Beta-Verteilung
# Beta-Verteilung

Die Beta-Verteilung ist eine Familie stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen über dem Intervall $(0,1)$, parametrisiert durch zwei Parameter, die häufig als p und q – oder auch als α und β – bezeichnet werden. In der bayesschen Statistik ist die Beta-Verteilung die konjugierte a-priori-Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Bernoulli-, Binomial-, der negativen Binomial- und der geometrischen Verteilung.

## Definition

Die Beta-Verteilung $\operatorname {Beta} (p,q)$ ist definiert durch die Wahrscheinlichkeitsdichte

    $f(x)={\frac {1}{\mathrm {B} (p,q)}}x^{p-1}(1-x)^{q-1}.$

Außerhalb des Intervalls $(0,1)$ wird sie durch $f(x)=0$ fortgesetzt. Für $p,q\geq 1$ lässt sich $(0,1)$ durch $[0,1]$ ersetzen. Die Beta-Verteilung besitzt die reellen Parameter $p$ und $q$ (in den nebenstehenden Grafiken $\alpha$ und $\beta$). Um ihre Normierbarkeit zu garantieren, wird $p,q>0$ (bzw. $\alpha ,\beta >0$) gefordert.

Der Vorfaktor $1/\mathrm {B} (p,q)$ dient der korrekten Normierung. Der Ausdruck

    $\mathrm {B} (p,q)={\frac {\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}}=\int _{0}^{1}u^{p-1}(1-u)^{q-1}\,\mathrm {d} u$

steht für die Betafunktion, nach der die Verteilung benannt ist. Dabei bezeichnet $\Gamma$ die Gammafunktion.

Die Verteilungsfunktion ist entsprechend

    $F(x)={\begin{cases}0&{\text{für}}\;x\leq 0,\\I_{x}(p,q)&{\text{für}}\;0<x\leq 1,\\1&{\text{für}}\;x>1\\\end{cases}}$

mit

    $I_{x}(p,q):={\frac {1}{\mathrm {B} (p,q)}}\int _{0}^{x}u^{p-1}(1-u)^{q-1}\mathrm {d} u.$

Die Funktion $I_{x}(p,q)$ heißt auch regularisierte unvollständige Betafunktion.

## Eigenschaften

### Erwartungswert

Der Erwartungswert berechnet sich zu

    $\operatorname {E} (X)={\frac {p}{p+q}}$.

### Modus

Der Modus, also die Maximalstelle der Dichtefunktion $f$, ist für $p>1$, $q>1$

    $\left(1+{\frac {q-1}{p-1}}\right)^{-1}={\frac {p-1}{p+q-2}}$.

### Varianz

Die Varianz ergibt sich zu

    $\operatorname {Var} (X)={\frac {pq}{(p+q+1)(p+q)^{2}}}$.

### Standardabweichung

Für die Standardabweichung ergibt sich

    $\sigma ={\sqrt {\frac {pq}{(p+q+1)(p+q)^{2}}}}$.

### Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten

    $\operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {q}{p(p+q+1)}}}$.

### Schiefe

Die Schiefe ergibt sich zu

    $\operatorname {v} (X)={\frac {2(q-p){\sqrt {p+q+1}}}{(p+q+2){\sqrt {pq}}}}$.

### Höhere Momente

Aus der momenterzeugenden Funktion ergibt sich für die k-ten Momente

    $\operatorname {E} (X^{k})=\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {p+r}{p+q+r}}$.

### Symmetrie

Die Beta-Verteilung ist für $p=q$ symmetrisch um $x={\frac {1}{2}}$ mit der Schiefe $\operatorname {v} (X)=0$.

### Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion einer betaverteilten Zufallsgröße lautet

    $M_{X}(t)=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\prod _{k=0}^{n-1}{\frac {p+k}{p+q+k}}\right){\frac {t^{n}}{n!}}$.

Mit der hypergeometrischen Funktion $_{1}F_{1}$ erhält man die Darstellung

    $M_{X}(t)=_{1}F_{1}(p;q;t)$.

### Charakteristische Funktion

Analog zur momenterzeugenden Funktion erhält man die charakteristische Funktion

    $\varphi _{X}(t)=_{1}F_{1}(p;q;it)$.

## Beziehungen zu anderen Verteilungen

### Spezialfälle

* Für $p=q=1$ ergibt sich als Spezialfall die stetige Gleichverteilung.
* Für $p=q={\frac {1}{2}}$ ergibt sich als Spezialfall die Arcsin-Verteilung.

