title: Fiat Marea

text: Nel 2000 tutte le motorizzazioni vennero adeguate alle normative Euro 3 e il logo esterno a "cinque barre" sostituito con il nuovo emblema Fiat tondo a fondo blu, introdotto l'anno prima con la commercializzazione della seconda serie di Punto. I motori a benzina 1.6 16V, 1.8 16V e 2.0 20V furono ridenominati 100 16V, 115 16V e 155 20V (quest'ultimo fu potenziato da 147 Cv a 154 Cv) mentre il TD125 venne sostituito dal 2.4 JTD130, con iniezione diretta, 131 Cv. Nel 2002, 1.9 JTD105 fu portato a 110 cavalli e ridenominato JTD 100: ad esso, in alcuni mercati non italiani, si affiancò successivamente anche una variante da 100 cavalli.


title: Fiat Marea

text: La produzione in Italia cessò nel novembre del 2002 senza lasciare eredi diretti per quanto riguarda la berlina e lasciando il posto alla Stilo S.W. per quanto riguarda la Weekend; la linea di produzione trasferita in Turchia dove la vettura venne prodotta (dalla Tofaş) dal dicembre del 2002 per altri 3 anni successivi con alcune delle motorizzazioni della produzione italiana per essere sostituita dalla Fiat Linea nel 2006, che però non fu mai venduta in Italia.


title: Fiat Marea

text: In Sud America la vettura debuttò nel 1998 in entrambe le varianti (berlina 4 porte e wagon) e rimase in listino fino al 2007. Le principali modifiche riguardavano i motori disponibili solo a "gasolina" (benzina+alcool) nelle versioni più potenti e in allestimenti caratterizzati da una ricca dotazione di serie. Il motore più piccolo in listino risultava un 2 litri, 20 valvole per 5 cilindri depotenziato a 129 cavalli mentre il più grande era una versione turbocompressa dell'analogo motore dotata di 182 cavalli. Tale propulsore era disponibile anche per la versione WeekEnd. La Marea americana veniva assemblata presso gli stabilimenti della filiale brasiliana di Fiat Auto.


title: Fiat Marea

text: Nel 2001 la Marea brasiliana venne aggiornata nella linea grazie all'adozione di una nuova fanaleria posteriore simile a quella adottata dalla Lancia Lybra mentre tra i propulsori entrarono in listino dei motori base da 1,6 e 1,8 litri derivati dalle unità prodotte in Italia e un più grande 2,4 litri benzina da 160 cavalli. Rinnovato anche il marchio Fiat ora rotondo a sfondo blu.


title: Fiat Marea

text: Con il 2004 guadagnò una mascherina frontale rinnovata di colore argento e nuovi rivestimenti interni per concludere la carriera nel 2007 sostituita dalla Linea. Nell'ultimo anno di produzione le Marea erano dotate del marchio Fiat a sfondo rosso debuttato in contemporanea sui nuovi modelli europei quali la Bravo e la 500.


title: Fiat Marea

text: I motori 1.2 16V facenti parte della famiglia Fire e 1.4 12V (della "Famiglia B", prodotto dalla FMA di Pratola Serra) vennero montati solo per le versioni vendute alle società di autonoleggio e per alcuni mercati, come Grecia e Portogallo.


title: Fiat Marea

text: Nell'estate del 2008 una Fiat Marea Weekend 1.6 16V del 1999 alimentata a GPL è stata protagonista di una singolare impresa sportiva, la traversata da Torino a Pechino andata e ritorno, unendo la città che aveva ospitato le Olimpiadi invernali 2006 e quella che, durante l'arrivo dell'equipaggio, avrebbe ospitato le Olimpiadi 2008.


title: Fiat Marea

text: L'auto, guidata dagli italiani Guido Guerrini, Andrea Gnaldi Coleschi e Nicola Dini, ha percorso 25.852 chilometri in 78 giorni attraversando diciassette Paesi.


title: Edoardo V d'Inghilterra

text: Edoardo nacque nel monastero annesso all'abbazia di Westminster mentre suo padre stava lottando per sconfiggere Enrico VI nella Guerra delle due rose.


title: Edoardo V d'Inghilterra

text: Dopo la battaglia di Tewkesbury del 4 maggio 1471, suo padre Edoardo IV riconquistò la corona e Edoardo, circa due mesi dopo, venne nominato Principe di Galles (titolo riservato agli eredi al trono nella Corona inglese).


title: Edoardo V d'Inghilterra

text: Nel 1480 Edoardo venne fidanzato ad Anna, unica figlia ed erede di Francesco II, duca di Bretagna. Ma tale progetto terminò con la scomparsa del principe.


title: Edoardo V d'Inghilterra

text: Ai primi di aprile del 1483, Edoardo IV, sul letto di morte, istituì un Consiglio di Reggenza che aiutasse il suo figlio ed erede: a capo del Consiglio pose suo fratello Riccardo di Gloucester (nominato Lord Protettore d'Inghilterra) ed esso comprendeva la regina ed i suoi parenti.


title: Edoardo V d'Inghilterra

text: Costoro erano odiati da gran parte della nobiltà a causa dell'avidità di cui avevano dato prova durante il regno della sorella: nulla avevano lasciato di intentato per depredare il tesoro regio ed ottenere feudi e titoli. Ora, con un re così giovane e quindi debole, si temeva che avrebbero continuato, portando l'Inghilterra alla rovina.


title: Edoardo V d'Inghilterra

text: Alla morte del padre (9 aprile 1483), Edoardo risiedeva ancora nel castello di Ludlow, in Galles, dove era stato mandato con lo zio materno Antonio Woodville, conte di Rivers, fin dall'età di due anni. Riccardo di Gloucester fu informato della morte del re Edoardo IV suo fratello e di essere stato da lui nominato Lord Protettore da William Hastings, non dalla regina vedova, che cercò invece di anticipare l'arrivo di Edoardo nella capitale incaricando il fratello lord Rivers e uno dei due figli di primo letto, Richard Grey, di portare al più presto il giovane re a Londra. Nonostante Rivers viaggiasse con una scorta di 2000 soldati, Gloucester, con l'aiuto del cugino Enrico Stafford duca di Buckingham, riuscì a raggiungere il nipote a Stony Stratford, assumendo così il Protettorato e scortando personalmente l'erede al trono a Londra. I parenti della regina vennero arrestati per ordine del Lord Protettore. Rinchiusi nella prigione di Pontefract (detta anche Pomfret), vennero decapitati, con l'accusa di aver tramato contro il Lord Protettore, il 25 giugno 1483.


title: Edoardo V d'Inghilterra

text: La regina e l'altro figlio di primo letto, Thomas Grey marchese di Dorset, riuscirono a scappare, non senza aver prima sottratto il tesoro reale, insieme al giovane Riccardo di York e alle altre figlie di Edoardo IV, chiedendo asilo all'abbazia di Westminster, che godeva dell'inviolabilità in quanto luogo sacro.


title: Edoardo V d'Inghilterra

text: Edoardo V, dodicenne, fu inizialmente alloggiato presso l'abitazione del vescovo Lincoln; il Consiglio propose poi di trasferirlo negli alloggi reali della Torre in attesa dell'incoronazione fissata per il 22 giugno, come era tradizione per i monarchi. Il fratello Riccardo, di 10 anni, fu rilasciato dalla madre il 16 giugno e venne preso in custodia dall'Arcivescovo di Canterbury e da Lord Howard, scortati da soldati della guardia reale arrivati su 8 barconi, per essere portato negli alloggi del fratello maggiore. Prima dell'attesa incoronazione, però, Robert Stillington, vescovo di Bath, rivelò che Edoardo IV prima di incontrare Elisabeth Woodville aveva precontratto matrimonio con un'altra donna, Elisabeth Butler, figlia di Lord Talbot conte di Shrewsbury. Per il codice canonico dell'epoca, quindi, il successivo matrimonio con Elisabeth Woodville era nullo ed i figli illegittimi, esclusi dai diritti ereditari e di successione al trono. L'incoronazione del giovane Edoardo venne cancellata e il 22 giugno i figli di Edoardo furono dichiarati illegittimi pubblicamente durante un sermone tenutosi nella piazza antistante la chiesa di St. Paul; il 25 giugno l'assemblea dei Lord e dei 3 stati del regno sottoscrisse una petizione per chiedere a Riccardo di Gloucester di accettare il trono. Riccardo venne incoronato il 6 luglio e partì per un viaggio ufficiale attraverso il regno, da cui rientrò solo all'inizio dell'autunno. Dopo l'agosto del 1483 i due giovani fratelli non vennero più visti giocare insieme nei giardini della Torre e con la rivolta del duca di Buckingham nell'ottobre cominciò a circolare la voce che erano stati uccisi per ordine di Riccardo III. Nacque così la leggenda dei Principi nella Torre.


title: Edoardo V d'Inghilterra

text: Appena il re e suo fratello Riccardo furono entrambi nella Torre, furono rese pubbliche le affermazioni di Robert Stillington, vescovo di Bath, che testimoniò al Parlamento di avere presieduto alla cerimonia di fidanzamento tra il defunto Edoardo IV e lady Eleanor Talbot, figlia del conte di Shrewsbury (pure lei deceduta), cerimonia avvenuta poco prima delle nozze tra Edoardo IV ed Elizabeth Woodville. Ai tempi, secondo il diritto canonico, il fidanzamento equivaleva al matrimonio: il matrimonio tra il re e la Woodville era quindi illegittimo, ed illegittimi i loro figli. Con un atto chiamato "Titulus Regius", il 9 luglio 1483 costoro vennero dichiarati decaduti da ogni diritto alla corona ed Edoardo V perse il trono. Ovviamente ora lo scettro spettava al loro zio, Riccardo, duca di Gloucester, che si fece incoronare, dietro petizione del Parlamento, col nome di Riccardo III.


title: Edoardo V d'Inghilterra

text: Secondo la tradizione si ignora la data di morte di Edoardo, così come la causa. Nel 1674, durante lavori di ristrutturazione nella Torre di Londra, ai piedi di una scala nella White Tower alcuni muratori trovarono una cassa in metallo contenente due scheletri apparentemente di bambini, uno un poco più grande dell'altro: si ritenne che fossero stati ritrovati i corpi degli sfortunati principi. Per volere di Carlo II, commosso dalla loro sventura, essi vennero sepolti con tutti gli onori nell'abbazia di Westminster, mentre Edoardo IV e Elisabeth Woodville sono sepolti nella cappella di San Giorgio nel castello di Windsor.


title: Edoardo V d'Inghilterra

text: In realtà la sorte dei principi nella Torre, e in particolare del fratello di Edoardo, il giovane Riccardo, è molto dibattuta tra gli storici moderni. Durante il regno di Enrico VII Tudor, il nuovo re fu contestato da un giovane che per la prima volta nel 1490 alla corte della, a sua detta, zia Margherita York duchessa di Borgogna affermò ufficialmente di essere Riccardo duca di York, figlio minore di Edoardo IV. Il giovane venne riconosciuto come Riccardo di York dai principali sovrani europei e il re di Scozia che lo ospitò e finanziò per diverso tempo gli diede in sposa una sua cugina. Dopo diversi tentativi di spodestare il re Tudor, il suo esercito fu sconfitto a Taunton il 4 ottobre 1497, il giovane fu catturato e costretto sotto tortura a firmare una confessione in cui affermava di non essere Riccardo, bensì un impostore di nome Perkin Warbeck. Diversi elementi documentali, emersi anche negli archivi europei dove la censura Tudor non aveva modo di arrivare, oltre al fatto che alla moglie del re, Elisabetta di York, e alle sue sorelle non fu mai permesso di vedere il giovane che fino a prima della cattura affermava di essere loro fratello, gettano dubbi sulla versione dell'impostore fatta circolare dal re Enrico VII Tudor, che lo fece giustiziare il 23 novembre 1499 dopo che aveva tentato di fuggire dalla Torre insieme a Edoardo conte di Warwick, figlio di Giorgio di Clarence.


title: Javi Martínez

text: Nato calcisticamente come centrocampista difensivo, all' con l'approdo di Marcelo Bielsa è stato trasformato in difensore centrale con ottimi risultati. Anche Josep Guardiola al Bayern Monaco lo ha riproposto nel ruolo più arretrato.


