Fixpunktsatz von Weissinger
# Fixpunktsatz von Weissinger

Der Fixpunktsatz von Weissinger ist ein Fixpunktsatz in der Analysis. Er verallgemeinert den Fixpunktsatz von Banach.

Der Satz wurde von Johannes Weissinger 1952 aufgestellt und bewiesen.

## Aussage

Sei $({\mathcal {B}},\|\cdot \|)$ ein Banachraum und $U\subset {\mathcal {B}}$ abgeschlossen und nichtleer sowie $T:U\to U$ eine Selbstabbildung, für die

    $\|T^{j}u-T^{j}v\|\leq \alpha _{j}\|u-v\|,\quad \forall u,v\in U$

gilt mit Zahlen $\alpha _{j}\geq 0$, so dass $\textstyle \sum _{j=1}^{\infty }\alpha _{j}<\infty$. Dann besitzt $T$ genau einen Fixpunkt in $U$, nämlich

    $u=\lim _{n\to \infty }T^{n}u_{0}$

mit einem beliebigen $u_{0}\in U$. Es gilt die Fehlerabschätzung

    $\|u-u_{n}\|\leq \sum _{j=n}^{\infty }\alpha _{j}\|u_{1}-u_{0}\|$

mit $u_{j}=T^{j}u_{0}$.

## Bemerkungen

* Die Bedingung $\sum _{j=1}^{\infty }\|T^{j}\|<\infty$ ist offenbar hinreichend, denn in diesem Fall kann man $\alpha _{j}=\|T^{j}\|$ wählen.
* Der Beweis dieses Fixpunktsatzes stimmt im Wesentlichen mit dem klassischen Beweis des Fixpunktsatzes von Banach überein. Der Fixpunktsatz von Banach folgt mit der Ersetzung $\alpha _{j}=k^{j}$ für ein konstantes $k$ als Lipschitz-Konstante der Abbildung $T$.
* Der Fixpunktsatz von Weissinger dient als Basis für Existenz- und Eindeutigkeitsbeweise in der Theorie der Differentialgleichungen. Insbesondere folgt aus ihm der Satz von Picard-Lindelöf.
