Kreisgraph
# Kreisgraph

Ein Kreisgraph, kurz Kreis, ist in der Graphentheorie eine Klasse von Graphen einfacher Struktur. Ein Kreisgraph besitzt immer gleich viele Knoten wie Kanten, wobei alle Knoten im Kreis miteinander verbunden sind. Kreisgraphen mit $n$ Knoten werden mit $C_{n}$ bezeichnet. Eine Netzwerktopologie in Form eines Kreisgraphen wird Ring-Topologie genannt.

## Definition

Ein Kreisgraph $C_{n}$ ist ein ungerichteter Graph $(V,E)$ bestehend aus den $n$ Knoten

    $V=\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$

und den $n$ Kanten

    $E=\{\{v_{1},v_{2}\},\{v_{2},v_{3}\},\ldots ,\{v_{n-1},v_{n}\},\{v_{n},v_{1}\}\}$,

wobei meist $n\geq 3$ angenommen wird. Ein Kreisgraph mit $n$ Knoten wird auch $n$-Kreis oder $n$-Zyklus genannt.

## Eigenschaften

Im Folgenden werden nur Kreisgraphen bestehend aus mindestens drei Knoten betrachtet.

* Alle Kreisgraphen sind zusammenhängend, planar, zyklisch, eulersch und hamiltonsch.
* Alle Kreisgraphen sind 2-regulär, das heißt jeder Knoten hat den Grad zwei.
* Der Kantengraph des Kreisgraphen $C_{n}$ ist isomorph zu seinem Ausgangsgraph, also wieder ein Kreisgraph mit $n$ Knoten.
* Der Durchmesser und die Stabilitätszahl des Kreisgraphen $C_{n}$ beträgt $\lfloor {\tfrac {n}{2}}\rfloor$.
* Die chromatische Zahl des Kreisgraphen $C_{n}$ ist zwei, wenn $n$ gerade ist und drei, wenn $n$ ungerade ist.
* Das chromatische Polynom des Kreisgraphen $C_{n}$ ist $(-1)^{n}(\lambda -1)+(\lambda -1)^{n}$.
* Alle Kreisgraphen sind für $n\geq 2$ zueinander homöomorph.

Eigenschaften spezieller Kreisgraphen sind:

* Der Kreisgraph $C_{3}$ ist ein spezieller Dreiecksgraph.
* Der Kreisgraph $C_{4}$ ist ein spezieller Gittergraph.
* Der Kreisgraph $C_{5}$ ist der bis auf Isomorphie eindeutige selbstkomplementäre Graph mit 5 Knoten.
* Der Kreisgraph $C_{6}$ ist der kleinste reguläre Graph, der nicht stark regulär ist.
