P-Gruppen-Erzeugungs-Algorithmus
# P-Gruppen-Erzeugungs-Algorithmus

Der $p$-Gruppen-Erzeugungs-Algorithmus von M. F. Newman und E. A. O'Brien ist innerhalb der algorithmischen Gruppentheorie ein rekursiver Prozess für die Konstruktion des Stammbaums einer vorgegebenen endlichen $p$-Gruppe, die als Wurzel des Baums dient.

Dabei sind endliche $p$-Gruppen endliche Gruppen mit Primpotenz-Ordnung $p^{n}$, für eine feste Primzahl $p$ und veränderliche ganzzahlige Exponenten $n\geq 1$.

Dieser Algorithmus ist im Softwarepaket ANUPQ (Australian National University P-Quotient) der Computer-Algebra-Systeme GAP (Groups-Algorithms-Programming) und Magma implementiert. Er ist unentbehrlich für die vertiefte Erforschung von endlichen $p$-Gruppen, weil die SmallGroups Datenbank von H. U. Besche, B. Eick and E. A. O'Brien für jede Primzahl $p$ nur $p$-Gruppen mit Ordnungen bis zu einer von $p$ abhängigen oberen Schranke $m(p)$ enthält, beispielsweise $m(2)=2^{9}=512$ für $p=2$, $m(3)=3^{8}=6561$ für $p=3$ und $m(5)=5^{7}=78125$ für $p=5$. Alle $p$-Gruppen mit höherer Ordnung als $m(p)$ müssen mit dem sehr leistungsfähigen und schnellen $p$-Gruppen-Erzeugungs-Algorithmus konstruiert werden, wobei für kleine Primzahlen $p=2,3$ durchaus noch Ordnungen um $p^{100}$ innerhalb der experimentellen Reichweite liegen.

## Untere Exponent-p-Zentralreihe

Für eine endliche $p$-Gruppe $G$ ist die untere Exponent-$p$-Zentralreihe (kurz untere $p$-Zentralreihe) von $G$ eine absteigende Reihe $(P_{j}(G))_{j\geq 0}$ charakteristischer Untergruppen von $G$ und wird rekursiv erklärt durch

    $(1)\qquad P_{0}(G):=G$ und $P_{j}(G):=\lbrack P_{j-1}(G),G\rbrack \cdot P_{j-1}(G)^{p}$, für $j\geq 1$.

Weil jede nicht-triviale endliche $p$-Gruppe $G>1$ nilpotent ist, gibt es eine ganze Zahl $c\geq 1$, sodass der $c$-Term der Reihe, $P_{c-1}(G)>P_{c}(G)=1$, erstmals trivial wird, und diese Zahl $\mathrm {cl} _{p}(G):=c$ wird als Exponent-$p$-Klasse (kurz $p$-Klasse) von $G$ bezeichnet. Nur die triviale Gruppe $1$ hat die $p$-Klasse $\mathrm {cl} _{p}(1)=0$. Generell kann für eine endliche $p$-Gruppe $G$ ihre $p$-Klasse als das Minimum $\mathrm {cl} _{p}(G):=\min \lbrace c\geq 0\mid P_{c}(G)=1\rbrace$ definiert werden.

Die vollständige untere $p$-Zentralreihe von $G$ ist daher gegeben durch

    $(2)\qquad G=P_{0}(G)>\Phi (G)=P_{1}(G)>P_{2}(G)>\cdots >P_{c-1}(G)>P_{c}(G)=1$,

weil $P_{1}(G)=\lbrack P_{0}(G),G\rbrack \cdot P_{0}(G)^{p}=\lbrack G,G\rbrack \cdot G^{p}=\Phi (G)$ die Frattini Untergruppe von $G$ ist.

Zum Vergleich und vor allem, um die verschobene Nummerierung hervorzuheben, sei erwähnt, dass die (gewöhnliche) untere Zentralreihe von $G$ ebenfalls eine absteigende Reihe $(\gamma _{j}(G))_{j\geq 1}$ charakteristischer Untergruppen von $G$ ist und rekursiv definiert wird durch

    $(3)\qquad \gamma _{1}(G):=G$ und $\gamma _{j}(G):=\lbrack \gamma _{j-1}(G),G\rbrack$, für $j\geq 2$.

