Quadratische Funktion
# Quadratische Funktion

Eine quadratische Funktion (auch ganzrationale Funktion zweiten Grades) ist eine Funktion, die als Funktionsterm ein Polynom vom Grad 2 besitzt, also von der Form

    $f(x)=ax^{2}+bx+c$ mit $a\neq 0$

ist. Der Graph ist die Parabel mit der Gleichung $y=ax^{2}+bx+c$. Für $a=0$ ergibt sich eine lineare Funktion.

Die Funktionen der Form $f(x)=ax^{2}$ mit $a\neq 0$ (also $b=c=0$) heißen spezielle quadratische Funktionen. Die Funktion $f$ mit $f(x)=x^{2}$ heißt Quadratfunktion.

## Quadratfunktion und spezielle quadratische Funktion

Die Funktion $f$ mit der Zuordnungsvorschrift $x\mapsto x^{2}$ heißt Quadratfunktion. Ihr Graph ist eine nach oben geöffnete, zur y-Achse symmetrische Parabel, deren Scheitelpunkt im Koordinatenursprung liegt, die Normalparabel.

Eine Funktionen der Form $f(x)=ax^{2}$ mit $a\neq 0$ heißt spezielle quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine zur $y$-Achse symmetrische Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung. Diese entsteht aus der Normalparabel durch Strecken oder Stauchen in Richtung der $y$-Achse und gegebenenfalls Spiegeln an der $x$-Achse:

    $a>0$: Die Parabel ist nach oben geöffnet.
    $a<0$: Die Parabel ist nach unten geöffnet.
    $|a|<1$: Der Graph ist in Richtung der $y$-Achse gestaucht, d. h. in der Länge zusammengedrückt, wodurch er breiter erscheint und flacher ist.
    $|a|>1$: Der Graph ist in Richtung der $y$-Achse gestreckt, d. h. in die Länge gezogen, wodurch er schmaler erscheint und steiler ist.

Für $a=-1$: ist der Graph im Vergleich zur Normalparabel einfach an der $x$-Achse gespiegelt.

* Spiegelung bei Vorzeichenwechsel $a$
* Stauchung bei $|a|<1$
* Streckung bei $|a|>1$

## Allgemeine quadratische Funktion

Die Zuordnungsvorschrift der allgemeinen quadratischen Funktion ist $x\mapsto ax^{2}+bx+c$. Die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ bestimmen den Wertebereich und die Form des Graphen.

### Parameter a

Wie der Wert von $a$ die Form des Graphen verändert, kann man am besten erkennen, wenn man $b=0$ und $c=0$ setzt. Man erhält dann eine gestreckte oder gestauchte und gegebenenfalls an der $x$-Achse gespiegelte Normalparabel.

    $a>0$: Der Graph ist nach oben geöffnet.
    $a<0$: Der Graph ist nach unten geöffnet.
    $|a|<1$: Der Graph ist in Richtung der $y$-Achse gestaucht, d. h. in der Länge zusammengedrückt, wodurch er breiter erscheint und flacher ist.
    $|a|>1$: Der Graph ist in Richtung der $y$-Achse gestreckt, d. h. in die Länge gezogen, wodurch er schmaler erscheint und steiler ist.

Für $a=-1$: ist der Graph im Vergleich zur Normalparabel einfach an der $x$-Achse gespiegelt.

### Parameter c

Es gilt $f(0)=c$. Der Parameter $c$ ist also der $y$-Wert des Schnittpunkts der Parabel mit der $y$-Achse. Eine Veränderung des Parameters $c$ bewirkt eine Verschiebung in $y$-Richtung. Wird $c$ um eins erhöht, dann wird der Graph um eine Einheit nach oben verschoben. Wird $c$ um eins verringert, wird der Graph dagegen um eine Einheit nach unten verschoben.

### Parameter b

Der Parameter $b$ gibt die Steigung der Parabel im Schnittpunkt mit der $y$-Achse an. Insbesondere kann man am Vorzeichen von $b$ erkennen, ob die $y$-Achse mit dem fallenden oder dem ansteigenden Ast der Parabel geschnitten wird. Hieraus lassen sich wiederum Rückschlüsse über die Zahl und die mögliche Lage von Nullstellen ziehen.

