title: Il padrino - Parte II

text: 1901, Corleone. Il piccolo Vito Andolini assiste pian piano al massacro della propria famiglia: il padre Antonio viene assassinato dal potente boss Don Ciccio, e il fratello Paolo si perde tra le colline mentre cerca di vendicare il padre. Mentre la madre, intenta a far perdonare la famiglia dal boss, viene uccisa davanti agli occhi del proprio pargolo. Per essere salvato, Vito viene fatto emigrare in America, in cui per una svista anagrafica, il suo cognome diventa <nowiki>"</nowiki>Corleone<nowiki>"</nowiki>. A causa del vaiolo però, viene mandato in quarantena ad Ellis Island. Poco dopo, inizia a lavorare onestamente al negozio di alimentari del signor Abbandando.


title: Il padrino - Parte II

text: A un anno dal suo matrimonio con Carmela e dalla nascita del suo primogenito, Sonny, Vito viene licenziato in favore del nipote di Don Fanucci, piccolo ma feroce boss di quartiere. Successivamente, si imbatte in Peter Clemenza e Salvatore Tessio, che divengono suoi amici e con cui inizia alcune attività malavitose.


title: Il padrino - Parte II

text: Fanucci li ricatta a fine di estorsione, imponendo un alto tributo finanziario, ma il giovane Vito, fingendo di assecondarlo, lo uccide a colpi di pistola. Inizia così la sua ascesa nella criminalità e in pochi anni diviene uno dei più importanti boss mafiosi di New York: egli controllerà il racket, il contrabbando di tabacchi e alcolici, la corruzione, la prostituzione, il gioco d'azzardo.


title: Il padrino - Parte II

text: Divenuto un potente e temuto signore del crimine, Don Vito ritorna a Corleone e vendica i genitori uccidendo barbaramente il loro assassino, ormai anziano, con una pugnalata all'addome.


title: Il padrino - Parte II

text: 1958, Lago Tahoe: il figlio di Don Vito, Michael, guida la cosca mafiosa dei Corleone nel Nevada. Da molti anni è immerso in affari assai vantaggiosi nel campo del gioco d'azzardo del Nevada e nella Cuba corrotta del dittatore Batista, insieme ad altri malavitosi e a uomini d'affari prevalentemente statunitensi. Il ricco e potente capitalista ebreo Hyman Roth, che guida il lucroso business a Cuba, trama per eliminare subdolamente Michael, riuscendo quasi nel suo intento: manda alcuni sicari nella villa di Tahoe, i quali però falliscono e vengono uccisi da un misterioso basista prima di poter essere catturati dagli uomini dei Corleone.


title: Il padrino - Parte II

text: Michael sospetta proprio di Hyman Roth e si reca a Miami, dove vive, facendogli credere che dubita del proprio ex caporegime, ora boss a New York, Frankie Pentangeli, che da lungo tempo preme per avere il permesso di assassinare i fratelli Rosato, protetti da Roth.


title: Il padrino - Parte II

text: Nel frattempo Tom Hagen assume il comando della Famiglia Corleone e a nome di Michael organizza un piano per controllare Pat Geary, senatore del Nevada, che ha osato ricattare i Corleone. Manda Al Neri nella casa di tolleranza di loro proprietà di Las Vegas, sorprendendo il senatore a letto con una giovane prostituta, che uccide, e tramortisce l'uomo. Geary, quando si sveglia, è in stato confusionale e teme di essere stato lui il carnefice della ragazza. Tom Hagen si reca sul posto di persona e gli suggerisce cosa fare: recarsi nella villa di Tahoe e proclamare il suo rispetto per i Corleone, unico mezzo per salvarsi la reputazione.


title: Il padrino - Parte II

text: Michael chiede a Pentangeli di fare la pace con i Rosato, con l'intento di smascherare il traditore all'interno della propria famiglia. Ma durante l'incontro con i Rosato, Pentangeli viene aggredito e tramortito e viene indotto a credere che sia una mossa del doppiogiochista Michael. A Cuba, Michael scopre che il traditore è il fratello Fredo, il quale ha venduto a Johnny Ola, scagnozzo di Roth, alcune importanti informazioni sulle divisioni della famiglia e ha introdotto i sicari nella villa; Michael ordina però che non sia fatto nulla al fratello finché la madre è ancora in vita.


title: Il padrino - Parte II

text: Fallito il tentativo di eliminare Roth a Cuba, Michael torna negli Stati Uniti a seguito della presa del potere di Fidel Castro dove, dopo aver appreso da Hagen che Kay ha perduto il bambino che aspettava, affronta una commissione d'inchiesta senatoriale, dietro alla quale c'è Roth. La commissione accusa Michael avvalendosi delle delazioni del pentito Pentangeli, il quale viene però indotto a tacere al momento dell'interrogatorio dall'imprevista e inquietante presenza in aula del fratello, Vincenzo Pentangeli, che fa scattare in lui la legge dell'omertà basata sul timore per la vita del fratello.


title: Il padrino - Parte II

text: Assolto dalle accuse di associazione criminale, Michael trama la propria vendetta contro Roth, che fa uccidere all'aeroporto di Miami. Successivamente, spinge Pentangeli al suicidio in cella, con la promessa di risparmiare la sua famiglia, e fa uccidere Fredo dal suo guardaspalle Al Neri sul lago Tahoe, dopo la scomparsa della madre.


title: Il padrino - Parte II

text: Michael ha dunque trionfato sui suoi nemici, ma la moglie Kay Adams, stanca della vita piena di violenza e menzogne che fa con lui, della quale però è sempre stata consapevole, dopo aver tentato invano di farlo desistere, gli rivela di aver abortito di proposito per non mettere al mondo un altro figlio che sarebbe diventato un mafioso assassino come il padre. Michael è sconvolto a tal punto da aggredirla fisicamente. Kay lascia così per sempre la famiglia. I due figli resteranno con Michael per volere di quest'ultimo.


title: Il padrino - Parte II

text: Michael si ritrova dunque solo con i figli nella villa sul lago, immerso nei ricordi dei suoi fratelli, quando erano entrambi vivi.


title: Il padrino - Parte II

text: In seguito al successo internazionale ottenuto dal film "Il padrino" (1972), la Paramount Pictures pensò subito a un sequel, affidando nuovamente la regia a Coppola, che però chiese di dare l'incarico a Martin Scorsese per via dei problemi avuti dai produttori durante la lavorazione del primo film. La casa di produzione rifiutò e così Coppola fu costretto ad accettare, ponendo però la condizione che avrebbe girato il sequel mostrando anche il passato di Vito Corleone, il personaggio cardine del primo film, che cammina parallelamente alla vita del figlio Michael, il protagonista della nuova pellicola. Infatti le origini di Vito erano raccontate nel romanzo di Mario Puzo ma non furono inserite nella narrazione del primo film.


title: Il padrino - Parte II

text: Secondo la stesura originale della sceneggiatura, il film doveva concludersi con una scena ambientata nel 1968 nella villa sul lago Tahoe in cui un diabetico Michael Corleone di mezz'età parla con il figlio Anthony, ormai diciottenne, che gli dice che non seguirà le sue orme. Però Francis Ford Coppola non riuscì a terminare le riprese di questa scena e decise di eliminarla dalla sceneggiatura, usandola anni dopo come base per scrivere la storia de "Il padrino - Parte III".


title: Il padrino - Parte II

text: A differenza de "Il padrino" e de "Il padrino - Parte III" il film fu vietato ai minori di quattordici anni. Inoltre è il film più lungo della saga (200 minuti) ed anche il più premiato dei tre.


title: Il padrino - Parte II

text: Al Pacino venne riconfermato nel ruolo di Michael Corleone che stavolta sarebbe stato il protagonista della pellicola. Insieme a lui vennero riconfermati anche gli altri personaggi principali della storia, ossia Robert Duvall, Diane Keaton, Talia Shire e John Cazale, il quale ebbe un ruolo molto più consistente di quello del primo film.


title: Il padrino - Parte II

text: Per la parte del giovane Vito Corleone, il regista scelse Robert De Niro perché gli era piaciuto il suo provino per la parte di Santino Corleone durante la scelta del cast del primo film. Per prepararsi al ruolo prima dell'inizio delle riprese, De Niro passò sei mesi nella zona di Corleone, in Sicilia, per imparare il siciliano. Nella versione originale del film, De Niro recita in italiano con spiccato accento siculo.


title: Il padrino - Parte II

text: Il regista desiderava ardentemente riproporre Richard Castellano per la parte di Peter Clemenza da anziano, vista l'importanza del personaggio. La prima stesura della sceneggiatura prevedeva infatti che fosse proprio Clemenza a testimoniare contro Michael Corleone dinanzi alla commissione d'inchiesta senatoriale. Tuttavia, vi sono due versioni sull'accaduto. Secondo le fonti più accreditate, Castellano pose una clausola fondamentale: i dialoghi di Clemenza sarebbero stati scritti da un suo amico. Coppola rifiutò immediatamente, e Castellano, noto per la sua testardaggine, declinò l'offerta di riprendere il suo ruolo nella serie cinematografica. Secondo un'altra versione, Castellano non fu in grado di riprendere il ruolo perché ciò gli avrebbe richiesto di riprendere oltre 20 chili di peso (che nel frattempo aveva perso per ragioni di salute). Per sostituirlo, Coppola e Puzo inventarono il personaggio di Frankie Pentangeli.


title: Il padrino - Parte II

text: Clemenza appare comunque da giovane, nelle vicende relative all'ascesa di Vito Corleone, interpretato da un giovane Bruno Kirby che recitò proprio con Castellano nel programma televisivo "The Super" andato in onda nel 1972.


title: Il padrino - Parte II

text: Inoltre, Coppola intendeva pure rintrodurre Marlon Brando, nel ruolo di Vito Corleone, e James Caan, nel ruolo di Santino Corleone, nella scena in cui Michael ricorda il compleanno del padre in cui annuncia la sua prossima partenza per la guerra. Brando inizialmente accettò, ma alla fine diede forfait a causa di vecchi rancori verso la Paramount relativi al compenso per il primo film, che probabilmente non sarebbe aumentato di molto per questo piccolo cameo. Caan invece accettò però pretese di essere pagato per questo piccolo cameo con la stessa somma ricevuta per il primo film.


title: Il padrino - Parte II

text: Pacino consigliò inoltre a Coppola di affidare la parte di Hyman Roth a Lee Strasberg, il suo maestro di recitazione all'Actor's Studio, considerandolo particolarmente adatto al ruolo. Siccome il personaggio di Roth era vagamente ispirato al mafioso Meyer Lansky, quest'ultimo telefonò a Strasberg dopo l'uscita del film per congratularsi della sua interpretazione.


title: Il padrino - Parte II

text: Sofia Coppola, figlia del regista, interpretò una giovane immigrata clandestina nella stessa nave che porta Vito Corleone a New York; Sofia era già apparsa nella scena finale del primo film, come Michael Francis Rizzi, il figlio di Connie al suo battesimo. In altri piccoli camei sono anche presenti Gianni Russo e Abe Vigoda, rispettivamente nei ruoli di Carlo Rizzi e Salvatore Tessio.


title: Il padrino - Parte II

text: Nel ruolo di Frank Pentangeli recita Michael V. Gazzo, che ottenne anche una nomination all'Oscar, mentre Joe Spinell riprende il personaggio di Willy Cicci, che nel primo film era il killer che freddava Carmine Cuneo (interpretato da Rudy Bond).


title: Il padrino - Parte II

text: Le riprese del film iniziarono il 1º ottobre 1973 a Las Vegas, e fu l'ultimo film americano ad essere distribuito nel formato Technicolor. Le scene ambientate a Cuba vennero in realtà girate a Santo Domingo, nella Repubblica Dominicana. Charles Bluhdorn, uno dei produttori della Paramount, fu parecchio ostile nel girare le scene a Cuba, desiderando più che fosse solo una fase di pre-produzione.


title: Il padrino - Parte II

text: A Santo Domingo inoltre Al Pacino si ammalò di polmonite e ritardò le riprese di un mese. Inoltre Pacino rivelò a Coppola di non amare molto la sceneggiatura della pellicola, e Coppola trascorse intere notti a riscriverlo per poi darlo all'attore in attesa della sua recensione. Grazie ad alcune modifiche che lui stesso riteneva opportune, Pacino accettò lo script e così la produzione poté andare avanti.


