Faktorgruppe
# Faktorgruppe

Die Faktorgruppe oder Quotientengruppe ist eine Gruppe, die mittels einer Standardkonstruktion aus einer gegebenen Gruppe $G$ unter Zuhilfenahme eines Normalteilers $N\trianglelefteq G$ gebildet wird. Sie wird mit $G/N$ bezeichnet und ist die Menge der Nebenklassen.

## Konstruktion

Die Elemente von $G/N$ sind die Nebenklassen bezüglich $N$, also

    $G/N:=\{gN:g\in G\}$.

Die innere Verknüpfung $\circ \colon G/N\times G/N\rightarrow G/N$ wird definiert als

    $(gN)\circ (hN):=(gh)N$.

Man kann mit Hilfe der Normalteilereigenschaft von $N$ zeigen, dass diese Verknüpfung wohldefiniert ist und dass $(G/N,\circ )$ eine Gruppe ist. Diese Gruppe heißt Faktorgruppe von $G$ nach $N$. Das neutrale Element von $G/N$ ist $N$ und das zu $gN$ inverse Element ist durch $g^{-1}N$ gegeben.

Das Produkt $(gN)\circ (hN)=(gh)N$ stimmt mit dem Komplexprodukt $(gN)\cdot (hN)$ überein. Umgekehrt kann man zeigen, dass eine Untergruppe $U$ einer Gruppe $(G,\cdot )$ ein Normalteiler ist, wenn für alle $g,h\in G$ die Gleichheit $(gU)\cdot (hU)=(gh)U$ gilt.

In abelschen Gruppen ist jede Untergruppe Normalteiler. Somit lässt sich dort nach jeder Untergruppe die Faktorgruppe bilden, welche dann wiederum abelsch ist.

Die Ordnung der Faktorgruppe $G/N$ ist gerade die Anzahl der Nebenklassen von $N$. Diese Anzahl wird Index von $N$ in $G$ genannt und mit $(G:N)$ bezeichnet. Ist $G$ eine endliche Gruppe, so gilt nach dem Satz von Lagrange $(G:N)=|G/N|={\tfrac {|G|}{|N|}}$.

## Beispiele

### Jede Gruppe

Jede Gruppe kann als Faktorgruppe aufgefasst werden, denn für jede Gruppe $G$ ist $\{e\}\trianglelefteq G$ ein Normalteiler und es gilt $G\cong G/\{e\}$.

### Beispiel $ℤ_6$

Sei $\mathbb {Z}$ die Gruppe der ganzen Zahlen mit der Addition als Gruppenoperation und sei $6\mathbb {Z}$ die Untergruppe von $\mathbb {Z}$, die aus allen Vielfachen von 6 besteht. Die Gruppe $\mathbb {Z}$ ist abelsch und somit ist jede Untergruppe ein Normalteiler. Die Faktorgruppe $\mathbb {Z} /6\mathbb {Z}$ besteht nun als Restklassengruppe aus allen Nebenklassen der Untergruppe $6\mathbb {Z}$, diese sind:

$6\mathbb {Z} +0=\{\dotsc ,-18,-12,-6,0,6,12,18,\dotsc \}$

$6\mathbb {Z} +1=\{\dotsc ,-17,-11,-5,1,7,13,19,\dotsc \}$

$6\mathbb {Z} +2=\{\dotsc ,-16,-10,-4,2,8,14,20,\dotsc \}$

$6\mathbb {Z} +3=\{\dotsc ,-15,-9,-3,3,9,15,21,\dotsc \}$

$6\mathbb {Z} +4=\{\dotsc ,-14,-8,-2,4,10,16,22,\dotsc \}$

$6\mathbb {Z} +5=\{\dotsc ,-13,-7,-1,5,11,17,23,\dotsc \}$

Dies sind alle Nebenklassen von $6\mathbb {Z}$, wie man leicht sehen kann, da sie die Gruppe $\mathbb {Z}$ partitionieren und $6\mathbb {Z} +6=6\mathbb {Z} +0$, $6\mathbb {Z} +7=6\mathbb {Z} +1$, $6\mathbb {Z} +8=6\mathbb {Z} +2$ und so weiter. Da die Operation in $\mathbb {Z}$ die Addition ist, nennt man die Addition der Nebenklassen auch Addition und es gilt beispielsweise $(6\mathbb {Z} +3)+(6\mathbb {Z} +4)=6\mathbb {Z} +7=6\mathbb {Z} +1$. Schreibt man abkürzend

    $[0]=6\mathbb {Z} +0$, $[1]=6\mathbb {Z} +1$, $[2]=6\mathbb {Z} +2$, $[3]=6\mathbb {Z} +3$, $[4]=6\mathbb {Z} +4$, $[5]=6\mathbb {Z} +5$,

so besteht $\mathbb {Z} /6\mathbb {Z}$ aus den 6 Elementen $[0],[1],[2],[3],[4],[5]$ und ergibt sich folgende Verknüpfungstabelle für die Faktorgruppe $\mathbb {Z} _{6}$

| $+$ | $[0]$ | $[1]$ | $[2]$ | $[3]$ | $[4]$ | $[5]$ |
| - | - | - | - | - | - | - |
| $[0]$ | $[0]$ | $[1]$ | $[2]$ | $[3]$ | $[4]$ | $[5]$ |
| $[1]$ | $[1]$ | $[2]$ | $[3]$ | $[4]$ | $[5]$ | $[0]$ |
| $[2]$ | $[2]$ | $[3]$ | $[4]$ | $[5]$ | $[0]$ | $[1]$ |
| $[3]$ | $[3]$ | $[4]$ | $[5]$ | $[0]$ | $[1]$ | $[2]$ |
| $[4]$ | $[4]$ | $[5]$ | $[0]$ | $[1]$ | $[2]$ | $[3]$ |
| $[5]$ | $[5]$ | $[0]$ | $[1]$ | $[2]$ | $[3]$ | $[4]$ |