### Grenzfälle

* Für $p\rightarrow 0$ und konstantes $q$ geht die Beta-Verteilung in eine Bernoulli-Verteilung $\operatorname {Ber} \left(0\right)$ über (eine entsprechende Zufallsgröße hat dann fast sicher den Wert null). Dasselbe gilt für $q\rightarrow \infty$ bei konstantem $p$.
* Für $q\rightarrow 0$ und konstantes $p$ geht die Beta-Verteilung in eine Bernoulli-Verteilung $\operatorname {Ber} \left(1\right)$ über (eine entsprechende Zufallsgröße hat dann fast sicher den Wert eins). Dasselbe gilt für $p\rightarrow \infty$ bei konstantem $q$.

Beides sieht man leicht durch entsprechende Grenzwertbildungen der Formeln für Erwartungswert und Varianz: Der Erwartungswert geht gegen null bzw. eins, die Varianz beide Male gegen null.

### Beziehung zur Gammaverteilung

Wenn $X\sim \gamma (p_{1},b)$ und $Y\sim \gamma (p_{2},b)$ unabhängige gammaverteilte Zufallsvariablen sind mit den Parametern $p_{1},b$ bzw. $p_{2},b$, dann ist die Größe ${\tfrac {X}{X+Y}}$ betaverteilt mit Parametern $p_{1}$ und $p_{2}$, kurz

    $\operatorname {Beta} (p_{1},p_{2})\sim {\frac {\gamma (p_{1},b)}{\gamma (p_{1},b)+\gamma (p_{2},b)}}.$

### Beziehung zur stetigen Gleichverteilung

Sind $X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n}$ unabhängige auf $[0,1]$ stetig gleich verteilte Zufallsvariable, dann sind die Ordnungsstatistiken $X_{(1)},X_{(2)},\dotsc ,X_{(n)}$ betaverteilt. Genauer gilt

    $X_{(k)}\sim \operatorname {Beta} (k,n-k+1)$

für $k=1,\dotsc ,n$.

### Mischverteilungen

Eine Binomialverteilung, deren Parameter $p$ betaverteilt ist, nennt man Beta-Binomialverteilung. Dies ist ein spezieller Fall einer Mischverteilung.

## Beispiel

Die Beta-Verteilung kann aus zwei Gammaverteilungen bestimmt werden: Der Quotient $X=U/(U+V)$ aus den stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen $U$ und $V$, die beide gammaverteilt sind mit den Parametern $b$ und $p_{u}$ bzw. $p_{v}$, ist betaverteilt mit den Parametern $p_{u}$ und $p_{v}$. $U$ und $V$ lassen sich als Chi-Quadrat-Verteilungen mit $2p_{u}$ bzw. $2p_{v}$ Freiheitsgraden interpretieren.

Mit Hilfe der linearen Regression wird eine geschätzte Regressionsgerade ${\hat {y}}={\hat {\beta }}_{0}+{\hat {\beta }}_{1}x_{i}$ durch eine „Punktwolke“ mit $n$ Wertepaaren $\{x_{i};y_{i}\}_{i=1,\dots ,n}$ zweier statistischer Merkmale $X$ und $Y$ gelegt, und zwar so, dass die Quadratsumme der senkrechten Abstände der $y_{i}$-Werte von der Geraden ${\hat {y}}_{i}$ minimiert wird.

Die Streuung der Schätzwerte ${\hat {y}}_{i}$ um ihren Mittelwert ${\overline {\hat {y}}}={\overline {y}}$ kann durch $\textstyle {\text{SSE}}\equiv \sum \nolimits _{i=1}^{n}({\hat {y}}_{i}-{\overline {y}})^{2}$ gemessen werden und die Streuung der Messwerte $y_{i}$ um ihren Mittelwert kann durch $\textstyle {\text{SST}}\equiv \sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}$ gemessen werden. Erstere stellt die „(durch die Regression) erklärte Quadratsumme“ (sum of squares explained, kurz: SSE) und letztere stellt die „totale Quadratsumme“ (sum of squares total, kurz: SST) dar. Der Quotient dieser beiden Größen ist das Bestimmtheitsmaß:

    ${\mathit {R}}^{2}\equiv {\frac {\text{SSE}}{\text{SST}}}$.

Die „(durch die Regression) nicht erklärte Quadratsumme“ bzw. die „Residuenquadratsumme“ (residual sum of squares, kurz SSR) ist durch $\textstyle {\text{SSR}}\equiv \sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}$ gegeben. Durch die Quadratsummenzerlegung ${\text{TSS}}={\text{ESS}}+{\text{RSS}}$ lässt sich das Bestimmtheitsmaß auch darstellen als

    ${\mathit {R}}^{2}={\frac {\text{SSE}}{{\text{SSE}}+{\text{SSR}}}}$.

