text: L’étude de ce type de questions remonte aux premiers textes mathématiques connus. Une première approche permet de résoudre l’équation dans le cas où le degré du polynôme est strictement plus petit que cinq. C'est durant la Renaissance et avec l'étude des équations cubiques que de nouveaux nombres sont utilisés. Ils sont qualifiés initialement d’imaginaires puis de nombres complexes. Ce n'est que plus tard que ceux-ci interviennent comme solutions d’équations de degré deux.


title: Théorie des équations (histoire des sciences)

text: À partir de l'époque moderne, le polynôme est aussi considéré comme une fonction, appelée fonction polynomiale. Cette approche offre des méthodes pour déterminer le nombre de racines réelles, pour localiser les racines (c’est-à-dire trouver des régions où elles se trouvent) et pour fournir des méthodes d’approximations aussi précises que souhaité. L’un de ses achèvements est le théorème de d'Alembert-Gauss, qui indique qu’une fonction polynomiale non constante admet au moins une racine dans les nombres complexes.


text: Un point de vue du consiste à étudier le plus petit ensemble de nombres, stable pour les quatre opérations et qui contienne à la fois coefficients et racines d'une équation donnée. Cette approche entre dans la théorie dite de Galois. Elle offre une condition nécessaire et suffisante pour savoir si une équation polynomiale se résout par les techniques décrites par la première approche, dans le cas contraire l’on doit se limiter à des approximations issues de l’analyse. Jusqu’au , la théorie des équations se confond avec l’algèbre. Puis, à la suite de la théorie de Galois principalement, l’algèbre s’élargit pour prendre en compte de nouvelles questions. Cette théorie est à l’origine de vastes domaines mathématiques, comme la théorie des groupes, celle des anneaux ou encore la géométrie algébrique.


text: Aussi loin que remontent les textes connus en mathématiques, on y trouve des questions qui s'expriment, en langage contemporain, sous forme d’"équations algébriques". On lit, dans un papyrus de l’Égypte ancienne : ce qui se traduit par 2/3"x" + 1/10"x" = 10. Des problèmes du second degré sont particulièrement étudiés par les Babyloniens. Leur langage est géométrique, la valeur recherchée, notée ici "x", est appelée "côté" et "x" "carré", mais leur formulation est souvent purement algébrique. On peut lire, sur une tablette d’argile : , pour décrire (en numérotation sexagésimale utilisée par les Babyloniens) l’équation 11"x" + 7"x" = 6 + 15/60 = 25/4. Le sens géométrique de la somme d’une aire et d’une longueur est ambiguë, cependant aucun commentaire n’étaye une interprétation purement algébrique de la question (des nombres multipliés et additionnés). Aucun outil algébrique n’est développé, il n’existe pas d"'inconnue" que l’on peut déterminer à l’aide d'une méthode calculatoire. Les Égyptiens résolvent l’équation du premier degré par essais successifs, à l’aide de la méthode de la fausse position et les Babyloniens disposent d’algorithmes sans autre justification qu'empirique, c’est-à-dire qu’à la fin la valeur trouvée est bien la solution recherchée.


text: La première étape qui approche de l’ébauche d’une véritable "théorie" demande plus de deux millénaires. Elle est franchie indépendamment par trois cultures mathématiques : la Grèce, la civilisation arabe et celle des Indes. Diophante, un mathématicien du , formalise l"'arithme", une lettre qu’il définit


text: par : L’arithme s’additionne et se multiplie : ce qui signifie en langage moderne que "x" divise "x" et que le résultat est égal à "x". Cette démarche permet une véritable formulation mathématique de l’équation et surtout, un mode de résolution. Avant que Diophante ne soit traduit en arabe, Al-Khawarizmi, un mathématicien d’origine perse, développe au une idée analogue. Son "inconnue" s’appelle le "say’". Une fois encore, le nouveau formalisme offre un moyen de résolution de l’équation. R. Rashed indique : La même idée est encore présente chez le mathématicien indien Bhāskara II dans son texte intitulé "Bījagaṇita".


text: Les différentes méthodes de résolution des problèmes des premier et second degrés, avec et sans le formalisme de l’équation, sont présentées dans l’article détaillé.


text: Le mathématicien Al-Khawarizmi est souvent considéré comme fondateur de la branche des mathématiques appelée algèbre. En termes d’étymologie, le titre de son traité sur les équations : "Kitâb al-jabr wa al-muqâbala" utilise le terme "al-jabr", devenu "algèbre". En arabe, "al-jabr" vise dans l’objectif d’obtenir uniquement des coefficients positifs. Par exemple : 2"x" + 100 - 20"x" = 58 devient en suivant ce procédé : 2"x" + 100 = 58 + 20"x". A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer précisent que le travail d’Al-Khawarizmi est : . Ce n’est pas uniquement l’étymologie qui justifie cette attribution à Al-Khawarizmi : en effet, celui-ci s’intéresse à toutes les équations du second degré, tandis que Diophante ne cherche à résoudre que quelques cas particuliers, à solutions entières ou rationnelles. Al-Khawarizmi a une démarche plus systématique : l’objet de son traité est d’offrir une méthode permettant de trouver à coup sûr, s'il en existe, une solution de l’équation.


text: Les progrès sur la théorie des équations ne s’arrêtent pas à Al-Khawarizmi. Il est à l’origine d’une école mathématique qui se développe sur plusieurs siècles. Son disciple Abu Kamil dissipe une première appréhension. À l’origine, les équations étudiées sont presque toujours à coefficients rationnels, Abu Kamil généralise l’étude aux coefficients irrationnels. La conception initiale du nombre chez les Arabes est héritée des Grecs et se limite aux fractions. Les grandeurs incommensurables, qui correspondent à nos irrationnels, sont des proportions entre longueurs, mais ne possèdent pas le statut de nombre. Al-Khawarizmi les appelle "gidr asamm", qui signifie "racine muette" ou "aveugle". Deux siècles plus tard, pour les mathématiciens comme Omar Khayyam, les fractions ou les proportions incommensurables sont traitées dans les calculs de la même manière, les deux concepts sont appelés "al-adad", qui signifie nombre (les rationnels sont désignés par le terme "al-adad al muntiqa" et les irrationnels par "al-adad al-summa"), la différence n’étant plus que philosophique.


text: Des outils spécifiques sont développés pour permettre le calcul plus aisé des multiplications de polynômes. Al-Samaw'al les note sous la forme d'un tableau préfigurant une représentation proche du concept moderne de polynôme formel.


text: La géométrie, et particulièrement celle des Éléments d'Euclide, joue un rôle fondamental dans cette algèbre naissante. Dans le cas d’une équation du second degré et après division par le coefficient du monôme dominant, le monôme du second degré peut être vu comme l’aire d’un carré dont le côté est l’inconnue que l’on recherche. Dans le cas de l’équation du premier degré, on interprète le terme du premier degré comme l’aire d’un rectangle dont les dimensions sont l’inconnue et le coefficient du monôme ; la constante est interprétée comme l’aire d’un carré parfaitement déterminé. Cette approche permet déjà à Euclide de résoudre des problèmes des premier et second degrés. L’angle d’analyse des Arabes est différent puisqu’ils cherchent à résoudre une "équation", dans ce cas particulier, du second degré. Cependant le cœur de la démonstration est le même : une analyse d’une configuration géométrique, construite sur la base d’un gnomon. De manière méthodique, l’étude du gnomon permet d’établir les trois identités remarquables source de résolution des équations du second degré.


text: L’approche utilisée pour étendre la théorie naissante des équations à l’équation cubique est tout aussi géométrique, mais cette fois avec des outils un peu différents. Al-Khayyām remarque qu’il est possible d’interpréter la racine de l’équation cubique comme l’abscisse de l’intersection d’un cercle et d’une parabole, ce qui montre déjà l’usage de ce que l’on appellera plus tard un repère cartésien et permet de remarquer l’existence possible de plusieurs solutions. Deux siècles plus tard, profitant des progrès tant algébriques que géométriques, Nasir ad-Din at-Tusi développe plusieurs outils dans le cadre de l’équation cubique. Le discriminant lui permet de connaître l’existence de racines positives dans certaines situations, la dérivation formelle lui permet de localiser les racines et une méthode numérique, variante de celle maintenant dite de Ruffini-Horner, permet d'approcher la racine avec la précision souhaitée.


text: Les méthodes mathématiques utilisées, ainsi que cette branche de l'histoire des mathématiques, sont développées dans l’article détaillé.


text: À travers les textes de Fibonacci ou encore de Luca Pacioli, l’Italie a accès, au début du , à l’essentiel du savoir arabe. Les mathématiciens d’alors se passionnent pour l’algèbre et, surtout, pour un problème laissé ouvert : trouver une méthode générale et exacte de résolution de l’équation cubique. Par exacte, on entend une forme différente d’une suite qui converge vers la racine. Ces mathématiciens recherchent une expression analogue à celle d’Al-Khawarizmi pour le second degré qui, à l’aide de racines carrées ou cubiques, donnerait la solution.


text: L’âpre compétition qui règne entre les différents mathématiciens stimule les candidats et pousse à l’émergence d’idées nouvelles. Scipione del Ferro trouve comme formule de résolution de l’équation "X" + "aX" = "b" :


text: A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer précisent : . La formule avait à l’époque de quoi susciter l’étonnement. Un calcul algébrique est encore justifié par un support géométrique. Un nombre tire sa justification d’une longueur, d’une aire ou d’un volume. Le signe - n’a de sens que si une longueur est soustraite à une plus grande. Dans la solution que propose del Ferro, on retranche une "longueur" à une autre longueur plus petite. À cette époque, l’enjeu est de relever des défis, c’est-à-dire de résoudre des équations particulières, la rigueur de la méthode importe peu, tant qu’il est finalement possible de vérifier le résultat en "remplaçant x" dans l’équation par la solution présumée.


text: Une question reste ouverte : comment résoudre l’équation "X" + "a" = "bX", si 4"b" > 27"a" ? Cette fois-ci, la méthode semble impraticable car la grandeur négative qui apparaît devrait correspondre à la surface d’un carré (au sens géométrique du terme). Tartaglia, un des spécialistes de l’époque en la matière, qualifie l’équation d’"irréductible". C’est finalement Cardano qui trouve la solution : il suffit de ne pas arrêter les calculs. Ces étranges termes finissent par disparaître ; par exemple en appliquant des identités remarquables comme :


text: Une nouvelle étape est franchie. Si la signification précise de l’expression √-1 reste mystérieuse, l’idée de faire appel à un ensemble de nombres plus grand pour résoudre une question en théorie des équations est découverte. Un élève de Cardano, Ludovico Ferrari résout l’équation quartique, en 1540. Bombelli propose un formalisme autorisant l’existence de nombres négatifs et imaginaires. Son influence, attestée par les commentaires de Stévin ou la correspondance entre Gottfried Wilhelm Leibniz et Huygens, est durable.


text: L’article "Méthode de Cardan" présente la solution, en termes contemporains, de l’équation cubique, et celui intitulé "Méthode de Ferrari" celle du quatrième degré.


text: Le début d'une véritable "théorie des équations" est généralement attribué à Viète, mathématicien français de la fin du . S’il refuse encore de considérer les avancées de Bombelli, c’est-à-dire les nombres négatifs ou imaginaires, il réalise néanmoins trois avancées majeures.


text: La plus célèbre est probablement celle qu’il appelle la "logique spécieuse" et que l’on qualifie maintenant de calcul littéral. Viète réunit deux usages des lettres en mathématiques. Celui de l'algèbre se répand et se perfectionne en Europe au cours du , mais apparaissait déjà chez Diophante : une lettre s’additionne ou se multiplie et joue le rôle d’inconnue dans une équation. Celui de la géométrie est courant dès l'Antiquité : une lettre désigne une grandeur ou un objet non spécifié, point, droite, distance entre deux points sur une figure… Les principes généraux de résolution des équations ne peuvent être établis qu'à l’aide de la géométrie, comme l’usage de gnomons pour les identités remarquables, puis illustrés par des exemples d’équations polynomiales aux coefficients numériques, que Viète considère comme appartenant à la "logique numéreuse". Viète introduit une deuxième catégorie de lettres pour les coefficients. Ceux-ci sont aussi des valeurs considérées comme fixées, même si on ne les connaît pas : c'est ce qu'on appelle maintenant un "paramètre". En transportant une ancienne habitude géométrique à l’algèbre, Viète crée la "logique spécieuse". Cette nouvelle approche revient à considérer une équation comme une expression du type : "aX" + "bX" = "c". Réussir à résoudre cette équation c’est être capable de résoudre toutes les équations du second degré, un unique cas général de logique spécieuse permet de traiter une infinité de cas particuliers issus de la logique numéreuse.


