Zellkomplex
# Zellkomplex

Ein Zellkomplex oder CW-Komplex ist ein mathematisches Objekt aus dem Bereich der algebraischen Topologie. Es ist eine Verallgemeinerung des Simplizialkomplexes und wurde 1949 von John Henry Constantine Whitehead eingeführt.

## Definition

Eine $k$-Zelle ist ein topologischer Raum, der zu $B^{k}:=[0,1]^{k}$ homöomorph ist. Eine offene $k$-Zelle ist ein topologischer Raum, der zum Inneren von $B^{k}$ homöomorph ist. $k$ nennt man die Dimension der Zelle.

Ein Zellkomplex oder auch CW-Komplex (closure-finite weak-topology) ist ein Hausdorff-Raum $X$, der in offene Zellen $(c_{i})_{i\in I}$ zerfällt, wobei gilt:

* zu jeder $k$-Zelle $c_{i}\subseteq X$ existiert eine stetige Abbildung $f_{i}:B^{k}\rightarrow X$ so dass das Innere von $B^{k}$ homöomorph auf $c_{i}$ und der Rand in eine Vereinigung von endlich vielen Zellen der Dimension $<k$ abgebildet wird. ($f_{i}$ heißt die charakteristische Abbildung der Zelle $c_{i}$.)
* $M\subseteq X$ ist genau dann abgeschlossen, wenn $M\cap f_{i}(B^{k})$ für alle $i\in I$ abgeschlossen ist.

Das $k$-Gerüst eines CW-Komplexes ist die Vereinigung aller seiner Zellen der Dimensionen $\leq k$.

Ein endlicher CW-Komplex ist ein CW-Komplex aus endlich vielen Zellen.

## Eigenschaften

Jeder CW-Komplex ist normal, erfüllt aber nicht unbedingt das erste Abzählbarkeitsaxiom, ist also nicht unbedingt metrisierbar. Jeder CW-Komplex ist lokal zusammenziehbar.

In zusammenhängenden CW-Komplexen gilt der Satz von Whitehead über die Homotopieäquivalenz.

Ein CW-Komplex ist der Kolimes seiner endlichen Unterkomplexe.

## Beispiele

* Jeder Simplizialkomplex ist ein CW-Komplex.
* Jede offene sternförmige Teilmenge des $\mathbb {R} ^{k}$ ist ein k-Zelle.
* $\mathbb {R}$ ist ein CW-Komplex. Betrachte die Zellen $c_{i}=(i,i+1)$ und die charakteristischen Abbildungen $f_{i}:[0,1]\to \mathbb {R} ,x\mapsto i+x$.

## Zelluläre Abbildungen

Das $n$-Gerüst $K_{n}$ eines CW-Komplexes $K$ ist die Vereinigung aller seiner Zellen der Dimension $\leq n$.

Eine CW-Abbildung (oder zelluläre Abbildung) ist eine stetige Abbildung $f\colon K\to L$, die jede $n$-Zelle von $K$ in das $n$-Gerüst von $L$ abbildet. (Dabei müssen $n$-Zellen nicht notwendig auf $n$-Zellen abgebildet werden.)

