Schwacher Hausdorffraum
# Schwacher Hausdorffraum

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist ein schwacher Hausdorffraum ein topologischer Raum mit einer gewissen Eigenschaft, die eine Abschwächung der Trennungseigenschaft des Hausdorffraums ist.

## Definition

Eine topologischer Raum $X$ heißt schwacher Hausdorffraum, wenn für jeden kompakten Hausdorffraum $K$ und jede stetige Abbildung $f:K\rightarrow X$ die Bildmenge $f(K)\subset X$ eine abgeschlossene Menge in $X$ ist.

## Bemerkungen

* Jeder Hausdorffraum ist auch ein schwacher Hausdorffraum, denn Bilder kompakter Mengen sind kompakt und kompakte Mengen in Hausdorffräumen sind abgeschlossen, das heißt Hausdorffräume erfüllen die definierende Bedingung eines schwachen Hausdorffraums.
* Schwache Hausdorffräume sind $T_1-Räume,$ denn jede einelementige Menge ist selbst ein kompakter Hausdorffraum, der stetig in den umgebenden Raum eingebettet ist, und muss daher abgeschlossen sein. Die schwache Hausdorffeigenschaft liegt also zwischen den Trennungsaxiomen $T_1$ und $T_2.$
* Ist $X$ ein schwacher Hausdorffraum und ist $f:K\rightarrow X$ eine stetige Abbildung eines kompakten Hausdorffraums $K$ nach $X$, so ist $f(K)\subset X$ nicht nur kompakt, sondern ebenfalls hausdorffsch in der Relativtopologie. Sind nämlich $x,y\in f(K)$ zwei verschiedene Punkte, so sind $f^{-1}(\{x\})$ und $f^{-1}(\{y\})$ zwei disjunkte, abgeschlossene Mengen im normalen Raum $K$, die sich daher durch disjunkte, offene Mengen $U_{x},U_{y}\subset X$ trennen lassen. Dann sind $f(K)\setminus f(K\setminus U_{x})$ und $f(K)\setminus f(K\setminus U_{y})$ disjunkte, relativ offene Mengen in $f(K)$, die $x$ und $y$ trennen.
* Produkte und Koprodukte von Familien schwacher Hausdorffräume sind wieder schwache Hausdorffräume.

## Beispiele

* Die Einpunktkompaktifizierung von $\mathbb {Q}$ ist ein schwacher Hausdorffraum, der kein Hausdorffraum ist.
* Es sei $X$ eine überabzählbare Menge mit der koabzählbaren Topologie. Dann ist $X$ ein schwacher Hausdorffraum, denn eine kompakte Teilmenge ist endlich und daher abgeschlossen. Der Raum $X$ ist nicht hausdorffsch, je zwei nicht-leere offene Mengen haben einen nicht-leeren Durchschnitt.
* Die Menge $X=\mathbb {R}$ mit der kofiniten Topologie ist ein $T_1-Raum,$ der nicht schwach hausdorffsch ist, denn das Einheitsintervall mit der üblichen euklidischen Topologie ist ein kompakter Hausdorffraum, die Inklusion $i:[0,1]\rightarrow X$ ist stetig, aber das Bild $[0,1]\subset X$ ist nicht abgeschlossen.
