Eigentliche Abbildung
# Eigentliche Abbildung

Eine eigentliche Abbildung ist eine stetige Abbildung, die in der mengentheoretischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, untersucht wird.

## Definitionen

Die Definition eigentlicher Abbildungen variiert von Autor zu Autor. Hier werden deshalb zwei gebräuchliche Definitionen vorgestellt.

* Eine stetige Abbildung $f\colon X\to Y$ zwischen zwei lokalkompakten Räumen heißt eigentlich, wenn das Urbild jeder kompakten Menge kompakt ist.

Eine weitere und allgemeinere Definition ist:

* Eine stetige Abbildung $f\colon X\to Y$ zwischen zwei topologischen Räumen heißt eigentlich, genau dann wenn für jeden beliebigen topologischen Raum Z die Abbildung $f\times \operatorname {id} _{Z}\colon X\times Z\to Y\times Z,(x,z)\mapsto (f(x),z)$ abgeschlossen ist.

Die zweite Definition ist äquivalent zur ersten, wenn $X$ ein Hausdorff-Raum und $Y$ ein lokalkompakter Hausdorff-Raum ist.

## Beispiele

* Ist die Definitionsmenge $X$ kompakt, so ist jede stetige Abbildung $f\colon X\to Y$ eigentlich.
* Jeder Homöomorphismus ist eigentlich, also auch jeder Diffeomorphismus und jede biholomorphe Abbildung.

## Eigenschaften

* Eine eigentliche Abbildung ist abgeschlossen, das heißt, das Bild jeder abgeschlossenen Menge ist abgeschlossen.
* Die Einschränkung $f|A\colon A\to Y$ eigentlicher Abbildung $f\colon X\to Y$ auf einen abgeschlossen Unterraum $A\subseteq X$ ist immer eigentlich.
* Die Komposition eigentlicher Abbildungen ist wieder eigentlich. Topologische Räume zusammen mit den eigentlichen Abbildungen bilden also eine Unterkategorie der Kategorie der stetigen Funktionen.
* Sind $X_{1},X_{2},Y_{1},Y_{2}$ topologische Räume und sind $f_{1}\colon X_{1}\to Y_{1},f_{2}\colon X_{2}\to Y_{2}$ eigentliche Abbildungen, so ist $f_{1}\times f_{2}\colon X_{1}\times X_{2}\to Y_{1}\times Y_{2}$ wieder eine eigentliche Abbildung.
* Ist $f\colon X\to Y$ eine eigentliche Abbildung zwischen topologischen Räumen und ist $B\subseteq Y$ kompakt, so ist $f^{-1}(B)$ kompakt in $X$.
* Ist $X$ ein kompakter Raum und $Y$ ein beliebiger topologischer Raum und $X\times Y$ das topologische Produkt, dann ist die Projektion $\pi _{Y}\colon X\times Y\to Y,(x,y)\mapsto y$ eine eigentliche Abbildung.

## Anwendungen

Eigentliche Abbildungen liefern ein Kriterium für die Kompaktheit eines topologischen Raumes: Sei $P$ ein einelementiger topologischer Raum mit der einzigen existierenden Topologie. Dann gilt: Ein topologischer Raum $X$ ist dann und nur dann kompakt, wenn die konstante Abbildung $p\colon X\to P$ eigentlich ist. Hieraus folgen die letzten beiden genannten Eigenschaften.

