Gaugetransformasjoner er spesielle, matematiske forandringer eller variasjoner av de fundamentale felt som beskriver elementærpartiklene. Ingen observasjoner av Naturen rundt oss påvirkes av disse forandringene. Det betyr at alle fysikkens lover er uforanderlige eller invariante under slike transformasjoner. Idag er dette et fundamentalt, fysisk prinsipp som ligger til grunn for all beskrivelse og forståelse av moderne elementærpartikkelfysikk slik som den sammenfattes i Standardmodellen.
Selv om gaugetransformasjoner ble oppdaget i klassisk elektromagnetisme og allerede Maxwell var klar over deres eksistens, var det først ved oppdagelsen av kvantemekanikken at de ble satt inn i en større sammenheng og fikk den betydning de har i dag. [1] Navnet går tilbake til Einsteins generelle relativitetsteori da den var helt ny. Den tyske fysiker Hermann Weyl undersøkte muligheten for at lengden av målestaver kunne forandre seg under forflytning i et krummet tidrom. Denne muligheten håpet han skulle gi opphav til elektromagnetiske felt slik at de kunne forenes i en enhetlig feltteori sammen med gravitasjonsfeltet. En forandring av målestaver heter på tysk Eichtransformation etter det tyske verbet zu eichen for å måle. Derfor ble disse transformasjonene tidligere kalt justertransformasjoner på norsk som i Justervesenet. I dag er engelsk språk mer utbredt, og man bruker i stedet navnet gaugetranformasjon fordi å måle der heter to gauge.
Forsøket til Weyl til å lage en slik enhetlig teori lykkes ikke. Men med etableringen av kvantemekanikken ble man klar over at i stedet for å betrakte forflytninger av målestaver som Weyl hadde gjort, kunne man forflytte bølgefunksjoner eller kvantefelt i det vanlige tidrommet. Dette gir opphav til et nytt vektorfelt som kan identifiseres med det elektromagnetiske feltet. Denne intime sammenhengen mellom kvantemekanikk og elektromagnetisme har spesielt Richard Feynman understreket. [2]
Man ser at gaugetransformasjonen kan være tidsavhengig i alminnelighet. Den tillater altså å erstatte et statisk magnetfelt med ett som varierer med tiden uten at fysikken forandrer seg. Det skyldes Faradays lov ∇ × E = - ∂ B/∂t som sier at det da vil induseres et kompenserende, elektrisk felt slik at systemet under betraktning oppfører seg som før transformasjonen.
hvor c er lyshastigheten. Men andre valg som for eksempel Φ = 0 (strålingsgauge eller Weyl-gauge) eller n⋅A = 0 hvor vektoren n er konstant (aksial gauge), er også mulig og har sine fordeler i spesielle situasjoner.[3]
Det skalare potensialet Φ er derfor gitt ved den samme ligning som i elektrostatikken hvor det ikke forefinnes tidsvariasjoner. Forandres ladningsfordelingen seg ved tidspunktet t, vil potensialet i et annet punkt vilkårlig langt unna forandre seg i samme øyeblikk uten forsinkelse. Dette kan virke ufysisk. Men da det bare er feltet E som er fysisk og det avhenger også av A, vil dette ikke være et problem.
Bevarelse av elektrisk strøm er uttrykt ved kontinuitetsligningen. I denne statiske situasjonen sier den at ∇⋅J(r) = 0. Fra integralet følger da at vektorpotensialet må oppfylle ∇⋅A(r) = 0 som definerer Coulomb-gaugen.
Denne formen blir ofte benyttet i kvantefysikken for å studere egenskapene til atomer i ytre magnetfelt og Zeeman-effekten..
Selv om det er mulig å bruke Coulomb-gauge for tidsvarierende felt som opprinnelig vist av Maxwell, er det mer vanlig i dag å bruke Lorenz-gauge. Den er oppkalt etter den danske fysiker Ludvig Lorenz som først brukte den. I eldre litteratur er den ofte omtalt om Lorentz-gauge etter den nederlandske fysiker Hendrik Lorentz som gjorde den kjent.[1]
Den kan utledes fra definisjonen B(r,t) = ∇ × A(r,t). Tar man curl av denne og bruker identiteten ∇ × (∇ × A) = ∇ (∇⋅A) - ∇ 2A sammen med Maxwells ligninger for ∇ × B og ∇ × E med B = μ0H og E = D/μ0, får man
hvor c 2 = 1/ε0μ0 er kvadratet av lyshastigheten. Velger man nå Lorenz-gaugen ∂Φ/∂t + c 2∇⋅A = 0, forsvinner siste ledd på høyre side og man står igjen med den inhomogene bølgeligningen
for det elektriske potensialet. I denne gaugen utbrer dette seg også med lyshastighet i motsetning til i Coulomb-gauge hvor det forandrer seg instantant med forandringer i ladningstettheten.
