Parkettierung mit Fünfecken
# Parkettierung mit Fünfecken

Die Parkettierung mit Fünfecken (auch Kachelung/Pflasterung/Flächenschluss mit Pentagonen) ist eine lückenlose, überlappungsfreie geometrische und monohedrale Parkettierung, bei der alle Elemente (Kacheln) kongruent (deckungsgleich) zueinander und von der Form eines und desselben Fünfecks sind.

Der Fall der ebenen Parkettierung mit kongruenten (deckungsgleichen), konvexen Fünfecken ist deshalb besonders interessant, weil die in Frage kommenden Formen (Typen) seit einem Jahrhundert untersucht werden, diese nicht abschließend klassifiziert sind und 5 der derzeit bekannten 15 verschiedenen Typen von der Amateur-Mathematikerin Marjorie Rice und einem Informatiker gefunden wurden, die durch Artikel von Martin Gardner in der populärwissenschaftlichen Zeitschrift Scientific American zu ihren Nachforschungen inspiriert worden waren.

## Monohedrale Parkettierung mit n-Ecken (n = 3, n = 4, n ≥ 6)

Im Gegensatz zu den Fünfecken ist die Frage der monohedralen Parkettierung der Ebene mit n-Gonen für n≠5 vollständig geklärt.

Alle Formen von Dreiecken und konvexen Vierecken „parkettieren die Ebene“ (englisch „tile the plane“).

Bezüglich der Polygone mit einer Eckenzahl $n\geq 6$ bewies Reinhardt bereits 1918, dass es einerseits genau drei Typen von konvexen Sechsecken (Hexagonen) gibt, die parkettieren können, und dass es andererseits unmöglich ist, die Ebene mit einem konvexen Siebeneck (Heptagon), Achteck (Oktagon) oder einem höheren Polygon zu parkettieren.

## Monohedrale Parkettierung der Ebene mit Fünfecken

Im Gegensatz zu den Parkettierungen mit anderen konvexen Polygonen ist die Parkettierung der Ebene mit Fünfecken noch nicht abschließend geklärt. Siehe auch Abschnitt über die Arbeiten von Michaël Rao.

### Bezeichnungen

Bei der monohedralen Parkettierung fordert man Kongruenz unter den parkettierenden Kacheln, jedoch mit der Protokachel nur Ähnlichkeit. Abhängig von der Anzahl der Freiheitsgrade des Kacheltyps kann es unähnliche Protokacheln geben, die zum selben Kacheltyp gehören. Der Kacheltyp ist durch ein System von Beziehungen zwischen Winkeln einerseits und Seitenverhältnissen andererseits charakterisiert. Zu einem Kacheltyp kann es Parkettierungen geben, die sich in wesentlichen Eigenschaften unterscheiden.

Ein kongruentes Fünfeck ist durch sieben Bestimmungsstücke (7 unabhängige Parameter) bestimmt, ein ähnliches durch sechs. Bei ähnlichen Fünfecken sind Längenverhältnisse (von sich entsprechenden Seiten und Diagonalen) und sich entsprechende Winkel gleich. Hat man vier (Eck-)Winkel, dann ist der fünfte immer durch die Winkelsumme des Fünfecks von 540° bestimmt.

Im Folgenden werden die (Größen der) Winkel mit großen lateinischen Buchstaben A, B, C, D, E bezeichnet, so dass A+B+C+D+E = 540° ist. Die Orientierung ist standardmäßig die „mathematische“, also entgegen dem Uhrzeigersinn (obwohl es viele Typen gibt mit Parkettierungen, in denen beide Orientierungen vorkommen). (Die Längen von) Seiten, die in diesem Umlaufsinn auf eine Ecke zulaufen, werden üblicherweise mit dem entsprechenden kleinen Buchstaben bezeichnet, so dass bspw. b die Länge der Seite AB ist.

Die Geschlossenheit des Polygonzugs BCDEAB erfordert:

    c cos(B) – d cos(B+C) + e cos(B+C+D) + a cos(–A) = b   und
    c sin(B) – d sin(B+C) + e sin(B+C+D) + a sin(–A) = 0 .

### Geschichtliches

Nach der Dissertation von Reinhardt, der 1918 die ersten 5 Fünfeck-Typen beschrieb, vergingen 50 Jahre, bis das Thema ab den späten 1960er bis in die Mitte der 1980er Jahre wieder aufgenommen und um neun Typen erweitert wurde. Danach vergingen 30 Jahre, bis mit einem eigens zu diesem Zweck erstellten Computerprogramm 2015 ein weiterer Fünfeck-Typ, Typ 15, gefunden wurde. Man kann die konvexen Fünfecke, die geeignet sind, eine Ebene in kongruenter Weise zu parkettieren, in bisher 15 disjunkte Klassen (Typen) einteilen. Es ist derzeit aber nicht geklärt, ob es noch mehr solcher Typen von Fünfecken gibt.

