Kegelfunktion
# Kegelfunktion

Die Kegelfunktionen sind spezielle Kugelfunktionen, die von Gustav Ferdinand Mehler 1868 als Lösung des Problems der Potentialbestimmung von auf einer Kegelfläche verteilten elektrischen Ladungen eingeführt wurden.

## Definition

Die ursprünglich von Mehler eingeführten Funktionen $K^{\mu }(x)$ sind durch Kugelfunktionen darstellbar, und zwar zugeordnete Legendrepolynome erster und zweiter Art mit einem speziellen komplexen Index:

    $P_{-(1/2)+i\lambda }^{\mu }(x)$ und $Q_{-(1/2)+i\lambda }^{\mu }(x)$.

Dabei ist $\lambda$ reell und $\mu$ beliebig. Entsprechend werden heute diese beiden speziellen Legendrefunktionen als Kegelfunktionen bezeichnet. Speziell gilt mit $x=\cos(\theta )$ und $\mu =0$:

    $P_{-(1/2)+i\lambda }(\cos \theta )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\theta }{\frac {\cosh(\lambda t)}{\sqrt {2(\cos t-\cos \theta )}}}dt$
    $Q_{-(1/2)\mp i\lambda }(\cos \theta )=\pm i\sinh \lambda \pi \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(\lambda t)}{\sqrt {2(\cosh t+\cos \theta )}}}dt+\int _{0}^{\infty }{\frac {\cosh(\lambda t)}{\sqrt {2(\cosh t-\cos \theta )}}}dt$
