Spektraler Raum
# Spektraler Raum

Ein spektraler Raum ist ein topologischer Raum, der homöomorph zum Spektrum eines kommutativen Ringes ist. Spektrale Räume sind ein wichtiger Gegenstand der modernen algebraischen Geometrie.

## Definition

Sei $X$ ein topologischer Raum. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

* $X$ ist nüchtern, (quasi-)kompakt, der Durchschnitt zweier kompakter offener Teilmengen ist kompakt und die Menge der kompakten offenen Teilmengen bildet eine Basis der Topologie;
* $X$ ist homöomorph zum Spektrum eines kommutativen Ringes;
* $X$ ist homöomorph zu einem projektiven Limes endlicher Kolmogoroff-Räume;
* $X$ ist homöomorph zu einem projektiven Limes endlicher nüchterner Räume.

In diesem Fall nennen wir $X$ spektral.

Besitzt jeder Punkt eines Raumes $X$ eine offene Umgebung, die in der Teilraumtopologie spektral ist, so heißt $X$ lokal spektral.

Ein topologischer Raum, für den der Durchschnitt zweier kompakter offener Teilmengen wieder kompakt ist, heißt semispektral.

## Beispiele

* Jeder Stone-Raum ist spektral, denn jeder diskrete Raum ist Kolmogoroff.
* Für jeden kommutativen Ring $A$ ist $\mathrm {Spec} (A)$ spektral.
* Für jeden kommutativen Ring $A$ ist das Bewertungsspektrum $\mathrm {Spv} (A)$ spektral.
* Jedes Schema ist lokal spektral.

## Spektrale Abbildungen

Eine Abbildung $f:X\to Y$ zwischen spektralen Räumen heißt spektral, falls für jede offene kompakte Teilmenge $U\subset Y$ das Urbild $f^{-1}(U)$ kompakt ist. Die Komposition spektraler Abbildungen ist wieder spektral.

## Eigenschaften

* Jeder abgeschlossene Teilraum eines spektralen Raumes ist spektral. Das folgt daraus, dass abgeschlossene Unterschemata affiner Schemata wieder affin sind.
* Das Produkt zweier spektraler Räume ist spektral.

## Unterliegende Räume von Schemata

Mithilfe dieser Definitionen ist es möglich, eine Charakterisierung topologischer Räume zu geben, die Schemata zugrunde liegen. Für einen topologischen Raum $X$ sind äquivalent:

* $X$ ist der unterliegende Raum eines Schemas;
* $X$ ist lokal spektral und semispektral;
* $X$ ist homöomorph zu einem offenen Teilraum eines spektralen Raumes;
* $X$ ist homöomorph zu einem offenen Teilraum eines affinen Schemas.