Eine Veränderung des Parameters $b$ bewirkt eine Verschiebung sowohl in $x$- als auch in $y$-Richtung. Wird $b$ um eins erhöht, dann wird der Graph um $1/2a$ Einheiten nach links und $(2b+1)/4a$ nach unten verschoben. Wird $b$ um eins verringert, wird der Graph dagegen um $1/2a$ Einheiten nach rechts und $(2b-1)/4a$ nach oben verschoben.

### Scheitelpunkt

Der Scheitelpunkt ist maßgeblich für die Lage der Parabel und repräsentiert entweder das absolute Minimum (falls $a$ positiv ist) oder das absolute Maximum (wenn $a$ negativ ist). Die Koordinaten des Scheitelpunkts lassen sich direkt ablesen, wenn der Funktionsterm in der Scheitelpunktform vorliegt:

    $f(x)=a\,\left(x-x_{s}\right)^{2}+y_{s}$.

Der Scheitelpunkt hat dann die Koordinaten $S(x_{s}|y_{s})$. Der Graph ist achsensymmetrisch zu einer Parallele zur $y$-Achse durch $x_{s}$.

Zur Bestimmung des Scheitelpunkts bzw. der Scheitelpunktform gibt es mehrere Methoden:

**Bestimmung der Scheitelpunktform mit quadratischer Ergänzung**

Die Scheitelpunktform kann aus der Darstellung $f(x)=ax^{2}+bx+c$ durch quadratische Ergänzung bestimmt werden.

Beispiel: Bestimmung der Scheitelform der quadratischen Funktion $f(x)=2x^{2}+4x+5$.

| $y=2x^{2}+4x+5$ | Die ursprüngliche Funktionsgleichung |
| - | - |
| $y=2\,\left(x^{2}+2x\right)+5$ | Der Faktor $a$ vor dem $x^{2}$ wurde ausgeklammert, wobei das konstante Glied + 5 ausgeschlossen bleibt. |
| $y=2\,\left(x^{2}+2x+1-1\right)+5$ | Es wird eine quadratische Ergänzung zu $x^{2}+2x$ durchgeführt. |
| $y=2\,\left(\left(x+1\right)^{2}-1\right)+5$ | Durch die quadratische Ergänzung ist es leicht möglich, mithilfe der binomischen Formeln aus einem Teil des Terms ein Quadrat herauszuziehen. |
| $y=2\,\left(x+1\right)^{2}-2+5$ | Nun wurde noch die Klammer mit dem Faktor 2 wieder aufgelöst, um den Term zu vereinfachen. |
| $y=2\,\left(x+1\right)^{2}+3$ | In der Endform lässt sich nun der Scheitelpunkt $S({-}1|3)$ ablesen. |

**Bestimmung des Scheitelpunkts mit Hilfe der Ableitung**

Eine weitere Möglichkeit zur Berechnung des Scheitelpunktes bietet die Differentialrechnung. Da der Scheitelpunkt immer eine (lokale) Extremstelle (Maximum bzw. Minimum) ist, liefert die Nullstelle der ersten Ableitung der Funktion den $x$-Wert des Scheitelpunktes:

    $f(x)=ax^{2}+bx+c\Rightarrow f'(x)=2ax+b\,$,
    $f'(x_{s})=0\Leftrightarrow 2ax_{s}+b=0\Leftrightarrow x_{s}={\frac {-b}{2a}}.$

Durch Einsetzen ergibt sich der $y$-Wert:

    $y_{s}=f(x_{s})=a\left({\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+b\left({\frac {-b}{2a}}\right)+c={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}.$

Beispiel: Bestimmung des Scheiteilpunkts der quadratischen Funktion $f(x)=2x^{2}+4x+5$.

| $f(x)=2x^{2}+4x+5$ | Die ursprüngliche Funktionsgleichung |
| - | - |
| $f'(x)=4x+4$ | Die 1. Ableitung der Funktion |
| $4x+4=0\Rightarrow x_{S}=-1$ | Bestimmung der Nullstelle der 1. Ableitung durch Gleichsetzen mit null |
| $y_{S}=f(-1)=2\cdot (-1)^{2}+4\cdot (-1)+5$ | $x_{S}$ einsetzen in $f(x)$ |
| $y_{S}=3$ | $y_{S}$ berechnen |

Der Scheitelpunkt hat also die Koordinaten $S(-1|3)$.

**Scheitelpunktberechnung mittels bekannter Nullstellen**

Sind die Nullstellen $x_{1},\ x_{2}$ der quadratischen Funktion bekannt, dann lassen sich die Koordinaten des Scheitelpunktes wie folgt berechnen:

    $x_{s}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},\quad y_{s}=f(x_{s})=-{\frac {a}{4}}(x_{2}-x_{1})^{2}$.

