Arnolds Katzenabbildung
# Arnolds Katzenabbildung

Arnolds Katzenabbildung (auch Anosovs Katzenabbildung) ist in der Theorie der dynamischen Systeme das einfachste Beispiel eines Anosov-Diffeomorphismus und damit ein explizit berechenbares chaotisches System. Sie ist benannt nach Wladimir Igorewitsch Arnold, der die Eigenschaften der Transformation anhand der Darstellung einer Katze demonstrierte.

## Definition

Arnolds Katzenabbildung ist die Selbstabbildung des Torus $\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$ definiert durch

    $F(x,y)=(2x+y,x+y)\mod 1$

oder in Matrixnotation

    $F\left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\mod 1={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\mod 1.$

## Eigenschaften

* Die Abbildung ist ein Anosov-Diffeomorphismus: die Matrix $\left({\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}}\right)$ hat zwei Eigenwerte $\lambda _{1}>1$ und $\lambda _{2}<1$, die Eigenvektoren liefern eine Zerlegung

       $T_{x}T^{2}=E_{x}^{u}\oplus E_{x}^{s}$
    in jedem Punkt $x\in T^{2}$, wobei $E_{x}^{u}$ und $E_{x}^{s}$ nach der kanonischen Identifizierung
       $T_{x}T^{2}\cong \mathbb {R} ^{2}$
    den Eigenvektoren zu $\lambda _{1}$ und $\lambda _{2}$ entsprechen. Die Projektionen der zu den Eigenvektoren parallelen Geraden auf den Torus sind die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten der Abbildung.
* Der Nullpunkt ist der einzige Fixpunkt. Die Anzahl der periodischen Punkte mit Periode $n$ ist

       $\lambda _{1}^{n}+\lambda _{2}^{n}-2$.
    Die periodischen Punkte liegen dicht. Ein Punkt ist genau dann präperiodisch, wenn er rationale Koordinaten hat.
* Die Abbildung ist topologisch transitiv.
* Die Abbildung ist flächenerhaltend, ergodisch und mischend.
* Die Umkehrabbildung ist gegeben durch

       $F^{-1}(x,y)=(2x-y,-x+y)\mod 1$.
* Die Diskretisierung

       $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{2}\to (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{2}$
    ist periodisch mit Periode $\leq 3n$.
