R0-Raum
# R0-Raum

In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind $R_0-Räume$ spezielle topologische Räume, die gewisse angenehme Eigenschaften besitzen. Die Eigenschaft, ein $R_0$ zu sein, wird zu den sogenannten Trennungsaxiomen gezählt.

## Definition

Gegeben seien ein topologischer Raum X und zwei Punkte x und y in X. Man sagt, dass x und y getrennt sind oder getrennt werden können, wenn x und y jeweils in einer offenen Menge liegen, die den anderen Punkt nicht enthält. Weiter heißen x und y topologisch unterscheidbar, falls eine offene Menge existiert, die genau einen der beiden Punkte enthält.

X heißt $R_0-Raum,$ falls zwei beliebige topologisch unterscheidbare Punkte getrennt sind. Ein $R_0-Raum$ wird auch symmetrischer Raum genannt.

## Eigenschaften

Sei X ein topologischer Raum. Folgende Aussagen sind äquivalent:

* X ist ein $R_0-Raum.$
* Für jedes x in X enthält der Abschluss von {x} nur die Punkte, die von x topologisch nicht unterscheidbar sind.
* Jeder Elementarfilter zu x konvergiert nur gegen Punkte, die von x topologisch nicht unterscheidbar sind.
* Der Kolmogoroff-Quotient KQ(X) ist ein $T_1-Raum.$

In topologischen Räumen gilt immer folgende Implikation

    getrennt ⇒ topologisch unterscheidbar

Falls diese umgekehrt werden kann, handelt es sich um einen $R_0-Raum.$

Ist X ein $R_0-Raum,$ so gilt dies auch für jeden Teilraum.

Ist $(X_i)$ eine Familie von $R_0-Räumen,$ so ist auch deren Produktraum ein $R_0-Raum$ und umgekehrt.

## Beispiele

* $\mathbb {Z}$ sei die Menge der ganzen Zahlen. Für $x\in \mathbb {Z}$ sei $G_{x}$ definiert durch $G_{x}=X\setminus \{x,x+1\}$ für gerades $x$ und $G_{x}=X\setminus \{x-1,x\}$ für ungerades $x$. Durchläuft $A$ die endlichen Teilmengen von $\mathbb {Z}$, so bilden die Mengen $U_{A}=\cap _{x\in A}G_{x}$ eine Basis einer Topologie. Wir erhalten einen $R_0-Raum,$ der kein Kolmogoroff-Raum (für ein gerades $x$ sind $x$ und $x+1$ topologisch nicht unterscheidbar) und somit auch kein $T_1-Raum$ ist.
* Ist $(X,d)$ ein pseudometrischer Raum, so ist dieser in Bezug auf die von der Metrik $d$ induzierte Topologie ein $R_0-Raum.$ Für die von einem Punkt $x\in X$ topologisch nicht unterscheidbaren Punkte $y\in X$ gilt gerade $d(x,y)=0$.
