title: Animaux totémiques de l'Hérault

text: L'histoire du "bœuf" ( en occitan) de Mèze remonte en l’an 59 de notre ère. Durant cette période de la haute antiquité, une pauvre famille, venue des environs de Béziers, vint s’établir sur les bords de l’étang de Thau et se mit à défricher les terres à un endroit appelé « Las Morgas » (['las] ['murgos]). Cette famille vivait de la pêche dans l'étang mais aussi de l'agriculture, aidée dans son travail par une paire de bœufs. Grâce à l'installation de cette famille, une urbanisation débuta, étant à l'origine du village portuaire de Mèze. Mais hélas, le premier bœuf mourut suivi du second. On décida de conserver la peau de ce dernier, étant sans doute le plus beau. Sa dépouille fut alors conservée comme une relique étalée sur un mannequin de bois. On le promena chaque année pour les grandes occasions. L'animal semblait vivant !


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text: Plus tard quand cette peau fut trop usée, on construisit un bœuf sur une charpente de bois, beaucoup plus grand que la taille normale d'un bovidé et recouvert d’une toile de jute brune. Cette tradition existe encore de nos jours. Ainsi, dans l'animal totem, huit hommes peuvent se loger pour le mouvoir. L’un d’eux est chargé d’actionner la tête et les mâchoires de la bête au moyen d’une petite baguette de bois. Un autre jeune homme tient entre ses mains un baril recouvert d’une peau d’âne tendue, traversée en son centre par une corde asphaltée. En faisant glisser cette corde entre l’index et le pouce, cela produit alors un mugissement analogue à celui du bœuf. À l’extérieur, le guide, armé d’un long aiguillon, commande l'animal. La course de l'animal totémique dans les rues de Mèze est imprévisible. À tout moment, il peut courir et peut même foncer sur ceux qui se mettent en travers de son passage ! Le bœuf est aussi capable de ruades et de trémoussements scandés par la musique qui l'accompagne. Avec ses larges cornes, il éloigne les plus hardis qui veulent s'opposer à lui. Le totem mézois est de toutes les fêtes publiques, notamment lors de la fête de Mèze qui a lieu le 19 du mois d’août. Cette fête dure trois jours, toujours avec les sorties de l'animal totem. Lors de cette fête, comme dans d'autres villages héraultais, l'animal totem est béni par le curé, sur la place de l'église. Ensuite, le totem rend visite au maire.


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text: Le bœuf de Mèze est souvent cité au cours de l'histoire de la commune : en 1229, il reçoit l'évêque d’Agde, Thédise (qui venait de recevoir en don la seigneurie de Mèze, du fils de Montfort, Amaury). En 1562, il était du cortège du prince de Condé passant à Mèze. En 1701, il prit activement part aux fêtes organisées lors du passage des princes de Bourgogne et de Berry. En 1921, pour les fêtes organisées en faveur de l’université de Montpellier, le président de la république, Millerand dut abandonner l’estrade des représentants officiels lors du passage du bœuf. La foule crut alors que Millerand avait eu peur du bœuf. Pour sauver la situation, Magallon, député de l’Hérault, vint face au monstre et salua le bœuf. Le député fut applaudi pour son courage et ainsi, l'animal totémique put continuer à animer les fêtes de Mèze. La mise à mort du bœuf de Mèze a été inscrite à l'Inventaire du patrimoine culturel immatériel en France en 2019.


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text: Vers 1200, la femme du consul de Montagnac, Anne, souffre d'un mal étrange qu'aucun médecin n'arrive à diagnostiquer et à guérir. Arrive alors, dans le village, un homme vêtu de haillons et accompagné d'une jolie "chèvre" blanche ( en occitan). L'homme intrigue les habitants par son allure décontractée et une apparente joie de vivre. Les habitants ne tardent pas à lui demander l'origine de cette bonne humeur. L'homme raconta alors qu'il avait un secret pour rester éternellement en bonne santé. Le lait de sa chèvre est magique et guérit de toutes les maladies. Le consul de Montagnac, un certain Jacou (ou , en occitan) demande à voir l'animal et promet une forte récompense au vagabond si celui-ci parvient à guérir sa femme. L'homme céda la chèvre au consul à condition qu'elle soit nourrie uniquement de sarments et de raisins pour conserver les pouvoirs miraculeux de son lait. Si la légende est fort ancienne, l'existence de la chèvre comme animal totémique est plus récente, sûrement aux alentours du . La chèvre de Montagnac sort à l'occasion des fêtes du village.


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text: de Montblanc serait peut-être un descendant du poulain de Pézenas, mais force est de constater qu'il avoue avoir un très mauvais caractère.


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text: Le totem a la forme d'un tonneau marron de près de de haut. Sur ses flancs, une devise : . Sur l'avant de l'animal, deux croix occitanes sont confectionnées de fleurs de crêpon. La tête du totem est très allongée, constituée de deux mâchoires de bois qui permettent au poulain de recevoir quelques grains d'avoine lors de ses haltes devant la population. Sous le cou, une inscription en occitan, «  », le têtu en français. Le totem est porté par six hommes, accompagné d'un meneur. Ses tribulations dans les rues montrent le caractère têtu de l'animal : ruades vers le haut où il se dresse à la verticale, mais aussi vers le bas, tête renversée, il virevolte sur lui-même et bascule dans tous les sens. Mais à l'issue de la parade, l'animal se calme et se laisse dompter par l'homme.


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text: Sa légende : Le totem de Montblanc était endormi depuis 1989. Grâce à une association locale, « Montblanc Fiesta », il est revenu animer les rues de la cité. Selon la légende, sa naissance découlerait de l'union de Pierre d'Aragon et de Marie de Montpellier. Lors de ce mariage, de nombreux chevalets auraient ainsi été créés dans de nombreux villages héraultais, pour célébrer l'événement.


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text: En occitan, elle est appelée (prononcer « baco »). Elle sort pour le carnaval au mois d'avril et pour la fête votive du bourg de Murviel-lès-Béziers.


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text: Les armes de Nissan-lez-Enserune se blasonnent ainsi : . Le "lévrier" ( en occitan) est devenu l'animal totémique du village.


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text: Le poulain de Pézenas est un des plus importants animaux totémiques de l'Hérault, tant par sa taille imposante que par sa renommée. En 1989, le poulain de Pézenas a participé à l'année de la France en Inde, en compagnie de la Tarasque de Tarascon et du géant du Nord Jean le Bûcheron de Steenvoorde. Cet animal totémique est de sortie lors de Mardi gras et lors des temps forts de la vie de la Cité.


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text: Le poulain est de grandes dimensions, il atteint le poids de . C'est un animal-jupon constitué d'une armature en bois fabriquée en cerceaux de châtaignier. La charpente est recouverte d'une toile bleue, parsemée d'étoiles dorées et décorées des armes de la ville. La tête et le cou de l'animal sont mobiles. Cette mobilité lui permet de faire des quêtes pour les nécessiteux, tout le long du défilé dans les rues de Pézenas, s’arrêtant par hasard devant un commerce, une maison ou un badaud. Le poulain tend alors son cou vers la personne qui lui remet une offrande, ouvre ses mâchoires et les referme aussitôt. À l'intérieur de l'animal totémique, neuf hommes portent et conduisent l'animal, lui imprimant certains mouvements. Le poulain danse au son du fifre, sur "L’air du poulain" justement, mais peut aussi faire des pirouettes et des ruades. Le poulain est conduit par un « meneur » (surnommé « Pampille »), personnage folklorique portant une veste verte et rouge et un pantalon blanc.


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text: Son origine est légendaire : le roi Louis VIII s'arrête à Pézenas en 1226, sur la route des Croisades. Il est contraint d'abandonner là sa jument qui est malade. Mais quelle ne fut pas sa surprise, à son retour, de retrouver sa jument en vie. De plus, celle-ci avait donné naissance à un poulain. Dès lors, afin d'immortaliser cet heureux événement, les notables de Pézenas firent construire un animal en bois pour participer aux fêtes de la ville. Sur son dos, deux mannequins en tissus ont été ajoutés : "Estiénon" et "Estiéneta". Ces deux personnages rappellent une autre légende : en 1622, un maréchal de l'armée, fort galant, prit une paysanne sur son cheval pour l'aider à traverser la Peyne, qui arrose Pézenas. D'autres poulains ont existé (ou existent de façon intermittente) dans d'autres villages héraultais : Adissan, Alignan-du-Vent, Florensac, Pouzolles, Montblanc et Saint-Thibéry, mais de taille plus modeste.


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text: En 2005, le poulain acquiert une reconnaissance mondiale. En effet, l'Unesco a proclamé patrimoine culturel immatériel de l'humanité les Géants et dragons processionnels de Belgique et de France dont fait partie le Poulain de Pézenas.


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text: L'Unesco précise que les processions traditionnelles d'effigies de géants, d'animaux ou de dragons recouvrent un ensemble original de manifestations festives et de représentations rituelles. Apparues à la fin du dans les processions religieuses de nombreuses villes européennes, ces effigies ont conservé un sens identitaire pour certaines villes de Belgique (Ath, Bruxelles, Termonde, Malines et Mons) et de France (Cassel, Douai, Pézenas et Tarascon) où elles restent des traditions vivantes.


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text: Cet animal totémique est surnommé "Le Porquet" par les villageois de Pinet. Il sort à l'occasion de carnaval depuis le début des années 1970. Il s'agit d'une structure en bois, longue et recouverte d'une toile verte représentant une sorte de ver, ou une chenille, qui se nourrit de feuilles de vigne (de picpoul ?), porté à l'intérieur par plusieurs hommes.


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text: Il fait partie des nouveaux animaux totémiques de l’Hérault. « Lou Biou » (en occitan : ) signifie « le bœuf » ou « le taureau ». C'est en 2005 d’après un travail auprès des écoliers de Portiragnes que l'histoire du taureau va naître. Suivant les recommandations des enfants, trois amis vont donner vie au « Biou » en 2009.


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text: Énorme "cochon rose" fait de toile, sur une charpente qui lui donne sa forme rebondie, il possède huit paires de pattes et défile lors du carnaval du village. Le cochon figure dans les armes de la commune de Poussan. L'origine serait liée à l'association des mots Poussan (nom du village) et , nom occitan du petit cochon.


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text: Durant quelques années, on a pu voir une statue en bois le représentant dans le jardin public. La statue a ensuite été logée à l'office de tourisme, à l'abri des intempéries. Actuellement cette sculpture est exposée en permanence à l'écomusée de la vie d'autrefois des Mémoires de Puisserguier. En 2007, une allée du Pélican est créée à la zone d'activité de la Rouquette. En , grâce aux « Goulamas'k » et à l'association « Patatr'Oc » qui ont participé à sa construction, le nouveau animal totémique est baptisé par le maire du village et conseiller général, Jean-Noël Badenas. Le totem a pour parrain le poulain de Pézenas, présent lors du baptême du totem de Puisserguier.


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text: Le pélican de Puisserguier est un totem de toile grise, porté par six personnes, qui se dandine dans les rues du village lors des festivités. Son corps, arrondi pour les besoins des porteurs, mesure plus de deux mètres de long. À l'avant, la tête du pélican est représentée par une tête ronde, ornée de grands yeux et coiffée d'une crête orange. La tête de l'animal est munie d'un grand bec en bois, supportant en dessous une grande poche de toile. Sur les côtés de la structure, on peut lire les inscriptions « Puisserguier », tandis qu'à l'arrière, encadrant une croix occitane, est inscrit un proverbe local, écrit en occitan : .