En annen, kovariant gauge er xμAμ = 0 som vanligvis kalles for Schwinger-gauge. Men den blir sjelden brukt, og da for mer spesielle problem.[4]
Bevegelsen til en partikkel med masse m og elektrisk ladning q som befinner seg i et elektromagnetisk felt gitt ved de to potensialene (Φ, A), er enklest å beskrive ved bruk av Lagrange-mekanikk. Hvis vi antar at partikkelen beveger seg ikke-relativistisk, følger bevegelsen fra Lagrange-funksjonen
Her er v = dr/dt hastigheten til partikkelen, og de to elektromagnetiske potensialene er i alminnelighet funksjoner av tiden t og partikkelens posisjon r. Under en gaugetransformasjon forandres nå Lagrange-funksjonen til
opprinnelig innført av Euler. Nettoresultatet av gaugetransformasjonen er derfor ganske enkelt L → L + q dχ/dt. Og når en totalderivert med hensyn på tiden legges til Lagrange-funksjonen, forblir bevegelsesligningene uforandret. Derfor er også mekaniske system invariante under gaugetransformasjoner. Dette gjelder også for relativistiske partikler da de har nøyaktig samme kobling til de elektromagnetiske potensialene som i det ikke-relativistiske tilfellet behandlet her.
hvor Ψ = Ψ(r,t) er bølgefunksjonen. Etter en gaugetransformasjon av potensialene vil bølgefunksjonen bli forandret til en løsning av den transformerte ligningen
ikke kan ha noen fysisk konsekvens, kan alle fysiske ligninger gjøres invariante under slike transformasjoner når det samtidig innføres «gaugepotensial» med transformasjonene
En gruppe soldater har kommet tilbake fra krigen og slått leir ved et vertshus. De har det alle travelt med å komme seg hjem, og de to brødrene Zbigniew og Stefan sier farvel til sine kamerater. De gir hverandre et høytydelig løfte om å forbli kavalerer, for verken kone eller barn må forhindre dem i å ta fatt i sverdet i krigens tid. I herregården til de to brødrene er alt klargjort for deres tilbakekomst, og de kommer omsider tilbake med sin trofaste tjener Maciej. Denne sorgløse stemningen blir imidlertid avbrutt når deres tante Cześnikowa kommer på besøk, med ønsket om å gifte dem raskest mulig bort – etter eget valg og ønske vel å merke. Hun har nemlig lovet sin venninne, en mor til to voksne døtre, å gjøre Zbigniew og Stefan til hennes svigersønner. De to brødrene har imidlertid andre planer, og har ikke tenkt seg noe annet sted enn til Mieczniks herregård, hvor faren deres hadde deponert en viss sum penger. Cześnikowa blir urolig, vel vitende om at Miecznik har to voksne, vakre døtre. For å ta reiselysten fra de to brødrene, forteller hun dem at herregården er hjemsøkt. Dette gjør imidlertid ikke større inntrykk på de to, som beslutter å dra til gården.
Nyttår nærmer seg, og Mieczniks herregård venter besøk av mange gjester som skal ankomme samme kveld. Mieczniks to døtre, omringet av husets tjenestepiker, broderer, synger og underholder seg med voksspådommer – om hvem de skal gifte seg med til neste år. Når voksen endelig er smeltet, tømmes den ut over vann, og det viser seg at de to pikene skal få seg riddere og landeiere til menn. Alt dette skjer til stor bedrøvelse for Damazy, som drømmer om en av pikenes hånd og… medgift. De to søstrene er stolte av spådommene, og Miecznik forteller om hvordan han ser sine fremtidige svigersønner. Snart kommer Cześnikowa til herregården, og for å forhindre et eventuelt ekteskap mellom Mieczniks døtre og sine svigersønner, fremstiller hun dem som noen pysete reddharer. Etter å ha fått vite dette beslutter de to søstrene å spille brødrene et puss.
Maciej og de to brødrene skal overnatte på herregården til Miecznik i hvert sitt rom. Nøkkelholderen Skołuba fører så Maciej inn i et stort, forlatt og dystert værelse. Sammensvergelsen er organisert av Damazy, som ønsker å gjøre narr av de angivelige reddharene og latterliggjøre dem i Miecznik-døtrenes øyne. Skołuba advarer derfor den allerede skremte tjeneren om vegguret som spiller av seg selv, og om de opphengte maleriene som går sine egne nattrunder… Når Skołuba går ut av rommet, begynner klokken virkelig å spille av seg selv, og maleriene av husets oldemødre synes å bli levende. Men det er bare Jadwiga og Hanna som har skjult seg bak portrettene. Den lamslåtte Maciej forsøker å flykte, men i døren møter han Stefan og Zbigniew, som ikke lar seg overbevise av Maciejs forklaringer. Zbigniew og Maciej forlater så rommet, og Stefan blir igjen alene. Han minnes sin barndom og sin avdøde mor, men av en eller annen grunn klarer verken han eller Stefan å sovne. Da de to møtes i mørket, er alt klart – de er begge forelsket – Zbigniew i Jadwiga og Stefan i Hanna. Da merkelige ting begynner å skje med vegguret og maleriene, løper de ut av rommet – ikke av frykt – men for å finne ut av hvem som står bak disse pussene. Etter at de har gått stikker Damazy så hodet bak fra uret. Altså har både han og Mieczniks to døtre uavhengig av hverandre besluttet å spille Stefan og Zbigniew et puss. Men Damazy blir grepet av Maciej, som er blitt igjen i rommet. Når de to brødrene kommer tilbake, prøver han å lure seg unna hele mystifikasjonen, og insinuerer samtidig at det hviler en forbannelse over gården – at den er blitt oppført for penger fra skamfulle handlinger. Disse ondsinnede ordene opprører de to unge ridderne, som så beslutter å forlate herregården.