title: Le Noël de Mickey

text: Le soir de Noël, l'égoïste et acariâtre Ebenezer Scrooge reçoit la visite du fantôme de son ancien associé, Jacob Marley. Celui-ci tente de le convaincre de l'immoralité de son métier d'usurier. Jacob lui-même, qui « escroquait les veuves et grugeait les pauvres », montre à Ebenezer les lourdes chaînes qu'il est condamné à porter « pour l'éternité… et peut-être même au-delà ». Jacob menace Ebenezer de la damnation s'il ne revient pas à une conduite plus morale.


title: Le Noël de Mickey

text: Après cet entretien, Scrooge reçoit la visite successive de trois esprits, qui incarnent les Noëls passés, présents et futurs. Chacun des trois fantômes lui fait prendre conscience qu'il ne trouvera la paix qu'en se consacrant aux autres.


title: Le Noël de Mickey

text: La veille de Noël, dans le Londres du XIXe siècle, Ebenezer Scrooge est un prêteur d'argent avare qui s'oppose à la joie de Noël. Il refuse l'invitation de son neveu Fred au dîner de Noël, puis retire deux messieurs de l'aide à la collecte de fonds pour les pauvres. Son fidèle employé Bob Cratchit demande à avoir la moitié du jour de Noël, ce que Scrooge accepte à contrecœur, mais dit que Cratchit serait amputé d'une demi-journée de salaire.


title: Le Noël de Mickey

text: Scrooge continue ses affaires et rentre chez lui juste avant minuit. Dans sa maison, Scrooge rencontre le fantôme de son ancien associé Jacob Marley, qui l'avertit de se repentir de ses mauvaises manières, sinon il sera condamné dans l'au-delà comme il l'était, l'informant que trois esprits lui rendront visite pendant la nuit.


title: Le Noël de Mickey

text: À une heure, Scrooge reçoit la visite du fantôme du Noël passé, qui le ramène dans le temps à sa vie d'adulte. Ils visitent son temps en tant qu'employé sous Fezziwig. Fezziwig organise une fête de Noël où le jeune Scrooge rencontre une jeune femme nommée Isabelle, dont il tombe amoureux. Cependant, le fantôme montre à Scrooge comment Isabelle l'a quitté quand il a choisi l'argent à sa place. Un Scrooge désemparé rejette le fantôme alors qu'il retourne dans le présent, déplorant ses actions passées.


title: Le Noël de Mickey

text: À deux heures, Scrooge rencontre le gigantesque et joyeux fantôme du Noël présent. Scrooge et le fantôme visitent la maison de Bob, apprenant que sa famille est étonnamment satisfaite de leur petit dîner. Scrooge a pitié du fils malade de Bob, Tiny Tim. Le fantôme commente que Tiny Tim ne survivra pas avant Noël prochain, puis disparaît.


title: Le Noël de Mickey

text: Scrooge est ensuite transporté dans un cimetière, où il rencontre le fantôme du Noël futur, qui apparaît initialement comme une figure silencieuse, masquée et fumeuse de cigares. Lorsque Scrooge s'enquiert de Tiny Tim, le fantôme révèle que Tim est mort. Alors qu'un Scrooge dévasté demande si cet événement peut être changé, il voit deux fossoyeurs qui sont amusés que personne n'ait assisté aux funérailles de l'homme qu'ils enterrent. Dès que les fossoyeurs sont partis, le fantôme révèle que l'homme qui est mort n'est autre que Scrooge lui-même. Désormais terrifié, Scrooge décide de changer ses habitudes une fois pour toutes alors que le fantôme le pousse dans la tombe, où son cercueil vide s'ouvre pour révéler la porte de l'enfer.


title: Le Noël de Mickey

text: Se réveillant dans sa chambre le jour de Noël, Scrooge décide de surprendre la famille de Bob avec un dîner à la dinde et s'aventure à répandre le bonheur et la joie autour de Londres. Il accepte l'invitation de Fred et fait don d'une somme d'argent considérable aux messieurs qu'il a précédemment rejetés. Scrooge se rend ensuite à la maison Cratchit. Au début, adoptant un comportement sévère, Scrooge révèle qu'il leur a apporté de la nourriture et des cadeaux et qu'il a l'intention d'augmenter le salaire de Bob et de faire de lui son associé dans sa maison de comptage. Scrooge et les Cratchits célèbrent joyeusement Noël.


title: Le Noël de Mickey

text: Parmi les autres personnages du film, on peut trouver, entre autres, Riri, Fifi et Loulou, Horace Horsecollar, Clarabelle Cow, Grand-Mère Donald, Tic et Tac, Gus Glouton, Clara Cluck, Max Hare, Paddy et Peter Pig ; les Trois Petits Cochons, le Grand Méchant Loup et ses fils ; Crapaud (Fezziwig), Rat et Taupe (les quêteurs), Blaireau, Cyril Proudbottom et les fouines de la "Mare aux Grenouilles" du film "Le Crapaud et le Maître d'école" (1949) ; l'oncle Waldo des "Aristochats" (1970) ; Dame Gertrude, Toby et Bobby de "Robin des Bois" (1973), etc.


title: Le Noël de Mickey

text: La chanson « "Oh! What a Merry Christmas Day" » a été composée par Irwin Kostal sur des paroles de Fredrick Searles. Chaque doublage français possède sa version, proposant des paroles différentes : « "C'est aujourd'hui jour de Noël" » dans le français, « "Les cloches sonnent, c'est Noël" » dans le et « "Vive la magie de Noël" » dans le .


title: Le Noël de Mickey

text: Une première édition VHS était disponible en 1984 () en même temps qu'une diffusion sur NBC; il a été réédité quelques années plus tard dans la série des "Mini Classiques" ().


title: Le Noël de Mickey

text: Il est également intégré, dans une version légèrement modifiée, à la compilation VHS/DVD "Mickey, la magie de Noël" parue en 2001 ().


title: Le Noël de Mickey

text: La collection "Les Intemporels" (2009) propose le premier doublage qui est depuis celui exploité sur tous les supports.


title: Olivia (chanteuse)

text: Olivia Longott, de son vrai nom Olivia Theresa Longott, aussi connue sous le nom d'Olivia, est une chanteuse de R'n'B américaine.


title: Olivia (chanteuse)

text: Née le 1981 à New York dans le quartier de Brooklyn. D'origines jamaïcaine,elle grandit en Jamaïque avec ses grands-parents mais elle rejoint ses parents à New York à l'âge de 8 ans. Olivia chante dans les églises de son quartier dès son plus jeune âge et étudie la musique au lycée. Elle sait jouer du piano et de la guitare. Première signature féminine du G-Unit, elle a participé au morceau "Candy Shop" au côté de 50 Cent. Son second albumet avec fally ipupa solo devait sortir et s'intituler "Behind Closed Door". Elle a déjà sorti un album nommé "Olivia" en 2001 sur le même label qu'Alicia Keys, J Records dont sont extraits les titres "Bizounce" et "Are you capable". C'est en 2004 qu'elle rejoint 50 Cent et G-Unit et apparaît dans de nombreux clips du crew. DJ Whoo Kid, le DJ du G-Unit lui a consacré une mixtape dans la collection G-Unit Radio Part. 12 "Olivia - So Seductive". En 2005, elle a fait un duo avec Shaggy "Wild 2Nite" qui devait être sur son nouvel album "Clothes Drop". En 2007, sa maison de disques met un terme à son contrat ; son album ne sortira donc pas.


title: Nigel Marven

text: Nigel Marven, né le à Barnet, Londres, est zoologiste et herpétologiste ainsi que présentateur, producteur de télévision et auteur britannique.


title: Nigel Marven

text: Marven a étudié la botanique à l'Université de Bristol jusqu'à l'âge de 22 ans. Il commença alors sa carrière à l'unité des programmes d'histoire naturelle de la BBC à Bristol. Au cours des années suivantes, il travaille d'abord comme un recherchiste documentaire animalier pour des programmes tels que "My Family and Other Animals" ; ensuite, il produit des séries comme "The Land of the Russian Bear". Il a bénéficié d'une collaboration professionnelle de 12 ans avec David Attenborough qu'il tient en haute estime. En 1998, il s'installe à ITV où, à sa grande surprise, on lui demande de présenter les documentaires animaliers en plus de les produire.


title: Nigel Marven

text: Il est connu pour sa façon peu orthodoxe, spontanée et audacieuse de présenter les documentaires animaliers, ainsi que pour la prise en compte des connaissances factuelles dans la procédure. Cela a conduit à le comparer à Steve Irwin. Dans sa première série pour la télévision ITV, "Giants", il a nagé avec un grand requin blanc, sans la protection d'une cage. Dans d'autres scènes, il laissait une Mygale de Leblon, considérée comme la plus grande araignée du monde, lui marcher sur la figure, et il se battait avec un python de 5 mètres au fond de son repaire souterrain. Ce style de présentation lui a valu la fidélité de nombreux téléspectateurs pour sa série à succès et, à ce jour, il a présenté 21 séries animalières à la télévision.


title: Nigel Marven

text: En 2003, la société de production Impossible Pictures lui a demandé de présenter les épisodes "Chased by Dinosaurs" : "The Giant Claw" et "Land Of Giants" de la série "Sur la trace des dinosaures", puis "Les Monstres du fond des mers". Puis, il est passé à "Prehistoric Park" sur ITV, une série de fiction sur les voyages dans le temps pour sauver des exemples de créatures disparues comme un tyrannosaure, un mammouth laineux, un Arthropleura et d'autres animaux préhistoriques. Il apparaît également dans la série Nick Cutter et les Portes du temps dans son propre rôle.


title: Nigel Marven

text: Au cours de la simulation d'une rencontre de dinosaures préhistoriques dans "Prehistoric Park", Marven s'est déclaré « végétarien ». Tout au long de la série, il applique le même terme à des animaux naturellement herbivores. En la dernière série "Polar Bear Adventures avec Nigel Marven" a été diffusée sur Channel Five. Et en 2010 son émission "Objectif Jaguar avec Nigel Marven" est vue sur la chaîne de télévision française Animaux.


title: Nigel Marven

text: En 2013, la série "L'incroyable périple des baleines grises" est diffusée sur France 5, ainsi que la série "Colombie sauvage".


title: Nigel Marven

text: Nigel Marven a « confirmé », avec humour, son statut de « dieu du temps immortel » en réponse à un tweet qui l'avançait en raison des multiples situations vraisemblablement mortelles rencontrées durant les aventures préhistoriques de l'aventurier.


title: Nigel Marven

text: Nigel Marven a couru le marathon de Londres 2008 en 4 heures et 4 minutes pour tenter de rassembler 20 000 £ pour la Whale and Dolphin Conservation Society du Royaume-Uni.


title: Ry (Seine-Maritime)

text: Ry est située à l'est de Rouen dans la vallée du Crevon. Ry est à de Buchy et de Fleury-sur-Andelle, à de Lyons-la-Forêt, à de Darnétal et à de Rouen. Le sentier de grande randonnée 25 traverse la commune.


title: Ry (Seine-Maritime)

text: Le climat qui caractérise la commune est qualifié, en 2010, de « climat océanique dégradé des plaines du Centre et du Nord », selon la typologie des climats de la France qui compte alors huit grands types de climats en métropole. En 2020, la commune ressort du type « climat océanique altéré » dans la classification établie par Météo-France, qui ne compte désormais, en première approche, que cinq grands types de climats en métropole. Il s’agit d’une zone de transition entre le climat océanique, le climat de montagne et le climat semi-continental. Les écarts de température entre hiver et été augmentent avec l'éloignement de la mer. La pluviométrie est plus faible qu'en bord de mer, sauf aux abords des reliefs.