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text: Selon la légende, lors de la croisade des Albigeois contre les Cathares, au , la cité de Puisserguier fut frappée par une terrible famine. Un pélican, à la recherche de sa nichée, survole les lieux. Des enfants du village, affamés, tentent de pêcher quelques poissons dans un étang (aujourd'hui asséché) près du village. C'est alors que le pélican dévia de sa route pour porter secours aux enfants. Grâce à son bec, il plongea plusieurs fois dans l'étang pour y puiser de nombreux poissons en assez grande quantité pour satisfaire les besoins des habitants. Cet événement se poursuivit plusieurs jours de suite et le pélican fut adopté par les habitants de Puisserguier et présenté au seigneur du lieu, qui lui fit grand honneur d'avoir sauvé ses sujets de la famine.


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text: L'origine du "hérisson" de Roujan semble assez confuse et confond deux légendes. La première légende fait référence à sainte Marthe et à la Tarasque de Tarascon. Sainte Marthe, partie chasser la Tarasque, aurait amené avec elle une armée de hérissons. La Tarasque n'étant pas venue, les hérissons retournèrent chez eux, sauf un. Ce dernier resta au village où il fut nourri et devint l'animal fétiche des Roujanais. La deuxième légende se situe chronologiquement autour de l'an mille. Le seigneur de Roujan invite un étranger à sa table. Mais cet étranger n'est qu'un espion venu se rendre compte des moyens défensifs du village en cas d'attaque. Il avait passé son après-midi à questionner moult villageois sur la défense des lieux. Une fois qu'il eut rassemblé tous les renseignements qu'il jugeait nécessaires, il quitta le village pour livrer ses informations à ses complices. Quittant Roujan, l'homme posa malencontreusement son pied sur un hérisson. L'espion se mit donc à râler et crier (en occitan, râler se dit ). Les cris réveillent alors le seigneur de Roujan et celui-ci alerte la garde. Ainsi, quand les assaillants se présentent le lendemain matin devant les murs du village, tous les habitants de Roujan sont déjà prêts à se défendre, armés jusqu’aux dents. Les assaillants renoncent alors à leur assaut et préfèrent fuir. Plus tard, le seigneur de Roujan narrait cette histoire en occitan. Et disait : . Ce que les Roujanais interprétèrent comme étant une référence au hérisson, qui avait crié quand l'homme l'avait écrasé. Depuis, l'animal totémique de Roujan porte le nom de "Romegaire" ([rrume'ɣajre]).


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text: Le "cochon noir" de Saint-André-de-Sangonis est lui aussi l'enfant d'une légende. Le comte de Saint-André, de la seigneurie de Sangonas, était frappé par une malédiction familiale : sa fille était fort laide et personne ne voulait la prendre comme épouse. Un jour, désespéré de ne point trouver de descendance, il fit rassembler tous les jeunes hommes du village sur la place afin de « choisir » un prétendant pour sa fille. Celui qui croquerait la pomme qu'il entendait lancer aurait la main de sa fille et une dot importante. Le comte lança la pomme. Il attendit. Un cochon noir était là et croqua la pomme le premier. Et ainsi est née l'histoire du cochon noir ou en occitan. Le cochon noir défile lors des fêtes du village et entend trousser les robes des jeunes filles.


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text: Dans des temps très lointains, à Saint-Christol, il y avait une Baragogne. Plus terrifiante que le babau, plus méchante que la roumèque, elle vivait dans un puits où les saint-christolaines allaient remplir leurs oules et les saint-christolains leur pichet d'eau pour colorer le pastis. La plupart du temps, elle se tenait tranquille, la gueule fermée et les yeux clos. Mais quand un enfant n'était pas sage, que ni punitions ni sermons ni fessées n'avaient pu le corriger, elle ouvrait ses paupières vertes, elle grimpait hors du puits et là, elle ouvrait son immense gueule rouge tapissée de dents jaunes. Les écailles verdâtres dont son corps était couvert dégageaient une odeur nauséabonde et elle se laissait retomber sur le méchant enfant et l'emportait au fond du puits pour le dévorer à son aise. Et, se retournant vivement, elle replongeait comme une énorme couleuvre dans le puits. On ne voyait plus que bout de sa queue fourchue et puis, plus rien…


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text: Tous les enfants avaient peur de la Baragogne. Sauf un. On l'appelait Calandras. Parce qu'il était vraiment méchant. Dès qu'il y avait une bêtise de faite, un méfait accompli, un larcin découvert, un animal estropié ou une cruche cassée, ce n'était qu'un seul cri : C'est la faute à Calandras ! La baragogne le mangera ! Mais il s'en moquait bien et continuait en ricanant à voler les œufs dans les poulaillers, à couper les raisins avant qu'ils soient mûrs et à montrer son derrière aux vieilles qui sortaient de l'église.


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text: Mais celui qui ne s'en moquait pas et qui avait grand peur, c'était son frère jumeau qu'on disait le Bravet, tellement il était gentil et serviable et poli que c'en était un bonheur. Il était aimé de tous et même des animaux. On ne savait pas comment, mais même les taureaux sauvages et noirs ne le chargeaient pas et venaient manger dans sa main. Malgré toutes ses bêtises et ses mauvaises paroles, il aimait son frère Calandras et il vivait dans la peur que la baragogne ne l'emporte au fond du puits pour le dévorer.


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text: Ce qui arriva un jour et n'étonna personne. Quand Bravet appris la nouvelle en revenant de la vigne où il avait travaillé toute la journée, il se précipita vers le puits, se pencha sur la margelle et appela :


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text: Quand Bravet revint, la Baragogne était sortie. Elle tenait serré sous son ventre le pauvre Calendras qui pleurait et se lamentait et promettait de devenir le plus gentil des enfants.


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text: La vilaine bête repoussa Calendras qui s'enfuit en hurlant, laissant derrière lui un sillage de salive verdâtre.


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text: On vit s'avancer un énorme enfant, presque aussi grand que le clocher de l'église. Ses vêtements étaient tellement serrés qu'ils semblaient prêts à éclater. Ils étaient fait de cent et cent morceaux comme ceux du Pétassou. Il avait un chapeau enfoncé très bas et on ne voyait pas son visage. Il avait une drôle de façon de marcher, comme s'il avait quatre pattes au lieu de deux jambes.


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text: Il y eut des éclairs et de la fumée et quand elle se dissipa Bravet s'aperçut que le puits s'était refermé et qu'il avait disparu. Où se trouvait-il ? Nul ne s'en souvient. Mais attention à ne pas trop faire de bêtises, il pourrait peut-être se rouvrir…


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text: À Saint-Geniès-de-Fontedit, une statue de "grenouille" en plâtre réalisée en 1975. Trois grenouilles ont été ajoutées sur les armes du village en 1988. Dans le village, l'animal totem se dit en occitan.


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text: Quelques-uns de nos animaux n’ont pas été désignés par le nom de leur espèce mais par une sorte de sobriquet. Ainsi celui de Saint-Jean-de-Fos est-il , parce qu’il cherchait à mordre. Il avait une gueule qui ressemblait à un des outils de mon père – mon père était bourrelier –, elle était pleine de dents, on avait l’impression qu’elle allait mordre, c’est pour ça qu’on l’appelait « lo Picart ».


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text: A esté proposé par Maistre Durand premier consul que despuis quelques années les valletz du présent lieu se sont émancipés par un esfaict de leur libertinage d’antreprendre de faire certaine réjouissance publique aux festes de la Pantecoste fesant danser et courir par le lieu [Saint-Jean-de-Fos] une machine appelée le Piquard qu'on fait suivre de diverses personnes masquées qu'on nomme les seigne bellets avec de grands coutteaux de bois rougastres ausquelz on jette diverses rassines fesantz pluzieurs postures tout a faict indessantes et escandalleuzes qui vont en quelque manière contre l’intheret de la religion où Dieu se trouve grandemant offancé, lesquelles dansses ladicte communauté a jusqu’ici insansiblement tollerées mais parce qu’il est venu à sa cognoissance que dans cette occazion il est arrivé diverses querelles et débatz quy ont ésté suivies de grands procès… dézormais touttes autres déboshes publiques seront et demeureront abolies et supprimées, auquel esfaict ledict Maistre Durand Consul prézantera requeste à Monseigneur l'Illustrissime et Révérandissime evesque et Comte de Lodève pour le supplier humblement de la part de la Communauté d’avoir la bonté de la recevoir à Pénitance et vouloir à mesme temps luy faire la grace de luy procurer une mission pour que les habitans dudict lieu puissent ce disposer à gaigner plus dignement le jubilé universel que sa Grandeur veut faire publier dans son diocèze afin de vivre à l’advenir dans la paix et dans la voie de leur sallut.


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text: L’allusion au Sennibelet suppose une imitation de ce qui se pratiquait à Gignac, ce que nos témoins confirment plus loin.


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text: Le premier, et le seul pour le , à en avoir parlé pour l’avoir vu, est Jean-Marie Amelin : Quitterons-nous Saint-Jean-de-Fos sans parler d’un usage qui lui est particulier : c’est celui du Picart. Le Picart est une machine informe, à tête ressemblant à un bélier. On barbouille celle-ci de sanguine ; et le grand bonheur des assistans est de voir balafrer de cette poudre les vêtements de quelqu’un d’entre eux : Dieu sait avec quels cris cette joie grotesque est manifestée. Cette grossière bouffonnerie, qui a quelque rapport avec le Poulain de Pézenas, se pratique ordinairement à la Pentecôte. Le Picart sortait en effet pour le dimanche de la Pentecôte à Saint-Jean-de-Fos et était accueilli à Montpeyroux et Saint-Guilhem-le-Désert le lundi. Après Amelin, rares sont les auteurs qui citent cet animal ; et il faut attendre Maurice Louis pour une enquête approfondie et une observation directe.


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text: Cette bête se caractérise par ses éclipses. Elle disparut dans le courant du pour reparaître après la guerre de 1870, s’évanouir avec celle de 1914, ne ressusciter que vers 1930 ; abandonnée en 1938, elle ne fit que quelques sorties après la dernière guerre. Alain Riols a tenté de la ranimer en 1970. « Le Picart semble mort, en réalité il sommeille dans la mémoire des anciens et pourrait reparaître un jour ». Il sortait l’année suivante grâce à Adolphe Vidal et ses amis qui avaient courageusement repris le flambeau. Ce n’était que pour quelques années… en attendant une autre équipe de carnavaliers qui le promènent à nouveau puisqu’il est reparu à Pézenas en .


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text: Un tel animal a probablement changé de nature à chacune de ses reconstructions. Le témoignage recueilli par le colonel Louis, en 1957, auprès d’une personne alors âgée de 90 ans, ce qui nous reporte aux alentours de 1875, fait état d’un Picart à robe rouge, comme le vêtement des danseurs. Il avait une tête de bœuf et des piquants dans le genre de ceux de la Tarasque. La même enquête évoque, sans doute pour la période qui suivit la guerre de 1914, une carcasse longue de trois mètres, au cadre de liteaux, portant quatre demi-cercles de tonneau et des demi-cerceaux à l’avant et à l’arrière. La robe, faite d’un drap blanc, parsemée de bouquets de genêts, de roses, etc. avait un jupon plissé rouge et une queue de cheval noire. La tête était sculptée, recouverte d’une peau de chèvre noire aux oreilles dressées, la mâchoire inférieure mobile était garnie de clous de maréchal-ferrant. On peignait l’intérieur de la gueule en rouge. Une informatrice dit d’ailleurs que « le Picart était une chèvre » et que « l’animal et ses servants agissaient exactement comme l’âne de Gignac ».


