Inverse Betaverteilung
# Inverse Betaverteilung

Die inverse Betaverteilung ist eine univariate Verteilung für stetige Zufallsvariablen, mit zwei Parametern $\alpha$ und $\beta$. Es handelt sich um einen Sonderfall der Gamma-Gamma-Verteilung und somit um eine Mischverteilung.

Die Dichtefunktion ist:

    $f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}$.

Dabei ist $\mathrm {B} (\alpha ,\beta )$ die Betafunktion.

Ein Zufallsvariable $X$, die einer inversen Betaverteilung folgt hat den Erwartungswert

    $\operatorname {E} (X)={\frac {\alpha }{\beta -1}}{\text{, falls }}\beta >1$

den Modus

    $\operatorname {Mod} (X)={\frac {\alpha -1}{\beta +1}}{\text{, falls }}\alpha \geq 1{\text{, sonst }}\operatorname {Mod} (X)=0$

und die Varianz

    $\operatorname {Var} (X)={\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1)^{2}}}{\text{, falls }}\beta >2$.

## Beziehung zur Gammaverteilung

Ist der zweite Parameter $\epsilon$ der Gammaverteilung ${\mathcal {G}}(a,\epsilon )$ eine Zufallsvariable, die wie eine Gammaverteilung ${\mathcal {G}}(b,1)$ verteilt ist, dann folgt die hervorgehende Zufallsvariable einer inversen Betaverteilung ${\mathcal {InvB}}(a,b)$.

## Beziehung zur Gamma-Gamma-Verteilung

Eine Gamma-Gamma-Verteilung $\operatorname {Gamma-Gamma} (a,b=1,d)$ entspricht einer inversen Betaverteilung ${\mathcal {InvB}}(\alpha =d,\beta =a)$.

