Umkehrregel
# Umkehrregel

Die Umkehrregel (manchmal auch Inversenregel genannt) ist eine Regel der Differentialrechnung. Sie besagt, dass für eine umkehrbare (das heißt bijektive) reelle Funktion $f$,

* die an der Stelle $x$ differenzierbar ist und
* dort keine waagerechte Tangente besitzt, d. h. für die $f'(x)\neq 0$ gilt,

auch ihre Umkehrfunktion $f^{-1}$ an der Stelle $y=f(x)$ differenzierbar ist mit Ableitung

    $(f^{-1})'(y)={\frac {1}{f'(f^{-1}(y))}}={\frac {1}{f'(x)}}.$

Die Gültigkeit dieser Gleichung kann man sich gut an einer Skizze verdeutlichen: Die Bildung der Umkehrfunktion entspricht einer Vertauschung der Koordinaten $x$ und $y$. Die Graphen der Funktion $f$ und ihrer Umkehrfunktion $f^{-1}$ sind also zueinander symmetrisch bezüglich der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten mit der Gleichung $y=x$. Die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle entspricht der Steigung der zugehörigen Tangente, also gleich dem Tangens des Neigungswinkels gegenüber der Waagrechten. Damit erhält man:

    $f'(x)=\tan \alpha =\tan(90^{\circ }-\beta )={\frac {1}{\tan \beta }}={\frac {1}{(f^{-1})'(f(x))}}.$

## Beweisskizzen

Die Umkehrregel kann direkt gezeigt werden, indem man den Differenzenquotient

    $f'(x)\approx {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

dahingehend umformt, dass er zu

    $f'(x)\approx {\frac {1}{\frac {f^{-1}(f(x+h))-f^{-1}(f(x))}{f(x+h)-f(x)}}}$

wird, um anschließend mit $t=f(x+h)-f(x)$ zu substituieren. Beim Grenzübergang für $h\to 0$ und damit auch $t\to 0$ (man beachte, dass differenzierbare Funktionen insbesondere stetig sind) folgt:

    $f'(x)\approx {\frac {1}{\frac {f^{-1}(f(x)+t)-f^{-1}(f(x))}{t}}}={\frac {1}{(f^{-1})'(f(x))}}$

und somit

    ${\frac {1}{f'(x)}}\approx (f^{-1})'(f(x))$

Alternativ ergibt unter Nutzung der Kettenregel die Eigenschaft

    $f\left(f^{-1}(y)\right)=y$

der Umkehrfunktion bei Differenzieren nach $y$ auf beiden Seiten der Gleichung ebenfalls die Umkehrregel (mit $f^{-1}(y)=x$):

    $f'\left(f^{-1}(y)\right)\cdot \left(f^{-1}\right)'(y)=1.$

Allerdings wird dabei die Differenzierbarkeit von $f^{-1}$ an der Stelle $y$ schon vorausgesetzt, während sie in der ersten Beweisskizze mitbewiesen wird.

Ganz ähnlich erhält man auch einen Ausdruck für die 2. Ableitung der Umkehrfunktion $\left(f^{-1}\right)''(y)$, indem man die letzte Gleichung erneut nach $y$ differenziert unter Anwendung der Produktregel (wieder ist $f^{-1}(y)=x$ bzw. $f(x)=y$):

    $\left(f^{-1}\right)''(y)=-{\frac {f''(x)}{\left(f'(x)\right)^{3}}}.$

## Beispiele

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion $y=f(x)=e^{x}$ ist der natürliche Logarithmus

    $f^{-1}(y)=\ln(y)\,.$

Wegen $f'(x)=e^{x}$ gilt also

    $\ln '(y)={\frac {1}{e^{\ln(y)}}}={\frac {1}{y}}\,.$

Eine weitere wichtige Anwendung der Umkehrregel sind die Ableitungen der Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen. So gilt z. B. für die Ableitung des Arkussinus für $-1<y<1$ wegen $\sin '=\cos$

    $\arcsin '(y)={\frac {1}{\cos \left(\arcsin(y)\right)}}\,.$

Stellt man den trigonometrischen Pythagoras nach dem Kosinus um, erhält man

    $\cos(y)={\sqrt {1-\sin ^{2}(y)}}$.

Wegen $f(f^{-1}(y))=y$ folgt daraus:

    $\arcsin '(y)={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\left(\arcsin(y)\right)}}}={\frac {1}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,.$

Analoges gilt für die Ableitungen des Arkuskosinus und des Arkustangens.

## Alternative Formulierungen und Verallgemeinerungen

Fordert man die Stetigkeit der ersten Ableitung von $f$, so genügt bereits die Voraussetzung $f'(x)\neq 0$, da daraus direkt $f'\neq 0$ auf einem kleinen Bereich um $x$ und daraus wiederum die Existenz der Umkehrfunktion von $f$ auf diesem kleinen Bereich folgt (man betrachte dazu die Monotonie von $f$!). Von dieser Grundidee geht man bei der mehrdimensionalen Verallgemeinerung der Umkehrregel, dem Satz von der inversen Abbildung, aus.

### Abweichende Schreibweisen in der Physik und anderen Naturwissenschaften

In der Physik und anderen Naturwissenschaften wird manchmal die leibnizsche Schreibweise mit Differentialen benutzt. Die Umkehrregel nimmt dann die folgende Gestalt an:

    ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}}.$