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text: Dans la carcasse, trois ou quatre porteurs, après avoir salué le maire et le curé, balancent l’animal de droite à gauche. Il poursuit particulièrement les filles à robe rouge. Tout autour sautent des danseurs, au son du tambourin et du hautbois, ils tiennent un plateau garni de bouquets de roses, de gueules de loup et surtout de genêts, ces bouquets sont offerts aux assistants contre une obole. Cela rappelle à l’évidence le « donneur de la gineste » de Gignac au . À la Pentecôte, au moment de la sortie du Picart, le genêt abonde dans toute la garrigue. C’est aussi, paraît-il, une fleur aimée du Diable. Comme pour la plupart des bêtes que nous avons vues, on a cru devoir justifier la présence du bélier par une légende. Le colonel Louis en rapporte deux. Il n’y est question que de boucs et l’une d’elles sent nettement le soufre : l’animal diabolique emporte le curé qui l’aspergeait d’eau bénite avec son goupillon.


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text: Bélier, bœuf, chèvre, bouc… que de métamorphoses. Qui dira ce que représentait l’avatar présent avant et après la Seconde Guerre mondiale ? On sortait le Picart pour l’Ascension jusqu’en 1938, et après la guerre en 1944 et 1945, un peu après peut-être mais ça n’a pas été repris. Que voulez-vous, il n’y a que 900 habitants ici. J’ai été dessous, je faisais claquer la maissa. Il était fait de trois cerceaux de bois, deux barres, trois porteurs et moi pour la tête. On mettait dessus un drap de lit blanc, avec trois ou quatre brins de genêt de chaque côté, manière d’agrémenter. La tête, on la faisait d’un tronc de cinquante à soixante centimètres de long, pour faire la maissa, on sciait le quart, on mettait une charnière pour la mâchoire, par-dessous. Le maréchal donnait douze à quatorze clous pour faire les dents, ça claquait davantage… Par-dessus, on fixait une peau de lapin, les oreilles du lapin figuraient celles du Picart mais je ne lui ai jamais vu de cornes. Une ficelle permettait de faire remuer la mâchoire. À cette tête, on fixait un manche à balai, je le mettais entre les jambes, c’était pas très commode mais ça le maintenait bien. Devant, un meneur marchait en arrière, forcément, il était tourné vers la bête, il dansait avec un plateau à la main. Le Picart dansait avec un tambour. la jeunesse distribuait des bouquets de genêt contre une pièce, c’était pour faire un petit repas


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text: C’est à la sortie de ce repas que les danseurs et les musiciens se mettaient à faire semblant de chercher le Picart, comme ailleurs on cherche le Carnaval – et quelquefois jusque sous les jupes des femmes. Deux anciennes de Montpeyroux ont essayé de mieux le définir :


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text: Le Picart venait quêter à Montpeyroux, les danseurs donnaient des bouquets de fleurs. Ils étaient habillés en blanc avec des ceintures rouges. Je ne peux pas dire ce que c’était, c’était une bête informe. À Gignac c’est un âne, à Pézénas un poulain, mais celui-là, je ne peux pas le dire… C’était le Picart


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text: Heureusement, la dernière métamorphose est aisément identifiable, la tête est celle d’un loup. Il se promène sur deux roues de bicyclette dissimulées sous une carcasse faite de planches de coffrage refendues, de demi-cerceaux d’osier que recouvre un drap blanc à large bande rouge. La queue est en ficelle de balle de fourrage, trempée dans de la peinture noire. Une troupe assez nombreuse de farandolaires, en blanc, à béret et talhòla rouges, danse sur les airs que sonne un cabretaire, à Montpeyroux pour le lundi de la Pentecôte, à Saint-Guilhem le dimanche de la Saint-Jean. Le dernier modèle, apparemment, a renoncé aux roues de bicyclette.


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text: Le Picart est à lui seul la parfaite illustration de l’interchangeabilité des têtes de nos animaux dits totémiques. Cet animal-jupon est un des « héros du carnaval » au même titre que d’autres plus élaborés. On le sent fait avec les moyens du bord par des gens qui, à l’intérieur d’une tradition, se laissent aller avec bonheur à leur fantaisie.


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text: Même si le saint patron du village de Saint-Pargoire est souvent représenté sur son cheval, l’"escargot", ou en occitan, est l'animal totémique des habitants de la commune. L'origine du totem est floue : l'urbanisme particulier de Saint-Pargoire, de forme ellipsoïdal, en forme de coquille d'escargot donc, est une explication évoquée. Mais on raconte surtout aussi qu'à une époque où régnait la famine, au , les habitants auraient survécu grâce à la consommation d'escargots.


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text: L'origine du totem de Saint-Pons-de-Mauchiens, le "chien", remonte au Moyen Âge. Aux alentours de l'An Mil, le vicomte de Béziers, Raynal II, devient propriétaire du terroir. À cette époque, le château s’appelle Saint-Pons et le village Mauchiens, issu de l'ancien nom "Milician" déformé en « Mauchiens ». Ce nouveau nom sera à l'origine de la légende des chiens de Mauchiens. À une époque très lointaine, non datée (car légendaire), le seigneur du château avait des chiens énormes qu’il laissait divaguer la nuit dans les rues du village, pour assurer la garde. Une nuit, le seigneur rentra très tard et les chiens faisaient bonne garde. Le seigneur regagnait son logis quand il fut attaqué par ses propres chiens qui le dévorèrent. Avant de mourir, le seigneur de Mauchiens, couvert de sang, s’écria «  », en occitan, « mauvais chiens », en français. Aujourd'hui, les armoiries de la commune comportent deux chiens : .


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text: L'animal totem de Saint-Pons-de-Thomières, le "veau" (en occitan, ), ne défile plus dans les rues de la cité héraultaise depuis de nombreuses années.


title: Animaux totémiques de l'Hérault

text: L'animal totem de Saint-Thibéry est le poulain (en occitan ),à l'instar de Pézenas. On dit que le premier poulain sorti lors d'un carnaval est apparu à Saint-Thibéry.


title: Animaux totémiques de l'Hérault

text: L'animal totem de la Salvetat-sur-Agout est le "drac-truite". Un pêcheur dans l'Agout jette son filet et est entraîné pour se trouver face à une truite monstrueuse. Pour se sauver, le pêcheur promet de donner en mariage une de ses trois filles au sorcier. La plus jeune des filles se sacrifie et rencontre en fait l'amour. Le prêtre du village exorcise la rivière qui devient furieuse. La fille amoureuse se jette pour retrouver le Drac et mourir dans le gouffre (en occitan : ) qui depuis s'appelle : (fontaine des fiancés). Les deux jeunes gens sont sauvés et depuis les couples qui boivent de l'eau de cette source, se marient dans l'année.


title: Animaux totémiques de l'Hérault

text: Né en 2004, cet animal est de couleur verte. Il est à la fois dragon et lézard ailé. À l'origine, il est né à la suite d'une pièce de théâtre créée dans le village de Saussan dans les années 1990. Il est le seul animal totem héraultais à avoir une compagne, la « coucaïrette ».


title: Animaux totémiques de l'Hérault

text: Totem en structure de toile, bougeant dans tous les sens, de façon désordonnée. Il s'envole toujours au-dessus de spectateurs. On peut le voir défiler lors des fêtes de Saussan.


title: Animaux totémiques de l'Hérault

text: Malgré son jeune âge, ce totem a aussi droit à une origine légendaire. À une époque éloignée où l'eau était rare à Saussan, les porteurs d'eau approvisionnaient le village en puisant l'eau de source dans une grotte. Mais le maître de ces lieux n'était autre que (en occitan), le « Cougaïrou ». Ce démon était protecteur des villageois et ne sortait de sa cachette que pour leur porter secours. Un jour, l'animal totem, qui avait mauvais caractère fût dérangé par une jeune fille du village. Furieux, le « coucaïrou » jeta un sort aux Saussanais. Ils eurent la surprise de prononcer leurs paroles à l'envers ! Personne ne pouvait plus se comprendre. La jeune fille se rendit à la source pour présenter ses excuses à l'animal. Il pardonna la jeune enfant et mit fin au sort qu'il avait jeté aux villageois. Une grande fête s'ensuivit, en présence du « coucaïrou ». Depuis lors, il apparaît dans les fêtes du village, notamment pour le Carnaval.


title: Animaux totémiques de l'Hérault

text: "Lo Cèrvi" : animal magique, sa légende s'inspire d'un fait historique. En l'an 1208 sur ordre du pape Innocent III, une croisade est dirigée contre les hérétiques, Cathares et Albigeois jugés incroyants selon la loi divine de Rome; il faut briser la fierté de ces gens du midi, ces insoumis têtus et tenaces qui font fi des ordres religieux. À la tête de cette armée hétéroclite chargée de la répression figure Simon de Montfort, sanguinaire assoiffé de renommée redouté en tous lieux où il passe. Ainsi Servian, petit village paisible, en cette terre du Languedoc doit être soumis à la vindicte divine. À cette époque, aux alentours du village vit un magnifique et majestueux "cerf" superbe spécimen qui, tous les matins à l'aube naissante vient s'abreuver à l'eau limpide de La Lène. Le seigneur local, informé, juge utile de s'attribuer ce splendide trophée. Il organise une grande chasse. Après une longue poursuite, le cerf est cerné par la meute lancée à ses trousses. Il ne peut pas s'échapper. Avec courage, il fait front, se bat, puis pousse un brame énorme qui fait fuir tous les chiens au grand dam de leur maitre. Devant tant de courage le seigneur magnanime, lui fait grâce et l'épargne. Le temps passe, Simon de Montfort et sa horde sauvage approchent. Son but : donner l'assaut et conquérir Servian. Mais le cerf se souvient : il doit prouver sa reconnaissance à ce seigneur à qui il doit la vie. Un soir, au clair de lune, il pousse des brames si puissants que cette terre tremble. De ses sabots puissants, il martèle le sol, comme force tambours. Les assaillants, ces pleutres, ces peureux s'enfuient tous en courant inondés de sueur. Ainsi Servian, grâce à ce valeureux cerf, a échappé au pire, un malheureux sort que connaîtra Béziers ce , un massacre sanglant marqué dans les épîtres.


title: Animaux totémiques de l'Hérault

text: Le cerf est un totem de toile arrondi posée sur une armature métallique, de taille assez courte et l'avant de la structure est constitué d'une immense tête de cerf portant de larges bois. La tête de l'animal est une vraie tête de cerf provenant d'un taxidermiste. À son cou pend un collier composé de boules représentant des fruits et accompagnées de fleurs et de feuilles de vigne. L'animal totémique a été créé en 2005 par le comité des fêtes de Servian. Trop lourd pour être porté, à cause de sa charpente en métal, le cerf repose sur quatre roulettes. Il est donc mû par des « pousseurs » pour le faire avancer. L'animal totem est visible pour les fêtes votives du village, et surtout lors de sa sortie lors du dimanche de Pentecôte.


title: Animaux totémiques de l'Hérault

text: Le Pouffre de Sète est un grand poulpe de huit mètres d'envergure dont les bras sont portés par des enfants.


