title: RE/MAX

text: RE/MAX International est une organisation immobilière. Fondée à Denver au Colorado en 1973, l'entreprise RE/MAX, qui tire son nom de « Real Estate Maximum », est présente dans 100 pays dans le monde, dont les États-Unis, le Canada, et tout le continent américain, ainsi qu'en Europe avec 40 pays représentés, et pour finir en Asie et en Afrique.


title: RE/MAX

text: Récemment le réseau RE/MAX s'implante en France et en Angleterre mais aussi en Chine ou encore au Japon et en Inde où RE/MAX continue son développement.


title: RE/MAX

text: RE/MAX International supervise un réseau de plus de 135 000 agents/courtiers dans plus de 115 pays et territoires avec plus de 8 000 agences.


title: RE/MAX

text: RE/MAX International recueille mensuel et annuel des cotisations de ses agents qui agissent comme entrepreneurs indépendants travaillant sous les courtiers immobiliers/agence immobilière dans de nombreux pays. En retour, l'agence propose à ses courtiers et agents des services, par exemple la formation des agents et la publicité de l'entreprise. Les courtiers ont pleine autonomie pour gérer leur entreprise à leurs besoins régionaux du marché. RE/MAX est constamment classé parmi les meilleurs.


title: RE/MAX

text: Ses agents opèrent de plus de 8 000 bureaux dans le monde. Le logo de la société est une montgolfière. Les slogans sont « C'est l'expérience », « Personne au monde ne vend plus l'immobilier que RE/MAX » ou encore « N°1 des transactions immobilières dans le monde et en Europe ».


title: RE/MAX

text: Le groupe Re/Max, a fait des débuts remarqués à la Bourse de New York en octobre 2013. La valeur de son titre (RMAX) a connu une envolée de 23 %. Re/Max veut utiliser les 220 millions de dollars récoltés en bourse pour financer son expansion.


title: RE/MAX

text: Le réseau RE/MAX est la bannière immobilière qui investit le plus en publicité en Amérique du Nord : plus de 1,5 milliard de dollars par année, dont plus de 10 millions au Québec seulement, pour la télévision, la radio, les journaux, les guides immobiliers, Internet et d’autres outils marketing.


title: RE/MAX

text: RE/MAX est le partenaire d’Opération Enfant Soleil depuis 1988, organisme qui amasse des fonds pour venir en aide aux enfants malades de la province. Tous les membres du réseau organisent une multitude d’activités leur permettant d’amasser des fonds, tels que des barrages routiers, des défis en vélo, des tournois de golf et des soupers bénéfices.


title: Clacquesin (boisson)

text: Le Clacquesin est une liqueur élaborée vers 1860 par Paul Clacquesin, industriel, propriétaire d'une entreprise de distillerie fondée en 1775 rue du Dragon à Paris, et produite dans ses usines de Malakoff. Le Clacquesin, très populaire au début du , est décrit comme une "liqueur de goudron" ou "goudron hygiénique", en référence à l'un de ses principaux constituants, le goudron de pin de Norvège.


title: Clacquesin (boisson)

text: Paul Clacquesin, pharmacien herboriste, reprend la fabrique de liqueurs de son beau-père autour de 1860, et y élabore la liqueur le Clacquesin.


title: Clacquesin (boisson)

text: Le Clacquesin, médaillé à l'Exposition universelle de 1900 à Paris, connaît à cette occasion un succès croissant. À partir de 1903, la production, assurée jusque-là rue du Dragon, est transportée dans une usine située à Malakoff.Cet apéritif est très apprécié pendant les années 1920 et 1930 (5 millions de litres par an). La femme de Paul Clacquesin, Pauline, engage une publicité intensive pour promouvoir le produit, qui est aussi qualifié de « goudron hygiénique ». Des artistes d'envergure internationale tels que Fernandel, Joséphine Baker ou Maurice Chevalier en vantent les vertus. Sa distribution est interdite par les Allemands dès le début de l'occupation. La production s'arrête en 1942 (année de décès de Pauline) et peine à repartir ensuite.


title: Clacquesin (boisson)

text: Antonin Magne, vainqueur du Tour de France en 1931 et 1934, vantait les mérites du Clacquesin pour justifier sa réussite sportive’.


title: Clacquesin (boisson)

text: L'usine de Malakoff cesse la fabrication en 1995 (mais poursuit l'embouteillage deux mois par an) et le bâtiment est classé monument historique en 2002.


title: Clacquesin (boisson)

text: Le Clacquesin est ensuite élaboré à Provins en 2007, d'où sortent bouteilles chaque année, distribuées surtout par des cavistes.


title: Clacquesin (boisson)

text: Le Clacquesin est élaboré à partir d'une infusion de résine de pins de Norvège dans l'alcool, avec adjonction de sucre caramélisé et d'épices, dont cannelle et clous de girofle. La boisson titre 18°, contre 28° à l'origine.


title: Réserve indienne de Pine Ridge

text: Pine Ridge est une réserve indienne américaine de la tribu des Oglalas située au Dakota du Sud et créée en 1889 lors du démantèlement de la Grande Réserve sioux.


title: Réserve indienne de Pine Ridge

text: Dans les années 1980-1990, des projets de mines d'uranium et d'un site d'essais nucléaires mené par la compagnie Honeywell ont menacé la communauté. Une femme Oglala, mère de huit enfants, JoAnn Tall a installé son tipi sur le site jusqu'à l'abandon du projet.


title: Réserve indienne de Pine Ridge

text: Pine Ridge est la huitième réserve des États-Unis en termes de taille et la plus pauvre. C'est en fait l'un des endroits les plus pauvres du pays.


title: Réserve indienne de Pine Ridge

text: La population de Pine Ridge souffre de problèmes de santé, de diabète du à la malnutrition (trop de sucreries, pas de produits frais), de dépression, d'alcoolisme (quoique la vente d'alcool est interdite, la consommation est forte : 85 % des familles sont touchées), de toxicomanie notamment par la "meth".


title: Réserve indienne de Pine Ridge

text: Le taux de mortalité infantile est 300 % supérieur à la moyenne nationale des États-Unis, le taux de suicide des adolescents est 150 % supérieur à la moyenne nationale du pays et le taux de mortalité est très élevé ; l'espérance de vie est une des plus faibles de l'hémisphère ouest : 47 ans pour les hommes et 52 pour les femmes).


title: Réserve indienne de Pine Ridge

text: Le chômage sur la réserve est de 90 %, et 97 % de la population vit en dessous du seuil de pauvreté. Un tiers des familles n'ont pas d'électricité, de téléphone, d'eau courante ou de tout à l'égout.


title: Brennilis

text: Brennilis (Brenniliz en breton) est une commune du département du Finistère, dans la région Bretagne, en France. Elle est connue pour son ancienne centrale nucléaire.


title: Brennilis

text: Grande de seulement, la commune est peuplée de hors résidences secondaires. Le bourg est situé à d'altitude, les altitudes relevées dans le territoire communal allant de (aux abords du moulin de Kerrannou au sud-est du territoire communal) à (à Roc'h ar Bic).


title: Brennilis

text: Brennilis se situe au pied du Mont Saint-Michel de Brasparts dans les monts d'Arrée et à proximité des marais du Yeun Elez, au nord-est du Réservoir de Saint-Michel, lac artificiel consécutif à la construction sur l'Éllez du barrage de Nestavel dans les années 1930, destiné initialement à régulariser le régime de l'Éllez pour améliorer le rendement de l'usine hydro-électrique de Saint-Herbot située plus en aval. Par la suite, ce lac artificiel a servi de réservoir d'eau de refroidissement pour les besoins du fonctionnement de la centrale nucléaire de Brennilis, construite par le CEA (Commissariat à l'énergie atomique) et EDF (Électricité de France).


title: Brennilis

text: Brennilis est irriguée par l'Éllez, rivière affluente de l'Aulne, et ses affluents le Roudoudour et le Roudouhir, qui alimentent le lac réservoir de Saint-Michel. La commune est divisée en deux parties bien distinctes : une grande moitié ouest forme la dépression du Yeun Elez couverte de marais, tourbières ou landes selon les endroits et désormais en partie ennoyée ; une petite moitié orientale, plus vallonnée, était plus propice à l'agriculture, mais celle-ci y est en relatif déclin, frappée par l'exode rural et la friche sociale.


title: Brennilis

text: Le ruisseau du Roudouhir sépare à l'ouest Brennilis de la commune limitrophe de Botmeur ; au nord, la limite communale avec La Feuillée suit le cours du ruisseau de Noster, affluent du Roudoudour, puis, plus vers l'est, suit approximativement une ligne de crête passant près du sommet de Roc'h ar Bic, longeant le chemin (dit « voie Romaine ») allant jusqu'à Coat-Mocun, commune de Huelgoat ; à l'est, la limite communale avec Huelgoat suit un moment le tracé de l'axe routier D 764, puis celle avec Plouyé suit le cours sinueux et encaissé d'un affluent de l'Ellez jusqu'au moulin de Kerannou ; au sud, la majeure partie du tracé de la limite communale avec l'ancienne commune-mère de Loqueffret, suit le cours de l'Ellez, y compris dans la partie désormais ennoyée sous les eaux du réservoir de Saint-Michel qui est à cheval sur les quatre communes de Brennilis, Loqueffret, Brasparts et Botmeur.


title: Brennilis

text: Autrefois l'Ellez s'appelait « Taël » à la sortie des marais de Botmeur, elle tirait son nom de l'adjectif ta (v)el (calme, silencieux). Le lieu-dit Nestavel a conservé cette appellation : le hameau proche de la « Tavel », la rivière calme, silencieuse.


title: Brennilis

text: Cette description datant de 1939 illustre bien la pauvreté traditionnelle de la commune : " Au bord de la grand'route, s'ouvrent quelques carrières de sable, maigres ressources naturelles du pays. (…) Brennilis, petite commune de , est encore couverte aux deux-tiers de son étendue de fondrières boueuses, entourées d'une végétation rabougrie, où il est dangereux de s'aventurer seul car le « Yun », comme l’appelle les habitants du pays, est peu sûr, puisque dénué de toute route et sentier. Ce pays mystérieux est aussi, paraît-il, hanté de lutins et de korrigans qui, la nuit, au clair de lune, viennent mener une sarabande folle sur la lande déserte ".


title: Brennilis

text: Outre le bourg, étiré le long de la départementale D 36 allant de Croaz an Herry en La Feuillée jusqu'à Châteauneuf-du-Faou, l'habitat est surtout réparti en une dizaine de gros hameaux (dénommés localement « villages »), les principaux étant dans la partie orientale de la commune Plouenez (l'ancien chef-lieu de la "Ploue de la montagne"), Kermorvan, Cosforn, Kergaradec et dans la partie occidentale Kerflaconnier, Kerhornou, Kerveur, Nestavel-Braz et Kervéguénet. Des hameaux sont proches du lac réservoir de Saint-Michel : ceux de Nestavel Bihan et Nestavel Braz dépendent de Brennilis, celui de Forc'han de la commune voisine de Loqueffret. Quelques petits hameaux complètent l'habitat, certains d'entre eux ayant pu être plus importants par le passé mais victimes de la dépopulation liée à l'exode rural comme Kerranou, Penhars, Roc'h ar Had ou Leïntan. L'habitat rural traditionnel a souvent été remarquablement restauré ces dernières décennies.


title: Brennilis

text: La commune s'est dotée, dans le cadre de son P.L.U. (Plan local d'urbanisme) rendu exécutoire en février 2011, d'un P.A.D.D. (Plan d'aménagement et de développement durable), qui fixe à 750 le nombre d'habitants pouvant être durablement accueillis sur le territoire.


title: Brennilis

text: La commune bénéficie d’un « climat océanique franc », selon la typologie des climats en France définie en 2010, comme communes du Finistère soit 99 % du département. Ce type de climat est caractérisé par des précipitations annuellement abondantes (un peu plus de ) et fréquentes en hiver (plus de en janvier). L’été est également pluvieux (8-9 jours en juillet) mais les cumuls sont réduits.


title: Brennilis

text: Les paramètres climatiques qui ont permis d'établir cette typologie comportent six variables pour les températures et huit pour les précipitations, dont les valeurs correspondent à la normale 1971-2000. Les sept principales variables caractérisant la commune sont présentées dans l'encadré ci-après.