Analog wie oben existiert zu jeder nicht-trivialen endlichen $p$-Gruppe $G>1$ eine ganze Zahl $c\geq 1$ sodass der $(c+1)$-Term der Reihe, $\gamma _{c}(G)>\gamma _{c+1}(G)=1$, erstmals trivial wird, und diese Zahl $\mathrm {cl} (G):=c$ wird die Nilpotenzklasse (kurz Klasse) von $G$ genannt, während $c+1$ als Index der Nilpotenz von $G$ bezeichnet wird. Die triviale Gruppe $1$ hat als einzige den Nilpotenzindex $1$ und somit die Klasse $\mathrm {cl} (1)=0$.

Die untere Zentralreihe von $G$ ist in ihrer Gesamtheit gegeben durch

    $(4)\qquad G=\gamma _{1}(G)>G^{\prime }=\gamma _{2}(G)>\gamma _{3}(G)>\cdots >\gamma _{c}(G)>\gamma _{c+1}(G)=1$,

weil $\gamma _{2}(G)=\lbrack \gamma _{1}(G),G\rbrack =\lbrack G,G\rbrack =G^{\prime }$ die Kommutatoruntergruppe oder abgeleitete Untergruppe von $G$ ist.

Die folgenden vier Rechenregeln sind für das Arbeiten mit der Exponent-$p$ Klasse nützlich:

Es sei $G$ eine endliche $p$-Gruppe.

    R
   * Regel: $\mathrm {cl} (G)\leq \mathrm {cl} _{p}(G)$, weil die Terme $\gamma _{j}(G)$ rascher absteigen als die $P_{j}(G)$ (R1).

   * Regel: Ist $\vartheta \in \mathrm {Hom} (G,{\tilde {G}})$, mit irgendeiner Gruppe ${\tilde {G}}$, dann gilt $\vartheta (P_{j}(G))=P_{j}(\vartheta (G))$, für alle $j\geq 0$ (R2).

   * Regel: Für $c\geq 0$ implizieren die Bedingungen $N\triangleleft G$ und $\mathrm {cl} _{p}(G/N)=c$, dass $P_{c}(G)\leq N$ (R3).

   * Regel: Sei $c\geq 0$. Wenn $\mathrm {cl} _{p}(G)=c$, dann ist $\mathrm {cl} _{p}(G/P_{k}(G))=\min(k,c)$, für alle $k\geq 0$, speziell, $\mathrm {cl} _{p}(G/P_{k}(G))=k$, für alle $0\leq k\leq c$ (R4).

## Vorgänger und Stammbäume

Der (unmittelbare) Vorgänger $\pi (G)$ einer endlichen nicht-trivialen $p$-Gruppe $G>1$ mit Exponent-$p$-Klasse $\mathrm {cl} _{p}(G)=c\geq 1$ ist definiert als der Quotient $\pi (G):=G/P_{c-1}(G)$ von $G$ nach dem letzten nicht-trivialen Term $P_{c-1}(G)>1$ der unteren Exponent-$p$-Zentralreihe von $G$. Umgekehrt wird in diesem Fall $G$ ein unmittelbarer Nachfolger von $\pi (G)$ genannt. Die $p$-Klassen von Vorgänger und unmittelbarem Nachfolger sind verbunden durch die Beziehung $\mathrm {cl} _{p}(G)=\mathrm {cl} _{p}(\pi (G))+1$.

Ein Stammbaum ist eine hierarchische Struktur zur anschaulichen Visualisierung von Vorgänger-Nachfolger Relationen zwischen Isomorphieklassen endlicher $p$-Gruppen. Die Vertices (Knoten, Ecken) eines Stammbaums sind Isomorphieklassen von endlichen $p$-Gruppen. In Baum-Diagrammen wird jedoch ein Vertex stets durch Auswahl eines konkreten Repräsentanten der entsprechenden Isomorphieklasse etikettiert. Wenn ein Vertex $\pi (G)$ der unmittelbare Vorgänger eines anderen Vertex $G$ ist, so wird eine gerichtete Kante des Stammbaums definiert durch $G\to \pi (G)$ in Richtung der kanonischen Projektion $\pi :G\to \pi (G)$ auf den Quotienten $\pi (G)=G/P_{c-1}(G)$.

