title: Givenchy-en-Gohelle

text: En s'avançant à l'avant du monument, on peut remarquer une statue de femme voilée, tournée vers l'est, vers l'aube d'un nouveau jour. Elle représente le Canada, une jeune nation, pleurant ses fils tombés au combat. La crête de Vimy est aujourd'hui boisée, chaque arbre a été planté par un Canadien et symbolise le sacrifice d'un soldat.


title: Givenchy-en-Gohelle

text: Les pierres calcaires choisies par Walter Allward viennent de Croatie. Elles sont montées sur une structure en béton. Les pierres d'origine s'étant abîmées avec le temps, des travaux de restauration ont été entrepris en 2005 et se sont achevés en 2007. La reine Élisabeth II a participé à l'inauguration le .


title: Givenchy-en-Gohelle

text: Un monument édifié en , sur le plateau de Vimy, en face du mémorial canadien, rend hommage à la Division marocaine et aux centaines de milliers de soldats étrangers engagés pour la France pendant la Grande Guerre.


title: Givenchy-en-Gohelle

text: La commune de Givenchy-en-Gohelle présente la particularité d'avoir planté de nouveau de la vigne (chardonnay et pinot gris). Les premières vendanges ont eu lieu en 2000.


title: Downtown Dubai

text: Le Downtown Dubai, ou centre-ville de Dubaï, est un quartier commercial et résidentiel, ou «», à Dubaï aux Émirats arabes unis. On y trouve le plus haut gratte-ciel du monde, le Burj Khalifa, le Dubai Mall et la fontaine de Dubaï. Sa superficie est de 2 km2. Le lieu s'est appelé Downtown Burj Dubaï, puis Downntown Dubaï.


title: Downtown Dubai

text: De zone désertique, le lieu a été changé en une ville moderne, dont la construction a été entreprise par la société de développement immobilier Emaar, avec le but de correspondre aux goûts d'habitants expatriés. On y trouve aussi, à distance des tours spectaculaires, des maisons peu élevées de style arabe, des villas, des rues étroites et des jardins. L'Opéra de Dubaï () a été inauguré dans le centre-ville en 2016.


title: Downtown Dubai

text: Le quartier fait l'objet de travaux de restauration et de conservation du tissu urbain antérieur, de même que ceux de la vieille ville, du souk Al Bahar et du Palace Hotel.


title: Downtown Dubai

text: Le nombre d'habitants est de 100 000. Le centre-ville est situé le long de l'avenue Sheikh Zayed, et il est bordé au sud par le quartier de Business Bay, où vivent 135 000 habitants, au nord-est par Financial Center Road.


title: Downtown Dubai

text: Dubaï est une ville très fragmentée, avec de multiples quartiers faisant office de «noyaux» ; le centre-ville est l'un d'entre eux.


title: La Nuit de tous les dangers

text: La Nuit de tous les dangers (titre original : "Night Over Water") est un roman de Ken Follett publié en 1991.


title: La Nuit de tous les dangers

text: Septembre 1939, la guerre éclate en Europe, l'Angleterre décide de prendre parti dans cette guerre pour combattre le nazisme...


title: La Nuit de tous les dangers

text: La compagnie aérienne américaine, Pan American vient d'ouvrir une ligne régulière Southampton-New York grâce au Boeing 314 Clipper, le plus luxueux des hydravions jamais construits et le moyen le plus rapide pour rejoindre le pays de la liberté.


title: La Nuit de tous les dangers

text: Cette nouvelle ligne doit être close à cause de la guerre ; un vol ultime est programmé et des passagers aux passés compliqués y ont réservé leur place : un lord anglais, ouvertement fasciste et sa famille, qui doit s'enfuir pour éviter d'être interné, un voleur professionnel poursuivi par Scotland Yard, un savant juif allemand, spécialisé dans la recherche nucléaire, que les Nazis veulent absolument récupérer, une femme mariée, poursuivie par son mari, un industriel de l'aéronautique, parce qu'elle s'enfuit avec son amant américain, une princesse russe, qui déteste la musique allemande qu'elle qualifie de "mécanique", une femme d'affaires américaine qui poursuit son frère, également présent, et qui cherche à la spolier, un mystérieux passager américain qui fait chanter le mécanicien de bord pour modifier le trajet...


title: La Nuit de tous les dangers

text: Mais, ceux-ci sont très loin de se douter qu'un voyage d'une trentaine d'heures, au milieu d'une tempête et qui plus est, formé de parfaits inconnus au passé douteux puisse être aussi terrible.


title: Conseil départemental de la Charente

text: Le conseil départemental de la Charente est l'assemblée délibérante du département. C’est une collectivité territoriale décentralisée. Il succède en 2015 au conseil général de la Charente. Son siège se trouve à Angoulême.


title: Conseil départemental de la Charente

text: Les départements ont été créés pendant la Révolution française (1790). Ils sont alors tous organisés autour d’un chef-lieu devant être accessible en tout point du territoire en moins d’une journée de cheval.


title: Conseil départemental de la Charente

text: C’est en 1982 qu’une loi de décentralisation reconnaît au conseil général le plein exercice de ses attributions. Depuis cette date, le département est administré par un organe délibérant (l’assemblée départementale) et un organe exécutif (le président du conseil général).


title: Conseil départemental de la Charente

text: Le président est James Hennessy; les vice-présidents Maurice Marcilhacy et Jacques Menesplier-Lagrange.


title: Conseil départemental de la Charente

text: Dans les années 1980 (lois Defferre 1982-1983), l’État a procédé à une première décentralisation : c’est-à-dire qu’il y a transféré un certain nombre de compétences, dont il avait la charge, aux départements. L’objectif était adapter les décisions et les programmes d’actions en fonction des besoins spécifiques de chaque territoire. En 2004, la décentralisation s’est accélérée : le RMI - aujourd'hui RSA - devient désormais à la charge des départements ainsi que la gestion du personnel TOS (techniciens, ouvriers de service travaillant dans les collèges) et de la direction départementale de l'Équipement.


title: Conseil départemental de la Charente

text: Le président du conseil départemental de la Charente est Philippe Bouty (divers gauche) depuis le 1er juillet 2021.


title: Conseil départemental de la Charente

text: À la suite des élections départementales de juin 2021, la gauche récupère le département qu’elle avait perdu en 2015. Le nouveau président du conseil départemental est Philippe Bouty (DVG).


title: Conseil départemental de la Charente

text: Le conseil départemental de la Charente a pour 2015 un budget de d'euros dont l'investissement vaut d’euros.


title: Pori (Finlande)

text: Pori (, ) une ville du sud-ouest de la Finlande, dans la province de Finlande occidentale et la région du Satakunta. La ville est peuplée de , 98 % ont pour langue maternelle le finnois, seulement 0,5 % ont le suédois. La ville organise en outre Pori Jazz, créé en 1966.


title: Pori (Finlande)

text: La ville est fondée par Jean III de Suède en 1558, sur le lieu d'un petit village de pêcheurs et centre commercial d'importance limitée à l'embouchure de la Kokemäenjoki, au bord du golfe de Botnie. Elle prend vite le pas sur la rivale Rauma et connaît une forte croissance, devenant dès le début du la du pays. La ville connaît ensuite de nombreux incendies très violents, la réduisant périodiquement en cendres à chaque fois.


title: Pori (Finlande)

text: Dès la fin du , l'installation d'usines textiles marque le début de l'industrialisation. La Révolution industrielle transforme Pori en un centre industriel majeur à l'échelle de la Finlande, doté en 1900 d'industries variées dominés par le bois, les métaux et le textile. La ville conserve aujourd'hui cette tradition industrielle et reste dominée politiquement par les partis de gauche (en particulier les Sociaux-démocrates. Le port reste très actif malgré de nombreux déplacements vers l'aval en raison de l'isostasie.


title: Pori (Finlande)

text: Après l'annexion de deux communes rurales, la population culmine au-delà des dans les années 1970, mais les usines connaissent ensuite plusieurs plans de réduction d'effectif et l'industrie subit de plein fouet l'effondrement de l'URSS. Aujourd'hui la ville a quand même réussi à conserver plusieurs industries à haute valeur ajoutée (Outokumpu est le plus gros employeur privé de la ville, suivi par la division pigments et peintures du chimiste Kemira et une unité de Technip en Finlande).


title: Pori (Finlande)

text: À cause de l'isostasie, le centre-ville se situe à près de de la mer, près du début du large estuaire de la Kokemäenjoki.


title: Pori (Finlande)

text: La région est très plane, et la côte basse et souvent sablonneuse (la grande plage d'Yyteri est une des plus connues de Finlande). Les industries principales se situent à l'écart de la ville, près du port et de la mer.


title: Pori (Finlande)

text: En raison de sa large ouverture sur la mer, la commune regroupe de nombreuses îles. La plus importante est occupée par le port de pêche de Reposaari (où s'est tenu Loma-Asuntomessut en 2008).


title: Pori (Finlande)

text: Pori est bordée par les communes de Merikarvia au nord, Noormarkku et Pomarkku au nord-est, Ulvila à l'est, Nakkila et Luvia au sud.


title: Pori (Finlande)

text: L'aéroport de Pori a une importance limitée ( en 2005) : Finncomm Airlines assure des vols quotidiens vers Helsinki et l'aéroport accueille quelques vols de vacances à destination des pays chauds en hiver.


title: Pori (Finlande)

text: Le service interurbain direct entre Helsinki et Pori a été interrompu en 2006, mais a repris en juin 2010 avec un service aller-retour quotidien


title: Pori (Finlande)

text: Le port de Pori est l'un des plus grands ports de bois des pays nordiques, le premier port à conteneurs de Finlande et le port le plus profond du golfe de Botnie (15,3 mètres).


title: Pori (Finlande)

text: Il se compose de trois parties distinctes : le port Mäntyluoto, le port en eau profonde de Tahkoluoto et le port pétrolier et chimique.


title: Pori (Finlande)

text: La nationale 2 venant de Helsinki se termine à Pori et reste l'axe le plus pratique pour desservir la capitale.


title: Pori (Finlande)

text: Pori est aussi une étape entre Turku et Vaasa sur la nationale 8, et est également reliée à Tampere (nationale 11) et Joensuu via Jyväskylä (nationale 23).


title: La Biolle

text: La Biolle est une commune française située dans le département de la Savoie, en région Auvergne-Rhône-Alpes. Elle fait partie du pays de l'Albanais.


title: La Biolle

text: La Biolle se situe entre Albens et Grésy-sur-Aix au pied du massif de la Chambotte, à d'Aix-les-Bains et de Rumilly.


title: La Biolle

text: La Biolle est une commune rurale, car elle fait partie des communes peu ou très peu denses, au sens de la grille communale de densité de l'Insee.


title: La Biolle

text: Elle appartient à l'unité urbaine de La Biolle, une unité urbaine monocommunale de en 2017, constituant une ville isolée.


title: La Biolle

text: L'occupation des sols de la commune, telle qu'elle ressort de la base de données européenne d’occupation biophysique des sols Corine Land Cover (CLC), est marquée par l'importance des territoires agricoles (49,2 % en 2018), néanmoins en diminution par rapport à 1990 (52,4 %). La répartition détaillée en 2018 est la suivante :


title: La Biolle

text: forêts (37,5 %), zones agricoles hétérogènes (28,7 %), prairies (20,5 %), zones urbanisées (11,3 %), zones humides intérieures (2 %).


title: La Biolle

text: L'IGN met par ailleurs à disposition un outil en ligne permettant de comparer l’évolution dans le temps de l’occupation des sols de la commune (ou de territoires à des échelles différentes). Plusieurs époques sont accessibles sous forme de cartes ou photos aériennes : la carte de Cassini (), la carte d'état-major (1820-1866) et la période actuelle (1950 à aujourd'hui).


title: La Biolle

text: Le nom de la "Biolle" trouve son origine dans le mot latin "Betula", mais qui possède une origine celtique. Ce dernier désigne "boule" ou "bouleau". En francoprovençal, on l'écrit "Biôla" ou "Byola".


title: La Biolle

text: mai : depuis plus de 30 ans la foire de La Biolle est renommée avec plus de visiteurs. Au cours du temps, elle s'est transformée en une foire moins agricole mais plus artisanale et surtout pour une brocante qui rencontre un énorme succès.


