Candido-Identität
# Candido-Identität

Die Candido-Identität, benannt nach dem italienischen Mathematiker Giacomo Candido (1871–1941), ist eine Identität für reelle Zahlen. Sie besagt, dass für zwei beliebige reelle Zahlen $x$ und $y$ die folgende Gleichung gilt:

    $\left[x^{2}+y^{2}+(x+y)^{2}\right]^{2}=2[x^{4}+y^{4}+(x+y)^{4}]$

Die Identität ist nicht auf reelle Zahlen beschränkt, sondern gilt auch in jedem kommunativen Ring.

Candido stellte die Identität auf, um sie zum Beweis der folgenden Identität für Fibonacci-Zahlen zu verwenden:

    $(f_{n}^{2}+f_{n+1}^{2}+f_{n+2}^{2})^{2}=2(f_{n}^{4}+f_{n+1}^{4}+f_{n+2}^{4})$

## Beweis

Einen algebraischen Beweis der Identität erhält man durch vollständiges Ausmultiplizieren der beiden Gleichungsseiten. Die Gleichung lässt sich aber auch geometrisch deuten und besagt dann, dass die Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge $x^{2}+y^{2}+(x+y)^{2}$ der doppelten Summe der Flächen der Quadrate mit den Seitenlängen $x^{2}$, $y^{2}$ und $(x+y)^{2}$ entspricht. Diese geometrische Deutung ermöglicht dann den folgenden auf Roger B. Nelson zurückgehenden Beweis:

