Dutta-Ray-Lösung
# Dutta-Ray-Lösung

Die Dutta-Ray-Lösung ist ein Lösungskonzept der kooperativen Spieltheorie. Streben eigennutzenmaximierende Individuen als soziales Ziel die Gleichheit an, so ist die Dutta-Ray-Lösung für kooperative Spiele mit transferierbaren Nutzen geeignet. Jede einzelne Koalition strebt dabei das Prinzip der Gleichheit an.

## Lorenz-Menge

Die Lorenz-Menge wird mittels der (starken) Lorenz-Dominanz definiert. Dabei werden jene Zuteilungsvektoren verglichen, mittels derer die Lorenz-Kurven berechnet werden. In einem balancierten Spiel $\Gamma ({N},v)$ ist die Lorenz-Menge definiert als:

    ${\displaystyle LM(v)=\left\{x\in C(v)\ |\ \nexists \ y\in C(v):\ y\succ _{Lor}x\right\}}.$

Die Lorenz-Menge besteht somit aus allen nicht Lorenz-dominierten Kernzuteilungen. Außerdem ist die Lorenz-Menge eine Teilmenge des Kerns.

## Definition Dutta-Ray-Lösung

Für konvexe Spiele $\Gamma ({N},v)$ ist die Lorenz-Menge einelementig, d. h. $|LM(v)|=1$. Dieses Element wird dann auch Dutta-Ray-Lösung genannt. Die Dutta-Ray-Lösung eines konvexen Spiels $\Gamma ({N},v)$ ist gegeben mit:

    ${\displaystyle DRL(v)={\underset {x\in C(v)}{\operatorname {arg\,min} }}\,\sum _{i\in N}\left(x_{i}-{\frac {v(N)}{|N|}}\right)^{2}}.$

Somit minimiert die Dutta-Ray-Lösung den euklidischen Abstand zwischen der Gleichverteilung und dem Kern.

## Beispiele

### Beispiel 1

Koalitionsfunktion des (Bei-)Spiels :

| ${\displaystyle S}$ | ${\displaystyle \emptyset }$ | ${\displaystyle \{A\}}$ | ${\displaystyle \{B\}}$ | ${\displaystyle \{C\}}$ | ${\displaystyle \{A,B\}}$ | ${\displaystyle \{A,C\}}$ | ${\displaystyle \{B,C\}}$ | ${\displaystyle \{A,B,C\}}$ |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| ${\displaystyle v(S)}$ | ${\displaystyle 0}$ | ${\displaystyle 200}$ | ${\displaystyle 200}$ | ${\displaystyle 200}$ | ${\displaystyle 700}$ | ${\displaystyle 500}$ | ${\displaystyle 500}$ | ${\displaystyle 1200}$ |

Es handelt sich um ein konvexes Spiel. Ist die Gleichverteilung im Kern des Spieles, so ist es die Dutta-Ray-Lösung. Hier sind die dafür notwendigen Bedingungen mit $x_{A}=x_{B}=x_{C}=400$ erfüllt:

${\begin{array}{rcc}\displaystyle x_{A},x_{B},x_{C}&\geq &200&\\x_{A}+x_{B}+x_{C}&=&1200&\\x_{A}+x_{B}&\geq &700&\\x_{A}+x_{C}&\geq &500&\\x_{B}+x_{C}&\geq &500&\\\end{array}}$

### Beispiel 2

Betrachtet man nun folgende Koalitionsfunktion mit ebenfalls ${v(N)}=1200$:

| ${\displaystyle S}$ | ${\displaystyle \emptyset }$ | ${\displaystyle \{A\}}$ | ${\displaystyle \{B\}}$ | ${\displaystyle \{C\}}$ | ${\displaystyle \{A,B\}}$ | ${\displaystyle \{A,C\}}$ | ${\displaystyle \{B,C\}}$ | ${\displaystyle \{A,B,C\}}$ |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| ${\displaystyle v(S)}$ | ${\displaystyle 0}$ | ${\displaystyle 100}$ | ${\displaystyle 100}$ | ${\displaystyle 100}$ | ${\displaystyle 900}$ | ${\displaystyle 300}$ | ${\displaystyle 300}$ | ${\displaystyle 1200}$ |

So kann festgehalten werden, dass dieses Spiel weiterhin konvex ist. Setzt man wieder die Gleichverteilung mit $x_{A}=x_{B}=x_{C}=400$ in die Bedingungen ein:

${\begin{array}{rcc}\displaystyle x_{A},x_{B},x_{C}&\geq &100&\\x_{A}+x_{B}+x_{C}&=&1200&\\x_{A}+x_{B}&\geq &900&\\x_{A}+x_{C}&\geq &300&\\x_{B}+x_{C}&\geq &300&\\\end{array}}$

ist die dritte Bedingung verletzt, d. h. die Gleichverteilung liegt nicht im Kern des Spieles. Spieler $A$ und $B$ wollen zusammen mindestens eine Auszahlung von $900$ erhalten. Wird diese Auszahlung hälftig unter den beiden Spielern aufgeteilt $x_{A}=x_{B}=450$, dann kann Spieler $C$ noch den Rest der Auszahlung der großen Koalition mit $x_{C}=300$ (${v(N)}-x_{A}-x_{B}=1200-450-450=300$) erhalten. Somit ist eine Verteilung gefunden, die alle Bedingungen erfüllt. Zudem wird damit offensichtlich, dass es sich um die Dutta-Ray-Lösung handelt.