title: Animaux totémiques de l'Hérault

text: Les huit bras symbolisent toutes les populations d'origines diverses qui composent la population de la ville.


title: Animaux totémiques de l'Hérault

text: Baptême du Pouffre le 23 octobre 2022 par ses parrain et marraine, le Lion et la Renarde lors du Festival des animaux totémiques.


title: Animaux totémiques de l'Hérault

text: Créé en 2013, le totem du village de Valros a été inspiré par une vieille légende du temps de l'empereur Charlemagne. Ses qualités de robustesse et de sobriété sont mises à l'honneur. C'est un animal porté ou tracté qui participe déjà aux carnavals des villages alentour, notamment celui de Servian dont le Cerf est le parrain.


title: Animaux totémiques de l'Hérault

text: Celui-ci, pour mettre de l’ordre dans l’Église de la vallée de l’Hérault y manda le grand saint Benoît d’Aniane. Fils du comte wisigoth de Maguelone, Benoît avait pour ami intime cet autre Goth, Attilion, fondateur de l’abbaye de Saint-Thibéry. « Dès que Benoît avait quelque difficulté ou quelque peine intérieure, il harnachait son petit âne et s’en allait consulter Attilion », nous rapporte son chroniqueur. Peut-être traversait-il alors le territoire de Valros et bénissait-il au passage les quelques viticulteurs qu’il rencontrait dans leurs vignes. Toujours est-il que ceux-ci eurent alors l’idée d’imiter son exemple tant pour leurs déplacements, que pour le travail de la terre, sans pour autant le copier par respect. Ils jetèrent alors leur dévolu sur un cousin du petit âne, et créèrent un élevage de mulets. Ainsi un élevage assez original se développa à Valros. Pour sûr, lorsque Ingelbert et Adaltrude s’unirent, et unirent leurs domaines pour faire de Valros un village, chacun apporta sa mule. C’est sans doute à dos de mulet que leur fils Servus Dei rejoignit son évêché de Gérone.


title: Animaux totémiques de l'Hérault

text: Par la suite, l’élevage de l’animal posa parfois quelque brouille avec nos voisins mais « allez donc dire à une mule », tentée par les frais herbages des rives de la Thongue à Montblanc. Tellement qu’en l’an de grâce 1748, Louis XV régnant, quelques mulets s’étant égarés sur les terres de nos voisins, les gardes de Sainte-Eulalie voulurent se saisir des mulets de Saint-Étienne. Ce fut l’origine d’une rivalité entre nos deux villages. Ces temps sont révolus et aujourd’hui les deux clochers sont réunis dans la paroisse Saint-Roch-en-Piscénois.


title: Animaux totémiques de l'Hérault

text: Nos braves bêtes s’illustrèrent encore sous l’empereur Napoléon quand celui-ci guerroyait en Espagne. Mobilisés, les mulets de Valros répondirent à l’appel de la patrie transportant vivres et munitions jusqu’aux pieds des Pyrénées. Et c’est ainsi que notre animal, « vigoureux, sobre et patient », à l’image des viticulteurs de chez nous est devenu l’emblème totémique de Valros. Un conseil, surtout respectez nos filles et nos dames, car souvenez-vous d’une certaine mule, dont le coup de sabot s’est vu jusqu’à Pampérigouste. Ce n’est là bien sûr qu’une légende quoique… méfiez-vous tout de même car il est têtu comme une mule… notre mulet.


title: Animaux totémiques de l'Hérault

text: Le « Tamarou » de Pézenas sort le lundi soir à l'occasion du carnaval de Pézenas, chaque année la veille du Mardi Gras. En occitan, .


title: Animaux totémiques de l'Hérault

text: Bien avant le poulain de Vias, il existait (prononcer , en occitan) de Vias. La Cabreta a perdu de son aura avec l'apparition des « chevalets ».


title: Animaux totémiques de l'Hérault

text: Une famine frappait Vias, où il ne restait plus comme animaux qu'un bœuf et un poulain. De jeunes Viassois affamés volèrent le bœuf pour le tuer et le manger. Le poulain apeuré s'enfuit hors de la ville. Jeannette partie dans la garrigue ramasser des salades, aperçut le poulain qui la conduisit jusqu'à un champ de fèves dont se régalèrent les Viassois. Le poulain a eu la vie sauve et est devenu , animal totémique de la ville (, en écriture normalisée).


title: Animaux totémiques de l'Hérault

text: Ce totem ressemble à la fois à un phacochère, à un pécari ou un hylochère. Certains pensent même qu'il est plus apparenté à un potamochère, animal apparu dans le film "Les 4 saisons d'Espigoule". En occitan, cet animal s'appelle, , prononcer « Lou beidrac ».


title: Couvent de l'ordre du Christ

text: Le couvent de l'ordre du Christ (en ), situé dans la ville portugaise de Tomar, était à l'origine une forteresse templière bâtie au . Lorsque l'ordre du Temple a été dissous au , la branche portugaise de l'ordre a été transformée en chevaliers de l'ordre du Christ, qui soutiendront les découvertes maritimes du Portugal du .


title: Couvent de l'ordre du Christ

text: Le couvent du Christ de Tomar est l'un des monuments historiques et artistiques les plus importants du Portugal. Il est inscrit au patrimoine mondial de l'UNESCO depuis 1983.


title: Couvent de l'ordre du Christ

text: Le château des chevaliers du Temple de Tomar a été construit par Gualdim Pais, maître provincial de l'ordre du Temple, vers 1160. Quelques années après, le château fut choisi comme siège de l'Ordre au Portugal. Durant la Reconquista, le château de Tomar faisait partie du système de défense créé par les Templiers pour sécuriser la frontière du jeune royaume chrétien contre les Maures, frontière qui, au milieu du , correspondait à peu près aux rives du fleuve Tage.


title: Couvent de l'ordre du Christ

text: L'église ronde ("rotunda") du château de Tomar a été construite durant la deuxième moitié du . L'église, comme quelques autres églises du Temple en Europe, aurait été bâtie sur le modèle de la mosquée d'Omar à Jérusalem, que les croisés ont cru, à tort, être un vestige du Temple de Salomon. La Basilique du Saint-Sépulcre à Jérusalem pourrait également avoir servi de modèle.


title: Couvent de l'ordre du Christ

text: Selon les chroniqueurs chrétiens, le château de Tomar a résisté, en 1190, aux attaques du calife Abu Yusuf Yaqub al-Mansur, qui avait auparavant pris d'autres forteresses portugaises dans le sud du pays. Une plaque près de l'entrée de l'église du château commémore d'ailleurs cet exploit.


title: Couvent de l'ordre du Christ

text: L'ordre du Temple a été supprimé dans la plupart des pays d'Europe en 1312. Au Portugal, ses membres, ses capitaux et une partie de sa vocation ont été transmis à l'ordre du Christ, créé en 1319 par le roi Denis de Portugal. L'ordre du Christ s'est installé, en 1357, à Tomar, qui est devenue son siège.


title: Couvent de l'ordre du Christ

text: L'un des plus grands maîtres de l'ordre était le prince Henri le Navigateur, qui a régné sur l'ordre de 1417 jusqu'à sa mort en 1460. Le Prince Henri a donné une grande impulsion aux expéditions portugaises pendant la période des Grandes découvertes. Dans le couvent, le prince Henri a commandé la construction de divers cloîtres et autres bâtiments. Il est également à l'initiative des améliorations urbaines de la ville de Tomar.


title: Couvent de l'ordre du Christ

text: Une autre personnalité importante liée à l'ordre du Christ était Manuel de Portugal, qui est devenu maître de l'ordre en 1484 et roi du Portugal en 1492. Sous son règne, le Couvent a connu plusieurs améliorations importantes, notamment l'ajout d'une nouvelle nef dans l'église et de décorations intérieures composées de peintures et sculptures.


title: Couvent de l'ordre du Christ

text: Le successeur de Manuel I, Jean III de Portugal, a démilitarisé l'ordre, le transformant en un ordre plus religieux suivant les préceptes de Bernard de Clairvaux. Il a également commandé la construction d'un nouveau cloître, en 1557, qui est l'un des meilleurs exemples de l'architecture Renaissance au Portugal.


title: Couvent de l'ordre du Christ

text: En 1581, après une lutte pour la succession au trône, la noblesse portugaise s'est réunie dans le couvent de l'ordre du Christ à Tomar et a officiellement reconnu Philippe II d'Espagne comme roi (Philippe de Portugal). C'est le commencement de l'union ibérique (1581-1640), pendant laquelle les royaumes du Portugal et de l'Espagne ont été unis. L'aqueduc des Pegões a été construit pendant le règne espagnol.


title: Couvent de l'ordre du Christ

text: Le château et le couvent sont de bons exemples de l'architecture romane, gothique, manueline et renaissance.


title: Couvent de l'ordre du Christ

text: Le château de Tomar a été construit vers 1160 sur un emplacement stratégique, au-dessus d'une colline et à proximité du fleuve Nabão. Il possède un mur externe défensif et une citadelle ("alcáçova") avec un donjon à l'intérieur. Le donjon, une tour centrale à vocation résidentielle et défensive, a été introduit au Portugal par les templiers, et celui de Tomar est parmi les plus vieux du pays. Une autre nouveauté apportée au Portugal par les templiers sont les tours rondes dans les murs externes, qui sont plus résistantes aux attaques que les tours carrées. Quand la ville a été fondée, la plupart de ses résidents ont vécu dans des maisons situées à l'intérieur des murs protecteurs du château. Le couvent a été construit pendant le règne espagnol.


title: Couvent de l'ordre du Christ

text: L'église du Couvent est constituée de deux éléments conjoints : la Rotonde et l'église manuéline, contiguë.


title: Couvent de l'ordre du Christ

text: L'église ronde du château, dite la Rotonde, de style roman, ("de charola", "rotunda ") a été construite pendant la deuxième moitié du par les chevaliers du Temple. À l'extérieur, l'église est une structure polygonale fortifiée à 16 côtés, dotée de solides contreforts, de fenêtres rondes et d'un clocher. À l'intérieur, en son centre, se trouve la Rotonde, une structure octogonale reliée par des voûtes à une galerie (déambulatoire). La forme générale de l'église primitive est semblable aux structures rondes de la mosquée d'Omar ou de l'église du Saint-Sépulcre à Jérusalem.


title: Couvent de l'ordre du Christ

text: La Rotonde est l'oratoire primitif des Templiers, sorte de clocher-lanterne, un véritable sanctuaire. Cette lanterne est magnifiquement décorée de sculptures et de peintures de style gothique et manuélin, qui furent ajoutées pendant la rénovation ordonnée par le roi Manuel à partir de 1499. Ainsi les piliers de l'octogone central et les murs du déambulatoire sont agrémentés de statues polychromes de saints et d'anges, tandis que les murs et les plafonds du déambulatoire sont peints dans le style gothique ou ornés de panneaux illustrant la vie du Christ. Les peintures sont attribuées au peintre de la cour de Manuel I, le Portugais Jorge Afonso, et les décorations sculptées sont du sculpteur flamand Olivier de Gand et de l'Espagnol Hernán Muñoz. Les chapiteaux des colonnes sont de style roman (fin du ) et ils dépeignent des motifs végétaux et animaux, tels que Daniel dans la scène du "repaire des lions". Le style des chapiteaux montre l'influence des artistes travaillant, à la même époque, à la construction de la cathédrale de Coimbra. La nef de l'église, construite sur un plan quadrilatéral, et la voûte, qui permet de communiquer avec la lanterne, ont été construites et adjointes entre 1510 et 1512.


