Repunit
# Repunit

Repunit ist ein Kofferwort aus den englischen Wörtern repeated (wiederholt) und unit (Einheit) und bezeichnet eine Zahl, die nur die Ziffer 1 enthält. Eine Repunit ist eine besondere Repdigit („Schnapszahl“); die Bezeichnung Repunit wurde 1966 von Albert H. Beiler geprägt. Im Deutschen wird auch die Bezeichnung Einserkolonne oder Einserschlange verwendet.

Eine prime Repunit oder Repunit-Primzahl ist eine Repunit, die zugleich eine Primzahl ist.

## Definition

Mathematisch sind Repunits (im Dezimalsystem) definiert als

    $R_{n}={\frac {10^{n}-1}{9}}=\sum _{k=0}^{n-1}10^{k}=\overbrace {11\dotso 1} ^{n{\text{ Ziffern}}}$, mit $n\in \mathbb {N} ^{+}$.

Zudem lässt sich auch eine rekursive Definition angeben:

    $R_{n}={\begin{cases}1,&{\text{wenn }}n=1{\text{,}}\\10^{n-1}+R_{n-1},&{\text{wenn }}n\geq 2{\text{.}}\end{cases}}$

Die Zahl $R_{n}$ besteht also aus genau $n$ Einsen ($n\geq 1$). Die Folge der Repunits beginnt wie folgt: 1, 11, 111, 1111, … (Folge A002275 in OEIS).

## Repunit-Primzahlen

Die Definition der Repunits entstand historisch auf der Suche nach einer Zerlegung solcher Zahlen in ihre Primfaktoren. Die Frage, ob eine Repunit-Zahl eine Primzahl ist, beschäftigte Mathematiker schon im 19. Jahrhundert. So verfasste Carl Gustav Jacob Jacobi eine Arbeit mit dem Titel „Untersuchung, ob die Zahl 11111111111 eine Primzahl ist oder nicht. Ein Kuriosum, veranlasst durch Dase.“

Es ist einfach zu zeigen, dass $R_{n}$ durch $R_{a}$ teilbar ist, falls $n$ durch $a$ teilbar ist. Zum Beispiel ist $R_{9}$ teilbar durch $R_{3}$: 111111111 = 111 · 1001001. Deshalb muss notwendig $n$ eine Primzahl sein, damit $R_{n}$ eine Primzahl sein kann. Diese Bedingung ist jedoch nicht hinreichend, zum Beispiel ist $R_{3}$ keine Primzahl, da $R_{3}=111=3\cdot 37$.

Außer für dieses Beispiel von $R_{3}$ kann $p$ nur Teiler von $R_{n}$ sein (für eine Primzahl $n$), wenn $p=2kn+1$ für ein bestimmtes $k$.

Repunit-Primzahlen sind selten. $R_{n}$ ist eine Primzahl für $n=2,19,23,317,1031,\ldots$ (Folge A004023 in OEIS). Die im September 1999 von Harvey Dubner bzw. im Oktober 2000 von Lew Baxter gefundenen $R_{49081}$ und $R_{86453}$ sind wahrscheinlich Primzahlen (sogenannte PRP-Zahlen). Ende März 2007 ermittelten Paul Bourdelais und Harvey Dubner $R_{109297}$ als primzahlverdächtig, vier Monate später fanden Maksym Voznyy und Anton Budnyy $R_{270343}$. Serge Batalov und Ryan Propper fanden binnen kürzester Zeit am 20. April 2021 $R_{5794777}$ und am 8. Mai 2021 $R_{8177207}$ als gegenwärtig (27. Mai 2021) größte bekannte wahrscheinliche Repunit-Primzahlen. Es wird vermutet, dass es unendlich viele Repunit-Primzahlen gibt.

## Verallgemeinerte Repunits

Da die obige Definition von Repunits auf dem Dezimalsystem beruht, mag diese Definition zunächst willkürlich erscheinen. Man kann die zugrunde liegende Idee jedoch verallgemeinern, indem man Repunits bezüglich einer beliebigen Basis $b$ definiert:

    $R_{n}^{(b)}={\frac {b^{n}-1}{b-1}}=\sum _{k=0}^{n-1}b^{k}=\underbrace {\overbrace {11\dotso 1} ^{n{\text{ Ziffern}}}_{b}} _{{\text{Zahl zur Basis }}b}$, mit $b,n\in \mathbb {N}$, $b\geq 2$, $n\geq 1$

Die verallgemeinerte rekursive Definition lautet:

    $R_{n}^{(b)}={\begin{cases}1,&{\text{wenn }}n=1{\text{,}}\\b^{n-1}+R_{n-1}^{(b)},&{\text{wenn }}n\geq 2{\text{.}}\end{cases}}$

Die Zahl $R_{n}^{(b)}$ besteht also aus genau $n$ Einsen ($n\geq 1$), wenn sie als Zahl zur Basis $b$ notiert wird (wobei $R_{1}^{(b)}$ unabhängig von der Basis immer gleich 1 ist).

