formula_241. L'étude de la stabilité du mouvement formula_177 est donc ramené à celle du point d'équilibre 0 pour cette nouvelle équation différentielle ; on a formula_243.


title: Stabilité de Liapounov

text: Dans ce qui suit, on considère le système défini par (E), où formula_244 pour tout formula_245, et on étudie la stabilité (ou l'instabilité) du point d'équilibre 0. On envisage également brièvement le cas où l'on s'intéresse à la stabilité (ou l'instabilité) d'un ensemble positivement invariant compact "M".


title: Stabilité de Liapounov

text: En supposant formula_250 continue, formula_251 tend vers 0 lorsque "y" tendant vers 0. Si cette limite est uniforme par rapport à "t" pour, on dit que le système considéré est "quasi linéaire". Par définition, en effet, le système (QL) est quasi linéaire si


title: Stabilité de Liapounov

text: Par exemple, supposons l'orbite formula_253 compacte et "f" ne dépendant pas explicitement de "t". Posons formula_254 et formula_255 où formula_256. Alors, d'après un théorème classique d'analyse, pour tout formula_257, il existe formula_258 tel que formula_259 entraîne formula_260. Le système (QL) est donc quasi linéaire.


title: Stabilité de Liapounov

text: Il est nécessaire de donner tout d'abord quelques définitions concernant les fonctions qui vont fournir des généralisations de la notion d'énergie. On peut supposer sans perte de généralité, moyennant une translation dans formula_261, que le point d'équilibre auquel on s'intéresse est formula_262, "D" étant donc un voisinage ouvert de 0.


title: Stabilité de Liapounov

text: Le plus souvent, l'« énergie généralisée » est une fonction de "x" uniquement. Soit formula_263 une fonction continue telle que formula_264. Elle est dite définie positive (resp. semi-définie positive) si formula_82 (resp. formula_266) pour formula_267. On définit de même une fonction définie négative et semi-définie négative.


title: Stabilité de Liapounov

text: Dans certains cas, néanmoins, il s'avère nécessaire de considérer une fonction de "x" et de "t". Soit formula_268 une fonction continue telle que pour tout formula_245, formula_270. Elle est dite définie positive s'il existe une fonction définie positive formula_271 (au sens déjà précisé) telle que formula_272. Elle est dite semi-définie positive si formula_273. On définit de même une fonction définie négative et semi-définie négative.


title: Stabilité de Liapounov

text: On appelle fonction de classe formula_274 une fonction continue strictement croissante formula_275 telle que formula_276. On montre qu'une fonction continue formula_268 est définie positive si, et seulement s'il existe une fonction formula_278 de classe formula_274 telle que formula_280.


title: Stabilité de Liapounov

text: Si la fonction "V" ne dépend que de "x", elle est dite propre s'il existe un réel formula_257 tel que l'ensemble


title: Stabilité de Liapounov

text: est compact ; elle est dite globalement propre (ou "radialement non bornée", ou "uniformément non bornée") si formula_128 et formula_284 est compact pour tout formula_257. On montre qu'une fonction définie positive formula_286 est propre. Une fonction formula_287 est dite globalement propre s'il existe une fonction globalement propre formula_288 (au sens qui vient d'être défini) telle que formula_289.


title: Stabilité de Liapounov

text: Enfin, une fonction formula_268 est dite une fonction de Liapounov pour (E) si elle permet de façon générale de tester la stabilité ou l'instabilité de son point d'équilibre 0.


title: Stabilité de Liapounov

text: Supposons "V" continûment différentiable, et soit formula_291 sa différentielle au point formula_292. A l'équation différentielle (E) il convient d'adjoindre l'équation formula_293 où formula_294. La "dérivée de Lie" de "V" suivant le champ de vecteurs formula_295 au point formula_296 est la quantité


title: Stabilité de Liapounov

text: Si formula_299 est un mouvement du système, c'est-à-dire une solution de son équation différentielle, et si l'on pose formula_300 et formula_301, les deux membres des deux expressions ci-dessus deviennent formula_302. Néanmoins, on se gardera de croire que "v" soit une fonction de Liapounov. Des abus d'écriture malencontreux conduisent parfois à cette conception erronée. Les démonstrations données plus bas devraient éclaircir ce point.


title: Stabilité de Liapounov

text: \left( 0,\varepsilon \right) =\left\{ x\in \mathbb{R}^{n}:\left\Vert x\right\Vert \leq \varepsilon \right\}</math>, soit incluse dans "D", et formula_303 la sphère de centre 0 et de rayon formula_207, i.e. formula_305. Puisque formula_306 est un ensemble compact et que "V" est continue, "V" admet un minimum formula_307 sur cet ensemble ; on a alors formula_308. D'autre part, "V" étant continue, il existe formula_309 tel que formula_310. Soit formula_311 la boule ouverte de centre 0 et de rayon formula_207, et soit formula_313. Puisque la fonction formula_314 est décroissante, on a donc formula_315 pour tout formula_52 tel que formula_317 est défini. Par conséquent formula_318 pour toutes ces valeurs de "t". Par suite, formula_317 ne peut pas tendre vers la frontière de "D" et est donc prolongeable sur formula_320, ce qui montre la stabilité de 0.


title: Stabilité de Liapounov

text: Pour le théorème ci-dessous, on supposera que le système considéré est autonome, donc défini par l'équation différentielle (A) (il existe diverses généralisations, non triviales, de ce théorème au cas des systèmes non autonomes ; elles sont apparentées des résultats dus à V.M. Matrosov).


title: Stabilité de Liapounov

text: On obtient la condition suffisante d'attractivité de 0 du théorème ci-dessous (et donc de stabilité asymptotique de 0 puisque sa stabilité résulte alors du théorème de Liapounov démontré plus haut) pour un système autonome (A) en appliquant le Principe d'invariance de Krasovsky-LaSalle avec formula_332.


title: Stabilité de Liapounov

text: Remarque: Ce théorème peut se démontrer directement pour le système non autonome (E) ; une condition suffisante de stabilité asymptotique de 0 s'obtient alors avec une fonction de Liapounov continûment différentiable formula_333 telle que formula_23 est définie négative. Cette stabilité asymptotique est uniforme si formula_335 uniformément par rapport à "t" quand formula_336, et elle est globale si "V" est globalement propre. Pour la réciproque, on obtient une fonction de Liapounov formula_333 pour (E) non autonome mais 0 "uniformément" asymptotiquement stable (Massera, 1956) ; l'importance de l'uniformité a été reconnue par Malkine (1954). Si les coefficients de (E) sont périodiques, ceux de formula_338 le sont également.


title: Stabilité de Liapounov

text: Puisque "f" est localement lipschitzienne, il existe formula_341 tel que formula_342 pour formula_343, formula_344 ;


title: Stabilité de Liapounov

text: quitte à redéfinir "r" et à le rendre suffisamment petit pour que formula_345, ce qui implique alors formula_346 pour formula_347, on obtient donc


title: Stabilité de Liapounov

text: La solution formula_353 du système autonome (A) vérifiant la condition initiale formula_354 a les propriétés suivantes (l'instant initial formula_160 étant supposé nul, ce qui n'induit pas de perte de généralité dans le cas d'un système autonome, cette quantité est omise dans les arguments de formula_356) :


title: Stabilité de Liapounov

text: Si l'on suppose que ces quantités sont définies pour tous formula_359, on exprime ces propriétés en disant que le flot


title: Stabilité de Liapounov

text: définit le "semi-groupe" de difféomorphismes formula_361 (puisque chaque formula_362 est un difféomorphisme et que formula_363 pour tous formula_359 ; il s'agit d'un "groupe" si les quantités ci-dessus sont également définies pour tous formula_365, mais cette hypothèse est inutile pour ce qui suit).