In einem Stammbaum können die Begriffe unmittelbarer Vorgänger und unmittelbarer Nachfolger folgendermaßen verallgemeinert werden. Ein Vertex $R$ ist ein Nachfolger eines Vertex $P$, und umgekehrt ist $P$ ein Vorgänger von $R$, wenn entweder $R$ mit $P$ übereinstimmt oder wenn ein Pfad

    $(5)\qquad R=Q_{0}\to Q_{1}\to \cdots \to Q_{m-1}\to Q_{m}=P$, mit der Länge $m\geq 1$,

von gerichteten Kanten von $R$ zu $P$ existiert. Die Vertices, welche den Pfad bilden, stimmen notwendigerweise überein mit den iterierten Vorgängern $Q_{j}=\pi ^{j}(R)$ von $R$, wobei $0\leq j\leq m$:

    $(6)\qquad R=\pi ^{0}(R)\to \pi ^{1}(R)\to \cdots \to \pi ^{m-1}(R)\to \pi ^{m}(R)=P$, mit $m\geq 1$.

Sie können auch aufgefasst werden als die sukzessiven Quotienten $Q_{j}=R/P_{c-j}(R)$ der p-Klasse $c-j$ von $R$, wenn die p-Klasse von $R$ gegeben ist durch $\mathrm {cl} _{p}(R)=c\geq m$:

    $(7)\qquad R\simeq R/P_{c}(R)\to R/P_{c-1}(R)\to \cdots \to R/P_{c+1-m}(R)\to R/P_{c-m}(R)\simeq P$, wobei $c\geq m\geq 1$.

Insbesondere definiert jede nicht-triviale endliche $p$-Gruppe $G>1$ einen maximalen Pfad, der aus $c=\mathrm {cl} _{p}(G)$ gerichteten Kanten besteht,

    $(8)\qquad G\simeq G/1=G/P_{c}(G)\to \pi (G)=G/P_{c-1}(G)\to \pi ^{2}(G)=G/P_{c-2}(G)\to \cdots$
       $\cdots \to \pi ^{c-1}(G)=G/P_{1}(G)\to \pi ^{c}(G)=G/P_{0}(G)=G/G\simeq 1$,

und in der trivialen Gruppe $\pi ^{c}(G)=1$ endigt. Der vorletzte Quotient des Maximalpfades von $G$ ist die elementar-abelsche $p$-Gruppe $\pi ^{c-1}(G)=G/P_{1}(G)\simeq C_{p}^{d}$, also der Frattini-Quotient vom Rang $d=d(G)$, wobei $d(G)=\dim _{\mathbb {F} _{p}}(H^{1}(G,\mathbb {F} _{p}))$ den Generatoren-Rang (oder Erzeugenden-Rang) von $G$ bezeichnet (Basissatz von Burnside).

Generell ist der Stammbaum ${\mathcal {T}}(G)$ eines Vertex $G$ der Teilbaum aller Nachfolger von $G$, beginnend an der Wurzel $G$. Der maximal mögliche Stammbaum ${\mathcal {T}}(1)$ der trivialen Gruppe $1$ enthält alle endlichen $p$-Gruppen und ist exzeptionell, weil die triviale Gruppe $1$ die unendlich vielen elementar-abelschen $p$-Gruppen mit variablem Generatoren-Rang $d\geq 1$ als ihre unmittelbaren Nachfolger besitzt. Eine nicht-triviale endliche $p$-Gruppe (mit durch $p$ teilbarer Ordnung) besitzt jedoch nur endlich viele unmittelbare Nachfolger.

## Einhüllende p-Gruppe, p-Multiplikator und Nucleus

Ist $G$ eine endliche $p$-Gruppe mit $d$ Erzeugenden, so möchte man in einem einzelnen Rekursionsschritt des $p$-Gruppen-Erzeugungs-Algorithmus eine vollständige Liste paarweise nicht-isomorpher unmittelbarer Nachfolger von $G$ zusammenstellen. Es stellt sich heraus, dass sich alle unmittelbaren Nachfolger konstruieren lassen als Quotienten einer gewissen Erweiterung $G^{\ast }$ von $G$, welche die einhüllende $p$-Gruppe ($p$-covering group) von $G$ genannt und in folgender Weise definiert wird.

