Ramanujan-Primzahl
# Ramanujan-Primzahl

Ramanujan-Primzahlen sind Primzahlen, die einer Ungleichung nach S. Ramanujan genügen, die aus seiner Verallgemeinerung des Bertrandschen Postulats folgte, das Ramanujan dabei neu bewies. Das Bertrandsche Postulat besagt, dass für alle Zahlen $x\geq 1$ zwischen $x$ und $2x$ mindestens eine Primzahl liegt. Ramanujan-Primzahlen $R_{n}$ sind als kleinste Zahlen definiert, so dass für alle $x\geq R_{n}$ zwischen $x$ und ${\tfrac {x}{2}}$ mindestens $n$ Primzahlen liegen. Dass es diese für jedes $n$ gibt, bewies Ramanujan. Der Name Ramanujan-Primzahl wurde 2005 von Jonathan Sondow eingeführt.

Sei $x\mapsto \pi (x)$ die Primzahlfunktion, das heißt, $\pi (x)$ ist die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als $x$ sind. Dann ist die $n$‑te Ramanujan-Primzahl die kleinste Zahl $R_{n}$, für die gilt:

    $\pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)\geq n$ für alle $x\geq R_{n}$

Mit anderen Worten: Sie sind die kleinsten Zahlen $R_{n}$, sodass für alle $x\geq R_{n}$ zwischen ${\tfrac {x}{2}}$ und $x$ mindestens $n$ Primzahlen liegen. Weil die Funktion $x\mapsto \pi (x)-\pi ({\tfrac {x}{2}})$ nur an einer primen Stelle $x$ wachsen kann, muss $R_{n}$ eine Primzahl sein und es gilt:

    $\pi (R_{n})-\pi \left({\frac {R_{n}}{2}}\right)=n$

Die ersten Ramanujan-Primzahlen sind:

2, 11, 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, 107, 127, 149, 151, 167, 179, 181, 227, 229, 233, 239, 241, 263, 269, 281, 307, 311, 347, 349, 367, 373, 401, 409, 419, 431, 433, 439, 461, 487, 491, … (Folge A104272 in OEIS)

Das Bertrandsche Postulat ist gerade der Fall $n=1$ (mit $R_{1}=2$).

Ramanujan bewies die Existenz dieser Primzahlen, indem er die Ungleichung

    $\pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)>{\frac {1}{\log x}}\left({\frac {x}{6}}-3{\sqrt {x}}\right)$

für $x>300$ ableitete. Die rechte Seite wächst monoton gegen Unendlich für $x\to \infty$.

## Eigenschaften

Es gilt für jedes $n\geq 1$

    $2n\,\ln(2n)<R_{n}<4n\,\ln(4n)$,

wobei $\ln$ den natürlichen Logarithmus bezeichnet, sowie

    $p_{2n}<R_{n}<p_{3n}$ für $n\geq 2$,

wobei $p_{n}$ die $n$-te Primzahl ist.

Asymptotisch gilt

    $R_{n}\sim p_{2n}$ für $n\to \infty ,$

woraus mit dem Primzahlsatz folgt:

    $R_{n}\sim 2n\,\ln(2n)$

Die obigen Resultate stammen von Jonathan Sondow bis auf die Ungleichung $R_{n}<p_{3n}$, die Sondow vermutete und die Shanta Laishram bewies.

## Beispiel

Die ersten Primzahlen lauten:

    2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, … (Folge A000040 in OEIS)

Wir betrachten die beiden folgenden Eigenschaften (dabei ist $\pi (x)$ die Anzahl der Primzahlen $\leq x$ und $R_{n}$ die $n$-te Ramanujan-Primzahl):

    $\pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)\geq n$ für alle $x\geq R_{n}$
    $\pi (R_{n})-\pi \left({\frac {R_{n}}{2}}\right)=n$

und untersuchen nun diese für die ersten $x\in \mathbb {N} ,x\leq 228$:

