Hiperboličke funkcije su hiperbolički sinus (sh x), hiperbolički kosinus (ch x), hiperbolički tangens (th x), hiperbolički kotangens (cth x), hiperbolički sekans (sech x) i hiperbolički kosekans (cosech x). Grana matematike koja koristi ove funkcije naziva se hiperbolička trigonometrija. Njima inverzne funkcije imaju prefiks area, što treba razlikovati od prefiksa arkus koji stoji ispred inverznih funkcija obične trigonometrije. Anglosaksonske oznake za hiperboličke funkcije su redom  odnosno  i ovde ih češće koristimo zbog praktičnih, softverskih razloga.

Definicije 
Za razliku od običnih trigonometrijskih istoimenih funkcija, hiperbolički sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans i kosekans su određeni sledećim analitičkim definicijama, formulama:

Poreklo imena 
Funkcije su dobile naziv zbog mogućnosti korištenja parametarskih jednačina (jedne grane) hiperbole:

Trigonometrijska hiperbola 

Poput funkcija trigonometrijske kružnice  definišu se i funkcije jedinične jednakostranične hiperbole  Na slici desno je sa u označena dvostruka senčena površina. Tačka  nalazi se na preseku hiperbole i prave OE. Senčena površina OAE, rekli smo da iznosi u/2, može se razumeti kao razlika površina trougla OBE i temenog odsečka ABE hiperbole, gde je OB=x, BE=y.

 Teorema 1 (a) Dvostruka površina  
 (b) 
 (v) 

 Dokaz (a) Sama senčena površina sa slike 
  Pomnožimo dobijenu jednakost sa dva. (b) Iz (a) izračunajmo inverzno  Uvedimo novo ime  (v) Stavimo  tačka E je i dalje na hiperboli, pa smenom h iz (b) dobijamo, pa nakon sređivanja  Zatim uvedimo novo ime  Kraj dokaza 1.

U istoj teoremi (1) funkcija u(x) iz prvog tvrđenja (a) je inverzna funkcij i x(u), tj. cosh(u), iz (b). I obrnuto. Zato se inverzne hiperboličke funkcije zovu area-funkcije, po latinskoj reči area - površina.

Analogije sa trigonometrijskom kružnicom su sledeće: 
 Prvo, pod centralnim uglom φ vidi se luk trigonometrijske kružnice dužine φ. To je senčeni ugao AOE na istoj slici. Projekcija preseka gornjeg kraka AE sa (plavom) kružnicom na apscisu je h, tj. kosinus ugla φ. Inverzna funkcija kosinusu je luk, pa se inverzne trigonometrijske funkcije zovu arkus-funkcije, po latinskoj reči arkus - luk.
 Drugo, dvostruka površina isečka centralnog ugla φ (u radijanima) trigonometrijske kružnice iznosi takođe φ. Naime, površina kružnog isečka je uopšte  pa kako je r = 1 dobijamo  Međutim, ova osobina običnih trigonometrijskih funkcija je retko u upotrebi.

Konačno, jedine fundamentalne funkcije trigonometrija su sinus i kosinus. Pomoću te dve definišemo preostale četiri: tangens, kotangens, sekans i kosekans, kao što je već urađeno na početku definicija. Drugi način da te četiri funkcije definišemo je ista slika. Iz tačke 1 apscise (na slici tačka A) povučemo paralelu sa ordinatom do preseka F sa krakom ugla OE. Zatim iz tačke 1 ordinate (na slici tačka H) povučemo paralelu sa apscisom do preseka D sa krakom ugla OE. Ugao AOE je φ.

 Teorema 2 (a)  (b) 

 Dokaz Na istoj prethodnoj slici trigonometrijske hiperbole imamo (a) slične trouglove , pa je  tj.  jer je AO = 1, pa sledi (a); (b) iz sličnosti  jer  pa važi proporcija  tj.  jer je HO = 1, pa sledi (b). Kraj dokaza 2.

U tački E hiperbole postavimo tangentu (t). Tangenta t seče apscisu u tački T. Ugao između apscise (osa O-A-B-S prethodne slike) i tangente je α. Produžetak tangente dole, seče ordinatu, na slici desno u tački M, koja se ne vidi na prethodnoj slici. 

 Teorema 3 (a) 
 (b) 
 (v) 

 Dokaz Tangenta hiperbole u tački E određena je izrazom 
 
 Otuda je  čime je dokazano (a). Iz sličnosti trouglova 
  sledi  a otuda 
 Zbog  biće  Time je dokazano (b).
 Konačno, iz sličnosti trouglova  sledi  a odatle  dakle,  Time je dokazano (v). Kraj dokaza 3.

Predstavljanje redovima 
Razvojem hiperboličke funkcije u Tejlorov red dobijamo:

Trigonometrijska veza 
Hiperboličke funkcije se mogu definisati i pomoću običnih trigonometrijskih:

Osobine 
Mnoge formule hiperboličkih funkcija su slične odgovarajućim formulama obične trigonometrije:
 
 
 
 
 
 

Kako je  to je prva funkcija parna, a druga neparna. Graf prve je osno simetričan (ordinata, u-osa je osa simetrije), graf druge je centralno simetričan (ishodište, tačka O je centar simetrije), kao što se vidi na slikama dole.

Lako je izračunati sledeće izvode:

Poreklo 
Hiperboličke funkcije su nastale zbog potreba ne-Euklidske geometrije. Tražeći Euklidsku ravan u svojoj ne-Euklidskoj geometriji, Lobačevski je pronašao orisferu. Obratno, Euklidski prostor ima pseudosferu, površ na kojoj važi geometrija Lobačevskog. Ovakva otkrića jednih geometrija u drugima poslužila su za dokaze neprtivrečnosti novih ne-Euklidskih geometrija, tačnije za dokaze njihove međusobne jednake neprotivrečnosti. Sa druge strane, omogućile su prenos trigonometrija. Obična trigonometrija orisfere u prostoru Lobačevskog postaje hiperbolička trigonometrija, i obratno.

Povezano 
 Matematika
 Geometrija
 Trigonometrija
 Hiperbolička trigonometrija
 Sinus hiperbolički
 Kosinus hiperbolički
 Tangens hiperbolički
 Kotangens hiperbolički
 Sekans hiperbolički
 Kosekans hiperbolički
 Inverzne hiperboličke funkcije

 
Funkcije
Specijalne funkcije