Arkussekans und Arkuskosekans
# Arkussekans und Arkuskosekans

Arkussekans und Arkuskosekans sind zyklometrische Funktionen. Sie sind die Umkehrfunktionen der Sekansfunktion bzw. der Kosekansfunktion und damit Arkusfunktionen. Da die Sekans- und die Kosekansfunktion periodisch sind, wird zur Umkehrung der Definitionsbereich von Sekans auf $\lbrack 0\,,\,\pi \rbrack$, und der Definitionsbereich von Kosekans auf $\lbrack -{\pi /2},\,\pi /2\rbrack$ beschränkt. Der Arkussekans wird mit $\operatorname {arcsec} \,(x)$ bezeichnet und der Arkuskosekans mit $\operatorname {arccsc} \,(x)$. Seltener, vor allem aber im Englischen verwendet man auch die Schreibweisen $\sec ^{-1}(x)$ und $\csc ^{-1}$; sie bedeuten aber nicht, dass $\operatorname {arcsec}$ bzw. $\operatorname {arccsc}$ die Kehrwerte von $\sec$ und $\csc$ sind.

## Eigenschaften

| | Arkussekans | Arkuskosekans |
| - | - | - |
| Funktions- Graphen | | |
| Definitionsbereich | $-\infty <x\leq -1\,,\,1\leq x<+\infty$ | $-\infty <x\leq -1\,,\,1\leq x<+\infty$ |
| Wertebereich | $0\leq f(x)\leq \pi$ | $-{\frac {\pi }{2}}\leq f(x)\leq {\frac {\pi }{2}}$ |
| Monotonie | In beiden Abschnitten jeweils streng monoton steigend | In beiden Abschnitten jeweils streng monoton fallend |
| Symmetrien | Punktsymmetrie zum Punkt $x=0,y={\frac {\pi }{2}}$ | Ungerade Funktion $\operatorname {arccsc} \,(x)=-\operatorname {arccsc} \,(-x)$ |
| Asymptoten | $f(x)\to {\frac {\pi }{2}}$ für $x\to \pm \infty$ | $f(x)\to 0$ für $x\to \pm \infty$ |
| Nullstellen | $x=1\!\,$ | keine |
| Sprungstellen | keine | keine |
| Polstellen | keine | keine |
| Extrema | Minimum bei $\left(1|0\right)$, Maximum bei $\left(-1|\pi \right)$ | Minimum bei $\left(-1|-{\frac {\pi }{2}}\right)$, Maximum bei $\left(1|{\frac {\pi }{2}}\right)$ |
| Wendepunkte | keine | keine |

## Reihenentwicklungen

Die Reihenentwicklungen von Arkussekans und Arkuskosekans sind:

    $\operatorname {arcsec}(x)={\frac {\pi }{2}}-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!x^{-(2k+1)}}{(2k)!!\cdot (2k+1)}}\approx {\frac {\pi }{2}}-x^{-1}-{\frac {1}{6}}x^{-3}-{\frac {3}{40}}x^{-5}$
    $\operatorname {arccsc}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!x^{-(2k+1)}}{(2k)!!\cdot (2k+1)}}={\frac {1}{x}}\;+\;{\frac {1}{2\cdot 3x^{3}}}\;+\;{\frac {3}{2\!\cdot \!4\cdot 5x^{5}}}\;+\;{\frac {3\!\cdot \!5}{2\!\cdot \!4\!\cdot \!6\cdot 7x^{7}}}\;+\;\ldots$

## Integraldarstellungen

Für den Arkussekans und Arkuskosekans existieren folgende Integraldarstellungen:

    $\operatorname {arcsec}(x)=\int \limits _{1}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{t{\sqrt {t^{2}-1}}}}$
    $\operatorname {arccsc}(x)=\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t{\sqrt {t^{2}-1}}}}$

## Ableitungen

Die Ableitungen sind gegeben durch:

    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arcsec} (x)={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arccsc} (x)=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

## Integrale

    $\int \operatorname {arcsec} (x)\,\mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {arcsec} (x)-\operatorname {sgn}(x)\cdot \ln \left(\left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|\right)+C=x\cdot \operatorname {arcsec} (x)-\operatorname {arcosh} (|x|)+C$
    $\int \operatorname {arccsc} (x)\,\mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {arccsc} (x)+\operatorname {sgn}(x)\cdot \ln \left(\left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|\right)+C=x\cdot \operatorname {arccsc} (x)+\operatorname {arcosh} (|x|)+C$

## Umrechnung und Beziehungen zu anderen zyklometrischen Funktionen

    $\operatorname {arcsec} \,(x)=\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)$
    $\operatorname {arccsc} \,(x)=\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)$
