title: La Capelette

text: À l'origine le quartier s'appelait "Canissat". Il a ensuite pris le nom de "Capelette", en raison de la présence d'une petite chapelle ("uno capeleto" en provençal). Datant peut-être du , cette chapelle se situait à l'angle de la route de Toulon (actuelle avenue de la Capelette) et du futur boulevard Bonnefoy. Elle avait été consacrée à Saint Laurent. Délabrée puis incendiée en 2005, elle a été rasée en 2017. Entre-temps une nouvelle église Saint-Laurent avait été construite à quelque distance, dans l'axe du boulevard Saint-Jean.


title: La Capelette

text: Le quartier est principalement desservi par la ligne de la RTM. Le prolongement du tramway depuis la Place Castellane jusqu'à la Capelette est envisagé pour les prochaines années.


title: La Capelette

text: La Capelette est un ancien quartier industriel, à l'entrée de la vallée de l'Huveaune. Relié au réseau ferré principal par la ligne de chemin de fer du Prado, il a compté diverses industries dont ne restent que les noms (boulevard des Aciéries, rue des Forges...), aujourd'hui remplacées par des plateformes de services divers (automobile notamment). Le Centre de transfert des résidus urbains (CTRU sud) reste le seul utilisateur de la voie ferrée.


title: La Capelette

text: Le Palais omnisports Marseille Grand Est, construit en 2009 à l'entrée ouest du quartier, est un élément de revitalisation et de raccordement à la vie urbaine de ce quartier périphérique.


title: Saint Michel

text: Hiéromoine Macaire Simonopétrite, "Le synaxaire, vie des saints de l'Église orthodoxe", Périvoli éd. Thessalonique 1987.


title: Mozac

text: Mozac (prononcé /moza/ ; "Mosac" en occitan) est une commune française, située dans le département du Puy-de-Dôme en région Auvergne-Rhône-Alpes.


title: Mozac

text: Elle fait partie de l'unité urbaine de Riom et d'une manière plus large de l'aire d'attraction de Clermont-Ferrand. Avec , elle est la quatrième commune la plus peuplée de la communauté d'agglomération Riom Limagne et Volcans qui regroupe trente-et-une communes, soit plus de .


title: Mozac

text: Le territoire de Mozac se situe dans la plaine de la Limagne, au pied de la chaîne des Puys, limitrophe de Riom et à au nord de Clermont-Ferrand. Jusqu'en , elle était située dans le canton de Riom-Ouest ; depuis cette date, à la suite du redécoupage des cantons du département, elle est intégrée dans le nouveau canton de Châtel-Guyon.


title: Mozac

text: Avant l'an mil, la première formation du bourg de Mozac (environ ) s'est développée contre la voie romaine Augustonemetum-Avaricum. Ce regroupement d'habitations est bordé à au sud par le ruisseau d'Ambène qui permit de séparer naturellement le bourg de l'abbaye (sa porte générale et ses remparts ont été édifiés contre le ruisseau qui traverse le territoire d'ouest en est).


title: Mozac

text: Les limites du territoire de Mozac ont été fixées pour la première fois le , à la suite d'un conflit entre les religieux de l'abbaye de Mozac et les consuls de la ville de Riom. Pour l'occasion, sept bornes dites de justice en pierre de Volvic ont été plantées entre Riom et Mozac sur l'actuel tracé de la rue Henri-Pourrat, mitoyenne aux deux communes. Une borne est restée en place ; deux autres en meilleur état sont conservées au musée lapidaire de Mozac. Une face représente une crosse symbole de l'abbaye de Mozac, tandis que sur le revers est gravée une fleur de lys désignant la ville royale de Riom.


title: Mozac

text: Le territoire de Mozac était constitué jusqu'à la Révolution de deux paroisses avec l'église Saint-Paul au nord (contre la mairie actuelle) et l'église Saint-Martin au sud (près du cimetière actuel). La commune de Mozac créée en 1790 est donc la conséquence du regroupement de ces deux paroisses.


title: Mozac

text: Le ruisseau dit des Moulins-Blancs (aussi appelé « de Saint-Genest »), qui émerge également à l'ouest (Saint-Genest-l'Enfant, commune de Malauzat) et qui fait partie du bassin versant de l'Ambène, traverse aussi Mozac pour se jeter dans l'Ambène au lieu-dit des Boules à l'est, en limite des communes de Mozac et de Riom.


title: Mozac

text: Un troisième ruisseau prend sa source à l’est du hameau de Viallard (commune de Volvic) puis descend jusqu'à Mozac à travers la vallée de Barret (contre le flanc est du puy de la Bannière) au village de Crouzol (commune de Volvic). Il prend d'ailleurs son nom : « le Crouzol ». Il est le principal affluent de l'Ambène.


title: Mozac

text: Ces ruisseaux ont été détournés et canalisés dans l'ancien enclos de l'abbaye de Mozac et ont ainsi créé un réseau hydrographique fourni qui favorisait la défense du site (au nord contre le village de Mozac, les enceintes bordent le ruisseau d'Ambène) et qui a permis de bâtir deux moulins à eau dans l'enclos monastique (un au nord sur l'Ambène, et un au sud sur le ruisseau des Moulins-Blancs) ; le territoire mozacois comptera au fil des siècles jusqu'à dix-sept moulins. Les ruisseaux ont pu également alimenter au Moyen Âge les douves ceinturant l'abbaye.


title: Mozac

text: Le climat de Mozac se rattache aux relevés de Clermont-Ferrand qui est la station météorologique la plus proche, à au sud.


title: Mozac

text: Située à l'est de la chaîne des Puys, la région clermontoise est caractérisée par une des plus fortes amplitudes thermiques annuelles de France. L'été chaud est marqué par des orages tandis que l'hiver est froid et sec. La station de mesures de Météo-France a ainsi enregistré les températures extrêmes de en et de en . La région clermontoise se situe en zone de rusticité 8a.


title: Mozac

text: La pluviométrie est l'une des plus faibles de France avec 590 millimètres de précipitations par an ; les pluies provenant de l'ouest sont arrêtées par la chaîne des Puys (d'où les sources, comme celle de Volvic). L'ensoleillement est de heures par an.


title: Mozac

text: Mozac est accessible depuis l'autoroute à deux numéros A71/A89, par la sortie 13 desservant l'agglomération de Riom, ainsi que la route départementale 2029, anciennement route nationale 9 traversant Riom.


title: Mozac

text: Le centre-ville est traversé par la route départementale 986, ancienne route nationale 686 reliant Riom à Volvic et à l'ouest du département.


title: Mozac

text: Mozac est une commune urbaine car elle fait partie des communes denses ou de densité intermédiaire, au sens de la grille communale de densité de l'Insee.


title: Mozac

text: Elle appartient à l'unité urbaine de Riom, une agglomération intra-départementale regroupant et en , dont elle est une commune de la banlieue.


title: Mozac

text: Par ailleurs la commune fait partie de l'aire d'attraction de Clermont-Ferrand dont elle est une commune de la couronne. Cette aire, qui regroupe , est catégorisée dans les aires de à moins de .


title: Mozac

text: L'occupation des sols de la commune, telle qu'elle ressort de la base de données européenne d’occupation biophysique des sols Corine Land Cover (CLC), est marquée par l'importance des territoires artificialisés (54,3 % en 2018), en augmentation par rapport à 1990 (49,7 %). La répartition détaillée en 2018 est la suivante : zones urbanisées (47,3 %), zones agricoles hétérogènes (45,8 %), zones industrielles ou commerciales et réseaux de communication (7 %).


title: Mozac

text: L'IGN met par ailleurs à disposition un outil en ligne permettant de comparer l’évolution dans le temps de l’occupation des sols de la commune (ou de territoires à des échelles différentes). Plusieurs époques sont accessibles sous forme de cartes ou photos aériennes : la carte de Cassini (), la carte d'état-major (1820-1866) et la période actuelle (1950 à aujourd'hui).


title: Mozac

text: La composition du blason de la commune de Mozac est : "Parti, au premier d'azur à la clef d'or posée en pal, au second du premier à la fleur de lys aussi d'or".


title: Mozac

text: Il était jusqu'à la Révolution celui de l'abbaye de Mozac avant qu'il ne soit repris par la commune dans les années 1960.


title: Mozac

text: La clef rappelle le patronage de saint Pierre, puisque l'abbaye était appelée « Saint-Pierre de Mozac ». La fleur de lys renvoie à l'appartenance royale depuis 764 ou 848 lorsque le roi, Pépin le Bref ou Pépin II d'Aquitaine rédigea une charte de protection et de donations pour l'abbaye.


title: Mozac

text: Au , Grégoire de Tours cite l'existence d'un "vicus" de « "Mussiacas" » : mais ce lieu doit être identifié à Moussages (Cantal). D'après une autre version, il appellerait Mozac "vicus Musiacus", ce qui signifierait « le séjour des muses ».


title: Mozac

text: En 2014, un nouveau maire a été élu : Marc Régnoux de la liste « Bien vivre à Mozac » avec 51,71 % des voix contre la liste « Mozac Avenir et Solidarité » conduite par André Chanudet (48,29 %). Le taux de participation est de 69,95 %. Le conseil municipal doit se composer de 27 membres dont 6 sont également élus au conseil communautaire.


title: Mozac

text: La commune de Mozac a été officiellement instituée le regroupant les deux paroisses du territoire mozacois dépendant de l'abbaye : Saint-Paul et Saint-Martin. Ces deux églises sont supprimées par décision de l'évêque le . Les six derniers moines quittent l'abbaye dont l'église devient la seule du village, devenant la « paroisse Saint-Austremoine ».


title: Mozac

text: À deux reprises dans l'histoire, la municipalité voisine de Riom tenta en vain d'annexer la commune de Mozac dans son territoire : dès la formation des communes en 1790, les élus de Riom portèrent une pétition au conseil général du Puy-de-Dôme, puis lorsque le le maire de Riom, Annet Tallon, présenta devant son conseil municipal un exposé « sur la situation de Riom vis-à-vis du village de Mozat et la nécessité de la réunion des deux communes ». Les élus mozacois défendirent leur autonomie dans des contre-exposés et obtinrent toujours gain de cause.


title: Mozac

text: Depuis 1790, vingt-quatre maires se sont succédé à la tête de la municipalité. Le maire actuel est Marc Régnoux ; il fut désigné par le conseil municipal le , à la suite du premier tour des élections municipales, le.


title: Mozac

text: La commune de Mozac a conclu un premier jumelage avec la ville espagnole d'Albalat de la Ribera (proche de Valence) le . Le serment de jumelage a été officiellement signé à Mozac le entre Michel Lepetit, maire de Mozac, et Juan-Baptiste Ferrando-Miedes, maire d'Albalat de la Ribera.


title: Mozac

text: Le conseil municipal de Mozac, en séance du , a décidé de se jumeler avec une deuxième ville. Il s'agit de Bagolino en Italie. Le serment de jumelage a été signé à Mozac le entre Michel Arsac, maire de Mozac, et Gianluca Dagani, maire de Bagolino.


title: Mozac

text: D'après la définition de l'INSEE, Mozac était une commune rurale jusqu'au recensement de 1975, lors duquel elle dépasse pour la première fois le seuil des . En 1982, elle dépasse les . Un pic est atteint lors du dernier recensement exhaustif en 1999 avec . Puis, la croissance démographique a marqué le pas ; à cause de sa petite superficie (environ ), l'urbanisation de la commune arrive à son summum, avec une forte densité de . Toutefois, depuis 2007, Mozac gagne de nouveaux résidents tous les ans, pour atteindre le chiffre record de en 2016 (dernières données en date).


title: Mozac

text: La forte croissance de la population de Mozac est un phénomène qui coïncide avec l'étalement urbain de l'agglomération de Clermont-Ferrand pendant les Trente Glorieuses, et aussi avec la présence limitrophe de la sous-préfecture de Riom.


title: Mozac

text: La situation géographique de Mozac a favorisé l'implantation immobilière accrue rencontrée après la Seconde Guerre mondiale (dernier mouvement d'exode rural terminé en 1975). Deux facteurs sont à souligner : la proximité de la capitale auvergnate et le site en lui-même (plaine de la Limagne).


title: Mozac

text: Deux maires successifs, qui ont administré Mozac, ont construit de nouveaux quartiers résidentiels, en dehors du bourg (centre historique) : Raymond Hulet (de 1953 à 1965) et surtout Edmond Vacant (de 1965 à 1995). Ainsi, à partir de 1973, une bonne partie du sud du territoire communal accueille un vaste lotissement, géré à l'origine par la société Michelin pour loger ses salariés.