title: Stabilité de Liapounov

text: Au lieu de se donner le système par l'équation différentielle autonome (A), on peut le faire, plus généralement, par le flot formula_366 (formula_367) en supposant simplement formula_356 continue (et non plus continûment différentiable) ; le semi-groupe formula_366 est alors dit continu.


title: Stabilité de Liapounov

text: Il s'agit bien d'une généralisation, car si formula_356 est continûment différentiable, on caractérise le semi-groupe formula_366 par son « générateur infinitésimal » formula_372 défini par


title: Stabilité de Liapounov

text: par conséquent l'opérateur "A" est la fonction "f", ou encore l'« opérateur » (en général non linéaire) formula_374. On est donc effectivement ramené à la formulation où le système est donné par l'équation différentielle autonome (A).


title: Stabilité de Liapounov

text: On étend alors le principe d'invariance de Krasovsky-LaSalle à ce cas avec une fonction formula_375 continue (et non plus continûment différentiable) en remplaçant la condition formula_376 par la condition : la fonction formula_377 est décroissante, formula_378 (la démonstration restant par ailleurs inchangée).


title: Stabilité de Liapounov

text: Soit alors formula_379 un ensemble compact positivement invariant. On déduit comme plus haut de ce principe de Krasovsky-LaSalle « généralisé » la condition suffisante du théorème ci-dessous (la démonstration de la condition nécessaire étant nettement plus complexe) :


title: Stabilité de Liapounov

text: Si le système est défini par l'équation différentielle autonome (A), avec "f" localement lipschitzienne, donc continue, et "V" est continûment différentiable, on voit facilement que la condition (C2) est satisfaite si, et seulement si formula_60 pour formula_381.


title: Stabilité de Liapounov

text: Considérons, comme dans l'historique, un système mécanique holonome à "n" degrés de liberté, à liaisons scléronomes. Soit formula_382 le vecteur de ses coordonnées généralisées. On suppose que


title: Stabilité de Liapounov

text: (c'est le cas des forces de frottement visqueux). On a le résultat suivant qui, comme on va le voir, se démontre grâce au théorème de stabilité de Liapounov et au Principe d'invariance de Krasvossky-LaSalle :


title: Stabilité de Liapounov

text: et on obtient donc d'après (F) formula_392. Par conséquent, d'après le théorème de Liapounov, l'origine est stable. Si de plus le membre de gauche de (F) ne s'annule qu'en formula_94, l'égalité formula_394 implique formula_395, et l'ensemble "E" du Principe d'invariance de LaSalle est donc : formula_396. De plus, on a nécessairement formula_397 pour formula_94 car il existerait sinon des points infiniment voisins de l'origine pour lesquels on aurait formula_399, contrairement à l'hypothèse (c). L'équation de Lagrange s'écrit encore


title: Stabilité de Liapounov

text: Considérons de nouveau le système (E). Le théorème d'instabilité qu'on peut considérer comme étant le plus important (même s'il n'est pas le plus général), car le plus facilement utilisable en pratique, est le suivant :


title: Stabilité de Liapounov

text: Considérons de nouveau un système holonome en supposant que U(q) admet un "maximum" relatif strict en formula_94. Plus précisément, en posant formula_409, supposons que l'énergie cinétique et l'énergie potentielle s'écrivent respectivement formula_410 et formula_411 où les fonctions formula_412 et formula_413 sont continûment différentiables et les matrices formula_414 et formula_415 sont définies positives. Supposons également que les forces qui ne dérivent pas du potentiel s'écrivent formula_416 où formula_417 est continûment différentiable. On obtient le résultat suivant à l'aide du théorème de Chetaev :


title: Stabilité de Liapounov

text: Ce résultat montre par exemple qu'un pendule inversé est, en présence d'un frottement visqueux suffisamment faible, en équilibre instable à la verticale.


title: Stabilité de Liapounov

text: où la fonction formula_419 est localement intégrable et bornée. Étudions le point d'équilibre 0 de (L).


title: Stabilité de Liapounov

text: Seul le fait que (ii) entraîne (iii) n'est pas trivial, et ce résultat est dû à Hahn (1966). D'autre part, si la matrice "A" est constante, la stabilité de 0 équivaut à sa stabilité uniforme, sa stabilité asymptotique équivaut à sa stabilité asymptotique uniforme, et toutes ces conditions équivalent à (voir Stabilité d'une représentation d'état)


title: Stabilité de Liapounov

text: On dit parfois qu'une matrice "A" vérifiant la condition (v) est une « matrice de stabilité » ; c'est par erreur que certains auteurs parlent de « matrice de Hurwitz » : le polynôme caractéristique d'une matrice de stabilité est un polynôme de Hurwitz.


title: Stabilité de Liapounov

text: D'autre part, le point d'équilibre 0 est stable (au sens de Liapounov) si, et seulement si les valeurs propres de "A" sont toutes situées dans le demi-plan gauche fermé (c'est-à-dire ont toutes une partie réelle négative ou nulle), celles situées sur l'axe imaginaire (s'il en existe) étant simples (c'est-à-dire d'ordre 1) (voir de nouveau Stabilité d'une représentation d'état).


title: Stabilité de Liapounov

text: Intégrons cette expression entre 0 et formula_423 (en supposant que formula_424) ; l'intégrale converge et on obtient


title: Stabilité de Liapounov

text: Ceci démontre le résultat que si formula_430 (respectivement formula_431) alors formula_432 (respectivement formula_433).


title: Stabilité de Liapounov

text: où "A" est comme ci-dessus et formula_440 est fonction localement lipschitzienne au voisinage de formula_12, telle que formula_442, et qu'on peut considérer comme une « petite perturbation » du système (L). Le système (QL) est supposé quasi linéaire à savoir que pour formula_102, formula_444 dans le sens où


title: Stabilité de Liapounov

text: Ce théorème a été étendu par Hahn au cas des systèmes à temps discret. En revanche, dans le cas où la matrice formula_446 n'est pas constante, la stabilité asymptotique (non uniforme) de 0 pour (L) n'entraîne pas, sous les hypothèses considérées, la stabilité de 0 pour (QL) en général (exemple de Perron).


title: Vanessa A. Williams

text: Elle se fait connaître en jouant dans le film à succès "Candyman" (1992), puis, par les rôles de Rhonda Blair dans "Melrose Place" (1992-1993), Lila dans "Murder One" (1995-1996), Maxine Chadway dans "" (2000-2004) et Valerie Grant dans "Des jours et des vies" (2016-2019).


title: Vanessa A. Williams

text: Elle est souvent confondue avec l'actrice Vanessa Lynn Williams, elle aussi née à New York en 1963, qui est le plus souvent créditée en tant que Vanessa Williams.


title: Vanessa A. Williams

text: Née et élevée à Brooklyn dans le quartier de Bedford-Stuyvesant, elle devient membre de la chorale des enfants de l'opéra de New York à l'âge de 11 ans. Elle signe avec un agent artistique et effectue son premier casting pour une publicité de la marque Frito-Lay.


title: Vanessa A. Williams

text: Après avoir obtenu son diplôme de la célèbre High School of Performing Arts de New York, elle décroche son baccalauréat théâtre et affaires du Marymount Manhattan College.


title: Vanessa A. Williams

text: En 1989, c'est par le biais de ses connaissances qu'elle décroche un petit rôle dans "Cosby Show". Elle apparaîtra dans quatre épisodes, jouant deux personnages différents. Parallèlement, elle joue dans quelques productions de Broadway, puis, elle joue dans son premier film pour "New Jack City". Réalisé par Mario Van Peebles, il s'agit d'un thriller sorti en 1991, dans lequel elle donne la réplique à Wesley Snipes.


