Zwillingskreise des Archimedes
# Zwillingskreise des Archimedes

Bei den Zwillingskreisen des Archimedes handelt es sich um zwei Kreise, die in einen Arbelos (auch als Sichel des Archimedes bezeichnet) einbeschrieben sind.

## Definition und Eigenschaften

Zeichnet man in einem Arbelos die Senkrechte zum Durchmesser am Berührungspunkt der beiden inneren Halbkreise ein, so teilt sie diesen in zwei Teile, und in jedem dieser Teile gibt es einen Kreis, der den äußeren Halbkreis, den entsprechenden inneren Halbkreis und die Senkrechte berührt. Diese beiden Kreise bezeichnet man als die Zwillingskreise des Archimedes, da sie kongruent sind. Ihr Radius $r$ beträgt:

    $r={\frac {r_{1}r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}$

Hierbei bezeichnen $r_{1}$ und $r_{2}$ die Radien der beiden inneren Halbkreise des Arbelos.

Die gemeinsame Tangente eines Zwillingskreises und des zugehörigen inneren Halbkreises geht durch den Berührpunkt des anderen inneren Halbkreises mit dem äußeren Halbkreis. Der kleinste Kreis den die beiden Zwillingskreise von innen berühren ist flächengleich zum Arbelos.:

## Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Bei einem gegebenen Arbelos bezeichnet man die drei Punkte auf der Grundseite mit $A$, $B$ und $C$, so dass der Halbkreis über $AC$ der äußere Halbkreis des Arbelos ist und die Halbkreise über $AB$ und $BC$ seine beiden inneren Halbkreise. Weiterhin bezeichne $D$ den Schnittpunkt der Senkrechten in $B$ mit dem äußeren Halbkreis und $M_{1}$ den Mittelpunkt der Strecke $AB$.

Nun konstruiert man die Tangente vom Punkt $C$ an den Halbkreis über $AB$. Diese berührt den Halbkreis in $T$ und schneidet die Strecke $BD$ in $S$. Anschließend konstruiert man die Winkelhalbierende des Winkels $\angle DST$ und die Gerade $M_{1}T$, diese schneiden sich in $U$, dem Mittelpunkt des Zwillingskreises, mit der Strecke $UT$ als dessen Radius. Den zweiten Zwillingskreis erhält man anhand einer entsprechenden Konstruktion mit dem Halbkreis über$BC$.

## Historisches

Die Konstruktion findet sich im Buch der Lemmata, dessen Zuschreibung an Archimedes allerdings fraglich ist.

