Valley-Entartung
# Valley-Entartung

Valley-Entartung ist in der Festkörperphysik das Auftreten entarteter Zustände, die zu Wellenvektoren in verschiedenen Kristallrichtungen gehören. Der dazugehörige Entartungsfaktor wird häufig mit $g_{v}$ bezeichnet. Wenn man die Flächen konstanter Energie (analog zur Fermifläche) nahe dem Energieminimum in einem Diagramm darstellt, zeigen sich die Umgebungen der Energieminima als Senken (Valleys). Der Entartungsfaktor $g_{v}$ ist die Anzahl vollständiger Umgebungen in der ersten Brillouinzone.

Die Entartung kann in der quantenmechanischen Betrachtung als Pseudo-Spin beschrieben und in der Dirac-Gleichung durch die Pauli-Matrizen berücksichtigt werden.

## Beispiele

### Galliumarsenid

Das energetische Minimum der Leitungsband-Struktur von Galliumarsenid liegt beim Wellenvektor ${\vec {k}}={\vec {0}}$ und die Flächen konstanter Energie um das Minimum herum bilden Kugelflächen. In der ersten Brillouin-Zone befindet sich nur ein Minimum, daher ist derEntartungsfaktor $g_{v}=1$.

### Silizium

In Silizium liegt das Energieminimum in $(100)$-Richtung. Aufgrund der Kristallsymmetrie sind in der Bandstruktur die sechs Richtungen mit den millerschen Indizes $\{(100),({\bar {1}}00),(010),(0{\bar {1}}0),(001),(00{\bar {1}})\}$ äquivalent. Somit liegen in der ersten Brillouin-Zone sechs Minima und es ergibt sich ein Entartungsfaktor von $g_{v}=6$.

### Germanium

Bei Germanium treten die Energieminima in der $(111)$-Richtung und ihren Äquivalenten mit den millerschen Indizes $\{({\bar {1}}11),(1{\bar {1}}1),(11{\bar {1}}),({\bar {1}}{\bar {1}}1),({\bar {1}}1{\bar {1}}),(1{\bar {1}}{\bar {1}})({\bar {1}}{\bar {1}}{\bar {1}})\}$ insgesamt achtmal auf. Da diese Minima am Rand der ersten Brillouin-Zone liegen, werden sie nur anteilig gezählt. Durch Verschiebung um reziproke Gittervektoren, lassen sich die Umgebungen der entarteten Zustände auf die Umgebungen von vier unterschiedliche Zuständen in der ersten Brillouin-Zone erzeugen. Daher ist der Entartungsfaktor $g_{v}=4$.

### Graphen

Graphen hat eine sogenannte Zwei-Valley-Struktur, also $g_{v}=2$.