title: Javi Martínez

text: Indicato come una delle giovani promesse del calcio spagnolo, nel 2006 fu strappato dall'Athletic Club ai "cugini" dell' per una cifra considerevole (circa sei milioni di euro), vista la giovane età del calciatore al momento del trasferimento (nemmeno 18 anni). Dopo una stagione da titolare nell'Osasuna B, squadra di categoria inferiore affiliata alla società di Pamplona, venne acquistato dai "rojiblancos" su consiglio dell'ex giocatore di Osasuna e Athletic Bilbao Josè ""Kuko"" Ziganda, che lo paragonò al centrocampista francese Patrick Vieira, dicendosi pronto a scommettere su un futuro radioso del giovane centrocampista.


title: Javi Martínez

text: Entrato nelle file dell'Athletic Bilbao dalla stagione 2006/07, venne subito promosso titolare. Il suo debutto nella Liga spagnola è infatti datato 27 agosto 2006 nella prima partita di campionato, il "derby" tra Athletic Club e , terminato 1-1. Segna il suo primo gol alla terza giornata, il 17 settembre dello stesso anno, nella partita Athletic Club- 1-4. In breve diventa un pilastro inamovibile della formazione basca, come testimoniano le 170 presenze in cinque campionati.


title: Javi Martínez

text: Nella notte del 29 agosto 2012 sostiene a Monaco le visite mediche per il passaggio al per 40 milioni di euro, aggiudicandosi così il titolo di calciatore più caro in assoluto nella storia della Bundesliga (primato poi superato da Corentin Tolisso nel 2017). Martínez debutta con la maglia bavarese il 2 settembre 2012, giorno del suo ventiquattresimo compleanno, sostituendo Schweinsteiger nel 6-1 casalingo contro lo . Segna poi la prima rete nel massimo campionato tedesco il 24 novembre, nella vittoria per 5-0 contro l'.


title: Javi Martínez

text: Il 6 aprile 2013 vince la sua prima Bundesliga (il ventitreesimo titolo dei bavaresi) con sei giornate di anticipo rispetto alla fine del campionato. Il 25 maggio 2013 vince la sua prima Champions League, giocando da titolare la finale vinta contro il . Il 1º giugno 2013 vince anche la Coppa di Germania, ottenendo il treble con la compagine bavarese. Il 30 agosto 2013 vince la Supercoppa europea di calcio, prima anche per i Bayern contro il , segnando al minuto 120+1' , portando così la sua squadra ai calci di rigore, dove vinceranno grazie ad un errore di Romelu Lukaku. Nel corso dell'annata la squadra bavarese conquista altri tre titoli, la Coppa del mondo per club, la Bundesliga e la Coppa di Germania.


title: Javi Martínez

text: Il 13 agosto 2014, durante l'incontro di DFL-Supercup contro il (0-2), subisce la rottura del legamento crociato del ginocchio sinistro che lo costringe a uno stop di circa sette mesi. Il 26 aprile 2015 vince il terzo campionato di fila con il Bayern. Il 31 ottobre 2017 sigla il suo primo gol in carriera in Champions League, ai danni del . Il 24 settembre 2020 vince la Supercoppa Europea contro il Siviglia segnando il gol del definitivo 2-1 nei tempi supplementari. In questa stagione vincerà poi il suo secondo Mondiale per club e il suo nono campionato tedesco.


title: Javi Martínez

text: Il 20 giugno 2021 annuncia il proprio passaggio al . Il 7 luglio seguente firma un contratto annuale con il club.


title: Javi Martínez

text: Ha ottenuto una presenza nella selezione basca, ed ha fatto parte delle varie rappresentative giovanili spagnole: nel 2007 ha vinto il Campionato europeo di calcio con l'Under-19, mentre nel 2009 ha partecipato al Campionato europeo di calcio Under-21.


title: Javi Martínez

text: Nel maggio 2010 viene convocato nella nazionale maggiore per il Campionato mondiale di calcio 2010 in Sudafrica, facendo il suo esordio con le "Furie rosse" nell'amichevole pre-mondiale disputata il 29 maggio contro l', inoltre l'11 luglio si laurea campione del mondo, grazie alla vittoria in finale per 1-0 sui . Pur rimanendo nel giro della nazionale fatica ad accumulare gettoni di presenze nelle furie rosse, causa la forte concorrenza a centrocampo.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: My Little Pony - L'amicizia è magica ("My Little Pony: Friendship Is Magic") è una serie animata che ha debuttato il 10 ottobre 2010 negli Stati Uniti sulla rete televisiva The Hub (precedentemente Hub Network, oggi Discovery Family). La serie è basata sulla linea di giocattoli "My Little Pony" di Hasbro, che ne ha commissionato la produzione a DHX Media Vancouver (precedentemente nota come Studio B Productions) e alla propria sussidiaria Hasbro Studios (chiamata adesso Entertainment One).


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: Lauren Faust, nota per aver lavorato a diversi spettacoli televisivi di successo come "The Powerpuff Girls" e "Gli amici immaginari di casa Foster", è stata scelta da Hasbro come direttore creativo e produttore esecutivo per la serie animata. Faust ha cercato di superare la natura prettamente femminile della linea "My Little Pony", creando ambientazioni originali e personaggi caratterizzati a tutto tondo, e attribuendo grande importanza alle tematiche, allo sviluppo delle trame e al lato umoristico, nell'intento di rendere lo show piacevole sia per il target demografico di bambine sia per i loro genitori; questa scelta si è rivelata determinante per il successo della serie, che ha guadagnato l'inaspettata attenzione di un gruppo di fan giovani e adulti chiamati "bronies".


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: Faust si è dimessa dal ruolo di direttore esecutivo a seguito della prima stagione, rimanendo in qualità di produttore consulente per la seconda stagione; in seguito ha lasciato definitivamente la serie animata per concentrarsi sulla produzione di una nuova serie, "Super Best Friends Forever".


