Dirichlet-Bedingung
# Dirichlet-Bedingung

Die Dirichlet-Bedingung, auch Satz von Dirichlet genannt, ist nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet benannt und gibt an, wann die Fourierreihe punktweise gegen die Ausgangsfunktion konvergiert.

## Aussage

Sei $f$ eine im Intervall $[-T/2,T/2]$ definierte Funktion, die folgende Eigenschaften erfüllt:

* Das Intervall $[-T/2,T/2]$ lässt sich in endlich viele Teilintervalle zerlegen, in denen $f$ stetig und monoton ist.
* Die (endlich vielen) Unstetigkeitsstellen sind alle von 1. Art, das heißt, es existieren rechts- und linksseitiger Grenzwert, $f(t_{0}+)$ und $f({t_{0}}-)$.

Dann konvergiert die Fourierreihe in jedem $t\in [-T/2,T/2]$ gegen

    ${\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cdot \cos(n\omega t)+b_{n}\cdot \sin(n\omega t))={\begin{cases}f(t),&{\mbox{wenn }}f{\mbox{ in t stetig}}\\(f(t+)+f(t-))/2,&{\mbox{wenn }}f{\mbox{ in t unstetig}}\end{cases}}$.

## Quellen

* Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8.
