title: Totalité et Infini

text: Le visage . Il ne peut dès lors être , car . Il ; il se mue . Ce n'est qu'ainsi qu'a lieu . En effet, la résistance du visage n'est pas la résistance d'une force ; le visage se défie de , il . Ainsi, .


title: Totalité et Infini

text: En ce qui concerne le pareil et le Même, il rappelle qu'il . Il a montré que la relation sociale, l'idée de l'infini, la présence d'un contenu qui dépasse la capacité du contenant, sont . Pour un individu, son identité n'est pas être pareil à lui-même, . La singularité, rappelle Levinas, . La singularité est organisée par le .


title: Totalité et Infini

text: Ensuite, Levinas soutient que . L'exercice de lui-même par l'être est extérieur. L'extériorité est vraie . Ainsi, .


title: Totalité et Infini

text: La thèse de Levinas est en partie reprise par Bernard Stiegler au sujet du mode d'apparaître des consciences. Stiegler soutient qu'elles n'apparaissent qu'en disparaissant, ce qui donne le prix du lien que nous nous nouons avec une conscience. Ce rapport est en effet précieux car il est marqué par la finitude, chaque instant de communion ne l'étant que parce que l'on sait qu'il est voué à s'évanouir. Au contraire, Levinas fait de la rencontre avec l'Autre, la rencontre de l'Infini, de ce qu'il appelle "Révélation", soit de ce à quoi je n'ai jamais aspiré, d'une Terre promise à laquelle je n'ai jamais songé, de ce dont mon cœur n'a jamais souhaité être comblé.


title: Totalité et Infini

text: Cette épiphanie du visage, d'inspiration phénoménologique, sera critiquée par Derrida et sera remise en question dans "Autrement qu'être ou au-delà de l'essence."


title: Tswana

text: Le tswana (autonyme : ), est une langue bantoue parlée par les Tswanas (appelés en tswana "Motswana" au singulier et "Batswana" au pluriel), qui sont majoritaires dans la province sud-africaine du Nord-Ouest. Une partie d'entre eux vit également au Zimbabwe et en Namibie.


title: Tswana

text: Le tswana est aussi appelé bechuana, beetjuans, chuana, chwana, coana, cuana, sechuana, secoana, secwana, tshwana, siwaha.


title: Tswana

text: Cette langue fait partie de la famille des langues nigéro-congolaises, et plus précisément des langues bantoues, dans le groupe sotho-tswana.


title: Tswana

text: En Afrique du Sud, le tswana est parlé entre Bloemfontein et Kimberley dans la province du Gauteng ; dans le District de Waterberg ; dans la province du Nord-Ouest et au nord-est de la province du Cap-Nord.


title: Tswana

text: Au Botswana, il est parlé de façon répandue et est utilisé comme langue véhiculaire, principalement dans les sous-districts de Mahalapye et Serowe-Palapye du District central, à l'est des districts de Kgatleng et du Sud-Est et dans les environs de Maun dans le District du Nord-Ouest.


title: Tswana

text: Au Zimbabwe, il est parlé entre les rivières et Simukwe dans le District de Bulilimamangwe de la province du Matabeleland méridional.


title: Tswana

text: En Namibie, il est parlé dans la région de Hardap et le long de la frontière botswanaise dans la rédion d'Omaheke.


title: Tswana

text: Le tswana est une langue officielle en Afrique du Sud (article 6(1) de la Constitution de 1996), où il est également langue officielle provinciale dans les provinces du Cap-Nord et du Nord-Ouest (2012, "Official Languages Act", , section 4(1)), une langue reconnue au Zimbabwe (article 6(1) de la Constitution de 2013) et en Namibie (2009, "National Curriculum, Basic Education", sections 4.1.5.1 et 5.5). Au Botswana, c'est une langue nationale "de facto".


title: Tswana

text: La lettre entre crochet est la graphème qui est utilisé et celle entre diagonale indique le phonème correspondant.


title: Tswana

text: Deux autres consonnes existent, et , qui existent seulement dans les mots étrangers. La consonne est un allophone de , quand elle est suivie des voyelles ou .


title: Tswana

text: Le Tswana a aussi trois clics, mais celles ci sont seulement utilisées dans les interjections ou dans les idéophones, et tendent à être utilisées seulement par les générations anciennes, et ainsi sont de moins en moins utilisées. Ces trois clics sont : le clic dental , noté ; le clic latéral , noté , et le clic palatal , noté .


title: Tswana

text: Il y a quelques variations dialectales dans les consonnes parmi les locuteurs du Tswana. Par exemple, est prononcé soit soit , est prononcé dans la plupart des dialectes; et et sont prononcés comme et dans les dialectes du nord.


title: Tswana

text: L'accent tonique est fixe en Tswana et tombe toujours sur l'avant dernière syllabe d'un mot, bien que les mots composés peuvent recevoir un deuxième accent tonique sur la première partie du mot. La syllabe sur laquelle l'accent tonique tombe est allongée. Ainsi, "mosadi" est prononcé comme .


title: Tswana

text: Le Tswana a deux tons, un haut et un bas, bien que ce dernier soit plus utilisé dans les mots que le premier. Les tons ne sont pas marqués, ce qui peut conduire à des ambiguïtés.


title: Tswana

text: Une importante caractéristique des tons est l'étalement du ton haut. Si une syllabe porte un ton haut, les deux syllabes suivantes le porteront aussi, sauf si elles sont à la fin d'un mot.


title: Tswana

text: Les noms en Tswana sont regroupés en neuf classes nominales et une sous-classe, chacune d'elles ayant différent préfixes.


title: Tswana

text: Certains noms peuvent se trouver dans plusieurs classes. Par exemple, plusieurs noms de la classe 1 appartiennent également aux classes 1a, 3, 4, et 5.


title: BDR Thermea

text: BDR Thermea est un fabricant européen d'appareils de chauffage domestiques et industriels. La société est née de la fusion des entreprises , De Dietrich Thermique et Remeha en 2009.


title: BDR Thermea

text: Basée à Apeldoorn, aux Pays-Bas, BDR Thermea fournit des produits de chauffage et d'eau chaude pour l’Europe de l'Ouest (Royaume-Uni, France, Allemagne, Espagne, Pays-Bas, Italie…).


title: BDR Thermea

text: Elle connait une forte croissance en Europe de l'Est, en Turquie, en Russie, en Amérique du Nord et en Chine. Au total, BDR Thermea est présent dans plus de dans le monde.


title: BDR Thermea

text: Le groupe BDR Thermea, qui emploie actuellement environ à travers le monde, a réalisé en 2018 un chiffre d'affaires d'environ d'euros. Le groupe est le troisième plus grand fabricant d'appareils de chauffage en Europe.


title: BDR Thermea

text: BDR Thermea se consacre au développement de technologies de chauffage pouvant jouer un rôle dans la lutte contre le changement climatique. La gamme de produits comprend des chaudières à biomasse, des capteurs solaires et des pompes à chaleur. Le Groupe est leader sur le marché émergeant européen des produits de micro-cogénération à faible teneur en carbone (micro-cogénération). Les chaudières à haut rendement constituent le produit phare de BDR Thermea.


title: Kifli

text: Le kifli ou kipferl est une sorte de pain fabriqué en Europe Centrale et en Europe de l'Est (Tchéquie, Slovaquie, Hongrie, Roumanie, Bosnie-Herzégovine, Croatie, Serbie, Bulgarie, Macédoine du Nord, Autriche).


title: Kifli

text: Il est l'ancêtre du croissant, comme le suggère leur analogie de forme. Son existence serait attestée en Autriche depuis le , mais sans que l'on en connaisse la recette (salée ou sucrée) ni la pâte (feuilletée ou pas).


Le Diplôme national supérieur d'expression plastique (DNSEP), de niveau I au RNCP (actuel niveau 7), sanctionne un cursus de cinq années d'études post-baccalauréat dans les écoles nationales, régionales et municipales d'art sous tutelle du ministère de la Culture en France.


Le Diplôme national supérieur d'expression plastique (DNSEP) est homologué par arrêté du au niveau I au Répertoire National des Certifications Professionnelles (RNCP). Le grade de Master lui est associé jusqu'en 2021.


title: Diplôme national supérieur d'expression plastique

text: Il permet de se présenter aux concours externe et interne du CAPES et au concours externe du CAPET (arrêté du , JO du ), ainsi qu'aux concours externe et interne (sous réserve des conditions d'ancienneté de service) de l'agrégation (arrêté du , JO du ). Trois options sont possibles : l'art, la communication et le design. Certaines options peuvent avoir des orientations spécifiques qui sont alors précisées par des mentions.


text: Pour obtenir le diplôme, les étudiants doivent avoir obtenu tous leurs crédits ECTS, effectué au moins un stage en second cycle d'études, rédigé un mémoire généralement consacré à un sujet lié à leur travail plastique, puis participé à deux soutenances : l'une pour le mémoire, avec un jury de deux personnes, constitué d'un enseignant interne à l'école et d'une personnalité extérieure titulaire d'un doctorat, puis une soutenance constituée d'une exposition d'œuvres plastiques, face à un jury de cinq personnes, dont quatre sont extérieures à l'école.


title: Comité action publique 2022

text: Le Comité action publique 2022 (CAP 22) est un groupe composé de quarante personnalités mêlant économistes, cadres du secteur public et privé, élus, et chargé en par le premier ministre Édouard Philippe de réfléchir à une réforme des missions de Service Public de l'État associée à une réduction des dépenses publiques.


title: Comité action publique 2022

text: Le CAP 22 est formé le par Édouard Philippe, aux côtés du ministre de l’Action et des Comptes publics Gérald Darmanin et de Mounir Mahjoubi, ancien secrétaire d'État chargé du Numérique.


title: Comité action publique 2022

text: Le Comité se réunit tous les vendredis et organise des auditions. Il constitue cinq groupes de travail, dont le régalien, « santé et solidarité », « travail et économie », « agriculture, écologie et territoire », et « enseignement, culture et sport ».


title: Comité action publique 2022

text: Le rapport du CAP 22 doit proposer . Son travail s'inscrit dans le contexte de la promesse présidentielle de suppression de de fonctionnaires ainsi que dans l'objectif d'une baisse de 4 points de la part de la dépense publique dans le PIB d'ici 2022. Édouard Philippe indique en 2017 que le CAP 22 doit identifier , à hauteur de d'euros à l'horizon 2020.


title: Comité action publique 2022

text: Plus généralement, les objectifs consistant à s'inscrivent dans la continuité de la politique de révision générale des politiques publiques (RGPP de 2007 à 2012) et de modernisation de l'action publique. Le Cap 22 s'en distingue cependant par son approche, qui se veut globale.


title: Comité action publique 2022

text: Le rapport définitif du CAP 22 est publié en . Olivier Dussopt, secrétaire d'État à la Fonction publique, assure en que ce rapport n'engage pas le gouvernement.


title: Comité action publique 2022

text: Le , Le Figaro présente les grandes lignes du rapport remis au Premier Ministre, celui-ci ne souhaitant pas le publier avant que chaque ministère ait réagi aux propositions émises. Le rapport identifie une trentaine de milliards d'euros d'économies possibles.


title: Comité action publique 2022

text: Sa composition est largement représentée par des personnalités issues de la finance privée, de grands groupes industriels ou d'économistes libéraux.


title: Comité action publique 2022

text: Les journaux mettent en avant le mode de pensée uniquement dirigée par une vision budgétaire des missions des services publics.


title: Démographie de l'Albanie

text: La démographie de l'Albanie est l'ensemble des données et études concernant la population de l'Albanie à toutes les époques.


title: Démographie de l'Albanie

text: En 1960, avec un taux de natalité de et un nombre moyen d'enfants par femme de 6,57, l'Albanie affichait un comportement démographique équivalent à celui de l'Afrique centrale. Il est vrai que l'exubérance du taux des naissances était tempéré par une forte mortalité infantile. Il y eut cette année-là d'enfants de moins d'un an, soit un tiers des décès et un taux de mortalité infantile de , et cette situation se maintint jusque dans les années 1970. Depuis lors l'Albanie a achevé sa transition démographique, c'est-à-dire le passage à une moyenne de deux enfants par femme. Avec un taux de fécondité actuel plus ou moins 1,48, l'Albanie a rejoint la masse des autres pays d'Europe.


