Lokal (Topologie)
# Lokal (Topologie)

Man sagt in der mathematischen Topologie, eine Eigenschaft topologischer Räume gelte lokal für einen topologischen Raum $T$, wenn für jede Wahl eines Punktes $x$ in $T$ eine Umgebungsbasis von $x$ existiert, deren Elemente die Eigenschaft haben.

Eine Eigenschaft topologischer Räume heißt lokal, wenn sie mit der zugehörigen lokalen Eigenschaft übereinstimmt.

## Beispiele

Lokale Eigenschaften:

* Stetigkeit

Oft ist die lokale Eigenschaft schwächer als die ursprüngliche:

* lokal zusammenziehbar ist schwächer als zusammenziehbar
* lokalkompakt ist schwächer als kompakt
* lokal Hausdorffsche Räume sind nicht notwendig Hausdorffsch

Manchmal ist die lokale Eigenschaft stärker als die ursprüngliche:

* lokal einfachzusammenhängend ist stärker als semilokal einfachzusammenhängend

Im Allgemeinen ist die lokale Eigenschaft weder stärker noch schwächer:

* Der Kamm ist wegzusammenhängend, aber nicht lokal wegzusammenhängend, der diskret topologisierte zweielementige Raum ist lokal wegzusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend.
* Ein System von Teilmengen eines topologischen Raums heißt lokal endlich, falls jeder Punkt eine Umgebung hat, die nur endlich viele der Teilmengen berührt.
* Ein topologischer Raum ist lokal metrisierbar, falls jeder Punkt eine metrisierbare Umgebung besitzt.