title: Il padrino - Parte II

text: In tempi più recenti, Coppola discusse con la produzione sulla possibilità di integrare questa pellicola insieme al primo capitolo nella pubblicazione in DVD, che la Paramout invece voleva pubblicare in due DVD distinti, ma alla fine il regista ebbe nuovamente la meglio. Inoltre a differenza del primo film, Coppola ha avuto maggiore potere decisionale sul film rispetto a quello garantitogli dalla produzione.


title: Il padrino - Parte II

text: Le scene del passato di Vito Corleone ambientate nel comune di Corleone furono girate in realtà a Forza d'Agrò, a Savoca, a Graniti a Motta Camastra ed a Regalbuto, in provincia di Messina ed Enna. Le scene dello sbarco a Ellis Island, con i controlli sanitari degli immigrati, sono state girate nella Vecchia Pescheria della città di Trieste.


title: Il padrino - Parte II

text: Le ambientazioni con Vito giovane nella Little Italy negli anni '20 sono state in realtà effettuate presso gli studi cinematografici della Paramount Pictures a Los Angeles in California: questo fu un argomento di controversia tra il regista e la produzione, perché Coppola voleva girare tutta le riprese nella vera Little Italy a New York, ma stavolta dovette cedere alle insistenze della produzione che minacciò nuovamente di licenziarlo se le riprese non fossero state effettuate in studio per ragioni finanziarie.


title: Il padrino - Parte II

text: La produzione del film terminò in concomitanza con il termine delle riprese il 19 giugno 1974, con un totale di centoquattro giorni di riprese. Circa tre settimane prima della fine delle riprese, critici e giornalisti definirono "Il padrino - Parte II" un disastro. Il motivo principale furono le storie raccontate in parallelo di Michael e Don Vito, che a loro detta subivano tagli trasversali troppo frequenti, che non garantivano un'adeguata impressione al pubblico. Coppola e la produzione decisero quindi di modificare la struttura narrativa del film, ma non riuscirono a completare linearmente il lavoro, lasciando le scene finali un po' più frettolose rispetto al resto del film.


title: Il padrino - Parte II

text: La pellicola venne presentata in anteprima mondiale il 12 dicembre 1974 a New York, mentre il 18 dicembre ci fu una seconda "première" a Los Angeles. Uscì nelle sale statunitensi il 20 dicembre 1974, mentre nel resto del mondo venne distribuito principalmente tra il gennaio e il novembre 1975.


title: Il padrino - Parte II

text: L'edizione italiana è stata diretta da Ettore Giannini già direttore del primo capitolo. Clemenza nel primo film viene doppiato in lingua napoletana, mentre nel secondo, dove viene rappresentato da giovane, viene doppiato in siciliano.


title: Il padrino - Parte II

text: Per la versione televisiva "The Godfather: 1901-1959" (trasmessa più volte sul canale satellitare Studio Universal), alcune voci nelle scene integrate sono differenti: ad esempio la voce di Robert De Niro è di Francesco Pannofino.


title: Il padrino - Parte II

text: "The Godfather Saga", (in italiano, "The Godfather: 1901-1959"), è il film montato in ordine cronologico dei primi due film della saga. Un'operazione fatta nel 1977 da Coppola per finanziare il suo film "Apocalypse Now". Fu fatta soprattutto per la TV e il mercato VHS. La durata è di 434 minuti. Nel 1992 solo per il mercato VHS (cinque cassette) fu fatta un ulteriore versione cronologica, "Godfather Trilogy 1901-1980", comprendente anche la parte III, con scene inedite, per una durata complessiva di 583 minuti.


title: Il padrino - Parte II

text: Nel 2007 la Paramount ha prodotto una versione restaurata e digitalizzata dell'originale, con audio in Dolby Surround.


title: Il padrino - Parte II

text: Nel giugno 2008 è stato distribuito un cofanetto DVD e Blu-ray della trilogia in cui "Il padrino - Parte II" include sia il doppiaggio originale in 2.0, sia il nuovo doppiaggio in 5.1 voluto da Coppola in persona e diretto da Rodolfo Bianchi.


title: Il padrino - Parte II

text: Con un budget stimato in circa 13 milioni di dollari, alla sua uscita il film incassò in USA circa 35 milioni di dollari nelle prime tre settimane di apertura, mentre in totale incassò 57.300.000 dollari, non superando gli incassi del primo capitolo, che invece arrivò a quota 250 milioni di dollari. Fu il principale successo commerciale della Paramount del 1974, e divenne il quinto film di maggiore incasso dell'anno, venendo superato da film come "L'inferno di cristallo" e "Frankenstein Junior".


title: Il padrino - Parte II

text: Nel resto del mondo il film fu comunque campione d'incassi, ma che non raggiunsero i risultati del primo film. In Italia la pellicola incassò circa 6 miliardi di lire, venendo superato dal fenomeno dell'anno "Fantozzi".


title: Il padrino - Parte II

text: Come per il primo capitolo, alla sua uscita il film venne acclamato dalla critica. Alcuni recensori lo definirono non solo al pari del primo film, ma lo ritennero persino superiore al predecessore. Su Rotten Tomatoes il film ha il 97% di valutazione positiva, con un voto medio di 9,5 su 10. L'Internet Movie Database gli assegna un voto di 9/10 collocandolo al 3º posto nella classifica dei migliori 250 film, superato solamente dal primo film della saga e da "Le ali della libertà". L'Entertainment Weekly lo posiziona al 7º posto nella classifica dei migliori 100 film di tutti i tempi. Nel 1992 e nel 2002 il quotidiano Sight and Sound lo inserisce nei migliori dieci film dell'anno.


title: Il padrino - Parte II

text: Nel 1998 l'American Film Institute l'ha inserito al trentaduesimo posto della classifica dei migliori cento film statunitensi di tutti i tempi, posizione riconfermata dieci anni dopo nella lista aggiornata. Sempre lo stesso istituto lo colloca al 3º posto nella lista dei migliori film gangster di tutti i tempi. Il personaggio di Michael Corleone si trova all'11º posto nella lista dei 50 migliori cattivi di sempre, mentre la frase chiave del film pronunciata da Michael «"Tieniti stretti gli amici e i nemici anche più stretti"» si trova al 58° nella classifica delle 100 frasi celebri di tutti i tempi. Nel 1993 è stato scelto per la conservazione nel National Film Registry della Biblioteca del Congresso degli Stati Uniti.


title: Il padrino - Parte II

text: La pellicola fu protagonista assoluta dei Premi Oscar 1975: ottenne infatti 11 candidature aggiudicandosi sei statuette. Il regista Francis Ford Coppola portò a casa ben tre premi, miglior film, regia e sceneggiatura non originale, quest'ultima condivisa con Mario Puzo. Robert De Niro vinse il premio come miglior attore non protagonista; sul palco Coppola ritirò il premio per lui, siccome l'attore si trovava all'epoca in Italia sul set di "Novecento" di Bernardo Bertolucci. Nino Rota divise con Carmine Coppola il premio per la miglior colonna sonora, e in seguito si aggiunse anche quello per la miglior scenografia. Col passare degli anni, molti fan hanno contestato il fatto che la lodatissima interpretazione di Al Pacino non fosse stata premiata con l'Oscar anch'essa. Nonostante ciò l'attore si aggiudicò il BAFTA al miglior attore protagonista.


title: Il padrino - Parte II

text: Alla colonna sonora, composta da Nino Rota e, per le parti bandistiche da Carmine Coppola, fu assegnato il premio Oscar alla miglior colonna sonora nel 1975.


title: Il padrino - Parte II

text: In una scena della pellicola, mentre il personaggio di Don Vito Corleone (interpretato da Robert De Niro) si reca alla bancarella della frutta, nota un poster ritraente il pugile Jake LaMotta, il quale verrà interpretato dallo stesso De Niro sei anni dopo, nel 1980, in "Toro scatenato" e per il quale vincerà il suo secondo Oscar.


title: Il padrino - Parte II

text: Questa scena è nel primo film. Si vede Vito Corleone (Marlon Brando) dal fruttivendolo, poco prima dell'attentato.


title: Il padrino - Parte II

text: Nell'aprile 2009 è stato messo in commercio il videogioco "Il Padrino II", distribuito dalla Electronic Arts. Il gioco, di genere avventura/azione, vede come protagonista Dominic Corleone, nuovo picciotto della famiglia che dovrà destreggiarsi in atletiche missioni per conto di Michael allo scopo di diventare il nuovo padrino della famiglia. Oltre al personaggio di Michael, nel videogioco compaiono anche quelli di Frankie Pentangeli, Hyman Roth, Tom Hagen e del senatore Geary. Il gioco non ha tuttavia raccolto il successo sperato, soprattutto se paragonato a quello basato sul primo capitolo del film.


title: Numero primo

text: In matematica, un numero primo (in breve anche primo) è un numero intero positivo che abbia esattamente due divisori distinti. In modo equivalente si può definire come un numero naturale maggiore di 1 che sia divisibile solamente per 1 e per sé stesso; al contrario, un numero maggiore di 1 che abbia più di due divisori è detto composto. Ad esempio 2, 3 e 5 sono primi mentre 4 e 6 non lo sono perché sono divisibili rispettivamente anche per 2 e per 2 e 3. L'unico numero primo pari è 2, in quanto tutti gli altri numeri pari sono divisibili per 2.


title: Numero primo

text: Quello di numero primo è uno dei concetti basilari della teoria dei numeri, la parte della matematica che studia i numeri interi: l'importanza sta nella possibilità di costruire con essi, attraverso la moltiplicazione, tutti gli altri numeri interi, nonché l'unicità di tale fattorizzazione. I primi sono inoltre infiniti e la loro distribuzione è tuttora oggetto di molte ricerche.


title: Numero primo

text: I numeri primi sono oggetto di studio fin dall'antichità: i primi risultati risalgono agli antichi Greci, e in particolare agli "Elementi" di Euclide, scritti attorno al 300 a.C. Ciononostante, numerose congetture che li riguardano non sono state ancora dimostrate; tra le più note vi sono l'ipotesi di Riemann, la congettura di Goldbach e quella dei primi gemelli, indimostrate a più di un secolo dalla loro formulazione.


title: Numero primo

text: Essi sono rilevanti anche in molti altri ambiti della matematica pura, come ad esempio l'algebra o la geometria; recentemente hanno assunto un'importanza cruciale anche nella matematica applicata, e in particolare nella crittografia.


title: Numero primo

text: Non è noto quando sia stato definito il concetto di numero primo, tuttavia un segnale che fa supporre una qualche consapevolezza della diversità di tali numeri è testimoniato dall'Osso d'Ishango, un reperto osseo datato al Paleolitico superiore, in cui compaiono dei segni rappresentanti i numeri primi compresi tra 10 e 20. Per trovare un altro segno di questa consapevolezza bisogna recarsi in Mesopotamia e aspettare il secondo millennio a.C.; a tale periodo appartengono infatti alcune tavolette contenenti le soluzioni di alcuni problemi aritmetici che, per essere svolti, richiedono una buona conoscenza della fattorizzazione in primi. Allo stesso millennio appartiene anche il papiro di Rhind (trascritto intorno al 1650 a.C.), che contiene alcune espansioni in frazioni egizie dei numeri nella forma ⁄. Le espansioni dei numeri che hanno in comune il più piccolo dei loro fattori sono simili, suggerendo che gli Egizi fossero almeno consapevoli della differenza tra i numeri primi e i composti.


title: Numero primo

text: La prima traccia incontestabile di un vero studio dei numeri primi è costituita dagli "Elementi" di Euclide, un libro composto tra il IV e il III secolo a.C., che fornisce un quadro completo delle conoscenze matematiche del tempo. Quest'opera contiene alcuni risultati fondamentali, tra cui il teorema dell'infinità dei primi e il lemma di Euclide, che prova un'importante caratterizzazione dei numeri primi. Euclide dimostra anche la possibilità di fattorizzare ogni intero positivo come prodotto di primi. All'antica Grecia dobbiamo anche il crivello di Eratostene, un semplice algoritmo per determinare quali sono i numeri primi.


title: Numero primo

text: I secoli seguenti registrarono un certo disinteresse per lo studio dei numeri primi e per diverso tempo non furono dimostrati risultati di particolare rilevanza su questo argomento. L'interesse verso di essi riprese vigore nel diciassettesimo secolo, con le dimostrazioni di nuovi e importanti risultati, alcuni dei quali dovuti a Pierre de Fermat: in particolare egli provò un teorema sulle congruenze modulo un primo, noto come "piccolo teorema di Fermat", e il teorema sulle somme di due quadrati che afferma che tutti i primi di una certa forma si possono scrivere come somma di due quadrati. Congetturò inoltre che tutti i numeri nella forma 2 + 1 (oggi chiamati in suo onore numeri di Fermat) fossero primi; Fermat stesso aveva verificato la sua congettura fino a "n" = 4, ma Eulero mostrò che per "n" = 5 si otteneva un numero composto. A oggi non sono noti altri numeri di questo tipo che siano primi. Nello stesso periodo, il monaco francese Marin Mersenne pose l'attenzione sui primi nella forma 2 − 1, con "p" primo, che oggi sono chiamati in suo onore primi di Mersenne.