text: À ce premier apport, Viète ajoute le développement d’un langage symbolique permettant d’exprimer plus simplement une expression polynomiale. Les idées de Viète permettent une expression plus limpide que celle de ses prédécesseurs. Son vocabulaire est toujours en partie d’actualité : on lui doit le terme de "coefficient" ainsi que celui de "polynôme".


text: Ce formalisme permet d’exprimer les premiers résultats généraux, au sens où ils sont indépendants du degré du polynôme, comme la relation entre les coefficients et les racines d’un polynôme.


text: Le système de notations de Viète est repris par Fermat et Descartes pour, d’après Nicolas Bourbaki, devenir Ces travaux permettent un renversement de la hiérarchie mathématique. Jusqu’à Viète, la "théorie des équations" est nécessairement une émanation de la géométrie. L’unique méthode générique de démonstration se fonde sur les "Éléments d’Euclide" et les calculs-clés, comme les identités remarquables, sont établis à l’aide de considérations géométriques. Le calcul littéral permet d’affranchir l’algèbre de ces contraintes. Pour Descartes, l’algèbre, additionnée de l’usage d’un repère cartésien, devient une machine à démontrer des théorèmes géométriques. Elle est une


text: La deuxième moitié du est l’époque d’un séisme appelé calcul infinitésimal. L’étude des trajectoires et des mouvements, issue de la physique, est à l’origine de nouvelles idées. Pour cette étude, Isaac Newton cherche à modéliser l’idée de variable à l’aide du concept de temps, qu’il appelle "fluente" : .


text: Si ces résultats apportent des éléments nouveaux à la théorie des équations, ils n’en font pas partie au sens propre. Newton développe sa méthode pour les polynômes, mais elle n’est en rien spécifique à ceux-ci et permet d’approximer un zéro d’une fonction dérivable quelconque, ce dont Newton prend conscience puisqu’il applique ensuite sa méthode à des fonctions non polynomiales. Le théorème de Rolle est maintenant généralisé à toute fonction dérivable, même si la démonstration de ce résultat date de 1860. D’autres résultats de même nature, comme la méthode de Ruffini-Horner pour approximer une racine ou le théorème de Sturm pour localiser la présence d’une solution dans un intervalle, sont mis au point durant le .


text: Les nombres imaginaires sont nés dans une ambiguïté que le calcul infinitésimal finit par dissiper. Pour Bombelli, un nombre imaginaire est une longueur géométrique à laquelle on a "ajouté" l’un des quatre signes possibles : le plus des "vraies" longueurs, le moins, ainsi que deux autres qu’il appelle "piu di meno" et "meno di meno" qui correspondent avec nos notations à i et -i. Il existe une autre définition, plus générale mais plus vague, qui nous vient de Descartes. Il utilise pour la première fois le terme "imaginaire" en 1637. Pour exprimer les relations entre les coefficients et les racines, mises en évidence par Viète, il est nécessaire de faire parfois appel à des "nombres impossibles" soit parce qu’ils sont «"moindres que rien"» ce qui n'a pas de sens pour une longueur, soit parce qu’ils sont "impossibles". Ces racines doivent alors être imaginées, elles sont . Ces deux définitions ne semblent pas équivalentes. Dans un cas, les nombres imaginaires sont définis comme des complexes de la forme "a" + i."b", dans l’autre, un nombre imaginaire est n’importe quoi qui pourrait servir aux calculs intermédiaires d’une équation algébrique. A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer décrivent ainsi cette double définition : .


text: Le calcul infinitésimal incite au choix d’une définition précise et permet de résoudre les paradoxes apparents de ces étranges nombres. La racine carrée possède une propriété algébrique, si "a" et "b" sont deux réels positifs, √.√ = √, d’où un premier paradoxe :


text: À travers des développements en série, Gottfried Wilhelm Leibniz parvient à justifier des égalités de Bombelli comme :


text: Les travaux de De Moivre mettent en évidence une correspondance entre les "imaginaires" de Bombelli et la trigonométrie. La formule d'Euler "e" + 1 = 0 donne leurs lettres de noblesses aux nombres complexes de la forme "a" + "i.b". Tobias Dantzig remarque que cette formule contient : La logique de Bombelli est définitivement adoptée.


text: Si ces travaux ne se rattachent pas à l'algèbre ou à la "théorie des équations", ils sont néanmoins indispensables pour comprendre son histoire et son contenu.


text: Le récent statut acquis par ces nombres imaginaires impose la démonstration d’un théorème : "Tout polynôme non constant admet au moins une racine complexe". Il est alors entendu que les coefficients sont des nombres réels. C’est Jean le Rond d’Alembert qui en exprime la première fois le besoin en 1746. Sa motivation n’est en rien algébrique, il souhaite intégrer des fonctions rationnelles et utilise pour cela une décomposition en éléments simples. Sa démonstration est issue de ses préoccupations, elle est purement analytique.


text: La question est immédiatement considérée comme importante, et ce résultat prend le nom de "théorème fondamental de l’algèbre". Le terme est cohérent car l’algèbre désigne, à cette époque, la "théorie des équations". Mais la preuve de d’Alembert ne séduit pas. Tout d’abord, elle suppose connus deux résultats, l’existence d’un minimum pour une fonction continue définie sur un compact ; ensuite un théorème de convergence de série, maintenant appelé théorème de Puiseux. L’absence de techniques topologiques et de connaissance sur la convergence rend à l’époque impossible une démonstration complète. Ensuite, l’usage exclusif de l’analyse n’apparaît pas comme la méthode la plus adéquate pour démontrer le résultat fondamental de la "théorie des équations".


text: Euler reprend la question sous un angle algébrique, héritage d’al-Khawarizmi et de Viète. Son objectif est de montrer que les racines, au sens de Descartes, sont bien des nombres complexes au sens de Bombelli. Dans le cas du degré 4, sa démonstration est rigoureuse mais inutile, les formules de Ferrari établissant déjà le résultat. Pour les autres cas, la démonstration n’est qu’esquissée. Lagrange comble les lacunes en 1771.


text: Cette approche algébrique ne convainc pas Gauss qui indique : Rien ne permet effectivement encore de donner un sens comme le fait Descartes aux racines, qui sont pourtant utilisées dans les calculs de Lagrange.


text: La première démonstration de Gauss est construite sur le canevas de d’Alembert, mais la compréhension des fonctions continues est encore trop faible pour permette de conclure. Les travaux de Bolzano finissent par permettre à Jean-Robert Argand de rédiger la première démonstration solide, encore sur les idées de d’Alembert. Gauss trouve une preuve un peu plus tard, cette fois ci sur le canevas d’Euler et de Lagrange. Sa compréhension des polynômes formels lui permet de trouver un contournement. Comme toutes les preuves "algébriques" du théorème, elle contient une partie analytique, à savoir l’existence d’une racine si le degré du polynôme est impair.


text: L’article détaillé relate plus précisément cette partie de l’histoire et propose diverses démonstrations du théorème.


text: Si la découverte du calcul infinitésimal permet quelques percées, celles-ci ne sont guère "algébriques", et à ce titre n’entrent que partiellement dans la "théorie des équations". Les mathématiciens, forts des succès concernant les équations de degré inférieur à quatre, se sont efforcés de trouver des formules analogues à celles d’al-Khawarizmi, Cardano ou Ferrari, mais cette fois pour un degré quelconque. Plusieurs tentatives, émanant de Tschirnhaus (un ami de Leibniz) puis d'Euler et enfin de Bézout, se soldent par des échecs.


text: Les canevas sont similaires, l’objectif est de ramener une équation de degré "n" à une forme canonique "X" - "c" = 0. À partir de cette forme canonique, l’équation n’est pas encore complètement résolue mais les travaux de Moivre en trigonométrie permettent d'écrire une solution "x" , si "c" est positif :


text: Pour cela, la méthode consiste à passer d’une équation à une inconnue "P"("X") = 0 à deux équations à deux inconnues en ajoutant la suivante : "Q"("X") - "Y" = 0. En choisissant habilement le polynôme "Q", serait-il possible d’annuler les coefficients intermédiaires ? Pour "n" égal à 2, 3 ou même 4, cette méthode revient à résoudre une équation d’un degré inférieur, que l’on résout avec les méthodes précédentes. Mais avec "n" égale 5, l’équation à résoudre est de degré 120, et si l’on peut ramener son degré à 24 par d’autres artifices, la méthode n’est guère concluante.


text: En 1771, Alexandre-Théophile Vandermonde apporte du nouveau sur ce délicat point noir. Son ambition est plus modeste que celle de ses prédécesseurs. Il ne cherche plus à résoudre l’équation algébrique dans son intégralité, mais uniquement celle que les tentatives précédentes recherchaient comme point d’arrivée, à savoir . Comme le passage du coefficient 1 au coefficient "c" est trivial, il se limite à l’équation , dite cyclotomique. La valeur "n" peut être choisie parmi les nombres premiers, la résolution de ce cas particulier permet d’en déduire les solutions dans le cas général.


text: Une expression trigonométrique de la solution est connue, ce qui assure que les "n" racines de l’équation sont bien complexes et dans ce cas particulier, le théorème fondamental de l’algèbre est déjà établi. Il reste encore à trouver une "formule" algébrique capable de les exprimer. Par formule algébrique, on entend une expression contenant des nombres rationnels, l’unité imaginaire "i", les quatre opérations et des fonctions racines "n". Le terme consacré est "résolution par radicaux de l’équation algébrique".


text: La méthode de Vandermonde consiste à faire usage de polynômes en plusieurs indéterminées, et particulièrement des polynômes symétriques, c’est-à-dire ceux qui sont invariants par toute permutation des indéterminées. La relation entre les coefficients et les racines peut se lire comme le fait que "n" polynômes symétriques à "n" indéterminées ont une image connue du "n"-uplet des racines, ces images sont les coefficients du polynôme. Ce résultat est une reformulation d’une remarque de Viète. L’intérêt est que ces "n" polynômes symétriques génèrent l’intégralité des polynômes symétriques. En plus les images sont particulièrement simples pour le polynôme cyclotomique, elles sont toutes nulles, à l’exception de celle associée au polynôme "X"..."X", qui vaut ±1 selon la parité de "n". Enfin, si les racines sont notées dans l’ordre trigonométrique ξ = 1, ξ, ξ..., ξ"" on trouve que, ξ""•ξ"" = ξ si "j" + "k" < "n", et ξ sinon.


text: La méthode de Vandermonde consiste à calculer des sommes partielles de racines, qui peuvent s’exprimer comme des images de fonctions rationnelles en des polynômes symétriques. Ceci permettrait de calculer ses sommes partielles, puis d’appliquer une nouvelle décomposition de chaque somme en sous-sommes et de calculer ces sous-sommes. En réitérant, il a l’espoir d’obtenir des sous-sommes composées chacune d’une unique racine et de conclure. Cette méthode lui permet de résoudre le cas où "n" est égal à 11, mais une méthode générique reste hors de portée. Il a toutefois résolu une équation du qui n’avait aucune factorisation évidente autre que celle associé au terme ("X" - 1).


text: Pour résoudre l’équation cyclotomique de degré quelconque, il reste encore un problème combinatoire. Comment associer les racines pour en faire des sommes partielles, solutions d’équations de degrés moindres ? Problème que ne résout pas Vandermonde. L’article détaillé propose une résolution pour les degrés 5 et 17.


text: Dans son mémoire de 1771, Lagrange réalise une synthèse de toutes les méthodes utilisées dans le passé pour résoudre l’équation algébrique de petit degré. À l’aide de cette synthèse, il développe une méthode, qui s’applique aux degrés 2, 3 et 4. Il montre de plus que cette méthode ne peut aboutir dans le cas général si le degré est plus élevé. Sa démarche, même si elle aboutit à un échec, est à beaucoup d’égards un véritable pas en avant.


text: Tout d’abord, la méthode est suffisamment générale pour que toutes les tentatives précédentes ne soient que des cas particuliers de la sienne. Il met ainsi un terme à l’époque des méthodes empiriques de Tschirnchaus ou Euler, nécessairement vouées à l’échec.


