Rentenbarwertfaktor
# Rentenbarwertfaktor

Der Rentenbarwert ist das errechnete Geldkapital, das erforderlich wäre, um Geld in Form einer Rente in einer spezifischen Höhe bei einer gegebenen Verzinsung über einen bestimmten Zeitraum zu zahlen. Umgekehrt ist der Rentenbarwert auch die mit einem gegebenen Zins diskontierte Zahlungsreihe gleicher Höhe, die über einen bestimmten Zeitraum fließt, also der Barwert einer Rentenzahlung.

Der Rentenbarwertfaktor ist der Multiplikator, der aus einer gleichförmigen Rentenzahlung in Abhängigkeit von Zinssatz und Zahlungsdauer ihren Barwert berechnet. Der Rentenbarwertfaktor wird verschiedentlich auch als Diskontierungssummenfaktor, Annuitätenbarwertfaktor und Abzinsungssummenfaktor bezeichnet.

## Gleichung

Der Rentenbarwert ergibt sich als Summe der abgezinsten Zahlungen:

${\text{Rentenbarwert}}=\sum _{t=1}^{T}{Z(t) \over \left(1+i\right)^{t}}$

wobei

* $Z$ Zahlungen
* $T$ Anzahl der Perioden
* $i$ Zinssatz für eine jede solche Periode.

Im Sonderfall konstanter Zahlungen kann der Rentenbarwertfaktor (RBF) abgeleitet werden, der multipliziert mit der konstanten Rate den Rentenbarwert ergibt:

${\text{Rentenbarwert}}={{\text{RBF}}\left(i,T\right)}\cdot {\text{Rente}}$

Der Rentenbarwertfaktor für eine nachschüssige Rente errechnet sich durch: ${{\text{RBF}}\left(i,T\right)}={\frac {(1+i)^{T}-1}{(1+i)^{T}\cdot i}}={\frac {1-(1+i)^{-T}}{i}}={\frac {1}{i}}-{\frac {1}{i{\big1+i{\big )}^{T}}}$

Die finanzmathematische Formel ermöglicht es, den Barwert einer gleichförmigen Reihe von Zahlungen (Rentenzahlung) zu ermitteln. Der Rentenbarwertfaktor ist ein Teil der Annuitätenmethode der klassischen, dynamischen Investitionsrechnung.

## Herleitung des Rentenbarwerts der nachschüssigen Rente

Die Gleichung:

${\text{Rentenbarwert}}={{\text{Rente}}\cdot {\text{RBF}}\left(i,T\right)}={Z_{0}\cdot {\frac {(1+i)^{T}-1}{(1+i)^{T}\cdot i}}}$

mit

* $T$ Anzahl der Perioden
* $Z_{0}=Z(1)=Z(2)=...=Z(T)$ Zahlung für eine jede solche Periode
* $i$ Zinssatz für eine jede solche Periode

lässt sich wie folgt herleiten:

    ${\begin{aligned}{\text{Rentenbarwert}}&=\sum _{t=1}^{T}{Z(t) \over \left(1+i\right)^{t}}=Z_{0}\sum _{t=1}^{T}{1 \over \left(1+i\right)^{t}}=Z_{0}\sum _{t=0}^{T-1}{1 \over \left(1+i\right)^{t+1}}\end{aligned}}$

Substitution: $\quad q={1 \over 1+i}\quad {\text{mit }}|q|<1$

    ${\begin{aligned}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ &=Z_{0}\sum _{t=0}^{T-1}q^{t+1}\\&=Z_{0}q\sum _{t=0}^{T-1}q^{t}\\&=Z_{0}q\left({\frac {1-q^{T}}{1-q}}\right)\\&=Z_{0}{\frac {q}{1-q}}(1-q^{T})\end{aligned}}$

Betrachte ${\frac {q}{1-q}}$:

    ${\begin{aligned}{\frac {q}{1-q}}={\frac {\frac {1}{1+i}}{1-{\frac {1}{1+i}}}}={\frac {1}{1+i-1}}={\frac {1}{i}}\end{aligned}}$

Resubstitution:

    ${\begin{aligned}\quad \quad \quad \quad \quad \quad &=Z_{0}{\frac {1}{i}}\left({\frac {(1+i)^{T}}{(1+i)^{T}}}-{\frac {1}{(1+i)^{T}}}\right)\\&=Z_{0}\cdot {\frac {(1+i)^{T}-1}{(1+i)^{T}\cdot i}}\end{aligned}}$

Der Rückgriff auf die (Partialsummen-)Formel der geometrische Reihe ist bei der Herleitung zu beachten.

## Sonderfälle

Ist der Zinssatz $i$ null, so gilt:

    ${{\text{RBF}}\left(0,T\right)}=T$

Strebt der Zeitraum $T$ gegen unendlich, ergibt sich:

    ${{\text{RBF}}\left(i,\infty \right)}={\frac {1}{i}}$

Ist der Zeitpunkt, in der die Erste der konstanten Zahlungen fließt, nicht $t=1$, sondern, $t=n$, so bestimmt man den Rentenbarwertfaktor zur Berechnung des Barwertes der Zahlungen zum Zeitpunkt $t=0$ mittels:

    ${{\text{RBF}}\left(i,T,n\right)}={\frac {(1+i)^{T}-(1+i)^{n-1}}{(1+i)^{T+n-1}\cdot i}}$

Der Reziprokwert (Kehrwert) des Rentenbarwertfaktors ergibt den Annuitätsfaktor (ANF): ${\text{ANF}}\left(i,T\right)={\frac {1}{{\text{RBF}}\left(i,T\right)}}$

Der Annuitätsfaktor wird auch als Wiedergewinnungsfaktor oder Kapitalwiedergewinnungsfaktor bezeichnet.

## Beispiele

Für eine Rente, welche jährlich über einen Zeitraum von 10 Jahren gezahlt werden soll, ergibt sich bei einem Zinssatz von 5 %

${{\text{RBF}}\left(5\,\%,10\right)}=7{,}722$

Für eine Rente, welche in 5 Jahren(ab dem 01.01. des 6. Jahres) jährlich über einen Zeitraum von 10 Jahren gezahlt werden soll, ergibt sich bei einem Zinssatz von 5 %

${{\text{RBF}}\left(5\,\%,15,6\right)}=6{,}050$

