title: Trine Dyrholm

text: Trine Dyrholm commence sa carrière artistique dans le domaine de la musique. Elle enregistre un premier album à 14 ans et se classe troisième au Dansk Melodi Grand Prix. Elle se produit régulièrement en concert. À sa majorité, elle entame des études à la "Statens Teaterskole" (École nationale de théâtre du Danemark), une grande école danoise qui enseigne le théâtre et la danse.


title: Trine Dyrholm

text: En 1990, elle tourne son premier film intitulé "Springflod". Elle obtint le premier Prix du Bodil, la première et plus ancienne récompense cinématographique danoise. L'actrice enchaine les téléfilms pour la télévision danoise. Elle décrochera quatre fois le prix de la meilleure actrice, une fois celui du meilleur second rôle féminin et trois récompenses Robert.


title: Trine Dyrholm

text: En 1998, elle tourne un film important pour sa carrière, "Festen" de Thomas Vinterberg avec les acteurs Thomas Bo Larsen et Ulrich Thomsen. Impressionné par son jeu dans "Festen", le réalisateur Erik Poppe l’engage pour jouer une mère persuadée que son fils a été assassiné dans "En eaux troubles" (2008).


title: Trine Dyrholm

text: En 2011, elle forme avec Mikael Persbrandt un couple séparé, dans le film "Revenge" de Susanne Bier qui remporte d'ailleurs l'Oscar du meilleur film en langue étrangère.


title: Trine Dyrholm

text: En 2012, la réalisatrice Susanne Bier lui propose une nouvelle collaboration pour une comédie romantique "Love is all you need". Elle participe à cette romance aux côtés de Pierce Brosnan. Elle est ensuite Juliane Marie, la reine douairière, dans le film "Royal Affair", qui unit Mads Mikkelsen et Alicia Vikander, respectivement médecin et épouse du roi du Danemark Christian VII.


title: Trine Dyrholm

text: Elle remporte l'Ours d'argent de la meilleure actrice à la Berlinale 2016 pour son rôle dans "La Communauté".


title: Trine Dyrholm

text: En 2017, elle interprète Christa Päffgen, dite Nico, dans le film "Nico, 1988" sur les deux dernières années de la chanteuse.


title: Trine Dyrholm

text: En 2018, elle est membre du jury du Festival de Venise, sous la présidence de Guillermo Del Toro. Elle y retrouve le comédien Christoph Waltz, rencontré lors de la Berlinale 2014, où tous deux étaient membres du jury.


title: Trine Dyrholm

text: Elle est la compagne du réalisateur danois Niclas Bendixen, avec qui elle a eu un fils : Aksel Bendixen.


title: Réseau (géométrie)

text: En mathématiques, un réseau d'un espace (vectoriel) euclidien est un sous-groupe discret de l’espace, de rang fini "n". Par exemple, les vecteurs de R à coordonnées entières dans une base forment un réseau de R. Cette notion permet de décrire mathématiquement des maillages, comme celui correspondant à la figure 1.


title: Réseau (géométrie)

text: En fixant un point origine, on peut lui associer un réseau de points de R (plusieurs réseaux pouvant définir le même réseau de points). Ce réseau de points remplit l'espace au sens où il existe un rayon "R" tel que toute boule de rayon "R" contient au moins un point du réseau. Il est discret au sens où il existe un nombre strictement positif "r" tel que toute boule de rayon "r" contient au plus un point du réseau. Il est régulier.


title: Réseau (géométrie)

text: L'étude des réseaux est à la croisée de différentes branches des mathématiques, la théorie des groupes, l’algèbre linéaire, la théorie des groupes de Lie la géométrie des nombres, la géométrie convexe, mais aussi d’autres domaines comme l’algorithmique ou la cristallographie (réseau de Bravais) et les outils d'analyse sont essentiellement géométriques. Les questions propres à l'analyse d'un réseau portent sur les différentes symétries qui laissent invariant le réseau, la résolution de problèmes d'empilements de sphères ou de convexes.


title: Réseau (géométrie)

text: Dans cet article les lettres ℂ, ℝ, ℚ et ℤ désignent respectivement le corps des imaginaires encore appelés complexes, des nombres réels, des rationnels et l'anneau des nombres entiers et "n" un entier strictement positif. L'espace vectoriel ℝ désigne l'ensemble des "n"-uplets composés de "n" nombres réels dans un ordre donné. Géométriquement, on les imagine comme les coordonnées d'un point dans un espace muni d'un repère orthonormal. En dimension 2 ou 3, on obtient une représentation du monde physique, à la condition qu'il soit approximé par une géométrie euclidienne.


title: Réseau (géométrie)

text: Une telle définition mérite quelques explications. Le choix de ℝ au lieu d'un espace vectoriel réel de dimension "n" n'est que de peu d'importance. Tout espace vectoriel réel de dimension "n" est une copie de ℝ et les résultats vrais dans ℝ le sont dans un espace réel de dimension "n". On parle d'isomorphisme. Le fait que les points forment un groupe implique la régularité du réseau. Un polygone de sommets des points du réseau, translaté par un déplacement d'un point du réseau à un autre, possède toujours pour sommets des points du réseau. L'exemple de la figure 2 l'illustre. Les points du réseau correspondent à l'intersection du quadrillage, l'hexagone en violet, translaté possède toujours des sommets éléments du réseau. Dans le cadre spécifique d'une partie de ℝ, on peut expliquer le sens du mot discret par l'énoncé suivant :


title: Réseau (géométrie)

text: Le groupe ℚ, constitué des points à coordonnées rationnelles, est un exemple de sous-groupe non discret.


title: Réseau (géométrie)

text: La troisième propriété signifie qu'il n'existe pas de sous-espace vectoriel strict contenant le réseau. Si la dimension est égale à 3, alors aucun plan ne contient le réseau. Si un plan entier est couvert et s'il existe un unique point du réseau en dehors d'un plan, la stabilité de l'addition et de la soustraction montre que l'espace entier est couvert. Dire que l'espace est couvert signifie qu'il existe un rayon ρ tel que toute boule de rayon supérieur à ρ contient au moins un point du réseau, et ceci quel que soit son centre.


title: Réseau (géométrie)

text: Tout espace vectoriel "E" de dimension "n" sur les nombres complexes est aussi un espace vectoriel réel de dimension 2"n". Ainsi, si Λ est un groupe discret qui génère "E", en tant qu'espace vectoriel réel, il est un réseau de dimension 2"n". De même que ℤ est un réseau de ℝ, "G" est un réseau de ℂ. La lettre "G" désigne ici les entiers de Gauss, c'est-à-dire les nombres de la forme "a" + "b" où "a" et "b" sont des éléments de ℤ.


title: Réseau (géométrie)

text: Il existe plusieurs manières de lire et de démontrer ce théorème. En termes de théorie des groupes, un réseau est un groupe abélien de type fini sans torsion, autrement dit un groupe abélien libre de rang fini.


title: Réseau (géométrie)

text: Une autre manière de voir les choses est de faire usage de l'algèbre linéaire. On considère le réseau comme un "quasi" espace vectoriel, à la différence que les scalaires ne sont pas tous inversibles. Les scalaires ici sont égaux aux nombres entiers. Une telle structure porte le nom de module. S'il existe une famille génératrice finie, si le ℤ-module forme un groupe additif sans torsion, le théorème des facteurs invariants est une manière de montrer le résultat.


title: Réseau (géométrie)

text: Ces démonstrations sont bien peu géométriques et n'utilisent guère les outils associés aux réseaux. On peut imaginer une démonstration directe, guidée par l'intuition géométrique qu'apporte une telle structure. Le principe est illustré en dimension 2 sur la figure 3. On considère deux vecteurs libres du réseau, choisis de norme la plus petite possible. La norme est le terme mathématique technique désignant la "longueur" d'un vecteur. On appelle ces vecteurs α et β. Ils définissent un parallélogramme, en jaune sur la figure 3. La minimalité des normes de α et β permet de montrer que ce parallélogramme ne contient aucun point du réseau autre que ses sommets.


title: Réseau (géométrie)

text: On considère un point "λ" quelconque du réseau, que l'on peut toujours exprimer comme une combinaison linéaire de α et β si la structure considérée est l'espace vectoriel ℝ. En retranchant à λ le vecteur de coordonnées les parties entières de celles de λ, on obtient un petit vecteur du réseau, à l'intérieur du parallélogramme jaune. Ce principe est un peu analogue à une division euclidienne. Le petit vecteur serait, avec cette analogie, le reste. Le fait qu'il soit dans le parallélogramme et dans le réseau, montre qu'il est nul. Le vecteur λ s'exprime donc comme une combinaison linéaire de α et β avec des coefficients entiers.


title: Réseau (géométrie)

text: Cette démonstration, ainsi que sa généralisation en dimension quelconque est plus simple que les deux citées précédemment. L'usage de la géométrie simplifie l'approche. En revanche, la méthode proposée ici n'est pas effective, à la différence de celle des facteurs invariant, par exemple. Effective signifie que l'on peut, avec cette méthode, construire effectivement une base. Dans le cas général, il est difficile de trouver le vecteur non nul de plus petite norme.


title: Réseau (géométrie)

text: Le réseau n'est pas limité au vecteur nul, car il engendre l'espace vectoriel ℝ, il existe au moins un vecteur de norme non nul, soit "b" cette norme. Le disque de centre le vecteur nul et de rayon "b" intersecte le réseau en un autre point que l'origine et contient un nombre fini du points du réseau. Ce qui montre qu'il existe au moins un vecteur α non nul de plus petite norme dans le réseau. On considère maintenant le réseau diminué des multiples de α. L'ensemble est non vide car sinon le réseau n'engendrerait pas l'espace vectoriel ℝ, le même raisonnement que le précédent montre l'existence d'un vecteur β de longueur minimale, dans le réseau, à l'exception peut-être de quelques multiples de α, correspondant à la bande bleue sur la figure 3. Le gros point bleu est l'origine. Le vecteur α est bien un vecteur non nul de plus petite norme du réseau et vient ensuite β, dont la norme n'est minorée que par celle de α, son inverse et le vecteur nul.


title: Réseau (géométrie)

text: Il n'existe au plus qu'une manière d'écrire un vecteur du réseau comme combinaison linéaire de α et β. En effet, cette propriété est une conséquence du fait que ces deux vecteurs sont libres dans l'espace vectoriel ℝ. Il n'existe qu'une manière d'écrire un vecteur quelconque de ℝ comme combinaison linéaire de α et β, ce qui est en particulier vrai pour les vecteurs du réseau.


title: Réseau (géométrie)

text: Montrons maintenant que tout vecteur du réseau est combinaison linéaire de α et β, à coefficients entiers. Considérons le disque rouge, de centre α et de rayon la norme de β, un tel disque ne peut contenir comme point du réseau, en dehors de sa frontière, que quelques multiples de α dans la zone bleue sur la figure 3, d'après la définition de la norme de β. Le disque vert est de centre β et de rayon la norme de α. Le même raisonnement montre que l'intérieur de ce disque ne peut contenir aucun point du réseau. Le segment [0, α] ne peut contenir que ses extrémités comme point du réseau, il en est de même pour le segment [0, β]. Il en est aussi de même pour [α, β] et [β, α + β] car sinon, en soustrayant α ou β, on aurait une contradiction. En résumé, le parallélogramme, en jaune, de sommets 0, α, β et α + β ne contient aucun autre point du réseau que ses sommets. On remarque que ce parallélogramme est constitué des vecteurs de ℝ ayant deux coefficients compris entre 0 et 1 dans la base (α, β).


title: Réseau (géométrie)

text: Considérons un élément quelconque λ du réseau. Il est nécessairement combinaison linéaire de la base (α, β) de ℝ, et λ = "a"α + "b"β avec "a" et "b" réels. L'objectif est de montrer que "a" et "b" sont entiers. Soit "p" (resp. "p") la partie entière de "a" (resp. "b") et "r" (resp. "r") sa partie fractionnaire. Comme α et β sont des éléments du réseau et que "p" et "p" sont des nombres entiers, "p"α + "p"β est un point du réseau au même titre que λ. Leur différence, égale à "r"α + "r"β, est donc dans le réseau. C'est aussi un point du parallélogramme jaune car ses deux coordonnées sont comprises entre 0 et 1. Il existe quatre points du réseau possible, comme une partie fractionnaire est toujours strictement plus petite que 1, la seule valeur possible est 0, ce qui montre que "a" est égal à "p" et "b" à "p". Autrement dit, les coordonnées de λ dans la base sont entières, ce qui termine la démonstration.


