Elliptische Isometrie
# Elliptische Isometrie

In der Mathematik sind elliptische Isometrien in der hyperbolischen Geometrie und allgemeiner in der Theorie der CAT(0)-Räume von Bedeutung.

## Definition

Es sei $X$ ein vollständiger CAT(0)-Raum, zum Beispiel ein hyperbolischer Raum. Eine Isometrie

    $f\colon X\to X$

ist eine elliptische Isometrie, wenn sie einen Fixpunkt hat, d. h. wenn es ein $x\in X$ mit $f(x)=x$ gibt.

## Beispiel

Sei $X={\mathbf {H} }^{2}=\left\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Im} (z)>0\right\}$ das Halbebenenmodell der hyperbolischen Ebene und $f\colon X\to X$ die durch

    $f(z)={\frac {\cos(\phi )z+\sin(\phi )}{-\sin(\phi )z+\cos(\phi )}}$

gegebene Abbildung. Man kann überprüfen, dass $f$ eine Isometrie ist und den Fixpunkt $z=i$ hat. Es ist also eine elliptische Isometrie.

Allgemeiner können Isometrien der hyperbolischen Ebene durch Matrizen $A\in SL(2,\mathbb {R} )$ und Isometrien des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes durch Matrizen $A\in SL(2,\mathbb {C} )$ beschrieben werden. Eine durch $A\in SL(2,\mathbb {R} )$ beschriebene Isometrie der hyperbolischen Ebene ist genau dann elliptisch, wenn für die Spur von $A$ die Ungleichung

    $-2<\operatorname {Sp} (A)<2$

gilt. Für eine durch $A\in SL(2,\mathbb {C} )$ beschriebene elliptische Isometrie des hyperbolischen Raumes gilt notwendigerweise

    $\mid \operatorname {Sp} (A)\mid \leq 2$ und $\operatorname {Sp} (A)\not \in \left\{-2,2\right\}$.

## Eigenschaften

Es sei $X$ ein vollständiger CAT(0)-Raum und $f\colon X\to X$ eine Isometrie.

* $f$ ist genau dann elliptisch, wenn es einen beschränkten Orbit hat.
* $f$ ist genau dann elliptisch, wenn es ein $n>0$ gibt, für das $f^{n}$ elliptisch ist.
