Kompositionssatz von Hurwitz
# Kompositionssatz von Hurwitz

Der Kompositionssatz von Hurwitz oder der Kompositionssatz von quadratischen Formen von Adolf Hurwitz besagt in der Mathematik, dass nur für $n=1,2,4$ oder $8$ das Produkt zweier Summen von $n$ quadrierten reellen Zahlen in eine Summe von ebenfalls $n$ Quadraten von Zahlen zerfallen kann, die Bilinearformen von ersteren sind.

Mit dieser Aussage lässt sich der Quadrate-Satz beweisen.

Aus dem Satz von Hurwitz folgt, dass es nur für $n=1,2,4,8$ Kompositionsalgebren gibt, die reellen Zahlen, die komplexen Zahlen, die Quaternionen und Oktonionen. Er fand damit eine neue Charakterisierung der besonderen Stellung dieser Algebren. Dabei sind Kompositionsalgebren Algebren über den reellen Zahlen mit euklidischer Norm (wobei die Algebra als Vektorraum über den reellen Zahlen aufgefasst wird), für die $|x|\cdot |y|=|x\cdot y|$ gilt. Beno Eckmann gab 1943 einen gruppentheoretischen Beweis des Kompositionssatzes von Hurwitz.

## Aussage

Nur für $n=1,2,4$ oder $8$ kann es Bilinearformen

    $z_{i}=\sum _{j,k=1}^{n}\gamma _{ijk}x_{j}y_{k},\quad \gamma _{ijk}\in \mathbb {R}$

für $i=1,\ldots ,n$ geben, so dass für alle reellen Zahlen $x_{1},\ldots ,x_{n}$, $y_{1},\ldots ,y_{n}$ gilt:

    $\left(\sum _{j=1}^{n}x_{j}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right)=\sum _{i=1}^{n}z_{i}^{2}$

## Beweisskizze

Der Fall $n=1$ erfüllt wegen $a^{2}b^{2}=(ab)^{2}$ die Aussage. Für $n>1$ werden die im Satz vorkommenden Gleichungen in Matrizengleichungen überführt. Die Untersuchung der Matrizen zeigt zunächst, dass $n$ gerade sein muss. Ferner lassen sich $2^{n-2}$ linear unabhängige $n\times n$ Matrizen finden, von denen es aber nur $n^{2}$ gibt. Daher ist $n\leq 8$. Der Fall $n=6$ kann ausgeschlossen werden, weil es dann 16 linear unabhängige schiefsymmetrische $6\times 6$ Matrizen geben müsste, was nicht sein kann. Also ist $n=1,2,4$ oder $8$.

Beweis :

Überführung in eine Matrizengleichung :

Die Zahlen $x_i,$ $y_i$ und $z_i$ werden in Spaltenvektoren ${\vec {x}},{\vec {y}},{\vec {z}}$ der Dimension n eingetragen. Dann können die Bilinearformen als Matrizengleichung ${\vec {z}}=G{\vec {y}}$ geschrieben werden, in der G eine n × n Matrix ist, deren Koeffizienten $G_{ik}=\sum _{j=1}^{n}\gamma _{ijk}x_{j}$ homogene lineare Funktionen des Vektors ${\vec {x}}$ sind. Dann ist

${\begin{aligned}z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\dots +z_{n}^{2}={\vec {z}}^{\top }{\vec {z}}=&(G{\vec {y}})^{\top }(G{\vec {y}})={\vec {y}}^{\top }G^{\top }G{\vec {y}}\\{\stackrel {\displaystyle !}{=}}&(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\dots +y_{n}^{2})\end{aligned}}$

Das hochgestellte T bezeichnet die transponierte Matrix. Weil keine gemischten Terme $y_i$ $y_k$ mit i ≠ k auftreten, ist $G^TG$ eine Diagonalmatrix, und weil alle Vorfaktoren der $y_{i}^{2}$ identisch sind, ist $G^TG$ sogar Vielfaches der Einheitsmatrix $E_n.$ :

Konstruktion der schiefsymmetrischen n × n Matrizen $B_i$ :

Konstruktion von $2^{n-1}$ Transformationen :