title: Démographie de l'Albanie

text: L'Albanie est majoritairement habitée par des Albanais. L'état reconnait 3 minorités nationales, les Grecs, les Macédoniens et les Monténégrins, et 2 minorités culturelles : les Aroumains et les Roms.


title: Démographie de l'Albanie

text: Au temps de la dictature d'Enver Hoxha, les Valaques (Aroumains) n'étaient pas reconnus en tant que peuple, nationalité ou groupe ethnique. Officiellement, ce groupe n'existait pas. Pourtant cette population a continué à être reconnue officieusement, par exemple pour fournir des supplétifs aux basses œuvres du régime, ou comme entité constituée, dans les rapports sociaux. La valeur du recensement de 1989 concernant leur nombre est probablement sous-évaluée.


title: Démographie de l'Albanie

text: À partir de 1990, des Albanaises, dont beaucoup de Valaques, ont massivement émigré vers la Grèce. Depuis, environ Albanais se sont installés en Grèce, ce qui est une proportion très élevée (plus de 10%) de la population du pays.


title: Démographie de l'Albanie

text: Lors du dernier recensement national de 2001, l'Albanie avait une population d'un peu moins de d'habitants, avec une densité de par km². Cependant les chiffres publiés par l'INED et concernant l'année précédente (2000) étaient largement supérieurs ( comme moyenne de l'année). C'est dire que le relevé exact de la population du pays reste une gageure présentant bien des difficultés.


title: Démographie de l'Albanie

text: L'Albanie est l'un des pays les plus homogènes ethniquement parlant. 95 % de la population est composée d'Albanais de souche, répartis en deux groupes : les Guègues (au nord) et les Tosques (au sud). Les Grecs, les Aroumains, les Roms, les Serbes et les Macédoniens constituent des groupes minoritaires. La longue occupation ottomane ne réussit pas à changer globalement la structure ethnique de la population, mais les luttes successives et les immigrations incessantes eurent pour conséquence un ralentissement du rythme d'augmentation démographique de la population albanaise.


title: Démographie de l'Albanie

text: L’Albanie est le pays d’Europe qui connaît la plus forte émigration, avec plus d’un tiers de ses ressortissants vivant à l’étranger, soit environ 900 000 personnes en 2006, principalement dans les deux pays frontaliers : la Grèce et l’Italie. Ce phénomène est dû à un niveau de vie parmi les plus bas du continent européen. En conséquence, la population du pays a diminué de 100 000 habitants entre 1991 et 2001, malgré un solde naturel positif. Le phénomène d’émigration se poursuit même si les données officielles semblent le sous-estimer.


title: Le Rouret

text: Le Rouret est une commune française située dans le département des Alpes-Maritimes, en région Provence-Alpes-Côte d'Azur. Ses habitants sont appelés les "Rouretans".


title: Le Rouret

text: Le Rouret est un village situé dans les Alpes-Maritimes (06), à mi-parcours entre les deux agglomérations de Cannes () et Nice (). Grasse est distante d'une dizaine de kilomètres.


title: Le Rouret

text: Le Rouret est une commune urbaine. Elle fait en effet partie des communes denses ou de densité intermédiaire, au sens de la grille communale de densité de l'Insee.


title: Le Rouret

text: Elle appartient à l'unité urbaine de Nice, une agglomération intra-départementale regroupant et en 2017, dont elle est une commune de la banlieue. L'agglomération de Nice est la septième plus importante de la France en termes de population, derrière celles de Paris, Lyon, Marseille-Aix-en-Provence, Lille (partie française), Toulouse et Bordeaux.


title: Le Rouret

text: Par ailleurs la commune fait partie de l'aire d'attraction de Nice, dont elle est une commune de la couronne. Cette aire, qui regroupe , est catégorisée dans les aires de à moins de .


title: Le Rouret

text: L'occupation des sols de la commune, telle qu'elle ressort de la base de données européenne d’occupation biophysique des sols Corine Land Cover (CLC), est marquée par l'importance des territoires artificialisés (54,4 % en 2018), en augmentation par rapport à 1990 (31,6 %). La répartition détaillée en 2018 est la suivante :


title: Le Rouret

text: zones urbanisées (54,4 %), forêts (38,9 %), zones agricoles hétérogènes (3,5 %), milieux à végétation arbustive et/ou herbacée (3,2 %).


title: Le Rouret

text: L'IGN met par ailleurs à disposition un outil en ligne permettant de comparer l’évolution dans le temps de l’occupation des sols de la commune (ou de territoires à des échelles différentes). Plusieurs époques sont accessibles sous forme de cartes ou photos aériennes : la carte de Cassini (), la carte d'état-major (1820-1866) et la période actuelle (1950 à aujourd'hui).


title: Le Rouret

text: Le climat du Rouret est presque le même que celui de Grasse, c'est-à-dire des étés chauds et secs où la température dépasse très souvent voire les avec des températures nocturnes plus fraîches que les villes situées au bord de la mer. En hiver, le climat est plutôt doux mais plus frais que celui de Cannes ou de Nice et même de Grasse en raison de son altitude de plus de , entre décembre et février, avec en moyenne 2 ou pour le minimum et entre 10 et pour le maximum. L'enneigement de la commune est en moyenne 2 voire 3 fois par an, le plus souvent aux alentours du mois de février.


title: Le Rouret

text: Le territoire de la commune du Rouret a livré des traces d'occupation ancienne. Deux sites ont retenu l'attention des érudits locaux et chercheurs dès la fin du : le "Camp du Bois" et le "Castellaras".


title: Le Rouret

text: Le "Castellaras" compte un mégalithe, de nos jours abattu. Celui-ci a été interprété comme une construction du Néolithique ou de l'Âge du bronze. Pourtant aucune trace d'occupation de cette période n'est attestée sur le site.


title: Le Rouret

text: En 2007, une association est créée pour sauver de la destruction le "dolmen de Clamarquier", menacé par l'urbanisation et la construction d'une route. Cet ouvrage est a priori de l'époque néolithique. La démarche de sauvegarde est soutenue par Cercle d'Histoire et d'Archéologie des Alpes-Maritimes.


title: Le Rouret

text: Le "Camp du Bois" se situe au sommet d'une colline et est protégé par une enceinte circulaire qui entoure le sommet. Les fouilles de la fin du , conduites par Paul Goby, ont livré d'importantes quantités de céramiques modelées indigènes de la fin de l'Âge du fer associées à des céramiques à vernis noir dites campaniennes, qui indiquent que la période la plus intense de l'occupation du site est le - , comme la plupart des "oppidums" de la région. On a aussi identifié quelques fragments d'amphores massaliotes et des céramiques grises monochromes, qui semblent indiquer une occupation remontant au .


title: Le Rouret

text: À l'époque romaine, l'habitat glisse vers le bas de la colline où les restes d'une exploitation agricole antique ont été identifiés. Elle semble perdurer depuis l'époque d'Auguste jusqu'à l'Antiquité tardive.


title: Le Rouret

text: L'histoire du "Castellaras" ressemble beaucoup à celle du "camp du bois". Ici aussi, on trouve une enceinte au sommet d'une colline. Si l'on peut attribuer l'enceinte à l'Âge du fer, comme celle du "camp du bois", on a en fait essentiellement identifié du mobilier des et (siècle des Antonins et des Sévères), ainsi que de l'Antiquité tardive.


title: Le Rouret

text: La commune a engagé une politique de développement durable en lançant une démarche d'Agenda 21 en 2008.


title: Le Rouret

text: Une route romaine en pente passant au bord d'une forêt et de plaines (connue sous l'appellation de « Camp Romain »), avec sur le bord les ruines d'un bâtiment en pierre (actuellement en rénovation 2006). Accessible par le chemin du Castellet.


title: Mélanie Dagréo

text: Elle se fait remarquer en apparaissant parmi les jeunes filles finalistes du concours-casting "Miss FHM 2005" organisé par le magazine "FHM".


title: Mélanie Dagréo

text: En mars 2009, elle fait la couverture du numéro 200 du magazine "Entrevue", dans lequel elle répond à une interview coquine qui est illustrée de photos sexy.


title: Mélanie Dagréo

text: Mélanie a animé les émissions de Call-TV, "La Nuit est à vous" et "L'Appel Gagnant" sur les chaînes NT1 et RTL9, du 26 juin au .


title: Mélanie Dagréo

text: Elle a ensuite été choisie pour succéder à Clara Morgane en tant qu'animatrice du "Journal du Hard" sur canal+ de septembre 2008 à août 2011.


title: Mélanie Dagréo

text: Mélanie Dagréo a failli participer à "Star Academy". Dans une interview accordée au magazine "Entrevue", elle confie : "Je l'ai fait il y a trois ans, et heureusement, je n'ai pas été retenue ! Pour être totalement honnête, je préfère présenter "Le Journal du Hard" que de faire la "Star Ac'" ou "L'Île de la tentation", à laquelle on m'a proposé de participer... "


title: Gérard Welter

text: Gérard Welter, né le à Thorigny-sur-Marne et mort le à Jossigny, est un designer automobile français, directeur du Centre de style de Peugeot de 1998 à 2007.


title: Gérard Welter

text: Engagé au style Peugeot en 1960 à 17 ans, l'équipe dirigée par Paul Bouvot ne compte alors que dix personnes. Gérard Welter y passera toute sa carrière. Il dessine les feux arrière de la 404 puis travaille sur le coupé et le cabriolet 204. Il devient responsable du style extérieur en 1975 puis directeur du Centre de style de la marque en 1998.


title: Gérard Welter

text: Il travaille sur la 304 sortie en 1969, la 604 (1975) et la 305 (1977) alors que le studio Pininfarina est préféré pour les 504 (1968) et 505 (1979) puis, plus tard la 405 (1987) et la 406 Coupé (1996). Mais il réussit à imposer sur la 504 puis la 304 le dessin des phares dont il est dit qu'il est inspiré par les yeux de Sophia Loren - dont l'évocation se retrouve sur la 305. Sa réussite la plus spectaculaire est de son propre aveu la Peugeot 205, qui marque une rupture et est un vif succès qui redresse une entreprise alors en difficulté. Au début des années 2000, la Peugeot 407 au style inspiré de la Ferrari 612 dérivée de son concept-car 407 Elixir (2003) suscite l'admiration de ses pairs et du public, parfois aussi le rejet, notamment dans sa version Coupé, élégante mais handicapée par des porte-à-faux importants. Il a aussi dessiné les concept-car Oxia en 1988, Asphalte en 1996, 20 Cœur en 1998, 607 Féline en 2000, RC Pique et Carreau en 2002, 907 en 2004, 20Cup en 2005 et 908 RC en 2006. Sa dernière réalisation produite en série est le Coupé RCZ.


title: Gérard Welter

text: Parallèlement à ses activités chez Peugeot, Gérard Welter co-fonde avec Michel Meunier, la société WM en 1969 qui conçoit et construit des voitures pour les courses d'endurance. L'écurie engagera des voitures aux 24 Heures du Mans de 1976 jusqu'en 1989. Lors des 24h du Mans 1988, le Samedi à 20h46 la WM P88 atteindra la vitesse maximale de 407 km/h dans la ligne droite des Hunaudières, record inégalé à ce jour. En , il crée la société avec son père Julien Welter, Welter Racing qui conçoit et construit des barquettes qui courront dans les championnats nationaux dans un premier temps puis aux 24 Heures du Mans. Les deux voitures qu'il engage au Mans en 1995 réalisent les deux meilleurs temps des essais grâce à leur légèreté et à leur finesse aérodynamique mais abandonneront pendant la course sur casse mécanique.


title: Gérard Welter

text: Il est victime, dans la nuit du 8 au d'une tentative d'assassinat à son domicile par le meilleur ami de l’une de ses filles et réussit à mettre en fuite son agresseur.


title: Qui êtes-vous, Polly Maggoo ?

text: Qui êtes-vous, Polly Maggoo ? est une comédie satirique française, critique radicale du monde de la mode, réalisée par William Klein, sortie en 1966.


title: Qui êtes-vous, Polly Maggoo ?

text: L'intrigue se partage entre le monde de la publicité, de la mode et de l'ORTF et un royaume d'opérette, dont le prince héritier (Sami Frey) s'éprend du mannequin Polly Maggoo (Dorothy McGowan), alors que la jeune femme fait l'objet d'un reportage télévisé.