title: Brennilis

text: Avec le changement climatique, ces variables ont pu depuis évoluer. Une étude réalisée en 2014 par la Direction générale de l'Énergie et du Climat prévoit en effet que la température moyenne devrait croître et la pluviométrie moyenne baisser, avec toutefois de fortes variations régionales. La station météorologique de Météo-France installée sur la commune permet de connaître en continu l'évolution des indicateurs météorologiques. Le tableau détaillé pour la période 1981-2010 est présenté ci-après.


title: Brennilis

text: Brennilis est une commune rurale, car elle fait partie des communes peu ou très peu denses, au sens de la grille communale de densité de l'Insee.


title: Brennilis

text: Le tableau ci-dessous présente l'occupation des sols de la commune en 2018, telle qu'elle ressort de la base de données européenne d’occupation biophysique des sols Corine Land Cover (CLC).


title: Brennilis

text: Ce toponyme breton est composé de ', qui signifie « colline », et de ' « église ». Le nom signifie donc « colline de l'église ».


title: Brennilis

text: Toutefois Gwenc'hlan Le Scouëzec émet une autre hypothèse qui s'appuie sur la statue de la Vierge à l'enfant placée dans une niche à volets sculptés située dans l'église paroissiale. Sur le bord supérieur de la niche on peut lire : « Notre-Dame de Breac-Ellis » ; ce terme proviendrait du gaulois "briacos" (« marais ») et de "helle" (« sorcière » en vieux français).


title: Brennilis

text: La région de Brennilis a été très anciennement habitée, au moins depuis le Mésolithique. Le dolmen de "Ti-ar-Boudiged" date du Néolithique moyen : sous le tumulus, 15 pierres plantées en terre formant des piliers soutiennent trois pierres qui forment dalles de couverture : cette sépulture en « V » est longue de , sa largeur variant entre près de l'entrée étroite et s'élargissant jusqu'à au fond. Plusieurs autres mégalithes sont visibles sur le territoire communal, en particulier l'alignement de Leintan (cinq menhirs), hélas abattus et le menhir de Coatmocun. D'après la tradition populaire, c’est du haut de Roz-ar-Guevel, amas de rochers naturellement disposé en forme de dolmens, que Bristok, valeureux chef breton « à rude trempe et à lourde épée », devant une foule enthousiaste, poussa le premier cri de révolte contre les aigles romains. C'est à l'emplacement d’un oratoire construit au pour commémorer cette réunion de serfs attachés à la glèbe, et la déroute des légions romaines, que s'élève l'église paroissiale.


title: Brennilis

text: La voie romaine allant de "Vorgium" (Carhaix-Plouguer) vers La Feuillée passait à l'est du finage actuel, par le hameau de Pontauban et non loin des villages de Penhars et Kerrannou ; elle traversait « les garennes de Plouenez ».


title: Brennilis

text: Le site de "Karhaes Vihan", qui comprend une dizaine de bâtiments en ruines, de forme carré ou rectangulaire, séparés les uns des autres et construits en granite, des piliers de bois soutenant une couverture en genets, permet de comprendre l´organisation de l'habitat rural en Basse Bretagne entre la fin du et le (habitat dispersé et regroupé en hameaux, homme et bétail sous le même toit) provenant des défrichements organisés sous l'égide des moines cisterciens de l'abbaye du Relec et des Hospitaliers de Saint-Jean de Jérusalem implantés à La Feuillée. Ce type d'habitat a subsisté jusqu'à la fin du dans des villages comme Kerflaconnier ou Kermorvan.


title: Brennilis

text: Brennilis fit partie au Moyen Âge, du au , de la paroisse primitive de l'Armorique, fondée probablement au , dénommée en 1368 "Plebs Montis", traduction latine de « "Ploumenez" » ou « "Plouenez" » en breton, soit « Ploue de la montagne » en français, dont le chef-lieu se trouvait sur le territoire actuel de Brennilis (hameau de Plouenez) ; cette paroisse ou « ploue » couvrait plus de , correspondant aux paroisses et trèves, désormais communes, de Berrien (y compris ses trèves de Huelgoat et Locmaria et son terroir de Botmeur), La Feuillée, Loqueffret (y compris Brennilis), Brasparts (y compris sa trève de Saint-Rivoal). Cette « Ploue de la Montagne » a disparu probablement au , sa dernière mention datant de 1368. La création des paroisses de Berrien et de Brasparts (trèves incluses), probablement au , puis celle de la commanderie de La Feuillée par les hospitaliers de Saint-Jean-de-Jérusalem avaient déjà considérablement réduit son territoire.


title: Brennilis

text: Brennilis, où une chapelle de pèlerinage fut construite en 1485, devint une trève de la paroisse de Loqueffret, son chapelain possédant toutefois le droit de célébrer les enterrements, le village possédant donc son cimetière. Le pardon s'y déroulait le premier lundi de mai, la tradition voulant que les paroissiens fassent plusieurs fois le tour de l'église, parfois à genoux (le pardon a cessé d'être célébré vers 1960). Plouenez sombra dans l'oubli, réduit à un simple hameau.


title: Brennilis

text: Les vitraux de l'église Notre-Dame de Brennilis (alors une simple chapelle construite en 1485) sont garnis de nombreux écussons des donateurs, notamment ceux des familles Berrien (Yvon de Berrien, époux de Jeanne de Kersauson, fut par exemple seigneur de Kerannou [près du lieu-dit actuel « Les Salles » en Loqueffret ; il n'en subsiste quasiment rien] ; sa juridiction seigneuriale disposait du droit de haute justice ; il était aussi seigneur de Leslec'h, aussi en Loqueffret), Quelen, Vieux-Chastel, Coëtanezre, du Juch.


title: Brennilis

text: La famille Berrien de Kerannou semble disparaître de Bretagne au début du , probablement parce qu'elle se convertit au protestantisme ; ses membres auraient émigré à Alkmaar aux Pays-Bas ; certains descendants seraient ensuite partis aux États-Unis et certains de leurs enfants sont devenus des notables de Long Island et du New-Jersey.


title: Brennilis

text: Le bourg de Brennilis est attesté en 1653 seulement, mais existait certainement bien avant, l'église actuelle, ancienne chapelle, portant une inscription de 1485. Le bourg aurait été fondé et la chapelle construite par les seigneurs de Kerrannou si l'on en croit un aveu de 1653. La chapelle était selon son recteur de 1856, M. Combot, "consacrée à Notre-Dame de Breach-Elé, ou confluent de l'Elé [Ellez], parce que l'église se trouve près l'endroit où la rivière Elé [Ellez], qui prend sa source dans le marais de ce nom, reçoit les eaux d'une autre rivière qui vient des montagnes d'Arré", la tradition disant que les fondations et les vitraux étaient dus aux seigneurs du château (en ruine actuellement) de Kerannou, dont les armes sont plusieurs fois reproduites dans l'église. Gwenc'hlan Le Scouëzec interprète "Notre-Dame de Breac-Ellis", comme venant de "briacos", le marais en gaulois et "helle", la sorcière en vieux français, soit "le marais de la sorcière". Le premier lundi de mai, tous les habitants de la paroisse, grands et petits, viennent faire une visite à Notre-Dame de Brennilis, depuis quatre heures du matin jusqu'à huit ou neuf heures du soir, plusieurs font en marchant ou à genoux le tour à l'intérieur ou à l'extérieur de l'église. Cet usage date, dit-on, de temps immémorial ; quelque soin que j'aie pris pour en connaître l'origine, personne n'a pu me renseigner" écrit encore en 1856 le recteur Combot.


title: Brennilis

text: De la fin du à la Révolution française, Brennilis est dominée en majeure partie par la seigneurie de Kerrannou dont les armoiries, ainsi que celles de familles nobles apparentées, sont représentées sur les verrières de l'église. Le château de Kerannou, (situé au lieu-dit actuel "les Salles"), en terre, a disparu tôt, remplacé par un manoir. La seigneurie, sergenterie féodée, disposait des droits de basse justice, moyenne justice et haute justice sur un territoire comprenant les hameaux actuels situés ente Rozingar (Roc'hingar) et Kervéguénet. Les fourches patibulaires à quatre piliers de justice (« piliers en boy à planter en terre armoyés de Keranou, lesquels sont garnis de colliers et carquants de fer [= potence] » étaient probablement implantées au lieu-dit "Parc ar criminal" à Kerrarnou. Les audiences de justice (plaids généraux) se tenaient à la chapelle Saint-David (ou Saint-Divy), (en ruines en 1798, détruite en 1806), près de Kerrannou, ou au bourg de Brennilis jusqu'à la suppression de cette justice féodale en 1682 au profit de la juridiction du Huelgoat. Les juges seigneuriaux étaient aussi "gruyers", surveillant les gardes forestiers et les bois eux-mêmes, ainsi que les cours d'eau car la pêche était aussi réservée au seigneur.


title: Brennilis

text: La seigneurie appartint successivement aux familles De Berrien (au ), De Quelen (au ), Kerlech du Chastel (au ) ; Alain Kerlech du Chastel, aussi seigneur du Rusquec (le manoir du Rusquec est situé dans l'actuelle commune de Loqueffret), démolit le manoir de Kerannou vers le milieu du pour agrandir le château du Rusquec. Le domaine passa ensuite au aux mains des familles De Boisadam puis De Begasson.


title: Brennilis

text: Les documents concernant Brennilis à cette époque sont rares, son histoire se confondant avec celle de sa paroisse-mère : Loqueffret. La pauvreté du sol, l'exiguïté du territoire et la dépendance à l'égard de suzerains extérieurs à Brennilis, nobles ou ecclésiastiques, expliquent l'absence de manoirs ou de châteaux.


title: Brennilis

text: Rattachée à Loqueffret lors de la création des communes en 1792, Brennilis est érigée en paroisse le et en commune le . La construction d'une mairie ne fut décidée qu'en 1913, la nouvelle commune se contentant d'un local loué auparavant. La mairie construite en 1951 a été remplacée par une construction moderne dans les années 90.


title: Brennilis

text: Le docteur Le Breton, médecin dans l'arrondissement de Châteaulin, décrit en 1853 la misère des habitants et l'insalubrité du hameau de Kerflaconnier, véritable marécage peuplé de 75 personnes, où s'est déclarée une épidémie de fièvre typhoïde : « On ne saurait donner une idée de la malpropreté et de l'état misérable de leur mobilier. Les sexes sont séparés, mais les habitants couchent au nombre de 2 ou 3 dans le même lit, et quel lit ! les malades ensemble ou même avec les biens portants ». Selon lui, les maisons sont construites sans la moindre observation des règles d'hygiène ; elles sont basses, mal éclairées, avec une partie crèche à bestiaux séparée du reste de la maison par une simple claie ; les lits-clos sont occupés par plusieurs personnes, sans draps.


title: Brennilis

text: L'école de Brennilis, comprenant une école de garçons et une école de filles, est construite entre 1882 et 1885, comptant chacune vers 1900 une centaine d'élèves dans une classe unique. Vers 1905, les effectifs se montant à 140 élèves environ, les classes sont dédoublées. En 1895 Brennilis demande la création d'un poste de facteur-receveur.


title: Brennilis

text: L'approvisionnement en eau pose problème, le puits du bourg tarissant vite et l'été, les habitants étaient obligés d'aller chercher l'eau jusqu'à la fontaine de Kerguéven en Loqueffret à plus de deux kilomètres.


title: Brennilis

text: Le , Cloarec, curé de Brennilis, fait partie des du diocèse de Quimper dont les traitements sont retenus par décision du gouvernement Combes « tant qu'ils ne feront pas emploi de la langue française dans leurs instructions et l'enseignement du catéchisme » car ils utilisaient le breton.


title: Brennilis

text: Brennilis fut pendant environ deux décennies desservie par le train au début du : la gare de Brennilis est un endroit qui fut fréquenté assidument entre 1912 et 1933 par les voyageurs qui prenaient le train de la ligne des Chemins de fer armoricains entre Plouescat et Rosporden. Il faisait arrêt dans plusieurs gares, et répondait au nom de « train patates ». Le dernier chef de gare était Coadour, ancienne restauratrice au Bourg. La gare est désormais une maison d'habitation, tandis que la ligne est devenue un chemin de randonnée permettant de remonter vers les crêtes.


