Hyperbolischer Fixpunkt
# Hyperbolischer Fixpunkt

Ein hyperbolischer Fixpunkt ist ein Fixpunkt (auch Gleichgewichtspunkt genannt) eines dynamischen Systems mit bestimmten Eigenschaften. Im Gegensatz zu einem elliptischen Fixpunkt gibt es keine Zentrumsmannigfaltigkeiten, auf denen die Orbits genannten Lösungskurven den Fixpunkt umkreisen, sondern instabile und stabile Mannigfaltigkeiten, auf denen die Orbits auf den Fixpunkt zulaufen (stabile Mannigfaltigkeit) oder sich von ihm entfernen (instabile Mannigfaltigkeiten). Die Klassifikation der Fixpunkte spielt eine Rolle in der qualitativen Diskussion der Lösungen von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen (siehe den Artikel Autonome Differentialgleichung).

Der Name kommt daher, dass im Fall zweidimensionaler autonomer Differentialgleichungssysteme, die häufig zur Beschreibung dynamischer Systeme benutzt werden, der Phasenfluss im typischen Fall eines Sattelpunktes Hyperbel-ähnlich ist (siehe Abbildung). Die sich kreuzenden Geraden in der Abbildung (die Separatrix) sind hier die stabile Mannigfaltigkeit (die Gerade, bei der die Pfeile auf den Fixpunkt im Zentrum zulaufen) und die instabile Mannigfaltigkeit (Gerade, auf der die Pfeile vom Fixpunkt fort zeigen). Alternativ lässt sich das auch über die Eigenwertstruktur der linearisierten Systeme um den Fixpunkt erklären:

Bei elliptischen Fixpunkten verschwindet der Realteil der Eigenwerte, die dann rein imaginär sind (also Modulus 1 haben) und der Fluss um den Fixpunkt als Rotation beschrieben werden kann (mit einer Zentrums-Mannigfaltigkeit).

Hyperbolische Fixpunkte führen häufig zu chaotischer Bewegung (siehe Homokliner Orbit).

## Beispiel

Das nichtlineare zweidimensionale System gewöhnlicher autonomer Differentialgleichungen

    ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=y,$
    ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=-x-x^{3}-\alpha y,~\alpha \neq 0$

hat den einzigen Fixpunkt $(x,y)=(0,0)$. Linearisierung um den Fixpunkt ergibt die Jacobimatrix

    $J(0,0)={\begin{pmatrix}0&1\\-1&-\alpha \end{pmatrix}}$.

mit den Eigenwerten ${\frac {-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-4}}}{2}}$. Diese haben für $\alpha \neq 0$ alle nichtverschwindende Realteile und man hat es deshalb mit einem hyperbolischen Fixpunkt zu tun. Nach dem Satz von Grobman-Hartman verhält sich das System auch im nichtlinearen Fall in der Nähe des Fixpunkts wie die linearisierte Form und das Verhalten ist ähnlich wie in der ersten Abbildung oben.