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: In seguito all'enorme successo della serie TV, è stata prodotta dalla IDW una serie di fumetti indipendenti dalla serie e ambientati cronologicamente dopo il finale della seconda stagione, nonché una serie di spin-off animati intitolati "My Little Pony - Equestria Girls". Un film prodotto dalla Hasbro è stato distribuito il 6 ottobre 2017 nelle sale cinematografiche statunitensi, mentre nelle sale cinematografiche italiane è stato distribuito il 6 dicembre 2017.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: La serie segue le avventure di un unicorno di nome Twilight Sparkle, allieva prediletta di Princess Celestia, sovrana di Equestria. Twilight, temendo l'avverarsi di un'antica profezia, cerca di avvertire la principessa; tuttavia quest'ultima, preoccupata piuttosto per la poca socialità e per l'eccessiva reclusione dimostrate dall'allieva, ignora la minaccia e invia Twilight e il draghetto assistente di quest'ultima, Spike, a trasferirsi nella cittadina di Ponyville con il compito di stringere nuove amicizie: qui Twilight conoscerà i pony di terra Applejack e Pinkie Pie, i pegasi Fluttershy e Rainbow Dash e l'unicorno Rarity. Durante la ricerca degli Elementi dell'armonia, gli unici artefatti in grado di contrastare il profetizzato ritorno della malvagia Nightmare Moon, Twilight scopre il valore dell'amicizia e decide di restare a Ponyville per approfondire questo sentimento.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: La serie ha un carattere episodico. Il primo episodio di ogni stagione (eccezione fatta per la n° 7), il finale di ognuna (eccezione fatta per le numeri 1, 3 e 9) e qualche altro episodio si sviluppano in doppia puntata; al contrario, il resto degli archi narrativi sono sviluppati nel corso di una singola puntata. Le tematiche principali trattate sono l'amicizia e i suoi diversi aspetti, inoltre gli episodi spesso si concludono con uno o più personaggi che apprendono una lezione riguardo a uno di questi aspetti: a fine puntata, usualmente, la lezione imparata viene riassunta da Twilight o da un altro personaggio in una lettera da inviare a Princess Celestia; questa pratica scompare dalla quarta stagione in poi a seguito dell'ascensione di Twilight al rango di principessa e alla sua trasmutazione in "alicorno" (unicorno alato) verificatasi nell'ultimo episodio della stagione precedente. Nella quarta stagione le protagoniste riassumono le proprie conquiste in materia di amicizia riportandole per iscritto su un diario comune, su suggerimento della stessa Twilight che riesce a guadagnarsi un regno tutto suo e con un proprio castello. Nella quinta stagione le sei protagoniste attivano una mappa nel nuovo castello di Twilight e viaggiano in diversi luoghi di Equestria a risolvere problemi d'amicizia, invece nella sesta stagione Twilight prende come studentessa Starlight Glimmer (dopo essere riuscita a redimerla nella stagione precedente) e le insegna tutto ciò che sa sull'amicizia. Nella settima stagione quest'ultima conclude finalmente i suoi studi sull'amicizia. Nell'ottava stagione viene aperta una scuola dell'amicizia alla quale possono accedere creature di tutti i regni anziché soltanto i pony e alla fine della nona (e ultima) stagione Twilight Sparkle diventa sovrana di Equestria.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: La serie è ambientata a "Equestria", un regno abitato da pony e altri animali e governato da Princess Celestia e Princess Luna. Le protagoniste della serie sono Twilight Sparkle, Pinkie Pie, Applejack, Rainbow Dash, Rarity e Fluttershy, sei pony che abitano nella cittadina di Ponyville.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: La prima stagione della serie è andata in onda negli Stati Uniti a partire dal 10 ottobre 2010. È stata poi trasposta in italiano e trasmessa in Italia a partire dal 29 agosto 2011 su Italia 1, in formato di mezzi episodi, e successivamente in replica su Cartoonito, con episodi interi.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: La seconda stagione, trasmessa negli Stati Uniti su The Hub a partire dal 17 settembre 2011, è andata in onda in Italia a partire dal 13 ottobre 2012 sul canale Boomerang e dal 5 novembre in chiaro su Cartoonito.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: La terza stagione, andata originariamente in onda su The Hub a partire dal 10 novembre 2012, è stata trasmessa in Italia a partire dal 3 giugno 2013 sempre su Cartoonito.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: La quarta stagione è stata trasmessa in originale su Hub Network a partire dal 23 novembre 2013 e la sua trasposizione in italiano ha iniziato ad andare in onda su Cartoonito il 7 aprile 2014.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: La quinta stagione è andata in onda negli Stati Uniti dal 4 aprile 2015 su Discovery Family, mentre in Italia dall'8 giugno 2015 su Cartoonito.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: La sesta stagione è andata in onda in originale su Discovery Family a partire dal 26 marzo 2016, invece in Italia su Cartoonito a partire dal 21 maggio dello stesso anno. La settima stagione è andata in onda negli Stati Uniti, ugualmente su Discovery Family, dal 15 aprile 2017 al 28 ottobre dello stesso anno, mentre in Italia a partire dal 9 ottobre 2017 su Cartoonito.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: L'ottava stagione è andata in onda, come sempre su Discovery Family, dal 24 marzo 2018 al 13 ottobre dello stesso anno e successivamente in Italia dal 24 settembre al 21 dicembre 2018 su Cartoonito.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: La nona e ultima stagione è iniziata il 6 aprile 2019 su Discovery Family, mentre in Italia ha avuto inizio il 6 maggio su Cartoonito; da notare che, a partire dal 15 maggio (cioè dall'episodio 9x08), la programmazione italiana ha superato quella statunitense (ossia quella originale) e quella di qualsiasi altro Paese, trasmettendo dunque sei episodi in prima visione mondiale. Gli ultimi tre episodi della serie sono andati in onda negli Stati Uniti il 12 ottobre 2019, segnando la fine della serie. In Italia gli ultimi 13 episodi sono andati in onda dal 9 al 21 dicembre dello stesso anno su Cartoonito.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: Hasbro ha prodotto in passato diverse iterazioni di giocattoli e di intrattenimento dedicati al franchise "My Little Pony", catalogati dai collezionisti come "G1-2-3" (dove "G" sta per "generazione"; "L'amicizia è magica" costituisce la quarta generazione di "My Little Pony"). La serie animata "Vola mio mini pony" del 1986-1987 fu la prima serie televisiva basata sulla linea di giocattoli, seguita nel 1992 da "My Little Pony Tales". Entrambe le serie avevano come protagonisti i pony di prima generazione. Dopo "My Little Pony Tales" sono stati prodotti diversi direct-to-video, che hanno caratterizzato il design dei personaggi fino alla terza generazione. Seguendo lo stesso filo della rinnovazione della nuova linea di giocattoli "Transformers", Hasbro ha voluto riorganizzare il franchise "My Little Pony" adattandolo alle esigenze della generazione attuale.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: Lauren Faust, che in precedenza aveva lavorato su serie animate di grande successo come "Le Superchicche" e "Gli amici immaginari di casa Foster", fu inizialmente ingaggiata da Hasbro per creare una "pitch bible" (il documento progettuale che contiene in forma descrittiva e dettagliata tutti gli elementi che definiscono l'identità di un prodotto seriale) per la serie, che le ha permesso di portare il concept a un passo successivo.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: Faust era inizialmente molto scettica riguardo alle intenzioni di Hasbro, poiché aveva sempre trovato noioso un cartone basato su giocattoli per ragazzine, per quanto "My Little Pony" fosse stato uno dei suoi giocattoli d'infanzia preferiti.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: Basandosi sulle proprie esperienze nel mondo dell'animazione e sulle avventure che era solita inventare attorno ai propri pony giocattolo da bambina, Faust incorporò nel design dei personaggi e del cartone elementi nuovi, che contraddicevano gli stereotipi tipicamente femminili legati al marchio, e dotò i personaggi di personalità variegate e a tutto tondo, allo scopo di mostrare come le ragazze possano avere personalità diverse, e ciononostante capirsi tra loro ed essere amiche. Faust ha dichiarato di essere rimasta colpita dalla risposta positiva di Hasbro all'alterazione degli stereotipi dei personaggi. Inizialmente, la sviluppatrice aveva pensato di basare la serie su storie d'avventura, ma dopo essersi resa conto del tipo pubblico previsto e della difficoltà di elaborare trame complesse intorno a questi elementi, decise di concentrarsi di più sull'interazione dei personaggi. Mentre nella serie è rimasta la presenza di creature pensate per essere spaventose per i bambini, come i draghi e le idre, il tema centrale è l'amicizia tra i personaggi, e il tono della narrazione è generalmente leggero, con la presenza di elementi comici.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: Faust cominciò a elaborare schizzi, molti dei quali caricati sul suo account deviantART, tra cui i pony della prima generazione (Twilight, Applejack, Firefly, Surprise, Posey and Sparkler) che avrebbero, poi, costituito lo spunto per il cast principale del cartone. Hasbro quindi promosse Faust a produttore esecutivo, chiedendole di completare la "pitch bible": per farlo, Faust propose i suoi ex-collaboratori Paul Rudish e Martin Ansolobehere, con cui aveva già lavorato ad altri cartoni. Faust attribuisce a Paul l'idea che i pony pegaso controllano le condizioni meteorologiche, così come il personaggio di Nightmare Moon. Faust ha anche ricordato le idee del marito, Craig McCracken, animatore e creatore de "Le Superchicche" e "Gli amici immaginari di casa Foster". Dopo che fu presentata la versione iniziale della "bible", Hasbro chiese ulteriore materiale alla squadra di Faust, cercando di perfezionare ulteriormente i caratteri e gli sfondi.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: Al termine della "bible", Hasbro e Faust iniziarono a cercare negli studi per la vera e propria animazione. La casa "Studio Productions B" (ora DHX Media Vancouver) aveva già lavorato con animazioni basate su Adobe Flash di animali, così Faust ritenne il loro team una buona scelta. DHX assegnò a Jayson Thiessen il ruolo di regista, il quale, assieme a James Wootton e al team di produzione, portarono a termine un cortometraggio di due minuti da mostrare a Hasbro, cui seguì la decisione da parte della società di avviare la produzione. Faust stimò inizialmente che le produzioni avrebbero richiesto circa un anno.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: Il cartone si sviluppa a Hasbro Studios, Los Angeles, dove si trova la maggior parte dello staff, e a DHX Media Vancouver a Vancouver, nella Columbia Britannica, dove si svolge il lavoro di animazione.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: All'inizio Lauren ha chiamato diversi membri alla Hasbro, che hanno lavorato con lei in precedenza, successivamente approvati. Tra questi Amy Keating Rogers, Cindy Morrow, Meghan McCarthy, Chris Savino, Charlotte Fullerton, M.A. Larson e Dave Polsky. La scrittura è iniziata con Lauren e Ranzetti che hanno inserito le trame generali del cartone. I due avrebbero poi lavorato con lo scrittore per finalizzare gli script e assegnare alcune istruzioni di base dello storyboard. Hasbro ha pure collaborato per questo lavoro, suggerendo alcuni concetti da inserire nel cartone, esempio quello di rendere Celestia una principessa piuttosto che una regina, rendendola uno dei pony focalizzati sulla moda, e ritraggono gruppi di giocattoli in punti importanti della storia, come la boutique di Rarity. In alcuni casi, Hasbro ha chiesto che il cartone comprenda una impostazione, ma ha permesso a Lauren e il suo team di creare lo stile visivo per Hasbro da cui sarebbe nato poi il set base dei giocattoli, come per esempio la scuola di Ponyville. A causa di questioni di proprietà intellettuale, Hasbro ha perso alcuni dei diritti sui nomi originali dei pony, e come tale, il cartone comprende sia alcuni dei personaggi originali che i nuovi personaggi creati per il cartone.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: Completati gli script, li hanno inviati allo Studio B per la pre-produzione e l'animazione usando Adobe Flash. Al team di produzione di Thiessen è stata data anche la possibilità di selezionare il personale chiave con l'approvazione della Hasbro, includendo il direttore artistico Ridd Sorenson. Il team di Studio B avrebbe fatto le storyboard con gli script forniti, e sono stati in grado di creare scene che gli scrittori pensavano fossero impossibili da mostrare nelle animazioni. Gli animatori avrebbero poi preparato gli elementi principali, i layout, gli sfondi e altri elementi, inviate poi di nuovo al team di produzione a Los Angeles per la revisione e eventuali suggerimenti da parte degli scrittori. Thiessen ha citato Wooton per le sue grandi competenze tecniche, che è stato in grado di creare programmi in Flash per ottimizzare i posizionamenti e le pose dei personaggi e altri elementi, risparmiando la quantità di lavoro necessaria per gli animatori. Per esempio, i capelli e le code dei pony sono normalmente forme fisse, animate da flessioni in curve in tre dimensioni, dando loro un senso di movimento senza perdere tempo ad animare i singoli peli. Una volta che la pre-produzione è stata completa e approvata, gli episodi sarebbero stati poi, animati. Sebbene lo Studio B avesse inizialmente eseguito questo lavoro, le fasi finali sono state passate al team di animazione Top Draw Animation nelle Filippine, uno studio di animazione con cui lo Studio B aveva lavorato bene in passato, producendo l'ultima parte della prima stagione e il resto.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: Il cast delle voci è gestito da Voicebox Productions, con Terry Klassen, che era il direttore. Lauren, Thiessen e altri hanno partecipato alla selezione dei doppiatori con la seguente approvazione dalla Hasbro. Le musiche di sottofondo del cartone sono composte da WIlliam Kevin Anderson, mentre Daniel Ingram ha composto le canzoni.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: Verso la fine della prima stagione, Faust ha comunicato di aver lasciato il cartone, e per la seconda stagione si è dimessa da produttrice a produttrice esecutiva. Il suo coinvolgimento nella seconda stagione è diminuito, facendosi coinvolgere soltanto dalla storia e dagli script. Nonostante la sua partecipazione fosse diminuita, ha ancora grandi speranze per i membri del personale, affermando che "le lacune che ha lasciato sono stati riempiti dagli stessi artisti che ho portato dalla prima stagione. Sono certa che la serie sarà sempre divertente".


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: Il doppiaggio italiano della prima stagione è stato affidato alla Logos e i dialoghi vennero affidati a Elda Olivieri, Claudio Ridolfo, Laura Sottile, Alice Bongiorni. Dalla seconda stagione il doppiaggio della serie passa a SDI Media Italy.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: Nella prima stagione viene usata la sigla "My Little Pony" che è cantata da Susanna Balbarani. Il testo è stato realizzato da Arianna "Oliriana" Bergamaschi, e la musica da Susanna Balbarani, Maurizio Bianchini, Graziano Pegoraro e Antonio D'Ambrosio. La sigla utilizzata dalla seconda stagione in poi è una versione tradotta della sigla originale e cantata dalle doppiatrici italiane. Nell'ottava e nona stagione viene rinnovata la sigla che non varia nel testo, ma vengono mostrati nuove inquadrature e nuovi personaggi.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: I testi delle canzoni sono stati adattati da Giancarlo Martino per la prima stagione, mentre dalla seconda stagione da Marisa Della Pasqua.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: Per promuovere il lancio della sua nuova linea di giocattoli omonima, Hasbro ha prodotto, tramite Hasbro Studios, un lungometraggio animato basato su "L'amicizia è magica", dal titolo "My Little Pony - Equestria Girls": il film è stato proiettato per la prima volta al Los Angeles Film Festival, nel giugno 2013, e in seguito in oltre 200 cinema degli Stati Uniti a partire dal 16 giugno 2013.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: La trama vede la protagonista Twilight Sparkle attraversare uno specchio magico per essere trasportata in un mondo abitato da esseri umani (benché con la pelle dai colori più disparati) per recuperare una corona rubata. Twilight inizierà a frequentare il liceo locale in cerca del colpevole, ma nel frattempo si imbatterà in ragazze rappresentanti le controparti umane delle sue amiche di Ponyville.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: Molti membri dello staff dello show originale sono stati ingaggiati per lavorare al film, tra cui la storywriter Meghan McCarthy, che ha dichiarato di considerare la storia «un'estensione della nostra mitologia». Il direttore di marketing John Frascotti ha dichiarato che Hasbro stava «rispondendo al desiderio dei fan di conoscere il marchio in nuovi modi».


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: Il film è stato reso disponibile in forma di DVD verso la fine dell'anno, poco prima della messa in onda del film sul canale Hub Network.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: Un seguito del film, chiamato "Equestria Girls - Rainbow Rocks", è stato annunciato a febbraio 2014 ed è uscito nei cinema statunitensi e canadesi il 27 settembre 2014; il film è preceduto da otto cortometraggi di circa 3 minuti (trasmessi per la prima volta in lingua originale il 27 marzo 2014 sul canale YouTube di Hasbro) e seguito da altri tre con la stessa durata (anch'essi esordienti in lingua originale sul canale YouTube di Hasbro, ma in data 2 aprile 2015).


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: Un terzo film, dal titolo "Equestria Girls - Friendship Games", è stato annunciato nel 2015 ed è andato in onda in TV sul canale statunitense "Discovery Family" il giorno 26 settembre 2015 (in questo film è stata introdotta la versione umana di Twilight Sparkle che entrerà in scena anche nei film seguenti); il film è preceduto da cinque cortometraggi di circa 3 minuti (pubblicati sul canale YouTube di Hasbro in lingua originale il 1º agosto 2015).


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: Un quarto film, intitolato "Equestria Girls - Legend of Everfree", è stato annunciato il 10 ottobre 2015 ed è stato trasmesso su Netflix il 1º ottobre 2016.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: Ci sono poi le webserie dei corti promozionali di "Equestria Girls Minis" (debutto originale sul canale YouTube di Hasbro l'11 febbraio 2016 e costituito da dodici corti promozionali di circa 30 secondi), ma anche dei cortometraggi "Summertime Shorts" (debutto originale sul canale YouTube di Hasbro il 30 luglio 2017 e costituito da sedici cortometraggi di circa 3 minuti) e "Better Together" (debutto originale sul canale YouTube di Hasbro il 17 novembre 2017 e costituito da sessanta cortometraggi di circa 2 minuti).


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: Il 20 ottobre 2014 Hasbro ha annunciato un lungometraggio animato basato direttamente sulla serie televisiva e previsto per la proiezione nelle sale cinematografiche americane dal 6 ottobre 2017, intitolato "My Little Pony: The Movie". Il film, prodotto da Allspark Pictures, una sussidiaria di Hasbro, è distribuito da Lionsgate. Il film è diretto da Jayson Thiessen, già direttore supervisore della serie, e sceneggiato da Megan McCarthy, già sceneggiatrice della serie.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: Il presidente di Hasbro, Stephen Davis, ha detto riguardo al film: «Credo che ci dia un'opportunità di raccontare una storia più in grande, che forse non potremmo raccontare in televisione»; ha anche affermato che «è un'occasione per allargare il franchise».