title: Unterwald

text: Unterwald, Schwytz et Uri sont, en 1291, les cantons fondateurs de la Confédération des III cantons, la première étape de formation de la Suisse.


title: Unterwald

text: Contrairement aux deux autres cantons suisses divisés en deux demi-cantons (Bâle et Appenzell), Unterwald n'a jamais composé une unité juridique unie. Dès l'origine, Obwald, Nidwald et l'abbaye d'Engelberg formaient des communautés distinctes. Les anciens textes officiels en allemand utilisaient souvent la dénomination « ' » et « ' », soit Unterwald au-dessus et Unterwald au-dessous de la forêt.


title: Unterwald

text: Situé au cœur de la Confédération suisse, bordé par le lac des Quatre Cantons, il est entouré par les cantons de Schwytz au nord-est, d'Uri à l'est, de Lucerne à l'ouest et de Berne au sud.


title: Bataille de Somosierra (1808)

text: La bataille de Somosierra a lieu le durant la guerre d'Espagne. Une armée espagnole en large infériorité numérique, en position défensive dans les gorges de Somosierra dans la sierra de Guadarrama au nord de Madrid, est battue. Cette victoire permet à Napoléon de prendre Madrid.


title: Bataille de Somosierra (1808)

text: Fin novembre 1808, l'armée française déborde et détruit les deux ailes de l'armée populaire espagnole. Afin de parachever la reconquête de l'Espagne, Napoléon s'avance sur Madrid avec de la Grande Armée.


title: Bataille de Somosierra (1808)

text: Afin de défendre la ville, le général Benito de San Juan rassemble une armée faite de miliciens, réservistes et différents régiments réguliers encore sous le coup des précédentes défaites, en tout à peu près . Pour couvrir les nombreuses voies d'approche de la ville, San Juan est obligé de disperser ses forces déjà très inférieures en nombre. Sous ses ordres, sont envoyés à l'ouest pour garder le col de Guadarrama, occupent un poste avancé à Sepúlveda, il laisse et 16 canons sur les hauteurs de Somosierra.


title: Bataille de Somosierra (1808)

text: Les gorges du col de Somosierra forment de nombreux lacets le long d'un chemin large de quelques dizaines de mètres seulement. À chaque lacet de cette route est placée une batterie d'artillerie comptant de deux à trois canons (la dernière batterie, au col, en compte environ une dizaine selon les estimations d'officiers français), rendant la progression de toute troupe, cavalerie ou infanterie, extrêmement difficile.


title: Bataille de Somosierra (1808)

text: La nature du terrain et leur ténacité permettent aux Espagnols de résister dans un premier temps aux attaques françaises. Au soir du 29 novembre, la brigade postée à Sepúlveda repousse une attaque française en infligeant de lourdes pertes aux attaquants, puis échappe à l'écrasante supériorité numérique des Français grâce à la nuit tombante. Le matin suivant, Napoléon avance son infanterie directement vers le col, pendant que de petits détachements progressent en se dissimulant sur les flancs. Échangeant des salves de mousquet avec les défenseurs, ils sont repoussés par une défense espagnole très déterminée. Les Français font malgré tout de lents mais sensibles progrès vers les canons ennemis.


title: Bataille de Somosierra (1808)

text: Les forces espagnoles ne pouvant être prises de flanc par des mouvements d'infanterie, Napoléon donne l'ordre au régiment de chevau-légers polonais de charger les Espagnols et leurs batteries d'artillerie retranchées. Cette décision dont on peut discuter le caractère impitoyable et imprudent fit l'objet d'amples controverses historiques. On prête à l'empereur d'avoir répondu à ses lieutenants lui disant que cela était impossible : « Comment ? Impossible ! Je ne connais point ce mot là ! Il ne doit y avoir pour mes Polonais rien d'impossible ! » et qui popularisera plus tard l'expression « Impossible n'est pas français ».


title: Bataille de Somosierra (1808)

text: Kozietulski rassemble le composé des et , qu'il commandait en l'absence du chef d'escadron Stokowski, et ordonne la charge sabre au clair.


title: Bataille de Somosierra (1808)

text: Accueillis par les balles et la mitraille espagnole qui fauchent par dizaines les chevau-légers, les Polonais, en colonne par quatre, franchissent les batteries successives, sabrant les servants, en semant leurs morts tout du long de leur charge, parmi lesquels les lieutenants Rudowski, Krzyzanowski et Rowicki. Seuls quelques chevau-légers atteignent la dernière batterie mais les Espagnols réussissent à la reprendre. C'est alors que Napoléon engage les autres escadrons polonais et les chasseurs à cheval de la Garde pour soutenir les survivants du . À l'approche des cavaliers en renfort, les Espagnols qui viennent de reprendre la troisième batterie se débandent rapidement, laissant les Polonais maîtres des canons.


title: Bataille de Somosierra (1808)

text: La première charge est conduite par Kozietulski, mais il perd son cheval après avoir pris la première batterie. C'est à ce moment que le lieutenant Andrzej Niegolewski, en reconnaissance avec ses hommes, le rejoint. La charge se poursuit sous le commandement de Dziewanowski, et quand il tombe de cheval après la prise de la troisième batterie, par Pierre Krasiński. La charge contre la dernière batterie est conduite par Niegolewski, dernier officier valide et présent, qui survit presque par miracle quand les Espagnols attaquent les canons de la troisième batterie capturée par les Polonais et les reprennent. Il reçoit neuf blessures par baïonnette et une à la tête. Andrzej Niegolewski déclara avoir reçu une balle à la tête, mais les documents mentionnent une blessure infligée par sabre.


title: Bataille de Somosierra (1808)

text: La deuxième charge, composée des , et du régiment, est conduite par Tomasz Łubieński, qui lui aussi essaya d'en retirer toute la gloire, minimisant le rôle du troisième escadron (alors que Niegolewski essaya de montrer que ce fut lui qui prit les canons).


title: Bataille de Somosierra (1808)

text: Les officiers français ont essayé de minimiser l'impact des charges polonaises en prétendant que le succès devait être attribué à l'infanterie française du général François Ruffin. Pourtant le de la Grande Armée mentionne le rôle déterminant des chevau-légers polonais. On doit aussi souligner que la première charge a été capable d'emporter les quatre batteries (même si ce succès fut temporaire et que la dernière batterie fut rapidement reconquise par les Espagnols), permettant ainsi à l'infanterie française de pousser son attaque. La seconde charge a permis de reprendre la dernière batterie et de provoquer un repli en masse de la milice irrégulière espagnole d'Andalousie et, de ce fait, la retraite de toute l'armée. Les artilleurs espagnols ont fait preuve d'une bravoure exceptionnelle en choisissant de mourir plutôt que d'abandonner leurs positions.


title: Bataille de Somosierra (1808)

text: Le général Benito de San Juan replie rapidement son armée sur Madrid. Bien que la victoire de Somosierra soit plus précisément le résultat d'une attaque combinée d'infanterie et de cavalerie, l'infanterie supportant le plus gros du combat, les rapports ultérieurs, y compris ceux de Napoléon, mettent uniquement l'accent sur la charge polonaise.


title: Bataille de Somosierra (1808)

text: Les patrouilles françaises atteignent la banlieue de Madrid le . San Juan tente, sans conviction, de défendre la capitale. Le 4 décembre, un barrage d'artillerie dévastateur met à mal la défense espagnole. San Juan capitule avec ses réguliers, les civils enrôlés sous ses drapeaux se dispersent. Les Français entrent à Madrid pour la deuxième fois cette année-là.


title: Courbe des possibilités de production

text: Prenons le cas de deux facteurs de production d'une nation, le capital (K) et le travail (L). La boîte d'Edgeworth pour la production donne la répartition possible de ces facteurs pour la production de deux biens (X et Y). Les points sur la courbe, dite courbe optimale de production, correspondent à une utilisation efficiente des deux facteurs. Si on ne se trouve pas sur cette courbe, on peut augmenter la production d'un bien (ou des deux) en se déplaçant sur la courbe. Cette courbe est obtenue en prenant les points de tangence des isoquantes de X et Y.


title: Courbe des possibilités de production

text: Pour passer au deuxième graphique on procède de la manière suivante. On prend un point sur la courbe optimale de production et on regarde le niveau de production des deux isoquantes tangentes à ce point. On reporte les deux valeurs obtenues de X et Y sur le deuxième graphique: On procède ainsi pour tous les points et on obtient la courbe des possibilités de production. Lorsque X est le beurre et Y les canons on a le fameux dilemme d'une nation qui doit faire des choix, compte tenu de ses capacités de production.


title: Courbe des possibilités de production

text: Si les facteurs de production augmentent (augmentation de travailleurs et accumulation de capital) alors la courbe se déplace vers l'extérieur (plus de X et plus de Y). Le progrès technique a le même effet.


title: Courbe des possibilités de production

text: La courbe des possibilités de production a normalement une forme concave mais dans certains cas spéciaux elle pourrait être linéaire ou même convexe.


title: Courbe des possibilités de production

text: La pente de la courbe des possibilités de production nous indique la diminution de la production de Y nécessaire à une augmentation unitaire de la production de X. Elle est appelée taux marginal de transformation des produits. Il ne s'agit pas de transformer des canons en beurre mais on utilise davantage de facteurs pour la production de beurre et moins pour la production de canons. Cette « transformation » devient toujours plus difficile (les ouvriers sont souvent spécialisés dans une production) et alors le taux de transformation des produits est normalement croissant.


title: Shirley Jaffe

text: Shirley Jaffe est une peintre abstraite américaine, née Sternstein le à Elizabeth (États-Unis) et morte le à Paris.


title: Shirley Jaffe

text: Ses premiers travaux s'apparentent à l'expressionnisme lyrique et c'est à partir du milieu des années 1960 qu'elle se rapproche de l'art abstrait. Cette évolution d'une peinture gestuelle vers une tendance plus géométrique fut au départ accueillie avec beaucoup de prudence par le monde de l'art mais son approche si singulière de la peinture est par la suite saluée par la critique. Elle a vécu la plus grande partie de sa vie à Paris.


title: Shirley Jaffe

text: Shirley Jaffe est née à Elizabeth dans le New Jersey, de Benjamin et Anna Sternstein. Son père dirige une usine textile et meurt lorsque Shirley n'est âgée que de dix ans. Elle déménage alors avec sa mère à Brighton Beach à Brooklyn, où elle est scolarisée au lycée Abraham Lincoln. Shirley Jaffe a étudié les beaux-arts à la Cooper Union à New York, laboratoire de l’expressionnisme abstrait, et en sort diplômée d'un bachelor en 1945.


title: Shirley Jaffe

text: Après son mariage avec Irving Jaffe, ils s'installent à Washington, où Shirley Jaffe étudie à la "Philips Art School". En 1949, son époux, correspondant de la Maison-Blanche pour l'Agence France-Presse, est transféré au bureau parisien de l'agence. Ensemble, ils s'installent à Paris en octobre de la même année.


title: Shirley Jaffe

text: Shirley Jaffe rejoint le cercle d'artistes américains expatriés à Paris comprenant notamment Sam Francis, Ellsworth Kelly, Joan Mitchell. Elle s'installe dans un premier temps à Chaville, puis dans le quartier de Montparnasse grâce à son ami le peintre Jean-Paul Riopelle. Elle produit des peintures, des sérigraphies et des gouaches. Elle expose régulièrement depuis 1952, en Europe et aux États-Unis. En 1956, la Galerie du Haut-Pavé organise sa première exposition personnelle à Paris. Sam Francis lui présente son marchand Jean Fournier, qui s'intéresse au travail de Shirley Jaffe et commence à exposer ses toiles. Il lui consacre une première exposition personnelle dans sa galerie en 1966.


title: Shirley Jaffe

text: Shirley Jaffe ne tarde pas à se faire connaître comme expressionniste abstraite, pratique dont elle se sépare en 1963-1964, après avoir séjourné à Berlin grâce à une bourse de la Ford Foundation. Cette rupture dans son œuvre intervient peu après son divorce en 1962. Elle confie au magazine "BOMB" en 2004, à propos de cette période, avoir le sentiment que ses peintures étaient lues comme des paysages (la critique des années 1950 employait parfois le terme de « paysagisme abstrait »), ce qu’elle rejette. Et comme Vassily Kandinsky avant elle, l’un de ses maîtres revendiqués, elle passe d’une pratique gestuelle à une peinture plus géométrique. Cette coupure radicale modifie de manière fondamentale sa peinture, et l’éloigne d’une action « gestuelle » qu’elle remplace par l’inclusion du mouvement dans les formes.