Es existiert stets eine Präsentation von $G$ in Form einer exakten Sequenz

    $(9)\qquad 1\longrightarrow R\longrightarrow F\longrightarrow G\longrightarrow 1$,

wobei $F$ die freie Gruppe mit $d$ Erzeugern und $\vartheta :\ F\longrightarrow G$ einen Epimorphism mit Kern $R:=\ker(\vartheta )$ bezeichnet. Dann ist $R\triangleleft F$ ein Normalteiler von $F$, der aus den definierenden Relationen für $G\simeq F/R$ besteht. Für beliebige Elemente $r\in R$ und $f\in F$, ist das konjugierte Element $f^{-1}rf\in R$ und daher auch der Kommutator $\lbrack r,f\rbrack =r^{-1}f^{-1}rf\in R$ in $R$ enthalten. Folglich ist $R^{\ast }:=\lbrack R,F\rbrack \cdot R^{p}$ eine charakteristische Untergruppe von $R$, und der $p$-Multiplikator $R/R^{\ast }$ von $G$ ist eine elementar-abelsche $p$-Gruppe, weil

    $(10)\qquad \Phi (R)=\lbrack R,R\rbrack \cdot R^{p}\leq \lbrack R,F\rbrack \cdot R^{p}=R^{\ast }$.

Nun kann die einhüllende $p$-Gruppe von $G$ definiert werden als Quotient

    $(11)\qquad G^{\ast }:=F/R^{\ast }$,

und die exakte Sequenz

    $(12)\qquad 1\longrightarrow R/R^{\ast }\longrightarrow F/R^{\ast }=G^{\ast }\longrightarrow (F/R^{\ast })/(R/R^{\ast })\simeq F/R\simeq G\longrightarrow 1$

zeigt, dass $G^{\ast }$ eine (Gruppen-)Erweiterung von $G$ mittels des elementar-abelschen $p$-Multiplikators ist. Man nennt

    $(13)\qquad \mu (G):=\dim _{\mathbb {F} _{p}}(R/R^{\ast })$

den $p$-Multiplikator-Rang von $G$, der mit dem Relationen-Rang $r(G)=\dim _{\mathbb {F} _{p}}(H^{2}(G,\mathbb {F} _{p}))$ von $G$ übereinstimmt.

Unter der Annahme, dass die vorgegebene endliche $p$-Gruppe $G\simeq F/R$ von der $p$-Klasse $\mathrm {cl} _{p}(G)=c\geq 1$ ist, dann implizieren die Bedingungen $R\triangleleft F$ und $\mathrm {cl} _{p}(F/R)=c$, dass $P_{c}(F)\leq R$ ist, gemäß Regel (R3), und der Nucleus von $G$ kann definiert werden durch

    $(14)\qquad P_{c}(G^{\ast })=P_{c}(F/R^{\ast })=P_{c}(F)\cdot R^{\ast }/R^{\ast }\leq R/R^{\ast }$

als eine (ebenfalls elementar-abelsche) Untergruppe des $p$-Multiplikators. Folglich ist der nukleare Rang

    $(15)\qquad \nu (G):=\dim _{\mathbb {F} _{p}}(P_{c}(G^{\ast }))\leq \mu (G)$

von $G$ durch den $p$-Multiplikator-Rang nach oben beschränkt.

## Erlaubte Untergruppen des p-Multiplikators

Auch weiterhin sei $G$ eine endliche $p$-Gruppe mit $d$ Erzeugenden.

Vorbereitungssatz. Jede $p$-elementare abelsche zentrale Erweiterung

    $(16)\qquad 1\to Z\to H\to G\to 1$

von $G$ mit einer $p$-elementaren abelschen Untergruppe $Z\leq \zeta _{1}(H)$ sodass $d(H)=d(G)=d$ ist ein Quotient der einhüllenden $p$-Gruppe $G^{\ast }$ von $G$. ($\zeta _{1}(H)$ bezeichnet das Zentrum von $H$.)

