Ungleichung von Schur
# Ungleichung von Schur

Die Ungleichung von Schur (englisch Schur’s inequality) ist eine von mehreren klassischen Ungleichungen, die der Mathematiker Issai Schur auf dem mathematischen Gebiet der Analysis beigesteuert hat.

## Darstellung der Ungleichung

Die Ungleichung lautet folgendermaßen:

    Gegeben seien reelle Zahlen $r,x,y,z$ und dabei gelte $x,y,z>0$.
    Dann besteht die Ungleichung
       $x^{r}(x-y)(x-z)+y^{r}(y-z)(y-x)+z^{r}(z-x)(z-y)\geq 0$
    und es gilt hierbei das Gleichheitszeichen genau dann, wenn die drei Zahlen $x,y,z$ alle übereinstimmen.

## Anwendung

In Anwendung der obigen schurschen Ungleichung (mit $r=2$) lässt sich eine der zahlreichen geometrischen Ungleichungen in der Dreiecksgeometrie der euklidischen Ebene herleiten:

    Ist in der euklidischen Ebene ein beliebiges Dreieck $ABC$ gegeben, dessen Seiten die Längen $a,b,c$ haben sollen, und ist hier $s$ gleich dem halben Umfang von $ABC$, so gilt stets die Ungleichung
       $abcs\geq a^{3}\cdot (s-a)+b^{3}\cdot (s-b)+c^{3}\cdot (s-c)$
