Pisot-Zahl
# Pisot-Zahl

Eine Pisot-Zahl oder Pisot–Vijayaraghavan-Zahl, benannt nach Charles Pisot (1910–1984) und Tirukkannapuram Vijayaraghavan (1902–1955), ist eine ganze algebraische Zahl $\alpha >1$, für die gilt, dass ihre Konjugierten $\alpha _{2}$, …, $\alpha _{d}$ ohne $\alpha$ selbst (also die anderen Wurzeln des Minimalpolynoms von $\alpha$) sämtlich innerhalb des Einheitskreises liegen: $\rho =\max\{|\alpha _{2}|,\ldots ,|\alpha _{d}|\}<1$. Mit „=“ statt „<“, also $\max\{|\alpha _{2}|,\ldots ,|\alpha _{d}|\}=1$, erhält man die Definition einer Salem-Zahl, benannt nach Raphaël Salem. Traditionell wird die Menge der Pisot-Zahlen mit S und die Menge der Salem-Zahlen mit T bezeichnet.

## Eigenschaften

Die Potenzen $\alpha ^{k}$ einer Pisot-Zahl $\alpha$ liegen exponentiell nah an ganzen Zahlen:

    $\min {\bigl \|\alpha ^{k}-z|\,{\big |}\,z\in \mathbb {Z} {\bigr \}}\leq (d-1)\rho ^{k}$

Adriano M. Garsia wies 1962 nach, dass die Menge der reellen Zahlen $|\varepsilon _{n}\,\alpha ^{n}+\varepsilon _{n-1}\,\alpha ^{n-1}+\ldots +\varepsilon _{1}\,\alpha +\varepsilon _{0}|$ mit $n$ = 0, 1, 2, … und $\varepsilon _{0},\ldots ,\varepsilon _{n}\in \{-1,0,+1\}$ diskret ist. Es ist ein ungelöstes Problem, ob diese Eigenschaft auch ein $\alpha >1$, das keine Pisot-Zahl ist, haben kann.

Raphaël Salem zeigte 1944 mit fourieranalytischen Methoden, dass die Menge der Pisot-Zahlen eine abgeschlossene Teilmenge der reellen Zahlen ist.

## Beispiele

Jede ganze Zahl größer als 1 ist eine Pisot-Zahl. Weitere Beispiele von Pisot-Zahlen sind die positiven Lösungen $\beta _{n}$ der algebraischen Gleichungen

    $x^{n}-x^{n-1}-x^{n-2}-\dots -1=0,$

für $n$ = 2, 3, …, eine Folge mit $\beta _{n}\to 2$. Insbesondere ist die Goldene Zahl

    $\Phi =\beta _{2}$ = 1,61803 39887 49894 84820 …

eine Pisot-Zahl. Sie ist zudem der kleinste Häufungspunkt in der Menge der Pisot-Zahlen (Dufresnoy und Pisot 1955). Die beiden kleinsten Pisot-Zahlen sind

    $\theta _{1}$ = 1,32471 79572 44746 02596 …,

die reelle Lösung von $x^{3}-x-1=0$, und

    $\theta _{2}$ = 1,38027 75690 97614 11567 …,

die positive reelle Lösung von $x^{4}-x^{3}-1=0$.

## Anwendungen

Anwendungen von Pisot-Zahlen finden sich in der geometrischen Maßtheorie, im Zusammenhang mit Bernoulli-Faltungen, in der Dimensionstheorie und der Graphentheorie bei der Konstruktion von Pisot-Graphen.