$R_{n}$

| $x$ | $\pi (x)$ | ${\frac {x}{2}}$ | $\pi \left({\frac {x}{2}}\right)$ | $\pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)$ | Anmerkungen | $n$ | $R_{n}$ | $\pi (R_{n})$ | ${\frac {R_{n}}{2}}$ | $\pi \left({\frac {R_{n}}{2}}\right)$ | $\pi (R_{n})-\pi \left({\frac {R_{n}}{2}}\right){\stackrel {!}{=}}n$ |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 1 | 0 | 0,5 | 0 | 0 | | 0 | -- | -- | -- | -- | -- |
| 2 | 1 | 1 | 0 | 1 | ab hier ist immer $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 1$ | 1 | 2 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 2 | 1,5 | 0 | 2 | | 1 | 2 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 2 | 2 | 1 | 1 | | 1 | 2 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 5 | 3 | 2,5 | 1 | 2 | | 1 | 2 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 6 | 3 | 3 | 2 | 1 | | 1 | 2 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 4 | 3,5 | 2 | 2 | | 1 | 2 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 8 | 4 | 4 | 2 | 2 | | 1 | 2 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 9 | 4 | 4,5 | 2 | 2 | | 1 | 2 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 10 | 4 | 5 | 3 | 1 | das letzte Mal ist $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 1$ | 1 | 2 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 11 | 5 | 5,5 | 3 | 2 | ab hier ist immer $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 2$ | 2 | 11 | 5 | 5,5 | 3 | 2 |
| 12 | 5 | 6 | 3 | 2 | | 2 | 11 | 5 | 5,5 | 3 | 2 |
| 13 | 6 | 6,5 | 3 | 3 | | 2 | 11 | 5 | 5,5 | 3 | 2 |
| 14 | 6 | 7 | 4 | 2 | | 2 | 11 | 5 | 5,5 | 3 | 2 |
| 15 | 6 | 7,5 | 4 | 2 | | 2 | 11 | 5 | 5,5 | 3 | 2 |
| 16 | 6 | 8 | 4 | 2 | das letzte Mal ist $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 2$ | 2 | 11 | 5 | 5,5 | 3 | 2 |
| 17 | 7 | 8,5 | 4 | 3 | ab hier ist immer $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 3$ | 3 | 17 | 7 | 8,5 | 4 | 3 |
| 18 | 7 | 9 | 4 | 3 | | 3 | 17 | 7 | 8,5 | 4 | 3 |
| 19 | 8 | 9,5 | 4 | 4 | | 3 | 17 | 7 | 8,5 | 4 | 3 |
| 20 | 8 | 10 | 4 | 4 | | 3 | 17 | 7 | 8,5 | 4 | 3 |
| 21 | 8 | 10,5 | 4 | 4 | | 3 | 17 | 7 | 8,5 | 4 | 3 |
| 22 | 8 | 11 | 5 | 3 | | 3 | 17 | 7 | 8,5 | 4 | 3 |
| 23 | 9 | 11,5 | 5 | 4 | | 3 | 17 | 7 | 8,5 | 4 | 3 |
| 24 | 9 | 12 | 5 | 4 | | 3 | 17 | 7 | 8,5 | 4 | 3 |
| 25 | 9 | 12,5 | 5 | 4 | | 3 | 17 | 7 | 8,5 | 4 | 3 |
| 26 | 9 | 13 | 6 | 3 | | 3 | 17 | 7 | 8,5 | 4 | 3 |
| 27 | 9 | 13,5 | 6 | 3 | | 3 | 17 | 7 | 8,5 | 4 | 3 |
| 28 | 9 | 14 | 6 | 3 | das letzte Mal ist $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 3$ | 3 | 17 | 7 | 8,5 | 4 | 3 |
| 29 | 10 | 14,5 | 6 | 4 | ab hier ist immer $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 4$ | 4 | 29 | 10 | 14,5 | 6 | 4 |
| 30 | 10 | 15 | 6 | 4 | | 4 | 29 | 10 | 14,5 | 6 | 4 |
| 31 | 11 | 15,5 | 6 | 5 | | 4 | 29 | 10 | 14,5 | 6 | 4 |
| 32 | 11 | 16 | 6 | 5 | | 4 | 29 | 10 | 14,5 | 6 | 4 |
| 33 | 11 | 16,5 | 6 | 5 | | 4 | 29 | 10 | 14,5 | 6 | 4 |
| 34 | 11 | 17 | 7 | 4 | | 4 | 29 | 10 | 14,5 | 6 | 4 |
