Les contributions de Kurt Gödel en 1940 et de Paul Cohen en 1963 ont montré que l'hypothèse ne peut être ni réfutée ni prouvée en utilisant les axiomes de la théorie de Zermelo - Fraenkel, fondement standard des mathématiques modernes, à condition que la théorie des ensembles soit cohérente.
Paul Cohen a montré dans les années 60 que la théorie de Zermelo-Fraenkel ne peut pas non plus servir à prouver l'hypothèse du continuum.