Airy-Funktion
# Airy-Funktion

Die Airy-Funktion $\operatorname {Ai} (x)$ bezeichnet eine spezielle Funktion in der Mathematik. Die Funktion $\operatorname {Ai} (x)$ und die verwandte Funktion $\operatorname {Bi} (x)$, die ebenfalls Airy-Funktion genannt wird, sind Lösungen der linearen Differentialgleichung

    $\ y''-xy=0\ ,$

auch bekannt als Airy-Gleichung. Sie beschreibt unter anderem die Lösung der Schrödinger-Gleichung für einen linearen Potentialtopf.

Die Airy-Funktion ist nach dem britischen Astronomen George Biddell Airy benannt, der diese Funktion in seinen Arbeiten in der Optik verwendete (Airy 1838). Die Bezeichnung $\operatorname {Ai} (x)$ wurde von Harold Jeffreys eingeführt.

## Definition

### Reelle Airy-Funktion

Für reelle Werte $x$ ist die Airy-Funktion als Parameterintegral definiert:

    $\mathrm {Ai} (x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\cos \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,{\rm {d}}t\ .$

Eine zweite, linear unabhängige Lösung der Differentialgleichung ist die Airy-Funktion zweiter Art $\mathrm {Bi}$:

    $\mathrm {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\left(\exp \left(-{\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)+\sin \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\right)\,{\rm {d}}t\ .$

### Komplexe Airy-Funktion

Die komplexe Airy-Funktion ist

    $\operatorname {Ai} (z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\exp \left({\tfrac {t^{3}}{3}}-zt\right)\,dt,$

mit Kontour $C$ von $z_{1}=\infty$ mit $\operatorname {arg} (z_{1})=-\pi /3$ nach $z_{2}=\infty$ mit $\operatorname {arg} (z_{2})=\pi /3$.

## Eigenschaften

### Asymptotisches Verhalten

Für $x$ gegen $+\infty$ lassen sich $\mathrm {Ai} (x)$ und $\mathrm {Bi} (x)$ mit Hilfe der WKB-Näherung approximieren:

    ${\begin{aligned}\mathrm {Ai} (x)&\simeq {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{2{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} (x)&\simeq {\frac {e^{{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}$

Für $x$ gegen $-\infty$ gelten die Beziehungen:

    ${\begin{aligned}\mathrm {Ai} (x)&\simeq {\frac {\sin({\frac {2}{3}}(-x)^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,(-x)^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} (x)&\simeq {\frac {\cos({\frac {2}{3}}(-x)^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,(-x)^{1/4}}}.\end{aligned}}$

### Nullstellen

Die Airy-Funktionen haben nur Nullstellen auf der negativen reellen Achse. Die ungefähre Lage folgt aus dem asymptotischen Verhalten für $x\to -\infty$ zu

    $\operatorname {Ai} (x)=0\quad \Rightarrow \quad x\approx -{\bigl\textstyle {\frac {3}{2}}\pi (n-{\frac {1}{4}}){\bigr )}^{2/3},\quad n\in \mathbb {N}$
    $\operatorname {Bi} (x)=0\quad \Rightarrow \quad x\approx -{\bigl\textstyle {\frac {3}{2}}\pi (n-{\frac {3}{4}}){\bigr )}^{2/3},\quad n\in \mathbb {N}$

### Spezielle Werte

Die Airy-Funktionen und ihre Ableitungen haben für $x=0$ die folgenden Werte:

    ${\begin{aligned}\mathrm {Ai} (0)&={\frac {1}{{\sqrt[{3}]{9}}\cdot \Gamma ({\frac {2}{3}})}},&\quad \mathrm {Ai} '(0)&=-{\frac {1}{{\sqrt[{3}]{3}}\cdot \Gamma ({\frac {1}{3}})}},\\\mathrm {Bi} (0)&={\frac {1}{{\sqrt[{6}]{3}}\cdot \Gamma ({\frac {2}{3}})}},&\quad \mathrm {Bi} '(0)&={\frac {\sqrt[{6}]{3}}{\Gamma ({\frac {1}{3}})}}.\end{aligned}}$

Hierbei bezeichnet $\Gamma (\cdot )$ die Gammafunktion. Es folgt, dass die Wronski-Determinante von $\mathrm {Ai} (x)$ und $\mathrm {Bi} (x)$ gleich ${\tfrac {1}{\pi }}$ ist.

## Fourier-Transformierte

Direkt aus der Definition der Airy-Funktion $\operatorname {Ai} (x)$ (siehe oben) folgt deren Fourier-Transformierte.

    ${\mathcal {F}}(\operatorname {Ai} )(k):=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Ai} (x)\ \mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} kx}\,dx=\mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} }{3}}(2\pi k)^{3}}\,.$

Man beachte die hier verwendete symmetrische Variante der Fourier-Transformation.