Dennoch sind Aussagen zu speziellen Aspekten gemacht worden:

* Die Parkettierung einer euklidischen Ebene mit regelmäßigen Fünfecken ist unmöglich, da bei einem regelmäßigen Fünfeck der Innenwinkel 108° kein ganzzahliger Teiler des Vollwinkels 360° ist.
* Hirschhorn und Hunt publizierten 1985 Zusammenhänge für Winkelsummen, die essenzielle Bedingungen für die Parkettierung mit Fünfecken sind: Ein gleichseitiges konvexes Fünfeck parkettiert dann und nur dann, wenn es zwei Winkel besitzt, deren Summe 180° ist, oder wenn es das einzigartige gleichseitige konvexe Fünfeck ist, welches (in den Bezeichnungen des Typs 7 in der nachfolgenden Tabelle) die Winkel A≈99,929°, B≈89,264°, C≈144,561°, D≈70,878° und E≈135,368° besitzt, wobei B+2E = 2C+D = 2A+B+D = 360°.
* Olga Bagina konnte zeigen, dass es nur 8 konvexe Kante-an-Kante-Parkettierungstypen (edge-to-edge tiling) geben kann, ein Resultat, das mit Referenz auf Bagina, aber in unabhängiger Weise von Teruhisa Sugimoto bestätigt wurde.

Im Folgenden werden die 15 bekannten Typen monohedraler Parkettierung der Ebene mit Fünfecken ungefähr in ihrer Entdeckungsreihenfolge resp. mit aufsteigender Typennummer vorgestellt.

### Reinhardt (1918)

Die fünf konvexen Fünfeck-Typen von K. Reinhardt (1918) :

| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| - | - | - | - | - |
| p2 (2222) | pgg (22×) | p3 (333) | p4 (442) | p6 (632) |
| B+C=180° A+D+E=360° | c=e B+D=180° | a=b, d=c+e A=C=D=120° | b=c, d=e B=D=90° | a=b, d=e A=60°, D=120° |
| 2er-Kachelmuster | 4er-Kachelmuster | 3er-Kachelmuster | 4er-Kachelmuster | 6er-Kachelmuster |

Im Jahr 1918 beschäftigte sich Karl Reinhardt, Assistent von David Hilbert, in seiner Dissertation mit der „Zerlegung einer Ebene in gleicheckige, einer Gattung angehörige Normalpolygone“, wobei er besonders Fünf- und Sechsecke behandelte.

### Kershner (1968) und James (1975)

Konvexe Fünfeck-Typen von R. B. Kershner (1968) und R. E. James (1975) :

| 6 | 7 | 8 | 10 |
| - | - | - | - |
| p2 (2222) | pgg (22×) | pgg (22×) | p2 (2222) |
| a=d=e, b=c B+D=180°, 2B=E | b=c=d=e B+2E=2C+D=360° | b=c=d=e 2B+C=D+2E=360° | a=b=c+e A=90, B+E=180° B+2C=360° |
| 4er-Kachelmuster | 8er-Kachelmuster | 8er-Kachelmuster | 6er-Kachelmuster |
| Richard B. Kershner | Richard B. Kershner | Richard B. Kershner | Richard E. James |

Der Mathematiker Richard B. Kershner fand 1968 drei weitere konvexe Fünfecke (Typen 6 bis 8), mit denen Parkettierung möglich ist, und kam zu der Überzeugung, dass mit den nun bekannten acht Typen die Liste von ebenen, parkettierungsfähigen Fünfecken komplett sei.

Richard E. James III, damals Informatiker bei der Control Data Corporation, hatte von Kershners Entdeckung in Martin Gardners Kolumne Mathematical Games in Scientific American gelesen und daraufhin 1975 ein weiteres Fünfeck (Typ 10) gefunden, wodurch er Kershners Aussage der kompletten Liste widerlegte. Durch den Ansatz von James konnte auch im Nachhinein erklärt werden, welches Parkettierungssystem Kershner übersehen hatte.

