Baric-Algebra
# Baric-Algebra

Als Baric-Algebra bezeichnet man eine lineare Algebra mit einer nichttrivialen Gewichtsfunktion (englisch baric, von griechisch βάρος báros, deutsch ‚schwer, gewichtig‘). Baric-Algebren sind eine Verallgemeinerung der in der theoretischen Biologie betrachteten genetischen Algebren.

## Definition

Eine (nicht notwendigerweise assoziative) Algebra $A$ über einem Körper $K$ heißt Baric-Algebra, wenn es einen nichttrivialen Algebrenhomomorphismus $w\colon A\longrightarrow K$ gibt. $w$ wird Gewichtsfunktion genannt, $w(x)$ heißt Gewicht von $x\in A$.

Der Begriff der Baric-Algebra wurde 1939 von I.M.H. Etherington bei der Untersuchung genetischer Algebren eingeführt. Aus darstellungstheoretischer Sicht ist eine Baric-Algebra eine Algebra mit einer nichttrivialen Darstellung über ihrem Skalarkörper. Nicht-assoziative Algebren haben im Allgemeinen gar keine Matrix-Darstellung, deren einfachste Form eine Darstellung über dem Skalarkörper ist.

## Charakterisierungen

* Eine nicht-assoziative $k$-Algebra $A$ ist genau dann eine Baric-Algebra, wenn es so ein Ideal $I\subset A$ gibt, so dass $A/I\cong k$
* Eine nicht-assoziative $n$-dimensionale $\mathbb {R}$-Algebra $A$ ist genau dann eine Baric-Algebra, wenn sie eine genetische Basis besitzt, das heißt, zwischen den Basiselementen $u_{1},u_{2},\dots ,u_{k}$ besteht eine Beziehung $u_{i}\cdot u_{j}=\sum _{k=1}^{n}\gamma _{ijk}u_{k}$ mit Koeffizienten $\gamma _{ijk}\in \mathbb {R}$, für welche gilt: $\sum _{k=1}^{n}\gamma _{ijk}=1,\;\gamma _{ijk}\geq 0$.
* Eine nicht-assoziative $n$-dimensionale $\mathbb {R}$-Algebra $A$ ist genau dann eine Baric-Algebra, wenn es ein $(n-1)$-dimensionales Ideal $N\subset A$ gibt, für das gilt: $A^{\rm {2}}\nsubseteq N$.

## Beispiele

* $\mathbb {R} ^{3}$ mit dem Vektorprodukt als Multiplikation bildet eine nicht-assoziative $\mathbb {R}$-Algebra. Dies ist keine Baric-Algebra, denn es gibt darin kein Ideal der Dimension 2, das aber benötigt würde, damit der Quotient zu $\mathbb {R}$ isomorph wäre. Allgemeiner lässt sich zeigen, dass halbeinfache Lie-Algebren keine Baric-Algebren sind.
* $\mathbb {R} ^{2}$ mit zwei Basisvektoren $e_{1},e_{2}$, auf denen eine Multiplikation folgendermaßen erklärt ist:

       $e_{1}\cdot e_{1}=e_{2},\;e_{1}\cdot e_{2}=e_{1},\;e_{2}\cdot e_{1}=e_{2},\;e_{2}\cdot e_{2}=e_{1}$.
    Damit ist eine genetische Basis gegeben und eine Baric-Algebra definiert; die Multiplikation ist nicht assoziativ:
       $(e_{1}\cdot e_{2})\cdot e_{2}\neq e_{1}\cdot (e_{2}\cdot e_{2})$.
    Eine nicht-triviale Gewichtsfunktion ist $w(\alpha _{1}e_{1}+\alpha _{2}e_{2})=\alpha _{1}+\alpha _{2}$.
* Gametische Algebra G der einfachen mendelschen Vererbung:

    $\mathbb {R} ^{2}$ mit zwei Basisvektoren $a_{1},a_{2}$ und folgender Multiplikationstafel:

| . | $a_{1}$ | $a_{2}$ |
| - | - | - |
| $a_{1}$ | $a_{1}$ | ${1 \over 2}a_{1}+{1 \over 2}a_{2}$ |
| $a_{2}$ | ${1 \over 2}a_{1}+{1 \over 2}a_{2}$ | $a_{2}$ |

    ist eine Baric-Algebra mit Gewichtsfunktion $w(\alpha _{1}a_{1}+\alpha _{2}a_{2})=\alpha _{1}+\alpha _{2}$.