title: Réseau (géométrie)

text: Démontrons ce résultat par récurrence sur "n". Pour les dimensions 1 et 2, une démonstration est déjà présentée. Supposons la propriété démontrée à l'ordre "n" − 1 et démontrons la à l'ordre "n". Le réseau forme une famille génératrice de ℝ, de toute famille génératrice, il est possible d'extraire une base, il existe donc une sous-famille du réseau de cardinal "n" qui engendre l'espace entier. Soit ("f"), pour "i" variant de 1 à "n", une telle base. Elle n'est pas a priori celle recherchée car rien n'indique que les éléments du réseau s'expriment comme combinaison linéaire à coefficients entiers dans cette base. Soit "S" l'espace vectoriel engendré par ("f"), pour "i" variant de 1 à "n" − 1. L'intersection du réseau et de "S" est un groupe discret engendrant "S", il existe une base ("b"), pour "i" variant de 1 à "n" − 1 de l'intersection du réseau et de "S", par hypothèse de récurrence. L'hyperplan S est représenté sur la figure 5, couleur crème, le vecteur nul est le point bleu. La famille ("b") est un bon candidat pour la base recherchée, mais il manque encore un vecteur.


title: Réseau (géométrie)

text: Soit φ une forme linéaire nulle sur "S" telle que l'image du réseau par φ ne soit pas réduite à 0. Une telle forme existe, sinon le réseau n'engendrerait que l'espace "S" et pas l'espace entier. L'objectif est de montrer que l'image par φ du réseau est un sous-groupe discret de ℝ, c'est-à-dire qu'il existe un réel strictement positif ε tel que si "u" est un élément du réseau, l'image du réseau par φ ne contient que la valeur φ("u") entre φ("u") − ε et φ("u") + ε. On remarque que l'on peut supposer "u" nul ; en effet, si l'image par φ du réseau n'est pas discret, quel que soit ε, il existe deux vecteurs "u" et "v" d'images distinctes par φ et dont la différence est, en valeur absolue, inférieure à ε, ce qui montre que l'image par φ de "u" − "v" est, en valeur absolue, inférieure à ε.


title: Réseau (géométrie)

text: Pour montrer ce résultat, on va montrer qu'il n'existe qu'un nombre fini de valeurs atteintes par φ sur l'intervalle [−1, 1]. Tous les points du réseau ayant une image par φ dans cet intervalle se trouvent entre les hyperplans affines d'équation φ("x") = − 1 et φ("x") = 1, représentés en bleu sur la figure 5. Soit "V" le volume de ℝ composé des vecteurs compris entre les deux hyperplans et dont les coordonnées, dans la base ("b"), de la projection orthogonale par "p" sur "S", sont toutes comprises entre 0 et 1. Le volume "V" est représenté en vert sur la figure 5. On remarque que "V" est bien borné car il représente l'ensemble des vecteurs de ℝ ayant des coordonnées comprises entre 0 et 1 dans la base ("b", ,π). Ici π désigne le vecteur orthogonal à "S" et d'image égale à 1 par la forme φ. Si δ est un nombre réel, compris entre −1 et 1, et image du réseau par φ, δ possède un antécédent dans "V". En effet, il existe un vecteur "u" du réseau compris entre les deux hyperplans et tel que φ("u") = δ. Le vecteur "p"("u") est dans "S" et se décompose sur la base ("b") ; soit ("u") les coordonnées de "p"("u") dans cette base. Si "q" désigne la partie entière de "u" et "r" la partie fractionnaire :


title: Réseau (géométrie)

text: On remarque que "q" est un élément du réseau car combinaison linéaire de la famille ("b") à coefficients dans ℤ. Son image par φ est nulle car il est élément de "S". Le point "u" − "q" est constitué de la différence de deux éléments du réseau et fait partie du réseau. L'image de "q" par φ est nulle et φ est linéaire. Le projeté orthogonal de "u" − "q" sur l'hyperplan engendré par "S" est égal à "r", ce qui montre que "u" − "q" est bien un élément de "V". Le volume "V" est borné, il ne contient qu'un nombre fini de points du réseau, car le réseau est discret. Il ne peut exister qu'un nombre fini de valeurs prises par l'image du réseau par la fonction φ entre −1 et 1, ce qui montre que la valeur 0 est bien isolée dans cette image.


title: Réseau (géométrie)

text: Soit Δ une droite vectorielle de ℝ non contenue dans "S" et contenant un point non nul du réseau. L'image par φ de Δ est un groupe discret d'après la démonstration précédente, il existe un point "b" de Δ et du réseau de plus petite image "a" strictement positive par φ ; ce point est représenté en rouge sur la figure 5. Soit enfin un élément λ quelconque du réseau, l'élément λ s'exprime comme une combinaison linéaire de ("b"), car cette famille est une base de ℝ. Il faut alors montrer que les différents coefficients sont des entiers :


title: Réseau (géométrie)

text: L'image par φ de λ est égale à λ"a", qui est un élément de "a.R", l'image de Δ par φ. On en déduit que λ est entier. Le vecteur λ − λ"b" est élément du réseau et de "S", ce qui montre que les coordonnées λ sont toutes entières. La famille ("b"), pour "i" variant de 1 à "n" de ℝ est génératrice du réseau. Le fait qu'elle soit de cardinal "n" termine la démonstration.


title: Réseau (géométrie)

text: Une zone particulière a été utilisée, dans la démonstration précédente, elle correspond à la zone illustrée en jaune dans la figure 3 pour la dimension 2. Elle correspond à la définition suivante :


title: Réseau (géométrie)

text: La zone rouge de la figure 6 est un exemple de domaine fondamental. La définition d'un domaine fondamental s'obtient à partir d'une base. Pour les réseaux, comme pour les espaces vectoriels, il existe plusieurs bases et, en conséquence plusieurs domaines fondamentaux. À part en dimension 1, où il n'en existe que deux, ayant la même géométrie, il en existe dans tous les autres cas une infinité. Pour s'en rendre compte il suffit de remplacer le deuxième vecteur de la base par la somme de "k" fois le premier vecteur et le deuxième. Si "k" désigne un entier, on a là un moyen de construire une infinité de bases aux géométries différentes. Sur la figure 6, la zone verte est un autre domaine fondamental.


title: Réseau (géométrie)

text: Il existe un invariant associé au réseau. Le covolume d'un réseau est le volume du domaine fondamental. Sur la figure 6, les volumes définis par les parallélépipèdes vert et rouge sont égaux.


title: Réseau (géométrie)

text: En effet, le covolume de Λ est par définition la valeur absolue du déterminant, dans la base canonique de ℝ, d'une base de Λ, et la matrice de passage d'une base de Λ à une autre appartient au groupe GL(ℤ) des matrices à coefficients entiers de déterminant ±1.


title: Réseau (géométrie)

text: Il existe une manière intrinsèque de définir le domaine fondamental, elle fait appel à des concepts plus avancés. Le groupe de Lie ℝ/Λ dispose d'une mesure canonique. Ces difféomorphismes permettent de définir une mesure. Le groupe de Lie est compact ; sa mesure totale peut être choisie égale au covolume du réseau.


title: Réseau (géométrie)

text: Une manière simple de voir les choses est de se limiter à la dimension 2. Les points de première coordonnée égale à un entier sont identifiés avec les points de première coordonnée égale à 0. Cela revient à enrouler l'espace pour obtenir un cylindre où tous les points de première coordonnée entière sont superposés. On identifie alors les points de deuxième coordonnée égale à un entier aux points de deuxième coordonnée égale à 0. Cela revient à enrouler le cylindre pour obtenir un tore, illustré sur la figure 7.


title: Réseau (géométrie)

text: La représentation est, en termes de mesure, imparfaite. Les cercles horizontaux du tore correspondent aux points de deuxième coordonnée constante. Tous ces cercles ont une circonférence égale à 1. Dans la représentation, selon que le cercle est plus ou moins choisi à l'intérieur du tore, la circonférence varie. À ce détail près, la représentation par une forme s'approchant d'une bouée est un bon support pour l'intuition de la géométrie du domaine fondamental d'un réseau.


title: Réseau (géométrie)

text: Le groupe orthogonal d'un espace euclidien est l'ensemble des applications linéaires qui transforment l'espace en lui-même, tout en conservant la distance et les angles. Ces applications sont appelées isométrie. Le groupe orthogonal contient un sous-groupe, appelé groupe spécial orthogonal, composé des transformations de déterminants positifs, nécessairement égaux à 1. En dimension 2, le groupe spécial orthogonal est composé des rotations. Les autres isométries sont les réflexions correspondant à l'image que donne le plan à travers un miroir, qui passe par le point origine. Munis de la loi de composition des applications, le groupe orthogonal est un groupe, ce qui signifie que l'élément neutre, qui laisse les éléments à l'identique, est une isométrie. Si une application est une isométrie, sa réciproque, encore appelé inverse, est encore une isométrie. Enfin, la composition d'isométries est associative.


title: Réseau (géométrie)

text: Dans le cas d'un réseau, le groupe orthogonal est un groupe fini. Pour s'en rendre compte, il suffit de considérer l'image d'un vecteur d'une base par une isométrie, c'est un vecteur de même norme et il n'en existe qu'un nombre fini. Pour déterminer le groupe orthogonal d'un réseau, on dispose de trois théories différentes.


title: Réseau (géométrie)

text: L'algèbre linéaire classique offre d'autres outils, un élément du groupe orthogonal d'un réseau peut en effet, être prolongé en une isométrie de ℝ, ce qui ramène l'étude à une situation connue. Enfin, une isométrie respecte les distances et les angles, la géométrie euclidienne offre des théorèmes utilisables.


title: Réseau (géométrie)

text: Une manière de visualiser ce groupe orthogonal est d'étudier un pavage régulier de l'espace. Dire que le pavage est régulier revient à dire, dans l'exemple illustré à la figure 8, que les points au centre de chaque étoile forment un réseau. Si l'on regarde un bloc composé des étoiles qui se trouvent à la même distance qu'une étoile donnée, on trouve un hexagone. À la couleur près, réaliser une rotation de centre, celui d'une étoile et d'angle un sixième de tour, laisse invariant le motif illustré sur la figure et par conséquent le réseau associé. La rotation d'un sixième de tour est élément du groupe orthogonal du réseau. L'analyse géométrique proposée ici ne tient pas compte de la couleur.


title: Réseau (géométrie)

text: Le groupe orthogonal d'un réseau possède des applications dans les sciences de la nature. À l'état solide, il est fréquent que la matière s'organise autour de la structure d'un réseau. Si ce n'est pas le cas, on parle alors de matière amorphe ou de verre, l'étude devient plus complexe et n'est pas l'objet de cet article.


title: Réseau (géométrie)

text: La matière solide se compose de "briques élémentaires", qui peuvent être des atomes, des ions ou des molécules. Ces briques élémentaires disposent de "points d'accroches" à certains endroits tout à fait précis. Ces briques élémentaires sont en général les mêmes, si la matière est regardée à la bonne échelle. Elles ont tendance à s'assembler de manière régulière, un peu à la manière d'une construction en Lego à partir d'une unique pièce. Cet état est modélisé par un réseau et un motif. Le motif correspond à la géométrie de la brique élémentaire, le réseau indique les points où ces différentes briques se positionnent. Une géométrie de cette nature est illustrée sur la figure 9. Une molécule, composée de deux atomes forme la brique élémentaire, représentée, en haut à droite, par une association d'une bille bleue et d'une verte. Les mêmes molécules s'assemblent selon une géométrie illustrée en haut à gauche. Les points d'accroches forment un angle orthogonal, on obtient un réseau que les cristallographes appellent cubique à faces centrées.


title: Réseau (géométrie)

text: Le groupe orthogonal est source de nombreuses propriétés de cet état de la matière. Il est responsable, par exemple de la forme si caractéristique d'un flocon de neige (figure 10). La régularité du réseau est à l'origine de l'existence de plans de symétries privilégiés, ce qui favorise des tailles particulières pour une pierre précieuse. Cette géométrie détermine aussi son indice de réfraction et partiellement sa couleur. Les propriétés électriques d'un cristal s'expliquent en grande partie à l'aide de cette géométrie.