title: Mozac

text: Les établissements scolaires de Mozac sont rattachés à l'académie de Clermont-Ferrand. La commune dispose sur son territoire de deux écoles publiques : une école maternelle appelée « La Mosaïque » (par jeu de mots avec le nom de la commune) et une école élémentaire (rue Louis-Sanitas, nom d'un ancien directeur). Le plus vieux bâtiment du groupe scolaire a été construit dans les années 1880 sous la municipalité de Jacques Jabot.


title: Mozac

text: Une partie des enfants de Mozac, conformément à la carte scolaire vont à l'école élémentaire Jean-Rostand située dans la rue des Boules de la commune voisine, Riom, limitrophe du territoire de Mozac. Réciproquement, des enfants riomois du quartier du Champ d'Ojardias et du faubourg de Mozac (jouxtant Mozac) sont inscrits à Mozac.


title: Mozac

text: Pour leur scolarité dans le secondaire, les élèves mozacois peuvent se rendre ensuite dans les collèges et lycées riomois : collège public Pierre-Mendès-France, lycée public Claude-et-Pierre-Virlogeux ou Pierre-Joël-Bonté, collège et lycée privé Sainte-Marie.


title: Mozac

text: À côté de la salle de l'Arlequin, se trouve un important complexe sportif appelé « Edmond-Vacant » (du nom de l'ancien maire, de 1965 à 1995) qui se situe au lieu-dit les Haires. Il comprend un terrain d'honneur de football avec des tribunes, deux terrains d'entraînement, un gymnase (avec une salle de basket-ball), une salle de gymnastique équipée, et un dojo de judo). Contre les terrains d'entraînements de football, il y a une piste homologuée de BMX rénovée en 2009 et un terrain de pétanque de compétition. Le complexe sportif possède également un centre de tennis couverts Henri-Cochet avec un club-house.


title: Mozac

text: À l'ouest de la commune, au bord de la route départementale 986, s'étend sur 90 hectares une zone artisanale et industrielle appelée « Espace-Mozac ». Elle se poursuit sur les communes voisines d'Enval, Malauzat et Volvic (où se trouve l'usine d'embouteillage des eaux de Volvic).


title: Mozac

text: Espace-Mozac est né dans les années 1990 de la volonté des communes de Mozac, Enval et Malauzat pour regrouper les commerces qui s'étaient implantés de manière anarchique à partir des années 1960. Aujourd'hui, la gestion économique et administrative d'Espace-Mozac est du ressort de la communauté de communes Riom-Communauté qui en a la compétence exclusive à la place des communes.


title: Mozac

text: Sur cette même route, Mozac accueille le siège de la Chambre de commerce et d'industrie de Riom. Elle gère un hôtel d'entreprises.


title: Mozac

text: L'abbaye de Mozac, qui a été fondée au par saint Calmin, était jusqu'à la Révolution l'une des plus puissantes d'Auvergne, avec une quarantaine de prieurés dans la province dont, pour les plus importants, Marsat (couvent de moniales), Volvic, Royat, Saint-Germain-des-Fossés, etc. L'abbaye de Mozac fut rattachée à l'ordre de Cluny en 1095, lors du lancement à Clermont de la première croisade, par le pape Urbain II.


title: Mozac

text: L'édifice roman a été très endommagé par des tremblements de terre au . Le chœur, le transept, le bas-côté sud et le cloître ont été restaurés par l'abbé Raymond de Marcenat, dans un nouveau style architectural, le gothique, et en utilisant un matériau connu seulement depuis le , la pierre de Volvic. Les éléments tombés à terre, comme les nombreux chapiteaux romans, en calcaire, ont été réemployés dans la reconstruction gothique. Ainsi, une trentaine de chapiteaux du ont été découverts et sont aujourd'hui exposés dans le musée lapidaire attenant à l'église.


title: Mozac

text: Seuls le bas-côté nord (façade visible depuis la rue) et la nef ont subsisté des destructions. Sur les colonnes de la nef, quarante-sept chapiteaux romans font de Mozac un haut lieu de la sculpture romane, comme Conques, Autun ou Vézelay. L'église abbatiale adoptait un plan basilical et par son architecture aurait pu être classée parmi les édifices majeurs de l'art roman auvergnat au même titre qu'Issoire, Notre-Dame du Port, Saint-Nectaire et Saint-Saturnin.


title: Mozac

text: La commune de Mozac adhère à la Fédération européenne des sites clunisiens, association européenne qui s'occupe de la promotion des sites historiques qui dépendaient de l'ordre de Cluny éteint à la Révolution.


title: Mozac

text: Classée « monument historique » en 1840, l'abbaye de Mozac est surtout considérée comme un « site emblématique » dans le Grand itinéraire culturel européen, label décerné à la Fédération européenne des sites clunisiens par le Conseil de l'Europe.


title: Mozac

text: Le 11 octobre 2021, le Conseil municipal de Mozac a délibéré pour déposer sa candidature à l'inscription au patrimoine mondial de l'UNESCO, portée par la Fédération européenne des sites clunisiens (liste « Cluny et les sites clunisiens européens »). Le périmètre concerné par une éventuelle inscription serait l'ensemble du domaine de l'abbaye (l'église, les bâtiments conventuels et le parc), soit près de 4 ha déjà classés au titre des Monuments historiques.


title: Mozac

text: Une association en partenariat avec la ville de Mozac organise chaque année un festival intitulé "Les nuits du cloître - abbaye de Mozac" qui consiste en sept rendez-vous culturels pendant la saison estivale, de juin à fin août. Le festival a été créé à l'initiative de cinq élus municipaux en 2021. Les soirées sont éclectiques : concert rock, musique classique, pièce de théâtre, déambulation guidée nocturne, art urbain, spectacle vivant, etc. Comme son nom l'indique, le festival se déroule en nocturne dans la cour du cloître de l'abbaye (les galeries ayant disparu après la Révolution), les bâtiments monastiques et la façade sud de l'église étant illuminés pour l'occasion.


title: Mozac

text: Il s'agit d'un lieu dédié à recevoir des expositions et des événements culturels tout au long de l'année. Elle occupe le bâtiment sud de l'abbaye de Mozac contre la cour du cloître (le réfectoire des moines autrefois), qui est depuis 2007 la propriété de la commune. La ville de Mozac a ouvert "La Galerie - abbaye de Mozac" en 2022 et propose pour cette première année neuf expositions d'artistes de mai à décembre.


title: Mozac

text: Un système hydraulique très complexe composé d'un répartiteur et d'une série de biefs permettait le partage des eaux entre l'abbaye, les moulins et les zones de maraîchage depuis Enval jusqu'à Riom. Certains éléments sont encore visibles


title: Mozac

text: Sur les sept bornes en pierre de Volvic plantées en 1348 pour délimiter les territoires de la ville de Riom et de l'abbaye de Mozac (voir "supra" : « Site »), une seule est restée en place. Rappelons que les officiers révolutionnaires ont repris intégralement cette frontière du pour créer la limite de communes.


title: Mozac

text: Cette borne se situe au croisement des rues Henri-Pourrat et Saint-Calmin. Elle représente sur une face la fleur de lys symbolisant la ville royale de Riom, et sur l'autre, une crosse abbatiale est sculptée pour l'abbaye de Mozac. Elle est classée monument historique depuis 1972 et elle est propriété de la commune.


title: Mozac

text: Cette gentilhommière, inscrite au titre des monuments historiques depuis le , a été construite au sud de l'abbaye au . L'origine de son nom, Portabéraud, est mystérieuse mais laisse supposer qu'il s'agissait d'une porte ("porta") de l'ancienne enceinte de l'abbaye.


title: Mozac

text: Cette demeure seigneuriale fut transformée et réaménagée au par l'architecte Legay. C'est un parfait exemple des folies construites par les notables du siècle des Lumières. Il faut admirer le portail et les escaliers ornés de ferronneries très typiques de l'art auvergnat du , les statues de terre cuite du jardin, les pièces principales du château avec leurs portes sculptées, les plafonds à la française, les boiseries de style Louis XV, les sols en pierre de Volvic. La chapelle privée présente des panneaux de gypserie et des peintures naïves. Ces dernières ont été peintes par la fille de Gabriel Mercier, propriétaire du château à la fin du .


title: Mozac

text: Portabéraud était donc la résidence du premier magistrat de la commune, Gabriel Mercier (maire du au ). C'est la raison pour laquelle le château est également appelé « folie Mercier ».


title: Mozac

text: Ce moulin situé non loin de l'abbaye avait la particularité d'être alimenté par deux ruisseaux : l'Ambène et les Moulins-Blancs.


title: Mozac

text: L'Arlequin : La commune de Mozac est propriétaire d'une salle de spectacles, L'Arlequin (rue Louis-Dalmas). Ce complexe d'animation est utilisé en priorité par les associations mozacoises, la commune pour les événements culturels, et par les particuliers en location. La municipalité organise chaque année une saison culturelle, de septembre à juin : théâtre, concerts, spectacles humoristiques, etc.


title: Mozac

text: La salle de L'Arlequin est modulable en différentes configurations avec une cloison mobile (grande salle de ) et contient 500 places assises pour les conférences et les spectacles ; 215 places pour les repas et conférences.


title: Mozac

text: La salle capitulaire : L'ancienne salle de réunion du chapitre des moines, située au rez-de-chaussée du presbytère de l'abbaye, est propriété communale et est utilisée par la commune et les associations comme lieu d'expositions d'art.


title: Mozac

text: La maison des associations : Quelques associations à vocation culturelle comme l'harmonie municipale sont réunies allée des Peupliers, dans une maison des associations, inaugurée en septembre 2011. Ces locaux peuvent accueillir des expositions ou des manifestations ponctuelles.


title: Georges van Parys

text: Georges van Parys, né Georges Eugène Émile Van Parÿs le dans le de Paris, ville où il est mort le dans le , est un compositeur français de musique de film, d'opérette et de musique légère. Il a marqué son époque par des chansons populaires à l'image de sa personnalité : un musicien de Paris. Sa carrière s'étend des années 1930 aux années 1970.


title: Georges van Parys

text: Pianiste talentueux, Georges van Parys découvre, vers seize ans, le groupe des Six, Ravel et Debussy.


title: Georges van Parys

text: En 1924, il débute au cabaret "Chez Fyscher", comme accompagnateur au piano des vedettes telles qu'Yvonne George, Gaby Montbreuse, Lucienne Boyer et Arletty. À partir de 1927, il signe ses premières opérettes, notamment avec Serge Veber et Philippe Parès : "Lulu", "L'Eau à la bouche", "Louis XIV" avec Dranem, Morton, Pauline Carton, Loulou Hegoburu, Davia.


title: Georges van Parys

text: Sa rencontre avec René Clair, en 1930, est déterminante à une époque où le cinéma connaît un tournant majeur, celui du parlant. René Clair l'engage pour le premier film sonore musical français, "Le Million". La partition est co-signée par Philippe Parès et Armand Bernard. C'est un précurseur de cette nouvelle invention qu'est la musique au cinéma. Il signe plus de trois cents partitions de films, dont certaines font maintenant partie des classiques du cinéma français.


title: Georges van Parys

text: Plusieurs de ses compositions deviennent des standards de la chanson française telles "Comme de bien entendu" (chantée par Arletty et Michel Simon), "C'est un mauvais garçon" (chantée par Henri Garat), "La Complainte de la butte" (chantée par Cora Vaucaire), "La Complainte des infidèles" (chantée par Mouloudji), etc. La liste de ses interprètes est vertigineuse. Parmi eux, Danielle Darrieux, Albert Préjean, Damia, Fréhel, Maurice Chevalier, Georges Brassens, Ginette Garcin, et plus récemment Patrick Bruel, Rufus Wainwright, Hélène Ségara, etc.


title: Georges van Parys

text: Sa carrière est récompensée en 1968 par le Grand prix de la musique de la Société des auteurs, compositeurs et éditeurs de musique (Sacem), dont il était vice-président.


title: Centre Pompidou Málaga

text: Le Centre Pompidou Málaga (en ) est un musée d'art moderne et contemporain. Situé à Malaga en Espagne, dans le bâtiment appelé El Cubo (« Le Cube », construit en 2013), c'est la seconde implantation hors les murs du Centre Pompidou, après le Centre Pompidou-Metz, et la première située hors de France.