title: Brennilis

text: Comme les communes voisines de Loqueffret, La Feuillée, Botmeur et Berrien, Brennilis a été une terre de pilhaouers et de marchands de toiles, « dont Brennilis était la petite patrie » jusqu'à la Seconde Guerre mondiale au moins. En 1846, l'on recense à Brennilis (dont 13 à Kermorvan, 6 à Nestavel Bras, à Kerflaconnier, à Plouenez et à Kerveur, 5 à Nestavel Vihan, etc.) pour ( à la même date). Leur indépendance d'esprit était connue. À l'annonce du décès de leur recteur (curé en Bretagne), les pilhaoueriens de Brennilis s'exclament en 1891 : « Encore un qui ne nous commandera plus ! ».


title: Brennilis

text: Dans la décennie 1930, Brennilis comptait de toile, issus surtout des parties occidentale et centrale de la commune, parties les plus pauvres. Cette profession, apparue ans la commune après la Première Guerre mondiale, était une reconversion professionnelle de certains pilhaouers ; ils s'approvisionnaient en tissus provenant des filatures du Nord de la France et faisaient du porte-à-porte pour vendre leurs rouleaux de toile.


title: Brennilis

text: La pauvreté a entraîné pendant le et les deux premiers tiers du une forte émigration. Ce texte du « "Courrier du Finistère" » qui date de 1943 en témoigne : "Avec ses minces bandes de terres labourables entre des collines dénudées et des vallons marécageux, Brennilis ne peut nourrir ses habitants. Aussi jeunes gens et jeunes filles s’en vont « courir leur chance dans le monde » se plaçant comme domestiques, s’embauchant comme terrassiers dans nos villes. À longueur d’année, les hommes circulent dans nos cantons de Bretagne, nos provinces de France, pour le commerce des toiles. Espérons-le, l’après-guerre apportera à Brennilis de meilleures conditions d’existence, à tout le moins en lui donnant des routes convenables…".


title: Brennilis

text: Brennilis a une tradition politique fortement marquée à gauche, comme la plupart des autres communes de l'Arrée. Entre les deux guerres mondiales, des disputes clochemerlesques éclatent fréquemment entre le curé et la municipalité, comme l'illustre par exemple en 1932 le refus du recteur d'organiser un service religieux à la mémoire des morts de la Grande guerre lors de la fête des Anciens Combattants si un bal est ensuite organisé par la mairie.


title: Brennilis

text: Le monument aux morts de Brennilis, construit en 1922, porte les noms de de la commune morts pour la France dont 47 pendant la Première Guerre mondiale et 12 pendant la Seconde Guerre mondiale.


title: Brennilis

text: Pendant la Seconde Guerre mondiale, la garnison allemande qui gardait le barrage de Nestavel était forte d'un quinzaine de soldats environ.


title: Brennilis

text: Des actes de résistance surviennent à Brennilis : sabotage d'une ligne à haute tension en 1943, vols de tickets d'alimentation au profit de la Résistance. François Toullec, , né à Brennilis, réfractaire au STO, maquisard, est capturé le par les Allemands dans le bois de Bodriec en Loqueffret, ainsi que Jean Cavalloc, de Lopérec et François Salaün, de Loqueffret ; après avoir été atrocement torturés à Lampaul-Guimiliau, puis à Guiclan et enfin dans la cave de la chapelle de l'école Saint-Louis à Châteaulin où ils décèdent dans la nuit du 9 au .


title: Brennilis

text: Le , vers , trois avions anglais mitraillent des véhicules automobiles ; un homme est tué à la porte de son domicile.


title: Brennilis

text: L'exploitation des tourbières du Yeun Elez était une activité importante jusque vers le début de la décennie 1950. En 1941, l'hebdomadaire "Le Courrier du Finistère" écrit : Les tourbières sont exploitées activement et dans de meilleures conditions qu’à la saison précédente. Bon appoint pour les foyers familiaux.


title: Brennilis

text: Un premier barrage avait été construit en 1929, entraînant la formation d'un premier lac artificiel de petite dimension. L'extension du lac artificiel réservoir de Saint-Michel provoque dès l'annonce du projet en 1931 de vives protestations de la part des agriculteurs et tourbiers concernés qui créèrent un comité de défense ; l'un des membres déclare :" ce barrage inondera de champs, de prés, de tourbières… Plus de cinquante familles se verront dans l’obligation de quitter le pays et alors, où iront-elles ?. L’orateur montre avec éloquence les richesses du pays, « ces tourbières sont des mines inépuisables". En effet, la construction du barrage de Nestavel entraîne en 1936 des expropriations de tourbières par la Société hydro-électrique du Finistère, concessionnaire de l'ouvrage et de vives protestations des tourbiers qui se regroupent en syndicat de défense. "Les paysans du marais (Brennilis et un village de Loqueffret) perdent leur gagne-pain. (…) Ils vivaient de la vente de la tourbe aux environs et du faible produit des troupeaux : tourbe et troupeaux disparaîtront. On peut nous parler de progrès moderne, de force motrice, de lumière et de chaleur prodiguées au loin par le bienfaisant lac artificiel. Nous savons. Mais on ne nous fera pas dire que la ruine ou l’exode des tourbiers ne sont pas infiniment tristes".


title: Brennilis

text: Mais la campagne d'expropriation commence dès 1935 entraînant la création du lac de Brennilis, dit réservoir de Saint-Michel, retenue d'eau de de mètres cubes. En 1941, une nouvelle campagne d'expropriation agrandit le périmètre de l'ouvrage, certaines terres non expropriées dans un premier temps étant périodiquement inondées lorsque le lac était à son niveau le plus élevé.


title: Brennilis

text: La commune n'étant indépendante que depuis 1884, les chiffres ne sont connus que depuis le recensement de 1886. Auparavant les statistiques concernant Brennilis étaient incluses dans celles de Loqueffret. En 1846, la paroisse de Brennilis avait 802 habitants.


title: Brennilis

text: "Commentaire" : Depuis sa création en 1884, Brennilis a connu une croissance de (+ 27 %) en de 1886 à 1906, année de son maximum démographique. La population de la commune commence ensuite à décliner, lentement d'abord entre 1906 et 1931 : perte de () en ; puis plus rapidement entre 1931 et 1962 : perte de () en . La construction, puis la mise en service en 1962 de la centrale nucléaire des monts d'Arrée permet un redressement démographique spectaculaire mais temporaire entre 1962 et 1968 ( en , soit ), suivi d'une reprise du déclin depuis 1968 ( en entre 1968 et 2006, soit ). En , depuis sa création, par delà les évolutions qui viennent d'être décrites, la commune a perdu depuis sa création plus de la moitié de ses habitants. La densité de la population, qui était de par km en 1968, n'est plus que de par km en 2006.


title: Brennilis

text: En , de 1998 à 2007, Brennilis a enregistré et , soit un déficit naturel de dû au vieillissement de sa population. De 1999 à 2006, son taux de natalité a été de et son taux de mortalité de . Même si son solde migratoire, longtemps négatif tout au long du , est redevenu positif depuis 1990, cela ne suffisait pas à compenser le déficit naturel car il s'agissait essentiellement d'une immigration de retraités. Le recensement de 2011 enregistrait toutefois une légère augmentation de la population. Entre janvier 2008 et décembre 2013, soit sur six ans, la commune connaissait et , représentant un moindre déficit naturel que sur la période décennale précédente.


title: Brennilis

text: En 2006, les et plus formaient plus de de la population communale alors que les formaient un peu moins de de cette même population. La réalisation de logements à loyer modéré (HLM départementaux, réalisations communales, opérations de la communauté de communes) a cependant permis d'enrayer ou de ralentir le déclin démographique. Brennilis a ainsi pu sauvegarder son école publique, en association pédagogique avec celles de Loqueffret et La Feuillée : en 2012-2013, étaient scolarisés à Brennilis, 38 à Loqueffret et 32 à La Feuillée. Sur les scolarisés sur les , à Brennilis. Une supérette a été installée au bourg par la communauté de communes et est désormais propriété de son ancien gérant. Le bourg offre également les services d'une agence postale et d'une bibliothèque municipale (les deux ouvertes six jours sur sept), d'un cabinet infirmier et d'un cabinet médical. De nombreuses chambres d'hôtes sont à disposition. La commune compte également un restaurant. Elle forme un bassin d'emploi industriel important grâce aux entreprises implantées sur la partie déjà démantelée du site nucléaire de Brennilis, aux turbines à combustion installées par EDF et au chantier du démantèlement devant s'achever après 2020.


title: Brennilis

text: Entre 1962 et 1967, la centrale nucléaire expérimentale de Brennilis dite « des Monts d'Arrée » a été construite par le CEA et EDF. C'était un réacteur expérimental, un prototype industriel destiné à prouver la fiabilité de la filière eau lourde (EL). De ce fait, il est baptisé EL 4.


title: Brennilis

text: Le choix du site de Brennilis s'explique ainsi, si l'on en croît un ingénieur responsable de la construction de la centrale : « Sur le plan technique, nous avions un certain nombre d'impératifs à résoudre, recherche d'eau en particulier. Le réservoir Saint-Michel nous assure cette eau. Recherche d'un sol également très résistant. Vous voyez la lourdeur des bâtiments que nous avons à construire. Le granit breton a fait le nécessaire. Et puis nous avions également besoin d'un terrain assez vaste, sans agglomération notable, et qui ne soit pas, par ailleurs, d'une trop grande valeur au point de vue agricole. Nous avons trouvé tout cela ici. Nous savions également que nous trouverions une main d'œuvre de valeur en Bretagne. Et je dois dire que, depuis, l'excellent accueil que nous avons trouvé dans cette région ne nous a absolument pas fait regretter le choix que nous avions fait ».


title: Brennilis

text: Brennilis connaît alors une période de prospérité : augmentation de la population liée aux emplois proposés par la centrale surtout pendant sa construction, mais aussi ensuite pour son fonctionnement (construction de lotissements, en particulier d'un lotissement E.D.F.), recettes fiscales importantes : pendant la période de fonctionnement du réacteur nucléaire, Brennilis est la commune de Bretagne qui dispose de la plus forte recette de taxe professionnelle par habitant, ce qui permet à la commune de se doter d'équipements et d'aménagements modernes, notamment au bourg.


title: Brennilis

text: En raison de la faible puissance du réacteur (), et compte tenu de la situation énergétique française positive à l'époque, EL 4 est arrêté en juillet 1985. Actuellement, la centrale est en cours de démantèlement. L'avis défavorable de la commission d'enquête du 25 mars 2010 a ralenti la poursuite du démantèlement de la centrale, ce dont se félicitent des associations écologiques hostiles au nucléaire. Le retour à l'herbe mis en avant comme perspective par les autorités au début du processus de démantèlement semble fort hypothétique ou, à tout le moins, devoir être très lointain en raison de la persistance de la vocation industrielle du site de Brennilis qui demeure un important bassin d'emploi.


title: Brennilis

text: Trois turbines à gaz ont été construites sur le même site de Nestavel destinées à fournir de l'électricité uniquement lors des fortes pointes de consommation électrique afin d'éviter des coupures de courant en Bretagne occidentale.


title: Brennilis

text: Quelques bâtiments et terrains restent disponibles malgré l'installation de certaines entreprises sur ce parc. La principale est les "Salaisons de l'Arrée", une entreprise de transformation alimentaire comptant quelque , qui est la plus importante entreprise de main-d'œuvre installée à des kilomètres à la ronde.


title: Brennilis

text: Les rives du lac réservoir de Saint-Michel, couramment dénommé "lac de Brennilis", vaste de 500 hectares, ont été aménagées, au sud du barrage de Nestavel, afin de devenir une très modeste "riviera touristique" : un camping de bord de lac attire estivants et pêcheurs. Un tourisme vert s'est développé (sentier de 18 kilomètres faisant le tour du lac à travers les marais, visite de la tourbière du Venec, des sites d'habitat des castors). Le patrimoine archéologique (dolmen de "Ty ar Boudiged" surtout), architectural (église Notre-Dame principalement mais aussi l'habitat traditionnel des hameaux) et naturel de la commune est aussi attractif. Plusieurs gîtes privés offrent des possibilités d'hébergement.