title: Shirley Jaffe

text: Après Berlin, elle retourne à Paris, et ne cesse dès lors de développer un travail original, fondé sur la synthèse entre deux pratiques qui peuvent paraître antinomiques : l'application gestuelle et lyrique de la peinture et l'abstraction géométrique. L'ensemble des formes aux contours nets qu'elle répartit dans ses œuvres apparaît ainsi, selon ses propos, comme « un chaos organisé, comme un jeu visuel complexe… », inspiré de son environnement urbain immédiat.


title: Shirley Jaffe

text: L'œuvre de Shirley Jaffe se caractérise par une vitalité franche et un sens du rythme, qui la rapproche de la peinture de Bridget Riley. Sa palette est audacieuse mais sourde avec ses vieux roses et ses jaunes pâles qui regardent les ocres, les turquoises et les moutardes, où le blanc est le liant du seul plan existant et non pas un fond. C'est cette netteté des motifs, leur joie qui fait de la résistance aussi, qui évoque le plus les papiers découpés d'Henri Matisse.


title: Shirley Jaffe

text: La Galerie Jean Fournier expose l'artiste de 1966 à 1997. Elle voyage régulièrement en Europe pour y présenter son travail notamment à Berne et à Bâle. En 1999, elle est ensuite représentée par Nathalie Obadia, à Paris et par Tibor de Nagy, à New York.


title: Shirley Jaffe

text: L’œuvre de Shirley Jaffe est présente dans de nombreuses collections publiques et privées, notamment au MoMA (Museum of Modern Art, New York), au SFMOMA (San Francisco Museum of Modern Art), au Centre Pompidou (Paris), au MAC/VAL (Vitry), à la Fondation Cartier pour l'art contemporain (Paris), au Museum Berardo (Lisbonne), ou dans les collections du FRAC Auvergne, du FRAC Bretagne et du FRAC Limousin.


title: Shirley Jaffe

text: À la suite d'une commande de l’État, elle produit en 1999 une série de neuf vitraux pour la chapelle gothique Saint-Jean-l'Evangéliste de Perpignan, dite la Funéraria. Les deux verrières dont elle a conçu les cartons ont été pensées avec le souci de respecter et de mettre en valeur l'identité architecturale de la chapelle, classée monument historique.


title: Shirley Jaffe

text: Considérée comme un des peintres les plus influents de l’art contemporain abstrait, elle suscite l’attention de plus en plus vive de la part d’artistes de plus jeunes générations, comme Fiona Rae, Bernard Piffaretti, Peter Soriano ou Carole Benzaken.


title: Algèbre géométrique

text: En mathématiques, l’algèbre géométrique regroupe des méthodes géométriques, utilisées par les Grecs de l'Antiquité, pour établir des résultats maintenant classés dans la branche mathématique appelée algèbre. Ces techniques permettent la mise en évidence des propriétés élémentaires de la multiplication, d’effectuer des calculs comme la somme des premiers nombres entiers, ou impairs. Elles permettent d’établir des résultats comme des identités remarquables ou de résoudre une équation du second degré. L’algèbre géométrique fournit aussi des méthodes de résolution plus complexes, comme celles qui montrent l’existence de nombres irrationnels.


title: Algèbre géométrique

text: Si ces méthodes sont anciennes et correspondent à une vision des mathématiques qui n'est plus la nôtre, elles sont toujours utilisées dans l’enseignement, soit pour donner des preuves simples de certains résultats, soit pour développer une conscience intuitive de résultats qu'une présentation algébrique rendrait plus abstraits.


title: Algèbre géométrique

text: Le terme « algèbre géométrique » provient d’un livre de l’historien des sciences Hieronymus Georg Zeuthen écrit en 1902. Il est popularisé par Paul Tannery l'année suivante. Les livres II et VI des "Éléments" d'Euclide en forment le cœur. Si une lecture contemporaine permet d'interpréter de manière algébrique les résultats démontrés ainsi, tel n'était néanmoins pas la lecture des Grecs qui n'avaient pas découvert les principes fondateurs de l'algèbre. Pour cette raison, cette lecture apocryphe de la science grecque est parfois critiquée.


title: Algèbre géométrique

text: L'expression « algèbre géométrique » est aussi utilisée en mathématiques pures, elle correspond alors à un concept moins élémentaire. Elle désigne une branche contemporaine des mathématiques consistant à associer une géométrie à une structure d'algèbre. Cet aspect est traité dans l'article Algèbre géométrique (structure). Les termes géométrie algébrique désignent une branche différente des mathématiques, constituée d'un savoir essentiellement acquis aux et toujours d'actualité en recherche mathématique.


title: Algèbre géométrique

text: Pour se persuader de l’exactitude de ce résultat, on peut considérer des petits carrés, tous de même dimension, assemblés en rangées de 3. En accolant verticalement 4 rangées de 3, on obtient un rectangle de base 4 côtés de petits carrés et de hauteur 3. Ce rectangle, illustré sur la figure de gauche, contient 4 × 3 = 12 petits carrés. Appliquer un quart de tour au rectangle ne modifie pas le nombre de petits carrés le composant, ce qui montre que le résultat de 4 × 3 correspond au nombre de petits carrés composant le rectangle associé à l’opération 3 × 4. Ce résultat ne dépend pas des valeurs 3 et 4, on peut choisir deux nombres entiers quelconques que l’on peut noter "a" et "b". L’égalité qui s’écrit de la manière suivante traduit ce que l’on appelle la commutativité de la multiplication :


title: Algèbre géométrique

text: La commutativité de la multiplication n’est pas l’unique propriété s’illustrant à l’aide de la géométrie. La figure de droite peut se lire de deux manières différentes. Tout d’abord, le grand rectangle est la somme des aires des rectangles bleus et rouges. Le raisonnement précédent montre que son aire est égale à 9 × 3 + 9 × 4. On peut le voir aussi comme un unique rectangle, s'il l'on ne tient pas compte des couleurs, d’aire égale à 9 × (3 + 4). Ces deux écritures correspondent donc au même nombre. Une fois encore, le résultat est vrai non seulement pour les nombres 9, 3 et 4, mais aussi pour n’importe quel ensemble de trois nombres, que l’on peut noter "a", "b" et "c". On obtient le résultat suivant, appelé distributivité de la multiplication par rapport à l’addition.


title: Algèbre géométrique

text: Ainsi, l'usage de la géométrie et plus spécifiquement le calcul des aires permet d'établir certaines propriétés de la multiplication. Ce principe est la base de l'algèbre géométrique.


title: Algèbre géométrique

text: Pour faire de la géométrie, les nombres entiers ne suffisent pas toujours. Une longueur peut être égale à la moitié d'une autre. Les Grecs ont donc été amenés à établir les règles opératoires régissant les fractions. Une fois encore le calcul des aires est utile. Pour illustrer cette approche, cherchons à additionner 1/6 et 4/9. Considérons pour cela un rectangle dont l’aire est égale à 1. On choisit deux quadrillages qui décomposent le rectangle en petits rectangles identiques. On choisit ces quadrillages compatibles, c'est-à-dire que la superposition des quadrillages est encore un quadrillage en petits rectangles tous identiques, comme l’illustre la figure ci-dessous :


title: Algèbre géométrique

text: La première représentation du rectangle montre que la fraction 1/6 est représentée par un quadrillage découpant le rectangle en 6 petits rectangles, la superposition des quadrillages en crée 18 et 1/6 = 3/18. On obtient finalement les égalités :


title: Algèbre géométrique

text: D'une manière générale, si "a", "b", "c", et "d" sont des nombres entiers tels que ni "b" ni "d" ne sont nuls, alors :


title: Algèbre géométrique

text: L’article détaillé montre comment la démarche permet de déterminer toutes les règles opératoires des fractions.


title: Algèbre géométrique

text: À l’aube des mathématiques grecques et jusqu’au mathématicien Pythagore, l’on pensait que toutes les longueurs pouvaient s’exprimer par ce que l’on appelle maintenant des fractions, ce que Tannery exprime de la manière suivante : . Ces mathématiciens en conclurent que, pour étudier une figure géométrique, l'on pouvait toujours choisir une longueur unité telle que tous les segments représentés sur la figure aient des longueurs qui s’expriment comme des nombres entiers. La figure de droite illustre cette situation. Elle représente deux segments de longueur 4/3 et 3/2, si l'unité choisie est indiquée par la graduation bleue. L'unité de la graduation rouge est de longueur le sixième de la bleue, avec la graduation rouge, les longueurs sont entières et égales à 8 et 9.


title: Algèbre géométrique

text: Cette remarque et certaines figures géométriques permettent d’établir des résultats sur les nombres entiers, résultats qui entrent dans la branche mathématique appelée arithmétique. Zeuthen considère ces techniques comme de l’"arithmétique géométrique". Il estime que c'est une branche de l’algèbre géométrique car les démarches sont analogues.


title: Algèbre géométrique

text: Pour faire de l'arithmétique géométrique les représentations sont de même nature que celle du paragraphe "Nombre entier", mais il est possible de les simplifier. Les Grecs avaient remarqué que tracer les rectangles était inutile. Les pastilles à l’intérieur des carrés, qui étaient alors des galets, suffisaient. La méthode consiste à représenter un nombre à l'aide d'un assemblage de pastilles selon une figure géométrique. L'association du nombre et de la figure est appelée un nombre figuré. Celle utilisée au paragraphe précédent pour représenter 12 est appelée nombre rectangle. Il existe plusieurs figures cataloguées.


title: Algèbre géométrique

text: En accolant deux triangles égaux comme sur la figure ci-contre, on obtient un rectangle dont la longueur est d'une unité supérieure à sa largeur (son aire est appelée un nombre oblong). L'article détaillé montre qu'on en déduit la formule suivante :


title: Algèbre géométrique

text: Un nombre carré est un nombre égal à un certain entier multiplié par lui-même. Par exemple, 9 est un nombre carré car 3 × 3 = 9. Il se présente de manière figurée comme un carré. Pour établir la liste des premiers carrés, l’arithmétique géométrique peut être utile. On suppose, par exemple, connue la liste jusqu’à 7 × 7 = 49. Pour trouver la valeur du carré suivant, de côté 8, on raisonne à l’aide de la figure de gauche. Le nombre 8 × 8 peut être vu comme la somme de 7 × 7 correspondant aux billes rouges, de 7 correspondant aux billes vertes et 8 correspondant aux billes bleues. De manière générale, on dispose de l’égalité :


title: Algèbre géométrique

text: Établir la liste des premiers nombres carrés est un vieil exercice, déjà réalisé par les mésopotamiens. À cette époque, la numération était en base 60. Réaliser des multiplications comme nous le faisons maintenant aurait supposé d’apprendre les tables de multiplication jusqu’à 60, exercice de mémorisation difficile et que l’on n'imposait pas aux écoliers mésopotamiens. Les tables de carrés, qui existaient alors, étaient bien utiles. Par exemple, la multiplication de 15 par 29 donne :


title: Algèbre géométrique

text: Les Grecs héritèrent du savoir mésopotamien et ajoutèrent leur propre interprétation qui leur permit de trouver d’autres résultats. Ils avaient remarqué que, si le côté d'un nombre carré est pair, le nombre carré l'est aussi, car il se décompose en la somme de deux nombres rectangles égaux dont la base est égale à deux fois la hauteur. La logique géométrique permet de comprendre que si le côté est de longueur impair, l’aire l’est aussi. La figure de droite l’illustre sur l’exemple 15 × 15. La représentation du nombre carré montre qu’il est somme d’un carré, en rouge sur la figure, qui est pair (il est composé d’autant de pastilles claires que foncées), d’un nombre pair (les pastilles bleues, qui sont graphiquement divisées en deux parties égales) et d’une pastille verte, isolée. Ainsi 15 × 15 est la somme d’un nombre pair (les pastilles rouges et les bleues) et de 1, ce qui est un nombre impair.