title: Réseau (géométrie)

text: Les cristallographes utilisent un vocabulaire différent de celui des mathématiciens. Il s'explique à la fois par des raisons historiques et par une manière de voir qui n'est pas toujours la même. Un mathématicien parle de structure de groupe pour décrire les propriétés de régularité du réseau. Pour lui, la stabilité de l'addition et de la soustraction est la raison même de cette régularité. Le cristallographe voit une répétition d'un motif à intervalles réguliers. Pour décrire la même propriété, il utilise le terme de "périodicité". Le vocable réseau devient "réseau de Bravais", groupe orthogonal : "groupe ponctuel de symétrie", domaine fondamental "maille primitive". Les noms des différents groupes sont aussi modifiés, le terme de groupe de Klein devient : "groupe ponctuel orthorhombique" et le groupe cyclique d'ordre 2 : "groupe ponctuel monoclinique".


title: Réseau (géométrie)

text: Le cas de la dimension 2, reste encore simple, aucun outil sophistiqué n'est nécessaire pour l'analyser. Uniquement quatre groupes orthogonaux existent :


title: Réseau (géométrie)

text: Le plus gros est appelé groupe diédral d'ordre 12 et est noté D, que les cristallographes le dénomment groupe ponctuel hexagonal. Il est composé de 6 rotations d'un angle de la forme "k"π/3 où "k" désigne un entier, et de 6 réflexions d'axe passant par l'origine et, soit un vecteur non nul du réseau de norme minimale, soit le milieu de deux vecteurs de cette nature. Il n'existe qu'une géométrie pour un réseau correspondant à ce groupe orthogonal. Cela signifie que si deux réseaux ont ce groupe orthogonal, il est possible de passer de l'un à l'autre à l'aide d'une rotation et d'une homothétie. Un réseau de cette nature est illustré sur la figure 11. Il correspond à l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficients entiers de deux vecteurs, notés α et β sur l'illustration, de même norme et formant un angle de π/3.


title: Réseau (géométrie)

text: Une configuration analogue présente un groupe orthogonal diédral d'ordre 8, noté D, que les cristallographes appellent groupe ponctuel tétragonal ou groupe ponctuel quadratique. Le groupe orthogonal contient 4 rotations d'un angle de la forme "k"π/4 où "k" désigne un entier, et de 4 réflexions d'axe passant par l'origine et, soit un vecteur non nul du réseau de norme minimale, soit le milieu de deux vecteurs de cette nature. Un réseau de cette nature est illustré sur la figure 12. Comme précédemment, il est engendré par les combinaisons linéaires à coefficients entiers de deux vecteurs, notés α et β sur l'illustration, de même norme et formant un angle de π/2.


title: Réseau (géométrie)

text: Ces deux groupes orthogonaux sont les seuls à ne pas être commutatifs. Le plus vaste des groupes commutatif contient quatre éléments. Si ce groupe peut être vu comme un groupe diédral d'ordre 4, on l'appelle plus souvent le groupe de Klein. Il correspond au groupe à 4 éléments dont chacun est son propre inverse et la somme de deux éléments non nuls est toujours égale au troisième, la table est ainsi facile à bâtir.


title: Réseau (géométrie)

text: Cette fois-ci, il n'existe pas une, mais deux configurations de réseau possibles, illustrés sur les figures 13 et 14. Celle de la figure 13 est obtenue par deux vecteurs, toujours notés α et β, qui sont nécessairement de normes différentes et qui forment un angle de π/2. L'autre solution, illustrée à la figure 14 correspond à deux vecteurs non alignés, de même norme, mais formant un angle nécessairement différent de π/2. Les cristallographes remarquent que l'on passe de la configuration de gauche à celle de droite en ajoutant un point au centre du rectangle de côtés α et β. Ils appellent ces réseaux orthorhombique primitif et orthorhombique centré. Le groupe orthogonal est formé des deux réflexions de centre l'origine et d'axe parallèle à l'un des côtés du rectangle, les deux derniers éléments sont l'identité, qui fait partie du réseau, et la rotation de π.


title: Réseau (géométrie)

text: Le dernier groupe est celui obtenu si aucune des configurations précédentes n'est présente. Le groupe contient deux symétries, l'identité et la rotation de π. La rotation de π transforme un point en son opposé, il laisse stable le réseau et fait toujours partie du groupe orthogonal. Ce groupe est appelé cyclique d'ordre 2 par les mathématiciens et monoclinique par les cristallographes.


title: Réseau (géométrie)

text: Aucun outil sophistiqué n'est nécessaire pour élucider les différentes configurations. On peut s'en tenir aux techniques élémentaires de l'algèbre linéaire et de la géométrie. C'est ainsi que procéda Auguste Bravais pour établir les différentes structures en dimension 2 et 3, au milieu du , bien avant l'apparition de la définition formelle d'une structure de groupe.


title: Réseau (géométrie)

text: Dans un premier temps, on ne cherche qu'à établir ce sous-groupe encore appelé groupe spécial orthogonal. Il n'existe en fait pas beaucoup de rotations candidates à être dans un tel sous-groupe :


title: Réseau (géométrie)

text: Intuitivement, on peut s'en rendre compte en remarquant qu'il est possible de paver l'espace avec des triangles équilatéraux, des carrés ou des hexagones, ce que l'on voit graphiquement dans l'exemple de réseau illustré dans le paragraphe "Définition". Un petit dessin montre que c'est impossible avec des pentagones et, pour les polygones réguliers, dès que l'on atteint ou dépasse 7 sommets, on est alors trop proche du cercle pour pouvoir espérer paver l'espace.


title: Réseau (géométrie)

text: Nous connaissons maintenant toutes les rotations du groupe orthogonal. Pour aller plus loin, on a besoin du vecteur α des illustrations, c'est-à-dire un vecteur du réseau, non nul et de plus petite norme. On utilise aussi β, son image par la rotation d'un sixième de tour. Il est temps de montrer que la configuration du réseau est bien celle de la première figure du paragraphe.


title: Réseau (géométrie)

text: La détermination est presque terminée. Les rotations ainsi que les points du réseau sont connus, il ne reste plus qu'à déterminer les éléments du groupe orthogonal qui ne sont pas des rotations. Dans un plan, une isométrie vectorielle qui n'est pas une rotation est une réflexion, cette première remarque va nous aider. Une deuxième est utile : la composée de deux réflexions est une rotation et la composée d'une rotation et d'une réflexion est une réflexion. La dernière remarque est que la composée d'une réflexion avec elle-même est l'application identique, on parle d'application involutive :


title: Réseau (géométrie)

text: Il suffit d'appliquer exactement le même raisonnement que pour D. On trouve que s'il existe une rotation d'un quart de tour, le groupe orthogonal est composé de quatre rotations et de quatre réflexions et que le réseau est engendré par deux vecteurs de plus petites normes α et β, qu'ils ont la même norme et qu'ils forment un angle d'un quart de tour.


title: Réseau (géométrie)

text: On suppose dans toute la suite des démonstrations que la configuration n'est pas l'une de celles déjà traités. Les seules rotations du groupe orthogonal sont l'identité, qui ne bouge aucun vecteur et le demi tour, qui à un vecteur associe son opposé. Il devient utile d'étudier les réflexions un peu plus précisément :


title: Réseau (géométrie)

text: Si aucune des configurations déjà étudiées n'est présente, le groupe orthogonal contient exactement deux rotations, l'identité et son opposé et aucune réflexion. C'est un groupe à deux éléments, qui est nécessairement le groupe cyclique d'ordre 2, car il n'existe pas d'autre groupe à deux éléments.


title: Réseau (géométrie)

text: La dimension 3 est de nature analogue à la dimension 2. On trouve cette fois-ci 7 groupes et 14 réseaux de types différents.


title: Réseau (géométrie)

text: Ici, D désigne le groupe diédral d'ordre 2"n", S désigne le groupe symétrique d'indice "n" et d'ordre "n"!, K le groupe de Klein (d'ordre 4) et C le groupe cyclique d'ordre 2. On trouve quatre groupes non abéliens d'ordres 48, 24, 16 et 12 puis trois groupes abéliens, d'ordres 8, 4 et 2 et qui ne contiennent que des éléments involutifs.


title: Réseau (géométrie)

text: Trois géométries différentes de réseau présentent une symétrie cubique, illustrées dans la figure 15 ci-dessous. La première, correspondant à l'image de droite, est isomorphe au réseau ℤ, c'est-à-dire qu'il existe une rotation et une homothétie qui envoie le réseau sur ℤ. On parle, en cristallographie de "réseau cubique primitif". Il existe un domaine fondamental cubique, globalement invariant par toute isométrie du groupe orthogonal. Le deuxième cas est illustré au centre de la figure 15. Il possède comme figure caractéristique, en vert, un cube dont les centres des faces sont occupés par un point. On parle de réseau cubique à faces centrées. Le domaine fondamental illustré n'est plus cubique. Le troisième cas est illustré dans l'image de gauche de la figure 15. Une figure répétitive apparaissant dans le réseau est celui d'un cube dont le centre est aussi élément du réseau, les cristallographes parlent de réseau cubique centré.


title: Réseau (géométrie)

text: Deux géométries contiennent des rotations d'un tiers de tour. La figure 16 correspond à la réplication du réseau hexagonal bidimensionnelle. L'axe orthogonal à un plan contenant le réseau hexagonal de dimension 2, est un axe de symétrie contenant le troisième vecteur δ d'un domaine fondamental. Les isométries trouvées dans le cas de la dimension 2 prolongés sur δ par l'identité sont toutes dans le groupe orthogonal. La symétrie laissant le plan de l'hexagone invariant et transformant δ en −δ est aussi une isométrie laissant invariant le réseau. Le groupe orthogonal est isomorphe à D × C, le produit direct des isométries D du réseau hexagonal de dimension deux par le groupe C engendré par la symétrie orthogonale transformant δ en −δ.


title: Réseau (géométrie)

text: La figure 17 illustre un réseau contenant un groupe orthogonal plus petit. Le réseau est obtenu par l'adjonction de 6 points supplémentaires à partir de la figure 16. Si δ désigne le plus petit vecteur du réseau orthogonal au plan de l'hexagone, 3 points se trouvent à une hauteur de δ/3 et les trois autres à 2δ/3. Les 3 points à une hauteur de δ/3 forment un triangle équilatéral de même géométrie que ceux qui constituent l'hexagone. Le centre de gravité de ce triangle est à la verticale du centre d'un hexagone et la projection parallèlement à δ, de chaque point du triangle correspond au centre de gravité d'un des triangles de l'hexagone. Les trois derniers points forment un autre triangle, obtenu par rotation d'axe dirigé par δ et d'un demi tour.


title: Réseau (géométrie)

text: Il existe une unique manière de prolonger à tout le réseau une isométrie du groupe orthogonal du réseau hexagonal de dimension 2. Pour la moitié des éléments du groupe, sur δ ce prolongement est l'identité. Pour l'autre moitié, ce prolongement est l'homothétie de rapport −1. Le groupe orthogonal est isomorphe à D. Avec les rotations du cube, ces deux géométries sont les seules à contenir une rotation d'un tiers de tour. Aucun de ces deux groupes n'est commutatif.


title: Réseau (géométrie)

text: Les réseaux tétragonaux ont bien des analogies avec le cas précédent. Il correspond au passage à la dimension 3 du groupe du carré. Pour que les symétries du carré puissent se prolonger en dimension 3, il est nécessaire de placer le dernier point définissant le réseau, sur un axe perpendiculaire au carré et passant, soit par l'un des points du carré soit par son milieu.


title: Réseau (géométrie)

text: Chaque symétrie du carré peut être prolongé par une rotation en dimension 3. Il est possible ensuite de composer l'isométrie par l'homothétie de rapport −1. Ainsi, à chaque isométrie du carré correspond deux prolongements dans la dimension 3. Comme l'homothétie de rapport −1 commute avec toutes les isométries, le nouveau groupe orthogonal est le produit direct de celui de dimension 2 avec C qui peut se voir comme l'identité et l'homothétie de rapport −1 dans ℝ. Ce groupe est le dernier non commutatif.


title: Réseau (géométrie)

text: Une part de convention entre dans la définition des types de réseaux de Bravais. Ainsi, on identifie, pour les groupes ponctuels tétragonaux, les réseaux centrés et ceux à faces centrées. Si l'on considère un réseau centré et que l'on choisit comme figure du carré horizontal, celui formé par deux diagonales, on obtient une figure à face centrée. Cette remarque est aussi vraie pour les réseaux cubiques.