### Rice (1976/77)

Die vier konvexen Fünfeck-Typen von Marjorie Rice (1976/77) :

| 9 | 11 | 12 | 13 |
| - | - | - | - |
| pgg (22×) ||||
| b=c=d=e 2A+C=D+2E=360° | 2a+c=d=e A=90°, 2B+C=360° C+E=180° | 2a=d=c+e A=90°, 2B+C=360° C+E=180° | d=2a=2e B=E=90°, 2A+D=360° |
| 8er-Kachelmuster | 8er-Kachelmuster | 8er-Kachelmuster | 8er-Kachelmuster |

Angeregt durch Martin Gardners Kolumne Mathematical Games in Scientific American im Juli und Dezember 1975, begann Marjorie Rice, Hausfrau und Autodidaktin in Bezug auf mathematische Geometrie, sich mit Parkettierung mit Fünfecken zu beschäftigen. Sie entwickelte ihre eigene Notation für Fünfecke und fand auf diese Weise eine weitere, bisher unbekannte Fünfeckform (Typ 9), die sie Gardner zuschickte. Gardner leitete die Arbeit von Rice weiter an die Mathematik-Professorin Doris Schattschneider, die mit Rice in Kontakt trat und in den folgenden Jahren Rices Ergebnisse publizierte.

In den Jahren 1976/77 entdeckte Rice mit ihrer Methode insgesamt vier neue Pentagon-Typen. Sie setzte Fünfeck-Typen auch künstlerisch um, indem sie Escher-artige Bildelemente auf diese Fünfecke übertrug: Beispiele sind Typ 1, Typ 2 und Typ 13.

Der Eingangsbereich des Hauptgebäudes der Mathematical Association of America in Washington, D.C. wurde in den 1990er Jahren mit einem der von Rice gefundenen Fünfecke gefliest.

### Stein (1985) und Mann / McLoud / Von Derau (2015)

Konvexe Fünfecke von R. Stein (1985) und C. Mann / J. McLoud / D. Von Derau (2015) :

| 14 | 15 |
| - | - |
| p2 (2222) | pgg (22×) |
| 2a=2c=d=e A=90°, $D=cos^{−1}(^{3−√57}⁄_8)≈124,66°$ B=270°−D, C=360°−2B | a=c=e, b=2a, d=a√2+√3 A=150°, B=60° C=135°, D=105°, E=90° |
| 6er-Kachelmuster | 12er-Kachelmuster |
| Stein (1985) | Mann/McLoud/ Von Derau (2015) |

Der deutsche Mathematikstudent Rolf Stein fand 1985 den Typ 14, der in Folge von Schattschneider analysiert und publiziert wurde. Seine Kacheln sind vollständig bestimmt.

2015 entdeckten das Mathematiker-Ehepaar Casey Mann und Jennifer McLoud sowie deren Student David Von Derau von der University of Washington in Bothell mittels eines Computerprogramms einen 15. Typ.

Sie berücksichtigten dabei die Ergebnisse von Hirschhorn und Hunt sowie von Bagina und verwendeten einen Algorithmus, der nach Parkettierungen mit nicht gleichseitigen Fünfecken suchte, die nicht Kante-an-Kante sind. Von Derau implementierte das Programm und bereits in der Debugging-Phase wurde das neue Fünfeck, Typ 15, gefunden.

### Michaël Rao (2017)

Dass zwei Jahre lang kein weiteres Fünfeck gefunden wurde, kann an den Erkenntnissen von Michaël Rao liegen, wonach ein „16. Fünfeck“ nicht mehr existiert, bzw. immer nur eine Variante der bekannten 15 Fünfecke ist. Da bisher noch kein wissenschaftliches Peer-Review seiner Beweisführung vorliegt (wohl aber positive Einzelmeinungen), kann die Suche danach zu Ende sein – die abschließende Bestätigung steht aber derzeit noch aus.

### Anzahl der Freiheitsgrade

In seiner Dissertation nahm Reinhardt eine Klassifizierung der Kacheltypen bezüglich der Längenverhältnisse ihrer fünf Seiten vor:

* R-I Alle fünf Seiten sind verschieden.
* R-II Unter den fünf Seiten sind zwei gleiche; die anderen sind von diesen und untereinander verschieden.
* $R-III_1$ Unter den fünf Seiten sind drei gleiche; die anderen sind von diesen und untereinander verschieden.
* $R-III_2$ Unter den fünf Seiten sind zwei Paare gleicher, untereinander aber verschiedener; die letzte ist von diesen verschieden.
* $R-IV_1$ Unter den fünf Seiten sind vier gleiche; die letzte ist von diesen verschieden.
* $R-IV_2$ Unter den fünf Seiten sind drei gleiche und, davon verschieden, noch zwei gleiche.
* R-V Alle fünf Seiten sind einander gleich.

