Darstellende Geometrie
# Darstellende Geometrie

Darstellende Geometrie ist der Teilbereich der Geometrie, der sich mit den geometrisch-konstruktiven Verfahren von Projektionen dreidimensionaler Objekte auf eine zweidimensionale Darstellungsebene befasst. Die Anwendungsbereiche ihrer Methoden sind breit gefächert und erstrecken sich neben den heute bekanntesten Anwendungen in der Technik- und Architekturdarstellung auch auf Kunst, Malerei, Kartenwesen und Computergraphik. Die Darstellende Geometrie beschränkt sich nicht nur auf das Darstellen von räumlichen Objekten, sondern bietet auch Möglichkeiten raumgeometrische Probleme zeichnerisch zu lösen: z. B. die Bestimmung des Schnittpunktes einer Gerade mit einer Ebene oder die Schnittkurve zweier Flächen oder den Schatten eines Objektes.

* A. Dürer: Zentralprojektion einer Laute
* Bildschirmfoto aus CATIA V5: Maschinenteil

Im Gegensatz zu früher (s. Weblink Gangolf Delabar) ist die Darstellende Geometrie nicht mehr das einzige Mittel, um räumliche Objekte anschaulich darzustellen oder raumgeometrische Probleme zu lösen. Hierfür verwendet man heute Computer (s. Weblinks und Geometrische Modellierung). Die Bedeutung der Darstellenden Geometrie liegt heute vielmehr im Training der Benutzer geometrischer Software, damit sie verstehen, was eine Software kann und an Eingaben verlangt. Für erste Skizzen einer (räumlichen) Idee oder Interpretationen und Ergänzungen von Computerzeichnungen ist das Zeichnen mit Zirkel und Lineal eine hervorragende Übung.

Bei der Darstellung räumlicher Objekte in einer Zeichenebene spielen zwei konkurrierende Gesichtspunkte eine wesentliche Rolle. Will man Maßgenauigkeit erreichen, so ist dies meistens nur unter Verlust von Anschaulichkeit möglich. Z. B. lassen die beiden folgenden Bilder eines Hauses leicht auf Länge, Breite und Höhe schließen; sie sind aber nicht sehr anschaulich. Dagegen bringen die nächsten beiden Bilder den räumlichen Eindruck mehr zur Geltung. Genaue Abmessungen lassen sich aber (insbesondere aus dem rechten Bild) nur schwer ablesen.

## Abbildungsverfahren

In der Darstellenden Geometrie bedient man sich im Wesentlichen zweier Abbildungsverfahren. Dabei werden Punkte und Kurven eines Objektes mit Hilfe von Strahlen (Geraden) auf eine Bildtafel (Ebene) projiziert:

### Parallelprojektion

Die Abbildungsstrahlen sind parallel, wie z. B. beim Sonnenlicht. Dabei unterscheidet man noch die beiden Fälle:

* Die Strahlen stehen senkrecht auf der Bildtafel (senkrechte Parallelprojektion oder Orthogonalprojektion oder Normalprojektion).
* Die Strahlen stehen nicht senkrecht zur Bildtafel (schiefe oder schräge Parallelprojektion).

Parallelprojektionen werden gerne von Ingenieuren verwendet wegen ihrer Teilverhältnistreue (Teilverhältnisse auf Geraden bleiben invariant). Der Spezialfall Vogelperspektive ist eine schiefe Parallelprojektion, die insbesondere zur Veranschaulichung von Stadtplänen verwendet wird. Sie lässt sich relativ einfach von Hand herstellen. Parallelprojektionen lassen sich schnell als axonometrische Bilder oder bei umfangreicheren Objekten mit Hilfe des Einschneideverfahrens herstellen.

Für fast alle Konstruktionen in der Darstellenden Geometrie verwendet man Grund- und Aufriss eines Objektes. Das sind senkrechte Parallelprojektionen auf eine horizontale (Grundriss) bzw. senkrechte Ebene (Aufriss) (s. Zweitafelprojektion). Durch sie ist (mit den entsprechenden Bezeichnungen) ein Objekt räumlich eindeutig beschrieben.

