Typ-I-Von-Neumann-Algebra
# Typ-I-Von-Neumann-Algebra

Typ-I-Von-Neumann-Algebren sind spezielle in der mathematischen Theorie der Von-Neumann-Algebren betrachtete Algebren. Es handelt sich um den ersten von drei Typen der Typklassifikation von Von-Neumann-Algebren. Typ-I-Von-Neumann-Algebren nennt man auch diskret.

## Definitionen

Eine Projektion in einer Von-Neumann-Algebra $A$ ist selbstadjungiertes idempotentes Element $e$, das heißt, es gilt $e=e^{*}=e^{2}$. Eine solche Projektion heißt abelsch, falls die Algebra $eAe\subset A$ kommutativ ist. Eine Von-Neumann-Algebra heißt vom Typ I (lies: Typ eins), falls sie eine abelsche Projektion $e$ besitzt, so dass das Einselement die kleinste Projektion aus dem Zentrum der Algebra ist, deren Produkt mit $e$ gleich $e$ ist. Sie heißt genauer vom Typ $I_n,$ wenn das Einselement Summe von $n$ paarweise orthogonalen, äquivalenten abelschen Projektionen ist. Dabei heißen zwei Projektionen $e_{1},e_{2}$ orthogonal, falls $e_{1}e_{2}=0$, und sie heißen äquivalent, falls es ein Element $v\in A$ gibt mit $e_{1}=v^{*}v,e_{2}=vv^{*}$. Die Summe ist bei unendlichem $n$ im Sinne der starken Operatortopologie zu verstehen.

## Beispiele

* Abelsche Von-Neumann-Algebren sind vom Typ I, denn in diesem Fall ist das Einselement selbst eine abelsche Projektion.
* Die Algebra $A=L(H)$ der stetigen linearen Operatoren über einem Hilbertraum $H$ ist vom Typ $I_n,$ wobei $n$ die Dimension des Hilbertraums ist. Ist nämlich $(\xi _{i})_{i\in I}$ eine Orthogonalbasis und ist $e_{i}$ die Projektion auf den eindimensionalen Unterraum $\mathbb {C} \xi _{i}$, so sind die $e_{i}$ abelsch, untereinander äquivalent und es ist $\textstyle \sum _{i=I}e_{i}=1$.

## Eigenschaften

Wir betrachten hier nur Von-Neumann-Algebren auf einem separablen Hilbertraum. Dann hat man für $Typ-I_n-Algebren$ nur die Fälle $n=1,2,3,\ldots ,\infty$ zu betrachten; anderenfalls müsste man für den unendlichen Fall noch nach Mächtigkeiten unterscheiden.

Jede Von-Neumann-Algebra $A$ vom Typ I zerfällt in eine direkte Summe

    $A=Ap_{1}\oplus Ap_{2}\oplus Ap_{3}\oplus \ldots \oplus Ap_{\infty }$,

wobei

* jedes $p_{n}$ ist eine Projektion aus dem Zentrum von $A$ (möglicherweise 0)
* die $p_{n}$ sind paarweise orthogonal
* $1=p_{\infty }+p_{1}+p_{2}+p_{3}+\ldots$ im Sinne der starken Operatortopologie.
* $Ap_{n}=p_{n}Ap_{n}$ ist eine Von-Neumann-Algebra vom Typ $I_n$ auf dem Hilbertraum $p_{n}(H)$, falls $p_{n}\not =0$.

Jede Von-Neumann-Algebra $A$ vom Typ $I_n$ ist isomorph zum Tensorprodukt $L(H){\overline {\otimes }}\,\mathrm {cen} (A)$, wobei $H$ ein n-dimensionaler Hilbertraum und $\mathrm {cen} (A)$ das Zentrum von $A$ ist.

Da die Zentren abelsche Von-Neumann-Algebren sind und diese bekannt sind, ist damit die Struktur der Typ-I-Von-Neumann-Algebren aufgedeckt; es handelt sich um direkte Summen von Tensorprodukten von Algebren $L(H)$ mit abelschen Von-Neumann-Algebren. Daraus ergibt sich leicht, dass jede endlich-dimensionale Von-Neumann-Algebra vom Typ I ist und isomorph zu einer endlichen direkten Summe von Matrixalgebren $L(\mathbb {C} ^{n})$ ist.

Eine Von-Neumann-Algebra ist genau dann vom Typ I, wenn sie isomorph zu einer Von-Neumann-Algebra mit abelscher Kommutante ist.