title: Ry (Seine-Maritime)

text: Les paramètres climatiques qui ont permis d’établir la typologie de 2010 comportent six variables pour les températures et huit pour les précipitations, dont les valeurs correspondent à la normale 1971-2000. Les sept principales variables caractérisant la commune sont présentées dans l'encadré ci-après.


title: Ry (Seine-Maritime)

text: Avec le changement climatique, ces variables ont évolué. Une étude réalisée en 2014 par la Direction générale de l'Énergie et du Climat complétée par des études régionales prévoit en effet que la température moyenne devrait croître et la pluviométrie moyenne baisser, avec toutefois de fortes variations régionales. Ces changements peuvent être constatés sur la station météorologique de Météo-France la plus proche, « Buchy », sur la commune de Buchy, mise en service en 1960 et qui se trouve à à vol d'oiseau, où la température moyenne annuelle est de et la hauteur de précipitations de pour la période 1981-2010.


title: Ry (Seine-Maritime)

text: Sur la station météorologique historique la plus proche, « Rouen-Boos », sur la commune de Boos, mise en service en 1968 et à , la température moyenne annuelle évolue de pour la période 1971-2000 à pour 1981-2010, puis à pour 1991-2020.


title: Ry (Seine-Maritime)

text: Ry est une commune rurale, car elle fait partie des communes peu ou très peu denses, au sens de la grille communale de densité de l'Insee.


title: Ry (Seine-Maritime)

text: Par ailleurs la commune fait partie de l'aire d'attraction de Rouen, dont elle est une commune de la couronne. Cette aire, qui regroupe , est catégorisée dans les aires de à moins de .


title: Ry (Seine-Maritime)

text: L'occupation des sols de la commune, telle qu'elle ressort de la base de données européenne d’occupation biophysique des sols Corine Land Cover (CLC), est marquée par l'importance des territoires agricoles (69,6 % en 2018), une proportion identique à celle de 1990 (70 %). La répartition détaillée en 2018 est la suivante :


title: Ry (Seine-Maritime)

text: prairies (34,9 %), forêts (25,5 %), terres arables (25,1 %), zones agricoles hétérogènes (9,6 %), zones urbanisées (5 %).


title: Ry (Seine-Maritime)

text: L'IGN met par ailleurs à disposition un outil en ligne permettant de comparer l’évolution dans le temps de l’occupation des sols de la commune (ou de territoires à des échelles différentes). Plusieurs époques sont accessibles sous forme de cartes ou photos aériennes : la carte de Cassini (), la carte d'état-major (1820-1866) et la période actuelle (1950 à aujourd'hui).


title: Ry (Seine-Maritime)

text: Le nom de la localité est attesté sous les formes "Ri" vers 1190, "Ricum" en 1236, "Ry" en 1319, "Saint Soupplix de Ry" en 1466, "Saint Soupplis de Ry" en 1496, 1497 et en 1502, "Saint Souplice de Ry" en 1546, "Saint Sulpice de Ry" en 1641, "Ry" en 1715.


title: Ry (Seine-Maritime)

text: Du gaulois "rito-" > "ritum" « gué », comme Rai (Orne) "Reti" 1050 ou Roy-Boissy (Oise) "Rei" 1137. Hypothèse corroborée par la situation du village au bord du Crevon.


title: Ry (Seine-Maritime)

text: Cependant, la forme "ricum" peut être juste, d'autant plus qu'elle ressemble à celle de Ryes (Calvados) "Rigia" 1060, terme sans doute celtique apparenté à *"rica" « sillon », qui a donné « raie » en français.


title: Office anti-stupéfiants

text: L'office anti-stupéfiants (OFAST) est une agence française chargée de coordonner la lutte contre le trafic de stupéfiants sur le territoire français. Annoncée en , elle est opérationnelle depuis le . Elle fait partie du Plan national de lutte contre les stupéfiants, mise en route par le gouvernement. L'office est dirigé par Stéphanie Cherbonnier, contrôleuse générale des services actifs de la Police nationale, depuis sa création en 2020.


title: Office anti-stupéfiants

text: L'OFAST est un service central à compétence nationale, chef de file pour la lutte contre les trafics de stupéfiants. Il a remplacé l'Office central pour la répression du trafic illicite des stupéfiants (OCRTIS), disparu fin 2019.


title: Office anti-stupéfiants

text: L'OFAST est placé sous l'autorité du directeur central de la police judiciaire. Son fonctionnement est interministériel associant l'autorité judiciaire et l'ensemble des services concernés (justice, police, gendarmerie, douane, administration pénitentiaire, administration fiscale, etc.).


title: Office anti-stupéfiants

text: Le chef de l'OFAST est une contrôleuse générale des services actifs de la Police nationale et le chef-adjoint un procureur de la République, détaché également comme contrôleur général. L'OFAST est structuré en trois pôles : un pôle opérationnel dirigé par un commissaire divisionnaire, un pôle stratégie dirigé par une administratrice des douanes et un pôle renseignement, dirigé par un colonel de gendarmerie.


title: Office anti-stupéfiants

text: L'OFAST est un service opérationnel qui conduit ses propres enquêtes et a pour vocation de coordonner les enquêtes réalisées par les autres services concernant les trafics d'envergure. A ces fins, il travaille en étroite relation avec la juridiction nationale de lutte contre la criminalité organise (JUNALCO) et les juridictions interrégionales spécialisées (JIRS), dans le cadre de saisines conjointes avec les services territoriaux de la police ou de la gendarmerie. L'OFAST est le point d'entrée et contact privilégié des autres services étrangers spécialisés dans la lutte anti-drogue.


title: Office anti-stupéfiants

text: Il dispose d'un réseau de 14 antennes et 10 détachements en France et un maillage de cellules du renseignement opérationnel sur les stupéfiants (CROSS) dans chaque département.


title: Office anti-stupéfiants

text: L'office anti-stupéfiants est dirigé, depuis sa création le , par la contrôleuse générale des services actifs de la Police nationale Stéphanie Cherbonnier, nommée à ce poste par un arrêté du ministre de l'Intérieur du . Elle est reconduite dans ses fonctions deux ans et demi plus tard par un nouvel arrêté du .


title: William Labov

text: William Labov (né le à Rutherford, New Jersey) est un linguiste américain, considéré comme un des fondateurs de la sociolinguistique moderne, particulièrement dans son volet quantitatif. Son apport considérable a permis une redéfinition et une meilleure description de la variation linguistique, et prend plusieurs orientations majeures. Premièrement, il est, avec Uriel Weinreich et , un père de la linguistique variationniste, qui étudie le langage en le considérant comme sujet d'une inhérente variabilité, tout en étant ordonné dans son hétérogénéité. William Labov a également porté un éclairage social à l'évolution du langage au cours du temps, en expliquant la relation dynamique entre variation et changement. Il a par la suite introduit une nouvelle approche de la langue vernaculaire par le biais de l'analyse du texte narratif oral. Corollairement à son travail sur la variation linguistique, William Labov a enfin porté d'importantes contributions à la méthodologie de l'analyse de corpus en linguistique. Professeur à l'université de Pennsylvanie, il y poursuit actuellement des recherches en sociolinguistique et en dialectologie.


title: William Labov

text: William Labov naît à Rutherford, une ville de l'agglomération new-yorkaise située à 30 minutes de Manhattan; il y passe les 12 premières années de son enfance. Le déménagement qui s'ensuit n'entachera pas, par la suite, son sentiment d'appartenance à la communauté linguistique rutherfordienne.


title: William Labov

text: À 12 ans, en effet, William Labov s'installe avec sa famille à Fort Lee, une autre agglomération n'étant plus qu'à quelque 15 minutes de Manhattan et y étant relié directement par le pont George-Washington. Fort Lee est peuplée par une classe ouvrière essentiellement allemande et italienne. En termes d'habitudes de prononciation, elle se trouve directement sous l'influence de la ville de New York. Le jeune William vit avec une certaine peine ce changement de pratique, ce qui le mène, durant le lycée, à devoir endurer brimades et conflits. Il noue toutefois, dans le même temps, des amitiés profondes, et cette période exercera une influence forte sur la structuration de son identité.


title: William Labov

text: William Labov déclare être entré en relation dès son adolescence avec des linguistes, qui, par après, inspireront certaines de ses théories. Il est ainsi mis indirectement en contact avec Henry Sweet, ancien philologue et phonéticien britannique de renom, lors que ce dernier inspire le rôle de professeur de prononciation qu'incarne Leslie Howard dans le film Pygmalion (1938).


title: William Labov

text: Entre 1944 et 1948, le jeune William délaisse la communauté dans laquelle il avait grandi, à Fort Lee, pour se rendre au Harvard College, dans le Massachusetts. Il y suit un plan d'études en anglais et en philosophie, en complétant son programme par une option en chimie. Il décrira plus tard ce dernier choix comme alors mû par une « idolâtrie de la science », qui dès lors ne le quittera plus.


title: William Labov

text: Après avoir terminé des études de chimie industrielle à Harvard, William Labov commence sa carrière professionnelle en s'adonnant à l'écriture . Il perd et reprend dans une succession rapide plusieurs emplois, allant de la rédaction de résumés littéraires à la collecte d'informations pour des études de marché.


title: William Labov

text: Ce n'est qu'après quelques années, en 1949, qu'il parvient à un emploi fixe, en travaillant pour une entreprise familiale de production d'encre pour la sérigraphie. Il y valorise ainsi ses connaissances en chimie en concevant de nouvelles formules et en participant à la réalisation d'encres complexes. Il nourrira durant ces années talent et passion sur le plan professionnel, tout autant qu'il en retirera une expérience positive sur les plans humain et personnel.


title: William Labov

text: Plus tard dans sa carrière, Labov reconnaîtra que ce travail concret dans l'industrie lui aura permis de développer certaines qualités, dont profiteront ses recherches en linguistique. Premièrement, la conviction que la réalité est en mesure de mettre un raisonnement à l'épreuve. Ensuite, que c'est par un enregistrement rigoureux et méthodique, qu'il est possible de prendre conscience des erreurs encourues. Enfin, en raison de la camaraderie qu'il vécut avec les travailleurs de l'usine, il retirera une certaine proximité avec la classe ouvrière qui l'amènera bientôt à porter un nouveau regard sur les parlers vernaculaires.


title: William Labov

text: Après onze ans d'activité dans l'entreprise, William Labov quitte cependant son travail de concepteur d'encres sérigraphiques pour entreprendre de nouvelles études. C'est la nécessaire limitation de la communication intellectuelle prévalant dans le milieu industriel qui justifiera son abandon, un contexte de concurrence commerciale restreignant en effet fortement la diffusion des découvertes.


title: William Labov

text: William Labov reprend des études en linguistique anglaise en 1961, en se présentant comme doctorant à l'université Columbia. L'anglais était une partie de sa formation initiale, et la linguistique, en tant que discipline alors relativement jeune, attisait sa curiosité. Si les débats et les échanges d'idées sur l'origine et la structure du langage lui paraissent d'un grand intérêt, il peut également bien vite poser un regard critique sur certaines démarches scientifiques auxquelles les linguistes avaient alors fréquemment recours.


title: William Labov

text: L'ancien chimiste industriel prend ainsi rapidement conscience qu'il pourrait tirer profit de son expérience professionnelle pour proposer une alternative à l'introspection des données, qui prévalait jusqu'alors. Ce tournant méthodologique, qu'il commence déjà à envisager dans le cadre de ses études, ne s'accompagne alors pas encore des deux autres mutations que, dans le même élan, il insufflera plus tard à la linguistique : d'une part, une revalorisation du parler des classes populaires, et d'autre part un rejet des jugements a priori sur la qualité des données collectées.


