Trisektrix von Longchamps
# Trisektrix von Longchamps

Die Trisektrix von Longchamps ist eine nach dem französischen Mathematiker Gohierre de Longchamps (1842–1906) benannte ebene Kurve, die zur Dreiteilung von Winkeln verwendet werden kann (daher Trisektrix).

## Definition

Auf einem Kreis mit Mittelpunkt $M$ und Durchmesser $AB$ rotiert der Punkt $B'$ mit einer gleichmäßigen Geschwindigkeit in positiver Winkelrichtung und der Punkt $A'$ mit doppelter Geschwindigkeit in der entgegengesetzten Richtung. Dabei startet der Punkt $B'$ im Punkt $B$ und der Punkt $A'$ am anderen Ende des Durchmessers im Punkt $A$. Die Kreistangenten in den Punkten $A'$ und $B'$ schneiden sich in einem Punkt $E$. Die Ortskurve von Punkt $E$ ist die Trisektrix von Longchamps.

## Gleichungs- und Parameterform

Für einen Kreis mit Radius $a$, dessen Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt, erhält man die folgenden Gleichung in Polarkoordinaten:

    $r=-{\frac {a}{\cos(3\varphi )}}$.

Für kartesische Koordinaten ergibt sich dann die folgende Gleichung:

    $x(x^{2}-3y^{2})+a(x^{2}+y^{2})=0$.

Als Parameterkurve $\gamma :[0,2\pi ]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ in kartesischen Koordinaten erhält man mit trigonometrischen Funktionen:

    $\gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {\cos(t)}{\cos(3t)}}a\\-{\frac {\cos(t)}{\sin(3t)}}a\end{pmatrix}}$.

Ebenfalls möglich ist die Darstellung als Parameterkurve $\gamma :(-\infty ,\infty )\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ in kartesischen Koordinaten mit rationalen Funktionen:

    $\gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {1+t^{2}}{1-3t^{2}}}a\\{\frac {1+t^{2}}{1-3t^{2}}}at\end{pmatrix}}$.

## Eigenschaften

Die Trisektrix von Longchamps besitzt drei Asymptoten und drei Symmetrieachsen.

### Asymptoten

* $x={\frac {a}{3}}$,
* $y=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}x-{\frac {2a}{3{\sqrt {3}}}}$.
* $y={\frac {1}{\sqrt {3}}}x+{\frac {2a}{3{\sqrt {3}}}}$

### Symmetrieachsen

* $y=0$
* $y={\frac {\sqrt {3}}{2}}x$
* $y=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}x$

Eine Inversion der Trisektrix an dem Kreis aus ihrer Definition liefert eine Trifolium-Kurve.

