Eigenraum
# Eigenraum

Eigenraum ist ein Begriff aus der linearen Algebra. Er bezeichnet die lineare Hülle der Eigenvektoren zu einem bestimmten Eigenwert eines Endomorphismus. Die Eigenvektoren – zusammen mit dem Nullvektor – spannen damit einen Untervektorraum auf.

Eine Verallgemeinerung des Eigenraums ist der Hauptraum. Hat ein Eigenwert die algebraische Vielfachheit 1, so sind für diesen Eigenwert Eigenraum und Hauptraum gleich.

## Definition

Sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$ und $\varphi \in \operatorname {End} (V)$ ein Endomorphismus, das heißt eine lineare Abbildung $\varphi \colon V\to V$. Der Eigenraum $E(\lambda )$ zum Eigenwert $\lambda$ von $\varphi$ ist dann

    ${\begin{aligned}E(\lambda )&:=\operatorname {Kern} (\varphi -\lambda \operatorname {id} _{V})\\&=\left\{x\in V\mid \varphi (x)=\lambda x\right\}\\&=\left\{x\in V\mid x\neq 0,\ \varphi (x)=\lambda x\right\}\cup \left\{0\right\}\end{aligned}}$

Dabei bezeichnet $\operatorname {id} _{V}$ die Identitätsabbildung auf $V$.

Man sagt dann auch, $E\left(\lambda \right)\subseteq V$ ist invariant bezüglich des Endomorphismus $\varphi$ oder $E\left(\lambda \right)$ ist ein $\varphi$-invarianter Untervektorraum von $V$. Die Elemente $x$ von $E\left(\lambda \right)$ sind dann die Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda$ von $\varphi$, sowie der Nullvektor.

## Geometrische Vielfachheit

Die Dimension des Eigenraums $E\left(\lambda \right)$ wird als geometrische Vielfachheit von $\lambda$ bezeichnet. Sie ist dabei stets mindestens 1 und höchstens gleich der algebraischen Vielfachheit von $\lambda$. Wenn die Dimension des Eigenraums $E\left(\lambda \right)$ größer als 1 ist, wird der Eigenwert entartet genannt, anderenfalls heißt er nichtentartet.

## Eigenschaften

* Existiert ein Eigenwert $\lambda =0$ von $\varphi$, so ist der zugehörige Eigenraum $E\left(\lambda \right)$ gleich dem Kern von $\varphi$. Denn $\operatorname {Kern} \left(\varphi \right)=\left\{x\in V\mid \varphi \left(x\right)=0\right\}$ und nach Definition des Eigenraumes: $E\left(0\right)=\left\{x\in V\mid \varphi \left(x\right)=0x=0\right\}$.
* Die Summe von Eigenräumen zu $n$ paarweise verschiedenen Eigenwerten $\lambda _{1},\dotsc ,\lambda _{n}$ von $\varphi$ ist direkt:

       $E(\lambda _{1})+\dots +E(\lambda _{n})=E(\lambda _{1})\oplus \dots \oplus E(\lambda _{n})$
* Gilt im obigen Fall $E(\lambda _{1})+\dots +E(\lambda _{n})=V$, so besitzt $V$ eine Basis aus Eigenvektoren von $\varphi$. In diesem Fall ist jede Darstellungsmatrix $A$ von $\varphi \in \operatorname {End} \left(V\right)$ bezüglich einer Basis von $V$ diagonalisierbar, das heißt die Darstellungsmatrix $A'$ von $\varphi$ bezüglich einer Basis von $V$ aus Eigenvektoren von $\varphi$ hat Diagonalgestalt. In der Hauptdiagonale von $A'$ stehen dann die Eigenwerte von $\varphi$:

       $A'={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&\lambda _{n}\end{pmatrix}}$
* Ist $V$ ein Prähilbertraum und $\varphi \in \operatorname {End} (V)$ selbstadjungiert, so sind die Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten paarweise zueinander orthogonal.
