Standardnormalverteilungstabelle
# Standardnormalverteilungstabelle

Da sich das Integral der Normalverteilung

    $F(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {t-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}\mathrm {d} t$

nicht auf eine elementare Stammfunktion zurückführen lässt, wird für die Berechnung meist auf Tabellen zurückgegriffen. Diese gelten aber nicht für beliebige $\mu$- und $\sigma$-Werte, sondern nur für die standardisierte Form der Normalverteilung, bei der jeweils $\mu =0$ und $\sigma =1$ ist (man spricht auch von einer 0-1-Normalverteilung, Standardnormalverteilung oder normierten Normalverteilung). Trotzdem ist die Tabelle auch für beliebige $\mu$-$\sigma$-Normalverteilungen nützlich, da sich diese auf sehr einfache Weise in eine 0-1 Verteilung überführen lassen. Die folgende Tabelle der Standardnormalverteilung berechnet sich demnach durch

    $\Phi _{0;1}(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{z}e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\mathrm {d} t$

(weil $\mu =0$ und $\sigma =1$) für $z\in \mathbb {R}$.

## Flächeninhalte unter dem Graphen der Standardnormalverteilung

    $\Phi _{0;1}(z)\,$ →

| z | 0 | 0,01 | 0,02 | 0,03 | 0,04 | 0,05 | 0,06 | 0,07 | 0,08 | 0,09 |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 0,0 | 0,50000 | 0,50399 | 0,50798 | 0,51197 | 0,51595 | 0,51994 | 0,52392 | 0,52790 | 0,53188 | 0,53586 |
| 0,1 | 0,53983 | 0,54380 | 0,54776 | 0,55172 | 0,55567 | 0,55962 | 0,56356 | 0,56749 | 0,57142 | 0,57535 |
| 0,2 | 0,57926 | 0,58317 | 0,58706 | 0,59095 | 0,59483 | 0,59871 | 0,60257 | 0,60642 | 0,61026 | 0,61409 |
| 0,3 | 0,61791 | 0,62172 | 0,62552 | 0,62930 | 0,63307 | 0,63683 | 0,64058 | 0,64431 | 0,64803 | 0,65173 |
| 0,4 | 0,65542 | 0,65910 | 0,66276 | 0,66640 | 0,67003 | 0,67364 | 0,67724 | 0,68082 | 0,68439 | 0,68793 |
| 0,5 | 0,69146 | 0,69497 | 0,69847 | 0,70194 | 0,70540 | 0,70884 | 0,71226 | 0,71566 | 0,71904 | 0,72240 |
| 0,6 | 0,72575 | 0,72907 | 0,73237 | 0,73565 | 0,73891 | 0,74215 | 0,74537 | 0,74857 | 0,75175 | 0,75490 |
| 0,7 | 0,75804 | 0,76115 | 0,76424 | 0,76730 | 0,77035 | 0,77337 | 0,77637 | 0,77935 | 0,78230 | 0,78524 |
| 0,8 | 0,78814 | 0,79103 | 0,79389 | 0,79673 | 0,79955 | 0,80234 | 0,80511 | 0,80785 | 0,81057 | 0,81327 |
| 0,9 | 0,81594 | 0,81859 | 0,82121 | 0,82381 | 0,82639 | 0,82894 | 0,83147 | 0,83398 | 0,83646 | 0,83891 |
| 1,0 | 0,84134 | 0,84375 | 0,84614 | 0,84849 | 0,85083 | 0,85314 | 0,85543 | 0,85769 | 0,85993 | 0,86214 |
| 1,1 | 0,86433 | 0,86650 | 0,86864 | 0,87076 | 0,87286 | 0,87493 | 0,87698 | 0,87900 | 0,88100 | 0,88298 |
| 1,2 | 0,88493 | 0,88686 | 0,88877 | 0,89065 | 0,89251 | 0,89435 | 0,89617 | 0,89796 | 0,89973 | 0,90147 |
| 1,3 | 0,90320 | 0,90490 | 0,90658 | 0,90824 | 0,90988 | 0,91149 | 0,91309 | 0,91466 | 0,91621 | 0,91774 |
