Eigenspinor
# Eigenspinor

Eigenspinoren stellen in der Quantenmechanik die Basisvektoren dar, die den Spin-Zustand eines Teilchens beschreiben. Für ein einzelnes Spin-1/2-Teilchen können sie als die Eigenvektoren der Pauli-Matrizen betrachtet werden. In Termen der Physik zählen Eigenspinoren nicht zu Vektoren, sondern zu den Spinoren. Sie bilden ein vollständiges Orthonormalsystem.

## Hintergrund

Der Spin ${\vec {S}}$ eines Teilchens gehorcht der Drehimpulsalgebra, daher sind nicht alle Komponenten des Spins gleichzeitig messbar. Es ist daher nicht möglich, alle drei Komponenten $S_{x},S_{y},S_{z}$ des Spins in allen drei Raumdimensionen gleichzeitig anzugeben, sondern nur gleichzeitig seinen Betrag $|{\vec {S}}|=s(s+1)$ und seine Projektion auf eine Koordinatenachse. Aufgrund der Quantisierung des Spins in Einheiten des (halben) reduzierten Planckschen Wirkungsquantums $\hbar$ existieren $2s+1$ verschiedene solche Einstellungen.

## Spinoren für Teilchen mit Spin ½

Für ein Teilchen mit dem Spin 1/2, gibt es somit nur zwei mögliche Eigenzustände für den Spin: parallel oder antiparallel zu einer Koordinatenachse. In Bra-Ket-Notation als Zustandsvektoren wird der Spin daher als zweikomponentiger Spinor notiert. Der parallele Spin wird als $|0\rangle$, der antiparallele als $|1\rangle$ bezeichnet. Konventionell wird das Koordinatensystem so gewählt, dass die Projektion auf die $z$-Achse die ausgezeichnete Richtung darstellt. Damit gilt $\chi _{\pm }^{z}=\chi _{\pm }$ und für die übrigen Raumrichtungen:

| $S_{z}$ | $S_{x}$ | $S_{y}$ |
| - | - | - |
| $\chi _{+}^{z}=|0\rangle ={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$ | $\chi _{+}^{x}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle +|1\rangle \right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}$ | $\chi _{+}^{y}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle +\mathrm {i} |1\rangle \right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\\mathrm {i} \end{bmatrix}}$ |
| $\chi _{-}^{z}=|1\rangle ={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$ | $\chi _{-}^{x}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle -|1\rangle \right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}$ | $\chi _{-}^{y}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle -\mathrm {i} |1\rangle \right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-\mathrm {i} \end{bmatrix}}$ |

Diese Ergebnisse sind Spezialfälle der Eigenspinoren für die durch $\theta$ und $\varphi$ festgelegten Parameter in Kugelkoordinaten – diese Eigenspinoren sind:

    $\chi _{+}={\begin{bmatrix}\cos(\theta /2)\\e^{i\varphi }\sin(\theta /2)\\\end{bmatrix}}$
    $\chi _{-}={\begin{bmatrix}\sin(\theta /2)\\-e^{i\varphi }\cos(\theta /2)\\\end{bmatrix}}$

## Spinoren für Teilchen mit höherem Spin

Spinoren für Teilchen mit Spin $\textstyle s>{\frac {1}{2}}$ können als dyadische Produkte der Basisspinoren für Teilchen vom Spin ½ dargestellt werden.

