Möbiusfunktion
# Möbiusfunktion

Die Möbiusfunktion (auch Möbiussche μ-Funktion genannt) ist eine wichtige multiplikative Funktion in der Zahlentheorie und der Kombinatorik. Sie ist nach dem deutschen Mathematiker August Ferdinand Möbius benannt, der sie erstmals im Jahr 1831 eingeführt hat. Diese Funktion ist ein Spezialfall der allgemeiner definierten Möbiusfunktion einer Halbordnung, wobei sich die hier zugrunde liegende Halbordnung durch Teilbarkeitsrelationen ergibt.

Leonhard Euler betrachtete schon im 18. Jahrhundert Reihen mit der Möbiusfunktion in den Koeffizienten, ohne diese explizit zu definieren.

## Definition

Der Wert $\mu (n)$ ist für alle natürlichen Zahlen $n$ definiert und nimmt nur Werte aus der Menge $\{-1,0,1\}$ an. Die Funktionswerte hängen von der Primfaktorzerlegung von $n$ ab:

    $n=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{k}^{e_{k}}{\mbox{ mit }}k\geq 0,$

wobei $p_{1}\ldots p_{k}$ voneinander verschiedene Primzahlen bezeichnen soll. $k=0$ ist als leeres Produkt und Zerlegung von $n=1$ zu verstehen.

Die Möbiusfunktion wird nun wie folgt definiert:

* $\mu (n)=+1$, falls n quadratfrei ist und falls n ein Produkt einer geraden Anzahl verschiedener Primzahlen ist
* $\mu (n)=-1$, falls n quadratfrei ist und falls n ein Produkt einer ungeraden Anzahl verschiedener Primzahlen ist
* $\mu (n)=0$, falls n nicht quadratfrei ist

Der Funktionswert $\mu (0)$ bleibt undefiniert oder wird auf $0$ gesetzt.

