Rademacherverteilung
# Rademacherverteilung

Die Rademacherverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung und somit dem mathematischen Teilgebiet der Stochastik zuzuordnen. Bei ihr handelt es sich um eine einfach univariate diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $\{-1,1\}$, die unter anderem zur Definition der symmetrischen einfachen Irrfahrt auf $\mathbb {Z}$ genutzt wird.

Sie ist nach Hans Rademacher (1892–1969) benannt.

## Definition

Die Rademacherverteilung ist definiert auf $\{-1,1\}$ und besitzt die Wahrscheinlichkeitsfunktion

    $f(n)={\begin{cases}0{,}5&{\text{ falls }}n=-1\\0{,}5&{\text{ falls }}n=1\end{cases}}$

Die Verteilungsfunktion ist dann

    $F_{X}(t)={\begin{cases}0&{\text{ falls }}t<-1\\0{,}5&{\text{ falls }}-1\leq t<1\\1&{\text{ falls }}t\geq 1\end{cases}}$

## Eigenschaften

### Erwartungswert und andere Lagemaße

Der Erwartungswert einer rademacherverteilten Zufallsvariablen ist

    $\operatorname {E} (X)=0$.

Der Median ist

    ${\tilde {m}}=0$.

### Varianz

Die Varianz entspricht der Standardabweichung:

    $\operatorname {Var} (X)=\sigma _{X}=1$.

### Symmetrie

Die Rademacherverteilung ist symmetrisch um die 0.

### Schiefe

Die Schiefe ist

    $\operatorname {v} (X)=0$.

### Exzess und Wölbung

Der Exzess der Rademacherverteilung ist

    $\gamma =-2$.

Damit ist die Wölbung

    $\beta _{2}=1$.

### Höhere Momente

Die $k$-ten Momente sind

    $m_{k}=\left\{{\begin{array}{cc}0&{\mbox{ falls }}k{\mbox{ gerade}}\\1&{\mbox{ falls }}k{\mbox{ ungerade}}\end{array}}\right\}$

### Entropie

Die Entropie ist

    $\mathrm {H} (X)=\log _{2}(2)$

gemessen in Bit.

### Kumulanten

Die kumulantenerzeugende Funktion ist

    $g_{X}(t)=\ln(\cosh(t))$.

Damit ist die erste Ableitung

    $g'_{X}(t)=\tanh(t)$

und daher $\tau _{1}=0$ die erste Kumulante. Für die höheren Ableitungen gibt es geschlossene Darstellungen.

### Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ist

    $M_{X}(t)=\cosh(t)$.

### Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ist

    $\varphi _{X}(t)=\cos(t)$.

## Beziehung zu anderen Verteilungen

### Beziehung zur Zweipunktverteilung

Die Rademacherverteilung ist eine Zweipunktverteilung mit $a=-1,b=1,p=q=0{,}5$.

### Beziehung zur diskreten Gleichverteilung

Die Rademacherverteilung ist eine diskrete Gleichverteilung auf $x_{1}=-1,x_{2}=1$.

### Beziehung zur Bernoulliverteilung

Sowohl die Bernoulliverteilung mit $p=q=0{,}5$ als auch die Rademacherverteilung modellieren einen fairen Münzwurf (oder eine faire, zufällige Ja/Nein-Entscheidung). Der Unterschied besteht lediglich darin, dass Kopf (Erfolg) und Zahl (Misserfolg) unterschiedlich kodiert werden.

### Beziehung zur Binomialverteilung und dem Random Walk

Sind $X_{1},X_{2},\dots$ unabhängige rademacherverteilte Zufallsvariablen, so ist

    $Y_{n}:=\sum _{i=1}^{n}X_{i}$

genau der symmetrische Random Walk auf $\mathbb {Z}$. Demnach ist

    $0{,}5\left(n+\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)\sim Bin(n;0{,}5)$

also binomialverteilt.

### Beziehung zur Laplaceverteilung

Ist $X$ rademacherverteilt, und ist $Y$ exponentialverteilt zum Parameter $\lambda$, so ist $X\cdot Y$ laplaceverteilt zu dem Lageparameter 0 und dem Skalenparameter ${\frac {1}{\lambda }}$.

## Vorkommen

Die Rademacherverteilung wird in der Funktionalanalysis für den Begriff des Typs und Kotyps zur Klassifikation von Banach-Räumen verwendet.

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen: Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | Dirac | diskret uniform | empirisch | hypergeometrisch | kategorial | negativ hypergeometrisch | Rademacher | verallgemeinert binomial | Zipf | Zipf-Mandelbrot | Zweipunkt

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen: Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | discrete-Phase-Type | erweitert negativ binomial | Gauss-Kuzmin | gemischt Poisson | geometrisch | logarithmisch | negativ binomial | parabolisch-fraktal | Poisson | Skellam | verallgemeinert Poisson | Yule-Simon | Zeta

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall: Beta | Cantor | Kumaraswamy | raised Cosine | Dreieck | Trapez | U-quadratisch | stetig uniform | Wigner-Halbkreis

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall: Beta prime | Bose-Einstein | Burr | Chi-Quadrat | Coxian | Erlang | Exponential | Extremwert | F | Fermi-Dirac | Folded normal | Fréchet | Gamma | Gamma-Gamma | verallgemeinert invers Gauß | halblogistisch | halbnormal | Hartman-Watson | Hotellings T-Quadrat | hyper-exponentiale | hypoexponential | invers Chi-Quadrat | scale-invers Chi-Quadrat | Invers Normal | Invers Gamma | Kolmogorow-Verteilung | Lévy | log-normal | log-logistisch | Maxwell-Boltzmann | Maxwell-Speed | Nakagami | nichtzentriert Chi-Quadrat | Pareto | Phase-Type | Rayleigh | relativistisch Breit-Wigner | Rice | Rosin-Rammler | shifted Gompertz | truncated normal | Type-2-Gumbel | Weibull | Wilks’ Lambda

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall: Cauchy | Extremwert | exponential Power | Fishers z | Fisher-Tippett (Gumbel) | generalized hyperbolic | Hyperbolic-secant | Landau | Laplace | alpha-stabil | logistisch | normal (Gauß) | normal-invers Gauß’sch | Skew-normal | Studentsche t | Type-1-Gumbel | Variance-Gamma | Voigt

Diskrete multivariate Verteilungen: Dirichlet compound multinomial | Ewens | gemischt Multinomial | multinomial | multivariat hypergeometrisch | multivariat Poisson | negativmultinomial | Pólya/Eggenberger | polyhypergeometrisch

Kontinuierliche multivariate Verteilungen: Dirichlet | GEM | generalized Dirichlet | multivariat normal | multivariat Student | normalskaliert invers Gamma | Normal-Gamma | Poisson-Dirichlet

Multivariate Matrixverteilungen: Invers Wishart | Matrix Beta | Matrix Gamma | Matrix invers Beta | Matrix invers Gamma | Matrix Normal | Matrix Student-t | Normal-invers-Wishart | Normal-Wishart | Wishart