Wertetabelle einiger Repunits als Beispiel:

Gegenüberstellung einiger Repunit-Werte $R_{n}^{(b)}$ für gebräuchliche Zahlensysteme :

| $R_{n}^{(b)}$ | Binärsystem $b=2$ | Binärsystem $b=2$ | Oktalsystem $b=8$ | Oktalsystem $b=8$ | Dezimalsystem $b=10$ | Hexadezimalsystem $b=16$ | Hexadezimalsystem $b=16$ |
| - | - | - | - | - | - | - | - |
| $n$ | binär | dezimal | oktal | dezimal | dezimal | hexadezimal | dezimal |
| 1 | $1_2$ | $1_{10}$ | $1_8$ | $1_{10}$ | $1_{10}$ | $1_{16}$ | $1_{10}$ |
| 2 | $11_2$ | $3_{10}$ | $11_8$ | $9_{10}$ | $11_{10}$ | $11_{16}$ | $17_{10}$ |
| 3 | $111_2$ | $7_{10}$ | $111_8$ | $73_{10}$ | $111_{10}$ | $111_{16}$ | $273_{10}$ |
| 4 | $1111_2$ | $15_{10}$ | $1111_8$ | $585_{10}$ | $1111_{10}$ | $1111_{16}$ | $4369_{10}$ |
| 5 | $11111_2$ | $31_{10}$ | $11111_8$ | $4681_{10}$ | $11111_{10}$ | $11111_{16}$ | $69905_{10}$ |
| 6 | $111111_2$ | $63_{10}$ | $111111_8$ | $37449_{10}$ | $111111_{10}$ | $111111_{16}$ | $1118481_{10}$ |
| 7 | $1111111_2$ | $127_{10}$ | $1111111_8$ | $299593_{10}$ | $1111111_{10}$ | $1111111_{16}$ | $17895697_{10}$ |
| 8 | $11111111_2$ | $255_{10}$ | $11111111_8$ | $2396745_{10}$ | $11111111_{10}$ | $11111111_{16}$ | $286331153_{10}$ |
| 9 | $111111111_2$ | $511_{10}$ | $111111111_8$ | $19173961_{10}$ | $111111111_{10}$ | $111111111_{16}$ | $4581298449_{10}$ |
| 10 | $1111111111_2$ | $1023_{10}$ | $1111111111_8$ | $153391689_{10}$ | $1111111111_{10}$ | $1111111111_{16}$ | $73300775185_{10}$ |

Es ist einfach zu beweisen, dass für jedes $n$, das nicht ohne Rest durch 2 oder $p$ teilbar ist, eine Repunit zur Basis $2p$ existiert, die ein Vielfaches von $n$ ist.

Die Basis-2-Repunits sind bekannt als die Mersenne-Zahlen: $M_{n}=2^{n}-1$

Die Repunit-Primzahlen sind eine Teilmenge der permutierbaren Primzahlen, also der Primzahlen, die Primzahlen bleiben, wenn man ihre Ziffern beliebig vertauscht.

Eine besonders große verallgemeinerte Repunit-Primzahl mit 37.090 Stellen berechnete Andy Steward 2006 mit $\textstyle {\frac {28839^{8317}-1}{28838}}$. Im Jahr 2010 fand Tom Wu mit $\textstyle {\frac {1549^{12973}-1}{1548}}$ eine noch größere mit 41.382 Stellen. Die derzeit (31. Mai 2021) größte bekannte verallgemeinerte Repunit-Primzahl ist ${\frac {7176^{24691}-1}{7175}}$ mit 95.202 Stellen und wurde von Tom Wu im Juni 2017 entdeckt.