### Zentralprojektion

Alle Abbildungsstrahlen gehen durch einen Punkt, dem Projektionszentrum oder Augpunkt $O$. Bei Parallelprojektion sind die Bilder paralleler Geraden i. A. wieder parallel. Bei Zentralprojektionen schneiden sich die Bilder paralleler Geraden i. A. in einem Punkt, dem Fluchtpunkt des Parallelbüschels.

Dass eine Zentralprojektion den besten optischen Eindruck verschafft, zeigen die Bilder mit einer Häuserreihe. Bei dem Bild in Parallelprojektion erscheint das hintere Haus größer als das erste. Dies liegt an einer optischen Täuschung. Das Auge erkennt das Haus als räumliches Objekt und erwartet, dass ein gleich großes, entferntes Haus kleiner ist, was bei Parallelprojektion aber nicht der Fall ist.

### Darstellung realer Objekte

Um Objekte wie Häuser, Brücken, … in einer handlichen Zeichenebene oder auf einem Bildschirm darstellen zu können, werden die Abmessungen der Objekte üblicherweise vor einer Projektion geeignet skaliert (verkleinert), z. B. mit Faktoren 1/10, 1/50 oder 1/100.

## Hilfsmittel

### Technische Hilfsmittel

Klassische Hilfsmittel bei der Erstellung von Zeichnungen sind: Papier als ebene Zeichenfläche, Bleistift, Zirkel, Lineal, Geodreieck und Kurvenlineal als Zeichengeräte. Computer mit geeigneter Software (z. B. Cinderella, GeoGebra, Inkscape, Xfig, …) können heute all diese Hilfsmittel ersetzen. Manuell steuert man solch einen graphikfähigen Computer mit einer Computer-Maus. Will man das Ergebnis schwarz auf weiß auf Papier vor sich haben, verwendet man einen computergesteuerten Drucker. Allerdings werden die klassischen Hilfsmittel (ohne Computer) auch heute noch als Grundlage bei der Ausbildung von Architekten und Ingenieuren verwendet.

### Theoretische Hilfsmittel

Als theoretische Hilfsmittel verwendet man grundlegende Aussagen aus der klassischen Geometrie: Strahlensätze, die Sätze von Pythagoras und Thales, Sätze über Dreiecke, Sätze über Kegelschnitte (Ellipsen, …), Eigenschaften von Quadriken (Kugel, Kegel, Zylinder, …).

## Methoden der Darstellenden Geometrie

### Projektionen: Zweitafelprojektion, Axonometrie, Architektenanordnung, Frontalperspektive

Die wichtigsten Arbeitsmittel in der Darstellenden Geometrie sind Grund- und Aufriss und deren Zuordnungen. Sie liefern die räumlichen Informationen für spezielle Darstellungen und Konstruktionen. Das Wissen darüber lernt man in

* Zweitafelprojektion: Gelegentlich ist es nötig, weitere Risse einzuführen. Man spricht dann auch von Umprojektionen und Mehrtafelprojektionen.

Mit Grund- und Aufriss lassen sich dann mit Hilfe von

* Axonometrie,
* Einschneideverfahren,
* Orthogonaler Axonometrie und
* Umrisskonstruktion (für gekrümmte Flächen; siehe hierzu auch Kanalflächen)

anschauliche Bilder von räumlichen Objekten in Parallelprojektion herstellen.

Bilder in Zentralprojektion konstruiert man am besten mit der

* Architektenanordnung (ähnlich dem Einschneideverfahren für Parallelprojektionen) und der
* Frontalperspektive (Perspektive mit einem wesentlichen Fluchtpunkt, dem Hauptpunkt).

Um verzerrt wirkende Bildteile zu vermeiden, sollte man nach der Wahl der Lage von Bildtafel, Hauptpunkt und Augpunkt zunächst den

* Sehkreis

einzeichnen. Denn nur Bildteile innerhalb des Sehkreises erscheinen im perspektiven Bild unverzerrt.

