Frattinigruppe
# Frattinigruppe

In der Gruppentheorie ist die Frattinigruppe (oder genauer Frattiniuntergruppe) eine spezielle Untergruppe einer gegebenen Gruppe. Mit ihrer Hilfe kann insbesondere die Struktur endlicher p-Gruppen untersucht werden. Sie ist benannt nach dem italienischen Mathematiker Giovanni Frattini, der sie in einem 1885 erschienenen Artikel definiert hat.

## Definition

Ist $G$ eine Gruppe, dann ist die Frattinigruppe $\Phi (G)$ definiert als der Schnitt aller maximalen Untergruppen von $G$.

Dabei heißt eine Untergruppe $M$ von $G$ maximal, wenn $M\neq G$ gilt und es keine echt größere Untergruppe $H$ mit $M\subsetneq H\subsetneq G$ gibt.

Falls $G$ keine maximalen Untergruppen hat, etwa im Fall der trivialen Gruppe $G=\{e\}$ oder mancher unendlicher Gruppen wie der Prüfergruppe, setzt man $\Phi (G):=G$.

## Eigenschaften

* Die Frattinigruppe ist eine charakteristische Untergruppe, also insbesondere ein Normalteiler.
* Ist $G$ endlich, dann ist $\Phi (G)$ nilpotent. Ist $G/\Phi (G)$ ebenfalls nilpotent, dann ist auch $G$ nilpotent.
* Gilt $G=H\Phi (G)$ mit einer Untergruppe $H$ von $G$, dann ist $G=H$.
* Die Frattinigruppe besteht genau aus den Nichterzeugern von $G$, d. h., es gilt $x\in \Phi (G)$ genau dann, wenn für jede Teilmenge $E\subseteq G$ aus $G=\langle E,x\rangle$ stets $G=\langle E\rangle$ folgt. Mit anderen Worten: Die Elemente der Frattinigruppe sind in jedem Erzeugendensystem von $G$ überflüssig.
