Zeta-Verteilung
# Zeta-Verteilung

Die Zeta-Verteilung (auch Zipf-Verteilung nach George Kingsley Zipf) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik. Sie ist univariat und eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die den natürlichen Zahlen $x=1,2,3,\dotsc$ die Wahrscheinlichkeiten

    $P(X=x)={\frac {x^{-s}}{\zeta (s)}}$

zuordnet, wobei $s>1$ ein Parameter und $\zeta (s)$ die riemannsche Zetafunktion ist.

Ihr $k$-tes Moment existiert, falls $s>k+1$, und liegt in diesem Fall bei

    $E(X^{k})={\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}$.

Es kann gezeigt werden, dass die Anzahl unterschiedlicher Primfaktoren einer Zeta-verteilten Zufallsvariable

wiederum unabhängige Zufallsvariablen sind. Dies ist bei keiner anderen Wahrscheinlichkeitsverteilung der Fall.

Zur Motivation dieser Verteilung siehe Zipfsches Gesetz.