title: Réseau (géométrie)

text: Les autres groupes orthogonaux sont tous commutatifs. Ils se caractérisent pas le fait de ne comporter que des isométries involutives, c'est-à-dire que si on les applique deux fois, on retrouve l'identité. Le plus vaste des groupes de cette nature contient 8 éléments. Il correspond au groupe parfois noté "K" ou encore au produit du groupe de Klein et du groupe cyclique d'ordre 2.


title: Réseau (géométrie)

text: Il existe 4 types de réseaux différents, même s'ils se ressemblent tous. Ils sont construits à partir de 4 vecteurs orthogonaux dont aucun n'a la même taille. Le réseau primitif est un parallélépipède de cette nature. Il existe ensuite trois manières de "centrer" des points supplémentaires, soit au milieu du parallélépipède, soit au centre de chaque face, soit au centre de deux faces opposées (fig. 19).


title: Réseau (géométrie)

text: S'il existe un axe orthogonal à un plan du réseau, mais que le plan ne contient pas d'axes de symétries, le groupe ne possède plus 8 mais 4 éléments. On trouve alors une structure analogue à celle de la dimension 2 et le groupe ponctuel est de Klein. Elle est composée de deux réflexions opposées, de l'identité et de l'homothétie de rapport −1. Deux types de réseaux distincts, illustrés à la figure 18 possèdent ce groupe orthogonal.


title: Réseau (géométrie)

text: Enfin, si aucune des configurations précédentes n'apparaît, alors il ne reste que deux isométries dans le groupe, l'identité et l'homothétie de rapport −1.


title: Réseau (géométrie)

text: Si la situation, en dimension 3 est de même nature que celle de la dimension 2, les démonstrations se compliquent un peu. Plusieurs facteurs différenciant la dimension 2 et 3 ne simplifient pas la tâche. Le plus important est probablement le fait que le groupe spécial orthogonal n'a plus de raison d'être abélien, deux rotations ne commutent pas toujours. Ensuite, les groupes sont plus vastes, le plus gros contient 48 éléments en dimension 3, contre 12 en dimension 2. Il est toujours possible d'utiliser les rudiments de l'algèbre linéaire et de la géométrie. La méthode devient plus longue et surtout plus périlleuse. La première classification de , datant de 1842, était imprécise. Il a fallu six ans pour que les erreurs soient corrigées par Bravais.


title: Réseau (géométrie)

text: Il est possible d'enrichir l'attirail d'outils plus puissants. Une théorie, à cheval sur celle des groupes et de l'algèbre linéaire est particulièrement adaptée. Elle a pour objet l'étude des morphismes d'un groupe "G" dans le groupe linéaire d'un espace vectoriel "E" de dimension finie, qui est choisi complexe et équipé d'un produit hermitien tel que l'ensemble d'arrivée ne contienne que des isométries. On utilise ici quatre résultats. Toute représentation se décompose en une somme directe de représentations irréductibles, résultat connu sous le nom de théorème de Maschke. C'est-à-dire qu'il est possible de décomposer "E" en une somme directe de sous-espaces orthogonaux entre eux et stables par toutes isométries de la représentation. La restriction de la représentation à un sous-espace stable ne contient aucun sous-espace stable pour chaque isométrie de la représentation, à l'exception des sous-espaces triviaux. Une représentation de cette nature est dite irréductible. Le caractère χ d'une représentation φ est l'application de "G" dans ℂ, qui à un élément "h" de "G" associe la trace de φ("h"). Si "g" désigne l'ordre du groupe "G" et φ, ψ deux représentations, on associe aux caractères le produit hermitien suivant :


title: Réseau (géométrie)

text: Une représentation est irréductible si, et seulement si, la norme de son caractère est égale à 1. Si deux représentations irréductibles ne sont pas isomorphes, alors le produit hermitien de leurs deux caractères est égal à 0, autrement dit les deux caractères sont orthogonaux. Il existe exactement autant de représentations irréductibles que le nombre de classes de conjugaison du groupe. Enfin, il existe une représentation particulière dite représentation régulière. Pour la construire, on considère que la famille ("h") des éléments du groupe est une base orthonormale d'un espace vectoriel. À "h" un élément du groupe, on associe l'isométrie qui transforme la base ("h") en la base ("h.h"). Une représentation régulière contient autant de copies d'une représentation irréductible que le degré de cette représentation irréductible.


title: Réseau (géométrie)

text: Dans cette boite déroulante, le terme de groupe orthogonal désigne les isométries d'un réseau de dimension 3, le terme de groupe spécial orthogonal désigne le sous-groupe des isométries de déterminant égal à 1. Commençons par une proposition d'ordre général :


title: Réseau (géométrie)

text: Le théorème de Cauchy, conséquence directe d'un théorème de Sylow, montre que si "n" est un nombre premier facteur de l'ordre du groupe, alors il existe un élément du groupe d'ordre "n". On en déduit que l'ordre du groupe orthogonal est de la forme 2.3, où "p" et "q" sont des entiers positifs. Dans un premier temps, on cherche à déterminer la structure d'un groupe spécial orthogonal, c'est-à-dire des isométries du réseau de déterminant égal à 1. Son ordre ne possède que 2 ou 3 comme facteur premier. On peut être plus précis :


title: Réseau (géométrie)

text: On a démontré que les plus larges 2-groupes sont les 2-groupes C × C et D, deux groupes d'ordre 8 susceptibles d'être contenus dans un groupe spécial orthogonal d'un réseau de dimension 3. Le plus large 3-groupe est C et il n'existe pas d'autre "p"-groupe, ce qui démontre la proposition.


title: Réseau (géométrie)

text: Le principe de la démarche consiste à étudier dans un premier temps les groupes orthogonaux admettant une représentation irréductible, puis ceux ayant une représentation de degré 2, enfin ceux n'ayant que des représentations de degré 1. Pour plus de simplicité, on recherche d'abord uniquement le groupe spécial orthogonal et l'on se limite aux groupes n'ayant pas d'éléments d'ordre 6. Cette démarche met en évidence le groupe du cube. On pourrait utiliser uniquement les outils de l'algèbre linéaire, mais, pour autant d'effort, on ne trouverait que des résultats plus partiels.


title: Réseau (géométrie)

text: Le groupe orthogonal possède une représentation naturelle. Un élément d'un tel groupe est une isométrie d'un réseau, qui se prolonge naturellement en une isométrie de ℝ. On peut aussi le considérer comme une isométrie de ℂ. Il existe deux manières de le faire. Soit on considère sa matrice dans la base canonique, elle peut aussi être vue comme la matrice d'une isométrie de ℂ exprimée dans la base canonique. Soit on étudie le produit tensoriel de ℂ par


title: Réseau (géométrie)

text: ℝ, qui est un ℂ-espace vectoriel de dimension 3 sur lequel s'étend naturellement l'isométrie du groupe orthogonal. On sait qu'une telle représentation est fidèle, c'est-à-dire qu'elle est injective. En effet, à une matrice donnée dans une base donnée, ne correspond qu'une application linéaire.


title: Réseau (géométrie)

text: Ici A désigne le groupe alterné d'indice 4 à 12 éléments. Il correspond aux permutations d'un ensemble à 4 éléments ayant une signature positive. Le groupe A n'est jamais un groupe spécial orthogonal, ce que nous montrerons un peu plus loin.


title: Réseau (géométrie)

text: En fait, la démonstration nous apporte plus d'informations. La signature 3 impose un élément d'ordre 1, le groupe ne contient qu'une unité (ce qui n'est pas étonnant, cette propriété est vraie pour tous les groupes), 9 isométries de trace −1 impose qu'il existe 9 éléments d'ordre 2, la trace 0 indique 8 éléments d'ordre 3 et la trace 1, 6 éléments d'ordre 4. Ces résultats s'appliquent pour le groupe à 24 éléments.


title: Réseau (géométrie)

text: On se concentre maintenant sur un groupe "G" à 24 éléments ; l'objectif est de montrer que ce groupe est nécessairement celui du cube :


title: Réseau (géométrie)

text: Nous ne sommes plus très loin de pouvoir identifier "G" à S. Nous pouvons identifier les 4 classes de conjugaison de "G", la classe de l'unité, celle d'éléments d'ordre 2, d'ordre 3 et d'ordre 4 ou 2. Il en existe en fait 5. De plus nous connaissons 3 représentations irréductibles, la triviale "t", la signature σ et une irréductible φ, dont les déterminants sont tous égaux à 1.


title: Réseau (géométrie)

text: Les valeurs de la table ne sont pas données sur les éléments mais sur les classes de conjugaison dont le cardinal est donné en deuxième ligne. En effet, un caractère est toujours constant sur une classe de conjugaison. La représentation φσ correspond à celle qui, à un élément "h" du groupe, associe l'isométrie (−1) φ("h"). La représentation θ reste à déterminer.


title: Réseau (géométrie)

text: Les isométries du groupe "G" correspondent à la représentation φ, car la représentation φσ possède des isométries de déterminants négatifs. Nous connaissons ainsi exactement les éléments du groupe spécial orthogonal. Ce groupe ne peut en effet être un sous-groupe, car nous savons déjà qu'il ne peut exister de groupe orthogonal d'ordre strictement supérieur à celui de "G".


title: Réseau (géométrie)

text: Il reste encore 3 étapes à franchir pour terminer l'étude des groupes orthogonaux de cette nature. Montrer que ni les groupes contenant un éléments d'ordre 6 ni A ne sont susceptibles n'être des groupes spéciaux orthogonaux, déterminer le groupe orthogonal d'un réseau ayant pour groupe spécial orthogonal S et caractériser les géométries d'un réseau ayant ce groupe pour ensemble d'isométries. On va procéder dans l'ordre inverse. Tout d'abord déterminer la géométrie d'un réseau contenant comme isométries directes (de déterminant 1) un groupe isomorphe à S et trouver trois solutions qui ont toutes S × C comme groupe orthogonal, à un isomorphisme près. Il sera alors temps de traiter le cas de l'existence d'un élément d'ordre 6.


title: Réseau (géométrie)

text: Cette proposition permet de faire d'une pierre deux coups. Une fois les trois géométries explicitées, il sera fort simple de montrer que le groupe orthogonal est toujours celui des isométries du cube, d'ordre 48. Il n'existe qu'une représentation fidèle de dimension 3 du groupe A ; on en conclut que l'on connaît, à une isométrie près, exactement ces éléments du groupe orthogonal. Quitte à appliquer une rotation, il est toujours possible de choisir comme axes principaux de symétries ceux dirigés par "i", "j" et "k", la base canonique de ℝ. Le groupe est engendré par les isométries composées des permutations des trois éléments de la base, sans en laisser aucun invariant, par les isométries qui changent de signe les coordonnées. Les seules isométries présentes dans le groupe A sont celles de déterminant 1. On peut les construire à l'aide des générateurs proposés dans l'article Représentations du groupe symétrique ; les isométries correspondent à la représentation notée φ. Le groupe alterné est composé des isométries de cette représentation ayant une signature positive. On dispose ainsi de la représentation matricielle dans la base canonique.


title: Réseau (géométrie)

text: On dispose maintenant d'au moins un réseau ayant un sous-groupe isomorphe à "A" dans le groupe orthogonal. Il reste encore un peu de travail pour trouver les autres, s'assurer de l'exhaustivité de la liste et montrer que le groupe orthogonal est toujours égal à celui du cube.


title: Réseau (géométrie)

text: La démonstration précédente nous simplifie la vie. Il ne devient nécessaire que d'étudier les sous-réseaux de ℤ. À un isomorphisme près, ce sont les seuls qui contiennent une représentation irréductible de dimension 3, au détail près des groupes orthogonaux contenant un élément d'ordre 6, qui n'est toujours pas traité. L'étape suivante consiste à établir la liste des sous-réseaux stables par le sous-groupe isomorphe à "A" dans ℤ. Pour ce faire, on considère un point non nul du réseau et on le note ("a", "b", "c"), sachant que les coordonnées sont entières. On fait agir le sous-groupe isomorphe à "A" sur cet élément, c'est-à-dire que l'on applique à cet élément différentes isométries du sous-groupe. En utilisant la stabilité de l'addition et de la soustraction du groupe, on obtient, à une homothétie près, trois familles de réseau.


title: Réseau (géométrie)

text: Si on allait un peu plus loin, on montrerait que le réseau engendré par (1,1,0) est isomorphe à celui engendré par (1,1,1). La séparation de ces deux réseaux est donc un peu conventionnelle. Elle existe car elle a du sens en cristallographie.