| 35 | 11 | 17,5 | 7 | 4 | | 4 | 29 | 10 | 14,5 | 6 | 4 |
| 36 | 11 | 18 | 7 | 4 | | 4 | 29 | 10 | 14,5 | 6 | 4 |
| 37 | 12 | 18,5 | 7 | 5 | | 4 | 29 | 10 | 14,5 | 6 | 4 |
| 38 | 12 | 19 | 8 | 4 | | 4 | 29 | 10 | 14,5 | 6 | 4 |
| 39 | 12 | 19,5 | 8 | 4 | | 4 | 29 | 10 | 14,5 | 6 | 4 |
| 40 | 12 | 20 | 8 | 4 | das letzte Mal ist $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 4$ | 4 | 29 | 10 | 14,5 | 6 | 4 |
| 41 | 13 | 20,5 | 8 | 5 | ab hier ist immer $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 5$ | 5 | 41 | 13 | 20,5 | 8 | 5 |
| 42 | 13 | 21 | 8 | 5 | | 5 | 41 | 13 | 20,5 | 8 | 5 |
| 43 | 14 | 21,5 | 8 | 6 | | 5 | 41 | 13 | 20,5 | 8 | 5 |
| 44 | 14 | 22 | 8 | 6 | | 5 | 41 | 13 | 20,5 | 8 | 5 |
| 45 | 14 | 22,5 | 8 | 6 | | 5 | 41 | 13 | 20,5 | 8 | 5 |
| 46 | 14 | 23 | 9 | 5 | das letzte Mal ist $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 5$ | 5 | 41 | 13 | 20,5 | 8 | 5 |
| 47 | 15 | 23,5 | 9 | 6 | ab hier ist immer $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 6$ | 6 | 47 | 15 | 23,5 | 9 | 6 |
| 48 | 15 | 24 | 9 | 6 | | 6 | 47 | 15 | 23,5 | 9 | 6 |
| 49 | 15 | 24,5 | 9 | 6 | | 6 | 47 | 15 | 23,5 | 9 | 6 |
| 50 | 15 | 25 | 9 | 6 | | 6 | 47 | 15 | 23,5 | 9 | 6 |
| 51 | 15 | 25,5 | 9 | 6 | | 6 | 47 | 15 | 23,5 | 9 | 6 |
| 52 | 15 | 26 | 9 | 6 | | 6 | 47 | 15 | 23,5 | 9 | 6 |
| 53 | 16 | 26,5 | 9 | 7 | | 6 | 47 | 15 | 23,5 | 9 | 6 |
| 54 | 16 | 27 | 9 | 7 | | 6 | 47 | 15 | 23,5 | 9 | 6 |
| 55 | 16 | 27,5 | 9 | 7 | | 6 | 47 | 15 | 23,5 | 9 | 6 |
| 56 | 16 | 28 | 9 | 7 | | 6 | 47 | 15 | 23,5 | 9 | 6 |
| 57 | 16 | 28,5 | 9 | 7 | | 6 | 47 | 15 | 23,5 | 9 | 6 |
| 58 | 16 | 29 | 10 | 6 | das letzte Mal ist $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 6$ | 6 | 47 | 15 | 23,5 | 9 | 6 |
| 59 | 17 | 29,5 | 10 | 7 | ab hier ist immer $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 7$ | 7 | 59 | 17 | 29,5 | 10 | 7 |
| 60 | 17 | 30 | 10 | 7 | | 7 | 59 | 17 | 29,5 | 10 | 7 |
| 61 | 18 | 30,5 | 10 | 8 | | 7 | 59 | 17 | 29,5 | 10 | 7 |
| 62 | 18 | 31 | 11 | 7 | | 7 | 59 | 17 | 29,5 | 10 | 7 |
| 63 | 18 | 31,5 | 11 | 7 | | 7 | 59 | 17 | 29,5 | 10 | 7 |
| 64 | 18 | 32 | 11 | 7 | | 7 | 59 | 17 | 29,5 | 10 | 7 |
| 65 | 18 | 32,5 | 11 | 7 | | 7 | 59 | 17 | 29,5 | 10 | 7 |
| 66 | 18 | 33 | 11 | 7 | das letzte Mal ist $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 7$ | 7 | 59 | 17 | 29,5 | 10 | 7 |
| 67 | 19 | 33,5 | 11 | 8 | ab hier ist immer $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 8$ | 8 | 67 | 19 | 33,5 | 11 | 8 |
| 68 | 19 | 34 | 11 | 8 | | 8 | 67 | 19 | 33,5 | 11 | 8 |
| 69 | 19 | 34,5 | 11 | 8 | | 8 | 67 | 19 | 33,5 | 11 | 8 |
| 70 | 19 | 35 | 11 | 8 | das letzte Mal ist $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 8$ | 8 | 67 | 19 | 33,5 | 11 | 8 |
| 71 | 20 | 35,5 | 11 | 9 | ab hier ist immer $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 9$ | 9 | 71 | 20 | 35,5 | 11 | 9 |
| 72 | 20 | 36 | 11 | 9 | | 9 | 71 | 20 | 35,5 | 11 | 9 |
| 73 | 21 | 36,5 | 11 | 10 | | 9 | 71 | 20 | 35,5 | 11 | 9 |
