Ungleichungen in Vierecken
# Ungleichungen in Vierecken

Ungleichungen in Vierecken sind Ungleichungen, die verschiedene Größen in einem Viereck zueinander in Beziehung setzen. Die Ungleichungen gelten, wenn sich das Viereck im (ungekrümmten) Euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{3}$ befindet. $a,b,c,d$ bezeichnen im Folgenden die Seitenlängen, $e,f$ die Diagonallängen eines Vierecks.

## Verallgemeinerte Dreiecksungleichung

In jedem Viereck ist die Summe dreier beliebiger Seitenlängen größer als die vierte Seitenlänge:

    $a+b+c>d,\quad b+c+d>a,\quad a+c+d>b,\quad a+b+d>c.$

Daraus folgt:

    $a^{2}+b^{2}+c^{2}>{\frac {d^{2}}{3}}$

## Ptolemäische Ungleichung

In jedem Viereck gilt

    $a\cdot c+b\cdot d\geq e\cdot f$.

Im Falle eines Sehnenvierecks gilt Gleichheit (Satz von Ptolemäus).

## Ungleichung zwischen Umfang und Diagonalen

In jedem konvexen Viereck liegt die Summe der Diagonalenlängen zwischen dem halben und dem ganzen Umfang:

    ${\frac {1}{2}}(a+b+c+d)<e+f<a+b+c+d$

## Vierecksungleichung für Metriken

Aus der Dreiecksungleichung folgt die Vierecksungleichung im metrischen Raum:

    ${\Big |}d(x,y)-d(u,v){\Big |}\leq d(x,u)+d(v,y)$.

Beweis:

Durch mehrfache Anwendung der Dreiecksungleichung erhält man:

    $d(x,y)\leq d(x,u)+d(u,v)+d(v,y)$ bzw.
    $d(u,v)\leq d(u,x)+d(x,y)+d(y,v)$

Unter Verwendung der Eigenschaften von Metriken und absoluten Beträgen gilt dann

    ${\Big |}d(x,y)-d(u,v){\Big |}=d(x,y)-d(u,v)\leq d(x,u)+d(u,v)+d(v,y)-d(u,v)=d(x,u)+d(v,y)$

falls $d(x,y)-d(u,v)\geq 0$ gilt bzw. im Fall $d(x,y)-d(u,v)\leq 0$

    ${\Big |}d(x,y)-d(u,v){\Big |}=d(u,v)-d(x,y)\leq d(u,x)+d(x,y)+d(y,v)-d(x,y)=d(x,u)+d(v,y)$
