Generatormatrix
# Generatormatrix

In der Kodierungstheorie ist eine Generatormatrix, auch Erzeugermatrix, eine matrixförmige Basis für einen linearen Code, der alle möglichen Codewörter erzeugt. Ist G eine Generatormatrix für einen linearen [n, k]-Code C dann ist jedes Codewort c von C von der Form

    $c=wG$

für einen eindeutigen Zeilenvektor w mit k Einträgen. Mit anderen Worten: Die Abbildung $K^{1\times k}\rightarrow C,w\mapsto wG$ ist eine Bijektion. Eine Generatormatrix für einen $[n,k]$-Code $C$ hat das Format $k\times n$. Dabei ist n die Länge der Codewörter und k die Anzahl der Informationsbits (die Dimension von C). Die Anzahl der redundanten Bits ist r = n - k.

Die systematische Form für eine Generatormatrix ist

    $G={\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}$

wobei $I_{k}$ eine k×k Einheitsmatrix und P von der Dimension k×r ist.

Eine Generatormatrix kann verwendet werden, um eine Kontrollmatrix für einen Code zu erzeugen (und umgekehrt).

## Äquivalente Codes

Codes $C_1$ und $C_2$ sind äquivalent (geschrieben $C_1$ ~ $C_2),$ wenn der eine Code aus dem anderen durch die folgenden beiden Transformationen erzeugt werden kann

* Komponenten vertauschen
* Komponenten skalieren.

Äquivalente Codes besitzen den gleichen Hamming-Abstand.

Die Generatormatrizen von äquivalenten Codes kann man über die folgenden Transformationen erzeugen:

* Zeilen vertauschen
* Zeilen skalieren
* Zeilen addieren
* Spalten vertauschen
* Spalten skalieren.
