Flacher Zusammenhang
# Flacher Zusammenhang

In der Mathematik sind flache Zusammenhänge in Geometrie und Eichtheorie von Bedeutung.

## Definition

Sei $G$ eine Lie-Gruppe und $\pi :E\rightarrow M$ ein $G$-Prinzipalbündel.

Ein flacher Zusammenhang ist ein Zusammenhang $\omega \in \Omega ^{1}(E,{\mathfrak {g}})$, dessen Krümmungsform verschwindet: $\textstyle \Omega :=d\omega +{\frac {1}{2}}\left[\omega ,\omega \right]=0$.

Aus dem Satz von Ambrose-Singer folgt, dass ein $G$-Prinzipalbündel mit einem flachen Zusammenhang ein flaches Bündel der Form

    $E_{\rho }:={\widetilde {M}}\times G/\sim$

mit $(\gamma x,g)\sim (x,\rho (\gamma )g)$ für eine (vom flachen Zusammenhang abhängende) Darstellung $\rho \colon \pi _{1}M\to G$ ist. $\rho$ heißt die Holonomie-Darstellung des flachen Zusammenhangs.

## Modulraum flacher Zusammenhänge

Der Raum aller Zusammenhänge eines gegebenen Prinzipalbündels ist ${\mathcal {A}}:=\Omega ^{1}(M,{\mathfrak {g}})$ mit der $C^{\infty }$-Topologie. Der Unterraum der flachen Zusammenhänge wird mit ${\mathcal {A}}_{F}$ bezeichnet. Die Eichgruppe ${\mathcal {G}}=C^{\infty }(M,G)$ wirkt auf ${\mathcal {A}}$ durch $g\omega =g^{-1}\omega g+g^{-1}dg$, sie bildet ${\mathcal {A}}_{F}$ in sich ab.

Falls das Bündel (topologisch) trivialisierbar ist, vermittelt die Holonomie-Darstellung eine Bijektion zwischen

    ${\mathcal {A}}_{F}/{\mathcal {G}}$

und einer Zusammenhangskomponente der Darstellungsvarietät

    $Hom(\pi _{1}M,G)/conjugation$.

Der Modulraum flacher Zusammenhänge ist

    ${\mathcal {M}}={\mathcal {A}}_{F}/{\mathcal {G}}$.

Sein Tangentialraum in einem flachen Zusammenhang $A\in {\mathcal {M}}$ ist

    $T_{A}{\mathcal {M}}=H^{1}(M,d_{A})$

mit

    $d_{A}a=da+\left[A,a\right]$

für $A\in {\mathcal {M}},a\in \Omega ^{*}(M,{\mathfrak {g}})$.

Der Satz von Narasimhan-Seshadri identifiziert den Modulraum flacher Zusammenhänge über einer kompakten Riemannschen Fläche $\Sigma$ mit einer komplexen Mannigfaltigkeit, nämlich der Mannigfaltigkeit der stabilen Vektorbündel über $\Sigma$.

## Quellen

* ↑ Narasimhan, Seshadri: Stable and Unitary Vector Bundles on a Compact Riemann Surface
* ↑ Donaldson: A new proof of a theorem of Narasimhan and Seshadri (Memento vom 1. Februar 2017 im Internet Archive)
