Graph von Gruppen
# Graph von Gruppen

In der Mathematik sind Graphen von Gruppen eine Konstruktion der Gruppentheorie, mit der iterierte amalgamierte Produkte und HNN-Erweiterungen konstruiert werden können und die in der Bass-Serre-Theorie von Bedeutung ist.

## Definition

Ein Graph von Gruppen wird durch die folgenden Daten gegeben:

* ein gerichteter zusammenhängender Graph $(E,K)$, so dass für jede Kante $k=(e_{0},e_{1})\in K$ auch die umgedrehte Kante ${\overline {k}}=(e_{1},e_{0})$ zu $K$ gehört
* eine „Eckengruppe“ $G_{e}$ für jede Ecke $e\in E$
* eine „Kantengruppe“ $G_{k}$ für jede Kante $k\in K$, so dass $G_{k}=G_{\overline {k}}$ für alle $k$
* injektive Homomorphismen $\alpha _{k,i}\colon G_{k}\to G_{e_{i}},i=0,1$ für jede Kante $k=(e_{0},e_{1})\in K$

## Fundamentalgruppe

Für die Definition der Fundamentalgruppe eines Graphen von Gruppen muss zunächst ein Spannbaum $T$ im Graphen $(E,K)$ gewählt werden. Die Fundamentalgruppe ist letztlich aber vom gewählten Spannbaum unabhängig.

Die Fundamentalgruppe des Graphen von Gruppen ist definiert als das freie Produkt

    $(\ast _{e\in E}G_{e})\ast F(K)$

(wobei $F(K)$ die freie Gruppe mit Basis $K$ bezeichnet) modulo der folgenden Relationen:

* ${\overline {k}}\alpha _{k,0}(g)k=\alpha _{k,1}(g)$ für alle $k\in K,g\in G_{k}$
* ${\overline {k}}k=1$ für alle $k\in K$
* $k=1$ für alle im Spannbaum $T$ vorkommenden Kanten

## Beispiele

* Es sei $(E,K)$ der aus einer Kante $k=(e_{0},e_{1})$ mit zwei Eckpunkten $e_{0},e_{1}$ bestehende Graph. Dann ist die Fundamentalgruppe eines Graphen von Gruppen das amalgamierte Produkt

          $G_{e_{0}}*_{G_{k}}G_{e_{1}}$.
* Es sei $(E,K)$ der aus einer Kante $k=(e,e)$ mit zwei übereinstimmenden Eckpunkten $e_{0}=e_{1}$ bestehende Graph (eine „Schleife“). Dann ist die Fundamentalgruppe eines Graphen von Gruppen die HNN-Erweiterung

          $G_{e}*_{\alpha }$
    für den durch
          $\alpha :=\alpha _{k,1}(\alpha _{k,0})^{-1}\colon \alpha _{k,0}(G_{k})\to \alpha _{k,1}(G_{k})$
    gegebenen Homomorphismus $\alpha$ zwischen den Untergruppen $\alpha _{k,0}(G_{k})$ und $\alpha _{k,1}(G_{k})$ von $G_{e}$.