title: William Labov

text: Les années passées par William Labov à l'université Columbia se font en compagnie d'Uriel Weinreich, spécialiste du yiddish, qui y est alors responsable du département de linguistique. C'est sous la tutelle de celui-ci que Labov présente, en 1963, sa thèse de doctorat, « The social stratification of English in New York City Department Stores », qu'il publiera trois années plus tard sous forme d'ouvrage, avec quelques modifications légères.


title: William Labov

text: Uriel Weinreich, fils du linguiste Max Weinreich, est issu d'une famille de juifs laïques émigrée de Lituanie aux États-Unis avant l'occupation russe. À peine un an plus âgé que William Labov, Uriel Weinreich entretient avec lui une relation particulière. Labov lui reconnaîtra une influence importante sur le développement de ses idées en sociolinguistique , à tel point qu'il avoue ne pas savoir Cette influence de Weinreich sera d'autant plus forte sur Labov qu'il décédera précocement d'un cancer, à l'âge de 41 ans, laissant à Labov des idées qu'il n'avait pas encore pu concrétiser.


title: William Labov

text: Après la présentation de son doctorat, Labov obtient un poste de professeur à l'université Columbia, dans laquelle il enseigne entre 1964 et 1970.


title: William Labov

text: Ensuite, il devient professeur de linguistique à l'Université de Pennsylvanie (1971). Il en devient le directeur du Laboratoire de Linguistique en 1977.


title: William Labov

text: La variation liée à la classe sociale dans la prononciation constitue un centre d'intérêt majeur pour Labov. Une étude fondatrice en la matière est celle qu’il a réalisée à propos de la prononciation du /r/ à New York, dans le cadre de sa thèse de doctorat, « "The Social Stratification of English in New York City Department Stores" » (1963, republié en ouvrage en 1966 sous le titre « "The Social Stratification of English in New York City" »). Il s’est rendu, pour la réaliser, dans trois chaînes de magasins de vêtements ciblant des clientèles socialement différentes : "Saks Fifth Avenue", dont l’offre était catégorisée comme de luxueuse; "Macy's" adressée aux classes moyennes ; et "" ciblant les classes populaires. Ayant choisi les magasins de telle sorte qu’à chaque fois, les chaussures pour femmes soient vendues au quatrième étage (« "fourth floor" »), sa démarche d'investigation consistait à feindre de demander aux employés où se trouvaient ceux-ci. De là, il avait pour objectif d’étudier la variation de prononciation de cette même séquence, des classes supérieures aux classes populaires.


title: William Labov

text: Le résultat de cette enquête a montré que la chaîne la plus luxueuse, "Saks Fifth Avenue", est celle dans laquelle le plus de /r/ étaient prononcés. Cependant, la classe moyennes montre une hypercorrection en augmentant sa production de la variante prestigieuse et en surpassant la classe supérieure. En revanche, chez "S. Klein", l’insistance sur la prononciation des /r/ est dans bien des contextes presque inexistante.


title: William Labov

text: William Labov, lors de vacances touristiques, se rend sur une petite île au large du Massachusetts, Martha's Vineyard. Durant son séjour dans cette île où le tourisme se développe depuis peu, il constate que l'enthousiasme des autochtones à recevoir les vacanciers fortunés varie considérablement d'une personne à l'autre. En outre, il note une variation typique de l’île (dans les diphtongues /a͜ʊ/ et /a͜ɪ/, présentes par exemple dans « "mouse" » et « "mice" »), qui est pratiquée d'une manière plus ou moins exagérée, ou plus ou moins modérée, selon les habitants.


title: William Labov

text: Il fera l’objet de sa première recherche post-doctorale d’étudier une corrélation existant "a priori" entre ces deux phénomènes : les habitants favorables aux touristes semblent prononcer les deux diphtongues de la même manière que ceux-ci, dans un américain plus standard. Tandis que ceux qui leur sont plus défavorables, parmi lesquels les derniers marins de l’île dont l'activité de pêche au gros est à terme menacée par l'arrivée des touristes, auront tendance à conserver, voire à exagérer l’accent local.


title: William Labov

text: William Labov conserve une influence de premier plan, particulièrement pour les études sociolinguistiques se réclamant de l'école anglo-saxonne. La méthodologie initiée par William Labov demeure également une référence pour tout travail en sociolinguistique quantitative ou de corpus.


title: William Labov

text: William Labov est considéré comme le père de la sociolinguistique moderne. Il sera le premier à développer une étude de la variation dotée d’un arsenal descriptif véritablement performant (description quantitative, modèles théoriques,…). On lui doit de nombreuses études dans lesquelles il insiste sur des paramètres de variation linguistique jusqu'alors délaissés dans le cadre des études linguistiques. En dehors des variations géographiques (études des dialectes) et temporelles (histoire de la langue), Labov met en effet l'accent sur les variations diastratiques et diaphasiques, autant d'« axes » de la variation qui jusque-là avaient été délaissés par les linguistes. Les premières correspondent à des variations de la langue de nature sociale (liées au sexe, à l'âge, à la profession, à la position sociale, au niveau d'études...). Les secondes correspondent aux variations qui affectent le même locuteur en fonction de situations données (expression écrite ou orale, niveau de langue en fonction d'interlocuteurs différents).


title: William Labov

text: Selon Labov, la sociolinguistique doit être en mesure d’expliquer et de décrire les variations dans l’usage de la langue, tant à l’échelle microsociale (au niveau de l’individu et des relations interindividuelles) qu’à l’échelle macrosociale (au niveau d’une communauté entière). Il s’agit de décrire et d’expliquer les variations tant chez des individus pris séparément que dans un groupe plus large. On constate que le langage est le reflet des relations sociales, et qu'il joue un rôle de marqueur identitaire, ce dont la sociolinguistique doit être en mesure de rendre compte.


title: William Labov

text: La sociolinguistique constitue une réaction à la position générativiste, selon lequel tout linguiste devait se placer au niveau de la compétence et non de la performance, et donc étudier uniquement la norme linguistique sans tenir compte de l'usage, perçu comme fuyant. La sociolinguistique a pour mission de montrer que contrairement à la vision générativiste du langage, la performance n’est pas aléatoire. La variation qui la conditionne en effet n’est pas libre, mais structurée par des règles sous-jacentes.


title: William Labov

text: La question que pose alors Labov est de savoir si on peut réellement qualifier l'usage linguistique non standard d'appauvri, ou d'économe. Les précédentes études sur bande sonore qui avaient été menées aux États-Unis sur les locuteurs de variantes non standard semblaient en effet montrer que ces personnes maîtrisaient la langue à un degré moindre, et commettaient un certain nombre d'hésitations et d'erreurs même dans leur propre variante linguistique. C'est à ce qui fut dès lors observé comme une déformation linguistique que furent dès lors imputées des déficits cognitifs, plus spécifiquement pour les noirs américains dont on avait constaté des difficultés de scolarisation notoires dans le système américain.


title: William Labov

text: William Labov a invalidé ce constat en soulignant qu'il résultait d'un artefact expérimental : les personnes enregistrées n’étaient en effet pas accoutumées aux conditions d'expérience qui leur étaient imposées. De fait, pour certains locuteurs, et particulièrement ceux de basse extraction sociale, le fait d'être enregistré et interrogé sur ses pratiques linguistiques par un individu s'exprimant dans une langue savante pouvait s'avérer psychologiquement déstabilisant, et conséquemment altérer les données recueillies. L’expérience avait, en réalité, toutes les chances d’être biaisée par les conditions de l’observation. Ce phénomène peut être rapproché de l'effet Hawthorne.


title: William Labov

text: Labov va alors réaliser la même expérience, en en changeant les conditions. Il va se présenter aux jeunes noirs américains de manière informelle, autour d'un verre offert ou d'un paquet de chips, en évitant de piloter trop directement la conversation. En somme, l’observateur essaie de se fondre dans la communauté linguistique et de s’adapter à la personne interrogée. L’enquête ainsi réalisée par Labov va produire de tous autres résultats. On se rend compte que la compétence linguistique des personnes interrogées était élaborée, mais que leur problème est principalement une question de registre et de cadrage de l’interaction. Leur code est bien fonctionnel, et adapté à l’intérieur de la communauté utilisant une pratique uniforme, avec ses propres fonctionnements, et ce indépendamment du fait qu'il s'agisse d'une variante « non standard ».


title: Across the Universe

text: Across the Universe est une chanson des Beatles, écrite par John Lennon même si elle est créditée Lennon/McCartney. Bien qu'apparue pour la première fois sur l'album caritatif "No One's Gonna Change Our World" en (disponible depuis 1988 sur "Past Masters"), la version la plus connue figure sur l'album "Let It Be", produit par Phil Spector en 1970 avec l'ajout d'un orchestre complet et de chœurs féminins. La chanson est aussi présente sur les albums "Anthology 2" (1996) et "Let It Be... Naked" (2003), dans deux versions différentes réalisées à partir de l'enregistrement de base datant du début . Elle a été reprise par de nombreux artistes comme Fiona Apple, Rufus Wainwright, et, notamment, David Bowie sur son album "Young Americans", avec la collaboration de John Lennon.


title: Across the Universe

text: Les mots « "" » (« flaques de peine, vagues de joie ») vinrent à l'esprit de Lennon durant une nuit de 1967, après une dispute avec sa femme Cynthia. Énervé, il n'avait pas envie d'écrire le reste, mais dut finalement s'y résoudre, incapable qu'il était de s'endormir.


title: Across the Universe

text: La chanson est fortement influencée par la brève période (fin 1967 - début 1968) durant laquelle les membres du groupe expérimentèrent la méditation transcendantale, comme en atteste l'inclusion des paroles du mantra Jai Guru Deva Om, répété à plusieurs reprises.


title: Across the Universe

text: John Lennon voit dans "Across the Universe" une de ses meilleures chansons, même s'il ne s'est jamais montré satisfait du résultat musical : c'est la pureté des paroles qui l'édifiait.


title: Across the Universe

text: En , avant de s’envoler pour l'Inde, les Beatles se retrouvent aux studios Abbey Road pour enregistrer un single qui sera publié durant leur absence. Paul McCartney a écrit "Lady Madonna" ; John Lennon, "Across the Universe" et "Hey Bulldog" ; George Harrison, "The Inner Light". Ces trois premiers titres sont enregistrés entre le et le tandis que l'enregistrement de la pièce à saveur indienne a été réalisé à Bombay début janvier, mais finalisé en même temps que les autres.


title: Across the Universe

text: Alors que la piste de base de "Across the Universe" est correctement enregistrée le , John Lennon n'est pas satisfait du résultat. Plusieurs innovations sonores sont testées, notamment souffler à travers un peigne sur une feuille de papier, ou en fredonner la mélodie bouche fermée, avant qu'on ajoute une "" et une tambura pour rendre la piste plus consistante. Puis, selon John Lennon, Paul McCartney le convainc d’appeler à la rescousse deux fans (les « apple scruffs », postées en permanence à la sortie du studio), Lizzy Bravo et Gayleen Pearse pour ajouter des voix sur le refrain. Lennon mentionnera plus tard cet épisode comme une preuve du de ses compositions par Paul, expliquant que ce dernier aurait sûrement utilisé des chanteuses professionnelles s'il s’était agi de son propre travail. La chanson est mixée en mono et mise de côté, les Beatles ayant décidé de publier "Lady Madonna" et "The Inner Light" en single.


title: Across the Universe

text: À son retour d'Inde, le groupe commence à travailler sur l'« "Album blanc" », enregistrant les nombreuses chansons composées durant son séjour dans ce pays, et "Across the Universe" reste sur les étagères. À l’automne 1968, les Beatles pensent sérieusement à publier un 45 tours en forme EP à cinq titres, incluant les quatre chansons inédites du futur album "Yellow Submarine" complété par "Across the Universe"; ils vont jusqu'à la masterisation mais l'album ne verra jamais le jour. À l'époque, John Lennon s'est détaché de la méditation transcendantale et du spiritualisme indien, et le refrain "Jai Guru Deva Om" en forme de mantra ne semble déjà plus d’actualité. Ses compositions sur l’« "Album blanc" » n’ont en effet rien à voir avec l’esprit de cette chanson.


