Schulz-Flory-Verteilung
# Schulz-Flory-Verteilung

Eine Schulz-Flory-Verteilung (nach Paul John Flory und Günter Victor Schulz) ist eine Verteilungsfunktion, die bei der Molekulargewichtsverteilung von Polymeren angewendet werden kann. Diese Verteilung wird bei vielen Reaktionen, vor allem Polykondensation und gezielt beendeten Polymerisationen gefunden. Eine mit der Schulz-Flory-Verteilung eng verwandte Verteilung ist die Schulz-Zimm-Verteilung.

## Beschreibung

Gegeben sei die Wahrscheinlichkeit $p$ für eine Kettenverlängerung, bzw. $1-p$ für eine Kettenabbruchreaktion. Dann ist die diskrete Wahrscheinlichkeit eine Kette mit $N$ Monomeren anzutreffen, gleich der Wahrscheinlichkeit für $(N-1)$ erfolgreiche Reaktionen und eine Kettenabbruchreaktion:

    $p(N)=p^{N-1}(1-p)$.

Diese Wahrscheinlichkeit entspricht dem Stoffmengenanteil $x_{a}(N)=p(N)$ der Ketten mit $N$ Monomeren. Der Stoffmengenanteil folgt nach obiger Formel einer geometrischen Verteilung, daher ist die mittlere Kettenlänge $\langle N\rangle =\sum _{n}p(N=n)n=1/(1-p)$.

Häufig wird auch $a=(1-p)$ als die Wahrscheinlichkeit eingeführt, dass keine Kettenverlängerung stattfindet – dementsprechend ist $p=1-a$ die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kettenverlängerung stattfindet. Dann ergibt sich

    $x_{a}(N)=a(1-a)^{N-1}$,

wobei $0<a<1$ praktisch eine empirisch ermittelte Konstante ist.

Der Gewichtsanteil $w_{a}(N)$ von Ketten der Länge $N$ ist definiert als:

    $w_{a}(N)={\frac {\text{Masse aller N-Mere}}{\text{Gesamtmasse}}}={\frac {(Nm_{0})\cdot x_{a}(N)}{\sum _{N=0}^{\infty }Nm_{0}x_{a}(N)}}=a^{2}N(1-a)^{N-1}$,

wobei $Nm_{0}$ die Masse eines N-Mers ist und $m_{0}$ die Monomermasse ist.

Der Zahlenmittel ist gegeben durch

    ${\overline {M}}_{n}=\sum _{n}p(N=n)m_{0}n=m_{0}\langle N\rangle =m_{0}/(1-p),$

der Massenmittel ist gegeben durch

    ${\overline {M}}_{w}=\sum _{n}w_{a}(N=n)m_{0}n=(1+p){\overline {M}}_{n}.$

Bei der Schulz-Flory-Verteilung ist die Polydispersität

    $Q={\frac {{\overline {M}}_{w}}{{\overline {M}}_{n}}}={1+p}$.

Daher ist $\lim _{p\to 1}Q=2$.

## Oligomerisierung von Ethen

Bei der Oligomerisierung von Ethen zu längeren α–Olefinen werden einige technische Verfahren realisiert, deren Produktgemische einer Schulz-Flory-Verteilung zu Grunde liegen. Hochrelevante Anwendungen hierfür sind das SHOP-Verfahren oder die Ziegler-Alfen-Synthese.

Die Abbildung zeigt die Massenanteile der jeweils entstehenden Produkte im Vergleich zur Gesamtmasse. Sortiert sind die Produkte nach der Anzahl an Kohlenstoffatomen. Es ist zu erkennen, dass bei einem Produktgemisch, das nach der Schulz-Flory-Verteilung verteilt ist, bevorzugt kurzkettige α-Olefine gebildet werden. Je länger die Kohlenstoffketten werden, desto geringer ist deren Vorkommen im Produktgemisch. Als Hauptprodukte werden hier die Teilchen bezeichnet, die nicht mehr als zwölf Kohlenstoffatome besitzen. Zu beachten ist, dass bei der Oligomerisierung von Ethen ausschließlich Moleküle mit einer geraden Anzahl von Kohlenstoffatomen entstehen. Die Ausgleichslinie (grün) verdeutlicht, dass eine Schulz-Flory-Verteilung vorliegt, wobei alle möglichen Zustände durch Kreuze markiert sind.