Alle 15 hier beschriebenen Parkettierungstypen sind isohedral, was bedeutet, dass es unter den Abbildungen der Parkettierung auf sich selbst zu jedem Paar von Kacheln eine Abbildung gibt, die eine Kachel in die andere überführt; kurz: dass die gesamte Parkettierung von jeder Kachel aus gesehen „gleich aussieht“. Viele der 15 Parkettierungstypen sind mehrfach isohedral (mehrfach transitiv).

| Typ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| Freiheitsgrade | 5 | 4 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| Reinhardt-Klasse | R-I | R-II | R-II | $R-III_2$ | $R-III_2$ | $R-IV_2$ | $R-IV_1$ | $R-IV_1$ | R-II | $R-IV_1$ | R-II | R-I | R-II | $R-III_2$ | $R-III_1$ |
| Kante-an-Kante | beides | beides | nein | ja | ja | ja | ja | ja | ja | nein | nein | nein | nein | nein | nein |
| k-isohedral | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 4 | 2 | 3 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 |
| nicht-konvex | ja | ja | nein | ja | ja | ja | ja | ja | ja | nein | nein | nein | ja | nein | nein |

Beim Kacheltyp 1 gibt es auch nichtperiodische Fünfeck-Parkettierungen.

## Spezielle Fälle

### Nichtperiodische Fünfeck-Parkettierung

Auch nichtperiodische Parkettierungen lassen sich mit kongruenten Fünfecken konstruieren, wie dieses Beispiel (rechts) mit 6-zähliger Drehsymmetrie von Michael Hirschhorn illustriert mit A = 140°, B = 60°, C = 160°, D = 80°, E = 100°.

2016 wurde durch Bernhard Klaassen gezeigt, dass jede Drehsymmetrie der Ebene durch eine monohedrale Parkettierung aus ein und derselben Klasse von Fünfecken repräsentiert werden kann. Hier sind Beispiele für 5-zählige und 7-zählige Drehsymmetrie angegeben.

Zerlegungsprinzip für jede n-zählige Drehsymmetrie mit n>2 :

| Fünfeck-Parkettierung mit 5-zähliger Drehsymmetrie | Fünfeck-Parkettierung mit 7-zähliger Drehsymmetrie |
| - | - |

Alle diese Beispiele zeigen an Stellen, wo sich mehrere Fünfeck-Kanten zu einem Geradenstück fortsetzen lassen, dass mit der zugrunde liegenden Fünfeck-Form auch eine periodische Parkettierung möglich ist, und zwar gehört diese zum Parkettierungstyp 1.

### Fünfeck-Parkettierung von Sechsecken

Einige Sechsecke können durch einfache geometrische Operationen als Parkettierung mit Fünfecken dargestellt werden.

Beispielsweise lässt sich ein regelmäßiges Sechseck durch einen seitenvertikalen Schnitt in zwei Typ-1-Fünfecke zerlegen. Weitere Unterteilung in drei (Typ 3), vier (Typ 4) und neun (Typ 3) kongruente Fünfecke ist möglich.

### Duale Fünfeck-Parkettierungen

Es gibt drei isohedrale Fünfeck-Parkettierungen (d. h. Parkettierungen mit kacheltransitiver Symmetriegruppe), die dual sind zu Parkettierungen der oben gezeigten Art. Diese (dualen) Parkettierungen sind immer Kante-an-Kante und haben als Protokachel einen Spezialfall höherer Symmetrie unter den oben gezeigten 15 Kacheltypen.

| Parkettierung dual zu Typ 5 | Parkettierung dual zu Typ 4 | Parkettierung dual zu Typ 5 |
| - | - | - |
| Prismatische Parkettierung | Kairo-Parkettierung | Floret- oder Rosetten-Parkettierung |
| Kachel vom Typ 1 | Kachel vom Typ 4 | Kachel vom Typ 1, 2 als auch 5 |
| 120°, 120°, 120°, 90°, 90° 1 Freiheitsgrad | 120°, 90°, 120°, 90°, 120° b = c = d = e, a = b(√3-1) | 60°, 120°, 120°, 120°, 120° a = b = 2c = 2d = 2e |

## Parkettierung mit kongruenten, konkaven Fünfecken in der Ebene

Sind die kongruenten Fünfecke konkav (also nichtkonvex), d. h., mindestens ein Innenwinkel ist überstumpf (größer als 180°), dann sind weitere Parkettierungen möglich. Ein Beispiel dafür ist das Pentagon von Livio, zu dem Parkettierungen mit außerordentlich unterschiedlichen Topologien gefunden wurden.

