Scott-Topologie
# Scott-Topologie

Die Scott-Topologie, benannt nach Dana Scott, ist eine Topologie, die sich aus der Halbordnung auf einer halbgeordneten Menge ergibt. Sie spielt unter anderem in der theoretischen Informatik eine Rolle.

## Definition

Es sei $(A,\sqsubseteq )$ eine Menge mit Halbordnung. Eine Teilmenge $U\subseteq A$ heißt Scott-abgeschlossen, falls

* $U$ bezüglich $\sqsubseteq$ eine Unterhalbmenge ist, das heißt mit jedem Element auch jedes bzgl. der Halbordnung kleinere enthält, und
* für alle gerichteten $M\subseteq U$, die in $(A,\sqsubseteq )$ ein Supremum $\bigsqcup M$ haben, ist $\bigsqcup M\in U$.

Die so definierten Scott-abgeschlossenen Mengen sind genau die abgeschlossenen Mengen der Scott-Topologie auf $(A,\sqsubseteq )$.

## Eigenschaften

Im Folgenden seien $(A,\sqsubseteq _{A})$ und $(B,\sqsubseteq _{B})$ halbgeordnete Mengen, und sie seien mit der jeweiligen Scott-Topologie ausgestattet.

* Ist $f\colon A\to B$ eine stetige Abbildung, so ist $f$ monoton.
* Eine Abbildung $f\colon A\to B$ ist genau dann stetig, wenn $f$ gerichtete Suprema erhält, d. h. für alle gerichteten $M\subseteq A$ mit Supremum $\bigsqcup M$ ist $\bigsqcup (f(M))=f(\bigsqcup M)$.
