Arens-Fort-Raum
# Arens-Fort-Raum

Der Arens-Fort-Raum, benannt nach den Mathematikern R. F. Arens und M. K. Fort, ist ein speziell konstruiertes Beispiel eines topologischen Raumes, der auf Grund seiner Eigenschaften oft als Gegenbeispiel verwendet wird.

## Definition

Die zugrunde liegende Menge ist $\mathbb {N} ^{2}$, also die Menge aller Paare $(m,n)$ natürlicher Zahlen $m,n=0,1,2,3,4,....$. Die Teilmenge $\{(m,n);n\in \mathbb {N} \}$ heißt $m$-te Spalte. Die Menge $\mathbb {N} ^{2}$ wird zu einem topologischen Raum, dem Arens-Fort-Raum, indem die folgenden Mengen als offen erklärt werden:

* Jede Menge in $\mathbb {N} ^{2}$, die den Nullpunkt $(0,0)$ nicht enthält.
* Jede Menge, die den Nullpunkt und alle bis auf endlich viele Punkte in allen außer endlich vielen Spalten enthält.

## Topologische Eigenschaften

* Der Arens-Fort-Raum ist ein normaler Hausdorff-Raum.
* Jeder Punkt ist abzählbarer Durchschnitt abgeschlossener Umgebungen.
* Der Arens-Fort-Raum ist ein Lindelöf-Raum.
* Genau die endlichen Teilmengen sind kompakt.

## Fehlende Eigenschaften

* Der Arens-Fort-Raum genügt weder dem ersten noch dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom.
* Der Arens-Fort-Raum ist nicht metrisierbar.
* Der Arens-Fort-Raum ist nicht kompakt.

## Gegenbeispiele

* In metrischen Räumen folgt aus der Separabilität das zweite Abzählbarkeitsaxiom. Der Arens-Fort-Raum zeigt, dass dies im Allgemeinen nicht gilt, denn er ist separabel (er besteht selbst nur aus abzählbar vielen Punkten), genügt aber nach Obigem nicht dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom.
* Zählt man die Punkte aus $\mathbb {N} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ wie bei Cantors erstem Diagonalargument ab, so erhält man eine Folge $(x_{n})_{n}$, die immer wieder Folgenglieder in jeder Spalte und damit in jeder Nullumgebung hat.

       ${\begin{array}{cccccccccc}x_{6}\\\uparrow &\searrow \\x_{5}&&x_{7}&&\ddots \\&\nwarrow &&\searrow &&\nwarrow \\x_{1}&&x_{4}&&x_{8}&&x_{11}\\&\searrow &&\nwarrow &&\searrow &&\nwarrow \\&&x_{2}&\rightarrow &x_{3}&&x_{9}&\rightarrow &x_{10}\end{array}}$
    $(0,0)$ ist einziger Häufungspunkt dieser Folge, aber keine Teilfolge dieser Folge konvergiert gegen $(0,0)$.
* Unterräume von Kelley-Räumen sind im Allgemeinen keine Kelley-Räume. Der Arens-Fort-Raum ist kein Kelley-Raum, denn die kompakten Teilmengen sind genau die endlichen, er ist aber mittels Stone-Čech-Kompaktifizierung Unterraum eines kompakten und damit eines Kelley-Raums.
* Aus der kompakten Konvergenz folgt nicht die lokal gleichmäßige Konvergenz. Betrachtet man die durch

       $f_{k}(m,n)={\begin{cases}1&{\mbox{falls }}m+n{\mbox{ ungerade und }}m+n\leq k\\0,&{\mbox{sonst}}\end{cases}}$
    und
       $f(m,n)={\begin{cases}1&{\mbox{falls }}m+n{\mbox{ ungerade}}\\0,&{\mbox{sonst}}\end{cases}}$
    definierten Funktionen $\mathbb {N} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$, so konvergiert die Funktionenfolge $(f_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ punktweise gegen $f$. Da genau die endlichen Mengen kompakt sind, liegt sogar kompakte Konvergenz vor. Jede Funktion $f_{k}$ ist stetig, denn sie ist auf der Nullumgebung $\{(0,0)\}\cup (\mathbb {N} ^{2}\setminus \{0,\ldots ,k\}^{2})$ konstant gleich 0, aber die Grenzfunktion $f$ ist unstetig, da sie in jeder Nullumgebung den Wert 1 annimmt. Insbesondere liegt keine lokal gleichmäßige Konvergenz vor, denn sonst müsste die Grenzfunktion stetig sein.
