Typ-II-Von-Neumann-Algebra
# Typ-II-Von-Neumann-Algebra

Typ-II-Von-Neumann-Algebren sind spezielle in der mathematischen Theorie der Von-Neumann-Algebren betrachtete Algebren. Es handelt sich um den zweiten von drei Typen der Typklassifikation von Von-Neumann-Algebren. Diese lassen sich weiter in endliche, sogenannte $Typ-II_1-Algebren$ und unendliche, sogenannte $Typ-II_∞-Algebren$ unterteilen, wobei letztere im σ-endlichen Fall aus ersteren konstruiert werden können.

## Definitionen

Eine Projektion in einer Von-Neumann-Algebra $A$ ist ein selbstadjungiertes idempotentes Element $e$, das heißt, es gilt $e=e^{*}=e^{2}$. Eine solche Projektion heißt abelsch, falls $eAe$ eine abelsche Von-Neumann-Algebra ist, sie heißt endlich, falls aus $e=v^{*}v$ und $vv^{*}\leq e$ stets $vv^{*}=e$ folgt. Eine Von-Neumann-Algebra heißt vom Typ II, falls sie außer 0 keine abelschen Projektionen enthält, aber jede von 0 verschiedene Projektion aus dem Zentrum von $A$ eine von 0 verschiedene endliche Projektion umfasst. Sie heißt vom Typ $II_1,$ falls das Einselement als Projektion endlich ist, sie heißt vom Typ $II_∞,$ falls keine von 0 verschiedene Projektion aus dem Zentrum endlich ist.

## Beispiele

* Es sei $G$ eine diskrete Gruppe. Jedes Element $g\in G$ operiert als Linksoperator $l_{g}$ und als Rechtsoperator $r_{g}$ auf dem Hilbertraum $\ell ^{2}(G)$ in dem man $(l_{g}(x))(h):=x(g^{-1}h)$ und $(r_{g}(x))(h):=x(hg^{-1})$ definiert. Es seien $L_{G}$ und $R_{G}$ die von $\{l_{g};\,g\in G\}$ bzw. $\{r_{g};\,g\in G\}$ erzeugten Von-Neumann-Algebren. Dann sind $L_{G}$ und $R_{G}$ endlich und gegenseitige Kommutanten.

    Ist $G$ eine ICC-Gruppe, das heißt, nur das neutrale Element liegt in einer endlichen Konjugationsklasse, so handelt es sich um $Typ-II_1-Algebren,$ sogar um sogenannte Faktoren, das heißt, das Zentrum der Algebren besteht nur aus den Vielfachen des Einselementes.
* Ist $A$ eine $Typ-II_1-Algebra,$ so ist das Tensorprodukt $L(\ell ^{2}){\overline {\otimes }}A$ eine $Typ-II_∞-Algebra.$
* Im Artikel zu den W*-dynamischen Systemen ist eine Konstruktion beschrieben, die zu Typ-II-Von-Neumann-Algebren führt.

## Struktur

Zu jeder Typ-II-Von-Neumann-Algebra $A$ gibt es eine Projektion $p$ aus dem Zentrum von $A$, so dass

* $A=pA\oplus (1-p)A=pAp\oplus (1-p)A(1-p)$
* $pA$ ist eine $Typ-II_1-Algebra.$
* $(1-p)A$ ist eine $Typ-II_∞-Algebra.$

Zu jeder σ-endlichen $Typ-II_∞-Algebra$ $A$ gibt es eine $Typ-II_1-Algebra$ $B$ mit $A\cong L(\ell ^{2}){\overline {\otimes }}B$.

Tensorprodukte von Typ-II-Algebren sind wieder Typ-II-Algebren. Sind die Algebren vom Typ $II_1$ oder Typ $II_∞,$ so ist das Tensorprodukt nur dann vom Typ $II_1,$ wenn beide Faktoren es sind, anderenfalls vom Typ $II_∞.$