| 74 | 21 | 37 | 12 | 9 | | 9 | 71 | 20 | 35,5 | 11 | 9 |
| 75 | 21 | 37,5 | 12 | 9 | | 9 | 71 | 20 | 35,5 | 11 | 9 |
| 76 | 21 | 38 | 12 | 9 | | 9 | 71 | 20 | 35,5 | 11 | 9 |
| 77 | 21 | 38,5 | 12 | 9 | | 9 | 71 | 20 | 35,5 | 11 | 9 |
| 78 | 21 | 39 | 12 | 9 | | 9 | 71 | 20 | 35,5 | 11 | 9 |
| 79 | 22 | 39,5 | 12 | 10 | | 9 | 71 | 20 | 35,5 | 11 | 9 |
| 80 | 22 | 40 | 12 | 10 | | 9 | 71 | 20 | 35,5 | 11 | 9 |
| 81 | 22 | 40,5 | 12 | 10 | | 9 | 71 | 20 | 35,5 | 11 | 9 |
| 82 | 22 | 41 | 13 | 9 | | 9 | 71 | 20 | 35,5 | 11 | 9 |
| 83 | 23 | 41,5 | 13 | 10 | | 9 | 71 | 20 | 35,5 | 11 | 9 |
| 84 | 23 | 42 | 13 | 10 | | 9 | 71 | 20 | 35,5 | 11 | 9 |
| 85 | 23 | 42,5 | 13 | 10 | | 9 | 71 | 20 | 35,5 | 11 | 9 |
| 86 | 23 | 43 | 14 | 9 | | 9 | 71 | 20 | 35,5 | 11 | 9 |
| 87 | 23 | 43,5 | 14 | 9 | | 9 | 71 | 20 | 35,5 | 11 | 9 |
| 88 | 23 | 44 | 14 | 9 | | 9 | 71 | 20 | 35,5 | 11 | 9 |
| 89 | 24 | 44,5 | 14 | 10 | | 9 | 71 | 20 | 35,5 | 11 | 9 |
| 90 | 24 | 45 | 14 | 10 | | 9 | 71 | 20 | 35,5 | 11 | 9 |
| 91 | 24 | 45,5 | 14 | 10 | | 9 | 71 | 20 | 35,5 | 11 | 9 |
| 92 | 24 | 46 | 14 | 10 | | 9 | 71 | 20 | 35,5 | 11 | 9 |
| 93 | 24 | 46,5 | 14 | 10 | | 9 | 71 | 20 | 35,5 | 11 | 9 |
| 94 | 24 | 47 | 15 | 9 | | 9 | 71 | 20 | 35,5 | 11 | 9 |
| 95 | 24 | 47,5 | 15 | 9 | | 9 | 71 | 20 | 35,5 | 11 | 9 |
| 96 | 24 | 48 | 15 | 9 | das letzte Mal ist $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 9$ | 9 | 71 | 20 | 35,5 | 11 | 9 |
| 97 | 25 | 48,5 | 15 | 10 | ab hier ist immer $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 10$ | 10 | 97 | 25 | 48,5 | 15 | 10 |
| 98 | 25 | 49 | 15 | 10 | | 10 | 97 | 25 | 48,5 | 15 | 10 |
| 99 | 25 | 49,5 | 15 | 10 | | 10 | 97 | 25 | 48,5 | 15 | 10 |
| 100 | 25 | 50 | 15 | 10 | das letzte Mal ist $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 10$ | 10 | 97 | 25 | 48,5 | 15 | 10 |
| 101 | 26 | 50,5 | 15 | 11 | ab hier ist immer $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 11$ | 11 | 101 | 26 | 50,5 | 15 | 11 |
| 102 | 26 | 51 | 15 | 11 | | 11 | 101 | 26 | 50,5 | 15 | 11 |
| 103 | 27 | 51,5 | 15 | 12 | | 11 | 101 | 26 | 50,5 | 15 | 11 |
| 104 | 27 | 52 | 15 | 12 | | 11 | 101 | 26 | 50,5 | 15 | 11 |
| 105 | 27 | 52,5 | 15 | 12 | | 11 | 101 | 26 | 50,5 | 15 | 11 |
| 106 | 27 | 53 | 16 | 11 | das letzte Mal ist $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 11$ | 11 | 101 | 26 | 50,5 | 15 | 11 |
| 107 | 28 | 53,5 | 16 | 12 | ab hier ist immer $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 12$ | 12 | 107 | 28 | 53,5 | 16 | 12 |
| 108 | 28 | 54 | 16 | 12 | | 12 | 107 | 28 | 53,5 | 16 | 12 |
| 109 | 29 | 54,5 | 16 | 13 | | 12 | 107 | 28 | 53,5 | 16 | 12 |
| 110 | 29 | 55 | 16 | 13 | | 12 | 107 | 28 | 53,5 | 16 | 12 |
| 111 | 29 | 55,5 | 16 | 13 | | 12 | 107 | 28 | 53,5 | 16 | 12 |
| 112 | 29 | 56 | 16 | 13 | | 12 | 107 | 28 | 53,5 | 16 | 12 |
| 113 | 30 | 56,5 | 16 | 14 | | 12 | 107 | 28 | 53,5 | 16 | 12 |
| 114 | 30 | 57 | 16 | 14 | | 12 | 107 | 28 | 53,5 | 16 | 12 |
| 115 | 30 | 57,5 | 16 | 14 | | 12 | 107 | 28 | 53,5 | 16 | 12 |