Beweis. Wegen $d(H)=d(G)=d$ existiert ein (von $\vartheta :\ F\to G$ induzierter) Epimorphismus $\psi :\ F\to H$, sodass $\vartheta =\omega \circ \psi$, wobei $\omega :\ H\to H/Z\simeq G$ die kanonische Projektion bezeichnet. Unter Verwendung aller Voraussetzungen ergibt sich

$R=\ker(\vartheta )=\ker(\omega \circ \psi )=(\omega \circ \psi )^{-1}(1)=\psi ^{-1}(\omega ^{-1}(1))=\psi ^{-1}(Z)$

und daher $\psi (R)=\psi (\psi ^{-1}(Z))=Z$. Ferner ist $\psi (R^{p})=\psi (R)^{p}=Z^{p}=1$ trivial, weil $Z$ als $p$-elementar angenommen wurde, und $\psi (\lbrack R,F\rbrack )=\lbrack \psi (R),\psi (F)\rbrack =\lbrack Z,H\rbrack =1$, weil $Z$ zentral ist. Zusammengenommen folgt $\psi (R^{\ast })=\psi (\lbrack R,F\rbrack \cdot R^{p})=1$ und somit induziert $\psi$ den gewünschten Epimorphismus $\psi ^{\ast }:\ G^{\ast }\to H$, sodass sich $H\simeq G^{\ast }/\ker(\psi ^{\ast })$ als Quotient von $G^{\ast }=F/R^{\ast }$ darstellen lässt. (Ende des Beweises.)

Insbesondere ist ein unmittelbarer Nachfolger $H$ von $G$ eine $p$-elementare abelsche zentrale Erweiterung

    $(17)\qquad 1\to P_{c-1}(H)\to H\to G\to 1$

von $G$, weil aus $1=P_{c}(H)=\lbrack P_{c-1}(H),H\rbrack \cdot P_{c-1}(H)^{p}$ folgt, dass $P_{c-1}(H)^{p}=1$ und $P_{c-1}(H)\leq \zeta _{1}(H)$, wobei $c=\mathrm {cl} _{p}(H)$.

Definition. Eine Untergruppe $M/R^{\ast }\leq R/R^{\ast }$ des $p$-Multiplikators von $G$ wird als erlaubt bezeichnet, wenn sie als Kern $M/R^{\ast }=\ker(\psi ^{\ast })$ eines Epimorphismus $\psi ^{\ast }:\ G^{\ast }\to H$ auf einen unmittelbaren Nachfolger $H$ von $G$ gegeben ist.

Eine äquivalente Charakterisierung ist, dass $1<M/R^{\ast }<R/R^{\ast }$ eine echte Untergruppe ist, welche den Nucleus ergänzt

    $(18)\qquad (M/R^{\ast })\cdot (P_{c}(F)\cdot R^{\ast }/R^{\ast })=R/R^{\ast }$.

Demnach ist der erste Teil des Vorhabens, eine vollständige Liste aller unmittelbaren Nachfolger von $G$ zusammenzustellen, erledigt, wenn alle erlaubten Untergruppen von $R/R^{\ast }$ konstruiert sind, welche den Nucleus $P_{c}(G^{\ast })=P_{c}(F)\cdot R^{\ast }/R^{\ast }$ ergänzen, wobei $c=\mathrm {cl} _{p}(G)$. Im Allgemeinen wird aber die Liste

    $(19)\qquad \lbrace F/M\quad \mid \quad M/R^{\ast }\leq R/R^{\ast }{\text{ ist erlaubt }}\rbrace$,

wobei $G^{\ast }/(M/R^{\ast })=(F/R^{\ast })/(M/R^{\ast })\simeq F/M$, redundant sein, infolge von gewissen Isomorphismen $F/M_{1}\simeq F/M_{2}$ zwischen den unmittelbaren Nachfolgern.

## Orbits unter fortgesetzten Automorphismen

Zwei erlaubte Untergruppen $M_{1}/R^{\ast }$ und $M_{2}/R^{\ast }$ des $p$-Multiplikators $R/R^{\ast }$ von $G$ heißen äquivalent, wenn die Quotienten $F/M_{1}\simeq F/M_{2}$, also die entsprechenden unmittelbaren Nachfolger von $G$, isomorph sind.