title: La Biolle

text: La fête à l'ancienne est un événement annuel de la ville de La Biolle, elle consiste à rassembler les habitants des différents hameaux du village qui doivent être habillés à la mode d'antan et organiser plusieurs jeux ainsi qu'un concours de char (le hameau ayant le plus beau obtient le titre pour l'année).


title: La Biolle

text: Le Festival du cinéma rural de La Biolle a lieu depuis 25 ans le troisième week-end de novembre. Cette manifestation cinématographique propose chaque année des films, des débats et des rencontres autour du thème de la ruralité. Le festival accueille près de spectateurs et fêtera en 2009 sa .


title: Parti national-républicain

text: Le Parti national-républicain () est un parti politique américain qui a existé durant une période relativement brève dans les années 1820.


title: Parti national-républicain

text: Avant la présidence de John Quincy Adams, le Parti républicain-démocrate, qui a été le seul vrai parti politique national américain pendant une décennie, se dissout, perdant ses infrastructures et son identité. Ses comités ne se réunissent plus pour choisir des candidats. Ceux qui soutiennent Adams se font appeler républicains-nationaux, alors que ceux qui soutiennent Andrew Jackson prennent le nom d'« hommes de Jackson » (en anglais, "Jackson Men") et formeront plus tard le nom de Parti démocrate. À l’élection présidentielle de 1828, Adams obtient 44 % des voix et le vote de 83 des 261 grands électeurs.


title: Parti national-républicain

text: La coalition ad-hoc qui soutient John Quincy Adams s'effondre après 1828 et la principale opposition à Jackson devient le Parti national-républicain créé et développé par Henry Clay. Il partage les vues conservatrices et nationalistes des partisans d'Adams et veut utiliser les ressources nationales pour construire une économie forte. Leur plateforme est le « Système américain », avancé par Clay, d'améliorations internes financées nationalement et d'un tarif protecteur, qui favoriseraient un développement économique plus rapide. Plus important, en liant ensemble les intérêts divers des différentes régions, ils favoriseraient l'unité et l'harmonie nationales. Les nationaux-républicains voient l'Union comme une corporation, un ensemble organique. Par conséquent, les militants, comme Abraham Lincoln idéalisent Clay pour sa perspective compréhensive de l'intérêt national. Réciproquement, ils dédaignent les politiciens de parti, à qui ils reprochent de flatter bassement les intérêts locaux aux dépens de l'intérêt national. Le Parti whig émerge en 1832-34 comme une coalition de nationaux-républicains, d'anti-maçons, de jacksoniens déçus et de personnes dont la dernière activité politique datait des Fédéralistes, une décennie auparavant.


title: Parti national-républicain

text: Aux élections au Congrès de 1830-31, le nombre des sièges nationaux-républicains à la Chambre tombent de 74 à 58, tandis que les Démocrates passent de 139 à 141.


title: Parti national-républicain

text: Les nationaux-républicains présentent Henry Clay face à Andrew Jackson à l’élection présidentielle de 1832, et la défaite de Clay convainc Jackson que le peuple lui a donné un mandat pour abolir la Banque des États-Unis. Clay obtient 37,42 % des voix et le vote de 49 des 288 grands électeurs.


title: Parti national-républicain

text: Après les élections de 1832, le Parti national-républicain s'effondre. En peu de temps, l'essentiel des membres rejoint le Parti whig. Ce n'est pas le prédécesseur direct de l'actuel Parti républicain, fondé en 1854, bien que nombre de ses partisans l'aient finalement rejoint.


title: Elizabeth Smith (Lost)

text: Elizabeth « Libby » Smith est un personnage fictif du feuilleton télévisé "". Il est interprété par Cynthia Watros.


title: Elizabeth Smith (Lost)

text: Le personnage de Libby est introduit dans le deuxième épisode de la deuxième saison en tant que survivante de la queue de l'avion du vol Oceanic 815. Libby est apparue dans vingt et un épisodes, vingt d'entre eux dans la deuxième saison et un dans la quatrième. Les scénaristes déclarèrent à plusieurs reprises que son passé serait révélé, mais, en mai 2009, annoncèrent que cela était finalement peu probable. L'actrice Cynthia Watros était occupée par ailleurs, et n'était pas disponible pour ré-apparaître dans "Lost" avant la fin de la série. Damon Lindelof remarqua à cette occasion : « J’ai appris que quand vous tuez quelqu’un dans la série, il ou elle est moins enclin à coopérer avec vous ».


title: Elizabeth Smith (Lost)

text: Libby est allée à la Faculté de Médecine pendant un an avant d'arrêter et de devenir psychologue clinicienne. Avant de s'écraser sur l'île, elle rencontre Desmond Hume dans un café. Elle lui dit qu'elle vient de Newport Beach, en Californie, et lorsque Desmond lui fait part de son intention de participer à une course de navigation, elle décide de lui donner son bateau à voiles, "Elizabeth", un cadeau que lui a fait son défunt mari David. Elle est également allée dans l'établissement psychiatrique de Santa Rosa, où Hurley et Emily Locke, la mère de John Locke, ont également été patient.


title: Elizabeth Smith (Lost)

text: Libby fait partie des vingt-deux survivants de la queue de l'avion du vol Oceanic 815. Juste après l'accident, elle aide immédiatement les blessés, dont Donald blessé à la jambe. Mais certains d'entre eux meurent quelques jours plus tard, Donald inclus. Dans les jours suivant l'accident, les « Autres » envahissent leur camp et enlèvent tous les survivants restants excepté elle et six autres : Ana Lucia, M. Eko, Bernard, Cindy, Nathan, et Goodwin. La paranoïa commence à affecter Libby ainsi que les survivants restants de la queue et ils spéculent sur le fait que Nathan soit un « Autre », ce qui mène à sa mort. Par la suite, elle et les survivants se rendent dans la station « La Flèche », où ils trouvent une radio leur permettant d'établir un bref contact avec Boone. Quand Goodwin, le vrai « Autre », essaie de voler la radio, Ana Lucia l'arrête et le tue. Son groupe reste dans la station jusqu'à ce que Jin, Michael, et Sawyer les trouvent.


title: Elizabeth Smith (Lost)

text: Le groupe de Libby décide de rejoindre les survivants du fuselage de l'avion. Pendant leur voyage, Cindy est enlevée par les « Autres » et Ana Lucia tue accidentellement Shannon. Une fois qu'elle rejoint le camp principal, elle et Hurley font connaissance, ce dernier tombe alors sous son charme. Libby fait également connaissance avec Claire, qu'elle aide à retrouver la mémoire, à la suite de son enlèvement par Ethan. Elle essaye également d'aider Bernard avec son « S.O.S. » avant d'y renoncer. Libby aide Hurley à résoudre son addiction pour la nourriture mais après avoir convaincu Hurley de jeter ses réserves, une palette de nourriture tombe du ciel. Hurley revoit ensuite son ami imaginaire, Dave, ce dernier le convainc que tout est dans sa tête et qu'il est toujours en hôpital psychiatrique. Lorsque Hurley est sur le point de sauter d'une falaise, elle parvient à l'arrêter en lui déclarant ses sentiments pour lui.


title: Elizabeth Smith (Lost)

text: Alors que leur relation se développe, Hurley lui organise secrètement un pique-nique mais Libby le surprend avec de la nourriture. Une fois arrivés sur la plage, il lui dit qu'il a oublié les boissons et les couvertures. Pendant qu'il demande à Rose et Bernard une bouteille de vin, Libby rejoint le bunker pour chercher les couvertures mais Michael lui tire dessus. Quelques heures plus tard, Libby est retrouvée sans connaissance à côté du corps sans vie d'Ana Lucia et de Michael, blessé, alors que Henry Gale s'est sauvé. La tentative de Jack de la sauver échoue, il décide de soulager sa douleur avec de l'héroïne et elle meurt avec Hurley à son chevet. Elle est enterrée près d'Ana Lucia, au moment où Desmond revient sur la plage à bord de l’"Elizabeth". Deux semaines plus tard, Hurley se rend sur la tombe de Libby et lui exprime combien elle lui manque avant de laisser une fleur.


title: Elizabeth Smith (Lost)

text: Après sa mort, Libby continue de hanter Michael. Elle apparaît à Michael dans un hôpital en tant qu'infirmière avec des couvertures sur son estomac, représentant la position dans laquelle elle était au moment où il lui a tiré dessus. Elle le suit même dans le cargo "Kahana", où elle essaye de duper Michael de ne pas appuyer sur un bouton. Lors de la conférence de presse des « Six de l'Oceanic », ils disent que Libby était l'une des huit survivants initiaux, mais qu'elle est morte la première semaine.


title: Elizabeth Smith (Lost)

text: Dans la réalité alternative, Libby est encore en hôpital psychiatrique. Un jour, elle voit Hurley et commence à se souvenir de sa vie passée sur l'île. Un jour, dans un restaurant mexicain, Libby voit Hurley et lui dit qu'elle croit qu'ils peuvent être connectés et être des âmes sœurs. Hurley l'invite ensuite à un rendez-vous et lorsqu'ils s'embrassent, Hurley se souvient également de leur vie sur l'île et il assure Libby qu'elle n'est pas folle. Par la suite, elle est présente dans l'église avec les autres rescapés du vol 815.


title: Adama Mbengue

text: Adama Mbengue, né le à Rufisque (Sénégal), est un footballeur international sénégalais à la La Berrichonne de Châteauroux.


title: Raniero Cantalamessa

text: Raniero Cantalamessa, né le à Colli del Tronto (Marches, Italie), est un cardinal de l'Église catholique romaine et frère capucin, prêtre, théologien, historien et animateur de télévision italien, prédicateur de la Maison pontificale depuis 1980, soit durant les pontificats de Jean-Paul II, Benoît XVI et François. Il est l'une des personnalités du Renouveau charismatique catholique.


title: Adama Mbengue

text: Né au Sénégal, c'est aux États-Unis qu'Adama Mbengue fait ses débuts dans le monde du football. Repéré par l'académie du Orlando City SC, il intègre le centre de formation puis l'équipe jeune de la franchise nord-américaine.


title: Raniero Cantalamessa

text: Professeur à l'Université catholique du Sacré-Cœur de Milan, il est membre de la commission théologique internationale de 1975 à 1981. Au début de sa carrière, il a réalisé plusieurs études sur les origines chrétiennes.


title: Adama Mbengue

text: Le , Adama Mbengue est promu dans l'équipe senior d'Orlando et fait ses débuts professionnels en USL Pro le jour suivant avec à la clé une victoire 3-0 face aux City Islanders d'Harrisburg. Après deux saisons et demi avec Orlando, il rejoint le club de Diambars dans son pays natal en septembre 2014.


title: Raniero Cantalamessa

text: Après avoir quitté l'enseignement en 1980, il entre à la maison pontificale et devient prédicateur. Il anime régulièrement une émission sur RAI Uno pendant la fin de semaine.


title: Adama Mbengue

text: Le , il rejoint la Ligue 1 et signe un contrat de quatre ans en faveur du SM Caen. Il quitte le club à l'issue de son contrat en 2021.


title: Raniero Cantalamessa

text: Le pape François annonce le sa création cardinalice ainsi que 12 autres prélats et prêtres, il est créé lors du consistoire du . Exceptionnellement le cardinal Cantalamessa demande à ne pas recevoir l'ordination épiscopale comme il est d'usage pour tous les nouveaux cardinaux non-évêques depuis Jean-Paul II. Sa demande est acceptée par le pape François, le cardinal Cantalamessa en effet a souhaité rester frère capucin, il déclare le "L'autre raison est le désir de mourir avec l'habit franciscain : chose qu'on m'aurait difficilement permise si j'avais été évêque".


title: Adama Mbengue

text: Le , Adama Mbengue est appelé pour la première fois en équipe nationale du Sénégal par le sélectionneur Aliou Cissé , pour les matchs amicaux face au Nigeria et à la Côte d'Ivoire. Il fête sa première sélection par une titularisation face au Nigeria le (1-1).


title: Raniero Cantalamessa

text: Le , Raniero Cantalamessa suggère publiquement qu'un jour de jeûne et de pénitence soit établi spécifiquement en réparation des affaires d'abus sexuels sur mineurs dans l'Église catholique, pour exprimer « notre repentance devant Dieu et notre solidarité avec les victimes ».