### Durchdringungen: Schnittpunkte und Schnittkurven

Eine wichtige Grundaufgabe der Darstellenden Geometrie ist die (zeichnerische) Bestimmung des Schnittpunktes einer Gerade und einer Ebene. Das Verfahren hierzu heißt

* Durchstoßpunkt-Verfahren.

    (Rechnerische Verfahren zur Bestimmung eines Schnittpunktes findet man hier.)

Durchstoßpunkte werden z. B. benötigt bei der

* Schattenkonstruktion.

Zu den Grundaufgaben gehören auch die Bestimmung der

* Schnittpunkte einer Gerade mit Kugel, Kegel oder Zylinder.

Für die Konstruktion von Punkten der Schnittkurve zweier Flächen (Zylinder, Kegel, Kugel, Torus, Rotationsfläche) gibt es vier Standardverfahren:

* das Hilfsebenenverfahren,
* das Mantellinienverfahren,
* das Pendelebenenverfahren und
* das Hilfskugelverfahren.

    (Rechnerische Verfahren zur Bestimmung einer Schnittkurve findet man hier.)

Bei der Herstellung von Modellen sich durchdringender Zylinder und/oder Kegel werden oft aufgewickelte Abwicklungen dieser Flächen verwendet. Wie man Zylinder und Kegel abwickelt, wird in

* Abwicklung

beschrieben.

### Eintafelprojektionen: kotierte Projektion, Dachausmittlung

Neben den Zwei- und Mehrtafelprojektionen gibt es noch spezielle Eintafelprojektionen. Dabei handelt es sich um Grundrisse mit Zusatzinformationen, die die Objekte räumlich beschreiben. Im Straßenbau verwendet man die

* Kotierte Projektion, um
* Böschungsflächen zu konstruieren und darzustellen.

Mit der Konstruktion von Grat-, Kehl- und Firstlinien (Schnittgeraden) von ebenen Dachflächen befasst sich die

* Dachausmittlung.

### Wahre Länge, wahre Gestalt und Rekonstruktion

Geneigte Strecken oder ebene Figuren in Parallelprojektionen entzerrt man mit

* wahrer Länge und wahrer Gestalt.

Analoge Methoden für Zentralprojektionen (Fotos) bietet die

* Rekonstruktion.

### Kreis und Kugel

Kreise und Ellipsen spielen insbesondere als Berandungskurven von Objekten wie Zylindern, Kegeln und Rotationsflächen eine wichtige Rolle (s. Bilder: Turm mit Tor, Brücke in Frontalperspektive). Wie man sie mit Parallelprojektion und Zentralprojektion abbildet und anschließend zeichnet, wird in

* Ellipse (Darstellende Geometrie)

beschrieben. Wichtige Hilfsmittel dabei sind

* Konjugierte Durchmesser einer Ellipse und die
* Rytzsche Achsenkonstruktion, mit der man die Hauptachsen einer Ellipse rekonstruiert, um die Ellipse schließlich mit der
* Scheitelkrümmungskreismethode zu zeichnen.

Die Darstellung einer Kugel ist bei senkrechter Parallelprojektion sehr einfach. Ihr Umriss ist ein Kreis mit dem Radius der Kugel. Bei allen anderen wesentlichen Projektionsarten, wie Vogelperspektive, Kavalierperspektive und Zentralprojektion, erscheint der Umriss einer Kugel, von Sonderfällen abgesehen, als Ellipse. Wie man die Umrissellipse einer Kugel konstruiert, wird in

* Kugel (Darstellende Geometrie)

erklärt.

### Schraublinien

Schraublinien spielen in der Architektur bei der Darstellung von Wendeltreppen und in der Technik von Schrauben und Spiralbohrer eine wesentliche Rolle. Ihre Darstellung in Grund- und Aufriss, sowie orthogonalen und schiefen Parallelprojektionen wird in

* Schraublinie (Darstellende Geometrie)

beschrieben.

