Ungleichung von Cantelli
# Ungleichung von Cantelli

Die Ungleichung von Cantelli ist eine elementare stochastische Ungleichung, die auf den italienischen Mathematiker Francesco Paolo Cantelli zurückgeht. Sie ist verwandt mit der tschebyschow-markowschen Ungleichung und liefert eine einseitige Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit, dass eine reelle Zufallsvariable ihren Erwartungswert um eine positive Zahl übersteigt.

## Formulierung der Ungleichung

Die Cantellische Ungleichung lässt sich angeben wie folgt:

    Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )$ und eine reelle Zufallsvariable $X\colon (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R}$.
    $X$ besitze ein endliches zweites Moment:
       $\operatorname {E} (X^{2})<{\infty }$.
    Weiter gegeben sei eine reelle Zahl $c>0$.
    Dann besteht die Ungleichung
       $\operatorname {P} {\biglX\geq \operatorname {E} (X)+c{\bigr )}\leq {\frac {\operatorname {V} (X)}{c^{2}+\operatorname {V} (X)}}$.

## Beweis der Ungleichung

Der Darstellung von Klaus D. Schmidt folgend lässt sie sich folgendermaßen herleiten:

### Schritt 1

Man setzt

       $Z=X-{\operatorname {E} (X)}$ .

Dann ist zunächst

       $\operatorname {E} (Z)=0$

und weiter

       $\operatorname {V} (Z)=\operatorname {V} (X)=\operatorname {E} {\biglZ^{2}{\bigr )}$ .

### Schritt 2

Hat man nun eine (zunächst beliebige) reelle Zahl $t>-c$, so ergibt sich, insbesondere wegen der tschebyschow-markowschen Ungleichung für zweite Momente, die folgende Ungleichungskette:

       ${\begin{aligned}\operatorname {P} {{\biglX\geq {\operatorname {E} {\biglX{\bigr )}+c}{\bigr )}}&=\operatorname {P} {\biglZ\geq c{\bigr )}\\&=\operatorname {P} {\biglZ+t\geq c+t{\bigr )}\\&\leq \operatorname {P} {\bigl|Z+t|\geq c+t{\bigr )}\\&\leq {\frac {\operatorname {E} {\bigl{(Z+t)}^{2}{\bigr )}}{{(c+t)}^{2}}}\\&={\frac {\operatorname {E} {\biglZ^{2}{\bigr )}+t^{2}}{{(c+t)}^{2}}}\\&={\frac {{\operatorname {V} (Z)}+t^{2}}{(c+t)^{2}}}\\&={\frac {{\operatorname {V} (X)}+t^{2}}{(c+t)^{2}}}.\end{aligned}}$

### Schritt 3

Insbesondere für die reelle Zahl

       $t_{0}={\frac {\operatorname {V} (X)}{c}}$

gilt nach Schritt 2:

       ${\begin{aligned}\operatorname {P} {{\biglX\geq {\operatorname {E} (X)+c}{\bigr )}}&\leq {\frac {{\operatorname {V} (X)}+{t_{0}}^{2}}{(c+{t_{0}})^{2}}}\\&={\frac {{\operatorname {V} (X)}+{\frac {{\operatorname {V} (X)}^{2}}{c^{2}}}}{{(c+{\frac {\operatorname {V} (X)}{c}})}^{2}}}\\&={\frac {{c^{2}}\cdot {\operatorname {V} (X)}+{{\operatorname {V} (X)}^{2}}}{{{c^{2}}\cdot (c+{\frac {\operatorname {V} (X)}{c}})}^{2}}}\\&={\frac {{\operatorname {V} (X)}\cdot {{\bigl{c^{2}}+{{\operatorname {V} (X)}{\bigr )}}}}{{({c^{2}}+{\operatorname {V} (X)})}^{2}}}\\&={\frac {\operatorname {V} {{\biglX{\bigr )}}}{c^{2}+{\operatorname {V} (X)}}}\\\end{aligned}}$ .

Damit ist alles bewiesen.

