Gaußsche isoperimetrische Ungleichung
# Gaußsche isoperimetrische Ungleichung

Die gaußsche isoperimetrische Ungleichung ist in der Stochastik die isoperimetrische Ungleichung für den euklidischen Raum ausgestattet mit dem gaußschen Maß. Die Ungleichung sagt, dass unter allen Borel-Mengen im euklidischen Raum, die Halbräume das minimale gaußsche Oberflächenmaß besitzen.

Sie wurde von 1975 von Christer Borell und unabhängig davon 1974 von Wladimir Sudakow und Boris Tsirelson bewiesen.

## Aussage

Sei

* $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),\gamma ^{n};d)$ ein gaußscher Raum, der zusätzlich mit der euklidischen Metrik $d$ ausgestattet ist, wobei $\gamma ^{n}(dx)=(2\pi )^{-n/2}e^{-\|x\|^{2}/2}d^{n}x$ das kanonische $n$-dimensionale gaußsche Maß ist.
* $\Phi (x)=\gamma ^{1}([-\infty ,t])$ die Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung,
* $H=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\colon \langle x,u\rangle <\lambda ,u\in \mathbb {R} ^{n},\lambda \in [-\infty ,+\infty ]\}$ ein Halbraum, der mit demselben gaußschen Maß $\gamma ^{n}$ ausgestattet ist,
* $A$ eine Borel-Menge in $\mathbb {R} ^{n}$,
* $d(x,A)=\inf\{d(x,a);a\in A\}$ die kleinste Distanz zwischen $x$ und $A$.
* $A_{r}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\colon d(x,A)<r\}$ ist die geschlossene euklidische Nachbarschaft der Menge $A$ mit Radius $r$. Analog die gleiche Definition für $H_{r}$. Beachte, $H_{r}$ ist ein weiterer Halbraum.

Sei nun $\gamma ^{n}(H)=\gamma ^{n}(A)$. Dann gilt für alle $r>0$, dass $H_{r}$ das kleinste gaußsche Maß besitzt, das bedeutet

    $\gamma ^{n}(A_{r})\geq \gamma ^{n}(H_{r}).$

Als Konsequenz folgt daraus

    $\Phi ^{-1}(\gamma ^{n}(A_{r}))\geq \Phi ^{-1}(\gamma ^{n}(A))+r.$

Außerdem, falls $\gamma ^{n}(A)\geq 1/2$ gilt, dann ist zusätzlich

    $1-\gamma ^{n}(A_{r})\leq 1-\Phi (r)\leq {\tfrac {1}{2}}\exp(-r^{2}/2).$

## Verallgemeinerungen

Es existieren verschiedene Verallgemeinerungen, darunter die Bobkow-Ungleichung und die Ehrhard-Ungleichung.

