Clapeyron-Gleichung
# Clapeyron-Gleichung

Die Clapeyron-Gleichung, die Émile Clapeyron 1834 entwickelte, liefert die Steigung aller Phasengrenzlinien im p-T-Diagramm eines Reinstoffes, d. h. z. B. auch zwischen zwei festen Phasen. Sie lautet:

    ${\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} T}}={\frac {\Delta _{\mathrm {trs} }S}{\Delta _{\mathrm {trs} }V}}$

mit

* $p$ – Druck
* $T$ – Temperatur in K
* $\Delta _{\mathrm {trs} }S$ – Änderung der molaren Entropie, d. h. der Entropie pro Stoffmenge, beim Phasenübergang
* $\Delta _{\mathrm {trs} }V$ – Änderung des molaren Volumens

## Spezifizierung für einzelne Phasenübergänge

Die Clapeyron-Gleichung lässt sich für verschiedene Phasengrenzen spezifizieren; insbesondere folgende Übergänge werden durch sie bestimmt:

* fest/flüssig, siehe Schmelzpunkt
* flüssig/gasförmig (Clausius-Clapeyron-Gleichung, Temperaturabhängigkeit des Sättigungsdampfdrucks):

    ${\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} T}}\approx {\frac {\Delta _{\text{vap}}H\cdot p}{R\cdot T^{2}}}$
    mit $\Delta _{\text{vap}}H$ – molare Verdampfungsenthalpie
    und $R$ – universelle Gaskonstante
* fest/gasförmig (Temperaturabhängigkeit des Sublimationsdampfdrucks):

    ${\frac {\mathrm {d} \ln p}{\mathrm {d} T}}\approx {\frac {\Delta _{\text{sub}}H}{R\cdot T^{2}}}$
    mit $\Delta _{\text{sub}}H$ – molare Sublimationsenthalpie

## Herleitung

Die gesuchte Steigung der Phasengrenzlinien im p-T-Diagramm wird durch die noch unbekannte Funktion $\mathrm {d} p/\mathrm {d} T$ beschrieben.

An einer Phasengrenzlinie, d. h. bei dem Wertepaar aus Druck p und Temperatur T, bei dem zwei Phasen α und β im thermodynamischen Gleichgewicht koexistieren, besitzen diese beiden Phasen die gleichen chemischen Potentiale μ:

Da auf der gesamten Phasengrenzlinie auch bei infinitesimalen Veränderungen von p oder T Gleichung 1 gilt, muss auch die Veränderung der Potentiale immer gleich bleiben:

Aus der Gibbs-Duhem-Gleichung ist bekannt

Einsetzen in Gleichung 2 liefert

Ausklammern von dp und dT sowie anschließende Umformung liefert die Clapeyron-Gleichung:

mit $\Delta _{\text{trs}}S=S_{\beta ,{\text{m}}}-S_{\alpha ,{\text{m}}}$ und $\Delta _{\text{trs}}V=V_{\beta ,{\text{m}}}-V_{\alpha ,{\text{m}}}$.

Für reversible Vorgänge kann die Umwandlungsentropie aus der dabei umgesetzten Wärmemenge $Q_{rev}$ berechnet werden, die bei isobaren Vorgängen gleich der Änderung der molaren Enthalpie $H_m$ ist:

Damit erhält man die Clausius-Clapeyron-Gleichung.