title: Brennilis

text: La tourbière du Vénec, classée réserve naturelle nationale en 1993 (un industriel envisageait d'exploiter la tourbe qu'elle contenait) et zone Natura 2000 est un exemple unique de tourbière bombée encore active en Bretagne, elle occupe une superficie de 48 hectares et forme une véritable lentille convexe qui se détache nettement de la surface rectiligne du lac. Autour, l'on trouve une tourbière basse de transition et, à la périphérie, des landes, des prairies humides et des bois de saules. Ce site abrite de nombreuses plantes protégées et rares comme la sphaigne de la Pylaie, le lycopode inondé, les deux rossolis, l'utriculaire mais aussi des animaux comme le lézard vivipare, l'argyronète (la seule araignée à pouvoir vivre sous l'eau), le damier de la succise (un papillon) ou le sympetrum noir (une libellule).


title: Brennilis

text: En 2010, la construction d'un bâtiment d'accueil des activités liées à la jeunesse et à la petite enfance complète les infrastructures touristiques existantes.


title: Brennilis

text: En 2019, le projet d'étendre le périmètre protégé aux 287 hectares restants, dits de l'arrière-Vénère, fait polémique, un comité de défense regroupant des chasseurs, des agriculteurs et des sylviculteurs s'oppose à cette extension.


title: Brennilis

text: La commune a engagé une politique de développement durable en lançant une démarche d'Agenda 21 en 2008.


title: Coupe du monde de beach soccer

text: La Coupe du monde de beach soccer est une compétition internationale de beach soccer qui se déroule tous les deux ans sous l'égide de la FIFA et de la BSWW depuis 2005. Un championnat du monde préexistait depuis 1995.


title: Coupe du monde de beach soccer

text: Seules quatre nations sont au palmarès de la Coupe du monde. Le Brésil, seule équipe à avoir disputé toutes les phases finales de compétition, détient le record d'éditions remportées avec quatorze succès. Le Portugal (trois succès), la Russie (trois succès) et la France (un succès) ont également remporté le trophée.


title: Coupe du monde de beach soccer

text: En 1995, la Beach Soccer Worldwide met en place le premier championnat du monde à Rio de Janeiro au Brésil. Huit équipes sont sélectionnés sans passer par un système de qualification et l'équipe du Brésil, chez elle, devient le premier champion du monde. Les auriverdes remportent 9 des 10 championnats du monde, avec une en 2001, tous joués à domicile.


title: Coupe du monde de beach soccer

text: Jusqu'en 2004, le beach soccer, et avec lui le Championnat du Monde du beach soccer disputé chaque année, est principalement organisé par le groupe espagnol Beach Soccer Worldwide qui bénéficie du soutien de la FIFA mais sans son intervention directe.


title: Coupe du monde de beach soccer

text: En 2005, le "beach soccer" passe sous l'égide de la Fédération internationale de football association qui s'associe à la Beach Soccer Worldwide et créer la "FIFA Beach Soccer SL" (FBSSL), une nouvelle filiale basée aussi à Barcelone et exclusivement consacrée à l'organisation annuelle de la Coupe du monde de la FIFA à partir de 2005. La BSWW est responsable des phases éliminatoires de la Coupe du monde FIFA. La tradition qui veut que la compétition ait lieu au Brésil est maintenue et continue, comme lors de l'édition de 2004, d'accueillir nationales.


title: Coupe du monde de beach soccer

text: L'Afrique du Sud, l'Australie et la Thaïlande jouent leur première coupe du monde en 2005. L'équipe de France entrainée par Éric Cantona remporte son premier titre dans cette compétition après avoir défait le Portugal lors de la séance de pénalty. Le tournoi est jugé comme un véritable succès pour la FIFA qui décide de fixer le nombre de participants à 16 pour les éditions suivantes. Ainsi des groupes de qualifications sont établis, permettant à un plus grand nombre de pays à s'intéresser à la compétition.


title: Coupe du monde de beach soccer

text: Les éditions 2006 et 2007 sont toujours organisées au Brésil qui remporte ces deux éditions à domicile. Le Bahreïn, l'Iran, les États-Unis et les Iles Salomon découvrent le niveau mondial en 2006 ainsi que les Émirats arabes unis un an plus tard. En deux éditions, le mondial accueille autant de nouvelles nations (neuf) que durant les sept précédentes cumulées.


title: Coupe du monde de beach soccer

text: À la fin de la Coupe du monde de beach soccer 2007, le tournoi est devenu très populaire. On voit de nouvelles nations émerger avec notamment l'Uruguay et le Mexique (respectivement finaliste en 2006 et 2007). La FIFA décide de modifier le lieu pour les prochaines compétitions, afin d'étendre la popularité de l'évènement. Il est voté que la première édition disputée en dehors du Brésil serait jouée en juillet 2008 à Marseille sur la plage du Prado. Le Salvador et le Cameroun joue leur première coupe du monde.


title: Coupe du monde de beach soccer

text: En 2009, la coupe du monde s'installe à Dubaï et se déroule dès lors tous les . La Côte d'Ivoire et le Costa Rica découvre alors la compétition. Le Brésil remporte son mondial face à une surprenante équipe de Suisse emmenée par son buteur vedette, sacré joueur du tournoi, Dejan Stankovic.


title: Coupe du monde de beach soccer

text: La compétition à ensuite lieu à Ravenne (Italie) en 2011 et le Brésil perd sa première finale en 14 éditions au profit de la Russie. Tahiti est désigné pour accueillir l'édition suivante en 2013. La Russie remporte son deuxième titre consécutif et devient la seule équipe après le Brésil à inscrire une deuxième fois son nom au palmarès de la compétition.


title: Coupe du monde de beach soccer

text: En 2015, le tournoi revient en Europe sur la plage portugaise de Praia de Baïa à Espinho au nord du pays.


title: Coupe du monde de beach soccer

text: La FIFA dévoile lundi 14 février 2021 les trois pays candidats à l'accueil du Mondial de beach soccer en 2023 : Bahreïn, Seychelles et Émirats arabes unis.


title: Coupe du monde de beach soccer

text: De 1995 à 2005, les équipes participantes étaient sélectionnées par la BSWW. Lors de la prise en main de la compétition par la FIFA celle-ci voulu, pour la deuxième édition de la Coupe du monde FIFA, mettre en place un système de qualification et par la même occasion étendre la compétition à . La répartition par confédération est :


title: Coupe du monde de beach soccer

text: Dans le tableau suivant, le nom du vainqueur est accompagné entre parenthèses du nombre de titres remportés si supérieur à 1. L'indication du meilleur buteur s'accompagne du nombre de buts marqués entre parenthèses.


title: Coupe du monde de beach soccer

text: Dans le tableau suivant, le nom du vainqueur est accompagné entre parenthèses du nombre de titres remportés si supérieur à 1. Le meilleur joueur, le meilleur buteur et le meilleur gardien sont également désignés respectivement ballon d'or, soulier d'or et gant d'or de la compétition. L'indication du meilleur buteur s'accompagne du nombre de buts marqués entre parenthèses.


title: Coupe du monde de beach soccer

text: Le Brésil est la seule nation à avoir participé à toutes les phases finales de la Coupe du monde, ensuite viennent l'Argentine, l'Italie et l'Uruguay avec 15 participations en 17 éditions. Les "Auriverdes" détiennent un nombre important de records de la Coupe du monde avec notamment celui du plus grand nombre de buts inscrit (53), de la meilleure différence de but (+47) et du plus petit nombre de buts encaissés (9).


title: Coupe du monde de beach soccer

text: Le Brésil est aussi le seul pays organisateur à s'être imposé à domicile (11 fois). Il détient le record de victoires dans la compétition avec 13 succès. Seule la France, le Portugal et la Russie ont réussi à contrarier cette suprématie.


title: Coupe du monde de beach soccer

text: Le Portugal détient le record de buts inscrit en un match avec 14 unités. Il a réalisé cet exploit par deux fois : en 2006 (victoire 14-2 contre les îles Salomon) et en 2009 (14-7 contre l'Uruguay). La victoire contre Salomon représentant la plus large victoire (+12) en phase finale de Coupe du monde. La "Selecção" est l'équipe ayant perdu le plus de finale avec 3 revers pour deux succès.


title: Coupe du monde de beach soccer

text: Tahiti est la seule nation à avoir perdu en finale lors de deux éditions successives : contre le Portugal (3-5) en 2015 au Portugal et contre le Brésil (0-6) en 2017 aux Bahamas


title: Coupe du monde de beach soccer

text: Le portugais Madjer détient le record de titre de meilleur buteur décroché avec 5 succès (série en cours), il est aussi celui ayant marqué le plus de but en un seul match avec 7 unités lors de la victoire 14-7 du Portugal contre Uruguay en 2009. Il est le premier joueur à dépasser les marqués en coupe du monde.


title: Coupe du monde de beach soccer

text: Paulo Sérgio, gardien du Brésil entre 1995 et 2004 a remporté les 4 premiers trophées de meilleur gardien de la compétition. Tandis que son coéquipier Júnior termine 4 fois meilleur joueur lors des 6 premières coupes de monde, un record.


title: Jour de la Race

text: Le Jour de la Race ("Día de la Raza") est le nom donné dans certains pays hispanophones, aux célébrations du 12 octobre commémorant la « découverte de l'Amérique », c'est-à-dire la découverte de terres émergées (qui s'avèreront plus tard faire partie de l'archipel des Bahamas) par l'équipage de Christophe Colomb le 12 octobre 1492, après avoir navigué 36 jours vers l'ouest à travers l'Atlantique depuis les îles Canaries. Cette appellation, dont l'usage s'est répandu dans la première moitié du , a suscité des polémiques croissantes à la fin du siècle jusqu'à être progressivement remplacée par des expressions moins controversées à partir du début du .


title: Jour de la Race

text: Cette dénomination a été créée par l'ex-ministre en tant que président de l'. En 1913, il songeait à une célébration qui unirait l'Espagne et l'Ibéro-amérique le .


title: Jour de la Race

text: La date marque la naissance d'une nouvelle identité, produit de la rencontre et de la fusion des peuples originaires du continent américain et des colonisateurs espagnols.


title: Jour de la Race

text: Le "Jour de la Race" a été d'abord établi en Argentine en 1917 par décret du président Hipólito Yrigoyen, pour réaffirmer l'identité hispano-américaine face aux États-Unis et à la doctrine Monroe. Par la suite, la date a été instituée comme fête nationale dans plusieurs pays d'Amérique hispanique.


title: The Gun Club

text: The Gun Club est un groupe de punk blues américain, originaire de Los Angeles. Il est actif du début des années 1980 jusqu'en 1996, année du décès de Jeffrey Lee Pierce, son chanteur et leader.


title: The Gun Club

text: Jeffrey Lee Pierce (né le , à Montebello, Californie et décédé le ) vit les premières années de sa vie entre El Monte et Reseda. Adolescent, il devient rapidement une célébrité locale, hantant les clubs de Hollywood ou signant des articles (critiques de disques et chroniques de concert) dans les fanzines d'alors comme "Slash magazine". Grand fan du groupe Blondie, Jeffrey Lee Pierce devient à l'époque le président de leur fan-club et se lie d'amitié avec Deborah Harry et Chris Stein.


title: The Gun Club

text: Musicalement marqué par le blues, le rhythm and blues, par des groupes comme Creedence Clearwater Revival et la scène punk américaine (X, Television, ou The Cramps), Jeffrey rencontre Kid « Congo » Powers, le pousse à s'initier à la guitare et avec lui forme le groupe The Creeping Ritual en 1979. Sur les conseils d'un ami de longue date, Keith Morris des Circle Jerks, ils décident de changer de nom et se rebaptisent The Gun Club. Avec une rythmique composée du bassiste Rob Ritter et du batteur Terry Graham, le groupe se met à jouer régulièrement dans les clubs de Los Angeles (Cathay De Grande, Madame Wongs, Starwood, Whisky, etc.), se forgeant une solide réputation et élaborant pas à pas le répertoire d'un tout premier album, "Fire of Love", qui voit le jour en 1981. "Fire Of Love" sort initialement sur le label Slash Records, né des cendres du magazine éponyme. Le succès est immédiat malgré le départ de Kid Congo pour les Cramps, remplacé par Ward Dotson.


