Plücker-Koordinaten
# Plücker-Koordinaten

Plücker-Koordinaten sind Koordinaten für Geraden im 3-dimensionalen Raum. Benannt sind sie nach Julius Plücker. Sie sind ein Spezialfall der allgemeineren Graßmann-Plücker-Koordinaten.

Um eine Gerade $L$ im 3-dimensionalen projektiven Raum $P^{3}$ zu beschreiben, wählen wir zwei auf der Geraden liegende Punkte $x$ und $y$ mit homogenen Koordinaten $\left[x_{0}\colon x_{1}\colon x_{2}\colon x_{3}\right]$ und $\left[y_{0}\colon y_{1}\colon y_{2}\colon y_{3}\right]$ und definieren für alle $i<j$

    $p_{ij}=\det \left({\begin{array}{cc}x_{i}&y_{i}\\x_{j}&y_{j}\end{array}}\right)=x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}$.

Im $P^{5}$ ist der Punkt mit homogenen Koordinaten

    $\left[p_{01}\colon p_{02}\colon p_{03}\colon p_{12}\colon p_{13}\colon p_{23}\right]$

wohldefiniert, unabhängig von der Wahl der homogenen Koordinaten für $x$ und $y$. Weil die Determinante multilinear und alternierend ist, hängen diese Koordinaten nur von der Gerade $L$ und nicht von den auf der Geraden gewählten Punkten $x$ und $y$ ab.

Die sechs Koordinaten genügen der Plücker-Relation

    $p_{01}p_{23}+p_{03}p_{12}=p_{02}p_{13}$.

Diese Gleichung beschreibt eine kegelige Quadrik im $P^{5}$, die als Kleinsche Quadrik bezeichnet wird. Die Geraden im $P^{3}$ werden also durch die Punkte der Kleinschen Quadrik parametrisiert.

Mit den Koordinaten $d=(p_{01},p_{02},p_{03})$ und $m=(p_{23},-p_{13},p_{12})$ kann man die Plücker-Relation auch als $d\cdot m=0$ formulieren. Eine typische Anwendung ist die Beschreibung von in einer Ebene liegenden Geraden. Wenn eine Gerade $L$ durch die Koordinaten $(p_{01},\ldots ,p_{23})$ oder $(d,m)$ und eine zweite Gerade $L^{\prime }$ durch die Koordinaten $(p_{01}^{\prime },\ldots ,p_{23}^{\prime })$ oder $(d^{\prime },m^{\prime })$ gegeben ist, dann liegen die Geraden $L$ und $L^{\prime }$ genau dann in einer Ebene, wenn

    $d\cdot m^{\prime }+m\cdot d^{\prime }=0$

gilt.

Des Weiteren liegt ein Punkt $p$ aus dem reellen Koordinatenraum $\mathbb {R} ^{3}$ genau dann auf der Gerade $L$, wenn

    $p\times d=m$,

dabei bezeichnet $\times$ das Kreuzprodukt.

