Nilpotente Matrix
# Nilpotente Matrix

In der linearen Algebra ist eine nilpotente Matrix eine quadratische Matrix, bei der eine ihrer Potenzen die Nullmatrix ergibt. Beim nilpotenten Endomorphismus ist eine Potenz die Nullabbildung.

## Definition

Eine quadratische Matrix bezeichnet man als nilpotent, wenn eine ihrer Potenzen die Nullmatrix ergibt:

    $A^{k}=0$ für ein $k\in \mathbb {N}$

Entsprechend bezeichnet man einen Vektorraum-Endomorphismus $f$ als nilpotent, wenn es eine Zahl $k\in \mathbb {N}$ gibt, sodass $f\,^{k}$ die Nullabbildung ist. Die kleinste natürliche Zahl $k$, welche dieses Kriterium erfüllt bezeichnet man als Nilpotenzgrad oder Nilpotenzindex. Zwischen nilpotenten Matrizen und nilpotenten Endomorphismen gibt es folgenden Zusammenhang: Zu jeder nilpotenten Matrix $A$ ist die Linksmultiplikation dieser Matrix an Spaltenvektoren ein nilpotenter Endomorphismus. Umgekehrt ist jede Darstellungsmatrix eines nilpotenten Endomorphismus nilpotent.

## Äquivalente Definitionen

Für eine quadratische Matrix $A$ mit $n$ Zeilen und Spalten sind folgende Aussagen äquivalent:

* $A$ ist nilpotent.
* Es gibt ein $k\in \mathbb {N}$ mit $A^{k}=0$ und $A^{k-1}\neq 0$. Dann ist $A$ nilpotent mit dem Nilpotenzgrad $k$.
* Das charakteristische Polynom von $A$ hat die Form $\chi _{A}(\lambda )=\det(\lambda I-A)=\lambda ^{n}$.
* Das Minimalpolynom von $A$ hat die Form $m_{A}(\lambda )=\lambda ^{k}$ für ein $k>0$.
* $A$ ist ähnlich zu einer strikten Dreiecksmatrix, das heißt, es existiert eine invertierbare Matrix $P$, so dass gilt:

$\,\,\,\,\,\,\,A=P^{-1}{\begin{pmatrix}0&b_{1,2}&\cdots &b_{1,n}\\0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &b_{n-1,n}\\0&\cdots &0&0\end{pmatrix}}P$

* Speziell für Matrizen über $\mathbb {C}$ oder anderen algebraisch abgeschlossenen Körpern gilt, dass sie genau dann nilpotent sind, wenn ihr einziger Eigenwert 0 ist.

## Beispiele

Ein Beispiel für eine nilpotente Matrix mit Nilpotenzgrad 2 ist die Matrix

    $A={\begin{pmatrix}5&-3&2\\15&-9&6\\10&-6&4\end{pmatrix}}$

weil

    $A^{2}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}=0$.

Ein Beispiel für eine nilpotente Matrix mit Nilpotenzgrad 4 ist die Matrix

    $A={\begin{pmatrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

weil

    $A^{2}={\begin{pmatrix}0&0&2&7\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\quad A^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\quad A^{4}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}=0$.

Jede $n\times n$-Dreiecksmatrix, deren Hauptdiagonale nur Elemente gleich 0 enthält, ist nilpotent.

## Eigenschaften nilpotenter Matrizen

Wenn eine Matrix $A$ nilpotent mit Nilpotenzgrad k ist, dann …

* hat sie nur den Eigenwert Null. Das folgt direkt aus der Form des charakteristischen Polynoms $\chi _{A}(\lambda )=\lambda ^{n}$, dessen Nullstellen die Eigenwerte sind.
* ist sie nicht invertierbar, da sie den Eigenwert null besitzt und somit ihr Kern nicht trivial ist.
* ist entweder $A=0$ oder sie ist nicht diagonalisierbar, da alle Diagonalmatrizen ungleich $0$ nicht nilpotent sind.
* ist die Determinante Null: $\det(A)=0$.
* ist die Spur Null.
* hat sie keinen vollen Rang, d. h. ihre Spaltenvektoren sind linear abhängig. Es sind jedoch nicht alle quadratischen Matrizen mit linear abhängigen Spalten auch gleichzeitig nilpotent.
* ist $I-A$ invertierbar ($I$ ist die Einheitsmatrix), denn es ist $(I-A)\left(I+A+A^{2}+...+A^{k-1}\right)=I-A^{k}=I$.

Da eine nilpotente Matrix ein Spezialfall eines nilpotenten Elements eines Ringes ist, gelten die im Artikel „Nilpotentes Element“ getroffenen allgemeinen Aussagen auch hier.

## Jordan-Chevalley-Zerlegung

Jeder Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraums über einem algebraisch abgeschlossenen Körper lässt sich eindeutig als Summe eines diagonalisierbaren und eines nilpotenten Endomorphismus schreiben. Diese Zerlegung wird als Jordan-Chevalley-Zerlegung bezeichnet und ist im Wesentlichen eine Folge der Existenz der Jordanschen Normalform.

