Isoperimetrischer Punkt
# Isoperimetrischer Punkt

Der isoperimetrische Punkt ist ein ausgezeichneter Punkt in einem Dreieck ABC. Es handelt sich um den Punkt P in diesem Dreieck, für den die Teildreiecke PBC, PCA und PAB gleichen Umfang haben. Der isoperimetrische Punkt hat die Kimberling-Nummer X(175).

## Eigenschaften

* Der isoperimetrische Punkt ist harmonisch verwandt zum Punkt des gleichen Umwegs in Bezug auf den Inkreismittelpunkt und den Gergonne-Punkt und somit kollinear zu diesen drei Punkten.
* Die Umfänge von PBC, PCA und PAB betragen ${\tfrac {2\triangle }{\left\vert 4R+r-(a+b+c)\right\vert }}$ und sind gleich dem Durchmesser des äußeren Soddy-Kreises.
* Der isoperimetrische Punkt existiert genau dann, wenn der Umfang von ABC größer ist als $4R+r$, wobei $R$ der Radius des Umkreises und $r$ der Radius des Inkreises ist.

## Koordinaten

Isoperimetrischer Punkt ($X_{175}$) :

| Trilineare Koordinaten | $\left(\sec {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}-1\right):\left(\sec {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-1\right):\left(\sec {\frac {\gamma }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}-1\right)$ |
| - | - |
| Baryzentrische Koordinaten | $\left(a-{\frac {\Delta }{s-a}}\right):\left(b-{\frac {\Delta }{s-b}}\right):\left(c-{\frac {\Delta }{s-c}}\right)$ |

Hierbei steht $\Delta$ für den Flächeninhalt und $s$ für den halben Umfang von ABC.

