Spatprodukt
# Spatprodukt

Das Spatprodukt, auch gemischtes Produkt genannt, ist das Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren und einem dritten Vektor. Es ergibt das orientierte Volumen des durch die drei Vektoren aufgespannten Spats (Parallelepipeds). Sein Betrag ist somit gleich dem Volumen des aufgespannten Spats. Das Vorzeichen ist positiv, falls diese drei Vektoren in der angegebenen Reihenfolge ein Rechtssystem bilden; bilden sie ein Linkssystem, so ist es negativ. Liegen die drei Vektoren in einer Ebene, so ist ihr Spatprodukt Null.

In kartesischen Koordinaten lässt sich das Spatprodukt auch mit Hilfe der aus den drei Vektoren gebildeten Determinante berechnen.

## Definition

Das Spatprodukt $({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})$ dreier Vektoren ${\vec {a}}$, ${\vec {b}}$ und ${\vec {c}}$ des dreidimensionalen euklidischen Vektorraums $\mathbb {R} ^{3}$ kann wie folgt definiert werden:

    $({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})=({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}$.

## Notation

Oft wird für das Spatprodukt keine eigene Notation eingeführt, sondern man schreibt einfach $({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}$. Andere gebräuchliche Notationen sind: $[{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}]$, $\langle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\rangle$ und $|{\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}|$.

## Eigenschaften

* Das Spatprodukt ist nicht kommutativ. Der Wert ändert sich jedoch nicht, wenn man die Faktoren zyklisch vertauscht:

    $({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}=({\vec {b}}\times {\vec {c}})\cdot {\vec {a}}=({\vec {c}}\times {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}$.
* Man kann das Spatprodukt mit Hilfe der Determinante berechnen. Für

       ${\vec {a}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}},\ {\vec {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}},\ {\vec {c}}={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{pmatrix}}$
    gilt
       $({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})=\det {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{pmatrix}}$.
    Der Beweis kann zum Beispiel durch einfaches Ausrechnen erbracht werden, siehe unten.
* Da im Spatprodukt die Vektoren zyklisch vertauscht werden können und das Skalarprodukt kommutativ ist, gilt

       $({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})$.
    Man kann also bei entsprechend angepasster Klammerung die beiden Rechenzeichen „vertauschen“.
* Im Gegensatz zur zyklischen Vertauschung tritt bei der Vertauschung zweier Faktoren ein Vorzeichenwechsel auf:

    $({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})=-({\vec {b}},{\vec {a}},{\vec {c}})$.
* Weiter gilt wegen ${\vec {a}}\times {\vec {a}}={\vec {0}}$:

    $({\vec {a}},{\vec {a}},{\vec {b}})=({\vec {a}}\times {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}={\vec {0}}\cdot {\vec {b}}={\vec {0}}$.
    $({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {a}})=({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {a}}=({\vec {a}}\times {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}={\vec {0}}\cdot {\vec {b}}={\vec {0}}$.
    $({\vec {b}},{\vec {a}},{\vec {a}})=({\vec {b}}\times {\vec {a}})\cdot {\vec {a}}=({\vec {a}}\times {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}={\vec {0}}\cdot {\vec {b}}={\vec {0}}$.
* Die Multiplikation mit einem Skalar $\alpha \in \mathbb {R}$ ist assoziativ:

    $(\alpha \cdot {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})=\alpha \cdot ({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})$.
* Es gilt ein Distributivgesetz:

    $({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}+{\vec {d}})=({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})+({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {d}})$.
* Nach der Definition des Skalarprodukts gilt:

    $({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})=({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}=|({\vec {a}}\times {\vec {b}})||{\vec {c}}|\cos \sphericalangle ({\vec {a}}\times {\vec {b}},{\vec {c}})$.
    $\sphericalangle ({\vec {a}}\times {\vec {b}},{\vec {c}})$ ist der Winkel zwischen dem Vektor ${\vec {c}}$ und dem Vektor, der rechtshändig orthogonal zu den Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ ist.

## Geometrische Interpretation

### Betrag des Volumens und orientiertes Volumen

Das Volumen $V$ des von den drei Vektoren ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ aufgespannten Spats (Parallelepipeds) ist gleich dem Betrag des Spatprodukts:

    $V=|({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})|=|({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}|$.

Verzichtet man darauf, den Betrag zu bilden, so erhält man das orientierte Volumen. Der von den 3 Vektoren aufgespannte (unregelmäßige) Tetraeder hat ${\tfrac {1}{6}}$ des Volumens des Spats.

### Herleitung

Das Volumen eines Spats errechnet sich aus dem Produkt seiner Grundfläche und seiner Höhe.

