Verkettungszeichen
# Verkettungszeichen

| Mathematische Zeichen ||
| - | - |
| Arithmetik ||
| Pluszeichen | + |
| Minuszeichen | −, ⁒ |
| Malzeichen | ⋅, × |
| Geteiltzeichen | :, ÷, / |
| Plusminuszeichen | ±, ∓ |
| Vergleichszeichen | <, ≤, =, ≥, > |
| Wurzelzeichen | √ |
| Prozentzeichen | % |
| Analysis ||
| Summenzeichen | Σ |
| Produktzeichen | Π |
| Differenzzeichen, Nabla | ∆, ∇ |
| Prime | ′ |
| Partielles Differential | ∂ |
| Integralzeichen | ∫ |
| Verkettungszeichen | ∘ |
| Unendlichzeichen | ∞ |
| Geometrie ||
| Winkelzeichen | ∠, ∡, ∢, ∟ |
| Senkrecht, Parallel | ⊥, ∥ |
| Dreieck, Viereck | △, □ |
| Durchmesserzeichen | ⌀ |
| Mengenlehre ||
| Vereinigung, Schnitt | ∪, ∩ |
| Differenz, Komplement | ∖, ∁ |
| Elementzeichen | ∈ |
| Teilmenge, Obermenge | ⊂, ⊆, ⊇, ⊃ |
| Leere Menge | ∅ |
| Logik ||
| Folgepfeil | ⇒, ⇔, ⇐ |
| Allquantor | ∀ |
| Existenzquantor | ∃ |
| Konjunktion, Disjunktion | ∧, ∨ |
| Negationszeichen | ¬ |

Das Verkettungszeichen ($\circ$), auch als Kreisoperator bezeichnet, ist ein mathematisches Zeichen, das die Verkettung zweier Funktionen, Relationen oder Wörter ausdrückt. Besteht keine Verwechslungsgefahr mit der Multiplikation, wird es oft auch weggelassen.

## Verwendung

### Verkettung von Funktionen

Das Verkettungszeichen wird häufig als mathematischer Operator für die Hintereinanderausführung von Funktionen verwendet. Sind $A,B,C$ Mengen und $f\colon A\to B$ sowie $g\colon B\to C$ Funktionen, dann wird die Verkettung von $f$ und $g$ durch

    $(g\circ f)(x)=g(f(x))$

notiert. Der Ausdruck „$g\circ f$“ wird als „$g$ verknüpft mit $f$“, „$g$ komponiert mit $f$“, „$g$ nach $f$“ oder „$g$ Kringel $f$“ gelesen. Bei der Notation ist darauf zu achten, dass die Komposition $g\circ f$ von rechts nach links durchgeführt wird, das heißt erst $f$ und dann $g$ angewandt wird. Gelegentlich wird in der Literatur allerdings auch die umgekehrte Reihung verwendet und $(f\circ g)(x)=g(f(x))$ geschrieben.

### Verkettung von Relationen

Allgemeiner wird das Verkettungszeichen als Operator für die Verkettung binärer Relationen verwendet. Sind wieder $A,B,C$ Mengen und $R\subseteq A\times B$ sowie $S\subseteq B\times C$ binäre Relationen, dann wird die Verkettung von $R$ und $S$ durch

    $S\circ R=\{(a,c)\in A\times C\mid \exists ~b\in B:(a,b)\in R\land (b,c)\in S\}$

notiert. Das Resultat nennt man Relationsprodukt oder relatives Produkt. Auch hier wird gelegentlich die umgekehrte Reihung $R\circ S$ verwendet.

### Verkettung von Wörtern

In der theoretischen Informatik wird das Verkettungszeichen für die Konkatenation von Wörtern verwendet. Sind $x=(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})$ und $y=(y_{1},y_{2},\dotsc ,y_{k})$ zwei Wörter über einem Alphabet, dann wird die Konkatenation von $x$ und $y$ durch

    $x\circ y=(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n},y_{1},y_{2},\dotsc ,y_{k})$

notiert. Hierbei ist $x$ das Präfix und $y$ das Suffix des Resultats der Konkatenation. Die Konkatenation von Wörtern ist dabei ein Spezialfall einer Konkatenation von Mengen.

### Binäre Verknüpfungen

Noch allgemeiner wird das Verkettungszeichen manchmal neben den Zeichen $\bullet$, $\ast$ und $\cdot$ als Platzhalter für binäre Verknüpfungen allgemeiner algebraischer Strukturen eingesetzt.

## Darstellung auf dem Computer

### Kodierung

Das Verkettungszeichen wird folgendermaßen definiert und kodiert:

Kodierung in Unicode, HTML und LaTeX :

| Zeichen | Unicode | Unicode | Bezeichnung | HTML | HTML | HTML | LaTeX |
| - | - | - | - | - | - | - | - |
| Zeichen | Position | Bezeichnung | Bezeichnung | hexadezimal | dezimal | benannt | LaTeX |
| ∘ | U+2218 | ring operator | Kreisoperator | &#x2218; | &#8728; | | \circ |

### Ähnliche Zeichen

Ähnliche und verwandte Zeichen – mit folgenden Zeichen besteht zum Teil Verwechslungsgefahr :

| Zeichen | Unicode | Unicode | Name |
| - | - | - | - |
| Zeichen | Position | Bezeichnung | Name |
| o | U+006F | latin small letter o | Lateinischer Kleinbuchstabe o |
| ° | U+00B0 | degree sign | Gradzeichen |
| ο | U+03BF | greek small letter omicron | Griechischer Kleinbuchstabe ο |
| о | U+043E | cyrillic small letter о | Kyrillischer Kleinbuchstabe о |
| ₒ | U+2092 | latin subscript small letter o | Tiefgestellter lateinischer Kleinbuchstabe o |
| ○ | U+25CB | white circle | Weißer Kreis |
| ◦ | U+25E6 | white bullet | Weißes Aufzählungszeichen |
| ⚬ | U+26AC | medium small white circle | Mittlerer kleiner weißer Kreis |
| 。 | U+3002 | ideographic full stop | Satzende in CJK-Schriftarten |
