Gitterförmige Verteilung
# Gitterförmige Verteilung

Gitterförmige Verteilungen sind Wahrscheinlichkeitsverteilungen reellwertiger diskreter Zufallsvariablen bei denen die Stellen, die mit positiver Wahrscheinlichkeit angenommen werden, eine spezielle Struktur haben, die an ein Gitter erinnert.

## Definition

Eine reellwertige diskrete Zufallsvariable $X$, für die es eine Menge

    $M_{a,h}=\{a+zh\mid z\in \mathbb {Z} \}$

mit $a,h\in \mathbb {R}$ und $h>0$ gibt, so dass

    $\operatorname {P} (X\in M_{a,h})=1$

gilt, heißt gitterförmig verteilt. Für eine gitterförmig verteilte Zufallsvariable gibt es ein größtes $h$, das Gitterkonstante heißt.

## Beispiele

In den folgenden drei Fällen ist $X$ gitterförmig verteilt mit $a=0$ und Gitterkonstante $h=1$.

* $X$ sei eine Bernoulli-Variable mit dem Parameter $0<p<1$. Für $M:=\{0,1\}\subset M_{0,1}$ gilt $\mathrm {P} (X\in M)=1$ und $\mathrm {P} (X=x)>0$ für alle $x\in M$.
* $X$ sei eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern $0<p<1$ und $n\in \mathbb {N}$. Für $M:=\{0,1,\dots ,n\}\subset M_{0,1}$ gilt $\mathrm {P} (X\in M)=1$ und $\mathrm {P} (X=x)>0$ für alle $x\in M$.
* $X$ sei eine Poisson-verteilte Zufallsvariable $X$ mit Parameter $\lambda >0$. Für $M:=\{0,1,2,\dots \}\subset M_{0,1}$ gilt $\mathrm {P} (X\in M)=1$ und $\mathrm {P} (X=x)>0$ für alle $x\in M$.

Für die Zufallsvariable $X$ mit $\mathrm {P} (X=1)=\mathrm {P} (X=10)=1/2$ ist $a=1$ und die Gitterkonstante ist $h=9$.

## Eigenschaften

* Eine reellwertige Zufallsvariable ist genau dann gitterförmig verteilt, wenn der Betrag ihrer charakteristischen Funktion $t\mapsto \varphi _{X}(t):=\mathbb {E} [\mathrm {e} ^{\mathrm {i} tX}]$ an einer Stelle $t\neq 0$ den Wert Eins hat.
* Eine gitterförmige Verteilung hat genau dann die Gitterkonstante $h$, wenn

       $|\varphi _{X}(2\pi /h)|=1$
    und
       $|\varphi _{X}(t)|<1\quad {\text{für alle }}0<t<{\frac {2\pi }{h}}$
    gilt.

## Anwendung

Gitterförmige Verteilungen spielen eine besondere Rolle in der Theorie lokaler Grenzwertsätze.

Es sei $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge stochastisch unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen mit $\mathrm {P} (X_{n}\in \mathbb {Z} )=1$ und Gitterkonstante 1, mit dem Erwartungswert $\mathbb {E} [X_{n}]=\mu$ und mit der endlichen und positiven Varianz $\mathrm {Var} [X_{n}]=\sigma ^{2}$. Dann hat die Zufallsvariable $S_{n}:=\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ den Erwartungswert $\mathbb {E} [S_{n}]=\mu _{n}:=n\mu$ und die Varianz $\mathrm {Var} [S_{n}]=\sigma _{n}^{2}=n\sigma ^{2}$. Es gilt dann der lokale Grenzwertsatz von Gnedenko

    $\lim _{n\to \infty }{\sqrt {n}}\left(\mathrm {P} \left(S_{n}=m\right)-\varphi _{\mu _{n},\sigma _{n}^{2}}(m)\right)=0,\quad m\in \mathbb {Z} \;.$

Dabei bezeichnet $\varphi _{\mu ,\sigma ^{2}}$ die Dichtefunktion einer Normalverteilung ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$. Die Konvergenz gilt gleichmäßig bezüglich $m$.