| 1,4 | 0,91924 | 0,92073 | 0,92220 | 0,92364 | 0,92507 | 0,92647 | 0,92785 | 0,92922 | 0,93056 | 0,93189 |
| 1,5 | 0,93319 | 0,93448 | 0,93574 | 0,93699 | 0,93822 | 0,93943 | 0,94062 | 0,94179 | 0,94295 | 0,94408 |
| 1,6 | 0,94520 | 0,94630 | 0,94738 | 0,94845 | 0,94950 | 0,95053 | 0,95154 | 0,95254 | 0,95352 | 0,95449 |
| 1,7 | 0,95543 | 0,95637 | 0,95728 | 0,95818 | 0,95907 | 0,95994 | 0,96080 | 0,96164 | 0,96246 | 0,96327 |
| 1,8 | 0,96407 | 0,96485 | 0,96562 | 0,96638 | 0,96712 | 0,96784 | 0,96856 | 0,96926 | 0,96995 | 0,97062 |
| 1,9 | 0,97128 | 0,97193 | 0,97257 | 0,97320 | 0,97381 | 0,97441 | 0,97500 | 0,97558 | 0,97615 | 0,97670 |
| 2,0 | 0,97725 | 0,97778 | 0,97831 | 0,97882 | 0,97932 | 0,97982 | 0,98030 | 0,98077 | 0,98124 | 0,98169 |
| 2,1 | 0,98214 | 0,98257 | 0,98300 | 0,98341 | 0,98382 | 0,98422 | 0,98461 | 0,98500 | 0,98537 | 0,98574 |
| 2,2 | 0,98610 | 0,98645 | 0,98679 | 0,98713 | 0,98745 | 0,98778 | 0,98809 | 0,98840 | 0,98870 | 0,98899 |
| 2,3 | 0,98928 | 0,98956 | 0,98983 | 0,99010 | 0,99036 | 0,99061 | 0,99086 | 0,99111 | 0,99134 | 0,99158 |
| 2,4 | 0,99180 | 0,99202 | 0,99224 | 0,99245 | 0,99266 | 0,99286 | 0,99305 | 0,99324 | 0,99343 | 0,99361 |
| 2,5 | 0,99379 | 0,99396 | 0,99413 | 0,99430 | 0,99446 | 0,99461 | 0,99477 | 0,99492 | 0,99506 | 0,99520 |
| 2,6 | 0,99534 | 0,99547 | 0,99560 | 0,99573 | 0,99585 | 0,99598 | 0,99609 | 0,99621 | 0,99632 | 0,99643 |
| 2,7 | 0,99653 | 0,99664 | 0,99674 | 0,99683 | 0,99693 | 0,99702 | 0,99711 | 0,99720 | 0,99728 | 0,99736 |
| 2,8 | 0,99744 | 0,99752 | 0,99760 | 0,99767 | 0,99774 | 0,99781 | 0,99788 | 0,99795 | 0,99801 | 0,99807 |
| 2,9 | 0,99813 | 0,99819 | 0,99825 | 0,99831 | 0,99836 | 0,99841 | 0,99846 | 0,99851 | 0,99856 | 0,99861 |
| 3,0 | 0,99865 | 0,99869 | 0,99874 | 0,99878 | 0,99882 | 0,99886 | 0,99889 | 0,99893 | 0,99896 | 0,99900 |
| 3,1 | 0,99903 | 0,99906 | 0,99910 | 0,99913 | 0,99916 | 0,99918 | 0,99921 | 0,99924 | 0,99926 | 0,99929 |
| 3,2 | 0,99931 | 0,99934 | 0,99936 | 0,99938 | 0,99940 | 0,99942 | 0,99944 | 0,99946 | 0,99948 | 0,99950 |
| 3,3 | 0,99952 | 0,99953 | 0,99955 | 0,99957 | 0,99958 | 0,99960 | 0,99961 | 0,99962 | 0,99964 | 0,99965 |
| 3,4 | 0,99966 | 0,99968 | 0,99969 | 0,99970 | 0,99971 | 0,99972 | 0,99973 | 0,99974 | 0,99975 | 0,99976 |
| 3,5 | 0,99977 | 0,99978 | 0,99978 | 0,99979 | 0,99980 | 0,99981 | 0,99981 | 0,99982 | 0,99983 | 0,99983 |
| 3,6 | 0,99984 | 0,99985 | 0,99985 | 0,99986 | 0,99986 | 0,99987 | 0,99987 | 0,99988 | 0,99988 | 0,99989 |
| 3,7 | 0,99989 | 0,99990 | 0,99990 | 0,99990 | 0,99991 | 0,99991 | 0,99992 | 0,99992 | 0,99992 | 0,99992 |
| 3,8 | 0,99993 | 0,99993 | 0,99993 | 0,99994 | 0,99994 | 0,99994 | 0,99994 | 0,99995 | 0,99995 | 0,99995 |
| 3,9 | 0,99995 | 0,99995 | 0,99996 | 0,99996 | 0,99996 | 0,99996 | 0,99996 | 0,99996 | 0,99997 | 0,99997 |
| 4,0 | 0,99997 | 0,99997 | 0,99997 | 0,99997 | 0,99997 | 0,99997 | 0,99998 | 0,99998 | 0,99998 | 0,99998 |