title: Réseau (géométrie)

text: Nous sommes passés de l'étude de tous les réseaux dont le groupe orthogonal contient un sous-groupe isomorphe à "A", à ceux de ℤ puis à trois cas particuliers. Il suffit de déterminer le groupe orthogonal de ces trois réseaux pour conclure le cas où il n'existe pas d'éléments d'ordre 6 dans le groupe.


title: Réseau (géométrie)

text: Les représentations d'un groupe fini ont été bien utiles. Montrer l'existence d'un réseau ayant un groupe orthogonal isomorphe à celui du cube devient plus rapide et plus simple, ce que l'on peut vérifier avec la référence qui procède autrement. Mais ce n'est pas là que réside la réelle difficulté. Elle tient à l'exhaustivité de l'analyse. On cherche tous les groupes orthogonaux. Le fait que l'on sache que les autres groupes n'ont pas de représentation irréductible de degré 3 et donc qu'il existe plan invariant par toutes les isométries du groupe orthogonal, ramène essentiellement la suite de l'étude à celle des groupes orthogonaux de réseaux de dimension 2. Or cette étude est déjà faite.


title: Réseau (géométrie)

text: On suppose maintenant que le groupe orthogonal "G" admet une représentation irréductible de dimension 2, mais pas de dimension 3, le cas étant déjà traité. Le groupe n'est pas abélien car les seules représentations irréductibles d'un groupe abélien sont de dimension 1. Les représentations sont, en effet, considérées sur les complexes. Le groupe "G" est une représentation de lui-même, cette représentation admet nécessairement un espace stable de dimension 2, qui est peut-être complexe. Son orthogonal est aussi un sous-espace stable pour tous les éléments de "G", cette fois de dimension 1. Le caractère, correspondant au rapport de l'homothétie qu'est la restriction d'une isométrie de "G" sur cet espace de dimension 1, est toujours réel. Cette propriété est démontrée dans l'étude sur l'ordre du groupe. Le sous-espace de dimension 1 est donc réel et par voie de conséquence celui de dimension 2 aussi. Nous savons maintenant qu'il existe un plan Δ de ℝ stable par toute isométrie de "G" et que son orthogonal est aussi stable et donc est composé de vecteurs propres pour tout élément de "G". La seule valeur propre pour une isométrie réelle est ±1. Comme toute isométrie de "G" a son opposé aussi dans "G", on en déduit que 1 est valeur propre sur l'orthogonal de Δ pour la moitié des éléments de "G" et −1 pour l'autre. Une autre remarque simplifie les démonstrations :


title: Réseau (géométrie)

text: La structure des réseaux ayant un groupe orthogonal non commutatif commence à se dessiner. Le réseau contient un sous-réseau Δ de dimension 2 tel que le groupe orthogonal de ce sous-réseau soit non commutatif. Sur l'orthogonal de Δ, la moitié du groupe se comporte comme l'identité et l'autre moitié comme son opposé. Une dernière remarque est utile : un groupe ne comportant que des éléments d'ordre 2 (sauf l'élément neutre) est commutatif.


title: Réseau (géométrie)

text: On peut maintenant lister les différents groupes orthogonaux non commutatifs. On peut les diviser en deux parties, ceux qui contiennent un élément d'ordre 3 et ceux qui contiennent un élément d'ordre 4.


title: Réseau (géométrie)

text: Il reste encore à traiter le cas des groupes orthogonaux abéliens. Il est particulièrement aisé, sachant que les groupes non encore traités ne contiennent que des isométries involutives. Comme un groupe ne contenant que les isométries involutives est nécessairement abélien, sa structure s'établit de manière immédiate.


title: Réseau (géométrie)

text: Le groupe orthogonal est isomorphe à C × C × C si, et seulement si, il existe trois droites propres communes à tous les éléments de "G". Un tel groupe s'obtient s'il existe une base orthogonale du réseau. Les autres géométries s'obtiennent en généralisant l'analyse menée en dimension 2 sur le groupe de Klein.


title: Réseau (géométrie)

text: Le groupe orthogonal est isomorphe à C × C si, et seulement si, le réseau ne répond à aucune des géométries précédentes et qu'il existe une droite propre commune à tous les éléments du groupe orthogonal. Il s'obtient, par exemple, s'il existe une base dont l'un des vecteurs est orthogonal aux deux autres. Les autres géométries s'obtiennent à l'aide d'une démarche analogue à la précédente.


title: Réseau (géométrie)

text: Si aucune des géométries précédentes ne correspond à celle du réseau, son groupe orthogonal ne contient que l'identité et son opposé, il est alors isomorphe à C.


title: Réseau (géométrie)

text: Plus la dimension grandit, plus la question s'avère délicate. On peut encore traiter le cas de la dimension 4 avec les mêmes outils que ceux de la dimension 3. Ensuite, si les méthodes sont essentiellement issues de la théorie des représentations d'un groupe fini, d'autres théorèmes s'avèrent de plus en plus nécessaires.


title: Réseau (géométrie)

text: Ces groupes orthogonaux sont étudiés car, pour d'autres branches du savoir, ils ne manquent pas d'attraits. Ils permettent de représenter certains groupes finis et offrent de nombreuses méthodes pour les étudier. C'est ainsi que J. H. Conway trouve 3 parmi les derniers groupes manquants pour une classification complète des groupes finis. Le réseau utilisé est de dimension 24 et porte le nom de Leech. Un autre cas célèbre est celui du groupe Monstre, le plus gros des 26 groupes sporadiques. Son existence était annoncée depuis une dizaine d'années avant sa construction. Elle devait découler d'une représentation de degré , conjecturé et explicité sans l'aide d'ordinateur. Elle devrait clore la classification des groupes finis simples. Un réseau est utilisé.


title: Réseau (géométrie)

text: D'autres branches des mathématiques font usage d'un réseau. L'étude des courbes elliptiques, développée au demande l'analyse de réseau de dimension 2. Cette étude se généralise en dimension supérieure par la théorie des fonctions abéliennes.


title: Réseau (géométrie)

text: Une illustration de l'intérêt de la notion provient de la théorie algébrique des nombres, et plus spécifiquement de la géométrie arithmétique. Si "K" est une extension finie de degré "n" du corps ℚ, il est possible d'identifier l'anneau de ses entiers algébriques à un ℤ-module libre de dimension "n". Une extension finie de ℚ est un ℚ-espace vectoriel de dimension finie et peut être vue comme un sous-corps de ℂ. Un entier algébrique est un nombre qui est racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans ℤ. Un exemple simple est le corps des rationnels de Gauss, c'est-à-dire des nombres de la forme "a" + "b", où "a" et "b" sont des éléments de ℚ et l'unité imaginaire. Les entiers algébriques de ce corps, appelés entiers de Gauss, sont les nombres de la forme "a" + "b" où, cette fois-ci, "a" et "b" sont des éléments de ℤ. Les points du réseau sont représentés sur la figure 23 par les intersections du quadrillage bleu foncé.


title: Réseau (géométrie)

text: Cette vision permet d'interpréter géométriquement de nombreuses situations d'arithmétique. On peut interpréter, par exemple, le fait que le quotient de l'anneau "A" par un sous-réseau "M" de même dimension (comme un idéal non nul), est fini et égal à la valeur absolue du déterminant d'une base de "M" dans une base de "A". Cette propriété, valable pour n'importe quel anneau des entiers algébriques d'un corps quadratique ou plus généralement d'un corps de nombres, se démontre par un calcul élémentaire. Son interprétation géométrique consiste à dire que le nombre de points du réseau qui appartiennent à un domaine fondamental du sous-réseau est égal au volume de ce domaine fondamental, lorsqu'on considère une base de "A" comme orthonormée.


title: Réseau (géométrie)

text: La figure 23 illustre cette interprétation lorsque "M" est l'idéal principal engendré par l'entier algébrique α = 2 + dans les entiers de Gauss, c'est-à-dire que les points du sous-réseau sont les produits de α par un entier de Gauss quelconque. Une base du réseau "A" étant une base du sous-réseau "M" = α"A" est α"B" = (α, α) = (2 + , –1 + 2). Ce sous-réseau est représenté par les points verts sur la figure. Une classe d'équivalence de l'anneau quotient est géométriquement représentée par un "décalage" du réseau vert et qui contient un point du quadrillage, par exemple une classe est illustrée par les points bleus. Chaque classe contient un représentant dans la zone rouge des vecteurs de coordonnées comprises dans l'intervalle [0, 1[ dans la base (2 + , –1 + 2). Le nombre d'entiers de Gauss (réseau représenté par le quadrillage bleu foncé) qui se trouvent dans ce domaine fondamental est égal à la valeur absolue du déterminant de la base "αB" de "M" dans la base "B" de "A". Ce déterminant (toujours positif dans l'exemple des entiers de Gauss, mais parfois négatif dans d'autres anneaux d'entiers algébriques) est appelé la norme arithmétique de α. Un rapide calcul montre que la norme arithmétique d'un entier de Gauss "a" + "b" est égale à Dans l'exemple choisi, le nombre d'entiers de Gauss qui se trouvent dans le domaine fondamental est bien égal à 5, la norme de 2 + .


title: Réseau (géométrie)

text: La figure 24 illustre un exemple similaire en dimension 3. L'anneau (dont les points sont représentés par les petites billes) est ici ℤ[], de base "B" = considérée comme orthonormée, et l'idéal principal "M" (dont les points sont en rouge) est engendré par α = 2. Le domaine fondamental du sous-réseau "M" est le cube rouge, constitué des points dont les coordonnées dans la base 2"B" de "M "appartiennent à [0, 1[ (c'est-à-dire dont les coordonnées dans "B" appartiennent à [0, 2[). Son volume, égal à la norme de α, soit 2 = 8 (déterminant de l'homothétie de rapport 2 en dimension 3), est bien égal au nombre de points du réseau appartenant au cube rouge. Chaque classe du quotient "A"/"M = A"/(2"A") est représentée par l'un de ces 8 points : si "β" est un point quelconque de "A", il est congru, modulo 2"A", au point dont les coordonnées sont les restes (0 ou 1) des divisions euclidiennes par 2 de celles de "β".


title: Réseau (géométrie)

text: Ce résultat est à rapprocher du théorème de Pick qui indique, en dimension 2, la relation entre le nombre de points du réseau contenu dans un polytope P dont les sommets sont des éléments du réseau et la surface du polytope. La généralisation en dimension "n" est obtenue à l'aide du polynôme d'Ehrhart.


title: Réseau (géométrie)

text: Le théorème de Minkowski indique qu'un convexe symétrique par rapport à l'origine et de volume supérieur à 2"V "de ℝ rencontre nécessairement un point non nul du réseau de covolume "V". La figure 26 représente, pour "n "= 3, un convexe symétrique par rapport à l'origine, son volume est donc inférieur à 8 fois le covolume, car il ne rencontre le réseau qu'au point d'origine.


title: Réseau (géométrie)

text: L'article détaillé propose plusieurs démonstrations, dont l'une peut s'interpréter en termes de la représentation du domaine fondamental sous forme de tore. Le convexe "C "pour "n "= 2, illustré en vert sur la figure 25, est de volume supérieur à 4"V "; l'image de ce convexe par une homothétie de rapport 1/2 est de volume supérieur à celui du tore. Cette configuration est illustrée sur la figure 25. La restriction du morphisme canonique de ℝ dans ℝ/Λ ne peut être injective, car sinon ℝ/Λ contiendrait un volume dont la mesure serait strictement supérieure à la sienne. Il existe donc deux points "X" et "Y" ayant même image par le morphisme, ou encore "X – Y "est élément de Λ. Or "X" et –"Y" sont éléments de (1/2)"C" et ("X – Y")/2 l'est aussi, donc "X – Y" est élément de "C". La zone où le morphisme n'est pas bijectif est indiquée en gris sur la figure 25. Son image par le morphisme est la zone grise du tore illustré dans le paragraphe sur le domaine fondamental.


title: Réseau (géométrie)

text: Ce théorème est utilisé par exemple pour établir le théorème des unités de Dirichlet, élucidant la structure du groupe des unités d'un anneau d'entiers algébriques.


title: Réseau (géométrie)

text: Un réseau formant un ensemble discret, il existe dans tout réseau un plus court vecteur non nul. Ce vecteur dépend bien évidemment de la norme dont on munit l'espace. Ce problème (souvent nommé SVP, de l'anglais "Shortest Vector Problem") est connu pour être NP-difficile dans le cas de la norme euclidienne. Pour d'autres normes usuelles, rien n'est connu, mais on conjecture que le problème est au moins aussi difficile à résoudre.