Ein solcher Isomorphismus $\varphi :\ F/M_{1}\to F/M_{2}$ zwischen unmittelbaren Nachfolgern von $G=F/R$ mit $c=\mathrm {cl} _{p}(G)$ hat die Eigenschaft, dass $\varphi (R/M_{1})=\varphi (P_{c}(F/M_{1}))=P_{c}(\varphi (F/M_{1}))=P_{c}(F/M_{2})=R/M_{2}$. Er induziert daher einen Automorphismus $\alpha \in \mathrm {Aut} (G)$ von $G$, der fortgesetzt werden kann zu einem Automorphismus $\alpha ^{\ast }\in \mathrm {Aut} (G^{\ast })$ der einhüllenden $p$-Gruppe $G^{\ast }=F/R^{\ast }$ von $G$. Die Einschränkung dieses fortgesetzten Automorphismus $\alpha ^{\ast }$ auf den $p$-Multiplikator $R/R^{\ast }$ von $G$ ist durch $\alpha$ eindeutig bestimmt.

Wegen der Beziehung $\alpha ^{\ast }(M/R^{\ast })\cdot P_{c}(F/R^{\ast })=\alpha ^{\ast }\lbrack M/R^{\ast }\cdot P_{c}(F/R^{\ast })\rbrack =\alpha ^{\ast }(R/R^{\ast })=R/R^{\ast }$ induziert jeder fortgesetzte Automorphismus $\alpha ^{\ast }\in \mathrm {Aut} (G^{\ast })$ eine Permutation $\alpha ^{\prime }$ der erlaubten Untergruppen $M/R^{\ast }\leq R/R^{\ast }$. Man definiert $P:=\langle \alpha ^{\prime }\mid \alpha \in \mathrm {Aut} (G)\rangle$ als die Permutationsgruppe, welche von allen durch Automorphismen von $G$ induzierten Permutationen erzeugt wird. Dann ist die Abbildung $\mathrm {Aut} (G)\to P$, $\alpha \mapsto \alpha ^{\prime }$ ein Epimorphismus und die Äquivalenzklassen erlaubter Untergruppen $M/R^{\ast }\leq R/R^{\ast }$ sind genau die Orbits erlaubter Untergruppen unter der Operation der Permutationsgruppe $P$.

Letztendlich wird das Ziel, eine vollständige und irredundante Liste $\lbrace F/M_{i}\mid 1\leq i\leq N\rbrace$ aller unmittelbaren Nachfolger von $G$ zusammenzustellen, erreicht, wenn man einen Repräsentanten $M_{i}/R^{\ast }$ aus jedem der $N$ Orbits erlaubter Untergruppen des $p$-Multiplikators $R/R^{\ast }$ unter der Operation der Permutationsgruppe $P$ auswählt. Das ist genau der Prozess, welchen der $p$-Gruppen-Erzeugungs-Algorithmus in einem Einzelschritt der rekursiven Prozedur für die Konstruktion des Stammbaums einer vorgegebenen Wurzel $G$ durchführt.

## Erweiterbare p-Gruppen und Schrittweite

Eine endliche $p$-Gruppe $G$ heißt erweiterbar, wenn sie zumindest einen unmittelbaren Nachfolger besitzt. Anderenfalls wird sie als terminal (oder Blatt) bezeichnet. Der nukleare Rang $\nu (G)$ von $G$ erlaubt eine Entscheidung über die Erweiterbarkeit von $G$:

   * $G$ ist genau dann terminal, wenn $\nu (G)=0$.

   * $G$ ist genau dann erweiterbar, wenn $\nu (G)\geq 1$.

Im Fall der Erweiterbarkeit besitzt $G=F/R$ unmittelbare Nachfolger mit $\nu =\nu (G)$ verschiedenen Schrittweiten $1\leq s\leq \nu$, in Abhängigkeit vom Index $(R/R^{\ast }:M/R^{\ast })=p^{s}$ der entsprechenden erlaubten Untergruppen $M/R^{\ast }$ im $p$-Multiplikator $R/R^{\ast }$. Ist $G$ von der Ordnung $\vert G\vert =p^{n}$, dann hat ein unmittelbarer Nachfolger der Schrittweite $s$ die Ordnung $\#(F/M)=(F/R^{\ast }:M/R^{\ast })=(F/R^{\ast }:R/R^{\ast })\cdot (R/R^{\ast }:M/R^{\ast })$ $=\#(F/R)\cdot p^{s}=\vert G\vert \cdot p^{s}=p^{n}\cdot p^{s}=p^{n+s}$.

