Helmholtz-Gleichung
# Helmholtz-Gleichung

Die Helmholtz-Gleichung (nach Hermann von Helmholtz) ist eine partielle Differentialgleichung. Sie lautet:

    $\Delta \varphi =\lambda \cdot \varphi$

in einem Gebiet $\Omega$ mit vorgegebenen Randbedingungen auf dem Rand $\partial \Omega$. Dabei ist $\Delta$ der Laplace-Operator, $\varphi$ die Lösungsfunktion (Eigenfunktion) und $\lambda$ der Eigenwert. Die Gleichung ist ein kontinuierliches Analogon zum diskreten Eigenwertproblem. In der Regel wird die Gleichung von unendlich vielen Eigenwerten und zugehörigen Eigenfunktionen gelöst. Im Spezialfall kartesischer Koordinaten $x_{k}$ mit dem Index $k=1,2,\dotsc ,n$ und der Anzahl der (räumlichen) Dimensionen $n$ besitzt der Laplace-Operator die Gestalt

    $\Delta =\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}$.

Die Helmholtz-Gleichung ist eine homogene partielle Differentialgleichung (PDGL) zweiter Ordnung aus der Klasse der elliptischen PDGL. Sie ergibt sich auch z. B. aus der Wellengleichung nach Trennung der Variablen und Annahme harmonischer Zeitabhängigkeit. Im eindimensionalen Fall $n=1$ ist die Gleichung vom Typ einer gewöhnlichen Differentialgleichung.

In Fall $\lambda =0$ reduziert sich die Gleichung zur Laplace-Gleichung. Wird die rechte Seite der Gleichung durch eine Funktion $\delta$ ersetzt, so wird die resultierende Gleichung, eine Poisson-Gleichung, inhomogen.

## Beispiel: Partikuläre Lösung der inhomogenen Maxwellgleichungen

Eine Anwendung aus der Physik ist z. B. die Lösung der inhomogenen Maxwellgleichungen (Maxwellgleichungen mit Strömen und Ladungen). Aus diesen folgen in Gaußschen Einheiten mit der Lorenz-Eichung

    ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}=0$

die inhomogenen Wellengleichungen für das elektrische Skalarpotential $\Phi$ sowie für das magnetische Vektorpotential ${\vec {A}}$:

    $\Delta \Phi ({\vec {r}},t)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi ({\vec {r}},t)}{\partial t^{2}}}=-4\pi \varrho ({\vec {r}},t)$
    $\Delta A_{i}({\vec {r}},t)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A_{i}({\vec {r}},t)}{\partial t^{2}}}=-{\frac {4\pi }{c}}j_{i}({\vec {r}},t)$

(hier für die einzelnen Komponenten mit: ${\vec {A}}=\sum _{i=1}^{3}A_{i}{\hat {e}}_{i}$)

Exemplarisch wird nun die Lösung für $\Phi$ durchgeführt, die Herleitung für ${\vec {A}}$ geht analog.

Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichungen ist die Linearkombination der allgemeinen Lösung der dazugehörigen homogenen DGL sowie einer partikulären Lösung der inhomogenen DGL:

    $\Phi =\Phi _{\mathrm {hom.} }+\Phi _{\mathrm {part.} }$

Die Lösung der homogenen DGL sind die elektromagnetischen Wellen; wir beschränken uns hier auf die Herleitung einer partikulären Lösung.

Um die Wellengleichung auf die Helmholtz-Gleichung zurückzuführen, betrachten wir die Fourier-Transformation von $\Phi$ und $\varrho$ bezüglich $t$:

    $\Phi ({\vec {r}},t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int d\omega \,\Phi _{\omega }({\vec {r}})e^{-i\omega t}$
    $\varrho ({\vec {r}},t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int d\omega \,\varrho _{\omega }({\vec {r}})e^{-i\omega t}$

Einsetzen in die Wellengleichung liefert:

    $\Delta \int d\omega \,\Phi _{\omega }({\vec {r}})e^{-i\omega t}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\int d\omega \,\Phi _{\omega }({\vec {r}})e^{-i\omega t}=-4\pi \int d\omega \,\varrho _{\omega }({\vec {r}})e^{-i\omega t}$
    $\Rightarrow \int d\omega \,\left(\Delta -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}t}}\right)\Phi _{\omega }({\vec {r}})e^{-i\omega t}=-4\pi \int d\omega \,\varrho _{\omega }({\vec {r}})e^{-i\omega t}$
    $\Rightarrow \int d\omega \,\left(\Delta +{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\Phi _{\omega }({\vec {r}})e^{-i\omega t}=-4\pi \int d\omega \,\varrho _{\omega }({\vec {r}})e^{-i\omega t}$