title: Réseau (géométrie)

text: Le problème non homogène associé consiste, étant donné un vecteur et un réseau, à trouver le vecteur le plus proche du vecteur donné. Il est souvent nommé CVP (de l'anglais "Closest Vector Problem") et est lui aussi NP-difficile pour la norme euclidienne.


title: Réseau (géométrie)

text: Certaines bases sont mieux adaptées que d'autres pour travailler dans un réseau car elles sont formées de vecteurs courts et permettent donc de se promener localement aux alentours d'un point donné du réseau. On les appelle bases réduites et ces méthodes, . Il existe plusieurs notions différentes de réductions mais la réduction LLL inventée par Lenstra, Lenstra et Lovász présente l'avantage d'être calculable en temps polynomial par l'algorithme LLL. Cet algorithme qui fournit une base de vecteurs "assez" courts a de multiples applications, notamment en cryptographie à clé publique.


title: Becca Tobin

text: Elle se fait connaître grâce à la série musicale à succès, "Glee" (2012-2015), dans laquelle elle interprète .


title: Becca Tobin

text: Becca Tobin grandit à Marietta, en Géorgie et est la plus jeune de deux filles et de parents avocats. Elle fait sa première pièce de théâtre à l'âge de huit ans dans un spectacle de Noël de son école en tant qu'arbre de Noël. Elle est cheerleader en et en grade (l'équivalent de la cinquième et de la quatrième) mais elle a déclaré que ce n'était pas pour elle, elle a donc arrêté et a fait de la danse à la place. Elle a étudié à la "Peblebrook High School", à Mableton en Géorgie.


title: Becca Tobin

text: Elle étudie dans une école d'art ; elle est ensuite transférée dans une école publique. Elle déclare dans une interview qu'elle a été harcelée et brutalisée par ses camarades de lycée à cause de son goût pour les arts. Sa seule amie a commencé à l'ignorer mais elle s'en est excusée quelques années plus tard. Lorsque le harcèlement s'est intensifié, elle a commencé à sécher les événements importants de l'école, allant jusqu'à ne pas se rendre à la remise des diplômes. Elle est diplômée de la "Wheeler High School" en 2004. C'est une ancienne élève de AMDA, une école d'art.


title: Becca Tobin

text: Elle commence sa carrière en jouant dans plusieurs pièces de théâtres à Broadway de 2005 à 2011 telles que : "Cats", "West Side Story", "Annie", "High School Musical: Paper Mill Playhouse", "Oklahoma!", "Chicago", "Seven Brides for Seven Brothers" et "Rock Of Ages". Elle réalise une tournée de concert en 2011 avec l'orchestre rock Trans-Siberian Orchestra.


title: Becca Tobin

text: En 2012, elle devient la porte-parole de l'association "BullyVille". La même année elle obtient le rôle qui la révèle au grand public, dans la série musicale à succès "Glee". Elle joue Kitty Wilde, une cheerleader qui apparaît à partir de la saison 4, succédant à Dianna Agron dans le rôle de la petite peste que le public adore détester. Elle est choisie, avec ses partenaires de jeu de "Glee" Jacob Artist, Melissa Benoist et Dean Geyer en tant qu'ambassadeurs pour Coca-Cola et ils réalisent un voyage aux Philippines pour promouvoir le produit et rencontrer des fans. En 2013, elle signe pour deux nouvelles saisons de "Glee". L'année ou elle est citée pour le Teen Choice Awards du meilleur méchant dans une série télévisée.


title: Becca Tobin

text: En 2014, elle décroche un rôle d'invitée, le temps d'un épisode de la série "Drop Dead Diva", elle renouvelle l'expérience pour la série "Mystery Girls" et apparaît dans un épisode de l'émission "House Of DVF".


title: Becca Tobin

text: En 2016, elle obtient le rôle principal d'un téléfilm romantique intitulé "Dois-je lui dire oui?", l'année d'après, elle porte un nouveau unitaire centré sur le thème de Noël pour la romance "Une superstar pour Noël".


title: Becca Tobin

text: Elle est en couple avec Matt Bendik jusqu'à la mort de ce dernier le , à l'âge de 35 ans dans une chambre d'hôtel à Philadelphie.


title: Becca Tobin

text: Elle est fiancée à l'entrepreneur Zach Martin en 2016. Ils se sont mariés le 3 décembre 2016. Le 22 février 2022 Becca Tobin a annoncé sur son compte Instagram être maman d'un petit garçon qui se nomme Rutherford "Ford" Thomas Martin grâce à une mère porteuse.


title: Le shérif est en prison

text: Le shérif est en prison ("Blazing Saddles") est un film américain réalisé par Mel Brooks, sorti en 1974.


title: Le shérif est en prison

text: L'histoire se déroule dans l'Ouest américain en 1874 (avec un grand nombre d'anachronismes). La mise en place d'une ligne de chemin de fer ne peut aboutir à cause d'une zone de sables mouvants. L'itinéraire doit être changé, ce qui fait que la ligne pourrait passer par Rock Ridge, une ville frontière où tous les habitants portent le même nom, Johnson. Le procureur d'état, le procureur général intrigant Hedley Lamarr – à ne pas confondre, ce qui arrive souvent dans le film, avec l'actrice Hedy Lamarr –, souhaite racheter à bas prix les terrains prévus pour la construction. Pour y parvenir, il tente de chasser les habitants de leur ville. Ainsi, pour leur faire peur, y envoie-t-il une bande de malfaiteurs dirigée par l'inepte Taggart, ce qui incite la population de Rock Ridge à demander au gouverneur de leur affecter un nouveau shérif. Or, le gouverneur, un peu dépassé, se laisse persuader par Lamarr de choisir, pour cette fonction, Bart, un Afro-Américain et ouvrier à la construction des chemins de fer. Comme Bart est noir, Lamarr espère que ce choix outragera les habitants de Rock Ridge à tel point qu'ils finiront soit par abandonner la ville soit par lyncher leur nouveau shérif.


title: Le shérif est en prison

text: Ce dernier, grâce à ses astuces et à l’aide d'un as de la gâchette, alcoolique, Jim (connu aussi sous le nom de Waco Kid, « à moi tout seul j'ai tué plus d'hommes que Cecil B. DeMille ») œuvre pour faire disparaître l'hostilité à son égard. Il vainc et devient ami avec Mongo, un homme de main envoyé par Taggart, et fait piéger à son propre jeu une séductrice à gages allemande, Lili von Schtupp, avant de convaincre ses concitoyens de dresser un guet-apens contre l'armée des sbires de Lamarr.


title: Le shérif est en prison

text: La bataille décisive entre les hors-la-loi servant Lamarr et les habitants de Rock Ridge va jusqu'à briser littéralement le quatrième mur ; elle quitte le studio de Warner Bros. et se répand sur le plateau de tournage d'un film musical, elle se fraie un chemin dans la cafétéria pour dégénérer en une bataille de gâteaux et, par la suite, tous sortent dans les rues avoisinantes.


title: Le shérif est en prison

text: Quand ils ont battu leur ennemi et sauvé la ville, le shérif et le Waco Kid courent pour rattraper la fin du film en invitant entre-temps des Blancs et des gens de couleur à vivre en harmonie, pour enfin partir vers le soleil couchant, non pas à cheval mais en limousine.


title: Djimi Traoré

text: Djimi Traoré, né le à Saint-Ouen (Seine-Saint-Denis), est un footballeur puis entraîneur franco-malien. International malien, il évolue au poste de défenseur et est le premier joueur malien à avoir remporté la Ligue des champions de l'UEFA en 2005 avec Liverpool.


title: Djimi Traoré

text: Djimi Traoré est formé au Stade lavallois, où il arrive à seize ans. Il passe d'un poste de milieu défensif ou attaquant à un poste de défenseur central. Devenu international juniors, il joue son premier match avec l'équipe première à 18 ans, lancé en deuxième division par Hervé Gauthier.


title: Djimi Traoré

text: Il participe à seulement cinq rencontres en une demi-saison au Stade lavallois mais il est déjà observé par plusieurs clubs européens (Liverpool, Bordeaux, Paris SG, Rennes, Parme).


title: Djimi Traoré

text: Il signe à Liverpool en février 1999, pour cinq ans. Il ne s'impose pas tout de suite en Angleterre et joue très peu lors des deux premières saisons, le club décide donc de le prêter au RC Lens lors de la saison 2001-2002. Il joue son premier match sous les couleurs sang et or le 15 septembre 2001 contre le FC Sochaux. Longtemps en tête du championnat, le RC Lens voit le titre s'échapper dans les dernières journées au profit de l'Olympique lyonnais. Au total, Traoré porte le maillot lensois à vingt reprises avant de retrouver le club anglais.


title: Djimi Traoré

text: La saison suivante, il joue la majorité de la saison 2002-2003, remplaçant Stéphane Henchoz blessé et totalise 49 matchs toutes compétitions confondues. Lors de la saison suivante, il ne joue que onze matchs mais marque son premier but professionnel contre le Steaua Bucarest lors du second tour de Coupe UEFA.


title: Djimi Traoré

text: Il remporte la Ligue des champions en 2005 au cours d'une rencontre mémorable où les "Reds", menés 3-0 par le Milan AC à la mi-temps, réussissent à revenir au score avant de s'imposer aux tirs au but. Il devient le premier malien champion d'Europe. La même saison, il participe à la finale de la Coupe de la ligue qui voit Chelsea l'emporter 3-2 après prolongations face à Liverpool.


title: Djimi Traoré

text: Lors de la saison 2005-2006, il ne joue que 26 matchs toutes compétitions confondues et décide de quitter le club.


title: Djimi Traoré

text: Traoré est transféré au Charlton Athletic durant l'été 2006 pour huit millions de livres. Après une demi-saison et seulement quinze rencontres disputées, il rejoint le Portsmouth FC pour un transfert estimé à 1,4 million d'euros au cours du marché des transferts hivernal de 2007.


title: Djimi Traoré

text: En janvier 2008, après seulement quinze matchs en une saison et demi, il rejoint le Stade rennais pour un prêt avec option d'achat qui n'est finalement pas levée par le club breton avec qui il joue quinze matchs lors de la deuxième partie de saison dont le premier le 23 janvier contre l'OGC Nice. En février 2009, il est prêté à Birmingham City mais ne joue que trois rencontres.


title: Djimi Traoré

text: Le , Djimi Traoré s'engage pour deux saisons en faveur de l'AS Monaco. Il joue son premier match sur le rocher lors de la troisième journée de Ligue 1 contre le FC Lorient avant de devenir peu à peu titulaire au sein de l'effectif monégasque et participer à la finale de la coupe de France en 2010 perdue face à Paris Saint-Germain.


title: Djimi Traoré

text: Le , il est victime d'une rupture des ligaments croisés antérieurs du genou droit lors du match nul de son équipe contre le Paris Saint-Germain (2-2). Cette blessure met un terme à sa saison à six mois de la fin de son contrat sur le Rocher.


title: Djimi Traoré

text: Il quitte l'ASM à l'issue de la saison et signe librement à l'Olympique de Marseille le . Il joue son premier match sous le maillot phocéen lors de la Ligue des champions contre l'Olympiakos. Il joue vingt rencontres à l'OM lors de sa première saison. Le , l'Olympique de Marseille annonce que le contrat du joueur, qui arrive à expiration le 30 juin, n'est pas renouvelé.


title: Djimi Traoré

text: Le , Traoré s'engage, après quelques jours d'essai, avec les Sounders de Seattle en MLS. Lors du match retour des quarts de finale de Ligue des champions de la CONCACAF, Djimi Traoré envoie un missile du gauche à du but et trouve la barre rentrante du gardien des Tigres UANL pour une victoire 3-1 synonyme de qualification pour les demies. Il permet à son équipe d'être la première franchise de MLS à éliminer une équipe mexicaine en phase finale de cette compétition. Lors du tour suivant, le club américain est éliminé contre une autre équipe mexicaine, le Santos Laguna.


title: Djimi Traoré

text: Après avoir pris sa retraite en tant que joueur, Traoré se voit proposer le poste d'entraîneur-adjoint de l'équipe réserve des Sounders en USL. La saison suivante, il est promu au même poste au sein de l'équipe première.


title: Djimi Traoré

text: Avec le Liverpool FC, il remporte la Ligue des champions en 2005. Il est également finaliste du Community Shield en 2002 et de League Cup en 2005.


title: Djimi Traoré

text: Il est également vice-champion d'Angleterre de D2 en 2009 et finaliste de la coupe de France en 2010 avec l'AS Monaco.


