Gδ- und Fσ-Mengen
# Gδ- und Fσ-Mengen

Als $G_δ-Mengen$ und $F_σ-Mengen$ bezeichnet man in der Mathematik spezielle Mengen in topologischen Räumen. Sie spielen eine wichtige Rolle in der Maßtheorie und treten auch bei der Formulierung von Permanenzeigenschaften gewisser Klassen von topologischen Räumen auf.

## Definition

Gegeben sei ein topologischer Raum $(X,{\mathcal {O}})$.

Eine Menge $G\subset X$ heißt eine $G_δ-Menge,$ wenn sie der abzählbare Durchschnitt von offenen Mengen in $X$ ist. Das heißt, es existieren Mengen $O_{n}\in {\mathcal {O}}$ für alle $n\in \mathbb {N}$, so dass

    $G=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }O_{n}$

gilt.

Eine Menge $F\subset X$ heißt eine $F_σ-Menge,$ wenn sie die abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen in $X$ ist. Äquivalent dazu ist, dass das Komplement der Menge eine $G_δ-Menge$ ist.

## Benennung

Die Benennung erklärt sich wie folgt:

* F steht für fermé, französisch für abgeschlossen, das σ für somme, französisch für Summe und daraus abgeleitet die Vereinigung, ähnlich der σ-Additivität oder der σ-Endlichkeit.
* G steht für Gebiet, da Felix Hausdorff offene Mengen Gebiete nannte, das δ für Durchschnitt.

## Verwendung

Namensgebend sind die $G_δ-Mengen$ beispielsweise bei dem $G_δ-Satz$ von Hausdorff, ebenso spielen sie eine zentrale Rolle bei dem eng verwandten Satz von Mazurkiewicz.

Außerdem sind sowohl $G_δ-Mengen$ als auch $F_σ-Mengen$ stets Borel-Mengen und befinden sich in der zweiten Stufe der Borel-Hierarchie.