title: Centre Pompidou Málaga

text: Le musée, initié en 2013, a été inauguré le 28 mars 2015 par le Premier ministre espagnol Mariano Rajoy et la ministre de la Culture française Fleur Pellerin. Ce premier « Centre Pompidou provisoire » est installé pour cinq ans renouvelables sur et présente du musée contre une redevance d'un million d'euros par an.


title: Centre Pompidou Málaga

text: En février 2018, Malaga et Beaubourg ont renouvelé leur partenariat pour poursuivre leur collaboration cinq années supplémentaires, sur la base du succès du musée en matière de fréquentation, ayant accueilli 845 148 visites depuis son ouverture en mars 2015, avec une fréquentation moyenne de 562 visites par jour.


title: Centre Pompidou Málaga

text: Si le musée et son nom attirent, les artistes locaux sont partagés, certains réagissant contre et une logique de .


title: Centre Pompidou Málaga

text: La ville de Malaga a financé le lancement du musée à hauteur de 7 millions d'euros, dont 1,5 million d'euros annuel pour utiliser la franchise Centre Pompidou.


title: Administration territoriale de l'Italie

text: L'organisation territoriale de l'Italie se composait, lors de la formation du Royaume d'Italie en 1861, de communes et de provinces. Des régions ont progressivement été créées, entre 1946 et 1970, d'abord pour contrer les revendications séparatistes de certaines zones à forte identité locale, puis pour fournir un cadre général adapté à la conduite de certaines politiques locales.


title: Administration territoriale de l'Italie

text: La province constitue le second niveau d'administration territoriale en Italie ; elle se situe entre la région et la commune.


title: Administration territoriale de l'Italie

text: Les villes métropolitaines sont des collectivités territoriales créées en 2014 et centrées autour d'une grande ville, sur le modèle international de métropole urbaine, se substituant à leur province. L'Italie en compte désormais 14.


title: Administration territoriale de l'Italie

text: L'Italie compte un peu plus de de communes en 2020. Ce sont les collectivités territoriales locales de base d'après la constitution italienne. Ayant souvent fusionné pour rationaliser les moyens, elles sont souvent plus grandes et plus peuplées que les communes françaises.


title: Administration territoriale de l'Italie

text: Instituée par la région à laquelle elle appartient depuis 1974, cette entité territoriale est composée de communes de montagne et prémontagne et leur permet de valoriser la zone de montagne correspondant à travers des fonctions propres habituellement dévolues au niveau communal. On pourrait apparenter ces communautés de montagne aux communautés de communes françaises. On en compte plus d'une cinquantaine à travers toute l'Italie.


title: Administration territoriale de l'Italie

text: Sur le même modèle une petite vingtaine de "communautés de colline" (à ne pas confondre avec les "communautés de vallée", autre type d' du Trentin autonome) ont vu le jour depuis 2000.


title: Administration territoriale de l'Italie

text: Depuis 2000, ces entités territoriales peuvent être établies dans des îles ou archipels d'Italie (sauf la Sicile et la Sardaigne) ; dans ce cas, elles ont les mêmes prérogatives que les communautés de montagne (cf supra).


title: Administration territoriale de l'Italie

text: Un (anciennement "fraction"), ou encore hameau en vallée d'Aoste, est le nom de la subdivision habitée de la commune italienne, représentant un centre de vie. Un lieu-dit est le terme utilisé pour désigner son pendant inhabité.


title: Administration territoriale de l'Italie

text: Une commune peut décider de déléguer une partie de ses prérogatives à cet échelon (via un conseiller municipal désigné maire adjoint) qui devient donc le niveau administratif terminal, y compris sur certaines parties de droit public (jouissance de pâturages et bois...). Ainsi son propre registre d'état civil peut y être maintenu indépendamment de celui de sa commune de rattachement. Un peut représenter tout un village, avec son histoire et son identité propres, voire certaines anciennes communes n'ayant pas pu maintenir leur statut. Il existe de rares cas où ce recouvre un territoire sur plusieurs communes.


title: Andouille de Jargeau

text: L’andouille de Jargeau, parfois confondue abusivement avec l'andouillette de Jargeau, bien différente selon le "Code des usages de la charcuterie", est une spécialité culinaire française de la commune de Jargeau située dans le département du Loiret et la région Centre-Val de Loire.


title: Andouille de Jargeau

text: Elle est composée de chaudins, très minoritairement (ce qui la différencie de l'andouillette) et, surtout, de maigre de porc : épaule, poitrine.


title: Andouille de Jargeau

text: L'andouille de Jargeau est produite principalement à Jargeau, la commune éponyme de la région naturelle du Val de Loire, et plus largement dans tout le département du Loiret. Il ne semble pas qu'une démarche soit entreprise pour revendiquer une IGP.


title: Andouille de Jargeau

text: Les origines de la spécialité sont incertaines. Plusieurs types d'andouilles sont consommés dans la région orléanaise comme dans beaucoup d'autres régions, dès le Moyen Âge, mais les sources n'indiquent pas formellement leurs provenances. Il ne semble pas que l'andouille de Jargeau soit citée dans les ouvrages gastronomiques (encyclopédie, traités, dictionnaires, livres de cuisine) des . Elle n'a pas retenu l'attention de Maurice Lelong dans sa littéraire et savante "Célébration de l'Andouille".


title: Andouille de Jargeau

text: La notoriété de l'andouille spécifiquement de Jargeau, dont on ne connaît pas vraiment la composition originelle, remonte cependant à la fin du , au moins, comme le souligne, un peu narquoisement, le journaliste français Victor-Eugène Ardouin-Dumazet dans la série de son ouvrage publié par fascicules "Voyage en France" :


title: Andouille de Jargeau

text: L'andouille de Jargeau - en principe de de long et de de diamètre, mais ce n'est pas codifié - présente la particularité d'être constituée d'au moins 60 % de viande de porc, le reste étant constitué d'abat (chaudins précuits) et d'ingrédients acceptés au chapitre 10.1 du "Code des usages de la charcuterie, de la salaison et des conserves de viande," notamment d'oignon, d’échalote ou de persil.


title: Andouille de Jargeau

text: L'andouillette de Jargeau, elle aussi définie par le "Code" (faisant référence pour les professionnels de la charcuterie et la répression des fraudes), au chapitre 10.4, est essentiellement composée de chaudin.


title: Andouille de Jargeau

text: À Jargeau, la "confrérie des chevaliers du goûte-andouille", organise chaque année un concours international de la meilleure andouille, le deuxième samedi du mois de mars, ainsi que la foire à l'andouille le deuxième dimanche de juin.


title: Andouille de Jargeau

text: Le diplôme de l'AAAAA, statutairement attribuable à des andouilles comme à des andouillettes, n'a été, jusqu'à présent (2017) décerné à aucun produit de Jargeau.


title: Autoroute hantée

text: Les autoroutes ou les routes hantées font référence aux rues, aux routes ou aux autoroutes faisant l'objet de folklore et de légendes urbaines. Cela comprend les rumeurs et les rapports sur les apparitions de fantômes, les silhouettes de fantômes, les auto-stoppeuses fantômes, les véhicules fantômes, ou les autres phénomènes paranormaux.


title: Autoroute hantée

text: Annie's Road, New Jersey serait prétendument hantée par le fantôme d'une femme qui a été tuée sur cette route il y a plusieurs années. Elle est située à Totowa, sur la première moitié de Riverview Drive.


title: Autoroute hantée

text: Tunnel de Belchen, Suisse. Apparitions d'une vieille femme entièrement vêtue de blanc, qui hante soi-disant le tunnel.


title: Autoroute hantée

text: Boy Scout Lane, Wisconsin est une voie sans issue. De nombreuses histoires de fantômes et de légendes urbaines ont été associées à cette route, y compris les morts fictives des membres d'un groupe de Boy Scouts. Le lieu a fait l'objet de plusieurs enquêtes paranormales, et a été beaucoup fréquenté par les jeunes de la région. Aucun accident mortel ou disparition mystérieuse n'a été rapporté à Boy Scout Lane ou ses alentours.


title: Autoroute hantée

text: Clinton Road à West Milford, Comté de Passaic, New Jersey, fait l'objet de folklore local comprenant de prétendues apparitions de fantômes, de créatures étranges, ainsi que des rassemblements de sorcières, satanistes et membres du Ku Klux Klan. Si vous vous rendez sur l'un des ponts, au réservoir, et que vous jetez une pièce dans l'eau, elle vous serait soi-disant renvoyée dans la minute, par le fantôme d'un garçon qui s'y serait noyé alors qu'il nageait sous l'eau, ou qui serait tombé alors qu'il était assis au bord du pont. Dans certains récits, une apparition est vue. Dans d'autres, le fantôme pousse le narrateur dans l'eau s'il ou elle regarde le côté du pont pour le sauver.


title: Autoroute hantée

text: Devil's Washbowl Road à Moretown, Vermont est liée à une histoire d'hybride porc-humain connu sous le nom de « l'Homme porc ».


title: Autoroute hantée

text: Toutes ces routes du Connecticut sont liées aux légendes des Têtes de melon. Saw Mill et Velvet sont aussi surnommées « Dracula Drive ».


title: Autoroute hantée

text: Jamestown Road, à Jamestown, Comté de Guilford, Caroline du Nord, fait l'objet de folklore local concernant une auto-stoppeuse fantôme connue sous le nom de « Lydia ».


title: Autoroute hantée

text: Mount Misery Road et Sweet Hollow Road, Huntington (New York) font toutes les deux l'objet de folklore local, comprenant entre autres l'histoire de la tombe de Mary (soi-disant située dans un cimetière de Sweet Hollow Road), celle d'un officier de police fantôme ayant perdu l'arrière de sa tête ainsi que celle de fantômes provenant d'un hôpital psychiatrique entièrement brûlé.


title: Autoroute hantée

text: La route A616, également appelée Stockbridge Bypass, relie Newark-on-Trent, Nottinghamshire, à l'autoroute britannique M1. Pendant sa construction, le personnel de sécurité aurait raconté avoir rencontré à plusieurs reprises un moine fantôme provenant du prieuré de Hunshelf.


title: Autoroute hantée

text: Selon la légende, la présence d'auto-stoppeuses fantômes aurait été signalée depuis les années 1950, sur la route A38, entre Wellington et Taunton dans le comté du Somerset. Une histoire raconte qu'en 1958, un chauffeur de camion appelé « Harry (ou « Harold » dans certains récits) Unsworth » a vu un auto-stoppeur réapparaître sur la route, quelques kilomètres plus loin de l'endroit où il l'avait déposé.


title: Autoroute hantée

text: La route A75 est une route principale en Écosse reliant Annan à Gretna Green. Elle a été appelée « la route la plus hantée » d'Écosse par certains auteurs. Selon une histoire datant de 1957, un chauffeur de camion avait dévié de sa trajectoire afin d'éviter un couple qui marchait sur la route. Cependant, lorsqu'il s'était arrêté pour enquêter, ils avaient « disparu ». D'autres versions racontent qu'un couple ou un groupe d'amis qui conduisaient sur la route, de nuit, étaient constamment harcelés par des silhouettes qui représentaient une femme âgée. Ces silhouettes pouvaient même aller jusqu'à représenter l'arrière d'une semi-remorque qu'ils avaient presque heurté avant de freiner, ce qu'il l'aurait fait disparaître.


title: Autoroute hantée

text: Le tronçon de l'autoroute A3 en Croatie situé entre Staro Petrovo Selo et Nova Gradiška serait hanté en raison du grand nombre d'accidents et de rencontres paranormales. Il a coûté la vie au chanteur Toše Proeski et à l'actrice Dolores Lambaša.


title: Autoroute hantée

text: L'autoroute E8, également connue comme l'autoroute de Karak de Kuala Lumpur, est considérée comme étant « l'une des autoroutes les plus hantées de Malaisie », (bien qu'il n'y ait pas eu de preuves directes de telles manifestations). On affirme que de nombreuses personnes conduisant la nuit aperçoivent des créatures étranges et un Pontianak sur cette route


title: Autoroute hantée

text: Route nationale 9 (Afrique du Sud). La route entre Uniondale et Willowmore, dans le semi-désert de Karoo, fait l'objet d'une histoire concernant « l'auto-stoppeuse fantôme de Uniondale ». Il s'agit d'une fille appelée « Marie Charlotte Roux ». Elle aurait perdu la vie le 12 avril 1968 (vendredi Saint), dans un accident de la route sur un tronçon de la Nationale 9 en particulier.


