Wieferich-Primzahl
# Wieferich-Primzahl

Eine Wieferich-Primzahl ist eine Primzahl $p$ mit der Eigenschaft, dass $2^{p-1}-1$ durch $p^{2}$ teilbar ist.

Alternativ kann man dies auch als Kongruenz schreiben:

    $2^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}.$

Solche Primzahlen wurden 1909 von dem deutschen Mathematiker Arthur Wieferich erstmals beschrieben.

## Bekannte Wieferich-Primzahlen

Man kennt bisher nur zwei Wieferich-Primzahlen, nämlich 1093 (Waldemar Meißner 1913) und 3511 (Beeger 1922). Mit Computerhilfe wurden bis November 2008 alle Zahlen bis 6,7 × $10^{15}$ untersucht, weitere Wieferich-Primzahlen fand man dabei nicht. Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele Wieferich-Primzahlen gibt. Es besteht sowohl die Vermutung, dass dies nicht der Fall ist, als auch die gegenteilige, genauer: dass zwischen $x$ und $y$ etwa $\log(\log(y)/\log(x))$ Wieferich-Primzahlen liegen. Es ist sogar noch offen, ob es unendlich viele Primzahlen gibt, die keine Wieferich-Primzahlen sind. Joseph Silverman zeigte dies 1988 unter Annahme der abc-Vermutung.

## Verwandtschaft mit dem großen Fermatschen Satz

Wieferich beschäftigte sich mit dem großen Fermatschen Satz. 1909 veröffentlichte er als Ergebnis den Satz:

Wenn $x^{p}+y^{p}+z^{p}=0$, wobei $x,y$ und $z$ ganze Zahlen sind, $p$ eine Primzahl ist und das Produkt $xyz$ nicht teilbar durch $p$, dann ist $p$ eine Wieferich-Primzahl, also $2^{p-1}-1$ durch $p^{2}$ teilbar.

1910 zeigte Dmitry Mirimanoff, dass dann auch $3^{p-1}-1$ durch $p^{2}$ teilbar ist. Die einzigen bekannten Primzahlen, die diese Bedingung erfüllen, sind $p=11$ und $p=1006003$ (Kloss 1965).

Aus dem 1995 bewiesenen großen Fermatschen Satz folgt, dass die Voraussetzungen des Satzes von Wieferich nicht erfüllt werden können.

## Eigenschaften von Wieferich-Primzahlen

* Aus der Wieferich-Primzahl $w$ kann die Mersenne-Zahl $M_{n}=M_{w-1}=2^{w-1}-1$ als Produkt $M_{w-1}=kw^{2}$ konstruiert werden.

    $n=w-1$ ist somit (trivialerweise, da $n$ geradzahlig) nicht prim, und $M_{n}$ keine Mersenne-Primzahl.
* Offen ist die Frage, ob es Mersenne-Zahlen $M_{p}<M_{w-1}$ (mit primen Exponenten $p$) gibt, die durch $w^{2}$ teilbar sind. Dabei muss $p$ ein Teiler von $w-1$ sein, wenn $M_{p}$ durch $w$ teilbar sein soll.

    Dieser Sachverhalt kann mit gruppentheoretischen Begriffen ausgedrückt werden:
       Da $w-1$ nicht prim ist, handelt es sich bei $2^{w-1}-1$ nicht um eine mersennesche Zahl. Es müsste also eine mersennesche Zahl $2^{p}-1$ mit $p={\frac {w-1}{x}}$ geben, die durch $w^{2}$ teilbar ist; d. h., dass die Länge $g(w)$ der multiplikativen zyklischen Subgruppe von $w$ zur Basis 2 prim sein müsste.
       Es sind aber empirisch die Gruppenordnungen der einzigen bekannten Wieferichprimzahlen $g(1093)=364=4\cdot 7\cdot 13$ und $g(3511)=1755=3^{3}\cdot 5\cdot 13$ nicht prim.
    Dass Mersenne-Zahlen quadratfrei sind, scheint bisher nur ein empirisches Resultat zu sein. Mathworld formuliert bspw. "Alle bekannten Mersenne Zahlen $2^{p}-1$ sind quadratfrei. Allerdings vermutet GUY (1994), dass es Mersenne-Zahlen gibt, die nicht quadratfrei sind".
* Unterschied zu anderen Basen als 2: für andere Basen als 2 und die entsprechenden Äquivalente zu Mersenne- und Wieferichzahlen trifft dies nicht zu.

    Bspw. ist zur Basis 3 mit ${\frac {3^{5}-1}{3-1}}=11^{2}$ die Bedingung $w^{2}$ teilt $3^{p}-1$ (mit $w,p$ prim) erfüllt.
    Zur Basis 2819 tritt $w=19$ bei $2819^{3}-1=x\cdot 19^{4}$ das Wieferich-analog $w=19$ sogar zur Potenz 4 auf. Die Quadratfreiheit von Mersenne-Zahlen (zur Basis 2) muss demnach eine besondere Eigenschaft der Basis 2 (und möglicherweise weiterer Basen) sein, falls sie generell zutreffen sollte.
* Für eine Wieferich-Primzahl $p$ gilt:

    $2^{p^{2}}\equiv 2{\pmod {p^{2}}}.$
* Mit $2^{n}\equiv 1{\pmod {p}}$ tritt stets gleichzeitig $2^{n}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}$ auf.