Für das verwandte Phänomen der Multifurkation eines Stammbaums an einem Vertex $G$ mit nuklearem Rang $\nu (G)\geq 2$ siehe den Artikel über Stammbäume.

Der $p$-Gruppen-Erzeugungs-Algorithmus bietet die Flexibilität, die Konstruktion unmittelbarer Nachfolger auf jene mit einer einzelnen festen Schrittweite $1\leq s\leq \nu$ zu beschränken. Diese Freiheit ist sehr vorteilhaft im Fall von außergewöhnlich großen Anzahlen von Nachfolgern (siehe den nächsten Abschnitt).

## Anzahl der unmittelbaren Nachfolger

Man bezeichnet die Anzahl aller unmittelbaren Nachfolger, beziehungsweise der unmittelbaren Nachfolger der Schrittweite $s$, von $G$ durch $N$, beziehungsweise $N_{s}$. Dann gilt also die Summenbeziehung $N=\sum _{s=1}^{\nu }\,N_{s}$. Es ist illustrativ, einige interessante endliche metabelsche $p$-Gruppen mit ausgedehnten Kollektionen unmittelbarer Nachfolger vorzustellen. Zur Identifikation der Gruppen verwendet man üblicherweise die SmallGroups Datenbank. Zusätzlich empfiehlt es sich, die Anzahlen $0\leq C_{s}\leq N_{s}$ der erweiterbaren unmittelbaren Nachfolger hervorzuheben, im üblichen Format $(N_{1}/C_{1};\ldots ;N_{\nu }/C_{\nu })$, das von aktuellen Implementierungen des $p$-Gruppen-Erzeugungs-Algorithmus in den Computer-Algebra Systemen GAP und MAGMA ausgegeben wird.

Zuerst sei $p=3$.

Die einfachsten Gruppen besitzen Kommutator-Quotienten des Typs $(3,3)$. Siehe die Figur 4 im Artikel über Stammbäume.

   * Die Gruppe $\langle 27,3\rangle$ mit Koklasse $1$ hat die Ränge $\nu =2$, $\mu =4$ und Nachfolgerzahlen $(4/1;7/5)$, $N=11$.

   * Die Gruppe $\langle 243,3\rangle =\langle 27,3\rangle -\#2;1$ mit Koklasse $2$ hat die Ränge $\nu =2$, $\mu =4$ und Nachfolgerzahlen $(10/6;15/15)$, $N=25$.

   * Einer ihrer unmittelbaren Nachfolger, die Gruppe $\langle 729,40\rangle =\langle 243,3\rangle -\#1;7$, hat die Ränge $\nu =2$, $\mu =5$ und Nachfolgerzahlen $(16/2;27/4)$, $N=43$.

Im Gegensatz dazu befinden sich Gruppen mit Kommutator-Quotient des Typs $(3,3,3)$ teilweise bereits jenseits des Bereichs der Berechenbarkeit.

   * Die Gruppe $\langle 81,12\rangle$ mit Koklasse $2$ hat die Ränge $\nu =2$, $\mu =7$ und Nachfolgerzahlen $(10/2;100/50)$, $N=110$.

   * Die Gruppe $\langle 243,37\rangle$ mit Koklasse $3$ hat die Ränge $\nu =5$, $\mu =9$ und Nachfolgerzahlen $(35/3;2783/186;81711/10202;350652/202266;\ldots )$, $N>4\cdot 10^{5}$ unbekannt.

   * Die Gruppe $\langle 729,122\rangle$ mit Koklasse $4$ hat die Ränge $\nu =8$, $\mu =11$ und Nachfolgerzahlen $(45/3;117919/1377;\ldots )$, $N>10^{5}$ unbekannt.

Nun sei $p=5$.

Vergleichbare Gruppen mit Kommutator-Quotient des Typs $(5,5)$ besitzen größere Anzahlen von Nachfolgern als jene mit $p=3$.