title: Autoroute hantée

text: La route nationale 33 Ranchi Jamshedpur à Jharkhand serait prétendument hantée à cause de la mort de 245 personnes depuis 2010.


title: Algèbre universelle

text: L'algèbre universelle est la branche de l'algèbre qui a pour but de traiter de manière générale et simultanée les différentes structures algébriques : groupes, monoïdes, anneaux, espaces vectoriels, etc. Elle permet de définir de manière uniforme les morphismes, les sous-structures (sous-groupes, sous-monoïdes, sous-anneaux, sous-espaces vectoriels, etc.), les quotients, les produits et les objets libres pour ces structures.


title: Algèbre universelle

text: En mathématiques, un grand nombre de types de structures algébriques vérifient différents axiomes (groupes, anneaux, espaces vectoriels, treillis, algèbres de Boole, algèbres de Lie). Pour ces différents types de structures, on définit une notion de morphisme et des constructions de structures qui sont analogues ou qui ont des propriétés analogues (sous-structures, quotients, produits, coproduits, objets libres, limites projectives et inductives, etc.). Ces morphismes et ces constructions ont un grand nombre de propriétés qui sont semblables (l'intersection de sous-groupes, de sous-anneaux, etc., en est un, l'image d'un sous-groupe, d'un sous-anneau, etc., par un morphisme en est un aussi). On a alors défini de manière générale et abstraite les structures algébriques pour pouvoir traiter de manière uniforme ces constructions et leurs propriétés, et on a pu, par la suite, se concentrer sur les propriétés propres à chacune de ces structures.


title: Algèbre universelle

text: Plus qu'une généralisation des structures algébriques usuelles qui ne servirait qu'en algèbre, l'algèbre universelle a aussi des applications en logique et en informatique. Une généralisation plus vaste encore de ces notions est fournie par la théorie des catégories.


title: Algèbre universelle

text: Il peut être utile d'examiner un exemple pour dégager une notion unificatrice de structure algébrique. Parfois, dans la définition de structure algébrique, on se limite à la donnée de lois de composition interne et externe sur un ensemble, mais la donnée de ces lois ne permet pas toujours de définir les homomorphismes comme les applications qui préservent ces lois et les sous-structures (sous-groupes, sous-anneaux, etc.) comme des parties stables pour des lois. En voici un exemple :


title: Algèbre universelle

text: Soit formula_1 un groupe, φ sa loi de composition, formula_2 son élément neutre, γ l'application qui à un élément de formula_1 associe son inverse. Soit formula_4 une partie de formula_1. Il ne suffit pas que formula_4 contienne le composé de deux éléments quelconques de formula_4 pour que formula_4 soit un sous-groupe de formula_1, comme le montre le cas de l'ensemble formula_10 des entiers naturels dans le groupe formula_11 des entiers relatifs. En fait, pour que formula_4 soit un sous-groupe de formula_1, il faut et il suffit aussi qu'elle soit stable pour la loi de composition, qu'elle contienne l'élément neutre et qu'elle contienne l'inverse de chacun de ses éléments. Autrement dit, formula_4 est un sous-groupe de formula_1 si et seulement si, φ("S" × "S") ⊆ "S", γ("S") ⊆ "S" et e ∈ S. Ainsi, la structure de groupe de formula_1 n'est pas complète sans γ et formula_2. On a des résultats analogues pour les monoïdes, les anneaux, les espaces vectoriels, les algèbres de Boole, etc.


title: Algèbre universelle

text: Si l'on veut que la structure algébrique détermine les sous-structures (parties stables par les différentes lois), on doit enrichir les structures usuelles (groupes, anneaux, etc.) de lois supplémentaires.


title: Algèbre universelle

text: Les structures usuelles ne sont pas seulement déterminées par des lois, mais par des axiomes (associativité, commutativité, distributivité, élément neutre, etc.) qui régissent les lois : les identités. La définition générale des identités sera présentée dans la suite. Si des structures algébriques vérifient certaines identités communes, alors la plupart des constructions usuelles (sous-structures, quotients, produits) déduites de ces structures les vérifient. On se concentre d'abord sur les constructions de structures définies par des lois qui ne vérifient aucune identité particulière. La stabilité des identités par ces constructions fera en sorte que aux structures définies par la donnée de lois vérifiant certaines identités.


title: Algèbre universelle

text: Une algèbre est un ensemble muni d'une structure algébrique, dont on donnera une définition précise. Parmi les algèbres, on retrouve les groupes, les monoïdes, les modules sur un anneau donné (en particulier les espaces vectoriels sur un corps donné), les treillis et les algèbres de Boole.


title: Algèbre universelle

text: Définition. Soient "E" un ensemble et "n" un entier naturel (nul ou non). On appelle opération "n"-aire sur "E" toute application de "E" dans "E".


title: Algèbre universelle

text: Définition. Soit "A" un ensemble. Alors une loi de composition externe ou une loi externe de "A" sur "E" est, par définition, une application de "A" × "E" (ou, ce qui est équivalent, de "E" × "A" ) dans "E". Une loi de composition externe de "A" sur "E" s'identifie à une application de "A" dans l'ensemble formula_18 des applications de "E" dans "E", donc des opérations unaires de "E" : à un élément "a" de "A" est associée l'application partielle définie par "a" de cette loi externe. Ainsi l'ensemble des lois de composition externe de "A" sur "E" s'identifie à l'ensemble des applications de "A" dans formula_18, et donc à l'ensemble des familles d'opérations unaires de "E" indexées par "A".


title: Algèbre universelle

text: Définition. Une algèbre universelle ou plus simplement une algèbre (ne pas confondre avec les algèbres sur un anneau commutatif, que l'on rencontre en algèbre linéaire) est un ensemble "A" muni d'une famille (vide ou non) d'opérations finitaires sur "A". On dit que l'ensemble "A" est sous-jacent à l'algèbre en question.


title: Algèbre universelle

text: Pour permettre de traiter simultanément plusieurs algèbres, il peut être utile de déterminer si elles sont de même signature, c'est-à-dire si elles sont toutes des anneaux ou toutes des treillis, par exemple. Pour cela, on doit paramétriser les opérations finitaires des algèbres par certains ensembles, les opérations "n"-aires de même paramètre se correspondant. Par exemple, usuellement, dans la donnée des lois d'un anneau, l'addition vient avant la multiplication, et ainsi on sait que l'addition d'un anneau correspond à l'addition d'un autre anneau, et non à sa multiplication.


title: Algèbre universelle

text: Définition. On appelle signature ou un type d'algèbre ou un domaine d'opérateurs tout ensemble Ω muni d'une application σ de Ω dans l'ensemble N des entiers naturels, et alors, pour tout entier naturel "n", on note Ω l'image réciproque de "n" par σ. Une algèbre ou une algèbre universelle de signature Ω est un ensemble "A" muni, pour tout entier naturel "n" et pour tout élément ω de formula_20 d'une opération "n"-aire sur "A", que l'on notera formula_21, ou ω si aucune confusion n'en résulte. On dit alors que la donnée de ces opérations finitaires définit sur l'ensemble une structure algébrique de signature Ω.


title: Algèbre universelle

text: Certains auteurs supposent que toute algèbre est non vide (s'il n'y a pas d'opération nullaire), mais considérer les algèbres vides est utile du point de vue de la théorie des catégories.


title: Algèbre universelle

text: Convention. Dans ce qui suit, on se donne une fois pour toutes une signature d'algèbre Ω = (Ω), et toutes les algèbres sont supposées être de cette signature, sauf mention contraire.


title: Algèbre universelle

text: Si "A" est une algèbre, on appelle constante ou élément distingué de "A" les éléments de "A" auxquels s'identifient les opérations nullaires définies par les éléments de formula_22.


title: Algèbre universelle

text: Comme le montrent ces exemples, pour décrire la plupart des structures algébriques usuelles, on pourrait se limiter aux algèbres qui n'ont que des opérations binaires, des opérations nullaires et des opérations unaires. Mais, même pour ces structures, il peut être utile de considérer les opérations finitaires quelconques, puisque, avec une loi de composition associative, on peut, pour tout entier naturel non nul "n", définir une opération "n"-aire qui à "n" éléments associe leur produit (ou leur somme).


title: Algèbre universelle

text: Dans les définitions usuelles de ces structures, l'ensemble n'est pas muni de toutes ces opérations finitaires, mais que de certaines d'entre elles, et les axiomes de ces structures impliquent l'existence de ces autres.


title: Algèbre universelle

text: Ces exemples permettent de déterminer toute la structure qui est nécessaire pour définir correctement les homomorphismes et les sous-structures (sous-groupes, sous-anneaux, etc.).


title: Algèbre universelle

text: Les corps commutatifs sont les anneaux non réduits à un élément dont tout élément non nul est inversible. Dans un corps, l'application qui à un élément non nul associe son inverse n'est pas partout définie (0 n'est pas inversible), et donc n'est pas une opération unaire sur le corps tout entier, mais seulement sur le groupe de ses éléments inversibles. Pour pallier cet inconvénient, on doit élaborer la théorie des "algèbres partielles", où les opérations finitaires ne sont pas partout définies.


title: Algèbre universelle

text: La définition d'algèbre fait en sorte que l'on admet les anneaux triviaux et les algèbres de Boole triviales, c'est-à-dire réduits à un élément. Certains auteurs excluent ces anneaux et ces algèbres de Boole.


title: Algèbre universelle

text: On donne ici une définition générale des homomorphismes qui inclut les homomorphismes de groupes, d'anneaux, de modules (applications linéaires), etc.


title: Algèbre universelle

text: (ou Ω-"homomorphisme" ou un Ω-"morphisme" s'il faut préciser) de "A" dans "B" est une application de "A" dans "B" qui préserve les opérations finitaires correspondant aux mêmes éléments de Ω. De manière plus précise, une application "f" de "A" dans "B" est un homomorphisme si et seulement si, pour tout entier naturel "n" et pour tout élément ω de formula_20, formula_25("f"(formula_26), ..., "f"(formula_27)) = "f"(formula_21(formula_26, ..., formula_27)), quels que soient les éléments formula_26, ..., formula_27 de "A". Pour "n" = 0, cela signifie que "f"(formula_21) = formula_25 (par exemple, si "A" et "B" sont des espaces vectoriels sur un corps "K", on a "f"(0) = 0).


title: Algèbre universelle

text: On voit ici que les homomorphismes tels que définis ici correspondent aux homomorphismes des différentes structures algébriques que l'on rencontre en algèbre générale (monoïdes, groupes, anneaux, modules sur un anneau donné, ensembles ordonnés, etc.).


title: Algèbre universelle

text: Il se peut que, pour certaines algèbres "A" et "B", il n'existe pas d'homomorphisme de "A" dans "B", même si "A" et "B" sont non vides. Par exemple, il n'existe pas d'homomorphisme d'anneaux du corps formula_35 des nombres" rationnels dans l'anneau formula_36 des entiers relatifs.


title: Algèbre universelle

text: Exemple. Soient "K" un corps, "X" et "Y" des espaces affines sur "K". "X" et "Y" sont des algèbres en considérant, pour tout entier naturel non nul "n" et pour toute suite finie de "n" éléments de "K" dont la somme est égale à 1, l'opération "n"-aire qui à une suite de "n"-points associe le barycentre de ces points affectés de ces éléments de "K". Alors les homomorphisme "X" dans "Y" pour les structures algébriques ainsi définies ne sont autres que les applications affines de "X" dans "Y". Autrement dit, les applications affines de "X" dans "Y" ne sont autres que les applications de "X" dans "Y" qui préservent les barycentres.


title: Algèbre universelle

text: Proposition. Soient "A", "B" et "C" des algèbres. La composée d'un homomorphisme de "A" dans "B" et d'un homomorphisme de "B" dans "C" est un homomorphisme de "A" dans "C". L'application identité d'une algèbre "A" est un endomorphisme de "A".


title: Algèbre universelle

text: En termes de théorie des catégories, la classe des algèbres de signature Ω avec les homomorphismes forment une catégorie pour la composition des homomorphismes (en tant qu'applications).


title: Algèbre universelle

text: Définition. Soient "A" et "B" des algèbres de même signature. On appelle isomorphisme de "A" sur "B" ou, si "A" = "B", automorphisme de "A", tout homomorphisme de "A" dans "B" qui est bijectif. Pour tout isomorphisme "f" de "A" sur "B", la bijection réciproque de "f" est un isomorphisme de "B" sur "A". Cela coïncide avec la notion d'isomorphisme en théorie des catégories.