title: Across the Universe

text: En , Spike Milligan, le créateur du Goon Show, ayant entendu la chanson dans les studios EMI, avait suggéré qu’elle serait idéale pour figurer sur un album caritatif qu’il était en train de mettre en œuvre pour le World Wildlife Fund. Les Beatles finissent par accepter cette proposition, et la chanson est mixée en stéréo pour la première fois par George Martin. Le mixage original (mono et stéréo) dure 3 min 37 s. Pour l’album du "WWF", des effets sonores (bruits d’oiseaux s’envolant au-dessus de l’eau) sont ajoutés au début et à la fin du titre. Après cet ajout, la piste est accélérée. Résultat : malgré l'ajout de 20 secondes d’effets sonores, le titre ne dure que 3 min 49 s. La chanson est publiée pour la première fois en décembre 1969 dans l'album "" dont le titre reprend un vers du refrain. C'est cette version qui sera intégrée aux deux versions du disque "Rarities", dans "The Beatles' Ballads" et ultimement dans la compilation "Past Masters".


title: Across the Universe

text: Bien que n’ayant jamais été satisfait du résultat sonore, John Lennon reste attaché à sa chanson, et le groupe l’interprète durant les séances d'enregistrement du projet « Get Back » en . On les voit jouer "Across the Universe" dans le film "Let It Be". Les copies pirates des enregistrements de qui ont circulé depuis plus de quarante ans permettent d’entendre la chanson jouée par tout le groupe, avec le refrain chanté à deux voix par John Lennon et Paul McCartney. Pour s’assurer que l’album en préparation s’accordera avec le film, il est alors décidé d’inclure cette chanson dans la bande son.


title: Across the Universe

text: Glyn Johns remixe tout d’abord le titre, à partir de l’enregistrement du , lui rendant son aspect acoustique et le ramenant à la bonne vitesse. Cependant, comme le travail de Glyn Johns sur tous les titres du projet Get Back est finalement rejeté, la version la plus connue de la chanson est celle produite par Phil Spector début à partir de la huitième prise de . À l’image de son travail sur la plupart des pistes de l’album, le producteur américain commence par ralentir la chanson (3 min 47 s), qui la fait passer de ré à ré bémol, puis ajoute un orchestre complet et des chœurs féminins au master original. Et c'est sous cette forme qu'elle paraît le dans l'album "Let It Be".


title: Across the Universe

text: Une version alternative des enregistrements originaux apparaît sur le disque "Anthology 2" en 1996 : une autre prise, qui contient du sitar et de la tambura, et démontre à quel point le groupe hésitait sur le meilleur traitement à donner à ce titre.


title: Across the Universe

text: Le master de 1968 est encore remixé pour l’album "Let It Be... Naked" en 2003, à la bonne vitesse, et débarrassé de quasiment toute l’instrumentation : ne restent essentiellement que John Lennon et sa guitare. Finalement, quelle version aurait-il préférée ? Sans doute aucune : déclare-t-il en 1980, peu de temps avant sa mort.


title: Across the Universe

text: Le , la NASA diffuse "Across the Universe" dans l'espace, en direction de l’étoile polaire, pour fêter trois anniversaires : les quarante ans de la chanson, le cinquantenaire du lancement du premier satellite américain, Explorer 1, et la mise au point, quarante-cinq ans plus tôt, du Deep Space Network, un réseau international d'antennes destinées à l'exploration spatiale. La NASA précise que la chanson devait traverser l'univers à la vitesse de la lumière, c'est-à-dire 186 000 miles par seconde (ou 300 000 km/s).


title: Across the Universe

text: L'agence spatiale rapporte aussi la réaction de Paul McCartney : (). Yoko Ono, quant à elle, a déclaré qu'il s'agissait d'un événement significatif, un premier pas vers la communication avec les milliards de planètes de l'univers.


title: Across the Universe

text: Une vidéo a été créée avec la chanson originale des Beatles et placée sur le site de la NASA afin de souligner cet évènement, mais elle ne sera pas incluse dans la compilation de clips "1+".


title: Chebec

text: Le chébec ou chebek est un petit bateau méditerranéen. Les chébecs étaient principalement des navires de guerre rapides et légers, mais dans le calme, ils pouvaient aussi se déplacer au moyen de rames. Ils auraient des origines arabo-espagnoles et auraient été utilisés par les corsaires du Maghreb dès le début du . Ils étaient alors des avant-postes autonomes de l’Empire ottoman et attaquaient les navires des flottes marchandes de ces nations qui, contrairement à l’Angleterre et à la France, n’avaient pas de puissantes marines. Il peut porter des canons sur ses flancs, contrairement aux galères et il est gréé en trois-mâts avec des voiles latines. Il est intensément utilisé aux avant de disparaître progressivement au .


title: Chebec

text: Le Chébec était à l'origine une construction Arabe connue pour sa rapidité et sa maniabilité, le terme est d'ailleurs dérivé de l'Italien "sciabecco," lui-même dérivé de l'Espagnol "xabeque," dérivé de l'Arabe "shabbak" ("شباك"), signifiant un petit navire de guerre. D’après ce qu'on constate de l'évolution de la navigation en Méditerranée, le chébec est une embarcation rapide pêchant au filet et allant à la rame : le "jebega" tel qu’on le voit jusqu’au milieu du en Espagne, sur les plages de Malaga. Son type, considéré comme l’ancêtre des bateaux ayant servi lors de la conquête des Amériques, comporte aviron de gouverne et forts capions de proue et de poupe.


title: Chebec

text: Après le départ des musulmans de la péninsule Ibérique (1492), l’embarcation et son nom survivent mais le chébec, sous sa forme définitive, n’apparaît qu’au chez les "raïs" barbaresques. Il y remplace la galère et le brigantin pour la course mais, n’ayant pas d’installations permanentes de vogue (rames), il peut porter des canons en batterie. Il devient ainsi beaucoup plus puissant que ces deux navires. Un chébec d’une quarantaine de mètres peut porter une vingtaine de canons servis par d’équipage, ce qui fait du navire une solide unité de guerre et lui permet d’attaquer à l’abordage, action encore possible en mer Méditerranée au .


title: Chebec

text: Sa voilure est latine, dès l’origine, avec trois « arbres à calcet » : arbre de trinquet, de mestre (grand mât) et de méjane (l’artimon). La surface de voile peut atteindre sur les chébecs de guerre.


title: Chebec

text: Le bâtiment, à l’occasion, peut utiliser des rames, de petits sabords étant prévus entre ceux destinés à l’artillerie ; mais la configuration du pont impose alors de ramer debout, face à l’avant vraisemblablement.


title: Chebec

text: Survoilés, ces navires rapides de 100 à 200 tonneaux sont remarquablement taillés pour la course. Ils sont aussi très manœuvrants et leur faible tirant d’eau leur permet de s’approcher très près du rivage, voire de se hasarder à remonter de petits estuaires. Leur allure, très caractéristique, en fait l’un des plus beaux navires méditerranéens de l’époque de la voile.


title: Chebec

text: Utilisés sur tout le pourtour du Levant aux , l’Espagne est leur pays d’élection avec les royaumes barbaresques. L’"Armada Real" en compte 47 au milieu du et possède un fameux amiral des chébecs : Antonio Barcelo, dit le "Capitan Toni" (1717-1797) qui multiplie les combats et les prises contre les pirates musulmans d’Afrique du Nord.


title: Chebec

text: La marine espagnole arme même des unités dépassant les 600 tonneaux. Les chébecs de guerre ne disparaissent d’Espagne qu’au début du , mais des unités de petite taille sont encore utilisées comme garde-côtes.


title: Chebec

text: L’ordre de Saint-Jean de Jérusalem, ancien pilier de la sécurité maritime en Méditerranée depuis les croisades, en utilise aussi plusieurs exemplaires, mais en nombre curieusement insuffisant car il aligne encore de coûteuses galères, y compris à l’extrême fin du .


title: Chebec

text: La Marine française s’équipe de chébecs plus tardivement, après l’abandon des galères en 1748. Un petit nombre est construit, avec 9 lancements entre 1750 et 1759, puis 4 en 1762. C’est sur un chébec que Suffren, l'un des plus célèbres marins français, exerce ses premiers commandements : le "Caméléon" en 1764 puis le "Singe" en 1765. Les deux navires participent, l’année suivante, à une difficile expédition contre la ville corsaire de Larache où se fait remarquer le futur héros de la campagne des Indes. Absolument pas à même d’inquiéter un vaisseau de ligne ni même une frégate, le chébec traverse néanmoins toutes les guerres du et de l’Empire. En 1848, la Marine française en utilise encore un petit exemplaire comme garde-côtes.


title: Chebec

text: Les difficultés rencontrées dans le contrôle des grandes voiles latines font substituer un gréement carré au gréement latin durant la deuxième moitié du , en France comme en Espagne. Cette transformation est totale ou partielle, selon les missions fixées au navire, mais celui-ci perd alors ses qualités de marche — et sa silhouette — qui ont fait sa réputation. Les constructeurs majorquins sont les grands spécialistes de ce type de navire utilisé dans les îles, à la course comme au commerce.