title: Miss Cameroun

text: En cette compétition est devenue une propriété de l'État du Cameroun par le biais du Ministère des arts et de la culture.


title: Miss Cameroun

text: La première édition du concours Miss Cameroun est organisé en 1960 au lendemain de l'indépendance du pays. Julienne Honorine Eyenga Fouda, lauréate du concours, est la toute première Miss Cameroun. Cette première édition du concours, organisé par le Ministère de la Culture porte aussi le nom le nom de "Miss Indépendance".


title: Miss Cameroun

text: En 1991, une seconde édition de Miss Cameroun est organisée. Elle est remportée par Aretha Makia, aujourd'hui médecin aux États-Unis.


title: Miss Cameroun

text: La première édition de la compétition Miss Cameroun telle qu'on la connait aujourd'hui s'est tenue en 2002. La compétition a été créée par Ingrid Solange Amougou, présidente du Comité d'Organisation Miss Cameroun (COMICA). 12 éditions du concours ont déjà été organisées depuis 2002.


title: Miss Cameroun

text: Lors de l'édition 2002, un conflit éclate entre la présidente du comité d'organisation Solange Amougou, et la miss 2002 Agathe Pascaline Nomgne qui se voit retirer sa couronne peu de temps après sa nomination. En 2009, Solange Amougou retire sa voiture de fonction à la gagnante de l'année 2008 Joëlle Audry Amboagué. Toujours en 2009, la nouvelle nominée se plaint après l'évènement des avances inadéquats formulées par certains invités à l'évènement. Lors de l'édition 2009, plusieurs faux-pas sèment d'ailleurs le trouble sur la régularité du concours : La gagnante est entourée de trois dauphines au lieu de deux, et son âge ne semble pas bien défini. Lors de l'édition 2011 de l'évènement, la présidente du comité d’organisation Solange Ingrid Amougou fait scandale lorsque la rumeur circule qu'elle contrôle les résultats du concours dans les coulisses. Lors de l'édition 2018, Caroline Biloa Koumou est shortlistée dans le top 12 du concours, mais les organisateurs vont chercher une autre participante dans les coulisses insonorisées, mettant de facto Caroline Biloa Koumou hors course.


title: Miss Cameroun

text: Des présélections sont organisées pour les 10 régions du pays. Au terme de ces compétitions régionales, 3 lauréates à savoir, une miss et deux dauphines sont désignées pour chacune des 10 régions, afin de prendre part à la finale nationale.


title: Miss Cameroun

text: La Miss Cameroun est désignée au cours de la finale qui se tient chaque année, habituellement au mois de juillet avant de se tenir au mois de décembre. La cérémonie nationale, diffusée en direct à la télévision, est présidée par un jury composé de personnalités camerounaises et étrangères. Il existe également un concoure Miss Cameroun Diaspora : en 2017, Danielle Chegue Wabo 2015, ingénieure et entrepreneur, philanthrope, artiste et reine de beauté camerounaise est élue Miss Cameroun diaspora France.


title: Miss Cameroun

text: L'édition 2013 du concours Miss Cameroun s'est tenu le au Palais des congrès de Yaoundé. La gagnante est Valérie Ayena, Miss Centre.


title: Miss Cameroun

text: La cérémonie s'est déroulée le au Palais des congrès de Yaoundé et a été remportée par Larissa Ngangoum.


title: Miss Cameroun

text: L'édition 2015 a eu lieu le au Palais des congrès de Yaoundé. Jessica Ngoua Nseme, Miss Littoral, alors âgée de 24 ans, est couronnée Miss Cameroun au terme de la compétition. Cette édition a vu la participation de Chantal Biya, la première dame du Cameroun.


title: Miss Cameroun

text: L'édition 2016 s'est tenue le au Palais des congrès à Yaoundé. 25 candidates issues des 10 régions du pays et de la diaspora ont pris part à cette finale. La compétition a été remportée par Julie Cheugueu Nguimfack, de la région du sud-ouest. Âgée de 24 ans, Julie est à la fois étudiante en Comptabilité et chef d'une petite entreprise.


title: Miss Cameroun

text: L'édition 2018 s'est tenue le au Palais des congrès à Yaoundé. 25 candidates vivant au pays et à l'extérieur ont pris part à cette finale. La compétition a été remportée par Aimée Caroline Nseke, Miss Cameroun Suisse en 2016. Âgée de 21 ans, Aimée Caroline est étudiante en droit administratif.


title: Miss Cameroun

text: L'édition 2020 du concours Miss Cameroun s'est tenue le au Palais Polyvalent de Sports. La compétition a été remportée par Audrey Nabila Monkam, candidate anglophone Miss de la région du Nord-Ouest.


title: Miss Cameroun

text: L'édition 2022 du concours Miss Cameroun s'est tenue le au Palais Polyvalent de Sports. La compétition a été remportée par Julia Samantha Edima candidate Miss de la région du Sud.


title: Alfresco

text: Alfresco est un système de gestion de contenu (en anglais ECM pour "Enterprise Content Management") créé par "Alfresco Software" en 2005 et distribué sous licence libre. Il se distingue des autres systèmes par sa forme. En effet, il peut se comporter sur un ordinateur comme un disque virtuel (se montant et se démontant), ce qui permet à l'utilisateur de partager des fichiers simplement en les déplaçant sur le disque dédié.


title: Alfresco

text: Alfresco est à la base le résultat des travaux d'une équipe qui provient massivement de Documentum, leader historique du marché, mais aussi d'Interwoven pour la partie gestion de contenu web. Un cofondateur d'Alfresco est aussi cofondateur de Documentum.


title: Alfresco

text: Il compte 7 millions d'utilisateurs avec 4 milliards de documents gérés et plus de entreprises réparties dans 180 pays.


title: Alfresco

text: La société éponyme s'aligne sur le modèle maintenant classique de Red Hat, Canonical ou SuSE : elle vend de l’assistance technique sous forme de souscription pour les clients souhaitant une assistance autre que communautaire, en particulier avec des engagements sur les délais de réponse.


title: Alfresco

text: La version dite « Community » est sous licence LGPL, donc librement téléchargeable, modifiable, redistribuable et utilisable, dans les limites des règles établies par cette licence.


title: Alfresco

text: La version « Entreprise » se démarque principalement de la version « Community » par l'offre de support technique associée ainsi qu'un cycle de développement plus suivi ; y sont intégrées notamment les nouveautés dûment testées et validées par Alfresco Software ainsi que les corrections de bugs ce qui, avec le temps, la fait différer de la version communautaire.


title: Alfresco

text: De plus, cette version est fournie avec certaines fonctionnalités, notamment d'aide à l'administration, exclusives et livrées sous licence non-libre.


title: Alfresco

text: Alfresco revendique une communauté de plus de 120 000 personnes dans le monde, pour plus de 60 000 serveurs en utilisation et plus de 1 500 clients souscripteurs


title: Alfresco

text: La version « Cloud » permet de partager du contenu et de collaborer avec vos collègues tout en conservant le contrôle centralisé à un seul endroit. Vous pouvez grâce à cette version y accéder via votre mobile et gratuitement n'importe où.


title: Alfresco

text: Alfresco in the cloud est hébergée par l'infrastructure des services Web Amazon (AWS) aux États-Unis. L'infrastructure Amazon est certifiée Privacy Shield, ce qui signifie que les données sont traitées selon des principes compatibles avec la réglementation européenne.


title: Alfresco

text: Alfresco propose aussi le logiciel JLAN qui est une implémentation serveur des protocoles CIFS, FTP, et NFS.


title: Alfresco

text: JLAN permet la mise à disposition d'interfaces type systèmes de fichiers vers toute source de données (base de données, logiciel métier…).


title: Elizabeth Magie

text: Elizabeth Magie, née le à Macomb dans l'Illinois et morte le à Arlington en Virginie, est une conceptrice américaine de jeux de société.


title: Elizabeth Magie

text: Inspirée par l'économiste Henry George, elle invente en 1904 le jeu "The Landlord's Game" ("Le Jeu du propriétaire foncier"), précurseur de Monopoly, pour dénoncer l'oppression des rentiers de l'immobilier sur les locataires.


title: Elizabeth Magie

text: Elizabeth Magie naît au lendemain de la guerre de Sécession. Son père, James Magie, est éditeur de presse. Il possède des parts dans un journal, "The Canton Register". Dans les années 1880, Elizabeth Magie exerce le métier de sténographe et secrétaire. Elle invente un dispositif afin de faire passer plus facilement le papier entre les rouleaux des machines à écrire. La jeune femme se consacre également à l'écriture de poèmes et de nouvelles, et monte sur scène pour y interpréter des sketches.


title: Elizabeth Magie

text: Magie fait partie du mouvement quaker et apprécie les idées de l'économiste Henry George, qui veut limiter le pouvoir des propriétaires fonciers avec un impôt unique. Elle a découvert son livre "Progrès et pauvreté" ("Progress and Poverty") grâce à son père, James Magie. En 1903, elle dépose un brevet pour un jeu de société, "The Landlord's Game" ("Le Jeu du propriétaire foncier"), avec lequel elle souhaite illustrer la « nature antisociale du monopole ». Il se diffuse sur les campus, dans le milieu des intellectuels de gauche et parmi les quakers (membres du mouvement Quaker), notamment à Atlantic City. En 1931, un chômeur, Charles Darrow, découvre le jeu grâce à des voisins ; il s'en inspire pour créer à son tour un jeu qu'il nomme Monopoly en changeant complètement le propos d'Elizabeth Magie.


title: Elizabeth Magie

text: Magie est également connue pour avoir fait paraître une fausse annonce de mariage, dans laquelle elle se vend au plus offrant. L'affaire suscite l'intérêt de la presse, qui publie des articles à son sujet. Propriétaire de sa maison et de plusieurs acres de terre, Magie éprouve néanmoins des difficultés à subvenir à ses besoins avec son faible salaire, et présente le mariage comme la seule issue offerte aux femmes. En 1906, elle est embauchée comme reporter dans un journal. En 1910, malgré ses doutes envers le mariage, elle épouse l'homme d'affaires Albert Phillips. Elizabeth Magie meurt en 1948.


title: Elizabeth Magie

text: Son rôle dans l'histoire du Monopoly est redécouvert au cours des années 1970 lorsque l'éditeur Parker Brothers intente un procès à Ralph Anspach, qui enseigne l'économie à l'université et commercialise un "Anti-Monopoly". Pour assurer sa défense, Anspach effectue des recherches sur l'origine du jeu de société et apprend l'existence du brevet de Magie. Après plusieurs années de procédure, la plainte de la société Parker est rejetée par la Cour d'appel, puis par la Cour suprême.


title: Gymnema sylvestre

text: Gymnema sylvestre est une espèce de plantes de la famille des "Apocynaceae" et du genre des "Gymnema". Dénommé aussi en anglais « miracle fruit », on lui prête de très nombreuses vertus. Il pourrait être utilisé auprès des diabétiques.


title: Gymnema sylvestre

text: "Gymnema sylvestre" est présent depuis l’Afrique de l'Ouest au Pacifique, en passant par l'Arabie saoudite, en Inde, au Sri Lanka, au Vietnam et en Chine du Sud, ainsi qu'au Sud du Japon (îles Ryūkyū), aux Philippines, en Malaisie, en Indonésie et en Australie. En Afrique, il est présent dans la plupart des régions d’Afrique de l’Ouest et s’étend vers l’est jusqu’en Éthiopie et vers le sud jusqu’en Afrique du Sud.


title: Gymnema sylvestre

text: C'est un buisson rampant en forme de liane atteignant de haut. La tige à écorce grise présente des poils courts devenant glabres et contient du latex abondant dans toutes les parties.


title: Gymnema sylvestre

text: Les feuilles sont opposées, simples et entières avec un pétiole de 5– de long et un limbe ovale à elliptique de 2– × 1–, base arrondie, cunéiforme ou cordée, apex arrondi à acuminé, glabre au-dessus, légèrement ou densément couvert de poils courts au-dessous.


title: Gymnema sylvestre

text: Les inflorescences sont des cymes ombelliformes à 3–12 fleurs, atteignant de diamètre. Les fleurs bisexuées sont régulières, jaunâtres, parfumées. Les lobes du calice sont ovales, de 1– de long, poilus. La corolle campanulée, atteint de diamètre. L'ovaire est supère.


title: Gymnema sylvestre

text: Les fruits sont des follicules, lancéolés, de 5– × 6–, s’amenuisant progressivement à l’apex, vert pâle à beige ou brunâtre, contenant de nombreuses graines. Celles-ci sont ovoïdes, aplaties, garnies d’une touffe de poils blancs à l’apex.


