De-Sitter-Raum
# De-Sitter-Raum

In Mathematik und Physik ist ein $n$-dimensionaler De-Sitter-Raum (nach Willem de Sitter), notiert $dS_{n}$, die lorentzsche Mannigfaltigkeit analog zu einer n-Sphäre (mit ihrer kanonischen riemannschen Mannigfaltigkeit); er ist maximal symmetrisch, hat eine konstante positive Krümmung und ist einfach zusammenhängend für $n\geq 3$.

Im vierdimensionalen Minkowski-Raum (3 Raumdimensionen plus die Zeit) bzw. in der Raumzeit ist der De-Sitter-Raum das Analogon zu einer Kugel im gewöhnlichen euklidischen Raum.

In der Sprache der allgemeinen Relativitätstheorie ist der De-Sitter-Raum die maximal symmetrische Vakuumlösung der einsteinschen Feldgleichungen mit einer positiven (repulsiven) kosmologischen Konstanten $\Lambda$ (entsprechend einer positiven Vakuumenergiedichte und negativem Druck) und damit ein kosmologisches Modell für das physikalische Universum; siehe De-Sitter-Modell.

Der De-Sitter-Raum wurde 1917 von Willem de Sitter entdeckt und gleichzeitig – unabhängig von de Sitter – von Tullio Levi-Civita.

## Definition

Der De-Sitter-Raum kann definiert werden als Untermannigfaltigkeit eines Minkowski-Raumes einer höheren Dimension.

Betrachtet man also den Minkowski-Raum $\mathbb {R} ^{1,n}$ mit dem üblichen metrischen Tensor

    ${\textrm {d}}s^{2}=-{\textrm {d}}x_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}{\textrm {d}}x_{i}^{2}.$

Dann ist der De-Sitter-Raum die Untermannigfaltigkeit, die durch das einschalige Hyperboloid

    $\alpha ^{2}=-x_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2},$

beschrieben wird, wobei $\alpha$ eine positive Konstante ist mit der Dimension einer Länge. Der metrische Tensor des De-Sitter-Raumes ist derjenige, der vom metrischen Tensor des Minkowski-Raumes erzeugt wird. Man kann überprüfen, dass die erzeugte Metrik nicht-entartet ist und eine Signatur der Form (1,k,0) hat. (Wenn in obiger Definition $\alpha ^{2}$ durch $-\alpha ^{2}$ ersetzt wird, erhält man ein zweischaliges Hyperboloid. In diesem Fall ist die erzeugte Metrik positiv definit, und jede der beiden Schalen ist eine Kopie einer hyperbolischen n-Geometrie.)

Der De-Sitter-Raum kann auch definiert werden als Quotient ${\tfrac {\mathrm {O} (1,n)}{\mathrm {O} (1,n-1)}}$ zweier Lorentz-Gruppen, was zeigt, dass er ein nicht-Riemannscher symmetrischer Raum ist.

Topologisch ist der De-Sitter-Raum von der Form $\mathbb {R} \times S^{n-1}$.

## Eigenschaften

Die Isometriegruppe des De-Sitter-Raumes ist die Lorentz-Gruppe $\mathrm {O} (1,n)$. Daher hat die Metrik ${\tfrac {n(n+1)}{2}}$ unabhängige Killing-Vektoren und ist maximal symmetrisch. Jeder maximal symmetrische Raum hat konstante Krümmung. Der Riemannsche Krümmungstensor $R_{\rho \sigma \mu \nu }$ des De-Sitter-Raumes ist

    $R_{\rho \sigma \mu \nu }={1 \over \alpha ^{2}}(g_{\rho \mu }g_{\sigma \nu }-g_{\rho \nu }g_{\sigma \mu }).$

Der De-Sitter-Raum ist eine Einstein-Mannigfaltigkeit, da der Ricci-Tensor $R_{\mu \nu }$ proportional zur Metrik $g_{\mu \nu }$ ist:

    $R_{\mu \nu }={\frac {n-1}{\alpha ^{2}}}\cdot g_{\mu \nu }.$

Das heißt, der De-Sitter-Raum ist eine Vakuumlösung der einsteinschen Feldgleichungen mit kosmologischer Konstante

    $\Lambda ={\frac {n-1}{\alpha ^{2}}}\cdot {\frac {n-2}{2}}.$

Das Krümmungsskalar dieses Raumes ist

    $R={\frac {n(n-1)}{\alpha ^{2}}}={\frac {2n}{n-2}}\Lambda .$

Für n = 4 ergibt sich Λ = $3/α^2$ und R = 4Λ = $12/α^2.$

## Statische Koordinaten

Für den De-Sitter-Raum lassen sich statische Koordinaten (Zeit $t$, Radius $r$, …) wie folgt einführen:

    $x_{0}={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\cdot \sinh(t/\alpha )$
    $x_{1}={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\cdot \cosh(t/\alpha )$
    $x_{i}=rz_{i}$ mit $2\leq i\leq n,$

wobei $z_{i}$ die Standard-Einbettung der Sphäre $S^{n-2}$ in $R^{n−1}$ darstellt.

In diesen Koordinaten nimmt die De-Sitter-Metrik folgende Form an:

    ${\textrm {d}}s^{2}=-\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right){\textrm {d}}t^{2}+\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)^{-1}{\textrm {d}}r^{2}+r^{2}{\textrm {d}}\Omega _{n-2}^{2}.$

Zu beachten: es gibt einen kosmologischen Horizont bei $r=\alpha$.

