Wirtinger-Kalkül
# Wirtinger-Kalkül

Bei dem Wirtinger-Kalkül, und seiner Verallgemeinerung durch die Dolbeault-Operatoren, handelt es sich um einen mathematischen Kalkül aus der Funktionentheorie. Der Wirtinger-Kalkül ist nach dem Mathematiker Wilhelm Wirtinger und die Dolbeault-Operatoren sind nach Pierre Dolbeault benannt. Mit Hilfe dieser Objekte kann die Darstellung komplexer Ableitungen übersichtlicher gestaltet werden. Außerdem finden die Dolbeault-Operatoren Anwendung in der Theorie der quasikonformen Abbildungen.

## Wirtinger-Kalkül

Eine komplexe Zahl $z\in \mathbb {C}$ wird durch $z:=x+\mathrm {i} y$ in zwei reelle Zahlen zerlegt. Sei $G\subset \mathbb {C}$ ein Gebiet und $f=u+\mathrm {i} v\colon G\to \mathbb {C}$ eine (reell) differenzierbare Funktion. Dann existieren die partiellen Ableitungen

    ${\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial u}{\partial x}}+\mathrm {i} {\frac {\partial v}{\partial x}}$

und

    ${\frac {\partial f}{\partial y}}={\frac {\partial u}{\partial y}}+\mathrm {i} {\frac {\partial v}{\partial y}}$.

Im nächsten Abschnitt werden nun die Wirtinger-Ableitungen eingeführt, welche ebenfalls partielle Differentialoperatoren sind. Jedoch sind diese einfacher zu berechnen, da die komplexwertige Funktion nicht in Real- und Imaginärteil zerlegt werden muss. Statt der Koordinaten $x$ und $y$ verwendet man $z=x+\mathrm {i} y$ und ${\bar {z}}=x-\mathrm {i} y$.

### Motivation und Definition

Mit Hilfe der partiellen Ableitungen schreibt sich das (totale) Differential von $f$ als

    $\mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathrm {d} y$.

Aus $z=x+\mathrm {i} y$ und ${\bar {z}}=x-\mathrm {i} y$ ergibt sich

    $\textstyle x={\frac {1}{2}}(z+{\bar {z}})$ und $\textstyle y={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(z-{\bar {z}})={\frac {\mathrm {i} }{2}}({\bar {z}}-z)$.

Für die Differentiale erhält man daraus

    $\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}(\mathrm {d} z+\mathrm {d} {\bar {z}})$ und $\mathrm {d} y={\frac {\mathrm {i} }{2}}(\mathrm {d} {\bar {z}}-\mathrm {d} z)$.

Einsetzen in das totale Differential und Umsortieren liefert

    $\mathrm {d} f={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-\mathrm {i} {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\mathrm {d} z+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+\mathrm {i} {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\mathrm {d} {\bar {z}}$.

Um (formal) die Beziehung

    $\mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial z}}\mathrm {d} z+{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\mathrm {d} {\bar {z}}$

zu erhalten, setzt man

    ${\frac {\partial f}{\partial z}}:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-\mathrm {i} {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)$

und

    ${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+\mathrm {i} {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)$.

Dies sind die Wirtinger-Ableitungen.

Für $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial z}}$ schreibt man auch kurz $\,\partial f$, für $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}$ schreibt man ${\bar {\partial }}f$. Der Operator ${\overline {\partial }}$ heißt Cauchy-Riemann-Operator.

### Holomorphe Funktionen

Der Wirtinger-Kalkül findet insbesondere in der Funktionentheorie Anwendung, da für holomorphe Funktionen die Notation sich auf ein Minimum reduziert. Außerdem ist dieser Kalkül sehr stabil, wie Eigenschaften 3 und 4 im nächsten Abschnitt zeigen.

Eine reell differenzierbare Funktion ist genau dann eine holomorphe Funktion, wenn ${\overline {\partial }}f=0$ gilt. In diesem Fall ist $\partial f$ die Ableitung von $f$. Dies gilt, da die Gleichung ${\overline {\partial }}f=0$ eine sehr kurze Darstellung der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ist. Aus diesem Grund trägt der Operator ${\overline {\partial }}$ den Namen Cauchy-Riemann-Operator.

Gilt hingegen für eine reell differenzierbare Funktion $f$ die Gleichung $\partial f=0$ so nennt man diese Funktion antiholomorph und das reelle Differential kann mit Hilfe von Eigenschaft 1 aus ${\overline {\partial }}f$ berechnet werden.

### Eigenschaften

**Beziehung zur partiellen Ableitung**

Es gelten die Gleichungen

    ${\frac {\partial f}{\partial x}}=\partial f+{\overline {\partial }}f$

und

    ${\frac {\partial f}{\partial y}}=\mathrm {i} \left(\partial f-{\overline {\partial }}f\right)$.

**Linearität**

Die Operatoren $\partial$ und ${\overline {\partial }}$ sind $\mathbb {C}$-linear, das heißt für $a,b\in \mathbb {C}$ und reell differenzierbare Funktionen $f,g\colon G\to \mathbb {C}$ gilt

    $\partial (af+bg)=a\partial f+b\partial g$

und

    ${\overline {\partial }}(af+bg)=a{\overline {\partial }}f+b{\overline {\partial }}g$.