title: The Gun Club

text: À cette époque, la principale influence de Gun Club reste le blues traditionnel et notamment Robert Johnson dont il recrée le "Preachin' the Blues". Ils ajoutent d'autres standards à leur répertoire comme le "Cool Drink of Water" de Tommy Johnson ou le "Fire of Love" de Jody Reynolds. Ajoutant çà et là quelques touches punk, pop, rockabilly, country ou swampy soul, le groupe crée un son inédit qui rapidement inspire un nombre important de groupes de rock.


title: The Gun Club

text: Le deuxième album, "Miami", est ainsi nommé parce que Pierce considère cette ville comme le « plus grand mouroir du monde », le disque se voulant un « hommage funèbre ». Réalisé en 1982, il est produit par Chris Stein et édité sur Animal, le label de Blondie. Pierce tente alors de soigner son addiction au bourbon, faisant durant l'enregistrement de nombreux séjours à l'hôpital. Fortement influencé par le hillbilly, cet album reçoit un accueil critique favorable notamment en Europe où le groupe se produit fin 1982 incorporant dans ses rangs la bassiste punk Patricia Morrison.


title: The Gun Club

text: Miné par les problèmes de boisson et les écarts de Pierce, le groupe change régulièrement de personnel au fil de la fin des années 1980. Au début des années 1990, Pierce tente de donner une nouvelle impulsion au groupe avec le retour de Kid Congo à la guitare, Nick Sanderson étant à la batterie et son épouse japonaise Romi Mori à la basse. La dissolution définitive du Gun Club est causée par la mort du chanteur et fondateur en 1996.


title: The Gun Club

text: En France, Noir Désir enregistre une chanson en hommage à Jeffrey Lee Pierce, peu après sa mort, intitulée "Song for JLP" sur l'album "666.667 Club". Le chanteur de Noir Désir, Bertrand Cantat, a aussi participé à un album hommage pour Jeffrey Lee Pierce, "The Journey Is long", deuxième volet du "Jeffrey Lee Pierce Sessions Project" sur lequel on retrouve aussi Nick Cave et Cypress Grove.


title: A Change Is Gonna Come

text: Emblématique du mouvement des droits civiques, elle figure sur le dernier album du chanteur paru de son vivant, ', sorti en 1964 sous le label RCA Records. À la fin de l'année, elle apparaît en face B du single '. Après la mort de Cooke, assassiné le , elle rencontre un certain succès, atteignant la du classement pop américain ("Billboard").


title: A Change Is Gonna Come

text: Sam Cooke a écrit ce morceau (dont le titre peut se traduire par « un changement est en train d'arriver ») après avoir écouté "Blowin' in the Wind", de Bob Dylan. Il s'agit d'un de ses premiers morceaux avec un message politique, écrit dans un contexte tendu lié au racisme, à la ségrégation et au mouvement des droits civiques. Son influence a été énorme : le morceau était régulièrement diffusé avant les discours de Martin Luther King. Et Barack Obama en a cité des extraits lors du .


title: A Change Is Gonna Come

text: En 2004, le magazine américain "Rolling Stone" classe la chanson en dans sa liste des « 500 plus grandes chansons de tous les temps ». Elle se hisse à la dans la nouvelle liste publiée par le magazine en 2021.


title: Cerise au marasquin

text: Une cerise au marasquin est une cerise sucrée, ingrédient ou décoration dans de nombreux cocktails et comme garniture pour dessert.


title: Cerise au marasquin

text: Fruit d'un traitement chimique quand elles sont industrielles (dioxyde de soufre et chlorure de calcium pour blanchir), de colorant (Rouge Allura AC par exemple) et d'un sirop, elle est généralement fabriquée à partir de variétés à la couleur claire comme les variétés bigarreau Napoléon, Rainier, ou Gold.


title: Activité de l'eau

text: Lactivité de l'eau (symbole formula_1 pour "") dans un milieu humide donné correspond à son humidité relative, soit la pression de vapeur d'eau "p" d'une atmosphère gazeuse en équilibre avec ce milieu divisée par la pression de vapeur saturante formula_2 de cette atmosphère à la même température.


title: Activité de l'eau

text: L'activité de l'eau est l'un des principaux paramètres influençant la conservation des aliments ou des produits pharmaceutiques. Les micro-organismes ont besoin d'eau « libre » (libre pour les réactions biochimiques) pour se développer. L'activité de l'eau ne représente pas la teneur en eau (ou humidité) mais bien la disponibilité de cette eau. Plus l'activité de l'eau est élevée, plus la quantité d'eau libre est grande (1 étant le maximum) et plus les micro-organismes se développeront. Les champignons ont habituellement besoin d'une formula_1 d'au moins 0,7 et les bactéries d'au moins 0,91.


title: Activité de l'eau

text: L'eau a aussi une influence sur la texture de l'aliment. Le contrôle de l'eau est maintenant un paramètre défini validé par l'.


title: Activité de l'eau

text: On considère généralement que les développements microbiens (activité bactérienne) sont bloqués si l'activité de l'eau est inférieure à une valeur de 0,6.


title: Jonathan dos Santos

text: Jonathan dos Santos Ramírez, dit Jonathan dos Santos est un footballeur international mexicain d'origine brésilienne né le à Monterrey. Il joue au poste de milieu offensif au Club América.


title: Jonathan dos Santos

text: Jonathan dos Santos joue son premier match officiel avec la première équipe du FC Barcelone le lors des 16èmes de finales aller de la Coupe d'Espagne face à la Cultural y Deportiva Leonesa (victoire 2-0 du Barça).


title: Jonathan dos Santos

text: Il débute en championnat le lors de la seizième journée face à Villarreal (1-1). Jonathan figure dans le onze titulaire.


title: Jonathan dos Santos

text: En , Jonathan dos Santos renouvelle son contrat avec le FC Barcelone jusqu'en 2012 avec une clause libératoire de 30 millions d'euros. Le , il renouvelle de nouveau son contrat avec le FC Barcelone jusqu'en 2015.


title: Jonathan dos Santos

text: En , il est convoqué par Pep Guardiola pour disputer la Coupe du monde des clubs FIFA au Japon. En janvier 2012, Jonathan remplace Seydou Keita, parti jouer la CAN, au sein de la première équipe du FC Barcelone. Le même mois, Pep Guardiola décide de le garder définitivement au sein de la première équipe.


title: Jonathan dos Santos

text: En , le FC Barcelone conseille au joueur de partir en prêt au Séville FC, cependant Dos Santos préfère rester au Barça malgré le peu de temps de jeu dont il va disposer en équipe première.


title: Jonathan dos Santos

text: En , il est transféré pour deux millions d'euros au Villarreal CF où joue aussi son frère Giovani dos Santos.


title: Jonathan dos Santos

text: Le , il retrouve son frère Giovani au sein d'un troisième club lorsqu'il signe en faveur du Club América, marquant son arrivée dans son pays natal.


title: Jonathan dos Santos

text: Le , Jonathan dos Santos débute avec l'équipe du Mexique à l'occasion d'un match amical face à la Colombie (défaite 2-1 du Mexique). Jonathan figure dans le onze de départ.


title: Kimber James

text: Kimber James, née le à Miami (Floride), est une actrice pornographique américaine. Elle a reçu, en 2010, l'AVN Award décerné à la meilleure actrice transgenre de l'année.


title: Kimber James

text: Kimber James est intersexe. Elle est née avec le syndrome de Klinefelter et a commencé sa transition à l'âge de . Elle commence sa carrière dans l'industrie pornographique en tant qu'assistante de l'actrice transgenre Gia Darling, avant de faire ses premiers pas d'actrice dans "Transsexual Babysitters 4".


title: Kimber James

text: En 2008, elle devient la première actrice transgenre a signer un contrat avec l'agence LA Direct Models. En , elle tourne sa première scène avec une femme, Angelina Valentine.


title: Conditions d'optimalité

text: En optimisation mathématique, les conditions d'optimalité sont un ensemble d'équations, d'inéquations (c'est-à-dire des inégalités) et d'expressions diverses (par exemple, la copositivité de matrices) vérifiées par une solution d'un problème d'optimisation (on parle alors de conditions nécessaires d'optimalité) ou qui permettent d'affirmer qu'un point qui les vérifie est solution du problème d'optimisation considéré (on parle alors de conditions suffisantes d'optimalité). Ces expressions analytiques de l'optimalité sont utiles entre autres pour :


title: Conditions d'optimalité

text: Cet article se limite aux conditions d'optimalité des problèmes d'optimisation "différentiable" et de "dimension finie".


title: Conditions d'optimalité

text: Cet article se limite aux conditions d'optimalité des problèmes d'optimisation "différentiable" et de "dimension finie". Le terme "différentiable" signale que les fonctions définissant le problème sont supposées "différentiables" au sens classique (celui de Fréchet). Lorsque la différentiabilité a lieu dans un sens plus faible on parle d"optimisation non lisse" ou d"optimisation non différentiable", discipline dans laquelle on établit des conditions d'optimalité plus fines que celles présentées dans cet article. Il ne sera donc pas non plus question ici des problèmes d"optimisation combinatoire" dans lesquels les variables prennent des valeurs discrètes, si bien que la différentiabilité requise n'a pas de sens. Quant aux termes "dimension finie", ils font référence au fait que l'on cherche la valeur optimale d'un nombre fini de paramètres (mais ceux-ci doivent pouvoir varier continûment). Le système à optimiser peut, quant à lui, être de dimension infinie, comme c'est le cas de l'optimisation d'une forme géométrique (de dimension infinie) décrite par des splines (représentés par un nombre fini de paramètres). Les conditions d'optimalité des problèmes d'optimisation de dimension infinie sont considérées ailleurs.


title: Conditions d'optimalité

text: On parle de conditions du premier ordre si ces conditions font intervenir les dérivées premières des objets définissant le problème (il faudra définir ce que l'on entend par la "dérivée" de l'ensemble admissible du problème), mais pas les dérivées d'ordre supérieur, et de conditions du second ordre si ces conditions font intervenir les dérivées secondes des objets définissant le problème, mais pas les dérivées d'ordre supérieur.


title: Conditions d'optimalité

text: Les conditions d'optimalité d'un problème d'optimisation avec contraintes introduisent des "variables cachées", les multiplicateurs ou variables duales, qui n'apparaissent pas dans l'énoncé du problème et qui sont donc difficiles à appréhender (elles appartiennent à un autre espace que celui des variables à optimiser). Elles jouent cependant un rôle crucial dans la compréhension du problème, notamment parce qu'elles s'interprètent comme des "coûts marginaux", très utiles en pratique ; il est donc important de s'y familiariser.


title: Conditions d'optimalité

text: Les conditions d'optimalité sont présentées ci-dessous pour des problèmes d'optimisation de généralité (et de difficulté) croissante. Celles énoncées pour un problème d'une certaine généralité peuvent être utilisées pour exprimer les conditions d'optimalité d'un problème qui l'est moins, car celui-ci pourra toujours être vu comme un cas particulier du premier problème. Le lecteur pressé peut donc directement aborder le cas du problème le plus abstrait, mais il lui manquera alors certaines notions coutumièrement utilisées à des niveaux d'abstraction moindres.


title: Conditions d'optimalité

text: Connaissances supposées : le calcul différentiel, l'algèbre linéaire, les bases de l'analyse convexe (en particulier le lemme de Farkas).


title: Conditions d'optimalité

text: Soit formula_1 un espace vectoriel sur formula_2 de dimension finie, qui désigne l'ensemble auquel appartiennent les paramètres que l'on cherche à optimiser. Étant de dimension finie, il n'y a pas de restriction à supposer que cet espace vectoriel est muni d'un produit scalaire, noté formula_3, qui en fait un espace euclidien. La norme associée à ce produit scalaire est notée formula_4. Le problème d'optimisation considéré s'exprime mathématiquement comme celui qui consiste à minimiser une fonction formula_5 sur une partie formula_6 de formula_1. La fonction formula_8 a de nombreuses appellations, ce qui permet de varier le vocabulaire : fonction-coût, coût, fonction-objectif, objectif, critère, "etc". L'ensemble formula_6 est appelé l'ensemble admissible du problème et un point lui appartenant est appelé point admissible. Ce problème, désigné ci-après formula_10, s'écrit au choix comme suit :


title: Conditions d'optimalité

text: Une solution ou minimum ou minimiseur de ce problème est un point formula_12 de l'espace vectoriel formula_1 vérifiant deux conditions : il doit être admissible et minimiser le critère sur l'ensemble admissible. Ceci s'écrit


title: Conditions d'optimalité

text: On adjoint souvent le qualificatif global à cette notion de solution pour la distinguer d'autres notions présentées ci-dessous. Signalons également que l'on remplace parfois ‘‘formula_15’’ par ‘‘formula_16’’ dans l'écriture du problème d'optimisation formula_10 lorsqu'il est certain que ce problème a une solution.


