Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung
# Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung

Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung :

| Dichtefunktion ||
| - | - |
| Verteilungsfunktion ||
| Parameter | p – Dimension der Zufallsvariablen m – verknüpft mit der Stichprobengröße |
| Träger | $x\in (0,+\infty )\;$ if $p=1$ $x\in [0,+\infty )\;$ otherwise. |

Die Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die 1931 von Harold Hotelling erstmals beschrieben wurde. Sie ist eine Verallgemeinerung der Studentschen t-Verteilung.

## Definition

Hotellings T-Quadrat-Verteilung ist definiert als

    $t^{2}=n({\mathbf {x} }-{\mathbf {\mu } })'{\mathbf {W} }^{-1}({\mathbf {x} }-{\mathbf {\mu } })$

mit

* $n$ einer Anzahl von Punkten
* ${\mathbf {x} }$ ist ein Spaltenvektor mit $p$ Elementen
* ${\mathbf {W} }$ ist eine $p\times p$-Kovarianzmatrix.

## Eigenschaften

Es sei $x\sim N_{p}(\mu ,{\mathbf {V} })$ eine Zufallsvariable mit einer multivariaten Normalverteilung und ${\mathbf {W} }\sim W_{p}(m,{\mathbf {V} })$ (unabhängig von $x$) habe eine Wishart-Verteilung mit einer nicht-singulären Kovarianzmatrix $\mathbf {V}$ und mit $m=n-1$. Dann ist die Verteilung von $t^{2}$: $T^{2}(p,m)$, Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung mit Parametern $p$ und $m$.

$F$ sei die F-Verteilung. Dann kann gezeigt werden, dass gilt:

    ${\frac {m-p+1}{pm}}T^{2}\sim F_{p,m-p+1}$.

Unter der Annahme, dass

    ${\mathbf {x} }_{1},\dots ,{\mathbf {x} }_{n}$

$p\times 1$-Spaltenvektoren mit reellen Zahlen sind.

    ${\overline {\mathbf {x} }}=(\mathbf {x} _{1}+\cdots +\mathbf {x} _{n})/n$

sei der Mittelwert. Die positiv definite $p\times p$-Matrix

    ${\mathbf {W} }=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})'/(n-1)$

sei ihre Stichproben-Kovarianzmatrix. (Die Transponierte einer Matrix $M$ sei mit $M'$ bezeichnet). $\mu$ sei ein $p\times 1$-Spaltenvektor (bei Anwendung ein Schätzer des Mittelwertes). Dann ist die Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung

    $t^{2}=n({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } })'{\mathbf {W} }^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } }).$

$t^{2}$ hat eine enge Beziehung zum quadrierten Mahalanobis-Abstand.

Insbesondere kann gezeigt werden, dass, wenn ${\mathbf {x} }_{1},\dots ,{\mathbf {x} }_{n}\sim N_{p}(\mu ,{\mathbf {V} })$ unabhängig sind und ${\overline {\mathbf {x} }}$ und ${\mathbf {W} }$ wie oben definiert sind, dann hat ${\mathbf {W} }$ eine Wishart-Verteilung mit $n-1$ Freiheitsgraden, so dass

    $\mathbf {W} \sim W_{p}(V,n-1)$

und ist unabhängig von ${\overline {\mathbf {x} }}$ und

    ${\overline {\mathbf {x} }}\sim {\mathcal {N}}_{p}(\mu ,V/n)$.

Daraus folgt

    $t^{2}=n({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } })'{\mathbf {W} }^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } })\sim T^{2}(p,n-1).$
