Ähnlichkeitssätze
# Ähnlichkeitssätze

Die Ähnlichkeitssätze sind Sätze, die hinreichende Bedingungen stellen, dass zwei Dreiecke zueinander ähnlich sind. Viele Aussagen der Geometrie lassen sich mit Hilfe der Ähnlichkeit von Dreiecken beweisen.

## Die vier Ähnlichkeitssätze für Dreiecke

Die vier Ähnlichkeitssätze für Dreiecke lauten:

* Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in zwei (und somit in drei) Winkeln übereinstimmen. (W:W:W-Satz)
* Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in allen Verhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen. (S:S:S-Satz)
* Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in einem Winkel und im Verhältnis der anliegenden Seiten übereinstimmen. (S:W:S-Satz)
* Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier Seiten und in dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen. (S:S:W-Satz)

Siehe auch: Kongruenzsätze

In den folgenden vier Abbildungen sind jeweils zwei ähnliche Dreiecke ABC und A’B’C’ – anschaulich gesprochen – „ineinander geschachtelt“.

Dann ist jedes Seitenlängenpaar in ABC quotientengleich zu dem entsprechenden Seitenlängenpaar in A’B’C’.

* W:W:W-Satz drei Winkel stimmen überein
* S:S:S-Satz a : a' = (b + b') : b' = (c + c') : c'
* S:W:S-Satz a : a' = (b + b') : b', die eingeschlossenen Winkel (γ, γ') stimmen überein
* S:S:W-Satz a : a' = (b + b') : b', die den größeren Seiten gegenüberliegenden Winkel (β, β') stimmen überein

## Beispiele

* Alle gleichseitigen Dreiecke sind nach dem S:S:S-Satz zueinander ähnlich.
* Alle gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecke sind nach dem S:W:S-Satz zueinander ähnlich.
* Alle Dreiecke im Pythagoras-Baum sind zueinander ähnlich.

## Beziehungen zwischen ähnlichen Dreiecken

Gegeben seien ein Punkt $P$ innerhalb eines Dreiecks $ABC$ mit $a=|BC|$, $b=|AC|$ und $c=|AB|$ sowie die Parallelen durch $P$ zu den Dreiecksseiten. Diese Parallelen teilen jede Dreiecksseite in drei Abschnitte auf (siehe Planfigur).

Sind $a'$, $b'$ und $c'$ die Längen der jeweils mittleren Streckenabschnitte, so gilt:

    ${\frac {a'}{a}}+{\frac {b'}{b}}+{\frac {c'}{c}}=1$.

Der Beweis resultiert aus der Ähnlichkeit der drei grauen Dreiecke zum Dreieck $ABC$. Hieraus ergibt sich zunächst

    ${\frac {b'}{s}}={\frac {b}{c}}$ und ${\frac {a'}{t}}={\frac {a}{c}}$

und danach durch Umformung

    ${\frac {b'}{b}}={\frac {s}{c}}$ und ${\frac {a'}{a}}={\frac {t}{c}}$

Daraus folgt schließlich

    ${\frac {a'}{a}}+{\frac {b'}{b}}+{\frac {c'}{c}}={\frac {t}{c}}+{\frac {s}{c}}+{\frac {c'}{c}}=1$.