title: Algèbre universelle

text: Proposition. L'ensemble des endomorphismes de "A" est un monoïde pour la composition des homomorphismes, que l'on note End("A"). L'ensemble des automorphismes de "A" est un groupe pour la composition des homomorphismes, que l'on note Aut("A"). Il est le groupe des éléments inversibles du monoïde End("A").


title: Algèbre universelle

text: Si elles existent, alors les algèbres vides sont les seuls objets initiaux de la catégorie des algèbres de signature Ω, c'est-à-dire, pour toute algèbre "A", il existe un homomorphisme de l'ensemble vide dans "A". S'il n'existe pas d'algèbre vide, il y a aussi des objets initiaux, qui ne sont pas vides. Les algèbres triviales sont les seuls objets finaux de cette catégorie, c'est-à-dire, pour toute algèbre "A", il existe un unique homomorphisme de "A" dans une algèbre triviale.


title: Algèbre universelle

text: On définit ici la notions de sous-algèbre, qui généralise les notions usuelles de structures induites (ou sous-structures) des structures algébriques usuelles, par exemple les sous-groupes, les sous-anneaux, les sous-modules (ou sous-espaces vectoriels), etc.


title: Algèbre universelle

text: Définition. Une sous-algèbre de "A" (ou "sous"-Ω-"algèbre" de "A" si on tient à préciser) est une partie de "A" qui est stable pour chacune des opérations finitaires de "A". De manière plus précise, une partie "S" de "A" est une sous-algèbre de "A" si et seulement si, pour tout entier naturel "n", pour tout élément ω de formula_20 et quels que soient les éléments formula_26, ..., formula_27 de "S", formula_21(formula_26, ..., formula_27) appartient à "S". Si "n" = 0, cela signifie que l'élément formula_21 de "A" appartient à "S".


title: Algèbre universelle

text: Si "S" est une sous-algèbre de "A", alors par restriction à "S" des opérations de "A", on obtient une structure algébrique de signature Ω sur l'ensemble "S", dite induite par celle de "A", et donc "S" est donc canoniquement une algèbre de signature Ω. Lorsque l'on considère "S" comme une algèbre, c'est pour cette structure algébrique sur "S".


title: Algèbre universelle

text: On peut vérifier que les sous-algèbres correspondent bien aux structures induites pour les structures algébriques usuelles : sous-ensembles pointés, sous-magmas, sous-monoïdes, sous-groupes, sous-anneaux, sous-modules (ou sous-espaces vectoriels), sous-algèbres d'une algèbre sur un anneau commutatif, sous-algèbres unitaires d'une algèbre unitaire sur un anneau commutatif, sous-treillis, sous-algèbres de Boole, etc. Toutefois, les sous-algèbres des corps sont ses sous-anneaux, et non pas nécessairement tous ses sous-corps (l'inversion n'est pas une opération unaire).


title: Algèbre universelle

text: Exemple. Soient "K" un corps et "X" un espace affine sur "K". "X" est une algèbre en considérant, pour tout entier naturel non nul "n" et pour toute suite finie de "n" éléments de "K" dont la somme est égale à 1, l'opération "n"-aire qui à une suite de "n"-points associe le barycentre de ces points affectés de ces éléments de "K". Alors les sous-algèbre de "X" muni de cette structure algébrique sur "X" ne sont autres que les sous-espaces affines de "X". Autrement dit, les sous-espaces affines de "X" ne sont autres que les parties de "X" qui sont stables pour les barycentres. L'ensemble vide est une sous-espace affine de "X", et donc une sous-algèbre de "X".


title: Algèbre universelle

text: Voici les propriétés élémentaires des sous-algèbres. Le lecteur sera peut être familier avec les énoncés analogues dans les cas des groupes, des anneaux ou des modules. On désigne par "A" une algèbre.


title: Algèbre universelle

text: La réunion de sous-algèbres n'est pas toujours une sous-algèbre. Par exemple, la réunion de deux droites vectorielles distinctes d'un espace vectoriel "E" sur un corps n'est pas un sous-espace vectoriel de "E".


title: Algèbre universelle

text: Les auteurs qui excluent les algèbres vides, excluent généralement les sous-algèbres vides, et alors l'intersection de sous-algèbres n'est pas nécessairement une sous-algèbre, sauf si elle est non vide.


title: Algèbre universelle

text: Définition. Soit "X" une partie d'une algèbre "A". L'intersection de l'ensemble des sous-algèbres de "A" qui contiennent "X" est une sous-algèbre "G" de "A", qui est dite engendrée par "X". (Cela généralise les sous-groupes engendrés, les sous-anneaux engendrés, les sous-modules engendrés, etc.) Si "G" = "A", alors on dit que "X" est une partie génératrice de "A" et que "X" engendre "A". On définit de manière analogue les familles génératrices et les familles qui engendrent.


title: Algèbre universelle

text: Définition. S'il existe une partie génératrice finie d'une algèbre "A", on dit que "A" est de type fini. S'il existe un élément de "A" qui engendre "A", alors on dit que "A" est monogène. Cela généralise les notions analogues que l'on rencontre en théorie des groupes, des anneaux, des modules, etc.


title: Algèbre universelle

text: Proposition. Pour la relation d'inclusion, l'ensemble des sous-algèbres d'une algèbre "A" est un treillis complet, c'est-à-dire, tout ensemble de sous-algèbres admet une borne inférieure et une borne supérieure pour la relation d'inclusion. La borne inférieure d'une famille de sous-algèbres est son intersection et la borne supérieure est la sous-algèbre engendrée par sa réunion.


title: Algèbre universelle

text: Les notions de produit direct de groupes, d'anneaux et de modules se généralisent, dans le cadre général de l'algèbre universelle, comme un cas particulier du "produit en théorie des catégories".


title: Algèbre universelle

text: Soit formula_45 une famille d'algèbres de signature Ω indexée par un ensemble (fini ou non) et "P" le produit cartésien des ensembles sous-jacents à ces algèbres.


title: Algèbre universelle

text: Définition. Il existe une unique structure algébrique de signature Ω sur "P" telle que, tout entier naturel "n" et pour tout élément ω de formula_20, formula_21(formula_26, ..., formula_27) = formula_50 pour tout élément formula_51 = formula_52 de "P", avec "k" = 1, ..., "n". On dit que l'algèbre qu'est "P" muni de cette structure algébrique est le produit direct ou le produit ou l'algèbre produit. de cette famille d'algèbres. On la note formula_53. Si "I" = <nowiki>{1, ..., n}</nowiki>, la note aussi formula_54 × ... × formula_55.


title: Algèbre universelle

text: Exemple. Prenons le cas de deux algèbres "A" et "B". Alors, la structure d'algèbre de "A" × "B" est définie de la manière suivante : pour tout entier naturel "n", pour tout élément ω de formula_20, quels que soient les éléments formula_57 de formula_58 et formula_59 de formula_60, avec "i" = 1, ..., "n", on a


title: Algèbre universelle

text: Théorème. Soient, pour tout "i" dans "I", formula_87 le projecteur canonique du produit formula_53 (à un élément on associe sa composante d'indice "i") et soit B une algèbre. Quels que soient les homomorphismes formula_75 de "B" dans "formula_58" (pour tout "i" dans "I"), il existe un unique homomorphisme "g" de "B" dans formula_53 tel que, pour tout "i" dans "I", formula_92 (c'est l'homomorphisme dont les composantes sont les formula_75).


title: Algèbre universelle

text: Soient "A" une algèbre et "X" un ensemble. L'ensemble des applications de "X" dans "A" s'identifie au produit formula_94 d'algèbres toutes égales à "A". Il s'ensuit donc qu'il existe une structure algébrique canonique sur l'ensemble des applications de "X" dans "A". Plusieurs exemples d'algèbres sont des sous-algèbres de des algèbres des applications d'un ensemble dans une algèbre.


title: Algèbre universelle

text: Exemple. Soit "E" un espace topologique (un intervalle du corps R des nombres réels, par exemple). L'ensemble des fonctions de "E" dans R, ou dans le corps C des nombres complexes, est un anneau, et l'ensemble des fonctions continues de "E" dans R, ou C, est un sous-anneau de cet anneau. Si on note "V" un espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie, l'ensemble des applications de "E" dans "V" est un espace vectoriel réel ou complexe et l'ensemble des applications continues de "E" dans "V" est un sous-espace vectoriel de cet espace vectoriel. On retrouve d'algèbres de ce type en analyse (anneaux ou espaces vectoriels d'applications continues, différentiables, analytiques, espace vectoriel d'applications intégrables, etc.).


title: Algèbre universelle

text: Soient "A" et "B" des algèbres. L'ensemble des homomorphismes de "A" dans "B" n'est pas nécessairement une sous-algèbre de l'algèbre des applications de "A" dans "B". Toutefois, c'est le cas pour les monoïdes commutatifs, les groupes commutatifs, les modules sur un anneau commutatif, mais pas pour les anneaux.


title: Algèbre universelle

text: Il est courant de définir le groupe quotient d'un groupe par un sous-groupe distingué, l'anneau quotient d'un anneau par un idéal bilatère ou le module quotient d'un module par un sous-module. Mais la généralisation de ces notions dans le cadre de l'algèbre universelle est moins immédiate. Ces quotients sont en fait des quotients par rapport à des relations d'équivalence particulières et dans ces exemples, les classes d'équivalence d'élément neutre ("e", 1 et 0 respectivement) sont les sous-groupes distingués, les idéaux bilatères et les sous-modules.


title: Algèbre universelle

text: Soit "A" une algèbre de signature Ω. On appelle (ou Ω-"congruence" si on tient à préciser) de "A" toute relation d'équivalence "R" dans "A" telle que, pour tout entier naturel "n", pour tout élément ω de formula_20 quels que soient les éléments formula_26, ..., formula_27, formula_102, ..., formula_103 de A, si, pour "i" = 1, ..., "n", formula_104 et formula_105 sont équivalents pour "R", alors formula_21(formula_26, ..., formula_27) et formula_21(formula_102, ..., formula_103) sont équivalents pour "R".


title: Algèbre universelle

text: Soit "R" une congruence de "A". Alors chacune des opérations de "A" passe au quotient suivant "R", c'est-à-dire produit une opération « bien définie » dans l'ensemble quotient "A"/"R" : le composé des classes d'équivalence d'éléments de "A" pour R est la classe d'équivalence du composé de ces éléments de "A" pour "R". On définit ainsi une structure algébrique sur "A"/"R", et l'algèbre ainsi obtenue est appelée ou, plus simplement, "quotient" de "A" par "R". Lorsque l'on considère l'ensemble "A"/"R" comme une algèbre de signature Ω, c'est pour cette structure algébrique.


title: Algèbre universelle

text: La surjection canonique de "A" sur "A"/"R" est un homomorphisme. En fait, la structure algébrique de "A"/"R" est l'unique structure algébrique sur l'ensemble "A"/"R" pour laquelle cette surjection est un homomorphisme.


title: Algèbre universelle

text: Revenons sur le cas des groupes. Soit "G" un groupe. Alors, pour tout sous-groupe distingué "H" de "G", la relation d'équivalence dans "G" définie par "H" ("x" et "y" sont équivalents si et seulement si formula_112 appartient à "H") est une congruence de "G". Réciproquement, pour toute congruence "R" de "G", la classe d'équivalence de l'élément neutre de "G" est un sous-groupe distingué de "G". On obtient ainsi une bijection entre les congruences de "G" et les sous-groupes distingués de "G". On obtient des résultats analogues pour les anneaux et les modules en remplaçant les sous-groupes distingués par les idéaux bilatères et les sous-modules, respectivement.


title: Algèbre universelle

text: Les congruences de "A" ne sont autres que les sous-algèbres de l'algèbre produit "A" × "A" qui sont des relations d'équivalence.


title: Algèbre universelle

text: Exemple de géométrie affine. Soient "K" un corps et "E" un espace affine sur "K" attaché à un espace vectoriel "V" sur "K". On considère "E" comme un algèbre pour une signature convenable (voir plus haut). Pour tout sous-espace vectoriel "W" de "V", l'ensemble des couples ("x", "y") de points de "E" tels que "x" - "y" appartient à "V" est une congruence de cette algèbre, et on obtient ainsi une bijection entre le treillis des congruences de "E" est celui des sous-espaces vectoriels de "V".


title: Algèbre universelle

text: Comme dans le cas des groupes, des anneaux et des modules, il y a une notion de passage au quotient d'homomorphismes et il y a des théorèmes d'isomorphie.


