Sargent-Regel
# Sargent-Regel

In der Kernphysik liefert die Sargent Regel (auch $Q^{5}$-Regel) einen Zusammenhang zwischen der beim Beta-Zerfall maximal freiwerdenden Energie $Q$ und der Zerfallskonstanten $\Gamma$. Für manche Nuklide gibt es aufgrund von Auswahlregeln große Abweichungen von der Sargent-Regel. Sie wurde benannt nach ihrem Entdecker, dem kanadischen Atomphysiker Bernice Weldon Sargent.

## Empirische Entdeckung

In den 1930er Jahren beschäftigte sich Sargent mit dem Emissionsspektrum des Beta-Zerfalls verschiedener Stoffe. Dabei fand er heraus, dass die Zerfallskonstante $\Gamma$ proportional zur fünften Potenz der maximalen kinetischen Energie des Elektrons ist:

    $\Gamma \sim Q^{5}.$

Die theoretische Erklärung wurde später von Enrico Fermi gefunden.

## Herleitung durch Enrico Fermi

Den Ausgangspunkt für die theoretische Herleitung liefert Fermis Goldene Regel in Kombination mit Fermis Theorie der Schwachen Wechselwirkung.

### Fermis Goldene Regel

    $\Gamma _{N\rightarrow P}={\frac {2\pi }{\hbar }}|{\mathcal {M}}_{N\rightarrow P}|^{2}\int \limits _{M_{\mathrm {e} }c^{2}}^{Q}\mathrm {d} E{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} E}}$

mit der reduzierten Planck-Konstante $\hbar$, dem Übergangsmatrixelement bzw. die Wahrscheinlichkeitsamplitude ${\mathcal {M}}_{N\rightarrow P}$ für den schwachen Zerfall eines Neutrons in ein Proton und dem Phasenraumfaktor $\rho$. Die Elektronenmasse $M_{\mathrm {e} }$ multipliziert mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit stellt die untere Integrationsgrenze dar. Die obere Integrationsgrenze $Q$ gewährleistet, dass das gesamte Spektrum berücksichtigt wird.

### Übergangsmatrixelement $ℳ_{N→P}$

Es gibt zwei mögliche Übergänge für den Beta-Zerfall, den Fermi-Übergang, der aus dem Vektoranteil der schwachen Wechselwirkung stammt und den Gamow-Teller-Übergang, der seinen Ursprung in der Axialvektorkopplung hat.

    $|{\mathcal {M}}_{N\rightarrow P}|^{2}=(g_{\mathrm {V} }^{2}+3g_{\mathrm {A} }^{2})/V^{2}$

Beim Axialübergang fallen alle Spin-Freiheitsgrade ins Gewicht. Das wird durch den Faktor 3 vor der Axialkopplung $g_{\mathrm {A} }^{2}$ berücksichtigt. Bei der Vektorkopplung $g_{\mathrm {V} }^{2}$ hingegen sind die Spin-Freiheitsgrade nicht relevant, da es sich um einen reinen Vektor ohne Axial-Anteil handelt (Drehimpulse sind Axialvektoren). $V$ ist das Volumen des Ortsraums, in dem der Zerfall stattfindet.

### Phasenraum und Zustandsdichte

Wegen der großen Masse des Kerns, kann dieser aus den kinematischen Betrachtungen näherungsweise ausgeschlossen werden. Der Endzustand wird dann durch einen Zwei-Teilchen-Phasenraum (Elektron und Anti-Neutrino) beschrieben. Ein Element des Phasenraumes hat das Volumen $\mathrm {d} ^{3}x_{\mathrm {e} }\mathrm {d} ^{3}x_{\nu }\mathrm {d} ^{3}p_{\mathrm {e} }\mathrm {d} ^{3}p_{\nu }/(2\pi \hbar )^{6}.$ Die Integrale über den Ortsraum können direkt ausgeführt werden und liefern zusammen einen Faktor $V^{2}$. Um die Integrale im Impulsraum auszuführen werden noch die Dispersionsrelationen für das Elektron und das Neutrino (wird hier als masselos angenommen) benötigt:

    $p_{\mathrm {e} }^{2}\mathrm {d} p_{\mathrm {e} }={\frac {1}{c^{3}}}E_{\mathrm {e} }{\sqrt {E_{\mathrm {e} }^{2}-M_{\mathrm {e} }^{2}c^{4}}}\mathrm {d} E_{\mathrm {e} },$
    $p_{\nu }^{\mathrm {2} }\mathrm {d} p_{\nu }={\frac {1}{c^{3}}}E_{\nu }^{2}\mathrm {d} E_{\nu }.$

Durch eine Normierung auf die Ruheenergie des Elektrons kann die Phasenraumintegration auf die Form

    $\int \limits _{M_{\mathrm {e} }c^{2}}^{Q}\mathrm {d} E{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} E}}=V^{2}{\frac {M_{\mathrm {e} }^{5}c^{4}}{4\pi ^{4}\hbar }}f({\mathcal {E}}_{0})$

mit ${\mathcal {E}}_{0}=Q/M_{\mathrm {e} }c^{2}~~~~$ und $~~~~f({\mathcal {E}}_{0})=\int \limits _{1}^{{\mathcal {E}}_{0}}\mathrm {d} {\mathcal {E}}\,{\mathcal {E}}{\sqrt {{\mathcal {E}}^{2}-1}}({\mathcal {E}}_{0}-{\mathcal {E}})^{2}$

gebracht werden. Berücksichtigt man noch den Zusammenhang zwischen der Zerfallskonstanten und der Lebensdauer so erhält man zusammen mit dem Matrixelement ${\mathcal {M}}_{N\rightarrow P}$

    ${\frac {1}{\tau }}={\frac {M_{\mathrm {e} }^{5}c^{4}}{2\pi ^{3}\hbar ^{7}}}(g_{\mathrm {V} }^{2}+3g_{\mathrm {A} }^{2})\cdot f({\mathcal {E}}_{0}).$

### Sargent-Regel

Für große Energie ($Q\gg M_{\mathrm {e} }c^{2}$) gilt näherungsweise

    $f({\mathcal {E}}_{0})\approx {\frac {{\mathcal {E}}_{0}^{5}}{30}}$

und damit

    ${\frac {1}{\tau }}={\frac {1}{\hbar ^{7}c^{6}}}\cdot (g_{\mathrm {V} }^{2}+3g_{\mathrm {A} }^{2})\cdot {\frac {Q^{5}}{60\pi ^{3}}}.$