title: Chebec

text: Le chébec de commerce ne disparaît que très tard : on en compte encore plusieurs unités de 100 à 150 tonneaux au début du et le dernier ne disparaît qu’après la Première Guerre mondiale.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Le théorème du minimax de John von Neumann (parfois appelé théorème fondamental de la théorie des jeux à deux joueurs), démontré en 1926, est un résultat important en théorie des jeux.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Il assure que, pour un jeu non-coopératif synchrone à information complète opposant deux joueurs, à nombre fini de stratégies pures et à somme nulle, il existe au moins une situation d'interaction stable, à savoir une situation dans laquelle aucun des deux joueurs n'a intérêt à changer sa stratégie mixte si l'autre ne la change pas. Ce théorème est un cas particulier du théorème fondamental de la théorie des jeux à n joueurs de John Forbes Nash, démontré en 1950.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Le théorème du minimax fournit une méthode rationnelle de prise de décision dans un contexte bien précis : celui où s'affrontent deux adversaires (des entreprises concurrentes ou des États en guerre par exemple) lorsqu'on suppose qu'ils doivent prendre leurs décisions simultanément et que tout gain de l'un est perte de l'autre. Cette seconde hypothèse, rarement remplie dans la réalité, limite cependant beaucoup son intérêt pratique.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Un exemple de situation qu'il modélise bien est, au football, le duel entre un tireur de penalty et le gardien de but adverse. Le premier doit choisir où diriger son tir, le second quel secteur de sa cage protéger. En fonction du couple de décisions prises, les chances du tireur de marquer varient fortement. La pratique des joueurs est bien sûr de faire leurs choix de façon aléatoire et imprévisible. La théorie du minimax justifie cette méthode et détermine les probabilités qu'il est bon de donner à chacune des stratégies possibles ; les mesures effectuées sur les matchs de Bundesliga la valident : les probabilités constatées sont proches de celles que le théorème de von Neumann recommande.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Historiquement, le mathématicien Émile Borel a formalisé l'énoncé du théorème et est l'auteur de démonstrations parcellaires. La première preuve complète, un peu plus tardive, est l'œuvre de von Neumann.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: La pertinence du modèle de von Neumann a été mise en cause. Outre l'inadéquation à la réalité de l'hypothèse de « somme nulle », des critiques ont été articulées contre la théorie sous-jacente de l'utilité bâtie par von Neumann et l'économiste Oskar Morgenstern pour donner un sens à la mesure du gain en situation d'incertitude ; le paradoxe d'Allais en est une des plus célèbres.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Si on fait abstraction de son utilisation en théorie de la décision, le théorème de von Neumann n'en demeure pas moins un résultat remarquable de mathématiques pures. En analyse fonctionnelle, c'est le premier d'une longue chaîne de théorèmes du minimax ; sa deuxième démonstration de 1937 par von Neumann, qui utilise un théorème de point fixe, a sans doute guidé les travaux ultérieurs de John Forbes Nash sur les jeux à somme non nulle ; sa démonstration de 1938 par Jean Ville, qui met en relief la relation avec la convexité et la théorie des inégalités, ouvre un pont vers la théorie de l'optimisation linéaire qui va émerger dans les années 1940.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Théorème de von Neumann (1926) : "Pour" formula_1 "entier strictement positif, notons" formula_2 "l'ensemble des vecteurs colonnes comportant" formula_1 "coefficients réels positifs ou nuls dont la somme vaut" formula_4.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: On suppose que deux protagonistes, Xavier et Yvette, s'affrontent dans un contexte qui peut être un « jeu », au sens commun du terme (ainsi le pierre-feuille-ciseaux), mais aussi une compétition militaire ou économique. On en trouvera deux exemples (des plus primaires) à l'article Jeu à somme nulle.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Chacun dispose d'un nombre fini de coups possibles, appelés des « stratégies pures ». On note « k » le nombre de stratégies pures disponibles pour Xavier et « n » le nombre de stratégies pures disponibles pour Yvette. On numérote de formula_4 à formula_11 les stratégies à la disposition de Xavier et de formula_4 à formula_13 celles d'Yvette. Dans l'exemple du jeu de pierre-feuille-ciseaux, le formalisme sera le même pour Xavier et pour Yvette : formula_14, « 1 » codant « jouer pierre », « 2 » codant « jouer feuille » et « 3 » codant « jouer ciseaux » (on prendra garde que cet exemple peut être trompeur : on ne suppose pas le jeu symétrique et les deux joueurs n'ont pas nécessairement les mêmes stratégies pures à leur disposition, ni même le même nombre de stratégies pures.)


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: On suppose que les deux joueurs connaissent sans ambiguïté la règle du jeu, en particulier les gains ou pertes qui seront applicables pour chaque couple de choix de stratégies (le jeu est dit « à information complète »), et qu'à chaque coup ils jouent simultanément (le jeu est dit « synchrone » — on peut aussi utiliser l'expression « jeu à information complète imparfaite » pour exprimer ce synchronisme). Il leur est interdit de se concerter préalablement : le jeu est dit « non coopératif ».


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Pour chaque choix d'une stratégie pure numérotée « formula_15 » par Xavier et d'une stratégie pure numérotée « formula_16 » par Yvette, les règles du jeu (bien connues des deux participants) définissent un gain formula_17 remporté par Xavier, qui est un nombre réel. Une valeur positive signifie que Xavier est bénéficiaire de ce nombre d'unités, un gain négatif qu'il en est perdant. Ces gains peuvent être regroupés en un tableau rectangulaire, appelé matrice (les lignes correspondant aux stratégies d'Yvette et les colonnes à celles de Xavier). Dans l'exemple de « pierre-feuille-ciseaux » avec ses règles les plus usuelles, la matrice formula_5 représentant les gains de Xavier serait ainsi :


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: On pourrait définir de même le gain « formula_19 » pour Yvette et la matrice représentant ces gains, mais ce ne sera pas nécessaire car on fait une dernière hypothèse : celle que le jeu est « à somme nulle », ce qui signifie que la société formée des deux joueurs ne gagne ni ne perd rien au jeu dans sa globalité, que tout ce que perd Xavier, Yvette le gagne et réciproquement. La matrice des gains d'Yvette est donc la matrice formula_20 et il n'est pas utile de lui donner un nouveau nom.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Soit l'exemple d'un jeu à trois stratégies pour chaque joueur où la matrice A des gains de Xavier est la suivante :


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Considérant la règle du jeu, Xavier se dit : « Si je joue 1, je risque de perdre 1000 unités, et si je joue 3 d'en perdre 3000 ; mais si je joue 2, je gagne une unité dans le pire des cas. »


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Yvette, pour sa part, se dit : « Si je joue 1, je risque de perdre 2000 unités, et si je joue 2 d'en perdre 1010 ; mais si je joue 3 mes pertes sont limitées à une unité dans le pire des cas.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Xavier peut poursuivre son raisonnement : « J'ai reconstitué le raisonnement d'Yvette, qui lui donne de bonnes raisons de choisir sa stratégie 3. Si elle le fait comme je m'y attends, la lecture de la ligne de la matrice me montre que la stratégie 2 est le meilleur choix pour moi. Excellente raison de m'y tenir. »


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Et symétriquement, après avoir observé la colonne de la matrice, Yvette se sent confortée dans son choix pour la stratégie 3.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Finalement tout ceci mène à penser que le choix conjoint du coup pour Xavier, du pour Yvette est plus rationnel que les autres, qu'il est le bon choix en un sens qui reste à préciser. Il est à cet égard instructif de considérer deux règles de décision inappropriées qui pourraient tenter Xavier : en premier lieu, il pourrait chercher à maximiser la moyenne d'une colonne, en l'interprétant comme le gain moyen que lui rapporterait le choix de la stratégie correspondante, et il jouerait alors son coup ; en second lieu, il pourrait être attiré par le « maximax », le gain le plus élevé figurant sur le tableau (ici c'est 2000), ce qui le conduirait à jouer son coup. Dans les deux cas, il y perdrait, puisqu'Yvette — si elle joue bien — s'en tiendrait tout de même à jouer son coup numéro 3 et le seul résultat de la gourmandise de Xavier serait qu'il ne toucherait rien au lieu de gagner le modeste 1 que la meilleure stratégie lui garantit.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Comparons à la situation suivante, variante minime du jeu de « pierre-feuille-ciseaux » (on a modifié de quelques centimes les enjeux pour éviter des situations d'indifférence entre stratégies qui n'apportent rien à la compréhension) :


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Xavier et Yvette peuvent commencer à raisonner comme dans l'exemple précédent : si Xavier veut minimiser la somme qu'il devra verser à Yvette, le coup à jouer est « feuille » où il ne perdra au pire que 1,01 unité. De même Yvette va dans un premier temps être tentée par jouer « ciseaux » où dans le pire des cas sa perte se limite à 1,02 unité. Mais lorsqu'il considère qu'Yvette a des raisons sérieuses de jouer « ciseaux » Xavier, au lieu d'être conforté dans son choix initial de « feuille », s'aperçoit qu'il serait alors perdant et qu'il vaut bien mieux bifurquer sur « pierre ». Yvette, qui reconstitue mentalement les anticipations de Xavier, anticipe qu'il jouera « pierre » et déplace son projet de coup vers « feuille ». À son tour Xavier modifie ses anticipations... Rien ne se stabilise et aucun choix de stratégies pures n'arrive à s'imposer.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Où se situe la différence entre les deux exemples ? C'est que dans la première matrice, contrairement à la deuxième, figure ce qu'on peut appeler un point-selle, ou équilibre de Nash : une entrée qui est à la fois la plus petite de sa colonne et la plus grande de sa ligne.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Proposition : "Les points-selles étant définis comme ci-dessus, une matrice" formula_6 de réels formula_22 "possède un point-selle si et seulement si"


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Notons formula_24 un indice pour lequel formula_25, et symétriquement formula_26 un indice pour lequel formula_27.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: On va vérifier que la position formula_29 correspond à un point-selle. Soit formula_30 une autre position dans la même colonne. On écrit :


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: formula_31 : l'entrée en cette nouvelle position est plus grande que celle en formula_29. On vérifierait de même l'autre propriété requise des points-selles.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Soit en effet formula_24 un indice pour lequel formula_25, et symétriquement formula_26 un indice pour lequel formula_27.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Alors par définition d'un point-selle, formula_41 (c'est la plus petite entrée de sa colonne) et formula_42 (c'est la plus grande entrée de sa ligne).


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: On en déduit que formula_43 et donc -puisqu'on connaît déjà l'inégalité dans l'autre sens- l'égalité du maximin et du minimax, qui sont de surcroît tous deux égaux à l'entrée de la matrice au point-selle.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: pour le premier exemple, formula_44 tandis que formula_45 Le minimax et le maximin sont égaux, et la case à l'intersection de la ligne où le minimax est atteint et de la colonne où le maximin est atteint est un point-selle.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Dans le second cas, formula_46 tandis que formula_47 (on reconnaît les valeurs initialement considérées dans leurs réflexions respectives par Xavier et Yvette). Comme ils ne coïncident pas, il ne peut y avoir de point-selle.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Pour un formula_15 donné, l'expression formula_50 représente la plus petite entrée de la formula_15-ème colonne. Dans la version du modèle où on ne connaît que les stratégies pures, on l'interprète comme suit : c'est pour un Xavier considérant la possibilité de jouer formula_15 l'hypothèse de résultat la moins favorable.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Quand ensuite Xavier considère le max de ces min (le « maximin ») il détermine, parmi les k coups qui lui sont proposés, celui qui a pour lui les résultats les moins fâcheux dans l'optique pessimiste où Yvette, infiniment chanceuse ou psychologue, déjoue forcément le choix stratégique de Xavier. Choisir le maximin pour lui, c'est donc choisir la solution la moins risquée en mesurant le risque de chacune par la seule considération de l'hypothèse la plus défavorable.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Dans son exposé de la théorie des jeux pour un large public, synthétise élégamment cette explication en citant Italo Calvino : .


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: On peut aller plus loin à condition d'imaginer une extension de la notion de stratégie. Jusqu'à présent, chaque joueur n'avait le choix qu'entre des « stratégies pures » : il pouvait décider quel coup jouer. On lui offre désormais une nouvelle possibilité : choisir judicieusement une mesure de probabilité sur l'ensemble fini des stratégies pures, puis jouer aléatoirement en pondérant son tirage par la mesure préalablement choisie. On appellera ainsi stratégie mixte une probabilité sur l'ensemble fini des stratégies pures accessibles à un joueur.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Une mesure de probabilité formula_53 sur l'ensemble fini formula_54 est caractérisée par la donnée de la probabilité formula_55 pour chaque formula_56. En identifiant une mesure de probabilité formula_53 sur formula_54 au vecteur-colonne formula_59, on représente ainsi l'ensemble des stratégies mixtes accessibles à un joueur disposant de formula_1 stratégies pures par le simplexe formula_2, ensemble des formula_1-uplets de réels positifs ou nuls et de somme égale à 1.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Dans l'exemple du jeu pierre-feuille-ciseaux, choisir la stratégie mixte formula_63 c'est décider de tirer au sort quel coup on jouera avec équiprobabilité ; choisir la stratégie mixte formula_64, c'est choisir d'annoncer « pierre » avec probabilité 1/7, « feuille » avec probabilité 2/7 et « ciseaux » sinon ; choisir la stratégie mixte formula_65 c'est décider de ne pas tirer au sort et de jouer « ciseaux » dans tous les cas (au passage, on remarque ici que les stratégies pures peuvent être interprétées comme des cas particuliers de stratégies mixtes).


