Dirichlet-Kern
# Dirichlet-Kern

Der Dirichlet-Kern ist eine von Peter Gustav Lejeune Dirichlet untersuchte Funktionenfolge. Diese wird in der Analysis im Teilgebiet der Fourier-Analysis verwendet. Dirichlet fand im Jahr 1829 den ersten strengen Beweis für die Konvergenz der Fourier-Reihe von einer periodischen, stückweise stetigen und stückweise monotonen Funktion. Die Konvergenz von Fourier-Reihen wurde schon seit Leonhard Euler diskutiert. Diese von Dirichlet gefundene Funktionenfolge ist wichtiger Bestandteil dieses Beweises und wird dort als Integralkern verwendet. Deshalb nennt man sie Dirichlet-Kern.

## Definition

Als Dirichlet-Kern bezeichnet man die Funktionenfolge

    $D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}.$

Die Bedeutung des Dirichlet-Kerns hängt mit dem Verhältnis zur Fourierreihe zusammen. Die Faltung von $D_{n}(x)$ mit einer Funktion $f$ der Periode $2\pi$ ist die Fourier-Approximation $n$-ten Grades für $f$. Beispielsweise ist

    $(D_{n}*f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)D_{n}(x-y)\,dy=\sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(k)e^{ikx},$

wobei

    ${\hat {f}}(k)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}\,dx$

der $k$-te Fourierkoeffizient von $f$ ist. Daraus lässt sich schließen, dass es zum Studium der Konvergenz von Fourierreihen ausreicht, die Eigenschaften des Dirichlet-Kerns zu studieren. Aus der Tatsache, dass die $L^1-Norm$ von $D_{n}$ für $n\to \infty$ logarithmisch gegen $\infty$ geht, kann man herleiten, dass es stetige Funktionen gibt, die nicht durch ihre Fourierreihe dargestellt werden. Explizit gilt nämlich:

    $\int |D_{n}(t)|\,dt={\frac {4}{\pi ^{2}}}\log n+{\mathcal {O}}(1)$

Für die ${\mathcal {O}}$-Notation siehe Landau-Symbole.

## Beziehung zur Delta-Distribution

Die periodische Delta-Distribution ist das neutrale Element für die Faltung mit $2\pi$-periodischen Funktionen:

    $f*(2\pi \delta )=f\,$

für jede Funktion $f$ mit Periode $2\pi$. Die Fourierreihe wird durch folgende "Funktion" repräsentiert:

    $2\pi \delta (x)\sim \sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx)\right).$

## Beweis der trigonometrischen Identität

Die trigonometrische Identität

    $\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}$

kann wie folgt bewiesen werden. Dazu vergegenwärtige man sich die endliche Summe der geometrischen Reihe:

    $\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.$

Insbesondere gilt

    $\sum _{k=-n}^{n}r^{k}=r^{-n}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}.$

Multipliziert man Zähler und Nenner mit $r^{-{1 \over 2}}$, erhält man

    ${\frac {r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}={\frac {r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}}.$

Im Fall von $r=e^{ix}$ erhält man

    $\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2)ix}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}}={\frac {-2i\sin((n+1/2)x)}{-2i\sin(x/2)}}$

und kürzt schließlich mit $-2i$.