### Schnittpunkt mit der y-Achse

Wegen $f(0)=c$ hat der Schnittpunkt des Graphen mit der $y$-Achse die Koordinaten $(0|c)$.

### Nullstellen einer quadratischen Funktion

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion ergeben sich durch Lösung der Gleichung $f(x)=0$, das heißt der quadratischen Gleichung

    $ax^{2}+bx+c=0$.

Diese lassen sich mit Hilfe der abc-Formel berechnen:

    $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Nimmt der Ausdruck unter der Wurzel (Diskriminante) einen negativen Wert an, so bedeutet dies, dass keine (reellen) Nullstellen existieren.

### Umkehrfunktion

Weil die Parabel nur für die Bereiche $x\leq x_{s}$ und $x\geq x_{s}$ monoton ist, ergibt sich für jeden Bereich (jeden Ast der Parabel) eine Umkehrfunktion, welche zusammen ausgedrückt werden kann mit

    $x_{1,2}=\pm {\frac {{\sqrt {ay-4ac+b^{2}}}\mp b}{2a}}$ = ${\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4a(c-y)}}}{2a}}$

mit reellen Werten für

    $y\geq {\frac {4ac-b^{2}}{4a}}$ bei $a>0$ oder $y\leq {\frac {4ac-b^{2}}{4a}}$ bei $a<0$

### Nullstellen und Linearfaktoren

Sind $x_{1}$ und $x_{2}$ die Nullstellen der quadratischen Funktion $f(x)=ax^{2}+bx+c$, so kann man die Funktionsgleichung auch als Produkt ihrer Linearfaktoren schreiben:

    $f(x)=a\cdot (x-x_{1})\cdot (x-x_{2})$

### Schnittpunkt von Parabel und Gerade

$f(x)$ sei die Funktionsgleichung einer Parabel und $g(x)$ die einer Geraden. Ansatz: gleichsetzen der Funktionsgleichungen $f(x)=g(x)\Rightarrow$ quadratische Gleichung. Falls nun:

    $D>0:\Rightarrow$ Die Parabel und die Gerade schneiden sich in zwei Punkten (Sekante).
    $D=0:\Rightarrow$ Die Parabel und die Gerade berühren sich in einem Punkt (Tangente).
    $D<0:\Rightarrow$ Die Parabel und die Gerade haben keinen Schnittpunkt (Passante).

### Schnittpunkt zweier Parabeln

$f(x);\,g(x)$ seien die Funktionsgleichungen zweier Parabeln. Ansatz: gleichsetzen der Funktionsgleichungen $f(x)=g(x)\Rightarrow$ quadratische Gleichung. Falls nun:

    $D>0:\Rightarrow$ Die Parabeln schneiden sich in zwei Punkten.
    $D=0:\Rightarrow$ Die Parabeln berühren sich in einem Punkt.
    $D<0:\Rightarrow$ Die Parabeln haben keinen Schnittpunkt.
    $f(x)-g(x)$ ist eine lineare Gleichung $\Rightarrow \,$ Die Parabeln haben einen Schnittpunkt.

## Quadratisches Polynom

Sei $R$ ein beliebiger Ring. Als quadratische Polynome über $R$ bezeichnet man Ausdrücke der Form

    $ax^{2}+bx+c\in R[x]$

mit $a,b,c\in R$ und $a\not =0$. Formal handelt es sich um Elemente des Polynomringes vom Grad 2, sie definieren Abbildungen von $R$ nach $R$. Im Fall $R=\mathbb {R}$ handelt es sich im obigen Sinne um quadratische Funktionen.

Falls $R$ ein algebraisch abgeschlossener Körper ist, zerfällt jedes quadratische Polynom als Produkt zweier Linearfaktoren.

Allgemeiner sind quadratische Polynome in $n$ Variablen Ausdrücke der Form

    $\sum _{i,j=1}^{n}a_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}x_{i}+c\in R[x_{1},\ldots ,x_{n}]$,

wobei nicht alle $a_{i,j}$ Null sein sollen. Diese Polynome definieren Abbildungen von $R^{n}$ nach $R$. Ihre Nullstellenmengen im $R^{n}$ werden als Quadriken bezeichnet, im Fall $n=2$ auch als Kegelschnitte.

