Membrangleichung (Statik)
# Membrangleichung (Statik)

Die Membrangleichung beschreibt statisch eine Membran durch eine partielle Differentialgleichung.

## Herleitung

Eine Last $p$ wirkt auf eine Membran, die vollständig biegsam ist. Die dadurch entstandene Krümmung wird von einer Membranzugkraft $H$ aufgenommen. Teilt man diese Membran in zwei senkrechte Streifen in $x$-Richtung und in $y$-Richtung, so lassen sich unter der Annahme, dass die Durchbiegung $w$ klein ist, folgende Beziehungen aufstellen:

    $H{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}=-p_{x}$

und

    $H{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}=-p_{y}$.

Dabei sind ${\frac {\partial ^{2}\cdot }{\partial x^{2}}}$ und ${\frac {\partial ^{2}\cdot }{\partial y^{2}}}$ die zweiten Ableitungen in $x$- und $y$-Richtung. $p_{x}$ und $p_{y}$ sind die Anteile der Last $p$ in $x$- und $y$-Richtung.

Mit der Gleichgewichtsbedingung $p=p_{x}+p_{y}$ erhält man nun die Membrangleichung:

    $\Delta w={\frac {p}{H}}$,

wobei $\Delta$ der Laplaceoperator ist.

Als Randbedingung nimmt man $w=0$ an. Das heißt, der Rand ist gestützt und erfährt keine Durchbiegung.

Das Problem stellt damit eine Poissongleichung dar.

## Anwendung

Eine Anwendung mit der Membrananalogie der Torsion hat Ludwig Prandtl 1903 veröffentlicht und sie mit der Saint-Venantsche Torsion verknüpft.

