Homologiesphäre
# Homologiesphäre

Eine Homologiesphäre bezeichnet in der Mathematik eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit $M$, deren singuläre Homologiegruppen isomorph zu denen der gewöhnlichen $n$-Sphäre sind.

## Definition

Explizit ausgedrückt heißt eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit $M$, für deren singulären Homologiegruppen

    $H_{0}(M,\mathbb {Z} )\cong H_{n}(M,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$

für ein $n>1$ und

    $H_{j}(M,\mathbb {Z} )=\{0\}$

für alle anderen $j$ gelten.

Aus der Homologie kann man ablesen, dass $M$ eine kompakte, zusammenhängende Mannigfaltigkeit ohne Rand ist. Im Allgemeinen ist $M$ jedoch nicht einfach zusammenhängend: Teilt man die Fundamentalgruppe $\pi _{1}(M)$ durch ihre Kommutatorgruppe dann erhält man eine Gruppe, die isomorph zur ersten Homologiegruppe $H_{1}(M,\mathbb {Z} )$ ist. Das bedeutet aus $H_{1}(M,\mathbb {Z} )=\{0\}$ kann man lediglich schließen, dass die Fundamentalgruppe eine perfekte Gruppe, also zu ihrer Kommutatorgruppe isomorph ist, nicht aber dass $\pi _{1}(M)$ trivial sein muss.

## Geschichtliche Einordnung

Historisch wurden Homologiesphären zuerst in der $3$-dimensionalen Topologie betrachtet.

Poincaré glaubte anfangs, dass der Homologiering ausreichen müsste, um die $3$-dimensionale Standardsphäre eindeutig zu charakterisieren. Er entdeckte aber ein Gegenbeispiel (die sogenannte Poincaré-Homologiesphäre) und formulierte dann die schärfere Poincaré-Vermutung (bei der zusätzlich $\pi _{1}(M)=\{0\}$ gefordert wird), die erst ca. 100 Jahre später von Perelman bewiesen wurde.

## Verbindung zur Homotopiesphäre

Eine Anwendung des Satzes von Hurewicz und des Satzes von Whitehead zeigt, dass jede einfach zusammenhängende $n$-dimensionale Homologiesphäre eine Homotopiesphäre, d. h. homotopieäquivalent zur Sphäre $S^{n}$ sein muss. Aus der Poincaré-Vermutung beziehungsweise ihrem höherdimensionalen Analogon für $n>3$ folgt dann, dass sie auch homöomorph zur $S^{n}$ ist. Auch in höheren Dimensionen gibt es also Homologiesphären $M\not =S^{n}$ nur für $\pi _{1}M\not =0$.

