Fréchet-Verteilung
# Fréchet-Verteilung

Die Fréchet-Verteilung ist eine absolutstetige Verteilung über den positiven reellen Zahlen, die einen positiven reellen Formparameter $\alpha$ besitzt. Benannt ist sie nach dem französischen Mathematiker Maurice René Fréchet.

## Verteilungs- und Dichtefunktion

Die Fréchet-Verteilung besitzt für einen reellen Parameter $\alpha >0$ die Verteilungsfunktion

    ${\Phi }_{\alpha }(x)={\begin{cases}0&{\text{für }}x\leq 0\\\exp(-x^{-\alpha })=\exp(-1/x{^{\alpha }})&{\text{für }}x>0\end{cases}}\;.$

Die dazugehörige Dichtefunktion ist

    ${\phi }_{\alpha }(x)=\alpha \;x^{-(\alpha +1)}\;e^{-x^{-\alpha }}\quad {\text{für }}x>0$

## Momente und Median

Im Folgenden sei $X$ eine $\alpha$-Fréchet-verteilten Zufallsvariable und $\Gamma \left(x\right)$ die Gamma-Funktion.

### Median

Der Median ist

    $\operatorname {Med} (X)=\left({\frac {1}{\log _{e}(2)}}\right)^{1/\alpha }$

### Existenz von Momenten

Die k-ten Momente der Fréchet-Verteilung existieren genau dann, wenn $\alpha >k$.

### Erwartungswert

Der Erwartungswert ist

    $\operatorname {E} (X)=\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)$.

### Varianz

Die Varianz ist

    $\operatorname {Var} (X)=\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\left(\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right)^{2}$

### Schiefe

Die Schiefe ist

    $\gamma _{m}(X)={\frac {\Gamma \left(1-{\frac {3}{\alpha }}\right)-3\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)+2\Gamma ^{3}\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)}{\left(\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\Gamma ^{2}\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right)^{\frac {3}{2}}}}$

### Kurtosis

Die Kurtosis ist

    $\operatorname {Kurt} (X)=-6+{\frac {\Gamma \left(1-{\frac {4}{\alpha }}\right)-4\Gamma \left(1-{\frac {3}{\alpha }}\right)\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)+3\Gamma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)}{\left[\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\Gamma ^{2}\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right]^{2}}}$

## Zusammenhang mit anderen Verteilungen

Ist $X$ Fréchet-verteilt mit Parameter $\alpha$, so ist $\ln X$ Gumbel-verteilt mit Parametern $\mu =0$ und $\beta ={\frac {1}{\alpha }}$.

Nach dem Theorem von Fisher-Tippett kann eine standardisierte, nicht-degenerierte Extremwertverteilung nur gegen eine der drei generalisierten Extremwertverteilungen (GEV) konvergieren, von denen eine die Fréchet-Verteilung ist.

## Anwendung

Sie ist daher eine wichtige Verteilung zur Bestimmung von Risiken in der Finanzstatistik, wie zum Beispiel des Value at Risk und des Expected Shortfall.