title: Algèbre géométrique

text: À l’aide de la figure permettant de calculer la liste des carrés, les Grecs définirent un nouveau nombre figuré, le nombre gnomon. Les pastilles bleues de la figure de gauche correspondent à un nombre gnomon : 9. Cette figure de gauche montre qu’un carré est formé d'une suite de nombres gnomons, correspondant à la suite des premiers nombres impairs. Ce que l’on peut encore traduire par l’égalité :


title: Algèbre géométrique

text: Ce résultat permet de construire des triplets pythagoriciens si, comme sur la figure de gauche, le dernier gnomon est un carré parfait. L’égalité issue de cette figure s’écrit :


title: Algèbre géométrique

text: Cette observation permet de construire des séries de trois nombres "a", "b" et "c", vérifiant "a" + "b" = "c", que l’on appelle triplet pythagoricien. À l'aide du théorème de Pythagore, il devient possible de construire des triangles rectangles (à côtés entiers). Si, au lieu de choisir une largeur 1 pour le gnomon, on lui attribue une largeur quelconque, on peut trouver une méthode qui donne tous les triplets pythagoriciens. Elle est proposée dans le livre X des "Éléments" d'Euclide.


title: Algèbre géométrique

text: Les nombres cubiques sont construits comme les carrés, à la différence que cette fois-ci le nombre représente le volume et non la surface. Les quatre premiers nombres cubiques sont 1 =  1, 8 =  2, 27 =  3 et 64 =  4. Le raisonnement suivant montre que la somme des premiers nombres cubiques est toujours un nombre carré.


title: Algèbre géométrique

text: Dans la figure ci-contre, le côté du plus grand carré a pour longueur le nombre triangulaire Ce carré est décomposé en une somme de gnomons dont la largeur vaut 1, puis 2, puis 3, puis 4. Calculons l'aire du dernier. Cette zone orange est composée d'un carré de côté 4 et de deux rectangles de largeur 4 et de longueur L'aire du gnomon est donc égale à


title: Algèbre géométrique

text: Ce raisonnement est vrai pour tous les nombres gnomons de la figure : le raisonnement précédent montre que le "n"-ième vaut


title: Algèbre géométrique

text: On en déduit que la somme des "n" premiers nombres cubiques est le carré du "n"-ième nombre triangulaire.


title: Algèbre géométrique

text: À l'époque de Pythagore, il est probable que les Grecs savaient construire rigoureusement un pentagone régulier. A priori, cette construction semble ne concerner que la géométrie, et c'est ainsi que les Grecs le concevaient. Une lecture moderne indique que cette question est intimement liée à la résolution d'une question algébrique, à savoir la résolution d'un problème du second degré.


title: Algèbre géométrique

text: Construire cette figure suppose la connaissance des proportions du triangle isocèle formé par deux côtés adjacents du pentagone. Si l'on choisit l'unité égale à la longueur d'un côté et si φ désigne la base du triangle, qui correspond à une diagonale du pentagone, la proportion s'exprime de la manière suivante :


title: Algèbre géométrique

text: Du point de vue grec sous la forme (1), la question posée est géométrique, c'est celle de la détermination d'une proportion, qu'Euclide appelle "d'extrême et de moyenne raison". Du point de vue moderne et sous la forme (2), la question posée est algébrique, c'est celle de la résolution d'une équation du second degré ayant pour unique solution positive le nombre d'or. Il est possible qu'Hippase de Métaponte, l'auteur probable de la construction, ait utilisé une méthode importée de Babylone, une fois encore à base d'un gnomon.


title: Algèbre géométrique

text: L'égalité φ = φ + 1 directement issue de l'égalité (1) se lit de la manière suivante : un carré de côté φ possède la même aire qu'un rectangle de base φ + 1 et de hauteur 1, résultat représenté sur la figure de gauche. En retranchant au carré et au rectangle, l'aire d'un gnomon du hauteur φ et de largeur 1/2, on remarque qu'un carré de côté φ – 1/2 possède une aire égale à la somme de celle d'un carré de côté 1 et de celle d'un carré de côté 1/2. Obtenir la longueur φ devient aisé avec le théorème de Pythagore, elle est construite sur la figure de droite.


title: Algèbre géométrique

text: Soit "ABC" trois sommets consécutifs d'un pentagone régulier de côtés de longueur 1. Un polygone convexe de "n" côtés a, pour valeur de la somme de ses angles, ("n" – 2) × 180°, soit pour un pentagone 540°. Comme celui étudié ici est régulier, l'angle "ABC" est de mesure 540° / 5 = 108°. Les deux autres angles "BCA" et "CAB" sont égaux car le triangle est isocèle. Comme la somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°, les deux autres angles ont pour mesure 36°. On obtient le triangle de la figure de droite.


title: Algèbre géométrique

text: Si l'on trace la droite passant par "B" et divisant l'angle "ABC" de 108° en deux angles comme sur la figure de droite, l'un de 36° et l'autre de 72°, on divise le triangle initial en deux triangles isocèles "ABD" et "DBC". Une analyse des angles montre que le triangle "ABC" est semblable au triangle "ABD". Il est alors possible d'appliquer le théorème de Thales en remarquant que "AB" = 1, "AC" = "AD" + "DC" = φ et "BC" = "CD" = 1 car le triangle "DBC" est isocèle. Finalement : "AD" = φ – 1, et l'on obtient :


title: Algèbre géométrique

text: La résolution d'une équation du second degré, dans le cas général, se résout à l'aide de trois identités remarquables, développant les expressions ("a" + "b"), ("a" – "b") et ("a" + "b")("a" – "b"). Elles se démontrent à l'aide des propriétés algébriques de l'addition et de la multiplication. Pour les Grecs, ces résultats sont des vérités géométriques, qui se démontrent à l'aide d'un carré, en bleu sur la figure de droite et d'un gnomon, en vert et rouge.


title: Algèbre géométrique

text: La longueur bleue représente "a" et la rouge "b". L'expression ("a" + "b") est égale à l'aire du grand carré de côté "a" + "b". Il est possible de le décomposer en trois parties : la zone bleue, correspondant à un carré de côté "a" et d'aire "a"; la zone rouge, correspondant à un carré de côté "b" et d'aire "b" et la zone verte, correspondant à deux rectangles de longueur "a" et de largeur "b". Chaque rectangle de la zone verte est d'aire égale à "ab", la zone verte est d'aire 2"ab". On retrouve bien l'identité remarquable (1).


title: Algèbre géométrique

text: Cette fois-ci, la longueur bleue désigne "a" – "b" et la rouge "b". L'expression ("a" – "b") correspond maintenant à l'aire du carré bleu. L'aire du carré bleu peut être vue comme la différence entre le grand carré, maintenant de côté "a" et les deux zones vertes et la zone rouge. Le rectangle composé d'une zone verte et du carré rouge a pour aire "a.b". Si l'on retranche à l'aire du carré de côté "a" deux aires d'un rectangle de longueur "a" et de largeur "b", on trouve l'aire du carré bleu ôtée de celle du carré rouge, ce qui donne l'identité suivante, dont on déduit une égalité équivalente à (2) :


title: Algèbre géométrique

text: On utilise les mêmes conventions que celles établissant l'identité (2). L'aire de la surface "a" – "b" correspond à l'aire du grand carré ôtée de l'aire du carré rouge, c'est-à-dire à l'aire du carré bleu additionnée à l'aire des deux rectangles verts. Le rectangle composée de la zone bleue et d'une zone verte correspond à un rectangle d'aire "a"("a" – "b"). Si l'on déplace un des deux rectangles verts pour le positionner de long du deuxième rectangle vert de manière à former un nouveau rectangle, on trouve un rectangle de longueur ("a" + "b")("a" – "b"). Ce rectangle est d'aire égale à celle du grand carré ôtée de l'aire du carré rouge, ce qui démontre l'identité (3).


title: Algèbre géométrique

text: Ainsi, toutes les identités remarquables utilisées pour résoudre des équations du second degré s'interprètent et se démontrent de manière géométrique. En conséquence, toutes les équations du second degré peuvent se résoudre de manière géométrique. Cette lecture, démontrant l'équivalence du contenu mathématique des identités remarquables avec un savoir géométrique présent dans le livre II des "Éléments" d'Euclide est l'œuvre de Zeuthen.


title: Algèbre géométrique

text: La méthode s'inspire directement de calculs analogues à ceux permettant d'établir les identités remarquables. Elle est illustrée sur la figure ci-dessous.


title: Algèbre géométrique

text: Dans un premier temps, on construit un carré de côté "a"/2. par hypothèse, ce carré est d'aire plus grande que "c". On retranche au carré, en bas à gauche un petit carré de telle manière que la surface rouge et violette soit d'aire exactement égale à "c".


title: Algèbre géométrique

text: Dans un deuxième temps, on remarque que la longueur "x" obtenue est aussi la hauteur du rectangle rouge de gauche. Il est donc possible de déplacer la zone violette sur la figure de droite et d'ajouter à gauche de cette figure un carré de côté "x". L'aire rouge et violette est, d'après la construction de la figure de gauche, égale à "c". Par construction, la figure de droite est d'aire égale à "c" + "x". Cette aire est aussi égale à "a.x", car la figure est un rectangle de base "a" et de hauteur "x", ce qui donne la solution de l'équation. Ce mode de résolution provient directement du livre II des "Éléments" d'Euclide.


title: Algèbre géométrique

text: Les Grecs finirent par s'apercevoir que leur postulat initial était faux. Toutes les longueurs ne s'expriment pas comme une fraction de deux nombres entiers. Une question, naturelle pour un pythagoricien, est la détermination de la fraction de nombres entiers décrivant la proportion entre une diagonale et son côté, pour un pentagone ou un carré. Ce rapport n'est pas une fraction de nombre entier. Les méthodes de l'algèbre géométrique sont adaptés pour appréhender cette question. En termes modernes, la question est algébrique car elle correspond à la nature d'une solution d'une équation du second degré.


title: Algèbre géométrique

text: Les Pythagoriciens développaient le culte du secret à propos de leurs savoirs, il est en conséquence difficile de connaître précisément quand, par qui et avec quelles méthodes la découverte puis la démonstration ont été faites. Plusieurs hypothèses sont imaginées et, à ce jour, aucune ne fait l'unanimité.


title: Algèbre géométrique

text: L'historien Kurt von Fritz émet l'hypothèse suivante : Hippase, après avoir trouvé comment construire le pentagone, aurait cherché à déterminer la section d'extrême et de moyenne raison, c'est-à-dire le rapport entre une diagonale et un côté d'un pentagone régulier. Il imagine que cette section est une fraction "n"/"m" de deux nombres entiers. Une procédure pour trouver ces valeurs "n" et "m" consiste à construire un rectangle de base "n" et de hauteur "m". On cherche à emplir ce rectangle de carrés de côté le plus grand possible. La première valeur du côté est "m" et on peut placer un unique carré, en rouge sur la figure.


title: Algèbre géométrique

text: Après avoir placé le carré rouge, la zone restante est un carré de côté "m" et "n" – "m". En multipliant par "n"/"m", on remarque que le carré est homothétique à un carré de hauteur "m" et de base "n". Ce résultat est une conséquence de l'égalité 1/(φ – 1) = φ. On en déduit que l'on peut ensuite placer un unique carré, en bleu foncé sur la figure et de côté "n" – "m". On en déduit surtout que la procédure ne s'arrête jamais !


title: Algèbre géométrique

text: Cette procédure, connue depuis les babyloniens sur le calcul du rapport entre la diagonale et le côté d'un carré, permet de donner une suite de fractions qui approxime de mieux en mieux la fraction φ. On obtient : 1, puis 2, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21 ..., c'est-à-dire des fractions de plus en plus proches de φ, avec des numérateurs et des dénominateurs qui ne cessent de croître. Ce comportement n'a aucun sens, les dénominateurs ne devraient jamais dépasser "m". Les carrés rouge puis bleus ont nécessairement des côtés entiers. L'historien Maurice Caveing en conclut qu'il est raisonnable de penser que ces observations ont permis la réalisation d'une "révélation stupéfiante" : le fait que toutes les grandeurs ne sont pas des fractions.


