Reidemeister-Torsion
# Reidemeister-Torsion

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist die Reidemeister-Torsion (auch Reidemeister-Franz-Torsion) eine topologische Invariante, mit der auch Räume unterschieden werden können, für welche klassische Invarianten der algebraischen Topologie wie Fundamentalgruppe und Homologiegruppen übereinstimmen.

Eine Variante der heute üblichen Konstruktion wurde 1935 von Kurt Reidemeister verwendet, um die Homöomorphietypen 3-dimensionaler Linsenräume zu klassifizieren. Wolfgang Franz benutzte wenig später die unten dargestellte Konstruktion um auch höher-dimensionale Linsenräume klassifizieren zu können.

## Konstruktion

Sei $K$ ein kompakter CW-Komplex mit verschwindender Euler-Charakteristik $\chi (K)=0$ und $\rho \colon \pi _{1}K\to SL(n,\mathbb {C} )$ eine Darstellung der Fundamentalgruppe.

Sei ${\widetilde {K}}$ die universelle Überlagerung, auf der $\pi _{1}K$ durch Deckbewegungen wirkt, und $C_{*}({\widetilde {K}},\mathbb {Z} )$ ihr singulärer Kettenkomplex. Der getwistete Kettenkomplex

    $C_{*}(K,\rho ):=C_{*}({\widetilde {K}},\mathbb {Z} )\otimes _{\rho }\mathbb {C} ^{n}$

ist der Quotient des Tensorprodukts $C_{*}({\widetilde {K}},\mathbb {Z} )\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} ^{n}$ unter der Identifikation $v\otimes \gamma ^{-1}c=\rho (\gamma )v\otimes c$ für alle $\gamma \in \pi _{1}K$. Der Randoperator $\partial _{\overline {K}}$ von $C_{*}({\widetilde {K}},\mathbb {Z} )$ induziert einen Randoperator $\partial :=\partial _{\overline {K}}\otimes id$ auf $C_{*}(K,\rho )$. Um die Reidemeister-Torsion definieren zu können, müssen wir annehmen, dass $C_{*}(K,\rho )$ azyklisch ist, also $ker(\partial )=im(\partial )$.

Sei nun $B_{i}:=Bild(\partial )\subset C_{i}(K,\rho )$ die Untergruppe der Ränder. Wähle eine Basis $\left\{b_{k}^{i}\right\}_{k}$ von $B_{i}$ und setze sie mit dem Basisergänzungssatz zu einer Basis $\left\{c_{k}^{i}\right\}_{k}$ von $C_{i}(K,\rho )$ fort. Wegen $H_{i}(K,\rho )=0$ haben wir eine exakte Sequenz

    $0\to B_{i}\to C_{i}(K,\rho )\to B_{i-1}\to 0$

und können zu den $b_{l}^{i-1}\in B_{i-1}$ Urbilder ${\tilde {b}}_{l}^{i-1}\in C_{i}(K,\rho )$ finden, so dass $\left\{b_{k}^{i}\right\}_{k}\cup \left\{{\tilde {b}}_{l}^{i-1}\right\}_{l}$ eine Basis von $C_{i}(K,\rho )$ ist.

Zu den Basen $\left\{c_{k}^{i}\right\}_{k}$ und $\left\{b_{k}^{i}\right\}_{k}\cup \left\{{\tilde {b}}_{l}^{i-1}\right\}_{l}$ gibt es eine eindeutige Matrix, welche die erste Basis auf die zweite abbildet. Wir bezeichnen die Determinante dieser Matrix mit $\left[b_{i}\cup {\tilde {b}}_{i-1}\colon c_{i}\right]$. Dann definieren wir die Reidemeister-Torsion von $(K,\rho )$ durch

    $\tau (K,\rho )=\pm \Pi _{i\geq 0}{\frac {\left[b_{2i}\cup {\tilde {b}}_{2i-1}\colon c_{2i}\right]}{\left[b_{2i+1}\cup {\tilde {b}}_{2i}\colon c_{2i+1}\right]}}\in \mathbb {C} ^{*}/\left\{\pm 1\right\}$.

Die $\pm 1$-Unbestimmtheit entsteht durch die Abhängigkeit der Determinante von der Anordnung der Basiselemente. Alle anderen Wahlen haben keinen Einfluss auf das Ergebnis, insbesondere heben sich durch das alternierende Produkt die durch die Wahl einer anderen Basis $b_{i}$ entstehenden Faktoren gegeneinander auf.

## Invarianz

Reidemeister-Torsion ist im Allgemeinen nicht invariant unter Homotopieäquivalenzen und kann deshalb verwendet werden, um homotopieäquivalente, aber nicht homöomorphe Räume zu unterscheiden. Die Reidemeister-Torsion (zu einer gegebenen Darstellung der Fundamentalgruppe) ist invariant unter einfachen Homotopieäquivalenzen.

Eine relative Version der Reidemeister-Torsion kann benutzt werden, um PL-Komplexe zu unterscheiden, die homöomorph, aber nicht PL-äquivalent sind.

## Beispiele

* Für den Linsenraum $L(p,q)$ und die Darstellung $\rho _{\xi }\colon \pi _{1}M=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to SU(2)$ mit $\rho _{\xi }(1)=diag(\xi ,\xi ^{-1})$ für eine $p$-te Einheitswurzel $\xi$ erhält man $\tau (L(p,q),\rho _{\xi })=\mid \xi -1\mid \mid \xi ^{q^{-1}}-1\mid$, wobei $q^{-1}$ die Lösung von $aq\equiv 1\ mod\ p$, also das Inverse von $q$ in $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ bezeichnet. Insbesondere erhält man für $q^{\prime }\not \equiv \pm q^{\pm 1}\ mod\ p$ unterschiedliche Reidemeister-Torsionen, womit diese Linsenräume nicht homöomorph sein können.
* Eine sphärische Raumform ist durch ihre Fundamentalgruppe und ihre Reidemeister-Torsionen aller Darstellungen $\pi _{1}M\to O(n)$ eindeutig festgelegt.
* Für eine $n$-dimensionale rationale Homologiesphäre $M$ und die triviale Darstellung $\rho$ ist $\tau (M,\rho )=\Pi _{i=1}^{n-1}\mid H_{i}(M,\mathbb {Z} )\mid ^{(-1)^{i}}$, die Reidemeister-Torsion hängt also mit der Torsion der Homologiegruppen zusammen.
* Für ein Knotenkomplement und die mittels der Abelisierung $ab\colon \pi _{1}(S^{3}\setminus K)\to H_{1}(S^{3}\setminus K)=\mathbb {Z}$ durch $\gamma \to t^{ab(\gamma )}$ gegebene Darstellung $\rho \colon \pi _{1}(S^{3}\setminus K)\to \mathbb {Q} (t)$ ist ${\tfrac {t-1}{\tau (S^{3}\setminus K,\rho )}}$ das Alexander-Polynom.

## Satz von Cheeger-Müller

Der Satz von Cheeger-Müller besagt die Gleichheit von analytischer Torsion und Reidemeister-Torsion (bis auf Vorzeichen, weil die Reidemeister-Torsion nur bis auf Vorzeichen definiert ist). Er wurde zunächst von Cheeger und Müller für orthogonale oder unitäre Darstellungen bewiesen und später von Müller auf unimodulare Darstellungen verallgemeinert.