text: Il reprend l’idée de Vandermonde d’utiliser les fonctions symétriques ainsi que les relations entre les coefficients et les racines et montre l’importance des "n"! permutations des racines pour la résolution du cas général. Il établit à ce propos deux théorèmes préfigurant la théorie des groupes. Le premier est que les "n"! permutations d’un "n"-uplets ont comme image par une fonction de "n" variables un ensemble de cardinal un diviseur de "n"!. Ce résultat est un ancêtre de ce que l’on appelle maintenant le théorème de Lagrange sur les groupes. Le deuxième concerne les fonctions qu’il qualifie de semblables et qui sont invariantes par le même sous-groupe de permutation. Ce résultat anticipe les théorèmes sur les suites de sous-groupes que l’on trouve dans la théorie de Galois ou dans le Théorème de Jordan-Hölder.


text: La conclusion de Lagrange est pessimiste : L’idée d’une impossibilité de résolution algébrique de l’équation est émise. Le chemin est tracé, soit pour trouver une méthode générale de résolution, soit pour montrer l’inexistence d’une telle méthode. La solution réside dans une analyse combinatoire des possibles permutations des racines. La conclusion est analogue à celle de Vandermonde pour le polynôme cyclotomique, mais cette fois, elle reste valable dans le cas général.


text: En parallèle des travaux de Vandermonde et de Lagrange, les développements de l’analyse ont fait perdre beaucoup d’intérêt au problème millénaire de la résolution d’une équation. À l’époque des mathématiques arabes, cette résolution était une méthode de calcul numérique essentielle. Al-Buruni souhaitait résoudre l’équation cubique pour calculer des sinus de tiers d’angle déjà connue. Dès l’aube du , l’analyse offre des méthodes beaucoup plus efficaces pour calculer des racines. Les résultats de Lagrange montrent qu’il faudra de plus, soit beaucoup de calculs, soit une grande idée, pour mettre un point final à cette question. De plus, elle risque fort de prendre la forme d’un constat d'échec, peu prometteur en termes de progrès des mathématiques. Cet environnement n’est pas favorable pour motiver des mathématiciens déjà renommés par ailleurs.


text: Gauss ouvre le siècle suivant en apportant des éléments de réponses, sur les questions de Vandermonde et de Lagrange. Avancer dans la théorie des équations suppose le choix de « bonnes » fonctions rationnelles, invariantes par certaines permutations des racines. Lagrange l’a clairement montré et Vandermonde a émis l’hypothèse qu’elles devaient exister pour l’équation cyclotomique. Le nombre de permutations augmente rapidement en fonction du degré "n" du polynôme, il en existe factorielle "n", soit déjà 120 pour le degré 5. L’approche aléatoire imposerait une quantité de calcul rapidement rédhibitoire. Gauss tient compte de cet acquis et change radicalement les méthodes d’analyse.


text: Il ne s’attaque pas au problème général, mais uniquement à l’équation cyclotomique, qu’il appelle . Sa méthode préfigure la démarche-clé du , toujours en vigueur. . Cette structure possède des points communs avec celle des entiers, il en conclut que cette branche des mathématiques . Par arithmétique transcendante, Gauss entend ce que l’on appelle maintenant la théorie algébrique des nombres. En termes contemporains, l’analogie provient du fait que si les coefficients sont choisis dans un corps commutatif, l’anneau des polynômes et celui des entiers sont tous les deux euclidiens. Le cas où ils sont entiers l’amène à démontrer un lemme qui porte son nom, montrant le caractère factoriel de cette structure. Il utilise une de ses découvertes, l’arithmétique modulaire et travaille aussi sur des polynômes à coefficients sur les corps finis.


text: Pour « choisir » les bonnes permutations, Gauss remarque qu’elles sont liées à la structure du groupe multiplicatif des racines, ou plus exactement celui de ses automorphismes. Dans le cas du polynôme cyclotomique, les racines sont les racines "n"-ièmes de l’unité et elles forment un groupe commutatif. À la différence de Lagrange, il perçoit l’importance de la loi du groupe, qui permet de combiner les différents éléments, alors que Lagrange se limitait à un simple dénombrement. Cette opération se traduit par des sommes de Gauss, qui permettent de trouver les sommes partielles imaginées par Vandermonde. Il en profite pour résoudre une conjecture qu’avaient vainement tenté de démontrer Euler et Legendre : la loi de réciprocité quadratique.


text: Si Gauss fait progresser la théorie des équations, son objectif est néanmoins différent ; il met à jour une connexion inattendue entre la théorie des nombres et celle des équations.


text: L’éventuelle impossibilité de la résolution par radicaux du cas général fait son chemin. Paolo Ruffini publie quatre mémoires à ce sujet, en 1799, 1804 puis en 1808 et 1813. Pour la première fois, est déclarée clairement cette impossibilité. Sa tentative pour le montrer suit la démarche de Lagrange et consiste à montrer que l’usage d’une équation auxiliaire ne permet pas, pour le degré 5, d’abaisser systématiquement le degré de l’équation initiale. Il établit que, si une fonction symétrique de cinq variables prend strictement moins de cinq valeurs par permutations des variables, alors elle n’en prend pas plus de 2. En conséquence, si la méthode de Tschirnhaus fonctionnait, elle réduirait une équation du cinquième degré à une équation du deuxième degré, ce qui n’est pas possible dans le cas général. Cette approche est lacunaire. Rien n’indique qu’une approche radicalement différente de celles décrites par Lagrange ne pourrait aboutir.


text: Pour conclure de manière définitive, il fallait raisonner différemment que ne l’avaient fait Lagrange ou Ruffini. Niels Abel l’exprime ainsi : En 1826, Abel part du résultat et suppose qu’il existe une formule, fonction rationnelle de radicaux, qui donne la solution d’une équation de degré 5. Il sait qu’elle est à même d’exprimer 5 racines différentes et qu’en conséquence, elle possède un comportement précis vis-à-vis des permutations des variables, déjà étudiées par Vandermonde, Lagrange puis Cauchy. Il démontre que ce comportement introduit une absurdité.


text: Ce résultat reste à ce moment fort peu connu. Son article, pourtant envoyé à Gauss, Legendre et Cauchy n’intéresse personne. Gauss, qu’Abel souhaite rencontrer dans sa ville de Göttingen, ne le reçoit pas. D’un point de vue théorique, le résultat d’Abel apparaît tout d’abord comme la mort de la "théorie des équations", du moins sous sa forme classique, et l’intérêt de s’investir dans une branche condamnée semble limité. Et puis, à quoi bon souhaiter exprimer les racines sous forme de radicaux ? En termes algébriques, comme le fait remarquer Gauss, il est plus simple de noter les racines "x"..., "x" et l’expression sous forme de radicaux est un peu désuète. En termes de calcul numérique, cette méthode est lourde, comparée à ce que permet l’analyse. Il suffit, pour s’en rendre compte, de regarder l’expression de la partie réelle d’une des racines de l’équation "X" – 1 = 0, trouvée par Gauss :


text: Abel ne trouve une première notoriété que posthume, avec son travail sur les intégrales elliptiques, et non avec son travail sur la théorie des équations.


text: Évariste Galois naît en 1811, soit huit ans après Abel. Il n’a que 14 ans lors de la publication du théorème de son prédécesseur. Quand il trouve une nouvelle démonstration, il n’est probablement pas au courant de l’article d’Abel. De façon certaine, sa démarche est différente. Elle entre plus dans la tradition de Gauss que dans celle de Lagrange ou de Cauchy. Il s’intéresse aux permutations qui laissent invariants tous polynômes en plusieurs indéterminées, appliquées aux racines, tout comme Lagrange, Cauchy ou Abel. Cependant, à l’image de Gauss, il concentre ses efforts sur l’étude de la loi de composition, il précise : . . À la différence de Gauss, il n’étudie pas le cas particulier de l’équation cyclotomique, dont le groupe est très simple, car cyclique, mais le cas général.


text: À l’aide de cet outil maintenant appelé groupe de Galois, le mathématicien établit trois résultats, le théorème de l'élément primitif, le théorème fondamental de la théorie de Galois et une nouvelle mouture du théorème d’Abel, plus profonde que la précédente puisqu’il donne une condition nécessaire et suffisante de résolubilité. G. Verriest décrit les travaux du mathématicien dans les termes suivants : Un peu à l’image des réflexions de Lagrange, ces trois théorèmes font le tour complet de la théorie des équations. Mais en plus d’englober les méthodes passées, Galois donne aussi une vision qui permet de comprendre la nature de toute équation algébrique, résoluble ou non.


text: L’accueil qu’il reçoit est encore plus glacial que celui d’Abel. Cette fois-ci, . Un nouvel envoi de ses travaux sur les équations elliptiques provoque le commentaire suivant :


text: On utilise souvent les expressions d'« inventeur » ou de « père » de l’algèbre moderne pour désigner Galois. Alain Connes, un spécialiste du domaine, précise : . Pour comprendre la raison d’être d’un tel propos, il est utile de regarder ce qu’est l’algèbre du milieu de . En 1854, Serret publie un livre "Cours d’Algèbre supérieur" qu’il définit comme Cette vision, que confirmait déjà Al-Khayyam dans son grand traité écrit au , était dès l’époque de Gauss puis de Galois, déjà devenue obsolète.


text: Depuis Al-Khawarizmi et jusqu’à la fin du , la théorie des équations est une théorie de formules. Les maîtres arabes, tout autant que ceux de la Renaissance italienne, procèdent de cette logique pour résoudre les équations de bas degrés, ou quant à l’aide d’un discriminant, ils établissent l’existence de racines multiples. Le langage de Viète, ne sert finalement qu’à mieux les exprimer, ce qui permet de trouver d’autres formules comme les relations entre coefficients et racines. Lagrange entre dans cette tradition dans ses "réflexions", même si finalement il en établit le caractère aléatoire et aventureux pour les degrés plus élevés.


text: La logique de Galois est en rupture par rapport à cet héritage millénaire. Liouville, qui la redécouvre 11 ans après la mort de son auteur, la présente à l’Académie des sciences avec les propos suivants : Ce sont, avant tout, des structures que Galois met en évidence. La première, déjà citée, est celle de groupe. La redécouverte des idées de Galois la met en première ligne : Cauchy ne publie pas moins de vingt-cinq articles sur cette question après la présentation de Liouville, dont un porte encore son nom. En 1870, Camille Jordan publie un livre présentant les travaux de Galois essentiellement comme une théorie sur les groupes. Un autre aspect n’est pas passé sous silence. Chez Galois, les éléments du groupe sont aussi des "symétries" d’un espace géométrique. Cet angle d’analyse, que l’on considère maintenant comme de l’algèbre linéaire est l’une des idées fondatrices développées dans le livre de Jordan. Ces aspects structurels, à travers l’analyse des diviseurs de la dimension d’un espace vectoriel, est la manière la plus simple de démontrer des conjectures plusieurs fois millénaires, à savoir la trisection de l’angle ou la duplication du cube. Le titre du livre de Jordan "Traité des substitutions et des équations algébriques" est à cet égard évocateur : . .


text: La logique structurelle inventée par Galois est à l'origine d'une profonde mutation, elle ne touche pas uniquement le périmètre de la "théorie des équations" qui devient l'algèbre au sens contemporain du terme, mais toute la mathématique.


title: Dresseur Pokémon

text: Dans l'univers Pokémon, un dresseur Pokémon est une personne qui capture des Pokémon sauvages avec des Poké Balls, les élève et les entraîne à combattre les Pokémon d'autres dresseurs. Le protagoniste de chaque version des jeux vidéo Pokémon est un dresseur ambitieux. Un dresseur notoire est Sacha, le personnage principal de l'anime Pokémon.


title: Dresseur Pokémon

text: Le terme "Dresseur Pokémon" peut aussi être utilisé dans un sens plus générique: n'importe quelle personne avec au moins un Pokémon en sa possession peut être considéré comme un dresseur. Dans ce sens, les personnes impliquées dans des occupations reliées aux Pokémon, comme des Coordinateurs Pokémon ou des Artistes Pokémon peuvent eux aussi être considérés comme des Dresseurs Pokémon.


