Sinus- und Kosinus-Transformation
# Sinus- und Kosinus-Transformation

Die Sinus- und Kosinus-Transformation sind zwei Varianten der kontinuierlichen Fourier-Transformation, die ausschließlich für reelle Zahlen definiert sind, im Gegensatz zur Fourier-Transformation, welche für komplexe Zahlen definiert ist. Sie sind Integraltransformationen mit Anwendungen im Bereich der Signalverarbeitung. Davon abgeleitet sind für zeitdiskrete Signalfolgen die Diskrete Kosinustransformation (DCT) und die Diskrete Sinustransformation (DST).

## Allgemeines

Der Kern der Fourier-Transformation lässt sich mittels der Eulerschen Identität in einen Real- und Imaginärteil aufspalten:

    $\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \,x}=\cos \left(x\right)+\mathrm {j} \cdot \sin \left(x\right)$

mit $\mathrm {j}$ als die imaginäre Einheit. Der Realteil wird als Kern der Kosinus-Transformation und der Imaginärteil als Kern der Sinus-Transformation verwendet. Die Kosinus-Funktion ist eine gerade Funktion, die Kosinus-Transformation bildet den geraden Signalanteil der Fourier-Transformierte eines reellen Signals ab. Analog dazu bildet die ungerade Sinus-Funktion den ungeraden Signalanteil der Fourier-Transformierte eines reellen Signals ab.

### Sinus-Transformation

Die Sinus-Transformation ist für reelle Signale $y(t)$ definiert durch:

    $\mathrm {Y_{s}} (f)={\mathcal {SIN}}\{y(t)\}=\int _{-\infty }^{\infty }y(t)\sin(2\pi ft)\,\mathrm {d} t.$

### Kosinus-Transformation

Die Kosinus-Transformation ist für reelle Signale $y(t)$ definiert durch:

    $\mathrm {Y_{c}} (f)={\mathcal {COS}}\{y(t)\}=\int _{-\infty }^{\infty }y(t)\cos(2\pi ft)\,\mathrm {d} t.$

### Zusammenhang

Die Fourier-Transformation

    $\mathrm {Y} (f)={\mathcal {F}}\{y(t)\}=\int _{-\infty }^{\infty }y(t)\,e^{-2\pi \mathrm {j} f\cdot t}\,\mathrm {d} t$

lässt sich für reelle Signale $y(t)$ aus der Sinus- und Kosinus-Transformation bilden:

    ${\mathcal {F}}\{y(t)\}={\mathcal {COS}}\{y(t)\}-\mathrm {j} \cdot {\mathcal {SIN}}\{y(t)\}.$

Für die speziellen Fälle von reellen und geraden Signalen geht die Fourier-Transformation in die Kosinus-Transformation über, für reelle und ungerade Signale geht sie, bis auf einen konstanten Vorfaktor, in die Sinus-Transformation über.