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: In aggiunta al cast di doppiatori regolari, Kristin Chenoweth, Emily Blunt, Taye Diggs, Uzo Aduba, Michael Peña, Liev Schreiber, Sia e Zoe Saldana daranno voce a nuovi personaggi nel film.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: È una webserie di dieci cortometraggi animati (con una durata di circa 2 minuti e trasmessa per la prima volta in lingua originale il 24 ottobre 2016 sul canale YouTube di Hasbro): in questa webserie Pinkie Pie ha realizzato un libro per Flurry Heart per ricapitolare i momenti chiave di tutta la serie principale in uno stile feltro stop-motion.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: È un brevissimo video in cui Pinkie Pie, Fluttershy e le Cutie Mark Crusaders augurano un buon compleanno ai fan della serie.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: Il 27 ottobre 2018, su Discovery Family, è andato in onda un episodio speciale da 44 minuti, intitolato "Best Gift Ever" e ambientato tra l'ottava e la nona stagione. In Italia è stato trasmesso con il titolo "Alla ricerca del regalo più bello" su Cartoonito il 9 dicembre 2018. L'episodio è stato accompagnato da tre cortometraggi correlati (vedi tabella), pubblicati inizialmente l'11 dicembre 2019 sul canale YouTube ufficiale di Hasbro in lingua originale.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: Il lungometraggio da 60 minuti "Rainbow Roadtrip" è stato trasmesso privatamente il 23 maggio 2019 presso l'Odeon Cinema, per poi andare in onda su Discovery Family il 29 giugno dello stesso anno.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: L'episodio utilizza lo stesso stile grafico del film, animato in Toon Boom anziché Adobe Flash come il resto della serie.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: Si tratta di una brevissima serie costituita da sei episodi (con una durata di circa 22 minuti) la quale presenta filmati di episodi precedenti. È andata in onda per la prima volta in Australia ad aprile 2020.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: Sono tre cortometraggi rilasciati a febbraio del 2019 sul canale YouTube di Hasbro, in lingua originale. I titoli originali sono:


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: È una mini webserie in cui Princess Celestia insegna ai suoi studenti della scuola d'amicizia (e non solo) la storia che si cela dietro la magia regnante di Equestria, infatti nel primo episodio della serie vengono mostrati anche determinati eventi della serie principale correlati all'argomento. Complessivamente sono cinque episodi dalla durata di circa 2 minuti.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: Al termine della nona stagione della serie principale, nel 2020 ne è stata prodotta una decima a fumetto.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: La serie è stata molto apprezzata per il suo umorismo e per la sua semplicità, oltre che per la qualità dell'animazione. Nonostante lo show fosse indirizzato a un pubblico femminile (e in prevalenza infantile), esso ha guadagnato un considerevole gruppo di fan adolescenti e adulti, buona parte dei quali di sesso maschile, che vengono chiamati "bronies" (al singolare "brony", portmanteau tra le parole "brother" e "pony"); i personaggi della serie animata sono diventati parte della cultura internet, e dallo show sono scaturiti in gran numero meme, siti dedicati, fanart, video, remix, brani musicali originali e videogiochi. Sono anche stati organizzati talk show, convention, emittenti radiofoniche amatoriali e progetti di simile natura.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: La serie è stata apprezzata anche dalla critica come una serie molto solare e senza cinismo - a differenza di altri cartoni contemporanei che hanno ottenuto un certo pubblico di genitori e adulti, come ad esempio: "I Griffin", "I Simpson", "South Park" e "A tutto reality". Soprattutto è stata apprezzata la caratterizzazione dei personaggi e delle loro storie, oltre alla componente umoristica che ha attirato un pubblico di grandi e piccini.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: La serie ha suscitato fin dalla sua prima messa in onda l'inaspettato interesse di un vasto gruppo di fan adulti, che hanno adottato il nome brony (al plurale "bronies") dalla fusione delle parole inglesi "bro" ("fratello") e "pony". Il fandom brony viene considerato un esempio paradigmatico di New Sincerity scaturita da Internet. I suoi membri più attivi hanno fondato siti web, organizzato convention e creato numerose opere di letteratura, musica, arte digitale e tradizionale e video ispirandosi alla serie.


title: My Little Pony - L'amicizia è magica

text: L'apprezzamento della serie da parte di un pubblico adulto è stata una sorpresa per Hasbro, Faust e le altre persone coinvolte nello show, ma essi hanno accettato e interagito con questi fan più anziani, pur restando concentrati sul pubblico originariamente previsto.


title: Raggio terrestre

text: Il raggio della Terra è la distanza del centro della Terra dalla sua superficie al livello medio del mare. La Terra non è una sfera perfetta ma piuttosto un ellissoide di rotazione appiattito in corrispondenza del Polo Nord e Sud, perciò chiamato anche sferoide oblato o geoide. La forma non perfettamente sferica della Terra comporta che il suo raggio vari a seconda di dove avviene la misurazione.


title: Raggio terrestre

text: Il raggio equatoriale (ovvero il raggio della circonferenza immaginaria quale l'equatore) della Terra è approssimativamente pari a 6'378 chilometri.


title: Raggio terrestre

text: Il raggio polare della Terra (distanza del centro della Terra da uno dei due Poli) è approssimativamente pari a 6'356 chilometri.


title: Raggio terrestre

text: Il raggio medio è approssimativamente pari a 6371,005076123 chilometri. Questo numero è derivato mediando le distanze centro-superficie di tutti i punti del globo. In modo equivalente il raggio medio è


title: Raggio terrestre

text: dove "A" è l'area della superficie terrestre. Questo sarebbe il raggio di un'ipotetica sfera perfetta che avesse la stessa area della superficie della Terra.


title: Raggio terrestre

text: Il matematico, geografo ed astronomo Eratostene (III secolo a.C.), era direttore della grande biblioteca di Alessandria d'Egitto quando formulò il metodo per calcolare le dimensioni della Terra nel 240 a.C. - 230 a.C.


title: Raggio terrestre

text: Dai suoi studi, era venuto a conoscenza del fatto che a Syene (l'attuale Assuan), a mezzogiorno del solstizio d'estate, il Sole si trovava proprio sullo zenit, tanto che il fondo di un pozzo profondo ne veniva illuminato, perciò un bastone piantato verticalmente in un terreno perfettamente pianeggiante non avrebbe proiettato alcun'ombra in terra.


title: Raggio terrestre

text: Invece ad Alessandria questo non succedeva mai, gli obelischi proiettavano comunque la loro ombra sul terreno.


title: Raggio terrestre

text: Ciò era già una dimostrazione pratica della rotondità della Terra (come ampiamente dimostrato da Aristotele). L'idea che la Terra dovesse avere una forma sferica era comunque già accettata. Questa convinzione scaturiva dall'osservazione delle eclissi di Luna durante le quali la forma dell'ombra terrestre appariva sempre come un arco di circonferenza.


title: Raggio terrestre

text: Eratostene perciò, per procedere con i suoi calcoli, ipotizzò la Terra perfettamente sferica ed il Sole sufficientemente distante da considerare paralleli i raggi che la investono. Inoltre assunse che Alessandria e Syene si trovassero sullo stesso meridiano.


title: Raggio terrestre

text: Durante il solstizio d'estate calcolò l'angolo di elevazione del Sole ad Alessandria, misurando l'ombra proiettata proprio da un bastone piantato in terra, ricavando approssimativamente un valore di 1/50 di circonferenza (cioè 7° 12').


title: Raggio terrestre

text: La distanza tra le due città, basata sui trasferimenti delle carovane, era stimata in 5.000 "stadia" (circa 800 km, tuttavia il valore preciso dello "stadium", usato a quell'epoca ad Alessandria, non è attualmente conosciuto).


title: Raggio terrestre

text: Perciò la circonferenza della Terra doveva essere di 50 * 5.000 = 250.000 "stadia" (circa 40.000 km, valore straordinariamente vicino a quello ottenuto con metodi moderni: 40.075 km).


title: Raggio terrestre

text: Una volta stabilito un valore per essa, il raggio terrestre si ricavava dalla nota relazione che lega la circonferenza ed il suo raggio.


title: Raggio terrestre

text: I valori ricavati da Eratostene furono: circa 12629 "stadia" per il diametro terrestre ovvero un raggio pari a 6314,5 km (incredibilmente prossimo alla stima media condotta con mezzi attuali).


title: Raggio terrestre

text: Il metodo elaborato da Eratostene si basa su alcune assunzioni (alcune già enunciate), senza le quali sarebbe necessario introdurre delle correzioni alla procedura di calcolo affinché sia ancora valido:


title: Raggio terrestre

text: Per fare un confronto, pianeti come Giove e Saturno, la cui velocità di rotazione è maggiore di quella della Terra, hanno uno schiacciamento di 1/15 e 1/10 rispettivamente (schiacciamento favorito anche dal fatto che sono pianeti gassosi e non rocciosi).


title: Funzione zeta di Riemann

text: In matematica, la funzione zeta di Riemann è una funzione che riveste una fondamentale importanza nella teoria analitica dei numeri e ha notevoli risvolti in fisica, teoria della probabilità e statistica.


title: Funzione zeta di Riemann

text: I primi risultati riguardanti questa funzione furono ottenuti da Leonhard Euler nel diciottesimo secolo, ma il nome deriva da Bernhard Riemann, che nel testo "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse", pubblicato nel 1859, mostrò che vi è una relazione tra gli zeri della funzione e la distribuzione dei numeri primi. Riemann in particolare osservò che una congettura sulla posizione degli zeri (la celebre Ipotesi di Riemann) implicherebbe che i primi sono distribuiti con una certa regolarità.


title: Funzione zeta di Riemann

text: convergente per ogni numero complesso formula_2 di parte reale formula_3 maggiore di formula_4. Tramite il prolungamento provato da Riemann la serie di Dirichlet è estesa a una funzione olomorfa su tutto il piano complesso a eccezione di formula_4, dove ha un polo semplice di residuo 1.


title: Funzione zeta di Riemann

text: La funzione zeta possiede zeri semplici negli interi pari negativi, detti zeri banali, mentre tutti gli altri zeri sono disposti simmetricamente rispetto alla retta formula_6, detta retta critica, e all'asse reale (ossia, il coniugato di uno zero è ancora uno zero). Inoltre tutti gli zeri sono tutti contenuti nella striscia , detta striscia critica.


title: Funzione zeta di Riemann

text: Il primo a notare l'importanza della funzione zeta nello studio dei numeri primi fu Eulero che, nel 1737, dimostrò l'identità, nota come prodotto di Eulero:


title: Funzione zeta di Riemann

text: ove formula_8 è un numero reale maggiore di formula_4. Grazie a questa formula, Eulero dedusse che la serie


title: Funzione zeta di Riemann

text: diverge, e quindi che i numeri primi sono "piuttosto frequenti" nell'insieme dei numeri naturali, più dei quadrati perfetti. Si può inoltre notare come il ragionamento di Eulero fornisca anche una diversa dimostrazione del teorema dell'infinità dei numeri primi, già elegantemente dimostrato dalla matematica greca.


title: Funzione zeta di Riemann

text: Nel secolo seguente Čebyšëv e altri matematici si dedicarono allo studio della comprensione della distribuzione dei numeri primi, utilizzando per lo più metodi di combinatoria e la formula prodotto di Eulero, senza tuttavia riuscire a dimostrare la relazione asintotica


title: Funzione zeta di Riemann

text: Fu però con Bernhard Riemann che la funzione zeta iniziò ad assumere un ruolo centrale nella teoria dei numeri. Nel suo unico articolo sull'argomento, "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse", Riemann considerò la funzione zeta non più solo per una variabile reale formula_8, ma per una variabile complessa formula_2, e la studiò utilizzando metodi di analisi complessa. I risultati principali ottenuti da Riemann furono:


title: Funzione zeta di Riemann

text: Oltre a questi risultati, Riemann diede alcune formule senza dimostrazione, tra cui una formula con una stima asintotica del numero di zeri "non banali" della funzione zeta, e scrisse che è "molto probabile" che tutti questi zeri abbiano parte reale uguale a 1/2. Questa congettura, che ha preso il nome di ipotesi di Riemann ed è tuttora uno dei problemi aperti più importanti di tutta la matematica (fa parte ad esempio dei ventitré problemi di Hilbert e dei sette problemi per il millennio), grazie alle conseguenze che implicherebbe sulla distribuzione dei numeri primi.


