Schnittzahl
# Schnittzahl

In der Differentialtopologie und in der Algebraischen Topologie bezeichnet die Schnittzahl oder Schnittmultiplizität eine ganze Zahl, welche den Schnittpunkten orientierter Untermannigfaltigkeiten bzw. Homologieklassen von orientierten Mannigfaltigkeiten zugeordnet werden kann.

## Differentialtopologie

In der Differentialtopologie betrachtet man zuerst Schnittzahlen von Abbildungen mit Untermannigfaltigkeiten. Schnittzahlen von Untermannigfaltigkeiten komplementärer Dimensionen werden als Schnittzahl der Inklusionsabbildung der einen Untermannigfaltigkeit mit der anderen Untermannigfaltigkeit berechnet.

### Definition

Seien $X,Y$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten, $X$ kompakt sowie $Z\subseteq Y$ eine Untermannigfaltigkeit und sei $f\colon X\rightarrow Y$ ein differenzierbare Abbildung, die zu $Z$ transversal ist. Zudem gelte $\dim X+\dim Z=\dim Y$. Dann heißt

    $I(f,Z):=\sum _{x\in f^{-1}(Z)}\mathrm {sign} (x)$

die Schnittzahl der Abbildung $f$ mit $Z$.

Transversalität und Kompaktheit garantieren, dass die Summe endlich ist. Das Signum $\mathrm {sign} (x)$ ist folgendermaßen definiert:

* $\mathrm {sign} (x)=+1$, falls $d_{x}f(T_{x}X)\oplus T_{f(x)}Z=T_{f(x)}Y$ als direkte Summe von orientierten Vektorräumen die Orientierung erhält,
* $\mathrm {sign} (x)=-1$, falls $d_{x}f(T_{x}X)\oplus T_{f(x)}Z=T_{f(x)}Y$ als direkte Summe von orientierten Vektorräumen die Orientierung umkehrt.

Mit Hilfe des Homotopietransversalitätssatzes kann die Definition auch auf Abbildungen ausgedehnt werden, die nicht transversal sind: Seien $X,Y$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten, $X$ kompakt sowie $Z\subseteq Y$ eine Untermannigfaltigkeit und sei $f\colon X\rightarrow Y$ ein differenzierbare Abbildung. Zudem gelte $\dim X+\dim Z=\dim Y$. Nach dem Homotopietransversalitätssatz gibt es eine differenzierbare Abbildung $g\colon X\rightarrow Y$, welche transversal zu $Z$ und homotop zu $f$ ist. Man setzt: $I(f,Z):=I(g,X)$.

### Eigenschaften

* Sei $W$ eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial W=X$ und sei $F\colon W\rightarrow Y$ eine differenzierbare Abbildung. Dann gilt für $f=\partial F\colon X\rightarrow Y$ für jede Untermannigfaltigkeit $Z$ von $Y$, dass $I(f,Z)=0$.
* Die Schnittzahlen homotoper Abbildungen stimmen überein.

### Selbstschnittzahl

Für den Fall, dass $X,Z$ kompakte orientierte Untermannigfaltigkeiten einer orientierten differenzierbaren Mannigfaltigkeit sind, mit $\dim X+\dim Z=\dim Y$, lässt sich die Schnittzahl $I(X,Z):=I(i,Z)$ definieren, wobei $i\colon X\hookrightarrow Y$ die kanonische Inklusionsabbildung bezeichnet.

Man kann zeigen, dass $I(Z,X):=(-1)^{\dim X\cdot \dim Z}\cdot I(X,Z)$ gilt. Im Falle $\dim X={\frac {1}{2}}\dim Y$, ist also die Selbstschnittzahl $I(X,X)$ definiert und für ungerade $\dim X$ folgt damit $I(X,X)=0$.

Sei nun $Y$ eine kompakte orientierte Mannigfaltigkeit, $\Delta :=\left\{(y,y)\,:y\in Y\right\}\subset Y\times Y$ bezeichne die Diagonale. Nach der vorangehenden Überlegung ist $I(\Delta ,\Delta )$ wohldefiniert und man kann mit Hilfe der Lefschetz-Fixpunkttheorie zeigen, dass $I(\Delta ,\Delta )$ mit der Euler-Charakteristik der Mannigfaltigkeit übereinstimmt.

### Schnittzahl mod 2

Die Schnittzahl $\mathrm {mod} \,2$ ist unabhängig von einer Orientierung der Mannigfaltigkeiten, das in der Definition der Schnittzahl vorkommende Signum ist $\mathrm {mod} \,2=1$ und die Berechnung der Schnittzahl $\mathrm {mod} \,2$ reduziert sich auf das Zählen der Schnittpunkte $\mathrm {mod} \,2$. Dies erlaubt natürlich nicht so genaue Aussagen wie mit der Schnittzahl orientierter Mannigfaltigkeiten, ermöglicht aber dafür auch die Berechnung bei nicht-orientierbaren Mannigfaltigkeiten.

### Anwendungsbeispiel

Als Anwendung wird gezeigt, dass das Möbiusband nicht orientierbar ist. $X$ bezeichne die Mittellinie des Möbiusbandes, welche diffeomorph ist zur Kreislinie $S^{1}$. Die Selbstschnittzahl $\mathrm {mod} \,2$ von $X$ ist 1. Wäre das Möbiusband orientierbar, dann müsste aber $I(X,X)=0$ gelten. $I(X,X)=0\,\mathrm {mod} \,2\neq 1$, also kann das Möbiusband nicht orientierbar sein.

## Algebraische Topologie

Die Algebraische Topologie ermöglicht die Ausdehnung des Begriffes der Schnittzahl auf orientierte topologische Mannigfaltigkeiten, wo die Schnittzahlen mit Hilfe der singulären Homologie definiert werden.

