Dedekindsche Psi-Funktion
# Dedekindsche Psi-Funktion

Die Dedekindsche ψ-Funktion ist eine von mehreren nach Richard Dedekind benannten zahlentheoretischen Funktionen. Es handelt sich um eine multiplikative Funktion, sie ist durch

    $\forall \ n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon \psi (n)=n\cdot \prod _{p|n \atop p\in \mathbb {P} }\left(1+{\frac {1}{p}}\right)$

definiert. Das Produkt erstreckt sich über alle Primteiler von $n.$

## Werte

Nach Definition des leeren Produkts ist

    $\psi (1)=1.$

Für die nächsten beiden natürlichen Zahlen ergibt sich:

    $\psi (2)=2\left(1+{\frac {1}{2}}\right)=3$
    $\psi (3)=3\left(1+{\frac {1}{3}}\right)=4$

Die Folge der Funktionswerte geht weiter mit 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24, ….

## Eigenschaften

* Die $\psi$-Funktion nimmt nur positive natürliche Zahlen als Werte an. Für alle hinreichend großen $n$ ist $\psi (n)$ größer als $n$ und gerade:

       $\psi (n)>n\qquad \qquad \qquad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle} \,n>1$
       $\psi (n)\equiv 0\mod 2\;\qquad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle} \,n>2$
* Für Primzahlen $p$ gilt:

       $\psi (p)=p+1=\varphi (p)+2$
    Dabei ist $\varphi$ die Eulersche Phi-Funktion, die für jede positive natürliche Zahl $n$ die Anzahl $\varphi (n)$ der zu $n$ teilerfremden natürlichen Zahlen angibt, die nicht größer als $n$ sind.
* Die $\psi$-Funktion kann auch durch

       $\psi (p^{k})=(p+1)\cdot p^{k-1}$
    für Potenzen von Primzahlen $p$ mit positiven natürlichen Hochzahlen $k$ und der Festlegung, dass $\psi$ multiplikativ ist, charakterisiert werden. Der Wert $\psi (n)$ für ein beliebiges $n$ ergibt sich dann aus der Primfaktorzerlegung von $n.$
* Mit der Riemannschen Zeta-Funktion $\zeta$ gilt:

       $\sum _{n}{\frac {\psi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\zeta (2s)}}$
