Prädikatabbildung
# Prädikatabbildung

Eine Prädikatabbildung ist eine mathematische Funktion, die einen logischen Wahrheitswert (wahr oder falsch) auf die Zahlen 0 oder 1 abbildet. Dadurch können störende Fallunterscheidungen so umgeformt werden, dass die resultierende Funktion in mathematischen Schlussfolgerungen einfacher verwendbar ist.

## Definition

Die folgende Definition stammt von Kenneth E. Iverson, 1962:

Wenn $P(n)$ ein Prädikat ist, dann ist $[P(n)]$ folgendermaßen definiert:

$[P(n)]={\begin{cases}1,&{\text{wenn }}P(n){\text{ wahr ist}}\\0,&{\text{wenn }}P(n){\text{ nicht wahr ist}}\end{cases}}$

D. h., dass diese Abbildung einen logischen Wahrheitswert auf einen in mathematischen Formeln weiterverwendbaren Ganzzahlenwert abbildet, und zwar wird eine wahre Aussage auf eine 1, und eine falsche Aussage auf eine 0 abgebildet (siehe Beispiel). Mit dieser Abbildung kann man nun aus komplexen Formeln mit Fallunterscheidungen eine einzige Formel machen.

## Beispiel

Die Fibonaccizahlen sind durch folgende Rekurrenzgleichung definiert:

$f_{n}={\begin{cases}0,&{\text{wenn }}n\leq 0\\1,&{\text{wenn }}n=1\\f_{n-1}+f_{n-2},&{\text{wenn }}n>1\end{cases}}$

Mit der Abbildung von Iverson kann man diese Rekurrenzgleichung in eine einfache Form überführen:

$f_{n}=(f_{n-1}+f_{n-2})\cdot [n>1]+[n=1]$

Der Teil $(f_{n-1}+f_{n-2})$ entspricht der rekursiven Definition der Fibonaccizahlen. Der Faktor $[n>1]$ entfernt für alle Fibonaccizahlen mit einem Index kleiner oder gleich 1 diesen rekursiven Teil. Und $[n=1]$ ist genau dann gleich 1, wenn der Index $n$ gleich 1 ist. Dadurch wird die Fibonaccizahl mit dem Index 1 gleich 1, und dadurch ist gewährleistet, dass die Fibonaccizahlen mit einem Index größer als 1 auch einen Wert größer als 0 haben.

Mit dieser Formel kann man nun einfacher die geschlossene Formel bestimmen.

