Makroskopische Dimension
# Makroskopische Dimension

In der Mathematik ist die makroskopische Dimension eine Invariante metrischer Räume.

## Definition

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und $A\subset X$, dann bezeichnen wir mit $\operatorname {diam} (A)$ den Durchmesser von $A$. Eine Funktion $f\colon X\to Y$ heißt gleichmäßig kobeschränkt (englisch uniformly cobounded), falls eine Konstant $C$ existiert, so dass für alle $y\in Y$ gilt

    $\operatorname {diam} (f^{-1}(y))<C.$

Mit anderen Worten es existiert eine gleichmäßige obere Schranke $C$ für die Größe der Urbilder von $f$.

$X$ hat eine makroskopische Dimension $\operatorname {dim} _{mc}(X)$ kleiner oder gleich $n$, $\operatorname {dim} _{mc}(X)\leq n$, falls eine stetige, gleichmäßig kobeschränkte Abbildung $f:X\to N^{n}$ in einen $n$-dimensionalen Simplizialkomplex $N^{n}$ existiert.

## Vergleich mit anderen Dimensionsbegriffen

Die mikroskopische Dimension ist kleiner oder gleich der asymptotischen Dimension sowie kleiner oder gleich der Überdeckungsdimension.

## Gromovs Vermutung

Für kompakte $n$-dimensionale Mannigfaltigkeiten positiver Skalarkrümmung $M$ soll nach einer Vermutung von Gromov die makroskopische Dimension der universellen Überlagerung höchstens $n-2$ sein.

Das motivierende Beispiel sind Mannigfaltigkeiten der Form $N\times S^{2}$ für eine kompakte, $(n-2)$-dimensionale Mannigfaltigkeit $N$. Diese tragen stets Metriken positiver Skalarkrümmung und ihre universelle Überlagerung hat makroskopische Dimension höchstens $n-2$.

Eine andere, in ihrer allgemeinen Fassung aber durch Gegenbeispiele widerlegte, Vermutung Gromovs besagte, dass für kompakte $n$-Mannigfaltigkeiten, deren universelle Überlagerung makroskopische Dimension kleiner oder gleich $n-1$ ist, das Bild der Fundamentalklasse nach der klassifizierenden Abbildung der Fundamentalgruppe $\Gamma$ in $H_{*}(B\Gamma ;\mathbb {Q} )$ verschwindet.

Dranishnikov bewies, dass die makroskopische Dimension der universellen Überlagerung genau dann kleiner oder gleich $n-1$ ist, wenn das Bild der Fundamentalklasse in der ganzzahligen groben Homologie verschwindet.