title: Conditions d'optimalité

text: Dans certaines sous-disciplines de l'optimisation, on utilise parfois la locution malheureuse "solution optimale" qui, avec le sens de "solution" donné ci-dessus, est un pléonasme (dans cette locution, le mot "solution" signifie en réalité "point admissible", mais il semble préférable de laisser au mot "solution" son sens habituel de "solution d'un problème").


title: Conditions d'optimalité

text: On introduit aussi d'autres notions de solutions. Ainsi on dit que formula_12 est une solution locale ou minimum local ou minimiseur local du problème formula_10 s'il existe un voisinage formula_20 de formula_12 tel que formula_12 minimise formula_8 sur formula_24. Par ailleurs, on dit que formula_12 est une solution stricte [resp. une solution locale stricte] si formula_12 est admissible et si formula_27 (inégalité stricte) pour tout formula_28 différent de formula_12 [resp. pour tout formula_30 différent de formula_12 où formula_20 est un voisinage de formula_12].


title: Conditions d'optimalité

text: Lorsqu'une fonction atteint un minimum en un point, elle varie peu dans le voisinage de ce point. Mathématiquement, cette observation se traduit par le fait que sa dérivée y est nulle. Ceci est une condition d'optimalité du premier ordre bien connue pour un problème sans contrainte (ces conditions sont présentées à la section "problèmes sans contrainte" ci-dessous). Si l'on veut établir une expression similaire dans le cas des problèmes avec contrainte, il est nécessaire de dire ce qu'est l'approximation au premier ordre de l'ensemble admissible en un point, de linéariser cet ensemble en ce point, comme on peut le faire pour la fonction-coût. Ceci conduit à la notion de cône tangent, développée dans un autre article.


title: Conditions d'optimalité

text: Rappelons quand même ici qu'une partie formula_34 de formula_1 (un espace vectoriel suffit pour cette notion) est un "cône" si formula_36, ce qui signifie que formula_37 doit appartenir à formula_34 chaque fois que formula_39 est un réel strictement positif (i.e., formula_40) et formula_41. Un cône n'est pas un objet de l'algèbre linéaire, mais de l'analyse convexe. On rencontre donc ici une première manifestation de l'importance de cette dernière théorie en optimisation.


title: Conditions d'optimalité

text: On utilisera ici la notion de cône tangent au sens de Bouligand, qui suffit en dimension finie. Précisons que ce "cône tangent" à formula_6 en formula_43, noté formula_44 ci-dessous, est l'ensemble des directions tangentes à formula_6 en formula_43, c'est-à-dire des directions formula_47 pour lesquelles il existe des suites formula_48 d'éléments de formula_1 et formula_50 d'éléments de formula_2 telles que


title: Conditions d'optimalité

text: La notion de cône tangent permet d'obtenir aisément une condition nécessaire d'optimalité du premier ordre pour le problème générique formula_10 — on suppose donc ici que le critère de ce problème est différentiable. Cette condition exprime que la fonction-coût formula_8 croît depuis un minimum local formula_12 en suivant une direction tangente, ce qui se traduit mathématiquement par


title: Conditions d'optimalité

text: C'est ce qu'on appelle la "forme géométrique" de l'optimalité au premier ordre. Ce résultat avait déjà été exprimé par Peano dès 1887, puis par Kantorovitch en 1940, mais il est passé inaperçu ou a été oublié. On peut en donner une expression plus compacte en introduisant les notions de "gradient" et de "cône dual".


title: Conditions d'optimalité

text: Cette condition est générique et c'est elle qui sera particularisée ci-dessous à des problèmes dont l'ensemble admissible a une structure plus précise. Le travail sera dans chaque cas celui de trouver une expression plus pratique, plus accessible au calcul, du cône dual du cône tangent, conduisant ainsi à la "forme analytique" de l'optimalité.


title: Conditions d'optimalité

text: Résumons le résultat obtenu. On utilise l'abréviation CN1 pour désigner une condition nécessaire d'optimalité du premier ordre.


title: Conditions d'optimalité

text: On dit que formula_12 est un point stationnaire ou un point critique du problème formula_10, si ce point est admissible et s'il vérifie la condition d'optimalité du premier ordre donnée dans le résultat ci-dessus.


title: Conditions d'optimalité

text: Lorsque l'ensemble admissible est convexe, on dispose d'une CN1 ne faisant pas intervenir le cône tangent. On y a noté formula_76 la dérivée directionnelle de formula_8 en formula_43 dans la direction formula_47, c'est-à-dire la limite lorsque formula_80 du quotient différentiel formula_81.


title: Conditions d'optimalité

text: Enfin, lorsque à la fois l'ensemble admissible est convexe et le critère est convexe sur l'ensemble admissible, la condition précédente est une condition nécessaire et suffisante d'optimalité du premier ordre, une propriété que l'on résume par l'abréviation CNS1. Il n'y a alors plus de distinction entre minimum local et global.


title: Conditions d'optimalité

text: Pour les problèmes convexes, il n'y a donc pas de distinction entre un minimum local et global : tous les minima locaux sont globaux. C'est une seconde manifestation de l'importance de l'analyse convexe en optimisation.


title: Conditions d'optimalité

text: Le problème que l'on considère dans cette section est celui de minimiser la fonction formula_8 sur formula_1 tout entier, problème que l'on écrit


title: Conditions d'optimalité

text: Le cône tangent à formula_1 en formula_88 est l'espace formula_1 tout entier. Comme le dual de formula_1 est formula_91, la CN1 générique exprime que le gradient formula_92 est nul en un minimum local formula_12 de formula_8 sur formula_1. Cette condition d'optimalité est parfois appelée « équation de Fermat » pour rappeler une condition similaire trouvée, dans le cas d'un polynôme réel d'une variable réelle, par Pierre de Fermat vers 1629, c'est-à-dire environ quarante ans avant l'invention du calcul différentiel par Newton et Leibniz.


title: Conditions d'optimalité

text: Lorsque formula_8 est convexe, ces conditions deviennent des conditions nécessaires et suffisantes d'optimalité "globale" de formula_12.


title: Conditions d'optimalité

text: On désigne ci-dessous par formula_98 la dérivée seconde de formula_8 en formula_43, qui est une application bilinéaire symétrique de formula_101 dans formula_2, et par formula_103 la hessienne de formula_8 en formula_105 pour le produit scalaire formula_3 de l'espace euclidien formula_1, qui est l'unique opérateur linéaire auto-adjoint sur formula_1 vérifiant


title: Conditions d'optimalité

text: Rappelons également les notions de semi-définie positivité et définie positivité d'un opérateur auto-adjoint formula_110 sur formula_1, associées au produit scalaire de formula_1, qui sont utilisées dans les résultats ci-dessous :


title: Conditions d'optimalité

text: Les résultats suivants résument les conditions nécessaires du second ordre (CN2) et les conditions suffisantes du second ordre (CS2) pour les problèmes d'optimisation sans contrainte.


title: Conditions d'optimalité

text: On peut se servir de ces conditions du second ordre comme suit. La CN1 de Fermat est un système non linéaire qui a quelques chances d'être bien posé. Par exemple si formula_119 est équipé du produit scalaire euclidien, ce système est formé de formula_120 équations (les dérivées partielles du critère) à formula_120 inconnues. Si on calcule toutes les solutions de l'équation de Fermat (ceci est rarement une tâche aisée), on dispose, par définition, de tous les points stationnaires du critère. Ceux-ci ne sont pas nécessairement des minimiseurs de formula_8. Les conditions du deuxième ordre permettent souvent de sélectionner parmi ces points stationnaires ceux qui sont des minima locaux. En effet, d'après ces conditions


title: Conditions d'optimalité

text: On ne recouvre pas ainsi tous les cas, puisque l'on pourrait avoir un point stationnaire formula_12 avec une hessienne formula_124 semi-défini positif, mais non défini positif (il a un noyau non trivial, une valeur propre nulle). L'ambiguïté de tels cas peut parfois être levée en examinant des conditions d'ordre plus élevé.


title: Conditions d'optimalité

text: L'ensemble admissible du problème d'optimisation considéré dans cette section n'est pas l'espace formula_1 tout entier, comme pour les problèmes sans contrainte de la section précédente, mais une partie de celui-ci, définie par un nombre fini de contraintes d'égalité :


title: Conditions d'optimalité

text: où formula_134 est, tout comme formula_1, un espace euclidien (de dimension finie) dont le produit scalaire est aussi noté formula_3. Les dimensions des espaces sont notées


title: Conditions d'optimalité

text: Il sera souvent approprié de supposer qu'en la solution formula_12 recherchée, la jacobienne formula_139 de la contrainte vérifie


title: Conditions d'optimalité

text: Ceci requiert certainement d'avoir formula_141, c'est-à-dire d'avoir moins de contraintes que de variables à optimiser. Lorsque cette hypothèse est vérifiée, l'ensemble admissible formula_142 est, dans un voisinage de formula_12, une variété (concept de base de la géométrie différentielle que l'on peut voir comme une surface ayant des propriétés de représentation particulières) de dimension formula_144.


title: Conditions d'optimalité

text: L'ensemble admissible formula_142 d'un problème formula_148 convexe est donc un sous-espace affine de formula_1, donc un convexe.


title: Conditions d'optimalité

text: Comme le montre le cas générique, les conditions nécessaires d'optimalité du premier ordre peuvent s'obtenir en trouvant une représentation convenable du cône tangent à l'ensemble admissible formula_142 et en prenant ensuite son cône dual.


title: Conditions d'optimalité

text: On note formula_151 le noyau et formula_152 l'image d'une application linéaire formula_153 entre deux espaces euclidiens formula_1 et formula_134. L'adjointe de formula_110 est l'application linéaire formula_157 définie par la relation formula_158, pour tout formula_159 et tout formula_160. On rappelle qu'en dimension finie, on a


title: Conditions d'optimalité

text: Cette identité joue un rôle-clé dans le passage de la forme géométrique (utilisant la partie gauche de l'identité) à la forme analytique (utilisant sa partie droite) des conditions d'optimalité du premier ordre.


title: Conditions d'optimalité

text: Le résultat suivant montre que le cône tangent est inclus dans un sous-espace vectoriel ; il lui sera égal dans les bons cas.


title: Conditions d'optimalité

text: Dans l'inclusion formula_162, le cône tangent formula_163 ne dépend que de l'ensemble admissible formula_142, alors que formula_165 dépend de la fonction formula_166 utilisée pour définir formula_142. Il peut y avoir plusieurs fonctions formula_166 définissant le même ensemble formula_142. Du point de vue de l'optimisation, toutes ne conviennent pas. Celles qui permettent d'obtenir des conditions d'optimalité sont celles pour lesquelles l'égalité formula_170 a lieu. On dit alors que la "contrainte" formula_166 (léger abus de langage, il faudrait dire la "fonction formula_166 utilisée pour définir formula_142") est qualifiée en formula_43 (sous-entendu «pour représenter formula_142»).


title: Conditions d'optimalité

text: Voici le résultat principal assurant que la contrainte formula_166 est qualifiée en un point. On y retrouve la condition mentionnée ci-dessus assurant que formula_142 est une variété dans le voisinage formula_43.


title: Conditions d'optimalité

text: Voici une conséquence pratique de la notion de qualification de contrainte. Au lieu d'utiliser la fonction formula_166 pour représenter l'ensemble admissible formula_142, on pourrait utiliser la fonction


title: Conditions d'optimalité

text: formula_181, définie par formula_182, puisque formula_183 si, et seulement si, formula_184. Ceci paraît attrayant puisque l'on a ainsi remplacé toutes les contraintes


title: Conditions d'optimalité

text: d'égalité, en nombre potentiellement grand, par une seule contrainte. Cependant, la contrainte formula_185 a encore moins de chance d'être qualifiée que formula_166 puisque formula_187 en un point formula_188 et donc formula_189, qui est le plus souvent trop grand. Il n'est donc, en général, pas recommandé de remplacer formula_166 par formula_185.