title: Dresseur Pokémon

text: Quelques Dresseurs Pokémon emportent avec eux un Pokédex, qui leur sert à s'identifier ainsi qu'à conserver un suivi des Pokémon que le dresseur a vu ou capturé. Le processus de complétion de cette liste est souvent appelé « remplir » le Pokédex. Dans la série animée, le Pokédex est déjà rempli d'informations dont un dresseur a besoin pour identifier un Pokémon, mais dans les jeux vidéo, les données du Pokédex sont vides et seront graduellement remplies au fur et à mesure que le joueur voit ou capture des Pokémon. Quand un Pokémon est rencontré, une image de ce Pokémon est transmise vers le Pokédex, ainsi que les régions dans lesquelles il peut être trouvé. En attrapant ce Pokémon, le Pokédex donnera une petite description ainsi que son poids et sa taille.


title: Dresseur Pokémon

text: Beaucoup de Dresseurs Pokémon participent à des compétitions dans la Ligue Pokémon de leur région. Pour pouvoir participer à ces compétitions, un dresseur doit gagner un certain nombre de Badges provenant de différentes arènes de la région en combattant.


title: Dresseur Pokémon

text: Une personne devient généralement un Dresseur Pokémon quand elle a dépassé l'âge de dix ans. Une autorité choisie par la Ligue Pokémon régionale, généralement un expert en Pokémon comme le Professeur Chen, peut autoriser à un potentiel dresseur de choisir son premier Pokémon. Dans les jeux vidéo, un second dresseur, souvent appelé le "rival", choisira le Pokémon avec un avantage de type face à celui choisi par le joueur.


title: Dresseur Pokémon

text: Les Matchs Pokémon (aussi appelés "Combats Pokémon" ou "Batailles Pokémon") sont des moyens utiles pour que les Pokémon s'exercent, et sont surtout la source majeure de revenus pour un dresseur. En affaiblissant un Pokémon sauvage et en le capturant dans une Poké ball, les Matchs Pokémon sont aussi la méthode primaire pour acquérir de nouveaux Pokémon. Un Match Pokémon est essentiellement un combat où deux équipes de Pokémon se battent jusqu'à ce que tous les membres d'une équipe soient KO. Dans un Match Pokémon classique, seul un Pokémon de chaque équipe peut se battre en même temps; dans certains jeux, des "double matchs" sont possibles, où deux paires de Pokémon (une pour chaque équipe) peuvent se battre en même temps. Les Dresseurs Pokémon ne sont pas autorisés à avoir plus de six Pokémon sur eux à la fois. Les Pokémon supplémentaires sont automatiquement entreposés dans un système de PC.


title: Dresseur Pokémon

text: Dans les jeux vidéo, un dresseur vainqueur reçoit une somme d'argent de la part du dresseur vaincu. Cet argent peut être utilisé pour acheter des objets dans la Boutique Pokémon locale, un supermarché spécialisé en objets liés aux Pokémon. À la fin d'un combat, les Pokémon du dresseur vaincu sont généralement tous KO. Dans ce cas là, les dresseurs se dirigent rapidement vers un Centre Pokémon, qui soigne leurs Pokémon gratuitement. Dans la série animée, les Centres Pokémon servent aussi d'auberges pour les Dresseurs Pokémon.


title: Dresseur Pokémon

text: Bien que les Dresseurs Pokémon aient peu de distinctions, certains sont titulaires de certains titres:


title: Dresseur Pokémon

text: Un Champion d'Arène est un dresseur qui s'occupe d'un établissement d'entraînement pour un type spécifique de Pokémon (ou, dans certains cas plus rares, une équipe de Pokémon comprenant plusieurs types différents). Quelques arènes sont agréées par une Ligue Pokémon régionale, et les Champions de ces arènes offrent un Badge aux dresseurs qui ressortent vainqueurs d'un Match Pokémon en Arène. Dans les jeux vidéo, les Champions d'Arène donnent aussi une Capsule Technique (CT) aux dresseurs vainqueurs. Cette CT permet au dresseur d'apprendre une capacité à un de ses Pokémon.Généralement la CT donnée est du même type que l'arène.


title: Dresseur Pokémon

text: Un membre du Conseil des 4 est un des quatre dresseurs qu'un dresseur doit vaincre à la suite avant de pouvoir combattre le Champion de la Ligue Pokémon de la région.


title: Dresseur Pokémon

text: Un Maître Pokémon est un titre donné à un dresseur qui a (à quelques exceptions près), rempli l'intégralité de son Pokédex. Dans la série animée, beaucoup de Dresseurs Pokémon se fixent l'objectif de devenir Maître Pokémon, mais certains abandonnent à cause d'une autre possibilité de carrière ou d'un obstacle insurmontable. Certains dresseurs choisissent de se spécialiser dans un type de Pokémon particulier pour obtenir une maîtrise sur ce type particulier. Ondine, par exemple, essaye de devenir un Maître Pokémon Eau. Dans les jeux vidéo, devenir Maître Pokémon est une tâche impossible avec un seul jeu - l'échange de Pokémon avec des dresseurs utilisant d'autres versions est nécessaire pour devenir Maître Pokémon, car certains Pokémon ne sont disponibles que dans certaines versions.


title: Dresseur Pokémon

text: Un coordinateur Pokémon est une personne qui participe régulièrement aux Concours Pokémon de différentes villes. Pour être un coordinateur Pokémon, un dresseur a besoin d'un Pokémon, un minimum de connaissance sur les différentes attaques, des PokéBlocks ou des Poffins selon la région, un Passe Concours, et/ou des rubans.


title: Dresseur Pokémon

text: Dans les saisons 6 à 9 de l'anime, Flora ("Haruka" dans les versions japonaises) est une coordinatrice qui a tendance à participer au plus de Concours Pokémon possibles afin de gagner 5 Rubans et de participer au Grand Festival d'une région. Les rivaux de Flora, Drew, Harley et Soledad, sont aussi coordinateurs Pokémon.


title: Dresseur Pokémon

text: Dans les saisons 10 à 13, c'est Aurore ("Hikari" dans les versions japonaises) qui remplace Flora. Ses rivaux sont Zoé, Kenny, Nando, Jessie et Ursula.


title: Dresseur Pokémon

text: Le but de tout coordinateur Pokémon est de devenir Top coordinateur. Pour cela, il faut remporter un Grand Festival.


title: Dresseur Pokémon

text: Une Artiste Pokémon est une personne participant à un salon. Cette compétition existe uniquement dans la région de Kalos et destinée aux conçurentes féminins.


title: Dresseur Pokémon

text: Deux épreuves sont disponibles. La première partie est de monter sur scène avec leurs Pokémon habiller lors des démonstrations. La compétition peut avoir plusieurs thèmes comme la cuisine, le stylisme, ou encore un quiz.


title: Dresseur Pokémon

text: La deuxième épreuve est une épreuve libre. Elle consiste à exécuter une performance rythmique et coordonnée.


title: Dresseur Pokémon

text: La récompense sont les Clés de la Princesse qui sont au même titre que les badges ou les rubans. Les candidates doivent en avoir au minimum trois pour participer à Épreuve des Élues.


title: Dresseur Pokémon

text: Les votes prennent une autre fonction. Les résultats des jurys sont aussi important que les téléspectateurs.


title: Dresseur Pokémon

text: La priorité des Artistes Pokémon consiste à devenir Reine de Kalos. Il faut cependant remporter le Salon Pokémon.


title: Dresseur Pokémon

text: Le but de beaucoup de Dresseurs Pokémon n'est pas seulement de dresser des Pokémon puissants (ou d'aider des Pokémon à devenir de meilleurs combattants), mais de participer à des compétitions dans la ligue de leur région. Pour faire cela, ils doivent collectionner les huit Badges d'Arènes de la région.


title: Dresseur Pokémon

text: Dans les jeux vidéo, un Badge d'Arène sert non seulement à un symbole du progrès du joueur à travers le jeu, mais aussi à augmenter l'autorité du joueur sur les Pokémon. Un badge donnera généralement la possibilité au joueur d'utiliser des Capsules Secrètes (CS) qui lui permettent d'utiliser certaines attaques en dehors d'un Match Pokémon. Ces CS permettent au joueur de déplacer certains obstacles, d'illuminer des endroits obscurs, ou encore de voyager sur l'eau. L'acquisition de certains badges réduit aussi les chances qu'un Pokémon puissant désobéisse aux ordres de son dresseur, ce qui fait de ces badges des symboles de respect entre Pokémon et dresseur. Certains badges augmentent aussi certaines statistiques des Pokémon du dresseur, comme leur force d'attaque ou leur vitesse. Huit Badges d'Arènes sont nécessaires pour combattre le Conseil des 4 dans chacune des régions géographiques contenant une Ligue Pokémon (Kanto, Johto, Hoenn, Sinnoh, Unys, Kalos et Alola).


title: Dresseur Pokémon

text: Dans l'anime, bien que les seules arènes montrées sont celles des jeux vidéo, il semble y avoir plus de huit arènes par région, car certains dresseurs ont été vus avec des Badges ne figurant pas dans les jeux vidéo (Régis, Morisson, Barry et Paul par exemple, possèdent des Badges inconnus). Malgré cela, seuls huit badges sont nécessaires pour participer à la Ligue Pokémon.


title: Dresseur Pokémon

text: Un Dresseur Pokémon qui semble être le protagoniste des premiers jeux vidéo Pokémon est un personnage jouable sur le jeu de combat de Nintendo "Super Smash Bros. Brawl" sur la console Wii. Ses vêtements par défaut ressemblent à ceux portés par le Dresseur Pokémon des versions "Rouge Feu" et "Vert Feuille". Ce personnage, appelé "Dresseur Pokémon", enverra ses trois Pokémon (Carapuce, Herbizarre, et Dracaufeu) au lieu de se battre directement. Chaque Pokémon a ses propres attaques spéciales. Leur Smash Final est appelé le "Triple Finish", et est une combinaison des attaques "Hydro Canon", "Lance Soleil", et "Déflagration". Le personnage Dresseur Pokémon reste dans le décor, et peut être vu en train de lancer des ordres au Pokémon combattant.


title: Dresseur Pokémon

text: Dans l'Émissaire Subspatial, il interviendra contre une bande de Primids avec son Carapuce (seul Pokémon qu'il a pour le moment) et Lucas de Mother 3 dans un zoo abandonné puis ce dernier, voulant absolument sauver Ness (capturé par Wario), accompagne le Dresseur jusqu'aux ruines où ils feront face à Wario, mais ce dernier sera mis en échec. Puis dans les ruines, le Dresseur capturera Herbizarre et Dracaufeu. Ainsi armés, le Dresseur et Lucas devront affronter Galeon, un puissant robot de l'armée subspatiale, et ce dernier tente de s'autodétruire avec nos héros, mais ils seront sauvés "in extremis" par Meta Knight, Ike et Marth. Plus tard, le Dresseur sera témoin de la bataille entre Le Halberd et Le Great Fox, puis de l'invasion Primide dans le canyon, avant d'être sauvé par Mario, Pit, Link, Kirby et Yoshi. Puis il devra faire face à Tabuu pour sauver le monde.


title: Marcel Dubé

text: Marcel Dubé, né le à Montréal et mort le dans la même ville, est un dramaturge et scénariste québécois (canadien). Il est le frère de l'éditeur Yves Dubé.


title: Marcel Dubé

text: En 1949, Marcel Dubé gagne le second prix au concours littéraire l’A.C.J.C. avec le recueil de poèmes Couleurs des jours mêlés. Dès l’âge de 21 ans, il participe activement à la création d’une troupe de théâtre, La jeune scène, avec Monique Miller et Raymond Lévesque. Sa première pièce, "Le bal triste", qu’il écrit et qui est mise en scène en 1950, fut un échec. La visée qu'il poursuit est de dénoncer l'état des femmes dans cette époque.


title: Marcel Dubé

text: Il reçoit, en 1953, une bourse du ministère du Bien-Être et de la Jeunesse et il quitte alors le pays pour la France où il visite les théâtres et les écoles d’art dramatique parisiens.


title: Marcel Dubé

text: Il se fait connaître par le public québécois grâce à la présentation des pièces "Zone" (1953), "Un simple soldat" (1957) et "Au retour des oies blanches" (1966). Ces œuvres expriment un contraste avec les productions de l’époque à caractère classique, donc la famille unie, la religion et l’amour. La majorité de ses pièces sont publiées dans la collection « Théâtre » créée par son frère Yves Dubé chez Leméac.