| 116 | 30 | 58 | 16 | 14 | | 12 | 107 | 28 | 53,5 | 16 | 12 |
| 117 | 30 | 58,5 | 16 | 14 | | 12 | 107 | 28 | 53,5 | 16 | 12 |
| 118 | 30 | 59 | 17 | 13 | | 12 | 107 | 28 | 53,5 | 16 | 12 |
| 119 | 30 | 59,5 | 17 | 13 | | 12 | 107 | 28 | 53,5 | 16 | 12 |
| 120 | 30 | 60 | 17 | 13 | | 12 | 107 | 28 | 53,5 | 16 | 12 |
| 121 | 30 | 60,5 | 17 | 13 | | 12 | 107 | 28 | 53,5 | 16 | 12 |
| 122 | 30 | 61 | 18 | 12 | | 12 | 107 | 28 | 53,5 | 16 | 12 |
| 123 | 30 | 61,5 | 18 | 12 | | 12 | 107 | 28 | 53,5 | 16 | 12 |
| 124 | 30 | 62 | 18 | 12 | | 12 | 107 | 28 | 53,5 | 16 | 12 |
| 125 | 30 | 62,5 | 18 | 12 | | 12 | 107 | 28 | 53,5 | 16 | 12 |
| 126 | 30 | 63 | 18 | 12 | das letzte Mal ist $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 12$ | 12 | 107 | 28 | 53,5 | 16 | 12 |
| 127 | 31 | 63,5 | 18 | 13 | ab hier ist immer $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 13$ | 13 | 127 | 31 | 63,5 | 18 | 13 |
| 128 | 31 | 64 | 18 | 13 | | 13 | 127 | 31 | 63,5 | 18 | 13 |
| 129 | 31 | 64,5 | 18 | 13 | | 13 | 127 | 31 | 63,5 | 18 | 13 |
| 130 | 31 | 65 | 18 | 13 | | 13 | 127 | 31 | 63,5 | 18 | 13 |
| 131 | 32 | 65,5 | 18 | 14 | | 13 | 127 | 31 | 63,5 | 18 | 13 |
| 132 | 32 | 66 | 18 | 14 | | 13 | 127 | 31 | 63,5 | 18 | 13 |
| 133 | 32 | 66,5 | 18 | 14 | | 13 | 127 | 31 | 63,5 | 18 | 13 |
| 134 | 32 | 67 | 19 | 13 | | 13 | 127 | 31 | 63,5 | 18 | 13 |
| 135 | 32 | 67,5 | 19 | 13 | | 13 | 127 | 31 | 63,5 | 18 | 13 |
| 136 | 32 | 68 | 19 | 13 | | 13 | 127 | 31 | 63,5 | 18 | 13 |
| 137 | 33 | 68,5 | 19 | 14 | | 13 | 127 | 31 | 63,5 | 18 | 13 |
| 138 | 33 | 69 | 19 | 14 | | 13 | 127 | 31 | 63,5 | 18 | 13 |
| 139 | 34 | 69,5 | 19 | 15 | | 13 | 127 | 31 | 63,5 | 18 | 13 |
| 140 | 34 | 70 | 19 | 15 | | 13 | 127 | 31 | 63,5 | 18 | 13 |
| 141 | 34 | 70,5 | 19 | 15 | | 13 | 127 | 31 | 63,5 | 18 | 13 |
| 142 | 34 | 71 | 20 | 14 | | 13 | 127 | 31 | 63,5 | 18 | 13 |
| 143 | 34 | 71,5 | 20 | 14 | | 13 | 127 | 31 | 63,5 | 18 | 13 |
| 144 | 34 | 72 | 20 | 14 | | 13 | 127 | 31 | 63,5 | 18 | 13 |
| 145 | 34 | 72,5 | 20 | 14 | | 13 | 127 | 31 | 63,5 | 18 | 13 |
| 146 | 34 | 73 | 21 | 13 | | 13 | 127 | 31 | 63,5 | 18 | 13 |
| 147 | 34 | 73,5 | 21 | 13 | | 13 | 127 | 31 | 63,5 | 18 | 13 |
| 148 | 34 | 74 | 21 | 13 | das letzte Mal ist $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 13$ | 13 | 127 | 31 | 63,5 | 18 | 13 |
| 149 | 35 | 74,5 | 21 | 14 | ab hier ist immer $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 14$ | 14 | 149 | 35 | 74,5 | 21 | 14 |
| 150 | 35 | 75 | 21 | 14 | das letzte Mal ist $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 14$ | 14 | 149 | 35 | 74,5 | 21 | 14 |
| 151 | 36 | 75,5 | 21 | 15 | ab hier ist immer $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 15$ | 15 | 151 | 36 | 75,5 | 21 | 15 |
| 152 | 36 | 76 | 21 | 15 | | 15 | 151 | 36 | 75,5 | 21 | 15 |
| 153 | 36 | 76,5 | 21 | 15 | | 15 | 151 | 36 | 75,5 | 21 | 15 |
| 154 | 36 | 77 | 21 | 15 | | 15 | 151 | 36 | 75,5 | 21 | 15 |
| 155 | 36 | 77,5 | 21 | 15 | | 15 | 151 | 36 | 75,5 | 21 | 15 |
