Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen
# Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen

Als Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen oder in Kurzform vermittelnde Ausgleichung werden Verfahren der Ausgleichsrechnung bezeichnet, bei der die gesuchten Größen (Unbekannten) nicht direkt gemessen werden können, sondern jede einzelne Beobachtung eine Funktion dieser Unbekannten ist.

Wenn die Anzahl der Beobachtungen n größer ist als die der Unbekannten u, ist das Problem überbestimmt mit der Redundanz n-u, und die unbekannten Parameter werden so bestimmt, dass die Residuenquadratsumme minimal ist.

Es wird für jede Messung eine Beobachtungsgleichung aufgestellt, welche die gesuchten Größen (Unbekannten) als Parameter enthält. Im Allgemeinen ist der funktionale Zusammenhang nichtlinear, so dass eine Näherungslösung bestimmt und die Beobachtungsgleichungen linearisiert werden müssen. Die Bestimmung der Unbekannten erfolgt durch Inversion eines Systems linearer Normalengleichungen, das sich aus der Minimumsbedingung der Residuen ergibt und die Dimension u × u hat. Als Ergebnis erhält man Zuschläge auf die Näherungslösung, mit denen diese verbessert werden kann. Die Schritte der Linearisierung, Lösung der Normalgleichungen und Verbesserung der Näherungswerte werden so oft wiederholt, bis die Zuschläge klein genug im Verhältnis zur Genauigkeit der Parameter sind (Iteration).

## Beispiel

Zwischen zwei Punkten $P_1,$ $P_2$ eines Vermessungsnetzes am Erdellipsoid sollen die Verbesserungsgleichungen für die gemessene Strecken- bzw. Bogenlänge S und die Azimute $A_1,$ $A_2$ abgeleitet werden. Die geografischen Breiten/Längen der Punkte seien $B_1,$ $B_2,$ $L_1,$ $L_2,$ die Normalkrümmungsradien des Ellipsoids $M_1,$ $M_2,$ $N_1,$ $N_2.$ Die Änderung der Bogenlänge S durch differentielle Koordinatenänderungen dB, dL ist dann (nach B. Heck, Kapitel 8.2)

dS = $−cosA_1$ $M_1$ $dB_1$ − $sinA_1$ $N_1$ $cosB_1$ $dL_1$ + $cosA_2$ $M_2$ $dB_2$ + $sinA_2$ $N_2$ $cosB_2$ $dL_2.$

Nennt man die Nord-Süd- bzw. Ost-West-Punktverschiebungen als neue Unbekannte

$dx_i$ = $M_i$ $dB_i$ , $dy_i$ = $N_i$ $cosB_i$ $dL_i$

und rechnet man aus Näherungskoordinaten von $P_1,$ $P_2$ die genäherte Bogenlänge S° bzw. das Azimut $A°_1,$ so erhält man die Verbesserungsgleichung der Bogenlänge

$v_S$ = $−cosA_1$ $dx_1$ − $sinA_1$ $dy_1$ + $cosA_2$ $dx_2$ + $sinA_2$ $dy_2$ − (S − S°),

worin nunmehr die Differenz S − S° als Beobachtung zu verstehen ist. Analog erhält man die Verbesserungsgleichung für das gemessene Azimut von $P_1$ nach $P_2$ zu

$v_{A1}$ = $(sinA_1$ $dx_1$ − $cosA_1$ $dy_1$ − $sinA_2$ $dx_2$ + $cosA_2$ $dy_2)$ / S° − $(A_1$ − $A°_1).$

Aus den Koeffizienten der dx, dy der Verbesserungsgleichungen aller Beobachtungen wird anschließend die quadratische Normalgleichungsmatrix gebildet, deren Inversion zuletzt die gesuchten Koordinatenänderungen dx, dy aller Punkte ergibt. Zu den Näherungskoordinaten addiert, folgen die endgültigen Koordinaten der Messpunkte.

