Zusammenhangskomponente der Eins
# Zusammenhangskomponente der Eins

Die Zusammenhangskomponente der Eins ist ein Begriff aus der Theorie der topologischen Gruppen, der in Mathematik und Physik besonders in der Theorie der Lie-Gruppen Anwendung findet.

## Definition

Sei $G$ eine topologische Gruppe mit neutralem Element $1\in G$. Dann bezeichnet $G^{0}$ die Zusammenhangskomponente der Eins, also diejenige Zusammenhangskomponente von $G$, die das neutrale Element enthält.

## Eigenschaften

* $G^{0}$ ist eine abgeschlossene Teilmenge von $G$.
* $G^{0}$ ist eine charakteristische Untergruppe von $G$ und insbesondere ein Normalteiler.
* Die Faktorgruppe $G/G^{0}$ ist eine total unzusammenhängende Hausdorffsche topologische Gruppe. Sie wird als Komponentengruppe von $G$ bezeichnet, ihre Elemente entsprechen den Zusammenhangskomponenten von $G$.
* Wenn $G$ lokal wegzusammenhängend (zum Beispiel eine Lie-Gruppe) ist, dann ist $G^{0}$ offen.
* Wenn $G^{0}$ offen ist, dann ist $G/G^{0}$ diskret.
* Wenn $G$ eine algebraische Gruppe ist, dann ist $G/G^{0}$ endlich.

## Beispiele

* Für die allgemeine lineare Gruppe $G=GL(n,\mathbb {R} )$ ist $G^{0}=GL^{+}(n,\mathbb {R} )$ die Untergruppe der Matrizen mit positiver Determinante. Die Komponentengruppe $G/G^{0}$ ist isomorph zur zyklischen Gruppe $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$.
* Für $G=GL(n,\mathbb {C} )$ ist $G^{0}=G$.
* Für eine total unzusammenhängende Gruppe $G$ ist $G^{0}=\left\{1\right\}$.