title: Algèbre géométrique

text: Il existe d'autres manières de conclure à partir de la construction précédente. On suppose toujours que φ est un nombre rationnel, noté "n"/"m", et on construit un pentagone régulier de côté "m" et de diagonale "n". La figure de droite montre comment construire un nouveau pentagone, de côté "n" – "m" et de diagonale "m", le côté et la diagonale du nouveau pentagone sont toujours des entiers, mais cette fois-ci plus petits. L'on peut ainsi continuer indéfiniment. La suite des côtés forment alors une liste d'entiers positifs strictement décroissante et infinie, ce qui est impossible. Un tel raisonnement s'appelle en mathématique une descente infinie.


title: Algèbre géométrique

text: Il existe aussi une manière plus rapide et plutôt plus simple de conclure. Avec les mêmes hypothèses, on choisit, pour valeur de "n"/"m", une représentation irréductible, c'est-à-dire que "m" est la plus petite valeur que doit prendre le côté du pentagone pour que le diamètre soit de longueur entière. Le pentagone en rouge de la figure de droite montre qu'il est possible de construire un pentagone de côté "n" – "m" et de diagonale entière. Cette contradiction permet de conclure.


title: Algèbre géométrique

text: Il existe un consensus relativement vaste chez les historiens pour admettre qu'Hippase n'a pas pu terminer la démonstration. Par exemple, pour la descente infinie, Caveing remarque que : . Ainsi, Caveing pense qu'à la période d'Hippase, aucune "découverte scientifique fructueuse" n'était possible.


title: Algèbre géométrique

text: La logique présentée pour le pentagone s'applique aussi pour la diagonale du carré. On en retrouve des traces dans les livres d'Euclide. La preuve par la descente infinie se trouve dans le livre X, à la proposition 117. La démonstration que la fraction continue d'un nombre rationnel est finie se trouve dans le livre VII. Pour ce cas particulier, cet algorithme porte maintenant le nom d'algorithme d'Euclide. Il existe aussi une démonstration différente, encore présente chez Euclide, et citée par Aristote L'historien Oskar Becker montre que ce raisonnement est fondé sur un savoir archaïque des Grecs en matière d'arithmétique géométrique, elle est peut-être très ancienne. La méthode consiste à démontrer que .


title: Algèbre géométrique

text: Une reconstitution de la possible démonstration archaïque, à base arithmétique géométrique, s'appuie sur la figure de gauche. Elle procède encore par l'absurde. On considère le plus petit nombre carré de côté "a" somme de deux nombres carrés de côté "b". Le nombre carré de côté "a" est pair et donc "a" l'est aussi. Le côté "b" est impair, sinon, en choisissant une unité deux fois plus grande on trouverait une nouvelle valeur deux fois plus petite que "a", dont le carré est la somme de deux carrés. Par ailleurs, un carré de côté "b" possède la même aire qu'un rectangle de hauteur "a" et deux fois plus grande que sa base (en bleu sur la figure). Un tel rectangle est composé de deux nombres carrés, il est donc pair et le carré de côté "b" l'est aussi, ainsi que "b". Le côté "b" est un nombre à la fois pair et impair. Cette contradiction montre que "b" n'existe pas et termine la démonstration.


title: Algèbre géométrique

text: Une fois cette proposition démontrée, l'irrationalité de la racine carrée de deux s'obtient en appliquant le théorème de Pythagore à la figure de droite. S'il existait une unité telle que tous les côtés du triangle rectangle isocèle de la figure soient des nombres entiers, le résultat précédent serait faux.


title: Algèbre géométrique

text: Une conséquence de l'existence d'irrationnels est que les démonstrations des propriétés établies sur les fractions d'entiers en début d'article ne traitent pas le cas général. Cependant, l'usage de l'algèbre géométrique et une approche différente permet encore de démontrer qu'une fraction "b"/"c" est égale à ("a.b")/("a.c") si "a", "b", "c" sont trois nombres réels positifs tels que "a" et "c" soient non nuls.


title: Algèbre géométrique

text: Pour montrer ce résultat, on considère deux droites (noires sur la figure de droite) ayant comme intersection un unique point "A". On définit les points "B" et "C" tels que la distance "AB" soit égale à "b" et "AC" à "c". Les points "B" et "C" sont chacun sur une des droites, comme indiqué sur la figure. Le point "D" (resp. "E") se situe sur la droite "AB" (resp. "AC") et la distance "AD" (resp. "AE") est égale à "a.b" (resp. "a.c"). Le théorème de Thalès indique que les droites rouges sont parallèles et que :


title: Algèbre géométrique

text: On peut ré-établir de la sorte toutes les lois régissant les quatre opérations sur les nombres quelconques. Ce travail est réalisé dans le livre VI des "Éléments" d'Euclide, qui pour cette raison est considéré comme de l'algèbre géométrique.


title: Algèbre géométrique

text: Toutes les démonstrations proposées dans cet article utilisent le principe de la mesure d'une ou de plusieurs aires. Cette règle est une caractéristique de l'algèbre géométrique et cette démonstration n'est pas une exception. La démonstration d'Euclide du théorème de Thalès se fonde sur le même principe.


title: Algèbre géométrique

text: Si les démonstrations ou illustrations précédentes sont toujours employées, de par leur simplicité et leur aspect intuitif, une construction rigoureuse des règles opératoires en algèbre, comme réalisée dans le livre VI, ne deviennent ni simples ni intuitifs.


title: Algèbre géométrique

text: Les concepts mathématiques grecs ne sont pas adaptés à un langage algébrique. Cette remarque est particulièrement vraie pour les périodes précoces, comme celle pythagoricienne. Un nombre est une collection de plusieurs unités ("un" n'est pas un nombre), il correspond chez nous à un entier positif strictement supérieur à un. Un ratio n'est pas un nombre, mais une comparaison de deux grandeurs. La notion de ratio prend un sens à l'aide de la proportion. Quatre grandeurs "a", "b", "c" et "d" sont en "proportion" si le ratio "a":"b" est égal au ratio "c":"d". L'unité est une grandeur physique élémentaire, comme une longueur ou une aire qui, associée à des nombres ou des ratios, permet d'exprimer les grandeurs présentes dans une figure géométrique. Dans les mathématiques hellénistiques, il n'existe pas véritablement de multiplication interne. La multiplication de deux longueurs donne l'aire d'une figure plane, la multiplication de deux nombres "a" et "b" correspond plus à l'addition itérée "a" fois du nombre "b" qu'à une véritable multiplication. La différence entre leurs concepts et notre formalisme complexifie la compréhension des mathématiques grecques. En conséquence, la présentation des idées mathématiques contenues dans cet article est, pour des raisons de simplicité de compréhension, fort loin d'un véritable traité d'époque, comme on le trouve chez Euclide de Mégare. Par exemple, l'usage du symbole 1 dans la détermination de la section d'extrême et moyenne raison ne ferait pas sens pour un Grec.


title: Algèbre géométrique

text: La deuxième difficulté provient de la rareté des sources avant Platon. Les sont presque vides en termes de traités mathématiques. Le savoir des historiens provient de sources postérieures de plusieurs siècles et pas toujours fiables, d'études précises sur la signification exacte de certains mots, que l'on retrouve aussi dans des textes non mathématiques, d'analyses archéologiques ou encore d'étude des importations d'autres civilisations. À l'aide de ces différentes indications, les historiens reconstruisent les démonstrations possibles et les placent dans leurs époques et leurs écoles respectives. Si, au fil du temps, l'ensemble des indices finit par donner une image cohérente et consensuelle dans les grandes lignes, de nombreux points de divergences, même sur des questions importantes, sont encore présents entre les différents spécialistes.


title: Algèbre géométrique

text: Dans son livre de 1902, Zeuthen présente le concept d'algèbre géométrique essentiellement pour décrire le livre II d'Euclide et remarquer qu'il est équivalent à la résolution d'une équation quadratique. Il ne prend pas particulièrement de précautions oratoires ; il prête à Euclide la volonté de : . Tannery est convaincu de la véracité des témoignages, nombreux même si souvent tardifs et peu fiables, attribuant la découverte des irrationnels à l'époque de Pythagore. Il pense que ce "véritable scandale logique" est à l'origine du "miracle mathématique" grec que sont les "Éléments" d'Euclide. Or, cette découverte ne peut avoir lieu que dans la mesure où la maîtrise des questions du second degré est suffisante. Ces questions relevant du domaine algébrique, le concept de Zeuthen lui semble fécond, et il l'adopte dès l'année suivante. Pour Tannery, ce qui a limité les Grecs dans la démarche n'est pas tant l'absence d'une pensée algébrique qu'un vocabulaire adapté, qu'ils ne possédaient pas : .


title: Algèbre géométrique

text: Si, à l'image de Heath, cette idée est souvent adoptée par les historiens de l'époque, elle suscite une première polémique dans les années 1920. La forme des mathématiques grecques est géométrique, en extraire une finalité algébrique n'est pas du goût de tous et Jacob Klein s'exprime ainsi : . Parler d'équations chez Euclide, comme le fait Zeuthen, laisse penser que les Grecs disposaient déjà d'une inconnue sur lequel ils pouvaient opérer algébriquement, à l'image d'Al-Khawarizmi. Or, une telle démarche n'existe pas avant Diophante.


title: Algèbre géométrique

text: Otto Neugebauer apporte, dans les années 1940, des arguments en faveur de la thèse de Zeuthen et Tannery. Ses études sur d'autres cultures mathématiques montrent que les Grecs de l'époque de Pythagore ont importé des techniques mésopotamiennes. Ce savoir se fonde sur des méthodes et des procédures de calcul (appartenant à la même famille que les fractions continues) permettant d'approximer des racines ou encore des méthodes de résolution de questions du second degré. Cette culture est "algébrique", au sens où elle se fonde sur des équivalents d'algorithmes (le mot sera inventé plus tard) dont l'objectif est calculatoire. À l'image de la construction de la section d'extrême et de moyenne raison, de nombreux travaux de l'école de Pythagore sont des traductions de résultats mésopotamiens dans le langage géométrique ionien. Le concept d"'algèbre géométrique" s'étend à cette branche de savoir, maintenant couverte par l'algèbre et qui se démontre chez les Grecs à l'aide de la mesure des aires. On y trouve la théorie des proportions, présente dans les livres V et VI qui décrivent des résultats maintenant contenus dans les axiomes d'un corps commutatif, des méthodes de résolution et d'analyse de la nature d'une solution d'une question de degré 2 présentes dans le livre II, ou encore l'application de l'algorithme d'Euclide à des proportions, dans le livre X, pour démontrer leur incommensurabilité. Elle contient aussi des démonstrations, déjà archaïques à l'époque d'Euclide, comme la théorie du pair et de l'impair.


title: Algèbre géométrique

text: Jusque dans les années 1970, les historiens n'hésitent plus à s'appuyer sur le concept de Zeuthen et Tannery, même si certains comme Wilbur Knorr utilisent des précautions oratoires. La polémique est alors relancée. remarque l'existence d'un schéma ordinaire, présent chez les Chinois, les Indiens, les Arabes ou encore les Européens, qui démarrent tous par de la géométrie pour atteindre, après un certain degré d'abstraction, une formalisation plus algébrique. Le schéma chez les Grecs serait alors inverse; à partir d'une conception d'orientation algébrique, héritée des Mésopotamiens, ils se seraient dirigés vers un système géométrique. Unguru n'imagine pas ce schéma réaliste. Cette position, qui imposerait selon lui une réécriture profonde de l'histoire des mathématiques grecques, est suivie par d'autres historiens comme Szabó.


title: Algèbre géométrique

text: La réplique est fournie par plusieurs spécialistes dont van der Waerden qui estime que Szabó attache une importance trop forte au formalisme, que le propre des méthodes pythagoriciennes exposées ici est leur nature calculatoire et algorithmique et qu'elles sont bien héritées des Babyloniens. Michael Sean Mahoney, qui partage l'opinion de van der Waerden, remarque que les mathématiciens fondateurs de l'algèbre, comme Al-Khawarizmi ou Viète, s'inspirent largement des textes d'Euclide pour bâtir leurs théories.


title: Algèbre géométrique

text: Malgré la polémique, de nombreux spécialistes comme Burkert, Itard ou Caveing font usage du concept. Si des historiens généralistes l'utilisent aussi pour des ouvrages de vulgarisation, l'expression est souvent attachée à une mise en garde comme : . L'usage du terme d'algèbre pour des mathématiques anciennes n'est pas tombé en désuétude. Si l'usage de l'expression "algèbre géométrique" dépasse parfois en histoire des sciences le contexte grec, le cas est suffisamment rare pour mériter d'être noté.