**Komplexe Konjugation**

Für jede reell differenzierbare Funktion $f$ gilt

    ${\overline {\partial }}f={\overline {\partial {\overline {f}}}}$

und

    ${\overline {\partial }}\ {\overline {f}}={\overline {\partial f}}$.

**Kettenregel**

Für die Wirtinger-Ableitungen gilt die Kettenregel

    ${\frac {\partial (g\circ f)}{\partial z}}(z_{0})={\frac {\partial g}{\partial w}}(f(z_{0}))\cdot {\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{0})+{\frac {\partial g}{\partial {\overline {w}}}}(f(z_{0}))\cdot {\frac {\partial {\overline {f}}}{\partial z}}(z_{0})$

und

    ${\frac {\partial (g\circ f)}{\partial {\overline {z}}}}(z_{0})={\frac {\partial g}{\partial w}}(f(z_{0}))\cdot {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}(z_{0})+{\frac {\partial g}{\partial {\overline {w}}}}(f(z_{0}))\cdot {\frac {\partial {\overline {f}}}{\partial {\overline {z}}}}(z_{0})$.

**Hauptsymbol**

Das Hauptsymbol von $\partial$ ist $\xi \mapsto {\tfrac {1}{2}}(\xi _{1}-\mathrm {i} \xi _{2})$ und das Hauptsymbol von ${\overline {\partial }}$ ist $\xi \mapsto {\tfrac {1}{2}}(\xi _{1}+\mathrm {i} \xi _{2})$. Beide Differentialoperatoren sind also elliptisch.

**Assoziierter Laplace- und Dirac-Operator**

Mit den Wirtinger-Ableitungen kann man den Laplace-Operator durch

    $\Delta f=4\partial {\overline {\partial }}f=4{\overline {\partial }}\partial f$

darstellen. Daraus folgt insbesondere, dass der Operator

    $D:=2{\begin{pmatrix}0&-\partial \\{\overline {\partial }}&0\end{pmatrix}}$

ein Dirac-Operator ist.

**Fundamentallösung**

Die Fundamentallösung des Cauchy-Riemann-Operators $\textstyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}$ ist $\textstyle {\frac {1}{\pi z}}$, das heißt die durch die Funktion $\textstyle u(z)={\frac {1}{\pi z}}$ erzeugte Distribution löst die Gleichung $\textstyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}u(z)=\delta$, wobei $\delta$ die Delta-Distribution ist. Eine Herleitung ist im Artikel Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen zu finden.

## Dolbeault-Operator

Mit Hilfe des Wirtinger-Kalküls kann man auch mehrdimensionale Abbildungen untersuchen. Wie oben werden Elemente von $\mathbb {C} ^{n}$ zerlegt in $(z_{1},\ldots z_{n})=(x_{1}+\mathrm {i} y_{1},\ldots ,x_{n}+\mathrm {i} y_{n})$. Sei nun $D\subset \mathbb {C} ^{n}$ eine offene Teilmenge und $f=(f_{1},\ldots ,f_{m}):D\rightarrow \mathbb {C} ^{m}$ eine (reell) differenzierbare Abbildung. Dazu definiert man die dem Wirtinger-Kalkül ähnlichen partiellen Differentialoperatoren

    ${\frac {\partial }{\partial z_{j}}}:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{j}}}-\mathrm {i} {\frac {\partial }{\partial y_{j}}}\right)\quad j=1,\ldots ,n$

und

    ${\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{j}}}:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{j}}}+\mathrm {i} {\frac {\partial }{\partial y_{j}}}\right)\quad j=1,\ldots ,n$

auf $\mathbb {C} ^{n}$. Mit Hilfe dieser partiellen Differentialoperatoren kann man den Dolbeault-Operator und den Dolbeault-Quer-Operator durch

    $\partial f:=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial z_{j}}}f{\rm {d}}z_{j}$

und

    ${\overline {\partial }}f:=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}_{j}}}f{\rm {d}}{\overline {z}}_{j}$

definieren. Diese können als mehrdimensionale Wirtinger-Ableitungen verstanden werden und werden deshalb genauso notiert. Außerdem haben die Dolbeault-Operatoren ähnliche Eigenschaften wie die Wirtinger-Ableitungen. Insbesondere gilt auch, dass $f$ genau dann holomorph ist, wenn ${\overline {\partial }}f=0$ gilt und die reelle Ableitung wird durch

    ${\mathrm {d} }f={\overline {\partial }}f+\partial f$

dargestellt. Im holomorphen Fall gilt $\textstyle \mathrm {d} f=\partial f$, da ja ${\overline {\partial }}f=0$ gilt.

## Dolbeault-Operatoren auf Mannigfaltigkeiten

Der Dolbeault-Operator und der Dolbeault-Quer-Operator lassen sich auch auf komplexen Mannigfaltigkeiten definieren, jedoch muss dafür erst der Kalkül der komplexen Differentialformen definiert werden. Mit Hilfe des Dolbeault-Quer-Operators kann man analog wie im vorigen Abschnitt holomorphe Differentialformen definieren. Eine der wichtigsten Anwendungen dieser Operatoren ist in der Hodge-Theorie insbesondere in der Dolbeault-Kohomologie, welche das komplexe Analogon zur De-Rham-Kohomologie ist, zu finden.

