Shapiro-Ungleichung
# Shapiro-Ungleichung

Die Shapiro-Ungleichung ist eine für Folgen positiver Zahlen geltende Ungleichung der Mathematik. Sie ist nach Harold Shapiro benannt.

## Ungleichung

Es sei

    $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$

eine Folge positiver reeller Zahlen.

Dann gilt für alle geraden Zahlen $n\leq 12$ und alle ungeraden Zahlen $n\leq 23$ die Ungleichung

    ${\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{4}}}+\ldots +{\frac {x_{n-2}}{x_{n-1}+x_{n}}}+{\frac {x_{n-1}}{x_{n}+x_{1}}}+{\frac {x_{n}}{x_{1}+x_{2}}}\geq {\frac {n}{2}}$.

## Gegenbeispiele

Die Ungleichung gilt im Allgemeinen nicht für gerade Zahlen $n\geq 14$ und für ungerade Zahlen $n\geq 25$.

Das einfachste bekannte Gegenbeispiel für $n=14$ ist die Folge

    $\epsilon ,42,2,42,4,41,5,39,4,38,2,38,\epsilon ,40$

für hinreichend kleine $\epsilon >0$.

