Primitive Matrix
# Primitive Matrix

Primitivität von Matrizen ist ein Konzept der linearen Algebra, welches insbesondere in der Theorie der positiven Eigenwerte Anwendung findet, siehe etwa Satz von Perron-Frobenius.

## Definition

Eine quadratische Matrix $X=(x_{ij})_{i,j}$ heißt primitiv, wenn alle Einträge nichtnegativ sind und wenn es eine natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ gibt, so dass alle Einträge von $X^{n}$ positiv sind.

Das kleinste solche $n\in \mathbb {N}$ wird als Exponent $\gamma (X)$ der primitiven Matrix bezeichnet.

## Eigenschaften

* Primitive Matrizen sind irreduzibel.
* Wenn die $n\times n$-Matrix $A$ irreduzibel ist, dann ist $E_{n}+A$ (die Summe mit der Einheitsmatrix) eine primitive Matrix.
* Für den Exponenten einer primitiven Matrix $A$ gilt $\gamma (A)\leq (m-1)^{2}+1$, wobei $m$ den Grad des Minimalpolynoms bezeichnet.

## Beispiele

Die Matrix $\left({\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}}\right)$ ist irreduzibel, aber nicht primitiv. Die Matrix $\left({\begin{matrix}0&1\\1&1\end{matrix}}\right)$ ist primitiv.

## Anwendungen

* Für primitive Matrizen gilt der Satz von Perron-Frobenius: der Spektralradius ist ein positiver, einfacher Eigenwert.
* Sei $A$ die Adjazenzmatrix eines Graphen. Dann ist $A$ genau dann primitiv, wenn der Graph zusammenhängend ist und es zwei Zykel teilerfremder Länge gibt.
* Primitive stochastische Matrizen sind in der Theorie der Markow-Ketten von Bedeutung.