### Spiegelungen

Wie man in vorhandenen Bildern (Axonometrien oder Zentralprojektionen) Spiegelbilder von Objekten, die durch Reflexion an Wasseroberflächen oder Wandspiegeln entstehen, einzeichnet, wird in

* Spiegelung (Darstellende Geometrie)

erklärt.

## Spezielle Perspektiven (Ansichten)

Die Grundlage für fast alle Darstellungen und Konstruktionen in der Darstellenden Geometrie sind

* Grund- und Aufriss: Senkrechte Parallelprojektionen auf eine horizontale bzw. senkrechte Bildtafel.

Das Wort Perspektive wird in der Darstellenden Geometrie vielfach benutzt, um besondere anschauliche Ansichten eines räumlichen Objektes zu benennen:

* Die Kavalierperspektive oder Kabinettperspektive ist eine schiefe Parallelprojektion (s. Axonometrie) auf eine senkrechte Bildtafel. Alle ebenen Figuren, die parallel zur Bildtafel sind, werden unverzerrt abgebildet (s. Bild).
* Die Vogelperspektive oder Militärperspektive ist im einen Fall eine schiefe Parallelprojektion (s. Axonometrie), deren Bildtafel horizontal ist, d. h., alle ebenen horizontalen Figuren werden unverzerrt abgebildet (s. Bild) und im anderen Fall ist die Vogelperspektive eine Zentralprojektion, deren Augpunkt deutlich höher liegt als die größte Höhe des Objektes, und deren Bildtafel geneigt ist.
* Eine Ingenieurprojektion ist ein axonometrisches Bild mit einfachen Verkürzungen (0.5, 1, 1). Die Bilder der x- bzw. y-Achse schließen mit dem Bild der z-Achse Winkel von 132° bzw. 97° ein (s. Axonometrie). Ihre Vorteile sind: a) einfache Verkürzungen, b) gute Bildwirkung, c) (skalierte) Orthogonalprojektion, d) Umrisse von Kugeln sind Kreise.
* Eine Isometrie ist ein axonometrisches Bild, bei dem die Verzerrungen in x-, y- und z-Richtung alle gleich sind. Bei der Standardisometrie gilt außerdem: Die Bilder der Koordinatenachsen schneiden einander im Winkel von 120°. Eine typische Eigenschaft ist: In der Projektion eines achsenparallelen Würfels fallen zwei Punkte zusammen.
* Die Froschperspektive ist eine Zentralprojektion, deren Augpunkt nahe der Standebene liegt (s. Bild).
* Zentralperspektive ist eine Zentralprojektion.
* Perspektive wird oft als Kurzform für Zentralperspektive verwendet.
* Frontalperspektive ist eine Zentralprojektion eines Objektes mit drei wesentlichen zueinander orthogonalen Richtungen (z. B. Quader, Haus), wobei zwei dieser Richtungen parallel zur Bildtafel verlaufen und damit deren Fluchtpunkte im „Unendlichen“ liegen. Man nennt so eine Ansicht auch Perspektive mit einem Fluchtpunkt (s. Bild). Der eine besondere Fluchtpunkt ist in der Regel der Hauptpunkt. Der Vorteil einer Frontalperspektive: Alle ebenen Figuren in Ebenen parallel zur Bildtafel werden nur skaliert, aber unverzerrt, abgebildet (s. Beispiele: Brücke und Haus in Frontalperspektive).
* Perspektive mit zwei Fluchtpunkten ist eine Zentralprojektion, bei der die Fluchtpunkte zu zwei zueinander senkrechten orthogonalen Richtungen (meist horizontal) eine wesentliche Rolle spielen (s. Bild).
* Perspektive mit drei Fluchtpunkten ist eine Zentralprojektion bei der drei Fluchtpunkte eine wesentliche Rolle spielen. Hier ist die Bildtafel geneigt (s. Haus in Vogelperspektive der Zentralprojektion).
* Parallelperspektive ist eine Parallelprojektion.
* Polarperspektive ist eine frühere Bezeichnung für Zentralprojektion (s. Weblink Gangolf Delabar).