## Weitere Darstellungen

* Unter Verwendung der hypergeometrischen Funktion $_{0}F_{1}$

    $\mathrm {Ai} (z)={\frac {1}{3^{2/3}\cdot \Gamma ({\tfrac {2}{3}})}}\cdot \,_{0}F_{1}\left(0;{\tfrac {2}{3}};{\tfrac {1}{9}}z^{3}\right)-{\frac {z}{3^{1/3}\cdot \Gamma ({\tfrac {1}{3}})}}\cdot \,_{0}F_{1}\left(0;{\tfrac {4}{3}};{\tfrac {1}{9}}z^{3}\right)$
    $\mathrm {Bi} (z)={\frac {1}{3^{1/6}\cdot \Gamma ({\tfrac {2}{3}})}}\cdot \,_{0}F_{1}\left(0;{\tfrac {2}{3}};{\tfrac {1}{9}}z^{3}\right)+{\frac {3^{1/6}\cdot z}{\Gamma ({\tfrac {1}{3}})}}\cdot \,_{0}F_{1}\left(0;{\tfrac {4}{3}};{\tfrac {1}{9}}z^{3}\right)$
* Für $x>0$ lassen sie sich auch mit der modifizierten Bessel-Funktion erster Art $I$ so darstellen:

    $\mathrm {Ai} (x)={\frac {1}{3}}{\sqrt {x}}\left[I_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)-I_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right]$
    $\mathrm {Bi} (x)={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left[I_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+I_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right]$
* Eine andere unendliche Integraldarstellung für $\mathrm {Ai}$ lautet

    $\mathrm {Ai} (z)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\exp \left(\mathrm {i} \cdot \left(zt+{\frac {t^{3}}{3}}\right)\right)\mathrm {d} t$
* Es gibt die Reihendarstellungen

    $\mathrm {Ai} (z)={\frac {1}{3^{2/3}\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{3}}(n+1)\right)}{n!}}\left(3^{1/3}z\right)^{n}\sin \left({\frac {2(n+1)\pi }{3}}\right)$
    $\mathrm {Bi} (z)={\frac {1}{3^{1/6}\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{3}}(n+1)\right)}{n!}}\left(3^{1/3}z\right)^{n}\left|\sin \left({\frac {2(n+1)\pi }{3}}\right)\right|$

## Komplexe Argumente

$\mathrm {Ai} (x)$ und $\mathrm {Bi} (x)$ sind ganze Funktionen. Sie lassen sich also auf der gesamten komplexen Ebene analytisch fortsetzen.

| $\Re \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]$ | $\Im \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]$ | $|\mathrm {Ai} (x+iy)|\,$ | $\mathrm {arg} \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]\,$ |
| - | - | - | - | - | - |
| $\Re \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]$ | $\Im \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]$ | $|\mathrm {Bi} (x+iy)|\,$ | $\mathrm {arg} \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]\,$ |

## Verallgemeinerungen

Definiere

    $T_{n}(t,\alpha )=t^{n}_{2}F_{1}\left(-{\frac {n}{2}},{\frac {1-n}{2}};1-n;-{\frac {4\alpha }{t^{2}}}\right)$

wobei $_{2}F_{1}$ die hypergeometrische Funktion ist. Dann gibt es folgende Verallgemeinerungen des Airy-Integrals

    $\operatorname {Ci} _{n}(\alpha )=\int _{0}^{\infty }\cos(T_{n}(t,\alpha ))\mathrm {d} t$
    $\operatorname {Si} _{n}(\alpha )=\int _{0}^{\infty }\sin(T_{n}(t,\alpha ))\mathrm {d} t$
    $\operatorname {Ei} _{n}(\alpha )=\int _{0}^{\infty }\exp(-T_{n}(t,\alpha ))\mathrm {d} t$

## Verwandte Funktionen

### Airy-Zeta-Funktion

Zu der Airy-Funktion lässt sich analog zu den anderen Zeta-Funktionen die Airysche Zeta-Funktion definieren als

    $Z(n)=\sum _{r}{\frac {1}{r^{n}}},$

wobei die Summe über die reellen (negativen) Nullstellen von $\mathrm {Ai}$ geht.

### Scorersche Funktionen

Manchmal werden auch die beiden weiteren Funktionen $\mathrm {Gi} (x)$ und $\mathrm {Hi} (x)$ zu den Airy-Funktionen dazugerechnet. Die Integral-Definitionen lauten

    $\mathrm {Gi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\sin \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\mathrm {d} t$
    $\mathrm {Hi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\mathrm {d} t$

Sie lassen sich auch durch die Funktionen $\mathrm {Ai}$ und $\mathrm {Bi}$ darstellen.