title: Marcel Dubé

text: Son œuvre est divisée en deux parties : la première dépeint la société ouvrière, les travailleurs des villes. Il traite beaucoup de l’adolescence et du chemin vers le monde adulte, des envies de liberté, de contestation et de colère face à une société qui ne semble pas être présente pour eux. La seconde partie (après 1960), quant à elle, traite principalement de la bourgeoisie (notamment dans le film "Les Beaux Dimanches" paru en 1974). « Le dramaturge les dépeint en train de voiler leur déchéance morale dans les mondanités, de noyer leur ennui dans l’accumulation de biens matériels et dans l’alcool. Mais chacun doit bientôt régler ses comptes avec la vie : tombent alors les masques, et ces arrivistes se retrouvent face à eux-mêmes, condamnés à vivre. »


title: Marcel Dubé

text: Marcel Dubé est l'auteur des textes du téléroman "La Côte de sable" (1960) et adapte plusieurs de ses pièces ou en écrit directement pour la télévision de Radio-Canada. Il signe également le scénario du film "Les Beaux Dimanches", réalisé par Richard Martin en 1974, d'après sa propre pièce éponyme de 1968.


title: Marcel Dubé

text: Entre les années 2000 et 2004, l'auteur et réalisateur Gaêtan Lavoie réalise pour le compte de Télé-Québec une série documentaire en trois heures, intitulée "Les Temps de Marcel Dubé", qui résume l'essentiel de l'œuvre du dramaturge. Les épisodes, respectivement intitulés "Les Temps de l'enfance et de l'adolescence", "Les Temps des amours" et enfin "Les Temps de la maladie et de l'abandon" constituent le document audiovisuel le plus complet sur le dramaturge.


title: Marcel Dubé

text: Le fonds d'archives de Marcel Dubé est conservé au centre de Bibliothèque et Archives nationales du Québec (BAnQ) de Montréal.


title: Marcel Dubé

text: En 1968 et 1969, six pièces de théâtre ont été tournées et diffusées en quatre parties de 25 minutes durant l'été à la Télévision de Radio-Canada sous le titre "Le Monde de Marcel Dubé". Trois autres pièces ont été diffusés à l'automne 1971 :


title: Marcel Dubé

text: Maximilien Laroche, "Marcel Dubé", collection écrivains canadiens d’aujourd’hui, Montréal, Fidès, 1970


title: Le Dernier Chapitre

text: Le Dernier Chapitre ( en anglais) est une mini-série canadienne bilingue en douze épisodes de 45 minutes créée par Luc Dionne et diffusée en français entre le et le à la Télévision de Radio-Canada et en anglais sur le réseau CBC.


title: Le Dernier Chapitre

text: Cette mini-série suit le parcours de Bob Durelle, un motard criminel. Il étend impitoyablement son empire de trafic de drogues en établissant un nouveau chapitre des "Triple Sixers", une organisation de motards mondial, en Ontario. Celui-ci désire que son ami, Ross Desbiens, le suive ainsi que les autres gangs de Toronto. Mais, croyant l'échec préétablit, ce dernier refuse et fonde un autre gang de motard, Les "Matadores." Sur fond de trahison et d’amitiés brisées, des relations troublantes se tissent entre les chefs de bande et leur famille.


title: Le Dernier Chapitre

text: La série a été tournée simultanément dans les deux langues, les membres de la distribution étant bilingues, où chaque scène a été tournée en double, une pour chaque langue. La seule exception étant Michael Ironside, qui ne parle pas assez bien en français et a été doublé.


title: Grand Occident de France

text: La Ligue antisémitique de France (LAF), rebaptisée Grand Occident de France (GOF) par antimaçonnisme en 1899, est une ligue antisémite française fondée en 1897 et dirigée par le journaliste et militant antidreyfusard Jules Guérin.


title: Grand Occident de France

text: La Ligue antisémitique de France (LAF) se présente comme la continuation de la Ligue nationale anti-sémitique de France, présidée par le polémiste Édouard Drumont et active entre 1889 et 1892. Cette première ligue, caractérisée par la faiblesse de ses effectifs, avait presque cessé toute activité après 1890, Drumont s'en étant très vite désintéressé au profit de la rédaction de ses ouvrages puis de son propre journal, "La Libre Parole", fondé en 1892.


title: Grand Occident de France

text: Membre de cette première ligue, collaborateur de "La Libre Parole" et figure incontournable du groupe de militants antisémites formé autour du marquis de Morès, Jules Guérin décide de relancer la ligue, ou plutôt d'en fonder une nouvelle version, après la mort du marquis, survenue en .


title: Grand Occident de France

text: Les premiers signes d'activité de cette nouvelle ligue antisémite sont rapportés sans enthousiasme dans "La Libre Parole" en et . Bien que nommé président d'honneur de la ligue, Drumont se méfie de cette initiative, qui risque d'ériger en concurrent sérieux l'ambitieux Guérin, qui règne sans partage sur cette organisation militante en tant que « délégué général » auto-proclamé.


title: Grand Occident de France

text: Le siège de la ligue est d'abord installé au de la rue Alphonse-Poitevin (rebaptisée rue Lentonnet quelques mois plus tard).


title: Grand Occident de France

text: Le nombre d'adhérents à la LAF a souvent été surestimé, notamment sur la foi des chiffres mensongers avancés par Guérin, qui revendique dès , puis en .


title: Grand Occident de France

text: En réalité, il n'y a que en et l'historien Bertrand Joly estime que la LAF n'a jamais compté plus de , dont à Paris. Ces estimations ne valent que pour le paroxysme de l'agitation antisémite autour de l'affaire Dreyfus, en 1898-1899 : dès 1900, la police recense moins de mille adhérents, dont un tiers à Paris et sa banlieue. En dehors de la capitale, où Guérin peine à mobiliser plus d'une cinquantaine de personnes à la fois, les sections de province ont toujours été moins de vingt, avec le plus souvent des effectifs assez faibles et une activité très éphémère.


title: Grand Occident de France

text: Au delà de l'aspect quantitatif, il faut également souligner le problème qualitatif de ces effectifs, plusieurs membres de la ligue étant des indicateurs de police. Guérin lui-même, plus motivé par l'appât du gain que par la « cause » antisémite, est fortement soupçonné d'avoir collaboré secrètement avec les autorités moyennant finances.


title: Grand Occident de France

text: Après avoir entretenu quelques liens avec diverses organisations, et notamment avec l'Union nationale de l'abbé Garnier, la LAF se tourne en 1898 vers les milieux royalistes, qui disposent d'une abondante caisse noire, alors gérée par Eugène de Lur-Saluces et Fernand de Ramel. En , Guérin rencontre le prétendant royaliste, Philippe d'Orléans, à Marienbad. À l'issue de cette entrevue, il est convenu que les royalistes verseront, par l'intermédiaire d'André Buffet et de , une première somme de pour la LAF. Guérin bénéficie également de la largesse d'autres personnalités monarchistes. Au total, il reçoit ainsi près de 1,2 million de francs entre 1898 et 1904.


title: Grand Occident de France

text: Éblouis par Guérin, qui exagère éhontément l'influence de sa ligue, les royalistes ont vainement cherché à renouer avec les masses par l'intermédiaire de l'antisémitisme. Ce n'est qu'en 1904 ou 1905, soit un ou deux ans après la disparition de la ligue, que le prétendant, désabusé, cessera de financer Guérin.


title: Grand Occident de France

text: Si ce dernier a largement détourné ces subsides à son profit, une partie de l'argent royaliste a permis à la ligue de disposer d'un organe de presse, l'hebdomadaire "L'Antijuif", fondé en , et de s'installer très confortablement dans de nouveaux locaux. D'abord transféré au de la rue de Rochechouart en , le siège de la ligue est finalement installé, le , au de la rue de Chabrol, dans un immeuble acquis au mois de mars précédent et transformé en véritable forteresse.


title: Grand Occident de France

text: L'activité de la LAF est constituée de réunions, de conférences et de bruyantes manifestations de rue. Ses membres peuvent alors se montrer violents, comme lors des manifestations du sur la place de la Concorde, où ils brutalisent le commissaire de police . Des groupuscules satellites tels que le Cercle antisémitique d'études sociales, animé par Daniel Kimon, et l'Association française pour l'organisation du travail national, gravitent autour de la ligue et organisent également quelques réunions.


title: Grand Occident de France

text: Au paroxysme de l'agitation antidreyfusarde, fin 1898 et début 1899, Guérin participe aux conciliabules qui aboutissent, le , à la maladroite tentative de coup d'État menée par Paul Déroulède, chef de la Ligue des patriotes. Lors de cet événement, les hommes de la LAF ne sont qu'une trentaine et restent relativement passifs. Les locaux de la ligue et les domiciles de certains de ses membres sont cependant perquisitionnés au cours des jours suivants.


title: Grand Occident de France

text: En réaction à ces perquisitions, la LAF fait placarder une affiche dans laquelle elle se donne pour la première fois le titre de « Grand Occident de France, rite antijuif ». Détournant ainsi le nom du Grand Orient de France, principale obédience maçonnique française, elle dénonce l'appartenance des gouvernants à la franc-maçonnerie , qu'elle présente comme une organisation « devenue l'instrument de la Juiverie cosmopolite qui complote ouvertement contre la sécurité du pays ». Ce nouveau nom a également pour but de dresser un parallèle entre la ligue, accusée d'infraction à la loi sur les associations, et les loges maçonniques, tolérées par les autorités.


title: Grand Occident de France

text: Parodiant la triponctuation des « F ∴ du Grand Orient », Guérin revendique pour ses ligueurs le titre de « Frères ÷ », qu'il juge plus modeste, . Ces derniers s'amuseront en effet à traduire ces deux points par . Le changement de nom de la ligue est officialisé par Guérin le .


title: Grand Occident de France

text: En , alors qu'un vaste coup de filet cible les meneurs royalistes, nationalistes et antisémites du mouvement antidreyfusard en vue d'un procès pour complot devant la Haute Cour, Guérin résiste à son interpellation en se barricadant avec plusieurs complices au siège du GOF pendant un mois et demi. On désigne souvent cet événement, qui eut une couverture médiatique considérable à l'époque, par l'expression « Fort Chabrol ». Finalement arrêté le , Jules Guérin est condamné en à une peine de 10 ans de prison, commuée en bannissement le . En son absence, il est remplacé par son frère, Louis Guérin, à la tête du GOF.


title: Grand Occident de France

text: Toujours président d'honneur de la ligue, Drumont, encouragé par certains proches collaborateurs (Méry, Devos et Boisandré), profite de la situation pour fonder, le , un « comité national antijuif » destiné à drainer les dons en vue des élections législatives de l'année suivante. Une autre formation concurrente, le Parti national antijuif, a vu le jour deux mois plus tôt, mais son chef, Dubuc, va très vite se brouiller avec Drumont et prendre le parti de Guérin. À la suite d'une réunion houleuse à Bernay le , Drumont et ses collaborateurs démissionnent avec fracas du GOF.


title: Grand Occident de France

text: Privée de son chef, minée par les dissensions internes et atteinte par les révélations publiées par d'anciens adhérents et alliés, la ligue périclite. Elle disparaît définitivement en 1903, année marquée par l'abandon du local de la rue de Chabrol, dont le mobilier est vendu le , et par l'arrêt de la publication de "La Tribune française", un quotidien qui a remplacé "L'Antijuif" en 1902 et dont le dernier numéro paraît le .


title: Grand Occident de France

text: Plus tard, des militants d'extrême droite réutiliseront le nom du Grand Occident de France. Collaborateur de "La Libre Parole" de Drumont puis de celle d'Henry Coston, Lucien Pemjean dirige ainsi entre 1934 et 1939 un mensuel intitulé "Le Grand Occident, organe de propagande et d'action contre la judéo-maçonnerie", auquel collabore un ancien membre du GOF de Guérin, Albert Monniot. Le numéro du titre « Pétain au pouvoir ! ».


title: Phare de Contis

text: Le phare de Contis est un phare maritime de du littoral néo-aquitain et un amer situé à Contis, station balnéaire de la commune de Saint-Julien-en-Born, dans le département français des Landes. Propriété de l'État français, il est inscrit aux monuments historiques par arrêté du .