title: Algèbre géométrique

text: Si l'histoire de l'algèbre géométrique commence avec Pythagore, comme l'indique Maurice Caveing : . Pour cet auteur, l'école pythagoricienne hérite à la fois de l'école ionienne avec les travaux de Thalès de Milet et du patrimoine égyptien et mésopotamien. Les travaux de l'école de Thalès modifient déjà l'orientation des mathématiques grecques. Elle introduit la notion de preuve. Elles n'étaient surement pas aussi sophistiquées que celles que l'on trouve chez Euclide, cependant cette spécificité grecque est déjà présente, les différenciant de leurs prédécesseurs. Une deuxième spécificité des mathématiques ioniennes est son inclinaison à la géométrie. Les résultats prêtés à cette école sont, par exemple, le fait qu'un triangle isocèle possède deux angles égaux ou qu'un triangle de base le diamètre d'un cercle et dont le dernier sommet est situé sur le cercle est rectangle.


title: Algèbre géométrique

text: À la différence des Ioniens, la culture mésopotamienne est, à défaut d'être qualifiée d'algébrique, algorithmique. Les différentes tablettes qui nous sont parvenues montrent une mathématique sous forme de problèmes à résoudre. Celle notée "BM 13901", qui contient 24 questions du second degré, laisse penser à une aide géométrique pour guider dans l'algorithme utilisé. La tablette "YBC 7289" montre la connaissance du résultat de l'algorithme décrit dans cet article pour la découverte de l'irrationalité de la section d'extrême et de moyenne raison, mais cette fois-ci appliqué à la diagonale d'un carré. Tous les ingrédients pour découvrir l'irrationalité sont présents.


title: Algèbre géométrique

text: L'école pythagoricienne cultive le culte du secret, à propos de son savoir. Il est donc difficile d'en connaître exactement la teneur, de dater précisément et d'associer un nom aux différents progrès. C'est néanmoins à cette école que l'on doit la naissance de l'algèbre géométrique grecque. Cette école hérite du savoir babylonien, ainsi que de l'orientation vers la géométrie et les démonstrations des Ioniens. Cette fusion des savoirs apporte un résultat nouveau : l'algèbre géométrique qui, à cette époque, se limite encore largement à de l'arithmétique géométrique.


title: Algèbre géométrique

text: La science mésopotamienne apporte la puissance du calcul. Elle permet en géométrie un progrès que n'avaient probablement jamais réalisé les Égyptiens ou les Mésopotamiens. Un exemple est donné par les premières démonstrations partielles du théorème de Pythagore, que l'on attribue généralement à cette époque. Elle ne s'applique que dans le cas où les côtés sont commensurables — c'est-à-dire où le triangle correspond à triplet pythagoricien — et utilise un quadrillage typique de l'arithmétique géométrique, illustré sur la figure de gauche. Dans cet exemple on cherche à trouver l'aire du carré en divers bleus, de côté l'hypoténuse d'un triangle rectangle, dont les autres côtés sont de longueurs 3 et 4. Le regroupement deux à deux des triangles intérieurs au carré bleu permet de conclure.


title: Algèbre géométrique

text: La puissance de la démarche les amène à l'appliquer dans des cas de longueurs incommensurables, sans nécessairement avoir conscience d'une possible incommensurabilité. La construction du pentagone impose la détermination de la section d'extrême et de moyenne raison, qui correspond à une question du deuxième degré. Les procédures calculatoires mésopotamiennes sont à même de venir à bout de cette difficulté. Cette construction est probablement réalisée à l'époque de Pythagore. Elle illustre l'orientation grecque, le résultat n'est pas une fraction approchant la valeur recherchée, mais une construction géométrique exacte.


title: Algèbre géométrique

text: La plus importante découverte souvent attribuée aux pythagoriciens et à l'algèbre géométrique est celle des incommensurables. Les éléments étaient déjà presque présents chez les Babyloniens, qui pourtant n'en ont jamais parlé. C'est probablement une attitude plus spéculative et moins pragmatique chez les Grecs qui fait la différence. Les Mésopotamiens concevaient néanmoins aussi les mathématiques comme une spéculation, comme le montre la tablette illustrée au paragraphe précédent. Elle donne la racine de deux avec une précision de cinq décimales, ce qui n'a aucun intérêt pratique au vu de leur technologie. Cependant les Mésopotamiens ont choisi une numération à notation positionnelle, un peu à l'image de notre notation décimale. Si cette notation est plus pratique pour les sciences de l'ingénieur, elle est moins adaptée que l'écriture fractionnaire des Grecs pour un travail théorique sur l'irrationalité. Une valeur dont la notation positionnelle ne se termine pas, comme 0,11111..., ne signifie en rien un caractère irrationnel.


title: Algèbre géométrique

text: L'école de Pythagore fournit un savoir encore loin de celui que l'on trouve, en matière d'algèbre géométrique, dans les "Éléments" d'Euclide. Pour atteindre ce but, on peut ranger les difficultés en trois catégories.


title: Algèbre géométrique

text: La première série de difficultés est d'ordre logique. La découverte des irrationnels montre l'existence de suites dont le comportement ne semble faire guère de sens. Celle donnée en exemple dans l'article n'est pas la plus étudiée, les Grecs lui préfèrent celle associée à la diagonale du carré. Elle s'obtient par un processus plus simple et dispose des mêmes propriétés. Cette suite de proportions semble difficilement compatible avec l'hypothèse que tout couple de longueurs est commensurable. Si elle s'approche de plus en plus de la proportion recherchée, elle ne l'atteint jamais. Beaucoup ont vu dans le Paradoxe d'Achille et de la tortue une étude logique issue d'une réflexion sur les suites issues du calcul des incommensurables, c'est-à-dire une suite qui s'approche infiniment de sa cible, sans jamais la toucher. L'absence de fondement logique suffisant aurait conduit Zénon d'Élée à condamner le raisonnement pythagoricien. Pour trancher de manière fiable ce "scandale logique", pour reprendre l'expression de Tannery, il a fallu bâtir une logique consistante. À l'époque d'Aristote, le travail était fait. Ses "Analytiques" exposent clairement comment articuler un raisonnement par l'absurde sans risque d'erreur. Cet auteur utilise plusieurs fois l'exemple du fait que la diagonale d'un carré n'est pas commensurable avec son côté.


title: Algèbre géométrique

text: La deuxième série de difficultés concerne la modification du cadre conceptuel, imposée par les incommensurables. À l'époque de Pythagore, le théorème qui porte son nom est une égalité entre des nombres — toujours entiers chez les Grecs —; chez Euclide, ce théorème est une égalité entre des aires, qui n'ont cette fois-ci aucune raison de pouvoir être représentés par des nombres. Cette modification impose une reconstruction totale de la mathématique, la démonstration du théorème de Thalès doit aussi être revue ainsi que toutes les démonstrations qui doivent maintenant quitter leur gangue commensurable et ne peuvent plus s'appuyer sur une logique fondée sur l'arithmétique géométrique. Maîtriser les incommensurables suppose aussi une arithmétique plus forte, pour mener à bien le raisonnement présenté pour la découverte des irrationnels. Chez Euclide, le raisonnement qui montre que dans le cas de grandeurs commensurables l'algorithme s'arrête, est devenu rigoureux. Il a néanmoins quitté son origine d'arithmétique géométrique, cet algorithme ne fournit plus l'unité de la figure (c'est-à-dire la plus grande unité qui permet d'exprimer les deux longueurs comme des multiples de l'unité) mais le plus grand commun diviseur entre deux nombres. L'historien Jean Itard s'exprime ainsi à propos de la théorie des nombres chez Euclide : .


title: Algèbre géométrique

text: Enfin, la troisième série de difficultés consiste à développer les outils permettant de comprendre le comportement asymptotique de l'étrange suite des origines de la découverte. D'une manière ou d'une autre, elle impose une certaine maîtrise du phénomène de limite, qui est alors traitée par l'exhaustion. Le livre V des "Éléments" permet de construire un univers admettant les incommensurables et les phénomènes de convergence, tout en conservant les propriétés algébriques exprimées maintenant sous forme d'axiomes comme la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition dans le corps des réels. Ce travail n'est pas sans conséquences, il impose ce qui deviendra l'axiome d'Archimède et permettra de fonder solidement l'argument de la descente infinie.


title: Algèbre géométrique

text: Deux siècles séparent Pythagore et Euclide. À certains égards, la finalité n'a pas évolué. On y trouve toujours les méthodes prouvant les propriétés algébriques des proportions, comme la distributivité présente dans les livres V et VI, les procédures de résolution de questions du second degré et l'usage de l'anthyphérèse — équivalent à une fraction continue — au livre X pour établir l'incommensurabilité de certaines proportions. À d'autres égards, la théorie est métamorphosée. Elle s'appuie sur une logique axiomatisée, la théorie des proportions prend en compte les incommensurables et l'arithmétique utilisée n'a plus grand chose à voir avec celle de Pythagore. En conséquence, toutes les pistes de démonstrations présentées dans cet article sont explorées rigoureusement avec succès et les paradoxes n'en sont plus. Si l'arithmétique géométrique de Pythagore découvre les incommensurables, l'algèbre géométrique d'Euclide les maîtrise. Le grand absent reste le nombre qui se limite encore aux entiers. Eudoxe ne peut pas définir l"'axiome d'Archimède", tel que nous l'imaginons aujourd'hui. Cet axiome dépend de la grandeur considérée et le mathématicien ne traite finalement que le cas des aires


title: Algèbre géométrique

text: Si les fondamentaux introduits à l'époque de Pythagore restent empreints de l'origine mésopotamienne, la finalité est modifiée. Un algorithme comme l'anthyphérèse ne sert plus à approximer une proportion, mais à établir la propriété d'incommensurabilité. Le mépris des calculs pour les Grecs est notoire, Hérodote est arrêté par une division par 48. Pour Szabó, cette modification de finalité n'est pas le plus important. Il n'existe aucun formalisme algébrique chez les Grecs et le fait que l'objet principal d'étude soit une proportion et non pas un nombre n'est guère un facteur favorable. Cette absence de formalisme algébrique est la preuve d'une orientation géométrique, loin des préoccupations et des idées d'un précurseur en algèbre comme Diophante. Chez Euclide, l'idée d'équation n'apparaît pas et ne peut apparaître. Opérer sur une inconnue et non plus uniquement des nombres, n'est ici guère envisageable. Pourtant, l'équation et son inconnue sont souvent considérées comme l'acte de naissance de l'algèbre.


title: Algèbre géométrique

text: Pour van der Waerden, le propre de l'algèbre est la mise en évidence et l'usage d'une structure. Le travail d'Eudoxe consiste à assurer l'existence d'un monde aux propriétés algébriques, comme la distributivité ou la commutativité d'une multiplication de proportions, tout en respectant une relation d'ordre. Cette question est fondamentalement algébrique et le fait qu'Eudoxe trouve un résultat équivalent aux coupures de Dedekind n'est pas le fruit du hasard, ils cherchent tous deux à résoudre la même question, indépendamment du vêtement ou du formalisme choisi et la matière mathématique reste la même. De même, Le livre II établit les propriétés couramment appelées identités remarquables. Elles sont valables dans tous les anneaux commutatifs et donc celui des proportions géométriques des Grecs Le fait de travailler dans une structure à vocation géométrique ne modifie en rien leur nature algébrique. L'usage chez les Grecs de l'anthyphérèse a pour objectif une classification des incommensurables. Cette idée, qui sera poussée beaucoup plus loin dans la théorie de Galois, est aussi une question algébrique. En conclusion et pour van der Waerden, si la finalité et le formalisme sont géométriques, la nature même de l'algèbre géométrique reste inchangée depuis la Mésopotamie.