title: Vanessa A. Williams

text: À la suite de cela, elle s'installe à Los Angeles et elle obtient, un mois plus tard, le rôle qui la révèle auprès du grand public dans le film d'horreur "Candyman" de Bernard Rose. Cette production est inspirée de la nouvelle "The Forbidden" écrite par l'auteur et réalisateur britannique Clive Barker. Il s'agit du premier film de la franchise du même nom. Le film a soulevé une certaine controverse à sa sortie car certains observateurs, notamment le réalisateur Carl Franklin, l'ont accusé de se servir de stéréotypes racistes. Considéré désormais comme un classique de l'horreur des années 1990, le film est vu comme une métaphore des difficultés d'intégration de la minorité afro-américaine.


title: Vanessa A. Williams

text: Dans le même temps, elle se fait remarquer à la télévision, en intégrant la distribution principale de "Melrose Place" afin d'incarner Rhonda Blair. Il s'agit d'une série dérivée de "Beverly Hills 90210". Premier et unique personnage afro-américain régulier de la série, son contrat n'est cependant pas renouvelé pour la seconde saison. La série connaît ensuite un large succès auprès du public.


title: Vanessa A. Williams

text: Après cette déception professionnelle, elle déménage en Espagne afin d'animer une émission de variétés ("Grand Fiesta"). De retour en Amérique, elle obtient un des premiers rôles de la série télévisée dramatique "Murder One", qui lui permet de recevoir sa première nomination pour un NAACP Image Awards. Puis, elle joue face à Lisa Kudrow dans la comédie "Mother" d'Albert Brooks, elle est l'héroïne du téléfilm dramatique A "Woman of Color" et elle apparaît dans quelques épisodes de la troisième saison de "".


title: Vanessa A. Williams

text: Elle enchaîne les apparitions isolées dans diverses séries télévisées avant de revenir, au premier plan, dans aux côtés de Nicole Ari Parker, Malinda Williams, Boris Kodjoe et Rockmond Dunbar. Il s'agit d'une adaptation télévisuelle du film homonyme de 1997. Diffusée sur Showtime, la série l'installe sur le petit écran, elle dure cinq saisons et lui permet de remporter le NAACP Image Awards de la meilleure actrice dans une série télévisée dramatique. Entre-temps, elle reçoit aussi une nomination pour un Daytime Emmy Awards grâce à sa participation au téléfilm "Our America" réalisé par Ernest R. Dickerson, où elle donne la réplique à Josh Charles et Mykelti Williamson.


title: Vanessa A. Williams

text: Entre 2015 et 2017, elle joue dans la série fantastique "Flash", dans laquelle elle incarne la mère d'Iris West-Allen.


title: Vanessa A. Williams

text: En 2021, son retour en tant qu'Anne-Marie McCoy est confirmé pour l'attendu "Candyman". Il s'agit d'une suite-remake du film de 1992, dont le rôle principal est tenu par Yahya Abdul-Mateen II.


title: Vanessa A. Williams

text: Il y a eu cependant une confusion, occasionnelle, avec une autre actrice Vanessa L. Williams. Elles ont toutes les deux le même âge et ont été révélées à partir des années 1980. Par exemple, lors de la victoire de Vanessa Lynn au concours de Miss USA., le chèque a été envoyé par erreur à son homonyme. Au cinéma, la confusion est problématique, elles sont finalement obligées de trouver un compromis et c'est ainsi que Vanessa en est venue à utiliser, très souvent, le nom de scène : Vanessa A. Williams.


title: Vanessa A. Williams

text: Finalement, à la suite d'une énième confusion, ayant toutes les deux joué dans une version du drame "Soul Food", la Screen Actors Guild Awards prend la décision arbitraire de les autoriser à utiliser toutes les deux le pseudonyme "Vanessa Williams", en gommant l'usage de la lettre A pour l'une et L pour l'autre.


title: Draft Riots

text: Les (en français : émeutes de la conscription), que l'on nomme à l'époque (en français : « semaine de la conscription ») sont de violentes émeutes qui se déroulent à New York du au , après l'adoption par le Congrès des États-Unis de nouvelles lois sur la conscription. Les hommes réquisitionnés sont envoyés sur les champs de bataille de la guerre de Sécession, qui se déroule entre 1861 et 1865. Ces émeutes sont les plus importantes insurrections civiles que l'histoire américaine ait connues, en dehors de la guerre de Sécession elle-même. Pour reprendre le contrôle de la ville, le président Abraham Lincoln est contraint d'envoyer plusieurs régiments de milice et de volontaires. Les émeutiers se comptent par milliers et bien qu'ils ne représentent pas la majorité, de nombreuses personnes arrêtées ont des noms d'origine irlandaise, selon les listes compilées par Adrian Cook dans son œuvre "The Armies of the Streets". En outre, des émeutes de moindre importance éclatent aussi dans d'autres villes à la même époque.


title: Draft Riots

text: À l'origine conçues pour exprimer le mécontentement de la population vis-à-vis des lois de conscription, elles tournent rapidement au pogrom racial et de nombreux Noirs sont assassinés dans les rues. Le désordre dans la ville est tel que le général John E. Wool déclare le 16 juillet : « La loi martiale devrait être proclamée, mais je ne dispose pas des forces nécessaires pour la faire respecter. » L'armée parvient enfin à maîtriser la foule après trois jours de troubles, grâce à l'artillerie et baïonnette au canon, mais seulement après que de nombreux immeubles ont été saccagés ou détruits, parmi lesquels de nombreuses habitations, un orphelinat pour noirs et même le musée consacré à Phineas Taylor Barnum.


title: Draft Riots

text: Lorsque la guerre de Sécession débute en avril 1861, les New-Yorkais se rallient rapidement à la cause de l'Union. Un rassemblement massif a lieu à Union Square où sont présents entre . Quand Abraham Lincoln lance un appel pour le recrutement de afin de rejoindre l'armée et venir à bout de la sécession, se portent volontaires dans les dix jours. Les forces de l'Union paient un lourd tribut lors de la première bataille de Bull Run en juillet 1861, y compris celles originaires de la ville de New York, entraînant une nette baisse d'enthousiasme et d'optimisme. Une importante faction des démocrates de New York, connue sous le nom de Copperheads, s'oppose à la guerre et est favorable à une paix négociée. Le gouverneur de New York Horatio Seymour est élu en 1862, sur un programme électoral pacifiste.


title: Draft Riots

text: À la suite de l'enlisement de la guerre, une pénurie de soldats se fait sentir au sein des rangs de l'Union. Dans ce contexte, le , le Congrès des États-Unis adopte la première loi de conscription de son histoire, qui autorise le président à faire appel aux citoyens âgés de , pour une durée limitée à trois ans de service militaire. Les démocrates "Copperheads", favorables à la paix, sont consternés par la nouvelle. Ils sont opposés à toute forme de service national, et en particulier à une clause qui stipule que les hommes appelés peuvent être exemptés de conscription s'ils s'acquittent d'une somme de ou fournissent un remplaçant, que l'on nomme « taxe d'exemption », ce que les pauvres ne peuvent se permettre, créant ainsi des inégalités face à la conscription. Cette mesure est tournée en dérision sous la forme du " man" (l'homme à ). Formellement, cependant, ces lois visent avant tout à attirer des volontaires et, en fait, peu d'hommes sont enrôlés de force.


title: Draft Riots

text: Dans la pratique, les hommes forment des clubs. Si l'un de ses membres du club est appelé, les autres membres se cotisent pour payer la « taxe d'exemption ». Indépendamment de l'intention de cette taxe de (somme considérable pour l'époque), qui est à la fois un moyen de fournir les fonds nécessaires pour la guerre et de permettre aux fils des familles les plus aisées de ne pas partir au combat (ce qui s'appela par la suite "draft evasion"), elle amène progressivement les classes moyennes et ouvrières à considérer que la guerre est devenue une « guerre de riches faite par les pauvres ».


