Ungleichung von Beppo Levi
# Ungleichung von Beppo Levi

Die Ungleichung von Beppo Levi ist ein Resultat der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik. Die Ungleichung geht auf den italienischen Mathematiker Beppo Levi (1875–1961) zurück und ist eng mit dem berühmten Projektionssatz verknüpft.

## Formulierung

Gegeben sei ein Prä-Hilbertraum ${\mathcal {H}}$, versehen mit der aus dem zugrundeliegenden Skalarprodukt herrührenden Norm $\|\cdot \|$. Weiter seien ein Untervektorraum ${\mathcal {M}}\subseteq {\mathcal {H}}$ und drei Vektoren $x\in {\mathcal {H}}$ sowie $y_{1},y_{2}\in {\mathcal {M}}$ gegeben. Ist nun

    $d=\inf _{y\in {\mathcal {M}}}\|x-y\|$

der Abstand von $x$ zu ${\mathcal {M}}$, so gilt:

    $\|y_{1}-y_{2}\|\leq {\sqrt {{\|x-y_{1}\|}^{2}-d^{2}}}+{\sqrt {{\|x-y_{2}\|}^{2}-d^{2}}}$.
