title: Super Smash Bros. Brawl

text: "Super Smash Bros. Brawl" a été salué par la critique et a connu un grand succès commercial. Aux États-Unis, le jeu s'est vendu à copies le jour de son lancement et à 1,4 million d'unités dès sa première semaine de commercialisation. D'après Nintendo, il est devenu le jeu vidéo qui s'est vendu le plus rapidement dans l'histoire de Nintendo aux États-Unis. Selon le NPD Group, il a été le jeu le plus vendu du mois de au Canada et aux États-Unis, avec respectivement et 2,7 millions d'unités vendues. "Brawl" est le best-seller de l'année 2008 au Canada à partir du .


title: Super Smash Bros. Brawl

text: Lors de sa sortie dans les régions PAL, "Brawl" atteint la place numéro 1 dans les charts européens et australiens.


title: Super Smash Bros. Brawl

text: Au , "Super Smash Bros. Brawl" est le huitième jeu le plus vendu sur Wii avec 13,32 millions d'unités écoulées.


title: Cooper Hefner

text: Cooper Hefner ( à Los Angeles), est un homme d'affaires et créateur américain, fils du fondateur et propriétaire du magazine de charme "Playboy". Il est devenu le directeur créatif du magazine en 2016 et, en 2017, était responsable du retour de la nudité à la publication.


title: Cooper Hefner

text: Depuis 2013, il est en couple avec l'actrice Scarlett Byrne. Le 6 août 2015, ils annoncent leurs fiançailles. Ils se marient le 4 novembre 2019 au tribunal du Comté de Ventura en Californie.


title: Cooper Hefner

text: Le , sa femme Scarlett Hefner, donne naissance à leur premier enfant, une petite fille prénommée Betsy Rose. En novembre 2021, ils annoncent qu'ils attendent des jumeaux sur Instagram. Le 26 mars 2022, elle donne naissance à deux petites filles prénommées Marigold Adele Hefner et Blossom Pearl Hefner.


title: Tommaso Ciampa

text: Tommaso Whitney (né le à Everett, Massachusetts) est un catcheur (lutteur professionnel) américain. Il travaille actuellement à la , dans la division "Raw", sous le nom de Tommaso Ciampa.


title: Tommaso Ciampa

text: Il s'est auparavant fait connaitre à la (ROH) où il remporte une fois le championnat du monde Télévision de la ROH. Il signe un contrat avec la WWE en 2016. Il y est l'équipier de Johnny Gargano avec qui il devient champion par équipe de la "NXT".


title: Tommaso Ciampa

text: Il apparaît à Smackdown le en tant qu'avocat de Muhammad Hassan pour confronter The Undertaker. Le à Velocity, il perd contre Jamie Noble.


title: Tommaso Ciampa

text: Le , il fait ses débuts à Chaotic Wrestling sous le nom de Tommy Penmanship, et perd face à Fred Sampson dans les qualifications d'un tournoi pour le CW Heavyweight Championship. Le , lui et Arch Kincaid battent Criaturas de la Noche (El ChupaCabra & El Milagro). Le , Penmanship et Kincaid perdent face aux Logan Brothers (Bryan et Matt Logan) et ne remportent pas les titres par équipe. Le , ils forment avec Max Bauer l'équipe Intellectual Properties et battent les Logan Brothers (Bryan, Matt et Nick Logan). Le , il bat Chase Del Monte et remporte le CW New England Championship. Le , il perd avec Brian Milonas face à John Walters et Luis Ortiz. Le , Intellectuals Properties gagne face à Chase Del Monte, Bryan et Matt Logan. Le , il perd par décompte extérieur face à Chase Del Monte, mais conserve son titre. Le , il perd face à Chase Del Monte dans un match sans décompte extérieur, et où le titre de Penmanship n'était pas en jeu. Le , il conserve son titre face à Chase Del Monte dans un Ladder Match. Le , il bat Psycho et conserve son titre.


title: Tommaso Ciampa

text: Le , il reste champion en battant Jason Blade. Le même jour, il perd face à Psycho. Le , lors de CW Cold Fury 5: Five Years Of Fury, il perd le titre New England face à Psycho, son règne aura duré 181 jours. Le , il perd face à Matt Logan. Le , il perd face à Psycho, et ne remporte pas le titre New England. Le , lors du premier round du tournoi Lethal Lottery, il fait équipe avec Psycho pour battre Michael Sain et Rob Eckos. Le , lors de CW Breaking Point 2006, il perd face à Psycho dans un Psycho Rules Match, avec Tommy Dreamer comme arbitre spécial. Le , il bat Handsome Johnny pour devenir le nouveau CW Heavyweight Champion. Le même jour, il bat Tony Omega. Le , il bat Handsome Johnny pour conserver son titre. Le , il bat Bryan Logan. Le , il participe à un 10-Man Tag Team Elimination Match, où il fait équipe avec Antonio Thomas, Fred Sampson et l'équipe PRIDE (Brian Nunes & Dan Freitas), mais ils perdent face à Chase Del Monte, Handsome Johnny, Psycho & The Logan Brothers (Bryan & Matt Logan). Le , lors de CW Summer Chaos 2006, il bat Chase Del Monte et conserve son titre. Le 1er décembre, il bat Max Bauer et conserve son titre.


title: Tommaso Ciampa

text: Le , il fait équipe avec Jason Blade et Kid Mikaze pour affronter Alex Arion, Brian Milonas & Max Bauer, mais le match finit en No Contest. Le , lors de CW Cold Fury 6 : Into The Fire, dans un match pour le titre Poids-Lourd, et avec la stipulation "Loser Leaves Chaotic Wrestling", il perd face à Brian Milonas, et est donc contraint de quitter la fédération.


title: Tommaso Ciampa

text: Il fait son retour le sous le gimmick de "El Scripto Mascharito", et perd un match face à Franciz. Le , il change de nom pour devenir Thomas Penmanship, et affronte le champion Poids-Lourd Bryan Logan, mais ce match finit sur un match nul, car la limite de temps du match a été atteinte. Le , il gagne par disqualification face à Sledge. Le , lors de CW : Breaking Point 2008, il change de nom une nouvelle fois, et devient Tommaso Ciampa, et il bat Brian Milonas dans un "Unsanctioned Match." Le , il perd face à Matt Logan. Le , il perd face à Alex Arion, et ne remporte pas le titre Poids-Lourd. Le , il bat Vortex.


title: Tommaso Ciampa

text: Le , il débute à la Ring of Honor en battant Myke Sydal. Il rejoint ensuite le clan The Embassy. Le avril, lors de Honor Takes Center Stage, il perd contre Colt Cabana, Caleb Konley et Homicide, match remporté par ce dernier. Il prend sa revanche le lendemain en battant Homicide. Le , lors de Death Before Dishonor IX, il s'associe à Rhino et bat Homicide et Jay Lethal. Il entame alors une rivalité avec Lethal. Le , il bat Lethal et devient challenger pour le ROH TV Championship. Le , lors de 10th Anniversary Show, son match contre Jay Lethal se termine en No-Contest et ne remporte pas le ROH World Television Championship. Lors de Showdown in the Sun (2012), il intervient dans un match entre Roderick Strong et Lethal et lui fait perdre son titre. Le , il bat Jay Lethal, Adam Cole et Mike Bennett et remporte le "2012 March Mayhem tournament". Le , lors de Border Wars (2012), il perd contre Jay Lethal. Le , lors de Best in the World (2012), il perd contre Roderick Strong et Jay Lethal et ne remporte pas le ROH TV Championship. La rivalité entre lui et Jay Lethal se termine le lors de Boiling Point (2012), où Ciampa perd contre Lethal dans un "Two Out of Three Falls match". Durant ce match, Ciampa se blesse et reste inactif pendant plusieurs mois. Il fait cependant quelques apparitions notamment lors de Final Battle (2012).


title: Tommaso Ciampa

text: Le , il fait son retour et bat Silas Young dans un tournoi pour le ROH World Championship. Il bat ensuite Mike Bennett deux semaines plus tard. Le , lors de Death Before Dishonor XI, il perd contre Adam Cole et est éliminé du tournoi en demi-finale.


title: Tommaso Ciampa

text: Le , il bat Jay Lethal et Mark Briscoe dans un Triple Threat Match et devient ainsi challenger pour le ROH TV Championship.


title: Tommaso Ciampa

text: Lors de Final Battle (2013), il bat Matt Taven et devient ROH World Television Champion. Le , il conserve son titre face à Jay Lethal et Matt Taven dans un Triple Threat match. Le , il perd face à Kevin Steen, Jay Lethal et Michael Elgin et ne devient pas challenger pour le ROH World Championship Le , lors de 12th Anniversary Show, il conserve son titre face à Hanson. Il conserve son titre le lendemain contre Jay Lethal à la suite d'une intercation entre Matt Taven et son ancien manager Truth Martini. Le , il bat Matt Taven et garde son ROH TV Title. Il perd son titre le face à Jay Lethal dans un "2 out of 3 falls match" lors de Supercard of Honor VIII. Le lendemain, il bat Roderick Strong à la suite d'une intervention de Cedric Alexander. Le , il intervient avec Matt Taven après un match de Jay Lethal. Un match de championnat est organisé entre ces trois lutteurs mais Lethal attaque Ciampa avant le match. Taven s'en prend à Lethal mais Truth Martini intervient à son tour. Il obtient un match de championnat pour le titre de la télévision à Global Wars (2014) mais perd contre Jay Lethal qui conserve son titre, match qui comprenait également Matt Taven et Silas Young. Le , il perd contre Adam Cole et ne remporte pas le ROH World Championship. Le , à Best in the World (2014), il perd dans un "Six Man Mayhem match" pour obtenir une opportunité pour le ROH World Television Championship contre Watanabe, Tadarius Thomas, Caprice Coleman, B.J. Whitmer et ACH, match remporté par ce dernier. Le , lors de Field of Honor (2014), il perd contre Silas Young.


title: Tommaso Ciampa

text: Le , lors de ', il perd contre Michael Elgin pour le titre mondial de la ROH à la suite d'une décision arbitrale. Cette décision le rend fou de rage, qui s'en prend à la fin du match au corps arbitral et à , commentateur de la Ring of Honor, ce qui lui vaudra une exclusion du '. Après des excuses prononcées publiquement et sur internet, Nigel McGuinness décide de lui donner une nouvelle chance en le réintégrant au sein de la fédération le , avec une condition de "zéro tolérance" si ces incidents se reproduisent. Le , lors de ', il perd contre Michael Elgin après avoir involontairement frappé un arbitre pendant le match. Il obtient une opportunité pour le titre mondial le mars lors de ' mais il perd contre Hanson, Michael Elgin et Jay Briscoe, ce dernier conservant son titre. Le , il annonce sur Twitter son départ de la fédération. Le , il dispute son dernier match au sein de la fédération et perd contre Jay Lethal pour le titre de la télévision de la ROH. Il attaque l'arbitre Todd Sinclair après le match.


title: Tommaso Ciampa

text: Lors de ', il bat Tommy End. Lors de ', il perd contre Pentagón Jr. et ne remporte pas le AAW Heavyweight Championship.


title: Tommaso Ciampa

text: Huit ans après ses derniers matchs au sein de la WWE par le biais de la fédération-école ', sa participation au ' est annoncée. Le , il entre dans le tournoi en faisant équipe avec Johnny Gargano et battent l'équipe de Tyler Breeze et Bull Dempsey. Ils perdent le lors du second tour du tournoi contre Rhyno et Baron Corbin. Le , il participe à une bataille royale pour déterminer le challenger pour le NXT Championship, match remporté par Apollo Crews. Lors de NXT du , il perd contre Samoa Joe. Lors de NXT du , il gagne contre Danny Burch. Il obtient ensuite une opportunité pour les ceintures par équipe de la NXT le en compagnie de Johnny Gargano mais sont battus par les champions en titre Dash Wilder et Scott Dawson.


title: Tommaso Ciampa

text: Lors de , ils battent The Revival (Scott Dawson et Dash Wilder) dans un 2-out-of-3 Falls Tag Team match et remportent les NXT Tag Team Championship.