title: Adama Mbengue

text: Il est sélectionné par l'entraineur sénégalais Aliou Cissé pour faire partie de l'effectif du Sénégal à la Coupe du monde 2018, mais ne joue aucun match lors du tournoi.


title: Raniero Cantalamessa

text: Lors de son homélie du Vendredi saint de 2010, il cite une « lettre reçue d'un ami juif » qui compare les attaques dont l'Église est victime au phénomène de l'antisémitisme : « L'utilisation du stéréotype, le passage de la responsabilité et faute personnelle à celle collective me rappellent les aspects les plus honteux de l'antisémitisme ». Cette comparaison est ressentie comme d'autant plus « malvenue » qu'elle a lieu un Vendredi saint, jour difficile pour les relations entre judaïsme et christianisme, et que, d'autre part, les critiques, même virulentes, contre le pape et l'Église sont sans commune mesure avec l'antisémitisme et la Shoah, comme le soulignent plusieurs organismes ou personnalités tels que l'American Jewish Committee ou le grand-rabbin de Rome Riccardo Di Segni. Le porte-parole du Vatican, Federico Lombardi, prend aussitôt ses distances avec les propos du père Cantalamessa. Ce dernier présente ses excuses le lendemain dans les colonnes du "Corriere della Sera", réaffirmant sa solidarité tant envers les juifs qu'envers les victimes de la pédophile et expliquant par ailleurs que le pape ignorait le contenu de ce sermon.


title: Adama Mbengue

text: Lors de la saison 2013 de USL Pro, il remporte le championnat de troisième division alors qu'Orlando City s'impose 7-4 en finale contre les Eagles de Charlotte, rencontre au cours de laquelle il inscrit le sixième but de son équipe.


title: Raniero Cantalamessa

text: Le , le Jerusalem Post revient sur la polémique. Regrettant le sensationnalisme et la précipitation manifestés dans la lecture, il relève plusieurs passages de l'homélie particulièrement significatifs de l'approfondissement des relations entre Juifs et Chrétiens. Il déplore enfin qu'il devienne « de plus en plus difficile pour les religieux d'envoyer un message pondéré, avec une certaine complexité, des nuances, une profondeur historique et théologique, sans devoir se préoccuper du fait qu'une partie en sera extrapolée pour faire des titres qui sont erronés ».


title: Raniero Cantalamessa

text: On a également reproché au P. Cantalamessa son soutien à Vito Carlo Moccia, fondateur d'Arkeon un groupe de psychothérapeutes issus du Reiki, qui a connu des dérives en Italie.


title: Connexion affine

text: En mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle, une connexion affine est un objet géométrique défini sur une variété différentielle, qui "connecte" des espaces tangents voisins, et permet ainsi à des champs de vecteurs tangents d'être dérivés comme si c'étaient des fonctions définies sur la variété et prenant leurs valeurs dans un unique espace vectoriel. La notion de connexion affine prend ses racines dans la géométrie du et dans le calcul tensoriel, mais ne fut pleinement développée qu'au début des années 1920, par Élie Cartan (comme cas particulier de ) et par Hermann Weyl (qui l'utilisa en partie pour fonder sa description de la relativité générale). La terminologie est due à Cartan et trouve son origine dans l'identification des espaces tangents dans l'espace euclidien R par des translations : l'idée est qu'un choix de connexion affine fait ressembler (localement) une variété à un espace euclidien, non seulement de façon différentiable en un point, mais en tant qu'espace affine.


title: Connexion affine

text: Sur toute variété, on peut définir une infinité de connexions affines. Si la variété est munie d'une métrique riemannienne, il existe un choix naturel de connexion affine, appelée la connexion de Levi-Civita. Le choix d'une connexion affine est équivalent à définir une façon de dériver les champs de vecteurs qui satisfait plusieurs propriétés raisonnables (la linéarité, ainsi que la règle de Leibniz). Ceci permet de définir une connexion affine comme une dérivée covariante ou encore comme une connexion (linéaire) sur le fibré tangent. Un choix de connexion affine est aussi équivalent à une notion de transport parallèle, c'est-à-dire à un moyen de transporter les vecteurs le long de courbes de la variété.


title: Connexion affine

text: Les principaux invariants d'une connexion affine sont sa courbure et sa torsion. La torsion mesure l'erreur commise en remplaçant, dans le crochet de Lie de deux champs de vecteurs, la dérivée de Lie par la connexion affine. Les connexions affines peuvent également servir à définir des géodésiques (affines) sur une variété, généralisant les lignes droites de l'espace euclidien, bien que leur géométrie puisse être très différente de la géométrie usuelle, en raison de la courbure de la connexion.


title: Connexion affine

text: Une variété de classe C (appelée parfois variété « lisse » ) est un objet mathématique ressemblant localement à une déformation lisse de l'espace euclidien R ; par exemple, une courbe ou une surface lisse ressemble localement à une droite ou à un plan (courbé). Comme dans l'espace euclidien, on peut définir, sur les variétés, la classe de régularité des fonctions et des champs de vecteurs, et on peut dériver les fonctions scalaires de manière naturelle.


title: Connexion affine

text: En revanche, si la différentiation des champs de vecteurs se définit de façon naturelle dans un espace euclidien, c'est parce que l'ensemble des vecteurs en un point "p" (l'espace tangent en "p") peut être identifié naturellement (par translation) avec l'espace tangent en un point voisin "q". L'opération de différentiation des champs de vecteurs n'a pas un sens immédiat sur une variété générale faute de disposer d'une telle identification entre espaces tangents proches, et de pouvoir comparer des vecteurs tangents en des points différents (même proches) de façon unique. La notion de connexion affine fut introduite pour résoudre ce problème en privilégiant une façon particulière de "connecter" des espaces tangents voisins. Cette idée provient de deux sources principales : la théorie des surfaces et le calcul tensoriel.


title: Connexion affine

text: Pour une surface régulière "S" de l'espace euclidien à 3 dimensions, il existe une façon naturelle de relier les vecteurs tangents en des points voisins. Au voisinage de chaque point, "S" peut être approchée par son plan tangent en ce point, lequel est un sous-espace affine de l'espace euclidien. Au , les géomètres s'intéressaient à la notion de , c'est-à-dire au mouvement d'une surface roulant sur une autre sans pivotement ni glissement. En particulier, le plan tangent en un point de "S" peut rouler sur "S". Au cours de ce mouvement, le point de contact parcourt une courbe de "S". Réciproquement, étant donnée une courbe de "S", on peut faire rouler le plan tangent le long de cette courbe. Ceci permet d'identifier les plans tangents en différents points de la surface. En particulier, un vecteur tangent à la surface, donc appartenant au plan tangent en un point donné de la courbe, s'identifie à un unique vecteur tangent en n'importe quel autre point de la courbe. Ces identifications définissent toujours une transformation affine d'un plan tangent vers un autre.


title: Connexion affine

text: Cette notion de transport parallèle des vecteurs tangents le long d'une courbe, par des transformations affines, a un aspect caractéristique : le point de contact du plan tangent avec la surface, lorsqu'il suit la courbe, "se déplace dans le plan" par transport parallèle ; cette condition générique caractérise les . Dans une approche plus moderne, le point de contact est pris comme "origine" du plan tangent (qui s'identifie alors à un espace vectoriel), autrement dit le mouvement de ce point est corrigé par une translation, ce qui rend le transport parallèle linéaire plutôt qu'affine.


title: Connexion affine

text: Du point de vue des connexions de Cartan, en revanche, les sous-espaces affines de l'espace euclidien sont des surfaces "modèles" : ce sont les surfaces les plus simples de l'espace euclidien (à 3 dimensions), homogènes sous l'action du groupe affine du plan ; chaque surface lisse a en chaque point une unique surface modèle tangente. Ces surfaces modèles sont des "géométries de Klein", au sens du programme d'Erlangen. Plus généralement, un espace affine de dimension "n" est une géométrie de Klein pour le groupe affine Aff("n"), le stabilisateur d'un point étant le groupe linéaire GL("n"). Une variété affine de dimension "n" est donc une variété qui ressemble, sous un grossissement infini, à un espace affine de dimension "n".


title: Connexion affine

text: L'autre motivation des connexions affines vient de la notion de dérivée covariante des champs de vecteurs. Avant l'apparition de méthodes de calcul n'utilisant pas les coordonnées, il était nécessaire, pour manipuler des champs de vecteurs, d'utiliser leurs composantes dans des cartes locales. Ces composantes peuvent être dérivées, mais la transformation de ces dérivées dans un changement de coordonnées ne s'exprime pas simplement. Des termes correctifs furent introduits par Elwin Bruno Christoffel (en s'inspirant d'idées de Bernhard Riemann) dans les années 1870, de telle sorte que la dérivée (corrigée) d'un champ de vecteurs le long d'un autre se transforme de façon covariante par changement de coordonnées — ces termes correctifs devaient par la suite être appelés des symboles de Christoffel. Cette idée devait conduire à la théorie du "calcul différentiel absolu" (devenu le calcul tensoriel) développée par Gregorio Ricci-Curbastro et son élève Tullio Levi-Civita entre 1880 et le début du .


title: Connexion affine

text: Le calcul tensoriel ne devait cependant prendre son essor qu'avec le développement par Albert Einstein de sa théorie de la relativité générale en 1915. Quelques années plus tard, Levi-Civita formalisa l'unique connexion associée à une métrique riemannienne, connue désormais sous le nom de connexion de Levi-Civita. Des connexions affines plus générales furent étudiées vers 1919 par Hermann Weyl, qui développa les fondements mathématiques détaillés de la relativité générale, et par Élie Cartan, qui fit le lien avec les idées géométriques venues de la théorie des surfaces.


title: Connexion affine

text: Cette histoire complexe a conduit au développement d'approches extrêmement variées du concept de connexion affine et de ses généralisations.


title: Connexion affine

text: La plus populaire est sans doute la définition motivée par les dérivées covariantes. D'une part, les idées de Weyl furent développées par les physiciens sous la forme des théories de jauge et des . D'autre part, Jean-Louis Koszul donna un cadre abstrait à la notion de dérivation covariante, en définissant des connexions (linéaires ou de Koszul) sur des fibrés vectoriels. Dans ce langage, une connexion affine est simplement une dérivée covariante ou une connexion (linéaire) sur le fibré tangent.


title: Connexion affine

text: Cependant, cette approche n'explique pas l'aspect géométrique des connexions affines, ni d'ailleurs leur nom. Ce dernier a pour véritable origine l'identification par translation d'espaces tangents dans l'espace euclidien usuel : cette propriété signifie que l'espace euclidien à "n" dimensions est un espace affine (on peut aussi voir l'espace euclidien comme un sous l'action du groupe des translations, lequel est un sous-groupe du groupe affine). Comme on l'a dit dans l'introduction, il y a plusieurs façons de rendre cela précis : on part de ce qu'une connexion affine définit une notion de transport parallèle de champs de vecteurs le long d'une courbe. Cela définit également un transport parallèle sur le fibré des repères. Le transport parallèle infinitésimal dans le fibré des repères donne une autre description de la connexion affine, soit comme connexion de Cartan pour le groupe affine Aff("n"), soit comme GL("n")-connexion principale sur le fibré des repères.


title: Connexion affine

text: Soient "M" une variété différentielle et C("M","TM") l'espace des champs de vecteurs sur "M", c'est-à-dire l'espace des sections lisses du fibré tangent "TM". Une connexion affine sur "M" est une application bilinéaire ∇ :


title: Connexion affine

text: telle que pour toutes les fonctions « lisses » (indéfiniment dérivables) "f" ∈ "C"("M",R) et tous les champs de vecteurs "X", "Y" sur "M", on ait :


title: Connexion affine

text: La comparaison de vecteurs tangents en différents points d'une variété n'est pas bien définie en général. Une connexion affine donne un moyen d'y remédier, en utilisant la notion de transport parallèle, et réciproquement, une telle notion permet de définir une connexion.


title: Connexion affine

text: Soit "M" une variété munie d'une connexion affine ∇. Un champ de vecteurs "X" est dit parallèle si ∇"X" = 0


title: Connexion affine

text: au sens où, pour tout champ de vecteurs "Y", ∇ "X" = 0. Intuitivement, un champ de vecteurs est donc parallèle si toutes ses dérivées sont nulles, i.e. s'il est « constant » en un certain sens. L'évaluation en deux points "x" et "y" d'un champ parallèle de vecteurs permet d'identifier un vecteur tangent en "x" avec un autre en "y" ; de tels vecteurs seront dits transportés l'un de l'autre.


