Randers-Metrik
# Randers-Metrik

In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Randers-Metriken eine spezielle Klasse nicht-reversibler Finsler-Metriken. Sie sind nach dem norwegischen Physiker Gunnar Randers benannt.

## Konstruktion

Sei $(M,g)$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und $b\in \Omega ^{1}(M)$ eine 1-Form mit

    $\|b\|_{a}:={\sqrt {\sum _{i,j}g^{ij}(x)b_{i}b_{j}}}<1,$

wobei $\left(g^{ij}\right)$ die inverse Matrix zu $(g_{ij})$ ist. Dann definiert

    $F(x,v):={\sqrt {\sum _{i,j}g_{ij}(x)v^{i}v^{j}}}+\sum _{i}b_{i}(x)v^{i}$

eine Randers-Metrik auf $M$ und $(M,F)$ ist eine Randers-Mannigfaltigkeit. Randers-Mannigfaltigkeiten sind nicht-reversible Finsler-Mannigfaltigkeiten.

## Verallgemeinerung: (α,β)-Metriken

Sei $(M,g)$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit,

    $\alpha (x,v)={\sqrt {\sum _{i,j}g_{ij}(x)v^{i}v^{j}}},\beta (x,v)=\sum _{i}b_{i}(x)v^{i},$

und sei $L$ eine homogene Funktion vom Grad 1 in zwei Variablen. Dann definiert $L(\alpha ,\beta )$ eine Finsler-Metrik $L(x,v)$, die als $(\alpha ,\beta )$-Metrik bezeichnet wird.

Insbesondere gibt $L(\alpha ,\beta )=\alpha +\beta$ eine Randers-Metrik und $L(\alpha ,\beta )={\frac {\alpha ^{2}}{\beta }}$ eine Kropina-Metrik.

