GOTO-Programm
# GOTO-Programm

GOTO-Programme sind spezielle Programme mit einer sehr einfachen Syntax. Dennoch spielen sie in Zusammenhang mit Berechenbarkeit eine große Rolle für die theoretische Informatik, insbesondere weil sich zeigen lässt, dass jede Turing-berechenbare Funktion GOTO-berechenbar ist.

## Syntax

GOTO-Programme haben folgende Syntax in modifizierter Backus-Naur-Form:

* $P::=M_{1}:A;...;M_{k}:A$
* $A::=x_{i}:=x_{j}+c\,|x_{i}:=x_{j}-c\,|\,\mathrm {GOTO} \,M_{i}\,|\,\mathrm {IF} \,x_{i}=c\,\mathrm {THEN} \,\mathrm {GOTO} \,M_{j}\,|\,\mathrm {STOP}$
* $M_{1},...,M_{k}$ sind Marken (k ∈ ℕ)

$GOTO$ ist die Menge aller GOTO-Programme gemäß obiger Definition.

Jede GOTO-berechenbare Funktion ist WHILE-berechenbar und umgekehrt.

Jede Turing-berechenbare Funktion ist GOTO-berechenbar und umgekehrt.

### Erklärung der Syntax

Jedes GOTO-Programm $P$ besteht aus einer Anzahl von Anweisungen $A$, getrennt mit jeweils einem Semikolon. Vor jeder Anweisung befindet sich eine (eindeutige) Marke $M_{1},\ M_{2},\ \dots$, gefolgt von einem Doppelpunkt.

GOTO-Programme haben eine endliche Anzahl von Variablen $x_{1},\ x_{2},\ \dots$ und Konstanten $c$. Es sind nur fünf verschiedene Anweisungen erlaubt:

* Zuweisung einer Variablen durch eine weitere (dieselbe oder eine andere) Variable, vermehrt um eine Konstante, etwa

       $x_{1}:=x_{2}+3$
* oder vermindert um eine Konstante, etwa

       $x_{3}:=x_{3}-1$.
* eine Sprunganweisung

       $\mathrm {GOTO} \quad M_{4}$
* eine bedingte Sprunganweisung, wobei eine Variable auf Gleichheit mit einer Konstanten abgefragt wird, etwa

       ${\rm {IF}}\quad x_{4}=45\quad {\rm {THEN}}\quad {\rm {GOTO}}\quad M_{5}$
* und die STOP-Anweisung

       ${\rm {STOP}}$.

## Konsequenz

Man kann formal beweisen, dass jedes GOTO-Programm auch durch ein äquivalentes Pascal-, C-, C++- oder Java-Programm dargestellt werden kann, und umgekehrt.

## Beispiele

### Addition zweier Variablen

Das folgende GOTO-Programm berechnet die Summe $x_{1}+x_{2}$ von zwei nicht-negativen Zahlen $x_{1},x_{2}$ und speichert diese in die Variable $x_{3}$.

### Multiplikation zweier Variablen

Das folgende Programm berechnet das Produkt $x_{1}\cdot x_{2}$ von zwei nicht-negativen Zahlen $x_{1},x_{2}$ und speichert dieses in die Variable $x_{3}$. Da wir schon ein Programm zur Implementierung der Addition zweier Variablen haben, verwenden wir diese, um eine Implementierung der Multiplikation zu entwickeln.

Hier ist zu beachten, dass $M_{5}:$ $x_{3}:=x_{3}+x_{1}$ formal kein gültiges GOTO-Programm ist, sondern durch ein entsprechendes GOTO-Programm für die Addition ersetzt werden muss. Führt man diese Ersetzung durch, erhält man folgendes GOTO-Programm für die Multiplikation von zwei nicht-negativen Zahlen $x_{1},x_{2}$.

## Simulation durch WHILE-Programm

Ein GOTO-Programm

kann durch ein WHILE-Programm der folgenden Form simuliert werden

wobei

In WHILE-Programmen gibt es keine IF THEN END Anweisungen, diese können aber mit LOOP oder WHILE Schleifen implementiert werden. Das folgende Programm simuliert eine IF $x_1$ = c THEN P1 END Anweisung, dabei werden drei neue Variablen xn1, xn2, xn3 verwendet.

