Poröse-Medien-Gleichung
# Poröse-Medien-Gleichung

Die Poröse-Medien-Gleichung (auch englisch als porous medium equation bezeichnet) ist eine nichtlineare degenerierte parabolische partielle Differentialgleichung. Sie besitzt die Form

    ${\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u^{m}$,

worin $m>1$ ist und $\Delta :=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{k}^{2}}}$ den räumlichen Laplace-Operator bezeichnet.

Die Poröse-Medien-Gleichung wird beispielsweise verwendet, um den Fluss eines idealen Gases in einem homogenen porösen Medium zu beschreiben. In diesem Falle ist dann die Dichte des Gases eine Lösung der Poröse-Medien-Gleichung.

Sie wird auch gelegentlich als nichtlineare Wärmeleitungsgleichung bezeichnet, da man diese bei Einsetzen von $m=1$ erhalten würde. Die Wärmeleitungsgleichung besitzt jedoch unphysikalische Eigenschaften, insbesondere eine unendliche Ausbreitungsgeschwindigkeit. Durch die Degeneriertheit ($m>1$) erhalten die Lösungen aber wesentlich andere Eigenschaften, nämlich beispielsweise eine endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit (englisch: finite speed of propagation).