   * Die Gruppe $\langle 125,3\rangle$ mit Koklasse $1$ hat die Ränge $\nu =2$, $\mu =4$ und Nachfolgerzahlen $(4/1;12/6)$, $N=16$.

   * Die Gruppe $\langle 3125,3\rangle =\langle 125,3\rangle -\#2;1$ mit Koklasse $2$ hat die Ränge $\nu =3$, $\mu =5$ und Nachfolgerzahlen $(8/3;61/61;47/47)$, $N=116$.

## Schur-Multiplikator

Vermittelt durch den Isomorphismus $\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \to \mu _{\infty }$, ${\frac {n}{d}}\mapsto \exp \left({\frac {n}{d}}\cdot 2\pi i\right)$, kann die Quotientengruppe $\mathbb {Q} /\mathbb {Z} =\left\lbrace {\frac {n}{d}}\cdot \mathbb {Z} \mid d\geq 1,\ 0\leq n\leq d-1\right\rbrace$ als additives Analogon zur multiplikativen Gruppe $\mu _{\infty }=\lbrace z\in \mathbb {C} \mid z^{d}=1{\text{ für eine ganze Zahl }}d\geq 1\rbrace$ aller Einheitswurzeln angesehen werden.

Ist $p$ eine Primzahl und $G$ eine endliche $p$-Gruppe mit Präsentation $G=F/R$, wie in einigen obenstehenden Abschnitten, dann wird die zweite Kohomologiegruppe $M(G):=H^{2}(G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )$ des $G$-Moduls $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ als Schur-Multiplikator von $G$ bezeichnet. Dieser kann auch als Quotientengruppe $M(G)=(R\cap \lbrack F,F\rbrack )/\lbrack F,R\rbrack$ interpretiert werden.

I. R. Shafarevich hat bewiesen, dass die Differenz zwischen dem Relationen-Rang $r(G)=\dim _{\mathbb {F} _{p}}(H^{2}(G,\mathbb {F} _{p}))$ von $G$ und dem Erzeugenden-Rang $d(G)=\dim _{\mathbb {F} _{p}}(H^{1}(G,\mathbb {F} _{p}))$ von $G$ durch die minimale Anzahl von Generatoren des Schur Multiplikators von $G$ gegeben ist, also $r(G)-d(G)=d(M(G))$.

N. Boston und H. Nover haben gezeigt, dass $\mu (G_{j})-\nu (G_{j})\leq r(G)$, für alle Quotienten $G_{j}:=G/P_{j}(G)$ mit $p$-Klasse $\mathrm {cl} _{p}(G_{j})=j$, $j\geq 0$, einer pro-$p$-Gruppe $G$ mit endlichem Kommutator-Quotienten $G/G^{\prime }$.

Ferner hat J. Blackhurst im Anhang On the nucleus of certain $p$-groups der Abhandlung von N. Boston, M. R. Bush und F. Hajir bewiesen, dass eine nicht-zyklische endliche $p$-Gruppe $G$ mit trivialem Schur Multiplikator $M(G)=1$ ein terminaler Vertex im Stammbaum ${\mathcal {T}}(1)$ der trivialen Gruppe $1$ ist, das heißt, $M(G)=1$ $\Rightarrow$ $\nu (G)=0$.

### Beispiele

* Eine endliche $p$-Gruppe $G$ hat genau dann eine ausgewogene Präsentation $r(G)=d(G)$, wenn $r(G)-d(G)=0=d(M(G))$, also genau dann, wenn ihr Schur Multiplikator $M(G)=1$ trivial ist. Eine solche Gruppe wird als Schur Gruppe (oder geschlossene Gruppe in der älteren Literatur) bezeichnet und sie muss ein Blatt im Stammbaum ${\mathcal {T}}(1)$ sein.
* Eine endliche $p$-Gruppe $G$ genügt genau dann der Bedingung $r(G)=d(G)+1$, wenn $r(G)-d(G)=1=d(M(G))$, also genau dann, wenn sie einen nicht-trivialen zyklischen Schur-Multiplikator $M(G)$ besitzt. Eine solche Gruppe wird Schur+1 Gruppe genannt.
