Summenregel
# Summenregel

Die Summenregel ist in der Mathematik eine der Grundregeln der Differentialrechnung. Sie besagt, dass die Summe aus zwei differenzierbaren Funktionen wieder differenzierbar ist und dass eine solche Summe aus Funktionen gliedweise differenziert werden kann.

## Regel

Die Funktionen $g$ und $h$ seien in einem gemeinsamen Intervall definiert, das die Stelle $x_{0}$ enthält. An dieser Stelle $x_{0}$ seien beide Funktionen differenzierbar. Dann ist auch die Funktion $f$ mit

    $f(x)=g(x)\,+h(x)$

an der Stelle $x_{0}$ differenzierbar, und es gilt

    $f'(x_{0})=g'(x_{0})+h'(x_{0})\,$.

## Beispiel

    $\ g(x)=x^{4}$
    $\ h(x)=x^{3}$

sind auf $\mathbb {R}$ differenzierbar mit den Ableitungsfunktionen

    $\ g'(x)=4x^{3}$
    $\ h'(x)=3x^{2}$.

Daher ist auch die Funktion

    $\ f(x)=g(x)+h(x)=x^{4}+x^{3}$

auf $\mathbb {R}$ differenzierbar mit der Ableitungsfunktion

    $\ f'(x)=g'(x)+h'(x)=4x^{3}+3x^{2}$.

## Beweis

Sei $I$ ein Intervall und seien $g,h\colon \ I\to \mathbb {R}$ in $x_{0}\in I$ differenzierbar.

Per Voraussetzung existieren die Funktionengrenzwerte $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}$ und $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {h(x)-h(x_{0})}{x-x_{0}}}$. Nach den Grenzwertsätzen existiert auch der Grenzwert der Summenfunktion $f+g$ an der Stelle $x_{0}$ und es gilt

    $\lim _{x\to x_{0}}\left({\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}+{\frac {h(x)-h(x_{0})}{x-x_{0}}}\right)=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}+\lim _{x\to x_{0}}{\frac {h(x)-h(x_{0})}{x-x_{0}}}.$

Damit folgt

    ${\begin{aligned}\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}&=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {g(x)+h(x)-(g(x_{0})+h(x_{0}))}{x-x_{0}}}\\&=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {g(x)-g(x_{0})+h(x)-h(x_{0})}{x-x_{0}}}\\&=\lim _{x\to x_{0}}\left({\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}+{\frac {h(x)-h(x_{0})}{x-x_{0}}}\right)\\&=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}+\lim _{x\to x_{0}}{\frac {h(x)-h(x_{0})}{x-x_{0}}}.\\\end{aligned}}$

Also ist $f'(x_{0})=g'(x_{0})+h'(x_{0})$, was zu zeigen war.

## Folgerungen

* Differenzregel: Betrachtet man die Differenz $f=g-h=g+(-h)$ für Funktionen $g$ und $h$, die in $x_{0}$ differenzierbar sind, ergibt sich aus der Summenregel und der Faktorregel, dass $f$ in $x_{0}$ differenzierbar ist und für die Ableitung $f'(x_{0})=g'(x_{0})-h'(x_{0})$ gilt.
* Zusammen mit der Faktorregel ergibt sich: Sind $g_{1},\ldots ,g_{n}$ in $x_{0}\in \mathbb {R}$ differenzierbare Funktionen und $c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {R}$ reelle Konstanten, dann ist die Linearkombination $f(x):=\sum _{i=1}^{n}c_{i}g_{i}(x)$ wiederum in $x_{0}$ differenzierbar mit (gliedweise differenzierter) Ableitungsfunktion

    $f'(x_{0})=\left(\sum _{i=1}^{n}c_{i}g_{i}\right)'(x_{0})=\sum _{i=1}^{n}c_{i}{g_{i}}'(x_{0})$.
* Daraus folgt: Die differenzierbaren Funktionen (auf einem gegebenen Intervall) bilden einen reellen Vektorraum, und die Differentiation ist eine lineare Abbildung von diesem Vektorraum in den Vektorraum aller Funktionen.
