Freie Faltung
# Freie Faltung

Die freie Faltung ist eine binäre Operation auf Wahrscheinlichkeitsmaßen auf $\mathbb {R}$, welche der Addition von freien Zufallsvariablen entspricht.

## Definition

Seien $x$ und $y$ selbstadjungierte Zufallsvariable in einem nicht-kommutativen Wahrscheinlichkeitsraum, welche frei im Sinne der freien Wahrscheinlichkeitstheorie sind. Sei $\mu$ die Verteilung von $x$ und $\nu$ die Verteilung von $y$. Dann hängt die Verteilung von $x+y$ nur von $\mu$ und von $\nu$ ab (und nicht von der konkreten Realisierung von $x$ oder von $y$); diese Verteilung von $x+y$ wird mit $\mu \boxplus \nu$ bezeichnet und ist die freie Faltung von $\mu$ und $\nu$.

## Freie harmonische Analysis

Die Untersuchung der Eigenschaften von $\boxplus$ wird meist als freie harmonische Analysis bezeichnet. Es gibt eine weitentwickelte Theorie der Eigenschaften von $\boxplus$, welche oft (aber nicht immer) parallel zur Theorie der klassischen Faltung verläuft.