title: Draft Riots

text: Le premier tirage au sort de noms a lieu le samedi 11 juillet, sans incident. Les noms sont inscrits sur des petits morceaux de papier, placés dans une boîte, puis tirés un par un. Les noms tirés sont principalement ceux d'ouvriers qui ont été publiés dans les journaux. Bien que les émeutes de New York ne commencent pas à ce moment, elles éclatent dans d'autres villes, impliquant des adversaires de la conscription, notamment à Buffalo, le 6 juillet 1863. Des spéculations sur une réaction similaire à la conscription à New York se développent. Ces évènements coïncident avec les tentatives du Tammany Hall (base du parti démocrate de New York), qui souhaite faire des immigrants irlandais des citoyens américains, pour qu'ils puissent participer aux élections locales. C'est alors que de nombreux immigrants réalisent que la citoyenneté ne leur apporte pas qu'un droit de vote, mais aussi le devoir de se battre pour leur nouveau pays. Ainsi, parmi les qui ont pu être identifiés, 117 sont nés en Irlande, 40 aux États-Unis et 27 dans d'autres pays d'Europe.


title: Draft Riots

text: Le second tirage au sort a lieu le lundi , dix jours après la victoire de l'Union à la bataille de Gettysburg. Le matin, à , une foule furieuse composée de emmenés par la "Black Joke Fire Engine Company 33", attaque le bureau de l'assistant du "Provost Marshal" du Neuvième District, à l'angle de la Troisième Avenue et de la "47th Street", où la conscription se déroule. La foule commence à lancer de gros pavés à travers les fenêtres, puis à casser les portes et enfin détruire le bâtiment. Parmi les émeutiers, des travailleurs irlandais, s'opposent également au , ils n'acceptent pas d'être mis en concurrence avec des esclaves émancipés pour obtenir un emploi.


title: Draft Riots

text: La milice d'État de New York est absente, elle a été envoyée en Pennsylvanie pour renforcer les troupes de l'Union, laissant à la seule police le soin de faire face aux évènements. Le chef de la police, John Kennedy, se rend sur place le lundi pour examiner la situation. Bien qu'il ne soit pas en uniforme, il est reconnu par les émeutiers qui l'attaquent. Kennedy est abandonné à demi conscient, il a le visage meurtri et tailladé, un œil blessé, les lèvres enflées, sa main coupée et son corps couvert de sang et d'ecchymoses. Les policiers contre-attaquent avec leurs gourdins et revolvers, chargeant la foule, mais celle-ci les maîtrise. La police de New York est dans l'impossibilité d'apaiser les troubles, les policiers étant trop inférieurs en nombre vis-à-vis des émeutiers. Leur tâche consiste surtout à limiter les dégâts et à secourir ceux qui peuvent l'être. Ils parviennent cependant à maintenir les émeutes hors de Lower Manhattan, en dessous d'Union Square. Les immigrants et autres habitants du quartier "Bloody Ward" près du port ne participent pas aux émeutes car ils ont vécu suffisamment de violences à cause des "gangs" entre les années 1830 et 1850.


title: Draft Riots

text: Le Bull's Head Hotel de la "44th Street", qui refuse de servir de l'alcool, est incendié. La résidence du maire sur la Cinquième Avenue, les postes de police du Cinquième et Huitième Districts, et d'autres bâtiments sont attaqués puis incendiés. Le siège du journal à tendance républicaine, le "New-York Tribune" est lui aussi attaqué. La foule est refoulée par le personnel du "New York Tribune" qui est équipé de deux mitrailleuses Gatling. Les compagnies de pompiers sont mobilisées, mais certains sapeurs-pompiers sont favorables aux émeutiers, car ils ont eux aussi été mis sur les listes d'enrôlement le samedi. Plus tard dans l'après-midi, les autorités tirent sur un homme et le tuent alors que les émeutiers s'attaquent à l'arsenal situé à l'angle de la Deuxième Avenue et "21st Street".


title: Draft Riots

text: Les Afro-Américains deviennent les boucs émissaires et les victimes désignées de la colère des émeutiers. De nombreux immigrants et les pauvres voient les esclaves noirs affranchis comme des concurrents pour décrocher les rares emplois disponibles et les Afro-Américains sont considérés comme la cause première de la guerre fratricide qui oppose le Nord et le Sud. Ceux qui ont le malheur de tomber entre les mains des émeutiers sont battus, torturés et parfois tués. Un Noir est ainsi attaqué par une foule de armés de gourdins et de pavés. Il est pendu à un arbre puis brûlé. Le "Colored Orphan Asylum" (orphelinat pour enfants noirs) qui offre un abri à des centaines d'enfants, est attaqué par la foule. La police parvient cependant à protéger l'orphelinat suffisamment longtemps pour permettre aux enfants de prendre la fuite.


title: Draft Riots

text: De fortes pluies tombent dans la nuit du lundi, aidant ainsi à contrôler les incendies et renvoyant les émeutiers chez eux. Cependant, la foule se rassemble à nouveau le lendemain. La vie économique de la cité s'arrête, les ouvriers ayant rejoint les manifestants. Les émeutiers commencent à s'en prendre aux maisons de républicains notables dont celle de l’activiste abolitionniste Abigail Hopper Gibbons.


title: Draft Riots

text: Le gouverneur Horatio Seymour arrive le mardi et fait un discours à l’hôtel de ville de New York où il tente de calmer la foule en proclamant que la loi sur la conscription est inconstitutionnelle. Le général John E. Wool fait venir environ du port de New York et de l’Académie militaire de West Point. Il ordonne également aux milices de revenir à New York.


title: Draft Riots

text: La situation s'améliore le mercredi 15 juillet, lorsque l'adjoint du "Provost Marshal" Robert Nugent reçoit l'ordre de son supérieur, le colonel James Barnet Fry, de mettre fin à l'émeute. Comme cette information est reprise par les journaux, certains manifestants restent prudemment chez eux. Certaines milices commencent à revenir en ville et emploient des vigoureuses mesures à l'encontre du reste des émeutiers.


title: Draft Riots

text: L'ordre commence à revenir le jeudi 16 juillet lors du retour, après une marche forcée, de nouvelles troupes fédérales, dont le "152nd New York Volunteers", le "26th Michigan Volunteers", le "30th Indiana Volunteers" et le " Regiment New York State Militia" de Frederick. En outre, le gouverneur ajoute dans la mêlée le et le de la milice de l'État de New York, qui n'était pas en service fédéral et une partie du "20th Independent Battery, New York Volunteer Artillery" de Fort Schuyler à Throggs Neck. Dès le 16 juillet, il y a plusieurs milliers de soldats fédéraux en ville. Un dernier affrontement a lieu le jeudi soir à proximité de Gramercy Park, entraînant la mort de nombreux émeutiers.


title: Draft Riots

text: Le nombre exact de victimes est inconnu, mais selon l'historien James M. McPherson, au moins sont tués durant les émeutes. Selon les estimations, au moins sont blessés. Les dommages causés par les émeutes s'élèveraient quant à eux à environ un million de dollars. L'historien Samuel Morison écrit que les émeutes sont « l'équivalent d'une victoire des Confédérés ». Le département du trésor de la ville indemnise par la suite environ un quart du montant des dommages. Cinquante bâtiments, dont deux églises protestantes sont complètement détruits après avoir été incendiés. Le , les tirages au sort de conscription reprennent sans qu'on ait à déplorer de nouveaux incidents. On enrôle beaucoup moins d'hommes que ne le craignait la population : sur les conscrits du pays, seuls partent effectivement au combat.