| 156 | 36 | 78 | 21 | 15 | | 15 | 151 | 36 | 75,5 | 21 | 15 |
| 157 | 37 | 78,5 | 21 | 16 | | 15 | 151 | 36 | 75,5 | 21 | 15 |
| 158 | 37 | 79 | 22 | 15 | | 15 | 151 | 36 | 75,5 | 21 | 15 |
| 159 | 37 | 79,5 | 22 | 15 | | 15 | 151 | 36 | 75,5 | 21 | 15 |
| 160 | 37 | 80 | 22 | 15 | | 15 | 151 | 36 | 75,5 | 21 | 15 |
| 161 | 37 | 80,5 | 22 | 15 | | 15 | 151 | 36 | 75,5 | 21 | 15 |
| 162 | 37 | 81 | 22 | 15 | | 15 | 151 | 36 | 75,5 | 21 | 15 |
| 163 | 38 | 81,5 | 22 | 16 | | 15 | 151 | 36 | 75,5 | 21 | 15 |
| 164 | 38 | 82 | 22 | 16 | | 15 | 151 | 36 | 75,5 | 21 | 15 |
| 165 | 38 | 82,5 | 22 | 16 | | 15 | 151 | 36 | 75,5 | 21 | 15 |
| 166 | 38 | 83 | 23 | 15 | das letzte Mal ist $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 15$ | 15 | 151 | 36 | 75,5 | 21 | 15 |
| 167 | 39 | 83,5 | 23 | 16 | ab hier ist immer $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 16$ | 16 | 167 | 39 | 83,5 | 23 | 16 |
| 168 | 39 | 84 | 23 | 16 | | 16 | 167 | 39 | 83,5 | 23 | 16 |
| 169 | 39 | 84,5 | 23 | 16 | | 16 | 167 | 39 | 83,5 | 23 | 16 |
| 170 | 39 | 85 | 23 | 16 | | 16 | 167 | 39 | 83,5 | 23 | 16 |
| 171 | 39 | 85,5 | 23 | 16 | | 16 | 167 | 39 | 83,5 | 23 | 16 |
| 172 | 39 | 86 | 23 | 16 | | 16 | 167 | 39 | 83,5 | 23 | 16 |
| 173 | 40 | 86,5 | 23 | 17 | | 16 | 167 | 39 | 83,5 | 23 | 16 |
| 174 | 40 | 87 | 23 | 17 | | 16 | 167 | 39 | 83,5 | 23 | 16 |
| 175 | 40 | 87,5 | 23 | 17 | | 16 | 167 | 39 | 83,5 | 23 | 16 |
| 176 | 40 | 88 | 23 | 17 | | 16 | 167 | 39 | 83,5 | 23 | 16 |
| 177 | 40 | 88,5 | 23 | 17 | | 16 | 167 | 39 | 83,5 | 23 | 16 |
| 178 | 40 | 89 | 24 | 16 | das letzte Mal ist $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 16$ | 16 | 167 | 39 | 83,5 | 23 | 16 |
| 179 | 41 | 89,5 | 24 | 17 | ab hier ist immer $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 17$ | 17 | 179 | 41 | 89,5 | 24 | 17 |
| 180 | 41 | 90 | 24 | 17 | das letzte Mal ist $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 17$ | 17 | 179 | 41 | 89,5 | 24 | 17 |
| 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 | ab hier ist immer $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 18$ | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 182 | 42 | 91 | 24 | 18 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 183 | 42 | 91,5 | 24 | 18 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 184 | 42 | 92 | 24 | 18 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 185 | 42 | 92,5 | 24 | 18 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 186 | 42 | 93 | 24 | 18 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 187 | 42 | 93,5 | 24 | 18 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 188 | 42 | 94 | 24 | 18 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 189 | 42 | 94,5 | 24 | 18 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 190 | 42 | 95 | 24 | 18 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 191 | 43 | 95,5 | 24 | 19 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 192 | 43 | 96 | 24 | 19 