Ganzes Element
# Ganzes Element

Im mathematischen Teilgebiet der kommutativen Algebra ist der Begriff eines ganzen Elementes in einer Ringerweiterung eine Verallgemeinerung des Begriffes eines algebraischen Elementes in einer Körpererweiterung.

## Definition

Es sei $A$ ein Ring und $B$ eine $A$-Algebra. Dann heißt ein Element $b\in B$ ganz über $A$, wenn es ein Polynom $p\in A[X]\setminus \{0\}$ mit Leitkoeffizient 1 gibt, so dass $p(b)=0$ gilt, also wenn es ein $n\in \mathbb {N}$ und Koeffizienten $a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n-1}\in A$ gibt mit

    $b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\dots +a_{1}b+a_{0}=0$.

Die Menge der über $A$ ganzen Elemente von $B$ heißt der ganze Abschluss von $A$ in $B$.

Falls der ganze Abschluss von $A$ in $B$ mit $A$ übereinstimmt, heißt $A$ ganz abgeschlossen in $B$. Stimmt der ganze Abschluss von $A$ in $B$ jedoch mit $B$ überein, ist also jedes Element von $B$ ganz über $A$, so heißt $B$ ganz über $A$.

## Beispiele

* Ist $A\subseteq B$ eine Ringerweiterung, dann ist $B$ insbesondere eine $A$-Algebra. Ist $B$ ganz über $A$, so spricht man von einer ganzen Ringerweiterung.
* Ein Integritätsring, der ganz abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist, wird als normaler Ring bezeichnet.
* Der ganze Abschluss der ganzen Zahlen in einem algebraischen Zahlkörper $K$ wird als der Ganzheitsring ${\mathcal {O}}_{K}$ von $K$ bezeichnet.
* Ist $A=\mathbb {Z}$ und $K=\mathbb {Q} {\big{\sqrt {5}}{\big )}$, so ist der ganze Abschluss von $A$ in $K$ gegeben als

       ${\mathcal {O}}_{K}=\mathbb {Z} \!\left[{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right].$

## Charakterisierung ganzer Elemente in Ringerweiterungen

Sei $A\subseteq B$ eine Ringerweiterung, $x\in B$. Dann sind äquivalent:

* $x$ ist ganz über $A$,
* $A[x]$ ist als $A$-Modul endlich erzeugt,
* es gibt einen Teilring $C\subseteq B$, sodass $A[x]\subseteq C$ und $C$ als $A$-Modul endlich erzeugt ist.

## Eigenschaften

* Der ganze Abschluss von $A$ in $B$ ist eine $A$-Unteralgebra von $B$.
* Ganzheit ist eine transitive Relation. Genauer gilt für eine Ringerweiterung $A\subseteq B\subseteq C$, dass $C$ genau dann ganz über $A$ ist, wenn $B$ ganz über $A$ und $C$ ganz über $B$ ist.
* Eine $A$-Algebra $B$ ist genau dann endlich, wenn sie endlich erzeugt und ganz ist.
* Sei $A\subseteq B$ eine Ringerweiterung, $C$ der ganze Abschluss von $A$ in $B$ und $S\subseteq A$ eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge. Dann ist auch $S^{-1}C$ der ganze Abschluss von $S^{-1}A$ in $S^{-1}B$, wobei mit $S^{-1}$ die Lokalisierung nach der Menge $S$ bezeichnet.
* Ganzabgeschlossenheit ist eine lokale Eigenschaft.
* Sei $A\subseteq B$ eine ganze Ringerweiterung und $B$ nullteilerfrei. Dann ist $A$ genau dann ein Körper, wenn $B$ ein Körper ist.
* Ist $A\subseteq B$ eine ganze Ringerweiterung. Dann gibt es einen Zusammenhang zwischen Primidealketten in $B$ und darunterliegenden Primidealketten in $A$. Dies ist die Aussage der Sätze von Cohen-Seidenberg.
* Falls $A$ ein Unterring des Körpers $K$ ist, dann ist der ganze Abschluss von $A$ in $K$ der Durchschnitt aller Bewertungsringe von $K$ die $A$ enthalten.