## Slicing-Koordinaten

### Flach

Ansatz:

    $x_{0}=\alpha \sinh(t/\alpha )+r^{2}e^{t/\alpha }/2\alpha$
    $x_{1}=\alpha \cosh(t/\alpha )-r^{2}e^{t/\alpha }/2\alpha$
    $x_{i}=e^{t/\alpha }y_{i}$ mit $2\leq i\leq n,$

wobei $r^{2}=\sum _{i}y_{i}^{2}.$

Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes in $(t,y_{i})$-Koordinaten:

    ${\textrm {d}}s^{2}=-{\textrm {d}}t^{2}+e^{2t/\alpha }\cdot {\textrm {d}}y^{2}$

mit ${\textrm {d}}y^{2}=\sum _{i}{\textrm {d}}y_{i}^{2}$ der flachen Metrik auf $y_{i}$.

### Geschlossen

Ansatz:

    $x_{0}=\alpha \sinh(t/\alpha )$
    $x_{i}=\alpha \cosh(t/\alpha )\cdot z_{i}$ mit $1\leq i\leq n,$

wobei die $z_{i}$ eine $S^{n-1}$-Sphäre beschreiben.

Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes:

    ${\textrm {d}}s^{2}=-{\textrm {d}}t^{2}+\alpha ^{2}\cosh ^{2}(t/\alpha )\cdot {\textrm {d}}\Omega _{n-1}^{2}.$

Wird die Zeit-Variable $t$ geändert in die konforme Zeit $\eta$:

       ${\begin{aligned}\tanh(t/\alpha )&=\tan(\eta )\\\Leftrightarrow \cosh(t/\alpha )&=1/\cos(\eta ),\end{aligned}}$

so erhält man eine Metrik, die konform äquivalent zum statischen Einstein-Universum ist:

    ${\textrm {d}}s^{2}={\frac {\alpha ^{2}}{\cos ^{2}\eta }}(-{\textrm {d}}\eta ^{2}+{\textrm {d}}\Omega _{n-1}^{2}).$

Der De-Sitter-Raum und das Einstein-Universum haben deshalb das gleiche Penrose-Diagramm.

### Offen

Ansatz:

    $x_{0}=\alpha \sinh(t/\alpha )\cosh \xi$
    $x_{1}=\alpha \cosh(t/\alpha )$
    $x_{i}=\alpha \sinh(t/\alpha )\sinh \xi \cdot z_{i}$ mit $2\leq i\leq n,$

wobei $\sum _{i}z_{i}^{2}=1$ eine Sphäre $S^{n-2}$ formt mit der Standard-Metrik $\sum _{i}{\textrm {d}}z_{i}^{2}={\textrm {d}}\Omega _{n-2}^{2}.$

Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes

    ${\textrm {d}}s^{2}=-{\textrm {d}}t^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}(t/\alpha )\cdot {\textrm {d}}H_{n-1}^{2},$

mit ${\textrm {d}}H_{n-1}^{2}={\textrm {d}}\xi ^{2}+\sinh ^{2}\xi \cdot {\textrm {d}}\Omega _{n-2}^{2}$ der Metrik eines hyperbolischen euklidischen Raumes.

### DS

Ansatz:

    $x_{0}=\alpha \sinh(t/\alpha )\cosh \xi \sin(\chi /\alpha )$
    $x_{1}=\alpha \cos(\chi /\alpha )$
    $x_{2}=\alpha \cosh(t/\alpha )\sin(\chi /\alpha )$
    $x_{i}=\alpha \sinh(t/\alpha )\sinh \xi \sin(\chi /\alpha )z_{i}$ mit $3\leq i\leq n$

wobei die $z_{i}$ eine $S^{n-3}$-Sphäre beschreiben.

Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes:

    ${\textrm {d}}s^{2}={\textrm {d}}\chi ^{2}+\sin ^{2}(\chi /\alpha )\cdot {\textrm {d}}s_{dS,\alpha ,n-1}^{2},$

wobei

    ${\textrm {d}}s_{dS,\alpha ,n-1}^{2}=-{\textrm {d}}t^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}(t/\alpha )\cdot {\textrm {d}}H_{n-2}^{2}$

die Metrik eines $n-1$-dimensionalen De-Sitter-Raumes in offenen Slicing-Koordinaten ist, mit Krümmungsradius $\alpha$.

Die hyperbolische Metrik lautet:

    ${\textrm {d}}H_{n-2}^{2}={\textrm {d}}\xi ^{2}+\sinh ^{2}\xi \cdot {\textrm {d}}\Omega _{n-3}^{2}.$

Dies ist die analytische Fortsetzung der offenen Slicing-Koordinaten

    $(t,\xi ,\theta ,\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n-3})\to (i\chi ,\xi ,it,\theta ,\phi _{1},\cdots ,\phi _{n-4})$

und außerdem der Tausch von $x_{0}$ und $x_{2}$, weil sie ihre zeit- bzw. raumartigen Eigenschaften verändern.

## Sonstiges

Einige Autoren schlugen im Rahmen von Theorien der Quantengravitation anstelle des Minkowski-Raumes den De-Sitter-Raum als grundlegenden Raum für die spezielle Relativitätstheorie vor und nannten dies De-Sitter-Relativität.

