Transferfunktionsmodell
# Transferfunktionsmodell

Unter einem Transferfunktionsmodell wird in der Zeitreihenanalyse ein univariates Zeitreihenmodell verstanden, bei dem die Zielvariable $Y_{t}$ außer von sich selbst und einer unbeobachtbaren Schockvariablen $Z_{t}$ von weiteren beobachtbaren Variablen $X_{m}t$ dynamisch abhängig sein kann. Im Gegensatz zu Vektorprozessen finden nur ein Einfluss der $X_{m}t$ auf $Y_{t}$ statt und nicht umgekehrt. Ein solches Modell kann auch als univariates dynamisches Modell mit Inputvariablen angesehen werden. Formal lässt sich folgende Darstellung wählen:

$Y_{t}=\nu (L)X_{t}+{\frac {\Theta (L)}{\Phi (L)}}Z_{t}$

Dabei ist $X_{t}$ die Inputvariable. Im Gegensatz zum Interventionsmodell kann diese Inputvariable mehr Ausprägungen haben als die Indikatorfunktion (nur 0 und 1). $Y_{t}$ kann dabei als Outputvariable bezeichnet werden. $Y_{t}=\nu (L)$ wird als Transferfunktion bezeichnet. Diese Funktion ist in ihrer Wirkung auf die Zeitreihe mit der Impuls-Antwort-Funktion des Interventionsmodells vergleichbar. Das Transferfunktionsmodell ist stabil, wenn die Impuls-Antwort-Gewichte absolut summierbar sind. Somit würde ein beschränkter Input auch einen beschränkten Output erzeugen. Das Modell heißt kausal, wenn $Y_{t}$ keine vorlaufende Funktion von $X_{t}$ ist. X ist bezüglich Y exogen, und es gibt keine Feedback-Beziehung von Y zu X.

Zur Identifikation des Modells wird auf das Instrument der Kreuzkorrelationsfunktion zurückgegriffen. Diese Funktion ist im Gegensatz zur Autokorrelationsfunktion nicht symmetrisch um l. Die Beziehung zwischen der Kreuzkorrelations- und der Transferfunktion ist recht kompliziert:

$\rho (l)={\frac {\sigma _{X}}{\sigma _{Y}}}[\nu _{0}\rho _{X}(l)+\nu _{1}\rho _{X}(l-1)+\nu _{2}\rho _{X}(l-2)+...]$.

Das hier zu lösende simultane Gleichungssystem ist recht kompliziert. Einfacher hätte man es, wenn folgender Zusammenhang herstellbar wäre:

$\nu ={\frac {\sigma _{Y}}{\sigma _{X}}}\rho _{XY}(l)$.

Damit wäre $\nu _{l}$ proportional zum Kreuzkorrelationskoeffizienten $\rho _{XY}(l)$. Dieses kann erreicht werden, in dem man den Input so transformiert, dass dieser weißes Rauschen wird. Bei der als „Vorweißen“ genannten Transformation wird davon ausgegangen, dass die Inputreihe $X_{t}$ als ARMA-Prozess aufgefasst wird:

$\Phi _{Y}(L)X_{t}=\Theta _{X}(L)\alpha _{t}$. Nach umformen ergibt sich die vorgeweißte Inputreihe:

$\alpha _{t}={\frac {\Phi _{X}(L)}{\Theta _{X}(L)}}X_{t}$

Nun muss noch dieselbe Transformation auf die Outputvariable $Y_{t}$ angewandt werden:

$\beta _{t}={\frac {\Phi _{X}(L)}{\Theta _{X}(L)}}Y_{t}$.

Das ursprüngliche Transferfunktionsmodell lässt sich nun als:

$\beta _{t}=\nu (L)\alpha _{t}+\varepsilon _{t}$ auffassen. $\alpha _{t}$ ist dabei weißes Rauschen. $\beta _{t}$ und $\varepsilon _{t}$ sind in der Regel kein weißes Rauschen. Für den Kreuzkorrelationskoeffizienten der transformierten Zeitreihe erhält man:

$\nu ={\frac {\sigma _{\beta }}{\sigma _{\alpha }}}\rho _{\alpha \beta }(l)$.

Mit diesem Ergebnis kann die Schätzung wie im ARMA-Modell erfolgen.

