Separationsansatz
# Separationsansatz

Der Separationsansatz dient der Lösung partieller Differentialgleichungen mit mehreren Variablen. Der Produktansatz ist ein Spezialfall.

## Allgemeines

Man nimmt an, dass sich die Lösung durch eine Trennungsfunktion $\varphi (a,b)$ auf folgende Weise trennen lässt

    $u(t,x)=\varphi (X(x),T(t)),$

wobei $X$ und $T$ geeignete Funktionen sind.

### Produktansatz

Beim Produktansatz wählt man als Trennungsfunktion $\varphi (a,b)=ab$, so dass sich die Lösung als ein Produkt der Form

    $u(t,x)=X(x)T(t)$

darstellen lässt. Durch Ableiten und Einsetzen der separierten Funktionen $X$ und $T$ in die Ausgangsfunktion erhält man einen Ausdruck

    $\Phi (x,X,X',X'')=\lambda =\Psi (t,T,T',T'')$

Diese Gleichung lässt sich in zwei gewöhnliche Differentialgleichungen überführen, die mit Hilfe der Randbedingungen lösbar sind. Die gefundene Lösung muss nicht die einzige Lösung der Ausgangsfunktion sein.

## Beispiel

Zu lösen sei die eindimensionale Wellengleichung

    ${\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial x^{2}}}$.

Der Separationsansatz mit $y(x,t)=f(x)g(t)$:

    ${\frac {\partial ^{2}f(x)g(t)}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}f(x)g(t)}{\partial x^{2}}}$

führt auf

    $f(x){\frac {d^{2}g(t)}{dt^{2}}}=c^{2}{\frac {d^{2}f(x)}{dx^{2}}}g(t)$

Nun folgt die „Separation der Variablen“ mit Division durch $f(x)g(t)$ mit der Annahme $y(x,t)\neq 0$ im Inneren der Fläche.

    ${\frac {1}{g(t)}}{\frac {d^{2}g(t)}{dt^{2}}}=c^{2}{\frac {1}{f(x)}}{\frac {d^{2}f(x)}{dx^{2}}}$

Vereinfachung der Notation $f''(x)={\frac {d^{2}f(x)}{dx^{2}}}$ und $g''(t)={\frac {d^{2}g(t)}{dt^{2}}}$ ergibt

    ${\frac {g''(t)}{g(t)}}=c^{2}{\frac {f''(x)}{f(x)}}$

Die Gleichung kann nur erfüllt sein, wenn beide Seiten der Gleichung konstant sind, da sie von verschiedenen Variablen abhängen. Also

    ${\frac {g''(t)}{g(t)}}=c^{2}{\frac {f''(x)}{f(x)}}=\lambda$

Dies führt auf die folgenden gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung

    $f''(x)={\frac {\lambda }{c^{2}}}f(x)$
    $g''(t)=\lambda g(t)$

Die nun lösbar sind in Abhängigkeit vom Parameter $\lambda$ und den Randbedingungen, das Einsetzen der einzelnen Lösungen in $y(x,t)$ ergibt die Lösung der partiellen Differentialgleichung.