title: Funzione zeta di Riemann

text: Negli anni a seguire, vari matematici svilupparono ulteriormente le idee di Riemann, e fornirono dimostrazioni rigorose per alcune sue formule. In particolare i risultati più importanti furono ottenuti da von Mangoldt e soprattutto da Hadamard e de la Vallée Poussin. Questi ultimi infatti riuscirono a dimostrare che la funzione zeta non ha zeri nella retta formula_16 e da questo ottenere come corollario il teorema dei numeri primi.


title: Funzione zeta di Riemann

text: Da allora, grossi sforzi sono stati fatti per dimostrare l'ipotesi di Riemann, ma sono stati ottenuti solo risultati parziali che restano molto lontani da quanto congetturato da Riemann. Nell'impossibilità di fare ulteriori progressi in questa direzione, lo sforzo dei teorici dei numeri si è spostato su altri importanti problemi relativi alla funzione zeta: lo studio della crescita della funzione zeta lungo la "retta critica", lo studio dei suoi "momenti" e sulla trascendenza o razionalità dei suoi valori sui numeri naturali dispari.


title: Funzione zeta di Riemann

text: valida per formula_18, e dove il prodotto è effettuato su tutti i numeri primi formula_19. La dimostrazione di questa identità si basa sulla formula per la somma della serie geometrica e il teorema fondamentale dell'aritmetica. Infatti, per formula_20, si può calcolare la somma geometrica


title: Funzione zeta di Riemann

text: per ogni primo formula_19. Moltiplicando tra loro queste identità per tutti i primi formula_19, (questa ulteriore restrizione serve per assicurare la convergenza assoluta, necessaria anche per le successive manipolazioni) si ha:


title: Funzione zeta di Riemann

text: dato che per il teorema fondamentale dell'aritmetica ogni numero naturale si può decomporre in maniera unica come prodotto di potenze di primi.


title: Funzione zeta di Riemann

text: È interessante notare che la formula di Eulero ha come conseguenza che vi sono infiniti numeri primi. Infatti, se vi fosse solo un numero finito di numeri primi allora il prodotto di Eulero sarebbe un prodotto finito e quindi sarebbe definito anche per formula_25, mentre in tale punto la funzione zeta ha un polo. Sebbene possa sembrare esageratamente complicata per un teorema di cui esistono dimostrazioni elementari, questa dimostrazione è molto importante in quanto una sua generalizzazione è stata usata da Dirichlet per dimostrare il teorema dell'infinità dei numeri primi nelle progressioni aritmetiche.


title: Funzione zeta di Riemann

text: Oltre alla serie che viene solitamente usata per definirla, la funzione zeta di Riemann è strettamente collegata anche con alcune altre serie di Dirichlet. Tra queste, è di fondamentale importanza la serie per la derivata logaritmica della funzione zeta,


title: Funzione zeta di Riemann

text: che si ottiene derivando il logaritmo del prodotto di Eulero. La funzione formula_27 è la Funzione di von Mangoldt, una funzione che è diversa da zero solo nelle potenze dei numeri primi. Da questa identità si può ricavare facilmente, attraverso l'uso della somma per parti, la formula


title: Funzione zeta di Riemann

text: è la funzione ψ di Čebyšëv, sostanzialmente una versione pesata della funzione enumerativa dei primi, formula_30.


title: Funzione zeta di Riemann

text: dove formula_34 è il numero di rappresentazioni di formula_35 come prodotto di formula_36 interi maggiori di formula_4. In particolare,


title: Funzione zeta di Riemann

text: Una delle proprietà più importanti della funzione zeta di Riemann è che soddisfa la seguente equazione funzionale:


title: Funzione zeta di Riemann

text: ove formula_44 è la funzione Gamma. Questa formula è un'uguaglianza tra funzioni meromorfe valida su tutto il piano complesso. Per formula_2 di parte reale negativa, tutte le funzioni a destra dell'uguaglianza non hanno poli. Quindi, dato che negli interi pari la funzione seno ha zeri semplici, segue che la funzione zeta ha zeri semplici (detti zeri banali) negli interi negativi.


title: Funzione zeta di Riemann

text: Questa equazione può essere vista come una formula di riflessione rispetto a "s"=1/2 e permette di esprimere la funzione zeta a sinistra della retta Re("s")=1/2 in termine della funzione zeta a destra di tale retta e di alcune funzioni ben note. La funzione zeta di Riemann si può "completare", andando a formare la funzione Xi di Riemann,


title: Funzione zeta di Riemann

text: che è olomorfa intera e ha gli zeri esattamente sugli zeri non banali della funzione zeta. Inoltre soddisfa l'equazione funzionale simmetrica


title: Funzione zeta di Riemann

text: Il prodotto di Eulero ha come immediata conseguenza che la funzione zeta non ha zeri nel semipiano Re("s")>1. Inoltre, grazie all'equazione funzionale, da ciò segue che gli unici zeri che la funzione zeta ha nel semipiano Re("s")<0 sono gli zeri banali. Gli zeri restanti possono quindi essere solo nella striscia 0≤Re("s")≤1 e, sempre grazie all'equazione funzionale, sono simmetrici rispetto a "s"=1/2 e anche rispetto alla retta Im("s")=0. Di conseguenza, per ogni zero non banale σ+"it" ve n'è un altro in σ-"it" ed altri due in 1-σ±"it" (questi zeri coincidono con i precedenti se σ=1/2). Inoltre, nelle loro dimostrazioni del teorema dei numeri primi, Hadamard e de la Vallée Poussin mostrarono che la funzione zeta non ha zeri neanche nella retta Re("s")=1 (e dunque, per l'equazione funzionale, neanche in Re("s")=0). In particolare, tutti gli zeri non banali della funzione zeta sono nella striscia 0<Re("s")<1, che viene dunque detta striscia critica. Nella sua memoria del 1859, Riemann ha espresso la sua convinzione che gli zeri siano disposti proprio al centro di tale striscia, nella retta Re("s")=1/2 (la retta critica); questa congettura è tuttora aperta ed ha preso il nome di "ipotesi di Riemann" (in inglese "Riemann hypothesis" o "RH").


title: Funzione zeta di Riemann

text: L'ipotesi di Riemann è molto lontana dall'essere dimostrata e non è ancora noto se esista un ε>0 tale che tutti gli zeri σ+"it" di ζ stiano in σ<1-ε (l'ipotesi di Riemann corrisponde a ε=1/2). Tuttavia, qualche risultato parziale è stato ottenuto; il primo ad estendere la regione priva di zeri ("zero-free region") è stato de la Vallée Poussin, che nel 1899 ha provato che gli zeri della funzione zeta di Riemann soddisfano la disequazione


title: Funzione zeta di Riemann

text: per una costante formula_49. Questo risultato è stato leggermente migliorato nel corso degli anni, con progressi portati da John Edensor Littlewood, Nikolai Chudakov, Nikolai Mikhailovich Korobov e Ivan Matveevič Vinogradov. Quest'ultimo nel 1958 ha dimostrato che


title: Funzione zeta di Riemann

text: per formula_51 e per una costante formula_52 Se si eccettua per alcuni miglioramenti alla costante formula_53 (il più recente dei quali è dovuto a Ford, che ha dimostrato che si può prendere formula_54), il teorema di Vinogradov è tuttora la migliore disuguaglianza nota per la regione priva di zeri.


title: Funzione zeta di Riemann

text: Nella memoria di Riemann è presente una stima asintotica per il numero di zeri non banali con parte immaginaria compresa tra formula_55 e formula_56 per formula_56 che tende all'infinito. Definito


title: Funzione zeta di Riemann

text: e formula_63 indica l'argomento. Questa formula, enunciata da Riemann, è stata dimostrata da von Mangoldt nel 1905 ed è nota come formula di Riemann-von Mangoldt.


title: Funzione zeta di Riemann

text: Il primo risultato rilevante in questa direzione è dovuto a Hardy e Littlewood, che hanno provato che


title: Funzione zeta di Riemann

text: per una qualche costante "κ">0. Successivamente ci sono stati vari miglioramenti a questa costante, tra i quali i più rilevanti sono quelli di Levinson e Conrey che hanno dimostrato rispettivamente che si può prendere "κ"=1/3 e "κ"=2/5.


title: Funzione zeta di Riemann

text: Un'altra importante congettura sulla funzione zeta di Riemann (detta "congettura degli zeri semplici" o, in inglese, "Simple Zeros Conjecture") asserisce che tutti gli zeri della funzione sono semplici. I risultati ottenuti a proposito della percentuale degli zeri semplici sono molto simili a quelli per la percentuale degli zeri sulla retta critica ed anche in questo caso è stato provato che


title: Funzione zeta di Riemann

text: Dalla formula asintotica per "N"("T") è facile dimostrare che, assumendo l'ipotesi di Riemann, la distanza media tra due zeri consecutivi di ζ("s") ad altezza "T" è 2Π/log"T". Ci possono però essere intervalli insolitamente lunghi ed insolitamente corti senza zeri ed infatti, assumendo l'ipotesi di Riemann ed indicando con formula_69 l"'n"-esimo zero non banale (di parte immaginaria positiva) della funzione zeta di Riemann, si ha che esistono due costanti λ<1 e λ>1 tali che


title: Funzione zeta di Riemann

text: Un'importante congettura sugli zeri della funzione zeta di Riemann è la "congettura della correlazione delle coppie" di Hugh Montgomery (in inglese, "pair correlation conjecture"). Questa congettura afferma che, per ogni β>α>0, si ha


title: Funzione zeta di Riemann

text: La funzione zeta di Riemann ha un polo semplice in formula_74 la sua serie di Laurent in tale punto è


title: Funzione zeta di Riemann

text: dove formula_79 è la costante di Eulero-Mascheroni e formula_80 sono gli zeri non banali della funzione zeta.


title: Funzione zeta di Riemann

text: Questa rappresentazione converge per formula_87 e non può essere dunque usata per estendere il dominio della funzione.


title: Funzione zeta di Riemann

text: Se π("x") è il numero di numeri primi compresi tra formula_55 e formula_8 allora possiamo scrivere che:


title: Funzione zeta di Riemann

text: Il calcolo dei valori esatti della funzione zeta è stato un compito piuttosto difficile: Eulero riuscì nel 1735 ad avere una formula esatta per la funzione zeta di formula_94. Il suo metodo si poteva applicare per tutti gli formula_2 pari:


title: Funzione zeta di Riemann

text: dove formula_100 è l'formula_35-esimo numero di Bernoulli. Non sono note formule analoghe, per i valori della funzione zeta in corrispondenza di formula_102 né per altri valori dispari (e maggiori di formula_4) di formula_2. Sommando i primi termini della serie che definisce la funzione zeta si possono però ottenere valori approssimati:


title: Funzione zeta di Riemann

text: La razionalità e la trascendenza di questi valori è da molti anni al centro dell'interesse di molti studiosi di teoria dei numeri trascendenti. Al 2014, non è noto se essi siano trascendenti o meno, mentre l'irrazionalità è stata dimostrata solo per la costante di Apéry ζ(3) da Roger Apéry nel 1978. Ci sono inoltre altri risultati parziali sull'irrazionalità di queste costanti; ad esempio, è stato dimostrato che almeno uno tra ζ(5), ζ(7), ζ(9), e ζ(11) è irrazionale.


title: Funzione zeta di Riemann

text: Molto prima che Hadamard e de la Vallée Poussin dimostrassero il teorema dei numeri primi, Bernhard Riemann pubblicò nel 1859 (come accennato) un articolo in cui trattava la funzione zeta. Oltre a estendere il dominio della funzione tramite prolungamenti analitici Riemann, partendo dal prodotto di Eulero, dimostrò una formula straordinaria che esprimeva appieno la correlazione tra numeri primi e funzione zeta


title: Funzione zeta di Riemann

text: con formula_115 che è il logaritmo integrale e la serie sulla destra è sommata su tutti gli zeri non banali formula_80 della funzione zeta di Riemann. La formula dà sempre un valore numerico reale anche se i formula_80 sono numeri complessi. Questo è dovuto al fatto che le parti immaginarie degli zeri sono simmetriche rispetto all'origine. In altre parole se formula_118 anche formula_119 e questa proprietà si estende anche a formula_120. Sommando dunque queste quantità la parte immaginaria si annulla.


title: Sistema di coordinate polari

text: In matematica, il sistema di coordinate polari è un sistema di coordinate bidimensionale nel quale ogni punto del piano è identificato da un angolo e da una distanza da un punto fisso detto polo.


