Hyperbolische Menge
# Hyperbolische Menge

In der Theorie der dynamischen Systeme bezeichnet man eine unter einem Fluss invariante Menge als hyperbolische Menge, wenn der Fluss entlang dieser Menge in einigen Richtungen kontrahierend und in anderen Richtungen expandierend wirkt. Dieses Verhalten ist typisch für chaotische dynamische Systeme.

## Definition für diskrete dynamische Systeme

Sei $f\colon M\to M$ ein Diffeomorphismus einer kompakten glatten Mannigfaltigkeit und $Df\colon TM\to TM$ sein Differential. Eine $f$-invariante Teilmenge $\Lambda \subset M$ ist eine hyperbolische Menge, wenn die Einschränkung $T_{\Lambda }M:=TM\mid _{\Lambda }$ des Tangentialbündels auf $\Lambda$ sich als Whitney-Summe zweier $Df$-invarianter Unterbündel $E^{s}$ und $E^{u}$ zerlegen lässt, so dass (für eine geeignete Riemannsche Metrik) die Einschränkung von $Df$ auf $E^{s}$ eine Kontraktion und die Einschränkung von $Df$ auf $E^{u}$ eine Expansion ist. Das heißt,

    $T_{\Lambda }M=E^{s}\oplus E^{u},$
    $(Df)_{x}E_{x}^{s}=E_{f(x)}^{s}$ and $(Df)_{x}E_{x}^{u}=E_{f(x)}^{u}$ für alle $x\in \Lambda$

und es gibt Konstanten $0<\lambda <1,c>0$ so dass

    $\|Df^{n}v\|\leq c\lambda ^{n}\|v\|$ für alle $v\in E^{s}$ und $n>0$

und

    $\|Df^{-n}v\|\leq c\lambda ^{n}\|v\|$ für alle $v\in E^{u}$ und $n>0$.

## Definition für Flüsse

Sei

    $\varphi \colon M\times \mathbb {R} \to M$

ein Fluss auf einer kompakten glatten Mannigfaltigkeit $M$. Für $t\in \mathbb {R}$ bezeichnen wir mit $\varphi _{t}\colon M\to M$ die Abbildung

    $\varphi _{t}(x)=\varphi (x,t)$

und mit $D\varphi _{t}\colon TM\to TM$ ihr Differential. Den Orbit eines Punktes $x\in M$ bezeichnen wir mit

    ${\mathcal {O}}(x,\varphi ):=\left\{\varphi (x,t)|t\in \mathbb {R} \right\}=\left\{\varphi _{t}(x)|t\in \mathbb {R} \right\}$.

Eine unter allen $\varphi _{t}$ invariante Teilmenge $\Lambda \subset M$ ist eine hyperbolische Menge, wenn die Einschränkung $TM\mid _{\Lambda }$ des Tangentialbündels auf $\Lambda$ sich als Whitney-Summe zweier $Df$-invarianter Unterbündel $E^{s}$ und $E^{u}$ und des Tangentialbündels der jeweiligen Orbiten zerlegen lässt, so dass (für eine geeignete Riemannsche Metrik) die Einschränkung von $Df$ auf $E^{s}$ eine Kontraktion und die Einschränkung von $Df$ auf $E^{u}$ eine Expansion ist. Das heißt,

    $T_{x}M=T_{x}{\mathcal {O}}(x,\varphi )\oplus E_{x}^{s}\oplus E_{x}^{u}$ für alle $x\in \Lambda$,
    $(D\varphi _{t})_{x}E_{x}^{s}=E_{\varphi _{t}(x)}^{s}$ and $(D\varphi _{t})_{x}E_{x}^{u}=E_{\varphi _{t}(x)}^{u}$ für alle $x\in \Lambda ,t\in \mathbb {R}$

und es gibt Konstanten $0<\lambda <1,c>0$ so dass

    $\|D\varphi _{t}v\|\leq c\lambda ^{t}\|v\|$ für alle $v\in E^{s}$ und $t>0$

und

    $\|D\varphi _{-t}v\|\leq c\lambda ^{t}\|v\|$ für alle $v\in E^{u}$ und $t>0$.

## Stabile und instabile Bündel, stabile und instabile Mannigfaltigkeiten

Die durch die Definition einer hyperbolischen Menge gegebenen Bündel $E^{s}$ und $E^{u}$ heißen stabiles und instabiles Bündel, ihre Integralmannigfaltigkeiten heißen stabile und instabile Mannigfaltigkeiten.

## Anosov-Fluss, Anosov-Diffeomorphismus

Falls $\Lambda =M$ ist, spricht man von einem Anosov-Fluss bzw. Anosov-Diffeomorphismus. Allgemeiner werden in der Theorie der dynamischen Systeme häufig Axiom A-Flüsse bzw. Axiom A-Diffeomorphismen betrachtet.