    $V=A_{g}\cdot h$

Das Kreuzprodukt ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ ist der Normalenvektor auf der durch ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ aufgespannten Grundfläche, der mit ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ ein rechtshändiges Koordinatensystem bildet und dessen Betrag gleich dem Flächeninhalt des durch ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ aufgespannten Parallelogramms ist, also $A_{g}=|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|$.

Die Höhe des Spats ist die Projektion des Vektors ${\vec {c}}$ auf die Richtung dieses Normalenvektors (dessen Einheitsvektor). Wenn diese den Winkel $\alpha$ einschließen, gilt nach der Definition des Skalarprodukts

    $h=|{\vec {c}}|\cos \alpha ={\hat {e}}_{{\vec {a}}\times {\vec {b}}}\cdot {\vec {c}}$.

Es folgt

    $V=A_{g}\cdot h=|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|({\hat {e}}_{{\vec {a}}\times {\vec {b}}}\cdot {\vec {c}})=({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}$.

Das Volumen ist null für $\alpha$ gleich 90°, wenn also die Vektoren in einer Ebene liegen. Sie heißen dann komplanar und linear abhängig.

Das orientierte Volumen ist negativ, falls $\alpha$ größer ist als 90°. Dann zeigen Vektorprodukt und projizierte Höhe in entgegengesetzte Richtungen, weil die Vektoren ein Linkssystem bilden.

## Herleitung der algebraischen Eigenschaften

Das Spatprodukt kann auch mit dem Levi-Civita-Symbol hergeleitet werden. Dafür wird zuerst das Skalarprodukt durch eine Summe dargestellt:

    $({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}=\sum _{i=1}^{3}({\vec {a}}\times {\vec {b}})_{i}\cdot c_{i}.$

Das Kreuzprodukt wird nun mit dem Levi-Civita-Symbol durch eine Summenschreibweise dargestellt:

    $\sum _{i=1}^{3}({\vec {a}}\times {\vec {b}})_{i}\cdot c_{i}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}c_{i}.$

Der total antisymmetrische Epsilontensor $\varepsilon _{ijk}$ ist gleich $\varepsilon _{kij}$ bzw. gleich $\varepsilon _{jki}$. Damit lässt sich das Spatprodukt wie folgt ausdrücken:

    $\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}c_{i}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{kij}a_{j}b_{k}c_{i}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{jki}a_{j}b_{k}c_{i}.$

Die Summenzeichen können vertauscht werden. Außerdem kann man nun geschickt Klammern setzen:

    $\sum _{i=1}^{3}\left(\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}\right)c_{i}=\sum _{k=1}^{3}\left(\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{kij}c_{i}a_{j}\right)b_{k}=\sum _{j=1}^{3}\left(\sum _{k=1}^{3}\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{jki}b_{k}c_{i}\right)a_{j}.$

Schreibt man die Kreuzprodukte nun wieder ohne Levi-Civita-Symbol, so ergibt sich die gewünschte Identität:

    $({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}=({\vec {c}}\times {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}=({\vec {b}}\times {\vec {c}})\cdot {\vec {a}}.$

## Doppeltes Vektorprodukt (Vektortripelprodukt)

Das wiederholte Kreuzprodukt von drei Vektoren wird auch doppeltes Vektorprodukt oder Vektortripelprodukt genannt. Es gilt die Graßmann-Identität (auch Graßmannscher Entwicklungssatz, nach Hermann Graßmann). Diese lautet:

    ${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})=({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})\,{\vec {b}}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\,{\vec {c}}$

bzw.

    $({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}=({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})\,{\vec {b}}\ -({\vec {b}}\cdot {\vec {c}})\,{\vec {a}},$

wobei die Malpunkte das Skalarprodukt bezeichnen. In der Physik wird oft die Schreibweise

    ${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {b}}\,({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})-{\vec {c}}\,({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\,,$

verwendet. Nach dieser Darstellung wird die Formel auch BAC-CAB-Formel genannt. In Indexschreibweise lautet die Graßmann-Identität

    $\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{klm}=\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl}$.

Hierbei ist $\varepsilon _{ijk}$ das Levi-Civita-Symbol und $\delta _{ij}$ das Kronecker-Delta.