Anmerkung: Negative Werte werden aus Gründen der Symmetrie nicht angegeben, da $\Phi (-z)=1-\Phi (z)$ ist.

## Arbeiten mit der Tabelle

Aus der Tabelle kann die Wahrscheinlichkeit $\Phi (z)$ für die Standardnormalverteilung ermittelt werden. Aufgrund des Zusammenhanges $\Phi (-z)=1-\Phi (z)$ (und damit auch wegen der Symmetrie der gaußschen Glockenkurve) sind hier nur die positiven Werte von $z$ zu finden.

Ist nun die Wahrscheinlichkeit $\Phi (z)$ für Werte von $z$ im Intervall von 0 bis 4,09 gesucht, so steht $z$ bis zum Zehntel in der linken Randzeile der Tabelle und das Hundertstel findet sich in der Kopfzeile. Dort, wo sich die zugehörige Zeile und Spalte kreuzen, steht die Wahrscheinlichkeit $\Phi (z)$.

Übersteigt $z$ die Grenze von 4,09, dann gilt

    $\Phi (z)\approx 1$, für $z>4{,}09.$

Vorsicht ist bei der Umkehrung geboten, bei der eine Wahrscheinlichkeit vorgegeben und das dazugehörige $z$ gesucht ist. Hier kann derjenige Wert $\Phi (z)$ angesehen werden, der den geringeren Abstand zur vorgegebenen Wahrscheinlichkeit hat. Anschließend setzt man $z$ aus der Zeile und Spalte dieses Wertes zusammen. Ist also z. B. die Wahrscheinlichkeit 0,90670 gegeben, so wird in der Tabelle der Wert 0,90658 (entspricht einem $z$ von 1,32) gewählt, weil dieser viel näher liegt, als der nächste mögliche Wert von 0,90824 (wobei dieser ein Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): z von 1,33 ergäbe). Das genauere Ergebnis für $z$ von 1,321 erhält man durch die übliche (lineare) Interpolation, die hier ergibt (0,90670 - 0,90658) / (0,90824 - 0,90658) = 12/166, was rund 0,1 ist. Um diese 0,1 der Differenz von 1,32 und 1,33, also um 0,001, ist damit der untere Wert 1,32 auf 1,321 zu erhöhen.

Anmerkung: Wurde eine beliebige $\mu$-$\sigma$-Normalverteilung in die Standardnormalverteilung transformiert, so muss die in der Tabelle abgelesene Wahrscheinlichkeit nicht mehr rücktransformiert werden, da eine flächengleiche Transformation vorliegt. (Wurde hingegen $z$ aus der Tabelle ermittelt, so muss die Grenze $x$ noch durch $x=z\sigma +\mu$ berechnet werden.)