Symmetrie der Transformationen :

Die Δ-Transformationen lassen sich auf Symmetrie prüfen:

$(B_{i_{1}}B_{i_{2}}\dots B_{i_{r}})^{\top }=B_{i_{r}}^{\top }\dots B_{i_{2}}^{\top }B_{i_{1}}^{\top }=(-1)^{r}B_{i_{r}}\dots B_{i_{2}}B_{i_{1}}$

wegen $B_i^T$ = $-B_i$ (*). Um im Produkt die Faktoren nach aufsteigenden Indizes zu sortieren, muss der letzte Faktor (r – 1)-mal mit seinem Vorgänger vertauscht werden, wobei das Produkt gemäß $B_i$ $B_j$ = $-B_j$ $B_i$ (*) das Vorzeichen (r – 1)-mal wechselt. Der nunmehr letzte Faktor muss (r – 2)-mal mit seinem Vorgänger vertauscht werden, wobei das Produkt (r – 2)-mal das Vorzeichen wechselt usw. Insgesamt hat das Produkt nach dem Sortieren das Vorzeichen

$(-1)^{r}(-1)^{(r-1)}(-1)^{(r-2)}\dots (-1)^{1}=(-1)^{r+(r-1)+(r-2)+\dots +1}=(-1)^{\frac {r(r+1)}{2}}$

Symmetrie liegt bei geradem Exponenten vor, also bei durch vier teilbarem r (r + 1), weshalb r dann bei Division durch vier den Rest null oder drei lassen muss. In den anderen Fällen, Rest eins oder zwei bei Division von r durch vier, ist die Transformation schiefsymmetrisch. :

Linearkombinationen der Transformationen :

Seien R, $R_1,$ $R_2...$ Linearkombinationen der Δ-Transformationen. Dann zeigt eine Relation R = $O_n$ eine lineare Abhängigkeit der Δ-Transformationen, die mit einem Koeffizienten ungleich null eingehen. Diese mögen als an der Relation beteiligt heißen. Sind nun $R_1$ = $O_n$ und $R_2$ = $O_n$ zwei Relationen, dann sollen sie einander fremd heißen, wenn es keine Δ-Transformation gibt, die an beiden Relationen beteiligt ist. Eine reduzible Relation sei eine, die sich als Summe zweier einander fremder Relationen gemäß R = $R_1$ + $R_2$ mit $R_1$ = $R_2$ = $O_n$ darstellen lässt. Die irreduziblen sind nicht reduzibel. Im Folgenden werden nur die irreduziblen Relationen betrachtet, denn die reduziblen setzen sich aus ihnen zusammen. :

Linear unabhängige Transformationen :

Der Fall der sechs Bilinearformen :

Weil sechs nicht durch vier teilbar ist, ist die Relation (□) ausgeschlossen und sollten alle Δ-Transformationen linear unabhängig sein. Von denen sind die fünf mit einer Faktormatrix, die zehn mit zwei Faktormatrizen und die eine mit fünf Faktormatrizen, also insgesamt 16 schiefsymmetrisch. Von diesen 6 × 6 Matrizen können aber nur maximal 5+4+3+2+1=15 linear unabhängig sein. Deshalb kann eine Komposition mit n = 6 nicht existieren. :

Schluss :

Die $2^{n-1}$ Δ-Transformationen sind entweder linear unabhängig, oder aber es bestehen bei durch vier teilbarem n Relationen zwischen ihnen, die aus Gleichung (□) und Multiplikation mit einer der ersten $2^{n-2}$ Δ-Transformationen entstehen. Die ersten $2^{n-2}$ Δ-Transformationen sind also jedenfalls linear unabhängig.

Nun sind aber mehr als n² n × n Matrizen immer linear abhängig, was

$2^{n-2}\leq n^{2}$

nach sich zieht und somit n ≤ 8 sein muss. Der Fall n = 1 ist möglich, weil hier keine Matrizengleichungen entstehen. Ansonsten muss n gerade aber von sechs verschieden sein.

Somit kann eine Komposition nur bei n = 1, 2, 4 oder 8 existieren. :

Quod erat demonstrandum. :

