Quanteninvariante
# Quanteninvariante

Im mathematischen Gebiet der Knotentheorie sind Quanteninvarianten Invarianten von Knoten, Verschlingungen und 3-Mannigfaltigkeiten, die mittels der Darstellungstheorie von Quantengruppen oder allgemeiner aus Lösungen der Yang-Baxter-Gleichung definiert werden.

## Konstruktion via R-Matrizen

Gegeben seien eine R-Matrix $R=(R_{kl}^{ij})_{i,j,k,l}\colon V\otimes V\to V\otimes V$ und ein Isomorphismus $\mu \colon V\to V$, sowie eine Markow-Spur $Tr$.

Mittels der R-Matrix definiert man Darstellungen der Zopfgruppen $B_{n}$ durch

    $\rho _{n}\colon B_{n}\to Aut(V^{\otimes n})$
    $\rho _{n}(\sigma _{i})=id_{V}^{i-1}\otimes R\otimes id_{V}^{n-i-1}$.

Mittels des Satzes von Alexander kann man jede Verschlingung als Abschluss eines Zopfes darstellen. Mittels der Markow-Spur erhält man aus dem so definierten Endomorphismus eine Invariante und mit dem Satz von Markow kann man zeigen, dass diese Invariante wohldefiniert ist.

## Beispiele von Quanteninvarianten

* Kontsevichs universelle Knoteninvariante
* Kashaev-Invariante
* Witten–Reshetikhin–Turaev-Invariante (siehe auch: Chern-Simons-Funktional)
* Rozansky–Witten-Invariante
* LMO-Invariante
* Turaev–Viro-Invariante
* Dijkgraaf–Witten-Invariante
* Reshetikhin–Turaev-Invariante
* Casson-Walker-Invariante
* HOMFLY-Polynom
* Vassiliev-Invarianten (Invarianten endlichen Typs)
