Kinetische Monte-Carlo-Methode
# Kinetische Monte-Carlo-Methode

Die kinetische Monte-Carlo-Methode ist eine hybride Monte-Carlo-Methode und besitzt als Input die Raten von Zustandsübergängen, womit (indirekt) die Zeit modelliert wird. Die kinematische Monte-Carlo-Methode und die dynamische Monte-Carlo-Methode sind weitgehend ident. Verwandt ist auch der Gillespie-Algorithmus.

Für die Phasenübergangsrate wird die sogenannte Mastergleichung verwendet:

    ${\frac {\mathrm {d} {\mathcal {P}}_{\alpha }(t)}{\mathrm {d} t}}=\left(\sum _{\beta \neq \alpha }W_{\alpha \beta }\cdot {\mathcal {P}}_{\beta }(t)\right)-\sum _{\beta \neq \alpha }W_{\beta \alpha }\cdot {\mathcal {P}}_{\alpha }(t)$

Dabei sind $P_α,$ $P_β$ die Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Konfigurationen α und β und $W_{αβ}$ und $W_{βα}$ die entsprechenden Übergangswahrscheinlichkeiten.

## Zurückweisungslose kinetische Monte-Carlo-Simulation

Vorgangsweise bei der zurückweisungslosen kinetischen Monte-Carlo-Simulation:

* Man definiert die Ausgangslage $k$ der Atome zum Zeitpunkt $t=0$
* Von allen $N_{k}$ möglichen Übergängen in den nächsten Zustand $i$ werden die Übergangsraten $r_{k,i}\geq 0$ berechnet, wobei für Übergänge, die nicht eintreten, $r_{k,i}=0$ gilt.
* Man bildet die Partialsumme $R_{k,i}$ der Übergangsraten: $R_{k,i}=\sum _{j=1}^{i}r_{k,j}$. Die Gesamtsumme der Übergangsraten ist $Q_{k}=R_{k,N_{k}}=\sum _{j=1}^{N_{k}}r_{k,j}$.
* Die Zustände werden mit einer Wahrscheinlichkeit von $0\leq {\frac {r_{k,i}}{Q_{k}}}\leq 1$ angenommen.
   * Man bestimmt eine Zufallszahl $0<\alpha \leq 1$, es wird jener Übergang $r_{k,i}$ gewählt, für den gilt: $R_{k,i-1}<\alpha \cdot Q_{k}\leq R_{k,i}$
* Die Zeit wird auf $t_{i}=t_{k}+\Delta t$ gesetzt, mit $\Delta t={\frac {\ln(1/a)}{Q_{k}}},$ wobei $a$ eine Zufallszahl zwischen 0 und 1 ist.
* Man wiederholt die Schritte 2–5, bis das Abbruchkriterium erfüllt ist.