title: Tommaso Ciampa

text: Lors de , lui et Johnny Gargano perdent contre The Authors of Pain dans un Ladder Match et ne remportent pas les NXT Tag Team Championship. À la fin du match, il attaque violemment à plusieurs reprises Johnny Gargano et effectue un "Heel Turn". Lors du NXT suivant, il annonce qu’il est blessé et qu’il reviendra plus coriace.


title: Tommaso Ciampa

text: Lors de , il fait son retour en attaquant Johnny Gargano avec une béquille. Le à NXT, il attaque Johnny Gargano avec une béquille, lui coutant sa victoire contre Andrade "Cien" Almas, ce qui mena à son renvoi de NXT. Le à NXT, il se fait attaquer par Johnny Gargano, tout droit sorti du public, ce dernier se fera sortir de l'arène par la sécurité. Le à , il perd par soumission contre Johnny Gargano au cours d'un "unsanctioned match".


title: Tommaso Ciampa

text: Le à NXT, il attaque Johnny Gargano lors de son entrée, il lui porte un "Over the shoulder back to belly piledriver" à travers une table et regarde les ambulanciers l'évacuer de l'arène en ambulance. Le à NXT, il bat Kassius Ohno, après le match il attaque ce dernier. Le à NXT, il continue de s'en prendre verbalement à Johnny Gargano absent ce soir-là, jusqu'à l'arrivée de sa femme, Candice LeRae, qui insultera Ciampa avant de le gifler. Le à NXT, il répond au défi lancé par Johnny Gargano de venir se battre, cependant ils sont séparés par les arbitres et ne pourront pas se battre, Ciampa parvient quand même à balancer Gargano du rebord du ring le faisant violemment tomber sur Candice LeRae. Le à NXT, il est attaqué par Johnny Gargano.


title: Tommaso Ciampa

text: Le à NXT, il confronte Aleister Black, laissant penser qu'il vise le titre de la NXT, plus tard, il est annoncé qu'il affrontera Black pour le titre dans 3 semaines. Le à NXT, il attaque Aleister Black dans les vestiaires et lui porte un DDT sur le sol en béton..


title: Tommaso Ciampa

text: Le à "NXT", il devient le nouveau champion de la "NXT" en battant Aleister Black, remportant le titre pour la première fois de sa carrière. Le à "", il conserve son titre en battant son ancien partenaire, Johnny Gargano, dans un "Last Man Standing Match".


title: Tommaso Ciampa

text: Le à "", il conserve son titre en battant Aleister Black. Après le match, il est rejoint par Johnny Gargano, qui a remporté le titre Nord-Américain de la "NXT" en battant Ricochet auparavant, et les deux hommes célèbrent ensemble. Le à "Raw", ils font leurs débuts, dans le show rouge, en battant les Revival. Le lendemain à "SmackDown Live", ils font également leurs débuts, dans le show bleu, en battant The Bar. Le à "NXT", ils battent Bobby Fish et Kyle O'Reilly au premier tour du "Dusty Rhodes Tag Team Classic". La semaine suivante à "NXT", ils perdent face à Ricochet et Aleister Black en demi-finale du tournoi. Après le match, il tente d'attaquer son partenaire en le balançant contre le mur, mais se fait contrer par ce dernier, qui lui portera ensuite un coup de genou. Le à "NXT", Triple H annonce qu'il est contraint d'abandonner le titre de la "NXT", devant subir une opération chirurgicale de la nuque.


title: Tommaso Ciampa

text: Le à "NXT", il fait son retour de blessure, après six mois et demi d'absence, en affrontant le champion de la "NXT", Adam Cole. Le à "", l'équipe Ciampa (Keith Lee, Dominik Dijakovic, Kevin Owens et lui) bat l'Undisputed Era (Adam Cole, Bobby Fish, Kyle O'Reilly et Roderick Strong) dans un "WarGames Match".


title: Tommaso Ciampa

text: Le à "", il perd face à Karrion Kross par soumission. Le à "NXT", il fait son retour, après 2 mois d'absence, et bat Jake Atlas. Après le combat, il effectue un "Heel Turn" en attaquant violemment son adversaire.


title: Tommaso Ciampa

text: Le à "NXT", il confronte Timothy Thatcher et effectue un "Face Turn". Le à "", il bat son adversaire.


title: Tommaso Ciampa

text: Le à "205 Live", Timothy Thatcher et lui battent Tony Nese et Ariya Daivari au premier tour du "Dusty Rhodes Tag Team Classic". Le à "NXT", ils perdent face aux Grizzled Veterans (James Drake et Zack Gibson) en demi-finale du tournoi.


title: Tommaso Ciampa

text: Le à "NXT 2.0", il redevient champion de la "NXT" en battant LA Knight, Pete Dunne et Von Wagner dans un "Fatal 4-Way Match", remportant le titre pour la seconde fois.


title: Tommaso Ciampa

text: Le à "", l'équipe Black and Gold (Pete Dunne, Johnny Gargano, LA Knight et lui) perd face à 2.0 (Bron Breakker, Carmelo Hayes, Tony D'Angelo et Grayson Waller) dans un "WarGames Match".


title: Tommaso Ciampa

text: Le à "Raw", il est présenté comme nouvel arrivant, dans le show rouge, par Kevin Patrick. Le à "Raw", il effectue un "Heel Turn" en attaquant Mustafa Ali dans le dos, après la victoire de ce dernier face au Miz.


title: Union paneuropéenne internationale

text: L'Union paneuropéenne internationale (UPI) est une association fondée au lendemain de la Première Guerre mondiale, en 1926 à Vienne, par le comte Richard Coudenhove-Kalergi qui a publié en 1923 son livre-manifeste "Paneuropa" où il préconise la création d'une union des États européens, union qui lui semble le seul moyen d'éviter que se reproduise la catastrophe de 14-18 :


title: Union paneuropéenne internationale

text: Homme cosmopolite et lettré, convaincu de l'unité de la civilisation européenne, le comte Coudenhove-Kalergi choisit comme emblème de la Pan-Europe une croix rouge sur un disque d'or.


title: Union paneuropéenne internationale

text: Il en donne la signification dans son ouvrage "Paneuropa" () : . Le soleil est aussi interprété comme étant le symbole d'Apollon, référence à l'influence culturelle de la Grèce antique sur l'évolution de la civilisation européenne. Les civilisations grecque et chrétienne, considérées comme les , sont ainsi mêlées symboliquement à travers .


title: Union paneuropéenne internationale

text: La devise du mouvement (attribuée à Saint Augustin, ), est la suivante : (généralement traduite par « unité dans les choses nécessaires ; liberté dans les choses douteuses ; amour en toutes choses »).


title: Union paneuropéenne internationale

text: Coudenhove-Kalergi fonde l'Union paneuropéenne à Vienne dès 1922. Après la publication de son ouvrage "Paneuropa" en 1923, il bénéficie du soutien du gouvernement autrichien ainsi que de celui, discret, du président tchèque Tomáš Masaryk. Le chancelier autrichien Ignaz Seipel facilite l'organisation du Bureau central de l'Union paneuropéenne à Vienne.


title: Union paneuropéenne internationale

text: Connaissant très vite un vif succès, les idées de Coudenhove-Kalergi inspirent très directement Aristide Briand dans les années 1920 qui accepte pour sa part la présidence d'honneur du mouvement paneuropéen en France, tandis que le président exécutif de la section française est son collaborateur Louis Loucheur. Mais l'arrivée du national-socialisme en Allemagne, conjuguée aux effets du traité de Versailles qui prétendait, au lendemain de la Première Guerre mondiale, dessiner une Europe nouvelle, ruine provisoirement les efforts de Coudenhove-Kalergi.


title: Union paneuropéenne internationale

text: Après la victoire des Alliés, Coudenhove-Kalergi est l'inspirateur du Conseil de l'Europe qui est créé en 1949. De nationalité française depuis 1939, il poursuit avec Charles de Gaulle une correspondance entreprise durant la guerre, ce qui aboutit en 1960 à la création du Comité français pour l'Union paneuropéenne (CFUP). On trouvera à sa création Georges Pompidou comme trésorier et Alain Peyrefitte comme Secrétaire général.


title: Union paneuropéenne internationale

text: Rénové au début des années 1990, le CFUP, qui avait été présidé, après Louis Terrenoire, par Raymond Triboulet, Michel Habib-Deloncle et Michel Cointat, prend l'appellation de PanEurope France. Il sera par la suite présidé par Yvon Bourges (1993-2000), Hervé Gaymard (2000-2002) et Alain Terrenoire (2003-2013). En 2013, PanEurope France devient l'Union paneuropéenne de France" "(UPF). Après une courte présidence du député européen Arnaud Danjean (2013), Alexis Bautzmann est nommé président en . Le sénateur Jean Bizet, président de la Commission des affaires européennes au Sénat, lui succède en .


title: Union paneuropéenne internationale

text: Participant activement aux travaux de l'Union paneuropéenne internationale dont le président, après la disparition de Richard Coudenhove-Kalergi en 1972, fut Otto de Habsbourg-Lorraine et depuis fin 2004, Alain Terrenoire, et qui compte aujourd'hui, de l'Atlantique à la Baltique, près de trente organisations nationales, l’Union paneuropéenne de France (UPF) poursuit son action pour l'élargissement de l'Union européenne, pour une réforme des institutions, et défend l'idée d'une Europe politique.


title: Union paneuropéenne internationale

text: En 1972 a eu lieu la frappe des trois pièces commémorant le cinquantenaire de l'Union paneuropéenne. Trois pièces en argent représentant Napoléon Bonaparte, Charles Quint et Charlemagne respectivement d'une valeur faciale de 5, 2 et 1 ÉCU.


title: Taverne (établissement)

text: Son nom dérive du terme latin " taberna" (pluriel : "tabernae") qui désigne une typologie de local commercial ouvert sur la rue dans les cités de la Rome antique. Installée au rez-de-chaussée des "insula", la "taberna" est typiquement dotée d'une seule pièce voûtée en berceau et son aménagement varie selon la nature du commerce exercé. Nommée "thermopolium", elle permettait de consommer des aliments chauds et des boissons ; le "pistrinum" vendait du pain, les "fulonica" foulaient des pièces de tissus, etc.


title: Taverne (établissement)

text: Dans la Rome antique, la "popina" est une taverne de mauvaise réputation, associée à la fois à la restauration, au jeu et à la prostitution.


title: Taverne (établissement)

text: Au Moyen Âge, le tavernier vend le vin au pichet ou au tonneau alors que le cabaretier le sert au comptoir ou sur l'étal, à même la chaussée. Sous l'Ancien Régime, le tavernier ne vend que du vin alors que le cabaretier sert vin et repas complets, ce dernier parvenant à attirer toutes les couches de société. Les traiteurs, spécialisés à l'origine dans les noces et les banquets, supplantent au tavernier, rôtisseur et cabaretier lorsqu'ils se mettent aussi à préparer les repas pour des clients fidèles ou de passage.


title: Équipartition de l'énergie

text: En physique statistique classique, l’équipartition de l’énergie est un résultat remarquable selon lequel l’énergie totale d’un système à l’équilibre thermodynamique est répartie en parts égales en moyenne entre ses différentes composantes. Ce résultat découle très directement du postulat fondamental de la physique statistique ; on parle souvent de principe d’équipartition de l’énergie.


title: Équipartition de l'énergie

text: Plus précisément, le théorème d’équipartition donne une équation qui permet de relier la température d’un système macroscopique aux énergies moyennes des particules microscopiques qui le composent, permettant ainsi de faire des prédictions quantitatives. On le résume souvent par la formule : « formula_1 par terme quadratique dans l'expression de l'énergie », où formula_2 est la constante de Boltzmann et formula_3 la température exprimée en kelvins. Le théorème permet de calculer l’énergie totale d’un système à une température donnée, d’où l’on peut calculer sa capacité thermique massique, anciennement appelée chaleur massique ou chaleur spécifique. Mais il donne aussi les valeurs moyennes de composantes de l’énergie, telles que l’énergie cinétique d’une particule ou l’énergie potentielle associée à un mode de vibration particulier.


title: Équipartition de l'énergie

text: Le théorème d’équipartition peut notamment être utilisé pour retrouver la loi des gaz parfaits, la loi expérimentale de Dulong et Petit sur la chaleur spécifique des solides ou caractériser un mouvement brownien. De manière générale, il peut être appliqué à n’importe quel système classique à l’équilibre thermodynamique, quelle que soit sa complexité. En revanche, il est mis en défaut quand les effets quantiques deviennent significatifs, notamment pour des températures suffisamment basses ou des densités élevées.