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Pour chaque choix d'une stratégie mixte formula_66 par Xavier et d'une stratégie mixte formula_67 par Yvette, la probabilité que Xavier joue le coup « formula_15 » et Yvette le coup « formula_16 » est alors égale au produit formula_70 : en effet comme on a supposé le jeu non coopératif, les deux joueurs ne se concertent pas et il est raisonnable de modéliser leurs tirages au sort respectifs par des variables aléatoires indépendantes.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: L'espérance de gain pour Xavier sous l'hypothèse de choix de ces deux stratégies mixtes se calcule alors comme une espérance mathématique : c'est


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Il s'agit de l'unique terme de la matrice formula_72, qui est de taille formula_73 ; et cette dernière s'interprète donc comme le gain que peut attendre Xavier, en moyenne, lorsque les stratégies mixtes choisies sont formula_74 et formula_9.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Il est alors possible de définir la notion d'équilibre de Nash pour cette fonction de gain comme on a défini les points-selles plus haut : on dira qu'un couple de stratégies mixtes formula_76 est un équilibre de Nash pour formula_5 lorsque :


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Comme avec le modèle qui ne connaît que les stratégies pures, lorsqu'il existe un équilibre de Nash on peut exposer des arguments heuristiques justifiant que celui-ci constitue un choix raisonnable pour les deux joueurs ; comme plus haut, son existence est caractérisée par une propriété de minimax et on montre la


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Proposition : "Soit" formula_22 "une matrice" formula_6 "de réels. Il y a un équilibre de Nash pour" formula_5 "(au sens défini ci-dessus) si et seulement si"


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: "En tout équilibre de Nash" formula_88 "pour" formula_5, "la valeur de" formula_90 "est alors égale à ce minimax".


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Le maximin qui apparaît dans ce calcul matriciel s'interprète comme celui de la situation à point-selle, la nouveauté étant que les ensembles de choix sont désormais infinis. Pour chaque stratégie mixte envisageable, Xavier soupèse quelle conséquence elle aurait pour lui dans une hypothèse pessimiste (c'est formula_91 qui s'il est négatif peut signifier pour lui une douloureuse perte sèche). Dans un second temps il choisit parmi l'infinité de stratégies mixtes à sa disposition celle dont les conséquences, si tout va mal, sont les moins douloureuses.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Ce qu'affirme alors le théorème du minimax de von Neumann, c'est l'existence d'un tel équilibre de Nash pour toute matrice formula_5. Ce résultat reste d'ailleurs vrai sans l'hypothèse de « somme nulle », comme l'a montré John Forbes Nash en 1949, mais n'est alors plus lié à une propriété de minimax.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Voyons sur les deux exemples étudiés plus haut quelles répartitions de probabilité constituent l'équilibre de von Neumann.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Dans le jeu avec point-selle, on peut s'attendre à ce que ce soient sur des stratégies pures, et c'est en effet le cas : notons formula_93 et formula_94 les stratégies pures constituant le point-selle, désormais considérées comme des stratégies mixtes dégénérées. Pour ce choix, formula_95.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Comme par hypothèse formula_99 et formula_100, on peut écrire que formula_101. En regroupant toutes ces informations (et en se souvenant que formula_102), on en déduit : formula_103


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: La première condition définissant les équilibres de Nash est bien vérifiée. La vérification de la seconde n'est pas plus difficile. L'équilibre de Nash est identifié, et reste composé de stratégies pures même dans l'extension du modèle à des stratégies probabilistes.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Examinons maintenant l'exemple du jeu pierre-feuille-ciseaux, cette fois-ci sous sa forme la plus simple avec la matrice de gain


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: On essaie ici conformément à l'intuition formula_104. On calcule d'abord formula_105, où on remarque que tout simplement formula_106 et formula_107. Dès lors pour toute stratégie mixte formula_9, formula_109 et de même pour l'autre inégalité. Le tirage équiprobable par les deux joueurs constitue un équilibre de Nash.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Le modèle économique utilisé ne peut se contenter d'un concept d'utilité ordinale. Si on se borne à supposer comparables entre elles les satisfactions ou désagréments d'un joueur, on construit un ensemble totalement ordonné : on peut ainsi dire que Xavier préfère gagner à ne rien gagner du tout, et ne rien gagner du tout à perdre . Mais que fera-t-il si on lui propose de participer à une loterie où il a une chance sur deux de s'enrichir de et une chance sur deux de s'appauvrir du même montant ? Est-ce pour lui plus tentant que de s'abstenir et de s'assurer ainsi de ne rien perdre, mais ne rien gagner non plus ? Si le joueur ressent de l'aversion pour la prise de risque, il refusera la loterie puisqu'elle lui propose le même gain moyen que l'abstention, mais avec plus de risque. Mais comment maintenant se comportera-t-il si on lui offre deux chances sur trois de gagner et une chance sur trois de perdre ? À partir de quelle valeur du paramètre accepte-t-il de jouer ? L'introduction d'une théorie cardinale de l'utilité permettrait de répondre, une théorie purement ordinale ne suffit pas en revanche à donner un sens à une espérance de gain en situation aléatoire, et donc à mettre sur pied le modèle justifiant les applications en économie du théorème du minimax.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Pour donner un sens au calcul d'espérance mathématique par lequel passe la justification du modèle, von Neumann et Morgenstern se sont efforcés de fonder l'utilisation d'une théorie cardinale, et ont développé une théorie de l'utilité de l'incertain suffisante pour fonder leur modèle. Mathématiquement rigoureuse, la théorie n'en a pas moins été contestée dès son introduction, la contestation passant nécessairement par celle de ses axiomes : voir en ce sens le fameux paradoxe d'Allais, explicité par Maurice Allais.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Mais si l'utilité cardinale n'est qu'un concept mathématique découplé de la réalité, les formalisations probabilistes en théorie des jeux sont mal fondées. Tout en nuançant son propos (il concède que les théories de la décision qu'il critique « ont établi leur pertinence et leur puissance dans de multiples applications »), Russel Hardin peut ainsi décocher quelques flèches contre les modèles à base de stratégies mixtes : il fait par exemple observer qu'il se pourrait bien qu'il n'y ait aucun moyen sensé de définir une combinaison de victoires et de défaites de deux pays en guerre qui puisse être raisonnablement considérée comme à mi-chemin de la victoire totale et de la défaite totale d'une des parties.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Enfin, même en admettant pouvoir définir pour chaque joueur une utilité cardinale et donc développer une théorie considérant des stratégies mixtes, cela ne suffit pas à justifier qu'on puisse reconnaître si un jeu vérifie l'hypothèse de « somme nulle » : pour pouvoir exiger que le gain de Xavier équilibre la perte d'Yvette, il faut aussi postuler la comparabilité de leurs utilités, ce qui ne va pas de soi.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Au début de l'année 1926 John von Neumann, âgé de 22 ans, vient de soutenir son doctorat à Budapest. Bien qu'inscrit à l'université de sa ville natale, il ne l'a fréquentée qu'au moment de passer des examens et a suivi sa formation à l'université de Berlin de 1921 à 1923 puis à l'École polytechnique fédérale de Zurich. Ayant accédé à un "Fellowship" de la Fondation Rockefeller, il va séjourner pendant l'année universitaire 1926-1927 à l'Université de Göttingen où exerce alors David Hilbert. C'est pendant cette période qu'il va concevoir sa première démonstration du théorème du minimax, qu'il exposera en au séminaire de mathématiques.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Pour expliquer pourquoi von Neumann s'est intéressé à la théorie des jeux, des raisons psychologiques assez peu convaincantes ont été apportées : on a ainsi noté son goût pour le poker, signalé qu'il avait constitué une collection de jeux d'enfants, voire souligné qu'il faisait preuve d'un humour parfois assez puéril. Plus intéressantes sont les analyses de Philip Mirowski et Robert J. Leonard pour qui la conception du théorème du minimax ne doit pas être détachée du séjour de von Neumann à Göttingen et de l'influence qu'exerce alors sur lui l'« école formaliste » constituée autour de Hilbert. En même temps qu'ils travaillent sur le programme de Hilbert de formalisation finitiste des mathématiques, les représentants de cette école s'intéressent en effet aussi à la formalisation mathématique de la réalité, notamment en physique mathématique — ainsi c'est également à Göttingen, en 1925, qu'un jeune "privatdozent", Werner Heisenberg, en collaboration avec Max Born et Pascual Jordan, met au point la formulation de la mécanique quantique en termes de mécanique matricielle. On peut aussi rappeler que c'est aussi un ancien collaborateur de Hilbert à Göttingen, Ernst Zermelo qui, en 1913, a été le pionnier de la théorie des jeux non synchrones par son travail de mathématisation des échecs.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: En revanche, la recherche économique ne semble guère avoir influencé l'élaboration du théorème du minimax, même si une note dans l'article de 1928 montre que von Neumann est conscient qu'il y a là un champ de développement de ses idées. Pour Robert J. Leonard, qui ne constate des échanges de correspondance entre von Neumann et des économistes qu'à partir de 1927 et se fonde sur le mode d'exposition du théorème dans les années 1930, la théorie des jeux reste d'abord pour von Neumann jusqu'aux alentours de 1940 ce qu'elle est dans le titre de son article de 1928 : une théorie des « jeux de société ».


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Nombre de cours ou traités consacrés à la théorie des jeux dans son ensemble mettent en relief le caractère profondément innovant du théorème de von Neumann, où ils lisent l'invention de la théorie des jeux synchrones.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Dans les études historiques plus complètes, les précurseurs de von Neumann sont davantage considérés. La première référence où les historiens observent l'élaboration d'une stratégie de jeu par recherche d'un maximin est une lettre de novembre 1713 de Pierre Rémond de Montmort où il décrit une solution du jeu de due à James Waldegrave qui est déjà ce qu'on appelle aujourd'hui une stratégie mixte.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Mais ce sont surtout trois notes d'Émile Borel aux comptes rendus de l'Académie des sciences qui attirent l'attention des spécialistes de l'histoire du minimax. Dans celles-ci, Borel formalise mathématiquement pour la première fois la notion générale de stratégie mixte, prouve le théorème du minimax pour des jeux symétriques à moins de cinq stratégies pures, mais conjecture l'existence de contre-exemples pour des matrices de taille plus grande.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: À l'en croire, quand il découvre de son côté le théorème du minimax, von Neumann ignore tout des travaux de Borel. Dans son article de 1928, von Neumann précise avoir découvert ceux-ci postérieurement à l'envoi pour publication, et en fait mention par une note de bas de page.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: En revanche, les travaux de Borel ne sont nulle part signalés dans son ouvrage influent de 1944 ("Theory of Games and Economic Behavior") publié conjointement avec Oskar Morgenstern qui va contribuer à populariser la nouvelle théorie des jeux.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: La discussion de l'importance respective des contributions des deux grands mathématiciens prend un ton polémique lorsqu'en 1953, au sommet de la gloire de von Neumann, Maurice Fréchet publie deux notes où il qualifie Borel d'« initiateur » de la théorie des jeux ; il ajoute incidemment que même si Borel avait démontré le premier le théorème, il n'aurait, comme von Neumann, qu'« enfoncé une porte ouverte » () puisque le théorème et même des versions plus générales avaient été prouvés très antérieurement aux travaux de Borel. Von Neumann répond sèchement à l'agression, soulignant encore qu'il ne connaissait pas les travaux du mathématicien français quand il a lui-même découvert le théorème, et que cela valait sans doute mieux puisque la conjecture de celui-ci était fausse ; il ne lui paraît pas que la mise sous forme mathématique du problème soit une contribution aussi essentielle que la complète résolution qu'il y a apportée, et refuse de reconnaître en Borel l'initiateur de la théorie ().


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Dès lors que le modèle de von Neumann prétend définir quelle est la « meilleure » stratégie à adopter dans un jeu à somme nulle, deux questions se posent naturellement : ce modèle est-il une aide efficace à la décision, la solution qu'il fournit doit-elle être appliquée en pratique (le modèle est-il prescriptif) ? Et par ailleurs le modèle reflète-t-il le comportement qu'appliquent les acteurs dans la réalité (le modèle est-il descriptif) ?