Auf der dortigen Seite 3 zeigt Figure 3 zwei (periodische) 1-isohedrale Parkettierungen: Zu jedem Paar von Fünfecken gibt es eine Kongruenzabbildung, die das eine Fünfeck in das andere überführt.

In der (periodischen) Parkettierung der Abbildung „Pentagon von Livio 2-isohedral“ sind den Fünfecken vier Farben zugeordnet: dunkelgrün, hellgrün, dunkelrot, hellrot. Parallelverschiebungen und Punktspiegelungen (Drehungen um 180°) bilden die Fünfecke in solche gleicher Farbe und gleicher Helligkeit ab. Die dunklen Fünfecke haben gleichen Drehsinn (der sehr spitzen Ecke folgt im Gegenuhrzeigersinn die überstumpfe) und die hellen entgegengesetzte. Mit einer Achsenspiegelung lässt sich der Drehsinn umkehren, und zwar lassen sich (mit einer zusätzlichen Parallelverschiebung) helle Fünfecke auf dunkle gleicher Farbe abbilden und umgekehrt. Es gibt aber keine Kongruenzabbildung der Parkettierung, die grüne auf rote Fünfecke abbildet, denn bei allen grünen gibt es zwei benachbarte Seiten, die sich als Geraden in die roten Nachbarfünfecke fortsetzen lassen; bei den roten gibt es auch zwei solche Seiten, die sind aber nicht benachbart. Es gibt also zwei Bahnen der Parkettierung, die Bahn der grünen und die der roten Fünfecke, weshalb die Parkettierung als 2-isohedral anzusehen ist.

Die obere rechte Abbildung der Figure 4 auf Seite 4 in Tessellations zeigt eine aperiodische Parkettierung mit demselben Pentagon von Livio.

Ein anderes Beispiel ist die sogenannte Sphinx-Parkettierung, eine aperiodische Parkettierung mit einem konkaven Fünfeck, das sich aus kleineren Versionen seiner selbst parkettiert.

## Fünfeck-Parkettierung in der hyperbolischen Geometrie

### Regelmäßige Fünfeck-Parkettierung

Ein Dodekaeder kann man als regelmäßige Parkettierung der Oberfläche einer Kugel mit 12 regelmäßigen Fünfecken verstehen. Das dazugehörige Schläfli-Symbol ist {5,3}, d. h., drei Fünfecke liegen aneinander und bilden jeweils eine Ecke.

Auf einer hyperbolischen Ebene gibt es unendlich viele Parkettierungen mit regelmäßigen Fünfecken, beispielsweise Parkettierung 4. Ordnung mit dem Schläfli-Symbol {5,4}, d. h., vier Fünfecke liegen aneinander und bilden jeweils eine Ecke. Höhere Ordnungen regelmäßiger Parkettierung {5,n} können in dieser Weise konstruiert werden, theoretisch bis {5,∞}.

| Kugel | Hyperbolische Ebene | Hyperbolische Ebene | Hyperbolische Ebene | Hyperbolische Ebene | Hyperbolische Ebene | Hyperbolische Ebene |
| - | - | - | - | - | - | - |
| {5,3} | {5,4} | {5,5} | {5,6} | {5,7} | {5,8} | …{5,∞} |

### Unregelmäßige Fünfeck-Parkettierung

Auf einer hyperbolischen Ebene kann es unendlich viele dualstrukturale einheitliche Parkettierungen mit isogonalen unregelmäßigen fünfeckigen Flächen geben. Nach M. Cundy und A. Rollett werden sie mit V3.3.p.3.q beschrieben.

Ordnungen p-q der pentagonalen Floret-Parkettierung :

| 7-3 | 8-3 | 9-3 | … | 5-4 | 6-4 | 7-4 | … | 5-5 |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| V3.3.3.3.7 | V3.3.3.3.8 | V3.3.3.3.9 | … | V3.3.4.3.5 | V3.3.4.3.6 | V3.3.4.3.7 | … | V3.3.5.3.5 | … |

## Physikalische Ergänzung: Quasikristalle

Aus der Physik ist die strikte Aussage bekannt, dass es zwar sechszählige Kristallstrukturen gibt, aber keine fünfzähligen. Deshalb war es eine Überraschung und wurde 2011 mit einem Nobelpreis ausgezeichnet, als Dan Shechtman und Mitarbeiter 1984 fünfzählige Reflexe entdeckten, die sogenannten Quasikristallen zugeordnet sind, einer regelmäßig-unregelmäßigen Anordnung inkommensurabler Einheiten (Näheres bei den angegebenen Links).