title: Équipartition de l'énergie

text: Historiquement, le problème de l’équipartition de l’énergie est lié à d’importants développements en physique et en mathématiques. Il a trouvé son origine au milieu du dans la théorie cinétique des gaz, puis accompagné l’émergence de la physique statistique. Au début du , il était encore au cœur de problèmes fondamentaux, dont notamment la catastrophe ultraviolette, qui ont conduit au développement de la mécanique quantique. En mathématiques, l’examen des conditions de validité du principe d’équipartition a donné naissance à la théorie ergodique, une branche dans laquelle de nombreux problèmes restent encore ouverts.


title: Équipartition de l'énergie

text: L’équipartition de l’énergie cinétique fut initialement proposée en 1843 par John James Waterston qui travaillait à une première théorie cinétique des gaz. À cette époque, Waterston était aux Indes où il travaillait en tant qu’ingénieur pour le développement du chemin de fer. Il proposa son mémoire en 1845 à la Royal Society qui refusa de le publier, mais le conserva dans ses archives. Un court résumé de ses idées fut publié en 1846, puis un autre en 1851 dans laquelle on trouve une première version du principe d’équipartition de l’énergie. Le mémoire d’origine fut redécouvert et finalement publié bien plus tard en 1893, assorti d’une introduction de Lord Rayleigh qui critique vivement le refus initial en reconnaissant l’antériorité du travail de Waterston (mais aussi certaines erreurs). Telle que publiée en 1851, cette première version du principe d’équipartition s’écrit :


title: Équipartition de l'énergie

text: Ces premiers travaux sont donc inconnus des principaux physiciens de l’époque qui développeront pendant les vingt ans qui suivirent la théorie cinétique des gaz et affineront les arguments, les formulations et les démonstrations du principe d’équipartition. Rudolf Clausius, Ludwig Boltzmann, James Clerk Maxwell sont de ceux-là. Ce dernier écrit notamment en 1878 :


title: Équipartition de l'énergie

text: Le théorème d’équipartition est considéré pendant le dernier tiers du comme un des résultats principaux de la théorie cinétique des gaz. Sa généralité et sa simplicité en font un résultat séduisant ; il est connu et utilisé couramment par les expérimentateurs.


title: Équipartition de l'énergie

text: Un grand succès du théorème d’équipartition fut la prédiction par Boltzmann de la loi expérimentale de Dulong et Petit sur la chaleur spécifique des solides, autre sujet d’étude au . En 1819 en effet, les physiciens français Pierre Louis Dulong et Alexis Thérèse Petit avaient découvert que les chaleurs spécifiques molaires des solides à température ambiante étaient quasiment toutes identiques, environ . Cette loi jusqu’alors expérimentale trouva dans le théorème d’équipartition un fondement théorique. De même, les mesures des chaleurs spécifiques de gaz monoatomiques étaient tout à fait conformes à la théorie. Le théorème prédit que la chaleur spécifique d’un gaz simple monoatomique doit être d’environ , ce qui fut en effet confirmé par l’expérience.


title: Équipartition de l'énergie

text: Cependant, le théorème d’équipartition fut également mis en défaut. Dès 1840, des mesures de chaleur spécifique de solides avaient mis en évidence des écarts significatifs avec la loi de Dulong et Petit, notamment dans le cas du diamant. Au début des années 1870, des études en fonction de la température par James Dewar et Heinrich Friedrich Weber montrèrent que la loi de Dulong et Petit n’était en réalité valable que pour les hautes températures.


title: Équipartition de l'énergie

text: Des mesures de chaleurs spécifiques de gaz diatomiques vinrent également contredire le théorème d’équipartition. Le théorème prédisait une valeur de quand les chaleurs spécifiques mesurées étaient typiquement proches de et tombaient même jusqu’à aux très basses températures.


title: Équipartition de l'énergie

text: Un troisième cas de désaccord fut la chaleur spécifique des métaux. Selon le classique modèle de Drude développé au début des années 1900 et le théorème d’équipartition, les électrons dans les métaux devraient se comporter comme un gaz quasi parfait, et devraient contribuer pour 3/2 formula_4 à la chaleur spécifique où formula_5 est le nombre d’électrons. L’expérience montre toutefois que les électrons contribuent peu à la chaleur spécifique : les chaleurs spécifiques molaires de nombreux conducteurs et d’isolants sont quasiment égales.


title: Équipartition de l'énergie

text: Un dernier cas de désaccord, et pas des moindres, était donné par le problème de l’émission de rayonnement du corps noir. Le paradoxe vient du fait qu’il y a une infinité de modes indépendants du champ électromagnétique dans une cavité fermée, chacun pouvant être traité comme un oscillateur harmonique. Si chaque mode avait une énergie formula_6, la cavité contiendrait donc une énergie infinie. Ce paradoxe est resté dans l’histoire sous le nom de catastrophe ultraviolette. En 1900, ce paradoxe est le second « nuage » évoqué par Lord Kelvin lors de sa conférence "Nineteenth-Century Clouds over the Dynamical Theory of Heat and Light". Il ne sera résolu que par les développements de mécanique quantique.


title: Équipartition de l'énergie

text: Au-delà des cas d’échecs rapportés par l’expérience, le théorème d’équipartition se heurte également à un problème fondamental, souligné dès 1875 par James Maxwell : à mesure que l’on décompose les molécules de gaz en constituants élémentaires, on peut trouver de nouveaux degrés de libertés qui devraient eux aussi contribuer à l’énergie totale. À la limite, celle-ci deviendrait infinie ! Ce paradoxe est insoluble par la physique classique. Et pourtant, la démonstration du théorème ne présente pas de faille apparente, et les succès de la théorie cinétique des gaz sont par ailleurs indéniables.


title: Équipartition de l'énergie

text: Face à ces difficultés, plusieurs attitudes sont possibles. Certains, mais pas les plus nombreux, pensent que le théorème est faux. C’est notamment le cas de Lord Kelvin. Mais ils ne parviennent pas à démontrer en quoi. D’autres, prenant actes des succès du théorème, préfèrent penser qu’il n’est pas applicable dans les cas qui posent problèmes, pour des raisons qui restent à préciser. Ludwig Boltzmann avança que les gaz pouvaient ne pas être à l’équilibre thermodynamique à cause de leurs interactions avec l’éther. Maxwell pense que le problème ne pourra pas être résolu sans une connaissance précise et complète de la structure interne des molécules. Mais ce problème aussi se révèle de plus en plus compliqué. Certains, plus prudents encore, remettent en cause la pertinence de l’utilisation des lois de la mécanique (chocs) aux molécules et, de là, la nature même de la matière. Lord Rayleigh quant à lui, dans une conférence qu’il donne en 1900, avance fermement que le théorème d’équipartition et l’hypothèse expérimentale de l’équilibre thermodynamique sont tous les deux corrects, mais pour les réconcilier invoque le besoin d’un nouveau principe qui pourrait fournir une « échappatoire à la simplicité destructrice » du théorème d’équipartition.


title: Équipartition de l'énergie

text: Cette échappatoire fut trouvée progressivement à partir des années 1900. Cette année-là, Max Planck présente un travail sur le rayonnement du corps noir dans lequel il imagine des niveaux d’énergie discrets, ce qui lui permet d’échapper à la catastrophe ultraviolette. C’est alors une hypothèse purement mathématique. Max Planck ne s’intéresse que peu alors au problème de l’équipartition de l’énergie ; il est réticent de manière générale devant les méthodes de la physique statistique.


title: Équipartition de l'énergie

text: C’est notamment à Albert Einstein que l’on doit le lien avec l’équipartition. Il insiste en 1905 sur le fait que le théorème d’équipartition associé aux théories classiques du rayonnement conduit nécessairement à la loi de Rayleigh-Jeans et à la catastrophe ultraviolette. Il introduit en 1907 un effet de quantification pour résoudre le problème de la chaleur spécifique des solides : c’est le modèle d’Einstein qui sera par la suite amélioré par Peter Debye. Au premier congrès Solvay en 1911, il remet en cause la validité du théorème pour les systèmes dont l’énergie est quantifiée.


title: Équipartition de l'énergie

text: Mécanique quantique et équipartition semblent alors incompatibles. L’articulation entre les deux sera trouvée avec la théorie quantique du gaz parfait. Dans un article qu’il publie en 1924 en partant des idées de Satyendranath Bose, Einstein montre que l’équipartition est valable dans la limite des faibles densités et des hautes températures, calculant même un critère de validité. Le théorème d’équipartition perd alors définitivement son statut de formule générale pour devenir une approximation, valable seulement quand la physique classique elle-même est une bonne approximation de la physique quantique.


title: Équipartition de l'énergie

text: Avec le développement de la physique statistique, les conditions de validité de l’équipartition de l’énergie sont clairement posées. Elle repose notamment sur l’hypothèse fondamentale selon laquelle la valeur moyenne d’une grandeur prise sur une durée suffisamment longue (celle que l’on mesure) est égale à la valeur moyenne d’ensemble, calculée par la physique statistique. Cette hypothèse d’ergodicité, formulée explicitement par Boltzmann dès 1871, est validée "a posteriori" par la justesse des prédictions qu’elle permet, mais reste une hypothèse.


title: Équipartition de l'énergie

text: Or, il existe très peu de systèmes pour lesquels on a la certitude que cette hypothèse est effectivement réalisée. On a même la certitude que cette hypothèse n’est pas réalisée dans un certain nombre de cas très simples : par exemple, un gaz rigoureusement parfait dans lequel les molécules ne s’entrechoqueraient pas n’est pas un système ergodique. Les conditions de validité de cette hypothèse restent à explorer.


title: Équipartition de l'énergie

text: En 1953, l’expérience de Fermi-Pasta-Ulam rapporte un exemple d’échec de l’équipartition. Cette première expérience numérique consiste à étudier la répartition à long terme de l’énergie d’un système dynamique unidimensionnel de 64 masses couplées entre elles par des ressorts harmoniques perturbés par une faible anharmonicité, sachant qu’un seul mode du système est initialement excité. L’issue de l’expérience surprend : l’énergie ne se répartit pas également entre les différents modes, contrairement aux prédictions de l’équipartition.


title: Équipartition de l'énergie

text: Une première réponse à ce paradoxe sera suggérée par Kolmogorov en 1954, puis démontrée indépendamment par Arnold et Mauser en 1963 : c’est le théorème KAM qui montre que de faibles couplages non linéaires ne suffisent pas à rendre un système ergodique.


title: Équipartition de l'énergie

text: Ces travaux ont conduit au développement d’une branche des mathématiques, la théorie ergodique, qui étudie les conditions d’ergodicité d’un système. De nombreux cas d’échec de l’équipartition ont été mis en évidence, souvent au moyen de simulations numériques (chaînes anharmoniques, milieux granulaires…). Dans ce domaine, de nombreux problèmes restent ouverts.


title: Équipartition de l'énergie

text: Cet énoncé n’est qu’un résultat particulier du théorème. Il omet certaines hypothèses. Cependant, il permet déjà de retrouver un certain nombre de résultats et de traiter des cas particuliers importants qui sont détaillés ci-dessous. Bien entendu, on retrouve dans cette affirmation le fait que l’énergie est répartie également entre tous les degrés de liberté, d’où le nom « équipartition ».


title: Équipartition de l'énergie

text: Dans la suite, le symbole formula_7, pour hamiltonien, sera utilisé comme symbole pour l’énergie en raison du rôle central que joue le formalisme de Hamilton dans la formulation plus générale du théorème d’équipartition qui suivra. D’autre part, on notera avec des crochets formula_8 la valeur moyenne d’une quantité formula_9. On en précisera par la suite le sens mathématique.


