Brillouin-Funktion
# Brillouin-Funktion

Die Brillouin-Funktion $B(x)$ (nach dem französisch-amerikanischen Physiker Léon Brillouin (1889–1969)) ist eine spezielle Funktion, die aus der quantenmechanischen Beschreibung eines Paramagneten hervorgeht:

    ${\begin{alignedat}{2}B_{J}(x)&={\frac {2J+1}{2J}}\cdot \coth \left({\frac {2J+1}{2J}}\,x\right)&&-{\frac {1}{2J}}\cdot \coth \left({\frac {1}{2J}}\,x\right)\\&=\left(1+{\frac {1}{2J}}\right)\cdot \coth \left[\left(1+{\frac {1}{2J}}\right)x\right]&&-{\frac {1}{2J}}\cdot \coth \left({\frac {1}{2J}}\,x\right)\end{alignedat}}$

Die Formelzeichen stehen für folgende Größen:

* $J$ in der physikalischen Anwendung für die Gesamtdrehimpulsquantenzahl
* $\coth$ für den Kotangens hyperbolicus.

## Verwendung

Mit der Brillouin-Funktion kann die Magnetisierung $M$ eines Paramagneten der Stoffmenge $N$ in einem äußeren Magnetfeld formuliert werden:

    ${\begin{aligned}M&=NmB_{J}(\xi )\\\Leftrightarrow B_{J}(\xi )&={\frac {M}{Nm}}.\end{aligned}}$

mit

* dem magnetischen Moment $m$ eines Teilchens
* dem Parameter $\xi ={\frac {mB}{k_{\mathrm {B} }\,T}}={\frac {g\mu _{\mathrm {B} }\,JB}{k_{\mathrm {B} }\,T}}$
   * dem Betrag $B$ der magnetischen Flussdichte des angelegten äußeren Magnetfeldes
   * der Boltzmann-Konstante $k_{\mathrm {B} }$
   * der absoluten Temperatur $T$
   * dem Landé-Faktor $g$
   * dem Bohrschen Magneton $\mu _{\mathrm {B} }$.

Eine weitere, halb-klassische Beschreibung eines Paramagneten geschieht mit Hilfe der Langevin-Funktion $L$, die sich im Limes $J\to \infty$ und zugleich $g\mu _{\mathrm {B} }\to 0$ aus der Brillouin-Funktion ergibt (wobei das magnetische Gesamtmoment konstant bleibt):

    ${\begin{aligned}M&=NmL(\xi )\\\Leftrightarrow L(\xi )&={\frac {M}{Nm}}.\end{aligned}}$
