Schwach unbedingte Cauchy-Reihe
# Schwach unbedingte Cauchy-Reihe

Schwach unbedingte Cauchy-Reihen, auch schwach unbedingt konvergente Reihen oder kürzer WUC-Reihen genannt, werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um nicht notwendigerweise konvergente Reihen in Banachräumen mit einer gewissen Zusatzeigenschaft.

## Definition

Es seien $X$ ein Banachraum, $X^{*}$ sein Dualraum und $\textstyle \sum _{n}x_{n}$ eine Reihe in $X$, womit wie immer die Folge der Partialsummen gemeint ist. Die Reihe heißt schwach unbedingt Cauchy oder schwach unbedingt konvergent, falls $\textstyle \sum _{n\in \mathbb {N} }|x^{*}(x_{n})|<\infty$ für jedes stetige, lineare Funktional aus $X^{*}$ gilt.

Diese Eigenschaft wird nach der englischen Bezeichnung weakly unconditionally Cauchy bzw. weakly unconditionally convergent auch mit WUC abgekürzt.

## Bemerkungen

Die Bezeichnung schwach in obiger Definition meint, dass es sich um eine Eigenschaft handelt, die bezüglich jedem $x^{*}\in X^{*}$ gelten muss.

Der Namensbestandteil unbedingt rührt daher, dass man die Bedingung $\textstyle \sum _{n\in \mathbb {N} }|x^{*}(x_{n})|<\infty$ auch durch die unbedingte Konvergenz der Reihe $\textstyle \sum _{n\in \mathbb {N} }x^{*}(x_{n})$ ersetzen kann, denn im Grundkörper stimmen unbedingte Konvergenz und absolute Konvergenz überein. Eine unmittelbare Konsequenz aus dieser Beobachtung ist, dass jede Umordnung einer WUC-Reihe wieder WUC ist.

Da die Folge der Partialsummen einer WUC-Reihe offenbar eine schwache Cauchy-Folge ist, erklärt sich auch der Namensbestandteil Cauchy. Die Verwendung von konvergent kann irreführend sein, denn es liegt im Allgemeinen keine schwache Konvergenz der Reihe vor.

## Charakterisierung

Für eine Reihe $\textstyle \sum _{n}x_{n}$ in einem Banachraum $X$ sind folgende Aussagen äquivalent:

* $\textstyle \sum _{n}x_{n}$ ist WUC
* Es gibt eine Konstante $C>0$, so dass

          $\sup _{n\in \mathbb {N} }\left\|\sum _{k=1}^{n}t_{k}x_{k}\right\|\leq C\sup _{n\in \mathbb {N} }|t_{n}|$
    für alle Folgen $(t_{n})_{n}$ aus dem Folgenraum $\ell ^{\infty }$ gilt.
* Es gibt eine Konstante $C>0$, so dass

          $\sup _{n\in F}\left\|\sum _{k=1}^{n}t_{k}x_{k}\right\|\leq C$
    für jede endliche Teilmenge $F\subset \mathbb {N}$ und jede Wahl von Vorzeichen $t_{n}\in \{-1,+1\}$ gilt.
* Für jede Nullfolge $(t_{n})_{n}\in c_{0}$ konvergiert $\textstyle \sum _{n}t_{n}x_{n}$ in $X$
* Es gibt einen stetigen, linearen Operator $T:c_{0}\rightarrow X$ mit $T(e_{n})=x_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$, wobei $e_{n}$ die n-te Einheitsfolge in $c_{0}$ sei, das heißt $e_{n}$ ist die Folge, die an n-ter Stelle eine 1 und an allen anderen Stellen eine 0 hat.

## Vergleich mit unbedingter Konvergenz

Es ist klar, dass unbedingt konvergente Reihen WUC sind. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Betrachte dazu die Reihe $\textstyle \sum _{n}e_{n}$ der Einheitsfolgen in $c_{0}$. Jedes $x^{*}\in c_{0}^{*}$ wird bekanntlich durch eine absolutkonvergente Reihe $(\xi _{n})_{n}\in \ell ^{1}$ gegeben. Daher ist

    $\sum _{n\in \mathbb {N} }|x^{*}(e_{n})|=\sum _{n\in \mathbb {N} }|\xi _{n}\cdot 1|<\infty$,

das heißt, $\textstyle \sum _{n}e_{n}$ ist WUC. Aber diese Reihe konvergiert nicht in $c_{0}$, ist also insbesondere nicht unbedingt konvergent. Der folgende Satz gibt Bedingungen an, unter denen eine WUC-Reihe unbedingt konvergiert.

* Es sei $\textstyle \sum _{n}x_{n}$ eine WUC-Reihe in einem Banachraum $X$ und $T$ sei der nach obiger Charakterisierung existierende Operator $T:c_{0}\rightarrow X$ mit $T(e_{n})=x_{n}$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
   * $\textstyle \sum _{n}x_{n}$ ist unbedingt konvergent.
   * T ist kompakt.
   * T ist schwach kompakt
   * T ist strikt singulär.

Nach dem folgenden auf Czesław Bessaga und Aleksander Pełczyński zurückgehen Satz kann man die Räume, in denen jede WUC-Reihe unbedingt konvergiert, charakterisieren. Dieser Satz zeigt gleichzeitig, dass das oben angegebene Gegenbeispiel im Wesentlichen das einzige ist.

* Ein Banachraum hat genau dann die Eigenschaft, dass jede WUC-Reihe unbedingt konvergiert, wenn er keinen zu $c_{0}$ isomorphen Unterbanachraum enthält.