title: Couvent de l'ordre du Christ

text: Durant le règne d'Henri le navigateur (première moitié du ), une nef gothique a été ajoutée à l'église du couvent, transformant de fait l'église ronde en église abside. À partir de 1510, le roi Manuel fit reconstruire la nef suivant le style en vogue à l'époque, un mélange de gothique flamboyant et de renaissance que les historiens de l'art appelleront par la suite le style manuélin. Les architectes ayant participé à cette reconstruction étaient le Portugais João de Castilho et l'Espagnol Diogo de Arruda.


title: Couvent de l'ordre du Christ

text: De l'extérieur, la nef rectangulaire est ornée de très nombreux motifs de style manuélin, avec notamment des gargouilles, des pinacles gothiques, des statues et des « cordes » qui rappellent celles utilisées sur les bateaux pendant l'ère des grandes découvertes. Elle est ornée aussi par la croix de l'ordre du Christ et l'emblème du roi Manuel , la sphère armillaire. Une fenêtre énorme visible depuis le cloître de Saint Barbara, nommée la "fenêtre de la Chambre du chapitre" ("Janela da sala do Capítulo"), se situe sur le façade ouest de la nef. Elle comprend la plupart des motifs typiques du style manuélin : les symboles de l'ordre du Christ et de Manuel , les cordes, des coraux et des motifs végétaux. Une figure humaine au milieu de la fenêtre représente probablement le concepteur, Diogo de Arruda. Cette fenêtre du couvent constitue un des chefs d'œuvre de la décoration de style manuélin.


title: Couvent de l'ordre du Christ

text: L'entrée de l'église se fait par un portail latéral magnifique, également décoré de motifs abondants de style manuélin telles que des statues de la Vierge avec l'enfant et des prophètes de l'Ancien Testament. Ce portail a été conçu par João de Castilho vers 1530.


title: Couvent de l'ordre du Christ

text: À l'intérieur, la nef est reliée à l'église de style roman par une grande voûte. La nef est décorée par une superbe voûte et comporte un chœur surélevé dans lequel se trouvaient des stalles de style manuélin, malheureusement détruites par les troupes napoléoniennes lors de la guerre d'Espagne au début du . Sous le chœur, il y a une salle qui était la sacristie de l'église.


title: Couvent de l'ordre du Christ

text: Le couvent du Christ comporte au total, huit cloîtres, construits entre le . Tous les styles s'y côtoient du gothique, au manuélin, renaissant au néoclassique.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: En mathématiques, la <dfn>géométrie différentielle des surfaces</dfn> est la branche de la géométrie différentielle qui traite des surfaces (les objets géométriques de l'espace usuel E, ou leur généralisation que sont les variétés de dimension 2), munies éventuellement de structures supplémentaires, le plus souvent une métrique riemannienne.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Outre les surfaces classiques de la géométrie euclidienne (sphères, cônes, cylindres, etc.), des surfaces apparaissent naturellement en tant que graphes de fonctions de deux variables, ou sous forme paramétrique, comme ensembles décrits par une famille de courbes de l'espace. Les surfaces ont été étudiées à partir de divers points de vue : de façon "extrinsèque", en s'intéressant à leur plongement dans l'espace euclidien, et de façon "intrinsèque", en ne se préoccupant que des propriétés qui peuvent être déterminées à partir des distances mesurées le long de courbes tracées sur la surface. Un des concepts fondamentaux découverts ainsi est la courbure de Gauss, étudiée en profondeur par Carl Friedrich Gauss (entre 1825 et 1827), qui montra son caractère intrinsèque.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Dans l'esprit du programme d'Erlangen, les groupes de Lie, plus précisément les groupes de symétrie du plan euclidien, de la sphère et du plan hyperbolique, ont joué un rôle important dans l'étude des surfaces. Ces groupes permettent de décrire les surfaces de courbure constante ; ils forment aussi un outil essentiel dans l'approche moderne de la géométrie différentielle intrinsèque à l'aide de connexions. Les propriétés extrinsèques dépendant du plongement d'une surface dans l'espace euclidien ont été également largement étudiées. Les relations entre ces deux approches sont bien illustrées par le cas des équations d'Euler-Lagrange du calcul des variations : bien qu'Euler ait utilisé les équations à une variable pour déterminer les géodésiques, que l'on peut définir de manière intrinsèque, l'une des applications principales que fit Lagrange des équations à deux variables fut l'étude des surfaces minimales, un concept extrinsèque qui n'a de sens que pour les plongements.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Certaines propriétés des surfaces de révolution étaient déjà connues d'Archimède. Le développement du calcul infinitésimal au permit de les analyser de manière plus systématique, obtenant par exemple les théorèmes de Guldin. Des surfaces plus générales furent étudiées par Euler ; en 1760, il obtint une formule donnant la courbure d'une section plane d'une surface quelconque, et en 1771, il s'intéressa aux surfaces représentées sous une forme paramétrique. Monge énonça les principes fondamentaux de cette théorie dans son mémoire classique "L'Application de l'analyse à la géométrie", qui parut en 1795.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: La contribution véritablement fondatrice de la théorie des surfaces vint de Gauss dans deux articles remarquables écrits en 1825 et 1827. Pour la première fois, Gauss y considérait la géométrie "intrinsèque" d'une surface, c'est-à-dire les propriétés déterminées seulement par la distance géodésique entre les points, indépendamment du plongement particulier de la surface dans l'espace euclidien ambiant. Le couronnement de ce travail, le "theorema egregium", montrait que la courbure de Gauss est un invariant intrinsèque, inchangé par des isométries locales. Ce point de vue fut étendu aux espaces de dimension supérieure par Bernhard Riemann, aboutissant à ce qui est aujourd'hui appelé la géométrie riemannienne.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Le fut l'âge d'or de la théorie des surfaces, que ce soit du point de vue topologique ou différentiel, la plupart des géomètres s'étant alors intéressés à leur étude. Darboux réunit beaucoup de leurs résultats dans son traité en quatre volumes "Théorie des surfaces" (1887-1896). Au tournant du siècle, Poincaré devait faire progresser encore la théorie, en la combinant (entre autres) avec les méthodes de la topologie algébrique.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: À partir des années 1920, la théorie des surfaces se voyait dotée d'un cadre conceptuel plus puissant par l'introduction de la notion de connexion, sous l'impulsion de Tullio Levi-Civita, Élie Cartan et Hermann Weyl (motivés en particulier par des idées venues de la physique, et plus précisément de la relativité générale).


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Initialement, Gauss définissait (de manière non rigoureuse) la courbure d'une surface à l'aide de celle de certaines courbes planes lui étant associées. Il découvrit par la suite un ensemble de définitions équivalentes ; l'une de celles-ci utilisait les propriétés de transformation de l'aire par l'application de Gauss, application envoyant la surface sur une sphère (de dimension 2). Cependant, pour pouvoir obtenir une définition plus intrinsèque en termes d'aire et de périmètre de petits triangles, Gauss devait étudier en profondeur les propriétés des géodésiques de la surface, c'est-à-dire des chemins de plus courte longueur entre deux points donnés, comme on le verra ci-dessous.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: La courbure de Gauss en un point d'une surface (lisse) plongée dans l'espace euclidien usuel E (identifié à R par un système de coordonnées cartésiennes) et donnée localement dans E par l'équation "z" = "F"("x","y") est définie comme le produit des courbures principales en ce point ; la courbure moyenne est définie comme étant leur demi-somme. Les courbures principales sont les courbures maximum et minimum des courbes (planes) obtenues en coupant la surface par des plans perpendiculaires au plan tangent au point étudié. Si ce point est choisi comme origine du repère, (0, 0, 0), et que le plan tangent est donné par "z" = 0, alors, après une rotation convenable autour de l'axe des "z" annulant le terme en "xy", "F" admet le développement en série de Taylor


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Dans ce cas, les courbures principales sont "k" et "k", la courbure de Gauss est donnée par formula_2, et la courbure moyenne par formula_3.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Pour une surface orientée, l’application de Gauss envoie chaque point de la surface vers le vecteur normal unitaire au plan tangent en ce point (dirigé vers l'extérieur), ce vecteur étant identifié à un point de la sphère unité. Cette application envoie donc le point de coordonnées formula_6 vers formula_7 ; un calcul direct montre alors que la courbure de Gauss est la jacobienne de l'application de Gauss.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Une surface de révolution peut par exemple être obtenue en faisant tourner une courbe du plan autour de l'axe des , en supposant que la courbe ne coupe pas cet axe. En supposant que la courbe soit donnée par formula_8 (avec variant de à ), et que le point paramétré par se déplace sur la courbe à vitesse unité ( est donc la longueur de l'arc), c'est-à-dire que


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Les géodésiques d'une surface de révolution obéissent à la relation de Clairaut : formula_12 , où est la distance à l’axe et est cette l'angle entre le vecteur tangent à la géodésique et le cercle de rayon .


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Une surface réglée est une surface qui peut être engendrée par le déplacement d'une ligne droite dans E. Choisissant une "directrice" sur la surface, c'est-à-dire une courbe différentiable "c"("t"), parcourue à vitesse unité, et orthogonale aux droites, et choisissant ensuite des vecteurs unitaires "u"("t") directeurs en chaque point "c"("t") de la droite passant par ce point, le vecteur vitesse "v"("t") ="c" vérifie


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: La courbure de Gauss s'annule si et seulement si les deux vecteurs "u" et "v" sont colinéaires. Cette condition est équivalente à ce que la surface soit l'enveloppe de la famille des plans définis par les points de la courbe, le vecteur tangent "v" et le vecteur orthogonal "u", c'est-à-dire à ce que la surface soit développable le long de la courbe. Plus généralement, une surface de E est de courbure de Gauss nulle au voisinage d'un point si et seulement si elle est développable près de ce point (une condition équivalente utilisant la métrique sera donnée plus bas).


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: En 1760, Lagrange généralisa au cas de deux variables les résultats d'Euler concernant le calcul des variations pour les intégrales à une variable. Il cherchait à résoudre le problème suivant : Une telle surface s'appelle une surface minimale.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: En 1776, Meusnier montra que l'équation différentielle obtenue par Lagrange était équivalente à une condition sur la courbure moyenne :


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Les surfaces minimales ont une interprétation physique concrète : elles ont la forme que prend un film de savon s'appuyant sur un fil métallique. Cela permet d'obtenir expérimentalement des solutions dans les cas simples, méthode employée par le physicien belge Joseph Plateau au milieu du ; la question de savoir si, pour un contour donné, il existe toujours une surface minimale, fut appelée le problème de Plateau, et fut résolue (par l'affirmative) en 1930 par Jesse Douglas et Tibor Radó ; Douglas reçut pour ce travail une des premières médailles Fields en 1936.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: On connait de nombreux exemples explicites de surfaces minimales, telles que la caténoïde, l'hélicoïde, les surfaces de Scherk et la surface d'Enneper. C'est un domaine de recherche étendu, dont on trouvera une synthèse dans . En particulier, un résultat d'Osserman montre que pour toute surface minimale non plane, son image par l'application de Gauss est dense dans "S".