title: Numero primo

text: Altri risultati vennero ottenuti da Eulero nel corso del diciottesimo secolo: tra di essi vi sono la divergenza della serie infinita ⁄ + ⁄ + ⁄ + ⁄ + ⁄ + ..., in cui gli addendi sono gli inversi dei numeri primi, e il cosiddetto prodotto di Eulero, una formula che evidenzia il legame dei primi con la serie armonica. Nella corrispondenza di Eulero con Christian Goldbach, quest'ultimo formulò inoltre la famosa congettura di Goldbach, ancora oggi non dimostrata, che riguarda la rappresentazione dei numeri naturali pari come somma di numeri primi.


title: Numero primo

text: Dall'inizio dell'Ottocento, l'attenzione di molti matematici si rivolse allo studio della distribuzione asintotica dei primi, ossia allo studio dell'andamento della funzione che conta i primi minori o uguali a "x". Legendre e Gauss congetturarono indipendentemente che tale funzione tende, al crescere di "x", a "x" / ln("x"), dove ln("x") indica il logaritmo naturale di "x". Nel 1859 Bernhard Riemann collegò questo problema con il posizionamento degli zeri della funzione zeta di Riemann, una funzione di variabile complessa; questo approccio portò alla dimostrazione della congettura, compiuta in modo indipendente da Hadamard e de la Vallée Poussin nel 1896. Tale risultato è oggi noto col nome di teorema dei numeri primi.


title: Numero primo

text: I numeri primi restarono confinati nell'ambito della matematica pura fino agli anni settanta, quando venne sviluppato il concetto di crittografia a chiave pubblica; il primo algoritmo di questo tipo, l'RSA, sfrutta infatti la difficoltà di fattorizzare numeri grandi formati da due soli fattori primi. Per questo motivo, ha assunto una notevole importanza anche la ricerca di numeri primi sempre più grandi. A partire dal 1951, tale ricerca viene effettuata attraverso l'uso di computer.


title: Numero primo

text: Il più piccolo numero primo è 2; tutti gli altri sono dispari, in quanto ogni numero pari è divisibile per 2. Nel passato 1 era a volte considerato un numero primo: ad esempio Derrick Norman Lehmer lo incluse nella sua tavola dei numeri primi pubblicata nel 1914. Oggi tuttavia si preferisce escluderlo, in quanto il suo inserimento tra i primi costringerebbe a riformulare in maniera più complessa diversi teoremi (come il teorema fondamentale dell'aritmetica) per tenere conto di questo caso speciale.


title: Numero primo

text: Un metodo per verificare se un numero "n" è primo si definisce "test di primalità". Un metodo che discende direttamente dalla definizione è controllare che non sia diviso da nessun numero minore di "n" o, in modo più efficiente, da nessun primo minore di "n". Ad esempio, per provare che 11 è primo, basta osservare che non è diviso da 2, 3, 5 e 7 (che sono i primi minori di 11).


title: Numero primo

text: Un antico algoritmo che evita le divisioni è il crivello (ossia "setaccio") di Eratostene che, più precisamente, determina l'insieme dei primi minori o uguali a "X". Per far ciò, l'algoritmo parte dall'insieme dei numeri naturali compresi tra 2 e "X", ed elimina i multipli dei numeri primi individuati in precedenza (perché non sono multipli di numeri più piccoli). In effetti, è possibile migliorare questo algoritmo fermandosi a eliminare i multipli dei primi minori o uguali alla parte intera della radice di "X": se infatti un numero composto "c" ha tutti i fattori maggiori della radice di "X", allora è maggiore di "X", in quanto, dovendo avere almeno due fattori,


title: Numero primo

text: La figura a destra mostra il funzionamento dell'algoritmo per "X" = 120. Analogamente, se si utilizza il metodo delle divisioni per dimostrare la primalità di un numero "X" si può evitare di controllare la divisibilità di "X" per numeri maggiori della radice quadrata di "X".


title: Numero primo

text: In una semplice interpretazione geometrica del concetto di numero primo, i numeri "n" che non sono primi sono esattamente quei numeri che possono essere rappresentati come rettangoli composti da "n" quadratini i cui lati sono maggiori di 1. Ad esempio 12 non è primo, perché può essere rappresentato come un rettangolo di lati 3 e 4, mentre 11 è primo, perché non ammette nessuna rappresentazione di questo tipo. Ogni rappresentazione di un numero composto tuttavia ne ammette una simmetrica a seconda che il lato lungo sia orizzontale o verticale; arrestare il crivello (o le divisioni) una volta raggiunta la radice di "X" significa considerare solo un rettangolo per ciascuna coppia di rettangoli simmetrici.


title: Numero primo

text: L'importanza dei numeri primi in matematica è enorme e deriva essenzialmente dal teorema fondamentale dell'aritmetica, il quale asserisce che qualsiasi numero intero positivo diverso da 1 può essere scomposto in fattori primi, e tale scomposizione è unica a meno dell'ordine dei fattori.


title: Numero primo

text: e ogni altra sua fattorizzazione in numeri primi è ottenuta da questa permutando i fattori. Ad esempio, l'ulteriore fattorizzazione


title: Numero primo

text: non è altro che quella precedente con i fattori scritti in un ordine diverso. A causa di questa proprietà, ci si riferisce a volte ai numeri primi come agli "atomi dell'aritmetica".


title: Numero primo

text: Questa è tra l'altro la ragione principale per cui 1 è escluso dall'insieme dei primi. Infatti, se si moltiplica una fattorizzazione di un numero per uno, un numero di volte a piacere, si ottiene sempre il numero di partenza, creando così fattorizzazioni distinte.


title: Numero primo

text: Una proprietà strettamente collegata alla fattorizzazione unica è il lemma di Euclide: se un primo "p" divide il prodotto "ab", allora divide "a" o "b" oppure sia "a" che "b". Questa è considerata la definizione stessa di "elemento primo" in un dominio d'integrità, ed è ovvia a partire dal teorema fondamentale dell'aritmetica: la fattorizzazione di "ab" dovrà infatti contenere il primo "p", e visto che "p" non può essere "spezzato" in due fattori, deve necessariamente essere nella fattorizzazione di almeno uno dei due numeri.


title: Numero primo

text: I numeri primi sono infiniti. La più antica dimostrazione pervenutaci è quella di Euclide, che la presenta nel IX libro degli "Elementi", come proposizione 20, con le parole:


title: Numero primo

text: La dimostrazione procede per assurdo. Supponendo infatti che esista solo un numero finito di numeri primi "p", "p", ..., "p", si può considerare il numero "q" = "p""p" ··· "p" + 1: questo numero è ovviamente maggiore di 1 e diverso da tutti i numeri primi "p". Ora, vi sono due possibilità per "q": può essere primo o composto. Se fosse primo avremmo però una contraddizione, perché abbiamo assunto che i "p" siano tutti i numeri primi; se fosse invece composto, dovrebbe avere un fattore primo "d", che deve essere uno dei numeri primi "p". Ma allora "d" divide sia "q" sia il prodotto "p""p" ··· "p" (essendo uno dei numeri primi), e quindi deve dividere la loro differenza "q" − "p""p" ··· "p" = 1, il che è impossibile. Quindi "q" non può essere né primo né composto: ma questo è assurdo, e i numeri primi sono infiniti.


title: Numero primo

text: Una questione che sorge dalla dimostrazione è se i numeri nella forma "p""p" ··· "p" + 1, cioè il prodotto dei primi "n" primi più 1 (detti numeri di Euclide), siano o meno primi. Questo avviene nei primi casi (2·3 + 1 = 7 è primo, così come 2·3·5 + 1 = 31), ma è falso in generale: il più piccolo di tali numeri a essere composto è


title: Numero primo

text: Non è noto se in questa successione esistano infiniti numeri primi, anche se è stato congetturato che sia così.


title: Numero primo

text: Molte altre dimostrazioni sono state create nel corso dei secoli: Eulero dimostrò questo teorema a partire dalla divergenza della serie armonica, Goldbach attraverso i numeri di Fermat, mentre Harry Furstenberg ne ideò una usando metodi della topologia.


title: Numero primo

text: Un teorema più forte, da cui si ricava facilmente l'infinità dei numeri primi, è quello che stabilisce che la serie , formata dalla somma degli inversi dei numeri primi, diverge, e in particolare, usando la notazione O-grande:


title: Numero primo

text: Una volta dimostrato che i numeri primi sono infiniti, sorge spontaneo chiedersi come si distribuiscono all'interno della sequenza dei numeri naturali, cioè quanto sono frequenti e quando ci si può aspettare di trovare l<nowiki>'</nowiki>"n"-esimo numero primo. Questo studio fu incominciato verso la fine del XVIII secolo indipendentemente da Gauss e da Legendre, che introdussero la funzione formula_9 (detta funzione enumerativa dei primi) e congetturarono che essa fosse approssimativamente


title: Numero primo

text: Il tentativo di dimostrare questa congettura attraversò tutto l'Ottocento; i primi risultati furono ottenuti tra il 1848 e il 1859 da Čebyšëv, che dimostrò usando metodi puramente aritmetici che esistevano due costanti "A" e "B" tali che


title: Numero primo

text: per "x" sufficientemente grande. Riuscì anche a provare che, se il limite del rapporto esiste, allora esso deve essere 1.


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text: Una dimostrazione fu invece trovata nel 1896 da Hadamard e da de la Vallée-Poussin, che, pur lavorando indipendentemente l'uno dall'altro, usarono metodi simili, basati sull'uso della funzione zeta di Riemann, la quale era stata introdotta da Bernhard Riemann nel 1859. Per una dimostrazione che usasse soltanto metodi elementari (cioè senza usare metodi di analisi complessa) si dovette attendere invece fino al 1949, quando essa fu ideata da Selberg e Erdős. Il teorema è oggi noto come teorema dei numeri primi.


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text: Nel 1899 de la Vallée-Poussin dimostrò che l'errore che si commette approssimando formula_9 in questo modo è


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text: per una costante positiva "a" e ogni intero "m"; tale risultato è stato leggermente migliorato nel corso degli anni. Inoltre, nel 1901 von Koch mostrò che se l'ipotesi di Riemann è vera, allora si ha la stima molto più precisa:


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text: Una forma equivalente al teorema dei numeri primi è che "p", l<nowiki>'</nowiki>"n"-esimo numero primo, è ben approssimato da "n" ln("n"). In effetti, "p" è strettamente maggiore di questo valore, come è stato dimostrato da J. Barkley Rosser nel 1938; questa disuguaglianza è stata migliorata fino ad arrivare, nel 1995, a


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text: Legato alla distribuzione dei numeri primi è lo studio degli intervalli tra due primi consecutivi. Questo, a parte la coppia formata da 2 e 3, deve essere necessariamente un numero pari maggiore o uguale a 2, perché tra due numeri consecutivi almeno uno è pari e quindi non primo. Se due numeri primi hanno come differenza 2, sono detti "gemelli": con l'eccezione della "tripletta" formata da 3, 5 e 7, i numeri primi gemelli si presentano a coppie, ed è semplice verificare che, tranne nel caso 3 e 5, il numero posto tra di loro è sempre un multiplo di 6. Le più piccole coppie di primi gemelli sono (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19) e (29, 31). È stato congetturato che esistano infinite coppie di numeri primi gemelli, sebbene nessuno sia ancora riuscito a dimostrarlo; un'estensione di questa idea è chiedersi se, dato un numero pari "k", la differenza tra due primi consecutivi sia pari a "k" infinite volte. Quest'ultimo problema prende il nome di congettura di Polignac.


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text: È facile invece mostrare che questa differenza può essere grande a piacere: dato un intero "N", e indicando con "N!" il suo fattoriale (cioè il prodotto di tutti i numeri compresi tra 1 e "N"), i numeri


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text: sono tutti composti: infatti, se "m" è minore di "N", allora ("N" + 1)! + "m" è divisibile per "m", e quindi non è primo. La sequenza, che comprende "N" numeri consecutivi, è quindi priva di numeri primi. Ad esempio, se "N" = 5, questi valori corrispondono a


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text: mentre il valore successivo, 6!+7=727, è primo. Si noti comunque che esistono modi più "efficienti" per costruire intervalli senza numeri primi; ad esempio invece di ("N" + 1)! + 1 si può considerare il prodotto dei numeri primi minori di "N" + 2.


