Koordinatenform
# Koordinatenform

Die Koordinatenform oder Koordinatengleichung ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung. Bei der Koordinatenform wird eine Gerade in der euklidischen Ebene oder eine Ebene im euklidischen Raum in Form einer linearen Gleichung beschrieben. Die Unbekannten der Gleichung sind dabei die Koordinaten der Punkte der Gerade oder Ebene in einem kartesischen Koordinatensystem. Die Koordinatenform ist damit eine spezielle implizite Darstellung der Gerade oder Ebene.

## Koordinatenform einer Geradengleichung

### Darstellung

In der Koordinatenform wird eine Gerade in der Ebene durch drei reelle Zahlen $a$, $b$ und $c$ über eine lineare Gleichung beschrieben. Eine Gerade besteht dann aus denjenigen Punkten, deren Koordinaten $(x,y)$ die Gleichung

    $ax+by=c$

erfüllen. Hierbei muss $a$ oder $b$ ungleich null sein. Bei den Zahlen $a$ und $b$ handelt es sich um die Komponenten des Normalenvektors ${\vec {n}}=(a,b)$ der Geraden. Der Abstand der Geraden vom Koordinatenursprung wird durch $|c|/|{\vec {n}}|$ angegeben. Ist der Normalenvektor normiert, also ein Einheitsvektor, dann beträgt der Abstand gerade $|c|$.

### Beispiel

Im Bild oben ist die Geradengleichung in Koordinatenform

    $1x+2y=6$.

Jede Wahl von $(x,y)$, die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise $(0,3)$ oder $(4,1)$, entspricht genau einem Geradenpunkt.

### Spezialfälle

* Falls $a=0$ ist, verläuft die Gerade parallel zur x-Achse, und falls $b=0$ ist, parallel zur y-Achse.
* Falls $c=0$ ist, handelt es sich bei der Geraden um eine Ursprungsgerade.
* Falls $c=1$ ist, liegt die Geradengleichung in Achsenabschnittsform vor; die Achsenschnittpunkte sind dann $(1/a,0)$ und $(0,1/b)$.

### Berechnung

**Aus der Normalenform**

Aus der Normalenform einer Geradengleichung mit Stützvektor ${\vec {p}}$ und Normalenvektor ${\vec {n}}$ lassen sich die Parameter der Koordinatenform durch Ausmultiplizieren der Normalengleichung direkt ablesen:

    $a=n_{1},~b=n_{2},~c=p_{1}n_{1}+p_{2}n_{2}$.

Liegt eine Gerade in hessescher Normalform vor, kann der Parameter $c$ auch von dort übernommen werden.

**Aus der Parameterform**

Aus der Parameterform einer Geradengleichung mit Stützvektor ${\vec {p}}$ und Richtungsvektor ${\vec {u}}$ wird zunächst ein Normalenvektor der Geraden über ${\vec {n}}=(-u_{2},u_{1})$ bestimmt und daraus dann die Parameter der Geraden in Koordinatenform als

    $a=-u_{2},~b=u_{1},~c=p_{1}a+p_{2}b$.

**Aus der Zweipunkteform**

Aus der Zweipunkteform einer Gerade durch die beiden Punkte $(x_{1},y_{1})$ und $(x_{2},y_{2})$ erhält man durch Ausmultiplizieren die Parameter der Koordinatenform

    $a=y_{1}-y_{2},b=x_{2}-x_{1},c=x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}$.

## Koordinatenform einer Ebenengleichung

### Darstellung

Analog wird eine Ebene im dreidimensionalen Raum in der Koordinatenform durch vier reelle Zahlen $a$, $b$, $c$ und $d$ beschrieben. Eine Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten, deren Koordinaten $(x,y,z)$ die Gleichung

    $ax+by+cz=d$

erfüllen. Hierbei muss zumindest einer der Parameter $a$, $b$, $c$ ungleich null sein. Bei den Zahlen $a$, $b$ und $c$ handelt es sich um die Komponenten des Normalenvektors ${\vec {n}}=(a,b,c)$ der Ebene. Der Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung wird durch $|d|/|{\vec {n}}|$ angegeben. Ist der Normalenvektor normiert, dann beträgt der Abstand gerade $|d|$.

### Beispiel

Ein Beispiel für eine Ebenengleichung in Koordinatenform ist

    $2x+3y-z=1$.

Jede Wahl von $(x,y,z)$, die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise $(1,0,1)$ oder $(0,1,2)$, entspricht genau einem Ebenenpunkt.

### Spezialfälle

* Falls $a=0$ ist, verläuft die Ebene parallel zur x-Achse, falls $b=0$ ist, parallel zur y-Achse, und falls $c=0$ ist, parallel zur z-Achse.
* Falls $d=0$ ist, handelt es sich bei der Ebene um eine Ursprungsebene.
* Falls $d=1$ ist, liegt die Ebenengleichung in Achsenabschnittsform vor; die Achsenschnittpunkte sind dann $(1/a,0,0)$, $(0,1/b,0)$ und $(0,0,1/c)$.

### Berechnung

**Aus der Normalenform**

Aus der Normalenform einer Ebenengleichung mit Stützvektor ${\vec {p}}$ und Normalenvektor ${\vec {n}}$ lassen sich die Parameter der Ebene in Koordinatenform ebenfalls durch Ausmultiplizieren ablesen:

    $a=n_{1},~b=n_{2},~c=n_{3},~d=p_{1}n_{1}+p_{2}n_{2}+p_{3}n_{3}$.

Liegt eine Ebene in hessescher Normalform vor, kann der Parameter $d$ auch von dort übernommen werden.

**Aus der Parameterform**

Aus der Parameterform einer Ebenengleichung mit Stützvektor ${\vec {p}}$ und den beiden Richtungsvektoren ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ wird zunächst ein Normalenvektor der Ebene über das Kreuzprodukt ${\vec {n}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}$ bestimmt und daraus dann die Parameter der Ebene in Koordinatenform als

    $a=u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2},~b=u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3},~c=u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1},~d=p_{1}a+p_{2}b+p_{3}c$.

Analog lässt sich auf diese Weise auch aus der Dreipunkteform einer Ebenengleichung ein Normalenvektor ermitteln und daraus dann die Koordinatenform.

## Verallgemeinerung

Allgemein wird durch eine lineare Gleichung mit $n$ Unbekannten $x_{1},\dotsc ,x_{n}$ eine Hyperebene im $n$-dimensionalen euklidischen Raum beschrieben. Eine Hyperebene besteht dann aus denjenigen Punkten $(x_{1},\dotsc ,x_{n})$, deren Koordinaten die Gleichung

    $a_{1}x_{1}+\dotsb +a_{n}x_{n}=b$

erfüllen. Hierbei muss zumindest einer der Parameter $a_{1},\dotsc ,a_{n}$ ungleich null sein.

