Satz von Pohlke
# Satz von Pohlke

Der Satz von Pohlke, auch Fundamentalsatz der Axonometrie oder Hauptsatz der Axonometrie genannt, ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Darstellenden Geometrie. Er geht auf den Karl Wilhelm Pohlke zurück und behandelt eine grundlegende Fragestellung der Axonometrie.

## Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich zusammengefasst angeben wie folgt:

    (P) Jedes beliebige ebene Dreibein des euklidischen Raums $\mathbb {R} ^{3}$ , dessen Strecken nicht alle auf einer Geraden liegen, kann aufgefasst werden als das durch eine Parallelprojektion entstandene Abbild eines orthonormierten räumlichen Dreibeins.
    Etwas allgemeiner ausgedrückt:
    $(P^')$ Drei in einer Ebene des $\mathbb {R} ^{3}$ von einem gegebenen Punkt ${\overline {O}}$ ausgehende Strecken beliebiger Länge und beliebiger Richtung können aufgefasst werden als Parallelprojektion von drei in einem weiteren gegebenen Punkt $O$ zusammenstoßenden Würfelkanten, sofern vorausgesetzt ist, dass höchstens drei der erstgenannten Punkte kollinear sind.
    Ganz allgemein gilt sogar:
    (PS) Sind im dreidimensionalen euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{3}$ eine Ebene $E\subset \mathbb {R} ^{3}$ und zudem zwei Punkte $O\in \mathbb {R} ^{3}$ und ${\overline {O}}\in E$ gegeben und gehen von ersterem drei beliebige Strecken $S_{1},S_{2},S_{3}\subset \mathbb {R} ^{3}$ aus, die zwar $O$ als gemeinsamen Eckpunkt haben, jedoch in keiner gemeinsamen Ebene liegen,
    während von letzterem drei weitere beliebige Strecken ${\overline {S_{1}}},{\overline {S_{2}}},{\overline {S_{3}}}\subset E$ ausgehen, die zwar ${\overline {O}}$ als gemeinsamen Eckpunkt haben, jedoch – obwohl in der Ebene $E$ liegend – nicht kollinear sind,
    so gibt es stets
       eine Ähnlichkeitsabbildung $\eta \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ sowie
       eine Raumbewegung $\beta \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ und schließlich
       eine Parallelprojektion $\phi \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow E$ ,
    so dass die verkettete Abbildung $\psi =\phi \circ \beta \circ \eta$ den Eckpunkt $O$ auf den anderen Eckpunkt ${\overline {O}}=\psi (O)$ und dabei $S_{k}$ auf ${\overline {S_{k}}}=\psi (S_{k})\;(k=1,2,3)$ abbildet.

### Anmerkungen zur Historie des Satzes

Pohlke hat den Fundamentalsatz etwa 1853 gefunden. Sein ursprünglicher Beweis war außergewöhnlich kompliziert und blieb unveröffentlicht. Hermann Amandus Schwarz, der ein Schüler Pohlkes war, publizierte den ersten vollständigen Beweis im Jahre 1864 und lieferte hierbei auch die oben vorgetragene allgemeinere Darstellung (PS). Den Fundamentalsatz – und ihm gleichwertige Darstellungen – bezeichnen daher manche Autoren auch Satz von Pohlke und Schwarz (englisch Pohlke-Schwarz theorem).

## Korollar

Aus dem Fundamentalsatz lässt sich das folgende Korollar gewinnen, welches hinsichtlich seiner Aussagekraft als diesem gleichwertig betrachtet werden kann:

    $(PS^')$ Jedes in einer Ebene $E\subset \mathbb {R} ^{3}$ liegende vollständige Viereck ${\mathcal {V}}\subset E$ kann aufgefasst werden als ein durch Parallelprojektion entstandenes Abbild eines Tetraeders ${\mathcal {T}}^{*}\subset \mathbb {R} ^{3}$, welches einem gegebenen Tetraeder ${\mathcal {T}}\subset \mathbb {R} ^{3}$ ähnlich ist.
