Banachscher Abbildungssatz
# Banachscher Abbildungssatz

Der Banachsche Abbildungssatz ist ein nach dem polnischen Mathematiker Stefan Banach benannter mathematischer Lehrsatz aus dem Gebiet der Mengenlehre. Der Satz behandelt eine grundlegende Eigenschaft von Abbildungen. Er ist eng mit dem Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem verknüpft.

## Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich wie folgt formulieren:

    Gegeben seien Mengen $M$ und $N$ und dazu Abbildungen
       ${\phi }\colon \,M\to N$ und ${\psi }\colon \,N\to M$.
    Dabei sei ${\phi }$ injektiv.
    Dann existieren Mengen $M_{1},M_{2},N_{1},N_{2}$ mit
       $M=M_{1}\cup M_{2}$ und $M_{1}\cap M_{2}=\emptyset$
    sowie
       $N=N_{1}\cup N_{2}$ und $N_{1}\cap N_{2}=\emptyset$
    derart, dass gilt:
       ${\phi }(M_{1})=N_{1}$ und ${\psi }(N_{2})=M_{2}$

## Verschärfung

Es lässt sich mit Hilfe des Fixpunktsatzes von Tarski und Knaster zeigen, dass die Behauptung des Satzes immer noch gilt, wenn die Injektivitätsbedingung für die Abbildung ${\phi }\colon \,M\to N$ fallen gelassen wird.

Der Banachsche Abbildungssatz (verschärfte Version) lautet demnach folgendermaßen:

    Gegeben seien Mengen $M$ und $N$ und dazu Abbildungen
       ${\phi }\colon \,M\to N$ und ${\psi }\colon \,N\to M$ .
    Dann existieren Mengen $M_{1},M_{2},N_{1},N_{2}$ mit
       $M=M_{1}\cup M_{2}$ und $M_{1}\cap M_{2}=\emptyset$
    sowie
       $N=N_{1}\cup N_{2}$ und $N_{1}\cap N_{2}=\emptyset$
    derart, dass gilt:
       ${\phi }(M_{1})=N_{1}$ und ${\psi }(N_{2})=M_{2}$

## Beweis (Verschärfung)

Betrachte die Abbildung $F:{\mathcal {P}}(M)\rightarrow {\mathcal {P}}(M)$ mit $F(A):=M\setminus (\psi (N\setminus \phi (A)))$.

Da $F$ monoton ist, besitzt $F$ nach dem Fixpunktsatz von Tarski und Knaster einen Fixpunkt $M_{1}$. Es gilt also $M_{1}=M\setminus (\psi (N\setminus \phi (M_{1})))$ beziehungsweise äquivalent hierzu

    $M\setminus M_{1}=\psi (N\setminus \phi (M_{1}))$.

Wir setzen nun $M_{2}:=M\setminus M_{1}$, $N_{1}:=\phi (M_{1})$ und $N_{2}:=N\setminus N_{1}$.

Hiermit erhalten wir wie gewünscht ${\phi }(M_{1})=N_{1}$ und ${\psi }(N_{2})=\psi (N\setminus \phi (M_{1}))=M\setminus M_{1}=M_{2}$.

## Folgerung

Aus dem Banachschen Abbildungssatz folgt unmittelbar das Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem.