title: Équipartition de l'énergie

text: Un gaz rare est un gaz des plus simples qui soient : il est constitué uniquement d’atomes dont l’énergie n’est donc composée que de l’énergie cinétique due à leur mouvement de translation. Chaque atome dispose de trois degrés de liberté associés aux trois composantes de la vitesse, c’est-à-dire aux trois directions de l’espace. Si on décompose la vitesse de l’atome suivant ces trois directions en les notant formula_10, formula_11 et formula_12, en notant formula_13 la masse, alors l’énergie cinétique (newtonienne) s’écrit comme une somme de trois termes dont chacun correspond à un degré de liberté :


title: Équipartition de l'énergie

text: À l’équilibre thermodynamique, chaque degré de liberté contribue d’après le théorème d’équipartition pour 1/2 formula_6 à l’énergie cinétique. L’énergie cinétique moyenne totale d’une particule est donc 3/2 formula_6, et l’énergie totale d’un gaz parfait composé de formula_17 particules est 3/2 formula_18.


title: Équipartition de l'énergie

text: Il s’ensuit que la chaleur spécifique du gaz est 3/2 formula_19 et donc en particulier que la chaleur spécifique d’une mole d’un tel gaz est 3/2 formula_20 où formula_21 est le nombre d’Avogadro, ou encore 3/2 formula_22 où formula_22 est la constante universelle des gaz parfaits. Puisque formula_22 vaut approximativement , le théorème prédit que la capacité thermique molaire d’un gaz parfait est environ /(mol.K).


title: Équipartition de l'énergie

text: Connaissant l’énergie cinétique moyenne, on peut calculer la vitesse quadratique moyenne formula_25 des atomes du gaz :


title: Équipartition de l'énergie

text: où formula_27 est la masse d’une mole de gaz. La vitesse quadratique moyenne est donc d’autant plus faible que les atomes sont lourds. Les atomes du xénon auront une vitesse moyenne plus basse que les atomes plus légers de l’hélium à une même température. Ce résultat est utile dans un grand nombre d’applications, telles que la loi d’effusion de Graham dont a été tirée notamment une méthode d’enrichissement de l'uranium.


title: Équipartition de l'énergie

text: On considère maintenant un gaz dont les molécules sont composées de deux atomes ou plus. On suppose que les différents atomes sont liés rigidement entre eux. Une telle molécule dispose comme dans le cas précédent de trois degré de libertés associés à son déplacement dans le conteneur. Mais elle peut aussi tourner sur elle-même et accumuler ainsi de l’énergie. Ces degrés de libertés supplémentaires contribuent aux aussi à l’énergie totale et à la chaleur spécifique.


title: Équipartition de l'énergie

text: Dans le cas le plus général, si les moments d’inertie principaux de la molécule sont formula_28, formula_29 et formula_30, alors cette énergie cinétique de rotation est donnée par


title: Équipartition de l'énergie

text: où formula_32, formula_33 et formula_34 sont les composantes principales de la vitesse angulaire. Ce cas est formellement très similaire au cas précédent ; l’énergie est proportionnelle au carré de la vitesse angulaire. Par un raisonnement identique, l’équipartition implique donc que l’énergie cinétique moyenne de rotation de chaque molécule est 3/2 formula_6 à l’équilibre.


title: Équipartition de l'énergie

text: Il convient de distinguer deux cas, selon que la molécule est linéaire (atomes parfaitement alignés) ou non. Dans le premier cas, la molécule ne peut pas accumuler de l’énergie par rotation autour de son axe : il n’y a que deux degrés de liberté au lieu de trois. La contribution de l’énergie cinétique de rotation à l’énergie totale sera deux fois 1/2 formula_6 seulement. Pour une molécule non linéaire, l’énergie moyenne totale de rotation est en revanche 3/2 formula_6.


title: Équipartition de l'énergie

text: Dans les gaz diatomiques tels que l’azote, l’oxygène, les molécules sont composées de deux atomes identiques et sont forcément linéaires. Avec le modèle de molécule que l’on vient de décrire, la chaleur spécifique totale d’un tel gaz diatomique est donc 5/2 formula_22.


title: Équipartition de l'énergie

text: Si on considère qu’une molécule de gaz est un ensemble de plusieurs atomes liés élastiquement et non plus rigidement, alors cette molécule peut vibrer et accumuler de l’énergie dans son mouvement de vibration. On peut alors modéliser un mode de vibration de la molécule par un oscillateur harmonique. Dans le cas le plus simple à une dimension, cet oscillateur a deux types d’énergie :


title: Équipartition de l'énergie

text: Le théorème d’équipartition s’applique de la même manière aux deux composantes de l’énergie, chacune comptant pour un degré de liberté. À l’équilibre, l’oscillateur aura donc une énergie moyenne


title: Équipartition de l'énergie

text: Chaque oscillateur, donc chaque mode de vibration, a donc une énergie moyenne totale formula_6 et contribue pour formula_46 à la chaleur spécifique du système. Pour connaître la contribution des vibrations moléculaires à l’énergie totale, il suffit donc de connaître le nombre de ses modes propres de vibrations : une molécule composée de formula_47 atomes en possède formula_48 si tous les atomes sont alignés comme dans le CO représenté ci-contre, et formula_49 dans le cas contraire, par exemple pour la molécule d’eau.


title: Équipartition de l'énergie

text: On verra dans la suite qu’il faut toutefois être prudent : tous les modes ne contribuent pas nécessairement à l’énergie totale selon la température ; la mécanique quantique permettra d’expliquer pourquoi.


title: Équipartition de l'énergie

text: Les présentations modernes du théorème d’équipartition dans le cadre de la physique statistique sont très générales mais abstraites. Elles ne reflètent que peu les raisonnements d’origine qui s’appliquaient au problème beaucoup plus concret de la théorie cinétique des gaz. Les arguments et démonstrations d’alors, bien que moins généraux, sont utilisés par de nombreux enseignants et auteurs pour leur intérêt pédagogique. Ils permettent de mettre en valeur d’une façon différente les hypothèses fondamentales de l’équipartition.


title: Équipartition de l'énergie

text: Dans le cadre de la théorie cinétique des gaz, on considère un système composé d’un très grand nombre de sphères dures dans un conteneur. Ces sphères sont animées d’un mouvement de translation et entrent en collision les unes avec les autres. On peut supposer ici que les sphères n’interagissent pas entre elles en dehors des collisions. Tout l’enjeu de la théorie est de relier les caractéristiques microscopiques de ces mouvements (masse des particules, vitesses) aux grandeurs macroscopiques que l’on mesure (pression, température).


title: Équipartition de l'énergie

text: Lorsque deux particules entrent en collision, elles arrivent toutes deux avec des vitesses différentes, donc des énergies cinétiques différentes, et repartent après le choc avec des directions et des vitesses déterminées par la conservation de la quantité de mouvement et de l’énergie totale. En général, l’énergie d’une particule après le choc est différente de son énergie avant le choc. La collision est donc un moyen d’échanger de l’énergie entre les particules. Dans le modèle le plus simple tel qu’il est proposé ici, c’est même le seul moyen. Pour démontrer l’équipartition de l’énergie dans le cadre de ce modèle, il faut donc montrer comment les collisions tendent à répartir l’énergie équitablement en moyenne entre toutes les particules.


title: Équipartition de l'énergie

text: Dans tout ce qui suit, on va considérer des chocs élastiques entre deux sphères dures de masses différentes formula_50 et formula_51. On considère le choc par commodité dans le référentiel du centre de masse des deux particules, lui-même animé d’un mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport au conteneur (tant qu’aucune particule ne rebondit sur une paroi), avec une vitesse qu’on notera formula_52. On notera formula_53 et formula_54 les vitesses des particules.


title: Équipartition de l'énergie

text: À partir d’un cas particulier, James Maxwell avait avancé que le choc ne pouvait que réduire la différence d’énergie entre les deux particules. À la suite d’un très grand nombre de chocs, l’énergie ne pouvait donc que tendre vers une égalité en moyenne. Cet argument ne suffit pas à montrer que les chocs conduisent à l’équipartition ; il ne s’agit après tout que d’un cas particulier. Toutefois, de manière plus précise, il est possible de montrer que le choc ne peut que réduire la corrélation entre la différence des vitesses des deux particules et la vitesse de leur centre de masse. À l’équilibre, on peut donc supposer que cette corrélation tend vers 0 :


title: Équipartition de l'énergie

text: Le premier terme de cette somme est proportionnel à la différence d’énergie cinétique moyenne entre les deux particules. Le second terme est la corrélation entre les vitesses initiales des particules. Si on suppose que ces deux vitesses sont indépendantes, autrement dit qu’il n’y a aucune relation "a priori" entre les vitesses de deux particules avant le choc, alors ce second terme s’annule. C’est ce qu’on appelle l’hypothèse du chaos moléculaire. Dans ce cas, on retrouve donc l’égalité des énergies cinétiques moyennes à l’équilibre :


title: Équipartition de l'énergie

text: Notons qu’il n’est pas possible de déduire l’équipartition à partir des équations du choc élastique seulement : ces équations restent réversibles à l’échelle macroscopique, alors que l’évolution vers l’équilibre thermodynamique est un processus irréversible.


title: Équipartition de l'énergie

text: Une fois que l’équilibre thermodynamique est atteint, les vitesses des particules suivent la distribution des vitesses de Maxwell-Boltzmann. Cette distribution est tracée sur la figure ci-contre pour quatre gaz rares. Elle est la seule solution stationnaire de l’équation de Boltzmann. En d’autres termes, les chocs entre particules ne font que modifier les vitesses de particules prises au hasard, mais ne modifient pas la répartition d’ensemble.


title: Équipartition de l'énergie

text: On peut vérifier que la distribution de Maxwell-Boltzmann permet de retrouver le théorème d’équipartition pour le gaz parfait monoatomique. Partant de l’expression explicite de la densité de probabilité


title: Équipartition de l'énergie

text: pour la vitesse d’une particule de masse formula_13 dans le système, on peut calculer l’énergie cinétique moyenne d’une particule par la formule intégrale :


title: Équipartition de l'énergie

text: On retrouve ici le fait que chaque particule a exactement la même énergie cinétique moyenne, 3/2 formula_6.


title: Équipartition de l'énergie

text: La formulation du théorème d’équipartition s’appuie sur le formalisme de la mécanique hamiltonienne. L’état d’un système physique est caractérisé par ses coordonnées dans l’espace des phases, communément séparées en coordonnées généralisées formula_62 et impulsions généralisées formula_63, où formula_63 est le moment conjugué à formula_62. Les formula_66 décrivent complètement l’état du système. Un degré de liberté noté formula_67 désignera une de ces coordonnées, autrement dit un formula_62 ou un formula_63.


title: Équipartition de l'énergie

text: Les crochets formula_70 désignent une moyenne d’ensemble sur l’espace des phases. Dans un système ergodique, elle est égale à la moyenne prise sur une durée suffisamment longue, qui est celle que l’on mesure en pratique.


title: Équipartition de l'énergie

text: Le théorème d’équipartition affirme : à l’équilibre thermodynamique, l’énergie moyenne d’un système dont le hamiltonien formula_7 s’écrit comme la somme de fonctions quadratiques de ses coordonnées est répartie également entre toutes ses composantes et vaut formula_72 où formula_73 est le nombre de termes de la somme. On peut l’écrire


title: Équipartition de l'énergie

text: Ce nombre formula_73 est souvent désigné comme le nombre de « degrés de liberté » du système, mais c’est un raccourci qui peut être trompeur. Ce nombre compte en réalité le nombre de termes quadratiques du hamiltonien ; il ne correspond pas à la définition habituelle d’un degré de liberté en physique.


title: Équipartition de l'énergie

text: Dans l’ensemble canonique, cette formule peut être démontrée par calcul direct de la valeur moyenne à partir de la fonction de partition, classiquement notée formula_75. Le calcul ramène à des intégrales de fonctions gaussiennes qu’on sait calculer explicitement. On utilise ensuite les relations habituelles de l’ensemble canonique. C’est cette démonstration qui était présentée avant que ne soit introduite la version généralisée du théorème.