title: Draft Riots

text: Alors que les émeutes impliquent principalement la classe ouvrière, les New-Yorkais moyens et la classe dirigeante sont divisés en ce qui concerne la conscription elle-même et l'usage du pouvoir fédéral ou de la loi martiale afin de l'imposer. De nombreux riches hommes d'affaires démocrates tentent de faire proclamer la conscription inconstitutionnelle. Les démocrates du Tammany ne souhaitent pas eux-mêmes voir la conscription proclamée inconstitutionnelle, mais souhaitent plutôt aider les pauvres à payer leur taxe d'exemption.


title: Draft Riots

text: L'immense soutien de New York à la cause de l'Union se poursuit ensuite mais un peu à contrecœur. À la fin de la guerre, plus de , marins et miliciens ont été enrôlés dans la ville. d'entre eux sont morts durant la guerre. Les brigades Irish et Excelsior, originaires de la cité, font partie des cinq brigades de l’armée de l’Union à avoir subi les plus lourdes pertes au combat pendant la guerre. Si l'on inclut les pertes à Bull Run, aucun régiment d’infanterie de l’Union n’a connu autant de pertes que le des "Fighting Irish" de New York. Bien que leurs faits d'armes soient peu mis en avant par les historiens modernes, les plus de cent "Medal of Honor" reçues rappellent leur bravoure au combat.


title: Draft Riots

text: Les émeutes de la conscription sont omniprésentes dans les romans "On Secret Service" de John Jakes (2000) et "Paradise Alley" de Kevin Baker (2002).


title: Draft Riots

text: La comédie musicale "Maggie Flynn" jouée à Broadway en 1968 est mise en scène dans l’orphelinat pour enfants noirs qui fut assiégé durant l’émeute. Dans le roman steampunk "La Machine à différences" (1990) de William Gibson et de Bruce Sterling, les lecteurs apprennent que les émeutes (lors d'une guerre de Sécession finalement gagnée par les États confédérés) se terminent par la création d'une commune de Manhattan (comme celle de la Commune de Paris), dirigée par Karl Marx. Dans le roman uchronique "Grant Comes East" de Newt Gingrich, les émeutes sont dépeintes comme bien plus graves qu'elles ne le furent en réalité, car ce livre est la suite de son précédent roman où la Confédération remporte la victoire lors de la bataille de Gettysburg.


title: Draft Riots

text: Le film "Gangs of New York" de Martin Scorsese (2002) se déroule à l'époque des émeutes mais ne dépeint pas de manière absolument fidèle les événements qui se sont alors déroulés. Il tente plutôt de décrire « la naissance de Manhattan et la manière dont les différentes vagues d'immigrants ont façonné l'évolution de la ville de New York ». Selon le journaliste et écrivain Pete Hamill : « Les voyous irlandais établirent alors un lien entre criminalité et politique à New York, qui allait durer plus d'un siècle. »


title: Draft Riots

text: Pour la bande dessinée, on peut citer "Émeutes à New York", un album des Tuniques bleues paru en 2002.


title: Draft Riots

text: Le roman "New York", d'Edward Rutherfurd, relate ces émeutes à travers le point de vue des différents personnages. L'un des personnages, Hetty Master, contribue à l'évasion des enfants du "Colored Orphan Asylum", et assiste au lynchage d'un Irlandais qui a voulu l'aider. Un autre, Hudson, un ancien esclave du Sud, est pendu à un arbre et brûlé. Edward Rutherfurd décrit ces émeutes avec beaucoup de précision, mêlant fiction et Histoire.


title: Nick Gehlfuss

text: Le , à Louisville dans l'Ohio, Nick épouse Lilian Matsuda, sa compagne de longue date. Il vit à Chicago, avec cette dernière.


title: Nick Gehlfuss

text: Depuis , il incarne le personnage de Will Halstead dans "Chicago Med", aux côtés de Brian Tee, Colin Donnell, Torrey DeVitto.


title: Brassic

text: Brassic est une série télévisée britannique de comédie dramatique qui a été diffusée sur Sky One le 22 août 2019. La série suit la vie de Vinnie O'Neill (Joe Gilgun) et de ses amis dans la ville fictive de Hawley. La première série se compose de six épisodes, qui se sont terminés le 19 septembre 2019, recevant des critiques positives. Les autres membres principaux de la distribution incluent Michelle Keegan, Damien Molony, Tom Hanson, Aaron Heffernan, Ryan Sampson, Parth Thakerar et Dominic West.


title: Brassic

text: En Belgique, les saisons 1 et 2 sont disponibles en streaming sur la plateforme Auvio de la RTBF du 10 novembre 2021 au 9 mai 2022 .


title: Brassic

text: "Brassic" suit la vie de Vinnie et de ses cinq amis dans la ville fictive de Hawley, au Nord de l'Angleterre. Le groupe de la classe ouvrière commet divers délits pour garder de l'argent dans ses poches, mais en vieillissant, certains d'entre eux commencent à se demander s'il y a plus à vivre loin de la ville. Le titre, raccourci de « Boracic lint », est du rhyming slang pour « skint ».


title: Brassic

text: Au cours des différents épisodes, la bande réalise des coups particulièrement foireux où les différents membres du groupe font preuve d'audace, de naïveté, de bêtise, de tendresse et parfois d'illuminations. C'est cette mixture souvent surprenante et parfois détonante qui donne son charme à la série.


title: Brassic

text: Joe Gilgun et Danny Brocklehurst ont conçu une nouvelle série télévisée de comédie pour Sky One , intitulée "Brassic" , dans laquelle Gilgun interpréterait le rôle principal tandis que Brocklehurst écrirait les histoires et les scripts des épisodes. Il a commencé à diffuser au Royaume-Uni le 22 août 2019, avec la première saison composée de six épisodes, diffusée sur une base hebdomadaire.  Avant la diffusion du premier épisode, le programme était automatiquement remis en service pour une deuxième saison, les producteurs étant optimistes qu'il serait revu de manière critique de manière positive.  Ils étaient corrects, avec beaucoup de critiques louant la série pour son ton comique et dramatique; la première saison a pris fin le 19 septembre.


title: Brassic

text: Lucy Mangan de "The Guardian", en passant en revue la série, lui a donné quatre étoiles sur cinq, en disant : « C'est un mélange hilarant, chaleureux et brutal qui fonctionne parce qu'il a le cœur sans sentimentalité et l'authenticité sans tension »


title: Bagger 293

text: La Bagger 293 est une excavatrice géante à roue à godets allemande, construite par l'entreprise TAKRAF, un ancien combinat d'Allemagne de l'Est. Elle possède ou partage avec d'autres engins de même catégorie plusieurs records du monde de taille dans le "Livre Guinness des records". Elle a été construite en 1995, et fait partie d'une famille d'excavatrices géantes comprenant la Bagger 281 (1958), Bagger 285 (1975), Bagger 287 (1976), Bagger 288 (1978), Bagger 291 (1993), etc.


title: Bagger 293

text: Elle est utilisée dans la mine de lignite de Hambach, en Allemagne. Son nom de Bagger 293 lui a été donné par son propriétaire actuel, RWE Power AG, le deuxième producteur d'énergie d'Allemagne. Son nom précédent, RB293, venait de son ancien propriétaire, RB (Rheinbraun). RB était une filiale de RWE, et sa fusion avec une autre filiale en 2003 a donné naissance à RWE Power AG. Selon son constructeur, TAKRAF, cette série d'excavatrices a pour nom de modèle SRs 8000.


