Club-Menge
# Club-Menge

Als club-Menge wird in der Mengenlehre eine Teilmenge einer Limesordinalzahl bezeichnet, die abgeschlossen und unbeschränkt (engl. closed und unbounded) ist.

## Definition

Sei $\lambda$ eine Limesordinalzahl. Eine Teilmenge $x\subseteq \lambda$ heißt

* abgeschlossen, wenn für jede Folge $\langle \alpha _{\xi }\in x\mid \xi <\mu \rangle$ aus $x$ gilt:

    $\lim _{\xi \to \mu }\alpha _{\xi }=\delta \in \lambda \Rightarrow \delta \in x,$
* unbeschränkt, wenn für alle $\alpha \in \lambda$ ein $\beta \in x$ existiert mit $\alpha \leq \beta$.

$x$ heißt club-Menge, falls $x$ sowohl abgeschlossen als auch unbeschränkt ist.

## Beispiele

Für $\lambda =\omega$ ist die Bedingung der Abgeschlossenheit trivialerweise erfüllt, weil es keine Limesordinalzahlen unter $\omega$ gibt; club-Mengen von $\omega$ sind also lediglich unbeschränkte, d. h. unendliche Teilmengen der natürlichen Zahlen.

Fasst man $\lambda$ und die Klasse der Ordinalzahlen $\operatorname {Ord}$ mittels der Ordnungstopologie als topologische Räume auf, so ist das Bild jeder stetigen, monoton steigenden Funktion $f\colon \lambda \to \operatorname {Ord}$ eine club-Menge.

## Der club-Filter

Ist die Konfinalität der Limesordinalzahl $\lambda$ überabzählbar, $\operatorname {cf} \lambda >\omega$, so ist der Schnitt zweier club-Mengen wieder eine club-Menge. Setzt man ${\mathcal {C}}_{\lambda }=\{x\subseteq \lambda \mid \exists C\subseteq x\ C{\text{ club}}\}$, so bildet ${\mathcal {C_{\lambda }}}$ also einen Filter, den club-Filter. Er hat unter anderem folgende Eigenschaften:

* ${\mathcal {C}}_{\lambda }$ ist $\operatorname {cf} \lambda$-vollständig: Ist $\gamma \in \operatorname {cf} \lambda$ und $C_{\alpha }\in {\mathcal {C}}_{\lambda }$ für $\alpha \in \gamma$, so gilt

    $\textstyle \bigcap \limits _{\alpha \in \gamma }C_{\alpha }\in {\mathcal {C}}_{\lambda }.$
* Ist $\lambda$ eine reguläre Kardinalzahl, so ist ${\mathcal {C}}_{\lambda }$ abgeschlossen gegenüber sogenannten diagonalen Schnitten: Ist $\langle C_{\alpha }\mid \alpha \in \lambda \rangle$ eine Familie von club-Mengen aus ${\mathcal {C}}_{\lambda }$, so ist

    $\textstyle \bigtriangleup _{\alpha \in \lambda }C_{\alpha }:=\lbrace \beta \in \lambda \mid \beta \in \bigcap _{\alpha \in \beta }C_{\alpha }\rbrace \in {\mathcal {C}}_{\lambda }.$

Das zu ${\mathcal {C}}_{\lambda }$ duale Ideal, definiert durch ${\mathcal {I}}_{\lambda }=\{D\subseteq \lambda \mid \lambda \setminus D\in {\mathcal {C}}_{\lambda }\}$, wird als Ideal der dünnen Teilmengen bezeichnet.

Eine Menge $S\subseteq \lambda$ heißt stationär, falls sie nicht dünn ist, also $S\notin {\mathcal {I}}_{\lambda }$ gilt. Eine Menge ist genau dann stationär, wenn ihr Schnitt mit jeder club-Menge nicht leer ist.