### Repunit-Primzahl zu unterschiedlichen Basen

Beispiele:

* Die Repunit $R_{7}^{(5)}=1111111_{5}$ ist zur Basis $b=5$ eine Primzahl, weil $1111111_{5}={\underline {1}}\cdot 5^{6}+{\underline {1}}\cdot 5^{5}+{\underline {1}}\cdot 5^{4}+{\underline {1}}\cdot 5^{3}+{\underline {1}}\cdot 5^{2}+{\underline {1}}\cdot 5^{1}+{\underline {1}}\cdot 5^{0}=15625+3125+625+125+25+5+1=19531\in \mathbb {P}$ eine Primzahl ist.
* Es folgt eine Tabelle der kleinsten Repunit-Primzahlen $R_{n}^{(b)}$ zu Basen $b\leq 12$, im Dezimalsystem geschrieben

| Basis $b$ | die kleinsten Repunit-Primzahlen $R_{n}^{(b)}={\overbrace {11\ldots 1} ^{n{\text{ Einser}}}}_{b}$ zu Basen $b\leq 12$, im Dezimalsystem geschrieben | OEIS-Folge |
| - | - | - |
| Basis $b$ | die dazugehörigen $n$, für die obige Repunits Primzahlen sind | OEIS-Folge |
| 2 | 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111, 162259276829213363391578010288127, 170141183460469231731687303715884105727, … (alle Mersenne-Primzahlen) | Folge A000668 in OEIS |
| 2 | 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281, 77232917, 82589933, ... | Folge A000043 in OEIS |
| 3 | 13, 1093, 797161, 3754733257489862401973357979128773, 6957596529882152968992225251835887181478451547013, ... | Folge A076481 in OEIS |
| 3 | 3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, 36913, 43063, 49681, 57917, 483611, 877843, 2215303, 2704981, 3598867, ... | Folge A028491 in OEIS |
| 4 | 5 (die einzige, weil $4^{n}-1=\left(2^{n}+1\right)\left(2^{n}-1\right)$ ist und die Zahl $3$ für ungerade $n$ ein Teiler von $2^{n}+1$ und für gerade $n$ ein Teiler von $2^{n}-1$ ist) | |
| 4 | 2 | |
| 5 | 31, 19531, 12207031, 305175781, 177635683940025046467781066894531, 14693679385278593849609206715278070972733319459651094018859396328480215743184089660644531, 35032461608120426773093239582247903282006548546912894293926707097244777067146515037165954709053039550781, ... | Folge A086122 in OEIS |
| 5 | 3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, 10949, 13241, 13873, 16519, 201359, 396413, 1888279, 3300593, ... | Folge A004061 in OEIS |
| 6 | 7, 43, 55987, 7369130657357778596659, 3546245297457217493590449191748546458005595187661976371, ... | Folge A165210 in OEIS |
| 6 | 2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, 10613, 19889, 79987, 608099, 1365019, ... | Folge A004062 in OEIS |
| 7 | 2801, 16148168401, 85053461164796801949539541639542805770666392330682673302530819774105141531698707146930307290253537320447270457, 138502212710103408700774381033135503926663324993317631729227790657325163310341833227775945426052637092067324133850503035623601, ... | Folge A102170 in OEIS |
| 7 | 5, 13, 131, 149, 1699, 14221, 35201, 126037, 371669, 1264699, ... | Folge A004063 in OEIS |
| 8 | 73 (die einzige, weil $8^{n}-1=\left(4^{n}+2^{n}+1\right)\left(2^{n}-1\right)$ und der erste Faktor $4^{n}+2^{n}+1$ durch 7 teilbar ist, wenn $n$ nicht durch 3 teilbar ist bzw. der zweite Faktor $2^{n}-1$ durch 7 teilbar ist, wenn $n$ ein Vielfaches von 3 ist) | |
| 8 | 3 | |
| 9 | es gibt keine einzige prime Repunit mit dieser Basis, weil $9^{n}-1=\left(3^{n}+1\right)\left(3^{n}-1\right)$ und sowohl $3^{n}+1$ als auch $3^{n}-1$ gerade sind | |
| 9 | - | |
| 10 | 11, 1111111111111111111, 11111111111111111111111, ... | Folge A004022 in OEIS |
| 10 | 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, 5794777, 8177207, ... | Folge A004023 in OEIS |
| 11 | 50544702849929377, 6115909044841454629, 1051153199500053598403188407217590190707671147285551702341089650185945215953, 567000232521795739625828281267171344486805385881217575081149660163046217465544573355710592079769932651989153833612198334843467861091902034340949, ... | |
| 11 | 17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, 20161, 293831, 1868983, ... | Folge A005808 in OEIS |
| 12 | 13, 157, 22621, 29043636306420266077, 43570062353753446053455610056679740005056966111842089407838902783209959981593077811330507328327968191581, 388475052482842970801320278964160171426121951256610654799120070705613530182445862582590623785872890159937874339918941, ... | |
| 12 | 2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, 14951, 37573, 46889, 769543, ... | Folge A004064 in OEIS |