title: Conditions d'optimalité

text: Lorsque la contrainte est qualifiée, le cône tangent est le "sous-espace vectoriel" formula_165, dont le dual est alors son orthogonal formula_193. Par la CN1 générique, le gradient de formula_8 en un minimum local de formula_8 sur formula_142 appartient à ce dernier ensemble, ce qui conduit aux conditions nécessaires d'optimalité du premier ordre (CN1) de Lagrange.


title: Conditions d'optimalité

text: Ce résultat, parfois appelé méthode du multiplicateur de Lagrange, est attribué à Lagrange qui l'énonça dans sa "Méchanique analytique" (1788). On en trouve toutefois déjà des traces dans des travaux d'Euler sur les problèmes isopérimétriques (1744). Lagrange utilisa d'abord cette méthode pour résoudre un problème de calcul des variations sous contraintes et plus tard, dans sa "Théorie des fonctions analytiques" (1797), il l'applique aux problèmes de la forme formula_197


title: Conditions d'optimalité

text: En l'absence de qualification de la contrainte, l'existence du multiplicateur n'est plus assurée, si bien que la condition nécessaire d'optimalité de Lagrange peut ne pas avoir lieu. Un exemple est donné dans la section suivante.


title: Conditions d'optimalité

text: En pratique, il est souvent commode de retrouver la condition de Lagrange en introduisant le lagrangien du problème.


title: Conditions d'optimalité

text: La variable formula_43 est aussi appelée variable primale ; quant au couple formula_199, on lui donne parfois le nom de variable(s) primale(s)-duale(s).


title: Conditions d'optimalité

text: Le lagrangien joue un rôle essentiel en optimisation avec contraintes. Le multiplicateur porte ce nom car il multiplie les contraintes dans le lagrangien, par l'intermédiaire du produit scalaire de formula_134. Sous les hypothèses du résultat ci-dessus, les conditions nécessaires d'optimalité du premier ordre peuvent maintenant s'écrire comme suit


title: Conditions d'optimalité

text: On note ici formula_202 [resp. formula_203] le gradient par rapport à formula_43 [resp. à formula_199]. Ce système (non linéaire, en toute généralité) permet souvent de calculer une "solution" du problème d'optimisation formula_148. En réalité, cette "solution" est ce qu'on appelle un "point stationnaire". Ce n'est pas nécessairement un minimum local du problème (ce point peut être un "maximum local", qui n'est "a priori" pas le type de solution recherché), sauf si celui-ci est convexe.


title: Conditions d'optimalité

text: Pour les problèmes non convexes, ce sont les conditions du second ordre qui permettrons de sélectionner les minima locaux parmi les points stationnaires calculés.


title: Conditions d'optimalité

text: Il est utile de spécifier les conditions d'optimalité de Lagrange lorsque formula_119, formula_208 et que l'on munit ces espaces du produit scalaire euclidien


title: Conditions d'optimalité

text: Il y a alors formula_120 variables formula_211 à optimiser et les formula_212 contraintes du problème formula_148 sont données explicitement au moyen de formula_212 fonctions formula_215 :


title: Conditions d'optimalité

text: Observons que le multiplicateur de Lagrange formula_218 a autant de composantes qu'il y a de contraintes ; chacune des composantes formula_219 étant associée à une contrainte formula_220 ; on dit d'ailleurs que le multiplicateur formula_219 est associé à la contrainte formula_220. Si on utilise formula_223 pour désigner le gradient d'une fonction réelle de formula_120 variables par rapport au produit scalaire euclidien, c'est-à-dire le vecteur de ses dérivées partielles, les conditions d'optimalité s'écrivent sous la forme d'un système de formula_225 équations à formula_225 inconnues formula_227 :


title: Conditions d'optimalité

text: On voit donc qu'en la solution le gradient du critère est combinaison linéaire des gradients des contraintes (on se rappelle qu'en optimisation sans contrainte le gradient du critère est nul).


title: Conditions d'optimalité

text: Voici un exemple de problème avec 2 variables et 2 contraintes, avec solution, mais sans multiplicateur optimal et donc sans condition de Lagrange (c'est l'absence de qualification des contraintes qui produit cet effet) :


title: Conditions d'optimalité

text: L'unique point admissible est le point formula_230, qui est donc l'unique solution du problème. Cependant les contraintes ne sont pas qualifiées en ce point car le cône tangent est réduit à formula_231 alors que le noyau de la jacobienne des contraintes est formula_232 (on note par ailleurs que cette jacobienne, qui est une matrice formula_233 ne saurait alors être surjective). Dans cet exemple, les conditions de Lagrange ne sont pas vérifiées (il n'y a pas de multiplicateur optimal), puisque le gradient de formula_8 en la solution ne peut être combinaison linéaire des gradients des contraintes (ces derniers sont linéairement dépendants) :


title: Conditions d'optimalité

text: Comme en optimisation sans contrainte, les conditions d'optimalité du second ordre permettent de sélectionner les éventuelles solutions parmi les points stationnaires (i.e., les points vérifiant la condition de Lagrange). Ces conditions du second ordre des problèmes avec contraintes d'égalité diffèrent de celles des problèmes sans contrainte sur deux points :


title: Conditions d'optimalité

text: En optimisation sans contrainte, les conditions nécessaires du second ordre résultent du fait que dans le voisinage d'une solution, le critère prend une valeur supérieure à celle qu'il prend en la solution. Un développement de Taylor du critère autour d'une solution et l'utilisation du fait que son gradient est nul en la solution impliquent alors immédiatement que la hessienne du critère doit être semi-définie positive en la solution. Dans le cas des problèmes avec contraintes d'égalité, utiliser la même démarche ne conduirait nulle part, car le gradient du critère n'est pas nécessairement nul en une solution (selon la condition de Lagrange, il est dans l'image de l'adjointe de la jacobienne de la contrainte). En réalité, c'est le gradient du lagrangien qui s'annule en une solution. C'est donc un développement de Taylor de cette fonction qui pourra apporter de l'information sur sa hessienne. "Ceci explique le premier point ci-dessus". Par ailleurs, il est clair que sur l'ensemble admissible le lagrangien prend les mêmes valeurs que le critère, si bien qu'il prend aussi des valeurs supérieures à celle qu'il a en une solution. C'est la relation de monotonie recherchée qui conduira à la semi-définie positivité de la hessienne du lagrangien. Cependant, ce n'est que sur la variété des contraintes que cette relation de monotonie a lieu, si bien que la semi-définie positivité de la hessienne du lagrangien ne sera vérifiée que sur la variété linéarisée qu'est le cône tangent. "Ceci explique le second point ci-dessus".


title: Conditions d'optimalité

text: On devrait à présent mieux comprendre les conditions nécessaires du second ordre (CN2) pour un problème avec contraintes d'égalité, que voici.


title: Conditions d'optimalité

text: Ce résultat donne-t-il suffisamment de conditions ou aurait-on pu en obtenir d'autres ? Ce sont les bonnes conditions car, comme en optimisation sans contrainte, si l'on remplace la semi-définie positivité par la définie positivité, on obtient des conditions suffisantes d'optimalité du second ordre (abrégées par CS2).


title: Conditions d'optimalité

text: Vérifier la (semi-)définie positivité de la hessienne du lagrangien formula_237 dans le noyau de formula_139 ne pose pas de difficulté, pourvu que l'on puisse calculer une base de ce noyau. On peut en effet voir ce noyau comme l'image d'une application linéaire injective formula_239 tel que formula_240 avec formula_241 Il suffit alors de vérifier la (semi-)définie positivité de formula_242, ce qui peut se faire en temps polynomial par des techniques d'algèbre linéaire.


title: Conditions d'optimalité

text: Soit formula_1 un espace euclidien muni d'un produit scalaire noté formula_3 ; on note formula_4 la norme associée. On s'intéresse aux vecteurs propres d'une application linéaire formula_246 "auto-adjointe". Par exemple, on pourrait avoir formula_119, muni du produit scalaire euclidien, et formula_110 une matrice symétrique.


title: Conditions d'optimalité

text: Comme formula_252 est constant le long des rayons issus de zéro, il revient au même de minimiser la fonction quadratique formula_253 définie en formula_105 par


title: Conditions d'optimalité

text: sur la sphère unité formula_256 On considère donc le problème d'optimisation avec une unique contrainte d'égalité suivant


title: Conditions d'optimalité

text: Ce problème a toujours une solution (le critère est continu et, comme formula_1 est de dimension finie, formula_259 est compact). Calculons les points stationnaires du problème d'optimisation.


title: Conditions d'optimalité

text: La fonction formula_260 est non différentiable en zéro, mais cela n'a pas trop d'importance, car la solution est de norme un. On préfère toutefois définir l'ensemble admissible au moyen de la contrainte formula_261, qui se dérive plus facilement. Cette contrainte est qualifiée en tout point admissible, car sa jacobienne formula_262 est surjective si formula_263. Pour calculer la solution du problème d'optimisation, on introduit son lagrangien, qui prend en formula_264 la valeur


title: Conditions d'optimalité

text: Dès lors, formula_268 est un point stationnaire de multiplicateur formula_269 si, et seulement si, formula_268 est un vecteur propre unitaire de formula_110, de valeur propre formula_269. Ce multiplicateur est aussi la valeur du critère en formula_268, puisque formula_274. Dès lors, une solution du problème d'optimisation est un vecteur propre unitaire de valeur propre minimale. Si au lieu de minimiser formula_275, on minimisait formula_276 ou on "maximisait" formula_275, une solution du problème d'optimisation serait un vecteur propre unitaire de valeur propre maximale.


title: Conditions d'optimalité

text: La hessienne du lagrangien en une solution primale-duale formula_278 du problème d'optimisation est l'opérateur auto-adjoint formula_279 sur formula_280 Comme formula_269 est la valeur minimale de formula_282 sur la sphère unité, on a formula_283 pour tout vecteur unitaire formula_284 On peut en déduire que formula_285 pour tout vecteur formula_286 ce qui signifie que la hessienne du lagrangien formula_287 est semi-définie positive dans tout l'espace formula_1, pas seulement dans l'espace tangent à la contrainte comme l'assurent les CN2. C'est le caractère quadratique du critère et des contraintes qui permet d'avoir cette propriété.


title: Conditions d'optimalité

text: Si un couple formula_278 vérifie les CS2, alors formula_268 est un vecteur propre de formula_110 de valeur propre formula_269 ; de plus formula_293, pour tout vecteur unitaire formula_43, voisin mais différent de formula_268. On en déduit aisément que formula_296 pour tout formula_43 unitaire différent de formula_298 (on peut par exemple prendre formula_299 assez petit pour que formula_300, avec formula_301, soit voisin mais différent de formula_268 et développer la relation formula_303 qui en résulte). On en déduit que formula_269 est la valeur propre minimale et est simple (i.e., l'espace propre associé est de dimension 1). La réciproque est également vraie : si la plus petite valeur propre de formula_110 est simple, les CS2 sont vérifiées.


title: Conditions d'optimalité

text: Dans cette section, on considère le problème d'optimisation avec contraintes d'égalité et d'inégalité, que l'on écrit sous la forme suivante


title: Conditions d'optimalité

text: Cette écriture exprime le fait que l'on cherche à minimiser un critère formula_5 défini sur un espace euclidien formula_1 dont l'argument formula_43, qui est le vecteur des variables à optimiser, l'inconnue de ce problème, est contraint de respecter un nombre fini de contraintes spécifiées par des fonctions formula_310. Le produit scalaire de l'espace euclidien est noté formula_3. On y trouve des contraintes d'égalité et d'inégalité en nombre fini, repérées par des ensembles finis d'indices formula_312 et formula_313, dont le cardinal est noté


title: Conditions d'optimalité

text: Il est commode de supposer que les ensembles d'indices formula_312 et formula_313 forment une partition de l'ensemble des formula_212 premiers entiers formula_319 :


title: Conditions d'optimalité

text: Si formula_321, on note formula_322 le vecteur de formula_323 formé des composantes formula_324 de formula_325 avec formula_326. De même pour formula_327. On peut alors rassembler les fonctions réelles formula_220 en une seule fonction formula_329, dont les composantes formula_330 et formula_331 sont utilisées pour définir les contraintes d'égalité et d'inégalité.