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Chacune de ces surfaces possède un groupe de symétries qui est un groupe de Lie transitif. Ce résultat a de nombreuses conséquences, d'autant plus importantes que ces surfaces particulières jouent un rôle central dans l'étude de la géométrie des surfaces générales, en raison du théorème d'uniformisation de Poincaré, comme on le verra plus loin.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Pour toute surface plongée dans l'espace euclidien de dimension 3 ou plus, il est possible de mesurer la longueur d'une courbe de la surface, l'angle entre deux courbes, et l'aire d'une région quelconque bornée de la surface. Cette structure peut être représentée « infinitésimalement » par une métrique riemannienne mesurant sur la surface les "« éléments de longueur »" et les "« éléments d'aire »". Jusqu'au début du , seules les surfaces plongées dans R étaient envisagées, et la métrique était donnée par une matrice définie positive d'ordre 2, définie en chaque point (de façon différentiable) dans une représentation paramétrique locale de la surface. Ces idées de représentations paramétriques locales permettant un changement de coordonnées furent par la suite formalisées pour aboutir à la notion moderne de variété différentielle, où la structure différentielle est donnée par une collection de cartes locales de la variété, exactement comme la Terre est actuellement représentée par des atlas. Le recollement, par changement de coordonnées entre différentes cartes de la même région, doit être différentiable. Pour chaque carte locale, une métrique riemannienne est donnée par une matrice (définie positive d'ordre 2) en chaque point ; ces matrices se transforment, en passant d'une carte à une autre, à l'aide de la matrice jacobienne du changement de coordonnées. On définit ainsi une variété riemannienne de dimension 2.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: En projetant par exemple la surface sur le plan formula_27-formula_28 (d'équation formula_29), on obtient une carte locale pour laquelle les éléments de longueur formula_30 et d'aire formula_31 peuvent s'écrire


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: doit être définie positive, et ses coefficients doivent être des fonctions dérivables de formula_27 et formula_28.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Plus généralement, il est ainsi possible, par l'intermédiaire des cartes locales, d'associer des éléments différentiels de longueur et d'aire à chaque point d'une variété riemannienne (abstraite) de dimension 2.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: La géométrie extrinsèque des surfaces étudie les propriétés des surfaces plongées dans un espace euclidien, en général E. Du point de vue de la géométrie intrinsèque, deux surfaces sont « les mêmes » s'il est possible d'étaler l'une sur l'autre sans l'étirer, c'est-à-dire qu'il existe une application de l'une vers l'autre préservant les distances. Ainsi, un cylindre est localement « semblable » au plan. En géométrie extrinsèque, deux surfaces sont « les mêmes » si elles sont congruentes dans l'espace euclidien ambiant, c'est-à-dire qu'il existe une isométrie de E envoyant l'une sur l'autre. Cette définition plus rigide différencie le cylindre du plan.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Bien que les principaux invariants dans l'étude de la géométrie intrinsèque d'une surface soient la métrique (la première forme fondamentale) et la courbure de Gauss, d'autres propriétés dépendent du plongement dans un espace euclidien. L'exemple le plus important est la seconde forme fondamentale, définie classiquement ainsi : soit un point ("x", "y") de la surface dans une carte locale. Le carré de la distance (euclidienne) entre un point proche ("x" + "dx", "y" + "dy") et le plan tangent en ("x", "y"), c'est-à-dire le carré de la distance de ce point à sa projection orthogonale, est de la forme


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: à des corrections d'ordre supérieur près. Cette expression, une forme bilinéaire symétrique en chaque point (mais qui n'est pas définie positive en général), est la seconde forme fondamentale. Elle peut se représenter par une matrice symétrique d'ordre 2 :


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: dont les coefficients dépendent (de façon différentiable) de "x" et "y". La courbure de Gauss est alors donnée par le quotient des déterminants des deux formes fondamentales :


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Ce nombre est un invariant intrinsèque ; ce fait remarquable fut démontré par Gauss (c'est son "theorema egregium", qui sera discuté plus loin).


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: La courbure moyenne "K", définie comme la demi-somme des courbures principales, est un autre invariant extrinsèque important (mais il n'est pas intrinsèque : la courbure moyenne d'un cylindre est non nulle, contrairement à celle du plan). Elle est donnée par la formule :


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Les coefficients des deux formes fondamentales satisfont certaines conditions de compatibilité connues sous le nom d'équations de Gauss-Codazzi, lesquelles font intervenir les symboles de Christoffel formula_41 associés à la première forme fondamentale :


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Ces équations peuvent aussi être obtenues (de manière plus succincte) dans le langage des formes de connexion dû à Élie Cartan. Pierre Bonnet montra que deux formes quadratiques satisfaisant les équations de Gauss-Codazzi déterminent toujours (localement) une surface plongée et une seule. Pour cette raison, ces équations sont souvent appelées les équations fondamentales des plongements de surfaces, identifiant précisément l'origine des courbures intrinsèques et extrinsèques. Elles possèdent des généralisations aux surfaces plongées dans des variétés riemanniennes quelconques.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: La différentielle "df" de l'application de Gauss "f" permet de définir une autre sorte de courbure extrinsèque, appelée opérateur de forme, ou application de Weingarten. Cet opérateur apparut d'abord sous forme implicite dans les travaux de Wilhelm Blaschke, et fut par la suite explicité dans un traité écrit par Burali-Forti et Burgati.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Comme en chaque point "x" de la surface, le plan tangent est muni d'un produit scalaire, l'opérateur de forme "S" peut être défini comme une application linéaire de cet espace par la formule


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: pour tous les vecteurs tangents "v" et "w" (le produit scalaire est bien défini, "df"("v") et "w" étant des vecteurs de E). Le membre de droite est symétrique en "v" et "w", aussi l'opérateur de forme est un endomorphisme autoadjoint de l'espace tangent. Les valeurs propres de "S" sont les courbures principales "k" et "k" en "x", et il en résulte que le déterminant de l'opérateur de forme est la courbure de Gauss, tandis que sa trace est le double de la courbure moyenne. Les vecteurs propres déterminent les directions des courbures principales, c'est-à-dire celles qu'une courbe tracée sur la surface doit suivre pour avoir les courbures maximales et minimales.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: L'opérateur de forme est relié aux coefficients des formes fondamentales par les équations de Weingarten :


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Les courbes d'une surface qui minimisent la longueur entre leurs extrémités sont appelées des géodésiques ; elles ont la forme que prendrait un ruban élastique tendu entre deux points. Leur détermination mathématique revient à la résolution d'équations aux dérivées partielles venant du calcul des variations. Elles constituent un outil essentiel pour l'étude de la géométrie différentielle des surfaces. Par exemple, la question de savoir si toute métrique riemannienne sur une surface peut provenir d'un plongement (local) dans un espace tridimensionnel est toujours ouverte ; la théorie des géodésiques a permis de montrer que ce résultat est vrai dans le cas important où les composantes de la métrique sont analytiques.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Étant donné un arc paramétré dérivable par morceaux "c"("t") = ("x"("t"), "y"("t")) pour "t" dans ["a", "b"] (les coordonnées étant prises dans une carte locale), sa "longueur" est définie par :


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: La longueur ne dépend pas du paramétrage choisi. D'après les équations d'Euler-Lagrange du calcul des variations, si "c"("t") est un chemin de longueur minimale, paramétré par la longueur de l'arc (l'abscisse curviligne), il doit satisfaire les relations :


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: avec formula_52, formula_53, formula_54, et où formula_55 est la matrice inverse de formula_56. Un chemin qui satisfait ces équations est appelé une géodésique.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, un chemin minimisant l'énergie est une géodésique paramétrée par la longueur d'arc ; plus généralement, pour toute géodésique, le paramètre "t" est proportionnel à la longueur d'arc.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: La courbure géodésique formula_57 en un point d'une courbe "c"("t") d'une surface orientée, paramétrée par la longueur d'arc, est définie par :


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: où g("t") est le vecteur unitaire géodésique, normal à la courbe, construit en faisant tourner dans le plan tangent le vecteur unitaire tangent à la courbe, formula_59, d'un angle droit positif.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: La courbure géodésique mesure précisément en chaque point l'écart entre une courbe et la géodésique tangente en ce point.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Un résultat de et montre que toute structure métrique sur une surface vient d'un plongement local dans E. En dehors de certains cas particuliers, la question de savoir si cela est toujours possible dans E reste ouverte, et est connue comme le « problème de Weyl ». En 1926, Maurice Janet montra que ce résultat était vrai si "E", "F" et "G" sont analytiques ; peu de temps après, Élie Cartan généralisa ce résultat aux plongements locaux des variétés riemanniennes de dimension "n" dans E, avec "m" = ½("n" +"n"). Pour démontrer le théorème de Janet au voisinage de (0,0), le théorème de Cauchy-Kowalevski est utilisé deux fois pour construire des géodésiques analytiques orthogonales à l'axe des "y" et à l'axe des "x", puis pour effectuer un changement de coordonnées analytique après lequel "E"=1 et "F"=0 : un plongement isométrique "u" doit vérifier


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: avec "u"(0,"y") et "u"(0,y) fixés. Ces équations peuvent être résolues près de (0,0) grâce au théorème de Cauchy-Kowalevski, donnant une solution au problème de plongement initial.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Cependant, la résolution effective globale de ce problème, même dans le cas simple du tore « plat » (c'est-à-dire de la variété quotient de R par Z) a longtemps semblé inaccessible ; après la démonstration de l'existence de solutions globales par John Nash et Nicolaas Kuiper vers 1960, l'utilisation de nouvelles techniques (dont l'intégration convexe, due à Mikhaïl Gromov) a finalement permis en 2012 la construction de programmes graphiques permettant de visualiser la surface correspondante.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Lorsque le coefficient "F" de la métrique est nul, les parallèles aux axes des "x" et des "y" sont orthogonales et construisent un système de coordonnées orthogonales. Si on pose formula_63, la courbure de Gauss est donnée par


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Si, de plus, "E"=1 (et donc formula_65), l'angle formula_66 d'intersection entre la géodésique ("x"("t"),"y"("t")) et la droite "y" = constante est donné par l'équation


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Une métrique étant donnée sur une surface, et un point fixé pris pour origine, il y a une géodésique unique reliant l'origine à chaque point voisin suffisamment proche ; réciproquement, la direction de cette géodésique à l'origine et la distance déterminent uniquement le point atteint. Ces deux réels déterminent un unique vecteur tangent à l'origine, et l'application ainsi définie, allant de l'ensemble des vecteurs tangents vers les points de la surface, est différentiable et a pour image un voisinage de l'origine ; cette application est appelée l'application exponentielle et elle définit un système de coordonnées locales près de l'origine.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: L'image de l'application exponentielle possède des propriétés analogues à celles des boules de l'espace usuel ; ainsi, deux points quelconques sont reliés par une géodésique unique, une propriété connue sous le nom de « convexité géodésique ». Les coordonnées correspondantes, appelées « coordonnées normales », ou coordonnées géodésiques polaires, généralisent les coordonnées polaires usuelles.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Le calcul explicite des coordonnées normales peut se faire à l'aide de l'équation différentielle satisfaite par les géodésiques. La propriété de convexité est conséquence d'un lemme dû à Gauss et de ses généralisations. La courbure de Gauss est alors donnée par les déviations (au second ordre) de la métrique par rapport à la métrique euclidienne ; en particulier, c'est un invariant de la métrique. Ce résultat est le célèbre "theorema egregium" de Gauss.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Une façon commode d'envisager la courbure part d'une équation différentielle, étudiée d'abord par Gauss, puis généralisée par Jacobi, apparaissant lorsqu'on détermine le changement de coordonnées normales entre deux points distincts. Cette équation donne un autre moyen de calculer la courbure de Gauss ; en termes géométriques, elle décrit l'évolution d'une géodésique partant d'un point fixe lorsque son autre extrémité décrit un petit arc de courbe ; on peut à partir de cette image « dériver » les géodésiques, obtenant un champ de vecteurs tangents appelé le champ de Jacobi. Marston Morse a donné une interprétation plus conceptuelle du champ de Jacobi en termes de dérivées secondes de la fonction énergie sur la variété de Hilbert des chemins.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: La théorie des équations différentielles ordinaires montre que si "f"("t", "v") est différentiable, l'équation différentielle


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: "dv"/"dt" = "f"("t","v") avec pour conditions initiales "v"(0) = v a une solution unique pour "|t|" assez petit, et que la solution dépend de façon différentiable de "t" et "v". Cela entraîne que, en un point donné "p" = ("x","y"), et pour des vecteurs tangents "v" assez petits, il y a une géodésique "c"("t") définie sur (−2,2) avec "c"(0) = ("x","y") et formula_70(0) = "v". De plus, si |"s"| ≤ 1, alors "c" = "c"("st"). L’application exponentielle est alors définie par


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: c'est un difféomorphisme entre un disque ||"v"|| < δ et un voisinage de "p" ; plus généralement, l'application envoyant ("p","v") vers exp("v") est un difféomorphisme local sur un voisinage de ("p","v"). L'application exponentielle permet de construire des coordonnées normales géodésiques près de "p".