title: Équipartition de l'énergie

text: La fonction de partition canonique se réduit alors à un produit d’intégrales de fonctions gaussiennes :


title: Équipartition de l'énergie

text: On appelle théorème d’équipartition généralisé une formule démontrée pour la première fois par Richard Tolman en 1918 qui étend l’idée de l’équipartition pour des hamiltoniens de forme générale. Même si la présentation qui en est faite diffère légèrement d’un auteur à l’autre, c’est en général cette formule qui est démontrée dans les ouvrages généraux de physique statistique. Ce théorème généralisé affirme que pour un système à l’équilibre thermodynamique à la température formula_3, décrit par un hamiltonien formula_7 et des degrés de liberté formula_67, on a, pour tous les indices formula_47 et formula_13,


title: Équipartition de l'énergie

text: Dans ce cas général, aucune hypothèse n’est faite sur la forme du hamiltonien. En contrepartie, l’énergie n’est pas nécessairement répartie de manière égale entre toutes ces composantes : il n’y a pas nécessairement « équipartition » de l’énergie au sens strict. On en verra un exemple dans le cas de la sédimentation de particules. C’est pourquoi plusieurs auteurs ne reprennent pas l’appellation « théorème d’équipartition généralisé » proposée initialement par Tolman.


title: Équipartition de l'énergie

text: Bien entendu, cette formule générale permet de retrouver le résultat particulier du paragraphe précédent.


title: Équipartition de l'énergie

text: Le résultat général peut se démontrer dans l’ensemble microcanonique quand l’énergie totale du système est constante, et aussi dans l’ensemble canonique, quand le système est couplé à une source de chaleur avec laquelle il peut échanger de l’énergie. Dans un cas comme dans l’autre, la démonstration procède par le calcul explicite de la moyenne sur l’espace des phases.


title: Équipartition de l'énergie

text: Dans l’ensemble microcanonique, le système est isolé du reste du monde, ou au moins très faiblement couplé. De la sorte, son énergie totale est constante. On dit que l’énergie totale formula_7 est confinée entre formula_93 et formula_94. Pour une énergie formula_93 donnée et un écart formula_94, on note formula_97 le volume de la région de l’espace des phases dans laquelle l’énergie du système est comprise entre formula_93 et formula_99 :


title: Équipartition de l'énergie

text: La probabilité d’occupation de tous les états de cette région est la même, par définition de l’ensemble microcanonique. La valeur moyenne d’une grandeur formula_9 s’écrit alors


title: Équipartition de l'énergie

text: On note maintenant formula_104 le volume total de l’espace des phases dans lequel l’énergie est inférieure à formula_93 :


title: Équipartition de l'énergie

text: où formula_112) est la densité d’états. On introduit enfin la définition usuelle de l’entropie en physique statistique :


title: Équipartition de l'énergie

text: Avec ces définitions, la moyenne sur les variables formula_116 et formula_67 (qui peuvent être des formula_63 ou des formula_62) est donnée par


title: Équipartition de l'énergie

text: où la dernière égalité provient de ce que formula_93 est constante et ne dépend pas de formula_67. Une intégration par parties donne alors


title: Équipartition de l'énergie

text: La première intégrale est nulle (elle peut être réécrite comme une intégrale de formula_126 sur l’hypersurface où formula_127). Il reste donc


title: Équipartition de l'énergie

text: Dans l’ensemble canonique, on considère le système en équilibre thermodynamique avec une source de chaleur de température fixe formula_3 (en Kelvin). La probabilité d’occupation de chaque état dans l’espace des phases est donnée par son facteur de Boltzmann multiplié par un facteur de normalisation qui assure que la somme des probabilités est bien égale à un et dont la valeur n’importe pas ici ; on le notera formula_133. La valeur moyenne d’une quantité formula_9 est alors définie par


title: Équipartition de l'énergie

text: Le calcul explicite (qui fait essentiellement appel à une intégration par parties) donne le résultat souhaité.


title: Équipartition de l'énergie

text: Le premier terme est nul ; on peut s’en convaincre en considérant le cas d’un gaz dans un conteneur. Si formula_137 est une impulsion généralisée, alors l’énergie cinétique associée devient infinie aux bornes. Si formula_137 est une coordonnée, ses valeurs maximale et minimale sont atteintes aux parois du conteneur pour lesquelles l’énergie potentielle tend vers l’infini. Dans les deux cas, l’exponentielle tend vers 0. De plus, on reconnaît la fonction de partition dans la seconde intégrale qui vaut donc 1. La formule recherchée s’ensuit donc immédiatement :


title: Équipartition de l'énergie

text: Le théorème d’équipartition est étroitement lié au théorème du viriel qui s’applique lui aussi aux systèmes à plusieurs particules. Ce dernier a d’ailleurs été proposé par Rudolf Clausius lors des développements des fondements de la thermodynamique, alors qu’il cherchait à relier les notions de température et de chaleur aux mouvements des molécules de gaz.


title: Équipartition de l'énergie

text: Partant du théorème d’équipartition généralisé, en utilisant les relations de la mécanique hamiltonienne, on peut écrire :


title: Équipartition de l'énergie

text: D’après le principe fondamental de la dynamique, la dérivée de formula_63 par rapport au temps est égale à la force généralisée formula_146 agissant sur la particule. On peut donc écrire


title: Équipartition de l'énergie

text: Toujours d’après le théorème d’équipartition, on sait que la valeur moyenne de l’énergie cinétique pour un degré de liberté vaut formula_148. En combinant ces deux relations, on obtient donc :


title: Équipartition de l'énergie

text: Cette relation est très semblable au théorème du viriel tel qu’énoncé à l’origine par Clausius : pour un ensemble de particules de masse formula_13 animées d’un mouvement stable, repérées par leurs positions formula_151 et leurs vitesses formula_152, sur lesquelles s’exerce des forces formula_153, on a


title: Équipartition de l'énergie

text: La différence majeure réside dans le fait qu’il s’agit dans ce dernier cas d’une moyenne temporelle, représentée par le trait horizontal, et non plus d’une moyenne d’ensemble. De manière générale, le théorème de Birkhoff montre que l’égalité de ces deux moyennes est vérifiée pour les systèmes ergodiques.


title: Équipartition de l'énergie

text: La loi de Dulong et Petit sur la chaleur spécifique des solides se déduit très simplement de ce qui précède. On considère un cristal composé de formula_17 atomes. Chacun de ces atomes occupe une position d’équilibre autour de laquelle il peut osciller. Ce mouvement peut se faire dans les trois directions de l’espace, de manière indépendante. Le solide peut donc être considéré en première approche comme un système de formula_156 oscillateurs harmoniques indépendants.


title: Équipartition de l'énergie

text: On a vu précédemment qu’un oscillateur harmonique a une énergie moyenne formula_6. L’énergie moyenne totale du solide est formula_158, sa chaleur spécifique est formula_159. La chaleur spécifique molaire de ce matériau est donc formula_160 où formula_21 est le nombre d’Avogadro, ce qui s’écrit encore formula_162 où formula_22 est la constante universelle des gaz parfaits. On retrouve bien la loi de Dulong et Petit selon laquelle la chaleur spécifique molaire des solides est indépendante de la nature du solide et égale à formula_162, soit environ /(mol·K).


title: Équipartition de l'énergie

text: Le théorème d’équipartition peut être utilisé pour retrouver la loi des gaz parfaits à partir de la mécanique classique. Ce calcul consiste à calculer le viriel du gaz de deux façons différentes.


title: Équipartition de l'énergie

text: On note formula_165 et formula_166 les vecteurs positions et quantité de mouvement d’une particule dans le gaz et formula_167 la force totale s’exerçant sur cette particule, alors


title: Équipartition de l'énergie

text: où la première égalité est donnée par la seconde loi de Newton, et la seconde ligne utilise les équations de Hamilton et le théorème d’équipartition. La sommation sur l’ensemble des formula_17 particules du système donne


title: Équipartition de l'énergie

text: En vertu de la troisième loi de Newton et de l’hypothèse du gaz parfait, la force totale sur le système est la force appliquée par les parois du conteneur, et cette force est donnée par la pression formula_171 du gaz. En conséquence :


title: Équipartition de l'énergie

text: où formula_173 est un élément de surface infinitésimal sur la paroi du conteneur. En utilisant le théorème de Green-Ostrogradsky, on peut calculer


title: Équipartition de l'énergie

text: où formula_175 est un élément de volume infinitésimal dans le conteneur et formula_176 est son volume total. En regroupant des égalités, on obtient


title: Équipartition de l'énergie

text: où formula_180 est le nombre de moles de gaz et formula_181 est la constante universelle des gaz parfaits.


title: Équipartition de l'énergie

text: Le mouvement brownien désigne une description mathématique du mouvement aléatoire d’une grosse particule immergée dans un fluide et qui n’est soumise à aucune autre interaction que des chocs avec les petites molécules du fluide environnant. Les mécanismes en œuvre dans ce type de mouvement sont proches des idées de la théorie cinétique des gaz. Le théorème d’équipartition fut utilisé très tôt, dès 1879, pour caractériser un tel mouvement.


title: Équipartition de l'énergie

text: On peut partir de l’équation de Langevin selon laquelle le mouvement d’une particule de masse formula_13 et de vitesse formula_40 est régi par la seconde loi de Newton qui s’écrit


title: Équipartition de l'énergie

text: où formula_185 est une force aléatoire représentant les collisions aléatoires entre la particule et les molécules voisines, et où la constante de temps formula_186 reflète la force de frottement fluide qui s’oppose au mouvement de la particule dans la solution. La trainée est souvent notée formula_187, la constante de temps est alors formula_188.


title: Équipartition de l'énergie

text: En faisant le produit scalaire de cette équation avec le vecteur position formula_189, puis une moyenne, on obtient


title: Équipartition de l'énergie

text: pour le mouvement brownien (puisque la force aléatoire formula_185 et la position formula_189 ne sont pas corrélées). En utilisant les identités remarquables


title: Équipartition de l'énergie

text: où la dernière égalité provient du théorème d’équipartition pour l’énergie cinétique de translation :


title: Équipartition de l'énergie

text: L’équation différentielle ci-dessus pour formula_197 a une solution exacte (pour des conditions initiales convenables) :


title: Équipartition de l'énergie

text: À une échelle de temps très courte, i.e. pour formula_199, la particule se comporte comme une particule libre : en utilisant le développement de Taylor de la fonction exponentielle, le carré de la distance croît quadratiquement :


title: Équipartition de l'énergie

text: En revanche, à une échelle de temps plus longue, pour formula_201, l’exponentielle et les termes constants deviennent négligeables et le carré de la distance ne croît que linéairement :


title: Équipartition de l'énergie

text: Ceci décrit la diffusion de la particule dans le temps. Une équation analogue pour la diffusion de la rotation d’une molécule rigide peut être calculée de la même manière.


title: Équipartition de l'énergie

text: Le théorème d’équipartition généralisé a été appliqué à l’étude de la sédimentation de particules en suspension sous l’influence de la gravité. On considère pour cela des particules pesantes (par exemple de grosses protéines) dans l’eau. Les chocs entre ces particules produisent un mécanisme de diffusion qui tend à homogénéiser la concentration des protéines dans tout le récipient. Par ailleurs, la gravité tend à faire tomber toutes les protéines vers le bas du récipient. Une fois que l’équilibre entre ces deux mécanismes antagonistes a été atteint, il est possible de déterminer grâce au théorème d’équipartition l’énergie potentielle moyenne d’une particule et donc sa position moyenne. Pour une bouteille infiniment haute, l’énergie potentielle de gravitation d’une particule de masse formula_203 est donnée par


title: Équipartition de l'énergie

text: où formula_205 est la hauteur d’une particule dans la bouteille et formula_206 est l’accélération de la pesanteur.


title: Équipartition de l'énergie

text: Ce processus peut trouver une application dans l’étude de la sédimentation de protéines qui diffusent la lumière et donnent un aspect trouble qu’on peut parfois voir dans la bière. Puisque formula_207, l’énergie potentielle moyenne d’un groupe de protéine est formula_6. Donc, si les groupes de protéines ont une masse de 10 uma (à peu près la taille d’un virus), l’aspect sera trouble jusqu’à une hauteur moyenne de à l’équilibre.


title: Équipartition de l'énergie

text: Le théorème d’équipartition peut être utilisé pour démontrer l’expression du bruit thermique dans les composants électroniques. Dans une résistance, l’agitation thermique des électrons de conductions crée des fluctuations de densité électronique, donc de courant électrique, qui conduisent à la présence d’un bruit blanc même en l’absence de toute tension appliquée. Aux bornes d’une résistance, ce bruit est donné par la relation :


title: Équipartition de l'énergie

text: où formula_210 est la variance de la tension aux bornes de la résistance, R est la résistance exprimée en ohms, et formula_211, la bande passante considérée.


