Binary Symmetric Channel
# Binary Symmetric Channel

Ein binärer symmetrischer Kanal (englisch binary symmetric channel, kurz BSC) ist ein informationstheoretischer Kanal, bei dem die Wahrscheinlichkeit einer Falschübermittlung (auch Fehlerwahrscheinlichkeit) von 1 genau so hoch ist wie die Wahrscheinlichkeit der Falschübermittlung einer 0. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass eine 1 empfangen wurde, falls eine 0 gesendet wurde und umgekehrt, beträgt die Wahrscheinlichkeit $p$. Für die verbleibenden Fälle, also der korrekten Übermittlung, ergibt sich damit eine Wahrscheinlichkeit von jeweils $1-p$:

    ${\begin{aligned}\operatorname {Pr} [Y=0|X=0]&=1-p\\\operatorname {Pr} [Y=0|X=1]&=p\\\operatorname {Pr} [Y=1|X=0]&=p\\\operatorname {Pr} [Y=1|X=1]&=1-p\end{aligned}}$

Dabei gilt $0\leq p\leq 1/2$, denn falls $p>1/2$ wäre, könnte der Empfänger alle empfangenen Bits invertieren und würde damit einen äquivalenten Kanal mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit von $1-p\leq 1/2$ erhalten.

## Kapazität

Die Kanalkapazität des binären symmetrischen Kanals ist

    $\ C_{\text{BSC}}=1-\operatorname {H} _{\text{b}}(p),$

wobei $\operatorname {H} _{\text{b}}(p)$ die Entropie der Bernoulli-Verteilung mit Wahrscheinlichkeit $p$ ist:

$\operatorname {H} _{\text{b}}(p)=-p\log _{2}(p)-(1-p)\log _{2}(1-p)$

Beweis: Die Kapazität ist definiert als die maximale Transinformation zwischen Eingang $X$ und Ausgang $Y$ für alle möglichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen am Eingang $p_{X}(x)$:

    $C=\max _{p_{X}(x)}\left\{\,I(X;Y)\,\right\}$

Die Transinformation kann umformuliert werden zu

    ${\begin{aligned}I(X;Y)&=H(Y)-H(Y|X)\\&=H(Y)-\sum _{x\in \{0,1\}}{p_{X}(x)H(Y|X=x)}\\&=H(Y)-\sum _{x\in \{0,1\}}{p_{X}(x)}\operatorname {H} _{\text{b}}(p)\\&=H(Y)-\operatorname {H} _{\text{b}}(p),\end{aligned}}$

wobei die ersten beiden Schritte aus der Definition von Transinformation bzw. der bedingten Entropie folgen. Die Entropie am Ausgang, bei gegebenem und festem Eingangsbit ($H(Y|X=x)$) gleicht der Entropie der Bernoulli-Verteilung, was zur dritten Zeile führt, welche weiter vereinfacht werden kann.

In der letzten Zeile ist nur der erste Term $H(Y)$ von der Wahrscheinlichkeitsverteilung am Eingang $p_{X}(x)$ abhängig. Außerdem ist von der Entropie einer binären Zufallsvariable bekannt, dass diese ihr Maximum von 1 bei einer Gleichverteilung besitzt. Die Gleichverteilung am Ausgang kann, bedingt durch die Symmetrie des Kanals, nur erreicht werden, wenn auch eine Gleichverteilung am Eingang vorliegt. Damit erhält man $C_{\text{BSC}}=1-\operatorname {H} _{\text{b}}(p)$.

