Fourieroptik
# Fourieroptik

Die Fourieroptik (nach Jean Baptiste Joseph Fourier) ist ein Teilbereich der Optik, in dem die Ausbreitung von Licht mit Hilfe der Fourier-Analyse untersucht wird. Die Fourieroptik berücksichtigt die Wellennatur des Lichtes, vernachlässigt aber z. B. die Polarisation.

## Hintergrund

Die Grundlage der Fourieroptik ist die Feststellung, dass das Fraunhofer-Beugungsmuster der Fouriertransformierten des beugenden Objekts entspricht.

Fällt kohärentes Licht mit der räumlichen Amplitudenverteilung $E_{e}$ auf eine Struktur mit der räumlichen Transmissionsverteilung $\tau$, so ist die Feldverteilung unmittelbar hinter der beugenden Struktur:

    $E_{t}=E_{e}\cdot \tau .$

Im Fernfeld der Struktur gilt für die Amplitudenverteilung:

    $E(x,y)=A(x,y,z_{0})\cdot \int \limits _{-\infty }^{\infty }E_{t}(x',y')\cdot \operatorname {e} ^{-i2\pi (xx'+yy')/(\lambda z_{0})}\mathrm {d} x'\mathrm {d} y'.$

Dabei ist

* $z_{0}$ der Abstand von der beugenden Struktur
* $x,y$ die transversalen Koordinaten
* $A$ ein Phasenfaktor.
* $\lambda$ die Wellenlänge

Analog zur Frequenz bei der zeitlichen Fouriertransformation definiert man die Raumfrequenzen:

       ${\begin{aligned}\nu _{x}&:={\frac {x}{\lambda \cdot z_{0}}}\\\nu _{y}&:={\frac {y}{\lambda \cdot z_{0}}},\end{aligned}}$

es folgt

    $\Rightarrow E(x,y)=A(x,y,z_{0})\cdot \int \limits _{-\infty }^{\infty }E_{t}(x',y')\operatorname {e} ^{-i2\pi (\nu _{x}x'+\nu _{y}y')}\mathrm {d} x'\mathrm {d} y'.$

Das Fernfeld ist also gegeben durch die zweidimensionale Fouriertransformierte ${\mathcal {F}}$ des Felds $E_{t}$ unmittelbar hinter der beugenden Struktur:

    $E=A\cdot {\mathcal {F}}\left[E_{t}\right]\left(\nu _{x},\nu _{y}\right).$

### Bedeutung der Raumfrequenzen

Ein Strahl vom Punkt $(x,y,z_{0})$ in der Beobachtungsebene bis zum Punkt $(0,0,0)$ in der Ebene der beugenden Struktur schließt mit der $z$-Achse folgende Winkel ein:

    $\tan(\alpha )={\frac {x}{z_{0}}}=\lambda \cdot \nu _{x}\qquad \tan(\beta )={\frac {y}{z_{0}}}=\lambda \cdot \nu _{y}.$

Für nicht zu große Winkel (also für nicht zu große $x,y$) folgt hieraus (Kleinwinkelnäherung):

    $\alpha \approx {\frac {x}{z_{0}}}=\lambda \cdot \nu _{x}\qquad \beta \approx {\frac {y}{z_{0}}}=\lambda \cdot \nu _{y}.$

Licht, das im Fernfeld nah der optischen Achse liegt, entspricht also niedrigen Raumfrequenzen, während weiter außen liegendes Licht zu hohen Raumfrequenzen gehört.

Feine Strukturen im Objekt, also solche, die sich räumlich schnell ändern, gehören zu hohen Raumfrequenzen; entsprechend stellen gröbere Strukturen kleinere Raumfrequenzen dar.

