Sherrington-Kirkpatrick-Modell
# Sherrington-Kirkpatrick-Modell

Das Sherrington-Kirkpatrick-Modell ist in der statistischen Physik ein lösbares Spin-Glas-Modell, welches 1975 von David Sherrington und Scott Kirkpatrick eingeführt wurde. Es ist ein Mean-Field-Modell für das Spin-Glas.

## Definition

Das Sherrington-Kirkpatrick-Modell besteht aus einer Konfiguration $\sigma =(\sigma _{1},\dots ,\sigma _{N})\in \Sigma _{N}=\{-1,1\}^{N}$ bestehend aus $N$ binären Spins $\sigma _{i}\in \{-1,1\}$ und einem Hamiltonoperator gegeben durch

    $H_{N}(\sigma )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum \limits _{1\leq i<j\leq N}g_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j},$

wobei für $1\leq i<j\leq N$ die $g_{ij}$ unabhängige Zufallsvariablen sind sowie $g_{ij}\sim {\mathcal {N}}(0,1)$.

Üblicherweise ist man nun an

    $\max \limits _{\sigma \in \Sigma _{N}}H_{N}(\sigma )$

(für eine Realisation der $g_{ij}$) interessiert.

### Eigenschaften

* $H_{N}(\sigma )$ ist zentriert und gaußsch. Es gilt

    $\mathbb {E} [H_{N}(\sigma ^{1})H_{N}(\sigma ^{2})]={\frac {1}{N}}\sum \limits _{i<j}\sigma _{i}^{1}\sigma _{j}^{1}\sigma _{i}^{2}\sigma _{j}^{2}={\frac {N}{2}}\left({\frac {1}{N}}\sum \limits _{i=1}^{N}\sigma _{i}^{1}\sigma _{i}^{2}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}={\frac {N}{2}}\left(R_{1,2}\right)^{2}-{\frac {1}{2}},$
    wobei $R_{1,2}$ ein normalisiertes euklidisches Skalarprodukt ist.

### Grenzwertverhalten

Die Partitionsfunktion ist

    $Z_{N}(\beta )=\sum \limits _{\sigma \in \Sigma _{N}}\exp(\beta H_{N}(\sigma )),$

wobei $\beta >0$ der inverse Temperatur-Parameter ist. Die freie Energie ist

    $F_{N}(\beta )={\frac {1}{N}}\mathbb {E} \log(Z_{N}(\beta )).$

Dann gilt

    $\lim \limits _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\mathbb {E} \left[\max \limits _{\sigma \in \Sigma _{N}}H_{N}(\sigma )\right]=\lim \limits _{\beta \to \infty }{\frac {F(\beta )}{\beta }},$

wobei $F(\beta )=\lim \limits _{N\to \infty }F_{N}(\beta ).$

### Verallgemeinerungen

Eine natürliche Verallgemeinerung ist das gemischte p-Spin-Modell, dessen Hamiltonian aus linearen Kombinationen von $p$ Spins (statt nur $2$) besteht.

