Schwacher Isospin
# Schwacher Isospin

Der schwache Isospin, auch schwache Ladung, übliches Formelzeichen $T$, ist in der Elementarteilchenphysik eine vektorwertige Größe, die mit der schwachen Wechselwirkung zusammenhängt (so wie der starke Isospin mit der starken Wechselwirkung zusammenhängt).

Der Betrag des schwachen Isospins ist eine Quantenzahl und nimmt folgende Werte an:

* für Fermionen linkshändiger Chiralität: $^1⁄_2$
* für Fermionen rechtshändiger Chiralität: 0.

Die drei Komponenten des schwachen Isospins sind die Ladungen einer $SU(2)$-Symmetriegruppe, die im Standardmodell auftritt.

Wie beim namensverwandten Spin sind auch die drei Komponenten des schwachen Isospins nicht gleichzeitig messbar, daher wird konventionell zusätzlich zum schwachen Isospin auch seine Projektion $T_{z}$ bzw. $T_{3}$ auf die $z$-Achse angegeben (auch als „dritte Komponente“ bezeichnet). Diese kann die Werte $-T,-T+1,\dots ,T-1,T$ annehmen. Da der Betrag des schwachen Isospins stets entweder $^1⁄_2$ oder 0 ist, ist $T_{z}=\pm T$.

## Details

### Für linkshändige Fermionen

Aufgrund des von Null verschiedenen schwachen Isospins bilden die linkshändigen Fermionen Schwache-Isospin-Dubletts, deren Einträge sich durch die dritte Komponente unterscheiden (die genaue Zuordnung der Teilchen zur dritten Komponente des schwachen Isospins ist Konvention; eine generelle Änderung aller Vorzeichen wäre physikalisch irrelevant):

| linkshändige Fermionen | linkshändige Fermionen | linkshändige Fermionen | linkshändige Fermionen | linkshändige Fermionen | schw. Isospin $T_{z}$ |
| - | - | - | - | - | - |
| | Typ | Generation | Generation | Generation | | schw. Isospin $T_{z}$ |
| | Typ | 1 | 2 | 3 | schw. Isospin $T_{z}$ |
| Leptonen | Neutrino | $\nu _{e}$ | $\nu _{\mu }$ | $\nu _{\tau }$ | +1/2 |
| Leptonen | geladen | $e^{-}$ | $\mu ^{-}$ | $\tau ^{-}$ | −1/2 |
| Quarks | up-artig | $u$ | $c$ | $t$ | +1/2 |
| Quarks | down-artig | $d'$ | $s'$ | $b'$ | −1/2 |

Hierbei sind d′, s′ und b′ die Eigenzustände der Quarks bezüglich der schwachen Wechselwirkung, welche durch die CKM-Matrix mit den Eigenzuständen der starken Wechselwirkung verknüpft sind.

Man kann die Dubletts für die drei Generationen wie folgt zusammenfassen, wobei der Index $L$ die Linkshändigkeit symbolisiert:

    ${\begin{alignedat}{2}{\begin{pmatrix}\nu _{e}\\e^{-}\end{pmatrix}}_{L}&,{\begin{pmatrix}\nu _{\mu }\\\mu ^{-}\end{pmatrix}}_{L}&&,{\begin{pmatrix}\nu _{\tau }\\\tau ^{-}\end{pmatrix}}_{L}\\{\begin{pmatrix}u\\d'\end{pmatrix}}_{L}&,{\begin{pmatrix}c\\s'\end{pmatrix}}_{L}&&,{\begin{pmatrix}t\\b'\end{pmatrix}}_{L}\end{alignedat}}$

Die geladenen Ströme der schwachen Wechselwirkung ändern die dritte Komponente des schwachen Isospins, sodass sich innerhalb der Dubletts jeweils ineinander umwandeln können:

* („obere“ Reihe der Dubletts:) linkshändige Neutrinos in geladene Leptonen, z. B. $\nu _{e}$ in $e^{-}$, und umgekehrt
* („untere“ Reihe der Dubletts:) linkshändige Quarks vom up-Typ in solche vom down-Typ und umgekehrt.

Dagegen ändert ein neutraler Strom der schwachen Wechselwirkung die dritte Komponente des schwachen Isospins nicht.

### Für rechtshändige Fermionen

Entsprechend bilden die rechtshändigen Fermionen Schwache-Isospin-Singuletts:

| rechtshändige Fermionen | rechtshändige Fermionen | rechtshändige Fermionen | rechtshändige Fermionen | rechtshändige Fermionen | schw. Isospin $T_{z}$ |
| - | - | - | - | - | - |
| | Typ | Generation | Generation | Generation | | schw. Isospin $T_{z}$ |
| | Typ | 1 | 2 | 3 | schw. Isospin $T_{z}$ |
| Leptonen | Neutrino | $-$ | $-$ | $-$ | 0 |
| Leptonen | geladen | $e_{R}^{-}$ | $\mu _{R}^{-}$ | $\tau _{R}^{-}$ | 0 |
| Quarks | up-artig | $u_{R}$ | $c_{R}$ | $t_{R}$ | 0 |
| Quarks | down-artig | $d_{R}$ | $s_{R}$ | $b_{R}$ | 0 |

In dieser Auflistung werden rechtshändige Neutrinos nicht erwähnt, da ihre Existenz strittig ist; im Standardmodell nehmen sie an keiner Wechselwirkung teil und sind sterile Teilchen (siehe steriles Neutrino).

## Schwacher Isospin im Standardmodell

Im Standardmodell sind schwache Wechselwirkung und Elektromagnetismus zur elektroschwachen Wechselwirkung vereinigt. Dabei wird die Symmetrie des Standardmodells spontan gebrochen und die $SU(2)$ wird versteckt. Als Resultat der Symmetriebrechung ergibt sich, dass die dritte Komponente des schwachen Isospins und die schwache Hyperladung $Y_{W}$ mit der elektrischen Ladung $Q$ in Beziehung stehen:

    $Q=T_{z}+{\tfrac {1}{2}}Y_{W}$

Eine andere Konvention normiert die schwache Hyperladung anders:

    $Q=T_{z}+Y'_{W}$.