Damit hat man ein Verfahren, mit dem man Untergruppen wie $\mathbb {Z} _{6}$ konstruieren kann.

### Restklassengruppe der additiven Gruppe der ganzen Zahlen

Das vorhergehende Beispiel lässt sich verallgemeinern: Für jedes $n\in \mathbb {N}$ ist $(n\mathbb {Z} ,+)$ eine Untergruppe der abelschen Gruppe $(\mathbb {Z} ,+)$, also insbesondere ein Normalteiler. Die Faktorgruppe $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ wird Restklassengruppe modulo $n$ genannt und kurz mit $\mathbb {Z} _{n}$ bezeichnet. Sie hat genau $n$ Elemente.

Ihre Elemente werden als

    $[k]_{n}:=[k]:=k+n\mathbb {Z} =\{k+m\ :\ m\in n\mathbb {Z} \}=\{k+nz\ :\ z\in \mathbb {Z} \}$

geschrieben und heißen Kongruenzklassen bezüglich der Addition modulo $n$. Es ist also

    $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\{[0],[1],\ldots ,[n-1]\}$.

Die innere Verknüpfung von $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ wird üblicherweise wieder mit $+$ bezeichnet. In $\mathbb {Z} /5\mathbb {Z}$ gilt beispielsweise

    $\ [3]_{5}+[4]_{5}=[3]+[4]=[2]=[2]_{5}$,

da $3+4=7=2+5$, also $(3+4)+5\mathbb {Z} =2+5\mathbb {Z}$.

### Faktorgruppe nach Kernen von Homomorphismen

Seien $G$ und $H$ zwei Gruppen und $\varphi :G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist der Kern von $\varphi$ ein Normalteiler von $G$ und daher kann die Faktorgruppe $G/\ker \varphi$ gebildet werden. Nach dem Homomorphiesatz für Gruppen ist diese Faktorgruppe isomorph zum Bild von $\varphi$, das eine Untergruppe von $H$ ist.

## Universelle Eigenschaft der Faktorgruppe

Ist $H$ ein Normalteiler von $G$, dann ist die Abbildung $\pi \colon G\rightarrow G/H$ mit $g\mapsto gH$ mit Kern $H$ ein Epimorphismus, also ein surjektiver Homomorphismus. Die universelle Eigenschaft besagt nun, dass zu jedem Gruppenhomomorphismus $\varphi \colon G\rightarrow G'$ mit $H\subseteq \ker(\varphi )$ genau ein Gruppenhomomorphismus $\varphi '\colon G/H\rightarrow G'$ mit $\varphi =\varphi '\circ \pi$ existiert.

Beispiel: Sei $\pi \colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /6\mathbb {Z}$ die natürliche Projektion der ganzen Zahlen auf die Restklassengruppe modulo 6. Sei $\varphi \colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$ Gruppenhomomorphismus. Dann liegt $6\mathbb {Z}$ im Kern von $\varphi$ und $\varphi '\colon \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$ ergibt sich zu:

$\varphi '([0]_{6})=[0]_{3}$

$\varphi '([1]_{6})=[1]_{3}$

$\varphi '([2]_{6})=[2]_{3}$

$\varphi '([3]_{6})=[0]_{3}$

$\varphi '([4]_{6})=[1]_{3}$

$\varphi '([5]_{6})=[2]_{3}$.

## Konstruktion von Gruppen

Durch den Übergang zur Faktorgruppe erreicht man, dass sämtliche Elemente des Normalteilers auf das neutrale Element abgebildet werden. Dadurch kann man das Bestehen gewisser Identitäten erzwingen.

### Kommutatorgruppe

Die von allen Kommutatoren erzeugte Gruppe $[G,G]$ ist ein Normalteiler der Gruppe $G$. In der Faktorgruppe $G/[G,G]$ werden daher alle Kommutatoren trivial, das heißt die Faktorgruppe ist abelsch. Man nennt dies die Abelisierung der Gruppe.

### Relationen

Allgemeiner kann man das Bestehen beliebiger Gleichungen (Relationen) in einer Gruppe erzwingen. Kommen in den gewünschten Gleichungen Elemente $x_{1},\ldots ,x_{n}$ vor, so betrachte in der freien Gruppe $F_{n}$ über $n$ Elementen den kleinsten Normalteiler $N$, der alle Ausdrücke in $x_{1},\ldots ,x_{n}$ enthält, die gleich dem neutralen Element sein sollen. Die Faktorgruppe $F_{n}/N$ leistet das Verlangte. Genaueres entnehme man dem Artikel "Präsentation einer Gruppe".