title: Connexion affine

text: Malheureusement, des champs parallèles de vecteurs non nuls n'existent pas en général, même localement, parce que l'équation ∇"X" = 0 est une équation aux dérivées partielles qui est surdéterminée : la pour cette équation est l'annulation de la courbure de ∇ (voir plus bas). Cependant, si on restreint cette équation à une courbe allant de "x" à "y", elle devient une équation différentielle ordinaire, laquelle possède une solution unique pour chaque valeur initiale de "X" en "x".


title: Connexion affine

text: Plus précisément, si "γ" : "I" → "M" est un chemin (différentiable) paramétré par un intervalle "I" = ["a","b"] et "ξ" ∈ T"M", où "x" = "γ"("a"), un champ de vecteurs "X" le long de "γ" (et, en particulier, la valeur de ce champ en "y" = "γ"("b")) est appelé le transport parallèle de "ξ" le long de "γ" si :


title: Connexion affine

text: Formellement, la première condition signifie que "X" est parallèle par rapport à la connexion tiré en arrière sur le "γ"*T"M". Cependant, dans une trivialisation locale, cette condition est un système d'équations différentielles linéaires, qui possède une solution unique pour chaque ensemble de conditions initiales données par la seconde condition, (d'après le théorème de Cauchy-Lipschitz).


title: Connexion affine

text: Ainsi, le transport parallèle donne un moyen de déplacer des vecteurs tangents à la variété le long d'une courbe, en utilisant la connexion affine pour « conserver leur direction » en un sens intuitif, ce qui définit un isomorphisme (linéaire) entre les espaces tangents aux deux extrémités de la courbe. L'isomorphisme ainsi obtenu dépendra en général du choix de la courbe (pour plus de détails, voir l'article holonomie) ; si ce n'est pas le cas, le transport parallèle le long d'une courbe quelconque permet de définir des champs parallèles de vecteurs sur "M" ; cela ne peut se produire que si la courbure de ∇ est nulle.


title: Connexion affine

text: Un isomorphisme linéaire est déterminé par son action sur une base. Aussi, le transport parallèle peut également être vu comme un moyen de transporter les éléments du fibré des repères (tangent) GL("M") le long d'une courbe. Autrement dit, la connexion affine fournit un relèvement d'une courbe "γ" quelconque de "M" vers une courbe formula_6 de GL("M").


title: Connexion affine

text: Considérons un paramétrage en sphérique de la sphère unité formula_7. La dérivation formula_8 correspond au vecteur formula_9 qui est unitaire, et la dérivation formula_10 correspond au vecteur formula_11 qui n'est pas unitaire. Posons formula_12 le vecteur unitaire colinéaire à formula_13, et formula_14, de sorte que formula_15 constitue une base orthonormée du plan tangent à la sphère au point considéré. On peut montrer que :


title: Connexion affine

text: Cela signifie que, si on se déplace le long du parallèle formula_18 de la sphère, la longitude formula_19 étant variable, la base orthonormée formula_15 tourne à la vitesse angulaire formula_21 par rapport à une base qui serait transportée parallèlement le long du parallèle. Réciproquement, un champ Y sera transporté parallèlement le long du parallèle s'il tourne à la vitesse angulaire formula_22 par rapport à la base orthonormée formula_15. Sur l'équateur, la rotation est nulle. Aux pôles, elle est maximale. C'est ce phénomène qui est observé dans l'expérience du pendule de Foucault, dont le plan d'oscillation se transporte parallèlement le long du parallèle où il est situé avec la rotation de la Terre.


title: Connexion affine

text: Une connexion affine peut aussi être définie comme une "ω" sur le fibré des repères F"M" (noté aussi GL("M")) d'une variété "M". Plus précisément, "ω" est une application différentiable allant du fibré tangent T(F"M") du fibré des repères vers l'espace des matrices "n" × "n" (qui est l'algèbre de Lie gl("n") du groupe de Lie GL("n") des matrices inversibles "n" × "n") vérifiant les deux propriétés suivantes :


title: Connexion affine

text: Une telle connexion "ω" définit immédiatement une dérivée covariante, non seulement sur le fibré tangent, mais sur les fibrés vectoriels associés à n'importe quelle représentation de groupe de GL("n"), comme les fibrés de tenseurs et de . Réciproquement, une connexion affine sur le fibré tangent détermine une connexion affine sur le fibré des repères, par exemple en demandant que "ω" s'annule sur les vecteurs tangents aux relevées des courbes dans le fibré des repères définies par le transport parallèle.


title: Connexion affine

text: Le fibré des repères est également muni d'une "θ" : T(F"M") → R qui est horizontale, au sens où elle s'annule sur les ' tels que les valeurs ponctuelles des champs de vecteurs "X" : "θ" est en effet définie en projetant d'abord un vecteur tangent (à F"M", en un point muni d'un repère "f") sur "M", puis en prenant les composantes de ce vecteur tangent sur "M" dans le repère "f". On remarquera que "θ" est également GL("n")-équivariante (GL("n") agissant sur R"' par la multiplication des matrices).


title: Connexion affine

text: Le couple ("θ","ω") définit un entre T(F"M") et le fibré trivial F"M" × aff("n"), où aff("n") est le produit cartésien de R et gl("n") (vu comme l'algèbre de Lie du groupe affine, qui est en fait un produit semi-direct — voir ci-dessous).


title: Connexion affine

text: Les connexions affines peuvent être définies dans le cadre général proposé par Cartan. D'un point de vue moderne, cela est étroitement relié à la définition des connexions affines sur le fibré des repères. De fait, dans une des formulations possibles, une connexion de Cartan est un parallélisme absolu d'un fibré principal vérifiant des propriétés convenables. De ce point de vue, la 1-forme à valeurs dans aff("n") ("θ","ω") : T(F"M") → aff("n") sur le fibré des repères (d'une variété affine) est une connexion de Cartan. Cependant, l'approche de Cartan lui-même présentait un certain nombre de différences avec ce point de vue :


title: Connexion affine

text: Les points qu'on vient de soulever s'expliquent plus facilement dans l'ordre inverse, en partant des motivations fournies par la théorie des surfaces. Dans cette théorie, bien que les plans roulant sur la surface soient des plans tangents au sens naïf, la notion d'espace tangent est une notion infinitésimale, alors que les plans, en tant que sous-espaces affines de R, s'étendent à l'infini. Cependant, ces plans affines ont tous une origine naturelle, leur point de contact avec la surface. La confusion se fait donc naturellement, puisqu'un espace affine muni d'un point origine s'identifie avec l'espace vectoriel de ses vecteurs, et donc avec l'espace tangent en ce point. Cependant, le transport parallèle défini par le roulement ne conserve pas cette origine ; c'est une transformation affine et non linéaire (mais le transport parallèle linéaire s'obtient en composant avec une translation).


title: Connexion affine

text: De façon plus abstraite, une variété affine devrait donc être définie comme une variété "M" de dimension "n", munie en chaque point "x" d'un espace affine "A" (de dimension "n" également), « attaché » à cet "x" par un point "a" ∈ "A", la variété affine étant munie également d'un "transport parallèle", c'est-à-dire d'une méthode pour transporter les éléments de ces espaces affines le long d'une courbe (lisse) quelconque "C" de "M". Cette méthode doit satisfaire plusieurs propriétés :


title: Connexion affine

text: Il est assez difficile d'exprimer rigoureusement ces deux dernières conditions, c'est pourquoi les connexions affines sont le plus souvent définies de façon infinitésimale. Pour cette approche, il suffit de voir comment les systèmes de coordonnées affines se transforment dans un transport parallèle infinitésimal (c'est l'origine de la de Cartan). Un repère affine en un point est une liste ("p", e, ..., e), où "p" ∈ A et les e forment une base de T("A"). La connexion affine est alors donnée symboliquement par un système différentiel du premier ordre


title: Connexion affine

text: défini par un ensemble de 1-formes ("θ", "ω"). Géométriquement, un repère affine se déplaçant le long d'une courbe "γ" en allant de "γ"("t") à "γ"("t" + "δt") est transformé approximativement (ou infinitésimalement) par


title: Connexion affine

text: De plus, les espaces affines "A" doivent être "tangents" à "M" au sens (informel) où le déplacement de "a" le long de "γ" peut être identifié (à la limite) avec le vecteur tangent "γ’"("t") à "γ" en "x" = "γ"("t") (c'est-à-dire avec le déplacement infinitésimal de "x"). Comme


title: Connexion affine

text: où "θ" est défini par "θ"("X") = "θ"("X")e + ... + "θ"("X")e, cette identification est donnée par "θ" ; cette condition revient donc à demander que "θ" soit un isomorphisme linéaire en chaque point.


title: Connexion affine

text: Le point de vue moderne précise toutes ces intuitions en utilisant des fibrés principaux (l'idée essentielle est de remplacer un repère, « fixe » ou « mobile » par l'espace de tous les repères et par des fonctions définies sur cet espace). Il s'inspire également du programme d'Erlangen, dans lequel une « géométrie » est définie comme étant un espace homogène. Un espace affine est une « géométrie » de ce point de vue, et est muni d'une connexion de Cartan "plate" (sans courbure). Ainsi, une variété affine générale peut être vue comme une déformation courbant ce modèle plat.


title: Connexion affine

text: On peut voir un espace affine comme étant un espace vectoriel dont on aurait supprimé l'origine. En conséquence, les points de l'espace ne peuvent s'additionner, mais on peut ajouter un vecteur "v" à un point "p", l'opération "p" → "p" + "v" étant la translation de vecteur "v". Plus rigoureusement, un espace affine de dimension "n" est un ensemble A muni d'une action transitive libre du groupe des vecteurs R : A est ainsi un pour le groupe R.


title: Connexion affine

text: Le groupe général linéaire GL("n") est le groupe de transformations de R qui conserve la "structure linéaire" de R au sens où "T"("av" + "bw") = "aT"("v") + "bT"("w"). Par analogie, le groupe affine Aff("n") est défini comme le groupe de transformations de A qui conserve la "structure affine". Ainsi, φ ∈ Aff("n") doit "conserver les translations" au sens où


title: Connexion affine

text: pour "T" application linéaire quelconque. L'application envoyant φ ∈ Aff("n") vers "T" ∈ GL("n") est un morphisme de groupes. Son noyau est le groupe des translations R. Le stabilisateur d'un point "p" de "A" peut ainsi être identifié avec GL("n") : cela réalise le groupe affine comme produit semi-direct de GL("n") et de R, et l'espace affine comme l'espace homogène Aff("n")/GL("n").


title: Connexion affine

text: Un "repère affine" de "A" consiste en un point "p" ∈ "A" et une base (e...,e) de l'espace vectoriel T"A" = R. Le groupe général linéaire GL("n") agit librement sur l'ensemble F"A" des repères affines en fixant "p" et en transformant la base (e, ..., e) de la manière usuelle, et l'application "π" envoyant un repère affine ("p" ; e...,e) sur "p" est l'application quotient. Ainsi, F"A" est un GL("n")-fibré principal au-dessus de "A". L'action de GL("n") s'étend naturellement à une action transitive libre du groupe affine Aff("n") sur F"A", et donc F"A" est un Aff("n")-, et le choix d'un repère de référence identifie F"A" →"A" avec le fibré principal Aff("n") → Aff("n")/GL("n").


title: Connexion affine

text: Fixant une origine pour "A", ces fonctions sont à valeurs dans R ; il est donc possible de prendre leurs dérivées extérieures, obtenant des 1-formes différentielles à valeurs dans R. Les fonctions "ε" fournissant une base de R en chaque point de F"A", ces 1-formes doivent pouvoir s'exprimer comme des sommes de la forme


title: Connexion affine

text: pour un certain ensemble ("θ", "ω") de 1-formes à valeurs réelles sur Aff("n"). Ce système de 1-formes sur le fibré principal F"A" → "A" définit la connexion affine sur "A".


title: Connexion affine

text: Prenant une seconde fois la dérivée extérieure, et utilisant le fait que d = 0 ainsi que l'indépendance linéaire des "ε", on obtient les relations suivantes :


title: Connexion affine

text: Ce sont les équations de Maurer-Cartan pour le groupe de Lie Aff("n") (identifié avec F"A" par le choix d'un repère de référence). De plus :


title: Connexion affine

text: Pour compléter les motivations initiales, on doit également définir le transport parallèle dans un Aff("n")-fibré principal au-dessus de "A". Cela peut se faire en F"A" par l'application φ : R × "A" → "A" définie par les translations.


