2 c) Vi må vise trikotomiegenskapen for, og her trenger vi også å bruke at funksjonene er polynomfunksjoner. Det har seg slik at en polynomfunksjon enten er konstant 0 eller så har den bare endelig mange null-punkter. La f og g være to polynomfunksjoner, og definer h ved h(x) = f(x) g(x). Hvis h(x) = 0 for alle x er f = g. Hvis h(x) > 0 når x vil g f. Hvis h(x) < 0 når x vil f g. Dette er de tre eneste mulighetene, siden h ikke kan ha uendelig mange null-punkter uten å være konstant lik null. Det er viktig for at løsningen i a) skal bli riktig at man får med seg at når f g så er x 0 i definisjonen avhengig av f og g. Det var antatt at studentene er kjent med de egenskapene til polynomfunksjoner som blir brukt i løsningene av b) og c). I noen av besvarelsene ble det hevdet at det er nok å se på gradene til f og g, eventuelt grad og koeffisient foran leddet av høyest grad. Dette er ikke helt tilstrekkelig. Noen påsto også at enten er en polynomfunksjon konstant null, eller så går verdien mot eller når x vokser mot. Dette er heller ikke helt riktig, siden f(x) = 1 er et moteksempel. Oppgave 2 La A = R R og definer relasjonen på A ved hvis max{x, y} = max{x, y }. (x, y) (x, y ) a) Vis at er en ekvivalensrelasjon. Beskriv ekvivalensklassene til geometrisk. b) Vis at hvis en relasjon på en mengde B er refleksiv og transitiv, så vil være en ekvivalensrelasjon, hvor a b a b b a. a) - Vi har at max{x, y} = max{x, y} foa alle (x, y), så relasjonen er refleksiv. 2