title: Algèbre universelle

text: Premier théorème d'isomorphie. Soient "A" et "B" des algèbres, "f" un homomorphisme de "A" dans "B". Alors la relation d'équivalence "U" dans "A" associée à "f" ("x" est équivalent à "y" pour "U" si et seulement si "f"("x") = "f"("y")) est une congruence dans "A", dite associée à "f" et est notée formula_113, et l'application "g" de "A"/formula_113 dans "B" déduite de "f" par passage au quotient est un homomorphisme injectif, et un donc "g" définit un isomorphisme de "A"/formula_113 sur "f"("A"). Si "f" est une surjection, alors "g" est un isomorphisme de "A"/formula_113 sur "B".


title: Algèbre universelle

text: Plus généralement, si "R" et "S" sont des congruences de "A" et "B" respectivement et si, quels que soient les éléments "x" et "y" de "A" qui sont équivalents pour "R", "f"("x") et "f"("y") sont équivalents pour "S" (on dit alors que "f" est compatible avec "R" et "S"), alors, par passage au quotient, on définit une application de "A"/"R" dans "B"/"S", et cette application est un homomorphisme.


title: Algèbre universelle

text: Proposition. Soit "R" une relation d'équivalence dans une algèbre "A". Pour que "R" soit une congruence de "A", il faut et il suffit qu'il existe un homomorphisme "f" de "A" dans une algèbre "B" tel que "R" est la congruence de "A" associée à "f".


title: Algèbre universelle

text: Définition. On dit qu'une algèbre "B" est image homomorphe d'une algèbre "A" s'il existe un homomorphisme surjectif "f" de "A" sur "B", et alors "B" est isomorphe à l'algèbre "A"/"R", où "R" est la congruence de "A" associée à "f".


title: Algèbre universelle

text: Théorème. Soient "A" et "B" des algèbres, "R" une congruence de "A" et "p" la surjection canonique de "A" sur "A"/"R". Pour tout homomorphisme "f" de "A"/"R" dans "B", alors "f" o "p" est un homomorphisme de "A" dans "B" qui est compatible avec "R". L'application "f" formula_117 "f" o "p" de l'ensemble des homomorphismes de "A"/"R" dans "B" dans l'ensemble des homomorphismes de "A" dans "B" qui sont compatibles avec "R" est une bijection. En termes de théorie des catégories, cela peut s'interpréter en disant que le couple ("A"/"R", "p") est un représentant du foncteur, de la catégorie des algèbres de signature Ω dans la catégorie des ensembles, qui à toute algèbre "X" de signature Ω associe l'ensemble des homomorphismes de "A" dans "X" qui sont compatibles avec "R".


title: Algèbre universelle

text: Définition. Soient "A" une algèbre, "B" une sous-algèbre de "A" et "R" une congruence de "A". On dit que "B" est saturée pour "R" si la classe d'équivalence pour "R" de tout élément de "B" est incluse dans "B", c'est-à-dire si "B" est la réunion de classes d'équivalence de "R". La réunion de l'ensemble des classes d'équivalence pour "R" des éléments de "B" est une sous-algèbre de "A" qui est saturée pour "R", et on l'appelle saturée de "B" pour "R". Elle est égale à l'image "R"("B") de "B" par la relation "R".


title: Algèbre universelle

text: Proposition. Soient "A" et "B" des algèbres telles qu'il existe un homomorphisme "f" de "A" sur "B" et soit "R" la congruence de "A" associée à "f". Alors l'application de l'ensemble des sous-algèbres de "A" qui sont saturées pour "R" dans l'ensemble des sous-algèbres de "f"("B") qui à une telle sous-algèbre "C" de "A" associe "f"("C") est une bijection.


title: Algèbre universelle

text: Deuxième théorème d'isomorphie. Soient "A" une algèbre, "B" une sous-algèbre de "A", "R" une congruence de "A" et "C" la saturé de "B" pour "R". Alors l'injection canonique de "B" dans "C" est compatible avec les relations d'équivalence "S" et "T" induites sur "B" et "C" par "R", et donc, on a par passage au quotient, un homomorphisme "g" de "B"/"S" dans "C"/"T". Si de plus "A" = "C", alors "g" est un isomorphisme de "B"/"S" sur "A"/"R" = "C"/"T".


title: Algèbre universelle

text: Troisième théorème d'isomorphie. Soient "A" une algèbre, "R" et "S" des congruences de "A" telles que "R" est incluse dans "S". Alors l'identité de "A" est compatible avec "R" et "S" et alors la relation d'équivalence associée à l'application "h" de "A"/"R" sur "A"/"S" déduite de l'identité de "A" par passage au quotient est notée "S"/"R" et appelée "quotient" de "S" par "R". L'application de ("A"/"R")/("S"/"R") dans "A"/"S" déduite de "h" par passage au quotient est un isomorphisme (les "R" se "simplifient").


title: Algèbre universelle

text: Proposition. Soient "A" une algèbre et "R" une congruence de "A". Alors l'application de l'ensemble des congruences de "A" qui contiennent "R" dans l'ensemble des congruences de "A"/"R" qui à toute congruence "S" de "A" qui contient "R" associe "S"/"R" est une bijection.


title: Algèbre universelle

text: Proposition. Soit formula_45 une famille d'algèbre et, pour tout élément "i" de "I", formula_119 une congruence dans formula_119. Alors la relation binaire "R" dans formula_53 définie par formula_81 "R" formula_123 si et seulement si formula_104 "R" formula_105 est une congruence dans formula_53. Elle est la relation d'équivalence associée à l'homomorphisme "g" de formula_53 dans formula_128 qui à formula_81 associe la famille formula_130 des classes d'équivalence des formula_104 suivant des formula_119. D'après le premier théorème d'isomorphie, on déduit de "g" par passage au quotient suivant "R" un isomorphisme de formula_133 sur formula_134.


title: Algèbre universelle

text: Définition. On dit qu'un algèbre "A" est si l'ensemble de ses congruences est un ensemble à deux éléments, c'est-à-dire si "A" n'est ni vide ni triviale et s'il n'existe pas de congruence autre que l'identité de "A" et la congruence "A" × "A".


title: Algèbre universelle

text: Cette définition généralise la notion de groupes simples, de modules simples sur un anneau donné. La définition des anneaux simples et des algèbres (sur un anneau) simples variant d'un auteur à l'autre, cette définition la généralise parfois. Dans le cas des algèbres de Lie sur un corps commutatif donné, on exige en plus que les soient non commutatives .


title: Algèbre universelle

text: L'algèbre des termes de signature Ω sur un ensemble est une algèbre qui va permettre de définir la notion d'identité dans une algèbre, par exemple l'associativité, la commutativité et la distributivité. Intuitivement, elle est formée de toutes les combinaisons formelles d'éléments de cet ensemble à partir d'éléments de Ω, interprétés comme des opérateurs. On peut penser à cette algèbre comme une sorte d'algèbre de polynômes en des indéterminées (en nombre fini ou infini).


title: Algèbre universelle

text: Définition. Soit "I" un ensemble. Il existe un plus petit ensemble "T" tel que "I" et formula_22 sont inclus dans "T" (on suppose ces deux ensembles disjoints) et tel que, pour tout entier naturel non nul "n", pour tout élément ω de formula_20 et quels que soient les "n" éléments formula_26, ..., formula_27 de "T", la suite (ω, formula_26, ..., formula_27) appartient à "T". Il existe alors une unique structure algébrique de signature Ω sur "T" telle que formula_22 est l'ensemble des constantes de "T" et telle que, pour tout entier naturel non nul "n", pour tout élément ω de formula_20 et quels que soient les "n" éléments formula_26, ..., formula_27 de "T", formula_145(formula_26, ..., formula_27) = (ω, formula_26, ..., formula_27), ce qui permet de désigner par ω(formula_26, ..., formula_27) l'élément (ω, formula_26, ..., formula_27) de "T". On appelle algèbre des termes de signature Ω construite sur "I" et on note formula_154("I") ou "T"("I") l'algèbre ainsi obtenue. On l'appelle aussi algèbres des mots ou algèbre absolument libre. On appelle termes ou mots les éléments de "T".


title: Algèbre universelle

text: Ainsi, les termes sont expressions formelles en faisant opérer les éléments de Ω sur les indéterminées (les formula_155, éléments de "I") et les constantes (les éléments de formula_22), et en faisant opérer les éléments de Ω sur les expressions ainsi obtenues et réitérant le précédé, un nombre fini de fois.


title: Algèbre universelle

text: Théorème. L'algèbre "T" = formula_154("I") a une propriété universelle : pour toute algèbre "A" et pour toute application "f" de l'ensemble "I" dans "A", il existe un unique homomorphisme d'algèbres de "T" dans "A" qui prolonge "f", et on obtient ainsi une bijection entre l'ensemble des applications de "I" dans "A" et l'ensemble des homomorphismes de "T" sur dans "A".


title: Algèbre universelle

text: Soit "A" une algèbre. En identifiant l'ensemble des applications de "I" dans "A" à l'ensemble des familles d'éléments de "A" indexées par "I", on a, d'après ce qui précède, une bijection canonique φ entre l'ensemble des familles d'éléments de "A" indexées par "I" et l'ensemble des homomorphismes de "T" dans "A". Pour toute famille formula_160 d'éléments de "A" indexée par "I" et pour tout élément "t" de "T", on note note formula_161 la valeur en "t" de l'homomorphisme φ(formula_160) de "T" dans "A" : on dit alors que cet élément de "A" est obtenu en substituant les formula_57 aux formula_155. De manière intuitive, on remplace chaque occurrence de l'indéterminée formula_155 dans le terme "t" par l'élément formula_57 de "A" et on "calcule" l'expression obtenue dans "A". Cela s'interprète de la même manière que la substitution aux indéterminées d'un polynôme d'élément d'une algèbre associative unifère et commutative sur un anneau commutatif.


title: Algèbre universelle

text: Pour toute algèbre "A", il existe un homomorphisme surjectif à valeurs dans "A" définie sur l'algèbre des termes construits sur "A".


title: Algèbre universelle

text: Définition. On appelle identité de signature Ω construite sur "X" tout couple d'éléments de "T" = formula_154("X"). Étant donné une identité ("u", "v"), on dit qu'une algèbre "A" satisfait l'identité "u" = "v" si, pour toute famille "x" = formula_81 d'éléments de "A" indexée par "I", on a "u"("x") = "v"("x"), autrement dit, en substituant, pour tout élément "i" de "I", un même élément de "A" à l'indéterminée formula_155 dans "u" et "v", les éléments de "A" ainsi obtenus sont égaux.


title: Algèbre universelle

text: Définition. Une variété d'algèbres de signature Ω est une classe "V" d'algèbres de signature Ω telle qu'il existe un ensemble "I" et une partie "S" de formula_180("I")× formula_180("I") telle que "V" est la classe de toutes les algèbres de signature Ω qui satisfont chacune des identités de "S". En fait, on pourrait, pour définir les variétés d'algèbres en général, se limiter à considérer l'algèbre des termes d'un ensemble infini dénombrable fixé une fois pour toutes (l'ensemble des entiers naturels, par exemple).


title: Algèbre universelle

text: Par exemple, les monoïdes, les groupes, les anneaux, les modules sur un anneau donné (ou espaces vectoriels sur un corps donné) forment des variétés d'algèbres.


title: Algèbre universelle

text: Les variétés d'algèbres de signature donnée forment des catégories pour les homomorphismes et la composition des homomorphismes, et ces catégories ont la plupart des propriétés communes usuelles des catégories des groupes, des monoïdes, des anneaux, des espaces vectoriels sur un corps, etc. : construction des structures induites et des quotients, existence et construction des produits, existence d'objets libres, existence des limites et des colimites quelconques, construction des limites quelconques et des colimites filtrantes. En un sens, on peut dire que les variétés d'algèbres sont de « bonnes » catégories d'algèbres.


title: Algèbre universelle

text: Certaines opérations de structures algébriques qui font que l'on a affaire à une variété d'algèbres ne sont pas données dans la définition usuelle. Par exemple, un groupe un ensemble muni d'une loi de composition vérifiant certaines propriétés, mais seules l"'existence" de l'élément neutre et l'existence de l'inverse de tout élément font partie de la définition usuelle, mais le groupe n'est pas, dans la définition usuelle, muni d'un élément neutre et d'une inversion. Pour déterminer les opérations qui dont que l'on a affaire à une variété d'algèbres, on peut examiner les axiomes des sous-structures (sous-groupes, sous-anneaux, etc.).