title: Connexion affine

text: Alors le composé "φ"*F"A"→F"A" → "A" est un Aff("n")-fibré principal au-dessus de "A", et les formes ("θ","ω") induisent une Aff("n")-connexion principale plate sur ce fibré.


title: Connexion affine

text: Un espace affine est une variété munie d'une connexion de Cartan "plate". Des variétés (ou des géométries) affines plus générales sont obtenues en supprimant la condition de platitude exprimée par les équations de Maurer-Cartan. Il y a plusieurs façons d'aborder la définition ; nous allons en donner deux. On les comprendra plus facilement en remarquant que les 1-formes ("θ","ω") du modèle plat se regroupent pour donner une 1-forme à valeurs dans l'algèbre de Lie aff("n") du groupe affine Aff("n").


title: Connexion affine

text: Dans ces définitions, "M" est une variété différentielle de dimension "n", et "A" = Aff("n")/GL("n") est un espace affine de même dimension.


title: Connexion affine

text: Soit "M" une variété, et "P" un GL("n")-fibré principal au-dessus de "M". Une connexion affine est une 1-forme "η" sur "P" à valeurs dans


title: Connexion affine

text: Cette dernière condition signifie que "η" est un parallélisme absolu sur "P", c'est-à-dire qu'elle identifie le fibré tangent de "P" avec un fibré trivial (dans ce cas, avec "P" × aff("n")). Le couple ("P", "η") définit une structure de géométrie affine sur "M", ce qui en fait une variété affine.


title: Connexion affine

text: L'algèbre de Lie affine aff("n") se factorise en un produit semi-direct de R et gl("n"), et "η" peut donc s'écrire comme un couple ("θ", "ω"), où "θ" prend ses valeurs dans R et "ω" les prend dans gl("n"). Les conditions (1) et (2) sont équivalentes à ce que "ω" soit une GL("n")-connexion principale et "θ" une 1-forme horizontale équivariante, ce qui construit un de T"M" vers le fibré associé "P" ×R. La condition (3) équivaut à ce que cet homomorphisme soit un isomorphisme (cependant, l'existence de cette décomposition est conséquence de la structure particulière du groupe affine). Comme "P" est le fibré des repères de "P" × R, il s'ensuit que "θ" construit un isomorphisme de fibrés entre "P" et F"M", le fibré des repères de "M" ; on retrouve ainsi la définition d'une connexion affine comme étant une GL("n")-connexion principale sur F"M".


title: Connexion affine

text: Une connexion affine sur "M" est un Aff("n")-fibré principal "Q" au-dessus de "M", sur lequel sont donnés un GL("n")-sous-fibré principal "P" de "Q"


title: Connexion affine

text: et une Aff("n")-connexion principale "α" (c'est-à-dire une 1-forme sur "Q" à valeurs dans aff("n")) qui vérifie la "condition de Cartan" (générique) suivante : la composante dans R de la restriction de "α" à "P" est une 1-forme horizontale équivariante, et définit donc un homomorphisme de fibrés allant de T"M" vers P × R : la "condition de Cartan" veut que ce soit un isomorphisme.


title: Connexion affine

text: Puisque Aff("n") agit sur "A", il y a, associé au fibré principal "Q", un fibré A = "Q" × "A", lequel est un fibré au-dessus de "M" dont la fibre en "x" (de "M") est un espace affine "A". Une section "a" de A (définissant un point marqué "a" de "A" pour chaque "x" ∈ "M") détermine un GL("n")-sous-fibré principal "P" de "Q" (comme fibré des stabilisateurs de ces points marqués), et réciproquement. La connexion principale "α" définit une connexion d'Ehresmann sur ce fibré, et donc une notion de transport parallèle. La condition de Cartan garantit le déplacement, dans ce transport parallèle, de la section "a" ainsi distinguée.


title: Connexion affine

text: La courbure et la torsion sont les principaux invariants des connexions affines. Comme on peut définir les connexions affines de nombreuses manières équivalentes, il y a de même de multiples définitions de ces invariants.


title: Connexion affine

text: Du point de vue des connexions de Cartan, la courbure mesure la façon dont la connexion "η" ne satisfait pas l'équation de Maurer-Cartan


title: Connexion affine

text: où le second terme de gauche est le produit extérieur, utilisant le dans aff("n") pour contracter les valeurs. En écrivant "η" comme le couple ("θ","ω"), et en utilisant la structure de l'algèbre de Lie aff("n"), on peut réécrire le membre de gauche


title: Connexion affine

text: où les produits extérieurs sont calculés en utilisant la multiplication des matrices. La première expression s'appelle la "torsion" de la connexion, et la seconde sa "courbure".


title: Connexion affine

text: Ces expressions sont des 2-formes différentielles sur l'espace total d'un fibré des repères, mais elles sont horizontales et équivariantes, et définissent donc des objets tensoriels. Ceux-ci peuvent être définis directement à partir de "∇", la dérivée covariante sur T"M", de la manière suivante :


title: Connexion affine

text: Lorsque la courbure et la torsion sont nulles, la connexion définit une structure de sur l'espace des sections globales du fibré tangent.


title: Connexion affine

text: Si ("M","g") est une variété riemannienne, il existe une connexion affine unique ∇ sur "M" telle que :


title: Connexion affine

text: La seconde condition signifie que cette connexion est une , c'est-à-dire que la métrique riemannienne "g" est parallèle : ∇"g" = 0. En coordonnées locales, les composantes de la forme de connexion sont appelées des symboles de Christoffel ; la connexion de Levi-Civita étant unique, on peut formuler ces composantes en termes de celles de "g".


title: Connexion affine

text: Les lignes droites étant un concept géométrique affine, on s'attend à ce que les connexions affines permettent de définir sur n'importe quelle variété affine une notion généralisée de lignes droites (paramétriques), appelées "géodésiques affines". D'un point de vue linéaire, une connexion affine sur "M" permet de caractériser les géodésiques de la façon suivante : une courbe lisse "γ" : "I" → "M" est une géodésique affine si formula_37 se transporte parallèlement le long de formula_38, c'est-à-dire que


title: Connexion affine

text: Réciproquement, toute solution de cette équation différentielle est une courbe dont le vecteur tangent reste parallèle à lui-même le long de la courbe. Pour tout "x" ∈ "M" et tout "X" ∈ T"M", il existe une unique géodésique affine "γ" : "I" → "M" telle que "γ"(0) = "x" et


title: Connexion affine

text: où "I" est l'intervalle ouvert maximal de R, contenant 0, sur lequel la géodésique est définie. Cela résulte du théorème de Cauchy-Lipschitz, et permet de définir une application exponentielle associée à la connexion affine.


title: Connexion affine

text: En particulier, lorsque "M" est une (pseudo-)variété riemannienne et ∇ est la connexion de Levi-Civita, les géodésiques affines sont les géodésiques usuelles de la géométrie riemannienne, c'est-à-dire les courbes minimisant localement la distance.


title: Connexion affine

text: On dit parfois que les géodésiques définies ici sont affinement paramétrées, puisqu'une géodésique donnée de "M" détermine une courbe paramétrée γ unique à un changement affine de paramètre près γ("t") → γ("at" + "b"), avec "a" et "b" constantes. Le vecteur tangent à une géodésique affine reste équipollent (et donc parallèle) à lui-même tout le long de celle-ci. Si l'on ne garde que la condition de parallélisme, sans exiger l'équipollence, il suffit que soit vérifiée l'équation


title: Connexion affine

text: pour une certaine fonction "k" définie sur γ. De telles géodésiques non paramétrées sont souvent étudiées du point de vue des .


title: Connexion affine

text: Une connexion affine permet de définir une notion de des courbes (à ne pas confondre, ni avec la développée, ni avec la développante). Intuitivement, le développement correspond à la vision du plan tangent en un point "x" d'une courbe de "M" roulant (sans glisser) sur la courbe. Dans ce mouvement, le point de contact initial "x" décrit une courbe "C" du plan tangent, le "développement" de "x".


title: Connexion affine

text: Pour formaliser cette idée, soit τ : T"M" → T"M" l'application (linéaire) de transport parallèle associée à la connexion affine. Alors le développement "C" est la courbe de T"M" d'origine 0 et parallèle à la tangente à la courbe en "x" pour tout "t" :


title: Connexion affine

text: En particulier, "x" est une "géodésique" si et seulement si son développement est une droite (affinement paramétrée ) de"T""M".


title: Connexion affine

text: Si "M" est une surface de R, on voit facilement que "M" possède une connexion affine naturelle. Du point de vue des connexions linéaires, la dérivée covariante d'un champ de vecteurs est définie en différenciant ce champ, vu comme une application de "M" vers R, et en projetant (orthogonalement) le résultat sur les plans tangents à "M". Il est facile de voir que cette connexion affine est sans torsion. De plus, c'est une connexion métrique par rapport à la métrique riemannienne induite sur "M" par le produit scalaire de R ; c'est donc la connexion de Levi-Civita de cette métrique.


title: Connexion affine

text: Notons formula_44 le produit scalaire habituel sur R, et formula_45 la sphère unité. Le plan tangent à formula_45 en un point "x" s'identifie naturellement avec le sous-espace de R formé des vecteurs orthogonaux à "x". Il s'ensuit qu'un champ de vecteurs formula_47 sur formula_45 peut être vu comme une application


title: Connexion affine

text: "Démonstration". Un calcul direct montre que ∇ satisfait l'identité de Leibniz et est formula_53, linéaire par rapport à la première variable. Il suffit donc de montrer que l'application précédente définit un champ de vecteurs tangents. Autrement dit, nous devons montrer que pour tous les "x" de formula_45


title: Quotient de Rayleigh

text: En mathématiques, pour une matrice hermitienne et un vecteur non nul, le quotient de Rayleigh est l’expression scalaire définie par


title: Quotient de Rayleigh

text: où désigne le vecteur adjoint de . Pour une matrice symétrique à coefficients réels, le vecteur est simplement son transposé .


title: Quotient de Rayleigh

text: Dans les deux cas, le "quotient de Rayleigh" fournit une "valeur réelle" qui renseigne sur le spectre de la matrice par les deux propriétés fondamentales suivantes :


title: Quotient de Rayleigh

text: Ces deux propriétés peuvent être exploitées pour déterminer numériquement les valeurs, vecteurs et espaces propres d'un opérateur hermitien ou symétrique.


title: Quotient de Rayleigh

text: Le quotient de Rayleigh, dont la propriété d'extremum peut être reliée au principe du minimum de l'énergie potentielle en mécanique, a été étudié pour la première fois par Rayleigh (1877).


title: Quotient de Rayleigh

text: Walter Ritz reprit l'idée en 1909 pour en faire la base d’une méthode d’approximation variationnelle.


title: Quotient de Rayleigh

text: Partant d'une matrice symétrique respectivement hermitienne (dont les valeurs propres sont réelles), le quotient de Rayleigh satisfait les propriétés suivantes :


title: Quotient de Rayleigh

text: Dans les variables , le quotient de Rayleigh est une moyenne pondérée des valeurs propres, ce qui justifie la propriété 2.


title: Quotient de Rayleigh

text: On suppose que les valeurs propres sont distinctes les unes des autres ; dans le cas contraire, il suffit de rassembler les termes de par groupes de valeurs propres multiples.


title: Quotient de Rayleigh

text: Avec des valeurs propres distinctes, le gradient s’annule si et seulement si tous les sont nuls sauf un. En choisissant arbitrairement un indice et en posant formula_9 (symbole de Kronecker), on en déduit :


title: Quotient de Rayleigh

text: La norme de n’ayant pas d’effet par la propriété 1, on peut également formuler le problème par la méthode des multiplicateurs de Lagrange en recherchant qui maximise (ou minimise) sous la contrainte Il s’agit ainsi de considérer la fonction


title: Quotient de Rayleigh

text: et de rechercher et qui annulent la différentielle de . La solution est donnée par les conditions nécessaires (mais non suffisantes en général) suivantes :


title: Quotient de Rayleigh

text: Combiné au théorème min-max de Courant-Fischer, le quotient de Rayleigh permet de déterminer une à une toutes les valeurs propres d'une matrice. On peut également l'employer pour calculer une valeur approchée d'une valeur propre à partir d'une approximation d'un vecteur propre. Ces idées forment d'ailleurs la base de l’algorithme d’itération de Rayleigh.