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text: Dal teorema dei numeri primi discende facilmente che l'intervallo atteso tra due numeri primi consecutivi "p" e "p" ha lunghezza ln("p"); tuttavia questi intervalli sono talvolta molto più grandi e talvolta molto più piccoli. Sugli intervalli corti, la congettura dei primi gemelli afferma esattamente che l'intervallo è il minimo possibile infinite volte. Questa congettura è tuttora aperta, ma grazie al lavoro di Zhang Yitang (annunciato nel 2013, e basato sull'approccio di Goldston, Pintz e Yıldırım) e ai successivi contributi di James Maynard e di un progetto Polymath, è noto che esistono infiniti numeri primi consecutivi la cui differenza è minore di 246.


title: Numero primo

text: Sul problema opposto, degli intervalli lunghi, ci si aspetta che tali intervalli siano di ordine ln "p", o, più precisamente, che


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text: Un altro risultato classico, seppur più debole di quelli appena riportati, è il postulato di Bertrand (che in realtà è un teorema, essendo stato dimostrato da Čebyšëv nel 1850). Esso afferma che per ogni "n" esiste sempre un primo tra "n" e 2"n". Un'interessante conseguenza di questo risultato è che "p" < 2"p"; considerando inoltre che "p" = 2 si deduce facilmente che per ogni "n" vale la disuguaglianza


title: Numero primo

text: Nel corso dei secoli, sono state proposte molte congetture sugli intervalli tra primi consecutivi. Le più famose sono la congettura di Legendre, che afferma che tra due quadrati consecutivi vi è sempre un primo, la congettura di Brocard che asserisce che tra i quadrati di due primi dispari consecutivi esistono sempre quattro numeri primi, e la congettura di Andrica che ipotizza che


title: Numero primo

text: Queste congetture sono tutte molto più deboli di quanto ritenuto comunemente vero, ma sono tuttora indimostrate. I migliori risultati in questa direzione sono la dimostrazione che tra "n" e ("n" + 1) giace sempre almeno un primo o un semiprimo, dovuta a Chen Jingrun, e il risultato di Baker, Harman e Pintz riportato sopra.


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text: Essendo alle basi dell'aritmetica, i numeri primi sono ingredienti fondamentali in un gran numero di settori della matematica.


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text: Le funzioni aritmetiche, ossia le funzioni definite sugli interi e a valori nei numeri complessi, rivestono un ruolo cruciale nella teoria dei numeri. In modo particolare, tra queste le più importanti sono le funzioni moltiplicative, ovvero quelle funzioni "f" in cui, per ogni coppia ("a","b") di numeri coprimi, si ha


title: Numero primo

text: Esempi di funzioni moltiplicative sono la funzione φ di Eulero, che a "n" associa il numero degli interi che sono al contempo minori e coprimi con "n", e le funzioni divisore e sigma, che a "n" associano rispettivamente il numero dei suoi divisori e la loro somma. Il valore di tali funzioni nelle potenze dei primi è


title: Numero primo

text: Grazie alla proprietà che le definisce, le funzioni aritmetiche si possono facilmente calcolare conoscendo il valore che esse assumono nelle potenze dei primi. Infatti, dato un intero "n" di fattorizzazione


title: Numero primo

text: e dunque si è ricondotto il problema di calcolare "f"("n") a quello di calcolare "f" sulle potenze dei primi che dividono "n", valori che sono in genere più semplici da ricavare rispetto a una formula generale. Ad esempio, per conoscere il valore della funzione φ di Eulero su "n" = 450 = 2×3×5 è sufficiente calcolare


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text: Il fatto che una funzione moltiplicativa sia individuata dai valori assunti in corrispondenza delle potenze dei numeri primi è all'origine dell'uso delle serie di Bell, che sono delle particolari serie formali di potenze. Data una funzione moltiplicativa "f" e un primo "p", la serie di Bell di "f" rispetto a "p" è:


title: Numero primo

text: In particolare, se "f" è "completamente" moltiplicativa (cioè se "f"("ab") = "f"("a") "f"("b") per ogni "a" e "b"), allora "f" è individuata dai valori di "f"("p"), per "p" primo, e la sua serie di Bell è:


title: Numero primo

text: Nell'aritmetica modulare i numeri primi svolgono un ruolo molto importante: l'anello formula_37 delle classi di resto è infatti un campo se e solo se "n" è primo. In questo caso lo studio delle classi di resto è più semplice del caso generale, e fornisce un'utile base di partenza per l'analisi delle classi di resto con "n" qualunque.


title: Numero primo

text: Anche l'esistenza di una radice primitiva dell'anello formula_37 è legata ai numeri primi: questa infatti esiste solamente se "n" è un numero primo, 1, 2, 4 oppure un numero nella forma formula_39 o formula_40, dove "p" è un primo dispari.


title: Numero primo

text: Uno dei teoremi più importanti dell'aritmetica modulare è costituito dal piccolo teorema di Fermat. Tale teorema afferma che, per ogni primo "p" e ogni numero naturale "a" si ha


title: Numero primo

text: Questa proprietà può essere usata per verificare se un numero "non" è primo, infatti se "n" è tale che


title: Numero primo

text: per qualche intero "a", allora "n" non può essere primo. Tuttavia questa proprietà non può essere usata per controllare se un numero è primo: esistono infatti alcuni numeri, detti numeri di Carmichael (il più piccolo dei quali è 561), che verificano questa proprietà per ogni "a" pur non essendo primi. Nel 1994, William Robert Alford, Andrew Granville e Carl Pomerance hanno dimostrato che vi sono infiniti numeri di tale tipo.


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text: Un altro degli argomenti principali della teoria dei numeri è costituito dallo studio dei numeri "p"-adici e delle loro proprietà. Tali numeri sono definiti nel modo seguente: per ogni primo "p" si considera una norma sui numeri razionali formula_44 che, valutata su un numero razionale "q", assume valori che si avvicinano allo 0 al crescere della massima potenza di "p" che divide "q". Tale norma è detta "norma "p"-adica". Completando il campo dei numeri razionali rispetto alla metrica indotta da tale norma, si ottiene un campo, indicato con formula_45, che "estende" i numeri razionali in un modo diverso dai numeri reali. Gli elementi di tale campo sono detti numeri "p"-adici. Tali numeri si possono anche costruire come limite proiettivo degli anelli formula_46.


title: Numero primo

text: I numeri primi hanno un ruolo centrale anche nell'algebra. Nella teoria dei gruppi, un gruppo in cui ogni elemento ha ordine la potenza di un primo "p" è detto "p-gruppo" o "gruppo primario". Tra i gruppi finiti, i "p"-gruppi sono tutti e soli i gruppi la cui cardinalità è la potenza di un primo; un esempio di "p"-gruppo infinito è il "p"-gruppo di Prüfer.


title: Numero primo

text: È noto che i "p"-gruppi hanno un centro non banale, e di conseguenza non possono essere semplici (a parte il gruppo con "p" elementi); se il gruppo è finito, inoltre, tutti i sottogruppi normali intersecano il centro in modo non banale.


title: Numero primo

text: Tutti i gruppi con un numero primo di elementi sono ciclici e dunque abeliani; anche ogni gruppo di ordine "p" è abeliano. Inoltre, ogni gruppo abeliano finito è isomorfo al prodotto diretto di un numero finito di "p"-gruppi ciclici.


title: Numero primo

text: Il teorema di Cauchy afferma che, dato un gruppo di ordine "n" e un primo "p" che lo divide, esiste un elemento di ordine "p", e quindi un sottogruppo con "p" elementi. Tale teorema è generalizzato dai teoremi di Sylow, che garantiscono che in ogni gruppo di ordine "n" esiste almeno un sottogruppo di ordine "p", per ogni "p" che divide "n".


title: Numero primo

text: Nella teoria degli anelli, la caratteristica di un dominio d'integrità "D" è 0 oppure un numero primo. Per un campo "F", che è un particolare tipo di dominio di integrità, la caratteristica determina il sottocampo fondamentale di "F": se essa è diversa da 0, e dunque è un numero primo, allora tale sottocampo è isomorfo al campo delle classi di resto formula_47.


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text: Si mostra poi che tutti i campi finiti formano uno spazio vettoriale sul campo formula_47, e di conseguenza hanno un numero di elementi che è primo o è una potenza di un primo. Inoltre, due campi con lo stesso numero di elementi sono isomorfi; in particolare, ogni campo con un numero primo "p" di elementi coincide con formula_47, mentre ogni campo con "p" elementi è un'estensione di Galois di un campo con "p" elementi.


title: Numero primo

text: Tra le estensioni dei numeri razionali, un ruolo importante è svolto dalle estensioni ciclotomiche, ossia da quei campi che si possono ottenere aggiungendo a formula_44 le radici "n"-esime dell'unità, per un qualche numero naturale "n". Il grado di queste estensioni è strettamente legato alla primalità di "n". Infatti esso è "n" − 1 se e solo se "n" è primo: tale proprietà è equivalente al fatto che il polinomio


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text: è irriducibile tra i polinomi a coefficienti razionali se e solo se "n" è primo. Per una dimostrazione si può procedere come segue: se "n" è composto (ad esempio "n" = "ab", con "a" e "b" interi maggiori di 1), lo si può dividere in "a" gruppi di "b" addendi, arrivando a una scomposizione. Ad esempio, se "n" = 10, prendendo "a" = 2 e "b" = 5, "P"("x") si può scomporre come


title: Numero primo

text: Per dimostrare l'inverso, si può usare invece il criterio di Eisenstein. Grazie a questa proprietà risulta inoltre che se "n" è primo, allora questo polinomio coincide con l<nowiki>'</nowiki>"n"-esimo polinomio ciclotomico.


title: Numero primo

text: È stato dimostrato da Legendre alla fine del Settecento che nessun polinomio a coefficienti interi può assumere valori soltanto primi: infatti, se esistesse un polinomio "P"("n") di questo tipo, si avrebbe "P"(1) = p per qualche primo "p" e quindi "P"(1) ≡ 0 mod "p". Ma "P"(1) ≡ "P"(1+"kp") mod "p" per ogni intero "k", e quindi "P"(1+"kp") dovrebbe assumere infinite volte il valore "p" (perché i multipli di "p" non possono essere primi). Tuttavia questo è assurdo, perché nessun polinomio può assumere uno stesso valore un numero di volte maggiore del proprio grado.


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text: Alcuni polinomi sembrano assumere valori primi "più spesso" degli altri: ad esempio Eulero notò che il polinomio di secondo grado formula_53 produce numeri primi per ogni valore di "n" compreso tra 0 e 39; tuttavia, sebbene circa un terzo dei valori che questa funzione assume nei primi 10 milioni siano primi, non è stato ancora dimostrato che ne esistano infiniti. Più in generale, non c'è alcun polinomio in una sola variabile e di grado maggiore di uno di cui sia stato dimostrato che assume infiniti valori primi. Diversa è la situazione per i polinomi in due variabili: Dirichlet dimostrò che questo avviene per ogni forma quadratica formula_54 (a patto che "a", "b" e "c" siano coprimi e che la forma non sia il quadrato di un polinomio di primo grado), mentre nel 1998 John Friedlander e Henryk Iwaniec lo provarono per il polinomio di quarto grado formula_55.


title: Numero primo

text: A differenza di quanto accade per i polinomi di grado più alto, Dirichlet dimostrò nel 1837 che ogni polinomio di primo grado "ax"+"b" assume infiniti valori primi se e solo se "a" e "b" sono numeri naturali coprimi. Equivalentemente, una progressione aritmetica contiene infiniti numeri primi se e solo se la sua "ragione" e il suo primo valore sono coprimi. La prima dimostrazione di questo teorema, detto teorema di Dirichlet, viene considerata la nascita della Teoria dei numeri analitica.


title: Numero primo

text: È noto inoltre che, se "n" e "k" sono coprimi, il rapporto tra "M" e i primi minori di "M" che sono congrui a "k" modulo "n" tende a formula_56 per "M" che tende all'infinito, ovvero i primi tendono a dividersi equamente tra le formula_57 progressioni di ragione "n" che contengono più di un primo.


title: Numero primo

text: Sebbene non esistano progressioni aritmetiche i cui valori siano soltanto numeri primi, nel 2004 è stato dimostrato che esistono progressioni che contengono un numero arbitrariamente grande di termini consecutivi che sono primi (teorema di Green-Tao). Tale risultato è stato migliorato nel 2006 per includere anche le progressioni polinomiali; più precisamente è stato dimostrato che, dati dei polinomi "P", ...,"P" a coefficienti interi, esistono infiniti interi "a" e "m" tali che "a"+"P"("n"), ..., "a"+"P"("n") sono contemporaneamente primi per 1 ≤ "n" ≤ "m".