title: Phare de Contis

text: Le phare de Contis est l'unique phare du département français des Landes. Érigé entre le phare du Cap-Ferret (Gironde) au nord et le phare de Biarritz (Pyrénées-Atlantiques) au sud, il entre en service dans la nuit du 19 au . Il doit son originalité à une bande noire en forme de vis ajoutée en 1937 qui aide à la navigation de jour. Haut de 41,5 mètres, il s'élève sur une dune arasée de 11,60 mètres au-dessus du niveau de la mer et à 860 mètres du rivage. La hauteur de sa focale est de . Sa lampe halogène avec lentille de Fresnel a une puissance de 180 W, avec une portée de 23 milles marins (environ 42 km), son code lumineux est caractérisé par une fréquence de 25 secondes rythmée de 4 éclats de 0,1 seconde, à intervalles d'obscurité de 4,1-4,1-4,1-12,3 secondes. Il est équipé d'une optique à quatre panneaux de 0,30 mètre de focale, reposant sur une cuve à mercure entraînée par des moteurs. La forte densité du mercure permet de supporter le poids de l'ensemble tournant et de le maintenir parfaitement horizontal pendant la rotation. L'appareillage électrique est télécontrôlé depuis Bayonne. Le phare sert également de relais radio au CROSS, de relais de systèmes de radionavigation et de télécommunication, permettant notamment de passer des appels depuis la plage.


title: Phare de Contis

text: Jusqu'en 1790, le plus grand des deux clochers de l'église Sainte-Marie de Mimizan sert d'amer, facilitant la navigation diurne dans cette partie du golfe de Gascogne. Il s'effondre à cette date par vétusté et manque d'entretien. Le , la Commission des Phares et Balises décide, sous l'égide de Napoléon III, de compléter les dispositifs de navigations de ce secteur par la construction d'un nouveau phare. Le site de Contis est préféré à celui de Mimizan car il se situe à égale distance de Biarritz et d'Arcachon. Seul inconvénient, la dune choisie pour l'emplacement est un peu basse, ce qui nécessite d'édifier une grande tour à large diamètre pour assurer sa stabilité, pour un coût estimé à 160 000 francs. En , l'ingénieur Frédéric Ritter achève les plans et le de cette même année, l'Empereur, qui a œuvré pour le développement du département grâce à sa Loi relative à l'assainissement et de mise en culture des Landes de Gascogne, signe le décret d'exécution des travaux et débloque le budget. Le projet du phare de Contis est voté en même temps que ceux de Triagoz, du Créac'h, de la pointe de Grave, de la Coubre, de Vallières, des deux phares d'Hourtin, du Grand Rouveau et d'Alistro, pour un total de 1 871 000 francs.


title: Phare de Contis

text: En 1861, l'entreprise Barsacq de Bidart remporte l'adjudication pour 172 000 francs et débute les travaux sous la direction de l'ingénieur Pairier sur un terrain de 100 hectares donnée par le service des dunes. Cette surface sera ramenée à 3 hectares en 1927. Le chantier commence difficilement et prend du retard, en raison d'une main d'œuvre insuffisante et de difficultés techniques rencontrées. On exige notamment la présence de 10 tailleurs de pierre, 20 bouviers et 10 maçons avec des manœuvres. « Les difficultés des transports dans les sables mouvants des dunes prescrivaient de réduire autant que possible l'emploi des pierres de taille ; à défaut de briques, pour la fabrication desquelles on ne put réussir à créer une usine dans des conditions acceptables, on a employé des moellons ferrugineux du pays, revêtus tant à l'extérieur qu'à l'intérieur d'un enduit de mortier de ciment Portland ». La construction s'enlise. La hauteur de 11,60 mètres de la dune sur laquelle l'ouvrage est bâti constitue notamment un obstacle. L'entreprise Barsacq fait faillite en 1863, les travaux sont repris par l'entreprise Dominique Castaing de Mées et achevés la même année.


title: Phare de Contis

text: Le , le phare résiste à un fort tremblement de terre, qui provoque toutefois des fissures sur les murs et de fuites de mercure. Le , le phare résiste à un nouveau tremblement de terre. En 1917, des pannes répétées du système de rotation et les chariots abîmés contraignent les gardiens à le pousser manuellement. Cette situation perdure jusqu'en 1928, date à laquelle il est remplacé. Le phare est électrifié en 1933.


title: Phare de Contis

text: Les phares à spirales de style « "barber's pole" » sont déployés à la fin des années 1800 sur la côte est des États-Unis afin de servir d'amer à la navigation maritime. Ils tiennent leur nom de l'enseigne des barbiers américains. Ce modèle explique que les phares ainsi décorés possèdent une double bande. Sur l'enseigne d'origine, les deux bandes sont de couleur rouge et bleue sur fond blanc. Deux autres phares dans le monde ont un style "barber-pole" à double bande noire sur fond blanc, ce sont ceux de cap Hatteras peint en 1873 en Caroline du Nord et de Saint Augustine en Floride peint en 1874. D'autres phares suivent ce même modèle, mais avec des variantes de couleurs, comme le rouge. En France, le phare du plateau du Four, construit entre 1816 et 1821, est un autre exemple de motif à spirale.


title: Aéroport de Pontoise - Cormeilles-en-Vexin

text: L’aéroport de Pontoise - Cormeilles-en-Vexin est un aéroport civil, ouvert à la circulation aérienne publique (CAP), situé sur le territoire des communes de Cormeilles-en-Vexin, Boissy-l'Aillerie et Génicourt à au nord-ouest de Cergy-Pontoise dans le Val-d'Oise (région Île-de-France, France).


text: Il est utilisé pour le transport aérien national et international et pour la pratique d’activités de loisirs et de tourisme (aviation légère, hélicoptère et ballon dirigeable Zeppelin en été). Sa gestion est assurée par le Groupe ADP.


text: Créé en 1937, l’aérodrome fut utilisé par l’Armée française. Durant l’Occupation, l’armée allemande investit les lieux, construit deux pistes en béton et des installations, hangars, bureaux, etc... Cette plate-forme présente l’avantage d’être souvent couverte de brume durant les premières heures de la journée, permettant ainsi de couvrir et cacher le décollage des avions.


text: À partir de septembre 1944 et jusqu’en mai 1945, le Bomb Squadron utilisa l’aérodrome comme base de départ vers la Normandie. Un monument commémoratif le rappelle sur le parking près de la tour de contrôle.


text: En août 1946, l’aérodrome fut remis en état et ouvert à la circulation aérienne publique. Depuis le 21 avril 1949, l’aérodrome est géré par Aéroports de Paris.


text: Jusqu’en juillet 1952, des avions commerciaux d’Orly et du Bourget utilisaient quelquefois cette plate-forme pour les déroutements.


text: Dans les années 1970, la compagnie Lucas Air Transport (Lucas Aviation) basée sur l'aéroport, qui est devenue dans les années 1980 Lucas Aigle Azur puis la compagnie régulière Aigle Azur (entre 1988 et 1995) et la compagnie Debonair (entre novembre 1998 et octobre 1999) ont exploité à partir de cette plate-forme aéroportuaire des lignes commerciales quotidiennes vers Londres (Gatwick et Luton), en exploitant des appareils Embraer et BAe 146-100 et 200. Selon la saison, une ligne commerciale quotidienne reliait cette plate-forme aéroportuaire vers Brighton (station balnéaire au sud de Londres) exploitée par la compagnie Skysouth, utilisant des appareils Piper PA-31).


text: La compagnie aérienne Air West, basée sur l'aérodrome et dont le propriétaire détenait l'école de pilotage "Air West Formation" également présente sur l'aérodrome, assurait une liaison régulière entre l'île-d'Yeu et Pontoise en Piper Pa-31 Navajo en 1996 et 1997.


text: En 2001, le projet d'une ligne régulière vers l'Angleterre échoue, à la suite de la colère et les pétitions des riverains de l'aérodrome. La compagnie Platinum Air Charter Executive devait exploiter un appareil Jetstream 31 de à raison de deux vols par jour sauf le week-end vers l'aéroport de Londres Beggin Hill.


text: De 2010 à mi-2012, la compagnie aérienne d’aviation d’affaires Ambeo, qui exploite des Cessna Citation Mustang, dessert l’Europe à partir de cet aérodrome.


text: La compagnie britannique a assuré entre le et le 7 mai 2013 une liaison régulière vers la ville de Brighton, au sud-est de l'Angleterre à raison d'un à deux vols par jour, au moyen d'un Let L-410 Turbolet de 19 places. L'arrêt de cette liaison fait suite à la perte du statut de point de passage frontalier (PPF) de l'aérodrome en 2012, obligeant le vol à se poser à Rouen ou au Touquet avant de rejoindre sa destination.


text: En août 2013, Pontoise/Cormeilles-en-Vexin est le premier aéroport français à accueillir le "Zeppelin NT" à la belle saison, qui effectue essentiellement des vols touristiques vers les sites des châteaux de Versailles et de Chantilly.


text: Depuis le mois de septembre 2016, l'Institut national de l'information géographique et forestière (IGN) occupe un des hangars dans lequel sont basés ses quatre avions Beechcraft 200T spécialement aménagés pour réaliser des photographies aériennes, avant de déménager à Beauvais en . Cette solution provisoire d'utiliser l'aéroport de Pontoise pendant une période de s'est imposée après la décision de fermeture de l'activité aéronautique de la base aérienne de Creil (BA110), seul endroit où les avions de l'IGN pouvaient décoller et se poser et ceci depuis 1947.


text: Le 25 novembre 2021 est inauguré une zone de tests dédiée aux "nouvelles mobilités aériennes urbaines et durables". Elle permet de mener les premières expérimentations de eVTOL en conditions réelles. Les différents partenaires du projet ont comme objectif la création de liaisons pré-commerciales en taxis volants électriques pour les Jeux Olympiques et Paralympiques 2024.


text: L’aérodrome est contrôlé et dispose d’un service automatique de diffusion (ATIS). Les communications s’effectuent sur les fréquences de pour l’ATIS, de pour l’approche et de pour la tour. Il est agréé pour le vol à vue (VFR) de nuit et le vol aux instruments (IFR).


title: Histoire culturelle des fesses

text: La sexualisation des fesses, en particulier chez les femmes, s'est produite tout au long de l'histoire.


title: Histoire culturelle des fesses

text: Le sexologue Alfred Kinsey a suggéré que les fesses sont le principal site de présentation sexuelle chez les primates. Certains anthropologues et sociobiologistes croient que le fétichisme du sein dérive de la similitude des seins avec les fesses, mais fournit plutôt une attraction sexuelle de l'avant du corps.


title: Histoire culturelle des fesses

text: Chez l'homme, les femelles ont généralement des fesses plus rondes et voluptueuses, causées par les œstrogènes qui encouragent le corps à stocker la graisse dans les fesses, les hanches et les cuisses. La testostérone décourage le stockage des graisses dans ces parties. Les fesses de la femme contiennent donc plus de tissu adipeux que chez l'homme, surtout après la puberté. Les psychologues évolutionnistes suggèrent que les fesses arrondies peuvent avoir évolué comme un trait souhaitable car elles fournissent une indication visuelle de la jeunesse et de la fertilité de la femme. Aussi, ils signalent la présence d'œstrogènes et la présence de réserves de graisses suffisantes pour la grossesse et l'allaitement. De plus, les fesses donnent une indication de la forme et de la taille du bassin, ce qui a un impact sur la capacité de reproduction. Puisque le développement et la prononciation des fesses commencent à la ménarche et diminuent avec l'âge, les fesses pleines sont également un symbole de jeunesse.


title: Histoire culturelle des fesses

text: L'anthropologue biologique Helen B. Fisher déclare que "peut-être, les fesses charnues et arrondies attiraient les hommes lors des rapports sexuels par l'arrière". Dans une étude récente, l'utilisation de modèles 3D et de la technologie de suivi des yeux a été testée et a montré que la légère poussée du dos d'une femme influence la façon dont les autres la perçoivent et attirent le regard des hommes et des femmes. Bobbi S. Low et al. a déclaré que les fesses féminines "ont évolué dans le contexte des femmes en compétition pour l'attention et l'engagement parental des mâles puissants contrôlant les ressources" comme une "exposition honnête des réserves de graisse" qui ne pouvaient pas être confondues avec un autre type de tissu, bien que TM Caro ait rejeté cela comme étant la seule conclusion, affirmant que les dépôts graisseux féminins sur les hanches améliorent la condition physique individuelle de la femme, indépendamment de la sélection sexuelle.


