Seiberg-Witten-Gleichung
# Seiberg-Witten-Gleichung

Die Seiberg-Witten-Gleichungen stammen aus der Seiberg-Witten-Theorie in der theoretischen Physik. Ihre Lösungen heißen Monopole. In der Mathematik wird der Modulraum ihrer Lösungen zur Konstruktion der Seiberg-Witten-Invarianten verwendet.

## Gleichungen

Sei $M$ eine kompakte, differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer Riemannschen Metrik und einer $Spin^c-Struktur$ mit assoziierten Spinorbündeln $W^{\pm }$.

Die Seiberg-Witten-Gleichungen sind Gleichungen für ein „selbstduales Spinorfeld“ $\phi$ (d. h. einen Schnitt von $W^{+}$) und einen $U(1)$-Zusammenhang $A$ auf dem Determinantenbündel $L$. Sie lauten:

    $D^{A}\phi =0,$
    $F_{A}^{+}+\tau (\phi )=0.$

Dabei bezeichnet $D^{A}$ den Dirac-Operator des Zusammenhangs, $F_{A}$ die Krümmungsform des Zusammenhangs, $F_{A}^{+}:={\frac {1}{2}}(F_{A}+F_{A}^{*})$ ihren selbstdualen Anteil, und $\tau (\phi )$ den spurfreien Anteil des Endomorphismus $\theta \to \langle \theta ,\phi \rangle \phi$ von $W^{+}$.

## Gestörte Gleichungen

Für eine bzgl. der Riemannschen Metrik selbst-duale 2-Form $\eta \in \Omega ^{2,+}(M,i\mathbb {R} )$ betrachtet man die gestörten Seiberg-Witten-Gleichungen

    $D^{A}\phi =0,$
    $F_{A}^{+}+\tau (\phi )+\eta =0.$