title: Algèbre universelle

text: Soit "V" une variété d'algèbres. On a un foncteur, dit d' oubli, de la catégorie "V" dans la catégorie des ensembles en associant à toute algèbre "A" de "V" son ensemble sous-jacent.


title: Algèbre universelle

text: On trouvera ici la liste des principales variétés d'algèbres que l'on rencontre en mathématiques. Pour chacune des types de structure algébrique suivantes, la classe de toutes les algèbres qui sont de ce type forment une variété d'algèbres :


title: Algèbre universelle

text: Voici des structures algébriques qui ne forment pas des variétés d'algèbres : les semi-groupes, c'est-à-dire les monoïdes dont tout élément est simplifiable, les corps commutatifs, les anneaux principaux, les anneaux factoriels, les modules libres sur un anneau donné non trivial "A" qui n'est pas un corps, les treillis complets.


title: Algèbre universelle

text: Soit "K" un corps (commutatif ou non). Soit "X" un espace affine sur un corps "K", en considérant l'ensemble vide comme un espace affine attaché à un espace vectoriel nul. Alors, pour tout entier naturel non nul "n" et pour toute suite finie de "n" éléments de "K" dont la somme est égale à 1, on a opération "n"-aire qui à une suite de "n"-points associe le barycentre de ces points affecté de ces éléments de "K". On définit donc une structure algébrique sur "X". En fait, on peut montrer, que, en associant à chaque espace affine sur "K" l'algèbre ainsi définie, on a un foncteur de la catégorie des espaces affines sur "K" (les morphismes sont les applications affines) dans une variété d'algèbres qui est en fait une équivalence de catégories. Ceci montre que les propriétés catégorielles des variétés d'algèbres s'appliquent à la catégorie des espaces affine sur "K".


title: Algèbre universelle

text: Théorème de Birkhoff. Pour qu'une classe "V" d'algèbres de signature Ω soit une variété d'algèbres, il faut et il suffit qu'elle vérifie les propriétés suivantes :


title: Algèbre universelle

text: Proposition. Soit "V" une variété d'algèbres. Alors, au sens de la théorie des catégories, les isomorphismes de la catégorie "V" ne sont autres que les homomorphismes de "V" qui sont des bijections et les monomorphismes de "V" ne sont autres que les homomorphismes de "V" qui sont des injections. Tout homomorphisme surjectif de "V" est un épimorphisme de la catégorie "V", mais la réciproque peut être fausse, comme le montre la catégorie des anneaux (ou des monoïdes) : on peut montrer qu'il existe, dans la catégorie des anneaux, l'injection canonique de l'anneau formula_36 des entiers rationnels dans le corps formula_35 des nombres rationnels est un épimorphisme.


title: Algèbre universelle

text: Dans les variétés d'algèbres, certains auteurs appellent "épimorphismes" les homomorphismes surjectifs, ce qui peut créer une confusion avec les épimorphisme de la théorie des catégories.


title: Algèbre universelle

text: Proposition. Les produits directs d'algèbres de "V" ne sont autres que les produits au sens de la théorie des catégories.


title: Algèbre universelle

text: Toutes les propriétés générales des variétés d'algèbres s'appliquent à toutes les structures algébriques qui forment des variétés d'algèbres énumérées précédemment, et à bien d'autres. On peut donc définir pour ses structures des homomorphismes, des sous-algèbres et les congruences, et on peut construire les produits directs et les quotients, et ce, de manière uniforme. De plus, comme on le verra, on peut construire les limites quelconques et les colimites filtrantes de foncteurs (en particulier des limites projectives et inductives de systèmes projectifs et inductifs indexés par des ensembles ordonnés filtrants) de la même manière qu'en théorie des ensembles. En particulier on a des égalisateurs, des coégalisateurs et des produits fibrés, construits comme en théorie des ensembles. On peut aussi montrer que ces structures admettent des colimites quelconques, et en particulier des coproduits (ou sommes) et des coproduits fibrés (ou sommes amalgamées ou fibrées), mais chaque variété d'algèbres à sa construction, qui peut différer de la construction que l'on retrouve en théorie des ensembles. On peut construire les algèbres libres engendrées par des ensembles.


title: Algèbre universelle

text: On retrouve en algèbre différents objets libres sur un ensemble : les monoïdes libres, les groupes libres, les modules libres sur un anneau donné, les algèbres de polynômes à coefficients dans un anneau commutatif. Tous ces exemples sont assez bien connus (au niveau universitaire). Toutes ces constructions ont des propriétés communes, qui en fait relèvent de la théorie des catégories, et se généralisent dans les variétés d'algèbres.


title: Algèbre universelle

text: Soit "V" une variété d'algèbre de signature Ω, et on suppose qu'il existe des algèbres non triviales dans "V", c'est-à-dire qui ont plus d'un élément. Alors on a le théorème suivant :


title: Algèbre universelle

text: Théorème. Pour tout ensemble "I", il existe une algèbre "L" de "V" qui contient "I" comme sous-ensemble telle que, pour toute algèbre "A" de "V" et pour toute application "f" de "I" dans "A", il existe un unique homomorphisme de "L" dans "A" qui prolonge "f". On dit qu'une telle algèbre "L" est une algèbre libre construite sur "I" dans "V". La partie "I" de "L" est alors une partie génératrice de "L".


title: Algèbre universelle

text: Si "V" est la variété de toutes les algèbres de signature Ω, alors l'algèbre de termes formula_154("I") est une algèbre libre construite sur "I".


title: Algèbre universelle

text: Proposition. Quelles que soient les algèbres libres "L" et "M" construites sur "I" dans "V", il existe un unique isomorphisme de "L" sur "M" qui prolonge l'application identité de l'ensemble "I". Ainsi, l'algèbre libre construite sur "I" dans "V" est unique à un isomorphisme unique près.


title: Algèbre universelle

text: Les algèbres libres construites sur "I" dans "V" sont donc uniques à un isomorphisme unique près. On peut donc en choisir une fois pour toutes. Mais il y a une construction canonique, qui est une algèbre quotient de l'algèbre des termes construits sur "I". Cette construction est valable dans chacune des variétés d'algèbres, mais en pratique, dans les variétés d'algèbres les plus importantes, il y a une construit explicite plus simple, qui dépend réellement de la variété d'algèbres considérée. La construction explicite n'a pas vraiment d'importance, mais on en construit une pour pouvoir parler de l' "algèbre libre" et non pas d'une "algèbre libre" construite sur "I". Voici sa construction.


title: Algèbre universelle

text: Soit "S" l'ensemble des couples d'éléments de formula_186 (formula_187 est l'ensemble des entiers naturels) qui sont des identités satisfaites par toute algèbre de "V" et soit "R" la congruence de formula_188 engendrée par l'ensemble des ("f"("s"), "f"("t")) tels que "f" est un homomorphisme de formula_186 dans formula_188 et ("s", "t") est un élément de "S". Alors la composée de l'injection canonique de "I" dans formula_188 et de la surjection canonique de formula_188 sur "L" = formula_188/"R" est une injection et, en identifiant "I" à l'image de cette injection, "L" est une algèbre libre construite sur "I" dans "V", que l'on l'appelle l' algèbre libre construite sur "I" dans "V" et on la note formula_194("I").


title: Algèbre universelle

text: Exemples. Voici des variétés d'algèbres où la construction explicite des algèbres libres construites un ensemble "I" est bien connue, avec une indication de la construction explicite :


title: Algèbre universelle

text: Proposition. Quels que soient les ensembles "I" et "J" et l'application "f" de "I" dans "J", il existe un unique homomorphisme de formula_194("I") dans formula_194("J") qui prolonge "f", et on le note formula_194("f"). Cet homomorphisme est injectif, surjectif ou un isomorphisme suivant que "f" est injective, surjectif et bijective. En termes de la théorie des catégories, on définit ainsi un foncteur "F" de la catégorie des ensembles dans "V", qui est en fait un adjoint à gauche du foncteur d'oubli de "V" dans la catégorie des ensembles.


title: Algèbre universelle

text: Définition. On dit qu'une algèbre de "V" est "libre" en tant qu'algèbre de "V" (sans référence à un ensemble d'indéterminées) si elle est isomorphe à une algèbre libre construite sur un ensemble dans "V". Cela dépend de la variété "V" et non pas seulement de Ω. Cela généralise la notion de module libre ou de groupe libre.


title: Algèbre universelle

text: Pour toute algèbre "A", il existe un homomorphisme surjectif à valeurs dans "A" définie sur une algèbre libre construite sur l'ensemble sous-jacent à "A".


title: Algèbre universelle

text: Au sens de la théorie des catégories, toute variété d'algèbres "A" admet des objets initiaux, c'est-à-dire une algèbre "U" telle que, pour toute algèbre de "A" de "V", il existe un unique homomorphisme de "U" dans "A". Les objets initiaux dans la variété "V" ne sont autres que objets libres construits sur l'ensemble vide, et ils sont uniques à un isomorphisme unique près.


title: Algèbre universelle

text: Dans la catégorie des ensembles, l'ensemble vide est l'unique objet initial, mais dans une variété d'algèbres, les objets initiaux n'ont pas comme ensemble sous-jacent l'ensemble vide, sauf s'il n'y a aucune opération nullaire dans la signature (alors que les objets finaux ont comme ensemble sous-jacent les singletons, objets finaux de la catégorie des ensembles).


title: Algèbre universelle

text: Le foncteur d'oubli de la variété d'algèbres "V" dans la catégorie des ensembles est représentable. Autrement dit, il existe un couple ("U", "c") formé d'une algèbre "U" de "V" et d'un élément "c" de l'ensemble sous-jacent à "U" tel que, pour toute algèbre "A" de "V", l'application "f" → "f"("c") de Hom("U", "A") dans l'ensemble sous-jacent à "A" est bijection. Les représentants de foncteur s'identifient aux algèbres libres construites sur un ensemble à un élément (le "c" en question) dans "V". Dans la catégorie des ensembles, le couple ({0}, 0) est un représentant du foncteur identité de la catégorie des ensembles.


title: Algèbre universelle

text: Soit "G" un groupe. Pour qu'une action de "G" sur un ensemble non vide "E" soit simplement transitive, il faut et il suffit que le "G"-ensemble qu'est l'ensemble "E" muni de cette action soit un "G"-ensemble libre construite sur un élément de "E".


title: Algèbre universelle

text: Soit "I" un ensemble. Pour tout élément "i" de "I", on peut alors noter formula_155 l'élément de formula_194("I") auquel s'identifie "i", et on dit que les formula_155 sont des indéterminées de formula_194("I"). En interprétant ainsi les éléments de "I", on a le résultat qui suit.


title: Algèbre universelle

text: Soit "A" une algèbre de "V". En identifiant l'ensemble des applications de "I" dans "A" à l'ensemble des familles d'éléments de "A" indexées par "I", on a, d'après la définition des algèbres libres, une bijection canonique φ entre l'ensemble des familles d'éléments de "A" indexées par "I" et l'ensemble des homomorphismes de "L" = formula_194("I") dans "A". Pour toute famille formula_81 d'éléments de "A" indexée par "I" et pour tout élément "t" de "L", on note formula_210 la valeur en "t" de φ(formula_81): on dit alors que cet élément de "A" est obtenu en substituant les formula_104 aux formula_155. Cela s'interprète de la même manière que la substitution aux indéterminées d'un polynôme d'élément d'une algèbre associative unitaire et commutative sur un anneau commutatif.


title: Algèbre universelle

text: Soit "A" une algèbre de "V", "t" un élément de "L" = formula_194("I"). En associant de cette manière à tout élément de formula_215 un élément d'élément de "A", obtenue par substitution dans "t", on obtient une application de formula_215 dans "A" qui s'interprète, dans le cas de la variété des algèbres associatives unifères et commutatives sur un anneau commutatif "K", comme l'application polynomiale associée à "t".


title: Algèbre universelle

text: Soient "A" une algèbre de "V", formula_81 une famille d'éléments de "A" indexée par un ensemble "I" et φ l'homomorphisme correspondant de formula_194("I") dans "A".


title: Algèbre universelle

text: Les notions de famille libre, d'éléments indépendants et de base dépendent de la variété d'algèbres et non seulement de la signature d'algèbres, contrairement au cas des familles génératrices.


title: Algèbre universelle

text: On retrouve en algèbre les présentations de groupes. Cette notion se généralise au cas des variétés d'algèbres.


