Cantorsches Produkt
# Cantorsches Produkt

Als cantorsches Produkt bezeichnet man in der Analysis ein unendliches Produkt, dessen Glieder aus rationalen Zahlen der Form $1+{\tfrac {1}{q}}$ bestehen, wobei die darin auftretenden Nenner stets natürliche Zahlen sind und zudem immer so beschaffen, dass der Nenner $q_{n+1}$ des $n+1$-ten Gliedes $(n\in \mathbb {N} )$ stets mindestens so groß ist wie das Quadrat des zum vorangehenden $n$-ten Glied gehörigen Nenners $q_{n}$

Die cantorschen Produkte wurden von Georg Cantor in einer Arbeit aus dem Jahre 1869 eingeführt. Wie Cantor darin zeigte, lässt sich jede beliebige reelle Zahl ${\alpha }_{0}>1$ in Form eines cantorschen Produkts darstellen. Grundlegend für Cantors Darlegungen ist dabei die auf Leonhard Euler zurückgehende eulersche Produktgleichung

    ${\frac {1}{1-x}}=\prod _{n=0}^{\infty }{(1+x^{2^{n}})}$,

welche für alle reellen (und darüber hinaus sogar für alle komplexen) Zahlen $x$ des Betrags $|x|<1$ Gültigkeit hat.

## Cantors Satz

Cantors Satz über die cantorschen Produkte lässt sich zusammengefasst wie folgt darstellen:

    Sei ${\alpha }_{0}>1$ eine reelle Zahl. Dann gilt:
       (I) Zu ${\alpha }_{0}$ lässt sich eine und nur eine Zahlenfolge $(q_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ natürlicher Zahlen so bestimmen, dass ${\alpha }_{0}$ eine Produktdarstellung der Form
          ${\alpha }_{0}=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1+{\tfrac {1}{q_{n}}}\right)$
       hat, wobei in dieser Zahlenfolge für jeden Index $n$ die Ungleichung $q_{n+1}\geq {q_{n}}^{2}$ erfüllt ist und zudem nur endlich viele Folgenelemente $q_{n}=1$ sind.
       (II) Jedes cantorsche Produkt, also jedes unendliche Produkt der in (I) beschriebenen Form, ist konvergent.
       (III) ${\alpha }_{0}$ ist genau dann eine rationale Zahl, wenn in der cantorschen Produktdarstellung gemäß (I) ab einem Index $N$ für alle nachfolgenden Indizes $n\geq N$ stets die Identität $q_{n+1}={q_{n}}^{2}$ besteht.

## Algorithmus zur Bestimmung der cantorschen Produktdarstellung

Die Zahlenfolge $(q_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ lässt sich ausgehend von ${\alpha }_{0}>1$ wie folgt induktiv festlegen:

       $q_{0}=\left\lfloor {\frac {{\alpha }_{0}}{{\alpha }_{0}-1}}\right\rfloor$ und ${\alpha }_{n}={\frac {{\alpha }_{n-1}}{1+{\frac {1}{q_{n-1}}}}}\;\;\;q_{n}=\left\lfloor {\frac {{\alpha }_{n}}{{\alpha }_{n}-1}}\right\rfloor$ für $n\in \mathbb {N}$

## Beispiele

* Formel von Engel:

    Für $q\in \mathbb {N}$ gilt stets
    ${\sqrt {\frac {q+1}{q-1}}}=\prod _{n=0}^{\infty }{(1+{\frac {1}{q_{n}}})}$
    mit $q_{0}=q\in \mathbb {N}$ und $q_{n+1}=2\cdot {{q_{n}}^{2}}-1$ $(n=0,1,2,3\ldots )$.
    Insbesondere gilt für $q=3$:
    ${\sqrt {2}}={(1+{\frac {1}{3}})}\cdot {(1+{\frac {1}{17}})}\cdot {(1+{\frac {1}{577}})}\cdot {(1+{\frac {1}{665857}})}\cdot \cdots$
* Weitere Beispiele von Cantor:

    ${\sqrt {3}}={(1+{\frac {1}{2}})}\cdot {(1+{\frac {1}{7}})}\cdot {(1+{\frac {1}{97}})}\cdot {(1+{\frac {1}{18817}})}\cdot \cdots$
    ${\sqrt {5}}={(1+{\frac {1}{1}})}\cdot {(1+{\frac {1}{9}})}\cdot {(1+{\frac {1}{161}})}\cdot {(1+{\frac {1}{51841}})}\cdot \cdots$
    ${\sqrt {15}}={(1+{\frac {1}{1}})}\cdot {(1+{\frac {1}{2}})}\cdot {(1+{\frac {1}{4}})}\cdot {(1+{\frac {1}{31}})}\cdot {(1+{\frac {1}{1921}})}\cdot \cdots$

## Anmerkung

* Im ersten Band des Lexikons der Mathematik werden auch endliche Produkte, welche ansonsten die beiden oben genannten Nebenbedingungen erfüllen, als cantorsche Produkte behandelt. Zudem wird für alle $n$ $q_{n}\geq 2$ gefordert.
* Perron erwähnt zu den cantorschen Produkten in den Irrationalzahlen, dass diese sehr rasch konvergieren. Aus ihnen kann man daher mit nur wenigen Rechenschritten sehr gute Näherungsbrüche für alle reellen Zahlen > 1 gewinnen.
* Auf Euler gehen zwei weitere bemerkenswerte eulersche Produktdarstellungen zurück, nämlich die folgenden beiden, die in der modernen Funktionentheorie auf dem Wege über Thetafunktionen hergeleitet werden:

    Für jede komplexe Zahl $z$ des Betrages $|z|<1$ gilt:
    $\prod _{n=1}^{\infty }{(1-z^{n})}=\sum _{n={-\infty }}^{+\infty }{(-1)^{n}\cdot z^{\frac {3n^{2}+n}{2}}}$
    sowie
    $\prod _{n=1}^{\infty }{(1-z^{n})^{3}}=\sum _{n={1}}^{\infty }{(-1)^{n-1}\cdot (2n-1)\cdot z^{\frac {n^{2}-n}{2}}}$ .