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 193 | 44 | 96,5 | 24 | 20 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 194 | 44 | 97 | 25 | 19 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 195 | 44 | 97,5 | 25 | 19 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 196 | 44 | 98 | 25 | 19 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 197 | 45 | 98,5 | 25 | 20 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 198 | 45 | 99 | 25 | 20 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 199 | 46 | 99,5 | 25 | 21 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 200 | 46 | 100 | 25 | 21 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 201 | 46 | 100,5 | 25 | 21 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 202 | 46 | 101 | 26 | 20 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 203 | 46 | 101,5 | 26 | 20 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 204 | 46 | 102 | 26 | 20 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 205 | 46 | 102,5 | 26 | 20 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 206 | 46 | 103 | 27 | 19 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 207 | 46 | 103,5 | 27 | 19 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 208 | 46 | 104 | 27 | 19 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 209 | 46 | 104,5 | 27 | 19 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 210 | 46 | 105 | 27 | 19 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 211 | 47 | 105,5 | 27 | 20 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 212 | 47 | 106 | 27 | 20 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 213 | 47 | 106,5 | 27 | 20 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 214 | 47 | 107 | 28 | 19 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 215 | 47 | 107,5 | 28 | 19 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 216 | 47 | 108 | 28 | 19 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 217 | 47 | 108,5 | 28 | 19 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 218 | 47 | 109 | 29 | 18 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 219 | 47 | 109,5 | 29 | 18 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 220 | 47 | 110 | 29 | 18 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 221 | 47 | 110,5 | 29 | 18 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 222 | 47 | 111 | 29 | 18 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 223 | 48 | 111,5 | 29 | 19 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 224 | 48 | 112 | 29 | 19 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 225 | 48 | 112,5 | 29 | 19 | | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 226 | 48 | 113 | 30 | 18 | das letzte Mal ist $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\leq 18$ | 18 | 181 | 42 | 90,5 | 24 | 18 |
| 227 | 49 | 113,5 | 30 | 19 | ab hier ist immer $\pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 19$ | 19 | 227 | 49 | 113,5 | 30 | 19 |
| 228 | 49 | 114 | 30 | 19 | | 19 | 227 | 49 | 113,5 | 30 | 19 |