Es ist also betaverteilt. Da das Bestimmtheitsmaß das Quadrat des Korrelationskoeffizienten von $x$ und $y$ darstellt ($R^{2}=r^{2}$), ist auch das Quadrat des Korrelationskoeffizienten betaverteilt. Allerdings kann die Verteilung des Bestimmtheitsmaßes beim globalen F-Test durch die F-Verteilung angegeben werden, die tabelliert vorliegt.

## Verallgemeinerung: Beta-Verteilung auf (a,b)

### Definition

Die allgemeine Beta-Verteilung ist definiert durch die Wahrscheinlichkeitsdichte

    $f(x)={\frac {1}{B(a,b,p,q)}}(x-a)^{p-1}(b-x)^{q-1},$

wobei $a$ und $b$ die obere und untere Grenze des Intervalls sind. Entsprechend ergibt sich die Berechnung von $B$ zu

    $B(a,b,p,q)=\int _{a}^{b}(u-a)^{p-1}(b-u)^{q-1}\mathrm {d} u={\frac {\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}}(b-a)^{p+q-1}.$

### Eigenschaften

Ist $X$ betaverteilt auf dem Intervall $(0,1)$ mit Parametern $p$, $q$, dann ist

    $Y=(b-a)X+a$

betaverteilt auf dem Intervall $(a,b)$ mit den gleichen Parametern $p$, $q$. Ist umgekehrt $Y$ betaverteilt auf $(a,b)$, dann ist

    $X={\frac {Y-a}{b-a}}$

betaverteilt auf $(0,1)$.

### Beispiel

Im Dreieckstest werden drei Proben im gleichseitigen Dreieck angeordnet, wobei eine Ecke des gedachten Dreiecks nach oben zeigt. Zwei der drei Proben gehören zum Produkt A und eine Probe gehört zum Produkt B oder umgekehrt. Die Aufgabe des Probanden besteht nun darin, dasjenige Produkt zu finden, das nur einmal vorkommt. Die Wahrscheinlichkeit durch bloßes Raten die richtige Antwort zu geben beträgt ${\tfrac {1}{3}}$.

Die Erfolgswahrscheinlichkeiten variieren je nach sensorischen Fähigkeiten. Unter der Annahme, dass kein Proband absichtlich eine falsche Antwort gibt, liegt die Erfolgswahrscheinlichkeit bei niemandem unter ${\tfrac {1}{3}}$. Bei Feinschmeckern oder großen Geschmacksunterschieden kann diese theoretisch bis auf 100 % ansteigen. Im Folgenden wird für beliebige Rate-Erfolgswahrscheinlichkeiten $c$ mit $0<c<1$ die Beta-Verteilung auf $(c,1)$ hergeleitet. Aus den eben genannten Gründen modelliert diese Wahrscheinlichkeitsdichte die Erfolgswahrscheinlichkeiten der Probanden realistischer als eine Beta-Verteilung auf $(0,1)$.

Die Erfolgswahrscheinlichkeiten $\pi _{i}$ der einzelnen Probanden $i=1,\dots ,n$ seien zunächst betaverteilt auf $(0,1)$ mit Parametern $\alpha$ und $\beta$. Die korrigierten Erfolgswahrscheinlichkeiten auf $(c,1)$ ergeben sich aus $p_{i}=c+(1-c)\pi _{i}$. Die Wahrscheinlichkeitsdichte von $p_{i}$ lässt sich über den Transformationssatz für Dichten bestimmen. Die Beta-Verteilung von $\pi _{i}$ hat eine positive Dichte im Intervall $(0,1)$. Die Transformation $u\colon (0,1)\rightarrow (c,1)$ mit $u(\pi )=c+(1-c)\pi =p$ ist ein Diffeomorphismus. Daraus erhält man die Umkehrfunktion $u^{-1}(p)={\frac {p-c}{1-c}}$. Für die gesuchte Dichtefunktion von $p$ erhält man

    $f_{p}(p)=f_{\pi }(u^{-1}(p))\left|{\frac {\partial }{\partial p}}u^{-1}(p)\right|=f_{\pi }\left({\frac {p-c}{1-c}}\right)\left|{\frac {1}{1-c}}\right|={\frac {1}{1-c}}f_{\pi }\left({\frac {p-c}{1-c}}|\alpha ,\beta \right)$.

Diese Wahrscheinlichkeitsdichte von $p$ auf $(c,1)$ wird in Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsdichte von $\pi$ auf $(0,1)$ dargestellt. In der nebenstehenden Grafik ist beispielhaft eine Beta-Verteilung auf $({\tfrac {1}{3}},1)$ mit Parametern $\alpha =0{,}5$ und $\beta =4$ eingezeichnet. Der Erwartungswert beträgt $40{,}7\,\%$. Die durchschnittliche Erfolgswahrscheinlichkeit liegt damit $7{,}4\,\%$ über der Rate-Erfolgswahrscheinlichkeit von $33{,}3\,\%$.