## Beispielrechnung

Gegeben sei eine Normalverteilung mit dem Erwartungswert $\mu$ von 5 und der Standardabweichung $\sigma$ von 2. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsvariable $X$ zwischen den Werten $x_{1}=3$ und $x_{2}=7$ liegt.

Betrachtet man die Gaußsche Glockenkurve, dann ist dies die Fläche unter dem Graphen der Wahrscheinlichkeitsdichte

    $f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$, mit $\mu =5$ und $\sigma =2$,

welche durch $x_{1}$ und $x_{2}$ begrenzt wird.

Um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können, muss die zu dieser Wahrscheinlichkeitsdichte gehörige Verteilungsfunktion

    $F(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {t-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}\mathrm {d} t$

transformiert werden (siehe Normalverteilung § Definition). Durch die Transformation wird die Kurve mit dem Erwartungswert $\mu$ und der Standardabweichung $\sigma$ verschoben und gestaucht (bzw. gestreckt), sodass sie einer 0-1-Normalverteilung entspricht. Dabei verschieben sich aber auch die Grenzen $x_{1}$ und $x_{2}$; ebenfalls wird die Zufallsvariable $X$ transformiert.

Dies geschieht durch

    $z={\frac {x-\mu }{\sigma }}$ bzw. $Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}.$

(Das heißt, bei der eigentlichen Berechnung müssen die Transformationsschritte der Verteilungsfunktion nicht durchgerechnet werden; sie dienen nur dem Verständnis, wie die z-Formel zustande kommt.)

Am Beispiel gezeigt:

    ${\begin{aligned}P(3\leq X\leq 7)&=\\&=P\left({\frac {x_{1}-\mu }{\sigma }}\leq Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}\leq {\frac {x_{2}-\mu }{\sigma }}\right)\\&=P(-1\leq Z\leq 1)\\&=P(Z\leq 1)-P(Z\leq -1)\\&=\Phi (1)-\Phi (-1).\end{aligned}}$

Während man nun den Wert für $\Phi (1)$ einfach aus der Tabelle bestimmen kann, muss man sich für $\Phi (-1)$ überlegen, dass die gesuchte Fläche (bzw. Wahrscheinlichkeit) sich von $-\infty$ bis zur Grenze −1 erstreckt. Durch die Symmetrie der Glockenkurve ist dies allerdings derselbe Wert wie von +1 bis $\infty$. Von der Gesamtfläche unter der Kurve, die ja 1 ist (= Wahrscheinlichkeit für ein sicheres Ereignis) wird also $\Phi (+1)$ abgezogen, das heißt

    $\Phi (-1)=1-\Phi (1).$

Umgelegt auf das Beispiel ergibt sich

    ${\begin{aligned}\Phi (1)-\Phi (-1)&=\Phi (1)-(1-\Phi (1))\\&=2\Phi (1)-1\qquad \Phi (1){\text{ der Tabelle entnehmen}}\\&=2\cdot 0{,}84134-1\\&=0{,}68268,\end{aligned}}$

das heißt die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt fast 70 Prozent.

## Quantile

In statistischen Anwendungen, z. B. im Rahmen von Hypothesentests zum Auffinden kritischer Werte, stellt sich oft auch die Frage: Welchen Wert hat das $q$-Quantil $z_{q}$, wann also gilt $\Phi (z_{q})=q$?

Sucht man z. B. das 97,5-%-Quantil $z_{0{,}975}$, d. h. $\Phi (z_{0{,}975})=0{,}975$, dann ergibt sich laut nebenstehender Tabelle $z_{0{,}975}\approx 1{,}959960\approx 1{,}96$ (gerundet auf sechs bzw. auf zwei Nachkommastellen).

| $q$ | 0,750 | 0,800 | 0,900 | 0,950 | 0,975 | 0,990 | 0,995 |
| - | - | - | - | - | - | - | - |
| $z_{q}$ | 0,674490 | 0,841621 | 1,281550 | 1,644850 | 1,959960 | 2,326350 | 2,575830 |