title: Quotient de Rayleigh

text: Les matrices autoadjointes positives (ie semi-définie positives) possèdent des valeurs propres positives ou nulles et le quotient de Rayleigh reste ainsi toujours positif ou nul. C'est en particulier le cas pour les matrices de covariances et cette propriété est à la base de l'analyse en composantes principales et des corrélations canoniques.


title: Quotient de Rayleigh

text: sur l’espace préhilbertien des fonctions vérifiant des conditions aux limites particulières en et , muni du produit scalaire : formula_18.


title: Quotient de Rayleigh

text: On le présente parfois sous une forme équivalente, obtenue en découpant l'intégrale du numérateur et en intégrant par parties :


title: Quotient de Rayleigh

text: vérifiant les conditions aux limites, on choisit un certain nombre de fonctions formula_25 vérifiant elles-mêmes les conditions aux limites, et on cherche la solution approchée comme une combinaison linéaire des p modes retenus : formula_26. Les coefficients inconnus formula_27 s’obtiennent en écrivant la stationnarité du quotient de Rayleigh :


title: Quotient de Rayleigh

text: On peut étendre la notion de quotient de Rayleigh à deux matrices symétriques définies positives réelles , et à un vecteur non-nul , selon :


title: Quotient de Rayleigh

text: Ce « quotient de Rayleigh généralisé » se réduit au quotient de Rayleigh par la transformation formula_31 où est la factorisation de Cholesky de la matrice .


title: Siège de Numance

text: L'oppidum celtibère de Numance a été attaqué à plusieurs reprises par les Romains, mais le Siège de Numance se réfère à l'aboutissement et la pacification de la longue guerre de Numance entre les forces de la République romaine et celles de la population autochtone de l'Hispanie citérieure.


title: Siège de Numance

text: La guerre de Numance est la troisième des Guerres celtibères. Elle éclate en 143 av. J-.C. Une décennie plus tard, en 133, le général romain et héros de la Troisième guerre punique Scipion Émilien prend Numance.


title: Siège de Numance

text: Fin 135, le Sénat romain nomme de nouveau Scipion consul, sur demande populaire, et l'envoie en Hispanie. Scipion trouve le moral des troupes stationnées dans la Péninsule Ibérique faible. Il lève néanmoins une armée de hommes, avec alliés et des troupes mercenaires, en particulier des cavaliers numides, dirigés par Jugurtha. Les troupes ont été formées durement, et il y a eu plusieurs succès d'escarmouches avant que Scipion ne commence à entourer la ville de Numance. Il avait prévu de faire mourir ses habitants de faim.


title: Siège de Numance

text: Les Numantins tentent plusieurs contre-attaques, toutes ratées, jusqu'à ce que leur meilleur guerrier, Rhetogenes, réussisse à mettre à terre une bande d'hommes près de la rivière derrière le blocus. Il est à la tête des Arrevaci, mais ses ordres sont ignorés. Il va ensuite à Lutia, où il est reçu positivement par les jeunes, mais les anciens de la tribu alertent Scipion, qui va en Numantie, arrête les 400 jeunes Lutians, et leur fait couper les mains. Après le retour de Scipion, le chef numantin Avarus commence les négociations.


title: Siège de Numance

text: Les premiers ambassadeurs envoyés par Numance demandent la liberté en échange de la reddition complète, mais Scipion refuse. Ils sont tués lors de leur compte rendu d'ambassade à la population, qui pensait avoir trouvé un accord avec les Romains. La ville refuse d'abandonner, et meurt de faim. Le cannibalisme s'ensuit, certains commencent à se suicider avec l'ensemble de leur famille. Le reste de la population ne se rend qu'après que la ville est en flammes. Scipion rase ses ruines à la fin de l'été 133.


title: Siège de Numance

text: Le siège de Numance a été remarqué par plusieurs historiens romains, qui admirent le sens de la liberté des anciens Ibères, et reconnaissent leurs aptitudes au combat contre les légions romaines.


title: Siège de Numance

text: Miguel de Cervantes a écrit une pièce de théâtre au sujet de l'événement, "Le Siège de Numance" ("El Cerco de Numancia"), qui est son œuvre la plus dramatique.


title: Siège de Numance

text: Plus récemment, Carlos Fuentes a publié une nouvelle à propos de l'événement, "Les deux Numance" ("Las dos Numancias")..


title: Capteur plan

text: Un capteur plan est un appareil qui permet d'obtenir instantanément une image radiologique numérique lors de la prise d'une radiographie. On fait généralement référence à l'appareil sous les vocables DR pour « Digital Radiography » ; contrairement aux systèmes dits « à cassette » (écran ERLM) nommés CR pour « Computed Radiography ».


title: Alberto Santofimio

text: Alberto Santofimio Botero (Ibagué, 17 juin 1942) est un ancien homme politique colombien. Il a été ministre, sénateur, et candidat à l'élection présidentielle. Il a été accusé d'avoir influencé le meurtre de Luis Carlos Galán. Il a été condamné, après plusieurs décisions de justice, à 17 d'emprisonnement.


title: Capteur plan

text: L'appareil se présente sur la forme d'un boîtier rectangulaire dont la surface active varie de 5 x jusqu'à 60 x et dont l'épaisseur va de 1 à . La taille la plus répandue est celle utilisée en médecine humaine avec 36 × .


title: Alberto Santofimio

text: Alberto Santofimio Botero est un homme politique colombien, membre du Parti libéral colombien. Il a été ministre de la Justice, deux fois candidat à la présidence, et sénateur. Il était considéré comme un pari sûr pour le président en 1982, mais il a décidé de laisser son patron, Alfonso López Michelsen, qui avait été président de 1974 à 1978, se présenter aux élections.


title: Capteur plan

text: Les capteurs sont généralement bi-dimensionnels mais il existe des versions uni-dimensionnelles dans lesquelles un détecteur linéaire se déplace à vitesse constante tout le long de la surface active du capteur.


title: Alberto Santofimio

text: Dans les années 1990, Santofimio a été impliqué dans le processus de campagne 8000 en tant que chef du Parti libéral dans le département de Tolima, le bureau de ce parti étant accusé d'avoir reçu de l'argent d'entreprises dans le cadre d'une enquête afin de soutenir la campagne pour la présidence de la Colombie pour Ernesto Samper.


title: Alberto Santofimio

text: Il faisait partie du bassin de candidats à la présidence du Parti libéral en 1990. Après l'assassinat d'un autre candidat, Luis Carlos Galán, lui et les autres membres de la Directive nationale du Parti libéral, ont décidé de soutenir César Gaviria, le directeur de campagne de Galán pour être le seul candidat du Parti libéral en 1990.


title: Alberto Santofimio

text: Au cours des enquêtes sur l'assassinat de Luis Carlos Galán, Santofimio a été mentionné comme une rumeur selon laquelle lui-même et d'autres anciens candidats à la présidence auraient pu être impliqués en référence à une influence sur le crime. Mais il a été innocenté par le procureur général et cousin du candidat assassiné de tout acte répréhensible. Malheureusement pour l'ancien ministre et sénateur Santofimio, après 17 ans de prison pour un criminel connu, Jhon Jairo Velásquez Vázquez alias «Popeye» et l'un des lieutenants de Pablo Escobar du cartel de Medellin, en prison pendant la majeure partie de sa vie, a changé son témoignage initial après des années. Il avait affirmé que Santofimio n'avait rien à voir avec le crime. Cependant, Popeye a décidé de changer sa version, déclarant que peut-être Santofimio avait influencé.


title: Alberto Santofimio

text: Le , l'enquête sur le rôle de Santofimio dans l'assassinat de Galán a recommencé et il a été arrêté après que de nouvelles preuves aient fait surface.  En , il a été reconnu coupable et condamné à 24 ans de prison. Ses avocats ont immédiatement fait appel de l'affaire devant la Cour suprême de l'État, le "Tribunal Supremo de Justicia de Cundinamarca".


title: Alberto Santofimio

text: Un an plus tard, en , un panel de 3 juges de la Cour suprême de l'État, invoquant l'absence de preuves substantielles contre l'accusé, a annulé la décision du juge d'origine et ordonné la libération de Santofimio. La Cour a ajouté que la crédibilité du seul témoin contre l'accusé, un assassin à gages de Pablo Escobar connu sous le nom de «Popeye», était très controversé car il était un criminel bien connu qui avait déclaré pendant 17 ans, dans diverses enquêtes, que Santofimio n'avait rien à voir avec le crime, puis avait soudainement rétracté son témoignage.


title: Alberto Santofimio

text: Le , cependant, la Cour suprême colombienne a annulé la décision de la Cour suprême de l'État et a ratifié la sentence initiale. Le tribunal a ordonné la détention d'Alberto Santofimio Botero. Il est maintenant déclaré coupable d'avoir joué un rôle influent dans le meurtre non seulement de Luis Carlos Galán, mais aussi de deux autres victimes: Julio Cesar Peñaloza et Santiago Cuervo, qui ont été abattus avec Galán.


title: Alberto Santofimio

text: En août 2018, il a été convoqué par la justice pour enquête en tant qu'auteur présumé du crime de Rodrigo Lara Bonilla.


title: Alberto Santofimio

text: Le 25 mars 2020, Santofimio a été placé en liberté conditionnelle après avoir purgé les trois quarts de sa peine et compte tenu de son âge, vulnérable au COVID-19.


title: Rétribution des âmes

text: La rétribution des âmes, la rétribution après la mort, est, en religion, la récompense ou la punition qu'il advient au défunt, après sa vie, dans l'Au-delà.


title: Rétribution des âmes

text: Platon, le premier sans doute en Occident, lie la notion de rétribution des âmes à celle de transmigration des âmes.


title: Rétribution des âmes

text: Il existe plusieurs formes : le Jugement dernier, la loi du karma..., peut-être la justice immanente.


title: Rétribution des âmes

text: Les Égyptiens admettent un Jugement de l'âme. La "pesée de l'âme" ou psychostasie fait partie de l'ensemble des rites accomplis durant le "Jugement des morts". Sur un plateau de la balance est déposé le cœur du postulant, symbole de sa conscience ; sur l'autre, la plume de Mâat évoque la sublime légèreté de la Règle qui ne tolère pourtant aucun manquement grave.


title: Rétribution des âmes

text: Platon avance, le premier en Occident, la théorie de la rétribution des âmes, dans le cadre de la métempsycose. Il dit ceci dans le "Phédon" (63c) : "J'ai bon espoir que, pour les morts, quelque chose existe, et, comme cela se dit du reste depuis longtemps, quelque chose qui est bien meilleur pour les bons que pour les mauvais". Platon avance que "cela se dit depuis longtemps", mais pas vraiment : Homère ne croit pas à des sanctions post mortem, les Mystères d'Éleusis admettent que les profanes vont dans un Bourbier et que les initiés entrent dans la félicité des Îles des Bienheureux sans idée de sanction, l'orphisme suppose une réincarnation ou une palingénésie qui tient plus d'un accord que d'une règle, Pythagore affirme la métempsycose sans pour autant affirmer qu'il y a récompense ou châtiment.


title: Rétribution des âmes

text: Chez les Juifs, la doctrine des récompenses et des peines "post mortem", liée à la doctrine de l'immortalité de l'âme et de la Vie éternelle "(Olam Haba)", n'apparaît que tard, dans un livre, écrit au à Alexandrie, qui ne fait pas partie de la Bible juive : "Sagesse", 3-5 dont tient compte l'exégèse.


title: Rétribution des âmes

text: Le "Pirkei Avot" indique : « Ribbi Yaâcob dit : Ce monde-ci ressemble à un vestibule devant le monde futur ; prends tes dispositions dans le vestibule pour être en mesure d’accéder au palais ! » . Cet enseignement résume que toutes les vertus de bien et de droiture, de morale et d’intégrité qui s’imposent à tout être humain dans ce monde, toutes les Lois de la Torah prescrites au Peuple juif, et toutes les Lois noahides à l’adresse de tous les peuples de la Terre, constituent les moyens dévoilés et applicables dans ce Monde-ci ("Olam Hazé") afin d’accéder à la Vie éternelle de l’Au-delà ("Olam Haba").