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: On trouvera par exemple dans la méthode suivante pour calculer le changement de variables amenant à des coordonnées normales "u", "v" en un point : si les coordonnées "x", "y" en (0,0) sont localement orthogonales, on écrit


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: où "L", "M" sont des polynômes homogènes de degré 2 et λ, μ des polynômes homogènes de degré 3 en "u" et "v". Si "u" et "v" sont fixés, "x"("t") ="x"("tu","tv") et "y"("t") = "y"("tu", "tv") peuvent être vus comme des séries formelles solutions des équations d'Euler ; cela détermine (de manière unique) α, β, "L", "M", λ et μ.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Dans ces coordonnées, la matrice "g"("x") vérifie "g"(0) = "I" et les « droites » formula_71 sont des géodésiques passant par 0. Les équations d'Euler entraînent l'équation matricielle "g"("v")"v" = "v" ; ce résultat essentiel est généralement appelé le lemme de Gauss. Géométriquement, il affirme que


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: En coordonnées polaires ("r",θ), il en résulte que la métrique est de la forme "ds" = "dr" + "G"("r",θ) "d"θ.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: En coordonnées géodésiques, les géodésiques (passant par 0) minimisent la longueur. La topologie de la variété riemannienne est donc donnée par une distance "d"("p", "q"), valant la borne inférieure des longueurs des chemins entre "p" et "q" ; cette distance est réalisée localement par des géodésiques,


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: et donc, en coordonnées normales, "d"(0,"v") = ||"v"||. Si le rayon δ est suffisamment petit, un léger raffinement du lemme de Gauss montre que l'image "U" du disque ||"v"|| < δ par l'application exponentielle est "géodésiquement convexe", c'est-à-dire que deux points de "U" sont reliés par une géodésique unique entièrement contenue dans "U".


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Ce résultat de Gauss, le "theorema egregium" (« théorème remarquable », en latin), montre que la courbure de Gauss d'une surface peut être calculée uniquement à l'aide de la métrique, et est donc un invariant intrinsèque (ne dépendant pas de son plongement dans E³). En particulier, les isométries préservent la courbure de Gauss.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Un changement de coordonnées passant des coordonnées normales en "p" à celles en un point voisin "q" amène à une équation de Sturm-Liouville vérifiée par formula_72, équation découverte par Gauss et généralisée par la suite par Jacobi,


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: La matrice jacobienne de ce changement de coordonnées est égale (en "q") à formula_74. Cela donne une autre démonstration du caractère intrinsèque de la courbure de Gauss : comme formula_75 peut être interprétée comme la longueur d'un élément de géodésique dans la direction θ, l'équation de Gauss-Jacobi montre que la courbure en un point mesure la façon dont les géodésiques s'écartent quand on s'éloigne de ce point.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: "r" désignant la distance géodésique à partir de ce point. Puisque Δ est un invariant intrinsèque, cela donne encore une autre démonstration du caractère intrinsèque de la courbure de Gauss.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: En coordonnées isothermales, lesquelles furent envisagées d'abord par Gauss, la métrique prend la forme particulière


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Les coordonnées isothermales existent au voisinage de tout point de la surface, mais les seules preuves connues de ce résultat reposent sur des résultats non triviaux de la théorie des équations aux dérivées partielles. Cependant, il en existe une démonstration élémentaire dans le cas des surfaces minimales.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Sur une sphère ou un hyperboloïde, l'aire d'un triangle dont tous les côtés sont des géodésiques est proportionnelle à la différence entre la somme des angles intérieurs et π. La constante de proportionnalité est la courbure de Gauss (laquelle est constante pour ces surfaces). Sur un tore ou un cylindre, la différence est nulle, tout comme la courbure de Gauss. Gauss généralisa ces résultats à une surface arbitraire en montrant que l'intégrale de la courbure de Gauss sur l'intérieur d'un triangle géodésique est encore égale à cette différence angulaire. Il est donc possible de calculer cette intégrale sur la surface entière en la décomposant en triangles, et, cas particulier de ce qui est à présent connu comme la formule de Gauss-Bonnet, Gauss montra que cette intégrale est toujours un multiple entier de 2π, obtenant ainsi un invariant topologique de la surface appelé la caractéristique d'Euler. Cette relation inattendue entre l'analyse et la topologie devait être suivie de nombreux résultats géométriques du même ordre, culminant avec le théorème de l'indice d'Atiyah-Singer.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Gauss montra que, si Δ est un triangle géodésique d'angles α, β et γ aux sommets "A", "B" et "C" (c'est-à-dire que, par exemple, "AB" et "AC" sont des géodésiques dont les vecteurs tangents en "A" forment un angle de α), alors


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: En effet, se plaçant en coordonnées polaires géodésiques d'origine "A", avec "AB" et "AC" d'angles polaires 0 et α,


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: où la seconde égalité résulte de l'équation de Gauss-Jacobi et la quatrième de la formule de dérivation de Gauss dans les coordonnées orthogonales ("r",θ).


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: La formule de Gauss montre que la courbure en un point peut être calculée comme la limite du quotient de l’"excès angulaire" α + β + γ − π par l’"aire" pour des triangles géodésiques de plus en plus petits entourant le point. En particulier, qualitativement, le signe de la courbure est le même que celui de l'excès angulaire pour des triangles assez petits.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Comme toute surface compacte orientable "M" peut être triangulée par de petits triangles géodésiques, il s'ensuit que


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: où χ("M") est la caractéristique d'Euler de la surface ; s'il y a "F" faces, "A" arêtes et "S" sommets, alors 3"F" = 2"A" et l'intégrale vaut π(2"S" – "F") = 2π("S" – "A" + "F") = 2π.χ("M").


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Ce résultat est le célèbre théorème de Gauss-Bonnet : il montre que l'intégrale de la courbure de Gauss est un invariant topologique de la surface. Ce théorème admet de nombreuses interprétations ; parmi ses conséquences les plus lointaines se trouve le théorème de l'indice pour un opérateur elliptique sur "M", lui-même un des cas les plus simples du théorème de l'indice d'Atiyah-Singer. Un autre résultat important pouvant être démontré à l'aide de la formule de Gauss-Bonnet est le théorème de Poincaré-Hopf concernant les champs de vecteurs sur "M" s'annulant en un nombre fini de points : il affirme que la somme des indices en ces points est égal à la caractéristique d'Euler de "M".


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Si la courbure de Gauss d'une surface "M" est partout positive, sa caractéristique d'Euler est positive, et donc "M" est homéomorphe (et même difféomorphe) à la sphère S. Si de plus la surface est plongée isométriquement dans E, l'application de Gauss est un difféomorphisme explicite. Comme l'a observé Hadamard, la surface est alors convexe ; ce critère de convexité peut être vu comme une généralisation à deux dimensions du critère de convexité des courbes planes utilisant la dérivée seconde. Hilbert montra que toute surface compacte plongée isométriquement admet au moins un point de courbure positive. Ainsi, une surface fermée de courbure négative ne peut être plongée isométriquement dans E ; cependant, comme l'a montré en utilisant l'équation de Beltrami pour les applications quasi conformes, ce plongement est toujours possible pour une métrique conformément équivalente à la métrique initiale.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Les surfaces simplement connexes de courbure constante 0, +1 et –1 sont le plan euclidien, la sphère unité E et le plan hyperbolique. Chacune de ces surfaces possède un groupe d'isométries (préservant l'orientation) qui est un groupe de Lie "G", et qui permet d'étudier leur géométrie. Plus généralement, toute surface "M" de courbure constante admettra l'une de ces trois surfaces comme revêtement universel. D'après le théorème d'uniformisation de Poincaré, il en résulte que toute variété riemannienne orientable compacte de dimension 2 est conformément équivalente à une surface de courbure constante 0, +1 ou –1 (ce nombre étant le signe de la caractéristique d'Euler de la variété), d'où l'intérêt de l'étude des trois géométries correspondantes.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Dans le cas du plan euclidien, le groupe des symétries est le groupe des déplacements, produit semi-direct du groupe des translations par le groupe des rotations. Les géodésiques sont les droites, et la géométrie se ramène aux formules élémentaires de trigonométrie (elles-mêmes liées à l'existence d'un produit scalaire), telles que la formule d'Al Kashi pour un triangle de côtés "a", "b", "c" et d'angles α, β, γ :


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Les surfaces compactes de courbure nulle sont les tores, obtenus en prenant le quotient de R par un réseau, c'est-à-dire un sous-groupe de rang 2. Ces surfaces ne peuvent être plongées isométriquement dans E, mais cela est possible dans E ; cela vient de ce qu'un tore s'identifie à un produit de deux cercles de E.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Le groupe d'isométries de la sphère unité de "E"', "S", est le groupe orthogonal O(3), produit semi-direct du groupe des rotations SO(3) avec l'application antipodale envoyant "x" vers –"x". Le groupe SO(3) agit transitivement sur "S". Le stabilisateur du vecteur unité (0,0,1) peut être identifié à SO(2), et donc "S" = SO(3)/SO(2).


