Stieltjes-Konstanten
# Stieltjes-Konstanten

Die Stieltjes-Konstanten $\gamma _{n}$ sind eine Folge reeller Zahlen, die durch den Grenzwert

    $\gamma _{n}:=\lim _{N\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{N}{\frac {(\log k)^{n}}{k}}-{\frac {(\log N)^{n+1}}{n+1}}\right),\quad n=0,1,2,\dotsc$

definiert sind, wobei $\gamma _{0}$ die Eulersche Konstante $\gamma$ ist. Es wird vermutet, dass die $\gamma _{n}$ irrational sind. Ein Beweis dafür konnte bislang nicht erbracht werden. Aufgrund ihrer Definition werden sie gelegentlich auch als verallgemeinerte Eulersche Konstanten bezeichnet. Sie treten in der Laurent-Entwicklung der Riemannschen Zetafunktion

    $\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\gamma _{n}}{n!}}(s-1)^{n}$

und bei der Auswertung gewisser bestimmter Integrale auf:

    $\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {(\log x)^{2}}{e^{x}+1}}\,\mathrm {d} x=(\log 2)\,{\big{\frac {1}{3}}(\log 2)^{2}+\zeta (2)-\gamma ^{2}-2\gamma _{1}{\big )}=1{,}121192486\dots$

Sie hängen eng mit den Zahlen

    $\tau _{n}:=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(\log k)^{n}}{k}},\quad n=0,1,2,\dotsc$

zusammen. Diese lassen sich numerisch gut über eine Konvergenzbeschleunigung (fortgesetzte Mittelung) berechnen. Es gilt die Rekursion

    $\tau _{0}=\log 2$
    $\tau _{n}={\frac {(\log 2)^{n+1}}{n+1}}-\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k}}(\log 2)^{n-k}\cdot \gamma _{k},\qquad n=1,2,\dotsc$

und die explizite Darstellung mit Hilfe der Bernoullischen Zahlen:

    $\gamma _{n}=-{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}B_{n+1-k}(\log 2)^{n-k}\cdot \tau _{k},\quad n=0,1,2,\dotsc$

Aus der Rekursion ergibt sich für $n=1$ die Identität $\tau _{1}={\tfrac {1}{2}}(\log 2)^{2}-\gamma \log 2$, d. h. für die eulersche Konstante die alternierende Reihe

    $\gamma ={\frac {1}{2}}\log 2+{\frac {1}{\log 2}}\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\log k}{k}}={\frac {1}{2}}\log 2+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\log _{2}k}{k}},$

die der Reihe von Vacca sehr ähnlich ist.

Die Folge $\gamma _{n}$ zeigt ein oszillierendes Verhalten mit asymptotisch langsam gegen 0 sinkender „Frequenz“. Bekannt ist, dass gilt:

    $\limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln |\gamma _{n}|}{n}}=\ln \ln n$

## Numerische Werte

| n | Dezimalentwicklung von $γ_n$ | OEIS |
| - | - | - |
| 00 | −0,577215664901532860606512090082 … | A001620 |
| 01 | −0,0728158454836767248605863758749 … | A082633 |
| 02 | −0,00969036319287231848453038603521 … | A086279 |
| 03 | −0,00205383442030334586616004654275 … | A086280 |
| 04 | −0,00232537006546730005746817017752 … | A086281 |
| 05 | −0,000793323817301062701753334877444 … | A086282 |
| 06 | −0,000238769345430199609872421841908 … | A183141 |
| 07 | −0,000527289567057751046074097505478 … | A183167 |
| 08 | −0,000352123353803039509602052165001 … | A183206 |
| 09 | −0,000034394774418088048177914623798 … | A184853 |
| 10 | −0,000205332814909064794683722289237 … | A184854 |

## Verallgemeinerung

Für die Hurwitzsche Zetafunktion ist von Bedeutung:

    $\gamma _{n}(a):=\lim _{N\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{N}{\frac {\log(k+a)^{n}}{k+a}}-{\frac {\log(N+a)^{n+1}}{n+1}}\right),\quad n=0,1,2,\dotsc$