## Ausbildung

Darstellende Geometrie ist heute ein Unterrichtsfach in technisch-berufsbildenden Schulen und ein grundlegendes Fach in der Ausbildung von Ingenieuren an einer Technischen Universität oder Fachhochschule.

Thema ist die Erfassung und Darstellung von räumlichen, insbesondere technischen Strukturen (geometrische Körper, Bauwerke, Darstellung des Geländes usw.).

Wichtigste Hilfsmittel sind Konstruktionszeichnungen, Perspektive (Zentralprojektion), Axonometrie, Kotierte Projektion und Ähnliches. Neben dem Erlernen von Zeichentechniken sollen die räumliche Vorstellungskraft und Ausdrucksweise gefördert sowie Querverbindungen zu Mathematik, zur Technik und zur Bildenden Kunst hergestellt werden.

Noch bis in die 2000er Jahre ein rein graphisches Fach (angewandtes geometrisches Zeichnen), ist es heute in weiten Bereichen eines der Computergrafik. In den letzten Jahren hatte die Bedeutung des Faches zwar nicht generell, aber in der Ausbildung abgenommen, weil die computergestützte Konstruktion (CAD) andere Fertigkeiten verlangt als die zeichnerische Darstellung von Hand. Seit auch Schulen gut mit Computern im Unterricht ausgestattet sind, gehört das Fach wieder zu den bedeutendsten technischen Grundlagenausbildungen überhaupt und umfasst auch das Erlernen zugehöriger Programme – im Allgemeinen marktführender Spezial-CAD-Anwendungen der Branche.

Die eigentliche Denkarbeit, das Umsetzen der 2D-Darstellung (ob Papier oder Bildschirm) in ein 3D-(Denk-)Modell bleibt auch bei Benutzung von CAD dem Konstrukteur oder Entwerfer erhalten. Dagegen wird es schwieriger, räumliche Konstruktionsprobleme (z. B. Anschlussprofile bei schrägen Anschnitten) zu erkennen, wenn (und weil) man sich auf die Software verlässt.

   „Darstellende Geometrie ist nicht in einem oberflächlichen Sinn Voraussetzung, ein CAD-Programm zu beherrschen. Sie zu üben, ist vielmehr eine Primärerfahrung, indem die räumliche Vorstellungskraft, das Abschätzen und Auswählen von Lösungsstrategien und die Präzision des Denkens trainiert werden.“

## Zur Geschichte der Darstellenden Geometrie

Bei der systematischen Errichtung von Bauwerken spielen Pläne mit konkreten Vorgaben eine wichtige Rolle. Schon im Altertum wurden Grund- und Aufrisse verwendet. Der älteste schriftliche Beleg dafür ist das Werk Zehn Bücher über Architektur des römischen Baumeisters Vitruvius. Aber erst Albrecht Dürer (1471–1528) schrieb in der Frühen Neuzeit das erste wirkliche Lehrbuch der Darstellenden Geometrie: Underweysung mit dem Zirkel und Richtscheydt (Nürnberg 1525). Auf den Seiten 34–37 des ersten Buches treten auch schon die Kegelschnitte Ellipse, Parabel und Hyperbel auf. Gaspard Monge (1746–1818) führte in seinem Buch Geometrie descriptive zum ersten Mal die strenge Zuordnung von Grund- und Aufriss ein, um räumliche Probleme zeichnerisch zu lösen. Die Grundaufgaben der Darstellenden Geometrie sind dort schon in der noch heute gebräuchlichen Fassung zu finden.

Die Grundlagen der Zentralprojektion waren schon den Griechen und Römern bekannt. Aber erst in der Renaissance wurde diese Art der Darstellung räumlicher Gegebenheiten durch die Malerei wiederentdeckt und zur Blüte weiterentwickelt. Siehe hierzu De pictura von Leon Battista Alberti (1404). Die Meister dieser Zeit waren Albrecht Dürer (1471–1528), Leonardo da Vinci (1452–1519) und Michelangelo (1475–1564).

