Gδ-Satz von Hausdorff
# Gδ-Satz von Hausdorff

Der $G_{\delta }$-Satz von Hausdorff ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie. Er wurde 1924 von Felix Hausdorff in den Fundamenta Mathematicae veröffentlicht. Der $G_{\delta }$-Satz wird von manchen Autoren auch dem russischen Mathematiker Paul Alexandroff zugeschrieben, welcher den Satz für den separablen Fall, das heißt für den Spezialfall polnischer Räume, bewiesen hatte.

## Formulierung des Satzes

    In einem vollständigen metrischen Raum ist ein Unterraum, welcher eine $G_{\delta }$-Menge, also die Schnittmenge abzählbar vieler offener Teilmengen ist, stets vollständig metrisierbar.

## Umkehrung

Der $G_{\delta }$-Satz hat eine gewisse Umkehrung in dem von Stefan Mazurkiewicz bewiesenen Satz von Mazurkiewicz:

    In einem metrischen Raum ist jeder vollständig metrisierbare Unterraum eine $G_{\delta }$-Menge.

## Folgerung

Aus dem $G_{\delta }$-Satz folgt unmittelbar, dass die Menge der irrationalen Zahlen

    $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} =\bigcap _{q\in \mathbb {Q} }({\mathbb {R} \setminus \{q\}})$

mit der von $\mathbb {R}$ herrührenden Unterraumtopologie vollständig metrisierbar ist. Konstruktiv lässt sich dies mittels der Angabe eines Homöomorphismus zum Baire-Raum zeigen.

