Metabelsche Gruppe
# Metabelsche Gruppe

Im mathematischen Gebiet der Gruppentheorie sind metabelsche Gruppen eine Klasse von Gruppen, die sich in gewisser Weise als Produkt zweier abelscher Gruppen zerlegen lassen.

## Definition

Eine Gruppe $G$ ist metabelsch, wenn alle Kommutatoren miteinander kommutieren, also wenn für alle $x,y,z,w\in G$ die Gleichung

    $(xyx^{-1}y^{-1})(zwz^{-1}w^{-1})=(zwz^{-1}w^{-1})(xyx^{-1}y^{-1})$

gilt. Mit anderen Worten, die Kommutatoruntergruppe $\left[G,G\right]$ soll eine abelsche Gruppe sein.

Eine äquivalente Bedingung ist, dass es abelsche Gruppen $A,B$ und eine exakte Sequenz

    $0\to A\to G\to B\to 0$

gibt. In der englischsprachigen Literatur werden metabelsche Gruppen deshalb auch als abelian-by-abelian groups bezeichnet.

## Beispiele

* Die Gruppe der 2-dimensionalen regulären oberen Dreiecksmatrizen $\left({\begin{array}{cc}*&*\\0&*\end{array}}\right)$ ist metabelsch. Die Kommutatoruntergruppe ist in diesem Fall die abelsche Gruppe von Dreiecksmatrizen der Form $\left({\begin{array}{cc}1&*\\0&1\end{array}}\right)$, die Quotientengruppe $G/\left[G,G\right]$ ist isomorph zur Gruppe der regulären Diagonalmatrizen.
* Die Gruppe der affinen Abbildungen $x\mapsto ax+b$, $a\neq 0$ eines beliebigen Körpers ist metabelsch. Ihre Kommutatorgruppe ist die abelsche Gruppe der Translationen $x\mapsto x+b$, die Quotientengruppe $G/\left[G,G\right]$ ist isomorph zur Gruppe der Homothetien $x\mapsto ax$.
* Die Gruppe der orientierungserhaltenden Isometrien der euklidischen Ebene ist metabelsch, ihre Kommutatorgruppe ist die abelsche Gruppe der Verschiebungen, die Quotientengruppe $G/\left[G,G\right]$ ist isomorph zur Drehgruppe $SO(2)$.
* Abelsche Gruppen sind metabelsch.
* Eine nichtabelsche auflösbare Gruppe ist genau dann metabelsch, wenn sie eine Subnormalreihe der Länge $2$ hat.
* Die symmetrische Gruppe $S_{n}$ ist genau dann metabelsch, wenn $n\leq 3$ ist.
* Jede Diedergruppe $D_{n}$ und die unendliche Diedergruppe $D_{\infty }$ sind metabelsch.
* Der Holomorph einer zyklischen Gruppe ist metabelsch.
* Die Lamplighter-Gruppe ist metabelsch.
* Untergruppen, Quotientengruppen und direkte Produkte metabelscher Gruppen sind wieder metabelsch.