title: Sistema di coordinate polari

text: Il sistema di coordinate polari è utile specialmente nei casi in cui le relazioni tra due punti possono essere espresse più facilmente in termini di angoli e di distanza; nel più familiare sistema di coordinate cartesiane, o sistema di coordinate rettangolari, tale relazione può essere espressa solamente tramite le funzioni trigonometriche.


title: Sistema di coordinate polari

text: Siccome il sistema di coordinate è bidimensionale, ogni punto è determinato da due coordinate polari: la coordinata radiale e quella angolare. La prima, di solito identificata con la lettera formula_1, denota la distanza del punto da un punto fisso detto polo (equivalente all'origine del sistema cartesiano). La coordinata angolare, solitamente denotata con la lettera greca θ, è anche detta "angolo azimutale" ed identifica l'angolo che la semiretta a 0° deve spazzare in senso antiorario per andare a sovrapporsi a quella che congiunge il punto al polo.


title: Sistema di coordinate polari

text: I concetti di angolo e raggio erano già utilizzati dai popoli antichi del I millennio a.C. L'astronomo greco Ipparco di Nicea (190-120 a.C.) costruì una tabella delle funzioni delle corde, che fornivano la lunghezza della corda sottesa da ogni angolo; esistono anche riferimenti all'utilizzo delle coordinate polari per stabilire le posizioni delle stelle.


title: Sistema di coordinate polari

text: Nel saggio "Sulle Spirali", Archimede descrive la sua famosa spirale, una funzione il cui raggio dipende dall'angolo. L'opera dei greci, comunque, non si estese a un sistema di coordinate polari universalmente accettato.


title: Sistema di coordinate polari

text: Verso la metà del XVII secolo, Gregorio di San Vincenzo e Bonaventura Cavalieri introdussero, indipendentemente l'uno dall'altro, il concetto di coordinate polari. Il fiammingo Gregorio di San Vincenzo espose questo concetto nell'opera "Opus geometricus" del 1647, ma si ritiene che ne fosse a conoscenza dal 1625. Cavalieri pubblicò il suo lavoro nel 1635, ma nel 1653 fu stampata un'edizione più corretta. Cavalieri per primo utilizzò le coordinate polari per risolvere i problemi relativi al calcolo dell'area sottesa da una spirale di Archimede. Pascal, in seguito, utilizzò le coordinate polari per calcolare la lunghezza degli archi parabolici.


title: Sistema di coordinate polari

text: Nel "Metodo per il calcolo differenziale" (scritto nel 1671 e pubblicato nel 1736), Isaac Newton esaminò le trasformazioni che avvenivano tra le coordinate polari e quelle che sussistevano tra altri nove sistemi di coordinate.


title: Sistema di coordinate polari

text: Nel giornale "Acta Eruditorum" del 1691, Jacob Bernoulli utilizzò il sistema con un punto e una linea, che chiamò rispettivamente "polo" e "asse polare". Le coordinate erano specificate dalla distanza dal polo e dall'angolo formato con l'asse polare; l'opera di Bernoulli si estese al calcolo del raggio di curvatura delle curve, espresse in queste coordinate.


title: Sistema di coordinate polari

text: Il termine "coordinate polari" è stato attribuito a Gregorio Fontana, e fu utilizzato dagli scrittori italiani del XVIII secolo. Alexis Clairaut fu il primo a pensare le coordinate polari in tre dimensioni, ed Eulero fu il primo a svilupparle effettivamente.


title: Sistema di coordinate polari

text: Ogni punto del sistema di coordinate polari può essere descritto con le due coordinate polari, di solito chiamate formula_1 (coordinata radiale) e θ (coordinata angolare). La coordinata formula_1 rappresenta la distanza radiale dal polo, mentre la θ è l'angolo in senso antiorario da percorrere partendo da 0° (asse di riferimento).


title: Sistema di coordinate polari

text: Ad esempio, le coordinate polari (3, 60°) devono essere disegnate con un punto posto a tre unità di distanza dal polo e in modo tale che la semiretta congiungente il punto al polo formi un angolo di 60° con l'asse di riferimento. È ovvio che il punto (3, -300°) coinciderà con il punto precedente, perché l'angolo -300° corrisponde esattamente all'angolo 60°; per la stessa proprietà degli angoli, anche tutti i punti (3, 60° + "K"×360°), con K numero intero, coincideranno con il primo punto, perché sommando o sottraendo angoli giri dallo stesso angolo, il risultato non cambia. In generale, tutti i punti identificati dalle coordinate ("r", θ + "K"×360°) corrispondono allo stesso punto disegnato nel piano polare.


title: Sistema di coordinate polari

text: Ciò illustra un importante aspetto del sistema di coordinate polari, che non è presente in quello a coordinate cartesiane: ogni singolo punto può essere espresso con un numero infinito di coordinate differenti, ognuna delle quali è sfasata rispetto alle altre di un numero intero di angoli giri.


title: Sistema di coordinate polari

text: Le coordinate arbitrarie (0, θ) sono convenzionalmente utilizzate per rappresentare il polo, senza particolare interesse per il valore di θ, infatti ogni punto distante 0 dal polo coincide con il polo qualunque sia il suo angolo.


title: Sistema di coordinate polari

text: In notazione polare, gli angoli sono generalmente definiti in gradi o radianti, utilizzando la convenzione per cui 2π rad = 360°. Le applicazioni per la navigazione utilizzano maggiormente i gradi, mentre le applicazioni fisiche (specialmente in meccanica rotazionale) e quasi tutta la letteratura matematica sul calcolo utilizzano le misure in radianti.


title: Sistema di coordinate polari

text: Le due coordinate polari formula_1 e formula_5 possono essere convertite nelle coordinate cartesiane formula_6 e formula_7 utilizzando le formule delle funzioni trigonometriche seno e coseno:


title: Sistema di coordinate polari

text: mentre le due coordinate cartesiane formula_6 e formula_7 possono essere convertite nella coordinata polare formula_1 applicando il teorema di Pitagora:


title: Sistema di coordinate polari

text: Un metodo alternativo di ricavare formula_5 in termini di formula_6 e formula_7 è la seguente. Sfruttando un'identità trigonometrica


title: Sistema di coordinate polari

text: Moltissimi software (tra cui Microsoft Excel) e linguaggi di programmazione (tra cui Java) dispongono della funzione "atan2" per passare dalle coordinate cartesiane a quelle polari.


title: Sistema di coordinate polari

text: L'equazione che definisce una curva algebrica espressa in coordinate polari è conosciuta come "equazione polare". In molti casi, tale equazione può essere semplicemente espressa definendo formula_1 come funzione di formula_5. La curva risultante consiste quindi dei punti della funzione formula_37 e può essere considerata come il grafico della funzione polare di formula_1.


title: Sistema di coordinate polari

text: Dall'equazione della funzione polare di formula_1 si possono dedurre diverse forme di simmetria. Se formula_40, la curva sarà simmetrica rispetto all'asse orizzontale, mentre se formula_41 sarà simmetrica rispetto a quello verticale, e se formula_42, costituirà una simmetria rotazionale di formula_43 in senso antiorario.


title: Sistema di coordinate polari

text: A causa della natura circolare del sistema di coordinate polari, molte curve possono essere descritte da una equazione polare piuttosto semplice, mentre la loro espressione cartesiana sarebbe più complicata. Tra le curve più conosciute di questa specie ci sono la rodonea, la spirale di Archimede, la lemniscata, il limaçon, e la cardioide.


title: Sistema di coordinate polari

text: Questa formula può essere semplificata in vari modi, per adattarla a casi più specifici, come l'equazione


title: Sistema di coordinate polari

text: in cui φ è l'angolo formato dalla retta; cioè, φ = arctan formula_50 dove formula_50 è l'inclinazione della retta nel sistema di coordinate cartesiane. La linea non radiale che attraversa la retta radiale θ = φ perpendicolarmente nel punto (formula_1, φ) ha equazione


title: Sistema di coordinate polari

text: Una rodonea è una celebre curva matematica che appare come un fiore con petali, e che si può esprimere semplicemente con un'equazione polare, data da


title: Sistema di coordinate polari

text: Posto formula_56 come numero intero, l'equazione produrrà con formula_56 dispari una rodonea di tipo formula_56, con formula_56 pari di tipo formula_60. Se formula_56 è invece un numero irrazionale, la curva formerà un disco. È da notare che queste equazioni non definiscono il numero dei petali della rosa; la variabile formula_45 rappresenta solamente la lunghezza dei petali.


title: Sistema di coordinate polari

text: La spirale di Archimede è una famosa spirale che fu scoperta da Archimede, e che può essere espressa semplicemente con una equazione polare, della forma


title: Sistema di coordinate polari

text: Modificando il parametro formula_45, la spirale ruoterà, mentre formula_65 controlla la distanza tra i bracci, che per una data spirale è sempre costante. La spirale di Archimede presenta due bracci, uno per θ > 0 e l'altro per θ < 0, ed entrambi si congiungono nel polo. Prendendo l'immagine speculare di un braccio lungo la retta 90°/270°, i due bracci si sovrappongono. Questa curva è notevole anche per essere stata una delle prime curve, dopo le sezioni coniche, ad essere descritta in un trattato matematico, e per essere stata il primo esempio di una curva che è rappresentata dalle coordinate polari meglio che dalle cartesiane.


title: Sistema di coordinate polari

text: Una sezione conica con un fuoco sul polo e l'altro coincidente con un altro punto dell'asse a 0° (in modo che l'asse maggiore della conica possa giacere sull'asse polare) è data dall'equazione


title: Sistema di coordinate polari

text: in cui "e" è l'eccentricità della curva e formula_67 è la perpendicolare al semiasse maggiore della curva. Se "e" > 1, questa equazione definisce un'iperbole, se "e" = 1, definisce una parabola e se "e" < 1, definisce un'ellisse. Il caso particolare in cui "e" = 0, riduce l'ellisse a una circonferenza di raggio formula_67.


title: Sistema di coordinate polari

text: Ogni numero complesso può essere rappresentato come un punto del piano complesso, e può quindi essere espresso sia in coordinate cartesiane (chiamata "forma rettangolare") o nelle coordinate polari del punto (chiamata "forma polare"). Il numero complesso formula_69 si rappresenta in forma rettangolare come


title: Sistema di coordinate polari

text: in cui formula_74 è il numero di Nepero. Le due formule sono equivalenti per quanto stabilito dalla formula di Eulero. Per convertire la forma rettangolare a polare e viceversa, si possono applicare le formule sopra citate.


title: Sistema di coordinate polari

text: Per le operazioni di moltiplicazione, divisione e esponenziale di numeri complessi, è in generale più semplice operare con i numeri complessi espressi in forma polare, piuttosto che in forma rettangolare. Infatti, per le regole degli esponenziali:


title: Sistema di coordinate polari

text: Sfruttando la forma polare di un numero complesso si può arrivare alla formula della traslazione in coordinate polari. Presi due punti nelle coordinate polari formula_78 e formula_79, espressi con la formula di Eulero sono


title: Sistema di coordinate polari

text: Se consideriamo il punto formula_81 come punto traslato e formula_82 come origine del nuovo asse, sia poi formula_83 il punto non traslato, allora la traslazione è


title: Sistema di coordinate polari

text: Per applicare una traslazione alla funzione possiamo sostituire formula_88 con la formula sopra, quindi


title: Sistema di coordinate polari

text: Se formula_91 è una funzione costante allora la traslazione rappresenta una circonferenza in quanto l'equazione


title: Sistema di coordinate polari

text: rappresenta una circonferenza con centro l'origine è raggio il valore della costante. Nota che in termini geometrici la traslazione di un punto è la distanza tra il punto e l'origine del nuovo asse, come è ben visibile dalla formula stessa. Per convertire la curva traslata da coordinate polari a cartesiane dobbiamo prelevare il punto sulla curva in coordinate polari e trasformarlo in coordinate cartesiane, si ottiene semplicemente lo stesso sistema visto sopra, basta infatti prelevare il punto formula_81 che è componente del punto formula_83.


title: Sistema di coordinate polari

text: Il calcolo infinitesimale può essere applicato alle equazioni espresse in coordinate polari. La coordinata angolare formula_5, in questa sezione, viene espressa in radianti, la scelta convenzionale nel calcolo infinitesimale.


title: Sistema di coordinate polari

text: Per trovare la pendenza cartesiana della tangente alla curva polare formula_100 in un dato punto, la curva viene per prima cosa espressa con un sistema di equazioni parametriche.