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Cette section s'intéresse à la première question, qu'on peut immédiatement compléter : si la réponse est « oui », si on s'accorde à dire que viser le maximin est un acte « rationnel », en quel sens l'est-il ? Le modèle néo-classique de rationalité (l'homo œconomicus visant à maximiser son utilité) suffit-il à fonder les normes à suivre dans les prises de décision modélisées par des jeux ? On peut raisonnablement défendre que non, mais c'est souvent en pensant la situation plus complexe des jeux à somme non nulle (notamment le fameux dilemme du prisonnier). Qu'en est-il si on se borne aux jeux concernés par le théorème du minimax ?


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Si on en croit Kenneth Binmore, la méthode du maximin est bien celle à suivre : face à un bon joueur, il n'y a rien de mieux à faire que choisir la stratégie mixte recommandée par le théorème de von Neumann. Il faut tout de même formuler deux mises en garde : la recommandation ne doit pas être suivie face à un adversaire peu compétent ; si sa stratégie est faible, il ne faut pas manquer de s'éloigner de la recherche du maximin pour exploiter cette faiblesse (comme l'écrit Binmore, « il serait irrationnel de refuser de prendre un risque calculé lorsque les probabilités sont suffisamment en votre faveur »). Par ailleurs, la recherche du maximin n'est recommandable que sous l'hypothèse de jeu à somme nulle ; dans la plupart des situations réelles elle est donc inexploitable. D'autres auteurs parviennent aux mêmes conclusions en accordant plus ou moins de place à la première mise en garde : Morton D. Davis, par exemple, souligne que s'éloigner des recommandations du théorème, lorsque les deux joueurs s'y aventurent simultanément, c'est jouer risqué et plonger dans l'inconnu mais ce sera tout de même gagnant pour l'un ou l'autre puisque le jeu est à somme nulle – or décider si on préfère la sécurité d'un gain assuré ou le piquant de la prise de risque, est une simple question de goût personnel.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Se pose alors la question philosophique de construire une justification de cette prescription : la nature humaine étant ce qu'elle est, comment expliquer que ce choix soit le bon ? Posée comme question concernant la totalité des jeux non coopératifs, cette interrogation fait l'objet d'une littérature très abondante, mais qui le plus souvent ne s'arrête pas à considérer spécifiquement le cas très particulier du minimax et des jeux à somme nulle. On peut toutefois relever un article de Mathias Risse qui consacre une section à une relecture critique de l'argumentation de Morgenstern et von Neumann « prouvant » la pertinence opératoire de la stratégie du maximin. Pour parvenir à cette preuve, Morgenstern et von Neumann proposaient une expérience de pensée : . Pour Risse, cette argumentation paraît bien faible et il en conclut que « von Neumann et Morgenstern ne réussissent pas à prouver que les stratégies du minimax sont les seules rationnelles pour un jeu à deux personnes et à somme nulle ».


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: On peut ici mentionner un autre problème philosophique, apparemment sans relation avec le précédent : celui du sens à donner aux stratégies mixtes lorsque le jeu n'est pas répété. Si Xavier et Yvette ne s'affrontent qu'une fois pierre-feuille-ciseaux, à quoi bon pour Xavier suivre à la lettre les conseils de von Neumann et tirer au sort préalablement s'il jouera « pierre », « feuille » ou « ciseaux » ? Il lui suffit de décider de jouer « ciseaux » : à supposer qu'Yvette ne le connaisse pas d'assez près pour identifier d'éventuels biais psychologiques, son intention est alors tout aussi opaque pour elle et conduira au même résultat. Le théorème du minimax ne semble rien apporter.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Les deux problématiques se retrouvent dans une intéressante interprétation de l'équilibre de von Neumann comme limite, due à Julia Robinson (1950). Sans entrer dans les détails techniques, en voici le principe décrit sous forme récurrente : on suppose que Xavier et Yvette vont s'affronter pendant un grand nombre de parties. Lors de leur première rencontre, ils choisissent chacun arbitrairement une stratégie pure, peu importe par quelle méthode. Une fois les N premières parties jouées, pour déterminer son coup à la N+1-ème partie, Xavier emploie la méthode suivante : il considère la liste des N coups déjà joués par son adversaire et reconstitue empiriquement à partir de celle-ci la stratégie mixte formula_110 qu'Yvette emploie vraisemblablement – pour éclairer cette construction par l'exemple, si dans les 10 premiers coups d'une partie de « pierre-feuille-ciseaux » Yvette a joué 3 fois « pierre », 3 fois « feuille » et 4 fois « ciseaux », Xavier postule comme vraisemblable l'emploi par Yvette de la stratégie mixte formula_111. qui maximiserait ses chances de gain contre une joueuse jouant selon formula_110 (dans l'exemple ce serait « pierre ») et joue ce coup. Yvette fait son choix de façon symétrique. Alors, quand formula_113 tend vers l'infini, il y a toutes chances que convergent vers celles de l'équilibre du minimax. Dans ce cadre conceptuel, on parvient à éclairer le maximin sans dépasser la théorie néo-classique de la rationalité : à chaque partie Xavier (ou Yvette) choisit son coup par la simple maximisation d'une utilité. De même, l'argumentation de Morgenstern et von Neumann critiquée par Risse reprend du sens : certes chaque joueur ne connaît pas avant de jouer quelle est la stratégie mixte choisie par son adversaire, mais il n'est pas loin de la connaître puisqu'il dispose de la répartition empirique obtenue par mémoire du passé.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Comme toute théorie scientifique, celle de l'équilibre de von Neumann peut et doit subir le test de l'expérience, et en particulier être prédictive : on souhaiterait qu'elle prédise avec un taux de réussite acceptable les comportements réels des acteurs en situation de conflit.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Notamment dans les années 1960 et 1970, de multiples expériences de psychologie ont mesuré le comportement réel d'acteurs soumis à des jeux à la von Neumann, avec diverses variantes méthodologiques : jeux à points-selles ou jeux à stratégie optimale mixte, jeu contre un autre sujet d'expérience ou jeu contre un expérimentateur (qui peut lui-même soit utiliser la stratégie du minimax, soit sciemment utiliser une mauvaise stratégie)... Les résultats en sont très disparates. On y observe assez souvent la convergence vers la stratégie appropriée pour les joueurs à qui on propose un adversaire volontairement malhabile ; on constate déjà plus rarement la convergence vers le minimax contre un adversaire jouant le minimax. Plusieurs auteurs annoncent des résultats absolument négatifs et ne mesurent aucune tendance de leurs sujets d'expérience à se diriger vers la stratégie supposée « rationnelle », celle du minimax. Une expérience menée sur des rats ne décèle pas chez eux une meilleure aptitude que chez les humains à apprécier les subtilités du théorème de von Neumann : si leur comportement n'est pas aléatoire, la tendance qu'on y constate est une préférence pour le maximax, la stratégie pure qui rend envisageable la plus forte récompense.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Même si la théorie des jeux à somme nulle ne modélise que rarement de façon correcte des situations réelles, il est parfois possible de représenter des problèmes de décision comme des jeux à deux joueurs et à somme nulle, puis de contrôler "a posteriori" si les acteurs appliquent ou non une stratégie de maximin.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Un travail abondamment cité de l'anthropologiste William Davenport, publié en 1960, modélise le comportement de pêcheurs jamaïcains par un modèle à la von Neumann. Ces pêcheurs disposent de trois choix différents pour installer leurs casiers, les coûts des trois choix étant bien distincts (distance à parcourir) et tous n'étant pas également poissonneux. Face à eux, la nature peut ou non déclencher de forts courants imprévisibles, susceptibles de diminuer significativement le rapport des casiers, leur influence étant d'ampleur très différente d'un site à l'autre. On peut mesurer, pour chaque choix conjoint (le choix du site du côté du pêcheur, celui de rester calme ou se déchaîner du côté de la nature), le bénéfice que tire le pêcheur de sa journée de travail. L'application du théorème de von Neumann à la matrice formula_114 ainsi obtenue fournit de très près la répartition effectivement mesurée des pêcheurs entre les trois sites. Las, la méthode est critiquable, et a été critiquée : utiliser le modèle du minimax quand « la nature » est un des joueurs, c'est mal le comprendre puisqu'il est certain que celle-ci n'adaptera pas sa stratégie au comportement de son adversaire, ne tiendra pas compte des habitudes des pêcheurs locaux pour décider avec quelle fréquence déclencher le courant dévastateur. Même si on peut ensuite critiquer la critique et expliquer en quoi le comportement des pêcheurs est tout de même rationnel, l'étude de Davenport est donc difficilement admissible comme pièce à l'appui du modèle de von Neumann.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: En revanche, les observations confirment que le modèle du maximin est bien prédictif lorsque s'opposent des joueurs humains hautement compétents. Au football, en considérant le jeu à somme nulle qui oppose le joueur exécutant au gardien de but au moment du penalty, les données constatées recoupent avec une excellente précision les prédictions du modèle de von Neumann.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: La preuve originelle de von Neumann, publiée en 1928, était assez difficile à suivre et utilisait des arguments topologiques. Dans un second article, publié en 1937, von Neumann propose une preuve beaucoup plus lisible où l'utilisation de la topologie passe désormais par l'utilisation du théorème du point fixe de Brouwer. Un an plus tard, en 1938, le mathématicien Jean Ville publie une nouvelle preuve du théorème d'un esprit très différent puisqu'elle ne repose plus sur des résultats topologiques fins mais sur des arguments élémentaires de géométrie des convexes (hyperplan d'appui). Dans l'important ouvrage qu'il publie en 1944 avec Oskar Morgenstern ("Theory of games and economic behavior"), John von Neumann donne d'ailleurs une preuve adaptée de celle de Ville et non plus celle qui repose sur le théorème de Brouwer. En 1950, c'est Hermann Weyl qui fournit une nouvelle démonstration, également basée sur des arguments de convexité. Enfin, en 1967, Guillermo Owen apporte une nouvelle preuve très concise, en utilisant une construction par récurrence transfinie.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Le théorème du minimax peut aussi être démontré comme corollaire du théorème plus général de Nash qui assure l'existence d'équilibres pour les jeux non coopératifs, même à somme non nulle ; comme les premières preuves du théorème de von Neumann, la démonstration du théorème de Nash repose sur des arguments topologiques (on peut utiliser le théorème du point fixe de Brouwer mais aussi le théorème du point fixe de Kakutani et donc exploiter la convexité).


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: On peut aussi le déduire du théorème de dualité en optimisation linéaire, comme les théorèmes de l'alternative parmi lesquels il se laisse ranger si on le reformule. Dans la mesure où le théorème de dualité peut être prouvé indépendamment de la théorie des inéquations linéaires, par des méthodes algorithmiques (méthode du simplexe), cette approche est différente de celles évoquées précédemment et a surtout l'intérêt d'être constructive : en appliquant un algorithme d'optimisation linéaire, on parvient à expliciter le minimax et un équilibre de Nash pour le jeu.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: La valeur du maximin en termes de programmes linéaires est précisément la suivante, en utilisant les notations de l'article Optimisation linéaire :


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: On signalera tout de même ici, ce qui est très facile à prouver, que l'une des inégalités du théorème se vérifie en deux lignes :


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Elle a de fait déjà été utilisée dans la preuve de la proposition de la sous-section « Stratégies mixtes » et se vérifie exactement comme on vérifie l'inégalité analogue concernant les coefficients de la matrice A dans la preuve de la proposition de la sous-section « Points-selles dans les matrices de gain ».


