Kan-Erweiterung
# Kan-Erweiterung

In der mathematischen Kategorientheorie bezeichnet man Funktoren, die die universelle Approximation an die Lösung der Gleichung $?\circ F=X$ sind, als Kan-Erweiterungen. Die Konstruktion ist nach Daniel M. Kan benannt, der solche Erweiterungen 1960 als Limites und Kolimites konstruierte.

## Definition

Es gibt zwei duale Definitionen: Die eine Erweiterung wird linksseitig genannt, weil sie über eine universelle Eigenschaft definiert wird, in der die Kan-Erweiterung als Quelle auftritt, während die andere Erweiterung rechtsseitig genannt wird, weil sie Ziel einer universellen Transformation ist.

### Linksseitige Kan-Erweiterung

Seien ${\mathcal {A}}$, ${\mathcal {B}}$ und ${\mathcal {C}}$ Kategorien, $L,X,F$ und $M$ Funktoren und $\sigma$ und $\alpha$ natürliche Transformationen.

Die linksseitige Kan-Erweiterung eines Funktors $X\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}$ entlang eines Funktors $F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ ist ein Paar $(L\colon {\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}},\varepsilon \colon X\to L\circ F)$, das die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Für jedes $M\colon {\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}$ und jedes $\alpha \colon X\to M\circ F$ gibt es genau ein $\sigma \colon L\to M$ mit $\sigma _{F}\circ \varepsilon =\alpha$, wobei $\sigma _{F}(A)=\sigma \left(F(A)\right)$.

### Rechtsseitige Kan-Erweiterung

Seien ${\mathcal {A}}$, ${\mathcal {B}}$ und ${\mathcal {C}}$ Kategorien, $R,X.F$ und $M$ Funktoren und $\delta$ und $\mu$ natürliche Transformationen.

Die rechtsseitige Kan-Erweiterung eines Funktors $X\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}$ entlang eines Funktors $F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ ist ein Paar $(R\colon {\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}},\eta \colon R\circ F\to X)$, das die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Für jedes $M\colon {\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}$ und jedes $\mu \colon M\circ F\to X$ gibt es genau ein $\delta \colon M\to R$ mit $\eta \circ \delta _{F}=\mu$, wobei $\delta _{F}(A)=\delta \left(F(A)\right)$.