title: Sistema di coordinate polari

text: Effettuando il rapporto tra la seconda e la prima equazione, si ottiene la pendenza della retta tangente alla curva nel punto ("θ", "r"(θ)):


title: Sistema di coordinate polari

text: Se "R" indica la regione dello spazio racchiusa dalla curva "r"(θ) e dalle rette θ = "a" e θ = "b", in cui 0 < "b" − "a" < 2π, allora l'area di "R" è espressa da


title: Sistema di coordinate polari

text: Si può giungere a questo risultato come segue: per prima cosa, l'intervallo ["a", "b"] viene diviso in "n" sottointervalli, in cui "n" è un numero intero positivo arbitrario. Chiamata Δθ l'ampiezza di ogni sottointervallo, sussiste la relazione che Δθ è pari a "b" − "a" (l'ampiezza totale dell'intervallo), divisa per "n", numero dei subintervalli. Per ogni sottointervallo, "i" = 1, 2, …, "n", si chiama θ il suo punto medio, e si costruisce un settore circolare con centro nel polo, raggio "r"(θ), e angolo Δθ. L'area di ogni settore costruito è perciò pari a formula_108. L'area totale di tutti i settori sarà pertanto uguale a


title: Sistema di coordinate polari

text: Quando cresce il numero dei sottointervallo formula_110, l'approssimazione dell'area continua a migliorare. Al limite, per formula_111, la somma giunge ad essere la somma di Riemann per l'integrale precedente.


title: Sistema di coordinate polari

text: La lunghezza della linea espressa da una funzione polare, viene ottenuta per integrazione di segmenti infinitesimi lungo la curva "r"("θ") stessa. Usiamo "L" per denotare la lunghezza della linea a partire dal punto iniziale "A" fino al punto finale "B", dove questi punti corrispondono a: "formula_112 = a" , "formula_113 = b".


title: Sistema di coordinate polari

text: Utilizzando le coordinate cartesiane, un elemento infinitesimo di area può essere calcolato come formula_116. La regola della sostituzione per integrali multipli stabilisce che, passando ad altre coordinate, bisogna considerare il valore assoluto del determinante della matrice jacobiana:


title: Sistema di coordinate polari

text: Qui formula_120 è la stessa regione ricavata sopra, e corrisponde all'area racchiusa dalla curva formula_100 e dalle rette formula_122 e formula_123.


title: Sistema di coordinate polari

text: La formula per il calcolo di formula_120 è stata ricavata assumendo formula_91 identicamente uguale a formula_126. Un'applicazione sorprendente di questo risultato riguarda la possibilità di calcolare l'integrale di Gauss


title: Sistema di coordinate polari

text: Le coordinate polari si possono applicare anche al calcolo vettoriale e, in particolare, allo studio della cinematica dei moti piani.


title: Sistema di coordinate polari

text: Il modulo formula_1 e l'angolo polare formula_5 dipendono dal tempo formula_134 e descrivono il movimento di un corpo nel piano.


title: Sistema di coordinate polari

text: Il sistema di coordinate polari si può estendere anche alle tre dimensioni, con due differenti sistemi di coordinate, quelle cilindriche e quelle sferiche, delle quali entrambe richiedono coordinate polari planari o bidimensionali come base. In sintesi, il sistema di coordinate cilindriche estende le coordinate polari aggiungendo un'altra coordinata della distanza, mentre le coordinate sferiche aggiungono un'altra coordinata angolare.


title: Sistema di coordinate polari

text: Il "sistema di coordinate cilindriche" è un sistema di coordinate che estende il sistema bidimensionale polare aggiungendo una terza coordinata, che misura l'altezza di un punto dal piano base, in modo simile a quello in cui si introduce la terza dimensione nel piano cartesiano. La terza coordinata è spesso chiamata formula_144, e l'intera terna è quindi formula_145.


title: Sistema di coordinate polari

text: Le coordinate polari possono essere estese in tre dimensioni anche utilizzando le coordinate formula_147, in cui formula_148 è la distanza dal polo, formula_5 è l'angolo formato con l'asse formula_69 e formula_151 è l'angolo formato dalla proiezione sul piano formula_152, con l'asse formula_6. Questo sistema di coordinate, chiamato "sistema di coordinate sferiche", è simile al sistema della latitudine e longitudine utilizzato per la Terra, con la latitudine formula_154 che è il complementare di formula_5, se formula_69 è l'asse di rotazione terrestre, determinato dalla relazione formula_157 e la longitudine est formula_158 (se formula_151 compreso fra 0° e 180°) oppure la longitudine ovest formula_160 (se formula_151 è compreso fra -180° e 0°), se il semipiano formula_162 con formula_163 contiene il meridiano di Greenwich.


title: Sistema di coordinate polari

text: Le tre coordinate cartesiane di un punto si ottengono dalle tre coordinate sferiche di quel punto con le formule:


title: Sistema di coordinate polari

text: Le coordinate polari sono bidimensionali, e pertanto possono essere utilizzate soltanto ove le posizioni dei punti giacciano su un singolo piano bidimensionale. Il loro utilizzo è appropriato in ogni contesto in cui il fenomeno considerato sia legato alla direzione e alla distanza da un certo punto; gli esempi sopra mostrati mostrano come elementari equazioni polari siano sufficienti a definire curve – come la spirale di Archimede – la cui equazione in coordinate cartesiane sarebbe molto più intricata. Inoltre, molti sistemi fisici – come quelli riguardanti i corpi che si muovono intorno a un punto centrale e con fenomeni originanti da un punto centrale – possono essere trattati in modo più semplice e più intuitivo utilizzando le coordinate polari. La motivazione iniziale per l'introduzione del sistema polare fu lo studio del moto circolare e del moto orbitale.


title: Sistema di coordinate polari

text: Le coordinate polari sono spesso utilizzate nella navigazione, quando la destinazione o la direzione del viaggio possono essere forniti attraverso un angolo e una distanza dal luogo di arrivo. Ad esempio, gli aeroplani utilizzano una versione leggermente modificata delle coordinate polari per la navigazione. In questo sistema, gli angoli sono considerati in senso orario. L'angolo a 360° (0°) corrisponde al nord magnetico, mentre gli angoli a 90°, 180° e 270° corrispondono all'est magnetico, sud magnetico e ovest magnetico rispettivamente. Pertanto, un aeroplano che viaggia a 5 miglia nautiche a est starà viaggiando a 5 unità verso l'angolo di 90°.


title: Sistema di coordinate polari

text: I sistemi che mostrano una simmetria radiale sono l'ambiente ideale per l'applicazione delle coordinate polari, con il punto centrale che agisce da polo. Sistemi con una forza centrale sono anche potenziali candidati all'utilizzo delle coordinate polari: questi sistemi includono i campi gravitazionali, che obbediscono alla legge dell'inverso del quadrato, come anche i sistemi con una sorgente puntiforme, come le radio antenne.


title: Città della Russia

text: Nelle seguenti tabelle vengono elencate in ordine alfabetico tutte le località della Russia cui è stato concesso il titolo di città (), fatta eccezione per le città della repubblica di Crimea ("de jure" territorio ucraino).


title: Endemismo

text: L'endemismo è il fenomeno per cui alcune specie vegetali o animali sono esclusive di un dato territorio. Anche se, tecnicamente, il termine endemismo si può applicare anche a territori vastissimi, come interi continenti (per esempio gli armadilli sono endemici dell'America), risultano interessanti gli endemismi relativi ad areali molto ristretti come quelli insulari, a volte estesi solo per qualche chilometro quadrato.


title: Endemismo

text: Il termine endemismo fu utilizzato per la prima volta in botanica nel 1820 dal naturalista svizzero Augustin Pyramus De Candolle, che lo riprese dalla terminologia medica.


title: Endemismo

text: Si parla invece di endemismo puntiforme quando l'areale della specie è limitato a un ambiente di piccole dimensioni senza che vi sia la possibilità di espansione naturale dello stesso; esempi di endemismi puntiformi italiani sono il Carpione del Garda ed il Carpione del Fibreno, oltre a quasi tutte le faune cavernicole. Spesso gli endemismi puntiformi corrono seri rischi di estinzione.


title: Endemismo

text: Fattori fisici, climatici e biologici possono contribuire all'endemismo. L'uccello dal petto arancione si trova esclusivamente nella zona di vegetazione di fynbos nel sud - ovest del Sud Africa. L'orso glaciale si trova solo in posti limitati nel sud-est dell'Alaska. I fattori politici possono svolgere un ruolo se una specie è protetta o cacciata attivamente in una giurisdizione ma non in un'altra.


title: Endemismo

text: Esistono due sottocategorie di endemismo: paleoendemismo e neoendemismo. Il paleoendemismo si riferisce a specie che erano precedentemente diffuse ma che ora sono limitate a un'area più piccola. Il neoendemismo si riferisce a specie che sono sorte di recente, come attraverso la divergenza e l'isolamento riproduttivo o attraverso l'ibridazione e la poliploidia nelle piante.


title: Endemismo

text: Le specie endemiche possono facilmente diventare in via di estinzione o estinte se i loro cambiamenti di habitat limitati, in particolare, ma non solo, a causa di azioni umane, tra cui l'introduzione di nuovi organismi. Alla fine del secolo, i petrels erano ritenuti estinti. I cedri, già devastati da secoli di costruzione navale, furono portati quasi all'estinzione nel ventesimo secolo dall'introduzione di un parassita. I petrels e i cedri delle Bermuda sono ora rari, così come altre specie endemiche delle Bermuda.


title: Endemismo

text: Gli endemismi sono particolarmente diffusi nelle isole, dove sono favoriti dalle barriere geografiche che evitano la dispersione zoologica: la quantità di endemismi riscontrabili su un'isola è direttamente proporzionale alla sua età geologica ed alla sua distanza dalla terraferma. Altri ambienti possono essere di fatto isolati dalle aree circostanti perché presentano habitat o climi completamente dissimili: le alte vette montane, le caverne, i laghi profondi, le fosse oceaniche.


title: Endemismo

text: La circoscrizione dell'areale in cui un organismo endemico vive, a cui spesso si somma l'alta specificità in termini di adattamento che questo evolve, fa sì che gli organismi endemici siano estremamente vulnerabili nei confronti di cambiamenti climatici, competizione con organismi non autoctoni.


title: Endemismo

text: Nel mondo, sono considerati importantissimi centri di endemismi ristretti le isole Galápagos, le isole Hawaii, la Nuova Caledonia, l'isola di Socotra, il Madagascar, la Nuova Zelanda, le isole Mascarene, le isole Canarie. In Italia risultano molto ricche di endemismi la Sardegna e la Sicilia, nonché le isole minori.


title: Endemismo

text: In Europa, il maggior centro di biodiversità vegetale è rappresentato dalle Alpi che ospitano circa specie di piante (il 43% della flora europea) di cui 350 endemiche (7% del totale).


title: Endemismo

text: A volte una specie diffusa su più territori presenta sottospecie endemiche di singole aree (p.es. l'orso bruno).


title: Endemismo

text: Le principali cause del degrado dell'habitat e della perdita in ecosistemi altamente endemistici includono l'agricoltura, la crescita urbana, l'estrazione superficiale, l'estrazione di minerali, le operazioni di disboscamento e l'agricoltura taglia e brucia.


title: Pol Espargaró

text: Inizia la sua carriera da pilota professionista nel campionato spagnolo, che vince nel 2006. Nello stesso anno avviene il debutto nel motomondiale al Gran Premio motociclistico di Catalogna, al circuito di Montmeló, in qualità di wildcard a bordo di una Derbi RS 125 R quando aveva appena compiuto 15 anni (età limite per correre). Corre da pilota sostitutivo gli ultimi sei Gran Premi con il team Campetella Racing Junior e si fa notare anche nell'ultima gara disputata a Valencia in cui ottenne un 6º posto. Ottiene in tutto 19 punti.


