Postnikow-Turm
# Postnikow-Turm

Ein Postnikow-Turm oder Postnikow-System ist im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie eine Methode, einen gegebenen topologischen Raum in Eilenberg-MacLane-Räume zu zerlegen, was zum Beispiel die Berechnung seiner Homologiegruppen mittels Spektralsequenzen ermöglicht.

## Definition

Es sei $X$ ein gegebener topologischer Raum. Ein Postnikow-Turm von $X$ ist eine Folge

    $\ldots \to Y_{n}\to Y_{n-1}\to \ldots \to Y_{2}\to Y_{1}$

von Abbildungen topologischer Räume mit folgenden Eigenschaften:

* für alle $n$ ist $Y_{n}\to Y_{n-1}$ eine Faserung
* für alle $k>n$ ist $\pi _{k}Y_{n}=0$
* für alle $k\leq n$ ist $\pi _{k}Y_{n}=\pi _{k}X$.

## Eigenschaften

* Ein Postnikow-Turm existiert für jeden zusammenhängenden Raum. Für CW-Komplexe $X$ sind die Räume im Postnikow-Turm bis auf Homotopieäquivalenz eindeutig bestimmt, sonst nur bis auf schwache Homotopieäquivalenz.
* Man erhält $Y_{n}$ (bis auf Homotopieäquivalenz) aus $X$, indem durch Ankleben von Zellen der Dimensionen $\geq n+2$ an $X$ die Homotopiegruppen in Graden $\geq n+1$ "getötet" werden. (Indem man die Inklusion $Y_{n+1}\to Y_{n}$ durch ihren Abbildungskegel ersetzt, erhält man eine Faserung, ohne den Homotopietyp zu ändern.)
* Falls $X$ ein CW-Komplex ist, dann ist $Y_{1}$ ein Eilenberg-MacLane-Raum $K(\pi _{1}X,1)$ und die Faser der Faserung $Y_{n}\to Y_{n-1}$ ist ein Eilenberg-MacLane-Raum $K(\pi _{n}X,n)$.
* Die Abbildung von $X$ in den projektiven Limes $\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }Y_{n}$ ist eine schwache Homotopieäquivalenz.
* Falls die Wirkung von $\pi _{1}X$ auf $\pi _{n}X$ für $n>1$ trivial ist, lassen sich die Faserungen $Y_{n}\to Y_{n-1}$ als Hauptfaserbündel realisieren.
