Gaussian Type Orbitals
# Gaussian Type Orbitals

Bei den Gaussian-type Orbitals (GTOs, dt. „Gauß’sche-Orbitale“) handelt es sich um gaussförmige Näherungsfunktionen (kontrahierte Gauß-Funktionen) von Atomorbitalen an die korrekten Slater-Orbitale („Slater-type orbitals“, STOs). Wie bei den Slater-Orbitalen handelt es sich auch hier um Wellenfunktionen, die in die LCAO-Näherung als Atomorbitale eingesetzt werden.

## Kugelkoordinaten

Die Gauß’schen Basisfunktionen können in der üblichen Radialwinkelzerlegung in eine Radial- und eine Winkel-Komponente zerlegt werden:

    $\ \Phi (\mathbf {r} )=R_{l}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi )$,

$Y_{lm}(\theta ,\phi )$ stellt die Winkel-Komponente und $R_{l}(r)$ die Radial-Komponente dar, $l$ und $m$ sind die entsprechenden Drehimpulse und ihre z-Komponenten. $r,\theta ,\phi$ sind entsprechend die sphärischen Koordinaten.

Die Radial-Komponente für die Slater-Orbitale sieht wie folgt aus:

    $\ R_{l}(r)=A(l,\alpha )r^{l}e^{-\alpha r},$

$A(l,\alpha )$ als Normierungskonstante, für primitive GTOs stellt sich die Radial-Komponente wie folgt dar:

    $\ R_{l}(r)=B(l,\alpha )r^{l}e^{-\alpha r^{2}},$

$B(l,\alpha )$ ist hier die Normierungskonstante zum Gauß'sche-Orbital.

## Kartesische Koordinaten

Häufig werden die kartesische Gauß-Funktionen verwendet, da diese besonders einfach bei Ableitungen und Integrationen handhabbar sind:

$\ \Phi _{GTO}(\mathbf {r} )=\underbrace {x^{i}y^{j}z^{k}} _{Y_{l,m}}\cdot \underbrace {e^{-\alpha r^{2}}} _{R_{l}}$Die Vorfaktoren x, y und z sowie deren Exponenten sollen dabei die Winkel-Komponente $Y_{lm}(\theta ,\phi )$ „simulieren“.

## GTOs als STO-Annäherung

In den STO-NG-Basissätzen werden GTOs zur Annäherung von STOs verwendet. Der STO-3G ist dabei der am häufigsten eingesetzte Basissatz, hier werden die GTOs durch Linearkombination von drei primitiven Gauß-Funktionen dargestellt.

## Fehler der GTOs im Vergleich zu STOs

Bei der Verwendung von GTOs anstelle von STOs werden zwei qualitative Fehler gemacht:

* GTOs besitzen keine Spitze (die Ableitung bei $r=0$ ist $0$).
* Der Funktionsverlauf der GTOs ist zu steil (im Exponenten der eulerischen Zahl gilt $r^{2}$und nicht wie bei Slater-Orbitalen lediglich $r$)

In der Regel können diese Fehler vernachlässigt werden, da sie sich zwar stark auf die Absolutenergien aber weniger stark auf die Relativenergien auswirken.

## Vorteile der GTOs im Vergleich zu STOs

Im Vergleich zu Slater-Orbitalen sind Berechnungen mit Gauß-Orbitalen 4–5 Größenordnungen schneller, dies führt dazu, dass sie von fast allen Quantenchemieprogrammen benutzt werden, auch wenn dadurch ein größerer Basisatz gebraucht wird.

