Sekantensatz
# Sekantensatz

Der Sekantensatz besagt: Schneiden sich zwei Sekanten außerhalb des Kreises in einem Punkt $P$, so ist das Produkt der Abschnittslängen vom Sekantenschnittpunkt bis zu den beiden Schnittpunkten von Kreis und Sekante auf beiden Sekanten gleich groß. Kürzer: Das Produkt der Sekantenabschnitte ist konstant.

## Formulierung des Satzes

Gegeben sei ein Kreis mit zwei Sekanten, die sich in einem Punkt $P$ außerhalb des Kreises schneiden. Bezeichnet man die Schnittpunkte des Kreises mit der einen Sekante als $A$ und $D$ und die Schnittpunkte mit der anderen Sekante als $B$ und $C$, so gilt:

    ${\overline {AP}}\cdot {\overline {DP}}={\overline {BP}}\cdot {\overline {CP}}$

Diese Aussage kann man auch als Verhältnisgleichung formulieren:

    ${\overline {AP}}:{\overline {BP}}={\overline {CP}}:{\overline {DP}}$

## Beweis

Der Sekantensatz lässt sich – ähnlich wie der Sehnensatz und der Sekanten-Tangenten-Satz – mit Hilfe ähnlicher Dreiecke beweisen.

Die Dreiecke $APC$ und $BPD$ sind ähnliche Dreiecke, denn:

* Der Winkel $\varphi$ in Punkt $P$ ist beiden Dreiecken gemeinsam.
* Umfangswinkel über einer Sehne sind gleich groß. Anwendung dieses Satzes auf die Sehne $[AB]$ ergibt $\angle ADB=\angle ACB$ oder $\gamma _{1}=\delta _{1}$.

    $\triangle APC\sim \triangle BPD$ (Ähnlichkeitssatz WW)

Daraus ergibt sich die Verhältnisgleichung

    ${\overline {AP}}:{\overline {BP}}={\overline {CP}}:{\overline {DP}}$.

Durch Multiplikation mit ${\overline {BP}}\cdot {\overline {DP}}$ erhält man:

    ${\overline {AP}}\cdot {\overline {DP}}={\overline {BP}}\cdot {\overline {CP}}$

Ein rechnerischer Nachweis mit Hilfe des Satzes von Vieta ist in dem Artikel Potenz (Geometrie) enthalten.