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Les géodésiques entre deux points de la sphère sont des arcs de grand cercle. Si les points ne sont pas antipodaux, il y a un arc unique minimisant la distance entre eux.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Un triangle géodésique de la sphère est appelé un triangle sphérique. Il est défini par trois points "A", "B", "C", les côtés "BC", "CA", "AB" étant des arcs de grands cercles de longueur inférieure à π. Si les longueurs des côtés sont "a", "b", "c" et les angles entre les côtés α, β, γ,


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: alors la formule des cosinus (que l'on peut voir comme un analogue sphérique de la formule d'Al-Kashi) dit que


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: À l'aide d'une projection stéréographique à partir du pôle nord, la sphère peur être identifiée à la sphère de Riemann C formula_88 {∞}. La forme explicite de cette application est


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Par cette application, chaque rotation de "S" correspond à une transformation de Möbius du groupe spécial unitaire SU(2), unique au signe près. Dans les coordonnées du plan complexe ("u", "v"), la métrique de la sphère devient


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: La sphère unité est la seule variété compacte de courbure constante +1. Le quotient SO(3)/O(2) peut être identifié au plan projectif réel. Il est non orientable et s'identifie également au quotient de "S" par la multiplication par –1. La sphère est simplement connexe, alors que le groupe fondamental du plan projectif est Z. Les sous-groupes finis de SO(3), correspondant aux sous-groupes finis de O(2) et aux groupes de symétries des solides platoniciens, n'agissent pas librement sur "S" ; les quotients correspondants ne sont donc pas des variétés, mais seulement des orbifolds.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: La géométrie non euclidienne fit sa première apparition dans des lettres de Gauss au début du ; il en construisit d'importants développements analytiques qui circulèrent à titre privé seulement. Lobatchevski en 1830 et, indépendamment, Bolyai (fils d'un des correspondants de Gauss) en 1832, publièrent des approches synthétiques de cette nouvelle géométrie, qui leur valurent de sévères critiques. Cependant, il fallut attendre 1868 pour que Beltrami, suivi par Klein en 1871 et Poincaré en 1882, donnent des modèles analytiques concrets de ce que Klein baptisa la géométrie hyperbolique. Quatre modèles de la géométrie hyperbolique à deux dimensions furent ainsi construits :


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Le premier de ces modèles, basé sur un disque, a pour géodésiques de véritables droites euclidiennes (ou, plus précisément, l'intersection de ces droites avec le disque unité ouvert). Le deuxième utilise une construction complètement analogue à celle de la géométrie sphérique (c'est en fait une géométrie sphérique « imaginaire »). Cependant, en raison de leurs applications à l'analyse complexe, les modèles de Poincaré sont les plus fréquemment utilisés ; ils sont interchangeables, en raison des transformations de Möbius entre le disque et le demi-plan.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: agit transitivement sur "D" par les transformations de Möbius, et le stabilisateur de 0 est le groupe des rotations


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Le groupe quotient SU(1,1)/±"I" est le groupe des isométries de "D" préservant l'orientation. Deux points quelconques "z" et "w" de "D" sont reliés par une géodésique unique, portée par la droite ou le cercle passant par "z" et "w" qui est orthogonal au cercle unité frontière de "D". La distance entre "z" et "w" est donnée par


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: En particulier, "d"(0,"r") = 2 artanh "r", et "c"("t") = tanh "t"/2 est la géodésique correspondant à l'axe des réels, paramétrée par la longueur d'arc.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: La topologie définie par cette métrique est la topologie usuelle, mais, en tant qu'espace métrique, ("D","d") est complet.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Un triangle hyperbolique est un triangle géodésique pour cette métrique. Si les côtés sont de longueurs "a", "b", "c", les angles correspondants étant notés α, β, γ, alors la « formule d'Al-Kashi hyperbolique » est


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Le disque unité et le demi-plan supérieur formula_100 sont en bijection conforme par les transformations de Möbius (liées à la transformation de Cayley)


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Par cette correspondance, l'action de SL(2,R) sur "H" correspond à celle de SU(1,1) sur "D". La métrique sur "H" est donnée par


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Les cercles étant préservés par les transformations de Möbius, les géodésiques sont des droites ou des cercles orthogonaux à l'axe des réels.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Le disque unité muni de la métrique de Poincaré est la seule surface orientable simplement connexe de courbure constante -1. Les autres surfaces orientables "M" de courbure constante -1 admettent "D" comme revêtement universel. Leur groupe fondamental peut être identifié à un sous-groupe compact sans torsion Γ de SU(1,1), tel que


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Γ est alors un groupe de présentation finie. On peut coder les générateurs de ce groupe et leurs relations à l'aide d'un "polygone géodésique fondamental" de "D" (ou de "H"), dont les côtés correspondent à des géodésiques fermées de "M".


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Cette construction donne, par exemple, la surface de Bolza, de genre 2, la quartique de Klein, de genre 3, la surface de Macbeath, de genre 7, ou encore le premier triplet de Hurwitz, de genre 14.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Étant donnée une surface fermée orientable "M" de courbure de Gauss "K", la métrique de "M" peut être changée de façon conforme en la multipliant par un facteur "e". La nouvelle courbure "K’" est alors donnée par


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: où Δ est le laplacien de la métrique initiale. Ainsi, pour montrer qu'une surface donnée est conformément équivalente à une métrique de courbure constante "K’", il suffit de résoudre la


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Quand "M" est de caractéristique d'Euler nulle, et donc difféomorphe à un tore, "K’" = 0, et cela revient à résoudre


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: La théorie classique des opérateurs elliptiques montre que ces solutions existent, car l'intégrale de "K" sur "M" est nulle, d'après le théorème de Gauss-Bonnet.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Utilisant la continuité de l'application exponentielle sur les espaces de Sobolev, un résultat dû à Neil Trudinger, on montre que cette équation non linéaire possède toujours des solutions.


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Cette équation non linéaire n'a pas encore été analysée directement, mais des résultats classiques tels que le théorème de Riemann-Roch permettent de montrer qu'elle admet toujours des solutions. La méthode du flot de Ricci, développée par Richard S. Hamilton, donne une autre preuve basée sur l'étude des équations aux dérivées partielles non linéaires. En fait, le flot de Ricci sur les métriques conformes de "S" est défini pour des fonctions "u"("x", "t") par


title: Géométrie différentielle des surfaces

text: Chow a démontré que "K’" devient positif en un temps fini ; des résultats antérieurs de Hamilton permettent alors de montrer que "K’" converge vers +1.


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text: Dans une région de la surface où "K"≤0, les triangles géodésiques vérifient les inégalités de la géométrie de comparaison des espaces CAT(0), ou , étudiée par Cartan, Alexandrov et , et envisagée par la suite d'un point de vue différent par Bruhat et Tits ; grâce aux travaux de Gromov, cette caractérisation de la courbure négative en termes de la distance géodésique a eu un profond impact sur la géométrie moderne, et en particulier sur la théorie géométrique des groupes.


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text: La forme la plus simple des inégalités de comparaison, d'abord démontrée pour les surfaces de courbure négative par Alexandrov vers 1940, affirme que :


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text: Cette inégalité résulte de ce que si "c"("t") décrit une géodésique paramétrée par la longueur d'arc, et "a" est un point fixé, alors


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text: En coordonnées polaires géodésiques d'origine "a", avec ||"c"("t")|| = "r"("t"), la convexité est équivalente à


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text: Cela résulte de l'inégalité "H" ≥ "H", conséquence de ce que la dérivée du wronskien de "H" et "r" (venant de la théorie de Sturm-Liouville) est non positive.


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text: Sur une surface connexe complète, deux points sont toujours reliés par au moins une géodésique. C'est un cas particulier du théorème de Hopf-Rinow, lequel s'applique à des variétés de dimension quelconque. L'hypothèse de complétude est nécessaire : dans le plan euclidien privé d'un point, il n'y a pas de géodésique reliant deux points symétriques par rapport à celui-ci.


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text: Si de plus la surface est de courbure partout strictement négative, la géodésique joignant deux points quelconques est unique. Bien qu'on connaisse des approches classiques de ce résultat, George Birkhoff en a trouvé une démonstration qui s'applique plus généralement à n'importe quelle variété riemannienne de courbure négative ; elle s'appuie sur sa "méthode de raccourcissement", publiée en 1917, qui devait lui valoir le prestigieux prix Bôcher et avoir une profonde influence sur le développement par Marston Morse de la théorie de Morse en dimension infinie, ainsi que sur la théorie des systèmes dynamiques.


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text: Pour des surfaces compactes de courbure négative, von Mangoldt (1881) et Hadamard (1898) ont démontré que l'application exponentielle en un point est un revêtement, et donc que le revêtement universel de la variété est E². Ce résultat fut généralisé en dimension supérieure par Cartan et, sous cette forme, est connu sous le nom de théorème de Cartan-Hadamard. Pour les surfaces, il découle des trois importants résultats suivants :


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text: Les concepts de variété riemannienne (introduit par Bernhard Riemann vers 1850) et de connexion (développé par Tullio Levi-Civita, Élie Cartan et Hermann Weyl au début du ) devaient permettre une approche plus conceptuelle et uniforme de la notion de courbure que l'approche classique de Gauss, non seulement généralisable à des variétés de dimension supérieure, mais permettant de définir de nouveaux invariants géométriques, les classes caractéristiques.


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text: Les connexions sur une surface peuvent être définies par plusieurs méthodes équivalentes. La connexion riemannienne, également appelée la connexion de Levi-Civita se comprend peut-être plus facilement comme relèvement de champs de vecteurs, considérés comme des opérateurs différentiels du premier ordre (agissant sur les fonctions définies sur la variété), vers des opérateurs du fibré tangent ou du fibré des repères.


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text: Dans le cas d'une surface plongée dans R, ce relèvement, appelé la dérivée covariante, se décrit simplement à l'aide de la projection orthogonale. Un champ de vecteurs sur la surface peut être considéré comme une fonction allant de la surface vers R. Un autre champ de vecteurs agit alors comme un opérateur différentiel sur chaque composante. Le champ résultant n'est pas tangent à la surface, mais il suffit de le projeter en chaque point sur le plan tangent correspondant. Comme Ricci et Levi-Civita s'en rendirent compte, cette procédure ne dépend que de la métrique, et peut s'exprimer localement à l'aide des symboles de Christoffel.


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text: Levi-Civita. On peut la définir comme la monodromie de l'équation différentielle définie sur la courbe par la dérivée covariante par rapport au vecteur vitesse de la courbe. Le long de géodésiques, cela revient à dire que le transport parallèle d'un vecteur d'un plan tangent est l'unique champ de vecteurs le contenant, formé de vecteurs de norme constante, et faisant un angle constant avec le vecteur tangent à la géodésique. Pour une courbe générale, une description analogue est possible, utilisant la courbure géodésique :


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text: Cette approche permet de montrer l'existence du transport parallèle, θ("t") pouvant être calculé comme l'intégrale de la courbure géodésique. Comme elle dépend continument de la norme L de "k", le transport parallèle pour une courbe arbitraire peut aussi être obtenu comme limite de transports parallèles sur des approximations par des courbes géodésiques par morceaux.


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text: La connexion peut ainsi être décrite par des relèvements des chemins de la variété vers des chemins du fibré tangent ou du fibré des repères, formalisant la théorie classique du « ». Le relèvement de lacets autour d'un point donne naissance au groupe d'holonomie en ce point. La courbure de Gauss peut être obtenue par des relèvements de lacets de plus en plus petits, ou, de façon équivalente, calculée directement de manière « infinitésimale » grâce aux crochets de Lie des relèvements des champs de vecteurs.


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text: L'approche de Cartan et de Weyl, utilisant des 1-formes de connexion sur le fibré des repères de "M", est encore une autre voie pour définir les connexions riemanniennes.


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text: Ils remarquèrent que le transport parallèle impose que le relèvement d'un chemin sur la surface soit un chemin dans le fibré des repères tel que ses vecteurs tangents appartiennent à un sous-espace bien précis de codimension 1 dans l'espace tangent tridimensionnel du fibré. La projection sur ce sous-espace est définie par une 1-forme différentielle sur le fibré des repères, la forme de connexion. Ceci permet de coder les propriétés de courbure de la surface à l'aide de formes différentielles, et de formules mettant en jeu leurs dérivées extérieures.