Satz von Krein-Milman
# Satz von Krein-Milman

Der Satz von Krein-Milman (nach Mark Grigorjewitsch Krein und David Milman) ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis.

## Aussage

Ist $E$ ein hausdorffscher lokalkonvexer Raum und darin ${\mathcal {C}}\subset E$ eine nichtleere, kompakte und konvexe Teilmenge, so besitzt ${\mathcal {C}}$ Extremalpunkte und ist dabei gleich der abgeschlossenen konvexen Hülle der Menge all dieser Extremalpunkte.

Der Beweis des Krein-Milman'schen Satzes basiert auf dem Lemma von Zorn (oder einem gleichwertigen Maximalprinzip der Mengenlehre) und dem Satz von Hahn-Banach und setzt damit die Gültigkeit des Auswahlaxioms voraus.

Der Krein-Milman’sche Satz hat eine teilweise Umkehrung, die in der Regel als Satz von Milman bezeichnet wird: Ist ${\mathcal {C}}\subset E$ eine kompakte, konvexe Menge und ist $T\subseteq {\mathcal {C}}$ so beschaffen, dass ${\mathcal {C}}$ gleich der abgeschlossenen konvexen Hülle von $T$ ist, so sind in dem topologischen Abschluss von $T$ alle Extremalpunkte von ${\mathcal {C}}$ enthalten.

Eine Verschärfung des Satzes von Krein-Milman ist der Satz von Choquet. Noch erheblich mehr gilt in endlich-dimensionalen und insbesondere euklidischen Räumen: Hier liegen mit dem Satz von Minkowski und dem Satz von Carathéodory noch wesentlich schärfere Aussagen vor.

Mit dem Satz von Krein-Milman eng verwandt sind der Satz von Straszewicz sowie der Satz von Klee-Straszewicz, bei denen die Menge der exponierten Punkte an die Stelle der Menge der Extremalpunkte tritt.

## Anwendung

Der Banachraum $c_{0}$ der reellen oder komplexen Nullfolgen mit der Supremumsnorm $\|\cdot \|_{\infty }$ ist kein Dualraum.

Wäre er ein Dualraum, so wäre die Einheitskugel nach dem Satz von Banach-Alaoglu kompakt in der schwach-*-Topologie, hätte also nach obigem Satz von Krein-Milman Extremalpunkte. Ist aber $x=(x_{n})_{n}$ ein beliebiger Punkt aus der Einheitskugel, so gibt es einen Index $m$ mit $|x_{m}|<{\tfrac {1}{2}}$, denn die Folge konvergiert gegen 0. Ist nun $h=(h_{n})_{n}$ definiert durch $h_{n}=0$ für $n\not =m$ und $h_{m}={\tfrac {1}{2}}$, so ist $\|x+h\|_{\infty }\leq 1$ und $\|x-h\|_{\infty }\leq 1$ und $x={\tfrac {1}{2}}(x+h)+{\tfrac {1}{2}}(x-h)$, das heißt, der beliebig vorgegebene Punkt $x$ ist kein Extremalpunkt. Also hat die Einheitskugel von $c_{0}$ keine Extremalpunkte und $c_{0}$ kann daher kein Dualraum sein.

