Lemma von Urysohn
# Lemma von Urysohn

Das Lemma von Urysohn (auch Urysohnsches Lemma genannt) ist ein fundamentales Theorem aus dem mathematischen Teilgebiet der Allgemeinen Topologie.

Das Lemma ist nach Pavel Urysohn benannt und wurde von diesem 1925 veröffentlicht. Es wird vielfach benutzt, um stetige Funktionen mit gewissen Eigenschaften zu konstruieren. Seine breite Anwendungsmöglichkeit basiert darauf, dass viele der wichtigsten topologischen Räume wie die metrischen Räume und die kompakten Hausdorff-Räume die in dem Lemma vorausgesetzte Normalitätseigenschaft besitzen.

Eine Verallgemeinerung stellt der Fortsetzungssatz von Tietze dar. Bei dessen Beweis kommt das Urysohnsche Lemma in entscheidender Weise zum Tragen.

## Formulierung des Lemmas

Das Lemma sagt folgendes aus:

    Sei $X$ ein normaler Raum, d. h., ein topologischer Raum mit der Eigenschaft, dass je zwei disjunkte abgeschlossene Teilmengen von $X$ disjunkte Umgebungen besitzen, und seien zwei derartige disjunkte abgeschlossene Teilmengen $A$ und $B$ vorgegeben.
    Dann existiert dazu eine stetige Funktion
       $f\colon X\rightarrow [0,1]$
    mit $f(a)=0$ für alle $a\in A$ und $f(b)=1$ für alle $b\in B$.