title: Équipartition de l'énergie

text: Cette formule permet de prévoir le bruit minimum présent sur un système électronique, et donc sa limite de détection. Le même phénomène de bruit thermique est observé aux bornes d’une capacité. C’est une limitation des capteurs photographiques.


title: Équipartition de l'énergie

text: Un oscillateur anharmonique est un oscillateur pour lequel l’énergie potentielle n’est pas une fonction quadratique de l’élongation formula_212 (la position généralisée qui mesure l’écart de l’oscillateur à la position d’équilibre). Ces oscillateurs donnent un point de vue complémentaire sur le théorème d’équipartition. On peut prendre des exemples simples avec des énergies dont l’expression est de la forme


title: Équipartition de l'énergie

text: où formula_214 et formula_215 sont des nombres réels arbitraires. Dans ce cas, le théorème d’équipartition prédit que


title: Équipartition de l'énergie

text: Ainsi, l’énergie potentielle moyenne est égale à formula_217 et non plus formula_218 comme pour l’oscillateur harmonique (pour lequel formula_219).


title: Équipartition de l'énergie

text: Plus généralement, l’expression de l’énergie d’un système à une dimension a un développement de Taylor en fonction de l’élongation formula_212


title: Équipartition de l'énergie

text: Il n’y a pas de terme pour formula_222 car à l’équilibre, la force totale s’exerçant sur le système est nulle et donc la dérivée première de l’énergie est nulle. Le terme constant pour formula_223 est inutile, puisque l’énergie à l’équilibre peut être posée égale à 0 par convention. Dans ce cas, le théorème d’équipartition affirme que


title: Équipartition de l'énergie

text: L’équipartition de l’énergie, malgré sa grande généralité, est un résultat valable sous certaines hypothèses (ergodicité, équilibre thermodynamique) et dans certaines limites (effets quantiques négligeables). Les paragraphes qui suivent détaillent différents cas pour lesquels l’équipartition ne s’applique pas.


title: Équipartition de l'énergie

text: Le théorème d’équipartition est valable seulement pour les systèmes ergodiques à l’équilibre thermodynamique, pour lesquels tous les états de même énergie ont la même probabilité d’être occupé. Dans un système ergodique, il doit être possible d’échanger de l’énergie entre ses différentes formes dans le système, afin qu’elle puisse se répartir en parts égales au cours du temps. Dans le cas d’un gaz parfait, ce sont les chocs entre molécules qui assurent ces échanges d’énergie.


title: Équipartition de l'énergie

text: Paradoxalement, il existe peu de systèmes dont l’ergodicité a pu être prouvée rigoureusement. Un exemple célèbre est le billard de Iakov Sinaï. Les conditions qui permettent d’assurer l’ergodicité d’un système isolé - et donc l’équipartition - ont été étudiées et ont donné naissance à la théorie ergodique.


title: Équipartition de l'énergie

text: Un contre-exemple fréquemment cité où l’énergie n’est pas partagée entre ses différentes formes, et donc où l’équipartition ne s’applique pas dans l’ensemble microcanonique est un système d’oscillateurs harmoniques couplés. Si le système est isolé, l’énergie de chaque mode normal est constante et fixée à sa valeur initiale.


title: Équipartition de l'énergie

text: Si on perturbe un tel système en introduisant des termes de couplage non linéaires suffisamment forts, l’énergie peut être transférée d’un mode à l’autre, on peut alors sous certaines conditions retrouver l’ergodicité et revenir dans le champ d’application du théorème d’équipartition. Mais il ne suffit pas d’une petite perturbation pour rendre un système ergodique : c’est ce que montre le théorème de Kolmogorov–Arnold–Moser. Même un système chaotique, donc extrêmement sensible aux conditions initiales, n’est pas nécessairement ergodique, même si c’est habituellement une hypothèse raisonnable.


title: Équipartition de l'énergie

text: Les démonstrations données précédemment supposent que l’énergie est une fonction continue sur l’espace des phases. Or, dans un système quantique, les niveaux d’énergie sont au contraire discrets. Pour que le théorème s’applique, il est donc nécessaire que les niveaux d’énergie soient suffisamment rapprochés pour qu’on puisse la considérer tout de même comme continue. On parle alors d’approximation classique. Ceci n’est réalisé qu’à la condition que l’énergie thermique formula_6 soit beaucoup plus grande que l’écart entre deux niveaux d’énergie. Dans le cas contraire, les calculs ne sont plus valides, le degré de liberté considéré est dit « gelé », l’équipartition ne s’applique plus.


title: Équipartition de l'énergie

text: Le cas de l’oscillateur harmonique est un exemple particulièrement important. On a vu précédemment que selon le théorème d’équipartition, son énergie moyenne est égale à formula_6. Dans le cas quantique, on peut calculer explicitement son énergie moyenne. Ses niveaux d’énergie sont donnés par formula_228 où formula_229 est la constante de Planck, formula_230 est la fréquence de l’oscillateur et formula_47 est un entier positif. Dans l’ensemble canonique, la probabilité qu’un niveau d’énergie soit occupé est donné par son facteur de Boltzmann


title: Équipartition de l'énergie

text: Cette énergie moyenne est tracée sur la figure ci-contre et comparée au cas classique. Pour les hautes températures, quand l’énergie thermique formula_6 est très supérieure à l’écart formula_240 entre deux niveaux, l’argument de l’exponentielle tend vers 0 et l’énergie moyenne tend vers formula_6, conformément au théorème d’équipartition. En revanche, pour les basses températures, quand formula_242, l’énergie moyenne tend vers 0, le degré de liberté est dit « gelé ». On peut ainsi définir une température caractéristique de l’oscillateur formula_243 en dessous de laquelle les effets quantiques se font sentir.


title: Équipartition de l'énergie

text: Les gaz diatomiques donnent un bon exemple de cette limitation. On peut modéliser une molécule d’un tel gaz par deux masses reliées par un ressort. Une telle molécule possède trois degrés de liberté en translation, deux degrés de liberté en rotation, et constitue de plus un oscillateur harmonique. Le théorème d’équipartition prédit donc que la chaleur spécifique du gaz est égale à 7/2 formula_22. C’est effectivement le cas dans la limite des hautes températures.


title: Équipartition de l'énergie

text: Si on considère maintenant que la molécule est un oscillateur harmonique quantique, on peut, comme précédemment, associer une température caractéristique formula_245 à son mouvement de vibration. Si on descend à des températures plus basses que formula_245, le mouvement de vibration de la molécule est gelé, presque toutes les molécules du gaz sont dans leur état fondamental. Le théorème ne s’applique plus. On peut cependant le retrouver en considérant la molécule, non plus comme deux masses reliées par un ressort, mais comme deux masses reliées par un lien rigide. C’est le modèle du rotateur rigide pour lequel la chaleur spécifique n’est plus que de 5/2 formula_22.


title: Équipartition de l'énergie

text: Dans la pratique, la plupart des gaz diatomiques ont des températures formula_245 très élevées, de sorte qu’à température ambiante, leur chaleur spécifique est effectivement très proche de 5/2 formula_22. Un exemple typique est le monoxyde de carbone, CO, pour lequel formula_245 vaut 3103 K. Pour les molécules avec des atomes lourds ou faiblement liés, formula_245 peut approcher la température ambiante ; par exemple, elle vaut () pour le diiode gazeux I.


title: Équipartition de l'énergie

text: Ce qui vient d’être dit pour le mouvement de vibration de la molécule s’applique aussi bien à son mouvement de rotation. Mais les températures caractéristiques sont bien plus basses. Pour le monoxyde de carbone, formula_252 vaut environ 1,8 K. Le gel du mouvement de rotation ne s’observe donc qu’à des températures très basses.


title: Équipartition de l'énergie

text: De manière générale, ces effets interviennent chaque fois que la séparation entre deux niveaux d’énergie est beaucoup plus grande que l’agitation thermique. Un autre exemple est donné par les énergies des états excités des électrons dans un atome d’hydrogène. Ceux-ci ne contribuent pas à la chaleur spécifique de l’hydrogène gazeux à température ambiante, car l’énergie thermique formula_6 (environ ) est beaucoup plus faible que l’écart entre l’état fondamental et le premier état excité (environ ).


title: Équipartition de l'énergie

text: Dans le paragraphe qui précède, on a pris en compte des effets quantiques, mais partiellement seulement : on a traité les particules comme des objets classiques indépendants dont seuls les niveaux d’énergie (de rotation ou de vibration) sont quantifiés, tout en restant dans le cadre de la statistique de Maxwell-Boltzmann. Cette approche n’est pas valable quand les fonctions d’onde des particules commencent à se superposer : il faut alors tenir compte de leur nature quantique et les traiter dans le cadre des statistiques quantiques : statistique de Fermi-Dirac pour les fermions, statistique de Bose-Einstein pour les bosons. On parle de matière dégénérée.


title: Équipartition de l'énergie

text: Ces effets dominent dans les limites des fortes densités et des basses températures. Ils sont importants dans la structure des naines blanches et des étoiles à neutrons. Un cas plus quotidien se présente dans les métaux : les électrons de valence d’un métal peuvent avoir une énergie cinétique moyenne de quelques eV. Cette énergie correspondrait à des températures de plusieurs dizaines de milliers de degrés selon le théorème de l’équipartition.


title: Équipartition de l'énergie

text: Un critère de validité de l’équipartition fut initialement calculé par Einstein dans sa théorie du gaz parfait quantique. Dans ce travail, il montre que l’équipartition peut être considérée comme valide dans la limite où


title: Équipartition de l'énergie

text: Dans le cas de l’hydrogène, le calcul explicite du terme de gauche donne environ 60000, ce qui justifie "a posteriori" la validité de l’équipartition. Quand on s’approche du cas quantique, la correction à l’équipartition au premier ordre s’écrit


title: Équipartition de l'énergie

text: Ce critère de validité est plus souvent cité en faisant apparaître la longueur d’onde de de Broglie formula_256 associée :


title: Équipartition de l'énergie

text: On peut alors interpréter ce critère : l’équipartition reste valable tant que cette longueur d’onde reste très inférieure à la distance moyenne entre les particules.


title: Équipartition de l'énergie

text: On n’a utilisé jusque-là que des équations de la mécanique newtonienne. Toutefois, les effets relativistes peuvent dominer dans certains systèmes lorsque les particules de gaz acquièrent des vitesses comparables à la vitesse de la lumière formula_258 ; on parle alors de gaz parfait relativiste. Dans le cas le plus général, l'équipartition n'est alors pas vérifiée, mais on peut la retrouver dans les deux cas limite du gaz parfait classique et du gaz ultra-relativiste.


title: Équipartition de l'énergie

text: Dans le gaz parfait classique (monoatomique), on considérait que l'énergie du système n'était constituée que d'énergie cinétique de translation. Dans le cadre de la mécanique relativiste, l'énergie totale est égale à la somme de l'énergie cinétique et d'une énergie qui dépend de la masse au repos de la particule. La prise en compte de cette énergie rompt l'équipartition : si les particules du gaz ont des masses différentes, l'énergie ne peut pas être répartie équitablement. Dans le cas le plus général, l'énergie totale s'écrit


title: Équipartition de l'énergie

text: Ni l'énergie totale, ni l'énergie cinétique ne sont réparties équitablement entre les différents degrés de liberté. Il est possible néanmoins de définir une grandeur homogène à une énergie qui obéit à une relation similaire à l'équipartition.


title: Équipartition de l'énergie

text: Dans la limite où les particules ont des vitesses très faibles devant la vitesse de la lumière, on retrouve le résultat classique. L'énergie totale d'une particule s'écrit


title: Équipartition de l'énergie

text: L'équipartition est bien respectée pour l'énergie cinétique, mais pas pour l'énergie totale, qui prend en compte le terme supplémentaire dépendant de la masse.


title: Équipartition de l'énergie

text: Dans la limite dite ultra-relativiste pour laquelle les particules ont des vitesses très proches de celle de lumière, on retrouve l'équipartition pour l’énergie totale qui s'écrit :


title: Équipartition de l'énergie

text: Le calcul montre que l’énergie moyenne totale d’un gaz ultra-relativiste vaut deux fois celle d’un gaz non relativiste : pour formula_17 particules, elle vaut 3 formula_18.


