Astroide
# Astroide

Die Astroide (auch Sternkurve genannt) ist eine ebene Kurve, die sich mit einem Parameter $t\in [0,2\pi ]$ durch die Parametergleichungen

    $x=a(\cos t)^{3}\$
    $y=a(\sin t)^{3}\$

oder durch die implizite Gleichung

    $x^{\frac {2}{3}}+y^{\frac {2}{3}}=a^{\frac {2}{3}}\quad$ , welche äquivalent zu $\quad (x^{2}+y^{2}-a^{2})^{3}+27a^{2}x^{2}y^{2}=0$ ist,

beschreiben lässt, wobei $a$ eine feste positive, reelle Zahl ist. Sie ist die Kurve, die ein Punkt auf einem Kreis mit Radius ${\tfrac {1}{4}}a$ beschreibt, der innen auf einem Kreis mit Radius $a$ abrollt. Sie ist also ein spezielle Hypozykloide.

Für ihren Flächeninhalt $A$ gilt

    $A={\frac {3}{8}}\pi a^{2}$.

Die Länge $\ell$ der gesamten Kurve beträgt $\ell =6a$. Innerhalb eines Kurvenviertels $0\leq t\leq {\frac {\pi }{2}}$ gilt für die Bogenlänge

    $s(t)={\frac {3}{2}}a\sin ^{2}(t)$

und für den Krümmungsradius

    $\rho (t)={\frac {3}{2}}a\sin(2t)$.

Die Astroide ähnelt auch dem Karo auf gewöhnlichen Spielkarten.

## Schwerpunkt

Schwerpunkte der Astroiden :

| | Intervall | $x_{\mathrm {S} }$ | $y_{\mathrm {S} }$ |
| - | - | - | - |
| Ebenes Kurvenstück | 0 ≤ t ≤ ${\tfrac {\pi }{2}}$ | ${\tfrac {2}{5}}a$ | ${\tfrac {2}{5}}a$ |
| | 0 ≤ t ≤ $\pi$ | 0 | ${\tfrac {2}{5}}a$ |
| Ebene Figur | 0 ≤ t ≤ ${\tfrac {\pi }{2}}$ | ${\tfrac {256}{315\pi }}a$ | ${\tfrac {256}{315\pi }}a$ |
| | 0 ≤ t ≤ $\pi$ | 0 | ${\tfrac {256}{315\pi }}a$ |
| Drehkörper* | 0 ≤ t ≤ ${\tfrac {\pi }{2}}$ | ${\tfrac {21}{128}}a$ | 0 |

*Bei Rotation um die X-Achse $(z_{S}=0)$

## Schiefe Astroide

Eine Verallgemeinerung ist die schiefe Astroide, die sich durch die Parametergleichungen

    $x=a(\cos t)^{3}\$
    $y=b(\sin t)^{3}\$

oder durch die implizite Gleichung

    $\left({\frac {x}{a}}\right)^{\frac {2}{3}}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{\frac {2}{3}}=1$

beschreiben lässt. Die Evolute einer Ellipse ist ebenfalls eine schiefe Astroide.

