Metrischer Zusammenhang
# Metrischer Zusammenhang

Ein metrischer Zusammenhang beziehungsweise ein mit der Metrik kompatibler Zusammenhang ist ein mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie. Es handelt sich um einen Spezialfall eines Zusammenhangs.

## Definition

Sei $(M,{\tilde {g}})$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei $(E\to M,g)$ ein Vektorbündel mit (induzierter) Metrik $g$. Ein Zusammenhang $\nabla$ auf $E$ heißt metrischer Zusammenhang, wenn für alle Schnitte $X,Y,Z\in \Gamma (E)$

    $(\nabla _{X}g)(Y,Z)=0$

gilt.

Die Metrik ist also kovariant konstant bezüglich des metrischen Zusammenhangs. Aus dieser Eigenschaft folgt für alle $X,Y,Z\in \Gamma (E)$

    $X(g(Y,Z))=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z).$

## Beispiele

Das bekannteste Beispiel eines metrischen Zusammenhangs ist der Levi-Civita-Zusammenhang. In diesem Fall ist das Vektorbündel das Tangentialbündel $TM$ an $M$ mit der riemannschen Metrik von $M$. Da zu jeder riemannschen Mannigfaltigkeit genau ein Levi-Civita-Zusammenhang existiert, gibt es insbesondere mindestens einen metrischen Zusammenhang auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit.

## Affiner Raum

Sei $(E\to M,g)$ ein Vektorbündel mit Metrik $g,$ dann ist die Menge $X$ der metrischen Zusammenhänge auf $E$ ein nichtleerer affiner Raum modelliert mit den (vektorwertigen) 1-Formen aus ${\mathcal {A}}^{1}(M,\operatorname {End} (E)),$ d. h., es gibt eine Abbildung

    $l:{\mathcal {A}}^{1}(M,\operatorname {End} (E))\times X\to X,$

so dass mit der Notation $\omega +\nabla :=l(\omega ,\nabla )$

* für jedes $\nabla \in X$ die Gleichung $0+\nabla =\nabla$ gilt,
* für jedes $\omega ,\nu \in {\mathcal {A}}^{1}(M,\operatorname {End} (E))$ und für alle $\nabla \in E$ das Assoziativgesetz $(\omega +\nu )+\nabla =\omega +(\nu +\nabla )$ gilt und
* für alle $\nabla \in X$ die Abbildung $\omega \mapsto \omega +\nabla$ bijektiv ist.