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text: Tali teoremi non sono tuttavia "costruttivi", ovvero non permettono di determinare esplicitamente delle progressioni arbitrariamente lunghe; la più lunga sequenza di primi (attualmente conosciuta) che sono termini consecutivi di una progressione aritmetica è composta da 26 numeri. È stato anche congetturato che esistano sequenze arbitrariamente lunghe di questo tipo tali che tra due termini della progressione non ci siano altri numeri primi, e la più lunga sequenza di primi di questo tipo finora trovata comprende 10 termini.


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text: Una progressione aritmetica di interesse particolare per la teoria dei numeri primi è quella di ragione 4: si possono infatti separare i primi (a parte 2) in due gruppi, quelli nella forma 4"k"+1 e quelli nella forma 4"k"+3. Il teorema di Fermat sulle somme di due quadrati asserisce che i primi che possono essere scritti come somma di due quadrati sono tutti e soli quelli del primo gruppo. Un'importante riformulazione di questo teorema è che un primo è scomponibile nell'anello degli interi di Gauss se e solo se è della forma 4"k"+1.


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text: Per la loro definizione, i numeri primi sono intrinsecamente legati all'operazione di moltiplicazione. Tuttavia, sono di grande interesse anche alcuni problemi riguardanti loro proprietà additive.


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text: Il più famoso di questi è senza dubbio la congettura proposta da Christian Goldbach nel Settecento, che afferma che ogni numero pari maggiore di 2 può essere espresso come somma di due primi. La congettura è tuttora indimostrata, ma è facilmente verificabile per gli interi “piccoli”, come ad esempio


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text: Alla congettura di Goldbach ne è legata un'altra, più debole e ora dimostrata, che afferma che ogni numero dispari è la somma di tre numeri primi. Questa "ex"-congettura è comunemente nota con il nome di congettura debole di Goldbach.


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text: Mentre la congettura di Goldbach sembra molto lontana dall'essere risolta, la seconda ha conosciuto diversi progressi nel corso degli anni, culminati nella dimostrazione completa data da Harald Helfgott nel 2013. In precedenza, risultati significativi erano stati ottenuti da Hardy e Littlewood, che nel 1923 provarono che l'ipotesi di Riemann generalizzata implica che ogni numero dispari "sufficientemente grande" è la somma di tre primi, e da Ivan Vinogradov che nel 1937 dimostrò che l'assunzione dell'ipotesi di Riemann non è necessaria. Per completare la dimostrazione mancavano quindi solo un numero finito di numeri dispari da controllare, ma tale numero era ben al di là delle capacità computazionali dei moderni computer. Nel 2013, Helfgott introdusse diverse innovazioni all'interno della dimostrazione di Vinogradov, riuscendo ad abbassare notevolmente il numero di potenziali eccezioni a un numero effettivamente controllabile da un computer e quindi a completare la dimostrazione.


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text: Sono noti anche altri risultati, sebbene molto più deboli. Usando il postulato di Bertrand si può dimostrare che ogni intero maggiore di 6 può essere scritto come somma di primi distinti. Inoltre, se "p" è l<nowiki>'</nowiki>"n"-esimo numero primo, allora almeno uno tra "p", "p" − 1 e "p" + 1 può essere scritto come


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text: Problemi additivi sono considerati anche i già citati teorema di Green-Tao sulle progressioni aritmetiche, la congettura dei primi gemelli e la congettura di Levy, che afferma che ogni intero dispari è la somma di un primo e di un semiprimo pari.


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text: Molte congetture riguardanti i numeri primi non sono ancora state dimostrate. La più importante tra queste è senza dubbio l'ipotesi di Riemann, uno dei problemi aperti più importanti di tutta la matematica: era uno dei ventitré problemi di Hilbert, enunciati nel 1900, ed è stato inserito tra i problemi per il millennio nel 2000. Nella sua formulazione originale, tale ipotesi riguarda il posizionamento degli zeri complessi della funzione zeta di Riemann: nonostante il suo legame con i numeri primi non sia immediatamente chiaro, è stato provato che la sua dimostrazione avrebbe come conseguenza un notevole miglioramento della comprensione dei numeri primi. In particolare, se l'ipotesi di Riemann fosse vera, i primi sarebbero distribuiti nel modo più regolare possibile.


title: Numero primo

text: Altri problemi aperti molto famosi sono le già citate congetture di Goldbach, dei primi gemelli e di Legendre.


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text: Altre congetture riguardano l'esistenza o meno di infiniti numeri primi in una certa forma. Ad esempio si pensa che esistano infiniti numeri primi nelle sequenze "n" + 1, 2 - 1 (primi di Mersenne, ), "n"! + 1 e "n"! - 1 (primi fattoriali, sequenze e ), o che esistano infiniti primi nella successione di Fibonacci. Si congettura invece che vi siano solo un numero finito di primi di Fermat, i numeri primi nella forma 2 + 1. Al momento, gli unici primi di Fermat noti sono in corrispondenza di "n" = 0, 1, 2, 3 e 4.


title: Numero primo

text: Una formula per i numeri primi è un'espressione che genera solamente numeri primi. Non sono note formule chiuse (che cioè non fanno ricorso né a limiti né a serie né a sommatorie la cui lunghezza dipenda dal dato iniziale) per trovare tutti i numeri primi fino a "n", o anche solo l<nowiki>'</nowiki>"n"-esimo primo; sono state invece trovate alcune formule che generano solo numeri primi, seppure fondamentalmente inutili dal punto di vista pratico. Un esempio è dato dal teorema di Mills che afferma che esiste una costante θ tale che


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text: è sempre un numero primo. Tuttavia non si conosce nessuna formula chiusa per calcolare la costante di Mills: le approssimazioni attualmente utilizzate si basano sulla sequenza dei cosiddetti primi di Mills (i numeri primi generati tramite questa formula), che non possono essere ricavati rigorosamente, ma solamente in maniera probabilistica, assumendo per vera l'ipotesi di Riemann.


title: Numero primo

text: A seguito della dimostrazione del teorema di Matiyasevich, sono stati trovati vari polinomi i cui valori positivi sono sempre numeri primi. Matijasevič dimostrò l'esistenza di un polinomio di 37º grado in 24 incognite, ma senza esplicitarlo; in seguito alcuni di questi sono stati determinati, ma rimangono poco utili per la ricerca di nuovi primi perché hanno diverse variabili e un grado molto elevato, e inoltre assumono spesso valori negativi.


title: Numero primo

text: Altre formule si possono costruire attraverso il teorema di Wilson con l'uso della funzione parte intera, ma anche queste sono sostanzialmente inutilizzabili a causa della loro elevata complessità computazionale.


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text: Un "test di primalità" è un algoritmo che permette di stabilire se un dato numero è primo oppure no. Nella teoria della complessità computazionale, questo problema è a volte denotato come PRIMES, ed è stato recentemente dimostrato appartenere alla classe di complessità P.


title: Numero primo

text: Il più antico e semplice test di primalità è quello di "divisione per tentativi", che consiste nell'applicare direttamente la definizione di numero primo: si prova a dividere il numero "N" per tutti i numeri minori di "N": se nessuno di questi lo divide, allora il numero è primo. Un semplice miglioramento di questo metodo si ottiene limitando i tentativi di divisione ai numeri primi minori di formula_60. Sebbene molto semplice da descrivere e da implementare su un calcolatore, tale metodo è poco usato nella pratica, perché richiede tempi di calcolo che aumentano esponenzialmente rispetto al numero delle cifre di "N". Esso tuttavia fornisce anche i suoi fattori primi (ed è quindi un algoritmo di fattorizzazione): questo non succede nel caso di algoritmi più sofisticati, che riescono a stabilire se un numero non è primo anche senza determinare alcun divisore non banale.


title: Numero primo

text: Altri algoritmi di primalità piuttosto semplici, ma poco utili dal punto di vista pratico, sono il test che si può ricavare dal crivello di Eratostene e i test di Fermat e di Wilson, che si basano rispettivamente sul piccolo teorema di Fermat e sul teorema di Wilson.


title: Numero primo

text: Diversi altri algoritmi sono stati sviluppati nel corso del tempo: alcuni di essi si applicano solo a classi particolari di numeri, come ad esempio i test di Lucas-Lehmer e di Proth, che si applicano solo ai numeri di Mersenne e di Proth rispettivamente. Altri, come il test di Miller-Rabin, sono probabilistici, ovvero danno una risposta certa solo se affermano che il numero "non" è primo, mentre se si ottiene come risultato che il numero è primo, allora c'è solo un'alta probabilità che il numero effettivamente lo sia. I numeri che passano uno di questi test, pur senza essere primi, sono detti "pseudoprimi". La classe più famosa di pseudoprimi è quella dei numeri di Carmichael, che verificano il piccolo teorema di Fermat pur essendo composti.


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text: Tra i test di primalità di uso generale il più usato attualmente è l'ECPP, basato sulle curve ellittiche; sebbene la sua complessità computazionale non sia nota, sperimentalmente si osserva che esso è un algoritmo polinomiale nel numero delle cifre di "n". Nel 2002, i tre matematici indiani Manindra Agrawal, Neeraj Kayal e Nitin Saxena hanno sviluppato l'algoritmo AKS, il primo test di primalità deterministico con complessità polinomiale, provando dunque che il problema di stabilire se un numero è primo o no sta nella classe di complessità P.


title: Numero primo

text: Un programma che ha lo scopo di individuare i fattori primi di un numero è detto "algoritmo di fattorizzazione"; gli algoritmi di questo tipo possono funzionare anche da test di primalità, ma sono quasi sempre più lenti da eseguire rispetto a programmi ideati solo per quest'ultimo scopo. Dopo il metodo di divisione per tentativi, i più antichi algoritmi di questo tipo sono il metodo di Fermat, che si basa sulle differenze tra il numero da fattorizzare "N" e alcuni quadrati, efficace in particolare quando "N" è il prodotto di due numeri primi vicini tra loro, e il metodo di Eulero, che si basa invece sulla rappresentazione di "N" come somma di due quadrati in due modi diversi.


title: Numero primo

text: Più recentemente, gli algoritmi per la fattorizzazione sono stati basati su una gran varietà di tecniche diverse, come le frazioni continue o le curve ellittiche, mentre altri, come ad esempio il crivello quadratico, sono basati su miglioramenti del metodo di Fermat. Altri ancora, come il metodo rho di Pollard, sono probabilistici, e non offrono la garanzia che, dato un numero non primo, ne trovino i divisori.


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text: A oggi il più veloce algoritmo deterministico di impiego generale, ovvero senza necessità di numeri in forma particolare, è il "general number field sieve", che ha complessità esponenziale sul numero di cifre di "N"; è stato proposto un algoritmo che ha tempo di esecuzione polinomiale nel numero di cifre di "N" (algoritmo di Shor), ma esso richiede di essere eseguito su un computer quantistico, la cui simulazione su un normale calcolatore richiede un tempo esponenziale.


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text: Proprio la difficoltà di fattorizzare grandi numeri ha portato allo sviluppo del primo metodo efficace di crittografia a chiave pubblica, l'RSA. In questo sistema crittografico, la persona che deve ricevere un messaggio cifrato genera una chiave formata da tre numeri: uno ("n") è il prodotto di due numeri primi di grandi dimensioni (generalmente si usano numeri di 1024 o 2048 bit), mentre gli altri due ("e" ed "f") sono l'uno l'inverso dell'altro modulo φ("n") (dove φ indica la funzione di Eulero). Uno tra questi ultimi due numeri deve essere tenuto segreto (e dunque prende il nome di "chiave privata"), mentre l'altro deve essere reso noto insieme al numero "n" (andando a formare la "chiave pubblica").


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text: Dopo aver trasformato il messaggio in un numero "m" (secondo un codice stabilito in precedenza), la procedura di criptazione e decriptazione consiste nell'elevamento a potenza di "m" per il numero tra "e" ed "f" reso pubblico, prendendone poi il resto nella divisione per "n"; il teorema di Eulero garantisce che dopo quest'operazione si possa ritornare allo stesso numero di partenza conoscendo sia "e" sia "f".