title: Bagger 293

text: La Bagger 293 mesure de hauteur, de longueur (de même que la Bagger 287) et pèse (elle partage le record de poids pour un véhicule terrestre avec la Bagger 292). La roue à godets mesure plus de de diamètre et comporte , capables chacun de contenir de charge.


title: Chocolat au lait

text: Le chocolat au lait est un chocolat contenant usuellement entre 25 % et 40 % de cacao et de beurre de cacao (mais parfois jusqu'à 65 % de cacao), du lait généralement sous forme de lait en poudre, ainsi que du sucre. Le chocolat au lait a été inventé en 1875 par Daniel Peter à Vevey en Suisse.


title: Chocolat au lait

text: Bien que le chocolat noir commence à être de plus en plus populaire, le chocolat au lait reste celui qui est le plus en demande à Pâques au Québec.


title: Le Voyage extraordinaire de Samy

text: Le Voyage extraordinaire de Samy ("") est un film d'animation franco-belge réalisé par Ben Stassen et sorti en 2010.


title: Le Voyage extraordinaire de Samy

text: Samy, une petite tortue, naît sur une plage californienne. Il a beaucoup de mal à atteindre la mer. Il se fait attraper par un oiseau mais va s'en sortir avec Shelly, une autre mignonne tortue et ils tombent amoureux. Puis un ami de Shelly lui dit de partir. Samy partira à sa recherche sur cinquante ans d'un incroyable voyage. C'est en chemin qu'il rencontrera Ray, un bébé tortue luth qui va l'aider à retrouver l'amour de sa vie.


title: Gangster

text: Un gangster (terme américain signifiant littéralement « membre d'un gang ») est un malfaiteur. Le terme est devenu particulièrement évocateur sous le régime de la prohibition aux États-Unis. Son symbole reste sans conteste Al Capone, et la ville du gangstérisme, Chicago.


title: Gangster

text: Le gangstérisme regroupe tous types d'actions interdites à l'époque : bars clandestins, tripots, bordels, boîtes de nuit, distilleries, brasseries etc.


title: Gangster

text: De nombreux artistes se sont emparés du terme et ont largement participé à la formation d'un véritable mythe :


title: Gangster

text: Bien qu'à l'origine un gangster fasse partie d'un gang, il est fréquemment employé improprement pour un « truand » (terme français pour désigner un criminel de carrière), qui est, ou exerce des activités dans le milieu du crime organisé. Comme adjectif, il peut être utilisé comme une représentation peu flatteuse des méthodes violentes et retorses utilisées par les membres de la pègre, et le gangstérisme est une forme dérivée qui implique les méthodes telles que la pratique ou l’habitude.


title: Gangster

text: Durant l’ère de la Seconde Guerre mondiale, le mot « gangster » est devenu un terme populaire pour décrire un individu qui était une part de la « mafia » ou d'une « organisation criminelle ». Aujourd’hui, les gangsters sont regardés ordinairement comme des individus malveillants. La presse a eu une influence substantielle sur la vue moderne du gangster.


title: Gangster

text: Les gangsters sont typiquement des criminels organisés qui sont activement engagés dans le crime comme une activité de groupe ou entreprise pour le profit. La visibilité d’activités des gangsters peut s’étendre du trafic de drogue à l'offre de "protection". Les gangsters gèrent souvent leurs opérations comme leurs affaires pour autant qu’ils offrent un « produit » ou un « service », bien qu’illégal, ou, comme c’est parfois le cas, une affaire légitime avec un but d’activité criminel.


title: Gangster

text: Les gammes et les sphères d’activités des gangsters sont diverses, et sont fréquemment reliées à des écarts entre le corps législatif et la réalité physique. Pendant l’ère de la prohibition aux États-Unis, les gangsters ont exploité efficacement et lucrativement la demande pour l’alcool en approvisionnant les bars. Dans les années 1950, ils ont fait de même pour le jeu. Ils sont aussi activement engagés dans d’autres marchés en demande tels que le commerce des narcotiques, les services d’entremetteur, le trafic d’humain, la provision de faux documents, et ainsi de suite.


title: Gangster

text: De nombreux gangsters s’engagent dans l’extorsion, l’intimidation, la corruption et l’influence sur les syndicats. Ils sont aussi connus pour tenter de manipuler les décisions des institutions civiles, telles que les procès et les élections politiques.


title: Lac de Pareloup

text: Le lac de Pareloup ou retenue de Pareloup se trouve dans l'Aveyron, entre Rodez et Millau sur le plateau du Lévézou à d'altitude.


title: Lac de Pareloup

text: D'une superficie d'environ hectares, c'est une retenue artificielle résultant de la construction du barrage de Pareloup par EDF dans les années 1950.


title: Lac de Pareloup

text: Elle est prisée des pêcheurs et des estivants pour les nombreuses activités (baignade, bateau et pêche) qui s'y pratiquent.


title: Lac de Pareloup

text: Le lac de Pareloup est la grande retenue d'eau artificielle de France et la deuxième du sud de la France. Il appartient à la région des monts et lacs du Lévézou, lieux à vocation agricole notamment d'élevage bovin comme tout l'Aveyron et dans une certaine mesure touristique.


title: Lac de Pareloup

text: Les rives de la retenue sont très découpées () et dégagent de nombreuses péninsules et deux îles (au large de la presqu'île de Routaboul et Le Coutal).


title: Lac de Pareloup

text: Étant dans une cuvette, des côtes généralement peu escarpées dégagent de vastes plages sableuses ou vaseuses qui font parfois (lorsque la hauteur d'eau est à son minima) plusieurs dizaines de mètres de large.


title: Lac de Pareloup

text: Le lac de Pareloup se trouve dans un couloir aérien desservant l'aéroport de Rodez-Aveyron. Ainsi, nombreux sont les appareils effectuant leurs rotations afin de s'incliner face à une des pistes de l'aéroport au niveau de ce secteur.


title: Lac de Pareloup

text: Construit dans les années 1950, le barrage a créé une retenue qui a noyé la cuvette appelée « la cuvette du Vioulou ». Des fermes (Caussanel) et des moulins y furent engloutis.


title: Lac de Pareloup

text: Depuis le début des années 1980, le tourisme s'intensifie et l'été les estivants font tripler la population : nombreux campings, résidences secondaires, hôtels, activités nautiques motorisées ou pas, patrimoine bâti et naturel diversifiés ...


title: Lac de Pareloup

text: En 1993, la vidange de la retenue (la première depuis 1961) a permis de remettre au jour de nombreux vestiges. Le plus connu est le « pont des Quinze-arches » sur lequel passe le tracé de l'ancienne route de Pont-de-Salars à Salles-Curan pour traverser le Vioulou. Ce pont bien que noyé pendant quarante ans était encore intact.


title: Lac de Pareloup

text: La présence de vestiges archéologiques, comme la voie romaine (Caussanel) et des outils préhistoriques, donne au lieu un intérêt particulier.


title: Lac de Pareloup

text: La vidange a permis grâce à une retenue de déterminer la composition piscicole du lac : 15 espèces de poissons ont été identifiés, en majorité du gardon (45 %), de la brème (36 %), du brochet (5,5 %), du sandre (5,16 %)


title: Lac de Pareloup

text: Le lac est prisé des touristes, et les politiques locales d'aménagement du territoire ont développé l'activité touristique en y créant de nombreuses infrastructures.


title: Lac de Pareloup

text: Les routes qui longent plus ou moins les rives desservent deux plages publiques (Notre-Dame-d'Aures-Pareloup, commune d'Arvieu et Vernhes, commune de Salles-Curan), trois ports (Notre-Dame-d'Aures-Pareloup, Vernhes et Salles-Curan), des campings et centres nautiques.