title: Histoire culturelle des fesses

text: Les fesses féminines sont un symbole de fertilité et de beauté depuis le début de l'histoire humaine. Des statues créées dès 24 000 avant notre ère, comme la Vénus de Willendorf, ont des fesses, des hanches et des cuisses exagérées


title: Histoire culturelle des fesses

text: La beauté érotique des fesses féminines était importante dans la Grèce antique, où ont été créées des statues telles que Vénus Kallipygos (bien que seule une copie romaine possible subsiste), qui mettent l'accent sur les fesses. Les fesses nues étaient également considérées comme érotiques dans la Chine de la dynastie Ming, où elles étaient souvent comparées à la pleine lune brillante. De nombreux artistes posent des modèles pour souligner les fesses.


title: Histoire culturelle des fesses

text: Certains Européens du XIX siècle ont cherché à profiter de cette caractéristique unique des femmes africaines par l'objectivation et l'exploitation en exposant Saartjie Baartman dans un zoo humain.


title: Histoire culturelle des fesses

text: Les fesses sont considérées depuis des siècles comme une zone érogène dans la pensée occidentale; l'érotisation des fesses féminines était hétéronormative en raison de leur association et de leur proximité avec les organes reproducteurs féminins. Les fesses sont souvent taboues en raison de leur proximité avec l'anus et de leur association avec le système excrétoire. Le psychanalyste Sigmund Freud a émis l'hypothèse que le développement psychosexuel se produisait en trois étapes - orale, anale et génitale - et que la fixation au stade anal provoquait une rétention anale et une focalisation durable sur l'érotisation de l'anus.


title: Histoire culturelle des fesses

text: La fessée érotique était populaire dans la Grande-Bretagne victorienne, peut-être en raison de la fétichisation et de l'érotisation des fesses. La fessée était importante dans la pornographie à cette époque, avec l'érotisme comme les "délices de Lady Bumtickler" et l' "exposition des flagellantes féminines".


title: Histoire culturelle des fesses

text: Dans "Studies in the Psychology of Sex", publié en 1927 et rédigé par le médecin et psychologue sexuel britannique Havelock Ellis, il décrit les caractéristiques sexuelles culturelles des fesses. Il dit:


title: Histoire culturelle des fesses

text: L'accent sur les fesses féminines en tant que caractéristique sexuelle a augmenté ces derniers temps selon Ray B. Browne, qui attribue le changement à la popularisation du jean :


title: Histoire culturelle des fesses

text: Alors que les fesses des femmes sont souvent érotisées hétérosexuellement, les fesses des hommes sont considérées comme érogènes par de nombreuses femmes, et sont également érotisées dans l'homosexualité masculine qui se concentre souvent sur les rapports sexuels anaux.


title: Histoire culturelle des fesses

text: Depuis le début des années 2000, les chansons sur les fesses féminines ont proliféré, en particulier dans les genres hip-hop, reggae / Dancehall et R&B.


title: Histoire culturelle des fesses

text: Un fétichisme sexuel fesses ou un partialisme des fesses fait référence à une condition dans laquelle les fesses deviennent un foyer principal de l'attention sexuelle. Elle peut être associée à la coprophilie, au fétichisme de la culotte, à l'éproctophilie et aux châtiments corporels sadomasochistes impliquant les fesses. "La pygophilie" fait référence à l'excitation sexuelle causée par les fesses.


title: Télécom Malagasy

text: Telma est un opérateur de téléphonie mobile et un fournisseur d'accès Internet malgache. Cette entreprise offre également un service de transfert d'argent via mobile.


title: Télécom Malagasy

text: Telecom Malagasy prend naissance en 1896 avec la première ligne de services téléphoniques à Antananarivo, accompagnée des premières cabines téléphoniques en 1904. Il faut cependant attendre 1971 pour que Telma propose les appels à l'international.


title: Télécom Malagasy

text: Internet est lancé sur la grande île en 1995. Telma fournit la logistique lors du lancement d'Orange à Madagascar en 1996, puis d'Airtel l'année suivante.


title: Télécom Malagasy

text: L'État malgache annonce la privatisation de TELMA en 2001 et choisit DISTACOM pour son rachat qui se finalise en 2004.


title: Télécom Malagasy

text: L'offre TELMA Mobile est lancée en 2006. En 2010, le réseau TELMA se connecte au câble EASSy, ouvrant l'accès à la fibre optique dans le pays, et lance "MVola", son service de transfert d'argent par téléphone mobile qui permet dès 2012 de régler ses factures via portable. En 2008, TELMA inaugure la finalisation du backbone national en fibre optique, et lance la 3G+ l'année suivante.


title: Télécom Malagasy

text: En , TELMA rachète à Numericable (alors détenu à 60 % par Altice) les activités mobiles d'Outremer Telecom pour 70 millions d'euros. TELMA restructure l'entreprise qui devient Telco OI (société Telecom Réunion Mayotte) et qui commercialise ses forfaits mobile sous la marque Only. En , l'opérateur français Free entre à hauteur de 50 % dans le capital de Telco OI, opérant ainsi sa première percée sur la Réunion et Mayotte.


title: Télécom Malagasy

text: En , alors que l'ARTEC (autorité de régulation des télécommunications) reproche à Orange Madagascar de ne pas avoir renouvelé ses licences d'exploitation périmées depuis , la filiale de l'opérateur français annonce lancer une offre 4G sur l'île, mais en louant les réseaux à TELMA, un choix qui permet à Orange de rétablir de bonnes relations avec l'ARTEC.


title: Télécom Malagasy

text: En 2019, un contrat commercial signé avec Ericsson, d'un montant de 100 millions de dollars, prévoit sur quatre ans le déploiement de 2 000 sites mobiles qui permettront à l’opérateur télécoms de compléter sa couverture réseau du pays. Il est également prévu le déploiement de sites 4.5G puis 5G dans des zones à haute densité.


title: Télécom Malagasy

text: L'opérateur Telma a annoncé le lancement commercial du son réseau 5G le , en partenariat avec Ericsson.


title: Convention sur les substances psychotropes de 1971

text: La convention sur les substances psychotropes de 1971, convoquée par l'ONU, fut ratifiée le à Vienne par 34 pays et fut mise en application en 1976. Cette convention comporte actuellement 183 signataires (au ).


text: Son objectif est de limiter la production et le commerce de substances psychotropes synthétiques en établissant une liste de ces substances.


text: Cette convention reconnaît les besoins sur le plan médical et permet de mettre en œuvre une politique de prévention et de soins.


text: En 1912, tout d'abord avec "la convention internationale sur l'opium", visant à réglementer l'import-export des dérivés du pavot. Ce traité fut complété avec d'autres substances comme la cocaïne pendant les 50 années qui suivirent.


text: Puis la convention unique sur les stupéfiants de 1961 réglementa plus précisément ces substances (principalement le cannabis, l'opium, la coca et leurs dérivés), mais présentait la lacune de ne pas réglementer les nouvelles substances synthétiques.


text: À la suite de la découverte du LSD et de son impact dans la contre-culture des années 1960 du fait notamment de sa popularité chez certaines personnalités (Aldous Huxley, Timothy Leary), il devint urgent de légiférer devant l'augmentation croissante des abus. Il parut assez vite évident que ces nouvelles substances n'étaient pas adaptées aux textes de la convention unique sur les stupéfiants de 1961, qui restait encore très sujette à interprétations et une conférence fut programmée pour 1971. Devant les abus, certains pays (comme le Canada ou les É.-U.) n'attendirent pas la convention pour réglementer certaines de ces substances comme le LSD.


text: Les pays signataires ont progressivement adapté leur législation à ce texte, catégorisant les drogues selon des tableaux équivalents aux conventions de 1961 et de 1971, permettant ainsi une cohérence internationale en termes de réglementation sur les drogues.


text: À l'instar de la Convention Unique de 1961 pour les stupéfiants, la Convention de 1971 liste en quatre tableaux les substances psychotropes soumises au régime légal qu'elle établit.


text: La convention dans son article 2 prévoit l'ajout de nouvelles drogues dans la liste. Cet ajout se fait via l'OMS qui doit constater si la substance correspond aux définitions de la convention et évaluer le potentiel d'abus et le potentiel thérapeutique du produit. C'est la commission des stupéfiants des Nations unies qui statue à terme.


text: De même les drogues peuvent être déplacées d'un tableau à l'autre ou radiées de la liste suivant le même type de procédure.


text: En mars 2019, la Commission a ajouté au tableau 2 l'ADB-FUBINACA, FUB-AMB (MMB-FUBINACA, AMB-FUBINACA), CUMYL-4CN-BINACA, ADB-CHMINACA (MAB-CHMINACA), et N-ethylnorpentylone (ephylone).


title: Liste des comtes d'Armagnac

text: La liste des comtes d'Armagnac répertorie les noms des titulaires héréditaires du comté d'Armagnac, du :


title: Liste des comtes d'Armagnac

text: 960-995 : Bernard le Louche († 995), comte d'Armagnac, fils cadet de Guillaume Garcès de Gascogne, comte de Fezensac.


title: Liste des comtes d'Armagnac

text: 1020-1063 : Bernard II Tumapaler († entre 1064 et 1090), comte d'Armagnac, comte de Gascogne de 1040 à 1052, fils du précédent.


title: Liste des comtes d'Armagnac

text: 1215-1219 : Géraud V († 1219), comte d'Armagnac et de Fézensac, fils de Bernard de Lomagne, vicomte de Fésenzaguet (fils d'Odon de Lomagne, seigneur de Fimarcon, et de Mascarose d'Armagnac, fille de Géraud III).


title: Liste des comtes d'Armagnac

text: 1256-1285 : Géraud VI, comte d'Armagnac, († 1285), neveu de Géraud V, fils de Roger de Lomagne, vicomte de Fésenzaguet.


title: Liste des comtes d'Armagnac

text: 1391-1418 : Bernard VII (v. 1360 † 1418), comte d'Armagnac et de Rodez, connétable de France, frère du précédent.


title: Liste des comtes d'Armagnac

text: 1450-1473 : Jean V (1420 † 1473), comte d'Armagnac et de Rodez, vicomte de Lomagne, fils du précédent et d'Isabelle d'Evreux.


title: Liste des comtes d'Armagnac

text: 1497-1525 : Charles II (1489 † 1525), duc d'Alençon ("Charles IV"), petit-neveu du précédent, son grand-père Jean II, duc d'Alençon, avait épousé Marie d'Armagnac, fille de Jean IV.


title: Liste des comtes d'Armagnac

text: 1527-1555 : Henri I d'Albret (1503 † 1555), roi de Navarre (Henri II), comte de Foix, de Bigorre, de Périgord, d'Armagnac et de Rodez, vicomte de Limoges et de Béarn, seigneur d'Albret ;


title: Liste des comtes d'Armagnac

text: 1572-1589 : Henri II de Bourbon (1553 † 1610), roi de France (Henri IV) et de Navarre (Henri III), fils des précédents.


title: Liste des comtes d'Armagnac

text: En 1607, toutes les possessions personnelles du roi Henri IV (Navarre, Foix, Béarn, Bigorre, Périgord, Armagnac, Rodez, Limoges et Albret) sont réunies à la couronne de France.


title: Azura Skye

text: Azura Skye (de son vrai nom "Azura Dawn Storozynski") est une actrice américaine née le à Northtidge en Californie. Ses parents étant des amateurs dans le domaine de la gemmologie, ils choisirent le prénom "Azura", en référence à la pierre semi-précieuse qu'est l'azurite.


title: Azura Skye

text: Azura Skye est connue pour son rôle de Jane dans la série télévisée américaine "Zoé, Duncan, Jack et Jane". Elle a également interprété le rôle de Cassie Newton dans quelques épisodes de la de la série "Buffy contre les vampires". Elle a participé à 4 épisodes de la série "" (dans le rôle de Susie Barnam Keaton). Elle est apparue en tant qu'actrice invitée dans de nombreuses séries : Total Security, "Les Anges du bonheur", "La Vie à tout prix", "Gideon's Crossing", "Smallville", "John Doe", "Amy", "Dr House," "Ghost Whisperer" et "Bones". Elle a également joué dans plusieurs films, notamment aux côtés de Bruce Willis dans "Bandits" en 2001.


title: Fleurus (maison d'édition)

text: Fleurus éditions et Fleurus presse sont des sociétés différentes. Fleurus presse, propriété du groupe Télérama-la Vie depuis 1986, a été revendu par ce dernier en 2009.