title: Équipartition de l'énergie

text: On étudie souvent les systèmes en physique statistique aux moyens de techniques de simulation informatique, dont la dynamique moléculaire. Les conditions aux limites périodiques parfois utilisées dans ces études imposent des contraintes supplémentaires au système (conservation du moment linéaire total et de la position du centre de masse par exemple) qui induisent des effets non négligeables dans la limite des petits systèmes contenant des particules de masses hétérogènes. Dans ces conditions, l’équipartition de l’énergie n’est plus valable. D’autres effets sont par exemple des écarts à la distribution de Maxwell-Boltzmann, ou la non équivalence des approches canonique et microcanonique. Il est toutefois possible de démontrer des formules généralisant le théorème d’équipartition à ces cas plus exotiques.


title: Seether

text: Seether est un groupe de rock sud-africain, originaire de Pretoria. Le groupe est originellement formé sous le nom de Saron Gas jusqu'en 2002, année durant laquelle il adopte le nom de Seether. ' est le premier album du groupe distribué par un label major. Les membres gagnent en popularité en 2002 grâce à leur single ' classé premier du US Active Rock, et leur succès se stabilise jusqu'en 2004 avec le single ' qui se classe à la du ' Hot 100. Ils connaissent le succès à de nombreuses reprises en se plaçant au classement Hot Mainstream Rock Tracks avec des singles comme ', ', et ".


title: Seether

text: Le groupe se forme en 1999 sous le nom de Saron Gas. En 2000, le groupe publie un album indépendant intitulé ".


title: Seether

text: En 2002, Seether lance son premier album officiel, sous le nouveau nom de Seether, ', composé de trois futurs singles : ', ' et '. 2002 est très mouvementé pour Seether. Après la publication de ', le groupe arrête ses tournées. Proche de la fin de leur tournée promotionnelle pour "Disclaimer", le groupe décide de revenir en studio pour enregistrer son deuxième album, un projet retardé pendant près d'un an, à cause de leur tournée en soutien à Evanescence. ' est également inclus dans les jeux vidéo ' et '. À la suite de la publication de ', ils font la promotion de l'album avec une tournée homonyme. Seether réédite sa ballade acoustique ', en une ballade électrique avec Amy Lee d'Evanescence au chant. L'accueil du public est favorable. La chanson, ainsi qu'une autre intitulée ', seront incluses dans le film, '. À cette période, Lee et Morgan sortent ensemble. Morgan explique avoir réédité " à la demande de leur label.


title: Seether

text: L'album suivant, ', est publié en 2005. À l'origine intitulé ', le nom est changé à la demande de leur label. ' débute huitième du classement américain ' 200, et est certifié disque d'or aux États-Unis et au Canada. L'album se compose de trois singles, ', ' et '. ' atteint la première place des US Mainstream Rock, le premier hit numéro un de Seether.


title: Seether

text: Seether publie un coffret CD/DVD acoustique intitulé ', enregistré au Grape Street, de Philadelphie, le . Morgan souffre de problèmes à l'estomac, et décide d'effectuer une performance acoustique de leur coffret plutôt que d'annuler la soirée. La séparation de ' et " de l'album vient d'une demande du label ne souhaitant publier aucune insulte. Le départ du guitariste Patrick Callahan est annoncé le . Shaun Morgan commente : Morgan entre en cure de désintoxication en à cause de problèmes liés à l'alcool, ce qui mène le groupe à annuler ses concerts avec Staind et Three Days Grace.


title: Seether

text: ' est initialement prévu pour , mais la date de sortie est reportée pour le à cause du suicide du frère de Morgan, Eugene Welgemoed. L'album débute neuvième du ' 200, et dénombre 57 000 exemplaires vendus la première semaine. Sa couverture montre la tournée ', illustrée par David Ho. Le premier single, ', atteint la tête des US Mainstream Rock Charts et Modern Rock Charts, et y restent pendant neuf semaines. Il devient le thème du " de 2008 à la WWE. En , la compilation "iTunes Originals" atteint la place du Top Digital Album, autre classement établi par le magazine "Billboard". L'album contient des versions acoustiques et "live" des chansons de Seether, ainsi que des interviews avec le groupe.


title: Seether

text: ', écrit pour Eugene Welgemoed, est publié comme single et atteint la première place du Modern Rock Tracks. Le dernier single extrait de l'album est ' ; la vidéo du titre est publiée en . "" remporte le South African Music Award dans la catégorie , et le MTV Africa Music Award dans la catégorie .


title: Seether

text: Une tournée est lancée en soutien à l'album au début de 2008 jusqu'à la fin de l'année. Troy McLawhorn, de Dark New Day, Evanescence, Sevendust, et DoubleDrive, est recruté comme guitariste de tournée le . Seether partage la scène avec Three Days Grace, Finger Eleven, Breaking Benjamin, 3 Doors Down, Skillet, Red, Papa Roach, Flyleaf, Econoline Crush et Staind. McLawhorn devient par la suite membre officiel du groupe. ' est incluse dans la bande originale de la série "" publiée le , et une version de ' de George Michael est publiée en téléchargement Internet et mobile. La chanson est supposément une blague. Le clip vidéo du titre est publié le .


title: Seether

text: Seether participe en soutien à Nickelback à leur tournée ' entre mars et . Shaun et Dale confirment dans une interview effectuée le , après la tournée de Nickelback, que Seether prend une pause et en profitera pour écrire les chansons de '. Le groupe donne néanmoins quelques concerts à la fin de l'année, avec des dates notables comme à Okinawa pour jouer devant les troupes américaines les 23 et au Camp Schwab, puis à MCAS Iwakuni le pour les Marines américains. Seether fait également quelques apparitions au Chippewa Valley Music Festival et au Festival d'été de Québec, avant la conclusion du Big E Festival, à West Springfield, Maryland, le .


title: Seether

text: Le groupe passe plusieurs mois à enregistrer leur album à Nashville (Tennessee) aux côtés du producteur Brendan O'Brien. Le batteur John Humphrey confirme en août la fin des enregistrements et le début du mixage. Le groupe se dit hâte de publier cet album aux chansons Morgan confirme la fin de l'album en septembre et prévoit une sortie pour le début de 2011. Un nouveau single, "No Resolution", est publié le , lors d'un concert au DuQuoin, IL State Fair. McLawhorn et Humphrey, dans une interview à la radio, annonce le titre ', prévu pour mai. Le premier single de l'album, ', est publié le aux États-Unis et le au Royaume-Uni et le nouvel album est publié le . Seether atteint la deuxième place du "Billboard" 200 avec '. Il atteint également la première place des US Rock Albums, US Alternative Albums et US Hard Rock Album. L'album s'écoule à exemplaires en une semaine, et devient celui du groupe le mieux vendu depuis ' vendu à exemplaires en 2005 "" nomme Seether "No. 1 Active" et "No. 1 Heritage Rock Artist" en 2011.


title: Seether

text: Le départ de Troy McLawhorn du groupe et son retour à Evanescence est annoncé le . Seether joue en live à Cincinnati (Ohio) le , et à South Bend (Indiana) le . Les deux concerts sont enregistrés et publiés dans un coffret CD limité pour chacune des deux villes précédemment mentionnées. Le , le groupe annonce sa compilation '. L'album 2 CD est publié le et se compose des meilleurs titres de Seether, de démos inédites, de bandes originales et deux trois nouvelles chansons dont la reprise du titre "Seether" de Veruca Salt. ' également deux nouvelles chansons (' et '), et est produit par Brendan O'Brien. Le groupe publie un clip démo de 15 secondes pour le titre ' sur loudwire.com. Le , Seether publie un single ' avec Van Coke Kartel & Jon Savage. La chanson est incluse dans la version deluxe de ".


title: Seether

text: Dans une interview, Dale Stewart, le bassiste du groupe, confirme l'écriture d'un nouvel album. Le , le groupe poste sur YouTube une vidéo dans laquelle le chanteur Shaun Morgan explique que l'album sera enregistré pendant une semaine. Le , Seether publie des bandes-annonces sur Snapchat, et Instagram. Le , l'album intitulé ' est annoncé pour le , avec comme single principal, ' prévu pour le .


title: Seether

text: Seether s'inspire principalement de groupes de grunge américains comme Nirvana et Alice in Chains. Stephen Thomas Erlewine d'AllMusic décrit l'auteur-interprète du groupe, Shaun Morgan, Seether s'inspire également des Deftones et Nine Inch Nails.


title: Mark Duplass

text: Mark Duplass (né le ) est un acteur, un réalisateur, un musicien et un producteur de cinéma américain. Frère de Jay Duplass, ils ont lancé la compagnie de production et ont réalisé des films tels ' (2005), "Jeff, Who Lives at Home" (2011) et ' (2012). Ils ont également cocréé la série télévisée "Togetherness" (2015) et "Room 104" (2017).


title: Mark Duplass

text: Mark Duplass naît à La Nouvelle-Orléans de Cynthia Ernst et Lawrence Duplass. Ayant des ancêtres cajuns, on lui inculque une éducation prônant des valeurs catholiques romaines. Il fréquente la ", l'université du Texas à Austin et le "City College of New York".


title: Boson W

text: Les bosons W et W sont deux particules élémentaires de la classe des bosons ; ce sont plus précisément deux des trois bosons de jauge de l'interaction faible, les médiateurs de cette interaction, le troisième étant le boson Z.


title: Boson W

text: La découverte des bosons Z et W fut attribuée en majeure partie au CERN, qui identifia en 1983, lors de collisions proton-antiproton, les deux types de particules avec des propriétés proches de celles prévues par la théorie électrofaible, notamment une masse mesurée d'environ pour W, soit plus de 80 fois celle d'un proton, supérieure même à celle d'un atome de fer 56. Après cette découverte, le grand collisionneur électron-positron du CERN et le Tevatron ont permis d'affiner la mesure de la masse du boson W.


title: Boson W

text: En 2022, après plus de dix ans d'étude, une nouvelle mesure établit la masse du boson W à , soit un écart de 0,09 % avec la masse théorique de cette particule. Cet écart reste à confirmer mais rejoint d'autres résultats expérimentaux qui remettent en question le modèle standard.


title: Circuit détecteur d'enveloppe

text: Un circuit de détecteur d'enveloppe est un circuit électrique redresseur simple alternance, composé d'une diode et d'un condensateur en série.


title: Circuit détecteur d'enveloppe

text: Quand il sert, par exemple en radio, pour extraire le signal basse fréquence d'une fréquence porteuse modulée en amplitude, on l'appelle circuit de détection.


title: Circuit détecteur d'enveloppe

text: Un circuit détecteur d'enveloppe est constitué d'une diode en série reliée à une charge constituée d'un condensateur et d'une résistance.


title: Circuit détecteur d'enveloppe

text: Son signal d'entrée est une fréquence porteuse dont on veut extraire la modulation. C'est donc un courant alternatif, présentant une tension tantôt positive, tantôt négative.


title: Circuit détecteur d'enveloppe

text: Quand la tension d'entrée est positive, la diode conduit et le condensateur se charge. Quand la tension d'entrée est négative, la diode se bloque, le condensateur se décharge dans la charge. Comme la résistance présente dans le circuit lors de la charge de la capacité est faible, celle-ci est beaucoup plus rapide que la décharge dans la résistance. Si la constante de temps du circuit résistance-condensateur est correctement choisie, sa tension reste à peu près constante entre deux crêtes de la porteuse.


title: Circuit détecteur d'enveloppe

text: Il est tout à fait indifférent, du point de vue de la fonction du circuit, que la constante de temps soit obtenue par un circuit résistance série - condensateur parallèle ou un circuit résistance - bobine en série, ou tout autre, actif ou passif, de n'importe quel ordre.


title: Circuit détecteur d'enveloppe

text: La modulation d'amplitude transforme un signal basse fréquence en signal haute fréquence afin d'en faciliter l'émission. L'information, c'est-à-dire le signal basse fréquence, forme l'enveloppe ou signal modulant, du signal haute fréquence qu'on appelle signal porteur. Mathématiquement :


title: Circuit détecteur d'enveloppe

text: Dans la modulation de fréquence, l'enveloppe est constante. Cependant, de nombreux récepteurs FM la mesurent afin d'avoir une information sur la puissance du signal.