title: Lac de Pareloup

text: Bien que certaines plages publiques soit surveillées par des sauveteurs, nombreux sont les estivants qui préfèrent celle du Caussanel ou de Saint-Martin-des-Faux qui ne font l'objet d'aucune surveillance.


title: Opération Pièces jaunes

text: L'opération Pièces jaunes est une campagne française de solidarité menée chaque année depuis 1989 par la Fondation des Hôpitaux afin de collecter des fonds destinés à l'amélioration des conditions d'hospitalisation des enfants et des adolescents.


title: Opération Pièces jaunes

text: Les fonds collectés servent à financer des projets visant à « améliorer la vie quotidienne des enfants et des adolescents hospitalisés », mais aussi celle de leurs proches et des équipes soignantes, en favorisant le rapprochement des familles, le développement des activités, la lutte contre la douleur et l'amélioration de l’accueil et le confort. Les projets soutenus vont de l’acquisition de jouets à l’aménagement d’espaces d’accueil pour les familles et à la construction de maisons des parents, en passant par l'organisation de séjours de vacances pour les enfants hospitalisés ou bien la rénovation d'unités de soin. Les Pièces jaunes financent depuis plus de 30 ans des chambres parents-enfant, des Maisons des parents à l'hôpital et des Maisons des familles afin d'améliorer l'accueil et le confort à l'hôpital.


title: Opération Pièces jaunes

text: Durant les premières années, les Pièces jaunes sont collectées auprès des familles. Quelques années plus tard, l'opération s'étendra à l'école puis à la ville, jusqu'à devenir l'opération caritative que nous connaissons aujourd'hui. Une autre thèse concernant le début de l’opération Pièces jaunes est avancée dans l'ouvrage « La belle histoire des pièces jaunes ». Le professeur Claude Griscelli, président de la Fondation de 1989 à 1994, déclenche un certain nombre de réunions de réflexion où l’on évoque la participation des entreprises, les dons de toute sorte, les legs, les mécènes de l’industrie pharmaceutique. Claude Griscelli se souvient alors d’une opération très rentable, qui avait eu lieu aux États-Unis et qui l’avait aidé pour un projet de recherche sur le déficit humanitaire. Il s’agissait de March of Dimes, qui consistait à collecter les « Dimes », c’est-à-dire les 10 centimes de dollars dans les urnes placées un peu partout sur le territoire américain ». Avec l’aide de l’agence conseil (TSA-Consultants du groupe Belier Eurocom) de la Fondation à l’époque, et « avec les réflexions de chacun et les première réunions, grâce aux conseils de nombreuses personnalités, l’opération Pièces jaunes prend corps. »


title: Opération Pièces jaunes

text: Une collecte est mise en place en mars 1990, réservée à Paris et la région parisienne. De grandes urnes transparentes sont disposées dans , dans certaines agences bancaires et dans les halls des mairies de Paris.


title: Opération Pièces jaunes

text: En 2021, face au contexte mondial de crise sanitaire, l'opération Pièces Jaunes était 100 % digitale.


title: Opération Pièces jaunes

text: Bernadette Chirac a été la présidente de la Fondation Hôpitaux de Paris-Hôpitaux de France entre 1994 et 2019. Désormais, la présidente de la Fondation, renommée Fondation des Hôpitaux, est Brigitte Macron.


title: Opération Pièces jaunes

text: Didier Deschamps est le parrain de l'opération depuis 2019 et la édition. De nombreux artistes et sportifs s'engagent également chaque année en faveur des Pièces Jaunes, apportant leur soutien aux jeunes patients hospitalisés.


title: Opération Pièces jaunes

text: La Fondation dispose d'ambassadeurs locaux qui mettent en œuvre des projets de collecte de fonds dans toute la France. Certains hôpitaux comme le centre hospitalier régional d'Orléans ou le centre hospitalier de Dieppe s'engagent également en faveur des Pièces Jaunes en organisant des événements liés à l'opération et dédiés aux enfants et aux adolescents hospitalisés.


title: Opération Pièces jaunes

text: Parmi elles, on peut citer la Banque de France (qui procède au comptage des pièces collectées), la Confédération nationale de la boulangerie-pâtisserie française, Carrefour, la Fondation Engie, la Fondation Orange, Disneyland Paris, Pharmavie, Foncia, MoneyWalkie, Fleurus Presse, Coinstar, Unique Heritage Media, La Poste, le ministère de l'Éducation nationale, RTL, SFR, TF1 et TV Magazine


title: Opération Pièces jaunes

text: Depuis 1989, plus de ont été réalisés dans les services pédiatriques des hôpitaux français grâce à un financement accordé par la Fondation à hauteur de 104 millions d'euros. Ces projets sont financés grâce à la générosité du public. Les dons peuvent se faire : en collectant des pièces dans les tirelires, par sms en envoyant DON au 92 111 ( prélevés sur facture opérateur mobile), en ligne sur piecesjaunes.fr ou par chèque à l'ordre des Pièces Jaunes.


title: Opération Pièces jaunes

text: Les projets financés par l’opération Pièces jaunes sont mis en œuvre dans huit grands domaines d’action :


title: Opération Pièces jaunes

text: Depuis le début de la crise sanitaire, la Fondation des Hôpitaux et l'opération Pièces jaunes ont adapté leur soutien aux nouveaux besoins, conséquences de la situation sanitaire.


title: Opération Pièces jaunes

text: La Fondation poursuit son engagement en faveur des adolescents en souffrance, avec son « programme adolescents » initié en 2004. Les subventions accordées grâce à l'opération à Pièces Jaunes permettent la construction ou l’aménagement d’espaces spécifiques au sein des hôpitaux proposant une approche globale et pluridisciplinaire de la santé des adolescents sur le même principe que la Maison de Solenn à Paris. Alliant notamment consultations médicales, prévention et suivi, ces structures sont dédiées aux jeunes souffrant par exemple de troubles du comportement, de dépressions, de troubles alimentaires ou de phobies scolaires.


title: Opération Pièces jaunes

text: Depuis 2015, la Fondation a lancé le programme Transition qui vise à améliorer le suivi médical entre la pédiatrie et la médecine adulte. Certains programmes ont déjà vu le jour : La Suite à l'hôpital Necker-Enfants malades de Paris (inauguration du bâtiment en septembre 2016) et TransEnd à l'hôpital de la Pitié-Salpêtrière (inauguration du bâtiment en mars 2017).


title: Opération Pièces jaunes

text: En 2021, plusieurs millions d'euros ont été accordés par la Fondation des Hôpitaux en faveur des Maisons des Adolescents qui œuvrent pour le mieux être des adolescents dont la santé mentale a été fragilisée durant la crise sanitaire.


title: Opération Pièces jaunes

text: Selon "Le Canard enchaîné" du , les recettes drainées par le TGV Pièces Jaunes ne seraient pas publiées en raison du large déficit de l'opération. Le journal critique le manque de clarté des comptes publics de l'opération qui seraient erronés : en 2004, les frais de fonctionnement ne s'élevaient pas à 36,3 % mais 39,3 %. Les estimations évaluent les frais annuels à d'euros. Dans "L'Express" du , Élodie Sentenac et François Vignal publient un article intitulé « Les zones grises des pièces jaunes ». Il contient des informations tendant à contester la manière dont l'opération semble désormais gérée, d'autant que, d'après les journalistes, « les tirelires sont devenues plus légères : après la récolte exceptionnelle de 2002 ( d'euros) due à l'abandon du franc, la Fondation recueillit d'euros en 2003, en 2004 et en 2005 ».


title: Opération Pièces jaunes

text: Le , le magazine d’actualité économique "Challenges" publie un article qui signale que « l'audit de la Cour des comptes sur la Fondation Hôpitaux de Paris (FHP), entamé après des rumeurs de mauvaise gestion de l'opération Pièces Jaunes de Bernadette Chirac, n'a décelé aucun problème » et précise que « le rapport a été réalisé par Axel Urgin, un magistrat encarté au PS».