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text: È possibile, in teoria, ricavare la chiave privata dalle informazioni pubbliche: attualmente questo richiede la fattorizzazione del numero "n", rendendo quindi la trasmissione del messaggio sicura se i due primi scelti soddisfano alcune condizioni e sono "sufficientemente" grandi. Non è ancora noto se vi siano metodi efficienti per decriptare il messaggio che non prevedano l'attacco diretto alla fattorizzazione di "n", ma è stato mostrato che una cattiva scelta della chiave pubblica potrebbe rendere il sistema più vulnerabile ad attacchi di questo tipo.


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text: Nel 1991 la RSA Security (l'azienda che ha sfruttato commercialmente l'RSA) ha pubblicato una lista di semiprimi, offrendo dei premi in denaro per la fattorizzazione di alcuni di essi, con lo scopo di provare la sicurezza del metodo e di incoraggiare la ricerca in questo ambito: l'iniziativa è stata chiamata RSA Factoring Challenge. Nel corso degli anni, diversi di questi numeri sono stati fattorizzati, mentre per altri il problema è ancora aperto; il concorso si è comunque concluso nel 2007.


title: Numero primo

text: Già da molti secoli la ricerca di numeri primi "grandi" ha destato l'interesse dei matematici; tuttavia questa ricerca ha assunto una particolare importanza negli ultimi decenni, a causa del bisogno di tali numeri che caratterizza algoritmi quali l'RSA.


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text: Il metodo più efficace per ottenere numeri primi grandi risale al diciassettesimo secolo, quando Marin Mersenne congetturò che formula_61 sarebbe stato primo (quando "n" ≤ 257) solo per "n" uguale a 2, 3, 5, 7, 13, 19, 31, 67, 127 e 257. La verifica della primalità di tali numeri era molto al di sopra delle possibilità dell'epoca, e infatti soltanto nel Novecento si scoprì che la congettura era falsa e probabilmente fatta "alla cieca", in quanto Mersenne tralasciò tre casi (per "n" = 61, 89 e 107) e non si accorse che i numeri corrispondenti a "n" = 67 e "n" = 257 erano in realtà composti.


title: Numero primo

text: "M" (un numero di 39 cifre) fu dimostrato essere primo da Édouard Lucas nel 1876, e rimase il numero primo più grande conosciuto fino al 1951, quando vennero trovati (2+1)/17 (di 44 cifre) e, poco più tardi, 180 · (2 − 1) + 1 (di 79 cifre), quest'ultimo tramite un calcolatore elettronico. Da allora tutti i successivi primi più grandi sono stati scoperti con l'aiuto del computer: dal 1952 (quando lo SWAC dimostrò che "M" è primo) al 1996 essi sono stati trovati da supercomputer, e furono tutti primi di Mersenne (trovati usando il test di Lucas-Lehmer, un algoritmo specifico per questi numeri) con l'eccezione di 391581 · 2 − 1, che detenne il record tra il 1989 e il 1992.


title: Numero primo

text: In seguito, i quattordici nuovi numeri primi più grandi sono stati scoperti attraverso il GIMPS, un progetto di calcolo distribuito basato anch'esso sul test di Lucas-Lehmer. A oggi (dicembre 2018) il più grande numero primo, scoperto nel dicembre del 2018, è 2 − 1, composto da oltre 24 milioni di cifre decimali. I numeri primi noti più grandi sono numeri primi di Mersenne o altri numeri primi particolari, per i quali si dispone di un test molto efficiente in termini computazionali.


title: Numero primo

text: La Electronic Frontier Foundation ha offerto dei premi in denaro ai primi che riusciranno a trovare numeri primi di oltre un certo numero di cifre. I primi due di questi premi, di e dollari, sono stati assegnati nel 2000 e nel 2008 per il raggiungimento, rispettivamente, di un milione e di dieci milioni di cifre; il più alto premio attualmente in palio è di dollari, per l'arrivo al miliardo di cifre.


title: Numero primo

text: La definizione di numero primo può essere estesa a qualunque dominio d'integrità; vi sono due modi di estendere la definizione, in generale non equivalenti fra loro:


title: Numero primo

text: Un elemento primo è sempre irriducibile, ma non viceversa: tuttavia nell'anello degli interi le due definizioni sono equivalenti (come garantito dal lemma di Euclide), e più in generale sono equivalenti in tutti gli anelli a fattorizzazione unica.


title: Numero primo

text: Inoltre, dato un anello "A", un ideale "I" di "A" è detto "primo" se per ogni coppia "a","b" di elementi di A tali che "a"·"b" ∈ "I" almeno uno tra "a" e "b" appartiene a "I".


title: Numero primo

text: Questa definizione è molto vicina a quella degli ordinari numeri primi, tanto che nell'anello formula_62 gli ideali primi non nulli sono esattamente (2), (3), (5), ..., ovvero quelli generati dai numeri primi (più in generale, ciò avviene in ogni dominio ad ideali principali). Lo studio degli ideali primi è un punto centrale nella geometria algebrica e nella teoria algebrica dei numeri. Un'importante analogia tra numeri primi e ideali primi è dato dal fatto che nei domini di Dedekind per gli ideali vale l'analogo del teorema fondamentale dell'aritmetica.


title: Numero primo

text: Nella teoria dei gruppi, un ruolo simile a quello dei numeri primi è rivestito dai gruppi semplici. Si può dimostrare infatti che ogni gruppo finito "G" ammette una serie di composizione, cioè una serie del tipo


title: Numero primo

text: ove ogni "H" è un sottogruppo normale di "H" tale che il gruppo "H" / "H" (detto gruppo fattore della serie) sia un gruppo semplice. Il teorema di Jordan-Hölder assicura che tutte le serie di composizione per "G" hanno la stessa lunghezza "m" e gli stessi fattori di composizione, a meno di permutazioni e isomorfismi. È tuttavia da notare che gruppi diversi possono avere la stessa serie di composizione: ad esempio il gruppo ciclico formula_64 e il gruppo diedrale "D", per ogni primo "p", hanno entrambi la serie di composizione


title: Numero primo

text: In teoria dei nodi, un nodo primo è un nodo non banale che non può essere "scomposto" in due nodi più piccoli. In maniera più precisa, è un nodo che non può essere scritto come somma connessa di due nodi non banali.


title: Numero primo

text: Nel 1949 Horst Schubert dimostrò un teorema di fattorizzazione analogo al teorema fondamentale dell'aritmetica, che asserisce che ogni nodo è ottenibile in modo unico come somma connessa di alcuni nodi primi. Per questo motivo, i nodi primi hanno un ruolo centrale nella teoria dei nodi: una loro classificazione è stato da sempre il tema centrale della teoria fin dalla fine del XIX secolo.


title: Numero primo

text: In natura compaiono molti numeri, ed è quindi inevitabile che alcuni di essi siano primi. Sono tuttavia relativamente pochi gli esempi di numeri la cui presenza in natura si spieghi con la loro primalità.


title: Numero primo

text: Per la maggior parte, le stelle marine hanno 5 braccia, e 5 è un numero primo; tuttavia non è nota alcuna connessione tra questo numero di braccia e la primalità di 5. Il motivo della simmetria a 5 braccia che caratterizza la maggior parte delle stelle marine e molti altri echinodermi rimane un mistero.


title: Numero primo

text: In entomologia si trova uno dei casi in cui si suppone che un numero compaia proprio in quanto primo. Si è infatti notato che alcune specie di cicale del genere "Magicicada", che trascorrono la maggior parte delle loro vite come larve, emergono come pupe solo a intervalli di 13 o 17 anni, dopo di che si riproducono e infine muoiono dopo poche settimane. Si pensa che il motivo per cui l'intervallo di tempo è un numero primo di anni sia la difficoltà per un predatore di evolversi specializzandosi nella predazione delle "Magicicada": se infatti questi insetti apparissero dopo un numero non primo di anni, allora tutti i predatori il cui ciclo vitale fosse un divisore di quel numero avrebbero una elevata probabilità di trovare le "Magicicada". Sebbene esile, questo vantaggio evolutivo sembra essere stato sufficiente a selezionare cicale il cui periodo è di 13 o 17 anni.


title: Numero primo

text: I numeri primi hanno influenzato molti artisti e scrittori. Il compositore francese Olivier Messiaen era ossessionato da tali numeri e li utilizzò per creare musica non metrica: in opere come "La Nativité du Seigneur" (1935) o "Quatre études de rythme" (1949-50) impiegò simultaneamente motivi la cui lunghezza è un numero primo per creare ritmi imprevedibili. Secondo Messiaen questo modo di comporre era "ispirato dai movimenti dalla natura, movimenti di durate libere e disuguali". Anche nel movimento di apertura di un'altra composizione, "Quatuor pour la fin du temps", Messiaen utilizzò i numeri primi. Con l'obiettivo di dare l'idea dell'eternità, accostò infatti un tema di 17 note a un tema di 29 note. Essendo primi entrambi i numeri, i temi si ripetono insieme solo dopo 17 · 29 = 493 note. La stessa idea è stata utilizzata da Jem Finer che ha ideato un'installazione sonora che sino al 31 dicembre 2999 suonerà motivi sempre diversi.


title: Numero primo

text: I numeri primi svolgono un ruolo anche in alcuni libri. Ad esempio, nel romanzo di fantascienza "Contact" di Carl Sagan (così come nella sua versione cinematografica), i numeri primi vengono utilizzati dagli alieni per comunicare; un caso reale di uso dei primi come mezzo di comunicazione è presente nel saggio "L'uomo che scambiò sua moglie per un cappello", del neurologo Oliver Sacks, dove sono descritti due gemelli autistici che per parlarsi si scambiano primi molto elevati. Vi sono riferimenti ai numeri primi anche nel romanzo di Mark Haddon "Lo strano caso del cane ucciso a mezzanotte", in cui la numerazione dei capitoli segue la successione dei primi, e nel romanzo di Paolo Giordano "La solitudine dei numeri primi", vincitore del premio Strega nel 2008. Il romanzo "Lo zio Petros e la congettura di Goldbach" di Apostolos Doxiadis (pubblicato in italiano nel 2001) è stato trasposto per le scene da Angelo Savelli.


title: Numero primo

text: Molti film riflettono la fascinazione popolare verso i misteri dei numeri primi e della crittografia, come ad esempio "Cube - Il cubo", "I signori della truffa", "L'amore ha due facce", "A Beautiful Mind" e "La solitudine dei numeri primi".


title: Bahrein

text: Il Bahrein o Bahrain, ufficialmente Regno del Bahrein (), è un piccolo Stato situato su un arcipelago di 33 isole vicino alle coste occidentali del Golfo Persico, la cui capitale è Manama. La lingua ufficiale è l'arabo.


title: Bahrein

text: Il Bahrein, in precedenza un emirato, è diventato un regno nel 2002, costituito come monarchia costituzionale. Lo Stato è retto dalla famiglia reale Āl Khalīfa e il re è Ḥamad bin ʿĪsā Āl Khalīfa, mentre il Primo ministro è l’erede al trono Salman bin Hamad Al Khalifa.


title: Bahrein

text: Ha una superficie è di 765 km², abitata, secondo stime del 2014, da abitanti, di cui stranieri. Le acque territoriali confinano a ovest con quelle dell'Arabia Saudita e a sud con quelle del Qatar. L'isola più importante è Bahrein, che, insieme alle isole Sitrah e Muharraq, forma il nucleo più importante dell'arcipelago. Si ricordano anche le piccole isole di Nabih Saleh, il penitenziario di Jidda, Umm al-Nasan. A sud-est si estende, inoltre, l'arcipelago Hawar.


title: Bahrein

text: Noto per il suo petrolio e per le sue perle, il Bahrein è anche sede di molte grandi strutture nella sua capitale Manama, tra cui il Bahrain World Trade Center e il Bahrain Financial Harbour. Il Gran Premio di Formula 1 del Bahrein si svolge presso il Bahrain International Circuit.


title: Bahrein

text: In lingua araba, "baḥrayn" è la forma duale del sostantivo arabo "baḥr" ("mare"), perciò "al-Baḥrayn" significa "Regno dei due mari". Tuttavia, che il termine sia stato inizialmente destinato all'odierno Bahrein è oggetto di contestazione. Il termine compare cinque volte nel Corano, ma non si riferisce all'isola moderna. Originariamente "Awāl" si riferiva a delle oasi situate nell'odierna Arabia Saudita. Non è chiaro quando il termine cominciò a riferirsi esclusivamente alle isole del Bahrein, ma fu probabilmente dopo il XV secolo.


