Lemma von Fatou
# Lemma von Fatou

Das Lemma von Fatou (nach Pierre Fatou) erlaubt in der Mathematik, das Lebesgue-Integral des Limes inferior einer Funktionenfolge durch den Limes inferior der Folge der zugehörigen Lebesgue-Integrale nach oben abzuschätzen. Es liefert damit eine Aussage über die Vertauschbarkeit von Grenzwertprozessen.

## Mathematische Formulierung

Sei $(S,\Sigma ,\mu )$ ein Maßraum. Für jede Folge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ nichtnegativer, messbarer Funktionen $f_{n}\colon S\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}$ gilt

    $\int _{S}\liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}\ \mathrm {d} \mu \leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{S}f_{n}\ \mathrm {d} \mu ,$

wobei auf der linken Seite der Limes inferior der Folge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ punktweise zu verstehen ist.

Analog gilt dieser Satz auch für den Limes superior, sofern es eine nichtnegative, integrierbare Funktion $g$ mit $f_{n}\leq g$ gibt:

    $\int _{S}\limsup _{n\rightarrow \infty }f_{n}\ \mathrm {d} \mu \geq \limsup _{n\rightarrow \infty }\int _{S}f_{n}\ \mathrm {d} \mu$.

Dies lässt sich zusammenfassen zu der Merkregel

    $\int _{S}\liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}\ \mathrm {d} \mu \leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{S}f_{n}\ \mathrm {d} \mu \leq \limsup _{n\rightarrow \infty }\int _{S}f_{n}\ \mathrm {d} \mu \leq \int _{S}\limsup _{n\rightarrow \infty }f_{n}\ \mathrm {d} \mu .$

## Beweisidee

Um das Lemma von Fatou für den Limes inferior zu beweisen, wendet man auf die monoton wachsende Funktionenfolge

    $g_{n}:=\inf _{k\geq n}f_{k}\nearrow \liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}$

den Satz von der monotonen Konvergenz an. Mit der daraus resultierenden Gleichung und der auf der Monotonie des Integrals basierenden Ungleichung

    $\int _{S}\left(\inf _{k\geq n}f_{k}\right)\leq \int _{S}f_{n}$

erhält man aus den Rechenregeln für den Limes:

    $\int _{S}\liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{S}\left(\inf _{k\geq n}f_{k}\right)\leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{S}f_{n}$.

Für das Lemma von Fatou mit Limes superior kann man analog verfahren, denn nach Voraussetzung ist $g_{1}=\sup _{k\geq 1}f_{k}\leq g$ mit $g$ integrierbar, also ist $g_{1}$ integrierbar.

## Beispiele für strikte Ungleichung

Der Grundraum $S$ sei jeweils versehen mit der borelschen σ-Algebra und dem Lebesgue-Maß.

* Beispiel für einen Wahrscheinlichkeitsraum: Sei $S=[0,1]$ das Einheitsintervall. Definiere $f_{n}(x)=n\mathbf {1} _{(0,{\frac {1}{n}})}(x)$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und $x\in S$, wobei $\mathbf {1} _{(0,{\frac {1}{n}})}$ die Indikatorfunktion des Intervalls $(0,{\tfrac {1}{n}})$ bezeichne.
* Beispiel mit gleichmäßiger Konvergenz: Sei $S$ die Menge der reellen Zahlen. Definiere $f_{n}(x)={\tfrac {1}{n}}\mathbf {1} _{[0,n]}(x)$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und $x\in S$. (Beachte, dass es in diesem Beispiel keine integrierbare Majorante gibt und daher der sup-Teil des Lemmas von Fatou nicht anwendbar ist.)

Jedes $f_{n}$ hat Integral eins,

    $\int _{S}f_{n}\ \mathrm {d} \mu =1$

deshalb gilt

    $1=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{S}f_{n}\ \mathrm {d} \mu =\liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{S}f_{n}\ \mathrm {d} \mu =\limsup _{n\rightarrow \infty }\int _{S}f_{n}\ \mathrm {d} \mu$

Die Folge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert auf $S$ punktweise gegen die Nullfunktion

    $0=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}=\liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}=\limsup _{n\rightarrow \infty }f_{n},$

daher ist das Integral ebenfalls Null

    $0=\int _{S}\liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}\ \mathrm {d} \mu =\int _{S}\limsup _{n\rightarrow \infty }f_{n}\ \mathrm {d} \mu ,$

daher gelten hier die strikten Ungleichungen

    $\int _{S}\liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}\ \mathrm {d} \mu <\liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{S}f_{n}\ \mathrm {d} \mu ,$
    $\int _{S}\limsup _{n\rightarrow \infty }f_{n}\ \mathrm {d} \mu <\limsup _{n\rightarrow \infty }\int _{S}f_{n}\ \mathrm {d} \mu$

## Diskussion der Voraussetzungen

Auf die Voraussetzung der Nichtnegativität der einzelnen Funktionen kann nicht verzichtet werden, wie das folgende Beispiel zeigt: Sei $S$ das halboffene Intervall $[0,\infty )$ mit der borelschen σ-Algebra und dem Lebesgue-Maß. Für alle $n\in \mathbb {N}$ definiere $f_{n}(x):=-{\tfrac {1}{n}}{\mathfrak {1}}_{[0,n]}(x)$. Die Folge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert auf $S$ (sogar gleichmäßig) gegen die Nullfunktion (mit Integral 0), jedes $f_{n}$ hat aber Integral −1. Daher ist

    $0=\int _{S}\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}\ \mathrm {d} \mu >\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{S}f_{n}\mathrm {d} \mu =-1$.
