Pillaische Primzahl
# Pillaische Primzahl

In der Zahlentheorie ist eine Pillaische Primzahl eine Primzahl $p$, für welche eine positive ganze Zahl $n>0$ existiert, sodass die Fakultät von $n$, also $n!$, um Eins kleiner ist als ein Vielfaches der Primzahl $p$. Die Primzahl selbst darf aber nicht um Eins größer sein als ein Vielfaches von $n$. Mit anderen Worten:

    Es existiert ein $k_{1}\in \mathbb {N}$ mit $n!+1=k_{1}\cdot p$ und es muss $p-1\not =k_{2}\cdot n$ sein für alle $k_{2}\in \mathbb {N}$.

Mit Kongruenzen geschrieben bedeutet das:

    Es muss $n!+1\equiv 0{\pmod {p}}$ und $p\not \equiv 1{\pmod {n}}$ gelten.

Die dazugehörigen Zahlen $n\in \mathbb {N}$ nennt man EHS-Zahlen.

Die Pillai-Primzahlen wurden nach dem Mathematiker Subbayya Sivasankaranarayana Pillai benannt, der sich als erstes mit diesen Zahlen beschäftigte, indem er sich fragte, ob es wahr ist, dass jeder Primteiler $p\in \mathbb {P}$ von $n!+1$ von der Form $p=k\cdot n+1$ ist.

## Beispiele

* Die Zahl $p=137$ ist eine Pillai-Pimzahl, weil gilt:

    Mit $n=16$ und $k=152721094073$ gilt: $n!+1=16!+1=20922789888001=152721094073\cdot 137=k_{1}\cdot p$ und es ist auch tatsächlich $p-1=137-1=136\not =k_{2}\cdot 16=k_{2}\cdot n$ für alle $k_{2}\in \mathbb {N}$.
* Die ersten Pillai-Primzahlen sind die folgenden:

       23, 29, 59, 61, 67, 71, 79, 83, 109, 137, 139, 149, 193, 227, 233, 239, 251, 257, 269, 271, 277, 293, 307, 311, 317, 359, 379, 383, 389, 397, 401, 419, 431, 449, 461, 463, 467, 479, 499, 503, 521, 557, 563, 569, 571, 577, 593, 599, 601, 607, 613, 619, 631, 641, 647, 661, 673, … (Folge A063980 in OEIS)
* Die ersten EHS-Zahlen sind die folgenden:

       8, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, …
    Die kleinsten zu obiger Liste dazugehörenden $p\in \mathbb {P}$ (es gibt mehrere) sind die folgenden:
       61, 71, 83, 23, 59, 61, 661, 23, 71, 521, …
    Beispiel: Den beiden obigen Listen kann man jeweils an der 7. Stelle die EHS-Zahl $n=17$ und die Primzahl $p=661$ entnehmen. Und tatsächlich ist $n!+1=17!+1=355687428096001=538105034941\cdot 661=k_{1}\cdot p$ und es ist auch tatsächlich $p-1=661-1=660\not =k_{2}\cdot 17=k_{2}\cdot n$ für alle $k_{2}\in \mathbb {N}$.

## Eigenschaften

* Es gibt unendlich viele Pillai-Primzahlen.
* Es gibt unendlich viele EHS-Zahlen.

## Ungelöste Probleme

Die folgenden ungelösten Probleme werden in aufgeworfen:

* Sei $\pi (x)$ die Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich $x$ und $\pi ({\mathcal {P}},x)$ die Anzahl der Pillai-Primzahlen kleiner oder gleich $x$.

       Ist $\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi ({\mathcal {P}},x)}{\pi (x)}}=1$?
* Sei $f(x)$ die Anzahl der EHS-Zahlen kleiner oder gleich $x$.

       Existiert $\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}$?
       Wenn ja, gegen welche Wert geht dieser Limes?
       Es ist ${\frac {f(100)}{100}}\approx 5{,}5$ und ${\frac {f(200)}{200}}\approx 5{,}25$ und ${\frac {f(300)}{300}}\approx 5{,}7$ und ${\frac {f(400)}{400}}\approx 5{,}45$ und ${\frac {f(500)}{500}}\approx 4{,}98$.
       Es könnte sein, dass der Limes $0{,}5$ beträgt, falls er existiert.