title: Algèbre universelle

text: Définition. Soit "A" une algèbre de la variété d'algèbre "V". On appelle présentation de "A" (relativement à "V") tout couple ("X", "S") formé d'une partie génératrice "X" de "A" et d'un ensemble "S" de couples d'éléments l'algèbre libre "L" construite sur "X" telle que la congruence "R" d'algèbre de "L" engendrée par "S" est la relation d'équivalence associée à l'unique homomorphisme de "L" sur "A" qui prolonge l'injection canonique de "X" dans "A". Les éléments de "X" sont alors appelés générateurs de la présentation et les éléments de "S" les relations de la présentation.


title: Algèbre universelle

text: Cette notion de présentations dans une variété d'algèbres généralise bien celle des groupes. Dans le cas des groupes, on se donne une partie génératrice "X" d'un groupe "G" (les générateurs) et une partie "K" du groupe libre "L" construit sur "X" (les relateurs) telle que le sous-groupe distingué de "L" engendré par "K" est le noyau de l'unique homomorphisme de "L" dans "G" qui prolonge l'injection canonique de "X" dans "G". Le passage de la partie "K" à l'ensemble "S" de couples de "L" se fait ainsi : au lieu de considéré un élément "x" de "L" (un relateur de la présentation), on considère le couple ("x", "e") formé de "x" et de l'élément neutre "e" de "L" (une relation de la présentation).


title: Algèbre universelle

text: La notion de présentation d'algèbres permet parfois de faire plus simplement certains calculs, en particulier lorsque l'on considère toute la variété de toutes les algèbres d'une signature donnée ou encore lorsque l'on peut construite explicitement les algèbres libres dans la variété en question (par exemple la catégorie des groupes).


title: Algèbre universelle

text: On dit qu'une algèbre "A" de "V" est de présentation finie s'il existe une présentation ("X", "S") de "A" telle que les ensembles "X" et "S" sont finis.


title: Algèbre universelle

text: Soit "V" une variété d'algèbres de signature Ω. On peut montrer que la catégorie "V" admet des limites projectives et des limites inductives et même, plus généralement, des limites et des colimites. On peut aussi montrer que le foncteur d'oubli de "V" dans la catégorie des ensembles crée les limites quelconques et crée les colimites filtrantes (les limites inductives filtrantes).


title: Algèbre universelle

text: Théorème. Soient "I" une petite catégorie (resp. un ensemble ordonné filtrant) et "F" un foncteur de "I" dans "V" et considérons "L" la limite (resp. la colimite) de "F" considéré comme foncteur dans la catégorie des ensembles, au moyen du foncteur d'oubli. Alors il existe une unique structure algébrique de signature Ω sur "L" pour laquelle, pour tout élément "i" de "I", l'application canonique de "L" dans formula_219 (resp. de "L" dans formula_219) est un homomorphisme. Alors, pour cette structure algébrique sur "L", "L" est, pour les applications canoniques, une limite (resp. une colimite) du foncteur "F" dans la catégorie "V". On peut montrer que cette construction est fonctorielle.


title: Algèbre universelle

text: En particulier, on peut remplacer "I" par un ensemble ordonné (resp. un ensemble ordonné filtrant) et "F" par un système projectif (resp. un système inductif) d'algèbres de "V" : on obtient les limites projectives (resp. les limites inductives).


title: Algèbre universelle

text: La catégorie "V" admet des limites et des colimites quelconques, et donc la catégorie est complète et cocomplète. Cela tomberait en défaut si on n'admettait les algèbres (s'il en existait du moins).


title: Algèbre universelle

text: Coproduits et coproduits fibrés. Cela a pour conséquence que les variétés d'algèbres admettent des coproduits (ou sommes directes). Voici des exemples de coproduits :


title: Algèbre universelle

text: Comme on le voit, les coproduits sont rarement construits comme dans le cas des ensembles (c'est alors la réunion disjointe).


title: Algèbre universelle

text: Le résultat suivant en est un qui donne l'existence de l'adjoint de certains foncteurs entre des variétés d'algèbres, et on obtient ainsi les cas les plus courants des solutions à des problèmes universels.


title: Algèbre universelle

text: On note Ω et Θ des signatures d'algèbres et "V" et "W" des variétés d'algèbres de type Ω et Θ respectivement.


title: Algèbre universelle

text: Théorème. On suppose qu'il existe un foncteur "F" de la catégorie "V" dans la catégorie "W" qui "commute" aux foncteurs d'oubli dans la catégorie des ensembles, c'est-à-dire tel que, pour toute algèbre "A" de "V", les ensembles sous-jacents à "A" et "F"("A") sont égaux et, quels que soient les algèbres "A" et "B" de "V" et l'homomorphisme "f" de "A" dans "B", les applications "f" et "F"("f") sont égales. Alors il existe un adjoint à gauche "G" de "F". En particulier, pour toute algèbre "A" de "V" et pour toute algèbre "C" de "W", on a une bijection canonique "naturelle" entre les ensembles d'homomorphismes Hom("F"("A"), "C") et Hom("A", "G"("C")).


title: Algèbre universelle

text: Exemples particuliers. Les cas les plus importants de foncteurs entre "V" et de "W" sont cas des foncteurs d'inclusion (avec Ω = Θ), des foncteurs d'oubli (avec Θ inclus dans Ω) ou des foncteurs de modification de structures. Voici les exemples les plus courants.


title: Algèbre universelle

text: Sauf dans le cas de l'algèbre enveloppante des algèbres de Lie, les exemples précédents sont de ces deux types (inclusion et oubli). Dans ce dernier cas, on obtient un adjoint d'un foncteur de « modification de structure ».


title: Algèbre universelle

text: Exemple de géométrie affine. Soit "K" un corps (commutatif ou non). Il existe une équivalence de catégories entre la catégorie des espaces affines sur "K" avec applications affines et une variété d'algèbres (voir plus haut). Tout espace vectoriel "V" sur "K" peut être considéré comme un espace affine sur "K", et on obtient alors un foncteur concret de la catégorie des espaces vectoriels sur "K" dans la catégorie des espaces affines sur "K". Il découle alors du théorème précédent que ce foncteur d'oubli admet un adjoint, qui à tout espace affine "E" sur "K" associe son espace vectoriel enveloppant "Ê": il est caractérisé, à isomorphisme près, par le fait que "E" est un hyperplan affine de "Ê" qui ne passe pas par 0. C'est une sorte de version vectorielle du de "E" (l'espace projectif "P"("Ê") est un complété projectif de "E").


title: Manumission

text: La manumission (du latin "manumissĭo" : affranchissement) est l'acte d'affranchissement d'un esclave. La manumission avait valeur d'acte juridique durant l'Antiquité romaine, puis dans différents pays européens au Moyen Âge et sous l'Ancien Régime.


title: Manumission

text: Il consistait pour un seigneur envers son serf, un père envers son fils, ou un maître envers son esclave, à poser les deux mains à plat sur la tête de ce dernier, qui se tenait à genoux devant lui, devant témoins. La personne était alors affranchie ou émancipée, et un notaire l'attestait par un document écrit. Dans le monde anglo-saxon, la manumission se faisait sans qu'aucun geste ne soit nécessaire. On pouvait l'accorder par testament.


title: Manumission

text: Ce mot est parfois utilisé en français pour une période plus récente même si on lui préfère les termes d'affranchissement ou d'émancipation.


title: Gene Krupa

text: Eugene Bertram Krupa dit Gene Krupa est un batteur et chef d'orchestre de jazz américain, né le à Chicago et décédé le à Yonkers (État de New York).


title: Gene Krupa

text: Après des débuts en 1921 dans un orchestre d'adolescents, "The Frivolians", Gene Krupa travaille la percussion et commence à enregistrer en 1927 avec Red McKenzie et Eddie Condon. Il collabore ensuite avec Joe Kayser, Joe Sullivan, Red Nichols, Bix Beiderbecke et Adrian Rollini. Il se produit dans des clubs à Chicago. Grâce à l'intervention de John Hammond, il est engagé en 1935 par Benny Goodman dans son big band. Il enregistre dans le cadre du trio et du quartette de Benny Goodmann avec Teddy Wilson et Lionel Hampton. Il quitte le clarinettiste et forme son orchestre en 1938. Il participe le au concert historique au Carnegie Hall. En 1941 il engage la chanteuse Anita O'Day et le trompettiste Roy Eldridge puis il rejoint l'orchestre de Tommy Dorsey quelques mois et reforme ensuite un grand orchestre en 1944. Il participe au JATP dès 1951 et se mesure dans des « » à Louie Bellson et Buddy Rich. Il tourne dans les films "The Benny Goodman story" en 1955 et "The Gene Krupa story" en 1959. Après une pause pour raisons de santé en 1960 il remonte un big band à Disneyland de 1963 à 1967, fait une tournée au Japon avec Charlie Ventura. Il participe au Festival de Newport au côté de Benny Goodman au début des années 1970.


title: Attaque du 27 avril 2020 à Colombes

text: L'auteur fauche trois policiers à bord d'un véhicule avant d'être appréhendé, muni d'un couteau et d'une lettre d’allégeance à l’État islamique.


title: Attaque du 27 avril 2020 à Colombes

text: Après celui du qui a fait et à Romans-sur-Isère, c'est le second attentat à survenir en France pendant le confinement dû à la pandémie de Covid-19 qui touche alors le pays.


title: Attaque du 27 avril 2020 à Colombes

text: Dans le centre-ville, avant dans une avenue proche du Stade olympique Yves-du-Manoir, l'auteur fauche avec une BMW trois policiers à bord d'un véhicule avant d'être appréhendé par des policiers municipaux aussi sur les lieux, muni d'un couteau et d'une lettre d’allégeance à Adnane Abou Walid al-Sahraoui qu'il considère comme le . Selon le journaliste Wassim Nasr, il se serait fait berner par une rumeur infondée qui laissent entendre que Sahraoui serait le successeur de Baghdadi, ce qui n'est pas le cas en réalité.


title: Attaque du 27 avril 2020 à Colombes

text: Après analyse du rapport d’expertise psychiatrique du suspect, le parquet anti-terroriste se saisit de l'affaire. Une expertise psychiatrique du suspect écarte toute abolition ou altération de son discernement.


title: Attaque du 27 avril 2020 à Colombes

text: Dans sa lettre d'allégeance, il écrit se lancer « à corps perdu dans la bataille pour imposer la charia sur l'ensemble de la terre ».


title: Attaque du 27 avril 2020 à Colombes

text: Lors de son interrogatoire, le suspect reconnaît avoir agi volontairement, et explique avoir « percuté les policiers en représailles à la situation en Palestine », précisant avoir regardé des vidéos sur la Palestine avant d'agir.


title: Attaque du 27 avril 2020 à Colombes

text: Le soir même, un voisin du suspect est mis à garde à vue. Il possède une vidéo de l'attaque et il annonce aux forces de l'ordre, lors de son interpellation, avoir similaires à ceux de Youssef Tihlah.


title: Attaque du 27 avril 2020 à Colombes

text: L'exploitation des supports numériques du suspect démontre qu'il éprouve de l'intérêt pour l’État islamique et pour le terrorisme de manière générale. Elle montre également une adhésion aux discours anti-occidentaux basés sur la situation géopolitique de la Palestine et du Sahel. Selon l'enquête, il a agi seul.


title: Attaque du 27 avril 2020 à Colombes

text: À sa sortie de garde à vue, le , le Parquet national antiterroriste le place en détention provisoire pour « tentative d'assassinats sur personnes dépositaires de l'autorité publique en relation avec une entreprise terroriste ». Une enquête est également ouverte pour « association de malfaiteurs terroriste » au cas où d'éventuels complices seraient découverts ; mais puisque l'enquête semble plutôt démontrer qu'il aurait agi seul, ce chef d'accusation n'est pas retenu dans l'information judiciaire.


title: Attaque du 27 avril 2020 à Colombes

text: Youssef Tihlah est né en 1990 à Lunéville en Meurthe-et-Moselle. Condamné en 2010 pour violences aggravées, il est inconnu des services de renseignements pour radicalisation. Son discours est jugé très cohérent. Il nourrit son idéologie sur les réseaux sociaux djihadistes. En 2018, il a le projet de se rendre en Syrie mais renonce pour des raisons financières. Il accepte l'idée d'être incarcéré à vie puisque, dit-il, « Allah m'a choisi », et qu'il voulait, « taper du flic » au cours d'une attaque à la voiture-bélier .