title: Bahrein

text: L'Arcipelago del Bahrein, sin dal secondo millennio a.C., è stato una tappa dei commerci fra la Mesopotamia e l'India. Fu visitato nell'antichità dal geografo macedone Archia di Pella nel IV secolo a.C., che riferisce che l'isola di Tylos si trovava a un giorno e una notte di navigazione dalla foce dell'Eufrate. All'inizio dell'età moderna le isole Awāl appartenevano alla provincia del Bahrein insieme alla costa araba del Golfo Persico.


title: Bahrein

text: In Bahrein trovarono rifugio nell'899 i Carmati, che organizzarono colà una loro propria entità statuale.


title: Bahrein

text: I Carmati, chiamati "Fruttivendoli" ("al-Baqliyya") per le loro abitudini alimentari strettamente vegetariane, erano un gruppo ismailita millenarista stanziato anche nell'Arabia orientale (al-Hasa).


title: Bahrein

text: Nel 1521 le isole furono conquistate dai Portoghesi, e la loro storia si separò da quella della terraferma araba. Da questo momento l'espressione Bahrein cominciò ad indicare solamente le isole (in precedenza Awāl), mentre la costa fra Kuwait e Qaṭar fu chiamata al-Hasa.


title: Bahrein

text: Nel 1602 i Portoghesi furono cacciati da una rivolta e il Bahrein divenne una dipendenza diretta della Persia. Fra il 1717 ed il 1735, a causa del collasso della dinastia safavide in Persia, l'arcipelago si sottrasse al dominio persiano e rimase indipendente sotto la tribù Huwala. Nel 1736 la nuova dinastia persiana dei Cagiari riconquistò il Bahrein e nel 1753 ne divennero governatori ereditari, sotto sovranità persiana, i membri della dinastia Āl Madhkur.


title: Bahrein

text: Nel 1783 il Bahrein insieme al Qatar, sotto la guida della tribù Banū Uṭub, si ribellò agli Āl Makhtūr e divenne definitivamente indipendente dai Persiani. L'indipendenza fu tuttavia breve e l'arcipelago fu conquistato dal sultanato di Oman, allora al suo apogeo, nel 1802.


title: Bahrein

text: Nel 1822 una nuova rivolta, capitanata questa volta dalla famiglia degli Āl Khalīfa, ripristinò l'indipendenza dello Stato. In questo periodo vennero stipulati dei trattati con la Gran Bretagna in base ai quali il Bahrein rinunciava alla pirateria ed in cambio la Gran Bretagna s'impegnava a difenderne l'indipendenza da eventuali aggressioni esterne (plausibilmente omanite e saudite). Tuttavia non si trattava ancora di un vero protettorato.


title: Bahrein

text: Nel 1869 gli Ottomani estesero il loro dominio lungo la costa araba del Golfo Persico e, con la mediazione britannica, ottennero che il Bahrein si riconoscesse formalmente loro vassallo.


title: Bahrein

text: Con il collasso dell'Impero ottomano, nel 1916 il Bahrein divenne un protettorato britannico e lo rimase fino al 1971. Questa è la data della definitiva indipendenza del Bahrein.


title: Bahrein

text: L'orientamento politico interno è improntato a un fondamentalismo islamico analogo a quello dell'Arabia Saudita. Il Bahrein ha concesso una base navale agli Stati Uniti per dimostrare la sua politica filo occidentale. Il suo assetto istituzionale, che era disciplinato dalla Costituzione del 1973, il 27 agosto 1975 venne "sospeso temporaneamente".


title: Bahrein

text: Il 14 febbraio 2011 avvenne la cosiddetta insurrezione del Bahrein, anche nota come "Rivolta del 14 febbraio" e "Rivolta delle Perle": la maggior parte delle fonti si riferisce spesso a ad essa come una rivolta: iniziano così le Sommosse popolari in Bahrein del 2011-2014. Nel marzo del 2011, l'attuale Re del Bahrein, Ḥāmad b. ʿĪsā Āl Khalīfa, dichiara uno stato di emergenza della durata di tre mesi a seguito di richieste della maggioranza sciita, presente nel Paese. Numerosi gli scontri e i feriti: 200 feriti, 3 morti (tra cui anche un poliziotto). Lo scontro mobilita le due compagini religiose: sciiti e sunniti. I primi sono appoggiati dall'Iran e si localizzano principalmente nell'isola di Sitrah, viceversa i secondi hanno l'appoggio dell'Arabia Saudita.


title: Bahrein

text: Comunque il processo rivoluzionario, tuttora in corso, non ha un carattere esclusivamente confessionale, l'opposizione infatti chiede riforme di carattere economico, sociale e soprattutto politico-costituzionale e relative alle libertà civili.


title: Bahrein

text: Non vi è nei movimenti rivoluzionari (pur composti in prevalenza da sciiti) alcun senso di solidarietà con l'Iran, che anzi sarebbe probabilmente danneggiato, a livello di possibile contagio rivoluzionario, dalla nascita di una monarchia costituzionale su modello europeo o da una repubblica democratica, dalla popolazione sciita, a così poca distanza dalle sue coste.


title: Bahrein

text: Si tratta di un piccolo arcipelago situato nel golfo Persico, nell'insenatura formata dalla penisola del Qatar. Composto da 33 isole, molte di esse per caratteristiche morfologiche e ambientali risultano inabitabili, seguita dall'arcipelago di Hawar, vicino alle coste del Qatar e conteso territorialmente con quest'ultimo, e dall'isola di Muharraq.


title: Bahrein

text: Il maggior rilievo è alto 122 metri, mentre il resto delle isole è caratterizzato da pianure desertiche.


title: Bahrein

text: Le estati sono molto calde (si arriva a ) mentre le piogge sono scarsissime (meno di annui). Si ritrovano palme da datteri.


title: Bahrein

text: È bagnato a nord e a est dal Golfo Persico e a sud e a ovest dal Golfo del Bahrein. Non ci sono corsi d'acqua o laghi di rilievo.


title: Bahrein

text: La popolazione del Bahrein è di abitanti. La popolazione urbana è pari al 92,5%. Le città principali sono Madinat Hamad ( abitanti), Manama, la capitale (), Riffa () e Al Muharraq ().


title: Bahrein

text: La popolazione del Bahrein è composta per il 60% da bahreiniti, il restante 40% è rappresentato da immigrati, per lo più di provenienza asiatica.


title: Bahrein

text: La lingua ufficiale del Regno è l'arabo. L'inglese è molto diffuso. Inoltre gli abitanti locali parlano anche un particolare dialetto arabo (il bahreinita). Tra gli immigrati sono diffusi l'hindi, l'urdu e il tagalog.


title: Bahrein

text: Secondo il censimento del 2001, l'80% della popolazione è composta da musulmani, il 65-75% dei quali di orientamento sciita e 35-25 sunnita, il 10% da cristiani ed il restante 10% pratica altre religioni. Nel paese vi è anche una piccolissima comunità ebraica.


title: Bahrein

text: Il Bahrein è una monarchia costituzionale; il sovrano è Ḥamād b. ʿĪsā Āl Khalīfa. Il Primo ministro, attualmente l’erede al trono Salman bin Hamad Al Khalifa, presiede un gabinetto di ventitré membri. Il Bahrein ha un parlamento composto da due camere, una bassa, il "Majlis al-nuwāb" ("Consiglio dei Rappresentanti"), eletta a suffragio universale, ed una camera alta di nomina regia, il "Majlis al-shūra" ("Consiglio Consultivo"). La Costituzione del Bahrein è del 14 febbraio 2002.


title: Bahrein

text: Dal settembre 2014 Bahrein è diviso in quattro governatorati ("muḥāfaẓa"), in precedenza erano cinque:1. Capitale2. Centrale (abolito nel settembre 2014, il suo territorio spartito tra i governatorati Settentrionale, Meridionale e della Capitale)3. Muharraq4. Settentrionale5. Meridionale


title: Bahrein

text: L'importanza e la ricchezza di questo piccolo Stato arabo sono dovute ai consistenti giacimenti petroliferi. La vendita e la raffinazione del petrolio estratto sono la principale fonte di reddito per il paese.


title: Bahrein

text: Iran e Bahrein hanno firmato un memorandum d'intesa nel 2008, secondo il quale il Bahrein importerebbe 1 miliardo di metri cubi di gas naturale dall'Iran ogni anno. Era stato previsto che l'accordo entrasse in vigore nel 2015. Il governo del Bahrein ha annunciato nel febbraio 2009 l'annullamento dei colloqui con i rappresentanti del governo iraniano per l'importazione di gas naturale. I dirigenti del Bahrein sono stati offesi da osservazioni fatte da un consulente del leader supremo iraniano, l'ayatollah Ali Khamenei, il quale ha affermato come il Bahrein in passato facesse parte dell'Iran.


title: Bahrein

text: Bahrein era considerato un "paradiso fiscale". Il sistema fiscale italiano, col Decreto Ministeriale del 4 maggio 1999, l'ha inserita tra gli Stati o Territori aventi un regime fiscale privilegiato, nella cosiddetta Lista nera, ponendo quindi limitazioni fiscali ai rapporti economico commerciali che si intrattengono tra le aziende italiane e i soggetti ubicati in tale territorio. Nel 2012 a seguito di aggiornamento il Paese si è poi conformato agli standard internazionali ed è stato quindi rimosso dalla lista.


title: Bahrein

text: Si distingue la figura del poeta Ali Al Jallawi (1975-), che oltre alla poesia si è dedicato alle comunità e alle minoranze del Bahrein.


title: Bahrein

text: Per quanto concerne il campo musicale nel XXI secolo si è distinta la cantante e pop star Hala Al Turk . Altra cantante nota di musica pop è Ahlam. Un gruppo musicale di genere rock progressivo è costituito dagli Osiris.


title: Bahrein

text: Il Bahrein può vantare la presenza di tre suoi beni inseriti nella Lista dei patrimoni dell'umanità dell'UNESCO:


title: Bahrein

text: Dal 2004 in Bahrein si svolge il Gran Premio di Formula 1 nel Circuito "Sakhir" di Manama (nome ufficiale "Bahrain International Circuit"), costruito nel deserto a 25 km a sud della capitale Manama. Nel 2011, a causa del conflitto civile in atto nel Paese, il Gran Premio che avrebbe dato inizio alla stagione il 13 marzo, è stato annullato.


title: Bahrein

text: La nazionale di calcio del Bahrein non è riuscita a qualificarsi per i Mondiali di calcio 2006 per poco, venendo sconfitta negli spareggi da Trinidad e Tobago, dopo un doppio confronto emozionante contro l'Arabia Saudita.Stessa sorte è capitata nelle qualificazioni ai Mondiali di calcio 2010, quando è stata eliminata nella gara di spareggio contro la Nuova Zelanda, dopo aver pareggiato 0-0 la gara di andata in casa, è arrivata la sconfitta in trasferta per 1-0. Nel 2019 ha vinto la Coppa delle Nazioni del Golfo battendo in finale la nazionale dell'Arabia Saudita per 1-0.


title: Bahrein

text: Dal 2011 vi si svolge il Volvo Golf Champions, torneo di golf che dal 2012 ha un field riservato unicamente ai vincitori dello European Tour dell'anno precedente.


title: Bahrein

text: Nella disciplina dell'atletica leggera ottimi risultati in campo internazionale sono stati raggiunti per il Bahrein da Maryam Yusuf Jamal, campionessa del mondo nei 1500m a Osaka 2007 e a Berlino 2009.


title: Bahrein

text: La prima medaglia d'oro olimpica (e prima medaglia olimpica per il Bahrein) venne dall'atletica leggera con Maryam Yusuf Jamal, nei 1500 metri piani, ai Giochi olimpici di Londra 2012.


title: Douglas Costa

text: Nasce come attaccante, ruolo interpretato nello , ma col tempo si è adattato al ruolo di esterno offensivo. Vanta eccellenti doti tecniche, specie nell'uno contro uno, nonché dotato di grande velocità (palla al piede raggiunge una velocità di circa 35 km/h), accelerazione e imprevedibilità; caratteristiche che gli hanno valso il soprannome di "Flash" (in assonanza con l'omonimo supereroe).


title: Douglas Costa

text: La sua principale caratteristica è la duttilità: impiegabile sia sulla fascia destra che sinistra, sa destreggiarsi in qualunque modulo offensivo; predilige giocare sulla fascia destra per poter rientrare sul suo piede naturale, essendo mancino, ma è efficace anche a sinistra, in quanto dotato di un ottimo cross che lo ha reso negli anni uno dei migliori rifinitori della Bundesliga. Mostra grandi doti sia con l'interno che con l'esterno del mancino, e soprattutto la capacità di andare facilmente al tiro con entrambi i piedi.