title: Rétribution des âmes

text: Selon le Nouveau Testament écrit à partir du , sur le trône de Dieu, juge suprême, s'assiéra, dans toute sa gloire, "le Fils de l'homme", c'est-à-dire le Christ, le Verbe incarné, celui à qui le Père "a remis tout jugement" (Mathieu, XXV, 31). Tous les morts comme tous les vivants seront appelés "selon leurs œuvres" et leur foi, à une "résurrection de vie" ou à une "résurrection de damnation" (Jean, V, 28).


title: Rétribution des âmes

text: Selon swâmi Dayânanda Sarasvatî : "en punition des péchés physiques, un homme renaîtra sous forme végétale ; pour les péchés de la parole, il prendra la forme d'un oiseau ou d'un quadrupède ; et, pour les péchés de la pensée, il vivra dans les conditions humaines les plus basses"


title: Rétribution des âmes

text: Hâj Ne'matollâh Mokri Jeyhûn-Âbâdi (1874-1920), dans son œuvre poétique principale intitulée "Le livre des rois de la Vérité", relate le voyage de l’âme jusqu’au trône divin et sa propre expérience mystique d’illumination/révélation ("tajjali"). Il rapporte que les âmes, une fois délivrées du corps (à la suite de la mort physique), rejoignent le monde spirituel et qu’elles y sont jugées après un épisode de pesée des actions (à la manière de l'Egypte antique). Il décrit de manière rationnelle le processus de rétribution (et l’effet thérapeutique de la peine) ainsi que les procédures qui président à l’exercice de la justice mais également de la grâce divines.


title: Rétribution des âmes

text: Le point de vue de Bahram Elahi, qui explicite cette trame générale à partir de la pensée de son père Ostad Elahi, est exposé dans son ouvrage "La voie de la perfection". Il y développe la manière dont nos actes et nos pensées sont enregistrées ainsi que les conséquences et le produit de nos actes dans ce monde et dans l’autre.


title: L'Amour et la Folie

text: L'Amour et la Folie est la quatorzième fable du livre de Jean de La Fontaine situé dans le troisième et dernier recueil des "Fables de La Fontaine", édité pour la première fois en 1693 mais daté de 1694.


title: Les Copains d'abord (album de Georges Brassens)

text: Les Copains d’abord est le dixième album édité en France du chanteur Georges Brassens. Sorti sans titre à l'origine, il est identifié par celui de la première chanson du disque. L’édition originale est sortie en novembre 1964.


title: Subdivision d'un intervalle

text: En mathématiques, une subdivision d'un segment ["a", "b"] de la droite réelle est une suite finie de la forme


title: Élections municipales de 2020 à Besançon

text: Le premier tour des élections municipales françaises de 2020 à Besançon a eu lieu le . Le second tour, initialement prévu le 22 mars 2020, est reporté au 28 juin 2020 en raison de la pandémie de maladie à coronavirus. Il s'agit d'un scrutin visant à élire les 55 conseillers municipaux et conseillers communautaires de la commune de Besançon pour un mandat de six ans, qui se tient les 15 et . Elles doivent permettre de désigner le successeur de Jean-Louis Fousseret, maire sortant élu depuis 2001 sous l'étiquette du Parti socialiste mais ayant rejoint La République en marche en 2017, qui ne se représente pas. À la veille des élections municipales de 2020, Besançon est avec Lyon l'une des deux seules villes de plus de dont le maire est membre du parti présidentiel.


text: Réédité sous diverses présentations, seules les premières rééditions de chacune d’elles sont listées ci-dessous.


title: Subdivision d'un intervalle

text: De telles subdivisions sont utilisées dans les théories de l'intégrale de Riemann, l'intégrale de Stieltjes et l'intégrale d'une fonction réglée.


text: Le nombre de sièges à pourvoir au conseil municipal de Besançon correspond à celui des communes dont la population est comprise entre et , soit . Les conseillers municipaux sont élus au suffrage universel direct pour une durée de mandat de six ans.


text: En tant que commune de et plus, le mode de scrutin en vigueur aux élections municipales de Besançon est celui du scrutin proportionnel de liste, à deux tours, avec prime majoritaire accordée à la liste arrivée en tête. Les listes en présence doivent être composées d’autant de femmes que d’hommes, avec une alternance obligatoire entre les deux sexes.


text: L'élection peut se limiter à un seul tour en cas de majorité absolue, ou donner lieu à un second tour, auquel cas :


text: Les élections municipales des communes de plus de constituent un "scrutin majoritaire avec une dose proportionnelle" : on attribue d'abord la moitié (arrondie si nécessaire à l'entier supérieur) des sièges à pourvoir à la liste qui a le plus de voix ; les autres sièges sont répartis entre toutes les listes présentes au dernier tour ayant eu plus de 5 % des suffrages exprimés (y compris la liste majoritaire) à la représentation proportionnelle à la plus forte moyenne. Ainsi, à Besançon, la liste arrivée en tête obtient automatiquement , les restants étant répartis selon le mécanisme décrit ci-avant.


text: À titre d'exemple, lors de l'élection municipale bisontine de 2014, aucune liste n'obtient la majorité absolue (50 % + ) au premier tour, un second tour s'avère donc nécessaire. Trois listes obtiennent plus de 10 % des suffrages exprimés lors de ce premier tour et peuvent donc se maintenir au second tour : celles de Jean-Louis Fousseret (33,63 %), Jacques Grosperrin (31,64 %) et Philippe Mougin (11,76 %). Deux listes, celles d'Emmanuel Girod (7,12 %) et de Franck Monneur (6,22 %), obtiennent plus de 5 % des voix et ont la possibilité de fusionner avec une autre liste, ce qu'elles ne font pas. Au second tour, la liste de Jean-Louis Fousseret arrive en tête et obtient donc la prime majoritaire de . Les restant sont répartis à la proportionnelle entre les listes de Jean-Louis Fousseret (47,38 % soit supplémentaires), Jacques Grosperrin (44,40 % soit ), et Philippe Mougin (8,20 % soit ).


text: Les candidats au premier tour doivent déposer leur liste en préfecture jusqu’à la date limite du tandis que les électeurs souhaitant participer au scrutin dans leur commune peuvent s'inscrire sur les listes électorales jusqu'au .


text: Jean-Louis Fousseret fait partie des premiers élus à rejoindre Emmanuel Macron lors du lancement du mouvement En marche ! en .


text: Le , Éric Alauzet quitte le groupe écologiste à l'Assemblée nationale en compagnie de cinq autres députés, provoquant sa dissolution, et rejoint le groupe socialiste. En vue des élections législatives de 2017, il reçoit en date du le soutien du Parti socialiste qui ne lui oppose pas de candidat sur la deuxième circonscription du Doubs. Ayant voté pour Emmanuel Macron dès le premier tour de l'élection présidentielle, La République en marche lui refuse l'investiture qu'il sollicitait mais ne lui oppose pas de candidat.


text: Au tour de l'élection présidentielle de 2017, Emmanuel Macron arrive en tête à Besançon avec 26,44 % des suffrages exprimés, devant le candidat de la gauche radicale Jean-Luc Mélenchon (25,55 %), suivi par le candidat de droite François Fillon (18,50 %), la candidate d'extrême-droite Marine Le Pen (13,80 %) et le socialiste Benoît Hamon (8,69 %). Depuis l'élection présidentielle de 1969, c'est la première fois où le candidat socialiste n'arrive pas en tête des votes bisontins lors du premier tour. Au second tour, Emmanuel Macron réalise un score de 77,81 % à Besançon contre 22,19 % pour Marine Le Pen.


text: Lors des élections législatives de 2017, les deux circonscriptions de Besançon sont remportées par les candidats investis ou soutenus par La République en marche. Dans la première, Fannette Charvier l'emporte au second tour face à la députée socialiste sortante Barbara Romagnan et dans la deuxième, Éric Alauzet est élu face au candidat des Républicains Ludovic Fagaut.


text: Le , au lendemain du second tour des élections législatives, le maire de Besançon Jean-Louis Fousseret annonce sur France Bleu Besançon qu'il démissionne du Parti socialiste. En 2018, il devient président de Tous Politiques !, l'institut de formation de La République en marche.


text: À la suite de l'éviction de Sophie Montel, Philippe Mougin et Julien Acard, les deux seuls élus du Front national au conseil municipal annoncent au cours du mois de septembre leur démission du parti et leur ralliement aux Patriotes de Florian Philippot.


text: Le , 13 conseillers municipaux quittent le groupe majoritaire tout en restant dans l'exécutif afin de protester contre , visant notamment Jean-Louis Fousseret et Éric Alauzet. Parmi ces élus se trouvent cinq écologistes (dont Anne Vignot), cinq communistes (dont Christophe Lime), deux socialistes et un élu de la société civile.


text: Lors des élections européennes se tenant au mois de , c'est à nouveau la liste LREM de Nathalie Loiseau qui arrive en tête à Besançon (24,02 %), suivie par la liste écologiste de Yannick Jadot (18,63 %) et celle du Rassemblement national de Jordan Bardella (14,39 %), tandis que les listes de la droite (8,22 %), de la France insoumise (8,11 %) et socialiste (7,69 %) réalisent un score très proche.


text: À la suite de la loi portant nouvelle organisation territoriale de la République (loi NOTRe) qui aboutit à la fusion de la Bourgogne et de la Franche-Comté, Besançon perd son statut de capitale régionale en 2016 au profit de Dijon. Elle conserve néanmoins le siège du conseil régional, le Rectorat de région et le siège du CROUS, les directions régionales d'un certain nombre de services déconcentrés de l'État tels que la DREAL, la DIRECCTE, l'INSEE ou encore l'ADEME et 12 des 29 directions de services de la région.


text: La répartition des fonctions entre Besançon et Dijon créé des tensions dans les relations entre les deux villes. Ainsi, en , après que Dijon ait été préférée à Besançon pour l'implantation d'un tribunal de commerce spécialisé, les élus francs-comtois montent au créneau : le député LR Marcel Bonnot interpelle le garde des sceaux Jean-Jacques Urvoas à l’Assemblée nationale et le député écologiste Éric Alauzet écrit directement au président de la République François Hollande. Le maire de Dijon François Rebsamen réplique en qualifiant l'attitude des élus bisontins de . En , la ministre de l'Enseignement supérieur Frédérique Vidal annonce que Besançon accueillera le Crous de Bourgogne-Franche-Comté. Lors du conseil métropolitain du , les élus de Dijon Métropole adoptent un vœu pour demander au gouvernement de reconsidérer son choix mais en , le cabinet du président de la République confirme la décision d'implanter le Crous à Besançon.


text: En compensation de la perte de son statut de chef-lieu de région, Besançon a par dérogation la possibilité de transformer sa communauté d'agglomération en communauté urbaine. Ce changement devient effectif le , la communauté d'agglomération du Grand Besançon devenant la communauté urbaine Grand Besançon Métropole.


text: À la suite des attentats du 13 novembre 2015 en France, plusieurs journées de grève ont lieu au sein de la police municipale de Besançon au cours du mois de , pour réclamer l'autorisation de porter des armes à feu. Les groupes d'opposition des Républicains et de l’Union des démocrates et indépendants (UDI) déposent une motion lors du conseil municipal en faveur de l'armement de la police municipale, soutenue également par les deux conseillers municipaux du Front National. Mais le maire de Besançon Jean-Louis Fousseret n'y est pas favorable : .


text: Durant l'été 2018, le maire de Besançon Jean-Louis Fousseret prend un arrêté anti-mendicité qui vise à interdire . Cette décision créé une polémique largement couverte par les médias nationaux, aboutissant à des manifestations et des recours devant les tribunaux.


text: Un projet d'écoquartier dans le secteur des Vaîtes est à l'étude depuis 2005, la ZAC des Vaîtes étant créée en 2011 : il consiste en la construction de et de services publics (école, salle polyvalente, crèche) dans une zone jusque là très peu urbanisée et principalement tournée vers le maraîchage et l'horticulture. Des habitants du quartier se regroupent dès 2005 au sein de l'association "Les Vaîtes" pour s'opposer au projet. Une autre association intitulée "Les Jardins des Vaîtes", créée en et présidée par Claire Arnoux qui fut candidate de La France insoumise aux législatives de 2017, s'oppose également aux travaux. Le , le conseil national de la protection de la nature émet un avis défavorable concernant le projet, estimant que . Dans la nuit du dimanche 24 au lundi , un incendie probablement d'origine criminelle détruit la maison de projet de l’écoquartier. Le projet fait l'objet de vifs débats à plusieurs reprises lors des conseils municipaux : ainsi, lors du conseil municipal du , plusieurs élus de l'opposition remettent en cause le projet, dont le futur candidat des Républicains Ludovic Fagaut qui demande son abandon : .