title: Conditions d'optimalité

text: Ici et ci-dessous, les "inégalités vectorielles" doivent être comprises composante par composante : pour un vecteur formula_325, formula_335 signifie que formula_336 pour tout indice formula_337. Si en un point admissible formula_43, formula_339 est surjective, cet ensemble se présente autour de formula_43 comme une partie de la variété formula_341 formée des points qui vérifient aussi l'inégalité formula_342.


title: Conditions d'optimalité

text: Comme la CN1 générique l'a montré, l'écriture des conditions d'optimalité du premier ordre passe par la détermination du cône tangent à l'ensemble admissible. Ce cône tangent en formula_43 est un concept "local", dans le sens où une modification de l'ensemble admissible en dehors d'un voisinage de formula_43 n'aura pas d'incidence sur le cône tangent en ce point. Dès lors si une contrainte d'inégalité prend une valeur strictement négative en formula_43, disons formula_348, une perturbation de cette contrainte ne modifiera pas l'ensemble admissible dans le voisinage de formula_284 Il est donc nécessaire de pouvoir nommer les contraintes d'inégalité qui sont nulles au point considéré, ce qui conduit à la notion suivante.


title: Conditions d'optimalité

text: Les problèmes d'optimisation avec contraintes d'inégalité sont considérablement plus difficiles à analyser et à résoudre numériquement (un calcul analytique, sur papier, est rarement possible et d'ailleurs souvent difficile lui aussi) que les problèmes rencontrés jusqu'ici. Lorsqu'il n'y a que des contraintes d'égalité, la compréhension du problème repose sur l'analyse mathématique classique, en particulier sur le théorème des fonctions implicites, ce qui explique que les conditions de Lagrange sont en général vues dans un cours de calcul différentiel et font ainsi partie du bagage de beaucoup de mathématiciens ou d'autres scientifiques. La situation est différente lorsque des contraintes d'inégalité sont présentes, car il faut alors faire appel à des outils spécifiques, essentiellement ceux de l'analyse convexe, moins souvent enseignés. Par ailleurs, numériquement, la difficulté principale provient du fait que, d'une manière ou d'une autre, le calcul de la solution détermine forcément les contraintes qui sont actives en cette solution. Si ces contraintes actives étaient connues, on pourrait se ramener au cas des problèmes avec seulement des contraintes d'égalité lisses. Or il y a formula_350 manières de rendre les formula_351 contraintes d'inégalité actives. C'est à ce nombre exponentiel que l'on fait allusion lorsque l'on parle de la combinatoire des problèmes d'optimisation avec contraintes d'inégalité. Celle-ci est redoutable et en rapport direct avec la conjecture "P = NP", puisqu'un problème d'optimisation quadratique non convexe (i.e., un problème avec un critère quadratique non convexe et des contraintes affines) est NP ardu. On est donc en présence d'un problème pour lequel il est vraisemblable que le principe de conservation des ennuis s'applique ; on veut dire par là que la difficulté du problème ne peut être éliminée en lui trouvant une autre formulation équivalente. Ainsi, on pourrait penser simplifier le problème en reformulant les contraintes d'inégalité par l'une des contraintes d'égalité apparemment plus simples et équivalentes suivantes


title: Conditions d'optimalité

text: Cependant la première contrainte est non lisse et la seconde, bien qu'une fois différentiable, n'est en général pas qualifiée dans le sens discuté ci-dessous.


title: Conditions d'optimalité

text: Si les conditions nécessaires d'optimalité des problèmes avec contraintes d'égalité ont été établies au , celles des problèmes avec contraintes d'inégalité sont beaucoup plus récentes, puisqu'elles datent du milieu du . Il est vraisemblable que le besoin d'une analyse fine de ces questions ait été stimulé par l'augmentation des moyens de calcul. Le développement de l'analyse convexe a aussi permis de poser la théorie sur des bases solides, notamment avec le lemme de Farkas qui sera ci-dessous une des clés permettant de passer de la version géométrique à la version analytique des conditions d'optimalité du premier ordre.


title: Conditions d'optimalité

text: Le résultat suivant permet d'affirmer que le cône tangent est inclus dans le cône linéarisant, noté formula_353 et défini ci-dessous ; il lui sera égal dans les bons cas.


title: Conditions d'optimalité

text: Observons que, comme annoncé, seules les contraintes d'inégalité "actives" interviennent dans l'estimation du cône tangent qu'est le cône linéarisant. On retrouverait le noyau de la jacobienne des contraintes s'il n'y avait que des contraintes d'égalité.


title: Conditions d'optimalité

text: On peut faire, sur l'inclusion précédente, les mêmes remarques que celles sur l'estimation du cône tangent à des contraintes d'égalité par le noyau de la jacobienne de ces contraintes : formula_354 ne dépend que de l'ensemble admissible formula_343, pas de la manière de le décrire par la fonction formula_166, alors que formula_357 dépend manifestement de formula_166. Il peut y avoir plusieurs fonctions formula_166 définissant le même ensemble admissible et, du point de vue de l'optimisation, toutes ne conviennent pas. Celles qui permettent d'obtenir des conditions d'optimalité sont celles pour lesquelles l'égalité formula_360 a lieu ; d'ailleurs le premier cône est difficile à calculer s'il n'est égal au second, alors que l'on dispose d'une formule explicite pour le second. On introduit donc la notion de qualification de (fonctions définissant les) contraintes suivante.


title: Conditions d'optimalité

text: En général, le cône tangent et le cône linéarisant diffèrent, car le premier n'est pas nécessairement convexe, alors que le second l'est (c'est un cône polyédrique convexe). Par ailleurs, la notion de qualification "des" contraintes a un aspect "global", dans le sens où elle porte sur toutes les fonctions définissant le problème d'optimisation ; il n'est pas question d'utiliser cette notion fonction par fonction parce que le cône tangent à une intersection d'ensembles n'est pas égal à l'intersection des cônes tangents à ces ensembles (voir l'article sur le cône tangent).


title: Conditions d'optimalité

text: Comme pour les problèmes avec contraintes d'égalité, il n'est presque jamais judicieux de remplacer les contraintes de formula_332 par l'unique contrainte d'égalité équivalente formula_183, où formula_181 est définie par


title: Conditions d'optimalité

text: même si le fait de n'avoir qu'une seule contrainte est "a priori" attrayant. Cette dernière contrainte a, en effet, l'inconvénient de n'être pratiquement jamais qualifiée, puisque formula_365 est nul en tout point admissible. Dès lors, pour cette contrainte, formula_366, qui est pratiquement toujours trop grand, plus grand que formula_367.


title: Conditions d'optimalité

text: Vérifier si les contraintes sont qualifiées est une tâche difficile. Cela requiert le calcul du cône tangent, que l'on voudrait surtout éviter s'il n'est pas identique au cône linéarisant. On connaît un certain nombre de conditions "suffisantes" de qualification de contraintes, qui sont plus subtiles que lorsque seules des contraintes d'égalité sont présentes. Elles sont présentées dans l'article Qualification de contraintes.


title: Conditions d'optimalité

text: On suppose dans cette section que les contraintes du problème formula_332 sont qualifiés, au sens précisé dans la section précédente. Si l'on veut trouver une expression plus explicite de la condition nécessaire d'optimalité du première ordre en formula_43, à savoir formula_370, il faut calculer le cône dual du cône tangent, que l'on suppose donc égal au cône dual du cône linéarisant formula_371. Il s'agit donc de calculer le dual d'un cône convexe polyédrique. Le lemme de Farkas fournit une réponse à cette question. Une version légèrement généralisée est donnée ci-dessous.


title: Conditions d'optimalité

text: On ne peut pas se passer de l'adhérence dans le membre de droite de l'identité car le cône formula_372 n'est pas nécessairement fermé (même si formula_34 est fermé) alors que, en tant que cône dual, le cône du membre de gauche est toujours fermé. Signalons que si formula_34 est un cône convexe "polyédrique" (comme l'orthant positif d'un certain formula_375), alors formula_372 est un polyèdre convexe, donc un fermé ; dans ce cas, on peut ôter l'adhérence dans le membre de droite.


title: Conditions d'optimalité

text: Simplifions les notations en posant formula_377, formula_378 et formula_379. On peut établir une expression "duale" du cône


title: Conditions d'optimalité

text: Par le lemme de Farkas, on trouve alors la représentation duale du cône linéarisant suivante (il n'est pas nécessaire de prendre l'adhérence de l'ensemble obtenu, car il est fermé par sa polyédricité)


title: Conditions d'optimalité

text: On en déduit les conditions nécessaires d'optimalité du premier ordre suivantes, dites de Karush, Kuhn et Tucker (KKT). Elles sont fondamentales.


title: Conditions d'optimalité

text: Un point formula_12 vérifiant les conditions (KKT) ci-dessus est dit stationnaire pour le problème formula_332.


title: Conditions d'optimalité

text: Les conditions nécessaires d’optimalité ci-dessus ont longtemps été attribuées à Kuhn et Tucker (1951). Après bien des années, on constata que ces conditions avaient déjà été données par Karush (1939) dans une thèse qui ne fut jamais publiée, mais qui est décrite dans le compte rendu historique de Kuhn. Une approche différente conduisant au même résultat a été suivie par John (1948), également avant les travaux de Kuhn et Tucker.


title: Conditions d'optimalité

text: Avant de discuter le système (KKT), introduisons le lagrangien du problème, qui a la même forme que pour les problèmes d'optimisation avec contraintes d'égalité.


title: Conditions d'optimalité

text: La variable formula_43 est aussi appelée variable primale ; quant au couple formula_199, on lui donne parfois le nom de variable(s) primale(s)-duale(s).


title: Conditions d'optimalité

text: Les conditions de KKT sont compliquées et difficiles à résoudre numériquement (elles ne le sont analytiquement que pour de rares problèmes à la structure particulière ; des exemples sont donnés ci-dessous). Il n'y a cependant ni trop ni trop peu de conditions, comme le montre la démonstration de la propriété suivante, stipulant que, si le problème est convexe, ces conditions sont suffisantes pour impliquer l'optimalité globale.


title: Conditions d'optimalité

text: Soit formula_414 un multiplicateur optimal (ou solution duale) associé à une solution formula_88 du problème formula_332. Il sera utile d'introduire les ensembles d'indices suivants :


title: Conditions d'optimalité

text: Ce sont donc des ensembles d'indices qui dépendent à la fois de formula_12 et formula_419. Les contraintes d'indices formula_420 sont dites fortement actives et celles d'indices formula_421 sont dites faiblement actives. Ces dernières, bien qu'actives (formula_407), peuvent être ôtées du problème sans modifier la stationnarité de formula_12 (formula_406).


title: Conditions d'optimalité

text: Il peut y avoir plus d'une solution duale formula_419 associée à une solution primale formula_12. L'ensemble des multiplicateurs associés à formula_12 est noté


title: Conditions d'optimalité

text: La solution formula_12 étant fixée, les conditions d'optimalité de KKT montrent que formula_430 est un polyèdre convexe de formula_431 :


title: Conditions d'optimalité

text: En particulier, formula_430 est fermé. Il est non vide si les contraintes sont qualifiées en formula_12 (théorème d'optimalité de KKT). Par ailleurs, formula_435 est un sommet de formula_430 si formula_437 est surjective. En particulier, formula_430 n'a pas de sommet si formula_439 n'est pas surjective.


title: Conditions d'optimalité

text: Cet ensemble formula_430 est clairement réduit à un seul multiplicateur si les conditions de qualification (QC-IL) (indépendance linéaire des gradients des contraintes actives) sont vérifiées en formula_12. Mais, l'unicité du multiplicateur optimal a lieu, en fait, sous une condition plus faible que (QC-IL), mais plus forte que la qualification de Mangasarian-Fromovitz (QC-MF), celle que donne le résultat suivant. Cette condition est aussi nécessaire et suffisante et est parfois appelée la condition de qualification de Mangasarian-Fromovitz stricte (QC-MFS).