Dualeuklidische Geometrie
# Dualeuklidische Geometrie

Die dualeuklidische Geometrie (DEG) ist das duale Gegenstück zur euklidischen Geometrie (EG): Die euklidische Geometrie lässt sich aus der projektiven Geometrie entwickeln und in dieser gilt das Dualitätsprinzip. Die dualeuklidische Geometrie ergibt sich, indem man die Konstruktion, nach der sich die euklidische aus der projektiven Geometrie ergibt, Schritt für Schritt dualisiert. Unter diesem Gesichtspunkt beruhen die maßgeometrischen Eigenschaften z. B. der ebenen euklidischen Geometrie auf einer ausgezeichneten Geraden, in der eine elliptische Punktinvolution gegeben ist. Entsprechend ist kennzeichnend für die ebene dualeuklidische Geometrie, dass ihre maßgeometrischen Eigenschaften auf einem ausgezeichneten Punkt und einer elliptischen Strahleninvolution in diesem Punkt beruhen.

## Konstruktion

Im Folgenden seien die Konstruktionen für die ebene Geometrie kurz erklärt.

### Konstruktion der euklidischen aus der projektiven Geometrie

Ausgangspunkt ist die klassische projektive Geometrie (PG). Aus dieser kann man in drei Schritten die euklidische Geometrie (EG) gewinnen:

Erstens zeichnet man eine Gerade als „unendlichferne Gerade“ (u.G.) aus. Ihre Punkte heißen „Fernpunkte“. Dann definiert man neue Begriffe, die auf die ausgezeichnete Gerade Bezug nehmen. Z.B. heißen zwei Geraden „parallel“, wenn sie einen Punkt der u.G. gemein haben. Oder: Der „Mittelpunkt“ $M$ zweier Punkte $A,B$ ist der vierte harmonische Punkt zu $A,B$ und dem Fernpunkt der Verbindungsgeraden $AB$.

Zweitens zeichnet man auf der u.G. eine elliptische Involution aus, die Rechtwinkelinvolution, also eine fixpunktfreie projektive Abbildung auf den Fernpunkten, deren Elemente sich wechselseitig entsprechen. Dann nennt man Geraden, deren Fernpunkte sich in dieser Involution entsprechen, „orthogonal“.

Mit den Begriffen „parallel“ und „orthogonal“ kann man nun die gesamte euklidische Geometrie gewissermaßen innerhalb der projektiven Geometrie aufbauen (siehe z. B. Felix Klein). Schließlich „vergisst“ man, in einem dritten Schritt, die unendlichferne Gerade und die elliptische Involution, spricht nicht mehr von ihnen, sondern nur noch von den ursprünglich auf sie gestützten Begriffen parallel und orthogonal. So erhält man die klassische euklidische Geometrie.

### Konstruktion der dualeuklidischen Geometrie

Diesen Prozess kann man innerhalb der projektiven Geometrie dualisieren: Statt einer Geraden zeichnet man einen Punkt aus und nennt ihn z. B. „absoluten Mittelpunkt“ (a. M.). Die Geraden durch den a. M. heißen „Nahgeraden“. Dann definiert man, dual zum Vorgehen bei der Konstruktion der EG, neue Begriffe, die auf den ausgezeichneten Punkt Bezug nehmen. Z.B. heißen, dual zum Begriff "parallel" in der EG, zwei Punkte „zentriert“, wenn sie auf einer gemeinsamen Nahgeraden liegen. Oder: Die „Mittelgerade“ $m$ zweier Geraden $a,b$ ist die vierte harmonische Gerade zu $a,b$ und der Nahgeraden des Schnittpunktes $ab$.

In dem absoluten Mittelpunkt zeichnet man eine elliptische (d. h. ohne reelle Doppelelemente) Strahleninvolution als Rechtwinkelinvolution aus und nennt Punkte, deren Verbindungsgeraden mit den a. M. (d. h. deren „Nahgeraden“) sich in dieser Involution entsprechen, „orthogonal“.

Entsprechend kann man den ganzen Prozess der Gewinnung der euklidischen aus der projektiven Geometrie dualisieren. Wenn man schließlich den a. M. und die Nahgeraden „vergisst“, d. h. nicht zur Geometrie rechnet, so erhält man eine Geometrie, die in jeder Hinsicht das genaue duale Abbild der euklidischen Geometrie darstellt, eine dualeuklidische Geometrie (DEG).