title: Douglas Costa

text: Nel 2010 è stato inserito nella lista dei migliori calciatori nati dopo il 1989 stilata da "Don Balón".


title: Douglas Costa

text: Muove i primi passi nella sezione giovanile del , prima di passare al nel 2002. Esordisce in prima squadra il 4 ottobre 2008 nel match contro il , andando subito in gol.


title: Douglas Costa

text: Nel gennaio 2010 approda in Europa accasandosi agli ucraini dello , a fronte di un esborso di 5 milioni di dollari. Con la squadra di Donetsk vince il campionato 2009-2010 giocando 13 partite mettendo a segno 5 gol. Nella stagione successiva debutta anche in Champions League nell'1-0 casalingo contro il ; segna la sua prima rete nella competizione il 28 settembre 2010, nella vittoria esterna contro lo , siglando su calcio di rigore il definitivo 3-0.


title: Douglas Costa

text: Il 20 luglio 2014, dopo aver disputato ad Annecy una partita amichevole con l', assieme ai connazionali Fred, Dentinho, Alex Teixeira e Facundo Ferreyra si rifiuta di tornare in Ucraina, in seguito all'aggravarsi del conflitto bellico nell'Est del paese tra l'esercito ucraino e i separatisti filorussi, sfociato dopo Euromaidan.


title: Douglas Costa

text: Nell'estate 2015 viene acquistato dai tedeschi del per 30 milioni di euro. Fa il suo esordio con la nuova squadra nella partita di Supercoppa persa ai rigori contro il . Segna il suo primo gol con la maglia bavarese durante la partita d'esordio in Bundesliga, vinta 5-0 contro l'. Il 29 settembre segna la sua prima rete in Champions League con i "Roten", ai danni della , partita vinta 5-0. In due anni, ha contribuito alla vittoria per il club tedesco di 2 campionati, 1 Coppa e 1 Supercoppa tedesca.


title: Douglas Costa

text: Dopo due stagioni a Monaco di Baviera, nell'estate 2017 passa in prestito per 6 milioni di euro alla . Debutta in Serie A alla prima giornata nella vittoria per 3-0 contro il , subentrando al 74' a Cuadrado: va per la prima volta in rete con la maglia bianconera nella sconfitta interna per 1-2 contro la , segnando la rete del momentaneo vantaggio. Dopo un avvio in sordina, nel corso dell'annata il brasiliano emerge tra i maggiori punti di forza della squadra torinese e, contestualmente, tra i migliori calciatori del campionato. Il 9 maggio 2018 sigla il momentaneo raddoppio nella vittoriosa finale di Coppa Italia contro i rivali del (4-0), vincendo il suo primo trofeo in bianconero. Al termine della stagione, dopo la conquista del suo primo Scudetto, viene riscattato dal club torinese per 40 milioni di euro.


title: Douglas Costa

text: Inizia l'annata 2018-2019 quale pedina importante nello scacchiere di Massimiliano Allegri, ma, in occasione nella vittoriosa gara interna di campionato contro il (2-1) del 16 settembre, si macchia di uno sputo al neroverde Di Francesco, al culmine di un prolungato screzio tra i due: l'episodio costa al brasiliano l'espulsione e 4 giornate di squalifica. Dopo il suo rientro, il brasiliano non riesce a ripetersi sui livelli della stagione precedente, anche per via di numerosi guai fisici e comportamentali, segnando un solo gol stagionale in un'annata in cui comunque mette in bacheca la Supercoppa italiana e il secondo titolo italiano.


title: Douglas Costa

text: Anche la stagione seguente si rivela piuttosto tormentata sul piano fisico per Costa, il quale tuttavia riesce a essere decisivo nel girone di Champions League segnando in pieno recupero il gol-vittoria in casa della il 6 novembre 2019, che consente alla squadra bianconera, nel frattempo passata in mano a Maurizio Sarri, la qualificazione agli ottavi di finale con due gare di anticipo. In un campionato difficile soprattutto per ragioni extrasportive, drammaticamente segnato dalla pandemia di COVID-19 che dilata a dismisura i calendari, il brasiliano dà comunque il suo contributo alla vittoria dello Scudetto, il terzo consecutivo per lui; si segnala per il gol realizzato il 30 giugno 2020 sul campo del , tra i più belli dell'annata.


title: Douglas Costa

text: Comincia la stagione 2020-2021 a Torino prima di fare ritorno in prestito, nell'ottobre seguente, al . In Baviera vince il mondiale per club e il titolo nazionale; tuttavia, è l'ennesima stagione sfortunata sul piano fisico per l'esterno, impiegato marginalmente e costretto a chiudere già in febbraio l'annata per un infortunio al metatarso al piede destro.


title: Douglas Costa

text: Liberato dal club tedesco a fine stagione, nel maggio 2021 il brasiliano ritorna in patria, dirottato dalla Juventus ancora in prestito, stavolta al , club nel quale era cresciuto calcisticamente. La sua seconda esperienza in maglia "Tricolor" è tuttavia negativa e si conclude nel dicembre 2021 con la retrocessione della squadra nella seconda divisione brasiliana.


title: Douglas Costa

text: Chiusa anticipatamente l'esperienza a Porto Alegre e non rientrando più nei piani della Juventus, il 10 febbraio 2022 si accasa in prestito al , deputato a "designated player" della franchigia nordamericana.


title: Douglas Costa

text: Nel 2009 partecipa al Mondiale Under-20 con il Brasile, raggiungendo il secondo posto. Il 12 novembre 2014 fa il suo esordio con la nazionale maggiore, in occasione di un'amichevole contro la .


title: Douglas Costa

text: Convocato per la Copa América 2015, realizza nella fase a gironi contro il il primo gol con i verdeoro. Nel 2016 viene selezionato per partecipare alla Copa América Centenario e ai Giochi olimpici, ma in entrambi i casi non può rispondere alla convocazione per infortunio, venendo sostituito rispettivamente da Kaká e Renato Augusto.


title: Douglas Costa

text: Viene incluso dal CT Tite tra i convocati della "Seleção" per il , manifestazione nella quale fa il suo esordio il 22 giugno in occasione della vittoriosa gara della fase a gironi contro la (2-0); nonostante un infortunio incappato nella suddetta gara, che ne pregiudica l'impiego nel prosieguo del torneo, l'esterno emerge comunque tra gli elementi migliori di una deludente spedizione brasiliana che chiude la rassegna iridata ai quarti di finale, estromessa dal .


title: Costante dei gas

text: La costante dei gas (o costante universale dei gas), simboleggiata dalla lettera formula_1 è una costante che mette in relazione la pressione formula_2, la temperatura formula_3 (espressa in kelvin), il volume formula_4 e la quantità di sostanza formula_5, secondo l'equazione:


title: Costante dei gas

text: nota come "equazione di stato dei gas perfetti" in quanto riferita a un ipotetico gas ideale, composto da sole particelle puntiformi prive di interazioni attrattive o repulsive tra loro. R rappresenta il lavoro che formula_7 mole di gas compie quando si espande in seguito all'aumento di temperatura pari a formula_7 kelvin a pressione formula_2 costante.


title: Costante dei gas

text: Il valore esatto è calcolato usando la costante di Boltzmann (dove formula_10 è la costante di Avogadro):


title: Costante dei gas

text: Dall'equazione di stato, mantenendo costanti la temperatura, la pressione o il volume si ottengono le equazioni empiriche sviluppate da Boyle, Charles e Gay-Lussac (rispettivamente per le trasformazioni isoterme, isobare e isocore).


title: Costante dei gas

text: La costante dei gas specifica sia per un gas sia per una miscela di gas (formula_12) è data dalla costante universale dei gas R divisa per la massa molare del gas o della miscela di gas (mm):


title: Costante dei gas

text: dove con formula_15 si è indicata la densità. È comune rappresentare la costante dei gas specifica con il simbolo formula_1. In questi casi il contesto o le unità di misura di formula_1 dovrebbero chiarire a quale delle sue costanti si faccia riferimento. Per esempio l'equazione della velocità del suono in un gas è usualmente scritta in termini della costante specifica.


title: Costantino della Gherardesca

text: Conosciuto in particolare per la sua partecipazione come opinionista a spettacoli televisivi condotti da Piero Chiambretti, oltre alla conduzione televisiva di "Pechino Express" a partire dal 2013.


title: Costantino della Gherardesca

text: Figlio del borghese Alvin Verecondi Scortecci e di Costanza della Gherardesca (1939-2022), pur discendendo solo per via materna dalla famiglia aristocratica toscana, porta il cognome della madre perché riconosciuto solo all'età di 5 anni dal padre, il cui cognome aggiungerà successivamente.


title: Costantino della Gherardesca

text: Laureato in filosofia al King's College London, entra nel mondo dello spettacolo a inizio degli anni 2000.


title: Costantino della Gherardesca

text: Inizia a lavorare in televisione nel 2001 nel programma "Chiambretti c'è" in onda Rai 2. L'anno successivo inizia a collaborare con il quotidiano "l'Indipendente" sotto la direzione di Giordano Bruno Guerri, curando la rubrica "Bile Blu". Contemporaneamente inizia anche a collaborare con il sito web Dagospia. In seguito prende parte al programma di LA7 "Prontochiambretti" con una rubrica sul pensiero dei giovani. Dal 2004 partecipa da Milano a "Markette - Tutto fa brodo in TV" per il quale dà vita, oltre a quella del "lettore" di tarocchi, a una galleria di personaggi tra cui quello di "Maga Maghella" nella seconda e nella terza stagione, per il quale si ispira al film "Quinto potere" di Sidney Lumet, dell"omosessuologo Kinsey" e quello di "Cervellopoli". Come "Maga Maghella" della Gherardesca cura una rubrica giornalista sul settimanale "Vanity Fair". Fra le altre partecipazioni televisive vi è quella di aprile 2006 al programma di Italia 1 "Colorado Cafè" con Diego Abatantuono. Nel contempo continua la collaborazione in qualità di giornalista a varie testate, tra cui il mensile "Rolling Stone", per il quale intervista tra gli altri Bobby Beausoleil, collaboratore di Kenneth Anger. Nel 2005 è inviato per il settimanale di costume e cultura "Galatea" su Rai 2 tenendo anche una rubrica settimanale di critica televisiva per l'emittente Radio Città Futura intitolata "Videodrome", riferimento all'omonimo film di David Cronenberg del 1983. Nel 2007 Della Gherardesca fa parte del "cast" del programma di Fabio Canino "TG Show" in onda su Sky Show, per il quale interpreta, scrivendone i testi con Michele De Pirro, gli "sketch" del personaggio di una cinica guardia svizzera.


title: Costantino della Gherardesca

text: Nell'estate dello stesso anno presenta a Torre del Lago la nona edizione del Friendly Versilia - Festival Citroen Mardi Gras organizzato dal portale web Gay.it. Durante la manifestazione crea un nuovo personaggio satirico modellato sulla figura di Camilla Parker-Bowles. Con il patron e autore Giorgio Bozzo scrive uno speciale televisivo per Sky Vivo sul "Mardi Gras" in onda il 14 settembre 2007 e, sempre nella stagione televisiva 2007-2008 partecipa a "L'Italia sul 2" come opinionista sulle vicende dei naufraghi de "L'isola dei famosi" e a "Ciao Darwin" di Canale 5. Dall'inizio del 2008 cura la rubrica "Alternative TV" che tratta di televisione e musica trasmessa in video sulla rivista "Rolling Stone". Un'analoga rubrica settimanale di critica televisiva è sviluppata poi dall'artista sul quotidiano DNews. Sempre dal 2008 è co-conduttore, assieme a Federico Bernocchi, di "Dispenser", programma radiofonico quotidiano di Rai Radio 2. Collabora anche con Vogue.it e con la rivista Vice, per cui ha anche intervistato lo stilista Stefano Pilati e il musicista sperimentale James Ferraro. Dal 2009 partecipa alla trasmissione "Chiambretti Night "in onda su Italia 1. Il 23 aprile 2010 partecipa ancora una volta a "Ciao Darwin" come capitano della squadra della nobiltà, contrapposto alla squadra della miseria; nel 2007 capitanò i gay contro gli etero. Nel 2011 partecipa a "ExtraFactor" su Sky Uno in veste di opinionista. L'anno successivo affianca la top model Eva Riccobono nella trasmissione a divulgazione scientifica "Eva", su Rai 2. Sempre nel 2012 prende parte, in veste di giudice insieme a Tommy Vee e a Cristina Poi, al talent show "Born to mix" condotto da Diego Passoni, andato in onda il sabato sera in prima serata su Deejay Tv.