Koordinatenfunktion
# Koordinatenfunktion

Als Koordinatenfunktion werden in der linearen Algebra und in der Topologie spezielle Funktionen bezeichnet, welche die $i$-te Komponente eines Tupels liefern, beispielsweise die Komponenten eines Spaltenvektors oder des Funktionswertes einer Abbildung.

## Definition

Seien $a\in \mathbb {R} ^{n}$ ein $n$-Tupel $(a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n})$ und $i\in \{1,\dotsc ,n\}$.

Dann ist die $i$-te Koordinatenfunktion $f_{i}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ definiert als

    $f_{i}(a)=a_{i}$.

Definitionsmenge und Zielmenge für $f_{i}$ können je nach Kontext unterschiedlich definiert sein.

## Topologie

Sei $\varphi \colon U^{\varphi }\to A^{\varphi }$eine Karte auf einer Mannigfaltigkeit mit der Dimension $m$.

Für einen Punkt $p\in U^{\varphi }$ ist dann $\varphi (p)$ ein $m$-dimensionales Koordinatentupel in $\mathbb {R} ^{m}$:

    $\varphi (p)=(\varphi ^{1}(p),\varphi ^{2}(p),\dotsc ,\varphi ^{m}(p))$.

Es gibt für $\varphi$ also insgesamt $m$ Koordinatenfunktionen $\varphi ^{i},\;i\in \{1,\dotsc ,m\}$, die jeweils die $i$-te Koordinate für $\varphi (p)$ liefern. Die hochgestellten Indizes sollten nicht mit Potenzen oder der Ableitung verwechselt werden.

