Satz von Jung
# Satz von Jung

Der geometrische Satz von Jung (benannt nach Heinrich Jung) macht eine mathematische Aussage darüber, wie groß eine Kugel in einem $n$-dimensionalen Raum sein muss, die eine vorgegebene Menge von Punkten einschließt.

## Formulierung

Es seien endlich viele Punkte $a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}\in \mathbb {R} ^{n}$ gegeben, und es sei $d:=\max \nolimits _{i,j=1,\dots ,k}\|a_{i}-a_{j}\|_{2}$ der maximale Euklidische Abstand zweier Punkte.

Der Satz von Jung besagt, dass es eine $n$-dimensionale Kugel mit einem Radius $r\leq d{\sqrt {\tfrac {n}{2(n+1)}}}$ gibt, so dass alle Punkte $a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}$ innerhalb der Kugel (den Rand eingeschlossen) liegen.

Weiterhin ist der Mittelpunkt der Kugel mit kleinstmöglichem Radius eindeutig bestimmt.

## Spezialfall einer Ebene

Am bekanntesten ist der Fall von Punkten in der Ebene, d. h. $n=2$. In diesem Fall besagt der Satz von Jung, dass der Radius $r\leq d/{\sqrt {3}}$ ist.

Für die drei Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks benötigt man genau diesen Radius.