## Doppeltes Spatprodukt

Das doppelte Spatprodukt zweier Vektortripel ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ und ${\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}$ ist

    ${\begin{aligned}\,[({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}][({\vec {u}}\times {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}]=\;&{\begin{vmatrix}{\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\vec {u}}&{\vec {v}}&{\vec {w}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}({\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}})^{\top }\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\vec {u}}&{\vec {v}}&{\vec {w}}\end{vmatrix}}\\=\;&{\begin{vmatrix}{\begin{pmatrix}{\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{pmatrix}}^{\top }{\begin{pmatrix}{\vec {u}}&{\vec {v}}&{\vec {w}}\end{pmatrix}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\vec {a}}\cdot {\vec {u}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {v}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {w}}\\{\vec {b}}\cdot {\vec {u}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {v}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {w}}\\{\vec {c}}\cdot {\vec {u}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {v}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {w}}\end{vmatrix}}\end{aligned}}$

weil die Determinante erstens unempfindlich gegen Transponierung $(.)^⊤$ und zweitens nach dem Determinantenproduktsatz beim Matrixprodukt gleich dem Produkt der Determinanten der beteiligten Matrizen ist. Bei zwei identischen Vektorsätzen ist

    $[({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}]^{2}={\begin{vmatrix}{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}\\{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\\{\vec {c}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {c}}\end{vmatrix}}\geq 0$

und somit die sogenannte Gram’sche Determinante positiv definit. Wie auch das Spatprodukt allein ist diese Determinante ein Kriterium für die lineare Unabhängigkeit der Vektoren des Tripels (ungleich null bzw. größer null bei linearer Unabhängigkeit). Die Determinante gibt das Quadrat des Volumens des Spats an. Liegen zwei Spate vor, die durch Verformung auseinander hervorgehen, kann mit der Gram’schen Determinante die Volumenänderung bei der Verformung angegeben werden. Der Vorteil des Ausdrucks mit der Gram’schen Determinante ist, dass er sich auf höher dimensionale euklidische Vektorräume verallgemeinern lässt.

## Volumenelement der Integralrechnung

Das Volumenelement $\mathrm {d} V$ des Volumenintegrals hängt vom verwendeten Koordinatensystem ab. In kartesischen Koordinaten ist es

    $\mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z$.

In anderen Koordinatensystemen mit Koordinaten ${x',y',z'}$ muss es mit Hilfe des Spatproduktes der (lokalen) Basisvektoren berechnet werden. Die Basisvektoren $\textstyle {\vec {b}}_{1},{\vec {b}}_{2}$ und $\textstyle {\vec {b}}_{3}$ an einem Punkt sind Tangentenvektoren an die Koordinatenlinien und ergeben sich aus der Koordinatentransformation

    ${\vec {r}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x(x',y',z')\\y(x',y',z')\\z(x',y',z')\end{pmatrix}}$

durch partielle Ableitungen nach den Koordinaten ${x',y',z'}$:

    ${\vec {b}}_{1}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial x'}},\quad {\vec {b}}_{2}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial y'}},\quad {\vec {b}}_{3}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial z'}}$.

Die Komponenten eines Basisvektors bilden jeweils eine Spalte der Jacobi-Matrix. Somit ist das Spatprodukt dieser drei Basisvektoren durch den Betrag der Funktionaldeterminante gegeben.

Nach dem Transformationssatz gilt dann für das Volumenelement:

    $\mathrm {d} V'=\left|\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (x',y',z')}}\right|\,\mathrm {d} x'\,\mathrm {d} y'\,\mathrm {d} z'$.

### Beispiel (für Kugelkoordinaten)

Die Koordinatentransformation für die Kugelkoordinaten

    ${\vec {r}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\sin \theta \cos \varphi \\r\sin \theta \sin \varphi \\r\cos \theta \end{pmatrix}}$

führt zu den lokalen Basisvektoren

    ${\vec {b}}_{1}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial r}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi \\\cos \theta \end{pmatrix}},\quad {\vec {b}}_{2}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \theta }}={\begin{pmatrix}r\cos \theta \cos \varphi \\r\cos \theta \sin \varphi \\-r\sin \theta \end{pmatrix}},\quad {\vec {b}}_{3}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \varphi }}={\begin{pmatrix}-r\sin \theta \sin \varphi \\r\sin \theta \cos \varphi \\0\end{pmatrix}}$

an den entsprechenden Punkten. Die Funktionaldeterminante lautet also:

    $\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}=\det {\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{pmatrix}}=r^{2}\sin \theta .$

Folglich ergibt sich für das Volumenelement $\mathrm {d} V$:

    $\mathrm {d} V=\left|\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .$

## Wortherkunft

Die Bezeichnung Spatprodukt geht auf die Bezeichnung „Spat“ für ein Parallelflach (Parallelepiped, Parallelotop) zurück. In der Geologie deutet die Nachsilbe -spat auf eine gute Spaltbarkeit des betreffenden Minerals hin. Beispiele: Feldspat, Kalkspat. Diese Spate weisen klare Bruchlinien auf. Insbesondere die Kristalle des Kalkspates ähneln dem geometrischen Ideal eines Parallelflachs sehr stark. Über die Volumenberechnung eines solchen Parallelflachs bzw. Spates ergibt sich damit die Bezeichnung Spatprodukt.

