Kretschmann-Skalar
# Kretschmann-Skalar

Der Kretschmann-Skalar $K$ (auch Kretschmann-Invariante oder Riemannsche Invariante; nach Erich Kretschmann, der ihn einführte) bezeichnet eine skalare Invariante im Bereich der Lorentzschen Mannigfaltigkeiten. Er kann als Maß für die Krümmung der Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie gedeutet werden.

## Definition

Der Kretschmann-Skalar $K$ ist unter Verwendung der Einsteinschen Summenkonvention definiert als

    $K=R_{\kappa \lambda \mu \nu }\,R^{\kappa \lambda \mu \nu }=\sum _{\kappa =0}^{3}\sum _{\lambda =0}^{3}\sum _{\mu =0}^{3}\sum _{\nu =0}^{3}R_{\kappa \lambda \mu \nu }\,R^{\kappa \lambda \mu \nu }$.

Hierbei bezeichnet $R_{\kappa \lambda \mu \nu }$ den Riemannschen Krümmungstensor und $\,R^{\kappa \lambda \mu \nu }=\sum _{i=0}^{3}g^{\kappa i}\,\sum _{j=0}^{3}g^{\lambda j}\,\sum _{k=0}^{3}g^{\mu k}\,\sum _{l=0}^{3}g^{\nu l}\,R_{ijkl}\,$.

Für die vierdimensionale Raumzeit kann der Kretschmann-Skalar weiterhin durch den Weyl-Tensor $C_{\kappa \lambda \mu \nu }$, den Ricci-Tensor $R_{\kappa \lambda }$ sowie den Ricci-Skalar $R$ wie folgt ausgedrückt werden:

    $K=C_{\kappa \lambda \mu \nu }\,C^{\kappa \lambda \mu \nu }+2R_{\kappa \lambda }\,R^{\kappa \lambda }-{\frac {1}{3}}R^{2}$

## Beispiel

Für die Schwarzschild-Metrik ist der Kretschmann-Skalar mit dem Schwarzschild-Radius $r_{s}$ gegeben durch:

    $K={\frac {12{r_{s}}^{2}}{r^{6}}}={\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}r^{6}}}$