title: Pol Espargaró

text: Nel 2007 viene confermato dal team Belson Campetella Racing quale pilota titolare, facendosi notare soprattutto in Portogallo, in cui giunge terzo. Termina la stagione al 9º posto con 110 punti Nel 2008 passa al team Belson Derbi con compagno di squadra Joan Olivé. Ottiene due secondi posti (Catalogna e Indianapolis), un terzo posto in Italia, due pole position (Catalogna e Indianapolis) e termina la stagione al 9º posto con 124 punti. In questa stagione è costretto a saltare i GP di Gran Bretagna e Olanda per la frattura della clavicola sinistra rimediata durante le prove libere del GP di Gran Bretagna. Nel 2009 rimane nel team Derbi Racing, avendo come compagni di squadra Olivé e Efrén Vázquez. Ottiene le sue prime vittorie (Indianapolis e Portogallo), tre terzi posti (Giappone, Malesia e Comunità Valenciana) e una pole position in Australia e termina la stagione al 4º posto con 174,5 punti.


title: Pol Espargaró

text: Nel 2010 corre ancora per il team Derbi Tuenti Racing, avendo come compagno di squadra il solo Vázquez. Ottiene tre vittorie (Spagna, Francia e Aragona), cinque secondi posti (Gran Bretagna, Repubblica Ceca, Malesia, Australia e Comunità Valenciana) e tre terzi posti (Italia, Paesi Bassi e Catalogna) e termina la stagione al 3º posto con 281 punti. Nel 2011 passa in Moto2 ingaggiato dal team HP Tuenti Speed Up con una FTR M211, ottenendo un secondo posto a Indianapolis e un terzo posto in Malesia e terminando la stagione al 13º posto con 75 punti.


title: Pol Espargaró

text: Nel 2012 passa alla guida di una Kalex Moto2 del team Pons 40 HP Tuenti, con compagni di squadra Esteve Rabat e Axel Pons. Giunge terzo in Qatar. Ottiene la sua prima vittoria nella classe in Spagna. In Portogallo giunge secondo. Vince in Gran Bretagna, giunge secondo in Italia e a Indianapolis e terzo in Repubblica Ceca dopo essere partito in tutte le occasioni dalla pole position. Nel Gran Premio di San Marino giunge secondo. Vince in Aragona. In Giappone giunge secondo dopo essere partito dalla pole position. Ottiene un'altra pole position in Malesia. Vince in Australia dopo essere partito dalla pole position. Ottiene un'altra pole position in Comunità Valenciana. Conclude la stagione al 2º posto con 269 punti.


title: Pol Espargaró

text: Nel 2013 rimane nello stesso team, ottenendo sei vittorie (Qatar, Catalogna, Paesi Bassi, San Marino, Australia e Giappone), un secondo posto in Malesia, due terzi posti (Germania e Aragona) e sei pole position (Qatar, Catalogna, Paesi Bassi, San Marino, Australia e Comunità Valenciana) e laureandosi campione del mondo con 265 punti. Nel 2014 passa in MotoGP, alla guida della Yamaha YZR-M1 del team Tech 3; il compagno di squadra è Bradley Smith. Ottiene i suoi primi punti nella classe regina negli Stati Uniti. Ottiene come miglior risultato un quarto posto in Francia e termina la stagione al 6º posto con 136 punti risultando essere il miglior esordiente di stagione.


title: Pol Espargaró

text: Nel 2015 vince la 8 ore di Suzuka, alternandosi con Bradley Smith e Katsuyuki Nakasuga alla guida della Yamaha YZF-R1. Diventa così il secondo pilota spagnolo ad aggiudicarsi questa corsa, dopo Carlos Checa. Sempre nel 2015 partecipa al campionato mondiale di Moto GP, con lo stesso team, la stessa moto e lo stesso compagno di squadra della stagione precedente. Chiude la stagione al nono posto con 114 punti.


title: Pol Espargaró

text: Nel 2016 rimane nello stesso team, ottenendo come miglior risultato un quarto posto in Olanda e terminando la stagione all'8º posto con 134 punti. Per la stagione 2017 lascia il team Tech 3 per accasarsi alla squadra ufficiale KTM, dove ritrova il compagno di squadra delle stagioni precedenti, ossia il britannico Bradley Smith. Ottiene come miglior risultato un nono posto in Repubblica Ceca e termina la stagione al 17º posto con 55 punti. Nel 2018 rimane nello stesso team, ottenendo un terzo posto in Comunità Valenciana e terminando la stagione al 14º posto con 51 punti. In questa stagione è costretto a saltare i Gran Premi di Repubblica Ceca, Austria e Gran Bretagna per la frattura della clavicola sinistra rimediata nel warm up del GP della Repubblica Ceca e il Gran Premio d'Aragona per una nuova frattura dello stesso osso rimediata nelle prove libere del GP. In occasione del round inglese, il suo posto in squadra viene preso dal francese Loris Baz. Nel Gran Premio della Comunità Valenciana conquista il suo primo podio in MotoGP, un terzo posto. Chiude la stagione al quattordicesimo posto in classifica piloti. Nel 2019 rimane nello stesso team, con compagno di squadra Johann Zarco; ottiene come miglior risultato un sesto posto in Francia e termina la stagione all'11º posto con 100 punti. In questa stagione è costretto a saltare il Gran Premio d'Aragona a causa della frattura del radio sinistro rimediata nelle qualifiche del GP.


title: Pol Espargaró

text: Nel 2020 rimane nello stesso team, con compagno di squadra Brad Binder. Ottiene pole position, la prima in carriera in MotoGP e terzo posto nel Gran Premio di Stiria, dopo un contatto con Miller all'ultima curva che gli ha fatto perdere la prima posizione. Giunge terzo nel Gran Premio dell'Emilia Romagna, in Francia, nel Gran Premio d'Europa (dove è partito nuovamente dalla pole) e in Comunità Valenciana. Chiude la stagione al quinto posto con 135 punti.


title: Pol Espargaró

text: Nel 2021 corre con il team ufficiale Honda, con compagno di squadra Marc Márquez. Ottiene un secondo posto in Emilia Romagna e una pole position in Gran Bretagna e chiude la stagione al dodicesimo posto con 100 punti. In questa stagione è costretto a saltare il Gran Premio della Comunità Valenciana a causa di un trauma toracico rimediato nelle prove libere del GP. Nel 2022 inizia la stagione, sempre con il team ufficiale Honda, con un podio nel GP inaugurale del Qatar. Totalizza cinquantasei punti classificandosi al sedicesimo posto.


title: Chiesa ortodossa copta

text: La Chiesa ortodossa copta, o più comunemente Chiesa copta, è una chiesa cristiana ortodossa miafisita (impropriamente detta monofisita, definizione non accettata né dai copti né dagli etiopi). Fa parte delle Chiese ortodosse orientali.


title: Chiesa ortodossa copta

text: L'organo supremo di governo è il Santo Sinodo, che è presieduto dal Patriarca, che ha la residenza al Cairo. Il Patriarca di Alessandria si avvale del titolo di "Papa copto dell'Egitto". Dopo più di quarant'anni di ministero di Shenouda III, deceduto il 17 marzo 2012, oggi il Papa è Teodoro II, che si è insediato il 18 novembre 2012 al Cairo.


title: Chiesa ortodossa copta

text: Nel corso del XVIII secolo una parte della chiesa copta è tornata in comunione con il Papa di Roma, ed oggi sussiste sotto il nome di Chiesa cattolica copta.


title: Chiesa ortodossa copta

text: La lingua liturgica è il copto. La celebrazione eucaristica è simile a quella europea, ma le due liturgie si sono avvenuta nel 451 (Concilio di Calcedonia).


title: Chiesa ortodossa copta

text: La Chiesa copta è erede del millenario monachesimo egiziano, di cui mantiene ancora le antiche istituzioni monastiche, ed è sede di istituzioni teologiche e accademiche, con una presenza diffusa in una diaspora a livello mondiale. Il censimento del 1986 dichiara 3.300.000 copti, ossia l'8% degli egiziani. Il PEW Research Center nel 2011 ha citato un sondaggio condotto su 16 000 donne egiziane, tra le quali il 5% si è dichiarata cristiana, ma evidenzia la possibilità che il dato sia in realtà una sottostima a causa delle discriminazioni e degli attentati di cui è vittima la comunità. Per la Santa Sede i copti costituirebbero fra il 6 e l'8% della popolazione, mentre altre fonti quantificano nel 10% la presenza copta in Egitto.


title: Chiesa ortodossa copta

text: La concezione di Cristo della Chiesa copta si distingue da quella dei nestoriani e dei monofisiti veri e propri. Ancora oggi i copti amano definirsi "miafisiti", in quanto professano l'unità del Cristo secondo la formula proclamata da Cirillo di Alessandria (370 ca - 444): "una sola natura incarnata di Dio il Verbo". Per i copti, la divinità di Cristo e la sua umanità dimorano in lui in un'unità perfetta formando una natura unita, un'essenza, una sostanza ed un'esistenza indissolubile. Questo è ciò che la Chiesa Copta ha sempre ritenuto di affermare, sia in passato che oggi.


title: Chiesa ortodossa copta

text: La dottrina di San Cirillo venne approvata al concilio di Efeso (431), il terzo della cristianità. Nella professione di fede si affermò "l'unione perfetta della divinità e dell'umanità di Cristo". Al successivo Concilio di Calcedonia (quarto concilio ecumenico, 451) fu adottata la Definizione delle "due nature in Cristo". La Chiesa copta la rigettò per i seguenti motivi:


title: Chiesa ortodossa copta

text: Nonostante la proclamata adesione al Credo niceno, al Concilio di Calcedonia la Chiesa copta è stata definita "monofisita" (dottrina che afferma che Cristo ha solo una natura, quella divina, e non due, quella umana insieme alla divina) e da allora non è più in comunione con le chiese latina e greca.


title: Chiesa ortodossa copta

text: La Chiesa copta ortodossa ha un proprio Papa, attualmente Teodoro II (Tewodros), che è in carica dal 18 novembre 2012 come 118º patriarca dalla predicazione di san Marco. Il 4 novembre 2012 il suo nome è stato estratto a sorte da un bambino, la cui mano si dice sia guidata dal volere di Dio, al termine di una lunga liturgia nella cattedrale del Cairo. Come il Papa di Roma per l'antico Patriarcato d'Occidente, cioè l'attuale Chiesa cattolica, è il successore di San Pietro, così il Papa di Alessandria è il successore di San Marco. Per un'antica tradizione, i vescovi della Chiesa copta possono provenire solo dal "clero nero", cioè dai monaci, ai quali è richiesto il celibato, come in tutti gli altri Patriarcati ortodossi orientali, dove il clero secolare è in genere sposato.


title: Chiesa ortodossa copta

text: La Chiesa copta fu fondata in Egitto nel I secolo. Il nome deriva dalla parola con cui gli antichi greci indicavano il popolo egiziano autoctono: "Aigyptioi", passata attraverso l'arabo "gipt" e divenuta poi "qibt". La Chiesa copta ha origine dalla predicazione di san Marco, che scrisse il suo Vangelo nel I secolo e portò il cristianesimo in Egitto (regnante a Roma l'imperatore Nerone).


title: Chiesa ortodossa copta

text: Il IV e il V secolo furono caratterizzati dalla lotta tra le varie dottrine cristologiche. I cristiani si divisero circa la natura di Cristo: gli ariani accentuavano la natura "umana"; i nestoriani, pur considerando Cristo sia uomo che Dio, affermavano che le due nature non erano contemporanee.


title: Chiesa ortodossa copta

text: Nel V secolo, tra il 431 e il 451, si consumò lo scisma della Chiesa copta dalla Chiesa latina e greca. Al Concilio di Efeso (431) le cinque grandi Chiese Madri (Gerusalemme, Alessandria, Roma, Antiochia e Costantinopoli) si erano trovate d'accordo nello stabilire “un'unione perfetta della divinità e dell'umanità di Cristo”. Al Concilio di Calcedonia (451), invece, fu adottata la formula delle “due nature in Cristo”. La Chiesa di Alessandria rifiutò questa definizione, seguita dalle chiese: apostolica armena, ortodossa siriaca e ortodossa d'Etiopia e (da quando faceva parte della Chiesa siriaca) Chiesa ortodossa siriaca del Malankara. Queste chiese sono rimaste fedeli ai concili precedenti; per questo motivo vengono anche chiamate "pre-calcedonesi".


title: Chiesa ortodossa copta

text: La Chiesa copta è stata una delle Chiese a soffrire di più dell'avanzata araba nel Nordafrica. Nonostante la legislazione islamica permettesse alle "religioni del Libro", cioè cristiani, ebrei e zoroastriani, di professare la propria fede, assegnando ai fedeli di altre religioni lo status di "dhimmi", di fatto impediva le conversioni dall'islam al Cristianesimo, o il matrimonio di donne musulmane con cristiani.