Bellard-Formel
# Bellard-Formel

Die Bellard-Formel ist eine Reihe, die verwendet werden kann, um die ersten $p$ Ziffern der Kreiszahl $\pi$ im Hexadezimalsystem zu berechnen.

Fabrice Bellard veröffentlichte 1997 als Erster einen Artikel über die Formel. Sie ist circa 1,43 mal so schnell wie die Bailey-Borwein-Plouffe-Formel.

Eine wichtige Anwendung der Formel ist die Verifizierung der Berechnungen aller ersten Stellen von $\pi$ mittels anderer Methoden. Somit müssen nicht alle Stellen von zwei verschiedenen Algorithmen berechnet werden, da es reicht, die letzten Stellen einer "vollständigen" Berechnung durch die Bellard-Formel zu überprüfen.

## Die Formel

Die Formel lautet:

    ${\begin{aligned}\pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{10n}}}\,\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}\right.&-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}\left.-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right).\end{aligned}}$

Um die ersten $p$ Hexadezimalstellen von $\pi$ zu berechnen, genügt es, eine Partialsumme auszurechnen, die von der Reihe um höchstens $16^{-p}$ abweicht.

