Lp-Kohomologie
# Lp-Kohomologie

In der Mathematik ist $L^{p}$-Kohomologie eine Kohomologietheorie für Simplizialkomplexe oder glatte Mannigfaltigkeiten. Sie wird vor allem verwendet, um die "Geometrie im Unendlichen" zu untersuchen.

## Simpliziale $L^p-Kohomologie$

Sei $X$ ein endlichdimensionaler Simplizialkomplex beschränkter Geometrie (d. h. es gibt ein $K>0$, so dass jeder Simplex höchstens $K$ Nachbarn hat). Wir statten $X$ mit der Längenmetrik aus, in der jeder Simplex isometrisch zum Standardsimplex ist. Für $k\in \mathbb {N}$ sei $X_{k}$ die Menge der $k$-Simplizes von $X$. Definiere die $l_{p}$-Koketten von $X$ durch

    $C_{p}^{k}(X):={\Bigl \f\colon X_{k}\to \mathbb {R} \;{\Big |}\;\sum _{\sigma \in X_{k}}|f(\sigma )|^{p}<\infty {\Bigr \}}$.

Sie bilden mit der $L^{p}$-Norm einen topologischen Vektorraum.

Der Korand-Operator $\delta _{k}\colon C_{p}^{k}(X)\to C_{p}^{k+1}(X)$ wird definiert durch $\delta f(\sigma ):=f(\partial \sigma )$ für alle $\sigma \in X_{k+1}$. Dann definiert man die $L^{p}$-Kohomologie von $X$ durch

    $l_{p}H^{k}(X):=\ker(\delta _{k})/\operatorname {im} (\delta _{k-1})$

und die reduzierte $L^{p}$-Kohomologie durch

    $l_{p}{\overline {H}}^{k}(X):=\ker(\delta _{k})/{\overline {\operatorname {im} (\delta _{k-1})}}$.

Beide sind topologische Vektorräume mit der von der $L^{p}$-Norm induzierten Topologie.

## Eigenschaften

### Invarianz unter Quasi-Isometrien

Sei $F\colon X\to Y$ eine Quasi-Isometrie zwischen gleichmäßig kontrahierbaren Simplizialkomplexen, dann sind $F^{*}\colon l_{p}H^{k}(Y)\to l_{p}H^{k}(X)$ und ${\overline {F}}^{*}\colon l_{p}{\overline {H}}^{k}(Y)\to l_{p}{\overline {H}}^{k}(X)$ Isomorphismen topologischer Vektorräume. (Ein metrischer Raum heißt gleichmäßig kontrahierbar, wenn es zu jedem $r>0$ ein $R>r$ gibt, so dass jeder $r$-Ball in einem $R$-Ball kontrahierbar ist.)

### Geometrische Gruppenwirkungen

Wenn eine Gruppe $\Gamma$ geometrisch auf einem gleichmäßig kontrahierbaren Simplizialkomplex $X$ wirkt, dann ist

    $l_{p}H^{*}(X)=H^{*}(\Gamma ,l^{p}\Gamma )$.

Falls zusätzlich das Zentrum von $\Gamma$ unendlich ist, gilt $l_{p}H^{k}(X)=0$ für alle $p$ und $k$. Dies ist insbesondere der Fall für unendliche nilpotente Gruppen.

### Dualitäten

Für ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$ ist die $l_{p}$-Kohomologie $l_{p}H^{*}(X)$ dual zur $l_{q}$-Homologie $l_{q}H_{*}(X)$.

Für Riemannsche Mannigfaltigkeiten der Dimension $n$ quasi-isometrisch zu einem Simplizialkomplex beschränkter Geometrie hat man zusätzlich die Poincaré-Dualität $l_{p}H^{k}(X)=l_{p}H_{n-k}(X)$.

### Definition mittels Differentialformen

Für differenzierbare Mannigfaltigkeiten $M$ kann $l_{p}H^{k}(M)$ äquivalent definiert werden als Quotientenraum der geschlossenen $k$-Formen $\alpha \in L^{p}$ modulo der Differentiale von $(k-1)$-Formen $\beta \in L^{p}$ mit $d\beta \in L^{p}$.

## Beispiele

### Hyperbolischer Raum

Sei $X$ der $n$-dimensionale hyperbolische Raum. Dann gilt für $p<{\tfrac {n-1}{k}}$ oder $p>{\tfrac {n-1}{k-1}}$ jeweils $l_{p}H^{k}(X)=l_{p}{\overline {H}}^{k}(X)=0$ und für ${\tfrac {n-1}{k}}<p<{\tfrac {n-1}{k-1}}$ jeweils $l_{p}H^{k}(X)=l_{p}{\overline {H}}^{k}(X)\not =0$.

### Heintze-Gruppen

Für Heintze-Gruppen $X=\mathbb {R} ^{n}\rtimes _{\alpha }\mathbb {R}$ mit $\alpha (t)=diag(e^{\lambda _{1}t},\ldots ,e^{\lambda _{n}t})$ und $0<\lambda _{1}\leq \ldots \leq \lambda _{n}$ gilt $l_{p}H^{k}(X)=0$ genau dann, wenn $p>{\tfrac {\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}}{\lambda _{n-k}+\ldots +\lambda _{n}}}$.

### Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung

Für eine einfach zusammenhängende vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit der Schnittkrümmung $-1\leq K\leq -\delta <0$ ist $l_{p}H^{k}(X)=0$ für alle $1<p\leq 1+{\tfrac {n-k-1}{k}}{\sqrt {\delta }}$.

## $L^p-Kohomologie$ von Gruppen

Die $L^p-Kohomologie$ einer topologischen Gruppe $G$ ist definiert als stetige Gruppenkohomologie mit Koeffizienten $l^{p}G$.

Wenn $G$ eigentlich diskontinuierlich auf einem gleichmäßig kontrahierbaren Simplizialkomplex $X$ wirkt, ist $l_{p}H^{*}(G)=l_{p}H^{*}(X)$.

Für Gruppen, die lokal kompakt sind, das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllen und eine eigentliche links-invariante Metrik tragen, ist die $L^p-Kohomologie$ invariant unter Quasi-Isometrien. Insbesondere lässt sich die Berechnung der $L^p-Kohomologie$ einfacher Lie-Gruppen auf die Berechnung der $L^p-Kohomologie$ einer parabolischer Untergruppe zurückführen.

