Friedelsches Gesetz
# Friedelsches Gesetz

Das friedelsche Gesetz geht auf Georges Friedel zurück und wird in der Kristallographie bei der Kristallstrukturanalyse mit Hilfe von Röntgenstrahlung angewendet.

Es besagt, dass das Beugungsbild eines Kristalls immer zentrosymmetrisch ist, unabhängig davon, ob der Kristall selbst ein Symmetriezentrum besitzt. Oder genauer: Die Intensitäten der Reflexe hkl und hkl sind gleich, auch wenn der Kristall nicht zentrosymmetrisch ist:

    $I_{hkl}=I_{{\bar {h}}{\bar {k}}{\bar {l}}}$

Diese beiden Reflexe stammen von den beiden Seiten derselben Netzebenenschar (hkl) und werden auch als Friedel-Paare bezeichnet.

## Herleitung

Die Intensität $I_{hkl}$ eines Braggreflexes eines Kristalls (beschrieben durch die Laue-Indizes hkl) ergibt sich als Betragsquadrat des Strukturfaktors $F_{hkl}:$

    $I_{hkl}=F_{hkl}\cdot F_{hkl}^{*}=|F_{hkl}|^{2},$

wobei * konjugiert komplex bedeutet.

Für den Strukturfaktor $F_{hkl}$ gilt:

       $F_{hkl}=\sum _{n}f_{n}e^{2\pi i(hx_{n}+ky_{n}+lz_{n})}$,

wobei die Summe sich über alle n Atome mit dem Atomformfaktoren $f_n$ der Basis eines Kristalls erstreckt, die an den Stellen $x_n,$ $y_n,$ $z_n$ liegen.

Für den dazu zentrosymmetrisch liegenden Reflex (hkl) gilt entsprechend:

       $F_{{\bar {h}}{\bar {k}}{\bar {l}}}=\sum _{n}f_{n}e^{2\pi i(-hx_{n}-ky_{n}-lz_{n})}=^{(1)}\left(\sum _{n}f_{n}e^{2\pi i(hx_{n}+ky_{n}+lz_{n})}\right)^{*}=F_{hkl}^{*}.$

Damit gilt auch:

       $F_{{\bar {h}}{\bar {k}}{\bar {l}}}^{*}=F_{hkl}.$

Daraus folgt für die Intensitäten:

    $\Rightarrow I_{hkl}=F_{hkl}\cdot F_{hkl}^{*}=F_{{\bar {h}}{\bar {k}}{\bar {l}}}^{*}\cdot F_{{\bar {h}}{\bar {k}}{\bar {l}}}=I_{{\bar {h}}{\bar {k}}{\bar {l}}}$

Umformung (1) gilt nur, wenn alle $f_n$ reelle Größen sind, was in der Regel erfüllt ist.

### Anmerkung

Das friedelsche Gesetz ist eine konkrete Anwendung einer Eigenschaft der Fouriertransformationen reeller Funktionen f(x):

Für die Fouriertransformation

    $F(k)=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{ik\cdot x}dx$

der reellen Funktion f(x) gilt:

    $F(k)=F^{*}(-k)\,$.

## Folgen

Aufgrund des friedelschen Gesetzes kann man mit Röntgenbeugung eine Punktgruppe, die kein Symmetriezentrum hat, von derselben Punktgruppe mit einem zusätzlichen Symmetriezentrum nicht unterscheiden. Daher lassen sich nicht alle 32 Punktgruppen kristallographisch bestimmen, sondern nur die 11 Lauegruppen.

## Abweichungen

Grundlage des friedelschen Gesetzes ist, dass die Atomformfaktoren reelle Größen sind (vgl. oben Anmerkung).

Für Wellenlängen in der Nähe der Absorptionskante eines Atoms bekommt der Atomformfaktor aber einen deutlichen imaginären Anteil. Daher gilt die Beziehung $F_{hkl}=F_{{\bar {h}}{\bar {k}}{\bar {l}}}^{*}$ nicht mehr. Das friedelsche Gesetz ist dann nur noch erfüllt, wenn die Punktgruppe ein Symmetriezentrum besitzt.

Die Differenz $F_{hkl}^{2}-F_{{\bar {h}}{\bar {k}}{\bar {l}}}^{2}$ heißt Bijvoet-Differenz. Durch ihre Auswertung kann man das Phasenproblem lösen.