title: Opération Pièces jaunes

text: La Fondation des Hôpitaux est contrôlée par le Don en confiance, organisme d'agrément et de contrôle des associations et fondations faisant appel à la générosité du public, laquelle lui a délivré le label qui garantit la bonne utilisation des fonds collectés.


title: Opération Pièces jaunes

text: Le dernier contrôle de la Fondation est intervenu en 2016. Dans ses conclusions, la Cour des comptes estime que la Fondation des hôpitaux .


title: David Hurley

text: David Hurley, né le à Wollongong (Nouvelle-Galles du Sud), est un général et homme d'État australien. Gouverneur de Nouvelle-Galles du Sud du au , il est gouverneur général d'Australie depuis le .


title: David Hurley

text: David John Hurley est le fils de Norma et James Hurley. Son père est métallurgiste dans l'Illawarra et sa mère travaille dans une épicerie. David Hurley grandit à Port Kembla et fréquente le lycée de la ville, où il obtient son diplôme d'études supérieures en 1971. Il obtient ensuite un baccalauréat ès arts et un diplôme d'études supérieures en études de défense au collège militaire royal de Duntroon.


title: David Hurley

text: David Hurley exerce la fonction de commandant en chef des Forces armées du au , concluant une carrière militaire longue de . Il est notamment déployé durant l'opération Solace en Somalie en 1993, avant de devenir commandant de la Première brigade de l'Armée australienne de 1999 à 2000. Il est "Chief Capability Development Group" de 2003 à 2007, puis "Chief of Joint Operations" jusqu'en 2008. Il est vice-commandant en chef des Forces armées du au .


title: David Hurley

text: Le , le Premier ministre de Nouvelle-Galles du Sud, Mike Baird, annonce qu'il compte proposer la nomination de David Hurley au poste de gouverneur de l'État, représentant de la reine . David Hurley entre en fonction le suivant.


title: David Hurley

text: Le , le Premier ministre d'Australie, Scott Morrison, fait savoir qu'il proposera à la reine le nom de David Hurley pour succéder à Sir Peter Cosgrove en tant que gouverneur général d'Australie. Il prête serment le , devenant la à exercer cette fonction.


title: Danila Kozlovski

text: Danila Kozlovski naît le à Moscou, et est le deuxième enfant d'une famille de trois garçons. Son frère aîné s'appelle Iegor, et le benjamin Ivan.


title: Danila Kozlovski

text: Pendant six ans, suivant la volonté de ses parents, il effectue ses études au Corps des Cadets de la Marine de Kronstadt. Il obtient son diplôme en 2002.


title: Danila Kozlovski

text: Le jeune acteur fait sa première apparition cinématographique en 1999. Il tient le rôle d'un garnement dans la série pour la jeunesse "Les Vérités simples" de Iouri Belenki et Vadim Chmeliov diffusée en 1999-2003 sur Rossiya 1.


title: Danila Kozlovski

text: Son diplôme en poche, et malgré les recommandations défavorables de ses amis et proches, il s'inscrit aux cours d'acteur et metteur en scène de l'Académie des arts du théâtre de Saint-Pétersbourg, sous la direction de Lev Abramovitch Dodine. Danila commence à jouer de façon régulière dès la deuxième année. Il réussit parfois à prendre part au tournage de trois ou quatre films dans une année. Son talent, son obstination et son abnégation sont loués par tous les réalisateurs qui l'ont côtoyé. Les rôles interprétés par Danila sont tous très différents, mais il aborde chacun de façon organique ou viscérale, apportant toute sa force de conviction.


title: Danila Kozlovski

text: En 2005, le talent de Danila Kozlovski est récompensé par le trophée Éléphant Blanc, décerné par la Guilde des critiques de cinéma russe. Son interprétation de Nikolaï dans le film d'auteur "Garpastoum" est ici remarqué.


title: Danila Kozlovski

text: Il tient des rôles principaux au Petit Théâtre dramatique de Saint-Pétersbourg et continue à tourner au cinéma. Il tient le rôle de Dimitri Belikov dans "Vampire Academy". Danila Kozlovski a été doublé en France par Volodia Serre pour "Vampire Academy" (2014) et "Hardcore Henry" (2015).


title: Henri Génès

text: Henri Génébés, dit Henri Génès, né le à Tarbes et mort le à Saint-Cloud, est un acteur, chanteur et humoriste français.


title: Henri Génès

text: Originaire d'Occitanie, il commence une carrière cinématographique dans les années 1940 et mène une active carrière de chanteur fantaisiste, d'acteur de théâtre et d'opérette, avec son épouse Jeannette Batti.


title: Henri Génès

text: Jusqu'en 1957, il obtient un succès croissant grâce à des titres de chansons comiques, mais alors qu'il est au sommet de sa popularité, il est victime d'une attaque cérébrale et doit s'absenter de la scène et des studios de 1958 à 1963.


title: Henri Génès

text: Il ne parviendra plus ensuite à décrocher des rôles importants au cinéma, préférant collectionner les apparitions en clin d'œil. Il se produit aussi volontiers dans des seconds rôles à la télévision.


title: Gilles Moretton

text: Il est président de l'ASVEL Lyon-Villeurbanne de 2001 à 2014. En février 2021, il est élu président de la Fédération française de tennis.


title: Gilles Moretton

text: Gilles Moretton poursuit tout d'abord une carrière de joueur de tennis professionnel. Il atteint une finale en simple à Atlanta en 1981 et remporte trois tournois en double. En Grand Chelem, il atteint les huitièmes de finale à Roland-Garros en 1979 après avoir battu José Luis Clerc.


title: Gilles Moretton

text: Entre 1979 et 1983, il est sélectionné à neuf reprises en équipe de France, participant au quart de finale gagné contre le Paraguay en 1983. Il est aussi membre de l'équipe finaliste en 1982. Il met fin à sa carrière en 1984 et travaille pendant deux ans pour Wilson et Philip Morris en tant que responsable de promotion.


title: Gilles Moretton

text: En 1985, il crée le Grand Prix de Tennis de Lyon (GPTL). Il fonde ensuite la « Gilles Moretton Organization » (GMO) qui se spécialise dans l’organisation d'événements sportifs. GMO est mandaté par l'ASVEL Lyon-Villeurbanne en 1995 pour rechercher des sponsors au club, et obtient également l'organisation du marathon de Lyon.


title: Gilles Moretton

text: En 2001, il est nommé président du directoire de l'« Adecco ASVEL Basket ». Il dirige l'ASVEL durant treize ans et remporte avec le club le titre de champion de France en 2002 et 2009.


title: Gilles Moretton

text: En décembre 2004, il crée « Gones & Sports » qui comprend Occade Sport (racheté en 2007 par Canal+) et Adecco-Asvel. Il est directeur général délégué de Sportfive jusqu'en .


title: Gilles Moretton

text: En , il fait partie du pool d'investisseurs lyonnais qui rachètent la chaîne de télévision locale Télé Lyon Métropole (TLM) dont il devient président en . En , il revend ses parts dans l'ASVEL à Tony Parker qui lui succède à la présidence le suivant. En , Laurent Constantin le remplace à la tête de TLM.


title: Gilles Moretton

text: Depuis 2017, il s'investit comme bénévole au sein du club de tennis de Saint-Maurice-de-Beynost. Le , il est élu président de la Ligue Auvergne-Rhône-Alpes de tennis.


title: Gilles Moretton

text: Début 2020, il annonce briguer la présidence de la Fédération française de tennis. Il est élu le pour un mandat de 4 ans.