title: Gymnema sylvestre

text: En Inde et en Chine, les feuilles amères de "Gymnema sylvestre" sont connues sous l’appellation de « destructeur du sucre », car elles empêchent temporairement d’éprouver des sensations sucrées.


title: Gymnema sylvestre

text: Elle entre dans la composition d’additifs alimentaires comme remède pour la perte de poids car elle est créditée du pouvoir d’inhiber les envies de sucreries et aurait des effets lipidoréducteurs. Elle participe également à la prévention des caries.


title: Gymnema sylvestre

text: L’usage par les herboristes de ces feuilles comme traitement contre le diabète sucré remonte à plus de .


title: Gymnema sylvestre

text: En Afrique de l’Ouest, les feuilles se prennent également pour cet usage. Récemment, "Gymnema sylvestre" a attiré l’attention du fait que la poudre de ses feuilles aiderait à contrôler le taux de glycémie de personnes souffrant de diabète de types 1 et 2, lorsqu'elle est associée à l’insuline.


title: Gymnema sylvestre

text: En Afrique on prête aux feuilles et aux racines, selon les contrées de très nombreuses vertus médicinales, et notamment pour lutter contre : morsures de serpent, épilepsie, furoncles…


title: Gymnema sylvestre

text: En Inde et en Chine, les racines et les feuilles servent à traiter d’autres affections : arthrite rhumatoïde, goutte, œdèmes, fièvre, toux, hémorroïdes, furoncles, petites plaies, piqûres d’insectes et morsures de serpent…


title: Gymnema sylvestre

text: Comme aliment, en Afrique de l’Ouest et dans toute l’Asie, les feuilles sont consommées en soupes ou comme légume cuit. En Namibie, les fruits sont consommés grillés après les avoir pelés et en avoir ôté les graines.


title: Opus Interactive Audio Codec

text: Opus est un format ouvert de compression audio avec pertes, libre de redevances et normalisé par l'Internet Engineering Task Force (IETF), conçu pour encoder efficacement la voix et plus largement l'audio dans un format unique, tout en ayant une latence suffisamment faible pour la communication en temps réel et une complexité suffisamment faible pour les processeurs embarqués peu puissants. Opus remplace Vorbis et Speex pour les nouvelles applications et différents tests d'écoute en aveugle l'ont jugé supérieur à tous les autres formats audio à tous les débits, y compris MP3, AAC et HE-AAC.


title: Opus Interactive Audio Codec

text: Opus combine l'algorithme SILK et l'algorithme à faible temps de latence CELT, passant de l'un à l'autre ou les combinant pour une efficacité maximale.


title: Opus Interactive Audio Codec

text: Ses principaux développeurs sont Jean-Marc Valin (Xiph.org, Octasic, Mozilla Corporation), Koen Vos (Skype Technologies) et Timothy B. Terriberry (Mozilla Corporation). Raymond Chen (Broadcom), Gregory Maxwell (Xiph.org) et Christopher Montgomery (Xiph.org), entre autres, ont également participé.


title: Opus Interactive Audio Codec

text: Ce codec utilise deux algorithmes : celui utilisé dans SILK (créé par Skype), qui est plus orienté sur la voix humaine, et celui utilisé dans CELT (créé par la fondation Xiph.org), plus orienté sur la musique. Opus choisit le plus adapté en fonction de la bande passante et du son qu'il doit transmettre. Il peut utiliser les deux de manière simultanée.


title: Opus Interactive Audio Codec

text: De manière plus précise, Opus utilise soit la prédiction linéaire (SILK) soit la transformation en cosinus discrète (CELT) pour compresser le flux audio.


title: Opus Interactive Audio Codec

text: Selon ses concepteurs, ce codec est très adapté à Internet, où la question de la bande passante est cruciale, notamment pour les téléphones mobiles ou les utilisateurs ayant un faible débit de connexion. Google et Nokia ont fait des études qui confirmeraient ces affirmations.


title: Opus Interactive Audio Codec

text: Opus étant une norme de l'IETF, il est publié sous licence BSD. Le texte descriptif peut donc être diffusé, réutilisé, modifié si et seulement s'il est marqué comme venant de l'IETF, avec un moyen de retrouver la documentation.


title: Opus Interactive Audio Codec

text: Petite incongruité dans les spécifications de l'IETF : on retrouve le code qui fait référence directement dans la spécification. Ce code est publié sous licence BSD et une bibliothèque logicielle a été publiée par la fondation Xiph.org. Mozilla a proposé des fichiers binaires, servant au codage ou au décodage, pour les environnements Mac OSX et Windows.


title: Opus Interactive Audio Codec

text: Tout utilisateur du codec Opus ne peut engager de contentieux envers tout autre utilisateur d'Opus sur la technologie couverte par le brevet. NB : ce genre de brevet est un brevet logiciel, valable uniquement aux États-Unis.


title: Opus Interactive Audio Codec

text: L'IETF demande, lors de la création d'une norme, si des organisations possèdent des brevets touchant la norme en création. Pour le codec Opus, plusieurs entreprises ont indiqué avoir déposé des brevets: Fondation Xiph.org (4), Broadcom (3), Skype Technologies (Microsoft) (11), Qualcomm (12), Huawei Technologies (2).


title: Opus Interactive Audio Codec

text: La fondation Xiph.org, Broadcom et Microsoft ont autorisé une utilisation ouverte sans redevance à l'IETF pour le codec Opus. L'autorisation s'étend aux brevets qui découleraient des premiers. Skype ayant été racheté par Microsoft entretemps, ce dernier a autorisé l'emploi des brevets venant de Skype Technologies. Certains brevets sont aussi enregistrés auprès d'autres offices de brevets. D'après le conseil légal de la fondation Xiph.org, les brevets de Qualcomm, Huawei, France Telecom et Ericsson ne s'appliquent pas à Opus. La licence d'Opus est révoquée rétroactivement pour toute entité qui tenterait d'intenter un procès pour violation de brevet.


title: Le Champion (film, 1979)

text: Un père séparé de sa femme, élève seul son fils. À l'âge de son fils admire le passé de champion de boxeur professionnel de son père. Dans la misère et à l'amour de son fils, il décide de reprendre les gants, pour lui assurer un avenir.


title: Assaut sous les gaz

text: Assaut sous les gaz est une gravure à l'aquatinte d'Otto Dix représentant des soldats allemands à l'assaut durant la Première Guerre mondiale. Datée de 1924, elle est la douzième d'une série de cinquante gravures reprises dans une farde intitulée ("La Guerre"). Un exemplaire est conservé au Musée historique allemand à Berlin.


title: Assaut sous les gaz

text: Quasiment monochrome, de format rectangulaire ( pour la gravure, pour la feuille), la gravure représente plusieurs soldats allemands, reconnaissables à leurs casques, et portant des masques à gaz. Les personnages, dont les traits sont proches de ceux des animaux, sont représentés de façon déshumanisée.


Jusqu'à ce que la fin du monde nous sépare ("") "Recherche ami pour partager fin du monde" au Québec) est un film américain écrit et réalisé par Lorene Scafaria, sorti en 2012.


title: Jusqu'à ce que la fin du monde nous sépare

text: Au début du film, la radio annonce que la dernière tentative d'empêcher la collision de l'astéroïde Matilda avec la Terre a échoué. Dans trois semaines, son impact détruira toute l'humanité.


text: Dodge Petersen et son épouse Linda sont assis en voiture, à l'arrêt, quand ils écoutent cette information. Puis Linda sort du véhicule sans un mot et quitte Dodge. Ce dernier retourne dans son entreprise, où il vend des assurances. Les locaux sont presque déserts.


text: Lorsque Dodge rentre chez lui, il rencontre sa femme de ménage Elsa, qui ne semble pas comprendre qu'il est inutile qu'elle revienne nettoyer son appartement. Comme elle s'effraie d'être licenciée, Dodge lui dit d'oublier ses propos et de revenir comme d'habitude la semaine suivante.


text: Il se rend ensuite à une fête chez des amis. Sexe et alcool à gogo figurent parmi les solutions adoptées par plusieurs convives pour leurs derniers jours. Dodge repousse les avances d'une jeune femme et rentre chez lui. Il se souvient d'un ancien amour, Olivia, quand il aperçoit sa voisine Penny Lockhart, en pleurs près de sa fenêtre. Il fait ainsi sa connaissance.


text: Dans les pays anglophones, "Jusqu'à ce que la fin du monde nous sépare" a reçu un accueil critique mitigé, puisque le site Rotten Tomatoes lui attribue 53 % d'avis favorables, basé sur cent-cinq commentaires collectés et une note moyenne de et le site Metacritic lui attribue le score de , basé sur trente-quatre commentaires collectés.


title: Maurice Tillieux

text: Maurice Tillieux, né le à Huy (Belgique) et mort le à Tours en France, est un dessinateur et scénariste belge francophone de bandes dessinées, principalement connu pour être l'auteur et le créateur des séries "Gil Jourdan", "Félix", "César" et comme créateur et scénariste des séries "Marc Lebut et son voisin" et "Jess Long".


title: Maurice Tillieux

text: Il commence la bande dessinée pendant la guerre en signant des illustrations dans le journal "Spirou", puis il passe par "Bimbo" et "Jeep" avant d'être engagé à "Héroïc-Albums". Il y crée plusieurs ébauches de série avant de commencer une longue série policière qu'il intitule "Félix". Avec cette série, il signe soixante-sept histoires, mais après la disparition de "Héroïc-Albums" il l'abandonne pour pouvoir rentrer à "Spirou". Il crée alors "Gil Jourdan", un "Félix" plus achevé. Dix-huit histoires plus tard, il cède le dessin à Gos jusqu'à sa mort.


title: Maurice Tillieux

text: Le domaine de l'humour est aussi exploré avec la création de "César", d'abord dans "Le Moustique" puis dans "Spirou", mais aussi en scénarisant des séries sur ce thème comme "Marc Lebut et son voisin" pour Francis. Il crée pour Arthur Piroton la série policière "Jess Long". Il reprend ensuite le scénario de grandes séries comme "Tif et Tondu" pour Will, "Natacha" pour François Walthéry ou encore "La Ribambelle" pour Jean Roba.


title: Maurice Tillieux

text: Maurice Tillieux naît le à Huy en Belgique. Il est le fils unique d'un père chef de gare et d'une mère institutrice. Sa famille est d'origine française d'un petit village près de Lille et une partie de sa famille habite à Aix-en-Provence. Dès l'âge de six ans, il se promène souvent en France et vit à Paris, Toulouse, ainsi que dans le Var. Son enfance française l'influencera plus tard pour ses histoires, où il décrit énormément la France. Dans sa jeunesse, il est surtout marqué par le cinéma : celui de sa ville se trouve juste derrière chez lui. Il assiste à tous les films de Buster Keaton et Charlie Chaplin qu'il redessine ensuite. Du côté de la bande dessinée, il lit les publications des éditions Offenstadt, comme "Cri-Cri", "Le Petit Illustré" ou encore "L'Épatant". Il découvre aussi "Le Bon Point", publié par les éditions Albin Michel et dont il arrête la lecture à l'âge de douze ans. Très jeune, il lit les livres d'André Gide et de Marcel Aymé.


title: Maurice Tillieux

text: À seize ans, il tente de partir clandestinement avec un ami pour les États-Unis, en se cachant dans la cale d'un navire de charge du port d'Anvers. Ils partent sans bagages, ni pièces d'identité, ni argent, avec juste deux ou trois boites de conserve. Ils sont finalement découverts et chassés du bateau avant le départ. Un peu plus tard, il passe et réussit, sans prévenir ses parents, l'examen d'entrée pour intégrer la marine marchande. Il passe quelque temps dans les écoles de navigation d'Ostende et d'Anvers. Le jour où il doit embarquer à Bordeaux pour l'Amérique du Sud afin de poursuivre sa formation, le port est victime d'un bombardement allemand qui fait faire demi-tour au navire qui doit l'emmener avec les autres élèves. Faute de pouvoir poursuivre sa formation, il abandonne une carrière dans la marine. Il passe quelques mois réfugié à Guémené-sur-Scorff après avoir fui la Belgique à l'été 1940 et transité par Lorient. Pendant la guerre, il doit se cacher pour éviter le service du travail obligatoire des Allemands et à plusieurs reprises, il évite de peu l'arrestation par la Gestapo.