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Dans le domaine des mathématiques pures, le théorème de von Neumann est le premier d'une longue série de théorèmes du minimax qui le généralisent dans de multiples directions. Il a sans doute aussi eu une influence significative sur l'évolution de l'optimisation linéaire.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Dans d'autres domaines scientifiques, le minimax a joué un rôle non négligeable en théorie statistique de la décision et sur la conception de systèmes de calcul distribués.


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Pour le meilleur ou pour le pire, le théorème de von Neumann a peut-être eu aussi une postérité philosophique : il aurait inspiré la pensée de John Rawls, qui invoque explicitement la notion de maximin dans l'élaboration de sa théorie de la justice. Critiqué avec virulence pour l'usage immodéré qu'il aurait fait du concept, Rawls a toutefois tenu à préciser qu'il n'avait jamais fait l'erreur de proposer la recherche du maximin « comme principe général de délibération rationnelle, quels que puissent être les niveaux de risque et d'incertitude » ().


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: On laissera le mot de la fin à Robert Aumann qui dresse un bilan argumenté de la postérité du théorème de von Neumann. Pour lui, l'omniprésence du théorème dans les présentations de la théorie des jeux antérieures à 1960 était peut-être un peu injuste (la modélisation des jeux à somme nulle n'est pas l'essentiel de la théorie) mais s'explique par la simplicité du résultat. Par un retour de balancier encore plus injuste, les théoriciens des jeux ont eu tendance dans les décennies qui ont suivi à minimiser l'importance du théorème. Avec le recul que donne le temps, on ne peut pourtant que reconnaître son importance : par sa postérité en dehors de la théorie des jeux d'abord, mais aussi en théorie des jeux où l'appareil conceptuel qui le sous-tend reste central, il fournit un modèle simple particulièrement adapté pour tester les concepts plus techniques. Sa preuve a certainement ouvert la voie à John Nash, pionnier de la théorie des jeux à somme non nulle. En conclusion, pour Aumann, le théorème de von Neumann « s'il n'est pas la pièce maîtresse de la théorie des jeux, en demeure une pierre angulaire cruciale » ().


title: Théorème du minimax de von Neumann

text: Presque tout ouvrage général de théorie des jeux destiné à un public sensibilisé aux mathématiques contiendra un énoncé du théorème de von Neumann, et souvent sa démonstration.


title: Lisa M. Montgomery

text: Lisa Marie Montgomery est une criminelle américaine née le , condamnée à mort en pour meurtre et exécutée le . Le , elle a assassiné une jeune femme enceinte de huit mois, Bobbie Jo Stinnett, afin de lui extirper son fœtus avec un couteau.


title: Lisa M. Montgomery

text: Son exécution, dans les ultimes jours du mandat du président Donald Trump et juste avant l’investiture de Joe Biden, opposé à la peine de mort, est la première exécution d'une femme par les autorités fédérales américaines depuis Ethel Rosenberg et , en 1953.


title: Lisa M. Montgomery

text: L'enfance de Lisa Montgomery est cauchemardesque. Elle est violée plusieurs fois par son beau-père et les amis de celui-ci, puis prostituée par sa mère. Elle devient alcoolique durant son adolescence. Sa mère le découvre et la menace avec un pistolet. Lisa s'enfuit du domicile familial et se marie dès l'âge de 18 ans avec son demi-frère, qui, lui aussi, la viole. Un deuxième mariage échoue également, cette fois du fait de l'instabilité mentale de Lisa Montgomery. Les experts qui ont examiné son cas après sa condamnation ont conclu qu'au moment de son crime, elle avait longuement souffert d'une « psychose fleurissante, de trouble bipolaire et de troubles post-traumatiques. Elle était souvent dissociée de la réalité, et en raison de ses nombreux passages à tabac, avait subi des dommages au cerveau permanents. » Elle éprouvait en plus une méfiance à l'égard des hommes en général.


title: Lisa M. Montgomery

text: Lisa Montgomery fait la connaissance de Bobbie Stinnett, une femme de 23 ans enceinte de 8 mois, sur « Ratter Chatter », un forum en ligne consacré à l'élevage de chiens de race rat terrier. Se présentant sous le nom de « Darlene Fischer », Montgomery affirme à Stinnett qu'elle aussi est enceinte. Les deux femmes discutent en ligne et échangent des courriels sur leurs grossesses. Montgomery organise une rencontre chez Stinnett sous prétexte de vouloir acheter un chien. Le , Lisa Montgomery étrangle Bobbie Stinnett avec une corde dans sa maison de Skidmore (Missouri) et prélève l'enfant prématuré de son utérus. Elle fait ensuite passer la petite fille pour son propre enfant.


title: Lisa M. Montgomery

text: La mère de Bobbie Stinnett, Becky Harper, la découvre dans une mare de sang environ une heure après l'agression. Elle appelle immédiatement les urgences, décrivant les blessures infligées à sa fille comme si son « ventre avait explosé. » Les tentatives des ambulanciers pour la réanimer sont infructueuses, et elle est déclarée morte à l'hôpital St. Francis de Maryville.


title: Lisa M. Montgomery

text: Le lendemain, le , Lisa Montgomery est arrêtée dans sa ferme de Melvern (Kansas). Elle avoue immédiatement. Le nourrisson, Victoria Jo Stinnett est remis aux soins de son père, Zeb Stinnett.


title: Lisa M. Montgomery

text: Elle est jugée et condamnée à mort pour « enlèvement ayant entraîné la mort », au titre 18 du code 1201 des États-Unis. Le procureur américain Todd Graves déclare que la compétence fédérale est établie lorsqu'une personne décède à la suite d'un enlèvement. Les violations du titre 18, USC 1201 peuvent entraîner la peine capitale et/ou toute peine pouvant aller jusqu'à la réclusion à perpétuité.


title: Lisa M. Montgomery

text: Lors d'une audience préliminaire, un neuropsychologue témoigne que les blessures à la tête subies quelques années auparavant auraient pu endommager la partie du cerveau qui contrôle l'agressivité de Montgomery. Au cours de son procès en cour fédérale, les avocats de la défense, menés par Frederick Duchardt, affirment qu'elle souffre de pseudocyesis ou grossesse nerveuse, un état mental qui fait croire à tort à une femme qu'elle est enceinte et qu'elle présente des signes extérieurs de grossesse.


title: Lisa M. Montgomery

text: Selon le journal "The Guardian", Duchardt tente de suivre cette ligne de défense seulement une semaine avant le début du procès, après avoir été forcé d'abandonner une autre théorie selon laquelle Bobbie Jo Stinnett aurait été assassinée par le frère de Lisa Montgomery, Tommy, ce dernier ayant un alibi. En conséquence, la famille Montgomery refuse de coopérer avec Duchardt et de décrire au jury les antécédents défavorables de Lisa.


title: Lisa M. Montgomery

text: Le célèbre neuroscientifique V. S. Ramachandran témoigne que Montgomery souffre d'un grave délire pseudocytaire. Selon lui, l'abus sexuel de Montgomery pendant son enfance et le trouble de stress post-traumatique la prédisposaient à la pseudocyesis. Ramachandran témoigne que le récit de Montgomery sur ses actions est fluctuant parce que son état délirant est fluctuant. Il déclare qu'elle souffrait d'une maladie mentale grave au moment du crime et qu'elle n'était pas en mesure d'apprécier la nature et la qualité de ses actes. Le procureur fédéral Roseann Ketchmark caractérise la théorie de Ramachandran comme de « la science vaudou ».


title: Lisa M. Montgomery

text: Le psychiatre légiste Park Dietz témoigne pour l'accusation. Dietz avait déjà travaillé avec des procureurs sur d'autres affaires très médiatisées, notamment celles du tueur en série Jeffrey Dahmer et Theodore Kaczynski, ainsi que de deux femmes, Andrea Yates et Susan Smith, qui avaient tué leurs propres enfants. Yates fut déclaré non coupable pour cause d'aliénation mentale. Dietz témoigne que Montgomery ne souffre pas de pseudocyesis et rejette la théorie de Ramachandran la qualifiant de scandaleuse.


title: Lisa M. Montgomery

text: Le , les jurés reconnaissent Montgomery coupable de meurtre. Le , le jury recommande une condamnation à mort. Le juge Gary A. Fenner condamne officiellement Montgomery à mort. Le procureur Matt Whitworth affirme que Lisa Montgomery avait planifié le meurtre bien à l'avance, selon un rapport de la BBC. Le , un juge confirme la recommandation du jury concernant le décès. Le , la Cour suprême des États-Unis rejette la pétition pour certiorari de Montgomery.


title: Lisa M. Montgomery

text: La défense de pseudocyesis de Duchardt susmentionnée a toutefois fait en sorte que les antécédents défavorables de Montgomery et les diagnostics distincts de maladie mentale n'ont été pleinement révélés au jury qu'après sa condamnation par son équipe en appel. Des critiques, dont le journaliste du Guardian David Rose, affirment ainsi que la défense de Duchardt relevait de l'incompétence. Le juge Fenner exige que Duchardt soit contre-interrogé en . Duchardt rejette toutes les critiques et défend sa conduite.


title: Lisa M. Montgomery

text: Montgomery est enregistrée par le Bureau fédéral des prisons sous le numéro 11072-031 et détenue au centre médical fédéral, Carswell à Fort Worth, au Texas.


title: Lisa M. Montgomery

text: L'affaire Montgomery est détaillée dans les livres "Baby Be Mine" par Diane Fanning et "Murder in the Heartland" par M. William Phelps.


title: Lisa M. Montgomery

text: Elle est transférée du Texas au pénitencier fédéral de Terre Haute, dans l’Indiana, le seul à pratiquer des exécutions capitales fédérales. L’exécution de Lisa Montgomery, prévue initialement le 8 décembre, est reportée au 31 décembre 2020 car ses avocats ont contracté la Covid-19, puis au 12 janvier 2021, soit à peine une semaine avant l'entrée en fonction du président élu Joe Biden, qui a annoncé qu'il suspendrait toute exécution capitale durant son mandat, voire qu'il défendrait une loi d'abrogation de la peine capitale au niveau fédéral.


title: Lisa M. Montgomery

text: Des mobilisations contre son exécution ont lieu, avec les interventions de la Commission interaméricaine des droits de l'homme et des rapporteurs sur les exécutions arbitraires de l'ONU, qui accusent l’État américain d’avoir échoué à la protéger contre les abus, notamment sexuels et de l’avoir trahie en ne les considérant pas comme des circonstances atténuantes.


title: Lisa M. Montgomery

text: Elle est exécutée dans la nuit du au 13 janvier 2021, malgré la demande de ses défenseurs que sa peine soit commuée à la prison à vie. C'est la première exécution fédérale d'une femme depuis Ethel Rosenberg et , 70 ans auparavant.


title: Florent Schmitt

text: Florent Schmitt étudia à Nancy puis au Conservatoire de Paris où il fut élève de Massenet et Fauré. En 1900, après 3 tentatives, il reçut le Premier Grand Prix de Rome pour sa cantate "Sémiramis". En 1904, Schmitt acheva son grandiose et tonitruant "Psaume XLVII", qui lui valut le succès lors de sa création. Pour Norbert Dufourcq, « l’apparition en 1906 du "Psaume XLVII" a été l’événement le plus important de la musique française depuis "Pelléas". » L’humour vache du "Sanglier des Ardennes" (son surnom), libre et franc voire rude, et sa facétie à la Satie, avec qui il était ami, s’exprimaient aussi en titres mystificateurs : "Suite en rocailles", "Çançunik", "Suite sans esprit de suite", "Fonctionnaire MCMXII inaction musicale", "Sonate libre en deux parties enchaînées", "Habeyssée", etc.


title: Florent Schmitt

text: Présent à Toul en 1915, il fait l'objet d'un portrait cubiste par Albert Gleizes intitulé "Le Chant de guerre".