Satz von den Ergänzungsparallelogrammen
# Satz von den Ergänzungsparallelogrammen

Der Satz von den Ergänzungsparallelogrammen ist ein Lehrsatz der Elementargeometrie über die Flächeninhalte von Parallelogrammen.

## Formulierung des Satzes

Der Satz besagt folgendes:

    Gegeben sei ein Parallelogramm ${\mathcal {P}}=ABCD$ der euklidischen Ebene und darin sei $d$ eine der beiden Diagonalen, etwa (oBdA) $d=AC$.
    Weiter sei $Z$ ein innerer Punkt von $d$.
    Durch $Z$ seien die beiden Parallelen zu den Seiten von ${\mathcal {P}}$ gezogen, welche ${\mathcal {P}}$ in vier Teilparallelogramme unterteilen, wobei $Z$ deren alleiniger gemeinsamer Punkt ist.
    Dann gilt:
    Die beiden Teilparallelogramme, welche von der Diagonalen $d$ nicht zerlegt werden, also mit $d$ allein den Punkt $Z$ gemeinsam haben, sind ergänzungsgleich und daher von identischem Flächeninhalt.

## Herleitung und Erläuterung

Die vier Teilparallelogramme von ${\mathcal {P}}$ seien mit ${\mathcal {P}}_{A},{\mathcal {P}}_{B},{\mathcal {P}}_{C},{\mathcal {P}}_{D}$ bezeichnet. Die Indizierung orientiert sich an den Eckpunkten von ${\mathcal {P}}$. Es ist also ${\mathcal {P}}_{X}$ dasjenige Teilparallelogramm, welches den Eckpunkt $X$ $(X=A,B,C,D)$ enthält. Folglich sind aus Konvexitätsgründen die beiden Teilparallelogramme, welche mit der Diagonalen $d$ allein den Punkt $Z$ gemeinsam haben, ${\mathcal {P}}_{B}$ und ${\mathcal {P}}_{D}$, während ${\mathcal {P}}_{A}$ und ${\mathcal {P}}_{C}$ diejenigen beiden Teilparallelogramme seien, welche mit $d$ mehr als einen Punkt gemeinsam haben.

$d$ zerlegt nun ${\mathcal {P}}$ in zwei kongruente Dreiecke, nämlich in $ABC$ und $ACD$, und genauso zerlegt $d$ sowohl ${\mathcal {P}}_{A}$ als auch ${\mathcal {P}}_{C}$ jeweils in zwei kongruente Dreiecke.

Sind hier nun ${\Delta }_{1}$ und ${\Delta }_{2}$ die beiden Zerlegungsdreiecke von ${\mathcal {P}}_{A}$ beziehungsweise ${\Delta }_{3}$ und ${\Delta }_{4}$ die beiden Zerlegungsdreiecke von ${\mathcal {P}}_{C}$ und dabei ${\Delta }_{1}$ und ${\Delta }_{3}$ innerhalb des Dreiecks $ABC$ beziehungsweise ${\Delta }_{2}$ und ${\Delta }_{4}$ innerhalb des Dreiecks $ACD$ gelegen, so wird $ABC$ in die drei Flächenstücke ${\Delta }_{1}$ und ${\Delta }_{3}$ und ${\mathcal {P}}_{B}$ zerlegt und genauso $ACD$ in die drei Flächenstücke ${\Delta }_{2}$ und ${\Delta }_{4}$ und ${\mathcal {P}}_{D}$ .

Folglich ergeben sich hinsichtlich der Flächeninhalte die Identitäten

    (I) $F_{ABC}=F_{ACD}={\frac {F_{ABCD}}{2}}$
    (II) $F_{ABC}=F_{{\Delta }_{1}}+F_{{\Delta }_{3}}+F_{{\mathcal {P}}_{B}}$
    (III) $F_{ACD}=F_{{\Delta }_{2}}+F_{{\Delta }_{4}}+F_{{\mathcal {P}}_{D}}$

und daraus wegen der genannten Kongruenzbeziehungen unmittelbar die Identität

    (IV) $F_{{\mathcal {P}}_{B}}=F_{{\mathcal {P}}_{D}}$ .

Dies bedeutet auch:

    ${\mathcal {P}}_{B}$ und ${\mathcal {P}}_{D}$ sind ergänzungsgleich.

Denn durch Hinzufügung endlich vieler paarweise kongruenter Vielecke werden aus ${\mathcal {P}}_{B}$ und ${\mathcal {P}}_{D}$ zwei kongruente Vielecke erhalten, nämlich die beiden Dreiecke $ABC$ und $ACD$

Dies beweist den Satz.

## Zur Terminologie

Die beiden Teilparallelogramme ${\mathcal {P}}_{B}$ und ${\mathcal {P}}_{D}$ werden wegen des in dem Satz dargestellten Sachverhalts Ergänzungsparallelogramme genannt. Damit ist auch der Name des Satzes selbst erklärt.