text: Une pétition lancée le par l'association Humanimo qui demande la fermeture du zoo de la citadelle de Besançon rassemble plus de et enjoint les candidats à l'élection municipale de se positionner.


text: Éric Alauzet, né le à Nancy (Meurthe-et-Moselle), sera âgé de lors des élections municipales de 2020. Il s'était déjà présenté comme tête de liste aux élections municipales de 2001 pour le parti Les Verts, obtenant 16,01 % des suffrages exprimés. Médecin-acupuncteur de profession, il est député de la deuxième circonscription du Doubs, élu une première fois en 2012 avec l'étiquette Europe Écologie Les Verts (EÉLV) et réélu en 2017 avec le soutien implicite de La République en marche (LREM) qui ne lui oppose pas de candidat. Conseiller municipal depuis 1991, il a également été adjoint au maire chargé de l'Environnement de 2001 à 2008, vice-président du Conseil général du Doubs de 2008 à 2014 et conseiller régional de Franche-Comté.


text: Il annonce sa candidature à la mairie de Besançon le . Le , 19 anciens élus bisontins publient une tribune de soutien au candidat dans laquelle ils déclarent : . Parmi les signataires se trouvent l'ancienne députée et secrétaire d'État socialiste Paulette Guinchard-Kunstler, l'ancien député Michel Bourgeois, d'anciens adjoints du maire sortant ou encore Franck Moneur, ancien conseiller municipal socialiste et tête de liste de en 2014 qui devient son directeur de campagne. Le , ce sont des adhérents et élus du parti LREM qui affichent leur soutien, dont la députée Fannette Charvier ainsi que 9 des du groupe LREM au conseil municipal et le ce sont 18 maires de communes de la communauté urbaine qui font de même. La commission nationale d'investiture de LREM valide la candidature d'Éric Alauzet à l'unanimité. Cependant la référente LREM du Doubs, Alexandra Cordier, elle aussi candidate à l'investiture en réfère à Marlène Schiappa estimant qu'il y a une carence en termes de parité et de renouvellement au niveau du choix des têtes de listes. Le , le comité exécutif LREM valide l'investiture d'Éric Alauzet avec contre 8 pour Alexandra Cordier.


text: Le , le MoDem décide de le rejoindre après avoir siégé au conseil municipal grâce à l'union de la droite et du centre droit lors des élections municipales de 2014. Il est également soutenu par le Mouvement écologiste indépendant (MEI) d'Antoine Waechter.


text: Sa liste intitulée "L'Écologie positive" est présentée le samedi au Kursaal : la moyenne d'âge est de et 42 des 57 colistiers n'ont jamais eu de mandat électif. En deuxième position, celle qui serait sa première adjointe est Karima Rochdi, , conseillère municipale depuis 2014 où elle figurait sur la liste de Jean-Louis Fousseret. Laurent Croizier, , président du Modem du Doubs et professeur des écoles, figure en troisième position ; Frank Monneur, ancien conseiller municipal et tête de liste en 2014 est en septième position ; Fannette Charvier, députée du Doubs, est en quarantième position.


text: Jean-Philippe Allenbach, né le à Besançon, sera âgé de lors des élections municipales de 2020. Retraité, il a fait sa carrière professionnelle en tant que consultant économique et financier. Il s'était déjà présenté comme tête de liste aux élections municipales de 2001, obtenant 4,08 % des suffrages exprimés, et il était présent en 2008 sur la liste (en position) du candidat de l'UMP Jean Rosselot mais non élu. Diplômé de l'Institut d'études politiques de Paris et licencié en sciences économiques de la faculté d'Assas, il a fondé et présidé le Parti fédéraliste de 1995 à 2005.


text: Il mène une liste des autonomistes du Mouvement Franche-Comté (MFC), nommée (, la devise bisontine). Le MFC prévoit notamment d'organiser dans la région un référendum de sécession avec la Bourgogne et un référendum d'initiative citoyenne au niveau municipal.


text: Il reçoit le soutien de quatre mouvements régionalistes : le Parti lorrain, 100% Savoie, les Fédérés et Unser Land.


text: Claire Arnoux, née le à Besançon, sera âgée de lors des élections municipales de 2020. Professeure d'histoire-géographie, elle a déjà été candidate aux législatives de 2017 pour La France insoumise dans la deuxième circonscription du Doubs. Elle figurait également en deuxième position sur la liste du Parti de gauche d'Emmanuel Girod pour les municipales de 2014. Elle est désignée tête de la liste par l'assemblée des signataires du . Les trois candidats suivants sur la liste sont Jérome Scherer, Séverine Véziès et Marc Paulin.


text: Lors d'un communiqué de presse publié le , la section locale de la France insoumise rejette toute idée de dialogue avec les autres partis de gauche en vue d'une liste de rassemblement : .


text: Le , lors d'une conférence de presse, le collectif Besançon verte et solidaire, soutenu par La France insoumise, annonce la création d'une pour les élections municipales de 2020. Le collectif rassemble une centaine de signataires à la date du lancement.


text: La députée européenne Anne-Sophie Pelletier, apporte publiquement son soutien au collectif Besançon verte et solidaire le . Le militant Gilet jaune Christian Alliet, chauffeur de bus retraité âgé de , qui avait déclaré en vouloir conduire une liste aux élections municipales s'est finalement rallié à la liste Besançon verte et solidaire.


text: La liste "Besançon verte et solidaire" est présentée le lundi au centre Pierre Mendès France : la moyenne d'âge est de et comprend notamment onze militants de la France insoumise et dix Gilets jaunes. Celui qui figure en deuxième position et deviendrait le premier adjoint de Claire Arnoux est Jérôme Scherer, un créateur d'entreprise et militant associatif de .


text: Karim Bouhassoun, né le à Villeneuve-Saint-Georges (Val-de-Marne), sera âgé de lors des élections municipales de 2020. Diplômé de Sciences Po Paris, il est depuis 2014 conseiller au cabinet de Marie-Guite Dufay, la présidente de la région Bourgogne-Franche-Comté, et a été directeur adjoint du cabinet du maire socialiste de Nevers. Il a déjà participé à des élections municipales en 2014 à Vigneux-sur-Seine où il figurait en neuvième position sur la liste d'Union de la gauche du socialiste Didier Hoeltgen, mais non élu.


text: Cofondateur du mouvement Bisontines - Bisontins, il annonce sa candidature le . Le , le cofondateur du mouvement Hamid Asseila annonce qu'il quitte Bisontines - Bisontins sans donner d'explication à son départ.


text: Il dévoile sa liste "Bisontines-Bisontins la liste citoyenne de Besançon" le lundi à la MJC de Palente : aucun des colistiers n'est élu ou ancien élu, et aucun n’appartient à un parti politique. La seconde sur la liste est Françoise Leroy, , cadre associatif.


text: Alexandra Cordier, née le à Besançon, sera âgée de lors des élections municipales de 2020. Ancienne référente départementale LREM du Doubs, annonce sa candidature à l'investiture du parti le . Membre du cabinet de Jean-Louis Fousseret depuis 2008 et attachée de presse de la ville de Besançon depuis 2016, elle bénéficie du soutien du maire sortant.


text: Avec en sa faveur lors de la commission nationale d'investiture contre 11 pour son concurrent Éric Alauzet, elle n'est pas retenue par le parti. Selon un article du quotidien Le Parisien, Marlène Schiappa, Secrétaire d'État à l'Égalité entre les femmes et les hommes a marqué sa réprobation à la suite de ce choix lors du bureau exécutif en déclarant : . Après l'annonce de la candidature dissidente de Cédric Villani à Paris, elle déclare au journal L'Opinion envisager cette possibilité : . Le , après une ultime réunion de conciliation avec Éric Alauzet, tous deux actent d'une rupture poussant Alexandra Cordier à envisager plus encore une candidature dissidente. Le candidat du parti Les Républicains Ludovic Fagaut déclare le sur France Bleu Besançon que si Alexandra Cordier venait à le solliciter tandis que le Randall Schwerdorffer, avocat dans les affaires Daval et Frédéric Péchier, publie sur Facebook un message en faveur d'une candidature dissidente d'Alexandra Cordier. Frank Monneur, directeur de campagne d'Éric Alauzet et la députée Fannette Charvier demandent la démission d'Alexandra Cordier de son rôle de référente départementale du parti au cas où elle s'obstinerait à ne pas soutenir le candidat officiellement investi. Elle quitte effectivement cette fonction le tout en restant membre du parti. Elle annonce officiellement sa candidature le à la tête d'une liste sans étiquette baptisée et sur laquelle doivent notamment figurer le maire sortant Jean-Louis Fousseret, les conseillers municipaux de centre-droit Philippe Gonon (Agir) et Catherine Comte-Deleuze (UDI) "(qui n'ont pas le droit de revendiquer leur appartenance partisanes sur consigne de leur partis respectifs)" ainsi que les avocats Randall Schwerdorffer et Ornella Spatafora. Sa candidature a pour conséquence d'entraîner son exclusion de La République en marche le .


text: Alexandra Cordier présente sa liste "Ensemble !" le samedi à la Cité des Arts : la moyenne d'âge de la liste est de et elle comprend cinq élus sortants. L'avocat Randall Schwerdorffer, , connu pour être l'avocat de Jonathann Daval et de Frédéric Péchier, y est présent en seconde position mais a déclaré ne pas vouloir siéger en tant qu'adjoint mais simple conseiller municipal dans l'hypothèse d'une élection d'Alexandra Cordier comme maire. Parmi les autres personnalités présentent sur la liste se trouvent Philippe Gonon, conseiller municipal sortant et conseiller départemental du Doubs qui s'était présenté à l'élection municipale de 2008 comme tête de liste du MoDem ; le champion du monde de cyclisme sur piste Morgan Kneisky en position ; et le maire sortant Jean-Louis Fousseret en position.


text: Ludovic Fagaut, né le à Dole (Jura), sera âgé de lors des élections municipales de 2020. Principal du collège Georges Pompidou de Pouilley-les-Vignes, conseiller municipal d'opposition à Besançon depuis 2014, il est également depuis 2015 vice-président du conseil départemental du Doubs chargé des sports, de la culture et de la citoyenneté. Candidats aux élections législatives de 2017 dans la deuxième circonscription du Doubs, il est défait au deuxième tour en obtenant 37,81 % des voix contre 62,19 % pour son adversaire Éric Alauzet.


text: Après une campagne de communication démarrée quelques jours auparavant par le biais d'une vidéo , il annonce sa candidature le en compagnie du sénateur Jacques Grosperrin qui était d'abord pressenti pour porter les couleurs du parti de droite. Il mène une liste intitulée largement renouvelée autour de nouvelles têtes issues pour bon nombre de la droite, du centre droit et de la société civile.


text: Il lance sa campagne le au Palais des sports de Besançon devant près de . Il présente à cette occasion plusieurs thématiques dont le projet Port Citadelle (déjà initié en 2014) et quelques colistiers.


text: Ludovic Fagaut présente sa liste intitulée "Besançon maintenant !" le samedi au fort de Beauregard : la moyenne d'âge est de et elle intègre du parti Les Républicains et issues de la société civile. Celle qui se trouve en deuxième position et deviendrait première adjointe est Claude Varet, une avocate de .


text: Nicole Friess, née le à Besançon, sera âgée de lors des élections municipales de 2020. Employée retraitée de l'hôpital public, elle s'est déjà présentée à deux reprises aux élections municipales de Besançon, celle de 2014 lors de laquelle elle avait obtenu 1,23 % des voix et celle de 2008 où elle avait réalisé un score de 2,03 %.


text: Jacques Ricciardetti, né le à Besançon, sera âgé de lors des élections municipales de 2020. Chargé de clientèle dans le privé et délégué départemental du Rassemblement national dans le Doubs, il est conseiller régional de Bourgogne-Franche-Comté depuis 2015 et maire de la commune de Tressandans () depuis 2001.