title: Circuit détecteur d'enveloppe

text: La constante de temps τ = RC doit permettre l'élimination de la fréquence porteuse, tout en n'affectant pas trop les fréquences supérieures du signal. On peut proposer


title: Circuit détecteur d'enveloppe

text: Cet idéal implique que la fréquence de la porteuse soit au moins cent fois la fréquence de la modulation. Cette condition n'est pas souvent remplie ; la diffusion radio en grandes ondes se fait entre 150 et pour des bandes passantes dont la borne supérieure atteint ou dépasse les . On détecte donc avec un résidu de porteuse, qu'on filtre ensuite, ou mieux, on utilise une détection hétérodyne avec une fréquence intermédiaire constante, qu'il est plus facile d'éliminer.


title: Circuit détecteur d'enveloppe

text: Associé uniquement à un circuit d'accord et un écouteur, un circuit de détection forme un poste à galène permettant d'écouter un signal de radiodiffusion pourvu qu'il soit suffisamment puissant.


title: Circuit détecteur d'enveloppe

text: Un amplificateur opérationnel peut être ajouté au montage. Le circuit diode-RC est influencé par la caractéristique exponentielle de la diode, qu'on assimile souvent à une tension de seuil. La détection est faussée si les crêtes de la modulation s'approchent du zéro de la porteuse. En radio cela n'arrive pas, parce que les règlements limitent le niveau de modulation et qu'on utilise une fréquence intermédiaire, à une amplitude bien déterminée, pour la détection hétérodyne. Dans d'autres applications, la modulation peut atteindre les 100 %, et il faut utiliser un circuit actif pour la démodulation.


title: Circuit détecteur d'enveloppe

text: Si la crête de modulation approche de l'amplitude de la fréquence porteuse, la tension, à cet instant, va se trouver inférieure au seuil de conduction de la diode, et la modulation se trouve écrêtée en sortie.


title: Circuit détecteur d'enveloppe

text: L'amplificateur opérationnel bouclé sur lui-même compense la différence entre ses deux bornes d'entrée (+ et -). En anglais ce montage est dénommé "".


title: Circuit détecteur d'enveloppe

text: Quand le signal n'est pas symétrique, et qu'on veut en extraire la valeur de crête à crête, il faut redresser les deux alternances. Cela peut s'effectuer, soit par un circuit à diodes, soit par un circuit à amplificateurs opérationnels.


title: Circuit détecteur d'enveloppe

text: Un (cadre rouge dans le schéma) ajoute la tension nécessaire pour avoir un signal toujours positif : le circuit devient alors un doubleur de tension.


title: Circuit détecteur d'enveloppe

text: Lorsque la tension d'entrée est négative, le courant passe dans la diode D et charge le condensateur C. Quand la tension redevient positive, la diode est bloquée et le circuit de détection ajoute la valeur de la crête supérieure à celle de la crête inférieure restée dans C.


title: Circuit détecteur d'enveloppe

text: Ce circuit détecte celle des crêtes la plus éloignée de zéro. Il peut servir pour vérifier que le signal ne dépasse pas les limites, positive ou négative, admises.


title: Circuit détecteur d'enveloppe

text: L'autre est monté en inverseur suiveur, avec la diode intercalée dans la sortie, et redresse sans seuil l'alternance négative.


title: Circuit détecteur d'enveloppe

text: En général, le signal audio n'est pas symétrique. Pour mesurer l'amplitude du signal de crête à crête en vue de vérifier qu'elle ne dépasse pas une valeur limite ou de l'empêcher de le faire, il faut utiliser un montage détecteur double alternance.


title: Circuit détecteur d'enveloppe

text: Dans le domaine musical, des détecteurs d'enveloppe peuvent servir dans des pédales d'effet, où le circuit détecteur d'enveloppe sert à régler le gain d'un amplificateur commandé en tension ( "VCA") ou la fréquence de coupure d'un filtre. Dans ce cas, où l'on se préoccupe, non de l'intégrité du signal ou de sa distorsion, mais d'obtenir un son intéressant, on peut se dispenser de la détection double alternance. Les mêmes considérations peuvent s'appliquer, ou non, aux autres effets, plus perfectionnés, et aux filtres commandés en tension des synthétiseurs analogiques sont des circuits similaires.


title: Circuit détecteur d'enveloppe

text: Dans d'autres circuits comme les compresseurs audio, il sert rarement, sauf dans les écrêteurs doux ( soft clippers) destinés à empêcher qu'un signal audio dépasse les limites admissibles avant un convertisseur analogique-numérique ou un émetteur de radio. La grandeur utile pour le contrôle de la dynamique est en effet la valeur efficace du signal, reliée à la puissance et au volume sonore perçu. On utilise le montage en détection quadratique double alternance.


title: Circuit détecteur d'enveloppe

text: Pour obtenir une valeur de sortie proche de la valeur efficace au lieu de la valeur de crête, on utilise le même montage que pour un détecteur d'enveloppe, mais avec un signal d'entrée très inférieur à la tension de seuil de la diode.


title: Circuit détecteur d'enveloppe

text: Quand une tension directe "V" est appliquée à la diode, un courant d'intensité "I" la traverse, suivant une loi exponentielle:


title: Circuit détecteur d'enveloppe

text: Pour une tension formula_12, soit environ à la température ambiante, vers , l'exposant de l'exponentielle est nul et "I" = "I". On peut écrire


title: Circuit détecteur d'enveloppe

text: Si on se donne comme objectif une précision de 1 %, et qu'on veuille négliger les termes au-delà de la puissance deux, il faut que l'intégrale de ces termes soit de moins de 0,01. On peut considérer que c'est le cas si V vaut moins de 0,2 × "v". Dans ces conditions, on a


title: Circuit détecteur d'enveloppe

text: Le condensateur étant supposé court-circuiter les composantes alternatives dont on cherche à établir l'enveloppe, il reste


title: Circuit détecteur d'enveloppe

text: Sur une charge résistive, la tension de sortie sera donc raisonablement proportionnelle au carré de l'amplitude du signal alternatif d'entrée, c'est-à-dire proportionnel à la puissance de ce signal, tant que son amplitude ne dépasse pas environ .


title: Circuit détecteur d'enveloppe

text: Avec un redressement double alternance par pont de diodes, il y a toujours deux diodes en série dans le circuit, et la valeur maximale de la tension alternative à l'entrée est doublée.


title: Circuit détecteur d'enveloppe

text: Ce principe est à la base du VU-mètre pour les mesures audio. Dans cet appareil, l'inertie du galvanomètre, bien définie par la norme, remplace le condensateur pour l'élimination des composantes alternatives.


title: Circuit détecteur d'enveloppe

text: Si on utilise un redresseur double alternance pour doubler la fréquence d'un signal d'entrée sinusoïdal, garder l'amplitude du signal dans les limites de la détection quadratique réduit dans de grandes proportions le niveau des harmoniques à filtrer.


title: Circuit détecteur d'enveloppe

text: Pour les signaux numériques, la détection de l'enveloppe se résume à créer une variable "valeur_enveloppe" pour la valeur de sortie, et, pour chaque nouvel échantillon :


title: Circuit détecteur d'enveloppe

text: La détection de la valeur efficace (détection quadratique) implique l'élévation au carré de la valeur de l'échantillon ; pour éviter ce calcul, on peut préalablement comparer l'ordre de grandeur de la valeur de sortie et celle du nouvel échantillon, qui est directement accessible lorsque les valeurs sont codées en virgule flottante. Le taux de décroissance de la valeur est le carré de celui de la valeur de crête.


title: Ford Explorer

text: Le Ford Explorer est un SUV du constructeur automobile américain Ford lancé pour la première fois en 1990 et produit à plus de d'exemplaires.


title: Ford Explorer

text: Le Ford Explorer est sorti en en tant que véhicule de l'année modèle 1991. Comme le Bronco II qu'il a remplacé, il était un dérivé SUV de la camionnette Ranger, devenant un véhicule familial avec des capacités tout-terrain, ainsi l'Explorer était équipé de nombreuses options du Ranger. Comme ses concurrents directs, le Chevrolet S-10 Blazer et le Jeep Cherokee, le Ford Explorer était disponible en 3 et 5 portes, avec 2 ou 4 roues motrices (l'Explorer et le S-10 Blazer à cinq portes ont été lancés à moins d'un mois d'intervalle).


title: Ford Explorer

text: Pour attirer davantage les acheteurs familiaux, Ford a aérodynamiquement optimisé l'habitacle de l'Explorer, en adoptant des vitres encastrées et des portes enveloppantes ; une carrosserie plus large permettait une assise arrière à trois places. Pour optimiser l'espace de chargement, le traditionnel porte-roue de secours escamotable a été supprimé au profit d'un emplacement sous le plancher. Semblable à celui du Ford Taurus break, le hayon arrière était équipé d'une lunette arrière rabattable.


title: Ford Explorer

text: Sa silhouette est connue pour son usage dans le film "Jurassic Park", c'est alors une voiture électrique et automatique montée sur rail pour la visite du parc.


title: Ford Explorer

text: Comme pour le Bronco II, l'Explorer de première génération (code de conception UN46) partage ses fondements de châssis avec le Ford Ranger de 1983-1992. La version à trois portes utilise un empattement de ( de plus que le Bronco II); le cinq portes utilisent un empattement de ( de plus).


title: Ford Explorer

text: Les premières générations des Explorer ont été équipées des nouveaux moteur V6 Cologne 4.0 l de 157 ch (116 kW), fabriqués à Cologne, en Allemagne, remplaçant le V6 de 2,9 L du Bronco II ; le moteur était partagé avec le Ford Aerostar et le Ranger. Il est équipé en standard d'une transmission manuelle à 5 rapports M5OD de Mazda, avec l'option d'une boite automatique A4LD que Ford construisait en France. Pour 1993, la puissance du moteur a été portée à 162 ch (119 kW).


title: Ford Explorer

text: En plus du groupe motopropulseur standard à propulsion arrière, l'Explorer était également proposé, à son lancement, avec diverses configurations de transmission intégrale à temps partiel, alimenté par une boîte de transfert Borg Warner 13–54. La boîte de transfert électrique "Touch Drive" était standard (partagée avec le Ranger et le Bronco II précédent); il permettait au véhicule de passer de la transmission à deux roues motrices à la transmission 4x4 haut de gamme (à n'importe quelle vitesse) et à la transmission 4x4 à gamme basse (à l'arrêt). En option, l'Explorer était également proposé avec une boîte de transfert manuelle (l'option était associée à des moyeux à verrouillage manuel).


title: Ford Explorer

text: Tous les Explorer étaient équipés de l'essieu avec différentiel à glissement limité 8.8 de Ford en ou en version ouverte ; plusieurs rapports d'essieu arrière pouvaient être spécifiés. Les essieux avant des modèles à quatre roues motrices étaient le Dana 35 TTB («Twin Traction Beam») avec quelques composants du Dana 44; Les modèles 4x2 partageaient les composants Twin I-Beam avec le Ranger.


title: Ford Explorer

text: Passant dans la catégorie des SUV de taille intermédiaire, l'Explorer est beaucoup plus grand que le Bronco II. Par rapport à son prédécesseur, l'Explorer trois portes est plus long et plus large ; un Explorer cinq portes mesure de plus et de plus que le Bronco II.


title: Ford Explorer

text: Partageant à nouveau un carénage avant avec le Ford Ranger (y compris le pare-chocs avant, les ailes, les phares, les roues et la calandre), l'habitacle de l'Explorer a subi des améliorations majeures par rapport à son prédécesseur. Parallèlement à l'ajout d'un style de carrosserie cinq portes, la carrosserie a subi de multiples améliorations aérodynamiques ; l'Explorer a reçu ses propres estampages de porte, des rails d'égouttement extérieurs (enveloppant les portes sur le toit) et des rétroviseurs latéraux montés sur support (remplaçant ceux intégrés aux portes). Dans ce qui allait devenir une caractéristique de conception de la gamme de modèles, les montants B et D étaient noircis (abaissant visuellement le véhicule).