Vollkommener Körper
# Vollkommener Körper

Perfekte Körper oder vollkommene Körper ist ein Begriff aus der Algebra, der in der Körpertheorie von Nutzen ist, weil die Galois-Theorie vollkommener Körper zahlreiche Komplikationen vermeidet, die bei allgemeineren Körpern auftreten können.

## Definition

Ein Körper $K$ heißt vollkommen, wenn alle irreduziblen Polynome separabel sind, das heißt keine Mehrfachnullstellen in ihrem Zerfällungskörper haben.

## Beispiele

Ein Körper ist genau dann vollkommen, wenn er

* entweder Charakteristik 0 hat (insbesondere sind die bekannten Körper $\mathbb {Q}$, $\mathbb {R}$ und $\mathbb {C}$ vollkommen.)

oder

* prime Charakteristik $p$ hat und der Frobenius-Homomorphismus ein Automorphismus ist. (Insbesondere sind alle endlichen Körper vollkommen.)

Ein Beispiel eines nicht vollkommenen Körpers ist der Funktionenkörper $\mathbb {F} _{q}(X)$ für einen endlichen Körper $\mathbb {F} _{q}$.

## Äquivalente Charakterisierungen

Ein Körper $K$ ist vollkommen, wenn er eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt.

* Kein über $K$ irreduzibles Polynom hat mehrfache Nullstellen im Zerfällungskörper.
* Jede endliche Erweiterung von $K$ ist separabel.
* Jede algebraische Erweiterung von $K$ ist separabel.
* Der separable Abschluss von $K$ ist algebraisch abgeschlossen.