title: Algèbre géométrique

text: Pour les fondateurs de l'algèbre arabe et européenne, l'algèbre géométrique s'avère indispensable. La logique de la résolution d'une équation par Al-Khawarizmi n'est possible que dans la mesure où les propriétés algébriques de l'ensemble dont sont issus les coefficients du polynôme sont établies. Dans son traité "Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison", Al-Khawarizmi s'appuie sur Euclide pour établir la pertinence de la démarche, tout comme son disciple Abu Kamil. Le livre V est le seul à proposer une construction algébrique suffisamment solide pour représenter la structure des nombres réels positifs. Euclide, ne disposant pas de manière pour exprimer les incommensurables, développe dans un langage géométrique un équivalent des identités remarquables — au sens de van der Waerden — de manière générique. Cette généricité est indispensable pour les premiers algébristes arabes qui ne disposent pas de paramètre et doivent se contenter d'illustrer leurs principes sur des exemples. Au en Europe, Viète comble cette lacune et développe le concept du paramètre, généralisant l'algèbre et autorisant l'expression de résultats plus puissants, comme les relations entre coefficients et racines. Pour Viète, la construction de l'algèbre géométrique reste indispensable. Ainsi, pendant près de 2000 ans, l'algèbre géométrique est un outil incontournable pour les algébristes européens et arabes. Cet élément convainc Mahoney du caractère algébrique de la théorie.


title: Fonds de garantie des dépôts et de résolution

text: La garantie de dépôts des clients en cas de défaillance de leur banque ou de leur organisme financier est une disposition assurant la confiance dans le système financier.


text: Pour les règles de garantie des dépôts bancaires en Europe, voir le site en anglais du "Forum européen des assureurs des dépôts bancaires (EFDI)" et surtout leur tableau comparatif (en anglais) des limites de garanties en Europe et ce rapport comparatif de mai 2008.


text: Conformément à la directive européenne 2009/14/CE (CELEX Nr: 32009L0014); les États de l'Union européenne doivent élever les garanties bancaires à au 31 décembre 2010, réduire la limite de temps pour constater l'insolvabilité des établissements bancaires à cinq jours ouvrables et mettre en œuvre le paiement des dépôts bancaires dans une limite de 20 jours ouvrables. Les États membres de l'UE peuvent définir de meilleures conditions dans leur législation nationale<ref name="RL 94/19/EG Zusammenfassung">RL 94/19/EG Zusammenfassung</ref>.


text: La Commission européenne a présenté un projet pour harmoniser les systèmes de garantie de dépôts bancaires en Europe, notamment pour éviter les distorsions de concurrence que permettent actuellement les garanties gouvernementales accordées par certains États à leur système bancaire national (Irlande, Danemark et Slovénie en 2010). Les propositions de la Commission, qui cadrent avec les engagements souscrits par l'Union européenne lors du G20, vont maintenant être transmises pour examen au Parlement européen et au Conseil de l'Union européenne. Certaines dispositions pourraient entrer en vigueur en décembre 2012.


text: En 2015, l'Autriche annonce son intention de laisser reposer le fonds de garantie des dépôts uniquement sur les banques. L'assurance-dépôts devrait être réformée à partir de juillet 2015 de sorte que la République ne sera plus responsable conjointement avec les banques de l'épargne jusqu'à . Au lieu de cela, le gouvernement veut mettre en place d'ici 2024 un fonds bancaire dans lequel les instituts financiers devront verser 1,5 milliard d'euros.


text: Le Fonds de garantie des dépôts (FGDR) a été créé en France par la loi du 25 juin 1999 relative à l’épargne et à la sécurité financière. Il est destiné à indemniser les clients en cas de défaillance de leur banque ou de leur organisme financier ayant adhéré à ce Fonds. Il comprend


text: Elle concerne principalement les comptes bancaires, les comptes sur livret, les plans d'épargne logement.


text: Le Fonds de garantie des dépôts garantit ces comptes à hauteur de euros par déposant et par établissement bancaire adhérent (pour un compte joint, ce plafond est également valable mais partagé entre les titulaires du compte : par exemple, pour deux personnes possédant uniquement un compte joint, dans un établissement, la garantie sur ce compte est de euros).


text: Le Fonds de garantie des dépôts en France est différent de ses homologues internationaux dans la mesure où le fonds n'est pas alimenté selon une formule basée sur l'encours des comptes des banques françaises, mais selon un système d'appels aux contributions. En 2009 les banques françaises ont donc contribué à hauteur de au système. En 2010, l'augmentation de la garantie de € à € a été financée par une cotisation exceptionnelle de échelonnés sur 3 ans.


text: Les réserves du Fonds de garantie des dépôts sont d'environ 6,1 milliards d'euros (ce qui correspond à par habitant). Ces fonds seraient donc suffisants pour garantir seulement comptes à la hauteur maximale prévue par la loi. Face à une crise bancaire systémique, le fonds compterait sur l'intervention de l'État comme cela a été le cas aux États-Unis lors de la faillite de la banque Indymac en juillet 2008, placée sous contrôle du Federal Deposit Insurance Corporation (les comptes ont été garantis jusqu'à $ par l'État américain). Cependant, il n'est plus possible de faire appel à l'Etat depuis la loi européenne du janvier 2016 mentionnée précédemment.


text: Des exclusions sont prévues, comme les bons de caisse anonymes et les dépôts en devises autres que celles de l'Espace économique européen.


text: Elle concerne principalement les instruments financiers tels que les actions, obligations, parts de société d'investissement à capital variable (SICAV) et fonds commun de placement (FCP) ainsi que les espèces en devise de l'Espace économique européen liées à ces titres.


text: la « garantie titres » s'applique aux instruments financiers ou aux dépôts en espèces liés à ces instruments dans la limite d'un plafond total de par déposant et par organisme.


text: la « garantie titres » s'applique aux instruments financiers dans la limite du plafond de . Les dépôts en espèces sont couverts par la « garantie espèces » et entrent dans la détermination du plafond de euros de cette garantie (voir section précédente).


text: Les assurances-vie sont garanties par le Fonds de garantie des assurés contre la défaillance de sociétés d'assurance de personnes.


text: Les bénéficiaires d'une rente d'incapacité ou d'invalidité (et les bénéficiaires d'un contrat à la suite d'un décès) ont droit à un montant maximum de euros par contrat et par assureur.


text: En ce qui concerne la garantie des assurances en général il y a de nombreuses restrictions et la loi a fixé un plafond pluriannuel global d'intervention du fonds, pour limiter son indemnisation (700 millions d'euros pour 2004 article 6 du décret 17 février 2004)


text: À la suite de la crise bancaire et financière de l'automne 2008, le gouvernement fédéral a pris des mesures plus strictes au sujet de la protection des épargnants.


text: Le 19 décembre 2008, l'Assemblée fédérale a adopté le nouvel article 37a de la "Loi fédérale sur les banques et les caisses d'épargne", qui dispose que les dépôts des clients des banques sont protégés à hauteur de 100'.


text: La Federal Deposit Insurance Corporation (FDIC) a été créée en 1933 en réponse aux milliers de faillites de banques qui se sont produites durant la Grande Dépression.


text: LA FDIC est une agence indépendante du gouvernement fédéral américain qui ne perçoit aucun fonds de financement public.


text: Le FDIC assure les dépôts des particuliers dans les banques et les institutions d'épargne. En 2007, il assurait les dépôts jusqu'à concurrence de USD. À la suite de la mise en vigueur du Plan Paulson, la limite est passée à USD du 3 octobre 2008 au 31 décembre 2009.


title: Issia

text: Issia est une ville de Côte d'Ivoire, située au centre-ouest du pays, dans la région du Haut-Sassandra, dite "Boucle du cacao", proche de Gagnoa, Vavoua et Daloa.


title: Issia

text: La ville dispose d'un club de football, le Issia Wazi, vainqueur de la Coupe de Côte d'Ivoire de football en 2006 et finaliste en 2007 et qui évolue en MTN Ligue 1. Il dispute ses matchs sur le terrain du stade municipal, comportant 3000 places.


title: Issia

text: Comme dans la plupart des villes du pays, il est organisé, de façon informelle, des tournois de football à 7 joueurs qui, très populaires en Côte d'Ivoire, sont dénommés "Maracanas".


title: Issia

text: il faut noter aussi que des équipes de football se constituent dans chaque village faisant partie de la commune et participent à plusieurs tournois organisés par des personnalités ou des ivoiriens résidents à l'étranger.


title: Issia

text: Les lieux de cultes catholiques dépendent de la paroisse Notre-Dame-de-Lourdes, au sein du diocèse de Daloa.


title: Issia

text: Le monument principal de la ville est le Sanctuaire fondé en 1990 par l'Église catholique au pied du grand rocher de la ville, avec une source à laquelle viennent puiser les croyants de toutes confessions. Les foules s'y rendent de toute la Côte d'Ivoire et des pays voisins, en particulier aux trois grands pèlerinages annuels : le dimanche de la Miséricorde (une semaine après Pâques), à la Pentecôte et à l'Assomption (). On trouve de nombreuses explications sur le site du sanctuaire.


title: 5e régiment de hussards

text: Le de hussards (ou RH), est une unité de cavalerie de l'armée française, créé sous la Révolution à partir du régiment de Lauzun hussards, un régiment de cavalerie français d'Ancien Régime.


title: 5e régiment de hussards

text: Il se distingua particulièrement lors de la guerre d'indépendance des États-Unis et pendant les guerres de la Révolution et de l'Empire.


title: 5e régiment de hussards

text: Le de hussards est l'héritier de la Légion des volontaires étrangers de Lauzun ou Légion de Lauzun, devenue, le , le régiment de hussards de Lauzun. Le , tous les régiments sont renommés d'après leur arme et numérotés d'après leur ancienneté dans celle-ci et le régiment devient le de hussards


title: 5e régiment de hussards

text: De 1986 à 1992, le colonel Henry Brunet d'Evry assure la coordination, l'instruction et le maintien des traditions des escadrons du confiés aux différents RIAD


title: 5e régiment de hussards

text: Le de hussards est l'héritier de la des volontaires étrangers de la marine dite Légion des volontaires étrangers de Lauzun, créée par Armand Louis de Gontaut-Biron duc de Lauzun. Le régiment des hussards de Lauzun, de l'arme, est officiellement créé le à Hennebont (Morbihan), au retour de la légion de Lauzun des États-Unis.


title: 5e régiment de hussards

text: Le régiment de Lauzun fut déplacé en , 3 mois après sa création à Hennebont (Morbihan), à Lauterbourg (Bas-Rhin). En 1788, il fut définitivement complété à quatre escadrons de deux compagnies en incorporant les détachements des régiments réformés de Nassau-Cavalerie, de La Marche ( de chevau-légers) et de Franche-Comté ( de chevau-légers).


title: 5e régiment de hussards

text: Les officiers de Lauzun ont créé en avril 1789, alors qu'il était en garnison à Verdun, une loge maçonnique au sein même du régiment. La demande fut enregistrée auprès du Grand Orient de France sous le nom de loge de l'Amitié Eternelle, à l'Orient de Lauzun. Il y eut au total vingt-trois officiers, le chirurgien, l'aumônier et huit civils qui participèrent aux travaux de cette loge entre 1789 et 1790 : 49 % des officiers (en prenant en compte le chirurgien et l'aumônier) étaient maçons.


title: 5e régiment de hussards

text: Un détachement de 300 hussards du régiment est envoyé à Mantes, puis à Marly le : ils repartent dès le et rentrent à Verdun le . Deux escadrons sont alors détachés à Troyes d' à . Le , l'état-major et deux escadrons du régiment, alors cantonné à Toul, participent à la répression de la mutinerie de Nancy : sur un effectif de , les hussards de Lauzun ont 3 officiers tués et , tués et et tués ou blessés, dans la charge effectuée dans les rues de Nancy.


title: 5e régiment de hussards

text: Le régiment déplacé vers Belfort est impliqué avec le régiment Royal-Liégeois le dans des manifestations hostiles à l'Assemblée constituante : le régiment est déplacé en urgence sur Épinal dès le 5 novembre puis à partir du 10 novembre vers Vitry-le-François. Un décret de l'Assemblée nationale du est pris pour « l'arrestation et la mise en jugement des auteurs des désordres et excès commis dans la ville de Belfort par les régiments de Royal Liégeois et des hussards de Lauzun ». Le colonel de Pestalozzi, mestre de camp du régiment, est mis aux arrêts. Après une déclaration de repentir et de dévouement exprimé par douze officiers à l'Assemblée nationale, un décret du lève les restrictions de service imposées aux régiments de Royal-Liègeois et des hussards de Lauzun.