Injektive Auflösung
# Injektive Auflösung

Im mathematischen Gebiet der Kategorientheorie und der homologischen Algebra ist eine injektive Auflösung eine lange exakte Sequenz aus injektiven Objekten, die mit einem gegebenen Objekt beginnt.

## Definition

Formal sei $C$ eine abelsche Kategorie und $A$ ein Objekt aus $C$. Dann heißt eine lange exakte Sequenz der Form

    $0\rightarrow A\rightarrow I_{0}\rightarrow I_{1}\rightarrow I_{2}\rightarrow \cdots$

injektive Auflösung von $A$, wenn sämtliche $I_{i}$ injektiv sind.

## Existenz

Ist in der abelschen Kategorie $C$ jedes Objekt Unterobjekt eines injektiven Objektes, d. h. gibt es zu jedem Objekt $X\in \operatorname {Ob} (C)$ einen Monomorphismus $X\rightarrow I$, wobei $I$ injektiv ist, so sagt man auch, $C$ besitze genügend viele injektive Objekte. Ein wichtiges Beispiel solcher Kategorien ist die Kategorie der Links-Moduln über einem Ring.

Unter diesen Bedingungen gibt es auch zu jedem Objekt $A$ eine injektive Auflösung. Zunächst existiert nämlich nach Voraussetzung ein Monomorphismus $i_{0}:A\rightarrow I_{0}$, dann weiter ein Monomorphismus $i_{1}:\operatorname {coker} (i_{0})\rightarrow I_{1}$ und dann per Induktion jeweils weiter $i_{n+1}:\operatorname {coker} (i_{n})\rightarrow I_{n+1}$.

## Eigenschaften

Ist

    $0\rightarrow A\rightarrow I_{0}\rightarrow I_{1}\rightarrow I_{2}\rightarrow \cdots$

eine injektive Auflösung und

    $0\rightarrow A'\rightarrow A'_{0}\rightarrow A'_{1}\rightarrow A'_{2}\rightarrow \cdots$

eine exakte Sequenz, so lässt sich jeder $C$-Homomorphismus $f:A'\rightarrow A$ (nicht notwendigerweise eindeutig) zu einem kommutativen Diagramm

    ${\begin{matrix}0\rightarrow &A'&\rightarrow &A'_{0}&\rightarrow &A'_{1}&\rightarrow &A'_{2}&\rightarrow \cdots \\&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &\cdots \\0\rightarrow &A&\rightarrow &I_{0}&\rightarrow &I_{1}&\rightarrow &I_{2}&\rightarrow \cdots \\\end{matrix}}$

ergänzen. Eine wichtige Folgerung aus dieser Eigenschaft ist, dass je zwei injektive Auflösungen eines Objektes vom selben Homotopietyp sind.