Beide Integranden müssen gleich sein, da die Fourier-Transformation bijektiv ist:

    $\left(\Delta +{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\Phi _{\omega }({\vec {r}})=-4\pi \varrho _{\omega }({\vec {r}})$

Für die homogene Wellengleichung $\left(\varrho ({\vec {r}},t)=0\right)$ erkennen wir mit $\left(\Delta +{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\Phi _{\omega }({\vec {r}})=0$ die Helmholtz-Gleichung wieder.

Zur Lösung der inhomogenen Gleichung $\left(\varrho ({\vec {r}},t)\neq 0\right)$ kann eine Greensche Funktion $G({\vec {r}},{\vec {r}}')$ verwendet werden, welche die Gleichung

    $\left(\Delta +{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)G({\vec {r}},{\vec {r}}')=-4\pi \delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}')$

erfüllt.

Diese lautet:

    $G({\vec {r}},{\vec {r}}')={\frac {\exp(\pm i\omega |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|/c)}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}$

Physikalisch beschreibt diese Funktion eine Kugelwelle.

Damit erhalten wir für die gesamte Ladungsverteilung:

    $\Phi _{\omega }({\vec {r}})=\int d^{3}r'\,\varrho _{\omega }({\vec {r}}')G({\vec {r}},{\vec {r}}')=\int d^{3}r'\,\varrho _{\omega }({\vec {r}}'){\frac {\exp(\pm i\omega |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|/c)}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}$

Dieses Ergebnis setzen wir in die Fourierdarstellung von $\Phi ({\vec {r}},t)$ ein und erhalten

    ${\begin{aligned}\Phi ({\vec {r}},t)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int d\omega \,\int d^{3}r'\,\varrho _{\omega }({\vec {r}}'){\frac {\exp(\pm i\omega |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|/c)}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}e^{-i\omega t}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int d\omega \,\int d^{3}r'\,{\frac {\varrho _{\omega }({\vec {r}}')}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\exp \left(-i\omega (\mp |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|/c+t)\right)\end{aligned}}$

Mit $t':=t\mp |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|/c$ folgt:

    $\Phi ({\vec {r}},t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int d\omega \,\int d^{3}r'\,{\frac {\varrho _{\omega }({\vec {r}}')}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\exp(-i\omega t')={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int d^{3}r'\,{\frac {1}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\int d\omega \,\varrho _{\omega }({\vec {r}}')e^{-i\omega t'}$
    $\Rightarrow \Phi ({\vec {r}},t)=\int d^{3}r'\,{\frac {\varrho ({\vec {r}}',t')}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}$

Dies ist die gesuchte partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung. Für $A_{i}$ folgt analog:

    $A_{i}({\vec {r}},t)={\frac {1}{c}}\int d^{3}r'\,{\frac {j_{i}({\vec {r}}',t')}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}$
    $\Rightarrow {\vec {A}}({\vec {r}},t)={\frac {1}{c}}\int d^{3}r'\,{\frac {{\vec {j}}({\vec {r}}',t')}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}$

Die physikalische Bedeutung ist, dass das zur Zeit $t$ am Ort ${\vec {r}}$ beobachtete Potential von Ladungen bzw. Strömen zur Zeit $t'$ am Ort ${\vec {r}}'$ verursacht wurde.

### Diskussion: Retardierte und avancierte Lösung

Noch steht das Vorzeichen im Argument $t\pm |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|/c$ nicht fest. Physikalisch scheint aber plausibel, dass die zeitliche Änderung einer Ladungsverteilung bei ${\vec {r}}'$ erst zu einem späteren Zeitpunkt bei ${\vec {r}}$ beobachtet werden kann, da sich elektromagnetische Wellen mit der (konstanten) Lichtgeschwindigkeit $c$ ausbreiten. Daher wählen wir das Minuszeichen als physikalisch praktikable Lösung:

    $\Phi ({\vec {r}},t)_{\mathrm {ret.} }=\int d^{3}r'\,{\frac {\varrho ({\vec {r}}',t-|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|/c)}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}$

Man nennt das Potential bei Wahl des Minuszeichens auch retardiertes Potential. Wählt man das Pluszeichen, so spricht man vom avancierten Potential.