title: Fleurus (maison d'édition)

text: Les Éditions Fleurus sont créées en 1946. En 1986, Fleurus Presse devient une filiale de "Télérama" appartenant au groupe La Vie Catholique, dont le contrôle passera aux mains du groupe "Le Monde" en 2003, prenant alors le nom de « VM magazines » (La Vie-Le Monde magazines). En 2016, Fleurus fête ses 70 ans d'existence.


title: Fleurus (maison d'édition)

text: Grâce à un choix éditorial couvrant des domaines variés comme la jeunesse, le pratique et le religieux, le groupe Fleurus est composé de marques comme Fleurus (et ses déclinaisons), Mango, Rustica, Vagnon, Mame, Desclée de Brouwer ou Tardy.


title: Plaine d'Europe orientale

text: La plaine d'Europe orientale, plaine russe ou plaine sarmatique est une plaine d'Europe de l'Est délimitée par l'Oural à l'est, la mer de Barents et la Scandinavie au nord, la mer Baltique, la plaine d'Europe du Nord et les Carpates à l'ouest et la mer Noire et les steppes d'Asie centrale et de la mer Caspienne au sud. Elle couvre la majeure partie de la Russie européenne, les pays baltes, la Biélorussie et l'Ukraine. Elle est parcourue de plusieurs reliefs peu marqués constitués du plateau central de Russie ou du plateau de la Volga pour les plus importants. Plusieurs grands fleuves drainent cette plaine principalement du nord vers le sud comme la Volga ou le Dniepr. Dans sa partie méridionale, le sol de la plaine d'Europe orientale est constitué des terres noires, une formation géologique permettant la constitution de greniers à blé.


title: Plaine d'Europe orientale

text: Elle constitue l'une des grandes unités géographiques de la Russie, bien que le relief ou la géologie y distinguent différentes formations. Les plaines et dépressions, drainées par de larges fleuves, s'étagent entre 0 et 150 mètres au-dessus du niveau de la mer, alors que les chaînes de plateaux et les collines culminent entre 300 et 500 mètres.


title: Plaine d'Europe orientale

text: Au plan de la géologie, il faut avant tout distinguer les grands plateaux formés de couches récentes de roches sédimentaires et le bouclier du pré-continent européen. Parmi les régions du bouclier ancien, le bouclier russe est de loin le plus étendu ; Il couvre à peu près la moitié de l'Europe orientale, frontalier au sud du bouclier d'Ukraine et au nord-ouest du bouclier scandinave, qui sont des vestiges de l’Orogenèse hercynienne et de l’Orogenèse calédonienne. À l'est, ce gigantesque plateau est borné par les monts Oural.


title: Plaine d'Europe orientale

text: Les roches du Bouclier scandinave plongent jusqu'à des centaines de kilomètres sous celles du bouclier russe et constituent son socle. Les plaines et plateaux à l'ouest de ces grandes masses continentales n'occupent qu'une superficie marginale. Les spectaculaires contreforts du Plateau de la Volga marquent la transition avec la plaine de la Dépression Caspienne.


title: Plaine d'Europe orientale

text: La plaine d’Europe orientale (qui présente par endroits un caractère très vallonné) recouvre presque entièrement le territoire de la Russie européenne. Les prémices de cette plaine confinent aux voisins occidentaux de la Russie : Estonie, Lettonie, Lituanie, Pologne, Biélorussie, Ukraine, Moldavie, et au sud au Kazakhstan. Il est difficile d'en délimiter précisément les contours, et c'est pourquoi (selon le point de vue qu'on adopte) certains de ces pays voisins et leur relief sont exclus de la plaine.


title: Plaine d'Europe orientale

text: Au nord, la plaine d’Europe orientale touche la Mer de Barents, au nord-est les Monts Paï-Tchoï, à l'est les monts et le fleuve Oural. Au sud elle se termine par la Dépression Caspienne, aux confins septentrionaux du Caucase et à la Mer Noire. Plus à l'ouest, elle s'étend par delà le Plateau de Podolie et les marais de Pinsk, alimentés par la Pripiat, jusqu'aux collines de Scandinavie (et plus encore à l'ouest, se prolonge par la Plaine d'Allemagne du Nord). Au nord des pays Baltes, elle est baignée par le Golfe de Finlande et se prolonge par la Région des lacs de Finlande. Au nord-est de l'isthme de Carélie, elle est baignée par la Mer Blanche.


title: Plaine d'Europe orientale

text: Quelques-uns des plus grands fleuves européens irriguent la plaine d’Europe orientale (ici par débit décroissant).


title: Australian Army

text: L (« armée de terre australienne ») est la composante terrestre des forces armées australiennes : elle fait partie de l'Australian Defence Force (ADF) avec la Royal Australian Navy et la Royal Australian Air Force. Alors que le ' (CDF) commande l'ensemble des forces armées australiennes (ADF), l'armée de terre est commandée par le ' (CA). Le second est donc subordonné au premier mais il est aussi directement responsable devant le ministre de la Défense.


title: Australian Army

text: Comme l'Armée britannique, l'Australian Army ne contient pas « Royal » dans son nom, contrairement à la Royal Australian Navy et la Royal Australian Air Force.


title: Australian Army

text: Bien que les soldats australiens aient été impliqués dans un certain nombre de petits et grands conflits au cours des années, c'est uniquement pendant la Seconde Guerre mondiale que le territoire australien a subi des attaques directes.


title: Australian Army

text: Les sites Web du gouvernement australien affirment que la mission de l'Armée de terre est de fournir une armée de terre puissante, polyvalente et à la pointe du progrès pour promouvoir la sécurité de l'Australie et protéger son peuple. En outre, le livre clé de la doctrine de l'armée, "The Fundamentals of Land Warfare", indique que « la mission de l'armée est de gagner la bataille sur terre ».


title: Australian Army

text: L'armée australienne est orientée vers les opérations de basse et moyenne intensité contre des ennemis de même équipement ou autre. L'armée a toujours été structurée comme une force d'infanterie légère. Cela a quelque peu changé à partir de la fin des années 2000, avec un accent accru sur les forces motorisées et mécanisées. À cette date, deux des sept bataillons d'infanterie régulière sont mécanisés (en utilisant le M113 APC modernisé) et deux sont motorisés (en utilisant le Bushmaster livré à partir de 2005). Néanmoins, les bataillons motorisés et mécanisés garde encore une formation orientée vers des opérations de combat rapproché et mettront fortement l'accent sur les patrouilles et autres opérations à pied, maintenant ainsi l'ensemble traditionnel de compétences australiennes.


title: Australian Army

text: Jusqu'à récemment, les principales zones d'opérations ont été en Asie, particulièrement en Asie du Sud-Est et dans le Pacifique et l'orientation de l'armée vers une infanterie légère n'avait pas été un obstacle. En fait, l'armée australienne est réputée pour produire des troupes et des unités avec un niveau très élevé danse la guerre de jungle, les patrouilles, les embuscades et autres compétences de l'infanterie.


title: Australian Army

text: En raison de la faible population du pays, l'Armée de terre ne représente toujours qu'un rôle statistiquement faible dans les opérations de coalition. Les gouvernements australiens successifs depuis 1989 ont déployé des éléments de l'armée de terre avec des compétences spécifiques, afin que la contribution australienne soit toujours plus importante que les chiffres bruts de forces engagées ne le suggèrent. Cela a souvent pris la forme de déploiement des forces spéciales, bien que cela ait changé au cours des dernières années, par exemple en Afghanistan. Les forces australiennes sont toujours formées avec et maintiennent des relations étroites avec les forces américaines et britanniques afin de pouvoir mieux interagir avec les forces de la coalition. Les relations de défense avec les forces américaines sont probablement aujourd'hui plus proches qu'elle ne l'ont jamais été depuis la guerre du Viêt Nam, surtout au niveau opérationnel.


title: Australian Army

text: La création de l'armée de terre australienne remonte à la formation de l'Australie, c'est-à-dire le .


title: Australian Army

text: L'armée a été impliquée dans de nombreuses opérations de maintien de la paix, généralement sous l'égide de l'Organisation des Nations unies. La plus importante a commencé en 1999 au Timor oriental. D'autres opérations notables incluent le maintien de la paix à Bougainville et aux îles Salomon et qui sont toujours en cours à ce jour. Les secours humanitaires après le tremblement de terre du 26 décembre 2004 dans l'océan Indien dans la province d'Aceh, en Indonésie, connue sous le nom d’"Operation Sumatra Assist", s'est achevée le .


title: Australian Army

text: Depuis 1947, l'armée australienne publie son propre journal intitulé "Australian Army Journal", couvrant un large éventail de sujets, y compris des essais, des critiques de livres et des éditoriaux.


title: Australian Army

text: En 2007, elle comptait ( permanents et réservistes). Le "Land Command" (commandement terrestre) est l'autorité responsable des opérations de l'armée de terre, et son quartier général est à Sydney.


title: Habay

text: Habay (en gaumais "Habâ", en allemand "Habich", en luxembourgeois "Habech") est une commune francophone de Belgique située en Région wallonne dans la province de Luxembourg. Huit villages font partie de la Gaume, un est en Ardenne et un est en Pays d'Arlon (Lorraine belge d'expression luxembourgeoise - "Arelerland").


title: Habay

text: Les premières traces de la présence de l'homme dans la commune remontent à l'époque néolithique. Des silex de cette période ont été retrouvés en abondance principalement dans le Sud de la commune.


title: Habay

text: Les nombreux sites archéologiques gallo-romains inventoriés sur l'ensemble de la commune témoignent d'une première mais importante occupation dès le de notre ère.


title: Habay

text: Mageroy, qui est l'un des plus importants sites archéologiques de la région, est localisé à peu de distance du village de Habay-la-Vieille. C'est à cet endroit que se dressait une exploitation agricole gallo-romaine de taille, occupée du de notre ère.


title: Habay

text: En collaboration avec la Région wallonne et la commune de Habay, ce site exceptionnel est en cours de fouille depuis une vingtaine d'années par le groupe d’archéologie locale (ARC-HAB).


title: Habay

text: Une gare fut construite près de Habay-la-Neuve dès 1858, elle est aujourd’hui fermée et le bâtiment est un des tout derniers vestiges de l'architecture néo-florentine de la Grande compagnie du Luxembourg. La plupart de ces gares ont en effet été démolies ou altérées à la fin du XX siècle et, depuis la démolition de la gare d'Assesse en 2017, celle de Habay est la dernière en état proche de l'origine.


title: Habay

text: Seule gare encore en fonction dans la commune, la Gare de Marbehan est mise en service le 27 octobre 1858. Elle se situe sur la ligne 162 entre les gares de Libramont et d’Arlon.


title: Habay

text: Anlier, Habay-la-Neuve (siège de l’administration communale), Habay-la-Vieille, Hachy, Houdemont et Rulles.


title: Habay

text: La commune de Habay comporte dix villages : Anlier, Habay-la-Neuve, Habay-la-Vieille, Hachy, Harinsart, Houdemont, Marbehan, Nantimont, Orsinfaing et Rulles.


title: Habay

text: La Gaume étant essentiellement définie par son patois originel - le gaumais (Lorrain roman), les villages de Habay-la-Neuve, Habay-la-Vieille,Harinsart, Houdemont, Marbehan, Orsinfaing et Rulles sont en Gaume, bien que leurs forêts soient en Ardenne. Le village de Hachy se trouve en Pays d'Arlon et le village d'Anlier se situe en Ardenne,


title: Habay

text: La commune est traversée par la Rulles, un affluent de la Semois qui y coule globalement dans la direction sud-ouest et y reçoit successivement les eaux de l’Arlune, de l’Anlier, de la Mandebras et de la Mellier.


title: Habay

text: La gare de Habay est un point d’arrêt pour les trains omnibus (L) sur la ligne 162 Namur-frontière luxembourgeoise.


title: Habay

text: La gare de Marbehan est la gare princiale de la commune, arrêt pour les trains omnibus et les intercity (IC) sur la ligne 162 Namur-frontière luxembourgeoise offrant des trains directs pour Luxembourg, Bruxelles, et la côte en été.


title: Habay

text: Au , la population totale de la commune était de , et , pour une superficie totale de , ce qui donne une densité de population de habitants par km.


title: Habay

text: La commune fait partie de la zone de police Arlon/Attert/Habay/Martelange pour les services de police, ainsi que de la zone de secours Luxembourg pour les services de pompiers. Le numéro d'appel unique pour ces services est le 112.


title: Habay

text: Quelques personnes illustres, au niveau belge de langue française, sont issues de la commune de Habay :