Numerische Äquivalenz
# Numerische Äquivalenz

In der algebraischen Geometrie ist numerische Äquivalenz eine Äquivalenzrelation zwischen algebraischen Zykeln einer Varietät.

## Definition

Zwei Zykel $Z_{1},Z_{2}$ derselben Dimension in einer Varietät $X$ heißen numerisch äquivalent, wenn für alle Zykel $T$ mit $dim(T)=kodim(Z_{i})$ die Gleichung

    $deg(Z_{1}\cap T)=deg(Z_{2}\cap T)$

gilt. Hierbei bezeichnet $deg$ den Grad der Untervarietäten, also die Schnittzahl mit einer Menge von Hyperebenen in allgemeiner Lage.

## Eigenschaften

* Linearität: Numerische Äquivalenz ist kompatibel mit der Addition von Zykeln.
* Chow's Moving Lemma: Zu Zykeln $A,B$ in einer Varietät $X$ gibt es einen zu $A$ numerisch äquivalenten Zykel $A^{\prime }$, der zu $B$ in allgemeiner Lage ist.
* Push-Forwards: Sei $A$ ein Zykel in $X$ und $B$ ein Zykel in $X\times Y$, der zu $A\times Y$ in allgemeiner Lage ist. Wenn $A$ numerisch null-äquivalent ist, dann ist die Projektion von $B\cdot (A\times Y)$ auf $Y$ numerisch null-äquivalent.

Dieselben Eigenschaften haben auch die Äquivalenzrelationen rationale Äquivalenz, algebraische Äquivalenz und homologische Äquivalenz, unter denen die numerische Äquivalenz aber die schwächste Äquivalenzrelation ist.

